ریاضیات | مکانیک تحلیلی

2-اپراتور (فیزیک)

نقشه نمایی

کل گروه ممکن است تحت شرایط عادی از ژنراتورها از طریق نقشه نمایی بازیابی شود . در مورد ترجمه ها، ایده به این صورت عمل می کند.

ترجمه برای یک مقدار محدود ازالف $a$ ممکن است با استفاده مکرر از ترجمه بی نهایت کوچک به دست آید:

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)$

با⋯ $\cdots$ ایستاده برای برنامه $N$ بارها اگر $N$ بزرگ است، هر یک از عوامل ممکن است بی نهایت کوچک در نظر گرفته شوند:

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).$

اما این حد ممکن است به صورت نمایی بازنویسی شود:

$T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).$

برای متقاعد شدن به اعتبار این عبارت رسمی، ممکن است نمایی را در یک سری توانی بسط دهیم :

$T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3! }+\cdots \right)f(x).$

سمت راست ممکن است بازنویسی شود

$f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!} }f^{(3)}(x)+\cdots$

که فقط بسط تیلور است $f(xa)$ ، که ارزش اصلی ما برای آن بود $T_{a}f(x)$ .

ویژگی های ریاضی عملگرهای فیزیکی به خودی خود موضوعی بسیار مهم است. برای اطلاعات بیشتر، جبر C* و قضیه Gelfand-Naimark را ببینید .

عملگرها در مکانیک کوانتومی

[ ویرایش ]

فرمول ریاضی مکانیک کوانتومی (QM) بر اساس مفهوم عملگر ساخته شده است.

حالات خالص فیزیکی در مکانیک کوانتومی به صورت بردارهای واحد هنجار (احتمالات به یک نرمال می شوند) در فضای پیچیده هیلبرت نشان داده می شوند . تکامل زمانی در این فضای برداری با استفاده از عملگر تکامل داده می شود .

هر مقدار قابل مشاهده ، یعنی هر کمیتی که می تواند در یک آزمایش فیزیکی اندازه گیری شود، باید با عملگر خطی خود الحاقی مرتبط باشد . عملگرها باید مقادیر ویژه واقعی را ارائه دهند ، زیرا آنها مقادیری هستند که ممکن است در نتیجه آزمایش به دست آیند. از نظر ریاضی این بدان معناست که عملگرها باید هرمیتی باشند . [ 1 ] احتمال هر مقدار ویژه مربوط به نمایش حالت فیزیکی در زیر فضای مربوط به آن مقدار ویژه است. برای جزئیات ریاضی در مورد عملگرهای Hermitian به زیر مراجعه کنید.

در فرمول مکانیک موج QM، تابع موج با مکان و زمان، یا به طور معادل تکانه و زمان تغییر می کند ( برای جزئیات ، مکان و فضای تکانه را ببینید)، بنابراین قابل مشاهده ها عملگرهای دیفرانسیل هستند .

در فرمول مکانیک ماتریس ، هنجار حالت فیزیکی باید ثابت بماند، بنابراین عملگر تکامل باید واحد باشد و عملگرها را می توان به عنوان ماتریس نشان داد. هر تقارن دیگری، نگاشت یک حالت فیزیکی به حالت دیگر، باید این محدودیت را حفظ کند.

تابع موج

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع موج

تابع موج باید مربع انتگرال پذیر باشد (به فضاهای L p مراجعه کنید )، به این معنی:

$\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\ mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty$

و قابل عادی سازی، به طوری که:

$\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1$

دو مورد از حالت های ویژه (و مقادیر ویژه) عبارتند از:

برای حالت های ویژه گسسته $|\psi _{i}\rangle$ یک مبنای گسسته را تشکیل می دهد، بنابراین هر حالتی یک جمع است $|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle$ که در آن c i اعداد مختلط هستند به طوری که | c i | 2 = c i * c i احتمال اندازه گیری حالت است $|\phi _{i}\rangle$ ، و مجموعه مربوط به مقادیر ویژه a i نیز گسسته است - یا متناهی یا قابل شمارش نامتناهی . در این حالت، حاصل ضرب درونی دو حالت ویژه توسط $\langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}$ ، کجا $\delta _{mn}$ دلتای کرونکر را نشان می دهد . با این حال،
برای زنجیره ای از حالت های ویژه $|\psi _{i}\rangle$ هر حالتی که یک پایه پیوسته را تشکیل می دهد، یک انتگرال است $|\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle$ که در آن c ( φ ) یک تابع پیچیده است به طوری که | ج (φ)| 2 = c (φ) * c (φ) احتمال اندازه گیری حالت است $|\phi \rangle$ ، و مجموعه ای نامتناهی از مقادیر ویژه a وجود دارد . در این حالت، حاصلضرب داخلی دو حالت ویژه به صورت تعریف می شود $\langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')$ ، اینجا کجاست $\delta (xy)$ دلتای دیراک را نشان می دهد .

عملگرهای خطی در مکانیک موجی

[ ویرایش ]

مقالات اصلی: تابع موج و نماد Bra-ket

فرض کنید ψ تابع موج یک سیستم کوانتومی باشد، و ${\hat {A}}$ هر عملگر خطی برای A قابل مشاهده باشد (مانند موقعیت، تکانه، انرژی، تکانه زاویه ای و غیره). اگر ψ یک تابع ویژه از عملگر باشد ${\hat {A}}$ ، سپس

${\hat {A}}\psi =a\psi ,$

که در آن a مقدار ویژه عملگر است که مربوط به مقدار اندازه گیری شده قابل مشاهده است، یعنی قابل مشاهده A دارای مقدار اندازه گیری شده a است .

اگر ψ یک تابع ویژه از یک عملگر معین باشد ${\hat {A}}$ ، آنگاه یک کمیت معین (مقدار ویژه a ) مشاهده می شود اگر اندازه گیری قابل مشاهده A روی حالت ψ انجام شود . برعکس، اگر ψ تابع ویژه ای از ${\hat {A}}$ ، پس هیچ مقدار ویژه ای برای آن ندارد ${\hat {A}}$ و قابل مشاهده در آن حالت یک مقدار معین واحد ندارد. در عوض، اندازه‌گیری‌های A قابل مشاهده، هر مقدار ویژه را با احتمال معینی به دست می‌آورد (مرتبط با تجزیه ψ نسبت به پایه ویژه متعارف ${\hat {A}}$ ).

در نماد bra–ket موارد فوق را می توان نوشت.

${\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{تراز شده}}$

که مساوی هستند اگر|ψ〉 $\left|\psi \right\rangle$ بردار ویژه یا Eigenket از A قابل مشاهده است .

به دلیل خطی بودن، بردارها را می توان در ابعاد مختلف تعریف کرد، زیرا هر جزء از بردار به طور جداگانه بر روی تابع عمل می کند. یک مثال ریاضی عملگر del است که خود یک بردار است (در عملگرهای کوانتومی مربوط به حرکت، در جدول زیر مفید است).

یک عملگر در فضای n بعدی را می توان نوشت:

$\mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}$

که در آن e j بردارهای پایه مربوط به هر عملگر جزء A j هستند . هر جزء یک مقدار ویژه مربوطه را به دست می دهد $a_{j}$ . عمل کردن بر روی تابع موج ψ :

$\mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j} \right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)$

که در آن استفاده کرده ایم

${\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .$

در نماد bra–ket:

${\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \ left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A }}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\راست) \psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{تراز شده}}$

جابجایی عملگرها در Ψ

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: Commutator

اگر دو قابل مشاهده A و B دارای عملگرهای خطی باشند ${\hat {A}}$ و ${\hat {B}}$ ، کموتاتور با تعریف شده است،

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

کموتاتور خودش یک عملگر (کامپوزیت) است. عمل کموتاتور بر روی ψ به دست می دهد:

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B} }{\hat {A}}\psi .$

اگر ψ یک تابع ویژه با مقادیر ویژه a و b به ترتیب برای مشاهده پذیرهای A و B باشد ، و اگر عملگرها رفت و آمد کنند:

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,$

سپس مشاهده پذیرهای A و B را می توان به طور همزمان با دقت بی نهایت اندازه گیری کرد، یعنی عدم قطعیت $\Delta A=0$ ،

$\Delta B=0$ به طور همزمان سپس گفته می شود که ψ تابع ویژه A و B است. برای نشان دادن این موضوع:

${\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{تراز شده}}$

نشان می دهد که اندازه گیری A و B باعث تغییر حالت نمی شود، یعنی حالت های اولیه و نهایی یکسان هستند (بدون اختلال در اثر اندازه گیری). فرض کنید A را اندازه می گیریم تا مقدار a را بدست آوریم. سپس B را اندازه گیری می کنیم تا مقدار b را بدست آوریم. دوباره A را اندازه می گیریم. ما همچنان همان مقدار a را دریافت می کنیم. واضح است که حالت ( ψ ) سیستم از بین نمی رود و بنابراین می توانیم A و B را به طور همزمان با دقت بی نهایت اندازه گیری کنیم.

اگر اپراتورها رفت و آمد نکنند:

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,$

آنها نمی توانند به طور همزمان با دقت دلخواه آماده شوند و یک رابطه عدم قطعیت بین موارد مشاهده وجود دارد.

$\Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|$

حتی اگر ψ یک تابع ویژه باشد، رابطه فوق برقرار است. جفت های قابل توجه عبارتند از روابط عدم قطعیت موقعیت و تکانه و انرژی و زمان، و لحظه زاویه ای (اسپین، مداری و کل) در مورد هر دو محور متعامد (مانند L x و L y ، یا s y و s z و غیره). .). [ 2 ]

+ نوشته شده در سه شنبه سیزدهم آذر ۱۴۰۳ ساعت 1:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-اپراتور (فیزیک)

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

عملگر تابعی است که روی فضایی از حالت‌های فیزیکی روی فضای دیگری از حالت‌ها قرار می‌گیرد . ساده ترین مثال از کاربرد عملگرها مطالعه تقارن است (که مفهوم گروه را در این زمینه مفید می کند). به همین دلیل، آنها ابزارهای مفیدی در مکانیک کلاسیک هستند . عملگرها در مکانیک کوانتومی اهمیت بیشتری دارند ، جایی که آنها بخشی ذاتی از فرمول‌بندی نظریه را تشکیل می‌دهند.

اپراتورها در مکانیک کلاسیک

[ ویرایش ]

در مکانیک کلاسیک، حرکت یک ذره (یا سیستم ذرات) به طور کامل توسط لاگرانژ تعیین می شود. $L(q,{\dot {q}},t)$ یا معادل همیلتونی $H(q,p,t)$ تابعی از مختصات تعمیم یافته q , سرعت های تعمیم یافته ${\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t$ و لحظه ی مزدوج آن :

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$

اگر L یا H مستقل از یک مختصات تعمیم‌یافته q باشد ، به این معنی که L و H با تغییر q تغییر نمی‌کنند ، که به نوبه خود به این معنی است که دینامیک ذره حتی زمانی که q تغییر می‌کند همچنان یکسان است، لحظه‌های مربوطه با آن‌ها مزدوج می‌شوند. مختصات حفظ خواهند شد (این بخشی از قضیه نوتر است و تغییرناپذیری حرکت نسبت به مختصات q یک تقارن است ). عملگرها در مکانیک کلاسیک با این تقارن ها مرتبط هستند.

از نظر فنی تر، وقتی H تحت عمل گروه خاصی از تبدیلات G ثابت است :

$S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)$ .

عناصر G عملگرهای فیزیکی هستند که حالت های فیزیکی را بین خود ترسیم می کنند.

جدول اپراتورهای مکانیک کلاسیک

[ ویرایش ]

دگرگونی	اپراتور	موقعیت	تکانه
تقارن ترجمه ای	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
تقارن ترجمه زمان	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\right arrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\right arrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
تغییر ناپذیری چرخشی	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta)\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta)\mathbf {p}$
تحولات گالیله	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
برابری	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
تقارن T	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

کجا $R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )$ ماتریس چرخش حول محوری است که توسط بردار واحد تعریف شده است ${\hat {\boldsymbol {n}}}$ و زاویه θ .

ژنراتورها

[ ویرایش ]

اگر تبدیل بی نهایت کوچک باشد ، عمل عملگر باید به شکل باشد

$I+\epsilon A,$

کجا $I$ اپراتور هویت است، $\epsilon$ یک پارامتر با مقدار کمی است و $A$ به تبدیل در دست بستگی دارد و مولد گروه نامیده می شود . مجدداً، به عنوان یک مثال ساده، مولد ترجمه های فضایی در توابع 1 بعدی را استخراج خواهیم کرد.

همانطور که بیان شد، $T_{a}f(x)=f(xa)$ . اگر $a=\epsilon$ بی نهایت کوچک است، پس ممکن است بنویسیم

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).$

این فرمول ممکن است به صورت بازنویسی شود

$T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)$

کجا $D$ مولد گروه ترجمه است که در این مورد عملگر مشتق است . بنابراین گفته می شود که مولد ترجمه ها مشتق است.

+ نوشته شده در سه شنبه سیزدهم آذر ۱۴۰۳ ساعت 1:16 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ضرب سه گانه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد عملیات سه تایی بردار است. برای کاربردهای دیگر، ضرب سه گانه (ابهام‌زدایی) را ببینید .

"حجم امضا شده" به اینجا هدایت می شود. برای کتاب‌های امضا شده، به Bibliophilia مراجعه کنید .

در هندسه و جبر ، حاصل ضرب سه گانه حاصلضرب سه بردار 3 بعدی ، معمولاً بردارهای اقلیدسی است . نام "ضرب سه گانه" برای دو ضرب مختلف استفاده می شود، حاصل ضرب سه گانه اسکالر با ارزش و در موارد کمتر، حاصلضرب سه گانه برداری با ارزش برداری .

ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنند

حاصل ضرب سه گانه اسکالر ( همچنین به نام ضرب مخلوط ، ضرب جعبه یا حاصل ضرب اسکالر سه گانه ) به عنوان حاصل ضرب نقطه ای یکی از بردارها با ضرب ضربدر دو بردار دیگر تعریف می شود .

تفسیر هندسی

از نظر هندسی، حاصل ضرب سه گانه اسکالر

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

حجم (نشانه دار) متوازی الاضلاع است که توسط سه بردار داده شده تعریف شده است.

خواص

حاصل ضرب سه گانه اسکالر تحت یک جابجایی دایره ای از سه عملوند آن ( a , b , c ) بدون تغییر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )$
تعویض موقعیت عملگرها بدون مرتب کردن مجدد عملوندها، ضرب سه گانه را بدون تغییر باقی می گذارد. این از ویژگی قبلی و ویژگی جابجایی حاصلضرب نقطه است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$
مبادله هر دو از سه عملوند، حاصلضرب سه گانه را نفی می کند . این از خاصیت جابجایی دایره ای و ضد جابجایی ضرب متقاطع به دست می آید:
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{تراز شده}}$
حاصلضرب سه‌گانه اسکالر را می‌توان به‌عنوان دترمینان ماتریس 3 × 3 که دارای سه بردار یا به‌عنوان ردیف‌ها یا ستون‌هایش است، درک کرد (یک ماتریس همان تدترمینانی دارد که جابه‌جایی آن است ):
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1 }&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{ 1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.$
اگر حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر با صفر باشد، سه بردار a ، b و c همسطح هستند ، زیرا متوازی الاضلاع تعریف شده توسط آنها مسطح است و حجم ندارد.
اگر هر دو بردار در حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر باشند، مقدار آن صفر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0$
همچنین:
$(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$
حاصل ضرب ساده دو ضرب سه گانه (یا مربع حاصلضرب سه گانه)، ممکن است برحسب حاصلضرب نقطه بسط داده شود: [1]

$((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\ \mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf { d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}$

این در نماد برداری دوباره بیان می کند که حاصل ضرب عوامل دترمینان دو ماتریس 3×3 برابر با دترمینان حاصلضرب ماتریس آنها است. به عنوان یک مورد خاص، مربع یک ضرب سه گانه یک دترمینان گرم است .

نسبت حاصلضرب سه گانه و حاصل ضرب سه هنجار بردار به عنوان سینوس قطبی شناخته می شود :

${\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} } \|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$

که بین ۱- و ۱ متغیر است.

اسکالر یا شبه اسکالر

اگرچه حاصل ضرب سه گانه اسکالر حجم متوازی الاضلاع را می دهد، اما این حجم علامت گذاری شده است، علامت بسته به جهت قاب یا برابری جایگشت بردارها است. این بدان معنی است که اگر جهت گیری معکوس شود، برای مثال با تبدیل برابری ، ضرب نفی می شود ، و بنابراین اگر جهت گیری بتواند تغییر کند، به طور صحیح تر به عنوان یک شبه مقیاس توصیف می شود.

این همچنین به دست بودن ضرب متقاطع مربوط می شود . حاصلضرب متقاطع به عنوان یک شبه بردار تحت تبدیل های برابری تبدیل می شود و بنابراین به درستی به عنوان شبه بردار توصیف می شود. حاصلضرب نقطه ای دو بردار یک عددی است اما حاصلضرب نقطه ای یک بردار کاذب و یک بردار یک شبه مقیاس است، بنابراین حاصلضرب سه گانه اسکالر (بردارها) باید ارزش شبه مقیاسی داشته باشد.

اگر T یک چرخش مناسب است پس

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})$

اما اگر T یک چرخش نامناسب است ، پس

$\mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c}).$

تراکم اسکالر یا اسکالر

به بیان دقیق، یک اسکالر تحت یک تبدیل مختصات به هیچ وجه تغییر نمی کند. (به عنوان مثال، ضریب 2 که برای دو برابر کردن یک بردار استفاده می شود، اگر بردار در مختصات کروی در مقابل مستطیل باشد، تغییر نمی کند.) با این حال، اگر هر بردار توسط یک ماتریس تبدیل شود، حاصل ضرب سه گانه در نهایت در دترمینان ضرب می شود. ماتریس تبدیل، که می تواند برای یک غیر چرخشی کاملاً دلخواه باشد. یعنی ضرب سه گانه به طور صحیح تر به عنوان چگالی اسکالر توصیف می شود .

به عنوان یک ضرب بیرونی

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را پوشانده اند، حاصلضرب سه برابری برابر با حجم آن دارند. (اما مراقب باشید جهت فلش های این نمودار نادرست باشد.)

در جبر بیرونی و جبر هندسی حاصلضرب بیرونی دو بردار دو بردار است در حالی که حاصلضرب بیرونی سه بردار یک سه بردار است . یک دوبردار یک عنصر صفحه جهت‌دار و یک سه بردار یک عنصر حجمی جهت‌دار است، همانطور که یک بردار یک عنصر خط جهت‌دار است.

با توجه به بردارهای a ، b و c ، حاصلضرب

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$

یک سه بردار با بزرگی برابر با حاصل ضرب سه گانه اسکالر است، یعنی

$|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})|$ ،

و Hodge دوگانه حاصلضرب سه گانه اسکالر است. از آنجایی که ضرب بیرونی، براکت های ارتباطی است، نیازی نیست، زیرا مهم نیست که کدام یک از a ∧ b یا b ∧ c ابتدا محاسبه می شود، اگرچه ترتیب بردارها در ضرب مهم است. از نظر هندسی سه بردار a ∧ b ∧ c مربوط به متوازی الاضلاع است که توسط a , b و c امتداد یافته است ، با دو بردار a ∧ b , b ∧ c و a ∧ c با وجوه متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع مطابقت دارند .

به عنوان یک تابع سه خطی

حاصل ضرب سه گانه با فرم حجمی فضای 3 اقلیدسی که از طریق حاصلضرب داخلی به بردارها اعمال می شود، یکسان است . همچنین می توان آن را به صورت انقباض بردارها با تانسور رتبه-3 معادل شکل (یا شبه تانسور معادل شبه شکل حجمی) بیان کرد. زیر را ببینید .

ضرب سه گانه برداری

حاصلضرب سه گانه برداری به صورت حاصلضرب متقاطع یک بردار با حاصلضرب دو بردار دیگر تعریف می شود . رابطه زیر برقرار است:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a } \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$ .

این به عنوان توسعه ضرب سه گانه یا فرمول لاگرانژ شناخته می شود ، [2] [3] اگرچه نام دوم برای چندین فرمول دیگر نیز استفاده می شود . سمت راست آن را می توان با استفاده از یادداشت "ACB - ABC" به خاطر آورد، مشروط بر اینکه در نظر داشته باشید که کدام بردارها با هم نقطه چین شده اند. یک مدرک در زیر ارائه شده است . برخی از کتاب های درسی اتحاد را به عنوان $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ به طوری که یک یادگاری آشناتر "BAC - CAB" به دست می آید، مانند "پشت کابین".

از آنجایی که ضرب متقاطع ضد جابجایی است، این فرمول ممکن است (تا جایگشت حروف) نیز به صورت زیر نوشته شود:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-( \mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b}$

از فرمول لاگرانژ چنین استنباط می شود که حاصلضرب سه گانه بردار برآورده می شود:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf { c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}$

که اتحاد ژاکوبی برای ضرب متقاطع است. فرمول مفید دیگری به شرح زیر است:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf { b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

این فرمول ها در ساده کردن محاسبات برداری در فیزیک بسیار مفید هستند . یک اتحاد مرتبط با شیب ها و مفید در محاسبات برداری، فرمول لاگرانژ اتحاد متقابل بردار است: [4]

${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A}$

این را می توان به عنوان یک مورد خاص از عملگر عمومی تر Laplace-de Rham نیز در نظر گرفت $\Delta =d\delta +\delta d$ .

اثبات

را $x$ جزئی از $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ از رابطه زیر بدست می آید:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf { v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}( \mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\ mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf { u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u } _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{تراز شده}}$

به طور مشابه، $y$ و $z$ اجزای $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ توسط:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v } \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{تراز شده}}$

با ترکیب این سه جزء به دست می آید:

$\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf { u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w}$ [5]

استفاده از جبر هندسی

اگر از جبر هندسی استفاده شود، حاصل ضرب متقاطع b × c بردارها به صورت حاصلضرب بیرونی b ∧ c ، یک دوبردار بیان می شود . دومین ضرب متقاطع را نمی توان به عنوان یک ضرب بیرونی بیان کرد، در غیر این صورت حاصل ضرب سه گانه اسکالر ایجاد می شود. در عوض می توان از انقباض چپ [6] استفاده کرد، بنابراین فرمول تبدیل به [7] می شود.

${\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\ mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{تراز شده}}$

اثبات از خواص انقباض حاصل می شود. [6] نتیجه همان بردار محاسبه شده با استفاده از × ( b × c ) است.

تفاسیر

حساب تانسور

در نماد تانسور ، حاصل ضرب سه گانه با استفاده از نماد لوی-سویتا بیان می شود : [8]

$\mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m }b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},$

با اشاره به $i$ -امین جزء بردار حاصل. این را می توان با انجام یک انقباض بر روی نمادهای لوی-سویتا ساده کرد . $\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,$ جایی که $\delta _{j}^{i}$ تابع دلتای کرونکر است ( $\delta _{j}^{i}=0$ چه زمانی $i\neq j$ و $\delta _{j}^{i}=1$ چه زمانی $i=j$ ) و $\delta _{ij}^{\ell m}$ تابع دلتای کرونکر تعمیم یافته است . ما می‌توانیم این اتحاد را با تشخیص این شاخص مشخص کنیم $k$ صرفا خروج خلاصه خواهد شد $i$ و $j$ . در ترم اول تعمیر می کنیم $i=l$ و بنابراین $j=m$ . به همین ترتیب در ترم دوم اصلاح می کنیممن $i=m$ و بنابراین $l=j$ .

بازگشت به ضرب متقاطع سه گانه،

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i} c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.$

حساب برداری

انتگرال شار میدان برداری را در نظر بگیریداف $\mathbf {F}$ در سراسر سطح پارامتریک تعریف شده است $S=\mathbf {r} (u,v)$ : ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$ . بردار واحد نرمال ${\hat {\mathbf {n} }}$ به سطح داده شده توسط ${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v} |}}}$ بنابراین انتگرال ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ یک ضرب سه گانه اسکالر است.

این بخش نیاز به گسترش دارد . می توانید با افزودن به آن کمک کنید . ( ژانویه 2014 )

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم فروردین ۱۴۰۳ ساعت 9:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-مکانیک لاگرانژی

خاص، لاگرانژ شکل دیگری به خود می گیرد، که می توانید در اینجا اطلاعات بیشتری درباره آن بخوانید .

اصل عمل ثابت، به طور شهودی چیست؟

پیش از این، من توضیح دادم که عمل چیست (کمیتی که یک مسیر خاص را در فضا و زمان توصیف می کند). اکنون می خواهم بررسی کنم که اصل عمل ثابت در واقع به چه معناست.

بعداً خواهیم دید که چگونه به معادلات اویلر-لاگرانژ منتهی می شود ، که اساساً معادل قانون دوم نیوتن، F=ma است.

اول از همه، عمل به عنوان این انتگرال در طول زمان تعریف می‌شود، که به طور شهودی می‌توان با «تقسیم» مسیر به قطعات کوچک به شکل Ldt (مقدار L لاگرانژی در یک بازه زمانی کوچک dt؛ این Ldt-) به دست آورد. قطعات اساساً عمل را در یک بازه کوچک dt از مسیر نشان می دهند).

سپس عمل مسیر کامل مجموع تمام این قطعات کوچک Ldt، یا به طور دقیق تر، انتگرال Ldt به شرح زیر است (از آنجایی که زمان یک متغیر پیوسته است، در اینجا باید از انتگرال استفاده کنیم):

$A=\int_{t_1}^{t_2}L\ dt$

گاهی اوقات عملی را می بینید که با حرف S مشخص شده است.

مسیر فیزیکی واقعی یک شی یا یک سیستم همیشه مسیری است که در آن عمل ثابت است. این به عنوان اصل عمل ثابت شناخته می شود .

اکنون، این ممکن است یکباره قابل هضم باشد، بنابراین اجازه دهید کمی آن را بررسی کنیم. اولاً، حتی ثابت بودن چیزی به چه معناست؟

پاسخ به این در واقع بسیار ساده است و شما حتی ممکن است آن را از ریاضی ابتدایی دبیرستان بدانید. یک نقطه ثابت برای یک تابع به سادگی نقطه ای است که در آن خط مماس افقی است (یعنی مشتق در این نقطه صفر است) :

اکنون، همان ایده نقاط ثابت در مورد عمل نیز صدق می کند، اما با کمی ریاضی بیشتر.

این به این دلیل است که عمل در واقع یک تابع است ، نه فقط یک تابع. اگر می‌خواهید در مورد توابع و به طور کلی‌تر، حساب تغییرات - که حوزه‌ای از مکانیک لاگرانژی ریاضی است - بیشتر بدانید، می‌توانید این مقاله را بررسی کنید .

ایده اصلی این است که یک نقطه ثابت در عمل به عنوان دیفرانسیل عملکردی برابر با صفر تعریف می شود (که با δA=0 نشان داده می شود). این اساساً فقط به این معنی است که یک تغییر جزئی (دیفرانسیل) در عمل باید صفر باشد.

اصل عمل ثابت از نظر ریاضی:

$\delta\int_{t_1}^{t_2}L\ dt=0$

مسیری که یک سیستم طی می کند مسیری است که در آن عمل این معادله را برآورده می کند.

دیفرانسیل عملکردی اساساً به معنای تغییر مقدار عمل کمی (بی نهایت کوچک) است. سپس نقاط ثابت نقاطی هستند که در آنها یک واریانس جزئی بر ارزش عمل تأثیر نمی گذارد.

این اساساً اصل عمل ثابت است که به ساده ترین شکل ممکن توضیح داده شده است.

اکنون، ممکن است فکر کنید که این جالب است و همه چیز، اما چرا سیستم های فیزیکی دقیقاً باید از این اصل پیروی کنند ؟ چرا یک شی باید به جای مسیر دیگری، مسیر عمل ساکن را طی کند؟

اساساً هیچ کس واقعاً پاسخ واقعی این را نمی داند . این کاملاً خنده دار است که چگونه اصل عمل ثابت اساس تقریباً تمام فیزیک مدرن است، اما هیچ کس نمی داند که چرا اتفاقاً درست است.

بهترین چیزی که در اینجا می توانم به شما بدهم نوعی انگیزه است که چرا ممکن است منطقی باشد که جهان از چنین اصلی پیروی کند.

برای من، حداقل، منطقی است که چرا جهان بخواهد (نه اینکه جهان به معنای واقعی کلمه هر چیزی را «خواهد» می‌خواهد، اما فکر می‌کنم شما متوجه موضوع شده‌اید) چیزها را به‌گونه‌ای بهینه‌سازی کند که چیزی ثابت بماند.

شما می توانید آن را به عنوان سیستم های فیزیکی در نظر بگیرید که تمایل به تکامل به سمت یک حالت تعادل دارند ، درست مانند سیستم های ترمودینامیک که همیشه به گونه ای تکامل می یابند که در آن به حالت تعادل حرارتی می رسد.

همین نوع فرآیند را می‌توان به عنوان کاربرد در حرکت نیز در نظر گرفت، اما دقیقاً به عنوان یک مفهوم سطح بالاتر.

خط سیر خاصی که عمل را ثابت می کند، می تواند به عنوان نوعی حالت تعادل کنش در نظر گرفته شود ، زیرا عمل تغییر نمی کند (یعنی در یک نقطه ساکن یا یک حالت تعادل است).

حال، اگر این خیلی انتزاعی به نظر می‌رسد، نکته اینجا واقعاً این است که هر چیزی که ما می‌توانیم در جهان مشاهده کنیم، از اصل کنش ثابت تبعیت می‌کند ، بنابراین معقول‌ترین چیز این است که آن را به عنوان یک اصل در نظر بگیریم و با آن کار کنیم.

در واقع، درک فعلی از اصل عمل ساکن این است که از تقریب کلاسیک مکانیک کوانتومی ناشی می‌شود . در مکانیک کوانتومی، ما می‌توانیم به ذرات فکر کنیم که تمام مسیرهای ممکن را با تمام مقادیر ممکن عمل می‌کنند (به طور رسمی، این در فرمول انتگرال مسیر فاینمن ثبت شده است). محتمل ترین مسیر، مسیری است که مقدار ثابتی از کنش دارد - مسیر کلاسیک. این چیزی است که من در کتاب کامل خود مکانیک لاگرانژی برای غیرفیزیکدان (لینک به صفحه کتاب) بیشتر در مورد آن صحبت می کنم.

شهود پشت معادله اویلر-لاگرانژ (+ مشتق گام به گام)

اکنون که اصل عمل ثابت چیست، نکته بعدی یافتن راهی عملی برای استفاده واقعی از آن است.

برای انجام این کار، بیایید دوباره به معنی اصل عمل ثابت از نظر ریاضی فکر کنیم:

$\delta A=\delta\int_{t_1}^{t_2}L\ dt=0$

این در واقع فقط یک معادله است که باید حل شود و اگر کمی حساب دیفرانسیل و انتگرال بلد باشید انجام آن خیلی سخت نیست (در زیر اشتقاق را پیدا خواهید کرد).

حال، چیزی که به دست می آورید این است که برای ثابت ماندن عمل، لاگرانژ باید چیزی به نام معادله اویلر-لاگرانژ را برآورده کند .

معادله اویلر-لاگرانژ:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}=\frac{\partial L}{\partial x}$

معادله فوق مسلماً مهمترین معادله ای است که در مکانیک لاگرانژی به آن نیاز خواهید داشت . این اساساً نسخه لاگرانژی قانون دوم نیوتن است ، همانطور که بعدا خواهیم دید.

استخراج معادله اویلر-لاگرانژ (برای مشاهده بیشتر کلیک کنید)

حال، معادله اویلر-لاگرانژ واقعا چیست؟

به طور خلاصه، معادله اویلر-لاگرانژ شرطی است که لاگرانژ باید آن را برآورده کند تا اصل کنش ثابت صادق باشد. این اساساً همان چیزی است که معادلات حرکت یک سیستم را با یک لاگرانژی خاص ایجاد می کند، درست همانطور که قانون دوم نیوتن برای یک نیروی معین انجام می دهد .

یکی از جزئیات مهم این است که معادله اویلر-لاگرانژ را می توان در واقع تنها با دانستن اینکه لاگرانژ به موقعیت و سرعت بستگی دارد ، بدست آورد، نه چیز بیشتر.

به عبارت دیگر، ما نیازی به دانستن شکل خاص لاگرانژی (TV) نداریم. هر لاگرانژی که تابعی از موقعیت و سرعت است، باید معادله اویلر-لاگرانژ را صرفاً در نتیجه اصل کنش ساکن برآورده کند.

بنابراین، معادله EL در واقع بسیار کلی است، نه فقط نتیجه لاگرانژی که به طور دلخواه انتخاب شده است (در واقع یک معادله بسیار کلی است که برای محاسبه مینیمم و ماکزیمم توابع در یک حوزه ریاضی به نام حساب تغییرات استفاده می شود ).

اگر بخواهیم حرکت را بر حسب انرژی جنبشی و پتانسیل بیان کنیم، لاگرانژ وارد می شود. اینجاست که تلویزیون برای توصیف حرکت به عنوان یک فرآیند پویا ضروری است.

اگر لاگرانژ (L=TV) را به معادله اویلر-لاگرانژ وصل کنیم، به دست می آید:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial\left(TV\right)}{\partial \dot x}=\frac{\partial\left(TV\right)}{\partial x}$

از آنجایی که انرژی جنبشی به موقعیت و انرژی پتانسیل به سرعت (x با یک نقطه بالای آن) بستگی ندارد، ما با این موارد روبرو هستیم:

علامت منهای در اینجا از علامت منهای در لاگرانژی، L=TV می آید.

این دقیقاً همان چیزی است که قبلاً با مفهوم یک فرآیند بهینه‌سازی دینامیکی بین انرژی جنبشی و پتانسیل منظور می‌کردم و دقیقاً به دلیل علامت منفی در اینجا است که از شکل لاگرانژی تلویزیون می‌آید.

بگذار توضیح بدهم. به دلیل علامت منفی، می توانید تغییرات انرژی پتانسیل را به نوعی مخالف تغییرات انرژی جنبشی در نظر بگیرید .

برای من این کاملا منطقی است. به عنوان مثال، جسمی را در نظر بگیرید که در یک میدان گرانشی سقوط می کند.

وقتی جسم می افتد، به سمت پایین شتاب می گیرد و با افزایش سرعت، انرژی جنبشی آن افزایش می یابد. از سوی دیگر، انرژی پتانسیل آن با نزدیک‌تر شدن به زمین کاهش می‌یابد (بر اساس فرمول V=mgh).

بنابراین، یک فرآیند دینامیکی واضح بین انرژی جنبشی و پتانسیل وجود دارد که به ما امکان می دهد حرکت را با استفاده از آنها توصیف کنیم! این زیبایی مکانیک لاگرانژی است. همه چیز به سادگی با تغییرات انرژی توصیف می شود .

همه چیز در مکانیک لاگرانژ به عنوان تغییرات در انرژی های جنبشی و پتانسیل توصیف می شود و رابطه دینامیکی بین این تغییرات توسط معادله اویلر-لاگرانژ ارائه می شود.

حال، نکته بسیار مفید در مورد معادله EL این است که اگر انرژی جنبشی و پتانسیل را بدانیم، معادلات حرکت یک سیستم را به ما می دهد . این درست مانند قانون دوم نیوتن است که اگر هر یک از اجزای نیروها را بدانیم، معادلات حرکت را به ما می دهد.

در واقع یک ارتباط بسیار نزدیک (و به نظر من، بسیار زیبا) بین معادله نیوتن، F=ma، و معادله اویلر-لاگرانژ وجود دارد.

رابطه اویلر-لاگرانژ با قانون دوم نیوتن چگونه است؟

اولاً، می دانیم که قانون دوم نیوتن را می توان بر حسب تکانه به صورت زیر بیان کرد:

$F=ma=m\frac{dv}{dt}=\frac{dmv}{dt}=\frac{dp}{dt}$

جرم را ثابت فرض کرده‌ایم، بنابراین می‌توان آن را درون مشتق حرکت داد و سپس از فرمول معمول برای تکانه (p=mv) استفاده کرد.

همچنین، یک ویژگی کلیدی نیروها این است که هر نیروی محافظه کارانه را می توان بر حسب انرژی پتانسیل بیان کرد (همانطور که در این مقاله توضیح داده شد ):

$F=-\frac{\جزئی V}{\جزئی x}$

به طور کلی، این گرادیان منفی انرژی پتانسیل است ، اما این فقط در جهت x است.

سپس می توانیم F=ma را به صورت زیر بیان کنیم:

$\frac{dp}{dt}=-\frac{\جزئی V}{\جزئی x}$

اکنون بیایید این را با معادله اویلر-لاگرانژ مقایسه کنیم و مشخص خواهد شد که در واقع چقدر شبیه هستند:

در واقع، اگر بخواهیم انرژی جنبشی را به سادگی 1/2mv 2 انتخاب کنیم ، معادله اویلر-لاگرانژ دقیقاً F=ma را تولید خواهد کرد.

استخراج F=ma از معادله اویلر-لاگرانژ (برای مشاهده بیشتر کلیک کنید)

بعداً در مقاله، من همچنین چند مثال عملی از چگونگی استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ و دلیل مفید بودن آن (و نه فقط مکانیک نیوتنی با مراحل اضافی پیچیده تر) را پوشش خواهم داد.

نحوه حل مسائل با استفاده از مکانیک لاگرانژی (روش گام به گام)

به طور کلی، حل هر مشکلی در مکانیک حول محور یافتن معادلات حرکت برای یک سیستم خاص مورد علاقه است.

یکی از کاربردها و مزایای اصلی مکانیک لاگرانژی این است که یک روش سیستماتیک برای استخراج معادلات حرکت با تلاش بسیار کم (در مقایسه با چیزی مانند استفاده از F=ma) حتی برای سیستم های بسیار پیچیده وجود دارد.

اساساً، نحوه ساخت لاگرانژی (اصطلاح انرژی جنبشی و پتانسیل) برای یک سیستم مشخص می کند که چه نوع فرمول هایی را از آن استخراج خواهید کرد. به طور کلی، این به شکل L=TV خواهد بود.

مکانیک لاگرانژی به ویژه برای سیستم های پیچیده تر مفید است، زیرا تنها کاری که باید انجام دهید این است که انرژی های جنبشی و پتانسیل را برای هر جسم در سیستم تعریف کنید. بقیه فقط معادله اویلر-لاگرانژ را اعمال می کنند.

روند کلی گام به گام برای یافتن معادلات حرکت یک سیستم کم و بیش به این صورت است:

مجموعه ای از مختصات مناسب (= مختصات تعمیم یافته ) را برای مسئله خاص پیدا کنید. اینها ممکن است مختصات دکارتی معمولی (x، y، z) باشند، اما می‌توان از سیستم‌های مختصاتی مانند مختصات کروی (r، θ، φ) نیز استفاده کرد.
لاگرانژ را از طریق مختصات تعمیم یافته تعریف کنید . برای اجسام متعدد در یک سیستم، لاگرانژی مجموع تفاوت بین انرژی جنبشی و انرژی بالقوه هر جسم خواهد بود:

$L=\frac{1}{2}\sum_i^{}m_iv_i^2-\sum_i^{}V_i$

معمولا ساده تر است که ابتدا لاگرانژ را در مختصات دکارتی تعریف کنید و سپس به هر مختصات تعمیم یافته ای که استفاده می کنید تبدیل کنید!

معادلات اویلر-لاگرانژ را بر روی لاگرانژ اعمال کنید . برای هر مختصاتی که برای سیستم انتخاب کرده اید، یک معادله اویلر-لاگرانژ خواهید داشت.

معادلات حرکت را ساده و حل کنید . در این مرحله، شما باید برای هر مختصاتی که دارید یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم داشته باشید.

در اینجا، من به استفاده از مختصات تعمیم یافته اشاره کرده ام . اینها یکی از مزیت های کلیدی مکانیک لاگرانژی است که چنین روش های ظریف و ساده ای را برای حل مسئله امکان پذیر می کند. بعداً همه چیز را در مورد اینها توضیح خواهم داد.

مثال عملی: حرکت پرتابه با مکانیک لاگرانژی (برای مشاهده بیشتر کلیک کنید)

شایان ذکر است که برای حل انواع مشکلاتی که می توانید با استفاده از مکانیک لاگرانژی حل کنید، محدودیت هایی نیز وجود دارد.

برای مثال، نیروهای غیرمحافظه‌کار را نمی‌توان مستقیماً از لاگرانژی استخراج کرد ، زیرا آنها بر حسب انرژی پتانسیل تعریف نشده‌اند.

نمونه ای از آنها نیروهای اصطکاک هستند، مانند نیروی ویسکوز در یک سیال و برای این نوع نیروهای غیر محافظه کار، معمولاً بازگشت به مکانیک نیوتنی آسان تر است (این در این مقاله توضیح داده شده است ).

با این حال، هنوز راه‌هایی برای اصلاح مکانیک لاگرانژی وجود دارد که این نیروها را شامل شود، اما آنها نمی‌توانند مستقیماً از اصل کمترین عمل ناشی شوند.

اگر می‌خواهید درک عمیق‌تری از مکانیک لاگرانژی به دست آورید، توصیه می‌کنم کتاب مکانیک لاگرانژی من برای غیرفیزیکدان (لینک به صفحه کتاب) را بررسی کنید. این کتاب همه چیزهایی را که باید در مورد مکانیک لاگرانژی بدانید - و بیشتر به شما آموزش می دهد.

نمونه های بیشتری از استفاده از مکانیک لاگرانژی!

شاید هنوز مشخص نباشد که مکانیک لاگرانژی واقعاً چگونه در موقعیت‌های پیچیده‌تر استفاده می‌شود. بهترین راه برای درک این موضوع از طریق مثال هایی است که در ادامه بیشتر آنها را خواهید یافت.

آونگ ساده

آونگ ساده سیستمی متشکل از جرمی در انتهای یک میله صلب است که تحت تأثیر گرانش اجازه دارد در یک صفحه تاب بخورد. طول میله L، جرم «باب آونگ» m و شتاب گرانشی به سمت پایین g (ثابت) است.

هدف ما در اینجا با مکانیک لاگرانژی بدست آوردن معادلات حرکت برای این سیستم است .

راه‌های زیادی برای انجام این کار وجود دارد – یکی از این راه‌ها توصیف چگونگی تغییر مختصات x و y باب با زمان است، اما این لزوما ساده‌ترین راه نیست. ساده ترین راه استفاده از یک زاویه است، زیرا برای توصیف موقعیت باب در هر زمان کافی است.

در اینجا راه اندازی است - ما با قرار دادن آونگ در یک سیستم مختصات x،y به طوری که میله به مبدا متصل شود، شروع می کنیم. من همچنین زاویه نسبت به عمود (محور y) را با θ نشان خواهم داد.

کاری که می خواهیم انجام دهیم این است که توضیح دهیم که چگونه زاویه θ با زمان تغییر می کند - بنابراین، در اینجا تابع θ(t) است - با ساختن یک لاگرانژ برای این سیستم و اعمال معادلات اویلر-لاگرانژ ، درست مانند آنچه قبلا در مورد یک پرتابه در زیر متوجه خواهید شد که دقیقا چگونه این کار را انجام دهید.

حل کامل آونگ ساده

هواپیمای شیبدار متحرک

صفحه شیبدار متحرک شامل بلوکی به جرم m است که روی شیبدار شیبدار جرمی M قرار دارد. شتاب گرانشی قدر g به سمت پایین وجود دارد.

صفحه با زاویه α نسبت به زمین کج می شود، به طوری که بلوک شروع به لغزش به پایین سطح شیب دار می کند. طول کل رمپ L است. علاوه بر این، خود سطح شیب دار مجاز است در جهت افقی حرکت کند.

هدف ما این است که بفهمیم چگونه بلوک و سطح شیب دار با گذشت زمان شروع به حرکت می کنند - به عبارت دیگر، معادلات حرکت را برای سیستم کامل پیدا کنیم .

ما با قرار دادن سیستم در یک سیستم مختصات دکارتی که سطح شیبدار در ابتدا در مبدا قرار دارد، شروع می کنیم. برای مختصاتی که مایل به توصیف آن هستیم، مختصات x سطح شیب دار و جابجایی s بلوک اندازه گیری شده از بالای سطح شیب دار را انتخاب می کنیم:

بنابراین، ما می خواهیم معادلات حرکت مختصات x و s را به عنوان تابعی از زمان پیدا کنیم. راه حل کامل را در زیر پیدا خواهید کرد.

حل کامل صفحه مایل متحرک

ویژگی های کلیدی مکانیک لاگرانژی

در ادامه، نگاهی به برخی از جنبه های مهم مکانیک لاگرانژ خواهیم انداخت که آن را منحصر به فرد و قدرتمند می کند.

همه چیزهایی که در اینجا مورد بحث قرار می گیرد با جزئیات بسیار بیشتری در کتاب کامل مکانیک لاگرانژی من پوشش داده شده است، که می توانید در اینجا اطلاعات بیشتری در مورد آن بیابید . در آنجا، ما همچنین به برخی از مسائل مربوط به مکانیک نیوتنی و اینکه چگونه مکانیک لاگرانژی به طور طبیعی آنها را برطرف می کند، نگاه می کنیم.

مختصات تعمیم یافته

معمولاً معادله اویلر-لاگرانژ بر حسب چیزی به نام مختصات تعمیم یافته نوشته می‌شود که با q نشان داده می‌شوند (شاخص i در اینجا به سادگی نشان‌دهنده تعداد مختصات شماست؛ برای مثال، با چند مختصات مختلف، یک EL دارید. معادله برای q 1 ، دیگری برای q 2 و غیره):

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}$

اما این مختصات تعمیم یافته دقیقاً چیست؟ اینها (همانطور که از نام ممکن است نشان دهد) انواع کلی تری از مختصات هستند، آنهایی که آزادی بسیار بیشتری را در انتخاب مختصات و سیستم مختصات ما اجازه می دهند .

ببینید، در مکانیک لاگرانژی، ما محدود به مجموعه خاصی از مختصات مانند سیستم مختصات x، y، z - نیستیم.

در عوض، می‌توانید برای مثال، زاویه θ را به عنوان مختصات خود در مسئله‌ای که شامل حرکت چرخشی است، داشته باشید.

نکته زیبا در مورد مکانیک لاگرانژی این است که روش‌های حل مسئله (که قبلاً در مورد آن صحبت شد) دقیقاً یکسان عمل می‌کنند، صرف نظر از اینکه از چه مختصاتی می‌خواهید استفاده کنید .

این مختصات تعمیم یافته مزایای بسیار مفیدی برای مختصات دکارتی معمولی دارند (البته در صورت تمایل می توانید از مختصات دکارتی استفاده کنید):

مختصات تعمیم یافته به ما این امکان را می دهد که به طور ضمنی شامل تمام اطلاعات در مورد نحوه رفتار یک سیستم باشیم (به عنوان مثال، انتخاب مختصات قطبی (r و θ) برای یک آونگ قبلاً شامل این واقعیت است که آونگ در یک دایره حرکت می کند؛ فقط با استفاده از مختصات دکارتی، شما می توانید باید محدودیت های خاصی را بر سیستم تحمیل کند).
انتخاب درست مختصات تعمیم یافته می تواند یک محاسبه را بسیار ساده کند .
مختصات تعمیم یافته می تواند تعداد متغیرها/معادلات مورد نیاز برای حل یک مسئله خاص را کاهش دهد (به عنوان مثال، انتخاب تنها زاویه θ برای یک آونگ برای یافتن معادلات حرکت کافی است، در حالی که در مختصات دکارتی، شما به هر دو مورد نیاز دارید. مختصات x و y).
مختصات تعمیم یافته اجازه می دهد تا کمیت های مختلف به راحتی به شکل کلی تر بیان شوند (سرعت تعمیم یافته، تکانه تعمیم یافته، نیروهای تعمیم یافته و غیره).

من در واقع یک مقاله کامل در مورد مختصات تعمیم یافته و نحوه استفاده از آنها (و همچنین نمونه هایی از آن) دارم که در اینجا خواهید یافت. من به شدت توصیه می کنم آن را بررسی کنید، زیرا مختصات تعمیم یافته یکی از مهم ترین بخش های مکانیک لاگرانژی است.

تکانه تعمیم یافته

همانطور که شروع به استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ می کنید، الگوهای واضحی وجود دارد که ظاهر می شوند.

جالب ترین آنها یکی از اصطلاحات معادله اویلر-لاگرانژ است که همیشه به نوعی کمیتی شبیه به تکانه می دهد. این اصطلاح، در واقع، تعریف حرکت تعمیم یافته است :

تکانه تعمیم یافته گاهی اوقات تکانه متعارف نیز نامیده می شود.

وقتی وارد مکانیک پیشرفته‌تر می‌شوید، تکانه منظم (که گاهی اوقات تکانه جنبشی نیز نامیده می‌شود ) دیگر کافی نخواهد بود.

در عوض، ما این چیز را داریم به نام تکانه تعمیم یافته ، که با p i نشان داده می شود (در اینجا i نشان دهنده این واقعیت است که هر تکانه تعمیم یافته p i همیشه با مختصات تعمیم یافته خاصی q i در سیستم همراه است):

$p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}$

با این حال، این حرکت تعمیم یافته واقعاً برای چه چیزی مفید است؟ خوب، اولین دلیل این است که به ما امکان می دهد به سرعت لحظه های مختلف را در یک سیستم شناسایی کنیم ، تقریباً با عبارت زیر:

اگر لاگرانژی مشتق زمانی از مقداری مختصات تعمیم یافته q i داشته باشد ، باید یک تکانه تعمیم یافته p i مرتبط با مختصات q i وجود داشته باشد .

در زیر نمونه‌هایی از این که این لحظه‌های تعمیم‌یافته چگونه به نظر می‌رسند و چگونه از لاگرانژی به دست می‌آیند را آورده‌ام (توجه داشته باشید که این تعریف حتی در خارج از مکانیک کلاسیک نیز معتبر است).

نمونه هایی از مومنتای تعمیم یافته (برای مشاهده بیشتر کلیک کنید)

نکته مفید دیگر در مورد تکانه تعمیم یافته این است که به ما امکان می دهد مفهوم تکانه را به بسیاری از موارد مختلف تعمیم دهیم که در آن p=mv معمولی دیگر کار نمی کند.

من قبلاً نمونه‌ای از بالا را نشان دادم، که به ما امکان داد به راحتی فرمول حرکت نسبیتی را استخراج کنیم (همچنین اطلاعات بیشتری در مورد آن در این مقاله خواهید یافت ).

نیروهای تعمیم یافته

همانطور که اینها لحظه های تعمیم یافته هستند، چیزهایی نیز وجود دارد که به آنها نیروهای تعمیم یافته می گویند .

اکنون، اینها مستقیماً از طریق لاگرانژ بیان نمی‌شوند، بلکه با استفاده از مختصات تعمیم‌یافته بیان می‌شوند . برای بیان قوانین حرکت با استفاده از آنها.

نیروهای تعمیم یافته به این صورت تعریف می شوند (که با Q مشخص می شود و شاخص i با مختصات تعمیم یافته خاص q i مرتبط است ):

نیروهای تعمیم یافته در واقع فقط نیروهای نیوتنی معمولی هستند، اما به مختصات تعمیم یافته تبدیل شده اند، که مایلیم در مکانیک لاگرانژی از آنها استفاده کنیم.

حال، ممکن است در حال حاضر کمی انتزاعی به نظر برسد و همچنین ممکن است بپرسید؛ چرا ما حتی به این نیروهای تعمیم یافته نیاز داریم اگر مکانیک لاگرانژی تماماً در مورد استفاده از انرژی است؟

خوب، پاسخ این است که ما این کار را نمی کنیم - معمولا. استثناهای این مورد شامل ترکیب اصطکاک و سایر نیروهای وابسته به سرعت در مکانیک لاگرانژی است.

برای نیروهای اصطکاک و غیر محافظه کار به طور کلی، باید آنها را به صورت دستی در معادلات اویلر-لاگرانژ به عنوان نیروهای تعمیم یافته اضافه کنیم (نیروهای اصطکاک تعمیم یافته که با Q i f نشان می دهم ) مانند این:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}+Q_i^f$

اکنون، نحوه برخورد با این نیروهای اصطکاک در مکانیک لاگرانژی با استفاده از چیزی به نام تابع اتلاف است که اساساً انرژی «از دست رفته» ناشی از اصطکاک را محاسبه می‌کند.

من همه چیز را در مورد نحوه ترکیب اصطکاک در مکانیک لاگرانژی توضیح می دهم و همچنین مجموعه ای از مثال های مفید را در این مقاله نشان می دهم .

کاربرد مفید دیگر نیروهای تعمیم یافته برای یافتن نیروهای محدودیت (مانند کشش یا نیروی نرمال یک سطح) است که از روش ضرب کننده لاگرانژ استفاده می کند . در اینجا شما میتوانید اطلاعات بیشتری راجع به آن بخوانید .

همچنین، نیروهای تعمیم یافته در واقع امکان فرمول بندی دیگری از مکانیک لاگرانژی را فراهم می کنند (این عملاً فقط یک روش متفاوت برای استخراج معادله اویلر-لاگرانژ است) که از اصل کنش ساکن استفاده نمی کند.

در عوض، از چیزی به نام اصل کار مجازی و اصل دالامبر استفاده می کند تا اساساً مکانیک لاگرانژی را استخراج کند.

ریاضیات این کمی انتزاعی‌تر است و در حال حاضر واقعاً مهم نیست، بنابراین من فقط بیان می‌کنم که این فرمول وجود دارد و آن را رها می‌کنم.

با این حال، اگر می خواهید درباره نیروهای تعمیم یافته، اصطکاک و نیروهای غیر محافظه کار در مکانیک لاگرانژی اطلاعات بیشتری کسب کنید ، من یک فصل کامل دارم که دقیقاً این موضوعات را با جزئیات کتابم مکانیک لاگرانژی برای غیرفیزیکدان را پوشش می دهد (لینک به صفحه کتاب ).

اینها موضوعاتی هستند که حتی بسیاری از دروس دانشگاهی در مورد مکانیک لاگرانژی پوشش نمی دهند، به همین دلیل است که من به طور خاص می خواستم آنها را در دوره خود لحاظ کنم. بنابراین، آن را بررسی کنید!

اسکالرها در مقابل بردارها

در فرمول لاگرانژی مکانیک کلاسیک، همه چیز فقط با انرژی جنبشی و پتانسیل توصیف می‌شود و هر دو را می‌توان به خوبی در یک معادله، لاگرانژی، جای داد.

سودمندی این به صراحت زمانی مشخص می شود که آن را با فرمول های نیروهای مختلف مقایسه کنید، جایی که شما فقط یک سری چیزهای مختلف دارید که در نگاه اول، حتی به نظر نمی رسد که به هیچ وجه واضح به هم متصل باشند.

در مکانیک لاگرانژی، این موضوع متفاوت است، زیرا همه چیز به وضوح فقط به چند مفهوم مرتبط است. یعنی مفاهیم انرژی و کنش , لاگرانژی و اصل کنش ساکن . سپس همه اینها با معادله اویلر-لاگرانژ جمع می شوند .

نکته جالب دیگر در مورد مکانیک لاگرانژ و این واقعیت که ما فقط از انرژی به جای نیرو استفاده می کنیم، این واقعیت است که نیروها کمیت های برداری هستند ، در حالی که انرژی ها کمیت های اسکالر هستند .

این بدان معنی است که نیروها همیشه جهت و مقدار دارند ، در حالی که انرژی ها فقط یک مقدار دارند (به معنای ابتدایی؛ در نسبیت، این به عنوان یک تعریف کافی نخواهد بود).

این یک مزیت آشکار استفاده از انرژی به جای نیرو است، زیرا فقط بسیاری از مشکلات را از بین می برد، مانند تجزیه نیروها به اجزای برداری آنها یا نگرانی در مورد محاسبه نقطه ای نیروها، زوایای بین بردارها و غیره.

همچنین، بردارها در مختصات به اصطلاح منحنی (به عنوان مثال، سیستم مختصات قطبی که دارای خطوط مختصات منحنی است) بسیار دردسرساز هستند . نکته خوب این است که مکانیک لاگرانژی طبیعتاً تمام مشکلات مربوط به این موضوع را از بین می برد.

چرا به مکانیک لاگرانژی نیاز داریم؟

ما قبلاً در مورد مزایای مکانیک لاگرانژی صحبت کرده‌ایم، اما در صورتی که هنوز کاملاً مشخص نیست، در اینجا فهرستی از مهمترین جنبه‌های مکانیک لاگرانژی وجود دارد که آن را بسیار مفید می‌کند:

محدودیت‌ها : معمولاً وقتی می‌خواهیم یک سیستم را به نحوی محدود کنیم - مثلاً یک جسم در امتداد یک سطح حرکت می‌کند - باید نیروهای محدودیتی را اضافه کنیم که کار کردن با آنها دشوار است. مکانیک لاگرانژی همه اینها را با معرفی مختصات تعمیم یافته حذف می کند .
مختصات منحنی : در سیستم های مختصاتی که بردارهای پایه می توانند از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر کنند - برای مثال مختصات قطبی - توصیف حرکت با استفاده از بردارها بسیار پیچیده تر است. مکانیک لاگرانژی این را بسیار ساده می کند، زیرا ما فقط باید با اسکالرها کار کنیم .
تقارن ها و قوانین بقا : مکانیک لاگرانژی راهی مستقیم برای تجزیه و تحلیل تقارن های سیستم های فیزیکی و شناسایی قوانین بقا در آنها ارائه می دهد. این قضیه قضیه نوتر نامیده می شود که می توانید در اینجا اطلاعات بیشتری درباره آن بخوانید .
کاربردها در فیزیک مدرن : تقریباً همه چیز در مکانیک لاگرانژی به سایر حوزه های فیزیک مدرن منتقل می شود. این موضوع مکانیک لاگرانژی را به یکی از با ارزش ترین ابزارها در درک و به طور کلی انجام فیزیک مدرن تبدیل می کند.

مکانیک لاگرانژی در فیزیک مدرن و نظریه میدان

در حال حاضر، استفاده از مکانیک لاگرانژی برای یافتن معادلات حرکت برای سیستم‌های مختلف بسیار جالب است، اما واقعاً اهمیت این فرمول‌بندی در زمینه کلاسیک به اندازه کافی عدالت داده نمی‌شود.

فرمول لاگرانژی در واقع سنگ بنای بسیاری از فیزیک مدرن است و در واقع زیربنای هر نظریه ای است که تاکنون می دانیم (این حتی یک اغراق هم نیست).

دلیل واقعی این امر این است که اصل کنش ثابت به طور اتفاقی در زمینه‌ها نیز صدق می‌کند، بنابراین اساس اکثر نظریه‌های میدانی را تشکیل می‌دهد.

از سوی دیگر، تقریباً تمام نظریه‌های مدرن فیزیک نوعی نظریه میدان هستند (نسبیت عام، نظریه میدان کوانتومی، الکترومغناطیس و غیره همگی نظریه‌های میدان هستند). این اصل عمل را برای تقریباً همه چیز اساسی می کند.

حال، فرمول لاگرانژی نظریه میدان واقعاً کاملاً انتزاعی است و نمی توان در اینجا به تفصیل آن را پوشش داد. در صورتی که مایلید در مورد آن بیشتر بدانید، می توانید این کار را از کتاب دوم من نظریه میدان برای غیرفیزیکدان که در اینجا یافت شده است انجام دهید .

بیایید فقط به اصول اولیه در اینجا بپردازیم. اساساً، بیشتر مواردی که در مورد مکانیک لاگرانژی در این مقاله در مورد آن صحبت کردیم، به شکلی در مورد نظریه میدان نیز کاربرد دارد.

اول، به جای اینکه یک لاگرانژی ساده برای میدان ها وجود داشته باشد، چیزی به نام چگالی لاگرانژی (که با یک L مجعد مشخص می شود) وجود دارد . چگالی لاگرانژی تابعی از میدان و اولین مشتقات آن است (درست مانند لاگرانژی معمولی تابعی از موقعیت و سرعت است):

$\mathscr{L}=\mathscr{L}\left(\phi{,}\ \partial_{\mu}\phi\right)$

این ∂ µ را 4-gradient (یعنی معادل نسبیتی یک گرادیان منظم) می نامند، که به سادگی یک مشتق wrt هم مکان و هم زمان است (زیرا میدان به فضا و زمان بستگی دارد).

عمل برای یک میدان این است که چگالی لاگرانژی یکپارچه است، نه در طول زمان، بلکه در فضازمان (این را با d 4 x نشان می‌دهیم ). این عمل نیز باید ثابت باشد (یعنی δA=0):

$\delta A=\delta\int_{ }^{ }\mathscr{L}\left(\phi{,}\ \partial_{\mu}\phi\right)d^4x=0$

این اصل عمل ثابت است، اما در یک میدان اعمال می شود.

نتیجه این شرط معادله اویلر-لاگرانژ را برای میدان ϕ به دست می‌دهد که دینامیک آن را به طور کامل توصیف می‌کند. سپس معادله میدان را می توان حل کرد تا نحوه رفتار میدان به عنوان تابعی از فضا و زمان را دریابیم.

حالا، اگر این موضوع از سر شما گذشت، نگران نباشید. نکته اصلی در اینجا این است که اصل عمل ثابت در سراسر فیزیک مدرن استفاده می شود.

شاید مهمترین کاربرد فرمول لاگرانژی نظریه میدان برای نظریه میدان کوانتومی باشد. برای مثال، شاید قبلاً مدل استاندارد لاگرانژی معروف را دیده باشید که درک فعلی ما از فیزیک ذرات را توضیح می‌دهد:

$\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+i\bar{\psi}\gamma^{\mu}D_{\mu} \psi+hc+\bar{\psi}_iy_{ij}\psi_j\phi+hc+\left|D_{\mu}\phi\right|^2-V\left(\phi\right)$

این در واقع یک نسخه واقعا فشرده از مدل کامل استاندارد لاگرانژی است که در شکل کامل آن بسیار بد به نظر می رسد.

با این حال، نکته این است که این لاگرانژی دینامیک دسته ای از فیلدها را در مدل استاندارد (ψ و φ، میدان اسپینور دیراک و فیلد هیگز، برای نام بردن یک زوج) رمزگذاری می کند و سپس می تواند برای به دست آوردن دینامیک کامل استفاده شود. از هر زمینه

یکی دیگر از کاربردهای مهم لاگرانژی مرتبط با فیزیک مدرن از نسبیت عام می آید، جایی که معادلات میدان انیشتین را می توان از چیزی به نام کنش اینشتین-هیلبرت استخراج کرد . من در واقع مشتق کامل را در این مقاله ارائه می کنم .

اگر می‌خواهید مدل استاندارد لاگرانژی و نظریه میدان کوانتومی را بهتر درک کنید، مطمئناً باید کتاب کامل نظریه میدان برای غیرفیزیکدان (لینک به صفحه کتاب) را بررسی کنید . این کتاب عمدتاً به توصیف لاگرانژی نظریه‌های میدان اختصاص دارد - همه چیز از اینکه چرا ما از لاگرانژی استفاده می‌کنیم تا اینکه این لاگرانژی‌ها چگونه ساخته می‌شوند و چگونه همه چیز را در مورد میدان‌ها و ذرات و همچنین خواص و پویایی آنها توصیف می‌کنند. سپس هر آنچه را که بحث می کنیم برای درک نظریه های میدان کوانتومی ، فیزیک ذرات ، نسبیت و فیزیک مدرن به طور کلی اعمال می شود!

قضیه نوتر و قوانین حفاظت

یک ایده بسیار مهم که ارتباط نزدیکی با مکانیک لاگرانژی دارد، قضیه نوتر است.

به بیان ساده، قضیه نوتر راهی کلی برای استخراج قوانین بقای هر سیستم فیزیکی به ما می دهد. این کار با تجزیه و تحلیل تقارن های موجود در سیستم انجام می شود و می توان به راحتی با استفاده از لاگرانژ به صورت ریاضی فرموله کرد.

در حال حاضر، چیزهای زیادی برای تعریف منظور ما از تقارن در فیزیک و همچنین ارتباط دقیق آنها با قوانین حفاظت وجود دارد، بنابراین ما در اینجا به جزئیات بیشتر نخواهیم پرداخت.

برای درک دقیق این ایده ها، توصیه می کنم راهنمای کامل من در مورد قضیه نوتر را بخوانید . همه چیزهایی را که باید بدانید به روشی مبتدی به شما می آموزد و همچنین مثال های زیادی را به شما نشان می دهد (و اکنون باید پیش نیازهای لازم را در مورد مکانیک لاگرانژی برای درک آن داشته باشید!).

همچنین یک فصل کامل در مورد قضیه نوتر در کتاب کامل من مکانیک لاگرانژی برای غیرفیزیکدان وجود دارد ، در صورتی که واقعاً بخواهید درک خود را به سطح بعدی ببرید.

مثال‌ها و کاربردهای مکانیک لاگرانژی (PDF رایگان)

در زیر، نمونه‌هایی را خواهید یافت که امیدواریم کاربردهای مکانیک لاگرانژی را در عمل نشان دهند (این یک PDF رایگان است، خودتان آن را دانلود کنید).

PDF رایگان را از اینجا دریافت کنید .

در PDF، ما به عنوان مثال، به دنبال یافتن لاگرانژ و معادلات حرکت برای سیستم‌هایی مانند آونگ ساده و آونگ کروی هستیم. ما همچنین رفتار این سیستم ها را تجزیه و تحلیل می کنیم.

با این حال، جالب ترین مثالی که به آن پرداخته شد، مسئله کپلر با استفاده از مکانیک لاگرانژی است.

مسئله کپلر یکی از اساسی ترین مسائل فیزیک است، شاید در تمام دوران ها و با حل حرکت دو جرم عظیم (مانند سیارات) که تحت تأثیر گرانش به دور یکدیگر می چرخند، مربوط می شود.

کجا می توان درباره مکانیک لاگرانژ بیشتر بدانید؟ (منابع پیشنهادی)

اگر این مقاله جالب بود و می‌خواهید در مورد مکانیک لاگرانژی و عمق واقعی این فرمول‌بندی اطلاعات بیشتری کسب کنید، قدم بعدی این است که به دنبال منابع دیگر باشید.

اکنون، قبل از مطالعه مکانیک لاگرانژی، شایان ذکر است که مکانیک لاگرانژی آسان نیست . این مقاله فقط سطح مکانیک لاگرانژی را نشان می دهد.

در گذشته، من فقط به مردم می گفتم که می توانند مکانیک لاگرانژی را فقط با خواندن مقالات اینترنتی یا تماشای ویدیوهای یوتیوب در آن یاد بگیرند. در حالی که این برای برخی افراد ممکن است، من متوجه شده ام که این بهترین راه برای انجام آن نیست.

برای اکثر مردم، اگر منبع اختصاصی و کاملی برای آن داشته باشند، در واقع می‌توانند مکانیک لاگرانژی (و همیلتونی) را بسیار سریع‌تر و عمیق‌تر بیاموزند .

البته، شما آزادید هر منبعی را که می خواهید انتخاب کنید، اما اگر توصیه من را می خواهید، کتاب جدید من، مکانیک لاگرانژی برای غیرفیزیکدان (پیوند به صفحه کتاب)، چیزی است که کاملاً دوست خواهید داشت. این همان کتابی است که من شخصاً آرزو داشتم در هنگام شروع یادگیری فیزیک داشته باشم.

این کتاب ابتدا مکانیک نیوتنی پایه را پوشش می دهد و همچنین برخی از مسائل مربوط به قوانین نیوتن را به عنوان انگیزه ای برای معرفی مکانیک لاگرانژی مورد بررسی قرار می دهد. سپس حساب تغییرات را مورد بحث قرار می‌دهیم ، حوزه مکانیک لاگرانژی ریاضی مبتنی بر آن است.

پس از این، فصل‌های زیر به جنبه‌های مختلف مکانیک لاگرانژی مانند مختصات تعمیم‌یافته، لحظه‌ها و نیروها، پتانسیل‌های وابسته به سرعت، دینامیک محدود، توابع اتلاف، تقارن‌ها، قوانین حفاظت و همچنین نحوه حل مسائل مکانیک لاگرانژی در کارآمدترین روش‌ها می‌پردازند. مسیر.

من همچنین یک "بخش دوم" از کتاب مکانیک لاگرانژی دارم که کاملاً به نظریه میدان اختصاص دارد . این کتاب نظریه میدان برای غیرفیزیکدان نام دارد (لینک به صفحه آمازون آن) و اساساً ادامه مستقیم کتاب مکانیک لاگرانژی است که در بالا ذکر شد.

ما همه چیز را پوشش می دهیم، از چرایی و چگونگی ساخت نظریه های میدان نسبیتی گرفته تا کاربردها و پیش بینی های فیزیکی آنها و همچنین اینکه چگونه همه اینها به ما اجازه می دهد تا بسیاری از حوزه های فیزیک مدرن را توصیف کنیم (مانند مدل استاندارد و فیزیک ذرات).

ویل هیروونن

من بنیانگذار فیزیک عمیق هستم، وب‌سایتی که برای کمک به کسانی که سعی در خودآموزی فیزیک دارند، ایجاد کردم، زیرا این همان کاری است که من خودم به آن علاقه دارم. من دوست دارم آنچه را که آموخته ام به روشی قابل فهم و آرام توضیح دهم و تا زمانی که در مورد شگفتی های فیزیک بیشتر بدانم به این کار ادامه خواهم داد.

https://profoundphysics.com/lagrangian-mechanics-for-beginners/

+ نوشته شده در دوشنبه ششم فروردین ۱۴۰۳ ساعت 1:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-مکانیک لاگرانژی

اغلب رایج ترین رویکرد برای توصیف حرکت و دینامیک از طریق قوانین نیوتن است، با این حال، رویکرد بسیار اساسی تری به نام مکانیک لاگرانژی وجود دارد . اما مکانیک لاگرانژی دقیقاً چیست؟

به عنوان یک مقدمه کلی، مکانیک لاگرانژی فرمول بندی مکانیک کلاسیک است که بر اساس اصل کنش ساکن است و در آن از انرژی ها برای توصیف حرکت استفاده می شود. سپس معادلات حرکت با معادله اویلر-لاگرانژ به دست می آید که شرط ثابت بودن عمل است.

مکانیک لاگرانژی عملاً بر دو مفهوم اساسی استوار است که هر دو به نوعی تقریباً به همه حوزه‌های فیزیک گسترش می‌یابند.

اولین مورد لاگرانژ نام دارد که نوعی تابع است که وضعیت حرکت یک ذره را از طریق انرژی جنبشی و پتانسیل توصیف می کند .

کمیت مهم دیگر کنش نام دارد که برای تعریف مسیری در فضا و زمان استفاده می شود.

نکته مهم در مورد عمل این است که برای به دست آوردن معادلات حرکتی مناسب، باید ثابت باشد.

این به عنوان اصل عمل ساکن شناخته می شود که یکی از اساسی ترین اصول در تمام فیزیک است.

این هر دو در این مقاله با جزئیات کامل توضیح داده خواهند شد.

نکته سریع : اگر علاقه مند به درک مکانیک لاگرانژی و به طور خاص کاربردهای آن در فیزیک مدرن هستید، به شدت توصیه می کنم کتاب مکانیک لاگرانژی برای غیرفیزیکدان (لینک به صفحه کتاب) را بررسی کنید. این کتاب شما را از یادگیری اصول اولیه تا درک پیشرفته و عمیق مکانیک لاگرانژی – و مهمتر از همه، توانایی به کارگیری آنچه یاد گرفته‌اید در زمینه‌هایی مانند مکانیک، الکترودینامیک، نسبیت و نظریه میدان کوانتومی، می‌برد.

فهرست مطالب

شهود در پس مکانیک لاگرانژی

برای شروع، بیایید سعی کنیم شهود و استدلالی را پشت سر آنچه که در این مقاله به طور مفصل به آن نگاه خواهیم کرد، توسعه دهیم.

به این منظور، ما می‌خواهیم تصورات خود را از اینکه حرکت واقعاً در اساسی‌ترین مفهوم چیست، تجدید نظر کنیم. به طور معمول، ما حرکت را نتیجه نیروهای مختلف می‌دانیم، که عملاً همان قوانین نیوتن است.

با این حال، هیچ چیز خاصی در مورد نیروها وجود ندارد. مسلماً، درک آنها شهودی و ساده است، اما به هر حال، آنها فقط یک مدل ریاضی ممکن برای توصیف حرکت و دینامیک هستند.

اگرچه اساساً حرکت توصیفی در مورد تغییرات است . در مورد آن فکر کنید. اگر یک نیروی خالص بر روی شما وارد شود، موقعیت شما تغییر خواهد کرد و این روشی است که ما سرعت و شتاب را اندازه گیری می کنیم.

در نهایت، دینامیک و حرکت فرآیندهای بهینه سازی هستند . وقتی توپی از تپه پایین می‌رود، ارتفاع (موقعیت) آن به نوعی کاهش می‌یابد، اما سرعت آن با غلتیدن افزایش می‌یابد.

اگر واقعاً شروع به فکر کردن در مورد آن کنید، فقط دو کمیت وجود دارد که برای توصیف کامل حرکت هر جسمی به آن نیاز داریم. موقعیت و سرعت آن در هر نقطه معین .

زمانی که بدانیم یک جسم کجاست و چه جهتی دارد و چقدر سرعت دارد، می توانیم به طور کامل پیش بینی کنیم که در لحظه بعدی کجا خواهد بود.

حال سوال بعدی این است که چگونه می توان این دو کمیت را در یک نظریه مفید ترکیب کرد؟ پاسخ در واقع ساده است. انرژی.

در واقع، انرژی جنبشی و پتانسیل یک جسم تنها چیزی است که باید بدانید تا بتوانید به طور کامل حرکت بعدی آن را پیش بینی کنید (در حال حاضر اصطکاک را در نظر نگیرید).

به عنوان مثال مسیر یک پرتابه (مانند یک توپ پرتاب شده در هوا) را در نظر بگیرید:

این در واقع اساس مکانیک لاگرانژی است. اساساً توصیفی از تغییرات انرژی است. این کار از طریق کمیتی به نام عمل انجام می شود .

مکانیک لاگرانژ اساساً یک فرآیند بهینه‌سازی انرژی جنبشی و بالقوه اجسام و سیستم‌ها است. حرکت آنها را اینگونه پیش بینی می کنیم.

حال، عمل اساساً کمیتی است که مسیر خاصی را که یک شی می‌گیرد، توصیف می‌کند. بنابراین، هر مسیری در فضا و زمان، کنش متفاوتی با خود دارد .

از آنجایی که ما ثابت کردیم که حرکت را می توان با انرژی ها توصیف کرد، من یک تابع L را اختراع می کنم که تابعی از انرژی های جنبشی و بالقوه است (بعداً مشخص خواهیم کرد که این تابع چیست، اما لاگرانژی نامیده می شود ) :

$L=L\چپ(T{,}V\راست)$

T معمولاً برای نشان دادن انرژی جنبشی استفاده می شود، در حالی که V انرژی پتانسیل است (گاهی اوقات با U نیز نشان داده می شود).

چگونه می توان عمل یک مسیر را به روشی مفید تعریف کرد؟ یک گزینه این است که هر یک از این "توابع انرژی" (لاگرانژ) را در کل مسیر جمع کنیم.

این نیز حس شهودی خواهد داشت. اگر انرژی جنبشی و پتانسیل (یعنی مقدار این تابع لاگرانژی) را در هر نقطه بدانیم ، می‌توانیم کل مسیر را با جمع کردن همه آنها تعیین کنیم .

اکنون، در مکانیک کلاسیک، انرژی یک متغیر پیوسته است، به این معنی که عمل یک مجموع مجزا نیست، بلکه یک انتگرال در طول زمان (زمانی که از نقطه شروع تا نقطه پایان مسیر طول می‌کشد) خواهد بود.

عمل به عنوان یک انتگرال در طول زمان لاگرانژ در هر نقطه از مسیر تعریف می شود :

$A=\int_{t_1}^{t_2}L\left(T{,}V\right)dt$

بر اساس شواهد زیاد، دیده‌ایم که اشیاء فیزیکی و حتی میدان‌ها، همیشه به گونه‌ای رفتار و حرکت می‌کنند که عمل به حداقل برسد (یا دقیق‌تر، ثابت باشد ).

در زمینه مکانیک لاگرانژی، این بدان معنی است که مسیر حرکت یک جسم همیشه همان مسیری خواهد بود که در آن عمل ثابت است. به این اصل عمل ثابت می گویند .

جالب‌ترین چیز این است که این اصل یکی از اساسی‌ترین اصل‌ها در تمام فیزیک است که همه سیستم‌های مشاهده‌شده از آن تبعیت می‌کنند (حتی خارج از مکانیک کلاسیک!).

بعداً در این مقاله، شهود پشت اصل عمل ثابت را بیشتر توضیح خواهم داد و همچنین آن را به روشی ریاضی تر تعریف خواهم کرد.

نکته مفید در زمینه مکانیک کلاسیک این است که اصل عمل ساکن مسیری را که یک سیستم طی می کند به طور منحصر به فردی تعریف می کند .

در نهایت، مشکل به سادگی به یافتن لاگرانژی سیستم خلاصه می‌شود، که روشی بسیار مفید برای حل مسئله در مکانیک کلاسیک ارائه می‌دهد (من در مقاله‌ام آیا مکانیک لاگرانژی مفید است؟ ) در مورد این موضوع بیشتر صحبت می‌کنم.

حالا یک چیز دیگر؛ در واقع لاگرانژ چیست؟ ما تا الان تعریف نکردیم و دلیلش اینه که لاگرانژی شکل کلی نداره .

اما در مکانیک کلاسیک شکل کاملاً مشخصی دارد، اما در سایر رشته‌های فیزیک ممکن است متفاوت باشد.

در حال حاضر، من فقط می خواهم به شما بگویم که لاگرانژی کلاسیک چیست (ما به زودی بررسی خواهیم کرد که چرا این واقعاً منطقی است).

لاگرانژ برای مکانیک کلاسیک به عنوان تفاوت انرژی جنبشی و پتانسیل یک جسم یا سیستم تعریف می شود :

$L = تلویزیون$

اکنون، ممکن است بخواهید چیزی شبیه این بپرسید؛ چرا این لاگرانژ است؟ چرا مثلاً اختلاف انرژی ها (TV) است و انرژی کل (T+V) نیست؟

پاسخ این است که، در واقع، هر دوی آنها کار می کنند، اما T+V در فرمولی به نام مکانیک هامیلتونی استفاده می شود (می توانید مقاله مقدماتی من را در اینجا بخوانید و مقایسه مکانیک لاگرانژی و هامیلتونی را در اینجا بخوانید ).

پاسخ بالا ممکن است هنوز توضیح ندهد که چرا تلویزیون دقیقاً کار می کند. این را در ادامه بررسی خواهیم کرد.

لاگرانژی چیست و چرا تلویزیون است؟

قبلاً برخی از منطق شهودی پشت آنچه که مکانیک لاگرانژی واقعاً بر آن استوار است را توضیح دادم. در این بخش، من می‌خواهم کمی دقیق‌تر نگاه کنم که لاگرانژی (L=TV) چیست.

در فیزیک، همیشه یک فرآیند بهینه سازی مشخص در تعیین نحوه حرکت اجسام و سیستم های فیزیکی وجود دارد.

در مکانیک لاگرانژی، کل این فرآیند در نهایت در اصل کنش ثابت رمزگذاری شده است و با L=TV لاگرانژی بیان می‌شود .

اما، ممکن است بپرسید، چرا لاگرانژی T – V، دقیقا؟ مثلاً چرا مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل نیست؟

اول از همه، لاگرانژ انرژی کل یک جسم نیست ، بلکه چیزی کاملاً متفاوت است.

لاگرانژ ارتباط بسیار کمی با کل انرژی دارد، بلکه می توان آن را به عنوان یک حالت حرکت در هر نقطه خاص از زمان در نظر گرفت که با انرژی های جنبشی و پتانسیل توصیف می شود (زیرا آنها اطلاعاتی در مورد سرعت و موقعیت دارند. ).

اکنون، اساساً دو روش معقول وجود دارد که می‌توانید حرکت را با این دو کمیت توصیف کنید. می توانید سعی کنید "وضعیت حرکت" را در هر نقطه با انرژی کل (T+V) یا با تفاوت انرژی ها (TV) توصیف کنید.

با این حال، انرژی بالقوه واقعا چیزی نیست که حرکت را به خودی خود توصیف کند. می توان آن را به اشکال دیگر انرژی (یعنی انرژی جنبشی) تبدیل کرد، اما انرژی پتانسیل خود حرکت را توصیف نمی کند، فقط تغییرات انرژی پتانسیل را توصیف می کند .

به همین دلیل منطقی است که حرکت را با اختلاف انرژی جنبشی و پتانسیل توصیف کنیم، نه با مجموع این دو . به دلیل تفاوت علامت بین آنها، امکان داد و ستد معقول بین انرژی های جنبشی و بالقوه (یعنی آنها می توانند به یکدیگر تبدیل شوند) را می دهد:

این نوع فرآیند دینامیکی حتی در مکانیک نیوتنی ، در F=ma خوب قدیمی نیز اتفاق می‌افتد . اگر قانون دوم نیوتن را به شکل زیر بیان کنیم، شباهت های بین این مکانیک و مکانیک لاگرانژی را می توان به راحتی مشاهده کرد:

همچنین راه دیگری برای تفکر در این مورد وجود دارد و آن از طریق مفهوم حفظ انرژی است .

از آنجایی که انرژی کل (T+V) یک کمیت حفظ شده است، با گذشت زمان تغییر نمی کند . بنابراین، به ویژه در توصیف حرکت مفید نیست (اگرچه می توان آن را به روشی متفاوت انجام داد، مانند آنچه در مکانیک هامیلتونی انجام می شود).

از سوی دیگر، تفاوت در انرژی ها (تلویزیون)، یک کمیت حفظ شده نیست (به این معنی که مقادیر آن می تواند با زمان تغییر کند)، بنابراین ابزار بسیار مفیدتری برای توصیف حرکت می کند .

یک راه جالب برای تجسم این موضوع، ترسیم مقادیر T+V و TV برای آونگ است (T+V انرژی کل است که همیلتون نامیده می‌شود، اما فعلاً مهم نیست):

من می خواهم اعتباری را در جایی که اعتبار وجود دارد، بدهم. من این نمودار را در یک پست Physics Stack Exchange اینجا پیدا کردم .

این روشی زیبا برای تجسم چگونگی رمزگذاری لاگرانژی در واقع اطلاعات زیادی در مورد حرکت یک سیستم (در این مورد، برای یک آونگ) ارائه می‌دهد که آن را بسیار مفیدتر از کل انرژی برای مدل‌سازی دینامیک سیستم‌های فیزیکی می‌کند. .

دلیل دیگر اینکه چرا لاگرانژ تفاوت انرژی جنبشی و پتانسیل است، صرفاً به این دلیل است که نتایج مطلوبی را ارائه می دهد.

در تئوری های پیشرفته تر فیزیک، لاگرانژها به سادگی به عنوان توابعی تلقی می شوند که معادلات حرکت را ایجاد می کنند . بنابراین، یک لاگرانژی بر اساس سودمندی نتایجی که می دهد قضاوت می شود و هیچ چیز دیگری برای آن وجود ندارد.

در مکانیک کلاسیک، این لاگرانژی خاص، L = T – V، دقیقا همان لاگرانژی است که قانون دوم نیوتن، F = ma را ایجاد می کند .

در نهایت، این از نحوه تعریف نیروها بر حسب انرژی‌های بالقوه ناشی می‌شود (علامت منفی در L=TV چیزی است که علامت منفی را در اینجا ایجاد می‌کند، که بعداً در مقاله خواهیم دید):

$F=-\frac{dV}{dx}$

اگر بخواهیم منصف باشیم، این لاگرانژی تلویزیون فقط در مکانیک کلاسیک کاربرد دارد. به عنوان مثال، در نسبیت خاص، لاگرانژ شکل دیگری به خود می گیرد، که می توانید در اینجا اطلاعات بیشتری درباره آن بخوانید .

+ نوشته شده در دوشنبه ششم فروردین ۱۴۰۳ ساعت 1:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل حل معادله لاپلاس در مختصات کروی با جداسازی متغیرها

9 حل معادله لاپلاس در مختصات کروی با جداسازی متغیرها نیازی به درج ثابت c در اینجا نیست زیرا به A و B جذب می شود.

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 16:18 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل حل معادله لاپلاس در مختصات کروی با جداسازی متغیرها

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 16:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فرمول های ریاضی - عملگرهای برداری

این صفحه را نشانه گذاری کنید!

این بخش شامل خلاصه ای از عملگرهای برداری است که در هر یک از سه سیستم مختصات اصلی بیان شده اند:

دکارتی ( , , )
استوانه ای ( ، ، )
کروی ( , , )

بردارهای پایه مرتبط با استفاده از یک کارت شناسایی می شوند (

) روی نماد. عملوند بردار

بر حسب مولفه ها در جهت های پایه به صورت زیر بیان می شود:

دکارتی:
استوانه ای:
کروی:

شیب

گرادیان در مختصات دکارتی:

(10.5.1)

گرادیان در مختصات استوانه ای:

(10.5.2)

گرادیان در مختصات کروی:

(10.5.3)

واگرایی

واگرایی در مختصات دکارتی:

(10.5.4)

واگرایی در مختصات استوانه ای:

واگرایی در مختصات کروی:

کرل

کرل در مختصات دکارتی:

کرلدر مختصات استوانه ای:

پیچش در مختصات کروی:

لاپلاسین

لاپلاسین در مختصات دکارتی:

(10.5.5)

لاپلاسین در مختصات استوانه ای:

(10.5.6)

لاپلاسین در مختصات کروی:

https://www.circuitbread.com/textbooks/electromagnetics-i/appendices/mathematical-formulas-vector-operators

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

عدم قطعیت و تکانه زاویه ای

عدم قطعیت

در تعریف $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ شش عملگر درگیر هستند: عملگرهای موقعیت $r_{x}$ ، $r_{y}$ ، $r_{z}$ و عملگرهای تکانه $p_{x}$ ، $p_{y}$ ، $p_{z}$ . با این حال، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ به ما می‌گوید که امکان ندارد هر شش این کمیت به طور همزمان با دقت دلخواه شناخته شوند. بنابراین، محدودیت هایی برای دانستن یا اندازه گیری تکانه زاویه ای یک ذره وجود دارد. به نظر می رسد که بهترین کاری که می توان انجام داد این است که هم قدر بردار تکانه زاویه ای و هم جزء آن را در امتداد یک محور اندازه گیری کنیم.

عدم قطعیت ارتباط نزدیکی با این واقعیت دارد که اجزای مختلف یک اپراتور تکانه زاویه ای جابجا نمی شوند $L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}$ . (برای روابط کموتاسیون دقیق ، عملگر حرکت زاویه ای را ببینید .)

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 17:18 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کاربرد حفظ تکانه زاویه ای

حفظ تکانه زاویه ای

یک اسکیت باز در یک چرخش از حفظ تکانه زاویه ای استفاده می کند - کاهش ممان اینرسی او با کشیدن دست ها و پاهایش باعث افزایش سرعت چرخش او می شود .

رابطه با قانون دوم حرکت نیوتن

در حالی که بقای کلی تکانه زاویه ای را می توان جدا از قوانین حرکت نیوتن به عنوان ناشی از قضیه نوتر در سیستم های متقارن تحت چرخش درک کرد، همچنین می توان آن را به سادگی به عنوان روشی کارآمد برای محاسبه نتایج درک کرد که در غیر این صورت می توان مستقیماً از دوم نیوتن به آن دست یافت. قانون، همراه با قوانین حاکم بر نیروهای طبیعت (مانند قانون سوم نیوتن، معادلات ماکسول و نیروی لورنتس ). در واقع، با توجه به شرایط اولیه موقعیت و سرعت برای هر نقطه، و نیروهای موجود در چنین شرایطی، می توان از قانون دوم نیوتن برای محاسبه مشتق دوم موقعیت استفاده کرد و حل آن اطلاعات کاملی را در مورد توسعه سیستم فیزیکی به همراه دارد. زمان.[26] اما توجه داشته باشید که این دیگر در مکانیک کوانتومی صادق نیست، به دلیل وجود اسپین ذره ، که تکانه زاویه‌ای است که نمی‌توان آن را با اثر تجمعی حرکات نقطه‌مانند در فضا توصیف کرد.

به عنوان مثال، کاهش ممان اینرسی را در نظر بگیرید ، به عنوان مثال زمانی که یک اسکیت باز در حال کشیدن دست های خود است و حرکت دایره ای را تسریع می کند. از نظر پایستگی تکانه زاویه ای، برای تکانه زاویه ای L ، گشتاور اینرسی I و سرعت زاویه ای ω داریم :

$0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega$

با استفاده از این، می بینیم که تغییر به انرژی زیر نیاز دارد:

$dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2 }+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}$

به طوری که کاهش ممان اینرسی مستلزم سرمایه گذاری انرژی است.

این را می توان با کار انجام شده با استفاده از قوانین نیوتن مقایسه کرد. هر نقطه در بدنه چرخان در هر نقطه از زمان با شتاب شعاعی از:

$-r\cdot \omega ^{2}$

اجازه دهید نقطه ای به جرم m را مشاهده کنیم که بردار موقعیت آن نسبت به مرکز حرکت عمود بر محور z در یک نقطه زمانی معین و در فاصله z قرار دارد . نیروی مرکز در این نقطه، با حفظ حرکت دایره ای، عبارت است از:

$-m\cdot z\cdot \omega ^{2}$

بنابراین کار مورد نیاز برای حرکت این نقطه به فاصله dz دورتر از مرکز حرکت است:

$dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^ {2}\راست)$

برای یک جسم غیرنقطه مانند باید روی آن انتگرال شود و m با چگالی جرم در واحد z جایگزین شود . این می دهد:

$dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}$

که دقیقاً انرژی مورد نیاز برای حفظ تکانه زاویه ای است.

توجه داشته باشید که محاسبه فوق را می توان در هر جرم و فقط با استفاده از سینماتیک انجام داد . بنابراین پدیده شتاب مماس اسکیت باز در حالی که دستان خود را به داخل می کشد، می تواند به زبان عامیانه به شرح زیر درک شود: کف دست های اسکیت باز در یک خط مستقیم حرکت نمی کنند، بنابراین دائماً به سمت داخل شتاب می گیرند، اما سرعت اضافی کسب نمی کنند. زیرا شتاب گیری همیشه زمانی انجام می شود که حرکت آنها به سمت داخل صفر باشد. با این حال، زمانی که کف دست‌ها را به بدن نزدیک می‌کنید، این متفاوت است: شتاب ناشی از چرخش اکنون سرعت را افزایش می‌دهد. اما به دلیل چرخش، افزایش سرعت به معنی سرعت قابل توجهی به داخل نیست، بلکه به افزایش سرعت چرخش منجر می شود.

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 13:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثالهایی از تکانه زاویه ای

مورد بی اهمیت تکانه زاویه ای $L$ یک جسم در مدار توسط

$L=2\pi Mfr^{2}$

جایی که $م$ جرم جسم در حال گردش است ، $f$ فرکانس مدار است و $r$ شعاع مدار است.

تکانه زاویه ای $L$ یک کره صلب یکنواخت که به جای آن حول محور خود می چرخد، با داده می شود

$L={\frac {4}{5}}\pi Mfr^{2}$

جایی که $م$ جرم کره است، $f$ فرکانس چرخش و $r$ شعاع کره است.

بنابراین، برای مثال، تکانه زاویه ای مداری زمین نسبت به خورشید حدود

2.66 × 10 ^40 kg⋅m ^2 /s

است ، در حالی که تکانه زاویه ای چرخشی آن حدود

7.05 × 10 ^33 kg⋅m ^2 /s

است. .

در مورد یک کره صلب یکنواخت که حول محور خود می چرخد، اگر به جای جرم آن، چگالی آن مشخص باشد، تکانه زاویه ای $L$ از رابطه زیر بدست می آید

$L={\frac {16}{15}}\pi ^{2}\rho fr^{5}$

جایی که $\rho$ چگالی کره است ، $f$ فرکانس چرخش و $r$ شعاع کره است.

در ساده ترین حالت یک دیسک در حال چرخش، تکانه زاویه ای است $L$ توسط

$L=\pi Mfr^{2}$

ارائه شده است جایی که $م$ جرم دیسک است، $f$ فرکانس چرخش و $r$ شعاع دیسک است.

اگر در عوض دیسک حول قطر خود بچرخد (مثلاً پرتاب سکه)، تکانه زاویه ای آن $L$ توسط

$L={\frac {1}{2}}\pi Mfr^{2}$

ارائه شده است

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 1:20 توسط علی رضا نقش نیلچی |

9-هارمونیک های کروی

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شود $(r,\theta,\varphi)$ و $(r',\theta ',\varphi')$ ، به ترتیب، زاویه $\گاما$ بین آنها توسط رابطه داده می شود

$\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$

که در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .

قضیه جمع بیان می کند [17]

$P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^ {\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y})\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N } _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2} =\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,$

( 1 )

که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]

به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست می‌دهد [20]

$\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x}) ={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$

که اتحاد cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.

در بسط ( 1 )، سمت چپ $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپس $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })$

( 2 )

علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ای $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ به عنوان مضرب ثابت چند جمله ای جیگنبوئر مناسب داده می شود :

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf { x} }\cdot {\mathbf {y} })$

( 3 )

با ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y اتحاد عملکردی را می دهد

${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$

که در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.

قانون انقباض [ ویرایش ]

اتحاد مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان می کند [22]

$Y_{a,\alpha }\left(\theta,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left( 2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c} \left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta,\varphi \right).$

بسیاری از اصطلاحات در این مجموع به طور پیش پا افتاده صفر هستند. ارزش های $ج$ و $\گاما$ که منجر به عبارات غیر صفر در این مجموع می شود توسط قوانین انتخاب برای نمادهای 3j تعیین می شود .

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ضرایب کلبش–گوردان

ضرایب کلبش-گوردان ضرایبی هستند که در بسط حاصلضرب دو هارمونیک کروی بر حسب خود هارمونیک کروی ظاهر می شوند. تکنیک‌های مختلفی برای انجام محاسبات مشابه در دسترس هستند، از جمله نماد وینگر 3-jm ، ضرایب رکا و انتگرال‌های اسلاتر . به طور انتزاعی، ضرایب کلبش-گوردان حاصل ضرب تانسور دو نمایش غیرقابل تقلیل گروه چرخش را به عنوان مجموع نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بیان می‌کنند: به طور مناسب نرمال شده، ضرایب پس از آن چند برابر هستند.

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

نمایش شماتیک از $Y_{\ell m}$ روی واحد کره و خطوط گره ای آن. $\Re [Y_{\ell m}]$ برابر است با 0 در امتداد دایره های بزرگی که از قطب ها می گذرند و در امتداد دایره های − m با عرض جغرافیایی مساوی. تابع هر بار که از یکی از این خطوط عبور می کند علامت تغییر می دهد.

نمودار رنگی سه بعدی هارمونیک های کروی درجه n = 5 . توجه داشته باشید که n = .

هارمونیک های کروی لاپلاس $Y_{\ell }^{m}$ می توان با در نظر گرفتن " خطوط گره " آنها، یعنی مجموعه نقاط روی کره ای که در آن قرار دارد، تجسم کرد $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ ، یا به جای آن که $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ . خطوط گره ای از $Y_{\ell }^{m}$ از دایره های تشکیل شده اند: | وجود دارد m | دایره ها در طول طول و −| m | دایره ها در طول عرض های جغرافیایی می توان تعداد خطوط گرهی هر نوع را با شمارش تعداد صفرهای آن تعیین کرد $Y_{\ell }^{m}$ در $\ تتا$ و $\varphi$ جهت ها به ترتیب. با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\ تتا$ مولفه های حقیقی و خیالی چند جمله ای های لژاندر مرتبط هر کدام دارای −| m | صفرها که هر کدام یک "خط عرض جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند. از سوی دیگر با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\varphi$ ، توابع sin و cos مثلثاتی دارای 2| m | صفرها، که هر کدام یک "خط طول جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند.

وقتی مرتبه هارمونیک کروی m صفر باشد (بالا سمت چپ در شکل)، توابع هارمونیک کروی به طول جغرافیایی بستگی ندارند و به آنها منطقه ای می گویند . چنین هارمونیک های کروی مورد خاصی از توابع کروی ناحیه ای هستند . وقتی = | m | (پایین-راست در شکل)، هیچ تقاطع صفر در عرض جغرافیایی وجود ندارد، و توابع به عنوان بخش نامیده می شوند . برای موارد دیگر، توابع کره را بررسی می‌کنند و به آنها تسرال می‌گویند .

هارمونیک‌های کروی عمومی‌تر درجه لزوماً آن‌هایی نیستند که بر اساس لاپلاس هستند $Y_{\ell }^{m}$ ، و مجموعه گره های آنها می تواند از نوع نسبتاً کلی باشد. [23]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جدول هارمونیک های کروی

عبارات تحلیلی برای اولین هارمونیک های کروی لاپلاس متعارف: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ که از قرارداد فاز کاندون-شورتلی استفاده می کنند:

$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\ sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{ \sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{ 2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0 }(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt { \frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{تراز شده}}$

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی کلاسیک به عنوان توابع با مقادیر مختلط در کره واحد تعریف می شونداس2 $S^{2}$ در فضای سه بعدی اقلیدسی $\mathbb{R} ^{3}$ . هارمونیک های کروی را می توان به فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعمیم دادآر $\mathbb {R} ^{n}$ به شرح زیر منجر به توابع می شود $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ . [24] اجازه دهید P فضای چندجمله‌ای همگن با مقدار مختلط درجه را در n متغیر حقیقی نشان دهد که در اینجا به عنوان تابع در نظر گرفته می‌شود. $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ . یعنی یک p چند جمله ای در P است به شرطی که برای هر حقیقی باشد $\lambda \in \mathbb {R}$ ، یک نفر دارد

$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x}).$

فرض کنید A فضای فرعی P متشکل از همه چند جمله ای هارمونیک را نشان می دهد :

$\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$

این هارمونیک های کروی جامد (منظم) هستند . اجازه دهید H نشان دهنده فضای توابع در کره واحد باشد

$S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$

با محدودیت از A به دست می آید

$\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ برای برخی }}p \in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ برای همه }}\mathbf {x} \in S^{ n-1}\right\}.$

خواص زیر برقرار است:

مجموع فضاهای H در مجموعه کم است $C(S^{n-1})$ از توابع پیوسته در $S^{{n-1}}$ با توجه به توپولوژی یکنواخت ، توسط قضیه استون-وایرشتراس . در نتیجه، مجموع این فضاها در فضای L 2 ( Sn - 1 ) از توابع انتگرال پذیر مربع روی کره نیز اکم است. بنابراین هر تابع مربع انتگرال پذیر در کره به طور منحصر به فردی به یک سری هارمونیک های کروی تجزیه می شود، جایی که سری به معنای L 2 همگرا می شوند .
برای همه f ∈ H ، یکی دارد
$\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$
که در آن Sn-1 عملگر لاپلاس - بلترامی در Sn - 1 است . این عملگر آنالوگ قسمت زاویه ای لاپلاس در سه بعدی است. به طور کلی، لاپلاسین در ابعاد n به عنوان تجزیه می شود

$\nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}} +r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1} {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}$
برعکس، فضاهای H دقیقاً فضاهای ویژه S n -1 هستند . به طور خاص، استفاده از قضیه طیفی به پتانسیل $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ اثبات دیگری می دهد که فضاهای H به صورت زوجی متعامد و در L 2 کامل هستند ( Sn - 1 ) .

یک مبنای متعامد هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر را می توان به صورت استقرایی با روش جداسازی متغیرها ، با حل مسئله استورم-لیویل برای لاپلاسین کروی ساخت.

$\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$

که در آن φ مختصات محوری در یک سیستم مختصات کروی در Sn - 1 است . نتیجه نهایی چنین رویه ای [26] است.

$Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{ \sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar { P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$

جایی که شاخص ها راضی کننده | 1 | ≤ 2 ≤ ⋯ ≤ n -1 و مقدار ویژه - n -1 ( n -1 + n -2) است . عملکردهای موجود در ضرب بر حسب تابع لژاندر تعریف می شوند

${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\ frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

فضای H هارمونیک های کروی درجه نمایشی از گروه تقارن چرخش ها حول یک نقطه ( SO(3) ) و SU(2) پوشش دوگانه آن است . در واقع، چرخش ها بر روی کره دو بعدی ، و در نتیجه بر روی H نیز با ترکیب تابع عمل می کنند.

$\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$

برای ψ یک هارمونیک کروی و ρ یک چرخش. نمایش H نمایشی غیر قابل تقلیل از SO(3) است . [27]

عناصر H به عنوان محدودیت های کره عناصر A بوجود می آیند : چند جمله ای هارمونیک همگن درجه در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 . با قطبش ψ ∈ A ، ضرایبی وجود دارد $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ متقارن بر روی شاخص ها، به طور منحصر به فرد توسط نیاز تعیین می شود

$\psi (x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$

شرطی که ψ هارمونیک باشد معادل این ادعا است که تانسور من1…من $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ در هر جفت شاخص باید بدون ردیابی باشد. بنابراین به عنوان یک نمایش غیرقابل تقلیل SO(3) ، H نسبت به فضای تانسورهای متقارن بی اثر درجه هم شکل است .

به طور کلی تر، گزاره های مشابه در ابعاد بالاتر وجود دارند: فضای H هارمونیک های کروی روی n- کره نمایش غیرقابل تقلیل SO( n +1) مربوط به تانسورهای متقارن بدون ردیابی است . با این حال، در حالی که هر نمایش تانسور تقلیل‌ناپذیر SO(2) و SO(3) از این نوع است، گروه‌های متعامد ویژه در ابعاد بالاتر دارای نمایش‌های غیر قابل تقلیل اضافی هستند که به این شکل ایجاد نمی‌شوند.

گروه‌های متعامد خاص دارای نمایش‌های اسپین اضافی هستند که نمایش‌های تانسوری نیستند و معمولاً هارمونیک‌های کروی نیستند. یک استثنا، نمایش اسپین SO(3) است: به طور دقیق، اینها نمایش‌هایی از پوشش دوتایی SU(2) SO(3) هستند. به نوبه خود، SU(2) با گروه کواترنیون های واحد شناسایی می شود و بنابراین با کره 3 منطبق است . فضاهای هارمونیک های کروی روی 3 کره، با توجه به عمل ضرب چهارتایی، نمایش اسپین خاصی از SO(3) هستند.

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی را می توان به دو مجموعه از توابع تقسیم کرد. [28] یکی توابع نیمکره ای (HSH)، متعامد و کامل روی نیمکره است. دیگری هارمونیک های نیمکره مکمل (CHSH) است.

کلیات [ ویرایش ]

تقارن حفظ زاویه دو کره توسط گروه تبدیل موبیوس PSL (2, C ) توصیف شده است. با توجه به این گروه، کره معادل کره معمولی ریمان است . گروه PSL(2, C ) هم شکل با گروه (مناسب) لورنتس است و عمل آن بر روی دو کره با عمل گروه لورنتس بر روی کره آسمانی در فضای مینکوفسکی مطابقت دارد . آنالوگ هارمونیک های کروی برای گروه لورنتس توسط سری هایپرهندسی داده شده است . علاوه بر این، هارمونیک‌های کروی را می‌توان بر حسب سری فراهندسی دوباره بیان کرد، زیرا SO(3) = PSU(2) زیرگروهی از PSL(2, C ) است .

به طور کلی تر، سری های فراهندسی را می توان برای توصیف تقارن های هر فضای متقارن تعمیم داد . به طور خاص، سری های فرا هندسی را می توان برای هر گروه Lie توسعه داد . [29] [30] [31] [32]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به هارمونیک‌های کروی وجود دارد .

هارمونیک مکعبی (اغلب به جای هارمونیک های کروی در محاسبات استفاده می شود)
هارمونیک های استوانه ای
پایه کروی
هارمونیک های کروی اسپینور
هارمونیک های کروی با وزن اسپین
نظریه استورم-لیوویل
جدول هارمونیک های کروی
هارمونیک های کروی برداری
اوربیتال اتمی

یادداشت ها [ ویرایش ]

گزارشی تاریخی از رویکردهای مختلف به هارمونیک های کروی در سه بعد را می توان در فصل چهارم مک رابرت 1967 یافت. اصطلاح "هارمونیک های کروی لاپلاس" رایج است. به کورانت-هیلبرت 1962 و میچر & بوئر 2004 مراجعه کنید.
^ رویکرد به هارمونیک‌های کروی در اینجا در ( کورانت-هیلبرت 1962 , §V.8, §VII.5) یافت می‌شود.
^ کاربردهای فیزیکی اغلب محلولی را می گیرند که در بی نهایت ناپدید می شود و A = 0 را می سازد . این بر بخش زاویه ای هارمونیک های کروی تأثیر نمی گذارد.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک کروی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی 2023-05-10 .
↑ Edmonds 1957 ، §2.5
^ سالن 2013 بخش 17.6
↑ Hall 2013 Lemma 17.16
↑ ویلیامز، ارل جی (1999). آکوستیک فوریه: تشعشعات صوتی و هولوگرافی صوتی نزدیک میدان . سن دیگو، کالیفرنیا: انتشارات آکادمیک. شابک 0080506909. OCLC 181010993 .
↑ مسیح، آلبرت (1999). مکانیک کوانتومی: دو جلد صحافی شده به عنوان یک جلد (دو جلد صحافی شده به عنوان یک، ویرایش مجدد بدون خلاصه). مینولا، نیویورک: دوور. شابک 9780486409245.
↑ کلود کوهن تانوجی؛ برنارد دیو; فرانک لالو (1996). مکانیک کوانتومی . ترجمه سوزان رید هملی; و همکاران Wiley-Interscience: ویلی. شابک 9780471569527.
^ a bپرش به بالا: بلیکلی، ریچارد (1995). نظریه پتانسیل در گرانش و کاربردهای مغناطیسی . کمبریج انگلستان نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 113 . شابک 978-0521415088.
^ هایسکانن و موریتز، ژئودزی فیزیکی، 1967، معادله. 1-62
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "فاز کاندون-شورتلی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 02-11-2022 .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 392.
به عنوان مثال، به ضمیمه A از Garg، A.، Electrodynamics Classical in a Nutshell (انتشارات دانشگاه پرینستون، 2012) مراجعه کنید.
^ لی، فیفی؛ براون، کارول؛ Garg, Anupam (2013), " The Weyl-وینگر-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , بیبکد : 2013EL ....10260006L 10260006L 10260006L . 102/60006 ، S2CID 119610178
↑ Edmonds, AR (1996). تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی . انتشارات دانشگاه پرینستون پ. 63 .
^ این برای هر مبنای متعارف هارمونیک های کروی درجه معتبر است . برای هارمونیک های توان واحد لازم است ضریب 4 π حذف شود .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 395
↑ Unsöld 1927
^ Stein & Weiss 1971 , §IV.2
^ برینک، دی.م. Satchler، GR حرکت زاویه ای . انتشارات دانشگاه آکسفورد. پ. 146.
↑ ارمنکو، یاکوبسون و نادیراشویلی 2007
^ سولومنتسف 2001 ; Stein & Weiss 1971 §IV.2
^ رجوع کنید به نتیجه 1.8 اکسلر، شلدون؛ رامی، وید (1995)، چند جمله ای هارمونیک و مسائل نوع دیریکله
↑ هیگوچی، آتسوشی (1987). "هارمونیک‌های کروی تانسور متقارن بر روی N-کره و کاربرد آنها در گروه دسیتر SO(N,1)" . مجله فیزیک ریاضی . 28 (7): 1553-1566. بیبکد : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 .
↑ Hall 2013 نتیجه 17.17
↑ ژنگ یی، وی کی، لیانگ بی، لی یی، چو (23-12-2019). "توابع مشابه زرنیک در کلاهک کروی: اصل و کاربردها در اتصالات سطح نوری و رندر گرافیکی" . اپتیک اکسپرس . 27 (26): 37180–37195. بیبکد : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 .
↑ N. Vilenkin، توابع ویژه و نظریه بازنمودهای گروهی ، آم. ریاضی. Soc. ترجمه، ج. 22، (1968).
↑ جی دی تالمن، کارکردهای ویژه، رویکرد نظری گروهی ، (بر اساس سخنرانی های ای پی ویگنر)، WA بنجامین، نیویورک (1968).
↑ دبلیو میلر، تقارن و جداسازی متغیرها، ادیسون-وسلی، ریدینگ (1977).
^ A. Wawrzyńczyk، نمایندگی های گروهی و عملکردهای ویژه ، ناشران علمی لهستانی. ورشو (1984).

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

کورانت، ریچارد ؛ هیلبرت، دیوید (1962)، روشهای فیزیک ریاضی، جلد اول ، وایلی-اینترساینس.
Edmonds، AR (1957)، حرکت زاویه ای در مکانیک کوانتومی ، انتشارات دانشگاه پرینستون، ISBN 0-691-07912-9
ارمنکو، الکساندر؛ یاکوبسون، دیمیتری؛ نادیراشویلی، نیکولای (2007)، "درباره مجموعه های گرهی و حوزه های گرهی در S2 و R2" ، Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345-2360، doi : 10.5802/aif.2335 ، ISSN -09 ، 0373 2394544
هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
مک رابرت، TM (1967)، هارمونیک های کروی: رساله ابتدایی در مورد توابع هارمونیک، با کاربردها ، چاپ پرگامون.
مایجر، پل هرمان ارنست; بائر، ادموند (2004)، نظریه گروه: کاربرد در مکانیک کوانتومی ، دوور، شابک 978-0-486-43798-9.
سولومنتسف، ED (2001) [1994]، "هارمونیک های کروی" ، دایره المعارف ریاضیات ، چاپ EMS.
استاین، الیاس ؛ ویس، گیدو (1971)، مقدمه ای بر تحلیل فوریه در فضاهای اقلیدسی ، پرینستون، نیوجرسی: انتشارات دانشگاه پرینستون، شابک 978-0-691-08078-9.
Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome"، Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, بیبکد : 1927AnP...387..355U , doi : 10.1002/1033.1002.
ویتاکر، ای تی Watson, GN (1927), A Course of Modern Analysis , انتشارات دانشگاه کمبریج , ص. 392.

مراجع عمومی [ ویرایش ]

EW Hobson، نظریه هارمونیک های کروی و بیضی ، (1955) انتشارات چلسی. شرکت شابک 978-0-8284-0104-3 .
سی. مولر، هارمونیک های کروی ، (1966) اسپرینگر، یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، جلد. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 .
EU Condon و GH Shortley، Theory of Atomic Spectra ، (1970) کمبریج در انتشارات دانشگاه، ISBN 0-521-09209-4 ، به فصل 3 مراجعه کنید .
جی دی جکسون، الکترودینامیک کلاسیک ، ISBN 0-471-30932-X
آلبرت مسیحا، مکانیک کوانتومی ، جلد دوم. (2000) دوور. شابک 0-486-40924-4 .
مطبوعات، WH; Teukolsky، SA; Vetterling، WT; Flannery، BP (2007)، "بخش 6.7. هارمونیک های کروی" ، دستورهای عددی: هنر محاسبات علمی (ویرایش سوم)، نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج، ISBN 978-0-521-88068-8
DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum , (1988) World Scientific Publishing Co., سنگاپور, ISBN 9971-5-0107-4
وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک های کروی" . دنیای ریاضی .
مدوک، جان، هارمونیک های کروی در Boost.Math

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

هارمونیک کروی در MathWorld
نمایش سه بعدی کروی هارمونیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 15:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

8-هارمونیک های کروی

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر در این بخش به بهبود این مقاله کمک کنید. اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژوئیه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

توان کل یک تابع f در ادبیات پردازش سیگنال به عنوان انتگرال تابع مجذور تقسیم بر مساحت دامنه آن تعریف می شود . با استفاده از ویژگی‌های متعامد توابع هارمونیک کروی حقیقی واحد-قدرت، به راحتی می‌توان تأیید کرد که توان کل یک تابع تعریف شده بر روی واحد کره به ضرایب طیفی آن با تعمیم قضیه پارسوال مرتبط است (در اینجا، قضیه بیان می‌شود. برای هارمونیک های نیمه نرمال شده اشمیت، این رابطه برای هارمونیک های متعامد کمی متفاوت است:

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0} ^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$

جایی که

$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m }|^{2}$

به عنوان طیف توان زاویه ای (برای هارمونیک های نیمه نرمال اشمیت) تعریف می شود. به روشی مشابه، می توان قدرت متقاطع دو تابع را به صورت تعریف کرد

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _ {\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$

جایی که

اس()2+1∑=-∗

$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ ell m}^{\ast }$

به عنوان طیف توان متقابل تعریف می شود. اگر توابع f و g میانگین صفر داشته باشند (یعنی ضرایب طیفی f 00 و g 00 صفر هستند)، آنگاه Sff(ℓ) و S fg ( ) مشارکت در واریانس تابع و کوواریانس برای درجه را نشان می دهند . به ترتیب. معمول است که طیف توان (متقابل) به خوبی با یک قانون توان به شکل تقریب می شود.

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

وقتی β = 0 ، طیف "سفید" است زیرا هر درجه دارای قدرت برابر است. وقتی β < 0 ، طیف را "قرمز" می نامند زیرا در درجات پایین با طول موج های بلند توان بیشتری نسبت به درجات بالاتر وجود دارد. در نهایت، زمانی که β > 0 ، طیف "آبی" نامیده می شود. شرط ترتیب رشد Sff(ℓ) به ترتیب تمایز پذیری f در بخش بعدی مربوط می شود.

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

همچنین می توان خواص تمایز پذیری تابع اصلی f را بر حسب مجانبی Sff(ℓ) درک کرد . به طور خاص، اگر Sff(ℓ) سریعتر از هر تابع منطقی به عنوان → ∞ کاهش یابد ، آنگاه f بی نهایت قابل تفکیک است . علاوه بر این، اگر Sff(ℓ) به صورت تصاعدی کاهش یابد، آنگاه f در واقع تحلیلی حقیقی روی کره است .

تکنیک کلی استفاده از تئوری فضاهای سوبولف است . اظهارات مربوط به رشد Sff(ℓ) به تمایز پذیری مشابه نتایج مشابه در رشد ضرایب سری فوریه است . به طور خاص، اگر

$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$

سپس f در فضای سوبولف H s ( S 2 ) است . به طور خاص، قضیه تعبیه سوبولف نشان می دهد که f بی نهایت قابل تمایز است به شرطی که

$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$

برای همه s .

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 15:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

7-هارمونیک های کروی

[ویژگی های تقارن [ ویرایش

هارمونیک های کروی دارای خواص عمیق و پیامدی تحت عملیات وارونگی فضایی (پاریتی) و چرخش هستند.

برابری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: برابری (فیزیک)

هارمونیک های کروی برابری مشخصی دارند. یعنی از نظر وارونگی در مورد مبدا یا زوج هستند یا فرد. وارونگی توسط عملگر نشان داده می شود $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ . سپس، همانطور که از بسیاری جهات می توان دید (شاید به سادگی از تابع تولید هرگلوتز)، با $\mathbf {r}$ بردار واحد بودن

$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r}).$

از نظر زوایای کروی، برابری یک نقطه را با مختصات تبدیل می کند $\{\theta,\varphi \}$ به $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ . بیانیه برابری هارمونیک های کروی پس از آن است

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{ \ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$

(این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: چند جمله ای های لژاندر + m را به دست می دهند و از تابع نمایی m داریم ، با هم برای هارمونیک های کروی برابری .)

برابری برای هارمونیک های کروی حقیقی و برای هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر همچنان برقرار است: اعمال بازتاب نقطه ای به هارمونیک کروی درجه علامت را با ضریب تغییر می دهد .

چرخش ها [ ویرایش ]

چرخش یک تابع کروی حقیقی با m = 0 و = 3 . ضرایب برابر با ماتریس های ویگنر D نیستند، زیرا توابع حقیقی نشان داده شده اند، اما می توان با تجزیه مجدد توابع مختلط به دست آورد.

یک چرخش را در نظر بگیریدآر $\mathcal R$ در مورد مبدایی که بردار واحد را ارسال می کند $\mathbf {r}$ به" ${\mathbf r}'$ . تحت این عملیات، هارمونیک کروی درجه $\ خوب$ و سفارش دهید $متر$ تبدیل به یک ترکیب خطی از هارمونیک های کروی با همان درجه می شود. به این معنا که،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^ {m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $A_{mm'}$ یک ماتریس از نظم است $(2\ell +1)$ که به چرخش بستگی داردآر $\mathcal R$ . با این حال، این روش استاندارد بیان این ویژگی نیست. به روش استانداردی که شخص می نویسد،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ مزدوج مختلط یک عنصر از ماتریس D ویگنر است . به ویژه زمانی که" ${\mathbf r}'$ هست یک $\phi _{0}$ با چرخش آزیموت ما اتحاد را بدست می آوریم،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0 }}.$

رفتار چرخشی هارمونیک‌های کروی شاید ویژگی اصلی آنها از دیدگاه نظریه گروه باشد. این $Y_{\ell }^{m}$ مدرک تحصیلی $\ خوب$ یک مجموعه پایه از توابع برای نمایش غیرقابل تقلیل گروه SO(3) بعد ارائه می کند $(2\ell +1)$ . بسیاری از حقایق در مورد هارمونیک های کروی (مانند قضیه جمع) که به سختی با استفاده از روش های تحلیل اثبات می شوند، با استفاده از روش های تقارن، اثبات های ساده تر و اهمیت عمیق تری به دست می آورند.

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی لاپلاس: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. سی2(اس2) $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ . در کره واحداس2 $S^{2}$ ، هر تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ بنابراین می توان به عنوان یک ترکیب خطی از این موارد گسترش داد:

$f(\theta,\varphi)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m} \,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi).$

این بسط به معنای همگرایی میانگین مربع است - همگرایی در L 2 کره - که به این معناست که

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

ضرایب انبساط مشابه ضرایب فوریه هستند و با ضرب معادله فوق در مزدوج مختلط یک هارمونیک کروی، انتگرال در زاویه جامد Ω، و استفاده از روابط متعامد فوق به دست می آیند. این به شدت توسط نظریه فضایی پایه هیلبرت توجیه می شود. در مورد هارمونیک های متعارف، این به دست می دهد:

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d \Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{ \ell }^{m*}(\theta،\varphi).$

اگر ضرایب به اندازه کافی سریع در کاهش یابد - برای مثال، به صورت نمایی - آنگاه سری نیز به طور یکنواخت به f همگرا می شود .

یک تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ همچنین می تواند از نظر هارمونیک های حقیقی گسترش یابد: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ در بالا به عنوان جمع

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_ {\ell m}(\theta،\varphi).$

همگرایی این سری دوباره در همان معنا وجود دارد، یعنی هارمونیک های کروی حقیقی: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ . مزایای بسط از نظر توابع هارمونیک حقیقی $Y_{\ell m}$ این است که برای توابع حقیقی است: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ ضرایب انبساط $f_{\ell m}$ تضمین شده است که حقیقی هستند، در حالی که ضرایب آنها $f_{\ell }^{m}$ در گسترش آنها از نظر $Y_{\ell}^m$ (با در نظر گرفتن آنها به عنوان توابع: $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ ) آن خاصیت را ندارند.

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 14:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-هارمونیک های کروی

هارمونیک های کروی به شکل دکارتی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی مختلط $Y_{\ell }^{m}$ ایجاد هارمونیک جامد با گسترش ازاس2 $S^{2}$ به همه $\mathbb{R} ^{3}$ به عنوان یک تابع همگن درجه $\ خوب$ ، یعنی تنظیم

$R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\ |}}\راست)$

معلوم می شود که $R_{\ell }^{m}$ مبنای فضای چندجمله ای های هارمونیک و همگن درجه است $\ خوب$ . به طور خاص، این بازنمایی از گروه چرخشی، مبنای (تا عادی سازی منحصر به فرد) گلفاند-تی سدلین است. $SO (3)$ و یک فرمول صریح برای $R_{\ell }^{m}$ در مختصات دکارتی می توان از آن حقیقیت استخراج کرد.

تابع مولد هرگلوتز [ ویرایش ]

اگر قرارداد مکانیک کوانتومی برای: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ، سپس

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{ \sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$

اینجا، $\mathbf {r}$ بردار با اجزا است $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ ، $r=|\mathbf {r} |$ ، و

${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i {\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat { y}} }\راست).$

$\mathbf {a}$ بردار با مختصات مختلط است:

. $\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({ \frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

خاصیت ضروری از $\mathbf {a}$ این است که تهی است:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$

گرفتن کافی است $v$ و $\لامبدا$ به عنوان پاراهای حقیقی در نامگذاری این تابع مولد به نام هرگلوتز ، ما از کورانت-هیلبرت 1962 ، §VII.7 پیروی می‌کنیم که یادداشت‌های منتشر نشده او را برای کشف آن اعتبار می‌دانند.

اساساً تمام خصوصیات هارمونیک های کروی را می توان از این تابع مولد به دست آورد. [15] مزیت فوری این تعریف این است که اگر بردار $\mathbf {r}$ با عملگر بردار اسپین مکانیکی کوانتومی جایگزین می شودجی $\mathbf {J}$ ، به طوری که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ آنالوگ عملگر هارمونیک جامد است (/) $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ ، [16] یک تابع تولید کننده برای مجموعه استاندارد شده ای از عملگرهای تانسور کروی بدست می آید . ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ :

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$

موازی بودن این دو تعریف تضمین می کند که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ تبدیل تحت چرخش ها (به زیر مراجعه کنید) به همان شیوه ای است $Y_{\ell}^m$ ، که به نوبه خود تضمین می کند که آنها عملگرهای تانسور کروی هستند، $T^{(k)}_q$ ، با $k={\ell }$ $q=m$ با رعایت تمام خصوصیات این عملگرها، مانند قضیه ترکیب کلبش-گوردان و قضیه ویگنر-اکارت . علاوه بر این، آنها یک مجموعه استاندارد شده با مقیاس یا عادی سازی ثابت هستند.

همچنین نگاه کنید به: پایه کروی

فرم دکارتی جدا شده [ ویرایش ]

تعریف هرگلوتزی چند جمله‌ای را به دست می‌دهد که در صورت تمایل، ممکن است بیشتر در چند جمله‌ای فاکتورسازی شوند. $z$ و دیگری از $ایکس$ و $y$ ، به شرح زیر (فاز کاندون – شورتلی):

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\ frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\ چپ(-1\راست)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}}،\qquad m>0.$

و برای m = 0 :

$r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }} _{\ell }^{0}.$

اینجا

$A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\cos \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

$B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\sin \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\ راست]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lطبقه (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell } {\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}} \;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$

برای $m=0$ این کاهش می یابد

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1 )^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{ \ell -2k}.$

عاملΠ¯ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ اساساً چند جمله ای لژاندر مرتبط است $P_{\ell }^{m}(\cos \theta)$ ، و عوامل $(A_{m}\pm iB_{m})$ اساسا هستند $e^{\pm im\varphi }$ .

مثالها [ ویرایش ]

استفاده از عبارات برایΠ¯ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ ،آ(،) $A_{m}(x,y)$ ، و $B_{m}(x,y)$ که به صراحت در بالا ذکر شده است، به دست می آوریم:

$Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3} {16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7} {4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \ تتا e^{i\varphi }\right)$

$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5} {32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left( \sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$

ممکن است تأیید شود که این با عملکرد فهرست شده در اینجا و اینجا مطابقت دارد .

فرم های حقیقی [ ویرایش ]

با استفاده از معادلات بالا برای تشکیل هارمونیک های کروی حقیقی، مشاهده می شود که برای>0 $m>0$ فقطآ $صبح}$ شرایط (کسینوس) گنجانده شده است، و برای<0 $m<0$ فقطب $B_{m}$ اصطلاحات (سینوس ها) شامل می شوند:

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell + 1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix} },\qquad m>0.$

و برای m = 0:

$r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ یا }^{0}.$

موارد و مقادیر ویژه [ ویرایش ]

زمانیگه $m=0$ ، هارمونیک های کروی: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ کاهش به چند جمله ای های معمولی لژاندر :

${\displaystyle Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta )$ م،

$Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}} {\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },$ یا ساده تر در مختصات دکارتی،

$r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{ \ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.$
در قطب شمال، جایی که $\theta =0$ ، و $\varphi$ تعریف نشده است، همه هارمونیک های کروی به جز آنهایی که با $m=0$ ناپدید شدن:
$Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1 {4\pi }}}\delta _{m0}.$

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 14:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله امواج الکترومغناطیسی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. یافتن منابع: "معادله امواج الکترومغناطیسی" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( فوریه 2022 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

معادله موج الکترومغناطیسی یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم است که انتشار امواج الکترومغناطیسی را در یک محیط یا در خلاء توصیف می کند . این یک شکل سه بعدی از معادله موج است . شکل همگن معادله که بر حسب میدان الکتریکی E یا میدان مغناطیسی B نوشته شده است ، به شکل زیر است:

${\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2} }}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2 }}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{تراز شده}}$

جایی که

$v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$

سرعت نور (یعنی سرعت فاز ) در محیطی با نفوذپذیری μ و گذردهی ε است و ∇ 2 عملگر لاپلاس است . در خلاء، v ph = c 0 =299 792 458 m/s ، یک ثابت فیزیکی اساسی. [1] معادله امواج الکترومغناطیسی از معادلات ماکسول مشتق شده است . در بیشتر ادبیات قدیمی تر، B را چگالی شار مغناطیسی یا القای مغناطیسی می نامند. معادلات زیر

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{تراز شده}}$ فرض کنید که هر موج الکترومغناطیسی باید یک موج عرضی باشد ، جایی که میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B هر دو عمود بر جهت انتشار موج هستند.

منشا معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

کارت پستال از ماکسول به پیتر تایت .

جیمز کلرک ماکسول در مقاله خود با عنوان نظریه دینامیکی میدان الکترومغناطیسی در سال 1865 از اصلاح قانون مداری آمپر که در بخش سوم مقاله خود در سال 1861 درباره خطوط فیزیکی نیرو ساخته بود استفاده کرد . ماکسول در بخش ششم مقاله خود در سال 1864 با عنوان نظریه الکترومغناطیسی نور ، جریان جابجایی را با برخی از معادلات دیگر الکترومغناطیس ترکیب کرد و معادله موجی با سرعتی برابر با سرعت نور به دست آورد. او اظهار نظر کرد:

به نظر می رسد توافق نتایج نشان می دهد که نور و مغناطیس از یک ماده هستند و نور یک اختلال الکترومغناطیسی است که طبق قوانین الکترومغناطیسی در میدان منتشر می شود. [3]

اشتقاق معادله امواج الکترومغناطیسی توسط ماکسول در آموزش فیزیک مدرن با روشی بسیار کمتر دست و پاگیر که شامل ترکیب نسخه اصلاح شده قانون مداری آمپر با قانون القایی فارادی است، جایگزین شده است .

برای به دست آوردن معادله موج الکترومغناطیسی در خلاء با استفاده از روش مدرن، با شکل مدرن «هویساید» معادلات ماکسول شروع می کنیم . در فضای خالی و بدون شارژ، این معادلات عبارتند از:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\t جزئی}}\\\end{تراز شده}}$

اینها معادلات کلی ماکسول هستند که در مورد شارژ و جریان هر دو روی صفر تنظیم شده اند. با در نظر گرفتن کرل معادلات کرل به دست می آید:

${\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _ {0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \راست) &=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\ varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{تراز شده}}$

می توانیم از اتحاد برداری استفاده کنیم

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf { V}$

که در آن V هر تابع برداری از فضا است. و

$\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)$

که در آن ∇ V یک دوتایی است که وقتی توسط عملگر واگرایی ∇ ⋅ عمل می کند یک بردار به دست می دهد. از آنجا که

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{تراز شده}}$

سپس اولین عبارت سمت راست در اتحاد ناپدید می شود و معادلات موج را به دست می آوریم:

${\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2} }}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{تراز شده}}$

جایی که

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/ s}}$

سرعت نور در فضای آزاد است.

شکل کوواریانت معادله موج همگن [ ویرایش ]

اتساع زمان در حرکت عرضی. شرط ثابت بودن سرعت نور در هر قاب مرجع اینرسی منجر به نظریه نسبیت خاص می شود .

این معادلات نسبیتی را می توان به شکل متناقض به صورت نوشتاری نوشت

$\Box A^{\mu }=0$

که در آن چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

با شرایط گیج لورنز :

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

و کجا

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

عملگر دی المبرت است .

معادله موج همگن در فضازمان منحنی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادلات ماکسول در فضازمان منحنی

معادله موج الکترومغناطیسی به دو صورت اصلاح می‌شود، مشتق با مشتق کوواریانت جایگزین می‌شود و عبارت جدیدی که بستگی به انحنا دارد ظاهر می‌شود.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0$

${R^{\alpha }}_{\beta }$ تانسور انحنای ریچی است و نقطه ویرگول نشان دهنده تمایز کوواریانت است.

تعمیم شرط گیج لورنز در فضازمان منحنی فرض می شود:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$

معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن

بار محلی و چگالی جریان متغیر با زمان می تواند به عنوان منبع امواج الکترومغناطیسی در خلاء عمل کند. معادلات ماکسول را می توان به صورت معادله موج با منابع نوشت. افزودن منابع به معادلات موج، معادلات دیفرانسیل جزئی را ناهمگن می کند.

راه حل های معادله موج الکترومغناطیسی همگن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله موج

راه حل کلی معادله موج الکترومغناطیسی برهم نهی خطی امواج شکل است

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)&=g(\phi (\mathbf {r},t))=g(\omega t-\mathbf {k } \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{تراز شده}}$

برای تقریباً هر تابع خوش رفتار g آرگومان بی بعد φ ، که در آن ω فرکانس زاویه ای (بر حسب رادیان در ثانیه) است ، و k = ( kx ، ky ، kz ) بردار موج است ( به رادیان در هر متر).

اگرچه تابع g می تواند و اغلب یک موج سینوسی تک رنگ است ، لازم نیست که سینوسی یا حتی دوره ای باشد. در عمل، g نمی تواند تناوب بی نهایت داشته باشد، زیرا هر موج الکترومغناطیسی واقعی همیشه باید وسعت محدودی در زمان و مکان داشته باشد. در نتیجه، و بر اساس تئوری تجزیه فوریه ، یک موج واقعی باید از برهم نهی مجموعه ای بی نهایت از فرکانس های سینوسی تشکیل شده باشد.

علاوه بر این، برای یک راه حل معتبر، بردار موج و فرکانس زاویه ای مستقل نیستند. آنها باید به رابطه پراکندگی پایبند باشند :

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

که k عدد موج و λ طول موج است . متغیر c را تنها زمانی می توان در این معادله استفاده کرد که موج الکترومغناطیسی در خلاء باشد.

تک رنگ، حالت ثابت سینوسی [ ویرایش ]

ساده‌ترین مجموعه‌ای از راه‌حل‌های معادله موج از فرض شکل‌های موج سینوسی با یک فرکانس منفرد به شکل قابل تفکیک حاصل می‌شود:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}$

جایی که

واحد موهومی
ω = 2 π f فرکانس زاویه ای بر حسب رادیان در ثانیه است.
f فرکانس بر حسب هرتز و
$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ فرمول اویلر است .

راه حل های موج صفحه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: راه حل های موج صفحه سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی

صفحه ای را در نظر بگیرید که با یک بردار عمود واحد تعریف شده است

$\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.$

سپس راه حل های موج سفر مسطح معادلات موج هستند

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } \\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{تراز شده}}$

که در آن r = ( x , y , z ) بردار موقعیت (بر حسب متر) است.

این راه حل ها امواج مسطحی را نشان می دهند که در جهت بردار نرمال n حرکت می کنند . اگر جهت z را جهت n و جهت x را جهت E تعریف کنیم ، با قانون فارادی میدان مغناطیسی در جهت y قرار دارد و با رابطه با میدان الکتریکی مرتبط است.

$c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.$

چون واگرایی میدان های الکتریکی و مغناطیسی صفر است، هیچ میدانی در جهت انتشار وجود ندارد.

این راه حل، راه حل قطبی شده خطی معادلات موج است. همچنین محلول های قطبی شده دایره ای وجود دارد که در آنها میدان ها حول بردار معمولی می چرخند.

تجزیه طیفی [ ویرایش ]

به دلیل خطی بودن معادلات ماکسول در خلاء، راه حل ها را می توان به برهم نهی سینوسی تجزیه کرد . این مبنای روش تبدیل فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل است. حل سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی شکل می گیرد

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{تراز شده}}$

جایی که

t زمان (بر حسب ثانیه)،
ω فرکانس زاویه ای (به رادیان در ثانیه) است .
k = ( k x ، k y ، k z ) بردار موج است(به رادیان بر متر)، و
$\phi _{0}$ زاویه فاز (به رادیان) است .

بردار موج با فرکانس زاویه ای مرتبط است

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

که k عدد موج و λ طول موج است .

طیف الکترومغناطیسی نمودار بزرگی (یا انرژی) میدان به عنوان تابعی از طول موج است.

گسترش چند قطبی [ ویرایش ]

با فرض تغییر میدان های تک رنگ در زمان به عنوان $e^{-i\omega t}$ ، اگر از معادلات ماکسول برای حذف B استفاده شود ، معادله موج الکترومغناطیسی به معادله هلمهولتز برای E کاهش می یابد :

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E}،$

با k = ω / c همانطور که در بالا داده شد. از طرف دیگر، می توان E را به نفع B حذف کرد تا به دست آید:

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B}.$

یک میدان الکترومغناطیسی عمومی با فرکانس ω را می توان به صورت مجموع جواب های این دو معادله نوشت. جواب های سه بعدی معادله هلمهولتز را می توان به صورت بسط در هارمونیک های کروی با ضرایب متناسب با توابع کروی بسل بیان کرد . با این حال، اعمال این بسط برای هر جزء برداری از E یا B ، راه‌حل‌هایی به دست می‌دهد که به طور کلی بدون واگرایی نیستند ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 )، و بنابراین نیاز به محدودیت‌های اضافی در ضرایب دارند.

انبساط چندقطبی با انبساط نه E یا B ، بلکه r ⋅ E یا r ⋅ B به هارمونیک های کروی، این مشکل را دور می زند. این بسط ها هنوز معادلات هلمهولتز اصلی را برای E و B حل می کنند زیرا برای یک میدان بدون واگرایی F , ∇ 2 ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ 2 F ) . عبارات حاصل برای یک میدان الکترومغناطیسی عمومی عبارتند از:

${\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{ E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M) }\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}( l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\راست ]\,,\end{تراز شده}}$

جایی که $\mathbf{E}_{l,m}^{(E)}$ و $\mathbf{B}_{l,m}^{(E)}$ میدان های چند قطبی الکتریکی مرتبه (l, m) و $\mathbf{E}_{l,m}^{(M)}$ و $\mathbf{B}_{l,m}^{(M)}$ میدان های مغناطیسی چند قطبی متناظر هستند و یک E ( l ، m ) و یک M ( l ، m ) ضرایب انبساط هستند. فیلدهای چندقطبی توسط

${\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m }^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l, m}^{(M)}\,,\end{تراز شده}}$

که در آن h l (1،2) ( x ) توابع کروی هانکل هستند ، El ( 1،2) و Bl (1،2) با شرایط مرزی تعیین می شوند، و

$\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l, m}$

هارمونیک های کروی برداری نرمال شده اند به طوری که

$\int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'} \delta _{m,m'}.$

انبساط چندقطبی میدان الکترومغناطیسی در تعدادی از مسائل مربوط به تقارن کروی کاربرد پیدا می‌کند، برای مثال الگوهای تشعشعات آنتن ، یا واپاشی گامای هسته‌ای . در این کاربردها، شخص اغلب به قدرت تابش شده در میدان دور علاقه مند است . در این مناطق، میدان های E و B به صورت مجانبی نزدیک می شوند

${\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i) ^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \ بار \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{تراز شده}}$

سپس توزیع زاویه‌ای توان تابش شده با میانگین زمانی به وسیله داده می‌شود

${\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+ 1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf { \Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

تئوری و آزمایش [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بیوگرافی [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_wave_equation

+ نوشته شده در پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ ساعت 16:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

7-مکانیک لاگرانژی

مشکل نیروی مرکزی دو بدنه [ ویرایش ]

مقاله‌های اصلی: مسئله دو بدنه و نیروی مرکزی

دو جسم به جرم m 1 و m 2 با بردارهای موقعیت r 1 و r 2 به دلیل پتانسیل مرکزی جذاب V در مدار یکدیگر هستند . ما ممکن است لاگرانژ را بر حسب مختصات موقعیت همانطور که هستند بنویسیم، اما یک روش ثابت برای تبدیل مسئله دو بدنه به یک مسئله یک بدنه به شرح زیر است. مختصات ژاکوبی را معرفی کنید . جدایی اجسام r = r 2 - r 1 و محل مرکز جرم R = ( m 1 r1 + m 2 r 2 ) / ( m 1 + m 2 ) . آنگاه لاگرانژ [35] [36] [nb 4] است.

$L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace { {\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}$

که در آن M = m 1 + m 2 جرم کل است، μ = m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) جرم کاهش یافته است ، و V پتانسیل نیروی شعاعی است که فقط به بزرگی جدایی بستگی دارد. | r | = | r 2 − r 1 | . لاگرانژ به یک ترم مرکز جرم L cm و یک حرکت نسبی تقسیم می شوداصطلاح L rel .

معادله اویلر-لاگرانژ برای R به سادگی است

$M{\ddot {\mathbf {R} }}=0\,,$

که بیان می کند مرکز جرم در یک خط مستقیم با سرعت ثابت حرکت می کند.

از آنجایی که حرکت نسبی فقط به بزرگی جدایی بستگی دارد، ایده آل است که از مختصات قطبی ( r , θ ) استفاده کنیم و r = | r | ،

$L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }} ^{2})-V(r)\,,$

بنابراین θ یک مختصات چرخه ای با تکانه حفظ شده (زاویه ای) مربوطه است

$p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\ تتا }}=\ell \,.$

مختصات شعاعی r و سرعت زاویه ای d θ /d t می توانند با زمان تغییر کنند، اما فقط به گونه ای که ℓ ثابت باشد. معادله لاگرانژ برای r است

$\mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}\,.$

این معادله مشابه معادله شعاعی است که با استفاده از قوانین نیوتن در یک قاب مرجع هم چرخان به دست آمده است، یعنی قابی که با جرم کاهش یافته می چرخد تا ثابت به نظر برسد. حذف سرعت زاویه ای d θ / d t از این معادله شعاعی، [37]

$\mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r ^{3}}}\,.$

که معادله حرکت برای یک مسئله یک بعدی است که در آن ذره ای با جرم μ تحت نیروی مرکزی به سمت داخل - d V / d r و نیروی دوم بیرونی قرار می گیرد که در این زمینه نیروی گریز از مرکز نامیده می شود.

$F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}\,.$

البته، اگر فرد به طور کامل در فرمول یک بعدی باقی بماند، ℓ فقط به عنوان برخی از پارامترهای تحمیلی نیروی بیرونی وارد می شود، و تفسیر آن به عنوان تکانه زاویه ای بستگی به مسئله دو بعدی کلی تری دارد که مسئله یک بعدی از آن منشأ گرفته است. .

اگر کسی با استفاده از مکانیک نیوتنی در یک قاب هم چرخش به این معادله برسد، این تعبیر به عنوان نیروی گریز از مرکز در آن قاب به دلیل چرخش خود قاب مشهود است. اگر کسی مستقیماً با استفاده از مختصات تعمیم یافته ( r , θ ) و به سادگی از فرمول لاگرانژی بدون فکر کردن به فریم ها به این معادله برسیم، تفسیر این است که نیروی گریز از مرکز حاصل استفاده از مختصات قطبی است . همانطور که هیلدبراند می گوید: [38]

"از آنجایی که چنین مقادیری نیروهای فیزیکی واقعی نیستند، اغلب آنها را نیروهای اینرسی می نامند . وجود یا عدم وجود آنها بستگی به مشکل خاصی ندارد، بلکه به سیستم مختصات انتخاب شده بستگی دارد ." به طور خاص، اگر مختصات دکارتی انتخاب شود، نیروی گریز از مرکز ناپدید می شود، و فرمول فقط شامل خود نیروی مرکزی است، که نیروی مرکز را برای یک حرکت منحنی فراهم می کند.

این دیدگاه، که نیروهای ساختگی از انتخاب مختصات منشأ می گیرند، اغلب توسط کاربران روش لاگرانژی بیان می شود. این دیدگاه به طور طبیعی در رویکرد لاگرانژی به وجود می آید، زیرا چارچوب مرجع (احتمالاً ناخودآگاه) با انتخاب مختصات انتخاب می شود. برای مثال، برای مقایسه لاگرانژیان در چارچوب مرجع اینرسی و غیراینرسی، [39] را ببینید. همچنین به بحث در مورد فرمول‌های لاگرانژی «کل» و «به‌روزشده» نگاه کنید . در دیدگاه نیوتنی، نیروی اینرسی از شتاب چارچوب مشاهده سرچشمه می گیرد (این واقعیت که یک چارچوب مرجع اینرسی نیست.) نه در انتخاب سیستم مختصات. برای روشن نگه داشتن مسائل، بی خطرترین کار است که به نیروهای اینرسی لاگرانژی به عنوان نیروهای اینرسی تعمیم یافته اشاره کنیم تا آنها را از نیروهای اینرسی بردار نیوتنی متمایز کنیم. یعنی باید از پیروی هیلدبراند پرهیز کرد که می‌گوید (ص 155) "ما همیشه با نیروهای تعمیم‌یافته ، شتاب‌های سرعت و لحظه‌ای سروکار داریم. برای اختصار، صفت "تعمیم‌شده" اغلب حذف می‌شود.

مشخص است که لاگرانژی یک سیستم منحصر به فرد نیست. در فرمالیسم لاگرانژی، نیروهای ساختگی نیوتنی را می‌توان با وجود لاگرانژی‌های جایگزین شناسایی کرد که در آن‌ها نیروهای ساختگی ناپدید می‌شوند، که گاهی با بهره‌برداری از تقارن سیستم پیدا می‌شوند. [41]

الکترومغناطیس [ ویرایش ]

ذره آزمایشی ذره ای است که جرم و بار آن به قدری کوچک فرض می شود که تأثیر آن بر سیستم خارجی ناچیز است. اغلب یک ذره نقطه ای ساده شده فرضی است که هیچ خاصیت دیگری جز جرم و بار ندارد. ذرات واقعی مانند الکترون ها و کوارک های بالا پیچیده تر هستند و اصطلاحات اضافی در لاگرانژی خود دارند.

لاگرانژی برای یک ذره باردار با بار الکتریکی q ، که با میدان الکترومغناطیسی برهمکنش دارد ، نمونه اولیه یک پتانسیل وابسته به سرعت است. پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ = ϕ ( r , t ) و پتانسیل بردار مغناطیسی A = A ( r , t ) از میدان الکتریکی E = E ( r , t ) و میدان مغناطیسی B = تعریف می شوند .B ( r , t ) به شرح زیر است:

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} = {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \,.$

لاگرانژی یک ذره آزمایشی باردار عظیم در میدان الکترومغناطیسی

$L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi \,,$

حداقل کوپلینگ نامیده می شود . این مثال خوبی برای زمانی است که قاعده کلی که لاگرانژ انرژی جنبشی منهای انرژی پتانسیل است نادرست است. ترکیب با معادله اویلر-لاگرانژ ، قانون نیروی لورنتس را تولید می کند

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r}}}\times \mathbf {B}$

تبدیل تحت گیج :

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}f\,,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}}\,,$

در جایی که f ( r ,t) هر تابع اسکالر فضا و زمان است، لاگرانژی فوق الذکر به صورت زیر تبدیل می شود:

$L\right arrow L+q\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right) f=L+q{\frac {df}{dt}}\,,$

که همچنان همان قانون نیروی لورنتس را تولید می کند.

توجه داشته باشید که تکانه متعارف (مزوج به موقعیت r ) تکانه جنبشی به اضافه سهمی از میدان A است (معروف به تکانه پتانسیل):

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} \،.$

این رابطه همچنین در تجویز جفت حداقل در مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی استفاده می شود . از این عبارت، می‌توان دریافت که تکانه متعارف p ثابت سنج نیست، و بنابراین یک کمیت فیزیکی قابل اندازه‌گیری نیست. با این حال، اگر r چرخه‌ای باشد (یعنی لاگرانژ مستقل از موقعیت r باشد )، که اگر میدان‌های φ و A یکنواخت باشند، این تکانه متعارف p که در اینجا داده می‌شود، تکانه حفظ شده است، در حالی که تکانه جنبشی فیزیکی قابل اندازه‌گیری mv نیست .

الحاقات شامل نیروهای غیر محافظه کار [ ویرایش ]

اتلاف (یعنی سیستم‌های غیر محافظه‌کار) را می‌توان با یک لاگرانژی مؤثر که با دوبرابر شدن معینی درجات آزادی فرموله شده است، درمان کرد. [42] [43] [44] [45]

در یک فرمول کلی تر، نیروها می توانند هم محافظه کارانه و هم چسبناک باشند . اگر بتوان یک تبدیل مناسب از F i پیدا کرد ، ریلی استفاده از تابع اتلاف ، D ، به شکل زیر را پیشنهاد می‌کند: [46]

$D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}} _{j}{\dot {q}}_{k}\,$

که در آن C jk ثابت هایی هستند که به ضرایب میرایی در سیستم فیزیکی مربوط می شوند، البته نه لزوماً با آنها. اگر D به این صورت تعریف شود، [46]

$Q_j = - \frac {\partial V}{\partial q_j} - \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\ راست)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0\,.$

سایر زمینه ها و فرمول ها [ ویرایش ]

ایده‌های مکانیک لاگرانژی کاربردهای متعددی در سایر حوزه‌های فیزیک دارند و می‌توانند نتایج کلی را از حساب تغییرات اتخاذ کنند.

+ نوشته شده در چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ ساعت 2:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

8-مکانیک لاگرانژی

فرمول بندی های جایگزین مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]

یک فرمول نزدیک به مکانیک کلاسیک، مکانیک همیلتونی است . همیلتونی توسط

$H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i} }}-L\,$

و می توان با انجام تبدیل لژاندر روی لاگرانژ به دست آورد، که متغیرهای جدیدی را به صورت متعارف به متغیرهای اصلی معرفی می کند. برای مثال، با توجه به مجموعه‌ای از مختصات تعمیم‌یافته، متغیرهایی که بطور متعارف مزدوج می‌شوند ، لحظه‌های تعمیم‌یافته هستند. این تعداد متغیرها را دو برابر می کند، اما معادلات دیفرانسیل را مرتبه اول می کند. همیلتونی کمیتی به ویژه در مکانیک کوانتومی است که در همه جا حاضر است (به همیلتون (مکانیک کوانتومی) مراجعه کنید ).

مکانیک روتی یک فرمول ترکیبی از مکانیک لاگرانژی و همیلتونی است که اغلب در عمل استفاده نمی شود، اما یک فرمول کارآمد برای مختصات چرخه ای است.

فرمول بندی فضای تکانه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فضای موقعیت و تکانه § مکانیک لاگرانژی

معادلات اویلر-لاگرانژ را می‌توان بر حسب لحظه‌های تعمیم‌یافته و نه مختصات تعمیم‌یافته، فرمول‌بندی کرد. انجام تبدیل لژاندر بر روی مختصات تعمیم یافته لاگرانژی L ( q , d q /d t , t ) گشتاور تعمیم یافته لاگرانژی L '( p , d p /d t , t را به دست می آورد.) بر حسب لاگرانژ اصلی، و همچنین معادلات EL بر حسب لحظه ای تعمیم یافته. هر دو لاگرانژی حاوی اطلاعات یکسانی هستند و می توان از هر یک برای حل حرکت سیستم استفاده کرد. در عمل مختصات تعمیم یافته برای استفاده و تفسیر راحت تر از لحظه ای تعمیم یافته است.

مشتقات بالاتر مختصات تعمیم یافته [ ویرایش ]

هیچ دلیل ریاضی برای محدود کردن مشتقات مختصات تعمیم یافته فقط به مرتبه اول وجود ندارد. می توان معادلات EL اصلاح شده را برای یک لاگرانژی حاوی مشتقات مرتبه بالاتر استخراج کرد، برای جزئیات به معادله اویلر-لاگرانژ مراجعه کنید. با این حال، از دیدگاه فیزیکی، مانعی برای گنجاندن مشتقات زمانی بالاتر از مرتبه اول وجود دارد، که با ساختن فرمالیسم متعارف استروگرادسکی برای لاگرانژی‌های مشتق بالاتر غیرمنحط، به Ostrogradsky_instability دلالت دارد .

اپتیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپتیک همیلتونی

مکانیک لاگرانژی را می توان با اعمال اصول تغییر بر پرتوهای نور در یک محیط، در اپتیک هندسی به کار برد، و حل معادلات EL معادلات مسیرهایی را که پرتوهای نور دنبال می کنند به دست می دهد.

فرمول نسبیتی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مکانیک لاگرانژی نسبیتی

مکانیک لاگرانژی را می توان در نسبیت خاص و نسبیت عام فرموله کرد . برخی از ویژگی‌های مکانیک لاگرانژی در نظریه‌های نسبیتی حفظ شده‌اند، اما مشکلات به سرعت در جنبه‌های دیگر ظاهر می‌شوند. به طور خاص، معادلات EL همان شکل را دارند، و ارتباط بین مختصات چرخه‌ای و لحظه‌ای حفظ‌شده همچنان اعمال می‌شود، اما لاگرانژ باید اصلاح شود و صرفاً جنبشی منهای انرژی پتانسیل یک ذره نیست. همچنین، رسیدگی به سیستم‌های چندذره‌ای به صورت آشکارا کوواریانت ساده نیست ، اگر یک چارچوب مرجع خاص مشخص شود ممکن است.

مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی ، عمل و فاز مکانیکی کوانتومی از طریق ثابت پلانک به هم مرتبط هستند و اصل عمل ساکن را می‌توان بر حسب تداخل سازنده توابع موج درک کرد .

در سال 1948، فاینمن فرمول انتگرال مسیر را کشف کرد که اصل کمترین عمل را به مکانیک کوانتومی برای الکترون‌ها و فوتون‌ها گسترش می‌داد . در این فرمول، ذرات هر مسیر ممکن را بین حالت اولیه و نهایی طی می کنند. احتمال یک حالت نهایی خاص با جمع کردن تمام مسیرهای ممکن منتهی به آن به دست می آید. در رژیم کلاسیک، فرمول انتگرال مسیر به وضوح اصل همیلتون و اصل فرما را در اپتیک بازتولید می کند .

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، مختصات تعمیم یافته مجموعه گسسته ای از متغیرها را تشکیل می دهند که پیکربندی یک سیستم را تعریف می کنند. در نظریه میدان کلاسیک ، سیستم فیزیکی مجموعه‌ای از ذرات مجزا نیست، بلکه یک میدان پیوسته ϕ ( r , t ) است که بر روی یک منطقه از فضای سه‌بعدی تعریف شده است. مرتبط با میدان چگالی لاگرانژی است

${\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {r} ,t)$

بر حسب میدان و مشتقات مکانی و زمانی آن در یک مکان r و زمان t تعریف شده است . مشابه با مورد ذره، برای کاربردهای غیر نسبیتی، چگالی لاگرانژی چگالی انرژی جنبشی میدان است، منهای چگالی انرژی پتانسیل آن (این به طور کلی درست نیست، و چگالی لاگرانژی باید "مهندسی معکوس" شود). سپس لاگرانژ انتگرال حجمی چگالی لاگرانژی در فضای سه بعدی است

$L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

که در آن d 3 r یک عنصر حجم دیفرانسیل سه بعدی است . لاگرانژ تابعی از زمان است زیرا چگالی لاگرانژی وابستگی ضمنی فضایی از طریق میدان‌ها دارد، و ممکن است وابستگی فضایی صریح داشته باشد، اما اینها در انتگرال حذف می‌شوند و تنها زمان به عنوان متغیر لاگرانژ باقی می‌ماند.

قضیه نوتر [ ویرایش ]

اصل کنش، و فرمالیسم لاگرانژی، با قضیه نوتر ، که کمیت‌های فیزیکی حفظ‌شده را به تقارن‌های پیوسته یک سیستم فیزیکی متصل می‌کند، گره خورده است.

اگر لاگرانژ تحت یک تقارن ثابت باشد، معادلات حرکتی حاصل نیز تحت آن تقارن تغییرناپذیر هستند. این مشخصه برای نشان دادن سازگاری نظریه ها با نسبیت خاص یا نسبیت عام بسیار مفید است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پورتال نجوم

مختصات متعارف
لم اساسی حساب تغییرات
مشتق تابعی
مختصات تعمیم یافته
مکانیک هامیلتونی
اپتیک هامیلتونی
مسئله معکوس برای مکانیک لاگرانژی ، موضوع کلی یافتن لاگرانژی برای یک سیستم با توجه به معادلات حرکت.
مشخصات لاگرانژی و اولری میدان جریان
نقطه لاگرانژی
سیستم لاگرانژی
مکانیک غیرخودکار
مشکل فلات
مشکل سه تنه محدود

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics

+ نوشته شده در چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ ساعت 2:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-مکانیک لاگرانژی

مختصات چرخه ای و لحظه ای حفظ شده [ ویرایش ]

یکی از ویژگی های مهم لاگرانژ این است که مقادیر حفظ شده را می توان به راحتی از آن خواند. تکانه تعمیم یافته "به طور متعارف مزدوج به" مختصات q i با تعریف می شود

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

اگر L لاگرانژی به مختصاتی q i وابسته نباشد ، بلافاصله از معادلات اویلر-لاگرانژ نتیجه می‌شود که

${\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\,$

و یکپارچه سازی نشان می دهد که تکانه تعمیم یافته متناظر برابر با یک مقدار ثابت و یک کمیت حفظ شده است. این یک مورد خاص از قضیه نوتر است . چنین مختصاتی را "حلقه ای" یا "غیر قابل توجه" می نامند.

برای مثال، یک سیستم ممکن است لاگرانژی داشته باشد

$L(r،\theta،{\dot {s}}،{\dot {z}}،{\dot {r}}،{\dot {\theta }}،{\dot {\phi }}،t )\،،$

جایی که r و z طول هایی در امتداد خطوط مستقیم هستند، s طول قوس در امتداد برخی از منحنی ها، و θ و φ زاویه هستند. توجه کنید z ، s و φ همگی در لاگرانژ وجود ندارند، حتی اگر سرعت آنها نباشد. سپس لحظه لحظه

$p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}\,,\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot { s}}}}\,,\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,$

همه کمیت های حفظ شده هستند. واحدها و ماهیت هر تکانه تعمیم یافته به مختصات مربوطه بستگی دارد. در این مورد p z یک تکانه انتقالی در جهت z است، ps نیز یک تکانه انتقالی در امتداد منحنی s اندازه گیری می شود، و p φ یک تکانه زاویه ای در صفحه است که زاویه φ در آن اندازه گیری می شود. هر چند حرکت پیچیده باشد سیستم این است که همه مختصات و سرعت ها به گونه ای تغییر می کنند که این لحظه ها حفظ شوند.

انرژی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

با توجه به لاگرانژی، $L،$ انرژی سیستم مکانیکی مربوطه، طبق تعریف ،

$E={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q} }_{i}}}{\biggr )}-L.$

تغییر ناپذیری تحت تبدیل مختصات [ ویرایش ]

در هر لحظه $تی،$ انرژی تحت تغییرات مختصات فضای پیکربندی ثابت است $\mathbf {q} \to \mathbf {Q}$ ، یعنی

$E(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q},{\dot {\mathbf {Q} }},t).$

علاوه بر این نتیجه، اثبات زیر نشان می‌دهد که تحت چنین تغییر مختصات، مشتقات $\partial L/\partial {\dot {q}}_{i}$ به عنوان ضرایب یک فرم خطی تغییر می کند.

نشان می دهداثبات

حفاظت [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، سیستم بسته است اگر و فقط اگر لاگرانژی باشد $L$ به صراحت به زمان بستگی ندارد. قانون بقای انرژی بیان می کند که انرژی $E$ یک سیستم بسته یک انتگرال حرکت است .

به طور دقیق تر، اجازه دهید $\mathbf {q} =\mathbf {q} (t)$ افراطی بودن . (به عبارت دیگر، $\mathbf {q}$ معادلات اویلر-لاگرانژ را برآورده می کند). در نظر گرفتن کل مشتق زمانی از $L$ در امتداد این اکسترمال و استفاده از معادلات EL منجر به

$-{\frac {\partial L}{\partial t}}{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d } t}}\left[E{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}\راست].$

اگر لاگرانژی $L$ پس صراحتاً به زمان بستگی ندارد، $\جزئی L/\جزئی t=0،$ بنابراین $E$ در واقع یک انتگرال حرکت است، به این معنی که

$E(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{const}}.$

از این رو، انرژی حفظ می شود.

انرژی های جنبشی و بالقوه [ ویرایش ]

همچنین نتیجه می شود که انرژی جنبشی تابع همگن درجه 2 در سرعت های تعمیم یافته است. علاوه بر این، اگر پتانسیل V فقط تابع مختصات و مستقل از سرعت باشد، با محاسبه مستقیم یا استفاده از قضیه اویلر برای توابع همگن ، نتیجه می‌شود که

$\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=2T\,.$

تحت همه این شرایط، [33] ثابت

$E=T+V$

انرژی کل سیستم است. انرژی های جنبشی و پتانسیل همچنان با تکامل سیستم تغییر می کنند، اما حرکت سیستم به گونه ای خواهد بود که مجموع آنها، انرژی کل، ثابت باشد. این یک ساده سازی ارزشمند است، زیرا انرژی E یک ثابت ادغام است که به عنوان یک ثابت دلخواه برای مسئله به حساب می آید، و ممکن است بتوان سرعت های این رابطه انرژی را برای حل مختصات ادغام کرد. در صورتی که سرعت یا انرژی جنبشی یا هر دو به زمان بستگی داشته باشد، انرژی حفظ نمی شود .

شباهت مکانیکی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: شباهت مکانیکی

اگر انرژی پتانسیل تابعی همگن از مختصات و مستقل از زمان باشد، [34] و همه بردارهای موقعیت با همان ثابت غیرصفر α ، r k ′ = α r k مقیاس بندی می شوند ، به طوری که

$V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V( \mathbf {r} _{1}،\mathbf {r} _{2}،\ldots،\mathbf {r} _{N})$

و زمان با ضریب β , t = βt , سپس سرعتهای v k با ضریب α / β و انرژی جنبشی T با ( α / β ) 2 مقیاس می شوند . کل لاگرانژی با همان فاکتور اگر مقیاس شده است

${\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N {2}}}\,.$

از آنجایی که طول ها و زمان ها مقیاس بندی شده اند، مسیر ذرات در سیستم مسیرهای هندسی مشابهی را دنبال می کنند که در اندازه متفاوت هستند. طول l پیموده شده در زمان t در مسیر اصلی مطابق با طول جدید l' پیموده شده در زمان t' در مسیر جدید است که توسط نسبت ها داده می شود.

${\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}\,.$

ذرات متقابل [ ویرایش ]

برای یک سیستم معین، اگر دو زیرسیستم A و B غیر متقابل باشند، L لاگرانژی سیستم کلی مجموع لاگرانژی L A و L B برای زیرسیستم‌ها است: [29]

$L=L_{A}+L_{B}\،.$

اگر آنها تعامل داشته باشند این امکان پذیر نیست. در برخی موقعیت‌ها، ممکن است بتوان لاگرانژی سیستم L را به مجموع لاگرانژی‌های غیر متقابل، به اضافه L AB لاگرانژی دیگری که حاوی اطلاعاتی درباره برهمکنش است، جدا کرد.

$L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}\،.$

این ممکن است از نظر فیزیکی با در نظر گرفتن لاگرانژهای غیر متقابل به عنوان انرژی جنبشی ایجاد شود، در حالی که لاگرانژین برهمکنش کل انرژی پتانسیل سیستم است. همچنین، در حالت محدود کننده تعامل ناچیز، L AB به سمت صفر کاهش می‌یابد تا حالت غیر متقابل بالا کاهش یابد.

گسترش بیش از دو زیرسیستم غیر متقابل ساده است - لاگرانژی کلی مجموع لاگرانژهای جداگانه برای هر زیرسیستم است. اگر فعل و انفعالاتی وجود داشته باشد، لاگرانژی های تعاملی ممکن است اضافه شوند.

مثالها [ ویرایش ]

مثال‌های زیر معادلات لاگرانژ از نوع دوم را برای مسائل مکانیکی اعمال می‌کنند.

نیروی محافظه کار [ ویرایش ]

ذره ای به جرم m تحت تأثیر نیروی محافظه کارانه ناشی از گرادیان ∇ پتانسیل اسکالر حرکت می کند .

$\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r})\,.$

اگر تعداد ذرات بیشتر باشد، مطابق با نتایج فوق، انرژی جنبشی کل مجموع تمام انرژی‌های جنبشی ذرات است و پتانسیل تابعی از همه مختصات است.

مختصات دکارتی [ ویرایش ]

لاگرانژی ذره را می توان نوشت

$L(x,y,z,{\dot {x}},{\ dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x }}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z)\,.$

معادلات حرکت برای ذره با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ ، برای مختصات x پیدا می شود.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={ \frac {\partial L}{\partial x}}\,,$

با مشتقات

${\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial { \dot {x}}}}=m{\dot {x}}\,,\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}\,,$

از این رو

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,$

و به طور مشابه برای مختصات y و z . با جمع آوری معادلات به صورت برداری پیدا می کنیم

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\boldsymbol {\nabla }}V$

که قانون دوم حرکت نیوتن برای ذره ای است که تحت یک نیروی محافظه کار است.

مختصات قطبی در دو بعدی و سه بعدی [ ویرایش ]

با استفاده از مختصات کروی (r، θ ، φ ) که معمولاً در فیزیک استفاده می شود (قرارداد ISO 80000-2:2019)، که در آن r فاصله شعاعی تا مبدأ است، θ زاویه قطبی است (همچنین به عنوان همپوشانی، زاویه اوج، زاویه معمولی نیز شناخته می شود. ، یا زاویه شیب)، و φ زاویه ازیموتال است، لاگرانژ برای پتانسیل مرکزی است

$L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2 }\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.$

بنابراین، در مختصات کروی، معادلات اویلر-لاگرانژ هستند

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\ frac {\partial V}{\partial r}}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \ تتا \,{\dot {\varphi }}^{2}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0\ ،.$

مختصات φ چرخه ای است زیرا در لاگرانژی ظاهر نمی شود، بنابراین تکانه حفظ شده در سیستم، تکانه زاویه ای است.

$p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}\ ،،$

که در آن r ، θ و dφ/dt همگی می توانند با زمان تغییر کنند، اما فقط به گونه ای که p φ ثابت باشد.

لاگرانژ در مختصات قطبی دوبعدی با تثبیت θ به مقدار ثابت π /2 بازیابی می شود.

آونگ روی تکیه گاه متحرک [ ویرایش ]

طرحی از وضعیت با تعریف مختصات (برای بزرگنمایی کلیک کنید)

آونگی به جرم m و طول ℓ را در نظر بگیرید که به تکیه‌گاهی با جرم M متصل است که می‌تواند در امتداد یک خط حرکت کند.ایکس $ایکس$ -جهت. اجازه دهیدایکس $ایکس$ مختصات در امتداد خط تکیه گاه باشد، و اجازه دهید موقعیت آونگ را با زاویه نشان دهیم $\ تتا$ از عمودی مختصات و مولفه های سرعت آونگ باب هستند

${\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} } ={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\ نقطه {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \,.\end{آرایه}}$

مختصات تعمیم یافته را می توان در نظر گرفتایکس $ایکس$ و $\ تتا$ . انرژی جنبشی سیستم پس از آن است

$T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_ {\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)$

و انرژی پتانسیل است

$V=mgy_{\mathrm {pend} }$

دادن لاگرانژ

${\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1 {2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right ){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^ {2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta \,.\end{آرایه}}$

از آنجا کهایکس $ایکس$ در لاگرانژی وجود ندارد، یک مختصات چرخه ای است. تکانه حفظ شده است

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\ تتا }}\cos \theta \,$

و معادله لاگرانژ برای مختصات پشتیبانیایکس $ایکس$ است

$(M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \ تتا = 0\,.$

معادله لاگرانژ برای زاویه $\ تتا$ است

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( \dot x \ell \cos\theta + \ell^2 \dot\theta ) \right] + m \ell (\ نقطه x \dot \theta + g) \sin\theta = 0;$

و ساده کردن

${\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.$

این معادلات ممکن است کاملاً پیچیده به نظر برسند، اما یافتن آنها با قوانین نیوتن مستلزم شناسایی دقیق همه نیروها بود که بسیار پر زحمت و مستعد خطا بودند. با در نظر گرفتن موارد محدود می توان صحت این سیستم را تأیید کرد: به عنوان مثال،ایکس¨→0 ${\ddot {x}}\to 0$ باید معادلات حرکت یک آونگ ساده را که در یک قاب اینرسی ساکن است ، ارائه دهد ، در حالی که¨→0 ${\ddot {\theta }}\to 0$ باید معادلات یک آونگ در یک سیستم دائماً شتاب‌دهنده و غیره را ارائه دهد. علاوه بر این، با توجه به شرایط شروع مناسب و یک گام زمانی انتخابی، با گام برداشتن از نتایج به صورت تکراری، به دست آوردن نتایج به صورت عددی امری بی‌اهمیت است .

+ نوشته شده در چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ ساعت 2:34 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-مکانیک لاگرانژی

معادلات اویلر-لاگرانژ و اصل همیلتون [ ویرایش ]

همانطور که سیستم تکامل می یابد، q مسیری را از طریق فضای پیکربندی ردیابی می کند (فقط برخی از آنها نشان داده شده است). مسیر طی شده توسط سیستم (قرمز) دارای یک عمل ثابت است (δ S = 0) تحت تغییرات کوچک در پیکربندی سیستم (δ q ). [22]

برای یک نیروی غیر محافظه کار که به سرعت بستگی دارد، ممکن است بتوان تابع انرژی پتانسیل V را پیدا کرد که به موقعیت ها و سرعت ها بستگی دارد. اگر نیروهای تعمیم یافته Q i را بتوان از پتانسیل V به دست آورد که [23] [24]

$Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}} }-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,$

معادل کردن معادلات لاگرانژ و تعریف لاگرانژ به صورت L = T − V معادلات لاگرانژ نوع دوم یا معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ به دست می آید .

${\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}=0\,.$

با این حال، معادلات اویلر-لاگرانژ تنها در صورتی می‌توانند نیروهای غیرمحافظه‌کار را محاسبه کنند که یک پتانسیل مطابق شکل پیدا شود. این ممکن است همیشه برای نیروهای غیر محافظه کار ممکن نباشد، و معادلات لاگرانژ شامل هیچ بالقوه ای نیست، فقط نیروهای تعمیم یافته را شامل می شود. بنابراین آنها از معادلات اویلر-لاگرانژ کلی تر هستند.

معادلات اویلر-لاگرانژ نیز از حساب تغییرات پیروی می کنند . تنوع لاگرانژی است

$\delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac { \جزئی L}{\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right)\,,\quad \delta {\dot {q}} _{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j}) }{\mathrm {d} t}}\,,$

که شکلی شبیه دیفرانسیل کل L دارد ، اما جابجایی های مجازی و مشتقات زمانی آنها جایگزین دیفرانسیل ها می شوند و مطابق با تعریف جابجایی های مجازی، افزایش زمانی وجود ندارد . ادغام توسط قطعات با توجه به زمان می تواند مشتق زمانی δq j را به ∂ L /∂ (d q j / d t ) منتقل کند، در فرآیند مبادله d( δq j )/d t برای δq j ، که به مستقل اجازه می دهد. جابجایی های مجازی که باید از مشتقات لاگرانژ فاکتورسازی شوند،

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _ {j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm { d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d } }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d } t\,=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j} \right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({ \frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t\,.$

حال، اگر شرط δq j ( t 1 ) = δq j ( t 2 ) = 0 برای همه j برقرار باشد ، عبارت های ادغام نشده صفر هستند. اگر علاوه بر این، کل انتگرال زمانی δL صفر باشد، پس چون δq j مستقل هستند و تنها راه برای صفر شدن یک انتگرال معین این است که انتگرال برابر با صفر باشد، هر یک از ضرایب δq j نیز باید صفر باشد. سپس معادلات حرکت را بدست می آوریم. این را می توان با اصل همیلتون خلاصه کرد :

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0\,.$

انتگرال زمانی لاگرانژ کمیت دیگری به نام عمل است که به صورت [25] تعریف می شود.

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,,$

که یک عملکردی است ؛ تابع لاگرانژی را برای تمام زمان های بین t 1 و t 2 می گیرد و یک مقدار اسکالر را برمی گرداند. ابعاد آن مانند [ تکانه زاویه ای ]، [انرژی]·[زمان] یا [طول]·[تکانه] است. با این تعریف اصل همیلتون است

$\delta S=0\,.$

بنابراین، به جای فکر کردن در مورد شتاب ذرات در پاسخ به نیروهای اعمال شده، ممکن است به این فکر کنیم که آنها مسیر را با یک عمل ثابت انتخاب می کنند، در حالی که نقاط انتهایی مسیر در فضای پیکربندی در زمان های اولیه و نهایی ثابت هستند. گاهی اوقات از اصل همیلتون به عنوان اصل کم‌ترین عمل یاد می‌شود ، با این حال تابع عمل فقط باید ثابت باشد ، نه لزوماً یک مقدار حداکثر یا حداقل. هر گونه تغییر عملکردی باعث افزایش انتگرال عملکردی عمل می شود.

از نظر تاریخی، ایده یافتن کوتاه‌ترین مسیری که یک ذره می‌تواند بر اساس نیرویی دنبال کند، اولین کاربردهای حساب تغییرات را برای مسائل مکانیکی ایجاد کرد، مانند مسئله براکیستوکرون که توسط ژان برنولی در سال 1696 حل شد ، و همچنین لایب‌نیتس ، دانیل برنولی ، L'Hôpital تقریباً در همان زمان و نیوتن در سال بعد. [26] خود نیوتن در امتداد خطوط حساب متغیر فکر می کرد، اما منتشر نکرد. [26] این ایده ها به نوبه خود منجر به اصول تغییر مکانیک، فرما ، Maupertuis می شود.اویلر ، همیلتون و دیگران.

اگر معادلات محدودیت را بتوان به شکل معینی، ترکیبی خطی از دیفرانسیل های مرتبه اول در مختصات، قرار داد ، اصل همیلتون را می توان برای محدودیت های غیرهولونومیک به کار برد. معادله محدودیت حاصل را می توان به معادله دیفرانسیل مرتبه اول بازآرایی کرد. [27] این در اینجا داده نخواهد شد.

+ نوشته شده در چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ ساعت 2:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-مکانیک لاگرانژی

اصل دالامبر [ ویرایش ]

ژان دالامبر (1717-1783)

یک درجه آزادی

دو درجه آزادی.

نیروی محدودیت C و جابجایی مجازی δ r برای ذره ای با جرم m محدود به یک منحنی. نیروی غیر محدودیتی حاصل N است .

یک نتیجه اساسی در مکانیک تحلیلی اصل دالامبر است که در سال 1708 توسط ژاک برنولی برای درک تعادل استاتیکی معرفی شد و توسط دالامبر در سال 1743 برای حل مسائل دینامیکی توسعه یافت. [13] این اصل برای N ذره بیان می کند که کار مجازی، یعنی کار در امتداد یک جابجایی مجازی، δr k ، صفر است: [5]

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k}) \cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,.$

جابجایی‌های مجازی ، δrk ، طبق تعریف، تغییرات بی‌نهایت کوچکی در پیکربندی سیستم هستند که با نیروهای محدودیتی که در یک لحظه بر سیستم وارد می‌شوند ، [ 14 ] ، یعنی به گونه‌ای که نیروهای محدودیت حرکت محدود را حفظ می‌کنند. . آنها با جابجایی های واقعی در سیستم یکسان نیستند، که ناشی از محدودیت های حاصل و نیروهای غیرمحدودی است که بر روی ذره برای شتاب و حرکت آن وارد می شوند. [nb 2] کار مجازی کاری است که در امتداد یک جابجایی مجازی برای هر نیرو (محدود یا غیرمحدودیت) انجام می شود.

از آنجایی که نیروهای محدودیت عمود بر حرکت هر ذره در سیستم عمل می کنند تا محدودیت ها را حفظ کنند، کل کار مجازی توسط نیروهای محدودیت وارد بر سیستم صفر است: [15] [nb 3]

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,,$

به طوری که

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _ {k}=0\,.$

بنابراین اصل دالامبر به ما این امکان را می دهد که فقط روی نیروهای غیر محدودیتی اعمال شده تمرکز کنیم و نیروهای محدودیت را در معادلات حرکت حذف کنیم. [16] [17] شکل نشان داده شده نیز مستقل از انتخاب مختصات است. با این حال، نمی توان به راحتی از آن برای تنظیم معادلات حرکت در یک سیستم مختصات دلخواه استفاده کرد، زیرا جابجایی های δrk ممکن است توسط یک معادله محدودیت به هم متصل شوند، که ما را از تنظیم مجموع N فردی بر روی 0 باز می دارد. بنابراین ما به دنبال یک سیستم مختصات متقابل مستقلی که مجموع مجموع آنها 0 خواهد بود اگر و فقط اگر مجموع مجزاها 0 باشد. تنظیم هر یک از مجموع ها روی 0 در نهایت معادلات حرکت جدا شده ما را به ما می دهد.

معادلات حرکت از اصل دالامبر [ ویرایش ]

اگر محدودیت هایی روی ذره k وجود داشته باشد ، پس از آنجایی که مختصات موقعیت r k = ( x k , y k , z k ) با یک معادله محدودیت به هم مرتبط می شوند، جابجایی های مجازی δ r k = ( δx k ) نیز وجود دارد. , δy k , δz k ). از آنجایی که مختصات تعمیم یافته مستقل هستند، می توانیم با تبدیل به جابجایی های مجازی در مختصات تعمیم یافته از عوارض مربوط به δ r k جلوگیری کنیم. اینها به همان شکل مرتبط هستنددیفرانسیل کل ، [5]

$\delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j} }}\delta q_{j}\,.$

هیچ مشتق زمانی جزئی با توجه به زمان ضرب در یک افزایش زمانی وجود ندارد، زیرا این یک جابجایی مجازی است، یکی در امتداد محدودیت ها در یک لحظه از زمان.

اولین عبارت در اصل دالامبر در بالا، کار مجازی است که توسط نیروهای غیرمحدود N k در امتداد جابجایی‌های مجازی δrk انجام می‌شود ، و می‌توان بدون از دست دادن کلیت آن را با تعریف نیروهای تعمیم‌یافته به آنالوگ‌های تعمیم‌یافته تبدیل کرد.

$Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\,,$

به طوری که

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N} \mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}\,.$

این نیمی از تبدیل به مختصات تعمیم یافته است. باقی مانده است که عبارت شتاب را به مختصات تعمیم یافته تبدیل کنیم، که بلافاصله مشخص نیست. با یادآوری شکل لاگرانژ قانون دوم نیوتن، مشتقات جزئی انرژی جنبشی با توجه به مختصات و سرعت های تعمیم یافته را می توان یافت که نتیجه مطلوب را به دست می دهد: [ 5]

$\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_ {j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}- {\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\,.$

اکنون اصل دالامبر در مختصات تعمیم یافته در صورت لزوم است.

$\sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\ T جزئی {\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}= 0\,,$

و از آنجایی که این جابجایی‌های مجازی δq j مستقل و غیرصفر هستند، ضرایب را می‌توان برابر با صفر دانست که در نتیجه معادلات لاگرانژ [18] [19] یا معادلات تعمیم‌یافته حرکت ، [20]

$Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}} }-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$

این معادلات معادل قوانین نیوتن برای نیروهای غیرمحدود است . نیروهای تعمیم یافته در این معادله فقط از نیروهای غیر محدودیتی مشتق شده اند - نیروهای محدودیت از اصل دالامبر مستثنی شده اند و نیازی به یافتن ندارند. نیروهای تعمیم یافته ممکن است غیر محافظه کار باشند، مشروط بر اینکه اصل دالامبر را برآورده کنند. [21]

+ نوشته شده در چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ ساعت 2:30 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-مکانیک لاگرانژی

لاگرانژی [ ویرایش ]

مکانیک لاگرانژی به جای نیرو، از انرژی های موجود در سیستم استفاده می کند. کمیت مرکزی مکانیک لاگرانژی لاگرانژی است ، تابعی که دینامیک کل سیستم را خلاصه می کند. به طور کلی، لاگرانژ دارای واحدهای انرژی است، اما هیچ بیان واحدی برای همه سیستم‌های فیزیکی ندارد. هر تابعی که معادلات صحیح حرکت را در توافق با قوانین فیزیکی ایجاد کند، می تواند به عنوان لاگرانژی در نظر گرفته شود. با این وجود می توان عبارات کلی برای کلاس های بزرگی از برنامه ها ساخت. لاگرانژی غیر نسبیتی برای سیستمی از ذرات در غیاب میدان مغناطیسی توسط [4] به دست می آید.

$L=TV$

جایی که

$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}$ انرژی جنبشی کل سیستم، برابر با مجموع Σ انرژی جنبشی ذرات است، [5] و V انرژی پتانسیل سیستم است .

انرژی جنبشی انرژی حرکت سیستم است و v k 2 = v k · v k قدر مجذور سرعت است که معادل حاصل ضرب نقطه ای سرعت با خودش است. انرژی جنبشی تنها تابعی از سرعت v k است ، نه موقعیت r k و نه زمان t ، بنابراین T = T ( v 1 ، v 2 ، ...).

انرژی پتانسیل سیستم انرژی برهمکنش بین ذرات را منعکس می‌کند، یعنی اینکه هر ذره در اثر بقیه و سایر تأثیرات خارجی چقدر انرژی خواهد داشت. برای نیروهای محافظه کار (مثلاً گرانش نیوتنی )، تابعی از بردارهای موقعیت ذرات است، بنابراین V = V ( r 1 ، r 2 ، ...). برای آن دسته از نیروهای غیر محافظه کار که می توانند از یک پتانسیل مناسب استخراج شوند (مثلاً پتانسیل الکترومغناطیسی ) ، سرعت ها نیز ظاهر می شوند، V = V ( r1 , r2 ) ., ..., v 1 , v 2 , ...). اگر مقداری میدان خارجی یا نیروی محرکه خارجی با زمان تغییر کند، پتانسیل با زمان تغییر خواهد کرد، بنابراین به طور کلی V = V ( r 1 ، r 2 ، ...، v 1 ، v 2 ، ...، t ) .

شکل بالا از L در مکانیک لاگرانژی نسبیتی یا در حضور میدان مغناطیسی هنگام استفاده از عبارت معمولی برای انرژی پتانسیل برقرار نیست و باید با تابعی مطابق با نسبیت خاص یا عام جایگزین شود. همچنین برای نیروهای اتلاف کننده باید تابع دیگری در کنار L معرفی شود .

یک یا چند ذره ممکن است هر کدام تحت یک یا چند محدودیت هولونومی باشند . چنین محدودیتی با معادله ای به شکل f ( r , t ) = 0 توصیف می شود. اگر تعداد قیود در سیستم C باشد ، آنگاه هر محدودیت دارای یک معادله است، f 1 ( r , t ) = 0، f 2 ( r , t ) = 0, ..., f C ( r , t ) = 0 که هر کدام می تواند برای هر یک از ذرات اعمال شود. اگر ذره k تابع قید i باشد ، پسf i ( r k , t ) = 0. در هر لحظه از زمان، مختصات یک ذره محدود به هم مرتبط هستند و مستقل نیستند. معادلات محدودیت مسیرهای مجاز را تعیین می کنند که ذرات می توانند در امتداد آنها حرکت کنند، اما نه اینکه کجا هستند یا با چه سرعتی در هر لحظه حرکت می کنند. محدودیت‌های غیرهولونومیک به سرعت ذرات، شتاب‌ها یا مشتقات بالاتر موقعیت بستگی دارند. مکانیک لاگرانژی را فقط می‌توان برای سیستم‌هایی اعمال کرد که محدودیت‌های آنها، در صورت وجود، همه هولونومی هستند . سه نمونه از محدودیت‌های غیرهولونومیک عبارتند از: [6]هنگامی که معادلات محدودیت غیر قابل انتگرال هستند، زمانی که محدودیت ها دارای نابرابری هستند، یا با نیروهای غیر محافظه کار پیچیده مانند اصطکاک. محدودیت‌های غیرهولونومیک نیاز به درمان خاصی دارند و ممکن است مجبور باشیم به مکانیک نیوتنی برگردیم یا از روش‌های دیگر استفاده کنیم.

اگر T یا V یا هر دو به‌دلیل محدودیت‌های متغیر با زمان یا تأثیرات خارجی به طور صریح به زمان وابسته باشند، L لاگرانژی ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ... t ) صراحتاً وابسته به زمان است . اگر نه پتانسیل و نه انرژی جنبشی به زمان بستگی ندارد، آنگاه L لاگرانژی ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ...) به صراحت از زمان مستقل است.. در هر صورت، لاگرانژی همیشه از طریق مختصات تعمیم یافته وابستگی زمانی ضمنی خواهد داشت.

با این تعاریف، معادلات لاگرانژ از نوع اول [7] است .

معادلات لاگرانژ (نوع اول)

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\ جزئی L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{ i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0$

جایی که k = 1، 2، ...، N ذرات را برچسب گذاری می کند، یک ضریب لاگرانژ λ i برای هر معادله محدودیت f i وجود دارد ، و

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac { \partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)\,,\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial } {\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)$

هر کدام مختصر برای بردار مشتقات جزئی ∂/∂ با توجه به متغیرهای نشان داده شده هستند (نه مشتق با توجه به کل بردار). [nb 1] هر overdot مختصر یک مشتق زمانی است . این روش تعداد معادلات را در مقایسه با قوانین نیوتن از 3 N به 3 N + C افزایش می دهد، زیرا 3 N معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات و ضرب کننده های موقعیت به اضافه C وجود دارد.معادلات محدودیت با این حال، هنگامی که در کنار مختصات موقعیت ذرات حل شود، ضرب کننده ها می توانند اطلاعاتی در مورد نیروهای محدودیت به دست آورند. لازم نیست مختصات با حل معادلات قید حذف شوند.

در لاگرانژی، مختصات موقعیت و مولفه‌های سرعت همگی متغیرهای مستقل هستند و مشتقات لاگرانژی با توجه به آنها به طور جداگانه طبق قوانین تمایز معمول (مثلاً مشتق جزئی L با توجه به مولفه سرعت z ذره گرفته می‌شوند. 2، تعریف شده توسط، $v_{z,2}=dz_{2}/dt$ ، فقط است $\partial L/\partial v_{z,2}$ ; برای ارتباط دادن مولفه سرعت به مختصات مربوطه z 2 نیازی به استفاده از قوانین زنجیره نامناسب یا مشتقات کل نیست .

در هر معادله محدودیت، یک مختصات زائد است زیرا از مختصات دیگر تعیین می شود. بنابراین تعداد مختصات مستقل n = 3 N - C است . ما می‌توانیم هر بردار موقعیت را به یک مجموعه مشترک از n مختصات تعمیم‌یافته تبدیل کنیم ، که به راحتی به صورت n -tuple q = ( q 1 , q 2 , ... q n ) نوشته می‌شود، با بیان هر بردار موقعیت، و از این رو مختصات موقعیت، به عنوان توابع مختصات تعمیم یافته و زمان،

$\mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)=(x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k }(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t)\,.$

بردار q نقطه ای در فضای پیکربندی سیستم است. مشتقات زمانی مختصات تعمیم یافته را سرعت های تعمیم یافته می نامند و برای هر ذره تبدیل بردار سرعت آن، مشتق کل موقعیت آن نسبت به زمان است.

${\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\,,\quad \mathbf {v} _{ k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j }+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\,.$

با توجه به این v k ، انرژی جنبشی در مختصات تعمیم یافته به سرعت های تعمیم یافته، مختصات تعمیم یافته و زمان بستگی دارد اگر بردارهای موقعیت به دلیل محدودیت های متغیر زمان به طور صریح به زمان وابسته باشند، بنابراین $T=T(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)$ .

با این تعاریف، معادلات اویلر-لاگرانژ ، یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم [8] [9]

معادلات لاگرانژ (نوع دوم)

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\ q_j} جزئی$

نتایج ریاضی حاصل از حساب تغییرات هستند که می توانند در مکانیک نیز استفاده شوند. جایگزینی در L لاگرانژی ( q , d q /d t , t ) معادلات حرکت سیستم را به دست می دهد. تعداد معادلات در مقایسه با مکانیک نیوتنی کاهش یافته است، از 3 N به n = 3 N - C معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات تعمیم یافته است. این معادلات به هیچ وجه شامل نیروهای محدودیت نمی شود، فقط باید نیروهای غیرمحدود را در نظر گرفت.

اگرچه معادلات حرکت مشتقات جزئی را شامل می شود ، اما نتایج مشتقات جزئی هنوز معادلات دیفرانسیل معمولی در مختصات موقعیت ذرات هستند. مشتق کل زمان که d/d t نشان داده می شود اغلب شامل تمایز ضمنی است . هر دو معادله در لاگرانژی خطی هستند، اما به طور کلی معادلات جفت شده غیرخطی در مختصات خواهند بود.

از مکانیک نیوتنی تا لاگرانژی [ ویرایش ]

قوانین نیوتن [ ویرایش ]

اسحاق نیوتن (1642-1727)

برای سادگی، قوانین نیوتن را می توان برای یک ذره بدون از دست دادن کلیت زیاد نشان داد (برای سیستمی از ذرات N ، همه این معادلات برای هر ذره در سیستم اعمال می شود). معادله حرکت برای یک ذره با جرم m قانون دوم نیوتن در سال 1687 در نماد برداری مدرن است .

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,,$

که در آن a شتاب و F نیروی حاصل بر آن است. در سه بعد فضایی، این یک سیستم از سه معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده برای حل است، زیرا سه جزء در این معادله برداری وجود دارد. راه حل بردار موقعیت r ذره در زمان t است ، مشروط به شرایط اولیه r و v زمانی که t = 0 باشد.

استفاده از قوانین نیوتن در مختصات دکارتی آسان است، اما مختصات دکارتی همیشه راحت نیستند و برای سایر سیستم های مختصات، معادلات حرکت می تواند پیچیده شود. در مجموعه ای از مختصات منحنی ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )، قانون در نماد شاخص تانسور "شکل لاگرانژی" است [10] [11]

$F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^ {a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}} {\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\ جزئی {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right)\,,\quad {\dot {\xi } }^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}}\,,$

که در آن F a امین مولفه متضاد نیروی حاصل بر ذره است ، Γ a bc نمادهای کریستوفل از نوع دوم هستند .

$T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}$

انرژی جنبشی ذره است و g bc مولفه های کوواریانس تانسور متریک سیستم مختصات منحنی است . همه شاخص های a ، b ، c ، هر کدام مقادیر 1، 2، 3 را می گیرند. مختصات منحنی با مختصات تعمیم یافته یکسان نیستند.

شاید اجرای قانون نیوتن به این شکل پیچیده به نظر برسد، اما مزایایی دارد. مولفه های شتاب از نظر نمادهای کریستوفل را می توان با ارزیابی مشتقات انرژی جنبشی به جای آن اجتناب کرد. اگر نیروی حاصل بر ذره وارد نشود، F = 0 ، شتاب نمی گیرد، بلکه با سرعت ثابت در یک خط مستقیم حرکت می کند. از نظر ریاضی، راه حل های معادله دیفرانسیل، ژئودزیک هستندمنحنی‌های طولی بین دو نقطه در فضا (اینها ممکن است در نهایت حداقل باشند، بنابراین کوتاه‌ترین مسیرها هستند، اما این ضروری نیست). در فضای واقعی سه بعدی تخت، ژئودزیک ها به سادگی خطوط مستقیم هستند. بنابراین برای یک ذره آزاد، قانون دوم نیوتن با معادله ژئودزیک منطبق است و بیان می‌کند که ذرات آزاد از ژئودزیک‌ها پیروی می‌کنند، مسیرهایی که می‌تواند در امتداد آن حرکت کند. اگر ذره تحت تأثیر نیروهای F ≠ 0 باشد ، ذره به دلیل نیروهای وارد بر آن شتاب می گیرد و از ژئودزیکی که در صورت آزاد بودن به دنبال خواهد داشت، منحرف می شود. با گسترش مناسب مقادیر داده شده در اینجا در فضای سه بعدی مسطح به فضازمان منحنی 4 بعدی، شکل بالا از قانون نیوتن به نسبیت عام انیشتین نیز منتقل می شود.، در این صورت ذرات آزاد از ژئودزیک ها در فضازمان منحنی پیروی می کنند که دیگر «خطوط مستقیم» به معنای معمولی نیستند. [12]

با این حال، ما هنوز باید کل نیروی حاصله F را که بر ذره وارد می‌شود بدانیم، که به نوبه خود به نیروی غیر محدود N به اضافه نیروی محدودیت حاصل C نیاز دارد .

$\mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} \,.$

نیروهای محدودیت می توانند پیچیده باشند، زیرا به طور کلی به زمان بستگی دارند. همچنین در صورت وجود قیود، مختصات منحنی مستقل نیستند بلکه با یک یا چند معادله قید مرتبط هستند.

نیروهای محدودیت را می‌توان از معادلات حرکت حذف کرد، بنابراین فقط نیروهای غیرمحدود باقی می‌مانند، یا با گنجاندن معادلات محدودیت در معادلات حرکت.

+ نوشته شده در چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ ساعت 2:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-مکانیک لاگرانژی

ز ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

بخشی از یک سریال در

مکانیک کلاسیک

${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$

قانون دوم حرکت

تاریخ
جدول زمانی
کتاب های درسی

نشان می دهد

شاخه ها

نشان می دهد

مبانی

پنهان شدن

فرمولاسیون

قوانین حرکت نیوتن
مکانیک تحلیلی
- مکانیک لاگرانژی
- مکانیک هامیلتونی
- مکانیک روتین
- معادله همیلتون-ژاکوبی
- معادله حرکت اپل
- مکانیک کوپمن-فون نیومن

نشان می دهد

موضوعات اصلی

نشان می دهد

چرخش

نشان می دهد

دانشمندان

پورتال فیزیک
دسته بندی

v
تی
ه

جوزف-لوئیس لاگرانژ (1736-1813)

در فیزیک ، مکانیک لاگرانژی فرمول بندی مکانیک کلاسیک است که بر اساس اصل کنش ساکن (همچنین به عنوان اصل کمترین عمل شناخته می شود) بنا شده است. این توسط ریاضیدان و ستاره شناس ایتالیایی-فرانسوی جوزف-لوئیس لاگرانژ در اثر خود در سال 1788، مکانیک تحلیلی معرفی شد . [1]

مکانیک لاگرانژی یک سیستم مکانیکی را به صورت یک جفت توصیف می کند ${\textstyle (M,L)}$ متشکل از یک فضای پیکربندی ${\textstyle M}$ و عملکرد صاف ${\textstyle L}$ درون آن فضایی که لاگرانژی نامیده می شود . برای بسیاری از سیستم ${\textstyle L=TV،}$ جایی که ${\textstyle T}$ و $V$ به ترتیب انرژی جنبشی و پتانسیل سیستم هستند . [2]

اصل عمل ثابت مستلزم آن است که عملکرد عملکرد سیستم از آن ناشی شود ${\textstyle L}$ باید در طول تکامل سیستم در یک نقطه ثابت (حداکثر، حداقل یا زین) باقی بماند. این محدودیت امکان محاسبه معادلات حرکت سیستم را با استفاده از معادلات لاگرانژ می دهد. [3]

مقدمه [ ویرایش ]

مهره برای حرکت روی سیم بدون اصطکاک محدود شده است. سیم یک نیروی واکنش C بر روی مهره وارد می کند تا آن را روی سیم نگه دارد. نیروی غیر محدودیتی N در این حالت گرانش است. توجه داشته باشید که موقعیت اولیه سیم می تواند منجر به حرکات مختلفی شود.

آونگ ساده. از آنجایی که میله صلب است، موقعیت باب مطابق با معادله f ( x , y ) = 0 محدود می شود، نیروی محدودیت C کشش در میله است. باز هم نیروی غیر محدود N در این مورد گرانش است.

فرض کنید مهره‌ای وجود دارد که روی یک سیم می‌چرخد، یا یک آونگ ساده در حال چرخش . اگر هر یک از اجسام عظیم (مهره، باب آونگ) را به عنوان یک ذره ردیابی کنیم، محاسبه حرکت ذره با استفاده از مکانیک نیوتنی نیاز به حل نیروی محدودیت متغیر با زمان لازم برای نگه داشتن ذره در حرکت محدود (نیروی واکنش) دارد. اعمال شده توسط سیم بر روی مهره، یا کشش در میله آونگ). برای همین مسئله با استفاده از مکانیک لاگرانژی، به مسیری که ذره می تواند طی کند نگاه می کند و مجموعه ای مناسب از مختصات تعمیم یافته مستقل را انتخاب می کند. که کاملاً حرکت احتمالی ذره را مشخص می کند. این انتخاب نیاز به نیروی محدودیت برای ورود به سیستم معادلات حاصل را از بین می برد. معادلات کمتری وجود دارد زیرا کسی مستقیماً تأثیر محدودیت بر ذره را در یک لحظه معین محاسبه نمی کند.

برای طیف گسترده ای از سیستم های فیزیکی، اگر اندازه و شکل یک جسم عظیم ناچیز باشد، ساده سازی آن به عنوان یک ذره نقطه ای ساده است . برای سیستمی از ذرات نقطه ای N با جرم m 1 , m 2 , ..., m N , هر ذره دارای یک بردار موقعیت است که به r 1 , r 2 , ..., r N نشان داده می شود . مختصات دکارتی اغلب کافی است، بنابراین r 1 = ( x 1 , y 1 , z 1)، r 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) و غیره. در فضای سه بعدی ، هر بردار موقعیت به سه مختصات نیاز دارد تا مکان یک نقطه را به طور یکتا تعریف کند، بنابراین 3 N مختصات برای تعریف منحصر به فرد پیکربندی سیستم وجود دارد. همه اینها نقاط خاصی در فضا برای تعیین مکان ذرات هستند. یک نقطه کلی در فضا r = ( x , y , z ) نوشته می شود. سرعت هر ذره سرعت حرکت ذره در مسیر حرکت خود است و مشتق زمانی است .از موقعیت خود، بنابراین

$\mathbf {v} _{1}={\frac {d\mathbf {r} _{1}}{dt}},\mathbf {v} _{2}={\frac {d\mathbf {r} _{2}}{dt}}،\ldots،\mathbf {v} _{N}={\frac {d\mathbf {r} _{N}}{dt}}$ در مکانیک نیوتنی، معادلات حرکت با قوانین نیوتن ارائه می شود . قانون دوم " نیروی خالص برابر است با جرم ضربدر شتاب ".

∑اف=مترد2دتی2

$\sum \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} {dt^{2}}}$ برای هر ذره اعمال می شود. برای یک سیستم ذرات N در 3 بعد، معادلات دیفرانسیل معمولی 3 N مرتبه دوم در موقعیت‌های ذرات وجود دارد که باید حل شوند.

+ نوشته شده در چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ ساعت 2:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماشین اتوود - این یک نمونه کار شده از یک مسئله در مکانیک لاگرانژی است. سوال

+ نوشته شده در سه شنبه ششم تیر ۱۴۰۲ ساعت 4:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

روتورها در جبر هندسی [ ویرایش ]

فرمالیسم جبر هندسی (GA) بسط و تفسیری از روش کواترنیون ارائه می دهد. مرکز GA، حاصل ضرب هندسی بردارها است، که بسط ضربات داخلی و متقابل سنتی است که توسط

$\mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

که در آن نماد ∧ ضرب بیرونی یا ضرب گوه ای را نشان می دهد . این حاصل ضرب بردارهای a و b دو جمله تولید می کند: یک بخش اسکالر از حاصل ضرب داخلی و یک قسمت دو بردار از حاصل ضرب گوه. این دو بردار صفحه عمود بر آنچه حاصل ضرب بردارها برمی گردد را توصیف می کند.

دو بردارها در GA در مقایسه با بردارها دارای برخی خواص غیرعادی هستند. در زیر حاصل ضرب هندسی، دوبردارها یک مربع منفی دارند: دوبردار x̂ŷ صفحه xy را توصیف می کند . مربع آن ( x̂ŷ ) 2 = x̂ŷx̂ŷ است . از آنجایی که بردارهای پایه واحد متعامد با یکدیگر هستند، حاصل ضرب هندسی به حاصلضرب بیرونی ضد متقارن کاهش می‌یابد - x و ŷ را می‌توان آزادانه با هزینه ضریب ۱- تعویض کرد. مربع به -x̂x̂ŷŷ = -1 کاهش می یابد زیرا بردارهای پایه خود مربع به +1 می شوند .

این نتیجه به طور کلی برای همه دوبردارها صادق است و در نتیجه دوبردار نقشی مشابه واحد خیالی ایفا می کند . جبر هندسی از دو بردارها در آنالوگ خود با کواترنیون، روتور ، استفاده می کند.

$\mathbf {R} =\exp \left({\frac {-{\hat {\mathbf {B} }}\theta }{2}}\right)=\cos {\frac {\theta } {2}}-{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\,,$

که در آن B یک دوبردار واحد است که صفحه چرخش را توصیف می کند . از آنجایی که مربع B برابر 1- می شود، بسط سری توانی R توابع مثلثاتی را ایجاد می کند . فرمول چرخشی که بردار a را به بردار چرخشی b ترسیم می کند ، پس از آن است

$\mathbf {b} =\mathbf {RaR} ^{\ خنجر }$

جایی که

$\mathbf {R} ^{\dagger }=\exp \left({\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}\theta \right)=\cos {\ frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}$

برعکس است _ $\scriptstyle R$ (برعکس کردن ترتیب بردارها در $ب$ معادل تغییر علامت آن است).

مثال. چرخش حول محور

${\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {z} }}\right)$

می توان با تبدیل v به دو بردار آن،

${\hat {\mathbf {B} }}={\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf {z} }}{\ کلاه {\mathbf {v} }}=\mathbf {i} {\hat {\mathbf {v} }}\,,$

که در آن i = x̂ŷẑ عنصر واحد حجم است، تنها سه بردار (شبه مقیاس) در فضای سه بعدی. نتیجه این است

${\hat {\mathbf {B} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf { z} }}+{\hat {\mathbf {z} }}{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }} \درست)\،.$

با این حال، در فضای سه بعدی، اغلب ساده تر است که عبارت B̂ = iv̂ را ترک کنیم ، با استفاده از این واقعیت که i با تمام اشیاء در سه بعدی رفت و آمد می کند و همچنین مربع را به -1 می دهد. چرخش بردار x در این صفحه با زاویه θ است

${\hat {\mathbf {x} }}'=\mathbf {R} {\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} ^{\dagger }=e^{-i{\ کلاه {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}{\hat {\mathbf {x} }}e^{i{\hat {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\mathbf {i} \left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

تشخیص آن

$\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf { x} }})=2\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }})$

و اینکه − v̂x̂v̂ انعکاس x در مورد صفحه عمود بر v̂ است یک تفسیر هندسی به عمل چرخش می دهد: چرخش اجزایی را که موازی با v هستند حفظ می کند و فقط آنهایی را که عمود هستند تغییر می دهد. سپس شرایط محاسبه می شود:

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}&={\frac {1} {3}}\left(-{\hat {\mathbf {x} }}+2{\hat {\mathbf {y} }}+2{\hat {\mathbf {z} }}\right)\\ 2\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }}&=2\mathbf {i} {\frac {1}{\sqrt {3} }}\left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {z} }} \right)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}-{\hat {\mathbf {z} }}\right)\end{ هم راستا}}$

نتیجه چرخش پس از آن است

${\hat {\mathbf {x} }}'={\hat {\mathbf {x} }}\left(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-{\ frac {1}{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }} \sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}+{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}} \right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta } {2}}-{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$

یک بررسی ساده روی این نتیجه، زاویه θ = است2/3π . چنین چرخشی باید x̂ را به ŷ نشان دهد . در واقع، چرخش به کاهش می یابد

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&={\hat {\mathbf {x} }}\left({\frac {1}{4}}-{\ frac {1}{3}}{\frac {3}{4}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\sqrt { 3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)+{\frac { 2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{ \sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)\\&=0{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+0{ \hat {\mathbf {z} }}={\hat {\mathbf {y} }}\end{تراز شده}}$

دقیقا همانطور که انتظار می رود این فرمول چرخش نه تنها برای بردارها بلکه برای هر چند برداری معتبر است . علاوه بر این، هنگامی که از زوایای اویلر استفاده می شود، پیچیدگی عملیات بسیار کاهش می یابد. چرخش های مرکب از ضرب روتورها به وجود می آیند، بنابراین کل روتور از زوایای اویلر برابر است با

$\mathbf {R} =\mathbf {R} _{\gamma '}\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\alpha }=\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}'\gamma }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}'\beta }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}\alpha }{2}}\ درست)$

ولی

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&=\mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _ {\alpha }^{\dagger }\quad {\text{and}}\\{\hat {\mathbf {z} }}'&=\mathbf {R} _{\beta '}{\hat {\ mathbf {z} }}\mathbf {R} _{\beta '}^{\dagger }\,.\end{تراز شده}}$

این روتورها از حالت نمایی به این صورت خارج می شوند:

$\mathbf {R} _{\beta '}=\cos {\frac {\beta }{2}}-\mathbf {i} \mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\sin {\frac {\beta }{2}}=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _ {\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }$

که در آن R β به چرخش در مختصات اصلی اشاره دارد. به طور مشابه برای چرخش γ ،

$\mathbf {R} _{\gamma '}=\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\beta '}^{\ خنجر }=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }^{\dagger }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\,.$

با توجه به اینکه R γ و R α جابجا می شوند (چرخش در یک صفحه باید جابجا شود) و کل روتور تبدیل می شود

آر=آر�آر�آر�

$\mathbf {R} =\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\gamma }$

بنابراین، چرخش های مرکب زوایای اویلر به مجموعه ای از چرخش های معادل در قاب ثابت اصلی تبدیل می شوند.

در حالی که روتورها در جبر هندسی تقریباً به طور یکسان با کواترنیون ها در سه بعدی کار می کنند، قدرت این فرمالیسم عمومیت آن است: این روش در فضاهایی با هر تعداد ابعاد مناسب و معتبر است. در حالت سه بعدی، چرخش ها دارای سه درجه آزادی هستند، یک درجه برای هر صفحه مستقل خطی (دو بردار) که چرخش می تواند در آن انجام شود. شناخته شده است که از جفت کواترنیون ها می توان برای ایجاد چرخش در 4 بعدی استفاده کرد که شش درجه آزادی ایجاد می کند. و رویکرد جبر هندسی این نتیجه را تأیید می کند: در 4 بعدی، شش بردار خطی مستقل وجود دارد که می توانند به عنوان مولد چرخش استفاده شوند.

Angle-Angle-Angle [ ویرایش ]

چرخش ها را می توان به عنوان یک محور و یک زاویه مدل کرد. همانطور که با یک ژیروسکوپ نشان داده شده است که دارای یک محور از طریق روتور، و مقدار چرخش حول آن محور با چرخش روتور نشان داده شده است. این چرخش را می توان به صورت بیان کردزاویه∗(محور) ${\text{angle}}*({\text{axis}})$ که در آن محور یک بردار واحد است که جهت محور روتور را مشخص می کند. از مبدا، در هر جهت، همان محور چرخش است، با مقیاس زاویه معادل فاصله از مبدا. از هر نقطه دیگری در فضا، به طور مشابه همان بردار جهت اعمال شده نسبت به جهت نشان داده شده توسط نقطه شروع به جای مبدا، همان تغییر را در اطراف همان محورهایی اعمال می کند که بردار واحد مشخص می کند. اینزاویه∗محور ${\text{angle}}*{\text{axis}}$ مقیاس گذاری هر نقطه یک مختصات منحصر به فرد در نماد Angle-Angle-Angle می دهد. تفاوت بین دو مختصات بلافاصله یک محور چرخش و زاویه بین دو جهت را ایجاد می کند.

لاگ طبیعی یک کواترنیون فضای انحنای را با 3 زاویه حول 3 محور چرخش نشان می دهد و در طول قوس بیان می شود. شبیه زوایای اویلر، اما مرتبه مستقل. [10] یک تعریف فرمول ضرب دروغ از جمع چرخش ها وجود دارد ، که به این صورت است که آنها مجموع گام های بینهایت کوچک هر چرخش اعمال شده به صورت سری هستند. این بدان معناست که چرخش‌ها نتیجه همه چرخش‌ها هستند که در یک لحظه اعمال می‌شوند، نه یک سری چرخش‌هایی که بعداً اعمال می‌شوند.

محورهای چرخش مطابق با دکارتی استاندارد هستند $X، Y، Z$ تبرها این چرخش ها ممکن است به سادگی اضافه و کم شوند، به خصوص زمانی که فریم های در حال چرخش مانند زنجیره های IK به یکدیگر ثابت می شوند. تفاوت بین دو شی که در یک چارچوب مرجع قرار دارند به سادگی با کم کردن جهت آنها پیدا می شود. چرخش هایی که از منابع خارجی اعمال می شوند، یا از منابعی نسبت به چرخش فعلی هستند، همچنان نیاز به ضرب دارند، استفاده از فرمول رودریگز ارائه شده است.

چرخش از هر مختصات محور نشان دهنده چرخش صفحه عمود بر محور مشخص شده به طور همزمان با تمام محورهای دیگر است. اگرچه اندازه ها را می توان در زوایا در نظر گرفت، نمایش در واقع طول قوس منحنی است. یک زاویه به چرخش حول یک نقطه اشاره دارد که در آن انحنای یک دلتا است که به نقطه فعلی در جهت اینرسی اعمال می شود.

فقط یک یادداشت مشاهده‌ای: ربع‌های لاگ دارای حلقه‌ها یا اکتاوهای چرخش هستند. یعنی برای چرخش های بیشتر از 4 $\pi$ منحنی های مرتبط دارند. به نظر می رسد انحنای چیزهایی که به این مرز نزدیک می شوند، به طور آشفته ای به مدارها می پرند.

برای زوایای «قابل خواندن توسط انسان»، از 1-هنجار می‌توان برای تغییر مقیاس زوایای استفاده کرد تا «مناسب‌تر» به نظر برسند. بسیار شبیه به درجه سانتیگراد ممکن است درست تر از فارنهایت در نظر گرفته شود.

${Q}={\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}$

سایر مقادیر مرتبط بلافاصله قابل استخراج هستند:

${\begin{matrix}\|V\|{\text{یا }}\|V\|_{2}={\sqrt {XX+YY+ZZ}}\\\|V\|_ {1}=|X|+|Y|+|Z|\پایان{ماتریس}}$

زاویه کل چرخش ....

$\theta =\|V\|$

محور چرخش ...

${\text{Axis}}(\ln Q)={\begin{bmatrix}{\frac {X}{\theta }}\\{\frac {Y}{\theta }}\\{\ frac {Z}{\theta }}\end{bmatrix}}$

نمایش کواترنیون [ ویرایش ]

$q={\begin{bmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {X}{\|Q\ |}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {Y}{\|Q\|}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {Z}{\|Q\|}}\end{bmatrix}}$

محاسبات ماتریس پایه [ ویرایش ]

این از چرخش بردارهای (1،0،0)، (0،1،0)، (0،0،1)، و کاهش ثابت ساخته شده است.

با توجه به ورودی ${Q}=[{X}،{Y}،{Z}]$ ،

${\begin{matrix}q_{r}=\cos \theta \\q_{i}=\sin \theta \cdot {\frac {X}{\|Q\|}}\\q_{j }=\sin \theta \cdot {\frac {Y}{\|Q\|}}\\q_{k}=\sin \theta \cdot {\frac {Z}{\|Q\|}}\ پایان{ماتریس}}$

که برای محاسبه ماتریس حاصل استفاده می شود...

${\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&2( q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})\\2(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1-2q_{i}^{2} -2q_{k}^{2}&2(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})\\2(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r} )&2(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}$

محاسبه پایه جایگزین [ ویرایش ]

به طور متناوب از این می توان استفاده کرد

داده شده: ${A}=[X,Y,Z]$

تبدیل به محور زاویه $\theta =\|A\|$ $[x,y,z]={\frac {A}{\|A\|}}$

برخی از عبارات جزئی را محاسبه کنید:

${\begin{matrix}x_{y}=xy(1-\cos \theta)&w_{x}=x\sin \theta &x_{x}=xx(1-\cos \theta)\\y_ {z}=yz(1-\cos \theta)&w_{y}=y\sin \theta &y_{y}=yy(1-\cos \theta)\\x_{z}=xz(1-\cos \theta )&w_{z}=z\sin \theta &z_{z}=zz(1-\cos \theta)\end{ماتریس}}$

ماتریس حاصل را محاسبه کنید:

${\begin{bmatrix}\cos \theta +x_{x}&x_{y}+w_{z}&w_{y}+x_{z}\\w_{z}+x_{y}&\cos \theta +y_{y}&y_{z}-w_{x}\\x_{z}-w_{y}&w_{x}+y_{z}&\cos \theta +z_{z}\end{bmatrix }}$

منبسط:

${\begin{bmatrix}\cos \theta +x^{2}(1-\cos \theta )&xy(1-\cos \theta)-z\sin \theta &y\sin \theta +xz( 1-\cos \theta )\\z\sin \theta +xy(1-\cos \theta)&\cos \theta +y^{2}(1-\cos \theta)&yz(1-\cos \ تتا )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta)-y\sin \theta &x\sin \theta +yz(1-\cos \theta)&\cos \theta +z^{2 }(1-\cos \theta )\end{bmatrix}}$

چرخش برداری [ ویرایش ]

بردار را بچرخانید $v=(X,Y,Z)$ حول بردار چرخش $Q=(X,Y,Z)$ .

زاویه چرخش خواهد بود ${\theta }={\|Q\|}$ .

کسینوس زاویه ضربدر بردار برای چرخش، به اضافه سینوس زاویه ضربدر محور چرخش، به علاوه کسینوس منهای زاویه ضربدر حاصل ضرب نقطه بردار و محور چرخش ضربدر محور چرخش را محاسبه کنید.

$V'=\cos(\theta )*v+\sin(\theta )*\left({\frac {Q}{\|Q\|}}\times v\right)+(1-\cos (\theta ))\left({\frac {Q}{\|Q\|}}\cdot v\right)*{\frac {Q}{\|Q\|}}$

چند نکته: حاصل ضرب نقطه ای شامل کسینوس زاویه بین بردار در حال چرخش و محور چرخش ضربدر طول V است. حاصل ضرب متقاطع شامل سینوس زاویه بین بردار در حال چرخش و محور چرخش است.

چرخش یک بردار چرخشی [ ویرایش ]

استفاده از فرمول چرخش مرکب رودریگز

برای یک بردار چرخش ${Q}=(X,Y,Z)$ و یک بردار چرخشی دیگر ${A}=(X,Y,Z)$ برای چرخاندن قاب به اطراف

از بردارهای چرخش اولیه، زوایا و محورها را استخراج کنید:

$\theta ={\frac {\|Q\|}{2}}$

$\gamma ={\frac {\|A\|}{2}}$

محور چرخش نرمال شده برای قاب فعلی:

$Q_{n}={\frac {Q}{\|Q\|}}$

محور چرخش نرمال شده برای چرخش قاب به دور:

$A_{n}={\frac {A}{\|A\|}}$

زاویه نتیجه چرخش است

$\alpha =2\cos ^{-1}(\cos(\theta)\cos(\gamma)+\sin(\theta)\sin(\gamma)Q_{n}\cdot A_{n} )$

یا

$\alpha =2cos^{-1}({\cos(\theta -\gamma )}(1-(Q_{n}\cdot A_{n})+{\cos(\theta +\gamma )}(1+(Q_{n}\cdot A_{n})))$

نتیجه، محور چرخش نرمال نشده:

$r=\sin(\gamma)\cos(\theta)A_{n}+\sin(\theta)\cos(\gamma)Q_{n}+\sin(\theta)\sin(\gamma )A_{n}\ بار Q_{n}$

یا

$r=(A_{n}\times Q_{n})({\cos({\theta }-\gamma )}-{\cos({\theta }+\gamma )})+A_{n }({\sin(\theta +\gamma )}+{\sin(\theta -\gamma )})+Q_{n}({\sin(\theta +\gamma )}-{\sin({\ تتا }-\گاما )})$

فرمول چرخش رودریگز منجر به این می‌شود که می‌توان از خطای زاویه حاصل از بالا برای عادی‌سازی بردار استفاده کرد، اما برای محدوده‌های بزرگ شکست می‌خورد. بنابراین محور نتیجه را مانند هر بردار دیگری نرمال کنید.

$R_{n}={\frac {r}{\|r\|}}$

و مختصات چرخش فریم نهایی:

$R=\alpha R_{n}$

چرخش چرخش حول یک محور ثابت [ ویرایش ]

یک بردار چرخشیس ${Q}$ نشان دهنده سه محور است. اینها می‌توانند به‌عنوان خلاصه‌نویسی برای چرخاندن چرخش به دور با استفاده از «چرخش یک بردار چرخشی» بالا استفاده شوند. این عبارات به بهترین شکل به عنوان قطعات کد نمایش داده می شوند.

برخی از ثابت های مورد استفاده در عبارات دیگر را تنظیم کنید.

${\begin{aligned}n_{x}&={\frac {Q_{x}}{\|Q\|}}\\n_{y}&={\frac {Q_{y}}{ \|Q\|}}\\n_{z}&={\frac {Q_{z}}{\|Q\|}}\\{\text{زاویه}}&=\|Q\|\\ s&=\sin({\text{angle}})\\c_{1}&=\cos({\text{angle}})\\c&=1-c_{1}\end{تراز شده}}$

با استفاده از مقادیر بالا ...

${\text{x-axis}}=\left[x=cn_{x}^{2}+c_{1},\;y=cn_{x}n_{y}+sn_{z}، \;z=cn_{x}n_{z}-sn_{y}\right]$

یا

${\text{y-axis}}=\left[x=cn_{y}n_{x}-sn_{z},\;y=cn_{y}^{2}+c_{1}، \;z=cn_{y}n_{z}+sn_{x}\right]$

یا

${\text{z-axis}}=\left[x=cn_{z}n_{x}+sn_{y},\;y=cn_{z}n_{y}-sn_{x}، \;z=cn_{z}^{2}+c_{1}\right]$

تبدیل از ماتریس پایه [ ویرایش ]

تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید ...

$d={\frac {({\text{basis}}_{{\text{right}}_{X}}+{\text{basis}}_{{\text{up}}_{ Y}}+{\text{basis}}_{{\text{forward}}_{Z}})-1}{2}}$

تبدیل به زاویه چرخش ...

$\theta =2\arccos(d)$

$yz={\text{basis}}_{{\text{up}}_{Z}}-{\text{basis}}_{{\text{forward}}_{Y}}$

$xz={\text{basis}}_{{\text{forward}_{X}}-{\text{basis}}_{{\text{right}}_{Z}}$

$xy={\text{basis}}_{{\text{right}}_{Y}}-{\text{basis}}_{{\text{up}}_{X}}$

محاسبه ضریب نرمال ...

${\text{normal}}={\frac {1}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}$

$n={\begin{bmatrix}yz\cdot {\text{normal}}\\xz\cdot {\text{normal}}\\xy\cdot {\text{normal}}\end{bmatrix} }$

زاویه-زاویه-زاویه حاصل:

${n}\cdot \theta$

تبدیل از بردار معمولی (Y) [ ویرایش ]

نمایش یک نرمال به عنوان یک چرخش، این فرض را بر این می گیرد که بردار $(0،1،0)$ "بالا" است. اگر یک محور دیگر اصلی در نظر گرفته شود، مختصات را می توان به سادگی تعویض کرد.

این یک بردار ورودی نرمال شده را در جهت نرمال فرض می کند

$N={\begin{bmatrix}{\text{normal}}_{X}\\{\text{normal}}_{Y}\\{\text{normal}}_{Z}\end {bmatrix}}$

زاویه به سادگی مجموع مختصات x/z است (یا y,x اگر Z 'بالا' باشد یا y,z اگر X 'بالا' باشد)...

${\text{angle}}=|N_{x}|+|N_{z}|$

اگر زاویه 0 باشد، کار انجام شده است، نتیجه با $(0,0,0)$

$r=1/({\text{angle}})$

برخی از مقادیر موقت؛ این مقادیر فقط به جزئی ارجاع داده می شوند...

$t={\begin{bmatrix}N_{x}\cdot r\\N_{y}\\N_{z}\cdot r\end{bmatrix}}$

از نرمال پیش بینی شده در محور Y به عنوان زاویه چرخش استفاده کنید...

${\text{target}}_{\text{angle}}=\cos ^{-1}(t_{Y})$

${\text{result}}={\begin{bmatrix}t_{Z}\cdot {\text{target}_{\text{angle}}\\0\\-t_{X}\cdot {\text{target}}_{\text{angle}}\end{bmatrix}}$

تراز کردن عادی با استفاده از پایه [ ویرایش ]

مماس و دو مماس پیش‌فرض چرخش‌هایی که فقط مجموعه نرمال خود را دارند، منجر به مماس و دو مماس نامنظم می‌شود. متناوباً یک ماتریس پایه بسازید و با استفاده از روش ذکر شده از مبنا تبدیل کنید. نرمال موارد فوق را محاسبه کنید و ماتریس تبدیل ...

${\text{normal}}_{\text{twist}}={\sqrt {t_{Z}^{2}+t_{X}^{2}}}$

${\begin{bmatrix}\left(N_{y}\cdot {\frac {-t_{X}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\right)&N_ {x}&{\frac {t_{Z}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\\\left(N_{z}\cdot {\frac {t_{Z} {{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\right)-\left(N_{x}\cdot {\frac {-t_{X}}{{\text{normal}} _{\text{twist}}}}\right)&N_{y}&0\\\left(-N_{y}\cdot {\frac {t_{Z}}{{\text{normal}}_{\ text{twist}}}}\right)&N_{z}&{\frac {-t_{X}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\end{bmatrix}}$

و سپس از پایه برای ثبت تبدیل کواترنیون استفاده کنید...

تراز کردن عادی به طور مستقیم [ ویرایش ]

یا این محاسبات مستقیمی است که با یک چهارمین log به دست می آید. بردار نتیجه فوق را محاسبه کنید و سپس ...

${\begin{matrix}t_{X_{n}}=t_{X}\cdot {\text{normal}}_{\text{twist}}\\t_{Z_{n}}=t_{ Z}\cdot {\text{normal}}_{\text{twist}}\\s=\sin({\text{target}}_{\text{angle}})\\c=1-\cos ({\text{هدف}}_{\text{زاویه}})\end{ماتریس}}$

این زاویه است

${\text{angle}}=\arccos((t_{Y}+1)*(1-t_{X_{n}})/2-1);$

این ضربهای جزئی در زیر استفاده می شوند ...

${\begin{matrix}yz=s\cdot n_{X}\\xz=(2-c\cdot (n_{X}^{2}+n_{Z}^{2}))\cdot t_{Z_{n}}\\xy=s\cdot n_{X}*t_{Z_{n}}+s\cdot n_{Z}\cdot (1-t_{X_{n}})\end{ ماتریس}}$

محاسبه بردار چرخش نرمال شده (محور چرخش)...

$n={\begin{bmatrix}{\frac {yz}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}\\{\frac {xz}{ \sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}\\{\frac {xy}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{ 2}}}\end{bmatrix}}$

و در نهایت کواترنیون log حاصل را محاسبه کنید.

${\text{final}}_{\text{result}}={\text{angle}}\cdot {n}$

تبدیل از زاویه محور [ ویرایش ]

این محور ورودی را فرض می کند ${a}=[{X}،{Y}،{Z}]$ عادی شده است. اگر 0 چرخش وجود دارد، نتیجه را با $(0,0,0)$

$\theta ={\text{زاویه}}$

${\text{result}}=\theta *{a}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions

+ نوشته شده در شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 4:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

چرخش های اویلر [ ویرایش ]

چرخش های اویلر زمین ذاتی (سبز)، تقدم (آبی) و nutation (قرمز)

نوشتار اصلی: چرخش های اویلر

ایده پشت چرخش های اویلر این است که چرخش کامل سیستم مختصات را به سه چرخش تشکیل دهنده ساده تر، به نام های تقدم ، نوتاسیون ، و چرخش ذاتی تقسیم کنیم، که هر یک از آنها افزایشی بر یکی از زوایای اویلر است . توجه داشته باشید که ماتریس بیرونی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب مرجع است و ماتریس داخلی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب متحرک است. ماتریس میانی نشان دهنده چرخش حول یک محور میانی به نام خط گره ها است .

با این حال، تعریف زوایای اویلر منحصر به فرد نیست و در ادبیات از قراردادهای مختلفی استفاده شده است. این قراردادها به محورهایی که چرخش‌ها حول آن انجام می‌شوند و ترتیب آنها بستگی دارد (زیرا چرخش‌ها جابه‌جایی نیستند ).

قراردادی که استفاده می‌شود معمولاً با مشخص کردن محورهایی که چرخش‌های متوالی در اطراف آنها انجام می‌شود (قبل از ترکیب) نشان داده می‌شود و به آنها با شاخص (1، 2، 3) یا حرف (X، Y، Z) اشاره می‌شود . جوامع مهندسی و رباتیک معمولاً از زوایای اویلر 3-1-3 استفاده می کنند. توجه داشته باشید که پس از نوشتن چرخش های مستقل، آنها دیگر حول محور خود نمی چرخند. خارجی‌ترین ماتریس، دو ماتریس دیگر را می‌چرخاند و ماتریس چرخش دوم را روی خط گره‌ها می‌گذارد، و سومین ماتریس را در یک قاب همراه با بدنه می‌گذارد. 3 × 3 × 3 = 27 ترکیب ممکن از سه چرخش اصلی وجود دارد اما فقط 3 × 2 × 2 = 12از آنها می توان برای نمایش چرخش های سه بعدی دلخواه به عنوان زوایای اویلر استفاده کرد. این 12 ترکیب از چرخش های متوالی حول یک محور (مانند XXY) جلوگیری می کنند که درجات آزادی قابل نمایش را کاهش می دهد.

بنابراین، زوایای اویلر هرگز بر حسب قاب خارجی، یا بر حسب قاب بدنه چرخاننده متحرک بیان نمی‌شوند، بلکه در یک مخلوط بیان می‌شوند. قراردادهای دیگر (به عنوان مثال، ماتریس چرخش یا کواترنیون ها ) برای جلوگیری از این مشکل استفاده می شود.

در هوانوردی ، جهت گیری هواپیما معمولاً به صورت زوایای ذاتی Tait-Bryan در پیروی از قرارداد z - y "-x " بیان می شود که به آنها عنوان ، ارتفاع ، و کرانه (یا مترادف، انحراف ، زمین و رول ) گفته می شود.

کواترنیون ها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: کواترنیون ها و چرخش فضایی

کواترنیون ها که یک فضای برداری چهار بعدی را تشکیل می دهند ، به دلیل چندین مزیت نسبت به سایر نمایش های ذکر شده در این مقاله، در نمایش چرخش ها بسیار مفید بوده اند.

یک نمایش چهارگانه چرخش به عنوان یک وجهه نوشته می شود (کواترنیون عادی شده):

${\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}= {\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}$

تعریف فوق، کواترنیون را به عنوان یک آرایه به دنبال قراردادی که در (Wertz 1980) و (Markley 2003) استفاده شده است، ذخیره می کند. یک تعریف جایگزین، که برای مثال در (کوتسیاس 1999) و (اشمیت 2001) استفاده شده است، اصطلاح "اسکالر" را به عنوان اولین عنصر کواترنیونی تعریف می کند، با سایر عناصر یک موقعیت به پایین جابجا شده است.

از نظر محور اویلر

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$

و زاویه θ مولفه های این نسخه به صورت زیر بیان می شوند:

${\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac { \theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{ 2}}\end{تراز شده}}$

بازرسی نشان می دهد که پارامترسازی کواترنیون از محدودیت زیر تبعیت می کند:

$q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1$

آخرین عبارت (در تعریف ما) اغلب اصطلاح اسکالر نامیده می شود، که منشأ آن در ربعات است، زمانی که به عنوان بسط ریاضی اعداد مختلط درک شود، که به صورت نوشته می شود.

$a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R}$

و جایی که { i , j , k } اعداد ابر مختلط رضایت بخش هستند

${\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=& -kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{آرایه}}$

ضرب کواترنیونی که برای مشخص کردن چرخش مرکب استفاده می‌شود ، به همان روش ضرب اعداد مختلط انجام می‌شود ، با این تفاوت که ترتیب عناصر باید در نظر گرفته شود، زیرا ضرب جابه‌جایی نیست. در نمادگذاری ماتریسی می توانیم ضرب کواترنیونی را به صورت بنویسیم

${\tilde {\mathbf {q}}}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}& -q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\; \,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_ {i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\ \{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix }\;\;\،{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}} _{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_ {k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix} }$

بنابراین ترکیب دو چرخش متوالی کواترنیون به اندازه استفاده از ماتریس چرخش ساده است. همانطور که دو ماتریس چرخش متوالی، A 1 و A 2 به دنبال آن ترکیب می شوند

$\mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}،$

ما می‌توانیم این را با پارامترهای کواترنیون به روشی مختصر نشان دهیم:

$\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}$

کواترنیون ها به دلیل ویژگی های زیر یک پارامترسازی بسیار محبوب هستند:

فشرده تر از نمایش ماتریس و کمتر مستعد خطاهای گرد کردن است
عناصر کواترنیون به طور پیوسته در کره واحد در ℝ 4 تغییر می کنند ، (که با S 3 مشخص می شود ) با تغییر جهت، اجتناب از پرش های ناپیوسته (ذاتی پارامترهای سه بعدی)
بیان ماتریس چرخش بر حسب پارامترهای کواترنیونی شامل هیچ توابع مثلثاتی نیست.
ترکیب دو چرخش مجزا که به صورت کواترنیون نمایش داده می شوند با استفاده از یک محصول کواترنیونی ساده است

مانند ماتریس‌های چرخش، کواترنیون‌ها گاهی اوقات باید به دلیل خطاهای گرد کردن مجدداً عادی شوند تا اطمینان حاصل شود که با چرخش‌های معتبر مطابقت دارند. با این حال، هزینه محاسباتی عادی سازی مجدد یک کواترنیون بسیار کمتر از عادی سازی یک ماتریس 3×3 است.

کواترنیون ها همچنین ویژگی اسپینوریال چرخش ها را در سه بعد به تصویر می کشند. برای یک جسم سه‌بعدی که توسط رشته‌ها یا باندهای شل به محیط اطراف (ثابت) متصل می‌شود، می‌توان رشته‌ها یا باندها را پس از دو چرخش کامل حول یک محور ثابت از حالت بازشده اولیه باز کرد . از نظر جبری، چهارتایی که چنین چرخشی را توصیف می کند، از یک عددی +1 (در ابتدا)، از طریق مقادیر (اسکالر + شبه بردار) به اسکالر -1 (در یک دور کامل)، از طریق مقادیر (اسکالار + شبه بردار) به مقادیر اسکالر +1 (در) تغییر می کند. دو دور کامل). این چرخه هر 2 نوبت تکرار می شود. پس از 2 n چرخش (عدد صحیح n > 0 )، بدون هیچ گونه تلاش میانی برای باز کردن گره، می توان تا حدی رشته ها/باندها را به 2( n) باز کرد.− 1) حالت چرخش با هر کاربرد از همان رویه مورد استفاده در باز کردن گره از 2 دور به 0 دور. اعمال همان رویه n بار، یک شیء درهم 2 n را به حالت باز شده یا 0 چرخش می برد. فرآیند باز کردن گره‌ها نیز هرگونه پیچش ناشی از چرخش را در مورد خود رشته‌ها/باندها حذف می‌کند. برای نشان دادن این حقایق می توان از مدل های مکانیکی سه بعدی ساده استفاده کرد.

وکتور رودریگز [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: فرمول چرخش رودریگز

بردار رودریگز (گاهی اوقات بردار گیبس نامیده می شود ، با مختصاتی به نام پارامترهای رودریگز ) [3] [4] را می توان بر حسب محور و زاویه چرخش به صورت زیر بیان کرد:

$\mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}$

این نمایش یک آنالوگ با ابعاد بالاتر از طرح گنومونیک است که ربع‌های واحد را از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی نگاشت می‌کند.

این یک ناپیوستگی در 180 درجه ( رادیان π ) دارد: همانطور که هر بردار چرخشی r به زاویه ای از رادیان π تمایل دارد ، مماس آن به بی نهایت میل می کند.

یک چرخش g به دنبال چرخش f در نمایش رودریگز شکل ترکیب چرخشی ساده دارد.

$(\mathbf {g} ,\mathbf {f} )={\frac {\mathbf {g} +\mathbf {f} -\mathbf {f} \times \mathbf {g} }{1-\ mathbf {g} \cdot \mathbf {f} }}\,.$

امروزه، ساده ترین راه برای اثبات این فرمول در نمایش دوگانه (وفادار) است ، که در آن g = n̂ tan a و غیره.

ویژگی‌های ترکیبی مشتق ماتریس پائولی که ذکر شد نیز با مشتق کواترنیونی معادل زیر یکسان است. یک کواترنیون مرتبط با چرخش فضایی R به صورت زیر بسازید،

$S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .$

سپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A است ، با محور چرخش و زاویه که توسط حاصل ضرب ربع‌ها تعریف می‌شود.

$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B= \cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B}،$

به این معنا که

$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta } {2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\ آلفا {2}}\mathbf {A} \right).$

این محصول کواترنیون را گسترش دهید

$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2 }}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \ mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\ alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2} }\mathbf {B} \times \mathbf {A} \راست).$

دو طرف این معادله را بر هویت حاصل از معادله قبلی تقسیم کنید،

$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac { \beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,$

و ارزیابی کنید

$\tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf { A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.$

این فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای چرخش دو جزء تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [3] سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند.

پارامترهای رودریگز اصلاح شده (MRPs) را می توان بر حسب محور و زاویه اویلر بیان کرد.

$\mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.$

اجزای آن را می توان بر حسب اجزای یک کواترنیون واحد بیان کرد که نشان دهنده همان چرخش است.

$p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.$

بردار Rodrigues اصلاح شده یک ربع واحد نقشه برداری طرح ریزی استریوگرافی از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی است. طرح ریزی کواترنیون مخالف -q منجر به یک بردار رودریگز اصلاح شده متفاوت می شودپس $\mathbf {p} ^{s}$ نسبت به طرح کواترنیون اصلی q . با مقایسه مولفه ها به آن می رسیم

$p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y ,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.$

قابل ذکر است، اگر یکی از این بردارها در داخل واحد 3 کره قرار داشته باشد، دیگری در خارج خواهد بود.

پارامترهای Cayley–Klein [ ویرایش ]

به تعریف در Wolfram Mathworld مراجعه کنید .

آنالوگ های با ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: چرخش در فضای 4 بعدی اقلیدسی

+ نوشته شده در شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 3:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای پوشش گسترده تر این موضوع، گروه چرخش SO(3) را ببینید .

پیشنهاد شده است که عملگر چرخش سه بعدی در این مقاله ادغام شود . ( بحث ) از ماه مه 2023 پیشنهاد شده است.

در هندسه ، فرمالیسم های مختلفی برای بیان یک چرخش در سه بعد به عنوان یک تبدیل ریاضی وجود دارد . در فیزیک، این مفهوم در مکانیک کلاسیک به کار می رود که در آن سینماتیک چرخشی (یا زاویه ای) علم توصیف کمی یک حرکت چرخشی محض است . جهت گیری یک شی در یک لحظه معین با همان ابزار توصیف می شود، زیرا به عنوان چرخش خیالی از یک مکان مرجع در فضا تعریف می شود، نه یک چرخش واقعی مشاهده شده از یک مکان قبلی در فضا.

طبق قضیه چرخش اویلر، چرخش یک جسم صلب (یا سیستم مختصات سه بعدی با مبدأ ثابت ) با یک چرخش منفرد حول یک محور توصیف می‌شود. چنین چرخشی ممکن است به طور منحصر به فرد با حداقل سه پارامتر واقعی توصیف شود . با این حال، به دلایل مختلف، راه های مختلفی برای نشان دادن آن وجود دارد. بسیاری از این نمایش‌ها بیش از حداقل سه پارامتر لازم را استفاده می‌کنند، اگرچه هر یک از آنها هنوز تنها سه درجه آزادی دارند .

مثالی که در آن از نمایش چرخشی استفاده می شود، در بینایی کامپیوتری است ، جایی که یک ناظر خودکار باید یک هدف را ردیابی کند. جسمی صلب را در نظر بگیرید که سه بردار واحد متعامد روی بدنش ثابت شده است (که نشان دهنده سه محور سیستم مختصات محلی جسم است ). مشکل اساسی این است که جهت گیری این سه بردار واحد را مشخص کنیم و از این رو بدن صلب را با توجه به سیستم مختصات ناظر به عنوان مکان مرجع در فضا در نظر بگیریم.

چرخش و حرکت [ ویرایش ]

مقالات اصلی: حرکت (هندسه) و چرخش (ریاضیات)

فرمالیسم‌های چرخشی بر حرکات مناسب ( حفظ جهت‌گیری ) فضای اقلیدسی با یک نقطه ثابت که چرخش به آن اشاره دارد، متمرکز هستند . اگرچه حرکات فیزیکی با یک نقطه ثابت مورد مهمی هستند (مانند مواردی که در کادر مرکز جرم یا حرکات مفصل توضیح داده شده است )، این رویکرد باعث ایجاد دانش در مورد همه حرکات می شود. هر حرکت مناسب فضای اقلیدسی به چرخش حول مبدا و تبدیل تجزیه می شود . ترتیب ترکیب آنها هر کدام که باشد، مولفه چرخش "خالص" تغییر نمی کند، که منحصراً توسط حرکت کامل تعیین می شود.

همچنین می‌توان چرخش‌های «خالص» را به‌عنوان نقشه‌های خطی در یک فضای برداری مجهز به ساختار اقلیدسی درک کرد، نه به‌عنوان نقشه‌های نقاط یک فضای وابسته متناظر . به عبارت دیگر، فرمالیسم چرخشی فقط بخش چرخشی یک حرکت را که شامل سه درجه آزادی است، در بر می گیرد و بخش انتقالی را که شامل سه درجه دیگر است نادیده می گیرد.

هنگامی که یک چرخش را به صورت اعداد در رایانه نشان می‌دهند، برخی از افراد نمایش چهارتایی یا نمایش محور+زاویه را ترجیح می‌دهند، زیرا از قفل گیمبال که می‌تواند با چرخش‌های اویلر رخ دهد اجتناب می‌کنند. [1]

جایگزین های فرمالیسم [ ویرایش ]

ماتریس چرخش [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ماتریس چرخش

سه گانه بردارهای واحد فوق را پایه نیز می نامند . مشخص کردن مختصات ( مولفه‌های ) بردارهای این پایه در موقعیت فعلی (چرخش) آن، بر حسب محورهای مختصات مرجع (غیر چرخشی)، چرخش را کاملاً توصیف می‌کند. بردارهای سه واحدی، ${\hat {{\mathbf {u}}}}$ ، ${\hat {{\mathbf {v}}}}$ , ${\hat {\mathbf {w} }}$ ، که پایه چرخشی را تشکیل می دهند که هر کدام از 3 مختصات تشکیل شده است که در مجموع 9 پارامتر را به دست می دهند.

این پارامترها را می توان به عنوان عناصر یک ماتریس 3 × 3 A نوشت که ماتریس چرخشی نامیده می شود . به طور معمول، مختصات هر یک از این بردارها در امتداد ستونی از ماتریس مرتب می‌شوند (اما مراقب باشید که تعریف جایگزینی از ماتریس چرخش وجود دارد و به طور گسترده استفاده می‌شود، جایی که مختصات بردارها تعریف شده در بالا با ردیف‌هایی مرتب شده‌اند [2] ) .

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {u} }}_{x}&{\hat {\mathbf {v} }}_{x}&{\hat {\mathbf {w} }}_{x}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{y}&{\hat {\mathbf {v} }}_{y}&{\hat { \mathbf {w} }}_{y}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{z}&{\hat {\mathbf {v} }}_{z}&{\hat {\ mathbf {w} }}_{z}\\\end{bmatrix}}$

عناصر ماتریس چرخش همه مستقل نیستند - همانطور که قضیه چرخش اویلر حکم می کند، ماتریس چرخش فقط سه درجه آزادی دارد.

ماتریس چرخش دارای ویژگی های زیر است:

A یک ماتریس واقعی و متعامد است، از این رو هر یک از سطرها یا ستون های آن یک بردار واحد را نشان می دهد .
مقادیر ویژه A هستند _

$\left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}$ جایی که i واحد فرضی استاندارد با خاصیت i 2 = -1 است
تعیین کننده A +1 است، معادل حاصل ضرب مقادیر ویژه آن .
ردیابی A 1 + 2 cos θ است که معادل مجموع مقادیر ویژه آن است .

زاویه θ که در عبارت مقدار ویژه ظاهر می شود با زاویه نمایش محور اویلر و زاویه مطابقت دارد. بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه 1، محور اویلر همراه است، زیرا محور تنها بردار (غیر صفر) است که با ضرب چپ (چرخش) آن با ماتریس چرخش بدون تغییر باقی می‌ماند.

خواص فوق معادل هستند

${\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u}}}|=|{\hat {\mathbf {v}}}|=|{\hat {\mathbf {w} }}| &=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{تراز شده}}$

که راه دیگری برای بیان آن است $({\hat {\mathbf {u} }},{\hat {\mathbf {v} }},{\hat {\mathbf {w} }})$ یک پایه متعارف سه بعدی را تشکیل می دهند . این عبارات مجموعاً شامل 6 شرط هستند (محصول متقاطع شامل 3 است) و در صورت لزوم، ماتریس چرخش را تنها با 3 درجه آزادی می‌گذارد.

دو چرخش متوالی که با ماتریس های A 1 و A 2 نشان داده شده اند به راحتی به عنوان عناصر یک گروه ترکیب می شوند.

$\mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}$ (به ترتیب توجه کنید، زیرا بردار در حال چرخش از سمت راست ضرب می شود).

سهولت چرخاندن بردارها با استفاده از یک ماتریس چرخشی، و همچنین سهولت ترکیب چرخش های متوالی، ماتریس چرخش را به روشی مفید و محبوب برای نمایش چرخش ها تبدیل می کند، حتی اگر مختصرتر از سایر نمایش ها باشد.

محور و زاویه اویلر (بردار چرخش) [ ویرایش ]

تجسم یک چرخش که با محور و زاویه اویلر نشان داده شده است.

مقاله اصلی: بازنمایی محور – زاویه

از قضیه چرخش اویلر می دانیم که هر چرخشی را می توان به صورت یک چرخش منفرد حول یک محور بیان کرد. محور بردار واحدی است (به جز علامت منحصر به فرد) که با چرخش بدون تغییر باقی می ماند. بزرگی زاویه نیز منحصر به فرد است و علامت آن با علامت محور چرخش تعیین می شود.

محور را می توان به عنوان یک بردار واحد سه بعدی نشان داد

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$ و زاویه توسط θ اسکالر .

از آنجایی که محور نرمال شده است، تنها دو درجه آزادی دارد . زاویه سومین درجه آزادی را به این نمایش چرخشی اضافه می کند.

ممکن است کسی بخواهد چرخش را به عنوان یک بردار چرخشی یا بردار اویلر بیان کند، یک بردار سه بعدی غیر عادی که جهت آن محور را مشخص می کند و طول آن θ است .

$\mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.$

بردار چرخش در برخی زمینه ها مفید است، زیرا نشان دهنده یک چرخش سه بعدی با تنها سه مقدار اسکالر (اجزای آن) است که نشان دهنده سه درجه آزادی است. این همچنین برای نمایش های مبتنی بر دنباله های سه زاویه اویلر صادق است (به زیر مراجعه کنید).

اگر زاویه چرخش θ صفر باشد، محور منحصراً تعریف نشده است. ترکیب دو چرخش متوالی که هر کدام با یک محور و زاویه اویلر نشان داده می شوند، ساده نیست و در واقع قانون جمع بردار را برآورده نمی کند، که نشان می دهد چرخش های محدود واقعاً بردار نیستند. بهتر است از ماتریس چرخش یا نماد کواترنیون استفاده کنید، حاصل را محاسبه کنید و سپس به محور و زاویه اویلر تبدیل کنید.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions

+ نوشته شده در شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 3:41 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-زوایای اویلر

خواص [ ویرایش ]

همچنین ببینید: نمودارهای SO(3) و کواترنیون ها و چرخش فضایی

زوایای اویلر نموداری را روی تمام SO(3) تشکیل می‌دهند ، گروه ویژه چرخش‌های متعامد در فضای سه‌بعدی. نمودار صاف است به جز یک تکینگی سبک مختصات قطبی در امتداد β = 0 . برای درمان کامل تر، نمودارهای SO(3) را ببینید .

فضای چرخش ها به طور کلی « هیپرکره چرخش ها » نامیده می شود ، اگرچه این یک نام اشتباه است: گروه Spin(3) نسبت به ابرکره S3 ایزومتریک است ، اما فضای چرخش SO(3) در عوض به تصویر تصویر واقعی ایزومتریک است. فضای RP 3 که یک فضای ضریب 2 برابری ابرکره است. این ابهام 2 به 1 منشأ ریاضی اسپین در فیزیک است .

یک تجزیه سه زاویه مشابه برای SU(2) اعمال می شود ، گروه واحد ویژه چرخش ها در فضای پیچیده 2 بعدی، با این تفاوت که β از 0 تا 2 π است . به این زوایای اویلر نیز می گویند.

اندازه گیری هار برای SO(3) در زوایای اویلر با پارامترسازی زاویه Hopf از SO(3) به دست می آید. ${\textrm {d}}V\propto \sin \beta \cdot {\textrm {d}}\alpha \cdot {\textrm {d}}\beta \cdot {\textrm {d}}\gamma$ ، [5] که در آن $(\بتا،\alpha)$ پارامتر کردناس2 $S^{{2}}$ ، فضای محورهای چرخشی.

به عنوان مثال، برای ایجاد جهت گیری های تصادفی یکنواخت، اجازه دهید α و γ از 0 تا 2 π یکنواخت باشند ، اجازه دهید z از 1- تا 1 یکنواخت باشند، و اجازه دهید β = arccos( z ) یکنواخت باشند .

جبر هندسی [ ویرایش ]

سایر ویژگی‌های زوایای اویلر و به طور کلی چرخش‌ها را می‌توان از جبر هندسی ، یک انتزاع سطح بالاتر، که در آن ربع‌ها یک خرده جبر زوج هستند، یافت . ابزار اصلی در جبر هندسی روتور است $\mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]$ جایی که $\theta =$ زاویه چرخش ،تو $\mathbf{u}$ محور چرخش (بردار واحد) است و $\mathbf {I}$ شبه اسکالر (سه بردار درآر3 $\mathbb {R} ^{3}$ )

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

امکان تعریف پارامترهای مشابه زوایای اویلر در ابعاد بالاتر از سه وجود دارد. [6] [ منبع غیر قابل اعتماد؟ ] در چهار بعد به بالا، مفهوم «چرخش حول محور» معنا را از دست می دهد و در عوض به «چرخش در صفحه» تبدیل می شود. تعداد زوایای اویلر مورد نیاز برای نشان دادن گروه SO( n ) n ( n -1)/2 است ، که برابر با تعداد صفحات حاوی دو محور مختصات مجزا در فضای اقلیدسی n بعدی است.

در SO(4) یک ماتریس چرخش با دو کواترنیون واحد تعریف می‌شود و بنابراین دارای شش درجه آزادی است، سه درجه از هر کواترنیون.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

وسایل نقلیه و قاب های متحرک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: بدنه سفت و سخت

همچنین ببینید: قراردادهای محور

مزیت اصلی آنها نسبت به سایر توضیحات جهت گیری این است که آنها به طور مستقیم از یک گیمبال نصب شده در یک وسیله نقلیه قابل اندازه گیری هستند. از آنجایی که ژیروسکوپ ها محور چرخش خود را ثابت نگه می دارند، زوایای اندازه گیری شده در یک قاب ژیروسکوپی معادل زوایای اندازه گیری شده در قاب آزمایشگاهی است. بنابراین، ژیروسکوپ برای دانستن جهت واقعی فضاپیماهای متحرک استفاده می شود و زوایای اویلر به طور مستقیم قابل اندازه گیری هستند. زاویه چرخش ذاتی را نمی توان از یک گیمبال خواند، بنابراین باید بیش از یک گیمبال در یک فضاپیما وجود داشته باشد. به طور معمول حداقل سه مورد برای افزونگی وجود دارد. همچنین یک رابطه با مشکل شناخته شده قفل گیمبال در مهندسی مکانیک وجود دارد . [7]

هنگام مطالعه اجسام صلب به طور کلی، مختصات فضای سیستم xyz و بدنه سیستم XYZ مختصات نامیده می شود . مختصات فضایی غیر متحرک تلقی می شوند، در حالی که مختصات بدن در جسم متحرک تعبیه شده اند. محاسبات شامل شتاب ، شتاب زاویه ای ، سرعت زاویه ای ، تکانه زاویه ای و انرژی جنبشیمعمولاً در مختصات بدنه ساده‌تر هستند، زیرا در این صورت تانسور ممان اینرسی در زمان تغییر نمی‌کند. اگر تانسور ممان اینرسی جسم صلب را نیز مورب قرار دهیم (با نه جزء که شش جزء مستقل هستند)، آنگاه مجموعه‌ای از مختصات (به نام محورهای اصلی) داریم که در آن تانسور ممان اینرسی فقط سه جزء دارد.

سرعت زاویه ای یک جسم صلب با استفاده از زوایای اویلر در قاب متحرک شکل ساده ای به خود می گیرد. همچنین معادلات جسم صلب اویلر ساده تر هستند زیرا تانسور اینرسی در آن قاب ثابت است.

بافت کریستالوگرافی [ ویرایش ]

شکل های قطبی که بافت کریستالوگرافی گاما-TiAl را در یک آلیاژ آلفا2-گاما نشان می دهد، همانطور که توسط پرتوهای ایکس با انرژی بالا اندازه گیری می شود. [8]

در علم مواد، بافت کریستالوگرافی (یا جهت ترجیحی) را می توان با استفاده از زوایای اویلر توصیف کرد. در تجزیه و تحلیل بافت، زوایای اویلر یک تصویر ریاضی از جهت‌گیری کریستالیت‌های منفرد در یک ماده پلی‌کریستالی را ارائه می‌دهد که امکان توصیف کمی مواد ماکروسکوپی را فراهم می‌کند. [9] رایج ترین تعریف زاویه ها به دلیل Bunge است و مطابق با قرارداد ZXZ است . مهم است که توجه داشته باشید، با این حال، این برنامه به طور کلی شامل تبدیل محور کمیت های تانسور، به عنوان مثال چرخش غیر فعال است. بنابراین ماتریسی که با زوایای بانج اویلر مطابقت دارد، جابجایی آن چیزی است که در جدول بالا نشان داده شده است. [10]

دیگران [ ویرایش ]

ربات صنعتی که در یک ریخته گری کار می کند

زوایای اویلر، معمولاً در کنوانسیون Tait-Bryan، همچنین در رباتیک برای صحبت در مورد درجات آزادی مچ استفاده می شود . آنها همچنین در کنترل پایداری الکترونیکی به روشی مشابه استفاده می شوند.

سیستم های کنترل آتش اسلحه به اصلاح زوایای سفارش اسلحه (باربری و ارتفاع) برای جبران کج شدن عرشه (پیچ و غلت) نیاز دارند. در سیستم‌های سنتی، یک ژیروسکوپ تثبیت‌کننده با محور چرخش عمودی، شیب عرشه را تصحیح می‌کند و مناظر نوری و آنتن رادار را تثبیت می‌کند. با این حال، لوله های تفنگ در جهتی متفاوت از خط دید به سمت هدف قرار می گیرند تا از جمله عوامل دیگر، حرکت هدف و سقوط پرتابه به دلیل گرانش را پیش بینی کنند. پایه‌های تفنگ با صفحه عرشه می‌چرخند، اما به تثبیت نیز نیاز دارند. سفارشات تفنگ شامل زوایای محاسبه شده از داده های ژیروسکوپ عمودی است و این محاسبات شامل زوایای اویلر است.

زوایای اویلر نیز به طور گسترده در مکانیک کوانتومی تکانه زاویه ای استفاده می شود. در مکانیک کوانتومی، توضیحات صریح از نمایش SO(3) برای محاسبات بسیار مهم است و تقریباً تمام کارها با استفاده از زوایای اویلر انجام شده است. در تاریخ اولیه مکانیک کوانتومی، زمانی که فیزیکدانان و شیمیدانان واکنش منفی شدیدی نسبت به روش‌های نظری گروهی انتزاعی (به نام Gruppenpest ) داشتند، تکیه بر زوایای اویلر نیز برای کار نظری اساسی ضروری بود.

بسیاری از دستگاه‌های محاسباتی سیار حاوی شتاب‌سنج‌هایی هستند که می‌توانند زوایای اویلر این دستگاه‌ها را با توجه به جاذبه گرانشی زمین تعیین کنند. اینها در برنامه‌هایی مانند بازی‌ها، شبیه‌سازی سطح حباب‌ها و کالیدوسکوپ‌ها استفاده می‌شوند . [ نیازمند منبع ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

+ نوشته شده در شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 2:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-زوایای اویلر

ماتریس چرخش [ ویرایش ]

هر جهتی را می توان با ترکیب سه چرخش عنصری، با شروع از یک جهت گیری استاندارد شناخته شده، به دست آورد. به طور معادل، هر ماتریس چرخشی R را می توان به عنوان حاصلضرب سه ماتریس چرخش عنصری تجزیه کرد . برای مثال:

$R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)$

یک ماتریس چرخشی است که ممکن است برای نمایش ترکیبی از چرخش‌های بیرونی حول محورهای z , y , x , (به ترتیب) یا ترکیبی از چرخش‌های درونی حول محورهای x - y ′ -z ″ (به آن ترتیب) استفاده شود. با این حال، هم تعریف ماتریس‌های چرخش عنصری X ، Y ، Z و ترتیب ضرب آنها به انتخاب‌هایی که کاربر در مورد تعریف ماتریس‌های چرخش و زوایای اویلر انجام می‌دهد بستگی دارد (به عنوان مثال، ابهامات در تعریف چرخش را ببینید. ماتریس ها). متأسفانه، مجموعه‌های مختلفی از قراردادها توسط کاربران در زمینه‌های مختلف اتخاذ می‌شوند. جدول زیر بر اساس این مجموعه از قراردادها ساخته شده است:

هر ماتریس باید با پیش ضرب بردارهای ستون عمل کند ${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ ( به ابهامات در تعریف ماتریس های چرخشی مراجعه کنید )
هر ماتریس به معنای نشان دادن یک چرخش فعال است (ماتریس های ترکیبی و ترکیبی قرار است بر روی مختصات بردارهای تعریف شده در چارچوب مرجع ثابت اولیه عمل کنند و در نتیجه مختصات یک بردار چرخشی تعریف شده در همان چارچوب مرجع را ارائه دهند).
هر ماتریس در درجه اول، ترکیبی از چرخش‌های درونی (در حول محورهای قاب مرجع در حال چرخش) و ثانیاً ترکیب سه چرخش بیرونی (که مربوط به ارزیابی سازنده ماتریس R با ضرب سه است) را نشان می‌دهد. ماتریس های واقعاً عنصری، به ترتیب معکوس).
فریم های مرجع راست دست اتخاذ می شوند و از قانون دست راست برای تعیین علامت زوایای α ، β ، γ استفاده می شود .

به منظور سادگی، جدول محصولات ماتریسی زیر از نامگذاری زیر استفاده می کند:

1، 2، 3 نشان دهنده زوایای α ، β و γ هستند ، یعنی زوایای مربوط به چرخش عنصر اول، دوم و سوم.
X , Y , Z ماتریس هایی هستند که چرخش های عنصری حول محورهای x , y , z قاب ثابت را نشان می دهند (مثلاً X 1 نشان دهنده چرخش حول x با زاویه α است ).
s و c نشان دهنده سینوس و کسینوس است (به عنوان مثال، s 1 نشان دهنده سینوس α است ).

زوایای اویلر مناسب	زوایای Tait–Bryan
$X_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}\\c_{1} s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}\\ s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3} \end{bmatrix}}$	$X_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-s_{2}&c_{2}s_{3}\\s_{1}s_{3 }+c_{1}c_{3}s_{2}&c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}\\c_{3}s_ {1}s_{2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix} }$
$X_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}\\s_{1}s_{2}&c_ {1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}\\-c_{1} s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$X_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}&s_{2}\\c_{1}s_{3 }+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1}\\s_{1 }s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{ bmatrix}}$
$Y_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}&c_{ 1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}\\s_{2}s_{3}&c_{2}&-c_{3}s_{2}\\-c_{3} s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$Y_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{ 2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}\\c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}&-s_{2}\\c_{1}s_ {2}s_{3}-c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}s_{2}+s_{1}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{bmatrix} }$
$Y_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2} &c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}\\c_{3}s_{2}&c_{2}&s_{2}s_{3}\\-c_{1} s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$Y_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{ 3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}\\s_{2}&c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}\\-c_{2} s_{1}&c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix }}$
$Z_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1} -c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}\\c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{ 3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}\\-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}&c_{2}\end{bmatrix }}$	$Z_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&s_{ 1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}\\c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3} &c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}\\-s_{2}&c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix}}$
$Z_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_ {3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1 }c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2}\\s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}&c_{2} \end{bmatrix}}$	$Z_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1} &c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{ 2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}\\-c_{2}s_{3}&s_{2}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix }}$

این نتایج جدولی در کتابهای درسی متعددی موجود است. [3] برای هر ستون، ردیف آخر متداول ترین قرارداد استفاده شده را تشکیل می دهد.

برای تغییر فرمول‌های چرخش‌های غیرفعال (یا یافتن چرخش فعال معکوس)، ماتریس‌ها را جابه‌جا کنید (سپس هر ماتریس مختصات اولیه یک بردار ثابت باقی مانده را به مختصات همان بردار اندازه‌گیری شده در سیستم مرجع چرخش تبدیل می‌کند؛ همان محور چرخش، همان زوایا، اما اکنون سیستم مختصات به جای بردار می چرخد).

جدول زیر شامل فرمول های زوایای α ، β و γ از عناصر یک ماتریس چرخش استآر $آر$ . [4]

زوایای اویلر مناسب		زوایای Tait–Bryan
$X_{1}Z_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{21}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{ 11}\راست)\\\گاما &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{12}}}\right)\end{تراز شده}}$	$X_{1}Z_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {12}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{11}}}\right)\end{تراز شده}}$
$X_{1}Y_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{31}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {11}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{13}}}\right)\end{تراز شده}}$	$X_{1}Y_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {13}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{11}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Y_{1}X_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{32}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{ 22}\راست)\\\گاما &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{23}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Y_{1}X_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {23}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{22}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Y_{1}Z_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_{12}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {22}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{21}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Y_{1}Z_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {21}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{22}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Z_{1}Y_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{13}}}\right)\\\beta &=\arctan \left({\ frac {\sqrt {1-R_{33}^{2}}}{R_{33}}}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_ {31}}\right)\end{تراز شده}}$	$Z_{1}Y_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {31}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{33}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Z_{1}X_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{23}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {33}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{32}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Z_{1}X_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {32}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{33}}}\right)\end{تراز شده}}$

خواص

+ نوشته شده در شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 2:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-زوایای اویلر

زوایای اویلر مناسب [ ویرایش ]

با فرض یک قاب با بردارهای واحد ( X ، Y ، Z ) که با مختصات آنها مانند نمودار اصلی داده شده است، می توان مشاهده کرد که:

$\cos(\beta )=Z_{3}.$

و از

$\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x،$

برای $0<x<\pi$ ما داریم

$\sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.$

مانند $Z_{2}$ طرح دوگانه یک بردار واحد است،

$\cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) = -Z_2،$

$\cos(\alpha) = -Z_2 / \sqrt{1 - Z_3^2}.$

یک ساخت و ساز مشابه برای وجود دارد $Y_{3}$ ، ابتدا آن را بر روی صفحه تعریف شده توسط محور z و خط گره ها پخش می کند. همانطور که زاویه بین صفحات است $\pi /2-\beta$ و $\cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta)$ ، این منجر به:

$\sin(\beta )\cdot \cos(\gamma)=Y_{3}،$

$\cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}،$

و در نهایت با استفاده از تابع کسینوس معکوس

$\alpha =\arccos \left(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right),$

$\beta =\arccos \left(Z_{3}\right)$

$\gamma =\arccos \left(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\راست).$

زوایای Tait–Bryan [ ویرایش ]

پیش بینی های محور x پس از سه چرخش Tait-Bryan. توجه کنید که تتا یک چرخش منفی حول محور y است .

با فرض یک قاب با بردارهای واحد ( X ، Y ، Z ) که با مختصات آنها در این نمودار جدید داده شده است (توجه کنید که زاویه تتا منفی است)، می توان مشاهده کرد که:

$\sin(\theta )=-X_{3}$

مثل قبل،

$\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,$

$-\pi /2<x<\pi /2$ ما داریم

$\cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

به نحوی مشابه قبلی:

$\sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

$\sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

به دنبال عبارات مشابه با عبارات قبلی هستید:

$\psi =\arcsin \left(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\راست)،$

$\theta =\arcsin(-X_{3})،$

$\phi =\arcsin \left(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\راست).$

آخرین اظهارات [ ویرایش ]

توجه داشته باشید که توابع سینوس و کسینوس معکوس دو مقدار ممکن برای آرگومان به دست می دهند. در این توصیف هندسی، تنها یکی از راه حل ها معتبر است. وقتی زوایای اویلر به‌عنوان دنباله‌ای از چرخش‌ها تعریف می‌شوند، همه راه‌حل‌ها می‌توانند معتبر باشند، اما تنها یکی در داخل محدوده زاویه وجود خواهد داشت. این به این دلیل است که اگر محدوده ها قبلاً تعریف نشده باشند، توالی چرخش ها برای رسیدن به قاب هدف منحصر به فرد نیست. [2]

برای اهداف محاسباتی، نمایش زوایا با استفاده از atan2 ( y , x ) ممکن است مفید باشد . به عنوان مثال، در مورد زوایای اویلر مناسب:

$\alpha = \operatorname{atan2}(Z_1، -Z_2)،$

$\gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).$

تبدیل به دیگر نمایش های جهت گیری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی § فرمول های تبدیل بین فرمالیسم ها

زوایای اویلر یکی از راه های نشان دادن جهت ها هستند. موارد دیگری نیز وجود دارد و امکان تغییر به کنوانسیون‌های دیگر وجود دارد. برای توصیف جهت گیری ها در یک فضای اقلیدسی سه بعدی همیشه سه پارامتر مورد نیاز است . آنها را می توان به روش های مختلفی ارائه کرد، زوایای اویلر یکی از آنهاست. نمودارهای SO(3) را برای دیگران ببینید .

پرکاربردترین نمایش جهت‌گیری، ماتریس‌های چرخش ، زاویه محور و کواترنیون‌ها هستند که به‌عنوان پارامترهای اویلر-رودریگز نیز شناخته می‌شوند ، که مکانیسم دیگری برای نمایش چرخش‌های سه‌بعدی ارائه می‌دهند. این معادل توصیف گروه واحد ویژه است.

بیان چرخش ها به صورت سه بعدی به عنوان کواترنیون واحد به جای ماتریس مزایایی دارد:

چرخش های الحاقی از نظر محاسباتی سریعتر و از نظر عددی پایدارتر است.
استخراج زاویه و محور چرخش ساده تر است.
درون یابی ساده تر است. به عنوان مثال slerp را ببینید .
کواترنیون ها مانند زاویه های اویلر از قفل گیمبال رنج نمی برند .

صرف نظر از این، محاسبه ماتریس چرخش اولین قدم برای به دست آوردن دو نمایش دیگر است.

+ نوشته شده در شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 1:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

نقشه نمایی

عملگرها در مکانیک کوانتومی

تابع موج

عملگرهای خطی در مکانیک موجی

جابجایی عملگرها در Ψ

اپراتورها در مکانیک کلاسیک

جدول اپراتورهای مکانیک کلاسیک

ژنراتورها

ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]

تفسیر هندسی

خواص

اسکالر یا شبه اسکالر

تراکم اسکالر یا اسکالر

به عنوان یک ضرب بیرونی

به عنوان یک تابع سه خطی

ضرب سه گانه برداری

اثبات

استفاده از جبر هندسی

تفاسیر

حساب تانسور

حساب برداری

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

اصل عمل ثابت، به طور شهودی چیست؟

شهود پشت معادله اویلر-لاگرانژ (+ مشتق گام به گام)

رابطه اویلر-لاگرانژ با قانون دوم نیوتن چگونه است؟

نحوه حل مسائل با استفاده از مکانیک لاگرانژی (روش گام به گام)

نمونه های بیشتری از استفاده از مکانیک لاگرانژی!

آونگ ساده

هواپیمای شیبدار متحرک

ویژگی های کلیدی مکانیک لاگرانژی

مختصات تعمیم یافته

تکانه تعمیم یافته

نیروهای تعمیم یافته

اسکالرها در مقابل بردارها

چرا به مکانیک لاگرانژی نیاز داریم؟

مکانیک لاگرانژی در فیزیک مدرن و نظریه میدان

قضیه نوتر و قوانین حفاظت

مثال‌ها و کاربردهای مکانیک لاگرانژی (PDF رایگان)

کجا می توان درباره مکانیک لاگرانژ بیشتر بدانید؟ (منابع پیشنهادی)

شهود در پس مکانیک لاگرانژی

لاگرانژی چیست و چرا تلویزیون است؟

شیب

واگرایی

کرل

لاپلاسین

عدم قطعیت

حفظ تکانه زاویه ای

رابطه با قانون دوم حرکت نیوتن

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

قانون انقباض [ ویرایش ]

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

مراجع عمومی [ ویرایش ]

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

برابری [ ویرایش ]

چرخش ها [ ویرایش ]

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی به شکل دکارتی [ ویرایش ]

تابع مولد هرگلوتز [ ویرایش ]

فرم دکارتی جدا شده [ ویرایش ]

موارد و مقادیر ویژه [ ویرایش ]

منشا معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

شکل کوواریانت معادله موج همگن [ ویرایش ]

معادله موج همگن در فضازمان منحنی [ ویرایش ]

معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن [ ویرایش ]

راه حل های معادله موج الکترومغناطیسی همگن [ ویرایش ]