2-جبر فضا-زمان

تبدیلات

[ ویرایش ]

برای چرخاندن یک بردار $v$ در جبر هندسی از فرمول زیر استفاده می شود: [ 15 ] : 50-51

$v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}$ ،

که $\theta$ زاویه چرخش است، و $\بتا$ دوبردار نرمال شده است که صفحه چرخش را نشان می دهد به طوری که $\beta {\tilde {\beta }}=1$ .

برای یک بردار فضایی داده شده، $\بتا ^{2}=-1$ ، بنابراین فرمول اویلر اعمال می شود، [ 2 ] : 401 که چرخش را می دهد

$v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right) \right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta {2}}\right)\right)$ .

برای یک بردار زمانی معین، $\بتا ^{2}=1$ بنابراین یک "چرخش در طول زمان" از معادله مشابه برای اعداد مختلط تقسیم می شود :

$v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right) \right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta {2}}\right)\right)$ .

با تفسیر این معادله، این چرخش ها در امتداد جهت زمان صرفاً چرخش های هذلولی هستند . اینها معادل افزایش لورنتس در نسبیت خاص هستند.

هر دوی این تبدیل ها به تبدیل های لورنتس معروف هستند و مجموعه ترکیبی همه آنها گروه لورنتس است . برای تبدیل یک شی در STA از هر مبنایی (مرتبط با یک چارچوب مرجع) به دیگری، یک یا چند مورد از این تبدیل ها باید استفاده شود. [ 1 ] : 47-62

هر عنصر فضا-زمان ${\textstyle A}$ با ضرب با شبه مقیاس تبدیل می شود تا عنصر دوگانه آن را تشکیل دهد ${\textstyle AI}$ . [ 12 ] : 114 چرخش دوگانه عنصر فضا-زمان را تبدیل می کند ${\textstyle A}$ به عنصرا ${\textstyle A^{\prime }}$ از طریق زاویه ${\textstyle \phi }$ با شبه اسکالر ${\textstyle I}$ است: [ 1 ] : 13

$A^{\prime }=e^{I\phi }A$

چرخش دوگانه فقط برای جبر کلیفورد غیر مفرد اتفاق می‌افتد ، غیر منفرد به معنای جبر کلیفورد حاوی شبه مقیاس‌ها با مربع غیرصفر. [ 1 ] : 13

گرید انولوشن (درون چرخشی اصلی، وارونگی) هر بردار r را تبدیل می کند ${\textstyle A_{r}}$ به r∗ ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$ : [ 1 ] : 13 [ 16 ]

$A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}$

تبدیل برگشتی با تجزیه هر عنصر فضا-زمان به عنوان مجموع حاصل از بردارها و سپس معکوس کردن ترتیب هر ضرب اتفاق می افتد. [ 1 ] : 13 [ 17 ] برای چند برداری ${\textstyle A}$ از حاصل ضرب بردارها، ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ بازگشت است ${\textstyle A^{\dagger }}$ :

$A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2 }a_{1}$

ترکیب کلیفورد از یک عنصر فضا-زمان ${\textstyle A}$ ترکیبی از تبدیل‌های برگشتی و چرخشی درجه، که به عنوان نشان داده شده است ${\textstyle {\tilde {A}}}$ : [ 18 ]

${\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }$

دگرگونی درجه، برگشت و تبدیل‌های صرف کلیفورد انحلال هستند . [ 19 ]

الکترومغناطیس کلاسیک

[ ویرایش ]

دوبردار فارادی

[ ویرایش ]

در STA، میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی را می توان در یک میدان دو بردار واحد، که به نام دو بردار فارادی، معادل تانسور فارادی شناخته می شود، متحد کرد . [ 2 ] : 230 به این صورت تعریف می شود:

$F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},$

که $E$ و $B$ میدان های الکتریکی و مغناطیسی معمولی هستند و $I$ شبه STA است. [ 2 ] : 230 متناوباً، در حال گسترش $F$ از نظر اجزاء $F$ تعریف شده است که

$F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{ 2}\گاما _{2}\گاما _{0}+E^{3}\گاما _{3}\گاما _{0}-cB^{1}\گاما _{2}\گاما _{3}-cB^{2}\گاما _{3}\گاما _{1}-cB^{3}\گاما _{1}\گاما _{2}.$

جداE→ ${\vec {E}}$ و ${\vec {B}}$ میدانها از آن بازیابی می شوند $F$ با استفاده از

${\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{تراز شده}}$

این $\gamma _{0}$ اصطلاح یک چارچوب مرجع معین را نشان می‌دهد، و به این ترتیب، استفاده از چارچوب‌های مرجع مختلف، منجر به میدان‌های نسبی ظاهراً متفاوتی می‌شود، دقیقاً مانند نسبیت خاص استاندارد. [ 2 ] : 233

از آنجایی که دوبردار فارادی یک نامتغیر نسبیتی است، اطلاعات بیشتری را می‌توان در مربع آن یافت، که دو کمیت جدید لورنتز نامتغیر، یکی اسکالر و یک شبه مقیاس را به دست می‌دهد:

$F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.$

بخش اسکالر مربوط به چگالی لاگرانژ برای میدان الکترومغناطیسی است، و بخش شبه اسکالر یک تغییر ناپذیر لورنتس است که کمتر دیده می شود. [ 2 ] : 234

معادله ماکسول

[ ویرایش ]

STA معادلات ماکسول را به شکل ساده‌تر به عنوان یک معادله فرموله می‌کند، [ 20 ] : 230 به جای 4 معادله حساب برداری . [ 21 ] : 2-3 مشابه دو بردار میدان فوق، چگالی بار الکتریکی و چگالی جریان را می توان در یک بردار فضازمان واحد، معادل یک بردار چهار بردار ، متحد کرد . به این ترتیب، جریان فضا-زمان $J$ توسط [ 22 ] : 26 داده شده است

$J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i}،$

جایی که اجزاء $J^{i}$ اجزای چگالی جریان سه بعدی کلاسیک هستند. هنگامی که این مقادیر را به این ترتیب ترکیب می کنیم، به ویژه مشخص می شود که چگالی بار کلاسیک چیزی نیست جز جریانی که در جهت زمانی داده شده توسط $\gamma _{0}$ .

با ترکیب میدان الکترومغناطیسی و چگالی جریان همراه با گرادیان فضازمان همانطور که قبلاً تعریف شد، می‌توانیم هر چهار معادله ماکسول را در یک معادله در STA ترکیب کنیم. [ 20 ] : 230

معادله ماکسول:

$\nabla F=\mu _{0}cJ$

این حقیقیت که این کمیت ها همه اشیاء کوواریانت در STA هستند به طور خودکار کوواریانس لورنتز معادله را تضمین می کند، که نشان دادن آن بسیار ساده تر از زمانی است که به چهار معادله جداگانه جدا شود.

در این شکل، اثبات برخی ویژگی‌های معادلات ماکسول، مانند بقای بار ، بسیار ساده‌تر است . با استفاده از این حقیقیت که برای هر میدان دوبردار، واگرایی گرادیان فضازمان آن است $0$ ، می توان دستکاری زیر را انجام داد: [ 23 ] : 231

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J .\end{تراز شده}}$

این معادله به این معنی است که واگرایی چگالی جریان صفر است، یعنی بار کل و چگالی جریان در طول زمان حفظ می شود.

با استفاده از میدان الکترومغناطیسی، شکل نیروی لورنتس روی ذره باردار نیز می‌تواند به طور قابل توجهی با استفاده از STA ساده شود. [ 24 ] : 156

نیروی لورنتس بر یک ذره باردار:

${\mathcal {F}}=qF\cdot v$

فرمولاسیون پتانسیل

[ ویرایش ]

در فرمول حساب بردار استاندارد از دو تابع پتانسیل استفاده می شود: پتانسیل اسکالر الکتریکی و پتانسیل بردار مغناطیسی . با استفاده از ابزارهای STA، این دو شیء در یک میدان برداری واحد ترکیب می شوند $A$ ، مشابه چهار پتانسیل الکترومغناطیسی در حساب تانسور است. در STA به این صورت تعریف می شود

$A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}$

که $\phi$ پتانسیل اسکالر است و $A^{k}$ اجزای پتانسیل مغناطیسی هستند. همانطور که تعریف شد، این میدان دارای واحدهای SI وبر در هر متر است (V⋅s⋅m -1 ).

میدان الکترومغناطیسی را می توان بر حسب این میدان پتانسیل با استفاده از

${\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.$

با این حال، این تعریف منحصر به فرد نیست. برای هر تابع اسکالر دو برابر مشتق پذیر $\Lambda ({\vec {x}})$ ، پتانسیل داده شده توسط

$A'=A+\nabla \Lambda$

نیز همان را خواهد داد $F$ به عنوان اصلی، با توجه به این حقیقیت است که

$\nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.$

این پدیده آزادی سنج نامیده می شود . فرآیند انتخاب یک تابع مناسب $\Lambda$ برای ساده‌ترین مشکل معین به عنوان ثابت کردن سنج شناخته می‌شود . با این حال، در الکترودینامیک نسبیتی، شرط لورنز اغلب تحمیل می شود، جایی که $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$ . [ 2 ] : 231

برای فرمول بندی مجدد معادله STA ماکسول بر حسب پتانسیل $A$ ، $F$ ابتدا با تعریف فوق جایگزین می شود.

${\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \ wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{تراز شده}}$

با جایگزینی این نتیجه، به فرمول پتانسیل الکترومغناطیس در STA می رسیم: [ 2 ] : 232

معادله پتانسیل:

$\nabla ^{2}A=\mu _{0}J$

فرمول لاگرانژی

[ ویرایش ]

مشابه فرمالیسم حساب تانسور، فرمول پتانسیل در STA به طور طبیعی به چگالی لاگرانژی مناسب منجر می شود . [ 2 ] : 453

چگالی لاگرانژی الکترومغناطیسی:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A$

معادلات اویلر-لاگرانژ چند بردار برای میدان را می توان استخراج کرد، و با توجه به سختی ریاضی گرفتن مشتق جزئی نسبت به چیزی که اسکالر نیست، معادلات مربوطه تبدیل می شوند: [ 25 ] : 440

$\nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\ جزئی A}}=0.$

برای شروع دوباره به دست آوردن معادله پتانسیل از این فرم، ساده ترین کار در گیج لورنز است، با تنظیم [ 2 ] : 232

$\nabla \cdot A=0.$

این فرآیند را می توان بدون توجه به گیج انتخابی انجام داد، اما این روند نتیجه را به طور قابل توجهی واضح تر می کند. با توجه به ساختار ضرب هندسی ، استفاده از این شرط منجر به این می شود $\nabla \wedge A=\nabla A$ .

پس از تعویض در $F=c\nabla A$ ، همان معادله حرکتی که در بالا برای میدان پتانسیل وجود دارد $A$ به راحتی بدست می آید.

معادله پائولی

[ ویرایش ]

STA اجازه می دهد تا ذره پائولی را در قالب یک نظریه حقیقی به جای نظریه ماتریس توصیف کند. توصیف نظریه ماتریس ذره پائولی به شرح زیر است: [ 26 ]

$i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,$

که $\Psi$ اسپینور است ، $i$ واحد خیالی بدون تفسیر هندسی است، ${\hat {\sigma }}_{i}$ ماتریس های پائولی هستند (با نماد "کلاه" نشان دهنده آن است ${\hat {\sigma }}$ یک عملگر ماتریسی است و نه عنصری در جبر هندسی)، و $H_{S}$ شرودینگر همیلتونی است.

رویکرد STA نمایش اسپینور ماتریس را تبدیل می کند ${\textstyle |\psi \rangle }$ به نمایندگی STA ${\textstyle \psi }$ با استفاده از عناصر،σ1،σ2، ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$ ، از زیر جبر فضازمان با درجه زوج و شبه مقیاس $I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$ : [ 2 ] : 37 [ 27 ] : 270، 271

$|\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a ^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}}$

ذره پائولی با معادله حقیقی پائولی- شرودینگر توصیف می شود: [ 26 ]

$\partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B } \psi \sigma _{3}،$

الان که $\psi$ یک چند بردار زوج جبر هندسی است و شرودینگر همیلتونی $H_{S}$ . هستند از این نظریه به عنوان نظریه حقیقی پائولی- شرودینگر یاد می کند تا تأکید کند که اگر اصطلاحی که شامل میدان مغناطیسی است حذف شود، این نظریه به نظریه شرودینگر کاهش می یابد. [ 26 ] : 30 بردار ${\textstyle \sigma _{3}}$ یک بردار ثابت انتخابی دلخواه است. یک چرخش ثابت می تواند هر بردار ثابت انتخابی جایگزینی را ایجاد کند" ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$ . [ 28 ] : 30

+ نوشته شده در شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ ساعت 9:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ضرب سه گانه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد عملیات سه تایی بردار است. برای کاربردهای دیگر، ضرب سه گانه (ابهام‌زدایی) را ببینید .

"حجم امضا شده" به اینجا هدایت می شود. برای کتاب‌های امضا شده، به Bibliophilia مراجعه کنید .

در هندسه و جبر ، حاصل ضرب سه گانه حاصلضرب سه بردار 3 بعدی ، معمولاً بردارهای اقلیدسی است . نام "ضرب سه گانه" برای دو ضرب مختلف استفاده می شود، حاصل ضرب سه گانه اسکالر با ارزش و در موارد کمتر، حاصلضرب سه گانه برداری با ارزش برداری .

ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنند

حاصل ضرب سه گانه اسکالر ( همچنین به نام ضرب مخلوط ، ضرب جعبه یا حاصل ضرب اسکالر سه گانه ) به عنوان حاصل ضرب نقطه ای یکی از بردارها با ضرب ضربدر دو بردار دیگر تعریف می شود .

تفسیر هندسی

از نظر هندسی، حاصل ضرب سه گانه اسکالر

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

حجم (نشانه دار) متوازی الاضلاع است که توسط سه بردار داده شده تعریف شده است.

خواص

حاصل ضرب سه گانه اسکالر تحت یک جابجایی دایره ای از سه عملوند آن ( a , b , c ) بدون تغییر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )$
تعویض موقعیت عملگرها بدون مرتب کردن مجدد عملوندها، ضرب سه گانه را بدون تغییر باقی می گذارد. این از ویژگی قبلی و ویژگی جابجایی حاصلضرب نقطه است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$
مبادله هر دو از سه عملوند، حاصلضرب سه گانه را نفی می کند . این از خاصیت جابجایی دایره ای و ضد جابجایی ضرب متقاطع به دست می آید:
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{تراز شده}}$
حاصلضرب سه‌گانه اسکالر را می‌توان به‌عنوان دترمینان ماتریس 3 × 3 که دارای سه بردار یا به‌عنوان ردیف‌ها یا ستون‌هایش است، درک کرد (یک ماتریس همان تدترمینانی دارد که جابه‌جایی آن است ):
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1 }&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{ 1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.$
اگر حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر با صفر باشد، سه بردار a ، b و c همسطح هستند ، زیرا متوازی الاضلاع تعریف شده توسط آنها مسطح است و حجم ندارد.
اگر هر دو بردار در حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر باشند، مقدار آن صفر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0$
همچنین:
$(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$
حاصل ضرب ساده دو ضرب سه گانه (یا مربع حاصلضرب سه گانه)، ممکن است برحسب حاصلضرب نقطه بسط داده شود: [1]

$((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\ \mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf { d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}$

این در نماد برداری دوباره بیان می کند که حاصل ضرب عوامل دترمینان دو ماتریس 3×3 برابر با دترمینان حاصلضرب ماتریس آنها است. به عنوان یک مورد خاص، مربع یک ضرب سه گانه یک دترمینان گرم است .

نسبت حاصلضرب سه گانه و حاصل ضرب سه هنجار بردار به عنوان سینوس قطبی شناخته می شود :

${\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} } \|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$

که بین ۱- و ۱ متغیر است.

اسکالر یا شبه اسکالر

اگرچه حاصل ضرب سه گانه اسکالر حجم متوازی الاضلاع را می دهد، اما این حجم علامت گذاری شده است، علامت بسته به جهت قاب یا برابری جایگشت بردارها است. این بدان معنی است که اگر جهت گیری معکوس شود، برای مثال با تبدیل برابری ، ضرب نفی می شود ، و بنابراین اگر جهت گیری بتواند تغییر کند، به طور صحیح تر به عنوان یک شبه مقیاس توصیف می شود.

این همچنین به دست بودن ضرب متقاطع مربوط می شود . حاصلضرب متقاطع به عنوان یک شبه بردار تحت تبدیل های برابری تبدیل می شود و بنابراین به درستی به عنوان شبه بردار توصیف می شود. حاصلضرب نقطه ای دو بردار یک عددی است اما حاصلضرب نقطه ای یک بردار کاذب و یک بردار یک شبه مقیاس است، بنابراین حاصلضرب سه گانه اسکالر (بردارها) باید ارزش شبه مقیاسی داشته باشد.

اگر T یک چرخش مناسب است پس

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})$

اما اگر T یک چرخش نامناسب است ، پس

$\mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c}).$

تراکم اسکالر یا اسکالر

به بیان دقیق، یک اسکالر تحت یک تبدیل مختصات به هیچ وجه تغییر نمی کند. (به عنوان مثال، ضریب 2 که برای دو برابر کردن یک بردار استفاده می شود، اگر بردار در مختصات کروی در مقابل مستطیل باشد، تغییر نمی کند.) با این حال، اگر هر بردار توسط یک ماتریس تبدیل شود، حاصل ضرب سه گانه در نهایت در دترمینان ضرب می شود. ماتریس تبدیل، که می تواند برای یک غیر چرخشی کاملاً دلخواه باشد. یعنی ضرب سه گانه به طور صحیح تر به عنوان چگالی اسکالر توصیف می شود .

به عنوان یک ضرب بیرونی

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را پوشانده اند، حاصلضرب سه برابری برابر با حجم آن دارند. (اما مراقب باشید جهت فلش های این نمودار نادرست باشد.)

در جبر بیرونی و جبر هندسی حاصلضرب بیرونی دو بردار دو بردار است در حالی که حاصلضرب بیرونی سه بردار یک سه بردار است . یک دوبردار یک عنصر صفحه جهت‌دار و یک سه بردار یک عنصر حجمی جهت‌دار است، همانطور که یک بردار یک عنصر خط جهت‌دار است.

با توجه به بردارهای a ، b و c ، حاصلضرب

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$

یک سه بردار با بزرگی برابر با حاصل ضرب سه گانه اسکالر است، یعنی

$|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})|$ ،

و Hodge دوگانه حاصلضرب سه گانه اسکالر است. از آنجایی که ضرب بیرونی، براکت های ارتباطی است، نیازی نیست، زیرا مهم نیست که کدام یک از a ∧ b یا b ∧ c ابتدا محاسبه می شود، اگرچه ترتیب بردارها در ضرب مهم است. از نظر هندسی سه بردار a ∧ b ∧ c مربوط به متوازی الاضلاع است که توسط a , b و c امتداد یافته است ، با دو بردار a ∧ b , b ∧ c و a ∧ c با وجوه متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع مطابقت دارند .

به عنوان یک تابع سه خطی

حاصل ضرب سه گانه با فرم حجمی فضای 3 اقلیدسی که از طریق حاصلضرب داخلی به بردارها اعمال می شود، یکسان است . همچنین می توان آن را به صورت انقباض بردارها با تانسور رتبه-3 معادل شکل (یا شبه تانسور معادل شبه شکل حجمی) بیان کرد. زیر را ببینید .

ضرب سه گانه برداری

حاصلضرب سه گانه برداری به صورت حاصلضرب متقاطع یک بردار با حاصلضرب دو بردار دیگر تعریف می شود . رابطه زیر برقرار است:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a } \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$ .

این به عنوان توسعه ضرب سه گانه یا فرمول لاگرانژ شناخته می شود ، [2] [3] اگرچه نام دوم برای چندین فرمول دیگر نیز استفاده می شود . سمت راست آن را می توان با استفاده از یادداشت "ACB - ABC" به خاطر آورد، مشروط بر اینکه در نظر داشته باشید که کدام بردارها با هم نقطه چین شده اند. یک مدرک در زیر ارائه شده است . برخی از کتاب های درسی اتحاد را به عنوان $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ به طوری که یک یادگاری آشناتر "BAC - CAB" به دست می آید، مانند "پشت کابین".

از آنجایی که ضرب متقاطع ضد جابجایی است، این فرمول ممکن است (تا جایگشت حروف) نیز به صورت زیر نوشته شود:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-( \mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b}$

از فرمول لاگرانژ چنین استنباط می شود که حاصلضرب سه گانه بردار برآورده می شود:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf { c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}$

که اتحاد ژاکوبی برای ضرب متقاطع است. فرمول مفید دیگری به شرح زیر است:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf { b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

این فرمول ها در ساده کردن محاسبات برداری در فیزیک بسیار مفید هستند . یک اتحاد مرتبط با شیب ها و مفید در محاسبات برداری، فرمول لاگرانژ اتحاد متقابل بردار است: [4]

${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A}$

این را می توان به عنوان یک مورد خاص از عملگر عمومی تر Laplace-de Rham نیز در نظر گرفت $\Delta =d\delta +\delta d$ .

اثبات

را $x$ جزئی از $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ از رابطه زیر بدست می آید:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf { v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}( \mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\ mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf { u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u } _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{تراز شده}}$

به طور مشابه، $y$ و $z$ اجزای $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ توسط:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v } \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{تراز شده}}$

با ترکیب این سه جزء به دست می آید:

$\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf { u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w}$ [5]

استفاده از جبر هندسی

اگر از جبر هندسی استفاده شود، حاصل ضرب متقاطع b × c بردارها به صورت حاصلضرب بیرونی b ∧ c ، یک دوبردار بیان می شود . دومین ضرب متقاطع را نمی توان به عنوان یک ضرب بیرونی بیان کرد، در غیر این صورت حاصل ضرب سه گانه اسکالر ایجاد می شود. در عوض می توان از انقباض چپ [6] استفاده کرد، بنابراین فرمول تبدیل به [7] می شود.

${\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\ mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{تراز شده}}$

اثبات از خواص انقباض حاصل می شود. [6] نتیجه همان بردار محاسبه شده با استفاده از × ( b × c ) است.

تفاسیر

حساب تانسور

در نماد تانسور ، حاصل ضرب سه گانه با استفاده از نماد لوی-سویتا بیان می شود : [8]

$\mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m }b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},$

با اشاره به $i$ -امین جزء بردار حاصل. این را می توان با انجام یک انقباض بر روی نمادهای لوی-سویتا ساده کرد . $\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,$ جایی که $\delta _{j}^{i}$ تابع دلتای کرونکر است ( $\delta _{j}^{i}=0$ چه زمانی $i\neq j$ و $\delta _{j}^{i}=1$ چه زمانی $i=j$ ) و $\delta _{ij}^{\ell m}$ تابع دلتای کرونکر تعمیم یافته است . ما می‌توانیم این اتحاد را با تشخیص این شاخص مشخص کنیم $k$ صرفا خروج خلاصه خواهد شد $i$ و $j$ . در ترم اول تعمیر می کنیم $i=l$ و بنابراین $j=m$ . به همین ترتیب در ترم دوم اصلاح می کنیممن $i=m$ و بنابراین $l=j$ .

بازگشت به ضرب متقاطع سه گانه،

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i} c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.$

حساب برداری

انتگرال شار میدان برداری را در نظر بگیریداف $\mathbf {F}$ در سراسر سطح پارامتریک تعریف شده است $S=\mathbf {r} (u,v)$ : ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$ . بردار واحد نرمال ${\hat {\mathbf {n} }}$ به سطح داده شده توسط ${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v} |}}}$ بنابراین انتگرال ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ یک ضرب سه گانه اسکالر است.

این بخش نیاز به گسترش دارد . می توانید با افزودن به آن کمک کنید . ( ژانویه 2014 )

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم فروردین ۱۴۰۳ ساعت 9:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-هارمونیک های کروی

تاریخچه [ ویرایش ]

پیر سیمون لاپلاس ، 1749-1827

هارمونیک های کروی ابتدا در ارتباط با پتانسیل نیوتنی قانون گرانش جهانی نیوتن در سه بعد مورد بررسی قرار گرفتند. در سال 1782، پیر سیمون د لاپلاس ، در Mécanique Céleste خود ، تعیین کرد که پتانسیل گرانشی $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ در نقطه x مرتبط با مجموعه ای از جرم های نقطه m i واقع در نقاط x i توسط داده شد

$V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.$

هر جمله در جمع بالا یک پتانسیل نیوتنی منفرد برای یک جرم نقطه ای است. درست قبل از آن زمان، آدرین ماری لژاندر گسترش پتانسیل نیوتنی در توان های r = | x | و r 1 = | x 1 | . او کشف کرد که اگر r ≤ r 1 باشد ، پس

${\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma){\frac {1}{r_{1 }}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma){\frac {r^{2 }}{r_{1}^{3}}}+\cdots$

که γ زاویه بین بردارهای x و x 1 است . توابع $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ چند جمله ای های لژاندر هستند و می توان آنها را به عنوان حالت خاصی از هارمونیک های کروی به دست آورد. پس از آن، لاپلاس در خاطرات خود در سال 1782، این ضرایب را با استفاده از مختصات کروی برای نشان دادن زاویه γ بین x 1 و x بررسی کرد . ( برای تجزیه و تحلیل دقیق تر به کاربردهای چند جمله ای لژاندر در فیزیک مراجعه کنید.)

در سال 1867، ویلیام تامسون (لرد کلوین) و پیتر گاتری تایت هارمونیک‌های کروی جامد را در رساله‌ای در باب فلسفه طبیعی معرفی کردند و همچنین برای اولین بار نام "هارمونیک‌های کروی" را برای این توابع معرفی کردند. هارمونیک های جامد راه حل های چند جمله ای همگن بودندر $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ معادله لاپلاس

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$

تامسون و تایت با بررسی معادله لاپلاس در مختصات کروی، هارمونیک های کروی لاپلاس را بازیابی کردند. (به بخش زیر، "نمایش چند جمله ای هارمونیک" مراجعه کنید.) اصطلاح "ضرایب لاپلاس" توسط ویلیام ویول برای توصیف سیستم خاصی از راه حل های معرفی شده در امتداد این خطوط استفاده شد، در حالی که دیگران این نام را برای هارمونیک های کروی ناحیه ای که به درستی استفاده شده بودند، اختصاص دادند. توسط لاپلاس و لژاندر معرفی شد.

توسعه سری فوریه در قرن نوزدهم ، حل طیف گسترده ای از مسائل فیزیکی را در حوزه های مستطیلی، مانند حل معادله گرما و معادله موج ، ممکن کرد . این را می توان با بسط توابع در مجموعه ای از توابع مثلثاتی به دست آورد . در حالی که توابع مثلثاتی در یک سری فوریه حالت‌های اساسی ارتعاش در یک رشته را نشان می‌دهند ، هارمونیک‌های کروی حالت‌های اساسی ارتعاش یک کره را تقریباً به همان شکل نشان می‌دهند. بسیاری از جنبه های نظریه سری فوریه را می توان با بسط در هارمونیک های کروی به جای توابع مثلثاتی تعمیم داد. علاوه بر این، شبیه به اینکه چگونه توابع مثلثاتی را می‌توان به صورت نمایی مختلط نوشت ، هارمونیک‌های کروی نیز دارای شکلی معادل به عنوان توابع با مقادیر مختلط هستند. این یک موهبت برای مشکلاتی بود که دارای تقارن کروی بودند ، مانند مشکلات مکانیک سماوی که در ابتدا توسط لاپلاس و لژاندر مورد مطالعه قرار گرفت.

رواج هارمونیک های کروی در حال حاضر در فیزیک زمینه را برای اهمیت بعدی آنها در تولد مکانیک کوانتومی قرن بیستم فراهم کرد . هارمونیک های کروی (با ارزش مختلط). $S^{2}\to \mathbb {C}$ توابع ویژه مجذور عملگر تکانه زاویه ای مداری هستند

$-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,$

و بنابراین آنها پیکربندی های مختلف کوانتیزه شده اوربیتال های اتمی را نشان می دهند .

مقاله

+ نوشته شده در یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-نظریه میدان لاگرانژی

جاذبه انیشتین [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اقدام انیشتین–هیلبرت

چگالی لاگرانژ برای نسبیت عام در حضور میدان های ماده است

${\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}} ={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}$

جایی که $\Lambda$ ثابت کیهانی است ،آر $R$ اسکالر انحنای است که تانسور ریچی منقبض با تانسور متریک است و تانسور ریچی تانسور ریمان است که با دلتای کرونکر منقبض شده است . انتگرال از ${\mathcal {L}}_{\text{EH}}$ به عمل اینشتین-هیلبرت معروف است . تانسور ریمان تانسور نیروی جزر و مدی است و از نمادهای کریستوفل و مشتقات نمادهای کریستوفل ساخته شده است که ارتباط متریک را در فضازمان تعریف می کند. خود میدان گرانشی از نظر تاریخی به تانسور متریک نسبت داده می شد. دیدگاه مدرن این است که ارتباط "بنیادی تر" است. این به دلیل درک این است که می توان اتصالات را با پیچش غیر صفر نوشت . اینها متریک را بدون تغییر یک بیت هندسه تغییر می دهند. در مورد "جهت واقعی گرانش" (مثلاً روی سطح زمین، به سمت پایین است)، این از تانسور ریمان می آید: این چیزی است که "میدان نیروی گرانشی" را توصیف می کند که اجسام متحرک احساس می کنند و واکنش نشان می دهند. به. (این عبارت آخر باید واجد شرایط باشد: فی نفسه "میدان نیرو" وجود ندارد ؛ اجسام متحرک از ژئودزیک ها در منیفولد توصیف شده توسط اتصال پیروی می کنند. آنها در یک " خط مستقیم " حرکت می کنند.)

لاگرانژ برای نسبیت عام نیز می تواند به شکلی نوشته شود که آن را آشکارا شبیه معادلات یانگ میلز می کند. این اصل عمل انیشتین یانگ میلز نامیده می شود . این کار با توجه به این که بیشتر هندسه دیفرانسیل روی باندل هایی با اتصال افین و گروه Lie دلخواه "به خوبی" کار می کند، انجام می شود. سپس، با وصل کردن SO(3،1) برای آن گروه تقارن، یعنی برای میدانهای فریم ، معادلات بالا به دست می آید. [2] [3]

جایگزینی این لاگرانژ به معادله اویلر-لاگرانژ و گرفتن تانسور متریک $g_{\mu \nu }$ به عنوان میدان، معادلات میدان انیشتین را به دست می آوریم

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c ^{4}}}T_{\mu \nu }\,.$ $T_{\mu \nu }$

تانسور تکانه انرژی است و با تعریف می شود

$T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} } {\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\ delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.$ جایی که $g$ وقتی به عنوان یک ماتریس در نظر گرفته شود، تعیین کننده تانسور متریک است. به طور کلی، در نسبیت عام، معیار انتگرال عمل چگالی لاگرانژ است ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ . این باعث می شود مختصات انتگرال مستقل باشد، زیرا ریشه تعیین متریک معادل دترمینان ژاکوبین است . علامت منفی نتیجه امضای متریک است (تعیین کننده به خودی خود منفی است). [5] این نمونه‌ای از فرم حجمی است که قبلاً مورد بحث قرار گرفت و در فضازمان غیر مسطح آشکار می‌شود.

الکترومغناطیس در نسبیت عام [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادلات ماکسول در فضازمان منحنی

چگالی لاگرانژ الکترومغناطیس در نسبیت عام نیز حاوی عمل انیشتین-هیلبرت از بالا است. لاگرانژی الکترومغناطیسی خالص دقیقاً یک ماده لاگرانژی است موضوع ${\mathcal {L}}_{\text{matter}}$ . لاگرانژی است

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0} }F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^ {4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{انیشتین–هیلبرت }}.\end{تراز شده}}$

این لاگرانژی به سادگی با جایگزین کردن متریک مینکوفسکی در لاگرانژی مسطح بالا با یک متریک عمومی تر (احتمالاً منحنی) به دست می آید. $g_{\mu \nu }(x)$ . ما می توانیم معادلات میدان انیشتین را در حضور میدان EM با استفاده از این لاگرانژی تولید کنیم. تانسور انرژی - تکانه است

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu } (x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{}}\lambda } ^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x )F^{\rho \sigma }(x)\right)$

می توان نشان داد که این تانسور تکانه انرژی بدون ردیابی است، یعنی آن

$T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0$

اگر ردی از دو طرف معادلات میدان انیشتین را بگیریم، به دست می آید

$R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T$

بنابراین بی اثر بودن تانسور تکانه انرژی نشان می دهد که اسکالر انحنا در یک میدان الکترومغناطیسی ناپدید می شود. معادلات اینشتین پس از آن است

$R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^ {\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$

علاوه بر این، معادلات ماکسول هستند

$D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }$ جایی که $D_{\mu }$ مشتق کوواریانت است . برای فضای آزاد، می توانیم تانسور فعلی را برابر با صفر قرار دهیم، $j^{\mu }=0$ . حل معادلات انیشتین و ماکسول حول یک توزیع جرم کروی متقارن در فضای آزاد منجر به سیاهچاله باردار رایسنر-نوردستروم با عنصر خط تعیین کننده (نوشته شده در واحدهای طبیعی و با بار Q ) می شود: [5]

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\راست )\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\راست)^ {-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$

یکی از راه های ممکن برای متحد کردن لاگرانژین الکترومغناطیسی و گرانشی (با استفاده از بعد پنجم) توسط نظریه کالوزا-کلین ارائه شده است . [2] به طور موثر، یک بسته نرم افزاری مانند معادلات یانگ-میلز که قبلا داده شد ساخته می شود، و سپس عمل را به طور جداگانه روی قسمت های 4 بعدی و 1 بعدی در نظر می گیرد. این گونه فاکتورگیری ها ، مانند این واقعیت که می توان 7 کره را حاصل ضرب 4 کره و 3 کره نوشت، یا اینکه 11 کره حاصلضرب 4 کره و 7 کره است، به حساب می آید. برای بسیاری از هیجانات اولیه که نظریه ای درباره همه چیز پیدا شده بود. متأسفانه، 7 کره به اندازه کافی بزرگ نیست که تمام مدل استاندارد را در بر بگیرد و این امیدها را بر باد داد.

نمونه های اضافی [ ویرایش ]

مدل BF لاگرانژی، مخفف «زمینه پس‌زمینه»، سیستمی را با دینامیک بی‌اهمیت توصیف می‌کند، زمانی که بر روی یک منیفولد فضازمان مسطح نوشته می‌شود. در یک فضازمان از نظر توپولوژیکی غیر پیش پا افتاده، سیستم راه حل های کلاسیک غیر پیش پا افتاده ای خواهد داشت که ممکن است به عنوان سالیتون یا لحظه تفسیر شوند . توسعه‌های متنوعی وجود دارد که پایه‌های نظریه‌های میدان توپولوژیکی را تشکیل می‌دهند .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

حساب تغییرات
نظریه میدان کلاسیک کوواریانت
معادله اویلر – لاگرانژ
مشتق تابعی
انتگرال عملکردی
مختصات تعمیم یافته
مکانیک هامیلتونی
نظریه میدان همیلتونی
اصطلاح جنبشی
مختصات لاگرانژی و اولری
مکانیک لاگرانژی
نقطه لاگرانژی
سیستم لاگرانژی
قضیه نوتر
تابع Onsager–Machlup
اصل کمترین عمل
نظریه میدان اسکالر

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اختصار کردن تمام مشتقات و مختصات در چگالی لاگرانژی به صورت زیر یک سوء استفاده استاندارد از نماد است:

${\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi,x_{\mu })$ چهار گرادیان را ببینید . μ شاخصی است که مقادیر 0 (برای مختصات زمانی) و 1، 2، 3 (برای مختصات مکانی) را می گیرد، بنابراین به طور دقیق فقط یک مشتق یا مختصات وجود دارد . به طور کلی، تمام مشتقات مکانی و زمانی در چگالی لاگرانژی ظاهر می شوند، به عنوان مثال در مختصات دکارتی، چگالی لاگرانژی به شکل کامل است:

${\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\ frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$ در اینجا ما همان چیزی را می نویسیم، اما از ∇ برای مخفف کردن تمام مشتقات فضایی به عنوان بردار استفاده می کنیم.

نقل قول ها [ ویرایش ]

↑ رالف آبراهام و جرولد ای. مارسدن، (1967) "مبانی مکانیک"
^ پرش به بالا:دیوید بلیکر (1981) "نظریه سنج و اصول تغییر " ادیسون - وسلی
^ پرش به بالا:a b c d e f Jurgen Jost، (1995) "هندسه ریمانی و تحلیل هندسی"، اسپرینگر
^ ماندل، اف. شاو، جی (2010). «نظریه میدان لاگرانژی». نظریه میدان کوانتومی (ویرایش دوم). وایلی. پ. 25-38 . شابک 978-0-471-49684-7.
^ پرش به بالا:a b c Zee, Anthony (2013). گرانش اینشتین به طور خلاصه پرینستون: انتشارات دانشگاه پرینستون. صص 344 –390. شابک 9780691145587.
↑ کیهیل، کوین (2013). ریاضیات فیزیکی . کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 9781107005211.
↑ جوست، یورگن (2002). "عملکردی گینزبورگ-لاندو". هندسه ریمانی و تحلیل هندسی (ویرایش سوم). Springer-Verlag. صص 373 –381. شابک 3-540-42627-2.
^ Itzykson-Zuber, eq. 3-152
↑ کلود ایتیکسون و ژان برنارد زوبر، (1980) "نظریه میدان کوانتومی"

دسته بندی ها :

فیزیک ریاضی
نظریه میدان کلاسیک
حساب تغییرات
نظریه میدان کوانتومی

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_(field_theory)

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-نظریه میدان لاگرانژی

الکترومغناطیس و معادلات یانگ میلز [ ویرایش ]

با استفاده از اشکال دیفرانسیل ، عمل الکترومغناطیسی S در خلاء روی منیفولد ریمانی (شبه) ${\mathcal {M}}$ را می توان نوشت (با استفاده از واحدهای طبیعی c = ε 0 = 1 ) به صورت

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \ wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \راست).$

در اینجا، A مخفف پتانسیل الکترومغناطیسی 1-شکل، J شکل 1 فعلی، F قدرت میدان 2-شکل و ستاره نشان دهنده عملگر ستاره Hodge است . این دقیقاً همان لاگرانژی است که در بخش بالا وجود دارد، با این تفاوت که درمان در اینجا بدون مختصات است. گسترش انتگرال به یک مبنا، عبارت طولانی و یکسانی را به دست می دهد. توجه داشته باشید که در مورد فرم‌ها، معیار انتگرال اضافی لازم نیست زیرا فرم‌ها دارای تفاضل مختصات داخلی هستند. تغییر عملکرد منجر به

$\mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J}.$

اینها معادلات ماکسول برای پتانسیل الکترومغناطیسی هستند. با جایگزینی F = d A بلافاصله معادله میدانها به دست می آید.

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$ زیرا F یک شکل دقیق است .

میدان A را می توان به عنوان اتصال افین در یک بسته فیبر U(1) درک کرد . یعنی الکترودینامیک کلاسیک، تمام اثرات و معادلات آن را می توان به طور کامل در قالب یک بسته دایره ای بر روی فضازمان مینکوفسکی درک کرد .

معادلات یانگ -میلز را می توان دقیقاً به همان شکل بالا نوشت، با جایگزینی گروه لی U(1) الکترومغناطیس با یک گروه Lie دلخواه. در مدل استاندارد ، به طور متعارف چنین در نظر گرفته می شود $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ هر چند مورد کلی مورد توجه عموم است. در همه موارد، نیازی به انجام هیچ گونه کوانتیزه ای نیست. اگرچه معادلات یانگ-میلز از نظر تاریخی ریشه در نظریه میدان کوانتومی دارند، معادلات فوق کاملا کلاسیک هستند. [2] [3]

Chern–Simons کاربردی [ ویرایش ]

با توجه به موارد فوق، می توان عمل را در یک بعد کمتر، یعنی در تنظیمات هندسه تماس، در نظر گرفت . این به چرن-سیمون عملکردی می دهد . به صورت نوشته شده است

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} + {\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \راست).$

نظریه چرن-سیمون عمیقاً در فیزیک مورد بررسی قرار گرفت، به عنوان یک مدل اسباب بازی برای طیف گسترده ای از پدیده های هندسی که می توان انتظار داشت در یک نظریه یکپارچه بزرگ پیدا شود .

گینزبورگ–لاندو لاگرانژی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گینزبورگ-لاندو

چگالی لاگرانژی برای نظریه گینزبورگ-لاندو، لاگرانژی را برای نظریه میدان اسکالر با لاگرانژی برای عمل یانگ-میلز ترکیب می کند . ممکن است اینگونه نوشته شود: [7]

${\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\ چپ (\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}$ جایی که $\psi$ بخشی از یک بسته بردار با فیبر است $\mathbb {C} ^{n}$ . را $\psi$ مربوط به پارامتر نظم در یک ابررسانا است . به طور معادل، با میدان هیگز مطابقت دارد ، پس از توجه به این که عبارت دوم پتانسیل معروف "کلاه سوبرو" است . میدان $A$ میدان سنج (غیر آبلی)، یعنی میدان یانگ–میلز و $F$ قدرت میدانی آن است. معادلات اویلر -لاگرانژ برای تابع گینزبورگ-لاندو معادلات یانگ-میلز هستند.

$D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi$

$D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle$ جایی که ${\star }$ عملگر ستاره هاج است ، یعنی تانسور کاملاً ضد متقارن. این معادلات ارتباط نزدیکی با معادلات یانگ – میلز – هیگز دارند . لاگرانژی دیگر در نظریه سایبرگ-ویتن یافت می شود .

دیراک لاگرانژیان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله دیراک

چگالی لاگرانژی برای میدان دیراک است: [8]

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi$ جایی که $\psi$ یک اسپینور دیراک است ، ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ الحاق دیراک آن است و ${\partial }\!\!\!/$ نماد اسلش فاینمن برای است $\gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }$ . در نظریه کلاسیک نیازی به تمرکز بر اسپینورهای دیراک نیست. اسپینورهای ویل پایه کلی تری را ارائه می دهند. آنها را می توان مستقیماً از جبر کلیفورد فضازمان ساخت . کارهای ساختمانی در هر تعداد ابعاد، [3] و اسپینورهای دیراک به عنوان یک مورد خاص ظاهر می شوند. اسپینورهای ویل این مزیت اضافی را دارند که می‌توانند در یک ویلبین برای متریک در منیفولد ریمانی استفاده شوند . این مفهوم ساختار چرخشی را امکان‌پذیر می‌سازد ، که، به طور کلی، راهی برای فرمول‌بندی اسپینورها به طور مداوم در یک فضازمان منحنی است.

لاگرانژی الکترودینامیک کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: الکترودینامیک کوانتومی

چگالی لاگرانژی برای QED ، لاگرانژی میدان دیراک را با لاگرانژی برای الکترودینامیک به روشی گیج ثابت ترکیب می‌کند. این است:

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2 })\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

جایی که $F^{\mu \nu }$ تانسور الکترومغناطیسی است ، D مشتق کوواریانس سنج است ، و/ ${D}\!\!\!\!/$ نماد فاینمن برای است $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$ با $D_{\sigma }=\جزئی _{\sigma }-ieA_{\sigma }$ جایی که $A_{\sigma }$ چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است . اگرچه کلمه "کوانتوم" در بالا آمده است، اما این یک مصنوع تاریخی است. تعریف میدان دیراک به هیچ‌وجه نیاز به کمیت‌سازی ندارد، می‌توان آن را به‌عنوان یک میدان کاملاً کلاسیک از اسپینورهای ضد رفت‌وآمد ویل نوشت که از اصول اولیه جبر کلیفورد ساخته شده است . [3] فرمول کلاسیک کامل گیج ثابت در Bleecker ارائه شده است. [2]

لاگرانژی کرومودینامیکی کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کرومودینامیک کوانتومی

چگالی لاگرانژی برای کرومودینامیک کوانتومی ، لاگرانژی را برای یک یا چند اسپینور عظیم دیراک با لاگرانژی عمل یانگ-میلز ترکیب می‌کند که دینامیک یک میدان گیج را توصیف می‌کند. لاگرانژی ترکیبی گیج ثابت است. ممکن است اینگونه نوشته شود: [9]

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\ !\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \ بیش از 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{ \alpha }{}^{\mu \nu }$

که در آن D مشتق کوواریانت سنج QCD است ، n = 1، 2، ...6 انواع کوارک را می شمارد ، و $G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!$ تانسور قدرت میدان گلوئون است . همانطور که در مورد الکترودینامیک بالا، ظاهر کلمه "کوانتوم" در بالا فقط توسعه تاریخی آن را تایید می کند. لاگرانژی و تغییر ناپذیری گیج آن را می توان به شیوه ای کاملا کلاسیک فرموله کرد و با آن رفتار کرد. [2] [3]

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-نظریه میدان لاگرانژی

الکترومغناطیس در نسبیت خاص [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول کوواریانت الکترومغناطیس کلاسیک

یک ذره نقطه ای را در نظر بگیرید، یک ذره باردار، که با میدان الکترومغناطیسی تعامل دارد . شرایط تعامل

$-q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t ), t)$ با عبارت‌هایی که شامل چگالی بار پیوسته ρ در A·s·m -3 و چگالی جریان هستند جایگزین می‌شوند. $\mathbf {j}$ در A·m −2 . چگالی لاگرانژی حاصل برای میدان الکترومغناطیسی به صورت زیر است:

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} ( \mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \بیش از 2}{E}^{2}(\mathbf {x} , t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).$

با تغییر این نسبت به ϕ ، دریافت می کنیم

$0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$

که قانون گاوس را به دست می دهد .

در عوض با توجه بهآ $\mathbf {A}$ ، ما گرفتیم

$0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \ بیش از \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)$

که قانون آمپر را به دست می دهد .

با استفاده از نماد تانسور ، می توانیم همه اینها را فشرده تر بنویسیم. عبارت $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$ در واقع حاصل ضرب درونی دو چهار بردار است . ما چگالی بار را در بردار 4 فعلی و پتانسیل را در بردار 4 بالقوه بسته بندی می کنیم. این دو بردار جدید هستند

$j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A})$

سپس می توانیم عبارت تعامل را به صورت بنویسیم

$-\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }$ علاوه بر این، می‌توانیم میدان‌های E و B را در آنچه به عنوان تانسور الکترومغناطیسی شناخته می‌شود، بسته بندی کنیم $F_{\mu \nu }$ . ما این تانسور را به صورت تعریف می کنیم

$F_{\mu \nu }=\جزئی _{\mu }A_{\nu }-\جزئی _{\nu }A_{\mu }$ اصطلاحی که ما به دنبال آن هستیم معلوم می شود

${\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1 }{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }$

ما از متریک Minkowski برای افزایش شاخص‌ها در تانسور EMF استفاده کرده‌ایم . در این نماد، معادلات ماکسول هستند

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \ nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0$

جایی که ε تانسور Levi-Civita است . بنابراین چگالی لاگرانژ برای الکترومغناطیس در نسبیت خاص که بر حسب بردارها و تانسورهای لورنتس نوشته شده است

${\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{ \mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)$

در این نماد، آشکار است که الکترومغناطیس کلاسیک یک نظریه لارنتس-لورنتز است. با اصل هم ارزی ، گسترش مفهوم الکترومغناطیس به فضازمان منحنی ساده می شود. [5] [6]

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-نظریه میدان لاگرانژی

مثالها [ ویرایش ]

انواع زیادی از سیستم‌های فیزیکی بر حسب لاگرانژی در زمینه‌ها فرموله شده‌اند. در زیر نمونه‌ای از برخی از رایج‌ترین موارد موجود در کتاب‌های درسی فیزیک در تئوری میدان آورده شده است.

گرانش نیوتنی [ ویرایش ]

چگالی لاگرانژی برای گرانش نیوتنی است:

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}- \rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)$

که در آن Φ پتانسیل گرانشی ، ρ چگالی جرم و G بر حسب m 3 ·kg -1 ·s -2 ثابت گرانشی است . تراکم ${\mathcal {L}}$ دارای واحدهای J·m −3 است . در اینجا عبارت اندرکنش شامل یک چگالی جرم پیوسته ρ در kg·m -3 است . این امر ضروری است زیرا استفاده از یک منبع نقطه ای برای یک میدان منجر به مشکلات ریاضی می شود.

این لاگرانژی را می توان در قالب نوشت ${\mathcal {L}}=TV$ ، با $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ ارائه یک اصطلاح جنبشی، و تعامل $V=\rho \Phi$ اصطلاح بالقوه همچنین نظریه گرانش نوردستروم را ببینید که چگونه می توان آن را برای مقابله با تغییرات در طول زمان اصلاح کرد. این شکل در مثال بعدی نظریه میدان اسکالر تکرار شده است.

تغییر انتگرال با توجه به Φ به صورت زیر است:

$\delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \ بیش از 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).$

پس از انتگرال با قطعات، دور انداختن انتگرال کل، و تقسیم بر δΦ فرمول به صورت زیر در می‌آید :

$0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)$

که معادل است با:

$4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)$

که قانون گاوس را برای گرانش به دست می دهد .

نظریه میدان اسکالر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه میدان اسکالر

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر که در یک پتانسیل حرکت می کند $V(\phi )$ را می توان به صورت نوشتاری

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac { 1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _ {n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}$

شباهت نظریه اسکالر به کتاب لاگرانژی در مقطع کارشناسی اصلا تصادفی نیست. $L=TV$ برای عبارت جنبشی یک ذره نقطه آزاد که به صورت نوشته شده است $T=mv^{2}/2$ . نظریه اسکالر تعمیم تئوری میدان یک ذره است که در یک پتانسیل حرکت می کند. وقتی که $V(\phi )$ پتانسیل کلاه مکزیکی است ، میدان های حاصل را میدان های هیگز می نامند .

مدل سیگما لاگرانژی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل سیگما

مدل سیگما حرکت یک ذره نقطه اسکالر را توصیف می کند که محدود به حرکت بر روی یک منیفولد ریمانی ، مانند یک دایره یا یک کره است. این مورد میدانهای اسکالر و برداری را تعمیم می دهد، یعنی میدانهایی که محدود به حرکت بر روی یک منیفولد مسطح هستند. لاگرانژ معمولاً به یکی از سه شکل معادل نوشته می شود:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }$ جایی که $\mathrm {d}$ دیفرانسیل است . یک عبارت معادل است

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}( \phi )\;\جزئی ^{\mu }\phi _{i}\جزئی _{\mu }\phi _{j}$

با $g_{ij}$ متریک ریمانی در منیفولد میدان. یعنی زمین ها $\phi _{i}$ فقط مختصات محلی در نمودار مختصات منیفولد هستند. سومین شکل رایج این است

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)$

با

$L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U$ و $U\in \mathrm {SU} (N)$ ، گروه لی SU(N) . این گروه را می توان با هر گروه Lie یا، به طور کلی، با یک فضای متقارن جایگزین کرد . ردیابی فقط شکل کشتار در پنهان است. فرم Killing یک فرم درجه دوم را در منیفولد میدان ارائه می‌کند، سپس لاگرانژی فقط عقب‌نشینی این فرم است. متناوبا، لاگرانژ را می توان به عنوان عقب نشینی فرم مورر-کارتان به فضازمان پایه نیز دید.

به طور کلی، مدل های سیگما راه حل های سولیتون توپولوژیکی را نشان می دهند . معروف ترین و به خوبی مطالعه شده از آنها Skyrmion است که به عنوان مدلی از نوکلئون عمل می کند که در آزمون زمان مقاومت کرده است.

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله پواسون

یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم که در فیزیک بوجود می آید،

اگر ، به معادله لاپلاس کاهش می یابد .

همچنین با معادله دیفرانسیل هلمهولتز مرتبط است

https://mathworld.wolfram.com/PoissonsEquation.html

+ نوشته شده در سه شنبه پانزدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 10:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

جداسازی متغیرها

جداسازی متغیرها روشی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی است.

برای یک معادله دیفرانسیل معمولی

(1)

جایی که غیر صفر در همسایگی مقدار اولیه است، راه حل به طور ضمنی توسط داده می شود

(2)

اگر بتوان انتگرال ها را به صورت بسته انجام داد و معادله حاصل را بتوان برای (که دو «اگر» بسیار بزرگ هستند، حل کرد، پس یک راه حل کامل برای مسئله به دست آمده است. مهمترین معادله ای که این تکنیک برای آن اعمال می شود ، معادله رشد و زوال نمایی است (استوارت 2001).

برای یک معادله دیفرانسیل جزئی در یک تابع و متغیرها ، ...، جداسازی متغیرها را می توان با جایگزینی شکل اعمال کرد.

(3)

شکستن معادله به دست آمده به مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل معمولی مستقل، حل این معادلات ، و ...، و سپس وصل کردن آنها به معادله اصلی.

این تکنیک به این دلیل کار می کند که اگر حاصل ضرب توابع متغیرهای مستقل ثابت باشد، هر تابع باید به طور جداگانه یک ثابت باشد. موفقیت مستلزم انتخاب یک سیستم مختصات مناسب است و ممکن است بسته به معادله اصلاً قابل دستیابی نباشد. جداسازی متغیرها برای اولین بار توسط L'Hospital در سال 1750 مورد استفاده قرار گرفت. این روش به ویژه در حل معادلات ناشی از فیزیک ریاضی، مانند معادله لاپلاس ، معادله دیفرانسیل هلمهولتز ، و معادله شرودینگر مفید است.

https://mathworld.wolfram.com/SeparationofVariables.html

+ نوشته شده در سه شنبه پانزدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 10:53 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل حل معادله لاپلاس در مختصات کروی با جداسازی متغیرها

https://slideplayer.com/slide/10884088/

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 16:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل حل معادله لاپلاس در مختصات کروی با جداسازی متغیرها

9 حل معادله لاپلاس در مختصات کروی با جداسازی متغیرها نیازی به درج ثابت c در اینجا نیست زیرا به A و B جذب می شود.

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 16:18 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل حل معادله لاپلاس در مختصات کروی با جداسازی متغیرها

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 16:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مقدمه ای ملایم بر عملگر لاپلاس

توسط استفانیا کریستینا در 16 مه 2022 در حساب دیفرانسیل و انتگرال 7

اشتراک گذاری توییت اشتراک گذاری

عملگر لاپلاس اولین بار توسط پیر سیمون د لاپلاس برای مطالعه مکانیک سماوی یا حرکت اجسام در فضای بیرونی به کار گرفته شد و به همین دلیل به نام او نامگذاری شده است.

عملگر لاپلاس از آن زمان برای توصیف بسیاری از پدیده‌های مختلف، از پتانسیل‌های الکتریکی، معادله انتشار گرما و جریان سیال، و مکانیک کوانتومی استفاده شده است. همچنین به فضای گسسته تغییر شکل داده شده است، جایی که در برنامه های کاربردی مربوط به پردازش تصویر و خوشه بندی طیفی استفاده شده است.

در این آموزش، آشنایی ملایمی با زبان لاپلاسی خواهید یافت.

پس از تکمیل این آموزش، خواهید دانست:

تعریف عملگر لاپلاس و نحوه ارتباط آن با واگرایی.
نحوه ارتباط عملگر لاپلاس با هسین.
چگونه عملگر لاپلاس پیوسته به فضای گسسته تغییر شکل داده و برای پردازش تصویر و خوشه‌بندی طیفی اعمال شده است.

بیا شروع کنیم.

مقدمه ای ملایم بر عکس لاپلاسی
از عزیز آچارکی ، برخی حقوق محفوظ است.

بررسی اجمالی آموزش

این آموزش به دو بخش تقسیم می شود؛ آن ها هستند:

لاپلاسی
- مفهوم واگرایی
- لاپلاسی پیوسته
لاپلاسی گسسته

پیش نیازها

برای این آموزش، ما فرض می کنیم که شما از قبل می دانید که چه چیزهایی هستند:

شما می توانید این مفاهیم را با کلیک بر روی لینک های داده شده در بالا مرور کنید.

لاپلاسی

عملگر لاپلاس (یا لاپلاس، همانطور که اغلب نامیده می شود) واگرایی گرادیان یک تابع است.

برای درک بهتر عبارت قبلی، بهتر است با درک مفهوم واگرایی شروع کنیم .

مفهوم واگرایی

واگرایی یک عملگر برداری است که در یک میدان برداری عمل می کند. دومی را می توان به عنوان نشان دهنده جریان یک مایع یا گاز در نظر گرفت، جایی که هر بردار در میدان برداری، یک بردار سرعت سیال متحرک را نشان می دهد.

به طور کلی، واگرایی تمایل سیال به جمع شدن یا پراکندگی در یک نقطه را می سنجد…
– صفحه 432، حساب تک و چند متغیره ، 2020.

بخشی از فیلد برداری (sin y ، cos x )

با استفاده از عملگر nabla (یا del)، ∇، واگرایی با ∇ نشان داده می شود . و هنگامی که به یک میدان برداری اعمال می شود، مقدار سیال را در هر نقطه اندازه گیری می کند، یک مقدار اسکالر تولید می کند. در مختصات دکارتی، واگرایی یک میدان برداری، F = 〈 f ، g ، h 〉، به دست می آید:

اگرچه محاسبه واگرایی شامل اعمال عملگر واگرایی (به جای عملیات ضرب) است، نقطه در نماد آن یادآور حاصل ضرب نقطه ای است که شامل ضرب اجزای دو دنباله با طول مساوی است (در این مورد، ∇ و F ) و جمع عبارات حاصل.

لاپلاسی پیوسته

بیایید به تعریف لاپلاسی بازگردیم.

به یاد بیاورید که گرادیان یک تابع دو بعدی، f ، به صورت زیر به دست می آید:

سپس، لاپلاسین (یعنی واگرایی گرادیان) f را می توان با مجموع مشتقات جزئی دوم غیرمخلوط تعریف کرد :

به طور معادل، می توان آن را به عنوان رد (tr) تابع Hessian ، H ( f ) در نظر گرفت. ردیابی مجموع عناصر روی قطر اصلی یک مربع n × n ماتریس را که در این مورد Hessian است و همچنین مجموع مقادیر ویژه آن را مشخص می کند . به یاد بیاورید که ماتریس Hessian مشتقات جزئی دوم خود (یا مخلوط نشده) در مورب را شامل می شود:

یکی از ویژگی های مهم ردیابی یک ماتریس، تغییر ناپذیری آن نسبت به تغییر مبنا است . ما قبلاً لاپلاسی را در مختصات دکارتی تعریف کرده ایم. در مختصات قطبی، آن را به صورت زیر تعریف می کنیم:

تغییرناپذیری ردی برای تغییر مبنا به این معنی است که لاپلاسین را می توان در فضاهای مختصات مختلف تعریف کرد، اما مقدار یکسانی را در نقطه ای ( x , y ) در فضای مختصات دکارتی و در همان نقطه ( r) می دهد. ، θ ) در فضای مختصات قطبی.

به یاد بیاورید که ما همچنین اشاره کرده بودیم که مشتق دوم می تواند اطلاعاتی در مورد انحنای یک تابع در اختیار ما قرار دهد. از این رو، به طور شهودی، می‌توانیم لاپلاسی را در نظر بگیریم که از طریق این جمع مشتق‌های دوم، اطلاعاتی در مورد انحنای محلی یک تابع به ما ارائه می‌دهد.

عملگر لاپلاس پیوسته برای توصیف بسیاری از پدیده های فیزیکی مانند پتانسیل های الکتریکی و معادله انتشار برای جریان گرما استفاده شده است.

آیا می خواهید با حساب دیفرانسیل و انتگرال برای یادگیری ماشینی شروع کنید؟

اکنون در دوره رایگان ۷ روزه خرابی ایمیل من (با نمونه کد) شرکت کنید.

برای ثبت نام و همچنین دریافت نسخه کتاب الکترونیکی PDF رایگان دوره کلیک کنید.

مینی دوره رایگان خود را دانلود کنید

لاپلاسی گسسته

مشابه عملگر لاپلاس پیوسته، عملگر گسسته است، به طوری که به منظور اعمال به یک شبکه گسسته، مثلاً، مقادیر پیکسل در یک تصویر، یا به یک نمودار، فرموله شده است.

بیایید نگاهی بیندازیم که چگونه عملگر لاپلاس را می توان برای هر دو برنامه تغییر شکل داد.

در پردازش تصویر، عملگر لاپلاس به شکل یک فیلتر دیجیتالی محقق می شود که وقتی روی تصویر اعمال می شود، می تواند برای تشخیص لبه استفاده شود. به یک معنا، می‌توانیم عملگر لاپلاسی را که در پردازش تصویر استفاده می‌شود، در نظر بگیریم تا اطلاعاتی در مورد نحوه منحنی (یا خم شدن ) تابع در نقطه‌ای خاص ( x ، y ) به ما ارائه دهد.

در این مورد، عملگر (یا فیلتر) لاپلاسی گسسته با ترکیب دو فیلتر مشتق دوم تک بعدی در یک فیلتر دو بعدی واحد ساخته می شود:

در یادگیری ماشینی، اطلاعات ارائه شده توسط اپراتور لاپلاس مجزا که از یک نمودار به دست می آید، می تواند به منظور خوشه بندی داده ها استفاده شود.

نموداری را در نظر بگیرید، G = ( V , E ) که دارای تعداد محدودی از رئوس V و یال های E است . ماتریس لاپلاسی آن، L ، را می توان بر حسب ماتریس درجه، D ، حاوی اطلاعاتی در مورد اتصال هر رأس، و ماتریس مجاورت، A ، که جفت رئوس مجاور در نمودار را نشان می دهد، تعریف کرد:

L = D - A

خوشه‌بندی طیفی را می‌توان با اعمال برخی روش‌های خوشه‌بندی استاندارد (مانند k -means) روی بردارهای ویژه ماتریس لاپلاسی انجام داد ، بنابراین گره‌های گراف (یا نقاط داده) را به زیر مجموعه‌ها تقسیم کرد.

یکی از مسائلی که در انجام این کار می تواند به وجود بیاید مربوط به مشکل مقیاس پذیری با مجموعه داده های بزرگ است، جایی که تجزیه ویژه (یا استخراج بردارهای ویژه) ماتریس لاپلاسی ممکن است بازدارنده باشد. استفاده از یادگیری عمیق برای رفع این مشکل پیشنهاد شده است ، جایی که یک شبکه عصبی عمیق طوری آموزش داده شده است که خروجی های آن بردارهای ویژه گراف لاپلاسین را تقریب می زند. شبکه عصبی، در این مورد، با استفاده از یک رویکرد بهینه‌سازی محدود آموزش داده می‌شود تا متعامد بودن خروجی‌های شبکه را اعمال کند.

بیشتر خواندن

اگر به دنبال عمیق تر شدن هستید، این بخش منابع بیشتری در مورد موضوع ارائه می دهد.

کتاب ها

حساب تک و چند متغیره ، 2020.
راهنمای پردازش تصویر و ویدئو ، 2005.

مقالات

https://machinelearningmastery.com/a-gentle-introduction-to-the-laplacian/

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله لاپلاس -- مختصات کروی

در مختصات کروی , فاکتورهای مقیاس عبارتند از , , , , و توابع جداسازی , , , به دادن یک تعیین کننده Stäckel از .

لاپلاسی است _

(1)

برای حل معادله لاپلاس در مختصات کروی ، سعی کنید متغیرها را با نوشتن جدا کنید

(2)

سپس معادله دیفرانسیل هلمهولتز می شود

(3)

حالا تقسیم بر

(4)

((r^2sin^2phi)/R(d^2R)/(dr^2)+(2rsin^2phi)/R(dR)/(dr))+(1/تتا(d^2Theta)/(dtheta ^2)) +((cosphisinphi)/Phi(dPhi)/(dphi)+(sin^2phi)/Phi(d^2Phi)/(dphi^2))=0.

(5)

راه حل قسمت دوم ( 5 ) باید سینوسی باشد، بنابراین معادله دیفرانسیل است

(6)

که دارای راه حل هایی است که ممکن است به عنوان یک تابع پیچیده با ...،

(7)

یا به عنوان مجموع توابع سینوس و کسینوس واقعی با ، ...،

(8)

وصل کردن ( 6 ) به ( 7 )،

(9)

قسمت شعاعی باید برابر با یک ثابت باشد

(10)

(11)

اما این معادله دیفرانسیل اویلر است ، بنابراین ما یک راه حل سری از فرم را امتحان می کنیم

(12)

سپس

r^2sum_(n=0)^infty(n+c)(n+c-1)a_nr^(n+c-2)+2rsum_(n=0)^infty(n+c)a_nr^(n+ c-1) -l(l+1)sum_(n=0)^inftya_nr^(n+c)=0

(13)

sum_(n=0)^infty(n+c)(n+c-1)a_nr^(n+c)+2sum_(n=0)^infty(n+c)a_nr^(n+c) -l (l+1)sum_(n=0)^inftya_nr^(n+c)=0

(14)

(15)

این باید برای تمام توان های . برای مدت (با )،

(16)

که تنها در صورت ناپدید شدن همه اصطلاحات دیگر درست است . بنابراین برای ، . بنابراین، راه حل جزء به دست آمده است

(17)

وصل کردن ( 17 ) دوباره به (◇)،

(18)

(19)

که معادله دیفرانسیل لژاندر برای و ، ...، است . بنابراین راه حل مختلط کلی است

sum_(l=0)^inftysum_(m=-l)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)e^(-imtheta) =sum_(l=0)^ inftysum_(m=-1)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))Y_l^m(تتا،فی)،

(20)

جایی که

(21)

هارمونیک های کروی ( مختلط) هستند . راه حل حقیقی کلی این است

(22)

برخی از ثابت‌های نرما سازی می‌توانند توسط و جذب شوند ، بنابراین این معادله ممکن است به شکل ظاهر شود

sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)[S_l^msin(mtheta)+C_l^mcos(mtheta)] =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))×[S_l^mY_l^(m(o))(تتا،فی)+C_l^ mY_l^(m(e))(تتا، فی)]،

(23)

جایی که

(24)

(25)

هارمونیک های کروی زوج و فرد (حقیقی) هستند . اگر تقارن ازیموتال وجود داشته باشد، ثابت است و حل جزء یک چند جمله ای لژاندر است . راه حل کلی پس از آن است

(26)

https://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquationSphericalCoordinates.html

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:40 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فرمول های ریاضی - عملگرهای برداری

این صفحه را نشانه گذاری کنید!

این بخش شامل خلاصه ای از عملگرهای برداری است که در هر یک از سه سیستم مختصات اصلی بیان شده اند:

دکارتی ( , , )
استوانه ای ( ، ، )
کروی ( , , )

بردارهای پایه مرتبط با استفاده از یک کارت شناسایی می شوند (

) روی نماد. عملوند بردار

بر حسب مولفه ها در جهت های پایه به صورت زیر بیان می شود:

دکارتی:
استوانه ای:
کروی:

شیب

گرادیان در مختصات دکارتی:

(10.5.1)

گرادیان در مختصات استوانه ای:

(10.5.2)

گرادیان در مختصات کروی:

(10.5.3)

واگرایی

واگرایی در مختصات دکارتی:

(10.5.4)

واگرایی در مختصات استوانه ای:

واگرایی در مختصات کروی:

کرل

کرل در مختصات دکارتی:

کرلدر مختصات استوانه ای:

پیچش در مختصات کروی:

لاپلاسین

لاپلاسین در مختصات دکارتی:

(10.5.5)

لاپلاسین در مختصات استوانه ای:

(10.5.6)

لاپلاسین در مختصات کروی:

https://www.circuitbread.com/textbooks/electromagnetics-i/appendices/mathematical-formulas-vector-operators

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله دیفرانسیل هلمهولتز - مختصات مخروطی

در مختصات مخروطی می توان معادله لاپلاس را نوشت

(1)

جایی که

			(2)
			(3)

(Byerly 1959). اجازه دادن

(4)

( 1 ) را به دو معادله تقسیم می کند،

(5)

(6)

حل اینها می دهد

(7)

(8)

هارمونیک های بیضی از نوع اول کجا هستند . بنابراین راه حل معمولی این است

(9)

با این حال، به دلیل تقارن استوانه ای، راه حل هارمونیک کروی درجه یک است .

منابع

Arfken، G. "مختصات مخروطی ." §2.16 در روش های ریاضی برای فیزیکدانان، ویرایش دوم. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-119, 1970.Byerly، W. E. یک رساله ابتدایی در مورد سری فوریه، و هارمونیک های کروی، استوانه ای و بیضی، با کاربردهایی در مسائل در فیزیک ریاضی. نیویورک: دوور، ص. 263، 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Systems Coordinate, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. نیویورک: Springer-Verlag، صفحات 39-40، 1988.مورس، پی ام و فشباخ، اچ. روش های فیزیک نظری، قسمت اول. نیویورک: مک گراو هیل، ص 514 و 659، 1953.

https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquationConicalCoordinates.html

وایستاین، اریک دبلیو. "معادله دیفرانسیل هلمهولتز - مختصات مخروطی." از MathWorld -- یک منبع وب Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquationConicalCoordinates.html

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 2:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مختصات مخروطی

تعاریف مختلفی از مختصات مخروطی وجود دارد که توسط مورس و فشباخ (1953)، بایرلی (1959)، آرفکن (1970) و مون و اسپنسر (1988) تعریف شده است. سیستم تعریف شده در زبان ولفرام است

			(1)
			(2)
			(3)

جایی که . Byerly (1959) از سیستمی استفاده می‌کند که اساساً همان سیستم مختصاتی است که در بالا گفته شد، اما با ، و با و با جایگزین می‌شود . مون و اسپنسر (1988) به جای .

معادلات بالا می دهد

(4)

(5)

(6)

عوامل مقیاس هستند

			(7)
			(8)
			(9)

لاپلاسی است _

del ^2=(nu(2nu^2-a^2-b^2))/((mu-nu)(mu+nu)lambda^2)partial/(partialnu)+((a-nu)(a +nu)(nu-b)(nu+b))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)(partial^2)/(partialnu^2) +(mu(2mu^2-a ^2-b^2))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)partial/(partialmu)+((mu-b)(mu+b)(mu-a)(mu+a ))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)(partial^2)/(partialmu^2)+2/lambdapartial/(partiallambda)+(partial^2)/(partiallambda^2).

(10)

معادله دیفرانسیل هلمهولتز در مختصات مخروطی قابل تفکیک است.

https://mathworld.wolfram.com/ConicalCoordinates.html

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 2:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

رابطه جابجاگر متعارف

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
در مکانیک کوانتومی ، رابطه جابجاگر متعارف ، رابطه اساسی بین کمیت های مزدوج متعارف است (کمیت هایی که با تعریف به هم مرتبط هستند به طوری که یکی تبدیل فوریه دیگری است). مثلا،

$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I}$

بین عملگر موقعیت x و عملگر حرکت p x در جهت x یک ذره نقطه ای در یک بعد، که در آن [ x , p x ] = x p x − p x x تبدیل کننده x و p x ، i فرضی است . واحد ، و ℏ ثابت کاهش یافته پلانک h /2π است ، و من $\mathbb {I}$ عملگر واحد است. به طور کلی موقعیت و تکانه بردار عملگرها هستند و رابطه جابجاگر آنها بین اجزای مختلف موقعیت و تکانه را می توان به صورت بیان کرد.

$[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},$ جایی که $\delta _{ij}$ دلتای کرونکر است .

این رابطه به ورنرهازنبرگ ، ماکس برن و پاسکال جردن (1925)، [1] [2] نسبت داده می شود که آن را یک "شرایط کوانتومی" نامیده اند که به عنوان اصل نظریه عمل می کند. ای کنارد (1927) [3] برای دلالت بر اصل عدم قطعیت هایزنبرگ اشاره کرد . قضیه استون-فون نویمان یک نتیجه منحصر به فرد را برای عملگرهایی که رابطه جابجاگر متعارف را برآورده می کنند (شکل نمایی از) می دهد.
ارتباط با مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]
در مقابل، در فیزیک کلاسیک ، همه قابل مشاهده‌ها جابجا می‌شوند و جابجایی صفر خواهد بود. با این حال، یک رابطه مشابه وجود دارد که با جایگزینی کموتاتور با براکت پواسون ضرب در i ℏ به دست می آید .

$\{x,p\}=1\,.$

این مشاهدات باعث شد دیراک پیشنهاد کند که همتایان کوانتومی^ ${\hat {f}}$ , ĝ از مشاهده پذیرهای کلاسیک f , g راضی کننده

$[{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.$

در سال 1946، هیپ گرونولد نشان داد که یک تناظر سیستماتیک کلی بین کموتاتورهای کوانتومی و براکت‌های پواسون نمی‌تواند به طور مداوم برقرار شود. [4] [5]
با این حال، او بیشتر قدردانی کرد که چنین تناظر سیستماتیکی در واقع بین کموتاتور کوانتومی و تغییر شکل براکت پواسون، که امروزه براکت مویال نامیده می‌شود ، و به طور کلی، عملگرهای کوانتومی و مشاهده‌پذیرها و توزیع‌های کلاسیک در فضای فاز وجود دارد . بنابراین او در نهایت مکانیسم مطابقت سازگار، تبدیل ویگنر-ویل ، که زیربنای یک نمایش ریاضی معادل جایگزین از مکانیک کوانتومی شناخته شده به عنوان کوانتیزاسیون تغییر شکل است، روشن کرد . [4] [6]
اشتقاق از مکانیک همیلتونی [ ویرایش ]
بر اساس اصل مطابقت ، در حدود معینی معادلات کوانتومی حالات باید به معادلات حرکت همیلتون نزدیک شوند . دومی رابطه زیر را بین مختصات تعمیم یافته q (مثلا موقعیت) و تکانه تعمیم یافته p بیان می کند :

${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}= -{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{موارد}}$

در مکانیک کوانتومی همیلتونی ${\hat {H}}$ ، (تعمیم شده) مختصات ${\hat {Q}}$ و حرکت (تعمیم شده). ${\hat {P}}$ همه عملگرهای خطی هستند.
مشتق زمانی یک حالت کوانتومی است - $i{\hat {H}}/\hbar$ (براساس معادله شرودینگر ). به همین ترتیب، از آنجایی که عملگرها به طور صریح وابسته به زمان نیستند، می توان مشاهده کرد که آنها در زمان در حال تکامل هستند (به تصویر هایزنبرگ مراجعه کنید ) با توجه به رابطه جابجاگر آنها با همیلتونین:
${\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$
${\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\ ,\,.$

برای اینکه در حد کلاسیک با معادلات حرکت همیلتون مطابقت داشته باشد، $[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$ باید کاملاً به ظاهر بستگی داشته باشد ${\hat {P}}$ در همیلتون و $[{\hat {H}},{\hat {P}}]$ باید کاملاً به ظاهر بستگی داشته باشد ${\hat {Q}}$ در همیلتونی علاوه بر این، از آنجایی که عملگر همیلتونی به عملگرهای مختصات و تکانه (تعمیم یافته) بستگی دارد، می توان آن را به عنوان یک تابع مشاهده کرد و ممکن است بنویسیم (با استفاده از مشتقات تابعی ):

$[{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [ {\ کلاه {P}}،{\ کلاه {Q}}]$
.
$[{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [ {\hat {Q}},{\hat {P}}]\,\,.$

برای به دست آوردن حد کلاسیک باید داشته باشیم

$[{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .$

روابط ویل [ ویرایش ]
گروه $H_{3}(\mathbb {R} )$ تولید شده توسط توان جبر لی سه بعدی تعیین شده توسط رابطه جابجاگرℏ $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ گروه هایزنبرگ نامیده می شود . این گروه را می توان به عنوان گروه از3×3 $3\times 3$ ماتریس های مثلثی بالایی با ماتریس های مورب. [7]
بر اساس فرمول استاندارد ریاضی مکانیک کوانتومی ، مشاهده پذیرهای کوانتومی مانند ${\hat {x}}$ و ${\hat {p}}$ باید به عنوان عملگرهای خود الحاقی در برخی از فضای هیلبرت نشان داده شود . نسبتاً آسان است که ببینیم دو عملگر که روابط جابجاگر متعارف فوق را برآورده می کنند، نمی توانند هر دو محدود شوند . قطعا، اگر ${\hat {x}}$ و ${\hat {p}}$ عملگرهای کلاس ردیابی بودند ، رابطه $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ یک عدد غیر صفر در سمت راست و صفر در سمت چپ می دهد.
متناوبا، اگر ${\hat {x}}$ و ${\hat {p}}$ عملگرهای محدود بودند، توجه داشته باشید که $[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}$ ، از این رو هنجارهای عملگر را برآورده می کند
$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x} }\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,$
به طوری که برای هر n
$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar$
با این حال، n می تواند دلخواه بزرگ باشد، بنابراین حداقل یک عملگر نمی تواند محدود شود، و بعد فضای زیرین هیلبرت نمی تواند محدود باشد. اگر عملگرها روابط ویل را برآورده کنند (نسخه نمایی از روابط جابجاگر متعارف، که در زیر توضیح داده شده است) پس در نتیجه قضیه استون-فون نویمان ، هر دو عملگر باید نامحدود باشند.

با این حال، این روابط جابجاگر متعارف را می توان با نوشتن آنها بر حسب عملگرهای واحد (محدود شده) تا حدودی "رام تر" کرد. $\exp(it{\hat {x}})$ و $\exp(is{\hat {p}})$ . روابط بریدینگ حاصل برای این عملگرها روابط Weyl نامیده می شود

$\exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\ exp(it{\hat {x}}).$
این روابط ممکن است به عنوان یک نسخه نمایی از روابط جابجاگر متعارف در نظر گرفته شود. آنها نشان می‌دهند که ترجمه‌ها در موقعیت و ترجمه‌ها با سرعت حرکتی ندارند. می توان به راحتی روابط ویل را بر حسب بازنمایی های گروه هایزنبرگ دوباره فرمول بندی کرد .

منحصر به فرد بودن روابط جابجاگر متعارف - در قالب روابط ویل - توسط قضیه استون-فون نویمان تضمین می شود .
توجه به این نکته حائز اهمیت است که به دلایل فنی، روابط ویل دقیقاً معادل رابطه جابجاگر متعارف نیست. $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ . اگر ${\hat {x}}$ و ${\hat {p}}$ عملگرهای محدود شده بودند، سپس یک مورد خاص از فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف به فرد اجازه می‌دهد تا روابط جابجاگر متعارف را به روابط ویل «تقویت کند». [8] از آنجایی که همانطور که اشاره کردیم، هر عملگر که روابط جابجاگر متعارف را برآورده می‌کند باید نامحدود باشد، فرمول بکر-کمبل-هاسدورف بدون مفروضات دامنه اضافی اعمال نمی‌شود. در واقع، نمونه‌های متقابلی وجود دارند که روابط جابجاگر متعارف را برآورده می‌کنند، اما روابط ویل را برآورده نمی‌کنند. [9] (همین عملگرها مثالی متضاد برای شکل ساده اصل عدم قطعیت می دهند.) این مسائل فنی دلیلی است که قضیه استون-فون نویمان بر اساس روابط ویل فرموله می شود.
یک نسخه گسسته از روابط Weyl که در آن پارامترهای s و t بیش از حد متغیر است $\mathbb {Z} /n$ را می توان در فضای هیلبرت با ابعاد محدود با استفاده از ماتریس های ساعت و شیفت درک کرد .
کلیات [ ویرایش ]
فرمول ساده

$[x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,$
برای کمی سازی ساده ترین سیستم کلاسیک معتبر است، می توان آن را به مورد لاگرانژی دلخواه ${\mathcal {L}}$ تعمیم داد. . [10] مختصات متعارف (مانند x در مثال بالا، یا میدان Φ( x ) در مورد نظریه میدان کوانتومی ) و لحظه متعارف π x (در مثال بالا p یا به طور کلی، مقداری است ) را شناسایی می‌کنیم . توابع شامل مشتقات مختصات متعارف با توجه به زمان):

$\pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/ \ t جزئی)}}.$

این تعریف از تکانه متعارف تضمین می کند که یکی از معادلات اویلر-لاگرانژ شکل

${\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.$

سپس روابط جابجاگر متعارف به مقدار می رسد

$[x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,$ جایی که δ ij دلتای کرونکر است .

علاوه بر این، می توان نشان داد که

$[F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}} ;\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}} .$

استفاده كردنسی+1ک=سیک+سیک-1 $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$ ، می توان نشان داد که با استقراء ریاضی

$\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m, n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!} }{\hat {x}}^{nk}{\hat {p}}^{mk}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\ frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {p}}^{ mk}{\hat {x}}^{nk}},$
به طور کلی به عنوان فرمول مک کوی شناخته می شود. [11]

عدم تغییر سنج [ ویرایش ]
کوانتیزاسیون متعارف طبق تعریف بر روی مختصات متعارف اعمال می شود . با این حال، در حضور یک میدان الکترومغناطیسی ، تکانه متعارف p ثابت سنج نیست . تکانه نامتغیر گیج صحیح (یا "تکانه جنبشی") است
$p_{\text{kin}}=p-qA\,\!$ ( واحدهای SI ) $p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!$ ( واحد cgs )،
که در آن q بار الکتریکی ذره ، A پتانسیل برداری و c سرعت نور است . اگرچه کمیت p kin "تکانه فیزیکی" است، از آنجایی که کمیتی است که باید با تکانه در آزمایشات آزمایشگاهی شناسایی شود، روابط جابجاگر متعارف را برآورده نمی کند . فقط حرکت متعارف این کار را انجام می دهد. این می تواند به شرح زیردیده شود.
همیلتونی غیر نسبیتی برای یک ذره باردار کوانتیزه به جرم m در یک میدان الکترومغناطیسی کلاسیک (بر حسب واحد cgs) است.

$H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi$

که در آن A پتانسیل سه برداری و φ پتانسیل اسکالر است . این شکل از همیلتون، و همچنین معادله شرودینگر Hψ = iħ∂ψ/∂t ، معادلات ماکسول و قانون نیروی لورنتس تحت تبدیل گیج ثابت هستند.

$A\to A'=A+\nabla \Lambda$

$\phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}$

$\psi \to \psi '=U\psi$

$H\to H'=UHU^{\dagger },$
جایی که

$U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)$
و Λ = Λ( x , t ) تابع گیج است.

عملگر حرکت زاویه ای است

$L=r\times p\,\!$
و از روابط کوانتیزاسیون متعارف تبعیت می کند

$[L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}$
تعریف جبر لی برای so(3) ، که در آنک $\epsilon _{ijk}$ نماد لوی-سیویتا است . تحت تبدیل گیج، تکانه زاویه ای به صورت تبدیل می شود

$\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \ psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.$

تکانه زاویه ای گیج ثابت (یا "تکانه زاویه ای جنبشی") توسط

$K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right)،$
که دارای روابط جابجاگر است

$[K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c }}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)$ جایی که
ب=∇×آ
$B=\nabla \times A$ میدان مغناطیسی است . عدم هم ارزی این دو فرمول در اثر زیمن و اثر آهارونوف-بوهم نشان داده می شود .

رابطه عدم قطعیت و جابجایی ها [ ویرایش ]
همه این روابط جابجاگر غیر پیش پا افتاده برای جفت عملگرها منجر به روابط عدم قطعیت متناظر می شود ، [12] که شامل سهم های انتظار نیمه قطعی مثبت توسط جابجایی ها و ضد جابجایی های مربوطه می شود. به طور کلی، برای دو عملگر هرمیتی A و B ، مقادیر انتظاری را در یک سیستم در حالت ψ در نظر بگیرید ، واریانس‌ها در اطراف مقادیر انتظاری مربوطه (Δ A ) 2 ≡ 〈( A - 〈 A 〉) 2 〉 و غیره است.
سپس

$\Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\ rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2} }}،$
که در آن [ A , B ] ≡ A B − B A جابجایی A و B است و { A , B } ≡ A B + B A ضد جابجایی است .

این از طریق استفاده از نابرابری کوشی-شوارتز به وجود می آید ، زیرا |〈 A 2 〉| |〈 B 2 〉| ≥ |〈 A B 〉| 2 و A B = ([ A , B ] + { A , B })/2 ; و به طور مشابه برای عملگرهای جابجا شده A − 〈 A 〉 و B − 〈 B 〉 . (به مشتقات اصل عدم قطعیت مراجعه کنید .)
جایگزین کردن A و B (و مراقبت در تجزیه و تحلیل) رابطه عدم قطعیت آشنای هایزنبرگ را برای x و p به دست می‌دهد ، طبق معمول.
رابطه عدم قطعیت برای عملگرهای تکانه زاویه ای [ ویرایش ]
برای عملگرهای تکانه زاویه ای L x = y p z − z p y ، و غیره، یکی این است که

$[{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},$
جایی کهایکس $\epsilon _{xyz}$ نماد لوی-سیویتا است و به سادگی علامت پاسخ را تحت مبادله جفتی شاخص ها معکوس می کند. یک رابطه مشابه برای عملگرهای اسپین برقرار است .

در اینجا، برای L x و L y ، [12] در مضرب تکانه زاویه ای ψ = | ℓ ، m 〉 ، برای مولفه های عرضی کازیمیر ثابت L x 2 + L y 2 + L z 2 ، روابط متقارن z وجود دارد.
〈 L x 2 〉 = 〈 L y 2 〉 = ( ℓ ( ℓ + 1) − m 2 ) ℏ 2 /2 ,
و همچنین 〈 L x 〉 = 〈 L y 〉 = 0 .
در نتیجه، نابرابری فوق اعمال شده برای این رابطه جابجاگر مشخص می کند

$\Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2 }}}~،$
از این رو

${\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2 }}\vert m\vert$
و بنابراین

$\ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,$
بنابراین، پس از آن، محدودیت های مفیدی مانند یک کران پایین در متغیر Casimir به دست می دهد : ℓ ( ℓ + 1) ≥ | m | (| m | + 1) و از این رو ℓ ≥ | m | ، بین دیگران.

همچنین ببینید [ ویرایش ]
- کوانتیزاسیون متعارف
- جبرهای CCR و CAR
- فضازمان های کنفورماستاتیک
- مشتق لی
- براکت مویال
- قضیه استون-فون نیومن
منابع [ ویرایش ]
1. ↑ «توسعه مکانیک کوانتومی» .
2. ^ متولد، م. جردن، پی (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858-888. Bibcode : 1925ZPhy...34..858B . doi : 10.1007/BF01328531 . S2CID 186114542 .
3. ↑ Kennard، EH (1927). "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen". Zeitschrift für Physik . 44 (4-5): 326-352. Bibcode : 1927ZPhy...44..326K . doi : 10.1007/BF01391200 . S2CID 121626384 .
4. ^ a bپرش به بالا: Groenewold، HJ (1946). "در باب اصول مکانیک کوانتومی ابتدایی". فیزیک . 12 (7): 405-460. Bibcode : 1946Phy....12..405G . doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
5. ↑ Hall 2013 قضیه 13.13
6. ^ کرترایت، TL; Zachos، CK (2012). "مکانیک کوانتومی در فضای فاز". خبرنامه فیزیک آسیا و اقیانوسیه . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
7. ^ بخش 1.2.6 سالن 2015 و گزاره 3.26
8. ^ برای اشتقاق ابتدایی بهبخش 5.2 سالن 2015 مراجعه کنید
9. ^ Hall 2013 مثال 14.5
10. ↑ تاونسند، جی اس (2000). رویکردی مدرن به مکانیک کوانتومی . Sausalito، CA: کتب علوم دانشگاهی. شابک 1-891389-13-0.
11. ↑ مک کوی، NH (1929)، "درباره فرمول های جابجاگر در جبر مکانیک کوانتومی"، تراکنش های انجمن ریاضی آمریکا 31 (4)، 793-806 آنلاین
12. رابرتسون ، اچ پیپرش به بالا: (1929). "اصل عدم قطعیت". بررسی فیزیکی 34 (1): 163-164. Bibcode : 1929PhRv...34..163R . doi : 10.1103/PhysRev.34.163 .
- هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267، اسپرینگر.
- هال، برایان سی (2015)، گروه‌های لی، جبرها و بازنمایی‌های لی، مقدمه ابتدایی ، متن‌های فارغ‌التحصیل در ریاضیات، جلد. 222 (ویرایش دوم)، اسپرینگر.
دسته بندی ها :
- مکانیک کوانتومی
- فیزیک ریاضی
https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_commutation_relation

+ نوشته شده در جمعه بیستم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 9:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله دیفرانسیل معمولی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مسیر پرتابه ای که از یک توپ پرتاب می شود از منحنی تعیین شده توسط یک معادله دیفرانسیل معمولی که از قانون دوم نیوتن مشتق شده است، پیروی می کند.

معادلات دیفرانسیل

محدوده

نشان می دهد

زمینه های

طبقه بندی

نشان می دهد

انواع

نشان می دهد

ارتباط با فرآیندها

راه حل

نشان می دهد

وجود و منحصر به فرد بودن

نشان می دهد

مباحث عمومی

نشان می دهد

روش های حل

مردم

نشان می دهد

فهرست کنید

v
تی
ه

در ریاضیات ، یک معادله دیفرانسیل معمولی ( ODE ) یک معادله دیفرانسیل (DE) است که تنها به یک متغیر مستقل وابسته است . مانند سایر DE، مجهول(های) آن از یک (یا چند تابع) تشکیل شده و مشتقات آن توابع را شامل می شود. [1] اصطلاح "معمولی" در مقابل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود که ممکن است با توجه به بیش از یک متغیر مستقل باشد. [2]

معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل است که توسط یک چند جمله ای خطی در تابع مجهول و مشتقات آن تعریف می شود که معادله ای از شکل است.

، $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)} +b(x)=0،$

جایی که $a_{0}(x)$ $a_{n}(x)$ و $b(x)$ توابع قابل تمایز دلخواه هستند که نیازی به خطی بودن ندارند و $y',\ldots ,y^{(n)}$ مشتقات متوالی تابع مجهول y از متغیر x هستند .

در بین معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل خطی به چند دلیل نقش برجسته ای دارند. اکثر توابع ابتدایی و ویژه ای که در فیزیک و ریاضیات کاربردی با آنها مواجه می شوند ، حل معادلات دیفرانسیل خطی هستند (به تابع هولونومی مراجعه کنید ). هنگامی که پدیده های فیزیکی با معادلات غیر خطی مدل می شوند، معمولاً با معادلات دیفرانسیل خطی برای حل آسان تر تقریب می شوند. معدود ODE های غیر خطی که می توانند به طور صریح حل شوند، عموماً با تبدیل معادله به یک ODE خطی معادل حل می شوند (به عنوان مثال معادله Riccati را ببینید ).

برخی از ODE ها را می توان به صراحت از نظر توابع و انتگرال های شناخته شده حل کرد . هنگامی که این امکان پذیر نیست، معادله محاسبه سری تیلور از راه حل ها ممکن است مفید باشد. برای مسائل کاربردی، روش‌های عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی می‌توانند تقریبی از جواب را ارائه کنند.

پس زمینه [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) در بسیاری از زمینه های ریاضیات و علوم اجتماعی و طبیعی به وجود می آیند . در توصیف های ریاضی تغییر از دیفرانسیل ها و مشتقات استفاده می شود. دیفرانسیل ها، مشتقات و توابع مختلف از طریق معادلات به هم مرتبط می شوند، به طوری که یک معادله دیفرانسیل نتیجه ای است که پدیده ها، تکامل و تغییرات به طور پویا در حال تغییر را توصیف می کند. غالباً کمیت ها به عنوان نرخ تغییر کمیت های دیگر (مثلاً مشتقات جابجایی نسبت به زمان) یا شیب کمیت ها تعریف می شوند که نحوه ورود آنها به معادلات دیفرانسیل است. [ نیازمند منبع ]

رشته های ریاضی خاص شامل هندسه و مکانیک تحلیلی است . زمینه های علمی شامل بسیاری از فیزیک و ستاره شناسی (مکانیک آسمان)، هواشناسی (مدل سازی آب و هوا)، شیمی (نرخ واکنش)، [3] زیست شناسی (بیماری های عفونی، تنوع ژنتیکی)، بوم شناسی و مدل سازی جمعیت (رقابت جمعیت)، اقتصاد (روند سهام). ، نرخ بهره و تغییرات قیمت تعادلی بازار).

بسیاری از ریاضیدانان معادلات دیفرانسیل را مطالعه کرده اند و در این زمینه مشارکت داشته اند، از جمله نیوتن ، لایبنیتس ، خانواده برنولی ، ریکاتی ، کلراوت ، دالامبر و اویلر .

یک مثال ساده قانون دوم حرکت نیوتن است - رابطه بین جابجایی x و زمان t یک جسم تحت نیروی F توسط معادله دیفرانسیل به دست می‌آید.

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,$

که حرکت ذره ای با جرم ثابت m را محدود می کند . به طور کلی، F تابعی از موقعیت x ( t ) ذره در زمان t است . تابع مجهول x ( t ) در دو طرف معادله دیفرانسیل ظاهر می شود و در نماد F ( x ( t ) نشان داده می شود. [4] [5] [6] [7]

تعاریف [ ویرایش ]

در ادامه، y یک متغیر وابسته است که نشان دهنده یک تابع مجهول y = f ( x ) از متغیر مستقل x است . نماد تمایز بسته به نویسنده و اینکه کدام نماد برای کار مورد نظر مفیدتر است متفاوت است. در این زمینه، نماد لایب نیتس (dx،d 2 y/dx 2,…,d n y/dx n) برای تمایز و انتکرال مفیدتر است ، در حالی که علامت لاگرانژ برای نمایش مشتقات مرتبه بالاتر به صورت فشرده و نماد نیوتن مفیدتر است. $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$ اغلب در فیزیک برای نشان دادن مشتقات درجه پایین با توجه به زمان استفاده می شود.

تعریف کلی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: ترتیب معادلات دیفرانسیل

با در نظر گرفتن F ، تابعی از x ، y ، و مشتقات y . سپس یک معادله از فرم

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

معادله دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبه n نامیده می شود . [8] [9]

به طور کلی، یک معادله دیفرانسیل معمولی ضمنی از مرتبه n شکل زیر را دارد: [10]

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$

طبقه بندی های دیگری نیز وجود دارد:

خود مختار

دیفرانسیل اگر به متغیر x وابسته نباشد مستقل است .

خطی

یک معادله دیفرانسیل خطی است اگراف $اف$ را می توان به صورت ترکیبی خطی از مشتقات y نوشت . یعنی if را می توان به صورت بازنویسی کرد

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

که در آن i ( x ) و r ( x ) توابع پیوسته x هستند . [8] [11] [12] تابع r ( x ) اصطلاح منبع نامیده می شود که منجر به طبقه بندی بیشتر می شود. [11] [13]

همگن

یک معادله دیفرانسیل خطی همگن است اگر r ( x ) = 0 . در این مورد، همیشه " راه حل بی اهمیت " y = 0 وجود دارد .

ناهمگن (یا ناهمگن)

یک معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن است اگر r ( x ) ≠ 0 .

غیر خطی

معادله دیفرانسیل که خطی نیست.

سیستم ODE ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: سیستم معادلات دیفرانسیل

تعدادی از معادلات دیفرانسیل جفت شده یک سیستم معادلات را تشکیل می دهند. اگر y برداری است که عناصر آن توابع هستند. y ( x ) = [ y 1 ( x )، y 2 ( x )،...، y m ( x )] و F تابعی با مقدار برداری از y و مشتقات آن است ، سپس

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\ mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

یک سیستم صریح از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه n و بعد m است . در شکل بردار ستونی :

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{ (n-1)}\راست)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^ {(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\ mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

اینها لزوما خطی نیستند. آنالوگ ضمنی این است:

اف

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\راست )={\boldsymbol {0}}$

که در آن 0 = (0، 0، ...، 0) بردار صفر است . به صورت ماتریسی

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n) })\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\ vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y}'',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

برای یک سیستم از فرم $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$ ، برخی منابع نیز ماتریس ژاکوبین را ایجاب می کنند ∂ ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$ غیر مفرد باشد تا این را یک ODE [سیستم] ضمنی بنامیم. یک سیستم ODE ضمنی که شرایط غیرتکینگی ژاکوبین را برآورده می کند، می تواند به یک سیستم ODE صریح تبدیل شود. در همین منابع، سیستم‌های ODE ضمنی با ژاکوبین منفرد معادلات جبری دیفرانسیل (DAEs) نامیده می‌شوند. این تمایز صرفاً یکی از اصطلاحات نیست. DAE ها اساساً ویژگی های متفاوتی دارند و به طور کلی بیشتر از سیستم های ODE (غیر منفرد) درگیر حل آن هستند. [14] [15] [16] احتمالاً برای مشتقات اضافی، ماتریس هسین و غیره نیز طبق این طرح غیر مفرد در نظر گرفته می شوند، [ نیاز به نقل از ] ، اگرچه توجه داشته باشید که هر ODE از مرتبه بزرگتر از یک می تواند باشد (و معمولاً است) به عنوان سیستمی از ODEهای مرتبه اول بازنویسی شده است ، [17] که معیار تکینگی ژاکوبین را برای جامع بودن این طبقه بندی در همه مرتبه ها کافی می کند.

رفتار یک سیستم از ODE ها را می توان از طریق استفاده از پرتره فاز مشاهده کرد .

راه حل ها [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل داده می شود

ا $F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0$

یک تابع u : I ⊂ R → R ، جایی که I یک بازه است، منحنی راه حل یا انتگرال برای F نامیده می شود ، اگر u n بار در I قابل تفکیک باشد ، و

$F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

با توجه به دو راه حل u : J ⊂ R → R و v : I ⊂ R → R ، u پسوند v نامیده می شود اگر I ⊂ J و

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

راه حلی که پسوندی ندارد راه حل حداکثری نامیده می شود . راه حلی که روی تمام R تعریف شده است راه حل جهانی نامیده می شود .

راه حل کلی یک معادله مرتبه n راه حلی است که حاوی n ثابت مستقل دلخواه انتگرال گیری باشد . یک راه‌حل خاص از راه‌حل عمومی با تنظیم ثابت‌ها به مقادیر خاص، که اغلب برای انجام مجموعه « شرایط اولیه یا شرایط مرزی » انتخاب می‌شوند، مشتق می‌شود. [18] راه حل منفرد راه حلی است که نمی توان آن را با اختصاص مقادیر معین به ثابت های دلخواه در جواب کلی به دست آورد. [19]

در زمینه ODE خطی، راه حل خاص اصطلاحی همچنین می تواند به هر راه حل ODE اشاره کند (الزاماً شرایط اولیه را برآورده نمی کند)، که سپس به محلول همگن اضافه می شود (راه حل کلی ODE همگن)، که سپس تشکیل می شود. یک راه حل کلی از ODE اصلی. این اصطلاحی است که در بخش روش حدس زدن در این مقاله استفاده می‌شود و اغلب هنگام بحث در مورد روش ضرایب نامشخص و تغییرات پارامترها استفاده می‌شود .

راه حل های مدت زمان محدود [ ویرایش ]

برای ODE‌های مستقل غیرخطی، تحت برخی شرایط ممکن است راه‌حل‌هایی با مدت زمان محدود ایجاد شود، [20] به این معنی که در اینجا از دینامیک خود، سیستم در یک زمان پایانی به مقدار صفر می‌رسد و برای همیشه در آن صفر باقی می‌ماند. این راه حل های مدت زمان محدود نمی توانند توابع تحلیلی در کل خط حقیقی باشند، و چون در زمان پایان خود توابع غیر لیپشیتز خواهند بود، در قضیه منحصر به فرد بودن جواب های معادلات دیفرانسیل لیپشیتز گنجانده نمی شوند.

به عنوان مثال، معادله:

$y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}}،\,\,y(0)=1$

راه حل مدت زمان محدود را می پذیرد:

$y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\ راست|\راست)^{2}$

نظریه ها [ ویرایش ]

راه حل های مفرد [ ویرایش ]

تئوری جوابهای منفرد معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی موضوع تحقیق از زمان لایب نیتس بود، اما تنها از اواسط قرن نوزدهم مورد توجه ویژه قرار گرفت. یک اثر ارزشمند اما کمتر شناخته شده در این زمینه، اثر فوشیان (1854) است. داربوکس (از سال 1873) در نظریه پیشرو بود و در تفسیر هندسی این راه حل ها زمینه ای را گشود که توسط نویسندگان مختلف، به ویژه کاسوراتی و کیلی کار شده بود . به دلیل دومی (1872) تئوری حل های منفرد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که در حدود سال 1900 پذیرفته شده است.

کاهش به ربع [ ویرایش ]

تلاش اولیه در برخورد با معادلات دیفرانسیل کاهش به ربع بود . همانطور که جبر گرایان قرن هجدهم امید داشتند روشی برای حل معادله کلی درجه n بیابند ، تحلیلگران نیز امیدوار بودند که روشی کلی برای انتکرال هر معادله دیفرانسیل بیابند. با این حال، گاوس (1799) نشان داد که معادلات دیفرانسیل پیچیده به اعداد مختلط نیاز دارند . از این رو، تحلیلگران شروع به جایگزینی مطالعه توابع کردند و بدین ترتیب میدانی جدید و حاصلخیز باز کردند. کوشی اولین کسی بود که به اهمیت این دیدگاه پی برد. پس از آن، سؤال حقیقی دیگر این نبود که آیا یک راه حل با استفاده از توابع شناخته شده یا انتگرال آنها امکان پذیر است یا خیر، بلکه این بود که آیا یک معادله دیفرانسیل معین برای تعریف تابعی از متغیر یا متغیرهای مستقل کافی است، و اگر چنین است، چه هستند. خواص مشخصه

نظریه فوشیان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: روش فروبنیوس

دو خاطرات فوکس [21] الهام بخش رویکردی بدیع بود که متعاقباً توسط توم و فروبنیوس شرح داده شد . کولت از سال 1869 شروع به کار کرد. روش او برای انتکرال یک سیستم غیر خطی در سال 1868 به برتراند ابلاغ شد. کلبش (1873) این نظریه را در امتداد خطوط موازی با نظریه انتگرال های آبلی خود مورد حمله قرار داد . از آنجایی که می‌توان دومی را بر اساس ویژگی‌های منحنی بنیادی طبقه‌بندی کرد که تحت یک تبدیل منطقی بدون تغییر باقی می‌ماند، کلبش پیشنهاد کرد که توابع متعالی تعریف شده توسط معادلات دیفرانسیل را بر اساس ویژگی‌های ثابت سطوح متناظر f = 0 در زیر منطقی یک به طبقه‌بندی کند. یک تحول.

نظریه لی [ ویرایش ]

از سال 1870، سوفوس لی 'ثانیه کار نظریه معادلات دیفرانسیل را بر اساس بهتر قرار داده است. او نشان داد که نظریه‌های یکپارچه‌سازی ریاضیدانان قدیمی‌تر را می‌توان با استفاده از گروه‌های لی به یک منبع مشترک ارجاع داد، و معادلات دیفرانسیل معمولی که همان تبدیل‌های بی‌نهایت کوچک را پذیرفته‌اند ، مشکلات انتگرال‌گیری قابل مقایسه‌ای دارند. او همچنین بر موضوع تحولات تماس تأکید کرد .

نظریه گروهی Lie در مورد معادلات دیفرانسیل تایید شده است، یعنی: (1) که بسیاری از روش های موردی شناخته شده برای حل معادلات دیفرانسیل را متحد می کند، و (2) که راه های جدید قدرتمندی برای یافتن راه حل ها ارائه می دهد. این نظریه برای معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی کاربرد دارد. [22]

یک رویکرد حل کلی از خاصیت تقارن معادلات دیفرانسیل استفاده می کند، تبدیل بی نهایت کوچک پیوسته راه حل ها به راه حل ها ( نظریه لی ). تئوری گروه پیوسته ، جبرهای لی ، و هندسه دیفرانسیل برای درک ساختار معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی (جزئی) برای تولید معادلات انتگرال‌پذیر، یافتن جفت‌های Lax ، عملگرهای بازگشتی، تبدیل بکلوند و در نهایت یافتن راه‌حل‌های تحلیلی دقیق استفاده می‌شوند. به DE.

روش‌های تقارن برای معادلات دیفرانسیل که در ریاضیات، فیزیک، مهندسی و سایر رشته‌ها به وجود می‌آیند، استفاده شده‌اند.

نظریه استورم-لیوویل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه اشتورم لیوویل

نظریه اشتورم لیوویل نظریه ای از نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم است. راه حل های آنها بر اساس مقادیر ویژه و توابع ویژه مربوط به عملگرهای خطی است که از طریق معادلات خطی همگن مرتبه دوم تعریف شده اند . این مشکلات به عنوان مشکلات اشتورم-لیوویل (SLP) شناخته می شوند و به نام JCF Sturm و جی لیوویل که آنها را در اواسط دهه 1800 مطالعه کردند، نامگذاری شده اند . SLP ها دارای تعداد نامتناهی مقادیر ویژه هستند و توابع ویژه مربوطه یک مجموعه کامل و متعامد را تشکیل می دهند که بسط های متعامد را ممکن می کند. این یک ایده کلیدی در ریاضیات کاربردی، فیزیک و مهندسی است. [23] SLP ها همچنین در تجزیه و تحلیل برخی معادلات دیفرانسیل جزئی مفید هستند.

وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها [ ویرایش ]

چندین قضیه وجود دارد که وجود و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌ها را برای مسائل ارزش اولیه که شامل ODE‌ها هم در سطح محلی و هم در سطح جهانی است، ایجاد می‌کنند. دو قضیه اصلی عبارتند از

قضیهفرضنتیجه

قضیه وجود پینوF پیوستهفقط وجود محلی

قضیه پیکارد-لیندلوفF لیپشیتس پیوستهوجود و منحصر به فرد بودن محلی

در شکل اصلی خود، هر دوی این قضیه‌ها فقط نتایج محلی را تضمین می‌کنند، اگرچه دومی را می‌توان برای به دست آوردن یک نتیجه کلی، برای مثال، اگر شرایط نابرابری گرونوال برآورده شود، گسترش داد.

همچنین، قضایای منحصربه‌فرد مانند لیپشیتس در بالا برای سیستم‌های DAE ، که ممکن است راه‌حل‌های متعددی داشته باشند که از بخش جبری (غیر خطی) آنها به تنهایی ناشی می‌شوند، اعمال نمی‌شوند . [24]

وجود محلی و قضیه یگانگی ساده شده [ ویرایش ]

قضیه را می توان به سادگی به صورت زیر بیان کرد. [25] برای معادله و مسئله مقدار اولیه:

$y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})$ اگر F و ∂ F /∂ y در یک مستطیل بسته پیوسته باشند

$R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]$ در صفحه xy ، که در آن a و b حقیقی هستند (به طور نمادین: a , b ∈ R ) و × نشان دهنده حاصلضرب دکارتی است ، براکت ها نشان دهنده فواصل بسته هستند ، سپس یک بازه وجود دارد.

$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]$ برای مقداری h ∈ R که در آن می توان جواب معادله بالا و مسئله مقدار اولیه را پیدا کرد. یعنی راه حل وجود دارد و منحصر به فرد است. از آنجایی که هیچ محدودیتی برای خطی بودن F وجود ندارد ، این امر در مورد معادلات غیرخطی که شکل F ( x , y ) دارند، صدق می کند و همچنین می تواند برای سیستم های معادلات اعمال شود.

منحصر به فرد بودن جهانی و حداکثر دامنه راه حل [ ویرایش ]

هنگامی که فرضیه های قضیه پیکارد-لیندلوف برآورده شود، وجود محلی و منحصر به فرد را می توان به یک نتیجه جهانی تعمیم داد. دقیق تر: [26]

برای هر شرط اولیه ( x 0 , y 0 ) یک بازه باز حداکثر (احتمالا بی نهایت) منحصر به فرد وجود دارد.

$I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }$

به طوری که هر راه حلی که این شرط اولیه را برآورده کند، محدودیت راه حلی است که این شرط اولیه را با دامنه برآورده می کند. $I_{\max}$ .

در صورتی که $x_{\pm }\neq \pm \infty$ ، دقیقا دو احتمال وجود دارد

انفجار در زمان محدود: $\limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty$
دامنه تعریف را ترک می کند: $\lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}$

که در آن Ω مجموعه باز است که در آن F تعریف شده است، و¯ $\ بخشی {\bar {\Omega }}$ مرز آن است

توجه داشته باشید که حداکثر دامنه راه حل

همیشه یک فاصله است (برای داشتن منحصر به فرد بودن)
ممکن است کوچکتر ازآر $\mathbb {R}$
ممکن است به انتخاب خاص ( x 0 ، y 0 ) بستگی داشته باشد.

مثال.

$y'=y^{2}$

این بدان معنی است که F ( x, y ) = y 2 است که C 1 است و بنابراین به صورت محلی لیپشیتس پیوسته است و قضیه پیکارد-لیندلوف را برآورده می کند.

حتی در چنین تنظیمات ساده ای، حداکثر دامنه راه حل نمی تواند همه باشدآر $\mathbb {R}$ از آنجایی که راه حل است

$y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

که دارای حداکثر دامنه است:

${\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}} \right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end {موارد}}$

این به وضوح نشان می دهد که حداکثر فاصله ممکن است به شرایط اولیه بستگی داشته باشد. دامنه y را می توان به عنوان موجود در نظر گرفتآر $\mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0})،$ اما این منجر به دامنه‌ای می‌شود که یک بازه نیست، به طوری که طرف مقابل شرط اولیه از شرایط اولیه جدا می‌شود و بنابراین به‌طور منحصربه‌فرد توسط آن تعیین نمی‌شود.

حداکثر دامنه نیست $\mathbb {R}$ زیرا

$\lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,$

که با توجه به قضیه فوق یکی از دو حالت ممکن است.

کاهش مرتبه [ ویرایش ]

اگر بتوان ترتیب معادله را کاهش داد معمولا حل معادلات دیفرانسیل آسانتر است .

کاهش به یک سیستم مرتبه اول [ ویرایش ]

هر معادله دیفرانسیل صریح از مرتبه n ،

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

می توان با تعریف یک خانواده جدید از توابع مجهول به صورت سیستمی از n معادله دیفرانسیل مرتبه اول نوشت.

$y_{i}=y^{(i-1)}.\!$

برای i = 1، 2، ...، n . سپس سیستم n بعدی معادلات دیفرانسیل جفت شده مرتبه اول است

${\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1} '&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots,y_{n}).\end{آرایه}}$

در نماد برداری فشرده تر:

$\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y})$

جایی که

$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_ {2},\ldots,y_{n},F(x,y_{1},\ldots,y_{n})).$

خلاصه راه حل های دقیق [ ویرایش ]

برخی معادلات دیفرانسیل راه حل هایی دارند که می توان آنها را به صورت دقیق و بسته نوشت. چندین کلاس مهم در اینجا برگزار می شود.

در جدول زیر، P ( x ) ، Q ( x ) ، P ( y ) ، Q ( y ) و M ( x ، y ) ، N ( x ، y ) هر توابع انتگرال پذیر x ، y هستند . b و c ثابت داده شده حقیقی هستند. C 1 , C 2 , ... ثابت دلخواه هستند ( به طور کلی پیچیده ). معادلات دیفرانسیل در اشکال معادل و جایگزین خود هستند که از طریق یکپارچه سازی به حل منتهی می شوند.

در راه حل های انتگرالی، λ و ε متغیرهای ساختگی انتگرال گیری هستند (آنالوگ های پیوسته شاخص ها در مجموع )، و نماد ∫ x F ( λ ) dλ فقط به معنای انتکرال F ( λ ) با توجه به λ ، سپس پس از انتکرال است. جایگزین λ = x ، بدون اضافه کردن ثابت (به صراحت بیان شده است).

معادلات قابل تفکیک [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه اول، قابل تفکیک در x و y (حالت عمومی، برای موارد خاص به زیر مراجعه کنید) [27]

${\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}} &=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{تراز شده}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر P 2 Q 1 ). $\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_ {2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C$ مرتبه اول، قابل تفکیک در x [25]

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}$

انتکرال مستقیم $y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C$ مرتبه اول، مستقل، قابل تفکیک در y [25]

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر F ). $x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C$ مرتبه اول، قابل تفکیک در x و y [25]

${\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0 \end{تراز شده}}$

انتکرال در سراسر. $\int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C$

معادلات مرتبه اول عمومی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه اول، همگن [25]

${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$

y = ux را تنظیم کنید ، سپس با جداسازی متغیرهای u و x حل کنید . $\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$ مرتبه اول، قابل تفکیک [27]

${\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy& =0\end{تراز شده}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر xy ).

$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$

اگر N = M جواب xy = C است .

دیفرانسیل دقیق ، مرتبه اول [25]

${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x ,y)\,dx&=0\end{تراز شده}}$

جایی که ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$

انتکرال در سراسر. ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d \lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{تراز شده}}$

جایی که

$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda$ و

$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda$

دیفرانسیل غیر دقیق ، مرتبه اول [25]

${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x ,y)\,dx&=0\end{تراز شده}}$

جایی که ${\frac {\partial M}{\partial y}}\neq {\frac {\partial N}{\partial x}}$

عامل انتکرال μ ( x , y ) راضی کننده است

${\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}$

اگر μ ( x , y ) را بتوان به روشی مناسب پیدا کرد، پس

ا ${\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y} Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\ lambda )\,d\lambda =C\end{تراز شده}}$

جایی که

$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda,y)M(\lambda ,y)\ ,d\lambda$ و

$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\ ,d\lambda$

معادلات مرتبه دوم عمومی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه دوم، خودمختار [28]

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)$

هر دو طرف معادله را در 2 dy / dx ضرب کنید ، جایگزین کنید2 $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$ ، سپس دو بار انتکرال کنید. $x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}} }+C_{2}$

معادلات خطی تا مرتبه n [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

ضرایب تابعی مرتبه اول، خطی، ناهمگن [25]

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$

عامل یکپارچه سازی:. $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.$ فرمول زره:

$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon ) \,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]$

ضرایب تابع مرتبه دوم، خطی، ناهمگن

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+ p'(x)\right)y=q(x)$

عامل یکپارچه سازی: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$ $y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]$ ضرایب مرتبه دوم، خطی، ناهمگن، ثابت [29]

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)$

تابع مکمل y c : y c = e α x را در نظر بگیرید ، چند جمله ای را در α جایگزین کرده و حل کنید تا توابع مستقل خطی را پیدا کنید.ه $e^{\alpha _{j}x}$ .

انتگرال خاص y p : به طور کلی روش تغییر پارامترها ، اگرچه برای بازرسی r ( x ) بسیار ساده ممکن است کار کند. [25]

$y=y_{c}+y_{p}$

اگر b 2 > 4 c , پس

$y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+ C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}$

اگر b 2 = 4 c ، پس

$y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}$

اگر b 2 < 4 c ، پس

$y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{ 2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]$

ضرایب مرتبه n ، خطی، ناهمگن، ثابت [29]

$\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)$

انتگرال خاص y p : به طور کلی روش تغییر پارامترها ، اگرچه برای بازرسی r ( x ) بسیار ساده ممکن است کار کند. [25]

$y=y_{c}+y_{p}$

از آنجایی که α j حل های چند جمله ای درجه n هستند : ${\textstyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0}$ ، سپس: برای α j همه متفاوت است،

$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}$ برای هر ریشه α j تکرار kj بار ،

$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}$ برای برخی از α j مختلط، سپس با تنظیم α = χj + iγ j ، و با استفاده از فرمول اویلر ، اجازه می دهد برخی از اصطلاحات در نتایج قبلی به شکل نوشته شوند .

⁡

$C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j} )$ که در آن ϕ j یک ثابت دلخواه (تغییر فاز) است.

روش حدس زدن [ ویرایش ]

در این بخش هیچ منبعی ذکر نشده است . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این بخش کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند . ( ژانويه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف اين پيام الگو آشنا شويد )

هنگامی که همه روش‌های دیگر برای حل یک ODE با شکست مواجه می‌شوند، یا در مواردی که ما شهودی در مورد اینکه راه‌حل یک DE ممکن است شبیه باشد، داریم، گاهی اوقات می‌توان یک DE را به سادگی با حدس زدن راه‌حل و تأیید صحت آن حل کرد. برای استفاده از این روش، ما به سادگی یک راه حل برای معادله دیفرانسیل را حدس می زنیم، و سپس راه حل را به معادله دیفرانسیل متصل می کنیم تا اگر معادله را برآورده می کند، اعتبار سنجی کنیم. اگر اینطور شد، راه حل خاصی برای DE داریم، در غیر این صورت دوباره از نو شروع می کنیم و حدس دیگری را امتحان می کنیم. برای مثال می‌توانیم حدس بزنیم که راه‌حل یک DE به شکل زیر است:�=آه�تی $y=Ae^{\alpha t}$ زیرا این یک راه حل بسیار رایج است که از نظر فیزیکی به صورت سینوسی رفتار می کند.

در مورد یک ODE مرتبه اول که ناهمگن است، ابتدا باید یک راه حل DE برای بخش همگن DE پیدا کنیم، که در غیر این صورت معادله مشخصه نامیده می شود، و سپس با حدس زدن، راه حلی برای کل معادله ناهمگن پیدا کنیم. . در نهایت، ما هر دوی این راه‌حل‌ها را با هم اضافه می‌کنیم تا جواب کل به ODE به دست آید، یعنی:

راه حل کلی=محلول همگن+راه حل خاص ${\text{تحلیل کل}}={\text{راه حل همگن}}+{\text{راه حل خاص}}$

نرم افزار برای حل ODE [ ویرایش ]

ماکسیما ، یک سیستم جبر کامپیوتری منبع باز .
COPASI ، یک بسته نرم افزاری رایگان ( Artistic License 2.0 ) برای انتکرال و تجزیه و تحلیل ODE ها.
MATLAB ، یک برنامه محاسباتی فنی (MATrix LABoratory)
GNU Octave ، یک زبان سطح بالا، که عمدتاً برای محاسبات عددی در نظر گرفته شده است.
Scilab ، یک برنامه منبع باز برای محاسبات عددی.
Maple ، یک برنامه اختصاصی برای محاسبات نمادین.
Mathematica ، یک برنامه اختصاصی است که در درجه اول برای محاسبات نمادین در نظر گرفته شده است.
SymPy ، یک بسته پایتون است که می تواند ODE ها را به صورت نمادین حل کند
جولیا (زبان برنامه نویسی) ، یک زبان سطح بالا که در درجه اول برای محاسبات عددی در نظر گرفته شده است.
SageMath ، یک برنامه متن باز است که از نحوی شبیه پایتون با طیف گسترده ای از قابلیت ها که چندین شاخه از ریاضیات را در بر می گیرد، استفاده می کند.
SciPy ، یک بسته پایتون که شامل یک ماژول انتکرال ODE است.
Chebfun ، یک بسته منبع باز، نوشته شده در MATLAB ، برای محاسبه توابع با دقت 15 رقمی.
گنو R ، یک محیط محاسباتی منبع باز که در درجه اول برای آمار در نظر گرفته شده است، که شامل بسته هایی برای حل ODE است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشکل ارزش مرزی
نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل
تبدیل لاپلاس برای معادلات دیفرانسیل اعمال می شود
فهرست مباحث سیستم های دینامیکی و معادلات دیفرانسیل
معادله دیفرانسیل ماتریسی
روش ضرایب نامشخص
رابطه عود

یادداشت ها [ ویرایش ]

↑ Dennis G. Zill (15 مارس 2012). اولین دوره معادلات دیفرانسیل با کاربردهای مدلسازی . Cengage Learning. شابک 978-1-285-40110-2. بایگانی شده از نسخه اصلی در 17 ژانویه 2020 . بازیابی شده در 11 جولای 2019 .
↑ "منشأ اصطلاح "معادلات دیفرانسیل معمولی" چیست؟" . hsm.stackexchange.com . صرافی پشته . بازیابی شده در 2016-07-28 .
↑ Mathematics for Chemists, DM Hirst, Macmillan Press , 1976, (بدون ISBN) SBN: 333-18172-7
↑ کریزیگ (1972 ، ص 64)
^ سیمونز (1972 ، صفحات 1، 2)
↑ هالیدی و رسنیک (1977 ، ص 78)
^ تیپلر (1991 ، صفحات 78-83)
^ a bپرش به بالا: هارپر (1976 ، ص 127)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 2)
^ سیمونز (1972 ، ص 3)
^ a bپرش به بالا: Kreyszig (1972 ، ص 24)
^ سیمونز (1972 ، ص 47)
↑ هارپر (1976 ، ص 128)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 12)
↑ Ascher (1998 ، ص 12)
^ آخیم ایلچمن؛ تیمو ریس (2014). بررسی در معادلات دیفرانسیل جبری II . اسپرینگر. صص 104-105. شابک 978-3-319-11050-9.
↑ Ascher (1998 ، ص 5)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 78)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 4)
↑ واردیا تی هایمو (1985). "معادلات دیفرانسیل زمان محدود" . 1985 بیست و چهارمین کنفرانس IEEE در مورد تصمیم گیری و کنترل . صفحات 1729-1733. doi : 10.1109/CDC.1985.268832 . S2CID 45426376 .
↑ کرل ، 1866، 1868
^ لارنس (1999 ، ص 9)
^ لوگان، جی (2013). ریاضیات کاربردی (ویرایش چهارم).
↑ Ascher (1998 ، ص 13)
^ a b c d e f g h i jپرش به بالا: معادلات دیفرانسیل ابتدایی و مسائل ارزش مرزی (ویرایش چهارم)، WE Boyce، RC Diprima، Wiley International، John Wiley & Sons، 1986، ISBN 0-471-83824-1
^ بوسکاین؛ چیتور 2011، ص. 21
^ a bپرش به بالا: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (ویرایش سوم)، S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
↑ تحلیل ابتدایی بیشتر، R. Porter، G.Bell & Sons (لندن)، 1978، ISBN 0-7135-1594-5
^ a bپرش به بالا: روش های ریاضی برای فیزیک و مهندسی، KF Riley، MP Hobson، SJ Bence، انتشارات دانشگاه کمبریج، 2010، ISC_2N 978-0-521-86153-3

منابع [ ویرایش ]

هالیدی، دیوید ؛ رسنیک، رابرت (1977)، فیزیک (ویرایش سوم)، نیویورک: وایلی ، شابک 0-471-71716-9
هارپر، چارلی (1976)، مقدمه ای بر فیزیک ریاضی ، نیوجرسی: پرنتیس هال ، شابک 0-13-487538-9
کریزیگ، اروین (1972)، ریاضیات مهندسی پیشرفته (ویرایش سوم)، نیویورک: وایلی ، ISBN 0-471-50728-8.
Polyanin, AD and VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (ویرایش دوم)، چاپمن و هال/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
سیمونز، جورج اف (1972)، معادلات دیفرانسیل با کاربردها و یادداشت های تاریخی ، نیویورک: مک گراو-هیل ، LCCN 75173716
تیپلر، پل ای. (1991)، فیزیک برای دانشمندان و مهندسان: نسخه توسعه یافته (ویرایش سوم)، نیویورک: ناشران ورث ، شابک 0-87901-432-6
بوسکاین، اوگو؛ Chitour، Yacine (2011)، Introduction à l'automatique (PDF) (به زبان فرانسوی)
درزنر، لارنس (1999)، کاربردهای نظریه لی معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی ، بریستول و فیلادلفیا: موسسه انتشارات فیزیک ، شابک 978-0750305303
اشر، اوری؛ پتزولد، لیندا (1998)، روشهای کامپیوتری برای معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل-جبری ، SIAM، ISBN 978-1-61197-139-2

کتابشناسی [ ویرایش ]

کدینگتون، ارل ا. لوینسون، نورمن (1955). نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی . نیویورک: مک گراو هیل .
هارتمن، فیلیپ (2002) [1964]، معادلات دیفرانسیل معمولی ، کلاسیک در ریاضیات کاربردی، جلد. 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , doi : 10.1137/1.9780898719222 , ISBN 978-0-89871-510-1، MR 1929104
دبلیو جانسون، رساله ای بر معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی ، جان وایلی و پسران، 1913، در مجموعه ریاضیات تاریخی دانشگاه میشیگان
اینس، ادوارد ال. (1944) [1926]، معادلات دیفرانسیل معمولی ، انتشارات دوور، نیویورک، شابک 978-0-486-60349-0، MR 0010757
ویتولد هورویچ ، سخنرانی‌هایی درباره معادلات دیفرانسیل معمولی ، انتشارات دوور، شابک 0-486-49510-8
ابراگیموف، نایل اچ. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 . Providence: CRC-Press. شابک 0-8493-4488-3..
تسچل، جرالد (2012). معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی . Providence : انجمن ریاضی آمریکا . شابک 978-0-8218-8328-0.
AD Polyanin , VF Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
D. Zwillinger، Handbook of Differential Equations (ویرایش سوم) ، انتشارات دانشگاهی، بوستون، 1997.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

Wikibooks کتابی با موضوع: حساب دیفرانسیل و انتگرال/معادلات دیفرانسیل معمولی دارد

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی موجود است .

"معادله دیفرانسیل، معمولی" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]
EqWorld: دنیای معادلات ریاضی ، حاوی لیستی از معادلات دیفرانسیل معمولی با حل آنها.
یادداشت های آنلاین / معادلات دیفرانسیل توسط پل داوکینز، دانشگاه لامار .
معادلات دیفرانسیل ، SOS ریاضیات.
آغازگر حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل از موسسه روش‌های عددی جامع، دانشگاه فلوریدا جنوبی.
یادداشت های سخنرانی معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی توسط جرالد تسل .
یادداشت‌هایی درباره Diffy Qs: Differential Equations for Engineers کتاب درسی مقدماتی در مورد معادلات دیفرانسیل توسط Jiri Lebl از UIUC .
مدل سازی با ODE ها با استفاده از Scilab آموزش نحوه مدل سازی یک سیستم فیزیکی که توسط ODE با استفاده از زبان برنامه نویسی استاندارد Scilab توسط تیم Openeering توضیح داده شده است.
حل یک معادله دیفرانسیل معمولی در Wolfram|Alpha

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و پنجم دی ۱۴۰۲ ساعت 8:18 توسط علی رضا نقش نیلچی |

9-هارمونیک های کروی

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شود $(r,\theta,\varphi)$ و $(r',\theta ',\varphi')$ ، به ترتیب، زاویه $\گاما$ بین آنها توسط رابطه داده می شود

$\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$

که در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .

قضیه جمع بیان می کند [17]

$P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^ {\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y})\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N } _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2} =\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,$

( 1 )

که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]

به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست می‌دهد [20]

$\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x}) ={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$

که اتحاد cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.

در بسط ( 1 )، سمت چپ $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپس $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })$

( 2 )

علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ای $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ به عنوان مضرب ثابت چند جمله ای جیگنبوئر مناسب داده می شود :

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf { x} }\cdot {\mathbf {y} })$

( 3 )

با ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y اتحاد عملکردی را می دهد

${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$

که در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.

قانون انقباض [ ویرایش ]

اتحاد مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان می کند [22]

$Y_{a,\alpha }\left(\theta,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left( 2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c} \left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta,\varphi \right).$

بسیاری از اصطلاحات در این مجموع به طور پیش پا افتاده صفر هستند. ارزش های $ج$ و $\گاما$ که منجر به عبارات غیر صفر در این مجموع می شود توسط قوانین انتخاب برای نمادهای 3j تعیین می شود .

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ضرایب کلبش–گوردان

ضرایب کلبش-گوردان ضرایبی هستند که در بسط حاصلضرب دو هارمونیک کروی بر حسب خود هارمونیک کروی ظاهر می شوند. تکنیک‌های مختلفی برای انجام محاسبات مشابه در دسترس هستند، از جمله نماد وینگر 3-jm ، ضرایب رکا و انتگرال‌های اسلاتر . به طور انتزاعی، ضرایب کلبش-گوردان حاصل ضرب تانسور دو نمایش غیرقابل تقلیل گروه چرخش را به عنوان مجموع نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بیان می‌کنند: به طور مناسب نرمال شده، ضرایب پس از آن چند برابر هستند.

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

نمایش شماتیک از $Y_{\ell m}$ روی واحد کره و خطوط گره ای آن. $\Re [Y_{\ell m}]$ برابر است با 0 در امتداد دایره های بزرگی که از قطب ها می گذرند و در امتداد دایره های − m با عرض جغرافیایی مساوی. تابع هر بار که از یکی از این خطوط عبور می کند علامت تغییر می دهد.

نمودار رنگی سه بعدی هارمونیک های کروی درجه n = 5 . توجه داشته باشید که n = .

هارمونیک های کروی لاپلاس $Y_{\ell }^{m}$ می توان با در نظر گرفتن " خطوط گره " آنها، یعنی مجموعه نقاط روی کره ای که در آن قرار دارد، تجسم کرد $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ ، یا به جای آن که $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ . خطوط گره ای از $Y_{\ell }^{m}$ از دایره های تشکیل شده اند: | وجود دارد m | دایره ها در طول طول و −| m | دایره ها در طول عرض های جغرافیایی می توان تعداد خطوط گرهی هر نوع را با شمارش تعداد صفرهای آن تعیین کرد $Y_{\ell }^{m}$ در $\ تتا$ و $\varphi$ جهت ها به ترتیب. با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\ تتا$ مولفه های حقیقی و خیالی چند جمله ای های لژاندر مرتبط هر کدام دارای −| m | صفرها که هر کدام یک "خط عرض جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند. از سوی دیگر با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\varphi$ ، توابع sin و cos مثلثاتی دارای 2| m | صفرها، که هر کدام یک "خط طول جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند.

وقتی مرتبه هارمونیک کروی m صفر باشد (بالا سمت چپ در شکل)، توابع هارمونیک کروی به طول جغرافیایی بستگی ندارند و به آنها منطقه ای می گویند . چنین هارمونیک های کروی مورد خاصی از توابع کروی ناحیه ای هستند . وقتی = | m | (پایین-راست در شکل)، هیچ تقاطع صفر در عرض جغرافیایی وجود ندارد، و توابع به عنوان بخش نامیده می شوند . برای موارد دیگر، توابع کره را بررسی می‌کنند و به آنها تسرال می‌گویند .

هارمونیک‌های کروی عمومی‌تر درجه لزوماً آن‌هایی نیستند که بر اساس لاپلاس هستند $Y_{\ell }^{m}$ ، و مجموعه گره های آنها می تواند از نوع نسبتاً کلی باشد. [23]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جدول هارمونیک های کروی

عبارات تحلیلی برای اولین هارمونیک های کروی لاپلاس متعارف: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ که از قرارداد فاز کاندون-شورتلی استفاده می کنند:

$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\ sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{ \sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{ 2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0 }(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt { \frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{تراز شده}}$

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی کلاسیک به عنوان توابع با مقادیر مختلط در کره واحد تعریف می شونداس2 $S^{2}$ در فضای سه بعدی اقلیدسی $\mathbb{R} ^{3}$ . هارمونیک های کروی را می توان به فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعمیم دادآر $\mathbb {R} ^{n}$ به شرح زیر منجر به توابع می شود $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ . [24] اجازه دهید P فضای چندجمله‌ای همگن با مقدار مختلط درجه را در n متغیر حقیقی نشان دهد که در اینجا به عنوان تابع در نظر گرفته می‌شود. $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ . یعنی یک p چند جمله ای در P است به شرطی که برای هر حقیقی باشد $\lambda \in \mathbb {R}$ ، یک نفر دارد

$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x}).$

فرض کنید A فضای فرعی P متشکل از همه چند جمله ای هارمونیک را نشان می دهد :

$\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$

این هارمونیک های کروی جامد (منظم) هستند . اجازه دهید H نشان دهنده فضای توابع در کره واحد باشد

$S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$

با محدودیت از A به دست می آید

$\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ برای برخی }}p \in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ برای همه }}\mathbf {x} \in S^{ n-1}\right\}.$

خواص زیر برقرار است:

مجموع فضاهای H در مجموعه کم است $C(S^{n-1})$ از توابع پیوسته در $S^{{n-1}}$ با توجه به توپولوژی یکنواخت ، توسط قضیه استون-وایرشتراس . در نتیجه، مجموع این فضاها در فضای L 2 ( Sn - 1 ) از توابع انتگرال پذیر مربع روی کره نیز اکم است. بنابراین هر تابع مربع انتگرال پذیر در کره به طور منحصر به فردی به یک سری هارمونیک های کروی تجزیه می شود، جایی که سری به معنای L 2 همگرا می شوند .
برای همه f ∈ H ، یکی دارد
$\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$
که در آن Sn-1 عملگر لاپلاس - بلترامی در Sn - 1 است . این عملگر آنالوگ قسمت زاویه ای لاپلاس در سه بعدی است. به طور کلی، لاپلاسین در ابعاد n به عنوان تجزیه می شود

$\nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}} +r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1} {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}$
برعکس، فضاهای H دقیقاً فضاهای ویژه S n -1 هستند . به طور خاص، استفاده از قضیه طیفی به پتانسیل $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ اثبات دیگری می دهد که فضاهای H به صورت زوجی متعامد و در L 2 کامل هستند ( Sn - 1 ) .

یک مبنای متعامد هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر را می توان به صورت استقرایی با روش جداسازی متغیرها ، با حل مسئله استورم-لیویل برای لاپلاسین کروی ساخت.

$\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$

که در آن φ مختصات محوری در یک سیستم مختصات کروی در Sn - 1 است . نتیجه نهایی چنین رویه ای [26] است.

$Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{ \sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar { P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$

جایی که شاخص ها راضی کننده | 1 | ≤ 2 ≤ ⋯ ≤ n -1 و مقدار ویژه - n -1 ( n -1 + n -2) است . عملکردهای موجود در ضرب بر حسب تابع لژاندر تعریف می شوند

${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\ frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

فضای H هارمونیک های کروی درجه نمایشی از گروه تقارن چرخش ها حول یک نقطه ( SO(3) ) و SU(2) پوشش دوگانه آن است . در واقع، چرخش ها بر روی کره دو بعدی ، و در نتیجه بر روی H نیز با ترکیب تابع عمل می کنند.

$\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$

برای ψ یک هارمونیک کروی و ρ یک چرخش. نمایش H نمایشی غیر قابل تقلیل از SO(3) است . [27]

عناصر H به عنوان محدودیت های کره عناصر A بوجود می آیند : چند جمله ای هارمونیک همگن درجه در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 . با قطبش ψ ∈ A ، ضرایبی وجود دارد $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ متقارن بر روی شاخص ها، به طور منحصر به فرد توسط نیاز تعیین می شود

$\psi (x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$

شرطی که ψ هارمونیک باشد معادل این ادعا است که تانسور من1…من $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ در هر جفت شاخص باید بدون ردیابی باشد. بنابراین به عنوان یک نمایش غیرقابل تقلیل SO(3) ، H نسبت به فضای تانسورهای متقارن بی اثر درجه هم شکل است .

به طور کلی تر، گزاره های مشابه در ابعاد بالاتر وجود دارند: فضای H هارمونیک های کروی روی n- کره نمایش غیرقابل تقلیل SO( n +1) مربوط به تانسورهای متقارن بدون ردیابی است . با این حال، در حالی که هر نمایش تانسور تقلیل‌ناپذیر SO(2) و SO(3) از این نوع است، گروه‌های متعامد ویژه در ابعاد بالاتر دارای نمایش‌های غیر قابل تقلیل اضافی هستند که به این شکل ایجاد نمی‌شوند.

گروه‌های متعامد خاص دارای نمایش‌های اسپین اضافی هستند که نمایش‌های تانسوری نیستند و معمولاً هارمونیک‌های کروی نیستند. یک استثنا، نمایش اسپین SO(3) است: به طور دقیق، اینها نمایش‌هایی از پوشش دوتایی SU(2) SO(3) هستند. به نوبه خود، SU(2) با گروه کواترنیون های واحد شناسایی می شود و بنابراین با کره 3 منطبق است . فضاهای هارمونیک های کروی روی 3 کره، با توجه به عمل ضرب چهارتایی، نمایش اسپین خاصی از SO(3) هستند.

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی را می توان به دو مجموعه از توابع تقسیم کرد. [28] یکی توابع نیمکره ای (HSH)، متعامد و کامل روی نیمکره است. دیگری هارمونیک های نیمکره مکمل (CHSH) است.

کلیات [ ویرایش ]

تقارن حفظ زاویه دو کره توسط گروه تبدیل موبیوس PSL (2, C ) توصیف شده است. با توجه به این گروه، کره معادل کره معمولی ریمان است . گروه PSL(2, C ) هم شکل با گروه (مناسب) لورنتس است و عمل آن بر روی دو کره با عمل گروه لورنتس بر روی کره آسمانی در فضای مینکوفسکی مطابقت دارد . آنالوگ هارمونیک های کروی برای گروه لورنتس توسط سری هایپرهندسی داده شده است . علاوه بر این، هارمونیک‌های کروی را می‌توان بر حسب سری فراهندسی دوباره بیان کرد، زیرا SO(3) = PSU(2) زیرگروهی از PSL(2, C ) است .

به طور کلی تر، سری های فراهندسی را می توان برای توصیف تقارن های هر فضای متقارن تعمیم داد . به طور خاص، سری های فرا هندسی را می توان برای هر گروه Lie توسعه داد . [29] [30] [31] [32]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به هارمونیک‌های کروی وجود دارد .

هارمونیک مکعبی (اغلب به جای هارمونیک های کروی در محاسبات استفاده می شود)
هارمونیک های استوانه ای
پایه کروی
هارمونیک های کروی اسپینور
هارمونیک های کروی با وزن اسپین
نظریه استورم-لیوویل
جدول هارمونیک های کروی
هارمونیک های کروی برداری
اوربیتال اتمی

یادداشت ها [ ویرایش ]

گزارشی تاریخی از رویکردهای مختلف به هارمونیک های کروی در سه بعد را می توان در فصل چهارم مک رابرت 1967 یافت. اصطلاح "هارمونیک های کروی لاپلاس" رایج است. به کورانت-هیلبرت 1962 و میچر & بوئر 2004 مراجعه کنید.
^ رویکرد به هارمونیک‌های کروی در اینجا در ( کورانت-هیلبرت 1962 , §V.8, §VII.5) یافت می‌شود.
^ کاربردهای فیزیکی اغلب محلولی را می گیرند که در بی نهایت ناپدید می شود و A = 0 را می سازد . این بر بخش زاویه ای هارمونیک های کروی تأثیر نمی گذارد.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک کروی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی 2023-05-10 .
↑ Edmonds 1957 ، §2.5
^ سالن 2013 بخش 17.6
↑ Hall 2013 Lemma 17.16
↑ ویلیامز، ارل جی (1999). آکوستیک فوریه: تشعشعات صوتی و هولوگرافی صوتی نزدیک میدان . سن دیگو، کالیفرنیا: انتشارات آکادمیک. شابک 0080506909. OCLC 181010993 .
↑ مسیح، آلبرت (1999). مکانیک کوانتومی: دو جلد صحافی شده به عنوان یک جلد (دو جلد صحافی شده به عنوان یک، ویرایش مجدد بدون خلاصه). مینولا، نیویورک: دوور. شابک 9780486409245.
↑ کلود کوهن تانوجی؛ برنارد دیو; فرانک لالو (1996). مکانیک کوانتومی . ترجمه سوزان رید هملی; و همکاران Wiley-Interscience: ویلی. شابک 9780471569527.
^ a bپرش به بالا: بلیکلی، ریچارد (1995). نظریه پتانسیل در گرانش و کاربردهای مغناطیسی . کمبریج انگلستان نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 113 . شابک 978-0521415088.
^ هایسکانن و موریتز، ژئودزی فیزیکی، 1967، معادله. 1-62
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "فاز کاندون-شورتلی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 02-11-2022 .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 392.
به عنوان مثال، به ضمیمه A از Garg، A.، Electrodynamics Classical in a Nutshell (انتشارات دانشگاه پرینستون، 2012) مراجعه کنید.
^ لی، فیفی؛ براون، کارول؛ Garg, Anupam (2013), " The Weyl-وینگر-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , بیبکد : 2013EL ....10260006L 10260006L 10260006L . 102/60006 ، S2CID 119610178
↑ Edmonds, AR (1996). تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی . انتشارات دانشگاه پرینستون پ. 63 .
^ این برای هر مبنای متعارف هارمونیک های کروی درجه معتبر است . برای هارمونیک های توان واحد لازم است ضریب 4 π حذف شود .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 395
↑ Unsöld 1927
^ Stein & Weiss 1971 , §IV.2
^ برینک، دی.م. Satchler، GR حرکت زاویه ای . انتشارات دانشگاه آکسفورد. پ. 146.
↑ ارمنکو، یاکوبسون و نادیراشویلی 2007
^ سولومنتسف 2001 ; Stein & Weiss 1971 §IV.2
^ رجوع کنید به نتیجه 1.8 اکسلر، شلدون؛ رامی، وید (1995)، چند جمله ای هارمونیک و مسائل نوع دیریکله
↑ هیگوچی، آتسوشی (1987). "هارمونیک‌های کروی تانسور متقارن بر روی N-کره و کاربرد آنها در گروه دسیتر SO(N,1)" . مجله فیزیک ریاضی . 28 (7): 1553-1566. بیبکد : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 .
↑ Hall 2013 نتیجه 17.17
↑ ژنگ یی، وی کی، لیانگ بی، لی یی، چو (23-12-2019). "توابع مشابه زرنیک در کلاهک کروی: اصل و کاربردها در اتصالات سطح نوری و رندر گرافیکی" . اپتیک اکسپرس . 27 (26): 37180–37195. بیبکد : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 .
↑ N. Vilenkin، توابع ویژه و نظریه بازنمودهای گروهی ، آم. ریاضی. Soc. ترجمه، ج. 22، (1968).
↑ جی دی تالمن، کارکردهای ویژه، رویکرد نظری گروهی ، (بر اساس سخنرانی های ای پی ویگنر)، WA بنجامین، نیویورک (1968).
↑ دبلیو میلر، تقارن و جداسازی متغیرها، ادیسون-وسلی، ریدینگ (1977).
^ A. Wawrzyńczyk، نمایندگی های گروهی و عملکردهای ویژه ، ناشران علمی لهستانی. ورشو (1984).

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

کورانت، ریچارد ؛ هیلبرت، دیوید (1962)، روشهای فیزیک ریاضی، جلد اول ، وایلی-اینترساینس.
Edmonds، AR (1957)، حرکت زاویه ای در مکانیک کوانتومی ، انتشارات دانشگاه پرینستون، ISBN 0-691-07912-9
ارمنکو، الکساندر؛ یاکوبسون، دیمیتری؛ نادیراشویلی، نیکولای (2007)، "درباره مجموعه های گرهی و حوزه های گرهی در S2 و R2" ، Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345-2360، doi : 10.5802/aif.2335 ، ISSN -09 ، 0373 2394544
هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
مک رابرت، TM (1967)، هارمونیک های کروی: رساله ابتدایی در مورد توابع هارمونیک، با کاربردها ، چاپ پرگامون.
مایجر، پل هرمان ارنست; بائر، ادموند (2004)، نظریه گروه: کاربرد در مکانیک کوانتومی ، دوور، شابک 978-0-486-43798-9.
سولومنتسف، ED (2001) [1994]، "هارمونیک های کروی" ، دایره المعارف ریاضیات ، چاپ EMS.
استاین، الیاس ؛ ویس، گیدو (1971)، مقدمه ای بر تحلیل فوریه در فضاهای اقلیدسی ، پرینستون، نیوجرسی: انتشارات دانشگاه پرینستون، شابک 978-0-691-08078-9.
Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome"، Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, بیبکد : 1927AnP...387..355U , doi : 10.1002/1033.1002.
ویتاکر، ای تی Watson, GN (1927), A Course of Modern Analysis , انتشارات دانشگاه کمبریج , ص. 392.

مراجع عمومی [ ویرایش ]

EW Hobson، نظریه هارمونیک های کروی و بیضی ، (1955) انتشارات چلسی. شرکت شابک 978-0-8284-0104-3 .
سی. مولر، هارمونیک های کروی ، (1966) اسپرینگر، یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، جلد. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 .
EU Condon و GH Shortley، Theory of Atomic Spectra ، (1970) کمبریج در انتشارات دانشگاه، ISBN 0-521-09209-4 ، به فصل 3 مراجعه کنید .
جی دی جکسون، الکترودینامیک کلاسیک ، ISBN 0-471-30932-X
آلبرت مسیحا، مکانیک کوانتومی ، جلد دوم. (2000) دوور. شابک 0-486-40924-4 .
مطبوعات، WH; Teukolsky، SA; Vetterling، WT; Flannery، BP (2007)، "بخش 6.7. هارمونیک های کروی" ، دستورهای عددی: هنر محاسبات علمی (ویرایش سوم)، نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج، ISBN 978-0-521-88068-8
DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum , (1988) World Scientific Publishing Co., سنگاپور, ISBN 9971-5-0107-4
وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک های کروی" . دنیای ریاضی .
مدوک، جان، هارمونیک های کروی در Boost.Math

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

هارمونیک کروی در MathWorld
نمایش سه بعدی کروی هارمونیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 15:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

8-هارمونیک های کروی

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر در این بخش به بهبود این مقاله کمک کنید. اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژوئیه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

توان کل یک تابع f در ادبیات پردازش سیگنال به عنوان انتگرال تابع مجذور تقسیم بر مساحت دامنه آن تعریف می شود . با استفاده از ویژگی‌های متعامد توابع هارمونیک کروی حقیقی واحد-قدرت، به راحتی می‌توان تأیید کرد که توان کل یک تابع تعریف شده بر روی واحد کره به ضرایب طیفی آن با تعمیم قضیه پارسوال مرتبط است (در اینجا، قضیه بیان می‌شود. برای هارمونیک های نیمه نرمال شده اشمیت، این رابطه برای هارمونیک های متعامد کمی متفاوت است:

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0} ^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$

جایی که

$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m }|^{2}$

به عنوان طیف توان زاویه ای (برای هارمونیک های نیمه نرمال اشمیت) تعریف می شود. به روشی مشابه، می توان قدرت متقاطع دو تابع را به صورت تعریف کرد

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _ {\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$

جایی که

اس()2+1∑=-∗

$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ ell m}^{\ast }$

به عنوان طیف توان متقابل تعریف می شود. اگر توابع f و g میانگین صفر داشته باشند (یعنی ضرایب طیفی f 00 و g 00 صفر هستند)، آنگاه Sff(ℓ) و S fg ( ) مشارکت در واریانس تابع و کوواریانس برای درجه را نشان می دهند . به ترتیب. معمول است که طیف توان (متقابل) به خوبی با یک قانون توان به شکل تقریب می شود.

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

وقتی β = 0 ، طیف "سفید" است زیرا هر درجه دارای قدرت برابر است. وقتی β < 0 ، طیف را "قرمز" می نامند زیرا در درجات پایین با طول موج های بلند توان بیشتری نسبت به درجات بالاتر وجود دارد. در نهایت، زمانی که β > 0 ، طیف "آبی" نامیده می شود. شرط ترتیب رشد Sff(ℓ) به ترتیب تمایز پذیری f در بخش بعدی مربوط می شود.

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

همچنین می توان خواص تمایز پذیری تابع اصلی f را بر حسب مجانبی Sff(ℓ) درک کرد . به طور خاص، اگر Sff(ℓ) سریعتر از هر تابع منطقی به عنوان → ∞ کاهش یابد ، آنگاه f بی نهایت قابل تفکیک است . علاوه بر این، اگر Sff(ℓ) به صورت تصاعدی کاهش یابد، آنگاه f در واقع تحلیلی حقیقی روی کره است .

تکنیک کلی استفاده از تئوری فضاهای سوبولف است . اظهارات مربوط به رشد Sff(ℓ) به تمایز پذیری مشابه نتایج مشابه در رشد ضرایب سری فوریه است . به طور خاص، اگر

$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$

سپس f در فضای سوبولف H s ( S 2 ) است . به طور خاص، قضیه تعبیه سوبولف نشان می دهد که f بی نهایت قابل تمایز است به شرطی که

$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$

برای همه s .

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 15:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

7-هارمونیک های کروی

[ویژگی های تقارن [ ویرایش

هارمونیک های کروی دارای خواص عمیق و پیامدی تحت عملیات وارونگی فضایی (پاریتی) و چرخش هستند.

برابری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: برابری (فیزیک)

هارمونیک های کروی برابری مشخصی دارند. یعنی از نظر وارونگی در مورد مبدا یا زوج هستند یا فرد. وارونگی توسط عملگر نشان داده می شود $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ . سپس، همانطور که از بسیاری جهات می توان دید (شاید به سادگی از تابع تولید هرگلوتز)، با $\mathbf {r}$ بردار واحد بودن

$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r}).$

از نظر زوایای کروی، برابری یک نقطه را با مختصات تبدیل می کند $\{\theta,\varphi \}$ به $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ . بیانیه برابری هارمونیک های کروی پس از آن است

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{ \ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$

(این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: چند جمله ای های لژاندر + m را به دست می دهند و از تابع نمایی m داریم ، با هم برای هارمونیک های کروی برابری .)

برابری برای هارمونیک های کروی حقیقی و برای هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر همچنان برقرار است: اعمال بازتاب نقطه ای به هارمونیک کروی درجه علامت را با ضریب تغییر می دهد .

چرخش ها [ ویرایش ]

چرخش یک تابع کروی حقیقی با m = 0 و = 3 . ضرایب برابر با ماتریس های ویگنر D نیستند، زیرا توابع حقیقی نشان داده شده اند، اما می توان با تجزیه مجدد توابع مختلط به دست آورد.

یک چرخش را در نظر بگیریدآر $\mathcal R$ در مورد مبدایی که بردار واحد را ارسال می کند $\mathbf {r}$ به" ${\mathbf r}'$ . تحت این عملیات، هارمونیک کروی درجه $\ خوب$ و سفارش دهید $متر$ تبدیل به یک ترکیب خطی از هارمونیک های کروی با همان درجه می شود. به این معنا که،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^ {m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $A_{mm'}$ یک ماتریس از نظم است $(2\ell +1)$ که به چرخش بستگی داردآر $\mathcal R$ . با این حال، این روش استاندارد بیان این ویژگی نیست. به روش استانداردی که شخص می نویسد،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ مزدوج مختلط یک عنصر از ماتریس D ویگنر است . به ویژه زمانی که" ${\mathbf r}'$ هست یک $\phi _{0}$ با چرخش آزیموت ما اتحاد را بدست می آوریم،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0 }}.$

رفتار چرخشی هارمونیک‌های کروی شاید ویژگی اصلی آنها از دیدگاه نظریه گروه باشد. این $Y_{\ell }^{m}$ مدرک تحصیلی $\ خوب$ یک مجموعه پایه از توابع برای نمایش غیرقابل تقلیل گروه SO(3) بعد ارائه می کند $(2\ell +1)$ . بسیاری از حقایق در مورد هارمونیک های کروی (مانند قضیه جمع) که به سختی با استفاده از روش های تحلیل اثبات می شوند، با استفاده از روش های تقارن، اثبات های ساده تر و اهمیت عمیق تری به دست می آورند.

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی لاپلاس: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. سی2(اس2) $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ . در کره واحداس2 $S^{2}$ ، هر تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ بنابراین می توان به عنوان یک ترکیب خطی از این موارد گسترش داد:

$f(\theta,\varphi)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m} \,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi).$

این بسط به معنای همگرایی میانگین مربع است - همگرایی در L 2 کره - که به این معناست که

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

ضرایب انبساط مشابه ضرایب فوریه هستند و با ضرب معادله فوق در مزدوج مختلط یک هارمونیک کروی، انتگرال در زاویه جامد Ω، و استفاده از روابط متعامد فوق به دست می آیند. این به شدت توسط نظریه فضایی پایه هیلبرت توجیه می شود. در مورد هارمونیک های متعارف، این به دست می دهد:

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d \Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{ \ell }^{m*}(\theta،\varphi).$

اگر ضرایب به اندازه کافی سریع در کاهش یابد - برای مثال، به صورت نمایی - آنگاه سری نیز به طور یکنواخت به f همگرا می شود .

یک تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ همچنین می تواند از نظر هارمونیک های حقیقی گسترش یابد: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ در بالا به عنوان جمع

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_ {\ell m}(\theta،\varphi).$

همگرایی این سری دوباره در همان معنا وجود دارد، یعنی هارمونیک های کروی حقیقی: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ . مزایای بسط از نظر توابع هارمونیک حقیقی $Y_{\ell m}$ این است که برای توابع حقیقی است: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ ضرایب انبساط $f_{\ell m}$ تضمین شده است که حقیقی هستند، در حالی که ضرایب آنها $f_{\ell }^{m}$ در گسترش آنها از نظر $Y_{\ell}^m$ (با در نظر گرفتن آنها به عنوان توابع: $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ ) آن خاصیت را ندارند.

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 14:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-هارمونیک های کروی

هارمونیک های کروی به شکل دکارتی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی مختلط $Y_{\ell }^{m}$ ایجاد هارمونیک جامد با گسترش ازاس2 $S^{2}$ به همه $\mathbb{R} ^{3}$ به عنوان یک تابع همگن درجه $\ خوب$ ، یعنی تنظیم

$R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\ |}}\راست)$

معلوم می شود که $R_{\ell }^{m}$ مبنای فضای چندجمله ای های هارمونیک و همگن درجه است $\ خوب$ . به طور خاص، این بازنمایی از گروه چرخشی، مبنای (تا عادی سازی منحصر به فرد) گلفاند-تی سدلین است. $SO (3)$ و یک فرمول صریح برای $R_{\ell }^{m}$ در مختصات دکارتی می توان از آن حقیقیت استخراج کرد.

تابع مولد هرگلوتز [ ویرایش ]

اگر قرارداد مکانیک کوانتومی برای: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ، سپس

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{ \sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$

اینجا، $\mathbf {r}$ بردار با اجزا است $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ ، $r=|\mathbf {r} |$ ، و

${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i {\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat { y}} }\راست).$

$\mathbf {a}$ بردار با مختصات مختلط است:

. $\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({ \frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

خاصیت ضروری از $\mathbf {a}$ این است که تهی است:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$

گرفتن کافی است $v$ و $\لامبدا$ به عنوان پاراهای حقیقی در نامگذاری این تابع مولد به نام هرگلوتز ، ما از کورانت-هیلبرت 1962 ، §VII.7 پیروی می‌کنیم که یادداشت‌های منتشر نشده او را برای کشف آن اعتبار می‌دانند.

اساساً تمام خصوصیات هارمونیک های کروی را می توان از این تابع مولد به دست آورد. [15] مزیت فوری این تعریف این است که اگر بردار $\mathbf {r}$ با عملگر بردار اسپین مکانیکی کوانتومی جایگزین می شودجی $\mathbf {J}$ ، به طوری که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ آنالوگ عملگر هارمونیک جامد است (/) $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ ، [16] یک تابع تولید کننده برای مجموعه استاندارد شده ای از عملگرهای تانسور کروی بدست می آید . ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ :

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$

موازی بودن این دو تعریف تضمین می کند که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ تبدیل تحت چرخش ها (به زیر مراجعه کنید) به همان شیوه ای است $Y_{\ell}^m$ ، که به نوبه خود تضمین می کند که آنها عملگرهای تانسور کروی هستند، $T^{(k)}_q$ ، با $k={\ell }$ $q=m$ با رعایت تمام خصوصیات این عملگرها، مانند قضیه ترکیب کلبش-گوردان و قضیه ویگنر-اکارت . علاوه بر این، آنها یک مجموعه استاندارد شده با مقیاس یا عادی سازی ثابت هستند.

همچنین نگاه کنید به: پایه کروی

فرم دکارتی جدا شده [ ویرایش ]

تعریف هرگلوتزی چند جمله‌ای را به دست می‌دهد که در صورت تمایل، ممکن است بیشتر در چند جمله‌ای فاکتورسازی شوند. $z$ و دیگری از $ایکس$ و $y$ ، به شرح زیر (فاز کاندون – شورتلی):

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\ frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\ چپ(-1\راست)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}}،\qquad m>0.$

و برای m = 0 :

$r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }} _{\ell }^{0}.$

اینجا

$A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\cos \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

$B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\sin \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\ راست]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lطبقه (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell } {\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}} \;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$

برای $m=0$ این کاهش می یابد

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1 )^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{ \ell -2k}.$

عاملΠ¯ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ اساساً چند جمله ای لژاندر مرتبط است $P_{\ell }^{m}(\cos \theta)$ ، و عوامل $(A_{m}\pm iB_{m})$ اساسا هستند $e^{\pm im\varphi }$ .

مثالها [ ویرایش ]

استفاده از عبارات برایΠ¯ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ ،آ(،) $A_{m}(x,y)$ ، و $B_{m}(x,y)$ که به صراحت در بالا ذکر شده است، به دست می آوریم:

$Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3} {16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7} {4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \ تتا e^{i\varphi }\right)$

$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5} {32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left( \sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$

ممکن است تأیید شود که این با عملکرد فهرست شده در اینجا و اینجا مطابقت دارد .

فرم های حقیقی [ ویرایش ]

با استفاده از معادلات بالا برای تشکیل هارمونیک های کروی حقیقی، مشاهده می شود که برای>0 $m>0$ فقطآ $صبح}$ شرایط (کسینوس) گنجانده شده است، و برای<0 $m<0$ فقطب $B_{m}$ اصطلاحات (سینوس ها) شامل می شوند:

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell + 1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix} },\qquad m>0.$

و برای m = 0:

$r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ یا }^{0}.$

موارد و مقادیر ویژه [ ویرایش ]

زمانیگه $m=0$ ، هارمونیک های کروی: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ کاهش به چند جمله ای های معمولی لژاندر :

${\displaystyle Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta )$ م،

$Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}} {\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },$ یا ساده تر در مختصات دکارتی،

$r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{ \ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.$
در قطب شمال، جایی که $\theta =0$ ، و $\varphi$ تعریف نشده است، همه هارمونیک های کروی به جز آنهایی که با $m=0$ ناپدید شدن:
$Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1 {4\pi }}}\delta _{m0}.$

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 14:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-هارمونیک های کروی

فاز کاندون-شورتلی [ ویرایش ]

یکی از منابع سردرگمی با تعریف توابع هارمونیک کروی مربوط به فاکتور فاز است $(-1)^{m}$ در ادبیات مکانیک کوانتومی معمولاً به عنوان فاز کاندون -شورتلی شناخته می شود. در جامعه مکانیک کوانتومی، استفاده از این فاکتور فاز در تعریف چندجمله‌ای لژاندر مرتبط ، یا اضافه کردن آن به تعریف توابع هارمونیک کروی، معمول است . در تعریف توابع هارمونیک کروی نیازی به استفاده از فاز فاز کاندون-شورتلی وجود ندارد، اما گنجاندن آن می تواند برخی از عملیات مکانیکی کوانتومی، به ویژه کاربرد عملگرهای بالا بردن و پایین آوردن را ساده کند . جوامع ژئودزی [12] و مغناطیسی هرگز فاکتور فاز کاندون-شورتلی را در تعاریف خود از توابع هارمونیک کروی و همچنین در تعاریف چند جمله ای های لژاندر مرتبط نمی گنجانند. [13]

شکل حقیقی [ ویرایش ]

پایه حقیقی هارمونیک های کروی: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ را می توان بر حسب آنالوگ های مختلط آنها تعریف کرد: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ با تنظیم

${\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}- (-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text {if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{ \بلا }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2 }}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\راست)&{\text{if} }\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{ case}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]& {\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^ {m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{تراز شده}}$

قرارداد فاز کاندون-شورتلی در اینجا برای ثبات استفاده می شود. معادلات معکوس مربوطه که هارمونیک های کروی مختلط را تعریف می کنند: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ از نظر هارمونیک های کروی حقیقی: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ هستند

$Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell , -|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\ dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if }}\ m>0.\end{موارد}}$

هارمونیک های کروی حقیقی: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ گاهی اوقات به عنوان هارمونیک کروی تسرال شناخته می شوند . [14] این توابع همان ویژگی‌های قاعده‌طلبی توابع مختلط را دارند: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ در بالا. هارمونیک های کروی حقیقی $Y_{\ell m}$ با m > 0 گفته می شود که از نوع کسینوس هستند و کسانی که m < 0 از نوع سینوسی دارند. دلیل این امر را می توان با نوشتن توابع بر حسب چند جمله ای های لژاندر به عنوان مشاهده کرد

$Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{ 4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \ تتا )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_ {\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{ \sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell } ^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}$

همان فاکتورهای سینوس و کسینوس را می توان در زیربخش زیر نیز مشاهده کرد که به بازنمایی دکارتی می پردازد.

برای لیستی از هارمونیک های کروی حقیقی تا و شامل اینجا را ببینید $=4$ ، که با خروجی معادلات بالا مطابقت دارد.

استفاده در شیمی کوانتومی [ ویرایش ]

همانطور که از راه حل های تحلیلی برای اتم هیدروژن مشخص است، توابع ویژه بخش زاویه ای تابع موج هارمونیک های کروی هستند. با این حال، راه حل های معادله شرودینگر غیر نسبیتی بدون ترم مغناطیسی را می توان حقیقی کرد. به همین دلیل است که اشکال حقیقی به طور گسترده در توابع پایه برای شیمی کوانتومی استفاده می شوند، زیرا برنامه ها پس از آن نیازی به استفاده از جبر مختلط ندارند. در اینجا، توجه به این نکته مهم است که توابع حقیقی همان فضایی هستند که توابع مختلط دارند.

به عنوان مثال، همانطور که از جدول هارمونیک های کروی مشاهده می شود ، توابع معمول p ( $=1$ ) برای محورهای مختلط و ترکیبی هستند، اما نسخه های حقیقی اساساً فقط x ، y و z هستند .

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 14:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هارمونیک های استوانه ای

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، هارمونیک های استوانه ای مجموعه ای از توابع مستقل خطی هستند که راه حل های معادله دیفرانسیل لاپلاس هستند . $\nabla ^{2}V=0$ ، در مختصات استوانه ای ρ (مختصات شعاعی)، φ (زاویه قطبی) و z ( ارتفاع) بیان می شود. هر تابع V n ( k ) حاصل ضرب سه جمله است که هر کدام به تنهایی به یک مختصات بستگی دارد. عبارت وابسته به ρ توسط توابع بسل (که گاهی به آنها هارمونیک استوانه ای نیز گفته می شود) داده می شود.

تعریف [ ویرایش ]

هر تابع $V_{n}(k)$ این مبنا از حاصل ضرب سه تابع تشکیل شده است:

$V_{n}(k;\rho،\varphi،z)=P_{n}(k،\rho)\Phi _{n}(\varphi)Z(k،z)\،$

جایی که $(\rho,\varphi,z)$ مختصات استوانه‌ای و ثابت‌های n و k هستند که اعضای مجموعه را متمایز می‌کنند. در نتیجه اصل برهم نهی اعمال شده در معادله لاپلاس، راه حل های بسیار کلی برای معادله لاپلاس را می توان با ترکیب خطی این توابع به دست آورد.

از آنجایی که تمام سطوح دارای ρ، φ و z ثابت هستند مخروطی هستند، معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای قابل تفکیک است. با استفاده از تکنیک جداسازی متغیرها ، یک جواب جدا شده برای معادله لاپلاس را می توان به صورت زیر بیان کرد:

$V=P(\rho)\,\Phi (\varphi)\,Z(z)$

و معادله لاپلاس، تقسیم بر V ، نوشته شده است:

${\frac {{\ddot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {{\dot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}+{\frac {{\ddot {Z}}}{Z}}= 0$

قسمت Z معادله به تنهایی تابعی از z است و بنابراین باید برابر با یک ثابت باشد:

${\frac {{\ddot {Z}}}{Z}}=k^{2}$

که در آن k به طور کلی یک عدد مختلط است . برای یک k خاص ، تابع Z(z) دو راه حل مستقل خطی دارد. اگر k حقیقی باشد عبارتند از:

$Z(k,z)=\cosh(kz)\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sinh(kz)\,$

یا با رفتار آنها در بی نهایت:

$Z(k,z)=e^{{kz}}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e^{{- kz}}\,$

اگر k موهومی باشد:

$Z(k,z)=\cos(|k|z)\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sin(| k|z)\,$

یا:

$Z(k,z)=e^{{i|k|z}}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e ^{{-i|k|z}}\,$

مشاهده می شود که توابع Z(k,z) هسته های تبدیل فوریه یا تبدیل لاپلاس تابع Z(z) هستند و بنابراین k ممکن است یک متغیر گسسته برای شرایط مرزی تناوبی باشد یا ممکن است یک متغیر پیوسته باشد. برای شرایط مرزی غیر تناوبی

جایگزین کردن $k^2$ برای ${\ddot {Z}}/Z$ ، معادله لاپلاس اکنون می تواند نوشته شود:

${\frac {{\ddot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {{\dot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}+k^{2}=0$

ضرب در $\rho ^{2}$ ، اکنون می توانیم توابع P و Φ را از هم جدا کنیم و یک ثابت دیگر ( n ) معرفی کنیم تا به دست آوریم:

${\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}=-n^{2}$

$\rho ^{2}{\frac {{\ddot {P}}}{P}}+\rho {\frac {{\dot {P}}}{P}}+k^{2}\rho ^ {2}=n^{2}$

از آنجا که $\varphi$ تناوبی است، ممکن است n را یک عدد صحیح غیر منفی در نظر بگیریم و بر این اساس، $\Phi (\varphi)$ ثابت ها مشترک هستند. راه حل های حقیقی برای $\Phi (\varphi)$ هستند

$\Phi _{n}=\cos(n\varphi )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sin(n\ ورفی )$

یا به طور معادل:

$\Phi _{n}=e^{{in\varphi }}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e^{ {-in\varphi }}$

معادله دیفرانسیل برای $\rho$ شکلی از معادله بسل است.

اگر k صفر باشد، اما n نباشد، جواب ها عبارتند از:

$P_{n}(0,\rho )=\rho ^{n}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\rho ^{{-n}}\,$

اگر k و n هر دو صفر باشند، جواب ها عبارتند از:

$P_{0}(0,\rho )=\ln \rho \,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,1\,$

اگر k یک عدد حقیقی باشد می‌توانیم جواب حقیقی را به صورت زیر بنویسیم:

$P_{n}(k,\rho )=J_{n}(k\rho )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\ ,Y_{n}(k\rho )\,$

جایی که $J_{n}(z)$ و $Y_{n}(z)$ توابع معمولی بسل هستند .

اگر k یک عدد فرضی باشد، ممکن است یک جواب حقیقی را به صورت زیر بنویسیم:

$P_{n}(k,\rho )=I_{n}(|k|\rho )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\ ,\,K_{n}(|k|\rho )\,$

جایی که $I_{n}(z)$ و $K_{n}(z)$ )توابع بسل اصلاح شده اند .

هارمونیک‌های استوانه‌ای برای (k,n) اکنون حاصل ضرب این جواب‌ها هستند و جواب کلی معادله لاپلاس با ترکیب خطی این جواب‌ها به دست می‌آید:

$V(\rho,\varphi,z)=\sum _{n}\int d\left|k\right|\,\,A_{n}(k)P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,$

جایی که $A_{n}(k)$ با توجه به مختصات استوانه ای ثابت هستند و حدود جمع و انتگرالبا شرایط مرزی مسئله تعیین می شود. توجه داشته باشید که انتگرال ممکن است با یک جمع برای شرایط مرزی مناسب جایگزین شود. متعامد بودن $J_n(x)$ اغلب هنگام یافتن راه حلی برای یک مشکل خاص بسیار مفید است. این $\Phi _{n}(\varphi)$ و $Z(k,z)$ توابع اساساً بسط های فوریه یا لاپلاس هستند و مجموعه ای از توابع متعامد را تشکیل می دهند. چه زمانی $P_{n}(k\rho)$ ساده است $J_{n}(k\rho)$ ، متعامد بود $J_n$ ، همراه با روابط متعامد از $\Phi _{n}(\varphi)$ و $Z(k,z)$ اجازه دهید ثابت ها تعیین شوند. [1]

اگر(ایکس)ک $(x)_k$ دنباله ای از صفرهای مثبت است $J_n$ سپس:

$\int _{0}^{1}J_{n}(x_{k}\rho )J_{n}(x_{k}'\rho )\rho \,d\rho ={\frac {1}{ 2}}J_{{n+1}}(x_{k})^{2}\delta _{{kk'}}$ [2]

در حل مسائل، تا زمانی که مقادیر پتانسیل و مشتق آن در سراسر مرزی که فاقد منبع است مطابقت داشته باشند، فضا را می توان به هر تعداد قطعه تقسیم کرد.

مثال: منبع نقطه ای داخل یک لوله استوانه ای رسانا [ ویرایش ]

به عنوان مثال، مشکل تعیین پتانسیل یک منبع واحد واقع در آن را در نظر بگیرید $(\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})$ داخل یک لوله استوانه ای رسانا (به عنوان مثال یک قوطی حلبی خالی) که از بالا و پایین توسط صفحات محدود شده است. $z=-L$ و $z=L$ و در طرفین توسط استولنه $\rho =a$ . [3] (در واحدهای MKS، فرض خواهیم کرد1 $q/4\pi \epsilon _{0}=1$ ). از آنجایی که پتانسیل توسط صفحات روی محور z محدود می شود ، تابع Z(k,z) را می توان تناوبی در نظر گرفت. از آنجایی که پتانسیل باید در مبدا صفر باشد، مقدار را می گیریم $P_{n}(k\rho)$ تابع بسل معمولی باشد $J_{n}(k\rho)$ ، و باید طوری انتخاب شود که یکی از صفرهای آن روی استوانه مرزی قرار گیرد. برای نقطه اندازه گیری زیر نقطه منبع در محور z ، پتانسیل به صورت زیر خواهد بود:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{{nr}}(L+z))\,\,\, \,\,z\leq z_{0}$

جایی که $k_{{nr}}a$ r-امین صفر است $J_{n}(z)$ و از روابط متعامد برای هر یک از توابع:

$A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L-z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}\,$

بالاتر از منبع:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{{nr}}(Lz))\,\,\,\, \,z\geq z_{0}$

$A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L+z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,$

واضح است که وقتی $\rho =a$ یا $|z|=L$ ، تابع فوق صفر است. همچنین می توان به راحتی نشان داد که این دو تابع از نظر مقدار و مقدار اولین مشتقات خود در مطابقت دارند $z=z_{0}$ .

منبع نقطه ای داخل استولنه [ ویرایش ]

حذف انتهای صفحه (یعنی با نزدیک شدن L به بی نهایت حد را در نظر بگیرید) میدان منبع نقطه ای را در داخل یک استوانه رسانا می دهد:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{{-k_{{nr}}|z-z_{0}|}}$

$A_{{nr}}={\frac {2(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr }}\rho _{0})}{k_{{nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,$

منبع نقطه در فضای باز [ ویرایش ]

با نزدیک شدن شعاع استوانه ( a ) به بینهایت، مجموع صفرهای J n (z) تبدیل به یک انتگرال می شود و میدان یک منبع نقطه ای در فضای بینهایت داریم:

$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{R}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }d \ چپ|k\راست|\,A_{n}(k)J_{n}(k\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k|z-z_ {0}|}$

$A_{n}(k)=(2-\delta _{{n0}})J_{n}(k\rho _{0})\،$

و R فاصله منبع نقطه تا نقطه اندازه گیری است:

$R={\sqrt {(z-z_{0})^{2}+\rho ^{2}+\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos(\ varphi -\varphi _{0})}}.\,$

منبع نقطه در فضای باز در مبدا [ ویرایش ]

در نهایت، وقتی منبع نقطه ای در مبدا باشد، $\rho _{0}=z_{0}=0$

$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}}=\int _{0}^{\infty } J_{0}(k\rho )e^{{-k|z|}}\,dk.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اسمایث 1968 ، ص. 185.
↑ Guillopé 2010 .
^ پیکربندی و متغیرها مانند Smythe 1968

منابع [ ویرایش ]

اسمیت، ویلیام آر (1968). الکتریسیته ساکن و دینامیک (ویرایش سوم). مک گراو هیل .
گیلوپه، لوران (2010). "Espaces de Hilbert et fonctions spéciales" (PDF) (به زبان فرانسوی).

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics

+ نوشته شده در سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ ساعت 12:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

میدان برداری پایستار

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( می 2009 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

در محاسبات برداری ، یک میدان برداری پایستار ، یک میدان برداری است که گرادیان یک تابع است . [1] یک میدان برداری پایستار این ویژگی را دارد که انتگرال خط آن مستقل از مسیر باشد. انتخاب مسیر بین دو نقطه مقدار انتگرال خط را تغییر نمی دهد. مستقل مسیر انتگرال خط برابر با پایستار بودن میدان برداری زیر انتگرال خط است. یک میدان برداری پایستار نیز غیر پیچشی است. در سه بعدی، به این معنی است که دارای کرل صفر است . یک میدان برداری پیچشی الزاماً پایستار است به شرطی که دامنه به سادگی متصل باشد .

میدان های برداری پایستار به طور طبیعی در مکانیک ظاهر می شوند : آنها میدان های برداری هستند که نیروهای سیستم های فیزیکی را نشان می دهند که در آنها انرژی حفظ می شود . [2] برای یک سیستم پایستار، کار انجام شده در حرکت در امتداد یک مسیر در فضای پیکربندی تنها به نقاط انتهایی مسیر بستگی دارد، بنابراین می توان انرژی پتانسیل را مستقل از مسیر واقعی طی شده تعریف کرد.

بیان غیررسمی [ ویرایش ]

در یک فضای دو و سه بعدی، ابهام در گرفتن انتگرال بین دو نقطه وجود دارد، زیرا بین دو نقطه مسیرهای بی نهایت زیادی وجود دارد - به غیر از خط مستقیم تشکیل شده بین دو نقطه، می توان یک مسیر منحنی را انتخاب کرد. طول بیشتر همانطور که در شکل نشان داده شده است. بنابراین به طور کلی مقدار انتگرال به مسیر طی شده بستگی دارد. با این حال، در مورد خاص یک میدان برداری پایستار، مقدار انتگرال مستقل از مسیر طی شده است، که می توان آن را به عنوان یک لغو در مقیاس بزرگ از همه عناصر در نظر گرفت. $d{R}$ که در امتداد خط مستقیم بین دو نقطه جزء ندارند. برای تجسم این موضوع، دو نفر را در حال بالا رفتن از یک صخره تصور کنید. یکی تصمیم می گیرد تا صخره را با بالا رفتن عمودی از آن بالا برود و دومی تصمیم می گیرد در امتداد مسیری پرپیچ و خم قدم بزند که طول آن بیشتر از ارتفاع صخره است، اما فقط با زاویه کمی نسبت به افقی. اگرچه این دو کوهنورد مسیرهای مختلفی را برای رسیدن به بالای صخره طی کرده‌اند، اما در بالای آن، هر دو به یک اندازه انرژی پتانسیل گرانشی به دست آورده‌اند. این به این دلیل است که یک میدان گرانشی پایستار است.

تصویری از دو مسیر ممکن برای انتگرال. در سبز ساده ترین مسیر ممکن است. آبی منحنی پیچیده تری را نشان می دهد

توضیح بصری [ ویرایش ]

چاپ سنگی MC Escher Ascending and Descending یک میدان برداری غیر پایستار را نشان می دهد که به طور غیرممکن به نظر می رسد شیب ارتفاع متغیر از سطح زمین (پتانسیل گرانشی) در هنگام حرکت در امتداد راه پله باشد. میدان نیروی تجربه شده توسط فردی که روی پله حرکت می کند غیر پایستار است، زیرا می توان در حالی که بیش از یک فرود می رود یا برعکس، به نقطه شروع بازگشت و در نتیجه کار غیر صفر توسط گرانش انجام می شود. در یک راه پله واقعی، ارتفاع بالای سطح زمین یک میدان پتانسیل اسکالر است: برای بازگشت به همان مکان باید دقیقاً به همان اندازه که به سمت پایین می رود به سمت بالا رفت، در این صورت کار توسط گرانش به صفر می رسد. این حاکی از مستقل مسیر کار انجام شده در راه پله است. به طور معادل، میدان نیروی تجربه شده پایستار است (به بخش بعدی مراجعه کنید: مستقل مسیر و میدان برداری پایستار). وضعیت نشان داده شده در چاپ غیرممکن است.

تعریف [ ویرایش ]

یک میدان برداری $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}$ ، جایی که $U$ یک زیر مجموعه باز از $\mathbb {R} ^{n}$ ، گفته می شود پایستار است اگر و فقط اگر وجود داشته باشد $ج^{1}$ میدان اسکالر ( به طور پیوسته مشتق پذیر ). $\varphi$ [3] در $U$ به طوری که

$\mathbf {v} =\nabla \varphi .$

اینجا، $\nabla \varphi$ نشان دهنده گرادیان است $\varphi$ . از آنجا که $\varphi$ به طور مداوم مشتق پذیر است، $\mathbf {v}$ پیوسته است. وقتی معادله بالا برقرار است، $\varphi$ پتانسیل اسکالر برای $\mathbf {v}$ نامیده می شود.

قضیه اساسی حساب برداری بیان می کند که هر میدان برداری را می توان به صورت مجموع یک میدان برداری پایستار و یک میدان سلونوئیدی بیان کرد .

مستقل مسیر و میدان برداری پایستار [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه گرادیان

مستقل مسیر [ ویرایش ]

انتگرال خطی از یک میدان برداری $\mathbf {v}$ اگر تنها به دو نقطه پایانی مسیر انتگرال بستگی داشته باشد، بدون توجه به اینکه کدام مسیر بین آنها انتخاب شده است، گفته می شود که مستقل از مسیر است: [4]

$\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r}$

برای هر جفت مسیر انتگرال و $P_{2}$ بین یک جفت مشخص از نقاط پایانی مسیر در $U$ .

مستقل مسیر نیز به صورت معادل بیان می شود

$\int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0$ برای هر مسیر بسته به صورت تکه ای صافپ $P_{c}$ جکه در $U$ جایی که دو نقطه پایانی بر هم منطبق هستند. دو عبارت از هر مسیر بسته ای معادل هستندپج $P_{c}$ می توان با دو مسیر ساخته شد. $P_{1}$ از یک نقطه پایا $آ$ به نقطه پایانی دیگر $ب$ ، و $P_{2}$ از جانب $ب$ به $آ$ ، بنابراین

$\int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} +\ int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} -\int _{- P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0$ جایی که- $-P_{2}$ برعکس است $P_{2}$ و آخرین برابری به دلیل مسیر مستقل برقرار است. ${\textstyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} . }$

میدان برداری پایستار [ ویرایش ]

ویژگی کلیدی یک میدان برداری پایستار $\mathbf {v}$ این است که انتگرال آن در طول یک مسیر فقط به نقاط انتهایی آن مسیر بستگی دارد، نه مسیر خاصی که طی شده است. به عبارت دیگر، اگر یک میدان برداری پایستار باشد، انتگرال خط آن مستقل از مسیر است. فرض کنید که $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ برای برخی $ج^{1}$ میدان اسکالر ( به طور پیوسته مشتق پذیر ). $\varphi$ [3] به پایان رسید $U$ به عنوان یک زیر مجموعه باز از $\mathbb {R} ^{n}$ (بنابراین $\mathbf {v}$ یک میدان برداری پایستار است که پیوسته است) وپ $پ$ یک مسیر متمایز پذیر است (یعنی می توان آن را با یک تابع متمایز پارامتر کرد ) در $U$ با یک نقطه اولیهآ $آ$ و یک نقطه پایانی $ب$ . سپس قضیه گرادیان (که به آن قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال خط نیز گفته می شود ) بیان می کند که

$\int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).$

این به عنوان یک نتیجه از تعریف یک انتگرال خط ، قانون زنجیره ، و دومین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال صدق می کند .⋅د⋅د $\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\nabla {\varphi }\cdot d\mathbf {r}$ در انتگرال خط یک دیفرانسیل دقیق برای یک سیستم مختصات متعامد است (مثلاً مختصات دکارتی ، استوانه‌ای یا کروی ). از آنجایی که قضیه گرادیان برای یک مسیر متمایز قابل استفاده است، مستقل مسیر یک میدان برداری پایستار بر روی منحنی های تکه-دیفرانسیل نیز با اثبات هر جزء منحنی متمایز اثبات می شود. [5]

تا کنون ثابت شده است که یک میدان برداری پایستار است $\mathbf {v}$ مستقل از مسیر انتگرال خط است. برعکس، اگر یک میدان برداری پیوسته $\mathbf {v}$ (انتگرال خط) مستقل از مسیر است، پس یک میدان برداری پایستار است ، بنابراین عبارت دوشرطی زیر صادق است: [4]

برای یک میدان برداری پیوسته $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}$ ، جایی که $U$ یک زیر مجموعه باز از $\mathbb {R} ^{n}$ ، پایستار است اگر و فقط در صورتی که خط آن در امتداد یک مسیر در داخل باشد $U$ مستقل از مسیر است، به این معنی که انتگرال خط فقط به هر دو نقطه پایانی مسیر بستگی دارد، صرف نظر از اینکه کدام مسیر بین آنها انتخاب شده است.

اثبات این گزاره معکوس به شرح زیر است.

از مسیرهای انتگرال خطی برای اثبات عبارت زیر استفاده می شود: اگر انتگرال خط یک میدان برداری مستقل از مسیر باشد، آنگاه میدان برداری یک میدان برداری پایستار است.

$\mathbf {v}$ یک میدان برداری پیوسته است که انتگرال خطی آن مستقل از مسیر است. سپس، بیایید یک تابع بسازیم $\varphi$ که تعریف میشود

$\varphi (x,y)=\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }$ در یک مسیر دلخواه بین یک نقطه شروع انتخاب شده $(الف، ب)$ و یک نکته دلخواه $(x,y)$ . از آنجایی که مستقل از مسیر است، فقط به آن بستگی دارد $(الف، ب)$ و $(x,y)$ صرف نظر از اینکه کدام مسیر بین این نقاط انتخاب شده است.

بیایید مسیر نشان داده شده در سمت چپ شکل سمت راست را انتخاب کنیم که در آن از یک سیستم مختصات دکارتی 2 بعدی استفاده شده است. بخش دوم این مسیر به موازات آن است $ایکس$ محور بنابراین هیچ تغییری در امتداد وجود ندارد $y$ محور. انتگرال خط در طول این مسیر است

$\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\int _{a,b}^{x_{1},y} \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }.$ با مستقل مسیر، مشتق جزئی آن نسبت به $ایکس$ (برای $\varphi$ داشتن مشتقات جزئی، $\mathbf {v}$ باید پیوسته باشد.) است

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v } \cdot d{\mathbf {r} }={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d {\mathbf {r} }+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf { r} }=0+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }$ از آنجا که $x_{1}$ و $ایکس$ مستقل از یکدیگر هستند. بیان کنیم $\mathbf {v}$ مانند ${\displaystyle \mathbf {v} }=P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j}$ جایی که $\mathbf{i}$ و $\mathbf {j}$ بردار واحد در امتداد هستند $ایکس$ و $y$ محورها به ترتیب، پس از آن $d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j}$ ،

${\frac {\partial }{\partial x}}\varphi (x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{ x,y}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}P( t,y)dt=P(x,y)$ که در آن آخرین برابری از دومین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال است .

یک رویکرد مشابه برای مسیر انتگرال خط نشان داده شده در سمت راست شکل سمت راست به نتیجه می رسد ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}$ بنابراین

$\mathbf {v} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} =\nabla \varphi$ برای سیستم مختصات دکارتی دو بعدی ثابت شده است . این روش اثبات را می توان به سادگی به یک سیستم مختصات متعامد با ابعاد بالاتر (به عنوان مثال، یک سیستم مختصات کروی 3 بعدی ) گسترش داد تا گزاره معکوس ثابت شود. دلیل دیگری در اینجا به عنوان عکس قضیه گرادیان یافت می شود.

میدانهای برداری غیر پیچشی [ ویرایش ]

میدان برداری فوق $\mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{ 2}}}،0\راست)$ تعریف شده در $U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}$ ، $\mathbb{R} ^{3}$ با حذف تمام مختصات روی $z$ محور (بنابراین نه یک فضای ساده متصل)، دارای پیچش صفر است $U$ و بنابراین غیر پیچشی است. اما پایستار نیست و مستقل مسیر ندارد.

اجازه دهید $n = 3$ (فضای سه بعدی)، و اجازه دهید: $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}$ یک باشد $ج^{1}$ میدان برداری ( به طور پیوسته مشتق پذیر )، با یک زیر مجموعه باز $U$ از $\mathbb {R} ^{n}$ . سپس $\mathbf {v}$ غیر پیچشی نامیده می شود اگر و تنها در صورتی که حلقه آن باشد0 $\mathbf {0}$ همه جا در $U$ ، یعنی اگر

$\nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .$

به همین دلیل، گاهی اوقات به چنین میدانهای برداری به عنوان میدانهای برداری بدون کرل یا میدانهای برداری بدون پیچش گفته می شود . به آنها میدان های برداری طولی نیز می گویند .

این یک اتحاد از حساب برداری است که برای هرسی2 $C^{2}$ میدان اسکالر ( به طور پیوسته تا مشتق دوم مشتق پذیر است ). $\varphi$ بر $U$ ، ما داریم

$\nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .$

بنابراین، هر $ج^{1}$ میدان برداری پایستار در $U$ همچنین یک میدان برداری غیر پیچشی در است $U$ . این نتیجه را می توان به راحتی با بیان اثبات کرد $\nabla \times (\nabla \varphi )$ در یک سیستم مختصات دکارتی با قضیه شوارتز (همچنین قضیه Clairaut در مورد تساوی جزئی های مختلط نیز نامیده می شود).

به شرطی که $U$ یک فضای باز متصل ساده است (به طور کلی، یک فضای باز تک تکه بدون سوراخ در داخل آن)، برعکس این نیز صادق است: هر میدان برداری پیچشی در یک فضای باز متصل به سادگی $U$ هست یک $ج^{1}$ میدان برداری پایستار در $U$ .

عبارت فوق به طور کلی درست نیست اگر $U$ به سادگی متصل نیست اجازه دهید $U$ بودن $\mathbb{R} ^{3}$ با حذف تمام مختصات روی $z$ محور (بنابراین نه یک فضای متصل به سادگی)، به عنوان مثال، $U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}$ . حالا یک میدان برداری تعریف کنید $\mathbf {v}$ بر $U$ توسط

$\mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^ {2}}}،{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}،0\راست).$

سپس $\mathbf {v}$ در همه جا پیچش صفر است $U$ ( $\nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0}$ در همه جا $U$ ) یعنی $\mathbf {v}$ غیر پیچشی است با این حال، گردش از $\mathbf {v}$ اطراف دایره واحد در $xy$ -فضا است2 $2\pi$ ; در مختصات قطبی ، $\mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r$ ، بنابراین انتگرال روی دایره واحد است

$\oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .$

از این رو، $\mathbf {v}$ ویژگی مسیر مستقل که در بالا مورد بحث قرار گرفت را ندارد، بنابراین پایستار نیست حتی اگر $\nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0}$ از آنجا که $U$ جایی که $\mathbf {v}$ تعریف شده است یک فضای باز متصل به سادگی نیست.

دوباره بگویید، در یک منطقه باز متصل به سادگی، یک میدان برداری غیر پیچشی $\mathbf {v}$ دارای ویژگی مسیر-مستقل (بنابراین $\mathbf {v}$ به عنوان پایستار). این را می توان مستقیماً با استفاده از قضیه استوکس ثابت کرد .

$\oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a } =0$ برای هر سطح صاف جهت دار $آ$ که مرز یک مسیر بسته ساده است $P_{c}$ . بنابراین، نتیجه گیری می شود که در یک منطقه باز متصل ساده، هر $ج^{1}$ میدان برداری که دارای ویژگی مسیر-مستقل است (بنابراین یک میدان برداری پایستار است.) نیز باید پیچشی باشد و بالعکس.

انتزاع [ ویرایش ]

به طور انتزاعی تر، در حضور یک یک ریمانی ، میدان های برداری با دیفرانسیل مطابقت دارند. $1$ -تشکیل می دهد . میدانهای بردار پایستار دقیقاً مطابقت دارند $1$ -شکل ها ، یعنی به صورت هایی که مشتق بیرونی هستند $d\phi$ یک تابع (میدان اسکالر) $\phi$ بر $U$ . میدانهای بردار پیچشی مربوط به بسته است $1$ -فرم ها ، یعنی به تشکیل می دهد $\ امگا$ به طوری که $d\omega =0$ . مانند $d^2 = 0$ ، هر شکل دقیقی بسته است، بنابراین هر میدان برداری پایستار غیر پیچشی است. برعکس، همه بسته است $1$ -فرم ها دقیق هستند اگر $U$ به سادگی متصل است .

گرداب [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گرداب

گرداب ${\boldsymbol {\omega }}$ یک میدان برداری را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

${\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v}.$

گردابی میدان بی پیچشی در همه جا صفر است. [6] قضیه گردش کلوین بیان می کند که سیالی که در یک جریان نامرغوب غیر پیچشی است ، غیر پیچشی باقی می ماند. این نتیجه را می توان از معادله انتقال گردابی که با گرفتن حلقه معادلات ناویر-استوکس به دست می آید، به دست آورد .

برای یک میدان دو بعدی، گردابه به عنوان معیاری از چرخش محلی عناصر سیال عمل می کند. توجه داشته باشید که گردابه چیزی در مورد رفتار جهانی یک سیال دلالت نمی کند. ممکن است سیالی که در یک خط مستقیم حرکت می کند گردابی داشته باشد و سیالی که در دایره حرکت می کند غیر پیچشی باشد.

نیروهای پایستار [ ویرایش ]

نمونه هایی از زمینه های بالقوه و گرادیان در فیزیک:

میدان های اسکالر، پتانسیل های اسکالر:
- V G ، پتانسیل گرانشی
- W ، انرژی پتانسیل (گرانشی یا الکترواستاتیکی).
- V C ، پتانسیل کولن
میدانهای برداری، میدانهای گرادیان:
- a G ، شتاب گرانشی
- F ، نیروی گرانشی یا الکترواستاتیکی
- E ، قدرت میدان الکتریکی

اگر میدان برداری مربوط به یک نیرو باشد $\mathbf {F}$ پایستار است، پس گفته می شود نیرو یک نیروی پایستار است .

برجسته ترین نمونه های نیروهای پایستار نیروی گرانشی و نیروی الکتریکی مرتبط با میدان الکترواستاتیک است. طبق قانون گرانش نیوتن ، یک نیروی گرانشی $\mathbf {F} _{G}$ بر روی یک توده عمل می کند $متر$ به دلیل یک توده $م$ واقع در فاصله $r$ از جانب $متر$ ، از معادله تبعیت می کند

$\mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}،$

جایی که $جی$ ثابت گرانشی است و ${\hat {\mathbf {r} }}$ یک بردار واحد که از $م$ به سمت $متر$ است . نیروی گرانش پایستار است زیرا $\mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}$ ، جایی کهΦ

$\Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}$

انرژی پتانسیل گرانشی است . به عبارت دیگر میدان گرانش مرتبط با نیروی گرانش $\mathbf {F} _{G}$ گرادیان پتانسیل گرانشی استΦ ${\frac {\Phi _{G}}{m}}$ مرتبط با انرژی پتانسیل گرانشی $\Phi_{G}$ . می توان نشان داد که هر میدان برداری از فرم $\mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}$ پایستار است، مشروط بر اینکه $F(r)$ انتگرال پذیر است.

برای نیروهای پایستار ، مستقل مسیر را می توان به این معنا تفسیر کرد که کار انجام شده در حرکت از یک نقطه انجام شده است $آ$ به یک نقطه $ب$ مستقل از مسیر متحرک انتخاب شده است (فقط به نقاط بستگی دارد $آ$ و $ب$ ) و این کار $دبلیو$ در اطراف یک حلقه بسته ساده انجام می شود $سی$ است0 $0$ :

$W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.$

انرژی کل ذره ای که تحت تأثیر نیروهای پایستار حرکت می کند، حفظ می شود، به این معنا که از دست دادن انرژی پتانسیل به مقدار برابر انرژی جنبشی تبدیل می شود یا برعکس.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

میدان برداری بلترامی
نیروی پایستار
سیستم پایستار
میدان برداری لایه ای پیچیده
تجزیه هلمهولتز
میدان برداری لاپلاسی
میدان های برداری طولی و عرضی
میدان برداری شیر برقی

منابع [ ویرایش ]

^ مارسدن، جرولد ؛ ترومبا، آنتونی (2003). حساب برداری (ویرایش پنجم). WHFreedman و شرکت. صص 550-561.
↑ جرج بی آرفکن و هانس جی وبر، روش‌های ریاضی برای فیزیکدانان ، ویرایش ششم، انتشارات آکادمیک الزویر (2005)
^پرش به بالا:a b برای $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ مستقل بودن از مسیر ، $\varphi$ لزوماً به طور پیوسته مشتق پذیر نیست، شرط متمایز بودن کافی است، زیرا قضیه گرادیان ، مستقل مسیر را ثابت می کند.∇ $\nabla \varphi$ ، الزامی نیست $\varphi$ به طور مداوم مشتق پذیر باشد. باید دلیلی برای تعریف میدانهای برداری پایستار وجود داشته باشد $\varphi$ پیوسته مشتق پذیر بودن .
^پرش به بالا:a ب ، جیمز (2015)"16.3 قضیه اساسی انتگرال های خط"". حساب دیفرانسیل و انتگرال (ویرایش هشتم). Cengage Learning. صفحات 1127–1134. ISBN 978-1-285-74062-1.
^ باید بررسی شود که آیا دیفرانسیل های دقیق برای سیستم های مختصات غیر متعامد نیز وجود دارد یا خیر.
^ لیپمن، HW ; روشکو، ا. (1993) [1957]، عناصر دینامیک گاز ، انتشارات پیک دوور، شابک 0-486-41963-0، صص 194-196.

ادامه مطلب [ ویرایش ]

آچسون، دی جی (1990). دینامیک سیالات ابتدایی . انتشارات دانشگاه آکسفورد. شابک 0198596790.

https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_vector_field

+ نوشته شده در پنجشنبه هفتم دی ۱۴۰۲ ساعت 9:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کاربرد و توضیح قضیه واگرایی

در حساب بردار ، قضیه واگرایی ، که به عنوان قضیه گاوس یا قضیه اوستروگرادسکی نیز شناخته می‌شود ، [1] قضیه‌ای است که شار یک میدان برداری را از یک سطح بسته به واگرایی میدان در حجم محصور مرتبط می‌کند.

به‌طور دقیق‌تر، قضیه واگرایی بیان می‌کند که انتگرال سطحی یک میدان برداری روی یک سطح بسته، که به آن «شار» در سطح می‌گویند، برابر است با انتگرال حجمی واگرایی در ناحیه داخل سطح. به طور شهودی بیان می‌کند که "مجموع همه منابع میدان در یک منطقه (با سینک‌هایی که به عنوان منابع منفی در نظر گرفته می‌شوند) شار خالص خارج از منطقه را می‌دهد.

قضیه واگرایی یک نتیجه مهم برای ریاضیات فیزیک و مهندسی است ، به ویژه در الکترواستاتیک و دینامیک سیالات . در این زمینه ها معمولا به صورت سه بعدی اعمال می شود. با این حال، به هر تعدادی از ابعاد تعمیم می یابد . در یک بعد، معادل یکپارچه سازی توسط قطعات است . در دو بعد، معادل قضیه گرین است .

توضیح با استفاده از جریان مایع [ ویرایش ]

میدان های برداری اغلب با استفاده از مثال میدان سرعت یک سیال ، مانند گاز یا مایع، نشان داده می شوند. یک مایع متحرک در هر نقطه دارای یک سرعت - یک سرعت و یک جهت - است که می تواند با یک بردار نمایش داده شود ، به طوری که سرعت مایع در هر لحظه یک میدان برداری را تشکیل می دهد. یک سطح بسته فرضی S را در داخل یک جسم مایع در نظر بگیرید که حجمی از مایع را در بر گرفته است. شار مایع از حجم در هر زمان برابر است با سرعت حجمی سیال که از این سطح عبور می کند، یعنی انتگرال سطح سرعت روی سطح.

از آنجایی که مایعات تراکم ناپذیر هستند، مقدار مایع داخل یک حجم بسته ثابت است. اگر هیچ منبع یا سینک در داخل حجم وجود نداشته باشد، شار مایع به خارج از S صفر است. اگر مایع در حال حرکت باشد، ممکن است در برخی از نقاط سطح S به حجم جریان یابد و در نقاط دیگر از حجم خارج شود، اما مقادیری که در هر لحظه به داخل و خارج می‌شوند برابر هستند، بنابراین شار خالص مایع از حجم صفر است

با این حال اگر یک منبع مایع در داخل سطح بسته باشد، مانند لوله ای که از طریق آن مایع وارد می شود، مایع اضافی بر مایع اطراف فشار وارد می کند و باعث ایجاد جریان به بیرون در همه جهات می شود. این باعث یک جریان خالص به بیرون از طریق سطح S می شود . شار به سمت خارج از طریق S برابر است با سرعت حجمی جریان سیال به S از لوله. به طور مشابه اگر یک سینک یا زهکشی در داخل S وجود داشته باشد ، مانند لوله ای که مایع را تخلیه می کند، فشار خارجی مایع باعث ایجاد سرعت در سراسر مایع به سمت داخل به سمت محل تخلیه می شود. سرعت حجم جریان مایع به سمت داخل از طریق سطح S برابر است با سرعت مایع خارج شده توسط سینک.

اگر چندین منبع و سینک مایع در داخل S وجود داشته باشد، شار از طریق سطح را می توان با جمع کردن میزان حجم مایع اضافه شده توسط منابع و کم کردن سرعت تخلیه مایع توسط سینک ها محاسبه کرد. سرعت حجم جریان مایع از طریق یک منبع یا سینک (با علامت منفی جریان از طریق سینک) برابر با واگرایی میدان سرعت در دهانه لوله است، بنابراین واگرایی مایع را در سرتاسر جمع می کنیم. حجم محصور شده توسط S برابر است با سرعت حجمی شار از طریق S. این قضیه واگرایی است. [2]

قضیه واگرایی در هر قانون حفاظتی به کار می رود که بیان می کند که حجم کل تمام سینک ها و منابع، یعنی انتگرال حجمی واگرایی، برابر با جریان خالص در سراسر مرز حجم است. [3]

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۲ ساعت 11:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

میدان های الکترومغناطیس از نقطه نظر ارزش مرزی

5.0 مقدمه
5.1 راه حل های خاص و همگن معادلات پواسون و لاپلاس
5.2 منحصر به فرد بودن راه حل های معادله پواسون
5.3 شرایط تداوم
5.4 راه حل های معادله لاپلاس در مختصات دکارتی
5.5 گسترش مدال برای ارضای شرایط مرزی
5.6 راه حل های معادله پواسون با شرایط مرزی
5.7 راه حل های معادله لاپلاس در مختصات قطبی
5.8 مثال در مختصات قطبی
5.9 سه راه حل برای معادله لاپلاس در مختصات کروی
5.10 راه حل های سه بعدی معادله لاپلاس
5.11 خلاصه
منابع

5.0
مقدمه

قوانین الکتروکوازیستاتیک در فصل مورد بحث قرار گرفتند. 4. شدت میدان الکتریکی E غیر چرخشی است و با گرادیان منفی پتانسیل الکتریکی نشان داده می شود.

اگر پتانسیل الکتریکی با چگالی بار توسط معادله پواسون مرتبط باشد ، قانون گاوس برآورده می شود.

در مناطق بدون بار فضا، از معادله لاپلاس، (2)، با = 0 تبعیت می کند .

قسمت آخر فصل. 4 به یک رویکرد "فرصت طلبانه" برای یافتن راه حل های ارزش مرزی اختصاص داده شد. یک استثنا طرح عددی شرح داده شده در Sec. 4.8 که منجر به حل یک مسئله ارزش مرزی با استفاده از رویکرد منبع-برهم‌بندی شد. در این فصل، حمله مستقیم تری به حل مسائل مقدار مرزی بدون توسل به روش های عددی انجام می شود. این یکی از مواردی است که نه تنها به عنوان اثرات قطبش و هدایت به قوانین EQS، بلکه در برخورد با سیستم های MQS نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

بار دیگر، برای کسانی که با توصیف دینامیک مدار خطی بر حسب معادلات دیفرانسیل معمولی آشنا هستند، تشبیهی مفید وجود دارد. با زمان به عنوان متغیر مستقل، پاسخ به درایوی که با t = 0 روشن می شود را می توان به دو روش تعیین کرد. اولی پاسخ را به عنوان برهم نهی پاسخ های ضربه ای نشان می دهد. انتگرال پیچیدگی به دست آمده نشان دهنده پاسخ برای تمام زمان ها، قبل و بعد از t = 0 و حتی زمانی که t = 0 است . این مشابه دیدگاهی است که در بخش اول فصل گرفته شده است. 4.

رویکرد دوم تاریخچه دینامیک را قبل از زمانی که t = 0 بر حسب شرایط اولیه نشان می دهد. با درک این که علاقه به زمان‌های بعد از t = 0 محدود می‌شود ، سپس پاسخ به بخش‌های «خاص» و «همگن» تقسیم می‌شود. راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل که مدار را نشان می دهد منحصر به فرد نیست، اما تضمین می کند که در هر لحظه در محدوده زمانی مورد نظر، معادله دیفرانسیل برآورده می شود. این راه حل خاص نیازی به ارضای شرایط اولیه ندارد. در این فصل، "درایو" چگالی بار است، و پاسخ پتانسیل خاص تضمین می کند که معادله پواسون، (2)، در همه جا در منطقه فضایی مورد نظر برآورده می شود.

در مدار آنالوگ از محلول همگن برای برآوردن شرایط اولیه استفاده می شود. در مسئله میدانی، از راه حل همگن برای برآوردن شرایط مرزی استفاده می شود. در یک مدار، راه حل همگن را می توان به عنوان پاسخ به درایوهایی در نظر گرفت که قبل از زمانی که t = 0 (خارج از محدوده زمانی مورد نظر) رخ داده اند. در تعیین توزیع پتانسیل، پاسخ همگن با معادله لاپلاس، (2) با = 0 پیش‌بینی می‌شود و می‌توان آن را ناشی از بارهای ساختگی خارج از منطقه مورد نظر یا ناشی از بارهای سطحی ناشی از آن دانست. در مرزها

توسعه این ایده ها در Secs. 5.1-5.3 مستقل است و به آشنایی با نظریه مدار بستگی ندارد. با این حال، برای کسانی که با حل معادلات دیفرانسیل معمولی آشنا هستند، دیدن این که رویکردهایی که در اینجا برای برخورد با معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود، بسط طبیعی آنهایی هستند که برای معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده می شوند، رضایت بخش است.

اگرچه اغلب می‌توان آن را ساده‌تر با روش‌های دیگر پیدا کرد، اما یک راه‌حل خاص همیشه از انتگرال برهم نهی ناشی می‌شود. بنابراین، هدف اصلی این فصل به سمت تعیین راه‌حل‌های همگن، یافتن راه‌حل‌هایی برای معادله لاپلاس است. بسیاری از پیکربندی های عملی دارای مرزهایی هستند که با تنظیم یکی از متغیرهای مختصات در یک سیستم مختصات سه بعدی برابر با یک ثابت توصیف می شوند. به عنوان مثال، جعبه ای با مقطع مستطیلی دارای دیوارهایی است که با تنظیم یک مختصات دکارتی برابر با یک ثابت برای توصیف مرز توصیف می شود. به طور مشابه، مرزهای یک استوانه دایره ای به طور طبیعی در مختصات استوانه ای توصیف می شود. بنابراین، علاقه زیادی به داشتن راه‌حل‌هایی برای معادله لاپلاس وجود دارد که به طور طبیعی با این پیکربندی‌ها «مطابق» می‌شوند. با مثال‌های زیادی که در بحث در هم تنیده شده‌اند، بیشتر این فصل به فهرست‌نویسی این راه‌حل‌ها اختصاص دارد. نتایج در این فصل برای توصیف فیلدهای EQS در فضای آزاد استفاده می شود. با این حال، از آنجایی که اثرات قطبش و رسانش به حوزه EQS اضافه می‌شود، و از آنجایی که سیستم‌های MQS با مغناطیس و هدایت در نظر گرفته می‌شوند، راه‌حل‌های همگن معادله لاپلاس که در این فصل ایجاد شده است، یک منبع مستمر خواهد بود.

مروری بر فصل. 4 راه حل های زیادی را برای معادله لاپلاس مشخص می کند. تا زمانی که منبع میدان خارج از ناحیه مورد نظر باشد، پتانسیل حاصل از معادله لاپلاس تبعیت می کند. تفاوت راه حل های ارائه شده در این فصل چیست؟ یک اشاره از روش عددی استفاده شده در Sec. 4.8 برای ارضای شرایط مرزی دلخواه. در آنجا، برهم نهی راه حل های N به معادله لاپلاس برای برآوردن شرایط در N نقطه روی مرزها استفاده شد. متأسفانه، برای تعیین دامنه این N راه حل، N معادله باید برای N مجهول حل می شد.
راه‌حل‌های معادله لاپلاس که در این فصل یافت می‌شوند نیز می‌توانند به عنوان اصطلاحات در یک سری نامتناهی استفاده شوند که برای برآوردن شرایط مرزی دلخواه ساخته شده‌اند. اما آنچه در مورد اصطلاحات این مجموعه متفاوت است، متعامد بودن آنهاست. این ویژگی راه‌حل‌ها، تعیین صریح دامنه‌های مجزا در سری را ممکن می‌سازد. مفهوم متعامد بودن توابع ممکن است از طریق مواجهه با تحلیل فوریه آشنا باشد. در هر صورت، ایده های اساسی درگیر در بخش معرفی شده اند. 5.5.

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.0.html

+ نوشته شده در یکشنبه دوازدهم آذر ۱۴۰۲ ساعت 10:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-انرژی پتانسیل الکتریکی

انرژی ذخیره شده در عناصر الکترونیکی [ ویرایش ]

انرژی پتانسیل الکتریکی ذخیره شده در خازن U E =1/2CV 2 است

برخی از عناصر در مدار می توانند انرژی را از شکلی به شکل دیگر تبدیل کنند. به عنوان مثال، یک مقاومت انرژی الکتریکی را به گرما تبدیل می کند. این به عنوان اثر ژول شناخته می شود . یک خازن آن را در میدان الکتریکی خود ذخیره می کند. کل انرژی پتانسیل الکترواستاتیکی که در خازن ذخیره می شود با استفاده از

$U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}$ که در آن C ظرفیت ، V اختلاف پتانسیل الکتریکی و Q بار ذخیره شده در خازن است .

طرح کلی اثبات

می توان بارها را به یک خازن با افزایش بی نهایت کوچک جمع کرد، $dq\to 0$ ، به طوری که مقدار کار انجام شده برای جمع آوری هر افزایش در محل نهایی خود را می توان به صورت بیان کرد

$W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.$

کل کار انجام شده برای شارژ کامل خازن در این روش است

$W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={ \frac {Q^{2}}{2C}}.$

جایی که $س$ کل شارژ خازن است. این کار به عنوان انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره می شود، بنابراین،

$W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.$

قابل ذکر است که این عبارت فقط در صورتی معتبر است که $dq\to 0$ که برای سیستم های دارای بار زیاد مانند خازن های بزرگ دارای الکترودهای فلزی قابل استفاده است. برای سیستم های کم شارژ، ماهیت گسسته شارژ مهم است. کل انرژی ذخیره شده در یک خازن چند شارژ می باشد

$U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}$

که با روش مونتاژ بار با استفاده از کوچکترین افزایش بار فیزیکی به دست می آید $\Delta q=e$ جایی که $ه$ واحد ابتدایی شارژ است و $Q = Ne$ جایی که $ن$ تعداد کل شارژهای خازن است.

کل انرژی پتانسیل الکترواستاتیک نیز ممکن است بر حسب میدان الکتریکی در شکل بیان شود

$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV$

جایی که $\mathrm {D}$ میدان جابجایی الکتریکی در یک ماده دی الکتریک است و انتگرال در کل حجم دی الکتریک است.

(یک آزمایش مجازی بر اساس انتقال انرژی بین صفحات خازن نشان می دهد که وقتی انرژی الکترواستاتیکی بر حسب میدان الکتریکی و بردار جابجایی s بیان می شود یک عبارت اضافی باید در نظر گرفته شود [3] .

در حالی که این انرژی اضافی هنگام برخورد با عایق ها از بین می رود، به طور کلی نمی توان آن را نادیده گرفت، مثلاً در مورد نیمه هادی ها.)

کل انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره شده در یک دی الکتریک باردار نیز ممکن است بر حسب بار حجمی پیوسته بیان شود. $\rho$ ،

$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV$ جایی که انتگرال در کل حجم دی الکتریک است.

این دو عبارت اخیر فقط برای مواردی معتبر هستند که کوچکترین افزایش بار صفر باشد ( $dq\to 0$ ) مانند دی الکتریک ها در حضور الکترودهای فلزی یا دی الکتریک های حاوی بارهای زیاد.

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ صفر مرجع معمولاً حالتی در نظر گرفته می شود که در آن بارهای نقطه منفرد به خوبی از هم جدا شده اند ("در جدایی بی نهایت هستند") و در حالت سکون هستند.
↑ ضریب یک نصف «دوبرابر شمارش» جفت‌های شارژ را تشکیل می‌دهد. برای مثال، فقط دو اتهام را در نظر بگیرید.

منابع [ ویرایش ]

↑ الکترومغناطیس (ویرایش دوم)، IS Grant، WR Phillips، Manchester Physics Series، 28 ISBN -471-92712-
^ هالیدی، دیوید؛ رسنیک، رابرت؛ واکر، جرل (1997). "پتانسیل الکتریکی". مبانی فیزیک (ویرایش پنجم). جان وایلی و پسران شابک -471-1559-7.
^ Sallese (216-6-1). "یک جزء جدید انرژی الکترواستاتیک در نیمه هادی ها" . مجله فیزیکی اروپا B. 89 (6): 136. doi : 1.114/epjb/e216-6865-4 . ISSN 1434-636 . S2CID 12731496 .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

رسانه‌های مرتبط با انرژی پتانسیل الکتریکی در ویکی‌انبار

https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy

+ نوشته شده در جمعه دهم آذر ۱۴۰۲ ساعت 7:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-چند جمله ای هرمیت

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد خانواده چند جمله ای های متعامد روی خط حقیقی است. برای درونیابی چند جمله ای در یک قطعه با استفاده از مشتقات، به درونیابی هرمیت مراجعه کنید . برای تبدیل انتگرال چندجمله‌ای هرمیت، تبدیل هرمیت را ببینید .

در ریاضیات ، چند جمله ای های هرمیت یک دنباله چند جمله ای متعامد کلاسیک هستند .

چند جمله ای ها در موارد زیر ایجاد می شوند:

پردازش سیگنال به عنوان موجک هرمیتی برای تحلیل تبدیل موجک
احتمال , مانند سری Edgeworth , و همچنین در ارتباط با حرکت براونی ;
ترکیبات , به عنوان نمونه ای از دنباله Appell , اطاعت از حساب umbral ;
تجزیه و تحلیل عددی به عنوان ربع گوسی ;
فیزیک ، جایی که آنها حالتهای ویژه نوسانگر هارمونیک کوانتومی را ایجاد می کنند . و همچنین در برخی از موارد معادله گرما (هنگامی که عبارتایکستوایکس ${\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}$ حاضر است)؛
نظریه سیستم ها در ارتباط با عملیات غیرخطی روی نویز گاوسی
نظریه ماتریس تصادفی در مجموعه های گاوسی .

چندجمله ای های هرمیت توسط پیر-سیمون لاپلاس در سال 1810 تعریف شد ، [1] [2] هرچند به شکلی به ندرت قابل تشخیص بودند، و در سال 1859 توسط پافنوتی چبیشف به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفتند. ، که در سال 1864 در مورد چند جمله ای ها نوشت و آنها را جدید توصیف کرد. [4] در نتیجه آنها جدید نبودند، اگرچه هرمیت اولین کسی بود که چند جمله ای های چند بعدی را در انتشارات بعدی خود در سال 1865 تعریف کرد.

تعریف [ ویرایش ]

مانند سایر چند جمله ای های متعامد کلاسیک ، چند جمله ای های هرمیت را می توان از چندین نقطه شروع مختلف تعریف کرد. با توجه به اینکه از همان ابتدا دو استاندارد سازی متفاوت در استفاده رایج وجود دارد، یک روش مناسب به شرح زیر است:

" چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا" توسط

${\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n }}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}،$
در حالی که "چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان" توسط

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{- x^{2}}.$

این معادلات فرمول رودریگز را دارند و همچنین می توانند به صورت زیر نوشته شوند:

${\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n} (x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.$

این دو تعریف دقیقاً یکسان نیستند. هر کدام مقیاسی مجدد از دیگری است:

$H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right) ,\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt { 2}}\راست).$

اینها دنباله های چند جمله ای هرمیت با واریانس های مختلف هستند. مطالب مربوط به واریانس های زیر را ببینید.

علامت He و H همان چیزی است که در مراجع استاندارد استفاده می شود. [5] چند جمله ای های He n را گاهی با H n نشان می دهند ، به خصوص در نظریه احتمال، زیرا

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

تابع چگالی احتمال برای توزیع نرمال با مقدار مورد انتظار 0 و انحراف استاندارد 1 است .

شش جمله اول هرمیت احتمال گرا He n ( x )

شش جمله اول هرمیت (فیزیکدان) H n ( x )

یازده چندجمله‌ای هرمیت احتمالی اول عبارتند از:

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{ \mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1،\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x،\ \{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3،\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x ^{5}-10x^{3}+15x،\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15 ,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x،\\{\mathit {He}}_{ 8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105،\\{\mathit {He}}_{9}(x)& =x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x،\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10} -45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{تراز شده}}$
اولین یازده چند جمله ای هرمیت فیزیکدان عبارتند از:

${\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}- 2،\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x،\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12،\\H_{ 5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x،\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}- 120،\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x،\\H_{8}(x)&=256x^{8}- 3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x ^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240. \end{تراز شده}}$

خواص [ ویرایش ]

چند جمله ای مرتبه n هرمیت چند جمله ای درجه n است . نسخه احتمالی He n دارای ضریب پیشرو 1 است، در حالی که نسخه فیزیکدان H n دارای ضریب پیشروی 2 n است .

تقارن [ ویرایش ]

از فرمول های رودریگز داده شده در بالا، می توانیم ببینیم که H n ( x ) و He n ( x ) بسته به n توابع زوج یا فرد هستند :

$H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad {\mathit {He}}_{n}(-x)=(-1) ^{n}{\mathit {He}}_{n}(x).$

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ ساعت 3:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

تبدیلات

الکترومغناطیس کلاسیک

دوبردار فارادی

معادله ماکسول

فرمولاسیون پتانسیل

فرمول لاگرانژی

معادله پائولی

ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]

تفسیر هندسی

خواص

اسکالر یا شبه اسکالر

تراکم اسکالر یا اسکالر

به عنوان یک ضرب بیرونی

به عنوان یک تابع سه خطی

ضرب سه گانه برداری

اثبات

استفاده از جبر هندسی

تفاسیر

حساب تانسور

حساب برداری

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

تاریخچه [ ویرایش ]

جاذبه انیشتین [ ویرایش ]

الکترومغناطیس در نسبیت عام [ ویرایش ]

نمونه های اضافی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

نقل قول ها [ ویرایش ]

الکترومغناطیس و معادلات یانگ میلز [ ویرایش ]

Chern–Simons کاربردی [ ویرایش ]

گینزبورگ–لاندو لاگرانژی [ ویرایش ]

دیراک لاگرانژیان [ ویرایش ]

لاگرانژی الکترودینامیک کوانتومی [ ویرایش ]

لاگرانژی کرومودینامیکی کوانتومی [ ویرایش ]

الکترومغناطیس در نسبیت خاص [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

گرانش نیوتنی [ ویرایش ]

نظریه میدان اسکالر [ ویرایش ]

مدل سیگما لاگرانژی [ ویرایش ]

بررسی اجمالی آموزش

پیش نیازها

لاپلاسی

مفهوم واگرایی

لاپلاسی پیوسته

آیا می خواهید با حساب دیفرانسیل و انتگرال برای یادگیری ماشینی شروع کنید؟

لاپلاسی گسسته

بیشتر خواندن

کتاب ها

مقالات

https://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquationSphericalCoordinates.html

شیب

واگرایی

کرل

لاپلاسین

منابع

https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquationConicalCoordinates.html

ارتباط با مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]

اشتقاق از مکانیک همیلتونی [ ویرایش ]

روابط ویل [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

عدم تغییر سنج [ ویرایش ]

رابطه عدم قطعیت و جابجایی ها [ ویرایش ]

رابطه عدم قطعیت برای عملگرهای تکانه زاویه ای [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

پس زمینه [ ویرایش ]

تعاریف [ ویرایش ]

تعریف کلی [ ویرایش ]

سیستم ODE ها [ ویرایش ]

راه حل ها [ ویرایش ]

راه حل های مدت زمان محدود [ ویرایش ]

نظریه ها [ ویرایش ]

راه حل های مفرد [ ویرایش ]

کاهش به ربع [ ویرایش ]

نظریه فوشیان [ ویرایش ]

نظریه لی [ ویرایش ]

نظریه استورم-لیوویل [ ویرایش ]

وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها [ ویرایش ]