ریاضیات | شهریور ۱۴۰۴

چه نوع اعداد فازی در تفسیر ابیات صامت مناسب است

برای تفسیر ابیات صامت بروجردی، می‌توان از اعداد فازی مثلثی (Triangular Fuzzy Numbers) و اعداد فازی ذوزنقه‌ای (Trapezoidal Fuzzy Numbers) استفاده کرد. این دو نوع عدد فازی، به دلیل سادگی و توانایی مدل‌سازی ابهام، برای تحلیل مفاهیم مبهم و غیرقطعی در شعر مناسب هستند.

۱. اعداد فازی مثلثی

این اعداد برای نمایش مفاهیمی که یک مقدار محتمل و دو مقدار مرزی دارند، بسیار مناسب هستند. یک عدد فازی مثلثی با سه نقطه (a,m,b) تعریف می‌شود:

a: مقدار حداقل (حداقل زمان)
m: مقدار محتمل‌ترین (محتمل‌ترین زمان)
b: مقدار حداکثر (حداکثر زمان)

کاربرد در شعر صامت: این نوع اعداد برای تفسیر ابیاتی که به زمان انتظار فرج اشاره دارند، ایده‌آل است. برای مثال، عبارت «طول غیبت» را می‌توان با یک عدد فازی مثلثی مدل‌سازی کرد:

a: حداقل زمانی که انتظار می‌رود فرج رخ دهد (مثلاً از همین حالا).
m: محتمل‌ترین زمانی که شاعر در ذهن دارد.
b: حداکثر زمانی که انتظار می‌رود فرج به تأخیر بیفتد.

با این روش، به‌جای اینکه بگوییم فاصله بین غیبت و فرج یک عدد قطعی است، یک بازه زمانی با یک مقدار محتمل‌تر را در نظر می‌گیریم.

۲. اعداد فازی ذوزنقه‌ای

این اعداد برای مدل‌سازی مفاهیمی که یک بازه زمانی پایدار و محتمل دارند، مناسب هستند. یک عدد فازی ذوزنقه‌ای با چهار نقطه (a,m1,m2,b) تعریف می‌شود:

a: حداقل مقدار
m1: شروع بازه محتمل
m2: پایان بازه محتمل
b: حداکثر مقدار

کاربرد در شعر صامت: این اعداد می‌توانند برای تفسیر مفاهیمی مانند «شب ظلمت» استفاده شوند. به این ترتیب که یک بازه زمانی پایدار و طولانی برای «ظلمت» در نظر گرفته می‌شود و سپس یک بازه زمانی محتمل برای پایان یافتن این ظلمت.

a و b: حداقل و حداکثر طول شب ظلمت.
m1 و m2: بازه‌ای که در آن «ظلمت» به اوج خود رسیده و پایدار است.

با استفاده از این اعداد، می‌توان شدت و مدت زمان غیبت را با دقت بیشتری مدل‌سازی کرد.

در نهایت، هر دو نوع عدد فازی برای تحلیل و تفسیر ابیات صامت مناسب هستند و به ما کمک می‌کنند تا درک بهتری از مفاهیم مبهم و عاطفی انتظار و امید در شعر او داشته باشیم.

+ نوشته شده در شنبه پانزدهم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 22:34 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فاصله بین غیبت و فرج می توان با اعداد فازی بیان کرد واین در ابیات ما مطرح است

می‌توان فاصله بین غیبت و فرج را با اعداد فازی بیان کرد، چراکه این اعداد ابزاری مناسب برای مدل‌سازی عدم قطعیت و ابهام هستند. این رویکرد، نه تنها با مفاهیم ریاضیات فازی سازگار است، بلکه با شیوه بیان شاعرانه و عرفانی ما در اشعار کلاسیک، به ویژه در مورد غیبت و فرج، همخوانی دارد.

در ادبیات فارسی، به جای اینکه فاصله زمانی غیبت با یک عدد دقیق و مشخص (مثلاً ۲۷ سال) بیان شود، با مفاهیمی نسبی و مبهم توصیف شده است. این مفاهیم مبهم، مانند «شب ظلمت»، «مدت زمان انتظار»، یا «صبر و شکیبایی»، به خوبی می‌توانند به اعداد فازی ترجمه شوند.

نحوه نمایش فاصله غیبت با اعداد فازی

برای مثال، به جای اینکه بگوییم فاصله بین غیبت و فرج ۳۰۰ سال است، می‌توان آن را با یک عدد فازی مثلثی (Triangular Fuzzy Number) بیان کرد. این عدد فازی شامل سه مقدار است:

حداقل زمان (a): زمانی که انتظار می‌رود فرج زودتر از آن رخ ندهد.
زمان محتمل (m): محتمل‌ترین زمانی که فرج در آن رخ می‌دهد.
حداکثر زمان (b): زمانی که انتظار می‌رود فرج دیرتر از آن رخ ندهد.

بنابراین، فاصله می‌تواند به صورت (a, m, b) نمایش داده شود. این نمایش، به جای یک عدد واحد و قطعی، یک طیف زمانی را در نظر می‌گیرد که با ابیات شاعرانه ما هم‌راستا است.

شب ظلمت: این استعاره، می‌تواند به عنوان بازه زمانی [a, b] در نظر گرفته شود.
مطلع شمس امید: این مفهوم، می‌تواند به زمان محتمل (m) اشاره داشته باشد.

این رویکرد نشان می‌دهد که اگرچه شاعران ما با اصطلاحات ریاضی مدرن آشنا نبودند، اما درک عمیق آن‌ها از ماهیت غیرقطعی و مبهم انتظار، به گونه‌ای بوده است که می‌توان آن را با ابزارهای ریاضی مانند اعداد فازی مدل‌سازی کرد. این نوع نگاه، پل ارتباطی میان عواطف و مفاهیم عرفانی با ساختارهای دقیق ریاضی ایجاد می‌کند.

+ نوشته شده در شنبه پانزدهم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 22:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

بکارگیری نظریه فازی در مورد تفسیر ابیات صامت بروجردی

می توان نظریه فازی در مورد تفسیر ابیات صامت بکار برد

بله، می‌توان از نظریه فازی برای تفسیر ابیات صامت بروجردی استفاده کرد، به‌ویژه آن‌هایی که به موضوع غیبت و فرج امام زمان (عج) می‌پردازند. استفاده از نظریه فازی، ابزاری تحلیلی برای درک بهتر مفاهیم مبهم و غیرقطعی موجود در این اشعار فراهم می‌کند.

تطبیق مفاهیم

نظریه فازی بر پایه منطق چندارزشی بنا شده است که به جای دو حالت قطعی "درست" یا "نادرست" (سیاه و سفید)، طیف وسیعی از درجات عضویت (درجات خاکستری) را در نظر می‌گیرد. این رویکرد به خوبی با مفاهیم زیر در اشعار صامت همخوانی دارد:

غیبت به عنوان یک وضعیت فازی: صامت غیبت را یک "شب ظلمت" توصیف می‌کند. این شب نه کاملاً تاریک و مطلق است و نه پایانش مشخص. از منظر فازی، "غیبت" یک حالت است که می‌توان آن را با یک تابع عضویت (Membership Function) نمایش داد. این تابع، درجه‌ای از "غیبت" را در هر لحظه زمانی نشان می‌دهد. با گذشت زمان، درجه "غیبت" کاهش یافته و درجه "ظهور" افزایش می‌یابد.
فاصله غیبت تا فرج: شاعران به جای ارائه یک عدد دقیق برای زمان فرج، از عباراتی مانند "تعجیل کن" یا "زین بیش طول غیبت مکن" استفاده می‌کنند. این نوع بیان، نشان‌دهنده ابهام و عدم قطعیت در زمان است. این فاصله زمانی را می‌توان با یک عدد فازی (Fuzzy Number) نشان داد. برای مثال، به‌جای اینکه بگوییم فرج در سال خاصی رخ می‌دهد، می‌توانیم یک بازه زمانی فازی را در نظر بگیریم که احتمال وقوع فرج در آن بازه بالاتر است.

مزایای استفاده از نظریه فازی

مدل‌سازی ابهام: نظریه فازی به ما اجازه می‌دهد تا ابهام موجود در مفاهیم عرفانی و ادبی را به صورت ریاضی مدل‌سازی کنیم، بدون اینکه به دقت غیرضروری متوسل شویم.
درک عمیق‌تر: این رویکرد به ما کمک می‌کند تا درک کنیم که چرا شاعران از کلمات مبهم استفاده کرده‌اند؛ زیرا ماهیت انتظار و زمان فرج به خودی خود مبهم است.
پیوند علم و عرفان: استفاده از نظریه فازی برای تفسیر متون ادبی، پلی میان ساختارهای دقیق ریاضی و بیان‌های عمیق عرفانی ایجاد می‌کند. این نشان می‌دهد که درک شهودی شاعران از جهان، با مفاهیم علمی مدرن هم‌راستا بوده است.

در نهایت، استفاده از نظریه فازی برای تفسیر ابیات صامت، یک روش نوین و خلاقانه است که به ما امکان می‌دهد لایه‌های پنهان معنایی را در شعر او کشف کنیم و به درک تازه‌ای از مفاهیم انتظار و فرج دست یابیم.

+ نوشته شده در شنبه پانزدهم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 22:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-ماتریس لاپلاسین

ماتریس لاپلاسین برای یک گراف بدون جهت از طریق ماتریس تابش جهت‌دار

[ ویرایش ]

The ${\textstyle |v|\times |e|}$ ماتریس تابش جهت‌دار B با عنصر B ve برای رأس v و یال e (رئوس متصل‌کنندهویمن ${\textstyle v_{i}}$ و ${\textstyle v_{j}}$ که در آن i ≠ j ) به صورت زیر تعریف می‌شود

بویای،در غیر این صورت. $\displaystyle B_{ve}=\left\{{\begin{array}{rl}1,&{\text{if }}v=v_{i}\\-1,&{\text{if }}v=v_{j}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{array}}\right.}$

اگرچه لبه‌ها در این تعریف از نظر فنی جهت‌دار هستند، اما جهت آنها می‌تواند دلخواه باشد و همچنان منجر به همان لاپلاسین متقارن شود. ${\textstyle |v|\times |v|}$ ماتریس L به صورت زیر تعریف می‌شود

$L=BB^{\textsf {T}}$

${\textstyle B^{\textsf {T}}}$ ترانهاده ماتریس B است .

گراف بدون جهتماتریس بروزماتریس لاپلاسین

${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}1&1&1&0\\-1&0&0&0\\0&-1&0&1\\0&0&-1&-1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}3&-1&-1&-1\\-1&1&0&0\\-1&0&2&-1\\-1&0&-1&2\\\end{array}}\right)}$

یک محصول جایگزین $B^{\textsf {T}}B$ به اصطلاح تعریف می‌کند ${\سبک متن |e|\ضرب |e|}$ لاپلاسین مبتنی بر لبه، برخلاف ماتریس لاپلاسین L که معمولاً مبتنی بر رأس است .

لاپلاسین متقارن برای یک گراف جهت‌دار

[ ویرایش ]

ماتریس لاپلاسین یک گراف جهت‌دار، طبق تعریف، عموماً غیرمتقارن است، در حالی که، مثلاً، خوشه‌بندی طیفی سنتی در درجه اول برای گراف‌های بدون جهت با مجاورت متقارن و ماتریس‌های لاپلاسین توسعه داده شده است. یک رویکرد بدیهی برای اعمال تکنیک‌هایی که نیاز به تقارن دارند، تبدیل گراف جهت‌دار اصلی به یک گراف بدون جهت و ساخت ماتریس لاپلاسین برای دومی است.

در نمادگذاری ماتریسی، ماتریس مجاورت گراف بدون جهت می‌تواند، مثلاً، به صورت مجموع بولی ماتریس مجاورت تعریف شود. $A$ از گراف جهت‌دار اصلی و ترانهاده ماتریسی آن $A^{T}$ که در آن ورودی‌های صفر و یک از $A$ مانند مثال زیر، به عنوان مقادیر منطقی و نه عددی در نظر گرفته می‌شوند:

ماتریس مجاورت مجاورت متقارن ماتریس لاپلاسین متقارن

${\textstyle \left({\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\\\end{array}}\right)}$

نرمال‌سازی ماتریس لاپلاسین

[ ویرایش ]

یک رأس با درجه بزرگ، که گره سنگین نیز نامیده می‌شود ، منجر به یک ورودی قطری بزرگ در ماتریس لاپلاس می‌شود که بر خواص ماتریس غالب است. هدف از نرمال‌سازی، برابرتر کردن تأثیر چنین رئوسی با سایر رئوس است که با تقسیم ورودی‌های ماتریس لاپلاس بر درجه رئوس انجام می‌شود. برای جلوگیری از تقسیم بر صفر، رئوس ایزوله با درجه صفر از فرآیند نرمال‌سازی حذف می‌شوند.

لاپلاسین نرمال‌شده متقارن

[ ویرایش ]

ماتریس لاپلاسین نرمال‌شده متقارن به صورت زیر تعریف می‌شود: [ 1 ]

$L^{\displaystyle L^{\text{sym}}:=(D^{+})^{1/2}L(D^{+})^{1/2}=I-(D^{+})^{1/2}A(D^{+})^{1/2},}$

کجا $D^{+}$ معکوس مور-پنروز ماتریس درجه است .

عناصر ${\textstyle L^{\text{sym}}}$ بنابراین توسط داده می‌شوند

$L_{i,j}^{\text{sym}}:={\begin{cases}1&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ and }}\deg(v_{i})\neq 0\\-{\frac {1}{\sqrt {\deg(v_{i})\deg(v_{j})}}}&{\mbox{ if }}i\neq j{\mbox{ and }}v_{i}{\mbox{ مجاور }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

ماتریس لاپلاسین نرمال‌شده متقارن، متقارن است اگر و تنها اگر ماتریس مجاورت متقارن باشد.

ماتریس مجاورت ماتریس درجه لاپلاسین نرمال شده

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-{\sqrt {1/2}}&0\\-{\sqrt {1/2}}&1&-{\sqrt {1/2}}\\0&-{\sqrt {1/2}}&1\\\end{array}}\right)}$

برای یک ماتریس مجاورت نامتقارن از یک گراف جهت‌دار، می‌توان از هر یک از مقادیر indegree و outdegree برای نرمال‌سازی استفاده کرد:

ماتریس مجاورت ماتریس درجه خروجی لاپلاسین نرمال شده با درجه خارج ازماتریس درجه ورودی لاپلاسین نرمال شده درون درجه‌ای

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-{\sqrt {1/2}}&-{\sqrt {1/2}}\\0&1&-1\\-{\sqrt {1/2}}&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1&-{\sqrt {1/2}}\\0&1&-{\sqrt {1/2}}\\-{\sqrt {1/2}}&0&1\\\end{array}}\right)}$

لاپلاسین‌های نرمال‌شده چپ (با گام تصادفی) و راست

[ ویرایش ]

ماتریس لاپلاسین نرمال‌شده چپ (گام تصادفی) به صورت زیر تعریف می‌شود:

$L^{\text{rw}}:=D^{+}L=ID^{+}A,$

کجادی+ $D^{+}$ معکوس مور-پنروز است . عناصرِلآر دبلیو ${\textstyle L^{\text{rw}}}$ توسط داده می‌شوند

$L_{i,j}^{\text{rw}}:={\begin{cases}1&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ and }}\deg(v_{i})\neq 0\\-{\frac {1}{\deg(v_{i})}}&{\mbox{ if }}i\neq j{\mbox{ and }}v_{i}{\mbox{ مجاور }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

به طور مشابه، ماتریس لاپلاسین نرمال شده راست به صورت زیر تعریف می‌شود:

$LD^{+}=I-AD^{+}$ .

ماتریس لاپلاسین نرمال شده چپ یا راست متقارن است اگر ماتریس مجاورت متقارن و نمودار منظم باشد. در غیر این صورت، ماتریس لاپلاسین نرمال شده چپ یا راست نامتقارن است. به عنوان مثال،

ماتریس مجاورت ماتریس درجه لاپلاسین نرمال شده چپ لاپلاسین نرمال شده به راست

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1&0\\-1/2&1&-1/2\\0&-1&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1/2&0\\-1&1&-1\\0&-1/2&1\\\end{array}}\right)}$

این مثال همچنین نشان می‌دهد که اگر $G$ هیچ رأس ایزوله‌ای ندارد، آنگاه $D^{+}A$ تصادفی راست و از این رو ماتریس یک گام تصادفی است ، به طوری که لاپلاسین نرمال شده $L^{\text{rw}}:=D^{+}L=ID^{+}A$ جمع هر سطر برابر با صفر است. بنابراین گاهی اوقات به طور متناوب فراخوانی می‌کنیملآر دبلیو $L^{\text{rw}}$ لاپلاسین نرمال‌شده با گام تصادفی . در لاپلاسین نرمال‌شده به راست که کمتر مورد استفاده قرار می‌گیرد $LD^{+}=I-AD^{+}$ مجموع هر ستون برابر با صفر است، زیرا $AD^{+}$ تصادفی چپ است .

برای یک ماتریس مجاورت نامتقارن از یک گراف جهت‌دار، برای نرمال‌سازی باید indegree یا outdegree را نیز انتخاب کرد :

ماتریس مجاورت ماتریس درجه خروجی لاپلاسین نرمال شده چپ با درجه خروجی ماتریس درجه ورودی لاپلاسین نرمال‌شده‌ی هم‌درجه به راست

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1/2&-1/2\\0&1&-1\\-1&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1&-1/2\\0&1&-1/2\\-1&0&1\\\end{array}}\right)}$

لاپلاسین نرمال‌شده با درجه خروجی چپ با مجموع سطری که همه ۰ است مربوط به تصادفی راست است. $D_{\text{out}}^{+}A$ در حالی که لاپلاسین نرمال شده درجه راست با مجموع ستونی همه ۰ شامل تصادفی چپ است $AD_{\text{in}}^{+}$ .

تعاریف گراف‌ها با یال‌های وزن‌دار

[ ویرایش ]

گراف‌های رایج در کاربردها با یال‌های وزن‌دار، به راحتی توسط ماتریس‌های مجاورت خود تعریف می‌شوند که در آن‌ها مقادیر ورودی‌ها عددی هستند و دیگر محدود به صفر و یک نیستند. در خوشه‌بندی طیفی و پردازش سیگنال مبتنی بر گراف ، که در آن‌ها رئوس گراف نشان‌دهنده نقاط داده هستند، وزن‌های یال را می‌توان محاسبه کرد، مثلاً به صورت معکوس متناسب با فواصل بین جفت نقاط داده، که منجر به غیرمنفی بودن همه وزن‌ها با مقادیر بزرگتر می‌شود که به طور غیررسمی مربوط به جفت‌های مشابه‌تر نقاط داده است. استفاده از همبستگی و ضد همبستگی بین نقاط داده به طور طبیعی منجر به وزن‌های مثبت و منفی می‌شود. اکثر تعاریف برای گراف‌های ساده به طور جزئی به حالت استاندارد وزن‌های غیرمنفی تعمیم داده می‌شوند، در حالی که وزن‌های منفی نیاز به توجه بیشتری دارند، به خصوص در نرمال‌سازی.

ماتریس لاپلاسین

[ ویرایش ]

ماتریس لاپلاسین به صورت زیر تعریف می‌شود:

$L=DA,$

که در آن D ماتریس درجه و A ماتریس مجاورت گراف است .

برای گراف‌های جهت‌دار ، بسته به کاربرد، می‌توان از درجه ورودی یا درجه خروجی استفاده کرد، مانند مثال زیر:

ماتریس مجاورت ماتریس درجه ورودی لاپلاسین درون درجه‌ای ماتریس درجه خروجی لاپلاسین خارج از درجه

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&2\\3&0&5\\6&7&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}9&0&0\\0&8&0\\0&0&7\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}9&-1&-2\\-3&8&-5\\-6&-7&7\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}3&0&0\\0&8&0\\0&0&13\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}۳&-۱&-۲\\-۳&۸&-۵\\-۶&-۷&۱۳\\\end{array}}\right)}$

خود-حلقه‌های گراف، که خود را با درایه‌های غیر صفر روی قطر اصلی ماتریس مجاورت نشان می‌دهند، مجاز هستند اما بر مقادیر لاپلاسین گراف تأثیری ندارند.

لاپلاسین متقارن از طریق ماتریس تابش

[ ویرایش ]

یک سیستم فنر دو بعدی.

برای گراف‌هایی با یال‌های وزن‌دار، می‌توان یک ماتریس بروز وزن‌دار B تعریف کرد و از آن برای ساخت لاپلاسین متقارن مربوطه به صورت زیر استفاده کرد: $L=BB^{\textsf {T}}$ یک رویکرد جایگزین و تمیزتر که در اینجا شرح داده شده است، جداسازی وزن‌ها از اتصال است: استفاده از ماتریس بروز را مانند گراف‌های منظم ادامه دهید و ماتریسی را معرفی کنید که فقط مقادیر وزن‌ها را در خود نگه دارد. یک سیستم فنر نمونه‌ای از این مدل است که در مکانیک برای توصیف سیستمی از فنرها با سختی‌های داده شده و طول واحد استفاده می‌شود، که در آن مقادیر سختی‌ها نقش وزن‌های یال‌های گراف را ایفا می‌کنند.

بنابراین ما از تعریف بی‌وزنی دوباره استفاده می‌کنیم ${\textstyle |v|\times |e|}$ ماتریس رخداد B با عنصر B ve برای رأس v و یال e (رئوس متصل کننده ${\textstyle v_{i}}$ و ${\textstyle v_{j}}$ که i > j ) به صورت زیر تعریف می‌شود

$\displaystyle B_{ve}=\left\{{\begin{array}{rl}1,&{\text{if }}v=v_{i}\\-1,&{\text{if }}v=v_{j}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{array}}\right.}$

اکنون یک قطر را نیز تعریف می‌کنیم ${\سبک متن |e|\ضرب |e|}$ ماتریس W شامل وزن‌های یال‌ها. اگرچه یال‌ها در تعریف B از نظر فنی جهت‌دار هستند، اما جهت آنها می‌تواند دلخواه باشد و همچنان منجر به همان لاپلاسین متقارن شود. ${\textstyle |v|\times |v|}$ ماتریس L به صورت زیر تعریف می‌شود

$L=BWB^{\textsf {T}}$

${\textstyle B^{\textsf {T}}}$ ترانهاده ماتریس B است .

این ساختار در مثال زیر نشان داده شده است، که در آن هر یالای ${\textstyle e_{i}}$ مقدار وزنی i به آن اختصاص داده شده است ، با. ${\textstyle i=1,2,3,4.}$

گراف بدون جهت ماتریس بروز وزن لبه‌ها ماتریس لاپلاسین

${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}1&1&1&0\\-1&0&0&0\\0&-1&0&1\\0&0&-1&-1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}6&-1&-2&-3\\-1&1&0&0\\-2&0&6&-4\\-3&0&-4&7\\\end{array}}\right)}$

لاپلاسین متقارن برای یک گراف جهت‌دار

[ ویرایش ]

درست مانند گراف‌های ساده، ماتریس لاپلاسین یک گراف وزن‌دار جهت‌دار، طبق تعریف عموماً نامتقارن است. تقارن را می‌توان با تبدیل گراف جهت‌دار اصلی به یک گراف بدون جهت، قبل از ساخت لاپلاسین، اعمال کرد. ماتریس مجاورت گراف بدون جهت، به عنوان مثال، می‌تواند به صورت مجموع ماتریس مجاورت تعریف شود.الف $A$ از گراف جهت‌دار اصلی و ترانهاده ماتریسی آن $A^{T}$ مانند مثال زیر:

ماتریس مجاورت ماتریس مجاورت متقارن ماتریس لاپلاسین متقارن

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&2\\1&0&1\\2&1&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}3&-1&-2\\-1&2&-1\\-2&-1&3\\\end{array}}\right)}$

که در آن ورودی‌های صفر و یک از $A$ مانند گراف‌های ساده، به عنوان مقادیر عددی در نظر گرفته می‌شوند، نه منطقی، که تفاوت در نتایج را توضیح می‌دهد - برای گراف‌های ساده، گراف متقارن همچنان باید ساده باشد و ماتریس مجاورت متقارن آن فقط مقادیر منطقی و نه عددی داشته باشد، مثلاً مجموع منطقی ۱ در ۱ = ۱ است، در حالی که مجموع عددی ۱ + ۱ = ۲ است.

به طور جایگزین، ماتریس لاپلاسین متقارن را می‌توان از دو لاپلاسین با استفاده از indegree و outdegree محاسبه کرد ، همانطور که در مثال زیر آمده است:

ماتریس مجاورت ماتریس درجه خروجی لاپلاسین خارج از درجه ماتریس درجه ورودی لاپلاسین درون درجه‌ای

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\0&1&-1\\-1&0&2\\\end{array}}\right)}$

مجموع لاپلاسین درجه خروجی و لاپلاسین درجه ورودی برابر با ماتریس لاپلاسین متقارن است.

نرمال‌سازی ماتریس لاپلاسین

[ ویرایش ]

هدف از نرمال‌سازی، مانند گراف‌های ساده، این است که ورودی‌های قطری ماتریس لاپلاسین کاملاً واحد باشند و ورودی‌های غیرقطری نیز به طور متناظر مقیاس‌بندی شوند. در یک گراف وزن‌دار ، یک رأس ممکن است به دلیل تعداد کم یال‌های متصل اما با وزن‌های بزرگ و همچنین به دلیل تعداد زیاد یال‌های متصل با وزن واحد، درجه بزرگی داشته باشد.

خود-حلقه‌های گراف، یعنی ورودی‌های غیر صفر روی قطر اصلی ماتریس مجاورت، بر مقادیر لاپلاسین گراف تأثیری ندارند، اما ممکن است برای محاسبه ضرایب نرمال‌سازی لازم باشد که شمارش شوند.

لاپلاسین نرمال‌شده متقارن

[ ویرایش ]

لاپلاسین نرمال‌شده متقارن به صورت زیر تعریف می‌شود:

$L^{\displaystyle L^{\text{sym}}:=(D^{+})^{1/2}L(D^{+})^{1/2}=I-(D^{+})^{1/2}A(D^{+})^{1/2},}$

که در آن L لاپلاسین غیر نرمال شده، A ماتریس مجاورت، D ماتریس درجه و $D^{+}$ معکوس مور-پنروز است . از آنجایی که ماتریس درجه D قطری است، جذر معکوس آن ${\textstyle (D^{+})^{1/2}}$ فقط ماتریس قطری است که درایه‌های قطری آن، معکوس جذر درایه‌های قطری D هستند . اگر همه وزن‌های یال غیرمنفی باشند، همه مقادیر درجه نیز به طور خودکار غیرمنفی هستند و بنابراین هر مقدار درجه یک جذر مثبت منحصر به فرد دارد. برای جلوگیری از تقسیم بر صفر، رأس‌هایی با درجه صفر از فرآیند نرمال‌سازی حذف می‌شوند، مانند مثال زیر:

ماتریس مجاورت ماتریس درجه ورودی لاپلاسین نرمال شده درون درجه‌ای ماتریس درجه خروجی لاپلاسین نرمال شده با درجه خارج از

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&0\\4&0&0\\0&0&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&4&0\\0&0&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1/2&0\\-2&1&0\\0&0&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}4&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1/2&0\\-2&1&0\\0&0&0\\\end{array}}\right)}$

لاپلاسین نرمال‌شده متقارن، یک ماتریس متقارن است اگر و تنها اگر ماتریس مجاورت A متقارن و درایه‌های قطری D غیرمنفی باشند، که در این صورت می‌توانیم از اصطلاح لاپلاسین نرمال‌شده متقارن استفاده کنیم .

ماتریس لاپلاسین نرمال‌شده متقارن را می‌توان به صورت زیر نیز نوشت:

$\displaystyle L^{\text{sym}}:=(D^{+})^{1/2}L(D^{+})^{1/2}=(D^{+})^{1/2}BWB^{\textsf {T}}(D^{+})^{1/2}=SS^{T}}$

با استفاده از بی‌وزنی ${\textstyle |v|\times |e|}$ ماتریس بروز B و قطری ${\سبک متن |e|\ضرب |e|}$ ماتریس W شامل وزن‌های یال‌ها و تعریف مقادیر جدید|وی|×|ای| ${\textstyle |v|\times |e|}$ ماتریس وزنی بروز ${\textstyle S=(D^{+})^{1/2}BW^{{1}/{2}}}$ که سطرهای آن توسط رئوس و ستون‌های آن توسط یال‌های G اندیس‌گذاری شده‌اند، به طوری که هر ستون مربوط به یال e = {u, v} یک ورودی دارد.۱ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {d_{u}}}}}$ در ردیف مربوط به u ، یک ورودی−۱ ${\textstyle -{\frac {1}{\sqrt {d_{v}}}}}$ در ردیف مربوط به v قرار دارد و در جاهای دیگر 0 ورودی دارد.

لاپلاسین نرمال‌شده با گام تصادفی

[ ویرایش ]

لاپلاسین نرمال‌شده با گام تصادفی به صورت زیر تعریف می‌شود:

$L^{\text{rw}}:=D^{+}L=ID^{+}A$

که در آن D ماتریس درجه است. از آنجایی که ماتریس درجه D قطری است، معکوس آن ${\textstyle D^{+}}$ به سادگی به عنوان یک ماتریس قطری تعریف می‌شود که دارای درایه‌های قطری است که معکوس درایه‌های قطری متناظر D هستند . برای رئوس منفرد (آن‌هایی که درجه 0 دارند)، یک انتخاب رایج، تنظیم عنصر متناظر است. ${\textstyle L_{i,i}^{\text{rw}}}$ به 0. عناصر ماتریس ${\textstyle L^{\text{rw}}}$ توسط داده می‌شوند

$L_{i,j}^{\text{rw}}:={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ i=j\ {\mbox{and}}\ \deg(v_{i})\neq 0\\-{\frac {1}{\deg(v_{i})}}&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ مجاور }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

نام لاپلاسین نرمال‌شده با گام تصادفی از این واقعیت گرفته شده است که این ماتریس ${\textstyle L^{\text{rw}}=IP}$ ، کجا ${\textstyle P=D^{+}A}$ به سادگی ماتریس انتقال یک فرد تصادفی روی نمودار است، با فرض وزن‌های غیر منفی. برای مثال، فرض کنیدایمن ${\textstyle e_{i}}$ نشان دهنده بردار پایه استاندارد i ام است . سپس ${\textstyle x=e_{i}P}$ یک بردار احتمال است که توزیع مکان‌های یک راه‌رونده تصادفی را پس از برداشتن یک گام از رأس نشان می‌دهد. ${\textstyle i}$ ؛ یعنی، ${\textstyle x_{j}=\mathbb {P} \left(v_{i}\to v_{j}\right)}$ به طور کلی، اگر بردارایکس ${\textstyle x}$ توزیع احتمال مکان یک راه رونده تصادفی روی رئوس گراف است، آنگاه ${\textstyle x'=xP^{t}}$ توزیع احتمال واکر پس ازتی ${\textstyle t}$ مراحل.

لاپلاسین نرمال‌شده با گام تصادفی را می‌توان لاپلاسین نرمال‌شده با چپ نیز نامید. $L^{\text{rw}}:=D^{+}L$ از آنجا که نرمال‌سازی با ضرب لاپلاسین در ماتریس نرمال‌سازی انجام می‌شود $D^{+}$ در سمت چپ. از آن زمان جمع هر سطر برابر با صفر است $P=D^{+}A$ با فرض اینکه همه وزن‌ها غیر منفی باشند، تصادفی راست است .

در لاپلاسین نرمال شده به راست که کمتر مورد استفاده قرار می‌گیردلدی $LD^{+}=I-AD^{+}$ مجموع هر ستون برابر با صفر است، زیراالفدی+ $AD^{+}$ تصادفی چپ است .

برای یک ماتریس مجاورت نامتقارن از یک گراف جهت‌دار، برای نرمال‌سازی باید indegree یا outdegree را نیز انتخاب کرد :

${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&0\\0&0&2\\1&0&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1&0\\0&1&-1\\-1&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1&0\\0&1&-1\\-1&0&1\\\end{array}}\right)}$

وزن‌های منفی

[ ویرایش ]

وزن‌های منفی چالش‌های متعددی را برای نرمال‌سازی ایجاد می‌کنند:

وجود وزن‌های منفی می‌تواند به طور طبیعی منجر به صفر شدن مجموع سطرها و/یا ستون‌ها برای رئوس غیر ایزوله شود. رأسی با مجموع سطرهای بزرگ از وزن‌های مثبت و مجموع سطرهای به همان اندازه بزرگ منفی از وزن‌های منفی، که مجموع آنها به صفر می‌رسد، می‌تواند یک گره سنگین در نظر گرفته شود و هر دو مقادیر بزرگ مقیاس‌بندی شوند، در حالی که ورودی قطری، مانند یک رأس ایزوله، صفر باقی می‌ماند.
وزن‌های منفی همچنین ممکن است مجموع سطرها و/یا ستون‌های منفی ایجاد کنند، به طوری که ورودی قطری مربوطه در ماتریس لاپلاسین غیر نرمال شده منفی خواهد بود و جذر مثبت مورد نیاز برای نرمال‌سازی متقارن وجود نخواهد داشت.
می‌توان استدلال‌هایی ارائه داد که برای نرمال‌سازی، قدر مطلق مجموع سطرها و/یا ستون‌ها در نظر گرفته شود، بنابراین مقدار احتمالی -۱ به عنوان یک واحد ورودی مشروع از قطر اصلی ماتریس لاپلاسین نرمال‌سازی شده در نظر گرفته می‌شود.

خواص

[ ویرایش ]

برای یک گراف (بدون جهت) G و ماتریس لاپلاسین L آن با مقادیر ویژه ${\textstyle \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \leq \lambda _{n-1}}$ :

L متقارن است .
L مثبت-نیمه معین است (یعنی ${\textstyle \lambda _{i}\geq 0}$ برای همه ${\textstyle i}$ ). این را می‌توان از این واقعیت دریافت که لاپلاسین متقارن و قطری غالب است .
L یک ماتریس M است (درجه‌های خارج از قطر آن غیرمثبت هستند، اما بخش‌های حقیقی مقادیر ویژه آن غیرمنفی هستند).
مجموع هر سطر و مجموع ستون از L برابر با صفر است. در واقع، در این مجموع، درجه رأس با "-1" برای هر همسایه جمع می‌شود.
در نتیجه، ${\textstyle \lambda _{0}=0}$ ، زیرا برداروی ${\textstyle \mathbf {v} _{0}=(1,1,\dots ,1)}$ ارضا می‌کند. ${\textstyle L\mathbf {v} _{0}=\mathbf {0} .}$ این همچنین نشان می‌دهد که ماتریس لاپلاسین منفرد است.
تعداد مؤلفه‌های متصل در گراف، بُعد فضای تهی لاپلاسین و کثرت جبری مقدار ویژه ۰ است.
کوچکترین مقدار ویژه غیر صفر L ، شکاف طیفی نامیده می‌شود .
دومین کوچکترین مقدار ویژه L (که می‌تواند صفر باشد) همبندی جبری (یا مقدار فیدلر ) G است و تنک‌ترین برش یک گراف را تقریب می‌زند.
لاپلاسین یک عملگر روی فضای برداری n بعدی از توابع است .ف: ${\textstyle f:V\to \mathbb {R} }$ ، کجاپ ${\textstyle V}$ مجموعه رئوس G است، و ${\textstyle n=|V|}$ .
وقتی G k-منظم باشد ، لاپلاسین نرمال‌شده برابر است با: ${\textstyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{k}}L=I-{\tfrac {1}{k}}A}$ که در آن A ماتریس مجاورت و I ماتریس همانی است.
برای گرافی با چندین مؤلفه متصل ، L یک ماتریس قطری بلوکی است که در آن هر بلوک، ماتریس لاپلاسین مربوط به هر مؤلفه است، احتمالاً پس از مرتب‌سازی مجدد رئوس (یعنی L یک جایگشت است - شبیه به یک ماتریس قطری بلوکی).
اثر ماتریس لاپلاسین L برابر است با ${\textstyle 2m}$ کجا ${\textstyle m}$ تعداد یال‌های گراف مورد نظر است.
اکنون یک تجزیه ویژه از را در نظر بگیریدل ${\textstyle L}$ ، با بردارهای ویژه با نرم واحد ${\textstyle \mathbf {v} _{i}}$ و مقادیر ویژه مربوطه ${\textstyle \lambda _{i}}$ :

$\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\mathbf {v} _{i}^{\textsf {T}}L\mathbf {v} _{i}\\&=\mathbf {v} _{i}^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}M\mathbf {v} _{i}\\&=\left(M\mathbf {v} _{i}\right)^{\textsf {T}}\left(M\mathbf {v} _{i}\right).\\\end{aligned}}}$

زیرا ${\textstyle \lambda _{i}}$ را می‌توان به صورت ضرب داخلی بردار نوشت ${\textstyle M\mathbf {v} _{i}}$ با خودش، این نشان می‌دهد که ${\textstyle \lambda _{i}\geq 0}$ و بنابراین مقادیر ویژه‌یل ${\textstyle L}$ همه غیر منفی هستند.

تمام مقادیر ویژه لاپلاسین متقارن نرمال‌شده در 0 = μ 0 ≤ … ≤ μ n−1 ≤ 2 صدق می‌کنند. این مقادیر ویژه (که به عنوان طیف لاپلاسین نرمال‌شده شناخته می‌شوند) به خوبی با سایر ثابت‌های گراف برای گراف‌های عمومی مرتبط هستند. [ 1 ]

می‌توان بررسی کرد که:

$\displaystyle L^{\text{rw}}=ID^{-{\frac {1}{2}}}\left(IL^{\text{sym}}\right)D^{\frac {1}{2}}}}$ ،

یعنی، ${\textstyle L^{\text{rw}}}$ مشابه لاپلاسین نرمال شده است ${\textstyle L^{\text{sym}}}$ به همین دلیل، حتی اگر ${\textstyle L^{\text{rw}}}$ به طور کلی متقارن نیست، مقادیر ویژه حقیقی دارد — دقیقاً مشابه مقادیر ویژه لاپلاسین متقارن نرمال شده ${\textstyle L^{\text{sym}}}$ .

تفسیر به عنوان عملگر لاپلاس گسسته که لاپلاسین پیوسته را تقریب می‌زند

[ ویرایش ]

ماتریس لاپلاسین گراف را می‌توان به عنوان فرم ماتریسی عملگر لاپلاسین گسسته منفی روی گرافی که عملگر لاپلاسین پیوسته منفی حاصل از روش تفاضل محدود را تقریب می‌زند، در نظر گرفت . (به معادله پواسون گسسته مراجعه کنید ) [ 2 ] در این تفسیر، هر رأس گراف به عنوان یک نقطه شبکه در نظر گرفته می‌شود؛ اتصال محلی رأس، الگوی تقریب تفاضل محدود را در این نقطه شبکه تعیین می‌کند، اندازه شبکه همیشه برای هر یال یکی است و هیچ محدودیتی روی هیچ نقطه شبکه‌ای وجود ندارد، که مربوط به حالت شرط مرزی همگن نیومن ، یعنی مرز آزاد است. چنین تفسیری به عنوان مثال، تعمیم ماتریس لاپلاسین به حالت گراف‌هایی با تعداد نامحدود رأس و یال را ممکن می‌سازد که منجر به یک ماتریس لاپلاسین با اندازه نامحدود می‌شود.

تعمیم‌ها و بسط‌های ماتریس لاپلاسین

[ ویرایش ]

لاپلاسین تعمیم‌یافته

[ ویرایش ]

لاپلاسین تعمیم‌یافته $Q$ به صورت زیر تعریف می‌شود: [ 3 ]

$\displaystyle {\begin{cases}Q_{i,j}{0&{\mbox{if }}i\neq j{\mbox{ and }}v_{i}{\mbox{ مجاور است با }}v_{j}\\Q_{i,j}=0&{\mbox{ if }}i\neq j{\mbox{ and }}v_{i}{\mbox{ مجاور نیست با }}v_{j}\\{\mbox{ any number}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

توجه داشته باشید که لاپلاسین معمولی، یک لاپلاسین تعمیم‌یافته است.

ماتریس ادمیتانس یک مدار AC

[ ویرایش ]

لاپلاسین یک گراف برای اولین بار برای مدل‌سازی شبکه‌های الکتریکی معرفی شد. در یک شبکه الکتریکی جریان متناوب (AC)، مقاومت‌های با مقادیر حقیقی با امپدانس‌های با مقادیر مختلط جایگزین می‌شوند. وزن یال ( i , j ) طبق قرارداد، منهای معکوس امپدانس مستقیماً بین i و j است . در مدل‌های چنین شبکه‌هایی، ورودی‌های ماتریس مجاورت مختلط هستند، اما ماتریس کیرشهف متقارن باقی می‌ماند، نه هرمیتی . چنین ماتریسی معمولاً " ماتریس ادمیتانس " نامیده می‌شود که با نشان داده می‌شود.ی $Y$ ، به جای یک "لاپلاسین". این یکی از کاربردهای نادری است که منجر به ماتریس‌های متقارن مختلط می‌شود .

ماتریس مجاورت ماتریس درجه وزنی ماتریس ادمیتانس

${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}0&i&0&0\\i&0&1-2i&0\\0&1-2i&0&1\\0&0&1&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}i&0&0&0\\0&1-i&0&0\\0&0&2-2i&0\\0&0&0&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}-i&i&0&0\\i&-1+i&1-2i&0\\0&1-2i&-2+2i&1\\0&0&1&-1\\\end{array}}\right)}$

لاپلاسین مغناطیسی

[ ویرایش ]

موقعیت‌های دیگری نیز وجود دارد که در آن‌ها ورودی‌های ماتریس مجاورت، مختلط هستند و لاپلاسین به یک ماتریس هرمیتی تبدیل می‌شود . لاپلاسین مغناطیسی برای یک گراف جهت‌دار با وزن‌های حقیقی $w_{ij}$ به عنوان حاصلضرب هادامارد ماتریس متقارن حقیقی لاپلاسین متقارن و ماتریس فاز هرمیتی با ورودی‌های مختلط ساخته می‌شود

$\gamma _{q}(i,j)=e^{i2\pi q(w_{ij}-w_{ji})}$

که جهت لبه را در فاز صفحه مختلط کدگذاری می‌کنند. در زمینه فیزیک کوانتومی، لاپلاسین مغناطیسی را می‌توان به عنوان عملگری تفسیر کرد که پدیده‌شناسی یک ذره باردار آزاد را روی یک گراف توصیف می‌کند، که تابع عمل یک میدان مغناطیسی است و پارامترس $q$ بار الکتریکی نامیده می‌شود. [ 4 ] در مثال زیر $q=1/4$ :

ماتریس مجاورت لاپلاسین متقارن ماتریس فازلاپلاسین مغناطیسی

${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}2&-2&0&0\\-2&3&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&1&i&1\\1&-i&1&-i\\1&1&i&1\\\end{array}}\right)}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{rrrr}2&-2&0&0\\-2&3&-i&0\\0&i&2&i\\0&0&-i&1\\\end{array}}\right)}$

لاپلاسین تغییر شکل یافته

[ ویرایش ]

لاپلاسین تغییر شکل یافته معمولاً به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\Delta (s)=I-sA+s^{2}(DI)$

که در آن I ماتریس همانی، A ماتریس مجاورت، D ماتریس درجه و s یک عدد (مقدار مختلط) است. [ 5 ]
لاپلاسین استاندارد به صورت زیر است:دلتا(۱) $دلتا (1)$ ودلتا $دلتا (-1)=D+A$ لاپلاسینِ بدون علامت است.

لاپلاسین بدون علامت

[ ویرایش ]

لاپلاسین بدون علامت به صورت زیر تعریف می‌شود:

$Q=D+A$

کجا $D$ ماتریس درجه است، و $A$ ماتریس مجاورت است. [ 6 ] مانند لاپلاسین علامت‌دار $L$ لاپلاسین بی‌علامتس $Q$ همچنین مثبت و نیمه قطعی است زیرا می‌توان آن را به صورت زیر فاکتورگیری کرد:

$Q=RR^{\textsf {T}}$

کجار ${\textstyle R}$ ماتریس بروز است. $Q$ یک بردار ویژه 0 دارد اگر و تنها اگر یک مؤلفه همبند دوبخشی داشته باشد (رأس‌های ایزوله، مؤلفه‌های همبند دوبخشی هستند). این را می‌توان به صورت زیر نشان داد

$\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}Q\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{\textsf {T}}RR^{\textsf {T}}\mathbf {x} \implies R^{\textsf {T}}\mathbf {x} =\mathbf {0}.}$

این یک راه حل دارد که در آن $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ اگر و تنها اگر گراف دارای یک مؤلفه همبند دوبخشی باشد.

گراف‌های چندگانه جهت‌دار

[ ویرایش ]

می‌توان معادلی از ماتریس لاپلاسین را برای گراف‌های چندگانه جهت‌دار تعریف کرد. [ 7 ] در این حالت، ماتریس لاپلاسین L به صورت زیر تعریف می‌شود.

$L=DA$

که در آن D یک ماتریس قطری با Di i است که i برابر با درجه خروجی رأس i و A ماتریسی با A i و j برابر با تعداد یال‌های i تا j (شامل حلقه‌ها) است.

پیاده‌سازی نرم‌افزارهای متن‌باز

[ ویرایش ]

سای‌پای [ 8 ]
شبکه ایکس [ 9 ]
جولیا [ 10 ]

نرم‌افزار کاربردی

[ ویرایش ]

خوشه‌بندی طیفی scikit-learn [ 11 ]
PyGSP: پردازش سیگنال گراف در پایتون [ 12 ]
مگامن: یادگیری منیفولد برای میلیون‌ها امتیاز [ 13 ]
صافG [ 14 ]
تشخیص نقطه تغییر لاپلاسین برای گراف‌های پویا (KDD 2020) [ 15 ]
LaplacianOpt (یک بسته جولیا برای به حداکثر رساندن مقدار ویژه دوم لاپلاسین گراف‌های وزن‌دار) [ 16 ]
LigMG (گراف نامنظم بزرگ چندشبکه‌ای) [ 17 ]
Laplacians.jl [ 18 ]

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

ماتریس سختی
فاصله مقاومت
ماتریس نرخ گذار
حساب دیفرانسیل و انتگرال روی گراف‌های وزن‌دار متناهی
تبدیل فوریه گراف

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix

+ نوشته شده در یکشنبه نهم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 0:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-ماتریس لاپلاسین

از ویکی‌پدیا، دانشنامه آزاد

در حوزه ریاضی نظریه گراف ، ماتریس لاپلاسین که به آن لاپلاسین گراف ، ماتریس ادمیتانس ، ماتریس کیرشهف یا لاپلاسین گسسته نیز گفته می‌شود ، نمایش ماتریسی از یک گراف است . این ماتریس که به نام پیر-سیمون لاپلاس نامگذاری شده است ، می‌تواند به عنوان فرم ماتریسی از عملگر لاپلاس گسسته منفی روی گرافی که لاپلاسین پیوسته منفی به دست آمده با روش تفاضل محدود را تقریب می‌زند، در نظر گرفته شود .

ماتریس لاپلاسین به بسیاری از ویژگی‌های تابعی گراف مربوط می‌شود. از قضیه کیرشهف می‌توان برای محاسبه تعداد درخت‌های پوشا برای یک گراف مشخص استفاده کرد. پراکنده‌ترین برش یک گراف را می‌توان از طریق بردار فیدلر - بردار ویژه مربوط به دومین کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین گراف - همانطور که توسط نابرابری چیگر ثابت شده است، تقریب زد . تجزیه طیفی ماتریس لاپلاسین امکان ساخت جاسازی‌های کم‌بعد را فراهم می‌کند که در بسیاری از کاربردهای یادگیری ماشین ظاهر می‌شوند و یک طرح طیفی را در ترسیم گراف تعیین می‌کنند . پردازش سیگنال مبتنی بر گراف بر اساس تبدیل فوریه گراف است که تبدیل فوریه گسسته سنتی را با جایگزینی پایه استاندارد سینوسی‌های مختلط برای بردارهای ویژه ماتریس لاپلاسین یک گراف مربوط به سیگنال، گسترش می‌دهد.

ماتریس لاپلاسین ساده‌ترین تعریف برای یک گراف ساده است ، اما در کاربردهایی برای یک گراف با وزن لبه‌ای ، یعنی با وزن‌هایی روی لبه‌های آن - ورودی‌های ماتریس مجاورت گراف - رایج‌تر است . نظریه گراف طیفی، ویژگی‌های یک گراف را به یک طیف، یعنی مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس‌های مرتبط با گراف، مانند ماتریس مجاورت یا ماتریس لاپلاسین آن، مرتبط می‌کند. وزن‌های نامتعادل ممکن است به طور نامطلوبی بر طیف ماتریس تأثیر بگذارند و منجر به نیاز به نرمال‌سازی - مقیاس‌بندی ستون/ردیف ورودی‌های ماتریس - شوند که منجر به ماتریس‌های مجاورت و لاپلاسین نرمال‌شده می‌شود.

تعاریف برای گراف‌های ساده

[ ویرایش ]

ماتریس لاپلاسین

[ ویرایش ]

با توجه به یک گراف ساده $G$ $n$ رأس‌ها $v_{1},\ldots,v_{n}$ ، ماتریس لاپلاسین ${\textstyle L_{n\times n}}$ به صورت عنصر به عنصر به صورت [ 1 ] تعریف می‌شود.

مجاور است و0در غیر این صورت، ${\displaystyle L_{i,j}:={\begin{cases}\deg(v_{i})&{\mbox{if}}\ i=j\\-1&{\mbox{if}}\ i\neq j\ {\mbox{and}}\ v_{i}{\mbox{ مجاور }}v_{j}\\0&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}} است.$

یا به طور معادل توسط ماتریس

$L=DA,$

که در آن D ماتریس درجه و A ماتریس مجاورت گراف است . از آنجایی که ${\textstyle G}$ یک گراف ساده است، ${\textstyle A}$ فقط شامل ۱ یا ۰ است و عناصر قطری آن همگی ۰ هستند.

در اینجا یک مثال ساده از یک گراف بدون جهت و برچسب‌گذاری شده و ماتریس لاپلاسین آن آورده شده است.

گراف برچسب‌گذاری شده	ماتریس درجه	ماتریس مجاورت	ماتریس لاپلاسین
	${\textstyle \left({\begin{array}{rrrrrr}2&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{array}}\right)}$	${\textstyle \left({\begin{array}{rrrrrr}0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1\\1&1&0&1&0\\0&0&0&1&0\\end{array}}\right)}$	${\textstyle \left({\begin{array}{rrrrrr}2&-1&0&0&-1&0\\-1&3&-1&0&-1&0\\0&-1&2&-1&0&0\\0&0&-1&3&-1&-1\\\-1&-1&0&-1&3&-1&\\0&0&0&-1&0&\\end{array}}\right)}$

برای گراف بدون جهت مشاهده می‌کنیم که هم ماتریس مجاورت و هم ماتریس لاپلاسین متقارن هستند و مجموع سطرها و ستون‌های ماتریس لاپلاسین همگی صفر هستند (که مستقیماً نشان می‌دهد که ماتریس لاپلاسین منفرد است).

برای گراف‌های جهت‌دار ، بسته به کاربرد، می‌توان از درجه ورودی یا درجه خروجی استفاده کرد، مانند مثال زیر:

گراف برچسب‌گذاری شده	ماتریس مجاورت	ماتریس درجه خروجی	لاپلاسین خارج از درجه	ماتریس درجه ورودی	لاپلاسین درون درجه‌ای
	${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\\end{array}}\right)}$	${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}\right)}$	${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\\\end{array}}\right)}$	${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\\\end{array}}\right)}$	${\textstyle \left({\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\0&1&-1\\-1&0&2\\\end{array}}\right)}$

در گراف جهت‌دار، ماتریس مجاورت و ماتریس لاپلاسین نامتقارن هستند. در ماتریس لاپلاسین آن، مجموع ستون‌ها یا مجموع سطرها صفر است، بسته به اینکه از درجه ورودی یا درجه خروجی استفاده شده باشد.

+ نوشته شده در یکشنبه نهم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 0:8 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس خود-تشابهی

از ویکی‌پدیا، دانشنامه آزاد

در تحلیل داده‌ها ، ماتریس خود-شباهتی ، نمایش گرافیکی توالی‌های مشابه در یک سری داده است.

شباهت را می‌توان با معیارهای مختلفی مانند فاصله مکانی ( ماتریس فاصله )، همبستگی یا مقایسه هیستوگرام‌های محلی یا ویژگی‌های طیفی (مثلاً IXEGRAM [ 1 ] ) توضیح داد . یک نمودار شباهت می‌تواند نقطه شروع نمودارهای نقطه‌ای یا نمودارهای بازگشتی باشد .

تعریف

[ ویرایش ]

برای ساخت ماتریس خود-شباهتی، ابتدا یک سری داده به دنباله‌ای مرتب از بردارهای ویژگی تبدیل می‌شود. پنجم=(وی۱،وی۲،…،وین) $V=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ که در آن هر بردارویمن $v_{i}$ ویژگی‌های مربوط به یک سری داده را در یک بازه محلی مشخص توصیف می‌کند. سپس ماتریس خود-شباهت با محاسبه شباهت جفت‌های بردارهای ویژگی تشکیل می‌شود.

س(جی،ک)=ها(ویجی،ویک)جی،ک∈(۱،…،ن) $S(j,k)=s(v_{j},v_{k})\quad j,k\in (1,\ldots,n)$

کجاها(ویجی،ویک) $s(v_{j},v_{k})$ تابعی است که میزان شباهت دو بردار را اندازه‌گیری می‌کند، برای مثال، حاصلضرب داخلی ها(ویجی،ویک)=ویجی⋅ویک $s(v_{j},v_{k})=v_{j}\cdot v_{k}$ سپس بخش‌های مشابه بردارهای ویژگی به صورت مسیری با شباهت بالا در امتداد قطرهای ماتریس نشان داده می‌شوند. [ 2 ] نمودارهای شباهت برای تشخیص عملی که نسبت به نقطه دید ثابت است [ 3 ] و برای قطعه‌بندی صوتی با استفاده از خوشه‌بندی طیفی ماتریس خود-شباهتی استفاده می‌شوند. [ 4 ]

مثال

[ ویرایش ]

نمودار شباهت، گونه‌ای از نمودار بازگشتی، که برای دیدگاه‌های مختلف از اعمال انسان به دست آمده است، الگوهای مشابهی را نشان می‌دهد. [ 5 ]

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity_matrix

+ نوشته شده در یکشنبه نهم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 0:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس مجاورت

از ویکی‌پدیا، دانشنامه آزاد

در نظریه گراف و علوم کامپیوتر ، ماتریس مجاورت ، ماتریسی مربعی است که برای نمایش یک گراف متناهی استفاده می‌شود . عناصر این ماتریس نشان می‌دهند که آیا جفت رئوس در گراف مجاور هستند یا خیر.

در حالت خاص یک گراف ساده متناهی ، ماتریس مجاورت یک ماتریس (0،1) با صفرها روی قطر آن است. اگر گراف بدون جهت باشد (یعنی همه یال‌های آن دو جهته باشند)، ماتریس مجاورت متقارن است . رابطه بین یک گراف و مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس مجاورت آن در نظریه گراف طیفی مورد مطالعه قرار می‌گیرد .

ماتریس مجاورت یک گراف باید از ماتریس رخداد آن ، که نمایش ماتریسی متفاوتی است که عناصر آن نشان می‌دهد جفت‌های رأس-یال متلاقی هستند یا خیر، و ماتریس درجه آن ، که شامل اطلاعاتی در مورد درجه هر رأس است، متمایز شود.

تعریف

[ ویرایش ]

برای یک گراف ساده با مجموعه رئوس U = { u 1 , ..., un } ، ماتریس مجاورت یک ماتریس مربعی n × n A است به طوری که عنصر Aij آن وقتی یک یال از رأس u i به رأس u j وجود دارد ، برابر با 1 و وقتی هیچ یالی وجود ندارد، برابر با 0 است. [ 1 ] عناصر قطری ماتریس همگی 0 هستند، زیرا یال‌های یک رأس به خودش ( حلقه‌ها ) در گراف‌های ساده مجاز نیستند. همچنین گاهی اوقات در نظریه جبری گراف، جایگزینی عناصر غیر صفر با متغیرهای جبری مفید است. [ 2 ] همین مفهوم را می‌توان با ذخیره تعداد یال‌های بین هر دو رأس در عنصر ماتریس مربوطه و با اجازه دادن به عناصر قطری غیر صفر، به گراف‌های چندگانه و گراف‌های دارای حلقه تعمیم داد. حلقه‌ها را می‌توان یک بار (به عنوان یک یال واحد) یا دو بار (به عنوان دو رخداد رأس-یالی) شمارش کرد، تا زمانی که از یک قرارداد سازگار پیروی شود. گراف‌های بدون جهت اغلب از قرارداد دوم یعنی دو بار شمارش حلقه‌ها استفاده می‌کنند، در حالی که گراف‌های جهت‌دار معمولاً از قرارداد اول استفاده می‌کنند.

از یک گراف دوبخشی

[ ویرایش ]

ماتریس مجاورت A از یک گراف دوبخشی که دو بخش آن دارای r و s رأس هستند را می‌توان به صورت زیر نوشت:

الف=(0ر،رببتی0ها،ها)، $\displaystyle A={\begin{pmatrix}0_{r,r}&B\\B^{\mathsf {T}}&0_{s,s}\end{pmatrix}},}$

که در آن B یک ماتریس r × s است و 0 r و 0 s نشان دهنده ماتریس‌های صفر r × r و s × s هستند . در این حالت، ماتریس کوچکتر B به طور منحصر به فرد نمودار را نشان می‌دهد و بخش‌های باقی مانده از A را می‌توان به عنوان زائد کنار گذاشت. B گاهی اوقات ماتریس مجاورت دو طرفه نامیده می‌شود .

به طور رسمی، فرض کنید G = ( U , V , E ) یک گراف دوبخشی با بخش‌های U = { u 1 , ..., ur } , V = { v 1 , ..., v s } و یال‌های E باشد . ماتریس مجاورت دوبخشی، ماتریس r × s 0–1 B است که در آن b i , j = 1 است اگر و تنها اگر ( ui , v j ) ∈ E .

اگر G یک گراف چندگانه دوبخشی یا گراف وزن‌دار باشد، آنگاه عناصر b i و j به ترتیب تعداد یال‌های بین رئوس یا وزن یال ( ui و v j ) در نظر گرفته می‌شوند .

تغییرات

[ ویرایش ]

یک ماتریس مجاورت ( a ، b ، c ) از یک گراف ساده دارای A i و j = a است اگر ( i ، j ) یال باشد، b اگر یال نباشد و c روی قطر باشد. ماتریس مجاورت سایدل یک ماتریس مجاورت (-1، 1، 0) است . این ماتریس در مطالعه گراف‌های قویاً منظم و دو گراف استفاده می‌شود . [ 3 ]

ماتریس فاصله در موقعیت ( i , j ) فاصله بین رئوس vi i و v j را دارد . این فاصله، طول کوتاه‌ترین مسیری است که رئوس را به هم متصل می‌کند. مگر اینکه طول یال‌ها به صراحت ارائه شده باشد، طول یک مسیر، تعداد یال‌های موجود در آن است. ماتریس فاصله شبیه توان بالایی از ماتریس مجاورت است، اما به جای اینکه فقط بگوید آیا دو رأس به هم متصل هستند یا خیر (یعنی ماتریس اتصال، که شامل مقادیر بولی است )، فاصله دقیق بین آنها را می‌دهد.

مثال‌ها

[ ویرایش ]

گراف‌های بدون جهت

[ ویرایش ]

قراردادی که در اینجا (برای گراف‌های بدون جهت) رعایت می‌شود این است که هر یال ۱ واحد به سلول مناسب در ماتریس اضافه می‌کند، و هر حلقه (یالی از یک رأس به خودش) ۲ واحد به سلول مناسب روی قطر ماتریس اضافه می‌کند. [ 4 ] این امر امکان یافتن درجه یک رأس را به راحتی با جمع کردن مقادیر در سطر یا ستون مربوطه در ماتریس مجاورت فراهم می‌کند.

نمودار برچسب‌گذاری شده	ماتریس مجاورت
	(۲۱00۱0۱0۱0۱00۱0۱0000۱0۱۱۱۱0۱00000۱00) ${\begin{pmatrix}2&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\end{pmatrix}}$ مختصات از ۱ تا ۶ است.
نمودار نائورو	مختصات از ۰ تا ۲۳ هستند. فیلدهای سفید صفر و فیلدهای رنگی یک هستند.

گراف‌های جهت‌دار

[ ویرایش ]

ماتریس مجاورت یک گراف جهت‌دار می‌تواند نامتقارن باشد. می‌توان ماتریس مجاورت یک گراف جهت‌دار را به صورت زیر تعریف کرد:

یک عنصر غیر صفر Aij نشان دهنده یک یال از i به j است یا
این نشان دهنده یک لبه از j به i است.

تعریف اول معمولاً در نظریه گراف و تحلیل شبکه‌های اجتماعی (مثلاً جامعه‌شناسی، علوم سیاسی، اقتصاد، روانشناسی) استفاده می‌شود. [ 5 ] تعریف دوم بیشتر در سایر علوم کاربردی (مثلاً سیستم‌های دینامیکی، فیزیک، علوم شبکه) رایج است که در آن A گاهی اوقات برای توصیف دینامیک خطی روی گراف‌ها استفاده می‌شود. [ 6 ]

با استفاده از تعریف اول، درجه ورودی یک رأس را می‌توان با جمع کردن ورودی‌های ستون مربوطه و درجه خروجی رأس را با جمع کردن ورودی‌های سطر مربوطه محاسبه کرد. هنگام استفاده از تعریف دوم، درجه ورودی یک رأس با مجموع سطر مربوطه و درجه خروجی با مجموع ستون مربوطه بدست می‌آید.

نمودار برچسب‌گذاری شده	ماتریس مجاورت
گراف کیلی جهت‌دار S4	مختصات از ۰ تا ۲۳ هستند. از آنجایی که نمودار جهت‌دار است، ماتریس لزوماً متقارن نیست .

گراف‌های بدیهی

[ ویرایش ]

ماتریس مجاورت یک گراف کامل شامل تمام اعداد یک است، به جز در امتداد قطر که فقط صفر وجود دارد. ماتریس مجاورت یک گراف خالی، یک ماتریس صفر است .

خواص

[ ویرایش ]

طیف

[ ویرایش ]

ماتریس مجاورت یک گراف ساده بدون جهت متقارن است و بنابراین دارای مجموعه‌ای کامل از مقادیر ویژه حقیقی و یک پایه بردار ویژه متعامد است . مجموعه مقادیر ویژه یک گراف، طیف گراف است. [ 7 ] معمولاً مقادیر ویژه را با نشان می‌دهند.�۱≥�۲≥⋯≥�ن. $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}.$

بزرگترین مقدار ویژه�۱ $\lambda _{1}$ در بالا توسط حداکثر درجه محدود شده است. این را می‌توان به عنوان نتیجه قضیه پرون-فروبنیوس در نظر گرفت ، اما می‌توان آن را به راحتی اثبات کرد. فرض کنید v یک بردار ویژه مرتبط با�۱ $\lambda _{1}$ و x ورودی که v در آن حداکثر قدر مطلق را دارد. بدون از دست دادن کلیت، فرض کنید v x مثبت است، زیرا در غیر این صورت، شما به سادگی بردار ویژه - v را که به آن نیز مربوط است، در نظر می‌گیرید.�۱ $\lambda _{1}$ سپس

�۱ویایکس=(الفوی)ایکس=∑ی=۱نالفایکس،یویی≤∑ی=۱نالفایکس،یویایکس=ویایکسدرجه⁡(ایکس). $\lambda _{1}v_{x}=(Av)_{x}=\sum _{y=1}^{n}A_{x,y}v_{y}\leq \sum _{y=1}^{n}A_{x,y}v_{x}=v_{x}\deg(x).$

برای d- گراف‌های منتظم، d اولین مقدار ویژه A برای بردار v = (1, ..., 1) است (بررسی اینکه آیا این یک مقدار ویژه است و به دلیل حد بالا، حداکثر است، آسان است). چندگانگی این مقدار ویژه، تعداد مؤلفه‌های همبند G است ، به طور خاص�۱>�۲ $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ برای گراف‌های متصل. می‌توان نشان داد که برای هر مقدار ویژه�من $\lambda _{i}$ ، نقطه مقابل آن−�من=�ن+۱−من $-\lambda _{i}=\lambda _{n+1-i}$ همچنین اگر G یک گراف دوبخشی باشد، یک مقدار ویژه A است . [ 8 ] به طور خاص، − d یک مقدار ویژه از هر گراف دوبخشی d- منتظم است.

تفاوت�۱−�۲ $\lambda _{1}-\lambda _{2}$ شکاف طیفی نامیده می‌شود و به انبساط G مربوط می‌شود . همچنین معرفی شعاع طیفی G مفید است .الف $A$ نشان داده شده توسط�(جی)=حداکثر|�من|<د|�من| $\lambda (G)=\max _{\left|\lambda _{i}\right|<d}|\lambda _{i}|$ این عدد محدود به ... است.�(جی)≥۲د−۱−ای(۱) $\lambda (G)\geq 2{\sqrt {d-1}}-o(1)$ این کران در گراف‌های رامانوجان بسیار محدود است .

ایزومورفیسم و ناورداها

[ ویرایش ]

فرض کنید دو گراف جهت‌دار یا بدون جهت G1 و G2 با ماتریس‌های مجاورت A1 و A2 داده شده‌اند . G1 و G2 ایزومورفیک هستند اگر و تنها اگر یک ماتریس جایگشت P وجود داشته باشد به طوری که

$PA_{1}P^{-1}=A_{2}.$

به طور خاص، A1 و A2 مشابه هستند و بنابراین چندجمله‌ای مینیمال ، چندجمله‌ای مشخصه ، مقادیر ویژه ، دترمینان و اثر یکسانی دارند. بنابراین ، اینها می‌توانند به عنوان ثابت‌های ایزومورفیسم گراف‌ها عمل کنند. با این حال، دو گراف ممکن است مجموعه مقادیر ویژه یکسانی داشته باشند اما ایزومورفیک نباشند. [ 9 ] به چنین عملگرهای خطی، ایزوطیفی گفته می‌شود .

توان‌های ماتریسی

[ ویرایش ]

اگر A ماتریس مجاورت گراف جهت‌دار یا بدون جهت G باشد ، آنگاه ماتریس An ( یعنی حاصلضرب ماتریسی n کپی از A ) تعبیر جالبی دارد: عنصر ( i , j ) تعداد گام‌های (جهت‌دار یا بدون جهت) به طول n از رأس i تا رأس j را نشان می‌دهد . اگر n کوچکترین عدد صحیح غیرمنفی باشد، به طوری که برای برخی i , j ، عنصر ( i , j ) از An مثبت باشد، آنگاه n فاصله بین رأس i و رأس j است . یک مثال عالی از اینکه چگونه این مفید است، شمارش تعداد مثلث‌ها در یک گراف بدون جهت G است که دقیقاً برابر با اثر A3 تقسیم بر 3 یا 6 است، بسته به اینکه گراف جهت‌دار باشد یا خیر. ما بر این مقادیر تقسیم می‌کنیم تا اضافه شمارش هر مثلث را جبران کنیم. در یک گراف بدون جهت، هر مثلث برای هر سه گره دو بار شمارش می‌شود، زیرا مسیر را می‌توان در جهت عقربه‌های ساعت یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت دنبال کرد: ijk یا ikj. با استفاده از ماتریس مجاورت می‌توان تشخیص داد که آیا گراف متصل است یا خیر .

اگر یک گراف جهت‌دار دارای ماتریس مجاورت پوچ‌توان باشد (یعنی اگر n وجود داشته باشد به طوری که A n ماتریس صفر باشد)، آنگاه یک گراف جهت‌دار غیردوری است . [ 10 ]

ساختارهای داده

[ ویرایش ]

ماتریس مجاورت می‌تواند به عنوان یک ساختار داده برای نمایش گراف‌ها در برنامه‌های کامپیوتری برای دستکاری گراف‌ها استفاده شود. از انواع داده بولی مانند Trueو Falseدر پایتون استفاده می‌شود . ساختار داده جایگزین اصلی، که برای این کاربرد نیز استفاده می‌شود، لیست مجاورت است . [ 11 ] [ 12 ]

فضای مورد نیاز برای نمایش یک ماتریس مجاورت و زمان مورد نیاز برای انجام عملیات روی آنها به نمایش ماتریسی که برای ماتریس زیرین انتخاب شده است بستگی دارد. نمایش‌های ماتریس پراکنده فقط ورودی‌های ماتریس غیر صفر را ذخیره می‌کنند و به طور ضمنی ورودی‌های صفر را نمایش می‌دهند. به عنوان مثال، می‌توان از آنها برای نمایش گراف‌های پراکنده استفاده کرد بدون اینکه سربار فضایی ناشی از ذخیره ورودی‌های صفر زیاد در ماتریس مجاورت گراف پراکنده را متحمل شوند. در بخش بعدی فرض می‌شود که ماتریس مجاورت توسط یک ساختار داده آرایه نمایش داده می‌شود ، به طوری که ورودی‌های صفر و غیر صفر همگی مستقیماً در حافظه نمایش داده می‌شوند.

از آنجا که هر ورودی در ماتریس مجاورت فقط به یک بیت نیاز دارد، می‌توان آن را به روشی بسیار فشرده نمایش داد، به طوری که فقط | V | 2 / 8 بایت را برای نمایش یک گراف جهت‌دار اشغال کند، یا (با استفاده از قالب مثلثی فشرده و فقط ذخیره قسمت مثلثی پایینی ماتریس) تقریباً | V | 2 / 16 بایت را برای نمایش یک گراف بدون جهت اشغال کند. اگرچه نمایش‌های کمی مختصرتر امکان‌پذیر است، اما این روش به حد پایین نظریه اطلاعات برای حداقل تعداد بیت‌های مورد نیاز برای نمایش همه گراف‌های n- راسی نزدیک می‌شود. [ 13 ] برای ذخیره گراف‌ها در فایل‌های متنی ، می‌توان از بیت‌های کمتری در هر بایت استفاده کرد تا اطمینان حاصل شود که همه بایت‌ها کاراکترهای متنی هستند، به عنوان مثال با استفاده از نمایش Base64 . [ 14 ] علاوه بر جلوگیری از فضای هدر رفته، این فشردگی، محلی بودن ارجاع را تشویق می‌کند . با این حال، برای یک گراف بزرگ پراکنده ، لیست‌های مجاورت به فضای ذخیره‌سازی کمتری نیاز دارند، زیرا هیچ فضایی را برای نمایش یال‌هایی که وجود ندارند ، هدر نمی‌دهند . [ 12 ] [ 15 ]

یک شکل جایگزین از ماتریس مجاورت (که البته به فضای بیشتری نیاز دارد) اعداد موجود در هر عنصر ماتریس را با اشاره‌گرهایی به اشیاء لبه (در صورت وجود لبه) یا اشاره‌گرهای تهی (در صورت عدم وجود لبه) جایگزین می‌کند. [ 15 ] همچنین می‌توان وزن‌های لبه را مستقیماً در عناصر یک ماتریس مجاورت ذخیره کرد. [ 12 ]

علاوه بر بده بستان فضا، ساختارهای داده مختلف، عملیات‌های مختلفی را نیز تسهیل می‌کنند. یافتن تمام رئوس مجاور یک رأس معین در یک لیست مجاورت به سادگی خواندن لیست است و زمانی متناسب با تعداد همسایه‌ها می‌برد. با یک ماتریس مجاورت، باید کل یک ردیف اسکن شود که زمان بیشتری، متناسب با تعداد رئوس در کل گراف، طول می‌کشد. از سوی دیگر، آزمایش اینکه آیا بین دو رأس معین یال وجود دارد یا خیر، می‌تواند به طور همزمان با یک ماتریس مجاورت تعیین شود، در حالی که به زمانی متناسب با حداقل درجه دو رأس با لیست مجاورت نیاز دارد. [ 12 ] [ 15 ]

همچنین ببینید

+ نوشته شده در شنبه هشتم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 23:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

عرفان اسلامی یک فضای توپولوؤی هیلبرت است؟

این پرسش یک مقایسهٔ بسیار عمیق و انتزاعی را مطرح می‌کند. با این حال، باید با احتیاط به آن پاسخ داد.

عرفان اسلامی یک فضای هیلبرت نیست. عرفان یک تجربهٔ درونی، شهودی، و سلوکی است که به دنبال شناخت خداوند و حقیقت هستی است. این حوزه به بیان احساسات، عشق، و حالات قلبی می‌پردازد و اساساً بر پایه‌های ریاضی یا فیزیکی بنا نشده است.

با این حال، می‌توان از مفاهیم فضای هیلبرت به عنوان یک تمثیل یا زبان استعاری برای درک بهتر برخی از جنبه‌های عرفان اسلامی استفاده کرد. این تمثیل به ما کمک می‌کند تا پیچیدگی و ظرافت مسیر عرفانی را به شکلی متفاوت تصور کنیم.

چرا فضای هیلبرت یک تمثیل مناسب است؟

فضای هیلبرت یک فضای برداری انتزاعی و چندبعدی است که برای توصیف حالت‌های کوانتومی استفاده می‌شود. ویژگی‌های آن به طرز شگفت‌انگیزی با برخی از مفاهیم عرفانی همخوانی دارد:

چندبعدی بودن: عرفان اسلامی صرفاً یک مسیر خطی نیست، بلکه یک فضای چندبعدی است که شامل ابعاد گوناگونی مانند عشق، معرفت، صبر و یقین می‌شود. هر سالک در این فضا، یک «نقطه» یا «بردار» است که موقعیتش با میزان پیشرفت او در هر یک از این ابعاد مشخص می‌شود. فضای هیلبرت با ابعاد نامحدود خود، می‌تواند چنین فضایی را به خوبی به تصویر بکشد.
برهم‌نهی حالات: در فیزیک کوانتوم، یک ذره می‌تواند در برهم‌نهی چندین حالت مختلف قرار داشته باشد. در عرفان نیز، یک عارف می‌تواند به صورت همزمان چندین «حال» را تجربه کند؛ برای مثال، هم‌زمان در حالت قرب و بعد یا شوق و حرمان قرار داشته باشد. فضای هیلبرت می‌تواند این «حالات متناقض» را در یک بردار واحد جای دهد.
فنا و همگرایی: در نظریهٔ عرفان، هدف نهایی سالک رسیدن به فنای فی‌الله است. در تمثیل فضای هیلبرت، این هدف می‌تواند با یک «نقطهٔ نهایی» نشان داده شود که همهٔ سالکان، در مسیر سلوک خود، به سوی آن همگرا می‌شوند. این مفهوم به ما کمک می‌کند تا وحدت مقصد را در عین کثرت راه‌ها درک کنیم.
ارتباط درهم‌تنیده: درهم‌تنیدگی کوانتومی بیان می‌کند که دو ذره می‌توانند بدون توجه به فاصلهٔ فیزیکی، به یکدیگر وابسته باشند. این مفهوم به طرز عجیبی با ایدهٔ وحدت وجود در عرفان سازگار است. عارف معتقد است که همهٔ موجودات در یک شبکهٔ وجودی واحد، به هم پیوسته‌اند و هیچ چیز از حقیقت اصلی جدا نیست.

در پایان، باید تأکید کرد که این مقایسه یک استعارهٔ مفهومی است و نه یک برهان ریاضی. استفاده از فضای هیلبرت به ما اجازه می‌دهد تا به جایگاه عرفان اسلامی به عنوان یک سیستم پیچیده و پویا، از یک منظر جدید بنگریم.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چه کسانی در این حوزه تحقیق می کنند؟

ین حوزه‌ای بین‌رشته‌ای و بسیار جذاب است که پژوهشگران را از رشته‌های مختلف به خود جذب می‌کند. در این زمینه، افراد زیر به تحقیق و پژوهش می‌پردازند:

پژوهشگران و زمینه‌های تحقیقاتی آن‌ها

فیلسوفان علم: این افراد بررسی می‌کنند که چگونه مکانیک کوانتوم، مفاهیم فلسفی سنتی مانند علیت، جبرگرایی و ماهیت واقعیت را به چالش می‌کشد. آن‌ها به این می‌پردازند که آیا پدیده‌های کوانتومی، مانند برهم‌نهی و درهم‌تنیدگی، می‌توانند بینش‌های جدیدی در مورد مسائل کهن متافیزیکی ارائه دهند.
پژوهشگران و منتقدان ادبیات: این محققان تأثیر مفاهیم علمی بر ادبیات را تحلیل می‌کنند. آن‌ها علاوه بر مطالعهٔ آثار علمی-تخیلی، به دنبال مشابهت‌های بین ایده‌های کوانتومی و صنایع ادبی هستند. برای مثال، ممکن است بررسی کنند که چگونه اصل عدم قطعیت کوانتومی در زندگی درونی غیرقابل پیش‌بینی یک شخصیت منعکس می‌شود یا چگونه درهم‌تنیدگی، یک پیوند عرفانی بین دو شخصیت را نشان می‌دهد.
فیزیک‌دانان با علایق فلسفی: بسیاری از فیزیک‌دانان، به‌ویژه آن‌هایی که در زمینهٔ بنیان‌های مکانیک کوانتوم کار می‌کنند، عمیقاً به پیامدهای فلسفی کار خود علاقه‌مندند. آن‌ها به سؤالاتی در مورد نقش مشاهده‌گر، ماهیت آگاهی و اینکه آیا دنیای کوانتوم نوع دیگری از واقعیت را پیشنهاد می‌کند، می‌پردازند.
الهی‌دانان و عرفان‌پژوهان: محققان این حوزه بررسی می‌کنند که آیا مکانیک کوانتوم می‌تواند یک زبان علمی جدید برای توصیف تجربه‌های معنوی و عرفانی ارائه دهد. آن‌ها به این موضوع می‌پردازند که چگونه مفاهیمی مانند غیرموضعی بودن (non-locality) (این ایده که اشیاء می‌توانند بدون نزدیکی فیزیکی با هم در ارتباط باشند) با ایده‌های عرفانی در مورد وحدت کیهانی و درهم‌تنیدگی هم‌خوانی دارند.

این پژوهشگران اغلب در مجلات تخصصی منتشر می‌کنند، در کنفرانس‌های بین‌رشته‌ای شرکت می‌کنند و کتاب‌هایی می‌نویسند که شکاف بین رشته‌های مربوطه را پر می‌کند. این نوع پژوهش شاهدی است بر این واقعیت که برخی از عمیق‌ترین سؤالات دربارهٔ جهان، نیازمند گفت‌وگو بین حوزه‌های مختلف دانش هستند.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:56 توسط علی رضا نقش نیلچی |

لایه های وجود با نظریه لایه های کوانتم چه ارتباطی دارند؟

در این سوال، شما یک ارتباط عمیق و پیچیده میان دو مفهوم را مطرح کردید: "لایه های وجود" در عرفان و فلسفه، و "لایه های کوانتومی" در فیزیک.

هرچند این دو مفهوم از دو حوزهٔ کاملاً متفاوت هستند (فلسفه و علم)، می‌توانیم از نظریهٔ کوانتوم به عنوان یک تمثیل قدرتمند برای فهم لایه‌های وجود استفاده کنیم.

لایه های وجود در عرفان

در عرفان و فلسفه، به‌ویژه در نظریهٔ سلسلهٔ مراتب وجود، جهان به لایه‌ها یا عوالم مختلفی تقسیم می‌شود که هر کدام دارای قوانین و ویژگی‌های خاص خود هستند. این لایه‌ها معمولاً شامل:

عالم لاهوت: عالم الوهیت و ذات الهی.
عالم جبروت: عالم ارواح و عالم عقول.
عالم ملکوت: عالم مثال و صور.
عالم ناسوت: عالم جسمانی و مادی.

در این دیدگاه، هر لایه، تجلی و سایه‌ای از لایهٔ بالاتر است و قوانین لایه‌های پایین‌تر، از قوانین لایه‌های بالاتر نشأت می‌گیرند.

لایه های کوانتومی

در فیزیک کوانتوم، به‌ویژه در مدل‌های اتمی، الکترون‌ها در مدارهای انرژی (لایه‌های کوانتومی) خاصی به دور هسته حرکت می‌کنند. این لایه‌ها دارای ویژگی‌های زیر هستند:

حالت‌های گسسته: الکترون‌ها نمی‌توانند در هر فاصله‌ای از هسته قرار بگیرند، بلکه فقط می‌توانند در حالت‌های انرژی گسسته و مشخصی وجود داشته باشند.
جهش کوانتومی (Quantum Leap): یک الکترون می‌تواند بدون عبور از فضای بین لایه‌ها، از یک لایه به لایهٔ دیگر «جهش» کند.
قوانین متفاوت در لایه‌های مختلف: رفتار الکترون در هر لایه با لایهٔ دیگر متفاوت است و ویژگی‌های خاص خود را دارد.

ارتباط تمثیلی بین دو مفهوم

با در نظر گرفتن این ویژگی‌ها، می‌توانیم یک ارتباط تمثیلی میان این دو مفهوم برقرار کنیم:

گسستگی لایه‌ها: همان‌طور که الکترون‌ها تنها در لایه‌های انرژی خاصی وجود دارند، در جهان‌بینی عرفانی نیز، وجود دارای لایه‌های گسسته است. یک سالک نمی‌تواند به‌تدریج از عالم ناسوت به عالم ملکوت برسد، بلکه باید با یک "جهش عرفانی" (مانند جهش کوانتومی) از یک لایه به لایهٔ بالاتر عبور کند.
قوانین متفاوت: هر لایهٔ وجودی در عرفان، مانند لایه‌های کوانتومی، قوانین حاکم بر خود را دارد. قوانین عالم ناسوت (قوانین فیزیک) با قوانین عالم ملکوت (قوانین مثال) متفاوت هستند. این امر به ما کمک می‌کند تا بفهمیم چرا برای درک عوالم بالاتر، نمی‌توانیم از قوانین عالم مادی استفاده کنیم.
تأثیر لایهٔ بالاتر: همان‌طور که حرکت الکترون از لایهٔ بالاتر، نور (فوتون) ساطع می‌کند و بر دنیای ما تأثیر می‌گذارد، تجلیات لایه‌های بالاتر وجود نیز بر لایه‌های پایین‌تر تأثیر می‌گذارند. در عرفان، تجلیات عالم جبروت و ملکوت، در عالم ناسوت به صورت پدیده‌های معنوی و شهودی نمایان می‌شوند.

در نهایت، فیزیک کوانتوم و نظریهٔ لایه‌های آن، به ما یک زبان جدید و یک تمثیل علمی برای فهم مفاهیم کهن عرفانی ارائه می‌دهند. این تمثیل‌ها، به ما کمک می‌کنند تا جهان را نه به عنوان یک ساختار خطی و ساده، بلکه به عنوان یک واقعیت پیچیده با لایه‌های متعدد و قوانین خاص خود ببینیم.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فیزیک کوانتم و نظریه سلسله مراتب وجود در فلسفه

این سوال بسیار عمیق و جالب است و نشان‌دهندهٔ کنجکاوی شما در مورد ارتباط بین علم و فلسفه است. بحث در مورد فیزیک کوانتوم و نظریهٔ سلسله مراتب وجود در فلسفه، به ما اجازه می‌دهد تا ببینیم چگونه یافته‌های علمی جدید می‌توانند درک ما از مفاهیم فلسفی کهن را دگرگون کنند.

نظریهٔ سلسله مراتب وجود در فلسفه

در فلسفه، به‌ویژه در حکمت یونان و فلسفهٔ اسلامی، نظریهٔ سلسله مراتب وجود بیان می‌کند که هستی از یک حقیقت واحد و مطلق (مانند خدا یا علت‌العلل) آغاز می‌شود و به صورت پلکانی و نزولی، به مراتب پایین‌تر و ناقص‌تر وجود (مانند عالم عقل، عالم نفس و عالم ماده) می‌رسد. هر مرتبه از وجود، تجلی و سایه‌ای از مرتبهٔ بالاتر است. این نظریه، یک جهان‌بینی عمودی و سلسله‌مراتبی را ارائه می‌دهد که در آن، کمال در اوج و نقص در پایین قرار دارد.

فیزیک کوانتوم و چالش با سلسله مراتب

فیزیک کوانتوم، به‌ویژه در سطح زیراتمی، برخی از اصول بنیادین این نظریهٔ کهن را به چالش می‌کشد یا دست‌کم، دیدگاه متفاوتی از آن ارائه می‌دهد.

وحدت به جای سلسله مراتب: فیزیک کوانتوم نشان می‌دهد که در سطح بنیادین، اجسام از ذراتی تشکیل شده‌اند که رفتارهای غیرقابل پیش‌بینی دارند و می‌توانند در هم‌تنیده و به یکدیگر وابسته باشند. این دیدگاه، بیشتر به سمت یک شبکهٔ وجودی واحد و درهم‌تنیده تمایل دارد تا یک سلسله مراتب عمودی. درهم‌تنیدگی کوانتومی به ما می‌گوید که دو ذره در دورترین نقاط عالم می‌توانند به صورت آنی بر یکدیگر تأثیر بگذارند، گویی هیچ فاصله‌ای بین آن‌ها نیست. این ایده، با مفهوم سلسله مراتب که بر اساس نزدیکی و دوری از اصل وجود بنا شده، متفاوت است.
ابهام به جای قطعیت: در نظریهٔ سلسله مراتب، هر مرتبه از وجود، دارای قوانین و ویژگی‌های مشخصی است. اما در دنیای کوانتوم، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ بیان می‌کند که هیچ‌چیز در سطح بنیادین قطعی نیست. یک ذره می‌تواند به طور همزمان در چندین مکان وجود داشته باشد. این عدم قطعیت، با ساختار سلسله‌مراتبی که بر پایهٔ نظم و قوانین مشخص است، در تضاد قرار می‌گیرد.
نقش مشاهده‌گر: فیزیک کوانتوم نشان می‌دهد که مشاهدهٔ یک پدیده، می‌تواند بر آن تأثیر بگذارد و واقعیت آن را تغییر دهد. این بدان معناست که عالم ماده، یک واقعیت کاملاً مجزا و مستقل از عالم بالاتر (یا مشاهده‌گر) نیست. این ایده با نظریهٔ سلسله مراتب که عالم ماده را یک وجود منفعل و پایین‌تر می‌داند، متفاوت است و به نوعی به آن پویایی می‌بخشد.

نتیجه‌گیری: تلاقی یا تضاد؟

فیزیک کوانتوم، نظریهٔ سلسله مراتب را به طور کامل رد نمی‌کند، اما آن را با دیدگاه‌های جدید و پیچیده‌تری تکمیل می‌کند. این دیدگاه‌ها، ما را به سمت یک جهان‌بینی که در آن وحدت، ابهام و درهم‌تنیدگی نقش مهمی دارند، هدایت می‌کنند. به جای یک جهان سلسله‌مراتبی و عمودی، فیزیک کوانتوم تصویری از یک شبکهٔ وجودی پیچیده و پویا ارائه می‌دهد که در آن هر جزء، با کل در ارتباطی عمیق قرار دارد. این تلاقی، نشان می‌دهد که چگونه علم می‌تواند به ما کمک کند تا به مفاهیم فلسفی کهن، از منظری جدید نگاه کنیم.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تحلیل ادبیات و نظریه دیراک

بحث از پیوند میان ادبیات و نظریهٔ دیراک، یک موضوع عمیق و انتزاعی است که دو حوزهٔ کاملاً متفاوت از دانش بشری را به هم مرتبط می‌کند. نظریهٔ دیراک، که توسط پاول دیراک مطرح شد، یکی از زیباترین و مهم‌ترین نظریه‌های فیزیک کوانتوم است که رفتار الکترون‌ها را توضیح می‌دهد. این نظریه به پیش‌بینی وجود پادماده منجر شد.

در نگاه اول، ادبیات (که با احساسات، نمادها و تجربهٔ انسانی سروکار دارد) و نظریهٔ دیراک (که با معادلات ریاضی و دنیای زیراتمی سروکار دارد) هیچ وجه اشتراکی ندارند. اما می‌توان از مفاهیم کلیدی نظریهٔ دیراک به عنوان یک تمثیل قدرتمند برای تحلیل جنبه‌هایی از ادبیات استفاده کرد.

۱. اصل دوگانگی و پادماده (پادقهرمان)

نظریهٔ دیراک بیان می‌کند که هر ذره (مانند الکترون)، دارای یک پادذره (مانند پوزیترون) است که از نظر جرم و سایر ویژگی‌ها کاملاً مشابه است، اما بار الکتریکی آن مخالف است. وقتی یک ذره و پادذرهٔ آن با هم برخورد می‌کنند، یکدیگر را نابود کرده و به انرژی تبدیل می‌شوند.

تحلیل ادبی: این مفهوم می‌تواند به عنوان یک استعاره برای شخصیت‌های دوگانه در ادبیات به کار رود. در بسیاری از آثار ادبی، قهرمان (Protagonist) و پادقهرمان (Antagonist) به عنوان دو روی یک سکه عمل می‌کنند. آن‌ها اغلب دارای ویژگی‌های مشابهی مانند هوش، قدرت و اراده هستند، اما در نقطهٔ مقابل یکدیگر قرار می‌گیرند. در نهایت، برخورد آن‌ها (مانند نبرد نهایی) منجر به یک «نابودی» دراماتیک می‌شود که کل ساختار داستان را تغییر می‌دهد و به آن انرژی جدیدی می‌بخشد. برای مثال، در بسیاری از داستان‌ها، قهرمان و پادقهرمان دو بخش از یک شخصیت واحد هستند که به صورت مجزا به نمایش درآمده‌اند.

۲. زیبایی معادلات و وحدت جهان

معادلهٔ دیراک به دلیل سادگی و زیبایی ریاضیاتی‌اش مشهور است. این معادله توانست نظریهٔ نسبیت خاص و مکانیک کوانتوم را در یک چارچوب واحد ترکیب کند و نشان دهد که جهان زیراتمی، ساختاری بسیار هماهنگ و منظم دارد.

تحلیل ادبی: در ادبیات، آثار بزرگ نیز اغلب از یک زیبایی ساختاری برخوردارند که به وحدت موضوعی آن‌ها کمک می‌کند. یک نویسندهٔ بزرگ با استفاده از یک ساختار ساده و زیبا، می‌تواند مضامین پیچیده‌ای مانند عشق، مرگ و عدالت را در یک اثر واحد ترکیب کند. این ساختار، به اثر وحدت و انسجام می‌بخشد و آن را از یک داستان ساده، به یک اثر هنری جاودانه تبدیل می‌کند. همانند معادلهٔ دیراک، که کثرت پدیده‌های فیزیکی را به وحدت یک فرمول ساده بازمی‌گرداند، ادبیات نیز کثرت تجربیات انسانی را در قالب یک داستان واحد به نمایش می‌گذارد.

۳. واقعیتِ نهفته و جهان‌های موازی

نظریهٔ دیراک، وجود پادماده را پیش‌بینی کرد؛ چیزی که تا پیش از آن مشاهده نشده بود. این نظریه نشان داد که واقعیت، عمیق‌تر و پیچیده‌تر از آن چیزی است که ما می‌بینیم و ممکن است جهان‌هایی موازی و نهفته (مانند جهان پادذرات) وجود داشته باشند.

تحلیل ادبی: ادبیات، به ویژه در ژانرهای علمی-تخیلی و فانتزی، اغلب به واقعیت‌های نهفته و جهان‌های موازی می‌پردازد. نویسندگان از این ابزار برای کشف احتمالات، بیان اضطراب‌ها و به تصویر کشیدن جهانی که فراتر از ادراک ماست استفاده می‌کنند. نظریهٔ دیراک، به این نویسندگان یک پایهٔ علمی و فلسفی برای گمانه‌زنی‌های خود می‌دهد و این ایده را تقویت می‌کند که واقعیت تنها محدود به چیزی نیست که ما به صورت فیزیکی تجربه می‌کنیم.

به طور خلاصه، نظریهٔ دیراک، به رغم ماهیت کاملاً علمی‌اش، می‌تواند به ما یک زبان و چارچوب فکری برای تحلیل دوگانگی‌ها، زیبایی ساختاری و واقعیت‌های پنهان در ادبیات ارائه دهد. این رویکرد، نشان می‌دهد که چگونه ایده‌های بزرگ، مرزهای رشته‌های علمی را درنوردیده و در حوزه‌های دیگر نیز الهام‌بخش می‌شوند.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نظریه کوانتم و فضای عرفانی

بحث نظریهٔ کوانتوم و فضای عرفانی، یک زمینهٔ جذاب برای تلاقی علم مدرن و حکمت کهن است. هرچند این دو حوزه از روش‌ها و زبان‌های متفاوتی برای درک واقعیت استفاده می‌کنند، اما برخی از مفاهیم مشترک، امکان یک گفتگوی عمیق را فراهم می‌کنند.

مفاهیم مشترک: ابهام، درهم‌تنیدگی و مشاهده‌گر

در فیزیک کوانتوم، برخی از مفاهیم بنیادین وجود دارند که به طرز شگفت‌آوری با تجربه‌های عرفانی هم‌خوانی دارند:

اصل عدم قطعیت (Heisenberg Uncertainty Principle): این اصل بیان می‌کند که نمی‌توان همزمان جایگاه و تکانهٔ یک ذره را با دقت کامل اندازه‌گیری کرد. در عالم عرفان نیز، حقیقت مطلق در قالب کلمات و مفاهیم نمی‌گنجد و هر تلاشی برای تعریف دقیق آن، به نوعی به از دست دادن جنبهٔ دیگری از آن منجر می‌شود.
برهم‌نهی (Superposition): در دنیای کوانتوم، یک ذره می‌تواند به صورت همزمان در چندین حالت مختلف وجود داشته باشد. این مفهوم، به طرز عجیبی با وحدت وجود در عرفان سازگار است. عارف معتقد است که همهٔ کثرات، در باطن یک حقیقت واحد هستند.
درهم‌تنیدگی کوانتومی (Quantum Entanglement): این پدیده بیان می‌کند که دو ذره می‌توانند به گونه‌ای به هم مرتبط باشند که با اندازه‌گیری یکی، وضعیت دیگری بلافاصله و بدون توجه به فاصلهٔ فیزیکی مشخص می‌شود. این پدیده با درک عارف از وحدت عالم و اتصال باطنی همهٔ موجودات به یکدیگر، هم‌خوانی دارد.
نقش مشاهده‌گر: در فیزیک کوانتوم، عمل مشاهده می‌تواند حالت یک ذره را تغییر دهد. این بدان معناست که واقعیت، تا حدی وابسته به حضور مشاهده‌گر است. این ایده، با تجربهٔ عارفان از تأثیر حضور انسان کامل بر عالم و نقش درک فرد در شکل‌گیری واقعیت، مشابهت دارد.

تفاوت‌ها و حدود تحلیل

با این حال، باید توجه داشت که این هم‌خوانی‌ها به معنای یکسان بودن این دو حوزه نیست. نظریهٔ کوانتوم یک چارچوب ریاضی دقیق است که بر پایهٔ آزمایش و اندازه‌گیری بنا شده، در حالی که عرفان یک تجربهٔ درونی، شهودی و غیرقابل اندازه‌گیری است.

بنابراین، نظریهٔ کوانتوم نمی‌تواند به سؤالات عرفانی پاسخ دهد یا آن‌ها را اثبات کند، اما می‌تواند زبان و ابزارهایی جدید برای تفکر دربارهٔ آن‌ها فراهم کند. این نظریه، به ما نشان می‌دهد که واقعیت مادی، پیچیده‌تر و غیرقطعی‌تر از چیزی است که قبلاً تصور می‌شد و این خود دریچه‌ای به سوی پذیرش ابعاد غیرمادی و رازآلود جهان می‌گشاید.

در نهایت، تلاقی این دو حوزه به ما یادآوری می‌کند که برای درک کامل جهان، شاید لازم باشد هم از ابزار علم و هم از شهود عرفانی بهره بگیریم.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فضای هیلبرت و حالات سالک

در پاسخ قبلی، من به زبان انگلیسی به سؤال شما در مورد فضای هیلبرت و حالات سالک پاسخ دادم. اکنون، همان توضیحات را به زبان فارسی ارائه می‌دهم.

فضای هیلبرت و حالات سالک

این سؤال، یک پیوند عمیق و انتزاعی بین دو حوزهٔ به ظاهر متفاوت برقرار می‌کند: فضای هیلبرت در ریاضیات و حالات معنوی سالک در عرفان. فضای هیلبرت به طور مستقیم مشکلات عرفانی را حل نمی‌کند، اما می‌توان از ساختار انتزاعی آن به عنوان یک تمثیل قدرتمند برای درک بهتر حالات پیچیدهٔ سالک استفاده کرد.

فضای هیلبرت در ریاضیات و فیزیک کوانتوم، نوعی فضای برداری است که به ما امکان می‌دهد «حالت‌ها» یا «وضعیت‌ها» را به صورت ریاضی توصیف کنیم. ویژگی‌های کلیدی آن عبارتند از:

بردارها (Vectors): هر نقطه در این فضا یک حالت است.
ضرب داخلی (Inner Product): به ما امکان می‌دهد «فاصله» یا «زاویه» بین دو حالت را اندازه بگیریم و بفهمیم چقدر به هم شبیه‌اند.
کامل بودن (Completeness): اگر دنباله‌ای از حالت‌ها به یکدیگر نزدیک شوند، همیشه یک نقطه در فضا وجود دارد که آن‌ها به سمت آن همگرا می‌شوند.

اکنون، از این چارچوب ریاضی برای یک تمثیل در مورد حالات سالک استفاده می‌کنیم.

فضای هیلبرت حالات سالک

تصور کنید یک فضای هیلبرت مفهومی وجود دارد که هر بردار در آن، نمایانگر یک حالت معنوی (حال) یا مقام (مرحله از سلوک) سالک است.

ابعاد و ویژگی‌ها

در یک فضای هیلبرت سنتی، هر بُعد به یک ویژگی قابل اندازه‌گیری تعلق دارد. در فضای تمثیلی ما، هر بُعد می‌تواند نمایانگر یک کیفیت معنوی یا یک مقام عرفانی باشد. برای مثال:

بُعد عشق: این بُعد می‌تواند شدت و خلوص عشق سالک به حق تعالی را اندازه بگیرد.
بُعد معرفت: این بُعد می‌تواند عمق دانش عرفانی سالک را نشان دهد.
بُعد صبر: این بُعد می‌تواند پایداری سالک را در مواجهه با سختی‌ها اندازه‌گیری کند.

بنابراین، حالت کلی یک سالک را می‌توان با یک بردار در این فضای چندبُعدی نشان داد که موقعیت آن با پیشرفت سالک در هر یک از این ابعاد معنوی تعیین می‌شود.

حالات و تصویرسازی‌ها

در مکانیک کوانتوم، می‌توان یک بردار حالت را بر روی یک بُعد خاص «تصویر کرد» تا احتمال مشاهدهٔ یک ویژگی خاص را اندازه‌گیری کنیم. در تمثیل ما، این کار می‌تواند نشان‌دهندهٔ این باشد که چگونه حالت معنوی درونی سالک، در اعمال بیرونی او منعکس می‌شود.

تصویرسازی بر روی بُعد صبر: این نشان می‌دهد که چگونه صبر عمیق درونی سالک، در واکنش‌ها و رفتار بیرونی او نمایان می‌شود.
برهم‌نهی حالات (Superposition): همان‌طور که یک ذرهٔ کوانتومی می‌تواند در حالتی از برهم‌نهی قرار داشته باشد، یک سالک نیز ممکن است در حالتی از حالات متناقض باشد. برای مثال، همزمان در حالت شادی (برای نزدیکی به حق) و غم (برای جدایی از عالم مادی) قرار داشته باشد. چارچوب فضای هیلبرت می‌تواند هر دو این حالات متناقض را در یک بردار واحد جای دهد.

ضرب داخلی و همگرایی

ضرب داخلی در فضای هیلبرت به ما اجازه می‌دهد میزان شباهت بین دو بردار را اندازه بگیریم. در تمثیل ما، این می‌تواند نشان دهد که چقدر حالات معنوی دو سالک به یکدیگر نزدیک است، یا حالت فعلی یک سالک چقدر به حالت ایده‌آل و نهایی او نزدیک است.

حالت ایده‌آل: یک بردار در «مرکز» این فضا می‌تواند نشان‌دهندهٔ حالت فنای فی‌الله باشد؛ حالتی از وحدت و کمال مطلق. سفر سالک، فرآیند حرکت بردار حالت او به سمت این حالت ایده‌آل است.

کامل بودن فضای هیلبرت تضمین می‌کند که اگر دنباله‌ای از حالت‌ها به یکدیگر نزدیک شوند، همیشه یک حالت نهایی وجود دارد که آن‌ها به سمت آن همگرا می‌شوند. این یک تمثیل قدرتمند برای سفر عرفانی است. مراحل پی‌درپی سلوک سالک، دنباله‌ای را تشکیل می‌دهند که به سوی حقیقت مطلق یا وحدت با حق همگرا می‌شوند.

در نتیجه، فضای هیلبرت با ویژگی‌های انتزاعی خود—چندبُعدی بودن، ضرب داخلی و کامل بودن—چارچوبی ارزشمند برای اندیشیدن به سفر پیچیده، متناقض و بسیار شخصی سالک فراهم می‌کند. این ابزار به ما اجازه می‌دهد حالات معنوی را نه به صورت گام‌های خطی و ساده، بلکه به صورت بردارهایی پیچیده در یک فضای گسترده، درهم‌تنیده و انتزاعی تصور کنیم.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضی جدید راه حل مشکلات عرفانی را چگونه بررسی می کند

این سؤال جالبی است که ارتباط بین دو حوزهٔ به ظاهر متفاوت را مطرح می‌کند: ریاضیات جدید و مشکلات عرفانی.

ریاضیات جدید مستقیماً مشکلات عرفانی را حل نمی‌کند، بلکه ابزارها و چارچوب‌های فکری‌ای را فراهم می‌کند که می‌توانند به شیوه‌ای متفاوت به این مشکلات نگاه کنند. این رویکرد به معنای اثبات یا رد مفاهیم عرفانی نیست، بلکه به معنای یافتن زبان و ساختارهای جدید برای تحلیل آن‌هاست.

نظریهٔ بی‌نهایت در ریاضیات

یکی از مفاهیم اصلی در عرفان، بی‌نهایت است؛ مانند بی‌نهایتی ذات خداوند یا سفر بی‌انتهای سالک. در گذشته، بی‌نهایت یک مفهوم انتزاعی و نامشخص بود، اما در ریاضیات جدید، نظریهٔ بی‌نهایت‌ها (Cardinality) توسط گئورگ کانتور به شکلی دقیق و علمی بررسی شد. او نشان داد که بی‌نهایت‌ها می‌توانند اندازه‌های متفاوتی داشته باشند و برخی از بی‌نهایت‌ها از برخی دیگر بزرگ‌تر هستند.

ارتباط با عرفان: این نظریه می‌تواند به ما کمک کند تا مفهوم بی‌نهایتی ذات خداوند را با دقت بیشتری درک کنیم. برای مثال، آیا بی‌نهایتی عشق الهی همان بی‌نهایتی دانش اوست؟ ریاضیات ابزاری فراهم می‌کند تا به این پرسش‌ها به صورت ساختارمندتری فکر کنیم.

هندسهٔ فرکتال

هندسهٔ فرکتال که شاخه‌ای از ریاضیات جدید است، اشکالی را مطالعه می‌کند که دارای جزئیات خودهمانند (self-similar) در هر مقیاسی هستند. این اشکال، هر چقدر هم که بزرگ یا کوچک باشند، ساختار اصلی خود را تکرار می‌کنند.

ارتباط با عرفان: این مفهوم با اندیشهٔ وحدت وجود در عرفان پیوند عمیقی دارد. عارف معتقد است که ذات الهی در همهٔ پدیده‌ها و در همهٔ ابعاد هستی، از ذره تا کل، منعکس شده است. هندسهٔ فرکتال با ارائهٔ تصویری بصری از این تکرار الگو در مقیاس‌های مختلف، می‌تواند درک این ایدهٔ عرفانی را برای ما آسان‌تر کند.

نظریهٔ پیچیدگی

نظریهٔ پیچیدگی، به بررسی سیستم‌هایی می‌پردازد که از اجزای ساده تشکیل شده‌اند اما در مجموع رفتارهای پیچیده و غیرقابل پیش‌بینی از خود نشان می‌دهند. این نظریه به ما می‌گوید که با وجود شناخت کامل اجزا، نمی‌توانیم عملکرد کل سیستم را به طور کامل پیش‌بینی کنیم.

ارتباط با عرفان: سیستم‌های عرفانی، مانند رابطهٔ انسان با خدا، بسیار پیچیده هستند. این نظریه می‌تواند به ما کمک کند تا درک کنیم که چرا با وجود تلاش‌های فراوان، نمی‌توانیم به طور کامل به رازهای خلقت پی ببریم. نظریهٔ پیچیدگی نشان می‌دهد که برخی مسائل ذاتاً غیرقابل حل یا غیرقابل پیش‌بینی هستند، که این موضوع می‌تواند به ما در پذیرش راز و رمزهای موجود در عالم عرفان کمک کند.

بنابراین، ریاضیات جدید به جای حل مستقیم مشکلات عرفانی، به ما ابزارهایی برای تفکر عمیق‌تر در مورد آن‌ها، یافتن زبان مشترک برای بیانشان و حتی دیدن آن‌ها از منظری متفاوت ارائه می‌دهد. این رویکرد، در واقع یک «تأمل ریاضیاتی» در مفاهیم عرفانی است.

+ نوشته شده در پنجشنبه ششم شهریور ۱۴۰۴ ساعت 3:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

آموزش ریاضی

۱. اعداد فازی مثلثی

۲. اعداد فازی ذوزنقه‌ای

نحوه نمایش فاصله غیبت با اعداد فازی

تطبیق مفاهیم

مزایای استفاده از نظریه فازی

ماتریس لاپلاسین برای یک گراف بدون جهت از طریق ماتریس تابش جهت‌دار

لاپلاسین متقارن برای یک گراف جهت‌دار

نرمال‌سازی ماتریس لاپلاسین

تعاریف گراف‌ها با یال‌های وزن‌دار

ماتریس لاپلاسین

لاپلاسین متقارن از طریق ماتریس تابش

لاپلاسین متقارن برای یک گراف جهت‌دار

نرمال‌سازی ماتریس لاپلاسین

خواص

تفسیر به عنوان عملگر لاپلاس گسسته که لاپلاسین پیوسته را تقریب می‌زند

تعمیم‌ها و بسط‌های ماتریس لاپلاسین

لاپلاسین تعمیم‌یافته

ماتریس ادمیتانس یک مدار AC

لاپلاسین مغناطیسی

لاپلاسین تغییر شکل یافته

لاپلاسین بدون علامت

گراف‌های چندگانه جهت‌دار

پیاده‌سازی نرم‌افزارهای متن‌باز

نرم‌افزار کاربردی

همچنین ببینید

تعاریف برای گراف‌های ساده

ماتریس لاپلاسین

تعریف

مثال

همچنین ببینید

تعریف

از یک گراف دوبخشی

تغییرات

مثال‌ها

گراف‌های بدون جهت

گراف‌های جهت‌دار

گراف‌های بدیهی

خواص

طیف

ایزومورفیسم و ​​​​ناورداها

توان‌های ماتریسی

ساختارهای داده

همچنین ببینید

چرا فضای هیلبرت یک تمثیل مناسب است؟

پژوهشگران و زمینه‌های تحقیقاتی آن‌ها

لایه های وجود در عرفان

لایه های کوانتومی

ارتباط تمثیلی بین دو مفهوم

نظریهٔ سلسله مراتب وجود در فلسفه

فیزیک کوانتوم و چالش با سلسله مراتب

نتیجه‌گیری: تلاقی یا تضاد؟

۱. اصل دوگانگی و پادماده (پادقهرمان)

۲. زیبایی معادلات و وحدت جهان

۳. واقعیتِ نهفته و جهان‌های موازی

مفاهیم مشترک: ابهام، درهم‌تنیدگی و مشاهده‌گر

تفاوت‌ها و حدود تحلیل

فضای هیلبرت و حالات سالک

فضای هیلبرت حالات سالک

ضرب داخلی و همگرایی

نظریهٔ بی‌نهایت در ریاضیات

هندسهٔ فرکتال

نظریهٔ پیچیدگی

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها

ایزومورفیسم و ناورداها