ریاضیات | آذر ۱۴۰۳

ابر جبر

مکانیک کوانتومی
بخشی از مجموعه مقالات در مورد
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\|\Psi \rangle ={\hat {H}}\|\Psi \rangle$ معادله شرودینگر
مقدمه واژه نامه تاریخچه
نشان می دهد پس زمینه
نشان می دهد مبانی
نشان می دهد آزمایشات
نشان می دهد فرمولاسیون
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد تفاسیر
نشان می دهد موضوعات پیشرفته
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

در مکانیک کوانتومی ، ابرجبر یک خلأ در قضیه بل است . با این فرض که همه سیستم‌های اندازه‌گیری شده با انتخاب‌های اندازه‌گیری برای انجام آن‌ها همبستگی دارند، مفروضات قضیه دیگر برآورده نمی‌شوند. بنابراین، یک نظریه متغیرهای پنهان که فوق قطعی است می‌تواند مفهوم بل از علیت محلی را برآورده کند و همچنان نابرابری‌های حاصل از قضیه بل را نقض کند. [ 1 ] این امکان ساخت یک نظریه متغیر پنهان محلی را فراهم می کند که پیش بینی های مکانیک کوانتومی را بازتولید می کند، که چند مدل اسباب بازی برای آن پیشنهاد شده است. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] علاوه بر قطعی بودن ، مدل های فوق قطعی همبستگی بین حالت اندازه گیری شده و تنظیم اندازه گیری را نیز فرض می کنند.

نمای کلی

[ ویرایش ]

قضیه بل فرض می کند که اندازه گیری های انجام شده در هر آشکارساز را می توان مستقل از یکدیگر و از متغیرهای پنهانی که نتیجه اندازه گیری را تعیین می کنند انتخاب کرد. این رابطه اغلب به عنوان استقلال اندازه گیری یا استقلال آماری نامیده می شود. در یک نظریه فوق جبر، این رابطه محقق نمی شود. متغیرهای پنهان لزوماً با تنظیم اندازه گیری در ارتباط هستند. از آنجایی که انتخاب اندازه‌گیری‌ها و متغیر پنهان از پیش تعیین شده‌اند، نتایج در یک آشکارساز می‌تواند به این بستگی داشته باشد که کدام اندازه‌گیری در دیگری بدون نیاز به اطلاعات برای حرکت سریع‌تر از سرعت نور انجام می‌شود. فرض استقلال آماری گاهی اوقات به عنوان فرض انتخاب آزاد یا اختیار آزاد نامیده می شود ، زیرا نفی آن حاکی از آن است که تجربی گرایان انسانی در انتخاب اندازه گیری آزاد نیستند.

می توان نسخه های محدود شده ابرجبر را آزمایش کرد که فرض می کند همبستگی بین متغیرهای پنهان و انتخاب اندازه گیری در گذشته نزدیک ایجاد شده است. [ 5 ] با این حال، به طور کلی، ابرجبر اساساً آزمایش‌ناپذیر است، زیرا می‌توان فرض کرد که همبستگی‌ها از زمان بیگ بنگ وجود داشته‌اند و از بین بردن این شکاف غیرممکن می‌شود. [ 6 ]

تصویری فرضی از ابرجبر که در آن فوتون‌های کهکشان‌های دوردست Sb و Sc برای کنترل جهت‌یابی آشکارسازهای قطبش α و β درست قبل از رسیدن فوتون‌های درهم‌تنیده آلیس و باب استفاده می‌شوند.

در دهه 1980، جان استوارت بل در مصاحبه‌ای با بی‌بی‌سی درباره سوپرجبرگرایی بحث کرد : [ 7 ] [ 8 ]

راهی برای فرار از استنتاج سرعت های فوق العاده و اقدامات شبح آور در فاصله وجود دارد. اما این شامل جبر مطلق در جهان است، فقدان کامل اراده آزاد. فرض کنید جهان فوق جبرگرا است، نه تنها طبیعت بی‌جانی که در پشت‌صحنه در حال اجراست، بلکه با رفتار ما، از جمله باور ما به این که آزاد هستیم یک آزمایش را به جای آزمایشی دیگر، کاملاً از پیش تعیین‌شده، انتخاب کنیم. تصمیم آزمایشگر برای انجام یک مجموعه اندازه گیری به جای دیگری، مشکل از بین می رود. نیازی به سیگنالی سریعتر از نور نیست تا به ذره A بگوید چه اندازه گیری روی ذره B انجام شده است، زیرا جهان، از جمله ذره A، از قبل "می داند" این اندازه گیری و نتیجه آن چیست.

اگرچه او به این شکاف اعتراف کرد، اما همچنین استدلال کرد که این شکاف غیرقابل قبول است. حتی اگر اندازه‌گیری‌های انجام‌شده توسط مولدهای اعداد تصادفی قطعی انتخاب شوند، می‌توان فرض کرد که انتخاب‌ها «به طور مؤثر برای هدف مورد نظر آزاد هستند»، زیرا انتخاب ماشین با تعداد زیادی اثرات بسیار کوچک تغییر می‌کند. بعید است که متغیر پنهان به همه همان تأثیرات کوچکی که مولد اعداد تصادفی بود حساس باشد. [ 9 ]

جرارد ت هوفت، برنده جایزه نوبل فیزیک، در اوایل دهه 1980 با جان بل درباره این شکاف صحبت کرد:

من این سوال را مطرح کردم: فرض کنید که تصمیمات آلیس و باب نیز باید در نظر گرفته شوند که از روی اراده آزاد نیستند، بلکه توسط همه چیز در تئوری تعیین می شوند. جان گفت، خوب، می دانی، که من باید حذف کنم. اگر امکانش هست پس چیزی که گفتم صدق نمیکنه. گفتم، آلیس و باب به دلیلی تصمیم می گیرند. یک علت در گذشته آنها نهفته است و باید در تصویر گنجانده شود.» [ 10 ]

به گفته آنتون زایلینگر ، فیزیکدان ، اگر ابرجبر درست باشد، برخی از پیامدهای آن با از بین بردن ابطال پذیری، ارزش خود علم را زیر سوال می برد :

[ما] همیشه به طور ضمنی آزادی تجربی گرا را فرض می کنیم... این فرض اساسی برای انجام علم ضروری است. اگر این درست نبود، پس، من پیشنهاد می‌کنم، اصلاً معنی نداشت که در یک آزمایش از طبیعت سؤالاتی بپرسیم، زیرا در آن صورت طبیعت می‌تواند سؤالات ما را تعیین کند، و این می‌تواند سؤالات ما را به گونه‌ای هدایت کند که به تصویری نادرست برسیم. از طبیعت [ 11 ]

فیزیکدانان سابین هوسنفلدر و تیم پالمر استدلال کرده اند که سوپرجبرگرایی "رویکردی امیدوارکننده نه تنها برای حل مسئله اندازه گیری ، بلکه برای درک غیرمحلی ظاهری فیزیک کوانتومی" است. [ 12 ]

هاوارد ام. وایزمن و اریک کاوالکانتی استدلال می‌کنند که هر نظریه فرضی ابرجبری «به اندازه باور به کنترل ذهن بیگانه در همه جا قابل قبول و جذاب خواهد بود». [ 13 ]

نمونه ها

[ ویرایش ]

اولین مدل متغیرهای پنهان ابرجبر در سال 1988 توسط کارل اچ . برانس ارائه شد . [ 4 ] جرارد ت هوفت به مدل اتومات سلولی خود در مکانیک کوانتومی به عنوان ابرجبر [ 14 ] اشاره کرده است ، اگرچه مشخص نیست که آیا این تعریف را برآورده می کند یا خیر.

برخی از نویسندگان، علّیت گذشته در مکانیک کوانتومی را نمونه‌ای از ابرجبر می‌دانند، در حالی که نویسندگان دیگر این دو مورد را متمایز می‌دانند. [ 15 ] هیچ تعریف توافق شده ای برای تشخیص آنها وجود ندارد.

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Superdeterminism

+ نوشته شده در جمعه سی ام آذر ۱۴۰۳ ساعت 2:18 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-آزمایش های فکری اینشتین

پارادوکس EPR

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: پارادوکس EPR و درهم تنیدگی کوانتومی

بور و انیشتین هر دو مردهای ظریفی بودند. انیشتین بسیار تلاش کرد تا نشان دهد که مکانیک کوانتومی ناسازگار است. با این حال، بور همیشه می‌توانست با استدلال‌هایش مقابله کند. اما انیشتین در آخرین حمله خود به چیزی بسیار عمیق، بسیار غیرمعمول، دردسرساز و در عین حال بسیار هیجان انگیز اشاره کرد که در آغاز قرن بیست و یکم دوباره فیزیکدانان نظری را مجذوب خود کرد. تنها پاسخ بور به آخرین کشف بزرگ انیشتین - کشف درهم تنیدگی - نادیده گرفتن آن بود.
- لئونارد ساسکیند [ 45 ]

بحث اساسی انیشتین با مکانیک کوانتومی بر سر این نبود که آیا خدا تاس انداخت یا نه، آیا اصل عدم قطعیت امکان اندازه گیری همزمان موقعیت و تکانه را می دهد یا حتی اینکه آیا مکانیک کوانتومی کامل است یا خیر. در مورد واقعیت بود. آیا یک واقعیت فیزیکی مستقل از توانایی ما برای مشاهده آن وجود دارد؟ برای بور و پیروانش، چنین سؤالاتی بی معنی بود. تنها چیزی که می توانیم بدانیم نتایج اندازه گیری ها و مشاهدات است. گمانه زنی در مورد واقعیت نهایی که فراتر از تصورات ما وجود دارد، منطقی نیست. [ 6 ] : 460-461

باورهای انیشتین در طول سال‌ها از باورهایی که او در جوانی معتقد بود، تکامل یافته بود، زمانی که به‌عنوان یک پوزیتیویست منطقی که به شدت تحت‌تاثیر خوانش دیوید هیوم و ارنست ماخ قرار گرفته بود، مفاهیم غیرقابل مشاهده‌ای مانند زمان و مکان مطلق را رد کرد. انیشتین معتقد بود: [ 6 ] : 460-461

1. یک واقعیت مستقل از توانایی ما برای مشاهده آن وجود دارد.

2. اجسام در نقاط مشخصی در فضازمان قرار دارند و وجود مستقل و واقعی خود را دارند. به عبارت دیگر به تفکیک پذیری و محلی بودن معتقد بود.

3. اگرچه در سطحی سطحی، رویدادهای کوانتومی ممکن است تصادفی به نظر برسند، اما در برخی از سطوح نهایی، علیت دقیق زیربنای همه فرآیندهای طبیعت است.

آزمایش فکری پارادوکس EPR. (بالا) تابع موج کل یک جفت ذره از نقطه برخورد پخش می شود. (پایین) مشاهده یک ذره تابع موج را از بین می برد.

انیشتین معتقد بود که واقع‌گرایی و بومی‌گرایی زیربنای اساسی فیزیک هستند. پس از ترک آلمان نازی و اقامت در پرینستون در مؤسسه مطالعات پیشرفته ، انیشتین شروع به نوشتن یک آزمایش فکری کرد که از زمان حضور در سخنرانی لئون روزنفلد در سال 1933 در حال بررسی آن بود. کمک بوریس پودولسکی 46 ساله ، یکی از دوستانی که از کلتک به موسسه نقل مکان کرده بود. او همچنین از ناتان روزن 26 ساله ، که در مؤسسه نیز بود، کمک گرفت، که بیشتر ریاضیات را انجام داد. [ یادداشت 16 ] نتیجه همکاری آنها مقاله چهار صفحه ای EPR بود که در عنوان خود این سوال را مطرح می کرد که آیا توصیف مکانیکی کوانتومی واقعیت فیزیکی می تواند کامل در نظر گرفته شود؟ [ 6 ] : 448-450 [ ص 22 ]

انیشتین پس از دیدن مقاله در حال چاپ، خود را از نتیجه ناراضی دید. تجسم مفهومی واضح او زیر لایه‌هایی از فرمالیسم ریاضی مدفون شده بود. [ 6 ] : 448-450

آزمایش فکری انیشتین شامل دو ذره بود که با هم برخورد کرده‌اند یا به گونه‌ای ایجاد شده‌اند که دارای ویژگی‌هایی هستند که همبستگی دارند. تابع موج کل برای جفت موقعیت ذرات و همچنین لحظه لحظه خطی آنها را به هم مرتبط می کند. [ 6 ] : 450-453 [ 40 ] شکل گسترش تابع موج از نقطه برخورد را نشان می‌دهد. با این حال، مشاهده موقعیت ذره اول به ما این امکان را می دهد که موقعیت ذره دوم را بدون توجه به اینکه این جفت چقدر از هم جدا شده اند دقیقاً تعیین کنیم. به همین ترتیب، اندازه گیری تکانه ذره اول به ما امکان می دهد تا تکانه ذره دوم را دقیقاً تعیین کنیم. مطابق با معیار ما برای واقعیت، در حالت اول باید کمیت P را عنصری از واقعیت در نظر بگیریم، در مورد دوم کمیت Q را عنصری از واقعیت است. [ ص 22 ]

انیشتین به این نتیجه رسید که ذره دوم که هرگز مستقیماً آن را مشاهده نکرده‌ایم، باید در هر لحظه موقعیتی واقعی و حرکتی واقعی داشته باشد. مکانیک کوانتومی این ویژگی های واقعیت را در نظر نمی گیرد. بنابراین، مکانیک کوانتومی کامل نیست. [ 6 ] : 451 از اصل عدم قطعیت مشخص است که موقعیت و تکانه را نمی توان همزمان اندازه گیری کرد. اما با وجود اینکه مقادیر آنها را فقط می توان در زمینه های متمایز اندازه گیری تعیین کرد، آیا هر دو در یک زمان قطعی هستند؟ انیشتین به این نتیجه رسید که پاسخ باید مثبت باشد. [ 40 ]

انیشتین ادعا می کرد که تنها جایگزین این است که بگوید اندازه گیری ذره اول به طور آنی بر واقعیت موقعیت و تکانه ذره دوم تأثیر می گذارد. [ 6 ] : 451 "هیچ تعریف معقولی از واقعیت نمی توان انتظار داشت که اجازه دهد." [ ص 22 ]

بور وقتی مقاله انیشتین را خواند حیرت زده شد و بیش از شش هفته وقت صرف پاسخ او کرد که دقیقاً همان عنوان مقاله EPR را داد. [ ص 26 ] مقاله EPR بور را وادار کرد تا در درک خود از مکمل بودن در تفسیر کپنهاگ از مکانیک کوانتومی تجدید نظر اساسی کند. [ 40 ]

قبل از EPR، بور معتقد بود که اختلال ناشی از عمل مشاهده، توضیح فیزیکی عدم قطعیت کوانتومی است. با این حال، در آزمایش فکری EPR، بور باید اعتراف می کرد که "هیچ بحثی در مورد اختلال مکانیکی سیستم تحت بررسی وجود ندارد." از سوی دیگر، او خاطرنشان کرد که این دو ذره یک سیستم هستند که توسط یک تابع کوانتومی توصیف می شود. علاوه بر این، مقاله EPR هیچ کاری برای از بین بردن اصل عدم قطعیت انجام نداد. [ 12 ] : 454-457 [ یادداشت 17 ]

مفسران بعدی قدرت و انسجام پاسخ بور را زیر سوال برده اند. با این حال، به عنوان یک موضوع عملی، اکثر فیزیکدانان به بحث بین بور و انیشتین توجه چندانی نکردند، زیرا دیدگاه های مخالف بر توانایی فرد در به کارگیری مکانیک کوانتومی در مسائل عملی تأثیری نداشت، بلکه فقط بر تفسیر فرد از کوانتوم تأثیر گذاشت. فرمالیسم اگر آنها اصلاً به مشکل فکر می کردند، اکثر فیزیکدانان شاغل تمایل داشتند از رهبری بور پیروی کنند. [ 40 ] [ 47 ] [ 48 ]

در سال 1964، جان استوارت بل به این کشف پیشگامانه دست یافت که جهان بینی واقع گرایانه محلی انیشتین، پیش بینی های آزمایشی قابل تأییدی را ارائه می دهد که با پیش بینی های مکانیک کوانتومی در تضاد است. کشف بل، بحث انیشتین-بور را از فلسفه به حوزه فیزیک تجربی تغییر داد. قضیه بل نشان داد که برای هر فرمالیسم واقع گرای محلی، محدودیت هایی در رابطه پیش بینی شده بین جفت ذرات در تحقق تجربی آزمایش فکری EPR وجود دارد. در سال 1972، اولین آزمایشات آزمایشی انجام شد که نشان دهنده نقض این حدود بود. آزمایش های متوالی دقت مشاهده را بهبود بخشید و حفره ها را بسته بود. تا به امروز، تقریباً مسلم است که تئوری های رئالیستی محلی جعل شده اند. [ 49 ]

مقاله EPR اخیراً به عنوان پیش‌بینی شناخته شده است، زیرا پدیده درهم تنیدگی کوانتومی را شناسایی کرده است ، [ مشکوک - بحث ] که الهام‌بخش رویکردهایی به مکانیک کوانتومی متفاوت از تفسیر کپنهاگ است و در خط مقدم پیشرفت‌های تکنولوژیکی عمده در محاسبات کوانتومی قرار داشته است. , رمزگذاری کوانتومی , و نظریه اطلاعات کوانتومی . [ 50 ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein%27s_thought_experiments

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 23:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-آزمایش های فکری اینشتین

دوگانگی موج - ذره

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: دوگانگی موج-ذره

تمام مشارکت‌های عمده اینشتین در نظریه کوانتومی قدیمی از طریق استدلال آماری به دست آمد. این شامل مقاله او در سال 1905 است که استدلال می کند نور دارای ویژگی های ذرات است، کار او در سال 1906 در مورد گرمای خاص، معرفی او در سال 1909 از مفهوم دوگانگی موج-ذره، کار او در سال 1916 در ارائه یک اشتقاق بهبود یافته از فرمول تابش جسم سیاه، و کار او در سال 1924 که معرفی کرد. مفهوم غیر قابل تشخیص [ 12 ] : 56

آینه ای در حفره ای حاوی ذرات یک گاز ایده آل و پر از تابش نوسان جسم سیاه.

استدلال های اینشتین در سال 1909 برای دوگانگی موج-ذره نور بر اساس یک آزمایش فکری بود. انیشتین آینه ای را در حفره ای متصور شد که حاوی ذرات یک گاز ایده آل و پر از تشعشعات جسم سیاه بود و کل سیستم در تعادل گرمایی قرار داشت . آینه در حرکاتش به جهتی عمود بر سطحش محدود می شود. [ 3 ] [ ص 18 ] [ ص 19 ]

آینه از حرکت براونی به دلیل برخورد با مولکول های گاز تکان می خورد. از آنجایی که آینه در یک میدان تابشی قرار دارد، آینه متحرک بخشی از انرژی جنبشی خود را در نتیجه اختلاف فشار تابش بین سطوح جلو و عقب خود به میدان تابش منتقل می کند. این بدان معناست که باید نوساناتی در میدان تابش جسم سیاه وجود داشته باشد، و بنابراین نوساناتی در فشار تابش جسم سیاه وجود دارد. معکوس کردن این استدلال نشان می دهد که باید مسیری برای بازگشت انرژی از میدان تابشی جسم سیاه در نوسان به مولکول های گاز وجود داشته باشد. [ 3 ]

با توجه به شکل شناخته شده میدان تابش که توسط قانون پلانک ارائه شده است ، انیشتین توانست میانگین نوسانات انرژی مربعی تابش جسم سیاه را محاسبه کند. او ریشه میانگین نوسانات انرژی مربع را پیدا کرد $\left\langle \epsilon ^{2}\right\rangle$ در حجم کم $v$ یک حفره پر از تابش حرارتی در فاصله فرکانس بین $\nu$ و $\nu +d\nu$ تابعی از فرکانس و دما باشد:

$\left\langle \epsilon ^{2}(\nu ,T)\right\rangle =\left(h\nu \rho +{\frac {c^{3}}{8\pi \nu ^ {2}}}\rho ^{2}\right)vd\nu ,$

که $\rho vd\nu$ میانگین انرژی حجم در تماس با حمام حرارتی خواهد بود. عبارت فوق دارای دو عبارت است، دومی مربوط به قانون کلاسیک ریلی جین ( یعنی یک اصطلاح موج مانند)، و اولی مربوط به قانون توزیع وین (که از تحلیل انیشتین در سال 1905، از کوانتوم های نقطه مانند با انرژی حاصل می شود. $h\nu$ ). از این، انیشتین به این نتیجه رسید که تابش جنبه موجی و ذره ای همزمان دارد. [ 3 ] [ 12 ] : 402-404 [ یادداشت 13 ]

پارادوکس حباب

[ ویرایش ]

از سال 1905 تا 1923، اینشتین عملا تنها فیزیکدانی بود که کوانتوم های نوری را جدی می گرفت. در تمام این دوره، جامعه فیزیک با فرضیه نور-کوانتوم با «شک گرایی در مرز تمسخر» [ 12 ] : 357 برخورد می کرد و این نگرش را حتی پس از تأیید قانون فوتوالکتریک انیشتین حفظ کرد. استناد جایزه نوبل انیشتین در سال 1922 بسیار عمداً از ذکر کوانتوم های نوری اجتناب کرد، در عوض اظهار داشت که این جایزه به دلیل "خدمات او به فیزیک نظری و به ویژه برای کشف قانون اثر فوتوالکتریک" اعطا شده است. [ 12 ] : 386 این موضع نادیده انگاشته به شدت با روش مشتاقانه ای که در آن سایر مشارکت های اصلی انیشتین پذیرفته شد، از جمله کار او در مورد حرکت براونی، نسبیت خاص ، نسبیت عام ، و مشارکت های متعدد دیگر او در نظریه کوانتومی "قدیمی" در تضاد است.

برای این بی توجهی جامعه فیزیک توضیحات مختلفی ارائه شده است. اولین و مهمترین موفقیت طولانی و غیرقابل انکار نظریه موج در توضیح پدیده های صرفا نوری بود. دوم این واقعیت بود که مقاله او در سال 1905، که اشاره می‌کرد که پدیده‌های خاصی با این فرض که نور ذره‌ای است، با سهولت بیشتری توضیح داده می‌شوند، این فرضیه را تنها به عنوان یک «دیدگاه اکتشافی» ارائه کرد. این مقاله هیچ جایگزین قانع کننده و جامعی برای نظریه الکترومغناطیسی موجود ارائه نکرد. سوم این واقعیت بود که مقاله او در سال 1905 که کوانتوم های نور را معرفی می کرد و دو مقاله او در سال 1909 که در مورد نظریه همجوشی موج-ذره بحث می کردند، از طریق استدلال های آماری به موضوعات خود نزدیک شدند که معاصران او "ممکن است آنها را به عنوان تمرین نظری بپذیرند - شاید دیوانه کننده، اما بی ضرر". [ 15 ] : 142-144

اکثر معاصران انیشتین این موضع را اتخاذ کردند که نور در نهایت یک موج است، اما در شرایط خاصی ذره ای به نظر می رسد تنها به این دلیل که اتم ها انرژی موج را در واحدهای مجزا جذب می کنند. [ 39 ] : 88

پارادوکس حباب

از جمله آزمایش‌های فکری که انیشتین در سخنرانی خود در سال 1909 درباره ماهیت و ساختار تشعشع ارائه کرد، آزمایشی بود که او برای اشاره به غیرقابل قبول بودن استدلال فوق استفاده کرد. او از این آزمایش فکری استفاده کرد تا استدلال کند که اتم‌ها نور را به‌عنوان ذرات گسسته به جای امواج پیوسته ساطع می‌کنند: (الف) یک الکترون در پرتو پرتو کاتدی به اتمی در یک هدف برخورد می‌کند. شدت پرتو آنقدر کم است که می‌توانیم هر بار یک الکترون را به عنوان برخورد با هدف در نظر بگیریم. (ب) اتم یک موج الکترومغناطیسی تابشی کروی ساطع می کند. ج) این موج یک اتم را در یک هدف ثانویه تحریک می کند و باعث می شود که الکترون انرژی مشابه با الکترون اصلی آزاد کند. انرژی الکترون ثانویه فقط به انرژی الکترون اصلی بستگی دارد و اصلاً به فاصله بین اهداف اولیه و ثانویه بستگی ندارد. به نظر می رسد تمام انرژی پخش شده در اطراف محیط موج الکترومغناطیسی تابشی فوراً روی اتم هدف متمرکز می شود، عملی که انیشتین آن را غیرقابل قبول می دانست. بسیار محتمل تر این است که بگوییم اتم اول ذره ای را در جهت اتم دوم ساطع کرده است. [ 42 ] [ ص 19 ]

اگرچه انیشتین در ابتدا این آزمایش فکری را به عنوان استدلالی برای نور ذرات ارائه کرد، اما اشاره شده است که این آزمایش فکری، که «پارادوکس حباب» نامیده می‌شود، [ 42 ] پیش‌نمایش مقاله معروف EPR در سال 1935 است. انیشتین در مناظره سال 1927 خود با بور، از این آزمایش فکری استفاده کرد تا نشان دهد که طبق تفسیر کپنهاگی مکانیک کوانتومی که بور از آن دفاع می‌کرد، تابع موج کوانتومی یک ذره بدون توجه به اینکه موج چقدر پراکنده باشد، ناگهان مانند یک حباب متلاشی می‌شود. . انتقال انرژی از طرف مقابل حباب به یک نقطه منفرد سریعتر از نور اتفاق می افتد و اصل محلی بودن را نقض می کند. [ 39 ] : 87-90 [ 43 ]

در پایان، این آزمایش بود، نه هر استدلال نظری، که سرانجام مفهوم کوانتوم نور را قادر ساخت. در سال 1923، آرتور کامپتون در حال مطالعه پراکندگی پرتوهای ایکس با انرژی بالا از یک هدف گرافیتی بود. او به طور غیرمنتظره ای دریافت که پرتوهای ایکس پراکنده در طول موج جابجا می شوند که مربوط به پراکندگی غیرکشسانی پرتوهای ایکس توسط الکترون های هدف است. مشاهدات او کاملاً با رفتار موجی ناسازگار بود، اما در عوض تنها در صورتی می‌توانست توضیح داده شود که پرتوهای ایکس مانند ذرات عمل کنند. این مشاهده از اثر کامپتون به سرعت باعث تغییر نگرش شد و تا سال 1926، مفهوم "فوتون" به طور کلی توسط جامعه فیزیک پذیرفته شد. [ 15 ] : 569-570 [ یادداشت 14 ]

جعبه نور انیشتین

[ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: مناظرات بور-اینشتین

انیشتین از جهتی که مکانیک کوانتومی پس از سال 1925 در آن چرخیده بود خوشش نمی آمد. اگرچه با مکانیک ماتریس هایزنبرگ، مکانیک موجی شرودینگر و توضیح بورن از معنای معادله موج شرودینگر ( یعنی مجذور مطلق تابع موج باید باشد) هیجان زده بود. که به عنوان چگالی احتمال تفسیر می شود)، غرایز او به او می گفت که چیزی وجود دارد گم شده [ 6 ] : 326-335 در نامه ای به بورن، نوشت:

مکانیک کوانتومی بسیار چشمگیر است. اما یک صدای درونی به من می گوید که هنوز واقعیت ندارد. این تئوری توافق خوبی ارائه می دهد، اما به سختی ما را به راز قدیمی نزدیک می کند. [ 12 ] : 440-443

مناظره های سولوای بین بور و انیشتین در بحث های اتاق غذاخوری در پنجمین کنفرانس بین المللی سولوای در مورد الکترون ها و فوتون ها در سال 1927 آغاز شد. مسئله انیشتین با مکانیک کوانتومی جدید فقط این نبود، با تفسیر احتمال، مفهوم دقیق را بی اعتبار کرد. علیت به هر حال، همانطور که در بالا ذکر شد، خود اینشتین در نظریه تابش خود در سال 1916 فرآیندهای تصادفی را معرفی کرده بود. در عوض، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ با تعریف و محدود کردن حداکثر مقدار اطلاعات قابل دستیابی در یک آرایش آزمایشی، وجود هر واقعیت قابل شناختی را از نظر مشخصات کامل لحظه و توصیف ذرات منفرد، واقعیتی عینی که وجود دارد، انکار کرد. آیا ما هرگز توانستیم آن را مشاهده کنیم یا نه. [ 6 ] : 325-326 [ 12 ] : 443-446

در طول شام، در طول بحث‌های بعد از شام، و در هنگام صبحانه، انیشتین با بور و پیروانش درباره این سوال بحث کرد که آیا مکانیک کوانتومی به شکل کنونی‌اش را می‌توان کامل نامید. انیشتین نکات خود را با آزمایش‌های فکری هوشمندانه‌تر نشان داد که هدفشان اثبات این بود که موقعیت و حرکت در اصل می‌توانند به طور همزمان با دقت دلخواه شناخته شوند. برای مثال، یکی از آزمایش‌های فکری او شامل ارسال پرتوی از الکترون‌ها از طریق صفحه‌ی دریچه‌دار، ثبت موقعیت‌های الکترون‌ها در هنگام برخورد با صفحه عکاسی بود. بور و متحدانش همیشه می‌توانند با پیشنهاد انیشتین مقابله کنند، معمولاً تا پایان همان روز. [ 6 ] : 344-347

در آخرین روز کنفرانس، اینشتین فاش کرد که اصل عدم قطعیت تنها جنبه مکانیک کوانتومی جدید نیست که او را آزار می دهد. مکانیک کوانتومی، حداقل در تفسیر کپنهاگ، به نظر می‌رسد که به عمل در فاصله‌ای اجازه می‌دهد ، یعنی توانایی دو جسم جدا از هم برای ارتباط با سرعت‌های بیشتر از نور. در سال 1928، اجماع بر این بود که انیشتین در این بحث شکست خورده بود، و حتی نزدیکترین متحدان او در خلال پنجمین کنفرانس سولوای، به عنوان مثال لوئیس دو بروگلی ، پذیرفتند که مکانیک کوانتومی به نظر کامل می رسد. [ 6 ] : 346-347

جعبه نور انیشتین

در ششمین کنفرانس بین المللی سولوای در مورد مغناطیس (1930)، انیشتین با یک آزمایش فکری جدید مسلح شد. این شامل جعبه ای با دریچه ای بود که به سرعت عمل می کرد، به طوری که تنها به یک فوتون در هر زمان اجازه می داد فرار کند. جعبه ابتدا باید دقیقاً وزن شود. سپس در یک لحظه دقیق، شاتر باز می‌شود و به یک فوتون اجازه می‌دهد تا فرار کند. سپس جعبه دوباره وزن می شود. رابطه شناخته شده بین جرم و انرژی $E=mc^{2}$ اجازه می دهد تا انرژی ذره به طور دقیق تعیین شود. با استفاده از این ابزار، انیشتین معتقد بود که او ابزاری را برای به دست آوردن همزمان، تعیین دقیق انرژی فوتون و همچنین زمان دقیق خروج آن از سیستم نشان داده است. [ 6 ] : 346-347 [ 12 ] : 446-448

بور از این آزمایش فکری متزلزل شد. او که نمی‌توانست به ردی فکر کند، از یک شرکت‌کننده به کنفرانس دیگر رفت و سعی کرد آنها را متقاعد کند که آزمایش فکری انیشتین نمی‌تواند درست باشد، که اگر درست باشد، به معنای واقعی کلمه پایان فیزیک است. پس از یک شب بی خوابی، او سرانجام به پاسخی دست یافت که از قضا به نسبیت عام اینشتین بستگی داشت. [ 6 ] : 348-349 تصویر جعبه نور انیشتین را در نظر بگیرید: [ 12 ] : 446-448

1. پس از گسیل یک فوتون، کاهش وزن باعث بالا آمدن جعبه در میدان گرانشی می شود.

2. ناظر جعبه را با اضافه کردن وزنه به ارتفاع اولیه برمی گرداند تا زمانی که نشانگر به موقعیت اولیه خود اشاره کند. زمان معینی طول می کشدتی $t$ تا ناظر این روش را انجام دهد. چقدر طول می کشد بستگی به قدرت فنر و میزان رطوبت سیستم دارد. اگر میرایی نشود، جعبه برای همیشه بالا و پایین خواهد رفت. اگر بیش از حد میرایی داشته باشد، جعبه به آرامی به موقعیت اولیه خود باز می گردد (به سیستم فنر-جرم مرطوب شده مراجعه کنید ). [ یادداشت 15 ]

3. هر چه ناظر به سیستم فنر-جرم میرا شده اجازه ته نشین شدن طولانی تری بدهد، نشانگر به موقعیت تعادل خود نزدیک تر می شود. در نقطه‌ای، ناظر به این نتیجه می‌رسد که تنظیم نشانگر در موقعیت اولیه‌اش در حد مجاز است. مقداری خطای باقیمانده وجود خواهد داشت $\Delta q$ در برگرداندن اشاره گر به موقعیت اولیه خود. به همین ترتیب، مقداری خطای باقیمانده وجود خواهد داشت $\Delta m$ در اندازه گیری وزن

4. اضافه کردن وزنه ها باعث ایجاد حرکت می شود $p$ به جعبه ای که می توان با دقت اندازه گیری کرد $\Delta p$ محدود شده توسط. $\Delta p\Delta q\approx h.$ واضح است که $\Delta p<gt\Delta m,$ که $g$ ثابت گرانشی است. وصل کردن بازده $gt\Delta m\Delta q>h.$

5. نسبیت عام به ما اطلاع می دهد که در حالی که ارتفاع جعبه متفاوت از ارتفاع اصلی خود بوده است، اما با نرخی متفاوت از نرخ اصلی خود تیک می زند. فرمول تغییر قرمز به ما اطلاع می دهد که یک عدم قطعیت وجود خواهد داشت $\Delta t=c^{-2}gt\Delta q$ در تعیین ، $t_{0}،$ زمان انتشار فوتون

6. از این رو، $c^{2}\Delta m\Delta t=\Delta E\Delta t>h.$ دقت اندازه‌گیری انرژی فوتون، با پیروی از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ، دقت اندازه‌گیری گشتاور گسیلش را محدود می‌کند.

پس از اینکه انیشتین آخرین تلاش خود را برای یافتن خلأ حول اصل عدم قطعیت رد کرد، از تلاش برای جستجوی ناسازگاری در مکانیک کوانتومی دست کشید. در عوض، او تمرکز خود را به جنبه‌های دیگر مکانیک کوانتومی که با آن‌ها احساس ناراحتی می‌کرد، معطوف کرد و بر نقد کنش از راه دور تمرکز کرد. مقاله بعدی او در مورد مکانیک کوانتومی مقاله بعدی او را در مورد پارادوکس EPR پیش بینی کرد. [ 12 ] : 448

انیشتین در شکست خود مهربان بود. سپتامبر سال بعد، انیشتین هایزنبرگ و شرودینگر را نامزد جایزه نوبل کرد و اظهار داشت: "من متقاعد شده‌ام که این نظریه بدون شک بخشی از حقیقت نهایی را در خود دارد." [ 12 ] : 448

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 23:3 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-آزمایش های فکری اینشتین

هندسه نااقلیدسی و قرص دوار

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: پارادوکس Ehrenfest

در نظر گرفتن پارادوکس ارنفست، انیشتین را به این فکر واداشت که گرانش فضازمان را منحنی می کند.

در سال 1912، انیشتین در توسعه سینماتیکی نسبیت عام خود به بن بست رسیده بود و متوجه شد که باید فراتر از ریاضیاتی که می دانست و با آن آشنا بود، برود. [ 29 ]

استاچل تحلیل انیشتین از دیسک دوار نسبیتی سفت و سخت را به عنوان کلید اصلی این تحقق شناسایی کرده است. [ 30 ] دیسک دوار صلب از زمانی که ماکس بورن و پل ارنفست در سال 1909 تجزیه و تحلیل هایی از اجسام صلب در نسبیت خاص ارائه کردند، موضوع بحث پر جنب و جوشی بود . [ p 13 ] [ p 14 ] یک ناظر در لبه یک دیسک در حال چرخش یک نیروی ظاهری ("ساختگی" یا "شبه") به نام " نیروی گریز از مرکز " را تجربه می کند. [ 31 ] تا سال 1912، انیشتین به رابطه نزدیک بین گرانش و نیروهای شبه مانند نیروی گریز از مرکز متقاعد شده بود:

چنین سیستمی K ، طبق اصل هم ارزی، دقیقاً معادل یک سیستم در حال سکون است که در آن یک میدان گرانشی ساکن بدون ماده از نوع خاصی وجود دارد. [ ص 15 ]

در تصویر همراه، A یک دیسک دایره ای به قطر 10 واحد در حالت استراحت در یک قاب مرجع اینرسی نشان می دهد . دور دیسک استπ $\pi$ برابر قطر، و تصویر 31.4 خط کش را در امتداد محیط نشان می دهد. B نشان دهنده یک صفحه دایره ای به قطر 10 واحد است که به سرعت در حال چرخش است. به گفته یک ناظر غیر چرخشی، هر یک از خط کش ها در امتداد محیط در طول خط حرکت خود منقبض می شوند. خط کش های بیشتری برای پوشاندن محیط مورد نیاز است، در حالی که تعداد خط کش های مورد نیاز برای دهانه قطر بدون تغییر است. توجه داشته باشید که ما بیان نکرده ایم که چرخش A را برای بدست آوردن B تنظیم کرده ایم . در نسبیت خاص، نمی‌توان چرخش دیسکی را تنظیم کرد که به معنای بورن «سخت» باشد. از آنجایی که چرخش دیسک A باعث انقباض مواد در جهت محیطی می شود اما در جهت شعاعی منقبض نمی شود، یک دیسک صلب از تنش های القایی تکه تکه می شود. [ 29 ]

در سال‌های بعد، انیشتین بارها اظهار داشت که توجه به قرصی که به سرعت در حال چرخش است برای او «اهمیت تعیین‌کننده‌ای» دارد، زیرا نشان می‌دهد که یک میدان گرانشی باعث آرایش غیراقلیدسی میله‌های اندازه‌گیری می‌شود. [ 30 ]

انیشتین متوجه شد که مهارت‌های ریاضی برای توصیف دیدگاه غیراقلیدسی از فضا و زمان را ندارد، بنابراین برای کمک به دوست ریاضی‌دان خود، مارسل گروسمان ، مراجعه کرد. پس از تحقیق در کتابخانه، گروسمن مقاله مروری توسط ریچی و لوی-سیویتا در مورد حساب دیفرانسیل مطلق (حساب تانسور) پیدا کرد. گروسمن در این زمینه به انیشتین آموزش داد و در سالهای 1913 و 1914 دو مقاله مشترک منتشر کردند که نسخه اولیه یک نظریه تعمیم یافته گرانش را توصیف می کرد. [ 32 ] طی چندین سال بعد، انیشتین از این ابزارهای ریاضی برای تعمیم رویکرد هندسی مینکوفسکی به نسبیت استفاده کرد تا فضازمان منحنی را در بر گیرد. [ 29 ]

مکانیک کوانتومی

[ ویرایش ]

زمینه: انیشتین و کوانتوم

[ ویرایش ]

افسانه های زیادی در مورد رابطه انیشتین با مکانیک کوانتومی رشد کرده است . دانشجویان سال اول فیزیک می دانند که اینشتین اثر فوتوالکتریک را توضیح داده و مفهوم فوتون را معرفی کرده است . اما دانش‌آموزانی که با فوتون بزرگ شده‌اند ممکن است از انقلابی بودن این مفهوم برای زمان او آگاه نباشند. شناخته‌شده‌ترین فاکتوئیدها در مورد رابطه انیشتین با مکانیک کوانتومی عبارت‌اند از: «خدا با جهان تاس بازی نمی‌کند» و این واقعیت غیرقابل انکار که او این نظریه را در شکل نهایی آن دوست نداشت. این منجر به این تصور عمومی شده است که علیرغم مشارکت های اولیه، انیشتین با تحقیقات کوانتومی ارتباط نداشت و در بهترین حالت نقش ثانویه ای در توسعه آن داشت. [ 33 ] : 1-4 در مورد بیگانگی انیشتین از جهت گیری کلی تحقیقات فیزیک پس از سال 1925، زندگی نامه نویس علمی مشهور او، آبراهام پایس ، نوشت:

انیشتین تنها دانشمندی است که منصفانه با نیوتن برابری می کند. این مقایسه منحصراً بر اساس کارهایی است که او قبل از سال 1925 انجام می‌داد. در 30 سال باقیمانده از زندگی‌اش، او در تحقیقات فعال باقی ماند، اما اگر به جای آن به ماهیگیری می‌رفت، شهرت او کاهش نمی‌یابد، اگر افزایش نمی‌یابد. [ 34 ] : 43

در گذشته، می دانیم که پاییس در ارزیابی خود نادرست بود.

اینشتین مسلماً بزرگترین مشارکت کننده در نظریه کوانتومی "قدیمی" بود . [ 33 ] [ یادداشت 4 ]

انیشتین در مقاله خود در سال 1905 در مورد کوانتوم های نور، نظریه کوانتومی نور را ایجاد کرد . پیشنهاد او مبنی بر وجود نور به‌عنوان بسته‌های کوچک (فوتون) چنان انقلابی بود که حتی پیشگامان اصلی نظریه کوانتومی مانند پلانک و بور از باور درست بودن آن امتناع کردند. [ 33 ] : 70-79، 282-284 [ یادداشت 5 ] بور، به ویژه، یک ناباور پرشور به کوانتوم های نور بود، و تا سال 1925 مکرراً علیه آنها بحث کرد، زمانی که در برابر شواهد قاطع وجود آنها تسلیم شد. [ 36 ]
انیشتین در نظریه گرمای ویژه خود در سال 1906 اولین کسی بود که متوجه شد سطوح انرژی کوانتیزه گرمای ویژه جامدات را توضیح می دهد. [ ص 17 ] به این ترتیب، او توجیهی منطقی برای قانون سوم ترمودینامیک یافت ( یعنی آنتروپی هر سیستمی با نزدیک شدن دما به صفر مطلق به صفر می رسد [ نکته 6 ] ): در دماهای بسیار سرد، اتم ها در یک جامد انجام می دهند. انرژی حرارتی کافی برای رسیدن به اولین سطح کوانتومی برانگیخته را ندارند و بنابراین نمی توانند ارتعاش کنند. [ 33 ] : 141-148 [ یادداشت 7 ]
اینشتین دوگانگی موج-ذره نور را پیشنهاد کرد. در سال 1909، با استفاده از یک استدلال نوسانی دقیق بر اساس یک آزمایش فکری و با تکیه بر کار قبلی خود در مورد حرکت براونی ، ظهور "نظریه فیوژن" را پیش بینی کرد که این دو دیدگاه را با هم ترکیب می کند. [ 33 ] : 136-140 [ p 18 ] [ p 19 ] اساساً، او نشان داد که حرکت براونی که توسط یک آینه در تعادل حرارتی با تابش جسم سیاه تجربه می شود، مجموع دو جمله است، یکی به دلیل خواص موجی تابش، دیگری به دلیل خواص ذرات آن. [ 3 ]
اگرچه پلانک عادلانه به عنوان پدر مکانیک کوانتومی مورد ستایش قرار می گیرد، اما اشتقاق او از قانون تشعشعات جسم سیاه بر روی زمینی شکننده استوار است، زیرا مستلزم مفروضات موردی از شخصیت غیرمنطقی است. [ یادداشت 8 ] علاوه بر این، اشتقاق پلانک تحلیلی از نوسانگرهای هارمونیک کلاسیک را نشان داد که با مفروضات کوانتومی به شکلی بداهه ادغام شده بودند. [ 33 ] : 184 انیشتین در نظریه تابش خود در سال 1916 اولین کسی بود که توضیحی صرفاً کوانتومی ایجاد کرد. [ ص 20 ] این مقاله، که به دلیل کشف امکان انتشار تحریک شده (مبنای لیزر ) شناخته شده است، با معرفی نقش اساسی شانس تصادفی، ماهیت نظریه کوانتومی در حال تکامل را تغییر داد. [ 33 ] : 181-192
در سال 1924، انیشتین دست‌نوشته کوتاهی از استاد ناشناخته هندی به نام ساتیندرا نات بوز دریافت کرد که در آن روش جدیدی برای استخراج قانون تشعشعات جسم سیاه بیان شده بود. [ یادداشت 9 ] انیشتین شیفته روش عجیب بوز برای شمارش تعداد روش‌های متمایز قرار دادن فوتون‌ها در حالت‌های موجود بود، روشی برای شمارش که ظاهرا بوز متوجه غیرعادی بودن آن نمی‌شد. [ یادداشت 10 ] اما انیشتین فهمید که روش شمارش بوز به این معناست که فوتون‌ها، به معنای عمیق، غیرقابل تشخیص هستند. او این مقاله را به آلمانی ترجمه کرد و آن را منتشر کرد. سپس انیشتین مقاله بوز را با بسط کار بوز دنبال کرد که تراکم بوز-اینشتین را که یکی از موضوعات تحقیقاتی اساسی فیزیک ماده متراکم بود، پیش‌بینی کرد . [ 33 ] : 215-240
انیشتین در حالی که تلاش می‌کرد تا یک نظریه ریاضی از نور ایجاد کند که جنبه‌های موجی و ذره‌مانند آن را به طور کامل در بر گیرد، مفهوم "میدان ارواح" را توسعه داد. یک موج هدایت کننده که از قوانین کلاسیک ماکسول پیروی می کند، طبق قوانین عادی اپتیک منتشر می شود، اما هیچ انرژی را منتقل نمی کند. با این حال، این موج هدایت کننده ظاهر کوانتوم های انرژی را کنترل می کندساعتν $h\nu$ بر مبنای آماری، به طوری که ظاهر این کوانتوم ها متناسب با شدت تشعشعات تداخلی باشد. این ایده ها به طور گسترده ای در جامعه فیزیک شناخته شد، و از طریق کار بورن در سال 1926، بعدها به یک مفهوم کلیدی در نظریه کوانتومی مدرن تابش و ماده تبدیل شد. [ 33 ] : 193-203 [ یادداشت 11 ]

بنابراین، انیشتین قبل از سال 1925 بسیاری از مفاهیم کلیدی نظریه کوانتومی را منشا گرفت: کوانتومای نور، دوگانگی موج-ذره، تصادفی بنیادی فرآیندهای فیزیکی، مفهوم غیرقابل تشخیص، و تفسیر چگالی احتمال معادله موج. علاوه بر این، انیشتین را می توان پدر فیزیک حالت جامد و فیزیک ماده چگال دانست. [ 38 ] او یک اشتقاق صحیح از قانون تشعشعات جسم سیاه ارائه کرد و مفهوم لیزر را برانگیخت.

بعد از 1925 چطور ؟ در سال 1935، انیشتین با همکاری دو همکار جوانتر، آخرین چالش مکانیک کوانتومی را مطرح کرد و تلاش کرد نشان دهد که نمی تواند یک راه حل نهایی را نشان دهد. [ ص 22 ] علیرغم سؤالات مطرح شده توسط این مقاله، تفاوت چندانی با نحوه استفاده فیزیکدانان از مکانیک کوانتومی در کار خود نداشت. در مورد این مقاله، Pais قرار بود بنویسد:

تنها بخشی از این مقاله که در نهایت باقی خواهد ماند، به اعتقاد من، این عبارت آخر است [یعنی « هیچ تعریف معقولی از واقعیت نمی‌توان انتظار داشت که اجازه دهد که « این » به انتقال آنی اطلاعات از راه دور اشاره دارد]، که به طرز تلخی نظرات انیشتین را در مورد مکانیک کوانتومی در سال‌های آخر عمرش خلاصه می‌کند... این نتیجه‌گیری بر پیشرفت‌های بعدی در فیزیک تأثیری نداشته است، و تردید وجود دارد که هرگز. [ 12 ] : 454-457

برخلاف ارزیابی منفی Pais، این مقاله، با تشریح پارادوکس EPR ، به یکی از پراستنادترین مقالات در کل ادبیات فیزیک تبدیل شده است. [ 39 ] : 23 آن را محور توسعه نظریه اطلاعات کوانتومی می دانند ، [ 40 ] که «انقلاب کوانتومی سوم» نامیده می شود. [ 41 ] [ یادداشت 12 ]

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 23:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-آزمایش های فکری اینشتین

عدم امکان سیگنال دهی سریعتر از نور

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: آنتی تلفن تاکیونیک و ارتباط سریعتر از نور

آزمایش فکری اینشتین در سال 1907 نشان داد که سیگنال دهی FTL اجازه نقض علیت را می دهد.

در سال 1907، انیشتین اشاره کرد که از قانون ترکیب برای سرعت‌ها ، می‌توان نتیجه گرفت که نمی‌توان اثری وجود داشت که امکان سیگنال‌دهی سریع‌تر از نور را فراهم کند . [ ص 9 ] [ ص 10 ]

انیشتین نواری از مواد را تصور کرد که امکان انتشار سیگنال ها را با سرعتی بیشتر از نور فراهم می کند. $W$ (همانطور که از نوار مواد مشاهده می شود). دو ناظر A و B را تصور کنید که روی محور x ایستاده اند و با فاصله از هم جدا شده اندL $L$ . آنها در کنار نوار ماده می ایستند، که در حال استراحت نیست، بلکه در جهت x منفی با سرعت حرکت می کند.v $v$ . A از نوار برای ارسال سیگنال به B استفاده می کند . از فرمول ترکیب سرعت، سیگنال از A به B با سرعت منتشر می شود ${(Wv)/(1-(Wv/c^{2}))}$ . زمان $T$ برای انتشار سیگنال از A به B مورد نیاز است

$T=L{1-(Wv/c^{2}) \over Wv}.$

نوار می تواند با هر سرعتی حرکت کند $v<c$ . با توجه به فرض شروع $W>c$ ، همیشه می توان حرکت نوار را با سرعت تنظیم کرد $v$ به گونه ای که $T<0$ .

به عبارت دیگر، با توجه به وجود وسیله ای برای انتقال سیگنال ها سریعتر از نور، می توان سناریوهایی را پیش بینی کرد که به موجب آن گیرنده سیگنال، سیگنال را قبل از اینکه فرستنده آن را ارسال کند، دریافت کند.

انیشتین درباره این آزمایش فکری نوشت:

اگرچه این نتیجه، به نظر من، از نقطه نظر منطقی محض دارای هیچ تناقضی نیست، اما به حدی با ماهیت تمام تجربیات ما در تعارض است که برای اثبات غیرممکن بودن این فرض کافی به نظر می رسد. $W>c$ . [ ص 10 ]

نسبیت عام

[ ویرایش ]

نقاشان در حال سقوط و آسانسورهای شتاب دهنده

[ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: اصل هم ارزی

انیشتین در بررسی منتشر نشده خود در سال 1920، پیدایش افکار خود را در مورد اصل هم ارزی بیان کرد:

زمانی که مشغول نوشتن خلاصه‌ای از کارم در مورد نظریه نسبیت خاص برای Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik (سالنامه رادیواکتیویته و الکترونیک) بودم (در سال 1907)، مجبور شدم تئوری نیوتنی گرانش را اصلاح کنم. قوانین آن را در تئوری قرار دهد. در حالی که تلاش‌ها در این راستا عملی بودن این شرکت را نشان می‌داد، اما من را راضی نکرد زیرا باید بر اساس فرضیه‌های فیزیکی بی‌اساس استوار می‌شد. در آن لحظه شادترین فکر زندگی ام را به شکل زیر به ذهنم رساند: در مثالی که قابل تامل است، میدان گرانشی فقط به شکلی شبیه به میدان الکتریکی تولید شده توسط القای مغناطیسی-الکتریک، وجود نسبی دارد. زیرا برای یک ناظر در سقوط آزاد از پشت بام خانه، در هنگام سقوط - حداقل در مجاورت او - هیچ میدان گرانشی وجود ندارد. یعنی اگر ناظر اجسامی را رها کند، مستقل از ماهیت شیمیایی یا فیزیکی خاص خود، نسبت به او در حالت استراحت یا حرکت یکنواخت باقی می‌مانند. بنابراین، ناظر در تفسیر حالت خود به «سکون» موجه است. [ ص 4 ] : 20-21

این درک انیشتین را "متحیر" کرد و الهام بخش او شد تا یک جست و جوی هشت ساله را آغاز کند که به آنچه به عنوان بزرگترین کار او در نظر گرفته می شود، یعنی نظریه نسبیت عام منتهی شد . در طول سال‌ها، داستان مرد در حال سقوط به یک داستان نمادین تبدیل شده است که توسط سایر نویسندگان تزئین شده است. در بیشتر بازگویی های داستان انیشتین، مرد در حال سقوط به عنوان یک نقاش معرفی می شود. در برخی روایت‌ها، انیشتین پس از مشاهده سقوط یک نقاش از پشت بام ساختمانی در مجاورت اداره ثبت اختراع که در آن کار می‌کرد، الهام گرفت. این نسخه از داستان این سوال را بی پاسخ می گذارد که چرا انیشتین ممکن است مشاهده خود از چنین حادثه ناگواری را نشان دهنده شادترین فکر در زندگی خود بداند. [ 6 ] : 145

یک آزمایش فکری که انیشتین برای نشان دادن اصل هم ارزی استفاده کرد

انیشتین بعداً آزمایش فکری خود را اصلاح کرد تا مردی را در داخل یک سینه بزرگ محصور یا آسانسور در نظر بگیرد که آزادانه در فضا سقوط می کند. در هنگام سقوط آزاد، مرد خود را بی وزن می دانست و هر جسم شلی که از جیبش خالی می کرد در کنارش شناور می شد. سپس انیشتین طنابی را تصور کرد که به سقف اتاق متصل است. یک "موجود" قدرتمند به نوعی شروع به کشیدن طناب با نیروی ثابت می کند. محفظه با یک حرکت شتاب یکنواخت شروع به حرکت "به سمت بالا" می کند. در درون محفظه، تمام ادراکات مرد با حضور او در یک میدان گرانشی یکنواخت سازگار است. انیشتین پرسید: "آیا باید به آن مرد لبخند بزنیم و بگوییم که او در نتیجه گیری اشتباه می کند؟" انیشتین پاسخ داد نه. در عوض، این آزمایش فکری «زمینه‌های خوبی برای بسط اصل نسبیت به شامل بدن‌های مرجعی که نسبت به یکدیگر شتاب می‌گیرند، فراهم کرد، و در نتیجه ما به یک استدلال قوی برای یک اصل نسبیت تعمیم‌یافته دست یافتیم». [ ص 5 ] : 75-79 [ 6 ] : 145-147

از طریق این آزمایش فکری، انیشتین به موضوعی پرداخت که بسیار شناخته شده بود، دانشمندان به ندرت نگران آن بودند یا آن را گیج کننده می دانستند: اجسام دارای "جرم گرانشی" هستند، که تعیین کننده نیروی جذب آنها به اجسام دیگر است. اجسام همچنین دارای "جرم اینرسی" هستند که رابطه بین نیروی وارد شده به یک جسم و میزان شتاب آن را تعیین می کند. نیوتن اشاره کرده بود که با وجود اینکه آنها به طور متفاوتی تعریف می شوند، جرم گرانشی و جرم اینرسی همیشه برابر به نظر می رسند. اما تا قبل از انیشتین، هیچ کس توضیح خوبی در مورد اینکه چرا باید اینطور باشد، درک نکرده بود. از مکاتبات آشکار شده توسط آزمایش فکری خود، انیشتین به این نتیجه رسید که "نمی توان با آزمایش کشف کرد که آیا یک سیستم معین از مختصات شتاب می گیرد یا ... اثرات مشاهده شده ناشی از یک میدان گرانشی است." این مطابقت بین جرم گرانشی و جرم اینرسی اصل هم ارزی است . [ 6 ] : 147

بسط آزمایش فکری ناظر شتاب دهنده اش به انیشتین این امکان را داد که استنباط کند که "پرتوهای نور به صورت منحنی در میدان های گرانشی منتشر می شوند." [ ص 5 ] : 83-84 [ 6 ] : 190

کاربردهای اولیه اصل هم ارزی

[ ویرایش ]

فرمول نسبیت خاص اینشتین از نظر سینماتیک (مطالعه اجسام متحرک بدون اشاره به نیروها) بود. در اواخر سال 1907، استاد ریاضیات سابق او، هرمان مینکوفسکی ، در یک سخنرانی به انجمن ریاضی گوتینگن، تفسیر هندسی جایگزینی از نسبیت خاص ارائه کرد و مفهوم فضازمان را معرفی کرد . [ ص 11 ] اینشتین در ابتدا تفسیر هندسی مینکوفسکی را نادیده گرفت و آن را überflüssige Gelehrsamkeit (یادگیری اضافی) در نظر گرفت.

مانند نسبیت خاص، نتایج اولیه انیشتین در توسعه چیزی که در نهایت به نسبیت عام تبدیل می شد، با استفاده از تحلیل سینماتیکی به جای تکنیک های هندسی تجزیه و تحلیل انجام شد.

انیشتین در مقاله جهربوخ خود در سال 1907 ابتدا به این سوال پرداخت که آیا انتشار نور تحت تأثیر گرانش است و آیا تأثیر میدان گرانشی بر ساعت ها وجود دارد یا خیر. [ p 9 ] در سال 1911، انیشتین به این موضوع بازگشت، تا حدی به این دلیل که او متوجه شده بود که برخی از پیش‌بینی‌های نظریه نوپای او قابل آزمایش تجربی هستند. [ ص 12 ]

انیشتین و دانشمندان دیگر در زمان مقاله خود در سال 1911 چندین اثبات جایگزین ارائه کردند که جرم اینرسی جسم با محتوای انرژی آن افزایش می یابد: اگر افزایش انرژی بدن برابر باشد. $E$ ، سپس افزایش جرم اینرسی آن است. $E/c^{2}.$

انیشتین پرسید که آیا افزایش جرم گرانشی مطابق با افزایش جرم اینرسی وجود دارد و اگر چنین افزایشی وجود داشته باشد، آیا افزایش جرم گرانشی دقیقاً با افزایش جرم اینرسی برابر است؟ با استفاده از اصل هم ارزی، انیشتین به این نتیجه رسید که باید چنین باشد.

[ ص 12 ]

استدلال انیشتین مبنی بر اینکه نور در حال سقوط انرژی می گیرد

انیشتین برای نشان دادن اینکه اصل هم ارزی لزوماً بر گرانش انرژی دلالت دارد، منبع نور را در نظر گرفت. $S_{2}$ در امتداد محور z با فاصله از هم جدا می شوندساعت $h$ بالای یک گیرنده $S_{1}$ در یک میدان گرانشی همگن با نیرویی در واحد جرم 1g. $g.$ مقدار معینی از انرژی الکترومغناطیسی $E$ منتشر می شود توسط $S_{2}$ به سمت . $S_{1}.$ بر اساس اصل هم ارزی، این سیستم معادل یک سیستم بدون گرانش است که با شتاب یکنواخت حرکت می کند. $g$ در جهت مثبت z -محور، با $S_{2}$ با یک فاصله ثابت از هم جدا می شوند $h$ از. $S_{1}.$

در سیستم شتاب، نور ساطع می شود $S_{2}$ طول می کشد (به یک تقریب اول) $h/c$ برای رسیدن به . $S_{1}.$ اما در این زمان، سرعتاس1 $S_{1}$ افزایش خواهد یافت $v=gh/c$ از سرعت آن هنگام تابش نور. انرژی رسیده به $S_{1}$ بنابراین انرژی نخواهد بودE2، $E_{2}،$ اما انرژی بیشتر $E_{1}$ داده شده توسط

$E_{1}\approx E_{2}\left(1+{\frac {v}{c}}\right)=E_{2}\left(1+{\frac {gh}{c^ {2}}}\راست).$

با توجه به اصل هم ارزی، همین رابطه برای سیستم بدون شتاب در یک میدان گرانشی وجود دارد، جایی که ما جایگزین می کنیم. $gh$ با اختلاف پتانسیل گرانشی $\Phi$ بین $S_{2}$ و $S_{1}$ به طوری که

$E_{1}=E_{2}+{\frac {E_{2}}{c^{2}}}\Phi .$

انرژی $E_{1}$ رسیدن به $S_{1}$ بیشتر از انرژی است $E_{2}$ منتشر شده توسط $S_{2}$ توسط انرژی پتانسیل جرم $E_{2}/c^{2}$ در میدان گرانشی از این رو $E/c^{2}$ مطابق با جرم گرانشی و همچنین جرم اینرسی یک مقدار انرژی است. [ ص 12 ]

آزمایش فکری اینشتین در سال 1911 برای نشان دادن اینکه انرژی جرم گرانشی باید با انرژی جرم اینرسی برابر باشد.

برای روشن شدن بیشتر اینکه انرژی جرم گرانشی باید با انرژی جرم اینرسی برابر باشد، اینشتین فرآیند چرخه ای زیر را پیشنهاد کرد: (الف) منبع نور.اس2 $S_{2}$ در فاصله ای واقع شده است $h$ بالای یک گیرنده $S_{1}$ در یک میدان گرانشی یکنواخت یک جرم متحرکم $M$ می تواند شاتل بیناس2 $S_{2}$ واس1. $S_{1}.$ (ب) یک پالس انرژی الکترومغناطیسیE $E$ ارسال می شود ازا $S_{2}$ به . $S_{1}.$ انرژی $E(1+gh/c^{2})$ جذب می شود $S_{1}.$ ج) جرمم $M$ از پایین آمده است $S_{2}$ به $S_{1}،$ آزاد کردن مقدار کار برابر با . $Mgh.$ (د) انرژی جذب شده توسط $S_{1}$ منتقل می شود به $M.$ این باعث افزایش جرم گرانشی می شود $M$ به یک ارزش جدید $M'.$ (ه) جرم به عقب برمی گردد $S_{2}$ ، نیاز به ورودی کار دارد . $M'gh.$ (ه) سپس انرژی حمل شده توسط جرم به آن منتقل می شود ، $S_{2}،$ تکمیل چرخه

بقای انرژی مستلزم این است که تفاوت کار بین افزایش جرم و کاهش جرم، $M'gh-Mgh,$ ، باید برابر باشد ، $Egh/c^{2}،$ یا به طور بالقوه می توان یک ماشین حرکت دائمی را تعریف کرد . بنابراین،

$M'-M={\frac {E}{c^{2}}}.$

به عبارت دیگر، افزایش جرم گرانشی پیش‌بینی‌شده توسط استدلال‌های بالا دقیقاً برابر است با افزایش جرم اینرسی پیش‌بینی‌شده توسط نسبیت خاص. [ ص 12 ] [ یادداشت 3 ]

سپس اینشتین ارسال یک پرتو الکترومغناطیسی پیوسته از فرکانس را در نظر گرفت $v_{2}$ (همانطور که در اندازه گیری شدا $S_{2}$ ) از $S_{2}$ به $S_{1}$ در یک میدان گرانشی همگن فرکانس نور همانطور که در اندازه گیری شده است $S_{1}$ ارزش بزرگتری خواهد داشت $v_{1}$ داده شده توسط

$v_{1}=v_{2}\left(1+{\frac {\Phi }{c^{2}}}\راست).$

انیشتین خاطرنشان کرد که به نظر می رسد معادله فوق حاکی از چیزی پوچ است: با توجه به اینکه انتقال نور از $S_{2}$ به $S_{1}$ پیوسته است، چگونه می تواند تعداد دوره های منتشر شده در هر ثانیه از $S_{2}$ متفاوت از دریافت در $S_{1}؟$ غیرممکن است که تاج های موج در مسیر پایین ظاهر شوند $S_{2}$ به $S_{1}$ . پاسخ ساده این است که این پرسش ماهیت مطلق زمان را پیش‌فرض می‌گیرد، در حالی که در واقع چیزی وجود ندارد که ما را وادار کند که فرض کنیم ساعت‌هایی که در پتانسیل‌های گرانشی متفاوت قرار دارند باید با سرعت یکسانی در نظر گرفته شوند. اصل هم ارزی بر اتساع زمان گرانشی دلالت دارد. [ ص 12 ]

درک این نکته مهم است که استدلال‌های اینشتین که اتساع زمان گرانشی را پیش‌بینی می‌کنند برای هر نظریه گرانش که به اصل هم ارزی احترام می‌گذارد معتبر است. این شامل گرانش نیوتنی است. [ 26 ] : 16 آزمایش‌هایی مانند آزمایش پوند-ربکا ، که اتساع زمان گرانشی را به طور محکم ثابت کرده‌اند، بنابراین برای تشخیص نسبیت عام از گرانش نیوتنی مفید نیستند.

در ادامه مقاله انیشتین در سال 1911، او در مورد خمش پرتوهای نور در یک میدان گرانشی بحث کرد، اما با توجه به ماهیت ناقص نظریه انیشتین که در آن زمان وجود داشت، مقداری که او پیش‌بینی کرد نصف مقداری بود که بعداً توسط آن پیش‌بینی می‌شد. نظریه کامل نسبیت عام [ 27 ] [ 28 ]

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 23:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-آزمایش های فکری اینشتین

قطارها، خاکریزها و رعد و برق چشمک می زند

[ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: نسبیت همزمانی

موضوع چگونگی رسیدن انیشتین به نسبیت خاص برای بسیاری از محققان بسیار جذاب بوده است: یک افسر حق اختراع بیست و شش ساله (کلاس سوم)، عمدتاً خودآموخته در فیزیک [ یادداشت 1 ] و کاملاً از تحقیقات رایج جدا شده است. با این حال در سال 1905 چهار اثر خارق العاده ( مقالات آنوس میرابیلیس ) تولید کرد که تنها یکی از آنها (مقاله او در مورد براونی) motion ) مربوط به هر چیزی بود که او قبلاً منتشر کرده بود. [ 8 ]

مقاله انیشتین، در مورد الکترودینامیک اجسام متحرک ، اثری صیقلی است که آثار کمی از دوران بارداری خود دارد. شواهد مستند در مورد توسعه ایده هایی که در آن وارد شده است، به معنای واقعی کلمه، تنها شامل دو جمله در تعداد انگشت شماری از حروف اولیه حفظ شده، و اظهارات مختلف تاریخی بعدی توسط خود اینشتین است که برخی از آنها فقط دست دوم و گاه متناقض شناخته شده اند. . [ 8 ]

آزمایش فکری قطار و خاکریز

در رابطه با نسبیت همزمانی ، مقاله انیشتین در سال 1905 این مفهوم را با در نظر گرفتن دقیق اصول چگونگی انتشار زمان از طریق تبادل سیگنال بین ساعت‌ها، به وضوح توسعه می‌دهد. [ 16 ] در اثر محبوب خود، نسبیت: نظریه خاص و عمومی، انیشتین ارائه رسمی مقاله خود را به یک آزمایش فکری با استفاده از قطار، خاکریز راه آهن، و رعد و برق تبدیل می کند. ماهیت آزمایش فکری به شرح زیر است:

ناظر M روی یک خاکریز ایستاده است، در حالی که ناظر M در قطاری که به سرعت در حال حرکت است سوار می شود. در لحظه دقیقی که M و M در موقعیت‌هایشان بر هم می‌شوند، رعد و برق به نقاط A و B در فاصله مساوی از M و M برخورد می‌کند .
نور حاصل از این دو فلاش همزمان به M می رسد که M از آن نتیجه می گیرد که پیچ ها همزمان بوده اند.
ترکیب فرضیه اول و دوم انیشتین نشان می دهد که، با وجود حرکت سریع قطار نسبت به خاکریز، M ' دقیقاً همان سرعت نور را اندازه گیری می کند که M . از آنجایی که M ' هنگام برخورد رعد و برق از A و B فاصله داشت ، این واقعیت که M ' قبل از نور از A نور را از B دریافت می کند به این معنی است که تا M ' ، پیچ ها همزمان نبودند . در عوض، پیچ در B اول برخورد کرد. [ ص 5 ] : 29-31 [ یادداشت 2 ]

یک فرض معمول در میان مورخان علم این است که، مطابق با تجزیه و تحلیل ارائه شده در مقاله نسبیت خاص خود در سال 1905 و در نوشته های رایج خود، انیشتین نسبیت همزمانی را با تفکر در مورد اینکه چگونه ساعت ها می توانند با سیگنال های نوری هماهنگ شوند، کشف کرد. [ 16 ] کنوانسیون همگام سازی اینشتین در ابتدا توسط تلگراف ها در اواسط قرن 19 توسعه یافت. انتشار زمان دقیق موضوع مهمی در این دوره بود. قطارها برای برنامه‌ریزی استفاده از مسیر به زمان دقیق نیاز داشتند، نقشه‌برداران برای تعیین طول جغرافیایی به زمان دقیق نیاز داشتند، در حالی که ستاره‌شناسان و نقشه‌برداران جرأت داشتند انتشار زمان در سراسر جهان را با دقت هزارم ثانیه در نظر بگیرند. [ 17 ] : 132-144، 183-187 به دنبال این خط استدلال، موقعیت انیشتین در اداره ثبت اختراع، جایی که او در ارزیابی پتنت های الکترومغناطیسی و الکترومکانیکی تخصص داشت، او را در معرض آخرین پیشرفت های فناوری زمان قرار می داد، که می توانست راهنمایی کند. او در اندیشه هایش برای درک نسبیت همزمانی. [ 17 ] : 243-263

با این حال، همه موارد فوق یک فرض است. در خاطرات بعدی، وقتی از انیشتین در مورد اینکه چه چیزی الهام‌بخش او برای توسعه نسبیت خاص پرسیده شد، از سوار شدن بر پرتو نور و آزمایش‌های فکری آهنربا و رسانا یاد کرد. او همچنین به اهمیت آزمایش فیزو و مشاهده انحراف ستاره ای اشاره می کند . او گفت: آنها کافی بودند. [ 18 ] او هرگز به آزمایش‌های فکری درباره ساعت‌ها و هماهنگ‌سازی آنها اشاره نکرد. [ 16 ]

تحلیل‌های معمول آزمایش فیزو و انحراف ستاره‌ای که نور را به عنوان اجسام نیوتنی در نظر می‌گیرد، نیازی به نسبیت ندارد. اما اگر نور را امواجی در نظر بگیریم که از اتر عبور می کنند، مشکلاتی به وجود می آیند که با اعمال نسبیت همزمانی حل می شوند. بنابراین، کاملاً ممکن است که انیشتین از طریق بررسی آزمایش فیزو و انحراف ستاره ای توسط انیشتین به نسبیت خاص از مسیری متفاوت از آنچه که معمولاً فرض می شود، رسیده باشد. [ 16 ]

بنابراین ما نمی دانیم که همگام سازی ساعت و آزمایش فکری قطار و خاکریز چقدر برای توسعه مفهوم نسبیت همزمانی توسط انیشتین مهم بوده است. با این حال، ما می دانیم که آزمایش فکری قطار و خاکریز وسیله ترجیحی برای آموزش این مفهوم به عموم مردم بود. [ ص 5 ] : 29-31

قضیه نسبیتی مرکز جرم

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: هم ارزی جرم-انرژی

انیشتین در آخرین مقاله خود آنوس میرابیلیس معادل جرم و انرژی را پیشنهاد کرد . [ ص 6 ] طی چندین دهه بعد، درک انرژی و رابطه آن با حرکت توسط انیشتین و فیزیکدانان دیگر از جمله ماکس پلانک ، گیلبرت ان. لوئیس ، ریچارد سی. تولمن ، ماکس فون لائو (که در سال 1911 اثبات جامع M 0 = E 0 / c 2 از تانسور تنش-انرژی [ 19 ] )، و پل دیراک (که بررسی راه حل های منفی در فرمول 1928 او از رابطه انرژی-تکانه منجر به پیش بینی وجود پادماده در سال 1930 شد [ 20 ] ).

پارادوکس مرکز توده پوانکاره (همانطور که اینشتین دوباره تفسیر کرد)

قضیه نسبیتی مرکز جرم انیشتین در سال 1906 نمونه ای از این موضوع است. [ ص 7 ] در سال 1900، هانری پوانکاره به یک پارادوکس در فیزیک مدرن اشاره کرد که در آن زمان فهمیده شد: هنگامی که او نتایج شناخته شده معادلات ماکسول را برای برابری کنش و واکنش اعمال کرد، [ ص 8 ] می‌توانست یک فرآیند چرخه‌ای را توصیف کند. که منجر به ایجاد یک درایو بدون واکنش می شود ، یعنی وسیله ای که می تواند مرکز جرم خود را بدون اگزوز یک پیشران جابجا کند، برخلاف حفظ تکانه . پوانکاره این پارادوکس را با تصور انرژی الکترومغناطیسی به عنوان سیالی با چگالی معین حل کرد که با جذب و گسیل انرژی با یک تکانه معین ایجاد و از بین می رود. حرکات این سیال با جابجایی مرکز جرم به گونه ای مخالفت می کند که بقای تکانه حفظ شود.

انیشتین نشان داد که تدبیر پوانکاره زائد است. در عوض، او استدلال کرد که هم ارزی جرم-انرژی شرط لازم و کافی برای حل پارادوکس است. انیشتین در تظاهرات خود، اشتقاقی از هم ارزی جرم-انرژی ارائه کرد که از مشتق اولیه او متمایز بود. اینشتین با بازنویسی استدلال ریاضی انتزاعی پوانکاره به شکل یک آزمایش فکری شروع کرد:

انیشتین (الف) استوانه ای در ابتدا ثابت، بسته و توخالی را در نظر گرفت که در فضا شناور بود و جرم داشت. $M$ و طول $L$ ،

(ب) با نوعی آرایش برای ارسال مقداری انرژی تابشی (یک فوتون) $E$ از چپ به راست تشعشع دارای تکانه است. $E/c.$ از آنجایی که تکانه کل سیستم صفر است، سیلندر با سرعتی پس می‌زند $v=-E/(Mc).$

ج) تابش به موقع به انتهای دیگر سیلندر برخورد می کند $\Delta t=L/c,$ (با فرض $v<<c$ ، سیلندر را پس از طی مسافتی متوقف می کند

$\Delta x=-{\frac {EL}{Mc^{2}}}.$

(د) انرژی نهفته شده در دیواره سمت راست سیلندر به مکانیزم شاتل بدون جرم منتقل می شودک، $k,$

(ه) که انرژی را به دیوار سمت چپ (f) منتقل می کند و سپس برای ایجاد مجدد پیکربندی شروع سیستم، به جز با جابجایی سیلندر به سمت چپ، باز می گردد. سپس چرخه ممکن است تکرار شود.

درایو بدون واکنش توضیح داده شده در اینجا قوانین مکانیک را نقض می کند که بر اساس آن مرکز جرم یک جسم در حالت سکون نمی تواند در غیاب نیروهای خارجی جابجا شود. اینشتین استدلال کرد که شاتلک $k$ در حین انتقال انرژی از راست به چپ نمی تواند بدون جرم باشد. اگر انرژی $E$ دارای اینرسی است ، $m=E/c^{2}،$ تناقض از بین می رود [ ص 7 ]

تجزیه و تحلیل مدرن نشان می دهد که نه اشتقاق اولیه انیشتین در سال 1905 از هم ارزی جرم-انرژی و نه اشتقاق متناوب که توسط قضیه مرکز جرم او در سال 1906 ذکر شده است به طور قطعی درست نیستند. [ 21 ] [ 22 ] برای مثال، آزمایش فکری مرکز جرم، استوانه را به عنوان یک جسم کاملاً صلب در نظر می‌گیرد . در واقع، ضربه ای که توسط انفجار نور در مرحله (ب) به استوانه می رسد، نمی تواند سریعتر از نور حرکت کند، به طوری که وقتی انفجار فوتون ها در مرحله (c) به دیواره سمت راست می رسد، دیواره هنوز شروع به حرکت نکرده است. . [ 23 ] اوهانیان فون لائو (1911) را به عنوان اولین اشتقاق واقعاً قطعی M 0 = E 0 / c 2 ارائه کرده است . [ 24 ]

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 22:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-آزمایش های فکری اینشتین

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

ویژگی بارز حرفه آلبرت انیشتین استفاده او از آزمایش های فکری تجسم شده ( به آلمانی : Gedankeexperiment [ 1 ] ) به عنوان ابزاری اساسی برای درک مسائل فیزیکی و برای روشن کردن مفاهیم خود برای دیگران بود. آزمایش‌های فکری اینشتین اشکال مختلفی داشت. او در جوانی به طور ذهنی پرتوهای نور را تعقیب می کرد. برای نسبیت خاص ، او از قطارهای متحرک و برق های رعد و برق برای توضیح نافذترین بینش خود استفاده کرد. برای نسبیت عام ، او فردی را در نظر گرفت که از پشت بام سقوط می کند، آسانسورهای شتاب دهنده، سوسک های کور روی سطوح منحنی خزیده و مانند آن. در مناظره‌هایش با نیلز بور درباره ماهیت واقعیت، او ابزارهای خیالی را پیشنهاد کرد که حداقل در مفهوم، نشان می‌دهند که چگونه می‌توان از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ طفره رفت. انیشتین در کمکی عمیق به ادبیات مکانیک کوانتومی ، دو ذره را در نظر گرفت که برای مدت کوتاهی برهم کنش می‌کنند و سپس از هم جدا می‌شوند تا حالت‌هایشان به هم مرتبط شود، و پدیده‌ای به نام درهم تنیدگی کوانتومی را پیش‌بینی کرد .

مقدمه

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: آزمایش فکری

آزمایش فکری یک استدلال منطقی یا مدل ذهنی است که در چارچوب یک سناریوی خیالی (فرضی یا حتی خلاف واقع) ارائه می شود. یک آزمایش فکری علمی، به‌ویژه، ممکن است پیامدهای یک نظریه، قانون یا مجموعه‌ای از اصول را با کمک جزئیات خیالی و/یا طبیعی (شیاطین که مولکول‌ها را دسته‌بندی می‌کنند، گربه‌هایی که زندگی‌شان وابسته به تجزیه رادیواکتیو است، مردانی در آسانسورهای محصور) بررسی کند. ) در یک محیط ایده آل (درهای بدون جرم، عدم وجود اصطکاک). آن‌ها آزمایش‌هایی را توصیف می‌کنند که به جز برخی ایده‌آل‌سازی‌های خاص و ضروری، می‌توان آن را در دنیای واقعی انجام داد. [ 2 ]

برخلاف آزمایش‌های فیزیکی ، آزمایش‌های فکری داده‌های تجربی جدیدی را گزارش نمی‌کنند. آنها فقط می توانند بر اساس استدلال قیاسی یا استقرایی از مفروضات اولیه خود نتیجه گیری کنند. آزمایش‌های فکری به جزئیاتی اشاره می‌کنند که به کلیت نتیجه‌گیری‌هایشان بی‌ربط است. فراخوانی این خصوصیات است که به آزمایش های فکری ظاهری شبیه آزمایش می دهد. یک آزمایش فکری همیشه می تواند به عنوان یک استدلال ساده، بدون جزئیات نامربوط بازسازی شود. جان دی. نورتون ، فیلسوف مشهور علم، اشاره کرده است که "یک آزمایش فکری خوب یک استدلال خوب است، یک آزمایش فکری بد یک استدلال بد است." [ 3 ]

هنگامی که به طور مؤثر مورد استفاده قرار می گیرد، جزئیات نامربوط که یک استدلال ساده را به یک آزمایش فکری تبدیل می کند، می تواند به عنوان «پمپ های شهودی» عمل کند که توانایی خوانندگان را برای اعمال شهود خود در درک یک سناریو تحریک می کند. [ 4 ] آزمایش های فکری سابقه طولانی دارند. شاید بهترین شناخته شده در تاریخ علم مدرن، اثبات گالیله باشد که اجسام در حال سقوط بدون توجه به جرمشان باید با همان سرعت سقوط کنند. گاهی اوقات این یک نمایش فیزیکی واقعی در نظر گرفته می شود که شامل بالا رفتن او از برج پیزا و انداختن دو وزنه سنگین از روی آن می شود. در واقع، این یک نمایش منطقی بود که توسط گالیله در Discorsi e dimostrazioni matematiche (1638) توصیف شده بود. [ 5 ]

انیشتین درک بصری بالایی از فیزیک داشت. کار او در اداره ثبت اختراع "او را تحریک کرد تا پیامدهای فیزیکی مفاهیم نظری را ببیند." این جنبه‌های سبک تفکر او را برانگیخت تا مقالات خود را با جزئیات کاربردی پر کند و آنها را کاملاً متفاوت از مثلاً مقالات لورنتس یا ماکسول کند . این شامل استفاده او از آزمایش های فکری بود. [ 6 ] : 26-27، 121-127

نسبیت خاص

[ ویرایش ]

دنبال پرتو نور

[ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: دیدگاه انیشتین در مورد اتر

اینشتین در اواخر عمر به یاد آورد

... تناقضی که من قبلاً در شانزده سالگی به آن برخورد کرده بودم: اگر پرتوی نور را با سرعت c (سرعت نور در خلاء) دنبال کنم، باید چنین پرتوی از نور را مانند میدان الکترومغناطیسی مشاهده کنم. استراحت هر چند از نظر مکانی در نوسان است. با این حال، چنین چیزی به نظر نمی رسد، نه بر اساس تجربه و نه بر اساس معادلات ماکسول. از همان ابتدا به طور شهودی به نظرم رسید که با قضاوت از دیدگاه چنین ناظری، همه چیز باید طبق قوانین مشابهی اتفاق بیفتد که برای ناظری که نسبت به زمین در حال استراحت است. زیرا اولین ناظر چگونه باید بداند یا بتواند تشخیص دهد که در حالت حرکت یکنواخت سریع قرار دارد؟ در این پارادوکس می‌توان نطفه نظریه نسبیت خاص را مشاهده کرد. [ ص 1 ] : 52-53

آزمایش فکری اینشتین در یک دانش آموز 16 ساله

خاطرات انیشتین از تفکرات دوران جوانی اش به دلیل اشاراتی که در مورد کشف بزرگ بعدی او ارائه می دهد، به طور گسترده مورد استناد قرار می گیرد. با این حال، نورتون اشاره کرده است که خاطرات انیشتین احتمالاً با نیم قرن آینده نگری رنگ آمیزی شده است. نورتون چندین مشکل در بازگویی انیشتین، هم تاریخی و هم علمی، فهرست می‌کند: [ 7 ]

1. انیشتین در سن 16 سالگی و دانش آموزی در Gymnasium در Aarau، آزمایش فکری را در اواخر 1895 تا اوایل 1896 انجام می داد. اما منابع مختلف اشاره می کنند که انیشتین نظریه ماکسول را تا سال 1898 در دانشگاه یاد نگرفت. [ 7 ] [ 8 ]

2. یک نظریه پرداز اتر قرن 19 هیچ مشکلی با آزمایش فکری نداشت. بیانیه انیشتین، "...به نظر می رسد که چنین چیزی وجود ندارد... بر اساس تجربه" به عنوان یک اعتراض به حساب نمی آید، بلکه بیانگر یک بیانیه واقعیت است، زیرا هیچ کس تا به حال به چنین چیزی سفر نکرده است. سرعت ها

3. یک نظریه پرداز اتر، «...نه بر اساس معادلات ماکسول» را صرفاً نشان دهنده یک سوء تفاهم از سوی انیشتین می دانست. بدون هیچ گونه تصوری مبنی بر اینکه سرعت نور یک حد کیهانی را نشان می‌دهد، نظریه‌پرداز اتر به سادگی سرعت را برابر با c قرار می‌داد ، اشاره می‌کرد که بله، در واقع، نور منجمد به نظر می‌رسد و بعد دیگر به آن فکر نمی‌کند. [ 7 ]

به نظر می‌رسد که انیشتین جوان به جای اینکه آزمایش فکری با نظریه‌های اتر ناسازگار باشد (که اینطور نیست)، به دلیل احساس شهودی اشتباه به این سناریو واکنش نشان داده است. او احساس می کرد که قوانین اپتیک باید از اصل نسبیت پیروی کنند. همانطور که او بزرگتر شد، آزمایش فکری اولیه او سطوح عمیق تری از اهمیت پیدا کرد: انیشتین احساس کرد که معادلات ماکسول باید برای همه ناظران در حرکت اینرسی یکسان باشد. از معادلات ماکسول، می توان یک سرعت نور را استنتاج کرد، و هیچ چیزی در این محاسبه وجود ندارد که به سرعت ناظر بستگی داشته باشد. اینشتین تعارض بین مکانیک نیوتنی و سرعت ثابت نور را که توسط معادلات ماکسول تعیین می‌شود، حس کرد. [ 6 ] : 114-115

صرف نظر از مسائل تاریخی و علمی که در بالا توضیح داده شد، آزمایش فکری اولیه انیشتین بخشی از مجموعه موارد آزمایشی بود که او برای بررسی قابلیت تئوری های فیزیکی از آنها استفاده کرد. نورتون پیشنهاد می‌کند که اهمیت واقعی آزمایش فکری این بود که یک اعتراض قدرتمند به نظریه‌های گسیل نور، که اینشتین چندین سال قبل از سال 1905 روی آن کار کرده بود، ارائه کرد. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

آهنربا و هادی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: مشکل آهنربا و هادی متحرک

در اولین پاراگراف کار اصلی اینشتین در سال 1905 که نسبیت خاص را معرفی می کند، می نویسد:

به خوبی شناخته شده است که الکترودینامیک ماکسول - همانطور که معمولاً در حال حاضر درک می شود - وقتی برای اجسام متحرک اعمال می شود، منجر به عدم تقارن هایی می شود که به نظر نمی رسد به پدیده ها متصل شوند. برای مثال، برهمکنش الکترودینامیکی بین آهنربا و هادی را به یاد بیاوریم. پدیده قابل مشاهده در اینجا فقط به حرکت نسبی هادی و آهنربا بستگی دارد، در حالی که طبق تصور مرسوم، دو مورد، که به ترتیب، یکی یا دیگری از دو جسم در حال حرکت است، باید به طور دقیق باشد. از یکدیگر متمایز شده اند. زیرا اگر آهنربا در حال حرکت باشد و رسانا در حالت سکون باشد، در اطراف آهنربا میدان الکتریکی با مقدار انرژی مشخصی پدید می‌آید که در مکان‌هایی که قسمت‌هایی از هادی قرار دارد، جریان ایجاد می‌کند. اما اگر آهنربا در حال سکون باشد و رسانا در حال حرکت باشد، هیچ میدان الکتریکی در اطراف آهنربا ایجاد نمی شود، در حالی که در هادی نیروی حرکتی الکتریکی ایجاد می شود که به خودی خود هیچ انرژی با آن مطابقت ندارد، اما به شرطی که این که حرکت نسبی در دو مورد در نظر گرفته یکسان است، جریان‌های الکتریکی را به وجود می‌آورد که بزرگی و مسیر مشابه جریان‌های تولید شده توسط نیروهای الکتریکی در مورد اول را دارند. [ ص 2 ]

آزمایش فکری آهنربا و هادی

این پاراگراف ابتدایی ، نتایج تجربی شناخته شده‌ای را که توسط مایکل فارادی در سال 1831 به دست آمده است، بازگو می‌کند . توسط یک میدان مغناطیسی در حال تغییر (به دلیل معادله ماکسول-فارادی ). [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] : 135-157 جیمز کلرک ماکسول خود در مقاله 1861 خود در مورد خطوط فیزیکی نیرو به این واقعیت توجه کرد . در نیمه دوم قسمت دوم آن مقاله، ماکسول توضیح فیزیکی جداگانه ای برای هر یک از این دو پدیده ارائه کرد. [ ص 3 ]

اگرچه انیشتین این عدم تقارن را "مشهور" می نامد، اما هیچ مدرکی وجود ندارد که نشان دهد هیچ یک از معاصران انیشتین تمایز بین EMF حرکتی و EMF ترانسفورماتور را به هر نحوی عجیب و غریب یا به عدم درک فیزیک اساسی می دانند. به عنوان مثال، ماکسول مکرراً قوانین القایی فارادی را مورد بحث قرار داده بود و تأکید می کرد که مقدار و جهت جریان القایی تنها تابعی از حرکت نسبی آهنربا و هادی است، بدون اینکه تمایز واضح بین رسانا در-در آزار دهنده باشد. حرکت و آهنربا در حرکت در درمان نظری اساسی [ 11 ] : 135-138

با این حال، تأمل انیشتین در مورد این آزمایش، نمایانگر لحظه تعیین کننده در مسیر طولانی و پر پیچ و خم او به سوی نسبیت خاص بود. اگرچه معادلات توصیف کننده این دو سناریو کاملاً متفاوت هستند، اما هیچ اندازه گیری وجود ندارد که بتواند تشخیص دهد آهنربا در حال حرکت است، هادی یا هر دو. [ 10 ]

انیشتین در مروری بر ایده‌ها و روش‌های بنیادی نظریه نسبیت (منتشر نشده) در سال 1920 توضیح داد که این عدم تقارن چقدر نگران‌کننده بود:

این تصور که این دو مورد اساساً باید متفاوت باشند برای من غیرقابل تحمل بود. طبق اعتقاد من، تفاوت این دو تنها در انتخاب دیدگاه است، اما نه در تفاوت واقعی <در واقعیت طبیعت>. [ ص 4 ] : 20

انیشتین نیاز داشت تا نسبیت حرکتی را که بین آهنربا و هادی در آزمایش فکری فوق درک کرده بود، به یک نظریه کامل بسط دهد. با این حال، سال‌ها نمی‌دانست که چگونه می‌توان این کار را انجام داد. مسیر دقیقی که انیشتین برای حل این مشکل طی کرد مشخص نیست. با این حال، ما می دانیم که انیشتین چندین سال را صرف دنبال کردن یک نظریه تابش نور کرد و با مشکلاتی مواجه شد که در نهایت باعث شد او از این تلاش دست بکشد. [ 10 ]

به تدریج از امکان کشف قوانین واقعی با تلاش های سازنده بر اساس حقایق شناخته شده ناامید شدم. هر چه طولانی تر و ناامیدانه تر تلاش کردم، بیشتر به این باور رسیدم که فقط کشف یک اصل رسمی جهانی می تواند ما را به نتایج مطمئنی برساند. [ ص 1 ] : 49

این تصمیم در نهایت منجر به توسعه نسبیت خاص او به عنوان نظریه ای شد که بر دو اصل بنا شده بود. [ 10 ] بیان اولیه اینشتین از این فرضیه ها این بود: [ ص 2 ]

"قوانین حاکم بر تغییرات حالت هیچ سیستم فیزیکی به این بستگی ندارد که به کدام یک از دو سیستم مختصات در حرکت انتقالی یکنواخت نسبت به یکدیگر این تغییرات حالت اشاره شود.
هر پرتوی نور در سیستم مختصات «در حالت سکون» با سرعت معین V مستقل از این که آیا این پرتو نور توسط جسمی در حال سکون ساطع می‌شود یا جسمی در حرکت، حرکت می‌کند.

در شکل مدرن آنها:

1-قوانین فیزیک در همه فریم های اینرسی یک شکل هستند.

2. در هر قاب اینرسی معین، سرعت نور c یکسان است ، چه نور از جسمی در حال سکون ساطع شود یا از جسمی در حرکت یکنواخت. [تأکید ویراستار] [ 12 ] : 140–141

جمله بندی اینشتین از فرضیه اول چیزی بود که تقریباً همه نظریه پردازان زمان او می توانستند با آن موافق باشند. اصل دوم او ایده جدیدی را در مورد شخصیت نور بیان می کند. کتاب های درسی مدرن این دو اصل را با هم ترکیب می کنند. [ 13 ] یکی از کتاب‌های درسی رایج، فرض دوم را این‌گونه بیان می‌کند: «سرعت نور در فضای آزاد مقدار c را در همه جهات و در همه چارچوب‌های مرجع اینرسی دارد». [ 14 ]

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 22:57 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-درهم تنیدگی کوانتومی

اقدامات درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

معیارهای درهم تنیدگی، مقدار درهم تنیدگی را در یک حالت کوانتومی (اغلب به صورت دوبخشی در نظر می گیرند) کمیت می کنند. همانطور که قبلا ذکر شد، آنتروپی درهم تنیدگی معیار استاندارد درهم تنیدگی برای حالت های خالص است (اما دیگر معیار درهم تنیدگی برای حالت های مختلط نیست). برای حالت های مختلط، برخی از معیارهای درهم تنیدگی در ادبیات [ 92 ] وجود دارد و هیچ معیار واحدی استاندارد نیست.

هزینه درهم تنیدگی
درهم تنیدگی قابل تقطیر
درهم تنیدگی شکل گیری
همگامی
آنتروپی نسبی درهم تنیدگی
درهم تنیدگی له شده
منفی لگاریتمی

بیشتر (اما نه همه) این معیارهای درهم تنیدگی برای حالت های خالص به آنتروپی درهم تنیدگی کاهش می یابد و محاسبه آن برای حالت های مختلط با افزایش ابعاد سیستم درهم تنیده دشوار است ( NP-hard ). [ 97 ]

نظریه میدان کوانتومی

[ ویرایش ]

قضیه ری-شلیدر نظریه میدان کوانتومی گاهی اوقات به عنوان مشابهی از درهم تنیدگی کوانتومی دیده می شود.

برنامه های کاربردی

[ ویرایش ]

درهم تنیدگی کاربردهای زیادی در نظریه اطلاعات کوانتومی دارد . با کمک درهم تنیدگی، در غیر این صورت ممکن است کارهای غیرممکن به دست آید.

از جمله شناخته شده ترین کاربردهای درهم تنیدگی می توان به کدگذاری فوق متراکم و تله پورت کوانتومی اشاره کرد. [ 98 ]

اکثر محققان بر این باورند که درهم تنیدگی برای تحقق محاسبات کوانتومی ضروری است (اگرچه این مورد توسط برخی مورد مناقشه است). [ 99 ]

درهم تنیدگی در برخی از پروتکل های رمزنگاری کوانتومی ، [ 100 ] [ 101 ] استفاده می شود ، اما برای اثبات امنیت توزیع کلید کوانتومی (QKD) تحت مفروضات استاندارد، نیازی به درهم تنیدگی نیست. [ 102 ] با این حال، امنیت مستقل از دستگاه QKD نشان داده شده است که از درهم تنیدگی بین شرکای ارتباطی استفاده می کند. [ 103 ]

در آگوست 2014، محقق برزیلی گابریلا بارتو لموس، از دانشگاه وین، و تیمش توانستند از اجسامی با استفاده از فوتون‌هایی که با سوژه‌ها برهم‌کنش نداشتند، اما با فوتون‌هایی که با چنین اجسامی برهم‌کنش داشتند، عکس‌برداری کنند. [ 104 ] این ایده برای ساخت تصاویر مادون قرمز تنها با استفاده از دوربین های استانداردی که به مادون قرمز حساس نیستند، اقتباس شده است. [ 105 ]

حالت های درهم تنیده

[ ویرایش ]

چندین حالت درهم تنیده متعارف وجود دارد که اغلب در تئوری و آزمایش ظاهر می شوند.

برای دو کیوبیت ، حالت های بل هستند

$|\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm | 1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})$

$|\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm | 1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).$

این چهار حالت خالص همگی حداکثر در هم تنیده شده اند (بر اساس آنتروپی درهم تنیدگی ) و مبنای متعارف (جبر خطی) فضای هیلبرت دو کیوبیت را تشکیل می دهند. آنها نقش اساسی در قضیه بل دارند .

برای M > 2 کیوبیت، حالت GHZ است

$|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}}،$

که به حالت بل کاهش می یابد $|\Phi ^{+}\rangle$ برای M = 2 . حالت سنتی GHZ برای M = 3 تعریف شده است . حالت های GHZ گهگاه به qudits گسترش می یابند ، یعنی سیستم هایی با d به جای 2 بعد.

همچنین برای M > 2 کیوبیت، حالت‌های فشرده اسپین وجود دارد ، یک کلاس از حالت‌های منسجم فشرده که محدودیت‌های خاصی را در عدم قطعیت اندازه‌گیری‌های اسپین برآورده می‌کنند، که لزوماً در هم پیچیده هستند. [ 106 ] حالت های فشرده شده اسپین کاندیدای خوبی برای افزایش اندازه گیری های دقیق با استفاده از درهم تنیدگی کوانتومی هستند. [ 107 ]

برای دو حالت بوزونی ، حالت NOON است

$|\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{ N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}}،$

این مانند حالت بل است $|\Psi ^{+}\rangle$ به جز کت های پایه 0 و 1 با " فوتون های N در یک حالت هستند " و " فوتون های N در حالت دیگر هستند " جایگزین شده اند .

در نهایت، حالت های فوک دوگانه ای نیز برای حالت های بوزونی وجود دارد که می توانند با تغذیه یک حالت Fock به دو بازو منتهی به یک تقسیم کننده پرتو ایجاد شوند. آنها مجموع چند حالت NOON هستند و می توان از آنها برای دستیابی به حد هایزنبرگ استفاده کرد. [ 108 ]

برای اندازه‌های درهم تنیدگی انتخاب شده، حالت‌های بل، گیگاهرتز و NOON حداکثر درهم می‌روند در حالی که حالت‌های اسپین فشرده و دو حالت فوک فقط تا حدی درهم می‌شوند. حالت‌های درهم تنیده به طور کلی آسان‌تر به صورت تجربی آماده می‌شوند.

روش های ایجاد درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

درهم تنیدگی معمولاً با برهمکنش مستقیم بین ذرات زیر اتمی ایجاد می شود. این تعاملات می تواند اشکال مختلفی داشته باشد. یکی از متداول‌ترین روش‌های مورد استفاده، تبدیل پارامتری خودبه‌خود به پایین برای تولید یک جفت فوتون درهم‌تنیده در قطبش است. [ 1 ] [ 109 ] روش‌های دیگر شامل استفاده از جفت‌کننده فیبر برای محدود کردن و مخلوط کردن فوتون‌ها، فوتون‌های ساطع شده از آبشار فروپاشی دو اکسایتون در یک نقطه کوانتومی ، [ 110 ] یا استفاده از اثر هونگ او-ماندل است. . درهم تنیدگی کوانتومی یک ذره و پادذره آن ، مانند الکترون و پوزیترون ، می تواند با همپوشانی جزئی توابع موج کوانتومی مربوطه در تداخل سنج هاردی ایجاد شود . [ 111 ] [ 112 ] در اولین آزمایشات قضیه بل، ذرات درهم تنیده با استفاده از آبشارهای اتمی تولید شدند . [ 33 ]

همچنین ایجاد درهم تنیدگی بین سیستم‌های کوانتومی که هرگز مستقیماً برهم‌کنش نداشتند، از طریق استفاده از تعویض درهم‌تنیدگی امکان‌پذیر است . اگر توابع موج آنها صرفاً از نظر مکانی، حداقل تا حدی، همپوشانی داشته باشند، ممکن است دو ذره کاملاً آماده و یکسان نیز در هم پیچیده شوند. [ 113 ]

تست یک سیستم برای درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

یک ماتریس چگالی ρ جدا پذیر نامیده می شود اگر بتوان آن را به صورت مجموع محدب حالت های حاصلضرب نوشت. ${\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}$ با $0\leq p_{j}\leq 1$ احتمالات طبق تعریف، حالتی در هم می‌پیچد که قابل تفکیک نباشد.

برای سیستم‌های 2-کیوبیت و کیوبیت-کوتریت (به ترتیب 2×2 و 2×3) معیار ساده Peres–Horodecki هم معیار لازم و هم کافی برای تفکیک‌پذیری و بنابراین – سهوا – برای تشخیص درهم‌تنیدگی فراهم می‌کند. با این حال، برای حالت کلی، این معیار صرفاً یک معیار ضروری برای تفکیک پذیری است، زیرا مشکل با تعمیم NP-سخت می شود. [ 114 ] [ 115 ] سایر معیارهای تفکیک پذیری عبارتند از (اما نه محدود به) معیار محدوده ، معیار کاهش ، و معیارهای مبتنی بر روابط عدم قطعیت. [ 116 ] [ 117 ] [ 118 ] [ 119 ] رجوع کنید به رفر. [ 120 ] برای بررسی معیارهای تفکیک پذیری در سیستم های متغیر گسسته و Ref. [ 121 ] برای بررسی تکنیک ها و چالش ها در صدور گواهینامه درهم تنیدگی تجربی در سیستم های متغیر گسسته.

یک رویکرد عددی برای مسئله توسط جان مگن لینااس ، یان میرهیم و ایریک اوروم در مقاله خود "جنبه های هندسی درهم تنیدگی" پیشنهاد شده است. [ 122 ] لینااس و همکاران. یک رویکرد عددی ارائه می دهد، به طور مکرر یک حالت تخمینی قابل تفکیک را به سمت حالت هدف مورد آزمایش اصلاح می کند و بررسی می کند که آیا واقعاً می توان به حالت هدف رسید یا خیر. پیاده‌سازی الگوریتم (شامل آزمایش معیار Peres–Horodecki داخلی ) برنامه وب «StateSeparator» است.

در سیستم های متغیر پیوسته، معیار Peres–Horodecki نیز اعمال می شود. به طور خاص، سیمون [ 123 ] نسخه خاصی از معیار Peres-Horodecki را بر حسب ممان های مرتبه دوم عملگرهای متعارف فرموله کرد و نشان داد که برای این معیار لازم و کافی است.1⊕1 $1\plus 1$ حالت های گاوسی حالت ( برای یک رویکرد به ظاهر متفاوت اما اساساً معادل رجوع کنید به [ 124 ] ). بعدها مشخص شد [ 125 ] که شرایط سیمون نیز برای آن لازم و کافی است1⊕n $1\plus n$ حالت های گاوسی، اما دیگر برای آن کافی نیست2⊕2 $2\plus 2$ حالت های گاوسی. شرایط سیمون را می توان با در نظر گرفتن ممان های مرتبه بالاتر عملگرهای متعارف [ 126 ] [ 127 ] یا با استفاده از معیارهای آنتروپیک تعمیم داد. [ 128 ] [ 129 ]

در 16 آگوست 2016، اولین ماهواره ارتباطی کوانتومی جهان از مرکز پرتاب ماهواره Jiuquan در چین، ماموریت آزمایش‌های کوانتومی در مقیاس فضایی (QUESS) با نام مستعار " Micius " به نام فیلسوف چینی باستان به فضا پرتاب شد. این ماهواره برای نشان دادن امکان ارتباط کوانتومی بین زمین و فضا و آزمایش درهم تنیدگی کوانتومی در فواصل بی سابقه در نظر گرفته شده بود. [ 130 ]

در 16 ژوئن 2017، شماره Science ، یین و همکاران. گزارش ثبت رکورد جدید فاصله درهم تنیدگی کوانتومی 1203 کیلومتر، نشان دهنده بقای یک جفت فوتون و نقض نابرابری بل، رسیدن به ارزش CHSH از0.09 ± 2.37 ، تحت شرایط محلی سختگیرانه انیشتین، از ماهواره Micius تا پایگاه‌های Lijian، Yunnan و Delingha، Quinhai، کارایی انتقال را نسبت به آزمایش‌های فیبر نوری قبلی با مرتبه بزرگی افزایش می‌دهد. [ 131 ] [ 132 ]

درهم تنیدگی کوارک های برتر

[ ویرایش ]

در سال 2023، LHC با استفاده از تکنیک‌های توموگرافی کوانتومی، درهم تنیدگی را با بالاترین انرژی تا کنون اندازه‌گیری کرد، [ 133 ] [ 134 ] [ 135 ] یک تقاطع نادر بین اطلاعات کوانتومی و فیزیک انرژی بالا بر اساس کار نظری که برای اولین بار در سال 2021 پیشنهاد شد. [ 136 ] آزمایش توسط آشکارساز ATLAS اندازه گیری اسپین انجام شد تولید جفت کوارک بالا و اثر آن با سطح اهمیت بیش از 5 σ مشاهده شد ، کوارک بالا سنگین ترین ذره شناخته شده است و بنابراین عمر بسیار کوتاهی دارد.τ $\tau$ ≈10-25 s ) تنها کوارکی است که قبل از هادرون شدن تجزیه می شود ( ~ 10-23 s ) و همبستگی اسپین ( ~ 10 −21 s )، بنابراین اطلاعات چرخش بدون تلفات زیادی به محصولات تجزیه لپتونیک که توسط آشکارساز دستگیر می شوند منتقل می شود. [ 137 ] قطبش اسپین و همبستگی ذرات برای درهم تنیدگی با همزمانی و همچنین معیار Peres-Horodecki اندازه‌گیری و آزمایش شد و متعاقباً تأثیر آن در آشکارساز CMS نیز تأیید شد . [ 138 ] [ 139 ]

درهم تنیدگی اجسام ماکروسکوپی

[ ویرایش ]

در سال 2020، محققان درهم تنیدگی کوانتومی بین حرکت یک نوسان ساز مکانیکی به اندازه میلی‌متر و یک سیستم اسپین دوردست متفاوت از ابر اتم را گزارش کردند. [ 140 ] [ 141 ] کار بعدی این کار را با درهم تنیدگی کوانتومی دو نوسانگر مکانیکی تکمیل کرد. [ 142 ] [ 143 ] [ 144 ]

درهم تنیدگی عناصر سیستم های زنده

[ ویرایش ]

در اکتبر 2018، فیزیکدانان تولید درهم تنیدگی کوانتومی را با استفاده از موجودات زنده ، به ویژه بین مولکول های فتوسنتزی در باکتری های زنده و نور کوانتیزه گزارش کردند . [ 145 ] [ 146 ]

موجودات زنده (باکتری‌های گوگرد سبز) به عنوان واسطه‌ای برای ایجاد درهم‌تنیدگی کوانتومی بین حالت‌های نوری غیرمتعامل مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، که درهم‌تنیدگی زیاد بین حالت‌های نور و باکتری و تا حدی حتی درهم‌تنیدگی درون باکتری را نشان می‌دهند. [ 147 ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_entanglement

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-درهم تنیدگی کوانتومی

دو اپلیکیشنی که از آنها استفاده می کنند

[ ویرایش ]

ماتریس های چگالی کاهش یافته به صراحت در زنجیره های اسپین مختلف با حالت پایه منحصر به فرد محاسبه شدند. یک مثال زنجیره چرخشی یک بعدی AKLT است : [ 81 ] حالت پایه را می توان به یک بلوک و یک محیط تقسیم کرد. ماتریس چگالی کاهش‌یافته بلوک متناسب با یک پروژکتور با حالت پایه منحط یک همیلتونی دیگر است.

ماتریس چگالی کاهش یافته نیز برای زنجیره های اسپین XY مورد ارزیابی قرار گرفت ، جایی که دارای رتبه کامل است. ثابت شد که در حد ترمودینامیکی، طیف ماتریس چگالی کاهش یافته یک بلوک بزرگ از اسپین ها یک دنباله هندسی دقیق [ 82 ] در این مورد است.

درهم تنیدگی به عنوان یک منبع

[ ویرایش ]

در تئوری اطلاعات کوانتومی، حالت های درهم تنیده به عنوان یک «منبع» در نظر گرفته می شوند، یعنی چیزی که تولید آن پرهزینه است و امکان اجرای تحولات ارزشمند را فراهم می کند. [ 83 ] [ 84 ] محیطی که در آن این چشم انداز بیشتر مشهود است، «آزمایشگاه های دوردست» است، یعنی دو سیستم کوانتومی با برچسب «A» و «B» که روی هر کدام می توان عملیات کوانتومی دلخواه را انجام داد، اما انجام می دهند. به صورت مکانیکی کوانتومی با یکدیگر برهمکنش ندارند. تنها تعامل مجاز مبادله اطلاعات کلاسیک است که همراه با کلی ترین عملیات کوانتومی محلی، کلاسی از عملیات به نام LOCC (عملیات محلی و ارتباطات کلاسیک) را ایجاد می کند. این عملیات اجازه تولید حالت‌های درهم‌تنیده را بین سیستم‌های A و B نمی‌دهد. اما اگر A و B با عرضه‌ای از حالت‌های درهم‌تنیده ارائه شوند، آن‌گاه اینها همراه با عملیات LOCC می‌توانند کلاس بزرگ‌تری از تبدیل‌ها را فعال کنند. به عنوان مثال، تعامل بین یک کیوبیت A و یک کیوبیت B را می توان با انتقال کیوبیت A به B از راه دور، سپس اجازه دادن به آن با کیوبیت B (که اکنون یک عملیات LOCC است، زیرا هر دو کیوبیت در آزمایشگاه B هستند) و سپس کیوبیت را از راه دور به A برگردانید. در این فرآیند از دو حالت حداکثر درهم تنیده دو کیوبیت استفاده می شود. بنابراین حالت‌های درهم تنیده منبعی هستند که امکان تحقق برهمکنش‌های کوانتومی (یا کانال‌های کوانتومی) را در محیطی که فقط LOCC در دسترس است، اما در این فرآیند مصرف می‌شوند را ممکن می‌سازد. کاربردهای دیگری وجود دارد که در آن درهم تنیدگی را می توان به عنوان یک منبع دید، به عنوان مثال، ارتباطات خصوصی یا حالت های کوانتومی متمایز. [ 1 ]

طبقه بندی درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

همه حالات کوانتومی به عنوان یک منبع ارزشمند نیستند. برای تعیین کمیت این مقدار، می توان از معیارهای درهم تنیدگی مختلفی استفاده کرد (به زیر مراجعه کنید)، که یک مقدار عددی را به هر حالت کوانتومی اختصاص می دهد. با این حال، اغلب جالب است که به روشی درشت تر برای مقایسه حالت های کوانتومی بسنده کنیم. این باعث ایجاد طرح های طبقه بندی مختلف می شود. اکثر کلاس های درهم تنیدگی بر اساس اینکه آیا می توان حالت ها را با استفاده از LOCC یا زیر کلاسی از این عملیات به حالت های دیگر تبدیل کرد، تعریف می شوند. هرچه مجموعه عملیات مجاز کوچکتر باشد، طبقه بندی دقیق تر است. نمونه های مهم عبارتند از:

اگر بتوان دو حالت را با یک عملیات واحد محلی به یکدیگر تبدیل کرد، گفته می شود که در یک کلاس LU هستند . این بهترین کلاس از کلاس های معمولاً در نظر گرفته شده است. دو حالت در یک کلاس LU دارای ارزش یکسانی برای اندازه‌گیری‌های درهم تنیدگی و مقدار یکسانی به عنوان منبع در تنظیمات آزمایشگاه‌های دوردست هستند. تعداد بی نهایت کلاس LU مختلف وجود دارد (حتی در ساده ترین حالت دو کیوبیت در حالت خالص). [ 85 ] [ 86 ]
اگر دو حالت را بتوان با عملیات محلی از جمله اندازه گیری هایی با احتمال بزرگتر از 0 به یکدیگر تبدیل کرد، گفته می شود که در همان کلاس SLOCC ("LOCC تصادفی") هستند. از نظر کیفی دو حالت $\rho _{1}$ و $\rho _{2}$ در همان کلاس SLOCC به همان اندازه قدرتمند هستند (از آنجایی که می توانم یکی را به دیگری تبدیل کنم و سپس هر کاری که به من اجازه می دهد انجام دهم)، اما از آنجایی که این تبدیل ها $\rho _{1}\to \rho _{2}$ و $\rho _{2}\to \rho _{1}$ ممکن است با احتمال متفاوت موفق شوند، دیگر به یک اندازه ارزشمند نیستند. به عنوان مثال، برای دو کیوبیت خالص فقط دو کلاس SLOCC وجود دارد: حالت‌های درهم‌تنیده (که شامل حالات بل (حداکثر درهم‌تنیده) است و حالت‌های درهم‌تنیده ضعیف مانند $|00\rangle +0.01|11\rangle$ ) و آنهایی که قابل تفکیک هستند (یعنی حالتهای ضرب مانند $|00\rangle$ ). [ 87 ] [ 88 ]
به‌جای در نظر گرفتن تبدیل‌های تک نسخه‌های یک حالت (مانند $\rho _{1}\to \rho _{2}$ ) می توان کلاس ها را بر اساس امکان تبدیل های چند کپی تعریف کرد. به عنوان مثال، نمونه هایی وجود دارد که $\rho _{1}\to \rho _{2}$ توسط LOCC غیر ممکن است، اما $\rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}$ امکان پذیر است. یک طبقه بندی بسیار مهم (و بسیار درشت) بر اساس این ویژگی است که آیا می توان تعداد زیادی کپی از یک حالت را به طور دلخواه تغییر داد. $\rho$ حداقل به یک حالت درهم تنیده خالص. کشورهایی که این خاصیت را دارند قابل تقطیر نامیده می شوند. این حالت‌ها مفیدترین حالت‌های کوانتومی هستند، زیرا با توجه به تعداد کافی از آنها، می‌توان آن‌ها را (با عملیات محلی) به هر حالت درهم تنیده تبدیل کرد و از این رو امکان استفاده از همه موارد ممکن را فراهم کرد. در ابتدا جای تعجب بود که همه حالت‌های درهم‌تنیده قابل تقطیر نیستند، آن‌هایی که نیستند « درهم پیچیده » نامیده می‌شوند. [ 89 ] [ 1 ]

طبقه‌بندی درهم‌تنیدگی متفاوت بر اساس آن چیزی است که همبستگی‌های کوانتومی موجود در یک حالت به A و B اجازه انجام آن را می‌دهند: سه زیر مجموعه از حالت‌های درهم تنیده را متمایز می‌کنیم: (1) حالت‌های غیرمحلی ، که همبستگی‌هایی را تولید می‌کنند که با یک پنهان محلی قابل توضیح نیستند. مدل متغیر و در نتیجه یک نابرابری بل را نقض می کند، (2) حالات قابل هدایتی که حاوی همبستگی های کافی برای اصلاح A هستند ("هدایت") با اندازه‌گیری‌های محلی، حالت کاهش‌یافته شرطی B به گونه‌ای است که A بتواند به B ثابت کند که حالتی که دارند واقعاً درهم‌تنیده است، و در نهایت (3) آن حالت‌های درهم‌تنیده‌ای که نه غیرمحلی هستند و نه قابل هدایت. هر سه مجموعه خالی نیستند. [ 90 ]

آنتروپی

[ ویرایش ]

در این بخش، آنتروپی یک حالت مختلط و همچنین نحوه در نظر گرفتن آن به عنوان معیار درهم تنیدگی کوانتومی مورد بحث قرار می گیرد.

تعریف

[ ویرایش ]

نمودار آنتروپی فون نویمان در مقابل مقدار ویژه برای یک حالت خالص دو سطحی. هنگامی که مقدار ویژه دارای مقدار 0.5 باشد، آنتروپی فون نویمان در حداکثر، مربوط به حداکثر درهم تنیدگی است.

در نظریه کلاسیک اطلاعات H ، آنتروپی شانون با توزیع احتمال مرتبط است. $p_{1},\cdots ,p_{n}$ ، به صورت زیر: [ 91 ]

$H(p_{1},\cdots,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.$

از آنجایی که ρ حالت مختلط توزیع احتمال روی یک مجموعه است، این امر به طور طبیعی به تعریف آنتروپی فون نویمان منجر می شود :

$S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right).$

به طور کلی، از حساب تابعی Borel برای محاسبه یک تابع غیر چند جمله ای مانند log 2 ( ρ ) استفاده می شود . اگر عملگر غیرمنفی ρ روی فضای هیلبرت با بعد محدود عمل کند و دارای مقادیر ویژه باشد. $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$ ، log 2 ( ρ ) چیزی بیش از عملگر با بردارهای ویژه یکسان نیست، اما مقادیر ویژه ورود به $\log _{2}(\lambda _{1}),\cdots ,\log _{2}(\lambda _{n})$ . سپس آنتروپی شانون به صورت زیر است:

$S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\ log _{2}\lambda _{i}$ .

از آنجایی که یک رویداد با احتمال 0 نباید به آنتروپی کمک کند، و با توجه به آن

$\lim _{p\to 0}p\log p=0,$

قرارداد log(0) = 0 پذیرفته شده است. این به حالت بی‌بعدی نیز گسترش می‌یابد: اگر ρ وضوح طیفی داشته باشد

$\rho =\int \lambda dP_{\lambda }،$

هنگام محاسبه همان قرارداد را فرض کنید

$\rho \log _{2}\rho =\int \lambda \log _{2}\lambda \ dP_{\lambda }.$

همانطور که در مکانیک آماری ، هر چه سیستم باید دارای عدم قطعیت (تعداد ریز حالت ها) بیشتری باشد، آنتروپی بزرگتر است. به عنوان مثال، آنتروپی هر حالت خالص صفر است، که جای تعجب نیست زیرا هیچ عدم قطعیتی در مورد یک سیستم در حالت خالص وجود ندارد. آنتروپی هر یک از دو زیرسیستم حالت درهم تنیده که در بالا مورد بحث قرار گرفت، log(2) است (که می توان آنتروپی حداکثر برای 2 × 2 حالت مخلوط را نشان داد).

به عنوان معیار درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

آنتروپی ابزاری را فراهم می‌کند که می‌توان از آن برای تعیین کمیت درهم‌تنیدگی استفاده کرد، اگرچه معیارهای درهم‌تنیدگی دیگری وجود دارد. [ 92 ] [ 93 ] اگر سیستم کلی خالص باشد، می توان از آنتروپی یک زیرسیستم برای اندازه گیری درجه درهم تنیدگی آن با زیرسیستم های دیگر استفاده کرد. برای حالت‌های خالص دوبخشی، آنتروپی فون نویمان حالت‌های کاهش‌یافته، اندازه‌گیری منحصربه‌فرد درهم تنیدگی است، به این معنا که تنها تابعی از خانواده حالت‌ها است که بدیهیات خاصی را که برای یک اندازه‌گیری درهم‌تنیدگی لازم است برآورده می‌کند. [ 94 ]

این یک نتیجه کلاسیک است که آنتروپی شانون حداکثر خود را در و فقط در توزیع احتمال یکنواخت {1/ n , ..., 1/ n } به دست می آورد. بنابراین، حالت خالص دو بخشی ρ ∈ H A ⊗ H B به حالت حداکثر درهم تنیده گفته می شود اگر حالت کاهش یافته هر زیر سیستم ρ ماتریس مورب باشد.

${\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.$

برای حالت های مختلط، آنتروپی فون نویمان کاهش یافته تنها معیار درهم تنیدگی معقول نیست.

علاوه بر این، تعریف نظری اطلاعات ارتباط نزدیکی با آنتروپی به معنای مکانیک آماری دارد [ 95 ] (با مقایسه دو تعریف در زمینه کنونی، معمول است که ثابت بولتزمن k = 1 را تنظیم کنیم ). به عنوان مثال، با ویژگی های حساب تابعی بورل ، می بینیم که برای هر عملگر واحد U ،

$S(\rho )=S\left(U\rho U^{*}\right).$

در واقع، بدون این ویژگی، آنتروپی فون نویمان به خوبی تعریف نمی شود.

به طور خاص، U می تواند عملگر تکامل زمانی سیستم باشد، به عنوان مثال،

$U(t)=\exp \left({\frac {-iHt}{\hbar }}\right),$

که در آن H همیلتونی سیستم است . در اینجا آنتروپی بدون تغییر است.

آنتروپی Rényi همچنین می تواند به عنوان معیار درهم تنیدگی استفاده شود. [ 96 ]

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-درهم تنیدگی کوانتومی

غیرمحلی و درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

همانطور که در بالا بحث شد، درهم تنیدگی برای ایجاد نقض نابرابری بل ضروری است . با این حال، همان طور که خود بل در مقاله خود در سال 1964 اشاره کرده است، صرف وجود درهم تنیدگی به تنهایی کافی نیست [ 65 ] . [ 31 ] این را برای مثال، حالت‌های ورنر نشان می‌دهند که خانواده‌ای از حالت‌ها هستند که جفت‌هایی از ذرات را توصیف می‌کنند. برای انتخاب مناسب پارامتر کلیدی که وضعیت ورنر معین را در مجموعه کامل آن مشخص می کند، حالات ورنر درهم تنیدگی را نشان می دهند. با این حال جفت ذرات توصیف شده توسط ایالت های ورنر همیشه یک مدل متغیر پنهان محلی را می پذیرند. به عبارت دیگر، این ایالت ها علیرغم داشتن درهم تنیدگی نمی توانند نقض نابرابری بل را تقویت کنند. [ 66 ] این را می توان از جفت ذرات به مجموعه های بزرگتر نیز تعمیم داد. [ 67 ]

تخطی از نابرابری های بل اغلب نامحلی کوانتومی نامیده می شود . این اصطلاح خالی از بحث نیست. [ 68 ] گاهی اوقات استدلال می‌شود که استفاده از اصطلاح غیرمحلی این مفهوم غیرقابل توجیه را به همراه دارد که نقض نابرابری‌های بل باید با سیگنال‌های فیزیکی و سریع‌تر از نور توضیح داده شود. [ 69 ] به عبارت دیگر، شکست مدل‌های متغیر پنهان محلی در بازتولید مکانیک کوانتومی لزوماً نشانه‌ای از غیرمکانی بودن واقعی در خود مکانیک کوانتومی نیست. [ 70 ] [ 71 ] [ 72 ] با وجود این ملاحظات، اصطلاح غیرمحلی به یک قرارداد گسترده تبدیل شده است. [ 69 ]

اصطلاح غیرمحلی نیز گاهی به جز عدم وجود مدل متغیر پنهان محلی برای مفاهیم دیگر نیز به کار می رود، مانند اینکه آیا حالت ها را می توان با اندازه گیری های محلی متمایز کرد یا خیر . [ 73 ] علاوه بر این، نظریه میدان کوانتومی اغلب محلی است ، زیرا قابل مشاهده‌هایی که در نواحی فضا-زمان تعریف شده‌اند که مانند فضا از هم جدا شده‌اند، باید رفت و آمد کنند. [ 65 ] [ 74 ] این دیگر کاربردهای محلی و غیر محلی در اینجا بیشتر مورد بحث قرار نگرفته است.

جزئیات ریاضی

[ ویرایش ]

بخش‌های فرعی زیر از فرمالیسم و چارچوب نظری توسعه‌یافته در مقاله‌های علامت‌گذاری براکت و فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتومی استفاده می‌کنند .

حالات خالص

[ ویرایش ]

دو سیستم کوانتومی دلخواه A و B را با فضاهای هیلبرت H A و H B در نظر بگیرید . فضای هیلبرت سیستم کامپوزیت محصول تانسور است

$H_{A}\otime H_{B}.$

اگر سیستم اول در حالت است $|\psi \rangle _{A}$ و دومی در حالت $|\phi \rangle _{B}$ ، وضعیت سیستم ترکیبی است

$|\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.$

حالت‌های سیستم ترکیبی که می‌توانند به این شکل نمایش داده شوند، حالت‌های قابل تفکیک یا حالت‌های محصول نامیده می‌شوند .

همه حالت ها حالت های قابل تفکیک (و در نتیجه حالت های ضرب) نیستند. یک پایه را ثابت کنید $\{|i\rangle _{A}\}$ برای H A و یک پایه $\{|j\rangle _{B}\}$ برای H B. کلی ترین حالت در H A ⊗ H B به شکل است

$|\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}$ .

این حالت در صورت وجود بردار قابل تفکیک است $[c_{i}^{A}]،[c_{j}^{B}]$ به طوری که، $c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},$ تسلیم شدن ${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$ و ${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$ برای هر یک از بردارها جدایی ناپذیر است $[c_{i}^{A}]،[c_{j}^{B}]$ حداقل برای یک جفت مختصات $c_{i}^{A},c_{j}^{B}$ ما $c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.$ اگر حالتی غیرقابل تفکیک باشد، به آن «حالت درهم تنیده» می گویند.

به عنوان مثال، با توجه به دو بردار پایه $\{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}$ از H A و دو بردار پایه $\{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}$ از H B ، حالت زیر یک حالت درهم تنیده است:

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes | 0\rangle _{B}\راست).$

اگر سیستم مرکب در این حالت باشد، نمی توان به سیستم A یا سیستم B یک حالت خالص مشخص نسبت داد . راه دیگری برای بیان این موضوع این است که در حالی که آنتروپی فون نویمان کل حالت صفر است (همانطور که برای هر حالت خالص وجود دارد)، آنتروپی زیرسیستم ها بزرگتر از صفر است. از این نظر، سیستم ها "درهم" هستند. این دارای پیامدهای تجربی خاص برای تداخل سنجی است. [ 75 ] مثال بالا یکی از چهار حالت بل است که (حداکثر) حالت های خالص درهم تنیده هستند (حالت های خالص فضای H A ⊗ H B ، اما نمی توان آنها را به حالت های خالص هر H A و H B تقسیم کرد ).

حال فرض کنید آلیس ناظر سیستم A و باب ناظر سیستم B باشد . اگر در حالت درهم تنیده داده شده در بالا، آلیس اندازه گیری را در آن انجام دهد $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ اساس ویژه A ، دو نتیجه ممکن وجود دارد که با احتمال مساوی اتفاق می‌افتد: [ 76 ] [ تأیید ناموفق - بحث را ببینید ]

آلیس 0 را اندازه می گیرد و وضعیت سیستم به هم می ریزد $|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}$ .
آلیس 1 را اندازه می گیرد و وضعیت سیستم به هم می ریزد $|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}$ .

اگر اولی رخ دهد، هر اندازه‌گیری بعدی که توسط باب انجام شود، بر اساس همان مبنای، همیشه 1 را برمی‌گرداند. اگر دومی رخ دهد، (آلیس 1 را اندازه‌گیری می‌کند) آنگاه اندازه‌گیری باب با قطعیت 0 را برمی‌گرداند. بنابراین، حالت کوانتومی که سیستم B را توصیف می کند توسط آلیس که یک اندازه گیری محلی روی سیستم A انجام می دهد تغییر داده شده است . این امر حتی اگر سیستم های A و B از نظر مکانی از هم جدا شده باشند، صادق است. این پایه و اساس پارادوکس EPR است.

نتیجه اندازه گیری آلیس تصادفی است. آلیس نمی تواند تصمیم بگیرد که سیستم ترکیبی را در کدام حالت جمع کند، و بنابراین نمی تواند با عمل کردن بر روی سیستم خود اطلاعات را به باب منتقل کند. بنابراین علیت در این طرح خاص حفظ می شود. برای استدلال کلی، قضیه عدم ارتباط را ببینید .

گروه ها

[ ویرایش ]

همانطور که در بالا ذکر شد، وضعیت یک سیستم کوانتومی توسط یک بردار واحد در فضای هیلبرت داده می شود. به طور کلی، اگر کسی اطلاعات کمتری در مورد سیستم داشته باشد، آن را یک مجموعه می نامد و آن را با یک ماتریس چگالی توصیف می کند که یک ماتریس مثبت-نیمه معین است ، یا یک کلاس ردیابی زمانی که فضای حالت بینهایت بعدی است، و دارای ردیابی 1 است. باز هم، با قضیه طیفی ، چنین ماتریسی شکل کلی را به خود می گیرد:

$\rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|،$

در جایی که w i احتمالات با ارزش مثبت هستند (مجموع آنها 1 است)، بردارهای α i بردارهای واحد هستند، و در حالت بی‌بعدی، بسته شدن چنین حالت‌هایی را در هنجار ردیابی در نظر می‌گیریم. ما می‌توانیم ρ را به‌عنوان نشان‌دهنده مجموعه‌ای در جایی تفسیر کنیم $w_{i}$ نسبت گروهی است که حالات آن است $|\alpha _{i}\rangle$ . هنگامی که یک حالت مختلط دارای رتبه 1 است، بنابراین یک "گروه خالص" را توصیف می کند. هنگامی که اطلاعات کمتر از کل در مورد وضعیت یک سیستم کوانتومی وجود دارد، ما به ماتریس های چگالی برای نمایش وضعیت نیاز داریم.

به طور تجربی، یک گروه ترکیبی ممکن است به شرح زیر تحقق یابد. یک دستگاه "جعبه سیاه" را در نظر بگیرید که الکترون ها را به سمت ناظر می ریزد. فضاهای هیلبرت الکترون ها یکسان است . این دستگاه ممکن است الکترون هایی تولید کند که همه در یک حالت باشند. در این حالت، الکترون های دریافت شده توسط ناظر یک مجموعه خالص هستند. با این حال، دستگاه می تواند الکترون در حالت های مختلف تولید کند. به عنوان مثال، می تواند دو جمعیت الکترون تولید کند: یکی با حالت $|\mathbf {z} +\rangle$ با اسپین های تراز شده در جهت z مثبت و دیگری با حالت $|\mathbf {y} -\rangle$ با اسپین هایی که در جهت منفی y تراز شده اند . به طور کلی، این یک گروه مختلط است، زیرا می‌تواند هر تعداد جمعیتی وجود داشته باشد که هر کدام مربوط به وضعیت متفاوتی است.

طبق تعریف بالا، برای یک سیستم ترکیبی دوبخشی، حالت های مختلط فقط ماتریس های چگالی روی H A ⊗ H B هستند . یعنی شکل کلی را دارد

$\rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\ بتا _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]$

جایی که w i احتمالات با ارزش مثبت هستند، ${\textstyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$ و بردارها بردار واحد هستند. این خود ملحق و مثبت است و رد 1 دارد.

با بسط تعریف تفکیک پذیری از حالت خالص، می گوییم که حالت مختلط در صورتی قابل تفکیک است که بتوان آن را به صورت [ 77 ] نوشت : 131-132

$\rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}،$

که در آن w i دارای ارزش مثبت احتمالات و $\rho _{i}^{A}$ و $\rho _{i}^{B}$ s خود حالت های مختلط (عملگرهای چگالی) در زیر سیستم های A و B هستند . به عبارت دیگر، یک حالت در صورتی قابل تفکیک است که توزیع احتمال بر روی حالت های نامرتبط یا حالت های محصول باشد. با نوشتن ماتریس‌های چگالی به‌عنوان مجموع مجموعه‌های خالص و بسط دادن، می‌توانیم بدون از دست دادن کلیت فرض کنیم که $\rho _{i}^{A}$ و $\rho _{i}^{B}$ خود مجموعه های نابی هستند. آنگاه به حالتی گفته می شود که در هم تنیده شده است اگر قابل تفکیک نباشد.

به طور کلی، یافتن اینکه آیا یک حالت مختلط درهم است یا نه، مشکل تلقی می شود. مورد دوبخشی عمومی نشان داده شده است که NP-hard است . [ 78 ] برای موارد 2 × 2 و 2 × 3 ، یک معیار لازم و کافی برای تفکیک پذیری با شرط معروف Positive Partial Transpose (PPT) ارائه شده است . [ 79 ]

ماتریس های چگالی کاهش یافته

[ ویرایش ]

ایده ماتریس چگالی کاهش یافته توسط پل دیراک در سال 1930 معرفی شد . بگذارید وضعیت سیستم ترکیبی باشد

$|\Psi \rangle \in H_{A}\otime H_{B}.$

همانطور که در بالا اشاره شد، به طور کلی هیچ راهی برای مرتبط کردن حالت خالص به سیستم جزء A وجود ندارد . با این حال، هنوز هم می توان یک ماتریس چگالی را مرتبط کرد. اجازه دهید

$\rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |$ .

که عملگر پروجکشن در این حالت است . حالت A رد جزئی ρT بر اساس سیستم B است :

$\rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j |_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.$

مجموع رخ می دهد بیش از $N_{B}:=\dim(H_{B})$ و $I_{A}$ اپراتور هویت در $H_{A}$ . ρ A گاهی اوقات ماتریس چگالی کاهش یافته ρ در زیر سیستم A نامیده می شود . به صورت محاوره ای، سیستم B را برای به دست آوردن ماتریس چگالی کاهش یافته در A ردیابی می کنیم .

به عنوان مثال، ماتریس چگالی کاهش یافته A برای حالت درهم تنیده

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes | 0\rangle _{B}\راست)،$

مورد بحث در بالا است

$\rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\راست).$

این نشان می‌دهد که، همانطور که انتظار می‌رود، ماتریس چگالی کاهش‌یافته برای یک مجموعه خالص درهم‌تنیده، یک مجموعه مخلوط است. همچنین جای تعجب نیست که ماتریس چگالی A برای حالت محصول خالص $|\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}$ مورد بحث در بالا است

$\rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}$ .

به طور کلی، یک حالت خالص دو بخشی ρ اگر و تنها در صورتی درهم می‌آید که حالت‌های احیا شده آن به جای خالص مخلوط شوند.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-درهم تنیدگی کوانتومی

فرآیند تبدیل پایین پارامتری خود به خودی می تواند فوتون ها را به جفت فوتون های نوع II با قطبش عمود بر هم تقسیم کند.

مکانیک کوانتومی
بخشی از مجموعه مقالات در مورد
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\|\Psi \rangle ={\hat {H}}\|\Psi \rangle$ معادله شرودینگر
مقدمه واژه نامه تاریخچه
نشان می دهد پس زمینه
پنهان کردن مبانی مکمل بودن عدم انسجام درهم تنیدگی سطح انرژی اندازه گیری غیر محلی بودن عدد کوانتومی ایالت برهم نهی تقارن تونل سازی عدم قطعیت تابع موج فرو ریختن
نشان می دهد آزمایش ها
نشان می دهد فرمولاسیون
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد تفاسیر
نشان می دهد موضوعات پیشرفته
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

درهم تنیدگی کوانتومی پدیده‌ای است که در آن گروهی از ذرات تولید می‌شوند، برهم‌کنش می‌کنند یا مجاورت فضایی را به اشتراک می‌گذارند، به گونه‌ای که حالت کوانتومی هر ذره از گروه را نمی‌توان مستقل از حالت ذرات دیگر توصیف کرد، از جمله زمانی که ذرات از هم جدا می‌شوند. با فاصله زیاد موضوع درهم تنیدگی کوانتومی در قلب اختلاف بین فیزیک کلاسیک و فیزیک کوانتومی است : درهم تنیدگی یک ویژگی اولیه مکانیک کوانتومی است که در مکانیک کلاسیک وجود ندارد. [ 1 ] : 867

اندازه‌گیری‌های ویژگی‌های فیزیکی مانند موقعیت ، تکانه ، اسپین و قطبش که روی ذرات درهم‌تنیده انجام می‌شوند، در برخی موارد می‌توانند کاملاً مرتبط باشند . برای مثال، اگر یک جفت ذره درهم‌تنیده به‌گونه‌ای ایجاد شود که مجموع اسپین آن‌ها صفر شناخته شود، و یک ذره در جهت عقربه‌های ساعت بر روی محور اول چرخش داشته باشد، اسپین ذره دیگر که در همان محور اندازه‌گیری می‌شود، خلاف جهت عقربه های ساعت پیدا می شود. با این حال، این رفتار منجر به اثرات به ظاهر متناقض می شود : هر اندازه گیری از خواص یک ذره منجر به فروپاشی تابع موج ظاهری و غیرقابل برگشت آن ذره و تغییر حالت کوانتومی اولیه می شود. با ذرات درهم، چنین اندازه گیری هایی بر سیستم درهم تنیده به عنوان یک کل تأثیر می گذارد.

چنین پدیده‌هایی موضوع مقاله‌ای در سال 1935 توسط آلبرت انیشتین ، بوریس پودولسکی ، و ناتان روزن ، [ 2 ] و چند مقاله توسط اروین شرودینگر اندکی پس از آن، [ 3 ] [ 4 ] که آنچه را که به عنوان پارادوکس EPR شناخته شد، توصیف می‌کند . انیشتین و دیگران چنین رفتاری را غیرممکن می‌دانستند، زیرا دیدگاه واقع‌گرایی محلی از علیت را نقض می‌کرد (اینشتین از آن به عنوان « عمل شبح‌آور در فاصله » یاد می‌کرد) [ 5 ] و استدلال می‌کردند که فرمول پذیرفته‌شده مکانیک کوانتومی باید ناقص باشد.

با این حال، بعدها، پیش‌بینی‌های غیرمستقیم مکانیک کوانتومی [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] در آزمایش‌هایی که قطبش یا اسپین ذرات درهم‌تنیده در مکان‌های جداگانه اندازه‌گیری شد، تأیید شد، که از نظر آماری نابرابری بل را نقض می‌کرد . در آزمایش‌های قبلی، نمی‌توان رد کرد که نتیجه در یک نقطه می‌توانست به طور ماهرانه به نقطه دور منتقل شده باشد و بر نتیجه در مکان دوم تأثیر بگذارد. [ 8 ] با این حال، آزمایش‌های بل به اصطلاح «بدون حفره» از آن زمان در جایی که مکان‌ها به اندازه کافی از هم جدا شده بودند انجام شده است که ارتباطات با سرعت نور بیشتر از فاصله زمانی بین اندازه گیری ها [ 7 ] [ 6 ]

درهم تنیدگی بین اندازه‌گیری‌ها همبستگی ایجاد می‌کند، اطلاعات متقابل بین ذرات درهم‌تنیده می‌تواند مورد بهره‌برداری قرار گیرد، اما هرگونه انتقال اطلاعات با سرعت‌های سریع‌تر از نور غیرممکن است. [ 9 ] [ 10 ] درهم تنیدگی کوانتومی را نمی توان برای ارتباطات سریعتر از نور استفاده کرد . [ 11 ]

درهم تنیدگی کوانتومی به طور تجربی با فوتون ها ، [ 12 ] [ 13 ] الکترون ها ، [ 14 ] [ 15 ] کوارک های بالا، [ 16 ] مولکول ها [ 17 ] و حتی الماس های کوچک نشان داده شده است . [ 18 ] استفاده از درهم تنیدگی در ارتباطات ، محاسبات و رادار کوانتومی یک حوزه فعال تحقیق و توسعه است.

تاریخچه

[ ویرایش ]

زمینه: تاریخچه مکانیک کوانتومی

عنوان مقاله در مورد مقاله پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن (EPR) ، در شماره 4 مه 1935 نیویورک تایمز

آلبرت انیشتین و نیلز بور درگیر یک مناقشه دانشگاهی طولانی مدت در مورد معنای مکانیک کوانتومی بودند که اکنون به عنوان بحث های بور-اینشتین شناخته می شود . در طول این مناظرات، انیشتین یک آزمایش فکری در مورد جعبه ای ارائه کرد که یک فوتون ساطع می کند. او خاطرنشان کرد که انتخاب آزمایشگر برای اندازه‌گیری روی جعبه، آنچه را که می‌توان در مورد فوتون پیش‌بینی کرد، تغییر می‌دهد، حتی اگر فوتون بسیار دور باشد. این استدلال که اینشتین در سال 1931 فرموله کرده بود، شناخت اولیه پدیده ای بود که بعداً درهم تنیدگی نامیده شد. [ 19 ] در همان سال، هرمان ویل در کتاب درسی خود در مورد نظریه گروه و مکانیک کوانتومی مشاهده کرد که سیستم های کوانتومی ساخته شده از قطعات متقابل متعدد، نوعی گشتالت را نشان می دهند . [ 20 ] [ 21 ] در سال 1932، اروین شرودینگر معادلات تعیین کننده درهم تنیدگی کوانتومی را نوشت، اما آنها را کنار گذاشت و منتشر نشد. [ 22 ] در سال 1935، انیشتین، بوریس پودولسکی و ناتان روزن مقاله‌ای در مورد آنچه که امروزه به عنوان پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن (EPR) شناخته می‌شود، منتشر کردند ، یک آزمایش فکری که سعی داشت نشان دهد که " توصیف مکانیکی کوانتومی واقعیت فیزیکی داده شده توسط توابع موج کامل نیست. [ 2 ] آزمایش فکری آنها دارای دو سیستم بود که برهم کنش متقابل داشتند، سپس از هم جدا شدند، و آنها نشان دادند که پس از آن، مکانیک کوانتومی نمی تواند این دو سیستم را به صورت جداگانه توصیف کند.

اندکی پس از انتشار این مقاله، اروین شرودینگر نامه ای به آلمانی به انیشتین نوشت که در آن از کلمه Verschränkung (که توسط خودش به عنوان درهم تنیدگی ترجمه شده است ) برای توصیف موقعیت هایی مانند سناریوی EPR استفاده کرد. [ 23 ] شرودینگر مقاله کاملی را در مورد تعریف و بحث درباره مفهوم درهم تنیدگی دنبال کرد ، [ 24 ] و گفت: «من [درهم تنیدگی] را یکی نمی‌دانم ، بلکه ویژگی مشخص مکانیک کوانتومی را مشخص نمی‌کنم، آن چیزی که کل آن را از خطوط کلاسیک جدا می‌کند. فکر." [ 3 ] شرودینگر نیز مانند انیشتین از مفهوم درهم تنیدگی ناراضی بود، زیرا به نظر می رسید محدودیت سرعت در انتقال اطلاعات ضمنی در نظریه نسبیت را نقض می کند . [ 25 ] اینشتین بعداً به تأثیرات درهم تنیدگی به عنوان « spukhafte Fernwirkung » [ 26 ] یا « عمل شبح‌آمیز در فاصله » اشاره کرد، به این معنی که به دست آوردن مقدار یک ویژگی در یک مکان ناشی از اندازه‌گیری در یک مکان دور است. [ 27 ]

در سال 1946، جان آرچیبالد ویلر مطالعه قطبی شدن جفت فوتون های پرتو گاما تولید شده توسط نابودی الکترون- پوزیترون را پیشنهاد کرد . [ 28 ] Chien-Shiung Wu و I. Shaknov این آزمایش را در سال 1949 انجام دادند، [ 29 ] بدین ترتیب نشان دادند که جفت ذرات درهم تنیده در نظر گرفته شده توسط EPR می توانند در آزمایشگاه ایجاد شوند. [ 30 ]

علیرغم ادعای شرودینگر در مورد اهمیت آن، چندین دهه پس از انتشار مقاله او، کار کمی در مورد درهم تنیدگی منتشر شد. [ 24 ] در سال 1964 جان اس. بل یک حد بالایی را که در نابرابری بل مشاهده می‌شود ، در رابطه با قدرت همبستگی‌هایی که می‌توان در هر نظریه‌ای که از رئالیسم محلی پیروی می‌کند ایجاد کرد ، نشان داد و نشان داد که نظریه کوانتومی نقض این حد را برای سیستم‌های درهم‌تنیده خاصی پیش‌بینی می‌کند. [ 31 ] [ 32 ] : 405 نابرابری او از نظر تجربی قابل آزمایش است، و آزمایش‌های مرتبط متعددی وجود داشته است ، که با کار پیشگام استوارت فریدمن و جان کلاسر در سال 1972 [ 33 ] و آزمایش‌های آلن اسپکت در سال 1982 شروع شد. [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]

در حالی که بل فعالانه دانشجویان را از دنبال کردن کارهایی مانند او به عنوان بیش از حد باطنی منصرف می کرد، پس از یک سخنرانی در آکسفورد، دانشجویی به نام آرتور اکرت پیشنهاد کرد که نقض نابرابری بل می تواند به عنوان منبعی برای ارتباط مورد استفاده قرار گیرد. [ 37 ] : 315 Ekert با انتشار یک پروتکل توزیع کلید کوانتومی به نام E91 بر اساس آن پیگیری کرد . [ 38 ] [ 1 ] : 874

در سال 1992، مفهوم درهم تنیدگی برای پیشنهاد انتقال از راه دور کوانتومی ، [ 39 ]، اثری که به طور تجربی در سال 1997 تحقق یافت، مورد استفاده قرار گرفت. [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]

با شروع در اواسط دهه 1990، آنتون زایلینگر از تولید درهم تنیدگی از طریق تبدیل پارامتری به پایین برای توسعه مبادله درهم تنیدگی [ 37 ] : 317 و نشان دادن رمزنگاری کوانتومی با فوتون های درهم تنیده استفاده کرد. [ 43 ] [ 44 ]

در سال 2022، جایزه نوبل فیزیک به اسپکت، کلوزر و زایلینگر «برای آزمایش‌هایی با فوتون‌های درهم‌تنیده، اثبات نقض نابرابری‌های بل و علم اطلاعات کوانتومی پیشگام» اعطا شد. [ 45 ]

مفهوم

[ ویرایش ]

معنی درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

یک سیستم درهم تنیده را می توان به سیستمی تعریف کرد که حالت کوانتومی آن نمی تواند به عنوان حاصلضرب حالات اجزای محلی آن در نظر گرفته شود. یعنی ذرات منفرد نیستند، بلکه یک کل جدا نشدنی هستند. در درهم تنیدگی، نمی توان یک مؤلفه را بدون در نظر گرفتن دیگری (ها) به طور کامل توصیف کرد. حالت یک سیستم ترکیبی همیشه به صورت مجموع یا برهم نهی از محصولات حالت های اجزای محلی قابل بیان است. اگر این مجموع را نتوان به عنوان یک عبارت محصول واحد نوشت، درهم می‌رود. [ نیازمند منبع ]

سیستم‌های کوانتومی می‌توانند از طریق انواع مختلف برهمکنش‌ها درگیر شوند. برای برخی از راه‌هایی که در آن ممکن است درهم تنیدگی برای اهداف آزمایشی به دست آید، به بخش زیر در مورد روش‌ها مراجعه کنید . درهم تنیدگی زمانی شکسته می شود که ذرات درهم تنیده از طریق تعامل با محیط از هم چسبیده شوند . به عنوان مثال، هنگامی که یک اندازه گیری انجام می شود. [ 46 ] [ 47 ]

به عنوان نمونه ای از درهم تنیدگی: یک ذره زیر اتمی به یک جفت درهم تنیده از ذرات دیگر تجزیه می شود . رویدادهای فروپاشی از قوانین مختلف بقای پیروی می کنند ، و در نتیجه، نتایج اندازه گیری یک ذره دختر باید با نتایج اندازه گیری ذره دختر دیگر همبستگی زیادی داشته باشد (به طوری که ممان کل، ممان زاویه ای، انرژی و غیره باقی می ماند. تقریباً قبل و بعد از این فرآیند یکسان است). به عنوان مثال، یک ذره اسپین صفر می تواند به یک جفت ذره اسپین-1/2 تجزیه شود. از آنجایی که کل اسپین قبل و بعد از این واپاشی باید صفر باشد (پایداری تکانه زاویه ای)، هرگاه ذره اول اندازه گیری شود که بر روی یک محور به سمت بالا بچرخد ، ذره دیگر، وقتی روی همان محور اندازه گیری شود، همیشه به سمت پایین می چرخد. . (به این حالت اسپین ضد همبستگی گفته می شود؛ و اگر احتمالات قبلی برای اندازه گیری هر اسپین برابر باشد، گفته می شود که جفت در حالت منفرد است .) [ نیاز به منبع ]

نتیجه فوق ممکن است تعجب آور تلقی شود یا نباشد. یک سیستم کلاسیک همان ویژگی را نشان می‌دهد، و قطعاً یک نظریه متغیر پنهان برای انجام این کار لازم است، بر اساس حفظ تکانه زاویه‌ای در مکانیک کلاسیک و کوانتومی به طور یکسان. تفاوت در این است که یک سیستم کلاسیک دارای مقادیر معینی برای تمام موارد مشاهده‌پذیر است، در حالی که سیستم کوانتومی اینطور نیست. به معنایی که در زیر مورد بحث قرار می گیرد، به نظر می رسد سیستم کوانتومی در نظر گرفته شده در اینجا توزیع احتمالی را برای نتیجه اندازه گیری اسپین در امتداد هر محور ذره دیگر پس از اندازه گیری ذره اول بدست می آورد. این توزیع احتمال به طور کلی با آنچه که بدون اندازه گیری ذره اول خواهد بود متفاوت است. در مورد ذرات درهم تنیده جدا از هم، این امر قطعاً ممکن است شگفت‌انگیز تلقی شود. [ نیازمند منبع ]

پارادوکس

[ ویرایش ]

تناقض این است که اندازه گیری انجام شده بر روی هر یک از ذرات ظاهراً وضعیت کل سیستم درهم تنیده را از بین می برد - و این کار را بلافاصله انجام می دهد، قبل از اینکه هر گونه اطلاعاتی در مورد نتیجه اندازه گیری به ذره دیگر منتقل شود (با فرض اینکه اطلاعات نمی تواند سریعتر از نور ) و از این رو نتیجه "مناسب" اندازه گیری قسمت دیگر جفت درهم تنیده را تضمین می کند. در ارائه کتاب درسی استاندارد مکانیک کوانتومی، انجام یک اندازه گیری اسپین بر روی یکی از ذرات باعث می شود که تابع موج برای کل جفت به حالتی فرو برود که در آن هر ذره دارای یک اسپین مشخص (بالا یا پایین) در امتداد محور اندازه گیری باشد. . نتیجه تصادفی است و هر احتمال 50 درصد احتمال دارد. با این حال، اگر هر دو اسپین در امتداد یک محور اندازه گیری شوند، مشخص می شود که آنها ضد همبستگی هستند. این بدان معنی است که نتیجه تصادفی اندازه گیری انجام شده روی یک ذره به نظر می رسد به ذره دیگر منتقل شده است، به طوری که می تواند "انتخاب درست" را هنگام اندازه گیری انجام دهد. [ نیازمند منبع ]

فاصله و زمان اندازه‌گیری‌ها را می‌توان به‌گونه‌ای انتخاب کرد که فاصله بین دو اندازه‌گیری شبیه به فضا شود ، بنابراین، هر اثر علی که رویدادها را به هم متصل می‌کند باید سریع‌تر از نور حرکت کند. بر اساس اصول نسبیت خاص ، امکان سفر بین دو رویداد اندازه‌گیری برای هیچ اطلاعاتی وجود ندارد. حتی نمی توان گفت کدام یک از اندازه گیری ها اول بوده است. برای دو رویداد مجزای فضا مانند x 1 و x 2 فریم های اینرسی وجود دارد که در آنها x 1 اول است و برخی دیگر که در آنها x 2 اول است. بنابراین، همبستگی بین دو اندازه‌گیری را نمی‌توان به‌عنوان یک اندازه‌گیری که دیگری را تعیین می‌کند توضیح داد: ناظران مختلف در مورد نقش علت و معلول اختلاف نظر دارند.

نظریه متغیرهای پنهان

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه متغیرهای پنهان

یک راه حل ممکن برای پارادوکس این است که فرض کنیم نظریه کوانتومی ناقص است و نتیجه اندازه گیری ها به "متغیرهای پنهان" از پیش تعیین شده بستگی دارد. [ 48 ] وضعیت ذرات اندازه‌گیری شده حاوی برخی متغیرهای پنهان است که مقادیر آن‌ها به‌طور مؤثر، درست از لحظه جداسازی، تعیین می‌کند که نتایج اندازه‌گیری‌های اسپین چه خواهد بود. این بدان معناست که هر ذره تمام اطلاعات مورد نیاز را با خود حمل می کند و در زمان اندازه گیری نیازی به انتقال از یک ذره به ذره دیگر نیست. انیشتین و دیگران (به بخش قبلی مراجعه کنید) در ابتدا معتقد بودند که این تنها راه خروج از پارادوکس است و توصیف مکانیکی کوانتومی پذیرفته شده (با یک نتیجه اندازه گیری تصادفی) باید ناقص باشد.

نقض نابرابری بل

[ ویرایش ]

با این حال، زمانی که اندازه گیری های اسپین ذرات درهم تنیده در امتداد محورهای مختلف در نظر گرفته شود، نظریه های متغیر پنهان محلی شکست می خورند. اگر تعداد زیادی جفت از این اندازه‌گیری‌ها انجام شود (روی تعداد زیادی جفت ذرات درهم تنیده)، از نظر آماری، اگر دیدگاه واقعی محلی یا متغیرهای پنهان درست باشد، نتایج همیشه نابرابری بل را برآورده می‌کنند . تعدادی از آزمایش ها در عمل نشان داده اند که نابرابری بل ارضا نمی شود. [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] علاوه بر این، هنگامی که اندازه‌گیری‌های ذرات درهم‌تنیده در چارچوب‌های مرجع نسبیتی متحرک انجام می‌شود ، که در آن هر اندازه‌گیری (در چارچوب زمانی نسبیتی خودش) قبل از دیگری انجام می‌شود، نتایج اندازه‌گیری همبستگی باقی می‌ماند. [ 52 ] [ 37 ] : 321-324

مسئله اساسی در مورد اندازه‌گیری اسپین در محورهای مختلف این است که این اندازه‌گیری‌ها نمی‌توانند همزمان مقادیر مشخصی داشته باشند - به این معنا که حداکثر دقت همزمان این اندازه‌گیری‌ها توسط اصل عدم قطعیت محدود می‌شود . این برخلاف آن چیزی است که در فیزیک کلاسیک یافت می شود، جایی که هر تعدادی از ویژگی ها را می توان همزمان با دقت دلخواه اندازه گیری کرد. از نظر ریاضی ثابت شده است که اندازه گیری های سازگار نمی توانند همبستگی های نقض کننده نابرابری بل را نشان دهند، [ 53 ] و بنابراین درهم تنیدگی یک پدیده اساسا غیر کلاسیک است.

تله پورت کوانتومی و مبادله درهم تنیدگی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: دوربری کوانتومی

اگر آلیس و باب یک حالت درهم تنیده داشته باشند، آلیس می تواند از طریق یک تماس تلفنی به باب بگوید که چگونه یک حالت کوانتومی را بازتولید کند. $|\Psi \rangle$ او در آزمایشگاه خود دارد. آلیس یک اندازه گیری مشترک را انجام می دهد $|\Psi \rangle$ همراه با نیمی از حالت درهم تنیده و نتایج را به باب می گوید. با استفاده از نتایج آلیس، باب نیمی از حالت درهم تنیده خود را عمل می کند تا آن را برابر کند $|\Psi \rangle$ . از آنجایی که اندازه گیری آلیس لزوماً وضعیت کوانتومی سیستم را در آزمایشگاه او پاک می کند، وضعیت $|\Psi \rangle$ کپی نمی شود، بلکه منتقل می شود: گفته می شود که از طریق این پروتکل به آزمایشگاه باب " تلپورت " می شود. [ 54 ] : 27 [ 1 ] : 875 [ 55 ]

درهم تنیدگی حالت ها از منابع مستقل را می توان از طریق اندازه گیری حالت بل تعویض کرد. [ 56 ] : 341

مبادله درهم تنیدگی یک کاربرد از دوربری است تا دو طرفی را که هرگز با هم تعامل نکرده‌اند به اشتراک بگذارند. ما با سه مهمانی شروع می کنیم، آلیس، باب و کارول. آلیس و باب حالت درهم تنیده ای دارند، باب و کارول هم همینطور، اما آلیس و کارول اینطور نیستند. باب با استفاده از پروتکل تله‌پورت، نیمی از وضعیت درهم‌تنیده‌ای را که با آلیس به اشتراک می‌گذارد، به کارول منتقل می‌کند. از آنجایی که تله‌پورتاسیون باعث حفظ درهم تنیدگی می‌شود، این باعث می‌شود که آلیس و کارول حالت درهم‌تنیده‌ای را به اشتراک بگذارند. [ نیازمند منبع ]

زمان اضطراری

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: مشکل زمان

بین نحوه استفاده از مفهوم زمان در مکانیک کوانتومی و نقشی که در نسبیت عام ایفا می کند، تعارض اساسی وجود دارد که به آن مسئله زمان می گویند . در نظریه‌های کوانتومی استاندارد، زمان به‌عنوان یک پس‌زمینه مستقل عمل می‌کند که از طریق آن حالت‌ها تکامل می‌یابند، در حالی که نسبیت عام، زمان را به‌عنوان یک متغیر دینامیکی که مستقیماً با ماده مرتبط است، در نظر می‌گیرد. بخشی از تلاش برای تطبیق این رویکردها با زمان منجر به معادله ویلر-دیویت می‌شود که بر خلاف تجربه معمول، وضعیت جهان بی‌زمان یا ایستا را پیش‌بینی می‌کند. [ 57 ] کار آغاز شده توسط دان پیج و ویلیام ووترز [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ] نشان می‌دهد که به نظر می‌رسد جهان برای ناظران درونی به دلیل درهم‌تنیدگی انرژی بین یک سیستم در حال تکامل و یک سیستم ساعت، هر دو در درون کیهان، تکامل می‌یابد. [ 57 ] به این ترتیب سیستم کلی می تواند بی زمان بماند در حالی که قطعات از طریق درهم تنیدگی زمان را تجربه می کنند. این موضوع همچنان به عنوان یک سوال باز باقی می ماند که نزدیک به تلاش برای تئوری های گرانش کوانتومی است . [ 61 ] [ 62 ]

جاذبه اضطراری

[ ویرایش ]

در نسبیت عام گرانش از انحنای فضازمان ناشی می شود و این انحنا از توزیع ماده ناشی می شود. با این حال، ماده توسط مکانیک کوانتومی اداره می شود. ادغام این دو نظریه با مشکلات زیادی مواجه است. در یک فضای مدل (غیر واقعی) به نام فضای ضد دی سیتر ، تناظر AdS/CFT به یک سیستم گرانشی کوانتومی اجازه می‌دهد تا با نظریه میدان کوانتومی بدون گرانش مرتبط شود. [ 63 ] مارک ون رامسدونک با استفاده از این تناظر پیشنهاد کرد که فضا-زمان به عنوان پدیده ای نوظهور از درجات کوانتومی آزادی که در هم پیچیده هستند و در مرز فضازمان زندگی می کنند، پدید می آید. [ 64 ]

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

اپتیک کوانتومی

«الکترونیک کوانتومی» به اینجا هدایت می‌شود. برای مجله، کوانتوم الکترونیک (ژورنال) را ببینید .

اپتیک کوانتومی شاخه‌ای از فیزیک اتمی، مولکولی و نوری است که به چگونگی برهمکنش کوانتوم‌های نور، معروف به فوتون‌ها ، با اتم‌ها و مولکول‌ها می‌پردازد. این شامل مطالعه خواص ذره مانند فوتون ها است. فوتون ها برای آزمایش بسیاری از پیش بینی های غیر شهودی مکانیک کوانتومی ، مانند درهم تنیدگی و انتقال از راه دور ، استفاده شده اند و منبع مفیدی برای پردازش اطلاعات کوانتومی هستند .

تاریخچه

[ ویرایش ]

نوری که در حجم محدودی از فضا منتشر می شود، انرژی و تکانه آن بر اساس تعداد صحیح ذرات به نام فوتون کوانتیزه می شود . اپتیک کوانتومی ماهیت و اثرات نور را به عنوان فوتون های کوانتومی مطالعه می کند. اولین پیشرفت عمده ای که منجر به این درک شد، مدل سازی صحیح طیف تابش جسم سیاه توسط ماکس پلانک در سال 1899 تحت فرضیه تابش نور در واحدهای مجزای انرژی بود. اثر فوتوالکتریک شواهد دیگری از این کوانتیزاسیون بود که توسط آلبرت انیشتین در مقاله ای در سال 1905 توضیح داده شد، کشفی که به خاطر آن قرار بود جایزه نوبل در سال 1921 به او تعلق گیرد. نیلز بور نشان داد که فرضیه تابش نوری در حال کوانتیزه شدن با نظریه او مطابقت دارد. سطوح انرژی کوانتیزه شده اتم ها ، و به ویژه طیف انتشار تخلیه از هیدروژن . درک تعامل بین نور و ماده به دنبال این تحولات برای توسعه مکانیک کوانتومی به عنوان یک کل بسیار مهم بود. با این حال، زیرشاخه های مکانیک کوانتومی که با برهمکنش ماده-نور سروکار دارند، عمدتاً به عنوان تحقیق در مورد ماده در نظر گرفته می شدند تا نور. از این رو یکی از فیزیک اتمی و الکترونیک کوانتومی در سال 1960 صحبت کرد. علم لیزر - یعنی تحقیق در اصول، طراحی و کاربرد این دستگاه ها - به یک زمینه مهم تبدیل شد و مکانیک کوانتومی زیربنای اصول لیزر اکنون با تاکید بیشتر بر روی خواص نور [ مشکوک - بحث ] و نام اپتیک کوانتومی مرسوم شد.

از آنجایی که علم لیزر به مبانی نظری خوبی نیاز داشت، و همچنین به دلیل اینکه تحقیقات در این زمینه به زودی بسیار مثمر ثمر بود، علاقه به اپتیک کوانتومی افزایش یافت. به دنبال کار دیراک در نظریه میدان کوانتومی ، جان آر. کلادر ، جورج سودارشان ، روی جی. گلوبر و لئونارد مندل نظریه کوانتومی را در دهه های 1950 و 1960 در میدان الکترومغناطیسی به کار بردند تا به درک دقیق تری از تشخیص نوری و آمار مربوط به تشخیص نور دست یابند. نور (نگاه کنید به درجه انسجام ). این منجر به معرفی حالت منسجم به عنوان مفهومی شد که به تغییرات بین نور لیزر، نور حرارتی، حالت‌های فشرده شده عجیب و غریب و غیره می‌پردازد، زیرا مشخص شد که نور را نمی‌توان به طور کامل فقط با اشاره به میدان‌های الکترومغناطیسی توصیف‌کننده امواج در کلاسیک توصیف کرد. تصویر در سال 1977، کیمبل و همکاران. یک اتم منفرد را نشان داد که یک فوتون را در یک زمان ساطع می کند، شواهد قانع کننده دیگری مبنی بر اینکه نور از فوتون تشکیل شده است. حالت‌های کوانتومی ناشناخته نور با ویژگی‌هایی بر خلاف حالت‌های کلاسیک، مانند نور فشرده، متعاقباً کشف شدند.

توسعه پالس‌های لیزری کوتاه و فوق‌کوتاه - که توسط تکنیک‌های سوئیچینگ Q و قفل‌گذاری مدل ایجاد شده‌اند ، راه را برای مطالعه آنچه که فرآیندهای فوق سریع شناخته می‌شوند، باز کرد. کاربردهایی برای تحقیقات حالت جامد (به عنوان مثال طیف سنجی رامان ) پیدا شد و نیروهای مکانیکی نور بر روی ماده مورد مطالعه قرار گرفت. دومی منجر به معلق شدن و قرار دادن ابرهای اتم یا حتی نمونه های کوچک بیولوژیکی در یک تله نوری یا موچین های نوری توسط پرتو لیزر شد. این، همراه با خنک‌سازی داپلر و خنک‌سازی سیزیف ، فناوری حیاتی مورد نیاز برای دستیابی به چگالش مشهور بوز-اینشتین بود .

نتایج قابل توجه دیگر نشان دادن درهم تنیدگی کوانتومی , تله پورت کوانتومی و دروازه های منطقی کوانتومی است . دومی ها در نظریه اطلاعات کوانتومی بسیار مورد توجه هستند ، موضوعی که بخشی از اپتیک کوانتومی و تا حدودی از علم کامپیوتر نظری پدید آمده است . [ 1 ]

زمینه های مورد علاقه امروزی در بین محققان اپتیک کوانتومی عبارتند از تبدیل پارامتریک به پایین ، نوسان پارامتریک ، پالس های نوری حتی کوتاه تر (اتوثانیه)، استفاده از اپتیک کوانتومی برای اطلاعات کوانتومی ، دستکاری اتم های منفرد، چگالش های بوز-اینشتین ، کاربرد آنها و نحوه دستکاری. آنها (یک میدان فرعی که اغلب اپتیک اتمی نامیده می شود )، جاذب های کامل منسجم ، و خیلی چیزهای دیگر. موضوعاتی که تحت عنوان اپتیک کوانتومی طبقه‌بندی می‌شوند، به ویژه در مهندسی و نوآوری‌های تکنولوژیکی، اغلب تحت عنوان مدرن فوتونیک قرار می‌گیرند .

چندین جایزه نوبل برای کار در اپتیک کوانتومی اعطا شده است. به این موارد جوایزی اهدا شد:

در سال 2022، آلن اسپکت ، جان کلوزر و آنتون زایلینگر "برای آزمایش‌هایی با فوتون‌های درهم تنیده، اثبات نقض نابرابری‌های بل و علم اطلاعات کوانتومی پیشگام". [ 2 ]
در سال 2012، سرژ هاروش و دیوید جی واینلند "برای روش‌های آزمایشی پیشگامی که امکان اندازه‌گیری و دستکاری سیستم‌های کوانتومی منفرد را فراهم می‌کنند". [ 3 ]
در سال 2005، Theodor W. Hänsch ، Roy J. Glauber و John L. Hall [ 4 ]
در سال 2001، ولفگانگ کترل ، اریک آلین کورنل و کارل ویمن [ 5 ]
در سال 1997، استیون چو ، کلود کوهن تانوجی و ویلیام دانیل فیلیپس برای خنک کردن لیزر [ 6 ]

مفاهیم

[ ویرایش ]

بر اساس نظریه کوانتومی ، نور را نه تنها می توان به عنوان یک موج الکترومغناطیسی، بلکه به عنوان جریانی از ذرات به نام فوتون در نظر گرفت که با سرعت نور در خلاء c حرکت می کنند. این ذرات نباید به عنوان توپ های کلاسیک بیلیارد در نظر گرفته شوند ، بلکه به عنوان ذرات مکانیکی کوانتومی توصیف شده توسط یک تابع موج در یک منطقه محدود هستند.

هر ذره حامل یک کوانتوم انرژی برابر با hf است که h ثابت پلانک و f فرکانس نور است. انرژی موجود در یک فوتون دقیقاً مطابق با انتقال بین سطوح انرژی گسسته در یک اتم (یا سیستم دیگر) است که فوتون را ساطع کرده است. جذب مواد فوتون فرآیند معکوس است. توضیح انیشتین از گسیل خود به خودی نیز وجود گسیل تحریک شده را پیش بینی کرد ، اصلی که لیزر بر آن استوار است. با این حال، اختراع واقعی میزر ( و لیزر) سال ها بعد به روشی برای ایجاد وارونگی جمعیت وابسته بود .

استفاده از مکانیک آماری برای مفاهیم اپتیک کوانتومی اساسی است: نور بر حسب عملگرهای میدانی برای ایجاد و نابودی فوتون ها توصیف می شود - یعنی در زبان الکترودینامیک کوانتومی .

حالتی که اغلب در میدان نور با آن مواجه می‌شویم ، حالت همدوس است که توسط EC جورج سودارشان در سال 1960 معرفی شد. این حالت، که می‌تواند تقریباً برای توصیف خروجی یک لیزر تک فرکانس بالای آستانه لیزر استفاده شود، عدد فوتون پواسونی را نشان می‌دهد. آمار از طریق فعل و انفعالات غیرخطی خاص ، یک حالت منسجم را می توان با اعمال یک عملگر فشردن که می تواند آمار فوتون سوپر یا زیر پواسونی را نشان دهد، به یک حالت منسجم فشرده تبدیل شود . به چنین نوری نور فشرده می گویند . دیگر جنبه های کوانتومی مهم مربوط به همبستگی آمار فوتون بین پرتوهای مختلف است. برای مثال، تبدیل به پایین پارامتری خود به خودی می‌تواند به اصطلاح «پرتوهای دوقلو» ایجاد کند، جایی که (در حالت ایده‌آل) هر فوتون یک پرتو با یک فوتون در پرتو دیگر مرتبط است.

اتم‌ها به‌عنوان نوسان‌گرهای مکانیکی کوانتومی با طیف انرژی گسسته در نظر گرفته می‌شوند که طبق نظریه اینشتین ، انتقال بین حالت‌های ویژه انرژی توسط جذب یا گسیل نور انجام می‌شود.

برای ماده حالت جامد، از مدل های باند انرژی فیزیک حالت جامد استفاده می شود . این برای درک چگونگی تشخیص نور توسط دستگاه‌های حالت جامد، که معمولاً در آزمایش‌ها استفاده می‌شوند، مهم است.

الکترونیک کوانتومی

[ ویرایش ]

الکترونیک کوانتومی اصطلاحی است که عمدتاً بین دهه‌های 1950 و 1970 [ 7 ] برای نشان دادن حوزه‌ای از فیزیک که با تأثیرات مکانیک کوانتومی بر رفتار الکترون‌ها در ماده، همراه با برهم‌کنش‌های آن‌ها با فوتون‌ها سروکار دارد، استفاده می‌شود . امروزه به ندرت به عنوان یک رشته فرعی در نظر گرفته می شود و جذب رشته های دیگر شده است. فیزیک حالت جامد مرتباً مکانیک کوانتومی را در نظر می گیرد و معمولاً با الکترون ها سروکار دارد. کاربردهای خاص مکانیک کوانتومی در الکترونیک در فیزیک نیمه هادی ها مورد بررسی قرار گرفته است . این اصطلاح همچنین شامل فرآیندهای اساسی عملیات لیزر است که امروزه به عنوان موضوعی در اپتیک کوانتومی مورد مطالعه قرار می گیرد. استفاده از این اصطلاح با کارهای اولیه روی اثر هال کوانتومی و اتوماتای سلولی کوانتومی همپوشانی داشت .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

پورتال فیزیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_optics

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 13:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-کانال کوانتومی

تعریف ظرفیت کانال

[ ویرایش ]

مدل ریاضی کانال مورد استفاده در اینجا همانند مدل کلاسیک است .

اجازه دهید $\Psi :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}$ یک کانال در تصویر هایزنبرگ و $\Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}$ یک کانال ایده آل انتخاب شده باشید برای امکان‌پذیر ساختن مقایسه، باید ف را از طریق دستگاه‌های مناسب رمزگذاری و رمزگشایی کنیم، یعنی ترکیب را در نظر بگیریم.

${\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}$

که در آن E رمزگذار و D رمزگشا است. در این زمینه، E و D نقشه های CP واحد با دامنه های مناسب هستند. مقدار علاقه بهترین حالت است :

$\Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\| _{cb}$

با نادیده گرفتن تمام رمزگذارها و رمزگشاهای ممکن.

برای انتقال کلمات با طول n ، کانال ایده آل این است که n بار اعمال شود، بنابراین قدرت تانسور را در نظر می گیریم.

$\Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.$

را $\otimes$ عملیات n ورودی تحت عملیات را توصیف می کند $\Psi _{id}$ به طور مستقل و همتای مکانیکی کوانتومی الحاق است . به طور مشابه، m فراخوانی کانال مربوط به ${\hat {\Psi }}^{\otimes m}$ .

مقدار

$\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})$

بنابراین معیاری برای توانایی کانال برای انتقال وفاداری کلمات با طول n با فراخوانی m بار است.

این منجر به تعریف زیر می شود:

یک عدد واقعی غیر منفی r نرخ قابل دستیابی است $\Psi$ با توجه به $\Psi _{id}$ اگر

برای تمام سکانس ها $\{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N}$ که $m_{\alpha }\rightarrow \infty$ و $\lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r$ ، داریم

$\lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})= 0.$

یک سکانس $\{n_{\alpha }\}$ را می توان به عنوان نمایانگر پیامی متشکل از احتمالاً بی نهایت کلمه در نظر گرفت. شرط supremum حد در تعریف می گوید که، در حد، با فراخوانی کانال حداکثر r برابر طول یک کلمه، می توان به انتقال وفادار دست یافت. همچنین می توان گفت r تعداد حروفی است که در هر فراخوانی کانال می توانند بدون خطا ارسال شوند.

ظرفیت کانال از $\Psi$ با توجه به $\Psi _{id}$ ، نشان داده شده با $\;C(\Psi ,\Psi _{id})$ بالاترین نرخ های قابل دستیابی است.

از تعریف، کاملاً درست است که 0 یک نرخ قابل دستیابی برای هر کانال است.

نمونه های مهم

[ ویرایش ]

همانطور که قبلا گفته شد، برای سیستمی با جبر قابل مشاهده ${\mathcal {B}}$ ، کانال ایده آل $\Psi _{id}$ طبق تعریف نقشه هویت است $I_{\mathcal {B}}$ . بنابراین برای یک سیستم کوانتومی صرفاً n بعدی، کانال ایده آل نقشه هویت در فضای n × n ماتریس است. $\mathbb {C} ^{n\times n}$ . به عنوان یک سوء استفاده جزئی از نمادگذاری، این کانال کوانتومی ایده آل نیز با نشان داده می شود $\mathbb {C} ^{n\times n}$ . به طور مشابه، یک سیستم کلاسیک با جبر خروجی $\mathbb {C} ^{m}$ یک کانال ایده آل خواهد داشت که با همان نماد مشخص می شود. اکنون می توانیم برخی از ظرفیت های کانال اساسی را بیان کنیم.

ظرفیت کانال کانال ایده آل کلاسیک $\mathbb {C} ^{m}$ با توجه به یک کانال ایده آل کوانتومی $\mathbb {C} ^{n\times n}$ است

$C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.$

این معادل قضیه عدم انتقال از راه دور است: انتقال اطلاعات کوانتومی از طریق یک کانال کلاسیک غیرممکن است.

علاوه بر این، برابری های زیر برقرار است:

$C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\ بار n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.$

برای مثال، موارد بالا می‌گویند، یک کانال کوانتومی ایده‌آل در انتقال اطلاعات کلاسیک کارآمدتر از یک کانال کلاسیک ایده‌آل نیست. هنگامی که n = m , بهترین چیزی که می توان به دست آورد یک بیت در هر کیوبیت است .

در اینجا ذکر این نکته ضروری است که هر دو محدوده فوق در ظرفیت ها را می توان با کمک درهم تنیدگی شکست . طرح انتقال از راه دور به کمک درهم تنیدگی به فرد امکان می دهد اطلاعات کوانتومی را با استفاده از یک کانال کلاسیک منتقل کند. کدگذاری فوق متراکم به دو بیت در هر کیوبیت می رسد . این نتایج نشان دهنده نقش مهم درهم تنیدگی در ارتباطات کوانتومی است.

ظرفیت های کانال های کلاسیک و کوانتومی

[ ویرایش ]

با استفاده از نماد مشابه زیر بخش قبلی، ظرفیت کلاسیک یک کانال Ψ است

$C(\Psi ,\mathbb {C}^{2})،$

یعنی ظرفیت Ψ با توجه به کانال ایده آل در سیستم کلاسیک یک بیتی است $\mathbb {C} ^{2}$ .

به طور مشابه ظرفیت کوانتومی Ψ است

$C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2})،$

که در آن سیستم مرجع اکنون سیستم یک کیوبیتی است $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ .

وفاداری کانال

[ ویرایش ]

این بخش نیاز به گسترش دارد . می توانید با افزودن به آن کمک کنید . ( ژوئن 2008 )

معیار دیگری که نشان می‌دهد چگونه یک کانال کوانتومی اطلاعات را به خوبی حفظ می‌کند، وفاداری کانال نامیده می‌شود و از وفاداری حالات کوانتومی ناشی می‌شود .

کانال کوانتومی Bistochastic

[ ویرایش ]

یک کانال کوانتومی bistochastic یک کانال کوانتومی است $\Phi (\rho )$ که واحد است [ 2 ] یعنی $\Phi (I)=I$ .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_channel

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 13:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-کانال کوانتومی

نمونه ها

[ ویرایش ]

تکامل زمان

[ ویرایش ]

برای یک سیستم کاملاً کوانتومی، تکامل زمانی، در زمان معین t ، با داده می شود

$\rho \rightarrow U\rho \;U^{*}،$

که $U=e^{-iHt/\hbar }$ و H همیلتون و t زمان است . واضح است که این یک نقشه CPTP در تصویر شرودینگر می دهد و بنابراین یک کانال است. نقشه دوگانه در تصویر هایزنبرگ است

الف→U∗الفU. $A\right arrow U^{*}AU.$

محدودیت

[ ویرایش ]

یک سیستم کوانتومی مرکب با فضای حالت را در نظر بگیرید. $H_{A}\otime H_{B}.$ برای یک ایالت

$\rho \in H_{A}\otime H_{B},$

حالت کاهش یافته ρ در سیستم A ، ρA ، با گرفتن رد جزئی ρ نسبت به سیستم B به دست می آید :

$\rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .$

عملیات ردیابی جزئی یک نقشه CPTP است، بنابراین یک کانال کوانتومی در تصویر شرودینگر است. در تصویر هایزنبرگ نقشه دوگانه این کانال آمده است

$A\arrow A\otime I_{B},$

که در آن A قابل مشاهده از سیستم A است .

قابل مشاهده

[ ویرایش ]

یک قابل مشاهده یک مقدار عددی را مرتبط می کند $f_{i}\in \mathbb {C}$ به یک اثر مکانیکی کوانتومی $F_{i}$ . $F_{i}$ 'ها عملگرهای مثبتی هستند که بر روی فضای حالت مناسب و ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$ . (چنین مجموعه ای POVM نامیده می شود .) در تصویر هایزنبرگ، نقشه قابل مشاهده مربوطه Ψ $\Psi$ یک قابل مشاهده کلاسیک را ترسیم می کند

$f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\در C(X)$

به مکانیک کوانتومی

$\;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.$

به عبارت دیگر، فرد f را با POVM ادغام می کند تا قابل مشاهده مکانیکی کوانتومی را به دست آورد. به راحتی می توان آن را بررسی کرد $\Psi$ CP و یونیتال است.

نقشه شرودینگر مربوطهΨ∗ $\Psi ^{*}$ ماتریس های چگالی را به حالت های کلاسیک می برد:

$\Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}} ،$

که در آن محصول درونی محصول درونی هیلبرت – اشمیت است. علاوه بر این، با مشاهده حالت ها به عنوان تابع های نرمال شده ، و با استناد به قضیه نمایندگی Riesz ، می توانیم

$\Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.$

ابزار

[ ویرایش ]

نقشه قابل مشاهده، در تصویر شرودینگر، یک جبر خروجی صرفا کلاسیک دارد و بنابراین فقط آمار اندازه گیری را توصیف می کند. برای اینکه تغییر حالت را نیز در نظر بگیریم، ابزار کوانتومی را تعریف می کنیم . اجازه دهید $\{F_{1},\dots,F_{n}\}$ اثرات (POVM) مرتبط با یک قابل مشاهده باشد. در تصویر شرودینگر، ابزار یک نقشه استΦ $\Phi$ با ورودی کوانتومی خالص $\rho \in L(H)$ و با فضای خروجی $C(X)\otime L(H)$ :

$\Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n} \end{bmatrix}}.$

اجازه دهید

$f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\در C(X).$

نقشه دوگانه در تصویر هایزنبرگ است

$\Psi (f\otime A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A) \end{bmatrix}}$

که $\Psi _{i}$ به صورت زیر تعریف می شود: عامل $F_{i}=M_{i}^{2}$ (این کار همیشه قابل انجام است زیرا عناصر یک POVM مثبت هستند) سپس $\;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}$ . ما آن را می بینیم $\Psi$ CP و یونیتال است.

توجه کنید که $\Psi (f\times I)$ دقیقاً نقشه قابل مشاهده را ارائه می دهد. نقشه

${\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}$

تغییر حالت کلی را توصیف می کند.

کانال را اندازه گیری و آماده کنید

[ ویرایش ]

فرض کنید دو طرف A و B می‌خواهند به روش زیر ارتباط برقرار کنند: A اندازه‌گیری یک قابل مشاهده را انجام می‌دهد و نتیجه اندازه‌گیری را به صورت کلاسیک به B منتقل می‌کند . با توجه به پیامی که B دریافت می کند، سیستم (کوانتومی) خود را در یک حالت خاص آماده می کند. در تصویر شرودینگر قسمت اول کانالΦ به سادگی شامل A است که یک اندازه گیری می کند، یعنی نقشه قابل مشاهده است:

$\;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}} .$

اگر در صورت i- مین نتیجه اندازه گیری، B سیستم خود را در حالت R i آماده می کند ، قسمت دوم کانال.Φ $\Phi$ 2 حالت کلاسیک فوق را به ماتریس چگالی می برد

$\Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)= \sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.$

کل عملیات ترکیب است

$\Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.$

کانال های این فرم اندازه گیری و آماده سازی یا به شکل Holevo نامیده می شود .

در تصویر هایزنبرگ، نقشه دوگانه $\Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}$ تعریف شده است

$\;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.$

یک کانال اندازه گیری و آماده سازی نمی تواند نقشه هویت باشد. این دقیقاً بیانیه قضیه عدم تله‌پورتاسیون است که می‌گوید تله‌پورت کلاسیک (نباید با انتقال از راه دور به کمک درهم تنیدگی اشتباه گرفته شود ) غیرممکن است. به عبارت دیگر، یک حالت کوانتومی را نمی توان به طور قابل اعتماد اندازه گیری کرد.

در حالت دوگانه کانال ، یک کانال اندازه گیری و آماده می شود اگر و تنها در صورتی که حالت متناظر قابل تفکیک باشد . در واقع، تمام حالت هایی که از عمل جزئی یک کانال اندازه گیری و آماده سازی حاصل می شود، قابل تفکیک هستند و به همین دلیل کانال های اندازه گیری و آماده سازی به عنوان کانال های درهم تنیدگی نیز شناخته می شوند.

کانال ناب

[ ویرایش ]

مورد یک کانال کاملا کوانتومی را در نظر بگیریدΨ $\Psi$ در تصویر هایزنبرگ با این فرض که همه چیز محدود است،Ψ $\Psi$ یک نقشه CP واحد بین فضاهای ماتریس است

$\Psi :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.$

با قضیه چوی روی نقشه های کاملا مثبت ، $\Psi$ باید فرم بگیرد

$\Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}$

که در آن N ≤ nm . ماتریس های K i را عملگرهای Kraus می نامند $\Psi$ (پس از کارل کراوس فیزیکدان آلمانی که آنها را معرفی کرد). حداقل تعداد اپراتورهای Kraus را رتبه Kraus می نامندΨ $\Psi$ . کانالی با رتبه کراوس 1 خالص نامیده می شود . تکامل زمانی نمونه ای از یک کانال خالص است. این اصطلاح دوباره از دوگانگی کانال-حالت می آید. یک کانال خالص است اگر و تنها در صورتی که حالت دوگانه آن یک حالت خالص باشد.

تله پورت

[ ویرایش ]

در تله‌پورت کوانتومی ، یک فرستنده می‌خواهد یک حالت کوانتومی دلخواه یک ذره را به یک گیرنده احتمالاً دور منتقل کند. در نتیجه، فرآیند انتقال از راه دور یک کانال کوانتومی است. دستگاه برای خود فرآیند به یک کانال کوانتومی برای انتقال یک ذره از حالت درهم تنیده به گیرنده نیاز دارد. انتقال از راه دور با اندازه گیری مشترک ذره ارسال شده و ذره درهم تنیده باقی مانده اتفاق می افتد. این اندازه گیری منجر به اطلاعات کلاسیک می شود که باید برای تکمیل دوربری به گیرنده ارسال شود. نکته مهم این است که اطلاعات کلاسیک را می توان پس از پایان یافتن کانال کوانتومی ارسال کرد.

در محیط آزمایشی

[ ویرایش ]

از نظر تجربی، یک پیاده سازی ساده از یک کانال کوانتومی، انتقال فیبر نوری (یا فضای آزاد برای آن ماده) فوتون های منفرد است . تک فوتون ها می توانند تا 100 کیلومتر در فیبر نوری استاندارد قبل از تلفات غالب شوند. زمان رسیدن فوتون ( درهم‌تنیدگی سطل زمانی ) یا قطبش به عنوان مبنایی برای رمزگذاری اطلاعات کوانتومی برای اهدافی مانند رمزنگاری کوانتومی استفاده می‌شود . کانال قادر است نه تنها حالت های پایه (مثلاً $|0\rangle$ ، $|1\rangle$ ) بلکه برهم نهی آنها (مثلاً $|0\rangle +|1\rangle$ ). انسجام حالت در طول انتقال از طریق کانال حفظ می شود . این را با انتقال پالس های الکتریکی از طریق سیم (یک کانال کلاسیک) مقایسه کنید، جایی که فقط اطلاعات کلاسیک (مثلاً 0 و 1) می تواند ارسال شود.

ظرفیت کانال

[ ویرایش ]

cb-norm یک کانال

[ ویرایش ]

قبل از ارائه تعریف ظرفیت کانال، مفهوم اولیه هنجار مرز کامل یا cb-norm یک کانال باید مورد بحث قرار گیرد. وقتی ظرفیت یک کانال را در نظر می گیریم $\Phi$ ، باید آن را با یک "کانال ایده آل" مقایسه کنیم $\Lambda$ . به عنوان مثال، زمانی که جبرهای ورودی و خروجی یکسان هستند، می توانیم انتخاب کنیم $\Lambda$ تا نقشه هویت باشد چنین مقایسه ای به یک متریک بین کانال ها نیاز دارد. از آنجایی که یک کانال را می توان به عنوان یک عملگر خطی مشاهده کرد، استفاده از هنجار عملگر طبیعی وسوسه انگیز است . به عبارت دیگر، نزدیکی از $\Phi$ به کانال ایده آل $\Lambda$ را می توان با تعریف کرد

$\|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.$

با این حال، زمانی که تانسور می کنیم، هنجار عملگر ممکن است افزایش یابد $\Phi$ با نقشه هویت در برخی از آنسیلا.

برای اینکه هنجار اپراتور حتی یک نامزد نامطلوب تر شود، مقدار

$\|\Phi \otimes I_{n}\|$

ممکن است بدون محدودیت افزایش یابد $n\arrow \infty .$ راه حل این است که برای هر نقشه خطی معرفی شود $\Phi$ بین C*-جبرها، cb-norm

$\|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.$

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 13:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-کانال کوانتومی

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در نظریه اطلاعات کوانتومی ، کانال کوانتومی یک کانال ارتباطی است که می تواند اطلاعات کوانتومی و همچنین اطلاعات کلاسیک را منتقل کند. مثالی از اطلاعات کوانتومی دینامیک کلی یک کیوبیت است . نمونه ای از اطلاعات کلاسیک یک سند متنی است که از طریق اینترنت منتقل می شود .

از نظر اصطلاحی، کانال‌های کوانتومی نقشه‌های کاملاً مثبت (CP) هستند که ردیابی را بین فضاهای عملگرها حفظ می‌کنند. به عبارت دیگر، یک کانال کوانتومی فقط یک عملیات کوانتومی است که نه تنها به عنوان کاهش دینامیک یک سیستم، بلکه به عنوان یک خط لوله در نظر گرفته شده برای حمل اطلاعات کوانتومی در نظر گرفته می شود. (برخی از نویسندگان از اصطلاح "عملیات کوانتومی" برای گنجاندن نقشه های کاهش ردیابی استفاده می کنند در حالی که "کانال کوانتومی" را برای نقشه های کاملاً حفظ ردیابی رزرو می کنند [ 1 ] )

کانال کوانتومی بدون حافظه

[ ویرایش ]

فعلاً فرض می‌کنیم که تمام فضاهای حالت سیستم‌های در نظر گرفته شده، کلاسیک یا کوانتومی، بعد محدود هستند.

بدون حافظه در عنوان بخش همان معنایی را دارد که در نظریه اطلاعات کلاسیک وجود دارد : خروجی یک کانال در یک زمان معین فقط به ورودی مربوطه بستگی دارد و نه ورودی های قبلی.

عکس شرودینگر

[ ویرایش ]

کانال های کوانتومی را در نظر بگیرید که فقط اطلاعات کوانتومی را منتقل می کنند. این دقیقاً یک عملیات کوانتومی است که اکنون ویژگی‌های آن را خلاصه می‌کنیم.

اجازه دهید $H_{A}$ و $H_{B}$ فضاهای حالت ( فضاهای هیلبرت با ابعاد محدود ) انتهای ارسال و دریافت به ترتیب یک کانال باشد. $L(H_{A})$ خانواده عملگرها را نشان خواهد داد $H_{A}.$ در تصویر شرودینگر ، یک کانال کوانتومی صرفاً یک نقشه است $\Phi$ بین ماتریس های چگالی که بر روی آنها عمل می کنند $H_{A}$ و $H_{B}$ با خواص زیر:

همانطور که توسط فرضیه های مکانیک کوانتومی لازم است، $\Phi$ باید خطی باشد
از آنجایی که ماتریس های چگالی مثبت هستند، $\Phi$ باید مخروط عناصر مثبت را حفظ کند. به عبارت دیگر، $\Phi$ یک نقشه مثبت است
اگر پیوستی از بعد محدود دلخواه n به سیستم جفت شود، نقشه القایی $I_{n}\otimes \Phi,$ جایی که I n نقشه هویت روی ancilla است، باید مثبت باشد. بنابراین، لازم است که $I_{n}\otimes \Phi$ برای همه n مثبت است . چنین نقشه هایی کاملاً مثبت نامیده می شوند .
ماتریس های چگالی مشخص می شوند که دارای ردیابی 1 باشند، بنابراین $\Phi$ باید ردش را حفظ کند

صفت های کاملا مثبت و حفظ ردیابی که برای توصیف یک نقشه استفاده می شود، گاهی اوقات به اختصار CPTP گفته می شود . در ادبیات، گاه خاصیت چهارم ضعیف می شود به طوری که $\Phi$ فقط لازم است ردیابی افزایشی نباشد. در این مقاله فرض می شود که همه کانال ها CPTP هستند.

عکس هایزنبرگ

[ ویرایش ]

ماتریس‌های چگالی که بر روی H A عمل می‌کنند تنها زیرمجموعه‌ای از عملگرهای H A را تشکیل می‌دهند و همین را می‌توان برای سیستم B نیز گفت . با این حال، یک بار یک نقشه خطی $\Phi$ بین ماتریس های چگالی مشخص شده است، یک آرگومان خطی استاندارد، همراه با فرض بعد محدود، به ما اجازه می دهد تا بسط دهیم $\Phi$ منحصر به فرد برای فضای کامل اپراتورها. این منجر به نقشه الحاقی می شود $\Phi ^{*}$ ، که عمل را توصیف می کند $\Phi$ در تصویر هایزنبرگ :

فضاهای عملگرهای L ( H A ) و L ( H B ) فضاهای هیلبرت با محصول درونی هیلبرت-اشمیت هستند . بنابراین، مشاهده $\Phi :L(H_{A})\arrow L(H_{B})$ به عنوان یک نقشه بین فضاهای هیلبرت، الحاق آن را بدست می آوریم $\Phi$ * ارائه شده توسط

$\langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .$

در حالی کهΦ $\Phi$ حالت های A را به حالت های B می گیرد ، $\Phi ^{*}$ مشاهده پذیرها را در سیستم B به مشاهده پذیرها در A نگاشت می کند . این رابطه همان رابطه بین توصیف شرودینگر و هایزنبرگ از دینامیک است. آمار اندازه‌گیری بدون تغییر باقی می‌ماند، چه موارد مشاهده‌پذیر در حالی که حالت‌ها تحت عملیات هستند ثابت در نظر گرفته شوند یا برعکس.

می توان مستقیماً بررسی کرد که اگر $\Phi$ فرض بر این است که ردیابی حفظ شود، $\Phi ^{*}$ واحد است ، یعنی $\Phi ^{*}(I)=I$ . از نظر فیزیکی، این بدان معنی است که در تصویر هایزنبرگ، مشاهده ناچیز پس از اعمال کانال، بی اهمیت باقی می ماند.

اطلاعات کلاسیک

[ ویرایش ]

تا اینجا ما فقط کانال کوانتومی را تعریف کرده ایم که فقط اطلاعات کوانتومی را منتقل می کند. همانطور که در مقدمه گفته شد، ورودی و خروجی یک کانال می تواند شامل اطلاعات کلاسیک نیز باشد. برای توصیف این، فرمول ارائه شده تاکنون باید تا حدودی تعمیم داده شود. یک کانال کوانتومی صرف، در تصویر هایزنبرگ، یک نقشه خطی Ψ بین فضاهای عملگرها است:

$\Psi :L(H_{B})\arrow L(H_{A})$

که واحد و کاملا مثبت است ( CP ). فضاهای عملگر را می توان به صورت جبرهای C*-بعد محدود مشاهده کرد . بنابراین، می‌توان گفت یک کانال یک نقشه CP واحد بین جبرهای C* است:

$\Psi :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.$

سپس اطلاعات کلاسیک را می توان در این فرمول بندی گنجاند. قابل مشاهده‌های یک سیستم کلاسیک را می‌توان جبر C*-جابه‌جایی، یعنی فضای توابع پیوسته فرض کرد. $C(X)$ در برخی از مجموعه ها $X$ . فرض می کنیم $X$ محدود است بنابراین $C(X)$ را می توان با فضای اقلیدسی n بعدی شناسایی کرد $\mathbb {R} ^{n}$ با ضرب ورودی.

بنابراین، در تصویر هایزنبرگ، اگر اطلاعات کلاسیک بخشی از مثلاً ورودی باشد، تعریف می کنیم.ب ${\mathcal {B}}$ شامل مشاهده‌پذیرهای کلاسیک مربوطه باشد. یک مثال از این می تواند یک کانال باشد

$\Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\right arrow L(H_{A}).$

توجه کنید $L(H_{B})\otimes C(X)$ هنوز جبر C* است. یک عنصرا $a$ یک جبر C* ${\mathcal {A}}$ اگر مثبت نامیده می شود $a=x^{*}x$ برای برخی $x$ . مثبت بودن یک نقشه بر این اساس تعریف می شود. این توصیف عموماً پذیرفته نشده است. ابزار کوانتومی گاهی اوقات به عنوان چارچوب ریاضی تعمیم یافته برای انتقال اطلاعات کوانتومی و کلاسیک ارائه می شود. در بدیهیات مکانیک کوانتومی، اطلاعات کلاسیک در یک جبر Frobenius یا Frobenius دسته بندی می شود .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هفتم آذر ۱۴۰۳ ساعت 13:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

آنیون

مکانیک آماری

ترمودینامیک نظریه جنبشی
نشان می دهد آمار ذرات
نشان می دهد مجموعه های ترمودینامیکی
نشان می دهد مدل ها
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

در فیزیک ، anon نوعی شبه ذره است که تاکنون فقط در سیستم‌های دو بعدی مشاهده شده است . در سیستم های سه بعدی ، تنها دو نوع ذرات بنیادی دیده می شود: فرمیون ها و بوزون ها . Anyon ها دارای ویژگی های آماری واسط بین فرمیون ها و بوزون ها هستند. [ 1 ] به طور کلی، عملیات مبادله دو ذره یکسان ، اگرچه ممکن است باعث تغییر فاز جهانی شود، نمی تواند بر روی قابل مشاهده ها تأثیر بگذارد . Anyon ها به طور کلی به عنوان abelian یا non abelian طبقه بندی می شوند . آنیون های آبلی، که توسط دو آزمایش در سال 2020 شناسایی شدند، [ 2 ] نقش مهمی در اثر هال کوانتومی کسری دارند .

مقدمه

[ ویرایش ]

مکانیک آماری سیستم های بزرگ چند بدنه از قوانینی پیروی می کند که توسط آمار ماکسول-بولتزمن توضیح داده شده است . آمار کوانتومی به دلیل رفتارهای متفاوت دو نوع ذره مختلف به نام فرمیون ها و بوزون ها پیچیده تر است . اما در سیستم های دو بعدی، نوع سومی از ذرات وجود دارد که آنیون نامیده می شود.

در دنیای سه بعدی که ما در آن زندگی می کنیم، تنها دو نوع ذره وجود دارد: "فرمیون ها" که یکدیگر را دفع می کنند و "بوزون ها" که دوست دارند به هم بچسبند. فرمیون رایج، الکترون است که الکتریسیته را حمل می کند. و یک بوزون رایج، فوتون است که نور را حمل می کند. اما در دنیای دو بعدی، نوع دیگری از ذره به نام آنیون وجود دارد که مانند فرمیون یا بوزون رفتار نمی کند.
- "در نهایت، هر کسی ویژگی های کوانتومی عجیب و غریب خود را آشکار می کند"، بیانیه مطبوعاتی دانشگاه آلتو، آوریل 2020 [ 3 ]

در دنیای دوبعدی، دو آنیون یکسان با جابه‌جایی مکان‌ها به روش‌هایی که در فیزیک سه‌بعدی اتفاق نمی‌افتد، تابع موج خود را تغییر می‌دهند:

در دو بعد، تبادل ذرات یکسان دو بار معادل رها کردن آنها نیست. عملکرد موج ذرات پس از دو بار تعویض مکان ممکن است با حالت اولیه متفاوت باشد. ذرات با چنین آمار مبادله غیرعادی به عنوان آنیون شناخته می شوند. در مقابل، در سه بعد، تبادل ذرات دو بار نمی تواند تابع موج آنها را تغییر دهد، و تنها دو احتمال را برای ما باقی می گذارد: بوزون ها، که تابع موج آنها حتی پس از یک تبادل واحد ثابت می ماند، و فرمیون ها، که مبادله آنها فقط علامت تابع موج آنها را تغییر می دهد.
- کریل شتنگل، "خانه ای برای هر کسی؟"، فیزیک طبیعت [ 4 ]

این فرآیند مبادله ذرات یکسان، یا چرخش یک ذره به دور ذره دیگر، به عنوان " بافندگی " نامیده می شود. قیطان دو نفره یک رکورد تاریخی از رویداد ایجاد می کند، زیرا عملکردهای موج تغییر یافته آنها تعداد بافته ها را ثبت می کند. [ 5 ]

مایکروسافت در تحقیقات مربوط به هر کسی به عنوان مبنایی بالقوه برای محاسبات کوانتومی توپولوژیکی سرمایه گذاری کرده است . [ 6 ] آنها ممکن است در محاسبات کوانتومی به عنوان شکلی از حافظه مفید باشند. [ 6 ] هرکسی که دور همدیگر بچرخد ("بافندگی") اطلاعات را به روشی قوی تر از سایر فناوری های محاسباتی کوانتومی بالقوه رمزگذاری می کند . [ 7 ] با این حال، بیشتر سرمایه‌گذاری در محاسبات کوانتومی بر اساس روش‌هایی است که از هیچ‌کس استفاده نمی‌کنند. [ 7 ]

تاریخچه

[ ویرایش ]

مانند بسیاری از ایده های عمیق در فیزیک، زیربنای توپولوژیکی هر فرد را می توان به دیراک ردیابی کرد .
- Biedenharn و همکاران، The Ancestry of the Anyon [ 8 ]

در سال 1977، دو فیزیکدان نظری که در دانشگاه اسلو کار می‌کردند ، Jon Magne Leinaas و Jan Myrheim ، نشان دادند که طبقه‌بندی سنتی ذرات به‌عنوان فرمیون یا بوزون، اگر محدود به حرکت در دو بعد باشند، اعمال نمی‌شود . [ 9 ] ذرات فرضی که نه بوزون هستند و نه فرمیون، انتظار می رود طیف متنوعی از خواص غیرمنتظره قبلی را از خود نشان دهند. در سال 1982، فرانک ویلچک دو مقاله منتشر کرد که در آن آمار کسری شبه ذرات را در دو بعد بررسی می کرد و نام "anyons" را به آنها داد تا نشان دهد که تغییر فاز پس از جایگشت می تواند هر مقداری داشته باشد. [ 10 ]

دانیل تسوئی و هورست استورمر در سال 1982 اثر هال کوانتومی کسری را کشف کردند . [ 11 ] فرانک ویلچک، دن آرواس و رابرت شریفر این بیانیه را در سال 1985 با یک محاسبات صریح که پیش‌بینی می‌کرد ذرات موجود در این سیستم‌ها در واقع همه هستند، تأیید کردند. [ 12 ] [ 13 ]

آنیون آبلیان

[ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی و برخی از سیستم‌های تصادفی کلاسیک، ذرات غیرقابل تمایز این ویژگی را دارند که حالات ذره i را با ذره j مبادله کنند (به طور نمادین $\psi _{i}\leftrightarrow \psi _{j}{\text{ for }}i\neq j$ ) منجر به حالت چند بدنی متفاوتی نمی شود.

به عنوان مثال، در یک سیستم مکانیک کوانتومی، سیستمی با دو ذره غیر قابل تشخیص، با ذره 1 در حالت ⁠ $\psi _{1}$ و ذره 2 در حالت $\psi _{2}$ ، حالت دارد $\left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle$ به علامت دیراک . حال فرض کنید حالات دو ذره را با هم رد و بدل کنیم، آنگاه وضعیت سیستم به این صورت خواهد بود . $\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle$ . این دو حالت نباید یک تفاوت قابل اندازه گیری داشته باشند، بنابراین باید بردار یکسان باشند، تا ضریب فاز :

$\left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .$

اینجا ،θ $e^{i\theta }$ فاکتور فاز است. در فضای سه بعدی یا بیشتر ضریب فاز ⁠ است1 $1$ یا-1 $-1$ . بنابراین، ذرات بنیادی یا فرمیون هستند که فاکتور فاز آنها ⁠ است-1 $-1$ یا بوزون هایی که ضریب فاز آنها ⁠ است1 $1$ . این دو نوع رفتار آماری متفاوتی دارند . فرمیون ها از آمار فرمی دیراک پیروی می کنند ، در حالی که بوزون ها از آمار بوز-انیشتین پیروی می کنند . به طور خاص، فاکتور فاز این است که چرا فرمیون ها از اصل طرد پائولی پیروی می کنند : اگر دو فرمیون در یک حالت باشند، آنگاه داریم

$\left|\psi \psi \right\rangle =-\left|\psi \psi \right\rangle .$

بردار حالت باید صفر باشد، به این معنی که قابل نرمال سازی نیست، بنابراین غیر فیزیکی است.

با این حال، در سیستم‌های دو بعدی، شبه ذرات را می‌توان مشاهده کرد که به طور مداوم از آمارهای فرمی دیراک و بوز-انیشتین تبعیت می‌کنند، همانطور که برای اولین بار توسط Jon Magne Leinaas و Jan Myrheim از دانشگاه اسلو در سال 1977 نشان داده شد. [ 14 ] در مورد دو ذره را می توان به صورت بیان کرد

$\left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle ,$

که $e^{i\theta }$ می تواند مقادیر دیگری غیر از فقط باشد $-1$ یا $1$ . توجه به این نکته ضروری است که در این عبارت کوتاه، سوء استفاده جزئی از علامت گذاری وجود دارد ، زیرا در واقع این تابع موج می تواند چند ارزشی باشد و معمولاً چند مقدار است. این عبارت در واقع به این معنی است که وقتی ذره 1 و ذره 2 در فرآیندی مبادله می شوند که در آن هر یک از آنها یک نیمه چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت در مورد دیگری انجام می دهد، سیستم دو ذره به تابع موج کوانتومی اولیه خود باز می گردد مگر اینکه در واحد هنجار پیچیده ضرب شود. فاکتور فاز e iθ . برعکس، نیم چرخش در جهت عقربه های ساعت باعث ضرب تابع موج در e - iθ می شود . چنین نظریه ای بدیهی است که فقط در دو بعدی معنا پیدا می کند، جایی که جهت عقربه های ساعت و خلاف جهت عقربه های ساعت به وضوح مشخص شده اند.

در مورد θ = π ، آمار فرمی- دیراک ( e iπ = -1 ) و در مورد θ = 0 (یا θ = 2 π ) آمار بوز-اینشتین ( e 2 πi = 1 ) را بازیابی می‌کنیم. در این بین ما چیز متفاوتی داریم. فرانک ویلچک در سال 1982 رفتار چنین شبه ذرات را مورد بررسی قرار داد و اصطلاح "هر" را برای توصیف آنها ابداع کرد، زیرا آنها می توانند هر فازی را در هنگام تعویض ذرات داشته باشند. [ 15 ] بر خلاف بوزون ها و فرمیون ها، هریون ها دارای خاصیت عجیبی هستند که وقتی دو بار به طور یکسان تعویض می شوند (مثلاً اگر هر کدام 1 و هر 2 در خلاف جهت عقربه های ساعت با نیم دور به دور یکدیگر می چرخیدند تا مکان خود را تغییر دهند و سپس در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخیدند. با نیم چرخش در اطراف یکدیگر دوباره به مکان های اصلی خود بازگردند)، تابع موج لزوماً یکسان نیست، بلکه به طور کلی در مقداری پیچیده ضرب می شود. فاز ( در این مثال توسط e 2 iθ ).

همچنین ممکن است از θ = 2 πs با عدد کوانتومی اسپین ذره s استفاده کنیم ، که s برای بوزون‌ها عدد صحیح و برای فرمیون‌ها عدد نیم صحیح است ، به طوری که

$e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s}،$

یا

$|\psi _{1}\psi _{2}\rangle =(-1)^{2s}|\psi _{2}\psi _{1}\rangle .$

در یک لبه، هر یونهای اثر هال کوانتومی کسری محدود به حرکت در یک بعد فضایی هستند. مدل های ریاضی آنیون های یک بعدی پایه ای از روابط کموتاسیون نشان داده شده در بالا را ارائه می دهند.

در یک فضای موقعیت سه بعدی، عملگرهای آماری فرمیون و بوزون (به ترتیب -1 و 1) فقط نمایش های 1 بعدی از گروه جایگشت (S N ذرات غیر قابل تشخیص N ) هستند که روی فضای توابع موج عمل می کنند. به همین ترتیب، در فضای موقعیت دوبعدی، عملگرهای آماری هریونیک آبلی ( e iθ) فقط نمایش‌های 1 بعدی از گروه قیطان (BN از N ذرات غیر قابل تشخیص) هستند که روی فضای توابع موج عمل می‌کنند. آمارهای هریونیک غیرآبلین، نمایش‌های بعدی بالاتر از گروه قیطان هستند. آمارهای آنیونیک را نباید با آمارهای فراآماری اشتباه گرفت ، که آمار ذرات را توصیف می‌کند که توابع موج آن‌ها نمایش‌هایی با ابعاد بالاتر از گروه جایگشت هستند. [ 16 ] : 22

هم ارزی توپولوژیکی

[ ویرایش ]

این واقعیت که کلاس‌های هموتوپی مسیرها (یعنی مفهوم هم ارزی روی قیطان‌ها ) اشاره‌ای به بینش ظریف‌تری دارد. از انتگرال مسیر فاینمن نشات می گیرد که در آن همه مسیرها از نقطه اولیه تا پایانی در فضازمان با یک فاکتور فاز مناسب کمک می کنند . انتگرال مسیر فاینمن را می توان از گسترش انتشار دهنده با استفاده از روشی به نام برش زمانی، [ 17 ] که در آن زمان گسسته می شود، انگیزه داد.

در مسیرهای غیر همتوپی، نمی توان از هر نقطه در یک برش زمانی به نقطه دیگری در برش زمانی بعدی رسید. این به این معنی است که می‌توانیم کلاس هم‌ارزی مسیرها را دارای فاکتورهای وزنی متفاوتی در نظر بگیریم . [ 18 ]

بنابراین می توان دریافت که مفهوم توپولوژیکی هم ارزی از مطالعه انتگرال مسیر فاینمن ناشی می شود . [ 16 ] : 28

برای شفاف‌تر دیدن اینکه مفهوم هم‌ارزی «درست» است، به اثر آهارونوف-بوم مراجعه کنید .

آزمایش کنید

[ ویرایش ]

میکروگراف الکترونی روبشی تداخل سنج شبه ذره لافلین یک دستگاه نیمه هادی . چهار منطقه خاکستری روشن، دروازه های طلا و تیتانیم از الکترون های تخلیه نشده هستند . منحنی‌های آبی کانال‌های لبه‌ای از هم‌پتانسیل‌های این الکترون‌های تخلیه نشده هستند. منحنی‌های خاکستری تیره، ترانشه‌های حکاکی شده‌ای هستند که از الکترون‌ها تهی شده‌اند، نقاط آبی، اتصالات تونلی ، نقاط زرد، تماس‌های اهمی هستند . الکترون های دستگاه در یک صفحه 2 بعدی محدود می شوند. [ 19 ]

در سال 2020، دو تیم از دانشمندان (یکی در پاریس، دیگری در پوردو) شواهد تجربی جدیدی را برای وجود هریون اعلام کردند. هر دو آزمایش در شماره سالانه "وضعیت علم" مجله دیسکاور در سال 2020 ارائه شد . [ 2 ]

در آوریل 2020، محققان دانشگاه École normale supérieure (پاریس) و مرکز علوم نانو و فناوری نانو (C2N) نتایج یک "برخورد کننده ذرات" کوچک را برای هر کسی گزارش کردند. آن‌ها ویژگی‌هایی را شناسایی کردند که با پیش‌بینی‌های تئوری برای هر کسی مطابقت داشت. [ 1 ] [ 20 ] [ 21 ]

در ژوئیه 2020، دانشمندان دانشگاه پردو هر فردی را با استفاده از تنظیمات متفاوت شناسایی کردند. تداخل سنج این تیم الکترون ها را از طریق یک نانوساختار حکاکی شده پیچ و خم مانند ساخته شده از گالیم آرسنید و گالیم آرسنید آلومینیوم هدایت می کند . او گفت: «در مورد هر کسی ما، فاز تولید شده توسط قیطان 2π/3 بود. "این با آنچه قبلاً در طبیعت دیده شده متفاوت است." [ 22 ] [ 23 ]

از سال 2023، این حوزه تحقیقاتی فعال باقی مانده است. هوش مصنوعی کوانتومی گوگل با استفاده از یک پردازنده ابررسانا، در مقاله‌ای در arXiv توسط اندرسن و همکارانش، اولین بافته شدن ذرات غیرآبلی را گزارش کرد . در اکتبر 2022، [ 24 ] بعداً در Nature منتشر شد. [ 25 ] در مقاله‌ای در arXiv که در می 2023 منتشر شد، Quantinuum در مورد قیطاندن غیرآبلین با استفاده از یک پردازنده یون به دام افتاده گزارش داد. [ 26 ]

افراد غیر ابلی

[ ویرایش ]

مسئله حل نشده در فیزیک :

آیا نظم توپولوژیکی در دمای غیر صفر پایدار است ؟

(مسائل حل نشده بیشتر در فیزیک)

در سال 1988، Jürg Fröhlich نشان داد که تحت قضیه آمار اسپین معتبر است که مبادله ذرات یکنوید باشد (آمار غیرآبلی). [ 27 ] به طور خاص، این می تواند زمانی به دست آید که سیستم مقداری انحطاط را نشان دهد، به طوری که چندین حالت متمایز از سیستم دارای پیکربندی یکسانی از ذرات باشند. سپس تبادل ذرات می تواند نه تنها به تغییر فاز کمک کند، بلکه می تواند سیستم را با همان پیکربندی ذرات به حالتی متفاوت بفرستد. تبادل ذرات سپس با یک تبدیل خطی در این زیرفضای حالات منحط مطابقت دارد. وقتی انحطاط وجود ندارد، این زیرفضا یک بعدی است و بنابراین همه این تبدیل های خطی جابجا می شوند (زیرا آنها فقط ضرب در یک فاکتور فاز هستند). وقتی انحطاط وجود داشته باشد و این زیرفضا بعد بالاتری داشته باشد، این تبدیل های خطی نیازی به جابجایی ندارند (همانطور که ضرب ماتریس ندارد).

گرگوری مور ، نیکلاس رید و شیائو گانگ ون اشاره کردند که آمار غیر آبلی را می توان در اثر هال کوانتومی کسری (FQHE) درک کرد. [ 28 ] [ 29 ] در حالی که در ابتدا هرانیون های غیرآبلین عموماً یک کنجکاوی ریاضی در نظر گرفته می شدند، فیزیکدانان زمانی که الکسی کیتایف نشان داد که هرانیون های غیرآبلین را می توان برای ساخت یک کامپیوتر کوانتومی توپولوژیکی استفاده کرد، به سمت کشف خود حرکت کردند . از سال 2012، هیچ آزمایشی وجود هریون غیرآبلین را به طور قطعی نشان نداده است، اگرچه نکات امیدوارکننده‌ای در مطالعه وضعیت ν = 5/2 FQHE در حال ظهور است. [ نیاز به به روز رسانی ] [ 30 ] [ 31 ] شواهد تجربی از افراد غیرآبلین، اگرچه هنوز قطعی نیست و در حال حاضر مورد بحث قرار گرفته است، [ 32 ] در اکتبر 2013 ارائه شد . نظم توپولوژیکی abelian و anyons روی یک پردازنده یونی به دام افتاده [ 26 ] و نمایش بافته شدن غیر آبلی رئوس نمودار در یک پردازنده ابررسانا [ 25 ]

تلفیقی از هر کسی

[ ویرایش ]

تقریباً به همان شکلی که دو فرمیون (مثلاً هر دو اسپین 1/2) را می توان با هم به عنوان یک بوزون مرکب (با اسپین کل در برهم نهی 0 و 1) مشاهده کرد ، دو یا چند آنیون با هم یک هریون مرکب را تشکیل می دهند. احتمالاً یک بوزون یا فرمیون). گفته می شود که کامپوزیت anyon حاصل آمیختگی اجزای آن است.

اگرن $N$ هریک از افراد آبلیان یکسان با آمارهای فردیα $\alpha$ ( یعنی سیستم یک فاز را انتخاب می کندهمنα $e^{i\alpha }$ هنگامی که دو فرد منفرد تحت مبادله آدیاباتیک در خلاف جهت عقربه‌های ساعت قرار می‌گیرند) همه با هم ترکیب می‌شوند، با هم آماری دارند .ن2α $N^{2}\alpha$ . این را می‌توان با توجه به این نکته مشاهده کرد که با چرخش خلاف جهت عقربه‌های ساعت دو آنیون مرکب در اطراف یکدیگر، ⁠ن2 $N^{2}$ جفت آنیون انفرادی (یکی در هر انیون مرکب اول، یکی در هرییون مرکب دوم) که هر کدام یک فاز دارند .همنα $e^{i\alpha }$ . یک تحلیل مشابه برای ادغام آنیون های آبلی غیر یکسان اعمال می شود. آمار هر کامپوزیت به طور منحصر به فردی توسط آمار اجزای آن تعیین می شود.

افراد غیر آبلی روابط همجوشی پیچیده تری دارند. به عنوان یک قاعده، در یک سیستم با هریون های غیرآبلین، یک ذره مرکب وجود دارد که برچسب آماری آن به طور منحصر به فرد توسط برچسب های آماری اجزای آن تعیین نمی شود، بلکه به عنوان یک برهم نهی کوانتومی وجود دارد (این کاملا مشابه دو فرمیون شناخته شده است. برای داشتن اسپین 1/2 با هم در برهم نهی کوانتومی اسپین کل 1 و 0 هستند). اگر آمار کلی از همجوشی همه آنیون ها مشخص باشد، هنوز ابهام در ترکیب برخی از زیر مجموعه های آن آنیون ها وجود دارد و هر احتمال یک حالت کوانتومی منحصر به فرد است. این حالت‌های چندگانه فضای هیلبرت را فراهم می‌کنند که محاسبات کوانتومی را می‌توان روی آن انجام داد. [ 34 ]

مبنای توپولوژیکی

[ ویرایش ]

چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت

چرخش در جهت عقربه های ساعت

تبادل دو ذره در فضازمان 2+1 با چرخش. چرخش‌ها نامتعادل هستند، زیرا نمی‌توان یکی را به دیگری تغییر شکل داد (بدون خروج خطوط جهان از هواپیما، در فضای دو بعدی غیرممکن است).

در بیش از دو بعد، قضیه آمار اسپین بیان می‌کند که هر حالت چندذره‌ای از ذرات غیرقابل تشخیص باید از آمار بوز-انیشتین یا فرمی دیراک تبعیت کند. برای هر d > 2، گروه های Lie SO( d ,1) (که گروه لورنتس را تعمیم می دهد ) و پوانکاره( d ,1) Z 2 را به عنوان اولین گروه هموتوپی خود دارند . از آنجا که گروه حلقوی Z 2 از دو عنصر تشکیل شده است، تنها دو احتمال باقی می ماند. (جزئیات بیشتر از این درگیر هستند، اما این نکته بسیار مهم است.)

وضعیت در دو بعد تغییر می کند. در اینجا اولین گروه هموتوپی SO(2،1)، و همچنین پوانکاره (2،1)، Z (دوره ای بی نهایت) است. این بدان معنی است که Spin(2,1) پوشش جهانی نیست : به سادگی متصل نیست . به طور جزئی، نمایش‌هایی از گروه متعامد خاص SO(2،1) وجود دارد که از نمایش‌های خطی SO(2،1) یا پوشش دوگانه آن ، گروه اسپین (2،1) ناشی نمی‌شوند . Anyon ها به طور مساوی نمایش های مکمل قطبش اسپین توسط یک ذره باردار هستند.

این مفهوم در مورد سیستم های غیر نسبیتی نیز صدق می کند. بخش مربوطه در اینجا این است که گروه چرخش فضایی SO(2) دارای یک گروه هموتوپی اول بی نهایت است.

این واقعیت همچنین مربوط به گروه های قیطانی است که در نظریه گره شناخته شده اند . این رابطه زمانی قابل درک است که این واقعیت را در نظر بگیریم که در دو بعد، گروه جایگشت دو ذره دیگر گروه متقارن S 2 (با دو عنصر) نیست ، بلکه گروه قیطان B2 ( با تعداد نامتناهی عنصر) است. نکته اساسی این است که یک قیطان می‌تواند به دور دیگری بپیچد، عملیاتی که می‌تواند به دفعات بی‌نهایت و در جهت عقربه‌های ساعت و همچنین در خلاف جهت عقربه‌های ساعت انجام شود.

یک رویکرد بسیار متفاوت برای مسئله پایداری-ناپیوستگی در محاسبات کوانتومی ، ایجاد یک کامپیوتر کوانتومی توپولوژیکی با آنیون‌ها، شبه ذرات مورد استفاده به عنوان رشته‌ها و تکیه بر نظریه braid برای تشکیل گیت‌های منطقی کوانتومی پایدار است . [ 35 ] [ 36 ]

تعمیم به ابعاد بالاتر

[ ویرایش ]

برانگیختگی های تکه تکه شده به عنوان ذرات نقطه ای می توانند بوزون، فرمیون یا هریون در ابعاد فضا-زمان 2+1 باشند. مشخص است که ذرات نقطه ای فقط می توانند بوزون یا فرمیون در ابعاد فضازمان 3+1 و بالاتر باشند. با این حال، برانگیختگی‌های حلقه‌ای (یا رشته‌ای) یا غشایی، اشیاء گسترده‌ای هستند که می‌توانند آماری جزئی داشته باشند.

تحقیقات کنونی نشان می‌دهد که برانگیختگی‌های حلقه‌ای و ریسمانی برای نظم‌های توپولوژیکی در فضازمان بعدی ۳+۱ وجود دارد، و آمارهای چند حلقه‌ای/رشته‌بافندگی آن‌ها نشانه‌های کلیدی برای شناسایی نظم‌های توپولوژیکی ۳+۱ بعدی است. [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] آمارهای چند حلقه/رشته بافته نظم های توپولوژیکی 3+1 بعدی را می توان با تغییر ناپذیر پیوند نظریه های میدان کوانتومی توپولوژیکی خاص در 4 بعد فضا-زمان بدست آورد. [ 39 ] به روش محاوره‌ای توضیح داده شده، اجسام گسترش‌یافته (حلقه، رشته، یا غشاء و غیره) می‌توانند به طور بالقوه هر یونیک در ابعاد فضا-زمان 3+1 و بالاتر در سیستم‌های درهم‌تنیده دوربرد باشند .

https://en.wikipedia.org/wiki/Anyon

+ نوشته شده در شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ ساعت 9:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-جبر فضا-زمان

معادله دیراک

[ ویرایش ]

STA امکان توصیف ذره دیراک را در قالب یک نظریه واقعی به جای نظریه ماتریس فراهم می کند. توصیف نظریه ماتریس ذره دیراک به شرح زیر است: [ 29 ]

${\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ،$

کجا ${\hat {\gamma }}$ ماتریس های دیراک هستند ومن ${\textstyle i}$ واحد خیالی بدون تفسیر هندسی است.

با استفاده از همان رویکرد معادله پائولی، رویکرد STA اسپینور بالایی ماتریس را تبدیل می‌کند ${\textstyle |\psi _{U}\rangle }$ و اسپینور پایین ماتریس ${\textstyle |\psi _{L}\rangle }$ از ماتریس دیراک بیسپینور ${\textstyle |\psi \rangle }$ به نمایش های اسپینور جبر هندسی مربوطه ${\textstyle \psi _{U}}$ و ${\textstyle \psi _{L}}$ . سپس اینها ترکیب می شوند تا جبر هندسی کامل دیراک بیسپینور را نشان دهند ${\textstyle \psi }$ . [ 30 ] : 279

$|\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{ U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}}$

پس از اشتقاق هستن، ذره دیراک با این معادله توصیف می‌شود: [ 29 ] [ 31 ] : 283

معادله دیراک در STA:

$\nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}$

اینجا، $\psi$ میدان اسپینور است، $\gamma _{0}$ و $I\sigma _{3}$ عناصر جبر هندسی هستند، $\mathbf {A}$ چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است و $\nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ مشتق بردار فضازمان است.

دیراک اسپینور

[ ویرایش ]

یک اسپینور نسبیتی دیراک ${\textstyle \psi }$ را می توان به صورت زیر بیان کرد: [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] : 280

$\psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}$

جایی که بر اساس اشتقاق دیوید هستنس ، $\psi =\psi (x)$ یک تابع با مقدار چند برداری حتی در فضازمان است $R=R(x)$ یک اسپینور یا «روتور» تک مدولار است، [ 35 ] و $\rho =\rho (x)$ و $\beta =\beta (x)$ توابع با ارزش اسکالر هستند. [ 32 ] در این ساخت، اجزای $\psi$ مستقیماً با اجزای یک اسپینور دیراک مطابقت دارد که هر دو دارای 8 درجه آزادی اسکالر هستند.

این معادله به عنوان اتصال اسپین با شبه مقیاس خیالی تفسیر می شود. [ 36 ] : 104-121

روتور، $R$ ، لورنتس چارچوب بردارها را تبدیل می کند $\gamma _{\mu }$ به یک قاب دیگر از بردارها $e_{\mu }$ توسط عملیات $e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }$ ; [ 37 ] : 15 توجه داشته باشید که ${\textstyle R^{\dagger }}$ تبدیل معکوس را نشان می دهد .

این برای ارائه چارچوبی برای مشاهده پذیرهای با ارزش برداری و اسکالر به صورت محلی و پشتیبانی از تفسیر Zitterbewegung از مکانیک کوانتومی که در ابتدا توسط شرودینگر پیشنهاد شده بود، گسترش یافته است . [ 38 ] [ 1 ] : vi

هستنس بیان خود را برای $\psi$ با بیان فاینمن برای آن در فرمول انتگرال مسیر:

$\psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },$

که $\Phi _{\lambda }$ عمل کلاسیک در امتداد است $\lambda$ -مسیر [ 32 ]

با استفاده از اسپینورها، چگالی جریان از میدان را می توان با [ 39 ] بیان کرد : 8

$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$

تقارن ها

[ ویرایش ]

تقارن فاز جهانی یک تغییر فاز جهانی ثابت تابع موج است که معادله دیراک را بدون تغییر می‌گذارد. [ 40 ] : 41-48 تقارن فاز محلی یک تغییر فاز از نظر مکانی متغیر است که معادله دیراک را بدون تغییر می‌گذارد، اگر همراه با تبدیل گیج چهار پتانسیل الکترومغناطیسی باشد که توسط این جایگزین‌های ترکیبی بیان می‌شود. [ 41 ] : 269، 283

$\psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)$

در این معادلات، تبدیل فاز محلی یک تغییر فاز استα(x) $\alpha (x)$ در مکان فضا-زمانx ${\textstyle x}$ با شبه بردار ${\textstyle I}$ و ${\textstyle \sigma _{3}}$ از زیر جبر فضازمان درجه بندی شده زوج که برای تابع موج اعمال می شودψ ${\textstyle \psi }$ ; تبدیل گیج تفریق شیب تغییر فاز است ${\textstyle \nabla \alpha (x)}$ از چهار پتانسیل الکترومغناطیسی ${\textstyle A}$ با بار الکتریکی ذرات ${\textstyle e}$ . [ 41 ] : 269، 283

محققان STA و رویکردهای جبر کلیفورد مرتبط را برای نظریه‌های گیج، برهمکنش ضعیف الکتریکی ، نظریه یانگ میلز و مدل استاندارد به کار برده‌اند . [ 42 ] : 1345-1347

تقارن های گسسته برابری هستند ${\textstyle ({\hat {P}})}$ ، صرف بار ${\textstyle ({\hat {C}})}$ و زمان معکوس ${\textstyle ({\hat {T}})}$ برای تابع موج اعمال می شود ${\textstyle \psi }$ . این اثرات عبارتند از: [ 43 ] : 283

${\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _ {0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}$

نسبیت عام

[ ویرایش ]

نسبیت عام

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: تئوری سنج گرانش

محققان از STA و رویکردهای جبر کلیفورد مرتبط با نسبیت، گرانش و کیهان شناسی استفاده کرده اند. [ 42 ] : 1343 گرانش تئوری سنج ( GTG) از STA برای توصیف یک انحنای القایی در فضای مینکوفسکی استفاده می کند در حالی که یک تقارن سنج را تحت "نقشه نگاشت مجدد صاف دلخواه رویدادها بر روی فضازمان" می پذیرد که منجر به این معادله ژئودزیکی می شود. [ 44 ] [ 45 ] [ 4 ] [ 13 ]

${\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R$

و مشتق کوواریانت

$D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,$

که $\omega$ ارتباط مرتبط با پتانسیل گرانشی است و $\Omega$ یک برهمکنش خارجی مانند میدان الکترومغناطیسی است.

این نظریه نویدهایی را برای درمان سیاهچاله ها نشان می دهد، زیرا شکل آن از راه حل شوارتزشیلد در تکینگی ها تجزیه نمی شود. اکثر نتایج نسبیت عام به صورت ریاضی بازتولید شده اند و فرمول نسبیتی الکترودینامیک کلاسیک به مکانیک کوانتومی و معادله دیراک بسط داده شده است .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

+ نوشته شده در شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ ساعت 9:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-جبر فضا-زمان

تبدیلات

[ ویرایش ]

برای چرخاندن یک بردار $v$ در جبر هندسی از فرمول زیر استفاده می شود: [ 15 ] : 50-51

$v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}$ ،

که $\theta$ زاویه چرخش است، و $\بتا$ دوبردار نرمال شده است که صفحه چرخش را نشان می دهد به طوری که $\beta {\tilde {\beta }}=1$ .

برای یک بردار فضایی داده شده، $\بتا ^{2}=-1$ ، بنابراین فرمول اویلر اعمال می شود، [ 2 ] : 401 که چرخش را می دهد

$v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right) \right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta {2}}\right)\right)$ .

برای یک بردار زمانی معین، $\بتا ^{2}=1$ بنابراین یک "چرخش در طول زمان" از معادله مشابه برای اعداد مختلط تقسیم می شود :

$v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right) \right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta {2}}\right)\right)$ .

با تفسیر این معادله، این چرخش ها در امتداد جهت زمان صرفاً چرخش های هذلولی هستند . اینها معادل افزایش لورنتس در نسبیت خاص هستند.

هر دوی این تبدیل ها به تبدیل های لورنتس معروف هستند و مجموعه ترکیبی همه آنها گروه لورنتس است . برای تبدیل یک شی در STA از هر مبنایی (مرتبط با یک چارچوب مرجع) به دیگری، یک یا چند مورد از این تبدیل ها باید استفاده شود. [ 1 ] : 47-62

هر عنصر فضا-زمان ${\textstyle A}$ با ضرب با شبه مقیاس تبدیل می شود تا عنصر دوگانه آن را تشکیل دهد ${\textstyle AI}$ . [ 12 ] : 114 چرخش دوگانه عنصر فضا-زمان را تبدیل می کند ${\textstyle A}$ به عنصرا ${\textstyle A^{\prime }}$ از طریق زاویه ${\textstyle \phi }$ با شبه اسکالر ${\textstyle I}$ است: [ 1 ] : 13

$A^{\prime }=e^{I\phi }A$

چرخش دوگانه فقط برای جبر کلیفورد غیر مفرد اتفاق می‌افتد ، غیر منفرد به معنای جبر کلیفورد حاوی شبه مقیاس‌ها با مربع غیرصفر. [ 1 ] : 13

گرید انولوشن (درون چرخشی اصلی، وارونگی) هر بردار r را تبدیل می کند ${\textstyle A_{r}}$ به r∗ ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$ : [ 1 ] : 13 [ 16 ]

$A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}$

تبدیل برگشتی با تجزیه هر عنصر فضا-زمان به عنوان مجموع حاصل از بردارها و سپس معکوس کردن ترتیب هر ضرب اتفاق می افتد. [ 1 ] : 13 [ 17 ] برای چند برداری ${\textstyle A}$ از حاصل ضرب بردارها، ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ بازگشت است ${\textstyle A^{\dagger }}$ :

$A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2 }a_{1}$

ترکیب کلیفورد از یک عنصر فضا-زمان ${\textstyle A}$ ترکیبی از تبدیل‌های برگشتی و چرخشی درجه، که به عنوان نشان داده شده است ${\textstyle {\tilde {A}}}$ : [ 18 ]

${\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }$

دگرگونی درجه، برگشت و تبدیل‌های صرف کلیفورد انحلال هستند . [ 19 ]

الکترومغناطیس کلاسیک

[ ویرایش ]

دوبردار فارادی

[ ویرایش ]

در STA، میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی را می توان در یک میدان دو بردار واحد، که به نام دو بردار فارادی، معادل تانسور فارادی شناخته می شود، متحد کرد . [ 2 ] : 230 به این صورت تعریف می شود:

$F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},$

که $E$ و $B$ میدان های الکتریکی و مغناطیسی معمولی هستند و $I$ شبه STA است. [ 2 ] : 230 متناوباً، در حال گسترش $F$ از نظر اجزاء $F$ تعریف شده است که

$F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{ 2}\گاما _{2}\گاما _{0}+E^{3}\گاما _{3}\گاما _{0}-cB^{1}\گاما _{2}\گاما _{3}-cB^{2}\گاما _{3}\گاما _{1}-cB^{3}\گاما _{1}\گاما _{2}.$

جداE→ ${\vec {E}}$ و ${\vec {B}}$ میدانها از آن بازیابی می شوند $F$ با استفاده از

${\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{تراز شده}}$

این $\gamma _{0}$ اصطلاح یک چارچوب مرجع معین را نشان می‌دهد، و به این ترتیب، استفاده از چارچوب‌های مرجع مختلف، منجر به میدان‌های نسبی ظاهراً متفاوتی می‌شود، دقیقاً مانند نسبیت خاص استاندارد. [ 2 ] : 233

از آنجایی که دوبردار فارادی یک نامتغیر نسبیتی است، اطلاعات بیشتری را می‌توان در مربع آن یافت، که دو کمیت جدید لورنتز نامتغیر، یکی اسکالر و یک شبه مقیاس را به دست می‌دهد:

$F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.$

بخش اسکالر مربوط به چگالی لاگرانژ برای میدان الکترومغناطیسی است، و بخش شبه اسکالر یک تغییر ناپذیر لورنتس است که کمتر دیده می شود. [ 2 ] : 234

معادله ماکسول

[ ویرایش ]

STA معادلات ماکسول را به شکل ساده‌تر به عنوان یک معادله فرموله می‌کند، [ 20 ] : 230 به جای 4 معادله حساب برداری . [ 21 ] : 2-3 مشابه دو بردار میدان فوق، چگالی بار الکتریکی و چگالی جریان را می توان در یک بردار فضازمان واحد، معادل یک بردار چهار بردار ، متحد کرد . به این ترتیب، جریان فضا-زمان $J$ توسط [ 22 ] : 26 داده شده است

$J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i}،$

جایی که اجزاء $J^{i}$ اجزای چگالی جریان سه بعدی کلاسیک هستند. هنگامی که این مقادیر را به این ترتیب ترکیب می کنیم، به ویژه مشخص می شود که چگالی بار کلاسیک چیزی نیست جز جریانی که در جهت زمانی داده شده توسط $\gamma _{0}$ .

با ترکیب میدان الکترومغناطیسی و چگالی جریان همراه با گرادیان فضازمان همانطور که قبلاً تعریف شد، می‌توانیم هر چهار معادله ماکسول را در یک معادله در STA ترکیب کنیم. [ 20 ] : 230

معادله ماکسول:

$\nabla F=\mu _{0}cJ$

این حقیقیت که این کمیت ها همه اشیاء کوواریانت در STA هستند به طور خودکار کوواریانس لورنتز معادله را تضمین می کند، که نشان دادن آن بسیار ساده تر از زمانی است که به چهار معادله جداگانه جدا شود.

در این شکل، اثبات برخی ویژگی‌های معادلات ماکسول، مانند بقای بار ، بسیار ساده‌تر است . با استفاده از این حقیقیت که برای هر میدان دوبردار، واگرایی گرادیان فضازمان آن است $0$ ، می توان دستکاری زیر را انجام داد: [ 23 ] : 231

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J .\end{تراز شده}}$

این معادله به این معنی است که واگرایی چگالی جریان صفر است، یعنی بار کل و چگالی جریان در طول زمان حفظ می شود.

با استفاده از میدان الکترومغناطیسی، شکل نیروی لورنتس روی ذره باردار نیز می‌تواند به طور قابل توجهی با استفاده از STA ساده شود. [ 24 ] : 156

نیروی لورنتس بر یک ذره باردار:

${\mathcal {F}}=qF\cdot v$

فرمولاسیون پتانسیل

[ ویرایش ]

در فرمول حساب بردار استاندارد از دو تابع پتانسیل استفاده می شود: پتانسیل اسکالر الکتریکی و پتانسیل بردار مغناطیسی . با استفاده از ابزارهای STA، این دو شیء در یک میدان برداری واحد ترکیب می شوند $A$ ، مشابه چهار پتانسیل الکترومغناطیسی در حساب تانسور است. در STA به این صورت تعریف می شود

$A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}$

که $\phi$ پتانسیل اسکالر است و $A^{k}$ اجزای پتانسیل مغناطیسی هستند. همانطور که تعریف شد، این میدان دارای واحدهای SI وبر در هر متر است (V⋅s⋅m -1 ).

میدان الکترومغناطیسی را می توان بر حسب این میدان پتانسیل با استفاده از

${\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.$

با این حال، این تعریف منحصر به فرد نیست. برای هر تابع اسکالر دو برابر مشتق پذیر $\Lambda ({\vec {x}})$ ، پتانسیل داده شده توسط

$A'=A+\nabla \Lambda$

نیز همان را خواهد داد $F$ به عنوان اصلی، با توجه به این حقیقیت است که

$\nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.$

این پدیده آزادی سنج نامیده می شود . فرآیند انتخاب یک تابع مناسب $\Lambda$ برای ساده‌ترین مشکل معین به عنوان ثابت کردن سنج شناخته می‌شود . با این حال، در الکترودینامیک نسبیتی، شرط لورنز اغلب تحمیل می شود، جایی که $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$ . [ 2 ] : 231

برای فرمول بندی مجدد معادله STA ماکسول بر حسب پتانسیل $A$ ، $F$ ابتدا با تعریف فوق جایگزین می شود.

${\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \ wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{تراز شده}}$

با جایگزینی این نتیجه، به فرمول پتانسیل الکترومغناطیس در STA می رسیم: [ 2 ] : 232

معادله پتانسیل:

$\nabla ^{2}A=\mu _{0}J$

فرمول لاگرانژی

[ ویرایش ]

مشابه فرمالیسم حساب تانسور، فرمول پتانسیل در STA به طور طبیعی به چگالی لاگرانژی مناسب منجر می شود . [ 2 ] : 453

چگالی لاگرانژی الکترومغناطیسی:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A$

معادلات اویلر-لاگرانژ چند بردار برای میدان را می توان استخراج کرد، و با توجه به سختی ریاضی گرفتن مشتق جزئی نسبت به چیزی که اسکالر نیست، معادلات مربوطه تبدیل می شوند: [ 25 ] : 440

$\nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\ جزئی A}}=0.$

برای شروع دوباره به دست آوردن معادله پتانسیل از این فرم، ساده ترین کار در گیج لورنز است، با تنظیم [ 2 ] : 232

$\nabla \cdot A=0.$

این فرآیند را می توان بدون توجه به گیج انتخابی انجام داد، اما این روند نتیجه را به طور قابل توجهی واضح تر می کند. با توجه به ساختار ضرب هندسی ، استفاده از این شرط منجر به این می شود $\nabla \wedge A=\nabla A$ .

پس از تعویض در $F=c\nabla A$ ، همان معادله حرکتی که در بالا برای میدان پتانسیل وجود دارد $A$ به راحتی بدست می آید.

معادله پائولی

[ ویرایش ]

STA اجازه می دهد تا ذره پائولی را در قالب یک نظریه حقیقی به جای نظریه ماتریس توصیف کند. توصیف نظریه ماتریس ذره پائولی به شرح زیر است: [ 26 ]

$i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,$

که $\Psi$ اسپینور است ، $i$ واحد خیالی بدون تفسیر هندسی است، ${\hat {\sigma }}_{i}$ ماتریس های پائولی هستند (با نماد "کلاه" نشان دهنده آن است ${\hat {\sigma }}$ یک عملگر ماتریسی است و نه عنصری در جبر هندسی)، و $H_{S}$ شرودینگر همیلتونی است.

رویکرد STA نمایش اسپینور ماتریس را تبدیل می کند ${\textstyle |\psi \rangle }$ به نمایندگی STA ${\textstyle \psi }$ با استفاده از عناصر،σ1،σ2، ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$ ، از زیر جبر فضازمان با درجه زوج و شبه مقیاس $I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$ : [ 2 ] : 37 [ 27 ] : 270، 271

$|\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a ^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}}$

ذره پائولی با معادله حقیقی پائولی- شرودینگر توصیف می شود: [ 26 ]

$\partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B } \psi \sigma _{3}،$

الان که $\psi$ یک چند بردار زوج جبر هندسی است و شرودینگر همیلتونی $H_{S}$ . هستند از این نظریه به عنوان نظریه حقیقی پائولی- شرودینگر یاد می کند تا تأکید کند که اگر اصطلاحی که شامل میدان مغناطیسی است حذف شود، این نظریه به نظریه شرودینگر کاهش می یابد. [ 26 ] : 30 بردار ${\textstyle \sigma _{3}}$ یک بردار ثابت انتخابی دلخواه است. یک چرخش ثابت می تواند هر بردار ثابت انتخابی جایگزینی را ایجاد کند" ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$ . [ 28 ] : 30

+ نوشته شده در شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ ساعت 9:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-جبر فضا-زمان

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در فیزیک ریاضی ، جبر فضازمان ( STA ) کاربرد جبر کلیفورد Cl 1,3 ( R ) یا معادل آن جبر هندسی G( M 4 ) در فیزیک است. جبر فضا-زمان "فرمول بندی یکپارچه و بدون مختصات برای تمام فیزیک نسبیتی ، از جمله معادله دیراک ، معادله ماکسول و نسبیت عام " ارائه می دهد و "شکاف ریاضی بین فیزیک کلاسیک ، کوانتومی و نسبیتی را کاهش می دهد ." [ 1 ] : ix

جبر فضا-زمان فضای برداری است که نه تنها بردارها ، بلکه به دوبردارها (کمیت های جهت دار که چرخش های مرتبط با چرخش ها یا سطوح خاص را توصیف می کنند، مانند ناحیه ها یا چرخش ها) یا تیغه ها (مقادیر مرتبط با حجم های فوق العاده خاص) اجازه می دهد تا با هم ترکیب شوند. و همچنین چرخانده شده ، منعکس شده ، یا لورنتس تقویت شده است . [ 2 ] : 40، 43، 97، 113 همچنین جبر والد طبیعی اسپینورها در نسبیت خاص است. [ 2 ] : 333 این ویژگی ها به بسیاری از مهم ترین معادلات در فیزیک اجازه می دهد تا به شکل های ساده ای بیان شوند و می توانند برای درک هندسی بیشتر معانی آنها بسیار مفید باشند. [ 1 ] : v

در مقایسه با روش های مرتبط، جبر STA و دیراک هر دو جبرهای کلیفورد Cl 1,3 هستند ، اما STA از اسکالرهای اعداد حقیقی استفاده می کند در حالی که جبر دیراک از اسکالرهای اعداد مختلط استفاده می کند . تقسیم فضازمان STA شبیه به رویکرد جبر فضای فیزیکی (APS، جبر پائولی) است . APS فضازمان را به عنوان یک پارابکتور ، یک فضای برداری سه بعدی ترکیبی و یک اسکالر یک بعدی نشان می دهد. [ 3 ] : 225-266

ساختار

[ ویرایش ]

برای هر جفت بردار STA، ${\textstyle a,b}$ ، یک ضرب برداری (هندسی) وجود دارد ${\textstyle ab}$ ، ضرب درونی (نقطه ای). ${\textstyle a\cdot b}$ و ضرب بیرونی (خارجی، گوه ای). ${\textstyle a\wedge b}$ . حاصل ضرب برداری مجموع حاصلضرب درونی و بیرونی است: [ 1 ] : 6

$a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b$

حاصلضرب داخلی یک عدد حقیقی (اسکالر) و حاصل ضرب بیرونی یک دو بردار تولید می کند. بردارها ${\textstyle a}$ و ${\textstyle b}$ اگر حاصل ضرب داخلی آنها صفر باشد متعامد هستند. بردارها ${\textstyle a}$ و ${\textstyle b}$ اگر حاصلضرب بیرونی آنها صفر باشد موازی هستند. [ 2 ] : 22-23

بردارهای پایه متعارف یک بردار زمانی هستند ${\textstyle \گاما _{0}}$ و 3 بردار فضایی ${\textstyle \گاما _{1}،\گاما _{2}،\گاما _{3}}$ . جمله های غیر صفر تانسور متریک مینکوفسکی عبارت های قطر هستند، ${\textstyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1)}$ . برای

${\textstyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$ :

$\gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{ \mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1،\ \گاما _{1}\cdot \گاما _{1}=\گاما _{2}\cdot \گاما _{2}=\گاما _{3}\cdot \گاما _{ 3}=-1،\quad {\text{در غیر این صورت }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\گاما _{\mu }$

ماتریس های دیراک این ویژگی ها را به اشتراک می گذارند و STA معادل جبر تولید شده توسط ماتریس های دیراک در میدان اعداد حقیقی است. [ 1 ] : x نمایش ماتریس صریح برای STA غیر ضروری است.

ضرب بردارهای پایه یک پایه تانسوری حاوی یک اسکالر تولید می کنند{1} $\{1\}$ ، چهار بردار $\{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$ ، شش دو بردار $\{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\, \گاما _{1}\گاما _{2},\,\گاما _{2}\گاما _{3},\,\گاما _{3}\گاما _{1}\}$ , چهار شبه بردار ( سه بردار ) $\{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}$ و یک شبه اسکالر $\{I\}$ با ${\textstyle I=\گاما _{0}\گاما _{1}\گاما _{2}\گاما _{3}}$ . [ 1 ] : 11 شبه اسکالر با تمام عناصر STA درجه زوج جابجا می کند ، اما با همه عناصر STA درجه فرد ضد جابجا می کند . [ 4 ] : 6

زیر جبر

[ ویرایش ]

این تصویری از اسپینورهای جبر فضا-زمان در Cl + (1،3) در زیر ضرب octonionic به عنوان یک صفحه فانو است.

جداول ضرب اکتیونی مرتبط به شکل e n و STA.

عناصر درجه بندی زوج STA (اسکالرها، دو بردار، شبه مقیاس) یک کلیفورد Cl 3,0 ( R ) حتی زیر جبر معادل APS یا جبر پائولی را تشکیل می دهند. [ 1 ] : 12 دو بردارهای STA معادل بردارهای APS و شبه بردارها هستند. زیر جبر STA با تغییر نام دوبردارهای STA واضح تر می شود ${\textstyle (\گاما _{1}\گاما _{0}،\گاما _{2}\گاما _{0}،\گاما _{3}\گاما _{0})}$ به عنوان ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ و دو بردارهای ${\textstyle (\گاما _{3}\گاما _{2}،\گاما _{1}\گاما _{3}،\گاما _{2}\گاما _{1})}$ به عنوان ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$ . [ 1 ] : 22 [ 2 ] : 37 ماتریس های پائولی ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ ، یک نمایش ماتریسی برای هستندσ1،σ2،σ3 ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ . [ 2 ] : 37 برای هر جفتی از ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ، ضرب داخلی غیر صفر هستند ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$ و ضرب خارجی غیر صفر عبارتند از: [ 2 ] : 37 [ 1 ] : 16

${\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&= I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{تراز شده}}$

دنباله جبر تا جبر زوج به صورت جبر فضای فیزیکی، جبر چهارتایی، اعداد مختلط و اعداد حقیقی ادامه می یابد. زیر جبر STA یکنواخت Cl + (1،3) اسپینورهای فضا-زمان حقیقی در Cl (1،3) با جبر هندسی کلیفورد Cl(3،0) فضای اقلیدسی R3 با عناصر پایه هم شکل است. تصویر اسپینورهای جبر فضا-زمان را در Cl + (1،3) در زیر حاصل ضرب اکتونیونی به عنوان یک صفحه فانو ببینید. [ 5 ]

بخش

[ ویرایش ]

یک بردار غیر صفر ${\textstyle a}$ یک بردار تهی است (درجه 2 پوچتوان ) اگر ${\textstyle a^{2}=0}$ . [ 6 ] : 2 یک مثال است ${\textstyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$ . بردارهای تهی مماس بر مخروط نور (مخروط پوچ) هستند. [ 6 ] : 4 یک عنصر ${\textstyle b}$ اگر ناتوان است ${\textstyle b^{2}=b}$ . [ 7 ] : 103 دو ناتوان ${\textstyle b_{1}}$ و ${\textstyle b_{2}}$ ناتوان متعامد هستند اگر ${\textstyle b_{1}b_{2}=0}$ . [ 7 ] : 103 مثالی از یک جفت ناتوان متعامد است ${\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})$ و ${\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})$ با ${\textstyle k=1،2،3}$ . مقسوم‌کننده‌های صفر مناسب، عناصر غیرصفری هستند که حاصلضرب آن‌ها صفر است، مانند بردارهای تهی یا غیر توانای متعامد. [ 8 ] : 191 جبر تقسیم جبری است که شامل عناصر معکوس (مقابل) ضربی برای هر عنصر است، اما این در صورتی رخ می دهد که مقسوم علیه های صفر مناسب وجود نداشته باشد و تنها ناتوان آن 1 باشد. [ 7 ] : 103 [ 9 ] : 211 [ a ] تنها جبرهای تقسیم انجمنی اعداد حقیقی، اعداد مختلط و رباعی ها [ 10 ] : 366 از آنجایی که STA یک جبر تقسیم نیست، برخی از عناصر STA ممکن است فاقد معکوس باشند. با این حال، تقسیم بر بردار غیر تهی ${\textstyle c}$ ممکن است با ضرب در معکوس آن، که به صورت تعریف شده است $c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c$ . [ 11 ] : 14

دستگاه متقابل

[ ویرایش ]

مرتبط با پایه متعامد $\{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$ مجموعه پایه متقابل است $\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ ارضای این معادلات: [ 1 ] : 63

$\gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3$

این بردارهای دستگاه متقابل فقط با یک علامت، با $\gamma ^{0}=\gamma _{0}$ ، اما

$\gamma ^{1}=-\gamma _{1},\ \ \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\ \ \gamma ^{3}=-\gamma _{3 }$ .

یک بردار ${\textstyle a}$ ممکن است با استفاده از بردارهای پایه یا بردارهای پایه متقابل نمایش داده شود

$a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }$

با جمع بندی به پایان رسید $\mu =0,1,2,3$

طبق نماد انیشتین . حاصل ضرب درونی بردارها و بردارهای پایه یا بردارهای مبنا متقابل مولفه های برداری را تولید می کند.

${\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\ nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{تراز شده}}$

ژیمناستیک متریک و شاخص شاخص ها را افزایش یا کاهش می دهد:

${\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3 \\\گاما ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0،1،2،3\end{تراز شده}}$

گرادیان فضا-زمان

[ ویرایش ]

گرادیان فضا-زمان، مانند گرادیان در فضای اقلیدسی، به گونه ای تعریف می شود که رابطه مشتق جهت دار برآورده می شود: [ 12 ] : 45

$a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.$

این نیاز به تعریف گرادیان دارد

$\nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.$

با صراحت نوشته شده است $x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}$ ، این جزئی ها هستند

$\partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial } {\ جزئی {x^{k}}}}$

تقسیم فضازمان

[ ویرایش ]

تقسیم فضا-زمان – مثال‌ها:

$x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x}$

$p\gamma _{0}=E+\mathbf {p}$

[ 13 ] : 257

$v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )$

[ 13 ] : 257

$\gamma$ عامل لورنتس است

$\nabla \gamma _{0}=\جزئی _{t}-{\vec {\nabla }}$

[ 13 ] : 259

در STA، یک تقسیم فضا-زمان یک طرح ریزی از فضای چهار بعدی به فضای (3+1) -بعدی در یک چارچوب مرجع انتخاب شده با استفاده از دو عملیات زیر است:

فروپاشی محور زمانی انتخاب شده، ایجاد فضای 3 بعدی که توسط دو بردار پوشیده شده است، معادل بردارهای پایه 3 بعدی استاندارد در جبر فضای فیزیکی و
طرح ریزی فضای 4 بعدی بر روی محور زمانی انتخاب شده، یک فضای 1 بعدی از اسکالرها را ایجاد می کند که نشان دهنده زمان اسکالر است. [ 14 ] : 180

این امر با پیش ضرب یا پس از ضرب توسط بردار مبنای زمانی به دست می آید $\gamma _{0}$ ، که برای تقسیم یک بردار چهار به یک جزء زمان مانند و یک مولفه فضایی دوبردار، در دستگاه مرجع با حرکت مشترک با $\gamma _{0}$ . با $x=x^{\mu }\gamma _{\mu }$ ما داریم

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x& =x^{0}-x^{k}\گاما _{k}\گاما _{0}\end{تراز شده}}$

تقسیم فضازمان روشی برای نمایش یک بردار با درجه زوج از فضازمان به عنوان بردار در جبر پائولی است، جبری که در آن زمان یک اسکالر جدا از بردارهایی است که در فضای سه بعدی رخ می‌دهند. این روش جایگزین این بردارهای فضازمان می شود ${\textstyle (\گاما)}$ [ 1 ] : 22-24

به عنوان این دو بردار $\gamma _{k}\gamma _{0}$ مربع به وحدت، آنها به عنوان یک پایه فضایی خدمت می کنند. با استفاده از نماد ماتریس پائولی ، اینها نوشته شده اند $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ . بردارهای فضایی در STA با خط پررنگ مشخص می شوند. سپس با $\mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}$ و $x^{0}=ct$ ، $\gamma _{0}$ - تقسیم فضا-زمان $x\gamma _{0}$ و برعکس آن $\gamma _{0}x$ عبارتند از:

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0} x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{تراز شده}}$

با این حال، فرمول های فوق فقط در متریک مینکوفسکی با امضا (+ - - -) کار می کنند. برای اشکال تقسیم فضازمان که در هر دو امضا کار می کنند، تعاریف متناوب که در آنها کار می کنند $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}$ و $\sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}$ باید استفاده شود.

+ نوشته شده در شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ ساعت 9:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

بردار واحد

در ریاضیات ، یک بردار واحد در یک فضای برداری هنجار بردار (اغلب یک بردار فضایی ) به طول 1 است . یک بردار واحد اغلب با یک حرف کوچک با یک حاشیه یا "کلاه" نشان داده می شود . ${\hat {\mathbf {v} }}$ (تلفظ "v-hat").

بردار نرمال شده و یک بردار غیرصفر u بردار واحد در جهت u است ، یعنی:

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

که در آن " u " هنجار (یا طول) u است . [ 1 ] [ 2 ] اصطلاح بردار نرمال شده گاهی اوقات به عنوان مترادف برای بردار واحد استفاده می شود .

بردار واحد اغلب برای نشان دادن جهت ها مانند جهت های عادی استفاده می شود . بردارهای واحد اغلب برای تشکیل مبنای یک فضای برداری انتخاب می شوند و هر بردار در فضا ممکن است به صورت ترکیب خطی از بردارهای واحد نوشته شود.

مختصات متعامد

[ ویرایش ]

مختصات دکارتی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: پایه استاندارد

بردارهای واحد ممکن است برای نشان دادن محورهای یک سیستم مختصات دکارتی استفاده شوند . برای مثال، بردارهای واحد استاندارد در جهت محورهای x ، y ، و z یک سیستم مختصات دکارتی سه بعدی هستند.

$\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin {bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}،\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\ begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

آنها مجموعه ای از بردارهای واحد متعامد را تشکیل می دهند که معمولاً به عنوان یک مبنای استاندارد در جبر خطی از آن یاد می شود .

آنها اغلب با استفاده از نماد برداری مشترک نشان داده می شوند (به عنوان مثال، x یا ${\vec {x}}$ ) به جای نماد برداری واحد استاندارد (مثلا x̂ ). در بیشتر زمینه ها می توان فرض کرد که x ، y ، و z ، (یا، ${\vec {x}}،$ ، ${\vec {y}}،$ و ${\vec {z}}$ ) نسخه های یک سیستم مختصات دکارتی سه بعدی هستند. نمادهای ( î , ĵ , k̂ )، ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 )، ( ê x , ê y , ê z ) یا ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ) با یا بدون کلاه هستند همچنین استفاده می شود، [ 1 ] به ویژه در زمینه هایی که i ، j ، k ممکن است منجر به سردرگمی با کمیت دیگر شود. (به عنوان مثال با نمادهای شاخص مانند i ، j ، k ، که برای شناسایی عنصری از مجموعه یا آرایه یا دنباله ای از متغیرها استفاده می شود).

وقتی یک بردار واحد در فضا با نماد دکارتی به صورت ترکیب خطی x , y , z بیان می شود ، سه جزء اسکالر آن را می توان به عنوان کسینوس جهت نامید . مقدار هر جزء برابر است با کسینوس زاویه تشکیل شده توسط بردار واحد با بردار پایه مربوطه. این یکی از روش‌هایی است که برای توصیف جهت (موقعیت زاویه‌ای) یک خط مستقیم، پاره خط مستقیم، محور جهت‌یافته یا پاره محور جهت‌دار ( بردار ) استفاده می‌شود.

مختصات استوانه ای

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: ماتریس ژاکوبین

سه بردار واحد متعامد متناسب با تقارن استوانه ای عبارتند از:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (همچنین تعیین شده است $\mathbf {\hat {e}}$ یا ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ ) نشان دهنده جهتی است که در امتداد آن فاصله نقطه از محور تقارن اندازه گیری می شود.
${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ ، نشان دهنده جهت حرکتی است که اگر نقطه در خلاف جهت عقربه های ساعت حول محور تقارن بچرخد مشاهده می شود .
$\mathbf {\hat {z}}$ ، نشان دهنده جهت محور تقارن است.

آنها با اساس دکارتی مرتبط هستند ${\hat {x}}$ ، ${\hat {y}}$ ، ${\hat {z}}$ توسط:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

بردارها ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ و ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ توابع هستند، $\varphi ,$ و در جهت ثابت نیستند . هنگام تمایز یا ادغام در مختصات استوانه ای، خود این بردارهای واحد نیز باید عمل شوند. مشتقات با توجه به $\varphi$ عبارتند از:

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \ mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \ mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .$

مختصات کروی

[ ویرایش ]

بردارهای واحد مناسب برای تقارن کروی عبارتند از: $\mathbf {\hat {r}}$ ، جهتی که فاصله شعاعی از مبدأ افزایش می یابد. ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ ، جهتی که در آن زاویه در صفحه x - y در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور مثبت x در حال افزایش است. و ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ ، جهتی که زاویه از محور z مثبت در حال افزایش است. برای به حداقل رساندن افزونگی نمایش ها، زاویه قطبی $\تتا$ معمولاً بین صفر تا 180 درجه قرار می گیرد. توجه به بافت هر سه گانه مرتب که در مختصات کروی نوشته شده است ، به عنوان نقش ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ و ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ اغلب معکوس می شوند. در اینجا، کنوانسیون "فیزیک" آمریکا [ 3 ] استفاده می شود. این زاویه ازیموتال را ترک می کند $\varphi$ همانطور که در مختصات استوانه ای تعریف شده است. روابط دکارتی عبارتند از:

$\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\ cos \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y} } -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

بردارهای واحد کروی به هر دو بستگی دارند $\varphi$ و $\تتا$ ، و از این رو 5 مشتق غیر صفر ممکن وجود دارد. برای توضیحات کامل تر، ماتریس و تعیین کننده ژاکوبین را ببینید . مشتقات غیر صفر عبارتند از:

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \ sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\ تتا }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\ cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\ sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\ کلاه {r}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \ mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\ تتا }}}$

بردارهای واحد عمومی

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: مختصات متعامد

مضامین مشترک بردارهای واحد در سراسر فیزیک و هندسه رخ می دهد : [ 4 ]

بردار واحدنامگذاری نمودار

بردار مماس بر خط منحنی/شار $\mathbf {\hat {t}}$

یک بردار معمولی $\mathbf {\hat {n}}$ به صفحه ای که بردار موقعیت شعاعی را در خود دارد و تعریف می کند $r\mathbf {\hat {r}}$ و جهت مماسی زاویه ای چرخش $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ لازم است تا معادلات برداری حرکت زاویه ای برقرار باشد.

نرمال به صفحه/صفحه مماس سطحی حاوی مولفه موقعیت شعاعی و مولفه مماسی زاویه ای $\mathbf {\hat {n}}$

از نظر مختصات قطبی ؛ $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

بردار دوطبیعی به مماس و عادی $\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$ [ 5 ]

موازی با برخی از محورها/خط $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$

بردار یک واحد

$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ موازی با جهت اصلی (خط قرمز) و بردار واحد عمود بر هم تراز شده است $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ در هر جهت شعاعی نسبت به خط اصلی است.

عمود بر برخی از محورها / خط در برخی جهت شعاعی $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$

انحراف زاویه ای احتمالی نسبت به برخی از محورها/خط $\mathbf {\hat {e}} _{\ زاویه }$

بردار واحد در زاویه انحراف حاد (شامل 0 یا π /2 راد) نسبت به جهت اصلی.

مختصات منحنی

[ ویرایش ]

به طور کلی، یک سیستم مختصات ممکن است به طور یکتا با استفاده از تعدادی بردار واحد مستقل خطی مشخص شودهn $\mathbf {\hat {e}} _{n}$ [ 1 ] (عدد واقعی برابر با درجات آزادی فضا است). برای 3 فضای معمولی، این بردارها ممکن است نشان داده شونده1،ه2،ه3 $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ . تقریباً همیشه راحت است که سیستم را متعارف و راست دست تعریف کنیم :

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}$

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\ varepsilon _{ijk}$

که $\delta _{ij}$ دلتای کرونکر است (که برای i = j 1 و در غیر این صورت 0 است) و $\varepsilon _{ijk}$ نماد لوی-سویتا است (که 1 برای جایگشت های مرتب شده به عنوان ijk و −1 برای جایگشت های مرتب شده به عنوان kji است ).

نسخه راست

[ ویرایش ]

یک بردار واحد در $\mathbb {R} ^{3}$ W Hamilton به عنوان یک نسخه راست نامیده شد ، زیرا او چهارتایی خود را توسعه داد $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$ . در واقع، او مبتکر اصطلاح بردار بود ، مانند هر ربع $q=s+v$ دارای یک بخش اسکالر s و یک قسمت برداری v است . اگر v یک بردار واحد در است $\mathbb {R} ^{3}$ ، آنگاه مربع v در چهارتایی ها -1 است. بنابراین با فرمول اویلر ،⁡ $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ یک نسخه در 3 کره است . وقتی یک زاویه قائمه است ، ویرسور یک وجه راست است: قسمت اسکالر آن صفر و قسمت برداری آن v یک بردار واحد است. $\mathbb {R} ^{3}$ .

بنابراین نسخه‌های سمت راست مفهوم واحدهای خیالی موجود در صفحه مختلط را گسترش می‌دهند ، جایی که نسخه‌های راست اکنون در محدوده ۲ کره قرار دارند. $\mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H}$ به جای جفت {i، –i} در صفحه مختلط.

با بسط، یک کواترنیون راست مضرب واقعی یک وجه راست است.

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

بردار واحد را در ویکی‌واژه، فرهنگ لغت رایگان جستجو کنید .

سیستم مختصات دکارتی
سیستم مختصات
مختصات منحنی
چهار سرعته
ماتریس ژاکوبین و تعیین کننده
بردار معمولی
سیستم مختصات قطبی
مبنای استاندارد
فاصله واحد
مربع واحد ، مکعب ، دایره ، کره و هذلولی
نماد برداری
بردار یکها
ماتریس واحد

https://en.wikipedia.og/wiki/Unit_vecto

+ نوشته شده در جمعه بیست و سوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 15:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

پایه ارتونرمال

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، به ویژه جبر خطی ، یک مبنای متعارف برای فضای ضرب درونی $V$ با بعد محدود مبنایی برای $V$ که بردارهای آن متعامد هستند ، یعنی همگی بردار واحد و متعامد با یکدیگر هستند. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] برای مثال، مبنای استاندارد برای فضای اقلیدسی $\mathbb {R} ^{n}$ یک مبنای متعارف است، که در آن حاصلضرب داخلی مربوطه حاصل ضرب نقطه ای بردارها است. تصویر پایه استاندارد تحت یک چرخش یا بازتاب (یا هر تبدیل متعامد ) نیز متعامد است و هر مبنای متعامد برای $\mathbb {R} ^{n}$ به این شکل بوجود می آید یک پایه متعامد را می توان از طریق نرمال سازی از پایه متعامد استخراج کرد . انتخاب یک مبدأ و یک پایه متعارف یک دستگاه مختصاتی را تشکیل می دهد که به عنوان دستگاه متعارف شناخته می شود .

برای فضای کلی ضرب داخلی، $V,$ یک مبنای متعامد می تواند برای تعریف مختصات متعامد نرمال شده استفاده شود . $V.$ تحت این مختصات، حاصل ضرب درونی به حاصل ضرب نقطه ای بردارها تبدیل می شود. بنابراین وجود یک مبنای متعارف، مطالعه فضای ضرب داخلی با ابعاد محدود را به مطالعه $\mathbb {R} ^{n}$ زیر ضرب نقطه ای هر فضای ضرب داخلی با ابعاد محدود دارای یک مبنای متعارف است که ممکن است از یک مبنای دلخواه با استفاده از فرآیند گرم اشمیت بدست آید .

در تحلیل عملکردی ، مفهوم پایه متعارف را می توان به فضاهای ضرب داخلی دلخواه (بی‌بعدی) تعمیم داد . [ 4 ] با توجه به فضای پیش از هیلبرت، $H,$ یک مبنای متعارف برای $H$ مجموعه ای متعارف از بردارها با خاصیت هر بردار است $H$ را می توان به صورت یک ترکیب خطی بی نهایت از بردارهای پایه نوشت . در این مورد، پایه متعارف گاهی اوقات پایه هیلبرت نامیده می شود. $H.$ توجه داشته باشید که یک مبنای متعارف به این معنا به طور کلی یک مبنای حمل نیست ، زیرا ترکیبات خطی بی نهایت مورد نیاز است. [ 5 ] به طور خاص، دهانه خطی پایه باید متراکم باشد، $H,$ اگرچه نه لزوماً کل فضا.

اگر به فضاهای هیلبرت برویم ، مجموعه ای غیرمتعارف از بردارها که گستره خطی یکسانی با مبنای متعامد دارند، ممکن است اصلاً مبنا نباشند. به عنوان مثال، هر تابع مربع انتگرال پذیر در بازه $[-1,1]$ را می توان ( تقریبا در همه جا ) به صورت مجموع نامتناهی از چندجمله ای های لژاندر (مبنای متعارف) بیان کرد، اما نه لزوماً به صورت مجموع نامتناهی از تک جمله ها $x^{n}.$

یک تعمیم متفاوت به فضاهای ضرب شبه درونی، فضاهای برداری با ابعاد محدود است. $M$ مجهز به یک فرم دوخطی متقارن غیر منحط به نام تانسور متریک . در چنین مبنایی، متریک شکل می گیرد ${\text{diag}}(+1,\cdots,+1,-1,\cdots,-1)$ با $p$ موارد مثبت و $q$ منفی ها

نمونه ها

[ ویرایش ]

برای $\mathbb {R} ^{3}$ ، مجموعه بردارها $\left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end {pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},$ پایه استاندارد نامیده می شود و یک پایه متعارف را تشکیل می دهد $\mathbb {R} ^{3}$ با توجه به ضرب نقطه استاندارد. توجه داشته باشید که هم ضرب پایه استاندارد و هم ضرب نقطه استاندارد به مشاهده متکی هستند $\mathbb {R} ^{3}$ به عنوان ضرب دکارتی $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$
اثبات: یک محاسبه مستقیم نشان می دهد که حاصلضرب داخلی این بردارها برابر با صفر است، $\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \راست\رنگ =0$ و هر یک از قدر آنها برابر است با یک، $\left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \ درست\|=1.$ این به این معنی است که $\left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \راست\}$ یک مجموعه متعارف است. همه بردارها $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}$ را می توان به صورت مجموع بردارهای پایه مقیاس شده بیان کرد(،y،z)ه، $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}}،$ بنابراین $\left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \راست\}$ دهانه می کند $\mathbb {R} ^{3}$ و از این رو باید مبنایی باشد. همچنین ممکن است نشان داده شود که پایه استانداردی که حول محوری از مبدأ می چرخد یا در صفحه ای از مبدا منعکس می شود نیز پایه متعارفی را تشکیل می دهد. $\mathbb {R} ^{3}$ .
برای $\mathbb {R} ^{n}$ ، مبنای استاندارد و ضرب داخلی به طور مشابه تعریف شده است. هر مبنای متعامد دیگری با یک تبدیل متعامد در گروه O به مبنای استاندارد مرتبط است .
برای فضای شبه اقلیدسی،، $\mathbb {R} ^{p,q},$ ، یک مبنای متعامد $\{e_{\mu }\}$ با متریک $\eta$ در عوض راضی می کند $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=0$ اگر $\mu \neq \nu$ $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1$ اگر $1\leq \mu \leq p$ ، و $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1$ $p+1\leq \mu \leq p+q$ . هر دو پایه متعامد با یک تبدیل شبه متعامد مرتبط هستند. در مورد $(p,q)=(1,3)$ ، اینها تبدیلات لورنتس هستند.
مجموعه $\left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}$ با، $f_{n}(x)=\exp(2\pi inx)،$ که $\exp$ نشان دهنده تابع نمایی است ، یک مبنای متعامد از فضای توابع با انتگرال های محدود لبگ را تشکیل می دهد.، $L^{2}([0,1])،$ با توجه به 2-هنجار . این برای مطالعه سری فوریه اساسی است .
مجموعه $\left\{e_{b}:b\in B\right\}$ با $e_{b}(c)=1$ اگر $b=c$ و $e_{b}(c)=0$ در غیر این صورت یک پایه متعارف از. $\ell ^{2}(B).$
توابع ویژه یک مشکل ویژه اشتورم-لیویل .
بردارهای ستون یک ماتریس متعامد یک مجموعه متعامد را تشکیل می دهند.

فرمول پایه

[ ویرایش ]

اگر $B$ مبنای متعامد است، $H,$ سپس هر عنصر $x\in H$ ممکن است به صورت نوشته شود. $x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.$

چه زمانی $B$ متعارف است، این امر ساده است $x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b$ و مربع هنجار $x$ می تواند توسط. $\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.$

حتی اگر $B$ غیردستگاهل شمارش است ، فقط به صورت دستگاهل شمارش بسیاری از عبارات در این مجموع غیر صفر خواهند بود و بنابراین عبارت به خوبی تعریف شده است. این مجموع را بسط فوریه نیز می نامند، $x,$ و فرمول معمولاً به عنوان هویت پارسوال شناخته می شود .

اگر $B$ یک پایه متعارف از، $H,$ سپس $H$ هم شکل است $\ell ^{2}(B)$ به معنای زیر: یک نقشه خطی دوطرفه وجود دارد Φ:→ $\Phi :H\to \ell ^{2}(B)$ به گونه ای که $\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.$

سیستم متعامد

[ ویرایش ]

یک مجموعه $S$ بردارهای متدستگاهل متعارف در فضای هیلبرت $H$ سیستم متعارف نامیده می شود. اساس متعارف یک سیستم متعارف با ویژگی اضافی است که دهانه خ استا سطی آن است

وجود

[ ویرایش ]

با استفاده از لم زورن و فرآیند گرام اشمیت (یا به طور ساده تر، بازگشت به ترتیب خوب و ترانحدود)، می توان نشان داد که هر فضای هیلبرت یک مبنای متعارف را می پذیرد. [ 7 ] علاوه بر این، هر دو پایه متعامد از یک فضا دارای کاردینالیتی یکسان هستند (این را می توان به روشی مشابه اثبات قضیه بعد معمول برای فضاهای برداری اثبات کرد ، با موارد جداگانه بسته به اینکه آیا کاندیدای پایه بزرگتر است یا خیر. دستگاهل شمارش است یا خیر). یک فضای هیلبرت اگر و تنها در صورتی دستگاه تفکیک است که یک مبنای متعارف دستگاهل شمارش را بپذیرد . (کسی می تواند این گزاره آخر را بدون استفاده از اصل انتخاب ثابت کند . با این حال، باید از اصل موضوع انتخاب دستگاهل شمارش استفاده کرد .)

انتخاب مبنا به عنوان انتخاب ایزومورفیسم

[ ویرایش ]

برای انضمام، پایه های متعارف را برای یک واقعی مورد بحث قرار می دهیم، $n$ فضای برداری بعدی $V$ با یک فرم دوخطی متقارن قطعی مثبت $\phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle$ .

یکی از راه های مشاهده یک مبنای متعارف با توجه به $\phi$ به عنوان مجموعه ای از بردارها است ${\mathcal {B}}=\{e_{i}\}$ ، که به ما امکان نوشتن را می دهد $v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V$ ، و $v^{i}\in \mathbb {R}$ یا $(v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ . با توجه به این مبنا، اجزای تشکیل دهنده $\phi$ به خصوص ساده هستند: $\phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}$ (که $\delta _{ij}$ دلتای کرونکر است ).

اکنون می توانیم اساس را به عنوان یک نقشه مشاهده کنیم $\psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ که ایزومورفیسم فضاهای ضرب درونی است: برای واضح تر کردن این موضوع می توانیم بنویسیم

$\psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\right arrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).$

به صراحت می توانیم بنویسیم $(\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)$ کجا $e^{i}$ عنصر پایه دوگانه به است $e_{i}$ .

معکوس یک نقشه جزء است

$C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i }e_{i}.$

این تعاریف نشان می دهد که یک تعصب وجود دارد

$\{{\text{فضای پایه‌های متعامد }}{\mathcal {B}}\}\leftright arrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftright arrow \mathbb {R} ^{n}\ }.$

فضای ایزومورفیسم ها اعمال گروه های متعامد را در هر دو می پذیرد $V$ طرف یا $\mathbb {R} ^{n}$ سمت برای مشخص بودن، ایزومورفیسم‌ها را ثابت می‌کنیم تا به جهت اشاره کنند $\mathbb {R} ^{n}\arrow V$ و فضای این گونه نقشه ها را در نظر بگیرید، ${\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\arrow V)$ .

این فضا یک عمل چپ توسط گروه ایزومتریک را می پذیرد $V$ ، $R\in {\text{GL}}(V)$ به گونه ای که $\phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot,R\cdot)$ ، با عمل داده شده توسط ترکیب: $R*C=R\circ C.$

این فضا همچنین یک عمل درست توسط گروه ایزومتریک ها را می پذیرد $\mathbb {R} ^{n}$ ، یعنی $R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )$ ، با عمل دوباره توسط ترکیب: $C*R_{ij}=C\circ R_{ij}$ .

به عنوان یک فضای همگن اصلی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: منیفولد است

مجموعه پایه های متعارف برای $\mathbb {R} ^{n}$ با ضرب داخلی استاندارد یک فضای همگن اصلی یا G-torsor برای گروه متعامد است. $G={\text{O}}(n)$ و منیفولد است نامیده می شود $V_{n}(\mathbb {R} ^{n})$ از متعامد $n$ -دستگاه ها [ 8 ]

به عبارت دیگر، فضای پایه‌های متعامد مانند گروه متعامد است، اما بدون انتخاب نقطه پایه: با توجه به فضای پایه‌های متعامد، هیچ انتخاب طبیعی مبنای متعامد وجود ندارد، اما زمانی که به یکی داده شود، یکی وجود دارد. مطابقت - به یک بین پایه ها و گروه متعامد. به طور مشخص، یک نقشه خطی بر اساس جایی که یک مبنای معین را ارسال می کند تعیین می شود: همانطور که یک نقشه معکوس می تواند هر مبنایی را به هر مبنای دیگری ببرد، یک نقشه متعامد می تواند هر مبنای متعامد را به هر مبنای متعامد دیگری ببرد .

منیفولدهای دیگر است $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ برای $k<n$ پایه های متعارف ناقص ( متعارف $k$ -دستگاه ها) هنوز فضاهای همگن برای گروه متعامد هستند، اما فضاهای همگن اصلی نیستند: هر $k$ -دستگاه را می توان به هر دیگری برد $k$ دستگاه توسط یک نقشه متعامد، اما این نقشه به طور منحصر به فرد تعیین نمی شود.

مجموعه پایه های متعارف برای، $\mathbb {R} ^{p,q}$ یک G-torsor $G={\text{O}}(p,q)$ .
مجموعه پایه های متعارف برای $\mathbb {C} ^{n}$ یک G-torsor $G={\text{U}}(n)$ .
مجموعه پایه های متعارف برای، $\mathbb {C} ^{p,q}$ یک G-torsor $G={\text{U}}(p,q)$ .
مجموعه پایه های متعامد راست دست برای $\mathbb {R} ^{n}$ یک G-torsor بنابراین $G={\text{SO}}(n)$

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

مبنای متعامد - مبنای که بردارهای آن متعامد هستند
اساس (جبر خطی) - مجموعه بردارهایی که برای تعریف مختصات استفاده می شوند
دستگاه متعارف - فضای اقلیدسی بدون فاصله و زاویه
اساس شودر - ابزار محاسباتی
مجموعه کل - زیر مجموعه یک فضای برداری توپولوژیکی که دهانه خطی آن متراکم است

https://e.wikipedia.org/wiki/متعامد_basis

+ نوشته شده در جمعه بیست و سوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 15:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-اسپینور

خلاصه در ابعاد کم

[ ویرایش ]

در یک بعد (یک مثال بی اهمیت)، نمایش تک اسپینور به طور رسمی Majorana است، یک نمایش یک بعدی واقعی که تغییر نمی کند.
در دو بعد اقلیدسی، اسپینور ویل چپ‌دست و راست‌دست، نمایش‌های مختلط 1 جزئی هستند، یعنی اعداد مختلط که تحت یک چرخش در زاویه φ در e ± iφ /2 ضرب می‌شوند .
در 3 بعد اقلیدسی، نمایش تک اسپینور دو بعدی و چهارتایی است . وجود اسپینورها در 3 بعد از ایزومورفیسم گروه‌های SU (2) ≅ Spin(3) ناشی می‌شود که به ما اجازه می‌دهد تا عملکرد اسپین (3) را بر روی یک ستون پیچیده 2 جزء (یک اسپینور) تعریف کنیم. مولدهای SU(2) را می توان به صورت ماتریس های پائولی نوشت .
در 4 بعد اقلیدسی، ایزومورفیسم مربوطه Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) است . دو اسپینور ویل 2 جزئی چهارتایی نامتعادل وجود دارد و هر یک از آنها تنها تحت یکی از فاکتورهای SU(2) تبدیل می شوند.
در 5 بعد اقلیدسی، ایزومورفیسم مربوطه Spin (5) ≅ USp (4) ≅ Sp (2) است که نشان می دهد که نمایش تک اسپینور 4 بعدی و چهار بعدی است.
در 6 بعد اقلیدسی، ایزومورفیسم Spin(6) ≅ SU(4) تضمین می کند که دو نمایش پیچیده 4 بعدی Weyl وجود دارد که مزدوج های پیچیده یکدیگر هستند.
در 7 بعد اقلیدسی، نمایش تک اسپینور 8 بعدی و واقعی است. هیچ ایزومورفیسمی برای جبر دروغ از سری دیگر (A یا C) از این بعد به بعد وجود ندارد.
در 8 بعد اقلیدسی، دو نمایش 8 بعدی واقعی Weyl-Majorana وجود دارد که با خاصیت خاصی از Spin(8) به نام triality به نمایش بردار واقعی 8 بعدی مرتبط هستند .
در ابعاد d + 8 ، تعداد بازنمایی‌های اسپینور تقلیل‌ناپذیر متمایز و واقعیت آن‌ها (اعم از واقعی، شبه واقعی یا پیچیده) ساختار را در ابعاد d تقلید می‌کند ، اما ابعاد آنها 16 برابر بزرگ‌تر است. این به شخص اجازه می دهد تا همه موارد باقی مانده را درک کند. تناوب Bott را ببینید .
در فضازمان هایی با جهت های مکانی p و زمان مانند، ابعادی که به عنوان ابعاد روی اعداد مختلط مشاهده می شوند با فضای اقلیدسی -بعدی ( p + q ) منطبق است ، اما پیش بینی های واقعیت ساختار را در | p − q | ابعاد اقلیدسی به عنوان مثال، در ابعاد 3 + 1 دو اسپینور کمپلکس ویل غیر معادل (مانند 2 بعد) 2 جزء (مانند 4 بعد) وجود دارد که از ایزومورفیسم SL(2) پیروی می کند.سی $\mathbb {C}$ ) ≅ چرخش (3،1) .

امضای متریک	ویل، پیچیده		مزدوج	دیراک، مجتمع	Majorana–Weyl، واقعی		مایورانا، واقعی
امضای متریک	چپ دست	راست دست	مزدوج	دیراک، مجتمع	چپ دست	راست دست	مایورانا، واقعی
(2,0)	1	1	متقابل	2	–	–	2
(1،1)	1	1	خود	2	1	1	2
(3,0)	–	–	–	2	–	–	–
(2،1)	–	–	–	2	–	–	2
(4,0)	2	2	خود	4	–	–	–
(3،1)	2	2	متقابل	4	–	–	4
(5,0)	–	–	–	4	–	–	–
(4،1)	–	–	–	4	–	–	–
(6,0)	4	4	متقابل	8	–	–	8
(5،1)	4	4	خود	8	–	–	–
(7,0)	–	–	–	8	–	–	8
(6،1)	–	–	–	8	–	–	–
(8,0)	8	8	خود	16	8	8	16
(7،1)	8	8	متقابل	16	–	–	16
(9,0)	–	–	–	16	–	–	16
(8،1)	–	–	–	16	–	–	16

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-اسپینور

ساخت جبر بیرونی

[ ویرایش ]

محاسبات با ساختار ایده آل حداقل نشان می دهد که یک نمایش اسپینور را می توان مستقیماً با استفاده از جبر خارجی

Λ ∗ W = ⊕ j Λ j W از زیرفضای همسانگرد W تعریف کرد . فرض کنید Δ = Λ ∗ W نشان دهنده جبر بیرونی W است که فقط به عنوان فضای برداری در نظر گرفته می شود. این نمایش اسپین خواهد بود و عناصر آن به عنوان اسپینورها نامیده می شوند.

[ 24 ] [ 25 ]

عمل جبر کلیفورد روی Δ ابتدا با دادن عمل یک عنصر V بر روی Δ تعریف می‌شود، و سپس نشان می‌دهد که این عمل به رابطه کلیفورد احترام می‌گذارد و بنابراین تا یک هم‌مورفیسم جبر کلیفورد در حلقه درون شکلی End گسترش می‌یابد. Δ) با خاصیت جهانی جبرهای کلیفورد . جزئیات بر اساس زوج یا فرد بودن بعد V کمی متفاوت است.

وقتی dim( V ) زوج است، V = W ⊕ W ′ که در آن W مکمل همسانگرد انتخاب شده است . از این رو هر v ∈ V به طور یکتا به صورت v = w + w " با w ∈ W و w " ∈ W " تجزیه می شود . عمل v بر روی یک اسپینور توسط داده می شود

$c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1} \wedge \cdots \wedge w_{n}\right)$ که در آن i ( w ' ) حاصلضرب داخلی با w است که از شکل درجه دوم غیر منحط برای شناسایی V با V * استفاده می کند و ε ( w ) محصول بیرونی را نشان می دهد . این عمل گاهی اوقات محصول کلیفورد نامیده می شود . ممکن است تأیید شود که

$c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,$ و بنابراین c به روابط کلیفورد احترام می گذارد و به یک هم شکلی از جبر کلیفورد تا End(Δ) گسترش می یابد.

بازنمایی اسپین Δ بیشتر به یک جفت نمایش پیچیده تقلیل ناپذیر از گروه اسپین [ 26 ] (نمایش های نیمه اسپین یا اسپینورهای Weyl) تجزیه می شود.

$\Delta _{+}=\Lambda ^{\text{حتی}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.$

وقتی dim( V ) فرد باشد، V = W ⊕ U ⊕ W ′ ، که در آن U توسط بردار واحد u متعامد به W امتداد می یابد . عمل کلیفورد c مانند قبل در W ⊕ W ′ تعریف می شود ، در حالی که عمل کلیفورد از

(چندین عدد) u با $c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox {if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}$ مانند قبل، یکی تأیید می کند که c به روابط کلیفورد احترام می گذارد، و بنابراین یک هم شکلی را القا می کند.

فضاهای برداری و اسپینورهای هرمیتین

[ ویرایش ]

اگر فضای برداری V ساختار اضافی داشته باشد که تجزیه پیچیده شدن آن را به دو زیرفضای همسانگرد حداکثری ارائه دهد، آنگاه تعریف اسپینورها (با هر روش) طبیعی می شود.

مثال اصلی این است که فضای برداری واقعی V یک فضای برداری هرمیتی ( V , h ) است ، یعنی V مجهز به ساختار پیچیده J است که یک تبدیل متعامد نسبت به حاصلضرب درونی g روی V است . سپس $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ در فضاهای ویژه ± i J تقسیم می شود . این فضاهای ویژه برای پیچیده شدن g همسانگرد هستند و می توان آنها را با فضای برداری پیچیده ( V , J ) و مزدوج پیچیده آن ( V ,-J ) شناسایی کرد . بنابراین، برای یک فضای برداری هرمیتی ( V , h ) فضای برداری $\Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}$ (و همچنین مزدوج پیچیده آن $\Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V$ یک فضای اسپینور برای فضای برداری اقلیدسی واقعی زیرین است.

با عمل کلیفورد مانند بالا اما با انقباض با استفاده از فرم هرمیتی، این ساختار در هر نقطه از یک منیفولد تقریباً هرمیتی یک فضای اسپینور می‌دهد و دلیل این است که هر منیفولد تقریباً پیچیده (به ویژه هر منیفولد سمپلتیک ) ساختار Spinc دارد . به همین ترتیب، هر بسته بردار پیچیده روی یک منیفولد دارای ساختار Spin c است . [ 27 ]

تجزیه کلبش-گوردان

[ ویرایش ]

تعدادی از تجزیه کلبش-گوردان بر روی حاصل ضرب تانسور یک نمایش اسپین با دیگری امکان پذیر است . [ 28 ] این تجزیه ها حاصل ضرب تانسور را بر حسب نمایش های متناوب گروه متعامد بیان می کنند.

برای مورد واقعی یا پیچیده، بازنمایی های متناوب هستند

Γ r = Λ r V ، نمایش گروه متعامد بر روی تانسورهای اریب رتبه r .

علاوه بر این، برای گروه های متعامد واقعی، سه کاراکتر (نمایش های یک بعدی) وجود دارد.

σ + : O( p , q ) → {−1, +1} با σ + (R) = -1 داده می شود ، اگر R جهت فضایی V را معکوس کند ، +1، اگر R جهت فضایی V را حفظ کند . ( شخصیت فضایی .)
σ − : O( p , q ) → {−1, +1} با σ − (R) = −1 داده می شود ، اگر R جهت زمانی V را معکوس کند ، +1، اگر R جهت زمانی V را حفظ کند . ( شخصیت زمانی .)
σ = σ + σ − . ( شخصیت جهت گیری .)

تجزیه کلبش-گوردان به فرد اجازه می دهد تا از جمله موارد زیر را تعریف کند:

عمل اسپینورها روی بردارها.
یک متریک هرمیتی در بازنمایی پیچیده گروه‌های اسپین واقعی.
یک عملگر دیراک در هر نمایش اسپین.

حتی ابعاد

[ ویرایش ]

اگر n = 2 k زوج باشد، حاصل ضرب تانسور Δ با نمایش متناقض به صورت تجزیه می شود

$\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\ چپ (\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}$ که به صراحت با در نظر گرفتن (در ساختار صریح) عمل جبر کلیفورد بر روی عناصر تجزیه پذیر αω ⊗ βω ′ قابل مشاهده است . سمت راست ترین فرمول از ویژگی های تبدیل عملگر ستاره هاج ناشی می شود . توجه داشته باشید که در محدود کردن جبر کلیفورد زوج، جمع‌های جفتی Γ p⊕ σ Γ p هم شکل هستند ، اما در جبر کلیفورد کامل نیستند.

یک شناسایی طبیعی Δ با نمایش متناقض آن از طریق صرف در جبر کلیفورد وجود دارد:

$(\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).$ بنابراین Δ ⊗ Δ نیز به روش بالا تجزیه می شود. علاوه بر این، در جبر زوج کلیفورد، نمایش‌های نیم‌چرخشی تجزیه می‌شوند

${\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p +1}\end{تراز شده}}$

برای نمایش های پیچیده جبرهای کلیفورد واقعی، ساختار واقعیت مرتبط در جبر پیچیده کلیفورد به فضای اسپینورها فرود می آید (مثلاً از طریق ساخت صریح بر حسب ایده آل های حداقلی). به این ترتیب، مزدوج مختلط Δ نمایش Δ را به دست می آوریم و ایزومورفیسم زیر برقرار است: ${\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}$

به طور خاص، توجه داشته باشید که نمایش Δ گروه اسپین متعامد یک نمایش واحد است . به طور کلی، تجزیه کلبش-گوردان وجود دارد

$\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{ +}\Gamma _{p}\right).$

در امضای متریک ( p , q ) ، ایزومورفیسم های زیر برای نمایش نیم چرخش مزدوج برقرار است.

اگر q زوج باشد، پس ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}$ و ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.$
اگر q فرد باشد، پس ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}$ و ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.$

با استفاده از این ایزومورفیسم‌ها، می‌توان تجزیه‌های مشابهی را برای محصولات تانسوری نمایش‌های نیمه اسپین Δ ± ⊗ Δ ± استنباط کرد .

ابعاد فرد و زوج

[ ویرایش ]

اگر n = 2 k + 1 فرد باشد، پس

$\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.$ در مورد واقعی، یک بار دیگر ایزومورفیسم برقرار است

${\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.$ از این رو یک تجزیه کلبش-گوردان وجود دارد (دوباره با استفاده از ستاره هاج برای دوگانه سازی) ارائه شده توسط $\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \ سیگما _{\pm }\گاما _{k}$

پیامدها

[ ویرایش ]

پیامدهای گسترده بسیاری از تجزیه کلبش-گوردان در فضاهای اسپینور وجود دارد. اساسی ترین آنها مربوط به نظریه دیراک در مورد الکترون است که از جمله الزامات اساسی آن است

روشی برای در نظر گرفتن حاصل ضرب دو اسپینور ϕ ψ به عنوان اسکالر. از نظر فیزیکی، یک اسپینور باید دامنه احتمال را برای حالت کوانتومی تعیین کند .
روشی برای در نظر گرفتن محصول ψ φ به عنوان یک بردار. این ویژگی اساسی نظریه دیراک است که فرمالیسم اسپینور را به هندسه فضای فیزیکی گره می زند.
روشی برای در نظر گرفتن اسپینور که بر روی یک بردار عمل می کند، با عبارتی مانند ψv ψ . از نظر فیزیکی، این یک جریان الکتریکی نظریه الکترومغناطیسی ماکسول یا به طور کلی یک جریان احتمالی است .

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:41 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-اسپینور

سه بعدی

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اسپینورهای سه بعدی و کواترنیون و چرخش فضایی

جبر کلیفورد Cℓ 3,0 (آر $\mathbb {R}$ ) بر اساس یک واحد اسکالر، 1، سه بردار واحد متعامد، σ 1 ، σ 2 و σ 3 ، سه دو بردار واحد σ 1 σ 2 ، σ 2 σ 3 ، σ 3 σ 1 و شبه مقیاس i ساخته شده است.

= σ 1 σ 2 σ 3 . ساده است که نشان دهیم

( σ 1 ) 2 = ( σ 2 ) 2 = ( σ 3 ) 2 = 1 ، و ( σ 1 σ 2 ) 2 = ( σ 2 σ 3 ) 2 = ( σ 3 σ 1 ) 2 = ( σ 1 σ 2 σ 3 ) 2 = -1 .

جبر فرعی عناصر دارای درجه زوج از اتساع اسکالر تشکیل شده است.

$u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}= \rho تو،$ و چرخش های برداری

$u'=\گاما u\گاما ^{*}،$

که

$\left.{\begin{aligned}\gamma &=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i \{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin \left({\frac {\theta {2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-iv\sin \left({\frac {\theta }{2}}\ راست)\end{تراز شده}}\راست\}$

ا( 1 )

مربوط به چرخش بردار از طریق زاویه θ حول محوری است که توسط یک بردار واحد تعریف شده است

v = a 1 σ 1 + a 2 σ 2 + a 3 σ 3 .

به عنوان یک مورد خاص، به راحتی می توان دریافت که، اگر v = σ 3 , این چرخش σ 1 σ 2 در نظر گرفته شده در بخش قبل را بازتولید می کند. و اینکه چنین چرخشی ضرایب بردارها در جهت σ 3 را ثابت می گذارد، زیرا

$\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\ راست)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.$

دوبردار σ 2 σ 3 ، σ 3 σ 1 و σ 1 σ 2 در واقع ربع های همیلتون i ، j و k هستند که در سال 1843 کشف شدند:

${\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{تراز شده}}$

با شناسایی عناصر زوج با جبر $\mathbb {H}$ از رباعی ها، همانطور که در مورد دو بعد، تنها نمایش جبر عناصر درجه بندی زوج بر روی خود است. [ t ] بنابراین اسپینورهای (حقیقی[ u ] ) در سه بعدی، چهارتایی هستند، و عمل یک عنصر با درجه زوج بر روی یک اسپینر با ضرب چهارگانه معمولی به دست می آید.

توجه داشته باشید که عبارت (1) برای چرخش بردار از طریق یک زاویه θ ، زاویه ظاهر شده در γ نصف شد . بنابراین چرخش اسپینور γ ( ψ ) = γψ (ضرب چهارتایی معمولی) اسپینور ψ را در یک زاویه نصف اندازه زاویه چرخش بردار مربوطه می چرخاند. یک بار دیگر، مشکل بالا بردن یک چرخش برداری به یک چرخش اسپینور دو مقدار است: عبارت (1) با (180° + θ /2) به جای θ /2 چرخش برداری یکسانی را ایجاد می کند، اما منفی چرخش اسپینور

نمایش اسپینور/کواترنیون چرخش ها در سه بعدی به دلیل مختصر قابل توجه ماتریس اسپین مربوطه، و سادگی که می توان آنها را با هم ضرب کرد تا اثر ترکیبی چرخش های متوالی را محاسبه کرد، در هندسه کامپیوتر و سایر کاربردها به طور فزاینده ای رایج می شود. محورهای مختلف

ساخت و سازهای صریح

[ ویرایش ]

فضایی از اسپینورها را می توان به صراحت با سازه های بتنی و انتزاعی ساخت. هم ارزی این ساختارها نتیجه منحصر به فرد بودن نمایش اسپینور جبر پیچیده کلیفورد است. برای مثال کامل در بعد 3، اسپینرهای سه بعدی را ببینید .

اسپینورهای کامپوننت

[ ویرایش ]

با توجه به فضای برداری V و شکل درجه دوم g، یک نمایش ماتریسی صریح از جبر کلیفورد Cℓ( V , g ) را می توان به صورت زیر تعریف کرد. یک مبنای متعارف e 1 ... e n را برای V انتخاب کنید ، یعنی g ( e μ e ν ) = η μν که در آن η μμ = ±1 و η μν = 0 برای μ ≠ ν . اجازه دهید k = ⌊ n /2⌋ . مجموعه ای از 2 k × 2 k ماتریس γ 1 ... γ n را به گونه ای ثابت کنید که γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μν 1

(یعنی یک قرارداد را برای ماتریس های گاما ثابت کنید ). سپس انتساب e μ → γ μ به طور منحصر به فرد به هم شکلی جبر

Cℓ( V , g ) → Mat(2 k , $\mathbb {C}$ ) با ارسال مونومی e μ 1 ⋅⋅⋅ e μ k در جبر کلیفورد به حاصل ضرب γ μ 1 ⋅⋅⋅ γ μ k ماتریس و گسترش خطی. فضا $\Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}$ که ماتریس های گاما روی آن عمل می کنند، اکنون فضایی از اسپینورها است. با این حال، باید چنین ماتریس هایی را به صراحت بسازید. در بعد 3، تعریف ماتریس‌های گاما به عنوان ماتریس‌های سیگما پائولی، اسپینورهای آشنای دو جزء را که در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی استفاده می‌شوند، به وجود می‌آورد . به همین ترتیب استفاده از ماتریس های گامای 4×4 دیراک باعث ایجاد اسپینورهای 4 جزء دیراک می شود که در نظریه میدان کوانتومی نسبیتی 3+1 بعدی استفاده می شوند . به طور کلی، برای تعریف ماتریس های گاما از نوع مورد نیاز، می توان از

ماتریس های Weyl-Brauer استفاده کرد .

در این ساختار، نمایش جبر کلیفورد Cℓ( V , g ) ، جبر دروغ so ( V , g ) و گروه Spin Spin( V , g ) همگی به انتخاب مبنای متعارف و انتخاب بستگی دارد. ماتریس های گاما این می تواند باعث سردرگمی در مورد قراردادها شود، اما متغیرهایی مانند ردیابی مستقل از انتخاب هستند. به ویژه، همه کمیت های قابل مشاهده فیزیکی باید مستقل از چنین انتخاب هایی باشند. در این ساختار یک اسپینور را می توان به عنوان بردار 2 k اعداد مختلط نشان داد و با شاخص های اسپینور (معمولا α ، β ، γ ) نشان داده می شود. در ادبیات فیزیک، چنین شاخص‌هایی اغلب برای نشان دادن اسپینورها استفاده می‌شوند، حتی زمانی که از ساختار اسپینور انتزاعی استفاده می‌شود.

اسپینورهای انتزاعی

[ ویرایش ]

حداقل دو روش متفاوت، اما اساساً معادل، برای تعریف انتزاعی اسپینورها وجود دارد. یک رویکرد به دنبال شناسایی ایده‌آل‌های حداقلی برای عمل چپ Cℓ( V , g ) بر روی خود است. اینها فضاهای فرعی جبر کلیفورد به شکل Cℓ( V , g ) ω هستند که عمل آشکار Cℓ ( V , g ) را با ضرب چپ می پذیرند: c : xω → cxω . دو نوع تغییر در این موضوع وجود دارد: می‌توان یک عنصر بدوی ω را که یک عنصر nilpotent جبر کلیفورد است پیدا کرد، یا یکی که یک عنصر بی‌توان است . ساختن از طریق عناصر nilpotent از این نظر اساسی‌تر است که ممکن است یک ناتوان از آن تولید شود. [ 23 ] به این ترتیب، نمایش‌های اسپینور با فضاهای فرعی خاصی از خود جبر کلیفورد شناسایی می‌شوند. روش دوم این است که یک فضای برداری با استفاده از یک زیرفضای متمایز V بسازیم ، و سپس عمل جبر کلیفورد را به صورت خارجی در فضای برداری مشخص کنیم.

در هر دو رویکرد، مفهوم اساسی یک زیرفضای همسانگرد W است . هر ساخت و ساز به آزادی اولیه در انتخاب این زیرفضا بستگی دارد. از نظر فیزیکی، این با این واقعیت مطابقت دارد که هیچ پروتکل اندازه گیری وجود ندارد که بتواند مبنایی از فضای چرخش را مشخص کند، حتی اگر مبنای ترجیحی V داده شود.

همانطور که در بالا، اجازه می دهیم ( V , g ) یک فضای برداری پیچیده n بعدی باشد که مجهز به یک فرم دوخطی غیرمنحط است. اگر V یک فضای برداری واقعی باشد، V را با پیچیدگی آن جایگزین می کنیم $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ و اجازه دهید g شکل دوخطی القایی را نشان دهد $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ . فرض کنید W یک زیرفضای همسانگرد حداکثر باشد، یعنی یک زیرفضای ماکزیمم V به طوری که g | W = 0 . اگر n = 2 k زوج باشد، بگذارید W یک زیرفضای همسانگرد مکمل W باشد . اگر n = 2 k + 1 فرد باشد، اجازه دهید W یک زیرفضای همسانگرد حداکثر با W ∩ W ′ = 0 باشد ، و اجازه دهید U مکمل متعامد W ⊕ W باشد . در هر دو حالت زوج و فرد ، W و W دارای بعد k هستند . در حالت فرد بعدی، U یک بعدی است که توسط یک بردار واحد u پوشانده شده است .

ایده آل های حداقلی

[ ویرایش ]

از آنجایی که W همسانگرد است ، ضرب عناصر W در داخل Cℓ( V , g ) چوله است . از این رو بردارها در W " ضد جابجایی، و

Cℓ( W " ، g | W " ) = Cℓ( W " , 0) فقط جبر بیرونی Λ ∗ W " است . در نتیجه، حاصلضرب k برابر W با خودش، W ′ k ، یک بعدی است. فرض کنید ω مولد W ' k باشد . بر حسب مبنای w 1 , ..., w k of در W ، یک امکان این است که

$\omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.$

توجه داشته باشید که ω 2 = 0

(یعنی ω nilpotent از مرتبه 2 است)، و علاوه بر این، w ′ ω = 0 برای همه w ′ ∈ W ′ . حقایق زیر را می توان به راحتی اثبات کرد:

اگر n = 2 k , پس ایده آل سمت چپ Δ = Cℓ( V , g ) ω یک ایده آل چپ حداقل است. علاوه بر این، این به دو فضای چرخشی Δ + = Cℓ زوج ω و Δ - = Cℓ ω فرد بر اساس محدودیت به عمل جبر کلیفورد تقسیم می شود.
اگر n = 2 k + 1 ، آنگاه عمل بردار واحد u بر روی ایده آل سمت چپ Cℓ( V , g ) ω فضا را به یک جفت فضاهای ویژه غیر قابل تقلیل هم شکل (هر دو با Δ نشان داده می شوند) تجزیه می کند که مربوط به مقادیر ویژه + مربوطه است. 1 و -1.

در جزئیات، برای مثال فرض کنید n زوج است. فرض کنید I یک ایده آل چپ غیر صفر است که در Cℓ( V , g ) ω . ما نشان خواهیم داد که I باید برابر با Cℓ( V , g ) ω باشد با اثبات اینکه آن حاوی یک مضرب اسکالر غیرصفر از ω است .

یک پایه w i از W و یک پایه مکمل w i " از W " را ثابت کنید تا

w i w j ′ + w j ′ w i = δ ij , و

( w i ) 2 = 0، ( w i ′) 2 = 0.

توجه داشته باشید که هر عنصر I باید شکل αω را داشته باشد ، به موجب این فرض ما که

I ⊂ Cℓ( V , g ) ω . فرض کنید αω ∈ I چنین عنصری باشد. با استفاده از مبنای انتخاب شده، ممکن است بنویسیم

$\alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}$ که در آن a i 1 ... i p اسکالر هستند و B j عناصر کمکی جبر کلیفورد هستند. اکنون توجه کنید که م

$\alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}} \cdots w_{i_{p}}\omega .$ هر تک جمله a غیر صفر را در بسط α با حداکثر درجه همگن در عناصر w i انتخاب کنید :

$a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}$

(بدون جمع بندی ضمنی)، پسwحداکثر

$w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\ امگا$ مضرب اسکالر غیر صفر از ω است ، در صورت لزوم.

توجه داشته باشید که برای n زوج، این محاسبه نیز آن را نشان می دهد

$\Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega$

به عنوان یک فضای برداری در آخرین برابری دوباره استفاده کردیم که W همسانگرد است. از نظر فیزیک، این نشان می دهد که Δ با ایجاد اسپینرها با استفاده از عملگرهای ایجاد ضد رفت و آمد در W که بر روی خلاء ω عمل می کنند، مانند یک فضای Fock ساخته می شود

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:40 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-اسپینور

تاریخچه

[ ویرایش ]

کلی ترین شکل ریاضی اسپینورها توسط الی کارتان در سال 1913 کشف شد. [ 12 ] کلمه "spinor" توسط پل ارنفست در کار خود در مورد فیزیک کوانتومی ابداع شد . [ 13 ]

اسپینورها برای اولین بار توسط ولفگانگ پائولی در سال 1927، زمانی که ماتریس های اسپین خود را معرفی کرد، در فیزیک ریاضی به کار بردند . [ 14 ] سال بعد، پل دیراک با نشان دادن ارتباط بین اسپینورها و گروه لورنتس ، نظریه کاملاً نسبیتی اسپین الکترون را کشف کرد . [ 15 ] در دهه 1930، دیراک، پیت هاین و دیگران در مؤسسه نیلز بور (در آن زمان به عنوان مؤسسه فیزیک نظری دانشگاه کپنهاگ شناخته می‌شد) اسباب‌بازی‌هایی مانند Tangloids را برای آموزش و مدل‌سازی حساب اسپینورها ساختند.

فضاهای اسپینور به عنوان ایده آل های چپ یک جبر ماتریسی در سال 1930 توسط گوستاو یووت [ 16 ] و توسط فریتز ساتر ارائه شد . [ 17 ] [ 18 ] به طور خاص، به جای نمایش اسپینرها به عنوان بردارهای ستون دو بعدی با ارزش مختلط همانطور که پائولی انجام داده بود، آنها را به عنوان ماتریس های 2×2 با ارزش مختلط نشان دادند که در آن فقط عناصر ستون سمت چپ غیر صفر هستند. به این ترتیب فضای اسپینور به یک ایده آل چپ مینیمال در Mat (2, $\mathbb {C}$ ) . [ r ] [ 20 ]

در سال 1947 مارسل ریس فضاهای اسپینور را به عنوان عناصری از ایده آل چپ حداقلی جبرهای کلیفورد ساخت . در سال 1966/1967، دیوید هستنس [ 21 ] [ 22 ] فضاهای اسپینور را با زیر جبر یکنواخت Cℓ 0 1,3 جایگزین کرد . $\mathbb {R}$ ) جبر فضازمان Cℓ 1,3 (آر $\mathbb {R}$ ). [ 18 ] [ 20 ] از دهه 1980، گروه فیزیک نظری در کالج Birkbeck در اطراف دیوید بوم و باسیل هیلی در حال توسعه رویکردهای جبری برای نظریه کوانتومی است که بر اساس شناسایی Sauter و Riesz از اسپینورها با حداقل ایده‌آل چپ است.

نمونه ها

[ ویرایش ]

چند مثال ساده از اسپینورها در ابعاد پایین از در نظر گرفتن زیرجبرهای زوج درجه بندی جبر کلیفورد Cℓ p , q (آر $\mathbb {R}$ ) . این جبری است که از یک مبنای متعامد از n = p + q بردار متعامد متعامد تحت جمع و ضرب ساخته شده است که p آنها دارای هنجار +1 و q از آنها دارای هنجار -1 هستند، با قانون حاصلضرب برای بردارهای پایه

$e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots,p)\\-1&i=j,\,i\in (p +1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{موارد}}$

دو بعدی

[ ویرایش ]

جبر کلیفورد Cℓ 2,0 (آر $\mathbb {R}$ ) بر اساس یک واحد اسکالر، 1، دو بردار واحد متعامد، σ 1 و σ 2 ، و یک واحد شبه مقیاس i = σ 1 σ 2 ساخته شده است . از تعاریف بالا، آشکار است که

( σ 1 ) 2 = ( σ 2 ) 2 = 1

، و ( σ 1 σ 2 ) ( σ 1 σ 2 ) = -- σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 = - 1 .

زیر جبر زوج Cℓ 0 2,0 (آر $\mathbb {R}$ ) که توسط عناصر پایه با درجه زوج Cℓ 2,0 (آر $\mathbb {R}$ )، فضای اسپینورها را از طریق نمایش های خود تعیین می کند. از ترکیبات خطی حقیقی1 و σ 1 σ 2 ساخته شده است . به عنوان یک جبر حقیقی، Cℓ 0 2,0 ( $\mathbb {R}$ ) با میدان اعداد مختلط هم شکل است $\mathbb {C}$ . در نتیجه، یک عملیات صرف (مشابه با صرف پیچیده ) را می پذیرد، که گاهی اوقات معکوس عنصر کلیفورد نامیده می شود، که توسط

$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.$

که با روابط کلیفورد می توان نوشت

$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=ab\sigma _{1}\sigma _{2}.$

عمل یک عنصر زوج کلیفورد

γ ∈ Cℓ 0 2,0 ( $\mathbb {R}$ ) بر روی بردارها، به عنوان عناصر درجه بندی 1 Cℓ 2,0 ( $\mathbb {R}$ )، با نگاشت یک بردار کلی

u = a 1 σ 1 + a 2 σ 2 به بردار تعیین می شود . $\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}،$ کج $\gamma ^{*}$ مزدوج است $\gamma$ و حاصل ضرب کلیفورد است. در این وضعیت، اسپینور [ s ] یک عدد مختلط معمولی است. عمل از $\gamma$ روی یک اسپینور $\phi$ با ضرب مختلط معمولی به دست می آید: $\gamma (\phi )=\gamma \phi.$

یکی از ویژگی های مهم این تعریف، تمایز بین بردارهای معمولی و اسپینورها است که در نحوه عملکرد عناصر با درجه زوج بر روی هر یک از آنها به طرق مختلف آشکار می شود. به طور کلی، بررسی سریع روابط کلیفورد نشان می‌دهد که عناصر درجه‌بندی شده با بردارهای معمولی ترکیب می‌شوند: $\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.$

از طرفی در مقایسه با عملکرد آن روی اسپینورها

$\gamma (\phi )=\gamma \phi$ ، عمل از $\gamma$ در بردارهای معمولی به عنوان مربع عمل آن روی اسپینورها ظاهر می شود.

برای مثال، مفهومی که این امر برای چرخش های صفحه دارد را در نظر بگیرید. چرخش یک بردار از طریق زاویه θ مطابق با

γ2 = exp( θ σ 1 σ 2 ) است ، به طوری که عمل مربوطه روی اسپینورها از طریق

γ = ± exp( θ σ 1 σ 2 / 2) است . به طور کلی، به دلیل انشعاب لگاریتمی ، انتخاب یک علامت به صورت ثابت غیرممکن است. بنابراین نمایش چرخش های صفحه روی اسپینورها دو مقدار است.

در کاربرد اسپینرها در دو بعد، استفاده از این واقعیت که جبر عناصر زوج درجه بندی شده (که فقط حلقه اعداد مختلط است) با فضای اسپینورها یکسان است، رایج است. بنابراین، با سوء استفاده از زبان ، این دو اغلب با هم ترکیب می شوند. سپس می توان در مورد "عمل یک اسپینور بر روی یک بردار" صحبت کرد. در یک محیط کلی، چنین اظهاراتی بی معنی است. اما در ابعاد 2 و 3 (مثلاً برای گرافیک کامپیوتری اعمال می شود ) آنها منطقی هستند.

نمونه ها

[ ویرایش ]

عنصر درجه زوج $\gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})$ مربوط به چرخش برداری 90 درجه از σ 1 در اطراف به سمت σ 2 است که می توان با تأیید اینکه ${\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{ 2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}$ این مربوط به چرخش اسپینور فقط 45 درجه است، اما: ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1} \sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}$
به طور مشابه، عنصر با درجه زوج γ = - σ 1 σ 2 مربوط به چرخش برداری 180 درجه است: $(-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2 }\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}$ اما چرخش اسپینور فقط 90 درجه است: $(-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_ {1}\sigma _{1}\sigma _{2}$
در ادامه، عنصر با درجه زوج γ = -1 مربوط به چرخش برداری 360 درجه است:
$(-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+ a_{2}\sigma _{2}$ اما چرخش اسپینور 180 درجه.

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:39 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-اسپینور

تعریف ریاضی

[ ویرایش ]

برای تعریف ابتدایی تر، همچنین ببینید: اسپینرها در سه بعدی

فضای اسپینورها به طور رسمی به عنوان نمایش اساسی جبر کلیفورد تعریف می شود . (این ممکن است به نمایش‌های کاهش‌ناپذیر تجزیه شود یا نباشد.) فضای اسپینورها ممکن است به عنوان نمایش چرخشی جبر لی متعامد نیز تعریف شود . این نمایش‌های چرخشی نیز به‌عنوان نمایش‌های تصویری با بعد محدود گروه متعامد ویژه مشخص می‌شوند که از طریق نمایش‌های خطی فاکتور نمی‌شوند. به طور معادل، اسپینور عنصری از نمایشگر گروهی با ابعاد محدود از گروه اسپین است که مرکز به طور غیر پیش پا افتاده بر روی آن عمل می کند.

نمای کلی

[ ویرایش ]

اساساً دو چارچوب برای مشاهده مفهوم اسپینور وجود دارد: دیدگاه نظری بازنمایی و دیدگاه هندسی .

دیدگاه نظری بازنمایی

[ ویرایش ]

از نقطه نظر تئوری بازنمایی ، از قبل می‌دانیم که برخی از نمایش‌های جبر لی گروه متعامد وجود دارد که نمی‌توان آن‌ها را با ساختارهای تانسوری معمولی تشکیل داد. سپس این نمایش‌های گمشده به عنوان نمایش‌های چرخشی و اجزای تشکیل‌دهنده آن‌ها به عنوان spinors شناخته می‌شوند . از این دیدگاه، یک اسپینر باید به نمایشی از پوشش دوتایی گروه چرخشی SO( n , $\mathbb {R}$ ) یا به طور کلی یک پوشش دوتایی از گروه متعامد ویژه تعمیم یافته SO + ( p , q , $\mathbb {R}$ ) در فضاهایی با امضای متریک ( p , q ) . این پوشش‌های دوتایی گروه‌های Lie هستند که به آنها گروه‌های اسپین Spin( n ) یا Spin( p , q ) می‌گویند . تمام خواص اسپینورها و کاربردهای آنها و اشیاء مشتق شده، ابتدا در گروه اسپین آشکار می شود. نمایش پوشش‌های دوگانه این گروه‌ها، بازنمایی‌های تصویری با ارزش دوگانه از خود گروه‌ها را به دست می‌دهد. (این بدان معنی است که عمل یک چرخش خاص بر روی بردارها در فضای هیلبرت کوانتومی فقط تا یک علامت تعریف می شود.)

به طور خلاصه، یک نمایش مشخص شده توسط داده ها ارائه می شود $(V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )$ که $V$ یک فضای برداری است $K=\mathbb {R}$ یا $\mathbb {C}$ و $\rho$ هممورفیسم است $\rho :{\text{Spin}}(p,q)\right arrow {\text{GL}}(V)$ اسپینور عنصری از فضای برداری استV $V$ .

دیدگاه هندسی

[ ویرایش ]

از نقطه نظر هندسی، می توان به صراحت اسپینورها را ساخت و سپس نحوه رفتار آنها را تحت عمل گروه های Lie مربوطه بررسی کرد. این رویکرد اخیر این مزیت را دارد که یک توصیف ملموس و ابتدایی از چیستی اسپینور ارائه می‌کند. با این حال، چنین توصیفی زمانی دشوار می شود که ویژگی های پیچیده اسپینورها، مانند هویت های Fierz ، مورد نیاز باشد.

جبرهای کلیفورد

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: جبر کلیفورد

زبان جبرهای کلیفورد [ 5 ] (گاهی اوقات جبرهای هندسی نامیده می‌شود ) تصویر کاملی از نمایش‌های چرخشی همه گروه‌های اسپین و روابط مختلف بین آن نمایش‌ها را از طریق طبقه‌بندی جبرهای کلیفورد ارائه می‌دهد . تا حد زیادی نیاز به ساخت و سازهای موردی را برطرف می کند .

در جزئیات، فرض کنید V یک فضای برداری پیچیده با ابعاد محدود با فرم متقارن دوخطی g باشد . جبر کلیفورد Cℓ( V , g ) جبری است که توسط V به همراه رابطه ضد جابجایی xy + yx = 2 g ( x , y ) ایجاد می شود . این یک نسخه انتزاعی از جبر است که توسط ماتریس های گاما یا پائولی ایجاد شده است . اگر V = $\mathbb {C} ^{n}$ با شکل استاندارد g ( x , y ) = x T y = x 1 y 1 + ... + x n y n جبر کلیفورد را با Cℓ n نشان می دهیم (سی $\mathbb {C}$ ). از آنجایی که با انتخاب یک مبنای متعارف، هر فضای برداری پیچیده با شکل غیر منحط نسبت به این مثال استاندارد هم شکل است، اگر کم نور باشد، از این نماد به طور کلی سوء استفاده می شود.

$\mathbb {C}$ ( V ) = n . اگر n = 2 k زوج باشد، Cℓ n ( $\mathbb {C}$ ) به عنوان یک جبر (به روشی غیر منحصر به فرد) به جبر Mat(2 k ) هم شکل است ، $\mathbb {C}$ ) از ماتریس های مختلط 2 k × 2 k (توسط قضیه آرتین-ودربرن و اثبات آسان این واقعیت که جبر کلیفورد ساده مرکزی است ). اگر n = 2 k + 1 فرد باشد، Cℓ 2 k +1 ( $\mathbb {C}$ ) با جبر Mat (2 k ) هم شکل است ، $\mathbb {C}$ ) ⊕ (2 k ، $\mathbb {C}$ ) از دو کپی از ماتریس های پیچیده 2 k × 2 k . بنابراین، در هر صورت Cℓ( V , g ) یک نمایش منحصر به فرد (تا هم ریختی) تقلیل ناپذیر دارد (که مدول ساده کلیفورد نیز نامیده می شود )، که معمولاً با Δ، با بعد 2 [ n /2] نشان داده می شود . از آنجایی که جبر لیso ( V , g ) به عنوان یک جبر Lie در Cℓ( V , g ) مجهز به کموتاتور جبر کلیفورد به عنوان براکت Lie تعبیه شده است، فضای Δ نیز یک نمایش جبر لی از ( V , g ) است که به آن می گویند . یک نمایندگی چرخشی . اگر n فرد باشد، این نمایش جبر لی غیر قابل تقلیل است. اگر n زوج باشد، بیشتر [ توضیحات لازم ] را به دو نمایش غیرقابل تقلیل ⊕ Δ- تقسیم می‌کند که نمایش‌های ویل یا نیمه اسپین نامیده می‌شوند .

نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بر روی واقعی‌ها در مواردی که V یک فضای برداری واقعی است بسیار پیچیده‌تر است و خواننده برای جزئیات بیشتر به مقاله جبر کلیفورد ارجاع داده می‌شود.

گروه های چرخش

[ ویرایش ]

نمایش اسپین Δ یک فضای برداری است مجهز به نمایشی از گروه اسپین که از طریق نمایش گروه متعامد (ویژه) فاکتور نمی گیرد. فلش های عمودی یک توالی دقیق کوتاه را نشان می دهند .

اسپینورها یک فضای برداری را تشکیل می دهند ، معمولاً روی اعداد مختلط ، مجهز به نمایش گروهی خطی از گروه اسپین که از طریق نمایش گروه چرخش ها فاکتور نمی گیرد (نمودار را ببینید). گروه اسپین گروهی از چرخش ها است که کلاس هموتوپی را دنبال می کند. اسپینرها برای رمزگذاری اطلاعات اولیه در مورد توپولوژی گروه چرخش مورد نیاز هستند زیرا آن گروه به سادگی متصل نیست ، اما گروه اسپین متصل به سادگی پوشش دوگانه آن است . بنابراین برای هر چرخش دو عنصر از گروه اسپین وجود دارد که آن را نشان می دهد. بردارهای هندسی و سایر تانسورها نمی توانند تفاوت بین این دو عنصر را احساس کنند، اما هنگامی که بر هر اسپینور زیر نمایش تأثیر می گذارند، علائم متضاد ایجاد می کنند. با در نظر گرفتن عناصر گروه اسپین به‌عنوان کلاس‌های هموتوپی خانواده‌های یک پارامتری چرخش، هر چرخش با دو کلاس هموتوپی مجزا از مسیرهای هویت نشان داده می‌شود. اگر یک خانواده یک پارامتری از چرخش ها به عنوان یک روبان در فضا تجسم شود، با پارامتر طول قوس آن نوار (قاب مماس، نرمال، دوطبیعی آن در واقع چرخش را می دهد)، آنگاه این دو کلاس هموتوپی متمایز در تصویر نشان داده می شوند. دو حالت پازل ترفند کمربند (در بالا). فضای اسپینورها یک فضای برداری کمکی است که می تواند به صراحت در مختصات ساخته شود، اما در نهایت فقط تا هم شکلی وجود دارد، زیرا هیچ ساخت طبیعی از آنها وجود ندارد که بر انتخاب های دلخواه مانند سیستم های مختصات متکی نباشد. تصوری از اسپینورها را می‌توان، به عنوان یک شی ریاضی کمکی، با هر فضای برداری مجهز به فرم درجه دوم مانند فضای اقلیدسی با حاصل ضرب نقطه استاندارد آن ، یا فضای مینکوفسکی با متریک لورنتس آن مرتبط کرد . در مورد دوم، «چرخش‌ها» شامل تقویت‌های لورنتس می‌شوند ، اما در غیر این صورت تئوری اساساً مشابه است. [ نیازمند منبع ]

میدان های اسپینور در فیزیک

[ ویرایش ]

ساختارهای ارائه شده در بالا، از نظر جبر کلیفورد یا تئوری نمایش، را می توان به عنوان تعریف اسپینورها به عنوان اجسام هندسی در فضا-زمان صفر بعدی در نظر گرفت . برای به دست آوردن اسپینورهای فیزیک، مانند اسپینور دیراک ، ساختار را برای به دست آوردن ساختار چرخشی در فضا-زمان 4 بعدی ( فضای مینکوفسکی ) گسترش می دهیم. به طور موثر، شخص با منیفولد مماس فضا-زمان، که هر نقطه آن یک فضای برداری 4 بعدی با تقارن SO(3،1) است، شروع می‌شود و سپس گروه اسپین را در هر نقطه می‌سازد. همسایگی نقاط دارای مفاهیم صافی و تمایز پذیری است: ساختار استاندارد یکی از بسته‌های الیافی است که الیاف آن فضاهای پیوندی هستند که در زیر گروه چرخش تغییر شکل می‌دهند. پس از ساختن دسته فیبر، می توان معادلات دیفرانسیل مانند معادله دیراک یا معادله ویل روی بسته فیبر را در نظر گرفت. این معادلات (دیراک یا ویل) دارای راه حل هایی هستند که امواج مسطح هستند ، دارای تقارن های مشخصه الیاف، یعنی دارای تقارن اسپینورها، همانطور که از نظریه نمایش جبر/ اسپین کلیفورد (صفر بعدی) که در بالا توضیح داده شد به دست آمده است. چنین راه حل های موج صفحه (یا راه حل های دیگر) معادلات دیفرانسیل را می توان به درستی فرمیون نامید . فرمیون ها دارای ویژگی های جبری اسپینورها هستند. طبق قرارداد کلی، اصطلاحات "فرمیون" و "اسپینور" اغلب به جای یکدیگر در فیزیک به عنوان مترادف یکدیگر استفاده می شوند. [ نیازمند منبع ]

به نظر می رسد که تمام ذرات بنیادی در طبیعت که اسپین-1/2 هستند با معادله دیراک توصیف می شوند، به استثنای نوترینو . به نظر نمی رسد هیچ دلیل پیشینی برای این موضوع وجود داشته باشد. یک انتخاب کاملاً معتبر برای اسپینورها، نسخه غیرپیچیده Cℓ 2,2 (آر $\mathbb {R}$ ) , اسپینور مایورانا . [ 6 ] همچنین به نظر نمی‌رسد منع خاصی برای ظاهر شدن اسپینورهای ویل در طبیعت به‌عنوان ذرات بنیادی وجود داشته باشد.

اسپینورهای دیراک، ویل و مایورانا به هم مرتبط هستند و رابطه آنها را می توان بر اساس جبر هندسی واقعی روشن کرد. [ 7 ] اسپینورهای دیراک و ویل بازنمایی های پیچیده ای هستند در حالی که اسپینورهای مایورانا بازنمایی های واقعی هستند.

اسپینورهای ویل برای توصیف ذرات پرجرم، مانند الکترون‌ها کافی نیستند ، زیرا محلول‌های موج صفحه ویل لزوماً با سرعت نور حرکت می‌کنند. برای ذرات عظیم، معادله دیراک مورد نیاز است. ساخت اولیه مدل استاندارد فیزیک ذرات با هر دو الکترون و نوترینو به عنوان اسپینورهای ویل بدون جرم شروع می شود. مکانیسم هیگز به الکترون ها جرم می دهد. نوترینوی کلاسیک بدون جرم باقی ماند و بنابراین نمونه ای از اسپینور ویل بود. [ q ] با این حال، به دلیل نوسانات نوترینو مشاهده شده ، اکنون اعتقاد بر این است که آنها اسپینورهای Weyl نیستند، بلکه شاید در عوض اسپینورهای مایورانا هستند. [ 8 ] مشخص نیست که آیا ذرات بنیادی ویل اسپینور در طبیعت وجود دارند یا خیر.

وضعیت برای فیزیک ماده متراکم متفاوت است: می توان «فضا زمان» دو و سه بعدی را در طیف وسیعی از مواد فیزیکی مختلف، از نیمه هادی ها تا مواد بسیار عجیب تر ساخت. در سال 2015، یک تیم بین المللی به رهبری دانشمندان دانشگاه پرینستون اعلام کردند که شبه ذره ای را یافته اند که مانند فرمیون ویل رفتار می کند. [ 9 ]

اسپینورها در نظریه بازنمایی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: بازنمایی اسپین

یکی از کاربردهای ریاضی اصلی ساخت اسپینورها، امکان ساخت صریح نمایش های خطی جبرهای لی گروه های متعامد خاص ، و در نتیجه نمایش اسپینور خود گروه ها است. در سطح عمیق‌تری، اسپینورها در قلب رویکردهای قضیه شاخص آتیه-سینگر قرار دارند و ساختارهایی را به‌ویژه برای نمایش سری‌های گسسته گروه‌های نیمه ساده ارائه می‌دهند .

بازنمودهای اسپین جبرهای ویژه Lie متعامد از نمایش های تانسوری که توسط ساخت ویل توسط وزن ها ارائه شده است متمایز می شوند . در حالی که وزن‌های نمایش‌های تانسور ترکیب‌های خطی صحیح ریشه‌های جبر Lie هستند، وزن نمایش‌های اسپین ترکیب‌های خطی نیم‌صحیح آن‌ها هستند. جزئیات صریح را می توان در مقاله نمایندگی چرخش یافت .

تلاش برای درک شهودی

[ ویرایش ]

اسپینور را می‌توان به زبان ساده به‌عنوان «بردارهای فضایی توصیف کرد که دگرگونی‌های آن به شیوه‌ای خاص به چرخش‌های فضای فیزیکی مرتبط است». [ 10 ] به طور متفاوت بیان شده است:

اسپینورها ... یک نمایش خطی از گروه چرخش ها در یک فاصله با هر عددی را ارائه می دهند $n$ از ابعاد، هر اسپینر دارای $2^{\nu }$ اجزای که در آن $n=2\nu +1$ یا $2\nu$ . [ 2 ]

چندین راه برای نشان دادن قیاس های روزمره از نظر ترفند صفحه ، تانگلوئید و نمونه های دیگر از درهم تنیدگی جهت گیری فرموله شده است .

با این وجود، درک این مفهوم عموماً بسیار دشوار است، همانطور که توسط بیانیه مایکل آتیه که توسط زندگی نامه نگار دیراک، گراهام فارملو بیان شده است، نشان داده شده است:

هیچ کس به طور کامل اسپینورها را درک نمی کند. جبر آنها به طور رسمی درک شده است، اما اهمیت کلی آنها مرموز است. به نوعی آنها "ریشه مربع" هندسه را توصیف می کنند و همانطور که درک ریشه دوم −1 قرن ها طول کشید، همین امر ممکن است در مورد اسپینورها نیز صادق باشد. [ 11 ]

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-اسپینور

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

یک اسپینور که به‌عنوان یک بردار در امتداد نوار موبیوس تجسم می‌شود ، زمانی که دایره ("سیستم فیزیکی") به طور پیوسته در یک چرخش کامل 360 درجه می‌چرخد، یک وارونگی علامت را نشان می‌دهد. [ الف ]

در هندسه و فیزیک، اسپینورها (تلفظ "اسپینر" IPA / s p ɪ n ər / ) عناصر یک فضای برداری مبتنی بر عدد مختلط هستند که می توانند با فضای اقلیدسی مرتبط شوند . [ b ] هنگامی که فضای اقلیدسی تحت یک چرخش خفیف (بی نهایت کوچک) قرار می گیرد، یک اسپینور به صورت خطی تبدیل می شود ، اما برخلاف بردارها و تانسورهای هندسی ، یک اسپینور زمانی که فضا تا 360 درجه می چرخد، به منفی تبدیل می شود (تصویر را ببینید). چرخش 720 درجه طول می کشد تا یک اسپینور به حالت اولیه خود بازگردد. این ویژگی اسپینورها را مشخص می‌کند: اسپینرها را می‌توان به‌عنوان «ریشه‌های مربع» بردارها در نظر گرفت (اگرچه این نادرست است و ممکن است گمراه‌کننده باشد؛ آنها بهتر است به‌عنوان «ریشه‌های مربع» بخش‌های بسته‌های برداری مشاهده شوند - در مورد بسته جبر خارجی . از بسته نرم افزاری کتانژانت ، بنابراین آنها به "ریشه های مربع" اشکال دیفرانسیل تبدیل می شوند ).

همچنین می‌توان مفهوم تقریباً مشابهی از اسپینور را به فضای مینکوفسکی مرتبط کرد ، که در این صورت تبدیل‌های لورنتز نسبیت خاص نقش چرخش را بازی می‌کنند. اسپینورها در هندسه توسط الی کارتان در سال 1913 معرفی شدند. [ 1 ] [ d ] در دهه 1920، فیزیکدانان کشف کردند که اسپینورها برای توصیف تکانه زاویه ای ذاتی ، یا "اسپین" الکترون و دیگر ذرات زیراتمی ضروری هستند. [ e ]

اسپینورها با روش خاصی که در آن تحت چرخش رفتار می کنند مشخص می شوند. آنها نه تنها به چرخش نهایی کلی بلکه به جزییات چگونگی دستیابی به آن چرخش (توسط یک مسیر پیوسته در گروه چرخش ) به طرق مختلف تغییر می کنند. دو کلاس توپولوژیکی قابل تمایز ( کلاس های هموتوپی ) از مسیرها از طریق چرخش وجود دارد که منجر به چرخش کلی یکسان می شود، همانطور که توسط پازل ترفند کمربند نشان داده شده است . این دو کلاس نامتعادل تبدیل‌های اسپینور با علامت مخالف را ایجاد می‌کنند. گروه چرخش گروهی از تمام چرخش ها است که کلاس را ردیابی می کند. [ f ] گروه چرخش را دوبرابر پوشش می دهد، زیرا هر چرخش را می توان به دو روش نامتعادل به عنوان نقطه پایانی یک مسیر به دست آورد. فضای اسپینورها طبق تعریف مجهز به یک نمایش خطی (مختلط) از گروه اسپین است، به این معنی که عناصر گروه اسپین به‌عنوان تبدیل‌های خطی در فضای اسپینورها عمل می‌کنند ، به نحوی که واقعاً به کلاس هموتوپی بستگی دارد. [ g ] در شرایط ریاضی، اسپینورها با نمایش تصویری دو ارزشی از گروه چرخش SO(3) توصیف می‌شوند .

اگرچه اسپینورها را می‌توان صرفاً به‌عنوان عناصر فضای نمایشی از گروه اسپین (یا جبر لی از چرخش‌های بی‌نهایت کوچک) تعریف کرد، آنها معمولاً به عنوان عناصر یک فضای برداری تعریف می‌شوند که نمایش خطی جبر کلیفورد را حمل می‌کند . جبر کلیفورد یک جبر انجمنی است که می تواند از فضای اقلیدسی و محصول درونی آن به روشی مستقل از مبنا ساخته شود. هم گروه اسپین و هم جبر لی آن به روشی طبیعی در جبر کلیفورد تعبیه شده اند و در برنامه های کاربردی جبر کلیفورد اغلب ساده ترین کار با آن است. [ h ] فضای کلیفورد بر روی یک فضای اسپینور عمل می کند و عناصر یک فضای اسپینور اسپینور هستند. [ 3 ] پس از انتخاب یک مبنای متعارف فضای اقلیدسی، نمایشی از جبر کلیفورد توسط ماتریس‌های گاما ایجاد می‌شود ، ماتریس‌هایی که مجموعه‌ای از روابط متعارف ضد جابجایی را برآورده می‌کنند. اسپینورها بردارهای ستونی هستند که این ماتریس ها بر روی آنها عمل می کنند. برای مثال، در سه بعد اقلیدسی، ماتریس‌های اسپین پاولی مجموعه‌ای از ماتریس‌های گاما [ i ] و بردارهای ستون مختلط دو جزئی که این ماتریس‌ها بر روی آن‌ها عمل می‌کنند اسپینور هستند. با این حال، نمایش ماتریسی خاص جبر کلیفورد، از این رو آنچه دقیقاً یک "بردار ستونی" (یا اسپینور) را تشکیل می دهد، شامل انتخاب پایه و ماتریس های گاما به روشی اساسی است. به عنوان نمایشی از گروه اسپین، این تحقق اسپینرها به عنوان بردارهای ستونی (مختلط [ j ] ) یا غیر قابل کاهش خواهد بود اگر بعد فرد باشد، یا به یک جفت نمایش به اصطلاح "نیمه اسپین" یا ویل تجزیه می شود. اگر بعد زوج باشد [ k ]

مقدمه

[ ویرایش ]

چرخش تدریجی را می توان به عنوان یک روبان در فضا تجسم کرد. [ l ] دو چرخش تدریجی با کلاس های مختلف، یکی از 360 درجه و دیگری تا 720 درجه در اینجا در پازل حقه کمربند نشان داده شده است . راه حل این پازل دستکاری پیوسته کمربند، ثابت کردن نقاط انتهایی است که آن را باز می کند. این با چرخش 360 درجه غیرممکن است، اما با چرخش 720 درجه ممکن است. راه حلی که در انیمیشن دوم نشان داده شده است، یک هموتوپی صریح در گروه چرخش بین چرخش 720 درجه و چرخش هویت 0 درجه به دست می دهد.

جسمی که به تسمه یا ریسمان متصل است می تواند به طور پیوسته بدون گره خوردن بچرخد. توجه داشته باشید که بعد از اینکه مکعب چرخش 360 درجه را انجام داد، مارپیچ از پیکربندی اولیه خود برعکس می شود. تسمه ها پس از چرخش کامل 720 درجه به پیکربندی اولیه خود باز می گردند.

یک مثال شدیدتر که نشان می دهد این کار با هر تعداد رشته کار می کند. در حد، یک قطعه از فضای پیوسته جامد می تواند در جای خود مانند این بچرخد بدون اینکه پاره شود یا خود را قطع کند.

چیزی که اسپینورها را مشخص می کند و آنها را از بردارهای هندسی و سایر تانسورها متمایز می کند، ظریف است. اعمال چرخش برای مختصات یک سیستم را در نظر بگیرید. هیچ شیئی در خود سیستم جابجا نشده است، فقط مختصات حرکت کرده اند، بنابراین زمانی که برای هر شی از سیستم اعمال شود، همیشه یک تغییر جبرانی در مقادیر مختصات وجود خواهد داشت. برای مثال، بردارهای هندسی دارای اجزایی هستند که چرخش مشابه مختصات را انجام می دهند. به طور گسترده تر، هر تانسور مرتبط با سیستم (به عنوان مثال، تنش برخی از رسانه ها) همچنین دارای توضیحات مختصاتی است که برای جبران تغییرات در خود سیستم مختصات تنظیم می شود.

اسپینورها در این سطح از توصیف یک سیستم فیزیکی ظاهر نمی شوند، زمانی که فرد فقط به ویژگی های یک چرخش مجزای مختصات مربوط می شود. در عوض، اسپینورها زمانی ظاهر می شوند که تصور کنیم به جای یک چرخش، سیستم مختصات به تدریج ( به طور پیوسته ) بین برخی از پیکربندی های اولیه و نهایی می چرخد. برای هر یک از کمیت های آشنا و شهودی ("تنزیری") مرتبط با سیستم، قانون تبدیل به جزئیات دقیق چگونگی رسیدن مختصات به پیکربندی نهایی خود بستگی ندارد. از سوی دیگر، اسپینورها به گونه‌ای ساخته می‌شوند که آنها را نسبت به چگونگی چرخش تدریجی مختصات به آنجا حساس می‌کند: آنها وابستگی به مسیر را نشان می‌دهند. معلوم می شود که برای هر پیکربندی نهایی مختصات، در واقع دو چرخش تدریجی (پیوسته) نامتعادل ( از نظر توپولوژیکی ) سیستم مختصات وجود دارد که به همین پیکربندی منجر می شود. این ابهام، کلاس هموتوپی چرخش تدریجی نامیده می شود. ترفند کمربند (نشان داده شده، که در آن هر دو انتهای جسم چرخانده شده به طور فیزیکی به یک مرجع خارجی متصل می‌شوند) دو چرخش متفاوت را نشان می‌دهد، یکی از طریق زاویه 2 π و دیگری از طریق زاویه 4 π ، که تنظیمات نهایی یکسانی دارند اما کلاس های مختلف اسپینورها در واقع یک معکوس علامت را نشان می دهند که واقعاً به این کلاس هموتوپی بستگی دارد. این آنها را از بردارها و سایر تانسورها متمایز می کند که هیچ کدام نمی توانند کلاس را احساس کنند.

اسپینورها را می توان به عنوان اجسام بتنی با استفاده از انتخاب مختصات دکارتی به نمایش گذاشت . برای مثال، در سه بعد اقلیدسی، می‌توان اسپینورها را با انتخاب ماتریس‌های اسپین پائولی متناظر با ( ممان زاویه‌ای در اطراف) سه محور مختصات ساخت. اینها ماتریس‌های 2×2 با ورودی‌های مختلط هستند و بردارهای ستون مختلط دو جزیی که این ماتریس‌ها با ضرب ماتریس روی آن‌ها عمل می‌کنند اسپینورها هستند. در این حالت، گروه اسپین به گروه ماتریس‌های واحد 2×2 با یک تعیین‌کننده که به طور طبیعی در جبر ماتریسی قرار می‌گیرد، هم‌شکل است. این گروه با صرف در فضای برداری واقعی که توسط خود ماتریس های پائولی پوشانده شده است، عمل می کند، [ m ] آن را به عنوان گروهی از چرخش ها در بین آنها، [ n ] درک می کند ، اما بر بردارهای ستون (یعنی اسپینورها) نیز عمل می کند.

به طور کلی، جبر کلیفورد را می توان از هر فضای برداری V مجهز به فرم درجه دوم (غیر منحط) ساخت ، مانند فضای اقلیدسی با حاصلضرب نقطه استاندارد یا فضای مینکوفسکی با متریک استاندارد لورنتس. فضای اسپینورها فضای بردارهای ستون با $2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }$ اجزاء جبر لی متعامد (یعنی «چرخش‌های» بی‌نهایت کوچک) و گروه اسپین مرتبط با شکل درجه دوم هر دو (به طور متعارف) در جبر کلیفورد قرار دارند، بنابراین هر نمایش جبر کلیفورد نمایشی از جبر لی و گروه اسپین را نیز تعریف می‌کند. . [ o ] بسته به ابعاد و امضای متریک ، این درک از اسپینرها به عنوان بردارهای ستون ممکن است غیرقابل کاهش باشد یا ممکن است به یک جفت نمایش به اصطلاح "نیم اسپین" یا ویل تجزیه شود. [ p ] وقتی فضای برداری V چهار بعدی است، جبر با ماتریس های گاما توصیف می شود .

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مقدار ویژه نرمال

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، به‌ویژه در نظریه طیفی ، مقدار ویژه یک عملگر خطی بسته، نرمال نامیده می‌شود ، اگر فضا بپذیرد که به مجموع مستقیم یک فضای ویژه تعمیم‌یافته محدود و یک زیرفضای غیرمتغیر تجزیه شود $A-\lambda I$ دارای یک معکوس محدود است. مجموعه مقادیر ویژه نرمال با طیف گسسته منطبق است .

خطی ریشه

[ ویرایش ]

اجازه دهید ${\mathfrak {B}}$ فضای باناخ باشد . ریشه خطی ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ یک عملگر خطی $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ با دامنه ${\mathfrak {D}}(A)$ مربوط به مقدار ویژه $\lambda \in \sigma _{p}(A)$ به عنوان تعریف شده است

${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\{x\in {\mathfrak {D}}(A):\, (A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{j}x\in {\mathfrak {D}}(A)\,\forall j\in \mathbb {N} ,\,j\leq k;\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0\}\subset {\mathfrak {B}},$

که $I_{\mathfrak {B}}$ اپراتور همانی است ${\mathfrak {B}}$ . این مجموعه یک منیفولد خطی است اما لزوماً یک فضای برداری نیست ، زیرا لزوماً در بسته نیست. ${\mathfrak {B}}$ . اگر این مجموعه بسته باشد (مثلاً وقتی که بعد محدود باشد)، فضای ویژه تعمیم یافته نامیده می شود . $A$ مربوط به مقدار ویژه $\lambda$ .

تعریف یک مقدار ویژه معمولی

[ ویرایش ]

یک مقدار ویژه $\lambda \in \sigma _{p}(A)$ یک عملگر خطی بسته الف:ب→ب $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ در فضای باناخ ${\mathfrak {B}}$ با دامنه ${\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}$ نرمال نامیده می شود (در اصطلاح اصلی ، $\lambda$ در صورتی که دو شرط زیر برآورده شوند، مربوط به یک زیرفضای ریشه محدود بُعدی است که معمولاً تقسیم می‌شود :

کثرت جبری از $\lambda$ متناهی است: $\nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty$ ، که) ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ ریشه خطی از است $A$ مربوط به مقدار ویژه $\lambda$ ;
فضا ${\mathfrak {B}}$ می تواند به یک جمع مستقیم تجزیه شود ${\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }$ ، که ${\mathfrak {N}}_{\lambda }$ یک زیرفضای ثابت از $A$ که در آن $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ دارای یک معکوس محدود است.

یعنی محدودیت $A_{2}$ از $A$ بر روی ${\mathfrak {N}}_{\lambda }$ یک اپراتور با دامنه است

${\mathfrak {D}}(A_{2})={\mathfrak {N}}_{\lambda }\cap {\mathfrak {D}}(A)$ و با محدوده

${\mathfrak {R}}(A_{2}-\lambda I)\subset {\mathfrak {N}}_{\lambda }$ که دارای یک معکوس محدود است. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

خصوصیات معادل مقادیر ویژه نرمال

[ ویرایش ]

اجازه دهیدا $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ یک عملگر خطی بسته با تعریف متراکم در فضای Banach باشدب ${\mathfrak {B}}$ . عبارات زیر معادل [ 4 ] هستند (قضیه III.88):

$\lambda \in \sigma (A)$ یک مقدار ویژه نرمال است.
$\lambda \in \sigma (A)$ نقطه ای جدا شده در $\sigma (A)$ و $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ نیمه فردهولم است .
$\lambda \in \sigma (A)$ نقطه ای جدا شده در $\sigma (A)$ و $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ فردهولم است ;
$\lambda \in \sigma (A)$ نقطه ای جدا شده در $\sigma (A)$ و $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ فردهولم شاخص صفر است .
$\lambda \in \sigma (A)$ نقطه ای جدا شده در $\sigma (A)$ و رتبه پروژکتور Riesz مربوطه $P_{\lambda }$ متناهی است؛
$\lambda \in \sigma (A)$ نقطه ای جدا شده در $\sigma (A)$ ، کثرت جبری $\nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ محدود است، و دامنه $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ بسته است . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

اگرλیک مقدار ویژه معمولی است، سپس ریشه خطی است ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ منطبق با برد پروژکتور Riesz است،

${\mathfrak {R}}(P_{\lambda })$ . [ 3 ]

ارتباط با طیف گسسته

[ ویرایش ]

معادله فوق نشان می دهد که مجموعه مقادیر ویژه نرمال با طیف گسسته منطبق است که به عنوان مجموعه ای از نقاط جدا شده از طیف با رتبه محدود پروژکتور Riesz مربوطه تعریف می شود. [ 5 ]

تجزیه طیف عملگرهای غیر خود فاجعه

[ ویرایش ]

طیف یک اپراتور بسته

$A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ در فضای باناخ ${\mathfrak {B}}$ را می توان به اتحاد دو مجموعه مجزا، مجموعه مقادیر ویژه نرمال و نوع پنجم از طیف اساسی تجزیه کرد :

$\sigma (A)=\{{\text{مقادیر ویژه عادی}}\ A\}\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).$

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_eigenvalue

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم آذر ۱۴۰۳ ساعت 14:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-حالت کوانتومی

چرخش

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول بندی ریاضی مکانیک کوانتومی § اسپین

تکانه زاویه ای همان ابعاد ( M · L 2 · T - ) با ثابت پلانک را دارد و در مقیاس کوانتومی به عنوان درجه آزادی مجزای یک سیستم کوانتومی رفتار می کند. بیشتر ذرات دارای نوعی تکانه زاویه ای ذاتی هستند که اصلاً در مکانیک کلاسیک ظاهر نمی شود و از تعمیم نسبیتی دیراک از نظریه ناشی می شود. از نظر ریاضی با اسپینورها توصیف می شود . در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، بازنمایی گروهی از گروه لی SU(2) برای توصیف این آزادی اضافی استفاده می شود. برای یک ذره معین، انتخاب نمایش (و در نتیجه محدوده مقادیر ممکن اسپین قابل مشاهده) با یک عدد غیر منفی S مشخص می شود که در واحدهای ثابت پلانک کاهش یافته ħ ، یا یک عدد صحیح است (0، ) . ، 2، ...) یا یک عدد نیمه صحیح (/2، 3/2، 5/2، ...). برای یک ذره عظیم با اسپین S ، عدد کوانتومی اسپین آن m همیشه یکی از 2 مقدار ممکن S + در مجموعه را در نظر می گیرد

$\{-S,-S+1,\ldots,S-1,S\}$

در نتیجه، وضعیت کوانتومی یک ذره با اسپین توسط یک تابع موج بردار با مقادیر C2S + توصیف می‌شود . به طور معادل، با یک تابع با ارزش مختلط از چهار متغیر نشان داده می شود : یک متغیر عدد کوانتومی گسسته (برای چرخش) به سه متغیر پیوسته معمول (برای موقعیت در فضا) اضافه می شود.

وضعیت های سیستم و آمار ذرات

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: آمار ذرات

حالت کوانتومی یک سیستم از ذرات N ، که هرکدام به طور بالقوه دارای اسپین هستند، توسط یک تابع با ارزش مختلط با چهار متغیر در هر ذره، که مربوط به 3 مختصات فضایی و اسپین است، توصیف می‌شود $|\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .$

در اینجا، متغیرهای spin m ν مقادیری از مجموعه را در نظر می گیرند $\{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}$ که $S_{\nu }$ اسپین ذره ν است $S_{\nu }=0$ برای ذره ای که اسپین را نشان نمی دهد.

برخورد ذرات یکسان برای بوزون ها (ذراتی با اسپین عدد صحیح) در مقابل فرمیون ها (ذراتی با اسپین نیمه صحیح) بسیار متفاوت است . تابع ذره N بالا باید با توجه به اعداد ذره متقارن (در حالت بوزونی) یا ضد متقارن (در حالت فرمیونی) باشد. اگر همه N ذرات یکسان نیستند، اما برخی از آنها یکسان نیستند، تابع باید به طور جداگانه بر روی متغیرهای مربوط به هر گروه از متغیرهای یکسان، مطابق آمار آن (بوزونی یا فرمیونی) (ضد) متقارن شود.

الکترون‌ها فرمیون‌هایی با S = /2 هستند ، فوتون‌ها (کوانتوم‌های نور) بوزون‌هایی با S = هستند (اگرچه در خلاء بدون جرم هستند و با مکانیک شرودینگر قابل توصیف نیستند).

هنگامی که تقارن یا ضد تقارن غیر ضروری باشد، فضاهای N- ذره حالت ها را می توان به سادگی با ضربهای تانسور فضاهای یک ذره به دست آورد، که بعداً به آن باز خواهیم گشت.

حالت های پایه سیستم های تک ذره ای

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: تابع دلتای دیراک § مکانیک کوانتومی

یک حالت $|\psi \rangle$ متعلق به یک فضای مختلط قابل تفکیک هیلبرت $H$ همیشه می توان به صورت منحصر به فرد به عنوان یک ترکیب خطی از عناصر یک مبنای متعارف بیان کرد $H$ . با استفاده از نماد برا-کت ، این به معنای هر حالت است $|\psi \rangle$ را می توان به صورت نوشتاری

، ${\begin{aligned}|\psi \rangle &=\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle ,\\&=\sum _{i}|{k_{ i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle ,\end{تراز شده}}$

با ضرایب مختلط $c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle$ و عناصر پایه $|k_{i}\rangle$ . در این مورد، شرایط نرمال سازی ترجمه می شود

$\langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}\langle \psi |{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle =\sum _{i} \ چپ|c_{i}\راست|^{2}=1.$

از نظر فیزیکی $|\psi \rangle$ به عنوان برهم نهی کوانتومی "حالت های پایه" بیان شده است . $|{k_{i}}\rangle$ ، یعنی حالت های ویژه یک قابل مشاهده. به طور خاص، اگر قابل مشاهده گفته شده در حالت نرمال اندازه گیری شود $|\psi \rangle$ ، سپس

$|c_{i}|^{2}=|\langle {k_{i}}|\psi \rangle |^{2}،$

احتمال این است که نتیجه اندازه گیری باشد $k_{i}$ . [ 5 ] : 22

به طور کلی، عبارت احتمال همیشه شامل رابطه ای بین حالت کوانتومی و بخشی از طیف متغیر دینامیکی (یعنی متغیر تصادفی ) است که مشاهده می شود. [ 5 ] : 98 [ 6 ] : 53 برای مثال، وضعیت بالا حالت گسسته را به عنوان مقادیر ویژه توصیف می کند. ن $k_{i}$ متعلق به طیف نقطه ای به همین ترتیب، تابع موج فقط تابع ویژه عملگر همیلتونی با مقدار ویژه (های) مربوطه است. $E$ ; انرژی سیستم

مثالی از حالت پیوسته توسط عملگر موقعیت ارائه شده است . اندازه گیری احتمال برای یک سیستم در حالت $\psi$ ارائه شده توسط: [ 7 ]،

$\mathrm {Pr} (x\in B|\psi )=\int _{B\subset \mathbb {R} }|\psi (x)|^{2}dx,$

که $|\psi (x)|^{2}$ تابع چگالی احتمال برای یافتن یک ذره در یک موقعیت معین است. این مثال‌ها بر تمایز در خصوصیات بین حالت و امر قابل مشاهده تأکید دارند. یعنی در حالی که $\psi$ یک دولت خالص متعلق به است $H$ ، بردارهای ویژه (تعمیم شده) عملگر موقعیت انجام نمی دهند . [ 8 ]

حالات خالص در مقابل حالت های مقید

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: تجزیه طیف (تحلیل عملکردی) § مکانیک کوانتومی

گرچه حالت‌های خالص با هم مرتبط هستند، با حالت‌های محدود متعلق به طیف نقطه خالص یک قابل مشاهده بدون عدم قطعیت کوانتومی یکسان نیستند . به یک ذره در حالت محدود گفته می شود که برای همیشه در یک منطقه محدود از فضا موضعی باقی بماند. یک حالت پاک $|\phi \rangle$ حالت محدود اگر و فقط اگر برای هر نامیده می شود $\varepsilon >0$ یک مجموعه جمع و جور وجود دارد $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ به گونه ای که $\int _{K}|\phi (\mathbf {r},t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon$ برای همه $t\in \mathbb {R}$ . [ 9 ] انتگرال نشان دهنده احتمال یافتن یک ذره در یک منطقه محدود است. $K$ در هر زمان $t$ . اگر احتمال خودسرانه نزدیک به $1$ سپس گفته می شود که ذره در آن باقی می ماند $K$ .

برهم نهی حالت های خالص

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: برهم نهی کوانتومی

همانطور که در بالا ذکر شد، حالت های کوانتومی ممکن است روی هم قرار گیرند . اگر $|\alpha \rangle$ و $|\beta \rangle$ دو کت مربوط به حالات کوانتومی، کت هستند $c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle$ همچنین یک حالت کوانتومی از همان سیستم است. هر دو $c_{\alpha }$ و $c_{\beta }$ می تواند اعداد مختلط باشد. دامنه نسبی و فاز نسبی آنها بر حالت کوانتومی حاصل تأثیر می گذارد.

نوشتن حالت بر هم با استفاده ا

ز $c_{\alpha }=A_{\alpha }e^{i\theta _{\alpha }}\ \ c_{\beta }=A_{\beta }e^{i\theta _{\beta } }$

و هنجار دولت را چنین تعریف می کند

: $|c_{\alpha }|^{2}+|c_{\beta }|^{2}=A_{\alpha }^{2}+A_{\beta }^{2}=1$ و استخراج عوامل مشترک به دست می دهد:هم

$e^{i\theta _{\alpha }}\left(A_{\alpha }|\alpha \rangle +{\sqrt {1-A_{\alpha }^{2}}}e^{i \theta _{\beta }-i\theta _{\alpha }}|\beta \rangle \right)$

فاکتور فاز کلی جلو هیچ اثر فیزیکی ندارد. [ 20 ] : 08 فقط فاز نسبی بر ماهیت فیزیکی برهم نهی تأثیر می گذارد.

یک نمونه از برهم نهی، آزمایش دو شکاف است که در آن برهم نهی منجر به تداخل کوانتومی می شود . نمونه دیگری از اهمیت فاز نسبی نوسانات رابی است که در آن فاز نسبی دو حالت به دلیل معادله شرودینگر در زمان تغییر می کند . برهم نهی حاصل بین دو حالت مختلف به عقب و جلو نوسان می کند.

حالت های مختلط

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: ماتریس چگالی

حالت کوانتومی خالص حالتی است که می‌توان آن را با یک بردار کت توصیف کرد، همانطور که در بالا توضیح داده شد. حالت کوانتومی مختلط مجموعه ای آماری از حالت های خالص است (به مکانیک آماری کوانتومی مراجعه کنید ). [ 3 ] : 73

حالت‌های مختلط در مکانیک کوانتومی در دو موقعیت مختلف به وجود می‌آیند: اول، زمانی که آماده‌سازی سیستم به طور کامل شناخته نشده است، و بنابراین باید با مجموعه‌ای آماری از آماده‌سازی‌های احتمالی سروکار داشت. و دوم، وقتی کسی بخواهد یک سیستم فیزیکی را توصیف کند که با دیگری درگیر شده است ، زیرا حالت آن با حالت خالص قابل توصیف نیست. در مورد اول، از نظر تئوری، شخص دیگری می تواند وجود داشته باشد که تاریخ کامل سیستم را بداند، و بنابراین همان سیستم را به عنوان یک حالت خالص توصیف کند. در این مورد، ماتریس چگالی به سادگی برای نشان دادن دانش محدود یک حالت کوانتومی استفاده می شود. اما در مورد دوم، وجود درهم تنیدگی کوانتومی از لحاظ نظری از وجود دانش کامل در مورد زیرسیستم جلوگیری می کند و برای هیچ فردی غیرممکن است که زیرسیستم یک جفت درهم تنیده را به عنوان یک حالت خالص توصیف کند.

حالت های مختلط به نار از حالت های خالص ناشی می شوند که، برای یک سیستم کوانتومی مرکب $H_{1}\times H_{2}$ با حالت درهم بر روی آن، قسمت $H_{2}$ برای ناظر غیر قابل دسترس است. [ 3 ] : 2-22 حالت قطعه $H_{1}$ سپس به عنوان ردی جزئی بیان می شود $H_{2}$ .

یک حالت مختلط را نمی توان با یک بردار کت توصیف کرد. [ 2 ] : 69-692 در عوض، با ماتریس چگالی مرتبط (یا عملگر چگالی ) که معمولاً ρ نشان داده می‌شود، توصیف می‌شود . ماتریس‌های چگالی می‌توانند هر دو حالت مختلط و خالص را توصیف کنند، و آن‌ها را بر مبنای یکسان درمان کنند. علاوه بر این، یک حالت کوانتومی مختلط در یک سیستم کوانتومی داده شده توسط فضای هیلبرت توصیف شده است $H$ همیشه می توان به عنوان اثری جزئی از یک حالت کوانتومی خالص (به نام تصفیه ) در یک سیستم دو بخشی بزرگتر نشان داد $H\otime K$ برای فضای هیلبرت به اندازه کافی بزرگ $K$ .

ماتریس چگالی که حالت مخلوط را توصیف می کند، به عنوان عملگر فرم تعریف می شود

$\rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|$

که در آن p s کسری از مجموعه در هر حالت خالص است $|\psi _{s}\rangle .$ ماتریس چگالی را می توان راهی برای استفاده از فرمالیسم تک ذره ای برای توصیف رفتار بسیاری از ذرات مشابه با دادن توزیع احتمال (یا مجموعه) حالت هایی در نظر گرفت که این ذرات را می توان در آنها یافت.

یک معیار ساده برای بررسی اینکه آیا یک ماتریس چگالی حالت خالص یا مخلوط را توصیف می کند این است که رد ر 2 برابر با در صورت خالص بودن حالت و کمتر از در صورت مخلوط بودن حالت باشد . [ d ] [ 22 ] یکی دیگر از معیارهای معادل این است که آنتروپی فون نویمان برای حالت خالص 0 و برای حالت مختلط کاملاً مثبت است.

$\langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i }p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)$

که $|\alpha _{i}\rangle$ و $a_{i}$ برای عملگر A به ترتیب ignkt و ignvalus هستند و " tr " نشان دهنده ردیابی است. [ 3 ] : 73 توجه به این نکته مهم است که دو نوع میانگین گیری در حال وقوع است، یکی (بیش از $i$ زمانی که کوانتوم در حالت قرار دارد، مقدار معمول مورد انتظار از قابل مشاهده است $|\psi _{s}\rangle$ ، و دیگری (بیش از $s$ ) بودن یک میانگین آماری (گفته نامنسجم ) با احتمالات p s که کوانتوم در آن حالت ها باشد.

تعمیم های ریاضی

[ ویرایش ]

حالت ها را می توان بر حسب قابل مشاهده ها فرمول بندی کرد، نه به عنوان بردار در فضای برداری. اینها توابع خطی نرمال شده مثبت در جبر C* یا گاهی کلاسهای دیگر جبرهای قابل مشاهده هستند. برای جزئیات بیشتر به حالت C*-جبر و ساخت Glfand-Naimark-Sgal مراجعه کنید .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

انتقال الکترون اتمی
کره بلوخ
حالت گرین برگر–هورن–زیلینگر
وضعیت زمین
مقدمه ای بر مکانیک کوانتومی
قضیه عدم شبیه سازی
پایه ارتونرمال
قضیه PBR
نوسان ساز هارمونیک کوانتومی
دروازه منطق کوانتومی
حالت ساکن
سقوط تابع موج
حالت W

https://n.wikipdia.org/wiki/Quantum_stat

+ نوشته شده در سه شنبه بیستم آذر ۱۴۰۳ ساعت 21:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-حالت کوانتومی

حالت های مختلط توابع موج

[ ویرایش ]

یک حالت کوانتومی مختلط مربوط به مخلوطی احتمالی از حالات خالص است. با این حال، توزیع‌های مختلف حالت‌های خالص می‌توانند حالت‌های مخلوط معادل (یعنی از نظر فیزیکی غیرقابل تشخیص) ایجاد کنند. مخلوطی از حالات کوانتومی دوباره حالت کوانتومی است .

حالت مخلوط برای اسپین های الکترون، در فرمول ماتریس چگالی، ساختار a دارد $2\times 2$ ماتریسی که هرمیتی و نیمه معین مثبت است و دارای ردیابی 1 است ، $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downnarrow \ رو به بالا \right\rangle {\bigr )}،$ که شامل برهم نهی حالت های اسپین مشترک برای دو ذره با اسپین 1/2 است. حالت منفرد این ویژگی را برآورده می کند که اگر اسپین ذرات در یک جهت اندازه گیری شود، یا اسپین ذره اول به سمت بالا و اسپین ذره دوم به سمت پایین مشاهده می شود یا اولی به سمت پایین و دومی مشاهده می شود. یکی مشاهده می شود، هر دو احتمال با احتمال مساوی رخ می دهند.

یک حالت کوانتومی خالص را می توان با یک پرتو در فضای هیلبرت تصویری بر روی اعداد مختلط نشان داد، در حالی که حالت های مختلط با ماتریس های چگالی نشان داده می شوند که عملگرهای نیمه معین مثبتی هستند که روی فضاهای هیلبرت عمل می کنند. [ 7 ] [ 3 ] قضیه شرودینگر-HJW روش های متعددی را برای نوشتن یک حالت مختلط معین به عنوان ترکیبی محدب از حالت های خالص طبقه بندی می کند. [ 8 ] قبل از اینکه اندازه‌گیری خاصی بر روی یک سیستم کوانتومی انجام شود، نظریه فقط یک توزیع احتمال برای نتیجه ارائه می‌دهد، و شکلی که این توزیع می‌گیرد کاملاً توسط حالت کوانتومی و عملگرهای خطی توصیف‌کننده اندازه‌گیری تعیین می‌شود. توزیع‌های احتمال برای اندازه‌گیری‌های مختلف، مبادله‌هایی را نشان می‌دهند که با اصل عدم قطعیت مثال می‌زنند : حالتی که دلالت بر گسترش محدودی از نتایج ممکن برای یک آزمایش دارد، لزوماً متضمن گسترش گسترده نتایج ممکن برای آزمایش دیگر است.

مخلوط های آماری حالت ها نوع متفاوتی از ترکیب خطی هستند. ترکیب آماری ایالت ها مجموعه آماری از سیستم های مستقل است. مخلوط های آماری نشان دهنده درجه دانش هستند در حالی که عدم قطعیت در مکانیک کوانتومی اساسی است. از نظر ریاضی، یک مخلوط آماری ترکیبی با استفاده از ضرایب مختلط نیست، بلکه ترکیبی است که از احتمالات مثبت و با ارزش واقعی حالت های مختلف استفاده می کند. $\Phi _{n}$ . یک عدد $P_{n}$ احتمال اینکه یک سیستم به طور تصادفی انتخاب شده در حالت باشد را نشان می دهد $\Phi _{n}$ . برخلاف حالت ترکیب خطی، هر سیستم در یک حالت ویژه مشخص است. [ 9 ] [ 10 ]

ارزش انتظار ${\langle A\rangle }_{\sigma }$ یک قابل مشاهده A میانگین آماری مقادیر اندازه گیری شده قابل مشاهده است. این میانگین و توزیع احتمالات است که توسط نظریه های فیزیکی پیش بینی می شود.

هیچ حالتی وجود ندارد که به طور همزمان یک حالت ویژه برای همه موارد قابل مشاهده باشد. برای مثال، نمی‌توانیم حالتی را آماده کنیم که هر دو اندازه‌گیری موقعیت Q ( t ) و اندازه‌گیری تکانه P ( t ) (در همان زمان t ) دقیقاً شناخته شوند. حداقل یکی از آنها محدوده ای از مقادیر ممکن را خواهد داشت. [ a ] این محتوای رابطه عدم قطعیت هایزنبرگ است .

علاوه بر این، بر خلاف مکانیک کلاسیک، غیر قابل اجتناب است که انجام یک اندازه گیری روی سیستم به طور کلی حالت آن را تغییر دهد . [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] : 4 به طور دقیق تر: پس از اندازه گیری A قابل مشاهده ، سیستم در حالت ویژه A قرار خواهد گرفت . بنابراین وضعیت تغییر کرده است، مگر اینکه سیستم قبلاً در آن حالت ویژه قرار داشته باشد. این یک نوع سازگاری منطقی را بیان می‌کند: اگر A را دو بار در یک دوره آزمایشی اندازه‌گیری کنیم، اندازه‌گیری‌ها مستقیماً از نظر زمان متوالی باشند، [ b ] نتایج یکسانی را ایجاد خواهند کرد. این امر پیامدهای عجیبی دارد، اما به شرح زیر.

دو قابل مشاهده ناسازگار ، A و B را در نظر بگیرید که در آن A مربوط به اندازه گیری زودتر از B است . [ c ] فرض کنید که سیستم در ابتدای آزمایش در حالت ویژه B قرار دارد. اگر فقط B را اندازه گیری کنیم ، همه اجراهای آزمایش نتیجه یکسانی خواهند داشت. اگر ابتدا A و سپس B را در همان اجرای آزمایش اندازه گیری کنیم ، سیستم پس از اولین اندازه گیری به حالت ویژه A منتقل می شود و به طور کلی متوجه خواهیم شد که نتایج B آماری است. بنابراین: اندازه‌گیری‌های مکانیکی کوانتومی بر یکدیگر تأثیر می‌گذارند و ترتیب انجام آن‌ها مهم است.

یکی دیگر از ویژگی‌های حالت‌های کوانتومی با در نظر گرفتن یک سیستم فیزیکی که از چندین زیرسیستم تشکیل شده است مرتبط می‌شود. برای مثال، آزمایشی با دو ذره به جای یک ذره. فیزیک کوانتوم به حالت‌های خاصی اجازه می‌دهد که حالت‌های درهم‌تنیده نامیده می‌شوند که همبستگی‌های آماری خاصی را بین اندازه‌گیری‌های دو ذره نشان می‌دهند که با نظریه کلاسیک قابل توضیح نیست. برای جزئیات، درهم تنیدگی کوانتومی را ببینید . این حالت‌های درهم‌تنیده منجر به ویژگی‌های آزمایش‌پذیر ( قضیه بل ) می‌شود که به ما اجازه می‌دهد بین نظریه کوانتومی و مدل‌های کلاسیک جایگزین (غیر کوانتومی) تمایز قائل شویم.

عکس شرودینگر در مقابل عکس هایزنبرگ

[ ویرایش ]

می توان مشاهده پذیرها را وابسته به زمان دانست، در حالی که حالت σ یک بار در ابتدای آزمایش ثابت شد. این رویکرد تصویر هایزنبرگ نامیده می شود . (این رویکرد در قسمت بعدی بحث بالا، با مشاهده پذیرهای متغیر با زمان P ( t ) , Q ( t ) اتخاذ شد .) به طور معادل، می توان مشاهده پذیرها را ثابت تلقی کرد، در حالی که وضعیت سیستم به زمان بستگی دارد. ; که به عنوان عکس شرودینگر شناخته می شود . (این رویکرد در قسمت قبلی بحث بالا، با حالت متغیر زمان اتخاذ شد ${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$ .

از نظر مفهومی (و از نظر ریاضی)، این دو رویکرد معادل هستند. انتخاب یکی از آنها یک امر قراردادی است.

هر دو دیدگاه در نظریه کوانتومی استفاده می شود. در حالی که مکانیک کوانتومی غیرنسبیتی معمولاً بر اساس تصویر شرودینگر فرمول بندی می شود، تصویر هایزنبرگ اغلب در زمینه نسبیتی ترجیح داده می شود، یعنی برای نظریه میدان کوانتومی . مقایسه با عکس دیراک [ 14 ] : 65

فرمالیسم در فیزیک کوانتومی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: فرمول بندی ریاضی مکانیک کوانتومی

حالت های خالص به صورت پرتوها در فضای پیچیده هیلبرت

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: قضیه ویگنر § پرتوها و فضای پرتو

فیزیک کوانتومی معمولاً بر اساس جبر خطی به شرح زیر فرمول بندی می شود. هر سیستم معینی با فضای هیلبرت محدود یا بی‌بعدی شناسایی می‌شود . حالات خالص با بردارهای هنجار 1 مطابقت دارد. بنابراین مجموعه تمام حالات خالص با کره واحد در فضای هیلبرت مطابقت دارد، زیرا کره واحد به عنوان مجموعه همه بردارها با هنجار 1 تعریف می شود.

ضرب یک حالت خالص در یک اسکالر از نظر فیزیکی بی اهمیت است (تا زمانی که حالت به خودی خود در نظر گرفته شود). اگر بردار در فضای مختلط هیلبرت $H$ می توان از بردار دیگری با ضرب در برخی اعداد مختلط غیر صفر به دست آورد، دو بردار در $H$ گفته می شود که با همان پرتو در فضای هیلبرت تصویری مطابقت دارد $\mathbf {P} (H)$ از $H$ . توجه داشته باشید که اگرچه از کلمه پرتو استفاده می‌شود، اما به بیان درست، نقطه‌ای در فضای تصویری هیلبرت مربوط به خطی است که از مبدأ فضای هیلبرت می‌گذرد، نه یک نیم خط یا پرتو به معنای هندسی .

+ نوشته شده در سه شنبه بیستم آذر ۱۴۰۳ ساعت 21:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

نمای کلی

نمونه ها

همچنین ببینید

پارادوکس EPR

دوگانگی موج - ذره

پارادوکس حباب

جعبه نور انیشتین

هندسه نااقلیدسی و قرص دوار

مکانیک کوانتومی

زمینه: انیشتین و کوانتوم

عدم امکان سیگنال دهی سریعتر از نور

نسبیت عام

نقاشان در حال سقوط و آسانسورهای شتاب دهنده

کاربردهای اولیه اصل هم ارزی

قطارها، خاکریزها و رعد و برق چشمک می زند

قضیه نسبیتی مرکز جرم

مقدمه

نسبیت خاص

دنبال پرتو نور

آهنربا و هادی

اقدامات درهم تنیدگی

نظریه میدان کوانتومی

برنامه های کاربردی

حالت های درهم تنیده

روش های ایجاد درهم تنیدگی

تست یک سیستم برای درهم تنیدگی

درهم تنیدگی اجسام ماکروسکوپی

درهم تنیدگی عناصر سیستم های زنده

دو اپلیکیشنی که از آنها استفاده می کنند

درهم تنیدگی به عنوان یک منبع

طبقه بندی درهم تنیدگی

آنتروپی

غیرمحلی و درهم تنیدگی

جزئیات ریاضی

حالات خالص

گروه ها

ماتریس های چگالی کاهش یافته

تاریخچه

مفهوم

معنی درهم تنیدگی

پارادوکس

نظریه متغیرهای پنهان

نقض نابرابری بل

تله پورت کوانتومی و مبادله درهم تنیدگی

زمان اضطراری

جاذبه اضطراری

تاریخچه

مفاهیم

الکترونیک کوانتومی

همچنین ببینید

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_optics

تعریف ظرفیت کانال

نمونه های مهم

ظرفیت های کانال های کلاسیک و کوانتومی

وفاداری کانال

کانال کوانتومی Bistochastic

همچنین ببینید

نمونه ها

تکامل زمان

محدودیت

قابل مشاهده

ابزار

کانال را اندازه گیری و آماده کنید

کانال ناب

تله پورت

در محیط آزمایشی

ظرفیت کانال

cb-norm یک کانال

کانال کوانتومی بدون حافظه

عکس شرودینگر

عکس هایزنبرگ

اطلاعات کلاسیک

مقدمه

تاریخچه

آنیون آبلیان

هم ارزی توپولوژیکی

آزمایش کنید

افراد غیر ابلی

تلفیقی از هر کسی