ریاضیات

​

ساختار جبری ← نظریه گروه نظریه گروه
نشان می دهد مفاهیم اساسی
نشان می دهد گروه های محدود
نشان می دهد گروه های گسسته مشبک
پنهان شدن گروه های توپولوژیکی و لی شیر برقی دایره GL خطی عمومی ( n ) SL خطی ویژه ( n ) O( n ) متعامد اقلیدسی E( n ) SO( n ) متعامد ویژه واحد U( n ) SU ( n ) واحد ویژه Sp( n ) Symplectic G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 لورنتس پوانکاره منسجم دیفئومورفیسم حلقه گروه لی با ابعاد بی نهایت O(∞) SU (∞) Sp(∞)
نشان می دهد گروه های جبری
v تی ه

هندریک آنتون لورنتس (1853–1928) که گروه لورنتس به نام او نامگذاری شده است.

در فیزیک و ریاضیات ، گروه لورنتس ، گروهی از تمام تبدیل‌های لورنتس در فضازمان مینکوفسکی است، محیط کلاسیک و کوانتومی برای همه پدیده‌های فیزیکی (غیر گرانشی) . گروه لورنتس به نام فیزیکدان هلندی هندریک لورنتس نامگذاری شده است .

به عنوان مثال، قوانین، معادلات و نظریه های زیر به تقارن لورنتس احترام می گذارند:

• قوانین سینماتیکی نسبیت خاص
• معادلات میدان ماکسول در نظریه الکترومغناطیس
• معادله دیراک در نظریه الکترون
• مدل استاندارد فیزیک ذرات

گروه لورنتس تقارن بنیادی مکان و زمان همه قوانین اساسی شناخته شده طبیعت را بیان می کند . در مناطق به اندازه کافی کوچک از فضازمان که واریانس های گرانشی ناچیز است، قوانین فیزیکی مانند نسبیت خاص تغییر ناپذیر لورنتس هستند.

فهرست

• 1خواص اساسی
  • 1.1اجزای متصل
• 2گروه لورنتس محدود
  • 2.1سطوح گذر
    • 2.1.1به عنوان فضاهای متقارن
  • 2.2نمایندگی های گروه لورنتس
• 3هممورفیسم ها و ایزومورفیسم ها
  • 3.1نمایندگی ویل
  • 3.2قراردادهای نمادین
    • 3.2.1اثبات
  • 3.3گروه سمپلتیک
• 4گروه های پوشش دهنده
• 5توپولوژی
• 6کلاس های مزدوج
  • 6.1بیضوی
  • 6.2هایپربولیک
  • 6.3لوکسودرومیک
  • 6.4سهموی
  • 6.5ظاهر آسمان شب
    • 6.5.1هندسه فرافکنی و نماهای مختلف از 2 کره
• 7جبر لی
  • 7.1روابط کموتاسیون جبر لورنتس
  • 7.2مولدهای تقویت و چرخش
  • 7.3ژنراتورهای گروه موبیوس
    • 7.3.1مثال کار شده: چرخش حول محور y
• 8زیر گروه های گروه لورنتس
• 9تعمیم به ابعاد بالاتر
• 10همچنین ببینید
• 11یادداشت
• 12منابع
• 13لیست خواندن

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

گروه لورنتس زیرگروهی از گروه پوانکاره است - گروهی از همه ایزومتریک‌های فضازمان مینکوفسکی . تبدیل‌های لورنتس دقیقاً ایزومتری‌هایی هستند که مبدا را ثابت می‌گذارند. بنابراین، گروه لورنتس زیرگروه ایزوتروپی از گروه ایزومتریک فضازمان مینکوفسکی است. به همین دلیل، گروه لورنتس را گاهی گروه لورنتس همگن می نامند، در حالی که گروه پوانکاره را گاهی گروه لورنتس ناهمگن می نامند . تبدیل های لورنتس نمونه هایی از تبدیل های خطی هستند . ایزومتریک های کلی فضازمان مینکوفسکی تبدیل های وابسته هستند. از نظر ریاضی، گروه لورنتس ممکن است به عنوان گروه متعامد نامعین O (1،3) توصیف شود، گروه Lie ماتریسی که شکل درجه دوم را حفظ می کند.

بر(فضای برداری مجهز به این فرم درجه دوم گاهی نوشته می شود). این شکل درجه دوم، هنگامی که در فرم ماتریس قرار می گیرد (به گروه متعامد کلاسیک مراجعه کنید )، در فیزیک به عنوان تانسور متریک فضازمان مینکوفسکی تفسیر می شود.

گروه لورنتز یک گروه لی واقعی غیرآبلین غیر فشرده شش بعدی است که متصل نیست . چهار جزء متصل به سادگی به هم متصل نیستند. [1] مؤلفه هویت ( یعنی مؤلفه حاوی عنصر هویت) گروه لورنتس خود یک گروه است و اغلب گروه لورنتس محدود نامیده می شود و SO + (1،3) نشان داده می شود. گروه محدود شده لورنتس متشکل از آن دگرگونی های لورنتس است که هم جهت مکان و هم جهت زمان را حفظ می کند. گروه بنیادی آن دارای مرتبه 2 و پوشش جهانی آن، گروه اسپین نامعین Spin(1,3) است که هم برای گروه خطی ویژه SL(2, C ) و هم برای گروه Sp(2, C ) هم شکل است. این ایزومورفیسم ها به گروه لورنتس اجازه می دهد تا بر روی تعداد زیادی از ساختارهای ریاضی مهم برای فیزیک، به ویژه اسپینورها ، عمل کند. بنابراین، در مکانیک کوانتومی نسبیتی و در نظریه میدان کوانتومی ، بسیار متداول است که SL(2, C ) را گروه لورنتس بنامیم، با این درک که SO + (1،3) یک نمایش خاص (نمایش برداری) آن است. . دو کواترنیون هاکه در جبر هندسی رایج است ، به SL(2, C ) هم شکل هستند.

گروه لورنتس محدود نیز به عنوان گروه تقارن نقطه ای یک معادله دیفرانسیل معمولی مشخص می شود. [ کدام؟ ]

اجزای متصل [ ویرایش ]

مخروط نور در فضای دو بعدی به اضافه یک بعد زمانی.

از آنجا که یک گروه Lie است ، گروه لورنتس O(1،3) هم یک گروه است و هم توصیف توپولوژیکی را به عنوان یک منیفولد صاف می پذیرد . به عنوان یک منیفولد، دارای چهار جزء متصل است. به طور شهودی، این بدان معنی است که از چهار قطعه جدا شده از نظر توپولوژیکی تشکیل شده است.

چهار جزء متصل را می توان با دو ویژگی تبدیلی که عناصر آن دارند طبقه بندی کرد:

• برخی از عناصر تحت تبدیل‌های لورنتس معکوس‌کننده زمان معکوس می‌شوند، برای مثال، یک بردار زمان‌نمای آینده به یک بردار اشاره‌دار گذشته معکوس می‌شود.
• جهت گیری برخی از عناصر با تبدیل نادرست لورنتس معکوس شده است ، به عنوان مثال، برخی از ویربین ها (تترادها)

تبدیل های لورنتس که جهت زمان را حفظ می کنند نامیده می شوندمتعامد . زیر گروه تبدیل های متعامد اغلب O+(1، 3) نشان داده می شود. آنهایی که جهت گیری را حفظ میمناسبو به عنوان تبدیل های خطی دارای تعیین +1 هستند. (تبدیل های نامناسب لورنتس دارای تعیین کننده -1 هستند.) زیرگروه تبدیل های لورنتس مناسب SO (1, 3) نشان داده می شود.

زیرگروه همه تبدیل‌های لورنتس که هم جهت و هم جهت زمان را حفظ می‌کنند، گروه لورنتس مناسب و متعامد یا گروه لورنتس محدود نامیده می‌شوند و با SO + (1، 3) نشان داده می‌شوند. (توجه داشته باشید که برخی از نویسندگان به SO(1,3) یا حتی O(1,3) اشاره می کنند که در واقع به معنای SO + (1, 3) هستند).

مجموعه ای از چهار جزء متصل را می توان یک ساختار گروهی به عنوان گروه بهره O(1, 3)/SO + (1, 3) داد که با چهار گروه کلاین هم شکل است . هر عنصر در O(1،3) را می توان به عنوان حاصلضرب نیمه مستقیم یک تبدیل مناسب و متعامد و عنصری از گروه گسسته نوشت.

{1، P ، T ، PT }

که در آن P و T عملگرهای برابری و معکوس زمان هستند :

P = دیاگ (1، -1، -1، -1)

T = دیاگ (-1، 1، 1، 1).

بنابراین یک تبدیل دلخواه لورنتس را می توان به عنوان یک تبدیل لورنتس مناسب و متعامد به همراه دو بیت دیگر از اطلاعات، که یکی از چهار مؤلفه متصل را انتخاب می کند، مشخص کرد. این الگو برای گروه‌های Lie با ابعاد محدود است.

​