کموتاتور (جابجا گر)

ن مقاله در مورد مفهوم ریاضی است. برای بخش الکتریکی، کموتاتور (الکتریکی) را ببینید . برای رابطه بین موجودات مزدوج متعارف ، به رابطه کموتاسیون متعارف مراجعه کنید . برای کاربردهای دیگر، Commutation را ببینید .

در ریاضیات , جابجایی نشان می دهد که تا چه حد یک عملیات باینری معین از جابجایی ناموفق است . در تئوری گروه و تئوری حلقه از تعاریف مختلفی استفاده می شود .

نظریه گروه

[ ویرایش ]

جابجا گر دو عنصر g و h از گروه G عنصر است

[ g ، h ] = g ^-1 h ^-1 gh .

این عنصر برابر با هویت گروه است اگر و فقط اگر g و h رفت و آمد کنند (یعنی اگر و فقط اگر gh = hg ).

مجموعه تمام کموتاتورهای یک گروه به طور کلی تحت عملیات گروه بسته نیست، اما زیرگروه G تولید شده توسط همه جابجا گر ها بسته است و گروه مشتق شده یا زیرگروه جابجا گر G نامیده می شود . جابجا گرها برای تعریف گروه های nilpotent و قابل حل و بزرگترین گروه ضریب آبلی استفاده می شوند .

از تعریف کموتاتور فوق در سراسر این مقاله استفاده شده است، اما بسیاری از نظریه پردازان گروه، کموتاتور را به این صورت تعریف می کنند.

[ g ، h ] = ghg ^-1 h^ -1 . [ 1 ] [ 2 ]

با استفاده از تعریف اول، این می تواند به صورت [ g^ -1 ، h^ -1 ] بیان شود .

هویت (نظریه گروهی)

[ ویرایش ]

هویت های کموتاتور ابزار مهمی در نظریه گروه هستند . [ 3 ] عبارت a x نشان دهنده مزدوج a با x است که به صورت x -1 ax تعریف شده است .

$x^{y}=x[x,y].$
$[y,x]=[x,y]^{-1}.$
$[x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}$ و $[xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].$
$\left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}$ و $\left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.$
$\left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x \right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1$ و $\left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \چپ[[y ,z],x^{y}\right]=1.$

هویت (5) پس از فیلیپ هال و ارنست ویت به نام هویت هال ویت نیز شناخته می شود . این یک آنالوگ نظری گروهی از هویت ژاکوبی برای کموتاتور نظری حلقه است (به بخش بعدی مراجعه کنید).

NB، تعریف فوق از مزدوج a توسط x توسط برخی از نظریه پردازان گروه استفاده می شود. [ 4 ] بسیاری از نظریه پردازان گروه دیگر مزدوج a توسط x را به عنوان xax -1 تعریف می کنند . [ 5 ] این اغلب نوشته می شودxالف ${}^{x}a$ . هویت های مشابهی برای این کنوانسیون ها وجود دارد.

بسیاری از هویت ها که زیرگروه های خاصی مدول واقعی هستند نیز استفاده می شوند. اینها می توانند به ویژه در مطالعه گروه های قابل حل و گروه های nilpotent مفید باشند . به عنوان مثال، در هر گروهی، توان های دوم به خوبی رفتار می کنند:

$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].$

اگر زیر گروه مشتق شده مرکزی باشد، پس

$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.$

نظریه حلقه

[ ویرایش ]

حلقه ها اغلب از تقسیم پشتیبانی نمی کنند. بنابراین، جابجا گردو عنصر a و b از یک حلقه (یا هر جبر انجمنی ) به طور متفاوت با

$[a,b]=ab-ba.$

کموتاتور صفر است اگر و فقط اگر a و b جابجا شوند. در جبر خطی ، اگر دو شکل درونی یک فضا با ماتریس های رفت و آمد بر حسب یک مبنا نشان داده شوند، آنگاه بر حسب هر مبنا به این شکل نمایش داده می شوند. با استفاده از کموتاتور به عنوان یک براکت لی ، هر جبر انجمنی را می توان به جبر لی تبدیل کرد .

ضد جابجا گر دو عنصر a و b یک حلقه یا جبر انجمنی با تعریف می شود

$\{a,b\}=ab+ba.$

گاهی اوقات

$[a,b]_{+}$ برای نشان دادن anticommutator، در حالی که استفاده می شود

$[a,b]_{-}$ سپس برای جابجا گراستفاده می شود. [ 6 ] ضد جابجا گرکمتر مورد استفاده قرار می گیرد، اما می توان از آن برای تعریف جبرهای کلیفورد و جبر جردن و در استخراج معادله دیراک در فیزیک ذرات استفاده کرد .

جابجا گردو عملگر که در فضای هیلبرت عمل می‌کنند ، یک مفهوم مرکزی در مکانیک کوانتومی است ، زیرا نشان می‌دهد که چقدر دو قابل مشاهده توصیف‌شده توسط این عملگرها می‌توانند به طور همزمان اندازه‌گیری شوند. اصل عدم قطعیت به موجب رابطه رابرتسون- شرودینگر در نهایت یک قضیه در مورد چنین تغییردهنده‌هایی است . [ 7 ] در فضای فاز ، جابجا گرهای معادل ضربهای ستاره تابعی براکت‌های مویال نامیده می‌شوند و کاملاً با ساختارهای کموتاتور فضایی هیلبرت که ذکر شد هم‌شکل هستند.

هویت (نظریه حلقه)

[ ویرایش ]

کموتاتور دارای ویژگی های زیر است:

هویت های لی-جبر

[ ویرایش ]

$[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$
$[A,A]=0$
$[A,B]=-[B,A]$
$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

رابطه (3) ضد جابجا گر نامیده می شود ، در حالی که (4) هویت ژاکوبی است .

هویت های اضافی

[ ویرایش ]

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$
$[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$
$[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B, D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
$[[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C, D],A],B]+[[[D,A],B],C]$

اگر A یک عنصر ثابت از یک حلقه R باشد ، هویت (1) را می توان به عنوان یک قانون لایب نیتس برای نقشه تفسیر کرد.

$\operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R$ داده شده توسط

$\operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]$ .

به عبارت دیگر، نقشه آگهی A یک مشتق بر روی حلقه R تعریف می کند . هویت های (2)، (3) قوانین لایب نیتس را برای بیش از دو عامل نشان می دهند و برای هر اشتقاقی معتبر هستند. هویت های (4) - (6) را می توان به عنوان قوانین لایب نیتس نیز تفسیر کرد. هویت های (7)، (8) Z - دوخطی بودن را بیان می کنند .

از هویت (9)، می توان دریافت که جابجایی قدرت های عدد صحیح عناصر حلقه عبارت است از:

$[A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}$

برخی از هویت‌های فوق را می‌توان با استفاده از نماد ± زیرمجموعه بالا به آنتی‌کموتاتور تعمیم داد. [ 8 ] به عنوان مثال:

$[AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B$
$[AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[ A,D]_{\pm }B$
$[[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+} ,A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[A,C]_{+},B]_{+ },D]$
$\left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B ]_{\pm }\right]=0$
$[A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}$
$[A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }$

هویت های نمایی

[ ویرایش ]

حلقه یا جبری را در نظر بگیرید که در آن نمایی است هالف=انقضا⁡(الف)=1+الف+12!الف2+⋯ $e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ را می توان به طور معناداری تعریف کرد، مانند جبر Banach یا حلقه ای از سری های قدرت رسمی .

در چنین حلقه‌ای، لم هادامارد که برای کموتاتورهای تودرتو اعمال می‌شود، به دست می‌دهد:

${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1 {3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$ (برای آخرین عبارت، مشتق الحاقی را در زیر ببینید.) این فرمول زیربنای بسط Baker–Campbell–Hausdorff از log(exp( A ) exp( B )) است.

یک بسط مشابه، تغییردهنده گروهی عبارات را بیان می کند $e^{A}$ (مشابه عناصر گروه لی ) از نظر یک سری جابجا گر تو در تو (براکت های لی)،

${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}} [A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right )$

حلقه ها و جبرهای درجه بندی شده

[ ویرایش ]

هنگامی که با جبرهای درجه بندی شده سروکار داریم ، کموتاتور معمولا با جابجایی درجه بندی شده جایگزین می شود که در اجزای همگن به صورت تعریف می شود.

$[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .$

اشتقاق الحاقی

[ ویرایش ]

به خصوص اگر یکی با چند جابجا گر در یک حلقه R سر و کار داشته باشد ، نماد دیگری مفید خواهد بود. برای یک عنصر $x\in R$ ، نگاشت الحاقی را تعریف می کنیم $\mathrm {ad} _{x}:R\to R$ توسط:

$\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.$

این نگاشت یک مشتق بر روی حلقه R است :

$\mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).$

با هویت ژاکوبی ، آن نیز اشتقاقی بر عملیات کموتاسیون است:

$\mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} } _{x}\!(z)].$

به عنوان مثال، با نوشتن چنین نگاشت هایی، به دست می آوریم

$\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]$ و

$\operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z) )\ =\ [x،[x،z]\،].$ ممکن است در نظر بگیریمالفد $\mathrm {ad}$ خود به عنوان یک نقشه برداری،

$\mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)$ ، که

$\mathrm {End} (R)$ حلقه ای از نگاشت از R به خود با ترکیب به عنوان عملیات ضرب است. سپسالفد $\mathrm {ad}$ یک هممورفیسم جبر دروغ است که تغییر دهنده را حفظ می کند:

$\operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].$

در مقابل، همیشه هممورفیسم حلقه نیست : معمولا $\operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}$ .

قانون مولد لایب نیتس

[ ویرایش ]

قانون کلی لایب نیتس ، که مشتقات مکرر یک محصول را بسط می دهد، می تواند به صورت انتزاعی با استفاده از نمایش الحاقی نوشته شود:

$x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y) \,x^{nk}.$

جایگزین کردن $x$ توسط عملگر تمایز∂ $\جزئی$ ، وy $y$ توسط عملگر ضرب $m_{f}:g\mapsto fg$ ، دریافت می کنیم $\operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}$ و با اعمال هر دو طرف برای تابع g ، هویت به قانون معمول لایب نیتس برای مشتق n تبدیل می شود. $\partial ^{n}\!(fg)$ .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator

+ نوشته شده در جمعه نهم آذر ۱۴۰۳ ساعت 8:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس یکانی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای ماتریس‌هایی که دارای قائم به میدان عدد حقیقی هستند، به ماتریس متعامد مراجعه کنید. برای محدودیت در تکامل مجاز سیستم های کوانتومی که مجموع احتمالات همه نتایج ممکن هر رویداد را تضمین می کند همیشه برابر با 1 است، به وحدت مراجعه کنید. الف>

در جبر خطی، یک ماتریس مربع مختلط معکوس U یکانی است اگر باشد ترانهاده مزدوج U* نیز معکوس

$U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,$

که در آن I ماتریس همانی است.

در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی، جابه‌جایی مزدوج به عنوان هرمیتین الحاقی یک ماتریس شناخته می‌شود و با علامت < نشان داده می‌شود. (†)، بنابراین معادله بالا نوشته شده است خنجر

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$

برای اعداد حقیقی، آنالوگ یک ماتریس یکانی یک ماتریس متعامد است. . ماتریس های یکانی در مکانیک کوانتومی اهمیت قابل توجهی دارند زیرا نرمها و بنابراین، دامنه های احتمال< را حفظ می کنند. a i=8>.

خواص[ویرایش]

برای هر ماتریس یکانی U با اندازه محدود، موارد زیر را نگه دارید:

با توجه به دو بردار مختلط x و y، ضرب توسط U ضرب داخلی خود را حفظ می کند. یعنی 〈Ux، Uy〉 .
U طبیعی است ( $U^{*}U=UU^{*}$ ).
U قطری شدنی است. یعنی U به طور یکانی شبیه به یک ماتریس قطری است. نتیجه قضیه طیفی. بنابراین، U دارای تجزیه به شکل است. $U=VDV^{*}،$ که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
$\left|\det(U)\right|=1$ . به این معنا که، $\det(U)$ روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
فضاهای ویژه آن متعامد هستند.
U را می توان به صورت U = e< نوشت >H است.ماتریس هرمیتی یک یکانی مختلط است و i، است ماتریس نمایی نشان دهنده e، که در آن iH

برای هر عدد صحیح n غیر منفی، مجموعه همه n * n ماتریس های یکانی با ضرب ماتریس یک گروه. (n)Uگروه یکانی ، به نام

هر ماتریس مربعی با نرم اقلیدسی یکانی، میانگین دو ماتریس یکانی است.<[1]

شرایط معادل[ویرایش]

اگر U یک ماتریس مربع و مختلط باشد، شرایط زیر معادل هستند:[2 ]

$U$ یکانی است
$U^{*}$ یکانی است
$U$ معکوس است با $U^{-1}=U^{*}$ .
ستون های $U$ از مبنای متعارف از تشکیل می شود $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $U^{*}U=I$ .
ردیف های $U$ یک پایه متعارف از $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $UU^{*}=I$ .
$U$ یک ایزومتی با توجه به نرم معمول است. یعنی $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ برای همه $x\in \mathbb {C} ^{n}$ ، جایی که ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$ .
$U$ یک ماتریس نرمال است (به طور معادل، یک مبنای متعارف وجود دارد که توسط بردارهای ویژه تشکیل شده است. $U$ ) با مقدارهای ویژه که روی دایره یکانی قرار دارد.

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**

یک عبارت کلی از ماتریس یکانی *2 2 است

$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix} },\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,$

که به 4 پارامتر حقیقی بستگی دارد (فاز a، فاز b چنین ماتریسی باشد تعیین). فرم به گونه ای پیکربندی شده است که φ، و زاویه b و a، قدر نسبی بین

$\det(U)=e^{i\varphi }~.$

زیر گروه آن عناصر $\ U\$ با $\ \det(U)=1\$ گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.

در میان چندین شکل جایگزین، ماتریس U را می توان به این شکل نوشت:

$\ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^ {-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,$

آ $\ e^{i\alpha }\cos \theta =a\$ و ه ، $\ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,$ بالا و زوایای $\ \varphi،\alpha،\beta،\theta \$ می تواند هر مقداری را بگیرد.

از طریق معرفی $\\alpha =\psi +\delta \$ و ، $\ \beta =\psi -\delta \ ,$ فاکتورسازی زیر را دارد:

$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\ begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }& 0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.$

این عبارت رابطه بین 2*2 ماتریس های یکانی و 2 * 2 . θ زاویه ماتریس های متعامد

فاکتورگیری دیگر<[3] است

$U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.$

بسیاری از عوامل دیگر یک ماتریس یکانی در ماتریس های پایه امکان پذیر است.[4][5][6]<[7]

همچنین ببینید<[ویرایش]

ماتریس هرمیتی و

ماتریس کج-هرمیتین

تجزیه ماتریس
گروه متعامد O(n)
گروه متعامد خاص SO(n)
ماتریس متعامد
ماتریس نیمه متعامد
دروازه منطق کوانتومی
گروه یونیتی ویژه SU(n)
ماتریس سمپلتیک
گروه یکانی U(n)
اپراتور یکانی

مراجع ]ویرایش]

^ لی، چی کوانگ؛ پون، ادوارد (2002). "تجزیه افزودنی ماتریس های حقیقی". جبر خطی و چند خطی. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.
^ هورن، راجر آ. جانسون، چارلز آر (2013). تحلیل ماتریس. انتشارات دانشگاه کمبریج. doi:10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
^ فور، هارتموت؛ Rzeszotnik، Ziemowit (2018). "نکته ای در مورد فاکتورگیری ماتریس های یکانی". جبر خطی و کاربردهای آن. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN0024-3795. S2CID125455174.
^ ویلیامز، کالین پی. (2011). "دروازه های کوانتومی". در ویلیامز، کالین پی. اکتشافات در محاسبات کوانتومی. متون در علوم کامپیوتر. لندن، انگلستان: Springer. پ. 82. doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2 ISBN 978-1-84628-887-6.
^ نیلسن، M.A.؛ چوانگ، آیزاک (2010). محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی. کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
^ بارنکو، آدریانو؛ بنت، چارلز اچ. کلیو، ریچارد؛ دیوینچنزو، دیوید پی. مارگولوس، نورمن؛ شور، پیتر؛ و همکاران (1 نوامبر 1995). "دروازه های ابتدایی برای محاسبات کوانتومی". بازبینی فیزیکی A. انجمن فیزیک آمریکا (APS). 52 (5): 3457–3467، esp.p. 3465. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN1050-2947. PMID9912645. S2CID8764584.
^ مرویان، ایمان (10 ژانویه 2022). "محدودیت‌های عملیات یکانی قابل تحقق که توسط تقارن و محل اعمال می‌شود". فیزیک طبیعت. 18 (3): 283-289. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN1745-2481. S2CID245840243.
همچنین ببینید:
Alhambra، lvaro M. (10 ژانویه 2022). "ممنوع با تقارن". اخبار & بازدیدها فیزیک طبیعت. 18 (3): 235–236. doi:10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN 1745-2481. S2CID 256745894. فیزیک سیستم های بزرگ اغلب به عنوان نتیجه عملیات محلی در میان اجزای آن درک می شود. اکنون نشان داده شده است که این تصویر ممکن است در سیستم های کوانتومی که برهمکنش های آنها توسط تقارن محدود شده است ناقص باشد.

پیوندهای خارجی[ویرایش]

وایسستاین، اریک دبلیو. "ماتریس یکانی". MathWorld. تاد رولند.
Ivanova, O. A. (2001) [1994]، "ماتریس یکانی"، دانشنامه ریاضیات، پرس EMS
"نشان دهید که مقادیر ویژه یک ماتریس یکانی دارای مدول 1 هستند". Stack Exchange. 28 مارس 2016

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و ششم آذر ۱۴۰۲ ساعت 11:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه لورنتس

ساختار جبری ← نظریه گروه نظریه گروه

نشان می دهد مفاهیم اساسی
نشان می دهد گروه های محدود
نشان می دهد گروه های گسسته مشبک
پنهان شدن گروه های توپولوژیکی و لی شیر برقی دایره GL خطی عمومی ( n ) SL خطی ویژه ( n ) O( n ) متعامد اقلیدسی E( n ) SO( n ) متعامد ویژه واحد U( n ) SU ( n ) واحد ویژه Sp( n ) Symplectic G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 لورنتس پوانکاره منسجم دیفئومورفیسم حلقه گروه لی با ابعاد بی نهایت O(∞) SU (∞) Sp(∞)
نشان می دهد گروه های جبری
v تی ه

هندریک آنتون لورنتس (1853–1928) که گروه لورنتس به نام او نامگذاری شده است.

در فیزیک و ریاضیات ، گروه لورنتس ، گروهی از تمام تبدیل‌های لورنتس در فضازمان مینکوفسکی است، محیط کلاسیک و کوانتومی برای همه پدیده‌های فیزیکی (غیر گرانشی) . گروه لورنتس به نام فیزیکدان هلندی هندریک لورنتس نامگذاری شده است .

به عنوان مثال، قوانین، معادلات و نظریه های زیر به تقارن لورنتس احترام می گذارند:

قوانین سینماتیکی نسبیت خاص
معادلات میدان ماکسول در نظریه الکترومغناطیس
معادله دیراک در نظریه الکترون
مدل استاندارد فیزیک ذرات

گروه لورنتس تقارن بنیادی مکان و زمان همه قوانین اساسی شناخته شده طبیعت را بیان می کند . در مناطق به اندازه کافی کوچک از فضازمان که واریانس های گرانشی ناچیز است، قوانین فیزیکی مانند نسبیت خاص تغییر ناپذیر لورنتس هستند.

فهرست

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

گروه لورنتس زیرگروهی از گروه پوانکاره است - گروهی از همه ایزومتریک‌های فضازمان مینکوفسکی . تبدیل‌های لورنتس دقیقاً ایزومتری‌هایی هستند که مبدا را ثابت می‌گذارند. بنابراین، گروه لورنتس زیرگروه ایزوتروپی از گروه ایزومتریک فضازمان مینکوفسکی است. به همین دلیل، گروه لورنتس را گاهی گروه لورنتس همگن می نامند، در حالی که گروه پوانکاره را گاهی گروه لورنتس ناهمگن می نامند . تبدیل های لورنتس نمونه هایی از تبدیل های خطی هستند . ایزومتریک های کلی فضازمان مینکوفسکی تبدیل های وابسته هستند. از نظر ریاضی، گروه لورنتس ممکن است به عنوان گروه متعامد نامعین O (1،3) توصیف شود، گروه Lie ماتریسی که شکل درجه دوم را حفظ می کند.

$(t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

بر $\mathbb {R} ^{4}$ (فضای برداری مجهز به این فرم درجه دوم گاهی نوشته می شود $\mathbb {R} ^{1،3}$ ). این شکل درجه دوم، هنگامی که در فرم ماتریس قرار می گیرد (به گروه متعامد کلاسیک مراجعه کنید )، در فیزیک به عنوان تانسور متریک فضازمان مینکوفسکی تفسیر می شود.

گروه لورنتز یک گروه لی واقعی غیرآبلین غیر فشرده شش بعدی است که متصل نیست . چهار جزء متصل به سادگی به هم متصل نیستند. [1] مؤلفه هویت ( یعنی مؤلفه حاوی عنصر هویت) گروه لورنتس خود یک گروه است و اغلب گروه لورنتس محدود نامیده می شود و SO + (1،3) نشان داده می شود. گروه محدود شده لورنتس متشکل از آن دگرگونی های لورنتس است که هم جهت مکان و هم جهت زمان را حفظ می کند. گروه بنیادی آن دارای مرتبه 2 و پوشش جهانی آن، گروه اسپین نامعین Spin(1,3) است که هم برای گروه خطی ویژه SL(2, C ) و هم برای گروه Sp(2, C ) هم شکل است. این ایزومورفیسم ها به گروه لورنتس اجازه می دهد تا بر روی تعداد زیادی از ساختارهای ریاضی مهم برای فیزیک، به ویژه اسپینورها ، عمل کند. بنابراین، در مکانیک کوانتومی نسبیتی و در نظریه میدان کوانتومی ، بسیار متداول است که SL(2, C ) را گروه لورنتس بنامیم، با این درک که SO + (1،3) یک نمایش خاص (نمایش برداری) آن است. . دو کواترنیون ها که در جبر هندسی رایج است ، به SL(2, C ) هم شکل هستند.

گروه لورنتس محدود نیز به عنوان گروه تقارن نقطه ای یک معادله دیفرانسیل معمولی مشخص می شود. [ کدام؟ ]

اجزای متصل [ ویرایش ]

مخروط نور در فضای دو بعدی به اضافه یک بعد زمانی.

از آنجا که یک گروه Lie است ، گروه لورنتس O(1،3) هم یک گروه است و هم توصیف توپولوژیکی را به عنوان یک منیفولد صاف می پذیرد . به عنوان یک منیفولد، دارای چهار جزء متصل است. به طور شهودی، این بدان معنی است که از چهار قطعه جدا شده از نظر توپولوژیکی تشکیل شده است.

چهار جزء متصل را می توان با دو ویژگی تبدیلی که عناصر آن دارند طبقه بندی کرد:

برخی از عناصر تحت تبدیل‌های لورنتس معکوس‌کننده زمان معکوس می‌شوند، برای مثال، یک بردار زمان‌نمای آینده به یک بردار اشاره‌دار گذشته معکوس می‌شود.
جهت گیری برخی از عناصر با تبدیل نادرست لورنتس معکوس شده است ، به عنوان مثال، برخی از ویربین ها (تترادها)

تبدیل های لورنتس که جهت زمان را حفظ می کنند نامیده می شوندمتعامد . زیر گروه تبدیل های متعامد اغلب O+(1، 3) نشان داده می شود. آنهایی که جهت گیری را حفظ میمناسبو به عنوان تبدیل های خطی دارای تعیین +1 هستند. (تبدیل های نامناسب لورنتس دارای تعیین کننده -1 هستند.) زیرگروه تبدیل های لورنتس مناسب SO (1, 3) نشان داده می شود.

زیرگروه همه تبدیل‌های لورنتس که هم جهت و هم جهت زمان را حفظ می‌کنند، گروه لورنتس مناسب و متعامد یا گروه لورنتس محدود نامیده می‌شوند و با SO + (1، 3) نشان داده می‌شوند. (توجه داشته باشید که برخی از نویسندگان به SO(1,3) یا حتی O(1,3) اشاره می کنند که در واقع به معنای SO + (1, 3) هستند).

مجموعه ای از چهار جزء متصل را می توان یک ساختار گروهی به عنوان گروه بهره O(1, 3)/SO + (1, 3) داد که با چهار گروه کلاین هم شکل است . هر عنصر در O(1،3) را می توان به عنوان حاصلضرب نیمه مستقیم یک تبدیل مناسب و متعامد و عنصری از گروه گسسته نوشت.

{1، P ، T ، PT }

که در آن P و T عملگرهای برابری و معکوس زمان هستند :

P = دیاگ (1، -1، -1، -1)

T = دیاگ (-1، 1، 1، 1).

بنابراین یک تبدیل دلخواه لورنتس را می توان به عنوان یک تبدیل لورنتس مناسب و متعامد به همراه دو بیت دیگر از اطلاعات، که یکی از چهار مؤلفه متصل را انتخاب می کند، مشخص کرد. این الگو برای گروه‌های Lie با ابعاد محدود است.

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۱ ساعت 2:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

آیا A=Z5[x]/(x^2+4) میدان است؟

از قضیه استفاده کنیم که به ما می‌گوید حلقهF [ x ]m ( x )رایک میدان است اگر و فقط اگرm ( x )تحویل ناپذیر است این به طور کلی آسان نیست - اگر درجهm ( x )بالا است، این کار به مقدار زیادی کار دستی نیاز دارد
خوشبختانه، معمولاً از ما خواسته می شود که این را با آن نشان دهیمm ( x )دارای درجه 2 یا 3. در این مورد، می توانیم از نتیجه 5.29 (یک چند جمله ای) استفاده کنیم.m ( x )درجه 2 یا 3 در یک میدان تحویل ناپذیر است اگر و فقط اگر ریشه نداشته باشد).

همه مقادیر ممکن را وارد می کنیم یعنی به آن ارزیابی می شود

A=Z5[x]/(x^2+4)

Polynomial ring explanation

m(0)=0^2+4=4

m(1)=1^2+4=0

m(2)=2^2+4=3

m(3)=3^2+4=3

m(4)=4^2+4=0

بنابراین

x^2+4=(x−1)(x−4)=(x+4)(x+1)

بنابراین میدان نیست

منبع

https://xyquadrat.ch/2020/12/19/is-polynomial-ring-field/

+ نوشته شده در جمعه بیست و یکم مرداد ۱۴۰۱ ساعت 6:39 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعیین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس 3×3

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه 3×3 مثال ماتریس

وظیفه:

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس زیر را بیابید:

راه حل:

برای یافتن بردارهای ویژه باید معادله زیر را برای هر مقدار ویژه حل کنیم:

مقادیر ویژه ریشه های معادله مشخصه هستند:

جواب های معادله فوق مقادیر ویژه هستند و برابر با:

بردارهای ویژه برای:

حال باید معادله زیر را حل کنیم:

ابتدا اجازه دهید ماتریس را کاهش دهیم:

این به معادله کاهش می یابد:

بردارهای ویژه برای:

حال باید معادله زیر را حل کنیم:

ابتدا اجازه دهید ماتریس را کاهش دهیم:

این به معادله کاهش می یابد:

منبع

https://assignmentshark.com/blog/eigenvalues-and-eigenvectors-of-3x3-matrix-example/

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 18:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه برائر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

اجازه دهید X یک تنوع تصویری صاف روی یک فیلد عددی K باشد. اصل هاس پیش‌بینی می‌کند که اگر X یک نقطه گویا روی تمام تکمیل‌های K v از K داشته باشد، آنگاه X یک نقطه گویا K دارد. اصلهاسبرای برخی از کلاس های خاص از انواع صدق می کند، اما نه به طور کلی. مانین از گروه برائر X برای تعریف انسداد برائر-مانین استفاده کرد که می‌تواند در بسیاری از موارد برای نشان دادن اینکه X هیچ نقطه K ندارد حتی زمانی که X استفادهدر ریاضیات ، گروه برائر یک میدان K یک گروه آبلی است که عناصر آن کلاس‌های هم‌ارزی موریتا از جبرهای ساده مرکزی بر K هستند که با حاصلضرب تانسور جبرها جمع می‌شوند. توسط جبرشناس ریچارد برائر تعریف شد .

گروه برائر از تلاش برای طبقه بندی جبرهای تقسیم بر روی یک میدان بوجود آمد. همچنین می‌توان آن را بر اساس هم‌شناسی گالوا تعریف کرد . به طور کلی تر، گروه برائر از یک طرح بر اساس جبرهای Azumaya یا به طور معادل با استفاده از بسته های تصویری تعریف می شود .

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

جبر ساده مرکزی (CSA) روی یک میدان K یک جبر K- بعدی محدود است به طوری که A یک حلقه ساده است و مرکز A برابر با K است. توجه داشته باشید که CSAها به طور کلی جبرهای تقسیمی نیستند ، اگرچه از CSAها می توان برای طبقه بندی جبرهای تقسیمی استفاده کرد.

به عنوان مثال، اعداد مختلط C روی خودشان یک CSA تشکیل می‌دهند، اما نه روی R (مرکز خود C است، بنابراین بزرگتر از آن است که CSA روی R باشد). جبرهای تقسیم بعدی محدود با مرکز R (یعنی بعد روی R متناهی است) اعداد حقیقی و رباعی های یک قضیه فروبنیوس هستند، در حالی که هر حلقه ماتریسی بر روی واقعی ها یا چهارتایی ها - M( n ، R ) یا M هستند. ( n , H ) - یک CSA بر روی واقعی است، اما جبر تقسیم نیست (اگر n > 1).

ما به دست آوردن رابطه هم ارزی در CSAS بیش از K توسط قضیه آرتین-ودربرن به ( ودربرن به بخش نیست، در واقع)، برای بیان هر CSA به عنوان یک م ( N ، D ) برای برخی از بخش جبر D . اگر فقط به D نگاه کنیم ، یعنی اگر یک رابطه هم ارزی را تحمیل کنیم که M( m , D ) را با M( n , D ) برای همه اعداد صحیح مثبت m و n مشخص می کند ، رابطه هم ارزی برائر را بر روی CSA ها روی K می گیریم.. عناصر گروه برائر کلاس های هم ارزی برائر CSA ها روی K هستند.

با توجه به جبرهای ساده مرکزی A و B ، می توان به حاصل ضرب تانسور A ⊗ B آنها به عنوان یک جبر K نگاه کرد (به حاصل ضرب تانسور جبرهای R مراجعه کنید ). به نظر می رسد که این همیشه ساده مرکزی است. یک راه نرم و صاف برای دیدن این است که استفاده از خصوصیات: ساده جبر مرکزی بیش از K است K جبر که تبدیل به یک حلقه ماتریس هنگامی که ما زمینه گسترش بندی به بسته شدن جبری از K . این نتیجه همچنین نشان می دهد که بعد یک جبر ساده مرکزی A به عنوان Kفضای برداری همیشه یک مربع است. درجه از تعریف می شود ریشه دوم بعد آن.

در نتیجه، کلاس‌های هم‌مورفیسم CSA‌ها روی K ، یک محصول تانسوری یکنوید را تشکیل می‌دهند که با معادل برائر سازگار است، و کلاس‌های بروئر همگی معکوس هستند : معکوس جبر A توسط جبر مقابل آن A op داده می‌شود ( حلقه مقابل با همان عمل توسط K زیرا تصویر K → A در مرکز A است). به صراحت، برای یک CSA A ، A ⊗ A op = M( n 2 , K ) داریم که در آن nدرجه A بر K است .

گروه برائر هر میدانی یک گروه پیچشی است . در جزئیات بیشتر، تعریف دوره از ساده جبر مرکزی بیش از K به آن سفارش به عنوان یک عنصر از گروه برائر. تعریف شاخص از به درجه جبر تقسیم است که برائر معادل . سپس دوره شاخص تقسیم (و از این رو محدود است). [1]

مثالها [ ویرایش ]

در موارد زیر، هر جبر بخش مرکزی محدود بعدی بیش از یک میدان K است K خود را، به طوری که گروه برائر برزیلی ( K ) است بی اهمیت :
- K یک میدان بسته جبری است .
- K یک میدان متناهی است ( قضیه ودربرن ). [2] به طور معادل، هر حلقه تقسیم محدود جابجایی است.
- K است درست تابع یک منحنی های جبری بیش از یک میدان بسته جبری ( قضیه Tsen است ). [3] به طور کلی، گروه برائر برای هر فیلد C 1 ناپدید می شود .
- K پسوند جبری Q است که تمام ریشه های وحدت را در بر می گیرد. [2]
گروه برائر Br( R ) میدان R از اعداد حقیقی ، گروه چرخه ای مرتبه دو است. فقط دو جبر تقسیم واقعی غیر هم شکل با مرکز R وجود دارد : خود R و جبر چهارتایی H. [4] از آنجایی که H ⊗ H ≅ M(4, R )، کلاس H دارای مرتبه دو در گروه برائر است.
فرض کنید K یک میدان محلی غیر ارشمیدسی باشد، به این معنی که K تحت یک ارزش گذاری گسسته با میدان باقیمانده محدود کامل است. سپس Br( K ) به Q / Z هم شکل است. [5]

انواع Severi–برائر [ ویرایش ]

یکی دیگر از تفسیر مهم از گروه برائر از یک میدان K است که آن را طبقه بندی کرده است رقم تصویری بیش از K که ریخت برای تبدیل شدن به فضای تصویری بیش از یک بسته شدن جبری از K . چنین گونه‌ای ، واریته سوری-برائر نامیده می‌شود ، و بین طبقات هم‌شکلی انواع سوری-بروئر با ابعاد n -1 روی K و جبرهای ساده مرکزی درجه n بر K مطابقت یک به یک وجود دارد . [6]

به عنوان مثال، انواع Severi-برائر با بعد 1 دقیقاً مخروط های صاف در صفحه پرتاب کننده روی K هستند. برای یک میدان K با مشخصه نه 2، هر مخروطی روی K به یکی از شکل های ax 2 + با 2 = z 2 برای برخی از عناصر غیر صفر a و b از K هم شکل است. جبر ساده مرکزی مربوطه جبر چهارتایی است [7]

$(a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).$

مخروطی با خط پرتابی P 1 روی K هم شکل است اگر و فقط اگر جبر چهارتایی متناظر با جبر ماتریس M(2, K ) هم شکل باشد.

جبرهای چرخه ای [ ویرایش ]

برای یک عدد صحیح مثبت n ، فرض کنید K میدانی باشد که در آن n معکوس باشد، به طوری که K حاوی n ام ابتدایی واحد ز باشد. برای عناصر غیرصفر a و b از K ، جبر حلقوی مرتبط جبر ساده مرکزی با درجه n بر K است که توسط

$(a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).$

جبرهای حلقوی بهترین جبرهای ساده مرکزی هستند که به خوبی قابل درک هستند. (زمانی که n در K معکوس نباشد یا K ریشه n ام ابتدایی وحدت نداشته باشد، یک ساختار مشابه جبر حلقوی (χ, a ) مربوط به یک Z / n - پسوند حلقوی χ از K و یک عنصر غیرصفر a را می دهد. از K. [ 8] )

قضیه Merkurjev-Suslin در نظریه K جبری یک نتیجه قوی در مورد گروه برائر دارد. یعنی، برای یک عدد صحیح مثبت n ، اجازه دهید K میدانی باشد که در آن n معکوس باشد به طوری که K حاوی n امین ریشه اولیه وحدت باشد. سپس زیرگروه گروه برائر از K کشته شده توسط n توسط جبرهای حلقوی درجه n تولید می شود. [9] به طور معادل، هر جبر تقسیم دوره ای که n را تقسیم می کند ، برائر معادل حاصل ضرب تانسور جبرهای حلقوی درجه n است. حتی برای عدد اول pمثال‌هایی وجود دارد که نشان می‌دهد جبر تقسیم‌بندی دوره p نیازی به هم‌شکل بودن یک حاصل ضرب تانسور جبرهای حلقوی درجه p ندارد . [10]

این یک مشکل باز اصلی است (که توسط آلبرت مطرح شد ) که آیا هر جبر تقسیم درجه اول بر روی یک میدان چرخه ای است یا خیر. این درست است اگر درجه 2 یا 3 باشد، اما مشکل برای اعداد اول حداقل 5 کاملاً باز است. نتایج شناخته شده فقط برای کلاس های خاصی از فیلدها هستند. به عنوان مثال، اگر K یک میدان جهانی یا میدان محلی باشد ، جبر تقسیم با هر درجه بر K چرخه ای است، توسط Albert– برائر –هاس– Noether . [11] یک نتیجه "بعدی بالاتر" در همین جهت توسط سالتمن ثابت شد: اگر K میدانی با درجه متعالی 1 بر میدان محلی Q باشد.p ، پس هر جبر تقسیم درجه اول l ≠ p روی K حلقوی است. [12]

مشکل شاخص دوره [ ویرایش ]

برای هر جبر ساده مرکزی A بر روی یک میدان K ، دوره A شاخص A را تقسیم می کند و دو عدد دارای عوامل اول یکسان هستند. [13] مشکل شاخص دوره ، محدود کردن شاخص بر حسب دوره، برای فیلدهای K مورد علاقه است. به عنوان مثال، اگر A یک جبر ساده مرکزی بر روی یک میدان محلی یا میدان جهانی باشد، آلبرت-برائر-هاسه-نوتر نشان داد که شاخص A برابر با دوره A است. [11]

برای یک جبر ساده مرکزی A روی یک میدان K با درجه متعالی n بر روی یک میدان بسته جبری، حدس زده می شود که ind( A ) بر ( A ) n -1 تقسیم می شود . این برای n ≤ 2 صدق می کند ، مورد n = 2 پیشرفت مهمی توسط دی یونگ است که توسط دی یونگ استار و لیبلیچ در ویژگی مثبت مشخص شده است. [14]

نظریه میدان کلاس [ ویرایش ]

گروه برائر نقش مهمی در فرمول بندی مدرن نظریه میدان کلاس ایفا می کند . اگر K V یک میدان محلی غیر ارشمیدسی است، کلاس تئوری میدان محلی می دهد متعارف ریخت INV V : BR ( K V ) → Q / Z از ثابت هاس . [5]

مورد یک میدان جهانی K (مانند یک فیلد عددی ) توسط نظریه میدان کلاس جهانی بررسی می شود . اگر D یک جبر ساده مرکزی روی K باشد و v یک مکان K باشد، D ⊗ K v یک جبر ساده مرکزی روی K v است، تکمیل K در v . این یک هممورفیسم از گروه برائر K به گروه برائر K v را تعریف می کند . جبر ساده مرکزی داده شده D برای همه تقسیم می شود، اما تعداد محدودیv ، به طوری که تصویر D در تقریباً همه این هممورفیسم ها 0 است. گروه برائر Br( K ) در یک دنباله دقیق ساخته شده توسطهاسقرار می گیرد: [15] [16]

$0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{{v\in S}}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow {\mathbf {Q}}/{ \mathbf {Z}}\راست پیکان 0،$

که در آن S مجموعه همه مکان های K و فلش سمت راست مجموع متغیرهای محلی است. گروه برائر از اعداد واقعی با (1/2) Z / Z شناسایی می شود. تزریقی بودن فلش سمت چپ محتوای قضیه آلبرت-بروئر-هاس-نوتر است .

این واقعیت که مجموع همه متغیرهای محلی یک جبر ساده مرکزی روی K صفر است، یک قانون متقابل معمولی است . به عنوان مثال، اعمال این مورد برای جبر چهارگانه ( a , b ) بر روی Q قانون متقابل درجه دوم را به دست می دهد .

هم‌شناسی گالوا [ ویرایش ]

برای یک میدان دلخواه K ، گروه برائر را می‌توان بر حسب هم‌شناسی Galois به صورت زیر بیان کرد: [17]

${\textrm {Br}}(K)\cong H^{2}(K,G_{m})،$

که در آن G m نشانگر گروه ضربی است که به عنوان یک گروه جبری روی K دیده می شود. به طور دقیق تر، گروه cohomology نشان داده شده به معنی H2 ( Gal(Ks / K ) ، Ks * )، که در آن Ks نشان دهنده بسته شدن قابل جدا شدن K است .

ایزومورفیسم گروه برائر با یک گروه cohomology Galois را می توان به شرح زیر توصیف کرد. گروه خودمورفیسم جبر n × n ماتریس، گروه خطی تصویری PGL( n ) است. از آنجایی که تمام جبرهای ساده مرکزی روی K به جبر ماتریس با بسته شدن قابل تفکیک K هم شکل می شوند ، مجموعه ای از کلاس های هم شکل جبرهای ساده مرکزی با درجه n روی K را می توان با مجموعه همومولوژی Galois H 1 ( K , PGL( n) شناسایی کرد. )). کلاس یک جبر ساده مرکزی در H 2 ( K, G m ) تصویر کلاس آن در H 1 در زیر هممورفیسم مرزی است

$H^{1}(K,PGL(n))\right arrow H^{2}(K,G_{m})$

مربوط به دنباله دقیق کوتاه 1 → G m → GL(n) → PGL(n) → 1.

گروه برائر از یک طرح [ ویرایش ]

گروه برائر از میدان ها به حلقه های جابجایی توسط اسلاندر و گلدمن تعمیم داده شد . ثانیه گروتندیک بیشتر با تعریف گروه برائر هر رفت طرح .

دو راه برای تعریف گروه برائر از یک طرح وجود دارد X ، با استفاده از جبری آزومایا بیش از X و یا بسته نرم افزاری تصویری بیش از X . تعریف دوم شامل بسته های تصویری است که به صورت محلی در توپولوژی étale بی اهمیت هستند و نه لزوماً در توپولوژی Zariski . به طور خاص، یک بسته تصویری در گروه برائر صفر تعریف می‌شود، اگر و تنها در صورتی که پروژکتیوسازی برخی از بسته‌های برداری باشد.

گروه کومولوژی برائر از یک طرح شبه فشرده X به عنوان زیرگروه پیچشی از گروه کومولوژی اتاتH2 ( X , Gm ) تعریف شده است. (کل گروه H 2 ( X , G m ) نیازی به پیچش ندارد، اگرچه برای طرح های منظم X پیچشی است . [18] ) گروه برائر همیشه زیرگروهی از گروه برائر کومولوژی است. گاببر نشان داد که گروه برائر برابر با گروه برائرکومولوژی برای هر طرحی با یک بسته خطی فراوان است (به عنوان مثال، هرطرح شبه فرافکنی بر روی یک حلقه جابجایی). [19]

کل گروه H 2 ( X , G m ) را می توان به عنوان دسته بندی گرب ها بر X با گروه ساختاری G m مشاهده کرد .

برای واریته های پرتابی صاف روی یک مزرعه، گروه برائر یک متغیر دوتایی است. مثمر ثمر بوده است. برای مثال، هنگامی که X نیز به طور منطقی روی اعداد مختلط متصل می‌شود، گروه برائر X نسبت به زیرگروه پیچشی گروه همومولوژی منفرد H 3 ( X , Z ) هم‌شکل است، که بنابراین یک متغیر دوتایی است. آرتین و مامفورد از این توصیف در مورد گروه برائر استفاده کردند تا اولین مثال از یک نوع غیر منطقی X بر C را ارائه دهند که به طور منطقی پایدار نیست (یعنی هیچ محصولی ازX با فضای تصویری منطقی است). [20]

ارتباط با حدس تیت [ ویرایش ]

آرتین حدس زد که هر طرح مناسب بر روی اعداد صحیح دارای گروه برائر محدود است. [21] این امر حتی در مورد خاص یک نوع تصویری صاف X در یک میدان محدود نیز شناخته شده نیست. در واقع، محدودیت از گروه برائر برای سطوح در آن صورت معادل است حدس تیت برای مقسوم علیه های ان در X ، یکی از مشکلات اصلی در نظریه چرخه جبری . [22]

برای یک طرح انتگرالی منظم با بعد 2 که روی حلقه اعداد صحیح یک میدان اعداد مسطح و مناسب است و دارای یک بخش است، محدود بودن گروه برائر معادل محدود بودن گروه تات-شافرویچ Ш برای ژاکوبین است. تنوع فیبر عمومی (منحنی روی یک فیلد عددی). [23] محدود بودن Ш یک مشکل اصلی در محاسبات منحنی های بیضوی و به طور کلی انواع آبلی است .

انسداد برائر-مانین [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Brauer_group

+ نوشته شده در چهارشنبه ششم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 0:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه درن برن-آرتین

در جبر ، قضیه ودرن برن-آرتین یک قضیه طبقه بندی برای حلقه های نیمه ساده و جبرهای نیمه ساده است. این قضیه بیان می‌کند که یک حلقه نیمه ساده ( آرتینی ) [1] R با حاصلضرب تعداد متناهیی از حلقه‌های ماتریس n i - با - n i روی حلقه‌های تقسیم D i هم‌شکل است ، برای برخی از اعداد صحیح n i ، که هر دو به طور منحصربه‌فرد تعیین می‌شوند. به جایگشت شاخص i . به طور خاص، هر چپ یا راست ساده حلقه آرتینی به یک حلقه ماتریس n در n بر روی یک حلقه تقسیم D است که در آن هر دو n و D به طور منحصر به فرد تعیین می شوند. [2]

فهرست

قضیه [ ویرایش ]

بگذارید R یک حلقه نیمه ساده (آرتینی) باشد . سپس R با حاصلضرب تعداد متناهیی از حلقه های ماتریس n i - با - n i هم شکل است. {\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})} $M_{n_{i}}(D_{i})$ بر روی حلقه های تقسیم D i ، برای برخی از اعداد صحیح n i ، که هر دو به طور منحصر به فرد تا جایگشت شاخص i تعیین می شوند.

اگر R یک جبر نیم‌بعدی متناهی باشد، هر D i در عبارت فوق یک جبر تقسیم‌بعدی متناهی بر k است. لازم نیست مرکز هر D i k باشد . می تواند یک پسوند متناهی از k باشد .

توجه داشته باشید که اگر R یک جبر ساده با بعد متناهی بر روی یک حلقه تقسیم E باشد ، D لازم نیست در E وجود داشته باشد. به عنوان مثال، حلقه‌های ماتریسی روی اعداد مختلط جبرهای ساده با ابعاد متناهی نسبت به اعداد واقعی هستند.

نتیجه 1 [ ویرایش ]

قضیه درن برن-آرتین دلالت بر این دارد که هر حلقه ساده ای که بر روی یک حلقه تقسیم دارای ابعاد متناهی است به یک حلقه ماتریس n- by -n بر روی یک حلقه تقسیم D که در آن هر دو n و D به طور منحصر به فرد تعیین می شوند، هم شکل است. [2] این نتیجه اصلی جوزف ودربرن است. امیل آرتین بعداً آن را به حلقه های آرتینی چپ یا راست تعمیم داد . به ویژه، اگر $ک$ یک میدان جبری بسته است، سپس حلقه ماتریس دارای ورودی هایی از است $ک$ تنها جبر ساده آرتینی با ابعاد متناهی است $ک$ .

نتیجه 2 [ ویرایش ]

فرض کنید k یک میدان بسته جبری باشد. فرض کنید R یک حلقه نیمه ساده باشد، که یک جبر k با بعد متناهی است . سپس R یک محصول متناهی است $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ جایی که $n_{i}$ اعداد صحیح مثبت هستند و $M_{n_{i}}(k)$ جبر است $n_i \times n_i$ ماتریس های بیش از k .

پیامد [ ویرایش ]

قضیه ,ودرن برن-آرتین-مشکل طبقه‌بندی جبرهای ساده مرکزی با بعد متناهی را بر روی یک میدان K به مسئله طبقه‌بندی جبرهای تقسیم مرکزی با بعد متناهی بر روی K کاهش می‌دهد .

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%E2%80%93Artin_theorem

+ نوشته شده در چهارشنبه ششم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 0:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-گروه قابل حل

خواص قوی تر



				گروه آبلی , گروه متاابلی , گروه متاسیکلیک , گروه چند حلقه ای \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه nilpotent	سری مرکزی پایین به بدیهی می رسد	nilpotent به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای nilpotent است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه Metanilpotent \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر	nilpotent در مقابل قابل حل
گروه متاابلی	زیر گروه نرمال آبلی با ضریب آبلی; طول مشتق شده دو		(لیست نمونه ها را نیز ببینید)	\| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه فوق حل پذیر	سری نرمال با گروه های عامل چرخه ای	supersolvable به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای فوق حل پذیر است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه چند حلقه ای \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه چند حلقه ای	سری های غیرنرمال با گروه های عامل چرخه ای معادل قابل حل در حالت متناهی	چند حلقه ای به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای چند حلقه ای است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه قابل حل به پایان رسیده , گروه قابل حل به پایان رسیده ارائه شده \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه متاسیکلیک	زیر گروه نرمال حلقوی با گروه ضریب حلقوی		(لیست نمونه ها را نیز ببینید)	برای مفاهیم میانی بین گروه قابل حل و گروه متاسیکلیک، اینجا را کلیک کنید .

خواص ضعیف تر

ویژگی	معنی	اثبات دلالت	اثبات سختگیری (شکست دلالت معکوس)	مفاهیم میانی
گروه هیپوآبلین	سری مشتق شده transfinite به بدیهی می رسد. معادل قابل حل در حالت متناهی	حل پذیر به معنای هیپوابلی است	hypoآبلی به معنی قابل حل نیست	گروه قابل حل باقیمانده \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه ناقص	هیچ گروه ضریب کامل غیر پیش پا افتاده ای وجود ندارد	قابل حل به معنای ناقص است	ناقص نه به معنی قابل حل است	\| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه قابل حل محلی	هر زیرگروه به طور متناهی تولید شده قابل حل است معادل قابل حل در حالت متناهی
گروه قابل حل باقیمانده	هر عنصر غیر بدیهیی یک تصویر غیر بدیهیی در یک ضریب قابل حل معادل قابل حل در حالت متناهی دارد.

ارتباط با سایر خواص

پیوستگی	جزء دیگر ربط	نظرات اضافی
گروه قابل حل متناهی	گروه متناهی	برای گروه‌های متناهی، حل‌پذیر بودن معادل چند حلقه‌ای بودن است و ویژگی‌های جایگزین بسیاری دارد.
گروه T قابل حل	گروه تی
گروه HN قابل حل	گروه HN

فرمالیسم ها

از نظر اپراتور گسترش گروه

این ویژگی گروه را می‌توان بر حسب عملگر گسترش گروه و/یا اصلاح‌کننده‌های ویژگی گروهی که از این عملگر ناشی می‌شوند بیان کرد.

با اعمال عملگر poly به ویژگی گروه بودن آبلی
با اعمال عملگر سری نرمال متناهی به ویژگی گروه بودن آبلی
با اعمال عملگر سری مشخصه متناهی به ویژگی گروه بودن آبلی

توجه داشته باشید که هر سه عملگر در مورد گروه های آبلی اثر یکسانی دارند، اگرچه به طور کلی ممکن است نداشته باشند.

آزمایش کردن

مشکل تست

اطلاعات بیشتر: مسئله تست حل پذیری

مشکل آزمایش اینکه آیا یک گروه قابل حل است یا نه به مشکل محاسبه سری مشتق شده آن کاهش می یابد . در صورتی که بتوان الگوریتم بسته شدن نرمال را پیاده سازی کرد ، می توان این کار را زمانی انجام داد که گروه با استفاده از یک مجموعه تولید کننده توصیف شود.

دستور GAP

این ویژگی گروه را می توان با استفاده از عملکرد داخلی گروه ها، الگوریتم ها، برنامه نویسی (GAP) آزمایش کرد.
دستور GAP برای این ویژگی گروهی این است: IsSolvableGroup
مشخصات گروه قابل آزمایش GAP را مشاهده کنید

برای تعیین اینکه آیا یک گروه قابل حل است یا نه، از دستور GAP زیر استفاده می کنیم:

IsSolvableGroup (گروه);

که در آن گروه ممکن است تعریفی از گروه یا نامی برای گروهی باشد که قبلاً تعریف شده است.

مطالعه این مفهوم

طبقه بندی دروس ریاضی

تحت طبقه بندی موضوع ریاضی ، مطالعه این مفهوم در کلاس: 20F16 قرار می گیرد.

کلاس 20F16 برای تئوری کلی گروه های قابل حل استفاده می شود، در حالی که کلاس 20D10 (در زیر 20D که برای گروه های متناهی است) روی گروه های قابل حل متناهی تمرکز می کند.

همچنین ارتباط نزدیکی با 20F19 دارد: تعمیم گروه های nilpotent و حل پذیر.

منابع

مراجع کتاب درسی

کتاب	شماره صفحه	فصل و بخش	اطلاعات متنی
جبر انتزاعی نوشته دیوید اس. دامیت و ریچارد ام. فوت، ISBN 10 رقمی 0471433349، ISBN 13 رقمی 978-0471433347 اطلاعات بیشتر	105		تعریف رسمی
موضوعات جبر توسط IN Herstein اطلاعات بیشتر	116		تعریف رسمی، بین تمرینات معرفی شده است
جبر توسط سرژ لانگ , ISBN 038795385X اطلاعات بیشتر	18		تعریف در پاراگراف
دوره ای در تئوری گروه ها توسط درک جی اس رابینسون , ISBN 0387944613 اطلاعات بیشتر	121		تعریف رسمی
گروه ها و نمایندگی ها توسط جاناتان لازار آلپرین و روون بی بل، ISBN 0387945261 اطلاعات بیشتر	95		تعریف در پاراگراف
مقدمه ای بر جبر انتزاعی اثر درک جی اس رابینسون ، ISBN 3110175444 اطلاعات بیشتر	171		تعریف در پاراگراف
اولین دوره در جبر انتزاعی (ویرایش ششم) توسط جان بی. فرالی، ISBN 0201763907 اطلاعات بیشتر	194	تعریف 3.4.16	تعریف رسمی
جبر (متن های فارغ التحصیل در ریاضیات) نوشته توماس دبلیو هانگرفورد، ISBN 0387905189 اطلاعات بیشتر	102	تعریف 7.9	تعریف رسمی
جبه چکیده معاصر اثر جوزف گالیان، شابک 0618514716 اطلاعات بیشتر	563
موضوعات جبر توسط IN Herstein اطلاعات بیشتر	116		تعریف رسمی، بین تمرینات معرفی شده است

دسته بندی ها :

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه قابل حل

تعریف

حل شدنی را برخی افراد حلال نیز می نامند .

تعاریف معادل در قالب جدول

خیر	کوتاه نویسی	گروهی قابل حل است اگر ...	گروهی $جی$ قابل حل است اگر ...
1	سری معمولی، ضرایب آبلی	یک سری نرمال از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام در $سلام$ آن نرمال $جی$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
2	سری های غیرنرمال، ضرایب آبلی	یک سری غیرنرمال با طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد: به گونه‌ای $\{ e \}= H_0 \underline{\triangleleft} H_1 \underline{\triangleleft} \dots \underline{\triangleleft} H_n = G$ که هر کدام $سلام$ در حالت نرمال $H_{i+1}$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
3	طول متناهی سری مشتق شده	سری مشتق شده در مراحل بسیار متناهی به بدیهی می رسد	سری مشتق شده از $جی$ ، یعنی سری که در $G^{(n)}$ آن $G^{(0)} = G$ و زیرگروه مشتق شده قبلی خود است، در مراحل بسیار متناهیی به زیرگروه بدیهی می رسد. $G^{(i+1)} = [G^{(i)}، G^{(i)}]$
4	سری مشخصه، ضرایب آبلی	یک سری مشخصه از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام $سلام$ مشخصه و هر $جی$ کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
5	سری کاملاً ثابت، ضرایب آبلی	یک سری کاملاً ثابت از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام $سلام$ در آنها کاملاً ثابت $جی$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .

طول سری مشتق شده ، و کوچکترین طول ممکن یک سری برای هر یک از تعاریف معادل دیگر، طول مشتق شده یا طول قابل حل گروه نامیده می شود.

این تعریف با استفاده از فرمت جدولی ارائه شده است. | مشاهده تمام صفحات با تعاریف در قالب جدول

معادل سازی تعاریف

اطلاعات بیشتر: معادل سازی تعاریف گروه قابل حل ، معادل سازی تعاریف طول مشتق شده

مثال ها

VIEW : گروه هایی که این ویژگی را دارند | گروه هایی که از این ویژگی ناراضی هستند
مشاهده : رضایت گروه های مرتبط | نارضایتی های گروهی مرتبط با اموال

نمونه های افراطی

گروه بدیهی قابل حل است.
گروه متقارن: S3 کوچکترین گروه غیرآبلی قابل حل است.

گروه هایی که دارایی را راضی می کنند

در اینجا برخی از گروه های اساسی/مهم که دارایی را برآورده می کنند آورده شده است:

	شناسه GAP
گروه چرخه ای: Z2	2 (1)
گروه چرخه ای:Z3	3 (1)
گروه چرخه ای: Z4	4 (1)
گروه اعداد صحیح
کلاین چهار گروه	4 (2)
گروه بدیهی	1 (1)

در اینجا برخی از گروه های نسبتاً کمتر اساسی/مهم که دارایی را برآورده می کنند آورده شده است:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A4	12 (3)
گروه دو وجهی:D8	8 (3)
ضرب مستقیم Z4 و Z2	8 (2)
گروه کواترنیون	8 (4)
گروه خطی ویژه: SL(2،3)	24 (3)
گروه متقارن: S4	24 (12)

در اینجا برخی از گروه‌های پیچیده‌تر/کمتر اساسی‌تر وجود دارد که دارایی را برآورده می‌کنند:

	شناسه GAP
گروه هشت وجهی باینری	48 (28)
گروه دو وجهی:D16	16 (7)
ضرب مستقیم A4 و Z2	24 (13)
ضرب مستقیم D8 و Z2	16 (11)
گروه خطی عمومی:GL(2،3)	48 (29)
گروه کواترنیون تعمیم یافته: Q16	16 (9)
M16	16 (6)
گروه متیو: M9	72 (41)
گروه نیمه وجهی:SD16	16 (8)

گروه هایی که از ناراضی هستند

در اینجا چند گروه اساسی/مهم وجود دارد که دارایی را برآورده نمی کند:

در اینجا چند گروه نسبتاً کمتر اساسی/مهم وجود دارد که دارایی را برآورده نمی کند:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A5	60 (5)
گروه متناوب: A6	360 (118)
گروه رایگان: F2
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(3،2)	168 (42)
گروه خطی ویژه: SL(2،5)	120 (5)
گروه متقارن: S5	120 (34)

در اینجا برخی از گروه‌های پیچیده‌تر/کمتر اساسی‌تر وجود دارد که این ویژگی را برآورده نمی‌کنند:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A7
گروه متیو: M10	720 (765)
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(2،11)	660 (13)
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(2،8)	504 (156)
گروه خطی ویژه: SL(2،7)	336 (114)
گروه خطی ویژه: SL(2،9)	720 (409)

فهرست

این مقاله در مورد یک تعریف استاندارد (البته نه خیلی ابتدایی) در نظریه گروه است. با این حال، متن مقاله ممکن است بیش از تعریف اصلی داشته باشد
VIEW : تعاریف ساخته شده بر اساس این | حقایقی در این مورد: ( حقایق نزدیک به گروه قابل حل , تمام حقایق مربوط به گروه حل پذیر ) | مقالات نظرسنجی در مورد این | مقالات نظرسنجی در مورد تعاریف ساخته شده بر روی این
VIEW مرتبط : مشابه این | تغییرات این | مخالف این |
فهرست کاملی از تعاریف نیمه اساسی را در این ویکی مشاهده کنید

این مقاله یک ویژگی گروهی را تعریف می‌کند که در میان ویژگی‌های گروه موجود مهم است (یعنی مهم)
مشاهده لیستی از ویژگی‌های گروه محوری | مشاهده لیست کاملی از ویژگی های گروه [نمایش بیشتر]

نسخه این برای گروه های متناهی در: گروه قابل حل متناهی است

فراخواص

نام متاپراپرتی	راضی؟	اثبات	بیانیه با نمادها
ویژگی گروه شبه واریته	آره	حل پذیری شبه واریتال است	حل‌پذیری در زیر گروه‌ها، ضریب‌ها و ضربات مستقیم متناهی بسته می‌شود (بیشتر در زیر).
ویژگی گروه بسته شده با افزونه	آره	حل پذیری پسوند بسته است	فرض کنید $اچ$ یک زیرگروه نرمال از $جی$ این قبیل است که هر دو $اچ$ و گروه ضریب $G/H$ گروه‌های قابل حل هستند . سپس $جی$ یک گروه قابل حل است.
ویژگی گروه بسته شده توسط زیرگروه	آره	حل پذیری زیر گروه بسته است	اگر $جی$ قابل حل است، و $H\le G$ یک زیر گروه است، پس $اچ$ قابل حل است.
ویژگی گروه ضریب بسته	آره	حل پذیری نسبی بسته است	اگر $جی$ قابل حل است، و زیر گروه نرمال $اچ$ است ، گروه ضریب قابل حل است. $جی$ $G/H$
ویژگی گروه بسته ضرب مستقیم متناهی	آره	حل پذیری ضرب مستقیم متناهی است	اگر $G_1، G_2، \times، G_n$ قابل حل باشند، ضرب مستقیم خارجی $G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n$ نیز قابل حل است.
ویژگی گروهی پیوستن بسته نرمال متناهی	آره	حل پذیری نرمال متناهی است	اگر $جی$ یک گروه باشد و $N_1،N_2،\dots،N_r$ همه زیرگروه های نرمال قابل حل $جی$ باشند ، پیوستن زیر گروه ها (در این مورد نیز حاصلضرب زیرگروه ها ) $N_1N_2\dots N_r$ قابل حل است.
دارایی گروهی همسوکلینیسم-نامغیر	آره	گروه های ایزوکلینیک طول مشتق شده یکسانی دارند	اگر $G_1$ و گروه ایزوکلینیک هستند $G_2$ ، پس قابل حل است اگر و فقط اگر باشد. علاوه بر این، اگر چنین است، طول مشتق شده برابر است با طول مشتق شده از , مگر اینکه یکی از گروه ها جزئی و دیگری آبلی غیر جزئی باشد. $G_1$ $G_2$ $G_1$ $G_2$

ارتباط با سایر خواص

خواص قوی تر

ویژگی	معنی	اثبات دلالت	اثبات سختگیری (شکست دلالت معکوس)	مفاهیم میانی	مقایسه
گروه آبلی	زیر گروه مشتق شده بدیهی است	آبلی به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنی آبلی است (لیست مثال ها را نیز ببینید)	گروه متاابلی , گروه متانیل پوتنت \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه دوری			(لیست نمونه ها را نیز بب

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:22 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-گروه دو وجهی:D8

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

در ستون‌های «فهرست زیرگروه‌ها» در زیر، شکستن ردیف در داخل سلول نشان می‌دهد که هر ردیف یک کلاس مزدوج از زیر گروه‌ها را نشان می‌دهد .

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	لیست زیر گروه ها	کلاس ایزومورفیسم	ترتیب زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج (=1 اگر زیرگروه automorph-conjugate )	اندازه هر کلاس مزدوج (=1 اگر زیر گروه نرمال )	تعداد کل زیر گروه ها (=1 زیر گروه مشخصه اگر )	کلاس ضریب ایزومورفیسم (اگر زیرگروه نرمال باشد)	عمق غیر طبیعی (اگر مناسب و نرمال باشد، برابر با 1 است)	کلاس پوچی
زیر گروه بی اهمیت	$\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	8	1	1	1	گروه دو وجهی:D8	1	0
مرکز	$\{e,a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	1	1	1	کلاین چهار گروه	1	1
سایر زیر گروه های مرتبه دو	$\{e,x \}, \{ e,a^2x \}$ $\{ e,ax \}, \{ e,a^3x \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	2	2	4	--	2	1
کلاین چهار زیر گروه	$\{e,x,a^2,a^2x \}$ ، $\{ e,ax,a^2,a^3x \}$	کلاین چهار گروه	4	2	2	1	2	گروه دور ای: Z2	1	1
زیر گروه حداکثر دور ای	$\{e,a,a^2,a^3 \}$	گروه دور ای: Z4	4	2	1	1	1	گروه دور ای: Z2	1	1
کل گروه	$\{ e,a,a^2,a^3,x,ax,a^2x,a^3x \}$	گروه دو وجهی:D8	8	1	1	1	1	گروه بی اهمیت	0	2
مجموع (6 ردیف)	--	--	--	--	8	--	10	--	--	--

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی:D8#تعریف توابع

تابع تعریف زیرگروه	چه معنی میده	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی رفت و آمد دارند	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیرگروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب پایه	کلاین چهار گروه	4
هنجار بائر	تقاطع نرمال سازهای همه زیر گروه ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
به همه زیرگروه های نرمال آبلی بپیوندید	زیر گروه تولید شده توسط همه زیر گروه های نرمال آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلی دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
مرکز زلزله	تقاطع تصاویر مراکز برای همه پسوندهای مرکزی	زیر گروه بی اهمیت: $\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	بزرگترین گروه ضریب که یک گروه توانمند است	گروه دو وجهی:D8	8

چند یادداشت دیگر:

توابع تعریف کننده زیرگروه زیر با کل گروه برابر هستند زیرا گروه یک گروه پوچی است : زیرگروه متناسب ، مرکز ، رادیکال قابل حل .
توابع تعریف کننده زیرگروه زیر به دلیل اینکه گروه یک گروه قابل حل است با زیرگروه بی اهمیت برابری می کنند : هیپومرکز ، باقیمانده پوچی ، هسته کامل ، باقیمانده قابل حل .

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه دو وجهی:D8

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	36	قابل اجرا نیست
گروه اتومورفیسم	گروه دو وجهی:D8	8	3
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
گروه شبه اتومورفیسم	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
1-گروه اتومورفیسم	ضرب مستقیم S4 و Z2	48	48
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه دور ای: Z2	2	1

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 ، نظریه نمایش خطی گروه های دو وجهی

خلاصه

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1,1,1,1,2 حداکثر : 2, lcm : 2, تعداد : 5, مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص Schur نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،1
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$ ; مانند حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر
میدان تقسیم حداقلی ، یعنی کوچکترین میدان تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (بنابراین، این یک گروه نمایش منطقی است ) مانند میدانی که توسط مقادیر کاراکتر ایجاد می شود ، زیرا تمام مقادیر شاخص Schur 1 هستند.
شرط تقسیم شدن میدان برای این گروه	هر میدانی از مشخصه نه دو، یک میدان تقسیم است.
حداقل میدان تقسیم در مشخصه $p \ne 0، 2$	میدان اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	میدان:F3 ، یعنی میدانی با سه عنصر.
تحت عمل گروه اتومورفیسم بر روی یک میدان شکاف می چرخد	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 1)، 2 (نمایش درجه 1) و 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 4
مداری بر روی یک میدان شکافنده تحت عمل ضربی نمایش های یک بعدی، یعنی تا معادل تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
گروه های دیگر با جدول شخصیت های مشابه	گروه کواترنیون (به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید )

جدول شخصیت

این جدول کاراکتر روی مشخصه صفر کار می کند:

کلاس نمایندگی / Conj	$\{e \}$ (سایز 1)	$\{ a^2 \}$ (سایز 1)	$\{ a, a^{-1} \}$ (سایز 2)	$\{ x، a^2x \}$ (سایز 2)	$\{ تبر، a^3x \}$ (سایز 2)
نمایندگی بی اهمیت	1	1	1	1	1
$\langle a \rangle$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$\langle a^2، x \rangle$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$\langle a^2, ax\rangle$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

جدول کاراکترهای مشابه روی هر مشخصه ای کار می کند که برابر با 2 نباشد، جایی که عناصر 1،-1،0،2،-2 در میدان تفسیر می شوند.

سیستم های فیوژن

اطلاعات بیشتر: سیستم های همجوشی برای گروه دو وجهی:D8

خلاصه

مورد	مقدار
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع در یک نمونه بتنی از گروه (دقیق، نه تا ایزومورفیسم سیستم های همجوشی)	4
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع تا ایزومورفیسم	3
فهرستی از سیستم های همجوشی اشباع شده با اندازه مدار	سیستم همجوشی داخلی (اندازه مدار 1 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی غیرساده درونی برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 2 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 1)
تعداد سیستم های همجوشی ساده	1
تعداد حداکثر سیستم های همجوشی اشباع شده، به عنوان مثال، سیستم های همجوشی اشباع موجود در سیستم های همجوشی اشباع بزرگتر	1 ( سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 )

شرح سیستم های همجوشی

نوع ایزومورفیسم سیستم همجوشی	تعداد چنین سیستم های همجوشی تحت شمارش دقیق	آیا سیستم همجوشی با استفاده از زیرگروه Sylow از یک گروه محدود قابل تحقق است؟	آیا تابع همانی همجوشی قوی را کنترل می کند؟ این بدان معنی است که تمام فیوژن در نرمال ساز رخ می دهد	آیا سیستم فیوژن ساده است؟	جاسازی کوچکترین اندازه برای تحقق این سیستم همجوشی (در صورت وجود)
سیستم همجوشی داخلی	1	آره	آره	سیستم همجوشی داخلی ساده نیست	به عنوان یک زیر گروه از خودش
سیستم همجوشی غیر ساده داخلی برای گروه دو وجهی: D8	2	آره	خیر	خیر	D8 در S4
سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی:D8	1	آره	خیر	آره	D8 در PSL (3،2)
مجموع (3 ردیف)	4	--	--	--	--

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این گروه منحصر به فرد غیر T با کوچکترین مرتبه است، یعنی کوچکترین نمونه منحصر به فرد گروهی که در آن نرمال بودن متعدی نیست .
این یک گروه پوچی غیرآبلی از کوچکترین مرتبه است، هرچند نه تنها. گروه دیگر از این قبیل گروه کواترنیون است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه از راسته خود است که به گروه اتومورفیسم خود هم شکل است.
این تنها گروه از راسته خود است که یک گروه T نیست .
این تنها گروه از سفارش خود است که دارای دو زیر گروه کلاین است. به طور خاص، مثالی از وضعیتی را ارائه می دهد که در آن تعداد زیرگروه های مرتبه آبلی ابتدایی $p^2$ نه صفر است و نه $1$ مدول $پ$ . این را با مورد فرد مقایسه کنید $پ$ ، که در آن شرط همخوانی تعداد زیرگروه‌های آبلی ابتدایی از مرتبه اول را برای عدد اول فرد داریم .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 3 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،3)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,3);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع IdGroup GAP استفاده کنیم:

IdGroup(G) = [8,3]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 4 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،4)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,4);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع Gap3CatalogueIdGroup GAP استفاده کنیم:

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع GAP استفاده می شود	ترجمه ریاضی توضیحات
DihedralGroup(8)	DihedralGroup	گروه دو وجهی نظم $8$ ، درجه $4$
WreathProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2))	WreathProduct ، CyclicGroup	ضرب اکلیل خارجی دو نسخه از گروه دور ای مرتبه دو
ExtraspecialGroup(2^3،'+')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق‌العاده از نوع «+» برای درجه اول $2$ و مرتبه $2^3$
SylowSubgroup(SymmetricGroup(4),2)	SylowSubgroup و SymmetricGroup	$2$ - زیرگروه Sylow از گروه متقارن درجه چهار
SylowSubgroup(GL(3,2,2)	SylowSubgroup ، GL	زیر گروه $2$ -Sylow از GL(3،2)

شرح بر اساس ارائه

این هم کد:

gap> F := FreeGroup(2);
gap> G := F/[F.1^4, F.2^2, F.2 * F.1 * F.2 * F.1];
<گروه fp در ژنراتورها [f1, f2]>
gap> IdGroup(G);
[8، 3]

گروه $جی$ ساخته شده در اینجا گروه دو وجهی نظم $8$ است. مولد اول $F.1$ به عنصر چرخش مرتبه چهار و مولد دوم به عنصر انعکاس $F.2$ درجه دو نگاشت می شود.

توضیحات طولانی

می توان آن را به عنوان هولومورف گروه دور ای مرتبه چهار توصیف کرد. برای این کار ابتدا $سی$ گروه دور ای مرتبه چهار را تعریف کنید (با استفاده از CyclicGroup )، و سپس از SemidirectProduct و خودریختیGroup استفاده کنید :

C := CyclicGroup(4);
G := SemidirectProduct(خودریختیGroup(C),C);

در اینجا، $جی$ گروه دو وجهی از مرتبه هشت است. همچنین می‌توانیم آن را به‌عنوان یک ضرب نیمه‌مستقیم از چهار گروه کلاین و یک خودریختی درجه دو بسازیم.

K := DirectProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2));
A := خودریختیGroup(K);
S := SylowSubgroup(A,2);
G := SemidirectProduct(S,K);

سپس $جی$ به گروه دو وجهی مرتبه هشت هم شکل است.

تأیید GAP

در زیر پیاده سازی GAP وجود دارد که مقادیر مختلف تابع و ویژگی های گروه را همانطور که در این صفحه بیان شده است تأیید می کند. قبل از شروع، G := DihedralGroup(8) را تنظیم کنید. یا هر روشی معادل برای تنظیم $جی$ دو وجهی مرتبه هشت.

gap> IdGroup(G);
[8، 3]
gap> Order(G);
8
شکاف> توان (G);
4
gap> پوچیClassOfGroup(G);
2

بیشتر: [نمایش بیشتر]

دسته بندی :

گروه های خاص

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-گروه دو وجهی:D8

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) - بیشتر در پیاده سازی #GAP ببینید
تعداد کلاس های مزدوج	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوج	به عنوان گروه دو وجهی $D_{2n}$ ، $n$ حتی: $\! (n + 6)/2 = (4 + 6)/2 = 5$ . ساختار عنصری گروه‌های دو وجهی و ساختار عنصری گروه دو وجهی را ببینید : D8 به عنوان گروه ماتریس واحد مثلثی $UT (3، q)، q = 2$ : ساختار عنصری گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه را در یک میدان محدود ببینید. $q^2 + q - 1 = 2^2 + 2 - 1 = 5$	طول(کلاس های مزدوج(G)); با استفاده از مزدوجClasses
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	5	گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت مزدوج واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است.	طول (کلاس های منطقی (G)); با استفاده از RationalClasses
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است.

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) -- بیشتر در تأیید #GAP ببینید
تعداد زیر گروه ها	10		به عنوان یک گروه دو وجهی، $\! D_{2n}، n = 4$ تعداد زیرگروه ها است $\! d(n) + \sigma(n) = d(4) + \sigma(4) = 3 + 7 = 10$ ، که در آن $د$ تابع شمارش مقسوم علیه و $\سیگما$ تابع مجموع مقسوم علیه است. ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید : D8 ، ساختار زیر گروهی گروه های دو وجهی	طول (زیرگروه ها (G))؛ با استفاده از زیر گروه ها
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	8		ساختار زیر گروه گروه های دو وجهی ، ساختار زیر گروه گروه دو وجهی:D8 را ببینید	Length(مزدوجClassesSubgroups(G)); با استفاده از مزدوجClassesSubgroups
تعداد زیر گروه های عادی	6	گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های عادی یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادی	ساختار زیرگروهی گروه‌های دو وجهی ، ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی را ببینید :D8#شبکه زیرگروه‌های عادی	طول (Subgroups Normal (G)); با استفاده از NormalSubgroups
تعداد کلاس های خودریختی زیر گروه ها	6
تعداد زیر گروه های مشخصه	4			طول(زیرگروه های مشخصه(G)); با استفاده از CharacteristicSubgroups

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنید	مقدار	توضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج	1،1،2،2،2	دو عنصر مرکزی، بقیه در کلاس های مزدوج اندازه دو. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید .
اندازه مدارها در گروه اتومورفیسم	1،1،2،4	دو عنصر مرکزی، یک کلاس مزدوج از عناصر درجه چهار، یک مدار به اندازه چهار، شامل دو طبقه مزدوج اندازه، با همه عناصر غیر مرکزی درجه دو.
آمار سفارش	$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 5, 4 \mapsto 2$	از پنج عنصر مرتبه دو، یکی مرکزی است. چهار مورد دیگر با یکدیگر خود شکل هستند. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید
درجات بازنمایی غیر قابل کاهش	$1،1،1،1،2$	به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی مراجعه کنید:D8
سفارشات زیر گروه ها	$1،2،2،2،2،2،4،4،4،8$	ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید :D8

متغیرهای تحقق گروه مبتنی بر عمل/خودریختی

عملکرد	مقدار	توضیح
حداقل درجه نمایندگی وفادار	2
حداقل درجه نمایش غیرقابل کاهش	2
کوچکترین سایز ست با عمل وفادار	4
کوچکترین اندازه مجموعه با عمل متعدی وفادار	4
جنس متقارن	?

خواص گروهی

آیا می خواهید ویژگی های گروه را با سایر گروه های هم ردیف مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های سفارش 8#املاک گروه را بررسی کنید

خواص مهم

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه نظم قدرت اول	آره
گروه پوچی	آره	نظم قدرت اول دلالت بر پوچی دارد
گروه فوق حل پذیر	آره	از طریق پوچی: پوچی متناهی به معنای فوق حل پذیر است
گروه قابل حل	آره	از طریق پوچی: پوچی به معنی قابل حل است
گروه آبلی	خیر	$آ$ و رفت و $ایکس$ آمد نکنید	کوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه تی	خیر	$\langle x \rangle \triangleleft \langle a^2,x \rangle$ ، که طبیعی است، اما $\langle x \rangle$ طبیعی نیست	کوچکترین مثال برای عادی بودن متعدی نیست .
گروه یکپارچه	آره	زیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو

سایر خواص

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه یک سر	خیر	سه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار
گروه SC	خیر
گروه ACIC	آره	هر زیر گروه اتومورف مزدوج مشخصه است
گروه جبر	آره	به گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه روی میدان:F2 هم شکل است که به وضوح یک گروه جبری است.
گروه دوسوگرا	آره	گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند	همچنین گروه های دووجهی تعمیم یافته را ببینید دوسوگرا هستند
گروه منطقی	آره	هر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستند	بنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقی	آره	تمام نمایش های بیش از مشخصه صفر بر روی منطق ها تحقق می یابد.	در مقابل گروه کواترنیونی ، که عقلانی است اما بازنمایی عقلانی نیست.
گروه فوق خاص	آره	مرکز ، زیرگروه مشتق شده ، و زیرگروه فراتینی همگی منطبق هستند و دارای مرتبه اول هستند.
گروه ویژه	آره	(از طریق extraspecial): مرکز ، زیر گروه مشتق شده ، و زیرگروه Frattini همگی منطبق هستند
گروه فراتینی در مرکز	آره	(از طریق extraspecial): زیر گروه Frattini در مرکز قرار دارد
گروه پوچی کلاس دو	آره	(از طریق ویژه): زیر گروه مشتق شده در مرکز موجود است
گروه معادل UL	آره	(از طریق ویژه): سری مرکزی بالا و سری مرکزی پایین بر هم منطبق هستند
گروه کلاس حداکثر	آره
گروه فروبنیوس	خیر	گروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند
گروه Camina	آره	extraspecial به معنای Camina است
هر عنصری نسبت به معکوس خود خودکار است	آره	نتیجه از یک گروه دوسوگرا است
هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند، خودریختی هستند	آره
هر عنصر نظم-خودریختییک است	خیر
گروه غیر قابل تجزیه مستقیم	آره
گروه تجزیه ناپذیر مرکزی	آره
گروه تقسیم ساده	خیر
گروه ساقه	آره	مرکز برابر با زیر گروه مشتق شده است، و از این رو، به طور خاص، در زیر گروه مشتق شده موجود است.
شور-گروه بی اهمیت	خیر	ضرب کننده Schur گروه دور ای است :Z2 ; گروه همولوژی گروه دو وجهی را ببینید :D8 .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-گروه دو وجهی:D8

در زیر ساختار کلاس مزدوج و خودریختی آمده است:

کلاس مزدوج از نظر $تبر$	شرح هندسی کلاس مزدوج	کلاس مزدوج به عنوان جایگشت	اندازه کلاس صیغه	ترتیب عناصر در کلاس مزدوج	متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ e \}$	عنصر همانی، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	کل گروه
$\! \{ a^2 \}$	نیم دور، چرخش توسط $\pi$	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	2	کل گروه
$\! \{ x,a^2x \}$	بازتاب در مورد مورب ها	$\{ (1،3)، (2،4) \}$	2	2	$\{ e, a^2, x, a^2x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ تبر، a^3x \}$	بازتاب هایی در مورد خطوطی که به نقاط میانی اضلاع مقابل می پیوندند	$\{ (1,4)(2,3)\ , \ (1,2)(3,4) \}$	2	2	$\{ e، a^2، تبر، a^3x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4) \ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	4	$\{ e, a, a^2, a^3 \}$ -- زیر گروه حداکثر دور ای گروه دو وجهی: D8
مجموع (5)	--	--	8	--	--

طبقات هم ارزی تا اتومورفیسم عبارتند از:

کلاس هم ارزی تحت اتومورفیسم بر حسب $تبر$	شرح هندسی کلاس هم ارزی	کلاس هم ارزی به عنوان جایگشت	اندازه کلاس هم ارزی	تعداد کلاس های مزدوج در آن	اندازه هر کلاس مزدوج
$\! \{ e \}$	عنصر همانی، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	1
$\! \{ a^2 \}$	نیم نوبت	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	1	1
$\! \{ x، تبر، a^2x، a^3x \}$	بازتاب ها	$\{ (1,3)\ ,\ (2,4)\ , \ (1,4)(2,3)\ ,\ (1,2)(3,4) \}$	4	2	2
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4)\ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	1	2
مجموع (4)	--	--	8	5	--

توابع حسابی

توابع حسابی پایه

آیا می خواهید مقادیر تابع حسابی را با سایر گروه های هم تراز مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های ترتیب 8 #توابع حسابی را بررسی کنید

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع
اول زیرین گروه p	2
ترتیب (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	8	گروه هایی با همان ترتیب	به عنوان یک ضرب نیمه مستقیم از $\Z_4$ و $\Z_2$ : نظم حاصلضرب دستورات $\Z_4$ و $\Z_2$ است که به $4 \ برابر 2 = 8$ عنوان ضرب تاج گل از $\Z_2$ و $\Z_2$ : ترتیب است $2^2 \cdot 2 = 8$
لگاریتم مرتبه پایه اول	3	گروه هایی با ترتیب لگاریتم پایه اول یکسان
حداکثر طول یک گروه	3		حداکثر طول یک گروه برابر است با لگاریتم ترتیب پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
طول رئیس	3		طول اصلی برابر است با لگاریتم ترتیب پایه پایه برای گروهی از مرتبه توان اول
طول ترکیب	3		طول ترکیب برابر است با لگاریتم مرتبه پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
توان	4	گروه هایی با مرتبه و توان یکسان \| گروه هایی با توان یکسان	به عنوان یک گروه دو وجهی: گروه دو وجهی $2n$ دارای توانی برابر با $\operatorname{lcm} \{n,2 \}$ .
لگاریتم مبنا اول توان	2
کلاس پوچی	2	گروه هایی با نظم و کلاس پوچی یکسان \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و کلاس پوچی \| گروه هایی با کلاس پوچی یکسان	زیر گروه مشتق شده -- $\{ e, a^2 \}$ و همان مرکز است . مرکز گروه دو وجهی:D8 را ببینید . همچنین ساختار عناصر گروه دو وجهی را ببینید: نقشه D8#Commutator
طول مشتق شده	2	گروه هایی با ترتیب و طول مشتق شده یکسان \| گروه‌هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و طول مشتق شده \| گروه هایی با طول مشتق شده یکسان	زیر گروه مشتق شده است $\{ e, a^2 \}$ که abelian است. مرکز گروه دو وجهی:D8 را ببینید .
طول فراتینی	2	گروه هایی با همان ترتیب و طول فراتینی \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان	زیرگروه Frattini است $\{ e, a^2 \}$ که از درجه اول است، از این رو زیر گروه Frattini آن بی اهمیت است.
طول مناسب	1		همه گروه‌های مرتبه توان اول پوچی هستند، بنابراین دارای طول اتصال 1 هستند.
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	مولد زیرگروه دور ای مرتبه چهار و عنصر درجه دو در خارج.
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان ترتیب و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه زیرگروهی یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	همه زیر گروه های مناسب دور ای یا چهار گروهی کلاین هستند .
رتبه یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه یکسان گروه p	کلاین چهار زیر گروه وجود دارد.
رتبه عادی یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با رتبه عادی یک گروه p	چهار زیرگروه عادی کلاین وجود دارد.
رتبه مشخصه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه مشخصه یک گروه p	همه زیرگروه های مشخصه آبلی دور ای هستند.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه دو وجهی:D8

فهرست

این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]

تعریف

تعریف با ارائه

گروه دو وجهی $D_8$ ، که گاهی اوقات نامیده می شود $D_4$ ، همچنین به نام گروه دو وجهی درجه هشت یا گروه دو وجهی درجه چهار (از آنجایی که عملکرد طبیعی آن بر روی چهار عنصر است)، یا گاهی اوقات گروه اکتیو ، با ارائه زیر ، با $ه$ نشان دادن همانی ، تعریف می شود. عنصر:

$\langle x,a \mid a^4 = x^2 = e, xax^{-1} = a^{-1}\rangle$

در اینجا، عنصر $آ$ را چرخش یا مولد قطعه دور ای می نامند و $ایکس$ به آن انعکاس می گویند .

آیا در مورد ارائه به طور کلی یا این یکی به طور خاص گیج شده اید؟ اگر با این چیزها تازه کار هستید، ساخت گروه دو وجهی:D8 را از ارائه آن بررسی کنید. نظریه پردازان پیچیده گروه باید به سادگی به یاد بیاورند که ارائه ضرب نیمه مستقیم، اتحاد غیرمستقیم ارائه ها به علاوه عمل توسط روابط صرف است.

تعریف هندسی

گروه دو وجهی $D_8$ (همچنین نامیده می شود $D_4$ ) به عنوان گروهی از تمام تقارن های مربع (4 ضلعی منظم) تعریف می شود. این یک زیرگروه دورای دارد که شامل چرخش‌ها است (که زیرگروه دورای ایجاد شده $آ$ توسط

تعریف به عنوان یک گروه جایگشت

اطلاعات بیشتر: D8 در S4

این گروه (تا ایزومورفیسم) زیر گروه گروه متقارن است $\{ 1،2،3،4 \}$ که توسط:

$\! \{ ()، (1،2،3،4)، (1،3)(2،4)، (1،4،3،2)، (1،3)، (2،4)، (1 ,4)(2,3), (1,2)(3,4) \}$

$1،2،3،4$ این را می توان با در نظر گرفتن رئوس مربع و در نظر گرفتن عنصری از $D_8$ نظر عملکرد القایی آن بر رئوس، به تعریف هندسی مرتبط کرد . این به ارائه از طریق تنظیمات $a = (1،2،3،4)$ و $x = (1،3)$ .

جدول ضرب

در اینجا، $ه$ عنصر همانی را نشان می دهد، $آ$ عنصری از مرتبه 4 است، و $ایکس$ عنصری از درجه دو است که برابر نیست $a^2$ ، مانند ارائه بالا.

عنصر ردیف در سمت چپ و عنصر ستون در سمت راست ضرب می شود.

عنصر	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$
$\! ه$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$
$\! آ$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$	$\! ایکس$
$\! a^2$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2x$	$\! a^3x$	$\! ایکس$	$\! تبر$
$\! a^3$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3x$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$
$\! ایکس$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ه$	$\! a^3$	$\! a^2$	$\! آ$
$\! تبر$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! آ$	$\! ه$	$\! a^3$	$\! a^2$
$\! a^2x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2$	$\! آ$	$\! ه$	$\! a^3$
$\! a^3x$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3$	$\! a^2$	$\! آ$	$\! ه$

تعاریف دیگر

گروه دو وجهی را می توان به روش های زیر توصیف کرد:

گروه دو وجهی مرتبه هشت.
گروه دو وجهی تعمیم یافته مربوط به گروه دور ای مرتبه چهار .
هولومورف گروه دور ای مرتبه چهار .
ضرب اکلیل خارجی گروه دور ای درجه دو با گروه دور ای درجه دو، از طریق عمل منظم عمل می کند.
زیر گروه $2$ - Sylow از گروه متقارن در چهار حرف .
زیر گروه $2$ - Sylow از گروه متقارن در پنج حرف .
زیر گروه $2$ - Sylow از گروه متناوب در شش حرف .
گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه روی $UT (3،2)$ میدان :F2 ، $2$ - زیرگروه Sylow از PSL(3،2) .
گروه فوق‌العاده ترتیب $2^3$ و نوع «+».

موقعیت در طبقه بندی ها

نوع طبقه بندی	نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP	(8،3) یعنی سومین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد	(8،4)، یعنی 4 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد	$8\Gamma_2a_1$

عناصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

در زیر، همه عناصر را فهرست می‌کنیم، همچنین تفسیر هر عنصر را در زیر شرح هندسی گروه دو وجهی به عنوان تقارن‌های یک 4 ضلعی، و برای نمایش جایگشت مربوطه ارائه می‌کنیم (به D8 در S4 مراجعه کنید ). توجه داشته باشید که برای کنوانسیون های مختلف، می توان مکاتبات متفاوتی را به دست آورد، بنابراین ممکن است با سایر مکاتبات در جاهای دیگر مطابقت نداشته باشد. توجه داشته باشید که توضیحات زیر، قرارداد عمل چپ را برای توابع و قرارداد مربوطه را برای ترکیب فرض می‌کند، و از این رو، برخی از ورودی‌ها ممکن است در صورت اتخاذ کنوانسیون عمل درست، متفاوت شوند. :

عنصر از نظر $آ$ و $ایکس$	توضیحات هندسی	جایگشت در رئوس	ترتیب عنصر
$ه$ (عنصر همانی)	هیچ کاری نمی کند، یعنی مربع را ثابت می گذارد	$()$	1
$آ$	چرخش با زاویه $\pi/2$ (یعنی $90\,^\circ$ ) در خلاف جهت عقربه های ساعت	$(1،2،3،4)$	4
$a^2$	چرخش بر اساس زاویه $\pi$ (یعنی )، که نیم دور $180\,^\circ$ نیز نامیده می شود	$(1،3) (2،4)$	2
$a^3$	چرخش با زاویه $3\pi/2$ (یعنی $270\,^\circ$ ) در خلاف جهت عقربه های ساعت، یا معادل آن، توسط $\pi/2$ (یعنی، $90\,^\circ$ ) در جهت عقربه های ساعت	$(1،4،3،2)$	4
$ایکس$	بازتابی در مورد رئوس اتصال مورب "2" و "4"	$(1،3)$	2
$تبر = xa^3$	انعکاس خطی که نقاط میانی اضلاع مخالف "14" و "23" را به هم وصل می کند	$(1،4) (2،3)$	2
$a^2x$	انعکاس در مورد رئوس اتصال مورب "1" و "3"	$(2،4)$	2
$a^3x = xa$	انعکاس خطی که نقاط میانی اضلاع مخالف "12" و "34" را به هم وصل می کند	$(1،2) (3،4)$	2

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-ادامه گروه متناوب: A5

سوپرگروه ها

اطلاعات بیشتر: سوپرگروه های گروه متناوب: A5

زیرگروه ها: همه اتومورفیسم ها را درونی می کند

اطلاعات بیشتر: گروه متقارن: S5 ، A5 در S5

گروه اتومورفیسم بیرونی گروه متناوب : A5 ، گروه دوری ای: Z2 ، و گروه اتومورفیسم کل ، گروه متقارن: S5 است. از آنجایی که گروه متناوب: A5 یک گروه بدون مرکز است ، به عنوان یک زیر گروه از شاخص دو در گروه خودمورفیسم خود که گروه متقارن بر روی پنج عنصر است، قرار می گیرد.

$A_5$ یک گروه غیرآبلی ساده است و $A_5$ و $S_5$ تنها دو گروه تقریبا ساده مربوط به $A_5$ .

$A_5$ همچنین از شاخص دو در گروه کامل ایکو وجهی است که معلوم می شود این نیست ، $S_5$ بلکه در عوض حاصل ضرب مستقیم $A_5$ و گروه دوری ای مرتبه دو است.

ضرایب: گروه های پوششی شور

اطلاعات بیشتر: هم‌شناسی گروهی گروه متناوب: ضرب‌کننده A5#شور ، هم‌شناسی گروهی گروه‌های متناوب ، پوشش دوگانه گروه متناوب

اطلاعات بیشتر: گروه خطی ویژه: SL(2،5) ، مرکز گروه خطی ویژه: SL(2،5)

ضریب شور گروه حلقوی:Z2 $A_5$ است .

پسوند مرکزی جهانی متناظر ( گروه پوشش منحصر به فرد شور ، منحصر به فرد به دلیل اینکه $A_5$ یک گروه کامل است) یک گروه خطی ویژه است: SL(2،5) ، همچنین $2 \cdot A_5$ به این معنی است که یک پوشش دوتایی است (به پوشش دوگانه گروه متناوب مراجعه کنید ). . مرکز گروه خطی ویژه:SL(2,5) گروه حلقوی : Z2 و گروه ضریب . $A_5$

$A_5$ یک گروه غیرآبلی ساده است $A_5$ و تنها $SL(2،5) = 2 \cdot A_5$ دو گروه شبه ساده متناظر هستند .

لینک های خارجی

A5 در اطلس گروه های متناهی

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای نظم 60 و دارای شناسه 5 در بین گروه های مرتبه 60 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 13 گروه از مرتبه 60 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup(60,5)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(60,5);

IdGroup(G) = [60,5]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

دستور معادل : اجرای این دستور گروه را به صورت AlternatingGroup(5) می سازد.

استفاده از حافظه : میزان استفاده از حافظه برای ساخت SmallGroup 1452 است.

توضیحات دیگر

شرح	توابع استفاده شده	فرمت ذخیره سازی خروجی (فرمان تایید)	میزان مصرف حافظه (با فراخوانی تابع MemoryUsage قابل محاسبه است)	گروه های حاوی این به عنوان یک زیر گروه
AlternatingGroup (5)	AlternatingGroup	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	194	AlternatingGroup یا SymmetricGroup با درجه حداقل پنج.
PSL (2،4)	PSL	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	2289	خود
SL (2،4)	SL	گروه ماتریس ( IsMatrixGroup )	1194	GL(2,q) ، برای $q$ توان 4.
PGL(2،4)	PGL	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	2289	خود
PSL (2،5)	PSL	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	2125	PGL (2،5)
PerfectGroup(60) یا معادل PerfectGroup(60,1)	PerfectGroup	گروه به پایان رسیده ( IsFpGroup )	233	--
SimpleGroup ("Alt"،5)	SimpleGroup	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	229	--
SmallSimpleGroup (60)	SmallSimpleGroup	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	229	--
AllSmallNonabelianSimpleGroups([1..100])[1]	AllSmallNonabelianSimpleGroups	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	229	--

دسته بندی :

گروه های خاص

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Alternating_group:A5

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-ادامه گروه متناوب: A5

اندومورفیسم ها

اتومورفیسم ها

گروه اتومورفیسم از گروه $A_5$ متقارن پنج حرفی $S_5$ است که $A_5$ به صورت اتومورفیسم درونی در آن تعبیه شده است.

به طور مشخص ، می‌توانیم در نظر بگیریم که $A_5$ در ادغام شده‌اند $S_5$ و با صرف $S_5$ عمل $A_5$ می‌کنند. اتومورفیسم هایی که از این طریق به دست می آیند، همه اتومورفیسم های $A_5$ .

سایر آندومورفیسم ها

از آنجایی $A_5$ که یک گروه ساده متناهی است، گروهی است که در آن هر اندومرفیسمی پیش پا افتاده یا خودمورفیسم است. به طور خاص، اندومورفیسم‌های $A_5$ عبارتند از: همریختی بدیهی، و اتومورفیسم‌هایی که در بالا توضیح داده شد.

عناصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه متناوب: A5

خلاصه

مورد	مقدار
مرتبه کل گروه (تعداد کل عناصر)	60 فاکتورسازی اول $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1= 4 \cdot 3 \cdot 5$ به محاسبات مرتبه برای اطلاعات بیشتر مراجعه کنید
اندازه کلاس های مزدوج	1،12،12،15،20 ماکزیمال : 20، تعداد : 5، مجموع (برابر مرتبه گروه): 60، lcm : 60 برای اطلاعات بیشتر به ساختار کلاس مزدوجی مراجعه کنید .
تعداد کلاس های مزدوج	5 ساختار عنصر گروه متناوب را ببینید :A5#تعداد کلاس‌های مزدوج
آمار مرتبه	1 مرتبه 1، 15 مرتبه 2، 20 از مرتبه 3، 24 مرتبه 5 ماکزیمال : 5، lcm (نمای کل گروه) : 30

ساختار کلاس مزدوجی

برای یک گروه متقارن ، نوع دوری کلاس مزدوجی را تعیین می کند . این جمله تقریباً برای گروه متناوب صادق است، به جز این واقعیت که برخی از کلاس های مزدوج از جایگشت های زوج در گروه متقارن در گروه متناوب به دو دسته تقسیم می شوند، طبق معیار تقسیم برای کلاس های مزدوج در گروه متناوب ، که می گوید یک کلاس مزدوج جایگشت های زوج در گروه متناوب تقسیم می شود اگر و فقط اگر حاصل ضرب دوری های فرد با طول متمایز باشد.

در اینجا کلاس های مزدوجی unsplit هستند:

تقسیم بندی	شرح شفاهی نوع دوری	عنصر نماینده نوع دوری	همه عناصر از نوع دوری	اندازه کلاس صیغه	فرمول اندازه	مرتبه عناصر
1 + 1 + 1 + 1 + 1	پنج نقطه ثابت	$()$ - عنصر هویت	$()$	1	$\! \frac{5!}{(1)^5(5!)}$	1
3 + 1 + 1	یک 3 دوری، دو نقطه ثابت	$(1،2،3)$	[بیشتر نشان بده، اطلاعات بیشتر]	20	$\! \frac{5!}{(3)(1)^2(2!)}$	3
2 + 2 + 1	انتقال دوگانه: دو دوری 2، یک نقطه ثابت	$(1،2) (3،4)$	[بیشتر نشان بده، اطلاعات بیشتر]	15	$\! \frac{5!}{(2)^2(2!)(1)}$	2

در اینجا جفت تقسیم شده کلاس های مزدوجی آمده است:

تقسیم بندی	شرح شفاهی نوع دوری	اندازه ترکیبی کلاس های مزدوج	فرمول اندازه ترکیبی	اندازه هر نیمه	نماینده نیمه اول	نماینده نیمه دوم	واقعی؟	گویا؟	مرتبه عناصر
5	یک 5 دوری	24	$\! \frac{5!}{5}$	12	$(1،2،3،4،5)$	$(1،3،5،2،4)$	آره	خیر	5

تا اتومورفیسم

تحت اتومورفیسم های بیرونی، کلاس های مزدوج چهارم و پنجم با هم ادغام می شوند. بنابراین، طبقات تحت اتومورفیسم دارای اندازه هستند $1,15,20,24$ .

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه متناوب: A5

خلاصه سریع

مورد	مقدار
تعداد زیر گروه ها	59 در مقایسه با $A_n، n = 3،4،5، \ نقطه$ : 2، 10، 59 ، 501، 3786، 48337، ...
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	9 در مقایسه با $A_n، n = 3،4،5، \ نقطه$ : 2، 5، 9 ، 22، 40، 137، ...
تعداد کلاس های خودمورفیسم زیر گروه ها	9 در مقایسه با $A_n، n = 3،4،5، \ نقطه$ : 2، 5، 9 ، 16، 37، 112، ...
کلاس های هم ریختی زیر گروه های Sylow و سیستم های همجوشی مربوطه	2-Sylow: Klein چهار گروهی (مرتبه 4) به عنوان V4 در A5 (با سیستم همجوشی ساده - به سیستم همجوشی ساده برای Klein چهار گروهی مراجعه کنید). عدد Sylow 5 است. 3-Sylow: گروه دوری ای:Z3 (رتبه 3) به عنوان Z3 در A5 . شماره Sylow 10 است. 5-Sylow: گروه دوری ای: Z5 (رتبه 5) به عنوان Z5 در A5 . عدد سیلو 6 است.
زیر گروه های سالن	علاوه بر کل گروه، زیرگروه بدیهی و زیرگروه Sylow: - زیرگروه $\{ 2،3 \}$ هال از مرتبه 12 ( A4 در A5 ). هیچ زیرگروه -Hall $\{ 2.5 \}$ یا زیرگروه -Hall وجود ندارد $\{3،5\}$ .
ماکزیمال زیر گروه ها	ماکزیمال زیرگروه ها دارای 6 مرتبه ( S3 پیچ خورده در A5 )، 10 ( D10 در A5 )، 12 ( A4 در A5 ) هستند.
زیر گروه های معمولی	فقط کل گروه و زیرگروه بدیهی، زیرا گروه ساده است. مشاهده گروه های متناوب ساده هستند .

جدول طبقه بندی زیر گروه ها تا اتومورفیسم

توجه داشته باشید که A5 ساده است و از این رو هیچ زیرگروه غیر پیش پا افتاده ای عادی یا غیرعادی نیست.

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	زیر گروه نماینده (فهرست کامل در صورت کوچک بودن، مجموعه تولید کننده اگر بزرگ باشد)	کلاس ایزومورفیسم	مرتبه زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج	اندازه هر کلاس مزدوجی	تعداد کل زیر گروه ها	توجه داشته باشید
زیر گروه بدیهی	$()$	گروه بدیهی	1	60	1	1	1	بدیهی
زیر گروه تولید شده توسط جابجایی مضاعف در A5	$\{ ()، (1،2) (3،4) \}$	گروه دوری ای: Z2	2	30	1	15	15
V4 در A5	$\{ ()، (1،2) (3،4)، (1،3) (2،4)، (1،4) (2،3) \}$	کلاین چهار گروه	4	15	1	5	5	2-سیلو
A3 در A5	$\{ ()، (1،2،3)، (1،3،2) \}$	گروه دوری ای:Z3	3	20	1	10	10	3-سیلو
S3 پیچ خورده در A5	$\langle (1،2،3)، (1،2) (4،5)\rangle$	گروه متقارن: S3	6	10	1	10	10	ماکزیمال
A4 در A5	$\langle (1،2)(3،4)، (1،2،3) \rangle$	گروه متناوب: A4	12	5	1	5	5	2،3-هال، ماکزیمال
Z5 در A5	$\langle (1،2،3،4،5) \rangle$	گروه دوری ای: Z5	5	12	1	6	6	5-سیلو
D10 در A5	$\langle (1،2،3،4،5)، (2،5)(3،4) \rangle$	گروه دو وجهی:D10	10	6	1	6	6	ماکزیمال
کل گروه	$\langle (1،2،3،4،5)، (1،2،3) \rangle$	گروه متناوب: A5	60	1	1	1	1
جمع	--	--	--	--	9	--	59	--

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه متناوب:A5

خلاصه

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\overline{\mathbb{Q}}$ یا $\mathbb{C}$ )	1،3،3،4،5 فرم گروه بندی شده: 1 (1 بار)، 3 (2 بار)، 4 (1 بار)، 5 (1 بار) ماکزیمال : 5، lcm : 60، تعداد : 5، مجموع مربع ها : 60، درجه شبه تصادفی : 3
مقادیر شاخص شور نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،1
حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر	$\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{5})/2]$ یا $\mathbb{Z}[2\cos(2\pi/5)]$
میدان تقسیم حداقلی ، یعنی کوچکترین میدان تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر	$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ - گسترش درجه دوم میدان اعداد گویا مانند میدان تولید شده توسط مقادیر کاراکتر
ساختار مدار تحت عمل گروه اتومورفیسم	مدارهای اندازه 1 هر یک از نمایش های درجه 1، 4، و 5، مدار اندازه 2 از نمایش های درجه 3 (از طریق یک اتومورفیسم ناشی از صرف با جایگشت فرد تعویض می شوند)
ساختار مدار تحت عمل گروه گالوا بر منطقی ها	مدارهای اندازه 1 هر کدام از نمایش های درجه 1، 4 و 5، مدار اندازه 2 از نمایش های درجه 3 (از طریق همریختی برداری تعویض می شوند $\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}$ )
درجات نمایش های کاهش ناپذیر در میدان اعداد گویا	1،4،5،6

جدول شخصیت

نماینده و اندازه کلاس نمایندگی/کنژوگیسی	$()$ (سایز 1)	$(1،2) (3،4)$ (سایز 15)	$(1،2،3)$ (سایز 20)	$(1،2،3،4،5)$ (سایز 12)	$(1،2،3،5،4)$ (سایز 12)
بدیهی	1	1	1	1	1
محدودیت استاندارد	4	0	1	-1	-1
کاهش ناپذیر پنج بعدی	5	1	-1	0	0
یکی از اجزای غیر قابل کاهش محدودیت مربع بیرونی استاندارد	3	-1	0	$(\sqrt{5} +1)/2$	$(-\sqrt{5} + 1)/2$
سایر اجزای غیر قابل کاهش محدودیت مربع بیرونی استاندارد	3	-1	0	$(-\sqrt{5} + 1)/2$	$(\sqrt{5} + 1)/2$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه متناوب: A5

این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]

فهرست

تعریف

گروه متناوب که به آن $A_5$ نشان داده می شود و گروه متناوب درجه پنج $\operatorname{Alt}(5)$ نامیده می شود، به روش های زیر تعریف می شود:

این گروه جایگشت های زوج (یعنی گروه متناوب ) در پنج عنصر است.
این گروه فون دایک است (گاهی اوقات گروه مثلث نامیده می شود ، اگرچه دومی معنای کمی متفاوت دارد) با پارامترها $(2،3،5)$ (گاهی اوقات به مرتبه معکوس به عنوان نوشته می شود $(5،3،2)$ ).
این گروه ایکوس وجهی است ، یعنی گروهی از تقارن های حفظ جهت گیری ایکو وجهی منظم (یا معادل آن دوازده وجهی منظم). $ل$ به این صورت مشاهده می شود، یا نشان داده می شود $532$ . اطلاعات بیشتر: طبقه بندی زیرگروه های محدود SO(3,R) ، نظریه نمایش خطی گروه متناوب:A5
این گروه خطی ویژه تصویری درجه دو در میدان چهار عنصر است، یعنی $PSL (2،4)$ . همچنین گروه خطی ویژه درجه دو در میدان چهار عنصر است ، یعنی، $SL (2،4)$ . همچنین گروه خطی عمومی تصویری درجه دو در میدان چهار عنصر ، یعنی، $PGL(2،4)$ است.
این گروه خطی ویژه تصویری درجه دو در میدان پنج عنصر ، یعنی، $PSL (2،5)$ است.

معادل سازی تعاریف

هم ارزی تعاریف داخل (4) با ایزومورفیسم بین گروه های خطی زمانی که همریختی توان درجه دوگانه است، داده می شود .
PGL(2،4) با A5 یکری است: معادل (1) و (4)
PSL(2,5) با A5 هم شکل است: معادل (1) و (5)

نکته مهم $A_5$ : این صفحه در نوع خود به عنوان یک گروه انتزاعی متمرکز است. برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد این گروه به عنوان زیرگروه شاخص دو در داخل گروه متقارن: S5 ، به A5 در S5 مراجعه کنید .

توابع حسابی

آیا می خواهید مقادیر تابع حسابی را با سایر گروه های هم تراز مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های توابع #حساب 60 را بررسی کنید

توابع حسابی پایه

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
مرتبه (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	60	گروه هایی با همان مرتبه	به عنوان $A_n، n = 5$ ، $n!/2 = 5!/2 = 60$ به عنوان $SL (2، q)، q = 4$ ، $q^3 - q = 4^3 - 4 = 60$ به عنوان $PSL (2، q)، q = 5$ ، $(q^3 - q)/\operatorname{gcd}(2,q-1) = (5^3 - 5)/2 = 60$ . به عنوان گروه فون دایک با پارامترها $(p,q,r) = (2,3,5)$ : ساختار عنصر گروه متناوب $\frac{2}{1/p + 1/q + 1/r - 1} = \frac{2}{1/2 + 1/3 + 1/5 - 1} = 60$ را ببینید :A5#محاسبات مرتبه برای اطلاعات بیشتر.
نماینده یک گروه	30	گروه هایی با مرتبه و توان یک گروه \| گروه هایی با توان یک گروه	به عنوان $A_n، n = 5$ ، $n$ فرد: $\operatorname{lcm} \{ 1,2,\dots,n - 2,n \}$ ( بدون $n - 1$ ): به $\operatorname{lcm}\{1،2،3،5 \} = 30$ عنوان $SL (2، q)، q = 4$ (قدرت 2): $2 (q^2 - 1) = 2 (4^2 - 1) = 30$ به عنوان $PSL (2، q)، q = 5، p = 5$ (فرد): $p(q^2 - 1)/4 = 5(5^2 - 1)/4 = 5(6) = 30$
طول مشتق شده	--	--	یک گروه قابل حل نیست
کلاس پوچی	--	--	نه یک گروه بی قدرت
طول فراتینی	1	گروه هایی با همان مرتبه و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان	گروه بدون فراتینی : تقاطع ماکزیمالی زیرگروه ها بدیهی است.
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه هایی با مرتبه یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	$(1،2،3)، (1،2،3،4،5)$ .
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان مرتبه و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	--
ماکزیمال طول یک گروه	4	گروه هایی با همان مرتبه و ماکزیمال طول یک گروه \| گروه هایی با ماکزیمال طول یک گروه	--
طول ترکیب	1	گروه هایی با مرتبه و طول ترکیب یکسان \| گروه هایی با طول ترکیب یکسان	--
طول رئیس	1	گروه هایی با مرتبه و طول سر یکسان \| گروه هایی با طول رئیس یکسان	--

توابع حسابی ماهیت شمارشی

عملکرد	مقدار	توضیح
تعداد زیر گروه ها	59	ساختار زیر گروه گروه متناوب: A5
تعداد کلاس های مزدوج	5	به عنوان $A_n، n = 5$ : (2 * (تعداد پارتیشن های خود مزدوج از 5)) + (تعداد جفت های مزدوج پارتیشن های غیر خود مزدوج 5) = $2 (1) + 3 = 5$ (بیشتر اینجا ) As $PSL(2,q)$ , $q = 5$ : $(q + 5)/2 = (5 + 5)/2 = 5$ ( در اینجا بیشتر ) As $PGL(2,q)$ , $q = 4$ (زوج): $q + 1 = 4 + 1 = 5$ (اطلاعات بیشتر در اینجا ) برای اطلاعات بیشتر به ساختار عناصر گروه متناوب مراجعه کنید:A5#تعداد کلاسهای مزدوج
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	9	ساختار زیر گروه گروه متناوب: A5

خواص گروهی

خواص اساسی

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه آبلیان	خیر	$(1،2،3)$ ، $(1،2،3،4،5)$ رفت و آمد نکنید	$A_n$ غیر آبلی است، $n \ge 4$ .
گروه nilpotent	خیر	بدون مرکز : مرکز بدیهی است	$A_n$ غیر نیرومند است $n \ge 4$ ،
گروه متاسیکلیک	خیر	ساده و غیر آبلی	$A_n$ متاسیکلیک نیست $n \ge 4$ ،
گروه فوق حل پذیر	خیر	ساده و غیر آبلی	$A_n$ فوق حل پذیر نیست $n \ge 4$ ،
گروه قابل حل	خیر		$A_n$ قابل حل نیست $n \ge 5$ ،
گروه ساده	آره	کوچکترین گروه غیرآبلی ساده

سایر خواص

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه تی	آره	ساده و غیر آبلی
گروه بازنمایی منطقی	خیر
گروه منطقی	خیر
گروه دوسوگرا	آره		همچنین طبقه بندی گروه های متناوب دوسوگرا را ببینید
گروه کامل	خیر	صرف با جایگشت های فرد $S_5$ ، اتومورفیسم های بیرونی را می دهد
گروه کامل	آره	از آن نتیجه می شود که یک گروه غیرآبلی ساده است .
شور-گروه بدیهی	خیر	ضرب کننده شور گروه دوری ای است :Z2 .
گروه N	آره	طبقه بندی گروه های متناوب که گروه های N هستند را ببینید	$A_n$ یک گروه N است فقط برای $n \le 7$ .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:39 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

این جدول نویسه‌ها روی مشخصه صفر و هر مشخصه دیگری که برابر با دو نباشد کار می‌کند، زمانی که ورودی‌ها را تغییر می‌دهیم:

بازنمایی/کلاس مزدوجی	$\{ 1 \}$ (همانی، اندازه 1)	$\{ -1 \}$ (اندازه 1)	$\{ i، -i \}$ (اندازه 2)	$\{ j, -j \}$ (اندازه 2)	$\{k، -k \}$ (اندازه 2)
نمایندگی بدیهی	1	1	1	1	1
$من$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$j$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$ک$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این یک گروه پوچی غیر آبلی با کوچکترین مرتبه ممکن است، همراه با گروه دو وجهی:D8 .
این یک گروه ددکیند غیرآبلی (یا گروه همیلتونی) با کوچکترین مرتبه ممکن است. ددکیند به این معنی است که هر زیرگروه عادی است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه ددکیند غیرآبلی از راسته خود است.
این تنها گروه T غیرآبلی در راسته خود است.
این تنها گروه از مرتبه خود است که رتبه آن (به معنای حداکثر رتبه ممکن یک زیرگروه آبلی) به شدت کوچکتر از حداقل اندازه مجموعه مولد است : برای این گروه، اولی 1 و دومی 2 است. .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 4 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،4)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,4);

IdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 5 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،5)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,5);

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,5]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع استفاده شده	نظر ریاضی
SylowSubgroup(SL(2,3,2)	SylowSubgroup و SL	زیر گروه $2$ -Sylow از گروه خطی ویژه: SL(2،3)
ExtraspecialGroup(2^3,'-')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق خاص از نظم $2^3$ و نوع '-'
SylowSubgroup(SL(2,5,2)	SylowSubgroup و SL	زیر گروه $2$ -Sylow از گروه خطی ویژه: SL(2،5)

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

تابع تعریف زیرگروه	معنی	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی جابجا یی دارند	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیر گروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مناسب	به همه زیرگروه های نرمال پوچی بپیوندید	کل گروه	گروه کواترنیون	8	ضریب برازش	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلی دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه کواترنیون

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	?	--
گروه اتومورفیسم	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه متقارن: S3	6	1
گروهی از خودمورفیسم های حفظ کلاس	کلاین چهار گروه	4	2
گروهی از اتومورفیسم های IA	کلاین چهار گروه	4	2
ضریب گروه خودمورفیسم حفظ کلاس توسط گروه خودمورفیسم درونی	گروه بدیهی	1	1
ضریب گروه IA-اتومورفیسم توسط گروه اتومورفیسم درونی	گروه بدیهی	1	1
گروهی از اتومورفیسم های ثابت کننده مرکز	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	محصول مستقیم S4 و Z2	48	48
هولومورف	?	192
هولومورف درونی	هولومورف داخلی D8 ( $D_8$ و گروه کواترنیون دارای هولومورف یکسان هستند)	32	49

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون

خلاصه

گروه کواترنیون یکی از معدود نمونه های گروه عقلانی است که یک گروه بازنمایی عقلی نیست . به عبارت دیگر، تمام نویسه های آن بر روی اعداد مختلط دارای ارزش عقلی هستند، اما هر نمایشی از آن را نمی توان بر روی اعداد گویا تحقق بخشید.

جدول کاراکترهای گروه چهارتایی مانند گروه دو وجهی مرتبه هشت است. با این حال، توجه داشته باشید که زمینه های تحقق برای نمایش ها متفاوت است، زیرا یکی از نمایش های گروه کواترنیون دارای شاخص شور دو است.

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1,1,1,1,2 حداکثر : 2, lcm : 2, تعداد : 5, مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص شور نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،2 (مشخصه صفر) حداکثر : 2، lcm : 2 1،1،1،1،1 (مشخصه غیر از 0،2)
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Z}[i]$ که در آن $من$ یک جذر $-1$ معادل $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 1)$ است، حلقه اعداد صحیح گاوسی یک نامزد است. دیگری است $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ یا $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی، هر حلقه ای از شکل $\mathbb{Z}[\آلفا،\بتا]$ که در آن $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ حلقه ای از تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر است. به طور خاص، $\mathbb{Z}[\sqrt{-m^2 - 1}]$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ .
میدان تقسیم حداقلی (یعنی میدان تحقق) برای همه نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Q}(i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 1)$ کار می کند، همینطور می کند $\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی تر، $\mathbb{Q}(\آلفا،\بتا)$ جایی $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ که یک میدان تقسیم است. به طور خاص، $\mathbb{Q}(\sqrt{-1-m^2})$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ . میدان شکاف حداقل نیازی نیست منحصر به فرد باشد ، میدان شکاف حداقل نباید سیکلوتومیک باشد
حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$
میدان ایجاد شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (از این رو یک گروه منطقی است ) همچنین ببینید: میدان تولید شده توسط مقادیر کاراکتر نیازی به یک میدان تقسیم کننده نیست \| rational not دلالت بر بازنمایی عقلانی دارد
شرط تقسیم شدن میدان برای این گروه	$\آلفا، \بتا$ شرط کافی: مشخصه دو نیست و در میدان وجود دارد به گونه ای که $\alpha^2 + \beta^2 + 1 = 0$ . به طور خاص، هر میدان محدود مشخصه نه دو، یک میدان شکافنده است، زیرا هر عنصر یک میدان محدود به صورت مجموع دو مربع قابل بیان است و به طور خاص، $-1$ مجموع دو مربع در هر میدان متناهی است.
میدان تقسیم حداقل (مشخصه $p \ne 0,2$ )	میدان اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	میدان:F3 ، یعنی میدان سه عنصر.
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت گروه خودمورفیسم	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 3 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 3
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت عمل ضربی نمایش‌های یک‌بعدی، یعنی تا هم ارزی تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان غیرقابل تقسیم، به عنوان مثال، میدان اعداد گویا یا میدان اعداد واقعی	1،1،1،1،4 شماره : 5
گروه هایی با جدول ویژگی های یکسان	گروه دو وجهی:D8

جدول ویژگی

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

توابع حسابی

توابع حسابی پایه

آیا می خواهید مقادیر تابع حسابی را با سایر گروه های هم تراز مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های ترتیب 8 #توابع حسابی را بررسی کنید

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
اول زیرین گروه p	2
ترتیب (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	8	گروه هایی با همان ترتیب
لگاریتم مرتبه پایه اول	3	گروه هایی با ترتیب لگاریتم پایه اول یکسان
نماینده یک گروه	4	گروه هایی با ترتیب و توان یک گروه \| گروه هایی با توان یک گروه	زیر گروه چرخه ای مرتبه چهار.
لگاریتم مبنا اول توان	2	گروه هایی با مرتبه یکسان و لگاریتم مبنا اول توان \| گروه هایی با لگاریتم مبنا اول مرتبه و لگاریتم مبنا اول توان \| گروه هایی با لگاریتم مبنا اول یکسان
کلاس nilpotency	2	گروه هایی با نظم و کلاس nilpotency یکسان \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و کلاس nilpotency \| گروه هایی با کلاس nilpotency یکسان
طول مشتق شده	2	گروه هایی با ترتیب و طول مشتق شده یکسان \| گروه‌هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و طول مشتق شده \| گروه هایی با طول مشتق شده یکسان
طول فراتینی	2	گروه هایی با همان ترتیب و طول فراتینی \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	ژنراتورهای دو زیر گروه چرخه ای مرتبه چهار.
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان ترتیب و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه زیرگروهی یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	همه زیر گروه های مناسب چرخه ای هستند.
رتبه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه یکسان گروه p	همه زیر گروه های آبلی حلقوی هستند.
رتبه عادی یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با رتبه عادی یک گروه p	همه زیرگروه های نرمال آبلی چرخه ای هستند.
رتبه مشخصه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه مشخصه یک گروه p	همه زیرگروه های مشخصه آبلی چرخه ای هستند.

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عناصر گروه کواترنیون

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
تعداد کلاس های مزدوج	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوج	ساختار عناصر گروه های دو حلقه ای را ببینید .
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	5	گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت مزدوجی واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است.
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است.
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه عقلانی است (البته نه یک گروه بازنمایی منطقی ).
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه عقلانی است (البته نه یک گروه بازنمایی منطقی ).

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه کواترنیونی

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه
تعداد زیر گروه ها	6
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	6
تعداد زیر گروه های عادی	6	گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های عادی یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادی
تعداد کلاس های خودمورفیسم زیر گروه ها	4

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنید	مقدار	توضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج	$1،1،2،2،2$	$\pm i, \pm j, \pm k$ هر یک از کلاس های مزدوج عناصر غیر مرکزی هستند.
درجات بازنمایی غیر قابل تقلیل	$1،1،1،1،2$	به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید
آمار سفارش	$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 1, 4 \mapsto 6$
سفارشات زیر گروه ها	$1،2،4،4،4،8$	ساختار زیرگروهی گروه کواترنیون را ببینید

خواص گروهی

آیا می خواهید ویژگی های گروه را با سایر گروه های هم ردیف مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های سفارش 8 #املاک گروه را بررسی کنید

خواص مهم

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه نظم قدرت اول	آره
گروه nilpotent	آره	نظم قدرت اول دلالت بر nilpotent دارد
گروه فوق حل پذیر	آره	از طریق nilpotent: nilpotent متناهی به معنای فوق حل پذیر است
گروه قابل حل	آره	از طریق nilpotent: nilpotent به معنی قابل حل است
گروه آبلیان	خیر	$من$ و رفت و $j$ آمد نکنید	کوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه متاسیکلیک	آره	زیر گروه نرمال چرخه ای مرتبه چهار، ضریب چرخه ای مرتبه دو
گروه ددکیند	آره	هر زیرگروه طبیعی است	کوچکترین گروه ددکیند غیرآبلی
گروه تی	آره	ددکیند به معنای گروه T است

سایر خواص

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه یکپارچه	آره	زیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو
گروه یک سر	خیر	سه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار
گروه SC	خیر
گروه ACIC	آره	هر زیر گروه اتومورف مزدوج مشخصه است
گروه دوسوگرا	آره
گروه منطقی	آره	هر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستند	بنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقی	خیر	یک نمایش دو بعدی که منطقی نیست .	در مقابل گروه دو وجهی:D8 ، که بازنمایی عقلانی است. همچنین به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 و نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید.
گروه کلاس حداکثر	آره
گروه nilpotency کلاس دو	آره
گروه فوق خاص	آره
گروه ویژه	آره
گروه فراتینی در مرکز	آره
گروه فروبنیوس	خیر	گروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند.
گروه Camina	آره	extraspecial به معنای Camina است
گروهی که در آن هر عنصر نسبت به معکوس خود خودمورف است	آره	نتیجه از یک گروه دوسوگرا است
گروهی که در آن هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی مشابه را ایجاد می کنند، خودمورف هستند	آره	از گروه منطقی بودن نتیجه می گیرد
گروهی که در آن هر عنصر نظم-خودمورفیک است	آره
گروه غیر قابل تجزیه مستقیم	آره
گروه تجزیه ناپذیر مرکزی	آره
گروه تقسیم ساده	آره
شور-گروه بی اهمیت	آره	هم‌شناسی گروهی گروه کواترنیون را ببینید

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه ساختار برای گروه های آبلی محدود تولید شده

بیانیه

قضیه ساختار برای گروه های آبلی به طور متناهی موارد زیر را بیان می کند:

هر گروه آبلی به طور متناهی تولید شده را می توان به عنوان ضرب مستقیم تعداد متناهیی از گروه های دوری بیان کرد (به عبارت دیگر، به ضرب مستقیم خارجی گروه های دوری متناهیی هم شکل است).
برای هر عبارتی از این قبیل، همه عواملی که دوری ای نامتناهی هستند و همه عواملی که دوری ای متناهی هستند را جمع آوری کنید. هر دو قسمت تا ایزومورفیسم با نوع هم ریختی گروه اصلی تعیین می شوند. اولی قسمت بدون پیچ خوردگی و دومی قسمت پیچشی گروه نامیده می شود.
برای قسمت پیچشی: می توان آن را به عنوان یک ضرب مستقیم از گروه های دوری ای با مرتبه توان اول نوشت. علاوه بر این، برای هر دو عبارت از این قبیل به عنوان یک ضرب مستقیم، تعداد گروه‌های یک مرتبه توان اول خاص یکسان است.
برای قسمت پیچشی: راهی برای نوشتن آن به عنوان یک ضرب مستقیم از گروه های دوری ای از مرتبه $a_1، a_2، \dots، a_d$ ها وجود دارد که در آن $a_1 | a_2 | \dots | آگهی$ همه $a_i$ اعداد صحیح مثبت وجود دارد. علاوه بر این، $a_i$ s ها کاملاً با نوع ایزومورفیسم گروه تعیین می شوند.

برای یک گروه آبلی متناهی ، گروه دارای بخش بدون پیچش صفر و کل گروه به عنوان بخش پیچشی آن است. بخش‌های (3) و (4) قضیه همچنان اعمال می‌شوند، و این نسخه، قضیه ساختار برای گروه‌های آبلی متناهی نامیده می‌شود .

در نمادها، قسمت (3) می گوید که هر گروه آبلی که به طور متناهی تولید $جی$ می شود را می توان به صورت زیر نوشت:

$G \cong \mathbb{Z}^r \times \prod_{i=1}^l \mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z}$

که در آن $p_i$ اول و $k_i$ اعداد صحیح مثبت هستند. $r$ مستقل از انتخاب بیان است. علاوه بر این، تعداد دفعاتی که هر توان اول $p^k$ در بین آنها رخ می دهد $p_i^{k_i}$ ، مستقل از انتخاب عبارات است.

در نمادها، قسمت (4) می گوید که هر گروه آبلی که به طور متناهی تولید $جی$ می شود را می توان به صورت زیر نوشت:

$G \cong \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \dots \times \mathbb{Z}/ a_d\mathbb{Z}$

که در $a_i$ آن مثبت هستند، و $a_i$ عاد می کند $a_{i+1}$ . علاوه بر این، $r$ و $a_i$ به طور منحصر به فرد با این شرایط تعیین می شوند.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 16:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه دو وجهی:D8

شرح سیستم های همجوشی

نوع ایزومورفیسم سیستم همجوشی	تعداد چنین سیستم های همجوشی تحت شمارش دقیق	آیا سیستم همجوشی با استفاده از زیرگروه Sylow از یک گروه محدود قابل تحقق است؟	آیا تابع هویت همجوشی قوی را کنترل می کند؟ این بدان معنی است که تمام فیوژن در نرمال ساز رخ می دهد	آیا سیستم فیوژن ساده است؟	جاسازی کوچکترین اندازه برای تحقق این سیستم همجوشی (در صورت وجود)
سیستم همجوشی داخلی	1	آره	آره	سیستم همجوشی داخلی ساده نیست	به عنوان یک زیر گروه از خودش
سیستم همجوشی غیر ساده داخلی برای گروه دو وجهی: D8	2	آره	خیر	خیر	D8 در S4
سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی:D8	1	آره	خیر	آره	D8 در PSL (3،2)
مجموع (3 ردیف)	4	--	--	--	--

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این گروه منحصر به فرد غیر T با کوچکترین مرتبه است، یعنی کوچکترین نمونه منحصر به فرد گروهی که در آن نرمال بودن متعدی نیست .
این یک گروه nilpotent غیرآبلی از کوچکترین مرتبه است، هرچند نه تنها. گروه دیگر از این قبیل گروه کواترنیون است .

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه از راسته خود است که به گروه اتومورفیسم خود هم شکل است .
این تنها گروه از راسته خود است که یک گروه T نیست .
این تنها گروه از سفارش خود است که دارای دو زیر گروه کلاین است. به طور خاص، مثالی از وضعیتی را ارائه می دهد که در آن تعداد زیرگروه های مرتبه آبلی ابتدایی $p^2$ نه صفر است و نه $1$ مدول $پ$ . این را با مورد فرد مقایسه کنید $پ$ ، که در آن شرط همخوانی تعداد زیرگروه‌های آبلی ابتدایی از مرتبه اول را برای عدد اول فرد داریم .

اجرای GAP

شناسه گروه

SmallGroup (8،3)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,3);

IdGroup(G) = [8,3]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

Gap3CatalogueGroup(8،4)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,4);

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع GAP استفاده می شود	ترجمه ریاضی توضیحات
DihedralGroup(8)	DihedralGroup	گروه دو وجهی نظم $8$ ، درجه $4$
WreathProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2))	WreathProduct ، CyclicGroup	محصول اکلیل خارجی دو نسخه از گروه چرخه ای مرتبه دو
ExtraspecialGroup(2^3،'+')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق‌العاده از نوع «+» برای درجه اول $2$ و مرتبه $2^3$
SylowSubgroup(SymmetricGroup(4),2)	SylowSubgroup و SymmetricGroup	$2$ - زیر گروه Sylow را از گروه متقارن از درجه چهار
SylowSubgroup(GL(3,2,2)	SylowSubgroup ، GL	$2$ زیر گروه -Sylow از GL (3،2)

شرح بر اساس ارائه

این هم کد:

gap> F := FreeGroup(2);
gap> G := F/[F.1^4, F.2^2, F.2 * F.1 * F.2 * F.1];
<گروه fp در ژنراتورها [f1, f2]>
gap> IdGroup(G);
[8، 3]

گروه $جی$ ساخته شده در اینجا گروه دو وجهی نظم است $8$ . مولد اول $F.1$ به عنصر چرخش مرتبه چهار و مولد دوم $F.2$ به عنصر انعکاس درجه دو نگاشت می شود.

توضیحات طولانی

می توان آن را به عنوان هولومورف گروه چرخه ای مرتبه چهار توصیف کرد. برای این کار ابتدا $سی$ گروه چرخه ای مرتبه چهار را تعریف کنید (با استفاده از CyclicGroup )، و سپس از SemidirectProduct و AutomorphismGroup استفاده کنید :

C := CyclicGroup(4);
G := SemidirectProduct(AutomorphismGroup(C),C);

در اینجا، $جی$ گروه دو وجهی از مرتبه هشت است. همچنین می‌توانیم آن را به‌عنوان یک محصول نیمه‌مستقیم از چهار گروه کلاین و یک خودمورفیسم درجه دو بسازیم.

K := DirectProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2));
A := AutomorphismGroup(K);
S := SylowSubgroup(A,2);
G := SemidirectProduct(S,K);

سپس $جی$ به گروه دو وجهی مرتبه هشت هم شکل است.

تأیید GAP

gap> IdGroup(G);
[ 8, 3 ]
gap> Order(G);
8
gap> Exponent(G);
4
gap> NilpotencyClassOfGroup(G);
2

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D8

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه دو وجهی:D8

اتومورفیسم ها و اندومورفیسم ها

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه دو وجهی:D8

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	36	قابل اجرا نیست
گروه اتومورفیسم	گروه دو وجهی:D8	8	3
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	محصول مستقیم D8 و Z2	16	11
گروه شبه اتومورفیسم	محصول مستقیم D8 و Z2	16	11
1-گروه اتومورفیسم	محصول مستقیم S4 و Z2	48	48
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه چرخه ای: Z2	2	1

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 ، نظریه نمایش خطی گروه های دو وجهی

خلاصه

مورد	مقدار
درجات نمایش های تقلیل ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1،1،1،1،2 حداکثر : 2، lcm : 2، تعداد : 5، مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص Schur نمایش های غیر قابل تقلیل	1،1،1،1،1
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های تقلیل ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$ ; مانند حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر
میدان تقسیم حداقلی ، یعنی کوچکترین میدان تحقق برای همه نمایش های تقلیل ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (بنابراین، این یک گروه نمایش منطقی است ) مانند فیلد ایجاد شده توسط مقادیر کاراکتر ، زیرا تمام مقادیر شاخص Schur 1 هستند.
شرط تقسیم شدن فیلد برای این گروه	هر میدانی از مشخصه نه دو، یک میدان تقسیم است.
حداقل میدان تقسیم در مشخصه $p \ne 0، 2$	فیلد اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	فیلد:F3 ، یعنی فیلدی با سه عنصر.
تحت عمل گروه اتومورفیسم بر روی یک میدان شکاف می چرخد	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 1)، 2 (نمایش درجه 1)، و 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 4
مداری بر روی یک میدان شکاف تحت عمل ضربی نمایش های یک بعدی، یعنی تا معادل تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
گروه های دیگر با جدول شخصیت های مشابه	گروه کواترنیون (به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید )

جدول شخصیت

این جدول کاراکتر روی مشخصه صفر کار می کند:

کلاس نمایندگی / Conj	$\{e \}$ (سایز 1)	$\{ a^2 \}$ (سایز 1)	$\{ a, a^{-1} \}$ (سایز 2)	$\{ x، a^2x \}$ (سایز 2)	$\{ تبر، a^3x \}$ (سایز 2)
نمایندگی بی اهمیت	1	1	1	1	1
$\langle a \rangle$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$\langle a^2، x \rangle$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$\langle a^2, ax\rangle$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

جدول کاراکترهای مشابه روی هر مشخصه ای کار می کند که برابر با 2 نباشد، جایی که عناصر 1،-1،0،2،-2 در فیلد تفسیر می شوند.

سیستم های فیوژن

اطلاعات بیشتر: سیستم های همجوشی برای گروه دو وجهی:D8

خلاصه

مورد	مقدار
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع در یک نمونه بتنی از گروه (دقیق، نه تا ایزومورفیسم سیستم های همجوشی)	4
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع تا ایزومورفیسم	3
فهرستی از سیستم های همجوشی اشباع شده با اندازه مدار	سیستم همجوشی داخلی (اندازه مدار 1 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی غیرساده درونی برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 2 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 1)
تعداد سیستم های همجوشی ساده	1
تعداد حداکثر سیستم های همجوشی اشباع شده، به عنوان مثال، سیستم های همجوشی اشباع موجود در سیستم های همجوشی اشباع بزرگتر	1 ( سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 )

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه دو وجهی:D8

خواص گروهی

می خواهم به مقایسه و خواص گروه مقابل با گروه های دیگر از همان سفارش ؟ اتمام گروه از سفارش 8 # خواص گروه

خواص مهم

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه نظم قدرت اول	آره
گروه nilpotent	آره	نظم قدرت اول دلالت بر nilpotent دارد
گروه فوق حل پذیر	آره	از طریق nilpotent: nilpotent متناهی به معنای فوق حل پذیر است
گروه قابل حل	آره	از طریق nilpotent: nilpotent به معنی قابل حل است
گروه آبلیان	خیر	$آ$ و $ایکس$ رفت و آمد نکنید	کوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه تی	خیر	$\langle x \rangle \triangleleft \langle a^2,x \rangle$ ، که طبیعی است، اما $\langle x \rangle$ طبیعی نیست	کوچکترین مثال برای عادی بودن گذرا نیست .
گروه یکپارچه	آره	زیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو

سایر خواص

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه یک سر	خیر	سه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار
گروه SC	خیر
گروه ACIC	آره	هر زیر گروه automorph مزدوج است مشخصه
گروه جبر	آره	به گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه روی میدان:F2 هم شکل است که به وضوح یک گروه جبری است.
گروه دوسوگرا	آره	گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند	همچنین گروه های دووجهی تعمیم یافته را ببینید دوسوگرا هستند
گروه منطقی	آره	هر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستند	بنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقی	آره	تمام نمایش های بیش از مشخصه صفر بر روی منطق ها تحقق می یابد.	در مقابل گروه کواترنیونی ، که عقلانی است اما بازنمایی عقلانی نیست.
گروه فوق خاص	آره	مرکز ، زیر گروه مشتق شده ، و فراتینی زیر گروه تمام همزمان و متناوب سفارش نخست
گروه ویژه	آره	(از طریق extraspecial): مرکز ، زیر گروه مشتق شده ، و زیرگروه Frattini همگی منطبق هستند
گروه فراتینی در مرکز	آره	(از طریق extraspecial): زیر گروه Frattini در مرکز قرار دارد
گروه nilpotency کلاس دو	آره	(از طریق ویژه): زیر گروه مشتق شده در مرکز موجود است
گروه معادل UL	آره	(از طریق ویژه): سری مرکزی بالا و سری مرکزی پایین بر هم منطبق هستند
گروه کلاس حداکثر	آره
گروه فروبنیوس	خیر	گروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند
گروه Camina	آره	extraspecial به معنای Camina است
هر عنصری نسبت به معکوس خود خودکار است	آره	نتیجه از یک گروه دوسوگرا است
هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند، خودمورف هستند	آره
هر عنصر نظم-خودمورفیک است	خیر
گروه غیر قابل تجزیه مستقیم	آره
گروه تجزیه ناپذیر مرکزی	آره
گروه تقسیم ساده	خیر
گروه ساقه	آره	مرکز برابر با زیر گروه مشتق شده است، و از این رو، به طور خاص، در زیر گروه مشتق شده موجود است.
شور-گروه بی اهمیت	خیر	چند برابر Schur به است گروه دوری: Z2 ؛ مشاهده های cohomology گروه از گروه دوسطحی: D8 .

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

در ستون‌های «فهرست زیرگروه‌ها» در زیر، شکستن ردیف در داخل سلول نشان می‌دهد که هر ردیف نشان‌دهنده یک کلاس مزدوج از زیر گروه‌ها است .

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	لیست زیر گروه ها	کلاس ایزومورفیسم	ترتیب زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج (=1 اگر زیرگروه automorph-conjugate )	اندازه هر کلاس conjugacy (=1 اگر زیر گروه نرمال )	تعداد کل زیر گروه ها (=1 زیر گروه مشخصه اگر )	کلاس ضریب ایزومورفیسم (اگر زیرگروه نرمال باشد)	عمق غیر طبیعی (اگر مناسب و نرمال باشد، برابر با 1 است)	کلاس Nilpotency
زیر گروه بی اهمیت	$\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	8	1	1	1	گروه دو وجهی:D8	1	0
مرکز	$\{e,a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	4	1	1	1	کلاین چهار گروه	1	1
سایر زیر گروه های مرتبه دو	$\{e,x \}, \{ e,a^2x \}$ $\{ e,ax \}, \{ e,a^3x \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	4	2	2	4	--	2	1
کلاین چهار زیر گروه	$\{e,x,a^2,a^2x \}$ ، $\{ e,ax,a^2,a^3x \}$	کلاین چهار گروه	4	2	2	1	2	گروه چرخه ای: Z2	1	1
زیر گروه حداکثر چرخه ای	$\{e,a,a^2,a^3 \}$	گروه چرخه ای: Z4	4	2	1	1	1	گروه چرخه ای: Z2	1	1
کل گروه	$\{ e,a,a^2,a^3,x,ax,a^2x,a^3x \}$	گروه دو وجهی:D8	8	1	1	1	1	گروه بی اهمیت	0	2
مجموع (6 ردیف)	--	--	--	--	8	--	10	--	--	--

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی:D8#تعریف توابع

تابع تعریف زیرگروه	چه معنی میده	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی رفت و آمد دارند	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیر گروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	ضریب پایه	کلاین چهار گروه	4
هنجار بائر	تقاطع نرمال سازهای همه زیر گروه ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
به همه زیرگروه های نرمال آبلی بپیوندید	زیر گروه تولید شده توسط همه زیر گروه های نرمال آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیر گروه های آبلیان با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلیان حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلیان دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
مرکز زلزله	تقاطع تصاویر مراکز برای همه پسوندهای مرکزی	زیر گروه بی اهمیت: $\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	بزرگترین گروه ضریب که یک گروه توانمند است	گروه دو وجهی:D8	8

چند یادداشت دیگر:

توابع زیر گروه تعریف زیر به کل گروه مساوی در حساب از گروه یک هستند گروه پوچتوان : زیر گروه چسبان ، hypercenter ، قابل حل رادیکال .
توابع تعریف کننده زیرگروه زیر با زیرگروه بی اهمیت به دلیل اینکه گروه یک گروه قابل حل است برابر است : هیپومرکز ، باقیمانده nilpotent ، هسته کامل ، باقیمانده قابل حل .

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه دو وجهی:D8

توابع حسابی

توابع حسابی پایه

آیا می خواهید به مقایسه و کنتراست مقادیر تابع ریاضی با گروه های دیگر از همان سفارش ؟ اتمام گروه از سفارش 8 # توابع ریاضی

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع
اول زیرین گروه p	2
ترتیب (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	8	گروه هایی با همان ترتیب	به عنوان یک محصول نیمه مستقیم از $\Z_4$ و $\Z_2$ : نظم حاصلضرب دستورات $\Z_4$ و است $\Z_2$ که به $4 \ برابر 2 = 8$ عنوان محصول تاج گل از $\Z_2$ و $\Z_2$ : ترتیب است $2^2 \cdot 2 = 8$
لگاریتم مرتبه پایه اول	3	گروه هایی با ترتیب لگاریتم پایه اول یکسان
حداکثر طول یک گروه	3		حداکثر طول یک گروه برابر است با لگاریتم ترتیب پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
طول رئیس	3		طول اصلی برابر است با لگاریتم ترتیب پایه پایه برای گروهی از مرتبه توان اول
طول ترکیب	3		طول ترکیب برابر است با لگاریتم مرتبه پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
توان	4	گروه هایی با مرتبه و توان یکسان \| گروه هایی با توان یکسان	به عنوان یک گروه دو وجهی: گروه دو وجهی $2n$ دارای توانی برابر با $\operatorname{lcm} \{n,2 \}$ .
لگاریتم مبنا اول توان	2
کلاس nilpotency	2	گروه هایی با نظم و کلاس nilpotency یکسان \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و کلاس nilpotency \| گروه هایی با کلاس nilpotency یکسان	زیر گروه مشتق شده است $\{ e, a^2 \}$ - و آن را همان است مرکز . مشاهده مرکز گروه دوسطحی: D8 . همچنین ساختار عناصر گروه دو وجهی را ببینید: نقشه D8#Commutator
طول مشتق شده	2	گروه هایی با ترتیب و طول مشتق شده یکسان \| گروه‌هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و طول مشتق شده \| گروه هایی با طول مشتق شده یکسان	زیر گروه مشتق شده است $\{ e, a^2 \}$ ، آبلی است. مشاهده مرکز گروه دوسطحی: D8 .
طول فراتینی	2	گروه هایی با همان ترتیب و طول فراتینی \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان	زیر گروه فراتینی است $\{ e, a^2 \}$ ، که از ترتیب اول، از این رو زیر گروه فراتینی آن بی اهمیت است.
طول مناسب	1		همه گروه‌های مرتبه توان اول nilpotent هستند، بنابراین دارای طول اتصال 1 هستند.
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه های با ترتیب یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	مولد زیرگروه چرخه ای مرتبه چهار و عنصر درجه دو در خارج.
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان ترتیب و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه زیرگروهی یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	همه زیر گروه های مناسب چرخه ای یا چهار گروهی کلاین هستند .
رتبه یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه یکسان گروه p	کلاین چهار زیر گروه وجود دارد.
رتبه عادی یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با رتبه عادی یک گروه p	چهار زیرگروه عادی کلاین وجود دارد.
رتبه مشخصه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه مشخصه یک گروه p	همه زیرگروه های مشخصه آبلی چرخه ای هستند.

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) - بیشتر در پیاده سازی #GAP ببینید
تعداد کلاس های مزدوج	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوج	به عنوان گروه دو وجهی $D_{2n}$ ، $n$ حتی: $\! (n + 6)/2 = (4 + 6)/2 = 5$ . مشاهده ساختار عنصر از گروه دوسطحی و ساختار عنصر از گروه دوسطحی: D8 به عنوان گروه ماتریس unitriangular $UT (3، q)، q = 2$ : $q^2 + q - 1 = 2^2 + 2 - 1 = 5$ مشاهده ساختار عنصر از گروه ماتریس unitriangular درجه سه بر یک میدان محدود	طول(کلاس های Conjugacy(G)); با استفاده از ConjugacyClasses
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	5	گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت conjugacy واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است . ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است . ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است .	طول (کلاس های منطقی (G)); با استفاده از RationalClasses
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است .

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) -- بیشتر در تأیید #GAP ببینید
تعداد زیر گروه ها	10		به عنوان یک گروه دو وجهی، $\! D_{2n}، n = 4$ تعداد زیرگروه ها است $\! d(n) + \sigma(n) = d(4) + \sigma(4) = 3 + 7 = 10$ ، که $د$ در آن تابع شمارش مقسوم علیه و $\سیگما$ تابع مجموع مقسوم علیه است. مشاهده ساختار زیر گروه از گروه دوسطحی: D8 ، ساختار زیر گروه از گروه های دوسطحی	طول (زیرگروه ها (G))؛ با استفاده از زیر گروه ها
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	8		مشاهده ساختار زیر گروه از گروه های دوسطحی ، ساختار زیر گروه از گروه دوسطحی: D8	Length(ConjugacyClassesSubgroups(G)); با استفاده از ConjugacyClassesSubgroups
تعداد زیر گروه های عادی	6	گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های عادی یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادی	مشاهده ساختار زیر گروه از گروه های دوسطحی ، ساختار زیر گروه از گروه دوسطحی: D8 # شبکه از زیر گروه نرمال	طول (Subgroups Normal (G)); با استفاده از NormalSubgroups
تعداد کلاس های خودمورفیسم زیر گروه ها	6
تعداد زیر گروه های مشخصه	4			طول(زیرگروه های مشخصه(G)); با استفاده از CharacteristicSubgroups

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنید	مقدار	توضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج	1،1،2،2،2	دو عنصر مرکزی، بقیه در کلاس های مزدوج اندازه دو. مشاهده D8: ساختار عنصر از گروه دوسطحی و ساختار عنصر از گروه دوسطحی .
اندازه مدارها در گروه اتومورفیسم	1،1،2،4	دو عنصر مرکزی، یک کلاس مزدوج از عناصر درجه چهار، یک مدار به اندازه چهار، شامل دو طبقه مزدوج اندازه، با همه عناصر غیر مرکزی درجه دو.
آمار سفارش	$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 5, 4 \mapsto 2$	از پنج عنصر مرتبه دو، یکی مرکزی است. چهار مورد دیگر با یکدیگر خود شکل هستند. مشاهده ساختار عنصر از گروه دوسطحی: D8 و ساختار عنصر از گروه دوسطحی
درجات بازنمایی غیر قابل تقلیل	$1،1،1،1،2$	به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی مراجعه کنید :D8
سفارشات زیر گروه ها	$1،2،2،2،2،2،4،4،4،8$	مشاهده ساختار زیر گروه از گروه دوسطحی: D8

متغیرهای تحقق گروه مبتنی بر عمل/خودمورفیسم

عملکرد	مقدار	توضیح
حداقل درجه نمایندگی وفادار	2
حداقل درجه نمایش غیرقابل تقلیل	2
کوچکترین سایز ست با عمل وفادار	4
کوچکترین اندازه مجموعه با عمل متعدی وفادار	4
جنس متقارن	?

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه دو وجهی:D8

عناصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

عنصر از نظر $آ$ و $ایکس$	توضیحات هندسی	جایگشت در رئوس	ترتیب عنصر
$ه$ (عنصر هویت)	هیچ کاری نمی کند، یعنی مربع را ثابت می گذارد	$()$	1
$آ$	چرخش با زاویه $\pi/2$ (یعنی $90\,^\circ$ ) در خلاف جهت عقربه های ساعت	$(1،2،3،4)$	4
$a^2$	چرخش بر اساس زاویه $\pi$ (یعنی $180\,^\circ$ )، که نیم دور نیز نامیده می شود	$(1،3) (2،4)$	2
$a^3$	چرخش با زاویه $3\pi/2$ (یعنی $270\,^\circ$ ) در خلاف جهت عقربه های ساعت، یا معادل آن، توسط $\pi/2$ (یعنی، $90\,^\circ$ ) در جهت عقربه های ساعت	$(1،4،3،2)$	4
$ایکس$	بازتابی در مورد رئوس اتصال مورب "2" و "4"	$(1،3)$	2
$تبر = xa^3$	انعکاس خطی که نقاط میانی اضلاع مخالف "14" و "23" را به هم وصل می کند	$(1،4) (2،3)$	2
$a^2x$	انعکاس در مورد رئوس اتصال مورب "1" و "3"	$(2،4)$	2
$a^3x = xa$	انعکاس خطی که نقاط میانی اضلاع مخالف "12" و "34" را به هم وصل می کند	$(1،2) (3،4)$	2

در زیر ساختار کلاس conjugacy و automorphism آمده است:

کلاس مزدوج از نظر $تبر$	شرح هندسی کلاس مزدوج	کلاس conjugacy به عنوان جایگشت	اندازه کلاس صیغه	ترتیب عناصر در کلاس conjugacy	متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ e \}$	عنصر هویت، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	کل گروه
$\! \{ a^2 \}$	نیم دور، چرخش توسط $\pi$	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	2	کل گروه
$\! \{ x,a^2x \}$	بازتاب در مورد مورب ها	$\{ (1،3)، (2،4) \}$	2	2	$\{ e, a^2, x, a^2x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ تبر، a^3x \}$	بازتاب هایی در مورد خطوطی که به نقاط میانی اضلاع مقابل می پیوندند	$\{ (1,4)(2,3)\ , \ (1,2)(3,4) \}$	2	2	$\{ e، a^2، تبر، a^3x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4) \ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	4	$\{ e, a, a^2, a^3 \}$ -- زیر گروه حداکثر چرخه ای گروه دو وجهی: D8
مجموع (5)	--	--	8	--	--

طبقات هم ارزی تا اتومورفیسم عبارتند از:

کلاس هم ارزی تحت اتومورفیسم بر حسب $تبر$	شرح هندسی کلاس هم ارزی	کلاس هم ارزی به عنوان جایگشت	اندازه کلاس هم ارزی	تعداد کلاس های مزدوج در آن	اندازه هر کلاس conjugacy
$\! \{ e \}$	عنصر هویت، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	1
$\! \{ a^2 \}$	نیم نوبت	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	1	1
$\! \{ x، تبر، a^2x، a^3x \}$	بازتاب ها	$\{ (1,3)\ ,\ (2,4)\ , \ (1,4)(2,3)\ ,\ (1,2)(3,4) \}$	4	2	2
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4)\ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	1	2
مجموع (4)	--	--	8	5	--

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه دو وجهی:D8

فهرست

این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]

تعریف

تعریف با ارائه

گروه دوسطحی $D_8$ ، گاهی به نام $D_4$ ، همچنین به نام گروه دوسطحی از سفارش هشت یا گروه دوسطحی از درجه چهار (به از عمل طبیعی خود را در چهار عنصر است)، و یا گاهی اوقات گروه octic ، است که توسط زیر تعریف ارائه ، با $ه$ دلالت هویت عنصر:

$\langle x,a \mid a^4 = x^2 = e, xax^{-1} = a^{-1}\rangle$

در اینجا، عنصر $آ$ را چرخش یا مولد قطعه چرخه ای می نامند و $ایکس$ به آن انعکاس می گویند .

آیا در مورد ارائه به طور کلی یا این یکی به طور خاص گیج شده اید؟ اگر با این چیزها تازه کار هستید، ساخت گروه دو وجهی:D8 را از ارائه آن بررسی کنید . نظریه پردازان پیچیده گروه باید به سادگی به یاد بیاورند که ارائه محصول نیمه مستقیم، اتحاد غیرمستقیم ارائه ها به علاوه عمل توسط روابط صرف است.

تعریف هندسی

گروه دوسطحی $D_8$ (نیز نامیده می شود $D_4$ ) به عنوان گروه از همه تقارن مربع تعریف شده (به طور منظم 4 ضلعی). این یک زیرگروه چرخهای متشکل از چرخش (که زیرگروه چرخهای تولید شده توسط $آ$ ) و دارای چهار بازتاب هر بودن پیچ : بازتاب در مورد خطوط پیوستن midpoints از طرف مقابل، و بازتاب در مورد قطر.

تعریف به عنوان یک گروه جایگشت

اطلاعات بیشتر: D8 در S4

این گروه (تا ایزومورفیسم) زیر گروه گروه متقارن است $\{ 1،2،3،4 \}$ که توسط:

$\! \{ ()، (1،2،3،4)، (1،3)(2،4)، (1،4،3،2)، (1،3)، (2،4)، (1 ,4)(2,3), (1,2)(3,4) \}$

این را می توان با در $1،2،3،4$ نظر گرفتن رئوس مربع و در نظر گرفتن عنصری از $D_8$ نظر عملکرد القایی آن بر رئوس، به تعریف هندسی مرتبط کرد . این به ارائه از طریق تنظیمات $a = (1،2،3،4)$ و $x = (1،3)$ .

جدول ضرب

در اینجا، $ه$ عنصر هویت را نشان می دهد، $آ$ عنصری از مرتبه 4 است، و $ایکس$ عنصری از درجه دو است که برابر نیست $a^2$ ، مانند ارائه بالا.

عنصر ردیف در سمت چپ و عنصر ستون در سمت راست ضرب می شود.

عنصر	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$
$\! ه$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$
$\! آ$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$	$\! ایکس$
$\! a^2$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2x$	$\! a^3x$	$\! ایکس$	$\! تبر$
$\! a^3$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3x$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$
$\! ایکس$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ه$	$\! a^3$	$\! a^2$	$\! آ$
$\! تبر$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! آ$	$\! ه$	$\! a^3$	$\! a^2$
$\! a^2x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2$	$\! آ$	$\! ه$	$\! a^3$
$\! a^3x$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3$	$\! a^2$	$\! آ$	$\! ه$

تعاریف دیگر

گروه دو وجهی را می توان به روش های زیر توصیف کرد:

گروه دوسطحی از سفارش هشت.
گروه دوسطحی تعمیم مربوط به گروه چرخهای سفارش چهار .
holomorph از گروه دوری از سفارش چهار .
کالا تاج گل خارجی از گروه دوری از سفارش دو با گروه چرخهای سفارش دو، اقدام از طریق عمل به طور منظم.
$2$ - زیر گروه Sylow را از گروه متقارن در چهار حرف .
$2$ - زیر گروه Sylow را از گروه متقارن در پنج حرف .
$2$ - زیر گروه Sylow را از گروه متناوب در شش حرف .
گروه unitriangular ماتریس درجه سه $UT (3،2)$ بیش میشه: F2 ، $2$ - Sylow را زیر گروه از PSL (3،2) .
گروه extraspecial از سفارش $2^3$ و نوع '+'.

موقعیت در طبقه بندی ها

نوع طبقه بندی	نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP	(8،3) یعنی سومین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد	(8،4)، یعنی 4 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد	$8\Gamma_2a_1$

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

تابع تعریف زیرگروه	چه معنی میده	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی رفت و آمد دارند	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیر گروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مناسب	به همه زیرگروه های نرمال nilpotent بپیوندید	کل گروه	گروه کواترنیون	8	ضریب برازش	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیر گروه های آبلیان با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلیان حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلیان دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه کواترنیون

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	?	--
گروه اتومورفیسم	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه متقارن: S3	6	1
گروهی از خودمورفیسم های حفظ کلاس	کلاین چهار گروه	4	2
گروهی از اتومورفیسم های IA	کلاین چهار گروه	4	2
ضریب گروه خودمورفیسم حفظ کلاس توسط گروه خودمورفیسم درونی	گروه بی اهمیت	1	1
ضریب گروه IA-اتومورفیسم توسط گروه اتومورفیسم درونی	گروه بی اهمیت	1	1
گروهی از اتومورفیسم های ثابت کننده مرکز	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	محصول مستقیم S4 و Z2	48	48
هولومورف	?	192
هولومورف درونی	هولومورف داخلی D8 ( $D_8$ و گروه کواترنیون دارای هولومورف یکسان هستند)	32	49

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون

خلاصه

گروه چهارگانه یکی از معدود نمونه های است گروه منطقی این است که نه گروه منطقی نمایندگی . به عبارت دیگر، تمام نویسه های آن بر روی اعداد مختلط دارای ارزش گویا هستند، اما هر نمایشی از آن را نمی توان بر روی اعداد گویا تحقق بخشید.

جدول کاراکترهای گروه چهارتایی مانند گروه دو وجهی مرتبه هشت است . با این حال، توجه داشته باشید که زمینه های تحقق برای نمایش ها متفاوت است، زیرا یکی از نمایش های گروه کواترنیون دارای شاخص Schur دو است.

مورد	مقدار
درجات نمایش های تقلیل ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1،1،1،1،2 حداکثر : 2، lcm : 2، تعداد : 5، مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص Schur نمایش های غیر قابل تقلیل	1،1،1،1،2 (صفر مشخصه) حداکثر : 2، LCM : 2 1،1،1،1،1 (صفت غیر از 0،2)
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های تقلیل ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Z}[i]$ که $من$ در آن یک جذر $-1$ معادل است $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 1)$ ، حلقه اعداد صحیح گاوسی یک نامزد است. دیگری است $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ یا $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی، هر حلقه ای از شکل $\mathbb{Z}[\آلفا،\بتا]$ که $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ در آن حلقه ای از تحقق برای همه نمایش های تقلیل ناپذیر است. به طور خاص، $\mathbb{Z}[\sqrt{-m^2 - 1}]$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ .
میدان تقسیم حداقلی (یعنی میدان تحقق) برای همه نمایش های تقلیل ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Q}(i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 1)$ کار می کند، همینطور می کند $\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی تر، $\mathbb{Q}(\آلفا،\بتا)$ جایی $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ که یک میدان تقسیم است. به طور خاص، $\mathbb{Q}(\sqrt{-1-m^2})$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ . مشاهده حداقل نیاز میدان شکافنده نمی تواند منحصر به فرد ، حداقل نیاز میدان شکافنده می شود cyclotomic
حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$
فیلد ایجاد شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (از این رو یک گروه منطقی است ) همچنین ببینید: فیلد تولید شده توسط مقادیر کاراکتر نیازی به یک فیلد تقسیم کننده نیست \| rational not دلالت بر بازنمایی عقلانی دارد
شرط تقسیم شدن فیلد برای این گروه	شرط کافی: مشخصه دو نیست و $\آلفا، \بتا$ در میدان وجود دارد به گونه ای که $\alpha^2 + \beta^2 + 1 = 0$ . به طور خاص، هر میدان محدود مشخصه نه دو، یک میدان شکافنده است، زیرا هر عنصر یک میدان محدود به صورت مجموع دو مربع قابل بیان است و به طور خاص، $-1$ مجموع دو مربع در هر میدان متناهی است.
میدان تقسیم حداقل (مشخصه $p \ne 0,2$ )	فیلد اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	فیلد:F3 ، یعنی میدان سه عنصر.
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت گروه خودمورفیسم	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 3 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 3
ساختار مداری نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت عمل ضربی نمایش‌های یک‌بعدی، یعنی تا هم ارزی تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
درجات نمایش های تقلیل ناپذیر بر روی یک میدان غیرقابل تقسیم، به عنوان مثال، میدان اعداد گویا یا میدان اعداد واقعی	1،1،1،1،4 شماره : 5
گروه هایی با جدول شخصیت های یکسان	گروه دو وجهی:D8

جدول شخصیت

بازنمایی/کلاس conjugacy	$\{ 1 \}$ (هویت، سایز 1)	$\{ -1 \}$ (سایز 1)	$\{ i، -i \}$ (سایز 2)	$\{ j, -j \}$ (سایز 2)	$\{k، -k \}$ (سایز 2)
نمایندگی بی اهمیت	1	1	1	1	1
$من$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$j$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$ک$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این یک گروه nilpotent غیر آبلی با کوچکترین مرتبه ممکن است، همراه با گروه دو وجهی:D8 .
این یک گروه ددکیند غیرآبلی (یا گروه همیلتونی) با کوچکترین مرتبه ممکن است. Dedekind به این معنی است که هر زیرگروه عادی است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه ددکیند غیرآبلی از راسته خود است.
این تنها گروه T غیرآبلی در راسته خود است.
این تنها گروه از مرتبه خود است که رتبه برای آن (به معنای حداکثر رتبه ممکن یک زیر گروه آبلی) به شدت کوچکتر از حداقل اندازه مجموعه تولید کننده است : برای این گروه، اولی 1 و دومی 2 است. .

اجرای GAP

شناسه گروه

SmallGroup (8،4)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,4);

IdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

Gap3CatalogueGroup(8،5)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,5);

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,5]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع استفاده شده	نظر ریاضی
SylowSubgroup(SL(2,3,2)	SylowSubgroup و SL	$2$ زیر گروه -Sylow از گروه خطی ویژه: SL (2،3)
ExtraspecialGroup(2^3,'-')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق خاص از نظم $2^3$ و نوع '-'
SylowSubgroup(SL(2,5,2)	SylowSubgroup و SL	$2$ زیر گروه -Sylow از گروه خطی ویژه: SL (2،5)

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

خواص گروهی

می خواهم به مقایسه و خواص گروه مقابل با گروه های دیگر از همان سفارش ؟ اتمام گروه از سفارش 8 # خواص گروه

خواص مهم

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه نظم قدرت اول	آره
گروه nilpotent	آره	نظم قدرت اول دلالت بر nilpotent دارد
گروه فوق حل پذیر	آره	از طریق nilpotent: nilpotent متناهی به معنای فوق حل پذیر است
گروه قابل حل	آره	از طریق nilpotent: nilpotent به معنی قابل حل است
گروه آبلیان	خیر	$من$ و $j$ رفت و آمد نکنید	کوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه متاسیکلیک	آره	زیر گروه نرمال چرخه ای مرتبه چهار، ضریب چرخه ای مرتبه دو
گروه ددکیند	آره	هر زیرگروه طبیعی است	کوچکترین گروه ددکیند غیرآبلی
گروه تی	آره	ددکیند به معنای گروه T است

سایر خواص

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه یکپارچه	آره	زیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو
گروه یک سر	خیر	سه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار
گروه SC	خیر
گروه ACIC	آره	هر زیر گروه automorph مزدوج است مشخصه
گروه دوسوگرا	آره
گروه منطقی	آره	هر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستند	بنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقی	خیر	یک نمایش دو بعدی که منطقی نیست .	در مقابل گروه دو وجهی:D8 ، که بازنمایی عقلانی است. همچنین به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 و نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید .
گروه کلاس حداکثر	آره
گروه nilpotency کلاس دو	آره
گروه فوق خاص	آره
گروه ویژه	آره
گروه فراتینی در مرکز	آره
گروه فروبنیوس	خیر	گروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند.
گروه Camina	آره	extraspecial به معنای Camina است
گروهی که در آن هر عنصر نسبت به معکوس خود خودمورف است	آره	نتیجه از یک گروه دوسوگرا است
گروهی که در آن هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی مشابه را ایجاد می کنند، خودمورف هستند	آره	از گروه منطقی بودن نتیجه می گیرد
گروهی که در آن هر عنصر نظم-خودمورفیک است	آره
گروه غیر قابل تجزیه مستقیم	آره
گروه تجزیه ناپذیر مرکزی	آره
گروه تقسیم ساده	آره
شور-گروه بی اهمیت	آره	مشاهده های cohomology گروه از گروه چهارگانه

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه کواترنیون

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	لیست زیر گروه ها	کلاس ایزومورفیسم	ترتیب زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج (=1 اگر زیرگروه automorph-conjugate )	اندازه هر کلاس conjugacy (=1 اگر زیر گروه نرمال )	تعداد کل زیر گروه ها (=1 زیر گروه مشخصه اگر )	کلاس ضریب ایزومورفیسم (در صورت وجود)	کلاس Nilpotency
زیر گروه بی اهمیت	$\{ 1 \}$	زیر گروه بی اهمیت	1	8	1	1	1	گروه کواترنیون	0
مرکز گروه کواترنیون	$\{ 1، -1\}$	گروه چرخه ای: Z2	2	4	1	1	1	کلاین چهار گروه	1
زیرگروه های حداکثر چرخه ای گروه کواترنیون	$\{ 1,-1,i,-i \}$ $\{ 1,-1,j,-j \}$ $\{ 1,-1,k,-k \}$	گروه چرخه ای: Z4	4	2	3	1	3	گروه چرخه ای: Z2	1
کل گروه	$\{ 1,-1,i,-i,j,-j,k,-k \}$	گروه کواترنیون	8	1	1	1	1	گروه بی اهمیت	2
مجموع (4 ردیف)	--	--	--	--	6	--	6	--	--

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

توابع حسابی

توابع حسابی پایه

آیا می خواهید به مقایسه و کنتراست مقادیر تابع ریاضی با گروه های دیگر از همان سفارش ؟ اتمام گروه از سفارش 8 # توابع ریاضی

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
اول زیرین گروه p	2
ترتیب (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	8	گروه هایی با همان ترتیب
لگاریتم مرتبه پایه اول	3	گروه هایی با ترتیب لگاریتم پایه اول یکسان
نماینده یک گروه	4	گروه هایی با ترتیب و توان یک گروه \| گروه هایی با توان یک گروه	زیر گروه چرخه ای مرتبه چهار.
لگاریتم مبنا اول توان	2	گروه هایی با مرتبه یکسان و لگاریتم مبنا اول توان \| گروه هایی با لگاریتم مبنا اول مرتبه و لگاریتم مبنا اول توان \| گروه هایی با لگاریتم مبنا اول یکسان
کلاس nilpotency	2	گروه هایی با نظم و کلاس nilpotency یکسان \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و کلاس nilpotency \| گروه هایی با کلاس nilpotency یکسان
طول مشتق شده	2	گروه هایی با ترتیب و طول مشتق شده یکسان \| گروه‌هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و طول مشتق شده \| گروه هایی با طول مشتق شده یکسان
طول فراتینی	2	گروه هایی با همان ترتیب و طول فراتینی \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه های با ترتیب یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	ژنراتورهای دو زیر گروه چرخه ای مرتبه چهار.
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان ترتیب و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه زیرگروهی یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	همه زیر گروه های مناسب چرخه ای هستند.
رتبه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه یکسان گروه p	همه زیر گروه های آبلی حلقوی هستند.
رتبه عادی یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با رتبه عادی یک گروه p	همه زیرگروه های نرمال آبلی چرخه ای هستند.
رتبه مشخصه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه مشخصه یک گروه p	همه زیرگروه های مشخصه آبلی چرخه ای هستند.

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عناصر گروه کواترنیون

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
تعداد کلاس های مزدوج	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوج	مشاهده ساختار عنصر از گروه dicyclic .
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	5	گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت conjugacy واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است .
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است .
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه عقلانی است (البته نه یک گروه بازنمایی منطقی ).
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه عقلانی است (البته نه یک گروه بازنمایی منطقی ).

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه کواترنیونی

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه
تعداد زیر گروه ها	6
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	6
تعداد زیر گروه های نرمال	6	گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های نرمال یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادی
تعداد کلاس های خودمورفیسم زیر گروه ها	4

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنید	مقدار	توضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج	$1،1،2،2،2$	$\pm i, \pm j, \pm k$ هر یک از کلاس های مزدوج عناصر غیر مرکزی هستند.
درجات نمایش غیر قابل تقلیل	$1،1،1،1،2$	به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید
آمار مرتبه	$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 1, 4 \mapsto 6$
مرتبه ها زیر گروه ها	$1،2،4،4،4،8$	مشاهده ساختار زیر گروه از گروه چهارگانه

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه کواترنیون

این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]

فهرست

تعریف

تعریف با ارائه

گروه کواترنیون ارائه زیر را دارد :

$\langle i,j,k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \rangle$

هویت نشان داده می شود $1$ ، عنصر مشترک $i^2 = j^2 = k^2 = ijk$ نشان داده می شود $-1$ ، و عناصر $i^3، j^3، k^3$ به $-i،-j،-k$ ترتیب نشان داده می شوند.

آیا در مورد ارائه به طور کلی یا این یکی به طور خاص گیج شده اید؟ اگر با این چیزها تازه کار هستید، ساخت گروه کواترنیون را از ارائه آن بررسی کنید . نظریه پردازان گروه پیچیده می توانند معادل سازی ارائه های گروه دو حلقه ای را بخوانند

تعاریف کلامی

گروه چهارگانه یک گروه با هشت عنصر، که می تواند در هر یک از روش های زیر توضیح داده شده است:

این گروه شامل هشت عنصر است $1,-1,i,-i,j,-j,k,-k$ که در آن 1 عنصر هویت است، $(-1)^2 = 1$ و همه عناصر دیگر از ریشه مربع هستند $-1$ ، به طوری که $(-1)i = -i، (-1)j = -j، (-1)k= -k$ و بیشتر، $ij = k، ji = -k، jk = i، kj = -i، ki = j، ik = -j$ (روابط باقی مانده را می توان از اینها استنباط کرد).
این گروه دو حلقه ای با پارامتر 2 است، یعنی $Dic_2$ .
این گروه فیبوناچی است $F(2،3)$ .

جدول ضرب

در جدول زیر عنصر ردیف در سمت چپ و عنصر ستون در سمت راست ضرب شده است.

عنصر	$\! 1$	$\! -1$	$\! من$	$\! -من$	$\! j$	$\! -j$	$\! ک$	$\! -k$
$\! 1$	$\! 1$	$\! -1$	$\! من$	$\! -من$	$\! j$	$\! -j$	$\! ک$	$\! -k$
$\! -1$	$\! -1$	$\! 1$	$\! -من$	$\! من$	$\! -j$	$\! j$	$\! -k$	$\! ک$
$\! من$	$\! من$	$\! -من$	$\! -1$	$\! 1$	$\! ک$	$\! -k$	$\! -j$	$\! j$
$\! -من$	$\! -من$	$\! من$	$\! 1$	$\! -1$	$\! -k$	$\! ک$	$\! j$	$\! -j$
$\! j$	$\! j$	$\! -j$	$\! -k$	$\! ک$	$\! -1$	$\! 1$	$\! من$	$\! -من$
$\! -j$	$\! -j$	$\! j$	$\! ک$	$\! -k$	$\! 1$	$\! -1$	$\! -من$	$\! من$
$\! ک$	$\! ک$	$\! -k$	$\! j$	$\! -j$	$\! -من$	$\! من$	$\! -1$	$\! 1$
$\! -k$	$\! -k$	$\! ک$	$\! -j$	$\! j$	$\! من$	$\! -من$	$\! 1$	$\! -1$

موقعیت در طبقه بندی ها

نوع طبقه بندی	نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP	(8،4) یعنی چهارمین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد	5 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد	$8\Gamma_2a_2$

عناصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصری گروه کواترنیونی

ساختار کلاس conjugacy

کلاس صیغه	اندازه کلاس صیغه	ترتیب عناصر در کلاس conjugacy	متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ 1 \}$	1	1	کل گروه
$\! \{ -1 \}$	1	2	کل گروه
$\! \{ من، - من \}$	2	4	$\{ 1,-1,i,-i \}$ ، مثل $\langle i \rangle$
$\! \{j,-j \}$	2	4	$\{ 1,-1,j,-j\}$ -- مثل $\langle j \rangle$
$\! \{k,-k \}$	2	4	$\{ 1,-1,k,-k \}$ -- مثل $\langle k \rangle$

ساختار کلاس اتومورفیسم

کلاس هم ارزی (مدار) تحت عمل اتومورفیسم ها	اندازه کلاس هم ارزی (مدار)	تعداد کلاس های مزدوج در آن	اندازه هر کلاس conjugacy	ترتیب عناصر
$\! \{ 1 \}$	1	1	1	1
$\! \{ -1 \}$	1	1	1	2
$\! \{ i,-i,j,-j,k,-k \}$	6	3	2	4

توابع حسابی

+ نوشته شده در شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 13:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

نظریه گروه

هویت (نظریه گروهی)

نظریه حلقه

هویت (نظریه حلقه)

حلقه ها و جبرهای درجه بندی شده

اشتقاق الحاقی

قانون مولد لایب نیتس

همچنین ببینید

خواص[ویرایش]

شرایط معادل[ویرایش]

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

ماتریس یکانی 2*2ویرایش]

همچنین ببینید<[ویرایش]

مراجع ]ویرایش]

پیوندهای خارجی[ویرایش]

فهرست

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

اجزای متصل [ ویرایش ]

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه 3×3 مثال ماتریس

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

انواع Severi–برائر [ ویرایش ]

جبرهای چرخه ای [ ویرایش ]

مشکل شاخص دوره [ ویرایش ]

نظریه میدان کلاس [ ویرایش ]

هم‌شناسی گالوا [ ویرایش ]

گروه برائر از یک طرح [ ویرایش ]

ارتباط با حدس تیت [ ویرایش ]

انسداد برائر-مانین [ ویرایش ]

فهرست

قضیه [ ویرایش ]

نتیجه 1 [ ویرایش ]

نتیجه 2 [ ویرایش ]

پیامد [ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

خواص قوی تر

خواص ضعیف تر

ارتباط با سایر خواص

فرمالیسم ها

از نظر اپراتور گسترش گروه

آزمایش کردن

مشکل تست

دستور GAP

مطالعه این مفهوم

طبقه بندی دروس ریاضی

منابع

مراجع کتاب درسی

تعریف

تعاریف معادل در قالب جدول

معادل سازی تعاریف

مثال ها

نمونه های افراطی

گروه هایی که دارایی را راضی می کنند

گروه هایی که از ناراضی هستند

فهرست

فراخواص

ارتباط با سایر خواص

خواص قوی تر

زیر گروه ها

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

اتومورفیسم و ​​اندومورفیسم

نظریه نمایش خطی

خلاصه

جدول شخصیت

سیستم های فیوژن

خلاصه

شرح سیستم های همجوشی

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

متفاوت از بقیه هم راستا

اجرای GAP

شناسه گروه

سالن-شماره ارشد

توضیحات کوتاه

شرح بر اساس ارائه

توضیحات طولانی

تأیید GAP

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**

اتومورفیسم و اندومورفیسم