5-مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

گراف ها

[ ویرایش ]

در نظریه گراف طیفی ، مقدار ویژه یک گراف به عنوان مقدار ویژه ماتریس مجاورت گراف تعریف می شود. $A$ ، یا (به طور فزاینده) از ماتریس لاپلاسی گراف به دلیل عملگر لاپلاس گسسته آن ، که یا- $DA$ (گاهی اوقات لاپلاسی ترکیبی نامیده می شود ) یا $ID^{-1/2}AD^{-1/2}$ (گاهی اوقات لاپلاسی نرمال شده نامیده می شود )، که در آن $D$ یک ماتریس قطری است با $D_{ii}$ برابر با درجه راس $v_{i}$ ، و در $D^{-1/2}$ ، $i$ مبنای دهم است ${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$ . اینک $k$ بردار ویژه اصلی یک گراف به عنوان بردار ویژه زری مربوط به $k$ بزرگترین یا $k$ کوچکترین مقدار ویژه لاپلاس. اولین بردار ویژه اصلی گراف نیز صرفاً به عنوان بردار ویژه اصلی نامیده می شود.

بردار ویژه اصلی برای اندازه گیری مرکزیت رئوس آن استفاده می شود. به عنوان مثال الگوریتم مرتبه صفحه گوگل است . بردار ویژه اصلی یک ماتریس مجاورت اصلاح شده گراف وب جهانی، رتبه های صفحه را به عنوان اجزای آن نشان می دهد. این بردار مربوط به توزیع ثابت زنجیره مارکوف است که با ماتریس مجاورت نرمال شده ردیفی نشان داده شده است. با این حال، ماتریس مجاورت ابتدا باید برای اطمینان از وجود توزیع ثابت اصلاح شود. دومین بردار ویژه کوچک‌ترین می‌تواند برای تقسیم‌بندی گراف به خوشه‌ها از طریق خوشه‌بندی طیفی استفاده شود . روش های دیگری نیز برای خوشه بندی موجود است.

زنجیر مارکوف

[ ویرایش ]

یک زنجیره مارکوف با ماتریسی نشان داده می شود که مبنا های آن احتمالات انتقال بین حالت های یک سیستم هستند. به ویژه مبنا ها غیر منفی هستند و هر ردیف از ماتریس به یک جمع می شود، که مجموع احتمالات انتقال از یک حالت به حالت دیگر سیستم است. قضیه پرون-فروبنیوس شرایط کافی را برای یک زنجیره مارکوف فراهم می‌کند تا یک مقدار ویژه غالب منحصربه‌فرد داشته باشد، که بر همگرایی سیستم به حالت پایدار حاکم است.

تجزیه و تحلیل ارتعاش

شکل حالت یک چنگال تنظیم در فرکانس ویژه 440.09 هرتز

مقاله اصلی: لرزش

مسئلهات ارزش ویژه به طور طبیعی در تحلیل ارتعاش سازه های مکانیکی با درجات آزادی زیاد رخ می دهد . مقادیر ویژه، فرکانس‌های طبیعی (یا فرکانس‌های ویژه ) ارتعاش هستند و بردارهای ویژه شکل‌های این حالت‌های ارتعاشی هستند. به طور خاص، ارتعاش بدون میرا کنترل می شود

$m{\ddot {x}}+kx=0$ یا $m{\ddot {x}}=-kx$

یعنی شتاب متناسب با موقعیت است (یعنی ما انتظار داریم $x$ سینوسی بودن در زمان).

در $n$ ابعاد،ر $m$ تبدیل به یک ماتریس جرمی می شود و $k$ یک ماتریس سختی . سپس راه‌حل‌های قابل قبول، ترکیبی خطی از راه‌حل‌های مسئله ارزش ویژه تعمیم‌یافته هستندک $kx=\omega ^{2}mx$ که $\omega ^{2}$ مقدار ویژه است و $\omega$ فرکانس زاویه ای (موهومی) است . حالت‌های ارتعاش اصلی با حالت‌های انطباق اصلی که بردارهای ویژه هستند متفاوت است. $k$ به تنهایی علاوه بر این، ارتعاش میرایی ، کنترل می شود $m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0$ منجر به یک مسئله به اصطلاح مقدار ویژه درجه دوم می شود ، $\left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.$

این را می توان به یک مسئله ارزش ویژه تعمیم یافته با دستکاری جبری به قیمت حل یک سیستم بزرگتر کاهش داد.

ویژگی‌های متعامد بردارهای ویژه اجازه جداسازی معادلات دیفرانسیل را می‌دهد تا سیستم را بتوان به صورت جمع خطی بردارهای ویژه نشان داد. مسئله ارزش ویژه ساختارهای مختلط اغلب با استفاده از تحلیل اجزای محدود حل می‌شود ، اما راه‌حل را برای مسائل ارتعاشی با ارزش اسکالر تعمیم می‌دهد.

تانسور ممان اینرسی

[ ویرایش ]

در مکانیک ، بردارهای ویژه تانسور ممان اینرسی، محورهای اصلی یک جسم صلب را مشخص می کنند . تانسور گشتاور اینرسی یک کمیت کلیدی است که برای تعیین چرخش جسم صلب به دور مرکز جرمش لازم است .

تانسور استرس

[ ویرایش ]

در مکانیک جامدات ، تانسور تنش متقارن است و بنابراین می‌توان آن را به یک تانسور مورب با مقادیر ویژه روی قطر و بردارهای ویژه تجزیه کرد. از آنجایی که مورب است، در این جهت، تانسور تنش دارای اجزای برشی نیست. اجزایی که دارد اجزای اصلی هستند.

معادله شرودینگر

[ ویرایش ]

توابع موج مرتبط با حالت های محدود یک الکترون در اتم هیدروژن را می توان به عنوان بردارهای ویژه اتم هیدروژن هامیلتونی و همچنین عملگر تکانه زاویه ای مشاهده کرد . آنها با مقادیر ویژه مرتبط هستند که به عنوان انرژی آنها تفسیر می شود (افزایش به سمت پایین $n=1,\,2,\,3,\,\ldots$ ) و تکانه زاویه ای (افزایش در عرض: s، p، ، ...). تصویر مربع قدر مطلق توابع موج را نشان می دهد. مناطق روشن تر با چگالی احتمال بالاتر برای اندازه گیری موقعیت مطابقت دارد . مرکز هر شکل، هسته اتم ، یک پروتون است .

مثالی از یک معادله مقدار ویژه که در آن تبدیل $T$ معادله شرودینگر مستقل از زمان در مکانیک کوانتومی بر حسب عملگر دیفرانسیل نشان داده شده است :

$H\psi _{E}=E\psi _{E}\,$

که $H$ , همیلتونی , یک عملگر دیفرانسیل درجه دوم و $\psi _{E}$ تابع موج یکی از توابع ویژه آن است که با مقدار ویژه مطابقت دارد. $E$ ، به عنوان انرژی آن تعبیر می شود .

با این حال، در موردی که فرد فقط به راه حل های حالت مقید معادله شرودینگر علاقه مند است، به دنبال $\psi _{E}$ در فضای توابع ا پذیر مربع . از آنجایی که این فضا یک فضای هیلبرت با یک ضرب اسکالر کاملاً تعریف شده است ، می توان پایه ای را معرفی کرد که در آن $\psi _{E}$ و $H$ را می توان به ترتیب به صورت یک آرایه یک بعدی (یعنی بردار) و یک ماتریس نشان داد. این به شخص اجازه می دهد تا معادله شرودینگر را به صورت ماتریسی نشان دهد.

نماد bra-ket اغلب در این زمینه استفاده می شود. یک بردار، که حالتی از سیستم را نشان می دهد، در فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع با نشان داده می شود.

$|\Psi _{E}\rangle$ . در این نماد، معادله شرودینگر به صورت زیر است:

$H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle$

که $|\Psi _{E}\rangle$ یک حالت ویژه از $H$ و $E$ مقدار ویژه را نشان می دهد. $H$ یک عملگر خود الحاقی قابل مشاهده ، آنالوگ بی‌بعدی ماتریس‌های هرمیتی است. همانطور که در مورد ماتریس، در معادله بالا $H|\Psi _{E}\rangle$ به عنوان بردار به دست آمده با استفاده از تبدیل درک می شود $H$ به $|\Psi _{E}\rangle$ .

حمل و نقل موج

[ ویرایش ]

نور ، امواج صوتی ، و امواج مایکروویو به طور تصادفی چندین بار در هنگام عبور از یک سیستم بی نظم ساکن پراکنده می شوند . حتی اگر پراکندگی چندگانه به طور مکرر امواج را تصادفی کند، در نهایت انتقال موج منسجم از طریق سیستم یک فرآیند قطعی است که می تواند توسط یک ماتریس انتقال میدان توصیف شود $\mathbf {t}$ . [ 44 ] [ 45 ] بردارهای ویژه اپراتور انتقال $\mathbf {t} ^{\ dagger }\mathbf {t}$ مجموعه‌ای از جبهه‌های ورودی ویژه اختلال را تشکیل می‌دهند که امواج را قادر می‌سازد تا در کانال‌های ویژه سیستم بی‌نظم جفت شوند: امواج مسیرهای مستقل می‌توانند از طریق سیستم عبور کنند. مقادیر ویژه، $\tau$ ، از $\mathbf {t} ^{\ dagger }\mathbf {t}$ مربوط به شدت انتقال مرتبط با هر کانال ویژه است. یکی از ویژگی‌های قابل توجه اپراتور انتقال سیستم‌های انتشار، توزیع مقادیر ویژه دووجهی آنها $\tau _{\max }=1$ و $\tau _{\min }=0$ . [ 45 ] علاوه بر این، یکی از ویژگی‌های چشمگیر کانال‌های ویژه باز، فراتر از انتقال کامل، مشخصات مکانی قوی از نظر آماری کانال‌های ویژه است. [ 46 ]

اوربیتال های مولکولی

[ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی ، و به ویژه در فیزیک اتمی و مولکولی ، در نظریه هارتری-فوک ، اوربیتال های اتمی و مولکولی را می توان با بردارهای ویژه عملگر فوک تعریف کرد . مقادیر ویژه مربوطه به عنوان پتانسیل یونیزاسیون از طریق قضیه کوپمنز تفسیر می شوند . در این مورد، اصطلاح بردار ویژه به معنای کمی کلی تر استفاده می شود، زیرا عملگر فوک به صراحت به اوربیتال ها و مقادیر ویژه آنها وابسته است. بنابراین، اگر کسی بخواهد زیر این جنبه خط بکشد، از مسائل ارزش ویژه غیرخطی صحبت می کند. چنین معادلاتی معمولاً با یک روش تکرار حل می شوند که در این مورد روش میدان خودسازگار نامیده می شود. در شیمی کوانتومی ، اغلب معادله هارتری-فوک را در یک مجموعه پایه غیر متعامد نشان می‌دهد . این نمایش خاص یک مسئله ارزش ویژه تعمیم یافته به نام معادلات روثان است .

زمین شناسی و یخچال شناسی

[ ویرایش ]

این بخش ممکن است برای اکثر خوانندگان برای درک آن بسیار فنی باشد . لطفاً بدون حذف جزئیات فنی، به بهبود آن کمک کنید تا برای افراد غیر متخصص قابل درک باشد . ( دسامبر 2023 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام آشنا شوید )

در زمین‌شناسی ، به‌ویژه در مطالعه یخبندان ، بردارهای ویژه و مقادیر ویژه به‌عنوان روشی استفاده می‌شود که با آن می‌توان انبوهی از اطلاعات جهت گیری و شیب اجزای یک پارچه کلاسست را در یک فضای سه بعدی با شش عدد خلاصه کرد. در این زمینه، یک زمین‌شناس ممکن است چنین داده‌هایی را برای صدها یا هزاران کلاس در یک نمونه خاک جمع‌آوری کند، که فقط می‌توان آن‌ها را به صورت گرافیکی مقایسه کرد، مانند گراف Tri-Plot (اسنید-فولک)، [ 47 ] [ 48 ] یا به عنوان یک گراف استریونت در یک شبکه ولف. [ 49 ]

خروجی تانسور جهت گیری در سه محور متعامد (عمود) فضا است. سه بردار ویژه مرتب شده اند $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}$ توسط مقادیر ویژه آنها $E_{1}\geq E_{2}\geq E_{3}$ ; [ 50 ] $\mathbf {v} _{1}$ سپس جهت گیری/شیب اولیه clast است، $\mathbf {v} _{2}$ ثانویه است و $\mathbf {v} _{3}$ از نظر قدرت درجه سوم است. جهت clast به عنوان جهت بردار ویژه بر روی قطب نما 360 درجه تعریف می شود . شیب به عنوان مقدار ویژه، مدول تانسور اندازه گیری می شود: این مقدار از 0 درجه (بدون شیب) تا 90 درجه (عمودی) است. مقادیر نسبی از $E_{1}$ ، $E_{2}$ ، و $E_{3}$ توسط ماهیت بافت رسوب دیکته می شود. اگر $E_{1}=E_{2}=E_{3}$ ، پارچه ایزوتروپیک گفته می شود. اگر $E_{1}=E_{2}>E_{3}$ ، پارچه را مسطح می گویند. اگر $E_{1}>E_{2}>E_{3}$ ، پارچه را خطی می گویند. [ 51 ]

شماره تکثیر پایه

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: شماره تکثیر پایه

شماره تولید مثل اصلی ( $R_{0}$ ) یک عدد اساسی در مطالعه چگونگی گسترش بیماری های عفونی است. اگر یک فرد عفونی در جمعیتی از افراد کاملاً مستعد قرار گیرد، پس $R_{0}$ میانگین تعداد افرادی است که یک فرد عفونی معمولی به آن مبتلا خواهد شد. زمان تولید عفونت، زمان است، $t_{G}$ ، از ابتلای یک نفر به آلوده شدن فرد بعدی. در یک جمعیت ناهمگن، ماتریس نسل بعدی مشخص می کند که چند نفر در جمعیت پس از مدتی آلوده می شوند. $t_{G}$ گذشت. ارزش $R_{0}$ سپس بزرگترین مقدار ویژه ماتریس نسل بعدی است. [ 52 ] [ 53 ]

صورتهای ویژه

[ ویرایش ]

صورتهای ویژه به عنوان نمونه هایی از بردارهای ویژه

مقاله اصلی: صورتهای ویژه

در پردازش تصویر ، تصاویر پردازش شده از چهره ها را می توان به عنوان بردارهایی دید که اجزای آن روشنایی هر پیکسل است . [ 54 ] بعد این فضای برداری تعداد پیکسل ها است. بردارهای ویژه ماتریس کوواریانس مرتبط با مجموعه بزرگی از تصاویر نرمال شده از چهره ها ، صورتهای ویژه نامیده می شوند . این نمونه ای از تحلیل مؤلفه های اصلی است . آنها برای بیان هر تصویر چهره به صورت ترکیبی خطی از برخی از آنها بسیار مفید هستند. در شاخه تشخیص چهره بیومتریک ، چهره های ویژه ابزاری برای اعمال فشرده سازی داده ها بر روی چهره ها برای اهداف شناسایی فراهم می کنند . تحقیقات مربوط به سیستم های بینایی ویژه که حرکات دست را تعیین می کنند نیز انجام شده است.

مشابه این مفهوم، صداهای ویژه نشان دهنده جهت کلی تغییرپذیری در تلفظ های انسانی یک گفته خاص، مانند یک کلمه در یک زبان است. بر اساس یک ترکیب خطی از این صداهای ویژه، می توان یک تلفظ صوتی جدید از کلمه ایجاد کرد. این مفاهیم در سیستم‌های تشخیص خودکار گفتار برای سازگاری با سخنران مفید بوده است.

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

نظریه ضد ارزش ویژه
اپراتور ویژه
فضا ی خاص
لحظات ویژه
الگوریتم ارزش ویژه
حالات کوانتومی
فرم معمولی جردن
لیست نرم افزارهای تحلیل عددی
مسئله ویژه غیرخطی
مقدار ویژه معمولی
مسئله ارزش ویژه درجه دوم
ارزش مفرد
طیف یک ماتریس

https://en.wikipeia.org/wiki/Eigenvalues_an_eigenvectors

+ نوشته شده در سه شنبه بیستم آذر ۱۴۰۳ ساعت 21:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

مقادیر ویژه و توابع ویژه عملگرهای دیفرانسیل

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: توابع ویژه

تعاریف مقدار ویژه و بردارهای ویژه یک تبدیل خطی T حتی اگر فضای برداری زیربنایی یک فضای بی‌بعد هیلبرت یا باناخ باشد، معتبر باقی می‌ماند . دسته‌ای از تبدیل‌های خطی پرکاربرد که بر روی فضاهای بی‌بعدی عمل می‌کنند، عملگرهای دیفرانسیل در فضاهای تابعی هستند . فرض کنید D یک عملگر دیفرانسیل خطی در فضای C ∞ از توابع حقیقی بی نهایت متفاوت یک آرگومان حقیقی t باشد . معادله مقدار ویژه برای D معادله دیفرانسیل است

$Df(t)=\lambda f(t)$

توابعی که این معادله را برآورده می کنند بردارهای ویژه D هستند و معمولاً به آنها توابع ویژه می گویند .

مثال عملگر مشتق

[ ویرایش ]

عملگر مشتق را در نظر بگیرید ${\tfrac {d}{dt}}$ با معادله ارزش ویژه

${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).$

این معادله دیفرانسیل را می توان با ضرب هر دو طرف در dt / f ( t ) و ادغام حل کرد . راه حل آن، تابع نمایی

$f(t)=f(0)e^{\lambda t},$ تابع ویژه عملگر مشتق است. در این مورد، تابع ویژه خود تابعی از مقدار ویژه مرتبط با آن است. به طور خاص، برای λ = 0، تابع ویژه f ( t ) یک ثابت است.

مقاله تابع اصلی مثال‌های دیگری ارائه می‌کند.

تعریف کلی

[ ویرایش ]

مفهوم مقادیر ویژه و بردارهای ویژه به طور طبیعی به تبدیل های خطی دلخواه در فضاهای برداری دلخواه گسترش می یابد. فرض کنید V یک فضای برداری بر روی یک میدان K از اسکالرها باشد ، و اجازه دهید T یک تبدیل خطی باشد که V را به V نگاشت ، $T:V\to V.$

ما می گوییم که یک بردار غیرصفر v ∈ V بردار ویژه T است اگر و فقط در صورتی که یک عدد اسکالر λ ∈ K وجود داشته باشد به طوری که

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v}.$ ( 5 )

این معادله معادله مقدار ویژه برای T نامیده می شود و λ اسکالر مقدار ویژه T مربوط به بردار ویژه v است . T ( v ) نتیجه اعمال تبدیل T به بردار v است ، در حالی که λ v حاصلضرب λ اسکالر با v است . [ 37 ] [ 38 ]

فضاهای ویژه، کثرت هندسی و پایه ویژه

[ ویرایش ]

با توجه به مقدار ویژه λ ، مجموعه را در نظر بگیرید

$E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \راست\}،$

که اتحاد بردار صفر با مجموعه تمام بردارهای ویژه مرتبط با λ است . E فضای ویژه یا فضای مشخصه T مرتبط با λ نامیده می شود . [ 39 ]

با تعریف تبدیل خطی

${\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y})&=T(\mathbf {x})+T(\mathbf {y})،\\T(\alpha \ mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x})،\end{تراز شده}}$

برای x , y ∈ V و α ∈ K . بنابراین، اگر u و v بردارهای ویژه T مرتبط با مقدار ویژه λ ، یعنی u ، v ∈ E باشند ، آنگاه

${\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v})،\\T(\alpha \mathbf { v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v}).\end{تراز شده}}$

بنابراین، u + v و α v یا صفر هستند یا بردارهای ویژه T مرتبط با λ ، یعنی u + v ، α v ∈ E ، و E تحت جمع و ضرب اسکالر بسته است. بنابراین فضای ویژه E مرتبط با λ یک زیرفضای خطی از V است . [ 40 ] اگر آن زیرفضا بعد 1 داشته باشد، گاهی اوقات به آن خط ویژه می گویند . [ 41 ]

تعدد هندسی γT ( λ ) یک مقدار ویژه λ بعد فضای ویژه مرتبط با λ است ، یعنی حداکثر تعداد بردارهای ویژه مستقل خطی مرتبط با آن مقدار ویژه. [ 9 ] [ 26 ] [ 42 ] با تعریف مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، γT ( λ ) ≥ 1 است زیرا هر مقدار ویژه حداقل یک بردار ویژه دارد.

فضاهای ویژه T همیشه یک جمع مستقیم را تشکیل می دهند . در نتیجه، بردارهای ویژه مقادیر ویژه مختلف همیشه به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین، مجموع ابعاد فضاهای ویژه نمی تواند از بعد n فضای برداری که T روی آن عمل می کند بیشتر شود و نمی تواند بیش از n مقدار ویژه مجزا وجود داشته باشد. [ د ]

هر زیرفضایی که توسط بردارهای ویژه T قرار گرفته باشد ، یک زیرفضای غیرمتغیر T است و محدودیت T به چنین زیرفضایی قابل قطریابی است. علاوه بر این، اگر کل فضای برداری V را بتوان توسط بردارهای ویژه T در بر گرفت ، یا به طور معادل اگر مجموع مستقیم فضاهای ویژه مرتبط با تمام مقادیر ویژه T کل فضای برداری V باشد، می توان مبنایی از V به نام پایه ویژه ایجاد کرد. از بردارهای ویژه مستقل خطی T تشکیل شده است . وقتی T یک پایه ویژه را می پذیرد، T قابل قطری است.

نظریه طیفی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه طیفی

اگر λ یک مقدار ویژه از T باشد ، عملگر ( T - λI ) یک به یک نیست و بنابراین معکوس آن ( T - λI )^-1 وجود ندارد. این عکس برای فضاهای برداری با ابعاد محدود صادق است، اما برای فضاهای برداری بی‌بعدی صادق نیست. به طور کلی، عملگر ( T - λI ) ممکن است معکوس نداشته باشد حتی اگر λ یک مقدار ویژه نباشد.

به همین دلیل، در تحلیل تابعی، مقادیر ویژه را می توان به طیف یک عملگر خطی T به عنوان مجموعه ای از همه اسکالرهای λ تعمیم داد که عملگر ( T - λI ) هیچ معکوس محدودی ندارد . طیف یک عملگر همیشه شامل تمام مقادیر ویژه آن است اما محدود به آنها نیست.

جبرهای انجمنی و نظریه نمایش

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: وزن (نظریه نمایش)

می‌توان شی جبری را که روی فضای برداری عمل می‌کند تعمیم داد، و یک عملگر منفرد را که روی یک فضای برداری عمل می‌کند با یک نمایش جبری - یک جبر انجمنی که روی یک مدول عمل می‌کند، جایگزین کرد . مطالعه چنین اقداماتی حوزه نظریه نمایش است .

مفهوم تئوریک نمایش وزن، آنالوگ مقادیر ویژه است، در حالی که بردارهای وزن و فضاهای وزنی به ترتیب آنالوگ بردارهای ویژه و فضاهای ویژه هستند.

هکه شیف ویژه یک تانسور چندگانه از خودش است و در مکاتبات لنگ لاندز در نظر گرفته می شود .

معادلات دینامیک

[ ویرایش ]

ساده ترین معادلات تفاوت شکل دارند

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{tk}.$

حل این معادله برای x بر حسب t با استفاده از معادله مشخصه آن به دست می آید

$\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{ k}=0،$

که با چیدن در ماتریس مجموعه ای از معادلات متشکل از معادله تفاوت فوق و معادلات k – 1 پیدا می شود.

$x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1},$ یک سیستم k بعدی مرتبه اول در بردار متغیر انباشته داده می شود

${\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}$ بر حسب مقدار یک بار تاخیر آن و با در نظر گرفتن معادله مشخصه ماتریس این سیستم. این معادله k ریشه مشخصه می دهدλ1،…،λک، $\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k},$ برای استفاده در معادله حل

$x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.$

یک روش مشابه برای حل یک معادله دیفرانسیل از فرم استفاده می شود

${\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1} }}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.$

محاسبه

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: الگوریتم مقدار ویژه

محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه موضوعی است که در آن نظریه، همانطور که در کتاب های درسی جبر خطی ابتدایی ارائه شده است، اغلب از عمل بسیار دور است.

روش کلاسیک

[ ویرایش ]

روش کلاسیک این است که ابتدا مقادیر ویژه را پیدا کنید و سپس بردارهای ویژه را برای هر مقدار ویژه محاسبه کنید. از چند جهت برای محاسبات غیردقیق مانند ممیز شناور مناسب نیست .

مقادیر ویژه

[ ویرایش ]

مقادیر ویژه یک ماتریس $A$ را می توان با یافتن ریشه های چند جمله ای مشخصه تعیین کرد. این برای ×ماتریس، اما دشواری به سرعت با اندازه ماتریس افزایش می یابد.

در تئوری، ضرایب چند جمله ای مشخصه را می توان دقیقاً محاسبه کرد، زیرا آنها مجموع حاصل از عناصر ماتریس هستند. و الگوریتم‌هایی وجود دارند که می‌توانند تمام ریشه‌های یک چند جمله‌ای با درجه دلخواه را با دقت لازم پیدا کنند . [ 43 ] با این حال، این رویکرد در عمل قابل دوام نیست زیرا ضرایب توسط خطاهای گرد کردن اجتناب ناپذیر آلوده می شوند ، و ریشه های یک چند جمله ای می توانند تابع بسیار حساس ضرایب باشند (همانطور که در چند جمله ای ویلکینسون نشان داده شده است ). [ 43 ] حتی برای ماتریس هایی که عناصر آنها اعداد صحیح هستند، محاسبه غیر ضروری می شود، زیرا مجموع آن ها بسیار طولانی است. جمله ثابت تعیین کننده است که برای یک $n\times n$ ماتریس مجموع است $n!$ ضربهای مختلف [ e ]

فرمول‌های جبری صریح برای ریشه‌های یک چند جمله‌ای تنها در صورتی وجود دارند که درجه باشند $n$ 4 یا کمتر است. طبق قضیه آبل-روفینی هیچ فرمول جبری کلی، صریح و دقیقی برای ریشه های یک چند جمله ای با درجه 5 یا بیشتر وجود ندارد. (کلییت مهم است زیرا هر چند جمله ای با درجهn $n$ چند جمله ای مشخصه برخی از ماتریس های مرتبه استn $n$ .) بنابراین، برای ماتریس های مرتبه 5 یا بیشتر، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را نمی توان با یک فرمول جبری صریح به دست آورد، بنابراین باید با روش های عددی تقریبی محاسبه شوند . حتی فرمول دقیق برای ریشه های یک چند جمله ای درجه 3 از نظر عددی غیر عملی است.

بردارهای ویژه

[ ویرایش ]

هنگامی که مقدار (دقیق) یک مقدار ویژه مشخص شد، بردارهای ویژه مربوطه را می توان با یافتن جواب های غیرصفر معادله مقدار ویژه یافت، که تبدیل به سیستمی از معادلات خطی با ضرایب شناخته شده می شود. به عنوان مثال، زمانی که مشخص شد 6 یک مقدار ویژه ماتریس است

$A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}$

با حل معادله می توانیم بردارهای ویژه آن را پیدا کنیم

$Av=6v$ ، یعنی

${\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\ پایان{bmatrix}}$

این معادله ماتریسی معادل دو معادله خطی است

$\left\{{\begin{aligned}4x+y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.$ یعنی

$\left\{{\begin{aligned}-2x+y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.$

هر دو معادله به یک معادله خطی کاهش می یابد

$y=2x$ . بنابراین، هر بردار از فرم

${\begin{bmatrix}a&2a\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ ، برای هر عدد حقیقی غیر صفر $a$ ، بردار ویژه ای از $A$ با ارزش ویژه

$\lambda =6$ .

ماتریس $A$ بالا یک مقدار ویژه دیگر دارد $\lambda =1$ . یک محاسبه مشابه نشان می دهد که بردارهای ویژه مربوطه، راه حل های غیر صفر هستند $3x+y=0$ ، یعنی هر بردار فرم ${\begin{bmatrix}b&-3b\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ ، برای هر عدد حقیقی غیر صفر $b$ .

روش های تکراری ساده

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: تکرار قدرت

رویکرد معکوس، یعنی ابتدا جستجوی بردارهای ویژه و سپس تعیین هر مقدار ویژه از بردار ویژه آن، برای کامپیوترها بسیار قابل قبول تر است. ساده ترین الگوریتم در اینجا شامل انتخاب یک بردار شروع دلخواه و سپس ضرب مکرر آن با ماتریس (به طور اختیاری عادی سازی بردار برای حفظ عناصر آن در اندازه معقول) است. این باعث می شود که بردار به سمت یک بردار ویژه همگرا شود. یک تغییر این است که در عوض بردار را در ضرب کنیم

$(A-\mu I)^{-1}$ ; این باعث می شود که به بردار ویژه نزدیکترین مقدار ویژه همگرا شود

$\mu \in \mathbb {C}$ .

اگرv $\mathbf {v}$ (تقریبی خوب از) بردار ویژه است $A$ ، سپس مقدار ویژه مربوطه را می توان به صورت محاسبه کرد

$\lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}$

که $\mathbf {v} ^{*}$ نشان دهنده جابجایی مزدوج است $\mathbf {v}$ .

روش های مدرن

[ ویرایش ]

روش‌های کارآمد و دقیق برای محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس‌های دلخواه تا زمانی که الگوریتم QR در سال 1961 طراحی شد، شناخته نشده بود . [ نیاز به منبع ] برای ماتریس‌های پراکنده هرمیتی بزرگ ، الگوریتم لانکزوس یکی از نمونه‌های روش تکراری کارآمد برای محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، در میان چندین احتمال دیگر است. [ 43 ]

اکثر روش‌های عددی که مقادیر ویژه یک ماتریس را محاسبه می‌کنند، مجموعه‌ای از بردارهای ویژه متناظر را نیز به عنوان ضرب فرعی محاسبه تعیین می‌کنند، اگرچه گاهی اوقات پیاده‌کننده‌ها تصمیم می‌گیرند که اطلاعات بردار ویژه را به محض اینکه دیگر مورد نیاز نباشد، کنار بگذارند.

برنامه های کاربردی

[ ویرایش ]

تحولات هندسی

[ ویرایش ]

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه می توانند برای درک تبدیل خطی اشکال هندسی مفید باشند. جدول زیر چند نمونه تبدیل در صفحه را به همراه ماتریس های 2×2، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه آنها ارائه می دهد.

مقادیر ویژه تبدیلات هندسی

مقیاس بندیمقیاس بندی نابرابرچرخش برش افقیچرخش هایپربولیک

تصویرسازی

ماتریس ${\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}$

چند جمله ای مشخصه $\ (\lambda -k)^{2}$ $(\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})$ $\lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1$

$\ (\lambda -1)^{2}$ $\lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1$

مقادیر ویژه، $\lambda _{i}$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=k$ ${\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^ {-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$ ${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{- \varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{تراز شده}}$

مولتی جبری ،
$\mu _{i}=\mu (\lambda _{i})$ $\mu _{1}=2$ ${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$ $\mu _{1}=2$ ${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$

مولتی هندسی ،
$\gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})$ $\gamma _{1}=2$ ${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$ $\gamma _{1}=1$ ${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$

بردارهای ویژه همه بردارهای غیر صفر ${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={ \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&= {\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ $\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={ \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

معادله مشخصه یک چرخش یک معادله درجه دوم با تفکیک است

$D=-4(\sin \theta )^{2}$ ، که هرگاه θ مضرب صحیح 180 درجه نباشد یک عدد منفی است . بنابراین، به جز این موارد خاص، دو مقدار ویژه اعداد مختلط هستند.

$\cos \theta \pm i\sin \theta$ ; و همه بردارهای ویژه دارای ورودی های غیر حقیقی هستند. در واقع، به جز موارد خاص، یک چرخش جهت هر بردار غیر صفر را در صفحه تغییر می دهد.

یک تبدیل خطی که یک مربع را به یک مستطیل از همان ناحیه می برد ( نگاشت فشرده ) دارای مقادیر ویژه متقابل است.

تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی

[ ویرایش ]

PCA توزیع گاوسی چند متغیره با محوریت $(1،3)$ با انحراف استاندارد 3 در تقریبا $(0.878,0.478)$ جهت و از 1 در جهت متعامد. بردارهای نشان داده شده بردارهای ویژه واحدی از ماتریس کوواریانس (متقارن، مثبت-نیمه معین) هستند که با جذر مقدار ویژه مربوطه مقیاس شده اند. همانطور که در حالت تک بعدی، جذر گرفته می شود زیرا انحراف معیار به راحتی قابل مشاهده است تا واریانس .

مقاله اصلی: تحلیل مؤلفه های اصلی

همچنین ببینید: ماتریس نیمه معین مثبت و تحلیل عاملی

تجزیه ویژه یک ماتریس نیمه معین مثبت متقارن (PSD) مبنایی متعامد از بردارهای ویژه را به دست می دهد که هر کدام دارای یک مقدار ویژه غیرمنفی هستند. تجزیه متعامد یک ماتریس PSD در تجزیه و تحلیل چند متغیره استفاده می شود ، که در آن ماتریس های کوواریانس نمونه PSD هستند. این تجزیه متعامد در آمار، آنالیز مؤلفه اصلی (PCA) نامیده می شود. PCA روابط خطی بین متغیرها را مطالعه می کند. PCA بر روی ماتریس کوواریانس یا ماتریس همبستگی (که در آن هر متغیر برای داشتن واریانس نمونه آن برابر با یک مقیاس بندی می شود) انجام می شود . برای ماتریس کوواریانس یا همبستگی، بردارهای ویژه با مؤلفه های اصلی و مقادیر ویژه به واریانس توضیح داده شده توسط مؤلفه های اصلی مطابقت دارند. تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی ماتریس همبستگی یک مبنای متعامد برای فضای داده‌های مشاهده‌شده فراهم می‌کند: بر این اساس، بزرگترین مقادیر ویژه مربوط به مؤلفه‌های اصلی است که با بیشتر هم‌واریایی‌پذیری در میان تعدادی از داده‌های مشاهده‌شده مرتبط است.

تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی به عنوان ابزاری برای کاهش ابعاد در مطالعه مجموعه داده های بزرگ ، مانند آنهایی که در بیوانفورماتیک با آن مواجه می شوند، استفاده می شود . در روش Q ، مقادیر ویژه ماتریس همبستگی، قضاوت روش‌شناس Q را در مورد اهمیت عملی تعیین می‌کند (که با اهمیت آماری آزمون فرضیه متفاوت است ؛ معیارهای تعیین تعداد عوامل را رجوع کنید ). به طور کلی، تحلیل مؤلفه های اصلی می تواند به عنوان روشی برای تحلیل عاملی در مدل سازی معادلات ساختاری استفاده شود .

+ نوشته شده در سه شنبه بیستم آذر ۱۴۰۳ ساعت 21:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

مقادیر ویژه و چند جمله ای مشخصه

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چند جمله‌ای مشخصه

معادله ( 2 ) یک راه حل غیرصفر v دارد اگر و فقط اگر دترمینان ماتریس ( A - λI ) صفر باشد. بنابراین، مقادیر ویژه A مقادیر λ هستند که معادله را برآورده می کنند

$\det(A-\lambda I)=0$ ( 3 )

با استفاده از فرمول لایب نیتس برای دترمینان ها ، سمت چپ معادله ( 3 ) یک تابع چند جمله ای از متغیر λ است و درجه این چند جمله ای n ، ترتیب ماتریس A است . ضرایب آن به ورودی های A بستگی دارد ، با این تفاوت که ترم درجه n آن همیشه (-1) n λ n است . این چند جمله ای را چند جمله ای مشخصه A می نامند . معادله ( 3 ) را معادله مشخصه یا معادله سکولار A می نامند .

قضیه اساسی جبر دلالت بر این دارد که چند جمله ای مشخصه یک n در n ماتریس A که یک چند جمله ای درجه n است ، می تواند در حاصل ضرب n جمله خطی لحاظ شود.

$\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda)\cdots (\lambda _{n}-\lambda)،$ ( 4 )

که در آن هر λ i ممکن است حقیقی باشد اما به طور کلی یک عدد مختلط است. اعداد λ 1 , λ 2 , ... , λ n که ممکن است همه مقادیر متمایز نداشته باشند ریشه های چند جمله ای هستند و مقادیر ویژه A هستند .

به عنوان یک مثال کوتاه که بعداً در بخش مثال ها با جزئیات بیشتر توضیح داده شده است، ماتریس را در نظر بگیرید ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$

با در نظر گرفتن دترمینان ( A - λI ) ، چند جمله ای مشخصه A برابر است با. $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.$

با تنظیم چند جمله ای مشخصه برابر با صفر، دارای ریشه های λ=1 و λ=3 است که دو مقدار ویژه A هستند . بردارهای ویژه مربوط به هر مقدار ویژه را می توان با حل مولفه های v در معادله پیدا کرد. $\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ . در این مثال، بردارهای ویژه هر مضرب اسکالر غیر صفر هستند

$\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={ \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$

اگر ورودی‌های ماتریس A همگی اعداد حقیقی باشند، ضرایب چند جمله‌ای مشخصه نیز اعداد حقیقی خواهند بود، اما مقادیر ویژه ممکن است هنوز دارای بخش‌های غیرصفری فرضی باشند. بنابراین، ورودی های بردارهای ویژه متناظر ممکن است دارای بخش های غیرصفری غیرصفر باشند. به طور مشابه، مقادیر ویژه ممکن است اعداد غیر منطقی باشند حتی اگر تمام ورودی های A اعداد گویا باشند یا حتی اگر همه اعداد صحیح باشند. با این حال، اگر ورودی های A همه اعداد جبری هستند ، که شامل گویا نیز می شود، مقادیر ویژه نیز باید اعداد جبری باشند.

ریشه‌های غیر حقیقی یک چند جمله‌ای حقیقی با ضرایب حقیقی را می‌توان به جفت‌های مزدوج مختلط گروه‌بندی کرد ، یعنی دو عضو هر جفت دارای بخش‌های خیالی هستند که فقط در علامت و یک قسمت حقیقی متفاوت هستند. اگر درجه فرد باشد، بر اساس قضیه مقدار متوسط حداقل یکی از ریشه ها حقیقی است. بنابراین، هر ماتریس حقیقی با ترتیب فرد حداقل دارای یک مقدار ویژه حقیقی است، در حالی که یک ماتریس حقیقی با ترتیب زوج ممکن است هیچ ارزش ویژه حقیقی نداشته باشد. بردارهای ویژه مرتبط با این مقادیر ویژه مختلط نیز مختلط هستند و همچنین در جفت های مزدوج مختلط ظاهر می شوند.

طیف یک ماتریس

[ ویرایش ]

طیف یک ماتریس لیستی از مقادیر ویژه است که بر اساس چندگانگی تکرار می شود . در یک نماد جایگزین مجموعه ای از مقادیر ویژه با چندگانگی آنها.

یک کمیت مهم مرتبط با طیف، حداکثر مقدار مطلق هر مقدار ویژه است. این به عنوان شعاع طیفی ماتریس شناخته می شود.

چندگانگی جبری

[ ویرایش ]

فرض کنید λ i یک مقدار ویژه از n در n ماتریس A باشد . چندگانگی جبری μ A ( λ i ) مقدار ویژه، چندگانگی آن به عنوان ریشه چند جمله ای مشخصه است، یعنی بزرگترین عدد صحیح k به طوری که ( λ - λ i ) k به طور مساوی آن چند جمله ای را تقسیم می کند. [ 9 ] [ 25 ] [ 26 ]

فرض کنید یک ماتریس A دارای بعد n و d ≤ n مقادیر ویژه متمایز است. در حالی که معادله ( 4 ) چند جمله‌ای مشخصه A را در حاصل ضرب n جمله خطی با برخی از جمله‌ها به طور بالقوه تکرار می‌کند، می‌توان چند جمله‌ای مشخصه را نیز به‌عنوان حاصل ضرب d جمله‌هایی نوشت که هر یک به یک مقدار ویژه متمایز مربوط می‌شوند و به توان آن افزایش می‌یابد. چندگانگی جبری،

$\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\ lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda)^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.$

اگر d = n باشد ، سمت راست حاصل ضرب n جمله خطی است و این همان معادله ( 4 ) است. اندازه چندگانگی جبری هر مقدار ویژه با بعد n as مرتبط است

${\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{ d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{تراز شده}}$

اگر μ A ( λ i ) = 1 باشد، می گویند λ i یک مقدار ویژه ساده است . [ 26 ] اگر μ A ( λ i ) برابر است با چندگانگی هندسی λ i , γ A ( λ i ) که در بخش بعدی تعریف شده است، آنگاه می گویند λ i یک مقدار ویژه نیمه ساده است .

فضاهای ویژه، چندگانگی هندسی و مبنای ویژه برای ماتریس ها

[ ویرایش ]

با توجه به یک مقدار ویژه λ از n توسط n ماتریس A ، مجموعه E را همه بردارهایی v که معادله ( 2 ) را برآورده می کنند، تعریف کنید.

$E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.$

از یک طرف، این مجموعه دقیقاً هسته یا فضای خالی ماتریس است ( A - λI ). از سوی دیگر، طبق تعریف، هر بردار غیرصفری که این شرط را برآورده کند، بردار ویژه A مرتبط با λ است . بنابراین، مجموعه E ، اتحاد بردار صفر با مجموعه تمام بردارهای ویژه A مرتبط با λ است ، و E برابر است با فضای خالی ( A - λI ). E به فضای ویژه یا فضای مشخصه A مرتبط با λ گفته می شود . [ 27 ] [ 9 ] به طور کلی λ یک عدد مختلط است و بردارهای ویژه n با 1 ماتریس مختلط هستند. یکی از ویژگی های فضای پوچ این است که یک زیرفضای خطی است ، بنابراین E یک زیرفضای خطی $\mathbb {C} ^{n}$ .

از آنجایی که فضای ویژه E یک زیرفضای خطی است، در صورت جمع بسته می شود . یعنی اگر دو بردار u و v متعلق به مجموعه E باشند که u , v ∈ E نوشته می شود ، آنگاه ( u + v ) ∈ E یا معادل A ( u + v ) = λ ( u + v ) . این را می توان با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب ماتریس بررسی کرد. به همین ترتیب، چون E یک زیرفضای خطی است، تحت ضرب اسکالر بسته می شود. یعنی اگر v ∈ E و α یک عدد مختلط باشد ( α v ) ∈ E یا معادل آن A ( α v ) = λ ( α v ) . این را می توان با توجه به اینکه ضرب ماتریس های مختلط در اعداد مختلط جابجایی است بررسی کرد . تا زمانی که u + v و α v صفر نباشند، بردارهای ویژه A مرتبط با λ هستند .

بعد فضای ویژه E مرتبط با λ ، یا معادل آن حداکثر تعداد بردارهای ویژه مستقل خطی مرتبط با λ ، به عنوان چندگانگی هندسی مقدار ویژه نامیده می شود. $\gamma _{A}(\lambda )$ . از آنجایی که E نیز فضای تهی ( A - λI ) است، چندگانگی هندسی λ بعد فضای خالی ( A - λI ) است، که به آن تهی ( A - λI ) نیز می گویند ، که به بعد و رتبه مربوط می شود. ( A − λI ) به عنوان

$\gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).$

به دلیل تعریف مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، چندگانگی هندسی یک مقدار ویژه باید حداقل یک باشد، یعنی هر مقدار ویژه حداقل یک بردار ویژه مرتبط داشته باشد. علاوه بر این، چندگانگی هندسی یک مقدار ویژه نمی تواند از چندگانگی جبری آن بیشتر شود. علاوه بر این، به یاد بیاورید که چندگانگی جبری یک مقدار ویژه نمی تواند از n تجاوز کند

$1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n$

برای اثبات نابرابری

$\gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )$ ، در نظر بگیرید که چگونه تعریف چندگانگی هندسی دلالت بر وجود دارد $\gamma _{A}(\lambda )$ بردارهای ویژه متعارف

${\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}$ ، طوری که

$A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}$ . بنابراین ما می توانیم یک ماتریس (یونیتی) پیدا کنیمV $V$ اولین کسی که $\gamma _{A}(\lambda )$ ستون‌ها این بردارهای ویژه هستند و ستون‌های باقی‌مانده آن‌ها می‌توانند هر مجموعه متعارفی باشند $n-\gamma _{A}(\lambda )$ بردارهای متعامد به این بردارهای ویژه از $A$ . سپسV $V$ دارای رتبه کامل و بنابراین معکوس است. در حال ارزیابی $D:=V^{T}AV$ ، ماتریسی به دست می آوریم که بلوک بالای سمت چپ آن ماتریس مورب است $\lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}$ . این را می توان با ارزیابی عملکرد سمت چپ با بردارهای پایه ستون اول مشاهده کرد. با سازماندهی مجدد و اضافه کردن $-\xi V$ در هر دو طرف، ما دریافت می کنیم $(A-\xi I)V=V(D-\xi I)$ از آنجایی که $I$ رفت و آمد با $V$ . به عبارت دیگر،

$A-\xi I$ شبیه $D-\xi I$ ، است و $\det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)$ . اما از تعریف $D$ ، ما این را می دانیم $\det(D-\xi I)$ حاوی یک عامل

$(\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}$ ، به این معنی که چندگانگی جبری از $\lambda$ باید راضی کند

$\mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )$ .

فرض کنید

$A$ دارد $d\leq n$ مقادیر ویژه متمایز $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$ ، که در آن چندگانگی هندسی از $\lambda _{i}$ است $\gamma _{A}(\lambda _{i})$ . چندگانگی هندسی

کل $A$ ${\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i})،\\d&\leq \ گاما _{A}\leq n،\end{تراز شده}}$

بعد مجموع تمام فضاهای ویژه است $A$ مقادیر ویژه یا معادل آن حداکثر تعداد بردارهای ویژه مستقل خط $A$ . اگر $\gamma _{A}=n$ ، سپس

مجموع مستقیم فضاهای ویژه همه $A$ مقادیر ویژه کل فضای برداری است $\mathbb {C} ^{n}$ .
پایه ای از $\mathbb {C} ^{n}$ می توان از $n$ بردارهای ویژه مستقل خطی از $A$ ; چنین مبنایی پایه ویژه نامیده می شود
هر بردار در $\mathbb {C} ^{n}$ را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارهای ویژه نوشت $A$ .

+ نوشته شده در سه شنبه بیستم آذر ۱۴۰۳ ساعت 20:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

"ریشه مشخصه" به اینجا هدایت می شود. برای ریشه یک معادله مشخصه، به معادله مشخصه (حساب حساب) مراجعه کنید .

در جبر خطی ، بردار ویژه ( / ˈ aɪ ɡ ən -/ EYE -gən- ) یا بردار مشخصه ، برداری است که جهت آن با یک تبدیل خطی مشخص تغییر نکرده (یا معکوس شده است) . به طور دقیق تر، یک بردار ویژه،v $\mathbf {v}$ ، یک تبدیل خطی، $T$ ، با یک عامل ثابت مقیاس بندی می شود ، $\lambda$ ، هنگامی که تبدیل خطی به آن اعمال می شود: $T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ . مقدار ویژه مربوطه ، مقدار مشخصه یا ریشه مشخصه عامل ضرب است $\lambda$ (احتمالا منفی).

از نظر هندسی، بردارها کمیت های چند بعدی با قدر و جهت هستند که اغلب به صورت فلش نشان داده می شوند. یک تبدیل خطی بردارهایی را که بر آنها اثر می‌گذارد می‌چرخاند ، کشیده یا برش می‌دهد . بردارهای ویژه آن بردارهایی هستند که فقط کشیده می شوند و نه چرخش دارند و نه برش. مقدار ویژه مربوطه عاملی است که توسط آن بردار ویژه کشیده یا فشرده می شود. اگر مقدار ویژه منفی باشد، جهت بردار ویژه معکوس می شود. [ 1 ]

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک تبدیل خطی برای مشخص کردن آن استفاده می‌کنند، و بنابراین نقش مهمی در همه مناطقی که جبر خطی در آن اعمال می‌شود، از زمین‌شناسی گرفته تا مکانیک کوانتومی ، ایفا می‌کنند . به طور خاص، اغلب اتفاق می افتد که یک سیستم با یک تبدیل خطی نشان داده می شود که خروجی های آن به عنوان ورودی به همان تبدیل تغذیه می شوند ( بازخورد ). در چنین برنامه‌ای، بزرگترین مقدار ویژه از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است، زیرا بر رفتار بلندمدت سیستم پس از بسیاری از کاربردهای تبدیل خطی حاکم است و بردار ویژه مرتبط، حالت پایدار سیستم است.

تعریف

[ ویرایش ]

یک را در نظر بگیرید $n{\times }n$ ماتریس A و یک بردار غیر صفر $\mathbf {v}$ از طول. $n.$ اگر A را در ضرب کنیم $\mathbf {v}$ (مشخص شده باv $A\mathbf {v}$ ) به سادگی ترازو $\mathbf {v}$ با ضریب λ ، که در آن λ یک اسکالر است ، پس $\mathbf {v}$ بردار ویژه A نامیده می شود و λ مقدار ویژه مربوطه است. این رابطه را می توان به صورت زیر بیان کرد: $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ . [ 2 ]

مطابقت مستقیمی بین n - در - n ماتریس مربع و تبدیل‌های خطی از یک فضای برداری n بعدی به خودش، با توجه به هر مبنایی از فضای برداری وجود دارد. از این رو، در یک فضای برداری با ابعاد محدود، معادل تعریف مقادیر ویژه و بردارهای ویژه با استفاده از زبان ماتریس ها یا زبان تبدیل های خطی است. [ 3 ] [ 4 ]

بخش زیر دیدگاه کلی تری را ارائه می دهد که فضاهای برداری بی بعدی را نیز پوشش می دهد .

نمای کلی

[ ویرایش ]

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه در تجزیه و تحلیل تبدیل های خطی برجسته هستند. پیشوند eigen- از کلمه آلمانی eigen ( همزاد با کلمه انگلیسی own ) برای «مناسب»، «ویژگی»، «خود» گرفته شده است. [ 5 ] [ 6 ] در اصل برای مطالعه محورهای اصلی حرکت چرخشی اجسام صلب ، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه کاربردهای گسترده ای دارند، به عنوان مثال در تجزیه و تحلیل پایداری ، تجزیه و تحلیل ارتعاش ، اوربیتال های اتمی ، تشخیص چهره ، و قطری ماتریس .

در اصل، یک بردار ویژه v یک تبدیل خطی T یک بردار غیر صفر است که وقتی T روی آن اعمال شود، تغییر جهت نمی دهد. اعمال T بر بردار ویژه تنها بردار ویژه را با مقدار اسکالر λ که یک مقدار ویژه نامیده می شود، مقیاس می کند. این شرط را می توان به صورت معادله نوشتتی(v)=λv، $T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v}،$ به عنوان معادله ارزش ویژه یا معادله ویژه شناخته می شود . به طور کلی، λ ممکن است هر اسکالر باشد . برای مثال، λ ممکن است منفی باشد، در این صورت بردار ویژه به عنوان بخشی از مقیاس بندی جهت معکوس می کند، یا ممکن است صفر یا مختلط باشد .

در این نگاشت برشی، فلش قرمز تغییر جهت می دهد، اما فلش آبی تغییر نمی کند. فلش آبی بردار ویژه این نگاشت برشی است زیرا جهت آن را تغییر نمی دهد و از آنجایی که طول آن بدون تغییر است، مقدار ویژه آن 1 است.

یک ماتریس حقیقی و متقارن 2×2 که نشان دهنده کشش و برش صفحه است. بردارهای ویژه ماتریس (خطوط قرمز) دو جهت خاص هستند به طوری که هر نقطه روی آنها فقط روی آنها می لغزد.

مثال در اینجا، بر اساس مونالیزا ، یک تصویر ساده ارائه می دهد. هر نقطه روی نقاشی را می توان به عنوان یک بردار نشان داد که از مرکز نقاشی به آن نقطه اشاره می کند. تبدیل خطی در این مثال نگاشت برشی نامیده می شود . نقاط در نیمه بالایی به سمت راست و نقاط نیمه پایینی به سمت چپ منتقل می شوند، متناسب با فاصله آنها از محور افقی که از وسط نقاشی می گذرد. بنابراین، بردارهایی که به هر نقطه در تصویر اصلی اشاره می‌کنند، به راست یا چپ متمایل می‌شوند و با تبدیل طولانی‌تر یا کوتاه‌تر می‌شوند. هنگام اعمال این تبدیل، نقاط در امتداد محور افقی اصلاً حرکت نمی کنند. بنابراین، هر بردار که مستقیماً به راست یا چپ و بدون مولفه عمودی اشاره می کند، بردار ویژه این تبدیل است، زیرا نگاشت جهت آن را تغییر نمی دهد. علاوه بر این، این بردارهای ویژه همگی دارای مقدار ویژه برابر با یک هستند، زیرا نگاشت طول آنها را نیز تغییر نمی دهد.

تبدیل های خطی می توانند اشکال مختلفی داشته باشند، بردارها را در فضاهای برداری مختلف نگاشت می کنند، بنابراین بردارهای ویژه نیز می توانند اشکال مختلفی داشته باشند. برای مثال، تبدیل خطی می تواند یک عملگر دیفرانسیل باشددد ${\tfrac {d}{dx}}$ ، در این صورت بردارهای ویژه توابعی هستند به نام توابع ویژه که توسط آن عملگر دیفرانسیل مقیاس بندی می شوند، ماننددد. ${\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.$ از طرف دیگر، تبدیل خطی می تواند به شکل یک ماتریس n در n باشد ، در این صورت بردارهای ویژه n در 1 ماتریس هستند. اگر تبدیل خطی به شکل n با n ماتریس A بیان شود ، معادله مقدار ویژه برای تبدیل خطی بالا می تواند به صورت ضرب ماتریس بازنویسی شود.، $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}،$ که در آن بردار ویژه v یک ماتریس n در 1 است. برای یک ماتریس، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را می توان برای تجزیه ماتریس استفاده کرد - برای مثال با قطری کردن آن.

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بسیاری از مفاهیم ریاضی مرتبط را به وجود می آورند و پیشوند eigen- به طور آزادانه هنگام نامگذاری آنها به کار می رود:

مجموعه تمام بردارهای ویژه یک تبدیل خطی، که هر کدام با مقدار ویژه متناظر خود جفت شده اند، سیستم ویژه آن تبدیل نامیده می شود. [ 7 ] [ 8 ]
مجموعه تمام بردارهای ویژه T مربوط به مقدار ویژه یکسان، همراه با بردار صفر، یک فضای ویژه یا فضای مشخصه T مرتبط با آن مقدار ویژه نامیده می شود. [ 9 ]
اگر مجموعه ای از بردارهای ویژه T پایه دامنه T را تشکیل دهد ، آنگاه به این مبنا ، پایه ویژه می گویند .

تاریخچه

[ ویرایش ]

مقادیر ویژه اغلب در زمینه جبر خطی یا نظریه ماتریس معرفی می شوند . با این حال، از نظر تاریخی، آنها در مطالعه اشکال درجه دوم و معادلات دیفرانسیل به وجود آمدند .

در قرن هجدهم، لئونارد اویلر حرکت چرخشی یک جسم صلب را مطالعه کرد و اهمیت محورهای اصلی را کشف کرد . [ a ] جوزف-لوئیس لاگرانژ متوجه شد که محورهای اصلی بردارهای ویژه ماتریس اینرسی هستند. [ 10 ]

در اوایل قرن نوزدهم، آگوستین-لوئی کوشی دید که چگونه می توان از کار آنها برای طبقه بندی سطوح چهارگانه استفاده کرد و آن را به ابعاد دلخواه تعمیم داد. [ 11 ] کوشی همچنین اصطلاح racine caractéristique (ریشه مشخصه) را برای چیزی که امروزه ارزش ویژه نامیده می شود ابداع کرد . اصطلاح او در معادله مشخصه باقی می ماند . [ ب ]

بعدها، جوزف فوریه از کار لاگرانژ و پیر سیمون لاپلاس برای حل معادله گرما با جداسازی متغیرها در رساله خود در سال 1822 با عنوان نظریه تحلیلی گرما (Théorie analytique de la chaleur) استفاده کرد . [ 12 ] چارلز فرانسوا استورم ایده های فوریه را بیشتر توضیح داد و آنها را مورد توجه کوشی قرار داد که آنها را با ایده های خود ترکیب کرد و به این حقیقیت رسید که ماتریس های متقارن حقیقی دارای مقادیر ویژه حقیقی هستند. [ 11 ] این توسط چارلز هرمیت در سال 1855 به آنچه امروزه ماتریس های هرمیتی نامیده می شود گسترش یافت . [ 13 ]

تقریباً در همان زمان، فرانچسکو بریوسکی ثابت کرد که مقادیر ویژه ماتریس‌های متعامد روی دایره واحد قرار دارند ، [ 11 ] و آلفرد کلبش نتیجه مربوطه را برای ماتریس‌های کج متقارن یافت . [ 13 ] سرانجام، کارل وایرشتراس جنبه مهمی را در نظریه پایداری که توسط لاپلاس آغاز شد، با درک اینکه ماتریس های معیوب می توانند باعث بی ثباتی شوند، روشن کرد. [ 11 ]

در این بین، جوزف لیوویل مسائل مربوط به مقدار ویژه را مشابه مسائل Sturm مطالعه کرد. رشته‌ای که در نتیجه کار آنها رشد کرد، اکنون نظریه استورم-لیویل نامیده می‌شود . [ 14 ] شوارتز اولین ارزش ویژه معادله لاپلاس را در حوزه های عمومی در اواخر قرن 19 مطالعه کرد، در حالی که پوانکاره معادله پواسون را چند سال بعد مطالعه کرد . [ 15 ]

در آغاز قرن بیستم، دیوید هیلبرت با مشاهده عملگرها به عنوان ماتریس های بی نهایت، مقادیر ویژه عملگرهای انتگرال را مطالعه کرد. [ 16 ] او اولین کسی بود که در سال 1904 از کلمه آلمانی eigen که به معنای "خود" است، [ 6 ] برای نشان دادن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه استفاده کرد، [ c ] اگرچه ممکن است از کاربرد مرتبط هرمان فون هلمهولتز پیروی کرده باشد . برای مدتی، اصطلاح استاندارد در انگلیسی "ارزش مناسب" بود، اما اصطلاح متمایزتر "ارزش ویژه" استاندارد امروزی است. [ 17 ]

اولین الگوریتم عددی برای محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه در سال 1929 ظاهر شد، زمانی که ریچارد فون میزس روش توان را منتشر کرد . یکی از محبوب ترین روش های امروزی، الگوریتم QR ، به طور مستقل توسط جان جی اف فرانسیس [ 18 ] و ورا کوبلانوفسکایا [ 19 ] در سال 1961 ارائه شد . [ 20 ] [ 21 ]

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس ها

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: بردار اقلیدسی و ماتریس (ریاضیات)

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه اغلب در چارچوب دروس جبر خطی متمرکز بر ماتریس ها به دانش آموزان معرفی می شوند. [ 22 ] [ 23 ] علاوه بر این، تبدیل‌های خطی در یک فضای برداری با ابعاد محدود را می‌توان با استفاده از ماتریس‌ها نشان داد، [ 3 ] [ 4 ] که به ویژه در کاربردهای عددی و محاسباتی رایج است. [ 24 ]

ماتریس A با کشش بردار x عمل می کند و جهت آن را تغییر نمی دهد، بنابراین x بردار ویژه A است .

n بردار بعدی را در نظر بگیرید که به صورت لیستی از n عدد اسکالر تشکیل شده اند، مانند بردارهای سه بعدی.. $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{ bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.$

به این بردارها مضربهای اسکالر یکدیگر، یا موازی یا هم خطی گفته می شود ، اگر λ اسکالر وجود داشته باشد به طوری که. $\mathbf {x} =\lambda \mathbf {y}.$

در این مورد، $\lambda =-{\frac {1}{20}}$ .

اکنون تبدیل خطی بردارهای n بعدی تعریف شده توسط n به n ماتریس A را در نظر بگیرید ،v=w، $A\mathbf {v} =\mathbf {w}،$ ${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\ begin{bmatrix }w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ جایی که برای هر ردیف

$w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n} A_{ij}v_{j}.$

اگر اتفاق بیفتد که v و w مضرب اسکالر هستند، این اگر باشد

$A\mathbf {v} =\mathbf {w} =\lambda \mathbf {v}،$ ( 1 )

سپس v یک بردار ویژه تبدیل خطی A است و ضریب مقیاس λ مقدار ویژه مربوط به آن بردار ویژه است . معادله ( 1 ) معادله مقدار ویژه برای ماتریس A است .

معادله ( 1 ) را می توان به صورت معادل بیان کرد

$\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} ,$ ( 2 )

که در آن I ماتریس هویت n در n و 0 بردار صفر است.

+ نوشته شده در سه شنبه بیستم آذر ۱۴۰۳ ساعت 20:57 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سیستم زیر را از طریق حذف گاوس -جردن حل کنید

حذف گاوس -جردن

روشی برای حل یک سیستم خطی معادلات . این کار با تبدیل ماتریس افزوده شده سیستم به شکل ردیفی کاهش یافته با استفاده از عملیات ردیف انجام می شود .

https://www.mathwords.com/g/gauss-jordan_elimination.htm

+ نوشته شده در یکشنبه دهم دی ۱۴۰۲ ساعت 19:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سیستم زیر را از طریق حذف گاوسی حل کنید

حذف گاوسی

روشی برای حل یک سیستم خطی معادلات . این کار با تبدیل ماتریس افزوده شده سیستم به شکل سطری با استفاده از عملیات سطری انجام می شود . سپس سیستم با تعویض برگشتی حل می شود .

+ نوشته شده در یکشنبه دهم دی ۱۴۰۲ ساعت 18:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سیستم زیر را از طریق حذف گاوسی حل کنید

راه حل : ماتریس تقویت شده سیستم را به شکل مثلث کاهش دهید:

این ماتریس مربوط به سیستم است

که معادل سیستم اولیه است.

اکنون راه حل را می توان به راحتی پیدا کرد:

بنابراین ما راه حل را به دست می آوریم

بررسی اینکه این مجموعه از مقادیر مجهولات همه معادلات داده شده را برآورده می کند دشوار نیست.

مثال 2

تمام جواب های سیستم معادلات را از طریق حذف گاوسی بیابید

راه حل : سیستم را می توان با ماتریس تقویت شده نشان داد. با اعمال عملیات ردیف خطی که به دست می آوریم

ردیف سوم با معادله مطابقت دارد

که هیچ راه حلی ندارد

بنابراین، سیستم داده شده ناسازگار است.

مثال 3

برای حل سیستم معادلات از حذف گاوسی استفاده کنید

راه‌حل : با تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس تقویت‌شده را می‌توان به شکل ردیفی کاهش داد.

این ماتریس دارای رتبه 3 و مربوط به سیستم است

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم

سپس به دست می آوریم

متغیر x 4 را می توان به عنوان یک پارامتر دلخواه c در نظر گرفت ، صرف نظر از مقدار آن که مقادیر باقیمانده x 1 ، x 2 و x 3 تمام معادلات سیستم داده شده را به هویت کاهش می دهند.

بنابراین سیستم راه حل کلی زیر را دارد:

هر مقدار خاص از c یک راه حل خاص از سیستم می دهد. برای مثال با تنظیم c = 0 یک راه حل خاص به دست می آوریم

اگر c = 2 باشد ، یک راه حل خاص بدست می آوریم

نتیجه گیری : سیستم داده شده دارای بی نهایت راه حل است.

بررسی راه حل : اجازه دهید بررسی کنیم که مجموعه مقادیر

, , ,

سیستم معادلات داده شده را برآورده می کند:

این درست است.

https://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/English_sites/M/s_GaussE.htm

+ نوشته شده در یکشنبه دهم دی ۱۴۰۲ ساعت 18:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس یکانی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای ماتریس‌هایی که دارای قائم به میدان عدد حقیقی هستند، به ماتریس متعامد مراجعه کنید. برای محدودیت در تکامل مجاز سیستم های کوانتومی که مجموع احتمالات همه نتایج ممکن هر رویداد را تضمین می کند همیشه برابر با 1 است، به وحدت مراجعه کنید. الف>

در جبر خطی، یک ماتریس مربع مختلط معکوس U یکانی است اگر باشد ترانهاده مزدوج U* نیز معکوس

$U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,$

که در آن I ماتریس همانی است.

در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی، جابه‌جایی مزدوج به عنوان هرمیتین الحاقی یک ماتریس شناخته می‌شود و با علامت < نشان داده می‌شود. (†)، بنابراین معادله بالا نوشته شده است خنجر

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$

برای اعداد حقیقی، آنالوگ یک ماتریس یکانی یک ماتریس متعامد است. . ماتریس های یکانی در مکانیک کوانتومی اهمیت قابل توجهی دارند زیرا نرمها و بنابراین، دامنه های احتمال< را حفظ می کنند. a i=8>.

خواص[ویرایش]

برای هر ماتریس یکانی U با اندازه محدود، موارد زیر را نگه دارید:

با توجه به دو بردار مختلط x و y، ضرب توسط U ضرب داخلی خود را حفظ می کند. یعنی 〈Ux، Uy〉 .
U طبیعی است ( $U^{*}U=UU^{*}$ ).
U قطری شدنی است. یعنی U به طور یکانی شبیه به یک ماتریس قطری است. نتیجه قضیه طیفی. بنابراین، U دارای تجزیه به شکل است. $U=VDV^{*}،$ که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
$\left|\det(U)\right|=1$ . به این معنا که، $\det(U)$ روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
فضاهای ویژه آن متعامد هستند.
U را می توان به صورت U = e< نوشت >H است.ماتریس هرمیتی یک یکانی مختلط است و i، است ماتریس نمایی نشان دهنده e، که در آن iH

برای هر عدد صحیح n غیر منفی، مجموعه همه n * n ماتریس های یکانی با ضرب ماتریس یک گروه. (n)Uگروه یکانی ، به نام

هر ماتریس مربعی با نرم اقلیدسی یکانی، میانگین دو ماتریس یکانی است.<[1]

شرایط معادل[ویرایش]

اگر U یک ماتریس مربع و مختلط باشد، شرایط زیر معادل هستند:[2 ]

$U$ یکانی است
$U^{*}$ یکانی است
$U$ معکوس است با $U^{-1}=U^{*}$ .
ستون های $U$ از مبنای متعارف از تشکیل می شود $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $U^{*}U=I$ .
ردیف های $U$ یک پایه متعارف از $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $UU^{*}=I$ .
$U$ یک ایزومتی با توجه به نرم معمول است. یعنی $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ برای همه $x\in \mathbb {C} ^{n}$ ، جایی که ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$ .
$U$ یک ماتریس نرمال است (به طور معادل، یک مبنای متعارف وجود دارد که توسط بردارهای ویژه تشکیل شده است. $U$ ) با مقدارهای ویژه که روی دایره یکانی قرار دارد.

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**

یک عبارت کلی از ماتریس یکانی *2 2 است

$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix} },\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,$

که به 4 پارامتر حقیقی بستگی دارد (فاز a، فاز b چنین ماتریسی باشد تعیین). فرم به گونه ای پیکربندی شده است که φ، و زاویه b و a، قدر نسبی بین

$\det(U)=e^{i\varphi }~.$

زیر گروه آن عناصر $\ U\$ با $\ \det(U)=1\$ گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.

در میان چندین شکل جایگزین، ماتریس U را می توان به این شکل نوشت:

$\ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^ {-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,$

آ $\ e^{i\alpha }\cos \theta =a\$ و ه ، $\ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,$ بالا و زوایای $\ \varphi،\alpha،\beta،\theta \$ می تواند هر مقداری را بگیرد.

از طریق معرفی $\\alpha =\psi +\delta \$ و ، $\ \beta =\psi -\delta \ ,$ فاکتورسازی زیر را دارد:

$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\ begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }& 0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.$

این عبارت رابطه بین 2*2 ماتریس های یکانی و 2 * 2 . θ زاویه ماتریس های متعامد

فاکتورگیری دیگر<[3] است

$U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.$

بسیاری از عوامل دیگر یک ماتریس یکانی در ماتریس های پایه امکان پذیر است.[4][5][6]<[7]

همچنین ببینید<[ویرایش]

ماتریس هرمیتی و

ماتریس کج-هرمیتین

تجزیه ماتریس
گروه متعامد O(n)
گروه متعامد خاص SO(n)
ماتریس متعامد
ماتریس نیمه متعامد
دروازه منطق کوانتومی
گروه یونیتی ویژه SU(n)
ماتریس سمپلتیک
گروه یکانی U(n)
اپراتور یکانی

مراجع ]ویرایش]

^ لی، چی کوانگ؛ پون، ادوارد (2002). "تجزیه افزودنی ماتریس های حقیقی". جبر خطی و چند خطی. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.
^ هورن، راجر آ. جانسون، چارلز آر (2013). تحلیل ماتریس. انتشارات دانشگاه کمبریج. doi:10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
^ فور، هارتموت؛ Rzeszotnik، Ziemowit (2018). "نکته ای در مورد فاکتورگیری ماتریس های یکانی". جبر خطی و کاربردهای آن. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN0024-3795. S2CID125455174.
^ ویلیامز، کالین پی. (2011). "دروازه های کوانتومی". در ویلیامز، کالین پی. اکتشافات در محاسبات کوانتومی. متون در علوم کامپیوتر. لندن، انگلستان: Springer. پ. 82. doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2 ISBN 978-1-84628-887-6.
^ نیلسن، M.A.؛ چوانگ، آیزاک (2010). محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی. کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
^ بارنکو، آدریانو؛ بنت، چارلز اچ. کلیو، ریچارد؛ دیوینچنزو، دیوید پی. مارگولوس، نورمن؛ شور، پیتر؛ و همکاران (1 نوامبر 1995). "دروازه های ابتدایی برای محاسبات کوانتومی". بازبینی فیزیکی A. انجمن فیزیک آمریکا (APS). 52 (5): 3457–3467، esp.p. 3465. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN1050-2947. PMID9912645. S2CID8764584.
^ مرویان، ایمان (10 ژانویه 2022). "محدودیت‌های عملیات یکانی قابل تحقق که توسط تقارن و محل اعمال می‌شود". فیزیک طبیعت. 18 (3): 283-289. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN1745-2481. S2CID245840243.
همچنین ببینید:
Alhambra، lvaro M. (10 ژانویه 2022). "ممنوع با تقارن". اخبار & بازدیدها فیزیک طبیعت. 18 (3): 235–236. doi:10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN 1745-2481. S2CID 256745894. فیزیک سیستم های بزرگ اغلب به عنوان نتیجه عملیات محلی در میان اجزای آن درک می شود. اکنون نشان داده شده است که این تصویر ممکن است در سیستم های کوانتومی که برهمکنش های آنها توسط تقارن محدود شده است ناقص باشد.

پیوندهای خارجی[ویرایش]

وایسستاین، اریک دبلیو. "ماتریس یکانی". MathWorld. تاد رولند.
Ivanova, O. A. (2001) [1994]، "ماتریس یکانی"، دانشنامه ریاضیات، پرس EMS
"نشان دهید که مقادیر ویژه یک ماتریس یکانی دارای مدول 1 هستند". Stack Exchange. 28 مارس 2016

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و ششم آذر ۱۴۰۲ ساعت 11:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس هرمیتین یا خود الحاقی

در این پست متوجه خواهید شد که ماتریس هرمیتی چیست که به عنوان ماتریس خود الحاقی نیز شناخته می شود. نمونه‌هایی از ماتریس‌های هرمیتی، تمام خواص و فرمول آن را خواهید یافت. در نهایت، نحوه تجزیه هر ماتریس مختلط را به مجموع یک ماتریس هرمیتی به اضافه یک ماتریس اریب-هرمیتی توضیح می دهیم.

فهرست مطالب

ماتریس هرمیتین (یا خود الحاقی) چیست؟
نمونه هایی از ماتریس های هرمیتی
خواص ماتریس هرمیت
فرمول ماتریس هرمیتی
تجزیه یک ماتریس مختلط به یک ماتریس هرمیتی و یک ماتریس کج-هرمیتی

ماتریس هرمیتین (یا خود الحاقی) چیست؟

تعریف ماتریس هرمیتی به شرح زیر است:

ماتریس هرمیتی یا ماتریس خود الحاقی نیز نامیده می شود، ماتریس مربعی با اعداد مختلط است که مشخصه برابری با ترانهاده مزدوج آن را دارد. بنابراین، همه ماتریس های هرمیت دارای شرایط زیر هستند:

A=A^H

جایی که A H ترانهاده مزدوج ماتریس A است.

ببینید: چگونه می توان ترانهاده مزدوج مختلط یک ماتریس را پیدا کرد.

جالب اینجاست که این نوع ماتریس به افتخار چارلز هرمیت، ریاضیدان فرانسوی قرن نوزدهم که تحقیقات مهمی در ریاضیات، به ویژه در زمینه جبر خطی انجام داد، نامگذاری شده است.

دلیل نامگذاری این ماتریس این بود که او نشان داد که مقادیر ویژه این ماتریس های عجیب و غریب همیشه اعداد حقیقی هستند، اما در زیر در ویژگی های ماتریس های هرمیتی به تفصیل توضیح خواهیم داد.

نمونه هایی از ماتریس های هرمیتی

هنگامی که معنای ماتریس هرمیتی (یا ماتریس خود الحاقی) را دیدیم، بیایید چند نمونه از ماتریس های هرمیتی با ابعاد مختلف را ببینیم:

نمونه ای از ماتریس هرمیتی با ابعاد 2×2

نمونه ای از یک ماتریس هرمیتی با ابعاد 2x2

نمونه ای از ماتریس هرمیتی با ابعاد 3×3

نمونه ای از ماتریس هرمیتی با ابعاد 3x3

نمونه ای از ماتریس هرمیتی با ابعاد 4×4

نمونه ای از ماتریس هرمیتی با ابعاد 4*4

همه این ماتریس ها هرمیتی هستند زیرا ترانهاده مزدوج هر ماتریس برابر با خود هر ماتریس است.

خواص ماتریس هرمیت

ماتریس های هرمیت دارای ویژگی های زیر هستند:

هر ماتریس هرمیتی یک ماتریس معمولی است. اگرچه همه ماتریس های نرمال ماتریس هرمیتی نیستند.

هر ماتریس هرمیتی با یک ماتریس واحد قابل قطریابی است. همچنین، ماتریس قطری به دست آمده فقط شامل عناصر حقیقی است.

بنابراین، مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی همیشه اعداد حقیقی هستند. این ویژگی توسط چارلز هرمیت کشف شد و به همین دلیل او را با نامیدن این ماتریس بسیار خاص هرمیتیان مفتخر کرد.

یک ماتریس هرمیتی دارای بردارهای ویژه متعامد برای مقادیر ویژه مختلف است. و این نوع ماتریس ها همیشه دارای یک مبنای متعارف از $\mathbb{C}^ n$ بردارهای ویژه ماتریس هستند.

هر ماتریس متقارن حقیقی نیز هرمیتی است. به عنوان مثال ماتریس هویت 2×2.

یک ماتریس هرمیتی را می توان به صورت مجموع یک ماتریس متقارن حقیقی به اضافه یک ماتریس موهومی متقارن بیان کرد .

A = B + Ci

جمع (یا تفریق) دو ماتریس هرمیتی برابر با ماتریس هرمیتی دیگری است، زیرا:

$(A\pm B)^H = A^H\pm B^H = A \pm B$

حاصل حاصل ضرب یک ماتریس هرمیتی و یک اسکالر در صورتی که عدد اسکالر یک عدد حقیقی باشد، ماتریس هرمیتی دیگری را ایجاد می کند.

$(k \cdot A)^H = \overline{k}\cdot A^H = k \cdot A$

حاصل ضرب دو ماتریس هرمیتی به طور کلی دوباره هرمیتی نیست. با این حال، زمانی که دو ماتریس جابجا شوند، حاصل ضرب هرمیتی است، به عبارت دیگر، نتیجه ضرب هر دو ماتریس بدون توجه به ترتیب ضرب آنها یکسان است، زیرا شرط زیر برآورده می شود:

$(A \cdot B)^* = B^*\cdot A^* = B \cdot A = A \cdot B$

اگر یک ماتریس هرمیتی یک ماتریس غیر منفرد باشد ، معکوس این ماتریس نیز یک ماتریس هرمیتی است.

$(A^{-1})^H = (A^H)^{-1} = A^{-1}$

دترمینان یک ماتریس هرمیتی همیشه معادل یک عدد حقیقی است. در اینجا اثبات این خاصیت است:

$det(A) = det(A^T) \\longrightarrow \ det(A^H) = \overline{det(A)}$

بنابراین، اگر A=A^H :

$det(A) = \overline{det(A)}$

بنابراین، برای تحقق این شرط، لزوماً الزامی است که دترمینان یک ماتریس هرمیتی باید یک عدد حقیقی باشد. بنابراین، مزدوج نتیجه با خود نتیجه برابر است.

فرمول ماتریس هرمیتی

ماتریس های هرمیتی فرمولی بسیار آسان برای به خاطر سپردن دارند: آنها با اعداد حقیقی روی قطر اصلی تشکیل می شوند و عنصر مختلط واقع در ردیف i و ستون j باید مزدوج مختلط عنصری باشد که در آن قرار دارد. j- سطر و ستون i.

در اینجا چندین مثال از کاربرد فرمول ماتریس هرمیتی آورده شده است:

ماتریس هرمیتین مرتبه 2

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b\\[1.1ex] \overline{b} & c \end{pmatrix}$

ماتریس هرمیتین مرتبه 3

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c \\[1.1ex] \overline{b} & d & e \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{e} & f\end{pmatrix}$

ماتریس هرمیتین مرتبه 4

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c & d \\[1.1ex] \overline{b} & e & f & g \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{f} & h & i \\[1.1ex] \overline{d} & \overline{g} & \overline{i} & j \end{pmatrix}$

تجزیه یک ماتریس مختلط به یک ماتریس هرمیتی و یک ماتریس کج-هرمیتی

هر ماتریس با عناصر مختلط را می توان به مجموع یک ماتریس هرمیتی به اضافه یک ماتریس شیبدار هرمیتی دیگر تجزیه کرد . اما برای انجام این کار باید ویژگی های زیر را در این نوع ماتریس ها بدانیم:

مجموع یک ماتریس مختلط مربع به اضافه جابجایی مزدوج آن منجر به یک ماتریس هرمیتی می شود.

$C + C^H = \text{ماتریس هرمیتین}$

تفاوت بین یک ماتریس مختلط مربعی و جابه‌جایی مزدوج آن منجر به یک ماتریس کج-هرمیتی می‌شود.

$C - C^H= \text{ماتریس Skew-Hermitian}$

بنابراین، تمام ماتریس های مختلط را می توان به مجموع یک ماتریس هرمیت و یک ماتریس کج-هرمیتی تجزیه کرد. این قضیه به تجزیه تئوپلیتز معروف است :

$\displaystyle \begin{array}{c} C = A + B \\[2ex] A = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^H) \qquad B = \cfrac{1}{2 } \cdot (CC^H)\end{آرایه}$

در جایی که C ماتریس مختلطی است که می‌خواهیم تجزیه کنیم، C H جابه‌جایی مزدوج آن، و در نهایت A و B به ترتیب ماتریس‌های هرمیتین و ماتریس هرمیتی اریب هستند که ماتریس C به آن تجزیه می‌شود.

منبع

https://www.algebrapracticeproblems.com/hermitian-self-adjoint-matrix/

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و یکم خرداد ۱۴۰۲ ساعت 1:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مزدوج مختلط (پیچیده) یک ماتریس

در این پست توضیح می دهیم که ماتریس مزدوج چیست و چگونه می توان مزدوج مختلط یک ماتریس را پیدا کرد. علاوه بر این، نمونه ای از مزدوج یک ماتریس و تمام ویژگی های این نوع ماتریس را به شما نشان می دهیم.

فهرست مطالب

ماتریس مزدوج چیست؟

تعریف ماتریس مزدوج پیچیده به شرح زیر است.

ماتریس مزدوج ماتریس مختلطی است که تمام عناصر آن با مزدوج های مختلط خود جایگزین شده اند، یعنی علامت قسمت مختلط تمام اعداد مختلط آن تغییر کرده است.

ماتریس مزدوج با یک نوار افقی بالای آن نشان داده می شود: $\overline{A}.$

مثالی از مزدوج یک ماتریس

وقتی معنی ماتریس مزدوج را دیدیم، بیایید مثالی را برای درک کامل مفهوم ببینیم:

مثالی از یک ماتریس مزدوج 3x3،

ماتریس $\overline{A}$ مزدوج ماتریس A است، زیرا تمام ورودی های ماتریس $\overline{A}$ مزدوج هستند. به عبارت دیگر، اعداد در ماتریس $\overline{A}$ دارای قسمت واقعی یکسان با اعداد در ماتریس A هستند، اما قسمت مختلط آنها دارای علامت مخالف هستند.

خواص ماتریس مزدوج

ویژگی های ماتریس مزدوج به شرح زیر است:

مزدوج یک ماتریس مزدوج منجر به ماتریس اصلی می شود.

$\displaystyle \overline{\bigl( \ \overline{A} \vphantom{A^{9^1}} \ \bigr)} = A$

اضافه کردن (یا تفریق) دو ماتریس و به هم پیوستن نتیجه، مانند این است که ابتدا دو ماتریس را به طور جداگانه به هم متصل کنید و سپس آنها را جمع کنید (یا تفریق کنید).

$\displaystyle \overline{\bigl(A \pm B \bigr)} = \overline{A} \pm \overline{B}$

ببینید: جمع و تفریق ماتریس ها .

حاصلضرب مزدوج دو ماتریس برابر است با مزدوج کردن دو ماتریس به طور جداگانه و سپس محاسبه ضرب ماتریس.

$\displaystyle \overline{\bigl(A \cdot B \bigr)} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

نگاه کنید به: ضرب ماتریسی .

ضرب یک ماتریس در یک اسکالر و به هم زدن نتیجه مانند این است که ابتدا مزدوج های اسکالر و ماتریس را انجام داده و سپس حاصل را حل کنیم.

$\displaystyle \overline{\bigl(k \cdot A \bigr)} = \overline{k} \cdot \overline{A}$

جابجایی یک ماتریس و سپس کونژوگه کردن آن مانند این است که ابتدا ماتریس را مزدوج کرده و سپس انتقال آن را محاسبه کنیم.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^T \bigr)} = \left( \overline{A}\right)^T$

با محاسبه معکوس یک ماتریس و سپس مزدوج آن، ابتدا ماتریس و سپس معکوس آن یکسان است.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^{-1} \bigr)} = \left(\overline{A} \راست)^{-1}$

رتبه یک ماتریس مزدوج برابر با رتبه ماتریس اصلی است

$\displaystyle rk\left(\overline{A}\right) =rk(A)$

محاسبه اثرماتریس مزدوج یا محاسبه رد ماتریس غیر مزدوج و سپس انجام مزدوج نتیجه بی تفاوت است.

$\displaystyle tr\left(\overline{A}\right) =\overline{tr(A)}$

در نهایت، یافتن دترمینان یک ماتریس مزدوج برابر است با محاسبه مزدوج حاصل از دترمینان ماتریس اصلی.

$\displaystyle det\left(\overline{A}\right) = \overline{det(A)}$

منبع

https://www.algebrapracticeproblems.com/complex-conjugate-of-a-matrix/

+ نوشته شده در یکشنبه سیزدهم فروردین ۱۴۰۲ ساعت 11:16 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-تبدیل فوریه

قضیه پلانچرل و قضیه پارسوال [ ویرایش ]

فرض کنید f ( x ) و g ( x ) انتگرال پذیر باشند و f̂ ( ξ ) و ĝ ( ξ ) تبدیل فوریه آنها باشند. اگر f ( x ) و g ( x ) نیز مربع انتگرال پذیر باشند ، فرمول پارسوال به شرح زیر است: [17]

$\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx= \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,$

که در آن نوار نشان دهنده صرف پیچیده است .

قضیه پلانچرل که از مطالب فوق نتیجه می گیرد بیان می کند که [18]

$\|f\|_{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .$

قضیه پلانچرل این امکان را فراهم می‌کند که تبدیل فوریه را با استدلال پیوستگی به یک عملگر واحد در L 2 ( R ) بسط دهیم . در L 1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) ، این پسوند با تبدیل فوریه اصلی تعریف شده در L 1 ( R ) مطابقت دارد ، بنابراین دامنه تبدیل فوریه به L 1 ( R ) + L 2 ( R ) بزرگ می شود (و در نتیجه به L p ( R )برای 1 ≤ p ≤ 2 ). قضیه پلانچرل در علوم این تعبیر را دارد که تبدیل فوریه انرژی کمیت اصلی را حفظ می کند. اصطلاحات این فرمول ها کاملاً استاندارد نیست. قضیه پارسوال فقط برای سری فوریه اثبات شد و اولین بار توسط لیاپانوف اثبات شد. اما فرمول پارسوال برای تبدیل فوریه نیز منطقی است، و بنابراین حتی اگر در زمینه تبدیل فوریه توسط پلانچرل ثابت شد، هنوز هم اغلب به عنوان فرمول پارسوال، یا رابطه پارسوال، یا حتی قضیه پارسوال از آن یاد می شود.

دوگانگی Pontryagin را برای فرمول بندی کلی این مفهوم در زمینه گروه های آبلی فشرده محلی ببینید.

فرمول جمع پواسون [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول جمع پواسون

فرمول جمع پواسون (PSF) معادله ای است که ضرایب سری فوریه جمع تناوبی یک تابع را به مقادیر تبدیل فوریه پیوسته تابع مرتبط می کند. فرمول جمع پواسون می گوید که برای توابع به اندازه کافی منظم f ،

$\sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).$

دارای انواع مختلفی از اشکال مفید است که با استفاده از خواص مقیاس‌پذیری و تغییر زمان تبدیل فوریه از شکل اصلی به دست می‌آیند. این فرمول در مهندسی، فیزیک و نظریه اعداد کاربرد دارد. دو دامنه فرکانس فرمول جمع پواسون استاندارد تبدیل فوریه گسسته زمان نیز نامیده می شود .

جمع پواسون به طور کلی با فیزیک محیط های تناوبی مانند هدایت گرما روی یک دایره مرتبط است. جواب اصلی معادله گرما روی یک دایره تابع تتا نامیده می شود . در تئوری اعداد برای اثبات ویژگی‌های تبدیل توابع تتا استفاده می‌شود، که معلوم می‌شود یک نوع شکل مدولار است ، و به طور کلی به نظریه اشکال اتومورفیک متصل است، جایی که در یک طرف فرمول ردیابی سلبرگ ظاهر می‌شود .

تمایز [ ویرایش ]

فرض کنید f ( x ) یک تابع کاملاً متمایز پیوسته است و هم f و هم مشتق آن f' قابل انتگرال هستند. سپس تبدیل فوریه مشتق به دست می آید

${\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=2\ pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).$

به طور کلی تر، تبدیل فوریه n امین مشتق f ( n ) با استفاده از

${\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}} f(x)\right\}=(2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi).$

با اعمال تبدیل فوریه و استفاده از این فرمول ها می توان برخی از معادلات دیفرانسیل معمولی را به معادلات جبری تبدیل کرد که حل آنها بسیار آسان تر است. این فرمول‌ها همچنین قاعده کلی را ایجاد می‌کنند که " f ( x ) صاف است اگر و فقط اگر f̂ ( ξ ) به سرعت به 0 برای | ξ | ∞ ∞ بیفتد ." با استفاده از قوانین مشابه برای تبدیل فوریه معکوس، می‌توان گفت: " f ( x ) به سرعت به 0 می‌افتد برای | x | ∞ اگر و فقط اگر f̂ ( ξ )صاف است."

قضیه کانولوشن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه کانولوشن

تبدیل فوریه بین کانولوشن و ضرب توابع ترجمه می شود. اگر f ( x ) و g ( x ) به ترتیب با تبدیل های فوریه f̂ ( ξ ) و ĝ ( ξ ) توابع انتگرال پذیر باشند، تبدیل فوریه کانولوشن از حاصلضرب تبدیل های فوریه f̂ ( ξ ) و ĝ ( به دست می آید. ξ ) (در سایر قراردادها برای تعریف تبدیل فوریه ممکن است یک عامل ثابت ظاهر شود).

این بدان معنی است که اگر:

$h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(xy)\,dy,$

که در آن ∗ عملیات پیچیدگی را نشان می دهد، سپس:

${\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).$

در تئوری سیستم خطی زمان ثابت (LTI) ، معمولاً g ( x ) به عنوان پاسخ ضربه یک سیستم LTI با ورودی f ( x ) و خروجی h ( x ) تفسیر می‌شود ، زیرا تکانه واحد را جایگزین f ( x ) می‌کنیم. h ( x ) = g ( x ) را به دست می دهد . در این حالت ĝ ( ξ ) نشان دهنده پاسخ فرکانسی سیستم است.

برعکس، اگر f ( x ) را بتوان به عنوان حاصلضرب دو تابع مربعی انتگرال پذیر p ( x ) و q ( x ) تجزیه کرد ، آنگاه تبدیل فوریه f ( x ) با کانولوشن تبدیل های فوریه مربوطه p̂ ( ξ ) به دست می آید. ) و q̂ ( ξ ) .

قضیه همبستگی متقابل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همبستگی متقابل

به روشی مشابه، می توان نشان داد که اگر h ( x ) همبستگی متقابل f ( x ) و g ( x ) باشد :

$h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy$

سپس تبدیل فوریه h ( x ) برابر است با:

${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\cdot {\hat {g}}(\xi ).$

به عنوان یک مورد خاص، خودهمبستگی تابع f ( x ) به صورت زیر است:

$h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy$

برای کدام

${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.$

توابع ویژه [ ویرایش ]

یکی از انتخاب های مهم یک پایه متعارف برای L 2 ( R ) توسط توابع Hermite ارائه شده است.

$\psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\ mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right)$

که در آن He n ( x ) چندجمله‌ای هرمیت " احتمال‌گرا" هستند که به صورت تعریف می‌شوند.

$\mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {d}{dx}} \راست)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

تحت این قرارداد برای تبدیل فوریه، ما آن را داریم

${\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi )$ .

به عبارت دیگر، توابع هرمیت یک سیستم متعارف کامل از توابع ویژه برای تبدیل فوریه در L 2 ( R ) را تشکیل می دهند. [14] با این حال، این انتخاب از توابع ویژه منحصر به فرد نیست. تنها چهار مقدار ویژه مختلف از تبدیل فوریه وجود دارد (±1 و ± i ) و هر ترکیب خطی از توابع ویژه با مقدار ویژه یکسان تابع ویژه دیگری را به دست می دهد. در نتیجه، می توان L 2 ( R ) را به صورت مجموع مستقیم چهار فضای H 0 , H 1 , H تجزیه کرد.2 و H 3 که در آن تبدیل فوریه روی He k به سادگی با ضرب در i k عمل می کند.

از آنجایی که مجموعه کامل توابع هرمیت وضوح هویت را ارائه می‌کند، تبدیل فوریه را می‌توان با چنین مجموع عباراتی که با مقادیر ویژه بالا وزن شده‌اند، نشان داد و این مجموع را می‌توان به صراحت جمع کرد. این رویکرد برای تعریف تبدیل فوریه اولین بار توسط نوربرت وینر انجام شد . [19] در میان ویژگی‌های دیگر، توابع هرمیت به‌طور تصاعدی در حوزه‌های فرکانس و زمان کاهش می‌یابند، و بنابراین از آن‌ها برای تعریف تعمیم تبدیل فوریه، یعنی تبدیل فوریه کسری مورد استفاده در تحلیل زمان-فرکانس استفاده می‌شود. [20] در فیزیک ، این تبدیل توسط ادوارد کاندون معرفی شد . [21]

ارتباط با گروه هایزنبرگ [ ویرایش ]

گروه هایزنبرگ گروه خاصی از عملگرهای واحد در فضای هیلبرت L 2 ( R ) از توابع مجتمع مربعی با ارزش f روی خط واقعی است که توسط ترجمه های ( T y f ) ( x ) = f ( x + y ) ایجاد می شود. و ضرب در e 2π ixξ , ( M ξ f ) ( x ) = e 2π ixξ f (x ) . این اپراتورها مانند جابجایی (گروهی) آنها رفت و آمد نمی کنند

$\left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{2\pi iy\ xi }f(x)$

ضرب در ثابت (مستقل از x ) e 2π iyξ ∈ U (1) ( گروه دایره اعداد مختلط مدول واحد). به عنوان یک گروه انتزاعی، گروه هایزنبرگ گروه سه بعدی سه بعدی Lie ( x , ξ , z ) ∈ R 2 × U (1) با قانون گروه است.

$\left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)= \left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{2\pi i\left(x_{1}\ xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).$

گروه هایزنبرگ را با H 1 نشان دهید . روش بالا نه تنها ساختار گروه، بلکه یک نمایش واحد استاندارد از H1 را در فضای هیلبرت توصیف می کند، که ما آن را با ρ نشان می دهیم : H1 → B ( L2 ( R ) ) . اتومورفیسم خطی R 2 را تعریف کنید

$J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}$

به طوری که J 2 = − I . این J را می توان به یک اتومورفیسم منحصر به فرد H 1 گسترش داد :

$j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-2\pi ix\xi }\right).$

طبق قضیه استون-فون نویمان ، نمایش های واحد ρ و ρ ∘j به طور واحد معادل هستند، بنابراین یک درهم تنیده منحصر به فرد W ∈ U ( L 2 ( R ) ) وجود دارد که

$\rho \circ j=W\rho W^{*}.$

این عملگر W تبدیل فوریه است.

بسیاری از خصوصیات استاندارد تبدیل فوریه پیامدهای فوری این چارچوب کلی تر هستند. [22] برای مثال، مربع تبدیل فوریه، W 2 ، یک درهم تنیده مرتبط با J 2 = − I است، و بنابراین داریم ( W 2 f ) ( x ) = f (- x ) بازتابی از تابع اصلی f .

دامنه پیچیده [ ویرایش ]

انتگرال برای تبدیل فوریه

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\xi t}f(t)\,dt$

می توان مقادیر مختلط آرگومان ξ را مطالعه کرد. بسته به ویژگی‌های f ، این ممکن است اصلاً از محور واقعی همگرا نشود، یا ممکن است به یک تابع تحلیلی پیچیده برای همه مقادیر ξ = σ + iτ یا چیزی در بین آن همگرا شود. [23]

قضیه پیلی-وینر می گوید که f صاف است (یعنی n - بار برای همه اعداد صحیح مثبت n قابل تمایز است ) و به طور فشرده پشتیبانی می شود اگر و فقط اگر f̂ ( σ + iτ ) یک تابع هولومورفیک باشد که برای آن ثابت a > 0 وجود داشته باشد. که برای هر عدد صحیح n ≥ 0 ،

$\left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }$

برای مقداری C ثابت (در این مورد، f روی [− a , a ] پشتیبانی می‌شود .) این را می‌توان با گفتن اینکه f̂ یک تابع کامل است که به سرعت در σ کاهش می‌یابد (برای τ ثابت ) و رشد نمایی در τ (به طور یکنواخت در σ ) کاهش می‌یابد. ). [24]

(اگر f صاف نباشد، اما فقط L 2 باشد، گزاره همچنان با n = 0 برقرار است. [25] ) فضای چنین توابعی از یک متغیر مختلط ، فضای Paley-Wiener نامیده می شود. این قضیه به گروه های دروغ نیمه ساده تعمیم داده شده است . [26]

اگر f روی نیم خط t ≥ 0 پشتیبانی شود ، آنگاه f را «علت» می گویند زیرا تابع پاسخ ضربه ای یک فیلتر قابل تحقق فیزیکی باید این ویژگی را داشته باشد، زیرا هیچ اثری نمی تواند مقدم بر علت آن باشد. پیلی و وینر نشان دادند که پس از آن ، f به یک تابع هولومورفیک در نیم صفحه پایین پیچیده τ < 0 گسترش می‌یابد که وقتی τ به سمت بی‌نهایت می‌رود ، به صفر می‌رود. [27] عکس آن نادرست است و مشخص نیست که چگونه تبدیل فوریه یک تابع علی را مشخص کنیم. [28]

تبدیل لاپلاس [ ویرایش ]

همچنین ببینید: تبدیل لاپلاس § تبدیل فوریه

تبدیل فوریه f̂ ( ξ ) مربوط به تبدیل لاپلاس F ( s ) است که برای حل معادلات دیفرانسیل و تحلیل فیلترها نیز استفاده می شود .

ممکن است اتفاق بیفتد که تابع f که انتگرال فوریه آن به هیچ وجه روی محور واقعی همگرا نمی شود، با این حال تبدیل فوریه پیچیده ای در ناحیه ای از صفحه مختلط تعریف شده است .

به عنوان مثال، اگر f ( t ) دارای رشد نمایی باشد، به عنوان مثال،

$\vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }$

برای برخی از ثابت های C ، a ≥ 0 ، سپس [29]

${\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,$

همگرا برای همه 2π τ < - a ، تبدیل لاپلاس دو طرفه f است.

نسخه معمول تر ("یک طرفه") تبدیل لاپلاس است

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

اگر f نیز علی و تحلیلی باشد، آنگاه: ${\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau).$ بنابراین، گسترش تبدیل فوریه به حوزه مختلط به این معنی است که تبدیل لاپلاس را به عنوان یک مورد خاص در مورد توابع علی - اما با تغییر متغیر s = 2π iξ در بر می گیرد .

از دیدگاهی دیگر، شاید کلاسیک‌تر، تبدیل لاپلاس از نظر شکل شامل یک عبارت تنظیم‌کننده نمایی اضافی است که به آن اجازه می‌دهد خارج از خط خیالی جایی که تبدیل فوریه تعریف می‌شود، همگرا شود. به این ترتیب، می‌تواند برای سری‌ها و انتگرال‌های به‌طور نمایی واگرا همگرا شود، در حالی که تجزیه فوریه اصلی نمی‌تواند، امکان تجزیه و تحلیل سیستم‌های دارای عناصر واگرا یا بحرانی را فراهم می‌کند. دو نمونه خاص از پردازش سیگنال خطی، ساخت شبکه‌های فیلتر همه‌گذر از فیلترهای حساس و کاهش‌دهنده از طریق لغو دقیق قطب صفر در دایره واحد است. چنین طرح‌هایی در پردازش صوتی رایج هستند، جایی که پاسخ فاز بسیار غیرخطی مانند Reverb جستجو می‌شود.

علاوه بر این، زمانی که پاسخ‌های پالس‌مانند تمدید شده برای کار پردازش سیگنال جستجو می‌شوند، ساده‌ترین راه برای تولید آن‌ها داشتن یک مدار است که یک پاسخ زمانی واگرا تولید می‌کند، و سپس لغو واگرایی آن از طریق پاسخ متضاد و جبرانی تاخیری. در آنجا، فقط مدار تأخیر در بین، توصیف فوریه کلاسیک را می پذیرد که بسیار مهم است. هر دو مدار کناری ناپایدار هستند و تجزیه فوریه همگرا را قبول ندارند. با این حال، آن‌ها یک توصیف دامنه لاپلاس را می‌پذیرند، با نیم‌صفحه‌های همگرایی یکسان در صفحه مختلط (یا در مورد گسسته، صفحه Z)، که در آن اثرات آنها لغو می‌شود.

در ریاضیات مدرن، تبدیل لاپلاس به طور معمول تحت روش های فوریه قرار می گیرد. هر دوی آنها با ایده بسیار کلی تر و انتزاعی تر تحلیل هارمونیک جمع می شوند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۱ ساعت 7:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-تبدیل فوریه

تاریخچه [ ویرایش ]

مقالات اصلی: تحلیل فوریه § تاریخچه و سری فوریه § تاریخ

در سال 1822، فوریه ادعا کرد (نگاه کنید به جوزف فوریه § تئوری تحلیلی گرما ) که هر تابع، خواه پیوسته یا ناپیوسته، می تواند به یک سری سینوس بسط یابد. [10] آن کار مهم توسط دیگران تصحیح و گسترش یافت تا پایه و اساس اشکال مختلف تبدیل فوریه را که از آن زمان استفاده شده است، فراهم کند.

مقدمه [ ویرایش ]

همچنین ببینید: تحلیل فوریه و سری فوریه

تابع f (قرمز) ابتدا به سری فوریه آن تبدیل می شود : مجموع امواج سینوسی (به رنگ آبی). سپس این سینوسی ها در سراسر طیف فرکانس پخش می شوند و به صورت پیک ( توابع دلتای دیراک ) در حوزه فرکانس نشان داده می شوند. نمایش دامنه فرکانس تابع ( f̂ ) مجموعه ای از این پیک ها است.

اگرچه سری فوریه می تواند شکل موج های تناوبی را به عنوان مجموع سینوسی های مرتبط با هارمونیک نشان دهد، سری فوریه نمی تواند شکل موج های غیر تناوبی را نشان دهد. با این حال، تبدیل فوریه قادر است شکل موج های غیر تناوبی را نیز نمایش دهد. این امر با اعمال یک فرآیند محدود کننده برای طولانی کردن دوره هر شکل موج تا بی نهایت و سپس در نظر گرفتن آن به عنوان یک شکل موج دوره ای به دست می آید. [11]

در مطالعه سری فوریه، ضرایب فوریه نشان دهنده دامنه هر سینوسی مرتبط با هماهنگی موجود در سری فوریه تابع تناوبی f است. به طور مشابه، تبدیل فوریه دامنه و فاز هر سینوسی موجود در تابع (احتمالاً غیر تناوبی) f را نشان می‌دهد .

تبدیل فوریه از یک انتگرال (یا "جمع پیوسته") استفاده می کند که از ویژگی های سینوس و کسینوس برای بازیابی دامنه و فاز هر سینوسی در یک سری فوریه استفاده می کند. تبدیل فوریه معکوس این امواج را با استفاده از یک انتگرال مشابه برای بازتولید تابع اصلی دوباره ترکیب می کند.

استفاده از سینوسی های مختلط برای نمایش سینوس های حقیقی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: فرکانس منفی § ساده سازی تبدیل فوریه

برای ساده کردن ریاضی، مطلوب است که سری فوریه را به صورت مجموع نمایی های مختلط بنویسیم (به سری فوریه § شکل نمایی مراجعه کنید ). هر سینوسی مختلط نمایی یا مختلط فرکانس ξ را می توان با استفاده از فرمول اویلر به عنوان مجموع موج کسینوس فرکانس ξ برای مولفه حقیقی به اضافه یک موج سینوسی همچنین فرکانس ξ برای مؤلفه موهومی بیان کرد:

${\begin{aligned}e^{2\pi i\xi x}&=\cos(2\pi \xi x)+i\sin(2\pi \xi x)\end{تراز شده}}$

بیان سینوس های حقیقی به صورت سینوسی های مختلط، ضرایب فوریه را ضروری می کند $c_{n}$ مختلط باشد، اما دارای مزیت نمایش فشرده تمام اطلاعات لازم در مورد هر فرکانس است. تعبیر معمول این عدد مختلط این است که $\left\vert c_{n}\right\vert$ ( قدر آن ) دامنه و $\arg(c_{n})$ ( آگومان آن ) فاز سینوسی مختلط را برای آن ضریب نشان می دهد.

نشان دادن نمایی مختلط در سه بعدی. مؤلفه حقیقی یک موج کسینوس است. جزء موهومی یک موج سینوسی است. آنها با هم یک مارپیچ را تشکیل می دهند. نفی فرکانس را می توان به عنوان تغییر دستی مارپیچ درک کرد . چرخش با جهت مخالف اما با همان تعداد چرخش در ثانیه.

این نمایی های مختلط ممکن است فرکانس منفی داشته باشند . برای مثال، هر دو سینوسی مختلط e 2π iξx و e -2π iξx یک چرخه را در هر واحد x کامل می کنند، اما اولی نشان دهنده فرکانس مثبت است در حالی که دومی نشان دهنده فرکانس منفی است. فرکانس مثبت را می توان به عنوان چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت در مورد صفحه مختلط درک کرد در حالی که فرکانس منفی را می توان به عنوان چرخش در جهت عقربه های ساعت در مورد صفحه مختلط درک کرد. هنگامی که سینوسی های مختلط به عنوان یک مارپیچ در سه بعدی تفسیر می شوند (با بعد سوم که جزء موهومی است)، نفی فرکانس به سادگی حالت دستی مارپیچ را تغییر می دهد.. [12]

امواج حقیقی سینوسی و کسینوس را می توان از نمایش نمایی مختلط سینوسی ها بازیابی کرد. به عنوان مثال، نتیجه ای از فرمول اویلر اجازه می دهد تا امواج کسینوس و سینوسی را به عنوان بخش حقیقی یا موهومی یک سینوسی مختلط یا به عنوان مجموع وزنی دو سینوسی مختلط با فرکانس مخالف بیان کنیم:

${\begin{aligned}\cos(2\pi \xi x)&=\operatorname {Re} \left(e^{2\pi i\xi x}\right)={\tfrac {1} {2}}e^{2\pi i\xi x}+{\tfrac {1}{2}}e^{-2\pi i\xi x},\\\sin(2\pi \xi x )&=\operatorname {Im} \left(e^{2\pi i\xi x}\right)={\tfrac {1}{2i}}e^{2\pi i\xi x}-{\ tfrac {1}{2i}}e^{-2\pi i\xi x}.\end{تراز شده}}$

در نتیجه، یک شکل کلی از هر سینوسی حقیقی (با فرکانس ξ ، تغییر فاز θ و دامنه A ) را می توان به صورت مجموع دو سینوسی مختلط با فرکانس مخالف ( ξ و - ξ ) اما قدر مساوی بیان کرد.آ/2) و با تغییر فاز θ که در هر دو ضرایب مختلط آنها تعبیه شده است:

${\begin{aligned}A\cos(2\pi \xi x+\theta )&={\tfrac {A}{2}}e^{2\pi i\xi x+i\theta }+ {\tfrac {A}{2}}e^{-2\pi i\xi xi\theta }={\tfrac {Ae^{i\theta }}{2}}e^{2\pi i\xi x}+{\tfrac {Ae^{-i\theta }}{2}}e^{-2\pi i\xi x}.\end{تراز شده}}$

از این رو، هر سینوسی حقیقی (و سیگنال حقیقی) را می توان متشکل از یک فرکانس مثبت و منفی در نظر گرفت که اجزای موهومی آن خنثی می شوند اما اجزای حقیقی آن به طور مساوی در تشکیل سیگنال حقیقی مشارکت دارند.

برای اجتناب از استفاده از اعداد مختلط و فرکانس های منفی، تبدیل های سینوسی و کسینوس با هم می توانند به عنوان شکل جایگزین معادل تبدیل فوریه استفاده شوند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۱ ساعت 6:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-تبدیل فوریه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک مثال از کاربرد تبدیل فوریه، تعیین گام های سازنده در یک شکل موج موسیقی است. این تصویر نتیجه اعمال تبدیل Constant-Q ( تبدیل مربوط به فوریه ) به شکل موج یک آکورد پیانو ماژور C است. سه قله اول در سمت چپ با فرکانس های فرکانس اصلی وتر (C، E، G) مطابقت دارد. قله‌های کوچک‌تر باقی‌مانده، فرکانس‌های بالاتری از گام‌های اصلی هستند. یک الگوریتم تشخیص گام می تواند از شدت نسبی این قله ها برای استنباط اینکه پیانیست چه نت هایی را فشار داده است استفاده کند.

تبدیل فوریه ( FT ) یک تبدیل ریاضی است که توابع را بسته به مکان یا زمان به توابع بسته به فرکانس مکانی یا فرکانس زمانی تجزیه می کند . به این فرآیند آنالیز نیز می گویند . یک مثال کاربردی می تواند تجزیه شکل موج یک آکورد موسیقی بر حسب شدت زیر و بم های سازنده آن باشد. اصطلاح تبدیل فوریه هم به نمایش دامنه فرکانس و هم اشاره داردعملیات ریاضی که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از مکان یا زمان مرتبط می کند.

تبدیل فوریه یک تابع یک تابع با مقدار مختلط است که نشان دهنده سینوسی های پیچیده است که تابع اصلی را تشکیل می دهند. برای هر فرکانس، بزرگی ( مقدار مطلق ) مقدار مختلط ، دامنه یک سینوسی مختلط تشکیل دهنده با آن فرکانس را نشان می‌دهد، و آرگومان مقدار مختلط نشان‌دهنده افست فاز آن سینوسی پیچیده است . اگر فرکانس وجود نداشته باشد، تبدیل برای آن فرکانس مقدار 0 دارد. تبدیل فوریه به توابع زمان محدود نمی شود، بلکه دامنه تابع اصلی معمولاً به عنوان حوزه زمان نامیده می شود.. قضیه وارونگی فوریه یک فرآیند سنتز را ارائه می دهد که تابع اصلی را از نمایش دامنه فرکانس آن بازسازی می کند.

سینوسی قرمز را می توان با دامنه پیک (1)، پیک به اوج (2)، RMS (3) و طول موج (4) توصیف کرد. سینوسی های قرمز و آبی دارای اختلاف فاز θ هستند.

$\scriptstyle f(t)$

$\scriptstyle {\hat {f}}(\omega)$

$\scriptstyle g(t)$

$\scriptstyle {\hat {g}}(\omega)$

$\scriptstyle t$

$\scriptstyle \omega$

$\scriptstyle t$

$\scriptstyle \omega$

ردیف بالا یک واحد پالس را به عنوان تابعی از زمان ( f ( t ) ) و تبدیل فوریه آن را به عنوان تابعی از فرکانس ( f̂ ( ω ) نشان می دهد. ردیف پایین یک پالس واحد تاخیری را به عنوان تابعی از زمان ( g ( t ) ) و تبدیل فوریه آن را به عنوان تابعی از فرکانس ( ĝ ( ω ) نشان می‌دهد . ترجمه (یعنی تاخیر) در حوزه زمانی به عنوان تغییر فاز پیچیده در حوزه فرکانس تفسیر می شود. تبدیل فوریه یک تابع را به توابع ویژه برای گروه ترجمه ها تجزیه می کند. قسمت خیالی ĝ ( ω )نفی می شود زیرا یک توان علامت منفی در تبدیل فوریه استفاده شده است، که پیش فرض است که از سری فوریه مشتق شده است، اما علامت برای تبدیلی که قرار نیست معکوس شود، مهم نیست.

تبدیل فوریه
تبدیل فوریه پیوسته سری فوریه تبدیل فوریه گسسته زمان تبدیل فوریه گسسته تبدیل فوریه گسسته بر روی یک حلقه تبدیل فوریه بر روی گروه های محدود تحلیل فوریه تبدیل های مرتبط

توابعی که در حوزه زمان بومی سازی شده اند دارای تبدیل فوریه هستند که در دامنه فرکانس پخش می شوند و بالعکس، پدیده ای که به عنوان اصل عدم قطعیت شناخته می شود . مورد بحرانی برای این اصل تابع گاوسی است که در نظریه احتمال و آمار و همچنین در مطالعه پدیده های فیزیکی که توزیع نرمال را نشان می دهند (به عنوان مثال، انتشار ) اهمیت اساسی دارد . تبدیل فوریه یک تابع گاوسی یکی دیگر از تابع های گاوسی است. جوزف فوریه این تبدیل را در مطالعه خود در مورد انتقال حرارت معرفی کرد ، جایی که توابع گاوسی به عنوان راه حل هایی ازمعادله گرما .

تبدیل فوریه را می توان به طور رسمی به عنوان یک انتگرال ریمان نامناسب تعریف کرد که آن را تبدیل به یک تبدیل انتگرال می کند ، اگرچه این تعریف برای بسیاری از کاربردهایی که نیاز به نظریه ادغام پیچیده تری دارند مناسب نیست. [توجه 1] برای مثال، بسیاری از برنامه های نسبتا ساده از تابع دلتای دیراک استفاده می کنند که می توان با آن به طور رسمی به عنوان یک تابع برخورد کرد، اما توجیه نیاز به دیدگاه ریاضی پیچیده تری دارد. [یادداشت 2]

تبدیل فوریه همچنین می تواند به توابع چندین متغیر در فضای اقلیدسی تعمیم داده شود و تابعی از «فضای موقعیت» سه بعدی را به تابعی از تکانه سه بعدی (یا تابعی از مکان و زمان به تابعی از تکانه 4) ارسال کند. ). این ایده باعث می‌شود که تبدیل فوریه فضایی در مطالعه امواج و همچنین در مکانیک کوانتومی بسیار طبیعی باشد، جایی که مهم است بتوان راه‌حل‌های موج را به عنوان توابع موقعیت یا تکانه و گاهی اوقات هر دو نشان داد. به طور کلی، توابعی که روش های فوریه برای آنها قابل استفاده است، دارای مقادیر مختلط و احتمالاً بردار هستند . [یادداشت 3] هنوز تعمیم بیشتر به توابع در گروه ها امکان پذیر است، که علاوه بر تبدیل فوریه اصلی روی R یا R n (به عنوان گروه های تحت اضافه مشاهده می شود)، به ویژه شامل تبدیل فوریه گسسته زمان (DTFT، گروه = Z )، تبدیل فوریه گسسته (DFT، گروه = Z mod N ) است. و سری فوریه یا تبدیل فوریه دایره ای (گروه = S 1 ، دایره واحد ≈ بازه محدود بسته با نقاط پایانی مشخص شده). دومی به طور معمول برای رسیدگی به توابع دوره ای استفاده می شود . تبدیل فوریه سریع (FFT) الگوریتمی برای محاسبه DFT است .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

چندین قرارداد رایج برای تعریف تبدیل فوریه یک تابع انتگرال پذیر وجود دارد $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ . [1] [2] یکی از آنها این است:

انتگرال تبدیل فوریه

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \ forall \ \xi \in \mathbb {R} .$

( معادل 1 )

تبدیل تابع $f(x)$ در فرکانس $\xi$ با عدد مختلط داده می شود ${\hat {f}}(\xi )$ . ارزیابی معادله 1 برای همه مقادیر $\xi$ تابع دامنه فرکانس را تولید می کند . تبدیل فوریه در اینجا با افزودن یک حاشیه به نماد تابع نشان داده می شود. زمانی که متغیر مستقل زمان را نشان می دهد (اغلب با نشان داده می شود $تی$ بجای $ایکس$ ، متغیر تبدیل نشان دهنده فرکانس است (اغلب با نشان داده می شود $f$ بجای $\xi$ ). به عنوان مثال اگر زمان بر حسب ثانیه اندازه گیری شود ، فرکانس بر حسب هرتز است.

برای ارزش واقعی $f(x)$ معادله 1 دارای خاصیت تقارن است ${\hat {f}}(-\xi )={\hat {f}}^{*}(\xi ).$ بنابراین می توان آن را به موارد زیر کاهش داد:

${\hat {f}}(\xi )=\left\{{\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\ pi \xi x}\,dx,\ &\xi \geq 0\\&{\hat {f}}^{*}(|\xi |)&\xi <0,\\\end{تراز شده}} \درست.$

به این معنی که مقادیر منفی فرکانس ، $\xi ,$ در این زمینه غیر ضروری هستند.

تحت شرایط مناسب $f$ را می توان به عنوان ترکیبی از نمایی های پیچیده تمام فرکانس های ممکن نشان داد:

انتگرال وارونگی فوریه

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\ quad \forall \ x\in \mathbb {R} ,$

( معادل 2 )

که برای ارزش واقعی $f(x)$ کاهش می دهد به:

${\begin{aligned}f(x)&=2\int _{0}^{\infty }\operatorname {Re} \left({\hat {f}}(\xi )\cdot e^ {i2\pi \xi x}\right)d\xi \\&=2\int _{0}^{\infty }\left(\operatorname {Re} ({\hat {f}}(\xi ) )\cdot \cos(2\pi \xi x)-\operatorname {Im} ({\hat {f}}(\xi ))\cdot \sin(2\pi \xi x)\right)d\xi .\end{تراز شده}}$

عدد مختلط، ${\hat {f}}(\xi )$ ، هم دامنه و هم فاز فرکانس را منتقل می کند $\xi$ . معادله 2 به عنوان قضیه وارونگی فوریه شناخته می شود ، و اولین بار در نظریه تحلیلی گرما فوریه معرفی شد ، [3] [4] اگرچه تا مدت ها بعد اثباتی با استانداردهای مدرن ارائه نشد. [5] [6] توابع $f$ و ${\ کلاه {f}}$ اغلب به عنوان جفت انتگرال فوریه یا جفت تبدیل فوریه نامیده می شود . [7] یک نماد متداول برای تعیین جفت تبدیل این است: [8]

$f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\hat {f}}(\xi )$ .

برای سایر قراردادها و نمادهای رایج، از جمله استفاده از فرکانس زاویه ای ω به جای فرکانس معمولی ξ ، سایر قراردادها و نمادهای دیگر را در زیر ببینید. تبدیل فوریه در فضای اقلیدسی به طور جداگانه بررسی می شود، که در آن متغیر x اغلب موقعیت و تکانه ξ را نشان می دهد. قراردادهای انتخاب شده در این مقاله آنالیز هارمونیک هستند و به عنوان قراردادهای منحصر به فرد مشخص می شوند به طوری که تبدیل فوریه هم در L 2 واحد است و هم یک هم شکل جبر از L 1 است.به L ∞ ، بدون عادی سازی مجدد معیار Lebesgue. [9]

بسیاری از خصوصیات دیگر تبدیل فوریه وجود دارد. برای مثال، یکی از قضیه استون-فون نویمان استفاده می‌کند: تبدیل فوریه درهم تنیده واحد منحصربه‌فرد برای بازنمایی‌های شرودینگر اقلیدسی گروه هایزنبرگ است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۱ ساعت 6:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-تمرین های حل شده: ماتریس ها: قانون کرامر

5. یک خانواده 3 نفره برای صرف شام در رستوران بیرون رفتند. هزینه دو دوسای، سه idlie و دو وادای 150 روپیه است. هزینه دو دوسای، دو idlie و چهار وادای 200 روپیه است. هزینه پنج دوسای، چهار idlie و دو وادای 250 روپیه است. خانواده دارای ₹ 350 در دست و 3 دوسای و شش یدلی و شش وادایی خوردند. آیا آنها قادر خواهند بود تا قبض را در حد مبلغی که داشتند پرداخت کنند؟

منبع

https://www.brainkart.com/article/Exercise-1-4--Matrices--Cramer---s-Rule_39076/

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 9:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-تمرین های حل شده: ماتریس ها: قانون کرامر

4. یک مخزن ماهی را می توان با استفاده از هر دو پمپ A و B به طور همزمان در 10 دقیقه پر کرد. با این حال، پمپ B می تواند آب را با همان سرعت به داخل یا خارج پمپ کند. اگر پمپ B به طور ناخواسته برعکس کار کند، مخزن ظرف 30 دقیقه پر می شود. چه مدت طول می کشد تا هر پمپ به تنهایی مخزن را پر کند؟ (از قانون کرامر برای حل مشکل استفاده کنید).

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 9:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-تمرین های حل شده: ماتریس ها: قانون کرامر

3. شیمیدان یک محلول دارد که 50% اسید و محلول دیگری 25% اسید است. هر کدام را چقدر باید مخلوط کرد تا 10 لیتر محلول اسید 40 درصد بدست آید؟ (از قانون کرامر برای حل مشکل استفاده کنید).

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 9:41 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-تمرین های حل شده: ماتریس ها: قانون کرامر

2. در یک امتحان رقابتی ، برای هر پاسخ صحیح یک نمره و برای هر پاسخ اشتباه ¼ نمره تعلق می گیرد. دانش آموزی به 100 سوال پاسخ داد و 80 نمره گرفت. چند سوال را درست پاسخ داد؟ (از قانون کرامر برای حل مشکل استفاده کنید).

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 9:40 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-تمرین های حل شده: ماتریس ها: قانون کرامر

1. سیستم های معادلات خطی زیر را با قانون کرامر حل کنید :

(i) 5 x - 2 y + 16 = 0، x + 3 y - 7 = 0

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 9:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال‌ها ی حل‌شده :تبدیل‌های مقدماتی سطری یک ماتریس(عملیات سطری-پلکانی)

عملیات سطری-پلکانی

مثال 1.13

ماتریس را به شکل سطری-پلکانی کاهش دهید.

راه حل

توجه داشته باشید

این نیز یک شکل سطری-پلکانی از ماتریس داده شده است.

بنابراین، شکل سطری-پلکانی از یک ماتریس لزوما منحصر به فرد نیست.

مثال 1.14

ماتریس را به شکل سطری-پلکانی کاهش دهید.

راه حل

رتبه یک ماتریس

مثال 1.15

رتبه هر یک از ماتریس های زیر را بیابید:

راه حل

(i) اجازه دهید

A =

سپس A ماتریسی از مرتبه 3×3 است. بنابراین

ρ(A) ≤ min {3, 3} = 3. بالاترین مرتبه مینورهای A 3 است. فقط یک سوم مرتبه جزئی از A وجود دارد.

det(A)= 3 (6-6) - 2 (6-6) + 5 (3-3) = 0

است. پس ρ(A) < 3 .

بعد مینورهای مرتبه دوم A را در نظر بگیرید.

دریافتیم که مرتبه دوم جزئی = 3 − 2 = 1 ≠ 0 . بنابراین ρ(A) = 2 .

(ii) اجازه دهید A = . سپس A یک ماتریس از مرتبه 3×4 است. بنابراین

ρ(A) ≤ min {3، 4} = 3.

بالاترین مرتبه مینورهای Aبرابر 3 است. ما یک مینور مرتبه سوم غیر صفر از A را جستجو می کنیم. ولی

متوجه می شویم که همه آنها صفر می شوند. در واقع داریم

بنابراین، ρ( A ) < 3. بعد، ما یک مینور مرتبه دوم غیر صفر A را جستجو می کنیم.

دریافتیم که = -4+9 =5 ≠ 0 . بنابراین ρ(A) = 2 .

تذکر دهید

پیدا کردن رتبه یک ماتریس با جستجوی بالاترین مرتبه مینور غیر صفر، زمانی که ترتیب ماتریس بسیار زیاد باشد، بسیار خسته کننده است. روش آسان دیگری برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد حتی اگر ترتیب ماتریس بسیار بالا باشد. این روش با محاسبه رتبه یک فرم سطری-پلکانی معادل ماتریس است. اگر یک ماتریس به شکل سطری-پلکانی باشد، تمام ورودی‌های زیر قطر اصلی (این خطی است که موقعیت‌های عناصر مورب a 11 ، a 22 ، a 33 ، L. ماتریس را به هم می‌پیوندد) صفر هستند. بنابراین، بررسی اینکه آیا یک مینور صفر است یا خیر، بسیار ساده است.

مثال 1.16

رتبه ماتریس های زیر را که به صورت سطری-پلکانی هستند را بیابید:

راه حل

(i) اجازه دهید A = . سپس A ماتریسی از مرتبه 3 × 3 و ρ(A) ≤ 3 است

مرتبه سوم جزئی

|A| = = (2) (3)( 1) = 6 ≠ 0 .

بنابراین ρ(A) = 3.

مثال 1.17

رتبه ماتریس را با کاهش آن به یک فرم سطری-پلکانی بیابید.

راه حل

اجازه دهید A = با اعمال عملیات مقدماتی سطری ، بدست می آوریم:

آخرین ماتریس معادل به صورت سطری-پلکانی است. دارای دو ردیف غیر صفر است. بنابراین ρ (A) = 2.

مثال 1.18

رتبه ماتریس را با کاهش آن به یک فرم سطری-پلکانی بیابید.

راه حل

بگذارید A ماتریس باشد. با انجام عملیات تبدیل‌های مقدماتی سطری یک ماتریس بدست می آید

آخرین ماتریس معادل به صورت سطری-پلکانی است. دارای سه ردیف غیر صفر است. بنابراین ρ( A ) = 3 .

عملیات سطری مقدماتی روی یک ماتریس را می توان با از پیش ضرب کردن ماتریس داده شده توسط یک کلاس ویژه از ماتریس ها به نام ماتریس های مقدماتی انجام داد.

مثال 1.19

نشان دهید که ماتریس غیرمفرد است و آن را با عملیات سطری مقدماتی به ماتریس همانی کاهش دهید.

راه حل

اجازه دهید A = .سپس،

|A| = 3 (0+2) – 1(2+5) + 4(4-0) = 6-7+16 ≠ 0.

بنابراین، A غیر مفرد است. با نگه داشتن ماتریس همانی به عنوان هدف، عملیات سطری مقدماتی را به صورت متوالی بر روی A به صورت زیر انجام می دهیم:

روش گاوس-جردن

مثال 1.20

معکوس ماتریس غیر مفرد A = را با روش گاوس-جردن پیدا کنید.

راه حل

با استفاده از روش گاوس-جردن به دست می آوریم

مثال 1.21

معکوس A = را با روش گاوس-جردن پیدا کنید.

راه حل

با استفاده از روش گاوس-جردن به دست می آوریم

منبع

https://www.brainkart.com/article/Elementary-Transformations-of-a-Matrix--Solved-Example-Problems_39068/

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 9:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثالی از روش گاوس-جردن برای بدست آوردن معکوس یک ماتریس

روش گاوس-جردن

فرض کنید A یک ماتریس مربع غیرمفرد از مرتبه n باشد. فرض کنید B معکوس A باشد.

سپس، AB = BA = I n داریم . با خاصیت I n ، A = I n A = AI n داریم .

معادله

A = I n A

از آنجایی که A غیر مفرد است، پیش از ضرب در دنباله ای از ماتریس های ابتدایی (عملیات ردیف) در دو طرف (1)، A در سمت چپ (1) به ماتریس همانیI n و همان دنباله ماتریس های ابتدایی (عملیات ردیف) I n سمت راست (1) را به ماتریس B تبدیل می کند. بنابراین، معادله (1) به I n = BA تبدیل می شود. بنابراین، معکوس A است . یعنی A ^− 1 = B .

توجه داشته باشید

اگر E 1 , E 2 , L , E k ماتریس های مقدماتی (عملیات ردیف) هستند به طوری که ( E k L E 2 E 1 ) A = I n , آنگاه A − 1 = E k L E 2 E 1 .

تبدیل یک ماتریس غیرمفرد A به شکل I n با اعمال عملیات ردیف ابتدایی، روش گاوس-جردن نامیده می شود . مراحل یافتن A - 1 با روش گاوس-جردن در زیر آورده شده است:

مرحله 1

ماتریس همانیI n را در سمت راست A تقویت کنید تا ماتریس [ A | In ] .

گام 2

ماتریس های مقدماتی(عملیات سطری) E 1 , E 2 , L , E k را به گونه ای بدست آورید که ( E k L E 2 E 1 ) A = I n .

E 1 , E 2 , L , E k را روی [ A | I n ] . سپس [ ( E k …… E 2 E 1 ) A | ( I n ]. یعنی [ I n | A - 1 ].

مثال 1.20

معکوس ماتریس غیر مفرد A = را با روش گاوس-جردن پیدا کنید.

راه حل

با استفاده از روش گاوس-جردن به دست می آوریم

مثال 1.21

معکوس A = را با روش گاوس-جردن پیدا کنید.

راه حل

با استفاده از روش گاوس-جردن به دست می آوریم

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 8:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعیین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس 3×3

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه 3×3 مثال ماتریس

وظیفه:

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس زیر را بیابید:

راه حل:

برای یافتن بردارهای ویژه باید معادله زیر را برای هر مقدار ویژه حل کنیم:

مقادیر ویژه ریشه های معادله مشخصه هستند:

جواب های معادله فوق مقادیر ویژه هستند و برابر با:

بردارهای ویژه برای:

حال باید معادله زیر را حل کنیم:

ابتدا اجازه دهید ماتریس را کاهش دهیم:

این به معادله کاهش می یابد:

بردارهای ویژه برای:

حال باید معادله زیر را حل کنیم:

ابتدا اجازه دهید ماتریس را کاهش دهیم:

این به معادله کاهش می یابد:

منبع

https://assignmentshark.com/blog/eigenvalues-and-eigenvectors-of-3x3-matrix-example/

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 18:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعیین مقادیر ویژه یک ماتریس

از آنجایی که هر عملگر خطی با ضرب چپ در مقداری ماتریس مربع به دست می آید، یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک عملگر خطی معادل یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس مربع مرتبط است. این اصطلاحی است که دنبال خواهد شد. علاوه بر این، از آنجایی که مقادیر ویژه و بردارهای ویژه فقط برای ماتریس های مربع معنا دارند، در سراسر این بخش، همه ماتریس ها مربع فرض می شوند.

با توجه به یک ماتریس مربع A ، شرطی که یک مقدار ویژه، λ را مشخص می کند، وجود یک بردار غیرصفر x است به طوری که

A x = λ x ; این معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

این شکل نهایی معادله روشن می کند که x حل یک سیستم مربعی و همگن است. اگر راه حل های غیر صفر مورد نظر باشد، آنگاه تعیین کننده ماتریس ضریب - که در این مورد A - λ I است - باید صفر باشد. اگر نه، آنگاه سیستم فقط دارای راه حل بی اهمیت x = 0 است. از آنجایی که بردارهای ویژه، طبق تعریف، غیر صفر هستند، برای اینکه x بردار ویژه ماتریس A باشد ، λ باید طوری انتخاب شود که

هنگامی که دترمینان A - λ I نوشته می شود، عبارت به دست آمده یک چند جمله ای مونیک در λ است. [ چندجمله‌ای مونیک آن است که ضریب جمله پیشرو (بالاترین درجه) 1 باشد.] به آن چند جمله‌ای مشخصه A می‌گویند و اگر A nxn باشد درجه n خواهد بود . صفرهای چند جمله‌ای مشخصه A - یعنی جواب‌های معادله مشخصه ، det( A - λ I ) = 0- مقادیر ویژه A هستند.

مثال 1 : مقادیر ویژه ماتریس را تعیین کنید

ابتدا ماتریس A - λ I را تشکیل دهید :

نتیجه ای که به سادگی با کم کردن λ از هر یک ازدرایه های قطر اصلی به دست می آید. حال، دترمینان A - λ I را بگیرید :

این چند جمله ای مشخصه A است، و جواب های معادله مشخصه، det( A - λ I ) = 0، مقادیر ویژه A هستند :

در برخی متون، چند جمله ای مشخصه A به جای det ( A - λ I )مقدار det (λI - A ) نوشته می شود. برای ماتریس های با ابعاد زوج، این چند جمله ای ها دقیقاً یکسان هستند، در حالی که برای ماتریس های مربعی با ابعاد فرد، این چند جمله ای ها معکوس جمعی هستند. این تمایز صرفا جنبه زیبایی دارد، زیرا محلول‌های det (λI - A ) = 0 دقیقاً مشابه محلول‌های det ( A - λ I ) = 0 هستند. بنابراین، چه چند جمله‌ای مشخصه A را به عنوان det بنویسید. λ I − A ) یا به صورت det( A − λ I) هیچ تأثیری در تعیین مقادیر ویژه یا بردارهای ویژه مربوط به آنها نخواهد داشت.

مثال 2 : مقادیر ویژه ماتریس 3 در 3 شطرنجی را بیابید

دترمینان

ابتدا ردیف دوم را به ردیف سوم اضافه می کنیم و سپس یک بسط لاپلاس توسط ستون اول انجام می دهیم:

ریشه های معادله مشخصه،

-λ^ 2 (λ - 3) = 0، λ = 0 و λ = 3

هستند. اینها مقادیر ویژه C هستند.

منبع

https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors/determining-the-eigenvalues-of-a-matrix

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 17:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-مثال از تعیین چند جمله ای مشخصه و مقادیر ویژه یک ماتریس 2 در 2

MATLAB Eigenvalues and Eigenvectors - Javatpoint

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 17:41 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مینور و کوفاکتور

Example 21 - Find minors, cofactors of elements a11, a21

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 17:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کاربرد ماتریس در رمزنگاری

یکی از کاربردهای مهم معکوس ماتریس مربع غیرمفرد در رمزنگاری است.

کاربرد ماتریس در رمزنگاری

یکی از کاربردهای مهم معکوس ماتریس مربع غیرمفرد در رمزنگاری است. رمزنگاری هنر ارتباط بین دو نفر از طریق ناشناخته نگه داشتن اطلاعات برای دیگران است. این مبتنی بر دو عامل است، یعنی رمزگذاری و رمزگشایی. رمزگذاری به معنای فرآیند تبدیل یک اطلاعات (فرم ساده) به فرم غیرقابل خواندن (فرم کد شده) است. از سوی دیگر، رمزگشایی به معنای تبدیل پیام کدگذاری شده به شکل اصلی است. رمزگذاری و رمزگشایی نیاز به یک تکنیک مخفی دارد که فقط برای فرستنده و گیرنده شناخته شده است.

این راز کلید نامیده می شود . یکی از راه‌های تولید کلید، استفاده از یک ماتریس غیرمفرد برای رمزگذاری پیام توسط فرستنده است. گیرنده پیام را رمزگشایی می کند (رمزگشایی) می کند تا پیام اصلی را با استفاده از معکوس ماتریس بازیابی کند. ماتریسی که برای رمزگذاری استفاده می شود ماتریس رمزگذاری ( ماتریس رمزگذاری ) و ماتریسی که برای رمزگشایی استفاده می شود ماتریس رمزگشایی ( ماتریس رمزگشایی ) نامیده می شود .

فرآیند رمزگذاری و رمزگشایی را با استفاده از یک مثال توضیح می دهیم.

فرض کنید که فرستنده و گیرنده پیام ها را فقط با حروف A - Z در نظر بگیرند ، هر دو اعداد 1-26 را به ترتیب به حروف A - Z و عدد 0 را به یک فضای خالی اختصاص می دهند. برای سادگی، فرستنده از یک کلید به عنوان پس ضرب توسط یک ماتریس غیرمفرد از مرتبه 3 به انتخاب خود استفاده می کند. گیرنده از پس ضرب با معکوس ماتریسی که توسط فرستنده انتخاب شده است استفاده می کند.

اجازه دهید ماتریس رمزگذاری باشد

اجازه دهید پیام ارسال شده توسط فرستنده " خوش آمدید " باشد.

از آنجایی که کلید به عنوان عملیات پس از ضرب توسط یک ماتریس مربع از مرتبه 3 در نظر گرفته می شود، پیام به قطعات (WEL)، (COM)، (E) هر کدام به طول 3 بریده می شود و به دنباله ای از ردیف تبدیل می شود. ماتریس اعداد:

[23 5 12]، [3 15 13]، [5 0 0].

توجه داشته باشید که در ماتریس ردیف آخر دو صفر قرار داده ایم. دلیل آن این است که یک ماتریس ردیفی با 5 به عنوان ورودی اول بدست آوریم.

در مرحله بعد، پیام را با ضرب کردن هر یک از ماتریس های ردیف به صورت زیر رمزگذاری می کنیم:

بنابراین پیام رمزگذاری شده

[45 − 28 −23] [46 -18 3] [5 −5 5]

است.

گیرنده پیام را با کلید معکوس رمزگشایی می کند، پس از ضرب در معکوس A.

بنابراین ماتریس رمزگشایی است

گیرنده پیام کدگذاری شده را به صورت زیر رمزگشایی می کند:

بنابراین، دنباله ماتریس های ردیف رمزگشایی شده

[23 5 12]، [3 15 13]، [5 0 0]

است.

بنابراین، گیرنده پیام را به عنوان " WELCOME " می خواند.

منبع

https://www.brainkart.com/article/Application-of-matrices-to-Cryptography_39060/

+ نوشته شده در شنبه بیست و سوم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 7:57 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تمرین هایی با جواب در باره معکوس ماتریس

تمرین 1.1

1. الحاقی ماتریس های زیر را پیدا کنید:

2. معکوس (در صورت وجود) موارد زیر را بیابید:

15. پیام رمزگذاری شده دریافتی [2-3] [20 4] را با ماتریس رمزگذاری و ماتریس رمزگشایی به عنوان معکوس آن رمزگشایی کنید، که در آن سیستم کدها به ترتیب با اعداد 1-26 تا حروف AZ - و عدد 0 به یک فضای خالی

پاسخ ها:

+ نوشته شده در شنبه بیست و سوم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 7:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

آموزش ریاضی

مقادیر ویژه و توابع ویژه عملگرهای دیفرانسیل

مثال عملگر مشتق

تعریف کلی

فضاهای ویژه، کثرت هندسی و پایه ویژه

نظریه طیفی

جبرهای انجمنی و نظریه نمایش

معادلات دینامیک

محاسبه

روش کلاسیک

روش های تکراری ساده

روش های مدرن

برنامه های کاربردی

تحولات هندسی

تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی

مقادیر ویژه و چند جمله ای مشخصه

طیف یک ماتریس

چندگانگی جبری

فضاهای ویژه، چندگانگی هندسی و مبنای ویژه برای ماتریس ها

تعریف

نمای کلی

تاریخچه

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس ها

خواص[ویرایش]

شرایط معادل[ویرایش]

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

ماتریس یکانی 2*2ویرایش]

همچنین ببینید<[ویرایش]

مراجع ]ویرایش]

پیوندهای خارجی[ویرایش]

ماتریس هرمیتین یا خود الحاقی

ماتریس هرمیتین (یا خود الحاقی) چیست؟

نمونه هایی از ماتریس های هرمیتی

خواص ماتریس هرمیت

فرمول ماتریس هرمیتی

تجزیه یک ماتریس مختلط به یک ماتریس هرمیتی و یک ماتریس کج-هرمیتی

ماتریس مزدوج چیست؟

مثالی از مزدوج یک ماتریس

خواص ماتریس مزدوج

قضیه پلانچرل و قضیه پارسوال [ ویرایش ]

فرمول جمع پواسون [ ویرایش ]

تمایز [ ویرایش ]

قضیه کانولوشن [ ویرایش ]

قضیه همبستگی متقابل [ ویرایش ]

توابع ویژه [ ویرایش ]

ارتباط با گروه هایزنبرگ [ ویرایش ]

دامنه پیچیده [ ویرایش ]

تبدیل لاپلاس [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

مقدمه [ ویرایش ]

استفاده از سینوسی های مختلط برای نمایش سینوس های حقیقی [ ویرایش ]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

عملیات سطری-پلکانی

مثال 1.13

راه حل

رتبه یک ماتریس

مثال 1.15

تذکر دهید

مثال 1.16

مثال 1.17

راه حل

مثال 1.18

راه حل

مثال 1.19

راه حل

روش گاوس-جردن

مثال 1.20

راه حل

مثال 1.21

راه حل

توجه داشته باشید

مرحله 1

گام 2

مثال 1.20

راه حل

مثال 1.21

راه حل

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه 3×3 مثال ماتریس

تعیین مقادیر ویژه یک ماتریس

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**