ادامه گروه کواترنیون

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ | 17:11

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

تابع تعریف زیرگروه	معنی	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی جابجا یی دارند	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیر گروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مناسب	به همه زیرگروه های نرمال پوچی بپیوندید	کل گروه	گروه کواترنیون	8	ضریب برازش	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلی دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بدیهی	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه دوری ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه کواترنیون

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	?	--
گروه اتومورفیسم	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه متقارن: S3	6	1
گروهی از خودمورفیسم های حفظ کلاس	کلاین چهار گروه	4	2
گروهی از اتومورفیسم های IA	کلاین چهار گروه	4	2
ضریب گروه خودمورفیسم حفظ کلاس توسط گروه خودمورفیسم درونی	گروه بدیهی	1	1
ضریب گروه IA-اتومورفیسم توسط گروه اتومورفیسم درونی	گروه بدیهی	1	1
گروهی از اتومورفیسم های ثابت کننده مرکز	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	محصول مستقیم S4 و Z2	48	48
هولومورف	?	192
هولومورف درونی	هولومورف داخلی D8 ( $D_8$ و گروه کواترنیون دارای هولومورف یکسان هستند)	32	49

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون

خلاصه

گروه کواترنیون یکی از معدود نمونه های گروه عقلانی است که یک گروه بازنمایی عقلی نیست . به عبارت دیگر، تمام نویسه های آن بر روی اعداد مختلط دارای ارزش عقلی هستند، اما هر نمایشی از آن را نمی توان بر روی اعداد گویا تحقق بخشید.

جدول کاراکترهای گروه چهارتایی مانند گروه دو وجهی مرتبه هشت است. با این حال، توجه داشته باشید که زمینه های تحقق برای نمایش ها متفاوت است، زیرا یکی از نمایش های گروه کواترنیون دارای شاخص شور دو است.

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1,1,1,1,2 حداکثر : 2, lcm : 2, تعداد : 5, مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص شور نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،2 (مشخصه صفر) حداکثر : 2، lcm : 2 1،1،1،1،1 (مشخصه غیر از 0،2)
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Z}[i]$ که در آن $من$ یک جذر $-1$ معادل $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 1)$ است، حلقه اعداد صحیح گاوسی یک نامزد است. دیگری است $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ یا $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی، هر حلقه ای از شکل $\mathbb{Z}[\آلفا،\بتا]$ که در آن $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ حلقه ای از تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر است. به طور خاص، $\mathbb{Z}[\sqrt{-m^2 - 1}]$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ .
میدان تقسیم حداقلی (یعنی میدان تحقق) برای همه نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Q}(i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 1)$ کار می کند، همینطور می کند $\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی تر، $\mathbb{Q}(\آلفا،\بتا)$ جایی $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ که یک میدان تقسیم است. به طور خاص، $\mathbb{Q}(\sqrt{-1-m^2})$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ . میدان شکاف حداقل نیازی نیست منحصر به فرد باشد ، میدان شکاف حداقل نباید سیکلوتومیک باشد
حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$
میدان ایجاد شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (از این رو یک گروه منطقی است ) همچنین ببینید: میدان تولید شده توسط مقادیر کاراکتر نیازی به یک میدان تقسیم کننده نیست \| rational not دلالت بر بازنمایی عقلانی دارد
شرط تقسیم شدن میدان برای این گروه	$\آلفا، \بتا$ شرط کافی: مشخصه دو نیست و در میدان وجود دارد به گونه ای که $\alpha^2 + \beta^2 + 1 = 0$ . به طور خاص، هر میدان محدود مشخصه نه دو، یک میدان شکافنده است، زیرا هر عنصر یک میدان محدود به صورت مجموع دو مربع قابل بیان است و به طور خاص، $-1$ مجموع دو مربع در هر میدان متناهی است.
میدان تقسیم حداقل (مشخصه $p \ne 0,2$ )	میدان اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	میدان:F3 ، یعنی میدان سه عنصر.
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت گروه خودمورفیسم	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 3 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 3
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت عمل ضربی نمایش‌های یک‌بعدی، یعنی تا هم ارزی تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان غیرقابل تقسیم، به عنوان مثال، میدان اعداد گویا یا میدان اعداد واقعی	1،1،1،1،4 شماره : 5
گروه هایی با جدول ویژگی های یکسان	گروه دو وجهی:D8

جدول ویژگی

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی