​

 

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

اجازه دهید X یک تنوع تصویری صاف روی یک فیلد عددی K باشد. اصل هاس پیش‌بینی می‌کند که اگر X یک نقطه گویا روی تمام تکمیل‌های K v از K داشته باشد، آنگاه X یک نقطه گویا K دارد. اصلهاسبرای برخی از کلاس های خاص از انواع صدق می کند، اما نه به طور کلی. مانین از گروه برائر X برای تعریف انسداد برائر-مانین استفاده کرد که می‌تواند در بسیاری از موارد برای نشان دادن اینکه X هیچ نقطه K ندارد حتی زمانی که X استفادهدر ریاضیات ، گروه برائر یک میدان K یک گروه آبلی است که عناصر آن کلاس‌های هم‌ارزی موریتا از جبرهای ساده مرکزی بر K هستند که با حاصلضرب تانسور جبرها جمع می‌شوند. توسط جبرشناس ریچارد برائر تعریف شد .

گروه برائر از تلاش برای طبقه بندی جبرهای تقسیم بر روی یک میدان بوجود آمد. همچنین می‌توان آن را بر اساس هم‌شناسی گالوا تعریف کرد . به طور کلی تر، گروه برائر از یک طرح بر اساس جبرهای Azumaya یا به طور معادل با استفاده از بسته های تصویری تعریف می شود .

 

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

جبر ساده مرکزی (CSA) روی یک میدان K یک جبر K- بعدی محدود است به طوری که A یک حلقه ساده است و مرکز A برابر با K است. توجه داشته باشید که CSAها به طور کلی جبرهای تقسیمی نیستند ، اگرچه از CSAها می توان برای طبقه بندی جبرهای تقسیمی استفاده کرد.

به عنوان مثال، اعداد مختلط C روی خودشان یک CSA تشکیل می‌دهند، اما نه روی R (مرکز خود C است، بنابراین بزرگتر از آن است که CSA روی R باشد). جبرهای تقسیم بعدی محدود با مرکز R (یعنی بعد روی R متناهی است) اعداد حقیقی و رباعی های یک قضیه فروبنیوس هستند، در حالی که هر حلقه ماتریسی بر روی واقعی ها یا چهارتایی ها - M( n ، R ) یا M هستند. ( n , H ) - یک CSA بر روی واقعی است، اما جبر تقسیم نیست (اگر n > 1).

ما به دست آوردن رابطه هم ارزی در CSAS بیش از K توسط قضیه آرتین-ودربرن به ( ودربرن به بخش نیست، در واقع)، برای بیان هر CSA به عنوان یک م ( N ، D ) برای برخی از بخش جبر D . اگر فقط به D نگاه کنیم ، یعنی اگر یک رابطه هم ارزی را تحمیل کنیم که M( m , D ) را با M( n , D ) برای همه اعداد صحیح مثبت m و n مشخص می کند ، رابطه هم ارزی برائر را بر روی CSA ها روی K می گیریم.. عناصر گروه برائر کلاس های هم ارزی برائر CSA ها روی K هستند.

با توجه به جبرهای ساده مرکزی A و B ، می توان به حاصل ضرب تانسور A ⊗ B آنها به عنوان یک جبر K نگاه کرد (به حاصل ضرب تانسور جبرهای R مراجعه کنید ). به نظر می رسد که این همیشه ساده مرکزی است. یک راه نرم و صاف برای دیدن این است که استفاده از خصوصیات: ساده جبر مرکزی بیش از K است K جبر که تبدیل به یک حلقه ماتریس هنگامی که ما زمینه گسترش بندی به بسته شدن جبری از K . این نتیجه همچنین نشان می دهد که بعد یک جبر ساده مرکزی A به عنوان Kفضای برداری همیشه یک مربع است. درجه از تعریف می شود ریشه دوم بعد آن.

در نتیجه، کلاس‌های هم‌مورفیسم CSA‌ها روی K ، یک محصول تانسوری یکنوید را تشکیل می‌دهند که با معادل برائر سازگار است، و کلاس‌های بروئر همگی معکوس هستند : معکوس جبر A توسط جبر مقابل آن A op داده می‌شود ( حلقه مقابل با همان عمل توسط K زیرا تصویر K → A در مرکز A است). به صراحت، برای یک CSA A ، A ⊗ A op = M( n 2 , K ) داریم که در آن nدرجه A بر K است .

گروه برائر هر میدانی یک گروه پیچشی است . در جزئیات بیشتر، تعریف دوره از ساده جبر مرکزی بیش از K به آن سفارش به عنوان یک عنصر از گروه برائر. تعریف شاخص از به درجه جبر تقسیم است که برائر معادل . سپس دوره شاخص تقسیم (و از این رو محدود است). [1]

مثالها [ ویرایش ]

انواع Severi–برائر [ ویرایش ]

یکی دیگر از تفسیر مهم از گروه برائر از یک میدان K است که آن را طبقه بندی کرده است رقم تصویری بیش از K که ریخت برای تبدیل شدن به فضای تصویری بیش از یک بسته شدن جبری از K . چنین گونه‌ای ، واریته سوری-برائر نامیده می‌شود ، و بین طبقات هم‌شکلی انواع سوری-بروئر با ابعاد n -1 روی K و جبرهای ساده مرکزی درجه n بر K مطابقت یک به یک وجود دارد . [6]

به عنوان مثال، انواع Severi-برائر با بعد 1 دقیقاً مخروط های صاف در صفحه پرتاب کننده روی K هستند. برای یک میدان K با مشخصه نه 2، هر مخروطی روی K به یکی از شکل های ax 2 + با 2 = z 2 برای برخی از عناصر غیر صفر a و b از K هم شکل است. جبر ساده مرکزی مربوطه جبر چهارتایی است [7]

{\displaystyle (a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).}

مخروطی با خط پرتابی P 1 روی K هم شکل است اگر و فقط اگر جبر چهارتایی متناظر با جبر ماتریس M(2, K ) هم شکل باشد.

جبرهای چرخه ای [ ویرایش ]

برای یک عدد صحیح مثبت n ، فرض کنید K میدانی باشد که در آن n معکوس باشد، به طوری که K حاوی n ام ابتدایی واحد ز باشد. برای عناصر غیرصفر a و b از K ، جبر حلقوی مرتبط جبر ساده مرکزی با درجه n بر K است که توسط

{\displaystyle (a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).}

جبرهای حلقوی بهترین جبرهای ساده مرکزی هستند که به خوبی قابل درک هستند. (زمانی که n در K معکوس نباشد یا K ریشه n ام ابتدایی وحدت نداشته باشد، یک ساختار مشابه جبر حلقوی (χ, a ) مربوط به یک Z / n - پسوند حلقوی χ از K و یک عنصر غیرصفر a را می دهد. از K. [ 8] )

قضیه Merkurjev-Suslin در نظریه K جبری یک نتیجه قوی در مورد گروه برائر دارد. یعنی، برای یک عدد صحیح مثبت n ، اجازه دهید K میدانی باشد که در آن n معکوس باشد به طوری که K حاوی n امین ریشه اولیه وحدت باشد. سپس زیرگروه گروه برائر از K کشته شده توسط n توسط جبرهای حلقوی درجه n تولید می شود. [9] به طور معادل، هر جبر تقسیم دوره ای که n را تقسیم می کند ، برائر معادل حاصل ضرب تانسور جبرهای حلقوی درجه n است. حتی برای عدد اول pمثال‌هایی وجود دارد که نشان می‌دهد جبر تقسیم‌بندی دوره p نیازی به هم‌شکل بودن یک حاصل ضرب تانسور جبرهای حلقوی درجه p ندارد . [10]

این یک مشکل باز اصلی است (که توسط آلبرت مطرح شد ) که آیا هر جبر تقسیم درجه اول بر روی یک میدان چرخه ای است یا خیر. این درست است اگر درجه 2 یا 3 باشد، اما مشکل برای اعداد اول حداقل 5 کاملاً باز است. نتایج شناخته شده فقط برای کلاس های خاصی از فیلدها هستند. به عنوان مثال، اگر K یک میدان جهانی یا میدان محلی باشد ، جبر تقسیم با هر درجه بر K چرخه ای است، توسط Albert– برائر –هاس– Noether . [11] یک نتیجه "بعدی بالاتر" در همین جهت توسط سالتمن ثابت شد: اگر K میدانی با درجه متعالی 1 بر میدان محلی Q باشد.p ، پس هر جبر تقسیم درجه اول l ≠ p روی K حلقوی است. [12]

مشکل شاخص دوره [ ویرایش ]

برای هر جبر ساده مرکزی A بر روی یک میدان K ، دوره A شاخص A را تقسیم می کند و دو عدد دارای عوامل اول یکسان هستند. [13] مشکل شاخص دوره ، محدود کردن شاخص بر حسب دوره، برای فیلدهای K مورد علاقه است. به عنوان مثال، اگر A یک جبر ساده مرکزی بر روی یک میدان محلی یا میدان جهانی باشد، آلبرت-برائر-هاسه-نوتر نشان داد که شاخص A برابر با دوره A است. [11]

برای یک جبر ساده مرکزی A روی یک میدان K با درجه متعالی n بر روی یک میدان بسته جبری، حدس زده می شود که ind( A ) بر ( A ) n -1 تقسیم می شود . این برای n ≤ 2 صدق می کند ، مورد n = 2 پیشرفت مهمی توسط دی یونگ است که توسط دی یونگ استار و لیبلیچ در ویژگی مثبت مشخص شده است. [14]

نظریه میدان کلاس [ ویرایش ]

گروه برائر نقش مهمی در فرمول بندی مدرن نظریه میدان کلاس ایفا می کند . اگر K V یک میدان محلی غیر ارشمیدسی است، کلاس تئوری میدان محلی می دهد متعارف ریخت INV V : BR ( K V ) → Q / Z از ثابت هاس . [5]

مورد یک میدان جهانی K (مانند یک فیلد عددی ) توسط نظریه میدان کلاس جهانی بررسی می شود . اگر D یک جبر ساده مرکزی روی K باشد و v یک مکان K باشد، D ⊗ K v یک جبر ساده مرکزی روی K v است، تکمیل K در v . این یک هممورفیسم از گروه برائر K به گروه برائر K v را تعریف می کند . جبر ساده مرکزی داده شده D برای همه تقسیم می شود، اما تعداد محدودیv ، به طوری که تصویر D در تقریباً همه این هممورفیسم ها 0 است. گروه برائر Br( K ) در یک دنباله دقیق ساخته شده توسطهاسقرار می گیرد: [15] [16]

0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{{v\in S}}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow {\mathbf {Q}}/{ \mathbf {Z}}\راست پیکان 0،

که در آن S مجموعه همه مکان های K و فلش سمت راست مجموع متغیرهای محلی است. گروه برائر از اعداد واقعی با (1/2) Z / Z شناسایی می شود. تزریقی بودن فلش سمت چپ محتوای قضیه آلبرت-بروئر-هاس-نوتر است .

این واقعیت که مجموع همه متغیرهای محلی یک جبر ساده مرکزی روی K صفر است، یک قانون متقابل معمولی است . به عنوان مثال، اعمال این مورد برای جبر چهارگانه ( a , b ) بر روی Q قانون متقابل درجه دوم را به دست می دهد .

هم‌شناسی گالوا [ ویرایش ]

برای یک میدان دلخواه K ، گروه برائر را می‌توان بر حسب هم‌شناسی Galois به صورت زیر بیان کرد: [17]

{\displaystyle {\textrm {Br}}(K)\cong H^{2}(K,G_{m})،}

که در آن G m نشانگر گروه ضربی است که به عنوان یک گروه جبری روی K دیده می شود. به طور دقیق تر، گروه cohomology نشان داده شده به معنی H2 ( Gal(Ks / K ) ، Ks * )، که در آن Ks نشان دهنده بسته شدن قابل جدا شدن K است .

ایزومورفیسم گروه برائر با یک گروه cohomology Galois را می توان به شرح زیر توصیف کرد. گروه خودمورفیسم جبر n × n ماتریس، گروه خطی تصویری PGL( n ) است. از آنجایی که تمام جبرهای ساده مرکزی روی K به جبر ماتریس با بسته شدن قابل تفکیک K هم شکل می شوند ، مجموعه ای از کلاس های هم شکل جبرهای ساده مرکزی با درجه n روی K را می توان با مجموعه همومولوژی Galois H 1 ( K , PGL( n) شناسایی کرد. )). کلاس یک جبر ساده مرکزی در H 2 ( K, G m ) تصویر کلاس آن در H 1 در زیر هممورفیسم مرزی است

{\displaystyle H^{1}(K,PGL(n))\right arrow H^{2}(K,G_{m})}

مربوط به دنباله دقیق کوتاه 1 → G m → GL(n) → PGL(n) → 1.

گروه برائر از یک طرح [ ویرایش ]

گروه برائر از میدان ها به حلقه های جابجایی توسط اسلاندر و گلدمن تعمیم داده شد . ثانیه گروتندیک بیشتر با تعریف گروه برائر هر رفت طرح .

دو راه برای تعریف گروه برائر از یک طرح وجود دارد X ، با استفاده از جبری آزومایا بیش از X و یا بسته نرم افزاری تصویری بیش از X . تعریف دوم شامل بسته های تصویری است که به صورت محلی در توپولوژی étale بی اهمیت هستند و نه لزوماً در توپولوژی Zariski . به طور خاص، یک بسته تصویری در گروه برائر صفر تعریف می‌شود، اگر و تنها در صورتی که پروژکتیوسازی برخی از بسته‌های برداری باشد.

گروه کومولوژی برائر از یک طرح شبه فشرده X به عنوان زیرگروه پیچشی از گروه  کومولوژی اتاتH2 ( X , Gm ) تعریف شده است. (کل گروه H 2 ( X , G m ) نیازی به پیچش ندارد، اگرچه برای طرح های منظم X پیچشی است . [18] ) گروه برائر همیشه زیرگروهی از گروه برائر کومولوژی است. گاببر نشان داد که گروه برائر برابر با گروه برائرکومولوژی  برای هر طرحی با یک بسته خطی فراوان است (به عنوان مثال، هرطرح شبه فرافکنی بر روی یک حلقه جابجایی). [19]

کل گروه H 2 ( X , G m ) را می توان به عنوان دسته بندی گرب ها بر X با گروه ساختاری G m مشاهده کرد .

برای واریته های پرتابی صاف روی یک مزرعه، گروه برائر یک متغیر دوتایی است. مثمر ثمر بوده است. برای مثال، هنگامی که X نیز به طور منطقی روی اعداد مختلط متصل می‌شود، گروه برائر X نسبت به زیرگروه پیچشی گروه همومولوژی منفرد H 3 ( X , Z ) هم‌شکل است، که بنابراین یک متغیر دوتایی است. آرتین و مامفورد از این توصیف در مورد گروه برائر استفاده کردند تا اولین مثال از یک نوع غیر منطقی X بر C را ارائه دهند که به طور منطقی پایدار نیست (یعنی هیچ محصولی ازX با فضای تصویری منطقی است). [20]

ارتباط با حدس تیت [ ویرایش ]

آرتین حدس زد که هر طرح مناسب بر روی اعداد صحیح دارای گروه برائر محدود است. [21] این امر حتی در مورد خاص یک نوع تصویری صاف X در یک میدان محدود نیز شناخته شده نیست. در واقع، محدودیت از گروه برائر برای سطوح در آن صورت معادل است حدس تیت برای مقسوم علیه های ان در X ، یکی از مشکلات اصلی در نظریه چرخه جبری . [22]

برای یک طرح انتگرالی منظم با بعد 2 که روی حلقه اعداد صحیح یک میدان اعداد مسطح و مناسب است و دارای یک بخش است، محدود بودن گروه برائر معادل محدود بودن گروه تات-شافرویچ Ш برای ژاکوبین است. تنوع فیبر عمومی (منحنی روی یک فیلد عددی). [23] محدود بودن Ш یک مشکل اصلی در محاسبات منحنی های بیضوی و به طور کلی انواع آبلی است .

انسداد برائر-مانین [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Brauer_group