6^(0.034+1) با تقریب دوجمله بدست آورید

سلام وقت بخیر بنده یک سوالی داشتم مزاحمتون شدم
اگر بخوام مثلا ⁶^(1.034)برسونم راه حل سریعی براش وجود داره ؟
ممنون میشم راه حلی ارائه بدید به توان رسوندن اعداد بزرگ با توان زیاد یک معضلی شده برام

جواب:
6^(0.034+1)
1)یک روش دوجمله است
x=0.34 و n=6 در فرمول دوجمله ای بکار ببرید
2)روش لگاریتم روش دیگری است که در کتابهای دبیرستان مخصوصا رشته های فنی قدیم شرح داده شده است
3)روش های دیفرانسیل
4)روش تقریب با رسم نمودار تابع

(1+0.034)^6

فرمول تقریب دوجمله ای تا 3جمله

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x+(\alpha /2)(\alpha -1)x^{2}$

a=6

x=0.034

1+6(0.034)+3(6-1)(0.034)^2

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}\\f(x)&=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(0)x^{4}+\cdots \\(1+x)^{\alpha }&=1+\alpha x+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha -1)x^{2}+{\frac {1}{6}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)x^{3}+{\frac {1}{24}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)x^{4}+\cdots \end{aligned}}$

فرمول تقریب با دوجمله ای تا تعداد جمله دلخواه

1+6(0.034)+0.5(6)(5)(0.034)^2+....

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و نهم آذر ۱۴۰۲ ساعت 1:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تقریب با اتحاد دو جمله ای

$f(x)=(1+x)^{\alpha }$ ${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}\\f(x)&=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(0)x^{4}+\cdots \\(1+x)^{\alpha }&=1+\alpha x+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha -1)x^{2}+{\frac {1}{6}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)x^{3}+{\frac {1}{24}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)x^{4}+\cdots \end{aligned}}$

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.$

${\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2$

${\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}-\left(1-{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)-\left(1-\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1-{\frac {b}{2a}}-1-{\frac {b}{2a}}\right)\\&\approx -{\frac {b}{a{\sqrt {a}}}}\end{aligned}}$

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x+(\alpha /2)(\alpha -1)x^{2}$

${\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2-x^{2}/8.$

${\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx (1+n\epsilon )-(1-(-n)\epsilon )\\&\approx (1+n\epsilon )-(1+n\epsilon )\\&\approx 0.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+(-n)(-\epsilon )+{\frac {1}{2}}(-n)(-n-1)(-\epsilon )^{2}\right)\\&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\right)\\&\approx {\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}-{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}n\epsilon ^{2}((n-1)-(n+1))\\&\approx -n\epsilon ^{2}\end{aligned}}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_approximation

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و نهم آذر ۱۴۰۲ ساعت 1:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس یکانی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای ماتریس‌هایی که دارای قائم به میدان عدد حقیقی هستند، به ماتریس متعامد مراجعه کنید. برای محدودیت در تکامل مجاز سیستم های کوانتومی که مجموع احتمالات همه نتایج ممکن هر رویداد را تضمین می کند همیشه برابر با 1 است، به وحدت مراجعه کنید. الف>

در جبر خطی، یک ماتریس مربع مختلط معکوس U یکانی است اگر باشد ترانهاده مزدوج U* نیز معکوس

$U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,$

که در آن I ماتریس همانی است.

در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی، جابه‌جایی مزدوج به عنوان هرمیتین الحاقی یک ماتریس شناخته می‌شود و با علامت < نشان داده می‌شود. (†)، بنابراین معادله بالا نوشته شده است خنجر

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$

برای اعداد حقیقی، آنالوگ یک ماتریس یکانی یک ماتریس متعامد است. . ماتریس های یکانی در مکانیک کوانتومی اهمیت قابل توجهی دارند زیرا نرمها و بنابراین، دامنه های احتمال< را حفظ می کنند. a i=8>.

خواص[ویرایش]

برای هر ماتریس یکانی U با اندازه محدود، موارد زیر را نگه دارید:

با توجه به دو بردار مختلط x و y، ضرب توسط U ضرب داخلی خود را حفظ می کند. یعنی 〈Ux، Uy〉 .
U طبیعی است ( $U^{*}U=UU^{*}$ ).
U قطری شدنی است. یعنی U به طور یکانی شبیه به یک ماتریس قطری است. نتیجه قضیه طیفی. بنابراین، U دارای تجزیه به شکل است. $U=VDV^{*}،$ که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
$\left|\det(U)\right|=1$ . به این معنا که، $\det(U)$ روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
فضاهای ویژه آن متعامد هستند.
U را می توان به صورت U = e< نوشت >H است.ماتریس هرمیتی یک یکانی مختلط است و i، است ماتریس نمایی نشان دهنده e، که در آن iH

برای هر عدد صحیح n غیر منفی، مجموعه همه n * n ماتریس های یکانی با ضرب ماتریس یک گروه. (n)Uگروه یکانی ، به نام

هر ماتریس مربعی با نرم اقلیدسی یکانی، میانگین دو ماتریس یکانی است.<[1]

شرایط معادل[ویرایش]

اگر U یک ماتریس مربع و مختلط باشد، شرایط زیر معادل هستند:[2 ]

$U$ یکانی است
$U^{*}$ یکانی است
$U$ معکوس است با $U^{-1}=U^{*}$ .
ستون های $U$ از مبنای متعارف از تشکیل می شود $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $U^{*}U=I$ .
ردیف های $U$ یک پایه متعارف از $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $UU^{*}=I$ .
$U$ یک ایزومتی با توجه به نرم معمول است. یعنی $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ برای همه $x\in \mathbb {C} ^{n}$ ، جایی که ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$ .
$U$ یک ماتریس نرمال است (به طور معادل، یک مبنای متعارف وجود دارد که توسط بردارهای ویژه تشکیل شده است. $U$ ) با مقدارهای ویژه که روی دایره یکانی قرار دارد.

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**

یک عبارت کلی از ماتریس یکانی *2 2 است

$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix} },\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,$

که به 4 پارامتر حقیقی بستگی دارد (فاز a، فاز b چنین ماتریسی باشد تعیین). فرم به گونه ای پیکربندی شده است که φ، و زاویه b و a، قدر نسبی بین

$\det(U)=e^{i\varphi }~.$

زیر گروه آن عناصر $\ U\$ با $\ \det(U)=1\$ گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.

در میان چندین شکل جایگزین، ماتریس U را می توان به این شکل نوشت:

$\ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^ {-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,$

آ $\ e^{i\alpha }\cos \theta =a\$ و ه ، $\ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,$ بالا و زوایای $\ \varphi،\alpha،\beta،\theta \$ می تواند هر مقداری را بگیرد.

از طریق معرفی $\\alpha =\psi +\delta \$ و ، $\ \beta =\psi -\delta \ ,$ فاکتورسازی زیر را دارد:

$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\ begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }& 0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.$

این عبارت رابطه بین 2*2 ماتریس های یکانی و 2 * 2 . θ زاویه ماتریس های متعامد

فاکتورگیری دیگر<[3] است

$U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.$

بسیاری از عوامل دیگر یک ماتریس یکانی در ماتریس های پایه امکان پذیر است.[4][5][6]<[7]

همچنین ببینید<[ویرایش]

ماتریس هرمیتی و

ماتریس کج-هرمیتین

تجزیه ماتریس
گروه متعامد O(n)
گروه متعامد خاص SO(n)
ماتریس متعامد
ماتریس نیمه متعامد
دروازه منطق کوانتومی
گروه یونیتی ویژه SU(n)
ماتریس سمپلتیک
گروه یکانی U(n)
اپراتور یکانی

مراجع ]ویرایش]

^ لی، چی کوانگ؛ پون، ادوارد (2002). "تجزیه افزودنی ماتریس های حقیقی". جبر خطی و چند خطی. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.
^ هورن، راجر آ. جانسون، چارلز آر (2013). تحلیل ماتریس. انتشارات دانشگاه کمبریج. doi:10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
^ فور، هارتموت؛ Rzeszotnik، Ziemowit (2018). "نکته ای در مورد فاکتورگیری ماتریس های یکانی". جبر خطی و کاربردهای آن. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN0024-3795. S2CID125455174.
^ ویلیامز، کالین پی. (2011). "دروازه های کوانتومی". در ویلیامز، کالین پی. اکتشافات در محاسبات کوانتومی. متون در علوم کامپیوتر. لندن، انگلستان: Springer. پ. 82. doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2 ISBN 978-1-84628-887-6.
^ نیلسن، M.A.؛ چوانگ، آیزاک (2010). محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی. کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
^ بارنکو، آدریانو؛ بنت، چارلز اچ. کلیو، ریچارد؛ دیوینچنزو، دیوید پی. مارگولوس، نورمن؛ شور، پیتر؛ و همکاران (1 نوامبر 1995). "دروازه های ابتدایی برای محاسبات کوانتومی". بازبینی فیزیکی A. انجمن فیزیک آمریکا (APS). 52 (5): 3457–3467، esp.p. 3465. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN1050-2947. PMID9912645. S2CID8764584.
^ مرویان، ایمان (10 ژانویه 2022). "محدودیت‌های عملیات یکانی قابل تحقق که توسط تقارن و محل اعمال می‌شود". فیزیک طبیعت. 18 (3): 283-289. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN1745-2481. S2CID245840243.
همچنین ببینید:
Alhambra، lvaro M. (10 ژانویه 2022). "ممنوع با تقارن". اخبار & بازدیدها فیزیک طبیعت. 18 (3): 235–236. doi:10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN 1745-2481. S2CID 256745894. فیزیک سیستم های بزرگ اغلب به عنوان نتیجه عملیات محلی در میان اجزای آن درک می شود. اکنون نشان داده شده است که این تصویر ممکن است در سیستم های کوانتومی که برهمکنش های آنها توسط تقارن محدود شده است ناقص باشد.

پیوندهای خارجی[ویرایش]

وایسستاین، اریک دبلیو. "ماتریس یکانی". MathWorld. تاد رولند.
Ivanova, O. A. (2001) [1994]، "ماتریس یکانی"، دانشنامه ریاضیات، پرس EMS
"نشان دهید که مقادیر ویژه یک ماتریس یکانی دارای مدول 1 هستند". Stack Exchange. 28 مارس 2016

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و ششم آذر ۱۴۰۲ ساعت 11:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال ماتریس یکانی

ماتریس یکانی

[eq13]

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و ششم آذر ۱۴۰۲ ساعت 1:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس یکانی

ماتریس یکانی یک ماتریس مربع از اعداد مختلط است. حاصل ضرب ترانهاده مزدوج یک ماتریس یکانی، با ماتریس یکانی، یک ماتریس همانی می‌دهد. از اینجا می توان فهمید که یک ماتریس یکانی یک ماتریس غیر منفرد است و معکوس پذیراست.

اجازه دهید در مورد ویژگی ها و نمونه هایی از ماتریس یکانی بیشتر بیاموزیم.

ماتریس یکانی چیست؟

A ماتریس یکانی یک ماتریس مربعی از اعداد مختلط است که عکس آن برابر است با ترانهاده مزدوج آن. از طرف دیگر، حاصل ضرب ماتریس یکانی و ترانهاده مزدوج یک ماتریس یکانی برابر با ماتریس همانی است. به عنوان مثال، اگر U یک ماتریس یکانی باشد و U^H ترانهاده مختلط آن است (که گاهی اوقات به عنوان U* نشان داده می شود. ) سپس یکی از هر دو شرط زیر برآورده می شود.

U^H = U^-1
U^H U = U U^H = I

جایی که I ماتریس همانی است که ترتیب آن با U یکی است.

ماتریس واحد

همچنین یک ماتریس یکانی یک ماتریس غیر منفرد است. یا تعیین کننده یک ماتریس یکانی برابر با صفر نیست. ستون ها و ردیف های یک ماتریس یکانی متعامد هستند.

ویژگی های ماتریس یکانی

خواص یک ماتریس یکانی به شرح زیر است.

ماتریس یکانی یک ماتریس غیر مفرد است.
ماتریس یکانی یک ماتریس معکوس است
حاصل ضرب دو ماتریس یکانی یک ماتریس یکانی است.
معکوس یک ماتریس یکانی یک ماتریس یکانی دیگر است.
یک ماتریس یکانی است، اگر و تنها در صورتی که جابجایی آن یکانی باشد.
یک ماتریس یکانی است اگر ردیف های آن متعامد و ستون ها متعامد باشند.
ماتریس های یکانی نیز می توانند ماتریس های غیر مربعی باشند اما دارای ستون ها و ردیف های متعامد باشند.

توجه: لازم نیست مجموع یا اختلاف دو ماتریس یکانی، یک ماتریس یکانی باشد. به عنوان مثال، اگر A یک ماتریس یکانی است، A - A = O (ماتریس تهی)، که یکانی نیست.

اصطلاحات مربوط به ماتریس یکانی

عبارات زیر مربوط به ماتریس ها برای درک بهتر این مفهوم از ماتریس یکانی مفید است.

ماتریس غیر مفرد: تعیین یک ماتریس غیر مفرد یک مقدار غیر صفر است. برای یک ماتریس مربع A، شرط اینکه ماتریس غیر مفرد باشد
|A| =ad - bc ≠ 0.
ماتریس معکوس: ماتریسی که ماتریس معکوس آن قابل محاسبه است، ماتریس معکوس پذیر نامیده می شود. معکوس یک ماتریس A برابر است با

A^-1 = Adj A/ |A|.

ماتریس مزدوج: ماتریس مزدوج یک ماتریس معین با جایگزینی عناصر متناظر ماتریس داده شده با مزدوج های مختلط آنها به دست می آید.
ترانهاده ماتریس: ترانهاده یک ماتریس A به صورت A^T نشان داده می شود و جابجایی سطر ماتریس با به ستون و ستون ها به سطر برای یک ماتریس مشخص به دست می آید.
ماتریس متعامد: اگر حاصل ضرب یک ماتریس و ترانهاده آن یک ماتریس همانی باشد، آن را ماتریس متعامد. A.A^T = I.
ماتریس هرمیتین: ماتریس هرمیتی یک ماتریس مربع است که برابر با ماتریس ترانهاده مزدوج آن است. عناصر غیر قطری یک ماتریس هرمیتین همگی اعداد مختلط هستند.

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و ششم آذر ۱۴۰۲ ساعت 1:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدانان

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان را می توان به صراحت به صورت نوشتاری نوشت

$H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{ {\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\ text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n -1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1} &{\text{برای فرد }}n.\end{موارد}}$

این دو معادله را می توان با استفاده از تابع کف ترکیب کرد :

$H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.$

چندجمله‌ای‌های هرمیت فرمول‌های مشابهی دارند که می‌توان از این فرمول‌ها با جایگزین کردن توان 2^ x بدست اورد

$He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.$

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 18:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معکوس چندجمله‌ای هرمیتی

عبارت صریح معکوس [ ویرایش ]

معکوس عبارات صریح فوق، یعنی آنهایی که برای تک جمله‌ها بر حسب چندجمله‌ای هرمیتی احتمال گرایان هستند .

$x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{ m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).$

عبارات مربوط به چندجمله‌ای هرمیت H فیزیکدان به‌طور مستقیم با مقیاس‌بندی مناسب این فیزیک‌دان دنبال می‌شوند: [6]

$x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\راست \rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).$

تابع تولید [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت با تابع مولد نمایی به دست می آیند

${\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He }}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}،\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{ \infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{تراز شده}}$

این برابری برای همه مقادیر مختلط x و t معتبر است و می‌توان آن را با نوشتن بسط تیلور در x کل تابع z → e - z 2 (در مورد فیزیکدان) به دست آورد. همچنین می توان تابع مولد (فیزیکدان) را با استفاده از فرمول انتگرال کوشی برای نوشتن چندجمله ای های هرمیت به صورت استخراج کرد.

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{- x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e ^{-z^{2}}}{(zx)^{n+1}}}\,dz.$

با استفاده از این در مجموع

$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}،$

می توان انتگرال باقیمانده را با استفاده از حساب باقیمانده ارزیابی کرد و به تابع مولد مورد نظر رسید.

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 14:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال قضیه واگرایی

فرض کنید می خواستیم شار میدان برداری زیر را که توسط تعریف شده است، ارزیابی کنیم $\mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}$ محدود به نابرابری های زیر است:

$\left\{0\leq x\leq 3\right\}\left\{-2\leq y\leq 2\right\}\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\ }$

با قضیه واگرایی،

$\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ . $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.$

اکنون باید واگرایی ${\textbf {F}}$ را تعیین کنیم. اگر $\mathbf {F}$ یک میدان برداری سه بعدی است، سپس واگرایی ${\textbf {F}}$ از رابطه زیر بدست می آید⋅

بنابراین، ما می توانیم انتگرال شار زیر را تنظیم کنیم

$من =$ $\اینت$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$

به شرح زیر است:

${\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left( {\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d } V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V\end{تراز شده}}$

اکنون که انتگرال را تنظیم کرده ایم، می توانیم آن را ارزیابی کنیم.

${\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\ pi +3)\end{تراز شده}}$

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 13:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال قضیه واگرایی ریاضی (دوبعدی)

برای تأیید نوع مسطح قضیه واگرایی برای یک منطقه $آر$ :

$R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$

و فیلد برداری:

$\mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j}.$

مرز $آر$ دایره واحد $سی$ است،، که می تواند به صورت پارامتریک به صورت زیر نمایش داده شود:

$x=\cos(s)،\quad y=\sin(s)$

به طوری که $0\leq s\leq 2\pi$ جایی که $س$ واحد طول قوس از نقطه $s=0$ به نقطه $پ$ بر $سی$ است. سپس یک معادله برداری از $سی$ است

$C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j}.$

در یک نقطه $پ$ بر $سی$ :

$P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf { j} .$

از این رو،

${\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2 \sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j})\, \mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\ mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{تراز شده }}$

زیرا $M=2y$ ، می توانیم ارزیابی کنیم ${\frac {\partial M}{\partial x}}=0$ ، و چون $N=5x$ ، ${\frac {\partial N}{\partial y}}=0$ . بدین ترتیب

. $\iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M} {\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.$

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 12:56 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال قضیه واگرایی ریاضی

فیلد برداری مربوط به مثال نشان داده شده است. بردارها ممکن است به داخل یا خارج از کره اشاره کنند.

قضیه واگرایی را می توان برای محاسبه شار از یک سطح بسته که به طور کامل یک حجم را در بر می گیرد، . نمی توان مستقیماً از آن برای محاسبه شار از طریق سطوح دارای مرز مانند سطوح سمت راست استفاده کرد. (سطوح آبی، مرزها قرمز هستند.)

فرض کنید می خواهیم ارزیابی کنیم

$\اینت$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$

که در آن S واحد کره تعریف شده توسط

$S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\ درست\}،$

و F میدان برداری است

$\mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .$

محاسبه مستقیم این انتگرال بسیار دشوار است، اما می‌توانیم استخراج نتیجه را با استفاده از قضیه واگرایی ساده کنیم، زیرا قضیه واگرایی می‌گوید که انتگرال برابر است با:

$\iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,$

جایی که W توپ واحد است :

$W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1 \درست\}.$

از آنجایی که تابع y در یک نیمکره W مثبت و در نیمکره دیگر منفی است، به طور مساوی و مخالف، انتگرال کل آن بر روی W صفر است. برای z هم همینطور است :

$\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.$

از این رو،

$\اینت$ $\scriptstyle S$ ، $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},$

زیرا توپ واحد W حجم دارد π4/3.

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 12:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه واگرایی ریاضی

بیانیه ریاضی [ ویرایش ]

ناحیه V محدود به سطح $S=\جزئی V$ با عمود بر سطحn

فرض کنید V زیر مجموعه ای از $\mathbb {R} ^{n}$ (در مورد n = 3، V حجمی را در فضای سه بعدی نشان می دهد ) که فشرده است و دارای یک مرز صاف تکه تکه S است (همچنین با نشان داده شده است $\جزئی V=S$ ). اگر F یک میدان برداری پیوسته مشتقپذیر ا ست که در همسایگی V تعریف شده است ، آنگاه: [4] [5]

$\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ . $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.$

سمت چپ انتگرال حجمی از حجم V است ، سمت راست انتگرال سطحی بر روی مرز حجم V است . منیفولد بسته $\ جزئی V$ توسط نرمال های رو به بیرون جهت گیری شده است ، و $\mathbf {\hat {n}}$ واحد اشاره به بیرون در هر نقطه از مرز نرمال $\ جزئی V$ است. ( $\mathrm {d} \mathbf {S}$ ممکن است به عنوان مخفف استفاده شود $\mathbf {n} \mathrm {d} S$ .) از نظر توصیف شهودی بالا، سمت چپ معادله مجموع منابع در حجم V را نشان می‌دهد ، و سمت راست نشان‌دهنده جریان کل در سراسر مرز S است .

اشتقا

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 12:3 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کاربرد و توضیح قضیه واگرایی

در حساب بردار ، قضیه واگرایی ، که به عنوان قضیه گاوس یا قضیه اوستروگرادسکی نیز شناخته می‌شود ، [1] قضیه‌ای است که شار یک میدان برداری را از یک سطح بسته به واگرایی میدان در حجم محصور مرتبط می‌کند.

به‌طور دقیق‌تر، قضیه واگرایی بیان می‌کند که انتگرال سطحی یک میدان برداری روی یک سطح بسته، که به آن «شار» در سطح می‌گویند، برابر است با انتگرال حجمی واگرایی در ناحیه داخل سطح. به طور شهودی بیان می‌کند که "مجموع همه منابع میدان در یک منطقه (با سینک‌هایی که به عنوان منابع منفی در نظر گرفته می‌شوند) شار خالص خارج از منطقه را می‌دهد.

قضیه واگرایی یک نتیجه مهم برای ریاضیات فیزیک و مهندسی است ، به ویژه در الکترواستاتیک و دینامیک سیالات . در این زمینه ها معمولا به صورت سه بعدی اعمال می شود. با این حال، به هر تعدادی از ابعاد تعمیم می یابد . در یک بعد، معادل یکپارچه سازی توسط قطعات است . در دو بعد، معادل قضیه گرین است .

توضیح با استفاده از جریان مایع [ ویرایش ]

میدان های برداری اغلب با استفاده از مثال میدان سرعت یک سیال ، مانند گاز یا مایع، نشان داده می شوند. یک مایع متحرک در هر نقطه دارای یک سرعت - یک سرعت و یک جهت - است که می تواند با یک بردار نمایش داده شود ، به طوری که سرعت مایع در هر لحظه یک میدان برداری را تشکیل می دهد. یک سطح بسته فرضی S را در داخل یک جسم مایع در نظر بگیرید که حجمی از مایع را در بر گرفته است. شار مایع از حجم در هر زمان برابر است با سرعت حجمی سیال که از این سطح عبور می کند، یعنی انتگرال سطح سرعت روی سطح.

از آنجایی که مایعات تراکم ناپذیر هستند، مقدار مایع داخل یک حجم بسته ثابت است. اگر هیچ منبع یا سینک در داخل حجم وجود نداشته باشد، شار مایع به خارج از S صفر است. اگر مایع در حال حرکت باشد، ممکن است در برخی از نقاط سطح S به حجم جریان یابد و در نقاط دیگر از حجم خارج شود، اما مقادیری که در هر لحظه به داخل و خارج می‌شوند برابر هستند، بنابراین شار خالص مایع از حجم صفر است

با این حال اگر یک منبع مایع در داخل سطح بسته باشد، مانند لوله ای که از طریق آن مایع وارد می شود، مایع اضافی بر مایع اطراف فشار وارد می کند و باعث ایجاد جریان به بیرون در همه جهات می شود. این باعث یک جریان خالص به بیرون از طریق سطح S می شود . شار به سمت خارج از طریق S برابر است با سرعت حجمی جریان سیال به S از لوله. به طور مشابه اگر یک سینک یا زهکشی در داخل S وجود داشته باشد ، مانند لوله ای که مایع را تخلیه می کند، فشار خارجی مایع باعث ایجاد سرعت در سراسر مایع به سمت داخل به سمت محل تخلیه می شود. سرعت حجم جریان مایع به سمت داخل از طریق سطح S برابر است با سرعت مایع خارج شده توسط سینک.

اگر چندین منبع و سینک مایع در داخل S وجود داشته باشد، شار از طریق سطح را می توان با جمع کردن میزان حجم مایع اضافه شده توسط منابع و کم کردن سرعت تخلیه مایع توسط سینک ها محاسبه کرد. سرعت حجم جریان مایع از طریق یک منبع یا سینک (با علامت منفی جریان از طریق سینک) برابر با واگرایی میدان سرعت در دهانه لوله است، بنابراین واگرایی مایع را در سرتاسر جمع می کنیم. حجم محصور شده توسط S برابر است با سرعت حجمی شار از طریق S. این قضیه واگرایی است. [2]

قضیه واگرایی در هر قانون حفاظتی به کار می رود که بیان می کند که حجم کل تمام سینک ها و منابع، یعنی انتگرال حجمی واگرایی، برابر با جریان خالص در سراسر مرز حجم است. [3]

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 11:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

رشد هذلولی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تابع متقابل ، رشد هذلولی را نشان می دهد.

هنگامی که یک کمیت تحت یک تغییر محدود به سمت تکینگی رشد می کند (یک " تکینگ زمان محدود ")، گفته می شود که تحت رشد هذلولی قرار می گیرد . [1] به طور دقیق تر، تابع متقابل $1/x$ دارای یک هذلولی به عنوان یک نمودار، و دارای تکینگی در 0، به این معنی که حد به عنوان $x \ به 0$ بی نهایت است: هر نمودار مشابهی گفته می شود که رشد هذلولی را نشان می دهد.

توضیحات [ ویرایش ]

اگر خروجی یک تابع با ورودی آن نسبت معکوس یا با اختلاف یک مقدار معین نسبت معکوس داشته باشد. $x_{0}$ ، تابع رشد هذلولی را با تکینگی در نشان می دهد $x_{0}$ .

در دنیای واقعی رشد هذلولی توسط مکانیسم های بازخورد مثبت غیرخطی خاصی ایجاد می شود . [2]

مقایسه با رشد دیگر [ ویرایش ]

مانند رشد نمایی و رشد لجستیک ، رشد هذلولی بسیار غیرخطی است ، اما از جنبه های مهم متفاوت است. این توابع را می توان اشتباه گرفت، زیرا رشد نمایی، رشد هذلولی و نیمه اول رشد لجستیک توابع محدب هستند . با این حال رفتار مجانبی آنها (رفتار با بزرگ شدن ورودی) به طور چشمگیری متفاوت است:

رشد لجستیک محدود است (حد محدودی دارد، حتی با رفتن زمان به بی نهایت)،
رشد نمایی تا بی نهایت رشد می کند که زمان به سمت بی نهایت می رود (اما همیشه برای زمان متناهی محدود است)
رشد هذلولی در زمان محدود دارای تکینگی است (در زمان محدود تا بی نهایت رشد می کند).

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

جمعیت [ ویرایش ]

برخی از مدل‌های ریاضی نشان می‌دهند که تا اوایل دهه 1970، جمعیت جهان تحت رشد هذلولی بود (به عنوان مثال، به مقدمه‌ای بر ماکرودینامیک اجتماعی توسط آندری کوروتایف و همکاران مراجعه کنید ). همچنین نشان داده شد که تا دهه 1970، رشد هذلولی جمعیت جهان با رشد درجه دوم-هذلولی تولید ناخالص داخلی جهان همراه بود و تعدادی مدل ریاضی برای توصیف این پدیده و خروج سیستم جهانی از رژیم منفجره ایجاد شد. در دهه های اخیر مشاهده شده است. رشد هذلولی جمعیت جهان و رشد درجه دوم-هذلولی تولید ناخالص داخلی جهان مشاهده شده تا دهه 1970 توسط آندری کوروتایف و همکارانش با بازخورد مثبت غیرخطی مرتبه دوم بین رشد جمعیتی و توسعه فناوری که توسط یک زنجیره توصیف شده است، مرتبط شده است. علت: رشد فناورانه منجر به ظرفیت حمل بیشتر زمین برای مردم می شود که منجر به افراد بیشتر می شود که منجر به مخترعان بیشتر می شود که به نوبه خود منجر به رشد تکنولوژیکی بیشتر می شود و همچنان ادامه دارد. [3] همچنین نشان داده شده است که مدل‌های هذلولی از این نوع ممکن است برای توصیف به روشی نسبتاً دقیق رشد کلی پیچیدگی سیاره‌ای زمین از 4 میلیارد قبل از میلاد تا کنون استفاده شوند. [4] مدل‌های دیگر رشد نمایی ، رشد لجستیک یا سایر توابع را پیشنهاد می‌کنند.

تئوری صف [ ویرایش ]

مثال دیگری از رشد هذلولی را می توان در تئوری صف یافت : میانگین زمان انتظار مشتریانی که به طور تصادفی وارد می شوند به صورت هذلولی به عنوان تابعی از میانگین نسبت بار سرور افزایش می یابد. تکینگی در این مورد زمانی رخ می دهد که میانگین مقدار کاری که به سرور می رسد با ظرفیت پردازش سرور برابر باشد. اگر نیازهای پردازش بیش از ظرفیت سرور باشد، در این صورت میانگین زمان انتظار مشخصی وجود ندارد، زیرا صف می‌تواند بدون محدودیت رشد کند. یک مفهوم عملی این مثال خاص این است که برای سیستم‌های صف با بارگذاری بالا، میانگین زمان انتظار می‌تواند به ظرفیت پردازش بسیار حساس باشد.

سینتیک آنزیم [ ویرایش ]

مثال عملی دیگری از رشد هذلولی را می توان در سینتیک آنزیم یافت . هنگامی که سرعت واکنش (سرعت نامیده می‌شود) بین آنزیم و سوبسترا در برابر غلظت‌های مختلف بستر رسم می‌شود، نمودار هذلولی برای بسیاری از سیستم‌های ساده‌تر به‌دست می‌آید. هنگامی که این اتفاق می افتد، گفته می شود که آنزیم از سینتیک Michaelis-Menten پیروی می کند .

مثال ریاضی [ ویرایش ]

کارکرد

$x(t)={\frac {1}{t_{c}-t}}$

رشد هذلولی را با یک تکینگی در زمان نشان می دهد $t_c$ : در حد به عنوانتی $t\ به t_{c}$ ، تابع به بی نهایت می رود.

به طور کلی، تابع

$x(t)={\frac {K}{t_{c}-t}}$

رشد هذلولی را نشان می دهد، جایی که $ک$ یک عامل مقیاس است .

توجه داشته باشید که این تابع جبری را می توان به عنوان راه حل تحلیلی برای دیفرانسیل تابع در نظر گرفت: [5]

${\frac {dx}{dt}}={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}={\frac {x^{2}}{K}}$

این بدان معناست که با رشد هذلولی، نرخ رشد مطلق متغیر x در لحظه t با مجذور مقدار x در لحظه t متناسب است .

به ترتیب، تابع درجه دوم-هذلولی به صورت زیر است:

$x(t)={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

رشد نمایی
رشد لجستیکی
تکینگی ریاضی

یادداشت ها [ ویرایش ]

به عنوان مثال نگاه کنید به: Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth . مسکو: URSS Publishers، 2006. ص 19-20.
↑ رجوع کنید، به عنوان مثال، الکساندر V. Markov ، and Andrey V. Korotayev (2007). تنوع زیستی دریایی فانروزوییک از یک روند هذلولی پیروی می کند. Palaeoworld. جلد 16. شماره 4. صفحات 311-318 .
به عنوان مثال نگاه کنید به: Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth . مسکو: URSS Publishers، 2006; Korotayev AV A Compact Macromodel of World System Evolution // مجله تحقیقات سیستم های جهانی 11/1 (2005): 79-93. بایگانی شده در 25 سپتامبر 2009، در Wayback Machine . برای تجزیه و تحلیل دقیق ریاضی این موضوع به مدل ریاضی فشرده رشد اقتصادی و جمعیتی سیستم جهانی، 1 CE - 1973 CE مراجعه کنید. "مجله بین المللی مدل ها و روش های ریاضی در علوم کاربردی". 2016. جلد. 10، ص 200-209 .
↑ تکینگی قرن بیست و یکم و پیامدهای تاریخی بزرگ آن: یک تحلیل مجدد . مجله تاریخ بزرگ 2/3 (2018): 71 - 118; همچنین تکینگی قرن بیست و یکم و آینده های جهانی را ببینید. چشم انداز بزرگ تاریخ (اسپرینگر، 2020).
به عنوان مثال نگاه کنید به: Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth . مسکو: URSS Publishers، 2006. ص 118-123.

منابع [ ویرایش ]

الکساندر وی. مارکوف و آندری وی. کوروتایف (2007). تنوع زیستی دریایی فانروزوییک از یک روند هذلولی پیروی می کند. Palaeoworld . جلد 16. شماره 4. صفحات 311-318].
کرمر، مایکل . 1993. "رشد جمعیت و تغییرات تکنولوژیکی: یک میلیون قبل از میلاد تا 1990"، فصلنامه اقتصاد 108 (3): 681-716.
Korotayev A. ، Malkov A.، Khaltourina D. 2006. مقدمه ای بر ماکرودینامیک اجتماعی: ماکرو مدل های فشرده رشد سیستم جهانی. مسکو: URSS. شابک 5-484-00414-4 .
Rein Taagepera (1979) افراد، مهارت ها و منابع: یک مدل تعامل برای رشد جمعیت جهان. پیش بینی فناوری و تغییرات اجتماعی 13، 13-30.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_growth

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۲ ساعت 0:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توابع هذلولی برای اعداد مختلط

${\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\ \sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)& =\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x )\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=- i\tan(ix)\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos xi\sin x\end{aligned}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

بیان tanh x به صورت سلسله

$\tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{ {\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

بیان cosh x به صورت سلسله

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^ {2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{ 2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

بیان sinh x به صورت سلسله

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}} \right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4 \cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

انتگرال هایی که به توابع معکوس منجر می شود

${\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left( {\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&= \operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^ {2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\ \int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}} \right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du }&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt { a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+ C\end{تراز شده}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فهرست ، انتگرال های توابع هذلولی

${\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{- 1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\, dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh (ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right )\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{ -1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:45 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مشتقات توابع معکوس هذلولی

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\ frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}} \operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\ frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مشتقات توابع هذلولی

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\ {\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2} x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعاریف نمایی تابع های هیپربولیک

سینوس هایپربولیک: قسمت فرد تابع نمایی، یعنی

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
کسینوس هایپربولیک: قسمت زوج تابع نمایی، یعنی

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}= {\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
تانژانت هایپربولیک:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{- x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$
کوتانژانت هیپربولیک: برای x ≠ 0 ،

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{- x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$
سکانس هایپربولیک:

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}+1}}.$
کوسکانت هذلولی: برای x ≠ 0 ،

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}-1}}.$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 23:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعاریف نمایی تابع های هیپربولیک

سینوس هایپربولیک: قسمت فرد تابع نمایی، یعنی

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
کسینوس هایپربولیک: قسمت زوج تابع نمایی، یعنی

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}= {\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
تانژانت هایپربولیک:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{- x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$
کوتانژانت هیپربولیک: برای x ≠ 0 ،

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{- x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$
سکانس هایپربولیک:

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}+1}}.$
کوسکانت هذلولی: برای x ≠ 0 ،

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}-1}}.$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توابع هذلولی معکوس به عنوان لگاریتم

مقاله اصلی: تابع هذلولی معکوس

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x )&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2} }\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2} }\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac { 1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1- x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{ \sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فهرست انتگرال های توابع هذلولی

انتگرال های زیر را می توان با استفاده از جایگزینی هذلولی اثبات کرد :

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سری تیلور مرتبه دوم در چندین متغیر

یک بسط مرتبه دوم سری تیلور از یک تابع با مقدار اسکالر بیش از یک متغیر را می توان به صورت فشرده نوشت:

$T(\mathbf {x})=f(\mathbf {a})+(\mathbf {x} -\mathbf {a})^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a}) +{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a}) \right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,$

که در آن D f ( a ) گرادیان f است که با x = a ارزیابی می شود و D 2 f ( a ) ماتریس هسی است . با اعمال نماد چند شاخص، سری تیلور برای چندین متغیر تبدیل می شود

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a})^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a})$

که باید به عنوان یک نسخه اختصاری چند شاخصه از معادله اول این پاراگراف، با تشبیه کامل به حالت تک متغیری درک شود.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سری تیلور در چندین متغیر

${\begin{aligned}T(x_{1},\ldots,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{ d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d }}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_ {1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f( a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\ x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1} ^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j} -a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\ x_{j}\جزئی x_{k}\جزئی x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l })+\cdots \end{تراز شده}}$

به عنوان مثال، برای یک تابع $f(x,y)$ که به دو متغیر x و y بستگی دارد ، سری تیلور به مرتبه دوم در مورد نقطه ( a , b ) است .

$f(a,b)+(xa)f_{x}(a,b)+(yb)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(xa)^{2}f_{xx}(a,b)+2(xa)(yb)f_{xy}(a,b)+(yb)^{2}f_{yy}(a, ب){\بزرگ)}$

که در آن زیرنویس ها مشتقات جزئی مربوطه را نشان می دهند .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:40 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال سوم محاسبه سری تیلور

در اینجا ما از روشی به نام "گسترش غیر مستقیم" برای بسط تابع داده شده استفاده می کنیم. این روش از بسط تیلور شناخته شده تابع نمایی استفاده می کند. برای بسط

(1 + x ) e ^x به عنوان یک سری تیلور در x ، از سری شناخته شده تیلور تابع e^ x استفاده می کنیم :

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} {2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .$

بدین ترتیب،

${\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac { x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{ n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!} }+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+ 1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end {هم راستا}}$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال اول محاسبه سری تیلور

سری تیلور را در تابع زیرمی خواهیم

$g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!$

برای تابع نمایی داریم

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} {2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!$

و مانند مثال اول

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!$

فرض کنید سری قدرت است

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3} +\cdots \!$

سپس ضرب با مخرج و جایگزینی سری کسینوس حاصل می شود

${\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+ \cdots \right)\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4} x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4} +c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2} x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x ^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^ {4}+\cdots \end{aligned}}\!$

جمع آوری شرایط تا مرتبه چهارم بازدهی دارد

$e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\ چپ(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}} +{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!$

ارزش $ج_{i}$ را می توان با مقایسه ضرایب با عبارت بالا برای $e^{x}$ ،یافته :

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x ^{4}}{2}}+\cdots .\!$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال اول محاسبه سری تیلور

مثال اول

به منظور محاسبه چند جمله ای درجه 7 مکلارین برای تابع

$f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right )$ ،

می توان ابتدا تابع را به صورت بازنویسی کرد

$f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!$ .

سری تیلور برای لگاریتم طبیعی است (با استفاده از نماد O بزرگ )

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x ^{4}\راست)\!$

و برای تابع کسینوس

$\cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}} {720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!$ .

بسط سری دوم دارای یک جمله ثابت صفر است که به ما امکان می دهد سری دوم را با سری اول جایگزین کنیم و با استفاده از علامت O بزرگ به راحتی از عبارت های مرتبه بالاتر از درجه 7 حذف کنیم:

${\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\ tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\ cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}- {\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{ \frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O }\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6 }}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{ 12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{تراز شده}}\!$

از آنجایی که کسینوس یک تابع زوج است ، ضرایب برای تمام توان های فرد x , x^ 3 , x ^5 , x ^7 , ... باید صفر باشد.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ ساعت 22:30 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

خواص[ویرایش]

شرایط معادل[ویرایش]

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

ماتریس یکانی 2*2ویرایش]

همچنین ببینید<[ویرایش]

مراجع ]ویرایش]

پیوندهای خارجی[ویرایش]

ماتریس یکانی

ماتریس یکانی چیست؟

ویژگی های ماتریس یکانی

اصطلاحات مربوط به ماتریس یکانی

عبارت صریح معکوس [ ویرایش ]

تابع تولید [ ویرایش ]

بیانیه ریاضی [ ویرایش ]

اشتقا

توضیح با استفاده از جریان مایع [ ویرایش ]

توضیحات [ ویرایش ]

مقایسه با رشد دیگر [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

جمعیت [ ویرایش ]

تئوری صف [ ویرایش ]

سینتیک آنزیم [ ویرایش ]

مثال ریاضی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

سری تیلور مرتبه دوم در چندین متغیر

مثال اول

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**