پتانسیل گرانشی

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

"پتانسیل گرانش" به اینجا هدایت می شود. برای پتانسیل گرانشی زمین، پتانسیل ژئوپتانسیل را ببینید . برای میدان پتانسیل های گرانشی، میدان گرانشی را ببینید .

در مکانیک کلاسیک ، پتانسیل گرانشی یک پتانسیل اسکالر است که با هر نقطه در فضا، کار ( انرژی منتقل شده) در واحد جرم را که برای حرکت یک جسم به آن نقطه از یک نقطه مرجع ثابت در میدان گرانشی محافظه کار لازم است، مرتبط می کند . مشابه پتانسیل الکتریکی با جرمی است که نقش بار را ایفا می کند . نقطه مرجع، که در آن پتانسیل صفر است، طبق قرارداد بی نهایت از هر جرمی دور است، که در نتیجه در هر فاصله محدود ، پتانسیل منفی ایجاد می شود . شباهت آنها با هر دو زمینه مرتبط با نیروهای محافظه کار مرتبط است .

از نظر ریاضی، پتانسیل گرانشی به عنوان پتانسیل نیوتنی نیز شناخته می شود و در مطالعه نظریه پتانسیل اساسی است . همچنین ممکن است برای حل میدان های الکترواستاتیک و مغناطیس استاتیک تولید شده توسط اجسام بیضی دارای بار یکنواخت یا قطبی شده استفاده شود. [ 1 ]

انرژی بالقوه

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: انرژی پتانسیل گرانشی

پتانسیل گرانشی ( V ) در یک مکان، انرژی پتانسیل گرانشی ( U ) در آن مکان در واحد جرم است:

{\displaystyle V={\frac {U}{m}}،}

که در آن m جرم جسم است. انرژی بالقوه برابر (از نظر بزرگی، اما منفی) با کاری است که میدان گرانشی جسم را از بی نهایت به موقعیت معین خود در فضا می برد. اگر جرم جسم 1 کیلوگرم باشد، انرژی پتانسیلی که باید به آن جسم نسبت داده شود برابر با پتانسیل گرانشی است. بنابراین پتانسیل را می توان به عنوان منفی کار انجام شده توسط میدان گرانشی که یک واحد جرم را از بی نهایت به داخل منتقل می کند تفسیر کرد.

در برخی شرایط، معادلات را می توان با فرض میدانی که تقریباً مستقل از موقعیت است، ساده کرد. به عنوان مثال ، در ناحیه ای نزدیک به سطح زمین، شتاب گرانشی g را می توان ثابت در نظر گرفت. در آن صورت، تفاوت انرژی پتانسیل از یک ارتفاع به ارتفاع دیگر، به یک تقریب خوب، به طور خطی با اختلاف ارتفاع مرتبط است:

{\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}

فرم ریاضی

[ ویرایش ]

پتانسیل گرانشی V در فاصله x از یک نقطه جرم با جرم M را می توان به عنوان کار W که باید توسط یک عامل خارجی انجام شود تا یک واحد جرم را از بینهایت به آن نقطه وارد کند تعریف کرد: [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

{\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \ cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}}،}

که در آن G ثابت گرانشی و F نیروی گرانشی است. محصول GM پارامتر گرانشی استاندارد است و اغلب با دقت بالاتری نسبت به G یا M به طور جداگانه شناخته می شود. پتانسیل دارای واحدهای انرژی در هر جرم است، به عنوان مثال، J/kg در سیستم MKS . طبق قرارداد، در جایی که تعریف می شود همیشه منفی است و وقتی x به بی نهایت میل می کند، به صفر نزدیک می شود.

میدان گرانشی ، و در نتیجه شتاب یک جسم کوچک در فضای اطراف جسم عظیم، شیب منفی پتانسیل گرانشی است. بنابراین، منفی یک گرادیان منفی، شتاب مثبتی را به سمت یک جسم عظیم ایجاد می کند. چون پتانسیل هیچ مولفه زاویه ای ندارد، گرادیان آن است{\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\ mathbf {x} }}،}

که در آن x بردار طول x است که از جرم نقطه به سمت جسم کوچک وx^{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}بردار واحدی است که از جرم نقطه ای به سمت جسم کوچک اشاره می کند. بنابراین، بزرگی شتاب از قانون مربع معکوس پیروی می کند

{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}

پتانسیل مرتبط با توزیع جرم، برهم نهی پتانسیل های جرم های نقطه ای است. اگر توزیع جرم مجموعه‌ای محدود از جرم‌های نقطه‌ای باشد، و اگر جرم‌های نقطه‌ای در نقاط x 1 ، ...، x n قرار داشته باشند و دارای جرم‌های m 1 ، ...، m n باشند ، پس پتانسیل توزیع وجود دارد. در نقطه x است

{\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{ i}\|}}.}

نقاط x و r ، با r موجود در جرم توزیع شده (خاکستری) و جرم تفاضلی dm ( r ) واقع در نقطه r .

اگر توزیع جرم به عنوان یک اندازه گیری جرم dm در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 داده شود ، آنگاه پتانسیل انحراف

−G / | r |

با dm​ [ نیاز به نقل قول ] در موارد خوب [ توضیح لازم است ] این برابر با انتگرال است

{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|} }\,dm(\mathbf {r} ),}

که | x − r | فاصله بین نقاط x و r است . اگر تابع ρ ( r ) نشان دهنده چگالی توزیع در r وجود داشته باشد ، به طوری که dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) ، که در آن dv ( r ) عنصر حجم اقلیدسی است ، آنگاه پتانسیل گرانشی برابر است با انتگرال حجمی

{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|} }\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}

اگر V یک تابع بالقوه است که از توزیع جرم پیوسته ρ ( r ) به دست می‌آید، می‌توان ρ را با استفاده از عملگر لاپلاس ، Δ بازیابی کرد :.{\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}زمانی که ρ پیوسته باشد و در خارج از یک مجموعه محدود صفر باشد، این به صورت نقطه ای برقرار می شود . به طور کلی، اندازه گیری جرم dm را می توان به همان روش بازیابی کرد اگر عملگر لاپلاس به معنای توزیع ها در نظر گرفته شود . در نتیجه، پتانسیل گرانشی معادله پواسون را برآورده می کند . همچنین تابع گرین را برای معادله لاپلاس سه متغیره و پتانسیل نیوتنی ببینید .

انتگرال ممکن است بر حسب توابع ماورایی شناخته شده برای همه اشکال بیضی، از جمله شکل های متقارن و منحط بیان شود. [ 6 ] اینها شامل کره است که در آن سه نیمه محور برابر هستند. کروی شکل (به بیضی مرجع مراجعه کنید ) و پرولات، که در آن دو نیمه محور برابر هستند. ورق های منحط که در آن یک نیم محور بی نهایت است (استوانه بیضوی و دایره ای) و ورق نامحدود که در آن دو نیمه محور بی نهایت هستند. همه این اشکال به طور گسترده در کاربردهای انتگرال پتانسیل گرانشی (به غیر از ثابت G ، با چگالی بار ثابت ) برای الکترومغناطیس استفاده می شود.

تقارن کروی

[ ویرایش ]

یک توزیع جرم کروی متقارن برای یک ناظر کاملاً خارج از توزیع رفتار می کند، به گونه ای که انگار تمام جرم در مرکز متمرکز شده است، و بنابراین به طور مؤثر به عنوان یک جرم نقطه ای ، توسط قضیه پوسته . در سطح زمین، شتاب به اصطلاح با گرانش استاندارد g ، تقریباً 9.8 m/s2 داده می‌شود ، اگرچه این مقدار با عرض جغرافیایی و ارتفاع کمی متفاوت است. قدر شتاب در قطب ها کمی بیشتر از استوا است زیرا زمین یک کروی مایل است .

در یک توزیع جرم کروی متقارن، می توان معادله پواسون را در مختصات کروی حل کرد . در یک جسم کروی یکنواخت با شعاع R ، چگالی ρ و جرم m ، نیروی گرانشی g در داخل کره با فاصله r از مرکز به‌طور خطی تغییر می‌کند و پتانسیل گرانشی درون کره را می‌دهد که [ 7 ] [ 8 ] است.{\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^ {3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}که به طور متمایز به تابع پتانسیل برای بیرون کره متصل می شود (شکل بالا را ببینید).

نسبیت عام

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: شتاب گرانشی § نسبیت عام و میدان گرانشی § نسبیت عام

در نسبیت عام ، پتانسیل گرانشی با تانسور متریک جایگزین می شود . هنگامی که میدان گرانشی ضعیف است و منابع در مقایسه با سرعت نور بسیار آهسته حرکت می کنند، نسبیت عام به گرانش نیوتنی کاهش می یابد و تانسور متریک را می توان از نظر پتانسیل گرانشی منبسط کرد. [ 9 ]

انبساط چند قطبی

[ ویرایش ]

مقالات اصلی: گشتاورهای چند قطبی کروی و انبساط چند قطبی

پتانسیل در یک نقطه x توسط

{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r}).}

تصویری از توزیع جرم (خاکستری) با مرکز جرم به عنوان مبدأ بردارهای x و r و نقطه ای که در آن پتانسیل در سر بردار x محاسبه می شود .

{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{ 3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\راست)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{تراز شده}}}

که در آخرین انتگرال

r = | r |

و θ زاویه بین x و r است .

(به "فرم ریاضی" مراجعه کنید.) انتگرال را می توان به عنوان یک سری تیلور در

Z = r /| x |

، با محاسبه صریح ضرایب. یک راه کم زحمت برای دستیابی به نتیجه مشابه استفاده از قضیه دو جمله ای تعمیم یافته است . [ 10 ] سری حاصل تابع تولید چند جمله‌ای لژاندر است:{\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{ n}P_{n}(X)}معتبر برای

| X | ≤ 1

و

| Z | < 1

. ضرایب P n چند جمله ای های لژاندر درجه n هستند . بنابراین، ضرایب تیلور انتگرال توسط چندجمله‌ای لژاندر در X = cos  θ داده می‌شود . بنابراین پتانسیل را می توان در یک سری همگرا برای موقعیت های x گسترش داد به طوری که r < | x | برای تمام عناصر جرمی سیستم (یعنی خارج از یک کره، در مرکز جرم، که سیستم را در بر می گیرد):

{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\راست)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{| \mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{تراز شده}}}انتگرال

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}جزء مرکز جرم در جهت x است . این ناپدید می شود زیرا بردار x از مرکز جرم خارج می شود. بنابراین، آوردن انتگرال زیر علامت جمع می دهد

{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left ({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }

این نشان می دهد که ازدیاد طول بدن باعث پتانسیل کمتری در جهت ازدیاد طول و پتانسیل بالاتر در جهات عمودی نسبت به پتانسیل ناشی از یک جرم کروی می شود، اگر مواردی را با فاصله یکسان با مرکز جرم مقایسه کنیم. (اگر مواردی را با فاصله یکسان با سطح مقایسه کنیم ، عکس آن صادق است.)

مقادیر عددی

[ ویرایش ]

قدر مطلق پتانسیل گرانشی در تعدادی از مکان ها با توجه به گرانش زمین ، خورشید و کهکشان راه شیری در جدول زیر آورده شده است. به عنوان مثال، یک جسم در سطح زمین به 60 MJ/kg برای "ترک" میدان گرانشی زمین، 900 MJ/kg دیگر برای خروج از میدان گرانش خورشید و بیش از 130 GJ/kg برای خروج از میدان گرانشی کهکشان راه شیری نیاز دارد. پتانسیل نصف مربع سرعت فرار است .

مکانبا توجه به
زمینخورشیدراه شیری
سطح زمین60 MJ/kg900 MJ/kg≥ 130 GJ/kg
لئو57 MJ/kg900 MJ/kg≥ 130 GJ/kg
وویجر 1 (17000 میلیون کیلومتر از زمین)23 ژول بر کیلوگرم8 مگاژول بر کیلوگرم≥ 130 GJ/kg
0.1 سال نوری از زمین فاصله دارد0.4 ژول بر کیلوگرم140 کیلوژول بر کیلوگرم≥ 130 GJ/kg

گرانش را در این مکان ها مقایسه کنید .

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_potential

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 20:21 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

4-اثر داپلر نسبیتی

اثر داپلر نسبیتی برای صدا و نور

[ ویرایش ]

شکل 10. فرمول تغییر داپلر نسبیتی هم برای صوت و هم برای نور قابل استفاده است.

کتاب‌های درسی فیزیک سال اول تقریباً همیشه تغییر داپلر را برای صوت بر حسب سینماتیک نیوتنی تجزیه و تحلیل می‌کنند، در حالی که تغییر داپلر برای نور و پدیده‌های الکترومغناطیسی را از نظر سینماتیک نسبیتی تحلیل می‌کنند. این تصور نادرست را ایجاد می کند که پدیده های صوتی نیاز به تحلیل متفاوتی نسبت به نور و امواج رادیویی دارند.

تجزیه و تحلیل سنتی اثر داپلر برای صدا نشان دهنده یک تقریب سرعت پایین به تجزیه و تحلیل دقیق و نسبیتی است. آنالیز کاملا نسبیتی صوت در واقع به همان اندازه برای پدیده های صوت و الکترومغناطیسی قابل استفاده است.

نمودار فضازمان را در شکل 10 در نظر بگیرید. خطوط جهانی برای یک چنگال تنظیم (منبع) و یک گیرنده هر دو در این نمودار نشان داده شده اند. چنگال تنظیم و گیرنده از O شروع می شود، در این نقطه، چنگال تنظیم شروع به ارتعاش می کند، امواج منتشر می کند و در امتداد محور منفی x حرکت می کند در حالی که گیرنده شروع به حرکت در امتداد محور x مثبت می کند. چنگال تنظیم تا رسیدن به A ادامه می‌یابد، در این مرحله امواج را متوقف می‌کند: بنابراین یک بسته موج تولید شده است و تمام امواج در بسته موج توسط گیرنده دریافت می‌شود و آخرین موج به آن در B می‌رسد. زمان مناسب برای مدت زمان بسته در چارچوب مرجع چنگال تنظیم طول OA است در حالی که زمان مناسب برای مدت زمان بسته موج در چارچوب گیرنده مرجع طول OB است. اگرn{\displaystyle n}سپس امواج ساطع شد

{\displaystyle f_{s}={\frac {n}{|OA|}}}، در حالی که{\displaystyle f_{r}={\frac {n}{|OB|}}}; شیب معکوس AB نشان دهنده سرعت انتشار سیگنال (یعنی سرعت صوت) به رویداد B است . بنابراین می توانیم بنویسیم: [ 12 ]

{\displaystyle c_{s}={\frac {x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}}}(سرعت صدا)

{\displaystyle v_{s}=-{\frac {x_{A}}{t_{A}}}} {\displaystyle v_{r}={\frac {x_{B}}{t_{B}}}} (سرعت منبع و گیرنده)

{\displaystyle |OA|={\sqrt {t_{A}^{2}-(x_{A}/c)^{2}}}}

{\displaystyle |OB|={\sqrt {t_{B}^{2}-(x_{B}/c)^{2}}}}

{\displaystyle v_{s}}و{\displaystyle v_{r}}کمتر از{\displaystyle c_{s},}زیرا در غیر این صورت عبور آنها از محیط باعث ایجاد امواج ضربه ای می شود که محاسبه را باطل می کند. برخی از جبرهای معمولی نسبت فرکانس ها را نشان می دهند:

معادله 9:{\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {|OA|}{|OB|}}} {\displaystyle ={\frac {1-v_{r}/c_{s}}{1+v_{s}/c_{s}}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c )^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}

اگر{\displaystyle v_{r}}و{\displaystyle v_{s}}در مقایسه با{\displaystyle c}، معادله بالا به فرمول کلاسیک داپلر برای صدا کاهش می یابد.

اگر سرعت انتشار سیگنال {\displaystyle c_{s}}نزدیک می شود{\displaystyle c}، می توان نشان داد که سرعت های مطلق{\displaystyle v_{s}}و{\displaystyle v_{r}}منبع و گیرنده در یک سرعت نسبی واحد مستقل از هر مرجعی به یک رسانه ثابت ادغام می شوند. در واقع، معادله 1 را به دست می آوریم ، فرمول تغییر داپلر طولی نسبیتی. [ 12 ]

تجزیه و تحلیل نمودار فضازمان در شکل 10 فرمولی کلی برای حرکت منبع و گیرنده به طور مستقیم در امتداد خط دید خود، یعنی در حرکت خطی به دست داد.

شکل 11. یک منبع و گیرنده در جهات و سرعت های مختلف در یک قاب حرکت می کنند که سرعت صوت مستقل از جهت است.

شکل 11 یک سناریو را در دو بعد نشان می دهد. منبع با سرعت حرکت می کند{\displaystyle \mathbf {v_{s}} }(در زمان انتشار). سیگنالی را منتشر می کند که با سرعت حرکت می کند{\displaystyle \mathbf {C} }به سمت گیرنده که با سرعت در حال حرکت استv{\displaystyle \mathbf {v_{r}} }در زمان پذیرایی تجزیه و تحلیل در یک سیستم مختصاتی که در آن سرعت سیگنال انجام می شود{\displaystyle |\mathbf {C} |}مستقل از جهت است [ 8 ]

نسبت بین فرکانس های مناسب برای منبع و گیرنده است

{\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-{\frac {|\mathbf {v_{r}} |}{\mathbf {|C|} } }\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{r}} })}{1-{\frac {|\mathbf {v_{s}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{s}} })}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c) ^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}

نسبت پیشرو به شکل اثر داپلر کلاسیک است، در حالی که عبارت جذری نشان دهنده تصحیح نسبیتی است. اگر زوایا را نسبت به قاب منبع در نظر بگیریم، پس{\displaystyle v_{s}=0}و معادله به معادله 7 ، فرمول 1905 اینشتین برای اثر داپلر کاهش می یابد. اگر زوایای مربوط به فریم گیرنده را در نظر بگیریم، پس{\displaystyle v_{r}=0}و معادله به معادله 6 کاهش می یابد ، شکل جایگزین معادله تغییر داپلر که قبلاً مورد بحث قرار گرفت. [ 8 ]

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 15:58 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

3-اثر داپلر نسبیتی

تجسم

[ ویرایش ]

شکل 8. مقایسه اثر داپلر نسبیتی (بالا) با اثر غیر نسبیتی (پایین).

شکل 8 به ما کمک می کند تا بفهمیم که چگونه اثر داپلر نسبیتی و انحراف نسبیتی با اثر داپلر غیر نسبیتی و انحراف غیر نسبیتی نور متفاوت است . فرض کنید که ناظر به طور یکنواخت در همه جهات توسط ستاره های زرد رنگی احاطه شده است که نور تک رنگی 570 نانومتری ساطع می کنند. فلش های هر نمودار نشان دهنده بردار سرعت ناظر نسبت به محیط اطرافش با قدر 0.89 درجه سانتیگراد است .

  • در حالت نسبیتی، نور جلوتر از ناظر به آبی به طول موج 137 نانومتر در فرابنفش دور منتقل می‌شود، در حالی که نور پشت ناظر به 2400 نانومتر در مادون قرمز با طول موج کوتاه منتقل می‌شود. به دلیل انحراف نسبیتی نور، اجسامی که قبلاً با ناظر زاویه قائمه داشتند، 63 درجه به سمت جلو منتقل می شوند.
  • در حالت غیر نسبیتی، نور جلوتر از ناظر به طول موج 300 نانومتر در فرابنفش متوسط ​​به آبی منتقل می شود، در حالی که نور پشت ناظر به 5200 نانومتر در مادون قرمز متوسط ​​منتقل می شود. به دلیل انحراف نور، اجسامی که قبلاً با ناظر زاویه قائمه داشتند، 42 درجه به سمت جلو منتقل می شوند.
  • در هر دو مورد، ستارگان تک رنگ جلو و پشت ناظر با داپلر به سمت طول موج های نامرئی جابه جا می شوند. با این حال، اگر ناظر چشمانی داشت که می‌توانست نور فرابنفش و فروسرخ را ببیند، ستاره‌های جلوی خود را درخشان‌تر و نزدیک‌تر از ستاره‌های پشت سر می‌دید، اما ستارگان به مراتب درخشان‌تر و به مراتب بیشتر در آن متمرکز می‌شدند. مورد نسبیتی [ 15 ]

ستارگان واقعی تک رنگ نیستند، اما طیفی از طول موج‌ها را که تقریباً یک توزیع جسم سیاه است از خود ساطع می‌کنند . لزوماً درست نیست که ستارگان جلوتر از ناظر رنگ آبی‌تر نشان می‌دهند. این به این دلیل است که کل توزیع انرژی طیفی جابجا شده است. همزمان که نور مرئی به رنگ آبی به طول موج های فرابنفش نامرئی تبدیل می شود، نور مادون قرمز نیز به محدوده آبی منتقل می شود. اینکه دقیقاً چه تغییری در رنگ هایی که فرد می بیند بستگی به فیزیولوژی چشم انسان و ویژگی های طیفی منابع نور مشاهده شده دارد. [ 16 ] [ 17 ]

اثر داپلر بر شدت

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: تابش جسم سیاه § اثر داپلر

اثر داپلر (با جهت دلخواه) شدت منبع درک شده را نیز تغییر می‌دهد: این را می‌توان به طور خلاصه با این واقعیت بیان کرد که قدرت منبع تقسیم بر مکعب فرکانس یک تغییر ناپذیر لورنتس است [ p 6 ] [ یادداشت 2 ] این نشان می‌دهد که کل شدت تابش (مجموع در تمام فرکانس ها) در توان چهارم ضریب داپلر برای فرکانس ضرب می شود.

در نتیجه، از آنجایی که قانون پلانک تابش جسم سیاه را دارای شدت طیفی در فرکانس متناسب با

{\displaystyle {\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}}

(که{\displaystyle T}دمای منبع است و{\displaystyle f}فرکانس)، می‌توانیم به این نتیجه برسیم که طیف جسم سیاهی که از طریق تغییر داپلر دیده می‌شود (با جهت دلخواه) همچنان یک طیف جسم سیاه است که دمای آن در همان ضریب داپلر به عنوان فرکانس ضرب می‌شود.

این نتیجه یکی از شواهدی را ارائه می‌کند که می‌تواند نظریه بیگ بنگ را از نظریه‌های جایگزین پیشنهادی برای توضیح انتقال به سرخ کیهانی متمایز کند . [ 18 ]

تایید تجربی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: تست‌های آیوز-استیلول، روتور موسباور- و طیف‌سنجی اتساع زمان

از آنجایی که اثر داپلر عرضی یکی از پیش‌بینی‌های جدید نظریه نسبیت خاص است، تشخیص و تعیین کمیت دقیق این اثر یکی از اهداف مهم آزمایش‌ها برای تأیید نسبیت خاص بوده است.

اندازه گیری های نوع Ives و Stilwell

[ ویرایش ]

شکل 9. چرا اندازه گیری دقیق اثر داپلر عرضی با استفاده از پرتو عرضی دشوار است.

اینشتین (1907) در ابتدا پیشنهاد کرده بود که TDE را می توان با مشاهده پرتوی از " پرتوهای کانال " در زوایای قائم به پرتو اندازه گیری کرد. [ p 1 ] تلاش برای اندازه گیری TDE با پیروی از این طرح غیرعملی بود، زیرا حداکثر سرعت پرتو ذرات موجود در آن زمان تنها چند هزارم سرعت نور بود.

شکل 9 نتایج تلاش برای اندازه‌گیری خط آنگستروم 4861 را نشان می‌دهد که توسط پرتوی از پرتوهای کانال (مخلوطی از یون‌های H1+، H2+ و H3+) ساطع می‌شود، زیرا آنها با الکترون‌های جدا شده از گاز هیدروژن رقیق مورد استفاده برای پر کردن پرتو کانال دوباره ترکیب می‌شوند. لوله در اینجا، نتیجه پیش‌بینی‌شده TDE یک خط آنگستروم 4861.06 است. در سمت چپ، تغییر طولی داپلر منجر به گسترش خط انتشار به حدی می شود که TDE قابل مشاهده نیست. شکل‌های میانی نشان می‌دهند که حتی اگر فرد نمای خود را به مرکز دقیق پرتو محدود کند، انحرافات بسیار کوچک پرتو از یک زاویه دقیقاً سمت راست باعث ایجاد تغییرات قابل مقایسه با اثر پیش‌بینی‌شده می‌شود.

به جای تلاش برای اندازه گیری مستقیم TDE، آیوز و استیلول (1938) از یک آینه مقعر استفاده کردند که به آنها اجازه می داد به طور همزمان یک پرتو مستقیم طولی (آبی) و تصویر منعکس شده آن (قرمز) را مشاهده کنند. از نظر طیف‌سنجی، سه خط مشاهده می‌شود: یک خط انتشار جابجا نشده، و خطوط انتقال‌یافته به آبی و قرمز. میانگین خطوط انتقال به قرمز و آبی با طول موج خط انتشار جابجا نشده مقایسه می شود. تفاوتی که آیوز و استیلول اندازه‌گیری کردند، در محدوده‌های تجربی، با اثر پیش‌بینی‌شده توسط نسبیت خاص مطابقت داشت. [ ص 7 ]

تکرارهای بعدی آزمایش آیوز و استیلول، راهبردهای دیگری را برای اندازه‌گیری میانگین انتشار پرتوهای ذرات آبی و جابه‌جا شده به قرمز اتخاذ کرده‌اند. در برخی از تکرارهای اخیر این آزمایش، از فناوری شتاب دهنده مدرن برای ترتیب مشاهده دو پرتو ذرات ضد چرخش استفاده شده است. در تکرارهای دیگر، انرژی پرتوهای گاما ساطع شده توسط یک پرتو ذره به سرعت در حال حرکت در زوایای مخالف نسبت به جهت پرتو ذرات اندازه گیری شده است. از آنجایی که این آزمایش‌ها در واقع طول موج پرتو ذرات را در زوایای قائم به پرتو اندازه‌گیری نمی‌کنند، برخی از نویسندگان ترجیح داده‌اند به اثری که اندازه‌گیری می‌کنند به‌جای TDE به «تغییر داپلر درجه دوم» اشاره کنند. [ ص 8 ] [ ص 9 ]

اندازه گیری مستقیم اثر داپلر عرضی

[ ویرایش ]

ظهور فناوری شتاب دهنده ذرات ، تولید پرتوهای ذرات با انرژی قابل توجهی بالاتر از آنچه در دسترس ایوز و استیلول بود، ممکن ساخته است. این امر طراحی آزمایش‌های اثر داپلر عرضی را مستقیماً در امتداد خطوطی که انیشتین در ابتدا آنها را تصور می‌کرد، امکان‌پذیر کرده است، یعنی با مشاهده مستقیم پرتو ذره در زاویه 90 درجه. به عنوان مثال، هاسلکامپ و همکاران. (1979) خط H α گسیل شده توسط اتم های هیدروژن را مشاهده کردند که با سرعت های 2.53×10 8 سانتی متر بر ثانیه تا 9.28×10 8 سانتی متر بر ثانیه حرکت می کردند و ضریب جمله مرتبه دوم را در تقریب نسبیتی 0.03±0.52 یافتند. ، مطابق با مقدار نظری 1/2 است. [ ص 10 ]

دیگر آزمایش‌های مستقیم TDE روی پلت‌فرم‌های دوار با کشف اثر Mössbauer امکان‌پذیر شد ، که تولید خطوط تشدید بسیار باریک را برای گسیل و جذب پرتو گامای هسته‌ای ممکن می‌سازد. [ 19 ] آزمایش‌های اثر Mössbauer ثابت کرده‌اند که به راحتی می‌توانند TDE را با استفاده از سرعت‌های نسبی ساطع‌کننده-جاذب در حد 2×10 4 سانتی‌متر بر ثانیه تشخیص دهند. این آزمایش‌ها شامل آزمایش‌هایی است که توسط Hay و همکارانش انجام شده است. (1960)، [ ص 11 ] Champeney و همکاران. (1965)، [ ص 12 ] و کوندیگ (1963). [ ص 3 ]

اندازه گیری اتساع زمان

[ ویرایش ]

اثر داپلر عرضی و اتساع زمانی سینماتیکی نسبیت خاص ارتباط نزدیکی با هم دارند. تمام اعتبارسنجی‌های TDE نشان‌دهنده اعتبار اتساع زمان سینماتیکی هستند، و بیشتر اعتبارسنجی‌های اتساع زمان سینماتیکی نیز اعتبار TDE را نشان می‌دهند. یک منبع آنلاین، "مبنای تجربی نسبیت خاص چیست؟" بسیاری از آزمایش‌هایی را که در طول سال‌ها برای تأیید جنبه‌های مختلف نسبیت خاص مورد استفاده قرار گرفته‌اند، با تفسیری مختصر، مستند کرده است. [ 20 ] کایولا و همکاران. (1985) [ ص 13 ] و مک گوان و همکاران. (1993) [ ص 14 ] نمونه هایی از آزمایش هایی هستند که در این منبع به عنوان آزمایش های اتساع زمان طبقه بندی شده اند. این دو نیز نشان دهنده تست های TDE هستند. این آزمایش‌ها فرکانس دو لیزر را مقایسه کردند، یکی به فرکانس انتقال اتم نئون در یک پرتو سریع، دیگری قفل شده به همان انتقال در نئون حرارتی. نسخه 1993 آزمایش اتساع زمانی و در نتیجه TDE را با دقت 2.3×10-6 تأیید کرد .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 15:57 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

2-اثر داپلر نسبیتی

نسبت

{\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}

ضریب داپلر منبع نسبت به گیرنده نامیده می شود . (این اصطلاح به ویژه در موضوع اخترفیزیک رایج است : به پرتوهای نسبیتی مراجعه کنید .)

طول موج های مربوطه با هم مرتبط هستند

معادله 2:

{\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+ \بتا {1-\beta }}}،}

عبارات یکسان برای تغییر داپلر نسبیتی هنگام انجام تحلیل در چارچوب مرجع گیرنده با منبع متحرک به دست می آید. این با انتظارات اصل نسبیت مطابقت دارد ، که حکم می‌کند نتیجه نمی‌تواند به این بستگی داشته باشد که کدام شی به عنوان جسم در حال سکون در نظر گرفته می‌شود. در مقابل، اثر داپلر غیرنسبیتی کلاسیک به این بستگی دارد که آیا منبع یا گیرنده نسبت به رسانه ساکن است.

[ 5 ] [ 6 ]

اثر داپلر عرضی

[ ویرایش ]

فرض کنید یک منبع و یک گیرنده هر دو با حرکت اینرسی یکنواخت در طول مسیرهایی که با هم برخورد نمی کنند به یکدیگر نزدیک می شوند. اثر داپلر عرضی (TDE) ممکن است به (الف) تغییر اسمی آبی پیش‌بینی‌شده توسط نسبیت خاص اشاره داشته باشد که زمانی اتفاق می‌افتد که فرستنده و گیرنده در نزدیک‌ترین نقطه خود هستند. یا (ب) انتقال اسمی به سرخ که توسط نسبیت خاص پیش‌بینی می‌شود، زمانی که گیرنده فرستنده را در نزدیک‌ترین نزدیکی خود می‌بیند . [ 6 ] اثر داپلر عرضی یکی از پیش‌بینی‌های جدید نظریه نسبیت خاص است. [ 7 ]

اینکه یک گزارش علمی TDE را به‌عنوان یک تغییر قرمز یا آبی توصیف می‌کند، به جزئیات آرایش آزمایشی مرتبط بستگی دارد. به عنوان مثال، توصیف اصلی انیشتین از TDE در سال 1907، آزمایش‌کننده‌ای را توصیف می‌کند که به مرکز (نزدیک‌ترین نقطه) پرتوی « پرتوهای کانال » (پرتوی از یون‌های مثبت که توسط انواع خاصی از لوله‌های تخلیه گاز ایجاد می‌شود) نگاه می‌کند. بر اساس نسبیت خاص، فرکانس ساطع شده یون‌های متحرک با ضریب لورنتس کاهش می‌یابد، به طوری که فرکانس دریافتی با همان ضریب کاهش می‌یابد (به قرمز منتقل می‌شود). [ p 1 ] [ یادداشت 1 ]

از سوی دیگر، کوندیگ (1963) آزمایشی را توصیف کرد که در آن یک جاذب Mössbauer در یک مسیر دایره ای سریع در اطراف یک ساطع کننده مرکزی Mössbauer چرخیده شد. [ ص 3 ] همانطور که در زیر توضیح داده شد، این آرایش تجربی منجر به اندازه‌گیری یک تغییر رنگ آبی توسط کوندیگ شد.

منبع و گیرنده در نزدیکترین نقطه خود هستند

[ ویرایش ]

شکل 2. منبع و گیرنده در نزدیکترین نقطه خود قرار دارند. (الف) تجزیه و تحلیل در قاب گیرنده. (ب) تجزیه و تحلیل در چارچوب منبع.

در این سناریو، نقطه نزدیک‌ترین نقطه، مستقل از فریم است و لحظه‌ای را نشان می‌دهد که هیچ تغییری در فاصله نسبت به زمان وجود ندارد. شکل 2 نشان می دهد که سهولت تحلیل این سناریو به چارچوبی که در آن تحلیل می شود بستگی دارد. [ 6 ]

  • شکل 2a. اگر سناریو را در فریم گیرنده تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه می شویم که تحلیل پیچیده تر از آن چیزی است که باید باشد. موقعیت ظاهری یک جرم آسمانی به دلیل حرکت جسم در مدت زمانی که نورش به ناظر می رسد از موقعیت واقعی خود (یا موقعیت هندسی) جابجا می شود. منبع نسبت به گیرنده با زمان گشاد می شود، اما انتقال به قرمز که در این اتساع زمانی به وجود می آید با یک تغییر آبی به دلیل مولفه طولی حرکت نسبی بین گیرنده و موقعیت ظاهری منبع جبران می شود.
  • شکل 2b. اگر در عوض، سناریو را از چارچوب منبع تحلیل کنیم، بسیار ساده تر است. ناظری که در منبع قرار دارد، از بیان مسئله می‌داند که گیرنده در نزدیک‌ترین نقطه به او قرار دارد. این بدان معناست که گیرنده هیچ جزء طولی حرکتی ندارد تا تحلیل را پیچیده کند. (یعنی dr/dt = 0 که در آن r فاصله بین گیرنده و منبع است) از آنجایی که ساعت های گیرنده نسبت به منبع گشاد شده با زمان هستند، نوری که گیرنده دریافت می کند با ضریب گاما به رنگ آبی جابجا می شود. به عبارت دیگر،

معادله 3:

{\displaystyle f_{r}=\گاما f_{s}}

گیرنده منبع را در نزدیکترین نقطه خود می بیند

[ ویرایش ]

شکل 3. تغییر داپلر عرضی برای سناریویی که گیرنده منبع را در نزدیکترین نقطه خود می بیند .

این سناریو معادل این است که گیرنده به زاویه راست مستقیم نسبت به مسیر منبع نگاه کند. تجزیه و تحلیل این سناریو به بهترین وجه از فریم گیرنده انجام می شود. شکل 3 نشان می دهد که گیرنده از زمانی که منبع به گیرنده نزدیک است، با نور روشن می شود، حتی اگر منبع حرکت کرده باشد. [ 6 ] از آنجایی که ساعت منبع در قاب گیرنده اندازه‌گیری می‌شود، و از آنجا که هیچ جزء طولی حرکت آن وجود ندارد، نور منبع که از این نزدیک‌ترین نقطه ساطع می‌شود، با فرکانس به قرمز منتقل می‌شود.

معادله 4:

={\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}}

در ادبیات، بیشتر گزارش‌های جابجایی داپلر عرضی، اثر را بر حسب گیرنده‌ای که در زوایای راست مستقیم به مسیر منبع اشاره می‌کند، تحلیل می‌کنند، بنابراین منبع را در نزدیک‌ترین نقطه خود می‌بینند و یک جابجایی قرمز را مشاهده می‌کنند.

نقطه شیفت فرکانس صفر

[ ویرایش ]

شکل 4. تغییر فرکانس تهی برای پالسی که کمترین فاصله را از منبع تا گیرنده طی می کند رخ می دهد.

با توجه به اینکه در حالتی که منبع متحرک و گیرنده از نظر هندسی در نزدیکترین نزدیکی به یکدیگر قرار دارند، گیرنده یک تغییر رنگ آبی مشاهده می کند، در حالی که در موردی که گیرنده منبع را در نزدیکترین نقطه خود می بیند ، گیرنده یک عدد را مشاهده می کند. انتقال به قرمز، بدیهی است که باید نقطه ای وجود داشته باشد که انتقال آبی به یک انتقال به قرمز تغییر کند. در شکل 2، سیگنال به صورت عمود بر مسیر گیرنده حرکت می کند و به رنگ آبی تغییر می کند. در شکل 3، سیگنال به صورت عمود بر مسیر منبع حرکت می کند و به قرمز منتقل می شود.

همانطور که در شکل 4 مشاهده می شود، تغییر فرکانس تهی برای پالسی که کمترین فاصله را از منبع تا گیرنده طی می کند، رخ می دهد. هنگامی که در فریمی که منبع و گیرنده سرعت یکسانی دارند مشاهده می شود، این پالس به صورت عمود بر مسیر منبع منتشر می شود و عمود بر مسیر گیرنده دریافت می شود. پالس کمی قبل از نزدیکترین نقطه منتشر می شود و کمی بعد از آن دریافت می شود. [ 8 ]

یک جسم در حرکت دایره ای در اطراف دیگری

[ ویرایش ]

شکل 5. اثر داپلر عرضی برای دو سناریو: (الف) گیرنده در یک دایره در اطراف منبع حرکت می کند. (ب) منبعی که به صورت دایره ای در اطراف گیرنده حرکت می کند.

شکل 5 دو گونه از این سناریو را نشان می دهد. هر دو نوع را می توان با استفاده از آرگومان های اتساع زمانی ساده تحلیل کرد. [ 6 ] شکل 5a اساساً معادل سناریویی است که در شکل 2b توضیح داده شده است، و گیرنده نور را از منبع مشاهده می کند که با ضریب آبی تغییر می کند.{\displaystyle \gamma }. شکل 5b اساساً معادل سناریویی است که در شکل 3 توضیح داده شده است و نور به قرمز منتقل شده است.

تنها عارضه ظاهری این است که اجرام در مدار در حال حرکت با شتاب هستند. یک ذره شتاب دار چارچوب اینرسی ندارد که در آن همیشه در حال سکون باشد. با این حال، همیشه می توان یک قاب اینرسی پیدا کرد که به طور لحظه ای با ذره حرکت می کند. این قاب، قاب مرجع لحظه‌ای متحرک (MCRF) ، استفاده از نسبیت خاص را برای تجزیه و تحلیل ذرات شتاب‌دار امکان‌پذیر می‌سازد. اگر یک ناظر اینرسی به یک ساعت در حال شتاب نگاه کند، فقط سرعت لحظه ای ساعت هنگام محاسبه اتساع زمان مهم است. [ 9 ]

با این حال، عکس این قضیه درست نیست. تجزیه و تحلیل سناریوهایی که در آن هر دو جسم در حرکت شتابان هستند نیاز به تحلیل پیچیده تری دارد. عدم درک این نکته باعث سردرگمی و سوء تفاهم شده است.

منبع و گیرنده هر دو در حرکت دایره ای در اطراف یک مرکز مشترک

[ ویرایش ]

شکل 6. منبع و گیرنده در دو سر روتور در فاصله مساوی از مرکز قرار گرفته اند.

فرض کنید منبع و گیرنده در دو طرف مقابل یک روتور در حال چرخش قرار دارند، همانطور که در شکل 6 نشان داده شده است. (نسبیت عام) هر دو به این نتیجه می رسند که نباید بین منبع و گیرنده تغییر داپلر وجود داشته باشد.

در سال 1961، Champeney و Moon یک آزمایش روتور Mössbauer را انجام دادند و دقیقاً این سناریو را آزمایش کردند و دریافتند که فرآیند جذب Mössbauer تحت تأثیر چرخش قرار نمی‌گیرد. [ p 4 ] آنها به این نتیجه رسیدند که یافته های آنها از نسبیت خاص پشتیبانی می کند.

این نتیجه گیری باعث ایجاد اختلاف نظر شد. یک منتقد دائمی نسبیت [ چه کسی؟ ] معتقد بود که، اگرچه این آزمایش با نسبیت عام سازگار بود، اما نسبیت خاص را رد کرد، منظور او این بود که از آنجایی که ساطع کننده و جاذب در حرکت نسبی یکنواخت بودند، نسبیت خاص ایجاب می کرد که یک تغییر داپلر مشاهده شود. مغالطه استدلال این منتقد، همانطور که در بخش Point of Null shift فرکانس نشان داده شد ، این بود که این که یک تغییر داپلر همیشه باید بین دو فریم در حرکت نسبی یکنواخت مشاهده شود، به سادگی درست نیست. [ 10 ] علاوه بر این، همانطور که در بخش نشان داده شد منبع و گیرنده در نزدیکترین نقطه خود هستند ، دشواری تجزیه و تحلیل یک سناریوی نسبیتی اغلب به انتخاب چارچوب مرجع بستگی دارد. تلاش برای تجزیه و تحلیل سناریو در قاب گیرنده شامل جبر خسته کننده زیادی است. ایجاد عدم تغییر داپلر بین امیتر و جاذب در قاب آزمایشگاه بسیار ساده تر و تقریباً بی اهمیت است. [ 10 ]

با این حال، در حقیقت، آزمایش شامپنی و مون هیچ چیز موافق یا مخالفی در مورد نسبیت خاص نداشت. به دلیل تقارن تنظیم، معلوم می‌شود که عملاً هر نظریه قابل تصوری در مورد تغییر داپلر بین فریم‌ها در حرکت اینرسی یکنواخت باید در این آزمایش یک نتیجه صفر داشته باشد. [ 10 ]

به جای فاصله یکسان از مرکز، فرض کنید امیتر و جاذب در فواصل متفاوتی از مرکز روتور هستند. برای یک امیتر در شعاعآر"{\displaystyle R'}و جاذب در شعاع {\displaystyle R} در هر نقطه از روتور، نسبت فرکانس امیتر،{\displaystyle f',}و فرکانس جاذب،{\displaystyle f,}توسط

معادله 5:

{\displaystyle {\frac {f'}{f}}=\left({\frac {c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}{c^{2}-R'^ {2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}}

که{\displaystyle \omega }سرعت زاویه ای روتور است. منبع و امیتر لازم نیست 180 درجه از هم فاصله داشته باشند، اما می توانند در هر زاویه ای نسبت به مرکز باشند. [ ص 5 ] [ 11 ]

حرکت در جهت دلخواه

[ ویرایش ]

شکل 7. تغییر داپلر با حرکت منبع با زاویه دلخواه نسبت به خط بین منبع و گیرنده.

تجزیه و تحلیل مورد استفاده در بخش اثر داپلر طولی نسبیتی را می توان به روشی ساده برای محاسبه شیفت داپلر برای مواردی که حرکات اینرسی منبع و گیرنده در هر زاویه مشخصی هستند گسترش داد. [ 4 ] [ 12 ] شکل 7 سناریویی را از فریم گیرنده نشان می دهد که منبع با سرعت حرکت می کند.v{\displaystyle v}در یک زاویهθr{\displaystyle \theta _{r}}در قاب گیرنده اندازه گیری می شود. جزء شعاعی حرکت منبع در طول خط دید برابر است با

{\displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}

معادله زیر را می توان به عنوان تغییر داپلر کلاسیک برای یک منبع ثابت و متحرک تعبیر کرد که توسط عامل لورنتس تغییر یافته است.

{\displaystyle \gamma :}

{\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.}

در صورتی که{\displaystyle \theta _{r}=90^{\circ }}، اثر داپلر عرضی بدست می آید :

{\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.\,}

انیشتین در مقاله خود در سال 1905 در مورد نسبیت خاص، معادله ای متفاوت برای معادله تغییر داپلر به دست آورد. پس از تغییر نام متغیرها در معادله انیشتین برای سازگاری با موارد استفاده شده در اینجا، معادله او می‌خواند.

معادله 7:

{\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}.}

تفاوت ها از این واقعیت ناشی می شود که انیشتین زاویه را ارزیابی کرد{\displaystyle \theta _{s}}با توجه به قاب استراحت منبع به جای قاب استراحت گیرنده.{\displaystyle \theta _{s}}برابر نیست{\displaystyle \theta _{r}}به دلیل تأثیر انحراف نسبیتی . معادله انحراف نسبیتی:

معادله 8:

{\displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}}\,}

با جایگزینی معادله انحراف نسبیتی معادله 8 به معادله 6، معادله 7 به دست می آید ، که سازگاری این معادلات متناوب را برای تغییر داپلر نشان می دهد. [ 12 ]

تنظیم

{\displaystyle \theta _{r}=0}در معادله 6 یا

{\displaystyle \theta _{s}=0}در معادله 7 معادله 1 ، بیانی برای تغییر داپلر طولی نسبیتی به دست می‌دهد .

یک رویکرد چهار بردار برای استخراج این نتایج ممکن است در لاندو و لیفشیتز (2005) یافت شود. [ 13 ]

در امواج الکترومغناطیسی، هر دو دامنه میدان الکتریکی و مغناطیسی E و B به روشی مشابه فرکانس تبدیل می‌شوند: [ 14 ]

{\displaystyle E_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)E_{s}}

{\displaystyle B_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)B_{s}.}

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 15:56 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

1-اثر داپلر نسبیتی

نسبیت خاص
خط جهان: نمایش نموداری فضازمان
نشان می دهد

پایه ها

نشان می دهد

عواقب

نشان می دهد

فضا-زمان

نشان می دهد

دینامیک

نشان می دهد
نشان می دهد

مردم

شکل 1. منبعی از امواج نوری که به سمت راست حرکت می کنند، نسبت به ناظران، با سرعت 0.7 c . فرکانس برای ناظران سمت راست بیشتر و برای ناظران سمت چپ کمتر است.

اثر نسبیتی داپلر تغییر در فرکانس ، طول موج و دامنه [ 1 ] نور است که ناشی از حرکت نسبی منبع و ناظر است (مانند اثر داپلر کلاسیک ، اولین بار توسط کریستین داپلر در سال 1842 [ 2 ] ارائه شد ). هنگام در نظر گرفتن اثرات توصیف شده توسط نظریه نسبیت خاص .

اثر داپلر نسبیتی با اثر داپلر غیر نسبیتی متفاوت است زیرا معادلات شامل اثر اتساع زمانی نسبیت خاص است و محیط انتشار را به عنوان نقطه مرجع در بر نمی گیرد. آنها تفاوت کل در فرکانس های مشاهده شده را توصیف می کنند و دارای تقارن لورنتس مورد نیاز هستند .

اخترشناسان سه منبع انتقال به سرخ / آبی را می شناسند : جابجایی داپلر. جابجایی های قرمز گرانشی (به دلیل خروج نور از میدان گرانشی)؛ و گسترش کیهانی (جایی که خود فضا امتداد می یابد). این مقاله فقط به تغییرات داپلر مربوط می شود.

خلاصه نتایج عمده

[ ویرایش ]

در جدول زیر فرض شده است که برای{\displaystyle \beta =v/c>0}گیرنده{\displaystyle r}و منبع {\displaystyle s}از یکدیگر دور می شوند،{\displaystyle v}سرعت نسبی و{\displaystyle c}سرعت نور و{\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.

سناریوفرمولیادداشت ها

اثر داپلر طولی نسبیتی		{\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+ \بتا {1-\بتا }}}}
اثر داپلر عرضی،
نزدیکترین رویکرد هندسی		{\displaystyle f_{r}=\گاما f_{s}}Blueshift
اثر داپلر عرضی،
نزدیکترین رویکرد بصری		{\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}}انتقال به قرمز
TDE، گیرنده در
حرکت دایره ای در اطراف منبع		{\displaystyle f_{r}=\گاما f_{s}}Blueshift
TDE، منبع در
حرکت دایره ای اطراف گیرنده		{\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}}انتقال به قرمز
TDE، منبع و گیرنده
در حرکت دایره ای در اطراف
مرکز مشترک		{\displaystyle {\frac {f'}{f}}=\left({\frac {c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}{c^{2}-R'^ {2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}}بدون تغییر داپلر
زمانی که "{\displaystyle R=R'}
حرکت در جهت دلخواه
در قاب گیرنده اندازه گیری می شود		{\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}}
حرکت در جهت دلخواه
در قاب منبع اندازه گیری می شود		{\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}}

اشتقاق

[ ویرایش ]

اثر داپلر طولی نسبیتی

[ ویرایش ]

تغییر داپلر نسبیتی برای حالت طولی، با منبع و گیرنده در حال حرکت مستقیم به سمت یا دور از یکدیگر، اغلب به عنوان پدیده کلاسیک مشتق می‌شود، اما با افزودن عبارت اتساع زمانی اصلاح می‌شود . [ 3 ] [ 4 ] این رویکردی است که در کتاب‌های درسی فیزیک یا مکانیک سال اول مانند کتاب‌های فاینمن [ 5 ] یا مورین استفاده می‌شود. [ 6 ]

به دنبال این رویکرد برای استخراج اثر داپلر طولی نسبیتی، فرض کنید گیرنده و منبع با سرعت نسبی از یکدیگر دور می شوند.v{\displaystyle v\,}همانطور که توسط یک ناظر بر روی گیرنده یا منبع اندازه گیری می شود (قرارداد نشانه ای که در اینجا به تصویب رسید این استv{\displaystyle v\,}اگر گیرنده و منبع به سمت یکدیگر حرکت کنند منفی است ).

مشکل را در چارچوب مرجع منبع در نظر بگیرید.

فرض کنید یک جبهه موج به گیرنده برسد. جبهه موج بعدی در یک فاصله است{\displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s}\,}دور از گیرنده (جایی که{\displaystyle \lambda _{s}\,}طول موج است ،{\displaystyle f_{s}\,}فرکانس امواجی است که منبع ساطع می کند و{\displaystyle c\,}سرعت نور است ).

جبهه موج با سرعت حرکت می کند{\displaystyle c\,}، اما در عین حال گیرنده با سرعت دور می شود{\displaystyle v}در طول یک زمان {\displaystyle t_{r,s}}، که دوره برخورد امواج نور به گیرنده است، همانطور که در قاب منبع مشاهده می شود. بنابراین،

{\displaystyle \lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s}\Longleftrightarrow \lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)\longftrightarrow t_{r ,s}={\frac {1}{f_{s}(1-\beta )}},}

که{\displaystyle \beta =v/c\,}سرعت گیرنده بر حسب سرعت نور است. مربوطه{\displaystyle f_{r,s}}فرکانس برخورد جبهه‌های موج به گیرنده در کادر منبع، برابر است با{\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\بتا).}

تا کنون، معادلات با معادلات اثر داپلر کلاسیک با یک منبع ثابت و یک گیرنده متحرک یکسان بوده است.

با این حال، به دلیل اثرات نسبیتی، ساعت‌های گیرنده نسبت به ساعت‌های منبع گشاد زمان هستند:{\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }، که{\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}عامل لورنتس است . برای اینکه بدانیم کدام زمان گشاد شده است، آن را به یاد می آوریم {\displaystyle t_{r,s}}زمانی در قاب است که منبع در آن استراحت می کند. گیرنده فرکانس دریافتی را اندازه گیری می کند

{\displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }{\displaystyle ={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}{\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.}

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 15:55 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

سرعت نسبی

سرعت نسبی

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

مرد با حرکت نسبی در قطار

بخشی از یک سریال در
مکانیک کلاسیک
{\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} {dt}}}

قانون دوم حرکت

نشان می دهد

شاخه ها

نشان می دهد

مبانی

نشان می دهد

فرمولاسیون

نشان می دهد

موضوعات اصلی

نشان می دهد

چرخش

نشان می دهد

دانشمندان

سرعت نسبی یک جسم B نسبت به ناظر A ، نشان داده شده است

{\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}}(همچنین

{\displaystyle \mathbf {v} _{BA}}یا{\displaystyle \mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}})، بردار سرعت B است که در قاب استراحت A اندازه گیری می شود . سرعت نسبی {\displaystyle v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|}هنجار برداری سرعت نسبی است .

مکانیک کلاسیک

[ ویرایش ]

در یک بعد (غیر نسبیتی)

[ ویرایش ]

ما با حرکت نسبی در کلاسیک ، (یا غیر نسبیتی ، یا تقریب نیوتنی ) شروع می کنیم که همه سرعت ها بسیار کمتر از سرعت نور هستند. این محدودیت با دگرگونی گالیله مرتبط است . شکل مردی را در بالای قطار، در لبه عقب نشان می دهد. در ساعت 13:00 او شروع به راه رفتن به جلو با سرعت 10 کیلومتر در ساعت (کیلومتر در ساعت) می کند. قطار با سرعت 40 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. این شکل مرد و قطار را در دو زمان مختلف به تصویر می‌کشد: اول، زمانی که سفر آغاز شد و همچنین یک ساعت بعد در ساعت 2 بعد از ظهر. این شکل نشان می دهد که مرد پس از یک ساعت سفر (با پیاده روی و قطار) 50 کیلومتر از نقطه شروع فاصله دارد. این، طبق تعریف، 50 کیلومتر در ساعت است، که نشان می دهد که نسخه برای محاسبه سرعت نسبی به این روش، اضافه کردن دو سرعت است.

این نمودار ساعت ها و خط کش ها را نمایش می دهد تا به خواننده یادآوری کند که در حالی که منطق پشت این محاسبه بی عیب به نظر می رسد، فرضیات نادرستی در مورد نحوه رفتار ساعت ها و خط کش ها ایجاد می کند. (به آزمایش فکری قطار و سکو مراجعه کنید .) برای تشخیص اینکه این مدل کلاسیک حرکت نسبی نسبیت خاص را نقض می کند ، مثال را به یک معادله تعمیم می دهیم:

{\displaystyle \underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\ متن{10 کیلومتر در ساعت}}+\ زیرآب {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 کیلومتر در ساعت}}،}

که:

{\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid E}}سرعت M نسبت به Earth است ،

{\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid T}}سرعت M نسبت به باران T است ،

{\displaystyle \mathbf {v} _{T\mid E}}سرعت باران T نسبت به Earth است .

عبارات کاملاً مشروع برای "سرعت A نسبت به B" شامل "سرعت A نسبت به B" و "سرعت A در سیستم مختصاتی که در آن B همیشه در حالت استراحت است". نقض نسبیت خاص به این دلیل رخ می دهد که این معادله برای سرعت نسبی به اشتباه پیش بینی می کند که ناظران مختلف هنگام مشاهده حرکت نور، سرعت های متفاوتی را اندازه گیری می کنند. [ یادداشت 1 ]

در دو بعد (غیر نسبیتی)

[ ویرایش ]

سرعت نسبی بین دو ذره در مکانیک کلاسیک

شکل دو جسم A و B را نشان می دهد که با سرعت ثابت حرکت می کنند. معادلات حرکت عبارتند از:

{\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,}

،{\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,}

جایی که زیرنویس i به جابجایی اولیه (در زمان t برابر با صفر) اشاره دارد. تفاوت بین دو بردار جابجایی،

{\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}}، نشان دهنده مکان B همانطور که از A مشاهده می شود.

{\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text {جداسازی اولیه}}+\ زیر پرانتز {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\متن{سرعت نسبی}}.}

از این رو:

{\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.}

بعد از انجام تعویض ها{\displaystyle \mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}}و{\displaystyle \mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}}، داریم:

{\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow } .{\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.}

دگرگونی گالیله (غیر نسبیتی)

[ ویرایش ]

برای ساختن نظریه حرکت نسبی منطبق با نظریه نسبیت خاص، باید قرارداد متفاوتی را اتخاذ کنیم. با ادامه کار در حد نیوتنی (غیر نسبیتی) با تبدیل گالیله در یک بعد شروع می کنیم : [ یادداشت 2 ]

{\displaystyle x'=x-vt}

{\displaystyle t'=t}

که در آن x موقعیتی است که توسط یک قاب مرجع که با سرعت حرکت می کند، v، در قاب مرجع "غیرپریم" (x) مشاهده می شود.

[ یادداشت 3 ] با گرفتن دیفرانسیل اول از دو معادله فوق، داریم،{\displaystyle dx'=dx-v\,dt}و آنچه که ممکن است به نظر بدیهی [ یادداشت 4 ] باشد که {\displaystyle dt'=dt}، داریم:

{\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}

برای بازیابی عبارات قبلی برای سرعت نسبی، فرض می‌کنیم که ذره A مسیری را دنبال می‌کند که با dx/dt در مرجع unprimed تعریف شده است (و از این رو dx "/ dt " در قاب اولیه). بنابرایند

{\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}و

"{\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}، که{\displaystyle O}و{\displaystyle O'}به حرکت A که توسط یک ناظر در قاب پرایم نشده و اولیه دیده می شود، مراجعه کنید. به یاد بیاورید که v حرکت یک جسم ساکن در قاب اولیه است، همانطور که از قاب پرایم نشده مشاهده می شود. بنابراین ما داریم{\displaystyle v=v_{O'\mid O}}،

و:

{\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O '\mid O},}

که در آن شکل دوم دارای تقارن مورد نظر (به راحتی قابل یادگیری) است.

نسبیت خاص

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: نسبیت خاص - ترکیب سرعت ها و فرمول سرعت-افزودن

همانطور که در مکانیک کلاسیک، در نسبیت خاص سرعت نسبی است{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}سرعت یک جسم یا ناظر B در قاب استراحت جسم دیگر یا ناظر A است . با این حال، بر خلاف مورد مکانیک کلاسیک، در نسبیت خاص، به طور کلی چنین نیست

{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }}

این عدم تقارن عجیب مربوط به تقدم توماس و این واقعیت است که دو تبدیل پی در پی لورنتس سیستم مختصات را می چرخانند. این چرخش تأثیری بر بزرگی یک بردار ندارد و از این رو سرعت نسبی متقارن است.

{\displaystyle \|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B| A} }=v_{\mathrm {A|B} }}

سرعت های موازی

[ ویرایش ]

در موردی که دو جسم در جهت های موازی حرکت می کنند، فرمول نسبیتی سرعت نسبی از نظر شکل مشابه فرمول جمع سرعت های نسبیتی است.

{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} } {1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}

سرعت نسبی با فرمول به دست می آید:

{\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\راست |}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}

سرعت های عمود بر هم

[ ویرایش ]

در موردی که دو جسم در جهات عمود بر هم حرکت می کنند، سرعت نسبیتی استvب|الف{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}با فرمول داده می شود:

{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}} -\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}

که

{\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^ {2}}}}}

سرعت نسبی با فرمول داده می شود

{\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right )\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}

مورد کلی

[ ویرایش ]

فرمول کلی سرعت نسبی

{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}یک شی یا ناظر B در قاب استراحت یک شی دیگر یا ناظر A با فرمول به دست می آید: [ 1 ]

{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\گاما _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac { \mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\ درست]}

که

{\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^ {2}}}}}

سرعت نسبی با فرمول داده می شود

{\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\راست)\چپ (c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}

https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_velocity

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:50 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

5-فرمول جمع سرعتها در فیزیک نسبیتی

برنامه های کاربردی

[ ویرایش ]

برخی از کاربردهای کلاسیک فرمول‌های افزایش سرعت، برای تغییر داپلر، انحراف نور، و کشیدن نور در آب متحرک، که عبارات معتبر نسبیتی را برای این پدیده‌ها به دست می‌دهد، در زیر به تفصیل آمده است. همچنین می توان از فرمول جمع سرعت با فرض پایستگی تکانه (با توسل به تغییر ناپذیری چرخشی معمولی)، شکل صحیح قسمت 3 بردار تکانه چهار بردار ، بدون توسل به الکترومغناطیس، یا پیشینی ناشناخته استفاده کرد. نسخه های معتبر و نسبیتی از فرمالیسم لاگرانژی . این شامل پرتاب کردن توپ‌های نسبیتی بیلیارد توسط تجربی‌گرایان از یکدیگر است. این در اینجا به تفصیل توضیح داده نشده است، اما برای مرجع به نسخه ویکی‌نبشته لوئیس و تولمن (1909) (منبع اولیه) و سارد (1970 ، بخش 3.2) مراجعه کنید.

آزمایش فیزو

[ ویرایش ]

هیپولیت فیزو (1819-1896)، فیزیکدان فرانسوی، در سال 1851 اولین کسی بود که سرعت نور در آب جاری را اندازه گیری کرد.

مقاله اصلی: آزمایش فیزو

هنگامی که نور در یک محیط منتشر می شود، سرعت آن در قاب بقیه محیط به c m = ⁠ کاهش می یابد.c/n m⁠ ، که در آن n m ضریب شکست محیط m است. سرعت نور در محیطی که به طور یکنواخت با سرعت V در جهت x مثبت در حال حرکت است ، همانطور که در قاب آزمایشگاهی اندازه‌گیری می‌شود، مستقیماً با فرمول‌های جمع سرعت داده می‌شود. برای جهت رو به جلو (پیکربندی استاندارد، شاخص m را روی n رها کنید ) یک می شود، [ 13 ]

{\displaystyle {\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}} ={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\ frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right )\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{تراز شده}}}

جمع آوری بزرگترین مشارکت ها به طور صریح،{\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}} +\cdots \راست).}فیزو سه عبارت اول را پیدا کرد. [ 14 ] [ 15 ] نتیجه کلاسیک دو عبارت اول است.

انحراف نور

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: انحراف نور

یکی دیگر از کاربردهای اساسی، در نظر گرفتن انحراف نور، یعنی تغییر جهت آن، هنگام تبدیل به یک قاب مرجع جدید با محورهای موازی است که انحراف نور نامیده می شود . در این مورد،

v = v = c ، و درج در فرمول tan θ به دست می‌آید

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \ theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+ {\frac {V}{c}}}}.}

برای این مورد نیز می‌توان sin θ و cos θ را از فرمول استاندارد محاسبه کرد، [ 16 ]

{\displaystyle \sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}

نشان می دهد

مثلثات

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}، }

جیمز برادلی (1693-1762) FRS ، توضیحی در مورد انحراف نور درست در سطح کلاسیک ارائه کرد، [ 17 ] در تضاد با نظریه های متأخری که در قرن نوزدهم بر اساس وجود اتر غالب شدند .

دستکاری های مثلثاتی اساساً در مورد cos با دستکاری ها در مورد sin یکسان هستند . تفاوت را در نظر بگیرید،

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c ^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta',\ پایان{تراز شده}}}درست برای سفارشv/ج. ​برای ایجاد تقریب زاویه های کوچک از فرمول مثلثاتی استفاده کنید

{\displaystyle \sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta',}

که

( θ + θ ′) ≈ cos θ ′

، sin⁠1/2⁠ ( θ - θ ′) ≈ ⁠1/2⁠ ( θ - θ ′)

استفاده شد.

بنابراین مقدار،{\displaystyle \Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',}زاویه انحراف کلاسیک ، در حد ⁠ به دست می آیدV/c← 0 .

تغییر داپلر نسبیتی

[ ویرایش ]

کریستین داپلر (1803-1853) یک ریاضیدان و فیزیکدان اتریشی بود که کشف کرد که فرکانس مشاهده شده یک موج به سرعت نسبی منبع و ناظر بستگی دارد.

مقاله اصلی: اثر داپلر نسبیتی

در اینجا مولفه‌های سرعت بر خلاف سرعت برای عمومیت بیشتر و به منظور اجتناب از معرفی ظاهراً موقت علائم منهای استفاده می‌شوند. هنگامی که سرعت های کمتر از سرعت نور در نظر گرفته می شود، علائم منهای که در اینجا رخ می دهند، در عوض برای روشن کردن ویژگی ها عمل می کنند.

برای امواج نور در خلاء، اتساع زمان همراه با یک مشاهده هندسی ساده به تنهایی برای محاسبه تغییر داپلر در پیکربندی استاندارد (سرعت نسبی خطی ساطع کننده و ناظر و همچنین موج نور مشاهده شده) کافی است.

همه سرعت‌ها در موارد زیر موازی با جهت x مثبت مشترک هستند ، بنابراین زیرنویس‌های مؤلفه‌های سرعت حذف می‌شوند. در کادر ناظران، مشاهده هندسی را معرفی کنید{\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V)T}به عنوان فاصله فضایی، یا طول موج ، بین دو پالس (قله موج)، که در آن T زمان سپری شده بین انتشار دو پالس است. زمان سپری شده بین عبور دو پالس در یک نقطه از فضا ، دوره زمانی τ و معکوس آن ν = ⁠ است .1/τفرکانس مشاهده شده (زمانی) است . مقادیر متناظر در قاب امیترها دارای اعداد اول هستند. [ 18 ]

برای امواج نور،{\displaystyle s=s'=-c,}و فرکانس مشاهده شده [ 2 ] [ 19 ] [ 20 ] است.{\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (Vs)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta {1+\beta }}}\,.}

که در آن

T = γ V T '

فرمول اتساع زمانی استاندارد است .

در عوض فرض کنید که موج از امواج نوری با سرعت c تشکیل نشده است ، بلکه برای تجسم آسان، گلوله هایی از یک مسلسل نسبیتی با سرعت s در قاب امیتر شلیک می شود . سپس، به طور کلی، مشاهده هندسی دقیقاً یکسان است . اما اکنون s '≠ s و s با جمع سرعت داده می شود..{\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.}

محاسبه پس از آن اساساً یکسان است، با این تفاوت که در اینجا راحت‌تر است وارونه با τ = ⁠ انجام شود.1/νبه جای ν . یکی پیدا می کند

{\displaystyle \tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\گاما _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\راست)}

نشان می دهد

جزئیات در اشتقاق

توجه کنید که در حالت معمولی، s " که وارد می شود منفی است . هر چند فرمول اعتبار کلی دارد. [ nb 2 ] وقتی s ′ = − c ، فرمول به فرمولی که مستقیماً برای امواج نور بالا محاسبه می شود کاهش می یابد.

{\displaystyle \nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\ sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}

اگر امیتر در فضای خالی گلوله شلیک نمی کند، اما امواجی را در یک محیط ساطع می کند، پس فرمول همچنان اعمال می شود ، اما اکنون، ممکن است لازم باشد ابتدا s را از سرعت امیتر نسبت به محیط محاسبه کنیم.

با بازگشت به حالت ساطع کننده نور، در صورتی که مشاهده گر و تابشگر به صورت هم خط نباشند، نتیجه تغییرات کمی دارد، [ 2 ] [ 21 ] [ 22 ]

{\displaystyle \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),}

جایی که θ زاویه بین ساطع کننده نور و ناظر است. این به نتیجه قبلی برای حرکت خطی در زمانی که θ = 0 است کاهش می یابد ، اما برای حرکت عرضی مربوط به θ = π /2 ، فرکانس توسط عامل لورنتس جابه جا می شود . در اثر داپلر نوری کلاسیک این اتفاق نمی افتد.

هندسه هذلولی

[ ویرایش ]

توابع sinh , cosh و tanh . تابع tanh سرعت -∞ < ς < +∞ را به سرعت نسبیتی -1 < β < +1 مرتبط می کند .

مرتبط با سرعت نسبیتی{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}یک شی یک کمیت است {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}که هنجار آن را سرعت می نامند . اینها از طریق مرتبط هستند

{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3 }\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B } ^{3}،}جایی که بردارز{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}به عنوان مختصات دکارتی در یک زیرفضای سه بعدی از جبر دروغ تصور می شود. {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3،1)}از گروه لورنتس که توسط ژنراتورهای تقویت کننده پوشش داده شده است

{\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}. این فضا، که آن را فضای سرعت می نامند ، به عنوان یک فضای برداری به ℝ 3 هم شکل است و به توپ واحد باز نگاشت می شود.

{\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}, فضای سرعت , از طریق رابطه بالا. [ 23 ] قانون جمع در شکل خطی با قانون جمع مماس های هذلولی منطبق است.{\displaystyle \tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _ {v}\tanh \zeta _{u'}}}با{\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\ quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).}

عنصر خط در فضای سرعت {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}از بیان سرعت نسبی نسبی در هر قاب به دست می آید، [ 24 ]{\displaystyle v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}،}جایی که سرعت نور روی واحد تنظیم شده است به طوری که{\displaystyle v_{i}}و{\displaystyle \beta _{i}}موافق این عبارت است،{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}و{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}سرعت دو جسم در هر قاب معین است. مقدار{\displaystyle v_{r}}سرعت یک یا آن شی نسبت به جسم دیگر همانطور که در قاب داده شده مشاهده می شود است . عبارت Lorentz invariant است، یعنی مستقل از اینکه فریم داده شده کدام فریم است، اما کمیتی که محاسبه می کند نیست . به عنوان مثال، اگر فریم داده شده قاب باقیمانده شی یک باشد، پس{\displaystyle v_{r}=v_{2}}.

عنصر خط با قرار دادن پیدا می شود{\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v} }یا معادل آن

{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}}، [ 25 ]{\displaystyle dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2 })^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\ varphi ^{2})،}با θ و φ مختصات زاویه کروی معمول برای

{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}در جهت z گرفته شده است . اکنون ζ را از طریق معرفی کنید،{\displaystyle \zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,}و عنصر خط در فضای سرعت {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}تبدیل می شود.{\displaystyle dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}

برخورد ذرات نسبیتی

[ ویرایش ]

در آزمایش های پراکندگی هدف اصلی اندازه گیری مقطع پراکندگی ثابت است . این فرمول پراکندگی دو نوع ذره را به حالت نهایی وارد می کند{\displaystyle f}فرض می شود که دو یا چند ذره دارد، [ 26 ]{\displaystyle dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt}یا در اکثر کتاب های درسی،{\displaystyle dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt}که

  • {\displaystyle dVdt}حجم فضازمان است. این یک تغییر ناپذیر تحت تحولات لورنتس است.
  • {\displaystyle dN_{f}}تعداد کل واکنش هایی است که منجر به حالت نهایی می شودf{\displaystyle f}در حجم فضازمان {\displaystyle dVdt}. به عنوان یک عدد، زمانی که حجم فضازمان یکسانی در نظر گرفته شود ، تغییرناپذیر است .
  • {\displaystyle R_{f}=F\sigma }تعداد واکنش هایی است که منجر به حالت نهایی می شودf{\displaystyle f}در واحد فضازمان یا سرعت واکنش این ثابت است.
  • {\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}شار حادثه نامیده می شود . این لازم است که ثابت باشد، اما در عمومی ترین تنظیمات نیست.
  • {\displaystyle \sigma }مقطع پراکندگی است. لازم است که ثابت باشد.
  • {\displaystyle n_{1},n_{2}}چگالی ذرات در پرتوهای فرودی است. اینها به دلیل انقباض طول ، ثابت نیستند .
  • {\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}سرعت نسبی دو پرتو فرودی است . از آنجایی که این نمی تواند ثابت باشد{\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}لازم است چنین باشد.

هدف یافتن یک بیان صحیح برای سرعت نسبی نسبی است vرابطه{\displaystyle v_{\text{rel}}}و یک عبارت ثابت برای شار حادثه.

از نظر غیر نسبیتی، یک سرعت نسبی دارد|{\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}. اگر سیستمی که در آن سرعت ها اندازه گیری می شود قاب استراحت از نوع ذره باشد1{\displaystyle 1}، لازم است کهvرابطه.{\displaystyle v_{\text{rel}}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.}تنظیم سرعت نور{\displaystyle c=1}، عبارت برایvرابطه{\displaystyle v_{\text{rel}}}بلافاصله از فرمول هنجار (فرمول دوم) در پیکربندی کلی به عنوان [ 27 ] [ 28 ] پیروی می کند.vرابطه{\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1 }} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.}

فرمول در حد کلاسیک به کاهش می یابد{\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|}همانطور که باید، و نتیجه صحیح را در قاب های باقیمانده ذرات می دهد. سرعت نسبی در بیشتر، شاید همه کتاب‌های فیزیک ذرات و نظریه میدان کوانتومی به اشتباه آورده شده است. [ 27 ] این عمدتاً بی ضرر است، زیرا اگر یکی از انواع ذرات ساکن باشد یا حرکت نسبی آن خطی باشد، نتیجه درست از فرمول های نادرست به دست می آید. فرمول ثابت است، اما آشکارا چنین نیست. می توان آن را در قالب چهار سرعت بازنویسی کردvرابطه{\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2} }}.}

بیان صحیح برای شار، که توسط کریستین مولر [ 29 ] در سال 1945 منتشر شد، توسط [ 30 ] ارائه شده است.{\displaystyle F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _ {1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.}

یکی اشاره می کند که برای سرعت های خطی{\displaystyle F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}}. برای به دست آوردن یک عبارت ثابت لورنتس می نویسد

{\displaystyle J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})}با{\displaystyle n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}}، که{\displaystyle n_{i}^{0}}چگالی در قاب استراحت است، برای ذرات منفرد شار می شود و به [ 31 ] می رسد..{\displaystyle F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.}

در ادبیات کمیت{\displaystyle {\bar {v}}}و همچنین{\displaystyle v_{r}}هر دو به عنوان سرعت نسبی نامیده می شوند. در برخی موارد (فیزیک آماری و ادبیات ماده تاریک)،{\displaystyle {\bar {v}}}به عنوان سرعت مولر نامیده می شود ، در این صورتvr{\displaystyle v_{r}}به معنی سرعت نسبی سرعت نسبی واقعی در هر حال است{\displaystyle v_{\text{rel}}}. [ 31 ] اختلاف بینvرابطه{\displaystyle v_{\text{rel}}}و

{\displaystyle v_{r}}مرتبط است اگرچه در بیشتر موارد سرعت ها خطی هستند. در LHC زاویه عبور کوچک است، در اطراف300 میکروراد ، اما در حلقه قدیمی متقاطع ذخیره سازی در سرن ، حدود 18 درجه بود. [ 32 ]

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

اظهارات

[ ویرایش ]

  1. ^ این فرمول ها از معکوس کردن α v برای v 2 و اعمال اختلاف دو مربع برای بدست آوردن نتیجه

    v 2 = c 2 (1 - α v 2 ) = c 2 (1 - α v )(1 + α v )

    به طوری که

    ‌(1- α v )/v 2=​​1/c 2 (1 + α v )=​​γ v/c 2 (1 + γ v ).​

  2. ^ توجه داشته باشید که s به معنایی منفی است که مشکل برای آن تنظیم شده است، یعنی ساطع کننده با سرعت مثبت گلوله های سریعی را به سمت ناظر در سیستم پرایم نشده شلیک می کند. قرارداد این است که - s > V باید فرکانس مثبت مطابق با نتیجه برای سرعت نهایی، s = - c بدهد ایجاد کند . از این رو علامت منهای یک قرارداد است، اما یک قرارداد بسیار طبیعی، تا حدی که متعارف است.این فرمول همچنین ممکن است منجر به فرکانس های منفی شود. پس تفسیر این است که گلوله ها از x منفی نزدیک می شوند نزدیک می شوند . این ممکن است دو علت داشته باشد. ساطع کننده می تواند سرعت مثبت زیادی داشته باشد و گلوله های آهسته شلیک کند. همچنین ممکن است این مورد باشد که ساطع کننده سرعت منفی کمی داشته باشد و گلوله های سریع شلیک کند. اما اگر امیتر سرعت منفی زیادی داشته باشد و گلوله های آهسته شلیک کند، فرکانس دوباره مثبت است.برای اینکه برخی از این ترکیبات منطقی باشد، باید لازم باشد که امیتر برای مدت کافی گلوله شلیک کرده باشد، در حدی که محور x در هر لحظه گلوله‌هایی را در همه جا به یک اندازه فاصله داشته باشد.

https://en.wikipedia.org/wiki/Velocity-addition_formula

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:47 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

4-فرمول جمع سرعتها در فیزیک نسبیتی

فاکتورهای گاما برای سرعت های ترکیبی به صورت محاسبه می شوند{\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\ frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{ \frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _ {u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}

اثبات تفصیلی

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u } '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ' )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{ 2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2 }}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u' ^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u } '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2 }(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ' )^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac { 1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2} (1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2 }}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac { u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac { 1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\ &=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^ {2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^ {2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u } '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1 -{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)} {\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\& =\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\راست)\end {تراز شده}}}

فرمول معکوس با استفاده از روش استاندارد مبادله v با - v و u با u پیدا شده است .

قراردادهای نمادین

[ ویرایش ]

نمادها و قراردادهای جمع سرعت از نویسنده ای به نویسنده دیگر متفاوت است. ممکن است از نمادهای متفاوتی برای عملیات یا سرعت های درگیر استفاده شود، و عملوندها ممکن است برای همان عبارت تغییر کنند، یا نمادها ممکن است برای همان سرعت تغییر کنند. همچنین ممکن است یک نماد کاملا مجزا برای سرعت تبدیل شده به جای علامت اول استفاده شود. از آنجایی که جمع سرعت غیر تعویضی است، نمی توان عملوندها یا نمادها را بدون تغییر نتیجه تغییر داد.

نمونه هایی از نمادهای جایگزین عبارتند از:

عملوند خاصی وجود ندارد

Landau & Lifshitz (2002) (با استفاده از واحدهایی که در آن {\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2 }}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}

ترتیب عملوندها از چپ به راست

موکانو (1992){\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}} }}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}
اونگار (1988){\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}} }\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}

ترتیب عملوندها از راست به چپ

Urbantke (2001)w∘v=1{\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} {c^{2}}} }}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:37 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

3-فرمول سرعت-افزودن در فیزیک نسبیتی

پیکربندی کلی

[ ویرایش ]

تجزیه u 3 سرعته به مولفه های موازی و عمود بر و محاسبه مولفه ها. روال برای u یکسان است.

با شروع از بیان مختصات برای v موازی با محور x ، عبارات برای مؤلفه‌های عمود بر و موازی را می‌توان به صورت برداری به صورت زیر ریخت، ترفندی که برای تبدیل‌های لورنتس سایر کمیت‌های فیزیکی سه بعدی در اصل در پیکربندی استاندارد نیز کار می‌کند. . بردار سرعت u را در قاب پرایم نشده و u ′ را در قاب اولیه وارد کنید و آنها را به اجزای موازی (∥) و عمود (⊥) بر بردار سرعت نسبی v تقسیم کنید (به کادر پنهان کردن زیر مراجعه کنید{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },}سپس با بردارهای پایه استاندارد دکارتی e x , e y , e z سرعت را در قاب پرایم نشده تنظیم کنید

{\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x}،}

که با استفاده از نتایج برای پیکربندی استاندارد،

{\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\موازی }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1 +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.}

· ضرب نقطه ای است . از آنجایی که اینها معادلات برداری هستند، هنوز هم شکل یکسانی برای v در هر جهتی دارند . تنها تفاوت با عبارات مختصات این است که عبارات فوق به بردارها اشاره دارد نه مؤلفه ها.

یکی بدست می آورد

{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \ cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v } \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}

که α v = 1/ γ v متقابل ضریب لورنتس است . ترتیب عملوندها در تعریف به گونه ای انتخاب می شود که با پیکربندی استانداردی که فرمول از آن مشتق شده است منطبق باشد.

نشان می دهد

جبر

نشان می دهد

تجزیه به اجزای موازی و عمود بر حسب V

استفاده از هویت در{\displaystyle \alpha _{v}}و{\displaystyle \gamma _{v}}, [ 11 ] [ nb 1 ]

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} ' \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{ v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{تراز شده}}}z{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \ cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}( \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\راست]\پایان{تراز شده}}}

که در آن آخرین عبارت با فرمول تحلیل برداری استاندارد v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v − ( v ⋅ v ) u است . عبارت اول به هر تعداد از ابعاد فضایی گسترش می یابد، اما محصول متقاطع فقط در سه بعد تعریف می شود. اشیاء A ، B ، C با B دارای سرعت v نسبت به A و C دارای سرعت u نسبت به A می‌توانند هر چیزی باشند. به طور خاص، آنها می توانند سه قاب باشند، یا می توانند آزمایشگاه، یک ذره در حال پوسیدگی و یکی از محصولات فروپاشی ذره در حال پوسیدگی باشند.

خواص

[ ویرایش ]

جمع نسبیتی 3 سرعت غیر خطی است ، بنابراین به طور کلی{\displaystyle (\lambda \mathbf {v})\oplus (\lambda \mathbf {u})\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u})،}برای عدد واقعی λ ، اگرچه این درست است)،{\displaystyle (-\mathbf {v})\oplus (-\mathbf {u})=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u})،}

همچنین، به دلیل آخرین اصطلاحات، به طور کلی نه جابجایی است{\displaystyle \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v}،}نه انجمنی{\displaystyle \mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .}

شایان ذکر است که اگر u و v به سرعت‌های قاب‌های موازی دوتایی اشاره داشته باشند (موازی اولیه با پرایم نشده و موازی با پرایم شده دوبل)، آن‌وقت، طبق اصل سرعت متقابل انیشتین، قاب بدون پرایم با سرعت -u نسبت به قاب پرایم شده، و قاب پرایم شده با سرعت −v' نسبت به قاب پرایم شده دوبل حرکت می کند . از این رو (- v′ ⊕ − u ) سرعت قاب پرایم نشده نسبت به قاب دوبار پرایم شده است، و می توان انتظار داشت که با استفاده ساده از اصل متقابل،

u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) داشته باشیم. . این درست نیست، اگرچه بزرگی ها برابر هستند. فریم های بدون پرایم و دو پرایم شده موازی نیستند ، بلکه از طریق یک چرخش به هم مرتبط هستند. این مربوط به پدیده تقدیم توماس است و در اینجا بیشتر به آن پرداخته نمی شود.

هنجارها توسط [ 12 ] ارائه شده است.

{\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]= |\mathbf {u} '\plus \mathbf {v} |^{2}.}و

{\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \ راست)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}

اثبات

{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\ mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v } \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ' )^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{ 2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} + \mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u } '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v})(\mathbf {u} ' \cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\راست)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-( \mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[ (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[ (\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{ 2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\گاما _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \ mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{تراز شده }}}

فرمول معکوس با استفاده از روش استاندارد مبادله v با - v و u با u پیدا شده است .

واضح است که عدم جابجایی خود را به عنوان یک چرخش اضافی از قاب مختصات در زمانی که دو بوست درگیر می شود نشان می دهد، زیرا هنجار مربع برای هر دو مرتبه افزایش یکسان است.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:35 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

2-فرمول جمع سرعتها در فیزیک نسبیتی


جزئیات برای شما

اثبات همانطور که ارائه شد بسیار رسمی است. شواهد درگیر دیگری نیز وجود دارد که ممکن است روشنگرتر باشند، مانند مورد زیر.

اثبات با استفاده از 4 بردار و ماتریس تبدیل لورنتس

از آنجایی که یک تبدیل نسبیتی، فضا و زمان را به همدیگر می‌چرخاند، همانطور که چرخش‌های هندسی در صفحه محورهای x و y را می‌چرخانند ، استفاده از واحدهای یکسان برای فضا و زمان راحت است، در غیر این صورت یک ضریب تبدیل واحد در سراسر فرمول‌های نسبیتی ظاهر می‌شود. سرعت نور بودن . در سیستمی که طول و زمان با یک واحد اندازه گیری می شود، سرعت نور بدون بعد و برابر با 1 است . سپس یک سرعت به عنوان کسری از سرعت نور بیان می شود.

برای یافتن قانون تبدیل نسبیتی، معرفی چهار سرعت V = ( V 0 , V 1 , 0, 0) مفید است که حرکت کشتی از ساحل اندازه گیری شده از ساحل و U است. ′ = ( U′ 0 , U′ 1 , U′ 2 , U′ 3 ) که حرکت پرواز دور از کشتی است که از کشتی اندازه گیری می شود. چهار سرعت به عنوان یک چهار بردار با طول نسبیتی برابر با 1 ، جهت آینده و مماس بر خط جهانی جسم در فضازمان تعریف می شود. در اینجا، V 0 با مولفه زمان و V 1 به مولفه x سرعت کشتی مطابقت دارد که از ساحل دیده می شود. راحت است که محور x را جهت حرکت کشتی از ساحل در نظر بگیریم، و محور y را طوری در نظر بگیریم که صفحه x – y صفحه ای باشد که توسط حرکت کشتی و پرواز در بر گرفته شده است. این منجر به صفر بودن چندین مؤلفه سرعت می شود:

V 2 = V 3 = U' 3 = 0

سرعت معمولی نسبت سرعت افزایش مختصات فضا به سرعت افزایش مختصات زمانی است:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0)،\ \\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_ {2}/U'_{0},0)\end{تراز شده}}}

از آنجایی که طول نسبیتی V برابر 1 است

{\displaystyle V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,}بنابراین

{\displaystyle V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_ {1}^{2}}}=v_{1}\gamma .}

ماتریس تبدیل لورنتس که سرعت های اندازه گیری شده در قاب کشتی را به قاب ساحلی تبدیل می کند، معکوس تبدیل توضیح داده شده در صفحه تبدیل لورنتس است ، بنابراین علائم منفی که در آنجا ظاهر می شوند باید در اینجا معکوس شوند:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}

این ماتریس بردار محور زمان خالص

(1، 0، 0، 0) را به ( V 0 ، V 1 ، 0، 0) می چرخاند ، و تمام ستون های آن از نظر نسبیتی متعامد با یکدیگر هستند، بنابراین تبدیل لورنتس را تعریف می کند.

اگر مگسی با چهار سرعت U' در چارچوب کشتی حرکت کند و با ضرب در ماتریس بالا تقویت شود، چهار سرعت جدید در قاب ساحل

{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{ 0}+V_{0}U'_{1}،\\U_{2}&=U'_{2}،\\U_{3}&=U'_{3}.\end{تراز شده}} }

تقسیم بر مولفه زمانی U 0 و جایگزینی اجزای چهار بردار U' و V بر حسب مؤلفه های سه بردار u' و v قانون ترکیب نسبیتی را به دست می دهد.

{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}}،\\u_{2}& ={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}،\\u_{3}&=0\end{تراز شده}}}

شکل قانون ترکیب نسبیتی را می توان به عنوان اثری از شکست همزمانی در فاصله درک کرد. برای جزء موازی، اتساع زمانی سرعت را کاهش می دهد، انقباض طول آن را افزایش می دهد و این دو اثر خنثی می شوند. شکست همزمانی به این معنی است که مگس در حال تغییر برش های همزمانی به عنوان برآمدگی u' روی v است . از آنجایی که این اثر کاملاً به دلیل برش زمان است، همان عامل مؤلفه عمود را ضرب می کند، اما برای مؤلفه عمود بر انقباض طولی وجود ندارد، بنابراین اتساع زمانی در ضریب ⁠ ضرب می شود.1/V 0⁠ = √ (1 - v 1 2 ) .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:31 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

1-فرمول جمع سرعتها در فیزیک نسبیتی

فرمول سرعت-افزودن

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

نظریه نسبیت خاص، که در سال 1905 توسط آلبرت انیشتین فرموله شد ، بیانگر این است که جمع سرعت ها مطابق با جمع بردار ساده عمل نمی کند .

در فیزیک نسبیتی ، فرمول افزایش سرعت معادله ای است که نحوه ترکیب سرعت اجسام را به گونه ای که با این شرط که سرعت هیچ جسمی از سرعت نور تجاوز نمی کند مطابقت دارد، مشخص می کند . چنین فرمول هایی برای تبدیل های پی در پی لورنتس اعمال می شود ، بنابراین آنها همچنین فریم های مختلف را به هم مرتبط می کنند. افزودن سرعت همراه، یک اثر سینماتیکی است که به عنوان تقابل توماس شناخته می‌شود ، که به موجب آن، بوست‌های لورنتس غیر خطی متوالی معادل ترکیب چرخش سیستم مختصات و تقویت می‌شوند.

کاربردهای استاندارد فرمول‌های افزایش سرعت شامل تغییر داپلر ، ناوبری داپلر ، انحراف نور ، و کشیدن نور در آب متحرک است که در آزمایش فیزو در سال 1851 مشاهده شد . [ 1 ]

نشان‌گذاری u را به‌عنوان سرعت جسمی در کادر لورنتس S و v را به‌عنوان سرعت فریم دوم S » که در S اندازه‌گیری می‌شود و u » را به‌عنوان سرعت تبدیل شده جسم در کادر دوم به کار می‌گیرد.

تاریخچه

[ ویرایش ]

سرعت نور در یک سیال کمتر از سرعت نور در خلاء است و اگر سیال همراه با نور حرکت کند، تغییر می کند. در سال 1851، فیزو سرعت نور را در سیالی که به موازات نور حرکت می کرد با استفاده از تداخل سنج اندازه گیری کرد . نتایج فیزو با نظریه های رایج آن زمان مطابقت نداشت. فیزو به طور تجربی به درستی جمله صفر یک بسط قانون جمع صحیح نسبیتی را بر حسب ⁠ تعیین کرد.V/جهمانطور که در زیر توضیح داده شده است. نتیجه فیزو باعث شد فیزیکدانان اعتبار تجربی نظریه نسبتاً رضایت بخش فرنل را بپذیرند که سیالی که نسبت به اتر ساکن حرکت می کند تا حدی نور را با خود می کشد، یعنی سرعت آن ⁠ استc/n⁠ + (1 - ⁠1/n 2) V

به جای​c/n⁠ + V ، که در آن c سرعت نور در اتر، n ضریب شکست سیال، و V سرعت سیال نسبت به اتر است.

انحراف نور ، که ساده ترین توضیح آن فرمول جمع سرعت نسبیتی است، همراه با نتیجه فیزو، باعث ایجاد نظریه هایی مانند نظریه اتر لورنتس در مورد الکترومغناطیس در سال 1892 شد. در سال 1905 آلبرت انیشتین ، با ظهور نسبیت خاص ، فرمول پیکربندی استاندارد ( V در جهت x ) برای اضافه کردن سرعت های نسبیتی. [ 2 ] مسائل مربوط به اتر، به تدریج در طول سالها، به نفع نسبیت خاص حل و فصل شد.

نسبیت گالیله

[ ویرایش ]

توسط گالیله مشاهده شد که شخصی در یک کشتی یکنواخت در حال حرکت است، احساس می کند که در حال استراحت است و بدن سنگینی را می بیند که به صورت عمودی به سمت پایین سقوط می کند. [ 3 ] این مشاهده اکنون به عنوان اولین بیانیه واضح از اصل نسبیت مکانیکی در نظر گرفته می شود. گالیله دید که از دیدگاه شخصی که در ساحل ایستاده است، حرکت سقوط به سمت پایین روی کشتی با حرکت رو به جلوی کشتی ترکیب می شود یا به آن اضافه می شود. [ 4 ] از نظر سرعت می توان گفت که سرعت جسم در حال سقوط نسبت به ساحل برابر است با سرعت آن جسم نسبت به کشتی به اضافه سرعت کشتی نسبت به ساحل.

به طور کلی برای سه جسم A (مثلاً گالیله در ساحل)، B (مثلاً کشتی)، C (مثلاً بدن در حال سقوط در کشتی) بردار سرعتتو{\displaystyle \mathbf {u} }C نسبت به A (سرعت سقوط جسم همانطور که گالیله آن را می بیند) مجموع سرعت است

"{\displaystyle \mathbf {u'} }از C نسبت به B (سرعت سقوط جسم نسبت به کشتی) به اضافه سرعت v از B نسبت به A (سرعت کشتی دور از ساحل). جمع در اینجا جمع برداری جبر برداری است و سرعت حاصل معمولاً به شکل نشان داده می شود.

{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .}

کیهان گالیله از فضا و زمان مطلق تشکیل شده است و افزودن سرعت ها با ترکیب تبدیلات گالیله مطابقت دارد . اصل نسبیت را نسبیت گالیله می نامند . مکانیک نیوتنی از آن پیروی می کند .

نسبیت خاص

[ ویرایش ]

طبق نظریه نسبیت خاص ، چارچوب کشتی دارای نرخ ساعت و اندازه گیری فاصله متفاوت است و مفهوم همزمانی در جهت حرکت تغییر می کند، بنابراین قانون جمع برای سرعت ها تغییر می کند. این تغییر در سرعت های کم قابل توجه نیست، اما با افزایش سرعت به سمت سرعت نور، مهم می شود. قانون جمع را قانون ترکیب برای سرعت ها نیز می نامند . برای حرکات خطی، سرعت جسم،تو"{\displaystyle u'}مثلاً یک گلوله توپ که به صورت افقی به سمت دریا شلیک می شود، همانطور که از کشتی اندازه گیری می شود، با سرعت حرکت می کندv{\displaystyle v}، توسط کسی که در ساحل ایستاده و کل صحنه را از طریق تلسکوپ تماشا می کند اندازه گیری می شود به عنوان [ 5 ].{\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}

فرمول ترکیب می تواند از نظر جبری شکلی معادل داشته باشد، که می توان آن را به راحتی تنها با استفاده از اصل ثبات سرعت نور به دست آورد،

[ 6 ]{\displaystyle {cu \over c+u}=\left({cu' \over c+u'}\right)\left({cv \over c+v}\right).}

کیهان نسبیت خاص از فضازمان مینکوفسکی تشکیل شده است و افزودن سرعت ها با ترکیب تبدیلات لورنتس مطابقت دارد . در نظریه نسبیت خاص، مکانیک نیوتنی به مکانیک نسبیتی تغییر یافته است .

پیکربندی استاندارد

[ ویرایش ]

فرمول های افزایش در پیکربندی استاندارد به طور مستقیم از گرفتن دیفرانسیل تقویت معکوس لورنتس در پیکربندی استاندارد پیروی می کنند. [ 7 ] [ 8 ] اگر قاب اولیه با سرعت حرکت می کندv{\displaystyle v}با فاکتور لورنتس {\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}در جهت x مثبت نسبت به فریم پرایم نشده، آنگاه دیفرانسیل ها هستند

{\displaystyle dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\ چپ (dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).}

سه معادله اول را بر عدد چهارم تقسیم کنید

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{ \frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}( dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{ v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}}،}

یا

{\displaystyle u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c ^{2}}}{\frac {dx'}{dt'})}}،\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'} {dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}}،\ quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac { v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}}،}

که هست

تبدیل سرعت ( مولفه های دکارتی )

{\displaystyle u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}،\quad u_{x }'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}،}{\displaystyle u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2} }{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}،}{\displaystyle u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2} }{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}،}

که در آن عبارات برای سرعت های اولیه با استفاده از دستور استاندارد با جایگزینی v با - v و مبادله مختصات اولیه و غیر آغاز شده به دست آمده است. اگر مختصات به گونه‌ای انتخاب شوند که همه سرعت‌ها در یک صفحه (مشترک) x – y قرار گیرند ، آنگاه سرعت‌ها را می‌توان به صورت بیان کرد.{\displaystyle u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u '\sin \theta',}(نگاه کنید به مختصات قطبی ) و یکی می یابد [ 2 ] [ 9 ]

تبدیل سرعت ( مولفه های قطبی صفحه )

{\displaystyle u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c }}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},}{\displaystyle \tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2 }}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.}

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:29 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

-تست انرژی و تکانه نسبیتی


انرژی جنبشی در نسبیت خاص و مکانیک نیوتنی. انرژی جنبشی نسبیتی با نزدیک شدن به سرعت نور تا بی نهایت افزایش می یابد، بنابراین هیچ جسم عظیمی نمی تواند به این سرعت برسد.

آزمایش انرژی و تکانه نسبیتی با هدف اندازه گیری عبارات نسبیتی برای انرژی ، تکانه و جرم است . بر اساس نسبیت خاص ، خواص ذرات که تقریباً با سرعت نور حرکت می کنند ، به طور قابل توجهی از پیش بینی های مکانیک نیوتنی انحراف دارد . به عنوان مثال، سرعت نور توسط ذرات عظیم قابل دستیابی نیست .

امروزه، آن عبارات نسبیتی برای ذرات نزدیک به سرعت نور به طور معمول در آزمایشگاه‌های کارشناسی تأیید می‌شوند و در طراحی و ارزیابی نظری آزمایش‌های برخورد در شتاب‌دهنده‌های ذرات ضروری هستند . [ 1 ] [ 2 ] همچنین برای بررسی کلی به آزمون های نسبیت خاص مراجعه کنید.

نمای کلی

[ ویرایش ]

مشابه انرژی جنبشی، حرکت نسبیتی با نزدیک شدن به سرعت نور تا بی نهایت افزایش می یابد.

در مکانیک کلاسیک ، انرژی جنبشی و تکانه به صورت بیان می شود

{\displaystyle E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv^{2},\quad p=mv.\,}

از سوی دیگر، نسبیت خاص پیش بینی می کند که سرعت نور در تمام چارچوب های اینرسی مراجع ثابت است . رابطه نسبیتی انرژی – تکانه می گوید:

{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\,}،

که از آن روابط برای انرژی استراحت است{\displaystyle E_{0}}انرژی نسبیتی (استراحت + جنبشی){\displaystyle E}، انرژی جنبشی{\displaystyle E_{k}}، و حرکت {\displaystyle p}ذرات عظیم به شرح زیر است :

{\displaystyle E_{0}=mc^{2},\quad E=\gamma mc^{2},\quad E_{k}=(\gamma -1)mc^{2},\quad p=\ گاما mv}،

که

{\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}. بنابراین انرژی و تکانه نسبیتی به طور قابل توجهی با سرعت افزایش می یابد، بنابراین سرعت نور توسط ذرات عظیم قابل دستیابی نیست. در برخی از کتاب های درسی نسبیت، به اصطلاح " توده نسبیتی

{\displaystyle M=\gamma m\,}نیز استفاده می شود. با این حال، این مفهوم توسط بسیاری از نویسندگان مضر تلقی می شود، به جای آن باید از عبارات انرژی و تکانه نسبیتی برای بیان وابستگی سرعت در نسبیت استفاده کرد که همان پیش بینی های تجربی را ارائه می دهد.

آزمایشات اولیه

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: آزمایش‌های کافمن-بوچر-نویمان

اولین آزمایش هایی که قادر به تشخیص چنین روابطی بودند توسط والتر کافمن ، آلفرد بوچرر و دیگران بین سال های 1901 و 1915 انجام شد. این آزمایش ها با هدف اندازه گیری انحراف پرتوهای بتا در یک میدان مغناطیسی به منظور تعیین نسبت جرم به بار الکترون ها انجام شد. . از آنجایی که بار به عنوان مستقل از سرعت شناخته شده بود، هر گونه تغییر باید به تغییرات در تکانه یا جرم الکترون نسبت داده شود (که قبلا به عنوان جرم الکترومغناطیسی عرضی شناخته می شد). مترتی=مترγ،{\displaystyle m_{T}=m\gamma ,}معادل "جرم نسبیتی"م{\displaystyle M}همانطور که در بالا ذکر شد). از آنجایی که جرم نسبیتی دیگر اغلب در کتاب‌های درسی مدرن استفاده نمی‌شود، می‌توان آن آزمون‌ها را از اندازه‌گیری تکانه یا انرژی نسبیتی توصیف کرد، زیرا رابطه زیر اعمال می‌شود:

{\displaystyle {\frac {M}{m}}={\frac {p}{mv}}={\frac {E}{mc^{2}}}=\gamma }

الکترون‌هایی که بین 0.25-0.75c حرکت می‌کنند، افزایش تکانه در توافق با پیش‌بینی‌های نسبیتی را نشان می‌دهند و به عنوان تأیید واضح نسبیت خاص در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، بعداً اشاره شد که اگرچه آزمایش‌ها با نسبیت همخوانی داشتند، اما دقت کافی برای رد مدل‌های رقیب الکترون، مانند مدل ماکس آبراهام ، کافی نبود . [ 3 ] [ 4 ]

با این حال، پیش از این در سال 1915، آرنولد سامرفلد توانست ساختار ظریف طیف‌های هیدروژن مانند را با استفاده از عبارات نسبیتی برای تکانه و انرژی (در چارچوب نظریه بور- سامرفلد ) استخراج کند. متعاقباً، کارل گلیچر به سادگی عبارت نسبیتی را جایگزین عبارت آبراهام کرد، و نشان داد که نظریه آبراهام با داده های تجربی در تضاد است و بنابراین رد می شود، در حالی که نسبیت با داده ها مطابقت دارد. [ 5 ]

اندازه گیری های دقیق

[ ویرایش ]

سه نقطه داده راجرز و همکاران. ، مطابق با نسبیت خاص

در سال 1940 راجرز و همکاران. اولین آزمایش انحراف الکترون را به اندازه کافی دقیق انجام داد تا به طور قطع مدل های رقیب را رد کند. همانطور که در آزمایش بوچرر-نویمان، سرعت و نسبت بار به جرم ذرات بتا با سرعت تا 0.75c اندازه گیری شد. با این حال، آنها پیشرفت های زیادی کردند، از جمله استفاده از شمارنده گایگر . دقت آزمایشی که با آن نسبیت تأیید شد در حدود 1٪ بود. [ 6 ]

آزمایش انحراف الکترونی حتی دقیق‌تری توسط مایر و همکاران انجام شد. (1963). آنها الکترون‌هایی را آزمایش کردند که با سرعت‌هایی از 0.987 تا 0.99c حرکت می‌کردند، که در یک میدان مغناطیسی همگن استاتیکی که p اندازه‌گیری می‌شد، منحرف می‌شدند، و یک میدان الکتریکی استوانه‌ای ساکن که توسط آن اندازه‌گیری می‌شد.{\displaystyle p^{2}/(m\gamma )}اندازه گیری شد. آنها نسبیت را با حد بالایی برای انحرافات ~0.00037 تایید کردند. [ 7 ]

همچنین اندازه گیری نسبت بار به جرم و در نتیجه تکانه پروتون ها انجام شده است. گرو و فاکس (1953) پروتون‌های 385 مگا الکترون ولتی را اندازه‌گیری کردند که در دمای 0.7 درجه سانتی‌گراد حرکت می‌کردند. تعیین فرکانس های زاویه ای و میدان مغناطیسی نسبت بار به جرم را فراهم می کند. این، همراه با اندازه‌گیری مرکز مغناطیسی، امکان تأیید بیان نسبیتی نسبت بار به جرم را با دقت 0.0006 ~ کرد. [ 8 ]

با این حال، Zrelov و همکاران. (1958) از اطلاعات اندک ارائه شده توسط گرو و فاکس انتقاد کرد و بر دشواری چنین اندازه گیری هایی به دلیل حرکت پیچیده پروتون ها تأکید کرد. بنابراین، آنها اندازه گیری گسترده تری انجام دادند که در آن از پروتون های 660 MeV با میانگین سرعت 0.8112c استفاده شد. تکانه پروتون با استفاده از سیم لیتز اندازه گیری شد و سرعت با ارزیابی تابش چرنکوف تعیین شد . آنها نسبیت را با حد بالایی برای انحرافات 0.0041 تائید کردند. [ 9 ]

آزمایش برتوزی

[ ویرایش ]

داده های آزمایش برتوزی تطابق نزدیک با نسبیت خاص را نشان می دهد. انرژی جنبشی پنج الکترونی: 0.5، 1، 1.5، 4.5، 15 MeV (یا 1، 2، 3، 9، 30 در mc²). سرعت: 0.752، 0.828، 0.922، 0.974، 1.0 اینچ c² (یا 0.867، 0.910، 0.960، 0.987، 1 در c).

از دهه 1930، نسبیت در ساخت شتاب‌دهنده‌های ذرات مورد نیاز بود ، و اندازه‌گیری‌های دقیق ذکر شده در بالا به وضوح این نظریه را تأیید می‌کرد. اما این آزمون‌ها عبارات نسبیتی را به روشی غیرمستقیم نشان می‌دهند، زیرا بسیاری از اثرات دیگر باید برای ارزیابی منحنی انحراف، سرعت و تکانه در نظر گرفته شوند. بنابراین آزمایشی به طور خاص با هدف نشان دادن اثرات نسبیتی به روشی بسیار مستقیم توسط ویلیام برتوزی (1962، 1964) انجام شد. [ 10 ] [ 11 ]

او از تاسیسات شتاب دهنده الکترون در MIT استفاده کرد تا بتواند 5 حرکت الکترونی را با الکترون هایی با انرژی جنبشی بین 0.5 تا 15 مگا ولت آغاز کند . این الکترون ها توسط یک ژنراتور Van de Graaff تولید شدند و مسافت 8.4 متر را طی کردند تا اینکه به یک دیسک آلومینیومی برخورد کردند. ابتدا، زمان پرواز الکترون‌ها در هر پنج دوره اندازه‌گیری شد - داده‌های سرعت به‌دست‌آمده در تطابق نزدیک با انتظارات نسبیتی بود. با این حال، در این مرحله انرژی جنبشی تنها به طور غیرمستقیم توسط میدان های شتاب دهنده تعیین شد. بنابراین، گرمای تولید شده توسط برخی از الکترون‌هایی که به دیسک آلومینیومی برخورد می‌کنند با کالری‌سنجی اندازه‌گیری می‌شود تا مستقیماً انرژی جنبشی آنها به دست آید - این نتایج با انرژی مورد انتظار در حاشیه خطای 10٪ مطابقت دارد.

آزمایشات مقطع کارشناسی

[ ویرایش ]

آزمایش های مختلفی انجام شده است که به دلیل سادگی هنوز به عنوان آزمایش در مقطع کارشناسی مورد استفاده قرار می گیرند. جرم، سرعت، تکانه و انرژی الکترون‌ها به روش‌های مختلفی در این آزمایش‌ها اندازه‌گیری شده‌اند که همگی نسبیت را تأیید می‌کنند. [ 12 ] این آزمایش‌ها شامل آزمایش‌های مربوط به ذرات بتا، پراکندگی کامپتون که در آن الکترون‌ها ویژگی‌های بسیار نسبیتی از خود نشان می‌دهند و نابودی پوزیترون است .

ذرات بتا
مارول و همکاران [ 12 ]2011
لوند و همکاران [ 13 ]2009
لوتزلشواب [ 14 ]2003
کاناپه و همکاران [ 15 ]1982
گلر و همکاران [ 16 ]1972
پارکر [ 17 ]1972
بارتلت و همکاران [ 18 ]1965
الکترون های پس زدن کامپتون
جولیوت و همکاران [ 19 ]1994
هافمن [ 20 ]1989
اگلستاف و همکاران [ 21 ]1981
هیگبی [ 22 ]1974
نابودی پوزیترون
درازک و همکاران [ 23 ]2006

شتاب دهنده های ذرات

[ ویرایش ]

در شتاب‌دهنده‌های ذرات مدرن در انرژی‌های بالا، پیش‌بینی‌های نسبیت خاص به طور معمول تأیید می‌شوند و برای طراحی و ارزیابی نظری آزمایش‌های برخورد، به‌ویژه در حد فرانسبیتی ضروری هستند . [ 2 ] به عنوان مثال، اتساع زمان باید در نظر گرفته شود تا دینامیک فروپاشی ذرات درک شود، و قضیه جمع سرعت نسبیتی توزیع تابش سنکروترون را توضیح می دهد . با توجه به روابط نسبیتی انرژی- تکانه، یک سری آزمایشات با دقت بالا و سرعت انرژی-ممنتوم انجام شده است که در آنها انرژی های به کار رفته لزوماً بسیار بیشتر از آزمایش های ذکر شده در بالا بودند. [ 24 ]

سرعت

[ ویرایش ]

اندازه گیری زمان پرواز برای اندازه گیری تفاوت در سرعت الکترون ها و نور در آزمایشگاه ملی شتاب دهنده SLAC انجام شده است . به عنوان مثال، براون و همکاران. (1973) هیچ تفاوتی در زمان پرواز الکترون های 11 گیگا الکترون ولت و نور مرئی پیدا نکرد و حد بالایی از اختلاف سرعت را تعیین کرد.

{\displaystyle \Delta v/c=(-1.3\pm 2.7)\times 10^{-6}}. [ 25 ] آزمایش SLAC دیگری که توسط Guiragossián و همکاران انجام شد. (1974) الکترون ها را تا انرژی های 15 تا 20.5 گیگا الکترون ولت شتاب داد. آنها از یک جداکننده فرکانس رادیویی (RFS) برای اندازه‌گیری تفاوت‌های زمان پرواز و در نتیجه تفاوت سرعت بین آن الکترون‌ها و پرتوهای گامای 15 گیگا ولت در مسیری به طول 1015 متر استفاده کردند. آنها هیچ تفاوتی پیدا نکردند و حد بالایی را افزایش دادند

{\displaystyle \Delta v/c=2\times 10^{-7}}. [ 26 ]

قبلاً، Alväger و همکاران. (1964) در CERN سینکروترون پروتون یک زمان اندازه گیری پرواز را برای آزمایش روابط تکانه نیوتنی برای نور اجرا کرد که در به اصطلاح نظریه انتشار معتبر است . در این آزمایش، پرتوهای گاما در فروپاشی پیون‌های 6-GeV که در دمای 0.99975 درجه سانتیگراد حرکت می‌کنند، تولید شد. اگر حرکت نیوتن

{\displaystyle p=mv}معتبر بودند، آن پرتوهای گاما باید با سرعت های فوق نوری حرکت می کردند. با این حال، آنها هیچ تفاوتی پیدا نکردند و حد بالایی را ارائه کردند{\displaystyle \Delta v/c=10^{-5}}. [ 27 ]

انرژی و کالری سنجی

[ ویرایش ]

نفوذ ذرات به آشکارسازهای ذرات با نابودی الکترون-پوزیترون ، پراکندگی کامپتون، تابش چرنکوف و غیره مرتبط است ، به طوری که یک آبشار از اثرات منجر به تولید ذرات جدید (فوتون، الکترون، نوترینو و غیره) می‌شود. انرژی چنین بارش های ذرات با انرژی جنبشی نسبیتی و انرژی استراحت ذرات اولیه مطابقت دارد. این انرژی را می توان با کالریمترها به روش های الکتریکی، نوری، حرارتی یا صوتی اندازه گیری کرد. [ 28 ]

اندازه‌گیری‌های حرارتی به منظور تخمین انرژی جنبشی نسبیتی قبلاً توسط برتوزی انجام شده است. اندازه‌گیری‌های اضافی در SLAC دنبال شد، که در آن گرمای تولید شده توسط الکترون‌های 20GeV در سال 1982 اندازه‌گیری شد. یک پرتوی از آلومینیوم خنک‌شده با آب به عنوان کالری‌سنج استفاده شد. نتایج با نسبیت خاص مطابقت داشت، حتی اگر دقت آن تنها 30٪ بود. [ 29 ] با این حال، تجربی گرایان به این واقعیت اشاره کردند که آزمایش های کالریمتری با الکترون های 10-GeV قبلاً در سال 1969 انجام شده بود. در آنجا از مس به عنوان تخلیه پرتو استفاده شد و دقت 1٪ به دست آمد. [ 30 ]

در کالری‌سنج‌های مدرن که الکترومغناطیسی یا هادرونیک نامیده می‌شوند ، بسته به برهم‌کنش، انرژی بارش‌های ذرات اغلب با یونیزاسیون ناشی از آنها اندازه‌گیری می‌شود. همچنین برانگیختگی‌ها می‌توانند در سوسوزن‌ها ایجاد شوند (به سوسوزن مراجعه کنید )، که به موجب آن نور ساطع می‌شود و سپس توسط یک شمارنده سوسوزن اندازه‌گیری می‌شود . تشعشعات چرنکوف نیز اندازه گیری می شود. در تمام آن روش ها، انرژی اندازه گیری شده متناسب با انرژی ذره اولیه است. [ 28 ]

نابودی و تولید جفت

[ ویرایش ]

انرژی و تکانه نسبیتی را نیز می توان با مطالعه فرآیندهایی مانند نابودی و تولید جفت اندازه گیری کرد . [ 1 ] برای مثال، انرژی استراحت الکترون ها و پوزیترون ها به ترتیب 0.51 مگا ولت است. هنگامی که یک فوتون با یک هسته اتم برهمکنش می‌کند ، در صورتی که انرژی فوتون با انرژی آستانه مورد نیاز مطابقت داشته باشد، جفت الکترون-پوزیترون می‌تواند تولید شود ، که انرژی سکون الکترون-پوزیترون ترکیبی 1.02 مگا ولت است. با این حال، اگر انرژی فوتون حتی بیشتر باشد، انرژی بیش از حد به انرژی جنبشی ذرات تبدیل می شود. فرآیند معکوس در نابودی الکترون-پوزیترون در انرژی های کم اتفاق می افتد، که در آن فوتون های فرآیندی با انرژی مشابه با جفت الکترون-پوزیترون ایجاد می شوند. اینها نمونه های مستقیم هستند

{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}( معادل جرم-انرژی ).

همچنین مثال های زیادی از تبدیل انرژی جنبشی نسبیتی به انرژی سکون وجود دارد. در سال 1974، آزمایشگاه ملی شتاب دهنده SLAC الکترون ها و پوزیترون ها را تا سرعت نسبیتی شتاب داد، به طوری که انرژی نسبیتی آنها

{\displaystyle \gamma mc^{2}}(یعنی مجموع انرژی استراحت و انرژی جنبشی آنها) به طور قابل توجهی به حدود 1500 مگا ولت افزایش می یابد. هنگامی که این ذرات با هم برخورد می کنند، ذرات دیگری مانند مزون J/ψ انرژی استراحت حدود 3000 مگا ولت تولید می شوند. [ 31 ] انرژی‌های بسیار بالاتری در برخورددهنده بزرگ الکترون-پوزیترون در سال 1989 به کار گرفته شد ، جایی که الکترون‌ها و پوزیترون‌ها هر کدام تا 45 گیگا ولت شتاب گرفتند تا بوزون‌های W و Z از انرژی‌های سکون بین 80 تا 91 گیگا ولت تولید شوند. بعدها، انرژی به طور قابل توجهی به 200 گیگا ولت افزایش یافت تا جفت بوزون W تولید شود. [ 32 ] چنین بوزونی نیز با استفاده از نابودی پروتون - ضد پروتون اندازه گیری شد . انرژی استراحت ترکیبی این ذرات تقریباً 0.938 GeV است. سوپر پروتون سنکروترون آن ذرات را تا سرعت و انرژی نسبیتی تقریباً 270 گیگا ولت شتاب داد، به طوری که مرکز جرم انرژی در برخورد به 540 گیگا ولت می رسد. بدین ترتیب، کوارک‌ها و آنتی‌کوارک‌ها انرژی و حرکت لازم برای نابودی به بوزون‌های W و Z را به دست آوردند . [ 33 ]

بسیاری از آزمایش‌های دیگر که شامل ایجاد مقدار قابل توجهی از ذرات مختلف با سرعت‌های نسبیتی است، در برخورد‌دهنده‌های هادرونی مانند Tevatron (تا 1 TeV)، برخورد دهنده یون سنگین نسبیتی (تا 200 GeV) و اخیراً برخورد دهنده بزرگ هادرون (تا 7 TeV) در مسیر جستجو برای بوزون هیگز .

واکنش های هسته ای

[ ویرایش ]

رابطه{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}را می توان در واکنش های هسته ای آزمایش کرد ، زیرا درصد اختلاف بین جرم واکنش دهنده ها و محصولات به اندازه کافی برای اندازه گیری بزرگ است. تغییر در جرم کل باید برای تغییر در انرژی جنبشی کل باشد. انیشتین چنین آزمایشی را در مقاله پیشنهاد کرد، جایی که او برای اولین بار معادل جرم و انرژی را بیان کرد و از واپاشی رادیواکتیو رادیوم به عنوان یک احتمال یاد کرد . [ 34 ] با این حال، اولین آزمایش در یک واکنش هسته ای، از جذب یک پروتون فرودی توسط لیتیوم -7 استفاده کرد که سپس به دو ذره آلفا می شکند . تغییر در جرم با تغییر در انرژی جنبشی به 0.5٪ مطابقت دارد. [ 35 ] [ 36 ]

یک آزمایش حساس به ویژه در سال 2005 در واپاشی گامای هسته های سولفور و سیلیکون برانگیخته، در هر مورد به حالت غیر برانگیخته ( حالت پایه ) انجام شد . توده های حالت های برانگیخته و پایه با اندازه گیری فرکانس چرخش آنها در یک تله الکترومغناطیسی اندازه گیری شد. انرژی پرتوهای گاما با اندازه گیری طول موج آنها با پراش پرتو گاما، مشابه پراش پرتو ایکس ، و با استفاده از رابطه کاملاً ثابت بین انرژی فوتون و طول موج اندازه‌گیری شد. نتایج پیش‌بینی‌های نسبیت را با دقت 0.0000004 تأیید کرد. [ 37 ] [ 38 ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Tests_of_relativistic_energy_and_momentum

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:22 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

3-جرم در نسبیت خاص

سیستم های بسته (به معنای کاملاً ایزوله).

[ ویرایش ]

همه قوانین بقای در نسبیت خاص (برای انرژی، جرم و تکانه) به سیستم‌های ایزوله نیاز دارند، به این معنی که سیستم‌هایی کاملاً ایزوله هستند و در طول زمان اجازه ورود یا خروج جرم-انرژی ندارند. اگر یک سیستم ایزوله باشد، هم انرژی کل و هم تکانه کل در سیستم در طول زمان برای هر ناظری در هر قاب اینرسی واحد حفظ می‌شود، اگرچه مقادیر مطلق آن‌ها با توجه به ناظران مختلف در قاب‌های اینرسی متفاوت متفاوت خواهد بود. جرم ثابت سیستم نیز حفظ می شود، اما با ناظران مختلف تغییر نمی کند. این وضعیت آشنا با ذرات منفرد نیز است: همه ناظران جرم سکون ذرات یکسانی را محاسبه می کنند (مورد خاصی از جرم ثابت) صرف نظر از اینکه چگونه حرکت می کنند (چه قاب اینرسی را انتخاب می کنند)، اما ناظران مختلف کل انرژی ها و لحظه های متفاوتی را می بینند. همان ذره

حفظ جرم ثابت همچنین مستلزم محصور شدن سیستم است تا هیچ گرما و تشعشع (و در نتیجه جرم ثابت) نتواند فرار کند. همانطور که در مثال بالا، یک سیستم فیزیکی محصور یا محدود نیازی به جداسازی کامل از نیروهای خارجی برای ثابت ماندن جرم آن ندارد، زیرا برای سیستم های مقید اینها صرفاً برای تغییر قاب اینرسی سیستم یا ناظر عمل می کنند. اگرچه چنین اقداماتی ممکن است انرژی کل یا تکانه سیستم محدود را تغییر دهد، این دو تغییر لغو می شوند، به طوری که هیچ تغییری در جرم ثابت سیستم ایجاد نمی شود. این دقیقاً همان نتیجه ذرات منفرد است: جرم سکون محاسبه شده آنها نیز بدون توجه به سرعت حرکت آنها یا مشاهده سرعت حرکت آنها توسط ناظر ثابت می ماند.

از سوی دیگر، برای سیستم‌هایی که محدود نیستند، «بسته شدن» سیستم ممکن است توسط یک سطح ایده‌آل اعمال شود، زیرا در صورت حفظ سیستم، هیچ جرم-انرژی نمی‌تواند در طول زمان به حجم آزمایشی وارد یا خارج شود. جرم ثابت باید در آن زمان نگه داشته شود. اگر نیرویی اجازه داشته باشد که فقط بر روی یک بخش از چنین سیستم غیرمحدودی عمل کند (کار کند)، این معادل اجازه دادن به انرژی به داخل یا خارج از سیستم، و شرط "بستن" به جرم-انرژی (انزوای کامل) است. نقض می شود. در این حالت، بقای جرم ثابت سیستم نیز دیگر برقرار نخواهد بود. چنین از دست دادن جرم سکون در سیستم ها هنگام حذف انرژی، با توجه به E = mc 2 که در آن E انرژی حذف شده، و m تغییر در جرم سکون است، منعکس کننده تغییرات جرم مرتبط با حرکت انرژی است، نه "تبدیل" جرم به انرژی

جرم ثابت سیستم در مقابل توده های استراحت فردی بخش هایی از سیستم

[ ویرایش ]

مجدداً، در نسبیت خاص، نیازی نیست که جرم سکون یک سیستم برابر با مجموع جرم های سکون اجزا باشد (وضعیتی که مشابه بقای جرم ناخالص در شیمی است). به عنوان مثال، یک ذره عظیم می تواند به فوتون هایی تبدیل شود که به طور جداگانه جرم ندارند، اما (به عنوان یک سیستم) جرم ثابت ذره ای را که آنها را تولید کرده اند حفظ می کنند. همچنین جعبه‌ای از ذرات متحرک غیر متقابل (مثلاً فوتون‌ها یا گاز ایده‌آل) دارای جرم ثابت بزرگ‌تری از مجموع جرم‌های باقیمانده ذرات تشکیل دهنده آن خواهد بود. این به این دلیل است که انرژی کل همه ذرات و میدان‌ها در یک سیستم باید جمع شود، و این کمیت، همانطور که در مرکز کادر تکانه مشاهده می‌شود ، و تقسیم بر c 2 ، جرم ثابت سیستم است.

در نسبیت خاص، جرم به انرژی "تبدیل" نمی شود، زیرا همه انواع انرژی هنوز جرم مرتبط خود را حفظ می کنند. نه انرژی و نه جرم ثابت نمی توانند در نسبیت خاص از بین بروند و هر کدام به طور جداگانه در طول زمان در سیستم های بسته حفظ می شوند. بنابراین، جرم ثابت یک سیستم ممکن است تنها به این دلیل تغییر کند که جرم ثابت اجازه خروج دارد، شاید به صورت نور یا گرما. بنابراین، هنگامی که واکنش‌ها (چه شیمیایی و چه هسته‌ای) انرژی را به شکل گرما و نور آزاد می‌کنند، اگر گرما و نور اجازه خروج نداشته باشند (سیستم بسته و ایزوله است)، انرژی به توده استراحت سیستم ادامه می‌دهد. ، و جرم سیستم تغییر نخواهد کرد. تنها در صورت آزاد شدن انرژی به محیط، جرم از بین می رود. این به این دلیل است که جرم مرتبط اجازه داده شده است از سیستم خارج شود، جایی که به جرم محیط اطراف کمک می کند. [ 12 ]

تاریخچه مفهوم توده نسبیتی

[ ویرایش ]

جرم عرضی و طولی

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: جرم الکترومغناطیسی

مفاهیمی که شبیه به آنچه که امروزه "جرم نسبیتی" نامیده می شود، قبل از ظهور نسبیت خاص توسعه یافته بودند. به عنوان مثال، جی جی تامسون در سال 1881 تشخیص داد که حرکت یک جسم باردار سخت تر از یک جسم بدون بار است، که با جزئیات بیشتری توسط الیور هیوساید (1889) و جورج فردریک چارلز سرل (1897) بررسی شد. بنابراین انرژی الکترواستاتیک به عنوان دارای نوعی جرم الکترومغناطیسی رفتار می کند

{\textstyle m_{\text{em}}={\frac {4}{3}}E_{\text{em}}/c^{2}}، که می تواند جرم مکانیکی طبیعی اجسام را افزایش دهد. [ 14 ] [ 15 ]

سپس توسط تامسون و سرل اشاره شد که این جرم الکترومغناطیسی نیز با سرعت افزایش می یابد. این بیشتر توسط هندریک لورنتز (1899، 1904) در چارچوب نظریه اتر لورنتس توضیح داده شد . او جرم را نسبت نیرو به شتاب تعریف کرد، نه نسبت تکانه به سرعت، بنابراین باید بین جرم تمایز قائل شد.

{\displaystyle m_{\text{L}}=\گاما ^{3}m}به موازات جهت حرکت و جرم

{\displaystyle m_{\text{T}}=\گاما m}عمود بر جهت حرکت (جایی که

{\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}ضریب لورنتس ، v سرعت نسبی بین اتر و جسم، و c سرعت نور است. تنها زمانی که نیرو بر سرعت عمود باشد، جرم لورنتس برابر با چیزی است که اکنون "جرم نسبیتی" نامیده می شود. ماکس آبراهام (1902) تماس گرفت{\displaystyle m_{\text{L}}} جرم طولی و{\displaystyle m_{\text{T}}} جرم عرضی (اگرچه ابراهیم از عبارات نسبیتی لورنتز از عبارات پیچیده تری استفاده می کرد). بنابراین، طبق نظریه لورنتز هیچ جسمی نمی تواند به سرعت نور برسد زیرا جرم در این سرعت بی نهایت بزرگ می شود. [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

آلبرت انیشتین نیز در ابتدا از مفاهیم جرم طولی و عرضی در مقاله الکترودینامیک خود در سال 1905 استفاده کرد (معادل با مفاهیم لورنتس، اما با مفهومی متفاوت

.

{\displaystyle m_{\text{T}}}با یک تعریف نیروی ناگوار، که بعداً تصحیح شد)، و در مقاله دیگری در سال 1906. [ 19 ] [ 20 ] با این حال، او بعداً مفاهیم جرم وابسته به سرعت را کنار گذاشت (به نقل قول در پایان بخش بعدی مراجعه کنید ).

عبارت نسبیتی دقیق (که معادل لورنتز است) مربوط به نیرو و شتاب برای ذره ای با جرم سکون غیر صفر است.{\displaystyle m}حرکت در جهت x با سرعت v و ​​عامل لورنتس مرتبط{\displaystyle \gamma }است

{\displaystyle {\begin{aligned}f_{\text{x}}&=m\gamma ^{3}a_{\text{x}}&=m_{\text{L}a_{\text{x }}،\\f_{\text{y}}&=m\gamma a_{\text{y}}&=m_{\text{T}}a_{\text{y}}،\\f_{\ text{z}}&=m\gamma a_{\text{z}}&=m_{\text{T}}a_{\text{z}}.\end{تراز شده}}}

جرم نسبیتی

[ ویرایش ]

در نسبیت خاص، جسمی که جرم سکون غیر صفر دارد، نمی تواند با سرعت نور حرکت کند. با نزدیک شدن جسم به سرعت نور، انرژی و تکانه جسم بدون محدودیت افزایش می یابد.

در سالهای اول پس از 1905، پس از لورنتس و انیشتین، اصطلاحات جرم طولی و عرضی هنوز مورد استفاده قرار می گرفتند. با این حال ، این عبارات با مفهوم جرم نسبیتی جایگزین شدند ، عبارتی که اولین بار توسط گیلبرت ان. لوئیس و ریچارد سی. تولمن در سال 1909 تعریف شد

{\displaystyle m_{\text{rel}}={\frac {E}{c^{2}}}،}و بدن در حال است

{\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}},}با نسبت

{\displaystyle {\frac {m_{\text{rel}}}{m_{0}}}=\gamma .}

تولمن در سال 1912 این مفهوم را بیشتر توضیح داد و اظهار داشت: "عبارت m 0 (1 − v 2 / c 2 ) −1/2 برای جرم یک جسم متحرک بهترین مناسب است. [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]

در سال 1934، تولمن استدلال کرد که فرمول جرم نسبیتی

{\displaystyle m_{\text{rel}}=E/c^{2}}برای همه ذرات، از جمله آنهایی که با سرعت نور حرکت می کنند، صادق است، در حالی که فرمول

{\displaystyle m_{\text{rel}}=\gamma m_{0}}فقط برای یک ذره کندتر از نور (ذره ای با جرم سکون غیر صفر) کاربرد دارد. تولمن در مورد این رابطه خاطرنشان کرد که "علاوه بر این، ما البته تأیید تجربی بیان را در مورد الکترون های متحرک داریم... بنابراین ما هیچ تردیدی در پذیرش این بیان به طور کلی برای جرم یک ذره متحرک نداریم. " [ 25 ]

وقتی سرعت نسبی صفر است،γ{\displaystyle \gamma }به سادگی برابر با 1 است و جرم نسبیتی به جرم سکون کاهش می یابد که در دو معادله بعدی زیر مشاهده می شود. با افزایش سرعت به سمت سرعت نور c ، مخرج سمت راست به صفر نزدیک می شود و در نتیجهγ{\displaystyle \gamma }به بی نهایت نزدیک می شود در حالی که قانون دوم نیوتن در شکل معتبر باقی می ماندf=د(متررابطهv)دتی،{\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}}،}شکل مشتق شدهf=متررابطهالف{\displaystyle \mathbf {f} =m_{\text{rel}}\mathbf {a} }معتبر نیست زیرا

{\displaystyle m_{\text{rel}}}درد

{\displaystyle {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}}به طور کلی ثابت نیست [ 26 ] (به بخش بالا در مورد جرم عرضی و طولی مراجعه کنید).

اگرچه انیشتین در ابتدا از عبارات جرم طولی و عرضی در دو مقاله استفاده کرد (به بخش قبل مراجعه کنید )، در اولین مقاله خود در مورد

{\displaystyle E=mc^{2}}(1905) او با m به عنوان چیزی تلقی کرد که اکنون توده استراحت نامیده می شود . [ 2 ] انیشتین هرگز معادله ای برای «جرم نسبیتی» به دست نیاورد، و در سال های بعد او عدم علاقه خود را از این ایده ابراز کرد: [ 27 ]

معرفی مفهوم جرم خوب نیست

{\textstyle M=m/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}جسم متحرکی که نمی توان برای آن تعریف روشنی ارائه داد. بهتر است مفهوم جرم دیگری به جز «جرم باقیمانده» m معرفی نشود . به جای معرفی M بهتر است به بیان تکانه و انرژی جسم در حال حرکت اشاره شود.

-  آلبرت انیشتین در نامه ای به لینکلن بارنت ، 19 ژوئن 1948 (نقل از LB Okun (1989)، ص 42 [ 5 ] )

کتب علمی و درسی رایج

[ ویرایش ]

مفهوم توده نسبیتی به طور گسترده در نگارش علوم عمومی و در کتاب های درسی دبیرستان و کارشناسی استفاده می شود. نویسندگانی مانند Okun و AB Arons مخالفت کرده اند که این امر باستانی و گیج کننده است و با نظریه نسبیتی مدرن مطابقت ندارد. [ 5 ] [ 28 ] آرونز نوشت: [ 28 ]

برای سال‌های متمادی، ورود به بحث دینامیک از طریق استخراج جرم نسبیتی، که رابطه جرم-سرعت است، مرسوم بود و احتمالاً هنوز هم این حالت غالب در کتاب‌های درسی است. با این حال، اخیراً به طور فزاینده ای به رسمیت شناخته شده است که جرم نسبیتی مفهومی مشکل ساز و مشکوک است. [برای مثال، Okun (1989) را ببینید. [ 5 ] ]... رویکرد صحیح و دقیق به دینامیک نسبیتی از طریق توسعه مستقیم آن عبارت برای تکانه است که حفظ تکانه را در همه فریم ها تضمین می کند:ص=متر0v1-v2ج2{\displaystyle p={m_{0}v \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}به جای توده نسبیتی.

ج. توسکا موضعی مشابه در مورد جرم در نسبیت اتخاذ می کند. او با نوشتن در مورد موضوع مذکور، می‌گوید که "معرفی آن به نظریه نسبیت خاص بسیار در مسیر یک حادثه تاریخی بود"، با اشاره به دانش گسترده E = mc 2 و اینکه چگونه تفسیر عمومی از معادله تا حد زیادی آگاه است. نحوه تدریس آن در آموزش عالی [ 29 ] او در عوض فرض می کند که تفاوت بین استراحت و جرم نسبیتی باید به صراحت آموزش داده شود، به طوری که دانش آموزان بدانند که چرا جرم را باید به عنوان "در بیشتر بحث های اینرسی" ثابت در نظر گرفت.

بسیاری از نویسندگان معاصر مانند تیلور و ویلر به طور کلی از استفاده از مفهوم جرم نسبیتی اجتناب می کنند:

مفهوم «توده نسبیتی» در معرض سوء تفاهم است. به همین دلیل است که از آن استفاده نمی کنیم. اول، نام جرم - متعلق به قدر 4 بردار - را برای مفهومی بسیار متفاوت، مولفه زمانی یک 4 بردار، به کار می برد. دوم اینکه باعث می شود افزایش انرژی یک جسم با سرعت یا تکانه با تغییراتی در ساختار داخلی جسم مرتبط باشد. در واقع، افزایش انرژی با سرعت نه از جسم بلکه از ویژگی‌های هندسی خود فضازمان سرچشمه می‌گیرد. [ 12 ]

در حالی که فضازمان هندسه نامحدود فضای مینکوفسکی را دارد، سرعت-فضا با c محدود می شود و هندسه هندسه هذلولی دارد که در آن جرم نسبیتی نقشی مشابه با جرم نیوتنی در مختصات باری مرکزی هندسه اقلیدسی دارد . [ 30 ] اتصال سرعت به هندسه هذلولی، جرم نسبیتی وابسته به سرعت 3 را قادر می سازد تا با فرمالیسم مینکوفسکی 4 سرعته مرتبط شود. [ 31 ]

همچنین ببینید

https://en.wikipedia.org/wiki/Mass_in_special_relativity

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:19 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

2-جرم در نسبیت خاص

جرم ثابت

[ ویرایش ]

جرم ثابت نسبت چهار تکانه (تعمیم چهار بعدی تکانه کلاسیک ) به چهار سرعت است : [ 11 ]

{\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }}و همچنین نسبت شتاب چهار به چهار نیرو است که جرم سکون ثابت است. شکل چهار بعدی قانون دوم نیوتن به شرح زیر است:

{\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu }.}

معادله نسبیتی انرژی – تکانه

[ ویرایش ]

این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . مطالب بدون منبع ممکن است به چالش کشیده و حذف شوند. یافتن منابع: "انبوه در نسبیت خاص" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( فوریه 2016 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام آشنا شوید )

وابستگی بین جرم سکون و E ، داده شده در مختصات 4 تکانه ( p 0 , p 1 ) که در آن p 0c = E

عبارات نسبیتی برای E و p از رابطه انرژی-تکانه نسبیتی تبعیت می کنند : [ 12 ]

{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}}

که در آن m جرم سکون یا جرم ثابت برای سیستم ها است و E انرژی کل است.

این معادله برای فوتون‌هایی که m = 0 دارند نیز معتبر است :

{\displaystyle E^{2}-(Pc)^{2}=0}و

بنابراین

{\displaystyle E=Pc}

تکانه فوتون تابعی از انرژی آن است، اما با سرعتی که همیشه c است، متناسب نیست .

بنابراین برای جسم در حال سکون، تکانه p صفر است

{\displaystyle E=mc^{2}.}توجه داشته باشید که این فرمول فقط برای ذرات یا سیستم هایی با تکانه صفر صادق است.

جرم سکون فقط با کل انرژی در قاب استراحت جسم متناسب است.

هنگامی که جسم در حال حرکت است، انرژی کل توسط آن داده می شود

{\displaystyle E={\sqrt {\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2}}}}

برای یافتن شکل تکانه و انرژی به عنوان تابعی از سرعت، می توان به این نکته اشاره کرد که سرعت چهار که متناسب است با

{\displaystyle \left(c,{\vec {v}}\right)}، تنها چهار بردار مرتبط با حرکت ذره است، به طوری که اگر چهار تکانه حفظ شده باشد

{\displaystyle \left(E,{\vec {p}}c\right)}، باید متناسب با این بردار باشد. این اجازه می دهد تا نسبت انرژی به تکانه را بیان کنیم

{\displaystyle pc=E{\frac {v}{c}},}در نتیجه یک رابطه بین E و v ایجاد می شود :

{\displaystyle E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+E^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}،}

این منجر به

{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}و

{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

این عبارات را می توان به صورت نوشتاری نوشت

{\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=mc^{2},\\E&=\gamma mc^{2},\\p&=mv\gamma ,\end{aligned}}}جایی که عامل

{\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}

هنگام کار در واحدهایی که c = 1 که به عنوان سیستم واحد طبیعی شناخته می شود ، تمام معادلات نسبیتی ساده می شوند و کمیت های انرژی ، تکانه و جرم دارای بعد طبیعی یکسان هستند: [ 13 ]

{\displaystyle m^{2}=E^{2}-p^{2}.}

معادله اغلب به این صورت نوشته می شود زیرا تفاوت{\displaystyle E^{2}-p^{2}}طول نسبیتی تکانه انرژی چهار بردار است ، طولی که با جرم سکون یا جرم ثابت در سیستم ها مرتبط است. در جایی که m > 0 و p = 0 ، این معادله دوباره معادل جرم-انرژی

E = m را بیان می کند .

توده سیستم های کامپوزیت

[ ویرایش ]

این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . مطالب بدون منبع ممکن است به چالش کشیده و حذف شوند. یافتن منابع: "انبوه در نسبیت خاص" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( فوریه 2016 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام آشنا شوید )

جرم سکون یک سیستم مرکب مجموع جرم های سکون قطعات نیست، مگر اینکه همه اجزا در حالت سکون باشند. جرم کل یک سیستم مرکب شامل انرژی جنبشی و انرژی میدان در سیستم است.

کل انرژی E یک سیستم ترکیبی را می توان با جمع کردن مجموع انرژی اجزای آن تعیین کرد. کل

→{\displaystyle {\vec {p}}}از سیستم، یک کمیت برداری نیز می‌تواند با جمع کردن لحظه‌ای تمام اجزای آن محاسبه شود. با توجه به انرژی کل E و طول (قدر) p بردار تکانه

.

→{\displaystyle {\vec {p}}}، جرم ثابت به صورت زیر داده می شود:

{\displaystyle m={\frac {\sqrt {E^{2}-(Pc)^{2}}}{c^{2}}}}

در سیستم واحدهای طبیعی که در آن c = 1 ، برای سیستم‌های ذرات (چه مقید و چه غیرمحدود)، مجموع جرم ثابت سیستم به طور معادل با موارد زیر داده می‌شود:

{\displaystyle m^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum {\vec {p}}\ \right\|^{2}}

جایی که، دوباره، لحظه لحظه ذره

→{\displaystyle {\vec {p}}}ابتدا به صورت بردار جمع می شوند و سپس از مجذور قدر کل حاصله آنها ( هنجار اقلیدسی ) استفاده می شود. این منجر به یک عدد اسکالر می شود که از مقدار اسکالر مجذور انرژی کل کم می شود.

برای چنین سیستمی، در مرکز ویژه قاب تکانه که مجموع گشتاور صفر است، دوباره جرم سیستم (که جرم ثابت نامیده می شود) با انرژی کل سیستم مطابقت دارد یا در واحدهایی که c = 1 با آن یکسان است. این جرم ثابت برای یک سیستم در هر قاب اینرسی به همان مقدار باقی می‌ماند، اگرچه انرژی کل سیستم و تکانه کل تابعی از قاب اینرسی خاص هستند که انتخاب می‌شود و به گونه‌ای بین قاب‌های اینرسی تغییر می‌کند که جرم ثابت را حفظ کند. برای همه ناظران یکسان است. بنابراین جرم ثابت برای سیستم‌های ذرات به همان ظرفیتی عمل می‌کند که «جرم سکون» برای ذرات منفرد عمل می‌کند.

توجه داشته باشید که جرم ثابت یک سیستم ایزوله (یعنی یک سیستم بسته به جرم و انرژی) نیز مستقل از ناظر یا قاب اینرسی است و یک کمیت ثابت و حفظ شده برای سیستم های جدا شده و ناظران منفرد، حتی در طول واکنش های شیمیایی و هسته ای است. مفهوم جرم ثابت به طور گسترده در فیزیک ذرات استفاده می شود ، زیرا جرم ثابت محصولات فروپاشی یک ذره برابر با جرم سکون آن است . این برای اندازه گیری جرم ذرات مانند بوزون Z یا کوارک بالایی استفاده می شود .

بقا در مقابل تغییر ناپذیری جرم در نسبیت خاص

[ ویرایش ]

این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . مطالب بدون منبع ممکن است به چالش کشیده و حذف شوند. یافتن منابع: "انبوه در نسبیت خاص" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( فوریه 2016 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام آشنا شوید )

انرژی کل یک کمیت حفظ شده افزودنی است (برای مشاهده‌کنندگان منفرد) در سیستم‌ها و در واکنش‌های بین ذرات، اما جرم سکون (به معنای مجموع جرم‌های سکون ذرات) ممکن است از طریق رویدادی که در آن توده‌های سکون ذرات حفظ می‌شوند، حفظ نشود. به انواع دیگر انرژی مانند انرژی جنبشی تبدیل می شود. یافتن مجموع جرم‌های تک تک ذرات به ناظرهای متعدد نیاز دارد، یکی برای هر قاب اینرسی استراحت ذره، و این ناظران انرژی جنبشی ذرات را نادیده می‌گیرند. قوانین حفاظت نیاز به یک ناظر واحد و یک قاب اینرسی واحد دارند.

به طور کلی، برای سیستم های ایزوله و ناظران منفرد، جرم نسبیتی حفظ می شود (هر ناظر آن را در طول زمان ثابت می بیند)، اما ثابت نیست (یعنی ناظران مختلف مقادیر متفاوتی را می بینند). جرم ثابت، با این حال، هم حفظ شده و هم ثابت است (همه ناظران منفرد یک مقدار را می بینند، که در طول زمان تغییر نمی کند).

جرم نسبیتی با انرژی مطابقت دارد، بنابراین بقای انرژی به طور خودکار به این معنی است که جرم نسبیتی برای هر ناظر و قاب اینرسی معین حفظ می شود. با این حال، این کمیت، مانند انرژی کل یک ذره، ثابت نیست. این بدان معنی است که، حتی اگر برای هر ناظری در طول یک واکنش حفظ شود، قدر مطلق آن با قاب ناظر و برای ناظران مختلف در فریم های مختلف تغییر می کند.

در مقابل، جرم سکون و توده‌های ثابت سیستم‌ها و ذرات، هم حفظ شده و هم ثابت هستند. به عنوان مثال: یک ظرف بسته گاز (بسته به انرژی نیز) دارای یک سیستم "جرم استراحت" است به این معنا که می توان آن را بر روی ترازو در حال استراحت وزن کرد، حتی در حالی که حاوی اجزای متحرک است. این جرم همان جرم ثابت است که برابر با کل انرژی نسبیتی ظرف (شامل انرژی جنبشی گاز) تنها زمانی است که در مرکز قاب تکانه اندازه گیری شود . درست مانند ذرات منفرد، «جرم سکون» محاسبه‌شده چنین ظرفی از گاز هنگامی که در حال حرکت است تغییر نمی‌کند، اگرچه «جرم نسبیتی» آن تغییر می‌کند.

حتی ممکن است ظرف تحت نیرویی قرار گیرد که به آن سرعت کلی می دهد، یا (به طور معادل) ممکن است از یک قاب اینرسی که در آن سرعت کلی دارد (یعنی از نظر فنی، قابی که مرکز جرم آن در آن است) مشاهده شود. سرعت دارد). در این حالت جرم و انرژی نسبیتی کل آن افزایش می یابد. با این حال، در چنین شرایطی، اگرچه انرژی نسبیتی کل و تکانه کل ظرف افزایش می‌یابد، اما این انرژی و تکانه افزایش‌ها در تعریف جرم ثابت کم می‌شوند ، به طوری که جرم ثابت ظرف متحرک همان مقدار محاسبه می‌شود که اگر اندازه‌گیری شده بود. در حالت استراحت، در مقیاس.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:18 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

1-جرم در نسبیت خاص

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( آگوست 2023 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام آشنا شوید )

کلمه " جرم " در نسبیت خاص دو معنی دارد : جرم ثابت (که جرم ساکن نیز نامیده می شود) یک کمیت ثابت است که برای همه ناظران در همه چارچوب های مرجع یکسان است ، در حالی که جرم نسبیتی وابسته به سرعت ناظر است. با توجه به مفهوم هم ارزی جرم-انرژی ، جرم ثابت معادل انرژی سکون است ، در حالی که جرم نسبیتی معادل انرژی نسبیتی است (که انرژی کل نیز نامیده می شود).

اصطلاح "جرم نسبیتی" در فیزیک ذرات و هسته ای به کار نمی رود و اغلب توسط نویسندگان نسبیت خاص به نفع اشاره به انرژی نسبیتی بدن از آن اجتناب می شود. [ 1 ] در مقابل، "جرم ثابت" معمولا بر انرژی استراحت ترجیح داده می شود. اینرسی قابل اندازه گیری و تاب برداشتن فضازمان توسط یک جسم در یک چارچوب مرجع معین توسط جرم نسبیتی آن تعیین می شود، نه صرفاً جرم ثابت آن. به عنوان مثال، فوتون ها جرم سکون صفر دارند، اما در اینرسی (و وزن در میدان گرانشی) هر سیستمی که آنها را در بر می گیرد، سهیم هستند.

این مفهوم در نسبیت عام در جرم تعمیم یافته است .

توده ساکن

[ ویرایش ]

اصطلاح جرم در نسبیت خاص معمولاً به جرم ساکن جسم اشاره دارد که جرم نیوتنی است که توسط ناظری که همراه با جسم حرکت می کند اندازه گیری می شود. جرم ثابت نام دیگری برای جرم بقیه ذرات منفرد است. جرم ثابت کلی تر (محاسبه شده با فرمول پیچیده تر) به طور ضعیفی با "جرم باقیمانده" یک "سیستم" مطابقت دارد. بنابراین، جرم ثابت یک واحد جرم طبیعی است که برای سیستم‌هایی استفاده می‌شود که از مرکز قاب تکانه خود (قاب COM) مشاهده می‌شوند، مانند زمانی که هر سیستم بسته (مثلاً یک بطری گاز داغ) وزن می‌شود، که نیاز به اندازه‌گیری دارد. در مرکز قاب مومنتوم جایی که سیستم تکانه خالص ندارد گرفته شود. در چنین شرایطی، جرم ثابت برابر با جرم نسبیتی است (که در زیر به آن پرداخته می شود)، که کل انرژی سیستم تقسیم بر c 2 ( سرعت نور مجذور) است.

با این حال، مفهوم جرم ثابت نیازی به سیستم های محدودی از ذرات ندارد. به این ترتیب، ممکن است برای سیستم‌هایی از ذرات بی‌پیوند در حرکت نسبی با سرعت بالا نیز اعمال شود. به همین دلیل، اغلب در فیزیک ذرات برای سیستم‌هایی استفاده می‌شود که از ذرات پرانرژی بسیار جدا شده تشکیل شده‌اند. اگر چنین سیستم‌هایی از یک ذره منفرد مشتق شده باشند، آنگاه محاسبه جرم ثابت چنین سیستم‌هایی، که کمیتی هرگز تغییر نمی‌کند، جرم باقیمانده ذره مادر را فراهم می‌کند (زیرا در طول زمان حفظ می‌شود).

اغلب در محاسبه راحت است که جرم ثابت یک سیستم، کل انرژی سیستم (تقسیم بر c 2 ) در قاب COM است (که طبق تعریف، تکانه سیستم صفر است). با این حال، از آنجایی که جرم ثابت هر سیستم در تمام فریم‌های اینرسی یکسان است، این کمیتی است که اغلب از انرژی کل در قاب COM محاسبه می‌شود، سپس برای محاسبه انرژی‌های سیستم و گشتاور در فریم‌های دیگر که ممنت آن نیستند، استفاده می‌شود. صفر است و انرژی کل سیستم لزوماً کمیت متفاوتی نسبت به فریم COM خواهد داشت. مانند انرژی و تکانه، جرم ثابت یک سیستم را نمی توان از بین برد یا تغییر داد، و بنابراین تا زمانی که سیستم به روی همه تأثیرات بسته باشد، حفظ می شود. (اصطلاح فنی سیستم ایزوله است به این معنی که یک مرز ایده آل در اطراف سیستم ترسیم می شود و هیچ جرم/انرژی از آن عبور نمی کند.)

جرم نسبیتی

[ ویرایش ]

جرم نسبیتی مجموع مقدار انرژی در یک جسم یا سیستم است (تقسیم بر c 2 ). بنابراین، جرم در فرمول{\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}}جرم نسبیتی است. برای ذره ای با جرم سکون غیر صفر m که با سرعت حرکت می کندv{\displaystyle v}نسبت به ناظر، شخص می یابدمیابد.{\displaystyle m_{\text{rel}}={\frac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

در مرکز قاب تکانه ،{\displaystyle v=0}و جرم نسبیتی برابر با جرم بقیه است. در چارچوب های دیگر، جرم نسبیتی (یک جسم یا سیستم اجسام) شامل سهمی از انرژی جنبشی "خالص" بدن (انرژی جنبشی مرکز جرم بدن) است و هر چه سرعت بدن بیشتر باشد، بزرگتر است. حرکت می کند. بنابراین، برخلاف جرم ثابت، جرم نسبیتی به چارچوب مرجع ناظر بستگی دارد . با این حال، برای چارچوب های مرجع منفرد و برای سیستم های جدا شده، جرم نسبیتی نیز یک کمیت حفظ شده است. جرم نسبیتی نیز عامل تناسب بین سرعت و تکانه است،.{\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{rel}}\mathbf {v} .}

قانون دوم نیوتن به شکلی معتبر باقی می ماندf=.{\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}}.}

وقتی جسمی نور فرکانس ساطع می کندν{\displaystyle \nu }و طول موج{\displaystyle \lambda }به عنوان یک فوتون

{\displaystyle E=h\nu =hc/\lambda }، جرم بدن کاهش می یابدE/{\displaystyle E/c^{2}=h/\lambda c}, [ 2 که برخی [ 3 ] [ 4 ] به عنوان جرم نسبیتی فوتون گسیل شده تعبیر می کنند زیرا آن نیز برآورده می شود

{\displaystyle p=m_{\text{rel}}c=h/\lambda }. اگرچه برخی از نویسندگان جرم نسبیتی را به عنوان مفهومی بنیادی از نظریه ارائه می کنند، اما استدلال شده است که این اشتباه است زیرا مبانی نظریه مربوط به فضا-زمان است. در مورد اینکه آیا این مفهوم از نظر آموزشی مفید است یا خیر، اختلاف نظر وجود دارد. [ 5 ] [ 3 ] [ 6 ] به طور ساده و کمی توضیح می دهد که چرا جسمی که در معرض شتاب ثابت است نمی تواند به سرعت نور برسد و چرا جرم سیستمی که فوتون ساطع می کند کاهش می یابد. [ 3 ] در شیمی کوانتومی نسبیتی ، جرم نسبیتی برای توضیح انقباض مداری الکترون در عناصر سنگین استفاده می‌شود. [ 7 ] [ 8 ] مفهوم جرم به عنوان ویژگی یک جسم از مکانیک نیوتنی رابطه دقیقی با مفهوم در نسبیت ندارد. [ 9 ] جرم نسبیتی در فیزیک هسته‌ای و ذرات ارجاع داده نمی‌شود، [ 1 ] و بررسی کتاب‌های درسی مقدماتی در سال 2005 نشان داد که تنها 5 متن از 24 متن از این مفهوم استفاده می‌کردند، [ 10 ] اگرچه این مفهوم هنوز در رواج عمومی‌ها رایج است.

اگر یک جعبه ثابت حاوی ذرات زیادی باشد، وزن آن در قاب استراحت آن افزایش می یابد که ذرات سریعتر حرکت می کنند. هر انرژی در جعبه (از جمله انرژی جنبشی ذرات) به جرم اضافه می شود، به طوری که حرکت نسبی ذرات به جرم جعبه کمک می کند. اما اگر خود جعبه در حال حرکت باشد ( مرکز جرم آن در حال حرکت است)، این سوال باقی می ماند که آیا انرژی جنبشی حرکت کلی باید در جرم سیستم گنجانده شود. جرم ثابت بدون احتساب انرژی جنبشی سیستم به عنوان یک کل محاسبه می شود (محاسبه شده با استفاده از سرعت واحد جعبه، یعنی سرعت مرکز جرم جعبه)، در حالی که جرم نسبیتی شامل جرم ثابت به اضافه انرژی جنبشی سیستم که از سرعت مرکز جرم محاسبه می شود.

نسبیتی در مقابل توده

است

[ ویرایش ]

جرم نسبیتی و جرم ساکن هر دو مفاهیم سنتی در فیزیک هستند، اما جرم نسبیتی با انرژی کل مطابقت دارد. جرم نسبیتی همان جرمی است که بر روی ترازو اندازه گیری می شود، اما در برخی موارد (مانند کادر بالا) این واقعیت تنها به این دلیل صادق است که سیستم به طور متوسط ​​باید در حالت سکون باشد تا وزن شود. تکانه خالص صفر، یعنی اندازه گیری در مرکز قاب تکانه آن است). برای مثال، اگر یک الکترون در یک سیکلوترون در دایره‌هایی با سرعت نسبیتی حرکت کند، جرم سیستم سیکلوترون+الکترون با جرم نسبیتی الکترون افزایش می‌یابد، نه با جرم سکون الکترون. اما همین امر در مورد هر سیستم بسته ای مانند الکترون و جعبه نیز صادق است، اگر الکترون با سرعت بالایی در داخل جعبه جهش کند. تنها فقدان تکانه کل در سیستم (مجموع گشتاور سیستم به صفر) است که اجازه می دهد انرژی جنبشی الکترون "وزن" شود. اگر الکترون متوقف شود و وزن شود، یا ترازو به نحوی به دنبال آن فرستاده شود، نسبت به ترازو حرکت نمی کند و دوباره جرم نسبیتی و سکون برای تک الکترون یکسان خواهد بود (و کوچکتر خواهد بود). به طور کلی، جرم نسبیتی و سکون فقط در سیستم‌هایی با هم برابرند که حرکت خالص ندارند و مرکز جرم سیستم در حالت سکون است. در غیر این صورت ممکن است متفاوت باشند.

جرم ثابت متناسب با مقدار انرژی کل در یک قاب مرجع است، قابی که جسم به عنوان یک کل در آن ساکن است (همانطور که در زیر بر حسب مرکز جرم تعریف شده است). به همین دلیل است که جرم ثابت همان جرم سکون برای ذرات منفرد است. با این حال، جرم ثابت همچنین نشان دهنده جرم اندازه گیری شده در زمانی است که مرکز جرم برای سیستم هایی از ذرات بسیاری در حال استراحت است. به این قاب ویژه که در آن این اتفاق می‌افتد، مرکز قاب تکانه نیز گفته می‌شود ، و به عنوان قاب اینرسی که مرکز جرم جسم در آن ساکن است، تعریف می‌شود (روش دیگری برای بیان این موضوع این است که قابی است که در آن ممانست از اجزای سیستم به صفر می رسد). برای اجسام مرکب (ساخته شده از بسیاری از اجسام کوچکتر، که برخی از آنها ممکن است در حال حرکت باشند) و مجموعه‌ای از اجسام غیرمحرک (که برخی از آنها ممکن است در حال حرکت باشند)، فقط مرکز جرم سیستم لازم است که در حالت سکون باشد. جرم نسبیتی برابر با جرم سکون آن باشد.

یک ذره به اصطلاح بدون جرم (مانند فوتون یا گراویتون نظری) با سرعت نور در هر چارچوب مرجع حرکت می کند. در این حالت هیچ تبدیلی وجود ندارد که ذره را به حالت استراحت بیاورد. انرژی کل چنین ذرات در قاب هایی که در یک جهت سریعتر و سریعتر حرکت می کنند، کوچکتر و کوچکتر می شود. به این ترتیب، آنها جرم استراحت ندارند، زیرا هرگز نمی توان آنها را در چارچوبی که در حال استراحت هستند اندازه گیری کرد. این خاصیت نداشتن جرم سکون همان چیزی است که باعث می شود این ذرات را "بی جرم" نامید. با این حال، حتی ذرات بدون جرم دارای جرم نسبیتی هستند که با انرژی مشاهده شده آنها در چارچوب های مختلف مرجع متفاوت است.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:17 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

2-انقباض طول

تقارن

[ ویرایش ]

اصل نسبیت (طبق آن قوانین طبیعت در قاب های مرجع اینرسی ثابت است) مستلزم این است که انقباض طول متقارن باشد: اگر میله ای در یک قاب اینرسی ساکن باشد.{\displaystyle S}، طول مناسب خود را دارد{\displaystyle S}و طول آن در انقباض است "{\displaystyle S'}. با این حال، اگر میله ای در آن قرار گیرداس"{\displaystyle S'}، طول مناسب خود را دارداس"{\displaystyle S'}و طول آن در انقباض است {\displaystyle S}. این را می توان با استفاده از نمودارهای متقارن مینکوفسکی به وضوح نشان داد ، زیرا تبدیل لورنتس از نظر هندسی با چرخش در فضازمان چهار بعدی مطابقت دارد . [ 9 ] [ 10 ]

نیروهای مغناطیسی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: الکترومغناطیس نسبیتی

نیروهای مغناطیسی توسط انقباض نسبیتی ایجاد می شوند که الکترون ها نسبت به هسته اتم در حال حرکت هستند. نیروی مغناطیسی بر یک بار متحرک در کنار سیم حامل جریان، نتیجه حرکت نسبیتی بین الکترون ها و پروتون ها است. [ 11 ] [ 12 ]

در سال 1820، آندره ماری آمپر نشان داد که سیم های موازی با جریان هایی در یک جهت، یکدیگر را جذب می کنند. در چارچوب مرجع الکترون‌ها، سیم متحرک اندکی منقبض می‌شود و باعث می‌شود پروتون‌های سیم مقابل متراکم‌تر شوند . از آنجایی که الکترون های سیم مقابل نیز در حال حرکت هستند، (به اندازه زیاد) منقبض نمی شوند. این منجر به عدم تعادل موضعی ظاهری بین الکترون ها و پروتون ها می شود. الکترون های متحرک در یک سیم به پروتون های اضافی در سیم دیگر جذب می شوند. عکس آن را نیز می توان در نظر گرفت. در چارچوب مرجع پروتون ایستا، الکترون ها در حال حرکت و انقباض هستند و در نتیجه عدم تعادل یکسانی ایجاد می شود. سرعت رانش الکترون نسبتاً بسیار آهسته است، در حد یک متر در ساعت، اما نیروی بین الکترون و پروتون آنقدر زیاد است که حتی در این سرعت بسیار کم، انقباض نسبیتی اثرات قابل توجهی ایجاد می کند.

این اثر همچنین برای ذرات مغناطیسی بدون جریان اعمال می‌شود و جریان با اسپین الکترون جایگزین می‌شود. [ نیازمند منبع ]

تأییدهای تجربی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: آزمایشات نسبیت خاص

هر ناظری که همراه با جسم مشاهده شده حرکت می کند، نمی تواند انقباض جسم را اندازه گیری کند، زیرا می تواند خود و جسم را که در همان چارچوب اینرسی در حال سکون هستند، مطابق با اصل نسبیت قضاوت کند (همانطور که توسط آزمایش تروتن-رانکین نشان داده شد ). . بنابراین انقباض طول را نمی توان در قاب استراحت جسم اندازه گیری کرد، بلکه فقط در چارچوبی که جسم مشاهده شده در آن حرکت می کند. بعلاوه، حتی در چنین قاب غیر متحرک، تأیید تجربی مستقیم انقباض طول دشوار است، زیرا (الف) در وضعیت فعلی فناوری، اشیاء با گسترش قابل توجهی نمی توانند تا سرعت های نسبیتی شتاب شوند، و (ب) ) تنها اجسامی که با سرعت مورد نیاز حرکت می کنند، ذرات اتمی هستند که امتداد فضایی آنها برای اندازه گیری مستقیم انقباض بسیار کوچک است.

با این حال، تأییدهای غیرمستقیم این اثر در یک قاب غیر متحرک وجود دارد :

  • این نتیجه منفی یک آزمایش معروف بود که نیاز به معرفی انقباض طول داشت: آزمایش مایکلسون-مورلی (و بعدها نیز آزمایش کندی-تورندایک ). در نسبیت خاص توضیح آن به شرح زیر است: در قاب سکون خود تداخل سنج را می توان طبق اصل نسبیت در حالت سکون در نظر گرفت، بنابراین زمان انتشار نور در همه جهات یکسان است. اگرچه در یک قاب که تداخل سنج در حرکت است، پرتو عرضی باید یک مسیر مورب طولانی‌تر را نسبت به قاب غیر متحرک طی کند، بنابراین زمان سفر طولانی‌تر می‌شود، عاملی که توسط آن پرتو طولی با زمان‌گیری به تأخیر می‌افتد. L /( c − v ) و L /( c + v ) به ترتیب برای سفرهای جلو و عقب حتی طولانی تر است. بنابراین، در جهت طولی، تداخل سنج قرار است منقبض شود، تا برابری هر دو زمان سفر مطابق با نتایج آزمایشی منفی بازیابی شود. بنابراین سرعت دو طرفه نور ثابت می ماند و زمان انتشار رفت و برگشت در امتداد بازوهای عمودی تداخل سنج مستقل از حرکت و جهت آن است.
  • با توجه به ضخامت اتمسفر که در چارچوب مرجع زمین اندازه گیری می شود، طول عمر بسیار کوتاه میون ها نباید به آنها اجازه دهد حتی با سرعت نور به سطح سفر کنند، اما با این وجود این کار را انجام می دهند. با این حال، از چارچوب مرجع زمین، این تنها با کاهش سرعت میون توسط اتساع زمان ممکن می شود . با این حال، در قاب میون، اثر با اتمسفر در حال انقباض توضیح داده می‌شود و سفر را کوتاه می‌کند. [ 13 ]
  • یون‌های سنگینی که در حالت استراحت کروی هستند، هنگام حرکت تقریباً با سرعت نور، باید شکل «پنکیک» یا دیسک‌های مسطح را به خود بگیرند و در واقع، نتایج به‌دست‌آمده از برخورد ذرات را تنها زمانی می‌توان توضیح داد که افزایش چگالی نوکلئون ناشی از انقباض طول در نظر گرفته شده است. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
  • توانایی یونیزاسیون ذرات باردار الکتریکی با سرعت نسبی زیاد بیشتر از حد انتظار است. در فیزیک ماقبل نسبیتی، توانایی باید در سرعت های بالا کاهش یابد، زیرا زمانی که ذرات یونیزه کننده در حال حرکت می توانند با الکترون های اتم ها یا مولکول های دیگر برهمکنش کنند، کاهش می یابد. با این حال، در نسبیت، توانایی یونیزاسیون بالاتر از حد انتظار را می توان با انقباض طول میدان کولن در فریم هایی که در آن ذرات یونیزان در حال حرکت هستند توضیح داد، که قدرت میدان الکتریکی آنها را به طور طبیعی نسبت به خط حرکت افزایش می دهد. [ 13 ] [ 17 ]
  • در لیزرهای سینکروترون و الکترون آزاد ، الکترون‌های نسبیتی به یک موج‌دار تزریق می‌شوند ، به طوری که تشعشع سنکروترون تولید می‌شود. در چارچوب مناسب الکترون‌ها، موج‌ساز منقبض می‌شود که منجر به افزایش فرکانس تابش می‌شود. علاوه بر این، برای یافتن فرکانس اندازه‌گیری شده در چارچوب آزمایشگاهی، باید از اثر داپلر نسبیتی استفاده کرد . بنابراین، تنها با کمک انقباض طول و اثر نسبیتی داپلر، طول موج بسیار کوچک تابش موج‌دار را می‌توان توضیح داد. [ 18 ] [ 19 ]

واقعیت انقباض طول

[ ویرایش ]

نمودار مینکوفسکی آزمایش فکری اینشتین در سال 1911 در مورد انقباض طول. دو میله به طول استراحتالف"ب"=الف"ب"=L0{\displaystyle A'B'=A''B''=L_{0}}در حال حرکت با0.6ج{\displaystyle 0.6c}در جهت مخالف، در نتیجهالف∗ب∗.

در سال 1911 ولادیمیر واریکاک اظهار داشت که به گفته لورنتس، فرد انقباض طول را به شیوه ای عینی می بیند، در حالی که به گفته انیشتین "فقط یک پدیده ظاهری و ذهنی است که ناشی از نحوه تنظیم ساعت و اندازه گیری طول ما است." [ 20 ] [ 21 ] انیشتین ردی را منتشر کرد:

نویسنده به طور غیر قابل توجیهی تفاوت دیدگاه لورنتز و من را در مورد حقایق فیزیکی بیان کرده است . این سوال که آیا انقباض طول واقعا وجود دارد یا خیر، گمراه کننده است. تا آنجایی که برای یک ناظر متحرک وجود ندارد، «واقعاً» وجود ندارد. اگرچه «واقعاً» وجود دارد، یعنی به گونه‌ای که بتوان آن را اصولاً با ابزارهای فیزیکی توسط یک ناظر غیرقابل نشان داد. [ 22 ]

-  آلبرت اینشتین، 1911

انیشتین همچنین در آن مقاله استدلال کرد که انقباض طول صرفاً محصول تعاریف دلخواه در مورد نحوه اجرای مقررات ساعت و اندازه‌گیری طول نیست. او آزمایش فکری زیر را ارائه کرد: اجازه دهید A'B' و A"B" نقاط انتهایی دو میله با طول L 0 یکسان باشند که به ترتیب در x' و x" اندازه گیری می شوند. بگذارید آنها در جهت مخالف در امتداد x حرکت کنند. * محور، در حالت سکون، با همان سرعت نسبت به آن، نقاط انتهایی A'A" و سپس B'B در نقطه B* به هم می رسند A*B* کوتاهتر از A'B' یا A"B است، که می توان آن را با قرار دادن یکی از میله ها نسبت به آن محور نشان داد [ 22 ] .

پارادوکس ها

[ ویرایش ]

به دلیل کاربرد سطحی فرمول انقباض، پارادوکس هایی ممکن است رخ دهد. به عنوان مثال می توان به پارادوکس نردبان و پارادوکس سفینه فضایی بل اشاره کرد . با این حال، این پارادوکس ها را می توان با استفاده صحیح از نسبیت همزمانی حل کرد. پارادوکس معروف دیگر پارادوکس Ehrenfest است که ثابت می‌کند مفهوم اجسام صلب با نسبیت سازگار نیست و کاربرد صلبیت Born را کاهش می‌دهد و نشان می‌دهد که برای یک ناظر دوار همزمان هندسه در واقع غیر اقلیدسی است .

جلوه های بصری

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چرخش ترل

فرمول روی دیوار در لیدن، هلند. لورنتس رئیس فیزیک نظری در دانشگاه لیدن (1877-1910) بود.

انقباض طول به اندازه گیری موقعیت در زمان های همزمان بر اساس یک سیستم مختصات اشاره دارد. این می تواند نشان دهد که اگر بتوان از یک جسم سریع در حال حرکت عکس گرفت، آن تصویر جسم را در جهت حرکت منقبض شده نشان می دهد. با این حال، چنین جلوه‌های بصری اندازه‌گیری‌های کاملاً متفاوتی هستند، زیرا چنین عکسی از فاصله دور گرفته می‌شود، در حالی که انقباض طول را فقط می‌توان مستقیماً در محل دقیق نقاط انتهایی جسم اندازه‌گیری کرد. نویسندگان متعددی مانند راجر پنروز و جیمز ترل نشان دادند که اجسام متحرک معمولاً در طول یک عکس منقبض به نظر نمی رسند. [ 23 ] این نتیجه توسط Victor Weisskopf در مقاله Physics Today منتشر شد . [ 24 ] به عنوان مثال، برای یک قطر زاویه ای کوچک، یک کره متحرک دایره ای باقی می ماند و می چرخد. [ 25 ] این نوع جلوه چرخش بصری چرخش پنروز-ترل نامیده می شود. [ 26 ]

اشتقاق

[ ویرایش ]

انقباض طول را می توان به روش های مختلفی به دست آورد:

طول متحرک شناخته شده

[ ویرایش ]

در یک قاب مرجع اینرسی S، اجازه دهید{\displaystyle x_{1}}و{\displaystyle x_{2}}نقطه پایانی یک جسم در حال حرکت را نشان می دهد. در این قاب طول جسمL{\displaystyle L}با توجه به قراردادهای فوق، با تعیین موقعیت همزمان نقاط انتهایی آن در{\displaystyle t_{1}=t_{2}}. در همین حال، طول مناسب این جسم، همانط{\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma \\.}ور که در قاب استراحت S' اندازه گیری می شود، با استفاده از تبدیل لورنتس قابل محاسبه است. تبدیل مختصات زمانی از S به S به زمان‌های مختلفی منجر می‌شود، اما این مشکلی ندارد، زیرا جسم در S' در حال استراحت است، جایی که اهمیتی ندارد که چه زمانی نقاط پایانی اندازه‌گیری می‌شوند. بنابراین تبدیل مختصات مکانی کافی است که به دست می‌دهد: [ 7 ]

{\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left( x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .}

از آنجایی که {\displaystyle t_{1}=t_{2}}، و با تنظیم{\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}و{\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}، طول مناسب در S به دست می آید

( 1 )

بنابراین طول جسم، اندازه گیری شده در قاب S، توسط یک عامل منقبض می شودγ{\displaystyle \gamma }:

{\displaystyle L=L_{0}^{'}/\گاما \\ .}( 2 )

به همین ترتیب، طبق اصل نسبیت، جسمی که در S ساکن است نیز در S' منقبض می شود. با تبادل متقارن علائم و اعداد اول فوق نتیجه می شود که

( 3 )

{\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma \\.}

بنابراین یک جسم در حالت استراحت در S، وقتی در S اندازه گیری شود، طول منقبض خواهد داشت

{\displaystyle L'=L_{0}/\گاما \\ .}( 4 )

طول مناسب شناخته شده

[ ویرایش ]

برعکس، اگر جسم در S قرار داشته باشد و طول مناسب آن مشخص باشد، همزمانی اندازه‌گیری‌ها در نقاط انتهایی جسم باید در فریم S دیگر در نظر گرفته شود، زیرا جسم دائماً موقعیت خود را در آنجا تغییر می‌دهد. بنابراین، هر دو مختصات مکانی و زمانی باید تبدیل شوند: [ 27 ]

{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2} ^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2} -vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}}

محاسبه فاصله طول{\displaystyle \Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}و همچنین با فرض اندازه گیری زمان همزمان{\displaystyle \Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0}و با اتصال به طول مناسب{\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}، به شرح زیر است:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\ دلتا t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{تراز شده}}}

معادله (2) به دست می دهد

{\displaystyle \Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}}

که وقتی به (1) وصل می شود، این را نشان می دهد{\displaystyle \Delta x'}به طول قرارداد تبدیل می شود{\displaystyle L'}:

{\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }.

به همین ترتیب، همان روش یک نتیجه متقارن برای یک شی در حالت استراحت در S به دست می دهد:

{\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }.

استفاده از اتساع زمان

[ ویرایش ]

انقباض طول را می توان از اتساع زمان نیز بدست آورد ، [ 28 ] که بر اساس آن نرخ یک ساعت "متحرک" منفرد (نشان دهنده زمان مناسب آن است. تی0{\displaystyle T_{0}}) نسبت به دو ساعت "استراحت" هماهنگ شده کمتر است (نشان می دهدتی{\displaystyle T}). اتساع زمان به صورت تجربی چندین بار تأیید شد و با رابطه نشان داده می شود:

{\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }

یک میله با طول مناسب را فرض کنیدL0{\displaystyle L_{0}}در حال استراحت دراس{\displaystyle S}و یک ساعت در حالت استراحت دراس"{\displaystyle S'}با سرعت در امتداد یکدیگر حرکت می کنندv{\displaystyle v}. از آنجایی که بر اساس اصل نسبیت، بزرگی سرعت نسبی در هر یک از قاب های مرجع یکسان است، زمان های حرکت مربوطه ساعت بین نقاط انتهایی میله با{\displaystyle T=L_{0}/v}در{\displaystyle S}و{\displaystyle T'_{0}=L'/v}در{\displaystyle S'}، بنابراین{\displaystyle L_{0}=Tv}و{\displaystyle L'=T'_{0}v}. با درج فرمول اتساع زمانی، نسبت بین این طول ها برابر است با:

{\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }.

بنابراین، طول اندازه گیری شده دراس"{\displaystyle S'}توسط

{\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }

بنابراین از آنجایی که زمان سفر ساعت از طریق میله طولانی تر استاس{\displaystyle S}از دراس"{\displaystyle S'}(اتساع زمان دراس{\displaystyle S}طول میله نیز بیشتر استاس{\displaystyle S}از دراس"{\displaystyle S'}(انقباض طول دراس"{\displaystyle S'}). به همین ترتیب، اگر ساعت در حالت استراحت بوداس{\displaystyle S}و میله دراس"{\displaystyle S'}، روش فوق را می دهد

L=L0"/γ{\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }

ملاحظات هندسی

[ ویرایش ]

کوبوئیدها در فضازمان اقلیدسی و مینکوفسکی

ملاحظات هندسی اضافی نشان می دهد که انقباض طول را می توان به عنوان یک پدیده مثلثاتی ، با قیاس با برش های موازی از طریق یک مکعب قبل و بعد از چرخش در E 3 در نظر گرفت (شکل نیمه چپ را در سمت راست ببینید). این آنالوگ اقلیدسی تقویت یک مکعب در E 1,2 است . با این حال، در مورد دوم، می توانیم مکعب تقویت شده را به عنوان صفحه جهانی یک صفحه متحرک تفسیر کنیم.

تصویر : چپ: مکعبی چرخانده در فضای اقلیدسی سه بعدی E 3 . سطح مقطع در جهت چرخش نسبت به قبل از چرخش طولانی تر است. سمت راست: صفحه جهانی یک صفحه نازک متحرک در فضازمان مینکوفسکی (با یک بعد فضایی سرکوب شده) E 1,2 که یک مکعب تقویت شده است . سطح مقطع در جهت تقویت نسبت به قبل از تقویت نازکتر است. در هر دو مورد، جهات عرضی بی‌تأثیر هستند و سه صفحه که در هر گوشه مکعب‌ها به هم می‌رسند متعامد هستند ( به معنای E 1،2 در سمت راست، و به معنای E3 در سمت چپ).

در نسبیت خاص، تبدیل‌های پوانکاره دسته‌ای از تبدیل‌های همبسته هستند که می‌توان آن‌ها را به‌عنوان تبدیل بین نمودارهای مختصات دکارتی جایگزین در فضازمان مینکوفسکی که مربوط به حالت‌های جایگزین حرکت اینرسی (و انتخاب‌های مختلف یک مبدا ) است، مشخص کرد. تبدیل‌های لورنتس تبدیل‌های پوانکاره هستند که تبدیل‌های خطی (حفظ مبدا) هستند. تبدیل های لورنتس در هندسه مینکوفسکی نقش یکسانی را ایفا می کنند ( گروه لورنتس گروه همسانگردی ایزومتریک های خود فضازمان را تشکیل می دهد ) که توسط چرخش در هندسه اقلیدسی بازی می شود. در واقع، نسبیت خاص تا حد زیادی به مطالعه نوعی مثلثات غیر اقلیدسی در فضازمان مینکوفسکی می رسد، همانطور که در جدول زیر نشان داده شده است:

سه مثلثات صفحه
مثلثاتدایره ایسهمویهایپربولیک
هندسه کلینیصفحه اقلیدسیفضای گالیلهفضای مینکوفسکی
نمادE 2E 0,1E 1,1
فرم درجه دوممثبت قطعیمنحطغیر منحط اما نامعین
گروه ایزومتریکE (2)E (0,1)E (1،1)
گروه ایزوتروپیSO (2)SO (0,1)SO (1،1)
نوع ایزوتروپیچرخش هاقیچیافزایش می دهد
جبر بر Rاعداد مختلطاعداد دوتاییتقسیم اعداد مختلط
ε 2-101
تفسیر فضا-زمانهیچ کدامفضازمان نیوتنیفضازمان مینکوفسکی
شیبtan φ = mtanp φ = utanh φ = v
"کسینوس"cos φ = (1 + m 2 ) -1/2cosp φ = 1cosh φ = (1 - v 2 ) -1/2
"سینوس"sin φ = m (1 + m 2 ) -1/2sinp φ = usinh φ = v (1 - v 2 ) -1/2
"تقاطع"sec φ = (1 + m 2 ) 1/2secp φ = 1sech φ = (1 - v 2 ) 1/2
"همراه"csc φ = m -1 (1 + m2 ) 1/2cscp φ = u −1csch φ = v -1 (1 - v 2 ) 1/2

مراجع

https://en.wikipedia.org/wiki/Length_contraction

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ ساعت 0:14 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

1-انقباض طول

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

نسبیت خاص
خط جهان: نمایش نموداری فضازمان
نشان می دهد

پایه ها

پنهان کردن

عواقب

نشان می دهد

فضا-زمان

نشان می دهد

دینامیک

نشان می دهد
نشان می دهد

مردم

چرخ هایی که با سرعت 9/10 سرعت نور حرکت می کنند. سرعت بالای چرخ 0.994 درجه سانتیگراد است در حالی که سرعت پایین همیشه صفر است. به همین دلیل است که بالا نسبت به پایین منقبض می شود. این انیمیشن با این فرض ساخته شده است که پره های یک چرخ بسیار کشسان تر از محیط آن هستند. در غیر این صورت ممکن است پره ها یا دور آن پاره شود. در قسمت باقیمانده مرکز چرخ، چرخ‌ها دایره‌ای هستند و پره‌های آن‌ها مستقیم و با فاصله مساوی هستند، اما محیط آنها منقبض شده و به پره‌ها فشار وارد می‌کند.

انقباض طول پدیده ای است که طول یک جسم متحرک کمتر از طول مناسب آن اندازه گیری می شود ، که طول اندازه گیری شده در قاب استراحت خود جسم است . [ 1 ] همچنین به عنوان انقباض لورنتس یا انقباض لورنتس-فیتز جرالد (بعد از هندریک لورنتس و جرج فرانسیس فیتز جرالد ) شناخته می شود و معمولاً فقط در کسری قابل توجهی از سرعت نور قابل توجه است . انقباض طول فقط در جهتی است که بدن در حال حرکت است. برای اجسام استاندارد، این اثر در سرعت‌های روزمره ناچیز است و می‌توان آن را برای تمام اهداف معمولی نادیده گرفت، تنها زمانی که جسم به سرعت نور نسبت به ناظر نزدیک می‌شود، قابل توجه می‌شود.

تاریخچه

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تاریخچه نسبیت خاص

انقباض طول توسط جورج فیتزجرالد (1889) و هندریک آنتون لورنتز (1892) برای توضیح نتیجه منفی آزمایش مایکلسون-مورلی و نجات فرضیه اتر ساکن ( فرضیه انقباض لورنتس-فیتز جرالد ) فرض شد . [ 2 ] [ 3 ] اگرچه فیتز جرالد و لورنتز هر دو به این واقعیت اشاره کردند که میدان‌های الکترواستاتیکی در حال حرکت تغییر شکل داده‌اند ("Heaviside-Ellipsoid" پس از الیور هیوساید ، که این تغییر شکل را از نظریه الکترومغناطیسی در سال 1888 استخراج کرد)، این یک فرضیه موردی در نظر گرفته شد. ، زیرا در این زمان هیچ دلیل کافی برای فرض اینکه نیروهای بین مولکولی رفتار می کنند وجود نداشت مانند الکترومغناطیسی در سال 1897 جوزف لارمور مدلی را توسعه داد که در آن همه نیروها منشأ الکترومغناطیسی در نظر گرفته می‌شوند و به نظر می‌رسد انقباض طول نتیجه مستقیم این مدل باشد. با این حال، هانری پوانکاره (1905) نشان داد که نیروهای الکترومغناطیسی به تنهایی نمی توانند پایداری الکترون را توضیح دهند. بنابراین او مجبور شد فرضیه موقت دیگری را مطرح کند: نیروهای اتصال غیرالکتریکی ( تنش‌های پوانکاره ) که پایداری الکترون را تضمین می‌کنند، توضیحی دینامیکی برای انقباض طول ارائه می‌دهند و بنابراین حرکت اتر ساکن را پنهان می‌کنند. [ 4 ]

آلبرت انیشتین (1905) با برداشتن این انقباض از فرضیه های خود به جای داده های تجربی، به حذف خصلت موقت از فرضیه انقباض اعتبار داده شده است. [ 5 ] هرمان مینکوفسکی با معرفی مفهوم فضازمان چهار بعدی خود، تفسیر هندسی تمام اثرات نسبیتی را ارائه کرد . [ 6 ]

مبنای نسبیت

[ ویرایش ]

در نسبیت خاص، ناظر رویدادها را در برابر شبکه‌ای بی‌نهایت از ساعت‌های همگام اندازه‌گیری می‌کند.

ابتدا باید روش های اندازه گیری طول اجسام در حال استراحت و متحرک را به دقت در نظر گرفت. [ 7 ] در اینجا، "شیء" به سادگی به معنای فاصله ای با نقاط پایانی است که همیشه متقابلاً در حالت سکون هستند، یعنی در همان چارچوب مرجع اینرسی در حالت سکون هستند . اگر سرعت نسبی بین ناظر (یا ابزار اندازه گیری او) و جسم مشاهده شده صفر باشد، طول مناسب {\displaystyle L_{0}}جسم را می توان به سادگی با روی هم قرار دادن مستقیم یک میله اندازه گیری تعیین کرد. با این حال، اگر سرعت نسبی بزرگتر از صفر باشد، می توان به صورت زیر عمل کرد:

انقباض طولی : سه میله آبی در S و سه میله قرمز در S قرار دارند. در لحظه ای که انتهای سمت چپ A و D روی محور x به یک موقعیت می رسند، طول میله ها باید با هم مقایسه شوند. در S موقعیت های همزمان سمت چپ A و سمت راست C بیشتر از D و F فاصله دارند، در حالی که در S' موقعیت های همزمان سمت چپ D و سمت راست F از هم دورتر هستند. آن دسته از A و C.

ناظر ردیفی از ساعت‌ها را نصب می‌کند که: الف) با تبادل سیگنال‌های نوری مطابق با همگام‌سازی پوانکاره-انیشتین ، یا ب) با «انتقال ساعت آهسته»، یعنی یک ساعت در امتداد ردیف ساعت‌ها در محدوده حمل می‌شود. سرعت ناپدید شدن حمل و نقل اکنون، هنگامی که فرآیند همگام‌سازی به پایان رسید، شیء در امتداد ردیف ساعت حرکت می‌کند و هر ساعت زمان دقیق عبور سمت چپ یا راست جسم را ذخیره می‌کند. پس از آن، ناظر فقط باید به موقعیت ساعت A نگاه کند که زمان عبور سمت چپ جسم را ذخیره می کند، و ساعت B که در آن سمت راست جسم در همان زمان در حال عبور است. . واضح است که فاصله AB برابر طول استL{\displaystyle L}از جسم متحرک [ 7 ] با استفاده از این روش، تعریف همزمانی برای اندازه‌گیری طول اجسام متحرک بسیار مهم است.

روش دیگر استفاده از ساعتی است که زمان مناسب آن را نشان می دهد {\displaystyle T_{0}}، که از یک نقطه انتهایی میله به نقطه دیگر در زمان حرکت می کند{\displaystyle T}همانطور که توسط ساعت در قاب استراحت میله اندازه گیری می شود. طول میله را می توان با ضرب زمان سفر در سرعت آن محاسبه کرد{\displaystyle L_{0}=T\cdot v}در قاب استراحت میله یا{\displaystyle L=T_{0}\cdot v}در قاب استراحت ساعت [ 8 ]

در مکانیک نیوتنی، همزمانی و مدت زمان مطلق هستند و بنابراین هر دو روش منجر به برابریL{\displaystyle L}وL0{\displaystyle L_{0}}. اما در تئوری نسبیت، ثابت بودن سرعت نور در تمامی فریم های اینرسی در ارتباط با نسبیت همزمانی و اتساع زمانی، این برابری را از بین می برد. در روش اول، یک ناظر در یک فریم ادعا می کند که نقاط انتهایی جسم را به طور همزمان اندازه گیری کرده است، اما ناظران در سایر فریم های اینرسی استدلال می کنند که نقاط پایانی جسم به طور همزمان اندازه گیری نشده اند . در روش دوم بارهاتی{\displaystyle T}وتی0{\displaystyle T_{0}}به دلیل اتساع زمانی برابر نیستند و در نتیجه طول های مختلفی نیز ایجاد می شود.

انحراف بین اندازه‌گیری‌ها در تمام فریم‌های اینرسی با فرمول‌های تبدیل لورنتس و اتساع زمانی ارائه می‌شود ( به استخراج نگاه کنید ). معلوم می‌شود که طول مناسب بدون تغییر باقی می‌ماند و همیشه بیشترین طول یک جسم را نشان می‌دهد، و طول همان جسم اندازه‌گیری شده در قاب مرجع اینرسی دیگر کوتاه‌تر از طول مناسب است. این انقباض فقط در امتداد خط حرکت رخ می دهد و می تواند با رابطه نشان داده شود

{\displaystyle L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}}

ک

  • {\displaystyle L}طول مشاهده شده توسط ناظر در حال حرکت نسبت به جسم است
  • {\displaystyle L_{0}}طول مناسب است (طول جسم در قاب استراحت آن)
  • {\displaystyle \gamma (v)}عامل لورنتس است که به صورت تعریف شده است{\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}که
    • v{\displaystyle v}سرعت نسبی بین ناظر و جسم متحرک است
    • {\displaystyle c}سرعت نور است

جایگزینی فاکتور لورنتس در فرمول اصلی منجر به رابطه می شود

{\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

در این معادله هر دو{\displaystyle L}و{\displaystyle L_{0}}موازی با خط حرکت جسم اندازه گیری می شوند. برای ناظر در حرکت نسبی، طول جسم با کم کردن فواصل اندازه‌گیری شده همزمان دو انتهای جسم اندازه‌گیری می‌شود. برای تبدیل‌های کلی‌تر، تبدیل‌های لورنتس را ببینید . ناظری که در حال سکون است و جسمی را که بسیار نزدیک به سرعت نور حرکت می کند مشاهده می کند، طول جسم را در جهت حرکت بسیار نزدیک به صفر مشاهده می کند.

سپس با سرعت13 400 000 متر بر ثانیه (30 میلیون مایل در ساعت، 0.0447 c ) طول منقبض 99.9 درصد طول در حالت استراحت است. با سرعت42 300 000 متر بر ثانیه (95 میلیون مایل در ساعت، 0.141 درجه سانتیگراد )، طول هنوز 99٪ است. با نزدیک شدن اندازه سرعت به سرعت نور، اثر برجسته می شود.

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 23:54 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

4-اتساع زمان

تست تجربی

[ ویرایش ]

اتساع زمانی روزانه بر ارتفاع مدار دایره ای به اجزای آن تقسیم می شود. در این نمودار، تنها کاوشگر گرانشی A به طور خاص برای آزمایش نسبیت عام پرتاب شد . فضاپیمای دیگر در این نمودار (به جز ایستگاه فضایی بین‌المللی که محدوده نقاط آن با علامت تئوری مشخص شده است) ساعت‌های اتمی را حمل می‌کنند که عملکرد صحیح آنها به اعتبار نسبیت عام بستگی دارد .

  • هافل و کیتینگ ، در سال 1971، ساعت‌های اتمی سزیمی را در هواپیماهای تجاری تجاری به سمت شرق و غرب به دور زمین پرواز دادند تا زمان سپری شده را با ساعتی که در رصدخانه نیروی دریایی ایالات متحده باقی مانده بود، مقایسه کنند . دو اثر متضاد وارد بازی شد. انتظار می‌رفت ساعت‌ها سریع‌تر پیر شوند (زمان سپری شده بزرگ‌تری را نشان می‌دهند) از ساعت مرجع، زیرا در بیشتر زمان سفر در پتانسیل گرانشی بالاتر (ضعیف‌تر) قرار داشتند ( آزمایش پوند-ربکا را ببینید ). اما همچنین، برعکس، انتظار می رفت که ساعت های متحرک به دلیل سرعت حرکتشان کندتر پیر شوند. از مسیرهای واقعی پرواز هر سفر، این نظریه پیش‌بینی کرد که ساعت‌های پرواز، در مقایسه با ساعت‌های مرجع رصدخانه نیروی دریایی ایالات متحده، در طول سفر به سمت شرق باید 23±40 نانوثانیه از دست می‌دادند و در طول سفر به سمت غرب باید 21±275 نانوثانیه افزایش می‌دادند. . نسبت به مقیاس زمانی اتمی رصدخانه نیروی دریایی ایالات متحده، ساعت های پروازی 10±59 نانوثانیه در طول سفر به سمت شرق از دست دادند و در طول سفر به سمت غرب 7±273 نانوثانیه افزایش یافتند (که در آن میله های خطا نشان دهنده انحراف معیار است). [ 40 ] در سال 2005، آزمایشگاه ملی فیزیک در بریتانیا تکرار محدود خود را از این آزمایش گزارش کرد. [ 41 ] آزمایش NPL با آزمایش اصلی تفاوت داشت زیرا ساعت‌های سزیمی در یک سفر کوتاه‌تر ارسال می‌شدند (لندن-واشنگتن، بازگشت DC)، اما ساعت‌ها دقیق‌تر بودند. نتایج گزارش شده در محدوده 4 درصد از پیش‌بینی‌های نسبیت است، در محدوده عدم قطعیت اندازه‌گیری‌ها.
  • سیستم موقعیت یابی جهانی را می توان یک آزمایش مداوم در نسبیت خاص و عام در نظر گرفت. ساعت‌های درون مدار برای اثرات انبساط زمانی خاص و عام اصلاح می‌شوند ، به طوری که (همانطور که از سطح زمین مشاهده می‌شود) با همان سرعت ساعت‌های روی سطح زمین کار می‌کنند. [ 42 ]

در فرهنگ عامه

[ ویرایش ]

سرعت و اتساع زمان گرانشی موضوع آثار علمی تخیلی در رسانه های مختلف بوده است. برخی از نمونه های فیلم، فیلم های بین ستاره ای و سیاره میمون ها هستند . [ 43 ] در بین ستاره‌ای ، یک نقطه طرح کلیدی شامل سیاره‌ای است که نزدیک به یک سیاه‌چاله در حال چرخش است و یک ساعت روی سطح آن به دلیل اتساع زمانی معادل هفت سال روی زمین است. [ 44 ] فیزیکدان کیپ تورن در ساخت این فیلم همکاری کرد و مفاهیم علمی آن را در کتاب علم بین ستاره ای توضیح داد . [ 45 ] [ 46 ]

اتساع زمان در اپیزودهای Doctor Who " World Enough and Time " و " The Doctor Falls " استفاده شد که در یک سفینه فضایی در مجاورت یک سیاهچاله اتفاق می افتد. به دلیل کشش گرانشی بسیار زیاد سیاهچاله و طول کشتی (400 مایل)، زمان در یک انتها سریعتر از سمت دیگر حرکت می کند. وقتی بیل، همراه دکتر، به انتهای کشتی برده می شود، سال ها منتظر می ماند تا او او را نجات دهد. در زمان او فقط چند دقیقه می گذرد. [ 47 ] علاوه بر این، اتساع به Cybermen اجازه می دهد تا با سرعت "سریع تر" از آنچه قبلا در نمایش دیده شده بود، تکامل یابند.

تاو صفر ، رمانی از پول اندرسون ، نمونه اولیه این مفهوم در ادبیات علمی تخیلی است. در این رمان، یک فضاپیما از یک رمجت Bussard برای شتاب گرفتن به سرعت بالایی استفاده می کند که خدمه پنج سال را در آن سپری می کنند، اما سی و سه سال قبل از رسیدن به مقصد روی زمین می گذرد. اتساع زمان سرعت توسط اندرسون بر حسب ضریب تاو توضیح داده شده است که با نزدیک شدن کشتی به سرعت نور به صفر نزدیک‌تر و نزدیک‌تر می‌شود – از این رو عنوان رمان نامیده می‌شود. [ 48 ] ​​به دلیل یک حادثه، خدمه قادر به توقف شتاب دادن به فضاپیما نیستند، و باعث انبساط زمانی شدید می‌شود که خدمهدر انتهای کیهان انقباض بزرگ را تجربه می‌کنند. [ 49 ] نمونه‌های دیگر در ادبیات، مانند دنیای روکانن ، هایپریون و جنگ برای همیشه ، به طور مشابه از اتساع زمان نسبیتی به‌عنوان یک ابزار ادبی قابل قبول علمی استفاده می‌کنند تا شخصیت‌های خاص کندتر از بقیه جهان پیر شوند. [ 50 ] [ 51 ]

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Time_dilation

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 23:49 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

3-اتساع زمان

اشتقاق و فرمول

[ ویرایش ]

عامل لورنتس به عنوان تابعی از سرعت (در واحدهای طبیعی که c = 1). توجه کنید که برای سرعت های کوچک (از آنجایی که v به صفر میل می کند)، γ تقریباً 1 است.

علاوه بر ساعت نور استفاده شده در بالا، فرمول اتساع زمان را می توان به طور کلی از بخش زمانی تبدیل لورنتس استخراج کرد . [ 28 ] بگذارید دو رویداد وجود داشته باشد که ساعت متحرک آن را نشان می دهد{\displaystyle t_{a}}و{\displaystyle t_{b}}، بدین ترتیب:

{\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac { v^{2}}{c^{2}}}}}}،\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^ {2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

از آنجایی که ساعت در قاب اینرسی خود در حالت سکون باقی می ماند، به دنبال آن است{\displaystyle x_{a}=x_{b}}، بنابراین فاصله{\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}توسط:

{\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} }\,}

که در آن Δt فاصله زمانی بین دو رویداد همزمان (یعنی در یک مکان اتفاق می‌افتد) برای یک ناظر در یک قاب اینرسی است (مثلاً تیک‌های ساعتش) که به عنوان زمان مناسب شناخته می‌شود ، Δ t' فاصله زمانی بین همان رویدادها، همانطور که توسط ناظر دیگری اندازه گیری شد، به طور اینرسی با سرعت v نسبت به ناظر قبلی حرکت می کند، v سرعت نسبی بین ناظر و ساعت متحرک است، c سرعت نور است، و فاکتور لورنتس (که به طور معمول با حرف یونانی گاما یا γ نشان داده می شود) عبارت است از:

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}

بنابراین مدت زمان چرخه ساعت یک ساعت متحرک افزایش یافته است: اندازه گیری می شود که "آهسته کار می کند". دامنه چنین واریانس هایی در زندگی معمولی، جایی که v≪c ، حتی با در نظر گرفتن سفر فضایی ، به اندازه کافی بزرگ نیست که اثرات اتساع زمانی به راحتی قابل تشخیص باشد و چنین اثرات ناپدید کننده کوچکی را می توان با خیال راحت برای بیشتر اهداف نادیده گرفت. به عنوان یک آستانه تقریبی، اتساع زمانی ممکن است زمانی مهم شود که یک جسم به سرعتی در حدود 30000 کیلومتر بر ثانیه (1/10 سرعت نور) نزدیک شود. [ 29 ]

حرکت هایپربولیک

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: حرکت هایپربولیک (نسبیت)

در نسبیت خاص، اتساع زمانی در شرایطی که سرعت نسبی بدون تغییر است، به سادگی توصیف می‌شود. با این وجود، معادلات لورنتس به فرد اجازه می‌دهد زمان و حرکت مناسب در فضا را برای حالت ساده یک سفینه فضایی که با نیرویی در واحد جرم، نسبت به جسم مرجع در حرکت یکنواخت (یعنی سرعت ثابت)، معادل g در سرتاسر زمین اعمال می‌شود، محاسبه کند. دوره اندازه گیری

اجازه دهید t زمان در یک قاب اینرسی باشد که متعاقباً قاب استراحت نامیده می شود. اجازه دهید x یک مختصات فضایی باشد و اجازه دهید جهت شتاب ثابت و همچنین سرعت سفینه فضایی (نسبت به قاب استراحت) موازی با محور x باشد . با فرض اینکه موقعیت سفینه فضایی در زمان t = 0 x = 0 باشد و سرعت آن v 0 باشد و مخفف زیر را تعریف کنید:

{\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}

فرمول های زیر برقرار است: [ 30 ]

موقعیت:

{\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0} \right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}

سرعت:

{\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0} \راست)^{2}}{c^{2}}}}}}}

زمان مناسب به عنوان تابع زمان مختصات:

{\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\ راست)^{2}}}dt'}

در موردی که v (0) = v 0 = 0 و τ (0) = τ 0 = 0، انتگرال را می توان به عنوان یک تابع لگاریتمی یا به طور معادل، به عنوان یک تابع هذلولی معکوس بیان کرد :

{\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt} {c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}

به عنوان توابع زمان مناسبτ{\displaystyle \tau }از کشتی، فرمول های زیر برقرار است: [ 31 ]

موقعیت:

{\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}

سرعت:

{\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}

هماهنگ کردن زمان به عنوان تابع زمان مناسب:

{\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}

فرضیه ساعت

[ ویرایش ]

فرضیه ساعت این فرض است که سرعت یک ساعت تحت تأثیر اتساع زمانی به شتاب آن بستگی ندارد بلکه فقط به سرعت آنی آن بستگی دارد. این معادل بیان این است که یک ساعت در یک مسیر حرکت می کند{\displaystyle P}زمان مناسب را اندازه گیری می کند که توسط:

{\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2 }/c^{2}}}}

فرضیه ساعت به طور ضمنی (اما نه به طور صریح) در فرمول اولیه نسبیت خاص انیشتین در سال 1905 گنجانده شد. از آن زمان، این یک فرض استاندارد شده است و معمولاً در بدیهیات نسبیت خاص گنجانده شده است، به ویژه در پرتو تأیید تجربی تا شتاب های بسیار بالا در شتاب دهنده های ذرات . [ 32 ] [ 33 ]

اتساع زمان ناشی از گرانش یا شتاب

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: اتساع زمان گرانشی

اتساع زمان توضیح می دهد که چرا دو ساعت کار پس از شتاب های مختلف زمان های متفاوتی را گزارش می دهند. برای مثال، زمان در ایستگاه فضایی بین‌المللی کندتر می‌شود و به ازای هر 12 ماه زمینی که می‌گذرد، تقریباً 0.01 ثانیه تأخیر دارد. برای اینکه ماهواره‌های جی‌پی‌اس کار کنند، باید خمش‌های مشابه فضازمان را تنظیم کنند تا به‌درستی با سیستم‌های روی زمین هماهنگ شوند. [ 2 ]

همانطور که در مورد اجرام عظیم (مانند زمین) مشاهده می شود، زمان با سرعت بیشتری از مرکز ثقل می گذرد.

اتساع زمان گرانشی توسط ناظری تجربه می‌شود که در ارتفاع معینی در یک چاه پتانسیل گرانشی، متوجه می‌شود که ساعت‌های محلی آن‌ها زمان سپری شده کمتری نسبت به ساعت‌های یکسانی که در ارتفاع بالاتر قرار دارند (و در نتیجه در پتانسیل گرانشی بالاتری هستند) اندازه‌گیری می‌کنند.

اتساع زمان گرانشی به عنوان مثال برای فضانوردان ایستگاه فضایی بین المللی. در حالی که سرعت نسبی فضانوردان زمان آنها را کاهش می دهد، کاهش نفوذ گرانشی در مکان آنها سرعت آن را افزایش می دهد، هرچند به میزان کمتر. همچنین، زمان یک کوهنورد از نظر تئوری در بالای یک کوه در مقایسه با افراد در سطح دریا کمی سریعتر می گذرد. همچنین محاسبه شده است که به دلیل اتساع زمانی، هسته زمین 2.5 سال جوانتر از پوسته است . [ 34 ] "ساعتی که برای زمان‌بندی چرخش کامل زمین استفاده می‌شود، روز را تقریباً 10 ns/روز بیشتر برای هر کیلومتر از ارتفاع بالای ژئوئید مرجع اندازه‌گیری می‌کند." [ 35 ] سفر به مناطقی از فضا که در آن اتساع زمان گرانشی شدید اتفاق می‌افتد، مانند نزدیک (اما نه فراتر از افق رویداد ) یک سیاه‌چاله ، می‌تواند نتایج تغییر زمان مشابه نتایج سفرهای فضایی با سرعت نزدیک به نور را به همراه داشته باشد.

بر خلاف اتساع زمان سرعت، که در آن هر دو ناظر دیگری را با پیری کندتر اندازه گیری می کنند (یک اثر متقابل)، اتساع زمان گرانشی متقابل نیست. این بدان معناست که با اتساع زمان گرانشی، هر دو ناظر موافق هستند که ساعت نزدیک‌تر به مرکز میدان گرانشی سرعت کمتری دارد، و آنها بر روی نسبت اختلاف توافق دارند.

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 23:45 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

2-اتساع زمان

عمل متقابل

[ ویرایش ]

اتساع زمان عرضی نقاط آبی نشان دهنده یک پالس نور است. هر جفت نقطه با نوری که بین آنها "جهش" است یک ساعت است. در چارچوب هر گروه از ساعت‌ها، گروه دیگر اندازه‌گیری می‌شود که آهسته‌تر تیک تیک بزند، زیرا پالس نور ساعت متحرک باید مسافت بیشتری را نسبت به پالس ساعت ثابت طی کند. این چنین است، حتی اگر ساعت ها یکسان باشند و حرکت نسبی آنها کاملاً متقابل باشد.

با توجه به چارچوب معینی از مرجع، و ناظر «ایستا» که قبلاً توضیح داده شد، اگر ناظر دوم ساعت «متحرک» را همراهی می کرد، هر یک از ناظران ساعت دیگری را با سرعت کمتری نسبت به ساعت محلی خود اندازه گیری می کرد. هر دوی آنها دیگری را به گونه ای می سنجند که نسبت به چارچوب مرجع ثابت خود در حرکت است.

عقل سلیم حکم می‌کند که اگر گذر زمان برای یک جسم متحرک کند شده باشد، شیء مذکور زمان جهان خارج را مشاهده کند تا به همان نسبت سرعت یابد. برخلاف شهود، نسبیت خاص عکس آن را پیش بینی می کند. هنگامی که دو ناظر نسبت به یکدیگر در حال حرکت هستند، هرکدام به تناسب با حرکت آنها نسبت به چارچوب مرجع ناظر، کاهش سرعت ساعت دیگری را اندازه گیری می کند.

زمان UV یک ساعت در S در مقایسه با Ux' در S' کوتاهتر است و زمان UW ساعت در S' در مقایسه با Ux در S کوتاهتر است.

در حالی که به نظر می رسد این خود متناقض است، یک اتفاق عجیب و غریب مشابه در زندگی روزمره رخ می دهد. اگر دو نفر A و B از دور یکدیگر را مشاهده کنند، B برای A کوچک به نظر می رسد، اما در عین حال، A برای B کوچک به نظر می رسد. با آشنایی با تأثیرات پرسپکتیو ، هیچ تناقضی یا پارادوکسی در این موقعیت وجود ندارد. . [ 20 ]

متقابل بودن این پدیده همچنین منجر به به اصطلاح پارادوکس دوقلو می شود که در آن پیری دوقلوها، که یکی روی زمین می ماند و دیگری در حال سفر فضایی است، مقایسه می شود، و جایی که رفتار متقابل نشان می دهد که هر دو فرد باید سن یکسانی داشته باشند. دوباره متحد شدن برعکس، در پایان سفر رفت و برگشت، دوقلوهای مسافر از خواهر و برادر روی زمین کوچکتر خواهند بود. معضل ایجاد شده توسط پارادوکس را می توان با این واقعیت توضیح داد که موقعیت متقارن نیست. دوقلوی که روی زمین می ماند در یک قاب اینرسی واحد است و دوقلوهای مسافر در دو قاب اینرسی متفاوت هستند: یکی در مسیر خروج و دیگری در راه بازگشت. همچنین به پارادوکس دوقلو § نقش شتاب مراجعه کنید .

تست تجربی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: آزمایش تجربی اتساع زمان

همچنین ببینید: آزمایشات نسبیت خاص

ذرات متحرک

[ ویرایش ]

  • مقایسه طول عمر میون در سرعت های مختلف امکان پذیر است. در آزمایشگاه، میون های آهسته تولید می شوند. و در جو، میون های بسیار سریع در حال حرکت توسط پرتوهای کیهانی وارد می شوند. با در نظر گرفتن طول عمر میون در حالت سکون به عنوان مقدار آزمایشگاهی 2.197 میکرو ثانیه، طول عمر یک میون تولید شده از پرتوهای کیهانی که با سرعت 98 درصد سرعت نور حرکت می کند، در توافق با مشاهدات، حدود پنج برابر بیشتر است. به عنوان مثال، روسی و هال (1941)، که جمعیت میون های تولید شده توسط پرتوهای کیهانی را در بالای یک کوه با جمعیت مشاهده شده در سطح دریا مقایسه کردند. [ 21 ]
  • طول عمر ذرات تولید شده در شتاب دهنده های ذرات به دلیل اتساع زمانی طولانی تر است. در چنین آزمایش‌هایی، «ساعت» زمانی است که فرآیندهای منجر به فروپاشی میون می‌شوند و این فرآیندها در میون متحرک با «سرعت ساعت» خودش انجام می‌شود که بسیار کندتر از ساعت آزمایشگاهی است. این به طور معمول در فیزیک ذرات مورد توجه قرار می گیرد و اندازه گیری های اختصاصی زیادی انجام شده است. برای مثال، در حلقه ذخیره‌سازی میون در CERN، طول عمر میون‌هایی که با γ = 29.327 در گردش هستند، به 64.378 میکروثانیه گشاد می‌شوند که اتساع زمانی را با دقت 0.4 ± 0.9 قسمت در هزار تأیید می‌کند. [ 22 ]

اثر داپلر

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: آزمایش ایوز-استیلول

  • هدف بیان شده توسط ایوز و استیلول (1938، 1941) از این آزمایش‌ها تأیید اثر اتساع زمانی پیش‌بینی‌شده توسط نظریه اتر لارمور-لورنتز، ناشی از حرکت از طریق اتر با استفاده از پیشنهاد انیشتین بود که اثر داپلر در پرتوهای کانال ، یک اثر مناسب را ارائه می‌دهد. آزمایش این آزمایش‌ها تغییر داپلر تابش ساطع شده از پرتوهای کاتدی را هنگامی که مستقیماً از جلو و مستقیم از پشت مشاهده می‌شد اندازه‌گیری کردند. فرکانس‌های بالا و پایین شناسایی‌شده مقادیر پیش‌بینی‌شده کلاسیک نبودند:{\displaystyle {\frac {f_{0}}{1-v/c}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {f_{0}}{1+v/c}}}فرکانس های بالا و پایین تابش از منابع متحرک به صورت زیر اندازه گیری شد: [ 23 ]{\displaystyle {\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1+v/c\right)f_{0}\qquad { \text{and}}\qquad {\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1-v/c\right)f_{ 0}\,}همانطور که انیشتین (1905) از تبدیل لورنتس استنباط کرد ، زمانی که منبع توسط عامل لورنتس کند می شود.
  • Hasselkamp، Mondry و Scharmann [ 24 ] (1979) تغییر داپلر را از منبعی که در زوایای قائم به سمت خط دید حرکت می کند، اندازه گیری کردند. کلی ترین رابطه بین فرکانس تابش از منابع متحرک به شرح زیر است:{\displaystyle f_{\mathrm {detected} }=f_{\mathrm {rest} }{\left(1-{\frac {v}{c}}\cos \phi \right)/{\sqrt {1- {v^{2}}/{c^{2}}}}}}همانطور که انیشتین (1905) استنباط کرد. [ 25 ] برای ϕ = 90 درجه ( cos φ = 0 ) این به f شناسایی شده = f استراحت γ کاهش می یابد . این فرکانس پایین تر از منبع متحرک را می توان به اثر اتساع زمان نسبت داد و اغلب اثر داپلر عرضی نامیده می شود و توسط نسبیت پیش بینی می شود.
  • در سال 2010 اتساع زمانی با سرعت کمتر از 10 متر بر ثانیه با استفاده از ساعت های اتمی نوری که توسط 75 متر فیبر نوری متصل شده بودند مشاهده شد. [ 26 ]

زمان مناسب و نمودار مینکوفسکی

[ ویرایش ]

نمودار مینکوفسکی و پارادوکس دوقلو

ساعت C در حرکت نسبی بین دو ساعت همگام A و B. C در d با A ملاقات می کند و B در f .

پارادوکس دوقلو . یکی از دوقلوها باید فریم‌ها را تغییر دهد، که منجر به زمان‌های مناسب در خطوط دنیای دوقلو می‌شود.

در نمودار مینکوفسکی از تصویر اول در سمت راست، ساعت C که در قاب اینرسی S′ قرار دارد، با ساعت A در d و ساعت B در f (هر دو در S قرار دارند) ملاقات می کند. هر سه ساعت به طور همزمان در S شروع به تیک زدن می کنند. خط جهانی A محور ct است، خط جهانی B که f را قطع می کند موازی با محور ct است و خط جهانی C محور ct' است. همه رویدادهای همزمان با d در S در محور x و در S در محور x قرار دارند.

زمان مناسب بین دو رویداد با یک ساعت موجود در هر دو رویداد نشان داده می شود. [ 27 ] ثابت است، یعنی در تمام فریم های اینرسی توافق شده است که این زمان توسط آن ساعت نشان داده شود. بنابراین، بازه df زمان مناسب ساعت C است و نسبت به زمان مختصات ef=dg ساعت‌های B و A در S کوتاه‌تر است. برعکس، همچنین زمان مناسب ef از B نسبت به زمان کوتاه‌تر است اگر در S باشد. "، زیرا رویداد e در زمان i به دلیل نسبیت همزمانی، مدتها قبل از اینکه C شروع به تیک زدن کند، در S اندازه گیری شد.

از آنجا می توان دریافت که زمان مناسب بین دو رویداد که با یک ساعت بدون شتاب موجود در هر دو رویداد نشان داده می شود، در مقایسه با زمان مختصات هماهنگ اندازه گیری شده در تمام فریم های اینرسی دیگر، همیشه حداقل فاصله زمانی بین آن رویدادها است. با این حال، فاصله بین دو رویداد همچنین می‌تواند با زمان مناسب ساعت‌های شتاب‌دار موجود در هر دو رویداد مطابقت داشته باشد. در تمام زمان‌های مناسب ممکن بین دو رویداد، زمان مناسب ساعت بدون شتاب حداکثر است ، که راه‌حل پارادوکس دوقلو است . [ 27 ]

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 23:28 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

1-اتساع زمان

این مقاله در مورد یک مفهوم فیزیکی است. برای اصطلاح مورد استفاده در روانشناسی، به ادراک زمان مراجعه کنید .

نسبیت خاص
خط جهان: نمایش نموداری فضازمان
نشان می دهد

پایه ها

نشان می دهد

عواقب

نشان می دهد

فضا-زمان

نشان می دهد

دینامیک

نشان می دهد
نشان می دهد

مردم

اتساع زمان ، تفاوت در زمان سپری شده است که توسط دو ساعت اندازه‌گیری می‌شود، یا به دلیل سرعت نسبی بین آنها ( نسبیت خاص )، یا تفاوت در پتانسیل گرانشی بین مکان‌های آنها ( نسبیت عام ). وقتی نامشخص باشد، "اتساع زمانی" معمولاً به اثر ناشی از سرعت اشاره دارد.

پس از جبران تأخیرهای سیگنال متغیر ناشی از تغییر فاصله بین ناظر و ساعت متحرک (یعنی اثر داپلر )، ناظر ساعت متحرک را با کندی تیک تاک تر از ساعت در حالت سکون در چارچوب مرجع خود ناظر اندازه گیری می کند . بین اتساع زمان نسبیتی مشاهده شده و اندازه‌گیری شده تفاوت وجود دارد - ناظر اتساع زمان را به همان روشی که آن را اندازه‌گیری می‌کند، به صورت بصری درک نمی‌کند. [ 1 ] علاوه بر این، ساعتی که نزدیک به یک جسم پرجرم است (و بنابراین در پتانسیل گرانشی پایین‌تری قرار دارد) زمان سپری شده کمتری را نسبت به ساعتی که دورتر از همان جسم پرجرم قرار دارد (و در پتانسیل گرانشی بالاتری قرار دارد) ثبت می‌کند. .

این پیش‌بینی‌های تئوری نسبیت بارها توسط آزمایش تأیید شده‌اند، و برای مثال در عملکرد سیستم‌های ناوبری ماهواره‌ای مانند GPS و گالیله مورد توجه عملی هستند . [ 2 ]

تاریخچه

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تاریخچه نسبیت خاص

اتساع زمان توسط عامل لورنتس توسط چندین نویسنده در آغاز قرن بیستم پیش‌بینی شد. [ 3 ] [ 4 ] جوزف لارمور (1897) نوشت که حداقل برای کسانی که به دور یک هسته می چرخند، تک تک الکترون ها قسمت های متناظر مدار خود را در زمان های کوتاه تر برای سیستم [بقیه] در نسبت توصیف می کنند:2{\textstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}. [ 5 ] امیل کوهن (1904) به طور خاص این فرمول را به نرخ ساعت ها مرتبط کرد. [ 6 ] در زمینه نسبیت خاص ، آلبرت انیشتین (1905) نشان داد که این اثر مربوط به ماهیت خود زمان است، و او همچنین اولین کسی بود که به تقارن یا متقابل بودن آن اشاره کرد. [ 7 ] متعاقباً، هرمان مینکوفسکی (1907) مفهوم زمان مناسب را معرفی کرد که معنای اتساع زمان را بیشتر روشن کرد. [ 8 ]

اتساع زمان ناشی از یک سرعت نسبی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: نسبیت خاص § اتساع زمان

از چارچوب مرجع محلی ساعت آبی، ساعت قرمز که در حال حرکت است، با تیک تاک کندتر اندازه گیری می شود. [ 9 ]

نسبیت خاص نشان می دهد که برای یک ناظر در چارچوب مرجع اینرسی ، ساعتی که نسبت به ناظر در حال حرکت است اندازه گیری می شود تا کندتر از یک ساعت در حالت سکون در چارچوب مرجع ناظر تیک تیک بزند. گاهی اوقات به این اتساع زمان نسبیتی خاص گفته می شود. هر چه سرعت نسبی سریعتر باشد ، اتساع زمانی بین آنها بیشتر می شود و با نزدیک شدن یک ساعت به سرعت نور (299792458 متر بر ثانیه) زمان تا حد توقف کاهش می یابد.

در تئوری، اتساع زمان این امکان را برای مسافران در یک وسیله نقلیه سریع السیر فراهم می کند که در مدت زمان کوتاهی از زمان خود به آینده پیشروی کنند. با سرعت های به اندازه کافی بالا، اثر چشمگیر خواهد بود. برای مثال، یک سال سفر ممکن است معادل ده سال روی زمین باشد. در واقع، یک شتاب ثابت 1 گرمی به انسان این امکان را می‌دهد که در طول یک عمر انسان در سراسر جهان شناخته شده سفر کند . [ 10 ]

با توجه به اینکه فناوری فعلی سرعت سفر فضایی را به شدت محدود می کند، تفاوت های تجربه شده در عمل بسیار ناچیز است. پس از 6 ماه اقامت در ایستگاه فضایی بین المللی (ISS)، که با سرعتی در حدود 7700 متر بر ثانیه به دور زمین می چرخد، یک فضانورد حدود 0.005 ثانیه کمتر از سن خود در زمین پیر می شود. [ 11 ] فضانوردان سرگئی کریکالف و سرگئی آودیف هر دو اتساع زمانی حدود 20 میلی ثانیه را در مقایسه با زمانی که روی زمین سپری می‌کردند، تجربه کردند. [ 12 ] [ 13 ]

استنتاج ساده

[ ویرایش ]

سمت چپ : ناظر در حالت استراحت زمان 2 لیتر بر سانتی‌گراد را بین رویدادهای محلی تولید سیگنال نور در A و رسیدن به A اندازه‌گیری می‌کند.
راست : رویدادها بر اساس حرکت ناظری که به سمت چپ تنظیمات حرکت می‌کند: آینه پایین A زمانی که سیگنال تولید می‌شود زمان t'= 0، آینه بالا B هنگامی که سیگنال در زمان t'=D/c منعکس می شود ، آینه پایین A زمانی که سیگنال در زمان t'=2D/c برمی گردد

اتساع زمان را می توان از ثبات مشاهده شده سرعت نور در تمام چارچوب های مرجع که توسط فرض دوم نسبیت خاص دیکته می شود استنباط کرد . این ثبات سرعت نور به این معنی است که برخلاف شهود، سرعت اجسام مادی و نور افزایشی نیستند. نمی توان با حرکت به سمت منبع نور یا دور شدن از آن، سرعت نور را بیشتر جلوه داد. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]

سپس یک ساعت عمودی ساده متشکل از دو آینه A و B را در نظر بگیرید که بین آنها یک پالس نوری در حال تابیدن است. جداسازی آینه ها L است و هر بار که پالس نور به آینه A برخورد می کند، ساعت یک بار تیک می زند .

در کادری که ساعت در آن استراحت می کند (به قسمت سمت چپ نمودار مراجعه کنید)، پالس نور مسیری به طول 2 لیتر و دوره زمانی بین تیک های ساعت را مشخص می کند.Δتی{\displaystyle \Delta t}برابر است با 2 L تقسیم بر سرعت نور c :

{\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}

از چارچوب مرجع ناظری متحرک که با سرعت v نسبت به قاب استراحت ساعت (قسمت سمت راست نمودار) حرکت می کند، پالس نور به عنوان مسیری طولانی تر و زاویه دار 2D دیده می شود . ثابت نگه داشتن سرعت نور برای همه ناظران اینرسی مستلزم طولانی شدن (یعنی اتساع) بازه زمانی بین تیک های این ساعت است.Δتی"{\displaystyle \Delta t'}از دید ناظر متحرک یعنی همانطور که در یک قاب در حال حرکت نسبت به ساعت محلی اندازه گیری می شود، این ساعت آهسته تر اجرا می شود (که در حال تیک تیک است) زیرا نرخ تیک برابر با یک در بازه زمانی بین تیک{\displaystyle \Delta t'}.

کاربرد مستقیم قضیه فیثاغورث منجر به پیش‌بینی معروف نسبیت خاص می‌شود:

مجموع زمان پالس نور برای ردیابی مسیر خود به صورت زیر داده می شود:

{\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}

طول نیم مسیر را می توان به عنوان تابعی از کمیت های شناخته شده به صورت زیر محاسبه کرد:

{\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}

حذف متغیرهای D و L از این سه معادله منجر به موارد زیر می شود:

معادله اتساع زمان

{\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\gamma }{\ دلتا t}}

که بیانگر این واقعیت است که دوره ناظر متحرک از ساعتΔتی"{\displaystyle \Delta t'}طولانی تر از دوره استΔتی{\displaystyle \Delta t}در قاب خود ساعت گامای عامل لورنتس ( γ ) به صورت [ 18 ] تعریف می شود.

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

از آنجایی که تمام ساعت‌هایی که دارای یک دوره مشترک در قاب استراحت هستند، زمانی که از قاب متحرک مشاهده می‌شوند باید یک دوره مشترک داشته باشند، همه ساعت‌های دیگر - مکانیکی، الکترونیکی، نوری (مانند یک نسخه افقی یکسان از ساعت در مثال) - باید نشان دهند. همان اتساع زمان وابسته به سرعت. [ 1

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 23:21 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

تابع تحلیلی یک ماتریس

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

(از تابع ماتریس هدایت شده است )

در ریاضیات ، هر تابع تحلیلی را می توان برای تعریف یک تابع ماتریسی استفاده کرد که ماتریس های مربعی با ورودی های پیچیده را به ماتریس های مربعی هم اندازه نگاشت می کند.

این برای تعریف نمایی یک ماتریس استفاده می شود که در حل شکل بسته سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی دخالت دارد .

بسط تابع اسکالر به توابع ماتریسی

[ ویرایش ]

چندین تکنیک برای بالا بردن یک تابع واقعی به یک تابع ماتریس مربع وجود دارد به طوری که خواص جالب حفظ می شود. همه تکنیک‌های زیر یک تابع ماتریس را به دست می‌دهند، اما دامنه‌هایی که تابع بر روی آنها تعریف می‌شود ممکن است متفاوت باشد.

سری پاور

[ ویرایش ]

اگر تابع تحلیلی f دارای بسط تیلور باشد{\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }سپس یک تابع ماتریس {\displaystyle A\mapsto f(A)}را می توان با جایگزینی x با ماتریس مربع تعریف کرد : توان ها به توان های ماتریسی تبدیل می شوند ، اضافات به مجموع ماتریس و ضرب در ضرایب تبدیل به ضرب های اسکالر می شوند . اگر سری برای{\displaystyle |x|<r}، سپس سری ماتریس مربوطه برای ماتریس های A همگرا می شود به طوری که{\displaystyle \|A\|<r}برای برخی از هنجارهای ماتریسی که ارضا می شود{\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}.

ماتریس های قطری

[ ویرایش ]

یک ماتریس مربع A قابل قطر است ، اگر یک ماتریس معکوس P وجود داشته باشد به طوری که{\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}یک ماتریس مورب است ، یعنی D شکل دارد.{\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}

همانطور که {\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}تنظیم طبیعی است.{\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n}) \end{bmatrix}}\,P^{-1}.}

می توان تأیید کرد که ماتریس f ( A ) به انتخاب خاصی از P بستگی ندارد .

به عنوان مثال، فرض کنید یکی در حال جستجو است{\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}برای.{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.

یکی دارد ،{\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}برای .{\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end {bmatrix}}~.}

سپس استفاده از فرمول به سادگی نتیجه می دهد{\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6} }}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0. 4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}

{\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6} }}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4} \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} 73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}

تجزیه اردن

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فرم معمولی جردن

همه ماتریس های پیچیده، چه قطری باشند و چه نباشند، یک شکل عادی جردن دارند الف=پجیپ-1{\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}، که در آن ماتریس J از بلوک های جردن تشکیل شده است . این بلوک ها را به طور جداگانه در نظر بگیرید و سری قدرت را برای بلوک جردن اعمال کنید:

{\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\ frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}( \lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\ vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}

از این تعریف می توان برای گسترش دامنه تابع ماتریس به فراتر از مجموعه ماتریس هایی با شعاع طیفی کوچکتر از شعاع همگرایی سری توان استفاده کرد. توجه داشته باشید که ارتباطی با تفاوت های تقسیم شده نیز وجود دارد .

یک مفهوم مرتبط، تجزیه جردن-شوالی است که یک ماتریس را به عنوان مجموع یک قسمت مورب و یک بخش بدون توان بیان می کند.

ماتریس های هرمیتی

[ ویرایش ]

یک ماتریس هرمیتی دارای همه مقادیر ویژه واقعی است و همیشه می‌توان آن را با یک ماتریس واحد P مطابق قضیه طیفی مورب قرار داد . در این صورت تعریف اردن طبیعی است. علاوه بر این، این تعریف به فرد اجازه می دهد تا نابرابری های استاندارد را برای توابع واقعی گسترش دهد:

اگر

{\displaystyle f(a)\leq g(a)}برای همه مقادیر ویژه {\displaystyle A}، سپس

{\displaystyle f(A)\preceq g(A)}. (به عنوان یک کنوانسیون

{\displaystyle X\preceq Y\فلش سمت راست YX}یک ماتریس مثبت-نیمه معین است .) اثبات مستقیماً از تعریف به دست می آید.

انتگرال کوشی

[ ویرایش ]

فرمول انتگرال کوشی از تجزیه و تحلیل پیچیده همچنین می تواند برای تعمیم توابع اسکالر به توابع ماتریس استفاده شود. فرمول انتگرال کوشی بیان می کند که برای هر تابع تحلیلی f تعریف شده در مجموعه D ⊂ C ، یک تابع ،{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{zx}}\,\mathrm {d} z ~،}که در آن C یک منحنی ساده بسته در داخل دامنه D است که x را در بر می گیرد .

حال، x را با یک ماتریس A جایگزین کنید و یک مسیر C را در داخل D در نظر بگیرید که تمام مقادیر ویژه A را در بر می گیرد . یک امکان برای دستیابی به این امر این است که اجازه دهیم C دایره ای در اطراف مبدا با شعاع بزرگتر از ‖ A‖ برای یک هنجار ماتریس دلخواه‖ · ‖ باشد . سپس، f  ( A ) توسط قابل تعریف است

{\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}

این انتگرال را می توان به راحتی با استفاده از قانون ذوزنقه که به صورت نمایی در این مورد همگرا می شود ، به صورت عددی ارزیابی کرد. این بدان معناست که دقت نتیجه با دو برابر شدن تعداد گره ها دو برابر می شود. در موارد معمول، این با فرمول سیلوستر دور زده می شود .

این ایده برای عملگرهای خطی محدود در فضای Banach اعمال می‌شود ، که می‌توانند به عنوان ماتریس‌های بی‌نهایت دیده شوند، منجر به حساب تابعی هولومورف می‌شود .

همچنین ببینید: فرمول سیلوستر

اغتشاشات ماتریسی

[ ویرایش ]

سری قدرت تیلور بالا اجازه اسکالر را می دهدx{\displaystyle x}با ماتریس جایگزین شود. این به طور کلی در هنگام گسترش از نظر درست نیست

{\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}در مورد{\displaystyle \eta =0}مگر اینکه

{\displaystyle [A,B]=0}. یک مثال متقابل است

{\displaystyle f(x)=x^{3}}که دارای یک سری تیلور با طول محدود است . ما این را به دو صورت محاسبه می کنیم،

  • قانون توزیع
  • {\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^ {2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}
  • استفاده از بسط تیلور اسکالر برای
  • {\displaystyle f(a+\eta b)}{\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\ frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em] &=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^ {3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{تراز شده}}}

عبارت اسکالر جابجایی را فرض می کند در حالی که عبارت ماتریس اینطور نیست، و بنابراین نمی توان آنها را مستقیماً معادل سازی کرد مگر اینکه

{\displaystyle [A,B]=0}. برای برخی از f ( x ) می توان با استفاده از روش مشابه سری تیلور اسکالر برخورد کرد. به عنوان مثال

{\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}. اگر

{\displaystyle A^{-1}}در آن زمان وجود دارد

{\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}. سپس بسط اولین ترم از سری توان ارائه شده در بالا پیروی می کند.

{\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^ {2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}

سپس معیارهای همگرایی سری توان اعمال می شود، که نیاز دارد

{\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }تحت هنجار ماتریس مناسب به اندازه کافی کوچک باشد. برای مسائل کلی‌تر، که نمی‌توان آن‌ها را به گونه‌ای بازنویسی کرد که دو ماتریس جابجا شوند، ترتیب محصولات ماتریسی تولید شده با استفاده مکرر از قانون لایب‌نیتس باید ردیابی شود.

تابع دلخواه یک ماتریس 2×2

[ ویرایش ]

یک تابع دلخواه f ( A ) از یک ماتریس 2×2 A دارای فرمول سیلوستر آن ساده شده است.

{\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac { tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\ frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}که

{\displaystyle \lambda _{\pm }}مقادیر ویژه معادله مشخصه آن است، | A − λI | = 0 ، و توسط داده می شود.{\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^ {2}-|A|}}.}با این حال، اگر انحطاط وجود داشته باشد، از فرمول زیر استفاده می شود، که در آن f' مشتق f است.{\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}} IA\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}

نمونه ها

[ ویرایش ]

کلاس های توابع ماتریسی

[ ویرایش ]

با استفاده از ترتیب نیمه معین

{\displaystyle X\preceq Y\فلش سمت راست YX}مثبت-نیمه معین است و

{\displaystyle X\prec Y\Leftrightarrow YX}قطعی مثبت است )، برخی از کلاس های توابع اسکالر را می توان به توابع ماتریسی ماتریس های هرمیتی تعمیم داد . [ 2 ]

اپراتور یکنواخت

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع یکنواخت اپراتور

تابع f عملگر یکنواخت اگر و فقط اگر نامیده می شود{\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}برای همه ماتریس های خود الحاقی A , H با طیف در حوزه f . این مشابه تابع یکنواخت در حالت اسکالر است.

عملگر مقعر/محدب

[ ویرایش ]

تابع f عملگر مقعر اگر و فقط اگر نامیده می شود{\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}برای همه ماتریس های خود الحاقی A ، H با طیف در حوزه f و

{\displaystyle \tau \در [0,1]}. این تعریف مشابه تابع اسکالر مقعر است . یک تابع محدب عملگر را می توان سوئیچینگ تعریف کرد{\displaystyle \preceq }به{\displaystyle \succeq }در تعریف بالا

نمونه ها

[ ویرایش ]

لاگ ماتریس هم یکنواخت و هم عملگر مقعر است. مربع ماتریس عملگر محدب است. ماتریس نمایی هیچ کدام از اینها نیست. قضیه لونر بیان می کند که تابعی در بازه باز عملگر یکنواخت است اگر و تنها در صورتی که دارای امتداد تحلیلی به نیم صفحه مختلط بالا و پایین باشد به طوری که نیمه صفحه بالایی با خودش نگاشت شود. [ 2 ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function_of_a_matrix

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 20:34 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

لگاریتم یک ماتریس

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

(برگرفته از لگاریتم ماتریس )

در ریاضیات ، لگاریتم یک ماتریس، ماتریس دیگری است به طوری که ماتریس نمایی ماتریس دوم برابر با ماتریس اصلی است. بنابراین تعمیم لگاریتم اسکالر و به نوعی تابع معکوس ماتریس نمایی است . همه ماتریس ها لگاریتم ندارند و ماتریس هایی که لگاریتم دارند ممکن است بیش از یک لگاریتم داشته باشند. مطالعه لگاریتم‌های ماتریس‌ها به نظریه دروغ منجر می‌شود ، زیرا وقتی یک ماتریس دارای لگاریتم است، در عنصری از گروه Lie قرار می‌گیرد و لگاریتم عنصر متناظر فضای برداری جبر Lie است .

تعریف

[ ویرایش ]

نمایی یک ماتریس A با تعریف می شود

{\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}.

با توجه به ماتریس B ، اگر e A = B باشد ، ماتریس A دیگر لگاریتم ماتریسی B است .

زیرا تابع نمایی برای اعداد مختلط دوگانه نیست (مثلاً{\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}اعداد می توانند چندین لگاریتم پیچیده داشته باشند و در نتیجه برخی از ماتریس ها ممکن است بیش از یک لگاریتم داشته باشند، همانطور که در زیر توضیح داده شده است. اگر لگاریتم ماتریس ازب{\displaystyle B}وجود دارد و منحصر به فرد است، سپس به صورت نوشته می شودورود به سیستم⁡ب،{\displaystyle \log B,}در این صورته ورود به {\displaystyle e^{\log B}=B.}

بیان سری قدرت

[ ویرایش ]

اگر B به اندازه کافی به ماتریس هویت نزدیک باشد، می توان لگاریتم B را با استفاده از سری توان محاسبه کرد.

{\displaystyle \log(B)=\log(I+(BI))=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}} (BI)^{k}=(BI)-{\frac {(BI)^{2}}{2}}+{\frac {(BI)^{3}}{3}}-\cdots }،

که می توان آن را بازنویسی کرد

{\displaystyle \log(B)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(IB)^{k}}{k}}=-(IB)-{\frac {( IB)^{2}}{2}}-{\frac {(IB)^{3}}{3}}-\cdots }.

به طور خاص، اگر{\displaystyle \left\|IB\right\|<1}، سپس سری قبل همگرا می شود و {\displaystyle e^{\log(B)}=B}. [ 1 ]

مثال: لگاریتم چرخش در صفحه

[ ویرایش ]

چرخش در هواپیما مثال ساده ای را ارائه می دهد. چرخش زاویه α حول مبدا با ماتریس 2×2 نشان داده می شود

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\\\end{pmatrix}}.}

برای هر عدد صحیح n ، ماتریس

{\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}

لگاریتمی از A است .

نشان می دهد

اثبات

بنابراین، ماتریس A بی نهایت لگاریتم دارد. این مربوط به این واقعیت است که زاویه چرخش فقط تا مضرب 2 π تعیین می شود .

در زبان تئوری دروغ، ماتریس های چرخش A عناصری از گروه Lie SO(2) هستند . لگاریتم های مربوطه B عناصر جبر Lie so(2) هستند که از همه ماتریس های متقارن-کول تشکیل شده است . ماتریس

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}

مولد جبر Lie so(2) است.

وجود

[ ویرایش ]

این سؤال که آیا یک ماتریس دارای لگاریتم است یا خیر، وقتی در تنظیمات مختلط در نظر گرفته شود، ساده ترین پاسخ را دارد. یک ماتریس مختلط لگاریتمی دارد اگر و فقط اگر معکوس باشد . [ 2 ] لگاریتم یکتا نیست، اما اگر یک ماتریس مقادیر ویژه واقعی منفی نداشته باشد ، لگاریتم منحصربه‌فردی وجود دارد که همه مقادیر ویژه در نوار قرار دارند.{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}. این لگاریتم به لگاریتم اصلی معروف است . [ 3 ]

پاسخ بیشتر در محیط واقعی دخیل است. یک ماتریس واقعی یک لگاریتم واقعی دارد اگر و فقط اگر معکوس باشد و هر بلوک جردن متعلق به یک مقدار ویژه منفی چند بار زوج اتفاق بیفتد. [ 4 ] اگر یک ماتریس واقعی معکوس شرط بلوک های جردن را برآورده نکند، آنگاه فقط لگاریتم های غیر واقعی دارد. این را می توان در حالت اسکالر مشاهده کرد: هیچ شاخه ای از لگاریتم نمی تواند در -1 واقعی باشد. وجود لگاریتم های ماتریس واقعی ماتریس های 2×2 واقعی در بخش بعدی در نظر گرفته شده است.

خواص

[ ویرایش ]

اگر A و B هر دو ماتریس های مثبت - معین هستند ، پس

{\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}

فرض کنید که A و B رفت و آمد می کنند، به این معنی که AB = BA . سپس

{\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}}

اگر و فقط اگر{\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}، که{\displaystyle \mu _{j}}یک مقدار ویژه ازالف{\displaystyle A}وνj{\displaystyle \nu _{j}}مقدار ویژه مربوط به است{\displaystyle B}{\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}وقتی A و B رفت و آمد دارند و هر دو مثبت-معین هستند . تنظیم B = A -1 در این معادله به دست می آید

{\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}

به همین ترتیب، برای عدم رفت و آمدالف{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}، می توان نشان داد که [ 6 ]

{\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\ frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}

به طور کلی، گسترش سری{\displaystyle \log {(A+tB)}}در اختیارات {\displaystyle t}را می توان با استفاده از تعریف انتگرالی لگاریتم به دست آورد

{\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}}،}

برای هر دو اعمال می شود{\displaystyle X=A}و{\displaystyle X=A+tB}در حد{\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }.

مثال دیگر: لگاریتم چرخش در فضای سه بعدی

[ ویرایش ]

یک چرخش R∈ SO(3) درآر{\displaystyle \mathbb {R} }3 توسط یک ماتریس متعامد 3×3 داده می شود .

لگاریتم چنین ماتریس چرخشی R را می توان به راحتی از قسمت ضد متقارن فرمول چرخش رودریگز ، به صراحت در زاویه محور محاسبه کرد . این لگاریتم حداقل هنجار فروبنیوس را به دست می‌دهد ، اما زمانی که R دارای مقادیر ویژه برابر با -1 باشد، در جایی که این مقدار منحصر به فرد نیست، شکست می‌خورد.

همچنین توجه داشته باشید که با توجه به ماتریس های چرخش A و B ،

{\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}}

فاصله ژئودزیکی روی منیفولد سه بعدی ماتریس های چرخشی است.

محاسبه لگاریتم یک ماتریس قابل قطر

[ ویرایش ]

روشی برای یافتن log A برای ماتریس قابل قطر A به صورت زیر است:

ماتریس V بردارهای ویژه A را پیدا کنید (هر ستون V بردار ویژه A است ).

معکوس V -1 V را پیدا کنید .

اجازه دهید

{\displaystyle A'=V^{-1}AV.}

سپس A یک ماتریس مورب خواهد بود که عناصر قطری آن مقادیر ویژه A هستند .

برای بدست آوردن هر عنصر مورب A ' را با لگاریتم (طبیعی) آن جایگزین کنید{\displaystyle \log A'}.

سپس

{\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.}

اینکه لگاریتم A ممکن است یک ماتریس مختلط باشد حتی اگر A واقعی باشد، پس از این واقعیت ناشی می‌شود که یک ماتریس با ورودی‌های واقعی و مثبت ممکن است دارای مقادیر ویژه منفی یا حتی پیچیده باشد (این امر برای ماتریس‌های چرخشی صادق است ). غیر یکتا بودن لگاریتم یک ماتریس از غیر یکتا بودن لگاریتم یک عدد مختلط ناشی می شود.

لگاریتم یک ماتریس غیرقابل قطر

[ ویرایش ]

الگوریتم نشان داده شده در بالا برای ماتریس های غیرقابل قطر، مانند

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.

برای چنین ماتریس‌هایی باید تجزیه Jordan آن را پیدا کرد و به جای محاسبه لگاریتم ورودی‌های مورب مانند بالا، لگاریتم بلوک‌های Jordan را محاسبه کرد .

مورد دوم با توجه به این که می توان یک بلوک جردن را به عنوان نوشت انجام می شود

{\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1^& {-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1 }\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}

که در آن K ماتریسی با صفرهای روی قطر اصلی و زیر آن است. (عدد λ با این فرض که ماتریسی که لگاریتم آن را می‌گیریم معکوس است، غیرصفر است.)

سپس توسط سری Mercator

{\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots }

یکی می گیرد

{\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I +K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }

این سری تعداد جمله‌های متناهی دارد ( اگر m برابر یا بزرگتر از بعد K باشد ، Km صفر است )، و بنابراین مجموع آن به خوبی تعریف شده است.

مثال. با استفاده از این رویکرد، شخص می یابد

{\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}

که می توان با وصل کردن سمت راست به ماتریس نمایی تأیید کرد:{\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}} \underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}. }

دیدگاه تحلیل عملکردی

[ ویرایش ]

یک ماتریس مربع نشان دهنده یک عملگر خطی در فضای اقلیدسی R n است که در آن n بعد ماتریس است. از آنجایی که چنین فضایی دارای ابعاد محدود است، این عملگر در واقع محدود است .

با استفاده از ابزار حساب تابعی هولومورف ، با توجه به یک تابع هولومورفیک f تعریف شده در یک مجموعه باز در صفحه مختلط و یک عملگر خطی محدود T ، تا زمانی که f در طیف T تعریف شده است ، می توان f ( T ) را محاسبه کرد .

تابع f ( z ) = log z را می توان بر روی هر مجموعه باز متصل ساده در صفحه مختلط که مبدأ را شامل نمی شود، تعریف کرد و در چنین دامنه ای هولومورفیک است. این بدان معناست که تا زمانی می توان ln T را تعریف کرد تا زمانی که طیف T شامل مبدا نباشد و مسیری از مبدأ تا بی نهایت وجود داشته باشد که از طیف T عبور نمی کند (به عنوان مثال، اگر طیف T یک دایره با منشاء داخل آن، نمی توان ln T را تعریف کرد ).

طیف یک عملگر خطی روی R n مجموعه ای از مقادیر ویژه ماتریس آن است و به همین ترتیب یک مجموعه محدود است. تا زمانی که مبدأ در طیف نباشد (ماتریس معکوس است)، شرط مسیر از پاراگراف قبلی برآورده می شود و ln T به خوبی تعریف شده است. منحصر به فرد نبودن لگاریتم ماتریس از این واقعیت ناشی می شود که می توان بیش از یک شاخه از لگاریتم را انتخاب کرد که بر روی مجموعه مقادیر ویژه یک ماتریس تعریف شده است.

دیدگاه تئوری گروه لی

[ ویرایش ]

در نظریه گروه های لی ، یک نقشه نمایی از جبر لی وجود دارد {\displaystyle {\mathfrak {g}}}به گروه لی مربوطه G

{\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}

برای گروه‌های Lie ماتریسی، عناصرg{\displaystyle {\mathfrak {g}}}و G ماتریس های مربعی هستند و نقشه نمایی با ماتریس نمایی داده می شود . نقشه {\displaystyle \log =\exp ^{-1}}چند ارزشی است و با لگاریتم ماتریسی که در اینجا مورد بحث قرار گرفته است، منطبق است. لگاریتم از گروه لی G به جبر دروغ نگاشت می شودg{\displaystyle {\mathfrak {g}}}. توجه داشته باشید که نقشه نمایی یک دیفئومورفیسم محلی بین یک همسایگی U از ماتریس صفر است.{\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}و یک همسایگی V از ماتریس هویت{\displaystyle {\underline {1}}\in G}. [ 7 ] بنابراین لگاریتم (ماتریسی) به خوبی به عنوان یک نقشه تعریف شده است،

{\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}

نتیجه مهم فرمول ژاکوبی است

{\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}

محدودیت ها در مورد 2 × 2

[ ویرایش ]

اگر یک ماتریس واقعی 2×2 دارای یک دترمینان منفی باشد ، لگاریتم واقعی ندارد. ابتدا توجه داشته باشید که هر ماتریس واقعی 2 × 2 را می توان یکی از سه نوع عدد مختلط z = x + y ε , جایی که ε 2 ∈ { -1, 0, +1 } در نظر گرفت. این z یک نقطه در یک زیر صفحه مختلط از حلقه ماتریس است. [ 8 ]

حالتی که دترمینان منفی باشد فقط در صفحه ای با ε 2 = + 1 به وجود می آید که یک صفحه اعداد مختلط تقسیم است . فقط یک چهارم این صفحه تصویر نقشه نمایی است، بنابراین لگاریتم فقط روی آن یک چهارم (ربع) تعریف می شود. سه ربع دیگر تصاویری از این یکی تحت چهار گروه کلاین هستند که توسط ε و -1 ایجاد شده است.

برای مثال، اجازه دهید a = log 2 ; سپس cosh a = 5/4 و sinh a = 3/4. برای ماتریس ها، این به این معنی است

{\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}}.

بنابراین این ماتریس آخر دارای لگاریتم است

{\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}.

اما این ماتریس ها لگاریتمی ندارند:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&- 3/4\end{pmatrix}}،\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}.

آنها سه مزدوج دیگر را با چهار گروه ماتریس بالا نشان می دهند که دارای لگاریتم است.

ماتریس 2 × 2 غیر مفرد لزوماً لگاریتم ندارد، اما توسط چهار گروه به ماتریسی که دارای لگاریتم است مزدوج می شود.

همچنین نتیجه می شود که، به عنوان مثال، یک جذر از این ماتریس A مستقیماً از توان (log A )/2 بدست می آید .

{\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2) /2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.}

برای مثال غنی تر، با یک سه گانه فیثاغورثی ( p,q,r ) شروع کنید و اجازه دهید a = log( p + r ) − log q . سپس

{\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}.

در حال حاضر

{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}.

بنابراین

{\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}

دارای ماتریس لگاریتمی

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}} ،

جایی که a = log( p + r ) - log q .

https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm_of_a_matrix

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 20:17 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

توابع مثلثاتی ماتریس ها

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

توابع مثلثاتی (به ویژه سینوس و کسینوس ) برای ماتریس های مربع پیچیده در حل سیستم های مرتبه دوم معادلات دیفرانسیل رخ می دهد . [ 1 ] آنها توسط همان سری تیلور تعریف می شوند که برای توابع مثلثاتی اعداد مختلط صادق هستند : [ 2 ]

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!}}-{\frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!}}+ {\frac {X^{4}}{4!}}-{\frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{ \frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}\end{تراز شده}}}

با X n قدرت n ماتریس X است و I ماتریس هویت با ابعاد مناسب .

به طور معادل، آنها را می توان با استفاده از نمایی ماتریس به همراه معادل ماتریس فرمول اویلر ، e iX = cos X + i sin X ، تعریف کرد.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \ بیش از 2}.\end{تراز شده}}}

برای مثال، در نظر گرفتن X به عنوان یک ماتریس استاندارد پائولی ،

{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,}

یکی دارد

{\displaystyle \sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~ من~،}

و همچنین برای عملکرد سینوس کاردینال ،

{\displaystyle \operatorname {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatorname {sinc} (\theta)~I.}

همچنین ببینید: نمایش محور-زاویه § نقشه نمایی از so(3) تا SO(3)

خواص

[ ویرایش ]

آنالوگ هویت مثلثاتی فیثاغورث صادق است: [ 2 ]

{\displaystyle \sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I}

اگر X یک ماتریس مورب باشد ، sin X و cos X نیز ماتریس های مورب با (sin X ) nn = sin( X nn ) و (cos X ) nn = cos( X nn ) هستند ، یعنی می توان آنها را به سادگی محاسبه کرد. گرفتن سینوس یا کسینوس اجزای مورب ماتریس.

آنالوگ های فرمول های جمع مثلثاتی درست هستند اگر و فقط اگر XY = YX : [ 2 ]

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\ mp \sin X\sin Y\end{تراز شده}}}

توابع دیگر

[ ویرایش ]

مماس، و همچنین توابع مثلثاتی معکوس ، توابع هذلولی و معکوس هذلولی نیز برای ماتریس ها تعریف شده اند: [ 3 ]

{\displaystyle \arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {IX^{2}}}\right)}(به توابع مثلثاتی معکوس #اشکال لگاریتمی ، لگاریتم ماتریس ، ریشه مربع یک ماتریس مراجعه کنید )

{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \ بیش از 2}\end{تراز شده}}}

و غیره

https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions_of_matrices

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 16:41 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

4-ماتریس های پائولی

ماتریس چگالی

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\ cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \ ,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({ \frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left( {\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}

بر روی بردار ویژه حالت عمل می کند

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}با مقدار ویژه +1، از این رو مانند یک عملگر طرح ریزی عمل می کند .

ارتباط با عملگر جایگشت

[ ویرایش ]

فرض کنید P jk جابجایی (همچنین به عنوان جایگشت شناخته می شود) بین دو اسپین σj و σ k باشد که در فضای حاصلضرب تانسور زندگی می کنند{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}،​

{\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}

این عملگر همچنین می تواند به طور واضح تر به عنوان عملگر تبادل چرخش دیراک نوشته شود .

{\displaystyle P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+ 1\راست)~.}

بنابراین مقادیر ویژه آن [ d ] 1 یا -1 است. بنابراین ممکن است به عنوان یک اصطلاح تعاملی در هامیلتونی استفاده شود و مقادیر ویژه انرژی حالت های ویژه متقارن خود را در مقابل ضد متقارن تقسیم کند.

SU (2)

[ ویرایش ]

گروه SU(2) گروه Lie از ماتریس های واحد 2×2 با تعیین واحد است . جبر دروغ آن مجموعه ای از همه ماتریس های ضد هرمیت 2×2 با ردیابی 0 است. محاسبه مستقیم، همانطور که در بالا، نشان می دهد که جبر دروغ ستو2{\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}جبر واقعی سه بعدی است که توسط مجموعه { iσ k } پوشانده شده است . در نمادهای فشرده،

{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\ ;i\,\sigma _{3}\;\}.}

در نتیجه، هر iσj را می توان به عنوان یک مولد بی نهایت کوچک SU(2) مشاهده کرد. عناصر SU(2) نمایی از ترکیبات خطی این سه مولد هستند و همانطور که در بالا در بحث بردار پائولی نشان داده شد ضرب می شوند. اگرچه این برای تولید SU(2) کافی است، اما نمایش مناسبی از su(2) نیست ، زیرا مقادیر ویژه Pauli به طور غیر متعارف مقیاس بندی می شوند. نرمال سازی معمولی λ = ⁠ است1/2، به طوری که

{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac { \,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}.}

از آنجایی که SU(2) یک گروه فشرده است، تجزیه Cartan آن بی اهمیت است.

SO (3)

[ ویرایش ]

جبر لب است{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}نسبت به جبر لی هم شکل است

{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}، که مربوط به گروه Lie SO(3) است ، گروه چرخش ها در فضای سه بعدی. به عبارت دیگر، می‌توان گفت که iσj تحقق (و در واقع، کمترین بعدی‌ترین تحقق) از چرخش‌های بی‌نهایت کوچک در فضای سه‌بعدی است . با این حال، حتی اگر{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}وسo(3){\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}مانند جبرهای Lie هم شکل هستند، SU(2) و SO(3) مانند گروه های Lie هم شکل نیستند. SU(2) در واقع یک پوشش دوگانه از SO(3) است ، به این معنی که یک هم شکلی گروهی دو به یک از SU(2) به SO(3) وجود دارد ، رابطه بین SO(3) و SU(2) را ببینید. .

کواترنیون ها

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: Spinor § سه بعدی

گستره خطی واقعی { I , iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 } با جبر واقعی ربعات هم شکل است .اچ{\displaystyle \mathbb {H} }، با گستره بردارهای پایه نشان داده می شود

{\displaystyle \left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}.}ایزومورفیسم ازا{\displaystyle \mathbb {H} }به این مجموعه توسط نقشه زیر داده شده است (به علائم معکوس برای ماتریس های پائولی توجه کنید

{\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\،\sigma _{2}،\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\،\sigma _{3}.}

روش دیگر، ایزومورفیسم را می توان با استفاده از یک نقشه با استفاده از ماتریس های پائولی به ترتیب معکوس به دست آورد، [ 5 ]

{\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2 }\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}

به عنوان مجموعه نسخه های {\displaystyle \mathbb {H} }گروهی هم شکل با SU(2) را تشکیل می دهد ، U روش دیگری برای توصیف SU(2) ارائه می دهد . هممورفیسم دو به یک از SU(2) به SO(3) ممکن است بر حسب ماتریس های پائولی در این فرمول ارائه شود.

فیزیک

[ ویرایش ]

مکانیک کلاسیک

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: کواترنیون ها و چرخش فضایی

در مکانیک کلاسیک ، ماتریس های پائولی در زمینه پارامترهای کیلی-کلین مفید هستند. [ 6 ] ماتریس P مربوط به موقعیتx→{\displaystyle {\vec {x}}}یک نقطه در فضا بر اساس ماتریس برداری پائولی بالا تعریف می شود،

{\displaystyle P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{ z}.}

در نتیجه، ماتریس تبدیل Q θ برای چرخش‌های حول محور x از طریق زاویه θ ممکن است بر حسب ماتریس‌های پائولی و ماتریس واحد به صورت [ 6 ] نوشته شود.

{\displaystyle Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta } {2}}.}

عبارات مشابه برای چرخش های برداری عمومی پائولی همانطور که در بالا توضیح داده شد دنبال می شود.

مکانیک کوانتومی

[ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی ، هر ماتریس پائولی به یک عملگر تکانه زاویه‌ای مربوط می‌شود که مربوط به یک قابل مشاهده است که اسپین یک ذره اسپین 1⁄2 را در هر یک از سه جهت فضایی توصیف می‌کند . به عنوان یک نتیجه فوری از تجزیه Cartan که در بالا ذکر شد، iσj مولد یک نمایش تصویری ( نمایش اسپین ) از گروه چرخشی SO(3) هستند که روی ذرات غیر نسبیتی با اسپین 1/2 عمل می‌کنند . حالات ذرات به صورت اسپینورهای دو جزئی نشان داده می شوند . به همین ترتیب، ماتریس‌های پائولی با عملگر isospin مرتبط هستند .

یک ویژگی جالب ذرات اسپین 1 ⁄ 2 این است که باید با زاویه 4 π بچرخند تا به پیکربندی اولیه خود بازگردند. این به دلیل تطابق دو به یک بین SU(2) و SO(3) است که در بالا ذکر شد، و این واقعیت است که، اگرچه یک چرخش به بالا/پایین را به عنوان قطب شمال-جنوب در 2 کره S2 تجسم می کند ، آنها در واقع با بردارهای متعامد در فضای پیچیده دو بعدی هیلبرت نشان داده می شوند .

برای یک ذره اسپین 1⁄2 ، عملگر اسپین با J = ⁠ داده می شودħ/2⁠ σ ، نمایش اساسی SU (2) . با برداشت مکرر محصولات کرونکر این نمایش با خود، می‌توان تمام نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بالاتر را ساخت. یعنی عملگرهای اسپین حاصل برای سیستم‌های اسپین بالاتر در سه بعد فضایی، برای j بزرگ دلخواه، می‌توانند با استفاده از این عملگر اسپین و عملگرهای نردبان محاسبه شوند. آنها را می توان در گروه چرخش SO(3) یافت § یادداشتی در مورد جبرهای لی. فرمول آنالوگ به تعمیم فوق فرمول اویلر برای ماتریس های پائولی، عنصر گروه از نظر ماتریس های اسپین، قابل حمل است، اما کمتر ساده است. [ 7 ]

همچنین در مکانیک کوانتومی سیستم‌های چند ذره‌ای مفید است، گروه پائولی عمومی G n از تمام محصولات تانسور n برابر ماتریس‌های پاولی تشکیل شده است .

مکانیک کوانتومی نسبیتی

[ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی نسبیتی ، اسپینورها در چهار بعد ماتریس‌های 4×1 (یا 1×4) هستند. از این رو ماتریس های Pauli یا ماتریس های سیگما که روی این اسپینورها کار می کنند باید ماتریس های 4×4 باشند. آنها بر حسب ماتریس های پائولی 2 × 2 به عنوان تعریف می شوند

{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k} \end{pmatrix}}.}

از این تعریف بر می آید که {\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }ماتریس ها دارای خواص جبری مشابه با ماتریس σ k هستند .

با این حال، تکانه زاویه ای نسبیتی سه بردار نیست، بلکه یک تانسور مرتبه دوم است . از این رو {\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }باید با Σ μν ، مولد تبدیلات لورنتس در اسپینورها جایگزین شود . با ضد تقارن تکانه زاویه ای، Σ μν نیز ضد تقارن هستند. از این رو تنها شش ماتریس مستقل وجود دارد.

سه مورد اول هستند

{\displaystyle \\Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}.}سه باقی مانده

{\displaystyle \ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,}

که در آن ماتریس های Dirac α k به صورت تعریف شده اند

{\displaystyle {\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0 \end{pmatrix}}.}

ماتریس های اسپین نسبیتی Σ μν به شکل فشرده بر حسب جابجایی ماتریس های گاما نوشته می شوند .

{\displaystyle \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}.}

اطلاعات کوانتومی

[ ویرایش ]

در اطلاعات کوانتومی ، دروازه‌های کوانتومی تک کیوبیتی، ماتریس‌های واحدی 2×2 هستند . ماتریس های پائولی برخی از مهم ترین عملیات تک کیوبیتی هستند. در این زمینه، تجزیه Cartan ارائه شده در بالا "تجزیه Z–Y یک دروازه تک کیوبیتی" نامیده می شود. انتخاب یک جفت کارتن متفاوت، تجزیه X-Y مشابه یک دروازه تک کیوبیتی را به دست می‌دهد .

https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 2:6 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

3-ماتریس های پائولی

ارتباط با نقطه و ضرب متقاطع

[ ویرایش ]

بردارهای پائولی به زیبایی این روابط جابجایی و ضد جابجایی را به محصولات برداری مربوطه ترسیم می کنند. اضافه کردن کموتاتور به آنتی کموتاتور می دهد

{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\ سیگما _{j}\سیگما _{k}-\سیگما _{k}\سیگما _{j})+(\سیگما _{j}\سیگما _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\ سیگما _{j}\سیگما _{k}\end{تراز شده}}}

به طوری که،

{\displaystyle ~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~}

قراردادن هر طرف معادله با مؤلفه‌های دو بردار 3- a p و b q (که با ماتریس‌های پائولی جابجا می‌شوند، یعنی a p σ q = σ q a p ) برای هر ماتریس σ q و جزء برداری a p (و به همین ترتیب با b q ) حاصل می شود

{\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk \ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k }\delta _{jk}I\end{تراز شده}}.~}

در نهایت، ترجمه نماد شاخص برای ضرب نقطه ای و ضربدر نتیجه می شود

( {\displaystyle ~~{\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\vec {b}}\cdot {\vec { \sigma }}{\Bigr )}={\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\Bigr )}\,I+i{\Bigl (}{\vec {a}}\times {\vec {b}}{\Bigr )}\cdot {\vec {\sigma }}~~}

 ( 1 )

اگر i با شبه مقیاسی σ x σ y σ z مشخص شود ، سمت راست تبدیل می شودالف⋅ب+الف∧ب{\displaystyle a\cdot b+a\wedge b}که تعریف حاصلضرب دو بردار در جبر هندسی نیز می باشد.

اگر عملگر اسپین را J = ⁠ تعریف کنیمħ/2⁠ σ ، سپس J رابطه کموتاسیون را برآورده می کند:{\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J} }یا به طور معادل، بردار پائولی را برآورده می کند:{\displaystyle {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2 }}}

برخی از روابط ردیابی

[ ویرایش ]

ردیابی های زیر را می توان با استفاده از روابط کموتاسیون و ضد جابجایی به دست آورد.

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k }\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\ نام عامل {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left( \delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{ تراز شده}}}

اگر ماتریس σ 0 = I نیز در نظر گرفته شود، این روابط تبدیل می شوند

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\ نام عامل {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \ بتا }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{ \mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _ {\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{تراز شده}}}

که در آن شاخص های یونانی α , β , γ و μ مقادیری از {0, x , y , z } و نماد را در نظر می گیرند{\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}برای نشان دادن مجموع روی جایگشت چرخه ای شاخص های گنجانده شده استفاده می شود.

نمایی بردار پائولی

[ ویرایش ]

برای

{\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}}،\quad |{\hat {n}}|=1،}

یکی برای توان های زوج 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ... دارد .

{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I,}

که می توان ابتدا برای حالت p = 1 با استفاده از روابط anticommutation نشان داد. برای راحتی، حالت p = 0 طبق قرارداد I در نظر گرفته می شود .

برای توان های فرد، 2 q + 1، q = 0، 1، 2، 3، ...

{\displaystyle \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }} \,.}

توان ماتریس و استفاده از سری تیلور برای سینوس و کسینوس ،

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\ infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{ \hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I \sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\ \end{تراز شده}}}.

در سطر آخر، مجموع اول کسینوس است، در حالی که جمع دوم سینوس است. بنابراین، در نهایت،

{\displaystyle ~~e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=I\cos {a}+i({\hat {n}} \cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}~~}

 ( 2 )

که مشابه فرمول اویلر است که به کواترنیون ها گسترش یافته است .

توجه داشته باشید که

{\displaystyle \det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}}،

در حالی که خود تعیین کننده نمایی فقط 1 است که آن را به عنصر گروه عمومی SU(2) تبدیل می کند .

یک نسخه انتزاعی تر از فرمول (2) برای یک ماتریس عمومی 2×2 را می توان در مقاله نمایی ماتریس یافت . یک نسخه کلی از (2) برای یک تابع تحلیلی (در a و - a ) با استفاده از فرمول سیلوستر ارائه شده است ، [ 3 ]

{\displaystyle f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\ hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}.}

قانون ترکیب گروهی SU(2)

[ ویرایش ]

یک کاربرد ساده از فرمول (2) پارامتری از قانون ترکیب گروه SU(2) را فراهم می کند . [ c ] می‌توان مستقیماً برای c در حل کرد

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m} }\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b \right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m} }~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\ sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}،\end{تراز شده}}}

که ضرب گروه عمومی را مشخص می کند، جایی که، آشکارا،

{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,}قانون کروی کسینوس ها با توجه به c ، سپس

{\displaystyle {\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\ cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right).}

در نتیجه، پارامترهای چرخش ترکیبی در این عنصر گروه (یک شکل بسته از بسط BCH مربوطه در این مورد) به سادگی به [ 4 ] می رسد.

{\displaystyle e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right) \cdot {\vec {\sigma }}\right).}

(البته وقتیn^{\displaystyle {\hat {n}}}به موازات استمتر^{\displaystyle {\hat {m}}}، همینطور استک^{\displaystyle {\hat {k}}}و c = a + b .)

همچنین ببینید: فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی § بردار رودریگز و اسپینور § سه بعدی

عمل الحاقی

[ ویرایش ]

همچنین کار کردن عمل الحاقی روی بردار پائولی، یعنی چرخش هر زاویه ای، ساده است.الف{\displaystyle a}در امتداد هر محوریn^{\displaystyle {\hat {n}}}{\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat { n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n }}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\ sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}

گرفتن حاصل ضرب نقطه ای هر بردار واحد با فرمول بالا، بیان هر عملگر کیوبیتی را تحت هر چرخشی ایجاد می کند. مثلاً می توان نشان داد که

{\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\ left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right )=\سیگما _{z}}.

همچنین نگاه کنید به: فرمول چرخش رودریگز

رابطه کامل بودن

[ ویرایش ]

نماد جایگزینی که معمولاً برای ماتریس‌های پائولی استفاده می‌شود، نوشتن شاخص برداری k در بالانویس، و شاخص‌های ماتریس به عنوان زیرنویس است، به طوری که عنصر در ردیف α و ستون β ماتریس k-امین پائولی σk αβ باشد . .

در این نماد، رابطه کامل بودن ماتریس های پائولی را می توان نوشت

{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\ سیگما _{\آلفا \بتا }^{k}\,\sigma _{\گاما \دلتا }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }.}

اثبات

این واقعیت که ماتریس‌های پائولی، همراه با ماتریس هویت I ، یک مبنای متعامد برای فضای هیلبرت از همه ماتریس‌های پیچیده هرمیتی 2×2 تشکیل می‌دهند، بدین معناست که ما می‌توانیم هر ماتریس هرمیتی M را به صورت بیان کنیم

{\displaystyle M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}}که در آن c یک عدد مختلط است و a یک بردار 3 جزء و مختلط است. ساده است که با استفاده از ویژگی های ذکر شده در بالا نشان دهیم که

{\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}}که در آن " tr " نشان دهنده ردیابی است و از این رو آن را نشان می دهد

{\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\ tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M.\end{aligned}}\\[3pt]\ بنابراین ~~2\,M&=I\, \operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{تراز شده}}}که می تواند بر حسب شاخص های ماتریسی به صورت بازنویسی شود

مαβ=δαβمγγ+∑کσαβکσγδکمδγ ،{\displaystyle 2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{ k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,}که در آن جمع بر روی شاخص های مکرر γ و δ دلالت دارد . از آنجایی که این برای هر انتخابی از ماتریس M صادق است ، رابطه کامل همانطور که در بالا ذکر شد به شرح زیر است. QED

همانطور که در بالا ذکر شد، معمولاً ماتریس 2 × 2 واحد را با σ 0 نشان می دهیم ، بنابراین σ 0 αβ = δ αβ . رابطه کامل بودن را می توان به صورت متناوب بیان

{\displaystyle \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _ {\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.}

این واقعیت که هر ماتریس مختلط 2×2 هرمیتی را می توان بر حسب ماتریس هویت بیان کرد و ماتریس های پائولی نیز منجر به نمایش کره بلوخ از ماتریس چگالی 2×2 حالت مخلوط می شود ( ماتریس های نیمه معین 2×2 مثبت با ردیابی واحد این را می توان با بیان یک ماتریس هرمیتی دلخواه به صورت یک ترکیب خطی واقعی از { σ 0 مشاهده کرد . σ 1 , σ 2 , σ 3 } مانند بالا، و سپس تحمیل شرایط مثبت-نیمه معین و ردیابی 1 .

برای حالت خالص، در مختصات قطبی{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}}،}

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 2:5 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

2-ماتریس های پائولی

روابط ضد جابجایی

[ ویرایش ]

آنها همچنین روابط ضد جابجایی را برآورده می کنند :

{\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\delta _{jk}\,I,}

که{\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}}به عنوان تعریف شده است،{\displaystyle \sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j}،}و δjk دلتای کرونکر است . ماتریس همانی2 × 2 را نشان می دهد .

این روابط ضد جابجایی ماتریس های پائولی را مولدهای نمایشی از جبر کلیفورد می کند .،{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}،}نشان داده شده است .{\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R}).}

ساخت معمول ژنراتورها{\displaystyle \sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}[\sigma _{j},\sigma _{k}]}از{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}با استفاده از جبر کلیفورد، روابط کموتاسیون بالا تا فاکتورهای عددی غیر مهم را بازیابی می کند.

چند کموتاتور و ضد جابجایی صریح به عنوان مثال در زیر آورده شده است:

کموتاتورهاآنتی کموتاتورها
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\\\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\ راست]&=2i\سیگما _{3}\\\چپ[\سیگما _{2}،\سیگما _{3}\راست]&=2i\سیگما _{1}\\\چپ[\سیگما _{ 3}،\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\end{تراز شده}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{ 2}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{2}،\sigma _{3}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{3}،\sigma _{1}\right\}&=0\end{تراز شده}}}

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه

[ ویرایش ]

هر یک از ماتریس های پائولی ( هرمیتی ) دو مقدار ویژه دارند : +1 و -1 . بردارهای ویژه نرمال شده مربوطه هستند

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}،&\ psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}،\\\psi _{y+}&= {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}،\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}، &\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{تراز شده}}}

بردارهای پائولی

[ ویرایش ]

بردار پائولی با [ b ] تعریف می شو1x^1+σ2x^2+σ3x^3،{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3}،}کجاx^1{\displaystyle {\hat {x}}_{1}}،x^2{\displaystyle {\hat {x}}_{2}}، وx^3{\displaystyle {\hat {x}}_{3}}نمادی معادل برای آشناتر هستندx^{\displaystyle {\hat {x}}}،^{\displaystyle {\hat {y}}}، و{\displaystyle {\hat {z}}}.

بردار پائولی یک مکانیسم نگاشت از مبنای برداری به مبنای ماتریس پائولی [ 2 ] را به شرح زیر ارائه می کند:.{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=\sum _{k,l}a_{k}\,\sigma _{\ell }\ ,{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=\sum _{k}a_{k}\,\sigma _{k}\\ &={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}.\end{تراز شده} }}

به طور رسمی تر، این یک نقشه از را تعریف می کند{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}به فضای برداری هرمیتیان بی اثر{\displaystyle 2\times 2}ماتریس ها این نقشه ساختارهای {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}به عنوان یک فضای برداری هنجاری و به عنوان یک جبر دروغ (با ضرب متقاطع به عنوان براکت Lie آن) از طریق توابع ماتریس ها، که نقشه را به یک هم شکلی جبرهای دروغ تبدیل می کند. این امر باعث می شود که ماتریس های پائولی از دیدگاه نظریه بازنمایی در هم تنیده شوند.

راه دیگر برای مشاهده بردار پائولی به صورت a است{\displaystyle 2\times 2}بردار دوگانه با ارزش ماتریس بدون ردیابی هرمیت، یعنی عنصری

{\displaystyle {\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C})\otimes (\mathbb {R}^{3})^{*}}که نقشه ها.{\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}.}

رابطه کامل بودن

[ ویرایش ]

هر جزء از{\displaystyle {\vec {a}}}را می توان از ماتریس بازیابی کرد (به رابطه کامل در زیر مراجعه کنی{\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )} {\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}.}این یک معکوس نسبت به نقشه است ⋅σ→{\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}، نشان می دهد که نقشه یک bijection است.

تعیین کننده

[ ویرایش ]

هنجار توسط تعیین کننده (تا علامت منفی) داده می شود.{\displaystyle \det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}} =-|{\vec {a}}|^{2}.}سپس با در نظر گرفتن عمل صرف یک{\displaystyle {\text{SU}}(2)}ماتریس{\displaystyle U}در این فضای ماتریس،

{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\,{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\,U^{- 1}،}

ما پیدا می کنیم،{\displaystyle \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})،}و آن{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}هرمیت و بی ردی است. سپس تعریف کردن منطقی است{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }},}کجاالف→"{\displaystyle {\vec {a}}'}همان هنجار را داردادارد،{\displaystyle {\vec {a}},}و بنابراین تفسیر کنیدU{\displaystyle U}به عنوان چرخش فضای سه بعدی. در واقع، معلوم می شود که محدودیت ویژه درU{\displaystyle U}به این معنی است که چرخش جهت حفظ است. این امکان تعریف نقشه را فراهم می کند{\displaystyle R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)}داده شده توسط

،{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U)\ { \vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}،}

که{\displaystyle R(U)\in \mathrm {SO} (3).}این نقشه تحقق ملموس پوشش دوگانه است {\displaystyle \mathrm {SO} (3)}توسط{\displaystyle \mathrm {SU} (2)،}و بنابراین نشان می دهد که{\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong \mathrm {Spin} (3).}اجزای {\displaystyle R(U)}با استفاده از فرآیند ردیابی بالا قابل بازیابی است:

{\displaystyle R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\ درست).}

ضرب متقابل

[ ویرایش ]

ضرب متقاطع توسط کموتاتور ماتریسی (تا ضریب{\displaystyle 2i})⋅{\displaystyle [{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}]=2i\,({\vec {a }}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}.}در واقع وجود هنجار از آنجا ناشی می شود کهآر3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}جبر لی است ( به شکل کشتار مراجعه کنید ).

این ضرب متقاطع می تواند برای اثبات ویژگی حفظ جهت گیری نقشه بالا استفاده شود.

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

[ ویرایش ]

مقادیر ویژه از {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }هستند {\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}این بلافاصله از بی ردیابی و محاسبه صریح تعیین کننده ناشی می شود.

به طور انتزاعی تر، بدون محاسبه دترمینان، که به ویژگی های صریح ماتریس های پائولی نیاز دارد، این نتیجه از ،{\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}از آنجایی که می توان آن را فاکتورسازی کرد .{\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma } }+|{\vec {a}}|)=0.}یک نتیجه استاندارد در جبر خطی (نقشه خطی که معادله چند جمله ای نوشته شده در فاکتورهای خطی متمایز را برآورده می کند، مورب است) به این معنی است که {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }مورب با مقادیر ویژه ممکن است{\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}بی ردیابی از {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }یعنی دقیقاً یکی از هر مقدار ویژه را دارد.

بردارهای ویژه نرمال شده آن هستند.{\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{{\sqrt {2\left|{\vec {a}}\right|\ (a_{3}+\left|{\vec {a }}\right|)\ }}\ }}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{ bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)} }}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.}این عبارات به صورت مفرد برای {\displaystyle a_{3}\به -\چپ|{\vec {a}}\راست|}. با اجازه می توان آنها را نجات داد{\displaystyle {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|(\epsilon ,0,-(1-\epsilon ^{2}/2))}و گرفتن حد{\displaystyle \epsilon \to 0}، که بردارهای ویژه (0,1) و (1,0) را به دست می دهد{\displaystyle \sigma _{z}}.

متناوبا، می توان از مختصات کروی استفاده کرد{\displaystyle {\vec {a}}=a(\sin \vartheta \cos \varphi ,\sin \vartheta \sin \varphi ,\cos \vartheta )}برای به دست آوردن بردارهای ویژه{\displaystyle \psi _{+}=(\cos(\vartheta /2),\sin(\vartheta /2)\exp(i\varphi ))}و{\displaystyle \psi _{-}=(-\sin(\vartheta /2)\exp(-i\varphi ),\cos(\vartheta /2))}.

پائولی 4-وکتور

[ ویرایش ]

بردار پائولی 4 که در نظریه اسپینور استفاده می شود نوشته شده است σμ {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }با اجزای

{\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }}).}

این یک نقشه را ازآر1،3{\displaystyle \mathbb {R} ^{1،3}}به فضای برداری ماتریس های هرمیتی{\displaystyle x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}

که متریک مینکوفسکی (با قرارداد بیشتر منهای ) را نیز در تعیین کننده خود رمز می کند:

.{\displaystyle \det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}

این 4 یک رابطه کامل نیز دارد. تعریف دومین بردار پائولی 4 راحت است

.{\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }}).}

و با استفاده از تانسور متریک Minkowski امکان بالا و پایین بردن را فراهم کنید. سپس می توان رابطه را نوشت{\displaystyle x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\ mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}.}

مشابه مورد 3 بردار پائولی، می‌توانیم یک گروه ماتریسی پیدا کنیم که به عنوان ایزومتریک عمل می‌کند. آر1،3 ;{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;}در این مورد گروه ماتریس است ،{\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C})\ ,}و این نشان می دهد است{\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\cong \mathrm {Spin} (1,3).}به طور مشابه با بالا، این را می توان به صراحت متوجه شد ، {\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C})\ }با اجزای

).{\displaystyle \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\bar {\sigma }}_{\ nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right).}

در واقع، ویژگی تعیین کننده به طور انتزاعی از ویژگی های ردیابی the پیروی می کند σμ.{\displaystyle \\sigma ^{\mu }.}برای 2×2 {\displaystyle \ 2\times 2\ }ماتریس ها، هویت زیر برقرار است.{\displaystyle \det(A+B)=\det(A)+\det(B)+\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} (B)-\operatorname {tr} (AB).}

یعنی «اصطلاحات متقاطع» را می توان به صورت ردیابی نوشت. چه زمانی {\displaystyle \ A,B\ }متفاوت انتخاب می شوند ،{\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}اصطلاحات متقابل ناپدید می شوند. سپس دنبال می شود، اکنون جمع بندی را به صراحت نشان می دهد

{\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\راست).}از آنجایی که ماتریس ها هستند 2×2 ،{\displaystyle \ 2\times 2\ ,}این برابر است با{\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 2:3 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

1-ماتریس های پائولی

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

ولفگانگ پائولی (1900-1958)، ج. 1924. پائولی جایزه نوبل فیزیک را در سال 1945 دریافت کرد که توسط آلبرت انیشتین برای اصل طرد پائولی نامزد شد .

در فیزیک و ریاضیات ریاضی ، ماتریس های پائولی مجموعه ای از سه ماتریس پیچیده 2×2 هستند که بدون ردیابی ، هرمیتی ، غیر ارادی و واحد هستند . معمولاً با حرف یونانی سیگما ( σ ) نشان داده می‌شوند، و گاهی اوقات وقتی در ارتباط با تقارن‌های ایزوسپین استفاده می‌شوند با تاو ( τ ) نشان داده می‌شوند .{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}،\\\sigma _{2}= \sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}،\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\\\end{تراز شده}}}

این ماتریس ها به نام فیزیکدان ولفگانگ پائولی نامگذاری شده اند . در مکانیک کوانتومی ، آنها در معادله پائولی اتفاق می‌افتند ، که برهمکنش اسپین یک ذره با یک میدان الکترومغناطیسی خارجی را در نظر می‌گیرد . آنها همچنین حالت های برهمکنش دو فیلتر پلاریزاسیون را برای قطبش افقی/عمودی، پلاریزاسیون 45 درجه (راست/چپ)، و قطبش دایره ای (راست/چپ) نشان می دهند.

هر ماتریس پائولی هرمیتی است و همراه با ماتریس هویت I (گاهی به عنوان ماتریس صفر پائولی σ 0 در نظر گرفته می شود )، ماتریس های پائولی مبنای فضای برداری 2 × 2 ماتریس هرمیتی بر روی اعداد واقعی را تشکیل می دهند . این بدان معنی است که هر ماتریس هرمیتی 2×2 را می توان به روشی منحصر به فرد به عنوان ترکیب خطی ماتریس های پائولی نوشت که همه ضرایب اعداد واقعی هستند.

ماتریس های Pauli رابطه ضرب مفید را برآورده می کنند:.{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}+i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}.\end{aligned}}}

عملگرهای هرمیتی نمایش‌پذیرها را در مکانیک کوانتومی نشان می‌دهند ، بنابراین ماتریس‌های پائولی فضای مشاهده‌پذیرهای فضای پیچیده دو بعدی هیلبرت را در بر می‌گیرند . در زمینه کار پائولی، σ k نمایانگر قابل مشاهده مربوط به چرخش در امتداد محور مختصات k در فضای اقلیدسی سه بعدی است. آر3.{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}

ماتریس های پائولی (پس از ضرب در i تا آنها را ضد هرمیتی کند ) همچنین تبدیل هایی به معنای جبرهای لی ایجاد می کند : ماتریس های iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 پایه ای را برای جبر دروغ واقعی تشکیل می دهند.{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}، که به گروه واحد ویژه SU(2) تبدیل می شود . [ a ] جبر تولید شده توسط سه ماتریس σ 1 , σ 2 , σ 3 با جبر کلیفورد هم شکل است . ،{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}،}[ 1 ] و جبر انجمنی(یکی)تولید شده توسط iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 به طور یکسان عمل می کند (هم شکل است) باچهارتایی ها({\displaystyle \mathbb {H} }).

ویژگی های جبری

[ ویرایش ]

میز کیلی ; ورودی مقدار سطر ضربدر ستون را نشان می دهد.
×{\displaystyle \sigma _{x}}{\displaystyle \sigma _{y}}{\displaystyle \sigma _{z}}
{\displaystyle \sigma _{x}}{\displaystyle I}{\displaystyle i\sigma _{z}}{\displaystyle -i\sigma _{y}}
{\displaystyle \sigma _{y}}{\displaystyle -i\sigma _{z}}{\displaystyle I}{\displaystyle i\sigma _{x}}
{\displaystyle \sigma _{z}}{\displaystyle i\sigma _{y}}{\displaystyle -i\sigma _{x}}{\displaystyle I}

هر سه ماتریس پائولی را می توان در یک عبارت فشرده کرد:

{\displaystyle \sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\ ,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}},}

که در آن راه حل i 2 = -1 " واحد خیالی " است، و δjk دلتای کرونکر است ، که اگر j = k برابر است با 1 و در غیر این صورت 0 است. این عبارت برای "انتخاب" هر یک از ماتریس ها به صورت عددی با جایگزینی مقادیر j = 1، 2، 3 مفید است، و به نوبه خود زمانی مفید است که هر یک از ماتریس ها (اما نه یک ماتریس خاص) در دستکاری های جبری استفاده شود.

ماتریس ها غیر ارادی هستند :

{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{ 2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I,}

جایی که من ماتریس هویت هستم .

عوامل تعیین کننده و ردپای ماتریس های پائولی هستند

{\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&=-1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&=0,\end{aligned}}}

که از آن می توانیم استنباط کنیم که هر ماتریس σ j دارای مقادیر ویژه +1 و -1 است.

با گنجاندن ماتریس هویت I (گاهی اوقات با σ 0 نشان داده می شود )، ماتریس های پائولی یک مبنای متعامد (به معنای هیلبرت-اشمیت ) از فضای هیلبرت را تشکیل می دهند. {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}از 2 × 2 ماتریس هرمیتی بیش از{\displaystyle \mathbb {R} }و فضای هیلبرت {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )}از همه ماتریس های پیچیده 2 × 2 بیش {\displaystyle \mathbb {C} }.

روابط تخفیف و ضد تخفیف

[ ویرایش ]

روابط کموتاسیون

[ ویرایش ]

ماتریس های پائولی از روابط کموتاسیون زیر تبعیت می کنند :

{\displaystyle [\sigma _{j},\sigma _{k}]=2i\sum _{l}\varepsilon _{jkl}\,\sigma _{l},}

که در آن نماد Levi-Civita ε jkl استفاده می شود.

این روابط کموتاسیون باعث می شود که ماتریس های پائولی مولدهای نمایشی از جبر دروغ باشند.{\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3).}

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:42 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

ضریب ریلی

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، ضریب ریلی [ 1 ] ( / ˈ r eɪ . l i / ) برای یک ماتریس مختلط هرمیتی معین {\displaystyle M}و بردار غیر صفر{\displaystyle x}به این صورت تعریف می شود: [ 2 ] [ 3 ]{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.}

برای ماتریس ها و بردارهای واقعی، شرط هرمیتی بودن به متقارن بودن کاهش می یابد و حالت مزدوج جابجا می شود. {\displaystyle x^{*}}به جابجایی معمولی {\displaystyle x'}. توجه داشته باشید که {\displaystyle R(M,cx)=R(M,x)}برای هر اسکالر غیر صفر{\displaystyle c}. به یاد بیاورید که یک ماتریس هرمیتی (یا متقارن واقعی) فقط با مقادیر ویژه واقعی قابل قطریابی است . می توان نشان داد که برای یک ماتریس معین، ضریب ریلی به حداقل مقدار خود می رسد{\displaystyle \lambda _{\min }}(کوچکترین مقدار ویژه از{\displaystyle M}) چه زمانی{\displaystyle x}است{\displaystyle v_{\min }}( بردار ویژه مربوطه ). [ 4 ] به همین ترتیب،{\displaystyle R(M,x)\leq \lambda _{\max }}و{\displaystyle R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }}.

ضریب ریلی در قضیه min-max برای بدست آوردن مقادیر دقیق همه مقادیر ویژه استفاده می شود. همچنین در الگوریتم‌های ارزش ویژه (مانند تکرار ضریب ریلی ) برای به دست آوردن یک تقریب مقدار ویژه از یک تقریب بردار ویژه استفاده می‌شود .

محدوده ضریب ریلی (برای هر ماتریسی، نه لزوماً هرمیتی) یک محدوده عددی نامیده می شود و شامل طیف آن است . وقتی ماتریس هرمیتی باشد، شعاع عددی برابر با هنجار طیفی است. هنوز در تحلیل عملکردی،λحداکثر{\displaystyle \lambda _{\max }}به شعاع طیفی معروف است . در چارچوب {\displaystyle C^{\star }}-جبر یا مکانیک کوانتومی جبری، تابعی که بهم{\displaystyle M}ضریب ریلی – ریتز را مرتبط می کند{\displaystyle R(M,x)}برای ثابت{\displaystyle x}و{\displaystyle M}تغییر در جبر به عنوان حالت برداری جبر نامیده می شود.

در مکانیک کوانتومی ، ضریب ریلی مقدار انتظاری قابل مشاهده مربوط به عملگر {\displaystyle M}را می دهدبرای سیستمی که حالت آن توسط{\displaystyle x}.

اگر ماتریس مختلط را درست کنیم {\displaystyle M}، سپس نقشه ضریب ریلی حاصل (به عنوان تابعی از{\displaystyle x}) کاملا مشخص می کند{\displaystyle M}از طریق هویت قطبی ; در واقع، حتی اگر اجازه دهیم، این درست باقی می ماند{\displaystyle M}غیر زاهدانه بودن با این حال، اگر میدان اسکالرها را به اعداد واقعی محدود کنیم، ضریب ریلی فقط قسمت متقارن را تعیین می کند{\displaystyle M}.

محدوده برای هرمیتین ام

[ ویرایش ]

همانطور که در مقدمه گفته شد، برای هر بردار x ، یکی دارد{\displaystyle R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]}، که{\displaystyle \lambda _{\min },\lambda _{\max }}به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه هستند{\displaystyle M}. این بلافاصله پس از مشاهده این است که ضریب ریلی میانگین وزنی مقادیر ویژه M است :{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_ {i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}که{\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}است {\displaystyle i}-ام جفت ویژه پس از عادی سازی و{\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}است {\displaystyle i}مختصات x در eigenbasis. سپس به راحتی می توان تأیید کرد که کران ها در بردارهای ویژه مربوطه به دست آمده اند{\displaystyle v_{\min },v_{\max }}.

این واقعیت که ضریب میانگین وزنی مقادیر ویژه است می تواند برای شناسایی دومین، سومین، ... بزرگترین مقادیر ویژه استفاده شود. اجازه دهید{\displaystyle \lambda _{\max }=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\min }} مقادیر ویژه به ترتیب کاهشی باشند. اگر{\displaystyle n=2}و{\displaystyle x}محدود به متعامد بودن است{\displaystyle v_{1}}، در این صورت{\displaystyle y_{1}=v_{1}^{*}x=0}، سپس {\displaystyle R(M,x)}دارای حداکثر ارزش است{\displaystyle \lambda _{2}}، که زمانی حاصل می شود{\displaystyle x=v_{2}}.

مورد خاص ماتریس های کوواریانس

[ ویرایش ]

یک ماتریس کوواریانس تجربی {\displaystyle M}را می توان به عنوان محصول نشان داد{\displaystyle A'A}از ماتریس داده {\displaystyle A}از قبل در جابجایی آن ضرب شده است {\displaystyle A'}. به عنوان یک ماتریس نیمه معین مثبت،{\displaystyle M}دارای مقادیر ویژه غیر منفی و بردارهای ویژه متعامد (یا متعامد) است که می توان آنها را به صورت زیر نشان داد.

اول اینکه مقادیر ویژه{\displaystyle \lambda _{i}}غیر منفی هستند:.{\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{i}'A'Av_{i}=v_ {i}'\lambda _{i}v_{i}\\\پیکان راست {}&\left\|Av_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}\\\پیکان راست {}&\ lambda _{i}={\frac {\left\|Av_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\geq 0.\end{تراز شده}}}

دوم اینکه بردارهای ویژه{\displaystyle v_{i}}متعامد با یکدیگر{\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{j}'Mv_{i}=v_{j}'\lambda _{i }v_{i}\\\پیکان راست {}&\چپ(Mv_{j}\right)'v_{i}=\lambda _{j}v_{j}'v_{i}\\\پیکان راست {}&\lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i }\\\پیکان راست {}&\چپ(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)v_{j}'v_{i}=0\\\پیکان راست {}&v_{j}'v_{i}=0\end{aligned}}}اگر مقادیر ویژه متفاوت باشند - در مورد تعدد، اساس را می توان متعامد کرد.

اکنون برای تعیین اینکه ضریب ریلی توسط بردار ویژه با بزرگترین مقدار ویژه حداکثر شده است، تجزیه یک بردار دلخواه را در نظر بگیرید.{\displaystyle x}بر اساس بردارهای ویژه{\displaystyle v_{i}}:،{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}،}که{\displaystyle \alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{ \چپ\|v_{i}\راست\|^{2}}}}مختصات است{\displaystyle x}به صورت متعامد بر روی{\displaystyle v_{i}}. بنابراین، ما

داریم{\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x'A'Ax}{x'x}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{ j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'\left(A'A\right){\Bigl (}\sum _{i=1}^{n} \alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}' {\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _ {j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(A 'A)v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}{v_{i}}'{v_ {i}}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr ) }'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _ {i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\|{v_{i}}\|^{2}{\Bigr )}}}\end{تراز شده}}}که با متعارف بودن بردارهای ویژه، تبدیل{\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}} {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^ {n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)}}\end{تراز شده}}}

آخرین نمایش نشان می دهد که ضریب ریلی مجموع کسینوس های مجذور زوایای تشکیل شده توسط بردار است.{\displaystyle x}و هر بردار ویژه{\displaystyle v_{i}}، وزن شده توسط مقادیر ویژه مربوطه.

اگر یک بردار{\displaystyle x}را به حداکثر می رساند{\displaystyle R(M,x)}، سپس هر مضرب اسکالر غیر صفر{\displaystyle kx}را نیز به حداکثر می رساند{\displaystyle R}، بنابراین می توان مشکل را به مسئله حداکثر سازی لاگرانژ تقلیل داد{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}تحت این محدودیت که{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=1}.

تعریف کنید:{\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}^{2}}. سپس به یک برنامه خطی تبدیل می شود که همیشه در یکی از گوشه های دامنه به حداکثر می رسد. حداکثر امتیاز خواهد داشت{\displaystyle \alpha _{1}=\pm 1}و{\displaystyle \alpha _{i}=0}برای همه {\displaystyle i>1}(زمانی که مقادیر ویژه با کاهش مقدار مرتب می شوند).

بنابراین، ضریب ریلی توسط بردار ویژه با بزرگترین مقدار ویژه به حداکثر می رسد.

فرمولاسیون با استفاده از ضرب کننده لاگرانژ

[ ویرایش ]

از طرف دیگر، این نتیجه را می توان با روش ضرب کننده های لاگرانژ به دست آورد . بخش اول برای نشان دادن ثابت بودن ضریب تحت مقیاس بندی است{\displaystyle x\to cx}، {\displaystyle c}یک اسکالر است{\displaystyle R(M,cx)={\frac {(cx)^{*}Mcx}{(cx)^{*}cx}}={\frac {c^{*}c}{c^{ *}c}}{\frac {x^{*}Mx}{x^{*}x}}=R(M,x).}

به دلیل این عدم تغییر، مطالعه مورد خاص کافی است{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{T}x=1}. مشکل پیدا کردن نقاط بحرانی تابع است{\displaystyle R(M,x)=x^{\mathsf {T}}Mx,}مشمول محدودیت.{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{T}x=1.}به عبارت دیگر، یافتن نقاط بحرانی است{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=x^{\mathsf {T}}Mx-\lambda \left(x^{\mathsf {T}}x-1\right),}که{\displaystyle \lambda }ضریب لاگرانژ است. نقاط ثابت از{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)}رخ می دهد درد (با برداشت از جابجایی هر دو طرف و توجه به آن م هرمیتی است{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0\\\Rightarrow {}&2x^{\mathsf {T}}M-2 \lambda x^{\mathsf {T}}=0\\\Rightarrow {}&2Mx-2\lambda x=0{\text{ (با جابجایی هر دو طرف و توجه به این که }}M{\text{ هرمیتی است )}}\\\پیکان راست {}&Mx=\lambda x\end{تراز شده}}}و{\displaystyle \ بنابراین R(M,x)={\frac {x^{\mathsf {T}}Mx}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda {\frac {x^{ \mathsf {T}}x}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda .}

بنابراین، بردارهای ویژه{\displaystyle x_{1},\ldots,x_{n}}ازم{\displaystyle M}نقاط بحرانی ضریب ریلی و مقادیر ویژه مربوط به آنها هستند{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}مقادیر ثابت هستند{\displaystyle {\mathcal {L}}}. این ویژگی مبنایی برای تحلیل مولفه های اصلی و همبستگی متعارف است .

استفاده در نظریه Sturm-Liouville

[ ویرایش ]

نظریه Sturm-Liouville مربوط به عمل عملگر خطی است{\displaystyle L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx }}\right]+q(x)y\right)}در فضای داخلی ضرب تعریف شده توسط{\displaystyle \langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx }از توابعی که برخی از شرایط مرزی مشخص شده در a و b را برآورده می کنند . در این مورد ضریب ریلی است{\displaystyle {\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}y(x)\left (-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.}

این گاهی اوقات به شکلی معادل ارائه می شود که با جداسازی انتگرال در صورت حساب و استفاده از انتگرال گیری توسط قطعات به دست می آید :.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}&={\frac {\left\{\int _{a }^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)y'(x)\right]\right)dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x) y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}\\& ={\frac {\left\{\left.-y(x)\left[p(x)y'(x)\right]\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}y'(x)\left[p(x)y'(x)\right]\,dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}w(x)y(x)^ {2}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-p(x)y(x)y'(x)\right|_{a}^{b}\right \}+\چپ\{\int _{a}^{b}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx\right\}}{\ int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}.\end{تراز شده}}}

تعمیم ها

[ ویرایش ]

  1. برای یک جفت معین ( A ، B ) از ماتریس ها، و یک بردار غیر صفر معین x ، ضریب ریلی تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می شود:.{\displaystyle R(A,B;x):={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}Bx}}.}ضریب ریلی تعمیم یافته را می توان به ضریب ریلی کاهش داد{\displaystyle R(D,C^{*}x)}از طریق تحول{\displaystyle D=C^{-1}A{C^{*}}^{-1}}که{\displaystyle CC^{*}}تجزیه کولسکی ماتریس مثبت-معین هرمیتی B است .
  2. برای یک جفت معین ( x , y ) از بردارهای غیر صفر، و یک ماتریس هرمیتی معین H ، ضریب ریلی تعمیم یافته را می توان به صورت زیر تعریف کرد:{\displaystyle R(H;x,y):={\frac {y^{*}Hx}{\sqrt {y^{*}y\cdot x^{*}x}}}}زمانی که x = y با R ( H , x ) منطبق است . در مکانیک کوانتومی به این کمیت «عنصر ماتریس» یا گاهی «دامنه انتقال» می گویند.

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 1:13 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 

مقدار انتظاری

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در مکانیک کوانتومی ، مقدار انتظاری ، مقدار مورد انتظار احتمالی نتیجه (اندازه گیری) یک آزمایش است. می‌توان آن را به‌عنوان میانگینی از تمام نتایج ممکن یک اندازه‌گیری در نظر گرفت که بر اساس احتمال آن‌ها وزن می‌شوند، و به این ترتیب، محتمل‌ترین مقدار یک اندازه‌گیری نیست . در واقع مقدار مورد انتظار ممکن است احتمال وقوع صفر داشته باشد (مثلاً اندازه گیری هایی که فقط می توانند مقادیر صحیح را بدست آورند ممکن است میانگین غیر صحیح داشته باشند). این یک مفهوم اساسی در تمام زمینه های فیزیک کوانتومی است .

تعریف عملیاتی

[ ویرایش ]

یک اپراتور را در نظر بگیرید {\displaystyle A}. ارزش انتظار پس از آن است{\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }در نماد دیراک با{\displaystyle |\psi \rangle }یک بردار حالت نرمال شده

فرمالیسم در مکانیک کوانتومی

[ ویرایش ]

در تئوری کوانتومی، یک چیدمان آزمایشی توسط قابل مشاهده توصیف می شود {\displaystyle A}اندازه گیری شود و وضعیت {\displaystyle \sigma }از سیستم ارزش انتظاری از{\displaystyle A}در{\displaystyle \sigma }به عنوان مشخص می شود{\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}.

از نظر ریاضی،{\displaystyle A}یک اپراتور خود الحاقی در فضای پیچیده قابل تفکیک هیلبرت است . در رایج ترین مورد استفاده شده در مکانیک کوانتومی، {\displaystyle \sigma }یک حالت خالص است که با یک بردار نرمال شده [ a ] توصیف می شود{\displaystyle \psi }در فضای هیلبرت ارزش انتظاری از{\displaystyle A}در حالت{\displaystyle \psi }به عنوان تعریف شده است

( 1 )

{\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .}

اگر دینامیک در نظر گرفته شود، یا بردار{\displaystyle \psi }یا اپراتور{\displaystyle A}بسته به اینکه از عکس شرودینگر یا عکس هایزنبرگ استفاده شده باشد ، وابسته به زمان است . با این حال، تکامل ارزش انتظار به این انتخاب بستگی ندارد.

اگر{\displaystyle A}مجموعه کاملی از بردارهای ویژه دارد {\displaystyle \phi _{j}}، با مقادیر ویژه ،{\displaystyle A=\sum _{i}a_{j}|\phi _{j}\rangle \langle \phi _{j}|،}سپس ( 1 ) را می توان به صورت [ 1 ] بیان کرد

( 2 )

{\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.}

این عبارت شبیه به میانگین حسابی است و معنای فیزیکی فرمالیسم ریاضی را نشان می دهد: مقادیر ویژه.{\displaystyle a_{j}}نتایج احتمالی آزمایش، [ b ] و ضریب مربوط به آنها هستند{\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}احتمال وقوع این نتیجه است. اغلب به آن احتمال انتقال می گویند .

یک مورد به خصوص ساده زمانی که{\displaystyle A}یک طرح ریزی است و بنابراین فقط دارای مقادیر ویژه 0 و 1 است. این از نظر فیزیکی با یک نوع آزمایش "بله-خیر" مطابقت دارد. در این مورد، مقدار انتظار احتمالی است که آزمایش به "1" منجر شود، و می توان آن را به صورت محاسبه کرد.

( 3 )

{\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.}

در تئوری کوانتومی، ممکن است یک عملگر یک طیف غیر گسسته مانند عملگر موقعیت داشته باشد. {\displaystyle X}در مکانیک کوانتومی این عملگر دارای یک طیف کاملاً پیوسته است ، با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بسته به یک پارامتر پیوسته،{\displaystyle x}. به طور خاص، اپراتور{\displaystyle X}بر روی یک بردار فضایی عمل می کند{\displaystyle |x\rangle }به عنوان{\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }. [ 2 ] در این مورد، بردار{\displaystyle \psi }را می توان به عنوان یک تابع با ارزش پیچیده نوشت{\displaystyle \psi (x)}در طیف{\displaystyle X}(معمولا خط واقعی). این به طور رسمی با طرح بردار حالت به دست می آید{\displaystyle |\psi \rangle }بر روی مقادیر ویژه عملگر، مانند حالت گسسته{\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }. این اتفاق می افتد که بردارهای ویژه عملگر موقعیت یک مبنای کامل برای فضای برداری حالت ها تشکیل می دهند و بنابراین از یک رابطه کامل در مکانیک کوانتومی پیروی می کنند :{\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }

موارد فوق ممکن است برای استخراج عبارت مشترک و انتگرال برای مقدار مورد انتظار ( 4 )، با درج هویت در عبارت برداری مقدار مورد انتظار، و سپس گسترش در مبنای موقعیت استفاده شوند:

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} | \psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\inint \langle x |\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*} x'\delta (xx')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi ( x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{تراز شده}}}

جایی که رابطه متعارف بردارهای پایه موقعیت{\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (xx')}، انتگرال دوگانه را به یک انتگرال منفرد کاهش می دهد. خط آخر از مدول یک تابع با ارزش پیچیده برای جایگزینی استفاده می کند{\displaystyle \psi ^{*}\psi }با{\displaystyle |\psi |^{2}}، که یک جایگزین رایج در انتگرال های مکانیکی کوانتومی است.

سپس مقدار انتظار ممکن است بیان شود، جایی که x نامحدود است، به عنوان فرمول

{\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.} ( 4 )

یک فرمول مشابه برای عملگر تکانه ، در سیستم هایی که دارای طیف پیوسته است، صادق است.

تمام فرمول های فوق برای حالت های خالص معتبر هستند{\displaystyle \sigma }فقط به طور برجسته در ترمودینامیک و اپتیک کوانتومی ، حالت های مختلط نیز اهمیت دارند. اینها توسط یک اپراتور کلاس ردیابی مثبت توصیف می شوند{\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}, عملگر آماری یا ماتریس چگالی . سپس مقدار انتظار را می توان به عنوان به دست آورد

{\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{ i}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.} ( 5 )

فرمولاسیون عمومی

[ ویرایش ]

به طور کلی حالت های کوانتومیσ{\displaystyle \sigma }با توابع خطی نرمال شده مثبت در مجموعه ای از قابل مشاهده ها توصیف می شوند ، که از نظر ریاضی اغلب به عنوان جبر C* در نظر گرفته می شوند . ارزش انتظاری یک قابل مشاهدهالف{\displaystyle A}سپس توسط داده می شود

{\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).} ( 6 )

اگر جبر قابل مشاهده ها به صورت تقلیل ناپذیر روی فضای هیلبرت عمل کند ، و اگر{\displaystyle \sigma }یک تابع عادی است ، یعنی در توپولوژی فوق ضعیف پیوسته است ، سپس می توان آن را به صورت نوشتاری{\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )}با اپراتور کلاس ردیابی مثبت{\displaystyle \rho }از ردیابی 1. این فرمول ( 5 ) در بالا را می دهد. در مورد حالت خالص ،{\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}یک طرح بر روی یک بردار واحد است{\displaystyle \psi }. سپس{\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }، که فرمول ( 1 ) را در بالا می دهد.

الف{\displaystyle A}فرض می شود که یک اپراتور خود الحاقی است. در حالت کلی، طیف آن نه کاملاً گسسته و نه کاملاً پیوسته خواهد بود. با این حال، می توان نوشتالف{\displaystyle A}در یک تجزیه طیفی ،{\displaystyle A=\int a\,dP(a)}با یک اندازه گیری ارزش پیش بینی شده {\displaystyle P}. برای ارزش انتظاری ازالف{\displaystyle A}در حالت خالص{\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }، این یعنی{\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}که ممکن است به عنوان تعمیم رایج فرمول های ( 2 ) و ( 4 ) بالا دیده شود.

در نظریه های غیر نسبیتی ذرات بسیار محدود (مکانیک کوانتومی، به معنای دقیق)، حالت های در نظر گرفته شده به طور کلی نرمال هستند [ توضیحات لازم ] . با این حال، در سایر حوزه‌های نظریه کوانتومی، حالت‌های غیر نرمال نیز مورد استفاده قرار می‌گیرند: برای مثال، آنها ظاهر می‌شوند. در قالب حالت های KMS در مکانیک آماری کوانتومی رسانه های بی نهایت گسترده، [ 3 ] و به عنوان حالت های باردار در نظریه میدان کوانتومی . [ 4 ] در این موارد، مقدار انتظار تنها با فرمول عمومی تر ( 6 ) تعیین می شود.

مثال در فضای پیکربندی

[ ویرایش ]

به عنوان مثال، یک ذره مکانیکی کوانتومی را در یک بعد فضایی، در نمایش فضای پیکربندی در نظر بگیرید . اینجا فضای هیلبرت است {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}، فضای توابع قابل انتگرالگیری مربع روی خط واقعی. بردارها{\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}توسط توابع نشان داده می شوند{\displaystyle \psi (x)}، توابع موج نامیده می شود . حاصل ضرب اسکالر توسط{\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}. توابع موج یک تفسیر مستقیم به عنوان توزیع احتمال دارند:

{\displaystyle \rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}

احتمال یافتن ذره را در بازه ای بینهایت کوچک می دهد{\displaystyle dx}در مورد یک نقطه{\displaystyle x}.

به عنوان یک قابل مشاهده، عملگر موقعیت را در نظر بگیرید{\displaystyle Q}، که بر روی توابع موج عمل می کند{\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}

مقدار انتظار یا مقدار میانگین اندازه گیری ها از{\displaystyle Q}انجام شده بر روی تعداد بسیار زیادی از سیستم های مستقل یکسان توسط زیرخواهد

شد

{\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\ ,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}

مقدار انتظار فقط در صورتی وجود دارد که انتگرال همگرا شود، که برای همه بردارها صدق نمی کندψ{\displaystyle \psi }. این به این دلیل است که عملگر موقعیت نامحدود است وψ{\displaystyle \psi }باید از دامنه تعریف آن انتخاب شود .

به طور کلی، انتظار هر قابل مشاهده را می توان با جایگزینی محاسبه کرد{\displaystyle Q}با اپراتور مناسب به عنوان مثال، برای محاسبه تکانه متوسط، از عملگر تکانه در فضای پیکربندی استفاده می شود {\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}. به صراحت، ارزش انتظاری آن است

{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}

همه اپراتورها به طور کلی یک مقدار قابل اندازه گیری ارائه نمی دهند. عملگری که دارای مقدار انتظار واقعی خالص است، قابل مشاهده نامیده می شود و مقدار آن را می توان مستقیماً در آزمایش اندازه گیری کرد.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation_value_%28quantum_mechanics%29

[ ویرایش ]

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 0:42 توسط علی رضا نقش نیلچی  | 
مطالب قدیمی‌تر