4-گروه دو وجهی:D8

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ | 18:13

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

در ستون‌های «فهرست زیرگروه‌ها» در زیر، شکستن ردیف در داخل سلول نشان می‌دهد که هر ردیف یک کلاس مزدوج از زیر گروه‌ها را نشان می‌دهد .

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	لیست زیر گروه ها	کلاس ایزومورفیسم	ترتیب زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج (=1 اگر زیرگروه automorph-conjugate )	اندازه هر کلاس مزدوج (=1 اگر زیر گروه نرمال )	تعداد کل زیر گروه ها (=1 زیر گروه مشخصه اگر )	کلاس ضریب ایزومورفیسم (اگر زیرگروه نرمال باشد)	عمق غیر طبیعی (اگر مناسب و نرمال باشد، برابر با 1 است)	کلاس پوچی
زیر گروه بی اهمیت	$\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	8	1	1	1	گروه دو وجهی:D8	1	0
مرکز	$\{e,a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	1	1	1	کلاین چهار گروه	1	1
سایر زیر گروه های مرتبه دو	$\{e,x \}, \{ e,a^2x \}$ $\{ e,ax \}, \{ e,a^3x \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	2	2	4	--	2	1
کلاین چهار زیر گروه	$\{e,x,a^2,a^2x \}$ ، $\{ e,ax,a^2,a^3x \}$	کلاین چهار گروه	4	2	2	1	2	گروه دور ای: Z2	1	1
زیر گروه حداکثر دور ای	$\{e,a,a^2,a^3 \}$	گروه دور ای: Z4	4	2	1	1	1	گروه دور ای: Z2	1	1
کل گروه	$\{ e,a,a^2,a^3,x,ax,a^2x,a^3x \}$	گروه دو وجهی:D8	8	1	1	1	1	گروه بی اهمیت	0	2
مجموع (6 ردیف)	--	--	--	--	8	--	10	--	--	--

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی:D8#تعریف توابع

تابع تعریف زیرگروه	چه معنی میده	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی رفت و آمد دارند	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیرگروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب پایه	کلاین چهار گروه	4
هنجار بائر	تقاطع نرمال سازهای همه زیر گروه ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
به همه زیرگروه های نرمال آبلی بپیوندید	زیر گروه تولید شده توسط همه زیر گروه های نرمال آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلی دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
مرکز زلزله	تقاطع تصاویر مراکز برای همه پسوندهای مرکزی	زیر گروه بی اهمیت: $\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	بزرگترین گروه ضریب که یک گروه توانمند است	گروه دو وجهی:D8	8

چند یادداشت دیگر:

توابع تعریف کننده زیرگروه زیر با کل گروه برابر هستند زیرا گروه یک گروه پوچی است : زیرگروه متناسب ، مرکز ، رادیکال قابل حل .
توابع تعریف کننده زیرگروه زیر به دلیل اینکه گروه یک گروه قابل حل است با زیرگروه بی اهمیت برابری می کنند : هیپومرکز ، باقیمانده پوچی ، هسته کامل ، باقیمانده قابل حل .

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه دو وجهی:D8

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	36	قابل اجرا نیست
گروه اتومورفیسم	گروه دو وجهی:D8	8	3
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
گروه شبه اتومورفیسم	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
1-گروه اتومورفیسم	ضرب مستقیم S4 و Z2	48	48
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه دور ای: Z2	2	1

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 ، نظریه نمایش خطی گروه های دو وجهی

خلاصه

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1,1,1,1,2 حداکثر : 2, lcm : 2, تعداد : 5, مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص Schur نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،1
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$ ; مانند حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر
میدان تقسیم حداقلی ، یعنی کوچکترین میدان تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (بنابراین، این یک گروه نمایش منطقی است ) مانند میدانی که توسط مقادیر کاراکتر ایجاد می شود ، زیرا تمام مقادیر شاخص Schur 1 هستند.
شرط تقسیم شدن میدان برای این گروه	هر میدانی از مشخصه نه دو، یک میدان تقسیم است.
حداقل میدان تقسیم در مشخصه $p \ne 0، 2$	میدان اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	میدان:F3 ، یعنی میدانی با سه عنصر.
تحت عمل گروه اتومورفیسم بر روی یک میدان شکاف می چرخد	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 1)، 2 (نمایش درجه 1) و 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 4
مداری بر روی یک میدان شکافنده تحت عمل ضربی نمایش های یک بعدی، یعنی تا معادل تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
گروه های دیگر با جدول شخصیت های مشابه	گروه کواترنیون (به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید )

جدول شخصیت

این جدول کاراکتر روی مشخصه صفر کار می کند:

کلاس نمایندگی / Conj	$\{e \}$ (سایز 1)	$\{ a^2 \}$ (سایز 1)	$\{ a, a^{-1} \}$ (سایز 2)	$\{ x، a^2x \}$ (سایز 2)	$\{ تبر، a^3x \}$ (سایز 2)
نمایندگی بی اهمیت	1	1	1	1	1
$\langle a \rangle$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$\langle a^2، x \rangle$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$\langle a^2, ax\rangle$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

جدول کاراکترهای مشابه روی هر مشخصه ای کار می کند که برابر با 2 نباشد، جایی که عناصر 1،-1،0،2،-2 در میدان تفسیر می شوند.

سیستم های فیوژن

اطلاعات بیشتر: سیستم های همجوشی برای گروه دو وجهی:D8

خلاصه

مورد	مقدار
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع در یک نمونه بتنی از گروه (دقیق، نه تا ایزومورفیسم سیستم های همجوشی)	4
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع تا ایزومورفیسم	3
فهرستی از سیستم های همجوشی اشباع شده با اندازه مدار	سیستم همجوشی داخلی (اندازه مدار 1 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی غیرساده درونی برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 2 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 1)
تعداد سیستم های همجوشی ساده	1
تعداد حداکثر سیستم های همجوشی اشباع شده، به عنوان مثال، سیستم های همجوشی اشباع موجود در سیستم های همجوشی اشباع بزرگتر	1 ( سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 )

شرح سیستم های همجوشی

نوع ایزومورفیسم سیستم همجوشی	تعداد چنین سیستم های همجوشی تحت شمارش دقیق	آیا سیستم همجوشی با استفاده از زیرگروه Sylow از یک گروه محدود قابل تحقق است؟	آیا تابع همانی همجوشی قوی را کنترل می کند؟ این بدان معنی است که تمام فیوژن در نرمال ساز رخ می دهد	آیا سیستم فیوژن ساده است؟	جاسازی کوچکترین اندازه برای تحقق این سیستم همجوشی (در صورت وجود)
سیستم همجوشی داخلی	1	آره	آره	سیستم همجوشی داخلی ساده نیست	به عنوان یک زیر گروه از خودش
سیستم همجوشی غیر ساده داخلی برای گروه دو وجهی: D8	2	آره	خیر	خیر	D8 در S4
سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی:D8	1	آره	خیر	آره	D8 در PSL (3،2)
مجموع (3 ردیف)	4	--	--	--	--

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این گروه منحصر به فرد غیر T با کوچکترین مرتبه است، یعنی کوچکترین نمونه منحصر به فرد گروهی که در آن نرمال بودن متعدی نیست .
این یک گروه پوچی غیرآبلی از کوچکترین مرتبه است، هرچند نه تنها. گروه دیگر از این قبیل گروه کواترنیون است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه از راسته خود است که به گروه اتومورفیسم خود هم شکل است.
این تنها گروه از راسته خود است که یک گروه T نیست .
این تنها گروه از سفارش خود است که دارای دو زیر گروه کلاین است. به طور خاص، مثالی از وضعیتی را ارائه می دهد که در آن تعداد زیرگروه های مرتبه آبلی ابتدایی $p^2$ نه صفر است و نه $1$ مدول $پ$ . این را با مورد فرد مقایسه کنید $پ$ ، که در آن شرط همخوانی تعداد زیرگروه‌های آبلی ابتدایی از مرتبه اول را برای عدد اول فرد داریم .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 3 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،3)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,3);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع IdGroup GAP استفاده کنیم:

IdGroup(G) = [8,3]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 4 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،4)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,4);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع Gap3CatalogueIdGroup GAP استفاده کنیم:

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع GAP استفاده می شود	ترجمه ریاضی توضیحات
DihedralGroup(8)	DihedralGroup	گروه دو وجهی نظم $8$ ، درجه $4$
WreathProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2))	WreathProduct ، CyclicGroup	ضرب اکلیل خارجی دو نسخه از گروه دور ای مرتبه دو
ExtraspecialGroup(2^3،'+')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق‌العاده از نوع «+» برای درجه اول $2$ و مرتبه $2^3$
SylowSubgroup(SymmetricGroup(4),2)	SylowSubgroup و SymmetricGroup	$2$ - زیرگروه Sylow از گروه متقارن درجه چهار
SylowSubgroup(GL(3,2,2)	SylowSubgroup ، GL	زیر گروه $2$ -Sylow از GL(3،2)

شرح بر اساس ارائه

این هم کد:

gap> F := FreeGroup(2);
gap> G := F/[F.1^4, F.2^2, F.2 * F.1 * F.2 * F.1];
<گروه fp در ژنراتورها [f1, f2]>
gap> IdGroup(G);
[8، 3]

گروه $جی$ ساخته شده در اینجا گروه دو وجهی نظم $8$ است. مولد اول $F.1$ به عنصر چرخش مرتبه چهار و مولد دوم به عنصر انعکاس $F.2$ درجه دو نگاشت می شود.

توضیحات طولانی

می توان آن را به عنوان هولومورف گروه دور ای مرتبه چهار توصیف کرد. برای این کار ابتدا $سی$ گروه دور ای مرتبه چهار را تعریف کنید (با استفاده از CyclicGroup )، و سپس از SemidirectProduct و خودریختیGroup استفاده کنید :

C := CyclicGroup(4);
G := SemidirectProduct(خودریختیGroup(C),C);

در اینجا، $جی$ گروه دو وجهی از مرتبه هشت است. همچنین می‌توانیم آن را به‌عنوان یک ضرب نیمه‌مستقیم از چهار گروه کلاین و یک خودریختی درجه دو بسازیم.

K := DirectProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2));
A := خودریختیGroup(K);
S := SylowSubgroup(A,2);
G := SemidirectProduct(S,K);

سپس $جی$ به گروه دو وجهی مرتبه هشت هم شکل است.

تأیید GAP

در زیر پیاده سازی GAP وجود دارد که مقادیر مختلف تابع و ویژگی های گروه را همانطور که در این صفحه بیان شده است تأیید می کند. قبل از شروع، G := DihedralGroup(8) را تنظیم کنید. یا هر روشی معادل برای تنظیم $جی$ دو وجهی مرتبه هشت.

gap> IdGroup(G);
[8، 3]
gap> Order(G);
8
شکاف> توان (G);
4
gap> پوچیClassOfGroup(G);
2

بیشتر: [نمایش بیشتر]

دسته بندی :

گروه های خاص

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی