کره را یک شی در نظر بگیر و جبر ان چیست?

خیلی عالی 🌍
اگر کره (Sphere) را به‌عنوان یک شیء توپولوژیک در نظر بگیریم، «جبر آن» در توپولوژی جبری یعنی ناورداهای جبری‌ای که از این فضا استخراج می‌کنیم. این ناورداها ساختارهای جبری هستند که ویژگی‌های توپولوژیک کره را ثبت می‌کنند.

🔹 کره به‌عنوان شیء توپولوژیک

کره‌ی (Sn) یعنی مجموعه‌ی نقاطی در R^n+1 با فاصله‌ی 1 از مبدأ: [ Sn = { x in R^n+1 \ |x| = 1 }

🔹 جبر متناظر با کره

گروه بنیادی ( \pi_1
- برای کره‌های با بعد (n \geq 2):
  [ \pi_1(S^n) = 0 ] یعنی کره‌های با بعد بالاتر مسیرهای بسته‌ی غیرقابل کاهش ندارند.
- برای دایره (S1):
  pi_1(S1) = Z یعنی مسیرهای بسته بر اساس تعداد دورها دسته‌بندی می‌شوند.
گروه‌های هموتوپی بالاتر ( pi_k)
- این‌ها پیچیده‌ترند، ولی مثلاً:
  pi_n(S^n) = Z یعنی کره‌ی n-بعدی یک مولد اصلی دارد.
گروه‌های همولوژی (Homology Groups)
- برای کره‌ی (Sn):
  H_k(Sn) = Z & k = 0 یا k = n \ 0 در غیر این صورت
- این یعنی کره فقط دو «سوراخ» اصلی دارد: یکی برای اتصال کل فضا (H_0) و یکی برای پوسته‌ی n-بعدی (H_n) .
مشخصه اویلر–پوانکاره (Euler Characteristic)
- برای کره‌ی (Sn):
  X(Sn) = 2 & اگر n زوج باشد \ 0 & اگر n فرد باشد end

✨ جمع‌بندی

«جبر کره» در توپولوژی جبری یعنی گروه‌های بنیادی، هموتوپی و همولوژی آن.
برای مثال:
- (S^1): گروه بنیادی Z
- (S^2): گروه بنیادی صفر، ولی همولوژی در درجه‌ی 0 و 2 برابر Z .
این ساختارهای جبری به ما می‌گویند کره چه نوع «سوراخ‌ها» و «پیچیدگی‌های توپولوژیک» دارد.

می‌خواهی من یک جدول کامل بسازم که برای کره‌های (S^1, S^2, S^3, ...) گروه‌های بنیادی و همولوژی‌شان را کنار هم نشان دهد تا تصویر واضح‌تری از «جبر کره» داشته باشی؟

+ نوشته شده در سه شنبه هجدهم آذر ۱۴۰۴ ساعت 22:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توپولوژی و جبر در چه شرایطی توپولوژی جبری تشکیل می دهند؟

پاسخ کوتاه: توپولوژی جبری زمانی شکل می‌گیرد که برای مطالعه‌ی فضاهای توپولوژیک از ابزارهای جبر مجرد (مثل گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها) استفاده شود و بتوان ناورداهای جبری تعریف کرد که ویژگی‌های توپولوژیک فضا را ثبت و دسته‌بندی کنند.

🔹 شرایط تشکیل توپولوژی جبری

توپولوژی جبری یک شاخه‌ی میان‌رشته‌ای است که دقیقاً در نقطه‌ی تلاقی توپولوژی و جبر قرار دارد. شرایط اصلی برای تشکیل این حوزه عبارت‌اند از:

وجود فضاهای توپولوژیک پیچیده:
فضاهایی که تنها با ابزار توپولوژی کلاسیک (مثل بازها و بسته‌ها) قابل توصیف کامل نیستند و نیاز به ناورداهای قوی‌تر دارند.
تعریف ناورداهای جبری:
باید بتوان از هر فضای توپولوژیک، یک شیء جبری استخراج کرد (مثل گروه، حلقه یا میدان) که ویژگی‌های توپولوژیک آن فضا را بازتاب دهد.
مثال: گروه بنیادی (\pi_1(X)) که اطلاعات مربوط به حلقه‌ها و مسیرهای بسته در فضا را ثبت می‌کند.
ارتباط پایدار بین توپولوژی و جبر:
نگاشت‌هایی که از فضاهای توپولوژیک به ساختارهای جبری می‌روند باید ناوردا تحت هموتوپی یا هومئومورفیسم باشند. یعنی تغییر شکل‌های پیوسته فضا، ساختار جبری متناظر را تغییر ندهند.
امکان محاسبه و دسته‌بندی:
ابزارهای جبری باید بتوانند فضاها را دسته‌بندی کنند. مثلاً گروه‌های همولوژی و کوهمولوژی برای تشخیص سوراخ‌ها و ابعاد مختلف فضا استفاده می‌شوند.

🔹 نمونه‌های کلاسیک

گروه بنیادی ((\pi_1)): اولین ناوردای جبری که مسیرهای بسته در فضا را دسته‌بندی می‌کند.
گروه‌های هموتوپی بالاتر ((\pi_n)): اطلاعات مربوط به سوراخ‌ها و پیچیدگی‌های n-بعدی فضا را ثبت می‌کنند.
همولوژی و کوهمولوژی: ابزارهایی برای شمارش سوراخ‌ها، محاسبه‌ی مشخصه‌ی اویلر–پوانکاره و بررسی منیفلدها.
نظریه گره‌ها: مطالعه‌ی گره‌ها با استفاده از گروه‌ها و ناورداهای جبری.

🔹 کاربردها

اثبات قضایای توپولوژیک با ابزار جبر (مثل قضیه نقطه ثابت براوئر).
دسته‌بندی فضاهای توپولوژیک پیچیده بر اساس ناورداهای جبری.
ارتباط با هندسه دیفرانسیل و آنالیز از طریق کوهمولوژی‌های مختلف.
استفاده در علوم دیگر مثل فیزیک نظری (نظریه میدان‌ها و ریسمان‌ها).

✅ جمع‌بندی: توپولوژی جبری زمانی تشکیل می‌شود که بتوان بین توپولوژی و جبر پلی زد: فضاهای توپولوژیک را با ابزارهای جبری مدل‌سازی کرد و ناورداهایی تعریف نمود که ویژگی‌های توپولوژیک را در قالب ساختارهای جبری ثبت کنند.

می‌خواهی برایت یک نمودار مفهومی طراحی کنم که نشان دهد چگونه توپولوژی و جبر به هم می‌رسند و توپولوژی جبری شکل می‌گیرد؟

+ نوشته شده در سه شنبه هجدهم آذر ۱۴۰۴ ساعت 21:14 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چند وجهی حلقوی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک چنبره چند وجهی را می توان برای تقریب سطح چنبره، از شبکه ای از وجوه چهار ضلعی، مانند این مثال 6x4، ساخت.

در هندسه ، چند وجهی حلقوی، چندوجهی است که همچنین یک چنبره (یک چنبره g -holed ) است که دارای جنس توپولوژیکی ( g ) 1 یا بیشتر است. نمونه های قابل توجه شامل چند وجهی Császár و Szilassi است .

تغییرات در تعریف [ ویرایش ]

چند وجهی حلقوی به عنوان مجموعه ای از چند ضلعی ها تعریف می شود که در لبه ها و رئوس خود به هم می رسند و مانند آنها یک منیفولد را تشکیل می دهند. یعنی هر یال باید دقیقاً با دو چند ضلعی مشترک باشد و در هر رأس، یال‌ها و وجه‌هایی که در راس به هم می‌رسند باید در یک چرخه منفرد از لبه‌ها و وجه‌های متناوب، پیوند رأس ، به هم مرتبط شوند. برای چند وجهی حلقوی، این منیفولد یک سطح جهت‌پذیر است . [1] برخی از نویسندگان عبارت "چند وجهی حلقوی" را به معنای دقیق تر چند وجهی که از نظر توپولوژیکی معادل چنبره (جنس 1) است محدود می کنند . [2]

در این زمینه، تشخیص چند وجهی حلقوی تعبیه‌شده ، که صورت‌های آن‌ها چندضلعی‌های مسطح در فضای اقلیدسی سه‌بعدی هستند که خود یا یکدیگر را متقاطع نمی‌کنند، از چندوجهی انتزاعی ، سطوح توپولوژیکی بدون هیچ گونه تحقق هندسی مشخصی، مهم است. [3] حد واسط بین این دو حد، چندوجهی‌هایی هستند که توسط چندضلعی‌های هندسی یا چندضلعی‌های ستاره‌ای در فضای اقلیدسی تشکیل شده‌اند که اجازه عبور از یکدیگر را دارند.

در همه این موارد، ماهیت حلقوی یک چند وجهی را می توان با جهت گیری آن و با غیرمثبت بودن مشخصه اویلر تأیید کرد. مشخصه اویلر به V - E + F = 2 - 2 N تعمیم می یابد ، که در آن N تعداد سوراخ ها است.

چند وجهی کسازار و سیلاسی [ ویرایش ]

مدل چند وجهی Csaszar تعاملی – در تصویر SVG، ماوس را به چپ و راست حرکت دهید تا آن را بچرخانید. [4]

مدل چند وجهی تعاملی Szilassi – در تصویر SVG، ماوس را حرکت دهید تا آن را بچرخانید. [5]

دو تا از ساده‌ترین چند وجهی‌های حلقوی تعبیه‌شده ممکن، چند وجهی Császár و Szilassi هستند.

چند وجهی Császár یک چند وجهی حلقوی هفت رأس با 21 لبه و 14 وجه مثلثی است. [6] آن و چهار وجهی تنها چند وجهی شناخته شده‌ای هستند که در آن هر پاره خط ممکن که دو راس را به هم متصل می‌کند، لبه‌ای از چند وجهی را تشکیل می‌دهد. [7] دوگانه آن، چند وجهی Szilassi ، دارای هفت وجه شش ضلعی است که همگی مجاور یکدیگر هستند، [8] از این رو نیمی از قضیه وجود دارد که حداکثر تعداد رنگ مورد نیاز برای یک نقشه در یک چنبره (جنس یک) وجود دارد. هفت است [9]

چندوجهی Császár کمترین رئوس ممکن را در بین هر چندوجهی حلقوی تعبیه شده دارد، و چند وجهی Szilassi کمترین وجه ممکن را در بین هر چندوجهی حلقوی تعبیه شده دارد.

Stewart toroids [ ویرایش ]

دسته خاصی از چند وجهی حلقوی منحصراً توسط وجوه چند ضلعی منظم ، بدون تقاطع، و با محدودیت بیشتر که ممکن است چهره های مجاور در یک صفحه با یکدیگر قرار نگیرند، ساخته می شوند. اینها به نام استوارت تورویدها ، [10] به نام بانی استوارت ، که آنها را به شدت مورد مطالعه قرار داده است، نامگذاری شده است. [11] آنها مشابه جامدات جانسون در مورد چندوجهی محدب هستند . با این حال، بر خلاف جامدات جانسون، بی‌نهایت تورییدهای استوارت وجود دارد. [12] آنها همچنین شامل دلتاهدرهای حلقوی ، چندوجهی هستند که چهره‌های آنها همگی مثلث‌های متساوی الاضلاع هستند.

دسته محدودی از حلقوی استوارت که توسط استوارت نیز تعریف شده است، چندوجهی حلقوی شبه محدب هستند . اینها توروئیدهای استوارت هستند که تمام لبه های بدنه محدب آنها را شامل می شود . برای چنین چندوجهی، هر وجه از بدنه محدب یا بر روی سطح حلقوی قرار دارد، یا چندضلعی است که تمام لبه های آن بر روی سطح حلقوی قرار دارند. [13]

استوارت با تقویت یک چند وجهی تک‌وجهی می‌کند
جنس	1	1
تصویر
چند وجهی	6 منشور شش ضلعی	8 هشت وجهی
رگه ها	48	24
لبه ها	84	72
چهره ها	36	48

غلاف های استوارت شبه محدب
جنس	1		3	11	3	5	7	11
تصویر
چند وجهی	4 گنبد مربع 8 چهار وجهی	6 گنبد مثلثی 6 هرم مربع	4 گنبد مثلثی 6 هرم مربع	24 منشور مثلثی 6 هرم مربع 8 چهار وجهی	6 گنبد مربع 4 گنبد مثلثی 12 مکعب	8 گنبد مثلثی 12 مکعب	6 گنبد مربع 12 مکعب	6 گنبد مربع 8 گنبد مثلثی
بدنه محدب	مکعب کوتاه شده	هشت وجهی کوتاه شده	هشت وجهی کوتاه شده	مکعب ضلعی منبسط شده	مکعبی کوتاه شده	مکعبی کوتاه شده	مکعبی کوتاه شده	مکعبی کوتاه شده
رگه ها	32	30	30	62	72	72	72	72
لبه ها	64	60	72	168	144	168	168	168
چهره ها	32	30	38	86	68	88	84	76

چند وجهی خود عبوری [ ویرایش ]

هشت وجهی

مکعب کوبکتاهدر کوچک

دوازده وجهی بزرگ

چندوجهی که توسط سیستمی از چندضلعی‌های متقاطع تشکیل می‌شود، مربوط به یک منیفولد توپولوژیکی انتزاعی است که توسط چند ضلعی‌های آن و سیستم لبه‌ها و رئوس مشترک آن‌ها تشکیل شده است، و جنس چندوجهی ممکن است از این منیفولد انتزاعی تعیین شود. به عنوان مثال می توان به جنس-1 octahemioctahedron ، جنس-3 کوچک cubicuboctahedron ، و جنس-4 بزرگ دوازده وجهی اشاره کرد .

چند وجهی تاج [ ویرایش ]

استفانوئید پنج ضلعی. این استپانوئید دارای تقارن دو وجهی پنج ضلعی و دارای رئوس مشابه با منشور پنج ضلعی یکنواخت است .

چندوجهی تاج یا استپانوئید یک چندوجهی حلقوی است که هم نجیب است و هم هم‌وجهی (راس‌های برابر) و هم هم‌وجهی ( وجه‌های برابر) است . چندوجهی های تاج خود متقاطع و از نظر توپولوژیکی خود دوگانه هستند . [14]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

^ وایتلی (1979) ؛ استوارت (1980) ، ص. 15.
↑ وبر، ویلیام تی. (1997)، «چند وجهی تک ظرفیتی که چنبره هستند»، Geometriae Dedicata ، 67 (1): 31–44، doi : 10.1023/A:1004997029852 ، MR 146828859 ، S146828859 ..
↑ وایتلی، والتر (1979)، "تحقق پذیری چند وجهی" (PDF) ، توپولوژی ساختاری (1): 46-58، 73، MR 0621628 .
↑ Ákos Császár، A Polyhedron Without Diagonals. ، مؤسسه Bolyai، دانشگاه Szeged، 1949
↑ گرونباوم، برانکو ؛ Szilassi، Lajos (2009)، "تحققات هندسی مجتمع های حلقوی ویژه"، مشارکت در ریاضیات گسسته ، 4 (1): 21-39، doi : 10.11575/cdm.v4i1.61986 ، ISSN 17815-
↑ Császár، A. (1949)، "یک چند وجهی بدون قطر"، Acta Sci. ریاضی. Szeged ، 13 : 140-142.
↑ زیگلر، گونتر ام . شرودر، پی. سالیوان، جی.ام. Ziegler, GM (eds.), Discrete Differential Geometry , Oberwolfach Seminars, vol. 38, Springer-Verlag, pp. 191–213, arXiv : math.MG/0412093 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8620-7S2CID 15911143 _ .
↑ Szilassi، Lajos (1986)، "توروئیدهای منظم" (PDF) ، توپولوژی ساختاری ، 13 : 69-80 [ لینک مرده دائمی ] .
↑ هیوود، پی جی (1890)، "قضیه های رنگ آمیزی نقشه"، فصلنامه ریاضیات ، سری اول، 24 : 322-339
↑ وب، رابرت (2000)، «استلا: ناوبر چند وجهی» ، تقارن: فرهنگ و علم ، 11 (1–4): 231–268، MR 2001419 .
↑ استوارت، بی ام (1980)، ماجراهای میان تورویدها: مطالعه چند وجهی شرقی با چهره های منظم (ویرایش دوم)، بی ام استوارت، ISBN 978-0-686-11936-4.
^ استوارت (1980) ، ص. 15.
↑ استوارت (1980) ، "شبه محدب و شبه تحدب ضعیف"، صفحات 76-79.
↑ گرونباوم، برانکو (1994)، «چند وجهی با صورت‌های توخالی» ، چند وجهی: چکیده، محدب و محاسباتی ، ناتو ASI سری C: سری ریاضی و فیزیکی، جلد. 440، ناشران دانشگاهی Kluwer، صص 43-70، doi : 10.1007/978-94-011-0924-6_3. به طور خاص رجوع کنید به ص. 60 .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Toroidal_polyhedron

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و هفتم دی ۱۴۰۲ ساعت 21:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مجموعه بسته

از ویکیپدیا، دانشنامه زاد

این مقاله در مورد مکمل یک مجموعه باز است . برای مجموعه ای که تحت یک عملیات بسته شده است، به بسته شدن (ریاضیات) مراجعه کنید . برای کاربردهای دیگر، بسته (ابهام‌زدایی) را ببینید .

در هندسه , توپولوژی و شاخه های مرتبط ریاضیات , مجموعه بسته مجموعه ای است که مکمل ن یک مجموعه باز است . [1] [2] در یک فضای توپولوژیکی ، یک مجموعه بسته را می توان به عنوان مجموعه ای تعریف کرد که شامل تمام نقاط حد خود است . در یک فضای متریک کامل ، مجموعه بسته مجموعه ای است که تحت عملیات حد بسته می شود . این نباید با منیفولد بسته اشتباه گرفته شود .

تعاریف معادل [ ویرایش ]

طبق تعریف، یک زیر مجموعه $آ$ یک فضای توپولوژیکی $(X, \tau)$ بسته نامیده می شود اگر مکمل ن باشد $X\setminus A$ زیر مجموعه باز است $(X, \tau)$ ; یعنی اگر. $X\setminus A\in \tau .$ یک مجموعه در بسته است $ایکس$ اگر و تنها در صورتی که برابر با بسته شدن ن باشد. $ایکس.$ به همین ترتیب، یک مجموعه بسته می شود اگر و تنها در صورتی که تمام نقاط حد خود را داشته باشد . تعریف مشابه دیگر این است که یک مجموعه بسته است اگر و فقط در صورتی که تمام نقاط مرزی خود را داشته باشد . هر زیر مجموعه $A\subseq X$ همیشه در بسته شدن ( توپولوژیکی) ن وجود دارد، $ایکس،$ که با نشان داده می شود; $\operatorname {cl} _{X}A;$ یعنی اگر $A\subseq X$ سپس⁡. $A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A.$ علاوه بر این، $آ$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ اگر و تنها اگر. $A=\operatorname {cl} _{X}A.$

یک توصیف جایگزین از مجموعه های بسته از طریق توالی ها و شبکه ها در دسترس است . یک زیر مجموعه $آ$ یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ در بسته است $ایکس$ اگر و فقط اگر هر حد از هر شبکه از عناصر $آ$ نیز متعلق به. $آ.$ در یک فضای قابل شمارش اول (مانند فضای متریک)، به جای همه شبکه ها، فقط دنباله های همگرا را در نظر بگیرید. یکی از ارزش های این خصوصیات این است که ممکن است به عنوان یک تعریف در زمینه فضاهای همگرایی که کلی تر از فضاهای توپولوژیکی هستند، استفاده شود. توجه داشته باشید که این شخصیت پردازی به فضای اطراف نیز بستگی دارد، $ایکس،$ زیرا یا یک دنباله یا شبکه همگرا می شود یا نه $ایکس$ بستگی به این دارد که در چه نقاطی وجود داشته باشد. $ایکس.$ یک نقطه $ایکس$ که در $ایکس$ گفته می شود نزدیک به یک زیر مجموعه است $A\subseq X$ اگر $x\in \operatorname {cl} _{X}A$ س⁡( یا به طور معادل، اگر $ایکس$ متعلق به بسته شدن $آ$ در زیر فضای توپولوژیکی ، $A\cup \{x\}،$ معنی $x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A$ جایی که $A\cup \{x\}$ دارای توپولوژی زیرفضایی است که توسط ن القا شده است $ایکس$ [یادداشت 1] ). چون بسته شدن $آ$ که در $ایکس$ بنابراین مجموعه ای از تمام نقاط در است $ایکس$ که نزدیک هستند، $آ،$ این اصطلاح به توضیح انگلیسی ساده زیر مجموعه های بسته اجازه می دهد:

یک زیر مجموعه بسته است اگر و تنها در صورتی که حاوی هر نقطه نزدیک به ن باشد.

از نظر همگرایی خالص، یک امتیاز $x\در X$ نزدیک به یک زیر مجموعه است $آ$ اگر و فقط در صورتی که مقداری خالص (ارزش شده) در ن وجود داشته باشد $آ$ که همگرا می شود. $ایکس.$ اگر $ایکس$ زیرفضای توپولوژیکی برخی از فضای توپولوژیکی دیگر است، $Y،$ که در این صورت $Y$ ابر فضای توپولوژیکی نامیده می شود، $ایکس،$ نگاه ممکن است نقطه ای وجود داشته باشد $Y\setminus X$ که نزدیک است $آ$ (اگرچه عنصری از $ایکس$ ) که چگونه برای یک زیر مجموعه امکان پذیر است $A\subseq X$ در بسته شدن $ایکس$ اما در ابر فضای اطراف "بزرگتر" بسته نشود. $Y.$ اگر $A\subseq X$ و اگر $Y$ هر ابر فضای توپولوژیکی است $ایکس$ سپس $آ$ همیشه یک زیر مجموعه (بالقوه مناسب) از، $\operatorname {cl} _{Y}A,$ که نشان دهنده بسته شدن است $آ$ که در; $Y;$ در واقع، حتی اگر $آ$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ (که اگر و فقط اگر اتفاق می افتد $A=\operatorname {cl} _{X}A$ ، با این حال هنوز هم برای ن امکان پذیر است $آ$ زیر مجموعه مناسبی از. $\operatorname {cl} _{Y}A.$ با این حال، $آ$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ اگر و تنها اگر $A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A$ برای برخی (یا به طور معادل، برای هر) ابر فضای توپولوژیکی $Y$ از. $ایکس.$

مجموعه های بسته همچنین می توانند برای توصیف توابع پیوسته استفاده شوند : نقشه: $f:X\ به Y$ اگر و فقط اگر پیوسته است $f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))$ برای هر زیر مجموعه $A\subseq X$ ; این را می توان در انگلیسی ساده به صورت زیر بازنویسی کرد : $f$ اگر و فقط اگر برای هر زیر مجموعه پیوسته است، $A\subsetq X,$ $f$ نقاط نزدیک به $آ$ به نقاطی که نزدیک هستند $f(A).$ به همین ترتیب، $f$ در یک نقطه مشخص ثابت است $x\در X$ اگر و فقط اگر هر زمان $ایکس$ نزدیک به یک زیر مجموعه است، $A\subsetq X,$ سپس $f(x)$ نزدیک است به $f(A).$

اطلاعات بیشتر درباره مجموعه های بسته [ ویرایش ]

مفهوم مجموعه بسته در بالا بر حسب مجموعه ‌های باز تعریف شده است ، مفهومی که برای فضاهای توپولوژیکی و همچنین برای سایر فضاهایی که ساختارهای توپولوژیکی را حمل می‌کنند، مانند فضاهای متریک ، منیفولدهای قابل تمایز ، فضاهای یکنواخت و فضاهای گیج معنا دارد .

بسته بودن یک مجموعه بستگی به فضایی دارد که در ن تعبیه شده است. با این حال، فضاهای جمع و جور هاوسدورف « کاملاً بسته » هستند ، به این معنا که، اگر فضای هاسدورف فشرده را تعبیه کنید. $D$ در یک فضای هاسدورف دلخواه، $ایکس،$ سپس $D$ همیشه یک زیر مجموعه بسته از $ایکس$ ; "فضای اطراف" در اینجا مهم نیست. فشرده سازی استون - چخ ، فریندی که یک فضای کاملا منظم هاسدورف را به فضای هاسدورف فشرده تبدیل می کند، ممکن است به عنوان محدودیت های مجاور شبکه های غیرهمگرا خاص به فضا توصیف شود.

علاوه بر این، هر زیر مجموعه بسته از یک فضای فشرده فشرده است، و هر زیرفضای فشرده از یک فضای هاسدورف بسته است.

مجموعه های بسته نیز توصیف مفیدی از فشردگی ارائه می دهند: فضای توپولوژیکی $ایکس$ فشرده است اگر و تنها در صورتی که هر مجموعه ای از زیر مجموعه های غیرتهی بسته شود $ایکس$ با اشتراک تهی یک زیر مجموعه محدود با اشتراک تهی را می پذیرد.

فضای توپولوژیکی $ایکس$ در صورت وجود زیر مجموعه های مجزا، غیرتهی و باز، قطع می شود $آ$ و $ب$ از $ایکس$ که اتحادیه است. $ایکس.$ علاوه بر این، $ایکس$ اگر پایه باز متشکل از مجموعه های بسته داشته باشد، کاملاً قطع می شود .

خواص [ ویرایش ]

همچنین ببینید: بدیهیات بسته شدن کوراتوفسکی

یک مجموعه بسته دارای مرز خاص خود است . به عبارت دیگر، اگر شما "خارج" یک مجموعه بسته هستید، ممکن است مقدار کمی را در هر جهتی حرکت دهید و همچنان خارج از مجموعه بمانید. توجه داشته باشید که اگر مرز مجموعه تهی باشد، به عنوان مثال در فضای متریک اعداد گویا، برای مجموعه اعدادی که مربع نها کوچکتر است، این نیز صادق است.2. $2.$

هر اشتراک از هر خانواده از مجموعه های بسته بسته است (این شامل اشتراک های بی نهایت مجموعه بسته است)
اتحاد مجموعه های بسته بسیار محدود بسته است.
مجموعه تهی بسته است.
کل مجموعه بسته است.

در واقع، اگر مجموعه ای داده شود $ایکس$ و یک مجموعه $\mathbb {F} \neq \varnothing$ از زیر مجموعه های $ایکس$ به گونه ای که عناصر $\mathbb {F}$ ویژگی های ذکر شده در بالا را داشته باشید، پس یک توپولوژی منحصر به فرد وجود دارد $\ tau$ بر $ایکس$ به طوری که زیر مجموعه های بسته از $(X, \tau)$ دقیقا همان مجموعه هایی هستند که به ن تعلق دارنداف. $\mathbb {F}.$ ویژگی اشتراک همچنین به فرد اجازه می دهد تا بسته شدن یک مجموعه را تعریف کند $آ$ در یک فضا، $ایکس،$ که به عنوان کوچکترین زیر مجموعه بسته از تعریف می شود $ایکس$ که یک ابر مجموعه از. $آ.$ به طور خاص، بسته شدن $ایکس$ می تواند به عنوان محل تلاقی همه این ابر مجموعه های بسته ساخته شود.

مجموعه هایی که می توانند به عنوان اتحاد تعداد زیادی مجموعه بسته قابل شمارش ساخته شوند ، مجموعه F σ نشان داده می شوند . این مجموعه ها نیازی به بسته شدن ندارند.

مثالها [ ویرایش ]

فاصله بسته $[الف، ب]$ اعداد واقعی بسته است. ( برای توضیح نماد مجموعه براکت و پرانتز به فاصله (ریاضیات) مراجعه کنید.)
فاصله واحد $[0,1]$ در فضای متریک اعداد حقیقی و مجموعه بسته شده است $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ از اعداد گویا بین $0$ و1 $1$ (شامل) در فضای اعداد گویا بسته است اما $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ در اعداد واقعی بسته نشده است.
برخی از مجموعه ها نه باز هستند و نه بسته، به عنوان مثال بازه نیمه باز $[0،1)$ در اعداد واقعی
برخی از مجموعه ها هم باز و هم بسته هستند و به نها مجموعه های کلوپن می گویند .
پرتو $[1,+\infty )$ بسته است.
مجموعه کانتور یک مجموعه بسته غیرمعمول است به این معنا که کاملاً از نقاط مرزی تشکیل شده است و هیچ جا متراکم نیست.
نقاط Singleton (و در نتیجه مجموعه های محدود) در فضاهای T 1 و فضاهای هاسدورف بسته می شوند .
مجموعه اعداد صحیح ز $\mathbb {Z}$ یک مجموعه بسته نامحدود و نامحدود در اعداد حقیقی است.
اگر: $f:X\ به Y$ تابعی بین فضاهای توپولوژیکی است $f$ پیوسته است اگر و فقط در صورتی که پیش تصویر مجموعه های بسته وارد شود $Y$ در بسته هستند. $ایکس.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مجموعه Clopen - زیر مجموعه ای که هم باز و هم بسته است
نقشه بسته – تابعی که زیر مجموعه ‌های باز (به‌عنوان بسته) را به زیر مجموعه ‌های باز (به‌عنوان بسته) ارسال می‌کند.
منطقه بسته - زیر مجموعه باز متصل از یک فضای توپولوژیکی
مجموعه باز - زیر مجموعه اصلی یک فضای توپولوژیکی
همسایگی - مجموعه باز حاوی یک نقطه مشخص
منطقه (ریاضیات) - زیر مجموعه باز متصل یک فضای توپولوژیکی
ست بسته معمولی

+ نوشته شده در سه شنبه شانزدهم آبان ۱۴۰۲ ساعت 19:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-سیستم مختصات باریسنتریک

رویکرد راس [ ویرایش ]

روش دیگر برای حل تبدیل مختصات دکارتی به باری مرکزی، نوشتن رابطه به شکل ماتریس است.

$\mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r}$ با ${\mathbf {R}}=\left({\begin{matrix}{\mathbf {r}}_{1}|{\mathbf {r}}_{2}|{\mathbf {r}}_{ 3}\end{ماتریس}}\راست)$ و ${\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\بالا }$ ، یعنی

${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _ {1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ برای به دست آوردن راه حل نرمال شده منحصر به فرد، باید شرط را اضافه کنیم $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ . بنابراین مختصات باریسنتریک حل سیستم خطی هستند

$\left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right) {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\ y\end{ماتریس}}\راست)$ که هست

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\ شروع{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}- x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}- y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}$

جایی که

$2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}( y_{1}-y_{2})$

دو برابر مساحت علامت مثلث است. تفسیر ناحیه مختصات باریسنتریک را می توان با اعمال قانون کرامر در این سیستم خطی بازیابی کرد.

تبدیل بین مختصات باریسنتریک و سه خطی [ ویرایش ]

نقطه ای با مختصات سه خطی x : y : z دارای مختصات باری مرکزی است ax : by : cz که در آن a , b , c طول ضلع مثلث هستند. برعکس، یک نقطه با باری مرکزی $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ سه خطی دارد $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$

معادلات در مختصات باریسنتریک [ ویرایش ]

سه ضلع a، b، c به ترتیب دارای معادلات هستند [9]

$\lambda _{1}=0،\quad \lambda _{2}=0،\quad \lambda _{3}=0.$

معادله خط اویلر مثلث [9] است .

${\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}= 0.$

با استفاده از تبدیل قبلی بین مختصات باری مرکزی و سه خطی، معادلات مختلف دیگر که در مختصات #فرمول های سه خطی داده شده اند را می توان بر حسب مختصات باری مرکزی بازنویسی کرد.

فاصله بین نقاط [ ویرایش ]

بردار جابجایی دو نقطه نرمال شده $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ و $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ است [10]

${\overrightarrow {PQ}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).$

فاصله $د$ بین $پ$ و $س$ ، یا طول بردار جابجایی ${\overrightarrow {PQ}}=(x,y,z)$ است [9] [10]

$d^{2}=\left|PQ\right|^{2}=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy={\frac {1}{ 2}}[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{ 2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})].$

که در آن a، b، c طول اضلاع مثلث هستند. معادل دو عبارت آخر از $x+y+z=0,$ که نگه می دارد زیرا $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1} +p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$

مختصات باری مرکزی یک نقطه را می توان بر اساس فاصله d i تا سه رأس مثلث با حل معادله محاسبه کرد.

$\left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^ {2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B }^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{ماتریس}}\راست).$

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

دو راه حل برای پازل ریختن آب 8، 5 و 3 لیتری با استفاده از یک نمودار باریسنتریک. ناحیه زرد نشان دهنده ترکیباتی است که با کوزه ها قابل دستیابی هستند. مسیرهای قرمز و آبی نقطه چین انتقال قابل ریختن را نشان می دهند. هنگامی که یک راس روی مثلث نقطه چین قرار می گیرد، 4 L اندازه گیری شده است.

تعیین مکان با توجه به مثلث [ ویرایش ]

اگرچه مختصات باریسنتریک بیشتر برای رسیدگی به نقاط داخل مثلث استفاده می شود، اما می توان از آنها برای توصیف نقطه ای خارج از مثلث نیز استفاده کرد. اگر نقطه داخل مثلث نباشد، باز هم می‌توانیم از فرمول‌های بالا برای محاسبه مختصات باری‌مرکزی استفاده کنیم. با این حال، از آنجایی که نقطه خارج از مثلث است، حداقل یکی از مختصات، فرض اصلی ما را نقض می کند. $\lambda _{{1...3}}\geq 0$ . در واقع، با توجه به هر نقطه ای در مختصات دکارتی، می توانیم از این واقعیت برای تعیین اینکه این نقطه نسبت به مثلث کجاست استفاده کنیم.

اگر نقطه ای در داخل مثلث قرار داشته باشد، تمام مختصات باریسنتریک در بازه باز قرار دارند. $(0،1).$ اگر نقطه ای روی یک یال مثلث قرار داشته باشد اما در یک راس نباشد، یکی از ناحیه ها مختصات $\lambda_{1...3}$ (یکی که با راس مخالف مرتبط است) صفر است، در حالی که دو مورد دیگر در بازه باز قرار دارند $(0،1).$ اگر نقطه روی یک راس قرار گیرد، مختصات مربوط به آن راس برابر با 1 و بقیه برابر با صفر است. در نهایت، اگر نقطه خارج از مثلث باشد، حداقل یک مختصات منفی است.

جمع بندی،

نقطه $\mathbf {r}$ اگر و فقط اگر داخل مثلث قرار دارد $0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ در }}{1،2،3}$ .

$\mathbf {r}$ در لبه یا گوشه مثلث قرار دارد اگر $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ در }}{1,2,3}$ و $\lambda _{i}=0\;{\text{، برای برخی من در }}{1،2،3}$ .

در غیر این صورت، $\mathbf {r}$ خارج از مثلث قرار دارد

به طور خاص، اگر نقطه ای در ضلع دور یک خط قرار داشته باشد، مختصات باریسنتریک نقطه ای در مثلث که روی خط نیست، مقدار منفی خواهد داشت.

درونیابی در یک شبکه بدون ساختار مثلثی [ ویرایش ]

سطح (قسمت بالایی) از درونیابی خطی بر روی یک شبکه مثلثی معین (قسمت پایین) در صفحه x , y به دست می آید . سطح به یک تابع z = f ( x , y ) تقریب می زند، که فقط مقادیر f را در رئوس شبکه داده می شود.

اگر $f({\mathbf {r}}_{1})، f({\mathbf {r}}_{2})، f({\mathbf {r}}_{3})$ مقادیر شناخته شده هستند، اما مقادیر $f$ در داخل مثلث تعریف شده توسط ${\mathbf {r}}_{1}،{\mathbf {r}}_{2}،{\mathbf {r}}_{3}$ ناشناخته است، آنها را می توان با استفاده از درون یابی خطی تقریب زد . مختصات باریسنتریک روشی مناسب برای محاسبه این درونیابی فراهم می کند. اگر $\mathbf {r}$ نقطه ای در داخل مثلث با مختصات باری مرکزی است $\lambda _{{1}}$ ، $\lambda _{{2}}$ ، $\lambda _{3}$ ، سپس

$f({\mathbf {r}})\approx \lambda _{1}f({\mathbf {r}}_{1})+\lambda _{2}f({\mathbf {r}}_{ 2})+\lambda _{3}f({\mathbf {r}}_{3})$

به طور کلی، با توجه به هر شبکه بدون ساختار یا شبکه چند ضلعی ، می توان از این نوع تکنیک برای تقریب مقدار استفاده کرد. $f$ در تمام نقاط، تا زمانی که مقدار تابع در تمام رئوس مش مشخص باشد. در این حالت مثلث های زیادی داریم که هر کدام مربوط به قسمت متفاوتی از فضا هستند. برای درون یابی یک تابع $f$ در یک نقطه $\mathbf {r}$ ، ابتدا باید مثلثی پیدا شود که حاوی $\mathbf {r}$ . برای انجام این کار، $\mathbf {r}$ به مختصات باری مرکزی هر مثلث تبدیل می شود. اگر مثلثی پیدا شود که مختصات آن برآورده شود $0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \text{ در } 1،2،3$ ، سپس نقطه در آن مثلث یا لبه آن قرار دارد (در قسمت قبل توضیح داده شد). سپس ارزش $f(\mathbf{r})$ همانطور که در بالا توضیح داده شد می توان درون یابی کرد.

این روش ها کاربردهای زیادی دارند، مانند روش اجزای محدود (FEM).

ادغام بر روی یک مثلث یا چهار وجهی [ ویرایش ]

انتگرال یک تابع بر روی دامنه مثلث می تواند برای محاسبه در یک سیستم مختصات دکارتی آزار دهنده باشد. به طور کلی باید مثلث را به دو نیمه تقسیم کرد و به هم ریختگی بزرگی در پی خواهد داشت. در عوض، تغییر متغیرها به هر دو مختصات باریسنتریک، به عنوان مثال، آسان تر است . $\lambda _{1}،\lambda _{2}$ . تحت این تغییر متغیرها،

$\int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{ 2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _ {2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}$

جایی که $آ$ مساحت مثلث است . این نتیجه از این واقعیت ناشی می شود که یک مستطیل در مختصات باریسنتریک با یک چهارضلعی در مختصات دکارتی مطابقت دارد، و نسبت مساحت اشکال مربوطه در سیستم مختصات مربوطه با $2A$ . به طور مشابه، برای ادغام بر روی یک چهار وجهی، به جای شکستن انتگرال به دو یا سه قطعه جداگانه، می توان به مختصات چهار وجهی سه بعدی تحت تغییر متغیرها تغییر داد.

$\int \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _ {2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{ 3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}$ جایی که $V$ حجم چهار وجهی است.

نمونه هایی از نکات ویژه [ ویرایش ]

سه رأس یک مثلث دارای مختصات باری مرکز هستند $1:0:0$ ، $0:1:0$ ، و $0:0:1$ . [9]

مرکز دارای باری مرکزی است $1/3:1/3:1/3.$ [9]

مرکز مدار یک مثلث ABC دارای مختصات باری مرکزی است [9] [10] [11] [12]

$a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c ^{2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$

$=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C=(1-\cos B\cos C):(1-\cos C\cos A):(1-\cos A\cos B).$

که در آن a , b , c به ترتیب طول یال BC , CA , AB مثلث هستند.

مرکز متعامد دارای مختصات باریسنتریک است [ 9 ] [10]

$(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):\;(-a^{2 }+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2}):\;(a^{2}-b^{2}+c ^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$=\tan A:\tan B:\tan C=a\cos B\cos C:b\cos C\cos A:c\cos A\cos B.$

مرکز دارای مختصات باریسنتریک است [ 10 ] [13]

$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.$

باریسنتریک های برون مرکزی [13] است.

$-a:b:c\quad \quad a:-b:c\quad \quad a:b:-c.$

مرکز نه نقطه ای دارای مختصات باری مرکزی است [9] [13]

$a\cos(BC):b\cos(CA):c\cos(AB)=(1+\cos B\cos C):(1+\cos C\cos A):(1+\ cos A\cos B)$

$=[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:[b^{2}( c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:[c^{2}(a^{2}+b^{2} )-(a^{2}-b^{2})^{2}].$

نقطه جرگون مثلثی با طول ضلع های a، b و c و نیم محیط s مقداری برابر با $(sb)(sc):(sc)(sa):(sa)(sb)$ .

نقطه ناگل دارای ارزش است $sa:sb:sc$ .

نقطه قرینه در واقع شده است $a^{2}:b^{2}:c^{2}$ در سیستم مختصات باریسنتریک یک مثلث. [12]

مختصات باریسنتریک روی چهار وجهی [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک را می توان به راحتی تا سه بعد گسترش داد . سیمپلکس سه بعدی یک چهار وجهی است ، یک چند وجهی با چهار وجه مثلثی و چهار راس. یک بار دیگر، چهار مختصات باریسنتریک به گونه ای تعریف می شوند که راس اول $\mathbf {r} _{1}$ نقشه به مختصات باریسنتریک $\lambda = (1,0,0,0)$ ، $\mathbf{r}_2 \to (0،1،0،0)$ ، و غیره.

این دوباره یک تبدیل خطی است، و ممکن است روش بالا را برای مثلث ها گسترش دهیم تا مختصات باری مرکزی یک نقطه را پیدا کنیم. $\mathbf {r}$ با توجه به چهار وجهی:

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^ {-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})$

جایی که $\mathbf {T}$ اکنون یک ماتریس 3×3 است:

$\mathbf{T} = \چپ(\شروع{ماتریس} x_1-x_4 & x_2-x_4 & x_3-x_4\\ y_1-y_4 & y_2-y_4 & y_3-y_4\\ z_1-z_4 & z_2-z_4 و z_3- z_4 \end{ماتریس}\راست)$

و $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ با مختصات دکارتی مربوطه:

${\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _ {1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z=\lambda _{1}z_{1 }+\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{ 4}\\\پایان{ماتریس}}$

یک بار دیگر، مشکل یافتن مختصات باریسنتریک به معکوس کردن یک ماتریس 3×3 کاهش یافته است .

مختصات باریسنتریک سه بعدی ممکن است برای تصمیم گیری در مورد اینکه آیا یک نقطه در داخل یک حجم چهار وجهی قرار دارد یا نه، و برای درونیابی یک تابع در یک شبکه چهار وجهی، به روشی مشابه با روش دو بعدی، استفاده شود. مش های چهار وجهی اغلب در تجزیه و تحلیل اجزای محدود استفاده می شوند زیرا استفاده از مختصات باری مرکزی می تواند درون یابی سه بعدی را تا حد زیادی ساده کند.

مختصات باریسنتریک تعمیم یافته [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})$ یک نقطه $p \in \mathbb{R}^n$ که با توجه به مجموعه ای محدود از k نقطه تعریف می شوند $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ به جای یک سیمپلکس مختصات باریسنتریک تعمیم یافته نامیده می شوند . برای اینها، معادله

$(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2 }+\cdots +\lambda _{k}x_{k}$

هنوز برای نگه داشتن مورد نیاز است. [14] معمولاً از مختصات نرمال شده استفاده می شود، $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$ . در مورد یک سیمپلکس، نقاط با مختصات تعمیم یافته نرمال شده غیر منفی ( $0\leq \lambda _{i}\leq 1$ ) بدنه محدب x 1 ، ...، x n را تشکیل دهید . اگر نقاط بیشتری نسبت به یک سیمپلکس کامل وجود دارد ( $k>n+1$ ) مختصات باریسنتریک تعمیم یافته یک نقطه منحصر به فرد نیستند ، به عنوان سیستم خطی تعیین کننده (در اینجا برای n=2)

$\left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&. ..\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}= \left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)$

کم تعیین شده است . ساده ترین مثال یک چهارضلعی در صفحه است. انواع مختلفی از محدودیت های اضافی را می توان برای تعریف مختصات باریسنتریک منحصر به فرد استفاده کرد. [15]

انتزاع [ ویرایش ]

به طور انتزاعی تر، مختصات باریسنتریک تعمیم یافته یک چند توپ محدب با n راس، بدون توجه به ابعاد، به عنوان تصویر استاندارد بیان می کنند. $(n-1)$ -simplex، که دارای n رأس است - نقشه بر روی: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$ نقشه یک به یک است اگر و فقط اگر پلی توپ یک سیمپلکس باشد، در این صورت نقشه یک هم شکل است. این مربوط به نقطه‌ای است که مختصات باریسنتریک تعمیم‌یافته منحصربه‌فرد ندارد مگر زمانی که P یک سیمپلکس باشد.

مختصات باریسنتریک دوگانه به تعمیم یافته، متغیرهای سستی هستند ، که با میزان حاشیه ای که یک نقطه محدودیت های خطی را برآورده می کند، اندازه گیری می کند و یک جاسازی می دهد. $P \hookrightarrow (\mathbf{R}_{\geq 0})^f$ به f - orthant ، که در آن f تعداد وجوه است (دو تا رئوس). این نقشه یک به یک است (متغیرهای شل به طور منحصربه‌فرد تعیین می‌شوند) اما نه روی (همه ترکیب‌ها قابل تحقق نیستند).

این استفاده از استاندارد $(n-1)$ -Simplex و F -orthant به عنوان اشیاء استانداردی که به یک polytope نگاشت می شوند یا یک polytope به آن نگاشت باید با استفاده از فضای برداری استاندارد در تضاد قرار گیرند. $K^{n}$ به عنوان شی استاندارد برای فضاهای برداری، و ابرصفحه افین استاندارد $\{(x_0،\ldots،x_n) \mid \sum x_i = 1\} \زیر مجموعه K^{n+1}$ به عنوان شی استاندارد برای فضاهای وابسته، که در هر مورد، انتخاب یک پایه خطی یا پایه وابسته ، یک هم شکلی را ارائه می دهد ، که به همه فضاهای برداری و فضاهای وابسته اجازه می دهد تا برحسب این فضاهای استاندارد، به جای یک روی یا یک به-، در نظر گرفته شوند. یک نقشه (هر پلی توپی یک سیمپلکس نیست). علاوه بر این، n- orthant شی استانداردی است که به مخروط ها نگاشت می شود.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک برای ترکیب سه رنگ در یک ناحیه مثلثی به طور مساوی در گرافیک کامپیوتری استفاده می شود.

مختصات باریسنتریک تعمیم یافته در گرافیک کامپیوتری و به طور خاص در مدل سازی هندسی کاربرد دارد. [16] اغلب، یک مدل سه بعدی را می توان با یک چند وجهی تقریب زد به طوری که مختصات باری مرکزی تعمیم یافته نسبت به آن چند وجهی معنای هندسی داشته باشد. به این ترتیب، پردازش مدل با استفاده از این مختصات معنی دار ساده می شود. مختصات باریسنتریک نیز در ژئوفیزیک استفاده می شود . [17]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_coordinate_system

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 1:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-سیستم مختصات باریسنتریک

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با مختصات باریسنتریک (نجوم) اشتباه شود .

همچنین نگاه کنید به: فضای Affine § مختصات Barycentric

یک 3-ساده، با تقسیمات فرعی باری مرکزی از 1 وجه (لبه ها) 2 وجه (مثلث) و 3 وجه (بدنه).

در هندسه ، سیستم مختصات باری مرکزی، سیستم مختصاتی است که در آن مکان یک نقطه با ارجاع به یک سیمپلکس ( مثلث برای نقاط یک صفحه ، چهار وجهی برای نقاط در فضای سه بعدی و غیره) مشخص می شود. مختصات باری مرکزی یک نقطه را می توان به عنوان جرم هایی که در راس سیمپلکس قرار می گیرند، تفسیر کرد، به طوری که نقطه مرکز جرم (یا مرکز باری ) این جرم ها باشد. این جرم ها می توانند صفر یا منفی باشند. همه آنها مثبت هستند اگر و فقط اگر نقطه در داخل سیمپلکس باشد.

هر نقطه دارای مختصات باری مرکزی است و مجموع آنها صفر نیست. دو دسته از مختصات باریسنتریک یک نقطه را مشخص می کنند اگر و فقط اگر متناسب باشند . یعنی اگر بتوان یک تاپل را با ضرب عناصر تاپل دیگر در همان عدد غیر صفر به دست آورد. بنابراین، مختصات باریسنتریک یا تا ضرب در یک ثابت غیر صفر تعریف می‌شوند ، یا برای جمع تا واحد نرمال می‌شوند.

مختصات باریسنتریک توسط آگوست فردیناند موبیوس در سال 1827 معرفی شد. [1] [2] [3] آنها مختصات همگن خاصی هستند . مختصات باریسنتریک به شدت با مختصات دکارتی و به طور کلی با مختصات افین مرتبط است (به فضای Affine § رابطه بین مختصات barycentric و affine مراجعه کنید).

مختصات باریسنتریک به ویژه در هندسه مثلث برای مطالعه خواصی که به زوایای مثلث وابسته نیستند، مانند قضیه سیوا ، قضیه روث و قضیه منلائوس مفید هستند . در طراحی به کمک کامپیوتر ، آنها برای تعریف برخی از انواع سطوح Bézier مفید هستند . [4] [5]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید $A_{0},\ldots ,A_{n}$ n + 1 نقطه در یک فضای اقلیدسی ، یک فضای مسطح یا یک فضای وابسته باشد $\mathbf {A}$ از بعد n که مستقل از هم هستند . این بدان معنی است که هیچ زیرفضای وابسته ای از بعد n وجود ندارد که شامل تمام نقاط باشد، یا به طور معادل آن نقاط یک سیمپلکس را تعریف می کنند. با توجه به هر نکته $P\in \mathbf {A}،$ اسکالر وجود دارد $a_{0}،\ldots،a_{n}$ که همه صفر نیستند، به طوری که

$(a_{0}+\cdots +a_{n}){\overrightarrow {OP}}=a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}}،$

برای هر نقطه O (طبق معمول، نماد ${\overright arrow {AB}}$ نشان دهنده بردار ترجمه یا بردار آزاد است که نقطه A را به نقطه B نگاشت می کند .)

عناصر یک ( n + 1) تاپل $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ که این معادله را برآورده می کند، مختصات باریسنتریک P نسبت به $A_{0},\ldots,A_{n}.$ استفاده از دو نقطه در علامت گذاری تاپل به این معنی است که مختصات باریسنتریک نوعی مختصات همگن هستند، یعنی اگر همه مختصات در یک ثابت غیر صفر ضرب شوند، نقطه تغییر نمی کند. علاوه بر این، اگر نقطه کمکی O ، مبدا ، تغییر کند، مختصات باریسنتریک نیز تغییر نمی کند.

مختصات باریسنتریک یک نقطه تا یک مقیاس منحصر به فرد است. یعنی دو تاپل $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ و $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ مختصات باریسنتریک یک نقطه هستند اگر و فقط در صورتی که یک اسکالر غیر صفر وجود داشته باشد $\لامبدا$ به طوری که $b_{i}=\lambda a_{i}$ برای هر من .

در برخی زمینه ها، منحصر به فرد کردن مختصات باری مرکزی یک نقطه مفید است. این با تحمیل شرط به دست می آید

$\sum a_{i}=1,$

یا به طور معادل با تقسیم هر $a_{i}$ با مجموع همه $a_i.$ این مختصات باریسنتریک خاص، مختصات باریسنتریک نرمال شده یا مطلق نامیده می شوند . [6] گاهی اوقات، آنها را مختصات افین نیز می نامند ، اگرچه این اصطلاح معمولاً به مفهوم کمی متفاوت اشاره دارد.

گاهی اوقات، مختصات باری مرکزی نرمال شده است که مختصات باری مرکزی نامیده می شود . در این حالت مختصات تعریف شده در بالا مختصات باری مرکزی همگن نامیده می شوند .

با نماد بالا، مختصات باری مرکزی همگن A i همگی صفر هستند، به جز مختصات شاخص i . هنگام کار بر روی اعداد واقعی (تعریف بالا برای فضاهای وابسته در یک میدان دلخواه نیز استفاده می شود )، نقاطی که همه مختصات باریسنتریک نرمال شده آنها غیر منفی هستند، بدنه محدب را تشکیل می دهند . $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ که سیمپلکسی است که این نقاط را رئوس خود دارد.

با نماد بالا، یک تاپل $(a_{1},\ldots,a_{n})$ به طوری که

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}=0$

هیچ نقطه ای را تعریف نمی کند، بلکه بردار را مشخص می کند

$a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}}$

مستقل از مبدا O است. همانطور که جهت این بردار تغییر نمی کند اگر همه $a_{i}$ در همان اسکالر، یعنی تاپل همگن ضرب می شوند $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ یک جهت از خطوط را تعریف می کند، که یک نقطه در بی نهایت است. برای اطلاعات بیشتر قسمت زیر را مطالعه کنید.

رابطه با مختصات دکارتی یا وابسته [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک به شدت با مختصات دکارتی و به طور کلی مختصات افین مرتبط است. برای فضایی با ابعاد n ، این سیستم های مختصات نسبت به نقطه O ، مبدا ، که مختصات آن صفر است، و n نقطه تعریف می شوند. $A_{1},\ldots ,A_{n},$ که مختصات آن صفر است به جز مختصات شاخص i که برابر با یک است.

یک نقطه مختصاتی دارد

$(x_1، \ldots، x_n)$

برای چنین سیستم مختصاتی اگر و تنها در صورتی که مختصات باریسنتریک نرمال شده آن باشد

$(1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots,x_{n})$

نسبت به نقاط $O,A_{1},\ldots,A_{n}.$

مزیت اصلی سیستم های مختصات باریسنتریک متقارن بودن با توجه به نقاط تعیین کننده n + 1 است. بنابراین آنها اغلب برای مطالعه خواصی که با توجه به n + 1 نقطه متقارن هستند مفید هستند. از سوی دیگر، بیان فواصل و زوایا در سیستم‌های مختصات باریسنتریک عمومی دشوار است و زمانی که آنها درگیر هستند، استفاده از سیستم مختصات دکارتی به طور کلی ساده‌تر است.

رابطه با مختصات تصویری [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک همگن نیز به شدت با برخی مختصات تصویری مرتبط است . با این حال، این رابطه نسبت به مختصات افین ظریف‌تر است، و برای اینکه به وضوح درک شود، نیاز به تعریف بدون مختصات از تکمیل تصویری یک فضای افین ، و تعریف یک قاب تصویری دارد .

تکمیل تصویری یک فضای نزدیک به بعد n یک فضای تصویری با همان بعد است که شامل فضای افین به عنوان مکمل یک ابر صفحه است. تکمیل تصویری تا یک هم ریختی منحصر به فرد است . ابرصفحه ابرصفحه در بینهایت نامیده می شود و نقاط آن نقاطی در بینهایت فضای افین هستند. [7]

با توجه به فضای تصویری با ابعاد n ، یک قاب تصویری مجموعه‌ای مرتب از n + 2 نقطه است که در همان ابر صفحه وجود ندارد. یک قاب تصویری یک سیستم مختصات تصویری را تعریف می کند به طوری که مختصات ( n + 2) امین نقطه قاب همه با هم برابر باشند و در غیر این صورت، همه مختصات نقطه i به جز i ام صفر هستند . [7]

هنگام ساختن تکمیل پروژکتوری از یک سیستم مختصات افینی، معمولاً آن را با توجه به یک قاب تصویری متشکل از تقاطعات با ابرصفحه در بینهایت محورهای مختصات ، مبدأ فضای افین و نقطه‌ای تعریف می‌کنیم که تمام نزدیکی خود را دارد. مختصات برابر با یک این بدان معناست که نقاط در بی نهایت آخرین مختصات خود را برابر با صفر دارند و مختصات تصویری یک نقطه از فضای افین با تکمیل مختصات افین آن با یک به عنوان مختصات ( n + 1) به دست می آید .

هنگامی که یک نقطه n + 1 در یک فضای وابستگی داشته باشد که یک سیستم مختصات باریسنتریک را تعریف می کند، این یک فریم تصویری دیگر از تکمیل تصویر است که انتخاب آن راحت است. این قاب از این نقاط و مرکز آنها تشکیل شده است، یعنی نقطه ای که تمام مختصات باری مرکزی آن برابر است. در این حالت، مختصات باری مرکزی همگن یک نقطه در فضای افین با مختصات تصویری این نقطه یکسان است. یک نقطه در بی نهایت است اگر و فقط اگر مجموع مختصات آن صفر باشد. این نقطه در جهت بردار تعریف شده در انتهای § تعریف است.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 1:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-سیستم مختصات باریسنتریک

مختصات باریسنتریک روی مثلث ها [ ویرایش ]

این بخش ممکن است برای خوانندگان گیج کننده یا نامشخص باشد. به ویژه، غیر ضروری فنی و پیچیده است. لطفا در شفاف شدن بخش کمک کنید . ممکن است در صفحه بحث در مورد این بحث وجود داشته باشد . ( دسامبر 2018 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

همچنین ببینید: پلات سه تایی و مرکز مثلث

مختصات باریسنتریک $(\lambda_{1}، \lambda_{2}، \lambda_{3})$ روی مثلث متساوی الاضلاع و مثلث قائم الزاویه.

در زمینه یک مثلث ، مختصات باریسنتریک به نام مختصات ناحیه یا مختصات ناحیه نیز شناخته می شود ، زیرا مختصات P نسبت به مثلث ABC معادل نسبت (علامت) مساحت های PBC ، PCA و PAB به مساحت است. مثلث مرجع ABC . مختصات مساحتی و سه خطی برای اهداف مشابه در هندسه استفاده می شود.

مختصات باری مرکزی یا ناحیه ای در کاربردهای مهندسی شامل زیر دامنه های مثلثی بسیار مفید هستند . اینها ارزیابی انتگرال های تحلیلی را اغلب آسان تر می کند و جداول ربع گاوسی اغلب بر حسب مختصات ناحیه ارائه می شوند.

مثلثی را در نظر بگیرید $تی$ با سه رأس آن تعریف می شود، ${\mathbf {r}}_{{1}}$ ، ${\mathbf {r}}_{{2}}$ و $\mathbf {r} _{3}$ . هر نقطه $\mathbf {r}$ واقع در داخل این مثلث را می توان به عنوان یک ترکیب محدب منحصر به فرد از سه راس نوشت. به عبارت دیگر برای هر کدام $\mathbf {r}$ یک دنباله منحصر به فرد از سه عدد وجود دارد، $\lambda _{1}،\lambda _{2}،\lambda _{3}\geq 0$ به طوری که $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$ و

$\mathbf{r} = \lambda_{1} \mathbf{r}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{r}_{2} + \lambda_{3} \mathbf{r}_{3} ،$

سه عدد $\lambda _{1}،\lambda _{2}،\lambda _{3}$ مختصات "باری مرکزی" یا "منطقه" نقطه را نشان می دهد $\mathbf {r}$ با توجه به مثلث آنها اغلب به عنوان نشان داده می شوند $\آلفا،\بتا،\گاما$ بجای $\lambda _{1}،\lambda _{2}،\lambda _{3}$ . توجه داشته باشید که اگرچه سه مختصات وجود دارد، اما تنها دو درجه آزادی وجود دارد ، زیرا $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$ . بنابراین هر نقطه به طور منحصر به فرد توسط هر دو مختصات باری مرکزی تعریف می شود.

برای توضیح اینکه چرا این مختصات نسبت مساحت ها علامت دار هستند ، اجازه دهید فرض کنیم که ما در فضای اقلیدسی کار می کنیم. $\mathbf {E} ^{3}$ . در اینجا، سیستم مختصات دکارتی را در نظر بگیرید $Oxyz$ و اساس مرتبط با آن ، یعنی $\{\mathbf{i}،\mathbf{j}،\mathbf{k}\}$ . مثلث مثبت گرا را نیز در نظر بگیرید $ABC$ دراز کشیده در $Oxy$ هواپیما . معلوم است که برای هر مبنایی $\{\mathbf {e},\mathbf {f},\mathbf {g} \}$ از $\mathbf {E} ^{3}$ و هر وکتور رایگان ${\mathbf {h}}$ یکی دارد [8]

$\mathbf {h} ={\frac {1}{(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )}}\cdot \left[(\mathbf {h} ,\ mathbf {f} ,\mathbf {g} )\mathbf {e} +(\mathbf {e} ,\mathbf {h} ,\mathbf {g} )\mathbf {f} +(\mathbf {e} ,\ mathbf {f}،\mathbf {h})\mathbf {g} \راست]،$

$(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ مخفف حاصلضرب مخلوط این سه بردار است.

$\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\ mathbf {h} ={\vec {AP}}$ ، جایی که $پ$ یک نقطه دلخواه در هواپیما است $Oxy$ ، و توجه کنید که

$(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )=({\vec {AB}}\times {\vec {AC}})\cdot {\vec {AP}} =(\vert {\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\vert \mathbf {k} )\cdot {\vec {AP}}=0.$

یک نکته ظریف در مورد انتخاب ما از بردارهای آزاد: $\mathbf {e}$ در واقع، کلاس همنواختی بردار کران است ${\vec {AB}}$ .

ما آن را به دست آورده ایم

${\vec {AP}}=m_{B}\cdot {\vec {AB}}+m_{C}\cdot {\vec {AC}},\,{\mbox{ جایی که }}\, m_{B}={\frac {({\vec {AP}},{\vec {AC}},\mathbf {k} )}{({\vec {AB}},{\vec {AC}} ,\mathbf {k} )}},\,m_{C}={\frac {({\vec {AB}},{\vec {AP}},\mathbf {k} )}{({\vec {AB}}،{\vec {AC}}،\mathbf {k} )}}.$

با توجه به جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) مثلث $ABC$ ، مخرج هر دو $MB}$ و $m_{C}$ دقیقاً دو برابر مساحت مثلث است $ABC$ . همچنین،

$({\vec {AP}},{\vec {AC}},\mathbf {k} )=({\vec {PC}},{\vec {PA}},\mathbf {k} ) \,{\mbox{ و }}\,({\vec {AB}},{\vec {AP}},\mathbf {k} )=({\vec {PA}},{\vec {PB} },\mathbf {k} )$

و بنابراین شمارندگان از $MB}$ و $m_{C}$ دو برابر مساحت های علامت دار مثلث ها هستند $APC$ و به ترتیبب $ABP$ .

علاوه بر این، ما آن را استنباط می کنیم

${\vec {OP}}=(1-m_{B}-m_{C})\cdot {\vec {OA}}+m_{B}\cdot {\vec {OB}}+m_{ C}\cdot {\vec {OC}}$

به این معنی که اعداد $1-m_{B}-m_{C}$ ، $MB}$ و $m_{C}$ مختصات باریسنتریک هستند $پ$ . به طور مشابه، سومین مختصات باریسنتریک به عنوان خوانده می شود

$m_{A}=1-m_{B}-m_{C}={\frac {({\vec {PB}},{\vec {PC}},\mathbf {k} )}{( {\vec {AB}}،{\vec {AC}}،\mathbf {k} )}}.$

این $متر$ -نشان نویسی مختصات باریسنتریک از این واقعیت ناشی می شود که نقطه $پ$ ممکن است به عنوان مرکز جرم برای توده ها تفسیر شود $m_{A}$ ، $MB}$ ، $m_{C}$ که در $آ$ ، $ب$ و $سی$ .

جابه‌جایی بین مختصات باریسنتریک و سایر سیستم‌های مختصات، حل برخی مشکلات را بسیار آسان‌تر می‌کند.

تبدیل بین مختصات باریسنتریک و دکارتی [ ویرایش ]

رویکرد لبه [ ویرایش ]

با توجه به یک نکته $\mathbf {r}$ در صفحه مثلث می توان مختصات باری مرکزی را بدست آورد $\lambda _{{1}}$ ، $\lambda _{{2}}$ و $\lambda _{3}$ از مختصات دکارتی $(x,y)$ یا برعکس.

می توانیم مختصات دکارتی نقطه را بنویسیم $\mathbf {r}$ بر حسب مولفه های دکارتی رئوس مثلث $\mathbf {r} _{1}$ ، $\mathbf {r} _{2}$ ، $\mathbf{r}_3$ جایی که $\mathbf{r}_i = (x_i، y_i)$ و از نظر مختصات باریسنتریک از $\mathbf {r}$ مانند

${\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\y=\lambda _ {1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\\\end{ماتریس}}$

یعنی مختصات دکارتی هر نقطه، میانگین وزنی مختصات دکارتی رئوس مثلث است، با وزن‌هایی که مختصات باری‌مرکزی نقطه جمع می‌شوند.

برای یافتن تبدیل معکوس، از مختصات دکارتی به مختصات باریسنتریک، ابتدا جایگزین می کنیم $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ به موارد فوق برای به دست آوردن

${\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}) x_{3}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3 }\\\پایان{ماتریس}}$

تنظیم مجدد، این است

${\begin{matrix}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}- x=0\\\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-y_{3})+y_{3}-y=0\ \\پایان{ماتریس}}$

این تبدیل خطی ممکن است به طور خلاصه تر نوشته شود

$\mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}$

جایی که $\لامبدا$ بردار دو مختصات باریسنتریک اول است ، $\mathbf {r}$ بردار مختصات دکارتی است و $\mathbf {T}$ ماتریسی است که توسط

$\mathbf{T} = \چپ(\شروع{ماتریس} x_1-x_3 & x_2-x_3 \\ y_1-y_3 & y_2-y_3 \\ \پایان{ماتریس}\راست)$

حالا ماتریس $\mathbf {T}$ معکوس است ، زیرا $\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3$ و $\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3$ مستقل خطی هستند (اگر اینطور نبود، پس $\mathbf {r} _{1}$ ، $\mathbf {r} _{2}$ ، و $\mathbf{r}_3$ خطی خواهد بود و مثلثی تشکیل نمی دهد). بنابراین، می‌توانیم معادله بالا را دوباره مرتب کنیم تا به دست آید

$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf { r} -\mathbf {r} _{3})$

بنابراین یافتن مختصات باریسنتریک به یافتن ماتریس معکوس 2×2 کاهش یافته است . $\mathbf {T}$ ، یک مشکل آسان

به صراحت، فرمول های مختصات باری مرکزی نقطه $\mathbf {r}$ از نظر مختصات دکارتی آن ( x,y ) و از نظر مختصات دکارتی رئوس مثلث عبارتند از:

$\lambda_1=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+ (x_3-x_2)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,$

$\lambda_2=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+ (x_1-x_3)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,$

$\lambda_3=1-\lambda_1-\lambda_2\,.$

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 1:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال از فضای همبند ساده

Simply Connected Space Topology Circle Topological Space, PNG, 1200x1200px, Connected Space, Area, Black And White, Cw

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 17:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کارول بورسوک

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

کارول بورسوک

بدنیا آمدن	8 مه 1905 ورشو ، سرزمین ویستولا ، امپراتوری روسیه
فوت کرد	24 ژانویه 1982 (سن 76 سالگی) ورشو ، لهستان
ملیت	لهستانی
آلما مادر	دانشگاه ورشو
شناخته شده برای	حدس Borsuk قضیه Borsuk–Ulam
حرفه علمی
زمینه های	ریاضیات
مشاور دکتری	استفان مازورکیویچ
شاگردان قابل توجه	ساموئل آیلنبرگ یان جاوروفسکی کریستینا کوپربرگ ولودزیمیرز کوپربرگ آندری تریبولک

کارول بورسوک (زاده ۸ مه ۱۹۰۵ – درگذشته ۲۴ ژانویه ۱۹۸۲) یک ریاضی‌دان لهستانی بود. علاقه اصلی او توپولوژی بود , در حالی که او نتایج قابل توجهی نیز در تجزیه و تحلیل عملکردی به دست آورد .

بورسوک نظریه انقباضات مطلق (ARs) و عقب نشینی مطلق همسایگی (ANRs) و گروه های هموموتوپی را که بعداً گروه های هموتوپی Borsuk– Spanier نامیده شدند، معرفی کرد. او همچنین نظریه شکل را پایه گذاری کرد . او نمونه های زیبای مختلفی از فضاهای توپولوژیکی ساخته است ، به عنوان مثال یک پیوستار سه بعدی غیر چرخه ای که یک همومورفیسم بدون نقطه ثابت را بر روی خود می پذیرد. همچنین چند وجهی 2 بعدی و قابل انقباض که لبه آزاد ندارند. حدس ها و مضامین توپولوژیکی و هندسی او برای بیش از نیم قرن تحقیق را برانگیخت. به طور خاص، مسائل باز او توپولوژی بی‌بعدی را تحریک کرد.

بورسوک مدرک کارشناسی ارشد و دکترای خود را به ترتیب در سال های 1927 و 1930 از دانشگاه ورشو دریافت کرد. دکترای او مشاور پایان نامه Stefan Mazurkiewicz بود. او از سال 1952 عضو آکادمی علوم لهستان بود . شاگردان بورسوک شامل ساموئل آیلنبرگ ، ولودزیمیرز هولشتینسکی، یان جاوروفسکی ، کریستینا کوپربرگ ، ولودزیمیرز کوپربرگ ، هانا پاتکووسکا، و آندری تریبولک بودند .

فهرست

آثار [ ویرایش ]

Geometria analityczna wn wymiarach (1950) (به انگلیسی به عنوان هندسه تحلیلی چند بعدی ترجمه شده است ، ناشران علمی لهستانی ، 1969)
Podstawy geometrii (1955)
مبانی هندسه (1960) با Wanda Szmielew ، ناشر هلند شمالی [1]
نظریه عقب نشینی (1967)، PWN، ورشو.
نظریه شکل (1975)
مقالات گردآوری شده جلد. I، (1983)، PWN، ورشو.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

حدس بینگ–بورسوک
حدس بورسوک
قضیه Borsuk–Ulam
زیگمونت جانیشفسکی
استانیسلاو اولام
کافه اسکاتلندی
دامپروری ، یک بازی آموزشی تاس است که توسط Borsuk با هزینه شخصی در سال 1943 در زمان اشغال ورشو توسط آلمان منتشر شد . بازی اصلی در جریان قیام ورشو در اوت 1944 از دست رفت. نسخه های بسیار کمی در خارج از ورشو باقی ماند و یکی به خانواده Borsuk بازگردانده شد. این بازی هم اکنون توسط Granna با نام "Super Farmer" منتشر شده است.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Karol_Borsuk

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 7:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فضایی به سادگی همبند

در توپولوژی ، یک فضای توپولوژیکی به سادگی همبند (یا 1-همبند ، یا 1-به سادگی همبند [1] ) نامیده می شود که به مسیر همبند باشد و هر مسیر بین دو نقطه بتواند به طور پیوسته تبدیل شود (به طور شهودی برای فضاهای تعبیه شده، ماندن در داخل فضا) در هر مسیر دیگری با حفظ دو نقطه پایانی مورد نظر. گروه بنیادی یک فضای توپولوژیکی نشانگر شکست فضا برای اتصال ساده است: یک فضای توپولوژیکی همبند به مسیر به سادگی همبند می شود اگر و تنها در صورتی که گروه بنیادی آن بی اهمیت باشد.

فهرست

تعریف و فرمول های معادل [ ویرایش ]

این شکل مجموعه‌ای را نشان می‌دهد که به سادگی همبند نیست، زیرا هر حلقه‌ای که یک یا چند سوراخ را در بر می‌گیرد نمی‌تواند بدون خروج از منطقه به یک نقطه منقبض شود.

فضای توپولوژیکی $ایکس$ اگر به مسیر همبند باشد و هر حلقه ای در آن باشد، به سادگی همبند نامیده می شود $ایکس$ تعریف شده توسط $f:S^{1}\to X$ را می توان به یک نقطه قرارداد: یک نقشه پیوسته وجود دارد $F:D^{2}\to X$ به طوری که $اف$ محدود به $S^{1}$ است $f.$ اینجا، $S^{1}$ و $D^{2}$ به ترتیب دایره واحد و دیسک واحد بسته را در صفحه اقلیدسی نشان می دهد.

یک فرمول معادل این است: $ایکس$ به سادگی وصل می شود اگر و تنها در صورتی که به مسیر همبند باشد و هر زمان که باشد $p:[0,1]\to X$ و $q:[0,1]\to X$ دو مسیر (یعنی نقشه های پیوسته) با نقطه شروع و پایان یکسان هستند ( $p(0)=q(0)$ و $p(1)=q(1)$ )، سپس $پ$ می تواند به طور مداوم تغییر شکل دهد $q$ در حالی که هر دو نقطه پایانی ثابت هستند. به صراحت، هموتوپی وجود دارد $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ به طوری که $F(x,0)=p(x)$ و $F(x,1)=q(x).$

فضای توپولوژیکی $ایکس$ به سادگی همبند است اگر و فقط اگر $ایکس$ همبند به مسیر و گروه بنیادی است $ایکس$ در هر نقطه بی اهمیت است، یعنی فقط از عنصر هویت تشکیل شده است . به همین ترتیب، $ایکس$ به سادگی اگر و فقط اگر برای همه نقاط همبند است $x,y\in X,$ مجموعه مورفیسم ها $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ در گروه بنیادی از $ایکس$ فقط یک عنصر دارد [2]

در تحلیل مختلط : یک زیر مجموعه باز $X\subsetq \mathbb {C}$ به سادگی همبند است اگر و فقط اگر هر دو $ایکس$ و مکمل آن در کره ریمان به هم همبند هستند. مجموعه اعداد مختلط با قسمت خیالی به شدت بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک، مثال خوبی از یک زیرمجموعه بی کران، همبند و باز از صفحه ای را ارائه می دهد که مکمل آن همبند نیست. با این حال به سادگی همبند است. همچنین ممکن است شایان ذکر باشد که آرامش از این نیاز است $ایکس$ همبند شدن منجر به کاوش جالبی از زیر مجموعه های باز فضا با مکمل توسعه یافته همبند می شود. به عنوان مثال، یک مجموعه باز (الزاماً همبند نیست) مکمل توسعه یافته را دقیقاً زمانی به هم وصل کرده است که هر یک از اجزای همبند آن به سادگی همبند شده باشند.

بحث غیررسمی [ ویرایش ]

به طور غیررسمی، یک شی در فضای ما به سادگی همبند می شود اگر از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ "سوراخ" ای نداشته باشد که تمام مسیر را از آن عبور دهد. به عنوان مثال، نه یک دونات و نه یک فنجان قهوه (با دسته) به سادگی به هم وصل می شوند، بلکه یک توپ لاستیکی توخالی به سادگی همبند می شود. در دو بعد، یک دایره به سادگی همبند نیست، بلکه یک دیسک و یک خط است. فضاهایی که به هم همبند هستند اما به سادگی همبند نیستند ، غیرساده همبند یا چند برابر همبند نامیده می شوند .

یک کره به سادگی همبند است زیرا هر حلقه می تواند (روی سطح) به یک نقطه منقبض شود.

این تعریف فقط سوراخ های دسته شکل را رد می کند. یک کره (یا به طور معادل، یک توپ لاستیکی با مرکز توخالی) به سادگی همبند است، زیرا هر حلقه روی سطح یک کره می تواند تا یک نقطه منقبض شود، حتی اگر یک "سوراخ" در مرکز توخالی داشته باشد. شرط قوی تر، که جسم هیچ سوراخی با هر ابعادی نداشته باشد، انقباض پذیری نامیده می شود .

مثالها [ ویرایش ]

چنبره یک سطح به سادگی همبند نیست. هیچ یک از دو حلقه رنگی نشان داده شده در اینجا نمی توانند بدون خروج از سطح به نقطه ای منقبض شوند. یک چنبره جامد نیز به سادگی همبند نیست زیرا حلقه بنفش نمی تواند بدون خروج از جامد به نقطه ای منقبض شود.

فضای اقلیدسی $\R^2$ به سادگی همبند است، اما $\R^2$ منهای مبدا $(0,0)$ نیست. اگر $n>2،$ سپس هر دو $\mathbb {R} ^{n}$ و $\mathbb {R} ^{n}$ منهای مبدا به سادگی همبند می شوند.
به طور مشابه: کره n بعدی $S^{n}$ به سادگی همبند است اگر و فقط اگر $n\geq 2.$
هر زیر مجموعه محدب از $\mathbb {R} ^{n}$ به سادگی همبند است.
یک چنبره ، استوانه (بیضوی) ، نوار موبیوس ، صفحه نمایشگر و بطری کلاین به سادگی به هم همبند نیستند.
هر فضای برداری توپولوژیکی به سادگی همبند است. این شامل فضاهای Banach و فضاهای هیلبرت می شود.
برای $n\geq 2,$ گروه متعامد ویژه $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ به سادگی همبند نیست و گروه واحد ویژه $\operatorname {SU} (n)$ به سادگی همبند است.
فشرده سازی یک نقطه ای از $\mathbb {R}$ به سادگی همبند نیست (حتی $\mathbb {R}$ به سادگی همبند است).
صف طولانی $L$ به سادگی همبند است، اما فشرده سازی آن، خط طولانی طولانی است $L^{*}$ نیست (زیرا حتی مسیر همبند نیست).

خواص [ ویرایش ]

یک سطح ( منیفولد توپولوژیکی دو بعدی ) به سادگی همبند می شود اگر و فقط اگر همبند باشد و جنس آن (تعداد دسته های سطح) 0 باشد.

یک پوشش جهانی برای هر فضای (مناسب). $ایکس$ یک فضای ساده همبند است که به آن نقشه می‌رود $ایکس$ از طریق یک نقشه پوششی

اگر $ایکس$ و $Y$ معادل هموتوپی هستند و $ایکس$ به سادگی همبند است، پس همینطور است $Y.$

تصویر یک مجموعه به سادگی همبند تحت یک عملکرد پیوسته نیازی به اتصال ساده ندارد. به عنوان مثال صفحه مختلط زیر نقشه نمایی را در نظر بگیرید: تصویر این است $\mathbb {C} \setminus \{0\}،$ که به سادگی همبند نیست.

مفهوم اتصال ساده در تحلیل مختلط به دلیل حقایق زیر مهم است:

قضیه انتگرال کوشی بیان می کند که اگر $U$ یک زیرمجموعه باز همبند ساده از صفحه مختلط است $\mathbb {C}،$ و $f:U\to \mathbb {C}$ پس یک تابع هولومورفیک است $f$ آنتی مشتق دارد $اف$ بر $U,$ و مقدار هر خط انتگرال در $U$ با انتگرال $f$ فقط به نقاط پایانی بستگی دارد $تو$ و $v$ از مسیر، و می تواند به عنوان محاسبه شود $F(v)-F(u).$ بنابراین انتگرال به مسیر خاص اتصال بستگی ندارد $تو$ و $v$
قضیه نگاشت ریمان بیان می کند که هر باز غیر خالی به سادگی به زیر مجموعه همبند می شود $\mathbb{C}$ (بجز $\mathbb{C}$ خودش) به طور منطبق با واحد دیسک معادل است .

مفهوم اتصال ساده نیز یک شرط حیاتی در حدس پوانکاره است.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

گروه بنیادی - گروه ریاضی کلاس های هموتوپی حلقه ها در فضای توپولوژیکی
جمع شدن تغییر شکل
فضای همبند n
همبند به مسیر
فضای یکپارچه

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 7:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

جبر ساده (جبر جهانی)

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(برگرفته از جبر جهانی ساده )

در جبر جهانی ، جبر انتزاعی A ساده نامیده می‌شود، اگر و فقط در صورتی که هیچ رابطه‌ی همسویی بی‌اهمیت نداشته باشد ، یا به طور معادل، اگر هر هم‌مورفیسمی با دامنه A ، تزریقی یا ثابت باشد.

از آنجایی که همخوانی‌های حلقه‌ها با ایده‌آل‌هایشان مشخص می‌شوند، این مفهوم یک تعمیم مستقیم از مفهوم نظریه حلقه است: یک حلقه ساده است به این معنا که هیچ ایده‌آل بی‌اهمیتی ندارد اگر و فقط اگر به معنای جبر جهانی ساده باشد. همین نکته در مورد گروه ها و زیر گروه های عادی نیز صدق می کند. از این رو مفهوم جهانی نیز تعمیم یک گروه ساده است (این یک موضوع قراردادی است که آیا جبر یک عنصری باید ساده تلقی شود یا خیر، بنابراین فقط در این مورد خاص ممکن است این مفاهیم مطابقت نداشته باشند).

قضیه‌ای توسط روبرتو ماگاری در سال 1969 بیان می‌کند که هر تنوع شامل یک جبر ساده است. [1]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_algebra_(universal_algebra)

+ نوشته شده در چهارشنبه ششم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 1:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

حلقه ساده

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

منابع در جبر انتزاعی ، شاخه ای از ریاضیات ، حلقه ساده حلقه ای غیر صفر است که علاوه بر ایده آل صفر و خودش، ایده آل دو طرفه ای ندارد. به طور خاص، یک حلقه جابجایی یک حلقه ساده است اگر و فقط اگر یک میدان باشد.

مرکز یک حلقه ساده لزوماً یک میدان است . نتیجه این است که یک حلقه ساده یک جبر انجمنی در این میدان است. بنابراین جبر ساده و حلقه ساده مترادف یکدیگرند.

چندین مرجع (به عنوان مثال، لانگ (2002) یا بورباکی (2012)) علاوه بر این نیاز دارند که یک حلقه ساده آرتینی چپ یا راست ( یا به همان نسبت نیمه ساده ) باشد. تحت چنین اصطلاحاتی، حلقه غیر صفر بدون ایده آل های دو طرفه غیر پیش پا افتاده، شبه ساده نامیده می شود .

حلقه‌هایی که مانند حلقه‌ها ساده هستند، اما خودشان یک ماژول ساده نیستند، وجود دارند: یک حلقه ماتریسی کامل بر روی یک میدان، هیچ ایده‌آل غیر اساسی ندارد (زیرا هر ایده‌آل $M_{n}(R)$ از فرم است $M_{n}(I)$ با $من$ یک ایده آل از $آر$ ) اما دارای ایده آل های چپ غیر پیش پا افتاده است (مثلا مجموعه ماتریس هایی که تعدادی ستون صفر ثابت دارند).

طبق قضیه آرتین-ودربرن ، هر حلقه ساده ای که آرتینین چپ یا راست باشد، یک حلقه ماتریسی بر روی یک حلقه تقسیم است . به طور خاص، تنها حلقه‌های ساده‌ای که یک فضای برداری با بعد محدود روی اعداد واقعی هستند، حلقه‌های ماتریس‌هایی هستند که روی اعداد حقیقی، اعداد مختلط یا چهارتایی قرار دارند.

یک مثال از یک حلقه ساده که یک حلقه ماتریسی بر روی یک حلقه تقسیم نیست جبر Weyl است .

فهرست

شخصیت پردازی [ ویرایش ]

یک حلقه یک جبر ساده است اگر فاقد ایده آل های دو طرفه غیر پیش پا افتاده باشد.

یک مثال فوری از جبرهای ساده جبرهای تقسیمی هستند که در آن هر عنصر غیر صفر دارای یک معکوس ضرب است، به عنوان مثال جبر واقعی ربعات . همچنین، می توان نشان داد که جبر از $n\ بار n$ ماتریس با ورودی در حلقه تقسیم ساده است. در واقع، این همه جبرهای ساده با بعد محدود را تا ایزومورفیسم مشخص می کند ، یعنی هر جبر ساده ای که بر روی مرکز آن بعد محدود باشد، به یک جبر ماتریسی روی یک حلقه تقسیم هم شکل است. این در سال 1907 توسط جوزف ودربرن در پایان نامه دکترای خود، در اعداد ابرمجموعه ، که در مجموعه مقالات انجمن ریاضی لندن ظاهر شد ثابت شد . تز ودربرن جبرهای ساده و نیمه ساده را طبقه بندی کرد. جبرهای ساده اجزای سازنده جبرهای نیمه ساده هستند: هر جبر نیمه ساده با ابعاد محدود، حاصل ضرب دکارتی، به معنای جبر، از جبرهای ساده است.

نتیجه ودربرن بعداً به حلقه های نیمه ساده در قضیه آرتین- ودربرن تعمیم داده شد.

مثالها [ ویرایش ]

جبر ساده مرکزی (گاهی اوقات جبر برائر نامیده می شود) یک جبر ساده با ابعاد محدود بر روی یک میدان است . $اف$ که مرکز آن است $اف$ .

اجازه دهید $\mathbb {R}$ میدان اعداد حقیقی باشد، $\mathbb {C}$ میدان اعداد مختلط باشد و $\mathbb {H}$ کواترنیون ها .

تمام جبر ساده بعد محدود $\mathbb {R}$ نسبت به حلقه ماتریسی هم شکل است $\mathbb {R}$ ، $\mathbb {C}$ ، یا $\mathbb {H}$ . تمام جبر ساده مرکزی $\mathbb {R}$ نسبت به حلقه ماتریسی هم شکل است $\mathbb {R}$ یا $\mathbb {H}$ . این نتایج از قضیه فروبنیوس دنبال می شود .
تمام جبر ساده بعد محدود $\mathbb {C}$ یک جبر ساده مرکزی است و به یک حلقه ماتریسی هم شکل است $\mathbb {C}$ .
هر جبر ساده مرکزی محدود بعدی بر روی یک میدان محدود به حلقه ماتریسی روی آن میدان هم شکل است.
برای یک حلقه جابجایی ، چهار ویژگی زیر معادل هستند: حلقه نیمه ساده بودن . آرتینی بودن و کاهش یافته ; بودن یک حلقه نوترین کاهش یافته با ابعاد Krull 0. و هم شکل بودن به حاصلضرب مستقیم محدود میدان ها.

قضیه ودربرن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه آرتین–ودربرن

قضیه ودربرن حلقه های ساده را با یک واحد و یک ایده آل چپ حداقل مشخص می کند. (شرط آرتینی چپ تعمیم فرض دوم است.) یعنی می گوید که هر حلقه ای تا هم ریختی ، حلقه ای از $n\ بار n$ ماتریس روی یک حلقه تقسیم

اجازه دهید $دی$ حلقه تقسیم باشد و $M_{n}(D)$ حلقه ای از ماتریس ها با ورودی های داخل باشد $دی$ . نشان دادن این که هر چپ آرمانی در داخل است کار سختی نیست $M_{n}(D)$ شکل زیر را می گیرد:

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{the }}n_{1},\dots ,n_{k}{\text{-امین ستونهای }}M{\text { ورودی صفر دارند}}\}$ ،

برای برخی از زیر مجموعه های ثابت $\{n_{1},\dots ,n_{k}\}\subseteq \{1,\dots n\}$ . بنابراین یک ایده آل مینیمال در $M_{n}(D)$ از فرم است

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{همه ستون‌ها به جز }}k{\text{-امین ورودی صفر دارند}}\}$ ،

برای یک معین $ک$ . به عبارت دیگر، اگر $من$ پس یک ایده آل چپ حداقلی است $I=M_{n}(D)e$ ، جایی که $ه$ ماتریس ناتوان با 1 در است $(k,k)$ ورود و صفر در جای دیگر. همچنین، $دی$ هم شکل است $eM_{n}(D)e$ . ایده آل چپ $من$ را می توان به عنوان یک ماژول سمت راست مشاهده کرد $eM_{n}(D)e$ ، و حلقه $M_{n}(D)$ به وضوح با جبر هممورفیسم های این ماژول هم شکل است.

مثال بالا لم زیر را پیشنهاد می کند:

لما $آ$ حلقه ای با هویت است $1$ و یک عنصر ناتوان $ه$ ، جایی که $AeA=A$ . اجازه دهید $من$ ایده آل چپ باشید $Ae$ ، به عنوان یک ماژول سمت راست در نظر گرفته شده است $eAe$ . سپس $آ$ نسبت به جبر هممورفیسم های روی هم شکل است $من$ ، نشان داده شده با $\operatorname {Hom} (I)$ .

اثبات: ما "نمایش منظم چپ" را تعریف می کنیم $\phi \colon A\to \operatorname {Hom} (I)$ توسط $\phi (a)m=am$ برای $m\in I$ . سپس $\phi$ تزریقی است زیرا اگر $a\cdot I=aAe=0$ ، سپس $aA=aAeA=0$ ، که دلالت بر آن دارد $a=a\cdot 1=0$ .
برای سوژه گرایی ، اجازه دهید $T\in \operatorname {Hom} (I)$ . از آنجا که $AeA=A$ ، واحد $1$ را می توان به صورت بیان کرد $\textstyle 1=\sum a_{i}eb_{i}$ . بنابراین
$\textstyle T(m)=T(1\cdot m)=T(\sum a_{i}eb_{i}m)=\sum T(a_{i}eeb_{i}m)=\sum T(a_{i}e)eb_{i}m=(\sum T(a_{i}e)eb_{i})m$ .
از آنجایی که بیان $\textstyle (\sum T(a_{i}e)eb_{i})$ بستگی ندارد $متر$ ، $\phi$ سوژه ای است. این لم را ثابت می کند.

قضیه ودربرن به راحتی از لم پیروی می کند.

قضیه ( ودربرن ). اگر $آ$ یک حلقه ساده با واحد است $1$ و یک ایده آل چپ مینیمال $من$ ، سپس $آ$ نسبت به حلقه هم شکل است $n\ بار n$ ماتریس روی یک حلقه تقسیم

به سادگی باید مفروضات لم را تأیید کرد، یعنی یک ناتوان را پیدا کرد $ه$ به طوری که $I=Ae$ ، و سپس آن را نشان دهید $eAe$ حلقه تقسیم است فرضیه $A=AeA$ از $آ$ ساده بودن

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_ring

+ نوشته شده در چهارشنبه ششم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 1:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه گسسته

ساختار جبری ← نظریه گروه نظریه گروه

نشان دادن مفاهیم اساسی
نشان دادن گروه های متناهی
نشان دادن گروه های گسسته مشبک ها
نشان دادن گروه های توپولوژیکی و لی
نشان دادن گروه های جبری
v تی ه

اعداد صحیح با توپولوژی معمول خود زیر گروه مجزایی از اعداد واقعی هستند.

در ریاضیات ، گروه توپولوژیکی مانند G را در صورتی که نقطه حدی در آن وجود نداشته باشد، گروه گسسته می نامند (یعنی برای هر عنصر در G ، یک همسایگی وجود دارد که فقط آن عنصر را شامل می شود). به طور معادل، گروه G گسسته است اگر و تنها در صورتی که همانی آن جدا باشد. [1] ؛ به عبارت دیگر، این توپولوژی فضا از H در G است توپولوژی گسسته . به عنوان مثال، اعداد صحیح ، Z ، یک زیر گروه مجزا از واقعی ها را تشکیل می دهند، R (با توپولوژی متریک استاندارد )، اما اعداد گویا ، Q ، این کار را نمی کنند. یک گروه گسسته یک گروه توپولوژیکی G مجهز به توپولوژی گسسته است .

به هر گروهی می توان توپولوژی گسسته داد. از آنجایی که هر نقشه از یک فضای گسسته پیوسته است ، همریختیهای توپولوژیکی بین گروه‌های گسسته دقیقاً همریختیهای گروهی بین گروه‌های زیربنایی هستند. از این رو، وجود دارد ریخت بین دسته از گروه و دسته از گروه های گسسته. بنابراین گروه های گسسته را می توان با گروه های زیربنایی (غیر توپولوژیکی) آنها شناسایی کرد.

مواردی وجود دارد که یک گروه توپولوژیکی یا گروه لی به طور مفیدی با توپولوژی گسسته "در مقابل طبیعت" وقف می شود. این اتفاق می افتد به عنوان مثال در نظریه فشرده بور ، و در گروه های کوهمولوژِی تئوری گروه های لی.

گروه ایزومتریک گسسته یک گروه ایزومتری است به طوری که برای هر نقطه از فضای متریک مجموعه تصاویر نقطه زیر ایزومتریک ها یک مجموعه گسسته است . گروه تقارن گسسته یک گروه تقارن است که یک گروه ایزومتریک گسسته است.

فهرست

خواص [ ویرایش ]

از آنجایی که گروه های توپولوژیک همگن هستند ، تنها باید به یک نقطه نگاه کرد تا مشخص شود که آیا گروه توپولوژیک گسسته است یا خیر. به طور خاص، یک گروه توپولوژیک گسسته است اگر و تنها اگر تک تون حاوی همانی یک مجموعه باز باشد .

یک گروه گسسته همان گروه لی صفر بعدی است ( گروه های گسسته غیرقابل شمارش قابل شمارش دوم نیستند ، بنابراین نویسندگانی که به گروه های لی نیاز دارند تا این اصل را برآورده کنند، این گروه ها را به عنوان گروه های لی تلقی نمی کنند). جزء همانی یک گروه گسسته فقط است زیر گروه بی اهمیت در حالی که گروهی از اجزای متناظر به گروه خود می باشد.

از آنجایی که تنها توپولوژی هاسدورف در یک مجموعه متناهی، گسسته است، یک گروه توپولوژیک هاسدورف متناهی لزوما باید گسسته باشد. نتیجه می شود که هر زیرگروه متناهی از یک گروه هاسدورف گسسته است.

یک زیرگروه مجزا H از G هم فشرده است اگر یک زیر مجموعه فشرده K از G وجود داشته باشد به طوری که HK = G باشد.

زیر گروه های نرمال گسسته نقش مهمی در تئوری گروه های پوششی و گروه های هم شکل محلی ایفا می کنند . یک زیر گروه نرمال گسسته از یک متصل گروه G لزوما در نهفته مرکز از G است و بنابراین آبلی .

سایر خواص :

هر گروه گسسته کاملاً قطع شده است
هر زیر گروه از یک گروه گسسته گسسته است.
هر ضریب یک گروه گسسته گسسته است.
حاصل ضرب تعداد متناهیی از گروه های گسسته گسسته است.
یک گروه گسسته فشرده است اگر و فقط اگر متناهی باشد.
هر گروه گسسته به صورت محلی فشرده است .
هر زیرگروه گسسته از یک گروه Hausdorff بسته است.
هر زیرگروه گسسته از یک گروه فشرده Hausdorff متناهی است.

مثالها [ ویرایش ]

گروه‌های فریز و گروه‌های کاغذ دیواری زیرگروه‌های مجزای گروه ایزومتریک صفحه اقلیدسی هستند. گروه های کاغذ دیواری جمع و جور هستند، اما گروه های Frieze اینطور نیستند.
گروه کریستالوگرافی معمولا به معنی هم فشرده، گسسته زیر گروه از ایزومتری برخی از فضای اقلیدسی. با این حال، گاهی اوقات، یک گروه کریستالوگرافی می تواند یک زیرگروه مجزای فشرده از یک گروه لی nilpotent یا قابل حل باشد.
هر گروه مثلث T یک زیر گروه مجزا از گروه همسان از حوزه است (زمانی که T متناهی است)، یک فضای اقلیدسی (زمانی که T دارای Z + Z زیرگروه متناهی شاخص )، و یا هواپیما هذلولی .
گروه‌های فوشین طبق تعریف، زیرگروه‌های مجزا از گروه ایزومتریک صفحه هذلولی هستند.
- یک گروه فوکسی که جهت گیری را حفظ می کند و بر روی مدل نیمه صفحه بالایی صفحه هذلولی عمل می کند، یک زیرگروه مجزا از گروه لی PSL(2, R ) است، گروهی از ایزومتریک های حفظ جهت گیری مدل نیمه صفحه بالایی هذلولی. سطح.
- گروه فوکسی است که گاهی اوقات به عنوان یک مورد خاص از یک در نظر گرفته گروه کلاین تعبیه شده توسط هواپیما اغراقی ایزومتریک به فضای هذلولی سه بعدی و گسترش اقدام گروه در هواپیما به کل فضا،.
- مدولار گروه PSL (2، Z ) است به عنوان یک زیر گروه مجزا از PSL (2، فکر R ). گروه مدولار یک شبکه در PSL(2, R ) است، اما جمع و جور نیست.
گروه‌های کلاینی ، طبق تعریف، زیرگروه‌های مجزا از گروه ایزومتریک فضای ۳ هذلولی هستند . اینها شامل گروه های شبه فوشیایی است .
- یک گروه کلاینی که جهت‌گیری را حفظ می‌کند و بر روی مدل نیمه فضای بالایی 3 فضای هذلولی عمل می‌کند، یک زیرگروه مجزا از گروه لی PSL(2, C ) است، گروهی از ایزومتریک‌های حفظ جهت‌گیری مدل نیمه فضای بالایی هذلولی 3. -فضا.
یک شبکه در یک گروه لی یک زیرگروه گسسته است به طوری که اندازه هار فضای ضریب متناهی است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و دوم دی ۱۴۰۰ ساعت 15:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-صفحه تصویری

ترکیب بندی ها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تطبیق

هم خطی سازی از یک فضا تصویری است نقشه دو سویی از فضا را به خود که نقشه امتیاز به نقاط و خطوط به خطوط است که حفظ بروز، به این معنی که اگر σ است پوشا و یک به یک و نقطه P در خط m، پس P σ است در m σ . [7]

اگر σ هم خطی سازی از یک فضا بیرون، یک نقطه P با P = P است σ است که به نام نقطه ثابت از σ ، و یک m خط با m = m σ است که به نام خط ثابت از σ . نقاط روی یک خط ثابت نیازی به نقاط ثابت ندارند، تصاویر آنها در زیر σ فقط متناهی به قرار گرفتن در این خط هستند. مجموعه نقاط ثابت و خطوط ثابت یک تلاقی یک پیکربندی بسته را تشکیل می دهد که سیستمی از نقاط و خطوطی است که دو شرط اول را برآورده می کند، اما لزوماً شرط سوم در تعریف را برآورده نمی کند.از یک فضای پرتابی بنابراین، نقطه ثابت و ساختار خط ثابت برای هر تلاقی یا به خودی خود یک صفحه تصویری یا یک صفحه منحط را تشکیل می دهند . هم‌آمیزی‌هایی که ساختار ثابت آنها یک صفحه را تشکیل می‌دهد، هم‌تراشی‌های مسطح نامیده می‌شوند .

هموگرافی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تبدیل تصویری

یک هموگرافی (یا تبدیل تصویری ) PG(2, K ) یک تلاقی از این نوع صفحه تصویری است که تبدیل خطی فضای برداری زیرین است. با استفاده از مختصات همگن می توان آنها را با ماتریس های 3×3 معکوس روی K نشان داد که روی نقاط PG(2, K ) با y = M x T عمل می کنند ، که در آن x و y نقاطی در K 3 (بردارها) هستند و M یک ماتریس 3 × 3 معکوس بر K . [8]اگر یکی مضرب ثابت دیگری باشد، دو ماتریس تبدیل تصویری یکسانی را نشان می دهند. بنابراین گروه تبدیل های تصویری ضریب گروه خطی عمومی توسط ماتریس های اسکالر است که گروه خطی تصویری نامیده می شود .

نوع دیگری از هم خطی سازی از PG (2، K ) توسط هر ناشی های automorphism از K ، این ها به نام هم خطی سازیs و automorphic . اگر α اتومورفیسمی از K باشد ، آنگاه تلاقی داده شده توسط (x 0 , x 1 , x 2 ) → (x 0 α , x 1 α , x 2 α ) یک تلاقی اتومورفیک است. قضیه اساسی هندسه تصویری می گوید که تمام هم خطی سازیs از PG (2، K ) آهنگ از هموگرافیک ها و هم خطی سازیs و automorphic هستند. تطابقات اتومورفیک، تلاقی های مسطح هستند.

دوگانگی صفحه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: دوگانگی (هندسه تصویری)

اطلاعات بیشتر: ساختار بروز § ساختار دوگان

یک صفحه تصویری به صورت بدیهی به عنوان یک ساختار فرود تعریف می‌شود ، بر حسب مجموعه‌ای از نقاط P ، مجموعه‌ای از خطوط L ، و یک رابطه فرود I که تعیین می‌کند کدام نقاط روی کدام خطوط قرار دارند. از آنجایی که P و L تنها مجموعه‌هایی هستند، می‌توان نقش‌های آنها را تعویض کرد و یک ساختار دوگان صفحه تعریف کرد .

با تعویض نقش «نقاط» و «خطوط» در

C = ( P , L , I )

ساختار دوگان را به دست می آوریم

C * = ( L ، P ، I *)،

که در آن من * است رابطهای معکوس از من .

در یک صفحه تصویری، عبارتی که شامل نقاط، خطوط و برآمدگی بین آنهاست که از جمله دیگری از جمله با مبادله کلمات "نقطه" و "خط" و انجام هر گونه تنظیمات دستوری لازم به دست می آید، عبارت دوگان صفحه اول نامیده می شود. . بیانیه دوگان فضا "دو نقطه در یک خط منحصر به فرد هستند." است "دو خط در یک نقطه منحصر به فرد به هم می رسند." تشکیل صفحه دوگان یک عبارت به عنوان دوگان سازی عبارت شناخته می شود .

اگر یک گزاره در یک صفحه تصویری C درست باشد، آنگاه صفحه دوگان آن عبارت باید در صفحه دوگان C* صادق باشد. از آنجایی که دوتایی کردن هر عبارت در اثبات "در C" بیانیه ای از اثبات "در C*" را به دست می دهد.

در صفحه پرتابی C می توان نشان داد که چهار خط وجود دارد که هیچ سه تای آنها همزمان نیستند. دوگان این قضیه و دو اصل برای اولین بار در تعریف یک فضا تصویری نشان می دهد که این فضا دو ساختار C * است همچنین یک فضای تصویری، به نام فضا دو گونه C.

اگر C و C* هم شکل باشند، C خود دوتایی نامیده می شود . صفحات پرتابی PG(2, K ) برای هر حلقه تقسیم K خود دوگان هستند. با این حال، فضاهای غیر دسارگوزی وجود دارند که خود دوگان نیستند، مانند فضاهای هال و برخی دیگر مانند فضاهای هیوز .

اصل فضا دوگانگی می گوید که دوگان هر قضیه در یک فضا تصویری C خود دوگان تولید قضیه دیگر در C. معتبر

همبستگی ها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: همبستگی (هندسه تصویری)

یک دوگانگی نقشه ای است از یک صفحه تصویری C = ( P , L , I ) به صفحه دوگان آن C * = ( L , P , I*) (به بالا مراجعه کنید ) که تابش را حفظ می کند. یعنی یک دوتایی σ نقاط را به خطوط و خطوط را به نقاط ( P σ = L و L σ = P ) نگاشت می کند به گونه ای که اگر نقطه ای Q روی یک خط m باشد (که با Q I m نشان داده می شود ) آنگاه Q σ است. I* m σ ⇔ m σI Q σ . به دوگانگی که هم شکلی است، همبستگی می گویند . [9] اگر یک همبستگی وجود داشته باشد، سطح تصویری C خود دوگان است.

در حالت خاصی که صفحه پرتاب کننده از نوع PG(2, K ) است، با K یک حلقه تقسیم، یک دوگانگی را یک متقابل می نامند . [10] این فضاها همیشه خود دوگان هستند. توسط قضیه اساسی هندسه تصویری متقابل ترکیب یک است تابع automorphic از K و یک homography . اگر خودمورفیسم درگیر هویت باشد، آنگاه به این رابطه متقابل همبستگی تصویری گفته می شود .

همبستگی مرتبه دو (یک چرخش ) قطبیت نامیده می شود . اگر یک همبستگی φ قطبی نباشد، φ 2 یک تلاقی غیر ضروری است.

صفحات تصویری متناهی [ ویرایش ]

نمودار صفحه پرتابی مرتبه 7، دارای 57 نقطه، 57 خط، 8 نقطه در هر خط و 8 خط عبور از هر نقطه، که در آن هر نقطه با یک مستطیل گرد و هر خط با ترکیبی از حرف و عدد نشان داده می شود. فقط خطوطی با حرف A و H رسم می شوند. در Dobble یا Spot It! بازی، دو امتیاز حذف می شود. در فایل SVG، ماوس را روی یک خط نگه دارید تا برجسته شود.

می توان نشان داد که یک صفحه پرتاب کننده همان تعداد خطوطی دارد که دارای نقاط (بی نهایت یا متناهی) است. بنابراین، برای هر صفحه تصویری متناهی یک عدد صحیح N ≥ 2 وجود دارد به طوری که صفحه دارای

N 2 + N + 1 امتیاز،

N 2 + N + 1 خطوط،

N + 1 نقطه در هر خط، و

N + 1 خط در هر نقطه.

عدد N را ترتیب صفحه پرتابی می گویند.

صفحه پرتابی درجه 2، صفحه فانو نامیده می شود . مقاله هندسه متناهی را نیز ببینید .

با استفاده از ساخت و ساز فضای برداری با زمینه های متناهی وجود دارد یک فضا تصویری از نظم وجود دارد N = P N ، برای هر نخست قدرت ص N . در واقع، برای تمام صفحات پرتابی متناهی شناخته شده، مرتبه N یک توان اول است.

وجود صفحات پرتابی متناهی از مرتبه های دیگر یک سوال باز است. تنها متناهییت کلی شناخته شده در مرتبه است قضیه براک-Ryser-چولا که اگر مرتبه N است متجانس به 1 یا 2 وزارت دفاع 4، باید مجموع دو مربع باشد. این N = 6 را رد می کند. مورد بعدی N = 10 توسط محاسبات کامپیوتری عظیم رد شده است. هیچ چیز بیشتر مشخص نیست. به طور خاص، این سؤال که آیا یک صفحه تصویری متناهی با مرتبه N = 12 وجود دارد یا خیر ، هنوز باز است.

یکی دیگر از مشکلات باز دیرینه این است که آیا صفحات پرتابی متناهیی با مرتبه اول وجود دارد که صفحات میدان متناهی نیستند (به طور معادل، آیا یک صفحه پرتابی غیر دسارگوزی با مرتبه اول وجود دارد یا خیر).

یک صفحه پرتابی از مرتبه N یک سیستم Steiner S(2, N + 1, N 2 + N + 1) است (به سیستم Steiner مراجعه کنید ). برعکس، می توان ثابت کرد که تمام سیستم های اشتاینر از این شکل (λ = 2) صفحات تصویری هستند.

تعداد مربع های متعامد لاتین مرتبه N حداکثر N − 1 است. N − 1 وجود دارد اگر و فقط در صورتی که یک صفحه تصویری از مرتبه N وجود داشته باشد.

در حالی که طبقه بندی تمام صفحات پرتابی کامل نیست، نتایج برای مرتبهات کوچک شناخته شده است:

2 : همشکل به PG(2,2)
3 : همشکل به PG(2,3)
4 : همشکل به PG(2,4)
5 : همشکل به PG(2,5)
6: غیر ممکن منظور از یک فضا تصویری، ثابت شده توسط قیری که نشان دادند که اویلر را مشکل سی و شش افسر هیچ راه حلی ندارد. با این حال، ارتباط بین این مشکلات تا زمانی که بوز آن را در سال 1938 ثابت کرد، مشخص نبود. [11]
7 : همشکل به PG(2,7)
8 : همشکل به PG(2,8)
9 : PG(2،9) و سه فضای غیر دسارگوزی متفاوت (غیر هم شکل) دیگر : یک فضای هیوز ، یک فضای هال و دوتایی این فضای هال. همه در ( Room & Kirkpatrick 1971 ) شرح داده شده است.
10: غیرممکن به عنوان نظم یک فضای پرتابی، ثابت شده توسط محاسبات کامپیوتری سنگین. [12]
11 : حداقل PG(2،11)، دیگران شناخته شده نیستند اما ممکن است.
12: فرض می شود که به عنوان نظم یک صفحه تصویری غیرممکن است.

صفحات پرتاب کننده در فضاهای پرتابی با ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

صفحات فرافکن ممکن است به عنوان هندسه های تصویری از بعد "هندسی" دو در نظر گرفته شوند. [13] هندسه های تصویری با ابعاد بالاتر را می توان بر حسب روابط فرود به روشی مشابه با تعریف صفحه تصویری تعریف کرد. از آنجایی که درجات آزادی اضافی به قضیه دزارگ اجازه می دهد که به صورت هندسی در هندسه ابعاد بالاتر ثابت شود، اینها نسبت به صفحات پرتابی «رام تر» هستند. این بدان معنی است که مختصات "حلقه" در ارتباط به هندسه باید از حلقه تقسیم (میدان کج) باشد K ، و هندسه تصویری را به یکی از ساخته شده از بردار متناظر است K د 1 ، یعنی PG ( د ، K). همانطور که در ساخت و ساز قبل از آن داده می شود، نقاط از د بعدی فضای تصویری PG ( د ، K ) خطوط از مبدا در می K د + 1 و یک خط در PG ( د ، K ) مربوط به یک فضا را از طریق منشا در K d + 1 . در واقع، هر من بعدی شی در PG ( د ، K )، با من < د ، یک (است من + 1) فضا بعدی (جبری) بردار K د + 1("از مبدأ می گذرد"). فضاهای تصویری به نوبه خود به فضاهای گراسمان تعمیم می یابند .

می توان نشان داد که اگر قضیه دزارگ در فضای تصویری با ابعاد بزرگتر از دو برقرار باشد، باید در تمام صفحاتی که در آن فضا قرار دارند نیز صادق باشد. از آنجایی که صفحه های پرتابی وجود دارد که قضیه دسارگوس در آنها شکست می خورد (صفحه های غیر دسارگوزی )، این صفحات را نمی توان در فضای پرتابی با ابعاد بالاتر جاسازی کرد. فقط صفحات از ساختار فضای برداری PG(2, K ) می توانند در فضاهای تصویری با ابعاد بالاتر ظاهر شوند. برخی از رشته‌ها در ریاضیات، معنای صفحه تصویری را فقط به این نوع صفحه تصویری متناهی می‌کنند، زیرا در غیر این صورت، عبارات کلی در مورد فضاهای تصویری همیشه باید استثناهایی را ذکر کنند که بعد هندسی دو است. [14]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

طراحی بلوک - تعمیم یک صفحه تصویری متناهی.
طراحی ترکیبی
ساختار بروز
چند ضلعی تعمیم یافته
هندسه تصویری
فضای غیر دسارگوزی
صفحه تصویری صاف
عرضی در صفحات پرتابی متناهی
صفحه تصویری کوتاه - صفحه ای که یک راس آن حذف شده است.
بعد VC یک صفحه تصویری متناهی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_plane

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و دوم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-صفحه تصویری

ساخت فضای برداری [ ویرایش ]

اگرچه ممکن است به نظر برسد که خط در بینهایت صفحه واقعی گسترش یافته ماهیت متفاوتی با سایر خطوط آن صفحه پرتابی دارد، اما اینطور نیست. ساخت دیگری از همان صفحه پرتابی نشان می دهد که هیچ خطی (در زمینه های هندسی) از هیچ خطی قابل تشخیص نیست. در این ساختار، هر "نقطه" صفحه پرتابی واقعی، زیرفضای یک بعدی (یک خط هندسی ) از مبدأ در یک فضای برداری سه بعدی است و یک "خط" در صفحه تصویری از یک ( هندسی ) ناشی می شود. صفحه از طریق مبدا در فضای 3. این ایده را می توان به صورت زیر تعمیم و دقیق تر کرد. [3]

فرض کنید K هر حلقه تقسیم (میدان کج) باشد. اجازه دهید K 3 مجموعه ای از سه برابر x = ( x 0 , x 1 , x 2 ) از عناصر K را نشان دهد (یک حاصلضرب دکارتی که به عنوان یک فضای برداری مشاهده می شود ). برای هر x غیرصفر در K 3 ، کمترین زیرفضای K 3 حاوی x (که ممکن است به صورت تمام بردارهای یک خط از مبدا تجسم شود) زیر مجموعه است.

$\{ kx : k \ در K \}$

از K 3 . به طور مشابه، اجازه دهید x و y به صورت خطی عناصر مستقل K 3 باشند ، به این معنی که kx + my = 0 به این معنی است که k = m = 0 . کمترین زیرفضای K 3 حاوی x و y (که ممکن است به عنوان تمام بردارهای یک صفحه از مبدا تجسم شود) زیر مجموعه است.

$\{kx+my:k,m\in K\}$

از K 3 . این زیرفضای 2 بعدی شامل زیرفضاهای مختلف 1 بعدی از طریق مبدا است که ممکن است با ثابت کردن k و m و گرفتن مضرب بردار حاصل به دست آید. انتخاب‌های مختلف k و m که نسبت یکسانی دارند، یک خط را نشان می‌دهند.

فضا تصویری بیش از K ، مشخص PG (2، K ) و یا K P 2 ، دارای مجموعه ای از نقاط متشکل از تمام زیرفضاهای 1 بعدی در K 3 . یک زیرمجموعه L از نقاط PG(2, K ) خطی در PG(2, K ) است اگر یک زیرفضای 2 بعدی از K 3 وجود داشته باشد که مجموعه ای از زیرفضاهای 1 بعدی دقیقاً L باشد.

تأیید اینکه این ساختار یک صفحه تصویری ایجاد می کند معمولاً به عنوان یک تمرین جبر خطی باقی می ماند.

یک نمای جایگزین (جبری) از این ساخت به شرح زیر است. نقاط این صفحه تصویری کلاس های هم ارزی مجموعه K 3 ∖ {(0, 0, 0)} مدول رابطه هم ارزی هستند.

x ~ kx ، برای همه k در K × .

خطوط در صفحه پرتابی دقیقاً مانند بالا تعریف می شوند.

مختصات ( x 0 , x 1 , x 2 ) یک نقطه در PG(2, K ) مختصات همگن نامیده می شوند . هر سه گانه ( x 0 , x 1 , x 2 ) نشان دهنده یک نقطه کاملاً تعریف شده در PG(2, K ) است، به جز سه گانه (0, 0, 0) که نشان دهنده هیچ نقطه ای نیست. با این حال، هر نقطه در PG(2, K )، با سه گانه های زیادی نشان داده می شود.

اگر K است فضای توپولوژیک ، و سپس K P 2 ، به ارث توپولوژی از طریق کالا ، فضا ، و بهره توپولوژی.

نمونه های کلاسیک [ ویرایش ]

واقعی تصویری فضا RP 2 ، زمانی رخ میدهد که K گرفته می شود که اعداد حقیقی ، R . به عنوان یک منیفولد 2 واقعی بسته و غیر جهت‌پذیر ، به عنوان یک مثال اساسی در توپولوژی عمل می‌کند. [4]

در این ساخت و ساز در نظر حوزه واحد در مبدا در محور R 3 . هر یک از خطوط R 3 در این ساختار کره را در دو نقطه پادپایل قطع می کند. از آنجایی که خط R 3 نقطه ای از RP 2 را نشان می دهد ، با شناسایی نقاط پادپای کره ، همان مدل RP 2 را به دست خواهیم آورد . خطوط RP 2 پس از این شناسایی نقاط پادپای، دایره های بزرگ کره خواهند بود. این توصیف مدل استاندارد هندسه بیضوی را ارائه می دهد .

پیچیده تصویری فضا CP 2 ، زمانی رخ میدهد که K گرفته می شود که اعداد مختلط ، C . این یک منیفولد 2 منیفولد بسته و از این رو یک 4 منیفولد واقعی بسته و جهت‌پذیر است. آن و صفحات تصویری بر روی میدان های دیگر (معروف به صفحات پاپی ) به عنوان نمونه های اساسی در هندسه جبری عمل می کنند . [5]

فضا تصویری quaternionic HP 2 نیز از علاقه مستقل است. [ نیازمند منبع ]

صفحات میدان محدود [ ویرایش ]

بر اساس قضیه Wedderburn ، یک حلقه تقسیم محدود باید جابجایی باشد و بنابراین یک میدان باشد. بنابراین نمونه های متناهی این ساخت به «صفحه های میدانی» معروف هستند. با توجه K می شود میدان محدود از Q = P N عناصر با نخست ص تولید یک فضا تصویری از Q 2 + Q + 1 نقطه. صفحات میدان معمولاً با PG(2, q ) نشان داده می شوند که در آن PG مخفف هندسه تصویری است، "2" بعد است و q مرتبه نامیده می شود.از فضا (یک عدد کمتر از تعداد نقاط هر خط است). فضای فانو، که در زیر مورد بحث قرار گرفته است، با PG (2،2) نشان داده می شود. مثال سوم بالا درجه PG فضا تصویری (2،3) است.

فضای فانو نقاط به صورت نقطه نشان داده می شوند. خطوط به صورت خط یا دایره نشان داده می شوند.

فضا فانو فضا تصویری ناشی از زمینه از دو عنصر است. این کوچکترین فضای پرتابی است که تنها هفت نقطه و هفت خط دارد. در شکل سمت راست، هفت نقطه به صورت توپ های کوچک و هفت خط به صورت شش پاره خط و یک دایره نشان داده شده اند. با این حال، می‌توان توپ‌ها را به‌عنوان «خط» و پاره‌های خط و دایره را «نقطه» در نظر گرفت – این نمونه‌ای از دوگانگی در صفحه تصویری است: اگر خطوط و نقاط با هم عوض شوند، نتیجه همچنان باقی می‌ماند. یک صفحه تصویری (به زیر مراجعه کنید ). یک جایگشت از هفت امتیاز است که حامل خط مستقیم واقع شونده امتیاز (امتیاز در همان خط) به نقطه در یک راستا است که به نام collineation یاتقارن فضا تلاقی یک هندسه یک گروه تحت ترکیب تشکیل می دهد و برای صفحه فانو این گروه (PΓL(3,2) = PGL(3,2)) دارای 168 عنصر است.

قضیه دسارگ و صفحات دسارگوزی [ ویرایش ]

قضیه از Desargues جهانی در یک فضا تصویری معتبر است اگر و تنها اگر فضا را می توان از یک فضای برداری سه بعدی بیش از یک skewfield عنوان ساخته شده بالا . [6] این فضا به نام فضا Desarguesian ، به نام بعد از جرارد Desargues به . صفحه پرتابی واقعی (یا پیچیده) و صفحه پرتابی مرتبه 3 که در بالا ارائه شد ، نمونه هایی از صفحات پرتابی Desarguesian هستند. فضاهای پرتابی که نمی توانند به این روش ساخته شوند ، فضاهای غیر دسارگوزی نامیده می شوند و فضای مولتون که در بالا آورده شد نمونه ای از آن ها است. PG(2, K) نماد برای فضاهای Desarguesian محفوظ است. هنگامی که K یک میدان است ، یک مورد بسیار رایج، به آنها صفحات میدانی نیز می‌گویند و اگر میدان یک میدان متناهی باشد ، می‌توان آنها را صفحات گالوا نامید .

فضاهای فرعی [ ویرایش ]

یک صفحه فرعی یک صفحه پرتابی زیرمجموعه ای از نقاط صفحه است که خود صفحه ای پرتابی با روابط فرود یکسان را تشکیل می دهند.

( بروک 1955 ) قضیه زیر را اثبات می کند. فرض کنید Π یک صفحه تصویری محدود از مرتبه N با صفحه فرعی مناسب Π 0 از مرتبه M باشد. سپس N = M 2 یا N ≥ M 2 + M .

وقتی N مربع باشد، به زیرصفحه های مرتبه √ N ، صفحات فرعی Baer گفته می شود . هر نقطه از فضا روی یک خط از یک زیر صفحه بائر قرار دارد و هر خط از فضا حاوی یک نقطه از صفحه فرعی Baer است.

در فضا Desarguesian محدود PG (2، ص N )، در سطح فرعی دستور که به دستور زیر شاخه از GF محدود زمینه (هستند ص N )، این است که، ص من که در آن من از مقسوم علیه است N . با این حال، در فضاهای غیر دسارگوزی، قضیه بروک تنها اطلاعاتی را در مورد دستورات صفحه فرعی می دهد. مورد تساوی در نابرابری این قضیه مشخص نیست. اینکه آیا یک صفحه فرعی از مرتبه M در یک صفحه از مرتبه N با M 2 + M = N وجود دارد یا نهیک سوال باز است اگر چنین صفحات فرعی وجود داشته باشند، صفحات پرتابی از نظم مرکب (غیر قدرت اول) وجود خواهند داشت.

فضاهای فرعی فانو [ ویرایش ]

یک زیرصفحه فانو یک صفحه فرعی هم شکل به PG(2،2)، صفحه پرتابی منحصر به فرد درجه 2 است.

اگر در این صفحه یک چهار ضلعی (مجموعه ای از 4 نقطه بدون سه خط خطی) در نظر بگیرید، نقاط شش تا از خطوط صفحه را تعیین می کنند. سه نقطه باقیمانده (که به آنها نقاط مورب چهار گوش می گویند) نقاطی هستند که خطوطی که در نقطه ای از چهار ضلعی قطع نمی شوند، به هم می رسند. خط هفتم از تمام نقاط مورب (معمولاً به صورت دایره یا نیم دایره ترسیم می شود) تشکیل شده است.

در صفحه‌های دیسارگوزی محدود، PG(2, q )، زیرصفحه‌های فانو وجود دارند اگر و فقط اگر q زوج باشد (یعنی توان 2). وضعیت در فضاهای غیر دس آرگوس ناآرام است. آن‌ها می‌توانند در هر صفحه‌ی غیر دسرگوزی با نظم بزرگ‌تر از 6 وجود داشته باشند، و در واقع، در تمام سطوح غیر دسرگوزی که در آن‌ها جستجو شده‌اند (به ترتیب فرد و زوج) یافت شده‌اند.

یک سوال باز این است: آیا هر فضای غیر دسرگوزی دارای یک زیر صفحه فانو است؟

یک قضیه در مورد فضاهای فرعی فانو ناشی از ( گلیسون 1956 ) این است:

اگر هر چهار ضلعی در یک صفحه پرتابی متناهی دارای نقاط مورب خطی باشد، آنگاه صفحه دسرگوسیون (از مرتبه زوج) است.

فضاهای افین [ ویرایش ]

فرافکنی کردن صفحه اقلیدسی صفحه تصویری واقعی را ایجاد کرد. عمل معکوس - با شروع یک صفحه پرتابی، حذف یک خط و تمام نقاطی که با آن خط برخورد می کنند - یک صفحه افین تولید می کند .

تعریف [ ویرایش ]

بیشتر رسما فضا و affine متشکل از مجموعه ای از خطوط و مجموعه ای از نقاط ، و رابطه بین نقاط و خطوط به نام بروز ، داشتن خواص زیر است:

با توجه به هر دو نقطه متمایز، دقیقاً یک خط حادثه با هر دوی آنها وجود دارد.
با توجه به هر خط l و هر نقطه P که با l برخورد نمی کند، دقیقاً یک خط حادثه با P وجود دارد که با l مطابقت ندارد.
چهار نقطه وجود دارد به طوری که هیچ خطی با بیش از دو مورد از آنها برخورد نمی کند.

شرط دوم به معنای وجود خطوط موازی است و به عنوان بدیهیات Playfair شناخته می شود . عبارت «مطلوب نمی شود» در این شرط به صورت اختصاری برای «هر دو سطر حادثه نقطه ای وجود ندارد» است.

صفحه اقلیدسی و صفحه مولتون نمونه هایی از صفحات وابسته بی نهایت هستند. یک صفحه پرتابی محدود زمانی که یکی از خطوط آن و نقاط روی آن حذف شود، یک صفحه افین محدود تولید می کند. سفارش از یک فضا affine به محدود تعداد نقاط در هر یک از خطوط آن (این خواهد بود به همان اندازه که منظور از فضا تصویری از آن می آید) است. صفحات وابسته که از صفحات پرتابی PG(2, q ) بوجود می آیند با AG(2, q ) نشان داده می شوند.

یک صفحه تصویری از مرتبه N وجود دارد اگر و فقط در صورتی که یک صفحه وابسته از مرتبه N وجود داشته باشد. وقتی فقط یک صفحه وابسته از مرتبه N وجود دارد، فقط یک صفحه تصویری از مرتبه N وجود دارد ، اما برعکس آن درست نیست. صفحات وابسته که با حذف خطوط مختلف صفحه پرتاب کننده ایجاد می شوند، اگر و فقط در صورتی که خطوط حذف شده در مدار یکسانی از گروه همسویی صفحه پرتاب کننده باشند، هم شکل خواهند بود. این اظهارات برای فضاهای پرتابی بی نهایت نیز صادق است.

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و دوم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-صفحه تصویری

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نقشه‌های صفحات پرتابی متناهی مرتبه 2 ( صفحه فانو ) و 3، در طرح‌بندی شبکه‌ای که روشی برای ایجاد چنین نقشه‌هایی برای مرتبه‌های اول نشان می‌دهد.

به نظر می رسد این خطوط موازی در نقطه ناپدید شدن "در بی نهایت" قطع می شوند. در یک صفحهتصویری این در واقع درست است.

در ریاضیات ، صفحهتصویری یک ساختار هندسی است که مفهوم صفحه را گسترش می دهد . در صفحه اقلیدسی معمولی، دو خط معمولاً در یک نقطه قطع می‌شوند، اما برخی از جفت‌ها (یعنی خطوط موازی) وجود دارند که قطع نمی‌کنند. یک صفحه پرتابی را می توان به عنوان یک صفحه معمولی مجهز به "نقاط در بی نهایت" اضافی که در آن خطوط موازی متقاطع می شوند در نظر گرفت. بنابراین هر دو خط متمایز در یک صفحهتصویری در یک و تنها یک نقطه قطع می شوند.

هنرمندان رنسانس ، در توسعه تکنیک های طراحی در پرسپکتیو ، زمینه را برای این موضوع ریاضی فراهم کردند. مثال کهن الگوی صفحه نمایش واقعی است که به عنوان صفحه اقلیدسی توسعه یافته نیز شناخته می شود . [1] در این مثال، در صورتهای کمی متفاوت است، در مهم است هندسه جبری ، توپولوژی و هندسه تصویری که در آن ممکن است در زمانهای گوناگون توسط نشان داده PG (2، R ) ، RP 2 یا P 2 ( R )، در میان دیگر نمادهای. بسیاری از صفحات پرتاب کننده دیگر، هر دو بی نهایت، مانند صفحه وجود داردصفحه تصویری پیچیده و متناهی مانند صفحه فانو .

صفحه پرتابی یک فضای پرتابی دو بعدی است ، اما همه صفحات پرتابی را نمی توان در فضاهای پرتابی سه بعدی جاسازی کرد. چنین قابلیت جاسازی نتیجه خاصیتی است که به عنوان قضیه Desargues شناخته می شود ، که در همه سطوح تصویری مشترک نیست.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

فضا تصویری متشکل از مجموعه ای از خطوط ، مجموعه ای از نقاط ، و رابطه بین نقاط و خطوط به نام بروز ، داشتن خواص زیر است: [2]

با توجه به هر دو نقطه متمایز، دقیقاً یک خط حادثه با هر دوی آنها وجود دارد.
با توجه به هر دو خط مجزا، دقیقاً یک حادثه نقطه ای با هر دوی آنها وجود دارد.
چهار نقطه وجود دارد به طوری که هیچ خطی با بیش از دو مورد از آنها برخورد نمی کند.

شرط دوم به این معنی است که هیچ خط موازی وجود ندارد . آخرین شرط، موارد به اصطلاح انحطاط را مستثنی می کند (به زیر مراجعه کنید ). اصطلاح "بروز" برای تأکید بر ماهیت متقارن رابطه بین نقاط و خطوط استفاده می شود. بنابراین عبارت "نقطه P با خط ℓ برخورد می کند " به جای اینکه " P روی ℓ است " یا " ℓ از P عبور می کند " استفاده می شود.

مثالها [ ویرایش ]

صفحه اقلیدسی توسعه یافته [ ویرایش ]

برای تبدیل صفحه اقلیدسی معمولی به صفحهتصویری به صورت زیر عمل کنید:

به هر کلاس موازی از خطوط (مجموعه حداکثری از خطوط موازی متقابل) یک نقطه جدید را مرتبط کنید. آن نقطه باید تصادف با هر خط در کلاس خود در نظر گرفته شود. نکات جدید اضافه شده از یکدیگر متمایز هستند. این نقاط جدید را نقاط بی نهایت می نامند .
یک خط جدید اضافه کنید که با تمام نقاط در بی نهایت (و هیچ نقطه دیگری) تصادف در نظر گرفته می شود. این خط را خط در بی نهایت می نامند .

ساختار توسعه یافته یک صفحهتصویری است و به آن صفحه اقلیدسی توسعه یافته یا صفحه نمایش واقعی می گویند . فرآیند ذکر شده در بالا، که برای به دست آوردن آن استفاده می شود، "تکمیل تصویری" یا فرافکنی نامیده می شود . این فضا همچنین می توانید با شروع از ساخته شود R 3 مشاهده به عنوان فضای برداری، و § برداری ساخت و ساز فضای زیر کلیک کنید.

فضای مولتون پروجکتیو [ ویرایش ]

فضا مولتون . خطوط شیب دار به سمت راست و پایین در جایی که از محور y عبور می کنند خم می شوند .

نقاط صفحه مولتون نقاط صفحه اقلیدسی با مختصات به روش معمول هستند. برای ایجاد صفحه مولتون از صفحه اقلیدسی، برخی از خطوط دوباره تعریف می شوند. یعنی برخی از مجموعه های نقطه آنها تغییر می کند، اما خطوط دیگر بدون تغییر باقی می مانند. همه خطوط با شیب منفی را مجدداً تعریف کنید تا مانند خطوط "خم" به نظر برسند، به این معنی که این خطوط نقاط خود را با مختصات x منفی نگه می دارند ، اما بقیه نقاط آنها با نقاط خط با همان مقطع y جایگزین می شوند. اما شیب دو برابر هر جا که مختصات x آنها مثبت باشد.

صفحه مولتون دارای طبقات موازی خطوط است و یک صفحه وابسته است . می‌توان آن را مانند مثال قبلی، برای به دست آوردن صفحه مولتون پرفکتیوسازی کرد . قضیه دزارگ نه در صفحه مولتون و نه در صفحه مولتون تصویری یک قضیه معتبر نیست.

یک مثال متناهی [ ویرایش ]

این مثال فقط سیزده نقطه و سیزده خط دارد. نقاط P 1 ,...,P 13 و خطوط m 1 ,...,m 13 را علامت گذاری می کنیم . رابطه بروز (که نقاط که در آن خطوط هستند) را می توان با در بر داشت زیر توجه ماتریس وقوع . سطرها با نقاط و ستون ها با خطوط برچسب گذاری می شوند. 1 در ردیف i و ستون j به این معنی است که نقطه P i روی خط m j است ، در حالی که 0 (که در اینجا با یک سلول خالی برای سهولت خواندن نشان می دهیم) به این معنی است که آنها تصادفی نیستند. ماتریس به شکل معمولی پیج وکسلر است.

خطوط نکته ها	متر 1	متر 2	متر 3	متر 4	متر 5	متر 6	متر 7	متر 8	m 9	متر 10	متر 11	متر 12	متر 13
P 1	1	1	1	1
P 2	1				1	1	1
ص 3	1							1	1	1
ص 4	1										1	1	1
ص 5		1			1			1			1
ص 6		1				1			1			1
ص 7		1					1			1			1
ص 8			1		1				1				1
ص 9			1			1				1	1
ص 10			1				1	1				1
ص 11				1	1					1		1
ص 12				1		1		1					1
ص 13				1			1		1		1

برای بررسی شرایطی که این صفحه را به یک صفحهتصویری تبدیل می کند، مشاهده کنید که هر دو سطر دقیقاً یک ستون مشترک دارند که در آن 1 ظاهر می شود (هر جفت نقاط متمایز دقیقاً روی یک خط مشترک قرار دارند) و هر دو ستون دقیقاً یک ردیف مشترک دارند که در آن 1 ظاهر می شود (هر جفت از خطوط متمایز دقیقاً در یک نقطه به هم می رسند). در میان بسیاری از احتمالات، برای مثال، نقاط P 1 ، P 4 ، P 5 ، و P 8 شرط سوم را برآورده می کنند. این مثال به عنوان صفحهتصویری درجه سه شناخته می شود .

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و دوم دی ۱۴۰۰ ساعت 9:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه دنباله دقیق

خواص [ ویرایش ]

لم تقسیم می گوید که اگر توالی دقیق کوتاه

$0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0$

اذعان ریخت تی : B → به طوری که تی ∘ F هویت است یا ریخت تو : C → B به طوری که گرم ∘ تو هویت است C ، پس از آن B است مجموع مستقیم از و C (برای غیر گروه های جابه جایی، این یک محصول نیمه مستقیم است ). یکی می گوید که چنین توالی دقیق کوتاهی تقسیم می شود .

مار لم نشان می دهد که چگونه یک نمودار جابجایی با دو ردیف دقیق افزایش می دهد به یک توالی طولانی تر دقیق. نه لم یک مورد خاص است.

پنج لم شرایطی که تحت آن نقشه وسط در یک نمودار جابجایی با ردیف دقیق طول 5 ریخت است می دهد. کوتاه پنج لم یک مورد خاص آن استفاده به توالی دقیق کوتاه است.

اهمیت توالی‌های دقیق کوتاه با این واقعیت مشخص می‌شود که هر دنباله دقیق از «بافته شدن» چندین سکانس دقیق کوتاه با هم تداخل دارند. به عنوان مثال دنباله دقیق را در نظر بگیرید

$A_{1}\به A_{2}\به A_{3}\به A_{4}\به A_{5}\به A_{6}$

که به این معنی است که اشیاء C k در این دسته وجود دارد به طوری که

$C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})$ .

علاوه بر این، فرض کنید هم‌شکلی هر مورفیسم وجود داشته باشد و با تصویر مورفیسم بعدی در دنباله هم‌شکل باشد:

$C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})$

(این درست است برای تعدادی از دسته های جالب، از جمله هر دسته آبلی مانند گروه های abelian است؛ اما این درست برای همه مقوله های است که اجازه می دهد توالی دقیق نیست، و به طور خاص است درست است برای نه دسته از گروه ، که در آن کوکر ( ج ): G → H است H / IM ( F ) ام $H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}$ ضریب H با بسته شدن مزدوج im( f ).) سپس یک نمودار جابجایی به دست می آوریم که در آن تمام قطرها دنباله های دقیق کوتاه هستند:

تنها بخشی از این نمودار که به شرایط کوکرنل بستگی دارد شی است ${\textstyle C_{7}}$ و جفت نهایی مورفیسم ${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$ . اگر شیئی وجود دارد $A_{{k+1}}$ و مورفیسم $A_{k}\to A_{k+1}$ به طوری که } $A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}$ دقیق است، سپس دقت $0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0$ تضمین شده است. مجدداً مقوله گروه‌ها را مثال می‌زنیم، این واقعیت که im( f ) هسته برخی هم‌مورفیسم‌ها در H است، نشان می‌دهد که آن یک زیرگروه عادی است که با بسته شدن مزدوج آن منطبق است. بنابراین کوکر( f ) با تصویر H /im( f ) شکل بعدی هم شکل است.

برعکس، با توجه به هر فهرستی از توالی‌های دقیق کوتاه که همپوشانی دارند، عبارت‌های میانی آنها یک دنباله دقیق را به همان شیوه تشکیل می‌دهند.

کاربرد توالی های دقیق [ ویرایش ]

در تئوری دسته‌بندی‌های آبلی، توالی‌های دقیق کوتاه اغلب به‌عنوان زبانی مناسب برای صحبت درباره اشیاء فرعی و عاملی استفاده می‌شوند.

مشکل پسوند است که در اصل این پرسش که "با توجه به شرایط پایان و C از یک توالی دقیق کوتاه، چه احتمالات را برای حد وسط وجود داشته باشد ب ؟" در دسته گروه ها، این معادل این سوال است که کدام گروه B دارای A به عنوان زیرگروه نرمال و C به عنوان گروه عامل مربوطه هستند؟ این مشکل در طبقه بندی گروه ها حائز اهمیت است . گروه اتومورفیسم بیرونی را نیز ببینید .

توجه داشته باشید که در دنباله دقیق، ترکیب F من 1 ∘ F من نقشه من به 0 در من 2 ، بنابراین هر توالی دقیق است زنجیره ای پیچیده . علاوه بر این، فقط f i -تصاویر عناصر A i با f i +1 به 0 نگاشت می‌شوند ، بنابراین همسانی این مجموعه زنجیره بی‌اهمیت است. به طور خلاصه تر:

توالی های دقیق دقیقاً مجموعه های زنجیره ای هستند که غیر حلقوی هستند .

بنابراین، با توجه به هر مجموعه زنجیره ای، همسانی آن را می توان به عنوان معیاری برای میزان دقیق بودن آن در نظر گرفت.

اگر مجموعه‌ای از دنباله‌های دقیق کوتاه را که توسط کمپلکس‌های زنجیره‌ای به هم مرتبط شده‌اند در نظر بگیریم (یعنی دنباله‌ای دقیق کوتاه از مجتمع‌های زنجیره‌ای، یا از دیدگاهی دیگر، مجموعه‌ای زنجیره‌ای از توالی‌های دقیق کوتاه)، آن‌گاه می‌توانیم از این یک نتیجه دقیق طولانی استخراج کنیم. دنباله (یعنی یک دنباله دقیق نمایه شده توسط اعداد طبیعی) در همسانی با استفاده از لم زیگزاگ . آن را در توپولوژی جبری در مطالعه همسانی نسبی می آید . توالی مایر Vietoris مثال دیگری است. توالی های دقیق طولانی القا شده توسط توالی های دقیق کوتاه نیز مشخصه تابع های مشتق شده هستند .

functors دقیق هستند functors که تبدیل توالی دقیق را به توالی دقیق.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence

+ نوشته شده در دوشنبه ششم دی ۱۴۰۰ ساعت 5:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه دنباله دقیق

تعریف [ ویرایش ]

در زمینه نظریه گروه، یک دنباله

$G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{ \xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}$

از گروه ها و homoریختs گروه گفته می شود دقیق در $G_i$ اگر $\operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})$ . دنباله اگر در هر یک دقیق باشد دقیق نامیده می شود $G_i$ برای همه $1\leq i<n$ ، یعنی اگر تصویر هر هم شکلی با هسته بعدی برابر باشد.

توالی گروه ها و هممورفیسم ها ممکن است متناهی یا نامتناهی باشد.

تعریف مشابهی را می توان برای سایر ساختارهای جبری نیز ارائه داد . برای مثال، می‌توان دنباله‌ای دقیق از فضاهای برداری و نقشه‌های خطی ، یا مدول‌ها و هم‌مورفیسم‌های مدول را داشت . به طور کلی‌تر، مفهوم یک دنباله دقیق در هر دسته‌بندی با هسته‌ها و هم‌کرنل‌ها ، و به‌ویژه در دسته‌های abelian ، جایی که به طور گسترده استفاده می‌شود، معنا پیدا می‌کند.

موارد ساده [ ویرایش ]

برای درک تعریف، در نظر گرفتن موارد نسبتاً ساده ای که دنباله متناهی است و با گروه بی اهمیت شروع یا ختم می شود مفید است . به طور سنتی، این، همراه با عنصر هویت واحد، 0 (نماد افزودنی، معمولاً زمانی که گروه‌ها abelian هستند)، یا با علامت 1 (نماد ضربی) نشان داده می‌شود.

دنباله 0 → A → B را در نظر بگیرید . تصویر سمت چپ ترین نقشه 0 است. بنابراین دنباله دقیق است اگر و فقط اگر سمت راست ترین نقشه (از A تا B ) دارای هسته {0} باشد. این است که، اگر و تنها اگر که نقشه یک است monoریخت (تزریقی و یا یک به یک).
دنباله دوگانه B → C → 0 را در نظر بگیرید . هسته سمت راست ترین نقشه C است . بنابراین دنباله دقیق است اگر و فقط اگر تصویر سمت چپ ترین نقشه (از B تا C ) تماماً از C باشد . یعنی اگر و تنها در صورتی که آن نقشه یک epiریخت (موضوع، یا روی) باشد.
بنابراین، دنباله 0 → X → Y → 0 دقیق است اگر و تنها در صورتی که نقشه از X به Y هم تک شکلی و هم epiریخت (یعنی دو شکلی ) باشد، و بنابراین، در بسیاری از موارد، یک هم شکلی از X به Y باشد. .

توالی دقیق کوتاه [ ویرایش ]

مهم توالی های دقیق کوتاه هستند که دنباله های دقیق فرم هستند

$0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.$

همانطور که در بالا مشخص شد، برای هر دنباله دقیق کوتاهی، f یک تک شکلی و g یک epiریخت است. علاوه بر این، تصویر f برابر با هسته g است . بهتر است از فکر می کنم به عنوان یک subobject از B با F تعبیه به B و C به عنوان هدف متناظر عامل (و یا خارج قسمت )، B / ، با گرم القا ریخت

$C\cong B/\operatorname {im} (f)$

دنباله دقیق کوتاه

$0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,$

در صورت وجود هممورفیسم h : C → B به گونه ای که ترکیب g ∘ h نقشه هویت در C باشد، تقسیم نامیده می شود . این شرح است که اگر این گروه آبلی ، B متناظر به است مجموع مستقیم از و C :

$B\cong A\oplus C.$

دنباله دقیق طولانی [ ویرایش ]

یک توالی دقیق کلی گاهی اوقات یک دنباله دقیق طولانی نامیده می شود تا از حالت خاص یک دنباله دقیق کوتاه متمایز شود. [1]

یک دنباله دقیق طولانی معادل یک خانواده از دنباله های دقیق کوتاه به معنای زیر است: با توجه به یک دنباله طولانی

$A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_ {3}\ } \;\cdots \;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},$ (1)

با n ≥ 2، می توانیم آن را به دنباله های کوتاه تقسیم کنیم

${\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2 }\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\&\ \,\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0, \\\پایان{تراز شده}}$ (2)

جایی که $K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})$ برای هر $من$ . از نظر ساخت، دنباله‌های (2) دقیقاً در سطح هستند $K_{i}$ 's (صرف نظر از دقت (1) ). علاوه بر این، (1) یک دنباله دقیق طولانی است اگر و فقط اگر (2) همه دنباله های دقیق کوتاه باشند.

مثالها [ ویرایش ]

مدول دو اعداد صحیح [ ویرایش ]

توالی زیر از گروه های آبلی را در نظر بگیرید:

$\mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$

اولین هممورفیسم هر عنصر i در مجموعه اعداد صحیح Z را به عنصر 2 i در Z نگاشت می کند . هممورفیسم دوم هر عنصر i در Z را به عنصر j در گروه ضریب نگاشت می کند . یعنی j = i mod 2 . اینجا فلش قلاب است $فلش قلابدار$ نشان می دهد که نقشه 2× از Z تا Z یک تک شکلی است و فلش دو سر است $\twoheadrightarrow$ یک epiریخت را نشان می دهد (نقشه mod 2). این یک دنباله دقیق است زیرا تصویر 2 Z از تک شکلی هسته اپی‌مورفیسم است. اساساً "همان" دنباله را می توان به صورت نوشتاری نیز نوشت

$2\mathbf {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$

در این مورد تک شکلی 2 n ↦ 2 n است و اگرچه شبیه یک تابع هویت به نظر می رسد، اما روی آن نیست (یعنی اپی شکل نیست) زیرا اعداد فرد به 2 Z تعلق ندارند . با این حال، تصویر 2 Z از طریق این تک‌مورفیسم دقیقاً همان زیرمجموعه Z با تصویر Z تا n ↦ 2 n است که در دنباله قبلی استفاده شد. این توالی دومی در طبیعت بتن از جسم اول خود را از یکی از قبلی متفاوت به عنوان 2 Z است همان مجموعه به عنوان Z حتی اگر دو ریخت به عنوان گروه هستند.

دنباله اول همچنین ممکن است بدون استفاده از نمادهای خاص برای تک‌مورفیسم و epiریخت نوشته شود:

$0\to \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbf {Z} \longrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0$

در اینجا 0 نشان دهنده گروه بی اهمیت است، نقشه از Z به Z ضرب در 2 است، و نقشه از Z به گروه عاملی Z /2 Z با کاهش اعداد صحیح مدول 2 داده می شود. این در واقع یک دنباله دقیق است:

تصویر نقشه 0 → Z {0} است، و هسته ضرب در 2 نیز {0} است، بنابراین دنباله در Z اول دقیق است .
تصویر ضرب در 2 2 Z است و هسته مدول کاهنده 2 نیز 2 Z است ، بنابراین دنباله در Z دوم دقیق است .
تصویر کاهش مدول 2 Z /2 Z است ، و هسته نقشه صفر نیز Z /2 Z است ، بنابراین دنباله دقیق در موقعیت Z /2 Z است .

دنباله های اول و سوم به دلیل ماهیت نامتناهی Z تا حدودی مورد خاصی هستند . امکان ندارد یک گروه متناهی با گنجاندن (یعنی با یک مورفیسم) به عنوان زیرگروه مناسب خود نگاشت شود. در عوض دنباله ای که از اولین قضیه هم شکلی پدید می آید است

$1\to N\to G\to G/N\to 1$

به عنوان مثال ملموس تر از یک دنباله دقیق در گروه های محدود:

$1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1$

جایی که $C_{n}$ است که گروه دوری از سفارش N و $D_{{2n}}$ است گروه دوسطحی از مرتبه 2 نفر ، یک گروه غیر آبلی است.

تقاطع و مجموع مدول ها [ ویرایش ]

بگذارید I و J دو ایده آل از یک حلقه R باشند . سپس

$0\to I\cap J\to I\plus J\to I+J\to 0$

دنباله ای دقیق از مدول های R است که در آن مدول هممورفیسم است $I\cap J\to I\oplus J$ نقشه هر عنصر X از $I\Cap J$ به عنصر $(x,x)$ از مبلغ مستقیم $I\oplus J$ و هممورفسیم $I\oplus J\to I+J$ هر عنصر را ترسیم می کند $(x,y)$ از $I\oplus J$ به $xy$ .

این هممورفیسم‌ها محدودیت‌هایی از هم‌مورفیسم‌های مشابه تعریف شده هستند که دنباله دقیق کوتاه را تشکیل می‌دهند.

$0\to R\to R\plus R\to R\to 0$

با عبور به مدول های ضریب، دنباله دقیق دیگری به دست می آید

$0\to R/(I\cap J)\to R/I\plus R/J\to R/(I+J)\to 0$

+ نوشته شده در دوشنبه ششم دی ۱۴۰۰ ساعت 5:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تثبیت کننده

اجازه بدهید یک گروه جایگشت در یک مجموعه باشد و یک عنصر از . سپس

$G_x={g در G:g(x)=x}$

(1)

است تثبیت کننده نامیده می شود و شامل تمام جایگشت از که تولید نقاط گروه ثابت در ، یعنی ارسال را به خود. به عنوان مثال، تثبیت کننده 1 و 2 در گروه جایگشت هر دو است و تثبیت کننده 3 و 4 است .

به طور کلی، زیرمجموعه‌ای از تمام تصاویر زیر جایگشت‌های گروه است

(2)

است به نام مدار گروه از در .

اقدام یک گروه بر روی یک مدار گروه از طریق است متعدی ، و غیره مربوط به آن گروه همسانی . به طور خاص، مجموعه های زیرگروه ایزوتروپی با عناصر موجود در مدار مطابقت دارد.

(3)

مدار در کجاست و تثبیت کننده در است . این بلافاصله هویت می دهد

(4)

جایی که نشان دهنده ترتیب گروه است (هولتون و شیهان 1993، ص 27).

+ نوشته شده در شنبه چهارم دی ۱۴۰۰ ساعت 7:18 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مدار گروه

مدار گروهی

در مکانیک سماوی، مسیر ثابتی که یک سیاره هنگام حرکت به دور خورشید طی می کند، مدار نامیده می شود. هنگامی که یک گروه روی یک مجموعه عمل می کند (این فرآیند را یک عمل گروهی می نامند )، عناصر . هر عنصر خاصی در یک مسیر ثابت حرکت می کند که به آن مدار آن می گویند. در نماد تئوری مجموعه ها، مدار گروه یک عنصر گروه را می توان به صورت تعریف کرد

(1)

جایی که روی تمام عناصر گروه اجرا می شود . برای مثال، برای گروه جایگشت $G_1={(1234)، (2134)، (1243)، (2143)}$ ، مدارهای 1 و 2 و مدارهای 3 و 4 هستند .

نقطه گروه ثابت مدار متشکل از یک عنصر، به عنوان مثال، یک عنصر است که به خود را تحت تمام عناصر گروه فرستاده است. تثبیت کننده از یک عنصر شامل تمام جایگشت از که تولید نقاط گروه ثابت در ، یعنی ارسال را به خود. بنابراین تثبیت کننده های 1 و 2 زیر هستند و تثبیت کننده های 3 و 4 هستند .

توجه داشته باشید که اگر پس از آن , زیرا اگر . در نتیجه، تقسیم مدارها و با توجه به یک گروه جایگشت در یک مجموعه ، مدار یک عنصر زیرمجموعه ای از عناصری است که برخی از عناصر می توانند به آنها بفرستند .

OrbitGroup

برای مثال، عمل گروه دایره بر روی کره را با چرخش در امتداد محور آن در نظر بگیرید. سپس قطب شمال یک مدار است، همانطور که قطب جنوب است . استوا یک مدار یک بعدی است، همانطور که یک مدار کلی است که مربوط به یک خط عرض جغرافیایی است.

عمل گروهی Orbits of a Lie ممکن است متفاوت از یکدیگر به نظر برسد. به عنوان مثال، از گروه متعامد از امضای ، در هواپیما عمل می کند. این مدار دارای سه نوع مختلف مدار است: مبدأ (یک نقطه ثابت گروهی ، چهار پرتو ، و هذلولی هایی مانند . به طور کلی، یک مدار ممکن است از هر بعد، تا بعد گروه Lie باشد. اگر گروه Lie باشد. است جمع و جور ، و سپس مدار آن submanifolds .

اقدام این گروه در مدار از طریق است متعدی ، و غیره مربوط به آن گروه همسانی . به طور خاص، مجموعه های زیرگروه ایزوتروپی با عناصر موجود در مدار مطابقت دارد.

(2)

که در آن از مدار است در و است تثبیت کننده از در . این بلافاصله هویت می دهد

(3)

جایی که نشان دهنده ترتیب گروه است (هولتون و شیهان 1993، ص 27).

منبع

https://mathworld.wolfram.com/GroupOrbit.html

+ نوشته شده در شنبه چهارم دی ۱۴۰۰ ساعت 7:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

عمل گروهی

به گروهی گفته می شود که روی یک مجموعه عمل می کنند که نقشه ای وجود داشته باشد که شرایط زیر برای همه عناصر برقرار باشد.

1. عنصر هویت که.

2. برای همه .

در این مورد، است که به نام گروه تحول ، یک به نام -set، و است عمل گروه نامیده می شود.

در یک عمل گروهی، یک گروه عناصر . هویت کاری انجام نمی دهد، در حالی که ترکیبی از کنش ها با کنش ترکیب مطابقت دارد. به عنوان مثال، همانطور که در بالا نشان داده شد، گروه متقارن بر روی ارقام 0 تا 9 توسط جایگشت عمل می کند.

برای داده ، مجموعه ای ، که در آن گروه حرکت می کند عمل ، به نام مدار گروه . زیر گروه که رفع است گروه همسانی از .

به عنوان مثال، گروه $Z_2={[0]،[1]}$ بر روی اعداد واقعی با ضرب عمل می کند . برگ هویت همه چیز ثابت، در حالی که می فرستد به . توجه داشته باشید که مربوط به . برای ، مدار است ، و در زیر گروه همسانی بی اهمیت است، . تنها نقطه ثابت گروهی این عمل است .

در یک نمایش گروهی ، یک گروه با تبدیل های خطی معکوس یک فضای برداری عمل می کند . در واقع، یک نمایش یک هم شکلی گروهی از به ، گروه خطی کلی از است . برخی از گروه ها در یک نمایش توصیف می شوند، مانند گروه خطی ویژه ، اگرچه ممکن است نمایش های متفاوتی داشته باشند.

از نظر تاریخی، اولین اقدام گروهی مورد مطالعه، اقدام گروه Galois بر روی ریشه های یک چند جمله ای بود . با این حال، نمونه‌ها و کاربردهای متعددی از اقدامات گروهی در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، از جمله جبر ، توپولوژی ، هندسه ، نظریه اعداد و تجزیه و تحلیل و همچنین در علوم از جمله شیمی و فیزیک وجود دارد.

همچنین ببینید:اقدام ، موثر عمل ، مجانی اقدام ، گالوا گروه ، گروه ، گروه بلوک ، گروه مدار ، گروه نمایندگی ، همسانی گروه ، دروغ گروه خارج قسمت فضایی ، ماتریس گروه ، اولیه گروه اقدام) ، مناسب گروه اقدام ، توپولوژیکی گروه ، متعدی

این ورودی توسط تاد رولند ارائه شده است

منبع

https://mathworld.wolfram.com/GroupAction.html

+ نوشته شده در شنبه چهارم دی ۱۴۰۰ ساعت 7:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

اگر G یک گروه ساده از مرتبه 168 است

چگونه می توانم این را حل کنم: اگر G یک گروه ساده از مرتبه 168 است، پس زیرگروه های sylow-2 از G دو وجهی هستند و زیر گروه های sylow-3 و sylow-7 چرخه ای هستند؟

از آنجا که [ریاضی]168=2^3*3*7[/math]، تنها عبارت غیر واضح این است که زیر گروه های Sylow-2 هم شکل هستند. [ریاضی]D_8[/math]. بدیهی است که سایر زیرگروه های Sylow چرخه ای هستند، زیرا از مرتبه اول برخوردار هستند.

ارزش آن را ذکر در این نقطه است که در واقع وجود دارد است یک گروه ساده از سفارش 168. (من نمی خواهد زحمت به نوشتن این پاسخ غیر این صورت.). برای طبقه‌بندی کامل‌تر، به یک متن جبر انتزاعی مانند Dummit و Foote مراجعه کنید، که حاوی اثبات کاملی است مبنی بر اینکه یک گروه ساده از مرتبه 168 باید با گروه اتومورفیسم هواپیمای فانو هم‌شکل باشد - و در واقع، این یک ساده است. گروه سفارش 168.

با این حال، در زیر ما این حقایق را بدیهی نمی دانیم. در عوض، من فقط شروع اثبات را در Dummit و Foote خلاصه می کنم، حداقل تا جایی که بتوانیم دو وجهی بودن زیرگروه های Sylow-2 را ثابت کنیم.

قبل از شروع، برای مرجع، برخی از حقایق کلی در مورد زیرگروه های Sylow را فهرست می کنم که برای خواننده آشنا فرض می شود. اجازه دهید[ریاضی]p[/math] اول تقسیم ترتیب باشد [ریاضی]G[/math] و اجازه دهید [ریاضی]n_p[/math] تعداد زیرگروه های Sylow-p را نشان می دهد [ریاضی]G[/math]. سپس:

[ریاضی]n_p\equiv 1\mod p[/math].
همه زیرگروه های Sylow-p به صورت مزدوج هستند [ریاضی]G[/math].
[ریاضی]n_p[/math]شاخص نرمال ساز هر زیرگروه Sylow-p است. به ویژه، اگر[ریاضی]|G|=p^km[/math] جایی که [ریاضی]p \nاواسط متر[/math]، سپس زیرگروه های Sylow-p دارای نظم هستند [ریاضی]p^k[/math] و [ریاضی]n_p|m[/math].
نرمال سازهای زیرگروه های Sylow-p نیز به صورت مزدوج هستند[ریاضی]G[/math].

با آن، اجازه دهید [ریاضی]G[/math] یک گروه ساده از مرتبه 168 باشد. اولین قدم این است که توجه داشته باشید [ریاضی]n_7=8[/math]، زیرا این تنها امکان است. این بدان معناست که همه نرمال سازهای Sylow-7 دارای سفارش 21 هستند.

بعد، توجه داشته باشید که [ریاضی]G[/math] نمی توان زیر گروه مناسبی از شاخص کمتر از 7 داشت. این یک آرگومان استاندارد با گروه های ساده است: اگر [ریاضی]ح[/ریاضی] زیر گروهی از شاخص است [ریاضی]k[/math] سپس [ریاضی]G[/math] با ضرب چپ بر روی همزاد عمل می کند [ریاضی]ح[/ریاضی]، که هممورفیسمی از [ریاضی]G[/math] به [ریاضی]S_k[/math] که هسته آن در [ریاضی]ح[/ریاضی]. از آنجا که[ریاضی]G[/math] ساده است، هسته 1 و است [ریاضی]G[/math] به زیرگروه ای هم شکل است [ریاضی]S_k[/math]. این کار نمی کند اگر[math]k\le 6[/math] زیرا 168 تقسیم نمی کند [ریاضی]6!=720[/math].

این امر منتفی است [ریاضی]n_3=4[/math]، بنابراین [ریاضی]n_3[/math]7 یا 28 است. توجه داشته باشید که در هر دو مورد، هیچ عنصری از مرتبه 7 یک زیر گروه Sylow-3 را عادی نمی کند. از این رو[ریاضی]G[/math] هیچ عنصری از نظم 21 ندارد.

بعد، می توانیم از این برای اثبات استفاده کنیم [math]n_3\ne 7[/math]. اجازه دهید[ریاضی] K[/math]یکی از نرمال سازهای Sylow-7 باشد. ما فقط این را ثابت کردیم[ریاضی] K[/math] گروه غیرآبلی مرتبه 21 است که به معنی [ریاضی] K[/math] دقیقا شامل 7 زیر گروه از مرتبه 3. اما اگر [ریاضی]n_3=7[/math] که در [ریاضی]G[/math]، سپس [ریاضی] K[/math]شامل تمام زیر گروه های Sylow-3 از[ریاضی]G[/math]، که تناقض است: هر مزدوج از [ریاضی] K[/math]همچنین یک نرمال ساز Sylow-7 است، از این رو شامل تمام زیر گروه های Sylow-3 نیز می شود. بنابراین تقاطع همه مزدوج های[ریاضی] K[/math] بی اهمیت است، به این معناست که [ریاضی]G[/math] یک گروه ساده نیست

بنابراین ما اکنون داریم [ریاضی]n_3=28[/math]و نرمال سازهای Sylow-3 دارای مرتبه 6 هستند. در حالی که ما در حال کار هستیم، اجازه دهید ثابت کنیم که دو وجهی هستند، یعنی چرخه ای نیستند. اگر آنها چرخه ای بودند، پس[ریاضی]G[/math]دارای 28*2 عنصر مرتبه 3 و 28*2=56 عنصر از مرتبه 6 خواهد بود. (هیچ دو مورد از این زیرگروه ها نمی توانند عنصری با درجه 3 یا 6 مشترک داشته باشند.) به آن عناصر 8*6=48 را اضافه کنید. سفارش 7، و این در حال حاضر 160 عنصر است. این خوب نیست زیرا تنها برای یک زیرگروه Sylow-2 جا می گذارد که در نتیجه طبیعی است.

تا اینجا، ما نوع ایزومورفیسم نرمال‌کننده‌های Sylow-3 و Sylow-7 را می‌دانیم، و به ویژه هیچ عنصری از مرتبه 6، 14 یا 21 وجود ندارد، بنابراین همه عناصر دارای ترتیب قدرت اول هستند. 56 عنصر از مرتبه 3، 48 عنصر از مرتبه 7، و 1 هویت وجود دارد که 63 عنصر از مرتبه 2، 4، یا احتمالاً 8 باقی می ماند.[ریاضی]n_2=7[/math]: در آن صورت حداکثر می تواند 49 عنصر از این دست وجود داشته باشد، حتی اگر زیرگروه های Sylow-2 دارای تقاطع های بی اهمیت باشند.

نتیجه می شود که [ریاضی]n_2=21[/math] و تقاطع های غیر ضروری بین زیر گروه های Sylow-2 وجود دارد.

اکنون می توانیم در نهایت ثابت کنیم که زیرگروه های Sylow-2 دو وجهی هستند. اجازه دهید[ریاضی]x[/math] عنصری از درجه 2 باشد که در بیش از یک زیرگروه Sylow-2 وجود دارد.

اگر زیرگروه‌های Sylow-2 abelian بودند، پس مرکزی‌کننده از [ریاضی]x[/math] زیر گروهی از [ریاضی]G[/math] حاوی بیش از یک زیرگروه از مرتبه 8. بنابراین، باید حاوی عنصری از مرتبه 3 یا 7 باشد که با آن جابجا می شود. [ریاضی]x[/math]، که می دانیم وجود ندارد.

اگر زیرگروه های Sylow-2 گروه کواترنیون بودند [ریاضی]Q_8[/math]، پس دقیقاً با همان مشکل مواجه خواهیم شد، زیرا تنها عنصر [ریاضی]Q_8[/math]دستور 2 در مرکز آن موجود است. بنابراین، از آنجایی که تنها گروه‌های غیرآبلی مرتبه 8 هستند[ریاضی]D_8[/math] و [ریاضی]Q_8[/math]، زیر گروه های Sylow-2 باید ایزومورف باشند [ریاضی]D_8[/math] با فرآیند حذف [ریاضی]\blacksquare[/math]

در این مرحله ما همه اعداد Sylow و نوع ایزومورفیسم همه زیرگروه های Sylow-p و نرمال سازهای Sylow-p را می دانیم. این شروع خوبی است. اگر بخواهیم ادامه دهیم، می‌توانیم ساختار زیرگروه داخلی را تحلیل کنیم[ریاضی]G[/math]و نشان دهید که چگونه "هندسه" یکسانی با صفحه فانو ایجاد می کند. این برای نشان دادن این کافی است.[ریاضی]G[/math]به گروه اتومورفیسم همان هم شکل است.

How do I solve this: if G is a simple group of order 168, then the sylow-2 subgroups of G are dihedral, and the sylow-3 and sylow-7 subgroups are cyclic?

1 Answer

Alex Eustis

, Ph.D. Mathematics, University of California, San Diego (2013)

Answered 6 months ago · Author has 2.4K answers and 10M answer views

Since 168=23∗3∗7168=23∗3∗7, the only non-obvious statement is that the Sylow-2 subgroups are isomorphic to D8D8. Evidently the other Sylow subgroups are cyclic because they're of prime order.

It's worth mentioning at this point that there actually is a simple group of order 168. (I wouldn't bother to write this answer otherwise.). For a more complete classification, see an Abstract Algebra text such as Dummit and Foote, which contains a full proof that a simple group of order 168 must be isomorphic to the automorphism group of the Fano plane — and that, indeed, this is a simple group of order 168.

However, below we won't take for granted these facts. Instead I'll just summarize the start of the proof in Dummit and Foote, at least to the point where we can prove the Sylow-2 subgroups are dihedral.

Before we begin, for reference I'll list some general facts about Sylow subgroups which will be assumed familiar to the reader. Let pp be a prime dividing the order of GG and let npnp denote the number of Sylow-p subgroups of GG. Then:

np≡1modpnp≡1modp.
All Sylow-p subgroups are conjugate in GG.
npnp is the index of the normalizer of any Sylow-p subgroup. In particular, if |G|=pkm|G|=pkm where p∤mp∤m, then Sylow-p subgroups have order pkpk and np|mnp|m.
The normalizers of the Sylow-p subgroups are also conjugate in GG.

With that, let GG be a simple group of order 168. The first step is to note that n7=8n7=8, because it's the only possibility. This means all Sylow-7 normalizers have order 21.

Next, note that GG can't have a proper subgroup of index less than 7. This is a standard argument with simple groups: if HH is a subgroup of index kk then GG acts by left multiplication on the cosets of HH, which gives a homomorphism of GG into SkSk whose kernel is contained in HH. Since GG is simple, the kernel is 1 and GG is isomorphic to a subgroup of SkSk. That won't work if k≤6k≤6 because 168 doesn't divide 6!=7206!=720.

This rules out n3=4n3=4, so n3n3 is 7 or 28. Note that in both cases, no element of order 7 normalizes a Sylow-3 subgroup. Therefore GG has no element of order 21.

Next, we can use this to prove n3≠7n3≠7. Let KK be one of the Sylow-7 normalizers. We just proved that KK is the non-abelian group of order 21, which means KK contains exactly 7 subgroups of order 3. But if n3=7n3=7 in GG, then KK contains all the Sylow-3 subgroups of GG, which is a contradiction: each conjugate of KK is also a Sylow-7 normalizer, hence it contains all the Sylow-3 subgroups too. Therefore the intersection of all conjugates of KK is nontrivial, implying that GG is not a simple group.

Therefore we now have n3=28n3=28, and the Sylow-3 normalizers have order 6. While we're at it, let's prove they're dihedral, i.e. not cyclic. If they were cyclic, then GG would have 28*2 elements of order 3 and 28*2=56 elements of order 6. (No two of these subgroups can have an element of order 3 or 6 in common.) Add to that the 8*6=48 elements of order 7, and that's already 160 elements. That's no good because it leaves room for only a single Sylow-2 subgroup, which would therefore be normal.

So far, we know the isomorphism type of the Sylow-3 and Sylow-7 normalizers, and in particular no element of order 6, 14, or 21 exists, so all elements have prime power order. There are 56 elements of order 3, 48 elements of order 7, and 1 identity, which leaves 63 elements of order 2, 4, or possibly 8. This rules out n2=7n2=7: in that case there could be at most 49 such elements, even if the Sylow-2 subgroups had trivial intersections.

It follows that n2=21n2=21 and there are nontrivial intersections among the Sylow-2 subgroups.

We can now finally prove that the Sylow-2 subgroups are dihedral. Let xx be some element of order 2 contained in more than one Sylow-2 subgroup.

If Sylow-2 subgroups were abelian, then the centralizer of xx would be a subgroup of GG containing more than one subgroup of order 8. Hence, it would have to contain an element of order 3 or 7 that commutes with xx, which we know doesn't exist.

If the Sylow-2 subgroups were the quaternion group Q8Q8, then we would run into the exact same problem, because the only element of Q8Q8 order 2 is contained in its center. Therefore, since the only non-abelian groups of order 8 are D8D8 and Q8Q8, the Sylow-2 subgroups must be isomorphic to D8D8 by process of elimination. ■◼

At this point we know all the Sylow numbers, and the isomorphism type of all Sylow-p subgroups and Sylow-p normalizers. That's a good start. If we wanted to continue, we could keep analyzing the internal subgroup structure of GG and show how it gives rise to a “geometry" identical to that of the Fano plane. This would be sufficient to show that GG is isomorphic to the automorphism group of same.

578 views

View upvotes

Related Answer

Alon Amit

, Ph.D. in Mathematics.Answered 1 year ago · Upvoted by

Vance Faber

, Ph. D. Mathematics and

Ali Taghavi

, Ph.D Mathematics, Sharif University of Technology (2002) · Author has 6.9K answers and 99.5M answer views

How can I prove that if G is a group of order 91, then every proper subgroup of G is cyclic?

There are good answers here already so I won’t repeat them, but I do wish to point out that the restriction “proper” in the question is unnecessary: if GG is a group of order 9191 then GG itself must be cyclic (it then follows immediately that its subgroups are cyclic as well.)

In fact, if p>qp>q are primes and qq does not divide p−1p−1 then any group of order pqpq is cyclic. To show this, first prove that GG has unique Sylow subgroups, and then count the number of elements of order pp and qq. You’ll see that there must be other (nontrivial) elements, and the only possible order of such elements is pqpq.

6.4K views

View upvotes

View 6 shares

Answer requested by

Zehra Akhan

Related Answer

Darrah Chavey

, Professor, Math & Comp. Sci. at Beloit College (1987-present)Answered 7 months ago · Upvoted by

Alon Amit

, Ph.D. in Mathematics. · Author has 867 answers and 546.8K answer views

If G is a group of order 385, show that both sylow 7-subgroup and sylow 11-subgroup are normal in G and sylow 7-subgroup is in the center of G?

By Sylow’s 3rd theorem, the number of subgroups of size 11 must be ≡1mod11≡1mod11, and it must be a divisor of 385. The only number that satisfies those conditions is 1, so there is a unique 11-subgroup. Being unique, it must be normal. The same statement applies to 7, so there is a unique 7-subgroup, which is then also normal.

If we conjugate the 7-subgroup S by an element g of the group, the action is an automorphism on the six non-identity elements of S. The order of that action, d, must then be a divisor of 6. Consequently, the order of g must be a multiple of d, and of course is also a d

Related Answer

Alon Amit

, PhD in Mathematics; Mathcircler.Answered 4 years ago · Upvoted by

Yair Livne

, Master's Mathematics, Hebrew University of Jerusalem (2007) and

Alex Sadovsky

, Ph.D. Mathematics & Biomechanics, University of California, Irvine · Author has 6.9K answers and 99.5M answer views

Suppose that a cyclic group G has exactly 3 subgroups: G itself, {e}, and subgroup of order 7. What is |G|? What can you say if 7 is replaced with p where p is a prime?

Consider this: the group has order nn, for some nn. It is cyclic, so it has a generator aa of order nn. The given prime pp must divide nn. If nn were divisible by any proper divisor mm other than pp then an/man/m would generate a subgroup of order mm, but there are no such subgroups. So pp is the only proper divisor of nn.

Which numbers have a single proper prime divisor?

(By “proper divisor” I mean a divisor which is neither 11 nor the number itself).

5.2K views

View upvotes

Related Answer

Amitabha Tripathi

, teaching Group Theory for almost three decades

Answered 4 years ago · Author has 3.8K answers and 7.6M answer views

How many distinct subgroups does the cyclic group of order 6 have?

Theorem. Let GG be a cyclic group of order nn. For each d∣nd∣n, there exists a unique subgroup of order dd.

Proof. (sketch) Let G=G=, and let Hd=Hd=. Then |G|=o(a)=n|G|=o(a)=n and |H|=o(an/d)=d|H|=o(an/d)=d. Thus there is at least one subgroup of order dd.

Let HH be a subgroup of GG of order dd. Since every subgroup of a cyclic group is cyclic, H=H= for some k∈{1,2,3,…,n}k∈{1,2,3,…,n}. From

d=|H|=o(ak)=ngcd(k,n)d=|H|=o(ak)=ngcd(k,n)

we have gcd(k,n)=ndgcd(k,n)=nd. Hence nd∣knd∣k, so that ak∈Hdak∈Hd. Thus H⊆HdH⊆Hd, and since they are of the same order, H=HdH=Hd. T

Related Answer

Amitabha Tripathi

, teaching abstract Algebra for almost three decades

Answered 9 months ago · Author has 3.8K answers and 7.6M answer views

What are the elements of the cyclic subgroup generated by R270 in the dihedral group D4 of order 8?

The dihedral group D4D4 is the group of symmetries on a square. There are four rotations and four reflections ((two each with respect to lines joining midpoints of opposite sides and lines joining opposite vertices, or diagonals)).

The four rotations may be denoted by the angle by which each vertex is transformed: R0R0, R90R90, R180R180, R270R270. The first is the identity mapping, the second is the mapping (1234)(1234), the third is (13)(24)(13)(24), and the fourth is (1432)(1432). The second and fourth mappings are inverses of one another, and each has order 44 ((because the length of the permutation is 4)4). The third ma

Related Answer

Richard Goldstone

, PhD Mathematics, The Graduate Center, CUNY (1995)

Answered 1 year ago · Author has 915 answers and 473.3K answer views

If d is divisor of the order of a finite cyclic group G, how can you prove that G contains a subgroup of order d?

Let G be a finite cyclic group of order nn, let gg be a generator of GG, and let dd be a divisor of n.n. suppose that

(gnd)k=1G.(gnd)k=1G.

By a corollary to Lagrange’s theorem, (nd)k≡0(modn).(nd)k≡0(modn).

Then, dividing both terms and the modulus of this congruence by n/d,n/d,

(nd)k≡0(modn)⟹k≡0(modd).(nd)k≡0(modn)⟹k≡0(modd).

This shows not only the obvious fact that

(gnd)d=1G,(gnd)d=1G,

but also the more essential fact that no non-zero integer k∈{0,1,2,…,d−1}k∈{0,1,2,…,d−1} produces

(nd)k≡0(modn)(nd)k≡0(modn)

Related Answer

Wes Browning

, PhD Geometry and Topology, Cornell University (1979)

Answered 1 year ago · Author has 3.1K answers and 1.1M answer views

How do I find the number of sylow subgroups of D10D10, dihedral group of order 20, and which groups do they represent?

The group is represented by

A 5-Sylow subgroup is {1, a^2, a^4, a^6, a^8}. This is cyclic of order 5 generated by any nontrivial element. It’s the only 2-Sylow group and it’s normal.

A 2-Sylow subgroup has to have order 4. One such is {1, b, a^5, ba^5} This is closed and therefore a subgroup. Since all three nontrivial elements have order two, it is isomophic to (Z/2Z)^2, the Klein four-group. By Sylow’s theory there has to be an odd number of 2-Sylow groups, and the number must divide 20. Therefore the number is 1 or 5. I can in fact find five:
{1, b, a

Related Answer

Swetha Dandibhotla

, B. SC Mathematics & Statistics (2021)

Answered 1 year ago · Author has 375 answers and 45.6K answer views

How many subgroups are there for a group of order 19?

Given, the order of group is 19 , that is, the group is of prime order.

From, a known theorem, a group of prime order has no proper subgroups.

If G is the group, the subgroups of G are G, {e} where ‘e' is the identity element of G. Therefore, the number of subgroups of group G of order 19 is 2.

1.2K views

View upvotes

Related Answer

Amitabha Tripathi

, teaching abstract Algebra for almost three decades

Answered 3 years ago · Author has 3.8K answers and 7.6M answer views

Suppose that a cyclic group G has exactly 3 subgroups: G itself, {e}, and subgroup of order 11. What is |G|?

Every cyclic group of order nn has a unique subgroup of order dd, for each d∣nd∣n. So a cyclic group of order nn has as as many subgroups as nn has positive divisors.

If d(n)d(n) denotes the number of positive divisors of nn, then

d⎛⎝∏p∣npα⎞⎠=∏p∣n(1+α)d(∏p∣npα)=∏p∣n(1+α).

Thus, d(n)=3⇔n=p2d(n)=3⇔n=p2, where pp is a prime. Since 11∣n11∣n, p=11p=11, and so n=112=121n=112=121. ■◼

1.2K views

View upvotes

Answer requested by

Lipsa Priyadarshini Behera

Related Answer

Vance Faber

, Ph. D. Mathematics

Answered 2 years ago · Author has 1.9K answers and 606.3K answer views

A group is super-solvable if it is the product of two super-solvable normal subgroups of co-prime indices, so what if the subgroups are not normal?

How are you defining the product of two subgroups? Is it the group generated by the product of elements, one from each? I think in that case, the group might not even be solvable.

منبع

https://www.quora.com/How-do-I-solve-this-if-G-is-a-simple-group-of-order-168-then-the-sylow-2-subgroups-of-G-are-dihedral-and-the-sylow-3-and-sylow-7-subgroups-are-cyclic

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم آذر ۱۴۰۰ ساعت 18:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعریف n -سادک

V = {v0, . . . , vn} ⊆ R^m

〈V 〉 ∶= { ∑ ti vi : ∑ ti = 1 , ti ≥ 0}

و V در جایگاه عمومی باشند را n -سادک گوییم

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هشتم آذر ۱۴۰۰ ساعت 21:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

جایگاه عمومی

فرض کنید

V = {v0, . . . , vn} ⊆ R^m

در صورتی که مجموعه زیر مستقل خطی باشند گوییم مجموعه متناهی بالا در جایگاه عمومی قرار دارند

{v1 − v0, . . . , vn − v0}

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هشتم آذر ۱۴۰۰ ساعت 21:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چهار مرحله ایجاد مثلث چند ضلعی یک شش ضلعی مربوط به پیکربندی

8: چهار مرحله ایجاد مثلث چند ضلعی یک شش ضلعی مربوط به پیکربندی [0، 1، 2، 2]. (الف) چندضلعی بدون مثلث. (ب) بعد از مرحله 1. (ج) بعد از مرحله 2. (د) بعد از مرحله 3.

منبع

https://www.researchgate.net/figure/The-four-steps-of-creating-the-polygon-triangulation-of-a-hexagon-corresponding-to_fig5_261252216

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم آذر ۱۴۰۰ ساعت 5:40 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثلث بندی سطوح

چاپ

مثلث تقسیم یک سطح یا چند ضلعی مسطح به مجموعه ای از مثلث ها است، با این شرط که هر ضلع هر ضلع مثلث کاملاً با دو مثلث مجاور مشترک باشد. هر سطحی یک مثلث دارد، شاید با تعداد بی نهایت مثلث. سطحی با تعداد محدود مثلث در مثلث خود فشرده است.

مثلث های Thr نباید خطوط مستقیم باشند. این به این دلیل است که ما باید بتوانیم سطوح منحنی را که روی آنها هر لبه یک منحنی است، مثلث کنیم و ممکن است زاویه به 180 درجه اضافه نشود. شرط تقسیم بندی یک سطح به صورت مثلثی به شرح زیر است:

هر صورت (مثلث) دارای سه یال و سه رأس است. این بدان معناست که هر صورت به یک دیسک همومورف است.

هر لبه دو رأس دارد.

حداکثر یک واقعیت با سه رأس داده شده وجود دارد.

حداکثر یک یال با دو رأس داده شده وجود دارد.

تقسیم زیر سمت چپ یک مثلث چنبره نیست زیرا پس از شناسایی اضلاع مقابل، تنها یک راس وجود دارد.

زیربخش بالا نیز درست نیست، زیرا یال AB بعد از شناسایی فقط یک راس دارد. مثلث ABC نیز سه رأس مجزا ندارد. بخش فرعی زیر پس از شناسایی دارای دو مثلث A و B با رئوس یکسان است.

زیربخش زیر یک مثلث بندی احتمالی است.

منبع

https://astarmathsandphysics.com/university-maths-notes/topology/2396-triangulation-of-surfaces.html

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم آذر ۱۴۰۰ ساعت 4:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثلث ساده سیلندر و نوار موبیوس

این نمونه ای از آموزش سیمپلکس از کتاب M. Nakahara است. این مثال از سیمپلکس بدون جهت است. این را می گوید<پ0> ∪ <پ2>∪یک سیمپلکس نیست، چرا که نه، هر دو نقطه هستند و نقاط سیمپلکس معتبر هستند. من فرض می‌کنم که نکاتی که با هم جمع شده‌اند یک سیمپلکس را تشکیل نمی‌دهند.

برای بحث بیشتر، در زیر مثلث بندی نوار موبیوس آمده است.

(پ0پ1پ2) ⋂ (پ1پ4پ2) =پ1∪پ2∪ (پ1پ2)(p0p1p2)⋂(p1p4p2)=p1∪p2∪(p1p2)

اینجا هم دو امتیاز میگیرم (00-simplex) به شکل اتحادیه اما معتبر است، اما در نمودار اول نامعتبر است، چرا؟ تنها راهی که من می توانم آن را درک کنمپ1∪پ2∪ (پ1پ2) = (پ1پ2)p1∪p2∪(p1p2)=(p1p2)- آیا می توانیم چنین کارهایی را انجام دهیم. زیرا اگر اینطور باشد، ما در حال «اتحاد» سیمپلکس‌هایی با ابعاد مختلف و قرار دادن آن به صورت یک سیمپلکس واحد هستیم. اصلا معتبره؟

برای این (KK) به صورت مثلثی توجه داشته باشید که

اگر σσ و σ′σ′ دو ساده از KK، تقاطع σ∩σ′σ∩σ′هم خالی یا یک است صورت مشترک ازσσ و σ′σ′، یعنی اگر σ,σ′∈Kσ,σ′∈K سپس یا σ∩σ′=∅σ∩σ′=∅ یا σ∩σ′≤σσ∩σ′≤σ و σ∩σ′≤σ′σ∩σ′≤σ′

در این مثال σ∩σ=〈p0〉∪〈p2〉σ∩σ=〈p0〉∪〈p2〉. حق با شماست از این نظر که هر دو〈p0〉〈p0〉 و 〈p2〉〈p2〉به تنهایی ساده هستند. ولی 〈p0〉∪〈p2〉〈p0〉∪〈p2〉است نه چهره ای را از نه〈p0p1p2〉〈p0p1p2〉 یا 〈p2p3p0〉

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم آذر ۱۴۰۰ ساعت 4:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

آیا این مثلث بندی معتبر نوار موبیوس است؟

توضیحات تصویر را اینجا وارد کنید

https://math.stackexchange.com/questions/2673430/is-this-a-valid-triangulation-of-moebius-strip

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم آذر ۱۴۰۰ ساعت 4:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

زنجیره چند ضلعی

یک زنجیره چند ضلعی ساده

یک زنجیره چند ضلعی خود متقاطع

یک زنجیره چند ضلعی بسته

در هندسه ، یک زنجیره چند ضلعی یک سری به هم پیوسته از پاره خط است . بیشتر به طور رسمی، یک زنجیره چند ضلعی P است منحنی مشخص شده توسط یک دنباله از نقاط $(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})$ رئوس آن نامیده می شود . خود منحنی شامل بخش های خطی است که رئوس متوالی را به هم متصل می کند.

فهرست

نام [ ویرایش ]

زنجیره ای چند ضلعی نیز ممکن است نامیده می شود منحنی چند ضلعی ، [1] مسیر چند ضلعی ، [2] چندخطی ، [3] تکهای خطی منحنی ، [3] خط شکسته [4] و یا در سیستم های اطلاعات جغرافیایی ، یک linestring یا حلقه خطی . [5]

تغییرات [ ویرایش ]

یک زنجیره چند ضلعی ساده، زنجیره ای است که در آن فقط بخش های متوالی (یا اولین و آخرین) و فقط در نقاط انتهایی خود قطع می شوند.

یک زنجیره چند ضلعی بسته، زنجیره ای است که در آن راس اول با آخرین راس منطبق است، یا به طور متناوب، اولین و آخرین راس نیز توسط یک پاره خط به هم متصل می شوند. [6] یک زنجیره چند ضلعی بسته ساده در صفحه ، مرز یک چند ضلعی ساده است . اغلب اصطلاح " چند ضلعی " به معنای "زنجیره چند ضلعی بسته" استفاده می شود، اما در برخی موارد مهم است که بین یک ناحیه چند ضلعی و یک زنجیره چند ضلعی تمایز قائل شویم .

یک زنجیره چند ضلعی یکنواخت نامیده می شود ، اگر یک خط مستقیم L وجود داشته باشد به طوری که هر خط عمود بر L زنجیره را حداکثر یک بار قطع کند. هر زنجیره چند ضلعی یکنواخت غیر پیش پا افتاده باز است. در مقایسه، یک چند ضلعی یکنواخت یک چند ضلعی (یک زنجیره بسته) است که می تواند دقیقاً به دو زنجیره یکنواخت تقسیم شود. [7] نمودارهای توابع خطی تکه ای زنجیره های یکنواخت را نسبت به یک خط افقی تشکیل می دهند.

مجموعه ای از n = 17 نقطه دارای یک مسیر چند ضلعی با 4 شیب هم علامت است

خواص [ ویرایش ]

هر مجموعه از حداقل $n$ نقاط شامل یک مسیر چند ضلعی حداقل است $\lfloor {\sqrt {n-1}}\rfloor$ لبه هایی که در آنها همه شیب ها علامت یکسانی دارند. این نتیجه ای از قضیه Erdős-Szekeres است .

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

زنجیره های چند ضلعی اغلب می توانند برای تقریب منحنی های پیچیده تر استفاده شوند. در این زمینه، الگوریتم Ramer-Douglas-Peucker را می توان برای یافتن یک زنجیره چند ضلعی با چند بخش که به عنوان یک تقریب دقیق عمل می کند استفاده کرد. [8] [9]

در ترسیم نمودار ، زنجیره‌های چند ضلعی اغلب برای نشان دادن لبه‌های نمودارها استفاده می‌شوند، در سبک‌هایی که ترسیم لبه‌ها به‌عنوان بخش‌های خط مستقیم می‌تواند باعث تلاقی، برخورد لبه و رأس یا سایر ویژگی‌های نامطلوب شود. در این زمینه، اغلب خواسته می‌شود که لبه‌ها را با کمترین بخش و خم ممکن بکشیم تا از شلوغی بصری در نقاشی بکاهیم. مشکل به حداقل رساندن تعداد خم ها را به حداقل رساندن خم می گویند . [10]

زنجیره های چند ضلعی نیز یک نوع داده اساسی در هندسه محاسباتی هستند . برای مثال، یک محل نقطه الگوریتم لی و Preparata عمل توسط تجزیه دلخواه تقسیم بندی مسطح به صورت دنباله ای از زنجیره یکنواخت، که در آن یک مشکل نقطه محل جستجوهای ممکن است توسط حل جستجوی دودویی ؛ این روش بعداً برای ارائه محدودیت‌های زمانی بهینه برای مسئله مکان نقطه اصلاح شد. [11]

با سیستم اطلاعات جغرافیایی ، رشته‌های خطی ممکن است هر هندسه خطی را نشان دهند و می‌توانند با استفاده از نشانه‌گذاری متن شناخته شده به صورت a LineStringیا توصیف شوند MultiLineString. [5] حلقه های خطی (یا LinearRing) زنجیره های چند ضلعی بسته و ساده ای هستند که برای ساختن هندسه های چند ضلعی استفاده می شوند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

زنجیره (توپولوژی جبری) ، ترکیبی رسمی از سادگی ها که در حالت یک بعدی شامل زنجیره های چند ضلعی است.
منحنی مرکب بزیه ، یک تعمیم که هر خط مستقیم از یک زنجیره چند ضلعی را با یک منحنی صاف جایگزین می‌کند.
فاصله پیوند ، تعداد بخش‌هایی از کوتاه‌ترین زنجیره که دو نقطه را در یک چند ضلعی به هم پیوند می‌دهد
رگرسیون تکه ای
مسیر (نظریه گراف) ، مفهومی مشابه در نمودارهای انتزاعی
زمین چند وجهی، تعمیم سه بعدی یک زنجیره چند ضلعی یکنواخت
Spirangle ، یک زنجیره چند ضلعی مارپیچی
عدد استیک ، یک گره ثابت بر اساس نشان دادن یک گره به عنوان یک زنجیره چند ضلعی بسته
تراورس ، کاربرد در نقشه برداری

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Polygonal_chain

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و پنجم آذر ۱۴۰۰ ساعت 7:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 2:مرز مجتمع های سادکها

Lecture 5 Triangulations simplicial complexes and cell complexes

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و پنجم آذر ۱۴۰۰ ساعت 7:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

🔹 کره به‌عنوان شیء توپولوژیک

🔹 جبر متناظر با کره

✨ جمع‌بندی

🔹 شرایط تشکیل توپولوژی جبری

🔹 نمونه‌های کلاسیک

🔹 کاربردها

تغییرات در تعریف [ ویرایش ]

چند وجهی کسازار و سیلاسی [ ویرایش ]

Stewart toroids [ ویرایش ]

چند وجهی خود عبوری [ ویرایش ]

چند وجهی تاج [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

مجموعه بسته

تعاریف معادل [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر درباره مجموعه های بسته [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

تبدیل بین مختصات باریسنتریک و سه خطی [ ویرایش ]

معادلات در مختصات باریسنتریک [ ویرایش ]

فاصله بین نقاط [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

نمونه هایی از نکات ویژه [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک روی چهار وجهی [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک تعمیم یافته [ ویرایش ]

انتزاع [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_coordinate_system

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

رابطه با مختصات دکارتی یا وابسته [ ویرایش ]

رابطه با مختصات تصویری [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک روی مثلث ها [ ویرایش ]

تبدیل بین مختصات باریسنتریک و دکارتی [ ویرایش ]

فهرست

آثار [ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منابع

فهرست

تعریف و فرمول های معادل [ ویرایش ]

بحث غیررسمی [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منابع

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

فهرست

شخصیت پردازی [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

قضیه ودربرن [ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

فهرست

خواص [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ترکیب بندی ها [ ویرایش ]

هموگرافی [ ویرایش ]

دوگانگی صفحه [ ویرایش ]

همبستگی ها [ ویرایش ]

صفحات تصویری متناهی [ ویرایش ]

صفحات پرتاب کننده در فضاهای پرتابی با ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ساخت فضای برداری [ ویرایش ]

نمونه های کلاسیک [ ویرایش ]

صفحات میدان محدود [ ویرایش ]

قضیه دسارگ و صفحات دسارگوزی [ ویرایش ]

فضاهای فرعی [ ویرایش ]

فضاهای فرعی فانو [ ویرایش ]

فضاهای افین [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

صفحه اقلیدسی توسعه یافته [ ویرایش ]

فضای مولتون پروجکتیو [ ویرایش ]