ریاضیات | اسفند ۱۴۰۰

قانون کولن

هنگامی که لباس یا ژاکت مصنوعی ما، به خصوص در هوای خشک، از بدن ما خارج می شود، جرقه یا صدای ترق ترق ظاهر می شود. با لباس های زنانه مانند ساری پلی استر، این امر تقریباً اجتناب ناپذیر است. رعد و برق، در آسمان هنگام رعد و برق، یکی دیگر از موارد تخلیه الکتریکی است. این یک شوک الکتریکی است که همیشه هنگام باز کردن در ماشین یا گرفتن میله آهنی اتوبوس پس از سر خوردن از صندلی خود احساس می کنیم.

علت این احساسات تخلیه بارهای الکتریکی است که در اثر مالش سطوح عایق جمع شده است. این به دلیل تولید الکتریسیته ساکن است. هر چیزی که حرکت یا تغییر با زمان نداشته باشد، ایستا نامیده می شود. مطالعه نیروها، میدان ها و پتانسیل های ناشی از بارهای ساکن به عنوان الکترواستاتیک شناخته می شود .

حال بیایید یکی از قوانین اساسی و مهم الکترواستاتیک به نام قانون کولن را بدانیم:

قانون کولمب(کولن)

قانون کولن یک فرمول ریاضی است که نیروی بین دو بار نقطه ای را توصیف می کند. وقتی اندازه اجسام باردار به طور قابل توجهی کوچکتر از فاصله بین آنها باشد، آنگاه اندازه در نظر گرفته نمی شود یا می توان نادیده گرفت. اجسام باردار را می توان به عنوان بارهای نقطه ای در نظر گرفت.

نیروی جاذبه یا دافعه بین دو چیز باردار بر اساس قانون کولمب با حاصل ضرب بارهای آنها نسبت مستقیم و با مجذور فاصله بین آنها نسبت معکوس دارد . در امتداد خطی عمل می کند که دو بار را که به عنوان بارهای نقطه ای در نظر گرفته می شوند، به هم متصل می کند.

کولن نیروی بین دو بار نقطه ای را مطالعه کرد و دریافت که با مجذور فاصله بین آنها نسبت معکوس دارد، با حاصل ضرب قدر آنها نسبت مستقیم دارد و در خطی عمل می کند که آنها را به هم متصل می کند.

فرمول قانون کولمب

مقدار نیروی (F) بین دو بار نقطه‌ای q 1 و q 2 که با فاصله r در خلاء از هم جدا شده‌اند، به دست می‌آید:
F ∝ q 1 q 2
و
F ∝ 1/r ^2
یا
F ∝ q 1 q 2 / r ^2
یا
F = kq 1 q 2 / r ^2
که در آن k ثابت تناسب و برابر با 1/4pe ε 0 است.
نماد ε 0 epsilon not نامیده می شود و نشان دهنده گذردهی خلاء است.
مقدارk برابر است با:
9 × 10^ 9 Nm^ 2 / C ^2
است که وقتی واحد SI مقدار ε 0 را می گیریم
8.854 × 10 ^-12 C ^2 N^ -1 m^ -2
است.

قانون کولن به صورت برداری

قانون کولن بهتر است در نماد برداری نوشته شود زیرا نیرو یک کمیت برداری است. بارهای q 1 و q 2 به ترتیب دارای بردارهای مکان r 1 و r 2 هستند. F 12 نشان دهنده نیروی وارد بر q 1 ناشی از q 2 و F 21 نشان دهنده نیروی وارد بر q 2 ناشی از q 1 است. برای راحتی، بارهای دو نقطه ای q 1 و q 2 به ترتیب 1 و 2 شماره گذاری شده اند و بردار منتهی از 1 به 2 با r 21 تعیین شده است .

هندسه و نیروهای بین بارها

$\overrightarrow{r}_{21} = \overrightarrow{r}_2- \overrightarrow{r}_1$
به همین ترتیب، بردار منتهی به 2 به 1 با r 12 نشان داده می شود.
$\overrightarrow{r}_{12} = \overrightarrow{r}_1- \overrightarrow{r}_2$
r 21 و r 12 اندازه بردارها هستند $\overrightarrow{r}_{21}$ و $\overrightarrow{r}_{12}$ به ترتیب اندازه r 12 برابر با r 21 است. یک بردار واحد در امتداد بردار جهت بردار را مشخص می کند. بردارهای واحد برای نشان دادن جهت از 1 به 2 (یا 2 به 1) استفاده می شود. بردارهای واحد چنین تعریف می کنند،
$\hat{r}_{21}=\dfrac{\overrightarrow{{r}}_{21}}{r_{21}}$
به همین ترتیب،
$\hat{r}_{12}=\dfrac{\overrightarrow{{r}}_{12}}{r_{12}}$
قانون نیروی کولن بین دو بار نقطه‌ای q 1 و q 2 واقع در بردار r 1 و r 2 به صورت زیر بیان می‌شود:
$\begin{aligned}\overrightarrow{F}_{21}&=\dfrac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\dfrac{q_1q_2}{{r}_{21}^2}\ کلاه{r}_{21}\\&=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{21}^3}\overrightarrow{r} _{21}\end{تراز شده}$

نکات کلیدی در قانون کولن:

عبارت فوق صرف نظر از مثبت یا منفی بودن q 1 و q 2 صادق است. F 21 به سمت $\ کلاه{r}_{21}$ نیروی دافعه است، همانطور که باید برای بارهای مشابهی باشد که اگر q 1 و q 2 از یک علامت باشند (هر دو مثبت یا هر دو منفی). هنگامی که نشانه های q 1 و q 2 مخالف هستند یا بار را دوست ندارند، F 21 به سمت است $-\کلاه{r}_{21}$ ، یعنی به سمتی $\ کلاه{r}_{12}$ که جاذبه را نشان می دهد، همانطور که برای بارهای غیر مشابه انتظار می رود. در نتیجه، نیازی به ساخت معادلات جداگانه برای بارهای مشابه و غیر مشابه نداریم. هر دو نمونه به درستی توسط عبارت فوق برای قانون نیروی کولن مدیریت می شوند.
عبارت فوق برای قانون نیروی کولن را می توان برای محاسبه نیروی F 12 وارد بر بار q 1 ناشی از بار q 2 به سادگی با مبادله 1 و 2 به صورت زیر استفاده کرد:

$\begin{aligned}\overrightarrow{F}_{21}&=\dfrac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\dfrac{q_1q_2}{{r}_{21}^2}\ کلاه{r}_{21}\\&=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{21}^3}\overrightarrow{r} _{21}\end{تراز شده}$

بنابراین قانون کولن با قانون سوم نیوتن موافق است.

در خلاء، بیان قانون کولن نیروی بین دو بار q 1 و q 2 را تعیین می کند. اگر اتهامات وارد ماده شود یا ماده ای در ناحیه مداخله ای وجود داشته باشد، به دلیل وجود مواد تشکیل دهنده ماده باردار، وضعیت پیچیده تر می شود.
دو هادی یکسان با بارهای q 1 و q 2 در تماس قرار می گیرند و متعاقبا از هم جدا می شوند و در نتیجه هر هادی دارای باری برابر با (q 1 +q 2 )/2 است. اگر شارژها q 1 و –q 2 باشند ، هر بار برابر با (q 1 -q 2 )/2 خواهد بود .

نیروی بین بارهای متعدد

سیستم سه شارژ.

سیستمی را در خلاء با n بار بی حرکت در نظر بگیرید که بارهای q 1 ، q 2 و q 3 ثابت است. به طور تجربی ثابت شده است که مجموع بردار تمام نیروهای وارد بر یک بار به دلیل تعدادی بار دیگر، که در یک زمان گرفته می شوند، مجموع بردار تمام نیروهای وارد بر آن بار ناشی از بارهای دیگر است. به دلیل وجود بارهای دیگر، نیروهای جداگانه تحت تأثیر قرار نمی گیرند. این به عنوان اصل برهم نهی شناخته می شود.

نیروی وارد بر یک بار، مثلا q 1 ، ناشی از دو بار دیگر، q 2 و q 3 را می توان با جمع بردار نیروهای ناشی از هر یک از این بارها تعیین کرد. در نتیجه، اگر F 12 نشان دهنده نیروی وارد شده به q 1 در نتیجه q 2 باشد،

$\overrightarrow{F}_{12}=\dfrac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\dfrac{q_1q_2}{{r}_{12}^2}\hat{\epsilon}_{ 12}$

به طور مشابه، F 13 نیروی وارد شده بر q 1 در نتیجه q 3 را نشان می دهد ، که باز هم نیروی کولن بر q 1 ناشی از q 3 است، حتی اگر بار دیگر q 2 وجود داشته باشد.

$\overrightarrow{F}_{13}=\dfrac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\dfrac{q_1q_3}{{r}_{13}^2}\hat{\epsilon}_{ 13}$

بنابراین، کل نیروی F 1 بر q 1 ناشی از دو بار q 2 و q 3 را می توان به صورت زیر بیان کرد:

$\begin{aligned}\overrightarrow{F}_{1}&=\overrightarrow{F}_{12}+\overrightarrow{F}_{13}\\&=\dfrac{1}{4\pi{\ epsilon}_\circ}\dfrac{q_1q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12}+\dfrac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\ dfrac{q_1q_3}{{r}_{13}^2}\hat{r}_{13}\\&=\dfrac{q_1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\left[\dfrac {q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12}+\dfrac{q_3}{{r}_{13}^2}\hat{r}_{13}\ راست]\پایان{تراز شده}$

سیستمی از شارژهای متعدد

محاسبه نیروی فوق را می توان برای سیستمی با بیش از سه بار شارژ اعمال کرد. اصل برهم نهی بیان می کند که در سیستم بارهای q 1 , q 2 ……. q n ، نیروی وارد بر q 1 ناشی از q 2 همانند قانون کولن است، یعنی حضور بارهای دیگر q 3 , q 4 ,…, q n . مجموع بردار نیروهای F 12 , F 13 ,…, F 1n روی بار q 1 به دلیل همه بارهای دیگر نیروی کلی F 1 را می دهد به صورت

$\overrightarrow{F}_{1}=\overrightarrow{F}_{12}+\overrightarrow{F}_{13}+....+\overrightarrow{F}_{1n}\\ \overrightarrow{F }_{1}=\frac{q_1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\left[\frac{q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12 }+\frac{q_3}{{r}_{13}^2}\hat{r}_{13}+....+\frac{q_n}{{r}_{1n}^2}\ کلاه{r}_{1n}\right]\\ \overrightarrow{F}_{1}=\frac{q_1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\sum_{i=2}^n\ frac{q_i}{{r}_{1i}^2}\hat{r}_{1i}$

مجموع بردار با استفاده از قانون متوازی الاضلاع جمع بردار محاسبه می شود. قانون کولن و اصل برهم نهی پایه های الکترواستاتیک هستند.

محدودیت های قانون کولن

فقط هزینه امتیاز در حالت استراحت مشمول قانون است.
قانون کولن فقط در شرایطی قابل اجرا است که از قانون مربع معکوس پیروی شود.
هنگامی که اتهامات به شکل دلخواه هستند، اعمال قانون کولن دشوار است زیرا فاصله بین آنها را نمی توان تعیین کرد.
بار سیارات بزرگتر را نمی توان مستقیماً با استفاده از قانون محاسبه کرد.

کاربردهای قانون کولمب

فاصله بین دو بار و همچنین نیروی بین آنها را محاسبه کنید.
از قانون کولمب می توان برای محاسبه میدان الکتریکی استفاده کرد که عبارتند از:

E = F / q T

که در آن E میدان الکتریکی، F نیرو و q T بار آزمایشی است.

واحد SI آن NC -1 است.

نمونه مشکلات

مسئله 1: بارهای قدر 100 میکرو کولن هر کدام در خلاء در گوشه های A، B و C مثلث متساوی الاضلاع به اندازه 4 متر در هر ضلع قرار دارند. اگر بار A و C مثبت و بار B منفی باشد، مقدار و جهت کل نیروی وارد بر بار در C چقدر است؟

راه حل:

نیروی F CA به AC اعمال می شود و عبارت F CA به صورت بیان می شود
$F_{CA}=\dfrac{qq}{4\pi{\epsilon}_\circ}$
مقادیر عبارت بالا را جایگزین کنید
$F_{CA}=\dfrac{100\times10^{-6}\times100\times10^{-6}}{4\pi\times8.854\times10^{-12}}\\ F_{CA}=5.625 \text{N}$
نیروی F CB به CB اعمال می شود و عبارت F CB به صورت بیان می شود
$F_{CB}=\dfrac{qq}{4\pi{\epsilon}_\circ}$
مقادیر عبارت بالا را جایگزین کنید
$F_{CB}=\dfrac{100\times10^{-6}\times100\times10^{-6}}{4\pi\times8.854\times10^{-12}}\\ F_{CB}=5.625 \text{N}$
بنابراین، این دو نیرو از نظر قدر مساوی اما در جهات مختلف هستند. زاویه بین آنها 120 درجه است. نیروی حاصل از F به دست می آید:
$F=\sqrt{F_{CA}^2+F_{CB}^2+2F_{CA}F_{CB}\cos\theta}\\ F=\sqrt{5.625^2+5.625^2+2\times5 0.625\times5.625\times\cos120^\circ}\\ F=5.625\text{N}$

مسئله 2: بار مثبت 6×10 -6 C 0.040 متر از بار مثبت دوم 4×10 -6 C است. نیروی بین بارها را محاسبه کنید.

راه حل:

داده شده،
یک بار مثبت q 1 6×10 -6 C است.
دومین بار مثبت q 2 4×10 -6 C است.
فاصله بین شارژها r 0.040 متر است.
$F_e=k\frac{q_1q_2}{r^2}$
مقادیر عبارت بالا را جایگزین کنید
$F_e=9\times10^9\times\frac{6\times10^{-6}\times4\times10^{-6}}{0.04^2}\\F_e=9\times10^9\times\frac{24 \times10^{-12}}{0.04^2} \\F_e=134.85\text{ N}$

مسئله 3: قانون کولن و بیان آن.

راه حل:

قانون کولن یک فرمول ریاضی است که نیروی بین دو بار نقطه ای را توصیف می کند. وقتی اندازه اجسام باردار به طور قابل توجهی کوچکتر از فاصله بین آنها باشد، آنگاه اندازه در نظر گرفته نمی شود یا می توان نادیده گرفت. اجسام باردار را می توان به عنوان بارهای نقطه ای در نظر گرفت. کولن نیروی بین دو بار نقطه ای را مطالعه کرد و دریافت که با مجذور فاصله بین آنها نسبت معکوس دارد، با حاصل ضرب قدر آنها نسبت مستقیم دارد و در خطی عمل می کند که آنها را به هم متصل می کند.
مقدار نیروی (F) بین دو بار نقطه ای q 1 و q 2 که با فاصله r در خلاء از هم جدا شده اند با
$F∝q_1q_2\\ F∝\frac{1}{r^2}\\ F=k\frac{q_1q_2}{r^2}\\ F=\frac{q_1q_2}{4\pi{\epsilon}_ \circ{r^2}}$
در جایی که F نیروی بین دو بار نقطه ای است، q 1 و q 2 بار نقطه ای هستند، r فاصله بین بار نقطه ای و k ثابت تناسب است.
برای سادگی بعدی، ثابت k در عبارت بالا معمولاً به صورت نوشته می شود
$k=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}$
در اینجا، $\epsilon_\circ$ به عنوان گذردهی فضای آزاد شناخته می شود. مقدار $\epsilon_\circ$ در واحد SI است $\epsilon_\circ=8.854\times10^{-12}\text{ C}^2\text{N}^{-1}\text{m}^{-2}$

مسئله 4: چرا نیروی کولن بین دو بار فقط در خطی که به مرکز آنها می پیوندد عمل می کند؟

راه حل:

به دلیل ویژگی های اساسی بار الکتریکی، این مورد است. بارهای مشابه یکدیگر را دفع می کنند. بارهایی که کاملاً متضاد هستند یکدیگر را جذب می کنند.
نیروی جاذبه یا دافعه بین دو بار در جهتی هدایت خواهد شد که نیرو کمترین کار را انجام دهد. در نتیجه این نیاز، عمل در امتداد خط مستقیم اتصال دو بار که کمترین فاصله بین آنها است هدایت می شود.

مسئله 5: ماهیت نیروهای الکترواستاتیک و گرانشی را با هم مقایسه کنید.

راه حل:

بین دو جرم عظیم، یک نیروی گرانشی عمل می کند. با این حال، هنگامی که دو جسم باردار در تماس هستند، یک نیروی الکترواستاتیک فعال می شود.
شباهت ها:
این دو نیرو نیروهای مرکزی هستند.
از قانون مربع معکوس پیروی کنید.
آنها هر دو نیروهای دوربرد هستند.
هر دو نیرو طبیعتا محافظه کار هستند.
تفاوت ها:
در طبیعت، نیروی الکترواستاتیک می تواند هم جذاب و هم دافعه باشد. در طبیعت، نیروی گرانش فقط می تواند جذاب باشد.
محیط مادی بین دو بار بر نیروی الکتریکی بین آنها تأثیر می گذارد. محیط مادی بین اجسام عظیم تأثیر کمی بر نیروی گرانش دارد.
نیروهای الکتریکی بسیار قدرتمند (تقریباً 10 38 برابر قوی تر) از نیروهای گرانشی هستند.

منبع

https://www.geeksforgeeks.org/coulombs-law/

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و نهم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 17:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعمیم فرمول انتگرال کوشی همراه با مثال

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 18:20 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 19:انتگرال مختلط

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 18:14 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 18:انتگرال مختلط

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 18:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه مقدار میانگین در انتگرال مختلط

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 18:8 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه تغییر شکل همراه با یک مثال برای انتگرال توابع مختلط

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 17:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تعمیم قضیه کوشی به دامنه همبند چندگانه

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 17:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال17:انتگرال توابع مختلط با استفاده از آنتی مشتق

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 17:45 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 16:انتگرال تابع تحلیلی

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 17:41 توسط علی رضا نقش نیلچی |

خواص آنتی مشتق در توابع مختلط

G آنتی مشتق f است هرگاه 'G برابر f باشد

اگر G آنتی مشتق f باشد آنگاه G تحلیلی است
اگر G1, G2 آنتی مشتق f باشند G1-G2=مقدار ثابت

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 17:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 14:در مثال زیر با یک مثال نشان می دهیم انتگرال خطی توابع غیر تحلیلی به مسیر وابسته است

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 16:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

با یک مثال نشان می دهیم انتگرال خطی روی مسیر C 1 +C2=C برابرند

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 16:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 13 :انتگرال خطی تابع مربع روی دو مسیر

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 15:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

خواص انتگرال خطی توابع مختلط

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 15:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال12:انتگرال خطی یک تابع مختلط روی روی یک دایره

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 15:53 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال11:انتگرال خطی توابع مختلط

1 (1) Indefinite Integration (2) Cauchy's Integral Formula (3) Formulas for the derivatives of an analytic function Section 5 SECTION 5 Complex Integration. - ppt download

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 15:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 10:انتگرال مسیر مختلط

1 (1) Indefinite Integration (2) Cauchy's Integral Formula (3) Formulas for the derivatives of an analytic function Section 5 SECTION 5 Complex Integration. - ppt download

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 12:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال9:انتگرال مسیر مختلط

Engineering Mathematics-IV_B.Tech_Semester-IV_Unit-II

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 12:21 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 10:بسط لران

Solved: In part (b) of Example, we showed that the Laurent series ... | Chegg.com

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 12:16 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 10:ارزیابی انتگرال های حقیقی با استفاده از انتگرال مختلط

Complex Integration

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 12:3 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-انتگرال مختلط

6.1.2 نمونه های کار شده

6.1.3 مشکلات آموزشی

6.2 قضیه باقی مانده کوشی

اگر f(z) در تمام نقاط داخل و روی یک منحنی بسته ساده c تحلیلی باشد،

به جز تعداد کمی از تکینگی های جدا شده z 1 ; z 2 ; z 3 ; : : : سپس

6.2.1 نمونه های کار شده

6.2.2 مشکلات آموزشی

7 ارزیابی انتگرال های حقیقی به عنوان انتگرال های کانتور.

7.1 یکپارچه سازی کانتور:

ادغام پیچیده در امتداد منحنی scro که در ارزیابی انتگرال اصلی استفاده می شود، یکپارچه سازی کانتور نامیده می شود. در اینجا ما زیر سه نوع را می بینیم. آن ها هستند

7.2 نوع I

7.2.1 نمونه های کار شده

7.2.2 مشکلات آموزشی

7.3 نوع دوم

7.3.1 نمونه های کار شده

که در آن c از نیم دایره تشکیل شده است: jzj = R و قطر مرزی [R; R].

جایی که z = i; 2i قطب های ساده ای هستند که در داخل قرار دارند و z = I. 2i قطب های ساده ای هستند که در بیرون قرار دارند

نیم دایره بسیار بزرگ می شود و قسمت های واقعی و خیالی هر نقطه ای که روی نیم دایره قرار دارد بسیار بزرگ می شود به طوری که

جایی که c نیمه بالایی نیم دایره T با قطر مرزی است [R; R].

7.4.2 مشکلات آموزشی

8 کاربرد:

قضیه بلاسیوس

The following gure shows a cross-section of a cylinder (not necessarily cir-cular), whose boundary is C,placed in a steady non-viscous ow of an ideal uid; the ow takes place in planes parallel to the xy plane. The cylinder is out of the plane of the paper. The ow of the uid exerts forces and turning moments upon the cylinder. Let X, Y be the components, in the x and y directions respectively, of the force on the cylinder and let M be the anticlockwise moment (on the cylinder) about the origin.

where Re denotes the real part, is the (constant) density of the uid and w = u + iv is the complex potential for the ow both of which are presumed known. We shall nd X; Y and M if the cylinder has a circular cross-section and the boundary is speci ed by jzj = a: Let the ow be a uniform stream with speed U:

Now, using a standard result, the complex potential describing this situation is:

Again using the Key Point above this leads to 4 a2U2i and this has zero real part. Hence M = 0, also. The implication is that no net force or moment acts on the cylinder. This is not so in practice. The discrepancy arises from neglecting the viscosity of the uid.

منبع

https://www.brainkart.com/article/Complex-Integration_6461/

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و پنجم اسفند ۱۴۰۰ ساعت 11:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-انتگرال مختلط

قضیه کوشی

3.1 تعریف

3.1.1 همبند

یک منطقه همبند ، منطقه ای است که هر دو نقطه در آن را می توان با یک منحنی که به طور کامل در منطقه قرار دارد به هم متصل کرد.

3.1.2 منطقه به سادگی همبند

منحنی که از خود عبور نمی کند منحنی بسته ساده نامیده می شود. ناحیه ای که در آن هر منحنی بسته در آن تنها نقاطی از ناحیه را در بر می گیرد، منطقه ای به سادگی همبند نامیده می شود.

3.1.3 انتگرال کانتور

انتگرال در امتداد یک منحنی بسته ساده را انتگرال کانتور می نامند.

3.1.4 قضیه انتگرال کوشی

اگر تابع f(z) تحلیلی باشد و مشتق آن f 0 (z) پیوسته باشد

آر

تمام نقاط داخل و روی یک منحنی بسته ساده c، سپس c f(z)dz = 0:

3.1.5 فرمول انتگرال کوشی

اگر f(z) در داخل و روی یک منحنی بسته c از یک ناحیه R که به سادگی متصل شده است تحلیلی باشد و اگر a هر نقطه ای با c باشد، آنگاه

انتگرال حول c در جهت مثبت گرفته می شود.

3.1.6 فرمول انتگرال کوشی برای مشتق

اگر تابع f(z) درون و روی یک منحنی بسته ساده c تحلیلی باشد و a هر نقطه ای باشد که در آن قرار دارد، آنگاه

3.2 نمونه های کار شده

3.3 مسائل

4 گسترش سری تیلور و لورن.

4.1 سری تیلور.

یک تابع f(z)، تحلیلی در داخل دایره C با مرکز a، می تواند در سری بسط داده شود

4.2 سری Laurent.

اجازه دهید C 1 ; C 2 دو دایره متحدالمرکز jz aj = R 1 و jz aj = R 2 باشد که در آن R 2 < R 1 : فرض کنید f(z) در C 1 و C 2 و در ناحیه حلقوی R بین آنها تحلیلی باشد. سپس، برای هر نقطه z در R،