معادله دیفرانسیل معمولی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مسیر پرتابه ای که از یک توپ پرتاب می شود از منحنی تعیین شده توسط یک معادله دیفرانسیل معمولی که از قانون دوم نیوتن مشتق شده است، پیروی می کند.

معادلات دیفرانسیل

محدوده

نشان می دهد

زمینه های

طبقه بندی

نشان می دهد

انواع

نشان می دهد

ارتباط با فرآیندها

راه حل

نشان می دهد

وجود و منحصر به فرد بودن

نشان می دهد

مباحث عمومی

نشان می دهد

روش های حل

مردم

نشان می دهد

فهرست کنید

v
تی
ه

در ریاضیات ، یک معادله دیفرانسیل معمولی ( ODE ) یک معادله دیفرانسیل (DE) است که تنها به یک متغیر مستقل وابسته است . مانند سایر DE، مجهول(های) آن از یک (یا چند تابع) تشکیل شده و مشتقات آن توابع را شامل می شود. [1] اصطلاح "معمولی" در مقابل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود که ممکن است با توجه به بیش از یک متغیر مستقل باشد. [2]

معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل است که توسط یک چند جمله ای خطی در تابع مجهول و مشتقات آن تعریف می شود که معادله ای از شکل است.

، $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)} +b(x)=0،$

جایی که $a_{0}(x)$ $a_{n}(x)$ و $b(x)$ توابع قابل تمایز دلخواه هستند که نیازی به خطی بودن ندارند و $y',\ldots ,y^{(n)}$ مشتقات متوالی تابع مجهول y از متغیر x هستند .

در بین معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل خطی به چند دلیل نقش برجسته ای دارند. اکثر توابع ابتدایی و ویژه ای که در فیزیک و ریاضیات کاربردی با آنها مواجه می شوند ، حل معادلات دیفرانسیل خطی هستند (به تابع هولونومی مراجعه کنید ). هنگامی که پدیده های فیزیکی با معادلات غیر خطی مدل می شوند، معمولاً با معادلات دیفرانسیل خطی برای حل آسان تر تقریب می شوند. معدود ODE های غیر خطی که می توانند به طور صریح حل شوند، عموماً با تبدیل معادله به یک ODE خطی معادل حل می شوند (به عنوان مثال معادله Riccati را ببینید ).

برخی از ODE ها را می توان به صراحت از نظر توابع و انتگرال های شناخته شده حل کرد . هنگامی که این امکان پذیر نیست، معادله محاسبه سری تیلور از راه حل ها ممکن است مفید باشد. برای مسائل کاربردی، روش‌های عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی می‌توانند تقریبی از جواب را ارائه کنند.

پس زمینه [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) در بسیاری از زمینه های ریاضیات و علوم اجتماعی و طبیعی به وجود می آیند . در توصیف های ریاضی تغییر از دیفرانسیل ها و مشتقات استفاده می شود. دیفرانسیل ها، مشتقات و توابع مختلف از طریق معادلات به هم مرتبط می شوند، به طوری که یک معادله دیفرانسیل نتیجه ای است که پدیده ها، تکامل و تغییرات به طور پویا در حال تغییر را توصیف می کند. غالباً کمیت ها به عنوان نرخ تغییر کمیت های دیگر (مثلاً مشتقات جابجایی نسبت به زمان) یا شیب کمیت ها تعریف می شوند که نحوه ورود آنها به معادلات دیفرانسیل است. [ نیازمند منبع ]

رشته های ریاضی خاص شامل هندسه و مکانیک تحلیلی است . زمینه های علمی شامل بسیاری از فیزیک و ستاره شناسی (مکانیک آسمان)، هواشناسی (مدل سازی آب و هوا)، شیمی (نرخ واکنش)، [3] زیست شناسی (بیماری های عفونی، تنوع ژنتیکی)، بوم شناسی و مدل سازی جمعیت (رقابت جمعیت)، اقتصاد (روند سهام). ، نرخ بهره و تغییرات قیمت تعادلی بازار).

بسیاری از ریاضیدانان معادلات دیفرانسیل را مطالعه کرده اند و در این زمینه مشارکت داشته اند، از جمله نیوتن ، لایبنیتس ، خانواده برنولی ، ریکاتی ، کلراوت ، دالامبر و اویلر .

یک مثال ساده قانون دوم حرکت نیوتن است - رابطه بین جابجایی x و زمان t یک جسم تحت نیروی F توسط معادله دیفرانسیل به دست می‌آید.

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,$

که حرکت ذره ای با جرم ثابت m را محدود می کند . به طور کلی، F تابعی از موقعیت x ( t ) ذره در زمان t است . تابع مجهول x ( t ) در دو طرف معادله دیفرانسیل ظاهر می شود و در نماد F ( x ( t ) نشان داده می شود. [4] [5] [6] [7]

تعاریف [ ویرایش ]

در ادامه، y یک متغیر وابسته است که نشان دهنده یک تابع مجهول y = f ( x ) از متغیر مستقل x است . نماد تمایز بسته به نویسنده و اینکه کدام نماد برای کار مورد نظر مفیدتر است متفاوت است. در این زمینه، نماد لایب نیتس (dx،d 2 y/dx 2,…,d n y/dx n) برای تمایز و انتکرال مفیدتر است ، در حالی که علامت لاگرانژ برای نمایش مشتقات مرتبه بالاتر به صورت فشرده و نماد نیوتن مفیدتر است. $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$ اغلب در فیزیک برای نشان دادن مشتقات درجه پایین با توجه به زمان استفاده می شود.

تعریف کلی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: ترتیب معادلات دیفرانسیل

با در نظر گرفتن F ، تابعی از x ، y ، و مشتقات y . سپس یک معادله از فرم

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

معادله دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبه n نامیده می شود . [8] [9]

به طور کلی، یک معادله دیفرانسیل معمولی ضمنی از مرتبه n شکل زیر را دارد: [10]

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$

طبقه بندی های دیگری نیز وجود دارد:

خود مختار

دیفرانسیل اگر به متغیر x وابسته نباشد مستقل است .

خطی

یک معادله دیفرانسیل خطی است اگراف $اف$ را می توان به صورت ترکیبی خطی از مشتقات y نوشت . یعنی if را می توان به صورت بازنویسی کرد

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

که در آن i ( x ) و r ( x ) توابع پیوسته x هستند . [8] [11] [12] تابع r ( x ) اصطلاح منبع نامیده می شود که منجر به طبقه بندی بیشتر می شود. [11] [13]

همگن

یک معادله دیفرانسیل خطی همگن است اگر r ( x ) = 0 . در این مورد، همیشه " راه حل بی اهمیت " y = 0 وجود دارد .

ناهمگن (یا ناهمگن)

یک معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن است اگر r ( x ) ≠ 0 .

غیر خطی

معادله دیفرانسیل که خطی نیست.

سیستم ODE ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: سیستم معادلات دیفرانسیل

تعدادی از معادلات دیفرانسیل جفت شده یک سیستم معادلات را تشکیل می دهند. اگر y برداری است که عناصر آن توابع هستند. y ( x ) = [ y 1 ( x )، y 2 ( x )،...، y m ( x )] و F تابعی با مقدار برداری از y و مشتقات آن است ، سپس

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\ mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

یک سیستم صریح از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه n و بعد m است . در شکل بردار ستونی :

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{ (n-1)}\راست)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^ {(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\ mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

اینها لزوما خطی نیستند. آنالوگ ضمنی این است:

اف

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\راست )={\boldsymbol {0}}$

که در آن 0 = (0، 0، ...، 0) بردار صفر است . به صورت ماتریسی

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n) })\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\ vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

برای یک سیستم از فرم $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$ ، برخی منابع نیز ماتریس ژاکوبین را ایجاب می کنند ∂ ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$ غیر مفرد باشد تا این را یک ODE [سیستم] ضمنی بنامیم. یک سیستم ODE ضمنی که شرایط غیرتکینگی ژاکوبین را برآورده می کند، می تواند به یک سیستم ODE صریح تبدیل شود. در همین منابع، سیستم‌های ODE ضمنی با ژاکوبین منفرد معادلات جبری دیفرانسیل (DAEs) نامیده می‌شوند. این تمایز صرفاً یکی از اصطلاحات نیست. DAE ها اساساً ویژگی های متفاوتی دارند و به طور کلی بیشتر از سیستم های ODE (غیر منفرد) درگیر حل آن هستند. [14] [15] [16] احتمالاً برای مشتقات اضافی، ماتریس هسین و غیره نیز طبق این طرح غیر مفرد در نظر گرفته می شوند، [ نیاز به نقل از ] ، اگرچه توجه داشته باشید که هر ODE از مرتبه بزرگتر از یک می تواند باشد (و معمولاً است) به عنوان سیستمی از ODEهای مرتبه اول بازنویسی شده است ، [17] که معیار تکینگی ژاکوبین را برای جامع بودن این طبقه بندی در همه مرتبه ها کافی می کند.

رفتار یک سیستم از ODE ها را می توان از طریق استفاده از پرتره فاز مشاهده کرد .

راه حل ها [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل داده می شود

ا $F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0$

یک تابع u : I ⊂ R → R ، جایی که I یک بازه است، منحنی راه حل یا انتگرال برای F نامیده می شود ، اگر u n بار در I قابل تفکیک باشد ، و

$F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

با توجه به دو راه حل u : J ⊂ R → R و v : I ⊂ R → R ، u پسوند v نامیده می شود اگر I ⊂ J و

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

راه حلی که پسوندی ندارد راه حل حداکثری نامیده می شود . راه حلی که روی تمام R تعریف شده است راه حل جهانی نامیده می شود .

راه حل کلی یک معادله مرتبه n راه حلی است که حاوی n ثابت مستقل دلخواه انتگرال گیری باشد . یک راه‌حل خاص از راه‌حل عمومی با تنظیم ثابت‌ها به مقادیر خاص، که اغلب برای انجام مجموعه « شرایط اولیه یا شرایط مرزی » انتخاب می‌شوند، مشتق می‌شود. [18] راه حل منفرد راه حلی است که نمی توان آن را با اختصاص مقادیر معین به ثابت های دلخواه در جواب کلی به دست آورد. [19]

در زمینه ODE خطی، راه حل خاص اصطلاحی همچنین می تواند به هر راه حل ODE اشاره کند (الزاماً شرایط اولیه را برآورده نمی کند)، که سپس به محلول همگن اضافه می شود (راه حل کلی ODE همگن)، که سپس تشکیل می شود. یک راه حل کلی از ODE اصلی. این اصطلاحی است که در بخش روش حدس زدن در این مقاله استفاده می‌شود و اغلب هنگام بحث در مورد روش ضرایب نامشخص و تغییرات پارامترها استفاده می‌شود .

راه حل های مدت زمان محدود [ ویرایش ]

برای ODE‌های مستقل غیرخطی، تحت برخی شرایط ممکن است راه‌حل‌هایی با مدت زمان محدود ایجاد شود، [20] به این معنی که در اینجا از دینامیک خود، سیستم در یک زمان پایانی به مقدار صفر می‌رسد و برای همیشه در آن صفر باقی می‌ماند. این راه حل های مدت زمان محدود نمی توانند توابع تحلیلی در کل خط حقیقی باشند، و چون در زمان پایان خود توابع غیر لیپشیتز خواهند بود، در قضیه منحصر به فرد بودن جواب های معادلات دیفرانسیل لیپشیتز گنجانده نمی شوند.

به عنوان مثال، معادله:

$y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}}،\,\,y(0)=1$

راه حل مدت زمان محدود را می پذیرد:

$y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\ راست|\راست)^{2}$

نظریه ها [ ویرایش ]

راه حل های مفرد [ ویرایش ]

تئوری جوابهای منفرد معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی موضوع تحقیق از زمان لایب نیتس بود، اما تنها از اواسط قرن نوزدهم مورد توجه ویژه قرار گرفت. یک اثر ارزشمند اما کمتر شناخته شده در این زمینه، اثر فوشیان (1854) است. داربوکس (از سال 1873) در نظریه پیشرو بود و در تفسیر هندسی این راه حل ها زمینه ای را گشود که توسط نویسندگان مختلف، به ویژه کاسوراتی و کیلی کار شده بود . به دلیل دومی (1872) تئوری حل های منفرد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که در حدود سال 1900 پذیرفته شده است.

کاهش به ربع [ ویرایش ]

تلاش اولیه در برخورد با معادلات دیفرانسیل کاهش به ربع بود . همانطور که جبر گرایان قرن هجدهم امید داشتند روشی برای حل معادله کلی درجه n بیابند ، تحلیلگران نیز امیدوار بودند که روشی کلی برای انتکرال هر معادله دیفرانسیل بیابند. با این حال، گاوس (1799) نشان داد که معادلات دیفرانسیل پیچیده به اعداد مختلط نیاز دارند . از این رو، تحلیلگران شروع به جایگزینی مطالعه توابع کردند و بدین ترتیب میدانی جدید و حاصلخیز باز کردند. کوشی اولین کسی بود که به اهمیت این دیدگاه پی برد. پس از آن، سؤال حقیقی دیگر این نبود که آیا یک راه حل با استفاده از توابع شناخته شده یا انتگرال آنها امکان پذیر است یا خیر، بلکه این بود که آیا یک معادله دیفرانسیل معین برای تعریف تابعی از متغیر یا متغیرهای مستقل کافی است، و اگر چنین است، چه هستند. خواص مشخصه

نظریه فوشیان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: روش فروبنیوس

دو خاطرات فوکس [21] الهام بخش رویکردی بدیع بود که متعاقباً توسط توم و فروبنیوس شرح داده شد . کولت از سال 1869 شروع به کار کرد. روش او برای انتکرال یک سیستم غیر خطی در سال 1868 به برتراند ابلاغ شد. کلبش (1873) این نظریه را در امتداد خطوط موازی با نظریه انتگرال های آبلی خود مورد حمله قرار داد . از آنجایی که می‌توان دومی را بر اساس ویژگی‌های منحنی بنیادی طبقه‌بندی کرد که تحت یک تبدیل منطقی بدون تغییر باقی می‌ماند، کلبش پیشنهاد کرد که توابع متعالی تعریف شده توسط معادلات دیفرانسیل را بر اساس ویژگی‌های ثابت سطوح متناظر f = 0 در زیر منطقی یک به طبقه‌بندی کند. یک تحول.

نظریه لی [ ویرایش ]

از سال 1870، سوفوس لی 'ثانیه کار نظریه معادلات دیفرانسیل را بر اساس بهتر قرار داده است. او نشان داد که نظریه‌های یکپارچه‌سازی ریاضیدانان قدیمی‌تر را می‌توان با استفاده از گروه‌های لی به یک منبع مشترک ارجاع داد، و معادلات دیفرانسیل معمولی که همان تبدیل‌های بی‌نهایت کوچک را پذیرفته‌اند ، مشکلات انتگرال‌گیری قابل مقایسه‌ای دارند. او همچنین بر موضوع تحولات تماس تأکید کرد .

نظریه گروهی Lie در مورد معادلات دیفرانسیل تایید شده است، یعنی: (1) که بسیاری از روش های موردی شناخته شده برای حل معادلات دیفرانسیل را متحد می کند، و (2) که راه های جدید قدرتمندی برای یافتن راه حل ها ارائه می دهد. این نظریه برای معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی کاربرد دارد. [22]

یک رویکرد حل کلی از خاصیت تقارن معادلات دیفرانسیل استفاده می کند، تبدیل بی نهایت کوچک پیوسته راه حل ها به راه حل ها ( نظریه لی ). تئوری گروه پیوسته ، جبرهای لی ، و هندسه دیفرانسیل برای درک ساختار معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی (جزئی) برای تولید معادلات انتگرال‌پذیر، یافتن جفت‌های Lax ، عملگرهای بازگشتی، تبدیل بکلوند و در نهایت یافتن راه‌حل‌های تحلیلی دقیق استفاده می‌شوند. به DE.

روش‌های تقارن برای معادلات دیفرانسیل که در ریاضیات، فیزیک، مهندسی و سایر رشته‌ها به وجود می‌آیند، استفاده شده‌اند.

نظریه استورم-لیوویل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه اشتورم لیوویل

نظریه اشتورم لیوویل نظریه ای از نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم است. راه حل های آنها بر اساس مقادیر ویژه و توابع ویژه مربوط به عملگرهای خطی است که از طریق معادلات خطی همگن مرتبه دوم تعریف شده اند . این مشکلات به عنوان مشکلات اشتورم-لیوویل (SLP) شناخته می شوند و به نام JCF Sturm و جی لیوویل که آنها را در اواسط دهه 1800 مطالعه کردند، نامگذاری شده اند . SLP ها دارای تعداد نامتناهی مقادیر ویژه هستند و توابع ویژه مربوطه یک مجموعه کامل و متعامد را تشکیل می دهند که بسط های متعامد را ممکن می کند. این یک ایده کلیدی در ریاضیات کاربردی، فیزیک و مهندسی است. [23] SLP ها همچنین در تجزیه و تحلیل برخی معادلات دیفرانسیل جزئی مفید هستند.

وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها [ ویرایش ]

چندین قضیه وجود دارد که وجود و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌ها را برای مسائل ارزش اولیه که شامل ODE‌ها هم در سطح محلی و هم در سطح جهانی است، ایجاد می‌کنند. دو قضیه اصلی عبارتند از

قضیهفرضنتیجه

قضیه وجود پینوF پیوستهفقط وجود محلی

قضیه پیکارد-لیندلوفF لیپشیتس پیوستهوجود و منحصر به فرد بودن محلی

در شکل اصلی خود، هر دوی این قضیه‌ها فقط نتایج محلی را تضمین می‌کنند، اگرچه دومی را می‌توان برای به دست آوردن یک نتیجه کلی، برای مثال، اگر شرایط نابرابری گرونوال برآورده شود، گسترش داد.

همچنین، قضایای منحصربه‌فرد مانند لیپشیتس در بالا برای سیستم‌های DAE ، که ممکن است راه‌حل‌های متعددی داشته باشند که از بخش جبری (غیر خطی) آنها به تنهایی ناشی می‌شوند، اعمال نمی‌شوند . [24]

وجود محلی و قضیه یگانگی ساده شده [ ویرایش ]

قضیه را می توان به سادگی به صورت زیر بیان کرد. [25] برای معادله و مسئله مقدار اولیه:

$y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})$ اگر F و ∂ F /∂ y در یک مستطیل بسته پیوسته باشند

$R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]$ در صفحه xy ، که در آن a و b حقیقی هستند (به طور نمادین: a , b ∈ R ) و × نشان دهنده حاصلضرب دکارتی است ، براکت ها نشان دهنده فواصل بسته هستند ، سپس یک بازه وجود دارد.

$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]$ برای مقداری h ∈ R که در آن می توان جواب معادله بالا و مسئله مقدار اولیه را پیدا کرد. یعنی راه حل وجود دارد و منحصر به فرد است. از آنجایی که هیچ محدودیتی برای خطی بودن F وجود ندارد ، این امر در مورد معادلات غیرخطی که شکل F ( x , y ) دارند، صدق می کند و همچنین می تواند برای سیستم های معادلات اعمال شود.

منحصر به فرد بودن جهانی و حداکثر دامنه راه حل [ ویرایش ]

هنگامی که فرضیه های قضیه پیکارد-لیندلوف برآورده شود، وجود محلی و منحصر به فرد را می توان به یک نتیجه جهانی تعمیم داد. دقیق تر: [26]

برای هر شرط اولیه ( x 0 , y 0 ) یک بازه باز حداکثر (احتمالا بی نهایت) منحصر به فرد وجود دارد.

$I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }$

به طوری که هر راه حلی که این شرط اولیه را برآورده کند، محدودیت راه حلی است که این شرط اولیه را با دامنه برآورده می کند. $I_{\max}$ .

در صورتی که $x_{\pm }\neq \pm \infty$ ، دقیقا دو احتمال وجود دارد

انفجار در زمان محدود: $\limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty$
دامنه تعریف را ترک می کند: $\lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}$

که در آن Ω مجموعه باز است که در آن F تعریف شده است، و¯ $\ بخشی {\bar {\Omega }}$ مرز آن است

توجه داشته باشید که حداکثر دامنه راه حل

همیشه یک فاصله است (برای داشتن منحصر به فرد بودن)
ممکن است کوچکتر ازآر $\mathbb {R}$
ممکن است به انتخاب خاص ( x 0 ، y 0 ) بستگی داشته باشد.

مثال.

$y'=y^{2}$

این بدان معنی است که F ( x, y ) = y 2 است که C 1 است و بنابراین به صورت محلی لیپشیتس پیوسته است و قضیه پیکارد-لیندلوف را برآورده می کند.

حتی در چنین تنظیمات ساده ای، حداکثر دامنه راه حل نمی تواند همه باشدآر $\mathbb {R}$ از آنجایی که راه حل است

$y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

که دارای حداکثر دامنه است:

${\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}} \right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end {موارد}}$

این به وضوح نشان می دهد که حداکثر فاصله ممکن است به شرایط اولیه بستگی داشته باشد. دامنه y را می توان به عنوان موجود در نظر گرفتآر $\mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0})،$ اما این منجر به دامنه‌ای می‌شود که یک بازه نیست، به طوری که طرف مقابل شرط اولیه از شرایط اولیه جدا می‌شود و بنابراین به‌طور منحصربه‌فرد توسط آن تعیین نمی‌شود.

حداکثر دامنه نیست $\mathbb {R}$ زیرا

$\lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,$

که با توجه به قضیه فوق یکی از دو حالت ممکن است.

کاهش مرتبه [ ویرایش ]

اگر بتوان ترتیب معادله را کاهش داد معمولا حل معادلات دیفرانسیل آسانتر است .

کاهش به یک سیستم مرتبه اول [ ویرایش ]

هر معادله دیفرانسیل صریح از مرتبه n ،

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

می توان با تعریف یک خانواده جدید از توابع مجهول به صورت سیستمی از n معادله دیفرانسیل مرتبه اول نوشت.

$y_{i}=y^{(i-1)}.\!$

برای i = 1، 2، ...، n . سپس سیستم n بعدی معادلات دیفرانسیل جفت شده مرتبه اول است

${\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1} '&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots,y_{n}).\end{آرایه}}$

در نماد برداری فشرده تر:

$\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y})$

جایی که

$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_ {2},\ldots,y_{n},F(x,y_{1},\ldots,y_{n})).$

خلاصه راه حل های دقیق [ ویرایش ]

برخی معادلات دیفرانسیل راه حل هایی دارند که می توان آنها را به صورت دقیق و بسته نوشت. چندین کلاس مهم در اینجا برگزار می شود.

در جدول زیر، P ( x ) ، Q ( x ) ، P ( y ) ، Q ( y ) و M ( x ، y ) ، N ( x ، y ) هر توابع انتگرال پذیر x ، y هستند . b و c ثابت داده شده حقیقی هستند. C 1 , C 2 , ... ثابت دلخواه هستند ( به طور کلی پیچیده ). معادلات دیفرانسیل در اشکال معادل و جایگزین خود هستند که از طریق یکپارچه سازی به حل منتهی می شوند.

در راه حل های انتگرالی، λ و ε متغیرهای ساختگی انتگرال گیری هستند (آنالوگ های پیوسته شاخص ها در مجموع )، و نماد ∫ x F ( λ ) dλ فقط به معنای انتکرال F ( λ ) با توجه به λ ، سپس پس از انتکرال است. جایگزین λ = x ، بدون اضافه کردن ثابت (به صراحت بیان شده است).

معادلات قابل تفکیک [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه اول، قابل تفکیک در x و y (حالت عمومی، برای موارد خاص به زیر مراجعه کنید) [27]

${\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}} &=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{تراز شده}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر P 2 Q 1 ). $\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_ {2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C$ مرتبه اول، قابل تفکیک در x [25]

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}$

انتکرال مستقیم $y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C$ مرتبه اول، مستقل، قابل تفکیک در y [25]

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر F ). $x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C$ مرتبه اول، قابل تفکیک در x و y [25]

${\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0 \end{تراز شده}}$

انتکرال در سراسر. $\int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C$

معادلات مرتبه اول عمومی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه اول، همگن [25]

${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$

y = ux را تنظیم کنید ، سپس با جداسازی متغیرهای u و x حل کنید . $\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$ مرتبه اول، قابل تفکیک [27]

${\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy& =0\end{تراز شده}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر xy ).

$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$

اگر N = M جواب xy = C است .

دیفرانسیل دقیق ، مرتبه اول [25]

${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x ,y)\,dx&=0\end{تراز شده}}$

جایی که ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$

انتکرال در سراسر. ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d \lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{تراز شده}}$

جایی که

$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda$ و

$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda$

دیفرانسیل غیر دقیق ، مرتبه اول [25]

${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x ,y)\,dx&=0\end{تراز شده}}$

جایی که ${\frac {\partial M}{\partial y}}\neq {\frac {\partial N}{\partial x}}$

عامل انتکرال μ ( x , y ) راضی کننده است

${\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}$

اگر μ ( x , y ) را بتوان به روشی مناسب پیدا کرد، پس

ا ${\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y} Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\ lambda )\,d\lambda =C\end{تراز شده}}$

جایی که

$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda,y)M(\lambda ,y)\ ,d\lambda$ و

$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\ ,d\lambda$

معادلات مرتبه دوم عمومی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه دوم، خودمختار [28]

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)$

هر دو طرف معادله را در 2 dy / dx ضرب کنید ، جایگزین کنید2 $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$ ، سپس دو بار انتکرال کنید. $x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}} }+C_{2}$

معادلات خطی تا مرتبه n [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

ضرایب تابعی مرتبه اول، خطی، ناهمگن [25]

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$

عامل یکپارچه سازی:. $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.$ فرمول زره:

$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon ) \,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]$

ضرایب تابع مرتبه دوم، خطی، ناهمگن

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+ p'(x)\right)y=q(x)$

عامل یکپارچه سازی: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$ $y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]$ ضرایب مرتبه دوم، خطی، ناهمگن، ثابت [29]

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)$

تابع مکمل y c : y c = e α x را در نظر بگیرید ، چند جمله ای را در α جایگزین کرده و حل کنید تا توابع مستقل خطی را پیدا کنید.ه $e^{\alpha _{j}x}$ .

انتگرال خاص y p : به طور کلی روش تغییر پارامترها ، اگرچه برای بازرسی r ( x ) بسیار ساده ممکن است کار کند. [25]

$y=y_{c}+y_{p}$

اگر b 2 > 4 c , پس

$y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+ C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}$

اگر b 2 = 4 c ، پس

$y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}$

اگر b 2 < 4 c ، پس

$y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{ 2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]$

ضرایب مرتبه n ، خطی، ناهمگن، ثابت [29]

$\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)$

انتگرال خاص y p : به طور کلی روش تغییر پارامترها ، اگرچه برای بازرسی r ( x ) بسیار ساده ممکن است کار کند. [25]

$y=y_{c}+y_{p}$

از آنجایی که α j حل های چند جمله ای درجه n هستند : ${\textstyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0}$ ، سپس: برای α j همه متفاوت است،

$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}$ برای هر ریشه α j تکرار kj بار ،

$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}$ برای برخی از α j مختلط، سپس با تنظیم α = χj + iγ j ، و با استفاده از فرمول اویلر ، اجازه می دهد برخی از اصطلاحات در نتایج قبلی به شکل نوشته شوند .

⁡

$C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j} )$ که در آن ϕ j یک ثابت دلخواه (تغییر فاز) است.

روش حدس زدن [ ویرایش ]

در این بخش هیچ منبعی ذکر نشده است . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این بخش کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند . ( ژانويه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف اين پيام الگو آشنا شويد )

هنگامی که همه روش‌های دیگر برای حل یک ODE با شکست مواجه می‌شوند، یا در مواردی که ما شهودی در مورد اینکه راه‌حل یک DE ممکن است شبیه باشد، داریم، گاهی اوقات می‌توان یک DE را به سادگی با حدس زدن راه‌حل و تأیید صحت آن حل کرد. برای استفاده از این روش، ما به سادگی یک راه حل برای معادله دیفرانسیل را حدس می زنیم، و سپس راه حل را به معادله دیفرانسیل متصل می کنیم تا اگر معادله را برآورده می کند، اعتبار سنجی کنیم. اگر اینطور شد، راه حل خاصی برای DE داریم، در غیر این صورت دوباره از نو شروع می کنیم و حدس دیگری را امتحان می کنیم. برای مثال می‌توانیم حدس بزنیم که راه‌حل یک DE به شکل زیر است:�=آه�تی $y=Ae^{\alpha t}$ زیرا این یک راه حل بسیار رایج است که از نظر فیزیکی به صورت سینوسی رفتار می کند.

در مورد یک ODE مرتبه اول که ناهمگن است، ابتدا باید یک راه حل DE برای بخش همگن DE پیدا کنیم، که در غیر این صورت معادله مشخصه نامیده می شود، و سپس با حدس زدن، راه حلی برای کل معادله ناهمگن پیدا کنیم. . در نهایت، ما هر دوی این راه‌حل‌ها را با هم اضافه می‌کنیم تا جواب کل به ODE به دست آید، یعنی:

راه حل کلی=محلول همگن+راه حل خاص ${\text{تحلیل کل}}={\text{راه حل همگن}}+{\text{راه حل خاص}}$

نرم افزار برای حل ODE [ ویرایش ]

ماکسیما ، یک سیستم جبر کامپیوتری منبع باز .
COPASI ، یک بسته نرم افزاری رایگان ( Artistic License 2.0 ) برای انتکرال و تجزیه و تحلیل ODE ها.
MATLAB ، یک برنامه محاسباتی فنی (MATrix LABoratory)
GNU Octave ، یک زبان سطح بالا، که عمدتاً برای محاسبات عددی در نظر گرفته شده است.
Scilab ، یک برنامه منبع باز برای محاسبات عددی.
Maple ، یک برنامه اختصاصی برای محاسبات نمادین.
Mathematica ، یک برنامه اختصاصی است که در درجه اول برای محاسبات نمادین در نظر گرفته شده است.
SymPy ، یک بسته پایتون است که می تواند ODE ها را به صورت نمادین حل کند
جولیا (زبان برنامه نویسی) ، یک زبان سطح بالا که در درجه اول برای محاسبات عددی در نظر گرفته شده است.
SageMath ، یک برنامه متن باز است که از نحوی شبیه پایتون با طیف گسترده ای از قابلیت ها که چندین شاخه از ریاضیات را در بر می گیرد، استفاده می کند.
SciPy ، یک بسته پایتون که شامل یک ماژول انتکرال ODE است.
Chebfun ، یک بسته منبع باز، نوشته شده در MATLAB ، برای محاسبه توابع با دقت 15 رقمی.
گنو R ، یک محیط محاسباتی منبع باز که در درجه اول برای آمار در نظر گرفته شده است، که شامل بسته هایی برای حل ODE است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشکل ارزش مرزی
نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل
تبدیل لاپلاس برای معادلات دیفرانسیل اعمال می شود
فهرست مباحث سیستم های دینامیکی و معادلات دیفرانسیل
معادله دیفرانسیل ماتریسی
روش ضرایب نامشخص
رابطه عود

یادداشت ها [ ویرایش ]

↑ Dennis G. Zill (15 مارس 2012). اولین دوره معادلات دیفرانسیل با کاربردهای مدلسازی . Cengage Learning. شابک 978-1-285-40110-2. بایگانی شده از نسخه اصلی در 17 ژانویه 2020 . بازیابی شده در 11 جولای 2019 .
↑ "منشأ اصطلاح "معادلات دیفرانسیل معمولی" چیست؟" . hsm.stackexchange.com . صرافی پشته . بازیابی شده در 2016-07-28 .
↑ Mathematics for Chemists, DM Hirst, Macmillan Press , 1976, (بدون ISBN) SBN: 333-18172-7
↑ کریزیگ (1972 ، ص 64)
^ سیمونز (1972 ، صفحات 1، 2)
↑ هالیدی و رسنیک (1977 ، ص 78)
^ تیپلر (1991 ، صفحات 78-83)
^ a bپرش به بالا: هارپر (1976 ، ص 127)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 2)
^ سیمونز (1972 ، ص 3)
^ a bپرش به بالا: Kreyszig (1972 ، ص 24)
^ سیمونز (1972 ، ص 47)
↑ هارپر (1976 ، ص 128)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 12)
↑ Ascher (1998 ، ص 12)
^ آخیم ایلچمن؛ تیمو ریس (2014). بررسی در معادلات دیفرانسیل جبری II . اسپرینگر. صص 104-105. شابک 978-3-319-11050-9.
↑ Ascher (1998 ، ص 5)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 78)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 4)
↑ واردیا تی هایمو (1985). "معادلات دیفرانسیل زمان محدود" . 1985 بیست و چهارمین کنفرانس IEEE در مورد تصمیم گیری و کنترل . صفحات 1729-1733. doi : 10.1109/CDC.1985.268832 . S2CID 45426376 .
↑ کرل ، 1866، 1868
^ لارنس (1999 ، ص 9)
^ لوگان، جی (2013). ریاضیات کاربردی (ویرایش چهارم).
↑ Ascher (1998 ، ص 13)
^ a b c d e f g h i jپرش به بالا: معادلات دیفرانسیل ابتدایی و مسائل ارزش مرزی (ویرایش چهارم)، WE Boyce، RC Diprima، Wiley International، John Wiley & Sons، 1986، ISBN 0-471-83824-1
^ بوسکاین؛ چیتور 2011، ص. 21
^ a bپرش به بالا: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (ویرایش سوم)، S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
↑ تحلیل ابتدایی بیشتر، R. Porter، G.Bell & Sons (لندن)، 1978، ISBN 0-7135-1594-5
^ a bپرش به بالا: روش های ریاضی برای فیزیک و مهندسی، KF Riley، MP Hobson، SJ Bence، انتشارات دانشگاه کمبریج، 2010، ISC_2N 978-0-521-86153-3

منابع [ ویرایش ]

هالیدی، دیوید ؛ رسنیک، رابرت (1977)، فیزیک (ویرایش سوم)، نیویورک: وایلی ، شابک 0-471-71716-9
هارپر، چارلی (1976)، مقدمه ای بر فیزیک ریاضی ، نیوجرسی: پرنتیس هال ، شابک 0-13-487538-9
کریزیگ، اروین (1972)، ریاضیات مهندسی پیشرفته (ویرایش سوم)، نیویورک: وایلی ، ISBN 0-471-50728-8.
Polyanin, AD and VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (ویرایش دوم)، چاپمن و هال/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
سیمونز، جورج اف (1972)، معادلات دیفرانسیل با کاربردها و یادداشت های تاریخی ، نیویورک: مک گراو-هیل ، LCCN 75173716
تیپلر، پل ای. (1991)، فیزیک برای دانشمندان و مهندسان: نسخه توسعه یافته (ویرایش سوم)، نیویورک: ناشران ورث ، شابک 0-87901-432-6
بوسکاین، اوگو؛ Chitour، Yacine (2011)، Introduction à l'automatique (PDF) (به زبان فرانسوی)
درزنر، لارنس (1999)، کاربردهای نظریه لی معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی ، بریستول و فیلادلفیا: موسسه انتشارات فیزیک ، شابک 978-0750305303
اشر، اوری؛ پتزولد، لیندا (1998)، روشهای کامپیوتری برای معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل-جبری ، SIAM، ISBN 978-1-61197-139-2

کتابشناسی [ ویرایش ]

کدینگتون، ارل ا. لوینسون، نورمن (1955). نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی . نیویورک: مک گراو هیل .
هارتمن، فیلیپ (2002) [1964]، معادلات دیفرانسیل معمولی ، کلاسیک در ریاضیات کاربردی، جلد. 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , doi : 10.1137/1.9780898719222 , ISBN 978-0-89871-510-1، MR 1929104
دبلیو جانسون، رساله ای بر معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی ، جان وایلی و پسران، 1913، در مجموعه ریاضیات تاریخی دانشگاه میشیگان
اینس، ادوارد ال. (1944) [1926]، معادلات دیفرانسیل معمولی ، انتشارات دوور، نیویورک، شابک 978-0-486-60349-0، MR 0010757
ویتولد هورویچ ، سخنرانی‌هایی درباره معادلات دیفرانسیل معمولی ، انتشارات دوور، شابک 0-486-49510-8
ابراگیموف، نایل اچ. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 . Providence: CRC-Press. شابک 0-8493-4488-3..
تسچل، جرالد (2012). معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی . Providence : انجمن ریاضی آمریکا . شابک 978-0-8218-8328-0.
AD Polyanin , VF Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
D. Zwillinger، Handbook of Differential Equations (ویرایش سوم) ، انتشارات دانشگاهی، بوستون، 1997.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

Wikibooks کتابی با موضوع: حساب دیفرانسیل و انتگرال/معادلات دیفرانسیل معمولی دارد

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی موجود است .

"معادله دیفرانسیل، معمولی" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]
EqWorld: دنیای معادلات ریاضی ، حاوی لیستی از معادلات دیفرانسیل معمولی با حل آنها.
یادداشت های آنلاین / معادلات دیفرانسیل توسط پل داوکینز، دانشگاه لامار .
معادلات دیفرانسیل ، SOS ریاضیات.
آغازگر حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل از موسسه روش‌های عددی جامع، دانشگاه فلوریدا جنوبی.
یادداشت های سخنرانی معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی توسط جرالد تسل .
یادداشت‌هایی درباره Diffy Qs: Differential Equations for Engineers کتاب درسی مقدماتی در مورد معادلات دیفرانسیل توسط Jiri Lebl از UIUC .
مدل سازی با ODE ها با استفاده از Scilab آموزش نحوه مدل سازی یک سیستم فیزیکی که توسط ODE با استفاده از زبان برنامه نویسی استاندارد Scilab توسط تیم Openeering توضیح داده شده است.
حل یک معادله دیفرانسیل معمولی در Wolfram|Alpha

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم دی ۱۴۰۲ ساعت 8:18 توسط علی رضا نقش نیلچی |

9-هارمونیک های کروی

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شود $(r,\theta,\varphi)$ و $(r',\theta ',\varphi')$ ، به ترتیب، زاویه $\گاما$ بین آنها توسط رابطه داده می شود

$\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$

که در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .

قضیه جمع بیان می کند [17]

$P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^ {\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y})\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N } _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2} =\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,$

( 1 )

که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]

به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست می‌دهد [20]

$\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x}) ={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$

که اتحاد cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.

در بسط ( 1 )، سمت چپ $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپس $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })$

( 2 )

علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ای $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ به عنوان مضرب ثابت چند جمله ای جیگنبوئر مناسب داده می شود :

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf { x} }\cdot {\mathbf {y} })$

( 3 )

با ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y اتحاد عملکردی را می دهد

${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$

که در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.

قانون انقباض [ ویرایش ]

اتحاد مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان می کند [22]

$Y_{a,\alpha }\left(\theta,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left( 2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c} \left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta,\varphi \right).$

بسیاری از اصطلاحات در این مجموع به طور پیش پا افتاده صفر هستند. ارزش های $ج$ و $\گاما$ که منجر به عبارات غیر صفر در این مجموع می شود توسط قوانین انتخاب برای نمادهای 3j تعیین می شود .

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ضرایب کلبش–گوردان

ضرایب کلبش-گوردان ضرایبی هستند که در بسط حاصلضرب دو هارمونیک کروی بر حسب خود هارمونیک کروی ظاهر می شوند. تکنیک‌های مختلفی برای انجام محاسبات مشابه در دسترس هستند، از جمله نماد وینگر 3-jm ، ضرایب رکا و انتگرال‌های اسلاتر . به طور انتزاعی، ضرایب کلبش-گوردان حاصل ضرب تانسور دو نمایش غیرقابل تقلیل گروه چرخش را به عنوان مجموع نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بیان می‌کنند: به طور مناسب نرمال شده، ضرایب پس از آن چند برابر هستند.

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

نمایش شماتیک از $Y_{\ell m}$ روی واحد کره و خطوط گره ای آن. $\Re [Y_{\ell m}]$ برابر است با 0 در امتداد دایره های بزرگی که از قطب ها می گذرند و در امتداد دایره های − m با عرض جغرافیایی مساوی. تابع هر بار که از یکی از این خطوط عبور می کند علامت تغییر می دهد.

نمودار رنگی سه بعدی هارمونیک های کروی درجه n = 5 . توجه داشته باشید که n = .

هارمونیک های کروی لاپلاس $Y_{\ell }^{m}$ می توان با در نظر گرفتن " خطوط گره " آنها، یعنی مجموعه نقاط روی کره ای که در آن قرار دارد، تجسم کرد $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ ، یا به جای آن که $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ . خطوط گره ای از $Y_{\ell }^{m}$ از دایره های تشکیل شده اند: | وجود دارد m | دایره ها در طول طول و −| m | دایره ها در طول عرض های جغرافیایی می توان تعداد خطوط گرهی هر نوع را با شمارش تعداد صفرهای آن تعیین کرد $Y_{\ell }^{m}$ در $\ تتا$ و $\varphi$ جهت ها به ترتیب. با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\ تتا$ مولفه های حقیقی و خیالی چند جمله ای های لژاندر مرتبط هر کدام دارای −| m | صفرها که هر کدام یک "خط عرض جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند. از سوی دیگر با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\varphi$ ، توابع sin و cos مثلثاتی دارای 2| m | صفرها، که هر کدام یک "خط طول جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند.

وقتی مرتبه هارمونیک کروی m صفر باشد (بالا سمت چپ در شکل)، توابع هارمونیک کروی به طول جغرافیایی بستگی ندارند و به آنها منطقه ای می گویند . چنین هارمونیک های کروی مورد خاصی از توابع کروی ناحیه ای هستند . وقتی = | m | (پایین-راست در شکل)، هیچ تقاطع صفر در عرض جغرافیایی وجود ندارد، و توابع به عنوان بخش نامیده می شوند . برای موارد دیگر، توابع کره را بررسی می‌کنند و به آنها تسرال می‌گویند .

هارمونیک‌های کروی عمومی‌تر درجه لزوماً آن‌هایی نیستند که بر اساس لاپلاس هستند $Y_{\ell }^{m}$ ، و مجموعه گره های آنها می تواند از نوع نسبتاً کلی باشد. [23]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جدول هارمونیک های کروی

عبارات تحلیلی برای اولین هارمونیک های کروی لاپلاس متعارف: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ که از قرارداد فاز کاندون-شورتلی استفاده می کنند:

$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\ sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{ \sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{ 2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0 }(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt { \frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{تراز شده}}$

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی کلاسیک به عنوان توابع با مقادیر مختلط در کره واحد تعریف می شونداس2 $S^{2}$ در فضای سه بعدی اقلیدسی $\mathbb{R} ^{3}$ . هارمونیک های کروی را می توان به فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعمیم دادآر $\mathbb {R} ^{n}$ به شرح زیر منجر به توابع می شود $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ . [24] اجازه دهید P فضای چندجمله‌ای همگن با مقدار مختلط درجه را در n متغیر حقیقی نشان دهد که در اینجا به عنوان تابع در نظر گرفته می‌شود. $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ . یعنی یک p چند جمله ای در P است به شرطی که برای هر حقیقی باشد $\lambda \in \mathbb {R}$ ، یک نفر دارد

$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x}).$

فرض کنید A فضای فرعی P متشکل از همه چند جمله ای هارمونیک را نشان می دهد :

$\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$

این هارمونیک های کروی جامد (منظم) هستند . اجازه دهید H نشان دهنده فضای توابع در کره واحد باشد

$S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$

با محدودیت از A به دست می آید

$\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ برای برخی }}p \in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ برای همه }}\mathbf {x} \in S^{ n-1}\right\}.$

خواص زیر برقرار است:

مجموع فضاهای H در مجموعه کم است $C(S^{n-1})$ از توابع پیوسته در $S^{{n-1}}$ با توجه به توپولوژی یکنواخت ، توسط قضیه استون-وایرشتراس . در نتیجه، مجموع این فضاها در فضای L 2 ( Sn - 1 ) از توابع انتگرال پذیر مربع روی کره نیز اکم است. بنابراین هر تابع مربع انتگرال پذیر در کره به طور منحصر به فردی به یک سری هارمونیک های کروی تجزیه می شود، جایی که سری به معنای L 2 همگرا می شوند .
برای همه f ∈ H ، یکی دارد
$\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$
که در آن Sn-1 عملگر لاپلاس - بلترامی در Sn - 1 است . این عملگر آنالوگ قسمت زاویه ای لاپلاس در سه بعدی است. به طور کلی، لاپلاسین در ابعاد n به عنوان تجزیه می شود

$\nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}} +r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1} {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}$
برعکس، فضاهای H دقیقاً فضاهای ویژه S n -1 هستند . به طور خاص، استفاده از قضیه طیفی به پتانسیل $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ اثبات دیگری می دهد که فضاهای H به صورت زوجی متعامد و در L 2 کامل هستند ( Sn - 1 ) .

یک مبنای متعامد هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر را می توان به صورت استقرایی با روش جداسازی متغیرها ، با حل مسئله استورم-لیویل برای لاپلاسین کروی ساخت.

$\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$

که در آن φ مختصات محوری در یک سیستم مختصات کروی در Sn - 1 است . نتیجه نهایی چنین رویه ای [26] است.

$Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{ \sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar { P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$

جایی که شاخص ها راضی کننده | 1 | ≤ 2 ≤ ⋯ ≤ n -1 و مقدار ویژه - n -1 ( n -1 + n -2) است . عملکردهای موجود در ضرب بر حسب تابع لژاندر تعریف می شوند

${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\ frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

فضای H هارمونیک های کروی درجه نمایشی از گروه تقارن چرخش ها حول یک نقطه ( SO(3) ) و SU(2) پوشش دوگانه آن است . در واقع، چرخش ها بر روی کره دو بعدی ، و در نتیجه بر روی H نیز با ترکیب تابع عمل می کنند.

$\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$

برای ψ یک هارمونیک کروی و ρ یک چرخش. نمایش H نمایشی غیر قابل تقلیل از SO(3) است . [27]

عناصر H به عنوان محدودیت های کره عناصر A بوجود می آیند : چند جمله ای هارمونیک همگن درجه در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 . با قطبش ψ ∈ A ، ضرایبی وجود دارد $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ متقارن بر روی شاخص ها، به طور منحصر به فرد توسط نیاز تعیین می شود

$\psi (x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$

شرطی که ψ هارمونیک باشد معادل این ادعا است که تانسور من1…من $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ در هر جفت شاخص باید بدون ردیابی باشد. بنابراین به عنوان یک نمایش غیرقابل تقلیل SO(3) ، H نسبت به فضای تانسورهای متقارن بی اثر درجه هم شکل است .

به طور کلی تر، گزاره های مشابه در ابعاد بالاتر وجود دارند: فضای H هارمونیک های کروی روی n- کره نمایش غیرقابل تقلیل SO( n +1) مربوط به تانسورهای متقارن بدون ردیابی است . با این حال، در حالی که هر نمایش تانسور تقلیل‌ناپذیر SO(2) و SO(3) از این نوع است، گروه‌های متعامد ویژه در ابعاد بالاتر دارای نمایش‌های غیر قابل تقلیل اضافی هستند که به این شکل ایجاد نمی‌شوند.

گروه‌های متعامد خاص دارای نمایش‌های اسپین اضافی هستند که نمایش‌های تانسوری نیستند و معمولاً هارمونیک‌های کروی نیستند. یک استثنا، نمایش اسپین SO(3) است: به طور دقیق، اینها نمایش‌هایی از پوشش دوتایی SU(2) SO(3) هستند. به نوبه خود، SU(2) با گروه کواترنیون های واحد شناسایی می شود و بنابراین با کره 3 منطبق است . فضاهای هارمونیک های کروی روی 3 کره، با توجه به عمل ضرب چهارتایی، نمایش اسپین خاصی از SO(3) هستند.

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی را می توان به دو مجموعه از توابع تقسیم کرد. [28] یکی توابع نیمکره ای (HSH)، متعامد و کامل روی نیمکره است. دیگری هارمونیک های نیمکره مکمل (CHSH) است.

کلیات [ ویرایش ]

تقارن حفظ زاویه دو کره توسط گروه تبدیل موبیوس PSL (2, C ) توصیف شده است. با توجه به این گروه، کره معادل کره معمولی ریمان است . گروه PSL(2, C ) هم شکل با گروه (مناسب) لورنتس است و عمل آن بر روی دو کره با عمل گروه لورنتس بر روی کره آسمانی در فضای مینکوفسکی مطابقت دارد . آنالوگ هارمونیک های کروی برای گروه لورنتس توسط سری هایپرهندسی داده شده است . علاوه بر این، هارمونیک‌های کروی را می‌توان بر حسب سری فراهندسی دوباره بیان کرد، زیرا SO(3) = PSU(2) زیرگروهی از PSL(2, C ) است .

به طور کلی تر، سری های فراهندسی را می توان برای توصیف تقارن های هر فضای متقارن تعمیم داد . به طور خاص، سری های فرا هندسی را می توان برای هر گروه Lie توسعه داد . [29] [30] [31] [32]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به هارمونیک‌های کروی وجود دارد .

هارمونیک مکعبی (اغلب به جای هارمونیک های کروی در محاسبات استفاده می شود)
هارمونیک های استوانه ای
پایه کروی
هارمونیک های کروی اسپینور
هارمونیک های کروی با وزن اسپین
نظریه استورم-لیوویل
جدول هارمونیک های کروی
هارمونیک های کروی برداری
اوربیتال اتمی

یادداشت ها [ ویرایش ]

گزارشی تاریخی از رویکردهای مختلف به هارمونیک های کروی در سه بعد را می توان در فصل چهارم مک رابرت 1967 یافت. اصطلاح "هارمونیک های کروی لاپلاس" رایج است. به کورانت-هیلبرت 1962 و میچر & بوئر 2004 مراجعه کنید.
^ رویکرد به هارمونیک‌های کروی در اینجا در ( کورانت-هیلبرت 1962 , §V.8, §VII.5) یافت می‌شود.
^ کاربردهای فیزیکی اغلب محلولی را می گیرند که در بی نهایت ناپدید می شود و A = 0 را می سازد . این بر بخش زاویه ای هارمونیک های کروی تأثیر نمی گذارد.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک کروی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی 2023-05-10 .
↑ Edmonds 1957 ، §2.5
^ سالن 2013 بخش 17.6
↑ Hall 2013 Lemma 17.16
↑ ویلیامز، ارل جی (1999). آکوستیک فوریه: تشعشعات صوتی و هولوگرافی صوتی نزدیک میدان . سن دیگو، کالیفرنیا: انتشارات آکادمیک. شابک 0080506909. OCLC 181010993 .
↑ مسیح، آلبرت (1999). مکانیک کوانتومی: دو جلد صحافی شده به عنوان یک جلد (دو جلد صحافی شده به عنوان یک، ویرایش مجدد بدون خلاصه). مینولا، نیویورک: دوور. شابک 9780486409245.
↑ کلود کوهن تانوجی؛ برنارد دیو; فرانک لالو (1996). مکانیک کوانتومی . ترجمه سوزان رید هملی; و همکاران Wiley-Interscience: ویلی. شابک 9780471569527.
^ a bپرش به بالا: بلیکلی، ریچارد (1995). نظریه پتانسیل در گرانش و کاربردهای مغناطیسی . کمبریج انگلستان نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 113 . شابک 978-0521415088.
^ هایسکانن و موریتز، ژئودزی فیزیکی، 1967، معادله. 1-62
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "فاز کاندون-شورتلی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 02-11-2022 .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 392.
به عنوان مثال، به ضمیمه A از Garg، A.، Electrodynamics Classical in a Nutshell (انتشارات دانشگاه پرینستون، 2012) مراجعه کنید.
^ لی، فیفی؛ براون، کارول؛ Garg, Anupam (2013), " The Weyl-وینگر-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , بیبکد : 2013EL ....10260006L 10260006L 10260006L . 102/60006 ، S2CID 119610178
↑ Edmonds, AR (1996). تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی . انتشارات دانشگاه پرینستون پ. 63 .
^ این برای هر مبنای متعارف هارمونیک های کروی درجه معتبر است . برای هارمونیک های توان واحد لازم است ضریب 4 π حذف شود .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 395
↑ Unsöld 1927
^ Stein & Weiss 1971 , §IV.2
^ برینک، دی.م. Satchler، GR حرکت زاویه ای . انتشارات دانشگاه آکسفورد. پ. 146.
↑ ارمنکو، یاکوبسون و نادیراشویلی 2007
^ سولومنتسف 2001 ; Stein & Weiss 1971 §IV.2
^ رجوع کنید به نتیجه 1.8 اکسلر، شلدون؛ رامی، وید (1995)، چند جمله ای هارمونیک و مسائل نوع دیریکله
↑ هیگوچی، آتسوشی (1987). "هارمونیک‌های کروی تانسور متقارن بر روی N-کره و کاربرد آنها در گروه دسیتر SO(N,1)" . مجله فیزیک ریاضی . 28 (7): 1553-1566. بیبکد : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 .
↑ Hall 2013 نتیجه 17.17
↑ ژنگ یی، وی کی، لیانگ بی، لی یی، چو (23-12-2019). "توابع مشابه زرنیک در کلاهک کروی: اصل و کاربردها در اتصالات سطح نوری و رندر گرافیکی" . اپتیک اکسپرس . 27 (26): 37180–37195. بیبکد : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 .
↑ N. Vilenkin، توابع ویژه و نظریه بازنمودهای گروهی ، آم. ریاضی. Soc. ترجمه، ج. 22، (1968).
↑ جی دی تالمن، کارکردهای ویژه، رویکرد نظری گروهی ، (بر اساس سخنرانی های ای پی ویگنر)، WA بنجامین، نیویورک (1968).
↑ دبلیو میلر، تقارن و جداسازی متغیرها، ادیسون-وسلی، ریدینگ (1977).
^ A. Wawrzyńczyk، نمایندگی های گروهی و عملکردهای ویژه ، ناشران علمی لهستانی. ورشو (1984).

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

کورانت، ریچارد ؛ هیلبرت، دیوید (1962)، روشهای فیزیک ریاضی، جلد اول ، وایلی-اینترساینس.
Edmonds، AR (1957)، حرکت زاویه ای در مکانیک کوانتومی ، انتشارات دانشگاه پرینستون، ISBN 0-691-07912-9
ارمنکو، الکساندر؛ یاکوبسون، دیمیتری؛ نادیراشویلی، نیکولای (2007)، "درباره مجموعه های گرهی و حوزه های گرهی در S2 و R2" ، Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345-2360، doi : 10.5802/aif.2335 ، ISSN -09 ، 0373 2394544
هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
مک رابرت، TM (1967)، هارمونیک های کروی: رساله ابتدایی در مورد توابع هارمونیک، با کاربردها ، چاپ پرگامون.
مایجر، پل هرمان ارنست; بائر، ادموند (2004)، نظریه گروه: کاربرد در مکانیک کوانتومی ، دوور، شابک 978-0-486-43798-9.
سولومنتسف، ED (2001) [1994]، "هارمونیک های کروی" ، دایره المعارف ریاضیات ، چاپ EMS.
استاین، الیاس ؛ ویس، گیدو (1971)، مقدمه ای بر تحلیل فوریه در فضاهای اقلیدسی ، پرینستون، نیوجرسی: انتشارات دانشگاه پرینستون، شابک 978-0-691-08078-9.
Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome"، Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, بیبکد : 1927AnP...387..355U , doi : 10.1002/1033.1002.
ویتاکر، ای تی Watson, GN (1927), A Course of Modern Analysis , انتشارات دانشگاه کمبریج , ص. 392.

مراجع عمومی [ ویرایش ]

EW Hobson، نظریه هارمونیک های کروی و بیضی ، (1955) انتشارات چلسی. شرکت شابک 978-0-8284-0104-3 .
سی. مولر، هارمونیک های کروی ، (1966) اسپرینگر، یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، جلد. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 .
EU Condon و GH Shortley، Theory of Atomic Spectra ، (1970) کمبریج در انتشارات دانشگاه، ISBN 0-521-09209-4 ، به فصل 3 مراجعه کنید .
جی دی جکسون، الکترودینامیک کلاسیک ، ISBN 0-471-30932-X
آلبرت مسیحا، مکانیک کوانتومی ، جلد دوم. (2000) دوور. شابک 0-486-40924-4 .
مطبوعات، WH; Teukolsky، SA; Vetterling، WT; Flannery، BP (2007)، "بخش 6.7. هارمونیک های کروی" ، دستورهای عددی: هنر محاسبات علمی (ویرایش سوم)، نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج، ISBN 978-0-521-88068-8
DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum , (1988) World Scientific Publishing Co., سنگاپور, ISBN 9971-5-0107-4
وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک های کروی" . دنیای ریاضی .
مدوک، جان، هارمونیک های کروی در Boost.Math

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

هارمونیک کروی در MathWorld
نمایش سه بعدی کروی هارمونیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 15:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

8-هارمونیک های کروی

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر در این بخش به بهبود این مقاله کمک کنید. اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژوئیه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

توان کل یک تابع f در ادبیات پردازش سیگنال به عنوان انتگرال تابع مجذور تقسیم بر مساحت دامنه آن تعریف می شود . با استفاده از ویژگی‌های متعامد توابع هارمونیک کروی حقیقی واحد-قدرت، به راحتی می‌توان تأیید کرد که توان کل یک تابع تعریف شده بر روی واحد کره به ضرایب طیفی آن با تعمیم قضیه پارسوال مرتبط است (در اینجا، قضیه بیان می‌شود. برای هارمونیک های نیمه نرمال شده اشمیت، این رابطه برای هارمونیک های متعامد کمی متفاوت است:

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0} ^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$

جایی که

$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m }|^{2}$

به عنوان طیف توان زاویه ای (برای هارمونیک های نیمه نرمال اشمیت) تعریف می شود. به روشی مشابه، می توان قدرت متقاطع دو تابع را به صورت تعریف کرد

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _ {\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$

جایی که

اس()2+1∑=-∗

$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ ell m}^{\ast }$

به عنوان طیف توان متقابل تعریف می شود. اگر توابع f و g میانگین صفر داشته باشند (یعنی ضرایب طیفی f 00 و g 00 صفر هستند)، آنگاه Sff(ℓ) و S fg ( ) مشارکت در واریانس تابع و کوواریانس برای درجه را نشان می دهند . به ترتیب. معمول است که طیف توان (متقابل) به خوبی با یک قانون توان به شکل تقریب می شود.

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

وقتی β = 0 ، طیف "سفید" است زیرا هر درجه دارای قدرت برابر است. وقتی β < 0 ، طیف را "قرمز" می نامند زیرا در درجات پایین با طول موج های بلند توان بیشتری نسبت به درجات بالاتر وجود دارد. در نهایت، زمانی که β > 0 ، طیف "آبی" نامیده می شود. شرط ترتیب رشد Sff(ℓ) به ترتیب تمایز پذیری f در بخش بعدی مربوط می شود.

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

همچنین می توان خواص تمایز پذیری تابع اصلی f را بر حسب مجانبی Sff(ℓ) درک کرد . به طور خاص، اگر Sff(ℓ) سریعتر از هر تابع منطقی به عنوان → ∞ کاهش یابد ، آنگاه f بی نهایت قابل تفکیک است . علاوه بر این، اگر Sff(ℓ) به صورت تصاعدی کاهش یابد، آنگاه f در واقع تحلیلی حقیقی روی کره است .

تکنیک کلی استفاده از تئوری فضاهای سوبولف است . اظهارات مربوط به رشد Sff(ℓ) به تمایز پذیری مشابه نتایج مشابه در رشد ضرایب سری فوریه است . به طور خاص، اگر

$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$

سپس f در فضای سوبولف H s ( S 2 ) است . به طور خاص، قضیه تعبیه سوبولف نشان می دهد که f بی نهایت قابل تمایز است به شرطی که

$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$

برای همه s .

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 15:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

7-هارمونیک های کروی

[ویژگی های تقارن [ ویرایش

هارمونیک های کروی دارای خواص عمیق و پیامدی تحت عملیات وارونگی فضایی (پاریتی) و چرخش هستند.

برابری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: برابری (فیزیک)

هارمونیک های کروی برابری مشخصی دارند. یعنی از نظر وارونگی در مورد مبدا یا زوج هستند یا فرد. وارونگی توسط عملگر نشان داده می شود $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ . سپس، همانطور که از بسیاری جهات می توان دید (شاید به سادگی از تابع تولید هرگلوتز)، با $\mathbf {r}$ بردار واحد بودن

$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r}).$

از نظر زوایای کروی، برابری یک نقطه را با مختصات تبدیل می کند $\{\theta,\varphi \}$ به $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ . بیانیه برابری هارمونیک های کروی پس از آن است

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{ \ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$

(این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: چند جمله ای های لژاندر + m را به دست می دهند و از تابع نمایی m داریم ، با هم برای هارمونیک های کروی برابری .)

برابری برای هارمونیک های کروی حقیقی و برای هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر همچنان برقرار است: اعمال بازتاب نقطه ای به هارمونیک کروی درجه علامت را با ضریب تغییر می دهد .

چرخش ها [ ویرایش ]

چرخش یک تابع کروی حقیقی با m = 0 و = 3 . ضرایب برابر با ماتریس های ویگنر D نیستند، زیرا توابع حقیقی نشان داده شده اند، اما می توان با تجزیه مجدد توابع مختلط به دست آورد.

یک چرخش را در نظر بگیریدآر $\mathcal R$ در مورد مبدایی که بردار واحد را ارسال می کند $\mathbf {r}$ به" ${\mathbf r}'$ . تحت این عملیات، هارمونیک کروی درجه $\ خوب$ و سفارش دهید $متر$ تبدیل به یک ترکیب خطی از هارمونیک های کروی با همان درجه می شود. به این معنا که،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^ {m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $A_{mm'}$ یک ماتریس از نظم است $(2\ell +1)$ که به چرخش بستگی داردآر $\mathcal R$ . با این حال، این روش استاندارد بیان این ویژگی نیست. به روش استانداردی که شخص می نویسد،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ مزدوج مختلط یک عنصر از ماتریس D ویگنر است . به ویژه زمانی که" ${\mathbf r}'$ هست یک $\phi _{0}$ با چرخش آزیموت ما اتحاد را بدست می آوریم،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0 }}.$

رفتار چرخشی هارمونیک‌های کروی شاید ویژگی اصلی آنها از دیدگاه نظریه گروه باشد. این $Y_{\ell }^{m}$ مدرک تحصیلی $\ خوب$ یک مجموعه پایه از توابع برای نمایش غیرقابل تقلیل گروه SO(3) بعد ارائه می کند $(2\ell +1)$ . بسیاری از حقایق در مورد هارمونیک های کروی (مانند قضیه جمع) که به سختی با استفاده از روش های تحلیل اثبات می شوند، با استفاده از روش های تقارن، اثبات های ساده تر و اهمیت عمیق تری به دست می آورند.

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی لاپلاس: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. سی2(اس2) $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ . در کره واحداس2 $S^{2}$ ، هر تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ بنابراین می توان به عنوان یک ترکیب خطی از این موارد گسترش داد:

$f(\theta,\varphi)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m} \,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi).$

این بسط به معنای همگرایی میانگین مربع است - همگرایی در L 2 کره - که به این معناست که

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

ضرایب انبساط مشابه ضرایب فوریه هستند و با ضرب معادله فوق در مزدوج مختلط یک هارمونیک کروی، انتگرال در زاویه جامد Ω، و استفاده از روابط متعامد فوق به دست می آیند. این به شدت توسط نظریه فضایی پایه هیلبرت توجیه می شود. در مورد هارمونیک های متعارف، این به دست می دهد:

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d \Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{ \ell }^{m*}(\theta،\varphi).$

اگر ضرایب به اندازه کافی سریع در کاهش یابد - برای مثال، به صورت نمایی - آنگاه سری نیز به طور یکنواخت به f همگرا می شود .

یک تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ همچنین می تواند از نظر هارمونیک های حقیقی گسترش یابد: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ در بالا به عنوان جمع

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_ {\ell m}(\theta،\varphi).$

همگرایی این سری دوباره در همان معنا وجود دارد، یعنی هارمونیک های کروی حقیقی: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ . مزایای بسط از نظر توابع هارمونیک حقیقی $Y_{\ell m}$ این است که برای توابع حقیقی است: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ ضرایب انبساط $f_{\ell m}$ تضمین شده است که حقیقی هستند، در حالی که ضرایب آنها $f_{\ell }^{m}$ در گسترش آنها از نظر $Y_{\ell}^m$ (با در نظر گرفتن آنها به عنوان توابع: $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ ) آن خاصیت را ندارند.

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 14:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-هارمونیک های کروی

هارمونیک های کروی به شکل دکارتی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی مختلط $Y_{\ell }^{m}$ ایجاد هارمونیک جامد با گسترش ازاس2 $S^{2}$ به همه $\mathbb{R} ^{3}$ به عنوان یک تابع همگن درجه $\ خوب$ ، یعنی تنظیم

$R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\ |}}\راست)$

معلوم می شود که $R_{\ell }^{m}$ مبنای فضای چندجمله ای های هارمونیک و همگن درجه است $\ خوب$ . به طور خاص، این بازنمایی از گروه چرخشی، مبنای (تا عادی سازی منحصر به فرد) گلفاند-تی سدلین است. $SO (3)$ و یک فرمول صریح برای $R_{\ell }^{m}$ در مختصات دکارتی می توان از آن حقیقیت استخراج کرد.

تابع مولد هرگلوتز [ ویرایش ]

اگر قرارداد مکانیک کوانتومی برای: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ، سپس

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{ \sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$

اینجا، $\mathbf {r}$ بردار با اجزا است $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ ، $r=|\mathbf {r} |$ ، و

${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i {\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat { y}} }\راست).$

$\mathbf {a}$ بردار با مختصات مختلط است:

. $\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({ \frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

خاصیت ضروری از $\mathbf {a}$ این است که تهی است:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$

گرفتن کافی است $v$ و $\لامبدا$ به عنوان پاراهای حقیقی در نامگذاری این تابع مولد به نام هرگلوتز ، ما از کورانت-هیلبرت 1962 ، §VII.7 پیروی می‌کنیم که یادداشت‌های منتشر نشده او را برای کشف آن اعتبار می‌دانند.

اساساً تمام خصوصیات هارمونیک های کروی را می توان از این تابع مولد به دست آورد. [15] مزیت فوری این تعریف این است که اگر بردار $\mathbf {r}$ با عملگر بردار اسپین مکانیکی کوانتومی جایگزین می شودجی $\mathbf {J}$ ، به طوری که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ آنالوگ عملگر هارمونیک جامد است (/) $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ ، [16] یک تابع تولید کننده برای مجموعه استاندارد شده ای از عملگرهای تانسور کروی بدست می آید . ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ :

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$

موازی بودن این دو تعریف تضمین می کند که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ تبدیل تحت چرخش ها (به زیر مراجعه کنید) به همان شیوه ای است $Y_{\ell}^m$ ، که به نوبه خود تضمین می کند که آنها عملگرهای تانسور کروی هستند، $T^{(k)}_q$ ، با $k={\ell }$ $q=m$ با رعایت تمام خصوصیات این عملگرها، مانند قضیه ترکیب کلبش-گوردان و قضیه ویگنر-اکارت . علاوه بر این، آنها یک مجموعه استاندارد شده با مقیاس یا عادی سازی ثابت هستند.

همچنین نگاه کنید به: پایه کروی

فرم دکارتی جدا شده [ ویرایش ]

تعریف هرگلوتزی چند جمله‌ای را به دست می‌دهد که در صورت تمایل، ممکن است بیشتر در چند جمله‌ای فاکتورسازی شوند. $z$ و دیگری از $ایکس$ و $y$ ، به شرح زیر (فاز کاندون – شورتلی):

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\ frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\ چپ(-1\راست)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}}،\qquad m>0.$

و برای m = 0 :

$r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }} _{\ell }^{0}.$

اینجا

$A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\cos \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

$B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\sin \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\ راست]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lطبقه (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell } {\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}} \;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$

برای $m=0$ این کاهش می یابد

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1 )^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{ \ell -2k}.$

عاملΠ¯ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ اساساً چند جمله ای لژاندر مرتبط است $P_{\ell }^{m}(\cos \theta)$ ، و عوامل $(A_{m}\pm iB_{m})$ اساسا هستند $e^{\pm im\varphi }$ .

مثالها [ ویرایش ]

استفاده از عبارات برایΠ¯ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ ،آ(،) $A_{m}(x,y)$ ، و $B_{m}(x,y)$ که به صراحت در بالا ذکر شده است، به دست می آوریم:

$Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3} {16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7} {4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \ تتا e^{i\varphi }\right)$

$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5} {32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left( \sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$

ممکن است تأیید شود که این با عملکرد فهرست شده در اینجا و اینجا مطابقت دارد .

فرم های حقیقی [ ویرایش ]

با استفاده از معادلات بالا برای تشکیل هارمونیک های کروی حقیقی، مشاهده می شود که برای>0 $m>0$ فقطآ $صبح}$ شرایط (کسینوس) گنجانده شده است، و برای<0 $m<0$ فقطب $B_{m}$ اصطلاحات (سینوس ها) شامل می شوند:

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell + 1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix} },\qquad m>0.$

و برای m = 0:

$r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ یا }^{0}.$

موارد و مقادیر ویژه [ ویرایش ]

زمانیگه $m=0$ ، هارمونیک های کروی: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ کاهش به چند جمله ای های معمولی لژاندر :

${\displaystyle Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta )$ م،

$Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}} {\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },$ یا ساده تر در مختصات دکارتی،

$r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{ \ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.$
در قطب شمال، جایی که $\theta =0$ ، و $\varphi$ تعریف نشده است، همه هارمونیک های کروی به جز آنهایی که با $m=0$ ناپدید شدن:
$Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1 {4\pi }}}\delta _{m0}.$

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 14:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هارمونیک های استوانه ای

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، هارمونیک های استوانه ای مجموعه ای از توابع مستقل خطی هستند که راه حل های معادله دیفرانسیل لاپلاس هستند . $\nabla ^{2}V=0$ ، در مختصات استوانه ای ρ (مختصات شعاعی)، φ (زاویه قطبی) و z ( ارتفاع) بیان می شود. هر تابع V n ( k ) حاصل ضرب سه جمله است که هر کدام به تنهایی به یک مختصات بستگی دارد. عبارت وابسته به ρ توسط توابع بسل (که گاهی به آنها هارمونیک استوانه ای نیز گفته می شود) داده می شود.

تعریف [ ویرایش ]

هر تابع $V_{n}(k)$ این مبنا از حاصل ضرب سه تابع تشکیل شده است:

$V_{n}(k;\rho،\varphi،z)=P_{n}(k،\rho)\Phi _{n}(\varphi)Z(k،z)\،$

جایی که $(\rho,\varphi,z)$ مختصات استوانه‌ای و ثابت‌های n و k هستند که اعضای مجموعه را متمایز می‌کنند. در نتیجه اصل برهم نهی اعمال شده در معادله لاپلاس، راه حل های بسیار کلی برای معادله لاپلاس را می توان با ترکیب خطی این توابع به دست آورد.

از آنجایی که تمام سطوح دارای ρ، φ و z ثابت هستند مخروطی هستند، معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای قابل تفکیک است. با استفاده از تکنیک جداسازی متغیرها ، یک جواب جدا شده برای معادله لاپلاس را می توان به صورت زیر بیان کرد:

$V=P(\rho)\,\Phi (\varphi)\,Z(z)$

و معادله لاپلاس، تقسیم بر V ، نوشته شده است:

${\frac {{\ddot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {{\dot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}+{\frac {{\ddot {Z}}}{Z}}= 0$

قسمت Z معادله به تنهایی تابعی از z است و بنابراین باید برابر با یک ثابت باشد:

${\frac {{\ddot {Z}}}{Z}}=k^{2}$

که در آن k به طور کلی یک عدد مختلط است . برای یک k خاص ، تابع Z(z) دو راه حل مستقل خطی دارد. اگر k حقیقی باشد عبارتند از:

$Z(k,z)=\cosh(kz)\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sinh(kz)\,$

یا با رفتار آنها در بی نهایت:

$Z(k,z)=e^{{kz}}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e^{{- kz}}\,$

اگر k موهومی باشد:

$Z(k,z)=\cos(|k|z)\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sin(| k|z)\,$

یا:

$Z(k,z)=e^{{i|k|z}}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e ^{{-i|k|z}}\,$

مشاهده می شود که توابع Z(k,z) هسته های تبدیل فوریه یا تبدیل لاپلاس تابع Z(z) هستند و بنابراین k ممکن است یک متغیر گسسته برای شرایط مرزی تناوبی باشد یا ممکن است یک متغیر پیوسته باشد. برای شرایط مرزی غیر تناوبی

جایگزین کردن $k^2$ برای ${\ddot {Z}}/Z$ ، معادله لاپلاس اکنون می تواند نوشته شود:

${\frac {{\ddot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {{\dot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}+k^{2}=0$

ضرب در $\rho ^{2}$ ، اکنون می توانیم توابع P و Φ را از هم جدا کنیم و یک ثابت دیگر ( n ) معرفی کنیم تا به دست آوریم:

${\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}=-n^{2}$

$\rho ^{2}{\frac {{\ddot {P}}}{P}}+\rho {\frac {{\dot {P}}}{P}}+k^{2}\rho ^ {2}=n^{2}$

از آنجا که $\varphi$ تناوبی است، ممکن است n را یک عدد صحیح غیر منفی در نظر بگیریم و بر این اساس، $\Phi (\varphi)$ ثابت ها مشترک هستند. راه حل های حقیقی برای $\Phi (\varphi)$ هستند

$\Phi _{n}=\cos(n\varphi )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sin(n\ ورفی )$

یا به طور معادل:

$\Phi _{n}=e^{{in\varphi }}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e^{ {-in\varphi }}$

معادله دیفرانسیل برای $\rho$ شکلی از معادله بسل است.

اگر k صفر باشد، اما n نباشد، جواب ها عبارتند از:

$P_{n}(0,\rho )=\rho ^{n}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\rho ^{{-n}}\,$

اگر k و n هر دو صفر باشند، جواب ها عبارتند از:

$P_{0}(0,\rho )=\ln \rho \,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,1\,$

اگر k یک عدد حقیقی باشد می‌توانیم جواب حقیقی را به صورت زیر بنویسیم:

$P_{n}(k,\rho )=J_{n}(k\rho )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\ ,Y_{n}(k\rho )\,$

جایی که $J_{n}(z)$ و $Y_{n}(z)$ توابع معمولی بسل هستند .

اگر k یک عدد فرضی باشد، ممکن است یک جواب حقیقی را به صورت زیر بنویسیم:

$P_{n}(k,\rho )=I_{n}(|k|\rho )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\ ,\,K_{n}(|k|\rho )\,$

جایی که $I_{n}(z)$ و $K_{n}(z)$ )توابع بسل اصلاح شده اند .

هارمونیک‌های استوانه‌ای برای (k,n) اکنون حاصل ضرب این جواب‌ها هستند و جواب کلی معادله لاپلاس با ترکیب خطی این جواب‌ها به دست می‌آید:

$V(\rho,\varphi,z)=\sum _{n}\int d\left|k\right|\,\,A_{n}(k)P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,$

جایی که $A_{n}(k)$ با توجه به مختصات استوانه ای ثابت هستند و حدود جمع و انتگرالبا شرایط مرزی مسئله تعیین می شود. توجه داشته باشید که انتگرال ممکن است با یک جمع برای شرایط مرزی مناسب جایگزین شود. متعامد بودن $J_n(x)$ اغلب هنگام یافتن راه حلی برای یک مشکل خاص بسیار مفید است. این $\Phi _{n}(\varphi)$ و $Z(k,z)$ توابع اساساً بسط های فوریه یا لاپلاس هستند و مجموعه ای از توابع متعامد را تشکیل می دهند. چه زمانی $P_{n}(k\rho)$ ساده است $J_{n}(k\rho)$ ، متعامد بود $J_n$ ، همراه با روابط متعامد از $\Phi _{n}(\varphi)$ و $Z(k,z)$ اجازه دهید ثابت ها تعیین شوند. [1]

اگر(ایکس)ک $(x)_k$ دنباله ای از صفرهای مثبت است $J_n$ سپس:

$\int _{0}^{1}J_{n}(x_{k}\rho )J_{n}(x_{k}'\rho )\rho \,d\rho ={\frac {1}{ 2}}J_{{n+1}}(x_{k})^{2}\delta _{{kk'}}$ [2]

در حل مسائل، تا زمانی که مقادیر پتانسیل و مشتق آن در سراسر مرزی که فاقد منبع است مطابقت داشته باشند، فضا را می توان به هر تعداد قطعه تقسیم کرد.

مثال: منبع نقطه ای داخل یک لوله استوانه ای رسانا [ ویرایش ]

به عنوان مثال، مشکل تعیین پتانسیل یک منبع واحد واقع در آن را در نظر بگیرید $(\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})$ داخل یک لوله استوانه ای رسانا (به عنوان مثال یک قوطی حلبی خالی) که از بالا و پایین توسط صفحات محدود شده است. $z=-L$ و $z=L$ و در طرفین توسط استولنه $\rho =a$ . [3] (در واحدهای MKS، فرض خواهیم کرد1 $q/4\pi \epsilon _{0}=1$ ). از آنجایی که پتانسیل توسط صفحات روی محور z محدود می شود ، تابع Z(k,z) را می توان تناوبی در نظر گرفت. از آنجایی که پتانسیل باید در مبدا صفر باشد، مقدار را می گیریم $P_{n}(k\rho)$ تابع بسل معمولی باشد $J_{n}(k\rho)$ ، و باید طوری انتخاب شود که یکی از صفرهای آن روی استوانه مرزی قرار گیرد. برای نقطه اندازه گیری زیر نقطه منبع در محور z ، پتانسیل به صورت زیر خواهد بود:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{{nr}}(L+z))\,\,\, \,\,z\leq z_{0}$

جایی که $k_{{nr}}a$ r-امین صفر است $J_{n}(z)$ و از روابط متعامد برای هر یک از توابع:

$A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L-z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}\,$

بالاتر از منبع:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{{nr}}(Lz))\,\,\,\, \,z\geq z_{0}$

$A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L+z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,$

واضح است که وقتی $\rho =a$ یا $|z|=L$ ، تابع فوق صفر است. همچنین می توان به راحتی نشان داد که این دو تابع از نظر مقدار و مقدار اولین مشتقات خود در مطابقت دارند $z=z_{0}$ .

منبع نقطه ای داخل استولنه [ ویرایش ]

حذف انتهای صفحه (یعنی با نزدیک شدن L به بی نهایت حد را در نظر بگیرید) میدان منبع نقطه ای را در داخل یک استوانه رسانا می دهد:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{{-k_{{nr}}|z-z_{0}|}}$

$A_{{nr}}={\frac {2(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr }}\rho _{0})}{k_{{nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,$

منبع نقطه در فضای باز [ ویرایش ]

با نزدیک شدن شعاع استوانه ( a ) به بینهایت، مجموع صفرهای J n (z) تبدیل به یک انتگرال می شود و میدان یک منبع نقطه ای در فضای بینهایت داریم:

$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{R}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }d \ چپ|k\راست|\,A_{n}(k)J_{n}(k\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k|z-z_ {0}|}$

$A_{n}(k)=(2-\delta _{{n0}})J_{n}(k\rho _{0})\،$

و R فاصله منبع نقطه تا نقطه اندازه گیری است:

$R={\sqrt {(z-z_{0})^{2}+\rho ^{2}+\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos(\ varphi -\varphi _{0})}}.\,$

منبع نقطه در فضای باز در مبدا [ ویرایش ]

در نهایت، وقتی منبع نقطه ای در مبدا باشد، $\rho _{0}=z_{0}=0$

$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}}=\int _{0}^{\infty } J_{0}(k\rho )e^{{-k|z|}}\,dk.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اسمایث 1968 ، ص. 185.
↑ Guillopé 2010 .
^ پیکربندی و متغیرها مانند Smythe 1968

منابع [ ویرایش ]

اسمیت، ویلیام آر (1968). الکتریسیته ساکن و دینامیک (ویرایش سوم). مک گراو هیل .
گیلوپه، لوران (2010). "Espaces de Hilbert et fonctions spéciales" (PDF) (به زبان فرانسوی).

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 12:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

میدان های الکترومغناطیس از نقطه نظر ارزش مرزی

5.0 مقدمه
5.1 راه حل های خاص و همگن معادلات پواسون و لاپلاس
5.2 منحصر به فرد بودن راه حل های معادله پواسون
5.3 شرایط تداوم
5.4 راه حل های معادله لاپلاس در مختصات دکارتی
5.5 گسترش مدال برای ارضای شرایط مرزی
5.6 راه حل های معادله پواسون با شرایط مرزی
5.7 راه حل های معادله لاپلاس در مختصات قطبی
5.8 مثال در مختصات قطبی
5.9 سه راه حل برای معادله لاپلاس در مختصات کروی
5.10 راه حل های سه بعدی معادله لاپلاس
5.11 خلاصه
منابع

5.0
مقدمه

قوانین الکتروکوازیستاتیک در فصل مورد بحث قرار گرفتند. 4. شدت میدان الکتریکی E غیر چرخشی است و با گرادیان منفی پتانسیل الکتریکی نشان داده می شود.

اگر پتانسیل الکتریکی با چگالی بار توسط معادله پواسون مرتبط باشد ، قانون گاوس برآورده می شود.

در مناطق بدون بار فضا، از معادله لاپلاس، (2)، با = 0 تبعیت می کند .

قسمت آخر فصل. 4 به یک رویکرد "فرصت طلبانه" برای یافتن راه حل های ارزش مرزی اختصاص داده شد. یک استثنا طرح عددی شرح داده شده در Sec. 4.8 که منجر به حل یک مسئله ارزش مرزی با استفاده از رویکرد منبع-برهم‌بندی شد. در این فصل، حمله مستقیم تری به حل مسائل مقدار مرزی بدون توسل به روش های عددی انجام می شود. این یکی از مواردی است که نه تنها به عنوان اثرات قطبش و هدایت به قوانین EQS، بلکه در برخورد با سیستم های MQS نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

بار دیگر، برای کسانی که با توصیف دینامیک مدار خطی بر حسب معادلات دیفرانسیل معمولی آشنا هستند، تشبیهی مفید وجود دارد. با زمان به عنوان متغیر مستقل، پاسخ به درایوی که با t = 0 روشن می شود را می توان به دو روش تعیین کرد. اولی پاسخ را به عنوان برهم نهی پاسخ های ضربه ای نشان می دهد. انتگرال پیچیدگی به دست آمده نشان دهنده پاسخ برای تمام زمان ها، قبل و بعد از t = 0 و حتی زمانی که t = 0 است . این مشابه دیدگاهی است که در بخش اول فصل گرفته شده است. 4.

رویکرد دوم تاریخچه دینامیک را قبل از زمانی که t = 0 بر حسب شرایط اولیه نشان می دهد. با درک این که علاقه به زمان‌های بعد از t = 0 محدود می‌شود ، سپس پاسخ به بخش‌های «خاص» و «همگن» تقسیم می‌شود. راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل که مدار را نشان می دهد منحصر به فرد نیست، اما تضمین می کند که در هر لحظه در محدوده زمانی مورد نظر، معادله دیفرانسیل برآورده می شود. این راه حل خاص نیازی به ارضای شرایط اولیه ندارد. در این فصل، "درایو" چگالی بار است، و پاسخ پتانسیل خاص تضمین می کند که معادله پواسون، (2)، در همه جا در منطقه فضایی مورد نظر برآورده می شود.

در مدار آنالوگ از محلول همگن برای برآوردن شرایط اولیه استفاده می شود. در مسئله میدانی، از راه حل همگن برای برآوردن شرایط مرزی استفاده می شود. در یک مدار، راه حل همگن را می توان به عنوان پاسخ به درایوهایی در نظر گرفت که قبل از زمانی که t = 0 (خارج از محدوده زمانی مورد نظر) رخ داده اند. در تعیین توزیع پتانسیل، پاسخ همگن با معادله لاپلاس، (2) با = 0 پیش‌بینی می‌شود و می‌توان آن را ناشی از بارهای ساختگی خارج از منطقه مورد نظر یا ناشی از بارهای سطحی ناشی از آن دانست. در مرزها

توسعه این ایده ها در Secs. 5.1-5.3 مستقل است و به آشنایی با نظریه مدار بستگی ندارد. با این حال، برای کسانی که با حل معادلات دیفرانسیل معمولی آشنا هستند، دیدن این که رویکردهایی که در اینجا برای برخورد با معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود، بسط طبیعی آنهایی هستند که برای معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده می شوند، رضایت بخش است.

اگرچه اغلب می‌توان آن را ساده‌تر با روش‌های دیگر پیدا کرد، اما یک راه‌حل خاص همیشه از انتگرال برهم نهی ناشی می‌شود. بنابراین، هدف اصلی این فصل به سمت تعیین راه‌حل‌های همگن، یافتن راه‌حل‌هایی برای معادله لاپلاس است. بسیاری از پیکربندی های عملی دارای مرزهایی هستند که با تنظیم یکی از متغیرهای مختصات در یک سیستم مختصات سه بعدی برابر با یک ثابت توصیف می شوند. به عنوان مثال، جعبه ای با مقطع مستطیلی دارای دیوارهایی است که با تنظیم یک مختصات دکارتی برابر با یک ثابت برای توصیف مرز توصیف می شود. به طور مشابه، مرزهای یک استوانه دایره ای به طور طبیعی در مختصات استوانه ای توصیف می شود. بنابراین، علاقه زیادی به داشتن راه‌حل‌هایی برای معادله لاپلاس وجود دارد که به طور طبیعی با این پیکربندی‌ها «مطابق» می‌شوند. با مثال‌های زیادی که در بحث در هم تنیده شده‌اند، بیشتر این فصل به فهرست‌نویسی این راه‌حل‌ها اختصاص دارد. نتایج در این فصل برای توصیف فیلدهای EQS در فضای آزاد استفاده می شود. با این حال، از آنجایی که اثرات قطبش و رسانش به حوزه EQS اضافه می‌شود، و از آنجایی که سیستم‌های MQS با مغناطیس و هدایت در نظر گرفته می‌شوند، راه‌حل‌های همگن معادله لاپلاس که در این فصل ایجاد شده است، یک منبع مستمر خواهد بود.

مروری بر فصل. 4 راه حل های زیادی را برای معادله لاپلاس مشخص می کند. تا زمانی که منبع میدان خارج از ناحیه مورد نظر باشد، پتانسیل حاصل از معادله لاپلاس تبعیت می کند. تفاوت راه حل های ارائه شده در این فصل چیست؟ یک اشاره از روش عددی استفاده شده در Sec. 4.8 برای ارضای شرایط مرزی دلخواه. در آنجا، برهم نهی راه حل های N به معادله لاپلاس برای برآوردن شرایط در N نقطه روی مرزها استفاده شد. متأسفانه، برای تعیین دامنه این N راه حل، N معادله باید برای N مجهول حل می شد.
راه‌حل‌های معادله لاپلاس که در این فصل یافت می‌شوند نیز می‌توانند به عنوان اصطلاحات در یک سری نامتناهی استفاده شوند که برای برآوردن شرایط مرزی دلخواه ساخته شده‌اند. اما آنچه در مورد اصطلاحات این مجموعه متفاوت است، متعامد بودن آنهاست. این ویژگی راه‌حل‌ها، تعیین صریح دامنه‌های مجزا در سری را ممکن می‌سازد. مفهوم متعامد بودن توابع ممکن است از طریق مواجهه با تحلیل فوریه آشنا باشد. در هر صورت، ایده های اساسی درگیر در بخش معرفی شده اند. 5.5.

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.0.html

+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آذر ۱۴۰۲ ساعت 10:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

جواب های مختصات قطبی به معادله لاپلاس

5.8
مثال در مختصات قطبی

با هدف الحاق بینش فیزیکی به جواب های مختصات قطبی به معادله لاپلاس، دو نوع مثال جالب توجه است. ابتدا مسائل کلاسیک خاصی هستند که راه حل های ساده ای دارند. دوم، نمونه‌هایی هستند که به رویکرد مودال قابل اجرا نیاز دارند که برآوردن شرایط مرزی دلخواه را ممکن می‌سازد.

استوانه هم پتانسیل در میدان الکتریکی کاربردی یکنواخت در نظر گرفته شده در مثال اول در دسته اول قرار دارد. در حالی که یک نمونه مهم به منبع مطالعات موردی ما اضافه شده است، این مثال همچنین دارای ارزش عملی است زیرا امکان تخمین‌هایی را در سیستم‌های مهندسی پیچیده می‌دهد، شاید میزان تمرکز یک میدان کاربردی روی یک شی استوانه‌ای شکل باشد.

شکل 5.8.1 مرزهای طبیعی در مختصات قطبی ناحیه V را در بر می گیرد .
در کلی ترین مسئله در دسته دوم، پتانسیل های دلخواه بر روی مرزهای مختصات قطبی که یک ناحیه V را در بر می گیرند، اعمال می شوند ، همانطور که در شکل 5.8.1 نشان داده شده است. پتانسیل برهم نهی چهار راه حل است که هر کدام محدودیت پتانسیل را در یکی از مرزها برآورده می کند در حالی که در سه راه دیگر صفر است. در مختصات دکارتی، رویکرد مورد استفاده برای یافتن یکی از این چهار راه‌حل، رویکرد مودال Sec. 5.5، مستقیماً برای سه مورد دیگر اعمال می شود. یعنی در نوشتن جواب ها می توان نقش های x و y را با هم عوض کرد. از سوی دیگر، در مختصات قطبی مجموعه راه حل های مورد نیاز برای نشان دادن پتانسیل تحمیل شده بر روی مرزها در r = a یا r = b با محدودیت های پتانسیل در مرزهای = 0 یا = o متفاوت است . مثال‌های 5.8.2 و 5.8.3 دو نوع راه‌حل مورد نیاز برای تعیین فیلدها را در کلی‌ترین حالت نشان می‌دهند. در مورد دوم، پتانسیل در مجموعه ای از توابع متعامد که سینوس یا کسینوس نیستند، گسترش می یابد. این فرصتی را به وجود می‌آورد که از ویژگی متعامد بودن راه‌حل‌های محصول معادله لاپلاس که در بسیاری از سیستم‌های مختصات دیگر غالب است، قدردانی کنیم.

راه حل های ساده
مثالی که اکنون در نظر گرفته می شود اولین مورد از یک سری مطالعات موردی "سیلندری" است که بر روی همان راه حل های m = 1 ساخته شده است . در فصل بعد، سیلندر به یک دی الکتریک قطبی تبدیل می شود. در فصل 7، رسانایی محدودی خواهد داشت و مبنایی را برای تعیین اینکه یک رسانا باید چقدر "بی نقص" باشد تا مدل هم پتانسیل مورد استفاده در اینجا را توجیه کند، فراهم می کند. در فصل. 8-10، میدان مغناطیسی خواهد بود و استوانه ابتدا کاملاً رسانا، سپس قابل مغناطیسی شدن، و در نهایت پوسته ای با رسانایی محدود خواهد بود. به دلیل سادگی راه‌حل‌های دوقطبی مورد استفاده در این سری از مثال‌ها، در هر مورد می‌توان بر روی فیزیک تمرکز کرد بدون اینکه حواس‌تان به جزئیات ریاضی پرت شود.

مثال 5.8.1. سیلندر هم پتانسیل در یک میدان الکتریکی یکنواخت
یک میدان الکتریکی یکنواخت E a در جهتی عمود بر محور استوانه ای (کاملاً) رسانا اعمال می شود. بنابراین، سطح رسانا، که در r = R است ، یک هم پتانسیل است. هدف تعیین توزیع میدان است که با حضور سیلندر اصلاح شده است.

از آنجا که شرایط مرزی بر روی یک سطح استوانه ای مدور بیان می شود، استفاده از مختصات قطبی طبیعی است. برانگیختگی میدان از «بی‌نهایت» می‌آید، جایی که میدان یکنواخت، با قدر E a و جهت x شناخته می‌شود. از آنجا که راه حل ما باید به این میدان یکنواخت دور از استوانه نزدیک شود، مهم است که در ابتدا تشخیص دهیم که پتانسیل آن، که در مختصات دکارتی -E a x است .

به این باید پتانسیل تولید شده توسط بارهای القا شده بر روی سطح هادی را اضافه کرد تا سطح یک پتانسیل برابر حفظ شود. از آنجا که راه حل ها باید در کل محدوده 0 < < 2 نگه داشته شوند ، فقط مقادیر صحیح ثابت جداسازی m مجاز هستند، یعنی فقط راه حل هایی که در ادواری هستند . اگر بخواهیم تابعی را به (1) اضافه کنیم که پتانسیل را در r = R صفر می کند ، باید مقدار داده شده توسط (1) را در هر نقطه از سطح استوانه لغو کند. دو راه حل در جدول 5.7.1 وجود دارد که وابستگی cos مشابه (1) دارند. ما وابستگی 1/r را انتخاب می‌کنیم زیرا به صورت r به صفر می‌رسد و از این رو پتانسیل را در بی‌نهایتی که قبلاً با (1) داده شده، مختل نمی‌کند. با یک ضریب دلخواه A ، راه حل است

از آنجا که = 0 در r = R ، ارزیابی این عبارت نشان می دهد که شرط مرزی در هر زاویه ارضا می شود اگر

و پتانسیل بنابراین است

معادلات داده شده توسط این عبارت در شکل 5.8.2 نشان داده شده است. توجه داشته باشید که صفحه x = 0 با حذف یک ثابت افزایشی در (1) دارای پتانسیل صفر در نظر گرفته شده است. خطوط میدان نشان داده شده در این شکل از گرفتن گرادیان (4) پیروی می کنند.

شکل 5.8.2 هم پتانسیل ها و خطوط میدان برای هدایت کامل سیلندر در میدان الکتریکی اولیه یکنواخت.

خطوط میدان تمایل به تمرکز روی سطح دارند که در آن = 0 و = . در این مکان ها، فیلد حداکثر و دو برابر فیلد اعمال شده است. اکنون که مسئله مقدار مرزی حل شده است، بار سطحی هادی استوانه ای از شرایط پرش گاوس، (5.3.2) و این واقعیت که هیچ میدانی در داخل استوانه وجود ندارد، ناشی می شود.

در گذشته نگر، شرایط مرزی در سطح استوانه ای دایره ای با افزودن به پتانسیل یکنواخت یک دوقطبی خط جهت دار x برآورده شده است . لحظه آن برای ایجاد میدانی است که میدان مماسی بر روی سطح ناشی از میدان تحمیلی را خنثی کند.

حالت های آزیموتال
مثال قبل موقعیتی را در نظر گرفت که در آن معادله لاپلاس در کل محدوده 0 < < 2 رعایت می شود . دو مثال بعدی نشان می‌دهد که چگونه راه‌حل‌های مختصات قطبی با شرایط ملاقات در مرزهای مختصات قطبی که مکان‌های دلخواه دارند مطابق شکل 5.8.1 سازگار می‌شوند.

مثال 5.8.2. تجزیه و تحلیل مودال در : زمینه های داخل و اطراف گوشه ها
پیکربندی نشان داده شده در شکل 5.8.3، که در آن پتانسیل روی دیواره های ناحیه V در r = b و در = 0 و = o صفر است ، اما v روی یک الکترود منحنی در r = a است ، مختصات قطبی است. مشابه آن چیزی که در بخش دوم در نظر گرفته شده است. 5.5. چه راه حل هایی از جدول 5.7.1 مناسب است؟ ناحیه ای که معادله لاپلاس باید در آن رعایت شود، دایره کاملی را اشغال نمی کند، و از این رو هیچ الزامی وجود ندارد که پتانسیل تابع تک مقداری باشد . ثابت جداسازی m می تواند مقادیر غیر صحیح را در نظر بگیرد.

شکل 5.8.3 منطقه مورد نظر با مرزهای پتانسیل صفر در = 0، = o ، و r = b و الکترود در r = a دارای پتانسیل v است .
ما سعی خواهیم کرد تا با استفاده از راه حل های جداگانه جدول 5.7.1، شرایط مرزی را در سه مرز با پتانسیل صفر برآورده کنیم. از آنجایی که پتانسیل در 0 = صفر است ، شرایط کسینوس و ln(r) حذف می شوند. شرط اینکه پتانسیل نیز در = o صفر باشد ، توابع و ln(r) را حذف می کند . علاوه بر این، این واقعیت که توابع سینوسی باقیمانده باید صفر باشند در = o به ما می گوید که m o = n . راه حل های ستون آخر مناسب نیستند زیرا بیش از یک بار به عنوان تابعی از صفر از صفر عبور نمی کنند . بنابراین، ما به دو راه حل در ستون دوم هدایت می شویم که متناسب با گناه هستند (n / o ) .

در نوشتن این جواب‌ها، r به b نرمال شده‌اند ، زیرا پس از آن با بررسی مشخص می‌شود که چگونه ضرایب A n و B n برای ایجاد پتانسیل صفر در r = b، An = -B n مرتبط هستند .

هر جمله در این سری نامتناهی شرایط سه مرزی را که به پتانسیل صفر محدود شده اند برآورده می کند. اکنون همه اصطلاحات برای برآورده کردن شرایط در مرز "آخرین" استفاده می شوند، جایی که r = a . در آنجا باید پتانسیلی را نشان دهیم که به طور ناگهانی از صفر به v در = 0 می پرد ، در همان v تا = o باقی می ماند و سپس ناگهان از v به صفر می پرد. تعیین ضرایب در (8) که باعث می شود مجموعه ای از توابع سینوسی این شرط مرزی را برآورده کنند مانند (5.5.4) در آنالوگ دکارتی در نظر گرفته شده در Sec. 5.5. پارامتر n (x/a) از Sec. 5.5 اکنون باید با n ( / o ) شناسایی شود . با پتانسیل داده شده توسط (8) که در r = a ارزیابی می شود ، ضرایب باید مانند (5.5.17) و (5.5.18) باشد. بنابراین، برای برآورده کردن "آخرین" شرط مرزی، (8) به توزیع پتانسیل مورد نظر تبدیل می شود.

توزیع پتانسیل و شدت میدان حاصل از این نتیجه بسیار شبیه به ناحیه مقطع مستطیلی است که در شکل 5.5.3 نشان داده شده است. شکل 5.8.3 را ببینید.

در حدی که b 0 است ، پتانسیل داده شده توسط (9) تبدیل می شود

و پیکربندی های نشان داده شده در شکل 5.8.4 را شرح می دهد. اگرچه ناحیه گوه‌ای شکل «تحریف» معقولی از آنالوگ دکارتی آن است، میدان در ناحیه‌ای با گوشه بیرونی ( / o < 1) نیز با (10) نشان داده می‌شود. تا زمانی که عبارت اصلی دارای توان / o > 1 باشد ، عبارت اصلی در گرادیان [با توان ( / o ) - 1 ] در مبدا به صفر نزدیک می شود. این بدان معنی است که میدان در یک گوه با o < در راس خود به صفر نزدیک می شود. با این حال، اگر / o < 1 ، که برای < o < 2 درست است همانطور که در شکل 5.8.4b نشان داده شده است، عبارت اصلی در گرادیان دارای توان ( / o ) - 1 < 0 است ، و از این رو میدان به بی نهایت نزدیک می شود. به عنوان r 0 . نتیجه می گیریم که میدان در همسایگی یک لبه تیز بی نهایت است. این مشاهده درسی برای طراحی اشکال رسانا به منظور جلوگیری از خرابی الکتریکی می آموزد. از لبه های تیز خودداری کنید!

شکل 5.8.4 ناحیه پای شکل با مرزهای پتانسیل صفر در = 0 و = o و الکترود دارای پتانسیل v در r = a . (الف) با زاویه کمتر از 180 درجه، میدان‌ها از ناحیه نزدیک به مبدأ محافظت می‌شوند. (ب) با زاویه بیشتر از 180 درجه، میدان ها تمایل به تمرکز در مبدا دارند.

حالت های شعاعی
حالت‌های نشان‌داده‌شده تا کنون وابستگی‌های سینوسی دارند، و از این رو برهم‌نهی آنها شکل یک سری فوریه را به خود گرفته است. برای برآورده ساختن شرایط مرزی تحمیل شده بر روی صفحات ثابت، مجدداً لازم است که مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها برای معادله لاپلاس داشته باشیم. اینها نشان می‌دهند که چگونه می‌توان از راه‌حل‌های محصول معادله لاپلاس برای ارائه حالت‌های متعامد که سری فوریه نیستند استفاده کرد.

برای برآوردن شرایط مرزی پتانسیل صفر در r = b و r = a ، لازم است که تابع حداقل دو بار از صفر عبور کند. این روشن می کند که راه حل ها باید از آخرین ستون جدول 5.7.1 انتخاب شوند. توابعی که با توابع سینوس و کسینوس متناسب هستند می توانند به همان اندازه با تابع سینوس جابجا شده در فاز (ترکیب خطی از سینوس و کسینوس) متناسب باشند. این تغییر فاز به گونه‌ای تنظیم می‌شود که تابع صفر شود که در آن r = b ، به طوری که وابستگی شعاعی به صورت بیان می‌شود.

و با تنظیم تابع در r = a صفر شود

که در آن n یک عدد صحیح است.

راه‌حل‌هایی که اکنون تعریف شده‌اند را می‌توان روی هم قرار داد تا یک سری مشابه با سری فوریه تشکیل دهد.

برای a/b = 2 ، سه عبارت اول این سری در شکل 5.8.5 نشان داده شده است. آنها شباهت هایی به سینوسی ها دارند اما هندسه قطبی را با داشتن قله ها و گذرگاه های صفر که به سمت مقادیر کم r منحرف شده اند منعکس می کنند .

شکل 5.8.5 توزیع شعاعی سه حالت اول که توسط (13) برای a/b = 2 ارائه شده است . حالت n = 3 وابستگی شعاعی برای پتانسیل نشان داده شده در شکل 5.7.6 است.
با یک تابع وزنی g(r) = r -1 ، این حالت ها متعامد هستند به این معنا که

می توان از معادله دیفرانسیل تعریف کننده R(r) , (5.7.5) و شرایط مرزی نشان داد که اگر ادغام بیش از حاصل ضرب حالت های مختلف باشد، ادغام صفر می شود. اثبات مشابه با آنچه در مختصات دکارتی در Sec ارائه شده است. 5.5.

اکنون مثالی را در نظر بگیرید که در آن از این حالت ها برای برآوردن یک شرط مرزی خاص استفاده می شود.

مثال 5.8.3. تحلیل مودال در r
ناحیه مورد نظر مانند مثال قبلی است. با این حال، همانطور که در شکل 5.8.6 نشان داده شده است، شرایط مرزی پتانسیل صفر در r = a و r = b و در = 0 هستند . مرز "آخرین" اکنون در = o است ، جایی که یک الکترود متصل به منبع ولتاژ پتانسیل یکنواخت v را تحمیل می کند .

شکل 5.8.6 منطقه با مرزهای پتانسیل صفر در r = a، r = b و = 0 . الکترود در = o دارای پتانسیل v است .
شرایط مرزی شعاعی با استفاده از توابع شرح داده شده توسط (13) برای وابستگی شعاعی برآورده می شود. از آنجا که پتانسیل صفر است که در آن = 0 است، استفاده از سینوس هذلولی برای نشان دادن وابستگی راحت است. بنابراین، از راه حل های ستون آخر جدول 5.7.1، ترکیب خطی دوم و چهارم را می گیریم.

استفاده از رویکردی مشابه با آن برای ارزیابی ضرایب فوریه در Sec. 5.5، اکنون از (15) در مرز "آخرین" استفاده می کنیم، که در آن = o و = v ، هر دو طرف را در حالت Rm تعریف شده با (13) و در ضریب وزنی 1/r ضرب می کنیم و در دهانه شعاعی ادغام می کنیم. منطقه

از میان سری نامتناهی سمت راست، شرط متعامد، (14)، تنها عبارت m را انتخاب می کند . بنابراین، معادله را می توان برای A m و m n حل کرد . با جایگزینی u = m ln(r/b)/ln(a/b) ، انتگرال ها را می توان به صورت بسته انجام داد.

تصویری از توزیع های پتانسیل و شدت میدان نشان داده شده توسط (15) و گرادیان منفی آن با "خم کردن" ناحیه مستطیلی نشان داده شده در شکل 5.5.3 به ناحیه منحنی شکل 5.8.6 به تصویر کشیده شده است. نقش y اکنون توسط .

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.8.html

+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آذر ۱۴۰۲ ساعت 9:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

راه حل های سه بعدی معادله لاپلاس

مرزهای طبیعی احاطه کننده حجم هایی که معادله پواسون باید در آنها برآورده شود در شکل 5.10.1 برای سه سیستم مختصات استاندارد نشان داده شده است. به طور کلی، توزیع پتانسیل در داخل حجم با توزیع پتانسیل دلخواه بر روی سطوح مرزی مطلوب است.

شکل 5.10.1 حجم های تعریف شده توسط مرزهای طبیعی در مختصات (الف) دکارتی، (ب) استوانه ای، و (ج) کروی.
اولین مورد در نظر گرفته شده در این بخش، گسترش راه حل های ضرب دو بعدی مختصات دکارتی و بسط های مودال معرفی شده در Secs است. 5.4 و 5.5 تا سه بعدی. با توجه به توزیع پتانسیل دلخواه بر روی یکی از شش سطح جعبه نشان داده شده در شکل 5.10.1، و با توجه به اینکه پنج سطح دیگر در پتانسیل صفر هستند، جواب معادله لاپلاس در داخل چیست؟ در صورت لزوم، می توان از برهم نهی شش راه حل برای برآوردن شرایط دلخواه در هر شش مرز استفاده کرد.

برای استفاده از رویکرد مودال یکسان در پیکربندی هایی که مرزها برای سایر سیستم های مختصات دکارتی طبیعی هستند، برای مثال استوانه ای و کروی نشان داده شده در شکل 5.10.1، اساساً از همان بسط ایده های اساسی که قبلاً نشان داده شده است استفاده می شود. با این حال، راه حل های ضرب شامل عملکردهای کمتر آشنا هستند. برای کسانی که راه‌حل‌های دو بعدی، نحوه استفاده از آنها برای برآوردن شرایط مرزی دلخواه و نحوه گسترش آنها به پیکربندی مختصات دکارتی سه‌بعدی را می‌دانند، ادبیات ذکر شده در این بخش باید دسترسی آماده به آنچه برای بهره‌برداری از راه‌حل‌ها لازم است را فراهم کند. سیستم های مختصات جدید علاوه بر سه سیستم مختصات استاندارد، بسیاری دیگر وجود دارند که معادله لاپلاس راه‌حل‌های ضرب را می‌پذیرد. بخش آخر این بخش به عنوان مقدمه ای بر این سیستم های مختصات و راه حل های ضرب مرتبط در نظر گرفته شده است.

راه حل های ضرب مختصات دکارتی
در سه بعدی معادله لاپلاس است

ما به دنبال راه‌حل‌هایی می‌گردیم که به‌عنوان ضربی از تابع x به تنهایی، X(x) ، تابعی از y به تنهایی، Y(y) و تابعی از z به تنهایی، Z(z) قابل بیان هستند .

با معرفی (2) به (1) و تقسیم بر

تابع x به تنهایی، به یکی از y و یکی از z به تنهایی، صفر را به دست می دهد. از آنجایی که x، y ، و z متغیرهای مستقل هستند، مجموع صفر تنها در صورتی امکان پذیر است که هر یک از این سه «تابع» در واقع برابر با یک ثابت باشند. مجموع این ثابت ها باید صفر باشد.

توجه داشته باشید که اگر دو مورد از این سه ثابت جداسازی مثبت باشد، لازم است که سومی منفی باشد. ما این را با نوشتن (4) بر این اساس پیش بینی کردیم. راه حل های (4) هستند

جایی که

البته، نقش‌های مختصات را می‌توان عوض کرد، بنابراین جهت x یا z را می‌توان وابستگی نمایی در نظر گرفت. از این راه‌حل‌ها مشخص می‌شود که پتانسیل نمی‌تواند تناوبی یا نمایی در وابستگی‌هایش به هر سه مختصات باشد و همچنان راه‌حلی برای معادله لاپلاس باشد. در نگارش (6) با در نظر گرفتن X و Z به عنوان تناوبی، محدودیت‌های پتانسیل را در صفحات ثابت y برآورده کرده‌ایم .

بسط مودال در مختصات دکارتی
می توان ثابت ها و جواب ها را از (6) انتخاب کرد تا شرایط مرزی پتانسیل صفر در پنج مرز از شش مرز برقرار شود. با مختصات همانطور که در شکل 5.10.1a نشان داده شده است، توابع سینوسی برای X و Z برای اطمینان از پتانسیل صفر در صفحات x = 0 و z = 0 استفاده می شود . برای صفر کردن پتانسیل در صفحات x = a و z = w لازم است که

حل این معادلات مقدار ویژه k x = m /a، k z = n /w را به دست می دهد و از این رو

که در آن m و n اعداد صحیح هستند.

برای ایجاد پتانسیل صفر در مرز پنجم، بگوییم که در آن y = 0 ، تابع سینوس هذلولی برای نشان دادن وابستگی y استفاده می شود . بنابراین، مجموعه‌ای از راه‌حل‌ها که هر کدام یک شرط بالقوه صفر در پنج مرز را دارند، هستند

کجا با توجه به (5)

اینها را می توان برای برآوردن یک محدودیت پتانسیل دلخواه در مرز "آخرین"، جایی که y = b استفاده کرد . مثال زیر که Sec را گسترش می دهد. 5.5، این مفهوم را نشان می دهد.

مثال 5.10.1. تضعیف کننده خازنی در سه بعدی
در تضعیف کننده مثال 5.5.1، توزیع میدان دو بعدی تقریب خوبی است زیرا یک بعد مقطعی در مقایسه با دیگری کوچک است. در شکل 5.5.5، a \ll w . اگر ابعاد مقطع a و w قابل مقایسه باشند، همانطور که در شکل 5.10.2 نشان داده شده است، میدان را می توان با برهم نهی مودال ارائه شده توسط (9) نشان داد.

شکل 5.10.2 ناحیه محدود شده با پتانسیل صفر در x = 0، x = a، z = 0، z = w و y = 0 . الکترود صفحه y = b را برای داشتن v پتانسیل محدود می کند .
در پنج صفحه x = 0، x = a، y = 0، z = 0 و z = w پتانسیل صفر است. در صفحه y = b ، توسط یک الکترود متصل به یک منبع ولتاژ، به v محدود شده است .

ارزیابی (10) در سطح الکترود باید v را بدهد .

ضرایب A mn با بهره برداری از متعامد بودن توابع ویژه تعیین می شود. به این معنا که،

جایی که

مراحلی که اکنون به بیانی برای هر ضریب معین A mn منجر می‌شوند ، بسط طبیعی آنهایی هستند که در Sec استفاده می‌شوند. 5.5. هر دو طرف (11) در تابع ویژه X i Z j ضرب می شوند و سپس هر دو طرف روی سطح در y = b ادغام می شوند .

به دلیل فرم ضرب هر عبارت، ادغام ها را می توان روی x و z به طور جداگانه انجام داد. با توجه به شرایط متعامد، (12)، تنها جمله غیر صفر در سمت راست در جمع m = i و n = j آمده است . این امکان حل معادله ضریب A ij را فراهم می کند . سپس با جایگزینی i m و j \rightarrow n به دست می آوریم

انتگرال را می توان برای هر توزیع معینی از پتانسیل انجام داد. در این موقعیت خاص، پتانسیل سطح در y = b یکنواخت است. بنابراین، ادغام می دهد

پتانسیل مورد نظر که شرایط مرزی را در هر شش سطح برآورده می کند، با (10) و (15) داده می شود. توجه داشته باشید که عبارت اول در راه حلی که پیدا کردیم با عبارت اول در نمایش میدان دو بعدی یکسان نیست (5.5.9). مهم نیست نسبت a به w چقدر باشد ، اولین عبارت در جواب سه بعدی یک وابستگی سینوسی به z دارد ، در حالی که عبارت دوبعدی هیچ وابستگی به z ندارد .

برای تضعیف کننده خازنی شکل 5.5.5، چه سیگنال خروجی با این نمایش سه بعدی پیش بینی می شود؟ از (10) و (15) شارژ الکترود خروجی است

جایی که

با v = V sin t ، در می یابیم که v o = V o cos t در کجا

با استفاده از (16)، نتیجه می شود که دامنه ولتاژ خروجی است

جایی که ولتاژ نرمال شده است

و

این عبارت می تواند برای جایگزینی نمودار شکل 5.5.5 استفاده شود. در اینجا ما پیش بینی های دو بعدی و سه بعدی ولتاژ خروجی را با در نظر گرفتن (18) در حد b a مقایسه می کنیم . در این حد، سینوس هذلولی تحت تسلط یکی از نمایی های آن قرار می گیرد و اولین جمله در این سری به دست می دهد.

در حد a/w \ll 1 ، وابستگی به فاصله بین الکترودهای ورودی و خروجی بیان شده توسط سمت راست با مدل دو بعدی یکسان می شود (5.5.15). با این حال، U ' = (8/ 2 )U بدون در نظر گرفتن a/w .

این مثال مختصات دکارتی سه‌بعدی نشان می‌دهد که چگونه از خاصیت متعامد بودن راه‌حل ضرب برای ارائه پتانسیلی که روی پنج مرز صفر است در حالی که هر توزیع دلخواه را در مرز ششم فرض می‌کنیم، استفاده می‌شود. در این سطح ششم، پتانسیل شکل می گیرد

جایی که

توابع دو بعدی F mn برای نشان دادن شرایط مرزی "آخرین" استفاده شده است. این سری فوریه دو بعدی جایگزین سری فوریه تک بعدی Sec. 5.5 (5.5.17). در مثال، تابع موج مربعی دو بعدی نشان داده شده در شکل 5.10.3 را نشان می دهد. توجه داشته باشید که این تابع همانطور که باید در امتداد x = 0 ، x = a و z = 0، z = w به صفر می رسد. با عبور از هر یک از این خطوط "گرهی" علامت تغییر می کند، اما محدوده خارج از مستطیل اصلی هیچ علاقه فیزیکی ندارد، و از این رو رفتار خارج از آن محدوده بر اعتبار راه حل اعمال شده در مثال تأثیر نمی گذارد. از آنجایی که تابع نمایش داده شده در هر دو x و y فرد است ، می توان آن را فقط با توابع سینوسی نشان داد.

شکل 5.10.3 تابع موج مربعی دو بعدی که برای نشان دادن پتانسیل الکترود برای سیستم شکل 5.10.2 در صفحه y = b استفاده می شود .
هجوم ما به بسط های مودال سه بعدی، مفهوم متعامد بودن توابع را با توجه به یک فاصله یک بعدی تا قائم مقامی توابع با توجه به بخش دوبعدی یک صفحه گسترش می دهد. ما قادریم ضرایب V mn را در (20) تعیین کنیم زیرا این ضرایب برای تناسب با پتانسیل تجویز شده در سطح "ششم" ساخته شده است، زیرا اصطلاحات در سری متعامد هستند به این معنا که

در سایر سیستم های مختصات، یک رابطه متعامد مشابه برای راه حل های ضرب ارزیابی شده در یکی از سطوح تعریف شده توسط یک مختصات طبیعی ثابت وجود دارد. به طور کلی، یک تابع وزنی، توابع ویژه را در انتگرال انتگرال سطحی که مشابه (21) است، ضرب می کند.

به جز برخی موارد خاص، این تا جایی است که در بررسی راه حل های ضرب سه بعدی معادله لاپلاس پیش خواهیم رفت. در ادامه این بخش، ارجاعاتی به ادبیات برای راه حل های استوانه ای، کروی و سایر سیستم های مختصات داده شده است.

بسط مودال در سایر مختصات
یک حجم کلی که دارای مرزهای طبیعی در مختصات استوانه ای است در شکل 5.10.1b نشان داده شده است. راه حل های ضرب معادله لاپلاس شکل می گیرند

مختصات قطبی Sec. 5.7 یک مورد خاص است که در آن Z(z) یک ثابت است.
معادلات دیفرانسیل معمولی، مشابه (4) و (5) که F( ) و Z(z) را تعیین می کنند ، دارای ضرایب ثابت هستند و از این رو راه حل ها به ترتیب سینوس ها و کسینوس های m و kz هستند . وابستگی شعاعی توسط یک معادله دیفرانسیل معمولی پیش بینی می شود که مانند (5.7.5)، دارای ضرایب متغیر در فضا است. متأسفانه، با وابستگی z ، راه حل ها به سادگی چند جمله ای نیستند. در عوض، آنها توابع بسل از مرتبه m و آرگومان kr هستند . همانطور که برای حل های ضرب معادله لاپلاس اعمال می شود، این توابع در متون فیلدهای استاندارد [1-4] توضیح داده شده اند . توابع بسل و مرتبط با آن در متون و رساله های ریاضیات توسعه یافته اند [5-8] .

همانطور که در دو و اکنون سه بعدی نشان داده شده است، راه حل یک توزیع پتانسیل دلخواه بر روی مرزها را می توان به عنوان برهم نهی راه حل هایی که هر کدام دارای پتانسیل مورد نظر در یک مرز و پتانسیل صفر در بقیه هستند، نوشت. خلاصه شده در جدول 5.10.1 اشکال به دست آمده توسط محلول ضرب، (22)، در نشان دادن پتانسیل برای توزیع دلخواه در سطح مشخص شده است. برای مثال، اگر پتانسیل روی سطح ثابت r تحمیل شود ، وابستگی شعاعی توسط توابع نظم حقیقی و استدلال مختلط بسل به دست می‌آید. آنچه برای نمایش در سطح ثابت r لازم است، توابعی هستند که در و z تناوبی هستند ، بنابراین انتظار داریم که این توابع بسل وابستگی نمایی مانند به r داشته باشند .

جدول 5.10.1 شکل راه حل های معادله LAPLACE در مختصات کلیندریکال هنگامی که پتانسیل در سطح داده شده محدود شده است و سایرین در پتانسیل صفر هستند
سطح
ثابتR(r)F( )Z(z)
rتوابع نظم حقیقی بسل و استدلال مختلط (توابع بسل اصلاح شده)توابع مثلثاتی آرگومان حقیقیتوابع مثلثاتی آرگومان حقیقی
کارکردهای نظم مختلط بسل و استدلال مختلطتوابع مثلثاتی استدلال مختلطتوابع مثلثاتی آرگومان حقیقی
zتوابع نظم حقیقی و استدلال حقیقی بسلتوابع مثلثاتی آرگومان حقیقیتوابع مثلثاتی استدلال مختلط
در مختصات کروی، محلول های ضرب شکل می گیرند

از راه حل های مختصات استوانه ای، می توان حدس زد که توابع جدیدی برای توصیف R(r) مورد نیاز است . در واقع، اینها چند جمله ای ساده هستند. وابستگی با یک معادله ضریب ثابت پیش‌بینی می‌شود و از این رو با توابع مثلثاتی آشنا نشان داده می‌شود. اما این وابستگی توسط توابع لژاندر توصیف شده است. برخلاف توابع بسل که با سری های چند جمله ای نامتناهی توصیف می شوند، توابع لژاندر چند جمله ای های محدودی در cos ( ) هستند . در رابطه با معادله لاپلاس، جواب ها در متون فیلدها خلاصه می شوند [1-4] . به عنوان راه حل برای معادلات دیفرانسیل معمولی، چند جمله ای های لژاندر در متون ریاضی ارائه شده اند [5،7] .
نام سایر سیستم‌های مختصات سطوحی را نشان می‌دهد که با تنظیم یکی از متغیرها برابر با ثابت هستند: مختصات استوانه‌ای بیضوی و مختصات کروی پرولات نمونه‌هایی هستند که در آنها معادله لاپلاس قابل تفکیک است [2] . اولین قدم در بهره برداری از این سیستم های جدید، نوشتن عملگرهای لاپلاسین و سایر عملگرهای دیفرانسیل بر حسب آن مختصات است. این نیز در مراجع داده شده توضیح داده شده است.

5.11
خلاصه

در این فصل دو موضوع وجود دارد. اول، تقسیم یک راه حل برای معادله دیفرانسیل جزئی به یک بخش خاص است که برای متعادل کردن "درایو" در معادله دیفرانسیل طراحی شده است، و یک بخش همگن، که برای برآورده کردن راه حل کل با شرایط مرزی استفاده می شود. این فصل معادله پواسون را حل می کند. "درایو" به دلیل چگالی بار حجمی است و شرایط مرزی بر حسب پتانسیل های تعیین شده بیان می شود. در فصل‌های بعدی، رویکرد مورد استفاده در اینجا برای مسائل ارزش مرزی که موقعیت‌های فیزیکی مختلف را نشان می‌دهند، اعمال خواهد شد. معادلات دیفرانسیل و شرایط مرزی متفاوت خواهند بود، اما به دلیل خطی بودن آنها، می توان از همان رویکرد استفاده کرد.

دوم موضوع راه‌حل‌های حاصل معادله لاپلاس است که به‌دلیل متعامد بودن آن‌ها می‌توانند برای برآوردن شرایط مرزی دلخواه روی هم قرار گیرند. محور این بیانیه را می توان تا پایان ثانیه قدردانی کرد. 5.5. در پیکربندی در نظر گرفته شده در آن بخش، پتانسیل در تمام مرزهای دکارتی طبیعی یک منطقه محصور به جز یکی صفر است. نشان داده شده است که راه‌حل‌های محصول را می‌توان برای برآوردن یک شرط بالقوه دلخواه در مرز "آخرین" روی هم قرار داد. با ساختن مرز "آخرین" هر یک از مرزها و در صورت نیاز، روی هم قرار دادن راه حل های سری به تعداد مرزها، می توان شرایط دلخواه را در همه مرزها برآورده کرد. بخش مختصات قطبی این فرصت را می‌دهد که این ایده‌ها را به سیستم‌هایی که مختصات قابل تعویض نیستند تعمیم دهیم، در حالی که بخش راه‌حل‌های دکارتی سه‌بعدی تعمیم معمولی به سه بعد را نشان می‌دهد.

در فصول بعدی، نیاز مکرر به حل معادله لاپلاس وجود خواهد داشت. برای این منظور، اغلب از سه دسته راه حل استفاده می شود: راه حل های دکارتی جدول 5.4.1، مختصات قطبی جدول 5.7.1، و سه راه حل مختصات کروی از Sec. 5.9. در فصل 10، که در آن پدیده های انتشار مغناطیسی معرفی شده اند و در فصل. در شکل 13، جایی که امواج الکترومغناطیسی توضیح داده شده است، کاربرد این ایده ها برای انتشار و معادلات هلمهولتز نشان داده شده است.

M. Zahn، نظریه میدان الکترومغناطیسی: رویکرد حل مسئله ، جان وایلی و پسران، نیویورک (1979).
پی. مون و دی اسپنسر، نظریه میدانی برای مهندسان ، ون نوستراند، پرینستون، نیوجرسی (1961).
S. Ramo، JR Whinnery، و T. Van Duzer، میدان‌ها و امواج در ارتباطات الکترونیک ، جان وایلی و پسران، نیویورک (1967).
JR Melcher، Continuum Electromechanics ، MIT Press، کمبریج، ماساچوست (1981).
FB Hildebrand, Advanced Calculus for Applications , Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, NJ (1962).
GN Watson، A Treatise on Theory of Bessel Functions ، انتشارات دانشگاه کمبریج، لندن EC4. (1944).
PM Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics , McGraw-Hill Book Co., NY (1953).
NW McLachlan، توابع بسل برای مهندسین ، انتشارات دانشگاه آکسفورد، لندن EC4 (1941).

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.10.html

+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آذر ۱۴۰۲ ساعت 8:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

عملگر لاپلاس

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد عملگر ریاضی در زمینه های اسکالر است. برای عملکرد میدانهای برداری، لاپلاس بردار را ببینید . برای توزیع احتمال لاپلاس، توزیع لاپلاس را ببینید . برای مفهوم نظری نمودار، به لاپلاسی ماتریس مراجعه کنید .

بخشی از مجموعه مقالات در مورد

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی

محدودیت ها
تداوم

قضیه رول
قضیه مقدار میانگین
قضیه تابع معکوس

نشان می دهد

دیفرانسیل

نشان می دهد

انتگرال

نشان می دهد

سلسله

پنهان شدن

بردار

شیب
واگرایی
حلقه
لاپلاسی
مشتق جهت دار
اتحاد ها

قضایا

شیب
سبز
استوکس
واگرایی
استوکس تعمیم یافته

نشان می دهد

چند متغیره

نشان می دهد

پیشرفته

نشان می دهد

تخصصی

نشان می دهد

در ریاضیات ، عملگر لاپلاس یا لاپلاسین یک عملگر دیفرانسیل است که از واگرایی گرادیان یک تابع اسکالر در فضای اقلیدسی به دست می‌آید . معمولاً با نمادها نشان داده می شود $\nabla\cdot\nabla$ $\nabla ^{2}$ (جایی که $\nabla$ عملگر nabla است )، یا $\ دلتا$ . در یک سیستم مختصات دکارتی , لاپلاسین با مجموع مشتقات جزئی دوم تابع نسبت به هر متغیر مستقل داده می شود . در سایر سیستم های مختصات ، مانند مختصات استوانه ای و کروی ، لاپلاسین نیز شکل مفیدی دارد. به طور غیررسمی، f ( p ) لاپلاسی تابع f در یک نقطه p اندازه می‌گیرد که مقدار میانگین f روی کره‌های کوچک یا توپ‌هایی که در مرکز p هستند، از f ( p ) چقدر انحراف دارد .

عملگر لاپلاس از نام ریاضیدان فرانسوی پیر سیمون د لاپلاس (1749-1827) نامگذاری شده است، که برای اولین بار این عملگر را برای مطالعه مکانیک سماوی به کار برد : لاپلاسین پتانسیل گرانشی ناشی از توزیع چگالی جرم معین، مضرب ثابتی از آن توزیع چگالی راه حل های معادله لاپلاس f = 0 توابع هارمونیک نامیده می شوند و پتانسیل های گرانشی ممکن را در مناطق خلاء نشان می دهند .

لاپلاسین در بسیاری از معادلات دیفرانسیل که پدیده های فیزیکی را توصیف می کنند، رخ می دهد. معادله پواسون پتانسیل های الکتریکی و گرانشی را توصیف می کند . معادله انتشار گرما و جریان سیال را توصیف می کند . معادله موج انتشار موج را توصیف می کند . و معادله شرودینگر تابع موج را در مکانیک کوانتومی توصیف می کند . در پردازش تصویر و بینایی کامپیوتری ، از اپراتور لاپلاسین برای کارهای مختلفی مانند تشخیص حباب و لبه استفاده شده است . لاپلاسین ساده ترین عملگر بیضوی است و در هسته نظریه هاج و همچنین نتایج کومولوژی د رام قرار دارد .

تعریف [ ویرایش ]

عملگر لاپلاس یک عملگر دیفرانسیل مرتبه دوم در فضای اقلیدسی n بعدی است که به عنوان واگرایی (⋅ $\nabla \cdot$ ) از گرادیان ( $\nabla f$ ). بنابراین اگر $f$ یک تابع با ارزش حقیقی دو بار متمایز است ، سپس لاپلاسی از $f$ تابع با ارزش حقیقی است که توسط:

$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$

( 1 )

جایی که نمادهای اخیر از نوشتن رسمی ناشی می شوند:

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).$

به صراحت، لاپلاسین f حاصل مجموع تمام مشتقات جزئی دوم غیر مخلوط در مختصات دکارتی x i است :

$\Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$

( 2 )

به عنوان یک عملگر دیفرانسیل مرتبه دوم، عملگر لاپلاس توابع Ck را به توابع Ck - 2 برای k ≥ 2 نگاشت می کند . این یک عملگر خطی : C k ( R n ) → C k −2 ( R n ) یا به طور کلی، یک عملگر : C k (Ω) → C k −2 (Ω) برای هر مجموعه باز Ω است. R n _

انگیزه [ ویرایش ]

انتشار [ ویرایش ]

در تئوری فیزیکی انتشار ، عملگر لاپلاس به طور طبیعی در توصیف ریاضی تعادل به وجود می آید . [1] به طور خاص، اگر u چگالی در تعادل مقداری مانند غلظت شیمیایی باشد، شار خالص u از مرز ∂ V هر ناحیه صاف V صفر است، مشروط بر اینکه هیچ منبع یا فرورفتگی در V وجود نداشته باشد :

$\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,$

که در آن n واحد بیرونی نرمال با مرز V است . با قضیه واگرایی ،

$\int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.$

از آنجایی که این برای همه مناطق صاف V صادق است ، می توان نشان داد که به این معنی است:

$\operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.$ سمت چپ این معادله عملگر لاپلاس است و کل معادله u = 0 به عنوان معادله لاپلاس شناخته می شود . راه حل های معادله لاپلاس، یعنی توابعی که لاپلاسین آنها یکسان صفر است، بنابراین چگالی های تعادلی ممکن را تحت نفوذ نشان می دهند.

عملگر لاپلاس خود یک تفسیر فیزیکی برای انتشار غیرتعادلی دارد به عنوان میزانی که یک نقطه نشان دهنده منبع یا سینک غلظت شیمیایی است، به معنایی که معادله انتشار دقیق است . این تفسیر از لاپلاسی نیز با حقیقیت زیر در مورد میانگین ها توضیح داده می شود.

میانگین ها [ ویرایش ]

با توجه به یک تابع دو بار متمایز پیوسته: $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ و یک نکته $p\in \mathbb {R} ^{n}$ . سپس، مقدار متوسط از $f$ بالای توپ با شعاع $ساعت$ متمرکز در $پ$ است: [2]

${\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2} +o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0$

به طور مشابه، مقدار متوسط از $f$ بر روی کره (مرز یک توپ) با شعاع $ساعت$ متمرکز در $پ$ است:

${\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^ {2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.$

چگالی مرتبط با پتانسیل [ ویرایش ]

اگر φ نشان دهنده پتانسیل الکترواستاتیک مرتبط با توزیع بار q باشد، خود توزیع بار توسط منفی لاپلاسین φ بدست می آید :

$q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,$

جایی که ε 0 ثابت الکتریکی است .

این نتیجه قانون گاوس است . در واقع، اگر V هر ناحیه صاف با مرز ∂ V باشد ، طبق قانون گاوس، شار میدان الکترواستاتیک E در سراسر مرز با بار محصور شده متناسب است:

$\int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.$

که در آن برابری اول ناشی از قضیه واگرایی است . از آنجایی که میدان الکترواستاتیک شیب (منفی) پتانسیل است، این نشان می دهد:

$-\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q \,dV.$

از آنجایی که این برای همه مناطق V صادق است ، باید داشته باشیم

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q$

همین رویکرد نشان می دهد که منفی لاپلاسین پتانسیل گرانشی توزیع جرم است . اغلب توزیع بار (یا جرم) داده می شود و پتانسیل مرتبط ناشناخته است. یافتن تابع پتانسیل تحت شرایط مرزی مناسب معادل حل معادله پواسون است .

به حداقل رساندن انرژی [ ویرایش ]

انگیزه دیگر برای ظاهر شدن لاپلاسین در فیزیک این است که راه حل های f = 0 در ناحیه U توابعی هستند که انرژی دیریکله را ثابت می کنند :

$E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.$

برای مشاهده این، فرض کنید f : U → R یک تابع است و u : U → R تابعی است که در مرز U ناپدید می شود . سپس:

$\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u \,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx$

که در آن آخرین برابری با استفاده از اولین اتحاد گرین دنبال می شود . این محاسبه نشان می دهد که اگر f = 0 باشد ، E در اطراف f ثابت است . برعکس، اگر E حول f ثابت باشد ، آنگاه f = 0 توسط لم اساسی حساب تغییرات .

عبارات مختصات [ ویرایش ]

دو بعدی [ ویرایش ]

عملگر لاپلاس در دو بعد توسط:

در مختصات دکارتی ،

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2} }}$ که در آن x و y مختصات دکارتی استاندارد صفحه xy هستند .

در مختصات قطبی ،

${\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\ r partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={ \frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}$

که r نشان دهنده فاصله شعاع ی و θ زاویه است.

سه بعدی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: دل در مختصات استوانه ای و کروی

در سه بعد، کار با لاپلاسین در انواع سیستم های مختصات مختلف رایج است.

در مختصات دکارتی ،

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2} }}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

در مختصات استوانه ای ،

$\Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\ جزئی ^{2}f}{\جزئی z^{2}}}،$

جایی که $\rho$ نشان دهنده فاصله شعاع ی، φ زاویه آزیموت و z ارتفاع است.

در مختصات کروی :

$\Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f} {\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta { \frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2} f}{\partial \varphi ^{2}}}،$ یا

$\Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r ^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+ {\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}،$

با گسترش عبارت اول، این عبارات خوانده می شوند

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\ partal r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}،$

که در آن φ نشان دهنده زاویه ازیموتال و θ زاویه اوج یا هم عرض جغرافیایی است .

به طور کلی مختصات منحنی ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ):

$\Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac { \partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \ xi ^{l}}}\راست)،$

جایی که جمع بر روی شاخص های مکرر دلالت دارد ، g mn تانسور معکوس متریک و Γl mn نمادهای کریستوفل برای مختصات انتخاب شده هستند .

ابعاد N [ ویرایش ]

در مختصات منحنی دلخواه در ابعاد N ( ξ 1 ، ...، ξN )، می‌توانیم لاپلاسین را بر حسب تانسور متریک معکوس بنویسیم . $g^{ij}$ :

$\Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g }}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),$ از فرمول ووس-ویل [3] برای واگرایی .

در مختصات کروی در ابعاد N ، با پارامترسازی x = rθ ∈ R N با r نشان دهنده یک شعاع حقیقی مثبت و θ عنصری از کره واحد S N -1 ،

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f} {\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f$

که در آن S N -1 عملگر لاپلاس-بلترامی روی ( N -1) -کره است که به عنوان لاپلاسین کروی شناخته می شود. دو عبارت مشتق شعاع ی را می توان به طور معادل به صورت زیر بازنویسی کرد:

${\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f} {\r جزئی}}\راست).$

در نتیجه، لاپلاسین کروی تابعی که بر روی SN - 1 ⊂ RN تعریف شده است را می توان به عنوان لاپلاسی معمولی تابعی که به RN ∖ {0} گسترش یافته محاسبه کرد تا در طول پرتوها ثابت باشد، یعنی درجه همگن باشد . صفر

تغییر ناپذیری اقلیدسی [ ویرایش ]

لاپلاسی تحت تمام دگرگونی های اقلیدسی ثابت است : چرخش ها و ترجمه ها . به عنوان مثال، در دو بعد، به این معنی است که:

$\Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta - y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)$

برای همه θ , a , و b . در ابعاد دلخواه،

$\Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho$ هر گاه ρ یک چرخش باشد و به همین ترتیب:

$\Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau$ هر زمان که τ ترجمه باشد. (به طور کلی، زمانی که ρ یک تبدیل متعامد مانند بازتاب است، این موضوع صادق است .)

در واقع، جبر همه عملگرهای دیفرانسیل خطی اسکالر، با ضرایب ثابت، که با همه تبدیل‌های اقلیدسی جابه‌جا می‌شوند، جبر چند جمله‌ای است که توسط عملگر لاپلاس ایجاد می‌شود.

نظریه طیفی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: شنیدن شکل یک درام و مقدار ویژه دیریکله

طیف عملگر لاپلاس از تمام مقادیر ویژه λ تشکیل شده است که برای آنها یک تابع ویژه f با عبارت زیر وجود دارد :

$-\Delta f=\lambda f.$

این معادله به عنوان معادله هلمهولتز شناخته می شود .

اگر Ω یک دامنه محدود در R n باشد ، آنگاه توابع ویژه لاپلاسین یک مبنای متعارف برای فضای هیلبرت L 2 (Ω) هستند . این نتیجه اساساً از قضیه طیفی بر روی عملگرهای فشرده خود الحاقی که به معکوس لاپلاسین (که فشرده است، توسط نابرابری پوانکاره و قضیه رلیش-کوندراخوف ) اعمال می‌شود. [4] همچنین می توان نشان داد که توابع ویژه، توابع بی نهایت قابل تمایز هستند . [5] به طور کلی، این نتایج برای عملگر لاپلاس-بلترامی در هر منیفولد فشرده ریمانی با مرز، یا در واقع برای مسئله مقدار ویژه دیریکله هر عملگر بیضی با ضرایب صاف در یک دامنه محدود، صادق است. وقتی Ω n- کره باشد ، توابع ویژه لاپلاسین هارمونیک های کروی هستند .

لاپلاسی بردار [ ویرایش ]

بردار عملگر لاپلاس که با نشان داده می شود2 $\nabla ^{2}$ ، یک عملگر دیفرانسیل است که روی یک میدان برداری تعریف شده است . [6] لاپلاس بردار شبیه لاپلاسین اسکالر است. در حالی که لاپلاسین اسکالر به یک میدان اسکالر اعمال می شود و یک کمیت اسکالر را برمی گرداند، بردار لاپلاسی برای یک میدان برداری اعمال می شود و یک کمیت برداری را برمی گرداند. هنگامی که در مختصات دکارتی متعامد محاسبه می شود ، میدان برداری برگشتی برابر با میدان برداری لاپلاسین اسکالر اعمال شده برای هر جزء برداری است.

لاپلاسین بردار یک میدان برداری آ $\mathbf {A}$ به عنوان ... تعریف شده است

$\nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A}).$

در مختصات دکارتی ، این به شکل بسیار ساده‌تر کاهش می‌یابد

$\nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x}،\nabla ^{2}A_{y}،\nabla ^{2}A_{z})،$

جایی که $تبر$ ، $A_y$ ، و $A_z$ اجزای میدان برداری هستند $\mathbf {A}$ ، و $\nabla ^{2}$ فقط در سمت چپ هر جزء بردار عملگر لاپلاس (اسکالار) قرار دارد. می توان مشاهده کرد که این مورد خاصی از فرمول لاگرانژ است. ضرب سه گانه برداری را ببینید .

برای بیان لاپلاس بردار در سایر سیستم های مختصات به دل در مختصات استوانه ای و کروی مراجعه کنید .

تعمیم [ ویرایش ]

لاپلاسین هر میدان تانسوری $\mathbf {T}$ ("تانسور " شامل اسکالر و برداری است) به عنوان واگرایی گرادیان تانسور تعریف می شود :

$\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .$

برای مورد خاص که $\mathbf {T}$ یک اسکالر (تانسور درجه صفر) است، لاپلاسی شکل آشنا به خود می گیرد.

اگر $\mathbf {T}$ یک بردار است (تانسور درجه اول)، گرادیان یک مشتق کوواریانت است که منجر به یک تانسور درجه دوم می شود و واگرایی این دوباره یک بردار است. فرمول بردار لاپلاسی بالا ممکن است برای جلوگیری از ریاضیات تانسور استفاده شود و ممکن است معادل واگرایی ماتریس ژاکوبین نشان داده شده در زیر برای گرادیان یک بردار باشد:

$\nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{ xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}،{\text{ جایی که }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.$

و به همین ترتیب، حاصلضرب نقطه‌ای که بردار را با گرادیان بردار دیگر (تانسور درجه 2) به بردار ارزیابی می‌کند، می‌تواند به‌عنوان حاصلضرب ماتریس‌ها دیده شود:

$\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} = {\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{ bmatrix}}.$

این اتحاد یک نتیجه وابسته به مختصات است و کلی نیست.

استفاده در فیزیک [ ویرایش ]

نمونه ای از استفاده از بردار لاپلاسی معادلات ناویر-استوکس برای یک جریان تراکم ناپذیر نیوتنی است :

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \ mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \راست)،$ که در آن عبارت با بردار لاپلاسی میدان سرعت است $\mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\right)$ نشان دهنده تنش های چسبناک در سیال است.

مثال دیگر معادله موج میدان الکتریکی است که می توان از معادلات ماکسول در غیاب بار و جریان بدست آورد:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2 }}}=0.$

این معادله را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

$\Box \,\mathbf {E} =0,$ جایی که

$\Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},$ دلامبرتی است که در معادله کلاین-گوردون استفاده می شود .

کلیات [ ویرایش ]

هر جا که عملکرد انرژی دیریکله معنا داشته باشد ، می توان نسخه ای از لاپلاسی را تعریف کرد ، که نظریه اشکال دیریکله است . برای فضاهایی با ساختار اضافی، می توان توضیحات واضح تری از لاپلاسین به شرح زیر ارائه داد.

اپراتور لاپلاس–بلترامی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپراتور لاپلاس–بلترامی

لاپلاسین همچنین می تواند به یک عملگر بیضوی به نام عملگر لاپلاس-بلترامی تعمیم داده شود که در منیفولد ریمانی تعریف شده است . عملگر لاپلاس-بلترامی، زمانی که به یک تابع اعمال می شود، رد ( tr ) هسین تابع است :

$\Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}$

جایی که ردیابی با توجه به معکوس تانسور متریک گرفته می شود . عملگر لاپلاس-بلترامی را نیز می توان به یک عملگر (که عملگر لاپلاس-بلترامی نیز نامیده می شود) تعمیم داد که بر روی میدان های تانسوری عمل می کند ، با یک فرمول مشابه.

تعمیم دیگری از عملگر لاپلاس که در منیفولدهای شبه ریمانی موجود است از مشتق بیرونی استفاده می کند که بر حسب آن "لاپلاسی هندسه" به صورت بیان می شود.

$\Delta f=\delta df.$

در اینجا کد دیفرانسیل است که می تواند بر حسب ستاره هاج و مشتق بیرونی نیز بیان شود. این عملگر از نظر علامت با "لاپلاسی تحلیلگر" تعریف شده در بالا متفاوت است. به طور کلی، لاپلاسین "Hodge" بر روی اشکال دیفرانسیل α توسط تعریف می شود

$\Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .$

این عملگر به عنوان عملگر لاپلاس-د رام شناخته می‌شود ، که با اتحاد Weitzenböck به عملگر لاپلاس-بلترامی مرتبط است .

دلامبرتی [ ویرایش ]

لاپلاسی را می توان به طرق خاصی به فضاهای غیر اقلیدسی تعمیم داد، جایی که ممکن است بیضوی ، هذلولی یا فوق هایپربولیک باشد .

در فضای مینکوفسکی عملگر لاپلاس -بلترامی به عملگر دالامبر تبدیل می‌شود ◻ $\ جعبه$ یا دالامبرتین:

$\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{ 2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$

این تعمیم عملگر لاپلاس است به این معنا که عملگر دیفرانسیل است که تحت گروه ایزومتری فضای زیرین ثابت است و اگر به توابع مستقل از زمان محدود شود به عملگر لاپلاس کاهش می یابد. علامت کلی متریک در اینجا به گونه‌ای انتخاب می‌شود که بخش‌های فضایی عملگر یک علامت منفی را بپذیرد، که قرارداد معمول در فیزیک ذرات پرانرژی است . عملگر دالامبر به عنوان عملگر موج نیز شناخته می شود زیرا عملگر دیفرانسیل است که در معادلات موج ظاهر می شود و همچنین بخشی از معادله کلاین-گوردون است که در حالت بدون جرم به معادله موج کاهش می یابد.

ضریب اضافی c در متریک در فیزیک مورد نیاز است اگر فضا و زمان در واحدهای مختلف اندازه گیری شود. برای مثال، اگر جهت x بر حسب متر و جهت y بر حسب سانتی متر اندازه گیری شود، فاکتور مشابهی لازم است . در واقع، فیزیکدانان نظری معمولاً در واحدهایی کار می کنند که c =1 باشد تا معادله را ساده کنند.

عملگر دی المبرت به یک عملگر هذلولی در منیفولدهای شبه ریمانی تعمیم می دهد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

عملگر لاپلاس-بلترامی ، تعمیم به زیرمنیفولدها در فضای اقلیدسی و منیفولد ریمانی و شبه ریمانی.
عملگر لاپلاسی بردار ، تعمیم میدانهای لاپلاسی به برداری .
لاپلاسی در هندسه دیفرانسیل .
عملگر لاپلاس گسسته یک آنالوگ تفاضل محدود از لاپلاسین پیوسته است که بر روی نمودارها و شبکه ها تعریف شده است.
لاپلاسین یک اپراتور رایج در پردازش تصویر و بینایی کامپیوتری است (به لاپلاسین گاوسی ، آشکارساز حباب و فضای مقیاس مراجعه کنید ).
فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی شامل عباراتی برای لاپلاسی بر حسب نمادهای کریستوفل است.
لم ویل (معادله لاپلاس) .
قضیه ارنشاو که نشان می دهد تعلیق گرانشی، الکترواستاتیکی یا مغناطیسی پایدار غیرممکن است.
دل در مختصات استوانه ای و کروی .
موقعیت های دیگری که در آنها یک لاپلاسی تعریف می شود عبارتند از: تجزیه و تحلیل بر روی فراکتال ها ، حساب مقیاس زمانی و حساب خارجی گسسته .

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ ایوانز 1998 ، §2.2
↑ Oval, Jeffrey S. (01-03-2016). "لاپلاسی و ارزش های متوسط و افراطی" (PDF) . ماهنامه ریاضی آمریکا . 123 (3): 287-291. doi : 10.4169/amer.math.monthly.123.3.287 . S2CID 124943537 .
↑ بایگانی شده در Ghostarchive and the Wayback Machine : Grinfeld, Pavel. "فرمول Voss-Weyl" . یوتیوب . بازیابی شده در 9 ژانویه 2018 .
↑ گیلبارگ و ترودینگر 2001 ، قضیه 8.6
↑ گیلبارگ و ترودینگر 2001 ، نتیجه 8.11
^ دنیای ریاضی. " لاپلاس بردار " .

منابع [ ویرایش ]

ایوانز، ال. (1998)، معادلات دیفرانسیل جزئی ، انجمن ریاضی آمریکا، شابک 978-0-8218-0772-9
سخنرانی های فاینمن در فیزیک جلد. فصل دوم 12: آنالوگ های الکترواستاتیک
گیلبارگ، دی. ترودینگر، ن. (2001)، معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی مرتبه دوم ، اسپرینگر، شابک 978-3-540-41160-4.
Schey, HM (1996), Div, Grad, Curl, and All That , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

ادامه مطلب [ ویرایش ]

لاپلاسیان - ریچارد فیتزپاتریک 2006

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

"اپراتور لاپلاس" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]
وایستاین، اریک دبلیو. "لاپلاسین" . دنیای ریاضی .
لاپلاسین در اشتقاق مختصات قطبی
معادلات مکعب فراکتال و اثر کازیمیر

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator

+ نوشته شده در چهارشنبه هشتم آذر ۱۴۰۲ ساعت 21:34 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نقطه بحرانی

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( ژانویه 2015 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

(مختصات x) دایره های قرمز نقاط ثابت هستند . مربع های آبی نقطه عطف هستند .

نقطه بحرانی اصطلاحی است که در بسیاری از شاخه های ریاضیات استفاده می شود .

وقتی با توابع یک متغیر حقیقی سروکار داریم ، نقطه بحرانی نقطه‌ای در دامنه تابع است که در آن تابع یا مشتق پذیر نیست یا مشتق آن برابر با صفر است. [1] به طور مشابه، هنگام برخورد با متغیرهای مختلط ، یک نقطه بحرانی نقطه‌ای در دامنه تابع است که در آن یا هولومورفیک نیست یا مشتق آن برابر با صفر است. [2] [3] به همین ترتیب، برای تابعی از چندین متغیر حقیقی ، یک نقطه بحرانی مقداری در دامنه آن است که در آن گرادیان تعریف نشده یا برابر با صفر است. [4]

مقدار تابع در یک نقطه بحرانی یک مقدار بحرانی است . [5]

این نوع از تعریف به نقشه های مشتق پذیر بین گسترش می یابد $\mathbb{R} ^{m}$ و $\mathbb {R} ^{n},$ یک نقطه بحرانی ، در این مورد، نقطه ای است که رتبه ماتریس ژاکوبین حداکثر نیست. این به نقشه های مشتق پذیر بین منیفولدهای قابل تفکیک گسترش می یابد ، زیرا نقاطی که رتبه ماتریس ژاکوبین کاهش می یابد. در این حالت به نقاط بحرانی نقاط انشعاب نیز می گویند .

به طور خاص، اگر C یک منحنی مسطح باشد که با یک معادله ضمنی f ( x , y ) = 0 تعریف شده است ، نقاط بحرانی طرح ریزی بر روی محور x ، موازی با محور y ، نقاطی هستند که مماس بر C هستند. موازی با محور y هستند ، این نقاطی است که در آن

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$

به عبارت دیگر، نقاط بحرانی نقاطی هستند که قضیه تابع ضمنی در آنها کاربرد ندارد.

مفهوم نقطه بحرانی اجازه توصیف ریاضی یک پدیده نجومی را می دهد که قبل از زمان کوپرنیک توضیح داده نشده بود . نقطه ثابت در مدار یک سیاره، نقطه ای از مسیر سیاره در کره آسمانی است ، جایی که به نظر می رسد حرکت سیاره قبل از شروع مجدد در جهت دیگر متوقف می شود. این به دلیل نقطه بحرانی پرتاب مدار به دایره دایره البروج رخ می دهد .

نقطه بحرانی یک تابع متغیر واحد [ ویرایش ]

نقطه بحرانی یک تابع از یک متغیر حقیقی منفرد ، f ( x ) ، مقدار x 0 در دامنه f است که در آن f مشتق پذیر نیست یا مشتق آن 0 است (یعنی $f'(x_{0})=0$ ). [1] یک مقدار بحرانی تصویر زیر f یک نقطه بحرانی است. این مفاهیم ممکن است از طریق نمودار f تجسم شوند : در یک نقطه بحرانی، اگر اصلاً بتوانید آن را اختصاص دهید، نمودار دارای مماس افقی است.

توجه کنید که چگونه برای یک تابع متمایز ، نقطه بحرانی همان نقطه ثابت است .

اگرچه به راحتی در نمودار (که یک منحنی است) قابل مشاهده است، مفهوم نقطه بحرانی یک تابع نباید با مفهوم نقطه بحرانی، در برخی جهت، یک منحنی اشتباه گرفته شود (برای تعریف دقیق به زیر مراجعه کنید ) . اگر g ( x , y ) یک تابع متمایز از دو متغیر باشد، آنگاه g ( x , y ) = 0 معادله ضمنی یک منحنی است . یک نقطه بحرانی چنین منحنی، برای طرح ریزی موازی با محور y (نقشه ( x , y ) → x )، نقطه ای از منحنی است که در آن. ${\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.$ این بدان معناست که مماس منحنی موازی با محور y است ، و در این نقطه، g تابع ضمنی از x به y را تعریف نمی کند (به قضیه تابع ضمنی مراجعه کنید ). اگر ( x 0 , y 0 ) چنین نقطه بحرانی باشد، آنگاه x 0 مقدار بحرانی مربوطه است . به چنین نقطه بحرانی، نقطه انشعاب نیز می گویند ، زیرا به طور کلی، هنگامی که x تغییر می کند، دو شاخه منحنی در یک طرف x 0 و صفر در طرف دیگر وجود دارد.

از این تعاریف نتیجه می شود که یک تابع متمایز f ( x ) دارای یک نقطه بحرانی x 0 با مقدار بحرانی y 0 است ، اگر و فقط اگر ( x 0 , y 0 ) نقطه بحرانی نمودار آن برای طرح ریزی موازی x باشد. محور، با همان مقدار بحرانی y 0 . اگر f در x 0 به دلیل موازی شدن مماس با محور y مشتق پذیر نباشد ، x 0 دوباره نقطه بحرانی f است ، اما اکنون ( x 0 , y 0 ) نقطه بحرانی نمودار آن برای طرح ریزی است. موازی با محور y

به عنوان مثال، نقاط بحرانی دایره واحد معادله $x^{2}+y^{2}-1=0$ (0، 1) و (0، -1) برای برآمدگی موازی با محور x ، و (1، 0) و (-1، 0) برای جهت موازی با محور y هستند . اگر نیم دایره بالایی را نمودار تابع در نظر بگیریم $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}،$ سپس x = 0 یک نقطه بحرانی با مقدار بحرانی 1 است زیرا مشتق برابر با 0 است و x = ± 1 نقاط بحرانی با مقدار بحرانی 0 به دلیل تعریف نشده بودن مشتق هستند.

مثالها [ ویرایش ]

کارکرد $f(x) = x^2 + 2x + 3$ در همه جا با مشتق مشتق پذیر است $f'(x)=2x+2.$ این تابع دارای یک نقطه بحرانی منحصر به فرد −1 است، زیرا عدد یکتایی x 0 برای آن است2. $2x+2=0.$ این نقطه حداقل جهانی f است . مقدار بحرانی مربوطه است. $f(-1)=2.$ نمودار f یک سهمی مقعر به سمت بالا است، نقطه بحرانی آبسیس راس است که در آن خط مماس افقی است، و مقدار بحرانی مربوط به راس است و ممکن است با تقاطع این خط مماس و خط مماس نشان داده شود. محور y .
کارکرد $f(x)=x^{2/3}$ برای همه x تعریف شده و برای x ≠ 0 با مشتق قابل تفکیک است $f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}.$ از آنجایی که f در x = 0 و قابل تفکیک نیست $f'(x)\neq 0$ در غیر این صورت، آن نقطه بحرانی منحصر به فرد است. نمودار تابع f در این نقطه یک کاسپ با مماس عمودی دارد . مقدار بحرانی مربوطه است. $f(0)=0.$
تابع مقدار مطلق $f(x)=|x|$ در همه جا مشتق پذیر است به جز در نقطه بحرانی x = 0 ، جایی که یک نقطه حداقل جهانی با مقدار بحرانی 0 دارد.
کارکرد $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ نقاط بحرانی ندارد نقطه x = 0 یک نقطه بحرانی نیست زیرا در دامنه تابع گنجانده نشده است.

مکان نقاط بحرانی [ ویرایش ]

طبق قضیه گاوس-لوکاس ، تمام نقاط بحرانی یک تابع چند جمله ای در صفحه مختلط در داخل بدنه محدب ریشه های تابع قرار دارند. بنابراین برای یک تابع چند جمله ای با ریشه های حقیقی، تمام نقاط بحرانی حقیقی هستند و بین بزرگترین و کوچکترین ریشه ها قرار دارند.

حدس سندوف بیان می‌کند که اگر همه ریشه‌های یک تابع در دیسک واحد در صفحه مختلط قرار گیرند، حداقل یک نقطه بحرانی در فاصله واحد از هر ریشه معین وجود دارد.

نقاط بحرانی یک منحنی ضمنی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: منحنی جبری

نقاط بحرانی نقش مهمی در مطالعه منحنی های سطحی تعریف شده توسط معادلات ضمنی ایفا می کنند ، به ویژه برای ترسیم آنها و تعیین توپولوژی آنها . مفهوم نقطه بحرانی که در این بخش استفاده می شود، ممکن است متفاوت از قسمت قبلی به نظر برسد. در واقع این تخصص به یک مورد ساده از مفهوم کلی نقطه بحرانی است که در زیر آورده شده است .

بنابراین، منحنی C را در نظر می گیریم که با یک معادله ضمنی تعریف شده است $f(x,y)=0$ ، که در آن f یک تابع متمایز از دو متغیر است که معمولاً یک چند جمله ای دو متغیره است . نقاط منحنی نقاط صفحه اقلیدسی هستند که مختصات دکارتی آن معادله را برآورده می کند. دو پیش بینی استاندارد وجود دارد $\pi _{y}$ و $\pi _{x}$ ، تعریف شده بوسیله ی $\pi _{y}((x،y))=x$ و $\pi _{x}((x,y))=y,$ که منحنی را روی محورهای مختصات ترسیم می کند . آنها را به ترتیب پروجکشن موازی با محور y و برآمدگی موازی با محور x می نامند .

نقطه C برای آن حیاتی است $\pi _{y}$ ، اگر مماس بر C وجود داشته باشد و با محور y موازی باشد . در آن صورت، تصاویر توسط $\pi _{y}$ نقطه بحرانی و مماس همان نقطه محور x هستند که مقدار بحرانی نامیده می شود . بنابراین یک نقطه C برای آن حیاتی است $\pi _{y}$ اگر مختصات آن جوابی برای سیستم معادلات باشد :

$f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$

این بدان معناست که این تعریف یک مورد خاص از تعریف کلی یک نقطه بحرانی است که در زیر آورده شده است .

تعریف نقطه بحرانی برای $\pi _{x}$ مشابه است. اگر C نمودار یک تابع باشد $y=g(x)$ ، سپس ( x , y ) برای آن حیاتی است $\pi _{x}$ اگر و فقط اگر x نقطه بحرانی g باشد و مقادیر بحرانی یکسان باشند.

برخی از نویسندگان نقاط بحرانی C را به عنوان نقاطی که برای هر یک از آنها حیاتی هستند تعریف می کنند $\pi _{x}$ یا $\pi _{y}$ ، اگرچه آنها نه تنها به C ، بلکه به انتخاب محورهای مختصات نیز بستگی دارند. همچنین به نویسندگان بستگی دارد که آیا نقاط مفرد به عنوان نقاط بحرانی در نظر گرفته شوند. در واقع نقاط مفرد نقاطی هستند که راضی کننده هستند

$f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$ ،

و بنابراین راه حل های هر یک از سیستم های معادلات هستند که نقاط بحرانی را مشخص می کنند. با این تعریف کلی تر، نقاط بحرانی برای $\pi _{y}$ دقیقاً نقاطی هستند که قضیه تابع ضمنی در آنها اعمال نمی شود.

استفاده از تمایز [ ویرایش ]

وقتی منحنی C جبری است، یعنی زمانی که با یک چند جمله‌ای دو متغیره f تعریف می‌شود ، آنگاه ممیز ابزار مفیدی برای محاسبه نقاط بحرانی است.

در اینجا ما فقط طرح را در نظر می گیریم $\pi _{y}$ ; نتایج مشابهی برای $\pi _{x}$ با مبادله x و y .

اجازه دهید دیسک $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ ممیز f باشد که به عنوان یک چند جمله ای در y با ضرایبی که چند جمله ای در x هستند مشاهده می شود . بنابراین این متمایز یک چند جمله ای در x است که دارای مقادیر بحرانی است $\pi _{y}$ در میان ریشه های آن

به طور دقیق تر، یک ریشه ساده ازدیسک $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ یا یک مقدار بحرانی است $\pi _{y}$ نقطه بحرانی متناظر نقطه‌ای است که نه مفرد است و نه نقطه عطف، یا مختصات x مجانبی است که موازی با محور y است و «در بی‌نهایت» بر یک نقطه عطف مماس است (مجاد خمشی).

یک ریشه چندگانه تمایز یا به چندین نقطه بحرانی یا مجانب عطف که دارای ارزش بحرانی یکسان هستند، یا به یک نقطه بحرانی که همچنین یک نقطه عطف است، یا به یک نقطه منفرد مطابقت دارد.

چندین متغیر [ ویرایش ]

برای تابعی از چندین متغیر حقیقی ، یک نقطه P (که مجموعه ای از مقادیر برای متغیرهای ورودی است که به عنوان یک نقطه در نظر گرفته می شود.آر $\mathbb {R} ^{n}$ ) اگر نقطه ای باشد که گرادیان صفر یا تعریف نشده باشد، حیاتی است . [4] مقادیر بحرانی مقادیر تابع در نقاط بحرانی هستند.

یک نقطه بحرانی (جایی که تابع قابل تفکیک است) ممکن است یک حداکثر محلی ، یک حداقل محلی یا یک نقطه زینتی باشد . اگر تابع حداقل دو بار به طور پیوسته مشتق پذیر باشد، موارد مختلف را می توان با در نظر گرفتن مقادیر ویژه ماتریس هسین مشتقات دوم متمایز کرد.

یک نقطه بحرانی که در آن ماتریس هسین غیرمفرد است، گفته می‌شود که غیرمنحط است و نشانه‌های مقادیر ویژه هسین، رفتار محلی تابع را تعیین می‌کنند. در مورد تابعی از یک متغیر منفرد، هسین به سادگی دومین مشتق است که به عنوان یک ماتریس 1×1 در نظر گرفته می‌شود، که اگر و فقط اگر صفر نباشد غیرمفرد است. در این حالت، یک نقطه بحرانی غیر انحطاط، بسته به علامت مشتق دوم، یک ماکزیمم محلی یا یک مینیمم محلی است که برای حداقل محلی مثبت و برای حداکثر محلی منفی است. اگر مشتق دوم صفر باشد، نقطه بحرانی به طور کلی یک نقطه عطف است ، اما ممکن است یک نقطه موجی نیز باشد ، که ممکن است حداقل محلی یا حداکثر محلی باشد.

برای تابعی از n متغیر، تعداد مقادیر ویژه منفی ماتریس هسین در یک نقطه بحرانی را شاخص نقطه بحرانی می نامند. یک نقطه بحرانی غیر منحط یک حداکثر محلی است اگر و فقط اگر شاخص n باشد ، یا به طور معادل، اگر ماتریس هسین منفی قطعی باشد . اگر شاخص صفر باشد، یک حداقل محلی است، یا اگر ماتریس هسین مثبت قطعی باشد . برای سایر مقادیر شاخص، یک نقطه بحرانی غیر انحطاط یک نقطه زینی است ، یعنی نقطه ای که در برخی جهات حداکثر و در برخی دیگر حداقل است.

کاربرد بهینه سازی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: بهینه سازی ریاضی

بر اساس قضیه فرما ، همه ماکزیمم ها و مینیمم های محلی یک تابع پیوسته در نقاط بحرانی رخ می دهند. بنابراین، برای یافتن ماکزیمم و مینیمم محلی یک تابع قابل تفکیک، از نظر تئوری، محاسبه صفرهای گرادیان و مقادیر ویژه ماتریس هسین در این صفرها کافی است. این نیاز به حل یک سیستم معادلات دارد که می تواند کار دشواری باشد. الگوریتم‌های عددی معمول برای یافتن اکسترم‌های محلی بسیار کارآمدتر هستند، اما نمی‌توانند تأیید کنند که همه اکستریم‌ها پیدا شده‌اند. به ویژه، در بهینه سازی جهانی ، این روش ها نمی توانند تأیید کنند که خروجی واقعاً بهینه جهانی است.

هنگامی که تابع کمینه سازی یک چند جمله ای چند متغیره است ، نقاط بحرانی و مقادیر بحرانی راه حل های یک سیستم معادلات چند جمله ای هستند و الگوریتم های مدرن برای حل چنین سیستم هایی روش های تایید شده رقابتی را برای یافتن حداقل جهانی ارائه می دهند.

نقطه بحرانی یک نقشه مشتق پذیر [ ویرایش ]

با توجه به یک نقشه متمایز $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},$ نقاط بحرانی f نقاط بحرانی هستند، $\mathbb {R} ^{m},$ که در آن رتبه ماتریس ژاکوبین f حداکثر نیست. [6] تصویر یک نقطه بحرانی در زیر f مقدار بحرانی نامیده می شود . نقطه ای از مکمل مجموعه مقادیر بحرانی را مقدار منظم می نامند . قضیه سارد بیان می کند که مجموعه مقادیر بحرانی یک نقشه صاف دارای اندازه صفر است .

برخی از نویسندگان [7] تعریف کمی متفاوت ارائه می دهند: نقطه بحرانی f یک نقطه از است $\mathbb{R} ^{m}$ که در آن رتبه ماتریس ژاکوبین f کمتر از n است . با این قرارداد، همه نقاط زمانی که m < n بحرانی هستند .

این تعاریف به نقشه های دیفرانسیل بین منیفولدهای قابل تفکیک به روش زیر گسترش می یابد. اجازه دهید: $f:V\to W$ یک نقشه دیفرانسیل بین دو منیفولد V و W با ابعاد مربوطه m و باشد n باشد . در همسایگی یک نقطه p از V و از f ( p ) ، نمودارها دیفرمورفیسم هستند. :→ $\varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}$ و: $\psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.$ نقطه p حیاتی است برای f اگر $\varphi (p)$ برای $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ این تعریف به انتخاب نمودارها بستگی ندارد زیرا نقشه‌های انتقال دارای تفاوت هستند، ماتریس‌های ژاکوبین آن‌ها معکوس هستند و ضرب در آنها رتبه ماتریس ژاکوبین را تغییر نمی‌دهد. $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ اگر M یک منیفولد هیلبرت باشد ( الزاماً بعد محدود نیست) و f یک تابع با مقدار حقیقی باشد، می‌گوییم که p یک نقطه بحرانی f است اگر f یک غوطه‌ور در p نباشد . [8]

کاربرد در توپولوژی [ ویرایش ]

نقاط بحرانی برای مطالعه توپولوژی منیفولدها و انواع جبری حقیقی اساسی هستند . [5] به ویژه، آنها ابزار اساسی برای نظریه مورس و نظریه فاجعه هستند هستند .

پیوند بین نقاط بحرانی و توپولوژی در حال حاضر در سطح پایین تری از انتزاع ظاهر می شود. به عنوان مثال، اجازه دهید $V$ یک زیر چندگانه از $\mathbb {R} ^{n}،$ و P یک نقطه بیرون باشد. $V.$ مجذور فاصله تا P نقطه از $V$ یک نقشه دیفرانسیل است به طوری که هر جزء متصل از $V$ حداقل دارای یک نقطه بحرانی است که در آن فاصله حداقل است. نتیجه می شود که تعداد اجزای متصل از $V$ در بالا با تعداد نقاط بحرانی محدود می شود.

در مورد انواع جبری حقیقی، این مشاهدات مرتبط با قضیه بزو به ما اجازه می‌دهد تا تعداد اجزای متصل را با تابعی از درجات چندجمله‌ای که تنوع را تعریف می‌کنند، محدود کنیم.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نقطه مفرد یک منحنی
نظریه تکینگی
قضیه گاوس-لوکاس

https://en.wikipedia.org/wiki/Critical_point_%28mathematics%29

+ نوشته شده در شنبه چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 20:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چند جمله‌ای لژاندر

چند جمله‌ای لژاندر ( پس از آدرین-ماری لژاندر )، که توابع کروی ناحیه‌ای نیز نامیده می‌شوند، چند جمله‌ای خاص هستند که روی بازه $[-1،1]$ قرار دارند.یک سیستم متعامد از توابع را تشکیل می دهند. آنها راه حل های خاص معادله دیفرانسیل لژاندر هستند . چند جمله ای های لژاندر نقش مهمی در فیزیک نظری به ویژه در الکترودینامیک و مکانیک کوانتومی و همچنین در زمینه فناوری فیلتر با فیلترهای لژاندر دارند.

فهرست

معادله دیفرانسیل و چند جمله ای [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادله دیفرانسیل لژاندر [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادله دیفرانسیل لژاندر

$\left(1-x^{2}\right)\,y''(x)-2x\,y'(x)+n(n+1)\,y(x)=0$

همچنین می توان به صورت یک معادله دیفرانسیل خطی معمولی مرتبه دوم در فرم نوشت

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(1-x^{2}\right)\,y'(x)\right]+n (n+1)\,y(x)=0$

برای $x \ در [-1,1]$ و $n \ در \N_0$ در حال نمایندگی

این یک مورد خاص از معادله دیفرانسیل Sturm-Liouville است

$-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left((1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm { d} x}}\right)=n(n+1)y.$

جواب کلی این معادله دیفرانسیل است

$y(x)=A\,P_{n}(x)+B\,Q_{n}(x)$

با دو تابع مستقل خطی $P_n(x)$ و $Q_n(x)$ . یکی چند جمله ای های لژاندر را می نامد $P_n(x)$ از این رو همچنین به عنوان توابع لژاندر از نوع 1 و $Q_n(x)$ به عنوان توابع لژاندر از نوع دوم، زیرا اینها دیگر چند جمله ای نیستند.

علاوه بر این، یک معادله دیفرانسیل لژاندر تعمیم یافته وجود دارد که راه حل های آن چند جمله ای های لژاندر مرتبط نامیده می شوند .

اولین چند جمله ای ها [ ویرایش | ویرایش منبع ]

شش چند جمله ای اول لژاندر

اولین چند جمله ای های لژاندر عبارتند از:

$P_0(x) = 1\,$

$P_1(x) = x\,$

$P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)$

$P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$

$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

$P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$

که $n$ چند جمله ای -te Legendre

$P_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k \frac{(2n - 2k)! \ }{(nk)! \ (n-2k)! \k! \ 2^n} x^{n-2k}$

با براکت گاوس

$\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor = \begin{cases} \frac{n}{2} & n \ \text{ even}\\ \frac{n-1}{2} & n \ \متن{فرد} \پایان{موارد}$

که $n$ -te Legendre چند جمله ای دارای درجه $n$ است و تمام شده است ${\mathbb Q}[x]$ ، یعنی یعنی ضرایب عقلانی دارد. اشکال مختلفی برای نمایش چند جمله ای های لژاندر وجود دارد.

ساخت چند جمله ای های متعامد [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای یک فاصله زمانی $I = [a,b]$ و یک تابع وزن بر روی آن داده شده است $w(x)$ یک نتیجه است $(P_n)$ از چند جمله ای های واقعی $P_n\in\R[X]$ متعامد در صورتی که شرط عمودی را برآورده کنند

$\int \limits _{a}^{b}w(x)\,P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,\mathrm {d} x=0$

برای همه $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ با $m\neq n$ برآورده می کند.

برای فاصله $I = [-1,1]$ همراه با ساده ترین توابع وزن $w(x)=1$ چنین چندجمله‌ای متعامد را می‌توان با استفاده از روش متعامدسازی گرام اشمیت با شروع از تک جمله‌ها محاسبه کرد. $(x^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ به صورت تکراری تولید شود. چند جمله ای های لژاندر هنگام انجام کارهای اضافی به دست می آیند $P_n(1) = 1$ مورد نیاز است.

خواص [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فرمول رودریگز [ ویرایش | ویرایش منبع ]

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d } x^{n}}}{\bigg (}(x^{2}-1)^{n}{\bigg )}$

فرمول رودریگز را می توان با فرمول فا دی برونو ارزیابی کرد و دوباره شکل صریح آن را به دست آورد. $n$ -ام چند جمله ای لژاندر.

نمایش انتگرالی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای همه $x \in \mathbb{C} \setminus \{+1, -1\}$ قابل اجرا است

$P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}} \cos \varphi \right)^{n}\,\mathrm {d} \varphi$

فرمول های بازگشتی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فرمول های بازگشتی زیر برای چند جمله ای های لژاندر اعمال می شود:

${\begin{تراز شده}(n+1)P_{{n+1}}(x)&=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{{n-1}}(x)\, \,\,\,\,\quad \quad (n=1,2,\ldots ;P_{0}=1;P_{1}=x)\\(x^{2}-1){\frac {{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}x}}P_{n}(x)&=nxP_{n}(x)-nP_{{n-1}}(x)\end {هم راستا}}$

اولین فرمول بازگشتی را می توان با استفاده از جایگزینی نوشت $n'=n+1$ به روش زیر که معمولاً یافت می شود:

$nP_{{n}}(x)=(2n-1)xP_{{n-1}}(x)-(n-1)P_{{n-2}}(x)\,\,\,\ ,\,\qquad (n=2,3,\ldots ;P_{0}=1;P_{1}=x)$

با اعمال قانون اشتقاق برای عبارات از نوع $y = x^n$ با $y'=nx^{n-1} = nx^{-1}y$ ، به ترتیب. $y^{(m)} = (n-m+1)x^{-1}y^{(m-1)}$ نمایش بازگشتی زیر از چند جمله‌ای‌های لژاندر نتیجه می‌گیرد که مشتقات این چند جمله‌ای را نیز در نظر می‌گیرد:

$(nm)P_{{n}}^{{(m)}}(x)=(2n-1)xP_{{n-1}}^{{(m)}}(x)-(n-1 +m)P_{{n-2}}^{{(m)}}(x)\,\,\,\,\,\qquad (n>1;\,\,m=0\ldots n- 1)$

شرایط اولیه هستند $P_{m}^{{(m)}}(x)={\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}$ و.

در $m=0$ فرمول داده شده در بالا با شرایط اولیه آن دوباره نتیجه می دهد.

سیستم کامل متعامد [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فضای هیلبرت را در نظر بگیرید $V:= L^2([-1,1]؛ \R)$ مربع قابل انتگرال گیری در $[-1،1]$ توابع با ارزش واقعی مجهز به ضرب اسکالر تعریف شده است

$\langle f,g\rangle =\int _{{-1}}^{1}f(x)g(x){\mathrm{d}}x$ .

خانواده $(P_n)_n$ چند جمله ای لژاندر تشکیل می شود $(V، \langle\cdot،\cdot\rangle)$ یک سیستم متعامد کامل، بنابراین آنها یک مورد خاص از چند جمله ای متعامد هستند . اگر اینها نرمال شوند، یک سیستم کامل متعارف $V$ را تشکیل می دهند.

اعمال می شود

$\int \limits _{{-1}}^{{1}}P_{n}(x)P_{m}(x)\,{\mathrm{d}}x={\frac {2}{2n } +1}}\delta _{{nm}}$ ،

به موجب آن $\delta_{nm}$ به نام دلتای کرونکر کامل بودن به این معنی است که هر تابع $f\in v$ در از $\langle\cdot,\cdot\rangle$ توپولوژی هنجار تولید شده را می توان با توجه به چند جمله ای های لژاندر "توسعه" کرد:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)$

با ضرایب انبساط

$c_{n}={\frac {2\,n+1}{2}}\,\int \limits _{{-1}}^{1}f(x)\,P_{n}(x) \,{\text{d}}x.$

در ادبیات فیزیکی یا فنی، کامل بودن اغلب به عنوان یک معادله توزیع به صورت زیر نوشته می شود :

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2\,n+1}{2} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x)$ ،

به موجب آن $\دلتا$ توزیع دلتای دیراک است . چنین معادله توزیعی همیشه باید به گونه ای خوانده شود که هر دو طرف این معادله را بتوان برای توابع آزمایشی اعمال کرد. اعمال سمت راست برای چنین تابع آزمایشی $x\mapsto f(x)$ در، بنابراین شما دریافت کنید $f(x')$ . برای استفاده از سمت چپ باید طبق تعریف با $f(x)$ ضرب و سپس دوباره $ایکس$ ادغام کردن اما پس از آن دقیقا فرمول بسط بالا (با $ایکس'$ بجای $ایکس$ ). بنابراین متعامد بودن و کامل بودن را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت:

متعامد بودن: $\langle P_n، P_m \رنگ = 0$ برای $m\neq n$ .
کامل بودن: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2}\langle f,P_n\rangle \, P_n(x)$ برای همه $f\in L^2 ([-1,1]; \R)$ (به معنای $L^{2}$ -همگرایی).

ریشه ها [ ویرایش | ویرایش منبع ]

$P_n(x)$ در فاصله $I = [-1,1]$ دارد دقیقا $n$ صفرهای ساده آنها در مورد منشاء متقارن هستند، زیرا چند جمله ای های لژاندر یا زوج هستند یا فرد. بین دو صفر مجاور از $P_n(x)$ دقیقا یک صفر از $P_{n-1}(x)$ . در چه نسبتی صفر از $P_{n-1}(x)$ فاصله بین دو صفر از $P_n(x)$ تقسیم می کند، یا بالعکس به جز قسمت بیرونی $P_n(x)$ ، بسیار متغیر است.

تعیین ریشه‌های چندجمله‌ای لژاندر یک کار متداول در ریاضیات عددی است ، زیرا آنها نقش اصلی را در مربع‌سازی گاوس-لژاندر یا بسط توابع «دلخواه» بر حسب چندجمله‌ای ذکر شده در «سیستم کامل متعامد» بازی می‌کنند. جداول زیادی برای این کار وجود دارد، اما استفاده از آنها اغلب با ناراحتی همراه است، زیرا تعداد زیادی جداول با دقت مناسب باید برای یک واکنش انعطاف پذیر در دسترس باشد. هنگام جستجوی صفرها، آگاهی از فاصله زمانی تنها ارزش محدودی در انتخاب یک شروع تکرار دارد، به خصوص که دانش صفرهای چند جمله ای دیگر نیز مورد نیاز است. یکی با افزایش $n$ تقریب دقیق تر $ک$ -صفر $x_{k}$ از جانب $P_n(x)$ داده شده توسط: [1] [2]

$x_{k}\approx \cos \left(\pi \,{\frac {4k-1}{4n+2}}\right),\quad k=1,\ldots ,n.$

مثلا $P_{10}(x)$ بنابراین همه صفرها حداقل تا دو رقم اعشار با خطاهای بین تخمین زده می شوند $0.00102$ و $0.00016$ ، در حالی که کوچکترین فاصله صفر از $P_{9}(x)$ فقط $0{،}13$ است. در $P_{20}(x)$ در حال حاضر سه رقم اعشار امن هستند، با خطاهای بین $0.00028$ و $0.00002$ ، در حالی که بهترین تودرتو از طریق $P_{19}(x)$ فقط $0.032$ است. حداکثر خطای تخمین برای $P_{200}(x)$ تنهاست $0.0000031$ برای دو پنجم صفر از خارج، مقدار دقیق آنها با $0.99722851428\dots$ آغاز می شود.

با چنین مقدار اولیه و دو "فرمول بازگشتی" اول ، هم مقدار تابع و هم مشتق آن را می توان در یک محاسبه تعیین کرد. با استفاده از روش نیوتن ، همه به جز دو صفر بیرونی را می توان با همگرایی بیشتر از درجه دوم یافت، زیرا صفرها در مجاورت نقاط عطف قرار دارند. دو صفر بیرونی "فقط" به صورت درجه دوم همگرا می شوند، i. اچ. فاصله اولیه تا صفر $0.00102$ در ابتدا تقریباً پس از یک تکرار کاهش می یابد $0.00102^{2}$ ، سپس بالا $0.00102^{4}.0.00102^{8}$ و $0.00102^{{16}}$ .

تخمین داده شده بخشی از یک الگوریتم بسیار کوتاه است که تمام ریشه های یک چند جمله ای لژاندر و همچنین وزن های مناسب برای ربع گاوس-لژاندر را ارائه می دهد.

خصوصیات عمومی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای هر $n\in \mathbb {N}$ و هر کدام $x \ در [-1,1]$ قابل اجرا است:

${\begin{aligned}&P_{n}(1)=1\\&P_{n}(-x)=(-1)^{n}\,P_{n}(x)\\&P_{ 2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}}\\ &P_{2n+1}(0)=0\\&P'_{n}(0)=nP_{n-1}(0)\end{تراز شده}}$

تابع تولید [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای همه $x\in \mathbb {R}$ ، $z \in \mathbb{C}$ ، $|z| < 1$ قابل اجرا است

$(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n\ .$

سری پاور در سمت راست دارای برای $-1 ≤ x ≤ +1$ شعاع همگرایی 1.

کارکرد $z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2}$ بنابراین به عنوان تابعی از چندجمله ای های لژاندر استفاده می شود $P_{n}$ تعیین شده است.

اصطلاحی که اغلب در فیزیک وجود دارد $1/|\vec{x}-\vec{x}\,'|$ (به عنوان مثال در پتانسیل های گرانش نیوتنی یا الکترواستاتیک ، انبساط چند قطبی ) بنابراین می توان به یک سری توان برای $\tfrac{|\vec{x}\,'|}{|\vec{x}|}=\tfrac{r\,'}{r}<1$ :

${\begin{aligned}{\frac {1}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}\,'|}}&={\frac {1}{\sqrt { {\vec {x}}\,^{2}-2{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\,'+{\vec {x}}\,'^{2}} }}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr\,'\cos \alpha +r\,'^{2}}}}={\frac {1}{r{\ sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \alpha +({\frac {r'}{r}})^{2}}}}}\\&={\frac { 1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r\,'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \ آلفا )\end{تراز شده}}$

توابع لژاندر نوع دوم [ ویرایش | ویرایش منبع ]

پنج تابع اول لژاندر از نوع دوم

فرمول های بازگشتی چند جمله ای های لژاندر برای توابع لژاندر نوع دوم نیز اعمال می شود، به طوری که می توان آنها را به طور تکراری با مشخص کردن مورد اول تعیین کرد:

$Q_{0}(x)={\frac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=\operatorname {artanh}(x )$

$Q_{1}(x)={\frac {x}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-1=x\operatorname {artanh }(x)-1$

$Q_{2}(x)={\frac {3\,x^{2}-1}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\راست )-{\frac {3\,x}{2}}={\frac 32}\left(\left(x^{2}-{\frac 13}\right)\operatorname {artanh}(x)- x\راست)$

$Q_3(x) = \frac{5\,x^3 - 3\,x}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \راست) - \frac{5 \,x^2}{2} + \frac{2}{3}$

در اینجا، شاخه اصلی باید برای لگاریتم استفاده شود ، که تکینگی ها را حذف می کند $x=\pm 1$ و در امتداد برش های شاخه [3] در صفحه مختلط $(-\infty,-1)$ و $(1،\infty)$

حوزه های کاربردی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

از جمله چند جمله ای لژاندر برای شبیه سازی کره های کروی، به عنوان مثال برای تعیین زاویه تیلور در مخروط تیلور ، که اساس هندسه در الکتروریسی است، استفاده می شود.

پیوندهای وب [ ویرایش | ویرایش منبع ]

Eric W. Weiststein : Legendre Polynomial . در: MathWorld (انگلیسی).
JB Calvert: Legendre Polynomials . (انگلیسی)

منبع

https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom#Legendresche_Differentialgleichung

+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم مرداد ۱۴۰۱ ساعت 1:9 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله دیفرانسیل معمولی خطی

معادلات دیفرانسیل معمولی خطی , یا سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی خطی , دسته مهمی از معادلات دیفرانسیل معمولی هستند .

فهرست

تعریف [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادلات دیفرانسیل معمولی خطی معادلات دیفرانسیل شکل هستند

$y^{(n)}}(x)=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}(x)y^{(k)}}(x) +g (ایکس)\،،$

که در آن یک مجهول ، در یک بازه $من$ تابع با ارزش حقیقی، مختلط یا برداری تعریف شده است $y$ به دنبال آن است که معادله ارائه شده را برآورده کند. تعیین شده است $y^{{(k)}}$ را $ک$ مشتق -امین تابع مورد نظر. است $جی$ برابر با تابع صفر ، یک از یک معادله همگن صحبت می کند، در غیر این صورت از یک معادله ناهمگن. کارکرد $جی$ ناهمگن نیز نامیده می شود . مانند توابع ضریب است $a_{k}$ ثابت، در کاملا $من$ تابع تعریف شده در مورد با ارزش برداری، $a_{k}$ ماتریس های مربع و معادله سیستمی از معادلات دیفرانسیل خطی را برای مولفه ها فراهم می کند $y=(y_{1}،\ldots،y_{m})$ تابع حل در مورد خاص مهم که $a_{k}$ نه از $ایکس$ بستگی دارد، معادله را معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت می نامند .

یک ویژگی اساسی معادلات خطی اصل برهم نهی است : حل می کند $y(x)$ معادله با ناهمگن $g(x)$ و $z(x)$ با ناهمگونی $h (x)$ ، سپس ترکیب خطی را حل می کند $\آلفا y(x)+\بتا z(x)$ معادله با ناهمگن $\آلفا g(x)+\بتا h(x).$ به ویژه، در حالت همگن، مجموع و مضرب راه حل ها همیشه راه حل هستند. دلیلش این است که یک مشتق بالاتر $y^{{(n)}}$ به صورت خطی از مشتقات پایین تر $y,\ldots ,y^{{(n-1)}}$ بستگی دارد.

نمونه ها [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادلات دیفرانسیل با ضرایب متغیر [ ویرایش | ویرایش منبع ]

سیستم مرتبه اول معادلات دیفرانسیل خطی $متر$ معادلات

$\ y'=A(x)y+g(x)\ ,$

که در آن $A\colon I\right arrow {\mathbb {R}}^{{m\times m}}$ و $g \colon I\right arrow {\mathbb {R}}^{m}$ توابع پیوسته هستند. سیستم همگن مربوطه است

$\ y'=A(x)y\ .$

معادله دیفرانسیل خطی $n$ - مرتبه

$\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}(x)y^{{(i)}}=g(x)\ ,$

که در آن $a_{i},g\colon I\right arrow {\mathbb {R}}$ توابع پیوسته هستند. معادله همگن مربوطه است

$\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}(x)y^{{(i)}}=0\ .$

معادلات دیفرانسیل زیر نیز در گروه دوم قرار می گیرند:

معادله دیفرانسیل ایری

$\ y''-\lambda xy=0$

معادله دیفرانسیل بسل

$\ x^{2}y''+xy'+(x^{2}-n^{2})y=0,\ n\in {\mathbb {R}}$ .

معادله دیفرانسیل اویلر

$\sum _{{i=0}}^{n}b_{i}(cx+d)^{i}y^{{(i)}}(x)=0$

معادله دیفرانسیل هرمیت

$\y''-2xy'+2ny=0،\n\در {\mathbb {Z}}$

معادله دیفرانسیل هایپرهندسی

$\ x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \بتا y=0,\ \alpha ,\beta ,\gama \در {\mathbb {R}}$

معادله دیفرانسیل لاگر

$x\,y''+(1-x)\,y'+ny=0,\n\in {\mathbb {N}}_{0}$ .

معادله دیفرانسیل لژاندر

$\ (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0$

معادله دیفرانسیل چبیشف

$\ (1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0$

در مکانیک کلاسیک ، متغیر مستقل معادلات دیفرانسیل اغلب زمان است.

معادله دیفرانسیل نوسانگر هارمونیک

${\ddot y}+\omega _{0}^{2}\,y=0$

معادلات با ضرایب ثابت در مجهول [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب 1، 0 و 1 در مقابل دستورات مشتق تابع مجهول، فرمول حل زیر به طور کلی اعمال می شود:

${\color {blue}f''(x)+f(x)=g(x)}$

$f(x)(x=0)=a$

$f'(x)(x=0)=b$

${\color {green}f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)-\cos(x)\int _{0}^{1}x\sin(xy)g (xy)\,\mathrm{d} y+\sin(x)\int _{0}^{1}x\cos(xy)g(xy)\,\mathrm{d} y}$

صحت این عبارت را می توان با تشکیل مشتقات عبارت راه حل تأیید کرد:

$f'(x)=-a\sin(x)+b\cos(x)+\sin(x)\int _{0}^{1}x\sin(xy)g(xy)\ ,\mathrm{d} y+\cos(x)\int _{0}^{1}x\cos(xy)g(xy)\,\mathrm{d} y$

$f''(x)=-a\cos(x)-b\sin(x)+\cos(x)\int _{0}^{1}x\sin(xy)g(xy) \,\mathrm{d} y-\sin(x)\int _{0}^{1}x\cos(xy)g(xy)\,\mathrm{d} y+g(x)$

بنابراین، شرط بیان شده از معادله دیفرانسیل در واقع برآورده می شود:

$f''(x)+f(x)=g(x)$

این دو فرمول برای مشتقات عبارات انتگرال ذکر شده اعمال می شود:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{0}^{1}x\cos(xy)g(xy)\,\mathrm {d} y =\cos(x)g(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{0}^{1}x\sin(xy)g(xy)\,\mathrm {d} y =\sin(x)g(x)$

این دو مشتق از قضیه اساسی تجزیه و تحلیل حاصل می شود. انتگرال های نشان داده شده خود از مبدأ مختصات عبور می کنند. بنابراین f(x) مطابق عبارت فوق از نقطه P(0|a) با شیب b عبور می کند. به عنوان مثال، معادله دیفرانسیل زیر به صورت زیر حل می شود:

${\color {blue}f''(x)+f(x)=\sinh(x)}$

$f(x)(x=0)=1$

$f'(x)(x=0)=0$

این راه حل برای این معادله دیفرانسیل است:

${\color {green}f(x)=\cos(x)-\cos(x)\int _{0}^{1}x\sin(xy)\sinh(xy)\,\mathrm {d} y+\sin(x)\int _{0}^{1}x\cos(xy)\sinh(xy)\,\mathrm{d} y}$

${\underline {f(x)=\cos(x)-{\tfrac {1}{2}}\sin(x)+{\tfrac {1}{2}}\sinh(x)} }$

وجود جهانی و یکتایی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

بودن $x_0 \ در I$ و $y_0، \dotsc، y_{n-1} \in \mathbb{R}^m$ هر سپس مسئله مقدار اولیه دارای یک سیستم معادلات دیفرانسیل خطی است

$\left\{{\begin{array}{l}y^{(n)}}(x)=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}y^ { {(k)}}(x)+g(x)\ ,\\\ y^{{(i)}}(x_{0})=y_{i}\ ,\ i=0,\dotsc , n -1\\\پایان{آرایه}}\راست.$

دقیقاً یک راه حل جهانی مطابق با نسخه جهانی قضیه پیکارد-لیندلوف دارد $y\colon I\right arrow {\mathbb {R}}^{m}$ .

ساختار راه حل [ ویرایش | ویرایش منبع ]

مسائل همگن [ ویرایش | ویرایش منبع ]

→ مقاله اصلی : معادله دیفرانسیل همگن خطی

هر ترکیب خطی از راه حل های یک مسئله همگن دوباره یک راه حل است - این اصل برهم نهی نامیده می شود. بنابراین مجموعه همه راه حل ها یک فضای برداری است. برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی $n$ مرتبه ام و یک سیستم معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه اول از $n$ معادلات او است $n$ -بعدی هر پایه فضای راه حل را یک سیستم بنیادی می نامند .

مسائل ناهمگن [ ویرایش | ویرایش منبع ]

دانش سیستم بنیادی و راه حل ویژه $y_{sp}}\,$ برای تعیین مجموع راه حل های مسئله ناهمگن کافی است. چون هست

$\{y=y_{h}+y_{sp}}\ |\ y_{h}\ {\mathrm{حل{\ddot {o}}}راه‌حل\\ the\ همگن\ مشکل}}\}$

مجموعه همه راه حل های مسئله ناهمگن.

روش های ویژه برای یافتن راه حل خاص [ ویرایش | ویرایش منبع ]

اگر کسی قبلاً یک سیستم اساسی از مسئله همگن مرتبط را تعیین کرده باشد، می تواند راه حل خاصی پیدا کند $y_{{sp}}$ مسئله ناهمگن با روش تغییر دادن ثابت ها یا روش حل پایه که در آنجا توضیح داده شده است. اگر ناهمگن ساختار خاصی داشته باشد، گاهی اوقات می توانید با رویکرد نمایی سریعتر به یک راه حل خاص برسید .

اگر کسی یک سیستم بنیادی را ایجاد نکرده باشد، گاهی اوقات یک رویکرد سری قدرت کار می کند .

احتمال دیگر تبدیل لاپلاس است . با توجه به قضیه تمایز آن، تبدیل لاپلاس از جمله برای حل مسائل مقدار اولیه برای معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت مناسب است. به شرطی که تبدیل لاپلاس ناهمگن را بدانیم، تبدیل لاپلاس حل را از قضیه تمایز بدست آوریم. تحت شرایط خاص، فرد معکوس آن را می‌داند، تا بتوان راه‌حل (تبدیل نشده) را بازیابی کرد.

در مورد خاص یک سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با ضرایب ثابت، جواب کلی را می توان با کمک تابع نمایی ماتریس تعیین کرد ، مشروط بر اینکه بتوان شکل عادی اردن ماتریس ضرایب را تولید کرد.

سیستم های تناوبی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

بودن $A\colon {\mathbb {R}}\right arrow {\mathbb {R}}^{{m\times m}}$ نقشه با ارزش ماتریس پیوسته و $b\colon {\mathbb {R}}\right arrow {\mathbb {R}}^{m}$ ناهمگونی سیستم

$y'=A(x)y+b(x)\,.$

دو تصویر $آ$ و $ب$ همچنین دوره ای هستند $\omega \در \R$ ، یعنی اعمال می شود $A(x+\omega)=A(x)$ و $b(x+\omega )=b(x)$ . اگرچه به طور کلی نمی توان به طور صریح یک سیستم اساسی از مسئله همگن مرتبط را ساخت، ساختار آن از قضیه فلوکته شناخته شده است .

در مورد سیستم های تناوبی، این سوال مطرح می شود که وجود راه حل های تناوبی با همان دوره وجود دارد $\ امگا$ . ابتدا در فضای راه حل هستید

$L_{\omega }:=\{y\in C^{1}({\mathbb {R}};{\mathbb {R}}^{m})\ |\ y'(x)=A(x )y(x)\ {\mathrm {and}}\ y\ \omega {\mathrm {-دوره‌ای}}\}$

را $\ امگا$ علاقه مند به راه حل های دوره ای مسئله همگن مرتبط است.

شاید $\phi$ یک ماتریس اساسی از مسئله همگن $y'=A(x)y$ . سپس مقادیر ویژه از $\Phi (\omega )\Phi (0)^{{-1}}$ ضرب کننده های فلوکه یا ضرایب مشخصه از $y'=A(x)y$ و مستقل از انتخاب ماتریس بنیادی هستند. موارد زیر اعمال می شود: سیستم همگن $y'=A(x)y$ سپس یک غیر پیش پا افتاده دارد اگر و فقط اگر چنین باشد $\ امگا$ راه حل تناوبی اگر 1 ضریب فلوکه باشد $y'=A(x)y$ است.

برای مسئله ناهمگن، فضایی را در نظر می گیریم $\ امگا$ - راه حل های دوره ای مسئله الحاقی $y'=-A(x)^{T}y$

$L_{\omega }^{\star }:=\{y\ در C^{1}({\mathbb {R}};{\mathbb {R}}^{m})\ |\ y'(x )=-A(x)^{T}y(x)\ {\mathrm {and}}\ y\ \omega {\mathrm {-periodic}}\}\ .$

سپس مشکل ناهمگن دارد $y'=A(x)y+b(x)$ درست پس از آن یکی $\ امگا$ -راه حل دوره ای اگر

$\int _{0}^{\omega }\langle y(s),b(s)\rangle {{\rm {d}}}s=0$

برای همه $y\in L_{\omega }^{\star }$ قابل اجرا است.

یکی نشان می دهد $\dim L_{\omega }=\dim L_{\omega }^{\star }$ . بنابراین صاحب $y'=A(x)y+b(x)$ برای هر ناهمگونی $ب$ یکی $\ امگا$ راه حل تناوبی اگر 1 ضریب فلوکه نباشد $y'=A(x)y$ است.

منبع

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung

+ نوشته شده در دوشنبه دوم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 11:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

روش فروبنیوس

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برخی از راه حل های یک معادله دیفرانسیل دارای یک نقطه منفرد منظم با ریشه های شاخص $r={\frac {1}{2}}$ و $-1$ .

در ریاضیات ، روش فروبنیوس ، به نام فردیناند گئورگ فروبنیوس ، راهی برای یافتن جواب سری نامتناهی برای یک معادله دیفرانسیل معمولی شکل مرتبه دوم است.

$z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0$ با ${\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}$ و ${\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}$ .

در مجاورت نقطه تکین منظم $z=0$ .

باید بر $z^2$ تقسیم کرد یک معادله دیفرانسیل از فرم

$u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0$

اگر p ( z )/ z یا q ( z )/ z2 در z = 0 تحلیلی نباشند ، با روش های سری توانی معمولی قابل حل نخواهد بود . روش فروبنیوس فرد را قادر می‌سازد تا برای چنین معادله دیفرانسیل یک راه‌حل سری توانی ایجاد کند، مشروط بر اینکه p ( z ) و q ( z ) خود در 0 تحلیلی باشند یا در جاهای دیگری تحلیلی باشند، هر دو حد آنها در 0 وجود داشته باشد (و محدود باشند). .

فهرست

توضیح [ ویرایش ]

روش فروبنیوس به دنبال راه حل سری توانی فرم است

$u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)$

مشتق گیری کردن:

$u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$

$u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}$

جایگزینی مشتق های فوق با ODE اصلی ما:

${\begin{تراز شده}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r- 2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0 }^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k} z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{ k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r) A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\ \&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_ {k}z^{k+r}\\&=\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _ {k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{ k+r}=0\end{تراز شده}}$

معادله

$r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)$

به عنوان چند جمله ای شاخص شناخته می شود که نسبت به r درجه دوم است . تعریف کلی چند جمله ای شاخص ضریب کمترین توان z در سری نامتناهی است. در این حالت اتفاقاً این ضریب r است، اما ممکن است بسته به معادله دیفرانسیل داده شده ، کمترین توان ممکن r - 2، r - 1 یا چیز دیگری باشد. این جزئیات مهم است که در نظر داشته باشید. در فرآیند همگام سازی تمام سری های معادله دیفرانسیل برای شروع با مقدار شاخص یکسان (که در عبارت فوق k است. = 1)، می توان به عبارات مختلط پایان داد. با این حال، در حل ریشه های شاخص فقط بر ضریب کمترین توان z متمرکز شده است .

با استفاده از این، بیان کلی ضریب z k + r است

$I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj )}(0) \over (kj)!}A_{j}،$

این ضرایب باید صفر باشند، زیرا باید راه حل های معادله دیفرانسیل باشند، بنابراین

${\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0) +q^{(kj)}(0) \over (kj)!}A_{j}&=0\\\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{ (kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over (kj)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\{1 \over -I (k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over ( kj)!}A_{j}&=A_{k}\end{تراز شده}}$

راه حل سری با A k بالا،

$U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

برقرار شود

$z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{ r}$

اگر یکی از ریشه های چند جمله ای شاخص را برای r در U r ( z ) انتخاب کنیم، جواب معادله دیفرانسیل را به دست می آوریم. اگر تفاوت بین ریشه ها یک عدد صحیح نباشد، راه حل مستقل خطی دیگری در ریشه دیگر بدست می آوریم.

مثال [ ویرایش ]

بگذار حل کنیم

$z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0$

کل را بر z ^2 تقسیم کنید تا به دست آید

$f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0$

که دارای تکینگی لازم در z = 0 است.

از حل سری استفاده کنید

${\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^ {\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+ r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{تراز شده}}$

در حال حاضر، جایگزینی

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{ \frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1} {z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&= \sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\ مجموع _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k =0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{ k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _ {k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k +r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }( k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty}(k+r)A_{k}z^{ k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_ {k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{ \infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\ مجموع _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left ((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1} ^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^ {r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z ^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1) ^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^ {k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^ {2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k -1}\right)z^{k+r-2}\end{تراز شده}}}=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^ {k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left (r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+ r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k- 1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{ \infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{ k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\ چپ ((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{تراز شده}}}=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^ {k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left (r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+ r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k- 1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{ \infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{ k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\ چپ ((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{تراز شده}}}=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2} A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&= (r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{ k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{تراز شده}}}=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2} A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&= (r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{ k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{تراز شده}}$

از

( r − 1) ^2 = 0

یک ریشه مضاعف 1 به دست می آوریم. با استفاده از این ریشه، ضریب(z^( k + r − 2 را صفر می کنیم (برای اینکه یک راه حل باشد)، که به ما می دهد:

$(k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0$

بنابراین ما رابطه بازگشتی زیررا داریم:

$A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}$

با توجه به برخی شرایط اولیه، می توانیم رابطه بازگشتی را به طور کامل حل کنیم یا راه حلی را به صورت سری توانی بدست آوریم.

از آنجایی که نسبت ضرایب $A_{k}/A_{{k-1}}$ یک تابع منطقی است ، سری توان را می توان به عنوان یک سری فرا هندسی تعمیم یافته نوشت .

ریشه هایی که با یک عدد صحیح جدا شده اند [ ویرایش ]

مثال قبلی شامل یک چند جمله ای با یک ریشه مکرر است که تنها یک راه حل برای معادله دیفرانسیل داده شده می دهد. به طور کلی، روش فروبنیوس دو راه حل مستقل به دست می دهد به شرطی که ریشه های معادله شاخص با یک عدد صحیح (از جمله صفر) از هم جدا نشوند.

اگر ریشه تکرار شود یا ریشه ها با یک عدد صحیح متفاوت باشند، جواب دوم را می توان با استفاده از:

$y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}$

جایی که $y_{1}(x)$ اولین راه حل است (بر اساس ریشه بزرگتر در مورد ریشه های نابرابر)، $r_{2}$ ریشه کوچکتر و ثابت C و ضرایب است $B_{k}$ قرار است تعیین شود. یک بار $ب_{0}$ انتخاب می شود (مثلاً با تنظیم آن بر روی 1) سپس C و $B_{k}$ تعیین می شوند اما شامل نمی شوند $B_{r_{1}-r_{2}}$ ، که می تواند خودسرانه تنظیم شود. سپس بقیه موارد را مشخص می کند $B_{k}.$ در برخی موارد ثابت C باید صفر باشد. به عنوان مثال، معادله دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید (معادله کومر با a = 1 و b = 2 ):

$zu''+(2-z)u'-u=0$

ریشه های معادله شاخص 1- و 0 هستند. دو راه حل مستقل هستند $1/z$ و $e^{z}/z,$ بنابراین می بینیم که لگاریتم در هیچ راه حلی ظاهر نمی شود. راه حل $(e^{z}-1)/z$ دارای یک سری توان است که با توان صفر شروع می شود. در یک سری قدرت شروع با $z^{-1}$ رابطه عود هیچ محدودیتی در ضریب برای مدت ایجاد نمی کند $z^{0},$ که می تواند خودسرانه تنظیم شود. اگر روی صفر تنظیم شود، با این معادله دیفرانسیل، تمام ضرایب دیگر صفر می شوند و جواب 1/ z را به دست می آوریم .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_method

+ نوشته شده در یکشنبه یکم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 11:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-تابع دلتا دیراک

تاریخچه [ ویرایش ]

ژوزف فوریه آنچه را که اکنون قضیه انتگرال فوریه نامیده می شود در رساله Théorie analytique de la chaleur به این شکل ارائه کرد: [8]

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{ -\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha)\ ,$

که مساوی است با معرفی تابع δ به شکل: [9]

$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha)\ .$

بعدها، آگوستین کوشی این قضیه را با استفاده از نمایی بیان کرد: [10] [11]

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty } ^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d\alpha \right)\,dp.$

کوشی خاطرنشان کرد که در برخی شرایط ترتیب ادغام در این نتیجه قابل توجه است (در مقابل قضیه فوبینی ). [12] [13]

همانطور که با استفاده از تئوری توزیع‌ها توجیه می‌شود ، می‌توان معادله کوشی را دوباره مرتب کرد تا شبیه فرمول اولیه فوریه باشد و تابع δ را به صورت

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2 \pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\ راست)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned} }$

که در آن تابع δ به صورت بیان می شود

$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\, dp\ .$

تفسیر دقیق شکل نمایی و محدودیت‌های مختلف تابع f که برای کاربرد آن ضروری است، طی چندین قرن گسترش یافته است. مشکلات یک تفسیر کلاسیک به شرح زیر توضیح داده شده است: [14]

بزرگترین اشکال تبدیل فوریه کلاسیک یک کلاس نسبتاً باریک از توابع (اصلی) است که می توان آن را به طور موثر محاسبه کرد. یعنی لازم است که این توابع با سرعت کافی به صفر (در همسایگی بینهایت) کاهش یابند تا از وجود انتگرال فوریه اطمینان حاصل شود. برای مثال، تبدیل فوریه توابع ساده ای مانند چند جمله ای به معنای کلاسیک وجود ندارد. گسترش تبدیل فوریه کلاسیک به توزیع ها به طور قابل توجهی کلاس توابع قابل تبدیل را افزایش داد و این بسیاری از موانع را از بین برد.

پیشرفت‌های بیشتر شامل تعمیم انتگرال فوریه، «شروع با نظریه راه‌گشای L 2 پلانچرل (1910)، ادامه با آثار وینر و بوشنر (حدود 1930) و با ادغام در نظریه توزیع‌های ال. شوارتز (1945) بود. "، [15] و منجر به توسعه رسمی تابع دلتای دیراک می شود.

یک فرمول بینهایت کوچک برای یک تابع دلتای تکانه واحد بی نهایت بلند (نسخه بی نهایت کوچک توزیع کوشی ) به صراحت در متنی از آگوستین لوئی کوشی در سال 1827 ظاهر می شود . [16] سیمئون دنیس پواسون این موضوع را در ارتباط با مطالعه انتشار موج در نظر گرفت، همانطور که گوستاو کیرشهوف تا حدودی بعد. کرشهف و Hermann von Helmholtz همچنین تکانه واحد را به عنوان حدی از گاوسیان معرفی کردند ، که همچنین با مفهوم لرد کلوین از منبع گرمای نقطه ای مطابقت دارد. در پایان قرن نوزدهم، الیور هیوساید از سری رسمی فوریه استفاده کردبرای دستکاری تکانه واحد [17] تابع دلتا دیراک به عنوان چنین توسط پل دیراک در مقاله 1927 تفسیر فیزیکی دینامیک کوانتومی [18] معرفی شد و در کتاب درسی خود به نام اصول مکانیک کوانتومی استفاده شد. [3] او آن را تابع دلتا نامید زیرا از آن به عنوان آنالوگ پیوسته دلتای مجزای کرونکر استفاده کرد.

تعاریف [ ویرایش ]

دلتای دیراک را می‌توان به‌عنوان تابعی روی خط واقعی در نظر گرفت که در همه جا صفر است، به جز در مبدا، جایی که بی‌نهایت است.

$\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

و همچنین برای ارضای هویت مقید است

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$ [19]

این صرفا یک توصیف اکتشافی است. دلتای دیراک یک تابع به معنای سنتی نیست زیرا هیچ تابعی که روی اعداد واقعی تعریف شده است این ویژگی ها را ندارد. [20] تابع دلتای دیراک را می توان به طور دقیق یا به عنوان یک توزیع یا به عنوان یک اندازه تعریف کرد.

به عنوان یک معیار [ ویرایش ]

یکی از راه‌های درک دقیق مفهوم تابع دلتای دیراک، تعریف اندازه‌ای به نام اندازه‌گیری دیراک است که زیرمجموعه A از خط واقعی R را به عنوان آرگومان می‌پذیرد و δ ( A ) = 1 را اگر 0 ∈ A ، و δ ( A ) = 0 در غیر این صورت. [21] اگر تابع دلتا به‌عنوان مدل‌سازی یک جرم نقطه ایده‌آل در 0 تصور شود، δ ( A ) جرم موجود در مجموعه A را نشان می‌دهد . سپس می توان انتگرال را در برابر δ تعریف کردبه عنوان انتگرال یک تابع در برابر این توزیع جرم. بطور رسمی، انتگرال لبگ دستگاه تحلیلی لازم را فراهم می کند. انتگرال لبگ با توجه به اندازه گیری δ را برآورده می کند

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0)$

برای همه توابع فشرده پیوسته پشتیبانی شده f . اندازه δ با توجه به معیار Lebesgue مطلقاً پیوسته نیست - در واقع، این یک اندازه گیری مفرد است . در نتیجه، اندازه دلتا هیچ مشتق رادون-نیکودیم (با توجه به اندازه گیری Lebesgue) ندارد - هیچ تابع واقعی برای آن خاصیت

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0)$

دارای. [22] در نتیجه، نماد دوم سوء استفاده راحت از نماد است ، و نه یک انتگرال استاندارد ( ریمان یا لبگ ).

به عنوان یک اندازه گیری احتمال در R ، اندازه دلتا با تابع توزیع تجمعی آن مشخص می شود که تابع گام واحد است . [23]

$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

این بدان معنی است که H ( x ) انتگرال تابع نشانگر تجمعی 1 است (−∞، x ] با توجه به اندازه δ ؛ به معنای واقعی،

$H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (- \infty,x],$

دومی معیار این فاصله است. به طور رسمی تر، δ ((-∞، x ]) بنابراین به طور خاص ادغام تابع دلتا در برابر یک تابع پیوسته را می توان به درستی به عنوان یک انتگرال ریمان-استیلتس درک کرد : [24]

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).$

تمام گشتاورهای بالاتر δ صفر هستند. به طور خاص، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور هر دو برابر با یک هستند.

به عنوان توزیع [ ویرایش ]

در تئوری توزیع‌ها ، یک تابع تعمیم‌یافته به خودی خود یک تابع در نظر گرفته نمی‌شود، بلکه فقط در مورد نحوه تأثیرگذاری آن بر سایر توابع در صورت «ادغام» شدن در برابر آنها در نظر گرفته می‌شود. [25] مطابق با این فلسفه، برای تعریف صحیح تابع دلتا، کافی است بگوییم «انتگرال» تابع دلتا در برابر یک تابع آزمایشی به اندازه کافی «خوب» φ است. توابع تست نیز به عنوان توابع برآمدگی شناخته می شوند . اگر تابع دلتا از قبل به عنوان یک اندازه گیری درک شده باشد، انتگرال Lebesgue یک تابع آزمایشی در برابر آن اندازه گیری انتگرال لازم را ارائه می دهد.

یک فضای معمولی از توابع آزمایشی شامل تمام توابع صاف روی R با پشتیبانی فشرده است که به تعداد مورد نیاز مشتقات دارد. به عنوان یک توزیع، دلتای دیراک یک تابع خطی در فضای توابع آزمایشی است و با [26] تعریف می شود.

$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$

( 1 )

برای هر تابع تست $\varphi$ .

برای اینکه δ یک توزیع مناسب باشد، باید در یک توپولوژی مناسب در فضای توابع آزمایشی پیوسته باشد. به طور کلی، برای یک تابع خطی S در فضای توابع آزمایشی برای تعریف توزیع، لازم و کافی است که برای هر عدد صحیح مثبت N یک عدد صحیح M N و یک CN ثابت وجود داشته باشد به طوری که برای هر تابع آزمایشی φ ، یکی دارای نابرابری است [27]

$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\ چپ|\varphi ^{(k)}(x)\right|.$

با توزیع δ ، یکی چنین نابرابری (با C N = 1) با M N = 0 برای همه N دارد. بنابراین δ توزیعی از مرتبه صفر است. علاوه بر این، توزیعی با پشتیبانی فشرده است ( پشتیبانی {0} است).

توزیع دلتا را نیز می توان به چندین روش معادل تعریف کرد. به عنوان مثال، مشتق توزیعی تابع گام هویساید است . این بدان معناست که برای هر تابع آزمون φ ، یک تابع دارد

$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx.$

بطور شهودی، اگر ادغام توسط قطعات مجاز بود، انتگرال دوم باید به

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x) \,dx,$

و در واقع، شکلی از ادغام توسط قطعات برای انتگرال استیاتجس مجاز است، و در آن صورت، فرد دارای

$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH( ایکس).$

در زمینه تئوری اندازه گیری، معیار دیراک با ادغام باعث توزیع می شود. برعکس، معادله ( 1 ) یک انتگرال دانیل را بر روی فضای تمام توابع پیوسته فشردگی پشتیبانی شده φ تعریف می‌کند که با قضیه نمایش ریز ، می‌توان آن را به عنوان انتگرال لبگ از φ در مورد مقداری رادون نمایش داد.

به طور کلی، هنگامی که از اصطلاح " تابع دلتا دیراک " استفاده می شود، به معنای توزیع است تا اندازه گیری، اندازه گیری دیراک در میان چندین اصطلاح برای مفهوم متناظر در نظریه اندازه گیری است. برخی منابع ممکن است از عبارت توزیع دلتای دیراک استفاده کنند .

کلیات [ ویرایش ]

تابع دلتا را می توان در فضای اقلیدسی n بعدی R n به عنوان اندازه ای تعریف کرد که

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0})$

برای هر تابع پیوسته فشرده پشتیبانی شده f . به عنوان یک معیار، تابع دلتای n بعدی، اندازه گیری حاصل ضرب توابع دلتای 1 بعدی در هر متغیر به طور جداگانه است. بنابراین، به طور رسمی، با x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) یک [1] دارد.

$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).$

( 2 )

تابع دلتا را نیز می توان به معنای توزیع دقیقاً در حالت یک بعدی تعریف کرد. [28] با این حال، علی‌رغم استفاده گسترده در زمینه‌های مهندسی، ( 2 ) باید با دقت دستکاری شود، زیرا محصول توزیع‌ها را فقط می‌توان در شرایط کاملاً محدود تعریف کرد. [29] [30]

مفهوم اندازه گیری دیراک در هر مجموعه ای منطقی است. [31] بنابراین، اگر X یک مجموعه باشد، x 0 ∈ X یک نقطه مشخص شده است، و Σ هر جبر سیگما از زیر مجموعه های X است، آنگاه اندازه گیری در مجموعه های A ∈ Σ توسط

$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{موارد}}$

اندازه دلتا یا واحد جرم متمرکز در x 0 است.

یکی دیگر از تعمیم های رایج تابع دلتا به یک منیفولد متمایزپذیر است که بیشتر خصوصیات آن به عنوان یک توزیع نیز به دلیل ساختار متمایزپذیر قابل استفاده است . تابع دلتا در یک منیفولد M با مرکز نقطه x 0 ∈ M به صورت توزیع زیر تعریف می شود:

$\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})$

( 3 )

برای همه توابع با ارزش واقعی صاف و فشرده φ در M . [32] یک مورد خاص رایج این ساختار آن است که در آن M یک مجموعه باز در فضای اقلیدسی R n است.

در یک فضای فشرده محلی هاوسدورف X ، اندازه دلتای دیراک متمرکز در نقطه x ، اندازه گیری رادون مرتبط با انتگرال دانیل ( 3 ) در توابع پیوسته فشرده پشتیبانی شده φ است. [33] در این سطح از کلیت، حساب دیفرانسیل و انتگرال دیگر ممکن نیست، با این حال انواع تکنیک های تجزیه و تحلیل انتزاعی در دسترس است. به عنوان مثال، نقشه برداری $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$ تعبیه مداوم X در فضای اندازه گیری های محدود رادون روی X است که مجهز به توپولوژی مبهم آن است . علاوه بر این، بدنه محدب تصویر X در زیر این تعبیه در فضای اندازه گیری احتمال روی X متراکم است . [34]

+ نوشته شده در جمعه بیست و سوم اردیبهشت ۱۴۰۱ ساعت 0:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-تابع دلتای دیراک

انگیزه و بررسی اجمالی [ ویرایش ]

نمودار دلتای دیراک معمولاً به شکلی است که از کل محور x و محور y مثبت پیروی می کند . [7] : 174 دلتای دیراک برای مدل‌سازی تابع سنبله باریک بلند (یک ضربه ) و سایر انتزاعات مشابه مانند بار نقطه‌ای ، جرم نقطه یا نقطه الکترونی استفاده می‌شود . به عنوان مثال، برای محاسبه دینامیک ضربه زدن به توپ بیلیارد ، می توان نیروی ضربه توسط دلتای دیراک را تقریب زد . با انجام این کار، نه تنها معادلات را ساده می کنید، بلکه می توانید حرکت را نیز محاسبه کنیداز توپ تنها با در نظر گرفتن کل ضربه برخورد بدون مدل دقیق تمام انتقال انرژی الاستیک در سطوح زیراتمی (مثلا).

به طور خاص، فرض کنید که یک توپ بیلیارد در حال استراحت است. در زمان $t=0$ توپ دیگری به آن اصابت می کند و آن را با حرکت حرکت می دهد $پ$ ، که در ${\text{kg ms}}^{-1}$ . مبادله تکانه در واقع آنی نیست و توسط فرآیندهای الاستیک در سطح مولکولی و زیر اتمی انجام می شود، اما برای اهداف عملی، راحت است که انتقال انرژی را به طور موثر آنی در نظر بگیریم. بنابراین نیرو است $P\,\delta (t)$ . (واحدهای $\delta (t)$ هستند $\mathrm {s} ^{-1}$ .)

برای مدل‌سازی دقیق‌تر این وضعیت، فرض کنید که نیرو به طور یکنواخت در یک بازه زمانی کوچک توزیع شده است. $\Delta t=[0,T]$ . به این معنا که،

$F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{وگرنه}}.\end{موارد}}$

سپس تکانه در هر زمان t با ادغام پیدا می شود:

$p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,\mathrm {d} \tau ={\begin{cases}P&t>T\\P \,t/\Delta t&0<t\leq T\\0&{\text{در غیر این صورت.}}\end{موارد}}$

حال، وضعیت مدل انتقال لحظه ای تکانه مستلزم در نظر گرفتن حد است $\Delta t\to 0$ ، دادن

$p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t\leq 0.\end{cases}}$

در اینجا توابع $F_{\Delta t}$ به عنوان تقریب های مفیدی برای ایده انتقال لحظه ای تکانه در نظر گرفته می شوند.

تابع دلتا به ما اجازه می دهد تا حد ایده آلی از این تقریب ها را بسازیم. متاسفانه محدودیت واقعی توابع (به معنای همگرایی نقطه ای ) ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}}$ در همه جا صفر است به جز یک نقطه، که در آن بی نهایت است. برای درک درست دلتای دیراک، در عوض باید اصرار داشته باشیم که این ویژگی

$\int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,\mathrm {d} t=P,$

که برای همه صدق می کند $\Delta t>0$ ، باید همچنان در حد باقی بماند. بنابراین، در معادله ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$ ، قابل درک است که حد همیشه خارج از انتگرال گرفته می شود .

در ریاضیات کاربردی، همانطور که در اینجا انجام دادیم، تابع دلتا اغلب به عنوان نوعی حد (حد ضعیف ) از یک دنباله از توابع دستکاری می شود، که هر یک از اعضای آن یک سنبله بلند در مبدا دارند: برای مثال، دنباله ای از توزیع‌های گاوسی در مبدأ با واریانس متمایل به صفر متمرکز شده‌اند.

دلتای دیراک واقعاً یک تابع نیست، حداقل یک تابع معمولی با دامنه و محدوده در اعداد واقعی نیست . برای مثال، اشیاء f ( x ) = δ ( x ) و g ( x ) = 0 در همه جا مساوی هستند به جز x = 0 اما دارای انتگرال های متفاوت هستند. بر اساس تئوری انتگرال گیری لبگ ، اگر f و g توابعی هستند به گونه ای که f = g تقریباً در همه جا ، آنگاه f انتگرال پذیر است اگر و فقط اگر gانتگرال پذیر است و انتگرال های f و g یکسان هستند. یک رویکرد سختگیرانه برای در نظر گرفتن تابع دلتای دیراک به عنوان یک شیء ریاضی به تنهایی مستلزم نظریه اندازه گیری یا نظریه توزیع است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم اردیبهشت ۱۴۰۱ ساعت 23:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-سری تیلور

سری تیلور

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

اپراتور شیفت

با افزایش درجه چند جمله ای تیلور، به تابع صحیح نزدیک می شود. این تصویر sin x و تقریب های تیلور آن را با چند جمله ای های درجه 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 و 13 در x = 0 نشان می دهد.

بخشی از مجموعه مقالات در مورد

حساب دیفرانسیل و انتگرال

نشان دادن

دیفرانسیل

نشان دادن

انتگرال

پنهان شدن

سلسله

تست های همگرایی
هندسی ( حساب هندسی ) هارمونیک متناوب قدرت دو جمله ای تیلور
حد جمع (آزمون ترم) نسبت ریشه انتگرال مقایسه مستقیم مقایسه محدود سری متناوب تراکم کوشی دیریکله هابیل

نشان دادن

بردار

نشان دادن

چند متغیره

نشان دادن

تخصصی

نشان دادن

متفرقه

در ریاضیات ، سری تیلور یک تابع ، مجموع نامتناهی از عبارت‌هایی است که برحسب مشتقات تابع در یک نقطه بیان می‌شوند. برای اکثر توابع رایج، تابع و مجموع سری تیلور آن در نزدیکی این نقطه برابر است. سری های تیلور به نام بروک تیلور نامگذاری شده اند که آنها را در سال 1715 معرفی کرد. اگر 0 نقطه ای باشد که مشتقات در نظر گرفته می شوند، سری های تیلور به نام کالین مکلارین که از این مورد خاص از سری تیلور استفاده گسترده ای کرده است ، سری مکلارین نیز نامیده می شود. در اواسط 1700.

مجموع جزئی که توسط اولین جمله های n + 1 یک سری تیلور تشکیل می شود، چند جمله ای درجه n است که n امین چند جمله ای تیلور تابع نامیده می شود. چند جمله ای های تیلور تقریبی از یک تابع هستند که با افزایش n به طور کلی بهتر می شوند . قضیه تیلور برآوردهای کمی را در مورد خطای ایجاد شده با استفاده از چنین تقریبی ارائه می دهد. اگر سری تیلور یک تابع همگرا باشد ، مجموع آن حد دنباله نامتناهی است .از چند جمله ای های تیلور یک تابع ممکن است با مجموع سری تیلور خود متفاوت باشد، حتی اگر سری تیلور آن همگرا باشد. یک تابع در نقطه x تحلیلی است اگر برابر مجموع سری تیلور آن در یک بازه باز (یا دیسک باز در صفحه مختلط ) حاوی x باشد. این بدان معناست که تابع در هر نقطه از بازه (یا دیسک) تحلیلی است.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

سری تیلور یک تابع واقعی یا با مقادیر مختلط f ( x ) که در یک عدد واقعی یا مختلط a بی نهایت قابل تفکیک است سری توانی است .

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2} +{\frac {f'''(a)}{3!}}(xa)^{3}+\cdots ,$

کجا n ! فاکتوریل n را نشان می دهد . در نماد سیگما فشرده تر ، این می تواند به صورت نوشته شود

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}،$

که در آن f ( n ) ( a ) نشان دهنده n امین مشتق f ارزیابی شده در نقطه a است. (مشتق مرتبه صفر f خود f و ( x - a ) 0 و 0! هر دو به 1 تعریف می شوند . )

زمانی که a = 0 باشد، سری نیز سری مکلارین نامیده می شود . [1]

+ نوشته شده در پنجشنبه یکم اردیبهشت ۱۴۰۱ ساعت 12:56 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه استوکس

قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $\سیگما$ یک سطح صاف گرا در R 3 با مرز $\ جزئی \سیگما$ . اگر یک فیلد برداری $\mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ تعریف شده است و دارای مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته در یک ناحیه حاوی $\سیگما$ ، سپس

$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$ به طور واضح تر، برابری این را می گوید

${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z }}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\ جزئی y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}P\,\mathrm { d} x+Q\,\mathrm {d} y+R\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{تراز شده}}$

چالش اصلی در بیان دقیق قضیه استوکس در تعریف مفهوم مرز است. برای مثال، سطوحی مانند دانه‌های برف کوخ ، به‌خوبی شناخته شده‌اند که مرز ادغام‌پذیر ریمان را نشان نمی‌دهند، و مفهوم اندازه‌گیری سطح در نظریه Lebesgue را نمی‌توان برای سطح غیر لیپسشیتز تعریف کرد . یکی از تکنیک‌های (پیشرفته) این است که به یک فرمول ضعیف و سپس به کارگیری ماشین تئوری اندازه‌گیری هندسی بپردازیم . برای آن رویکرد فرمول coarea را ببینید . در این مقاله، ما به جای یک تعریف ابتدایی تر، بر اساس این واقعیت است که یک مرز را می توان برای زیر مجموعه های کامل بعدی از تشخیص استفاده R 2 .

فرض کنید γ : [ a , b ] → R 2 یک منحنی صفحه جردن صاف تکه ای باشد . منحنی جردن قضیه نشان می دهد که γ تقسیم R 2 به دو جزء، یک جمع و جور و دیگر این است که غیر فشرده. اجازه دهید D نشان دهنده قسمت فشرده باشد. سپس D با γ محدود می شود . در حال حاضر کافی است برای انتقال این مفهوم مرز در امتداد نقشه مداوم به سطح ما در R 3 . گفت: اما ما در حال حاضر چنین نقشه یک دارند پارامتری از Σ .

فرض کنید ψ : D → R 3 صاف است، با Σ = ψ ( D ) . اگر Γ است منحنی فضای تعریف شده توسط Γ ( تی ) = ψ ( γ ( تی )) ، [تبصره 1] پس از آن ما پاسخ Γ مرز Σ ، نوشته شده ∂Σ .

با نماد بالا، اگر F یک میدان برداری صاف در R 3 باشد ، [7] [8]

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} .$

+ نوشته شده در دوشنبه سیزدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 15:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نمونه های کار شده قضیه واگرایی

مثال 1

برای تأیید نوع مسطح قضیه واگرایی برای یک منطقه $آر$ :

$R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$

و فیلد برداری:

$\mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j}.$

مرز $آر$ دایره واحد است، $سی$ ، که می توان آن را به صورت پارامتری نشان داد:

$x=\cos(s)،\quad y=\sin(s)$

به طوری که $0\leq s\leq 2\pi$ جایی که $س$ واحد طول قوس از نقطه است $s=0$ به نقطه $پ$ بر $سی$ . سپس یک معادله برداری از $سی$ است

$C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j}.$

در یک نقطه $پ$ بر $سی$ :

$P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf { j}$

از این رو،

${\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2 \sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j})\, \mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\ mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{تراز شده }}$

زیرا $M=2y$ ، می توانیم ارزیابی کنیم ${\frac {\partial M}{\partial x}}=0$ ، و به دلیل

$N=5x$ ، ${\frac {\partial N}{\partial y}}=0$ .

بدین ترتیب

$\iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M} {\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.$

مثال 2 [ ویرایش ]

فرض کنید می‌خواستیم شار فیلد برداری زیر را که توسط تعریف شده است، ارزیابی کنیم $\mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}$ محدود به نابرابری های زیر:

$\left\{0\leq x\leq 3\right\}\left\{-2\leq y\leq 2\right\}\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\ }$

با قضیه واگرایی،

$\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.$

اکنون باید واگرایی را تعیین کنیم ${\textbf {F}}$ . اگر $\mathbf {F}$ یک میدان برداری سه بعدی است، سپس واگرایی از ${\textbf {F}}$ از رابطه زیر بدست می آید ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y }}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$ .

بنابراین، ما می توانیم انتگرال شار زیر را تنظیم کنیم

$من =$ $\اینت$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$

به شرح زیر است:

${\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left( {\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d } V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V\end{تراز شده}}$

اکنون که انتگرال را تنظیم کرده ایم، می توانیم آن را ارزیابی کنیم.

${\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\ pi +3)\end{تراز شده}}$

کلیات [ ویرایش ]

ابعاد چندگانه [ ویرایش ]

می توان از قضیه کلی استوکس برای معادل سازی انتگرال حجمی n بعدی واگرایی یک میدان برداری F بر روی یک ناحیه U با انتگرال سطح بعدی ( n -1) F بر روی مرز U استفاده کرد :

} $\underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \ Oint _{\ U جزئی}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S$

این معادله به عنوان قضیه واگرایی نیز شناخته می شود.

وقتی n = 2 باشد ، این معادل قضیه گرین است .

هنگامی که n = 1 , به ادغام توسط قطعات کاهش می یابد .

فیلدهای تانسور [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: میدان تانسور

نوشتن قضیه با نماد انیشتین :

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S$

suggestively، به جای میدان برداری F با اختلاف طبقه N میدان تانسوری T ، این می تواند به کلی: [15]

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}} }\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.$

که در هر طرف، انقباض تانسور حداقل برای یک شاخص رخ می دهد. این شکل از قضیه هنوز به صورت 3 بعدی است، هر شاخص مقادیر 1، 2 و 3 را می گیرد. می توان آن را بیشتر به ابعاد بالاتر (یا پایین تر) تعمیم داد (به عنوان مثال به فضازمان 4 بعدی در نسبیت عام [16] ).

همچنین ببینید [ ویرایش ]

قضیه کلوین-استوکس

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

+ نوشته شده در دوشنبه سیزدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 14:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

میدان های برداری در مختصات استوانه ای و کروی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مختصات کروی ( R ، θ ، φ ) به طور معمول در استفاده فیزیک : فاصله شعاعی R ، زاویه قطبی θ ( تتا )، و زاویه سمتی φ ( فی ). نماد ρ ( rho ) اغلب به جای r استفاده می شود .

توجه: این صفحه از نمادهای فیزیک رایج برای مختصات کروی استفاده می کند که در آن $تتا$ زاویه بین محور z و بردار شعاع است که مبدا را به نقطه مورد نظر متصل می کند، در حالی که $\phi$ زاویه بین طرح بردار شعاع بر روی صفحه xy و محور x است. تعاریف متعدد دیگری نیز در حال استفاده است، بنابراین باید در مقایسه منابع مختلف دقت کرد. [1]

فهرست

سیستم مختصات استوانه ای [ ویرایش ]

فیلدهای برداری [ ویرایش ]

بردارها در مختصات استوانه ای با ( ρ , φ , z ) تعریف می شوند که در آن

ρ طول بردار پیش بینی شده بر روی صفحه xy است ،
φ زاویه بین طرح بردار بر روی صفحه xy (یعنی ρ ) و محور x مثبت (0 ≤ φ < 2 π ) است.
z مختصات z منظم است .

( ρ , φ , z ) در مختصات دکارتی توسط:

${\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\ \operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,$

یا برعکس توسط:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix }}.$

هرمیدان برداری را می توان بر حسب بردارهای واحد به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$

بردارهای واحد استوانه ای با بردارهای واحد دکارتی به صورت زیر مرتبط هستند:

${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

نکته: ماتریس یک ماتریس متعامد است، یعنی معکوس آن به سادگی جابجایی آن است .

مشتق زمانی یک میدان برداری [ ویرایش ]

برای اینکه بفهمیم میدان برداری A در زمان چگونه تغییر می کند، باید مشتقات زمانی را محاسبه کرد. برای این منظور از نماد نیوتن برای مشتق زمان ( ${\dot {{\mathbf {A}}}}$ ). در مختصات دکارتی این به سادگی است:

${\dot {{\mathbf {A}}}}={\dot {A}}_{x}{\hat {{\mathbf {x}}}}+{\dot {A}}_{y} {\hat {{\mathbf {y}}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {{\mathbf {z}}}}$

با این حال، در مختصات استوانه ای این می شود:

${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\ کلاه {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\ boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}} }$

مشتقات زمانی بردارهای واحد مورد نیاز است. آنها توسط:

${\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{ \dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf { z} }}}&=0\end{تراز شده}}$

بنابراین مشتق زمانی ساده می شود:

${\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi } }\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}$

مشتق بار دوم از یک میدان برداری [ ویرایش ]

مشتق بار دوم در فیزیک مورد توجه است ، زیرا در معادلات حرکت برای سیستم های مکانیکی کلاسیک یافت می شود. دومین مشتق زمانی یک میدان برداری در مختصات استوانه ای به صورت زیر بدست می آید:

$\mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol { \hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z }$

برای درک این عبارت، A جایگزین P می شود ، جایی که P بردار است ( ρ ، θ ، z ).

این به این معنی است که $\mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}}$ .

پس از تعویض، نتیجه داده می شود:

${\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2 }\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right )+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}$

در مکانیک به اصطلاحات این عبارت می گویند:

${\begin{aligned}{\ddot {\rho }}\mathbf {\hat {\rho }} &={\mbox{central outward acceleration}}\\-\rho {\dot {\phi } }^{2}\mathbf {\hat {\rho }} &={\mbox{شتاب مرکزی}}\\\rho {\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}& ={\mbox{شتاب زاویه‌ای}}\\2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{اثر کوریولیس}} \\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\mbox{z-acceleration}}\end{تراز شده}}$

همچنین ببینید: نیروی مرکزگرا ، شتاب زاویه ای ، و اثر کوریولیس

سیستم مختصات کروی [ ویرایش ]

فیلدهای برداری [ ویرایش ]

بردارها در مختصات کروی با ( r ، θ ، φ )، که در آن تعریف می شوند

r طول بردار است،
θ زاویه بین محور Z مثبت و بردار مورد نظر (0 ≤ θ ≤ π ) است، و
φ زاویه بین طرح بردار بر روی صفحه xy و محور X مثبت است (0≤ φ < 2 π ).

( r , θ , φ ) در مختصات دکارتی توسط:

${\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{ 2}}}\\\arccos(z/r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi،$

یا برعکس توسط:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \ \r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

هرمیدان برداری را می توان بر حسب بردارهای واحد به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi } }}$

بردارهای واحد کروی به وسیله بردارهای واحد دکارتی مرتبط هستند:

${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end {bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat { y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

نکته: ماتریس یک ماتریس متعامد است، یعنی معکوس آن به سادگی ترانهاده آن است .

بنابراین، بردارهای واحد دکارتی با بردارهای واحد کروی مرتبط هستند:

${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}$

مشتق زمانی یک میدان برداری [ ویرایش ]

برای اینکه بفهمیم میدان برداری A در زمان چگونه تغییر می کند، باید مشتقات زمانی را محاسبه کرد. در مختصات دکارتی این به سادگی است:

${\mathbf {{\dot A}}}={\dot A}_{x}{\mathbf {{\hat x}}}+{\dot A}_{y}{\mathbf {{\hat y }}}+{\dot A}_{z}{\mathbf {{\hat z}}}$

با این حال، در مختصات کروی این می شود:

$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat { r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }} }}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}$

مشتقات زمانی بردارهای واحد مورد نیاز است. آنها توسط:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }} {\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat { \theta }}}\end{تراز شده}}$

بنابراین مشتق زمانی می شود:

$\mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left ({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right )$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_fields_in_cylindrical_and_spherical_coordinates

+ نوشته شده در پنجشنبه نهم دی ۱۴۰۰ ساعت 7:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

خواص تبدیل لاپلاس

Calculating laplace transforms | StudyPug

+ نوشته شده در جمعه یازدهم تیر ۱۴۰۰ ساعت 16:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله انتگرال

در ریاضیات ، معادلات انتگرال معادلاتی هستند که در آنها یک تابع ناشناخته تحت علامت انتگرال ظاهر می شود .

بین معادلات دیفرانسیل و انتگرال ارتباط تنگاتنگی وجود دارد و برخی از مشکلات ممکن است به هر صورت صورت گیرد. به عنوان مثال ، عملکرد گرین ، نظریه فردهلم و معادلات ماکسول را ببینید .

فهرست

نمای کلی [ ویرایش ]

ابتدایی ترین نوع معادله انتگرال ، معادله فردهلم از نوع اول نامیده می شود ،

$f (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt.$

علامت گذاری به شرح Arfken است . در اینجا φ یک تابع ناشناخته است ، f یک تابع شناخته شده است و K یک تابع شناخته شده دیگر از دو متغیر است که غالباً تابع هسته نامیده می شود . توجه داشته باشید که محدودیت های ادغام ثابت هستند: این همان چیزی است که یک معادله فردهلم را مشخص می کند.

اگر تابع ناشناخته هم در داخل و هم در خارج از انتگرال رخ دهد ، معادله به عنوان یک معادله فردهلم از نوع دوم شناخته می شود ،

$\ varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt.$

پارامتر λ یک عامل ناشناخته است ، که همان نقش مقدار ویژه را در جبر خطی بازی می کند .

اگر یک حد از ادغام متغیر باشد ، به این معادله معادله Volterra گفته می شود . موارد زیر را به ترتیب معادلات ولترا از نوع اول و دوم می نامند ،

$f (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt$

$\ varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt.$

در همه موارد بالا ، اگر تابع شناخته شده f به طور یکسان صفر باشد ، معادله را یک معادله انتگرال همگن می نامند . اگر f غیر صفر باشد ، آن را یک معادله انتگرال ناهمگن می نامند .

راه حل عددی [ ویرایش ]

شایان ذکر است که معادلات انتگرال اغلب راه حل تحلیلی ندارند و باید به صورت عددی حل شوند. نمونه ای از این ارزیابی معادله انتگرال میدان الکتریکی (EFIE) یا معادله انتگرال میدان مغناطیسی (MFIE) بر روی یک شی arbit خودسرانه در یک مسئله پراکندگی الکترومغناطیسی است.

یک روش برای حل عددی مستلزم گسسته سازی متغیرها و جایگزینی انتگرال با یک قانون کوادره است

$\ sum _ {{j = 1}} ^ {n} w_ {j} K \ چپ (s_ {i} ، t_ {j} \ راست) u (t_ {j}) = f (s_ {i}) ، \ qquad i = 0،1 ، \ cdots ، n.$

سپس یک سیستم با n معادله و n متغیر داریم. با حل آن مقدار n متغیر را بدست می آوریم

$تو (t_ {0}) ، تو (t_ {1}) ، \ cdots ، تو (t_ {n}).$

طبقه بندی [ ویرایش ]

معادلات انتگرال بر اساس سه تقسیم متفاوت تقسیم می شوند و هشت نوع مختلف ایجاد می کنند:

محدودیت های ادغام

هر دو ثابت: معادله فردهلم
یک متغیر: معادله ولترا

قرار دادن عملکرد ناشناخته

فقط داخل انتگرال: نوع اول
هم در داخل و هم در خارج انتگرال: نوع دوم

ماهیت عملکرد شناخته شده f

به طور یکسان صفر: همگن
به طور یکسان صفر نیست: ناهمگن است

معادلات انتگرال در بسیاری از کاربردها مهم هستند. مشکلاتی که در آنها معادلات انتگرال وجود دارد شامل انتقال تابشی و نوسان یک رشته ، غشا، یا محور است. مشکلات نوسان نیز ممکن است به عنوان معادلات دیفرانسیل حل شود .

هر دو معادله فردهلم و ولترا به دلیل رفتار خطی φ ( x ) تحت یکپارچه ، معادلات انتگرالی خطی هستند . یک معادله انتگرال غیرخطی Volterra شکل کلی دارد:

$\ varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x، t) \ ، F (x ، t ، \ varphi (t)) \ ، dt ،$

که در آن F یک تابع شناخته شده است.

معادلات انتگرال وینر – هاپ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: روش Wiener – Hopf

$y (t) = \ lambda x (t) + \ int _ {0} ^ {{\ infty}} k (ts) x (s) ds ، \ qquad 0 \ leq t <\ infty.$

در اصل ، چنین معادلاتی در ارتباط با مشکلات انتقال تابشی مورد مطالعه قرار گرفت و اخیراً ، آنها به حل معادلات انتگرال مرزی برای مسایل مسطح مربوط می شوند که در آن مرز فقط به صورت جزئی صاف است.

راه حل سری قدرت برای معادلات انتگرال [ ویرایش ]

در بسیاری از موارد، اگر هسته معادله انتگرال به فرم K ( XT ) و تبدیل ملین از K ( تی ) وجود دارد، ما می توانیم راه حل معادله انتگرال پیدا

$g (s) = s \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} dtK (st) f (t)$

در قالب یک سری قدرت

${\ displaystyle f (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {M (n + 1)}} t ^ {n}}$

جایی که

$g (s) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a _ {{n}} s ^ {{- n}}، \ qquad M (n + 1) = \ int _ { {0}} ^ {{\ infty}} dtK (t) t ^ {{n}}$

تبدیل Z از تابع g ( ها ) هستند و M ( n + 1) تبدیل ملین هسته است.

همچنین نگاه کنید به: سری Liouville – Neumann

معادلات انتگرال به عنوان تعمیم معادلات ارزش ویژه [ ویرایش ]

برخی معادلات انتگرال خطی همگن را می توان به عنوان حد پیوستار معادلات ارزش ویژه در نظر گرفت . با استفاده از نماد گذاری شاخص ، می توان معادله ارزش ویژه را به صورت زیر نوشت

$\ sum _ {j} M _ {{i، j}} v_ {j} = \ lambda v_ {i}$

که در آن M = [ M i، j ] یک ماتریس است ، v یکی از بردارهای ویژه آن است و λ مقدار ویژه مربوط به آن است.

گرفتن حد پیوستار ، یعنی جایگزینی شاخص های گسسته i و j با متغیرهای پیوسته x و y ، بازدهی دارد

$\ int K (x ، y) \ varphi (y) {\ mathrm {d}} y = \ lambda \ varphi (x) ،$

جایی که مجموع بیش از j با یک انتگرال بیش از y جایگزین شده و ماتریس M و بردار v با هسته K ( x ، y ) و عملکرد ویژه φ ( y ) جایگزین شده اند . (محدودیت های انتگرال ، به طور مشابه با محدودیت های جمع بیش از j ثابت است .) این یک معادله همگن خطی فردهولم از نوع دوم را می دهد.

به طور کلی ، K ( x ، y ) می تواند یک توزیع باشد ، نه یک عملکرد به معنای دقیق آن. اگر توزیع K فقط در نقطه x = y پشتیبانی داشته باشد ، معادله انتگرال به یک معادله عملکرد ویژه دیفرانسیل کاهش می یابد .

به طور کلی ، معادله انتگرال ولترا و فردهلم می تواند از یک معادله دیفرانسیل منفرد ناشی شود ، بسته به نوع شرایطی که در مرز حوزه حل آن اعمال می شود.

اطلاعات بیشتر: نظریه فردهلم

برنامه ها [ ویرایش ]

علم اکچوئری (تئوری خراب [1] )
الکترومغناطیسی محاسباتی
- روش عنصر مرزی
مشکلات معکوس
- معادله مارچنکو ( تبدیل پراکندگی معکوس )
قیمت گذاری گزینه ها تحت جهش انتشار [2]
انتقال تابشی
خاصیت الاستیسیته

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_equation

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و دوم دی ۱۳۹۹ ساعت 17:30 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه روش چند مرحله ای خطی

تحلیل [ ویرایش ]

مفاهیم اصلی در تجزیه و تحلیل روشهای چند مرحله ای خطی و در واقع هر روش عددی برای معادلات دیفرانسیل ، همگرایی ، نظم و ثبات است .

سازگاری و نظم [ ویرایش ]

اولین سوال این است که آیا روش سازگار است: آیا معادله تفاوت است

$\ start {align} & y_ {n + s} + a_ {s-1} y_ {n + s-1} + a_ {s-2} y_ {n + s-2} + \ cdots + a_0 y_n \\ & \ qquad {} = h \ bigl (b_s f (t_ {n + s} ، y_ {n + s}) + b_ {s-1} f (t_ {n + s-1} ، y_ {n + s) -1}) + \ cdots + b_0 f (t_n ، y_n) \ bigr) ، \ end {align}$

یک تقریب خوب از معادله دیفرانسیل $y '= f (t ، y)$ ؟ بطور دقیقتر، یک روش چند مرحله ای است سازگار اگر خطای برشی محلی می رود به صفر سریعتر از اندازه گام ساعت به عنوان ساعت به صفر میل، که در آن خطای برشی محلی است تعریف می شود تفاوت بین نتیجه $y_ {n + s}$ از این روش ، با فرض اینکه تمام مقادیر قبلی $y_ {n + s-1} ، \ ldot ، y_n$ دقیق هستند ، و حل دقیق معادله در زمان $t_ {n + s}$ . یک محاسبه با استفاده از سری تیلور نشان می دهد که یک روش چند مرحله ای خطی در صورت سازگار بودن و فقط در صورت وجود است

$\ sum_ {k = 0} ^ {s-1} a_k = -1 \ quad \ text {and} \ quad \ sum_ {k = 0} ^ s b_k = s + \ sum_ {k = 0} ^ {s- 1} ka_k.$

تمام روش های ذکر شده در بالا سازگار هستند ( Hairer، Nørsett & Wanner 1993 ، §III.2).

اگر روش سازگار باشد ، س questionال بعدی این است که معادله اختلاف تعریف کننده روش عددی چقدر با معادله دیفرانسیل نزدیک است. اگر خطای محلی نظم داشته باشد گفته می شود که یک روش چند مرحله ای دارای نظم p است $O (h ^ {p + 1})$ همانطور که h به صفر می رود. این معادل شرط زیر در ضرایب روشها است:

$\ sum _ {{k = 0}} ^ {{s-1}} a_ {k} = - 1 \ quad {\ text {and}} \ quad q \ sum _ {{k = 0}} ^ {s } k ^ {{q-1}} b_ {k} = s ^ {q} + \ sum _ {{k = 0}} ^ {{s-1}} k ^ {q} a_ {k} {\ متن {for}} q = 1 ، \ ldots ، p.$

روش s -step Adams – Bashforth دارای نظم s است ، در حالی که روش s -step Adams – Moulton دارای نظم است

$s + 1$ ( Hairer ، Nørsett & Wanner 1993 ، §III.2).

این شرایط غالباً با استفاده از چند جمله ای مشخصه صورت می گیرد

$\ rho (z) = z ^ s + \ sum_ {k = 0} ^ {s-1} a_k z ^ k \ quad \ text {و} \ quad \ sigma (z) = \ sum_ {k = 0} ^ s b_k z ^ k.$

از نظر این چند جمله ای ها ، شرط فوق برای متد نظم p می شود

$\ rho (\ mathrm {e} ^ h) - h \ sigma (\ mathrm {e} ^ h) = O (h ^ {p + 1}) \ quad \ text {as} h \ to 0.$

به طور خاص ، این روش اگر حداقل یک سفارش داشته باشد سازگار است ، که اگر در این صورت باشد $\ rho (1) = 0$ و

$\ rho '(1) = \ sigma (1)$ .

پایداری و همگرایی [ ویرایش ]

حل عددی یک روش یک مرحله ای به شرایط اولیه بستگی دارد $y_0$ ، اما راه حل عددی بازدید کنندگان روش گام در همه بستگی ها ارزش شروع، $y_0 ، y_1 ، \ ldot ، y_ {s-1}$ . بنابراین جالب است که آیا محلول عددی با توجه به اغتشاشات در مقادیر شروع پایدار است. یک روش چند مرحله ای خطی برای یک معادله دیفرانسیل خاص در یک بازه زمانی معین صفر است ، اگر اغتشاش در مقادیر شروع اندازه ε باعث شود که مقدار عددی K در آن فاصله زمانی بیش از K ε تغییر نکند برای مقادیر K که به اندازه گام h بستگی ندارد . این "ثبات صفر" نامیده می شود زیرا برای بررسی شرایط معادله دیفرانسیل کافی است $y '= 0$ ( Süli & Mayers 2003 ، ص 332).

اگر ریشه های چند جمله ای مشخصه ρ همه دارای مدول کمتر از یا برابر با 1 باشند و ریشه های مدول 1 از ضرب 1 باشند ، می گوییم شرایط ریشه برآورده شده است. یک روش چند مرحله ای خطی اگر و فقط در صورت برآورده شدن شرایط ریشه پایدار باشد ( Süli & Mayers 2003 ، p. 335).

حال فرض کنید که یک روش چند مرحله ای خطی ثابت برای معادله دیفرانسیل کاملاً صاف و مقادیر شروع اعمال شود

$y_1 ، \ ldot ، y_ {s-1}$ همه به مقدار اولیه جمع می شوند $y_0$ مانند $ساعت \ تا 0$ . سپس ، حل عددی به همان اندازه حل می شود که دقیقاً حل می شود $ساعت \ تا 0$ اگر و فقط اگر روش صفر پایدار باشد. این نتیجه به عنوان قضیه معادل سازی دهلکوئیست شناخته می شود که به نام Germund Dahlquist نامگذاری شده است . این قضیه از نظر روحیه به قضیه معادل Lax برای روشهای اختلاف محدود شبیه است . بعلاوه ، اگر روش از دستور p برخوردار باشد ، خطای سراسری (تفاوت بین حل عددی و محلول دقیق در یک زمان ثابت) $O (h ^ p)$ ( Süli & Mayers 2003 ، ص 340).

علاوه بر این، اگر به روش همگرا است، روش گفته می شود به شدت پایدار اگر

$z = 1$ تنها ریشه مدول 1 است. اگر همگرا باشد و همه ریشه های مدول 1 تکرار نشوند ، اما بیش از یک ریشه وجود دارد ، گفته می شود که نسبتاً پایدار است . توجه داشته باشید که 1 باید ریشه ای برای همگرایی روش باشد. بنابراین روشهای همگرا همیشه یکی از این دو روش هستند.

برای ارزیابی عملکرد روشهای چند مرحله ای خطی در معادلات سخت ، معادله آزمون خطی y ' = λ y را در نظر بگیرید. یک روش چند مرحله ای که با این معادله دیفرانسیل با اندازه گام h اعمال می شود ، یک رابطه بازگشتی خطی با چند جمله ای مشخص را ارائه می دهد

$\ pi (z؛ h \ lambda) = (1 - h \ lambda \ beta_s) z ^ s + \ sum_ {k = 0} ^ {s-1} (\ alpha_k - h \ lambda \ beta_k) z ^ k = \ rho (z) - h \ lambda \ sigma (z).$

به این چند جمله ای چند جمله ای پایداری روش چند مرحله ای گفته می شود. اگر تمام ریشه های آن مدول کمتر از یک داشته باشد ، حل عددی روش چند مرحله ای به صفر می رسد و گفته می شود که روش چند مرحله ای برای آن مقدار h λ کاملاً پایدار است . گفته می شود این روش در صورت پایدار بودن A برای تمام h λ با قسمت واقعی منفی پایدار است . منطقه ثبات مطلق است که مجموعه ای از تمام ساعت λ که روش چند مرحله ای کاملا پایدار است ( Süli و مایرز 2003 ، صص 347 و 348). برای جزئیات بیشتر ، به بخش معادلات سخت و روش های چند مرحله ای مراجعه کنید .

مثال [ ویرایش ]

روش سه مرحله ای آدامز-باشفورث را در نظر بگیرید

${\ displaystyle y_ {n + 3} = y_ {n + 2} + h \ چپ ({23 \ بالای 12} f (t_ {n + 2} ، y_ {n + 2}) - {4 \ بیش از 3} f (t_ {n + 1} ، y_ {n + 1}) + {5 \ بیش از 12} f (t_ {n} ، y_ {n}) \ درست).}$

بنابراین یک چند جمله ای مشخصه

$\ rho (z) = z ^ 3-z ^ 2 = z ^ 2 (z-1) \ ،$

که ریشه دارد $z = 0 ، 1$ ، و شرایط فوق راضی است. مانند $z = 1$ تنها ریشه مدول 1 است ، این روش به شدت پایدار است.

چند جمله ای مشخصه دیگر است

${\ displaystyle \ sigma (z) = {\ frac {23} {12}} z ^ {2} - {\ frac {4} {3}} z + {\ frac {5} {12}}}$

موانع اول و دوم دالکویست [ ویرایش ]

این دو نتیجه توسط Germund Dahlquist به اثبات رسید و نشان دهنده یک محدوده مهم برای ترتیب همگرایی و A-پایداری یک روش چند مرحله ای خطی است. اولین مانع دالکویست در دالکویست (1956) و سد دوم در دالکویست (1963) اثبات شد .

اولین مانع دالکویست [ ویرایش ]

یک روش چند مرحله ای q- گام با ثبات صفر و خطی نمی تواند به نظم همگرایی بیشتر از q + 1 برسد اگر q فرد باشد و بزرگتر از q + 2 اگر q q زوج باشد . اگر روش صریح نیز باشد ، نمی تواند به نظمی بیشتر از q دست یابد ( Hairer، Nørsett & Wanner 1993 ، Thm III.3.5).

سد دوم دالکویست [ ویرایش ]

هیچ روش چند مرحله ای A- پایدار و خطی مشخص وجود ندارد . موارد ضمنی حداکثر ترتیب همگرایی دارند. 2. قانون ذوزنقه ای دارای کمترین ثابت خطا در میان روشهای چند مرحله ای خطی A با ثبات مرتبه 2 است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

افزایش انرژی دیجیتال

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method

+ نوشته شده در جمعه بیست و یکم شهریور ۱۳۹۹ ساعت 20:30 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه روش چند مرحله ای خطی

روشهای آدامز-مولتون [ ویرایش ]

روشهای آدامز-مولتون از نظر داشتن نیز مشابه روشهای آدامز-باشفورث هستند $a _ {{s-1}} = - 1$ و $a _ {{s-2}} = \ cdots = a_ {0} = 0$ . باز هم ضرایب b برای بدست آوردن بالاترین مرتبه ممکن انتخاب می شوند. با این حال ، روشهای آدامز-مولتون روشهای ضمنی است. با برداشتن محدودیتی که $b_s = 0$ ، یک بازدید کنندگان روش آدامز-مولتون -Step می توانید سفارش رسیدن $s + 1$ ، در حالی که متدهای s -step Adams – Bashforth فقط s را سفارش می دهد .

روشهای آدامز-مولتون با s = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 عبارتند از ( Hairer، N�rsett & Wanner 1993 ، �III.1؛ Quarteroni، Sacco & Saleri 2000 ):

${\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (t_ {n + 1} ، y_ {n + 1}) ،}$ این روش عقب مانده اولر است

${\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {1} {2}} ساعت \ چپ (f (t_ {n + 1} ، y_ {n + 1}) + f (t_ { n} ، y_ {n}) \ درست) ،}$ این قانون ذوزنقه ای است

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} y_ {n + 2} & = y_ {n + 1} + ساعت \ چپ ({\ frac {5} {12}} f (t_ {n + 2} ، y_ {n +2}) + {\ frac {2} {3}} f (t_ {n + 1}، y_ {n + 1}) - {\ frac {1} {12}} f (t_ {n}، y_ {n}) \ راست) ، \\ y_ {n + 3} & = y_ {n + 2} + h \ چپ ({\ frac {9} {24}} f (t_ {n + 3} ، y_ { n + 3}) + {\ frac {19} {24}} f (t_ {n + 2}، y_ {n + 2}) - {\ frac {5} {24}} f (t_ {n + 1 } ، y_ {n + 1}) + {\ frac {1} {24}} f (t_ {n}، y_ {n}) \ راست) ، \\ y_ {n + 4} & = y_ {n + 3} + h \ چپ ({\ frac {251} {720}} f (t_ {n + 4} ، y_ {n + 4}) + {\ frac {646} {720}} f (t_ {n + 3} ، y_ {n + 3}) - {\ frac {264} {720}} f (t_ {n + 2}، y_ {n + 2}) + {\ frac {106} {720}} f ( t_ {n + 1} ، y_ {n + 1}) - {\ frac {19} {720}} f (t_ {n} ، y_ {n}) \ راست). \ end {تراز شده}}}$

استنباط از روش آدامز-مولتون مشابه روش آدامز-باشفورث است. با این حال ، چند جمله ای تفسیری نه تنها از نقاط استفاده می کند

$t _ {{n-1}} ، \ نقطه ، t _ {{ns}}$ ، همانطور که در بالا ، بلکه $t_n$ . ضرایب توسط داده می شود

$b_ {sj} = \ frac {(- 1) ^ j} {j! (sj)!} \ int_0 ^ 1 \ prod_ {i = 0 \ atop i \ ne j} ^ {s} (u + i-1 ) \، du، \ qquad \ text {for} j = 0، \ ldots، s.$

روش های آدامز-مولتون فقط به دلیل جان کان آدامز است ، مانند روش های آدامز-باشفورث. نام فارست ری مولتون با این روشها همراه شد زیرا او فهمید که می توان آنها را همزمان با روشهای آدامز-باشفورث به عنوان یک جفت پیش بینی کننده-تصحیح کننده مورد استفاده قرار داد ( مولتون 1926 ). میلن (1926) نیز همین ایده را داشت. آدامز از روش نیوتن برای حل معادله ضمنی استفاده کرد ( Hairer، N�rsett & Wanner 1993 ، �III.1).

فرمولهای تمایز به عقب (BDF) [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول تمایز به عقب

روشهای BDF روشهای ضمنی با {\ displaystyle b_ {s-1} = \ cdots = b_ {0} = 0} $b_ {s-1} = \ cdots = b_0 = 0$ و ضرایب دیگر به گونه ای انتخاب شده اند که روش به ترتیب s (حداکثر ممکن) برسد. این روش ها به ویژه برای حل معادلات دیفرانسیل سخت استفاده می شود .

+ نوشته شده در جمعه بیست و یکم شهریور ۱۳۹۹ ساعت 20:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه روش چند مرحله ای خطی

خانواده های روش های چند مرحله ای [ ویرایش ]

از سه خانواده روش چند مرحله ای خطی معمولاً استفاده می شود: روشهای آدامز- باشفورث ، روشهای آدامز-مولتون و فرمولهای تمایز عقب (BDF).

روشهای آدامز-باشفورث [ ویرایش ]

روشهای آدامز-باشفورث روشهای روشنی هستند. ضرایب هستند $a _ {{s-1}} = - 1$ و $a _ {{s-2}} = \ cdots = a_ {0} = 0$ ، در حالی که $b_ {j}$ به گونه ای انتخاب می شوند که روش ها دارای نظم s باشند (این روش ها را به طور منحصر به فرد تعیین می کند).

روشهای آدامز-باشفورث با s = 1، 2، 3، 4، 5 عبارتند از ( Hairer، N�rsett & Wanner 1993 ، �III.1؛ Butcher 2003 ، p. 103):

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} y_ {n + 1} & = y_ {n} + hf (t_ {n} ، y_ {n}) ، \ qquad {\ text {(این روش اولر است)}} \\ y_ {n + 2} & = y_ {n + 1} + h \ چپ ({\ frac {3} {2}} f (t_ {n + 1} ، y_ {n + 1}) - {\ frac {1} {2}} f (t_ {n}، y_ {n}) \ راست) ، \\ y_ {n + 3} & = y_ {n + 2} + h \ چپ ({\ frac {23 } {12}} f (t_ {n + 2}، y_ {n + 2}) - {\ frac {16} {12}} f (t_ {n + 1}، y_ {n + 1}) + { \ frac {5} {12}} f (t_ {n}، y_ {n}) \ راست) ، \\ y_ {n + 4} & = y_ {n + 3} + h \ چپ ({\ frac { 55} {24}} f (t_ {n + 3} ، y_ {n + 3}) - {\ frac {59} {24}} f (t_ {n + 2} ، y_ {n + 2}) + {\ frac {37} {24}} f (t_ {n + 1}، y_ {n + 1}) - {\ frac {9} {24}} f (t_ {n}، y_ {n}) \ راست) ، \\ y_ {n + 5} & = y_ {n + 4} + h \ چپ ({\ frac {1901} {720}} f (t_ {n + 4} ، y_ {n + 4}) - {\ frac {2774} {720}} f (t_ {n + 3}، y_ {n + 3}) + {\ frac {2616} {720}} f (t_ {n + 2}، y_ {n +2}) - {\ frac {1274} {720}} f (t_ {n + 1}، y_ {n + 1}) + {\ frac {251} {720}} f (t_ {n}، y_ {n}) \ درست). \ end {تراز شده}}}$

ضرایب $b_ {j}$ به شرح زیر قابل تعیین است. استفاده از درون یابی چند جمله ای برای پیدا کردن چند جمله ای ص از درجه $s-1$ به طوری که

$p (t_ {n + i}) = f (t_ {n + i} ، y_ {n + i}) ، \ qquad \ text {for} i = 0، \ ldots، s-1.$

فرمول لاگرانژ برای بازده الحاق چند جمله ای

$p (t) = \ sum_ {j = 0} ^ {s-1} \ frac {(- 1) ^ {sj-1} f (t_ {n + j}، y_ {n + j})}} {j ! (sj-1)! h ^ {s-1}} \ prod_ {i = 0 \ at i / ne j} ^ {s-1} (t-t_ {n + i}).$

چند جمله ای p محلی است که یک تقریب خوب از سمت راست معادله دیفرانسیل است $y '= f (t ، y)$ که باید حل شود ، بنابراین معادله را در نظر بگیرید

$y '= p (t)$ بجای. این معادله دقیقاً قابل حل است. راه حل به سادگی انتگرال p است . این نشان می دهد که گرفتن

$y_ {n + s} = y_ {n + s-1} + \ int_ {t_ {n + s-1}} ^ {t_ {n + s}} p (t) \، dt.$

روش Adams – Bashforth هنگامی بوجود می آید که فرمول p جایگزین شود. ضرایب $b_ {j}$ معلوم است که توسط داده می شود

$b_ {sj-1} = \ frac {(- 1) ^ j} {j! (sj-1)!} \ int_0 ^ 1 \ prod_ {i = 0 \ at i / ne j} ^ {s-1} (u + i) \، du، \ qquad \ text {for} j = 0، \ ldots، s-1.$

جایگزین کردن $f (t ، y)$ توسط p intolant خود دچار خطای سفارش h s می شود ، و از این رو نتیجه می گیرد که روش s - step Adams – Bashforth واقعاً سفارش s را دارد ( Iserles 1996 ، �2.1 )

روش های آدامز-باشفورث توسط جان کوچ آدامز برای حل یک معیار دیفرانسیل برای مدل سازی عمل مویرگی ناشی از فرانسیس باشفورث طراحی شد . باشفورث (1883) نظریه خود و روش عددی آدامز را منتشر کرد ( Goldstine 1977 ).

+ نوشته شده در جمعه بیست و یکم شهریور ۱۳۹۹ ساعت 20:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه روش چند مرحله ای خطی

تعاریف [ ویرایش ]

روش های عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی راه حل های تقریبی برای مشکلات مقدار اولیه فرم

$y '= f (t، y) ، \ quad y (t_0) = y_0.$

نتیجه تقریبی برای مقدار است $y (t)$ در زمان های گسسته $t_i$ :

$y_ {i} \ تقریبی y (t_ {i}) \ quad {\ text {where}} \ quad t_ {i} = t_ {0} + ih ،$

جایی که $ساعت$ مرحله زمانی است (گاهی اوقات به عنوان $\ دلتا تی$ ) و $من$ یک عدد صحیح است

روشهای چند مرحله ای از اطلاعات قبلی استفاده می کنند $s$ مراحل برای محاسبه مقدار بعدی. به ویژه، یک خطی روش چند مرحله ای با استفاده از یک ترکیب خطی از $y_ {i}$ و $f (t_ {i} ، y_ {i})$ برای محاسبه مقدار $y$ برای مرحله فعلی مورد نظر. بنابراین ، یک روش چند مرحله ای خطی یک روش از فرم است

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} & y_ {n + s} + a_ {s-1} \ cdot y_ {n + s-1} + a_ {s-2} \ cdot y_ {n + s-2} + \ cdots + a_ {0} \ cdot y_ {n} \\ & \ qquad {} = h \ cdot \ سمت چپ (b_ {s} \ cdot f (t_ {n + s} ، y_ {n + s}) + b_ {s-1} \ cdot f (t_ {n + s-1} ، y_ {n + s-1}) + \ cdots + b_ {0} \ cdot f (t_ {n}، y_ {n}) \ راست) \\ & \ Leftrightarrow \ sum _ {j = 0} ^ {s} a_ {j} y_ {n + j} = h \ sum _ {j = 0} ^ {s} b_ {j} f ( t_ {n + j} ، y_ {n + j}) ، \ end {تراز شده}}}$

با ${\ displaystyle a_ {s} = 1}$ . ضرایب $a_ {0} ، \ dotsc ، a _ {{s-1}}$ و $b_ {0} ، \ dotsc ، b_ {s}$ روش را تعیین کنید. طراح این روش ضرایب را انتخاب کرده و نیاز به تقریب مناسب با راه حل واقعی را در برابر تمایل به دستیابی به روشی که کاربرد آن آسان است ، متعادل می کند. غالباً ، بسیاری از ضرایب برای ساده سازی روش صفر هستند.

می توان بین روشهای صریح و ضمنی تفاوت قائل شد . اگر $b_s = 0$ ، سپس روش "صریح" نامیده می شود ، زیرا فرمول می تواند مستقیماً محاسبه شود

$y_ {n + s}$ . اگر $b_s \ ne 0$ پس از آن روش "ضمنی" نامیده می شود ، زیرا مقدار $y_ {n + s}$ به مقدار بستگی دارد $f (t_ {n + s} ، y_ {n + s})$ ، و باید معادله برای حل شود $y_ {n + s}$ . برای حل فرمول ضمنی اغلب از روشهای تکراری مانند روش نیوتن استفاده می شود.

گاهی اوقات از یک روش چند مرحله ای صریح برای "پیش بینی" مقدار استفاده می شود $y_ {n + s}$ . سپس این مقدار در یک فرمول ضمنی برای "اصلاح" مقدار استفاده می شود. نتیجه یک روش پیش بینی-تصحیح کننده است .

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال مسئله را در نظر بگیرید

$y '= f (t، y) = y ، \ quad y (0) = 1.$

راه حل دقیق این است $y (t) = \ mathrm {e} ^ t$ .

اولر یک مرحله ای [ ویرایش ]

یک روش عددی ساده روش اولر است:

$y_ {n + 1} = y_n + hf (t_n ، y_n). \ ،$

روش اولر را می توان به عنوان یک روش آشکار چند مرحله ای برای حالت منحط یک مرحله مشاهده کرد.

این روش با اندازه گام اعمال می شود $h = {\ tfrac {1} {2}}$ در مورد مشکل $y '= y$ ، نتایج زیر را می دهد:

${\ start {تراز شده} y_ {1} & = y_ {0} + hf (t_ {0} ، y_ {0}) = 1 + {\ tfrac {1} {2}} \ cdot 1 = 1.5 ، \\ y_ {2} & = y_ {1} + hf (t_ {1} ، y_ {1}) = 1.5 + {\ tfrac {1} {2}} \ cdot 1.5 = 2.25 ، \\ y_ {3} & = y_ {2} + hf (t_ {2}، y_ {2}) = 2.25 + {\ tfrac {1} {2}} \ cdot 2.25 = 3.375 ، \\ y_ {4} & = y_ {3} + hf (t_ {3} ، y_ {3}) = 3.375 + {\ tfrac {1} {2}} \ cdot 3.375 = 5.0625. \ end {تراز شده}}$

دو مرحله ای آدامز – باشفورث [ ویرایش ]

روش اولر یک روش یک مرحله ای است. یک روش ساده چند مرحله ای ، روش دو مرحله ای آدامز-باشفورث است

$y _ {{n + 2}} = y _ {{n + 1}} + {\ tfrac {3} {2}} hf (t _ {{n + 1}} ، y _ {{n + 1}}) - { \ tfrac {1} {2}} hf (t_ {n} ، y_ {n}).$

این روش به دو مقدار نیاز دارد ، $y_ {n + 1}$ و $y_n$ ، برای محاسبه مقدار بعدی ، $y_ {n + 2}$ . با این حال ، مشکل مقدار اولیه فقط یک مقدار را فراهم می کند ، $y_0 = 1$ . یک امکان برای حل این مسئله استفاده از $y_1$ با روش اولر به عنوان مقدار دوم محاسبه می شود. با این انتخاب ، روش Adams – Bashforth بازده می شود (گرد شده به چهار رقم):

$\ start {align} y_2 & = y_1 + \ tfrac32 hf (t_1، y_1) - \ tfrac12 hf (t_0، y_0) = 1.5 + \ tfrac32 \ cdot \ tfrac12 \ cdot1.5 - \ tfrac12 \ cdot \ tfrac12 \ cdot1 = 2.375 ، \\ y_3 و = y_2 + \ tfrac32 hf (t_2 ، y_2) - \ tfrac12 hf (t_1 ، y_1) = 2.375 + \ tfrac32 \ cdot \ tfrac12 \ cdot2.375 - \ tfrac12 \ cdot \ tfrac12 \ cdot1.5 = 3.7812 ، \\ y_4 و = y_3 + \ tfrac32 hf (t_3 ، y_3) - \ tfrac12 hf (t_2 ، y_2) = 3.7812 + \ tfrac32 \ cdot \ tfrac12 \ cdot3.7812 - \ tfrac12 \ cdot \ tfrac12 \ cdot2. 375 = 6.0234. \ end {align}$

راه حل دقیق در $t = t_4 = 2$ است $\ mathrm {e} ^ 2 = 7.3891 \ ldot$ ، بنابراین روش دو مرحله ای آدامز-باشفورث دقیق تر از روش اولر است. اگر اندازه گام به اندازه کافی کوچک باشد ، این همیشه وجود دارد.

+ نوشته شده در جمعه بیست و یکم شهریور ۱۳۹۹ ساعت 20:21 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نظریه نوسان

در ریاضیات ، در زمینه معادلات دیفرانسیل معمولی ، یک راه حل غیر اصلی برای معادله دیفرانسیل معمولی

$F (x، y، y '، \ \ dot، \ y ^ {{(n-1)}}) = y ^ {{(n) qu \ quad x \ in [0، + \ infty)$

اگر تعداد نامتناهی ریشه داشته باشد ، نوسان کننده نامیده می شود . در غیر این صورت آن را غیر نوسان می گویند . معادله دیفرانسیل است که به نام نوسان اگر آن را تا یک راه حل نوسان. تعداد ریشه ها همچنین اطلاعاتی در مورد طیف مشکلات ارزش مرزی مرتبط دارد .

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل

${\ displaystyle y '' + y = 0$

نوسان است زیرا گناه ( x ) یک راه حل است.

ارتباط با تئوری طیفی [ ویرایش ]

تئوری نوسانات توسط ژاک چارلز فرانسوا استورم در تحقیقات خود درباره مشکلات اشتورم-لیوویل از سال 1836 آغاز شد. در آنجا وی نشان داد که عملکرد عملکردی یکم از مسئله اشتورم-لیوویل دقیقاً دارای ریشه 1 است. برای معادله یک بعدی شرودینگر سؤال در مورد نوسان / عدم نوسان به این سؤال پاسخ می دهد که آیا مقادیر ویژه در انتهای طیف مداوم جمع می شوند یا خیر.

نظریه نوسانات نسبی [ ویرایش ]

در سال 1996 Gesztesy - Simon - Teschl نشان داد که تعداد ریشه های تعیین کننده Wronski از دو عملکرد ویژه ی یک مشکل Sturm-Liouville به تعدادی از مقادیر ویژه ای بین مقادیر ویژه مربوطه می دهد. بعداً توسط Krüger-Teschl به مورد دو عامل اساسی در مورد دو مشکل مختلف Sturm-Liouville تعمیم داده شد. بررسی تعداد ریشه های تعیین کننده Wronski از دو راه حل به عنوان نظریه نوسان نسبی شناخته شده است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Oscillation_theory

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 22:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه نظریه اشتورم-لیوویل

کاربرد معادلات دیفرانسیل جزئی [ ویرایش ]

حالتهای عادی [ ویرایش ]

برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی با کمک تئوری SL قابل حل هستند. فرض کنید ما به حالت های ارتعاشی یک غشای نازک ، که در یک قاب مستطیل شکل برگزار می شود ، 0 ≤ x ≤ L 1 ، 0 ≤ y ≤ L 2 علاقه مند هستیم . معادله حرکت برای جابجایی غشای عمودی ، W ( x ، y ، t ) توسط معادله موج داده شده است :

$\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ جزئی y ^ {2}}} = { \ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ جزئی ^ {2} W} {\ جزئی t ^ {2}}}.$

روش جداسازی متغیرها پیشنهاد می کند که ابتدا به دنبال راه حلهای فرم ساده W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t ) باشید . برای چنین عملکردی W معادله دیفرانسیل جزئی تبدیل می شودX ″/ایکس + Y "/Y = 1/ج 2 T ″/تی. از آنجا که سه اصطلاح این معادله توابع x ، y ، t به طور جداگانه است ، آنها باید ثابت باشند. به عنوان مثال ، اصطلاح اول X X = λX را برای λ ثابت ثابت می دهد . شرایط مرزی ("در یک قاب مستطیل شکل") در صورت x = 0 ، L 1 یا y = 0 ، L 2 W = 0 می باشد و ساده ترین مشکلات ویژه مقادیر ویژه SL را مانند مثال ، و ارائه "راه حل های حالت عادی" تعریف می کند. برای W با وابستگی زمانی هارمونیک ،

$W _ {n mn}} (x، y، t) = A _ {n mn}} \ sin \ left ({\ frac \ m \ pi x {L_ {1}}} \ Right) \ sin \ left ( \ frac {n \ pi y {{L_ {2}} right \ Right) \ cos \ left (\ omega _ {{mn}} t \ Right)$

جایی که m و n عدد صحیح غیر صفر هستند ، A mn ثابتهای دلخواه هستند ، و

$\ omega _ {n mn}} ^ {2} = c ^ {2} \ left ({\ frac {m ^ {2} \ pi ^ {2}} {L_ {1} ^ {2}}} + { \ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L_ {2} ^ {2}}} \ درست).$

توابع W mn مبنایی را برای فضای هیلبرت راه حل (تعمیم یافته) معادله موج ایجاد می کند. این است که، یک راه حل دلخواه W را می توان به یک جمع از این حالت، که در فرکانس های فردی خود ارتعاش تجزیه ω MN . این نمایندگی ممکن است به مبلغ بی نهایت همگرا نیاز داشته باشد .

معادله خطی مرتبه دوم [ ویرایش ]

برای مرتبه دوم خطی در یک بعد مکانی و مرتبه اول در زمان فرم:

$\ displaystyle f (x) \ frac {\ جزئی ^ {2} u} {\ جزئی x ^ {2}}} + g (x) \ frac {\ جزئی جزئی} {\ جزئی x}} + h (x) تو = {\ frac {\ جزئی تو u {\ جزئی t}} + k (t) تو ،$

${\ displaystyle u (a، t) = u (b، t) = 0، \ qquad u (x، 0) = s (x).}$

ما با جدا کردن متغیرها ، فرض می کنیم

${\ displaystyle u (x، t) = X (x) T (t).$

سپس معادله دیفرانسیل جزئی جزئی فوق ما ممکن است به شرح زیر باشد:

$\ frac {{\ hat L}} X (x) {X (x)}} = {\ frac {{\ hat hat M}} T (t)} {T (t)}$

جایی که

$\ displaystyle \ hat {L}} = f (x) \ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + g (x) {\ frac \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} + h (x)، \ qquad {\ hat hat M}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} k + k (t).$

از آنجا که با تعریف ، L̂ و X ( x ) مستقل از زمان t و M̂ و T ( t ) از موقعیت x مستقل هستند ، بنابراین هر دو طرف معادله فوق باید برابر با یک ثابت باشند:

$\ displaystyle \ hat {L}} X (x) = \ lambda X (x)، \ qquad X (a) = X (b) = 0، \ qquad {\ hat {M}} T (t) = \ lambda T (t).$

اولین بار از این معادلات باید به عنوان یک مشکل استورم-لیوویل از نظر تابع ویژه حل شود X N ( X ) و مقادیر ویژه λ N . دومین این معادلات پس از مشخص شدن ارزشهای ویژه می توانند به صورت تحلیلی حل شوند.

$\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} T_ {n} (t) = {\ bigl (} \ lambda _ {n} -k (t) {\ bigr) } T_ {n} (t)$

${\ displaystyle T_ {n} (t) = a_ {n} \ exp \ left (\ lambda _ {n} t- \ int _ {0} ^ {t} k (\ tau) \، \ mathrm {d \ tau \ درست)$

${\ displaystyle u (x، t) = \ sum _ {n} a_ {n} X_ {n} (x) \ exp \ left (\ lambda _ {n} t- \ int _ {0} ^ {t k (\ tau) \، \ mathrm {d} \ tau \ Right)$

$\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {{\ bigl \ langle} X_ {n} (x)، s (x) \ bigr \ rangle}} {big bigl \ langle} X_ {n} (x ) ، X_ {n} (x) \ bigr \ rangle}}}}$

جایی که

$\ displaystyle \ bigl \ langle} y (x)، z (x) \ bigr \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} y (x) z (x) w (x) \، \ mathrm {d} x،$

${\ displaystyle w (x) = {\ frac {\ exp \ left (\ int {\ frac {g (x)} {f (x)} \، \ mathrm {d} x \ Right)} {f ( ایکس)}}.}$

نمایندگی راه حل ها و محاسبه عددی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل Sturm-Liouville ( 1 ) با شرایط مرزی ممکن است به روش تحلیلی حل شود ، که می تواند دقیق باشد یا یک تقریب را فراهم کند ، با استفاده از روش Rayleigh-Ritz یا با استفاده از روش ماتریس واریانس گرک و همکاران. [1] [2] [3]

از نظر عادی ، روشهای متنوعی نیز موجود است. در موارد دشوار ، ممکن است لازم باشد محاسبات میانی را تا چند صد رقم اعشار از دقت انجام دهید تا مقادیر ویژه ای را به درستی به چند مکان اعشاری بدست آورید.

روش های تیراندازی [4] [5] این روش را ادامه دهید با حدس زدن یک مقدار از λ ، حل مشکل مقدار اولیه تعریف شده توسط شرایط مرزی در یک نقطه پایانی، می گویند، ، فاصله [ ، ب ] ، مقایسه ارزش این راه حل طول می کشد در انتهای دیگر b با شرط مرزی مورد نظر دیگر ، و در آخر افزایش یا کاهش λ در صورت لزوم برای اصلاح مقدار اصلی. این استراتژی برای یافتن مقادیر ویژه مقدماتی کاربردی نیست. [ نیاز به توضیح ]
روش اختلاف محدود .
روش سری قدرت پارامتر طیفی (SPPS) [6] از تعمیم واقعیت زیر در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم استفاده می کند: اگر y راه حل باشد که در هیچ نقطه ای از [ a ، b ] از بین نرود ، تابع

$y (x) \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {p (t) y (t) ^ {2}}}$

راه حل همان معادله است و از نظر خطی مستقل از y است . علاوه بر این ، تمام راه حل ها ترکیبی خطی از این دو راه حل هستند. در الگوریتم SPPS ، باید با یک مقدار دلخواه λ شروع شود*
0(اغلب λ*
0= 0 ؛ لازم نیست یک مقادیر ویژه باشد) و هر راه حل y 0 از ( 1 ) با λ = λ*
0که در [ a ، b ] ناپدید نمی شود . (بحث در زیر راه های یافتن مناسب y 0 و λ*
0.) دو توالی از توابع X ( n ) ( t ) ، X̃ ( n ) ( t ) روی [ a ، b ] که به آن انتگرال های تکراری گفته می شوند ، به صورت بازگشتی به صورت زیر تعریف می شوند. ابتدا وقتی که n = 0 است ، آنها گرفته می شوند که به طور یکسان برابر 1 در [ a ، b ] هستند . برای به دست آوردن توابع بعدی آنها به صورت متناوب ضرب می شوند1/پی2
0و وای2
$\ displaystyle (5) \ qquad \ qquad X ^ {(n) (t) = {\ آغاز {موارد} \ displaystyle - \ int _ {a} ^ {x} X ^ {(n-1)} ( t) p (t) ^ {- 1} y_ {0} (t) ^ {- 2} \، \ mathrm {d} t & n {\ text {عجیب}} ، \\ [6pt] \ displaystyle \ quad \ int _ {a} ^ {x} X ^ {(n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) \، \ mathrm {d} t & n {\ متن {حتی} \ end {موارد}}}$

$\ displaystyle (6) \ qquad \ qquad {\ tilde {X}} ^ {(n) (t) = {\ آغاز {موارد} \ displaystyle \ quad \ int _ {a} ^ {x} {\ tilde {X}} ^ {(n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) \، \ mathrm {d} t & n {\ text {عجیب}} ، \\ [6pt ] \ displaystyle - \ int _ {a} ^ {x} {\ tilde {X}} ^ {(n-1) (t) p (t) ^ {- 1} y_ {0} (t) ^ -2} \، \ mathrm {d} t & n text \ text {حتی.}} \ end {موارد}}$

انتگرال های تکرار شده در حال حاضر به عنوان ضرایب در دو سری قدرت زیر در λ استفاده می شوند :

$\ displaystyle u_ {0} = y_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} ^ {*} \ Right) ^ {k} {\ tilde {X}} ^ {(2k)}،$

$u_ {1} = y_ {0} \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} ^ {*} \ Right) ^ {k} X ^ {(2k + 1)}.$

سپس برای هر λ (واقعی یا پیچیده) ، u 0 و u 1 راه حل های مستقل خطی از معادله مربوطه ( 1 ) هستند . (توابع p ( x ) و q ( x ) از طریق تأثیرگذاری بر انتخاب y 0 در این ساخت و ساز شرکت می کنند .)

یکی دیگر ضرایب c 0 و c 1 را انتخاب می کند به طوری که ترکیب y = c 0 u 0 + c 1 u 1 اولین شرط مرزی را برآورده می کند ( 2 ) . این کار ساده است زیرا X ( n ) ( a ) = 0 و X̃ ( n ) ( a ) = 0 برای n > 0 انجام می شود . مقادیر X ( n ) ( b )و X̃ ( n ) ( b ) مقادیر u 0 ( b ) و u 1 ( b ) و مشتقات u ′ 0 ( b ) و u ′ 0 ( b ) را ارائه می دهد ، بنابراین شرط مرز دوم ( 3 ) تبدیل می شود. معادله در یک سری قدرت در λ . برای کارهای عددی ممکن است این سری به تعداد محدودی از اصطلاحات کوتاه شود و یک چند جمله ای قابل محاسبه در λ تولید شود که ریشه های تقریبی مقادیر خاص اوضاع به دنبال هستند.

هنگامی که λ = λ 0 ، این به ساخت اصلی که در بالا توضیح داده شده است برای یک راه حل بصورت خطی مستقل از یک داده خاص کاهش می یابد. بازنمودها (' 5 ' ) و (' 6 ' ) در تئوري اشتورم-ليول نيز کاربردهاي نظري دارند. [6]

ساخت یک راه حل غیرقابل استفاده [ ویرایش ]

روش SPPS می توانید، به خودی خود، مورد استفاده قرار گیرد برای پیدا کردن یک راه حل شروع Y 0 . معادله ( py ′) Consider = μqy را در نظر بگیرید ؛ یعنی ، q ، w و λ به ترتیب در ( 0 ) با 0 ، - q و μ جایگزین می شوند. سپس عملکرد ثابت 1 یک محلول غیرقابل انعطاف است که مربوط به مقادیر ویژه μ 0 = 0 است . در حالی که هیچ تضمینی وجود ندارد که تو 0 یا تو 1 نمی خواهد ناپدید می شوند، تابع پیچیده Y 0 = U0 + iu 1 هرگز از بین نمی رود زیرا دو راه حل مستقل از یک معادله SL معمولی نمی توانند همزمان به عنوان نتیجه قضیه جدایی Sturm از بین بروند . این ترفندبرای مقدار λ 0 = 0 راه حل y 0 از ( 1 ) را ارائه می دهد. در عمل اگر ( 1 ) ضرایب واقعی داشته باشد ، راه حل های مبتنی بر y 0 دارای بخش های تخیلی بسیار کوچکی هستند که باید دور ریخت.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%80%93Liouville_theory

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 22:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه نظریه اشتورم-لیوویل

معادلات استورم-لیوویل به عنوان اپراتورهای دیفرانسیل خود متعهد [ ویرایش ]

نقشه برداری توسط:

${\ displaystyle Lu = - {\ frac {1} {w (x)}} سمت چپ ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [p (x) \، \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ Right] + q (x) u \ Right)$

می توان به عنوان یک عملگر خطی L نقشه برداری از یک تابع u به یک عملکرد دیگر Lu را مشاهده کرد ، و می توان آن را در زمینه تحلیل عملکردی مورد مطالعه قرار داد . در واقع می توان معادله ( 1 ) را به صورت زیر نوشت

${\ displaystyle Lu = \ lambda u.}$

این دقیقاً مسئله مقدماتی است؛ این است که، یکی به دنبال مقادیر ویژه لامبدا 1 ، λ 2 ، λ 3 ، ... و بردارهای ویژه متناظر تو 1 ، تو 2 ، تو 3 ، ... از L اپراتور. تنظیم مناسب این مشکل فضای هیلبرت است $\ displaystyle L ^ {2} ([a، b]، w (x) \، dx)$ با محصول مقیاس پذیر

$\ displaystyle \ langle f، g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)} g (x) w (x) \، \ mathrm {d} x.}$

در این فضا L بر روی توابع به اندازه کافی صاف تعریف شده است که شرایط مرزی عادی فوق را برآورده می کند. علاوه بر این ، L یک اپراتور خودمحور است:

$\ displaystyle \ langle Lf، g \ rangle = \ langle f، Lg \ rangle.}$

این امر می تواند بطور رسمی با استفاده از قطعات دوبار ادغام شود ، در حالی که شرایط مرزی به واسطه شرایط مرزی از بین می رود. پس از آن نتیجه می گیرد که مقادیر ویژه یک اپراتور Sturm-Liouville واقعی هستند و عملکردهای بنیادی L مربوط به مقادیر خاص ویژه متعامد متعامد هستند. با این حال ، این اپراتور بدون محدودیت است و از این رو وجود یک پایه متعارف ارتودنسی معمولی مشهود نیست. برای غلبه بر این مشکل ، باید به حلال نگاه کرد

$\ displaystyle \ سمت چپ (Lz \ راست) ^ {- 1} ، \ qquad z \ in \ mathbb {C} ،$

جایی که z به عنوان عدد واقعی انتخاب می شود که مقدمه ای خاص نیست. سپس ، محاسبه مقادیر حل شده برای حل معادله غیر همگن ، که می تواند با استفاده از فرمول تغییر پارامترها انجام شود . این نشان می دهد که حلال یک اپراتور انتگرال با هسته متقارن مداوم است (عملکرد سبز مسئله). به عنوان یک نتیجه از قضیه Arzelà-آسکولی ، این انتگرال جمع و جور و وجود یک توالی از مقادیر ویژه است α N که همگرا به 0 و تابع ویژه که به صورت به صورت orthonormal زیر از قضیه طیفی برای اپراتورهای جمع و جور . در آخر ، توجه داشته باشید که

$\ displaystyle \ left (Lz \ Right) ^ {- 1} u = \ alpha u، \ qquad Lu = \ left (z + \ alpha ^ {- 1} \ Right) u،$

معادل هستند ، بنابراین ممکن است بگیریم $\ displaystyle \ lambda = z + \ alfa ^ {- 1}$ با همان عملکردهای ویژه

اگر فاصله بی حد و مرز باشد ، یا اگر ضرایب در نقاط مرزی دارای مفرد باشند ، فرد L را مفرد می خواند . در این حالت ، طیف دیگر به تنهایی از مقادیر ویژه ای تشکیل نمی شود و می تواند یک جزء مداوم را شامل شود. هنوز یک گسترش عملکرد عملکردی مرتبط است (شبیه سری فوریه در مقابل تبدیل فوریه). این امر در مکانیک کوانتومی حائز اهمیت است ، زیرا معادله یک بعدی بعدی مستقل شرودینگر یک مورد خاص از معادله SL است.

کاربرد در مشکلات ارزش مرزی ناهمگن مرتبه دوم [ ویرایش ]

یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن کلی را در نظر بگیرید

${\ displaystyle P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = f$

برای توابع داده شده ${\ نمایشگر P (x) ، Q (x) ، R (x) ، f (x)$ . مانند گذشته ، این می تواند به شکل SL کاهش یابد ${\ displaystyle Ly = f$ : نوشتن یک اپراتور SL به عنوان:

$\ displaystyle Lu = {\ frac {p} {w (x)}} u '' + {\ frac {p '} {w (x)} u' + {\ frac {q} {w (x) } تو ،}$

یکی سیستم را حل می کند:

$\ displaystyle p = Pw، \ quad p '= Qw، \ quad q = Rw.$

برای حل دو معادله اول کافی است ، که این مقدار به حل ( Pw ) Q = Qw یا

$\ displaystyle w '= {\ frac {Q-P'} {P}} w: = \ alpha w.$

راه حل این است:

${\ displaystyle w = \ exp \ left (\ int \ alpha \، \ mathrm {d} x \ right)، \ quad p = P \ exp \ left (\ int \ alpha \، \ mathrm {d} x \ Right ) ، \ quad q = R \ exp \ left (\ int \ alpha \، \ mathrm {d} x \ Right).$

با توجه به این تحول ، یکی برای حل کردن باقی مانده است:

${\ displaystyle Ly = f}$

به طور کلی ، اگر شرایط اولیه در برخی از نقاط مشخص شده باشد ، به عنوان مثال y ( a ) = 0 و y ′ ( a ) = 0 ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با استفاده از روشهای معمولی قابل حل است و قضیه Picard-Lindelöf تضمین می کند که دیفرانسیل معادله در همسایگی نقطه ای که شرایط اولیه مشخص شده است ، یک راه حل منحصر به فرد دارد.

اما اگر به جای مشخص کردن مقادیر اولیه در یک نقطه واحد ، می خواهیم مقادیر را در دو نقطه مختلف (به اصطلاح مقادیر مرزی) ، به عنوان مثال y ( a ) = 0 و y ( b ) = 1 مشخص کنید ، مشکل به وجود می آید. خیلی سخت تر توجه كنید كه با افزودن یك تابع قابل تشخیص متفاوت مناسب به y ، كه مقادیر آن در a و b شرایط مرزی مورد نظر را برآورده می كند ، و با تزریق درون معادله دیفرانسیل پیشنهادی ، می توان بدون از دست دادن کلی فرض كرد كه شرایط مرزی از فرم y ( a ) = 0 وy ( b ) = 0 .

در اینجا، نظریه اشتورم-لیوویل می آید در بازی: در واقع، یک کلاس بزرگ از توابع F می تواند در شرایط از یک سری از eigenfunctions orthonormal گسترش U من از اپراتور لیوویل با مقادیر ویژه مربوط لامبدا من :

$\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} u_ {i} (x)، \ quad \ alpha _ {i} \ in {\ mathbb {R}}.}$

سپس یک راه حل برای معادله پیشنهادی بدیهی است:

$\ displaystyle y = \ sum _ {i} {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ lambda _ {i}}} u_ {i}.$

این راه حل فقط در بازه a < x < b معتبر خواهد بود و ممکن است در مرزها شکست بخورد.

مثال: سری فوریه [ ویرایش ]

مشکل استورم-لیوویل را در نظر بگیرید:

$\ displaystyle (4) \ qquad \ qquad Lu = - {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = \ lambda u}$

زیرا ناشناخته ها λ و u ( x ) هستند . برای شرایط مرزی ، به عنوان مثال:

$u (0) = u (\ pi) = 0.$

مشاهده کنید که اگر k عدد صحیح باشد ، تابع

$\ displaystyle u_ {k} (x) = \ sin kx}$

یک راه حل با مقادیر ویژه λ = k 2 است . ما می دانیم که راه حل های یک مشکل SL پایه ای متعامد را تشکیل می دهد و از سری فوریه می دانیم که این مجموعه از عملکردهای سینوسی یک مبنای متعامد است. از آنجا که پایه های متعامد همیشه حداکثر هستند (با تعریف) نتیجه می گیریم که مشکل SL در این مورد مجرای بردار دیگری ندارد.

با توجه به موارد قبلی ، اجازه دهید اکنون مشکل ناهمگن را حل کنیم

${\ displaystyle Ly = x ، \ qquad x \ in (0 ، \ pi)$

با همان شرایط مرزی $\ displaystyle y (0) = y (\ pi) = 0$ . در این حالت ، ما باید f ( x ) = x را به عنوان یک سری فوریه گسترش دهیم. خواننده ممکن است را بررسی کنید، یا با یکپارچه سازی ∫ الکترونیکی ikx X د X و یا با مراجعه به جدول تبدیل فوریه، که ما در نتیجه بدست آوردن

$\ displaystyle Ly = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} -2 {\ frac {\ left (-1 \ Right) ^ {k}} {k}} \ sin kx.$

این سری خاص فوریه به دلیل خواص همگرایی ضعیف ، مشکل ساز است. پیشینی مشخص نیست که آیا این سری به صورت نقطه همگرا است یا خیر. از آنجا که از تجزیه و تحلیل فوریه، از ضرایب فوریه هستند " مربع summable "، به همگرا سری فوریه در L 2 است که همه ما برای این نظریه خاص برای عملکرد. برای خواننده علاقه مند ذکر می کنیم که در این حالت ممکن است به نتیجه ای اعتماد کنیم که می گوید سری فوریه در هر نقطه از تفاوت پذیری همگرا می شود و در نقاط پرش (عملکرد x ، که به عنوان یک عملکرد دوره ای در نظر گرفته می شود ، دارای پرش در π ) همگرا می شود. به طور متوسط از حد چپ و راست (به همگرایی سری فوریه مراجعه کنید ).

بنابراین ، با استفاده از فرمول ( 4 ) ، راه حل را بدست می آوریم:

$\ displaystyle y = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 2 {\ frac {(-1) ^ {k}} {k ^ {3}}} \ sin kx = {\ tfrac {1 6}} (x ^ {3} - \ pi ^ {2} x).$

در این حالت ، ما می توانیم با استفاده از ضد تمایز پاسخ را پیدا کنیم ، اما این در بیشتر موارد زمانی که معادله دیفرانسیل در بسیاری از متغیرها باشد ، دیگر مفید نیست.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%80%93Liouville_theory

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 22:20 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه فضای متریک

مفاهیم معادل فضای متریک [ ویرایش ]

با توجه به دو فضای متریک ( M 1 ، d 1 ) و ( M 2 ، d 2 ):

آنها به نام homeomorphic (توپولوژیکی ریخت) اگر وجود داشته باشد وجود دارد همسانریختی بین آنها (به عنوان مثال، یک پوشا و یکبهیک مداوم در هر دو جهت).
آنها به نام uniformic (یکنواخت ریخت) اگر وجود داشته باشد وجود دارد ریخت یکنواخت بین آنها (به عنوان مثال، یک پوشا و یکبهیک یکنواخت در هر دو جهت مداوم).
آنها به نام ایزومتریک اگر وجود داشته باشد وجود دارد دوسویی همسان بین آنها. در این حالت ، دو فضای متریک اساساً یکسان هستند.
آنها به نام شبه ایزومتریک اگر وجود داشته باشد وجود دارد شبه همسان بین آنها.

خصوصیات توپولوژیکی [ ویرایش ]

فضاهای متریک پاراکامپکت [7] فضاهای Hausdorff [8] و از این رو طبیعی هستند (در واقع کاملاً طبیعی هستند). نتیجه مهم این است که هر فضای متریک پارتیشنهای وحدت را می پذیرد و هر تابع با ارزش واقعی پیوسته تعریف شده در زیر مجموعه بسته یک فضای متریک را می توان به یک نقشه پیوسته در کل فضا ( قضیه پسوند Tietze ) اضافه کرد. همچنین صحیح است که هر نقشه با ارزش واقعی Lipschitz که بر روی زیر مجموعه ای از فضای متریک تعریف شده است می تواند به یک نقشه پیوسته Lipschitz در کل فضا گسترش یابد.

فضاهای متریک ابتدا قابل شمارش است زیرا می توان از توپهایی با شعاع منطقی به عنوان پایه محله استفاده کرد.

توپولوژی متریک در یک فضای متریک M درشت ترین توپولوژی در مورد M است که متریک d نقشه ای مداوم از محصول M با خودش به اعداد واقعی غیر منفی است.

فاصله بین نقاط و مجموعه ها؛ فاصله هاسدورف و متریک گروموف [ ویرایش ]

یک روش ساده برای ساختن یک عملکرد ، جدا کردن یک نقطه از یک مجموعه بسته (همانطور که برای یک فضای کاملاً منظم لازم است) در نظر گرفتن فاصله بین نقطه و مجموعه است . اگر ( M ، D ) یک فضای متریک است، S است زیر مجموعه از M و X یک نقطه از است M ، فاصله از تعریف ما از X به S به عنوان

$d (x، S) = \ inf \ {d (x، s): s \ in S \$ جایی که $\ inf$ نماینده کمترین .

سپس د ( X ، S ) = 0 اگر و تنها اگر x را متعلق به بسته شدن از S . علاوه بر این ، ما عمومی زیر از نابرابری مثلث را داریم:

$d (x، S) \ leq d (x، y) + d (y، S)،$

که به طور خاص نشان می دهد که نقشه $x \ mapsto d (x، S)$ پیوسته است

با توجه به دو زیر مجموعه S و T از M ، خود را تعریف می کنیم فاصله هاسدورف به

$d_H (S، T) = \ max \ {\ sup \ {d (s، T): s \ in S \}، \ sup \ {d (t، S): t \ in T \} \}$ جایی که $\ sup$ نمایانگر برترین است .

بطور کلی فاصله Hausdorff d H ( S ، T ) می تواند بی نهایت باشد. اگر هر عنصر از هر مجموعه نزدیک به عناصر مجموعه دیگر باشد ، دو مجموعه در فاصله Hausdorff به یکدیگر نزدیک هستند.

فاصله Hausdorff d H مجموعه( K ( M همه زیر مجموعه های فشرده خالی M را به یک فضای متریک تبدیل می کند. می توان نشان داد که اگر K کامل باشد M ( M ) کامل است. (مفهوم متفاوت از همگرایی زیر مجموعه های جمع و جور توسط همگرایی کوراتوفسکی ارائه شده است .)

سپس می توان با در نظر گرفتن حداقل فاصله Hausdorff از نسخه های جاسازی شده ای از دو فاصله ، فاصله Gromov-Hausdorff را بین هر دو فضای متری تعریف کرد . با استفاده از این فاصله ، کلاس همه (کلاسهای ایزومتری) فضاهای متراکم به خودی خود به یک فضای متریک تبدیل می شود.

فضاهای متریک ضربی[ ویرایش ]

اگر $(M_1 ، d_1) ، \ ldots ، (M_n ، d_n)$ فضاهای متریک، و N است هنجار اقلیدسی در R N ، پس از آن $\ بزرگ (M_1 \ بار \ ldots \ بار M_n ، N (d_1 ، \ ldots ، d_n) \ بزرگ)$ یک فضای متریک است ، جایی که متریک ضرب توسط آن تعریف شده است

$N (d_1 ، ... ، d_n) \ بزرگ ((x_1 ، \ ldots ، x_n) ، (y_1 ، \ ldots ، y_n) \ بزرگ) = N \ بزرگ (d_1 (x_1 ، y_1) ، \ ldots ، d_n ( x_n ، y_n) \ بزرگ) ،$

و توپولوژی ناشی از موافقت با توپولوژی ضرب است . توسط هم ارزی از هنجارهای در ابعاد محدود، یک متریک معادل دست آمده است اگر N است هنجار تاکسی ، یک P-هنجار ، حداکثر هنجار، و یا هر هنجار دیگر است که غیر کاهش عنوان مختصات مثبت N افزایش تاپل ( نابرابری مثلث)

به طور مشابه ، با استفاده از متریک زیر می توان محصول قابل توجهی از فضاهای متریک را بدست آورد

$d (x، y) = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty \ frac1 {2 ^ i} \ frac {d_i (x_i، y_i)} {1 + d_i (x_i، y_i).$

محصولی بیشمار از فضاهای متریک قابل اندازه گیری نیست. مثلا، $\ mathbf {R} ^ \ \ mathbf {R$ است اول قابل شمارش و در نتیجه ناتهی یک مجموعه میگر است.

تداوم فاصله [ ویرایش ]

در مورد یک فضای واحد $(م ، د)$ ، نقشه مسافت برابر M \ راست باری $d \ Colon M \ بار M \ Rightarrow R ^ +$ (از تعریف ) با توجه به هر یک از معیارهای محصول فوق یکنواخت مداوم است $ن (د ، د)$ ، و به طور خاص با توجه به توپولوژی محصول از پیوسته است $م \ بار م$ .

فضاهای متریک زیاد [ ویرایش ]

اگر M یک فضای متری با متریک است د ، و ~ یک IS رابطه هم ارزی در M ، پس ما می توانیم مجموعه ای خارج قسمت وقف M / ~ با pseudometric. با توجه به دو کلاس هم ارزی [ x ] و [ y ] ، ما تعریف می کنیم

$d '([x] ، [y]) = \ inf \ {d (p_1 ، q_1) + d (p_2، q_2) + \ dotsb + d (p_ {n ، q_ {n}) \$

که در آن حداقل بیش از همه توالی محدود گرفته شده است $(p_1 ، p_2 ، \ نقطه ، p_n)$ و $(q_1 ، q_2 ، \ نقطه ، q_n)$ با $[p_1] = [x]$ ، [y] $[q_n] = [y]$ ، {\ ، n-1 $[q_i] = [p_ {i + 1}]، i = 1،2، \ dots، n-1$ . به طور کلی ، این فقط یک شبه سنجی را تعریف می کند ، یعنی $d '([x] ، [y]) = 0$ لزوماً دلالت بر این امر ندارد $[x] = [y]$ . با این حال ، برای برخی از روابط هم ارزی (به عنوان مثال ، آنهایی که با چسباندن چند لایه در کنار صورت) ، d ' یک معیار است.

مقدار متریک d با خاصیت جهانی زیر مشخص می شود . اگر $f: (M ، d) \ longrightarrow (X ، \ دلتا)$ یک نقشه متریک بین فضاهای متریک (این است که، $\ دلتا (f (x) ، f (y)) \ le d (x ، y)$ برای همه x ، y ) رضایت بخش f ( x ) = f ( y ) هر زمان، $x \ sim y ،$ سپس عملکرد القایی $\ overline {f} \ colon M / \ sim \ longrightarrow X$ داده شده توسط $\ overline {f} ([x]) = f (x)$ ، یک نقشه متریک است $\ overline {f} \ colon (M / \ sim، d ') \ longrightarrow (X، \ delta).$

یک فضای توپولوژیکی توالی پیوسته است اگر و تنها اگر از یک فضای متریک باشد. [9]

تعمیم فضاهای متریک [ ویرایش ]

هر فضای متریک است فضای یکنواخت به شیوه ای طبیعی، و هر فضای یکنواخت است به طور طبیعی فضای توپولوژیک . بنابراین فضاهای یکنواخت و توپولوژیکی می توانند تعمیم فضاهای متریک تلقی شوند.
اگر اولین تعریف از فضای متریک را که در بالا آورده شده در نظر بگیریم و دومین شرط را آرام کنیم ، به مفاهیم یک فضای شبه سنج یا فضای متریک دررفت شده می رسیم . [10] اگر سوم یا چهارم را حذف کنیم ، به یک فضای شبه متری یا یک فضای نیم متری می رسیم .
اگر تابع فاصله مقادیر را در خط شماره واقعی افزایش یافته R ∪ {+ ∞ takes بدست آورد ، اما در غیر این صورت هر چهار شرط را برآورده می کند ، سپس به یک متریک گسترده گفته می شود و به فضای مربوطه می گویند. $\ infty$ فضای -metric . اگر تابع فاصله مقادیر را در برخی از مجموعه های مناسب (مناسب) (و نابرابری مثلث براساس آن تنظیم شود) طول می کشد ، سپس به مفهوم اولتراسنج عمومی تعمیم می دهیم . [10]
فضاهای تقریبی عبارت است از تعمیم فضاهای متریک ، براساس فواصل نقطه به نقطه ، به جای فواصل نقطه به نقطه.
فضای تداوم یک کلیت از فضاهای متریک و posets ، که می تواند مورد استفاده قرار گیرد برای متحد کردن مفاهیم فضاهای متریک و دامنه .
در نظر گرفته شده است که یک فضای متریک جزئی حداقل تعمیم مفهوم فضای متریک باشد به گونه ای که فاصله هر نقطه از خود دیگر لزوماً صفر نیست. [11]

فضاهای متریک به عنوان دسته های غنی شده [ ویرایش ]

مجموعه سفارش داده شده $(\ mathbb {R} ، \ geq)$ با درخواست دقیقاً یک مورفیسم ، می توان به عنوان یک دسته مشاهده کرد $یک \ تا ب$ اگر $یک \ geq ب$ و هیچ کس دیگری نیست. با استفاده از $+$ به عنوان ضرب تانسور و ${\ نمایشگر 0}$ به عنوان هویت ، به یک گروه یکنواخت تبدیل می شود $R ^ {*$ . هر فضای متریک $(م ، د)$ اکنون می توان به عنوان یک گروه مشاهده کرد $م ^ *$ غنی شده بیش از $R ^ {*$ :

تنظیم $\ operatorname {Ob} (M ^ {*}): = M$
برای هر $X ، Y \ در M$ تنظیم $\ operatorname {Hom (X، Y): = d (X، Y) \ in \ operatorname {Ob} (R ^ *)$
مورفیسم ترکیب $\ operatorname {Hom (Y، Z) \ otimes \ operatorname {Hom} (X، Y) \ to \ operatorname {Hom (X، Z)$ خواهد بود مورفیسم منحصر به فرد در $R ^ {*$ نابرابری مثلث داده شده است $d (y، z) + d (x، y) \ geq d (x، z)$
مورفیسم هویت $0 \ to \ operatorname {Hom (X، X)$ خواهد بود مورفیسم منحصر به فرد داده شده از این واقعیت است $0 \ geq d (X، X)$ .
از آنجا که $R ^ {*$ یک پستی است ، تمام نمودارهایی که برای رفت و آمد دسته غنی شده به طور خودکار لازم هستند.

مقاله FW Lawvere ذکر شده در زیر را مشاهده کنید.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space

+ نوشته شده در دوشنبه شانزدهم تیر ۱۳۹۹ ساعت 18:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

پس زمینه [ ویرایش ]

تعاریف [ ویرایش ]

تعریف کلی [ ویرایش ]

سیستم ODE ها [ ویرایش ]

راه حل ها [ ویرایش ]

راه حل های مدت زمان محدود [ ویرایش ]

نظریه ها [ ویرایش ]

راه حل های مفرد [ ویرایش ]

کاهش به ربع [ ویرایش ]

نظریه فوشیان [ ویرایش ]

نظریه لی [ ویرایش ]

نظریه استورم-لیوویل [ ویرایش ]

وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها [ ویرایش ]

وجود محلی و قضیه یگانگی ساده شده [ ویرایش ]

منحصر به فرد بودن جهانی و حداکثر دامنه راه حل [ ویرایش ]

کاهش مرتبه [ ویرایش ]

کاهش به یک سیستم مرتبه اول [ ویرایش ]

خلاصه راه حل های دقیق [ ویرایش ]

معادلات قابل تفکیک [ ویرایش ]

معادلات مرتبه اول عمومی [ ویرایش ]

معادلات مرتبه دوم عمومی [ ویرایش ]

معادلات خطی تا مرتبه n [ ویرایش ]

روش حدس زدن [ ویرایش ]

نرم افزار برای حل ODE [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

کتابشناسی [ ویرایش ]

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

قانون انقباض [ ویرایش ]

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

مراجع عمومی [ ویرایش ]

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

برابری [ ویرایش ]

چرخش ها [ ویرایش ]

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی به شکل دکارتی [ ویرایش ]

تابع مولد هرگلوتز [ ویرایش ]

فرم دکارتی جدا شده [ ویرایش ]

موارد و مقادیر ویژه [ ویرایش ]

​

​

تعریف [ ویرایش ]

مثال: منبع نقطه ای داخل یک لوله استوانه ای رسانا [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

​https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics

​

میدان های الکترومغناطیس از نقطه نظر ارزش مرزی

5.0مقدمه

5.8مثال در مختصات قطبی

راه حل های ساده

حالت های آزیموتال

حالت های شعاعی

راه حل های ضرب مختصات دکارتی

بسط مودال در مختصات دکارتی

بسط مودال در سایر مختصات

5.11خلاصه

تعریف [ ویرایش ]

انگیزه [ ویرایش ]

انتشار [ ویرایش ]

میانگین ها [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics

5.0
مقدمه

5.8
مثال در مختصات قطبی

5.11
خلاصه