توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

عملکردمقدارگروه های مشابهتوضیح برای مقدار تابعتأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) - بیشتر در پیاده سازی #GAP ببینید
تعداد کلاس های مزدوج5گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان | گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوجبه عنوان گروه دو وجهی D_{2n}، nحتی:
\! (n + 6)/2 = (4 + 6)/2 = 5. ساختار عنصری گروه‌های دو وجهی و ساختار عنصری گروه دو وجهی را ببینید : D8
به عنوان گروه ماتریس واحد مثلثی UT (3، q)، q = 2: ساختار عنصری گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه را در یک میدان محدود ببینید.
q^2 + q - 1 = 2^2 + 2 - 1 = 5		طول(کلاس های مزدوج(G)); با استفاده از مزدوجClasses
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی5گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت مزدوج واقعی | گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعیهمان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند 
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی5گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی | گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعیهمان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند 
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی5گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی | گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقیهمان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است.طول (کلاس های منطقی (G)); با استفاده از RationalClasses
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی5گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان | گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانیهمان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است. 

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

عملکردمقدارگروه های مشابهتوضیحتأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) -- بیشتر در تأیید #GAP ببینید
تعداد زیر گروه ها10 به عنوان یک گروه دو وجهی، \! D_{2n}، n = 4تعداد زیرگروه ها است \! d(n) + \sigma(n) = d(4) + \sigma(4) = 3 + 7 = 10، که در آن دتابع شمارش مقسوم علیه و \سیگماتابع مجموع مقسوم علیه است. ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید : D8 ، ساختار زیر گروهی گروه های دو وجهیطول (زیرگروه ها (G))؛ با استفاده از زیر گروه ها
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها8 ساختار زیر گروه گروه های دو وجهی ، ساختار زیر گروه گروه دو وجهی:D8 را ببینیدLength(مزدوجClassesSubgroups(G)); با استفاده از مزدوجClassesSubgroups
تعداد زیر گروه های عادی6گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های عادی یکسان | گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادیساختار زیرگروهی گروه‌های دو وجهی ، ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی را ببینید :D8#شبکه زیرگروه‌های عادیطول (Subgroups Normal (G)); با استفاده از NormalSubgroups
تعداد کلاس های خودریختی زیر گروه ها6   
تعداد زیر گروه های مشخصه4  طول(زیرگروه های مشخصه(G)); با استفاده از CharacteristicSubgroups

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنیدمقدارتوضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج1،1،2،2،2دو عنصر مرکزی، بقیه در کلاس های مزدوج اندازه دو. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید .
اندازه مدارها در گروه اتومورفیسم1،1،2،4دو عنصر مرکزی، یک کلاس مزدوج از عناصر درجه چهار، یک مدار به اندازه چهار، شامل دو طبقه مزدوج اندازه، با همه عناصر غیر مرکزی درجه دو.
آمار سفارش1 \mapsto 1, 2 \mapsto 5, 4 \mapsto 2از پنج عنصر مرتبه دو، یکی مرکزی است. چهار مورد دیگر با یکدیگر خود شکل هستند. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید
درجات بازنمایی غیر قابل کاهش1،1،1،1،2به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی مراجعه کنید:D8
سفارشات زیر گروه ها1،2،2،2،2،2،4،4،4،8ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید :D8

متغیرهای تحقق گروه مبتنی بر عمل/خودریختی

عملکردمقدارتوضیح
حداقل درجه نمایندگی وفادار2 
حداقل درجه نمایش غیرقابل کاهش2 
کوچکترین سایز ست با عمل وفادار4 
کوچکترین اندازه مجموعه با عمل متعدی وفادار4 
جنس متقارن ? 

خواص گروهی

آیا می خواهید ویژگی های گروه را با سایر گروه های هم ردیف مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های سفارش 8#املاک گروه را بررسی کنید

خواص مهم

ویژگیراضی؟توضیحاظهار نظر
گروه نظم قدرت اولآره  
گروه پوچیآرهنظم قدرت اول دلالت بر پوچی دارد 
گروه فوق حل پذیرآرهاز طریق پوچی: پوچی متناهی به معنای فوق حل پذیر است 
گروه قابل حلآرهاز طریق پوچی: پوچی به معنی قابل حل است 
گروه آبلیخیرآو رفت و ایکسآمد نکنیدکوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه تیخیر\langle x \rangle \triangleleft \langle a^2,x \rangle، که طبیعی است، اما \langle x \rangleطبیعی نیستکوچکترین مثال برای عادی بودن متعدی نیست .
گروه یکپارچهآرهزیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو 

سایر خواص

ویژگیراضی؟توضیحاظهار نظر
گروه یک سرخیرسه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار 
گروه SCخیر  
گروه ACICآرههر زیر گروه اتومورف مزدوج مشخصه است 
گروه جبرآرهبه گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه روی میدان:F2 هم شکل است که به وضوح یک گروه جبری است. 
گروه دوسوگراآرهگروه های دو وجهی دوسوگرا هستندهمچنین گروه های دووجهی تعمیم یافته را ببینید دوسوگرا هستند
گروه منطقیآرههر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستندبنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقیآرهتمام نمایش های بیش از مشخصه صفر بر روی منطق ها تحقق می یابد.در مقابل گروه کواترنیونی ، که عقلانی است اما بازنمایی عقلانی نیست.
گروه فوق خاصآرهمرکز ، زیرگروه مشتق شده ، و زیرگروه فراتینی همگی منطبق هستند و دارای مرتبه اول هستند. 
گروه ویژهآره(از طریق extraspecial): مرکز ، زیر گروه مشتق شده ، و زیرگروه Frattini همگی منطبق هستند 
گروه فراتینی در مرکزآره(از طریق extraspecial): زیر گروه Frattini در مرکز قرار دارد 
گروه پوچی کلاس دوآره(از طریق ویژه): زیر گروه مشتق شده در مرکز موجود است 
گروه معادل ULآره(از طریق ویژه): سری مرکزی بالا و سری مرکزی پایین بر هم منطبق هستند 
گروه کلاس حداکثرآره  
گروه فروبنیوسخیرگروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند 
گروه Caminaآرهextraspecial به معنای Camina است 
هر عنصری نسبت به معکوس خود خودکار استآرهنتیجه از یک گروه دوسوگرا است 
هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند، خودریختی هستندآره  
هر عنصر نظم-خودریختییک استخیر  
گروه غیر قابل تجزیه مستقیمآره  
گروه تجزیه ناپذیر مرکزیآره  
گروه تقسیم سادهخیر  
گروه ساقهآرهمرکز برابر با زیر گروه مشتق شده است، و از این رو، به طور خاص، در زیر گروه مشتق شده موجود است. 
شور-گروه بی اهمیتخیرضرب کننده Schur گروه دور ای است :Z2 ; گروه همولوژی گروه دو وجهی را ببینید :D8 .