ماتریس یکانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و ششم آذر ۱۴۰۲ | 11:33

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای ماتریس‌هایی که دارای قائم به میدان عدد حقیقی هستند، به ماتریس متعامد مراجعه کنید. برای محدودیت در تکامل مجاز سیستم های کوانتومی که مجموع احتمالات همه نتایج ممکن هر رویداد را تضمین می کند همیشه برابر با 1 است، به وحدت مراجعه کنید. الف>

در جبر خطی، یک ماتریس مربع مختلط معکوس U یکانی است اگر باشد ترانهاده مزدوج U* نیز معکوس

$U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,$

که در آن I ماتریس همانی است.

در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی، جابه‌جایی مزدوج به عنوان هرمیتین الحاقی یک ماتریس شناخته می‌شود و با علامت < نشان داده می‌شود. (†)، بنابراین معادله بالا نوشته شده است خنجر

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$

برای اعداد حقیقی، آنالوگ یک ماتریس یکانی یک ماتریس متعامد است. . ماتریس های یکانی در مکانیک کوانتومی اهمیت قابل توجهی دارند زیرا نرمها و بنابراین، دامنه های احتمال< را حفظ می کنند. a i=8>.

خواص[ویرایش]

برای هر ماتریس یکانی U با اندازه محدود، موارد زیر را نگه دارید:

با توجه به دو بردار مختلط x و y، ضرب توسط U ضرب داخلی خود را حفظ می کند. یعنی 〈Ux، Uy〉 .
U طبیعی است ( $U^{*}U=UU^{*}$ ).
U قطری شدنی است. یعنی U به طور یکانی شبیه به یک ماتریس قطری است. نتیجه قضیه طیفی. بنابراین، U دارای تجزیه به شکل است. $U=VDV^{*}،$ که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
$\left|\det(U)\right|=1$ . به این معنا که، $\det(U)$ روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
فضاهای ویژه آن متعامد هستند.
U را می توان به صورت U = e< نوشت >H است.ماتریس هرمیتی یک یکانی مختلط است و i، است ماتریس نمایی نشان دهنده e، که در آن iH

برای هر عدد صحیح n غیر منفی، مجموعه همه n * n ماتریس های یکانی با ضرب ماتریس یک گروه. (n)Uگروه یکانی ، به نام

هر ماتریس مربعی با نرم اقلیدسی یکانی، میانگین دو ماتریس یکانی است.<[1]

شرایط معادل[ویرایش]

اگر U یک ماتریس مربع و مختلط باشد، شرایط زیر معادل هستند:[2 ]

$U$ یکانی است
$U^{*}$ یکانی است
$U$ معکوس است با $U^{-1}=U^{*}$ .
ستون های $U$ از مبنای متعارف از تشکیل می شود $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $U^{*}U=I$ .
ردیف های $U$ یک پایه متعارف از $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $UU^{*}=I$ .
$U$ یک ایزومتی با توجه به نرم معمول است. یعنی $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ برای همه $x\in \mathbb {C} ^{n}$ ، جایی که ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$ .
$U$ یک ماتریس نرمال است (به طور معادل، یک مبنای متعارف وجود دارد که توسط بردارهای ویژه تشکیل شده است. $U$ ) با مقدارهای ویژه که روی دایره یکانی قرار دارد.

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**

یک عبارت کلی از ماتریس یکانی *2 2 است

$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix} },\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,$

که به 4 پارامتر حقیقی بستگی دارد (فاز a، فاز b چنین ماتریسی باشد تعیین). فرم به گونه ای پیکربندی شده است که φ، و زاویه b و a، قدر نسبی بین

$\det(U)=e^{i\varphi }~.$

زیر گروه آن عناصر $\ U\$ با $\ \det(U)=1\$ گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.

در میان چندین شکل جایگزین، ماتریس U را می توان به این شکل نوشت:

$\ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^ {-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,$

آ $\ e^{i\alpha }\cos \theta =a\$ و ه ، $\ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,$ بالا و زوایای $\ \varphi،\alpha،\beta،\theta \$ می تواند هر مقداری را بگیرد.

از طریق معرفی $\\alpha =\psi +\delta \$ و ، $\ \beta =\psi -\delta \ ,$ فاکتورسازی زیر را دارد:

$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\ begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }& 0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.$

این عبارت رابطه بین 2*2 ماتریس های یکانی و 2 * 2 . θ زاویه ماتریس های متعامد

فاکتورگیری دیگر<[3] است

$U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.$

بسیاری از عوامل دیگر یک ماتریس یکانی در ماتریس های پایه امکان پذیر است.[4][5][6]<[7]

همچنین ببینید<[ویرایش]

ماتریس هرمیتی و

ماتریس کج-هرمیتین

تجزیه ماتریس
گروه متعامد O(n)
گروه متعامد خاص SO(n)
ماتریس متعامد
ماتریس نیمه متعامد
دروازه منطق کوانتومی
گروه یونیتی ویژه SU(n)
ماتریس سمپلتیک
گروه یکانی U(n)
اپراتور یکانی

مراجع ]ویرایش]

^ لی، چی کوانگ؛ پون، ادوارد (2002). "تجزیه افزودنی ماتریس های حقیقی". جبر خطی و چند خطی. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.
^ هورن، راجر آ. جانسون، چارلز آر (2013). تحلیل ماتریس. انتشارات دانشگاه کمبریج. doi:10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
^ فور، هارتموت؛ Rzeszotnik، Ziemowit (2018). "نکته ای در مورد فاکتورگیری ماتریس های یکانی". جبر خطی و کاربردهای آن. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN0024-3795. S2CID125455174.
^ ویلیامز، کالین پی. (2011). "دروازه های کوانتومی". در ویلیامز، کالین پی. اکتشافات در محاسبات کوانتومی. متون در علوم کامپیوتر. لندن، انگلستان: Springer. پ. 82. doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2 ISBN 978-1-84628-887-6.
^ نیلسن، M.A.؛ چوانگ، آیزاک (2010). محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی. کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
^ بارنکو، آدریانو؛ بنت، چارلز اچ. کلیو، ریچارد؛ دیوینچنزو، دیوید پی. مارگولوس، نورمن؛ شور، پیتر؛ و همکاران (1 نوامبر 1995). "دروازه های ابتدایی برای محاسبات کوانتومی". بازبینی فیزیکی A. انجمن فیزیک آمریکا (APS). 52 (5): 3457–3467، esp.p. 3465. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN1050-2947. PMID9912645. S2CID8764584.
^ مرویان، ایمان (10 ژانویه 2022). "محدودیت‌های عملیات یکانی قابل تحقق که توسط تقارن و محل اعمال می‌شود". فیزیک طبیعت. 18 (3): 283-289. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN1745-2481. S2CID245840243.
همچنین ببینید:
Alhambra، lvaro M. (10 ژانویه 2022). "ممنوع با تقارن". اخبار & بازدیدها فیزیک طبیعت. 18 (3): 235–236. doi:10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN 1745-2481. S2CID 256745894. فیزیک سیستم های بزرگ اغلب به عنوان نتیجه عملیات محلی در میان اجزای آن درک می شود. اکنون نشان داده شده است که این تصویر ممکن است در سیستم های کوانتومی که برهمکنش های آنها توسط تقارن محدود شده است ناقص باشد.

پیوندهای خارجی[ویرایش]

وایسستاین، اریک دبلیو. "ماتریس یکانی". MathWorld. تاد رولند.
Ivanova, O. A. (2001) [1994]، "ماتریس یکانی"، دانشنامه ریاضیات، پرس EMS
"نشان دهید که مقادیر ویژه یک ماتریس یکانی دارای مدول 1 هستند". Stack Exchange. 28 مارس 2016

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

ماتریس یکانی

خواص[ویرایش]

شرایط معادل[ویرایش]

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**

همچنین ببینید<[ویرایش]

مراجع ]ویرایش]

پیوندهای خارجی[ویرایش]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین