جداسازی متغیرها
جداسازی متغیرها روشی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی است.
برای یک معادله دیفرانسیل معمولی
 | (1) |
جایی که 
غیر صفر در همسایگی مقدار اولیه است، راه حل به طور ضمنی توسط داده می شود
 | (2) |
اگر بتوان انتگرال ها را به صورت بسته انجام داد و معادله حاصل را بتوان برای 
(که دو «اگر» بسیار بزرگ هستند، حل کرد، پس یک راه حل کامل برای مسئله به دست آمده است. مهمترین معادله ای که این تکنیک برای آن اعمال می شود 
، معادله رشد و زوال نمایی است (استوارت 2001).
برای یک معادله دیفرانسیل جزئی در یک تابع 
و متغیرها 
، 
...، جداسازی متغیرها را می توان با جایگزینی شکل اعمال کرد.
 | (3) |
شکستن معادله به دست آمده به مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل معمولی مستقل، حل این معادلات 
، 
و ...، و سپس وصل کردن آنها به معادله اصلی.
این تکنیک به این دلیل کار می کند که اگر حاصل ضرب توابع متغیرهای مستقل ثابت باشد، هر تابع باید به طور جداگانه یک ثابت باشد. موفقیت مستلزم انتخاب یک سیستم مختصات مناسب است و ممکن است بسته به معادله اصلاً قابل دستیابی نباشد. جداسازی متغیرها برای اولین بار توسط L'Hospital در سال 1750 مورد استفاده قرار گرفت. این روش به ویژه در حل معادلات ناشی از فیزیک ریاضی، مانند معادله لاپلاس ، معادله دیفرانسیل هلمهولتز ، و معادله شرودینگر مفید است.
https://mathworld.wolfram.com/SeparationofVariables.html
, 
, 
, , و توابع جداسازی 
, 
, 
, به دادن یک 
.
بر
با ...،
با ، ...،
![sum_(n=0)^infty[(n+c)(n+c+1)-l(l+1)]a_nr^(n+c)=0.](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplacesEquationSphericalCoordinates/NumberedEquation15.svg){kind=small}
. برای 
مدت (با 
)،
که تنها در صورت ناپدید شدن همه اصطلاحات دیگر درست است . بنابراین 
برای 
، 
. بنابراین، راه حل 
جزء به دست آمده است
![Phi^('')+(cosphi)/(sinphi)Phi^'+[l(l+1)-(m^2)/(sin^2phi)]Phi=0,](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplacesEquationSphericalCoordinates/NumberedEquation19.svg){kind=small}
و 
، ...، است 
. بنابراین راه حل 
![sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)[S_msin(mtheta)+C_mcos(mtheta)].](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplacesEquationSphericalCoordinates/NumberedEquation22.svg)
جذب شوند ، بنابراین این معادله ممکن است به شکل ظاهر شود 
![sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)[S_l^msin(mtheta)+C_l^mcos(mtheta)] =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))×[S_l^mY_l^(m(o))(تتا،فی)+C_l^ mY_l^(m(e))(تتا، فی)]،](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/LaplacesEquationSphericalCoordinates/NumberedEquation23.svg)
و
توابع قابل تمایز دلخواه هستند که نیازی به خطی بودن ندارند و 
مشتقات متوالی تابع مجهول y از متغیر x هستند .
اغلب در فیزیک برای نشان دادن مشتقات درجه پایین با توجه به زمان استفاده می شود.
را می توان به صورت ترکیبی خطی از مشتقات y نوشت . یعنی if را می توان به صورت بازنویسی کرد
، برخی منابع نیز ماتریس ژاکوبین را ایجاب می کنند ∂
غیر مفرد باشد تا این را یک ODE [سیستم] ضمنی بنامیم. یک سیستم ODE ضمنی که شرایط غیرتکینگی ژاکوبین را برآورده می کند، می تواند به یک سیستم ODE صریح تبدیل شود. در همین منابع، سیستمهای ODE ضمنی با ژاکوبین منفرد معادلات جبری دیفرانسیل (DAEs) نامیده میشوند. این تمایز صرفاً یکی از اصطلاحات نیست. DAE ها اساساً ویژگی های متفاوتی دارند و به طور کلی بیشتر از سیستم های ODE (غیر منفرد) درگیر حل آن هستند. [14] [15] [16] احتمالاً برای مشتقات اضافی، ماتریس هسین و غیره نیز طبق این طرح غیر مفرد در نظر گرفته می شوند، [ نیاز به نقل از ] ، اگرچه توجه داشته باشید که هر ODE از مرتبه بزرگتر از یک می تواند باشد (و معمولاً است) به عنوان سیستمی از ODEهای مرتبه اول بازنویسی شده است ، [17] که معیار تکینگی ژاکوبین را برای جامع بودن این طبقه بندی در همه مرتبه ها کافی می کند.
اگر F و ∂ F /∂ y در یک مستطیل بسته پیوسته باشند![{\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa448c4a13705b1df4c401c5ca9d11fc7c10735)
در صفحه xy ، که در آن a و b حقیقی هستند (به طور نمادین: a , b ∈ R ) و × نشان دهنده حاصلضرب دکارتی است ، براکت ها نشان دهنده فواصل بسته هستند ، سپس یک بازه وجود دارد.![{\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b231b296413a91fd03243fa6b0b15a1fc58684c1)
برای مقداری h ∈ R که در آن می توان جواب معادله بالا و مسئله مقدار اولیه را پیدا کرد. یعنی راه حل وجود دارد و منحصر به فرد است. از آنجایی که هیچ محدودیتی برای خطی بودن F وجود ندارد ، این امر در مورد معادلات غیرخطی که شکل F ( x , y ) دارند، صدق می کند و همچنین می تواند برای سیستم های معادلات اعمال شود.
.
، دقیقا دو احتمال وجود دارد
مرز آن است
![{\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}} \right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end {موارد}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8142f4985f0a70e5b2d7db31af3f8a6546c7b621)
اما این منجر به دامنهای میشود که یک بازه نیست، به طوری که طرف مقابل شرط اولیه از شرایط اولیه جدا میشود و بنابراین بهطور منحصربهفرد توسط آن تعیین نمیشود.
مرتبه اول، قابل تفکیک در x [25]
مرتبه اول، مستقل، قابل تفکیک در y [25]
مرتبه اول، قابل تفکیک در x و y [25]
مرتبه اول، قابل تفکیک [27]
![{\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef860b95a78299857b7025649deb3e6e30504c74)
و
و
، سپس دو بار انتکرال کنید.
فرمول زره:![{\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon ) \,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0161923c3b281e7f5d6d2c5c61e51e6c61f3e67d)
![{\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b111803be7ae071250bbfd01eaf62f114e454aae)
ضرایب مرتبه دوم، خطی، ناهمگن، ثابت [29]
.
![{\displaystyle y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{ 2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e53e6e17d2d3b8ca6aef9f6aacaae372efe9c3d)
، سپس: برای α j همه متفاوت است،
برای هر ریشه α j تکرار kj بار ،
برای برخی از α j مختلط، سپس با تنظیم α = χj + iγ j ، و با استفاده از فرمول اویلر ، اجازه می دهد برخی از اصطلاحات در نتایج قبلی به شکل نوشته شوند .
که در آن ϕ j یک ثابت دلخواه (تغییر فاز) است.
زیرا این یک راه حل بسیار رایج است که از نظر فیزیکی به صورت سینوسی رفتار می کند.
که در آن ∇ 2 عملگر لاپلاس، k 2 مقدار ویژه، و f تابع (ویژه) است. هنگامی که معادله برای امواج اعمال می شود، k به عنوان عدد موج شناخته می شود . معادله هلمهولتز کاربردهای مختلفی در فیزیک و علوم دیگر دارد، از جمله معادله موج ، معادله انتشار و معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد.
می توان برای هندسه های ساده با استفاده از جداسازی متغیرها به دست آورد .
راه حل در صفحه دو بعدی است،
تا یک ضریب عددی که با تبدیل مختصات انتگرال به قطبی می توان آن را 1 تأیید کرد..
که در آن u نشاندهنده دامنه با ارزش مختلط است که موج صفحه سینوسی نشاندادهشده توسط ضریب نمایی را تعدیل میکند. سپس با یک فرض مناسب، شما تقریباً حل می کنید
جایی که
قسمت عرضی لاپلاس است .
ابعاد فضایی، برای همه زوایا (یعنی هر مقدار از،
). اینجا
جایی کهایکسمن
مختصات بردار هستندایکس
.
و
. [5]
و
، به ترتیب، زاویه
بین آنها توسط رابطه داده می شود
مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپس 
، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.
به عنوان مضرب ثابت چند جمله ای جیگنبوئر مناسب داده می شود :
و
روی واحد کره و خطوط گره ای آن.![{\displaystyle \Re [Y_{\ell m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4514a0a6a49a33432a4bf36efe1f6fa05cb3dc)
برابر است با 0 در امتداد دایره های بزرگی که از قطب ها می گذرند و در امتداد دایره های − m با عرض جغرافیایی مساوی. تابع هر بار که از یکی از این خطوط عبور می کند علامت تغییر می دهد.
می توان با در نظر گرفتن " خطوط گره " آنها، یعنی مجموعه نقاط روی کره ای که در آن قرار دارد، تجسم کرد![{\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26617636b368a6d09ed57405f1fb8652eb51e617)
، یا به جای آن که![{\displaystyle \Im [Y_{\ell }^{m}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2fb51f4ee139b5891db76afaa139113a04982d)
. خطوط گره ای از
و
جهت ها به ترتیب. با توجه به
که از قرارداد فاز کاندون-شورتلی استفاده می کنند:
در فضای سه بعدی اقلیدسی
. هارمونیک های کروی را می توان به فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعمیم دادآر
به شرح زیر منجر به توابع می شود
. [24] اجازه دهید P فضای چندجملهای همگن با مقدار مختلط درجه را در n متغیر حقیقی نشان دهد که در اینجا به عنوان تابع در نظر گرفته میشود.
. یعنی یک p چند جمله ای در P است به شرطی که برای هر حقیقی باشد
، یک نفر دارد
از توابع پیوسته در
با توجه به توپولوژی یکنواخت ، توسط قضیه استون-وایرشتراس . در نتیجه، مجموع این فضاها در فضای L 2 ( Sn - 1 ) از توابع انتگرال پذیر مربع روی کره نیز اکم است. بنابراین هر تابع مربع انتگرال پذیر در کره به طور منحصر به فردی به یک سری هارمونیک های کروی تجزیه می شود، جایی که سری به معنای L 2 همگرا می شوند .
اثبات دیگری می دهد که فضاهای H به صورت زوجی متعامد و در L 2 کامل هستند ( Sn - 1 ) .
متقارن بر روی شاخص ها، به طور منحصر به فرد توسط نیاز تعیین می شود
. سپس، همانطور که از بسیاری جهات می توان دید (شاید به سادگی از تابع تولید هرگلوتز)، با
بردار واحد بودن
به
. بیانیه برابری هارمونیک های کروی پس از آن است
در مورد مبدایی که بردار واحد را ارسال می کند
. تحت این عملیات، هارمونیک کروی درجه
و سفارش دهید
تبدیل به یک ترکیب خطی از هارمونیک های کروی با همان درجه می شود. به این معنا که،
یک ماتریس از نظم است
که به چرخش بستگی داردآر![{\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} })،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90f021b19abdcb67fe194dea9981c6473be594a)
مزدوج مختلط یک عنصر از ماتریس D ویگنر است . به ویژه زمانی که"
با چرخش آزیموت ما اتحاد را بدست می آوریم،
. در کره واحداس2
بنابراین می توان به عنوان یک ترکیب خطی از این موارد گسترش داد:
همچنین می تواند از نظر هارمونیک های حقیقی گسترش یابد:
در بالا به عنوان جمع
. مزایای بسط از نظر توابع هارمونیک حقیقی
تضمین شده است که حقیقی هستند، در حالی که ضرایب آنها
در گسترش آنها از نظر
) آن خاصیت را ندارند.
مبنای فضای چندجمله ای های هارمونیک و همگن درجه است
و یک فرمول صریح برای
،
، و
بردار با مختصات مختلط است:![{\displaystyle \mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({ \frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5d338cb35165858d91d7076b25277522143951)
و
به عنوان پاراهای حقیقی در نامگذاری این تابع مولد به نام هرگلوتز ، ما از کورانت-هیلبرت 1962 ، §VII.7 پیروی میکنیم که یادداشتهای منتشر نشده او را برای کشف آن اعتبار میدانند.
، به طوری که
آنالوگ عملگر هارمونیک جامد است (/)
، [16] یک تابع تولید کننده برای مجموعه استاندارد شده ای از عملگرهای تانسور کروی بدست می آید .
تبدیل تحت چرخش ها (به زیر مراجعه کنید) به همان شیوه ای است
، با
با رعایت تمام خصوصیات این عملگرها، مانند قضیه ترکیب کلبش-گوردان و قضیه ویگنر-اکارت . علاوه بر این، آنها یک مجموعه استاندارد شده با مقیاس یا عادی سازی ثابت هستند.
و دیگری از
و
، به شرح زیر (فاز کاندون – شورتلی):![{\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\ frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\ چپ(-1\راست)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}}،\qquad m>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066f9cfa96f2c4550337a93bf73d61517362c834)
![{\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\ راست]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lطبقه (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell } {\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}} \;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4c8fef579a7f234ae71d6ed82da1013e72c592)
این کاهش می یابد
اساساً چند جمله ای لژاندر مرتبط است
، و عوامل
اساسا هستند
.
، و
که به صراحت در بالا ذکر شده است، به دست می آوریم:![{\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3} {16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7} {4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \ تتا e^{i\varphi }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed582e41ffef571704b11f0ad0dee2d0c0f40858)
![{\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5} {32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left( \sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcad8b6882705b752928a0c469aa0ef2f9e306f)
فقطآ
شرایط (کسینوس) گنجانده شده است، و برای<0
فقطب
اصطلاحات (سینوس ها) شامل می شوند:
م،
یا ساده تر در مختصات دکارتی،
، و
در ادبیات مکانیک کوانتومی معمولاً به عنوان فاز کاندون -شورتلی شناخته می شود. در جامعه مکانیک کوانتومی، استفاده از این فاکتور فاز در تعریف چندجملهای لژاندر مرتبط ، یا اضافه کردن آن به تعریف توابع هارمونیک کروی، معمول است . در تعریف توابع هارمونیک کروی نیازی به استفاده از فاز فاز کاندون-شورتلی وجود ندارد، اما گنجاندن آن می تواند برخی از عملیات مکانیکی کوانتومی، به ویژه کاربرد عملگرهای بالا بردن و پایین آوردن را ساده کند . جوامع ژئودزی [12] و مغناطیسی هرگز فاکتور فاز کاندون-شورتلی را در تعاریف خود از توابع هارمونیک کروی و همچنین در تعاریف چند جمله ای های لژاندر مرتبط نمی گنجانند. [13]![{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}- (-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text {if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{ \بلا }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2 }}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\راست)&{\text{if} }\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{ case}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]& {\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^ {m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{تراز شده}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281f6a87023810f7fa9a80d46805c8ad18597fe8)
![{\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell , -|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\ dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if }}\ m>0.\end{موارد}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27971bab040e0ab0b2533f34865c0a6225cb12d2)
![{\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{ 4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \ تتا )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_ {\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{ \sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell } ^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ccbde100d451bfe2fff46127a1e31705c95351)
، که با خروجی معادلات بالا مطابقت دارد.
) برای محورهای مختلط و ترکیبی هستند، اما نسخه های حقیقی اساساً فقط x ، y و z هستند .
، در مختصات استوانه ای ρ (مختصات شعاعی)، φ (زاویه قطبی) و z ( ارتفاع) بیان می شود. هر تابع V n ( k ) حاصل ضرب سه جمله است که هر کدام به تنهایی به یک مختصات بستگی دارد. عبارت وابسته به ρ توسط توابع بسل (که گاهی به آنها هارمونیک استوانه ای نیز گفته می شود) داده می شود.
این مبنا از حاصل ضرب سه تابع تشکیل شده است:
مختصات استوانهای و ثابتهای n و k هستند که اعضای مجموعه را متمایز میکنند. در نتیجه اصل برهم نهی اعمال شده در معادله لاپلاس، راه حل های بسیار کلی برای معادله لاپلاس را می توان با ترکیب خطی این توابع به دست آورد.
برای 
، معادله لاپلاس اکنون می تواند نوشته شود:
، اکنون می توانیم توابع P و Φ را از هم جدا کنیم و یک ثابت دیگر ( n ) معرفی کنیم تا به دست آوریم:
ثابت ها مشترک هستند. راه حل های حقیقی برای
شکلی از معادله بسل است.
و
توابع معمولی بسل هستند .
و
)توابع بسل اصلاح شده اند .
با توجه به مختصات استوانه ای ثابت هستند و حدود جمع و انتگرالبا شرایط مرزی مسئله تعیین می شود. توجه داشته باشید که انتگرال ممکن است با یک جمع برای شرایط مرزی مناسب جایگزین شود. متعامد بودن
اغلب هنگام یافتن راه حلی برای یک مشکل خاص بسیار مفید است. این
و
توابع اساساً بسط های فوریه یا لاپلاس هستند و مجموعه ای از توابع متعامد را تشکیل می دهند. چه زمانی 
ساده است 
، متعامد بود
، همراه با روابط متعامد از
دنباله ای از صفرهای مثبت است
[2]
داخل یک لوله استوانه ای رسانا (به عنوان مثال یک قوطی حلبی خالی) که از بالا و پایین توسط صفحات محدود شده است.
و
و در طرفین توسط استولنه
. [3] (در واحدهای MKS، فرض خواهیم کرد1
). از آنجایی که پتانسیل توسط صفحات روی محور z محدود می شود ، تابع Z(k,z) را می توان تناوبی در نظر گرفت. از آنجایی که پتانسیل باید در مبدا صفر باشد، مقدار را می گیریم
r-امین صفر است![A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L-z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4eb5e3569947e4b1f824713a44baee89017cf6)
![A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L+z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba17c88a547a517467acec9b9a0ea8eb6078143)
، تابع فوق صفر است. همچنین می توان به راحتی نشان داد که این دو تابع از نظر مقدار و مقدار اولین مشتقات خود در مطابقت دارند
.
![A_{{nr}}={\frac {2(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr }}\rho _{0})}{k_{{nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38faa25590cacb01d1bf458be2ffc81bd43f3bd)
).
که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
. به این معنا که،
روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
یکانی است
یکانی است
.
با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر،
.
.
برای همه 
، جایی که
.
با 
گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.
و ه ،
بالا و زوایای 
می تواند هر مقداری را بگیرد.
و ،
فاکتورسازی زیر را دارد:
اگر پتانسیل الکتریکی با چگالی بار 
توسط معادله پواسون مرتبط باشد ، قانون گاوس برآورده می شود.
d a بر روی سطح S i که این الکترود را در بر می گیرد، سپس
j ، ظرفیت های متقابل هستند .
= 0 یا 
نگه داشته شوند ، فقط مقادیر صحیح ثابت جداسازی m مجاز هستند، یعنی فقط راه حل هایی که در ادواری هستند 
به صفر میرسد و از این رو پتانسیل را در بینهایتی که قبلاً با (1) داده شده، مختل نمیکند. با یک ضریب دلخواه A ، راه حل است
. بنابراین این راه حل های دو بعدی شرایط مرزی کره ها و مخروط ها را برآورده می کنند.
بارهای z
o R افزایش یافته است ، اما این پتانسیل مستقل از 
12 
t ، در می یابیم که v o = V o cos 
a مقایسه می کنیم . در این حد، سینوس هذلولی تحت تسلط یکی از نمایی های آن قرار می گیرد و اولین جمله در این سری به دست می دهد.
(جایی که
عملگر nabla است )، یا
. در یک سیستم مختصات دکارتی , لاپلاسین با مجموع مشتقات جزئی دوم تابع نسبت به هر متغیر مستقل داده می شود . در سایر سیستم های مختصات ، مانند مختصات استوانه ای و کروی ، لاپلاسین نیز شکل مفیدی دارد. به طور غیررسمی، f ( p ) لاپلاسی تابع f در یک نقطه p اندازه میگیرد که مقدار میانگین f روی کرههای کوچک یا توپهایی که در مرکز p هستند، از f ( p ) چقدر انحراف دارد .
) از گرادیان (
). بنابراین اگر
یک تابع با ارزش حقیقی دو بار متمایز است ، سپس لاپلاسی از
سمت چپ این معادله عملگر لاپلاس است و کل معادله u = 0 به عنوان معادله لاپلاس شناخته می شود . راه حل های معادله لاپلاس، یعنی توابعی که لاپلاسین آنها یکسان صفر است، بنابراین چگالی های تعادلی ممکن را تحت نفوذ نشان می دهند.
و یک نکته 
. سپس، مقدار متوسط از
متمرکز در
است: [2]
که در آن x و y مختصات دکارتی استاندارد صفحه xy هستند .
یا
:
از فرمول ووس-ویل [3] برای واگرایی .
هر گاه ρ یک چرخش باشد و به همین ترتیب:
هر زمان که τ ترجمه باشد. (به طور کلی، زمانی که ρ یک تبدیل متعامد مانند بازتاب است، این موضوع صادق است .)
به عنوان ... تعریف شده است
،
، و
اجزای میدان برداری هستند
("تانسور " شامل اسکالر و برداری است) به عنوان واگرایی گرادیان تانسور تعریف می شود :
که در آن عبارت با بردار لاپلاسی میدان سرعت است
نشان دهنده تنش های چسبناک در سیال است.
جایی که
دلامبرتی است که در معادله کلاین-گوردون استفاده می شود .
یا دالامبرتین:
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.