یک جدول مقایسهای بین ایدهآل اصلی، اول و ماکسیمال در جبر حلقهها
عالی! اینجا یک جدول مقایسهای بین ایدهآل اصلی، اول و ماکسیمال در جبر حلقهها آماده کردهام تا تفاوتها روشنتر شوند:
📊 جدول مقایسه انواع ایدهآلها
نوع ایدهآل تعریف مثال در Z ویژگی کلیدی
ایدهآل اصلی (Principal Ideal)ایدهآلی که توسط یک عنصر منفرد تولید میشود:
6 Z = {..., -12, -6, 0, 6, 12, ...}
سادهترین نوع ایدهآل؛
همه ایدهآلهای Z اصلی هستند.
ایدهآل اول (Prime Ideal)اگر (ab in I)، آنگاه یا (a in I) یا (b in I).
p Z برای عدد اول p مثل (5 Z )مشابه مفهوم عدد اول؛
حلقه خارجقسمتی (R/I) یک دامنه انتگرالی میشود.
ایدهآل ماکسیمال (Maximal Ideal)هیچ ایدهآل بزرگتری جز کل حلقه شامل آن نیست.
(p Z ) برای عدد اول p
مثل 7 Z
حلقه خارجقسمتی (R/I) یک میدان میشود.
✨ نکته مهم
- در Z ، هر ایدهآل اول همزمان ماکسیمال است (چون خارجقسمتی میدان میشود).
- در حلقههای عمومیتر، همه ایدهآلهای اول ماکسیمال نیستند، اما همه ایدهآلهای ماکسیمال اول هستند.
آیا دوست دارید من یک نمودار تصویری هم بسازم که روابط بین این سه نوع ایدهآل (اصلی، اول، ماکسیمال) را به صورت دیاگرام مجموعهها نشان دهد؟
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfda5e3214a078a56860ef1d958532efd6ecc6c)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c8c7dabf4a3f20a3f9a04a295468426eb22009)
![{\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9b7c4a764e30d0e2c80b7f31778d427aa3e032)
و![{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d505bd20b4dfad61942e780f9019f2342a28df)
![{\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ec042607b8431621da1694a5e0373d26817d09)
و![{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec4802d72362fa5f8b6f440bee17b73b8f9ff48)
![{\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x \right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d4c7cbd3df6c090da7d53c504a2bbbf911faaf)
و![{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \چپ[[y ,z],x^{y}\right]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969627eb5e4b01b893d68ba8cb5aefb6fb9dcb4e)
. هویت های مشابهی برای این کنوانسیون ها وجود دارد.![{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c75b2bcc9c723ec68c6e482e9e1e002b02082d3)
![{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128ae0855aada1e122d118d63c2bfa18a08eb603)
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
![{\displaystyle [a,b]_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7289995fc78776166741f2a036fbcfb0e632c02)
برای نشان دادن anticommutator، در حالی که استفاده می شود![{\displaystyle [a,b]_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59120bf940c61971319243298b88ebb28f752588)
سپس برای جابجا گراستفاده می شود. ![{\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f1c95436e1c9c40871bc7a3704072ae067dc10)
![{\displaystyle [A,A]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c816c8f8631ef069ad0b1aee64ed996ad8309ed)
![{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b04a066443e96c0b27d4b14f7f5d51c7b2b0c3)
![{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046dbc0d4387302c8d321afb443e35bc1890fcac)
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7c96785faa7d6e5ecc7d8ada53830b24338c60)
![{\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa03949d714777910e992c14aeed34adf42d9766)
![{\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b79c370dc9984ff5e2720b3e06c6153af7ba572)
![{\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ba3177011b65b292d8dc39dd2e3391f29b0a07)
![{\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e755fd1fe3c26c40e007256c6976b9612e5d9b)
![{\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e00b8c22f5a63ff3dbbcf8a74f0d01f43994afa)
![{\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f50e382d516600cfe9f7a34376ebe694bb62177)
![{\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e47836a02ce95e65488370410a80446b1ae636c)
![{\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B, D]+[A,C]DB+C[A,D]B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b90ee684250322ac794d8cb193d75c8c1d4db3)
![{\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C, D],A],B]+[[[D,A],B],C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e847e641c8d2810846e666be23d2512b08eb2f)
داده شده توسط![{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a40684049019f333e05818bcd1ce5b48f839561)
. ![{\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a8a7436d26ef75d1023a36ffa1c561597c8506)
![{\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187aaec93ded1a30cd6ad33d9e323c786d4a39fd)
![{\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[ A,D]_{\pm }B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abfd9c204056463779a2541fa7f5bc02930bf9a)
![{\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+} ,A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[A,C]_{+},B]_{+ },D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c14c4def5d057ec857052e280d0c27658c3796d)
![{\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B ]_{\pm }\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa38c6ec51fd44c85b6a7dd7820d8ebaee4f2cf)
![{\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee7d373e2721aa7ec3c50a8f645785d7da7b804)
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f480a46e5c19fea0ae860621b38e69606a71239)
را می توان به طور معناداری تعریف کرد، مانند ![{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1 {3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4b0b44677de183969e936bb4cede2bf5515ad4)
(برای آخرین عبارت، مشتق الحاقی را در زیر ببینید.) این فرمول زیربنای بسط 
(مشابه عناصر ![{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}} [A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f104655d91482ecf24b550407ef28112b27bd564)
![{\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a31537974b529c2386b07f032b0452d7ab70e81)
، نگاشت 
توسط:![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e06c88110f66faa14de2b3fba0644b13e96429)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} } _{x}\!(z)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e49b2f65e16c28bbcad712a40e4bf680ebf909)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c27f6b58b814f258e43d4529f26e9ec0523b58a)
و![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z) )\ =\ [x،[x،z]\،].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856ad01497c91a4c78ba471c5ba199d82744c717)
ممکن است در نظر بگیریم
خود به عنوان یک نقشه برداری،
، که
حلقه ای از نگاشت از R به خود با ترکیب به عنوان عملیات ضرب است. سپس![{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c43069feeed684198e360f083c3c004bf3cb2f2)
توسط عملگر تمایز
، و
توسط عملگر ضرب 
، دریافت می کنیم
و با اعمال هر دو طرف برای تابع g ، هویت به قانون معمول لایب نیتس برای مشتق n تبدیل می شود.
.
).
که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
. به این معنا که،
روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
یکانی است
یکانی است
.
با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر،
.
.
برای همه 
، جایی که
.
با 
گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.
و ه ،
بالا و زوایای 
می تواند هر مقداری را بگیرد.
و ،
فاکتورسازی زیر را دارد:
از فرم است 
با 
یک ایده آل از 
) اما دارای ایده آل های چپ غیر پیش پا افتاده است (مثلا مجموعه ماتریس هایی که تعدادی ستون صفر ثابت دارند).
ماتریس با ورودی در 
که 
میدان اعداد حقیقی باشد، 
میدان اعداد مختلط باشد و 
حلقه تقسیم باشد و 
حلقه ای از ماتریس ها با ورودی های داخل باشد 
،
. بنابراین یک ایده آل مینیمال در
،
. به عبارت دیگر، اگر
، جایی که 
ماتریس 
ورود و صفر در جای دیگر. همچنین،
. ایده آل چپ
حلقه ای با هویت است 
و یک 
. اجازه دهید
، به عنوان یک ماژول سمت راست در نظر گرفته شده است 
. سپس
.
توسط 
برای 
. سپس
، سپس 
، که دلالت بر آن دارد 
.
. از آنجا که
. بنابراین
.
بستگی ندارد
، 
، و سپس آن را نشان دهید
از 
) آرتینی چپ و راست است.![k[t]/(t^{n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ef3821fbddd8f0e60efdb616d985590a597658)
برای هر عدد صحیح مثبت n آرتینی است .![{\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\plus k\cdot xy\ oplus k\cdot y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7bb05769ed90c573bb8d092ab8430841134424)
یک حلقه آرتینی با حداکثر ایده آل است 
یک حلقه 
، حلقه ماتریس کامل 
(به درستی) در ایده آل تولید شده توسط 
برای همه اعداد طبیعی n . توجه داشته باشید که اگر R نوتری است، R[x] توسط قضیه پایه هیلبرت نیز چنین است.
یک حلقه نوتری است اما آرتینی نیست.
محدود و گسسته است.
یک ایده آل دو طرفه است، 
از آنجایی که A ساده است. بنابراین، ما می توانیم انتخاب کنیم
به طوری که 
. فرض کنید k با توجه به آن ویژگی حداقل است. نقشه ماژول های A سمت راست را در نظر بگیرید:
با غیر صفر 
. سپس، با حداقل بودن I ، داریم:
. آن به شرح زیر است:
،
و بنابراین 
.
مجموعه ایده آل اول است 
به عنوان بدنه تزریقی. بدنه تزریقی
بالای حلقه آرتین 
را می توان به عنوان ماژول محاسبه کرد 
. این یک ماژول به همان طول است![{\displaystyle R_{\bullet }=k[x_{1},\ldots,x_{n}]_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92f56eab6bdba0f6c8500f1ea5f48cb39956dec)
و 
، 
یک ماژول تزریقی است که ابزارهایی را برای محاسبه ماژول های تزریقی تجزیه ناپذیر برای حلقه های آرتینی ارائه می دهد. 
تزریقی بر خودش است اگر و فقط اگر 
یک فضای برداری 1 بعدی است 
. این بدان معناست که هر حلقه محلی گورنشتاین که آرتین نیز هست روی خودش تزریق می شود زیرا دارای یک پایه یک بعدی است. ![{\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},xy,y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e787254550e894db6de03a7a0a9c82b386c6f1)
که دارای حداکثر ایده آل است 
، که 2 بعدی است. میدان باقیمانده دارای بدنه تزریقی است
.
بر فراز یک مزرعه 
توصیف نسبتاً ساده ای از ماژول های تزریقی خود دارد. 
. توجه داشته باشید که این فضای برداری دارای یک است
، یک ایزومورفیسم وجود دارد
بدنه تزریقی ماژول ها هستند 
. 
سپس 
اعداد اول مرتبط هستند 
. در مرحله اول، هنوز هیچ معنایی برای "حروف" مشخص نشده است.
یا 
; این موارد بعداً در مرحله دوم ارائه خواهد شد. بنابراین، می توان به همان اندازه با الفبای پنج حرفی شروع کرد
. در این مثال، مجموعه تمام کلمات یا رشته ه
شامل رشته مانند aebecede و abdc ، و غیره، طول محدود خودسرانه، با حروف مرتب در هر سفارش امکان پذیر است.
و ضرب معکوس: 
. با اعمال این روابط روی رشته های بالا، به دست می آید
یک پایه برای است 
یک پایه برای است 
، شی آزاد مجموعه ای از 
جایی که 
مجموعه همه کلمات است و 
پس از تحمیل روابط تعیین کننده یک گروه، کلاس هم ارزی همانی است.![[آیکون]](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small}
هر مجموعه ای باشد و اجازه دهید 
یک 
تولید شده توسط 
یک تابع باشد. ما این را می گوییم
(یا فقط غیر رسمی 
از نوع 
، جایی که 
یک جهان از 
به طوری که 
, تابع 
مجموعه های X را در مجموعه به اشیاء آزاد متناظر F ( X ) دررسته C می برد . مجموعه X را می توان به عنوان مجموعه ای از "مولدهای" جسم آزاد F ( X ) در نظر گرفت.
. بهطور واضحتر، F تا همریختیهای C است که با ویژگی 
(این از علامت گذاری سوء استفاده می کند زیرا X یک مجموعه است، در حالی که F ( X ) یک جبر است؛ به درستی، آن است.
).
، می توان یک 
فقط ضرب دکارتی است 
.
.
.
یک ندارد 
. این به این حقیقیت بستگی دارد که ضرب مستقیم 
برای هر ساختار جبری 
از همان نوع ضرب مستقیم نیز 
برای هر ساختار جبری 
.
.
.
متعارف 
. مجموع مستقیم و حاصلضرب مستقیم برای اندیس های نامتناهی یکریخت نیستند، جایی که عناصر یک مجموع مستقیم برای همه صفر هستند اما برای تعداد متناهی از ورودی ها. آنها در مفهوم 
و
، حاصلضرب مستقیم بی نهایت و مجموع مستقیم اعداد حقیقی. فقط دنباله هایی با تعداد متناهی از عناصر غیر صفر در Y هستند . به عنوان مثال، (1،0،0،0،...) در Y است اما (1،1،1،1،...) نیست. هر دوی این دنباله ها در ضرب مستقیم X هستند . در واقع، Y یک زیر مجموعه مناسب از X است (یعنی Y ⊂ X ). 
با خودش ارتباطی ندارد (1،2) و (2،1).
،
به i ام جزء آن g i .
و 
، می گوییم X یک ضرب مستقیم داخلی A و B است ، در حالی که اگر A و B فرعی نباشند، می گوییم که این یک ضرب مستقیم خارجی است.
فاکتور باشد و 
یک شی از 
مقوله ای است که در آن
، جایی که 
توسط یک مورفیسم داده می شود 
که در 
که در 
، یک مورفیسم منحصر به فرد وجود دارد 
به طوری که نمودار زیر تغییر می کند.
مقوله ای است که در آن
جایی که 
توسط یک مورفیسم داده می شود 
یک شی پایانه در است 
، یک مورفیسم منحصر به فرد وجود دارد 
به طوری که نمودارهای زیر جابجا می شوند.
اشیاء هستند 
که در 
، 
و 
که در 
که در 
که در 
که مانند بالا رفتار می کند یک ویژگی جهانی را برآورده می کند.
جایی که 
و 
برای 
بودن 
.
برای همه i (توجه داشته باشید که این دوباره برای همه شاخصها به استثنای تعداد محدودی صفر است)، و چنین تابعی را میتوان با یک عنصر r از R با تعریف ضرب کرد.
برای همه من . به این ترتیب، مجموع مستقیم به یک مدول R چپ تبدیل می شود و نشان داده می شود
. گاهی اوقات یک جمع اولیه
برای نشان دادن اینکه به طور 
مجموع مستقیم به عنوان فضاهای برداری، با حاصلضرب است
است 
جبر 
به نام 
در حالی که برای ضرب مستقیم ممکن است یک فاکتور اسکالر به طور متناوب با قطعات جمع آوری شود، اما نه هر دو: 
به عنوان حلقه های اسکالر در تحلیل او از جبرهای کلیفورد و گروه های کلاسیک (1995).
یک IS 
یک 
و یک "هنجار" 
هر رشته ای 
و دگرگونی بی اهمیت، به طوری که 
مرحله استقرایی در مجموعه شامل تشکیل مجموع مستقیم است 
و با استفاده از involution جدید 
این سری 
و هنجار 
این سری با 
سری، به ویژه 
برای همه 
و 
مجموعه ای از فضاهای باناخ است که در آن 
عبور از 
سپس مجموع مستقیم 
یک مدول متشکل از تمام توابع است 
برای همه 
و 
سپس مجموع مستقیم 
فضا است 
که از تمام دنباله ها تشکیل شده است 
واقعیات با هنجار محدود 
توجه داشته باشید که هر زیرفضای بسته تکمیل نمی شود. به عنوان مثال
که در آن جمع حتی برای مجموعه های شاخص بی نهایت معنی دارد 
داده می شود، می توان مجموع مستقیم متعامد آنها را مانند بالا ساخت (از آنجایی که آنها فضاهای برداری هستند) و حاصلضرب داخلی را به صورت زیر تعریف کرد:
برای 
عنصری است از 
که از تمام دنباله ها تشکیل شده است 
با مقایسه این با مثال برای 
این معادل این ادعاست که هر فضای هیلبرت مبنایی متعارف دارد. به طور کلی، هر زیرفضای بسته یک فضای هیلبرت 
. با توجه = Y در رابطه فوق، یکی می شود ![{\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1ac7a7496de3efbb2cd22c42398736c86a2b48)
را می توان به عنوان یک چند جمله ای تک متغیره در نامتعین در نظر گرفت 
بالای حلقه ![{\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726494480638e29f49e3999e1f5c2d4d99d51933)
با گروه بندی مجدد عباراتی که دارای همان قدرت هستند 
یعنی با استفاده از هویت
![{\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots,X_{n-1}])[X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c3ee9af59d2086949741d7059b6a2f3ddcb4ca)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d22cfd2dfdbfee457e462397218f0845d1d5c6)
دامنه های یکپارچه هستند.![{\displaystyle L[X]،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b467e0e9a96b2086bcee9943ab935fd960491a1)
که در آن L میدان کسرهای R است .![{\displaystyle \dim R[X]=1+\dim R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4262e007a0121c85eb2ae8f6e3a2165b55691b02)
جایی که "
" نشان دهنده ![{\displaystyle \dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a255aafe61b6fcedfdc73a8e0e7368c5ad0129c)
و ![{\displaystyle \dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646107e48d7f66b4426d2792c33a718cefcbae19)
![{\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc31f932f909288aa48bcc56407e1b1f3e335b2)
" نشان دهنده ![{\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832c2bba7901e808089559e18a8646a239219853)
و ![{\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3c6e7e07280534e37854b6d8902a999f5f75fe)
برابری دوم 
بیانیه این است: اگر K از نظر جبری بسته باشد، پس 
است، تا یک مقیاس، a ( n + 1) - 
از عناصر K که به شکل های مختلف (0، …، 0) است ، و به گونه ای که
. در اینجا "تا یک مقیاس" به این معنی است
برای هر غیر صفر همان صفر در نظر گرفته می شوند 
به عبارت دیگر، صفر مجموعه ای از 
در N + 1 نامعین ها، که تنها تعداد متناهی از صفر تصویری مشترک در یک 
که در آن I و J مجموعه های متناهی از بردارهای توان هستند.
است
اگر 
و 
اگر 
علاوه بر این، اگر کسی داشته باشد 
برای برخی 
جمله صفر مربوطه از نتیجه حذف می شود.
مجموعه ای از مجموع یک بردار توان در I و دیگری در J (مجموع معمول بردارها) است. به طور خاص، حاصل ضرب دو تک جمله ای تک جمله ای است که بردار توان آن مجموع بردارهای توانی عوامل است.
یک عبارت چند جمله ای نشان دهنده یک چند جمله ای است که عنصری از ![{\displaystyle K[X_{1}،\dots،X_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5971b61b083b8320deec96bd98af348bb33c48)
تعریف چند جمله ای به عنوان ترکیب خطی تک جمله ای ها یک عبارت چندجمله ای خاص است که اغلب به آن شکل متعارف ، شکل عادی یا شکل منبسط شده چند جمله ای می گویند. با توجه به بیان چند جمله ای، می توان محاسبه گسترش شکل چند جمله ای ارائه شده توسط گسترش با 
این هممورفیسم همان هم شکلی ارزیابی است که شامل جایگزینی می شود
در هر چند جمله ای![{\displaystyle (K[X_{1}،\dots،X_{n}]،(X_{1}،\dots،X_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa09822e563058b767425df5abf0097dffe1b16)
تا یک 
که جبرها را به مجموعه های زیرین آنها نگاشت می کند. از سوی دیگر، نقشه![{\displaystyle X\mapsto K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56dfb938869f70cb50f04d3ec6e66fceebe3b9d0)
یک تابع را تعریف می کند 
در جهت دیگر (اگر X نامتناهی باشد، K [ X ] مجموعه ای از همه چند جمله ای ها در تعداد متناهی از عناصر X است .)![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3587f518c9c731771ac7fbea5b3aefcfa747ad1c)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.