مبانی ریاضی [ ویرایش ]
ساخت هندسی برای توضیح ریاضی اسپیروگراف.
یک دایره بیرونی ثابت را در نظر بگیریدشعاع
در مبدا متمرکز شده است. یک دایره داخلی کوچکتر
شعاع
داخل غلت می خورد
و پیوسته بر آن مماس است.
فرض بر این است که هرگز نمی لغزد
(در یک اسپیروگراف واقعی، دندان های روی هر دو دایره از این لغزش جلوگیری می کنند). حال آن را یک نقطه فرض کنید
جایی در داخل دراز کشیده
در فاصله ای قرار گرفته است
از جانب
مرکز این نکته
مربوط به سوراخ قلم در دیسک داخلی یک اسپیروگراف واقعی است. بدون از دست دادن کلیت می توان فرض کرد که در لحظه اولیه نقطه
بر روی بودایکس
محور. برای پیدا کردن مسیر ایجاد شده توسط اسپیروگراف، نکته را دنبال کنید
همانطور که دایره داخلی در حرکت است.
حالا دو نقطه را علامت بزنیدبر
و
بر
. نکته
همیشه محل مماس بودن دو دایره را نشان می دهد. نقطه
با این حال، سفر خواهد کرد
، و مکان اولیه آن همزمان است با
. پس از تنظیم
در خلاف جهت عقربه های ساعت به اطراف حرکت می کند
،
دارای چرخش در جهت عقربه های ساعت نسبت به مرکز آن است. فاصله آن نقطه
عبور می کند
همان چیزی است که نقطه مماس از آن عبور می کند
بر
، به دلیل عدم لیز خوردن.
حال سیستم جدید (نسبی) مختصات را تعریف کنیدبا منشا آن در مرکز
و محورهای آن موازی باایکس
و
. اجازه دهید پارامتر
زاویه ای باشد که نقطه مماس آن
می چرخد
، و
زاویه ای باشد که
می چرخد (یعنی توسط آن
سفر) در سیستم نسبی مختصات. از آنجا که هیچ لغزیدن وجود ندارد، مسافت های طی شده توسطب
و
بنابراین، در امتداد دایره های مربوطه باید یکسان باشد
یا معادل آن،
.
معمولاً فرض می شود که یک حرکت خلاف جهت عقربه های ساعت مربوط به تغییر زاویه مثبت و یک حرکت در جهت عقربه های ساعت با تغییر زاویه منفی است. علامت منفی در فرمول بالا () این کنوانسیون را در خود جای می دهد.
اجازه دهیدمختصات مرکز باشد
در نظام مطلق مختصات سپس
شعاع مسیر مرکز را نشان می دهد
، که (دوباره در سیستم مطلق) دستخوش حرکت دایره ای می شود به این ترتیب:
همانطور که در بالا تعریف شد،زاویه چرخش در سیستم نسبی جدید است. از آنجا که نقطه
از قانون معمول حرکت دایره ای، مختصات آن در سیستم مختصات نسبی جدید پیروی می کند
هستند
به منظور به دست آوردن مسیر حرکتآدر سیستم مطلق (قدیمی) مختصات، این دو حرکت را اضافه کنید:
جایی کهدر بالا تعریف شده است.
حالا از رابطه بین استفاده کنیدو
همانطور که در بالا برای بدست آوردن معادلاتی که مسیر نقطه را توصیف می کنند به دست آمدآ
بر حسب یک پارامتر واحدتی
:
(با استفاده از این واقعیت که تابع است ).
به راحتی می توان معادله بالا را بر حسب شعاع نشان داداز
و پارامترهای بدون بعد که ساختار اسپیروگراف را توصیف می کنند. یعنی اجازه دهید
و
پارامترنشان می دهد که تا چه حد نقطه
از مرکز واقع شده است
. همزمان،0
نشان دهنده بزرگی دایره داخلی است
نسبت به بیرونی است
.
اکنون مشاهده می شود که
و بنابراین معادلات مسیر شکل می گیرند
پارامتریک پارامتر مقیاس پذیر است و بر ساختار اسپیروگراف تأثیری ندارد. مقادیر مختلف از
نقشه های اسپیروگراف مشابهی را ارائه می دهد .
دو حالت افراطیو
منجر به مسیرهای منحط اسپیروگراف می شود. در اولین مورد شدید، زمانی
، یک دایره ساده با شعاع داریم
، مربوط به موردی است که در آن
به یک نقطه کوچک شده است. (تقسیم بر
در فرمول مشکلی نیست، زیرا هر دو
و
توابع محدود هستند.)
مورد افراطی دیگرمربوط به دایره داخلی است
شعاع
مطابق با شعاع
از دایره بیرونی
، یعنی=
. در این حالت مسیر یک نقطه واحد است. به طور شهودی،
بزرگتر از آن است که داخل همان اندازه بغلتد
بدون لیز خوردن
اگرل=1، سپس نکته
در محیط است
. در این مورد، مسیرها هیپوسایکلوئید نامیده می شوند و معادلات بالا به معادلات یک هیپوسیکلوئید کاهش می یابد.
همچنین ببینید [ ویرایش ]
- کاردیوئید
- تقدم اپسیدیال
- سیکلوگرافی
- تراش هندسی
- گیلوچه
- هارمونوگرافی
- هیپوتروکوئید
- منحنی لیساجو
- فهرست توابع تناوبی
- پانتوگراف
- پینیون
- رز (ریاضی)
- روزتا (مدار)
- سحابی اسپیروگراف ، یک سحابی سیارهای که رنگهای ظریف و اسپیروگراف مانند را نمایش میدهد.
- زوج طوسی
منابع
https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph































در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.