5-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:20

رابطه کامل بودن [ ویرایش ]

فرمول کریستوفل -داربوکس برای چندجمله‌ای هرمیت می‌خواند

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1 }{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}( y)}{xy}}.$

علاوه بر این، هویت کامل زیر برای توابع Hermite فوق در معنای توزیع وجود دارد :

$\sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (xy)$

که در آن δ تابع دلتای دیراک است ، ψn توابع هرمیت، و δ ( x - y ) نشان‌دهنده اندازه لبگ در خط y = x در R2 است ، به طوری که پیش‌بینی آن روی محور افقی، اندازه‌گیری معمول لبگ است .

این هویت توزیعی از وینر (1958) پیروی می کند و با گرفتن u → 1 در فرمول مهلر ، زمانی معتبر است که -1 < u <1 :

$E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n} (y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}} \,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(xy)^{2}}{ 4}}\راست)،$

که اغلب به صورت معادل به عنوان یک هسته قابل تفکیک بیان می شود، [17] [18]

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{ 2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\ frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(xy)^{2}}.$

تابع ( x , y ) → E ( x , y , u ) چگالی احتمال گاوسی دو متغیره روی R 2 است که وقتی u نزدیک به 1 است، در اطراف خط y = x بسیار متمرکز است و در آن بسیار گسترده است. آن خط نتیجه می شود که

$\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E( x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle$

هنگامی که f و g پیوسته و فشرده هستند.

این نتیجه می دهد که f را می توان در توابع هرمیت به عنوان مجموع یک سری از بردارها در L 2 ( R ) بیان کرد ، یعنی:

$f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.$

برای اثبات تساوی فوق برای E ( x , y ; u ) ، تبدیل فوریه توابع گاوسی به طور مکرر استفاده می شود:

$\rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac { s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.$

سپس چند جمله ای هرمیت به صورت نمایش داده می شود

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({ \frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1) ^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s ^{2}}{4}}}\,ds.$

با این نمایش برای H n ( x ) و H n ( y ) ، بدیهی است که

${\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n! {\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}} }\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left (\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\ frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^ {2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^ {isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{تراز شده}}$

و این وضوح مطلوب نتیجه هویت را با استفاده مجدد از تبدیل فوریه هسته‌های گاوسی تحت جایگزینی به دست می‌دهد.

$s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ لاپلاس (1811). "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultsats des observations" [ یادداشت در مورد انتگرال های معین و کاربرد آنها در احتمالات، و به ویژه در جستجوی من باید از میان نتایج مشاهدات انتخاب شود]. Memoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Impérial de France (به فرانسوی). 11 : 297-347.
^ لاپلاس، P.-S. (1812)، Théorie analytique des probabilités [ نظریه احتمال تحلیلی ]، جلد. 2، صص 194-203جمع آوری شده در Œuvres complètes VII .
↑ Tchébychef، P. (1860). "Sur le développement des fonctions à une seule variable" [در مورد توسعه توابع تک متغیری]. Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg (به فرانسوی). 1 : 193-200.گردآوری شده در Œuvres I ، 501–508.
^ هرمیت، سی (1864). "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [در مورد توسعه جدید در سری عملکرد]. CR Acad. علمی پاریس (به فرانسوی). 58 : 93-100.گردآوری شده در Œuvres II ، 293-303.
↑ Tom H. Koornwinder، Roderick SC Wong، و Roelof Koekoek و همکاران. ( 2010 ) و آبراموویتز و استگان .
↑ «18. چند جمله‌ای متعامد، چندجمله‌ای متعامد کلاسیک، مجموع» . کتابخانه دیجیتال توابع ریاضی . موسسه ی ملی استانداردها و تکنولوژی . بازبینی شده در 30 ژانویه 2015 .
↑ آبراموویتز و استگان 1983 ، ص. 508–510، 13.6.38 و 13.5.16 .
↑ Szegő 1955 ، ص. 201
↑ رومن، استیون (1984)، محاسبات آمبرال ، ریاضیات محض و کاربردی، جلد. 111 (چاپ اول)، انتشارات دانشگاهی، صص 87–93، شابک 978-0-12-594380-2

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#References

4-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:18

روابط با توابع دیگر [ ویرایش ]

چند جمله ای های لاگر [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت را می توان به عنوان یک مورد خاص از چند جمله ای های لاگر بیان کرد :

${\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\راست )}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{\binom {n-{\frac {1} {2}}}{nk}}{\frac {x^{2k}}{k!}}،\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_ {n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^ {n}(-1)^{nk}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{nk}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\ پایان{تراز شده}}$

ارتباط با توابع فرا هندسی همرو [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان را می توان به عنوان یک مورد خاص از توابع استوانه سهموی بیان کرد :

$H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\ درست)$

در نیم صفحه سمت راست ، که در آن U ( a ، b ، z ) تابع ابر هندسی همرو Tricomi است . به همین ترتیب،

${\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1} {\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n }{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x ^{2}{\big )}،\end{تراز شده}}$

که در آن 1 F 1 ( a , b , z ) = M ( a , b , z ) تابع ابر هندسی همرو کومر است .

نمایش عملگر دیفرانسیل [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا هویت را ارضا می کند

${\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},$

که در آن D تمایز را با توجه به x نشان می دهد و نمایی با بسط آن به عنوان یک سری توانی تفسیر می شود . وقتی این سری روی چندجمله ای ها کار می کند، هیچ سؤال ظریفی در مورد همگرایی وجود ندارد، زیرا همه اصطلاحات به جز تعداد بسیار محدودی ناپدید می شوند.

از آنجایی که ضرایب سری توانی نمایی به خوبی شناخته شده است، و مشتقات مرتبه بالاتر تک جمله ای x n را می توان به صراحت نوشت، این نمایش عملگر دیفرانسیل یک فرمول مشخص برای ضرایب Hn ایجاد می کند که می توان از آن استفاده کرد. برای محاسبه سریع این چند جمله ای ها.

از آنجایی که عبارت رسمی تبدیل وایرشتراس W e D 2 است ، می بینیم که تبدیل وایرشتراس از ( √ 2 ) n He n (ایکس/√ 2) x n است . اساسا تبدیل Weierstrass بنابراین یک سری از چندجمله‌ای Hermite را به یک سری Maclaurin متناظر تبدیل می‌کند .

وجود چند سری توان رسمی g ( D ) با ضریب ثابت غیر صفر، به طوری که He n ( x ) = g ( D ) x n ، معادل دیگری برای این جمله است که این چند جمله ای ها یک دنباله Appell را تشکیل می دهند . از آنجایی که آنها یک دنباله Appell هستند، آنها یک دنباله شفر هستند .

اطلاعات بیشتر: تبدیل وایرشتراس § تبدیل معکوس

نمایش انتگرال کانتور [ ویرایش ]

از نمایش تابع مولد بالا، می بینیم که چندجمله ای های هرمیت بر حسب یک انتگرال کانتور نمایشی دارند ، به عنوان

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e ^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n !}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{تراز شده} }$

با کانتوری که مبدا را احاطه کرده است.

کلیات [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا که در بالا تعریف شده اند با توجه به توزیع احتمال نرمال استاندارد متعامد هستند که تابع چگالی آنها برابر است با

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}،$

که دارای مقدار مورد انتظار 0 و واریانس 1 است.

با مقیاس بندی، می توان به طور مشابه از چند جمله ای های هرمیت تعمیم یافته صحبت کرد [9]

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)$

از واریانس α ، که α هر عدد مثبت است. سپس اینها با توجه به توزیع احتمال نرمال که تابع چگالی آن است متعامد هستند

$(2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.$

آنها توسط

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\ چپ({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_ {n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left( x^{n}\راست).$

اگر الان

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]} x^{k}،$

سپس دنباله چند جمله ای که n امین آن است

$\left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)$

ترکیب چتری از دو دنباله چند جمله ای نامیده می شود . می توان آن را برای ارضای هویت ها نشان داد

$\left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)$

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k }}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{nk}^{[\beta ]}(y).$

آخرین هویت با گفتن اینکه این خانواده پارامتری از توالی های چند جمله ای به عنوان یک دنباله متقاطع شناخته می شود بیان می شود. (بخش بالا را در مورد دنباله‌های Appell و نمایش عملگر دیفرانسیل ، که منجر به مشتق آماده از آن می‌شود، ببینید. این هویت نوع دوجمله‌ای ، برای α = β =1/2، قبلاً در بخش بالا در مورد #روابط بازگشتی با آن مواجه شده است .)

"واریانس منفی" [ ویرایش ]

از آنجایی که توالی های چند جمله ای یک گروه را تحت عمل ترکیب چتری تشکیل می دهند ، می توان با آن اشاره کرد

${\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)$

دنباله ای که معکوس آن است که به طور مشابه نشان داده شده است، اما بدون علامت منفی، و بنابراین از چند جمله ای هرمیت با واریانس منفی صحبت می کند. برای α > 0 ، ضرایب ${\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)$ فقط مقادیر مطلق ضرایب مربوطه هستند ${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)$ .

اینها به عنوان گشتاورهای توزیع احتمال نرمال به وجود می آیند: لحظه n از توزیع نرمال با مقدار مورد انتظار μ و واریانس σ2 است .

$E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),$

که در آن X یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال مشخص شده است. یک مورد خاص از هویت متقاطع پس از آن می گوید

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit { او}}_{nk}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n }.$

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

توابع هرمیت [ ویرایش ]

می توان توابع هرمیت (که اغلب توابع هرمیت-گاوسی نامیده می شود) را از چند جمله ای های فیزیکدان تعریف کرد:

$\psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^ {-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi } }\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n} }}e^{-x^{2}}.$

بدین ترتیب،

${\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}( ایکس).$

از آنجایی که این توابع حاوی ریشه دوم تابع وزن هستند و به طور مناسب مقیاس بندی شده اند، متعامد هستند :

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},$

و آنها یک پایه متعارف از L 2 ( R ) را تشکیل می دهند . این واقعیت معادل عبارت مربوط به چندجمله‌ای هرمیت است (به بالا مراجعه کنید).

توابع Hermite ارتباط نزدیکی با تابع Whittaker دارند ( Whittaker & Watson 1996 ) Dn ( z ) :

$D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{ dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}$

و در نتیجه به دیگر توابع استوانه سهموی .

توابع هرمیت معادله دیفرانسیل را برآورده می کند

$\psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.$

این معادله معادل معادله شرودینگر برای یک نوسانگر هارمونیک در مکانیک کوانتومی است، بنابراین این توابع، توابع ویژه هستند .

عملکردهای هرمیت: 0 (آبی، توپر)، 1 (نارنجی، نقطه چین)، 2 (سبز، نقطه چین)، 3 (قرمز، نقطه چین)، 4 (بنفش، توپر) و 5 (قهوه ای، نقطه چین)

${\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2 }}x^{2}}،\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x \,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}} x^{2}}،\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{ -1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}( x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x ^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{ \sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\راست) \,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{تراز شده}}$

توابع هرمیت: 0 (آبی، توپر)، 2 (نارنجی، نقطه چین)، 4 (سبز، نقطه چین) و 50 (قرمز، توپر)

رابطه بازگشتی [ ویرایش ]

به دنبال روابط بازگشتی چند جمله‌ای هرمیت، توابع هرمیت تبعیت می‌کنند

$\psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n +1}{2}}}\psi _{n+1}(x)$

$x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n +1}{2}}}\psi _{n+1}(x).$

گسترش رابطه اول به مشتقات دلخواه m برای هر عدد صحیح مثبت m منجر به

$\psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2 ^{\frac {mk}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit { او}_{k}(x).$

این فرمول را می توان در ارتباط با روابط عود برای He n و ψ n برای محاسبه موثر هر مشتق از توابع Hermite استفاده کرد.

نابرابری کرامر [ ویرایش ]

برای x واقعی ، توابع هرمیت کران زیر را با توجه به هارالد کرامر [10] [11] و جک ایندریتز برآورده می کنند: [12]

${\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.$

هرمیت به عنوان توابع ویژه تبدیل فوریه عمل می کند [ ویرایش ]

توابع هرمیت ψ n ( x ) مجموعه ای از توابع ویژه تبدیل فوریه پیوسته F هستند . برای مشاهده این، نسخه فیزیکدان تابع مولد را بگیرید و در e- ضرب کنید1/2x 2 . این می دهد

$e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{ \frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

تبدیل فوریه سمت چپ توسط

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\راست \}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac { 1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t ^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){ \frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{تراز شده}}$

تبدیل فوریه سمت راست توسط

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n }(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^ {-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.$

برابر کردن قدرت های t در نسخه های تبدیل شده سمت چپ و راست در نهایت نتیجه می دهد

${\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i) ^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).$

بنابراین توابع هرمیت ψ n ( x ) پایه متعامد L 2 ( R ) هستند که عملگر تبدیل فوریه را مورب می کند . [13]

توزیع ویگنر توابع هرمیت [ ویرایش ]

تابع توزیع ویگنر تابع هرمیت مرتبه n با چند جمله ای مرتبه n لاگر مرتبط است . چند جمله ای های لاگر هستند

$L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k! }}x^{k}،$

منجر به توابع اسیلاتور لاگر می شود

$l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).$

برای همه اعداد صحیح طبیعی n ، مشاهده [14] ساده است

$W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2} ){\بزرگ )}،$

که در آن توزیع ویگنر یک تابع x ∈ L 2 ( R , C ) به صورت تعریف می شود

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau}{2}}\right)\,x\left (t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .$

این یک نتیجه اساسی برای نوسانگر هارمونیک کوانتومی است که توسط هیپ گرونولد در سال 1946 در پایان نامه دکترای خود کشف شد. [15] این پارادایم استاندارد مکانیک کوانتومی در فضای فاز است .

روابط بیشتری بین دو خانواده چندجمله ای ها وجود دارد .

تفسیر ترکیبی ضرایب [ ویرایش ]

در چند جمله ای هرمیت He n ( x ) از واریانس 1، قدر مطلق ضریب x k تعداد پارتیشن های (نامرتب) یک n عنصر است که به k تک تن وn - k/2جفت (بدون ترتیب) به طور معادل، تعداد چرخش های یک مجموعه n عنصر با k نقطه ثابت دقیقاً ، یا به عبارت دیگر، تعداد تطابقات در نمودار کامل روی n راس است که k راس را بدون پوشش می گذارد (در واقع، چند جمله ای های هرمیت تطبیق هستند. چند جمله ای این نمودارها). مجموع مقادیر مطلق ضرایب، تعداد کل پارتیشن‌ها به تک‌تن‌ها و جفت‌ها را می‌دهد که اصطلاحاً به آنها شماره تلفن می‌گویند.

1، 1، 2، 4، 10، 26، 76، 232، 764، 2620، 9496،... (توالی A000085 در OEIS ) .

این تفسیر ترکیبی را می توان به چندجمله ای های بل کامل نمایی مرتبط کرد

${\mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0)$

که در آن x i = 0 برای همه i > 2 .

این اعداد همچنین ممکن است به عنوان مقدار خاصی از چندجمله ای های هرمیت بیان شوند: [16]

$T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.$

3-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:17

بیان صریح [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان را می توان به صراحت به صورت نوشتاری نوشت

$H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{ {\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\ text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n -1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1} &{\text{برای فرد }}n.\end{موارد}}$

این دو معادله را می توان با استفاده از تابع کف ترکیب کرد :

$H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.$

چندجمله‌ای‌های هرمیت احتمال‌شناس او فرمول‌های مشابهی دارند که می‌توان از این فرمول‌ها با جایگزین کردن توان 2 x با توان متناظر √ 2  x و ضرب کل مجموع در 2 - به دست آمد.n/2:

$He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.$

عبارت صریح معکوس [ ویرایش ]

معکوس عبارات صریح فوق، یعنی آنهایی که برای تک جمله‌ها بر حسب چندجمله‌ای هرمیتی احتمال گرایان هستند .

$x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{ m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).$

عبارات مربوط به چندجمله‌ای هرمیت H فیزیکدان به‌طور مستقیم با مقیاس‌بندی مناسب این فیزیک‌دان دنبال می‌شوند: [6]

$x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\راست \rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).$

تابع تولید [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت با تابع مولد نمایی به دست می آیند

${\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He }}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}،\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{ \infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{تراز شده}}$

این برابری برای همه مقادیر مختلط x و t معتبر است و می‌توان آن را با نوشتن بسط تیلور در x کل تابع z → e - z 2 (در مورد فیزیکدان) به دست آورد. همچنین می توان تابع مولد (فیزیکدان) را با استفاده از فرمول انتگرال کوشی برای نوشتن چندجمله ای های هرمیت به صورت استخراج کرد.

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{- x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e ^{-z^{2}}}{(zx)^{n+1}}}\,dz.$

با استفاده از این در مجموع

$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}،$

می توان انتگرال باقیمانده را با استفاده از حساب باقیمانده ارزیابی کرد و به تابع مولد مورد نظر رسید.

مقادیر مورد انتظار [ ویرایش ]

اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال با انحراف معیار 1 و مقدار مورد انتظار μ باشد ، آنگاه

$\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.$

ممان های نرمال استاندارد (با مقدار مورد انتظار صفر) ممکن است مستقیماً از رابطه برای شاخص های زوج خوانده شوند:

$\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n- 1)!!،$

کجا (2 n − 1)!! فاکتوریل دوگانه است . توجه داشته باشید که عبارت فوق یک مورد خاص از نمایش چندجمله ای های هرمیت احتمال گرا به صورت ممان است:

${\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+ iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.$

بسط مجانبی [ ویرایش ]

بطور مجانبی، به صورت n → ∞ ، بسط [7]

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi } }}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )$

صادق است. برای موارد خاصی که در مورد طیف وسیع تری از ارزیابی هستند، لازم است عاملی برای تغییر دامنه در نظر گرفته شود:

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi } }}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n) }{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}،$

که با استفاده از تقریب استرلینگ ، می توان آن را در حد، ساده تر کرد

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\راست)^ {\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1 -{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.$

این بسط برای حل تابع موج یک نوسانگر هارمونیک کوانتومی به گونه‌ای مورد نیاز است که با تقریب کلاسیک در حد اصل مطابقت مطابقت داشته باشد .

یک تقریب بهتر، که تغییرات فرکانس را به حساب می‌آورد، توسط

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\راست)^ {\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\ frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}} }.$

یک تقریب دقیق‌تر، [8] که فاصله ناهموار صفرهای نزدیک لبه‌ها را در نظر می‌گیرد، از جایگزینی استفاده می‌کند.

$x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,$

که با آن یک تقریب یکنواخت دارد

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac { 1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{ 2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4} }\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).$

تقریب های مشابهی برای مناطق یکنواخت و گذار وجود دارد. به طور خاص، اگر

$x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,$

سپس

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac { 3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{ 2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right )}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),$

در حالی که برای

$x={\sqrt {2n+1}}+t$

با t مختلط و محدود، تقریب است

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\ frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{ 3}}\راست)\راست)،$

که در آن Ai تابع هوای نوع اول است .

مقادیر ویژه [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدانی که در آرگومان صفر H n (0) ارزیابی شده اند، اعداد هرمیت نامیده می شوند .

$H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1) !!&{\text{برای حتی }}n،\end{موارد}}$

که رابطه بازگشتی H n (0) = -2 ( n - 1) H n - 2 (0) را برآورده می کند .

از نظر چندجمله ای های احتمال گرا، این به معنی است

$He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1) !!&{\text{برای حتی }}n.\end{موارد}}$

2-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:16

متعامد بودن [ ویرایش ]

H n ( x ) و He n ( x ) n چند جمله ای درجه ام برای n = 0, 1, 2, 3,... هستند. این با توجه به تابع وزن متعامد هستند ( اندازه گیری )

$w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})$

یا

$w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{برای }}H)،$

یعنی داریم

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{برای همه } }m\neq n.$

علاوه بر این،

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt { \pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{- {\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},$

جایی که $\delta _{nm}$ دلتای کرونکر است .

بنابراین چند جمله ای های احتمالی با توجه به تابع چگالی احتمال عادی متعامد هستند.

کامل بودن [ ویرایش ]

چند جمله‌ای هرمیت (احتمال‌شناس یا فیزیکدان) مبنایی متعامد از فضای هیلبرت از توابع رضایت‌بخش را تشکیل می‌دهند.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,$

که در آن حاصلضرب داخلی توسط انتگرال داده می شود

$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx$

از جمله تابع وزن گاوسی w ( x ) تعریف شده در بخش قبل

یک پایه متعامد برای L 2 ( R , w ( x ) dx ) یک سیستم کامل متعامد است . برای یک سیستم متعامد، کامل بودن معادل این واقعیت است که تابع 0 تنها تابع f ∈ L 2 ( R , w ( x ) dx ) متعامد به همه توابع در سیستم است.

از آنجایی که گستره خطی چندجمله ای های هرمیت فضای همه چندجمله ای ها است، باید نشان داد (در مورد فیزیکدان) که اگر f برآورده شود

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0$

برای هر n ≥ 0 ، سپس f = 0 .

یکی از راه‌های ممکن برای انجام این کار، قدردانی از کل عملکرد است

$F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0$

یکسان ناپدید می شود این واقعیت که F ( it ) = 0 برای هر t واقعی است به این معنی است که تبدیل فوریه f ( x ) e − x 2 0 است، بنابراین f تقریبا در همه جا 0 است. انواع اثبات کامل بودن فوق در مورد وزن های دیگر با فروپاشی نمایی اعمال می شود.

در مورد هرمیت، اثبات اتحاد صریح که دلالت بر کامل بودن دارد نیز ممکن است (به بخش مربوط به رابطه کامل بودن در زیر مراجعه کنید).

یک فرمول معادل این واقعیت که چندجمله‌ای هرمیت یک مبنای متعامد برای L 2 هستند ( R , w ( x ) dx ) شامل معرفی توابع هرمیت است (به زیر مراجعه کنید) و گفتن اینکه توابع هرمیت یک مبنای متعامد برای L 2 هستند ( ر ) .

معادله دیفرانسیل هرمیت [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا راه حل های معادله دیفرانسیل هستند

$\left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x ^{2}}u=0،$

جایی که λ یک ثابت است. با تحمیل شرط مرزی که u باید به صورت چندجمله‌ای در بی‌نهایت محدود شود، معادله تنها در صورتی راه‌حل دارد که λ یک عدد صحیح غیرمنفی باشد، و راه‌حل به‌طور یکتا با $u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)$ ، جایی که $ج_{1}}$ یک ثابت را نشان می دهد.

بازنویسی معادله دیفرانسیل به عنوان یک مسئله ارزش ویژه

$L[u]=u''-xu'=-\lambda u,$

چند جمله ای های هرمیت $He_{\lambda }(x)$ ممکن است به عنوان توابع ویژه عملگر دیفرانسیل درک شود $L[u]$ . این مسئله ارزش ویژه معادله هرمیت نامیده می شود ، اگرچه این اصطلاح برای معادله نزدیک به هم استفاده می شود.

$u''-2xu'=-2\lambda u.$

که راه حل آن به طور منحصر به فرد بر حسب چندجمله ای های هرمیت فیزیکدان در شکل داده شده استتو(ایکس)= $u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)$ ، جایی که $ج_{1}}$ پس از تحمیل شرط مرزی که u باید به صورت چند جمله ای در بی نهایت محدود شود، یک ثابت را نشان می دهد.

راه‌حل‌های کلی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم بالا در واقع ترکیب‌های خطی هر دو چند جمله‌ای هرمیت و توابع ابرهندسی متقابل نوع اول هستند. به عنوان مثال، برای معادله هرمیت فیزیکدان

$u''-2xu'+2\lambda u=0,$

راه حل کلی شکل می گیرد

$u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x)،$

جایی که $ج_{1}}$ و $ج_{{2}}$ ثابت هستند، $H_{\lambda }(x)$ چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان (از نوع اول) هستند و $h_{\lambda }(x)$ توابع هرمیت فیزیکدان (از نوع دوم) هستند. توابع دوم به طور فشرده به عنوان نشان داده می شوند $h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{ 2})$ جایی که ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ توابع ابر هندسی همرو از نوع اول هستند . چند جمله‌ای‌های مرسوم هرمیت را می‌توان بر حسب توابع ابرهندسی متقابل بیان کرد، در زیر ببینید.

با شرایط مرزی کلی تر ، چندجمله ای های هرمیت را می توان تعمیم داد تا توابع تحلیلی کلی تری برای λ با مقدار مختلط به دست آورد . یک فرمول صریح از چند جمله ای های هرمیت بر حسب انتگرال های کانتور ( Courant & Hilbert 1989 ) نیز امکان پذیر است.

رابطه بازگشتی [ ویرایش ]

دنباله چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا نیز رابطه بازگشتی را برآورده می کند.

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x )$

ضرایب فردی با فرمول بازگشتی زیر مرتبط می شوند:

$a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+ 1)a_{n,k+1}&k>0,\end{موارد}}$

و 0,0 = 1 , a 1,0 = 0 , a 1,1 = 1 .

برای چند جمله ای های فیزیکدان، با فرض

$H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}،$

ما داریم

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).$

ضرایب فردی با فرمول بازگشتی زیر مرتبط می شوند:

$a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n ,k+1}&k>0,\end{موارد}}$

و 0,0 = 1 , a 1,0 = 0 , a 1,1 = 2 .

چند جمله ای های هرمیت یک دنباله اپل را تشکیل می دهند ، به عنوان مثال، آنها یک دنباله چند جمله ای هستند که اتحاد را برآورده می کنند.

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x)،\\H_{n} '(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{تراز شده}}$

به طور معادل، توسط Taylor-Expanding ،

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x ^{nk}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{nk}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right)،\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x) (2y)^{(nk)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}} H_{nk}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\sqrt).\end{تراز شده}}$

این اتحاد های آمبرال بدیهی هستند و در نمایش عملگر دیفرانسیل که در زیر توضیح داده شده است، گنجانده شده اند .

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n}، \\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{تراز شده}}$

در نتیجه، برای مشتقات m روابط زیر برقرار است:

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(nm)!}}{\mathit {He }}_{nm}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{nm}(x)،\\H_{n}^{(m)} (x)&=2^{m}{\frac {n!}{(nm)!}}H_{nm}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}} H_{nm}(x).\end{تراز شده}}$

نتیجه می شود که چند جمله ای های هرمیت نیز رابطه بازگشتی را برآورده می کنند

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He} }_{n-1}(x)،\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{تراز شده}}$

این روابط آخر، همراه با چند جمله ای های اولیه H 0 ( x ) و H 1 ( x ) را می توان در عمل برای محاسبه سریع چند جمله ای ها استفاده کرد.

نابرابری های توران هستند

${\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1 }(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{ni}}{i!}}{\mathit {H}}_{i }(x)^{2}>0.$

علاوه بر این، قضیه ضرب زیر نیز صادق است:

${\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\ گاما ^{n-2i}(\گاما ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i }(x)،\\{\mathit {He}}_{n}(\گاما x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\ right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}} 2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{تراز شده}}$

1-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:15

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد خانواده چند جمله ای های متعامد روی خط حقیقی است. برای درونیابی چند جمله ای در یک قطعه با استفاده از مشتقات، به درونیابی هرمیت مراجعه کنید . برای تبدیل انتگرال چندجمله‌ای هرمیت، تبدیل هرمیت را ببینید .

در ریاضیات ، چند جمله ای های هرمیت یک دنباله چند جمله ای متعامد کلاسیک هستند .

چند جمله ای ها در موارد زیر ایجاد می شوند:

پردازش سیگنال به عنوان موجک هرمیتی برای تحلیل تبدیل موجک
احتمال , مانند سری Edgeworth , و همچنین در ارتباط با حرکت براونی ;
ترکیبات , به عنوان نمونه ای از دنباله Appell , اطاعت از حساب umbral ;
تجزیه و تحلیل عددی به عنوان ربع گوسی ;
فیزیک ، جایی که آنها حالتهای ویژه نوسانگر هارمونیک کوانتومی را ایجاد می کنند . و همچنین در برخی از موارد معادله گرما (هنگامی که عبارتایکستوایکس ${\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}$ حاضر است)؛
نظریه سیستم ها در ارتباط با عملیات غیرخطی روی نویز گاوسی
نظریه ماتریس تصادفی در مجموعه های گاوسی .

چندجمله ای های هرمیت توسط پیر-سیمون لاپلاس در سال 1810 تعریف شد ، [1] [2] هرچند به شکلی به ندرت قابل تشخیص بودند، و در سال 1859 توسط پافنوتی چبیشف به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفتند. ، که در سال 1864 در مورد چند جمله ای ها نوشت و آنها را جدید توصیف کرد. [4] در نتیجه آنها جدید نبودند، اگرچه هرمیت اولین کسی بود که چند جمله ای های چند بعدی را در انتشارات بعدی خود در سال 1865 تعریف کرد.

تعریف [ ویرایش ]

مانند سایر چند جمله ای های متعامد کلاسیک ، چند جمله ای های هرمیت را می توان از چندین نقطه شروع مختلف تعریف کرد. با توجه به اینکه از همان ابتدا دو استاندارد سازی متفاوت در استفاده رایج وجود دارد، یک روش مناسب به شرح زیر است:

" چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا" توسط

${\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n }}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}،$
در حالی که "چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان" توسط

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{- x^{2}}.$

این معادلات فرمول رودریگز را دارند و همچنین می توانند به صورت زیر نوشته شوند:

${\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n} (x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.$

این دو تعریف دقیقاً یکسان نیستند. هر کدام مقیاسی مجدد از دیگری است:

$H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right) ,\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt { 2}}\راست).$

اینها دنباله های چند جمله ای هرمیت با واریانس های مختلف هستند. مطالب مربوط به واریانس های زیر را ببینید.

علامت He و H همان چیزی است که در مراجع استاندارد استفاده می شود. [5] چند جمله ای های He n را گاهی با H n نشان می دهند ، به خصوص در نظریه احتمال، زیرا

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

تابع چگالی احتمال برای توزیع نرمال با مقدار مورد انتظار 0 و انحراف استاندارد 1 است .

شش جمله اول هرمیت احتمال گرا He n ( x )

شش جمله اول هرمیت (فیزیکدان) H n ( x )

یازده چندجمله‌ای هرمیت احتمالی اول عبارتند از:

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{ \mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1،\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x،\ \{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3،\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x ^{5}-10x^{3}+15x،\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15 ,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x،\\{\mathit {He}}_{ 8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105،\\{\mathit {He}}_{9}(x)& =x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x،\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10} -45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{تراز شده}}$
اولین یازده چند جمله ای هرمیت فیزیکدان عبارتند از:

${\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}- 2،\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x،\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12،\\H_{ 5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x،\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}- 120،\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x،\\H_{8}(x)&=256x^{8}- 3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x ^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240. \end{تراز شده}}$

خواص [ ویرایش ]

چند جمله ای مرتبه n هرمیت چند جمله ای درجه n است . نسخه احتمالی He n دارای ضریب پیشرو 1 است، در حالی که نسخه فیزیکدان H n دارای ضریب پیشروی 2 n است .

تقارن [ ویرایش ]

از فرمول های رودریگز داده شده در بالا، می توانیم ببینیم که H n ( x ) و He n ( x ) بسته به n توابع زوج یا فرد هستند :

$H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad {\mathit {He}}_{n}(-x)=(-1) ^{n}{\mathit {He}}_{n}(x).$

متقابل هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:13

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، قانون متقابل هرمیت ، که توسط هرمیت ( 1854 ) معرفی شد ، بیان می‌کند که درجه m کوواریانس یک شکل دوتایی درجه n با درجه n کوواریانس یک شکل دوتایی درجه m مطابقت دارد . از نظر تئوری بازنمایی بیان می‌کند که نمایش‌های S m S n C 2 و S n S m C 2 از GL 2 هم شکل هستند.

منابع [ ویرایش ]

Hermite، Charles (1854)، "Sur la theorie des fonctions homogenes à deux indéterminées" ، مجله ریاضی کمبریج و دوبلین ، 9 : 172-217

دسته بندی :

نظریه ثابت

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_reciprocity

چارلز هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:12

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

"Hermite" به اینجا هدایت می شود. برای دیگر کاربردها، هرمیت (ابهام‌زدایی) را ببینید .

چارلز هرمیت
چارلز هرمیت
بدنیا آمدن	24 دسامبر 1822 دیوز ، موزل ، فرانسه
فوت کرد	14 ژانویه 1901 (سن 78 سالگی) پاریس ، فرانسه
آلما مادر	کالج هنری چهارم ، کالج سوربن ، کالج لویی لو گراند ، سوربن
شناخته شده برای	اثبات اینکه e متعالی است شکل هرمیتی الحاقی شکل هرمیتی تابع هرمیتی ماتریس هرمیتی متریک هرمیتی اپراتور هرمیتی چند جمله ای هرمیتی انتقال موجک هرمیتی
حرفه علمی
زمینه های	ریاضیات
موسسات	اکول پلی تکنیک سوربن
مشاور دکتری	یوژن چارلز کاتالان
دانشجویان دکتری	لئون چاروه هانری پاده میهایلو پتروویچ هانری پوانکاره توماس استیلتس ژول دباغی

چارلز هرمیت ( تلفظ فرانسوی: [ʃaʁl ɛʁˈmit] ) FRS FRSE MIAS (24 دسامبر 1822 - 14 ژانویه 1901) یک ریاضیدان فرانسوی بود که در مورد نظریه اعداد ، اشکال درجه دوم ، نظریه چندلغه ای ، تابع های متعامد ، و الگویی متعامد تحقیق کرد .

چند جمله‌ای هرمیت ، درون‌یابی هرمیت ، شکل عادی هرمیت ، عملگرهای هرمیتی ، و اسپلاین‌های هرمیت مکعبی به افتخار او نام‌گذاری شده‌اند. یکی از شاگردان او هانری پوانکاره بود .

او اولین کسی بود که ثابت کرد e , پایه لگاریتم های طبیعی , یک عدد ماورایی است . روشهای او بعداً توسط فردیناند فون لیندمان برای اثبات اینکه π ماورایی است استفاده شد .

زندگی [ ویرایش ]

هرمیت در 24 دسامبر 1822 در دیوز ، موزل ، [1] با ناهنجاری در پای راست خود به دنیا آمد که راه رفتن او را در طول زندگی اش مختل می کرد. او ششمین فرزند از هفت فرزند فردیناند هرمیت و همسرش مادلین لالماند بود . فردیناند در کسب و کار پارچه فروشی خانواده مادلین کار می کرد و در عین حال به عنوان یک هنرمند نیز فعالیت می کرد. کسب و کار پارچه فروشی در سال 1828 به نانسی نقل مکان کرد ، و خانواده نیز همینطور. [2]

چارلز هرمیت در حدود سال 1887

هرمیت تحصیلات متوسطه خود را در کالج دو نانسی و سپس در پاریس در کالج هنری چهارم و لیسه لویی لو گراند به دست آورد . [1] او برخی از نوشته های جوزف-لوئیس لاگرانژ در حل معادلات عددی و انتشارات کارل فردریش گاوس در نظریه اعداد را خواند .

هرمیت می خواست تحصیلات عالی خود را در École Polytechnique ، یک آکادمی نظامی که برای برتری در ریاضیات، علوم و مهندسی مشهور است، بگذراند . هرمیت که توسط ریاضیدان یوژین چارلز کاتالان تدریس می شد، یک سال را به آماده شدن برای امتحان ورودی بسیار دشوار اختصاص داد . [2] در سال 1842 او در مدرسه پذیرفته شد. [1] با این حال، پس از یک سال، مدرسه به هرمیت به دلیل تغییر شکل پایش اجازه ادامه تحصیل در آنجا را نداد. او تلاش کرد تا دوباره پذیرش خود را در مدرسه به دست آورد، اما دولت شرایط سختی را اعمال کرد. هرمیت این را نپذیرفت و بدون فارغ التحصیلی از École Polytechnique کنار رفت. [2]

در سال 1842، Nouvelles Annales de Mathématiques اولین مشارکت اصلی هرمیت در ریاضیات را منتشر کرد، که اثبات ساده ای از گزاره نیلز آبل در مورد عدم امکان حل جبری معادلات درجه پنجم بود . [1]

مکاتبه با کارل ژاکوبی ، که در سال 1843 آغاز شد و سال بعد ادامه یافت، منجر به درج، در نسخه کامل آثار ژاکوبی، دو مقاله توسط هرمیت شد، یکی در مورد گسترش به توابع آبلی یکی از قضایای هابیل در مورد بیضوی . توابع ، و دیگری در مورد تبدیل توابع بیضوی. [1]

پس از گذراندن پنج سال کار خصوصی برای دریافت مدرک خود، که در آن با ریاضیدانان برجسته جوزف برتراند ، کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، و جوزف لیوویل دوست شد ، در امتحانات لیسانس شرکت کرد و قبول شد ، که در سال 1847 به او اعطا شد. او با خواهر جوزف برتراند ازدواج کرد. ، لوئیز برتراند، در سال 1848. [2]

در سال 1848، هرمیت به عنوان تکرار کننده و ممتحن پذیرش به مدرسه پلی تکنیک بازگشت . در سال 1856 به آبله مبتلا شد. از طریق تأثیر آگوستین-لوئی کوشی و راهبه ای که از او پرستاری می کرد، او عمل به مذهب کاتولیک خود را از سر گرفت. [1] در ژوئیه 1848، او به عضویت آکادمی علوم فرانسه انتخاب شد . در سال 1869، او جانشین ژان ماری دوهامل به عنوان استاد ریاضیات شد، هم در اکول پلی تکنیک، که تا سال 1876 در آنجا ماند، و هم در دانشگاه پاریس ، که تا زمان مرگش در آنجا ماند. از سال 1862 تا 1873 او مدرس مدرسه عالی نرمال بود . در هفتادمین سالگرد تولدش، او به درجه افسر بزرگ در لژیون افتخار فرانسه ارتقا یافت . [1]

هرمیت در 14 ژانویه 1901 [1] در سن 78 سالگی در پاریس درگذشت .

کمک به ریاضیات [ ویرایش ]

هرمیت، معلمی الهام‌بخش، تلاش کرد تا زیبایی ساده را تحسین کند و از ریزه کاری‌های دقیق جلوگیری کند. مکاتبات او با توماس استیلتس نشان دهنده کمک بزرگی است که او به کسانی که زندگی علمی را آغاز کردند، کرد. دوره های سخنرانی منتشر شده او تأثیر زیادی داشته است. مشارکت های اصلی او در ریاضیات محض ، منتشر شده در مجلات بزرگ ریاضی جهان، عمدتاً با توابع آبلی و بیضوی و نظریه اعداد سروکار داشت .

در سال 1858، هرمیت نشان داد که معادلات درجه پنجم را می توان با توابع بیضوی حل کرد. در سال 1873، او ثابت کرد که e ، پایه سیستم طبیعی لگاریتم ها ، ماورایی است . [2] تکنیک‌هایی شبیه به آن‌هایی که در اثبات هرمیت در مورد تعالی e توسط فردیناند فون لیندمان در سال 1882 استفاده شد تا نشان دهد π ماورایی است. [1]

انتشارات [ ویرایش ]

فهرست آثار او به شرح زیر است: [1]

"Sur quelques applications des fonctions elliptiques"، پاریس، 1855; تصاویر صفحه از کرنل.
"Cours d'Analyse de l'École Polytechnique. Première Party"، پاریس: Gauthier–Villars، 1873.
"Cours professé à la Faculté des Sciences"، ویرایش شده توسط Andoyer، ویرایش چهارم، پاریس، 1891; تصاویر صفحه از کرنل.
"مطابقات"، تصحیح شده توسط Baillaud and Bourget، پاریس، 1905، 2 جلد. کپی PDF از UMDL.
"Œuvres de Charles Hermite"، ویرایش شده توسط پیکارد برای آکادمی علوم، 4 جلد، پاریس: Gauthier–Villars، 1905، [3] 1908، [4] 1912 [5] و 1917; کپی PDF از UMDL.
"Œuvres de Charles Hermite"، منتشر شده توسط انتشارات دانشگاه کمبریج ، 2009; شابک 978-1-108-00328-5 .

نقل قول ها [ ویرایش ]

اگر اشتباه نکنم، یک جهان کامل وجود دارد که مجموع حقایق ریاضی است که ما فقط با ذهن خود به آن دسترسی داریم، همانطور که دنیایی از واقعیت فیزیکی وجود دارد، یکی مانند دیگری مستقل از خودمان، هر دو خلقت الهی
- چارلز هرمیت؛ cit. توسط Gaston Darboux, Eloges académiques et discours , Hermann, Paris 1912, p. 142.

در تلاش برای اثبات استعلای π هیچ ریسکی نمی کنم . اگر دیگران این کار را انجام دهند، هیچ کس از موفقیت آنها خوشحالتر از من نخواهد بود. اما باور کنید، این کار به قیمت کمی تلاش برای آنها تمام نخواهد شد.
- چارلز هرمیت؛ نامه به CW Borchardt ، "مردان ریاضیات"، ET Bell ، نیویورک 1937، ص. 464.

در حین صحبت، M. برتراند همیشه در حال حرکت است. اکنون به نظر می رسد که او در حال نبرد با برخی از دشمنان بیرونی است، اکنون با یک حرکت دست چهره هایی را که مطالعه می کند، ترسیم می کند. او آشکارا می بیند و مشتاق نقاشی است، به همین دلیل است که اشاره را به کمک او می خواند. با ام. هرمیت، درست برعکس است، به نظر می رسد که چشمان او از تماس با جهان اجتناب می کنند. بدون آن نیست، در درون او به دنبال دید حقیقت است.
- هانری پوانکاره، شهود و منطق در ریاضیات، منبع: معلم ریاضیات، مارس 1969، جلد. 62، شماره 3 (مارس 1969)، ص 205-212

با خواندن یکی از اکتشافات بزرگ [پوانکار]، باید تصور کنم (ظاهراً یک توهم) که هر چند با شکوه باشد، باید مدتها قبل آن را پیدا می کرد، در حالی که خاطرات هرمیت مانند آنچه در متن به آن اشاره شد این ایده را در من ایجاد می کند: «چه نتایج باشکوهی! چگونه می توانست چنین چیزی را در خواب ببیند؟»
- ژاک هادامارد، ذهن ریاضیدان: روانشناسی اختراع در زمینه ریاضی، ص. 110

من با وحشت و وحشت از این بلای غم انگیز کارکردهای مستمر و بدون مشتق بیرون می روم.
- چارلز هرمیت؛ نامه ای به توماس جوانس استیلتس در مورد توابع وایرشتراس ، Correspondance d'Hermite et de Stieltjes vol.2, p.317-319

میراث [ ویرایش ]

علاوه بر خواص ریاضی که به افتخار او نامگذاری شده است، دهانه هرمیت در نزدیکی قطب شمال ماه به نام هرمیت نامگذاری شده است.

https://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite

تبدیل هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:9

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، تبدیل هرمیت یک تبدیل انتگرالی است که به نام ریاضیدان چارلز هرمیت نامگذاری شده است که از چندجمله‌ای هرمیت استفاده می‌کند. $H_n(x)$ به عنوان هسته های تبدیل. این اولین بار توسط Lokenath Debnath در سال 1964 معرفی شد. [1] [2] [3] [4]

تبدیل هرمیت یک تابع $F(x)$ است

$H\{F(x)\}=f_{H}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\ H_{n}( x)\ F(x)\ dx$

تبدیل هرمیت معکوس توسط

$H^{-1}\{f_{H}(n)\}=F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt { \pi }}2^{n}n!}}f_{H}(n)H_{n}(x)$

چند جفت تبدیل هرمیت [ ویرایش ]

$F(x)\,$ $f_{H}(n)\,$

$x^{m}$ ${\begin{cases}{\frac {m!{\sqrt {\pi }}}{2^{mn}\left({\frac {mn}{2}}\right)!}}، &(mn){\text{ زوج و}}\geq 0\\0،&{\text{وگرنه}}\end{موارد}$ [5]

$e^{ax}\,$ ${\sqrt {\pi }}a^{n}e^{a^{2}/4}\,$

$e^{2xt-t^{2}},\ |t|<{\frac {1}{2}}\,$ ${\sqrt {\pi }}(2t)^{n}$

$H_{m}(x)\,$ ${\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}\,$

2 $x^{2}H_{m}(x)\,$ $2^{n}n!{\sqrt {\pi }}{\begin{cases}1,&n=m+2\\\left(n+{\frac {1}{2}}\right) ,&n=m\\(n+1)(n+2),&n=m-2\\0,&{\text{در غیر این صورت}}\end{موارد}}$

$e^{-x^{2}}H_{m}(x)\,$ $\left(-1\right)^{pm}2^{p-1/2}\Gamma (p+1/2),\ m+n=2p,\ p\in \mathbb {Z}$

$H_{m}^{2}(x)\,$ ${\begin{cases}2^{m+n/2}{\sqrt {\pi }}{\binom {m}{n/2}}{\frac {m!n!}{(n /2)!}}،&n{\text{ زوج و}}\leq 2m\\0،&{\text{در غیر این صورت}}\end{موارد}}$ [6]

$H_{m}(x)H_{p}(x)\,$ ${\begin{cases}{\frac {2^{k}{\sqrt {\pi }}m!n!p!}{(km)!(kn)!(kp)!}}،&n +m+p=2k,\ k\in \mathbb {Z} ;\ |mp|\leq n\leq m+p\\0,&{\text{در غیر این صورت}}\end{موارد}}\,$ [7]

$H_{n+p+q}(x)H_{p}(x)H_{q}(x)\,$ ${\sqrt {\pi }}2^{n+p+q}(n+p+q)!\,$

${\frac {d^{m}}{dx^{m}}}F(x)\,$ $f_{H}(n+m)\,$

$x{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}F(x)\,$ $nf_{H}(n+m-1)+{\frac {1}{2}}f_{H}(n+m+1)\,$

$-2nf_{H}(n)\,$

$F(x-x_{0})$ ${\sqrt {\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x_{0})^{k}}{k!}}f_{H}( n+k)$

$F(x)*G(x)\,$ ${\sqrt {\pi }}(-1)^{n}\left[2^{2n+1}\Gamma \left(n+{\frac {3}{2}}\right)\right ]^{-1}f_{H}(n)g_{H}(n)\,$ [8]

$e^{z^{2}}\sin(xz),\ |z|<{\frac {1}{2}}\ \,$ ${\begin{cases}{\sqrt {\pi }}(-1)^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(2z)^{n},&n\,\ mathrm {فرد} \\ 0،&n\,\mathrm { زوج} \پایان{موارد}}\,$

$(1-z^{2})^{-1/2}\exp \left[{\frac {2xyz-(x^{2}+y^{2})z^{2}}{ (1-z^{2})}}\right]\,$ ${\sqrt {\pi }}z^{n}H_{n}(y)$ [9] [10]

${\frac {H_{m}(y)H_{m+1}(x)-H_{m}(x)H_{m+1}(y)}{2^{m+1}m !(xy)}}$ ${\begin{cases}{\sqrt {\pi }}H_{n}(y)&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}$

منابع [ ویرایش ]

↑ Debnath, L. (1964). "در مورد تبدیل هرمیت". Matematički Vesnik . 1 (30): 285-292.
^ دبنات; لوکنات; باتا، دامبارو (2014). تبدیل انتگرال و کاربردهای آنها مطبوعات CRC. شابک 9781482223576.
↑ Debnath, L. (1968). "برخی خواص عملیاتی تبدیل هرمیت". Matematički Vesnik . 5 (43): 29-36.
^ دیموسکی، آی اچ. Kalla، SL (1988). "پیچ و خم برای تبدیل هرمیت". ریاضی. ژاپنی . 33 : 345-351.
^ مک کالی، جوزف کورتنی؛ چرچیل، روئل ونس (1953)، تبدیل‌های انتگرالی هرمیت و لاگر: گزارش مقدماتی
↑ فلدهایم، اروین (1938). "روابط Quelques nouvelles pour les polynomes d'Hermite". مجله انجمن ریاضی لندن (به زبان فرانسوی). s1-13: 22-29. doi : 10.1112/jlms/s1-13.1.22 .
↑ بیلی، WN (1939). "درباره چند جمله ای های هرمیت و توابع لژاندر مرتبط". مجله انجمن ریاضی لندن . s1-14 (4): 281-286. doi : 10.1112/jlms/s1-14.4.281 .
↑ گلاسکه، هانس یورگن (1983). "در مورد ساختار پیچشی یک تبدیل هرمیت تعمیم یافته" (PDF) . انتشارات Serdica Bulgariacae Mathematicae . 9 (2): 223-229.
^ اردلی و همکاران. 1955 ، ص. 194، 10.13 (22).
^ Mehler, FG (1866)، "Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung" [درباره توسعه تابعی از متغیرهای دلخواه و دلخواه بر اساس توابع لاپلاس مرتبه بالاتر]، Journal fürngedine Mathematik (به آلمانی) (66): 161–176, ISSN 0075-4102 , ERAM 066.1720cj . ص. 174، معادله (18) و ص. 173، معادله (13).

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_transform

3-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و پنجم آبان ۱۴۰۲ | 15:11

زیر مجموعه ها و دنباله ها [ ویرایش ]

اجازه دهیدم $م$ یک فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر محلی محدب قابل جدازی باشد و اجازه دهید $سی$ تکمیل آن باشد. اگر $اس$ یک زیر مجموعه محدود از $سی$ سپس یک زیر مجموعه محدود وجود داردآر $آر$ از $ایکس$ به طوری کهاسسی⁡آر. $S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.$ [41]
هر زیر مجموعه کاملاً محدود از یک TV متریزاسیون محدب محلی $ایکس$ در بدنه متعادل محدب بسته از تعدادی دنباله در وجود دارد $ایکس$ که همگرا می شود. $0.$
در TV های شبه سنجی، هر مولدخوار محله ای از شاء است. [42]
اگرد $د$ یک متریک ثابت ترجمه در یک فضای برداری است، $ایکس،$ سپس $d(nx,0)\leq nd(x,0)$ برای همه∈ $x\در X$ و هر عدد صحیح مثبت. $n$ [43]
اگر $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ یک دنباله تهی است (یعنی به مبدأ همگرا می شود) در یک TVS قابل اندازه گیری پس یک دنباله وجود دارد $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ از اعداد حقیقی مثبت واگرا به $\کوچک$ به طوری که. $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.$ [43]
زیر مجموعه ای از یک فضای متریک کامل بسته می شود اگر و فقط اگر کامل باشد. اگر یک فضای $ایکس$ پس کامل نیست $ایکس$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ که کامل نیست
اگر $ایکس$ یک TVS محدب محلی قابل متریک پذیر شدن برای هر زیر مجموعه محدود اس $ب$ از، $ایکس،$ یک دیسک محدود وجود دارد $D$ که در $ایکس$ به طوری که $B\subsetq X_{D},$ و هر دو $ایکس$ و فضای هنجار کمکی $X_{D}$ همان توپولوژی زیرفضا را القا کنید $ب.$ [44]

قضیه باناخ-ساک [45] - اگر $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ دنباله ای در یک TV متریزیون محدب محلی است $(X, \tau)$ که ضعیف به برخی همگرا می شود $x\in X,$ سپس یک دنباله وجود دارد∙= $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ که در $ایکس$ به طوری که∙ $y_{\bullet }\to x$ که در $(X, \tau)$ و هر کدام $y_{i}$ ترکیبی محدب از تعداد محدودی است. $x_{n}.$

شرط شمارش پذیری مکی [14] - فرض کنید که $ایکس$ یک TV متریزاسیون محدب محلی است و این $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ دنباله ای قابل شمارش از زیر مجموعه های محدود شده است. $ایکس.$ سپس یک زیر مجموعه محدود وجود دارد $ب$ از $ایکس$ و یک دنباله $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ از اعداد حقیقی مثبت به طوری کهب $B_{i}\subseteq r_{i}B$ برای همه. $من.$

سریال تعمیم یته

همانطور که در بخش این مقاله در مورد سری های تعمیم یته ، برای هر توضیح داده شده است $من$ - خانواده خانواده شاخص $\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ بردارها از یک TVS، $ایکس،$ می توان مجموع آنها را تعریف کرد $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ به عنوان حد خالص مجموع جزئی محدود∈زیر مجموعه های محدود⁡ $F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}$ جایی که داهزیر مجموعه های محدود⁡() $\operatorname {FiniteSubsets} (I)$ توسط $\,\subsetq .\,$ اگر=ن $I=\mathbb {N}$ و $X=\mathbb {R}،$ به عنوان مثال، سپس سری تعمیم $\textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}$ اگر و فقط اگر همگرا می شودن $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}$ بدون قید و شرط به معنای معمول همگرا می شود (که برای اعداد حقیقی معادل همگرایی مطلق است ). اگر سریال تعمیم یته است $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ در یک TVS قابل اندازه گیری همگرا می شود، سپس مجموعه $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ لزوماً قابل شمارش است (یعنی متناهی یا نامتناهی قابل شمارش ). [اثبات 1] به عبارت دیگر، همه، اما حداکثر قابل شمارش $r_{i}$ صفر خواهد بود و بنابراین این سری تعمیم است $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_ {من}$ در واقع مجموع بسیاری از عبارات غیر صفر است.

نقشه های خطی [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ یک TVS قابل لی است وآ $آ$ نقشه های محدود زیر مجموعه از $ایکس$ به زیر مجموعه های محدود شده از، $Y،$ سپس $آ$ پیوسته است. [14] توابع خطی ناپیوسته در هر TV شبه سنجی بی بعدی وجود دارد. [46] بنابراین، یک TVS لی سنجیبعدی محدود است اگر و تنها در صور که فضای دوگانه پیوسته آن برابر با فضای دوگانه جبری آن باشد . [46]

اگر:→ $F:X\to Y$ یک نقشه خطی بین TVS ها و $ایکس$ قابل متریز شدن است پس موارد زیر معادل هستند:

$اف$ پیوسته است؛
$اف$ یک نقشه محدود (محلی) است (یعنی $اف$ نقشه ها (فون نیو) زیر مجموعه های محدود شده از $ایکس$ به زیر مجموعه های محدود شده از $Y$ ) [12]
$اف$ به صورت متوالی پیوسته است . [12]
تصویر زیر $اف$ از هر دنباله تهی در $ایکس$ یک مجموعه محدود [12] است که طبق تعریف، دنباله تهی دنباله ای است که به مبدأ همگرا می شود.
$اف$ توالی های پوچ را به دنباله های پوچ نگاشت می کند.

نقشه های باز و تقریباً باز

قضیه : اگر $ایکس$ یک TV کامل شبه سنجی است، $Y$ هاسدورف TVS است و $T:X\to Y$ پس یک سورجکشن خطی بسته و تقریباً باز است $تی$ یک نقشه باز است [47]

قضیه : اگر $T:X\to Y$ یک عملگر خطی سطحی از یک فضای محدب محلی است $ایکس$ روی یک فضای بشکه ای $Y$ (مثلاً هر فضای لی سنجی کامل بشکه می شود) سپس $تی$ تقریبا باز است [47]

قضیه : اگر $T:X\to Y$ یک عملگر خطی سوجکو از یک TVS است $ایکس$ روی فضای بیر $Y$ سپس $تی$ تقریبا باز است [47]

قضیه : فرض کنید $T:X\to Y$ یک عملگر خطی پیوسته از یک TVS قابل لی کامل است $ایکس$ به هاسدورف TVS. $Y.$ اگر تصویر از $تی$ در غیر ناچیز است $Y$ سپس $T:X\to Y$ یک نقشه باز سوجکتیو است و $Y$ یک فضای متریزاسیون کامل است. [47]

ویژگی پسوند Hahn-Banach [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه هان-باناخ

یک زیرفضای برداریم $م$ از یک TVS $ایکس$ اگر تابع خطی پیوسته روشن باشد، دارای خاصیت گسترش است $م$ را می توان به یک تابع خطی پیوسته در گسترش داد. $ایکس.$ [22] بگویید که یک TVS $ایکس$ دارای ویژگی پسوند هان-باناخ ( HBEP ) است اگر هر زیرفضای برداری از $ایکس$ دارای ویژگی پسوند است. [22]

قضیه هان-باناخ تضمین می کند که هر فضای محدب محلی هاسدورف دارای HBEP است. برای TV‌های متریک پذیر‌پذیر کامل یک عکس وجود دارد:

قضیه (کالتون) - هر TV متریک پذیر شدنی کامل با ویژگی پسوند هان-باناخ به صورت محلی محدب است. [22]

اگر فضای برداری $ایکس$ دارای ابعاد غیرقابل شمارش است و اگر بهترین توپولوژی برداری را به آن اختصاص دهیم ، این یک TVS با HBEP است که نه به صورت محلی محدب است و نه متریک پذیر شدنی. [22]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هنجار نامتقارن - تعمیم مفهوم هنجار
فضای متریک کامل - هندسه متریک
فضای برداری توپولوژیکی کامل - TV که در آن نقاطی که به تدریج به یکدیگر نزدیکتر می شوند همیشه به یک نقطه همگرا می شوند.
معادل سازی معیارها
فضای F – فضای برداری توپولوژیکی با متریک کامل ترجمه ثابت
فضای Fréchet - یک فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی که همچنین یک فضای متریک کامل است
متریک تعمیم یته - هندسه متریک
فضای K (تحلیل عملکردی)
فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی - فضای برداری با توپولوژی تعریف شده توسط مجموعه های باز محدب
فضای متریک - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
فضای شبه سنجی - تعمیم فضاهای متریک در ریاضیات
رابطه هنجارها و معیارها - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
Seminorm - تابع غیرفی-حقیقی در فضای برداری حقیقی یا مختلط که نابرابری مثلث را برآورده می کند و کاملاً همگن است.
تابع زیرخطی
فضای یکنواخت - فضای توپولوژیکی با مفهوم خصوصیات یکنواخت
قضیه اورسسکو - تعمیم گر بسته، نگاشت باز و قضیه کرانه یکنواخت

3-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم آبان ۱۴۰۲ | 6:40

زیر مجموعه ها و دنباله ها [ ویرایش ]

اجازازه دهید $م$ یک فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر محلی محدب قابل جداسازی باشد و اجازه دهید $سی$ تکمیل آن باشد. اگر $اس$ یک زیر مجموعه محدود ازسی $سی$ سپس یک زیر مجموعه محدود وجود دارد $آر$ از $ایکس$ به طوری که $S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.$ [41]
هر زیر مجموعه کاملاً محدود از یک TV متریزاسیون محدب محلی $ایکس$ در بدنه متعادل محدب بسته از تعدادی دنباله در وجود دارد $ایکس$ که همگرا می شود. $0.$
در TV های شبه سنجی، هر مولدخوار محله ای از شاء است. [42]
اگرد $د$ یک متریک ثابت ترجمه در یک فضای برداری است، $ایکس،$ سپس $d(nx,0)\leq nd(x,0)$ برای همه $x\در X$ و هر عدد صحیح مثبت. $n$ [43]
اگر $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ یک دنباله تهی است (یعنی به مبدأ همگرا می شود) در یک TVS قابل اندازه گیری پس یک دنباله وجود دارد $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ از اعداد حقیقی مثبت واگرا به $\کوچک$ به طوری که. $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.$ [43]
زیر مجموعه ای از یک فضای متریک کامل بسته می شود اگر و فقط اگر کامل باشد. اگر یک فضای $ایکس$ پس کامل نیست $ایکس$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ که کامل نیست
اگر $ایکس$ یک TVS محدب محلی قابل متریک پذیر شدن برای هر زیر مجموعه محدود اس $ب$ از، $ایکس،$ یک دیسک محدود وجود دارد $D$ که در $ایکس$ به طوری که $B\subsetq X_{D},$ و هر دو $ایکس$ و فضای هنجار کمکی $X_{D}$ همان توپولوژی زیرفضا را القا کنید. $ب.$ [44]

قضیه باناخ ساکس- اگر $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ دنباله ای در یک TV متریزاسیون محدب محلی است $(X, \tau)$ که ضعیف به برخی همگرا می شود $x\in X,$ سپس یک دنباله وجود دارد∙= $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ که در $ایکس$ به طوری که∙ $y_{\bullet }\to x$ که در $(X, \tau)$ و هر کدام $y_{i}$ ترکیبی محدب از تعداد محدودی است. $x_{n}.$

شرط شمارش پذیری مکی [14] - فرض کنید که $ایکس$ یک TV متریزاسیون محدب محلی است و این $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ دنباله ای قابل شمارش از زیر مجموعه های محدود شده است. $ایکس.$ سپس یک زیر مجموعه محدود وجود داردب $ب$ از $ایکس$ و یک دنباله $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ از اعداد حقیقی مثبت به طوری که $B_{i}\subseteq r_{i}B$ برای همه. $من.$

سریال تعمیم یته

همانطور که در بخش این مقاله در مورد سری های تعمیم یته ، برای هر توضیح داده شده است $من$ - خانواده خانواده شاخص $\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ بردارها از یک TVS، $ایکس،$ می توان مجموع آنها را تعریف کرد $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ به عنوان حد خالص مجموع جزئی محدود∈زیر مجموعه های محدود⁡ $F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}$ جایی که داهزیر مجموعه های محدود⁡() $\operatorname {FiniteSubsets} (I)$ توسط $\,\subsetq .\,$ اگر $I=\mathbb {N}$ و $X=\mathbb {R}،$ به عنوان مثال، سپس سری تعمیم $\textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}$ اگر و فقط اگر همگرا می شودن $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}$ بدون قید و شرط به معنای معمول همگرا می شود (که برای اعداد حقیقی معادل همگرایی مطلق است ). اگر سریال تعمیم یته است $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ در یک TVS قابل اندازه گیری همگرا می شود، سپس مجموعه $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ لزوماً قابل شمارش است (یعنی متناهی یا نامتناهی قابل شمارش ). [اثبات 1] به عبارت دیگر، همه، اما حداکثر قابل شمارش $r_{i}$ صفر خواهد بود و بنابراین این سری تعمیم است $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_ {من}$ در واقع مجموع بسیاری از عبارات غیر صفر است.

نقشه های خطی [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ یک TVS قابل لی است و $آ$ نقشه های محدود زیر مجموعه از $ایکس$ به زیر مجموعه های محدود شده از، $Y،$ سپسآ $آ$ پیوسته است. [14] توابع خطی ناپیوسته در هر TV شبه سنجی بی بعدی وجود دارد. [46] بنابراین، یک TVS لی سنجیبعدی محدود است اگر و تنها در صورتی که فضای دوگانه پیوسته آن برابر با فضای دوگانه جبری آن باشد . [46]

اگر: $F:X\to Y$ یک نقشه خطی بین TVS ها و $ایکس$ قابل متریز شدن است پس موارد زیر معادل هستند:

$اف$ پیوسته است؛
$اف$ یک نقشه محدود (محلی) است (یعنی $اف$ نقشه ها (فون نیو) زیر مجموعه های محدود شده از $ایکس$ به زیر مجموعه های محدود شده از $Y$ ) [12]
$اف$ به صورت متوالی پیوسته است . [12]
تصویر زیر $اف$ از هر دنباله تهی در $ایکس$ یک مجموعه محدود [12] است که طبق تعریف، دنباله تهی دنباله ای است که به مبدأ همگرا می شود.
$اف$ توالی های پوچ را به دنباله های پوچ نگاشت می کند.

نقشه های باز و تقریباً باز

قضیه : اگر $T:X\to Y$ یک عملگر خطی سطحی از یک فضای محدب محلی است $ایکس$ روی یک فضای بشکه ای $Y$ (مثلاً هر فضای لی سنجی کامل بشکه می شود) سپستی $تی$ تقریبا باز است [47]

قضیه : اگر $T:X\to Y$ یک عملگر خطی سوجکتیو از یک TVS است $ایکس$ روی فضای بیر $Y$ سپس $تی$ تقریبا باز است [47]

ویژگی پسوند هان-باناخ. - [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه هان-باناخ

یک زیرفضای برداریم $م$ از یک TVS $ایکس$ اگر تابع خطی پیوسته روشن باشد، دارای خاصیت گسترش است

$م$ را می توان به یک تابع خطی پیوسته در گسترش داد. $ایکس.$ [22] بگویید که یک TVS $ایکس$ دارای ویژگی پسوند هان-باناخ ( HBEP ) است اگر هر زیرفضای برداری از $ایکس$ دارای ویژگی پسوند است. [22]

قضیه (کالتون) - هر TV متریک پذیر شدنی کامل با ویژگی پسوند هان-باناخ به صورت محلی محدب است. [22]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هنجار نامتقارن - تعمیم مفهوم هنجار
فضای متریک کامل - هندسه متریک
فضای برداری توپولوژیکی کامل - TV که در آن نقاطی که به تدریج به یکدیگر نزدیکتر می شوند همیشه به یک نقطه همگرا می شوند.
معادل سازی معیارها
فضای F – فضای برداری توپولوژیکی با متریک کامل ترجمه ثابت
فضای فریچت - یک فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی که همچنین یک فضای متریک کامل است
متریک تعمیم یته - هندسه متریک
فضای K (تحلیل عملکردی)
فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی - فضای برداری با توپولوژی تعریف شده توسط مجموعه های باز محدب
فضای متریک - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
فضای شبه سنجی - تعمیم فضاهای متریک در ریاضیات
رابطه هنجارها و معیارها - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
نیم نرم - تابع غیرفی-حقیقی در فضای برداری حقیقی یا مختلط که نابرابری مثلث را برآورده می کند و کاملاً همگن است.
تابع زیرخطی
فضای یکنواخت - فضای توپولوژیکی با مفهوم خصوصیات یکنواخت
قضیه اورسسکو - تعمیم گر بسته، نگاشت باز و قضیه کرانه یکنواخت

1-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم آبان ۱۴۰۲ | 6:37

فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تحلیل تابعی و حوزه‌های مرتبط ریاضیات ، فضای برداری توپولوژیکی قابل اندازه‌گیری (مثلاً شبه‌سنجی ) (TVS) TV است که توپولوژی آن توسط یک متریک (مثلاً شبه‌سنجی ) القا می‌شود. یک فضای LM یک حد القایی از دنباله ای از تلویزیون های متریزاسیون محدب محلی است .

شبه سنجی و متریک [ ویرایش ]

یک شبه سنجی روی یک مجموعه $ایکس$ یک نقشه استد: $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ ارضای خواص زیر:

$d(x,x)=0{\text{ for all }}x\in X$ ;
تقارن : برای همه ، $d(x,y)=d(y,x){\text{ for all }}x,y\in X$ ;
زیرافزودنی : برای همه . $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ for all }}x,y,z\in X.$

یک شبه سنجی در صورتی متریک نامیده می شود که:

هویت غیر قابل تشخیص : برای همه،، $x,y\in X,$ اگر $d(x,y)=0$ سپس. $x=y.$

اولتراپسودومتری

یک شبه سنجی $د$ بر $ایکس$ اگر موارد زیر را برآورده کند، اولتراپسودومتری یا شبه سنجی قوی نامیده می شود :

نابرابری مثلث قوی . $d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ for all }}x,y,z\in X.$

فضای شبه سنجی

فضای شبه سنجی یک جفت است $(X,d)$ متشکل از یک مجموعه $ایکس$ و یک شبه سنجی $د$ بر $ایکس$ به طوری که $ایکس$ توپولوژی 's با توپولوژی on یکسان است $ایکس$ القا شده توسطد. $د$ فضای لی را می نامیم $(X,d)$ یک فضای متریک (مثلاً فضای فراسودومتری ) زمانی که $د$ یک متریک است (به عنوان مثال اولتراپسودومتری).

توپولوژی القا شده توسط شبه سنجی [ ویرایش ]

اگرد $د$ یک شبه سنجی روی یک مجموعه است $ایکس$ سپس مجموعه ای از توپ های باز :

$B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}$ مانند $z$ محدوده بیش از $ایکس$ و $r > 0$ محدوده بیش از اعداد حقیقی مثبت، پایه ای برای توپولوژی در تشکیل می دهد $ایکس$ که نامیده می شودد $د$ توپولوژی یا توپولوژی شبه سنجی در $ایکس$ القا شده توسطد. $د$

کنوانسیون : اگر $(X,d)$ یک فضای شبه سنجی است و $ایکس$ به عنوان یک فضای توپولوژیکی در نظر گرفته می شود ، پس مگر اینکه خلاف آن نشان داده شود، باید فرض شود که $ایکس$ دارای توپولوژی القا شده توسطد. $د$

فضای لی سنجی

فضای توپولوژیکی $(X, \tau)$ در صورت وجود شبه سنجی (مثلا متریک ، اولتراپسئومتریک ) قابل لی (مثلاً متریک، فراسودومتریک) نامیده می شود .د $د$ بر $ایکس$ به طوری که $\ tau$ برابر است با توپولوژی القا شده توسطد. $د$ [1]

شبه سنجی و مقادیر در گروه های توپولوژیکی [ ویرایش ]

یک گروه توپولوژیکی افزایشی یک گروه افزودنی است که دارای یک توپولوژی است که توپولوژی گروهی نامیده می شود که تحت آن جمع و نفی عملگرهای پیوسته می شوند.

یک توپولوژی $\ tau$ در فضای برداری حقیقی یا مختلط $ایکس$ توپولوژی برداری یا توپولوژی TVS نامیده می شود اگر عملیات جمع برداری و ضرب اسکالر را پیوسته کند (یعنی اگر باعث شود $ایکس$ به فضای برداری توپولوژیکی ).

هر فضای برداری توپولوژیکی (TVS) $ایکس$ یک گروه توپولوژیک جابجایی افزایشی است اما نه همه توپولوژی های گروهی $ایکس$ توپولوژی های برداری هستند. این به این دلیل است که علیرغم اینکه یک توپولوژی گروهی روی یک فضای برداری پیوسته و نفی می کند $ایکس$ ممکن است نتواند ضرب اسکالر را پیوسته کند. به عنوان مثال، توپولوژی گسسته در هر فضای برداری غیر بی اهمیت، جمع و نفی را پیوسته می کند، اما ضرب اسکالر را پیوسته نمی کند.

شبه سنجی غیرمتغیر ترجمه [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ یک گروه افزایشی است پس می گوییم که یک شبه سنجی $د$ بر $ایکس$ اگر هر یک از شرایط معادل زیر را برآورده کند، ترجمه ثابت است یا فقط تغییرناپذیر است :

عدم تغییر ترجمه : برای همه $d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X$ ;
برای همه ،. $d(x,y)=d(xy,0){\text{برای همه }}x,y\در X.$

Value/G-نرم [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ یک گروه توپولوژیکی با مقدار a یا G-نرم است $ایکس$ ( G مخفف Group) یک نقشه با ارزش حقیقی است $p:X\right arrow \mathbb {R}$ با خواص زیر: [2]

غیر منفی :. $p\geq 0.$
افزودنی فرعی : ، $p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X$ ;
. $p(0)=0..$
متقارن . $p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in x.$

در صورتی که یک G-نرم را در صورتی که شرط اضافی را برآورده کند، G-norm می نامیم :

مجموع / مثبت قطعی : اگر $p(x) = 0$ . $x=0.$

خواص مقادیر [ ویرایش ]

اگر $پ$ یک مقدار در یک فضای برداری است $ایکس$ سپس:

| ،. $|p(x)-p(y)|\leq p(xy){\text{برای همه }}x,y\در X.$ [3]
$p(nx)\leq np(x)$ وبرای همه $x\در X$ و اعداد صحیح مثبت. $n$ [4]
مجموعه $\{x\in X:p(x)=0\}$ یک زیر گروه افزودنی است. $ایکس.$ [3]

هم ارزی در گروه های توپولوژیکی [ ویرایش ]

قضیه [2] - فرض کنید که $ایکس$ یک گروه جابجایی افزایشی است. اگرد $د$ یک شبه سنجی ثابت ترجمه در است $ایکس$ سپس نقشهپ():=د(،) $p(x):=d(x,0)$ یک مقدار است $ایکس$ مقدار مرتبط با نامیده می شودد $د$ و علاوه بر این،د $د$ توپولوژی گروهی را ایجاد می کند $ایکس$ (یعنید $د$ توپولوژی روشن است $ایکس$ باعث می شود $ایکس$ در یک گروه توپولوژیکی). برعکس، اگرپ $پ$ یک مقدار است $ایکس$ سپس نقشهد:=پ(-) $d(x,y):=p(xy)$ یک شبه سنجی با ترجمه ثابت است $ایکس$ و ارزش مرتبط باد $د$ فقط استپ. $پ.$

شبه‌هنجار(کواسینورم) یا شبه‌ نرم

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم آبان ۱۴۰۲ | 5:53

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با نیم نرم یا pseudonorm اشتباه گرفته شود .

در جبر خطی ، تحلیل تابعی و حوزه‌های مرتبط ریاضیات ، یک شبه‌هنجار از این نظر شبیه به یک هنجار است که بدیهیات هنجار را برآورده می‌کند، با این تفاوت که نابرابری مثلث با جایگزین می‌شود.

$\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$ برای برخی. $K > 1.$

تعریف [ ویرایش ]

شبه‌ نرم [1] در فضای برداری $ایکس$ یک نقشه با ارزش حقیقی است $پ$ بر $ایکس$ که شرایط زیر را برآورده می کند:

غیر منفی بودن :پ≥0; $p\geq 0;$
همگنی مطلق : $p(sx)=|s|p(x)$ برای همه $x\در X$ و همه اسکالرهاس; $s;$
قعی وجود داردبه طوری کهبرای همه.
- اگر $k=1$ سپس این نابرابری به نابرابری مثلث کاهش می یابد . از این نظر است که این شرط نابرابری مثلث معمولی را تعمیم می دهد.

آشبه هنجار [1] یک شبه نیم‌هنجار است که موارد زیر را نیز برآورده می‌کند:

مثبت قطعی /نقطه جدا کننده : اگر $x\در X$ راضی می کند $p(x)=0,$ سپس. $x=0.$

یک جفت $(X,p)$ متشکل از یک فضای برداری $ایکس$ و یک شبه‌ نرم مرتبط $پ$ a نامیده می شودفضای برداری شبه نیم شکل . اگر شبه نیمی شبه هنجار باشد به آن a نیز می گویندفضای برداری شبه نرمدار .

ضرب کننده

اینفیموم همه ارزش هایک $ک$ ارضای شرط (3) نامیده می شودضرب کننده از $پ.$ خود ضریب نیز شرط (3) را برآورده می کند و بنابراین کوچکترین عدد حقیقی منحصر به فرد است که این شرط را برآورده می کند. عبارت $ک$ -شبه نیم نرم گاهی اوقات برای توصیف شبه نیم نرم استفاده می شود که ضریب آن برابر است باک. $ک.$

یک هنجار (به ترتیب، یک نیم نرم ) فقط یک شبه هنجار (به ترتیب، یک شبه نیم‌هنجار) است که ضریب آن برابر است با1. $1.$ بنابراین هر نیم نرم یک شبه نیم نرم و هر هنجار یک شبه نرمدار (و یک شبه نیم نرم) است.

توپولوژی [ ویرایش ]

اگر $پ$ یک شبه هنجار است $ایکس$ سپس $پ$ یک توپولوژی برداری را القا می کند $ایکس$ که مبنای همسایگی آنها در مبدأ توسط مجموعه ها ارائه می شود: [2]

$\{x\in X:p(x)<1/n\}$ مانند $n$ بر روی اعداد صحیح مثبت قرار می گیرد. فضای برداری توپولوژیکی با چنین توپولوژی a نامیده می شودفضای برداری توپولوژیکی شبه نرم یا فقط یک فضای شبه نورمدار .

هر فضای برداری توپولوژیکی شبه نرمدار قابل شبه سنجی است .

یک فضای شبه هنجاری کامل a نامیده می شودفضای شبه باناخ . هرفضای باناخ یک فضای شبه باناخ است، البته نه برعکس.

تعاریف مرتبط [ ویرایش ]

همچنین ببینید: جبر باناخ

یک فضای شبه نورمی $(A,\|\,\cdot \,\|)$ a نامیده می شودجبر شبه‌هنجاری اگر فضای برداری باشد $آ$ جبر است و ثابت وجود دارد $K> 0$ به طوری که

$\|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|$ برای همه. $x,y\ in A.$

جبر شبه هنجاری کاملَ Aمیده می شودشبه جبر باناخ .

خصوصیات [ ویرایش ]

فضای برداری توپولوژیکی (TVS) یک فضای شبه‌هنجاری است اگر و تنها در صورتی که یک همسایگی محدود از مبدأ داشته باشد. [2]

مثالها [ ویرایش ]

از آنجایی که هر هنجاری یک شبه هنجار است، هر فضای هنجاری نیز یک فضای شبه هنجاری است.

$L^{p}$ فضاهای با $0<p<1$

را $L^{p}$ فضاهای برای $0<p<1$ فضاهای شبه هنجاری هستند (در واقع، آنها حتی فضاهای F هستند) اما به طور کلی نرمال نیستند (به این معنی که ممکن است هیچ هنجاری وجود نداشته باشد که توپولوژی آنها را تعریف کند). برای، $0<p<1,$ فضای لبگ $L^{p}([0,1])$ یک TVS قابل متریزاسیون کامل (یک فضای F ) است که به صورت محلی محدب نیست (در واقع، تنها زیرمجموعه های باز محدب آن خود هستند. $L^{p}([0,1])$ و مجموعه تهی) و تنها تابع خطی پیوسته روشن است $L^{p}([0,1])$ ثابت است $0$ تابع ( Rudin 1991 , §1.47). به طور خاص، قضیه هان-باناخ برای آن صادق نیست $L^{p}([0,1])$ زمانیکه. $0<p<1.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فضای برداری توپولوژیکی قابل اندازه گیری - فضای برداری توپولوژیکی که توپولوژی آن را می توان با متریک تعریف کرد
هنجار (ریاضیات) - طول در یک فضای برداری
نیم نرم - تابع غیرمنفی-حقیقی در فضای برداری حقیقی یا مختلط که نابرابری مثلث را برآورده می کند و کاملاً همگن است.
فضای برداری توپولوژیکی - فضای برداری با مفهوم نزدیکی

منابع [ ویرایش ]

^ a bپرش به بالا: Kalton 1986 ، صفحات 297-324.
^ a bپرش به بالا: Wilansky 2013 ، ص. 55.

آل، چارلز ای. رابرت لوون (2001). راهنمای تاریخچه توپولوژی عمومی . اسپرینگر _ شابک 0-7923-6970-X.
کانوی، جان بی (1990). دوره ای در تحلیل عملکردی . اسپرینگر _ شابک 0-387-97245-5.
Kalton, N. (1986). "توابع چندگانه ساب هارمونیک در فضاهای شبه باناخ" (PDF) . Studia Mathematica . موسسه ریاضیات، آکادمی علوم لهستان. 84 (3): 297-324. doi : 10.4064/sm-84-3-297-324 . ISSN 0039-3223 .
نیکولاسکی، نیکولا کاپیتونوویچ (1992). تحلیل تابعی I: تحلیل تابعی خطی . دایره المعارف علوم ریاضی. جلد 19. اسپرینگر . شابک 3-540-50584-9.
رودین، والتر (1991). تحلیل عملکردی . سری بین المللی در ریاضیات محض و کاربردی. جلد 8 (ویرایش دوم). نیویورک، نیویورک: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . شابک 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
سوارتز، چارلز (1992). مقدمه ای بر تحلیل عملکردی . CRC را فشار دهید . شابک 0-8247-8643-2.
ویلانسکی، آلبرت (2013). روش های مدرن در فضاهای برداری توپولوژیکی . Mineola، نیویورک: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

https://en.wikipedia.org/wiki/Quasinorm

اپراتور موقعیت در مکانیک کوانتومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم آبان ۱۴۰۲ | 22:49

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در مکانیک کوانتومی ، عملگر موقعیت عملگری است که با موقعیت قابل مشاهده یک ذره مطابقت دارد .

هنگامی که عملگر موقعیت با دامنه به اندازه کافی گسترده در نظر گرفته می شود (مثلاً فضای توزیع های نرمال )، مقادیر ویژه آن بردارهای موقعیت احتمالی ذره هستند. [1]

در یک بعد، اگر با نماد

$|x\rangle$

ما بردار ویژه واحد عملگر موقعیت مربوط به مقدار ویژه را نشان می دهیم $ایکس$ ، سپس، $|x\rangle$ حالت ذره ای را نشان می دهد که ما با اطمینان می دانیم که خود ذره را در موقعیت خود پیدا کنیم $ایکس$ .

بنابراین، عملگر موقعیت را با نماد نشان می دهیم $ایکس$ - به عنوان مثال، در ادبیات، نمادهای دیگری را برای عملگر موقعیت پیدا می کنیم $س$ (از مکانیک لاگرانژی)، ${\hat {\mathrm {x} }}$ و غیره - ما می توانیم بنویسیم

$X|x\rangle =x|x\rangle ,$

برای هر موقعیت حقیقی $ایکس$ .

یکی از تحقق های ممکن واحد با موقعیت $ایکس$ توزیع دلتای دیراک (تابع) است که در موقعیت $ایکس$ قرار دارد، اغلب با $\delta _{x}$ نشان داده می شود.

در مکانیک کوانتومی، خانواده مرتب (پیوسته) همه توزیع های دیراک، یعنی خانواده

$\delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R}}،$

مبنای موقعیت (واحد) (در یک بعد) نامیده می شود، فقط به این دلیل که پایه ویژه (واحد) عملگر موقعیت است. $ایکس$ در فضای توزیع های دوگانه به فضای توابع موج .

مشاهده این نکته اساسی است که تنها یک اندومورفیسم پیوسته خطی وجود دارد $ایکس$ در فضای توزیع های نرمال به گونه ای که

$X(\delta _{x})=x\delta _{x},$

برای هر نقطه حقیقی $ایکس$ . می توان ثابت کرد که اندومورفیسم منحصر به فرد فوق لزوماً توسط

$X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,$

برای هر توزیع نرمال $\psi$ ، جایی که $\mathrm {x}$ نشان دهنده تابع مختصات خط موقعیت است - که از خط حقیقی به صفحه مختلط توسط تعریف می شود

$\mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C}:x\mapsto x.$

مقدمه [ ویرایش ]

در یک بعد - برای یک ذره محدود به یک خط مستقیم - مدول مربع

$|\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,$

از یک تابع موج یکپارچه مربع عادی شده

$\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C}،$ نشان دهنده چگالی احتمال یافتن ذره در یک موقعیت $ایکس$ از خط حقیقیی، در یک زمان خاص است.

به عبارت دیگر، اگر - در یک لحظه معین از زمان - ذره در حالتی باشد که توسط یک انتگرال مربع تابع موج $\psi$ نشان داده شده است.و با فرض تابع موج $\psi$ از $L^{2}$ -هنجار برابر 1،

$\|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,$

سپس احتمال یافتن ذره در محدوده موقعیت $[الف، ب]$ است

$\pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .$

از این رو مقدار مورد انتظار یک اندازه گیری موقعیت است $ایکس$ زیرا ذره مقدار است

$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}\mathrm {x} \psi \,d\mathrm {x}،$

جایی که:

ذره در حالت فرض می شود $\psi$ ;
کارکرد $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ انتگرال پذیر، یعنی از کلاس فرض می شود $L^{1}$ ;
نشان می دهیم توسط $\mathrm {x}$ تابع مختصات محور موقعیت .

علاوه بر این، اپراتور مکانیکی کوانتومی مربوط به موقعیت قابل مشاهده است $ایکس$ با نیز نشان داده می شود

$X={\hat {\mathrm {x} }},$

و تعریف شده است

$\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),$

برای هر تابع موج $\psi$ و برای هر نقطه $ایکس$ از خط حقیقی

حاشیه بر روی تابع $\mathrm {x}$ در سمت چپ وجود یک عملگر را نشان می دهد، به طوری که این معادله می تواند خوانده شود:

نتیجه عملگر موقعیت $ایکس$ بر روی هر تابع موجی $\psi$ عمل می کندبرابر تابع مختصات است $\mathrm {x}$ ضرب در تابع موج $\psi$ .

یا ساده تر:

اپراتور $ایکس$ هر تابع موجی را ضرب می کند $\psi$ توسط تابع مختصات $\mathrm {x}$ .

نکته 1. برای صریح تر بودن، تابع مختصات را معرفی کرده ایم

$\mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,$ که به سادگی خط موقعیت را در صفحه مختلط قرار می دهد. این چیزی نیست جز تعبیه متعارف خط حقیقی در صفحه مختلط.

نکته 2. مقدار مورد انتظار عملگر موقعیت ، بر اساس یک تابع موج (حالت) $\psi$ را می توان دوباره به عنوان یک ضرب اسکالر تفسیر کرد:

$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,$

با فرض ذره در حالت $\psi \in L^{2}$ و با فرض عملکرد $\mathrm {x} \psi$ با کلاس باشد $L^{2}$ – که بلافاصله به این معنی است که تابع $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ انتگرال پذیر است، یعنی از کلاس $L^{1}$ .

نکته 3. به بیان دقیق، موقعیت قابل مشاهده $ایکس$ را می توان به صورت نقطه ای تعریف کرد

$\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),$

برای هر تابع موج $\psi$ و برای هر نقطه $ایکس$ از خط حقیقی، بر اساس توابع موج که دقیقاً توابع تعریف شده نقطه ای هستند. در مورد طبقات هم ارزی $\psi \in L^{2}$ تعریف مستقیماً به شرح زیر است

${\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,$

برای هر تابع موج $\psi \in L^{2}$ .

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

در تعریف فوق، همانطور که خواننده دقیق می تواند بلافاصله یادآوری کند، هیچ مشخصات واضحی از دامنه و هم دامنه برای عملگر موقعیت (در مورد ذره ای که روی یک خط محدود شده است) وجود ندارد. در ادبیات، کم و بیش به صراحت، اساساً سه جهت اصلی برای این موضوع اساسی پیدا می کنیم.

عملگر موقعیت در زیرفضا تعریف شده است $D_{X}$ از $L^{2}$ توسط آن طبقات هم ارزی تشکیل شده است $\psi$ که ضرب توسط imbedding $\mathrm {x}$ در فضا زندگی می کند $L^{2}$ همچنین. در این مورد عملگر موقعیت

$X:D_{X}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$ پیوسته نیست (با توجه به توپولوژی ناشی از حاصل ضرب اسکالر متعارف $L^{2}$ بدون بردار ویژه، بدون مقادیر ویژه، در نتیجه با طیف ویژه خالی (مجموعه مقادیر ویژه آن).
عملگر موقعیت بر روی فضا تعریف می شود ${\mathcal {S}}_{1}$ توابع شوارتز با ارزش مختلط (توابع مختلط صاف که بر اساس خط حقیقیی تعریف می شوند و به سرعت در بی نهایت با تمام مشتقاتشان کاهش می یابند). حاصلضرب تابع شوارتز توسط جاسازی $\mathrm {x}$ همیشه در فضا ${\mathcal {S}}_{1}$ می کند، که زیر مجموعه ای از $L^{2}$ . در این مورد عملگر موقعیت

$X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$
پیوسته را نشان می دهد (با توجه به توپولوژی متعارف ${\mathcal {S}}_{1}$ )، تزریقی، بدون بردار ویژه، بدون مقادیر ویژه، در نتیجه با طیف ویژه خالی (مجموعه مقادیر ویژه آن). با توجه به حاصل ضرب اسکالر از (کاملاً) خود الحاق است $L^{2}$ از آن جهت که

$\langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,$ برای هر $\psi$ و $\phi$ متعلق به حوزه آن است ${\mathcal {S}}_{1}$ .
این، در عمل، گسترده ترین انتخاب در ادبیات مکانیک کوانتومی است، اگرچه هرگز به صراحت زیر آن خط کشیده نشده است. عملگر موقعیت بر روی فضا تعریف می شود" ${\mathcal {S}}'_{1}$ توزیع‌های مختلط با ارزش (دو توپولوژیکی فضای تابع شوارتز ${\mathcal {S}}_{1}$ ). ضرب توزیع نرمال توسط جابجایی $\mathrm {x}$ همیشه در فضا زندگی می کند" ${\mathcal {S}}'_{1}$ ، که شامل $L^{2}$ . در این مورد عملگر موقعیت

$X:{\mathcal {S}}'_{1}\to {\mathcal {S}}'_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$ پیوسته را نشان می دهد (با توجه به توپولوژی متعارف " ${\mathcal {S}}'_{1}$ ) پوشا، دارای خانواده های کامل بردارهای ویژه، مقادیر ویژه حقیقیی، و دارای طیف ویژه (مجموعه مقادیر ویژه آن) برابر با خط حقیقیی. با توجه به حاصلضرب اسکالر از خود الحاقی است $L^{2}$ به این معنا که عملگر انتقال آن

${}^{t}X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,$ که عملگر موقعیت در فضای تابع شوارتز است، خود الحاقی است:

$\left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X( \psi )\right\rangle,$
برای هر تابع (تست) $\phi$ و $\psi$ متعلق به فضا ${\mathcal {S}}_{1}$ .

توابع ویژه [ ویرایش ]

توابع ویژه عملگر موقعیت (در فضای توزیع‌های نرمال)، که در فضای موقعیت نشان داده شده‌اند، توابع دلتای دیراک هستند .

اثبات غیر رسمی برای نشان دادن اینکه بردارهای ویژه ممکن عملگر موقعیت باید لزوماً توزیع های دلتای دیراک باشند، فرض کنید که $\psi$ یک حالت ویژه از عملگر موقعیت با مقدار ویژه است0 $x_{0}$ . معادله مقدار ویژه را در مختصات موقعیت می نویسیم،

${\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)$

یادآورمی شود ${\hat {\mathrm {x} }}$ به سادگی توابع موج را در تابع ضرب می کند $\mathrm {x}$ ، در نمایندگی موقعیت . از آنجایی که تابع $\mathrm {x}$ متغیر است در حالی که $x_{0}$ ثابت است، $\psi$ باید در همه جا به جز در نقطه صفر باشد $x_{0}$ . واضح است که هیچ تابع پیوسته ای چنین ویژگی هایی را برآورده نمی کند، و ما نمی توانیم به سادگی تابع موج را به عنوان یک عدد مختلط در آن نقطه تعریف کنیم زیرا $L^{2}$ -نرم 0 خواهد بود و نه 1. این نشان دهنده نیاز به یک "شیء کاربردی" متمرکز در نقطه است. $x_{0}$ و با انتگرال متفاوت از 0: هر مضرب دلتای دیراک با مرکز $x_{0}$ . QED

حل نرمال شده معادله

$\mathrm {x} \psi =x_{0}\psi$ است

$\psi (x)=\delta (x-x_{0})،$ یا بهتر

$\psi =\delta _{x_{0}}.$

اثبات در اینجا ما آن را به شدت ثابت می کنیم

$\mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.$

در واقع، با یادآوری اینکه حاصلضرب هر تابع توسط توزیع دیراک در مرکز یک نقطه، مقدار تابع در آن نقطه برابر با توزیع دیراک است، بلافاصله به دست می آوریم.

$\mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0 }}.$ QED

معنی موج دلتا دیراک اگرچه چنین حالت‌های دیراک از نظر فیزیکی غیرقابل تحقق هستند و به عبارت دقیق‌تر، توابع نیستند، توزیع دیراک متمرکز بر0 $x_{0}$ را می توان به عنوان یک "وضعیت ایده آل" در نظر گرفت که موقعیت آن دقیقاً مشخص است (هر اندازه گیری از موقعیت همیشه مقدار ویژه را برمی گرداند.0 $x_{0}$ ). از این رو، بر اساس اصل عدم قطعیت ، هیچ چیز در مورد حرکت چنین حالتی مشخص نیست.

سه بعدی [ ویرایش ]

تعمیم به سه بعد ساده است.

تابع موج فضا-زمان اکنون است $\psi (\mathbf {r} ,t)$ و مقدار انتظار عملگر موقعیت ${\hat {\mathbf {r} }}$ در ایالت $\psi$ است

$\left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r}$ جایی که انتگرال تمام فضا را گرفته است. عملگر موقعیت است

$\mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .$

فضای حرکتی [ ویرایش ]

معمولاً در مکانیک کوانتومی، با نمایش در فضای تکانه قصد داریم حالت‌ها و قابل مشاهده‌ها را با توجه به مبنای تکانه واحد متعارف نمایش دهیم.

$\eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} | p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.$

در فضای تکانه ، عملگر موقعیت در یک بعد با عملگر دیفرانسیل زیر نشان داده می شود

$\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d {d\mathrm {k} }}،$

جایی که:

نمایش عملگر موقعیت در مبنای تکانه به طور طبیعی توسط تعریف می شود $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x}}}\psi \ راست)_{P}$ ، برای هر تابع موج (توزیع نرمال) $\psi$ ;
پ $\mathrm {p}$ تابع مختصات روی خط تکانه و تابع بردار موج را نشان می دهد $\mathrm {k}$ تعریف شده است/ℏ $\mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar$ .

فرمالیسم در L 2 ( R , C ) [ ویرایش ]

به عنوان مثال، یک ذره بدون چرخش در یک بعد فضایی (یعنی در یک خط) حرکت می کند. فضای حالت برای چنین ذره ای حاوی فضای L 2 ( فضای هیلبرت ) است. $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ توابع با ارزش مختلط و مربع انتگرال (با توجه به اندازه گیری لبگ ) در خط حقیقیی .

اپراتور موقعیت در $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ،

$Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,$

به صورت نقطه ای توسط: [2] [3] تعریف می شود

$Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x)$

برای هر کلاس مربع قابل انتگرال نقطه ای تعریف شده $\psi \in D_{Q}$ و برای هر عدد حقیقی x ، با دامنه

$D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\درست\}،$

جایی که

q: $\mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C}$

تابع مختصاتی است که هر نقطه را ارسال می کند $x\in \mathbb {R}$ به خودش

از آنجایی که تمام توابع پیوسته با پشتیبانی فشرده در D ( Q ) قرار دارند، Q به طور متراکم تعریف شده است . Q ، که به سادگی در x ضرب می شود ، یک عملگر خود الحاقی است ، بنابراین نیاز یک قابل مشاهده مکانیکی کوانتومی را برآورده می کند.

بلافاصله از این تعریف می توانیم استنباط کنیم که طیف از کل خط حقیقیی تشکیل شده است و Q دارای طیف کاملاً پیوسته است ، بنابراین مقادیر ویژه گسسته ای ندارد .

حالت سه بعدی به طور مشابه تعریف می شود. در بحث بعدی فرض تک بعدی را حفظ خواهیم کرد.

نظریه اندازه گیری در L 2 ( R , C ) [ ویرایش ]

مانند هر قابل مشاهده مکانیکی کوانتومی ، برای بحث در مورد اندازه گیری موقعیت ، باید تفکیک طیفی عملگر موقعیت را محاسبه کنیم.

$X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C}):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$ که هست

$X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x})،$

جایی که $\mu _{X}$ به اصطلاح اندازه گیری طیفی عملگر موقعیت است.

از آنجایی که اپراتور $ایکس$ فقط عملگر ضرب توسط تابع جاسازی است $\mathrm {x}$ ، وضوح طیفی آن ساده است.

برای یک زیر مجموعه برل $ب$ از خط حقیقی، اجازه دهید $\چی _ب$ تابع نشانگر $ب$ را نشان می دهد. ما می بینیم که اندازه گیری با ارزش طرح ریزی

$\mu _{X}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathrm {Pr} ^{\perp }\left(L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\راست)$

از رابطه زیر بدست می آید

$\mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,$

به عنوان مثال، طرح ریزی متعامد $\mu _{X}(B)$ عملگر ضرب در تابع نشانگر $ب$ است .

بنابراین اگر سیستم در حالت آماده شده باشد $\psi$ ، سپس احتمال موقعیت اندازه گیری شده ذره متعلق به مجموعه بورل $ب$ است

$\|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\ psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B)،$

جایی که $\mu$ اندازه گیری لبگ در خط حقیقی است.

پس از هر اندازه گیری با هدف شناسایی ذره در زیرمجموعه B، تابع موج به یکی از آنها فرو می ریزد

${\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}$

یا

${\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}}،$

جایی که $\|\cdot \|$ نرم فضای هیلبرت است $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

موقعیت و فضای حرکت
عملگر مومنتوم
عملگر ترجمه (مکانیک کوانتومی)

https://en.wikipedia.org/wiki/Position_operator

مجموعه بسته

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه شانزدهم آبان ۱۴۰۲ | 19:49

مجموعه بسته

از ویکیپدیا، دانشنامه زاد

این مقاله در مورد مکمل یک مجموعه باز است . برای مجموعه ای که تحت یک عملیات بسته شده است، به بسته شدن (ریاضیات) مراجعه کنید . برای کاربردهای دیگر، بسته (ابهام‌زدایی) را ببینید .

در هندسه , توپولوژی و شاخه های مرتبط ریاضیات , مجموعه بسته مجموعه ای است که مکمل ن یک مجموعه باز است . [1] [2] در یک فضای توپولوژیکی ، یک مجموعه بسته را می توان به عنوان مجموعه ای تعریف کرد که شامل تمام نقاط حد خود است . در یک فضای متریک کامل ، مجموعه بسته مجموعه ای است که تحت عملیات حد بسته می شود . این نباید با منیفولد بسته اشتباه گرفته شود .

تعاریف معادل [ ویرایش ]

طبق تعریف، یک زیر مجموعه $آ$ یک فضای توپولوژیکی $(X, \tau)$ بسته نامیده می شود اگر مکمل ن باشد $X\setminus A$ زیر مجموعه باز است $(X, \tau)$ ; یعنی اگر. $X\setminus A\in \tau .$ یک مجموعه در بسته است $ایکس$ اگر و تنها در صورتی که برابر با بسته شدن ن باشد. $ایکس.$ به همین ترتیب، یک مجموعه بسته می شود اگر و تنها در صورتی که تمام نقاط حد خود را داشته باشد . تعریف مشابه دیگر این است که یک مجموعه بسته است اگر و فقط در صورتی که تمام نقاط مرزی خود را داشته باشد . هر زیر مجموعه $A\subseq X$ همیشه در بسته شدن ( توپولوژیکی) ن وجود دارد، $ایکس،$ که با نشان داده می شود; $\operatorname {cl} _{X}A;$ یعنی اگر $A\subseq X$ سپس⁡. $A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A.$ علاوه بر این، $آ$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ اگر و تنها اگر. $A=\operatorname {cl} _{X}A.$

یک توصیف جایگزین از مجموعه های بسته از طریق توالی ها و شبکه ها در دسترس است . یک زیر مجموعه $آ$ یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ در بسته است $ایکس$ اگر و فقط اگر هر حد از هر شبکه از عناصر $آ$ نیز متعلق به. $آ.$ در یک فضای قابل شمارش اول (مانند فضای متریک)، به جای همه شبکه ها، فقط دنباله های همگرا را در نظر بگیرید. یکی از ارزش های این خصوصیات این است که ممکن است به عنوان یک تعریف در زمینه فضاهای همگرایی که کلی تر از فضاهای توپولوژیکی هستند، استفاده شود. توجه داشته باشید که این شخصیت پردازی به فضای اطراف نیز بستگی دارد، $ایکس،$ زیرا یا یک دنباله یا شبکه همگرا می شود یا نه $ایکس$ بستگی به این دارد که در چه نقاطی وجود داشته باشد. $ایکس.$ یک نقطه $ایکس$ که در $ایکس$ گفته می شود نزدیک به یک زیر مجموعه است $A\subseq X$ اگر $x\in \operatorname {cl} _{X}A$ س⁡( یا به طور معادل، اگر $ایکس$ متعلق به بسته شدن $آ$ در زیر فضای توپولوژیکی ، $A\cup \{x\}،$ معنی $x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A$ جایی که $A\cup \{x\}$ دارای توپولوژی زیرفضایی است که توسط ن القا شده است $ایکس$ [یادداشت 1] ). چون بسته شدن $آ$ که در $ایکس$ بنابراین مجموعه ای از تمام نقاط در است $ایکس$ که نزدیک هستند، $آ،$ این اصطلاح به توضیح انگلیسی ساده زیر مجموعه های بسته اجازه می دهد:

یک زیر مجموعه بسته است اگر و تنها در صورتی که حاوی هر نقطه نزدیک به ن باشد.

از نظر همگرایی خالص، یک امتیاز $x\در X$ نزدیک به یک زیر مجموعه است $آ$ اگر و فقط در صورتی که مقداری خالص (ارزش شده) در ن وجود داشته باشد $آ$ که همگرا می شود. $ایکس.$ اگر $ایکس$ زیرفضای توپولوژیکی برخی از فضای توپولوژیکی دیگر است، $Y،$ که در این صورت $Y$ ابر فضای توپولوژیکی نامیده می شود، $ایکس،$ نگاه ممکن است نقطه ای وجود داشته باشد $Y\setminus X$ که نزدیک است $آ$ (اگرچه عنصری از $ایکس$ ) که چگونه برای یک زیر مجموعه امکان پذیر است $A\subseq X$ در بسته شدن $ایکس$ اما در ابر فضای اطراف "بزرگتر" بسته نشود. $Y.$ اگر $A\subseq X$ و اگر $Y$ هر ابر فضای توپولوژیکی است $ایکس$ سپس $آ$ همیشه یک زیر مجموعه (بالقوه مناسب) از، $\operatorname {cl} _{Y}A,$ که نشان دهنده بسته شدن است $آ$ که در; $Y;$ در واقع، حتی اگر $آ$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ (که اگر و فقط اگر اتفاق می افتد $A=\operatorname {cl} _{X}A$ ، با این حال هنوز هم برای ن امکان پذیر است $آ$ زیر مجموعه مناسبی از. $\operatorname {cl} _{Y}A.$ با این حال، $آ$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ اگر و تنها اگر $A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A$ برای برخی (یا به طور معادل، برای هر) ابر فضای توپولوژیکی $Y$ از. $ایکس.$

مجموعه های بسته همچنین می توانند برای توصیف توابع پیوسته استفاده شوند : نقشه: $f:X\ به Y$ اگر و فقط اگر پیوسته است $f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))$ برای هر زیر مجموعه $A\subseq X$ ; این را می توان در انگلیسی ساده به صورت زیر بازنویسی کرد : $f$ اگر و فقط اگر برای هر زیر مجموعه پیوسته است، $A\subsetq X,$ $f$ نقاط نزدیک به $آ$ به نقاطی که نزدیک هستند $f(A).$ به همین ترتیب، $f$ در یک نقطه مشخص ثابت است $x\در X$ اگر و فقط اگر هر زمان $ایکس$ نزدیک به یک زیر مجموعه است، $A\subsetq X,$ سپس $f(x)$ نزدیک است به $f(A).$

اطلاعات بیشتر درباره مجموعه های بسته [ ویرایش ]

مفهوم مجموعه بسته در بالا بر حسب مجموعه ‌های باز تعریف شده است ، مفهومی که برای فضاهای توپولوژیکی و همچنین برای سایر فضاهایی که ساختارهای توپولوژیکی را حمل می‌کنند، مانند فضاهای متریک ، منیفولدهای قابل تمایز ، فضاهای یکنواخت و فضاهای گیج معنا دارد .

بسته بودن یک مجموعه بستگی به فضایی دارد که در ن تعبیه شده است. با این حال، فضاهای جمع و جور هاوسدورف « کاملاً بسته » هستند ، به این معنا که، اگر فضای هاسدورف فشرده را تعبیه کنید. $D$ در یک فضای هاسدورف دلخواه، $ایکس،$ سپس $D$ همیشه یک زیر مجموعه بسته از $ایکس$ ; "فضای اطراف" در اینجا مهم نیست. فشرده سازی استون - چخ ، فریندی که یک فضای کاملا منظم هاسدورف را به فضای هاسدورف فشرده تبدیل می کند، ممکن است به عنوان محدودیت های مجاور شبکه های غیرهمگرا خاص به فضا توصیف شود.

علاوه بر این، هر زیر مجموعه بسته از یک فضای فشرده فشرده است، و هر زیرفضای فشرده از یک فضای هاسدورف بسته است.

مجموعه های بسته نیز توصیف مفیدی از فشردگی ارائه می دهند: فضای توپولوژیکی $ایکس$ فشرده است اگر و تنها در صورتی که هر مجموعه ای از زیر مجموعه های غیرتهی بسته شود $ایکس$ با اشتراک تهی یک زیر مجموعه محدود با اشتراک تهی را می پذیرد.

فضای توپولوژیکی $ایکس$ در صورت وجود زیر مجموعه های مجزا، غیرتهی و باز، قطع می شود $آ$ و $ب$ از $ایکس$ که اتحادیه است. $ایکس.$ علاوه بر این، $ایکس$ اگر پایه باز متشکل از مجموعه های بسته داشته باشد، کاملاً قطع می شود .

خواص [ ویرایش ]

همچنین ببینید: بدیهیات بسته شدن کوراتوفسکی

یک مجموعه بسته دارای مرز خاص خود است . به عبارت دیگر، اگر شما "خارج" یک مجموعه بسته هستید، ممکن است مقدار کمی را در هر جهتی حرکت دهید و همچنان خارج از مجموعه بمانید. توجه داشته باشید که اگر مرز مجموعه تهی باشد، به عنوان مثال در فضای متریک اعداد گویا، برای مجموعه اعدادی که مربع نها کوچکتر است، این نیز صادق است.2. $2.$

هر اشتراک از هر خانواده از مجموعه های بسته بسته است (این شامل اشتراک های بی نهایت مجموعه بسته است)
اتحاد مجموعه های بسته بسیار محدود بسته است.
مجموعه تهی بسته است.
کل مجموعه بسته است.

در واقع، اگر مجموعه ای داده شود $ایکس$ و یک مجموعه $\mathbb {F} \neq \varnothing$ از زیر مجموعه های $ایکس$ به گونه ای که عناصر $\mathbb {F}$ ویژگی های ذکر شده در بالا را داشته باشید، پس یک توپولوژی منحصر به فرد وجود دارد $\ tau$ بر $ایکس$ به طوری که زیر مجموعه های بسته از $(X, \tau)$ دقیقا همان مجموعه هایی هستند که به ن تعلق دارنداف. $\mathbb {F}.$ ویژگی اشتراک همچنین به فرد اجازه می دهد تا بسته شدن یک مجموعه را تعریف کند $آ$ در یک فضا، $ایکس،$ که به عنوان کوچکترین زیر مجموعه بسته از تعریف می شود $ایکس$ که یک ابر مجموعه از. $آ.$ به طور خاص، بسته شدن $ایکس$ می تواند به عنوان محل تلاقی همه این ابر مجموعه های بسته ساخته شود.

مجموعه هایی که می توانند به عنوان اتحاد تعداد زیادی مجموعه بسته قابل شمارش ساخته شوند ، مجموعه F σ نشان داده می شوند . این مجموعه ها نیازی به بسته شدن ندارند.

مثالها [ ویرایش ]

فاصله بسته $[الف، ب]$ اعداد واقعی بسته است. ( برای توضیح نماد مجموعه براکت و پرانتز به فاصله (ریاضیات) مراجعه کنید.)
فاصله واحد $[0,1]$ در فضای متریک اعداد حقیقی و مجموعه بسته شده است $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ از اعداد گویا بین $0$ و1 $1$ (شامل) در فضای اعداد گویا بسته است اما $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ در اعداد واقعی بسته نشده است.
برخی از مجموعه ها نه باز هستند و نه بسته، به عنوان مثال بازه نیمه باز $[0،1)$ در اعداد واقعی
برخی از مجموعه ها هم باز و هم بسته هستند و به نها مجموعه های کلوپن می گویند .
پرتو $[1,+\infty )$ بسته است.
مجموعه کانتور یک مجموعه بسته غیرمعمول است به این معنا که کاملاً از نقاط مرزی تشکیل شده است و هیچ جا متراکم نیست.
نقاط Singleton (و در نتیجه مجموعه های محدود) در فضاهای T 1 و فضاهای هاسدورف بسته می شوند .
مجموعه اعداد صحیح ز $\mathbb {Z}$ یک مجموعه بسته نامحدود و نامحدود در اعداد حقیقی است.
اگر: $f:X\ به Y$ تابعی بین فضاهای توپولوژیکی است $f$ پیوسته است اگر و فقط در صورتی که پیش تصویر مجموعه های بسته وارد شود $Y$ در بسته هستند. $ایکس.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مجموعه Clopen - زیر مجموعه ای که هم باز و هم بسته است
نقشه بسته – تابعی که زیر مجموعه ‌های باز (به‌عنوان بسته) را به زیر مجموعه ‌های باز (به‌عنوان بسته) ارسال می‌کند.
منطقه بسته - زیر مجموعه باز متصل از یک فضای توپولوژیکی
مجموعه باز - زیر مجموعه اصلی یک فضای توپولوژیکی
همسایگی - مجموعه باز حاوی یک نقطه مشخص
منطقه (ریاضیات) - زیر مجموعه باز متصل یک فضای توپولوژیکی
ست بسته معمولی

5-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه چهاردهم آبان ۱۴۰۲ | 17:11

تقارن محوری [ ویرایش ]

فرمیونهای دیراک بدون جرم ، یعنی $\psi (x)$ ارضای معادله دیراک با $m=0$ ، اعتراف به دوم، نامتعادل ${\text{U}}(1)$ تقارن

این امر با نوشتن فرمیون چهار جزئی دیراک به راحتی قابل مشاهده است $\psi (x)$ به عنوان یک جفت میدان برداری دو جزئی،

$\psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{pmatrix}}،$ و اتخاذ نمایش کایرال برای ماتریس های گاما، به طوری که $i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ ممکن است نوشته شود

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\\i{\bar {\sigma } }^{\mu }\جزئی _{\mu }\ &0\end{pmatrix}}$ جایی که $\sigma ^{\mu }$ دارای اجزاء $(I_{2}،\sigma ^{i})$ و ${\bar {\sigma }}^{\mu }$ دارای اجزاء $(I_{2},-\sigma ^{i})$ .

سپس اکشن دیراک شکل می گیرد

$S=\int d^{4}x\,\psi _{1}^{\dagger }(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{1}+ \psi _{2}^{\ خنجر }(i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{2}.$ یعنی به نظریه دو اسپینور ویل یا فرمیون ویل جدا می شود.

تقارن برداری قبلی هنوز وجود دارد، جایی که $\psi _{1}$ و2 $\psi _{2}$ به طور یکسان بچرخد این شکل از عمل، دوم را بی‌معادل می‌کند ${\text{U}}(1)$ آشکار تقارن:

${\begin{aligned}\psi _{1}(x)&\mapsto e^{i\beta }\psi _{1}(x)،\\\psi _{2}(x)& \mapsto e^{-i\beta }\psi _{2}(x).\end{تراز شده}}$ این را می توان در سطح فرمیون دیراک نیز بیان کرد

$\psi (x)\mapsto \exp(i\beta \gamma ^{5})\psi (x)$

جایی که $\ Exp$ نقشه نمایی برای ماتریس ها است.

این تنها نیست ${\text{U}}(1)$ تقارن ممکن است، اما متعارف است. هر "ترکیب خطی" تقارن بردار و محوری نیز a است ${\text{U}}(1)$ تقارن

به طور کلاسیک، تقارن محوری یک نظریه گیج به خوبی فرمول بندی شده را می پذیرد. اما در سطح کوانتومی، یک ناهنجاری وجود دارد ، یعنی مانعی برای سنجش.

بسط تقارن رنگ [ ویرایش ]

همچنین ببینید: کرومودینامیک کوانتومی

ما می توانیم این بحث را از یک آبلی بسط دهیم ${\text{U}}(1)$ تقارن به یک تقارن غیر آبلی عمومی تحت یک گروه سنج جی $جی$ ، گروه تقارن رنگ برای یک نظریه.

برای بتن ریزی، رفع می کنیم $G={\text{SU}}(N)$ ، گروه واحد ویژه ای از ماتریس ها عمل می کنند ${\mathbb {C}}^{N}$ .

قبل از این بخش، $\psi (x)$ می تواند به عنوان یک میدان اسپینور در فضای مینکوفسکی، به عبارت دیگر یک تابع در نظر گرفته شود: $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$ ، و اجزای آن در $\mathbb {C} ^{4}$ با شاخص‌های اسپین برچسب‌گذاری می‌شوند، شاخص‌های مرسوم یونانی که از ابتدای الفبا گرفته شده‌اند.،،⋯ $\alpha,\beta,\gamma,\cdots$ .

ترویج این نظریه به نظریه گیج، به صورت غیررسمی $\psi$ تبدیل بخشی مانند ${\mathbb {C}}^{N}$ و اینها با شاخص های رنگی، که معمولاً شاخص های لاتین هستند، برچسب گذاری می شوند $i,j,k,\cdots$ . در مجموع، $\psi (x)$ دارد $4N$ مولفه ها، در شاخص های ارائه شده توسط، $\psi ^{i,\alpha }(x)$ . اسپینور فقط چگونگی تبدیل میدان را تحت تبدیل فضازمان نشان می دهد.

به طور رسمی، $\psi (x)$ در یک ضرب تانسور ارزش گذاری می شود، یعنی یک تابع است: $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$

سنجش مشابه آبلیان انجام می شود ${\text{U}}(1)$ مورد، با چند تفاوت تحت یک تغییر سنج $U:\mathbb {R} ^{1,3}\right arrow {\text{SU}}(N)$ میدانهای اسپینور به صورت تبدیل می شوند

$\psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)$

${\bar {\psi }}(x)\mapsto {\bar {\psi }}(x)U^{\dagger }(x).$ میدان گیج با ارزش ماتریس $A_{\mu }$ یا ${\text{SU}}(N)$ اتصال به عنوان تبدیل می شود

$A_{\mu }(x)\mapsto U(x)A_{\mu }(x)U(x)^{-1}+{\frac {1}{g}}(\partial _{ \mu }U(x))U(x)^{-1}،$

و مشتقات کوواریانت تعریف شده

$D_{\mu }\psi =\جزئی _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi ,$

$D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ig{\bar {\psi }}A_{\mu }^{\ خنجر }$ تبدیل به عنوان

$D_{\mu }\psi (x)\mapsto U(x)D_{\mu }\psi (x)$

$D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto (D_{\mu }{\bar {\psi }}(x))U(x)^{\dagger }.$

نوشتن یک کنش ناتغییر سنج دقیقاً مانند آن پیش می رود ${\text{U}}(1)$ مورد، جایگزینی ماکسول لاگرانژی با لاگرانژی یانگ میلز

$S_{\text{YM}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_ {\mu \nu })$

که در اینجا قدرت یا انحنای میدان یانگ -میلز به صورت تعریف شده است

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig\left[A_{\mu },A_{\ nu }\راست]$ و $[\cdot،\cdot]$ جابجاگر ماتریسی است.

عمل پس از آن است

عمل QCD

$S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_ {\mu \nu })+{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi$

کاربردهای فیزیکی [ ویرایش ]

برای کاربردهای فیزیکی، مورد $N=3$ بخش کوارکی مدل استاندارد را توصیف می کند که برهمکنش های قوی را مدل می کند . کوارک ها به عنوان اسپینور دیراک مدل می شوند. میدان گیج میدان گلوئون است . مورد $N=2$ بخشی از بخش الکتروضعیف مدل استاندارد را توصیف می کند. لپتون‌ها مانند الکترون‌ها و نوترینوها اسپینورهای دیراک هستند. میدان سنج است $دبلیو$ بوزون گیج

کلیات [ ویرایش ]

این عبارت را می توان به گروه لی دلخواه تعمیم داد $جی$ با اتصال $A_{\mu }$ و یک نمایندگی $(\rho,G,V)$ ، جایی که قسمت رنگ از $\psi$ در ارزش گذاری شده است $V$ . به طور رسمی، میدان دیراک یک تابع است:⊗. $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$

سپس $\psi$ تحت یک تبدیل سنج تبدیل می شود: $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ مانند

$\psi (x)\mapsto \rho (g(x))\psi (x)$ و مشتق کوواریانت تعریف شده است

$D_{\mu }\psi =\جزئی _{\mu }\psi +\rho (A_{\mu })\psi$ که در اینجا ما مشاهده می کنیم $\rho$ به عنوان یک نمایش جبر لی از جبر لی ${\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)$ مرتبط به $جی$ .

این نظریه را می توان به فضا-زمان منحنی تعمیم داد، اما نکات ظریفی وجود دارد که در نظریه گیج در یک فضازمان کلی (یا به طور کلی ثابت تر، یک منیفولد) بوجود می آید که در فضای زمان مسطح، می توان نادیده گرفت. این در نهایت به دلیل انقباض پذیری فضازمان مسطح است که به ما امکان می دهد یک میدان سنج و تبدیلات سنج را همانطور که در سطح جهانی در تعریف شده است مشاهده کنیم. $\mathbb {R} ^{1،3}$ .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مقالات معادله دیراک [ ویرایش ]

میدان دیراک
دیراک اسپینور
تجزیه گوردون
پارادوکس کلاین
معادله غیر خطی دیراک

معادلات دیگر [ ویرایش ]

معادله بریت
معادله دیراک – کاهلر
معادله کلاین-گوردون
معادله راریتا – شوینگر
معادلات دیراک دو جسمی
معادله ویل
معادله مایورانا

سایر موضوعات [ ویرایش ]

میدان فرمیونی
شطرنجی فاینمن
تبدیل Foldy-Wouthuysen
الکترودینامیک کوانتومی
کرومودینامیک کوانتومی

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation

4-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه چهاردهم آبان ۱۴۰۲ | 17:10

اکشن دیراک

$S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(i\partial \!\!\!{\big /}-m)\,\psi$

برای این عمل، جریان ذخیره شده $J^{\mu }$ در بالا به عنوان جریان حفظ شده مربوط به جهانی ایجاد می شود ${\text{U}}(1)$ تقارن از طریق قضیه نوتر برای نظریه میدان. سنجش این تئوری میدان با تغییر تقارن به محلی و وابسته به نقطه فضازمان، تقارن سنج را به دست می‌دهد (در واقع، افزونگی گیج). نظریه حاصل الکترودینامیک کوانتومی یا QED است. برای بحث مفصل تر به زیر مراجعه کنید.

تغییر ناپذیری لورنتس [ ویرایش ]

معادله دیراک تحت تبدیل های لورنتس، یعنی تحت عمل گروه لورنتس، ثابت است.بنابراین ${\text{SO}}(1،3)$ یا به شدت بنابراین ${\text{SO}}(1،3)^{+}$ ، جزء متصل به هویت.

برای اسپینور دیراک به طور ملموس به عنوان دریافت ارزش در نظر گرفته می شود $\mathbb {C} ^{4}$ ، تبدیل تحت یک تبدیل لورنتس $\لامبدا$ توسط a داده می شود $4 بار 4$ ماتریس مختلط $S[\Lambda ]$ . ظرافت هایی در تعریف متناظر وجود دارد $S[\Lambda ]$ ، و همچنین یک سوء استفاده استاندارد از علامت گذاری.

بیشتر درمان ها در سطح جبر لی انجام می شود . برای درمان دقیق تر اینجا را ببینید . گروه لورنتس از $4 \ برابر 4$ ماتریس های واقعی بر روی $\mathbb {R} ^{1،3}$ توسط مجموعه ای از شش ماتریس تولید می شود $\{M^{\mu \nu }\}$ با اجزای

$(M^{\mu \nu })^{\rho }{}_{\sigma }=\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }- \eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }.$ زمانی که هر دو $\rho,\sigma$ شاخص‌ها افزایش یا کاهش می‌یابند، اینها به سادگی مبنای استاندارد ماتریس‌های ضد متقارن هستند.

اینها روابط کموتاسیون جبر لورنتس را برآورده می کنند

$[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\ eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.$ در مقاله جبر دیراک ، همچنین مشخص شده است که مولدهای چرخشی

$S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$ روابط کموتاسیون جبر لورنتس را برآورده می کند.

تحول لورنتس $\لامبدا$ را می توان به صورت نوشت

$\Lambda =\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)$ جایی که اجزاء $\omega_{\mu\nu}$ ضد متقارن هستند $\mu,\nu$ .

تبدیل متناظر در فضای اسپین است

$S[\Lambda ]=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).$ این یک سوء استفاده از علامت گذاری است، اما یک مورد استاندارد. دلیلش این هست که $S[\Lambda ]$ یک تابع به خوبی تعریف شده از $\لامبدا$ ، از آنجایی که دو مجموعه متفاوت از اجزا وجود دارد $\omega_{\mu\nu}$ (تا معادل) که همان را می دهند $\لامبدا$ اما متفاوت $S[\Lambda ]$ . در عمل ما به طور ضمنی یکی از این موارد را انتخاب می کنیم $\omega_{\mu\nu}$ و سپس $S[\Lambda ]$ به خوبی از نظر تعریف شده است. $\omega _{\mu \nu }.$

تحت یک تبدیل لورنتس، معادله دیراک

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)$ تبدیل می شود

$i\gamma ^{\mu }((\Lambda ^{-1})_{\mu }{}^{\nu }\partial _{\nu })S[\Lambda ]\psi (\ Lambda ^{-1}x)-mS[\Lambda ]\psi (\Lambda ^{-1}x)=0.$

باقیمانده اثبات عدم تغییر لورنتز

ضرب هر دو طرف از چپ دراس-1 $S^{-1}[\Lambda ]$ و برگرداندن متغیر ساختگی به $ایکس$ می دهد

$iS[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ]((\Lambda ^{-1})_{\mu }{}^{\nu }\partial _ {\nu })\psi (x)-m\psi (x)=0.$ اگر تغییر ناپذیری را نشان خواهیم داد

$S[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ](\Lambda ^{-1})^{\nu }{}_{\mu }=\gamma ^ {\nu }$ یا معادل آن

$S[\Lambda ]^{-1}\gamma ^{\mu }S[\Lambda ]=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\gamma ^{\nu }.$ این به راحتی در سطح جبر نشان داده می شود. فرض کنیم تبدیل ها با مولفه های بی نهایت کوچک پارامتر شده اند $\omega_{\mu\nu}$ ، سپس در ابتدا سفارش دهید $\ امگا$ ، در سمت چپ ما دریافت می کنیم

${\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }(M^{\rho \sigma })^{\mu }{}_{\nu }\gamma ^{\nu }$ در حالی که در سمت راست ما دریافت می کنیم

$\left[{\frac {1}{2}}\omega _{\rho \sigma }S^{\rho \sigma },\gamma ^{\mu }\right]={\frac {1 {2}}\omega _{\rho \sigma }\left[S^{\rho \sigma },\gamma ^{\mu }\right]$ این یک تمرین استاندارد برای ارزیابی کموتاتور در سمت چپ است. نوشتنم $M^{\rho \sigma }$ از نظر اجزاء اثبات را کامل می کند.

مرتبط با تغییر ناپذیری لورنتس، یک جریان نوتر حفظ شده، یا بهتر است بگوییم تانسوری از جریان های نوتر حفظ شده است. $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ . به طور مشابه، از آنجایی که معادله تحت ترجمه ها ثابت است، یک تانسور از جریان های نوتر حفظ شده وجود دارد. $T^{\mu\nu}$ ، که می توان آن را به عنوان تانسور تنش-انرژی نظریه شناسایی کرد. جریان لورنتس $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ را می توان بر حسب تانسور تنش-انرژی علاوه بر تانسوری که نشان دهنده تکانه زاویه ای داخلی است، نوشت.

تحولات تاریخی و جزئیات بیشتر ریاضی [ ویرایش ]

معادله دیراک نیز (از لحاظ تاریخی) برای تعریف یک نظریه مکانیک کوانتومی استفاده شد که در آن $\psi (x)$ در عوض به عنوان یک تابع موج تفسیر می شود .

معادله دیراک به شکلی که در ابتدا توسط دیراک پیشنهاد شده است عبارت است از: [5]

$\left(\beta mc^{2}+c\sum _{n=1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\ hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}$ که ψ ( x , t ) تابع موج برای الکترون با جرم سکون m با مختصات فضازمان x , t است . p 1 , p 2 , p 3 اجزای تکانه هستند که عملگر تکانه در معادله شرودینگر است . همچنین c سرعت نور و ħ ثابت پلانک کاهش یافته است . این ثابت های فیزیکی بنیادی به ترتیب نسبیت خاص و مکانیک کوانتومی را منعکس می کنند.

هدف دیراک از ریخته‌گری این معادله توضیح رفتار الکترون متحرک نسبیتی بود و بنابراین اجازه می‌داد تا اتم به روشی مطابق با نسبیت رفتار شود. او نسبتاً امیدوار بود که اصلاحات ارائه شده به این روش ممکن است بر مشکل طیف اتمی تأثیر بگذارد .

تا آن زمان، تلاش‌ها برای سازگار ساختن نظریه کوانتومی قدیمی اتم با نظریه نسبیت، که مبتنی بر گسسته‌سازی تکانه زاویه‌ای ذخیره شده در مدار احتمالاً غیر دایره‌ای الکترون هسته اتم بود، شکست خورده بود - و نظریه جدید. مکانیک کوانتومی هایزنبرگ ، پائولی ، جردن ، شرودینگر ، و خود دیراک به اندازه کافی برای درمان این مشکل توسعه نیافته بود. اگرچه مقاصد اولیه دیراک برآورده شد، معادله او پیامدهای عمیق تری برای ساختار ماده داشت و طبقات ریاضی جدیدی از اجرام را معرفی کرد که اکنون عناصر اساسی فیزیک بنیادی هستند.

عناصر جدید در این معادله چهار ماتریس 4 4 α 1 ، α 2 ، α 3 و β و تابع موج چهار جزء ψ هستند . چهار جزء در ψ وجود دارد زیرا ارزیابی آن در هر نقطه از فضای پیکربندی یک bispinor است . این به عنوان برهم نهی یک الکترون اسپین بالا ، یک الکترون اسپین به پایین، یک پوزیترون اسپین بالا و یک پوزیترون اسپین به پایین تفسیر می شود.

ماتریس های αk و β همگی هرمیتی هستند و غیر ارادی هستند :

$\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}$ و همه آنها متقابلاً ضد رفت و آمد هستند :

من=0(من≠) =0

${\begin{aligned}\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}&=0\quad (i\neq j)\\\alpha _ {i}\beta +\beta \alpha _{i}&=0\end{تراز شده}}$

این ماتریس ها و شکل تابع موج دارای اهمیت ریاضی عمیقی هستند. ساختار جبری نشان داده شده توسط ماتریس های گاما حدود 50 سال قبل توسط ریاضیدان انگلیسی WK Clifford ایجاد شده بود . به نوبه خود، ایده های کلیفورد از کار ریاضیدان آلمانی هرمان گراسمان در اواسط قرن نوزدهم در خطی Ausdehnungslehre ( نظریه امتدادهای خطی ) ظهور کرده بود. مورد دوم توسط اکثر معاصرانش تقریباً غیرقابل درک تلقی می شد. ظهور چیزی به ظاهر انتزاعی، در چنین تاریخی دیرهنگام، و به شیوه ای مستقیم فیزیکی، یکی از قابل توجه ترین فصل های تاریخ فیزیک است. [ نیاز به نقل قول ] (حتی بیشتر از آن، اعتبارسنجی بینش نفیس نشان داده شده توسط ریاضیدانان گراسمن و کلیفورد.)

بنابراین، معادله نمادین منفرد به چهار معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول خطی جفت شده برای چهار کمیتی که تابع موج را تشکیل می دهند، باز می شود. معادله را می توان به طور واضح تر در واحدهای پلانک نوشت : [6]

$i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1} \end{bmatrix}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\+\psi _{3}\\-\psi _{2}\\+\psi _ {1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}-\psi _{3}\\+\psi _{4}\\-\psi _{1}\\ +\psi _{2}\end{bmatrix}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\-\psi _{3}\\-\ psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\ psi _{4}\end{bmatrix}}$ که مشخص می کند که مجموعه ای از چهار معادله دیفرانسیل جزئی با چهار تابع مجهول است.

معادله دیراک

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0$

که در آن یک جمع ضمنی بر روی مقادیر شاخص دو بار تکرار شده μ = 0، 1، 2، 3 وجود دارد و ∂ μ گرادیان 4 است. در عمل اغلب ماتریس های گاما را بر حسب ماتریس های 22 فرعی برگرفته از ماتریس های پائولی و ماتریس هویت 22 می نویسند . صراحتاً نمایندگی استاندارد است

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix }0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\- \sigma _{y}&0\end{pmatrix}}،\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{pmatrix }}.$

سیستم کامل با استفاده از متریک مینکوفسکی در فضازمان در فرم خلاصه شده است

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$ جایی که عبارت براکت

$\{a,b\}=ab+ba$ نشان دهنده ضد جابجایی است . اینها روابط تعیین کننده یک جبر کلیفورد بر روی یک فضای 4 بعدی متعامد شبه با امضای متریک ( - - - -) هستند . جبر خاص کلیفورد که در معادله دیراک استفاده می شود امروزه به نام جبر دیراک شناخته می شود . اگر چه دیراک در زمان فرمول‌بندی معادله آن را به عنوان چنین تشخیص نمی‌دهد، با نگاهی به گذشته، معرفی این جبر هندسی نشان‌دهنده یک گام بزرگ رو به جلو در توسعه نظریه کوانتومی است.

معادله دیراک اکنون ممکن است به عنوان یک معادله مقدار ویژه تفسیر شود ، که در آن جرم سکون متناسب با مقدار ویژه عملگر 4 تکانه است ، ثابت تناسب سرعت نور است:

$P_{\text{op}}\psi =mc\psi \,.$

استفاده كردن ${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ (∂/ ${\جزئی \!\!\!{\بزرگ /}}$ "d-slash" تلفظ می شود)، [7] با توجه به علامت اسلش فاینمن، معادله دیراک به صورت زیر در می آید:

$i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0\,.$

در عمل، فیزیکدانان اغلب از واحدهای اندازه گیری استفاده می کنند به طوری که ħ = c = 1 که به عنوان واحدهای طبیعی شناخته می شود . سپس معادله به شکل ساده در می آید

معادله دیراک (واحدهای طبیعی)

$(i{\partial \!\!\!{\big /}-m)\psi =0$

یک قضیه اساسی بیان می کند که اگر دو مجموعه مجزا از ماتریس ها داده شود که هر دو روابط کلیفورد را برآورده می کنند، آنگاه آنها با یک تبدیل تشابه به یکدیگر متصل می شوند :

$\gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S\,.$

اگر علاوه بر این، ماتریس ها همگی واحد باشند ، همانطور که مجموعه دیراک هم هستند، S خود واحد است .

$\gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\,.$

تبدیل U تا یک ضریب ضربی قدر مطلق 1 منحصر به فرد است. اجازه دهید اکنون یک تبدیل لورنتس را تصور کنیم که بر روی مختصات مکان و زمان، و بر روی عملگرهای مشتق، که یک بردار کوواریانت را تشکیل می‌دهند، انجام شده است. برای اینکه عملگر γ μ∂ μ ثابت بماند، گاماها باید با توجه به شاخص فضازمان خود به عنوان یک بردار متناقض در بین خود تبدیل شوند . این گامای جدید به دلیل متعامد بودن تبدیل لورنتس، خود روابط کلیفورد را برآورده خواهند کرد. بر اساس قضیه بنیادی، می توان مجموعه جدید را با مجموعه قدیمی که تحت یک تبدیل واحد قرار دارد جایگزین کرد. در فریم جدید، با یادآوری اینکه جرم سکون یک اسکالر نسبیتی است، معادله دیراک شکل خواهد گرفت.

${\begin{aligned}\left(iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi \left(x^ {\prime },t^{\prime }\right)&=0\\U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U \psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\,.\end{aligned}}$

اگر اسپینور تبدیل شده به صورت تعریف شده باشد

$\psi ^{\prime }=U\psi$ سپس معادله دیراک تبدیل شده به روشی تولید می شود که عدم تغییر نسبیتی آشکار را نشان می دهد :

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi ^{\prime }\left(x^{\prime },t^ {\prime }\right)=0\,.$

بنابراین، تعیین هر نمایش واحدی از گاما نهایی است، مشروط بر اینکه اسپینور مطابق تبدیل واحدی که با تبدیل لورنتز مطابقت دارد، تبدیل شود.

نمایش های مختلف ماتریس های دیراک به کار گرفته شده، جنبه های خاصی از محتوای فیزیکی در تابع موج دیراک را مورد توجه قرار می دهد. نمایشی که در اینجا نشان داده شده است به عنوان نمایش استاندارد شناخته می شود - در آن، دو جزء بالایی تابع موج به تابع موج اسپینور 2 پائولی در حد انرژی های کم و سرعت های کوچک در مقایسه با نور می روند.

ملاحظات بالا منشأ گاماها را در هندسه نشان می‌دهد و به انگیزه اصلی گراسمن گوش می‌دهد. آنها یک مبنای ثابت از بردارهای واحد در فضازمان را نشان می دهند. به طور مشابه، محصولات گاما مانند γ μ γ ν نشان دهنده عناصر سطح جهت دار و غیره هستند. با در نظر گرفتن این موضوع، می توان شکل عنصر حجم واحد را در فضازمان بر حسب گاما به صورت زیر یافت. طبق تعریف، اینطور است

$V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha } \گاما ^{\بتا }.$

برای اینکه این یک تغییر ناپذیر باشد، نماد اپسیلون باید یک تانسور باشد ، و بنابراین باید دارای ضریب √ g باشد ، جایی که g تعیین کننده تانسور متریک است . از آنجایی که این منفی است، آن عامل موهومی است . بدین ترتیب

$V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.$

به این ماتریس به دلیل اهمیت آن در هنگام در نظر گرفتن تبدیل‌های نامناسب فضا-زمان، یعنی آنهایی که جهت بردارهای پایه را تغییر می‌دهند، نماد ویژه γ5 داده می‌شود. در نمایندگی استاندارد، این است

$\gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

این ماتریس همچنین برای مقابله با چهار ماتریس Dirac دیگر پیدا می شود:

5 5=0

$\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0$

هنگامی که سؤالات برابری مطرح می شود ، نقش اصلی را ایفا می کند زیرا عنصر حجم به عنوان یک قدر جهت دار علامت را تحت بازتاب فضا-زمان تغییر می دهد. بنابراین، گرفتن جذر مثبت در بالا به معنای انتخاب یک قرارداد دستی در فضازمان است.

مقایسه با نظریه های مرتبط [ ویرایش ]

نظریه پائولی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: معادله پائولی

ضرورت معرفی اسپین نیمه صحیح به صورت تجربی به نتایج آزمایش استرن-گرلاخ برمی گردد . پرتویی از اتم ها از طریق یک میدان مغناطیسی ناهمگن قوی عبور می کند ، که سپس بسته به تکانه زاویه ای ذاتی اتم ها به N قسمت تقسیم می شود. مشخص شد که برای اتم های نقره ، پرتو به دو قسمت تقسیم شده است. بنابراین حالت پایه نمی تواند عدد صحیح باشد ، زیرا حتی اگر تکانه زاویه ای ذاتی اتم ها تا حد ممکن کوچک باشد، 1، پرتو به سه قسمت تقسیم می شود که مربوط به اتم هایی با L z = -1، 0، 1 است. . نتیجه این است که اتم های نقره دارای تکانه زاویه ای خالص 1/2 هستند . پائولی نظریه ای را ارائه کرد که این تقسیم را با معرفی یک تابع موج دو جزئی و یک عبارت تصحیح متناظر در همیلتونی توضیح داد که نشان دهنده یک جفت نیمه کلاسیک این تابع موج با یک میدان مغناطیسی کاربردی است، همانطور که در واحدهای SI نیز وجود دارد : (توجه داشته باشید. که کاراکترهای پررنگ دلالت بر بردارهای اقلیدسی در 3 بعد دارند ، در حالی که مینکوفسکی چهار بردار A μ را می توان به صورت تعریف کرد. $A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )$ .)

$H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^ {2}+e\phi ~.$

در اینجا A و $\phi$ مؤلفه های چهار پتانسیل الکترومغناطیسی را در واحدهای SI استاندارد خود نشان می دهند و سه سیگما ماتریس های پائولی هستند . با مربع کردن عبارت اول، یک برهمکنش باقیمانده با میدان مغناطیسی، همراه با همیلتونین کلاسیک معمول یک ذره باردار که با یک میدان اعمال شده در واحدهای SI برهمکنش می‌کند، پیدا می‌شود :

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar } {2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.$

این همیلتونی اکنون یک ماتریس 22 است ، بنابراین معادله شرودینگر بر اساس آن باید از یک تابع موج دو جزئی استفاده کند. با وارد کردن پتانسیل 4 بردار الکترومغناطیسی خارجی در معادله دیراک به روشی مشابه که به عنوان جفت حداقل شناخته می شود ، به شکل زیر در می آید:

$\left(\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc\right)\psi =0~.$

کاربرد دوم عملگر دیراک اکنون عبارت پائولی را دقیقاً مانند قبل بازتولید می‌کند، زیرا ماتریس‌های دیراک فضایی ضرب شده در i ، همان ویژگی‌های مربع‌سازی و جابجایی ماتریس‌های پائولی را دارند. علاوه بر این، ارزش نسبت ژیرو مغناطیسی الکترون که در مقابل اصطلاح جدید پائولی قرار دارد، از اصول اولیه توضیح داده شده است. این یک دستاورد بزرگ معادله دیراک بود و به فیزیکدانان ایمان زیادی به صحت کلی آن داد. با این حال بیشتر وجود دارد. نظریه پائولی را می توان به عنوان حد انرژی پایین نظریه دیراک به شکل زیر در نظر گرفت. ابتدا معادله به شکل معادلات جفت شده برای 2 اسپینور با واحدهای SI بازیابی شده نوشته می شود:

${\begin{pmatrix}mc^{2}-E+e\phi &c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\ \-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&mc^{2}+Ee\phi \end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.$ بنابراین

${\begin{aligned}(Ee\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right) \psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(Ee\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{تراز شده}}$

با فرض اینکه میدان ضعیف است و حرکت الکترون غیر نسبیتی است، انرژی کل الکترون تقریباً برابر با انرژی سکون آن است و تکانه به مقدار کلاسیک می رود.

${\begin{aligned}Ee\phi &\approx mc^{2}\\\mathbf {p} &\approx m\mathbf {v} \end{aligned}}$ و بنابراین معادله دوم ممکن است نوشته شود

$\psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\ psi _{+}$

که نظم داردv/ج- بنابراین در انرژی‌ها و سرعت‌های معمولی، اجزای پایینی اسپینور دیراک در نمایش استاندارد در مقایسه با اجزای بالایی بسیار سرکوب می‌شوند. جایگزینی این عبارت در معادله اول پس از مقداری بازآرایی به دست می آید

$\left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\ mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}$

عملگر سمت چپ انرژی ذره‌ای را نشان می‌دهد که با انرژی استراحت آن کاهش می‌یابد، که فقط انرژی کلاسیک است، بنابراین می‌توان نظریه پائولی را با شناسایی دو اسپینور خود با اجزای بالای اسپینور دیراک در تقریب غیر نسبیتی بازیابی کرد. یک تقریب بیشتر معادله شرودینگر را به عنوان حد نظریه پائولی نشان می دهد. بنابراین، معادله شرودینگر ممکن است به عنوان تقریب غیر نسبیتی بسیار معادله دیراک دیده شود، زمانی که ممکن است از چرخش غفلت شود و فقط در انرژی ها و سرعت های پایین کار کند. این همچنین یک پیروزی بزرگ برای معادله جدید بود، زیرا i اسرارآمیز که در آن ظاهر می شود، و لزوم یک تابع موج پیچیده، به هندسه فضا-زمان از طریق جبر دیراک ردیابی شد. همچنین نشان می‌دهد که چرا معادله شرودینگر، اگرچه به صورت سطحی به شکل یک معادله انتشار است ، اما در واقع انتشار امواج را نشان می‌دهد.

باید به شدت تاکید کرد که این جداسازی اسپینور دیراک به اجزای بزرگ و کوچک به صراحت به یک تقریب کم انرژی بستگی دارد. کل اسپینور دیراک نمایانگر یک کل غیر قابل تقلیل است ، و اجزایی که در اینجا برای رسیدن به نظریه پائولی نادیده گرفته شده اند، پدیده های جدیدی را در رژیم نسبیتی به ارمغان خواهند آورد - ضد ماده و ایده ایجاد و نابودی ذرات.

نظریه ویل [ ویرایش ]

در مورد بدون جرممتر=0 $m=0$ معادله دیراک به معادله ویل تقلیل می‌یابد که ذرات نسبیتی بدون جرم اسپین 1/2 را توصیف می‌کند . [8]

این نظریه یک ثانیه به دست می آورد ${\text{U}}(1)$ تقارن: زیر را ببینید.

تفسیر فیزیکی [ ویرایش ]

شناسایی قابل مشاهده ها [ ویرایش ]

سوال فیزیکی حیاتی در یک نظریه کوانتومی این است: کمیت های فیزیکی قابل مشاهده که توسط این نظریه تعریف شده است چیست؟ طبق فرضیه های مکانیک کوانتومی، چنین کمیت هایی توسط عملگرهای هرمیتی تعریف می شوند که در فضای هیلبرت حالت های ممکن یک سیستم عمل می کنند. سپس مقادیر ویژه این عملگرها نتایج احتمالی اندازه گیری کمیت فیزیکی مربوطه است. در تئوری شرودینگر، ساده‌ترین شیء همیلتونی کلی است که انرژی کل سیستم را نشان می‌دهد. برای حفظ این تفسیر در گذر به نظریه دیراک، باید همیلتونی را در نظر گرفت

$H=\gamma ^{0}\left[mc^{2}+c\gamma ^{k}\left(p_{k}-qA_{k}\right)\right]+cqA^{0 }.$

جایی که، مثل همیشه، یک جمع ضمنی بر روی شاخص دو بار تکرار شده k = 1، 2، 3 وجود دارد . این امیدوار کننده به نظر می رسد، زیرا می توان با بررسی انرژی استراحت ذره و در مورد A = 0 ، انرژی باری که در پتانسیل الکتریکی cqA 0 قرار می گیرد، مشاهده کرد . در مورد اصطلاح مربوط به پتانسیل برداری چطور؟ در الکترودینامیک کلاسیک، انرژی باری که در یک پتانسیل اعمال شده حرکت می کند، می باشد

$H=c{\sqrt {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+m^{2}c^{2}}}+qA^{0 }.$

بنابراین، دیراک همیلتونین اساساً از همتای کلاسیک خود متمایز است و باید دقت زیادی کرد تا به درستی آنچه را که در این نظریه قابل مشاهده است شناسایی کرد. بسیاری از رفتارهای به ظاهر متناقض که معادله دیراک بیان می‌کند، به معنای شناسایی نادرست این موارد مشاهده‌پذیر است. [ نیازمند منبع ]

5-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه چهاردهم آبان ۱۴۰۲ | 17:10

نظریه حفره [ ویرایش ]

راه حل های E منفی معادله مشکل ساز هستند، زیرا فرض می شد که ذره دارای انرژی مثبت است. با این حال، از نظر ریاضی، به نظر می رسد دلیلی برای رد راه حل های انرژی منفی وجود ندارد. از آنجایی که آنها وجود دارند، نمی توان آنها را به سادگی نادیده گرفت، زیرا هنگامی که برهمکنش بین الکترون و میدان الکترومغناطیسی گنجانده شود، هر الکترونی که در حالت ویژه با انرژی مثبت قرار می گیرد به حالت های ویژه انرژی منفی با انرژی متوالی کمتر تجزیه می شود. واضح است که الکترون های واقعی به این شکل رفتار نمی کنند، وگرنه با انتشار انرژی به شکل فوتون ناپدید می شوند .

دیراک برای رویارویی با این مشکل، این فرضیه را ارائه کرد که به نظریه حفره معروف است ، که خلاء حالت کوانتومی چند جسمی است که در آن تمام حالت های ویژه الکترون با انرژی منفی اشغال شده است. این توصیف از خلاء به عنوان "دریایی" از الکترون ها، دریای دیراک نامیده می شود . از آنجایی که اصل طرد پائولی الکترون ها را از اشغال یک حالت منع می کند، هر الکترون اضافی مجبور به اشغال یک حالت ویژه با انرژی مثبت می شود و الکترون های انرژی مثبت از واپاشی به حالت های ویژه انرژی منفی منع می شوند.

دیراک همچنین استدلال کرد که اگر حالت‌های ویژه انرژی منفی به طور ناقص پر شوند، هر حالت ویژه اشغال نشده - که سوراخ نامیده می‌شود - مانند یک ذره با بار مثبت رفتار می‌کند. سوراخ دارای انرژی مثبت است زیرا برای ایجاد یک جفت ذره-حفره از خلاء به انرژی نیاز است. همانطور که در بالا ذکر شد، دیراک در ابتدا فکر می کرد که سوراخ ممکن است پروتون باشد، اما هرمان ویل اشاره کرد که حفره باید به گونه ای رفتار کند که انگار جرم یک الکترون دارد، در حالی که پروتون بیش از 1800 برابر سنگین تر است. این سوراخ در نهایت به عنوان پوزیترون شناخته شد که به طور تجربی توسط کارل اندرسون در سال 1932 کشف شد . [9]

توصیف "خلاء" با استفاده از دریای نامتناهی از الکترون های انرژی منفی کاملاً رضایت بخش نیست. سهم منفی بی‌نهایت از دریای الکترون‌های انرژی منفی باید با یک انرژی لخت مثبت بی‌نهایت خنثی شود و سهم در چگالی بار و جریانی که از دریای الکترون‌های انرژی منفی می‌آید دقیقاً با یک مثبت بی‌نهایت خنثی می‌شود. پس زمینه ژله به طوری که چگالی بار الکتریکی خالص خلاء صفر باشد. در نظریه میدان کوانتومی ، یک تبدیل بوگولیوبوف بر روی عملگرهای ایجاد و نابودی (تبدیل یک حالت الکترونی با انرژی منفی اشغال شده به یک حالت پوزیترون انرژی مثبت اشغال نشده و یک حالت الکترون انرژی منفی اشغال نشده به یک حالت پوزیترون انرژی مثبت اشغال شده) به ما اجازه می دهد تا از آن عبور کنیم. فرمالیسم دریای دیراک اگرچه از نظر رسمی معادل آن است.

با این حال، در کاربردهای خاصی از فیزیک ماده متراکم ، مفاهیم زیربنایی "نظریه حفره" معتبر هستند. دریای الکترون‌های رسانا در یک رسانای الکتریکی به نام دریای فرمی ، حاوی الکترون‌هایی با انرژی تا پتانسیل شیمیایی سیستم است. حالت پر نشده در دریای فرمی مانند یک الکترون با بار مثبت رفتار می کند، و اگرچه از آن به عنوان "حفره الکترونی" یاد می شود، اما از پوزیترون متمایز است. بار منفی دریای فرمی توسط شبکه یونی با بار مثبت مواد متعادل می شود.

در نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: میدان فرمیونی

در تئوری‌های میدان کوانتومی مانند الکترودینامیک کوانتومی ، میدان دیراک در معرض فرآیند کوانتیزاسیون دوم است که برخی از ویژگی‌های متناقض معادله را حل می‌کند.

بحث بیشتر در مورد کوواریانس لورنتز معادله دیراک [ ویرایش ]

معادله دیراک کواریانت لورنتس است . بیان این نه تنها معادله دیراک، بلکه مایورانا اسپینور و الکو اسپینور را نیز روشن می کند ، که اگرچه به هم مرتبط هستند، اما تفاوت های ظریف و مهمی دارند.

درک کوواریانس لورنتس با در نظر گرفتن ویژگی هندسی فرآیند ساده می شود. [10] اجازه دهیدآ $آ$ یک نقطه ثابت و واحد در منیفولد فضازمان باشد . مکان آن را می توان در سیستم های مختصات متعدد بیان کرد . در ادبیات فیزیک، اینها به صورت نوشته شده است $ایکس$ و" $ایکس'$ ، با این درک که هر دو $ایکس$ و" $ایکس'$ همین نکته را توصیف کنیدآ $آ$ ، اما در چارچوب های مرجع محلی مختلف (یک چارچوب مرجع روی یک بخش کوچک گسترده از فضازمان). می توان تصور کردآ $آ$ به عنوان داشتن فیبری از قاب های مختصات مختلف در بالای آن. در اصطلاح هندسی، می‌توان گفت که فضازمان را می‌توان به‌عنوان یک بسته فیبر ، و به طور خاص، بسته‌بندی قاب توصیف کرد . تفاوت بین دو نقطه $ایکس$ و" $ایکس'$ در همان فیبر ترکیبی از چرخش و تقویت لورنتس است . انتخاب قاب مختصات یک بخش (محلی) از طریق آن بسته است.

همراه با بسته نرم افزاری قاب، بسته نرم افزاری دوم، بسته نرم افزاری اسپینور است . بخشی از بسته اسپینور فقط میدان ذره است (در مورد فعلی اسپینور دیراک). نقاط مختلف در فیبر اسپینور مربوط به یک جسم فیزیکی (فرمیون) است اما در فریم های لورنتس متفاوت بیان می شود. بدیهی است که دسته فریم و دسته اسپینور باید به روشی ثابت به هم گره بخورند تا نتایج ثابتی به دست آید. به طور رسمی، یکی می گوید که باندل اسپینور همان بسته نرم افزاری است . به یک بسته اصلی مرتبط است ، که در مورد حاضر بسته‌بندی فریم است. تفاوت بین نقاط روی فیبر مربوط به تقارن سیستم است. بسته اسپینور دو مولد متمایز از تقارن های خود دارد: تکانه زاویه ای کل و تکانه زاویه ای ذاتی . هر دو با تبدیل های لورنتس مطابقت دارند، اما به روش های مختلف.

ارائه در اینجا از ایتزیکسون و زوبر پیروی می کند. [11] این بسیار شبیه به بیجرکن و دیرل است. [12] یک اشتقاق مشابه در یک محیط نسبیتی عام را می توان در واینبرگ یافت. [13] در اینجا ما فضازمان خود را صاف می کنیم، یعنی فضازمان ما فضای مینکوفسکی است.

تحت تبدیل لورنتس $x\mapsto x',$ چرخش دیراک برای تبدیل به عنوان

$\psi '(x')=S\psi (x)$ می توان نشان داد که یک عبارت صریح برایاس $اس$ از رابطه زیر بدست می آید

$S=\exp \left({\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)$ جایی که $\omega ^{\mu \nu }$ تبدیل لورنتس را پارامتر می کند و $\sigma _{\mu \nu }$ شش ماتریس راضی کننده هستند:

$\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]~.$

این ماتریس را می توان به عنوان تکانه زاویه ای ذاتی میدان دیراک تفسیر کرد. این که سزاوار این تفسیر است، از تقابل آن با مولد ناشی می شود $J_{\mu \nu }$ از تبدیلات لورنتس ، دارای شکل

$J_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }+i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\جزئی _{\mu })$

این را می توان به عنوان تکانه زاویه ای کل تفسیر کرد . در میدان اسپینور به عنوان عمل می کند

$\psi ^{\prime }(x)=\exp \left({\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\ psi (x)$ توجه داشته باشید که $ایکس$ در بالا علامت اول وجود ندارد: موارد فوق با تبدیل به دست می آیند $x\mapsto x'$ به دست آوردن تغییر به $\psi (x)\mapsto \psi '(x')$ و سپس به سیستم مختصات اصلی باز می گردد $x'\mapsto x$ .

تفسیر هندسی موارد فوق این است که فیلد فریم افین است و منشا ترحی ندارد. مولد $J_{\mu \nu }$ تقارن‌های این فضا را ایجاد می‌کند: نشان‌گذاری مجدد یک نقطه ثابت را فراهم می‌کند . $x~.$ مولد $\sigma _{\mu \nu }$ حرکتی از یک نقطه در فیبر به نقطه دیگر ایجاد می کند: حرکتی از $x\mapsto x'$ با هر دو $ایکس$ و" $ایکس'$ همچنان با همان نقطه فضازمان مطابقت دارد $آ.$ این اظهارات شاید مبهم را می توان با جبر صریح روشن کرد.

اجازه دهید $x'=\لامبدا x$ تبدیل لورنتس باشد. معادله دیراک است

$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi (x)-m\psi (x)=0$ اگر قرار است معادله دیراک کوواریانت باشد، باید در تمام فریم های لورنتس دقیقاً یک شکل داشته باشد:

$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi ^{\prime }(x^{\prime })-m\psi ^{\prime }(x^{\prime })=0$ دو اسپینور $\psi$ و" $\psi ^{\prime }$ هر دو باید یک میدان فیزیکی را توصیف کنند، و بنابراین باید با تبدیلی مرتبط شوند که هیچ گونه مشاهده‌پذیر فیزیکی (بار، جریان، جرم و غیره ) را تغییر نمی‌دهد . تبدیل باید فقط تغییر چارچوب مختصات را رمزگذاری کند. می توان نشان داد که چنین تبدیلی یک ماتریس واحد است . بنابراین، ممکن است فرض شود که رابطه بین دو فریم را می توان به صورت نوشتاری نوشت

$\psi ^{\prime }(x^{\prime })=S(\Lambda )\psi (x)$ با وارد کردن این در معادله تبدیل شده، نتیجه می شود

$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{ \nu }}}S(\Lambda)\psi (x)-mS(\Lambda)\psi (x)=0$ مختصات مربوط به تبدیل لورنتس:

${\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }} _{\mu }$ سپس معادله دیراک اصلی دوباره بدست می آید اگر

$S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S^{-1}(\Lambda )={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\گاما ^{\nu }$ یک عبارت صریح برایاس() $S(\Lambda)$ (برابر عبارت بالا) را می توان با در نظر گرفتن تبدیل لورنتس از چرخش بی نهایت کوچک در نزدیکی تبدیل هویت به دست آورد:

${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\ ,\ { (\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }-{\omega ^{\mu }}_{\nu }$ جایی که ${g^{\mu }}_{\nu }$ تانسور متریک است : ${g^{\mu }}_{\nu }=g^{\mu \nu '}g_{\nu '\nu }={\delta ^{\mu }}_{\nu }$ و در حالی که متقارن است $\omega _{\mu \nu }={\omega ^{\alpha }}_{\nu }g_{\alpha \mu }$ ضد متقارن است پس از وصل و چنگ زدن، فرد به دست می آید

$S(\Lambda )=I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}\left( \لامبدا ^{2}\راست)$ که شکل (بی نهایت کوچک) برای استاس $اس$ بالا و رابطه را نشان می دهد $\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$ . برای به دست آوردن برچسب مجدد آفین، بنویسید

${\begin{aligned}\psi '(x')&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x)\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\ psi (x'+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\,x^{\prime \,\nu })\\&=\left(I+{\frac {-i}{4} }\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }-x_{\mu }^{\prime }\omega ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\right)\ psi (x')\\&=\left(I+{\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x')\ \\پایان{تراز شده}}$

پس از ضد تقارن مناسب، مولد تقارن ها به دست می آید $J_{\mu \nu }$ قبلا داده شده است. بنابراین، هر دو $J_{\mu \nu }$ و $\sigma _{\mu \nu }$ می‌توان گفت که مولد تبدیل‌های لورنتس است، اما با یک تمایز ظریف: اولی مربوط به علامت‌گذاری مجدد نقاط روی بسته‌بندی قاب افین است که باعث می‌شود یک ترجمه در امتداد فیبر اسپینور روی بسته چرخشی انجام شود ، در حالی که دوم مربوط به ترجمه در امتداد فیبر بسته نرم افزاری چرخشی است (که به عنوان یک حرکت گرفته می شود $x\mapsto x'$ در امتداد بسته نرم افزاری قاب، و همچنین یک حرکت $\psi \mapsto \psi '$ در امتداد فیبر دسته اسپین.) واینبرگ استدلال های بیشتری برای تفسیر فیزیکی این موارد به عنوان تکانه زاویه ای کلی و ذاتی ارائه می دهد. [14]

فرمولاسیون های دیگر [ ویرایش ]

معادله دیراک را می توان به چند روش دیگر فرموله کرد.

فضازمان منحنی [ ویرایش ]

این مقاله معادله دیراک را در فضای زمان مسطح بر اساس نسبیت خاص توسعه داده است. می توان معادله دیراک را در فضازمان منحنی فرموله کرد .

جبر فضای فیزیکی [ ویرایش ]

این مقاله معادله دیراک را با استفاده از چهار بردار و عملگرهای شرودینگر توسعه داد. معادله دیراک در جبر فضای فیزیکی از جبر کلیفورد بر روی اعداد واقعی استفاده می کند که نوعی جبر هندسی است.

ویل اسپینورهای جفت شده [ ویرایش ]

همانطور که در بالا ذکر شد , معادله Dirac بدون جرم بلافاصله به معادله ویل همگن کاهش می یابد . با استفاده از نمایش کایرال ماتریس‌های گاما ، معادله جرم غیرصفر را می‌توان به یک جفت معادله ویل ناهمگن جفت‌شده تجزیه کرد که بر روی اولین و آخرین جفت شاخص‌های اسپینور چهار جزئی اصلی عمل می‌کنند.=(آر) $\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}$ ، جایی که $\psi _{L}$ وآر $\psi _{R}$ هر یک از اسپینورهای ویل دو جزئی هستند . این به این دلیل است که شکل بلوک چوله ماتریس‌های گامای کایرال به این معنی است که آنها ماتریس‌های گاما را مبادله می‌کنند $\psi _{L}$ وآر $\psi _{R}$ و ماتریس های دو به دو پائولی را برای هر کدام اعمال کنید:

$\gamma ^{\mu }{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu } \psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}$ .

بنابراین معادله دیراک

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m){\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=0$

تبدیل می شود

$i{\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\ mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}$

که به نوبه خود معادل یک جفت معادله ویل ناهمگن برای اسپینورهای مارپیچ چپ و راست بدون جرم است که در آن قدرت جفت متناسب با جرم است:

$i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=m\psi _{L}$

$i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=m\psi _{R}$ . [ توضیح لازم است ]

این به عنوان یک توضیح شهودی برای Zitterbewegung پیشنهاد شده است ، زیرا این اجزای بدون جرم با سرعت نور منتشر می‌شوند و در جهت مخالف حرکت می‌کنند، زیرا مارپیچ به معنای بیرون‌تابیدن چرخش بر روی جهت حرکت است. [15] در اینجا نقش "توده" $متر$ این نیست که سرعت را کمتر از سرعت نور کند، بلکه نرخ متوسطی را که در آن این برگشت‌ها رخ می‌دهند، کنترل می‌کند. به طور خاص، معکوس ها را می توان به عنوان یک فرآیند پواسون مدل کرد . [16]

تقارن [ ویرایش ]

در این بخش از واحدهای طبیعی استفاده می شود. ثابت جفت بر اساس قرارداد با برچسب گذاری شده استه $ه$ : این پارامتر را می توان به عنوان مدل سازی بار الکترون نیز مشاهده کرد.

تقارن برداری [ ویرایش ]

معادله و عمل دیراک الف را می پذیرد ${\text{U}}(1)$ تقارن که در آن زمینه ها $\psi ,{\bar {\psi }}$ تبدیل به عنوان

${\begin{aligned}\psi (x)&\mapsto e^{i\alpha }\psi (x),\\{\bar {\psi }}(x)&\mapsto e^{- i\alpha }{\bar {\psi }}(x).\end{aligned}}$ این یک تقارن جهانی است که به آن معروف است ${\text{U}}(1)$ تقارن برداری (برخلاف ${\text{U}}(1)$ تقارن محوری : زیر را ببینید). با قضیه نوتر یک جریان حفظ شده متناظر وجود دارد: این قبلاً به عنوان ذکر شده است

$J^{\mu }(x)={\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x).$

سنجش تقارن [ ویرایش ]

همچنین ببینید: الکترودینامیک کوانتومی

اگر تقارن سراسری را که با ثابت پارامتر شده است، ترویج کنیم $\ آلفا$ ، به یک تقارن محلی، پارامتری شده توسط یک تابع:→آر $\alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R}$ ، یا معادل آنهمن:→، $e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1)،$ معادله دیراک دیگر ثابت نیست: یک مشتق باقی مانده از وجود دارد $\آلفا (x)$ .

اصلاح مانند الکترودینامیک اسکالر ادامه می‌یابد : مشتق جزئی به یک مشتق کوواریانت ارتقا می‌یابد. $D_{\mu }$

$D_{\mu }\psi =\جزئی _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi ,$

$D_{\mu }{\bar {\psi }}=\جزئی _{\mu }{\bar {\psi }}-ieA_{\mu }{\bar {\psi }}.$ مشتق کوواریانت به میدانی که روی آن عمل می شود بستگی دارد. تازه معرفی شدهآ $A_{\mu }$ پتانسیل 4 برداری از الکترودینامیک است، اما همچنین می تواند به عنوان یک مشاهده شود ${\text{U}}(1)$ میدان سنج یا a ${\text{U}}(1)$ اتصال .

قانون تبدیل تحت تبدیل گیج برایآ $A_{\mu }$ پس از آن معمول است

$A_{\mu }(x)\mapsto A_{\mu }(x)+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha (x)$ اما همچنین می‌توان با پرسیدن اینکه مشتق‌های کوواریانت تحت یک تبدیل گیج به‌عنوان تبدیل می‌شوند به دست آمد

$D_{\mu }\psi (x)\mapsto e^{i\alpha (x)}D_{\mu }\psi (x)$

$D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\alpha (x)}D_{\mu }{\bar {\psi }}(x).$ سپس با ارتقاء مشتق جزئی به یک کوواریانت، یک عمل دیراک گیج ثابت به دست می‌آوریم:

$S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi =\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi .$ آخرین مرحله مورد نیاز برای نوشتن یک لاگرانژی ثابت سنج، اضافه کردن یک عبارت لاگرانژی ماکسول است.

$S_{\text{Maxwell}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\درست].$ کنار هم قرار دادن اینها می دهد

عمل QED

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi \right]$

بسط مشتق کوواریانت اجازه می دهد تا عمل به شکل مفید دوم نوشته شود:

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\partial \!\!\!{\big /}-m)\,\psi -eJ^{\mu }A_{\mu }\right]$

3-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه چهاردهم آبان ۱۴۰۲ | 17:9

تبدیل معادله شرودینگر نسبیتی [ ویرایش ]

معادله دیراک از نظر ظاهری شبیه معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد عظیم است :

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.$

سمت چپ نشان دهنده مربع عملگر تکانه تقسیم بر دو برابر جرم است که انرژی جنبشی غیر نسبیتی است. از آنجا که نسبیت فضا و زمان را به عنوان یک کل در نظر می گیرد، تعمیم نسبیتی این معادله مستلزم آن است که مشتقات فضا و زمان باید به طور متقارن وارد شوند، همانطور که در معادلات ماکسول که بر رفتار نور حاکم است وارد شوند - معادلات باید به طور متفاوت از یک ترتیب در فضا باشند. و زمان. در نسبیت، تکانه و انرژی ها بخش های مکان و زمان یک بردار فضا-زمان، چهار تکانه هستند و با رابطه نسبیتی نامتغیر به هم مرتبط هستند.

$E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$

که می گوید طول این چهار بردار با جرم باقیمانده m متناسب است . جایگزینی معادل‌های عملگر انرژی و تکانه از نظریه شرودینگر، معادله کلاین-گوردون را تولید می‌کند که انتشار امواج را توصیف می‌کند، که از اجرام نسبیتی ثابت ساخته شده‌اند.

$\left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\ راست)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi$ با تابع موج ϕ که یک عدد اسکالر نسبیتی است: عدد مختلطی که مقدار عددی یکسانی در همه چارچوب های مرجع دارد. مشتقات مکان و زمان هر دو به مرتبه دوم وارد می شوند. این یک پیامد گویا برای تفسیر معادله است. از آنجایی که معادله در مشتق زمان مرتبه دوم است، برای حل مسائل قطعی باید مقادیر اولیه را هم برای خود تابع موج و هم برای اولین مشتق زمانی آن مشخص کرد. از آنجایی که هر دو ممکن است کم و بیش دلخواه مشخص شوند، تابع موج نمی تواند نقش سابق خود را در تعیین چگالی احتمال یافتن الکترون در یک حالت حرکت معین حفظ کند. در نظریه شرودینگر، چگالی احتمال با عبارت قطعی مثبت داده می شود

$\rho =\phi ^{*}\phi$ و این چگالی با توجه به بردار جریان احتمال همرفت می شود

$J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})$ با پایستگی احتمال جریان و چگالی که از معادله پیوستگی به دست می آید:

$\nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.$

این واقعیت که چگالی قطعی است و بر اساس این معادله پیوستگی جابجا می شود، بیانگر این است که می توان چگالی را در یک دامنه معین ادغام کرد و کل را 1 قرار داد و این شرط توسط قانون بقا حفظ می شود . یک نظریه نسبیتی مناسب با جریان چگالی احتمال نیز باید این ویژگی را داشته باشد. برای حفظ مفهوم چگالی همرفت، باید بیان شرودینگر چگالی و جریان را تعمیم داد تا مشتقات مکان و زمان دوباره به طور متقارن در رابطه با تابع موج اسکالر وارد شوند. عبارت شرودینگر را می توان برای جریان نگه داشت، اما چگالی احتمال باید با عبارت متقارن جایگزین شود [ توضیح بیشتر لازم است ]

$\rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*}\راست).$ که اکنون به مولفه چهارم یک بردار فضازمان تبدیل می شود و کل احتمال چگالی جریان 4 دارای بیان کوواریانس نسبیتی است.

$J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu } \psi ^{*}\راست).$

معادله تداوم مانند قبل است. اکنون همه چیز با نسبیت سازگار است، اما بیان چگالی دیگر قطعی مثبت نیست. مقادیر اولیه ψ و ∂ t ψ ممکن است آزادانه انتخاب شوند، و بنابراین چگالی ممکن است منفی شود، چیزی که برای چگالی احتمال مشروع غیرممکن است. بنابراین، نمی‌توان تعمیم ساده‌ای از معادله شرودینگر را با این فرض ساده‌لوحانه دریافت کرد که تابع موج یک اسکالر نسبیتی است، و معادله‌ای که آن را برآورده می‌کند، مرتبه دوم در زمان است.

اگرچه تعمیم نسبیتی موفق معادله شرودینگر نیست، این معادله در زمینه نظریه میدان کوانتومی احیا شده است، جایی که به عنوان معادله کلاین-گوردون شناخته می شود و یک میدان ذره بدون اسپین را توصیف می کند (مثلاً مزون پی یا بوزون هیگز ) . . از نظر تاریخی، خود شرودینگر قبل از معادله ای که نام او را دارد به این معادله رسید اما به زودی آن را کنار گذاشت. در زمینه تئوری میدان کوانتومی، چگالی نامحدود مطابق با چگالی بار است که می تواند مثبت یا منفی باشد و نه چگالی احتمال.

کودتای دیراک [ ویرایش ]

بنابراین دیراک فکر کرد معادله ای را امتحان کند که هم در مکان و هم در زمان مرتبه اول باشد . برای مثال، می‌توان به طور رسمی (یعنی با سوء استفاده از نماد ) عبارت نسبیتی را برای انرژی در نظر گرفت

$E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,$ p را با معادل عملگر آن جایگزین کنید ، ریشه دوم را در یک سری نامتناهی از عملگرهای مشتق بسط دهید، یک مسئله مقدار ویژه تنظیم کنید، سپس معادله را به طور رسمی با تکرار حل کنید. اکثر فیزیکدانان به چنین فرآیندی اعتقاد کمی داشتند، حتی اگر از نظر فنی امکان پذیر باشد.

همانطور که داستان پیش می‌رود، دیراک به شومینه کمبریج خیره شده بود و به این مشکل فکر می‌کرد، که به این فکر افتاد که ریشه دوم عملگر موج را بگیرد:

$\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A \جزئی _{x}+B\جزئی _{y}+C\جزئی _{z}+{\frac {i}{c}}D\جزئی _{t}\راست)\چپ(A\جزئی _ {x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.$

با ضرب در سمت راست، آشکار است که برای ناپدید شدن تمام عبارات متقاطع مانند ∂ x ∂ y ، باید فرض کرد

$AB+BA=0,~\ldots ~$ با

$A^{2}=B^{2}=\dots =1~.$

دیراک که در آن زمان به شدت درگیر کارکردن مبانی مکانیک ماتریس هایزنبرگ بود، فوراً فهمید که اگر A ، B ، C و D ماتریس‌هایی باشند ، می‌توان این شرایط را برآورده کرد ، با این مفهوم که تابع موج دارای چندین مؤلفه است . این بلافاصله ظهور توابع موج دو جزئی را در نظریه پدیدارشناسی اسپین پائولی توضیح داد ، چیزی که تا آن زمان حتی برای خود پائولی مرموز تلقی می شد. با این حال، برای راه‌اندازی سیستمی با ویژگی‌های مورد نیاز، حداقل به ماتریس‌های ۴۴ نیاز است - بنابراین تابع موج چهار جزء داشت، نه دو جزء، مانند نظریه پائولی، یا یک جزء، مانند نظریه شرودینگر خالی. تابع موج چهار جزئی نشان دهنده کلاس جدیدی از شیء ریاضی در تئوری های فیزیکی است که برای اولین بار در اینجا ظاهر می شود.

با توجه به فاکتورگیری بر حسب این ماتریس ها، اکنون می توان بلافاصله یک معادله را یادداشت کرد

$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right) \psi =\kappa \psi$ با $\کاپا$ تعیین شود. با اعمال مجدد عملگر ماتریس در هر دو طرف نتیجه می شود

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\ psi ~.$

گرفتنℏ $\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ نشان می دهد که تمام اجزای تابع موج به صورت جداگانه رابطه نسبیتی انرژی - تکانه را برآورده می کنند. بنابراین معادله جستجو شده که هم در مکان و هم در زمان مرتبه اول است

$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\ frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.$

تنظیمات

$A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\ ,D=\بتا ~,$ و چون $D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}$ ، معادله دیراک همانطور که در بالا نوشته شد تولید می شود.

شکل کوواریانت و عدم تغییر نسبیتی [ ویرایش ]

برای نشان دادن تغییر ناپذیری نسبیتی معادله، سودمند است که آن را به شکلی درآوریم که در آن مشتقات مکانی و زمانی در یک موقعیت مساوی ظاهر شوند. ماتریس های جدید به شرح زیر معرفی می شوند:

${\begin{aligned}D&=\gamma ^{0},\\A&=i\gamma ^{1},\quad B=i\gamma ^{2},\quad C=i\gamma ^ {3}،\end{تراز شده}}$ و معادله شکل می گیرد (با یادآوری تعریف مولفه های کوواریانت 4-gradient و به خصوص اینکه ∂ 0 =1/ج∂ t )

2--معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه چهاردهم آبان ۱۴۰۲ | 17:8

الحاق دیراک و معادله الحاق [ ویرایش ]

دیراک مجاور میدان اسپینور $\psi (x)$ به عنوان ... تعریف شده است

${\bar {\psi }}(x)=\psi (x)^{\dagger }\gamma ^{0}.$

با استفاده از خاصیت ماتریس های گاما (که به طور مستقیم از ویژگی های هرمیتی از $\گاما ^{\mu }$ ) که

$(\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},$

می توان با گرفتن مزدوج هرمیتی معادله دیراک و ضرب در سمت راست معادله دیراک را در0 $\گاما ^{0}$ :

${\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0$

که در آن مشتق جزئی ${\overleftarrow {\partial }}_{\mu }$ از راست به بعد عمل می کند ${\bar {\psi }}(x)$ : نوشته شده به روش معمول بر حسب عمل چپ مشتق، داریم

$-i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.$

معادله کلاین-گوردون [ ویرایش ]

اعمال کرد $i\partial \!\!\!/+m$ به معادله دیراک می دهد

$(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\psi (x)=0.$

یعنی هر جزء از میدان اسپینور دیراک معادله کلاین-گوردون را برآورده می کند .

جریان ذخیره شده [ ویرایش ]

یک جریان حفظ شده از نظریه است

$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

اثبات پایستگی از معادله دیراک

با جمع کردن معادلات دیراک و الحاق دیراک به دست می آید

$i((\partial _{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _ {\mu }\psi )=0$

بنابراین طبق قانون لایب نیتس،

$i\partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )=0$

روش دیگر برای استخراج این عبارت با استفاده از روش‌های متغیر، اعمال قضیه نوتر برای کل است ${\text{U}}(1)$ تقارن برای استخراج جریان ذخیره شده. $J^{\mu }.$

اثبات پایستگی از قضیه نوتر

به یاد بیاورید لاگرانژی است

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi .$

زیر یک $U(1)$ تقارن که می فرستد

${\begin{aligned}\psi &\mapsto e^{i\alpha }\psi ,\\{\bar {\psi }}&\mapsto e^{-i\alpha }{\bar {\ psi }}،\end{تراز شده}}$

ما متوجه می شویم که لاگرانژی ثابت است.

اکنون پارامتر تنوع را در نظر می گیریم $\ آلفا$ برای بی نهایت کوچک بودن، در مرتبه اول کار می کنیم $\ آلفا$ و نادیده گرفتن ${\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}$ مقررات. از بحث قبلی بلافاصله شاهد تغییر صریح در لاگرانژی به دلیل $\ آلفا$ در حال ناپدید شدن است، که تحت تغییر است،

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\delta {\mathcal {L}},$ $\delta {\mathcal {L}}=0$ .

به عنوان بخشی از قضیه نوتر، تغییرات ضمنی را در لاگرانژ به دلیل تنوع میدان‌ها می‌یابیم. اگر معادله حرکت برای $\psi ,{\bar {\psi }}$ پس راضی هستند

$\delta {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\delta \psi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }{\bar {\psi }})}}\delta {\bar { \psi }}\راست)$

( * )

این بلافاصله ساده می شود زیرا هیچ مشتق جزئی از آن وجود ندارد ${\bar {\psi }}$ در لاگرانژی $\delta \psi$ تنوع بی نهایت کوچک است

$\delta \psi (x)=i\alpha \psi (x).$

ارزیابی می کنیم

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu } .$

معادله ( * ) می شود

$0=-\alpha \partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )$ و ما تمام شدیم

راه حل ها [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: دیراک اسپینور و نظریه سوراخ

از آنجایی که عملگر دیراک بر روی 4 توابع قابل ادغام مربع عمل می کند ، راه حل های آن باید اعضای همان فضای هیلبرت باشند . این واقعیت که انرژی های محلول ها حد پایینی ندارند، غیرمنتظره است.

راه حل های موج صفحه [ ویرایش ]

راه حل های موج صفحه آنهایی هستند که از انساتز ناشی می شوند

$\psi (x)=u(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}$ که یک ذره را با 4 تکانه معین مدل می کند $p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )$ جایی که ${\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}$

برای این ansatz، معادله دیراک معادله ای برای $u(\mathbf {p} )$ :

$\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m\right)u(\mathbf {p})=0.$

پس از انتخاب یک نمایش برای ماتریس های گاما $\گاما ^{\mu }$ ، حل این مسئله حل یک سیستم معادلات خطی است. این یک ویژگی بدون نمایش ماتریس گاما است که فضای حل دو بعدی است ( اینجا را ببینید ).

به عنوان مثال، در نمایش کایرال برای $\گاما ^{\mu }$ ، فضای حل با a پارامتر می شود $\mathbb{C}^2$ بردار $\xi$ ، با

$u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma ^{\mu }p_{\mu }}}\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }}}\xi \end{pmatrix}}$

جایی که

$\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{ من})$ و⋅ ${\sqrt {\cdot }}$ ماتریس هرمیتی ریشه مربع است.

این راه حل های موج صفحه نقطه شروعی برای کوانتیزه سازی متعارف فراهم می کند.

فرمول لاگرانژی [ ویرایش ]

هم معادله دیراک و هم معادله دیراک الحاقی را می توان از (تغییر) کنش با چگالی لاگرانژی خاص بدست آورد که به وسیله:

${\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\ psi }}\psi$

اگر یکی این را با توجه به $\psi$ یکی معادله دیراک الحاقی را دریافت می کند. در ضمن، اگر این را با توجه به ${\bar {\psi }}$ یکی معادله دیراک را دریافت می کند.

در واحدهای طبیعی و با علامت اسلش، عمل پس از آن است

1-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه چهاردهم آبان ۱۴۰۲ | 17:1

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با تابع دلتا دیراک اشتباه شود .

بخشی از مجموعه مقالات در مورد

مکانیک کوانتومی

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$

معادله شرودینگر

معرفی
واژه نامه
تاریخ

نشان می دهد

زمینه

نشان می دهد

مبانی

نشان می دهد

آزمایش

نشان می دهد

فرمولاسیون

پنهان شدن

معادلات

دیراک
کلاین-گوردون
پائولی
رایدبرگ
شرودینگر

نشان می دهد

تفاسیر

نشان می دهد

موضوعات پیشرفته

نشان می دهد

دانشمندان

v
تی
ه

در فیزیک ذرات ، معادله دیراک یک معادله موج نسبیتی است که توسط فیزیکدان بریتانیایی پل دیراک در سال 1928 به دست آمده است. در شکل آزاد آن، یا شامل برهمکنش های الکترومغناطیسی، تمام ذرات اسپین 1/2 جرم را توصیف می کند ، به نام ذرات دیراک، مانند الکترون ها و کوارک هایی که برابری برای آنها تقارن است . این نظریه هم با اصول مکانیک کوانتومی و هم با نظریه نسبیت خاص مطابقت دارد ، [1] و اولین نظریه ای بود که به طور کامل نسبیت خاص را در زمینه مکانیک کوانتومی توضیح داد. با محاسبه ساختار ظریف طیف هیدروژن به روشی کاملاً دقیق تأیید شد.

این معادله همچنین حاکی از وجود شکل جدیدی از ماده، پادماده است که قبلاً مشکوک و مشاهده نشده بود و چندین سال بعد به طور تجربی تأیید شد. همچنین یک توجیه نظری برای معرفی چندین تابع موج مؤلفه در نظریه پدیدارشناسی اسپین پائولی ارائه کرد . توابع موج در تئوری دیراک بردارهای چهار عدد مختلط (معروف به بیسپینورها ) هستند که دو عدد از آنها شبیه تابع موج پائولی در حد غیر نسبیتی هستند، برخلاف معادله شرودینگر که توابع موجی را تنها با یک مقدار مختلط توصیف می‌کند. علاوه بر این، در حد صفر جرم، معادله دیراک به معادله ویل کاهش می یابد .

اگرچه دیراک در ابتدا به طور کامل اهمیت نتایج خود را درک نمی کرد، توضیحی که شامل اسپین به عنوان پیامد اتحاد مکانیک کوانتومی و نسبیت - و در نهایت کشف پوزیترون - می شود، نشان دهنده یکی از پیروزی های بزرگ فیزیک نظری است . این دستاورد کاملاً همتراز با کارهای نیوتن ، ماکسول و انیشتین قبل از او توصیف شده است. [2] برخی از فیزیکدانان آن را "نطفه واقعی فیزیک مدرن" می دانند. [3] در زمینه تئوری میدان کوانتومی ، معادله دیراک برای توصیف میدان‌های کوانتومی مربوط به ذرات اسپین 1/2 تفسیر می‌شود .

معادله دیراک بر روی پلاکی در کف کلیسای وست مینستر حک شده است . این پلاک که در 13 نوامبر 1995 رونمایی شد، یادبود زندگی پل دیراک است. [4]

فرمول بندی ریاضی [ ویرایش ]

در فرمول مدرن آن برای نظریه میدان، معادله دیراک بر حسب میدان اسپینور دیراک نوشته شده است. $\psi$ گرفتن مقادیر در یک فضای برداری پیچیده به طور مشخص به عنوانسی4 $\mathbb {C} ^{4}$ تعریف شده در فضای زمان تخت ( فضای مینکوفسکی ) $\mathbb {R} ^{1،3}$ . بیان آن همچنین حاوی ماتریس های گاما و یک پارامتر است $m>0$ به عنوان جرم و همچنین سایر ثابت های فیزیکی تفسیر می شود. دیراک ابتدا معادله خود را از طریق فاکتورسازی رابطه هم ارزی انرژی-تکانه-جرم اینشتین با فرض حاصلضرب اسکالر بردارهای تکانه تعیین شده توسط تانسور متریک به دست آورد و رابطه حاصل را با مرتبط کردن لحظه به عملگرهای مربوطه کوانتی کرد.

از نظر یک رشته: $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$ ، معادله دیراک پس از آن است

معادله دیراک

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0$

و در واحدهای طبیعی با علامت اسلش

معادله دیراک (واحدهای طبیعی)

$(i\partial \!\!\!/-m)\psi (x)=0$

ماتریس های گاما مجموعه ای چهارتایی هستند $4 \ برابر 4$ ماتریس های پیچیده (عناصر ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ ) که روابط تعیین کننده ضد تعویض را برآورده می کند:

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$ جایی که $\eta ^{\mu \nu }$ عنصر متریک مینکوفسکی و شاخص ها است $\mu، \nu$ بر روی 0،1،2 و 3 اجرا کنید. این ماتریس‌ها را می‌توان به‌صراحت تحت یک انتخاب نمایش محقق کرد. دو انتخاب رایج، نمایندگی دیراک است

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix }0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}،$

جایی که $\sigma ^{i}$ ماتریس های پائولی هستند و نمایش کایرال: the $\گاما^i$ یکسان هستند، اما $\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

نماد اسلش یک نماد فشرده برای است

$A\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }A_{\mu }$

جایی که $آ$ چهار بردار است (اغلب عملگر دیفرانسیل چهار بردار است $\جزئی _{\mu }$ ). جمع بر روی شاخص $\mu$ ضمنی است.

3-توجیه نظری و تجربی معادله شرودینگر

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ | 18:37

فرضیه دو بروگلی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: موج ماده

د بروگلی فرض می‌کرد که هر ذره هم با یک ذره و هم با موج همراه است. فرکانس زاویه ای $\ امگا$ و عدد موجک $ک$ موج با انرژی E و تکانه p ذره مرتبط بود

$E=\hbar \omega$ و

$p=\hbar k.$

این سوال به این کاهش می یابد که آیا هر ناظری در هر چارچوب مرجع اینرسی می تواند در مورد فاز موج توافق کند؟ اگر چنین است، پس توصیف موج مانند ذرات ممکن است با نسبیت خاص سازگار باشد.

قاب استراحت [ ویرایش ]

ابتدا قاب باقیمانده ذره را در نظر بگیرید. در این حالت فرکانس و تعداد موج موج به انرژی و تکانه ذرات مربوط می شود.

$E_{0}=mc^{2}=\hbar \omega _{0}$ و

$p_{0}=0=\hbar k_{0}$ جایی که m جرم باقیمانده ذره است.

این موجی با طول موج بی نهایت و سرعت فاز نامحدود را توصیف می کند

$v_{\phi }={\omega _{0} \over k_{0}}.$

موج ممکن است متناسب با آن نوشته شود

$\cos(\omega _{0}t).$

با این حال، این راه حل برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده نیز است که می تواند به عنوان یک ساعت در قاب استراحت ذره در نظر گرفته شود. می‌توانیم تصور کنیم که یک ساعت با همان فرکانس نوسانی موج می‌زند. فازهای موج و ساعت را می توان همگام کرد.

قاب ناظر [ ویرایش ]

نشان داده شده است که فاز موج در یک قاب ناظر با فاز موج در یک قاب ذره ای و همچنین مانند ساعت ها در دو قاب است. بنابراین، در نسبیت خاص، هم یک تصویر موج مانند و هم یک تصویر ذره مانند یکپارچگی وجود دارد.

فاز ساعت ناظر [ ویرایش ]

در قاب ناظری که با سرعت نسبی v نسبت به ذره حرکت می کند، ساعت ذره با فرکانس تیک تیک مشاهده می شود.

$\omega _{c}={\omega _{0} \over \gamma }$ جایی که

$\gamma ={1 \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}$ یک عامل لورنتس است که اتساع زمانی ساعت ذرات را همانطور که توسط ناظر مشاهده می شود توصیف می کند.

فاز ساعت ناظر است

$\omega _{c}t={\omega _{0} \over \gamma }(\gamma t_{0})=\omega _{0}t_{0}$ جایی که $t_0$ زمان در قاب ذرات اندازه گیری می شود. هم ساعت ناظر و هم ساعت ذرات روی فاز توافق دارند.

فاز موج ناظر [ ویرایش ]

فرکانس و تعداد موج موج در قاب ناظر با استفاده از

$E=\gamma m_{o}c^{2}=\hbar \omega =\gamma \hbar \omega _{o}$ و

${\vec {p}}=\gamma m_{o}{\vec {v}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {\gamma \hbar \omega _{o}{ \vec {v}}}{c^{2}}}$ با سرعت فاز

$v_{\phi }={\omega \over k}={E \over p}={c^{2} \over v}.$

فاز موج در قاب ناظر است

$\omega t-kx=\omega t-{\omega \over v_{\phi }}vt=\omega t\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right )={\omega t \over \gamma ^{2}}={1 \over \gamma ^{2}}{\gamma m_{o}c^{2} \over \hbar }(\gamma t_{o })=\omega _{o}t_{o}=\omega _{c}t.$

فاز موج در قاب ناظر مانند فاز قاب ذرات، ساعت در قاب ذرات و ساعت در قاب ناظر است. بنابراین یک تصویر موج مانند از ذرات با نسبیت خاص سازگار است.

در واقع، اکنون می دانیم که این روابط را می توان به طور خلاصه با استفاده از نماد نسبیتی 4 بردار خاص نوشت :

چهار بردار مربوطه عبارتند از:

چهار موقعیت $\mathbf{X} = (ct,\vec{x})$
چهار سرعته $\mathbf{U} = \گاما (c,\vec{u})$
چهار تکانه $\mathbf{P} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\راست)$
بردار چهار موج $\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}}, {\frac {\omega }{v_{\phi }}}{\hat {n}}\right)$

روابط بین چهار بردار به شرح زیر است:

$\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d\tau}$
$\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = m_o \mathbf{U}$
$\mathbf {K} =\left({\frac {m_{o}}{\hbar }}\right)\mathbf {U} =\left({\frac {\omega _{o}}{ c^{2}}}\right)\mathbf {U}$

فاز موج نامتغیر نسبیتی است:

$\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}=\omega _{o}t_{o}=\omega _{o}\tau$

اتم بور [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اتم بور

نیلز بور . در سال 1922 جایزه نوبل فیزیک به نیلز بور برای کمک به درک مکانیک کوانتومی اهدا شد.

ناسازگاری مشاهده با فیزیک کلاسیک [ ویرایش ]

فرضیه دو بروگلی به حل مسائل برجسته در فیزیک اتمی کمک کرد. فیزیک کلاسیک قادر به توضیح رفتار مشاهده شده الکترون ها در اتم ها نبود. به طور خاص، الکترون‌های شتاب‌دهنده تابش الکترومغناطیسی را طبق فرمول Larmor منتشر می‌کنند . الکترون هایی که به دور یک هسته می چرخند باید انرژی خود را در برابر تشعشع از دست بدهند و در نهایت به درون هسته حرکت کنند. این مورد رعایت نمی شود. اتم ها در مقیاس های زمانی بسیار طولانی تر از پیش بینی شده توسط فرمول کلاسیک لارمور پایدار هستند.

همچنین، اشاره شد که اتم های برانگیخته تابش با فرکانس های گسسته ساطع می کنند. انیشتین از این واقعیت برای تفسیر بسته های انرژی گسسته نور به عنوان ذرات واقعی استفاده کرد. اگر این ذرات واقعی از اتم‌ها در بسته‌های انرژی گسسته ساطع می‌شوند، با این حال، آیا گسیل‌کننده‌ها، الکترون‌ها نیز باید انرژی را در بسته‌های انرژی گسسته تغییر دهند؟ در مکانیک نیوتنی چیزی وجود ندارد که این را توضیح دهد.

فرضیه د بروگلی با ذکر این نکته که تنها حالت های مجاز برای الکترونی که به دور یک اتم می چرخد، آنهایی هستند که امواج ایستاده مرتبط با هر الکترون را امکان پذیر می کنند، به توضیح این پدیده کمک کرد.

سریال بالمر [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: سری بالمر

سری بالمر فرکانس های نوری را که می توانند از یک اتم هیدروژن برانگیخته ساطع شوند را شناسایی می کند:

$\hbar \omega _{n}=R\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\quad n=3،4،5،\dots$ که در آن R به عنوان ثابت ریدبرگ شناخته می شود و برابر با 13.6 الکترون ولت است .

مفروضات مدل بور [ ویرایش ]

مدل بور که در سال 1913 معرفی شد، تلاشی بود برای ارائه یک مبنای نظری برای سری بالمر. مفروضات مدل عبارتند از:

الکترون های در حال گردش در مدارهای دایره ای که دارای انرژی های کوانتیزه گسسته بودند وجود داشتند . یعنی هر مداری ممکن نیست، بلکه فقط مدارهای خاصی ممکن است.
قوانین مکانیک کلاسیک زمانی اعمال نمی شود که الکترون ها از یک مدار مجاز به مدار دیگر پرش کنند.
هنگامی که یک الکترون از یک مدار به مدار دیگر پرش می کند، اختلاف انرژی توسط یک کوانتوم نور منفرد (به نام فوتون ) که انرژی آن برابر با اختلاف انرژی بین دو اوربیتال است منتقل می شود (یا تامین می شود).
مدارهای مجاز به مقادیر کوانتیزه شده (گسسته) تکانه زاویه ای مداری ، L مطابق با معادله بستگی دارد. $L=n\hbar$ که در آن n = 1،2،3،... و عدد کوانتومی اصلی نامیده می شود .

مفاهیم مدل بور [ ویرایش ]

در مدار دایره ای ، نیروی گریز از مرکز، نیروی جاذبه الکترون را متعادل می کند

${mv^{2} \over r}={{e_{M}}^{2} \over r^{2}}$ که m جرم الکترون، v سرعت الکترون، r شعاع مدار و

${e_{M}}={e \over {4\pi \epsilon _{0}}}$ جایی که e بار الکترون یا پروتون است.

انرژی الکترون در حال گردش است

$E={1 \over 2}mv^{2}-{{e_{M}}^{2} \over r}=-{1 \over 2}{{e_{M}}^{2 } \over r}$ که از بیان نیروی گریز از مرکز به دست می آید.

فرض حرکت زاویه ای مدل بور دلالت دارد

$L=mvr=n\hbar$ که به این معنی است که وقتی با معادله نیروی گریز از مرکز ترکیب می شود، شعاع مدار با

$r={n^{2}\hbar ^{2} \over m{e_{M}}^{2}}.$

این از معادله انرژی نشان می دهد،

$E_{n}=-{1 \over 2}{{e_{M}}^{2} \over r}=-{1 \over 2}\left({m{e_{M}}^ {4} \over \hbar ^{2}}\right){1 \over n^{2}}.$

تفاوت بین سطوح انرژی سری بالمر را بازیابی می کند.

مشارکت دی بروگلی در مدل بور [ ویرایش ]

مفروضات بور سری بالمر مشاهده شده را بازیابی می کند. با این حال، مفروضات بور خود بر هیچ نظریه کلی تری مبتنی نیستند. به عنوان مثال، چرا مدارهای مجاز باید به تکانه زاویه ای بستگی داشته باشند؟ فرضیه دو بروگل بینشی را ارائه می دهد.

اگر فرض کنیم که الکترون دارای تکانه ای است که توسط

$p=mv=\hbar k$ همانطور که توسط فرضیه دو بروگلی فرض شده است، سپس تکانه زاویه ای توسط

$L=mvr=\hbar kr=\hbar \left({2\pi \over \lambda }\right)r$ جایی که $\لامبدا$ طول موج موج الکترونی است.

اگر فقط امواج الکترونی ایستاده در اتم مجاز باشد، تنها مدارهایی با محیطی برابر با تعداد انتگرال طول موج مجاز هستند:

$\lambda ={2\pi r \over n}.$

این بدان معناست که مدارهای مجاز دارای تکانه زاویه ای هستند

$L=n\hbar$ که چهارمین فرض بور است.

مفروضات یک و دو بلافاصله دنبال می شوند. فرض سوم از بقای انرژی ناشی می شود، که دو بروگل نشان داد که با تفسیر موجی ذرات مطابقت دارد.

نیاز به معادلات دینامیکی [ ویرایش ]

مشکل فرضیه دو بروگلی که در مورد اتم بور اعمال می شود این است که ما یک راه حل موج مسطح را که در فضای خالی معتبر است به موقعیتی وادار کرده ایم که در آن پتانسیل جذابی قوی وجود دارد. ما هنوز معادله دینامیکی کلی برای تکامل امواج الکترونی را کشف نکرده ایم. معادله شرودینگر تعمیم فوری فرضیه دو بروگلی و دینامیک فوتون است.

معادله شرودینگر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله شرودینگر

قیاس با دینامیک فوتون [ ویرایش ]

دینامیک یک فوتون توسط

$|\phi (t+dt)\rangle -|\phi (t)\rangle =-i{\hat {H}}dt|\phi (t)\rangle$ جایی که $\ کلاه اچ$ یک عملگر هرمیتی است که توسط معادلات ماکسول تعیین می شود. هرمیتیسیته اپراتور تضمین می کند که انرژی حفظ می شود.

اروین شرودینگر فرض کرد که دینامیک ذرات پرجرم به همان شکل دینامیک فوتون های صرفه جویی در انرژی است.

$|\psi (t+dt)\rangle -|\psi (t)\rangle =-i{\hat {H}}dt|\psi (t)\rangle$ جایی که $|\psi (t)\rangle$ بردار حالت برای ذره است و $\ کلاه اچ$ اکنون یک اپراتور هرمیتی ناشناخته است که باید مشخص شود.

بردار حالت ذره [ ویرایش ]

شرودینگر به جای حالت های پلاریزاسیون مانند حالت فوتون، حالت بردار را به موقعیت ذره بستگی داشت. اگر یک ذره در یک بعد فضایی زندگی می کند، آنگاه خط را به تعداد بی نهایت سطل های کوچک با طول تقسیم می کند. $\لامبدا$ و یک جزء از بردار حالت را به هر بین اختصاص داد

$|\psi (t)\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\vdots \\\psi _{j-1}(t)\\\psi _{j}(t)\\\psi _ {j+1}(t)\\\vdots \end{pmatrix}}.$ زیرنویس j بن را مشخص می کند.

شکل ماتریس و دامنه های انتقال [ ویرایش ]

معادله انتقال را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت

$\psi _{j}(t+dt)^{}-\psi _{j}(t)=-i\sum _{k}^{}H_{jk}\,dt\,\psi _{k}(t).$

شرایط هرمیتی ایجاب می کند

$H_{jk}=H_{kj}^{*}.$

شرودینگر فرض کرد که احتمال فقط می تواند در گام زمانی کوچک dt به سطل های مجاور نشت کند. به عبارت دیگر، تمام اجزای H به جز انتقال بین سطل های همسایه، صفر هستند

${\begin{aligned}H_{j\pm 1,j}&\neq 0,\\[1ex]H_{j,j}&\neq 0.\end{aligned}}$

علاوه بر این، فرض بر این است که فضا از این نظر یکنواخت است که همه انتقال‌ها به راست برابر هستند

$H_{j+1,j}^{}=H_{j,j-1}^{}\equiv H_{R}.$

همین امر در مورد انتقال به چپ نیز صادق است

$H_{j-1,j}^{}=H_{j,j+1}^{}\equiv H_{L}$

معادله انتقال می شود

$i{\partial \psi _{j}(t) \over \partial t}=H_{L}\psi _{j+1}(t)-H_{R}\psi _{j}( t)+H_{R}\psi _{j-1}(t)-H_{L}\psi _{j}(t)+H_{jj}\psi _{j}(t).$

اولین عبارت در سمت راست نشان دهنده حرکت دامنه احتمال به بین j از سمت راست است. عبارت دوم نشان دهنده نشت احتمال از بین j به سمت راست است. عبارت سوم نشان دهنده نشت احتمال به بین j از سمت چپ است. عبارت چهارم نشان دهنده نشت از بین j به سمت چپ است. عبارت نهایی نشان دهنده هر تغییر فاز در دامنه احتمال در بین j است.

اگر دامنه احتمال را به مرتبه دوم در اندازه بین گسترش دهیم $\لامبدا$ و فضا را همسانگرد فرض کنید، $H_{R}=H_{L}\equiv H_{0}$ معادله انتقال به کاهش می یابد

$i{\partial \psi _{j}(t) \over \partial t}=H_{0}{\lambda ^{2}}{\partial ^{2}\psi _{j}(t ) \over \partial x^{2}}+H_{jj}\psi _{j}(t).$

معادله شرودینگر در یک بعد [ ویرایش ]

چگالی احتمال برای الکترون در اعداد کوانتومی مختلف در اتم هیدروژن.

معادله انتقال باید با فرضیه دو بروگلی سازگار باشد. در فضای آزاد، دامنه احتمال برای موج دو بروگلی متناسب است

انقضا

$\exp \left[i\left(kx-\omega t\right)\right]$ جایی که

$E=\hbar \omega ={p^{2} \over 2m}={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}$ در حد غیر نسبیتی

راه‌حل د بروگلی برای فضای آزاد راه‌حل معادله انتقال در صورت نیاز است

$H_{0}\lambda ^{2}=-{\frac {\hbar }{2m}}$ و

$H_{jj}=0.$

عبارت مشتق زمانی در معادله گذار را می توان با انرژی موج دو بروگل شناسایی کرد. اصطلاح مشتق فضایی را می توان با انرژی جنبشی شناسایی کرد. این نشان می دهد که عبارت حاویاچ $H_{jj}$ متناسب با انرژی پتانسیل است. معادله شرودینگر به دست می آید

$i\hbar {\partial \psi (x,t) \over \partial t}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\ psi (x,t)}{\ xpartial x^{2}}}+U(x)\psi (x,t)$

که در آن U انرژی پتانسیل کلاسیک و

$\psi (x,t)\equiv {1 \over {\sqrt {\lambda }}}\psi _{j}(t)$ و

$1=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)dx.$

معادله شرودینگر در سه بعدی [ ویرایش ]

در سه بعد معادله شرودینگر می شود

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\nabla ^{2}\psi }+U\psi =i\hbar {\partial \over \partial t}\psi$

اتم هیدروژن [ ویرایش ]

راه حل برای اتم هیدروژن امواج ایستاده انرژی را دقیقاً توسط سری بالمر ارائه می کند. این تاییدی شگفت انگیز از معادله شرودینگر و رفتار موج مانند ماده بود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Theoretical_and_experimental_justification_for_the_Schr%C3%B6dinger_equation

2-توجیه نظری و تجربی معادله شرودینگر

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ | 18:33

چگالی تکانه زاویه ای امواج الکترومغناطیسی کلاسیک [ ویرایش ]

چگالی تکانه زاویه ای است

${\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r},t)\راست].$

برای یک موج صفحه سینوسی، تکانه زاویه ای در جهت z است و با ( رفتن به نماد مختلط) داده می شود.

${\mathcal {L}}={{\mid \mathbf {E} \mid ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\mid \langle R|\phi \rangle \mid ^{2}-\mid \langle L|\phi \rangle \mid ^{2}\right)={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\mid \phi _{R}\mid ^{2}-\mid \phi _{L}\mid ^{2}\راست)$

جایی که دوباره چگالی در طول موج به طور میانگین محاسبه می شود. در اینجا بردارهای واحد قطبی دایره ای راست و چپ به صورت تعریف می شوند

$|R\rangle \equiv {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}$ و

$|L\rangle \equiv {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}.$

اپراتورهای واحد و صرفه جویی در انرژی [ ویرایش ]

برای مثال، موج می تواند با عبور از یک کریستال دوشکست یا از شکاف هایی در یک توری پراش تبدیل شود . ما می توانیم تبدیل حالت را از حالت در زمان t به حالت در زمان تعریف کنیم $(t+\tau )$ مانند

$|\phi (t+\tau )\rangle ={\hat {U}}(\tau )|\phi (t)\rangle .$

برای حفظ انرژی در موجی که نیاز داریم

$\langle \phi (t+\tau )|\phi (t+\tau )\rangle =\langle \phi (t)|{\hat {U}}^{\dagger }(\tau ){\hat {U}}(\tau )|\phi (t)\rangle =\langle \phi (t)|\phi (t)\rangle =1$ جایی که، انتقال مزدوج مختلط ماتریس است .

این بدان معناست که یک تبدیل که انرژی را حفظ می کند باید از آن پیروی کند

${\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I$ که در آن I عملگر همانی است و U عملگر واحد نامیده می شود . خاصیت واحد برای اطمینان از حفظ انرژی در تحولات حالت ضروری است.

اپراتورهای هرمیتین و حفظ انرژی [ ویرایش ]

اگر $\ tau$ یک کمیت واقعی بی نهایت کوچک است $dt$ ، سپس تبدیل واحد بسیار نزدیک به ماتریس همانی است (وضعیت نهایی بسیار نزدیک به حالت اولیه است) و می توان نوشت.

${\hat {U}}\approx Ii{\hat {H}}\tau$ و الحاق توسط

${\hat {U}}^{\dagger }\approx I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau .$

فاکتور i برای سهولت معرفی شده است. با این قرارداد نشان داده خواهد شد که بقای انرژی مستلزم این است که H یک عملگر هرمیتی باشد و H به انرژی یک ذره مرتبط است.

صرفه جویی در انرژی نیاز دارد

$I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau \right)\ چپ(Ii{\hat {H}}\tau \right)\ approx I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau -i{\hat {H}}\tau +{\hat { H}}^{\dagger }{\hat {H}}\tau ^{2}.$ از آنجا که $\ tau$ بی نهایت کوچک است، به این معنی که $\tau ^{2}$ ممکن است با توجه به $\ tau$ ، آخرین عبارت را می توان حذف کرد. علاوه بر این، اگر H برابر با مضاف آن باشد:

=†،

${\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger },$ نتیجه می شود که (برای ترجمه های بی نهایت کوچک در زمان $\tau =dt\,$ )

${\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,$ به طوری که در واقع انرژی حفظ می شود.

عملگرهایی که مساوی با الحاقات آنها هستند هرمیتین یا خود الحاقی نامیده می شوند.

ترجمه بی نهایت کوچک از حالت قطبی شدن است

$|\phi (t+dt)\rangle -|\phi (t)\rangle =-i{\hat {H}}dt|\phi (t)\rangle .$

بنابراین، بقای انرژی مستلزم آن است که دگرگونی های بینهایت کوچک یک حالت قطبی از طریق عمل یک عملگر هرمیتی رخ دهد. در حالی که این اشتقاق کلاسیک است، مفهوم یک عملگر هرمیتی که تبدیل‌های بی‌نهایت کوچک صرفه‌جویی در انرژی را ایجاد می‌کند، مبنای مهمی برای مکانیک کوانتومی است. اشتقاق معادله شرودینگر مستقیماً از این مفهوم ناشی می شود.

قیاس کوانتومی الکترودینامیک کلاسیک [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فوتون

درمان تا این مرحله کلاسیک بوده است . با این حال، پردازش مکانیکی کوانتومی ذرات در امتداد خطوطی است که به طور رسمی مشابه معادلات ماکسول برای الکترودینامیک است. آنالوگ "بردارهای حالت" کلاسیک

$\vert \phi \rangle$ در توصیف کلاسیک بردارهای حالت کوانتومی در توصیف فوتون ها وجود دارد.

انرژی، تکانه و تکانه زاویه ای فوتون ها [ ویرایش ]

انرژی [ ویرایش ]

تفسیر اولیه بر اساس آزمایش‌های ماکس پلانک و تفسیر آن آزمایش‌ها توسط آلبرت انیشتین است که تابش الکترومغناطیسی از بسته‌های انرژی کاهش‌ناپذیری تشکیل شده است که به عنوان فوتون شناخته می‌شوند . انرژی هر بسته به فرکانس زاویه ای موج توسط رابطه مربوط می شود

$\epsilon =\hbar \omega$ جایی که $\hbar$ یک کمیت آزمایشی تعیین شده است که به عنوان ثابت پلانک کاهش یافته شناخته می شود . اگر وجود داردن $ن$ فوتون ها در یک جعبه حجم $V$ ، انرژی (غفلت از انرژی نقطه صفر ) در میدان الکترومغناطیسی است

$N\hbar \omega$ و چگالی انرژی است

${\frac {N\hbar \omega }{V}}.$

انرژی یک فوتون را می توان از طریق اصل مطابقت به میدان های کلاسیک مرتبط کرد که بیان می کند برای تعداد زیادی فوتون، عملیات کوانتومی و کلاسیک باید مطابقت داشته باشند. بنابراین، برای بسیار بزرگن $ن$ ، چگالی انرژی کوانتومی باید با چگالی انرژی کلاسیک یکسان باشد

${N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\left|\mathbf {E} \right|^{2}}{8\pi }}.$

میانگین تعداد فوتون های جعبه در حالت همدوس پس از آن است

$N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\left|\mathbf {E} \راست|^{2}.$

تکانه [ ویرایش ]

اصل مطابقت نیز تکانه و تکانه زاویه ای فوتون را تعیین می کند. برای حرکت

${\mathcal {P}}_{c}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k \over V}$

که به این معنی است که تکانه فوتون است

$\hbar k$ (یا معادل آن ${\textstyle h \over \lambda }$ ).

حرکت زاویه ای و چرخش [ ویرایش ]

به طور مشابه برای تکانه زاویه ای

${\mathcal {L}}={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\ چپ|\psi _{L}\راست|^{2}\right)={\hbar \over V}\left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\ psi _{L}\right|^{2}\right)$ که به این معنی است که تکانه زاویه ای فوتون است

$l_{z}=\hbar \left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right|^{2}\right).$ تفسیر کوانتومی این عبارت این است که فوتون احتمال دارد $\left|\psi _{R}\right|^{2}$ از داشتن تکانه زاویه ای $\hbar$ و احتمال $\left|\psi _{L}\right|^{2}$ از داشتن تکانه زاویه ای. بنابراین می‌توانیم به تکانه زاویه‌ای فوتون در حال کوانتیزه شدن و همچنین انرژی فکر کنیم. این در واقع به طور تجربی تأیید شده است. فوتون ها فقط دارای گشتاور زاویه ای هستند $\pm \hbar$ .

عملگر چرخش [ ویرایش ]

اسپین فوتون به عنوان ضریب تعریف می شود $\hbar$ در محاسبه تکانه زاویه ای یک فوتون دارای اسپین 1 است اگر در آن باشد $|R\rangle$ حالت و -1 اگر در حالت باشد $|L\rangle$ حالت. عملگر اسپین به عنوان محصول بیرونی تعریف می شود

${\hat {S}}\equiv |R\rangle \langle R|-|L\rangle \langle L|={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.$

بردارهای ویژه عملگر اسپین هستند $|R\rangle$ و $|L\rangle$ با مقادیر ویژه 1 و -1، به ترتیب.

مقدار مورد انتظار اندازه گیری اسپین روی یک فوتون پس از آن است

〈|اس^=|آر|2-||2.

$\langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right| ^{2}.$

یک عملگر S با یک کمیت قابل مشاهده، تکانه زاویه ای مرتبط است. مقادیر ویژه عملگر مقادیر قابل مشاهده مجاز هستند. این برای تکانه زاویه ای نشان داده شده است، اما به طور کلی برای هر کمیت قابل مشاهده صادق است.

احتمال یک فوتون واحد [ ویرایش ]

دو روش وجود دارد که از طریق آنها می توان احتمال را برای رفتار فوتون ها اعمال کرد. از احتمال می توان برای محاسبه تعداد احتمالی فوتون ها در یک حالت خاص استفاده کرد، یا از احتمال می توان برای محاسبه احتمال قرار گرفتن یک فوتون در یک حالت خاص استفاده کرد. تفسیر قبلی برای نور حرارتی یا همدوس قابل استفاده است (نگاه کنید به اپتیک کوانتومی ). تفسیر اخیر گزینه ای برای حالت Fock تک فوتونی است . دیراک این [یادداشت 1] را در زمینه آزمایش دو شکاف توضیح می دهد :

مدتی قبل از کشف مکانیک کوانتومی، مردم متوجه شدند که ارتباط بین امواج نور و فوتون‌ها باید یک ویژگی آماری باشد. با این حال، چیزی که آنها به وضوح متوجه نشدند این بود که "تابع موج" اطلاعاتی درباره احتمال وجود یک فوتون در یک مکان خاص و نه تعداد احتمالی فوتون ها در آن مکان می دهد. اهمیت تمایز را می توان به روش زیر روشن کرد. فرض کنید یک پرتو نور متشکل از تعداد زیادی فوتون داریم که به دو جزء با شدت مساوی تقسیم شده اند. با این فرض که پرتو با تعداد احتمالی فوتون های موجود در آن متصل است، باید نصف تعداد کل وارد شده به هر جزء را داشته باشیم. اگر این دو جزء اکنون برای تداخل ساخته شده‌اند، باید به یک فوتون در یک جزء نیاز داشته باشیم تا بتوانیم با یکی در دیگری تداخل داشته باشیم. گاهی این دو فوتون باید همدیگر را نابود می‌کردند و گاهی چهار فوتون تولید می‌کردند. این با حفظ انرژی در تضاد است. تئوری جدید که تابع موج را با احتمالات یک فوتون به هم مرتبط می‌کند، با وادار کردن هر فوتون به هر یک از دو جزء، مشکل را پشت سر می‌گذارد. سپس هر فوتون فقط با خودش تداخل دارد. تداخل بین دو فوتون مختلف هرگز اتفاق نمی افتد.
- پل دیراک، اصول مکانیک کوانتومی، ویرایش چهارم، فصل 1

دامنه احتمال [ ویرایش ]

احتمال اینکه یک فوتون در یک حالت قطبی شدن خاص باشد به توزیع احتمال بر روی میدان ها بستگی دارد که توسط معادلات ماکسول کلاسیک محاسبه شده است (در نمایش P Glauber-Sudarshan از حالت Fock یک فوتون .) مقدار انتظاری عدد فوتون در حالت همدوس در ناحیه محدودی از فضا در میدان ها درجه دوم است. در مکانیک کوانتومی، بر اساس قیاس، حالت یا دامنه احتمال یک ذره منفرد حاوی اطلاعات احتمال اولیه است. به طور کلی، قوانین ترکیب دامنه های احتمال بسیار شبیه قوانین کلاسیک برای ترکیب احتمالات است:

دامنه احتمال برای دو احتمال متوالی حاصل ضرب دامنه برای هر احتمال است. ...
دامنه فرآیندی که می‌تواند به یکی از چندین روش غیرقابل تشخیص انجام شود ، مجموع دامنه‌ها برای هر یک از روش‌های جداگانه است. ...
احتمال کل برای وقوع فرآیند، قدر مطلق مجذور دامنه کل است که با 1 و 2 محاسبه می شود.
- بایم، فصل 1

امواج د بروگلی [ ویرایش ]

لویی دو بروگلی. دو بروگلی در سال 1929 جایزه نوبل فیزیک را برای شناسایی امواج با ذرات دریافت کرد.

در سال 1923 لویی دو بروگلی به این سوال پرداخت که آیا همه ذرات می توانند هم موجی و هم ماهیت ذره ای مشابه فوتون داشته باشند. تفاوت فوتون ها با بسیاری از ذرات دیگر این است که بدون جرم هستند و با سرعت نور حرکت می کنند. به طور خاص، دو بروگلی این سوال را مطرح کرد که آیا ذره‌ای که هم موج دارد و هم ذره مرتبط با آن، با دو مشارکت بزرگ انیشتین در سال 1905، یعنی نظریه نسبیت خاص و کوانتیزه شدن انرژی و تکانه مطابقت دارد؟ جواب مثبت معلوم شد. ماهیت موجی و ذره ای الکترون ها به طور تجربی در سال 1927، دو سال پس از کشف معادله شرودینگر، مشاهده شد.

1-توجیه نظری و تجربی معادله شرودینگر

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ | 16:51

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مقطع کارشناسی ارشد می باشد. برای مقدمه کلی تر این موضوع به مقدمه ای بر مکانیک کوانتومی مراجعه کنید .

توجیه نظری و تجربی برای معادله شرودینگر انگیزه کشف معادله شرودینگر است ، معادله ای که دینامیک ذرات غیرنسبیتی را توصیف می کند. این انگیزه از فوتون ها استفاده می کند که ذرات نسبیتی با دینامیک توصیف شده توسط معادلات ماکسول هستند ، به عنوان آنالوگ برای همه انواع ذرات.

امواج الکترومغناطیسی کلاسیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله امواج الکترومغناطیسی

طبیعت نور [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فوتون

ذره کوانتومی نور را فوتون می نامند . نور هم ماهیت موج مانند و هم ذره مانند دارد. به عبارت دیگر، نور در برخی آزمایش‌ها می‌تواند از فوتون‌ها (ذرات) ساخته شده باشد و در آزمایش‌های دیگر نور می‌تواند مانند امواج عمل کند. دینامیک امواج الکترومغناطیسی کلاسیک به طور کامل توسط معادلات ماکسول ، توصیف کلاسیک الکترودینامیک توصیف شده است . در غیاب منابع، معادلات ماکسول را می توان به صورت معادلات موجی در بردارهای میدان الکتریکی و مغناطیسی نوشت . بنابراین، معادلات ماکسول، در میان چیزهای دیگر، خواص موج مانند نور را توصیف می کند. هنگامی که نور "کلاسیک" (منسجم یا حرارتی) روی یک صفحه عکاسی یا CCD تابیده می شود، میانگین تعداد "ضربه"، "نقطه" یا "کلیک" در واحد زمان که حاصل می شود تقریباً متناسب با مربع میدان های الکترومغناطیسی است. از نور بر اساس قیاس رسمی ، تابع موج یک ذره مادی را می توان برای یافتن چگالی احتمال با مجذور قدر مطلق آن استفاده کرد. برخلاف میدان های الکترومغناطیسی، توابع موج مکانیکی کوانتومی پیچیده هستند. (اغلب در مورد فیلدهای EM از نماد پیچیده برای راحتی استفاده می شود، اما درک می شود که در واقع فیلدها حقیقی هستند. با این حال، توابع موج واقعاً پیچیده هستند.)

معادلات ماکسول در اواخر قرن نوزدهم کاملاً شناخته شده بود. بنابراین، معادلات دینامیکی نور بسیار قبل از کشف فوتون شناخته شده بودند. این در مورد ذرات دیگر مانند الکترون صادق نیست . از برهمکنش نور با اتم ها حدس زده شد که الکترون ها هم ماهیت ذره ای و هم ماهیت موجی دارند. مکانیک نیوتنی ، توصیفی از رفتار ذرات مانند اجسام ماکروسکوپی ، در توصیف اجسام بسیار کوچک مانند الکترون ها ناکام ماند. استدلال ابداکتیو برای به دست آوردن دینامیک اجسام عظیم (ذرات با جرم ) مانند الکترون ها انجام شد. معادله موج الکترومغناطیسی ، معادله ای که دینامیک نور را توصیف می کند، به عنوان نمونه اولیه برای کشف معادله شرودینگر استفاده شد، معادله ای که دینامیک موج مانند و ذره مانند ذرات عظیم غیرنسبیتی را توصیف می کند.

امواج سینوسی صفحه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: راه حل های موج صفحه سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی

معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله امواج الکترومغناطیسی

معادله امواج الکترومغناطیسی انتشار امواج الکترومغناطیسی را در یک محیط یا در خلاء توصیف می کند . شکل همگن معادله که بر حسب میدان الکتریکی E یا میدان مغناطیسی B نوشته شده است ، به شکل زیر است:

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} \ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t ^{2}}\ \ &=\ \ 0\\[1ex]\nabla ^{2}\mathbf {B} \ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {B} \over \جزئی t^{2}}\ \ &=\ \ 0\end{تراز شده}}$

که در آن c سرعت نور در محیط است . در خلاء، c = 2.998 × 10 8 متر بر ثانیه، که سرعت نور در فضای آزاد است .

میدان مغناطیسی از طریق قانون فارادی به میدان الکتریکی مرتبط است ( واحدهای cgs )

$\nabla \times \mathbf {E} =-{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

حل موج مسطح معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

راه حل سینوسی صفحه برای یک موج الکترومغناطیسی که در جهت z حرکت می کند

( واحد cgs و واحد SI ) است.

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\left|\mathbf {E} \right|\operatorname {Re} \left\{|\zeta \rangle e^{i\left( kz-\omega t\right)}\right\}\equiv \left|\mathbf {E} \right|\operatorname {Re} \left\{|\phi \rangle \right\}$

تابش الکترومغناطیسی را می توان به عنوان یک موج نوسان عرضی خود انتشار میدان های الکتریکی و مغناطیسی تصور کرد. این نمودار یک موج پلاریزه خطی صفحه را نشان می دهد که از چپ به راست منتشر می شود.

برای میدان الکتریکی و

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$

برای میدان مغناطیسی، که k عدد موج است ،

$\omega =ck$

فرکانس زاویه ای موج است و $ج$ سرعت نور است . کلاه های روی بردارها بردارهای واحد را در جهت های x، y و z نشان می دهند . در نماد پیچیده ، کمیت $|\mathbf {E} |$ دامنه موج است .

اینجا

$|\zeta \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\zeta _{x}\\\zeta _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e ^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}$

بردار جونز در صفحه xy است . نماد این بردار نماد bra-ket دیراک است که معمولاً در زمینه کوانتومی استفاده می شود . نماد کوانتومی در اینجا برای پیش بینی تفسیر بردار جونز به عنوان بردار حالت کوانتومی استفاده می شود. زوایا $\theta,\;\alpha _{x},\;{\text{and}}\;\alpha _{y}$ زاویه ای است که میدان الکتریکی با محور x و دو فاز اولیه موج ایجاد می کند.

کمیت

$|\phi \rangle =e^{i\left(kz-\omega t\right)}|\zeta \rangle$

بردار حالت موج است. قطبش موج و عملکرد مکانی و زمانی موج را توصیف می کند . برای یک پرتو نور با حالت منسجم به قدری کم نور که میانگین تعداد فوتون آن بسیار کمتر از 1 باشد، این تقریباً معادل حالت کوانتومی یک فوتون است.

انرژی، تکانه و تکانه زاویه ای امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

چگالی انرژی امواج الکترومغناطیسی کلاسیک [ ویرایش ]

انرژی در یک موج فضا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چگالی انرژی

انرژی در واحد حجم در میدان های الکترومغناطیسی کلاسیک (واحد cgs) است.

${\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\ mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].$

برای یک موج صفحه، تبدیل به نماد پیچیده (و در نتیجه تقسیم بر ضریب 2)، این می شود

${\mathcal {E}}_{c}={\frac {\left|\mathbf {E} \right|^{2}}{8\pi }}$

که در آن انرژی در طول موج موج به طور میانگین محاسبه شده است.

کسر انرژی در هر جزء [ ویرایش ]

کسر انرژی در مولفه x موج صفحه

(با فرض قطبش خطی) است

$f_{x}={\frac {\left|\mathbf {E} \right|^{2}\cos ^{2}\theta }{\left|\mathbf {E} \right|^{ 2}}}=\phi _{x}^{*}\phi _{x}$

با یک عبارت مشابه برای مولفه y.

کسر در هر دو جزء است

$\phi _{x}^{*}\phi _{x}+\phi _{y}^{*}\phi _{y}=\langle \phi |\phi \rangle =1.$

چگالی تکانه امواج الکترومغناطیسی کلاسیک

[ ویرایش ]

چگالی تکانه توسط بردار Poynting داده می شود

${\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r }، t).$

برای یک موج صفحه سینوسی که در جهت z حرکت می کند، تکانه در جهت z است و با چگالی انرژی مرتبط است:

${\mathcal {P}}c={\mathcal {E}}_{c}.$

چگالی تکانه در طول موج به طور میانگین محاسبه شده است.

معادله امواج الکترومغناطیسی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ | 16:2

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. یافتن منابع: "معادله امواج الکترومغناطیسی" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( فوریه 2022 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

معادله موج الکترومغناطیسی یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم است که انتشار امواج الکترومغناطیسی را در یک محیط یا در خلاء توصیف می کند . این یک شکل سه بعدی از معادله موج است . شکل همگن معادله که بر حسب میدان الکتریکی E یا میدان مغناطیسی B نوشته شده است ، به شکل زیر است:

${\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2} }}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2 }}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{تراز شده}}$

جایی که

$v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$

سرعت نور (یعنی سرعت فاز ) در محیطی با نفوذپذیری μ و گذردهی ε است و ∇ 2 عملگر لاپلاس است . در خلاء، v ph = c 0 =299 792 458 m/s ، یک ثابت فیزیکی اساسی. [1] معادله امواج الکترومغناطیسی از معادلات ماکسول مشتق شده است . در بیشتر ادبیات قدیمی تر، B را چگالی شار مغناطیسی یا القای مغناطیسی می نامند. معادلات زیر

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{تراز شده}}$ فرض کنید که هر موج الکترومغناطیسی باید یک موج عرضی باشد ، جایی که میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B هر دو عمود بر جهت انتشار موج هستند.

منشا معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

کارت پستال از ماکسول به پیتر تایت .

جیمز کلرک ماکسول در مقاله خود با عنوان نظریه دینامیکی میدان الکترومغناطیسی در سال 1865 از اصلاح قانون مداری آمپر که در بخش سوم مقاله خود در سال 1861 درباره خطوط فیزیکی نیرو ساخته بود استفاده کرد . ماکسول در بخش ششم مقاله خود در سال 1864 با عنوان نظریه الکترومغناطیسی نور ، جریان جابجایی را با برخی از معادلات دیگر الکترومغناطیس ترکیب کرد و معادله موجی با سرعتی برابر با سرعت نور به دست آورد. او اظهار نظر کرد:

به نظر می رسد توافق نتایج نشان می دهد که نور و مغناطیس از یک ماده هستند و نور یک اختلال الکترومغناطیسی است که طبق قوانین الکترومغناطیسی در میدان منتشر می شود. [3]

اشتقاق معادله امواج الکترومغناطیسی توسط ماکسول در آموزش فیزیک مدرن با روشی بسیار کمتر دست و پاگیر که شامل ترکیب نسخه اصلاح شده قانون مداری آمپر با قانون القایی فارادی است، جایگزین شده است .

برای به دست آوردن معادله موج الکترومغناطیسی در خلاء با استفاده از روش مدرن، با شکل مدرن «هویساید» معادلات ماکسول شروع می کنیم . در فضای خالی و بدون شارژ، این معادلات عبارتند از:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\t جزئی}}\\\end{تراز شده}}$

اینها معادلات کلی ماکسول هستند که در مورد شارژ و جریان هر دو روی صفر تنظیم شده اند. با در نظر گرفتن کرل معادلات کرل به دست می آید:

${\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _ {0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \راست) &=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\ varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{تراز شده}}$

می توانیم از اتحاد برداری استفاده کنیم

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf { V}$

که در آن V هر تابع برداری از فضا است. و

$\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)$

که در آن ∇ V یک دوتایی است که وقتی توسط عملگر واگرایی ∇ ⋅ عمل می کند یک بردار به دست می دهد. از آنجا که

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{تراز شده}}$

سپس اولین عبارت سمت راست در اتحاد ناپدید می شود و معادلات موج را به دست می آوریم:

${\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2} }}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{تراز شده}}$

جایی که

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/ s}}$

سرعت نور در فضای آزاد است.

شکل کوواریانت معادله موج همگن [ ویرایش ]

اتساع زمان در حرکت عرضی. شرط ثابت بودن سرعت نور در هر قاب مرجع اینرسی منجر به نظریه نسبیت خاص می شود .

این معادلات نسبیتی را می توان به شکل متناقض به صورت نوشتاری نوشت

$\Box A^{\mu }=0$

که در آن چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

با شرایط گیج لورنز :

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

و کجا

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

عملگر دی المبرت است .

معادله موج همگن در فضازمان منحنی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادلات ماکسول در فضازمان منحنی

معادله موج الکترومغناطیسی به دو صورت اصلاح می‌شود، مشتق با مشتق کوواریانت جایگزین می‌شود و عبارت جدیدی که بستگی به انحنا دارد ظاهر می‌شود.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0$

${R^{\alpha }}_{\beta }$ تانسور انحنای ریچی است و نقطه ویرگول نشان دهنده تمایز کوواریانت است.

تعمیم شرط گیج لورنز در فضازمان منحنی فرض می شود:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$

معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن

بار محلی و چگالی جریان متغیر با زمان می تواند به عنوان منبع امواج الکترومغناطیسی در خلاء عمل کند. معادلات ماکسول را می توان به صورت معادله موج با منابع نوشت. افزودن منابع به معادلات موج، معادلات دیفرانسیل جزئی را ناهمگن می کند.

راه حل های معادله موج الکترومغناطیسی همگن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله موج

راه حل کلی معادله موج الکترومغناطیسی برهم نهی خطی امواج شکل است

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)&=g(\phi (\mathbf {r},t))=g(\omega t-\mathbf {k } \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{تراز شده}}$

برای تقریباً هر تابع خوش رفتار g آرگومان بی بعد φ ، که در آن ω فرکانس زاویه ای (بر حسب رادیان در ثانیه) است ، و k = ( kx ، ky ، kz ) بردار موج است ( به رادیان در هر متر).

اگرچه تابع g می تواند و اغلب یک موج سینوسی تک رنگ است ، لازم نیست که سینوسی یا حتی دوره ای باشد. در عمل، g نمی تواند تناوب بی نهایت داشته باشد، زیرا هر موج الکترومغناطیسی واقعی همیشه باید وسعت محدودی در زمان و مکان داشته باشد. در نتیجه، و بر اساس تئوری تجزیه فوریه ، یک موج واقعی باید از برهم نهی مجموعه ای بی نهایت از فرکانس های سینوسی تشکیل شده باشد.

علاوه بر این، برای یک راه حل معتبر، بردار موج و فرکانس زاویه ای مستقل نیستند. آنها باید به رابطه پراکندگی پایبند باشند :

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

که k عدد موج و λ طول موج است . متغیر c را تنها زمانی می توان در این معادله استفاده کرد که موج الکترومغناطیسی در خلاء باشد.

تک رنگ، حالت ثابت سینوسی [ ویرایش ]

ساده‌ترین مجموعه‌ای از راه‌حل‌های معادله موج از فرض شکل‌های موج سینوسی با یک فرکانس منفرد به شکل قابل تفکیک حاصل می‌شود:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}$

جایی که

واحد موهومی
ω = 2 π f فرکانس زاویه ای بر حسب رادیان در ثانیه است.
f فرکانس بر حسب هرتز و
$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ فرمول اویلر است .

راه حل های موج صفحه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: راه حل های موج صفحه سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی

صفحه ای را در نظر بگیرید که با یک بردار عمود واحد تعریف شده است

$\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.$

سپس راه حل های موج سفر مسطح معادلات موج هستند

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } \\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{تراز شده}}$

که در آن r = ( x , y , z ) بردار موقعیت (بر حسب متر) است.

این راه حل ها امواج مسطحی را نشان می دهند که در جهت بردار نرمال n حرکت می کنند . اگر جهت z را جهت n و جهت x را جهت E تعریف کنیم ، با قانون فارادی میدان مغناطیسی در جهت y قرار دارد و با رابطه با میدان الکتریکی مرتبط است.

$c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.$

چون واگرایی میدان های الکتریکی و مغناطیسی صفر است، هیچ میدانی در جهت انتشار وجود ندارد.

این راه حل، راه حل قطبی شده خطی معادلات موج است. همچنین محلول های قطبی شده دایره ای وجود دارد که در آنها میدان ها حول بردار معمولی می چرخند.

تجزیه طیفی [ ویرایش ]

به دلیل خطی بودن معادلات ماکسول در خلاء، راه حل ها را می توان به برهم نهی سینوسی تجزیه کرد . این مبنای روش تبدیل فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل است. حل سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی شکل می گیرد

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{تراز شده}}$

جایی که

t زمان (بر حسب ثانیه)،
ω فرکانس زاویه ای (به رادیان در ثانیه) است .
k = ( k x ، k y ، k z ) بردار موج است(به رادیان بر متر)، و
$\phi _{0}$ زاویه فاز (به رادیان) است .

بردار موج با فرکانس زاویه ای مرتبط است

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

که k عدد موج و λ طول موج است .

طیف الکترومغناطیسی نمودار بزرگی (یا انرژی) میدان به عنوان تابعی از طول موج است.

گسترش چند قطبی [ ویرایش ]

با فرض تغییر میدان های تک رنگ در زمان به عنوان $e^{-i\omega t}$ ، اگر از معادلات ماکسول برای حذف B استفاده شود ، معادله موج الکترومغناطیسی به معادله هلمهولتز برای E کاهش می یابد :

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E}،$

با k = ω / c همانطور که در بالا داده شد. از طرف دیگر، می توان E را به نفع B حذف کرد تا به دست آید:

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B}.$

یک میدان الکترومغناطیسی عمومی با فرکانس ω را می توان به صورت مجموع جواب های این دو معادله نوشت. جواب های سه بعدی معادله هلمهولتز را می توان به صورت بسط در هارمونیک های کروی با ضرایب متناسب با توابع کروی بسل بیان کرد . با این حال، اعمال این بسط برای هر جزء برداری از E یا B ، راه‌حل‌هایی به دست می‌دهد که به طور کلی بدون واگرایی نیستند ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 )، و بنابراین نیاز به محدودیت‌های اضافی در ضرایب دارند.

انبساط چندقطبی با انبساط نه E یا B ، بلکه r ⋅ E یا r ⋅ B به هارمونیک های کروی، این مشکل را دور می زند. این بسط ها هنوز معادلات هلمهولتز اصلی را برای E و B حل می کنند زیرا برای یک میدان بدون واگرایی F , ∇ 2 ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ 2 F ) . عبارات حاصل برای یک میدان الکترومغناطیسی عمومی عبارتند از:

${\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{ E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M) }\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}( l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\راست ]\,,\end{تراز شده}}$

جایی که $\mathbf{E}_{l,m}^{(E)}$ و $\mathbf{B}_{l,m}^{(E)}$ میدان های چند قطبی الکتریکی مرتبه (l, m) و $\mathbf{E}_{l,m}^{(M)}$ و $\mathbf{B}_{l,m}^{(M)}$ میدان های مغناطیسی چند قطبی متناظر هستند و یک E ( l ، m ) و یک M ( l ، m ) ضرایب انبساط هستند. فیلدهای چندقطبی توسط

${\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m }^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l, m}^{(M)}\,,\end{تراز شده}}$

که در آن h l (1،2) ( x ) توابع کروی هانکل هستند ، El ( 1،2) و Bl (1،2) با شرایط مرزی تعیین می شوند، و

$\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l, m}$

هارمونیک های کروی برداری نرمال شده اند به طوری که

$\int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'} \delta _{m,m'}.$

انبساط چندقطبی میدان الکترومغناطیسی در تعدادی از مسائل مربوط به تقارن کروی کاربرد پیدا می‌کند، برای مثال الگوهای تشعشعات آنتن ، یا واپاشی گامای هسته‌ای . در این کاربردها، شخص اغلب به قدرت تابش شده در میدان دور علاقه مند است . در این مناطق، میدان های E و B به صورت مجانبی نزدیک می شوند

${\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i) ^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \ بار \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{تراز شده}}$

سپس توزیع زاویه‌ای توان تابش شده با میانگین زمانی به وسیله داده می‌شود

${\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+ 1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf { \Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

تئوری و آزمایش [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بیوگرافی [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_wave_equation

بررسی کنید که تابع موج y(x, t) = Ae^ –B(x – vt) معادله موج یک بعدی را برآورده می کند

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ | 11:43

بنابراین، ما می بینیم که

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

5-چند جمله ای هرمیت

4-چند جمله ای هرمیت

3-چند جمله ای هرمیت

2-چند جمله ای هرمیت

متعامد بودن [ ویرایش ]

کامل بودن [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل هرمیت [ ویرایش ]

رابطه بازگشتی [ ویرایش ]

1-چند جمله ای هرمیت

تعریف [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

تقارن [ ویرایش ]

متقابل هرمیت

منابع [ ویرایش ]

چارلز هرمیت

تبدیل هرمیت

چند جفت تبدیل هرمیت [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

منابع

3-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

​

زیر مجموعه ها و دنباله ها [ ویرایش ]

نقشه های خطی [ ویرایش ]

ویژگی پسوند Hahn-Banach [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

​

3-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

1-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

شبه سنجی و متریک [ ویرایش ]

توپولوژی القا شده توسط شبه سنجی [ ویرایش ]

شبه سنجی و مقادیر در گروه های توپولوژیکی [ ویرایش ]

شبه سنجی غیرمتغیر ترجمه [ ویرایش ]

Value/G-نرم [ ویرایش ]

هم ارزی در گروه های توپولوژیکی [ ویرایش ]

شبه‌هنجار(کواسینورم) یا شبه‌ نرم

تعریف [ ویرایش ]

توپولوژی [ ویرایش ]

تعاریف مرتبط [ ویرایش ]

خصوصیات [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

اپراتور موقعیت در مکانیک کوانتومی

مقدمه [ ویرایش ]

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

توابع ویژه [ ویرایش ]

سه بعدی [ ویرایش ]

فضای حرکتی [ ویرایش ]

فرمالیسم در L 2 ( R , C ) [ ویرایش ]

نظریه اندازه گیری در L 2 ( R , C ) [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مجموعه بسته

مجموعه بسته

تعاریف معادل [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر درباره مجموعه های بسته [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

5-معادله دیراک

تقارن محوری [ ویرایش ]

بسط تقارن رنگ [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مقالات معادله دیراک [ ویرایش ]

معادلات دیگر [ ویرایش ]

سایر موضوعات [ ویرایش ]

4-معادله دیراک

تغییر ناپذیری لورنتس [ ویرایش ]

تحولات تاریخی و جزئیات بیشتر ریاضی [ ویرایش ]

مقایسه با نظریه های مرتبط [ ویرایش ]

نظریه پائولی [ ویرایش ]

نظریه ویل [ ویرایش ]

تفسیر فیزیکی [ ویرایش ]

شناسایی قابل مشاهده ها [ ویرایش ]

5-معادله دیراک

در نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

بحث بیشتر در مورد کوواریانس لورنتز معادله دیراک [ ویرایش ]

فرمولاسیون های دیگر [ ویرایش ]