بیانیه

قضیه ساختار برای گروه های آبلی به طور متناهی موارد زیر را بیان می کند:

  1. هر گروه آبلی به طور متناهی تولید شده را می توان به عنوان ضرب مستقیم تعداد متناهیی از گروه های دوری بیان کرد (به عبارت دیگر، به ضرب مستقیم خارجی گروه های دوری متناهیی هم شکل است).
  2. برای هر عبارتی از این قبیل، همه عواملی که دوری ای نامتناهی هستند و همه عواملی که دوری ای متناهی هستند را جمع آوری کنید. هر دو قسمت تا ایزومورفیسم با نوع هم ریختی گروه اصلی تعیین می شوند. اولی قسمت بدون پیچ خوردگی و دومی قسمت پیچشی گروه نامیده می شود.
  3. برای قسمت پیچشی: می توان آن را به عنوان یک ضرب مستقیم از گروه های دوری ای با مرتبه توان اول نوشت. علاوه بر این، برای هر دو عبارت از این قبیل به عنوان یک ضرب مستقیم، تعداد گروه‌های یک مرتبه توان اول خاص یکسان است.
  4. برای قسمت پیچشی: راهی برای نوشتن آن به عنوان یک ضرب مستقیم از گروه های دوری ای از مرتبهa_1، a_2، \dots، a_dها وجود دارد که در آن a_1 | a_2 | \dots | آگهیهمه a_iاعداد صحیح مثبت وجود دارد. علاوه بر این، a_is ها کاملاً با نوع ایزومورفیسم گروه تعیین می شوند.

برای یک گروه آبلی متناهی ، گروه دارای بخش بدون پیچش صفر و کل گروه به عنوان بخش پیچشی آن است. بخش‌های (3) و (4) قضیه همچنان اعمال می‌شوند، و این نسخه، قضیه ساختار برای گروه‌های آبلی متناهی نامیده می‌شود .

در نمادها، قسمت (3) می گوید که هر گروه آبلی که به طور متناهی تولید جیمی شود را می توان به صورت زیر نوشت:

G \cong \mathbb{Z}^r \times \prod_{i=1}^l \mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z}

که در آن p_iاول و k_iاعداد صحیح مثبت هستند. rمستقل از انتخاب بیان است. علاوه بر این، تعداد دفعاتی که هر توان اول p^kدر بین آنها رخ می دهد p_i^{k_i}، مستقل از انتخاب عبارات است.

در نمادها، قسمت (4) می گوید که هر گروه آبلی که به طور متناهی تولید جیمی شود را می توان به صورت زیر نوشت:

G \cong \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \dots \times \mathbb{Z}/ a_d\mathbb{Z}

که در a_iآن مثبت هستند، و a_iعاد می کند a_{i+1}. علاوه بر این، rو a_iبه طور منحصر به فرد با این شرایط تعیین می شوند.