ریاضیات | دی ۱۴۰۰

اصل هویگنز-فرنل

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

شکست موج به روش هویگنس

پراش موج به روش هویگنس و فرنل

اصل هویگنز-فرنل (به نام فیزیکدان هلندی کریستیان هویگنز و فیزیکدان فرانسوی آگوستین-ژان فرنل نامگذاری شده است) روشی برای تجزیه و تحلیل است که برای مشکلات انتشار موج هم در حد میدان دور و هم در پراش میدان نزدیک و همچنین بازتاب اعمال می شود. بیان می‌کند که هر نقطه در یک جبهه موج ، خود منبع موجک‌های کروی است و موجک‌های ثانویه که از نقاط مختلف سرچشمه می‌گیرند، متقابلاً تداخل دارند. [1] مجموع این موجک های کروی جبهه موج را تشکیل می دهد.

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

پراش یک موج صفحه زمانی که عرض شکاف برابر با طول موج باشد

در سال 1678، هویگنس [2] پیشنهاد کرد که هر نقطه ای که یک اختلال نورانی به آن می رسد، منبع یک موج کروی می شود. مجموع این امواج ثانویه شکل موج را در هر زمان بعدی تعیین می کند. او فرض کرد که امواج ثانویه فقط در جهت "به جلو" حرکت می کنند و در تئوری توضیح داده نشده است که چرا چنین است. او توانست توضیحی کیفی از انتشار موج خطی و کروی ارائه دهد و قوانین بازتاب و شکست را با استفاده از این اصل استخراج کند، اما نتوانست انحرافات از انتشار مستقیم را که هنگام برخورد نور با لبه‌ها، روزنه‌ها و صفحه‌ها اتفاق می‌افتد توضیح دهد. به عنوان اثرات پراش [3] حل این خطا در نهایت توسط توضیح داده شددیوید AB میلر در سال 1991. [4] قطعنامه این است که منبع یک دوقطبی است (نه تک قطبی که هویگنز در نظر گرفته است)، که در جهت منعکس شده لغو می شود.

در سال 1818، فرنل [5] نشان داد که اصل هویگنز، همراه با اصل تداخل او می تواند هم انتشار مستقیم نور و هم اثرات پراش را توضیح دهد. برای به دست آوردن توافق با نتایج تجربی، او باید مفروضات دلخواه اضافی در مورد فاز و دامنه امواج ثانویه، و همچنین یک عامل انحراف را شامل می شد. این مفروضات هیچ پایه فیزیکی آشکاری ندارند، اما منجر به پیش‌بینی‌هایی شد که با بسیاری از مشاهدات تجربی، از جمله نقطه پواسون ، مطابقت داشت .

پواسون یکی از اعضای آکادمی فرانسه بود که کار فرنل را بررسی می کرد. [6] او از نظریه فرنل برای پیش بینی اینکه یک نقطه روشن باید در مرکز سایه یک دیسک کوچک ظاهر شود، استفاده کرد و از آن نتیجه گرفت که این نظریه نادرست است. با این حال، آراگو، یکی دیگر از اعضای کمیته، آزمایش را انجام داد و نشان داد که پیش‌بینی درست بوده است. (Lisle این را پنجاه سال قبل مشاهده کرده بود. [3] ) این یکی از تحقیقاتی بود که به پیروزی نظریه موجی نور بر نظریه غالب جسمی در آن زمان انجامید .

در تئوری و مهندسی آنتن ، فرمول بندی مجدد اصل هویگنز-فرنل برای تابش منابع جریان به عنوان اصل هم ارزی سطح شناخته می شود . [7] [8]

اصل هویگنز به عنوان یک مدل میکروسکوپی [ ویرایش ]

اصل هویگنز-فرنل مبنای معقولی برای درک و پیش‌بینی انتشار موج کلاسیک نور فراهم می‌کند. با این حال، محدودیت‌هایی برای این اصل وجود دارد، یعنی همان تقریب‌هایی که برای استخراج فرمول پراش کیرشهوف و تقریب میدان نزدیک ناشی از فرنل انجام می‌شود. اینها را می توان در این واقعیت خلاصه کرد که طول موج نور بسیار کوچکتر از ابعاد هر مؤلفه نوری است. [6]

فرمول پراش Kirchhoff یک پایه ریاضی دقیق برای پراش، بر اساس معادله موج فراهم می کند. مفروضات دلخواه فرنل برای رسیدن به معادله هویگنز-فرنل به طور خودکار از ریاضیات در این اشتقاق بیرون می‌آیند. [9]

یک مثال ساده از عملکرد اصل را می توان زمانی مشاهده کرد که یک درب باز دو اتاق را به هم متصل می کند و در گوشه ای دورافتاده یکی از آنها صدا تولید می شود. شخصی در اتاق دیگر صدا را می شنود که انگار از در ورودی است. تا آنجا که به اتاق دوم مربوط می شود، هوای ارتعاشی در درگاه منبع صدا است.

تفاسیر فیزیک مدرن [ ویرایش ]

همه کارشناسان موافق نیستند که اصل هویگنز نمایش میکروسکوپی دقیق واقعیت است. به عنوان مثال، ملوین شوارتز استدلال کرد که "اصل هویگنز در واقع پاسخ درست را می دهد اما به دلایل اشتباه". [1]

این را می توان در حقایق زیر منعکس کرد:

مکانیک میکروسکوپی برای ایجاد فوتون و انتشار، به طور کلی، اساساً شتاب الکترون است. [1]
تجزیه و تحلیل اولیه هویگنس [10] فقط شامل دامنه ها بود. این شامل نه فازها و نه امواجی است که با سرعت های مختلف منتشر می شوند (به دلیل پراش در محیط های پیوسته)، و بنابراین تداخل را در نظر نمی گیرند.
تجزیه و تحلیل هویگنز همچنین قطبش نور را که دلالت بر پتانسیل برداری دارد را شامل نمی شود، در عوض امواج صوتی را می توان با پتانسیل اسکالر توصیف کرد و هیچ ترجمه منحصر به فرد و طبیعی بین این دو وجود ندارد. [11]
در توصیف هویگنز ، هیچ توضیحی در مورد اینکه چرا ما فقط موج رو به جلو ( موج عقب‌افتاده یا پوشش جلویی جبهه‌های موج) را در مقابل موج پیشرفته انتشار به عقب (پاکت به عقب) انتخاب می‌کنیم، وجود ندارد. [11]
در تقریب فرنل، به دلیل مجموع امواج کروی با فازهای مختلف که از نقاط مختلف جبهه موج می آید، مفهوم رفتار غیرمحلی وجود دارد و نظریه های غیرمحلی موضوع بحث های زیادی هستند (مثلاً کواریانت لورنتس نبودن). ) و تحقیق فعال.
تقریب فرنل را می‌توان به روش احتمالی کوانتومی تفسیر کرد، اما مشخص نیست که این مجموع حالت‌ها (یعنی موجک‌ها در جبهه موج) تا چه اندازه فهرست کاملی از حالت‌هایی است که از نظر فیزیکی معنادار هستند یا بیشتر از یک تقریب بر مبنای عمومی را نشان می‌دهند . روش ترکیب خطی اوربیتال های اتمی (LCAO).

اصل هویگنز اساساً با نظریه میدان کوانتومی در تقریب میدان دور سازگار است ، با در نظر گرفتن میدان‌های مؤثر در مرکز پراکندگی، در نظر گرفتن اغتشاشات کوچک ، و به همان معنا که اپتیک کوانتومی با اپتیک کلاسیک سازگار است ، سایر تفاسیر موضوع بحث است. و تحقیقات فعال

مدل فاینمن که در آن هر نقطه در یک جبهه موج خیالی به بزرگی اتاق موجک تولید می‌کند، نیز باید در این تقریب‌ها تفسیر شود [12] و در یک زمینه احتمالی، در این زمینه، نقاط دوردست تنها می‌توانند حداقل به احتمال کلی کمک کنند. دامنه

نظریه میدان کوانتومی هیچ مدل میکروسکوپی برای ایجاد فوتون را شامل نمی شود و مفهوم تک فوتون نیز در سطح نظری مورد بررسی قرار می گیرد.

بیان ریاضی اصل [ ویرایش ]

آرایش هندسی برای محاسبه فرنل

مورد منبع نقطه ای واقع در نقطه P 0 را در نظر بگیرید که با فرکانس f ارتعاش می کند . اغتشاش ممکن است با یک متغیر مختلط U 0 که به نام دامنه پیچیده شناخته می شود، توصیف شود . یک موج کروی با طول موج λ، عدد موج k = 2 π / λ تولید می کند . در یک ثابت تناسب، دامنه مختلط موج اولیه در نقطه Q واقع در فاصله r 0 از P 0 است:

$U(r_{0})\propto {\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.$

توجه داشته باشید که قدر به نسبت معکوس مسافت طی شده کاهش می یابد و فاز به صورت k ضربدر مسافت طی شده تغییر می کند.

با استفاده از نظریه هویگنز و اصل برهم نهی امواج، دامنه مختلط در نقطه دیگر P با جمع کردن سهم هر نقطه در کره شعاع r 0 به دست می‌آید . به منظور توافق با نتایج تجربی، فرنل دریافت که مشارکت‌های منفرد از امواج ثانویه روی کره باید در یک ثابت، -i /λ، و با یک عامل تمایل اضافی، K (χ) ضرب شود. فرض اول به این معنی است که امواج ثانویه در یک چهارم سیکل خارج از فاز نسبت به موج اولیه نوسان می کنند و بزرگی امواج ثانویه در نسبت 1:λ به موج اولیه است. او همچنین فرض کرد که K(χ) دارای حداکثر مقدار زمانی که χ = 0 بود، و برابر با صفر بود که χ = π/2، که در آن χ زاویه بین نرمال جبهه موج اولیه و نرمال جبهه موج ثانویه است. دامنه مختلط در P ، به دلیل مشارکت امواج ثانویه، سپس با: [13] داده می شود.

$U(P) = -\frac{i}{\lambda} U(r_0) \int_{S} \frac {e^{iks}}{s} K(\chi)\,dS$

که در آن S سطح کره را توصیف می کند و s فاصله بین Q و P است.

فرنل از یک روش ساخت ناحیه برای یافتن مقادیر تقریبی K برای مناطق مختلف استفاده کرد، [6] که او را قادر ساخت پیش‌بینی‌هایی انجام دهد که مطابق با نتایج تجربی بود. قضیه انتگرال کیرشهوف شامل ایده اصلی اصل هویگنز-فرنل است. کیرشهوف نشان داد که در بسیاری از موارد، این قضیه را می توان به شکل ساده تری که معادل شکل گیری فرمول فرنل است، تقریب زد. [6]

برای روشنایی دیافراگم متشکل از یک موج کروی منبسط شونده، اگر شعاع انحنای موج به اندازه کافی بزرگ باشد، کیرشهوف عبارت زیر را برای K (χ) ارائه می دهد: [6]

$~K(\chi )= \frac{1}{2}(1+\cos \chi)$

K دارای حداکثر مقدار در χ = 0 مانند اصل هویگنز-فرنل است. با این حال، K در χ = π/2 برابر با صفر نیست، اما در χ = π است.

در اشتقاق بالای K (χ) فرض می شود که دیافراگم پراش توسط یک موج کروی منفرد با شعاع انحنای به اندازه کافی بزرگ روشن می شود. با این حال، این اصل برای روشنایی های عمومی تر صادق است. [13] یک روشنایی دلخواه را می توان به مجموعه ای از منابع نقطه ای تجزیه کرد و خطی بودن معادله موج را می توان برای اعمال این اصل برای هر منبع نقطه ای به طور جداگانه فراخوانی کرد. K (χ) را می توان به طور کلی به صورت زیر بیان کرد: [13]

$~K(\chi )=\cos \chi$

در این مورد، K شرایط ذکر شده در بالا را برآورده می کند (حداکثر مقدار در χ = 0 و صفر در χ = π/2).

اصل تعمیم یافته هویگنس [ ویرایش ]

بسیاری از کتاب ها و مراجع به عنوان مثال [14] و [15] به اصل تعمیم یافته هویگنز به عنوان چیزی که توسط فاینمن در این انتشار اشاره شده است اشاره می کنند [16]

فاینمن اصل تعمیم یافته را به صورت زیر تعریف می کند:

"در واقع اصل هویگنز در اپتیک صحیح نیست. با اصلاح کرچوف (sic) جایگزین شده است که مستلزم آن است که هم دامنه و هم مشتق آن در سطح مجاور شناخته شوند. این نتیجه این واقعیت است که معادله موج در اپتیک است. معادله موجی مکانیک کوانتومی مرتبه اول در زمان است، بنابراین اصل هویگنس برای امواج ماده، عمل جایگزین زمان صحیح است.

این واقعیت را روشن می کند که در این زمینه، اصل تعمیم یافته منعکس کننده خطی بودن مکانیک کوانتومی و این واقعیت است که معادلات مکانیک کوانتومی مرتبه اول در زمان هستند. در نهایت فقط در این مورد اصل برهم نهی به طور کامل اعمال می شود، یعنی تابع موج در نقطه P را می توان به صورت برهم نهی امواج بر روی سطح مرزی که P را در بر می گیرد، گسترش داد. فرمالیسم توابع گرین و انتشار دهنده ها اعمال می شود. آنچه شایان توجه است این است که این اصل تعمیم یافته برای «امواج ماده» قابل اجرا است نه دیگر برای امواج نور. فاکتور فاز اکنون همانطور که توسط عمل ارائه شده است روشن می شود و دیگر سردرگمی وجود ندارد که چرا فازهای موجک با موج اصلی متفاوت است و توسط پارامترهای فرنل اضافی اصلاح می شود.

طبق نظر گرینر [14] می توان اصل تعمیم یافته را برای آن بیان کرد $t'>t$ در فرم:

$\psi '(\mathbf {x} ',t')=i\int {}{}d^{3}xG(\mathbf {x} ',t';\mathbf {x} ,t) \psi (\mathbf {x} ,t)$

جایی که G تابع سبز معمولی است که در زمان تابع موج را منتشر می کند $\psi$ . این توصیف شبیه و تعمیم فرمول اولیه فرنل مدل کلاسیک است.

نظریه هویگنز و تابع موج فوتون مدرن [ ویرایش ]

نظریه هویگنز به عنوان یک توضیح اساسی در مورد ماهیت موجی تداخل نور عمل کرد و توسط فرنل و یانگ بیشتر توسعه یافت، اما تمام مشاهدات مانند آزمایش دو شکاف با شدت کم را که اولین بار توسط GI Taylor در سال 1909 انجام شد، به طور کامل حل نکرد. تا اوایل و اواسط دهه 1900 که در مورد نظریه کوانتومی بحث شد، به ویژه بحث های اولیه در کنفرانس سالوی بروکسل در سال 1927 ، جایی که لویی دو بروگلی فرضیه دو بروگلی خود را ارائه کرد که فوتون توسط یک تابع موج هدایت می شود. [17] تابع موج توضیح بسیار متفاوتی از نوارهای روشن و تاریک مشاهده شده در آزمایش دو شکاف ارائه می دهد. در این مفهوم، فوتون مسیری را دنبال می‌کند که انتخاب تصادفی یکی از مسیرهای ممکن است. این مسیرهای ممکن الگو را تشکیل می دهند: در مناطق تاریک، هیچ فوتونی فرود نمی آید، و در مناطق روشن، فوتون های زیادی فرود می آیند. مجموعه مسیرهای ممکن فوتون توسط محیط اطراف تعیین می شود: نقطه مبدا فوتون (اتم)، شکاف و صفحه. تابع موج راه حلی برای این هندسه است. رویکرد تابع موج بیشتر توسط آزمایش‌های دو شکاف اضافی در ایتالیا و ژاپن در دهه‌های 1970 و 1980 با الکترون‌ها پشتیبانی شد. [18]

اصل هویگنز و نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

اصل هویگنس را می توان نتیجه همگنی فضا دانست - فضا در همه مکان ها یکنواخت است. [19] هر گونه اختلال ایجاد شده در یک منطقه به اندازه کافی کوچک از فضای همگن (یا در یک محیط همگن) از آن منطقه در تمام جهات ژئودزیک منتشر می شود. امواج حاصل از این اختلال به نوبه خود باعث ایجاد اختلال در مناطق دیگر و ... می شود. برهم نهی همه امواج منجر به الگوی مشاهده شده انتشار موج می شود.

همگنی فضا برای نظریه میدان کوانتومی (QFT) اساسی است که در آن تابع موج هر جسم در تمام مسیرهای بدون مانع موجود منتشر می شود. هنگامی که در طول تمام مسیرهای ممکن ، با یک فاکتور فاز متناسب با عمل ، تداخل توابع موج به درستی پدیده‌های قابل مشاهده را پیش‌بینی می‌کند. هر نقطه در جبهه موج به عنوان منبع موجک های ثانویه عمل می کند که در مخروط نور با همان سرعت موج پخش می شوند. جبهه موج جدید با ساختن سطح مماس بر موجک های ثانویه پیدا می شود.

در سایر ابعاد فضایی [ ویرایش ]

در سال 1900، ژاک هادامارد مشاهده کرد که وقتی تعداد ابعاد فضایی زوج باشد، اصل هویگنز شکسته شد. [20] [21] [22] از این رو، او مجموعه‌ای از حدس‌ها را ایجاد کرد که همچنان یک موضوع فعال تحقیقاتی است. [23] [24] به طور خاص، کشف شده است که اصل هویگنز بر کلاس بزرگی از فضاهای همگن مشتق شده از گروه Coxeter (به عنوان مثال، گروه های Weyl از جبرهای ساده Lie ) صادق است. [19] [25]

بیان سنتی اصل هویگنس برای دالامبرتیان باعث ایجاد سلسله مراتب KdV می شود . به طور مشابه، عملگر دیراک باعث ایجاد سلسله مراتب AKNS می شود. [26] [27]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Huygens%E2%80%93Fresnel_principle

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 21:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه پراش فراونهوفر

پراش با دیافراگم مستطیلی [ ویرایش ]

شبیه سازی کامپیوتری پراش فراونهوفر توسط دیافراگم مستطیلی

شکل الگوی پراش ارائه شده توسط دیافراگم مستطیلی در شکل سمت راست (یا بالا، در قالب تبلت) نشان داده شده است. [13] یک قله مرکزی نیمه مستطیل، با یک سری حاشیه های افقی و عمودی وجود دارد. ابعاد نوار مرکزی با ابعاد شکاف با همان رابطه یک شکاف مرتبط است به طوری که بعد بزرگتر در تصویر پراش شده با ابعاد کوچکتر در شکاف مطابقت دارد. فاصله حاشیه ها نیز با ابعاد شکاف نسبت معکوس دارد.

اگر پرتو روشنایی تمام طول عمودی شکاف را روشن نکند، فاصله حاشیه های عمودی با ابعاد پرتو روشنایی تعیین می شود. بررسی دقیق الگوی پراش دو شکاف زیر نشان می‌دهد که حاشیه‌های پراش افقی بسیار ظریف در بالا و پایین نقطه اصلی و همچنین حاشیه‌های افقی آشکارتر وجود دارد.

پراش با دیافراگم دایره ای [ ویرایش ]

شبیه سازی کامپیوتری الگوی پراش Airy

الگوی پراش داده شده توسط دیافراگم دایره ای در شکل سمت راست نشان داده شده است. [14] این به عنوان الگوی پراش هوایی شناخته می شود . می توان دید که بیشتر نور در دیسک مرکزی است. زاویه تحت فشار این دیسک که به دیسک هوا معروف است، می باشد

$\alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}$

که در آن W قطر دیافراگم است.

دیسک Airy می تواند یک پارامتر مهم در محدود کردن توانایی یک سیستم تصویربرداری برای تشخیص اشیاء نزدیک به هم باشد.

پراش توسط دیافراگم با نمایه گاوسی [ ویرایش ]

شدت یک موج صفحه ای که از طریق دیافراگم با نیمرخ گاوسی پراش می شود

الگوی پراش بدست آمده توسط یک دیافراگم با نمایه گاوسی ، برای مثال، یک اسلاید عکاسی که قابلیت انتقال آن دارای تغییرات گاوسی است نیز یک تابع گاوسی است. شکل تابع در سمت راست رسم شده است (بالا، برای یک تبلت)، و می توان دید که بر خلاف الگوهای پراش که توسط دیافراگم های مستطیلی یا دایره ای ایجاد می شود، حلقه های ثانویه ندارد. [15] این تکنیک را می توان در فرآیندی به نام آپودیزاسیون استفاده کرد - دیافراگم توسط یک فیلتر گاوسی پوشانده می شود و یک الگوی پراش بدون حلقه های ثانویه ارائه می دهد.

نمایه خروجی یک پرتو لیزر تک حالته ممکن است نمایه شدت گاوسی داشته باشد و از معادله پراش می توان برای نشان دادن اینکه آن نیمرخ را هر چقدر دورتر از منبع منتشر شود، حفظ می کند. [16]

پراش توسط یک شکاف دوگانه [ ویرایش ]

حاشیه های دو شکاف با نور نور سدیم

در آزمایش دو شکاف، دو شکاف با یک پرتو نور منفرد روشن می شوند. اگر عرض شکاف ها به اندازه کافی کوچک باشد (کمتر از طول موج نور)، شکاف ها نور را به امواج استوانه ای تبدیل می کنند. این دو جبهه موج استوانه‌ای روی هم قرار گرفته‌اند و دامنه و در نتیجه شدت، در هر نقطه از جبهه‌های موج ترکیبی به بزرگی و فاز دو جبهه موج بستگی دارد. [17] این حاشیه ها اغلب به عنوان حاشیه های یانگ شناخته می شوند .

فاصله زاویه ای حاشیه ها توسط

$\theta _{\text{f}}=\lambda /d.$

فاصله حاشیه ها در فاصله z از شکاف ها با [18] به دست می آید.

$w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,$

جایی که d جدا شدن شکاف ها است.

حاشیه‌های تصویر با استفاده از نور زرد نور سدیم (طول موج = 589 نانومتر)، با شکاف‌هایی که 0.25 میلی‌متر از هم جدا شده‌اند، به‌دست آمدند و مستقیماً بر روی صفحه تصویر یک دوربین دیجیتال پخش می‌شوند.

حاشیه های تداخل دو شکاف را می توان با بریدن دو شکاف در یک تکه کارت، روشن شدن با اشاره گر لیزری و مشاهده نور پراکنده در فاصله 1 متری مشاهده کرد. اگر فاصله شکاف 0.5 میلی متر باشد و طول موج لیزر 600 نانومتر باشد، در این صورت فاصله حاشیه هایی که در فاصله 1 متری مشاهده می شود، 1.2 میلی متر خواهد بود.

توضیح نیمه کمی حاشیه های دو شکاف [ ویرایش ]

هندسه برای حاشیه های دور

تفاوت فاز بین دو موج با تفاوت مسافت طی شده توسط دو موج تعیین می شود.

اگر فاصله دید در مقایسه با جداسازی شکاف ها ( میدان دور ) زیاد باشد، می توان با استفاده از هندسه نشان داده شده در شکل، اختلاف فاز را پیدا کرد. تفاوت مسیر بین دو موجی که با زاویه θ حرکت می کنند با استفاده از

$d\sin \theta \approx d\theta .$

وقتی دو موج در فاز هستند یعنی اختلاف مسیر برابر است با تعداد انتگرال طول موج دامنه مجموع و بنابراین شدت مجموع حداکثر است و وقتی در پادفاز هستند یعنی اختلاف مسیر برابر با نصف است. یک طول موج، یک و نیم طول موج و غیره، سپس دو موج خنثی می شوند و شدت جمع صفر می شود. این اثر به عنوان تداخل شناخته می شود .

حداکثر حاشیه تداخل در زاویه رخ می دهد

$d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

که در آن λ طول موج نور است. فاصله زاویه ای حاشیه ها توسط

$\theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.$

وقتی فاصله بین شکاف ها و صفحه دید z باشد، فاصله حاشیه ها برابر z θ و مانند بالا است:

$w=z\lambda /d.$

پراش توسط توری [ ویرایش ]

پراش پرتو لیزر توسط توری

توری در Born و Wolf به عنوان "هر ترتیبی که بر یک موج فرودی یک تغییر دوره ای از دامنه یا فاز یا هر دو را تحمیل می کند" تعریف می شود.

شبکه‌ای که عناصر آن با S از هم جدا شده‌اند، یک پرتو نور معمولی تابیده شده را به مجموعه‌ای از پرتوها در زوایای θ n که توسط :

$~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

این معادله به عنوان معادله توری شناخته می شود . هرچه فاصله توری ریزتر باشد، جدایی زاویه ای تیرهای پراش بیشتر است.

اگر نور با زاویه θ 0 تابیده شود ، معادله گریتینگ به صورت زیر است:

$\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

ساختار دقیق الگوی تکرار شونده شکل تک تک پرتوهای پراش شده و همچنین شدت نسبی آنها را تعیین می کند در حالی که فاصله توری همیشه زوایای پرتوهای پراکنده را تعیین می کند.

تصویر سمت راست یک پرتو لیزر را نشان می‌دهد که توسط یک توری به پرتوهای n =0 و ±1 پراکنده شده است. زوایای تیرهای مرتبه اول حدود 20 درجه است. اگر طول موج پرتو لیزر را 600 نانومتر فرض کنیم، می‌توان نتیجه گرفت که فاصله توری حدود 1.8 میکرومتر است.

توضیح نیمه کمی [ ویرایش ]

یک توری ساده از یک سری شکاف در یک صفحه تشکیل شده است. اگر نوری که از هر شکاف با زاویه θ حرکت می کند نسبت به شکاف مجاور یک طول موج اختلاف مسیر داشته باشد، همه این امواج با هم جمع می شوند، به طوری که حداکثر شدت نور پراش شده زمانی به دست می آید که:

$W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

این همان رابطه ای است که در بالا آورده شده است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه پراش فراونهوفر

نمونه هایی از پراش فراونهوفر

در هر یک از این مثال‌ها، دیافراگم با یک موج صفحه تک رنگ در سرعت عادی روشن می‌شود.

پراش توسط یک شکاف مستطیلی باریک [ ویرایش ]

نمودار و تصویر پراش تک شکافی

عرض شکاف W است . الگوی پراش فراونهوفر همراه با نمودار شدت در مقابل زاویه θ در تصویر نشان داده شده است . [10] این الگو دارای حداکثر شدت در θ = 0 و یک سری پیک با شدت کاهشی است. بیشتر نور پراش شده بین حداقل های اول قرار می گیرد. زاویه α که توسط این دو مینیمم تحت تأثیر قرار می‌گیرد به صورت زیر به دست می‌آید: [11]

$\alpha \approx {{\frac {2\lambda }{W}}}$

بنابراین، هرچه دیافراگم کوچکتر باشد، زاویه α که توسط نوارهای پراش ایجاد می شود، بزرگتر می شود. اندازه نوار مرکزی در فاصله z با استفاده از

$d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}$

به عنوان مثال، هنگامی که یک شکاف با عرض 0.5 میلی متر توسط نوری با طول موج 0.6 میکرومتر روشن می شود، و در فاصله 1000 میلی متر مشاهده می شود، عرض نوار مرکزی در الگوی پراش 2.4 میلی متر است.

حاشیه ها تا بی نهایت در جهت y گسترش می یابند زیرا شکاف و روشنایی نیز تا بی نهایت گسترش می یابند.

اگر W < λ , شدت نور پراش شده به صفر نمی رسد و اگر D << λ , موج پراش شده استوانه ای است.

تجزیه و تحلیل نیمه کمی پراش تک شکافی [ ویرایش ]

هندسه پراش تک شکافی

با استدلال زیر می‌توانیم زاویه‌ای را که در آن یک حداقل اول در نور پراکنده به دست می‌آید، پیدا کنیم. نور را در زاویه θ در نظر بگیرید که فاصله CD برابر با طول موج نور روشن کننده است. عرض شکاف فاصله AC است. جزء موجک ساطع شده از نقطه A که در جهت θ حرکت می کند با موج نقطه B در وسط شکاف ضد فاز است ، به طوری که سهم خالص در زاویه θ از این دو موج صفر است. . همین امر در مورد نقاط درست زیر A و B نیز صدق می کند، و غیره. بنابراین، دامنه کل موجی که در جهت θ حرکت می کند ، صفر است. ما داریم:

$\theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.$

زاویه ای که توسط اولین مینیمم در دو طرف مرکز کاهش می یابد، مانند بالا است:

$\alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.$

هیچ استدلال ساده ای وجود ندارد که ما را قادر سازد حداکثر الگوی پراش را پیدا کنیم.

پراش تک شکافی با استفاده از اصل هویگنز [ ویرایش ]

آرایه گسترده پیوسته از منابع نقطه ای به طول a .

ما می توانیم برای میدان دور یک آرایه پیوسته از منابع نقطه ای با دامنه یکنواخت و فاز یکسان، عبارتی ایجاد کنیم. بگذارید آرایه طول a موازی با محور y و مرکز آن در مبدا باشد همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است. سپس میدان دیفرانسیل به صورت زیر است: [12]

$dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1} }}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy$

جایی که $\beta =\omega /c=2\pi /\lambda$ . با این حال $r_{1}=ry\sin \theta$ و ادغام از $-a/2$ به $a/2$ ،

$E=A^{'}\int \limits _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy$

جایی که $A^{'}={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r_{1}}}$ .

ادغام و سپس دریافت می کنیم

$E={\frac {2A^{'}}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)$

اجازه دادن $\psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta$ که در آن طول آرایه بر حسب رادیان است $a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda$ ، سپس،

$E={\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}$ [12]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fraunhofer_diffraction

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

پراش فراونهوفر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در اپتیک ، معادله پراش فراونهوفر برای مدل‌سازی پراش امواج زمانی که الگوی پراش در فاصله طولانی از جسم در حال پراش (در ناحیه میدان دور) مشاهده می‌شود، و همچنین زمانی که در صفحه کانونی مشاهده می‌شود، استفاده می‌شود . لنز تصویربرداری . [1] [2] در مقابل، الگوی پراش ایجاد شده در نزدیکی جسم (در ناحیه میدان نزدیک ) توسط معادله پراش فرنل ارائه می‌شود .

این معادله به افتخار جوزف فون فراونهوفر [3] نامگذاری شد ، اگرچه او در واقع در توسعه این نظریه نقشی نداشت. [ نیازمند منبع ]

این مقاله توضیح می‌دهد که در کجا می‌توان معادله فرانهوفر را اعمال کرد، و شکل الگوی پراش فراونهوفر را برای دیافراگم‌های مختلف نشان می‌دهد. یک درمان ریاضی دقیق از پراش فراونهوفر در معادله پراش فراونهوفر ارائه شده است .

فهرست

معادله [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله پراش فراونهوفر

هنگامی که یک پرتو نور تا حدی توسط یک مانع مسدود می شود، مقداری از نور در اطراف جسم پراکنده می شود، نوارهای روشن و تاریک اغلب در لبه سایه دیده می شوند - این اثر به عنوان پراش شناخته می شود . [4] این اثرات را می‌توان با استفاده از اصل هویگنز-فرنل مدل‌سازی کرد . هویگنز فرض کرد که هر نقطه در جبهه موج به عنوان منبع موجک های ثانویه کروی عمل می کند و مجموع این موجک های ثانویه شکل موج ادامه را در هر زمان بعدی تعیین می کند، در حالی که فرنل معادله ای را با استفاده از موجک های هویگنس همراه با اصل برهم نهی ایجاد کرد. امواج، که این اثرات پراش را به خوبی مدل می کند.

به طور کلی محاسبه دامنه موج داده شده توسط مجموع موجک های ثانویه ساده نیست (مجموع موج نیز یک موج است)، که هر کدام دامنه ، فاز و جهت نوسان خاص خود را دارند ( قطب شدن )، زیرا این شامل جمع می شود. از بسیاری از امواج با دامنه، فاز و قطبش متفاوت. هنگامی که دو موج نور به عنوان میدان های الکترومغناطیسی با هم جمع شوند ( جمع برداری )، دامنه مجموع موج به دامنه، فازها و حتی قطبش امواج منفرد بستگی دارد. در جهت معینی که میدان‌های موج الکترومغناطیسی پرتاب می‌شوند (یا با در نظر گرفتن موقعیتی که دو موج دارای قطبش یکسان هستند)، دو موج با دامنه برابر (پیش‌تاب‌شده )که در فاز هستند (همان فاز) دامنه مجموع موج حاصل را دو برابر دامنه موج منفرد می‌دهند، در حالی که دو موج با دامنه مساوی که در فازهای متضاد هستند، دامنه صفر موج حاصل را نشان می‌دهند که یکدیگر را خنثی می‌کنند. به طور کلی، یک انتگرال دو بعدی روی متغیرهای پیچیده باید حل شود و در بسیاری از موارد، یک راه حل تحلیلی در دسترس نیست. [5]

معادله پراش فراونهوفر یک نسخه ساده شده از فرمول پراش کیرشهوف است و می‌توان از آن برای مدل‌سازی پراش نور استفاده کرد، زمانی که هم یک منبع نور و هم یک صفحه مشاهده (صفحه‌ای از مشاهده که در آن موج پراش مشاهده می‌شود) به طور موثری به طور موثر از یک پراش فاصله دارند. دیافراگم [6] با یک منبع نور به اندازه کافی دور از دیافراگم پراش، نور تابشی به دیافراگم به طور موثر یک موج مسطح است.به طوری که فاز نور در هر نقطه از دیافراگم یکسان است. در یک صفحه مشاهده به اندازه کافی دور از دیافراگم، فاز موجی که از هر نقطه روی دیافراگم می آید، به طور خطی با موقعیت نقطه روی دیافراگم تغییر می کند و باعث می شود که مجموع امواج در یک نقطه مشاهده در صفحه محاسبه شود. مشاهده در بسیاری از موارد نسبتاً ساده است. حتی دامنه امواج ثانویه که از دیافراگم در نقطه مشاهده می آیند را می توان برای یک محاسبه موج پراش ساده در این مورد یکسان یا ثابت در نظر گرفت. پراش در چنین نیاز هندسی، پراش فرانهوفر نامیده می شود ، و شرایطی که پراش فرانهوفر معتبر است ، شرایط فرانهوفر نامیده می شود ، همانطور که در کادر سمت راست نشان داده شده است.[7] یک موج پراش اغلب میدان دور نامیده می‌شود اگر حداقل تا حدی شرایط فراونهوفر را برآورده کند، به طوری که فاصله بین دیافراگم و صفحه مشاهده را برآورده کند. $L$ است $L\gg {\frac {W^{2}}{\lambda }}$ .

پراش فراونهوفر زمانی اتفاق می افتد که:

${\frac {W^{2}}{L\lambda }}\ll 1$ (شرایط فرانهوفر)

$دبلیو$ - بزرگترین اندازه دیافراگم یا شکاف پراش، $\لامبدا$ - طول موج، $L$ – از بین دو فاصله کوچکتر یکی بین دیافراگم پراش و صفحه مشاهده و دیگری بین صفحه پراش و منبع موج نقطه ای است.

به عنوان مثال، اگر یک سوراخ دایره‌ای به قطر 0.5 میلی‌متر توسط یک نور لیزر با طول موج 0.6 میکرومتر روشن شود، در آن صورت پراش فراونهوفر در صورتی رخ می‌دهد که فاصله دید بیشتر از 1000 میلی‌متر باشد.

اشتقاق شرط فراونهوفر [ ویرایش ]

هندسه ای که برای استخراج شرایط فراونهوفر استفاده می شود که در آن پراش فراونهوفر معتبر است.

اشتقاق شرط Fraunhofer در اینجا بر اساس هندسه توصیف شده در کادر سمت راست است. [8] مسیر موج پراش r 2 را می توان بر حسب مسیر موج پراش دیگری r 1 و فاصله b بین دو نقطه پراش با استفاده از قانون کسینوس بیان کرد .

${{r}_{2}}={{\left(r_{1}^{2}+{{b}^{2}}-2b{{r}_{1}}\cos \ چپ ({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}}={{r}_{1}}{{\left( 1+{\frac {{b}^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{{r}_{1}}}\sin \theta \right) }^{\frac {1}{2}}}$ .

این را می توان با استفاده از سری دو جمله ای برای گسترش داد ${{\left(1+x\right)}^{\frac {1}{2}}}$ $x={\frac {{b}^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{{r}_{1}}}\sin \theta$ ;

${{r}_{2}}={{r}_{1}}\left(1-{\frac {b}{{r}_{1}}}\sin \theta +{\ frac {{b}^{2}}{2r_{1}^{2}}}{{\cos }^{2}}\theta +\ldots \right)={{r}_{1}}- b\sin \theta +{\frac {{b}^{2}}{2{{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta +\ldots ~$ .

اختلاف فاز بین امواجی که در طول مسیرهای r2 و r1 منتشر می شوند، با عدد موج که λ طول موج نور است،

$k{{r}_{2}}-k{{r}_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {{b}^{2}}{2{{r }_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta +\ldots$ .

$k{\frac {{b}^{2}}{2{{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta =\pi {\frac {{b }^{2}}{\lambda {{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta \ll \pi$ بنابراین ${\frac {{b}^{2}}{\lambda {{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta \ll 1$ ، سپس اختلاف فاز است $k{{r}_{2}}-k{{r}_{1}}\cong -kb\sin \theta$ . مفهوم هندسی این عبارت این است که مسیرهای r 2 و r 1 تقریباً با یکدیگر موازی هستند. از آنجایی که می تواند مسیر موج پراش صفحه پراش - صفحه مشاهده وجود داشته باشد که زاویه آن نسبت به خط مستقیم موازی با محور نوری نزدیک به 0 باشد، این شرایط تقریب را می توان بیشتر به صورت ساده تر کرد. ${\frac {{b}^{2}}{\lambda }}\ll L$ که در آن L فاصله بین دو صفحه در امتداد محور نوری است. با توجه به این واقعیت که یک موج تابشی در یک صفحه پراش عملاً یک موج صفحه است اگر ${\frac {{b}^{2}}{\lambda }}\ll L$ در جایی که L فاصله بین صفحه پراش و منبع موج نقطه ای است، شرط فراونهوفر ${\frac {{b}^{2}}{\lambda }}\ll L$ جایی که L کوچکتر از دو فاصله است، یکی بین صفحه پراش و صفحه مشاهده و دیگری بین صفحه پراش و منبع موج نقطه ای است.

صفحه کانونی عدسی مثبت به عنوان صفحه میدان دور [ ویرایش ]

موج صفحه ای که توسط یک عدسی متمرکز شده است.

در میدان دور، مسیرهای انتشار موجک ها از هر نقطه روی دیافراگم تا نقطه مشاهده تقریباً موازی هستند و یک عدسی مثبت (عدسی کانونی) پرتوهای موازی را به سمت عدسی به نقطه ای در صفحه کانونی متمرکز می کند (موقعیت نقطه کانونی). در صفحه کانونی به زاویه پرتوهای موازی نسبت به محور نوری بستگی دارد). بنابراین، اگر یک عدسی مثبت با فاصله کانونی به اندازه کافی بلند (به طوری که تفاوت بین جهت گیری میدان الکتریکی موجک ها در فوکوس نادیده گرفته شود) بعد از دیافراگم قرار گیرد، آنگاه لنز عملاً الگوی پراش فراونهوفر دیافراگم را روی کانون خود می سازد. صفحه به عنوان پرتوهای موازی با یکدیگر در کانون برخورد می کنند. [9]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fraunhofer_diffraction

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

اصل همیلتون

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مکانیک کلاسیک
بخشی از یک سریال در
${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$ قانون دوم حرکت
تاریخ جدول زمانی کتاب های درسی
نشان دادن شاخه ها
نشان دادن مبانی
نشان دادن فرمولاسیون
نشان دادن موضوعات اصلی
نشان دادن چرخش
نشان دادن دانشمندان
پورتال فیزیک دسته بندی
v تی ه

در فیزیک ، اصل همیلتون ، فرمول بندی اصل کنش ثابت توسط ویلیام روآن همیلتون است . بیان می‌کند که دینامیک یک سیستم فیزیکی توسط یک مسئله متغیر برای یک تابع بر اساس یک تابع واحد، لاگرانژی تعیین می‌شود ، که ممکن است شامل تمام اطلاعات فیزیکی مربوط به سیستم و نیروهای وارد بر آن باشد. مسئله تغییرات معادل است و امکان استخراج معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم فیزیکی را فراهم می کند. اگرچه در اصل برای مکانیک کلاسیک فرموله شده است اصل همیلتون در زمینه‌های کلاسیک مانند میدان‌های الکترومغناطیسی و گرانشی نیز کاربرد دارد و نقش مهمی در مکانیک کوانتومی ، نظریه میدان کوانتومی و نظریه‌های بحرانی دارد.

همانطور که سیستم تکامل می یابد، q مسیری را از طریق فضای پیکربندی ردیابی می کند (فقط برخی از آنها نشان داده شده است). مسیر طی شده توسط سیستم (قرمز) دارای یک عمل ثابت است (δ S = 0) تحت تغییرات کوچک در پیکربندی سیستم (δ q ). [1]

فهرست

فرمول بندی ریاضی [ ویرایش ]

اصل همیلتون بیان می کند که تکامل واقعی q ( t ) یک سیستم توصیف شده توسط N مختصات تعمیم یافته q = ( q 1 , q 2 , ..., q N ) بین دو حالت مشخص q 1 = q ( t 1 ) و q 2 = q ( t 2 ) در دو زمان مشخص t 1 و t 2 یک نقطه ثابت (نقطه ای که در آن تغییرات صفر است) ازعمل عملکردی

${\mathcal {S}}[{\mathbf {q}}]\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int _{{t_{1}}}^{{t_{ 2}}}L({\mathbf {q}}(t)،{\dot {{\mathbf {q}}}}(t),t)\,dt$

جایی که {\displaystyle L(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)} $L({\mathbf {q}}،{\dot {{\mathbf {q}}}}،t)$ تابع لاگرانژی برای سیستم است . به عبارت دیگر، هر گونه اغتشاش مرتبه اول تکامل واقعی منجر به (حداکثر) تغییرات مرتبه دوم در{\displaystyle {\mathcal {S}}} ${\mathcal {S}}$ . عمل{\displaystyle {\mathcal {S}}} ${\mathcal {S}}$ تابعی است ، یعنی چیزی که یک تابع را به عنوان ورودی خود می گیرد و یک عدد واحد، یک اسکالر را برمی گرداند . از نظر تحلیل تابعی ، اصل همیلتون بیان می کند که تکامل واقعی یک سیستم فیزیکی حل معادله تابعی است.

اصل همیلتون

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0.$

یعنی سیستم مسیری را در فضای پیکربندی طی می‌کند که عمل برای آن ثابت است، با شرایط مرزی ثابت در ابتدا و انتهای مسیر.

معادلات اویلر-لاگرانژ به دست آمده از انتگرال کنشی [ ویرایش ]

همچنین مشتق دقیق‌تر معادله اویلر-لاگرانژ را ببینید

نیاز به اینکه مسیر واقعی q ( t ) یک نقطه ثابت از عملکرد عملکرد باشد{\displaystyle {\mathcal {S}}} ${\mathcal {S}}$ معادل مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل برای q ( t ) است ( معادلات اویلر-لاگرانژ )، که ممکن است به صورت زیر مشتق شوند.

فرض کنید q ( t ) تکامل واقعی سیستم را بین دو حالت مشخص شده نشان دهد . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ یک اغتشاش کوچک که در نقاط انتهایی مسیر صفر است

${\boldsymbol \varepsilon }(t_{1})={\boldsymbol \varepsilon }(t_{2})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0$

برای اولین بار در اغتشاش ε ( t )، تغییر در عمل تابعی است{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}} $\delta {\mathcal {S}}$ خواهد بود

$\delta {\mathcal {S}}=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;\left[L({\mathbf {q}}+{\boldsymbol \varepsilon }،{\dot {{\mathbf {q}}}}+{\dot {{\boldsymbol {\varepsilon }}}})-L({\mathbf {q}}،{\dot {{\mathbf { q}}}})\right]dt=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}+{\dot {{\boldsymbol {\varepsilon }}}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf { q}}}}}}\right)\,dt$

جایی که ما L لاگرانژ را به مرتبه اول در اغتشاش ε ( t ) گسترش داده ایم.

اعمال ادغام توسط قطعات در ترم آخر منجر به

$\delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf {q}}}}}}\right] _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon } \cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{ \partial {\dot {{\mathbf {q}}}}}}\right)\,dt$

${\boldsymbol \varepsilon }(t_{1})={\boldsymbol \varepsilon }(t_{2})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0$ باعث می شود اولین ترم ناپدید شود

$\delta {\mathcal {S}}=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;{\boldsymbol \varepsilon }\cdot \left({\frac {\partial L }{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf {q}}}}}} \راست)\,dt$

اصل همیلتون ایجاب می کند که این مرتبه اول تغییر کند $\delta {\mathcal {S}}$ برای تمام اغتشاشات ممکن ε ( t ) صفر است ، یعنی مسیر واقعی یک نقطه ثابت از عملکرد تابعی است ${\mathcal {S}}$ (یا حداقل، حداکثر یا نقطه زینی). این نیاز می تواند برآورده شود اگر و فقط اگر

معادلات اویلر – لاگرانژ

${\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf { q}}}}}=0$

این معادلات معادلات اویلر-لاگرانژ برای مسئله تغییرات نامیده می شوند.

لحظه متعارف و ثابت های حرکت [ ویرایش ]

تکانه مزدوج p k برای مختصات تعمیم یافته q k با این معادله تعریف می شود

$p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$ .

یک مورد خاص مهم از معادله اویلر-لاگرانژ زمانی اتفاق می‌افتد که L یک مختصات تعمیم‌یافته q k را به صراحت نداشته باشد.

${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot { q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,$

یعنی تکانه مزدوج ثابت حرکت است.

در چنین مواردی مختصات q k مختصات چرخه ای نامیده می شود . به عنوان مثال، اگر از مختصات قطبی t، r، θ برای توصیف حرکت مسطح یک ذره استفاده کنیم، و اگر L به θ وابسته نباشد ، تکانه مزدوج تکانه زاویه ای حفظ شده است.

مثال: ذره آزاد در مختصات قطبی [ ویرایش ]

مثال‌های بی‌اهمیت به درک استفاده از اصل عمل از طریق معادلات اویلر-لاگرانژ کمک می‌کنند. یک ذره آزاد (جرم m و سرعت v ) در فضای اقلیدسی در یک خط مستقیم حرکت می کند. با استفاده از معادلات اویلر-لاگرانژ، می توان آن را در مختصات قطبی به صورت زیر نشان داد. در غیاب پتانسیل، لاگرانژ به سادگی برابر با انرژی جنبشی است

$L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y} }^{2}\راست)$

در مختصات متعامد ( x ، y )، که در آن نقطه نشان دهنده تمایز با توجه به پارامتر منحنی (معمولا زمان، t ) است. بنابراین، با استفاده از معادلات اویلر-لاگرانژ،

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x} }=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0$

و به همین ترتیب برای y . بنابراین می توان از فرمول اویلر-لاگرانژ برای استخراج قوانین نیوتن استفاده کرد.

در مختصات قطبی ( r , φ) انرژی جنبشی و در نتیجه لاگرانژ تبدیل می شود

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).$

مولفه های r و φ شعاعی معادلات اویلر-لاگرانژ به ترتیب تبدیل می شوند

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r} }=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \ varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.$

به یاد داشته باشید که r نیز به زمان وابسته است و برای محاسبه مشتق زمان کل به قانون محصول نیاز است ${\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}$ .

حل این دو معادله به دست آمده است

$r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}$

$\varphi =\tan ^{{-1}}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d$

برای مجموعه ای از ثابت های a، b، c، d که با شرایط اولیه تعیین می شوند. بنابراین، در واقع، راه حل یک خط مستقیم است که در مختصات قطبی داده شده است: a سرعت، c فاصله نزدیکترین نزدیک به مبدا، و d زاویه حرکت است.

برای اجسام قابل تغییر شکل اعمال می شود [ ویرایش ]

اصل همیلتون یک اصل متغیر مهم در الاستودینامیک است. برخلاف سیستمی متشکل از اجسام صلب، اجسام تغییر شکل پذیر دارای تعداد بی نهایت درجه آزادی هستند و مناطق پیوسته ای از فضا را اشغال می کنند. در نتیجه، وضعیت سیستم با استفاده از توابع پیوسته مکان و زمان توصیف می‌شود. اصل توسعه یافته همیلتون برای چنین اجسامی توسط

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\delta W_{e}+\delta T-\delta U\right]dt=0$

که در آن T انرژی جنبشی، U انرژی الاستیک، W e کاری است که توسط بارهای خارجی روی بدن انجام می شود و t 1 ، t 2 زمان های اولیه و نهایی است. اگر سیستم محافظه کار باشد، کار انجام شده توسط نیروهای خارجی ممکن است از یک پتانسیل اسکالر V حاصل شود. در این مورد،

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[T-(U+V)\right]dt=0.$

این اصل همیلتون نامیده می شود و تحت تبدیل مختصات ثابت است.

مقایسه با اصل Maupertuis [ ویرایش ]

اصل همیلتون و اصل Maupertuis گاهی اوقات با هم اشتباه گرفته می شوند و هر دو (به اشتباه) اصل حداقل عمل نامیده می شوند. آنها از سه جهت مهم متفاوت هستند:

تعریف آنها از عمل ...

اصل Maupertuis از یک انتگرال بر روی مختصات تعمیم یافته استفاده می کند که به عنوان عمل اختصاری یا عمل کاهش یافته شناخته می شود.

${\mathcal {S}}_{{0}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int {\mathbf {p}}\cdot d{\mathbf {q}}$

که در آن p = ( p 1 , p 2 , ... , p N ) ممانه مزدوج تعریف شده در بالا هستند. در مقابل، اصل همیلتون استفاده می کند ${\mathcal {S}}$ انتگرال لاگرانژی در طول زمان .

راه حلی که آنها تعیین می کنند ...

اصل همیلتون مسیر q ( t ) را به عنوان تابعی از زمان تعیین می کند، در حالی که اصل Maupertuis فقط شکل مسیر را در مختصات تعمیم یافته تعیین می کند. به عنوان مثال، اصل Maupertuis شکل بیضی را تعیین می کند که یک ذره تحت تأثیر یک نیروی مرکزی معکوس مربع مانند گرانش بر روی آن حرکت می کند ، اما به خودی خود نحوه حرکت ذره در طول آن مسیر را توصیف نمی کند. (با این حال، این پارامتر زمان ممکن است از طریق خود مسیر در محاسبات بعدی با استفاده از بقای انرژی تعیین شود ). در مقابل، اصل همیلتون مستقیماً حرکت در امتداد بیضی را به عنوان تابعی از زمان مشخص می کند.

... و محدودیت های تغییر.

اصل Maupertuis مستلزم آن است که دو حالت نقطه پایانی q 1 و q 2 داده شود و انرژی در طول هر مسیر حفظ شود (انرژی یکسان برای هر مسیر). این امر باعث می‌شود زمان‌های نقطه پایانی نیز متفاوت باشند. در مقابل، اصل همیلتون مستلزم بقای انرژی نیست، اما مستلزم آن است که زمان‌های پایانی t 1 و t 2 و همچنین حالت‌های نقطه پایانی q 1 و q 2 مشخص شود.

اصل عمل برای فیلدها [ ویرایش ]

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه میدان کلاسیک

اصل عمل را می توان برای بدست آوردن معادلات حرکت برای میدان هایی مانند میدان الکترومغناطیسی یا گرانش گسترش داد.

معادله انیشتین از عمل انیشتین-هیلبرت استفاده می کند که توسط یک اصل متغیر محدود شده است .

مسیر یک جسم در یک میدان گرانشی (یعنی سقوط آزاد در فضا-زمان، به اصطلاح ژئودزیک) را می توان با استفاده از اصل عمل پیدا کرد.

مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه میدان کوانتومی

در مکانیک کوانتومی ، سیستم یک مسیر واحد را دنبال نمی کند که عملکرد آن ثابت باشد، بلکه رفتار سیستم به تمام مسیرهای قابل تصور و ارزش عمل آنها بستگی دارد. عمل مربوط به مسیرهای مختلف برای محاسبه انتگرال مسیر استفاده می شود که دامنه احتمال نتایج مختلف را نشان می دهد.

اگرچه در مکانیک کلاسیک با قوانین نیوتن معادل است ، اما اصل عمل برای تعمیم ها مناسب تر است و نقش مهمی در فیزیک مدرن ایفا می کند. در واقع، این اصل یکی از تعمیم های بزرگ در علم فیزیک است. به ویژه، در مکانیک کوانتومی به طور کامل مورد توجه و درک قرار گرفته است . فرمول انتگرال مسیر ریچارد فاینمن در مکانیک کوانتومی بر اساس یک اصل کنش ثابت است که از انتگرال های مسیر استفاده می کند. معادلات ماکسول را می توان به عنوان شرایط کنش ثابت به دست آورد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton%27s_principle

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه قانون اسنل

اشتقاق از اصل هویگنس [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اصل هویگنز-فرنل

از طرف دیگر، قانون اسنل را می توان با استفاده از تداخل همه مسیرهای ممکن موج نور از منبع تا ناظر استخراج کرد - این باعث تداخل مخرب در همه جا می شود، به جز انتهای فاز (جایی که تداخل سازنده است) - که به مسیرهای واقعی تبدیل می شوند.

اشتقاق از معادلات ماکسول [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: معادلات فرنل

روش دیگر برای استخراج قانون اسنل شامل استفاده از شرایط مرزی کلی معادلات ماکسول برای تابش الکترومغناطیسی است .

اشتقاق از پایستگی انرژی و تکانه [ ویرایش ]

راه دیگری برای استخراج قانون اسنل بر اساس ملاحظات تقارن ترجمه است. [16] برای مثال، یک سطح همگن عمود بر جهت z نمی تواند تکانه عرضی را تغییر دهد. از آنجایی که بردار انتشار {\displaystyle {\vec {k}}} ${\vec {k}}$ متناسب با تکانه فوتون، جهت انتشار عرضی است {\displaystyle (k_{x},k_{y},0)} $(k_x،k_y،0)$ باید در هر دو منطقه یکسان باقی بماند. فرض کنید بدون از دست دادن کلیت، سطحی از وقوع در{\displaystyle z,x} $z، x$ سطح {\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}} $k_{x\text{Region}_1} = k_{x\text{Region}_2}$ . با استفاده از وابستگی شناخته شده عدد موج به ضریب شکست محیط، قانون اسنل را بلافاصله استخراج می کنیم.

$k_{x\text{Region}_1} = k_{x\text{Region}_2} \,$

$n_1 k_0\sin\theta_1 = n_2 k_0\sin\theta_2 \,$

$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \,$

$k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}=\frac{\omega}{c}$ عدد موج در خلاء است. اگرچه هیچ سطحی در مقیاس اتمی واقعاً همگن نیست، تقارن انتقالی کامل هر زمان که ناحیه در مقیاس طول موج نور همگن باشد، تقریبی عالی است.

فرم برداری [ ویرایش ]

همچنین رجوع کنید به: انعکاس چشمگیر § جهت بازتاب

با توجه به یک بردار نور نرمال شده {\displaystyle {\vec {l}}} ${\vec {l}}$ (اشاره از منبع نور به سمت سطح) و یک بردار نرمال صفحه نرمال شده {\displaystyle {\vec {n}}} $\vec{n}$ ، می توان از طریق کسینوس های زاویه تابش پرتوهای منعکس شده و منکسر نرمال شده را بررسی کرد. {\displaystyle \theta _{1}} $\تتا _{1}$ و زاویه شکست {\displaystyle \theta _{2}} $\تتا _{2}$ ، بدون استفاده صریح از مقادیر سینوسی یا هر تابع مثلثاتی یا زاویه: [17]

{\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} $\cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}$

توجه داشته باشید: {\displaystyle \cos \theta _{1}} $\cos\theta_1$ باید مثبت باشد، که اگر باشد {\displaystyle {\vec {n}}} $\vec{n}$ بردار معمولی است که از سطح به سمت سمتی که نور از آن می آید، یعنی ناحیه ای با شاخص اشاره می کند {\displaystyle n_{1}} $n_{1}$ . اگر{\displaystyle \cos \theta _{1}} $\cos\theta_1$ پس منفی است {\displaystyle {\vec {n}}} $\vec{n}$ بدون نور به طرفین اشاره می کند، بنابراین از اول شروع کنید {\displaystyle {\vec {n}}} $\vec{n}$ با منفی آن جایگزین شده است.

${\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}$

این بردار جهت منعکس شده به سمت سطحی که نور از آنجا آمده است برمی گردد.

اکنون قانون اسنل را بر نسبت سینوس ها اعمال کنید تا فرمول بردار جهت پرتو شکست را بدست آورید:

$\sin\theta_2 = \left(\frac{n_1}{n_2}\right) \sin\theta_1 = \left( \frac{n_1}{n_2} \right) \sqrt{ 1 - \left(\cos\theta_1 \راست)^2}$

$\cos\theta_2 = \sqrt{1-(\sin\theta_2)^2} = \sqrt{1 - \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2 \left( 1 - \left( \ cos\theta_1 \right)^2 \right)}$

${\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\ چپ ({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}$

فرمول ممکن است از نظر مقادیر ساده تغییر نام یافته ساده تر به نظر برسد $r = n_1 / n_2$ و $c=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}$ ، از هرگونه ظاهر شدن نام تابع trig یا نام زاویه اجتناب کنید:

${\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c ^{2}\right)}}\right){\vec {n}}$

مثال:

${\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{ n_{2}}}=0.9$

$c = \cos\theta_1=0.707107، ~ \sqrt{1 - r^2 \left( 1 - c^2 \راست)} = \cos\theta_2 = 0.771362$

${\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362 \}$

مقادیر کسینوس ممکن است ذخیره شده و در معادلات فرنل برای تعیین شدت پرتوهای حاصل استفاده شود.

بازتاب داخلی کل با یک رادیکاند منفی در معادله برای نشان داده می شود $\cos\theta_2$ ، که فقط برای پرتوهایی که به محیطی با چگالی کمتر عبور می کنند اتفاق بیفتد ( $n_2 < n_1$ ).

بازتاب داخلی کل و زاویه بحرانی [ ویرایش ]

نشان دادن عدم شکست در زوایای بزرگتر از زاویه بحرانی.

مقاله اصلی: بازتاب داخلی کل

هنگامی که نور از محیطی با ضریب شکست بالاتر به محیطی با ضریب شکست پایین تر حرکت می کند، به نظر می رسد قانون اسنل در برخی موارد (زمانی که زاویه تابش به اندازه کافی بزرگ است) ایجاب می کند که سینوس زاویه انکسار بزرگتر از یک باشد. این البته غیرممکن است و نور در چنین مواردی کاملاً توسط مرز منعکس می شود، پدیده ای که به عنوان بازتاب داخلی کل شناخته می شود . بزرگترین زاویه تابش ممکن که همچنان منجر به یک پرتو شکسته می شود، زاویه بحرانی نامیده می شود . در این حالت پرتو شکست در امتداد مرز بین دو رسانه حرکت می کند.

شکست نور در سطح مشترک بین دو رسانه.

برای مثال، پرتوی از نور را در نظر بگیرید که از آب به هوا با زاویه تابش 50 درجه حرکت می کند. ضریب شکست آب و هوا تقریباً به ترتیب 1.333 و 1 است، بنابراین قانون اسنل این رابطه را به ما می دهد.

$\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \frac{1.333}{1}\cdot\sin\left(50^\circ\right) = 1.333\cdot 0.766 = 1.021،$

که ارضای آن غیر ممکن است. زاویه بحرانی θ crit مقدار θ 1 است که θ 2 برابر 90 درجه است:

$\theta_\text{crit} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\right) = \arcsin\frac{n_2}{n_1} = 48.6^\circ.$

پراکندگی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: پراکندگی (اپتیک)

در بسیاری از رسانه های انتشار موج، سرعت موج با فرکانس یا طول موج امواج تغییر می کند. این در مورد انتشار نور در بیشتر مواد شفاف غیر از خلاء صادق است. این رسانه ها پراکنده نامیده می شوند. نتیجه این است که زوایای تعیین شده توسط قانون اسنل به فرکانس یا طول موج نیز بستگی دارد، به طوری که پرتوی از طول موج های مخلوط، مانند نور سفید، پخش یا پراکنده می شود. چنین پراکندگی نور در شیشه یا آب زمینه ساز پیدایش رنگین کمان ها و سایر پدیده های نوری است که در آن طول موج های مختلف به صورت رنگ های متفاوت ظاهر می شوند.

در ابزارهای نوری، پراکندگی منجر به انحراف رنگی می شود . یک تاری وابسته به رنگ که گاهی اوقات اثر محدود کننده وضوح است. این امر به ویژه در تلسکوپ های شکستی ، قبل از اختراع عدسی های شیئی آکروماتیک صادق بود.

رسانه از دست دادن، جذب یا هدایت کننده [ ویرایش ]

همچنین ببینید: توضیحات ریاضی کدورت

در یک محیط رسانا، گذردهی و ضریب شکست دارای مقادیر پیچیده هستند. در نتیجه، زاویه شکست و بردار موج نیز همینطور است. این نشان می‌دهد که در حالی که سطوح فاز واقعی ثابت، صفحاتی هستند که نرمال‌های آن‌ها زاویه‌ای برابر با زاویه شکست با سطح مشترک عادی می‌سازند، سطوح با دامنه ثابت، در مقابل، سطوحی موازی با خود رابط هستند. از آنجایی که این دو صفحه به طور کلی با یکدیگر منطبق نیستند، گفته می شود که موج ناهمگن است. [18] موج شکست به صورت تصاعدی ضعیف می شود، با توانی متناسب با مؤلفه خیالی ضریب شکست. [19] [20]

https://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:20 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه قانون اسنل

توضیح [ ویرایش ]

قانون اسنل روی دیواری در لیدن

قانون اسنل برای تعیین جهت پرتوهای نور از طریق رسانه های انکساری با شاخص های مختلف شکست استفاده می شود. شاخص های انکسار رسانه، برچسب گذاری شده است $n_{1}$ ، $n_{2}$ و غیره، برای نشان دادن عاملی استفاده می شود که توسط آن سرعت پرتو نور در هنگام حرکت از طریق یک محیط انکساری مانند شیشه یا آب، بر خلاف سرعت آن در خلاء کاهش می یابد.

همانطور که نور از مرز بین رسانه ها عبور می کند، بسته به ضریب شکست نسبی دو محیط، نور یا به زاویه کمتر یا بیشتر شکسته می شود. این زوایا با توجه به خط معمولی که عمود بر مرز نشان داده می شود اندازه گیری می شوند. در صورت عبور نور از هوا به آب، نور به سمت خط عادی شکسته می شود، زیرا سرعت نور در آب کاهش می یابد. نوری که از آب به هوا می رود از خط عادی منکسر می شود.

شکست بین دو سطح نیز برگشت پذیر نامیده می شود ، زیرا اگر همه شرایط یکسان بودند، زاویه ها برای انتشار نور در جهت مخالف یکسان بود.

قانون اسنل به طور کلی فقط برای محیط های همسانگرد یا اسپکولار (مانند شیشه ) صادق است. در محیط های ناهمسانگرد مانند برخی از کریستال ها، انکسار مضاعف ممکن است پرتو شکست شده را به دو پرتو تقسیم کند، پرتو معمولی یا O که از قانون اسنل پیروی می کند، و پرتوی دیگر غیرعادی یا اشعه ای که ممکن است با پرتو فرودی همسطح نباشد.

هنگامی که نور یا موج دیگر درگیر تک رنگ است، یعنی دارای یک فرکانس است، قانون اسنل نیز می تواند بر حسب نسبت طول موج در دو رسانه بیان شود. $\lambda _{1}$ و $\lambda _{2}$ :

$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$

مشتقات و فرمول [ ویرایش ]

جبهه موج از منبع نقطه ای در چارچوب قانون اسنل. ناحیه زیر خط خاکستری نسبت به ناحیه بالای آن ضریب شکست بالاتر و سرعت نور به نسبت کمتری دارد.

قانون اسنل را می توان به روش های مختلفی استخراج کرد.

اشتقاق از اصل فرما [ ویرایش ]

قانون اسنل را می توان از اصل فرما استخراج کرد که می گوید نور مسیری را طی می کند که کمترین زمان را می گیرد. با گرفتن مشتق طول مسیر نوری ، نقطه ثابت مسیر طی شده توسط نور را نشان می دهد. (موقعیت هایی وجود دارد که نور با رعایت نکردن کمترین مسیر زمانی، مانند بازتاب در یک آینه (کروی) اصل فرما را نقض می کند.) در یک قیاس کلاسیک، ناحیه ضریب شکست پایین با یک ساحل جایگزین می شود، ناحیه ای که انکسار بالاتر است. ایندکس کنار دریا، و سریعترین راه برای یک امدادگر در ساحل برای رسیدن به غریق در دریا، دویدن در مسیری است که از قانون اسنل پیروی می کند.

نور از محیط 1، نقطه Q، وارد محیط 2 می شود، شکست رخ می دهد و در نهایت به نقطه P می رسد.

همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است، ضریب شکست محیط 1 و متوسط 2 را فرض کنید. $n_{1}$ و $n_{2}$ به ترتیب. نور از طریق نقطه O از محیط 1 وارد محیط 2 می شود.

$\تتا _{1}$ زاویه برخورد است، $\تتا _{2}$ زاویه شکست نسبت به حالت عادی است.

سرعت فاز نور در محیط 1 و محیط 2 می باشد

$v_1=c/n_1$ و

$v_2=c/n_2$ به ترتیب.

$ج$ سرعت نور در خلاء است.

فرض کنید T زمان لازم برای عبور نور از نقطه Q از نقطه O به نقطه P باشد.

$T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(lx)^ {2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^ {2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}$

که در آن a، b، l و x در شکل سمت راست نشان داده شده است، x پارامتر متغیر است.

برای به حداقل رساندن آن، می توان موارد زیر را متمایز کرد:

$\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(lx)^2 + b^2}}=0$ (نقطه ثابت)

$\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} =\sin\theta_1$

$\frac{ l - x}{\sqrt{(lx)^2 + b^2}}=\sin\theta_2$

از این رو،

$\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0$

${\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

$\frac{n_1\sin\theta_1}{c}=\frac{n_2\sin\theta_2}{c}$

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:17 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قانون اسنل

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

انکسار نور در حد فاصل بین دو محیط با ضریب شکست مختلف با n 2 > n 1 . از آنجایی که سرعت در محیط دوم کمتر است (v 2 < v 1 )، زاویه شکست θ 2 کمتر از زاویه تابش θ 1 است. یعنی پرتو در محیط با شاخص بالاتر به حالت عادی نزدیکتر است.

قانون اسنل (همچنین به عنوان قانون اسنل-دکارت و قانون شکست نیز شناخته می شود ) فرمولی است که برای توصیف رابطه بین زوایای تابش و شکست ، زمانی که به نور یا امواج دیگری که از مرزی بین دو محیط همسانگرد مختلف می گذرند ، استفاده می شود. مانند آب، شیشه یا هوا. این قانون برای ویلبرورد اسنلیوس ، ستاره شناس و ریاضیدان هلندی، که در دنیای انگلیسی به نام اسنل شناخته می شود، نامگذاری شده است.

در اپتیک، قانون در ردیابی پرتو برای محاسبه زوایای تابش یا شکست و در اپتیک تجربی برای یافتن ضریب شکست یک ماده استفاده می شود. این قانون همچنین در مورد مواد متا رعایت می شود، که اجازه می دهد نور در زاویه منفی شکست با ضریب شکست منفی "به عقب" خم شود .

قانون اسنل بیان می کند که نسبت سینوس های زوایای تابش و شکست معادل نسبت سرعت فاز در دو محیط یا معادل متقابل نسبت ضرایب شکست است :

${\frac {\sin \theta _{2}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {n_ {1}}{n_{2}}}$

با هریک $تتا$ به عنوان زاویه اندازه گیری شده از نرمال مرز، $v$ به عنوان سرعت نور در محیط مربوطه (واحد SI متر بر ثانیه یا m/s است) و $n$ به عنوان ضریب شکست (که کمتر از واحد است) محیط مربوطه.

این قانون از اصل کمترین زمان فرما پیروی می کند ، که به نوبه خود از انتشار نور به صورت امواج ناشی می شود.

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

بازتولید صفحه ای از نسخه خطی ابن سهل که کشف قانون شکست را نشان می دهد.

بطلمیوس ، در اسکندریه ، مصر، [1] رابطه ای در رابطه با زوایای شکست پیدا کرده بود، اما برای زوایایی که کوچک نبودند دقیق نبود. بطلمیوس مطمئن بود که یک قانون تجربی دقیق پیدا کرده است، تا حدی در نتیجه تغییر جزئی داده های خود برای تطبیق با نظریه (نگاه کنید به: سوگیری تایید ). [2] الهازن ، در کتاب اپتیک (1021) خود، به کشف قانون شکست نزدیکتر شد، اگرچه او این گام را برنداشت. [3]

نمای 1837 از تاریخ "قانون سینوس" [4]

قانونی که در نهایت به نام اسنل نامگذاری شد، اولین بار توسط دانشمند ایرانی ابن سهل در دربار بغداد در سال 984 به طور دقیق توصیف شد. سهل در نسخه خطی در مورد آینه و عدسی سوزان ، از این قانون برای استخراج اشکال عدسی استفاده کرد که نور را بدون انحرافات هندسی متمرکز می کند. [5]

این قانون توسط توماس هریوت در سال 1602 دوباره کشف شد، [6] که با این حال نتایج خود را منتشر نکرد، اگرچه با کپلر در همین موضوع مکاتبه کرده بود. در سال 1621، ستاره شناس هلندی Willebrord Snellius (1580-1626) - اسنل - شکلی معادل ریاضی به دست آورد که در طول زندگی او منتشر نشده باقی ماند. رنه دکارت به طور مستقل این قانون را با استفاده از استدلال های حفظ تکانه اکتشافی بر حسب سینوس ها در مقاله خود در سال 1637 Dioptrique استخراج کرد و از آن برای حل طیفی از مسائل نوری استفاده کرد. پیر دو فرما با رد راه حل دکارت، تنها بر اساس اصل حداقل زمان خود به همان راه حل رسید.. دکارت سرعت نور را بی نهایت فرض می کرد، با این حال در اشتقاق قانون اسنل او همچنین فرض کرد که هر چه محیط متراکم تر باشد، سرعت نور بیشتر است. فرما از مفروضات مخالف پشتیبانی کرد، یعنی سرعت نور متناهی است، و اشتقاق او به کندتر بودن سرعت نور در محیط متراکم تر بستگی داشت. [7] [8] اشتقاق فرما همچنین از اختراع کفایی او ، یک روش ریاضی معادل حساب دیفرانسیل، برای یافتن ماکزیمم، مینیمم، و مماس استفاده کرد. [9] [10]

دکارت در کتاب ریاضیات تأثیرگذار هندسه ، مسئله ای را حل می کند که آپولونیوس از پرگا و پاپوس اسکندریه روی آن کار کرده بودند . با توجه به n خط L و یک نقطه P(L) در هر خط، مکان نقاط Q را به گونه ای بیابید که طول پاره خط QP(L) شرایط خاصی را برآورده کند. به عنوان مثال، هنگامی که n = 4، با توجه به خطوط a، b، c، و d و یک نقطه A در a، B در b و غیره، مکان نقاط Q را به گونه ای بیابید که حاصلضرب QA*QB با حاصلضرب برابر شود. QC*QD. هنگامی که خطوط همه موازی نیستند، پاپوس نشان داد که جایگاه ها مخروطی هستند، اما وقتی دکارت n بزرگتر را در نظر گرفت، منحنی های مکعبی و درجه بالاتر را به دست آورد. برای نشان دادن اینکه منحنی های مکعب جالب هستند، او نشان داد که آنها به طور طبیعی در اپتیک از قانون اسنل به وجود آمده اند. [11]

به گفته Dijksterhuis، [12] "در De natura lucis et proprietate (1662) آیزاک ووسیوس گفت که دکارت مقاله اسنل را دیده و مدرک خود را ساخته است. هم فرما و هم هویگنز این اتهام را تکرار کردند که دکارت از اسنل کپی کرده است. در زبان فرانسه ، قانون اسنل "لا لوی دکارت" یا "لوی د اسنل-دکارت" نامیده می شود.

ساخت و ساز کریستیان هویگنس

کریستین هویگنز در سال 1678 خود در Traité de la Lumière نشان داد که چگونه قانون سینوس اسنل را می توان با استفاده از چیزی که ما به آن اصل هویگنز-فرنل می نامیم توضیح داد یا از ماهیت موجی نور مشتق شد .

با توسعه نظریه نوری و الکترومغناطیسی مدرن، قانون اسنل باستان وارد مرحله جدیدی شد. در سال 1962، بلومبرگن نشان داد که در مرز محیط غیرخطی، قانون اسنل باید به شکل کلی نوشته شود. [13] در سال‌های 2008 و 2011، فراسطح‌های پلاسمونیک نیز برای تغییر جهت بازتاب و انکسار پرتو نور نشان داده شد. [14] [15]

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-گروه قابل حل

خواص قوی تر



				گروه آبلی , گروه متاابلی , گروه متاسیکلیک , گروه چند حلقه ای \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه nilpotent	سری مرکزی پایین به بدیهی می رسد	nilpotent به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای nilpotent است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه Metanilpotent \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر	nilpotent در مقابل قابل حل
گروه متاابلی	زیر گروه نرمال آبلی با ضریب آبلی; طول مشتق شده دو		(لیست نمونه ها را نیز ببینید)	\| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه فوق حل پذیر	سری نرمال با گروه های عامل چرخه ای	supersolvable به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای فوق حل پذیر است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه چند حلقه ای \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه چند حلقه ای	سری های غیرنرمال با گروه های عامل چرخه ای معادل قابل حل در حالت متناهی	چند حلقه ای به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای چند حلقه ای است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه قابل حل به پایان رسیده , گروه قابل حل به پایان رسیده ارائه شده \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه متاسیکلیک	زیر گروه نرمال حلقوی با گروه ضریب حلقوی		(لیست نمونه ها را نیز ببینید)	برای مفاهیم میانی بین گروه قابل حل و گروه متاسیکلیک، اینجا را کلیک کنید .

خواص ضعیف تر

ویژگی	معنی	اثبات دلالت	اثبات سختگیری (شکست دلالت معکوس)	مفاهیم میانی
گروه هیپوآبلین	سری مشتق شده transfinite به بدیهی می رسد. معادل قابل حل در حالت متناهی	حل پذیر به معنای هیپوابلی است	hypoآبلی به معنی قابل حل نیست	گروه قابل حل باقیمانده \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه ناقص	هیچ گروه ضریب کامل غیر پیش پا افتاده ای وجود ندارد	قابل حل به معنای ناقص است	ناقص نه به معنی قابل حل است	\| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه قابل حل محلی	هر زیرگروه به طور متناهی تولید شده قابل حل است معادل قابل حل در حالت متناهی
گروه قابل حل باقیمانده	هر عنصر غیر بدیهیی یک تصویر غیر بدیهیی در یک ضریب قابل حل معادل قابل حل در حالت متناهی دارد.

ارتباط با سایر خواص

پیوستگی	جزء دیگر ربط	نظرات اضافی
گروه قابل حل متناهی	گروه متناهی	برای گروه‌های متناهی، حل‌پذیر بودن معادل چند حلقه‌ای بودن است و ویژگی‌های جایگزین بسیاری دارد.
گروه T قابل حل	گروه تی
گروه HN قابل حل	گروه HN

فرمالیسم ها

از نظر اپراتور گسترش گروه

این ویژگی گروه را می‌توان بر حسب عملگر گسترش گروه و/یا اصلاح‌کننده‌های ویژگی گروهی که از این عملگر ناشی می‌شوند بیان کرد.

با اعمال عملگر poly به ویژگی گروه بودن آبلی
با اعمال عملگر سری نرمال متناهی به ویژگی گروه بودن آبلی
با اعمال عملگر سری مشخصه متناهی به ویژگی گروه بودن آبلی

توجه داشته باشید که هر سه عملگر در مورد گروه های آبلی اثر یکسانی دارند، اگرچه به طور کلی ممکن است نداشته باشند.

آزمایش کردن

مشکل تست

اطلاعات بیشتر: مسئله تست حل پذیری

مشکل آزمایش اینکه آیا یک گروه قابل حل است یا نه به مشکل محاسبه سری مشتق شده آن کاهش می یابد . در صورتی که بتوان الگوریتم بسته شدن نرمال را پیاده سازی کرد ، می توان این کار را زمانی انجام داد که گروه با استفاده از یک مجموعه تولید کننده توصیف شود.

دستور GAP

این ویژگی گروه را می توان با استفاده از عملکرد داخلی گروه ها، الگوریتم ها، برنامه نویسی (GAP) آزمایش کرد.
دستور GAP برای این ویژگی گروهی این است: IsSolvableGroup
مشخصات گروه قابل آزمایش GAP را مشاهده کنید

برای تعیین اینکه آیا یک گروه قابل حل است یا نه، از دستور GAP زیر استفاده می کنیم:

IsSolvableGroup (گروه);

که در آن گروه ممکن است تعریفی از گروه یا نامی برای گروهی باشد که قبلاً تعریف شده است.

مطالعه این مفهوم

طبقه بندی دروس ریاضی

تحت طبقه بندی موضوع ریاضی ، مطالعه این مفهوم در کلاس: 20F16 قرار می گیرد.

کلاس 20F16 برای تئوری کلی گروه های قابل حل استفاده می شود، در حالی که کلاس 20D10 (در زیر 20D که برای گروه های متناهی است) روی گروه های قابل حل متناهی تمرکز می کند.

همچنین ارتباط نزدیکی با 20F19 دارد: تعمیم گروه های nilpotent و حل پذیر.

منابع

مراجع کتاب درسی

کتاب	شماره صفحه	فصل و بخش	اطلاعات متنی
جبر انتزاعی نوشته دیوید اس. دامیت و ریچارد ام. فوت، ISBN 10 رقمی 0471433349، ISBN 13 رقمی 978-0471433347 اطلاعات بیشتر	105		تعریف رسمی
موضوعات جبر توسط IN Herstein اطلاعات بیشتر	116		تعریف رسمی، بین تمرینات معرفی شده است
جبر توسط سرژ لانگ , ISBN 038795385X اطلاعات بیشتر	18		تعریف در پاراگراف
دوره ای در تئوری گروه ها توسط درک جی اس رابینسون , ISBN 0387944613 اطلاعات بیشتر	121		تعریف رسمی
گروه ها و نمایندگی ها توسط جاناتان لازار آلپرین و روون بی بل، ISBN 0387945261 اطلاعات بیشتر	95		تعریف در پاراگراف
مقدمه ای بر جبر انتزاعی اثر درک جی اس رابینسون ، ISBN 3110175444 اطلاعات بیشتر	171		تعریف در پاراگراف
اولین دوره در جبر انتزاعی (ویرایش ششم) توسط جان بی. فرالی، ISBN 0201763907 اطلاعات بیشتر	194	تعریف 3.4.16	تعریف رسمی
جبر (متن های فارغ التحصیل در ریاضیات) نوشته توماس دبلیو هانگرفورد، ISBN 0387905189 اطلاعات بیشتر	102	تعریف 7.9	تعریف رسمی
جبه چکیده معاصر اثر جوزف گالیان، شابک 0618514716 اطلاعات بیشتر	563
موضوعات جبر توسط IN Herstein اطلاعات بیشتر	116		تعریف رسمی، بین تمرینات معرفی شده است

دسته بندی ها :

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه قابل حل

تعریف

حل شدنی را برخی افراد حلال نیز می نامند .

تعاریف معادل در قالب جدول

خیر	کوتاه نویسی	گروهی قابل حل است اگر ...	گروهی $جی$ قابل حل است اگر ...
1	سری معمولی، ضرایب آبلی	یک سری نرمال از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام در $سلام$ آن نرمال $جی$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
2	سری های غیرنرمال، ضرایب آبلی	یک سری غیرنرمال با طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد: به گونه‌ای $\{ e \}= H_0 \underline{\triangleleft} H_1 \underline{\triangleleft} \dots \underline{\triangleleft} H_n = G$ که هر کدام $سلام$ در حالت نرمال $H_{i+1}$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
3	طول متناهی سری مشتق شده	سری مشتق شده در مراحل بسیار متناهی به بدیهی می رسد	سری مشتق شده از $جی$ ، یعنی سری که در $G^{(n)}$ آن $G^{(0)} = G$ و زیرگروه مشتق شده قبلی خود است، در مراحل بسیار متناهیی به زیرگروه بدیهی می رسد. $G^{(i+1)} = [G^{(i)}، G^{(i)}]$
4	سری مشخصه، ضرایب آبلی	یک سری مشخصه از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام $سلام$ مشخصه و هر $جی$ کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
5	سری کاملاً ثابت، ضرایب آبلی	یک سری کاملاً ثابت از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام $سلام$ در آنها کاملاً ثابت $جی$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .

طول سری مشتق شده ، و کوچکترین طول ممکن یک سری برای هر یک از تعاریف معادل دیگر، طول مشتق شده یا طول قابل حل گروه نامیده می شود.

این تعریف با استفاده از فرمت جدولی ارائه شده است. | مشاهده تمام صفحات با تعاریف در قالب جدول

معادل سازی تعاریف

اطلاعات بیشتر: معادل سازی تعاریف گروه قابل حل ، معادل سازی تعاریف طول مشتق شده

مثال ها

VIEW : گروه هایی که این ویژگی را دارند | گروه هایی که از این ویژگی ناراضی هستند
مشاهده : رضایت گروه های مرتبط | نارضایتی های گروهی مرتبط با اموال

نمونه های افراطی

گروه بدیهی قابل حل است.
گروه متقارن: S3 کوچکترین گروه غیرآبلی قابل حل است.

گروه هایی که دارایی را راضی می کنند

در اینجا برخی از گروه های اساسی/مهم که دارایی را برآورده می کنند آورده شده است:

	شناسه GAP
گروه چرخه ای: Z2	2 (1)
گروه چرخه ای:Z3	3 (1)
گروه چرخه ای: Z4	4 (1)
گروه اعداد صحیح
کلاین چهار گروه	4 (2)
گروه بدیهی	1 (1)

در اینجا برخی از گروه های نسبتاً کمتر اساسی/مهم که دارایی را برآورده می کنند آورده شده است:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A4	12 (3)
گروه دو وجهی:D8	8 (3)
ضرب مستقیم Z4 و Z2	8 (2)
گروه کواترنیون	8 (4)
گروه خطی ویژه: SL(2،3)	24 (3)
گروه متقارن: S4	24 (12)

در اینجا برخی از گروه‌های پیچیده‌تر/کمتر اساسی‌تر وجود دارد که دارایی را برآورده می‌کنند:

	شناسه GAP
گروه هشت وجهی باینری	48 (28)
گروه دو وجهی:D16	16 (7)
ضرب مستقیم A4 و Z2	24 (13)
ضرب مستقیم D8 و Z2	16 (11)
گروه خطی عمومی:GL(2،3)	48 (29)
گروه کواترنیون تعمیم یافته: Q16	16 (9)
M16	16 (6)
گروه متیو: M9	72 (41)
گروه نیمه وجهی:SD16	16 (8)

گروه هایی که از ناراضی هستند

در اینجا چند گروه اساسی/مهم وجود دارد که دارایی را برآورده نمی کند:

در اینجا چند گروه نسبتاً کمتر اساسی/مهم وجود دارد که دارایی را برآورده نمی کند:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A5	60 (5)
گروه متناوب: A6	360 (118)
گروه رایگان: F2
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(3،2)	168 (42)
گروه خطی ویژه: SL(2،5)	120 (5)
گروه متقارن: S5	120 (34)

در اینجا برخی از گروه‌های پیچیده‌تر/کمتر اساسی‌تر وجود دارد که این ویژگی را برآورده نمی‌کنند:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A7
گروه متیو: M10	720 (765)
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(2،11)	660 (13)
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(2،8)	504 (156)
گروه خطی ویژه: SL(2،7)	336 (114)
گروه خطی ویژه: SL(2،9)	720 (409)

فهرست

این مقاله در مورد یک تعریف استاندارد (البته نه خیلی ابتدایی) در نظریه گروه است. با این حال، متن مقاله ممکن است بیش از تعریف اصلی داشته باشد
VIEW : تعاریف ساخته شده بر اساس این | حقایقی در این مورد: ( حقایق نزدیک به گروه قابل حل , تمام حقایق مربوط به گروه حل پذیر ) | مقالات نظرسنجی در مورد این | مقالات نظرسنجی در مورد تعاریف ساخته شده بر روی این
VIEW مرتبط : مشابه این | تغییرات این | مخالف این |
فهرست کاملی از تعاریف نیمه اساسی را در این ویکی مشاهده کنید

این مقاله یک ویژگی گروهی را تعریف می‌کند که در میان ویژگی‌های گروه موجود مهم است (یعنی مهم)
مشاهده لیستی از ویژگی‌های گروه محوری | مشاهده لیست کاملی از ویژگی های گروه [نمایش بیشتر]

نسخه این برای گروه های متناهی در: گروه قابل حل متناهی است

فراخواص

نام متاپراپرتی	راضی؟	اثبات	بیانیه با نمادها
ویژگی گروه شبه واریته	آره	حل پذیری شبه واریتال است	حل‌پذیری در زیر گروه‌ها، ضریب‌ها و ضربات مستقیم متناهی بسته می‌شود (بیشتر در زیر).
ویژگی گروه بسته شده با افزونه	آره	حل پذیری پسوند بسته است	فرض کنید $اچ$ یک زیرگروه نرمال از $جی$ این قبیل است که هر دو $اچ$ و گروه ضریب $G/H$ گروه‌های قابل حل هستند . سپس $جی$ یک گروه قابل حل است.
ویژگی گروه بسته شده توسط زیرگروه	آره	حل پذیری زیر گروه بسته است	اگر $جی$ قابل حل است، و $H\le G$ یک زیر گروه است، پس $اچ$ قابل حل است.
ویژگی گروه ضریب بسته	آره	حل پذیری نسبی بسته است	اگر $جی$ قابل حل است، و زیر گروه نرمال $اچ$ است ، گروه ضریب قابل حل است. $جی$ $G/H$
ویژگی گروه بسته ضرب مستقیم متناهی	آره	حل پذیری ضرب مستقیم متناهی است	اگر $G_1، G_2، \times، G_n$ قابل حل باشند، ضرب مستقیم خارجی $G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n$ نیز قابل حل است.
ویژگی گروهی پیوستن بسته نرمال متناهی	آره	حل پذیری نرمال متناهی است	اگر $جی$ یک گروه باشد و $N_1،N_2،\dots،N_r$ همه زیرگروه های نرمال قابل حل $جی$ باشند ، پیوستن زیر گروه ها (در این مورد نیز حاصلضرب زیرگروه ها ) $N_1N_2\dots N_r$ قابل حل است.
دارایی گروهی همسوکلینیسم-نامغیر	آره	گروه های ایزوکلینیک طول مشتق شده یکسانی دارند	اگر $G_1$ و گروه ایزوکلینیک هستند $G_2$ ، پس قابل حل است اگر و فقط اگر باشد. علاوه بر این، اگر چنین است، طول مشتق شده برابر است با طول مشتق شده از , مگر اینکه یکی از گروه ها جزئی و دیگری آبلی غیر جزئی باشد. $G_1$ $G_2$ $G_1$ $G_2$

ارتباط با سایر خواص

خواص قوی تر

ویژگی	معنی	اثبات دلالت	اثبات سختگیری (شکست دلالت معکوس)	مفاهیم میانی	مقایسه
گروه آبلی	زیر گروه مشتق شده بدیهی است	آبلی به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنی آبلی است (لیست مثال ها را نیز ببینید)	گروه متاابلی , گروه متانیل پوتنت \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه دوری			(لیست نمونه ها را نیز بب

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:22 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-گروه دو وجهی:D8

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

در ستون‌های «فهرست زیرگروه‌ها» در زیر، شکستن ردیف در داخل سلول نشان می‌دهد که هر ردیف یک کلاس مزدوج از زیر گروه‌ها را نشان می‌دهد .

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	لیست زیر گروه ها	کلاس ایزومورفیسم	ترتیب زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج (=1 اگر زیرگروه automorph-conjugate )	اندازه هر کلاس مزدوج (=1 اگر زیر گروه نرمال )	تعداد کل زیر گروه ها (=1 زیر گروه مشخصه اگر )	کلاس ضریب ایزومورفیسم (اگر زیرگروه نرمال باشد)	عمق غیر طبیعی (اگر مناسب و نرمال باشد، برابر با 1 است)	کلاس پوچی
زیر گروه بی اهمیت	$\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	8	1	1	1	گروه دو وجهی:D8	1	0
مرکز	$\{e,a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	1	1	1	کلاین چهار گروه	1	1
سایر زیر گروه های مرتبه دو	$\{e,x \}, \{ e,a^2x \}$ $\{ e,ax \}, \{ e,a^3x \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	2	2	4	--	2	1
کلاین چهار زیر گروه	$\{e,x,a^2,a^2x \}$ ، $\{ e,ax,a^2,a^3x \}$	کلاین چهار گروه	4	2	2	1	2	گروه دور ای: Z2	1	1
زیر گروه حداکثر دور ای	$\{e,a,a^2,a^3 \}$	گروه دور ای: Z4	4	2	1	1	1	گروه دور ای: Z2	1	1
کل گروه	$\{ e,a,a^2,a^3,x,ax,a^2x,a^3x \}$	گروه دو وجهی:D8	8	1	1	1	1	گروه بی اهمیت	0	2
مجموع (6 ردیف)	--	--	--	--	8	--	10	--	--	--

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی:D8#تعریف توابع

تابع تعریف زیرگروه	چه معنی میده	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی رفت و آمد دارند	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیرگروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب پایه	کلاین چهار گروه	4
هنجار بائر	تقاطع نرمال سازهای همه زیر گروه ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
به همه زیرگروه های نرمال آبلی بپیوندید	زیر گروه تولید شده توسط همه زیر گروه های نرمال آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلی دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
مرکز زلزله	تقاطع تصاویر مراکز برای همه پسوندهای مرکزی	زیر گروه بی اهمیت: $\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	بزرگترین گروه ضریب که یک گروه توانمند است	گروه دو وجهی:D8	8

چند یادداشت دیگر:

توابع تعریف کننده زیرگروه زیر با کل گروه برابر هستند زیرا گروه یک گروه پوچی است : زیرگروه متناسب ، مرکز ، رادیکال قابل حل .
توابع تعریف کننده زیرگروه زیر به دلیل اینکه گروه یک گروه قابل حل است با زیرگروه بی اهمیت برابری می کنند : هیپومرکز ، باقیمانده پوچی ، هسته کامل ، باقیمانده قابل حل .

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه دو وجهی:D8

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	36	قابل اجرا نیست
گروه اتومورفیسم	گروه دو وجهی:D8	8	3
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
گروه شبه اتومورفیسم	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
1-گروه اتومورفیسم	ضرب مستقیم S4 و Z2	48	48
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه دور ای: Z2	2	1

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 ، نظریه نمایش خطی گروه های دو وجهی

خلاصه

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1,1,1,1,2 حداکثر : 2, lcm : 2, تعداد : 5, مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص Schur نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،1
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$ ; مانند حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر
میدان تقسیم حداقلی ، یعنی کوچکترین میدان تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (بنابراین، این یک گروه نمایش منطقی است ) مانند میدانی که توسط مقادیر کاراکتر ایجاد می شود ، زیرا تمام مقادیر شاخص Schur 1 هستند.
شرط تقسیم شدن میدان برای این گروه	هر میدانی از مشخصه نه دو، یک میدان تقسیم است.
حداقل میدان تقسیم در مشخصه $p \ne 0، 2$	میدان اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	میدان:F3 ، یعنی میدانی با سه عنصر.
تحت عمل گروه اتومورفیسم بر روی یک میدان شکاف می چرخد	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 1)، 2 (نمایش درجه 1) و 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 4
مداری بر روی یک میدان شکافنده تحت عمل ضربی نمایش های یک بعدی، یعنی تا معادل تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
گروه های دیگر با جدول شخصیت های مشابه	گروه کواترنیون (به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید )

جدول شخصیت

این جدول کاراکتر روی مشخصه صفر کار می کند:

کلاس نمایندگی / Conj	$\{e \}$ (سایز 1)	$\{ a^2 \}$ (سایز 1)	$\{ a, a^{-1} \}$ (سایز 2)	$\{ x، a^2x \}$ (سایز 2)	$\{ تبر، a^3x \}$ (سایز 2)
نمایندگی بی اهمیت	1	1	1	1	1
$\langle a \rangle$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$\langle a^2، x \rangle$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$\langle a^2, ax\rangle$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

جدول کاراکترهای مشابه روی هر مشخصه ای کار می کند که برابر با 2 نباشد، جایی که عناصر 1،-1،0،2،-2 در میدان تفسیر می شوند.

سیستم های فیوژن

اطلاعات بیشتر: سیستم های همجوشی برای گروه دو وجهی:D8

خلاصه

مورد	مقدار
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع در یک نمونه بتنی از گروه (دقیق، نه تا ایزومورفیسم سیستم های همجوشی)	4
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع تا ایزومورفیسم	3
فهرستی از سیستم های همجوشی اشباع شده با اندازه مدار	سیستم همجوشی داخلی (اندازه مدار 1 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی غیرساده درونی برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 2 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 1)
تعداد سیستم های همجوشی ساده	1
تعداد حداکثر سیستم های همجوشی اشباع شده، به عنوان مثال، سیستم های همجوشی اشباع موجود در سیستم های همجوشی اشباع بزرگتر	1 ( سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 )

شرح سیستم های همجوشی

نوع ایزومورفیسم سیستم همجوشی	تعداد چنین سیستم های همجوشی تحت شمارش دقیق	آیا سیستم همجوشی با استفاده از زیرگروه Sylow از یک گروه محدود قابل تحقق است؟	آیا تابع همانی همجوشی قوی را کنترل می کند؟ این بدان معنی است که تمام فیوژن در نرمال ساز رخ می دهد	آیا سیستم فیوژن ساده است؟	جاسازی کوچکترین اندازه برای تحقق این سیستم همجوشی (در صورت وجود)
سیستم همجوشی داخلی	1	آره	آره	سیستم همجوشی داخلی ساده نیست	به عنوان یک زیر گروه از خودش
سیستم همجوشی غیر ساده داخلی برای گروه دو وجهی: D8	2	آره	خیر	خیر	D8 در S4
سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی:D8	1	آره	خیر	آره	D8 در PSL (3،2)
مجموع (3 ردیف)	4	--	--	--	--

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این گروه منحصر به فرد غیر T با کوچکترین مرتبه است، یعنی کوچکترین نمونه منحصر به فرد گروهی که در آن نرمال بودن متعدی نیست .
این یک گروه پوچی غیرآبلی از کوچکترین مرتبه است، هرچند نه تنها. گروه دیگر از این قبیل گروه کواترنیون است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه از راسته خود است که به گروه اتومورفیسم خود هم شکل است.
این تنها گروه از راسته خود است که یک گروه T نیست .
این تنها گروه از سفارش خود است که دارای دو زیر گروه کلاین است. به طور خاص، مثالی از وضعیتی را ارائه می دهد که در آن تعداد زیرگروه های مرتبه آبلی ابتدایی $p^2$ نه صفر است و نه $1$ مدول $پ$ . این را با مورد فرد مقایسه کنید $پ$ ، که در آن شرط همخوانی تعداد زیرگروه‌های آبلی ابتدایی از مرتبه اول را برای عدد اول فرد داریم .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 3 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،3)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,3);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع IdGroup GAP استفاده کنیم:

IdGroup(G) = [8,3]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 4 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،4)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,4);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع Gap3CatalogueIdGroup GAP استفاده کنیم:

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع GAP استفاده می شود	ترجمه ریاضی توضیحات
DihedralGroup(8)	DihedralGroup	گروه دو وجهی نظم $8$ ، درجه $4$
WreathProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2))	WreathProduct ، CyclicGroup	ضرب اکلیل خارجی دو نسخه از گروه دور ای مرتبه دو
ExtraspecialGroup(2^3،'+')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق‌العاده از نوع «+» برای درجه اول $2$ و مرتبه $2^3$
SylowSubgroup(SymmetricGroup(4),2)	SylowSubgroup و SymmetricGroup	$2$ - زیرگروه Sylow از گروه متقارن درجه چهار
SylowSubgroup(GL(3,2,2)	SylowSubgroup ، GL	زیر گروه $2$ -Sylow از GL(3،2)

شرح بر اساس ارائه

این هم کد:

gap> F := FreeGroup(2);
gap> G := F/[F.1^4, F.2^2, F.2 * F.1 * F.2 * F.1];
<گروه fp در ژنراتورها [f1, f2]>
gap> IdGroup(G);
[8، 3]

گروه $جی$ ساخته شده در اینجا گروه دو وجهی نظم $8$ است. مولد اول $F.1$ به عنصر چرخش مرتبه چهار و مولد دوم به عنصر انعکاس $F.2$ درجه دو نگاشت می شود.

توضیحات طولانی

می توان آن را به عنوان هولومورف گروه دور ای مرتبه چهار توصیف کرد. برای این کار ابتدا $سی$ گروه دور ای مرتبه چهار را تعریف کنید (با استفاده از CyclicGroup )، و سپس از SemidirectProduct و خودریختیGroup استفاده کنید :

C := CyclicGroup(4);
G := SemidirectProduct(خودریختیGroup(C),C);

در اینجا، $جی$ گروه دو وجهی از مرتبه هشت است. همچنین می‌توانیم آن را به‌عنوان یک ضرب نیمه‌مستقیم از چهار گروه کلاین و یک خودریختی درجه دو بسازیم.

K := DirectProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2));
A := خودریختیGroup(K);
S := SylowSubgroup(A,2);
G := SemidirectProduct(S,K);

سپس $جی$ به گروه دو وجهی مرتبه هشت هم شکل است.

تأیید GAP

در زیر پیاده سازی GAP وجود دارد که مقادیر مختلف تابع و ویژگی های گروه را همانطور که در این صفحه بیان شده است تأیید می کند. قبل از شروع، G := DihedralGroup(8) را تنظیم کنید. یا هر روشی معادل برای تنظیم $جی$ دو وجهی مرتبه هشت.

gap> IdGroup(G);
[8، 3]
gap> Order(G);
8
شکاف> توان (G);
4
gap> پوچیClassOfGroup(G);
2

بیشتر: [نمایش بیشتر]

دسته بندی :

گروه های خاص

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-گروه دو وجهی:D8

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) - بیشتر در پیاده سازی #GAP ببینید
تعداد کلاس های مزدوج	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوج	به عنوان گروه دو وجهی $D_{2n}$ ، $n$ حتی: $\! (n + 6)/2 = (4 + 6)/2 = 5$ . ساختار عنصری گروه‌های دو وجهی و ساختار عنصری گروه دو وجهی را ببینید : D8 به عنوان گروه ماتریس واحد مثلثی $UT (3، q)، q = 2$ : ساختار عنصری گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه را در یک میدان محدود ببینید. $q^2 + q - 1 = 2^2 + 2 - 1 = 5$	طول(کلاس های مزدوج(G)); با استفاده از مزدوجClasses
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	5	گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت مزدوج واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است.	طول (کلاس های منطقی (G)); با استفاده از RationalClasses
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است.

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) -- بیشتر در تأیید #GAP ببینید
تعداد زیر گروه ها	10		به عنوان یک گروه دو وجهی، $\! D_{2n}، n = 4$ تعداد زیرگروه ها است $\! d(n) + \sigma(n) = d(4) + \sigma(4) = 3 + 7 = 10$ ، که در آن $د$ تابع شمارش مقسوم علیه و $\سیگما$ تابع مجموع مقسوم علیه است. ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید : D8 ، ساختار زیر گروهی گروه های دو وجهی	طول (زیرگروه ها (G))؛ با استفاده از زیر گروه ها
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	8		ساختار زیر گروه گروه های دو وجهی ، ساختار زیر گروه گروه دو وجهی:D8 را ببینید	Length(مزدوجClassesSubgroups(G)); با استفاده از مزدوجClassesSubgroups
تعداد زیر گروه های عادی	6	گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های عادی یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادی	ساختار زیرگروهی گروه‌های دو وجهی ، ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی را ببینید :D8#شبکه زیرگروه‌های عادی	طول (Subgroups Normal (G)); با استفاده از NormalSubgroups
تعداد کلاس های خودریختی زیر گروه ها	6
تعداد زیر گروه های مشخصه	4			طول(زیرگروه های مشخصه(G)); با استفاده از CharacteristicSubgroups

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنید	مقدار	توضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج	1،1،2،2،2	دو عنصر مرکزی، بقیه در کلاس های مزدوج اندازه دو. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید .
اندازه مدارها در گروه اتومورفیسم	1،1،2،4	دو عنصر مرکزی، یک کلاس مزدوج از عناصر درجه چهار، یک مدار به اندازه چهار، شامل دو طبقه مزدوج اندازه، با همه عناصر غیر مرکزی درجه دو.
آمار سفارش	$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 5, 4 \mapsto 2$	از پنج عنصر مرتبه دو، یکی مرکزی است. چهار مورد دیگر با یکدیگر خود شکل هستند. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید
درجات بازنمایی غیر قابل کاهش	$1،1،1،1،2$	به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی مراجعه کنید:D8
سفارشات زیر گروه ها	$1،2،2،2،2،2،4،4،4،8$	ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید :D8

متغیرهای تحقق گروه مبتنی بر عمل/خودریختی

عملکرد	مقدار	توضیح
حداقل درجه نمایندگی وفادار	2
حداقل درجه نمایش غیرقابل کاهش	2
کوچکترین سایز ست با عمل وفادار	4
کوچکترین اندازه مجموعه با عمل متعدی وفادار	4
جنس متقارن	?

خواص گروهی

آیا می خواهید ویژگی های گروه را با سایر گروه های هم ردیف مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های سفارش 8#املاک گروه را بررسی کنید

خواص مهم

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه نظم قدرت اول	آره
گروه پوچی	آره	نظم قدرت اول دلالت بر پوچی دارد
گروه فوق حل پذیر	آره	از طریق پوچی: پوچی متناهی به معنای فوق حل پذیر است
گروه قابل حل	آره	از طریق پوچی: پوچی به معنی قابل حل است
گروه آبلی	خیر	$آ$ و رفت و $ایکس$ آمد نکنید	کوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه تی	خیر	$\langle x \rangle \triangleleft \langle a^2,x \rangle$ ، که طبیعی است، اما $\langle x \rangle$ طبیعی نیست	کوچکترین مثال برای عادی بودن متعدی نیست .
گروه یکپارچه	آره	زیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو

سایر خواص

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه یک سر	خیر	سه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار
گروه SC	خیر
گروه ACIC	آره	هر زیر گروه اتومورف مزدوج مشخصه است
گروه جبر	آره	به گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه روی میدان:F2 هم شکل است که به وضوح یک گروه جبری است.
گروه دوسوگرا	آره	گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند	همچنین گروه های دووجهی تعمیم یافته را ببینید دوسوگرا هستند
گروه منطقی	آره	هر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستند	بنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقی	آره	تمام نمایش های بیش از مشخصه صفر بر روی منطق ها تحقق می یابد.	در مقابل گروه کواترنیونی ، که عقلانی است اما بازنمایی عقلانی نیست.
گروه فوق خاص	آره	مرکز ، زیرگروه مشتق شده ، و زیرگروه فراتینی همگی منطبق هستند و دارای مرتبه اول هستند.
گروه ویژه	آره	(از طریق extraspecial): مرکز ، زیر گروه مشتق شده ، و زیرگروه Frattini همگی منطبق هستند
گروه فراتینی در مرکز	آره	(از طریق extraspecial): زیر گروه Frattini در مرکز قرار دارد
گروه پوچی کلاس دو	آره	(از طریق ویژه): زیر گروه مشتق شده در مرکز موجود است
گروه معادل UL	آره	(از طریق ویژه): سری مرکزی بالا و سری مرکزی پایین بر هم منطبق هستند
گروه کلاس حداکثر	آره
گروه فروبنیوس	خیر	گروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند
گروه Camina	آره	extraspecial به معنای Camina است
هر عنصری نسبت به معکوس خود خودکار است	آره	نتیجه از یک گروه دوسوگرا است
هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند، خودریختی هستند	آره
هر عنصر نظم-خودریختییک است	خیر
گروه غیر قابل تجزیه مستقیم	آره
گروه تجزیه ناپذیر مرکزی	آره
گروه تقسیم ساده	خیر
گروه ساقه	آره	مرکز برابر با زیر گروه مشتق شده است، و از این رو، به طور خاص، در زیر گروه مشتق شده موجود است.
شور-گروه بی اهمیت	خیر	ضرب کننده Schur گروه دور ای است :Z2 ; گروه همولوژی گروه دو وجهی را ببینید :D8 .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-گروه دو وجهی:D8

در زیر ساختار کلاس مزدوج و خودریختی آمده است:

کلاس مزدوج از نظر $تبر$	شرح هندسی کلاس مزدوج	کلاس مزدوج به عنوان جایگشت	اندازه کلاس صیغه	ترتیب عناصر در کلاس مزدوج	متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ e \}$	عنصر همانی، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	کل گروه
$\! \{ a^2 \}$	نیم دور، چرخش توسط $\pi$	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	2	کل گروه
$\! \{ x,a^2x \}$	بازتاب در مورد مورب ها	$\{ (1،3)، (2،4) \}$	2	2	$\{ e, a^2, x, a^2x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ تبر، a^3x \}$	بازتاب هایی در مورد خطوطی که به نقاط میانی اضلاع مقابل می پیوندند	$\{ (1,4)(2,3)\ , \ (1,2)(3,4) \}$	2	2	$\{ e، a^2، تبر، a^3x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4) \ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	4	$\{ e, a, a^2, a^3 \}$ -- زیر گروه حداکثر دور ای گروه دو وجهی: D8
مجموع (5)	--	--	8	--	--

طبقات هم ارزی تا اتومورفیسم عبارتند از:

کلاس هم ارزی تحت اتومورفیسم بر حسب $تبر$	شرح هندسی کلاس هم ارزی	کلاس هم ارزی به عنوان جایگشت	اندازه کلاس هم ارزی	تعداد کلاس های مزدوج در آن	اندازه هر کلاس مزدوج
$\! \{ e \}$	عنصر همانی، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	1
$\! \{ a^2 \}$	نیم نوبت	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	1	1
$\! \{ x، تبر، a^2x، a^3x \}$	بازتاب ها	$\{ (1,3)\ ,\ (2,4)\ , \ (1,4)(2,3)\ ,\ (1,2)(3,4) \}$	4	2	2
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4)\ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	1	2
مجموع (4)	--	--	8	5	--

توابع حسابی

توابع حسابی پایه

آیا می خواهید مقادیر تابع حسابی را با سایر گروه های هم تراز مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های ترتیب 8 #توابع حسابی را بررسی کنید

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع
اول زیرین گروه p	2
ترتیب (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	8	گروه هایی با همان ترتیب	به عنوان یک ضرب نیمه مستقیم از $\Z_4$ و $\Z_2$ : نظم حاصلضرب دستورات $\Z_4$ و $\Z_2$ است که به $4 \ برابر 2 = 8$ عنوان ضرب تاج گل از $\Z_2$ و $\Z_2$ : ترتیب است $2^2 \cdot 2 = 8$
لگاریتم مرتبه پایه اول	3	گروه هایی با ترتیب لگاریتم پایه اول یکسان
حداکثر طول یک گروه	3		حداکثر طول یک گروه برابر است با لگاریتم ترتیب پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
طول رئیس	3		طول اصلی برابر است با لگاریتم ترتیب پایه پایه برای گروهی از مرتبه توان اول
طول ترکیب	3		طول ترکیب برابر است با لگاریتم مرتبه پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
توان	4	گروه هایی با مرتبه و توان یکسان \| گروه هایی با توان یکسان	به عنوان یک گروه دو وجهی: گروه دو وجهی $2n$ دارای توانی برابر با $\operatorname{lcm} \{n,2 \}$ .
لگاریتم مبنا اول توان	2
کلاس پوچی	2	گروه هایی با نظم و کلاس پوچی یکسان \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و کلاس پوچی \| گروه هایی با کلاس پوچی یکسان	زیر گروه مشتق شده -- $\{ e, a^2 \}$ و همان مرکز است . مرکز گروه دو وجهی:D8 را ببینید . همچنین ساختار عناصر گروه دو وجهی را ببینید: نقشه D8#Commutator
طول مشتق شده	2	گروه هایی با ترتیب و طول مشتق شده یکسان \| گروه‌هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و طول مشتق شده \| گروه هایی با طول مشتق شده یکسان	زیر گروه مشتق شده است $\{ e, a^2 \}$ که abelian است. مرکز گروه دو وجهی:D8 را ببینید .
طول فراتینی	2	گروه هایی با همان ترتیب و طول فراتینی \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان	زیرگروه Frattini است $\{ e, a^2 \}$ که از درجه اول است، از این رو زیر گروه Frattini آن بی اهمیت است.
طول مناسب	1		همه گروه‌های مرتبه توان اول پوچی هستند، بنابراین دارای طول اتصال 1 هستند.
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	مولد زیرگروه دور ای مرتبه چهار و عنصر درجه دو در خارج.
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان ترتیب و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه زیرگروهی یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	همه زیر گروه های مناسب دور ای یا چهار گروهی کلاین هستند .
رتبه یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه یکسان گروه p	کلاین چهار زیر گروه وجود دارد.
رتبه عادی یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با رتبه عادی یک گروه p	چهار زیرگروه عادی کلاین وجود دارد.
رتبه مشخصه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه مشخصه یک گروه p	همه زیرگروه های مشخصه آبلی دور ای هستند.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه دو وجهی:D8

فهرست

این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]

تعریف

تعریف با ارائه

گروه دو وجهی $D_8$ ، که گاهی اوقات نامیده می شود $D_4$ ، همچنین به نام گروه دو وجهی درجه هشت یا گروه دو وجهی درجه چهار (از آنجایی که عملکرد طبیعی آن بر روی چهار عنصر است)، یا گاهی اوقات گروه اکتیو ، با ارائه زیر ، با $ه$ نشان دادن همانی ، تعریف می شود. عنصر:

$\langle x,a \mid a^4 = x^2 = e, xax^{-1} = a^{-1}\rangle$

در اینجا، عنصر $آ$ را چرخش یا مولد قطعه دور ای می نامند و $ایکس$ به آن انعکاس می گویند .

آیا در مورد ارائه به طور کلی یا این یکی به طور خاص گیج شده اید؟ اگر با این چیزها تازه کار هستید، ساخت گروه دو وجهی:D8 را از ارائه آن بررسی کنید. نظریه پردازان پیچیده گروه باید به سادگی به یاد بیاورند که ارائه ضرب نیمه مستقیم، اتحاد غیرمستقیم ارائه ها به علاوه عمل توسط روابط صرف است.

تعریف هندسی

گروه دو وجهی $D_8$ (همچنین نامیده می شود $D_4$ ) به عنوان گروهی از تمام تقارن های مربع (4 ضلعی منظم) تعریف می شود. این یک زیرگروه دورای دارد که شامل چرخش‌ها است (که زیرگروه دورای ایجاد شده $آ$ توسط

تعریف به عنوان یک گروه جایگشت

اطلاعات بیشتر: D8 در S4

این گروه (تا ایزومورفیسم) زیر گروه گروه متقارن است $\{ 1،2،3،4 \}$ که توسط:

$\! \{ ()، (1،2،3،4)، (1،3)(2،4)، (1،4،3،2)، (1،3)، (2،4)، (1 ,4)(2,3), (1,2)(3,4) \}$

$1،2،3،4$ این را می توان با در نظر گرفتن رئوس مربع و در نظر گرفتن عنصری از $D_8$ نظر عملکرد القایی آن بر رئوس، به تعریف هندسی مرتبط کرد . این به ارائه از طریق تنظیمات $a = (1،2،3،4)$ و $x = (1،3)$ .

جدول ضرب

در اینجا، $ه$ عنصر همانی را نشان می دهد، $آ$ عنصری از مرتبه 4 است، و $ایکس$ عنصری از درجه دو است که برابر نیست $a^2$ ، مانند ارائه بالا.

عنصر ردیف در سمت چپ و عنصر ستون در سمت راست ضرب می شود.

عنصر	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$
$\! ه$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$
$\! آ$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! تبر$	$\! a^2x$	$\! a^3x$	$\! ایکس$
$\! a^2$	$\! a^2$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2x$	$\! a^3x$	$\! ایکس$	$\! تبر$
$\! a^3$	$\! a^3$	$\! ه$	$\! آ$	$\! a^2$	$\! a^3x$	$\! ایکس$	$\! تبر$	$\! a^2x$
$\! ایکس$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ه$	$\! a^3$	$\! a^2$	$\! آ$
$\! تبر$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! آ$	$\! ه$	$\! a^3$	$\! a^2$
$\! a^2x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3x$	$\! a^2$	$\! آ$	$\! ه$	$\! a^3$
$\! a^3x$	$\! a^3x$	$\! a^2x$	$\! تبر$	$\! ایکس$	$\! a^3$	$\! a^2$	$\! آ$	$\! ه$

تعاریف دیگر

گروه دو وجهی را می توان به روش های زیر توصیف کرد:

گروه دو وجهی مرتبه هشت.
گروه دو وجهی تعمیم یافته مربوط به گروه دور ای مرتبه چهار .
هولومورف گروه دور ای مرتبه چهار .
ضرب اکلیل خارجی گروه دور ای درجه دو با گروه دور ای درجه دو، از طریق عمل منظم عمل می کند.
زیر گروه $2$ - Sylow از گروه متقارن در چهار حرف .
زیر گروه $2$ - Sylow از گروه متقارن در پنج حرف .
زیر گروه $2$ - Sylow از گروه متناوب در شش حرف .
گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه روی $UT (3،2)$ میدان :F2 ، $2$ - زیرگروه Sylow از PSL(3،2) .
گروه فوق‌العاده ترتیب $2^3$ و نوع «+».

موقعیت در طبقه بندی ها

نوع طبقه بندی	نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP	(8،3) یعنی سومین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد	(8،4)، یعنی 4 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد	$8\Gamma_2a_1$

عناصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

در زیر، همه عناصر را فهرست می‌کنیم، همچنین تفسیر هر عنصر را در زیر شرح هندسی گروه دو وجهی به عنوان تقارن‌های یک 4 ضلعی، و برای نمایش جایگشت مربوطه ارائه می‌کنیم (به D8 در S4 مراجعه کنید ). توجه داشته باشید که برای کنوانسیون های مختلف، می توان مکاتبات متفاوتی را به دست آورد، بنابراین ممکن است با سایر مکاتبات در جاهای دیگر مطابقت نداشته باشد. توجه داشته باشید که توضیحات زیر، قرارداد عمل چپ را برای توابع و قرارداد مربوطه را برای ترکیب فرض می‌کند، و از این رو، برخی از ورودی‌ها ممکن است در صورت اتخاذ کنوانسیون عمل درست، متفاوت شوند. :

عنصر از نظر $آ$ و $ایکس$	توضیحات هندسی	جایگشت در رئوس	ترتیب عنصر
$ه$ (عنصر همانی)	هیچ کاری نمی کند، یعنی مربع را ثابت می گذارد	$()$	1
$آ$	چرخش با زاویه $\pi/2$ (یعنی $90\,^\circ$ ) در خلاف جهت عقربه های ساعت	$(1،2،3،4)$	4
$a^2$	چرخش بر اساس زاویه $\pi$ (یعنی )، که نیم دور $180\,^\circ$ نیز نامیده می شود	$(1،3) (2،4)$	2
$a^3$	چرخش با زاویه $3\pi/2$ (یعنی $270\,^\circ$ ) در خلاف جهت عقربه های ساعت، یا معادل آن، توسط $\pi/2$ (یعنی، $90\,^\circ$ ) در جهت عقربه های ساعت	$(1،4،3،2)$	4
$ایکس$	بازتابی در مورد رئوس اتصال مورب "2" و "4"	$(1،3)$	2
$تبر = xa^3$	انعکاس خطی که نقاط میانی اضلاع مخالف "14" و "23" را به هم وصل می کند	$(1،4) (2،3)$	2
$a^2x$	انعکاس در مورد رئوس اتصال مورب "1" و "3"	$(2،4)$	2
$a^3x = xa$	انعکاس خطی که نقاط میانی اضلاع مخالف "12" و "34" را به هم وصل می کند	$(1،2) (3،4)$	2

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-ادامه گروه متناوب: A5

سوپرگروه ها

اطلاعات بیشتر: سوپرگروه های گروه متناوب: A5

زیرگروه ها: همه اتومورفیسم ها را درونی می کند

اطلاعات بیشتر: گروه متقارن: S5 ، A5 در S5

گروه اتومورفیسم بیرونی گروه متناوب : A5 ، گروه دوری ای: Z2 ، و گروه اتومورفیسم کل ، گروه متقارن: S5 است. از آنجایی که گروه متناوب: A5 یک گروه بدون مرکز است ، به عنوان یک زیر گروه از شاخص دو در گروه خودمورفیسم خود که گروه متقارن بر روی پنج عنصر است، قرار می گیرد.

$A_5$ یک گروه غیرآبلی ساده است و $A_5$ و $S_5$ تنها دو گروه تقریبا ساده مربوط به $A_5$ .

$A_5$ همچنین از شاخص دو در گروه کامل ایکو وجهی است که معلوم می شود این نیست ، $S_5$ بلکه در عوض حاصل ضرب مستقیم $A_5$ و گروه دوری ای مرتبه دو است.

ضرایب: گروه های پوششی شور

اطلاعات بیشتر: هم‌شناسی گروهی گروه متناوب: ضرب‌کننده A5#شور ، هم‌شناسی گروهی گروه‌های متناوب ، پوشش دوگانه گروه متناوب

اطلاعات بیشتر: گروه خطی ویژه: SL(2،5) ، مرکز گروه خطی ویژه: SL(2،5)

ضریب شور گروه حلقوی:Z2 $A_5$ است .

پسوند مرکزی جهانی متناظر ( گروه پوشش منحصر به فرد شور ، منحصر به فرد به دلیل اینکه $A_5$ یک گروه کامل است) یک گروه خطی ویژه است: SL(2،5) ، همچنین $2 \cdot A_5$ به این معنی است که یک پوشش دوتایی است (به پوشش دوگانه گروه متناوب مراجعه کنید ). . مرکز گروه خطی ویژه:SL(2,5) گروه حلقوی : Z2 و گروه ضریب . $A_5$

$A_5$ یک گروه غیرآبلی ساده است $A_5$ و تنها $SL(2،5) = 2 \cdot A_5$ دو گروه شبه ساده متناظر هستند .

لینک های خارجی

A5 در اطلس گروه های متناهی

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای نظم 60 و دارای شناسه 5 در بین گروه های مرتبه 60 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 13 گروه از مرتبه 60 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup(60,5)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(60,5);

IdGroup(G) = [60,5]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

دستور معادل : اجرای این دستور گروه را به صورت AlternatingGroup(5) می سازد.

استفاده از حافظه : میزان استفاده از حافظه برای ساخت SmallGroup 1452 است.

توضیحات دیگر

شرح	توابع استفاده شده	فرمت ذخیره سازی خروجی (فرمان تایید)	میزان مصرف حافظه (با فراخوانی تابع MemoryUsage قابل محاسبه است)	گروه های حاوی این به عنوان یک زیر گروه
AlternatingGroup (5)	AlternatingGroup	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	194	AlternatingGroup یا SymmetricGroup با درجه حداقل پنج.
PSL (2،4)	PSL	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	2289	خود
SL (2،4)	SL	گروه ماتریس ( IsMatrixGroup )	1194	GL(2,q) ، برای $q$ توان 4.
PGL(2،4)	PGL	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	2289	خود
PSL (2،5)	PSL	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	2125	PGL (2،5)
PerfectGroup(60) یا معادل PerfectGroup(60,1)	PerfectGroup	گروه به پایان رسیده ( IsFpGroup )	233	--
SimpleGroup ("Alt"،5)	SimpleGroup	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	229	--
SmallSimpleGroup (60)	SmallSimpleGroup	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	229	--
AllSmallNonabelianSimpleGroups([1..100])[1]	AllSmallNonabelianSimpleGroups	گروه جایگشت ( IsPermGroup )	229	--

دسته بندی :

گروه های خاص

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Alternating_group:A5

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-ادامه گروه متناوب: A5

اندومورفیسم ها

اتومورفیسم ها

گروه اتومورفیسم از گروه $A_5$ متقارن پنج حرفی $S_5$ است که $A_5$ به صورت اتومورفیسم درونی در آن تعبیه شده است.

به طور مشخص ، می‌توانیم در نظر بگیریم که $A_5$ در ادغام شده‌اند $S_5$ و با صرف $S_5$ عمل $A_5$ می‌کنند. اتومورفیسم هایی که از این طریق به دست می آیند، همه اتومورفیسم های $A_5$ .

سایر آندومورفیسم ها

از آنجایی $A_5$ که یک گروه ساده متناهی است، گروهی است که در آن هر اندومرفیسمی پیش پا افتاده یا خودمورفیسم است. به طور خاص، اندومورفیسم‌های $A_5$ عبارتند از: همریختی بدیهی، و اتومورفیسم‌هایی که در بالا توضیح داده شد.

عناصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه متناوب: A5

خلاصه

مورد	مقدار
مرتبه کل گروه (تعداد کل عناصر)	60 فاکتورسازی اول $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1= 4 \cdot 3 \cdot 5$ به محاسبات مرتبه برای اطلاعات بیشتر مراجعه کنید
اندازه کلاس های مزدوج	1،12،12،15،20 ماکزیمال : 20، تعداد : 5، مجموع (برابر مرتبه گروه): 60، lcm : 60 برای اطلاعات بیشتر به ساختار کلاس مزدوجی مراجعه کنید .
تعداد کلاس های مزدوج	5 ساختار عنصر گروه متناوب را ببینید :A5#تعداد کلاس‌های مزدوج
آمار مرتبه	1 مرتبه 1، 15 مرتبه 2، 20 از مرتبه 3، 24 مرتبه 5 ماکزیمال : 5، lcm (نمای کل گروه) : 30

ساختار کلاس مزدوجی

برای یک گروه متقارن ، نوع دوری کلاس مزدوجی را تعیین می کند . این جمله تقریباً برای گروه متناوب صادق است، به جز این واقعیت که برخی از کلاس های مزدوج از جایگشت های زوج در گروه متقارن در گروه متناوب به دو دسته تقسیم می شوند، طبق معیار تقسیم برای کلاس های مزدوج در گروه متناوب ، که می گوید یک کلاس مزدوج جایگشت های زوج در گروه متناوب تقسیم می شود اگر و فقط اگر حاصل ضرب دوری های فرد با طول متمایز باشد.

در اینجا کلاس های مزدوجی unsplit هستند:

تقسیم بندی	شرح شفاهی نوع دوری	عنصر نماینده نوع دوری	همه عناصر از نوع دوری	اندازه کلاس صیغه	فرمول اندازه	مرتبه عناصر
1 + 1 + 1 + 1 + 1	پنج نقطه ثابت	$()$ - عنصر هویت	$()$	1	$\! \frac{5!}{(1)^5(5!)}$	1
3 + 1 + 1	یک 3 دوری، دو نقطه ثابت	$(1،2،3)$	[بیشتر نشان بده، اطلاعات بیشتر]	20	$\! \frac{5!}{(3)(1)^2(2!)}$	3
2 + 2 + 1	انتقال دوگانه: دو دوری 2، یک نقطه ثابت	$(1،2) (3،4)$	[بیشتر نشان بده، اطلاعات بیشتر]	15	$\! \frac{5!}{(2)^2(2!)(1)}$	2

در اینجا جفت تقسیم شده کلاس های مزدوجی آمده است:

تقسیم بندی	شرح شفاهی نوع دوری	اندازه ترکیبی کلاس های مزدوج	فرمول اندازه ترکیبی	اندازه هر نیمه	نماینده نیمه اول	نماینده نیمه دوم	واقعی؟	گویا؟	مرتبه عناصر
5	یک 5 دوری	24	$\! \frac{5!}{5}$	12	$(1،2،3،4،5)$	$(1،3،5،2،4)$	آره	خیر	5

تا اتومورفیسم

تحت اتومورفیسم های بیرونی، کلاس های مزدوج چهارم و پنجم با هم ادغام می شوند. بنابراین، طبقات تحت اتومورفیسم دارای اندازه هستند $1,15,20,24$ .

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه متناوب: A5

خلاصه سریع

مورد	مقدار
تعداد زیر گروه ها	59 در مقایسه با $A_n، n = 3،4،5، \ نقطه$ : 2، 10، 59 ، 501، 3786، 48337، ...
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	9 در مقایسه با $A_n، n = 3،4،5، \ نقطه$ : 2، 5، 9 ، 22، 40، 137، ...
تعداد کلاس های خودمورفیسم زیر گروه ها	9 در مقایسه با $A_n، n = 3،4،5، \ نقطه$ : 2، 5، 9 ، 16، 37، 112، ...
کلاس های هم ریختی زیر گروه های Sylow و سیستم های همجوشی مربوطه	2-Sylow: Klein چهار گروهی (مرتبه 4) به عنوان V4 در A5 (با سیستم همجوشی ساده - به سیستم همجوشی ساده برای Klein چهار گروهی مراجعه کنید). عدد Sylow 5 است. 3-Sylow: گروه دوری ای:Z3 (رتبه 3) به عنوان Z3 در A5 . شماره Sylow 10 است. 5-Sylow: گروه دوری ای: Z5 (رتبه 5) به عنوان Z5 در A5 . عدد سیلو 6 است.
زیر گروه های سالن	علاوه بر کل گروه، زیرگروه بدیهی و زیرگروه Sylow: - زیرگروه $\{ 2،3 \}$ هال از مرتبه 12 ( A4 در A5 ). هیچ زیرگروه -Hall $\{ 2.5 \}$ یا زیرگروه -Hall وجود ندارد $\{3،5\}$ .
ماکزیمال زیر گروه ها	ماکزیمال زیرگروه ها دارای 6 مرتبه ( S3 پیچ خورده در A5 )، 10 ( D10 در A5 )، 12 ( A4 در A5 ) هستند.
زیر گروه های معمولی	فقط کل گروه و زیرگروه بدیهی، زیرا گروه ساده است. مشاهده گروه های متناوب ساده هستند .

جدول طبقه بندی زیر گروه ها تا اتومورفیسم

توجه داشته باشید که A5 ساده است و از این رو هیچ زیرگروه غیر پیش پا افتاده ای عادی یا غیرعادی نیست.

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	زیر گروه نماینده (فهرست کامل در صورت کوچک بودن، مجموعه تولید کننده اگر بزرگ باشد)	کلاس ایزومورفیسم	مرتبه زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج	اندازه هر کلاس مزدوجی	تعداد کل زیر گروه ها	توجه داشته باشید
زیر گروه بدیهی	$()$	گروه بدیهی	1	60	1	1	1	بدیهی
زیر گروه تولید شده توسط جابجایی مضاعف در A5	$\{ ()، (1،2) (3،4) \}$	گروه دوری ای: Z2	2	30	1	15	15
V4 در A5	$\{ ()، (1،2) (3،4)، (1،3) (2،4)، (1،4) (2،3) \}$	کلاین چهار گروه	4	15	1	5	5	2-سیلو
A3 در A5	$\{ ()، (1،2،3)، (1،3،2) \}$	گروه دوری ای:Z3	3	20	1	10	10	3-سیلو
S3 پیچ خورده در A5	$\langle (1،2،3)، (1،2) (4،5)\rangle$	گروه متقارن: S3	6	10	1	10	10	ماکزیمال
A4 در A5	$\langle (1،2)(3،4)، (1،2،3) \rangle$	گروه متناوب: A4	12	5	1	5	5	2،3-هال، ماکزیمال
Z5 در A5	$\langle (1،2،3،4،5) \rangle$	گروه دوری ای: Z5	5	12	1	6	6	5-سیلو
D10 در A5	$\langle (1،2،3،4،5)، (2،5)(3،4) \rangle$	گروه دو وجهی:D10	10	6	1	6	6	ماکزیمال
کل گروه	$\langle (1،2،3،4،5)، (1،2،3) \rangle$	گروه متناوب: A5	60	1	1	1	1
جمع	--	--	--	--	9	--	59	--

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه متناوب:A5

خلاصه

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\overline{\mathbb{Q}}$ یا $\mathbb{C}$ )	1،3،3،4،5 فرم گروه بندی شده: 1 (1 بار)، 3 (2 بار)، 4 (1 بار)، 5 (1 بار) ماکزیمال : 5، lcm : 60، تعداد : 5، مجموع مربع ها : 60، درجه شبه تصادفی : 3
مقادیر شاخص شور نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،1
حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر	$\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{5})/2]$ یا $\mathbb{Z}[2\cos(2\pi/5)]$
میدان تقسیم حداقلی ، یعنی کوچکترین میدان تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر	$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ - گسترش درجه دوم میدان اعداد گویا مانند میدان تولید شده توسط مقادیر کاراکتر
ساختار مدار تحت عمل گروه اتومورفیسم	مدارهای اندازه 1 هر یک از نمایش های درجه 1، 4، و 5، مدار اندازه 2 از نمایش های درجه 3 (از طریق یک اتومورفیسم ناشی از صرف با جایگشت فرد تعویض می شوند)
ساختار مدار تحت عمل گروه گالوا بر منطقی ها	مدارهای اندازه 1 هر کدام از نمایش های درجه 1، 4 و 5، مدار اندازه 2 از نمایش های درجه 3 (از طریق همریختی برداری تعویض می شوند $\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}$ )
درجات نمایش های کاهش ناپذیر در میدان اعداد گویا	1،4،5،6

جدول شخصیت

نماینده و اندازه کلاس نمایندگی/کنژوگیسی	$()$ (سایز 1)	$(1،2) (3،4)$ (سایز 15)	$(1،2،3)$ (سایز 20)	$(1،2،3،4،5)$ (سایز 12)	$(1،2،3،5،4)$ (سایز 12)
بدیهی	1	1	1	1	1
محدودیت استاندارد	4	0	1	-1	-1
کاهش ناپذیر پنج بعدی	5	1	-1	0	0
یکی از اجزای غیر قابل کاهش محدودیت مربع بیرونی استاندارد	3	-1	0	$(\sqrt{5} +1)/2$	$(-\sqrt{5} + 1)/2$
سایر اجزای غیر قابل کاهش محدودیت مربع بیرونی استاندارد	3	-1	0	$(-\sqrt{5} + 1)/2$	$(\sqrt{5} + 1)/2$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه متناوب: A5

این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]

فهرست

تعریف

گروه متناوب که به آن $A_5$ نشان داده می شود و گروه متناوب درجه پنج $\operatorname{Alt}(5)$ نامیده می شود، به روش های زیر تعریف می شود:

این گروه جایگشت های زوج (یعنی گروه متناوب ) در پنج عنصر است.
این گروه فون دایک است (گاهی اوقات گروه مثلث نامیده می شود ، اگرچه دومی معنای کمی متفاوت دارد) با پارامترها $(2،3،5)$ (گاهی اوقات به مرتبه معکوس به عنوان نوشته می شود $(5،3،2)$ ).
این گروه ایکوس وجهی است ، یعنی گروهی از تقارن های حفظ جهت گیری ایکو وجهی منظم (یا معادل آن دوازده وجهی منظم). $ل$ به این صورت مشاهده می شود، یا نشان داده می شود $532$ . اطلاعات بیشتر: طبقه بندی زیرگروه های محدود SO(3,R) ، نظریه نمایش خطی گروه متناوب:A5
این گروه خطی ویژه تصویری درجه دو در میدان چهار عنصر است، یعنی $PSL (2،4)$ . همچنین گروه خطی ویژه درجه دو در میدان چهار عنصر است ، یعنی، $SL (2،4)$ . همچنین گروه خطی عمومی تصویری درجه دو در میدان چهار عنصر ، یعنی، $PGL(2،4)$ است.
این گروه خطی ویژه تصویری درجه دو در میدان پنج عنصر ، یعنی، $PSL (2،5)$ است.

معادل سازی تعاریف

هم ارزی تعاریف داخل (4) با ایزومورفیسم بین گروه های خطی زمانی که همریختی توان درجه دوگانه است، داده می شود .
PGL(2،4) با A5 یکری است: معادل (1) و (4)
PSL(2,5) با A5 هم شکل است: معادل (1) و (5)

نکته مهم $A_5$ : این صفحه در نوع خود به عنوان یک گروه انتزاعی متمرکز است. برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد این گروه به عنوان زیرگروه شاخص دو در داخل گروه متقارن: S5 ، به A5 در S5 مراجعه کنید .

توابع حسابی

آیا می خواهید مقادیر تابع حسابی را با سایر گروه های هم تراز مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های توابع #حساب 60 را بررسی کنید

توابع حسابی پایه

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
مرتبه (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	60	گروه هایی با همان مرتبه	به عنوان $A_n، n = 5$ ، $n!/2 = 5!/2 = 60$ به عنوان $SL (2، q)، q = 4$ ، $q^3 - q = 4^3 - 4 = 60$ به عنوان $PSL (2، q)، q = 5$ ، $(q^3 - q)/\operatorname{gcd}(2,q-1) = (5^3 - 5)/2 = 60$ . به عنوان گروه فون دایک با پارامترها $(p,q,r) = (2,3,5)$ : ساختار عنصر گروه متناوب $\frac{2}{1/p + 1/q + 1/r - 1} = \frac{2}{1/2 + 1/3 + 1/5 - 1} = 60$ را ببینید :A5#محاسبات مرتبه برای اطلاعات بیشتر.
نماینده یک گروه	30	گروه هایی با مرتبه و توان یک گروه \| گروه هایی با توان یک گروه	به عنوان $A_n، n = 5$ ، $n$ فرد: $\operatorname{lcm} \{ 1,2,\dots,n - 2,n \}$ ( بدون $n - 1$ ): به $\operatorname{lcm}\{1،2،3،5 \} = 30$ عنوان $SL (2، q)، q = 4$ (قدرت 2): $2 (q^2 - 1) = 2 (4^2 - 1) = 30$ به عنوان $PSL (2، q)، q = 5، p = 5$ (فرد): $p(q^2 - 1)/4 = 5(5^2 - 1)/4 = 5(6) = 30$
طول مشتق شده	--	--	یک گروه قابل حل نیست
کلاس پوچی	--	--	نه یک گروه بی قدرت
طول فراتینی	1	گروه هایی با همان مرتبه و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان	گروه بدون فراتینی : تقاطع ماکزیمالی زیرگروه ها بدیهی است.
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه هایی با مرتبه یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	$(1،2،3)، (1،2،3،4،5)$ .
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان مرتبه و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	--
ماکزیمال طول یک گروه	4	گروه هایی با همان مرتبه و ماکزیمال طول یک گروه \| گروه هایی با ماکزیمال طول یک گروه	--
طول ترکیب	1	گروه هایی با مرتبه و طول ترکیب یکسان \| گروه هایی با طول ترکیب یکسان	--
طول رئیس	1	گروه هایی با مرتبه و طول سر یکسان \| گروه هایی با طول رئیس یکسان	--

توابع حسابی ماهیت شمارشی

عملکرد	مقدار	توضیح
تعداد زیر گروه ها	59	ساختار زیر گروه گروه متناوب: A5
تعداد کلاس های مزدوج	5	به عنوان $A_n، n = 5$ : (2 * (تعداد پارتیشن های خود مزدوج از 5)) + (تعداد جفت های مزدوج پارتیشن های غیر خود مزدوج 5) = $2 (1) + 3 = 5$ (بیشتر اینجا ) As $PSL(2,q)$ , $q = 5$ : $(q + 5)/2 = (5 + 5)/2 = 5$ ( در اینجا بیشتر ) As $PGL(2,q)$ , $q = 4$ (زوج): $q + 1 = 4 + 1 = 5$ (اطلاعات بیشتر در اینجا ) برای اطلاعات بیشتر به ساختار عناصر گروه متناوب مراجعه کنید:A5#تعداد کلاسهای مزدوج
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	9	ساختار زیر گروه گروه متناوب: A5

خواص گروهی

خواص اساسی

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه آبلیان	خیر	$(1،2،3)$ ، $(1،2،3،4،5)$ رفت و آمد نکنید	$A_n$ غیر آبلی است، $n \ge 4$ .
گروه nilpotent	خیر	بدون مرکز : مرکز بدیهی است	$A_n$ غیر نیرومند است $n \ge 4$ ،
گروه متاسیکلیک	خیر	ساده و غیر آبلی	$A_n$ متاسیکلیک نیست $n \ge 4$ ،
گروه فوق حل پذیر	خیر	ساده و غیر آبلی	$A_n$ فوق حل پذیر نیست $n \ge 4$ ،
گروه قابل حل	خیر		$A_n$ قابل حل نیست $n \ge 5$ ،
گروه ساده	آره	کوچکترین گروه غیرآبلی ساده

سایر خواص

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه تی	آره	ساده و غیر آبلی
گروه بازنمایی منطقی	خیر
گروه منطقی	خیر
گروه دوسوگرا	آره		همچنین طبقه بندی گروه های متناوب دوسوگرا را ببینید
گروه کامل	خیر	صرف با جایگشت های فرد $S_5$ ، اتومورفیسم های بیرونی را می دهد
گروه کامل	آره	از آن نتیجه می شود که یک گروه غیرآبلی ساده است .
شور-گروه بدیهی	خیر	ضرب کننده شور گروه دوری ای است :Z2 .
گروه N	آره	طبقه بندی گروه های متناوب که گروه های N هستند را ببینید	$A_n$ یک گروه N است فقط برای $n \le 7$ .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:39 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

این جدول نویسه‌ها روی مشخصه صفر و هر مشخصه دیگری که برابر با دو نباشد کار می‌کند، زمانی که ورودی‌ها را تغییر می‌دهیم:

بازنمایی/کلاس مزدوجی	$\{ 1 \}$ (همانی، اندازه 1)	$\{ -1 \}$ (اندازه 1)	$\{ i، -i \}$ (اندازه 2)	$\{ j, -j \}$ (اندازه 2)	$\{k، -k \}$ (اندازه 2)
نمایندگی بدیهی	1	1	1	1	1
$من$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$j$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$ک$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این یک گروه پوچی غیر آبلی با کوچکترین مرتبه ممکن است، همراه با گروه دو وجهی:D8 .
این یک گروه ددکیند غیرآبلی (یا گروه همیلتونی) با کوچکترین مرتبه ممکن است. ددکیند به این معنی است که هر زیرگروه عادی است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه ددکیند غیرآبلی از راسته خود است.
این تنها گروه T غیرآبلی در راسته خود است.
این تنها گروه از مرتبه خود است که رتبه آن (به معنای حداکثر رتبه ممکن یک زیرگروه آبلی) به شدت کوچکتر از حداقل اندازه مجموعه مولد است : برای این گروه، اولی 1 و دومی 2 است. .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 4 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،4)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,4);

IdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 5 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،5)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,5);

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,5]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع استفاده شده	نظر ریاضی
SylowSubgroup(SL(2,3,2)	SylowSubgroup و SL	زیر گروه $2$ -Sylow از گروه خطی ویژه: SL(2،3)
ExtraspecialGroup(2^3,'-')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق خاص از نظم $2^3$ و نوع '-'
SylowSubgroup(SL(2,5,2)	SylowSubgroup و SL	زیر گروه $2$ -Sylow از گروه خطی ویژه: SL(2،5)

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

تابع تعریف زیرگروه	معنی	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی جابجا یی دارند	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیر گروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مناسب	به همه زیرگروه های نرمال پوچی بپیوندید	کل گروه	گروه کواترنیون	8	ضریب برازش	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلی دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه کواترنیون

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	?	--
گروه اتومورفیسم	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه متقارن: S3	6	1
گروهی از خودمورفیسم های حفظ کلاس	کلاین چهار گروه	4	2
گروهی از اتومورفیسم های IA	کلاین چهار گروه	4	2
ضریب گروه خودمورفیسم حفظ کلاس توسط گروه خودمورفیسم درونی	گروه بدیهی	1	1
ضریب گروه IA-اتومورفیسم توسط گروه اتومورفیسم درونی	گروه بدیهی	1	1
گروهی از اتومورفیسم های ثابت کننده مرکز	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	محصول مستقیم S4 و Z2	48	48
هولومورف	?	192
هولومورف درونی	هولومورف داخلی D8 ( $D_8$ و گروه کواترنیون دارای هولومورف یکسان هستند)	32	49

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون

خلاصه

گروه کواترنیون یکی از معدود نمونه های گروه عقلانی است که یک گروه بازنمایی عقلی نیست . به عبارت دیگر، تمام نویسه های آن بر روی اعداد مختلط دارای ارزش عقلی هستند، اما هر نمایشی از آن را نمی توان بر روی اعداد گویا تحقق بخشید.

جدول کاراکترهای گروه چهارتایی مانند گروه دو وجهی مرتبه هشت است. با این حال، توجه داشته باشید که زمینه های تحقق برای نمایش ها متفاوت است، زیرا یکی از نمایش های گروه کواترنیون دارای شاخص شور دو است.

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1,1,1,1,2 حداکثر : 2, lcm : 2, تعداد : 5, مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص شور نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،2 (مشخصه صفر) حداکثر : 2، lcm : 2 1،1،1،1،1 (مشخصه غیر از 0،2)
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Z}[i]$ که در آن $من$ یک جذر $-1$ معادل $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 1)$ است، حلقه اعداد صحیح گاوسی یک نامزد است. دیگری است $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ یا $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی، هر حلقه ای از شکل $\mathbb{Z}[\آلفا،\بتا]$ که در آن $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ حلقه ای از تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر است. به طور خاص، $\mathbb{Z}[\sqrt{-m^2 - 1}]$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ .
میدان تقسیم حداقلی (یعنی میدان تحقق) برای همه نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Q}(i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 1)$ کار می کند، همینطور می کند $\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی تر، $\mathbb{Q}(\آلفا،\بتا)$ جایی $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ که یک میدان تقسیم است. به طور خاص، $\mathbb{Q}(\sqrt{-1-m^2})$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ . میدان شکاف حداقل نیازی نیست منحصر به فرد باشد ، میدان شکاف حداقل نباید سیکلوتومیک باشد
حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$
میدان ایجاد شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (از این رو یک گروه منطقی است ) همچنین ببینید: میدان تولید شده توسط مقادیر کاراکتر نیازی به یک میدان تقسیم کننده نیست \| rational not دلالت بر بازنمایی عقلانی دارد
شرط تقسیم شدن میدان برای این گروه	$\آلفا، \بتا$ شرط کافی: مشخصه دو نیست و در میدان وجود دارد به گونه ای که $\alpha^2 + \beta^2 + 1 = 0$ . به طور خاص، هر میدان محدود مشخصه نه دو، یک میدان شکافنده است، زیرا هر عنصر یک میدان محدود به صورت مجموع دو مربع قابل بیان است و به طور خاص، $-1$ مجموع دو مربع در هر میدان متناهی است.
میدان تقسیم حداقل (مشخصه $p \ne 0,2$ )	میدان اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	میدان:F3 ، یعنی میدان سه عنصر.
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت گروه خودمورفیسم	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 3 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 3
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت عمل ضربی نمایش‌های یک‌بعدی، یعنی تا هم ارزی تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان غیرقابل تقسیم، به عنوان مثال، میدان اعداد گویا یا میدان اعداد واقعی	1،1،1،1،4 شماره : 5
گروه هایی با جدول ویژگی های یکسان	گروه دو وجهی:D8

جدول ویژگی

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه کواترنیون

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	لیست زیر گروه ها	کلاس ایزومورفیسم	مرتبه زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج (=1 اگر زیرگروه automorph-conjugate )	اندازه هر کلاس مزدوجی (=1 اگر زیر گروه نرمال )	تعداد کل زیر گروه ها (=1 زیر گروه مشخصه اگر )	کلاس ضریب ایزومورفیسم (در صورت وجود)	کلاس Nilpotency
زیر گروه بدیهی	$\{ 1 \}$	زیر گروه بدیهی	1	8	1	1	1	گروه کواترنیون	0
مرکز گروه کواترنیون	$\{ 1، -1\}$	گروه دوری ای: Z2	2	4	1	1	1	کلاین چهار گروه	1
زیرگروه های حداکثر دوری ای گروه کواترنیون	$\{ 1,-1,i,-i \}$ $\{ 1,-1,j,-j \}$ $\{ 1,-1,k,-k \}$	گروه دوری ای: Z4	4	2	3	1	3	گروه دوری ای: Z2	1
کل گروه	$\{ 1,-1,i,-i,j,-j,k,-k \}$	گروه کواترنیون	8	1	1	1	1	گروه بدیهی	2
مجموع (4 ردیف)	--	--	--	--	6	--	6	--	--

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه کواترنیون

توابع حسابی

توابع حسابی پایه

آیا می خواهید مقادیر تابع حسابی را با سایر گروه های هم تراز مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های ترتیب 8 #توابع حسابی را بررسی کنید

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
اول زیرین گروه p	2
ترتیب (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	8	گروه هایی با همان ترتیب
لگاریتم مرتبه پایه اول	3	گروه هایی با ترتیب لگاریتم پایه اول یکسان
نماینده یک گروه	4	گروه هایی با ترتیب و توان یک گروه \| گروه هایی با توان یک گروه	زیر گروه چرخه ای مرتبه چهار.
لگاریتم مبنا اول توان	2	گروه هایی با مرتبه یکسان و لگاریتم مبنا اول توان \| گروه هایی با لگاریتم مبنا اول مرتبه و لگاریتم مبنا اول توان \| گروه هایی با لگاریتم مبنا اول یکسان
کلاس nilpotency	2	گروه هایی با نظم و کلاس nilpotency یکسان \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و کلاس nilpotency \| گروه هایی با کلاس nilpotency یکسان
طول مشتق شده	2	گروه هایی با ترتیب و طول مشتق شده یکسان \| گروه‌هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و طول مشتق شده \| گروه هایی با طول مشتق شده یکسان
طول فراتینی	2	گروه هایی با همان ترتیب و طول فراتینی \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	ژنراتورهای دو زیر گروه چرخه ای مرتبه چهار.
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان ترتیب و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه زیرگروهی یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	همه زیر گروه های مناسب چرخه ای هستند.
رتبه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه یکسان گروه p	همه زیر گروه های آبلی حلقوی هستند.
رتبه عادی یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با رتبه عادی یک گروه p	همه زیرگروه های نرمال آبلی چرخه ای هستند.
رتبه مشخصه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه مشخصه یک گروه p	همه زیرگروه های مشخصه آبلی چرخه ای هستند.

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عناصر گروه کواترنیون

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح
تعداد کلاس های مزدوج	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوج	ساختار عناصر گروه های دو حلقه ای را ببینید .
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	5	گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت مزدوجی واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است.
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است.
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه عقلانی است (البته نه یک گروه بازنمایی منطقی ).
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه عقلانی است (البته نه یک گروه بازنمایی منطقی ).

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه کواترنیونی

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه
تعداد زیر گروه ها	6
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	6
تعداد زیر گروه های عادی	6	گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های عادی یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادی
تعداد کلاس های خودمورفیسم زیر گروه ها	4

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنید	مقدار	توضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج	$1،1،2،2،2$	$\pm i, \pm j, \pm k$ هر یک از کلاس های مزدوج عناصر غیر مرکزی هستند.
درجات بازنمایی غیر قابل تقلیل	$1،1،1،1،2$	به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید
آمار سفارش	$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 1, 4 \mapsto 6$
سفارشات زیر گروه ها	$1،2،4،4،4،8$	ساختار زیرگروهی گروه کواترنیون را ببینید

خواص گروهی

آیا می خواهید ویژگی های گروه را با سایر گروه های هم ردیف مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های سفارش 8 #املاک گروه را بررسی کنید

خواص مهم

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه نظم قدرت اول	آره
گروه nilpotent	آره	نظم قدرت اول دلالت بر nilpotent دارد
گروه فوق حل پذیر	آره	از طریق nilpotent: nilpotent متناهی به معنای فوق حل پذیر است
گروه قابل حل	آره	از طریق nilpotent: nilpotent به معنی قابل حل است
گروه آبلیان	خیر	$من$ و رفت و $j$ آمد نکنید	کوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه متاسیکلیک	آره	زیر گروه نرمال چرخه ای مرتبه چهار، ضریب چرخه ای مرتبه دو
گروه ددکیند	آره	هر زیرگروه طبیعی است	کوچکترین گروه ددکیند غیرآبلی
گروه تی	آره	ددکیند به معنای گروه T است

سایر خواص

ویژگی	راضی	توضیح	اظهار نظر
گروه یکپارچه	آره	زیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو
گروه یک سر	خیر	سه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار
گروه SC	خیر
گروه ACIC	آره	هر زیر گروه اتومورف مزدوج مشخصه است
گروه دوسوگرا	آره
گروه منطقی	آره	هر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستند	بنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقی	خیر	یک نمایش دو بعدی که منطقی نیست .	در مقابل گروه دو وجهی:D8 ، که بازنمایی عقلانی است. همچنین به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 و نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید.
گروه کلاس حداکثر	آره
گروه nilpotency کلاس دو	آره
گروه فوق خاص	آره
گروه ویژه	آره
گروه فراتینی در مرکز	آره
گروه فروبنیوس	خیر	گروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند.
گروه Camina	آره	extraspecial به معنای Camina است
گروهی که در آن هر عنصر نسبت به معکوس خود خودمورف است	آره	نتیجه از یک گروه دوسوگرا است
گروهی که در آن هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی مشابه را ایجاد می کنند، خودمورف هستند	آره	از گروه منطقی بودن نتیجه می گیرد
گروهی که در آن هر عنصر نظم-خودمورفیک است	آره
گروه غیر قابل تجزیه مستقیم	آره
گروه تجزیه ناپذیر مرکزی	آره
گروه تقسیم ساده	آره
شور-گروه بی اهمیت	آره	هم‌شناسی گروهی گروه کواترنیون را ببینید

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 17:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه کواترنیون

گروه کواترنیون
این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]
فهرست
1تعریف
1.1تعریف با ارائه
1.2تعاریف کلامی
1.3جدول ضرب
2موقعیت در طبقه بندی ها
3عناصر
3.1ساختار کلاس مزدوجی
3.2ساختار کلاس اتومورفیسم
4توابع حسابی
4.1توابع حسابی پایه
4.2توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر
4.3توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی
4.4لیستی از متغیرهای عددی
5خواص گروهی
5.1خواص مهم
5.2سایر خواص
6زیر گروه ها
7توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط
8اتومورفیسم و اندومورفیسم
9نظریه نمایش خطی
9.1خلاصه
9.2جدول ویژگی
10ویژگی های متمایز
10.1کوچکترین در نوع خود
10.2متفاوت از بقیه هم راستا
11اجرای GAP
11.1شناسه گروه
11.2سالن-شماره ارشد
11.3توضیحات کوتاه
تعریف
تعریف با ارائه
گروه کواترنیون ارائه زیر را دارد :
$\langle i,j,k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \rangle$
هویت نشان داده می شود $1$ ، عنصر مشترک $i^2 = j^2 = k^2 = ijk$ نشان داده می شود $-1$ ، و عناصر $i^3، j^3، k^3$ به ترتیب نشان داده $-i،-j،-k$ می شوند.
آیا در مورد ارائه به طور کلی یا این یکی به طور خاص گیج شده اید؟ اگر با این چیزها تازه کار هستید، ساخت گروه کواترنیون را از ارائه آن بررسی کنید. نظریه پردازان گروه پیچیده می توانند معادل سازی ارائه های گروه دو حلقه ای را بخوانند
تعاریف کلامی
گروه کواترنیون گروهی با هشت عنصر است که به یکی از روش های زیر قابل توصیف است:
این گروه شامل هشت عنصر است $1,-1,i,-i,j,-j,k,-k$ که در آن 1 عنصر هویت است، $(-1)^2 = 1$ و همه عناصر دیگر از ریشه مربع هستند $-1$ ، به طوری که $(-1)i = -i، (-1)j = -j، (-1)k= -k$ و بیشتر، $ij = k، ji = -k، jk = i، kj = -i، ki = j، ik = -j$ (روابط باقی مانده را می توان از اینها استنباط کرد).
این گروه دو حلقه ای با پارامتر 2 است، یعنی $Dic_2$ .
این گروه فیبوناچی $F(2،3)$ است.
جدول ضرب
در جدول زیر عنصر ردیف در سمت چپ و عنصر ستون در سمت راست ضرب شده است.
عنصر $\! 1$ $\! -1$ $\! من$ $\! -من$ $\! j$ $\! -j$ $\! ک$ $\! -k$
$\! 1$ $\! 1$ $\! -1$ $\! من$ $\! -من$ $\! j$ $\! -j$ $\! ک$ $\! -k$
$\! -1$ $\! -1$ $\! 1$ $\! -من$ $\! من$ $\! -j$ $\! j$ $\! -k$ $\! ک$
$\! من$ $\! من$ $\! -من$ $\! -1$ $\! 1$ $\! ک$ $\! -k$ $\! -j$ $\! j$
$\! -من$ $\! -من$ $\! من$ $\! 1$ $\! -1$ $\! -k$ $\! ک$ $\! j$ $\! -j$
$\! j$ $\! j$ $\! -j$ $\! -k$ $\! ک$ $\! -1$ $\! 1$ $\! من$ $\! -من$
$\! -j$ $\! -j$ $\! j$ $\! ک$ $\! -k$ $\! 1$ $\! -1$ $\! -من$ $\! من$
$\! ک$ $\! ک$ $\! -k$ $\! j$ $\! -j$ $\! -من$ $\! من$ $\! -1$ $\! 1$
$\! -k$ $\! -k$ $\! ک$ $\! -j$ $\! j$ $\! من$ $\! -من$ $\! 1$ $\! -1$

موقعیت در طبقه بندی ها
نوع طبقه بندی نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP (8،4) یعنی چهارمین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد 5 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد $8\Gamma_2a_2$
عناصر
اطلاعات بیشتر: ساختار عنصری گروه کواترنیونی
ساختار کلاس مزدوجی
کلاس مزدوجی اندازه کلاس مزدوجی ترتیب عناصر در کلاس مزدوجی متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ 1 \}$ 1 1 کل گروه
$\! \{ -1 \}$ 1 2 کل گروه
$\! \{ من، - من \}$ 2 4 $\{ 1,-1,i,-i \}$ ، مثل $\langle i \rangle$
$\! \{j,-j \}$ 2 4 $\{ 1,-1,j,-j\}$ -- مثل $\langle j \rangle$
$\! \{k,-k \}$ 2 4 $\{ 1,-1,k,-k \}$ -- مثل $\langle k \rangle$
ساختار کلاس اتومورفیسم
کلاس هم ارزی (مدار) تحت عمل اتومورفیسم ها اندازه کلاس هم ارزی (مدار) تعداد کلاس های مزدوج در آن اندازه هر کلاس مزدوجی ترتیب عناصر
$\! \{ 1 \}$ 1 1 1 1
$\! \{ -1 \}$ 1 1 1 2
$\! \{ i,-i,j,-j,k,-k \}$ 6 3 2 4

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 16:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه ساختار برای گروه های آبلی محدود تولید شده

بیانیه

قضیه ساختار برای گروه های آبلی به طور متناهی موارد زیر را بیان می کند:

هر گروه آبلی به طور متناهی تولید شده را می توان به عنوان ضرب مستقیم تعداد متناهیی از گروه های دوری بیان کرد (به عبارت دیگر، به ضرب مستقیم خارجی گروه های دوری متناهیی هم شکل است).
برای هر عبارتی از این قبیل، همه عواملی که دوری ای نامتناهی هستند و همه عواملی که دوری ای متناهی هستند را جمع آوری کنید. هر دو قسمت تا ایزومورفیسم با نوع هم ریختی گروه اصلی تعیین می شوند. اولی قسمت بدون پیچ خوردگی و دومی قسمت پیچشی گروه نامیده می شود.
برای قسمت پیچشی: می توان آن را به عنوان یک ضرب مستقیم از گروه های دوری ای با مرتبه توان اول نوشت. علاوه بر این، برای هر دو عبارت از این قبیل به عنوان یک ضرب مستقیم، تعداد گروه‌های یک مرتبه توان اول خاص یکسان است.
برای قسمت پیچشی: راهی برای نوشتن آن به عنوان یک ضرب مستقیم از گروه های دوری ای از مرتبه $a_1، a_2، \dots، a_d$ ها وجود دارد که در آن $a_1 | a_2 | \dots | آگهی$ همه $a_i$ اعداد صحیح مثبت وجود دارد. علاوه بر این، $a_i$ s ها کاملاً با نوع ایزومورفیسم گروه تعیین می شوند.

برای یک گروه آبلی متناهی ، گروه دارای بخش بدون پیچش صفر و کل گروه به عنوان بخش پیچشی آن است. بخش‌های (3) و (4) قضیه همچنان اعمال می‌شوند، و این نسخه، قضیه ساختار برای گروه‌های آبلی متناهی نامیده می‌شود .

در نمادها، قسمت (3) می گوید که هر گروه آبلی که به طور متناهی تولید $جی$ می شود را می توان به صورت زیر نوشت:

$G \cong \mathbb{Z}^r \times \prod_{i=1}^l \mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z}$

که در آن $p_i$ اول و $k_i$ اعداد صحیح مثبت هستند. $r$ مستقل از انتخاب بیان است. علاوه بر این، تعداد دفعاتی که هر توان اول $p^k$ در بین آنها رخ می دهد $p_i^{k_i}$ ، مستقل از انتخاب عبارات است.

در نمادها، قسمت (4) می گوید که هر گروه آبلی که به طور متناهی تولید $جی$ می شود را می توان به صورت زیر نوشت:

$G \cong \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \dots \times \mathbb{Z}/ a_d\mathbb{Z}$

که در $a_i$ آن مثبت هستند، و $a_i$ عاد می کند $a_{i+1}$ . علاوه بر این، $r$ و $a_i$ به طور منحصر به فرد با این شرایط تعیین می شوند.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 16:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

میدان برداری پایستار

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما تا حد زیادی تأیید نشده است زیرا فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است. لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( می 2009 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

در محاسبات برداری ، یک میدان برداری پایستار، یک میدان برداری است که گرادیان یک تابع است. [1] میدانهای برداری پایستار این ویژگی را دارند که انتگرال خط مستقل از مسیر باشد. انتخاب هر مسیری بین دو نقطه مقدار انتگرال خط را تغییر نمی دهد . استقلال مسیر انتگرال خط معادل پایستار بودن میدان برداری است. یک میدان برداری پایستارانه نیز غیر چرخشی است . در سه بعدی، به این معنی است که دارای پیچ در حال محو شدن است . یک میدان برداری چرخشی لزوماً پایستار است به شرطی که دامنه باشدبه سادگی متصل است.

میدان های برداری پایستار به طور طبیعی در مکانیک ظاهر می شوند : آنها میدان های برداری هستند که نیروهای سیستم های فیزیکی را نشان می دهند که در آنها انرژی حفظ می شود . [2] برای یک سیستم پایستار، کار انجام شده در حرکت در امتداد یک مسیر در فضای پیکربندی فقط به نقاط انتهایی مسیر بستگی دارد، بنابراین می توان انرژی پتانسیلی را تعریف کرد که مستقل از مسیر واقعی طی شده باشد.

فهرست

درمان غیررسمی [ ویرایش ]

در یک فضای دو و سه بعدی، ابهام در گرفتن انتگرال بین دو نقطه وجود دارد، زیرا بین دو نقطه مسیرهای بی نهایت زیادی وجود دارد - به غیر از خط مستقیمی که بین دو نقطه تشکیل شده است، می توان یک مسیر منحنی را انتخاب کرد. طول بیشتر همانطور که در شکل نشان داده شده است. بنابراین به طور کلی مقدار انتگرال به مسیر طی شده بستگی دارد. با این حال، در مورد خاص یک میدان برداری پایستارانه، مقدار انتگرال مستقل از مسیر طی شده است، که می توان آن را به عنوان یک لغو در مقیاس بزرگ از همه عناصر در نظر گرفت. $d{R}$ که در امتداد خط مستقیم بین دو نقطه جزء ندارند. برای تجسم این موضوع، دو نفر را در حال بالا رفتن از یک صخره تصور کنید. یکی تصمیم می گیرد تا صخره را با بالا رفتن عمودی از آن بالا ببرد، و دومی تصمیم می گیرد در امتداد مسیری پرپیچ و خم قدم بزند که طول آن بیشتر از ارتفاع صخره است، اما فقط با زاویه کمی نسبت به افقی. اگرچه این دو کوهنورد مسیرهای مختلفی را برای رسیدن به بالای صخره طی کرده‌اند، اما در بالای آن، هر دو به یک اندازه انرژی پتانسیل گرانشی به دست آورده‌اند. این به این دلیل است که یک میدان گرانشی پایستار است. به عنوان نمونه ای از یک میدان غیر پایستار، فشار دادن یک جعبه را از یک سر اتاق به انتهای دیگر تصور کنید. فشار دادن جعبه در یک خط مستقیم در سراسر اتاق به کار کمتری در برابر اصطکاک نسبت به مسیر منحنی که مسافت بیشتری را پوشش می دهد نیاز دارد.

تصویری از دو مسیر ممکن برای ادغام. در سبز ساده ترین مسیر ممکن است. آبی منحنی پیچیده تری را نشان می دهد

توضیح شهودی [ ویرایش ]

چاپ سنگی MC Escher Ascending and Descending یک میدان برداری غیر پایستارانه را نشان می دهد که به طور غیرممکن به نظر می رسد شیب ارتفاع متغیر از سطح زمین در هنگام حرکت در امتداد راه پله باشد. چرخشی از این جهت است که می‌توان در حین دور زدن در دایره‌ها به بالا رفتن یا پایین‌تر آمدن ادامه داد. این غیر پایستارانه است زیرا می توان به نقطه شروع خود بازگشت در حالی که بیش از یک فرود صعود می کند یا برعکس. در یک پلکان واقعی، ارتفاع بالای زمین یک میدان پتانسیل اسکالر است: اگر کسی به همان مکان برگردد، دقیقاً به همان اندازه که به سمت پایین می‌رود، به سمت بالا می‌رود. گرادیان آن یک میدان برداری پایستارانه و غیر چرخشی است. وضعیت به تصویر کشیده شده در نقاشی غیرممکن است.

تعریف [ ویرایش ]

یک میدان برداری $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}$ ، جایی که $U$ یک زیر مجموعه باز از $\mathbb {R} ^{n}$ ، گفته می شود که اگر و فقط در صورت وجود a پایستار است $ج^{1}$ میدان اسکالر $\varphi$ بر $U$ به طوری که

$\mathbf {v} =\nabla \varphi .$

اینجا، $\nabla \varphi$ نشان دهنده گرادیان $\varphi$ است. وقتی معادله بالا برقرار است، $\varphi$ پتانسیل اسکالر برای $\mathbf {v}$ نامیده می شود.

قضیه اساسی حساب برداری بیان می کند که هر میدان برداری را می توان به صورت مجموع یک میدان برداری پایستار و یک میدان شیری بیان کرد .

استقلال مسیر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه گرادیان

ویژگی کلیدی یک میدان برداری پایستارانه $\mathbf {v}$ این است که انتگرال آن در طول یک مسیر فقط به نقاط انتهایی آن مسیر بستگی دارد، نه مسیر خاصی که طی شده است. فرض کنید که $پ$ یک مسیر قابل اصلاح در $U$ است با نقطه اولیه $آ$ و نقطه پایانی $ب$ . اگر $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ برای برخی $ج^{1}$ میدان اسکالر $\varphi$ به طوری که $\mathbf {v}$ یک میدان برداری پایستار است، سپس قضیه گرادیان بیان می کند که

$\int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).$

این امر به عنوان یک نتیجه از قانون زنجیره و قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

فرمول معادل این است که

$\oint _{C}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0$

برای هر مسیر بسته ساده قابل اصلاح $سی$ که در $U$ . عکس این گفته نیز صادق است: اگر گردش از $\mathbf {v}$ در اطراف هر مسیر بسته ساده قابل اصلاح در داخل $U$ است $0$ ، سپس $\mathbf {v}$ یک میدان برداری پایستارانه است.

میدانهای برداری غیر چرخشی [ ویرایش ]

میدان برداری فوق $\mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{ 2}}}،0\راست)$ تعریف شده در $U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}$ تقریباً در همه جا پیچش صفر دارد و بنابراین چرخش ندارد. با این حال، نه پایستار است و نه استقلال مسیر دارد.

اجازه دهید $n = 3$ ، و اجازه دهید $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}$ یک $ج^{1}$ میدان برداری، با $U$ باز مثل همیشه سپس $\mathbf {v}$ اگر و فقط در صورتی که همه جا در $U$ پیچش آن $\mathbf {0}$ باشد، غیر چرخشی نامیده می شود ، یعنی اگر

$\nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .$

به همین دلیل، گاهی اوقات به چنین میدانهای برداری به عنوان میدانهای برداری بدون کرل یا میدانهای برداری بدون کرل گفته می شود . آنها همچنین به عنوان میدان های برداری طولی نامیده می شوند .

این یک هویت از حساب برداری است که برای هر $ج^{2}$ میدان اسکالر $\varphi$ بر $U$ ، ما داریم

$\nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .$

بنابراین، هر $ج^{1}$ میدان برداری پایستارانه روشن است $U$ همچنین یک میدان برداری غیر چرخشی است $U$ .

به شرطی که $U$ به سادگی متصل است، برعکس این نیز صادق است: هر میدان برداری غیر چرخشی در $U$ هست یک $ج^{1}$ میدان برداری پایستارانه روشن است $U$ .

عبارت فوق به طور کلی درست نیست اگر $U$ به سادگی متصل نیست اجازه دهید $U$ بودن $\mathbb {R} ^{3}$ با $z$ -محور حذف شد، به عنوان مثال، $U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}$ . حالا یک میدان برداری تعریف کنید $\mathbf {v}$ بر $U$ توسط

$\mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^ {2}}}،{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}،0\راست).$

سپس $\mathbf {v}$ در همه جا $U$ پ یچش صفر است ، یعنی $\mathbf {v}$ غیر چرخشی است با این حال، گردش از $\mathbf {v}$ اطراف دایره واحد در $xy$ -فضا $2\pi$ است . در واقع، توجه داشته باشید که در مختصات قطبی ، $\mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r$ ، بنابراین انتگرال روی دایره واحد است

$\oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .$

از این رو، $\mathbf {v}$ ویژگی مسیر استقلال که در بالا مورد بحث قرار گرفت را ندارد و پایستارانه نیست.

در یک منطقه باز متصل به سادگی، یک میدان برداری چرخشی دارای ویژگی مستقل مسیر است. این را می توان با توجه به این که در چنین منطقه ای، یک میدان برداری غیر چرخشی پایستار است و میدانهای بردار پایستار دارای خاصیت مستقل بودن مسیر هستند. نتیجه را می توان مستقیماً با استفاده از قضیه استوکس نیز اثبات کرد . در یک منطقه باز متصل به سادگی، هر میدان برداری که دارای خاصیت مستقل بودن مسیر است نیز باید غیر چرخشی باشد.

به طور انتزاعی تر، در حضور یک متریک ریمانی ، میدان های برداری با دیفرانسیل مطابقت دارند. $1$ -فرم ها میدانهای بردار پایستار دقیقاً مطابقت دارند $1$ -شکل ها، یعنی به صورت هایی که مشتق بیرونی هستند $d\phi$ یک تابع (میدان اسکالر) $\phi$ بر $U$ . میدانهای بردار چرخشی مربوط به بسته است $1$ -فرم ها، یعنی به $1$ -تشکیل می دهد $\ امگا$ به طوری که $d\omega =0$ . مانند $d^2 = 0$ ، هر شکل دقیقی بسته است، بنابراین هر میدان برداری پایستار غیر چرخشی است. برعکس، همه بسته است $1$ -فرم ها دقیق هستند اگر $U$ به سادگی متصل است.

گرداب [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گرداب

گرداب _ ${\boldsymbol {\omega }}$ یک میدان برداری را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

${\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .$

گردابی میدان بی چرخشی در همه جا صفر است. [3] قضیه گردش کلوین بیان می‌کند که سیالی که در یک جریان نامرغوب غیر چرخشی است، غیر چرخشی باقی می‌ماند. این نتیجه را می توان از معادله انتقال گردابی که با گرفتن چرخش معادلات ناویر-استوکس به دست می آید، به دست آورد.

برای یک میدان دو بعدی، گردابه به عنوان معیاری از چرخش محلی عناصر سیال عمل می کند. توجه داشته باشید که گردابه چیزی در مورد رفتار جهانی یک سیال دلالت نمی کند. ممکن است سیالی که در یک خط مستقیم حرکت می کند دارای گردابه باشد و ممکن است سیالی که در یک دایره حرکت می کند غیر چرخشی باشد.

نیروهای پایستار [ ویرایش ]

نمونه هایی از زمینه های بالقوه و گرادیان در فیزیک:

میدان های اسکالر، پتانسیل های اسکالر:
- V G ، پتانسیل گرانشی
- دیگ W ، انرژی پتانسیل
- V C ، پتانسیل کولن
میدانهای برداری، میدانهای گرادیان:
- a G ، شتاب گرانشی
- F ، نیرو
- E ، قدرت میدان الکتریکی

اگر میدان برداری مربوط به یک نیرو باشد $\mathbf {F}$ پایستار است، پس گفته می شود نیرو یک نیروی پایستار است .

برجسته ترین نمونه های نیروهای پایستار نیروی گرانشی و نیروی الکتریکی مرتبط با یک میدان الکترواستاتیک است. بر اساس قانون گرانش نیوتن ، نیروی گرانش $\mathbf {F} _{G}$ بر روی یک توده عمل می کند $متر$ به دلیل یک توده $م$ ، که یک فاصله است $r$ بین آنها، از معادله تبعیت می کند

$\mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}،$

جایی که $جی$ ثابت گرانشی است و ${\hat {\mathbf {r} }}$ یک بردار واحد است که از $م$ به سمت $متر$ . نیروی گرانش پایستار است زیرا $\mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}$ ، جایی که

$\Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}$

انرژی پتانسیل گرانشی است . می توان نشان داد که هر میدان برداری از فرم $\mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}$ پایستار است، مشروط بر اینکه $F(r)$ انتگرال پذیر است.

برای نیروهای پایستار ، استقلال مسیر را می توان به این معنا تفسیر کرد که کار انجام شده در حرکت از یک نقطه است $آ$ به یک نقطه $ب$ مستقل از مسیر انتخاب شده، و آن کار است $دبلیو$ انجام شده در دور زدن یک حلقه بسته ساده $0$ است :

$W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.$

انرژی کل یک ذره که تحت تأثیر نیروهای پایستار حرکت می کند، حفظ می شود، به این معنا که از دست دادن انرژی پتانسیل به مقدار مساوی از انرژی جنبشی تبدیل می شود یا برعکس.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_vector_field

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 3:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه هلمهولتز

در فیزیک و ریاضیات ، در حوزه حساب بردار ، قضیه هلمهولتز ، [1] [2] همچنین به عنوان قضیه اساسی حساب برداری ، [3] [4] [5] [6] [7] [ 8] 9] بیان می کند که هر میدان برداری به اندازه کافی صاف و سریع در حال پوسیدگی در سه بعدی را می توان به مجموع یک میدان برداری غیر چرخشی ( بدون پیچ ) و یک میدان برداری سلونوئیدی ( بدون واگرایی ) تفکیک کرد. این به عنوان شناخته شده است قضیه هلمهولتز یا نمایش هلمهولتز . این نام از هرمان فون هلمهولتز گرفته شده است. [10]

از آنجایی که یک میدان برداری چرخشی دارای پتانسیل اسکالر و یک میدان برداری سلونوئیدی دارای پتانسیل برداری است ، قضیه هلمهولتز بیان می‌کند که یک میدان برداری (با شرایط همواری و فروپاشی مناسب) می‌تواند به عنوان مجموع شکل قضیه شود. $-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A}$ ، جایی که $\phi$ یک میدان اسکالر به نام "پتانسیل اسکالر" و A یک میدان برداری است که به آن پتانسیل برداری می گویند.

فهرست

بیان قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $\mathbf {F}$ یک میدان برداری در یک دامنه متناهی باشد $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ، که دو بار به طور پیوسته قابل تمایز است و اجازه دهید $اس$ سطحی باشد که دامنه را در بر می گیرد $V$ . سپس $\mathbf {F}$ را می توان به یک جزء بدون چرخش و یک جزء بدون واگرایی قضیه کرد: [11]

$\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,$ جایی که

${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf { F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }} \oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ' |}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{ \frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{ \frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\ mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{تراز شده}}$

و $\nabla$ عملگر nabla با توجه به $\mathbf {r'}$ ، نه $\mathbf {r}$ .

اگر $V=\mathbb {R} ^{3}$ و بنابراین نامتناهی است، و $\mathbf {F}$ سریعتر ناپدید می شود $1/r$ مانند $r\to \infty$ ، سپس یکی دارد [12]

${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac { \nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt] \mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \ mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{تراز شده}}$

مشتق [ ویرایش ]

فرض کنید یک تابع برداری داریم $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ که ما چرخش آن را می شناسیم، $\nabla \times \mathbf {F}$ و واگرایی، $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ، در دامنه و میدانهای روی مرز. نوشتن تابع با استفاده از تابع دلتا در فرم

$\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{ |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,$

جایی که $\nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla$ عملگر لاپلاس است، ما داریم

${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r})&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{ 3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(- {\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ' )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[ \nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\ راست|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')} {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1 }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F } (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right) \right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ ریاضی {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left( \int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} }\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left( \int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} }\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}$

که در آن از تعریف بردار لاپلاسی استفاده کرده ایم :

$\nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a})\ ,$

تمایز / ادغام با توجه به ${\mathbf r}'$ توسط $\nabla '/\mathrm {d} V',$ و در خط آخر خطی بودن آرگومان های تابع:

$\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf { r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .$

سپس با استفاده از اتخاد های برداری

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a}) \\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{تراز شده}}$

ما گرفتیم

${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right| }}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf { r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _ {V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} }\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{تراز شده}}$

به لطف قضیه واگرایی ، معادله را می توان به صورت بازنویسی کرد

${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right| }}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)} {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{ V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}} \mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\ چپ|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1} {4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{ \frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right) }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1 }{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times { \frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\ راست]\پایان{تراز شده}}}\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4 \pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}}\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4 \pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}}-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\ راست)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}}-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\ راست)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}$

با سطح بیرونی نرمال $\mathbf {\hat {n}} '$ .

تعریف کردن

$\Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\ mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }} \oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \ left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\ pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf { r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'$

بالاخره بدست می آوریم

$\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .$

$-{\frac {1}{4\pi \چپ|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}$ تابع سبز برای لاپلاسی است، و در یک محیط کلی تر باید با تابع سبز مناسب جایگزین شود - برای مثال، در دو بعد باید با تابع سبز جایگزین شود. ${\frac {1}{2\pi }}\ln \چپ|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|$ . برای تعمیم ابعاد بالاتر، بحث قضیه هاج را در زیر ببینید .

مشتق دیگری از تبدیل فوریه [ ویرایش ]

توجه داشته باشید که در قضیه ای که در اینجا بیان شد این شرط را قرار داده ایم که اگر $\mathbf {F}$ پس در یک دامنه متناهی تعریف نشده است $\mathbf {F}$ باید سریعتر از $1/r$ . بنابراین، تبدیل فوریه از $\mathbf {F}$ ، نشان داده شده است $\mathbf {G}$ ، وجود تضمین شده است. ما کنوانسیون را اعمال می کنیم

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k }$

تبدیل فوریه یک میدان اسکالر یک میدان اسکالر است و تبدیل فوریه یک میدان برداری یک میدان برداری با همان ابعاد است.

حال میدانهای اسکالر و برداری زیر را در نظر بگیرید:

${\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\ |\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k})&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\ Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r})&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{تراز شده}}$

از این رو

${\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k})+i\mathbf {k} \ بار \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iint i\mathbf {k} G_ {\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{ \mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ) +\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{تراز شده}}$

میدانهایی با واگرایی و پیچ خوردگی تجویز شده [ ویرایش ]

اصطلاح "قضیه هلمهولتز" می تواند به موارد زیر نیز اشاره داشته باشد. فرض کنید C یک میدان برداری سلونوئیدی و d یک میدان اسکالر روی R3 باشد که به اندازه کافی صاف هستند و سریعتر از 1 / r2 در بی نهایت ناپدید می شوند. سپس یک میدان برداری F وجود دارد به طوری که

$\nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;$

اگر علاوه بر این، میدان برداری F به صورت r → ∞ ناپدید شود ، F منحصر به فرد است. [12]

به عبارت دیگر، یک میدان برداری را می توان هم با واگرایی مشخص و هم با یک چرخش مشخص ساخت، و اگر در بی نهایت نیز ناپدید شود، به طور منحصر به فرد با واگرایی و کرل آن مشخص می شود. این قضیه در الکترواستاتیک اهمیت زیادی دارد ، زیرا معادلات ماکسول برای میدان های الکتریکی و مغناطیسی در حالت استاتیک دقیقاً از این نوع هستند. [12] اثبات با ساختی است که ساختار فوق را تعمیم می دهد: ما تنظیم کردیم

$\mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C}))،$

جایی که ${\mathcal {G}}$ عملگر پتانسیل نیوتنی را نشان می دهد. (هنگامی که بر روی یک میدان برداری مانند ∇ × F عمل می کنیم، بر روی هر جزء تعریف می شود.)

فرم های دیفرانسیل [ ویرایش ]

قضیه هاج ارتباط نزدیکی با قضیه هلمهولتز دارد، که از میدان های برداری در R3 به اشکال دیفرانسیل در منیفولد ریمانی M تعمیم می یابد . اکثر فرمولاسیون های قضیه هاج نیاز دارند که M فشرده باشد . [13] از آنجایی که این در مورد R3 صادق نیست ، قضیه قضیه هاج به طور دقیق تعمیم قضیه هلمهولتز نیست. با این حال، متناهییت فشردگی در فرمول معمول قضیه هاج را می توان با مفروضات فروپاشی مناسب در بی نهایت در اشکال دیفرانسیل درگیر جایگزین کرد و تعمیم مناسبی از قضیه هلمهولتز ارائه کرد.

فرمولاسیون ضعیف [ ویرایش ]

قضیه هلمهولتز را می توان با کاهش مفروضات منظم (نیاز به وجود مشتقات قوی) نیز تعمیم داد. فرض کنید Ω یک دامنه لیپشیتز متناهی و به سادگی متصل است . هر میدان برداری مربع انتگرال u ∈ ( L 2 (Ω)) 3 دارای قضیه متعامد است:

$\mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A}$

جایی که φ در فضای سوبولف H 1 (Ω) از توابع مربع انتگرال پذیر در Ω است که مشتقات جزئی تعریف شده در معنای توزیع مربع انتگرال پذیر هستند، و A ∈ H (curl، Ω) ، فضای سوبولف از میدان های برداری متشکل از مربع است. میدانهای برداری قابل ادغام با چرخش ادغام پذیر مربعی.

برای یک میدان برداری کمی هموارتر u ∈ H (کرل، Ω) ، قضیه مشابه برقرار است:

$\mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v}$

جایی که φ ∈ H 1 (Ω)، v ∈ ( H 1 (Ω)) d .

میدانهای طولی و عرضی [ ویرایش ]

اصطلاحی که اغلب در فیزیک استفاده می شود به جزء بدون پیچش یک میدان برداری به عنوان مولفه طولی و جزء بدون واگرایی به عنوان مولفه عرضی اشاره می کند. [14] این اصطلاح از ساختار زیر می آید: تبدیل فوریه سه بعدی را محاسبه کنید ${\hat {\mathbf {F} }}$ از زمینه برداری $\mathbf {F}$ . سپس این میدان را در هر نقطه k به دو جزء تقسیم کنید که یکی از آنها به صورت طولی یعنی موازی با k و دیگری در جهت عرضی یعنی عمود بر k است. تا اینجای کار داریم

${\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\ mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )$

$\mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k})=0.$

$\mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .$

اکنون یک تبدیل فوریه معکوس برای هر یک از این اجزا اعمال می کنیم. با استفاده از ویژگی های تبدیل فوریه، ما به دست می آوریم:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )$

$\nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r})=0$

$\nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0}$

از آنجا که $\nabla \times (\nabla \Phi )=0$ و $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$ ،

می توانیم دریافت کنیم

$\mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\ nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'$

$\mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \ mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'$

بنابراین این در واقع قضیه هلمهولتز است. [15]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نمایش کلبش برای قضیه مرتبط با زمینه های برداری
داروین لاگرانژیان برای یک برنامه
قضیه پولوئیدال- چرخش ای برای قضیه بیشتر جزء بدون واگرایی $\nabla \times \mathbf {A}$ .
قضیه اسکالر-بردار-تانسور
نظریه هاج قضیه هلمهولتز را تعمیم می دهد

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 2:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 1:کاربرد قضیه استوکس

Answered: Use Stokes' Theorem to evaluate ∫CF⋅dr.… | bartleby

+ نوشته شده در شنبه بیست و پنجم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 2:کاربرد قضیه استوکس

${\iint }_{S}\text{curl}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{F}·d\text{S}={\int }_{C}\text{F}·d\text{r},$

$r\left(t\right)=〈\text{−sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t,0,1-\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t〉,0\le t<2\pi .$

$\text{F}=〈xy,{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},yz〉$

انتگرال خط را محاسبه کنید که در ${\int }_{C}\text{F}·d\text{r}،$ آن C مرز متوازی الاضلاع با رئوس و $\text{F}=〈xy,{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},yz〉$ $\ چپ (0,0,1\راست)،\چپ (0,1,0\راست)،\چپ (2,0,-1\راست)،$ $\ چپ (2،1،-2\راست).$

برای محاسبه مستقیم انتگرال خط، باید هر ضلع متوازی الاضلاع را به طور جداگانه پارامتر کنیم، چهار انتگرال خط جداگانه را محاسبه کرده و نتیجه را اضافه کنیم. این خیلی پیچیده نیست، اما زمان بر است.

در مقابل، بیایید انتگرال خط را با استفاده از قضیه استوکس محاسبه کنیم. فرض کنید S سطح متوازی الاضلاع را نشان دهد. توجه داشته باشید که S بخشی از نمودار برای $\ چپ (x,y\راست)$ تغییر در ناحیه مستطیلی با رئوس $\ چپ (0,0\ راست)،$ $\ چپ (0،1\ راست)،$ $\ چپ (2,0\ راست)،$ و $\ چپ (2،1\ راست)$ در صفحه xy است. بنابراین، یک پارامتر از S است $〈x,y,1-xy〉,0\le x\le 2,0\le y\le 1.$ . حلقه F است $\text{−}〈z,0,x〉,$ و قضیه استوکس و ( شکل)

$\begin{array}{cc}\hfill {\iint }_{S}\text{curl}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{F}·d\text{S}& ={\int }_{C}\text{F}·d\text{r}\hfill \\ & ={\int }_{0}^{2\pi }〈1-\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t\phantom{\rule{0.2em}{0ex}},0,-\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t〉·\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}〈-\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t,0,\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t〉dt\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\hfill \\ & ={\int }_{0}^{2\pi }\left(\text{−}\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t+{\text{cos}}^{2}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t-{\text{sin}}^{2}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t\right)dt\hfill \\ & ={\left[-\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t+\frac{1}{2}\text{sin}\left(2t\right)\right]}_{0}^{2\pi }\hfill \\ & =\left(-\text{sin}\left(2\pi \right)+\frac{1\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}}{2}\text{sin}\left(4\pi \right)\right)-\left(-\text{sin}0+\frac{1}{2}\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}0\right)\hfill \\ & =0.\hfill \end{array}$

+ نوشته شده در شنبه بیست و پنجم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه استوکس

Gate (Ece) - Stoke's theorem (in Hindi) Offered by Unacademy

+ نوشته شده در شنبه بیست و پنجم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 3:کاربرد قضیه استوکس

بهترین جواب اگر z = 0 باشد، سطح داده شده x 2 + y 2 = 4 می شود. بنابراین، C دایره x 2 + y 2 = 4 در صفحه z = 2 است یعنی x = 2 cos t، y = 2 sin t، 0 ≤ t ≤ 2π از این رو با قضیه استوک، داریم

Read more on Sarthaks.com - https://www.sarthaks.com/363673/if-f-3yi-xzj-yz-2k-and-s-is-the-surface-of-the-paraboloid-2z-x-2-y-2-bounded-by-z-2

+ نوشته شده در شنبه بیست و پنجم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 1: قضیه استوکس

Verify Stoke's theorem for the vector F = (x^2 + y^2)i – 2xyj taken round the rectangle bounded by x = 0, - Sarthaks eConnect | Largest Online Education Community

+ نوشته شده در شنبه بیست و پنجم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

عنصر	$\! 1$	$\! -1$	$\! من$	$\! -من$	$\! j$	$\! -j$	$\! ک$	$\! -k$
$\! 1$	$\! 1$	$\! -1$	$\! من$	$\! -من$	$\! j$	$\! -j$	$\! ک$	$\! -k$
$\! -1$	$\! -1$	$\! 1$	$\! -من$	$\! من$	$\! -j$	$\! j$	$\! -k$	$\! ک$
$\! من$	$\! من$	$\! -من$	$\! -1$	$\! 1$	$\! ک$	$\! -k$	$\! -j$	$\! j$
$\! -من$	$\! -من$	$\! من$	$\! 1$	$\! -1$	$\! -k$	$\! ک$	$\! j$	$\! -j$
$\! j$	$\! j$	$\! -j$	$\! -k$	$\! ک$	$\! -1$	$\! 1$	$\! من$	$\! -من$
$\! -j$	$\! -j$	$\! j$	$\! ک$	$\! -k$	$\! 1$	$\! -1$	$\! -من$	$\! من$
$\! ک$	$\! ک$	$\! -k$	$\! j$	$\! -j$	$\! -من$	$\! من$	$\! -1$	$\! 1$
$\! -k$	$\! -k$	$\! ک$	$\! -j$	$\! j$	$\! من$	$\! -من$	$\! 1$	$\! -1$

نوع طبقه بندی	نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP	(8،4) یعنی چهارمین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد	5 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد	$8\Gamma_2a_2$

کلاس مزدوجی	اندازه کلاس مزدوجی	ترتیب عناصر در کلاس مزدوجی	متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ 1 \}$	1	1	کل گروه
$\! \{ -1 \}$	1	2	کل گروه
$\! \{ من، - من \}$	2	4	$\{ 1,-1,i,-i \}$ ، مثل $\langle i \rangle$
$\! \{j,-j \}$	2	4	$\{ 1,-1,j,-j\}$ -- مثل $\langle j \rangle$
$\! \{k,-k \}$	2	4	$\{ 1,-1,k,-k \}$ -- مثل $\langle k \rangle$

کلاس هم ارزی (مدار) تحت عمل اتومورفیسم ها	اندازه کلاس هم ارزی (مدار)	تعداد کلاس های مزدوج در آن	اندازه هر کلاس مزدوجی	ترتیب عناصر
$\! \{ 1 \}$	1	1	1	1
$\! \{ -1 \}$	1	1	1	2
$\! \{ i,-i,j,-j,k,-k \}$	6	3	2	4

آموزش ریاضی

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

اصل هویگنز به عنوان یک مدل میکروسکوپی [ ویرایش ]

تفاسیر فیزیک مدرن [ ویرایش ]

بیان ریاضی اصل [ ویرایش ]

اصل تعمیم یافته هویگنس [ ویرایش ]

نظریه هویگنز و تابع موج فوتون مدرن [ ویرایش ]

اصل هویگنز و نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

در سایر ابعاد فضایی [ ویرایش ]

پراش با دیافراگم مستطیلی [ ویرایش ]

پراش با دیافراگم دایره ای [ ویرایش ]

پراش توسط دیافراگم با نمایه گاوسی [ ویرایش ]

پراش توسط یک شکاف دوگانه [ ویرایش ]

پراش توسط توری [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نمونه هایی از پراش فراونهوفر

پراش توسط یک شکاف مستطیلی باریک [ ویرایش ]

فهرست

معادله [ ویرایش ]

اشتقاق شرط فراونهوفر [ ویرایش ]

صفحه کانونی عدسی مثبت به عنوان صفحه میدان دور [ ویرایش ]

فهرست

فرمول بندی ریاضی [ ویرایش ]

معادلات اویلر-لاگرانژ به دست آمده از انتگرال کنشی [ ویرایش ]

لحظه متعارف و ثابت های حرکت [ ویرایش ]

مثال: ذره آزاد در مختصات قطبی [ ویرایش ]

برای اجسام قابل تغییر شکل اعمال می شود [ ویرایش ]

مقایسه با اصل Maupertuis [ ویرایش ]

اصل عمل برای فیلدها [ ویرایش ]

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

اشتقاق از اصل هویگنس [ ویرایش ]

اشتقاق از معادلات ماکسول [ ویرایش ]

اشتقاق از پایستگی انرژی و تکانه [ ویرایش ]

فرم برداری [ ویرایش ]

بازتاب داخلی کل و زاویه بحرانی [ ویرایش ]

پراکندگی [ ویرایش ]

رسانه از دست دادن، جذب یا هدایت کننده [ ویرایش ]

توضیح [ ویرایش ]

مشتقات و فرمول [ ویرایش ]

اشتقاق از اصل فرما [ ویرایش ]

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

خواص قوی تر

خواص ضعیف تر

ارتباط با سایر خواص

فرمالیسم ها

از نظر اپراتور گسترش گروه

آزمایش کردن

مشکل تست

دستور GAP

مطالعه این مفهوم

طبقه بندی دروس ریاضی

منابع

مراجع کتاب درسی

تعریف

تعاریف معادل در قالب جدول

معادل سازی تعاریف

مثال ها

نمونه های افراطی

گروه هایی که دارایی را راضی می کنند

گروه هایی که از ناراضی هستند

فهرست

فراخواص

ارتباط با سایر خواص

خواص قوی تر

زیر گروه ها

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

اتومورفیسم و ​​اندومورفیسم

نظریه نمایش خطی

خلاصه

جدول شخصیت

سیستم های فیوژن

خلاصه

شرح سیستم های همجوشی

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

اتومورفیسم و اندومورفیسم