[ ویرایش ]
نوشتار اصلی: حلقه نوتری
اگر هر زنجیره صعودی از آرمانها0
ایستا میشود، یعنی فراتر از یک شاخص ثابت میماندن
به طور معادل، هر ایدهآلی توسط تعداد متناهی از عناصر تولید میشود، یا، با این حال معادل، زیرمدولهای مدولهای تولید شده متناهی، به صورت متناهی تولید میشوند.
نوتری بودن یک شرط متناهی بودن بسیار مهم است و این شرط تحت بسیاری از عملیاتهایی که مکرراً در هندسه رخ میدهند، حفظ میشود. برای مثال، اگرر
نوتری باشد، پس حلقه چندجملهای نیز نوتری است.![{\displaystyle R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b22dfd66d71acc5feebeffa02d8de930c1d93c)
(طبق قضیه پایه هیلبرت )، هرگونه محلیسازیس−۱ر
و همچنین هر حلقه عاملیر/من
.
هر حلقه غیر نوتریراتحاد زیرحلقههای نوتری آن است . این واقعیت که به عنوان تقریب نوتری شناخته میشود ، امکان تعمیم قضایای خاصی را به حلقههای غیر نوتری فراهم میکند.
حلقههای آرتینیان
[ ویرایش ]
یک حلقه، آرتینی (به نام امیل آرتین ) نامیده میشود ، اگر هر زنجیره نزولی از ایدهآلها
در نهایت ثابت میشود. با وجود اینکه هر دو شرط متقارن به نظر میرسند، حلقههای نوتری بسیار عمومیتر از حلقههای آرتینی هستند. برای مثال،ز
نوتری است، زیرا هر ایدهآل میتواند توسط یک عنصر تولید شود، اما آرتینی نیست، زیرا زنجیره
در واقع، طبق قضیه هاپکینز-لویتزکی ، هر حلقه آرتینی، نوتری است. به طور دقیقتر، حلقههای آرتینی را میتوان به عنوان حلقههای نوتری که بُعد کرول آنها صفر است، توصیف کرد.
طیف یک حلقه جابجایی
[ ویرایش ]
آرمانهای برتر
[ ویرایش ]
مقاله اصلی: ایدهآل اول
همانطور که در بالا ذکر شد،یک دامنه فاکتورگیری منحصر به فرد است . این برای حلقههای عمومیتر، همانطور که جبردانان در قرن نوزدهم متوجه شدند، صادق نیست. برای مثال، در![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828485881660a382d22d27b7ddce858daa2ea760)
دو روش کاملاً متمایز برای نوشتن عدد ۶ به عنوان حاصلضرب وجود دارد:۶=۲⋅۳=(۱+−۵)(۱−−۵).
ایدهآلهای اول، برخلاف عناصر اول، راهی برای دور زدن این مشکل ارائه میدهند. یک ایدهآل اول، یک ایدهآل مناسب (یعنی، کاملاً در ... قرار دارد) است.) ایدهآل
به طوری که هر زمان که ضرب
از هر دو عنصر حلقهالف
وب
در استص،
حداقل یکی از دو عنصر از قبل موجود استص.
(طبق تعریف، نتیجهی عکس برای هر ایدهآلی صادق است.) بنابراین، اگر یک ایدهآل اول، اصلی باشد، به طور معادل توسط یک عنصر اول تولید میشود. با این حال، در حلقههایی مانند،![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3271816be14eae9d4f40c3843eff106ad948019d)
ایدهآلهای اول لزوماً اصلی نیستند. این امر استفاده از عناصر اول را در نظریه حلقهها محدود میکند. با این حال، سنگ بنای نظریه جبری اعداد این واقعیت است که در هر حلقه ددکیند (که شامل ... میشود)و به طور کلیتر، حلقه اعداد صحیح در یک میدان اعداد ) هر ایدهآل (مانند ایدهآلی که توسط ۶ تولید میشود) به طور منحصر به فرد به حاصلضرب ایدهآلهای اول تجزیه میشود.
هر ایدهآل ماکسیمال، یک ایدهآل اول است یا به طور خلاصه، اول است. علاوه بر این، یک ایدهآلمن
اول است اگر و تنها اگر عامل حلقهر/منیک دامنه انتگرال است. اثبات اینکه یک ایدهآل اول است، یا به طور معادل اینکه یک حلقه هیچ مقسوم علیه صفری ندارد، میتواند بسیار دشوار باشد. با این حال، روش دیگر بیان همین موضوع این است که بگوییم مکمل ر∖ص
به صورت ضربی بسته است. محلیسازی(ر∖ص)−۱ر
آنقدر مهم است که نمادگذاری خاص خودش را دارد:رص
این حلقه فقط یک ایدهآل ماکسیمال دارد، یعنیصرص
چنین حلقههایی را حلقههای محلی مینامند .
طیف
[ ویرایش ]
مقاله اصلی: طیف یک حلقه
شکل ( Z ) شامل یک نقطه برای ایدهآل صفر است. بسته بودن این نقطه، کل فضا است. نقاط باقیمانده، نقاطی هستند که مربوط به ایدهآلها ( p ) هستند، که در آن p یک عدد اول است. این نقاط بسته هستند.
طیف یک حلقه ر، [ a ] که با نشان داده میشودمشخصات ر
، مجموعه تمام ایدهآلهای اولِ است.راین دستگاه به یک توپولوژی، توپولوژی زاریسکی ، مجهز است که خواص جبری ... را منعکس میکند .ر: مبنایی برای زیرمجموعههای باز به صورت زیر داده شده است
کجاف
هر عنصر حلقهای است.فبه عنوان تابعی که مقدار f mod p را میگیرد (یعنی تصویر f در میدان باقیمانده R / p )، این زیرمجموعه مکان هندسی است که در آن f غیر صفر است. این طیف همچنین این شهود را که حلقههای محلیسازی و فاکتورگیری مکمل یکدیگر هستند، دقیق میکند: نگاشتهای طبیعی R → R f و R → R / fR ، پس از اختصاص دادن طیف حلقههای مورد نظر به توپولوژی زاریسکی خود، به ترتیب با غوطهوریهای باز و بسته مکمل مطابقت دارند . حتی برای حلقههای پایه، مانند آنچه برای R = Z در سمت راست نشان داده شده است، توپولوژی زاریسکی کاملاً متفاوت از توپولوژی روی مجموعه اعداد حقیقی است.
این طیف شامل مجموعهای از ایدهآلهای ماکسیمال است که گاهی اوقات با mSpec( R ) نشان داده میشود. برای یک میدان بسته جبری k ، mSpec(k[ T1 , ..., Tn ] / ( f1 , ..., fm ) ) با مجموعه زیر در یکسو قرار دارد :
{ x =( x1 , ... , xn ) ∊ kn
بنابراین، ایدهآلهای حداکثری، خواص هندسی مجموعههای جواب چندجملهایها را منعکس میکنند، که انگیزه اولیه برای مطالعه حلقههای جابجایی است. با این حال، در نظر گرفتن ایدهآلهای غیرحداکثری به عنوان بخشی از خواص هندسی یک حلقه به چند دلیل مفید است. به عنوان مثال، ایدهآلهای اول حداقلی (یعنی آنهایی که اکیداً شامل ایدهآلهای کوچکتر نیستند) با مؤلفههای تقلیلناپذیر شکل R مطابقت دارند . برای یک حلقه نوتری R ، شکل R فقط تعداد متناهی از مؤلفههای تقلیلناپذیر دارد. این یک بیان هندسی از تجزیه اولیه است که طبق آن هر ایدهآلی را میتوان به عنوان حاصلضربی از تعداد متناهی از ایدهآلهای اولیه تجزیه کرد . این واقعیت، تعمیم نهایی تجزیه به ایدهآلهای اول در حلقههای ددکیند است.
طرحهای آفین
[ ویرایش ]
مفهوم طیف، مبنای مشترک جبر جابجایی و هندسه جبری است . هندسه جبری با دادن یک دسته به طیف R پیش میرود. ای
(هستهای که توابع تعریفشده بهصورت محلی، یعنی روی زیرمجموعههای باز متغیر را جمعآوری میکند). مبنای فضا و دسته، طرحواره آفین نامیده میشود . با داشتن یک طرحواره آفین، حلقه زیرین R را میتوان بهعنوان بخشهای سراسری بازیابی کرد .ایعلاوه بر این، این تناظر یک به یک بین حلقهها و طرحهای آفین با همریختی حلقهها نیز سازگار است: هر f : R → S منجر به یک نگاشت پیوسته در جهت مخالف میشود.
مشخصات S → مشخصات R ، q ↦ f −1 ( q ) است، یعنی هر ایدهآل اول S به پیشتصویرش تحت f نگاشت میشود ، که یک ایدهآل اول R است .
همارزی حاصل از این دو دسته، به درستی خواص جبری حلقهها را به شیوهای هندسی منعکس میکند.
مشابه این واقعیت که منیفولدها به صورت موضعی توسط زیرمجموعههای باز Rn داده میشوند ، طرحهای آفین مدلهای موضعی برای طرحهایی هستند که موضوع مطالعه در هندسه جبری هستند. بنابراین، چندین مفهوم در مورد حلقههای جابجایی از شهود هندسی ناشی میشوند.
ابعاد
[ ویرایش ]
مقاله اصلی: بُعد کرول
بُعد کرول (یا بُعد) کم R یک حلقه R، "اندازه" یک حلقه را با شمارش عناصر مستقل در R ، به طور تقریبی، اندازهگیری میکند . بُعد جبرها روی یک میدان k را میتوان با چهار ویژگی اصل موضوعی کرد:
- بُعد یک ویژگی محلی است: dim R = sup p ∊ Spec R dim R p .
- این بُعد مستقل از عناصر پوچتوان است: اگر I ⊆ R پوچتوان باشد، آنگاه dim R = dim R / I.
- این بُعد تحت یک بسط متناهی ثابت میماند: اگر S یک R- جبر باشد که به صورت متناهی به عنوان یک R- مدول تولید میشود ، آنگاه dim S = dim R.
- این بُعد با dim k [ X1 , ..., Xn ] = n کالیبره میشود . این اصل با در نظر گرفتن حلقه چندجملهای با n متغیر به عنوان یک معادل جبری از فضای n بعدی مطرح میشود .
این بُعد برای هر حلقه R به صورت سوپریمم طولهای n از زنجیرههای ایدهآلهای اول تعریف میشود.
ص ۰ ⊊ ص ۱ ⊊ ... ⊊ پ ن .
برای مثال، یک میدان صفر بعدی است، زیرا تنها ایدهآل اول، ایدهآل صفر است. اعداد صحیح یک بعدی هستند، زیرا زنجیرهها به شکل (0) ⊊ ( p ) هستند، که در آن p یک عدد اول است . برای حلقههای غیر نوتری و همچنین حلقههای غیر موضعی، بُعد ممکن است نامتناهی باشد، اما حلقههای موضعی نوتری بُعد متناهی دارند. در میان چهار اصل فوق، دو اصل اول، پیامدهای ابتدایی تعریف هستند، در حالی که دو اصل باقی مانده به حقایق مهم در جبر جابجایی ، قضیه بالا رفتن و قضیه ایدهآل اصلی کرول، وابسته هستند .
همریختیهای حلقهای
[ ویرایش ]
مقاله اصلی: همریختی حلقهای
یک همریختی حلقهای یا به طور عامیانهتر، یک نگاشت ، نگاشتی است که در آن f : R → S به گونهای باشد که
f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )، f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) و f (1) = 1.
این شرایط تضمین میکند که f (0) = 0 باشد. به طور مشابه، مانند سایر ساختارهای جبری، یک همریختی حلقهای، نگاشتی است که با ساختار اشیاء جبری مورد نظر سازگار است. در چنین شرایطی، S نیز یک جبر R نامیده میشود ، با درک اینکه s در S میتواند در مقداری r از R ضرب شود ، با قرار دادن
هسته و تصویر f با ker( f ) = { r ∈ R , f ( r ) = 0} و im ( f ) = f ( R ) = { f ( r ), r ∈ R } تعریف میشوند . هسته یک ایدهآل از R و تصویر یک زیرحلقه از S است .
یک همریختی حلقهای، اگر دو به دو باشد، ایزومورفیسم نامیده میشود. مثالی از ایزومورفیسم حلقهای، که به عنوان قضیه باقیمانده چینی شناخته میشود ، به صورت زیر است:
که در آن n = p1 p2 ... pk حاصلضرب اعداد اول متمایز دو به دو است .
حلقههای جابجایی، همراه با همریختیهای حلقه، یک دسته را تشکیل میدهند . حلقه Z شیء اولیه در این دسته است ، به این معنی که برای هر حلقه جابجایی R ، یک همریختی حلقهای منحصر به فرد Z → R وجود دارد . با استفاده از این نگاشت، میتوان یک عدد صحیح n را به عنوان عنصری از R در نظر گرفت . به عنوان مثال، فرمول دوجملهای
که برای هر دو عنصر a و b در هر حلقه جابجایی R معتبر است ، با تفسیر ضرایب دوجملهای به عنوان عناصر R با استفاده از این نگاشت، به این معنا درک میشود.
خاصیت جهانی S ⊗ R T بیان میکند که برای هر دو نگاشت S → W و T → W که چهارضلعی بیرونی را جابجا میکنند، یک نگاشت منحصر به فرد S ⊗ R T → W وجود دارد که کل نمودار را جابجا میکند .
با توجه به دو R- جبر S و T ، حاصلضرب تانسوری آنها
ش ⊗ ر ت
دوباره یک جبر R جابجاییپذیر است . در برخی موارد، حاصلضرب تانسوری میتواند برای یافتن یک جبر T که به Z مربوط میشود، همانطور که S به R مربوط میشود، به کار رود . به عنوان مثال،
R [ X ] ⊗ R T = T [ X ].
تولید محدود
[ ویرایش ]
یک R- جبر S را متناهی تولید شده (به عنوان یک جبر) مینامیم اگر تعداد متناهی از عناصر s1، ...، sn وجود داشته باشد به طوری که هر عنصر s به صورت یک چندجملهای در s1 قابل بیان باشد . به طور معادل، S ایزومورفیک است با
یک شرط بسیار قویتر این است که S به صورت متناهی به عنوان یک R- مدول تولید شود ، به این معنی که هر s را میتوان به صورت یک ترکیب R- خطی از برخی مجموعههای متناهی s1 ، ...، sn بیان کرد .
حلقههای محلی
[ ویرایش ]
یک حلقه، موضعی نامیده میشود اگر فقط یک ایدهآل ماکزیمم واحد داشته باشد که با m نشان داده میشود . برای هر حلقه R (نه لزوماً موضعی) ، موضعیسازی
آر پی
در یک ایدهآل اول، p موضعی است. این موضعیت، ویژگیهای هندسی مشخصه R «اطراف p » را منعکس میکند. چندین مفهوم و مسئله در جبر جابجایی را میتوان به حالتی که R موضعی است، کاهش داد، که حلقههای موضعی را به دستهای از حلقهها تبدیل میکند که عمیقاً مورد مطالعه قرار گرفتهاند. میدان باقیمانده R به صورت زیر تعریف میشود:
ک = ر / متر .
هر R- مدول M یک فضای k- بردار داده شده با M / mM را ارائه میدهد . لم ناکایاما نشان میدهد که این متن اطلاعات مهمی را حفظ میکند: یک مدول M که به صورت متناهی تولید شده است، صفر است اگر و تنها اگر M / mM صفر باشد.
حلقههای محلی منظم
[ ویرایش ]
منحنی صفحه مکعبی (قرمز) که با معادله y2 = x2 ( x + 1 ) تعریف میشود، در مبدا تکین است ، یعنی حلقه k [ x , y ]/ y2 - x2 ( x + 1 ) یک حلقه منظم نیست. مخروط مماس ( آبی) اجتماع دو خط است که تکین بودن را نیز نشان میدهد .
فضای برداری k m / m 2 یک تجسم جبری از فضای کتانژانت است . به طور غیررسمی، عناصر m را میتوان به عنوان توابعی در نظر گرفت که در نقطه p صفر میشوند ، در حالی که m 2 شامل توابعی است که با مرتبه حداقل ۲ صفر میشوند. برای هر حلقه موضعی نوتری R ، نابرابری
کم نور کیلومتر متر / متر مربع ≥ کم نور R
درست باشد، که منعکس کننده این ایده است که فضای کتانژانت (یا معادل آن تانژانت) حداقل بُعد فضای مشخص شده R را دارد . اگر تساوی در این تخمین درست باشد، R یک حلقه محلی منظم نامیده میشود . یک حلقه محلی نوتری منظم است اگر و تنها اگر حلقه (که حلقه توابع روی مخروط تانژانت است )
با یک حلقه چندجملهای روی k ایزومورفیک است . به طور کلی، حلقههای محلی منظم تا حدودی شبیه به حلقههای چندجملهای هستند. [ 1 ] حلقههای محلی منظم، حلقههای UFD هستند. [ 2 ]
حلقههای ارزشگذاری گسسته به تابعی مجهز هستند که به هر عنصر r یک عدد صحیح نسبت میدهد . این عدد که ارزشگذاری r نامیده میشود را میتوان به طور غیررسمی به عنوان مرتبه صفر یا قطب r در نظر گرفت . حلقههای ارزشگذاری گسسته دقیقاً حلقههای محلی منظم یک بعدی هستند. به عنوان مثال، حلقه جرمهای توابع هولومورفیک روی یک سطح ریمان، یک حلقه ارزشگذاری گسسته است.
تقاطعهای کامل
[ ویرایش ]
مکعب پیچ خورده (سبز) یک تقاطع کامل بر اساس نظریه مجموعهها است، اما یک تقاطع کامل نیست.
طبق قضیه ایدهآل اصلی کرول ، که یک نتیجه بنیادی در نظریه ابعاد حلقهها است ، بُعدِ
R = k [ T1 , ..., Tr r ] / ( f1 , ... , fn )
حداقل r − n باشد . یک حلقه R، حلقه تقاطع کامل نامیده میشود اگر بتوان آن را به گونهای ارائه کرد که به این حد حداقلی دست یابد. این مفهوم همچنین بیشتر برای حلقههای محلی مورد مطالعه قرار میگیرد. هر حلقه محلی منظم، یک حلقه تقاطع کامل است، اما برعکس آن صادق نیست.
یک حلقه R یک تقاطع کامل بر اساس نظریه مجموعهها است اگر حلقه کاهشیافته مرتبط با R ، یعنی حلقهای که با تقسیم تمام عناصر پوچ به دست میآید، یک تقاطع کامل باشد. تا سال ۲۰۱۷، بهطورکلی مشخص نیست که آیا منحنیها در فضای سهبعدی، تقاطعهای کامل بر اساس نظریه مجموعهها هستند یا خیر. [ 3 ]
حلقههای کوهن-مکالی
[ ویرایش ]
عمق یک حلقه محلی R تعداد عناصر در یک (یا همانطور که میتوان نشان داد، هر) دنباله منظم حداکثری است، یعنی دنباله a1، ...، an ∈ m به طوری که همه ai ها مقسوم علیههای غیر صفر در آن باشند .
R / ( a1 ، ...، ai - 1 ) .
برای هر حلقه نوتری موضعی، نابرابری
عمق ( R ) ≤ تیرگی ( R )
برقرار است. یک حلقه محلی که در آن تساوی برقرار است، حلقه کوهن-مکالی نامیده میشود . حلقههای تقاطع کامل محلی، و به طریق اولی، حلقههای محلی منظم، کوهن-مکالی هستند، اما نه برعکس. کوهن-مکالی خواص مطلوب حلقههای منظم (مانند خاصیت حلقههای زنجیرهای جهانی بودن ، که به این معنی است که (هم)بعد اعداد اول خوشرفتار است) را با هم ترکیب میکنند، اما در مقایسه با حلقههای محلی منظم، در برابر خارج قسمتها نیز مقاومتر هستند. [ 4 ]
ساخت حلقههای جابجایی
[ ویرایش ]
روشهای مختلفی برای ساخت حلقههای جدید از حلقههای داده شده وجود دارد. هدف از چنین ساختهایی اغلب بهبود برخی از ویژگیهای حلقه است تا فهم آن آسانتر شود. به عنوان مثال، یک دامنه انتگرالی که در میدان کسرهای خود به صورت انتگرالی بسته است، نرمال نامیده میشود . این یک ویژگی مطلوب است، به عنوان مثال هر حلقه یک بعدی نرمال لزوماً منظم است . نرمالسازی یک حلقه [ نیازمند توضیح ] به عنوان نرمالسازی شناخته میشود .
تکمیلها
[ ویرایش ]
اگر I یک ایدهآل در یک حلقه جابجایی R باشد ، توانهای I همسایگیهای توپولوژیکی 0 را تشکیل میدهند که به R اجازه میدهد به عنوان یک حلقه توپولوژیکی در نظر گرفته شود . این توپولوژی، توپولوژی I -adic نامیده میشود . سپس R میتواند نسبت به این توپولوژی کامل شود. به طور رسمی، تکمیل I -adic حد معکوس حلقههای R / In است . به عنوان مثال، اگر k یک میدان باشد، k [[ X ]]، حلقه سری توانی رسمی در یک متغیر روی k ، تکمیل I -adic از k [ X ] است که در آن I ایدهآل اصلی تولید شده توسط X است . این حلقه به عنوان یک آنالوگ جبری دیسک عمل میکند. به طور مشابه، حلقه اعداد صحیح p -adic ، تکمیل Z نسبت به ایدهآل اصلی ( p ) است. هر حلقهای که با تکمیل خودش ایزومورفیک باشد، کامل نامیده میشود .
حلقههای محلی کامل، لم هنسل را برآورده میکنند ، که به طور تقریبی امکان تعمیم راهحلها (از مسائل مختلف) را روی میدان باقیمانده k تا R فراهم میکند .
مفاهیم همولوژیک
[ ویرایش ]
چندین جنبه عمیقتر از حلقههای جابجایی با استفاده از روشهای جبر همولوژیک مورد مطالعه قرار گرفتهاند . هاچستر (۲۰۰۷) برخی از سوالات بیپاسخ در این حوزه تحقیقاتی فعال را فهرست میکند.
مدولهای تصویری و عملگرهای Ext
[ ویرایش ]
مدولهای تصویری را میتوان به صورت جمعبندهای مستقیم مدولهای آزاد تعریف کرد. اگر R موضعی باشد، هر مدول تصویری تولید شده به صورت متناهی در واقع آزاد است، که به قیاس بین مدولهای تصویری و دستههای برداری محتوا میدهد . [ 5 ] قضیه Quillen-Suslin ادعا میکند که هر مدول تصویری تولید شده به صورت متناهی روی k [ T1 , ..., Tn ] ( k یک میدان ) آزاد است، اما به طور کلی این دو مفهوم با هم متفاوت هستند. یک حلقه نوتری محلی منظم است اگر و تنها اگر بعد جهانی آن متناهی باشد، مثلاً n ، به این معنی که هر R- مدول تولید شده به صورت متناهی دارای تفکیک توسط مدولهای تصویری با طول حداکثر n است.
اثبات این و سایر گزارههای مرتبط، متکی بر استفاده از روشهای همولوژیک، مانند تابع Ext است . این تابع، تابع مشتقشده از تابع است.
هوم آر ( ام ، -).
تابع دوم اگر M تصویری باشد، دقیق است، اما در غیر این صورت نه: برای یک نگاشت پوشا E → F از R- مدولها، نیازی نیست نگاشت M → F به نگاشت M → E تعمیم یابد . تابعهای Ext بالاتر، عدم دقت تابع Hom را اندازهگیری میکنند. اهمیت این ساختار استاندارد در جبر همولوژیک را میتوان از این واقعیت دریافت که یک حلقه نوتری محلی R با میدان باقیمانده k منظم است اگر و تنها اگر
خروجی n ( k ، k )
برای همه n های به اندازه کافی بزرگ صفر میشود . علاوه بر این، ابعاد این گروههای Ext، که به عنوان اعداد بتی شناخته میشوند ، به صورت چندجملهای در n رشد میکنند اگر و تنها اگر R یک حلقه تقاطع کامل محلی باشد . [ 6 ] یک استدلال کلیدی در چنین ملاحظاتی ، کمپلکس کوزول است که یک تفکیک آزاد صریح از میدان باقیمانده k از یک حلقه محلی R بر حسب یک دنباله منظم ارائه میدهد.
صافی
[ ویرایش ]
حاصلضرب تانسوری یکی دیگر از فانکتورهای غیردقیق مرتبط با حلقههای جابجایی است: برای یک R- مدول عمومی M ، فانکتور
M ⊗ R −
فقط کاملاً دقیق است. اگر دقیق باشد، M مسطح نامیده میشود . اگر R موضعی باشد، هر مدول مسطح ارائه شده متناهی، عاری از رتبه متناهی است، بنابراین تصویری است. با وجود اینکه بر اساس جبر همولوژیک تعریف میشود، مسطح بودن پیامدهای هندسی عمیقی دارد. به عنوان مثال، اگر یک R- جبر S مسطح باشد، ابعاد الیاف
S / pS = S ⊗ R R / p
(برای ایدهآلهای اول p در R ) دارای بُعد «مورد انتظار» هستند، یعنی dim S − dim R + dim( R / p ) .
خواص
[ ویرایش ]
طبق قضیه ودربرن ، هر حلقه تقسیم متناهی ، خاصیت جابجایی دارد و بنابراین یک میدان متناهی است . شرط دیگری که جابجاییپذیری یک حلقه را تضمین میکند، به دلیل جیکوبسون ، به شرح زیر است: برای هر عنصر r از R ، یک عدد صحیح n > 1 وجود دارد به طوری که r n = r . [ 7 ] اگر برای هر r ، r 2 = r باشد ، حلقه، حلقه بولی نامیده میشود . شرایط کلیتری که جابجاییپذیری یک حلقه را تضمین میکنند نیز شناخته شده است. [ 8 ]
کلیات
[ ویرایش ]
حلقههای جابهجایی مدرج
[ ویرایش ]
یک شلوار، یک کوبوردیسم بین یک دایره و دو دایرهی مجزا است. دستههای کوبوردیسم، که در آنها حاصلضرب دکارتی به عنوان ضرب و اتحاد مجزا به عنوان مجموع در نظر گرفته میشود، حلقهی کوبوردیسم را تشکیل میدهند .
یک حلقه مدرج R = ⨁ i ∊ Z R i را مدرج-جابجایی مینامیم اگر برای همه عناصر همگن a و b ،
ab = (-1) deg a ⋅ deg b ba .
اگر R i ها توسط دیفرانسیلهای ∂ به هم متصل باشند، به طوری که یک شکل انتزاعی از قانون ضرب برقرار باشد، یعنی،
∂( ab ) = ∂( a ) b + (-1) درجه a a∂( b )،
R یک جبر دیفرانسیلی مدرج جابجایی (cdga) نامیده میشود . به عنوان مثال، کمپلکس فرمهای دیفرانسیلی روی یک منیفولد ، که حاصل ضرب آن در ضرب خارجی است ، یک cdga است. کوهمولوژی یک cdga یک حلقه جابجایی-مدرج است که گاهی اوقات به عنوان حلقه کوهمولوژی شناخته میشود . طیف گستردهای از مثالهای حلقههای مدرج به این روش ایجاد میشوند. به عنوان مثال، حلقه لازارد، حلقهای از کلاسهای کوبوردیسم منیفولدهای مختلط است.
یک حلقه جابجایی درجهبندی شده نسبت به درجهبندی Z /2 (برخلاف Z ) یک ابرجبر نامیده میشود .
یک مفهوم مرتبط، حلقه تقریباً جابجاییپذیر است ، به این معنی که R به گونهای فیلتر میشود که حلقه مدرج مرتبط
gr R := ⨁ F i R / ⨁ F i −1 R
جابجاییپذیر است. یک مثال جبر ویل و حلقههای کلیتر عملگرهای دیفرانسیلی است .
حلقههای جابجایی ساده
[ ویرایش ]
یک حلقه جابجایی ساده، یک شیء ساده در دسته حلقههای جابجایی است . آنها بلوکهای سازنده هندسه جبری مشتقشده (پیوندی) هستند . یک مفهوم نزدیک اما کلیتر، مفهوم حلقه E∞ است .
کاربردهای حلقههای جابجایی
[ ویرایش ]
- توابع هولومورفیک
- نظریه جبری K
- نظریه K توپولوژیکی
- ساختارهای قدرت تقسیمشده
- بردارهای ویت
- جبر هکه (مورد استفاده در اثبات وایلز برای آخرین قضیه فرما )
- حلقههای دوره فونتین
- جبر خوشهای
- جبر کانولوشن (از یک گروه جابجاییپذیر)
- جبر فرشه
که مرکز آن
، کجا
که در آن J یک 
در مورد این جبر، سوال این است که بفهمیم آیا
.png)
(مثلاً، یک حلقه کاهش یافته 
.
.![\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak {p}}_{i})[S^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d937ce5f4ddff59c89a5430db09ee7f950dc57)
،
.
نشان دهنده رادیکال پوچ یک حلقه جابجایی است
از دسته حلقههای جابجایی کرنگ
در دسته حلقههای کاهشیافته قرار میگیرد 
و در سمت چپ مجاور تابع شمول قرار داردمن
از خاصیت جهانی حلقههای خارج قسمت القا میشود .
یک تابع ثابت موضعی (یا معادل پیوسته) روی مشخصات R است . آنگاه R کاهش مییابد اگر و تنها اگر هر مدول تولید شده متناهی با رتبه ثابت موضعی، تصویری باشد . [ 2 ]
همه ایدهآلهای اول مینیمال (احتمالاً صفر) باشند.
فرض کنید x در D باشد . آنگاه xy = 0 برای y غیر صفر . از آنجایی که R کاهش یافته است، (0) تقاطع همه است.
؛ به طور خاص، در
(از کاپلانسکی، حلقههای جابجایی، قضیه ۸۴ دزدیده شده است). زیرنویس i را حذف میکنیم . فرض کنید
. S به صورت ضربی بسته است و بنابراین میتوانیم محلیسازی را در نظر بگیریم ![{\displaystyle R\to R[S^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b6f2ab49eab73e5c9718023a3155fb7d271da7)
بگذارید 
پیشتصویر یک ایدهآل حداکثری باشد. آنگاه 
و با حداقل 
(اگر R طبق نظریه اعداد اول مرتبط، نوتری باشد، این جهت بیواسطه است .)
روی A
روی K
![{\displaystyle C=A[a_{1}x_{1},\dots ,a_{n}x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da8facfaba8a424b0a670f3cf16d184d9ab3ff9)
و
.
![{\displaystyle R\left[X\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73de3a1ad1ac968cfce515ecb04c96a8633f60bf)
![{\displaystyle k[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1bbc13d0fa33e8950dc1de615eb1d10739d329)
به عنوان 
به عنوان 
، 
، از آنجا که هر ماتریسی در
دارای ساختار همومورفیسم طبیعی است
به شرح زیر:
، از آنجایی 
.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.