کموتاتور (جابجا گر)

ن مقاله در مورد مفهوم ریاضی است. برای بخش الکتریکی، کموتاتور (الکتریکی) را ببینید . برای رابطه بین موجودات مزدوج متعارف ، به رابطه کموتاسیون متعارف مراجعه کنید . برای کاربردهای دیگر، Commutation را ببینید .

در ریاضیات , جابجایی نشان می دهد که تا چه حد یک عملیات باینری معین از جابجایی ناموفق است . در تئوری گروه و تئوری حلقه از تعاریف مختلفی استفاده می شود .

نظریه گروه

[ ویرایش ]

جابجا گر دو عنصر g و h از گروه G عنصر است

[ g ، h ] = g ^-1 h ^-1 gh .

این عنصر برابر با هویت گروه است اگر و فقط اگر g و h رفت و آمد کنند (یعنی اگر و فقط اگر gh = hg ).

مجموعه تمام کموتاتورهای یک گروه به طور کلی تحت عملیات گروه بسته نیست، اما زیرگروه G تولید شده توسط همه جابجا گر ها بسته است و گروه مشتق شده یا زیرگروه جابجا گر G نامیده می شود . جابجا گرها برای تعریف گروه های nilpotent و قابل حل و بزرگترین گروه ضریب آبلی استفاده می شوند .

از تعریف کموتاتور فوق در سراسر این مقاله استفاده شده است، اما بسیاری از نظریه پردازان گروه، کموتاتور را به این صورت تعریف می کنند.

[ g ، h ] = ghg ^-1 h^ -1 . [ 1 ] [ 2 ]

با استفاده از تعریف اول، این می تواند به صورت [ g^ -1 ، h^ -1 ] بیان شود .

هویت (نظریه گروهی)

[ ویرایش ]

هویت های کموتاتور ابزار مهمی در نظریه گروه هستند . [ 3 ] عبارت a x نشان دهنده مزدوج a با x است که به صورت x -1 ax تعریف شده است .

$x^{y}=x[x,y].$
$[y,x]=[x,y]^{-1}.$
$[x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}$ و $[xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].$
$\left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}$ و $\left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.$
$\left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x \right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1$ و $\left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \چپ[[y ,z],x^{y}\right]=1.$

هویت (5) پس از فیلیپ هال و ارنست ویت به نام هویت هال ویت نیز شناخته می شود . این یک آنالوگ نظری گروهی از هویت ژاکوبی برای کموتاتور نظری حلقه است (به بخش بعدی مراجعه کنید).

NB، تعریف فوق از مزدوج a توسط x توسط برخی از نظریه پردازان گروه استفاده می شود. [ 4 ] بسیاری از نظریه پردازان گروه دیگر مزدوج a توسط x را به عنوان xax -1 تعریف می کنند . [ 5 ] این اغلب نوشته می شودxالف ${}^{x}a$ . هویت های مشابهی برای این کنوانسیون ها وجود دارد.

بسیاری از هویت ها که زیرگروه های خاصی مدول واقعی هستند نیز استفاده می شوند. اینها می توانند به ویژه در مطالعه گروه های قابل حل و گروه های nilpotent مفید باشند . به عنوان مثال، در هر گروهی، توان های دوم به خوبی رفتار می کنند:

$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].$

اگر زیر گروه مشتق شده مرکزی باشد، پس

$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.$

نظریه حلقه

[ ویرایش ]

حلقه ها اغلب از تقسیم پشتیبانی نمی کنند. بنابراین، جابجا گردو عنصر a و b از یک حلقه (یا هر جبر انجمنی ) به طور متفاوت با

$[a,b]=ab-ba.$

کموتاتور صفر است اگر و فقط اگر a و b جابجا شوند. در جبر خطی ، اگر دو شکل درونی یک فضا با ماتریس های رفت و آمد بر حسب یک مبنا نشان داده شوند، آنگاه بر حسب هر مبنا به این شکل نمایش داده می شوند. با استفاده از کموتاتور به عنوان یک براکت لی ، هر جبر انجمنی را می توان به جبر لی تبدیل کرد .

ضد جابجا گر دو عنصر a و b یک حلقه یا جبر انجمنی با تعریف می شود

$\{a,b\}=ab+ba.$

گاهی اوقات

$[a,b]_{+}$ برای نشان دادن anticommutator، در حالی که استفاده می شود

$[a,b]_{-}$ سپس برای جابجا گراستفاده می شود. [ 6 ] ضد جابجا گرکمتر مورد استفاده قرار می گیرد، اما می توان از آن برای تعریف جبرهای کلیفورد و جبر جردن و در استخراج معادله دیراک در فیزیک ذرات استفاده کرد .

جابجا گردو عملگر که در فضای هیلبرت عمل می‌کنند ، یک مفهوم مرکزی در مکانیک کوانتومی است ، زیرا نشان می‌دهد که چقدر دو قابل مشاهده توصیف‌شده توسط این عملگرها می‌توانند به طور همزمان اندازه‌گیری شوند. اصل عدم قطعیت به موجب رابطه رابرتسون- شرودینگر در نهایت یک قضیه در مورد چنین تغییردهنده‌هایی است . [ 7 ] در فضای فاز ، جابجا گرهای معادل ضربهای ستاره تابعی براکت‌های مویال نامیده می‌شوند و کاملاً با ساختارهای کموتاتور فضایی هیلبرت که ذکر شد هم‌شکل هستند.

هویت (نظریه حلقه)

[ ویرایش ]

کموتاتور دارای ویژگی های زیر است:

هویت های لی-جبر

[ ویرایش ]

$[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$
$[A,A]=0$
$[A,B]=-[B,A]$
$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

رابطه (3) ضد جابجا گر نامیده می شود ، در حالی که (4) هویت ژاکوبی است .

هویت های اضافی

[ ویرایش ]

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$
$[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$
$[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B, D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
$[[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C, D],A],B]+[[[D,A],B],C]$

اگر A یک عنصر ثابت از یک حلقه R باشد ، هویت (1) را می توان به عنوان یک قانون لایب نیتس برای نقشه تفسیر کرد.

$\operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R$ داده شده توسط

$\operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]$ .

به عبارت دیگر، نقشه آگهی A یک مشتق بر روی حلقه R تعریف می کند . هویت های (2)، (3) قوانین لایب نیتس را برای بیش از دو عامل نشان می دهند و برای هر اشتقاقی معتبر هستند. هویت های (4) - (6) را می توان به عنوان قوانین لایب نیتس نیز تفسیر کرد. هویت های (7)، (8) Z - دوخطی بودن را بیان می کنند .

از هویت (9)، می توان دریافت که جابجایی قدرت های عدد صحیح عناصر حلقه عبارت است از:

$[A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}$

برخی از هویت‌های فوق را می‌توان با استفاده از نماد ± زیرمجموعه بالا به آنتی‌کموتاتور تعمیم داد. [ 8 ] به عنوان مثال:

$[AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B$
$[AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[ A,D]_{\pm }B$
$[[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+} ,A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[A,C]_{+},B]_{+ },D]$
$\left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B ]_{\pm }\right]=0$
$[A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}$
$[A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }$

هویت های نمایی

[ ویرایش ]

حلقه یا جبری را در نظر بگیرید که در آن نمایی است هالف=انقضا⁡(الف)=1+الف+12!الف2+⋯ $e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ را می توان به طور معناداری تعریف کرد، مانند جبر Banach یا حلقه ای از سری های قدرت رسمی .

در چنین حلقه‌ای، لم هادامارد که برای کموتاتورهای تودرتو اعمال می‌شود، به دست می‌دهد:

${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1 {3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$ (برای آخرین عبارت، مشتق الحاقی را در زیر ببینید.) این فرمول زیربنای بسط Baker–Campbell–Hausdorff از log(exp( A ) exp( B )) است.

یک بسط مشابه، تغییردهنده گروهی عبارات را بیان می کند $e^{A}$ (مشابه عناصر گروه لی ) از نظر یک سری جابجا گر تو در تو (براکت های لی)،

${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}} [A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right )$

حلقه ها و جبرهای درجه بندی شده

[ ویرایش ]

هنگامی که با جبرهای درجه بندی شده سروکار داریم ، کموتاتور معمولا با جابجایی درجه بندی شده جایگزین می شود که در اجزای همگن به صورت تعریف می شود.

$[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .$

اشتقاق الحاقی

[ ویرایش ]

به خصوص اگر یکی با چند جابجا گر در یک حلقه R سر و کار داشته باشد ، نماد دیگری مفید خواهد بود. برای یک عنصر $x\in R$ ، نگاشت الحاقی را تعریف می کنیم $\mathrm {ad} _{x}:R\to R$ توسط:

$\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.$

این نگاشت یک مشتق بر روی حلقه R است :

$\mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).$

با هویت ژاکوبی ، آن نیز اشتقاقی بر عملیات کموتاسیون است:

$\mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} } _{x}\!(z)].$

به عنوان مثال، با نوشتن چنین نگاشت هایی، به دست می آوریم

$\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]$ و

$\operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z) )\ =\ [x،[x،z]\،].$ ممکن است در نظر بگیریمالفد $\mathrm {ad}$ خود به عنوان یک نقشه برداری،

$\mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)$ ، که

$\mathrm {End} (R)$ حلقه ای از نگاشت از R به خود با ترکیب به عنوان عملیات ضرب است. سپسالفد $\mathrm {ad}$ یک هممورفیسم جبر دروغ است که تغییر دهنده را حفظ می کند:

$\operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].$

در مقابل، همیشه هممورفیسم حلقه نیست : معمولا $\operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}$ .

قانون مولد لایب نیتس

[ ویرایش ]

قانون کلی لایب نیتس ، که مشتقات مکرر یک محصول را بسط می دهد، می تواند به صورت انتزاعی با استفاده از نمایش الحاقی نوشته شود:

$x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y) \,x^{nk}.$

جایگزین کردن $x$ توسط عملگر تمایز∂ $\جزئی$ ، وy $y$ توسط عملگر ضرب $m_{f}:g\mapsto fg$ ، دریافت می کنیم $\operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}$ و با اعمال هر دو طرف برای تابع g ، هویت به قانون معمول لایب نیتس برای مشتق n تبدیل می شود. $\partial ^{n}\!(fg)$ .

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator

+ نوشته شده در جمعه نهم آذر ۱۴۰۳ ساعت 8:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

دعوت به رمزگذاری

مشکلات

در ادبیات مدرن رمزنگاری - برای نشان دادن مشکلات و روش‌های اساسی - دو شخصیت ساختگی به نام‌های آلیس و باب معرفی شده‌اند که اکنون به‌طور سنتی به قهرمان‌های کنش تبدیل شده‌اند. منشأ آنها به وضوح به دلیل شخصیت سازی حروف A و B است که در زبان رسمی محققان استفاده می شود. این واقعیت که دو نماد به شخصیت‌هایی تبدیل شده‌اند که اکنون متون چهره‌ای به آن‌ها اختصاص می‌دهند - و با مقداری بی‌شرمانه، حتی یک شخصیت، هرچند جنینی، شاید فراتر از بازی، به این معنی باشد که این ماده خود را به یک کاربرد فوری وامی دارد. و زمینه‌ای را می‌طلبد که در آن مدعیان یا گهگاهی متحدان یک مسابقه را بتوان مستقیماً و نه به طور انتزاعی شناخت.
به عنوان مثال: آلیس و باب یک بحث دارند و تمام دارایی های مشترک را تقسیم می کنند. برای برخی از اشیا انتخاب آسان است، در حالی که برای برخی دیگر یک قرعه کشی لازم است تا تصمیم بگیرد که آن را به چه کسی اختصاص دهد. اما این دو قصد ملاقات ندارند (یا اکنون کیلومترها از هم فاصله دارند) و می خواهند قرعه کشی را از طریق تلفن انجام دهند. کدام یک از این دو به اندازه کافی سخاوتمند - و قابل اعتماد - خواهد بود که به دیگری اجازه دهد سکه کلاسیک را برگرداند و نتیجه قرعه کشی را به او بگوید؟

وضعیت حساس است، خطر برافروختن مجدد اختلافات و بدتر شدن روابط را در پی دارد، اما... نگران نباشید: هر دو می توانند روی روشی توافق کنند که احتمال پنجاه درصدی (یعنی یک تساوی منصفانه) را برای هر یک از آنها تضمین کند، بدون نیاز به اعتماد به دیگری، فقط داشتن حداقل دانش از پیچیدگی محاسباتی برخی از عملیات های حسابی روی اعداد صحیح. آلیس و باب خوشبختانه روی این موضوع آماده شده اند و مشکل حل شده است.
مشکل دیگر در عوض این است که آلیس و باب مشتاق تبادل پیام هستند - مهم نیست چه ماهیتی دارد، حتی اگر همه موافق باشند که آنها مهربان هستند. اما سرنوشت آنها، افسوس، در این مورد نیز این است که در فاصله زیادی قرار داشته باشند و به همین دلیل می خواهند روی کلیدی به توافق برسند که محتوای واقعی پیام ها را رمزگذاری کند : فرض کنید چارلی، خواستگاری که آلیس آن را رد کرده است. ، در غیر این صورت می توانند از آن برای ایجاد مشکل در روابط خود استفاده کنند. در اینجا نیز جای نگرانی نیست: باب در یک دوره رمزنگاری کلید عمومی شرکت کرده است و به طور واضح به آلیس توضیح می دهد که چگونه می توانند ادامه دهند. چارلی پیام را قطع می کند و متوجه می شود که نمی تواند برنامه پارازیت خود را اجرا کند. او نیز همین دوره را در زمینه رمزنگاری دنبال کرده است و برای او واضح است که حتی اگر ارتباطات آنها را رهگیری کند، نمی تواند کلید رمزگذاری را که آلیس و باب قصد دارند برای تبادل پیام به توافق برسند، یاد بگیرد.
قبل از اینکه یک رشته علمی باشد، رمزنگاری یک عمل، مجموعه ای از قوانین، روش ها و ابزارها بود. تقریباً به یک هنر تبدیل شده بود: هنر تبادل پیام بدون درک محتوای واقعی، حتی اگر رهگیری شود. رشته ای با جایگاهی مبهم، مرزی با جادو و باطنی. در این زمینه، آلیس و باب هنوز متولد نشده اند. ما با مشکلات جاسوسی سر و کار داریم، دشمنانی که مشتاقند اطلاعاتی را که با متحدانمان رد و بدل می کنیم به دست آورند تا از آن به ضرر خود استفاده کنند.
واضح است که منشأ باستانی است و نه تنها به نیازهای تجاری، بلکه بیش از هر چیز دیپلماتیک و نظامی مرتبط است. مشخص است که در بسیاری از موارد سرنوشت درگیری ها با این توانایی برای شناخت از قبل حرکات حریف تعیین شده است. سپس ظهور شبکه های ارتباطی دیجیتال که به طور منظم در زندگی روزمره مورد استفاده قرار می گیرد، نیازهای جدیدی را برای امنیت و حفاظت از حریم خصوصی می طلبد . و ریاضیات - به ویژه نظریه اعداد - ماهیت رمزنگاری را تغییر داد، آن را از هاله رمز و راز آن رها کرد و آن را از یک هنر به یک علم تبدیل کرد.
اما دو مشکل قبلی مربوط به آلیس و باب چه وجه اشتراکی با این موضوع قدیمی دارند: قرعه‌کشی که از طریق تلفن انجام می‌شود یا تعویض یک کلید رمزگذاری زیر بینی شخصی که آن را رهگیری می‌کند، اما کسی که هرگز قادر به انجام آن نیست. از آن استفاده کنم؟ واقعیت این است که وقتی ریاضیات با رسمی شدن آن در بخشی درگیر می شود، یک سری مسائل ظاهراً متفاوت و غیر مرتبط را نیز آشکار می کند که در عوض یک وحدت تعریف شده و اغلب عمیق را نشان می دهد.

و این همان چیزی است که اخیراً اتفاق افتاده است: مشکل فقط در (1) رمزگذاری یا رمزگشایی یک پیام نیست ، بلکه در "تأیید کردن" آن است، یعنی: (2) شناسایی فرستنده پیام و (3) درک آیا پیام دست نخورده است یا در حین انتقال دستکاری شده است . اما همچنین: (4) توافق با کسی در مورد یک قطعه داده که مخفی نگه داشته شود ، حتی اگر از یک کانال انتقال ناامن استفاده کنید. (5) به طور تصادفی تصمیم بگیرید، با شانس موفقیت برابر در مقایسه با یک همکار غیرقابل اعتماد . (6) بدون اینکه منبع یا راز آن را فاش کنید، آگاه سازید که علم خاصی دارید .
اولین مشکل ذکر شده، امنیت انتقال است که فیلم های جنگی و جاسوسی متعددی ما را به آن عادت کرده اند. دوم این است که از صحت فرستنده ; در این مورد، علاوه بر بازی دوگانه جاسوسی، لازم است مشکلات مدرن تراکنش های اقتصادی از راه دور را به خاطر بسپاریم: دستگاه خودپرداز یا به اصطلاح امضای دیجیتال که به ما امکان می دهد حتی از طریق ایمیل نیز شناسایی شویم. سومین مشکل ذکر شده مربوط به یکپارچگی پیام است . این تله ای است که پیشینه های معروفی دارد: رومئو به مانتوا پناه می برد و از پرستار مورد اعتماد خود (به اصطلاح!) خبر دروغ مرگ ژولیت را دریافت می کند. مشکلات (4) قرعه کشی از راه دور و (5) تعویض کلید مواردی هستند که قبلاً آلیس و باب را در حال کار در آنها دیده ایم و راه حل آنها بعداً آشکار خواهد شد. آخرین مشکل لیست شده به اصطلاح به دانش صفر می پردازد: چگونه می توانیم تضمین کنیم که اطلاعاتی داریم بدون اینکه جنبه های اساسی آن آشکار شود؟ به عنوان مثال، چگونه نیکولو فونتانا، تارتالیای معروف، در قرن شانزدهم اعلام کرد که فرمول حل رادیکال های معادلات درجه سوم را بدون اینکه مجبور باشد آن را برای جامعه ریاضی آشکار کند (حداقل تا زمانی که موفق به انجام این کار شود) کشف کرده است. )؟ در این مورد، مشکل دشوار نیست: فقط باید نشان دهید که می دانید چگونه ریشه برخی از معادلات پیشنهاد شده توسط دیگران را محاسبه کنید. هر کسی به راحتی می تواند درستی پاسخ را تأیید کند و پس از چند اجرا از این دست خود را متقاعد کند که هرکسی که ریشه معادلات را پیدا کرده است، لزوماً باید یک روش مطمئن داشته باشد، یک فرمول دقیقاً: تأیید اینکه آیا یک عدد معین یک ریشه است یا خیر، یک عملیات است. بسیار ساده تر از یافتن آن، حداقل برای کسانی که فرمول آن را نمی دانند. اما در عوض به این فکر کنید که اختراعی ساخته اید که برای ثبت اختراع آن درخواست بودجه می کنید: یک نگاه به پروژه برای درک ایده کافی است و می فهمید که ایده همه چیز است. در همان زمان، شما می خواهید وام دهنده شما مطمئن باشد که مکانیسم کار می کند. اعتماد کنیم یا نه؟ کدام مسیر را دنبال کنیم؟
واضح است که در این مسیر مشکلات چند برابر می شود. برای اکثر آنها، عمل راه حل های تجربی، خاص و متفاوت از مورد به مورد پیدا کرده است. ریاضیات سعی می کند همه این مسائل را به عنوان موارد خاصی از یک مسئله واحد و اساسی ببیند.

انسانها ابتدا کلماتی را خلق کردند تا یکدیگر را درک کنند و سپس - شاید توبه کنند - رمزنگاری را اختراع کردند تا فقط برای برخی خود را بفهمند. اما در این راه، علاوه بر جلب کنجکاوی غالباً علاقه مند طردشدگان، مجبور بودند به دنیایی از اسرار پناه ببرند تا با چند نفر در میان بگذارند. نسخه جدید و مدرن رمزنگاری، چیزی که رمزنگاری کلید عمومی نامیده می‌شود ، به نظر می‌رسد از میل جهانی ریاضیدانان به رفتار یکسان با همه، کنجکاو و با اعتماد به نفس، و حذف حتی کوچک‌ترین اشتراک‌گذاری راز از ارتباطات خصوصی ما، زاده شده است. با چه موفقیتی خواهیم دید.

با این حال، قبل از پرداختن به ایده‌ها و روش‌های اساسی، خوب است که یک مشاهده اصلی داشته باشیم: در مسئله کلاسیک انتقال پیام ، از آلیس تا باب، با تلاش شخصی مانند چارلی برای رمزگشایی محتوای واقعی - مشکلی که به آن کمک می‌کند. خود را برای گنجاندن همه چیزهای دیگر که تبدیل به جنبه ها یا تخصص های خاصی می شوند در خود گنجانده است - معمولاً رفتار مشروع به کسانی که سعی در برقراری ارتباط دارند اختصاص می دهد، در حالی که استراق سمع به مثابه فردی که بی جهت به "کسب و کار خود" نمی پردازد، با دیدی منفی تلقی می شود. ". هیچ چیز در مورد این فعالیت نمی تواند دور از واقعیت باشد: برای مثال، مشخص است که یکی از معروف ترین موارد استفاده از تکنیک های رمزنگاری در طول جنگ جهانی دوم رخ داد، زمانی که سرویس مخفی انگلیس با کمک ضروری آلن تورینگ ( 1912-1954)، در اوایل سال 1942 موفق به رمزگشایی ماشین رمز انیگما شد که توسط فرماندهی آلمانی استفاده می شد. و این واقعیت برای سرنوشت جنگ تعیین کننده بود (حتی اگر ماشین دیگری به نام T-52 در تمام طول جنگ فعال بماند).
با این روحیه عینی است که رمزنگاران و حتی بیشتر از آن ریاضیدانان خود را به در نظر گرفتن روش های خود وامی دارند: تاریخ رمزنگاری مملو از حرکات و حرکات متقابل است، نوعی رقابت بین کسانی که همیشه روش های رمزگذاری جدید را ابداع می کنند و کسانی که بی وقفه روش های رمزگذاری را پیدا می کنند. روشی برای رمزگشایی سیستم جدید نیز.
کسانی که رمزگذاری می کنند و کسانی که رمزگشایی می کنند باید در یک سطح در نظر گرفته شوند. اینها دو روش متفاوت از یک پدیده هستند، مانند دو بخش که اندازه گیری آنها علائم متفاوتی دارد، فقط به این دلیل که جهت مثبت خط مستقیم در یک جهت انتخاب شده است تا جهت دیگر. ملاحظات اخلاقی رفتار به زمینه دیگری تعلق دارد.

اطلاعات مختصر و جذاب در مورد رویدادهای تاریخی و ایده های مدرن فعالیت رمزنگاری از نقطه نظر فنی در Sgarro [1] و Berardi, Beutelspacher [2] موجود است. درمان گسترده‌تر، اما همچنان به شیوه‌ای قانع‌کننده روایت می‌شود، برخورد سینگ [3] است. هرکسی که بخواهد مشکل را از نقطه نظر تأثیر آن بر توسعه سیستم های ارتباطی دیجیتال - و در نتیجه عمدتاً با توجه به مشکلات اجتماعی و حقوقی - طرح ریزی کند، می تواند با Giustozzi، Monti و Zimuel [4] مشورت کند.

کلید رمزگذاری

اگرچه ممکن است متناقض به نظر برسد، همه موافق هستند که برای تجهیز خود به روشی برای انتقال پیام های محرمانه در طول یک کانال قابل رهگیری، لازم است قبلاً یک کانال امن در دسترس باشد که از طریق آن A و B بتوانند کلیدی را مبادله کنند. یکی برای رمزگذاری پیام ها و دیگری برای رمزگشایی خدمت می کند.

واقعیت این است که این کانال امن نمی تواند برای انتقال عادی استفاده شود، اما شاید در شرایط استثنایی ایجاد شود که تکرار آن دشوار است. به عنوان مثال، در استعاره جاسوسی که به خوبی برای این موقعیت ها مناسب است، A و B با یکدیگر ملاقات می کنند و مستقیماً در مورد کلیدی که بعداً استفاده خواهند کرد توافق می کنند. بسه کانال امنی که با نزدیکی آنها و امکان برقراری ارتباط صوتی ارائه می شود هرگز تکرار نخواهد شد، اما کلید تضمین محرمانه بودن ارتباطات آینده آنها در امتداد کانال دیگری و معمول تر است که - آنها به خوبی می دانند - به طور سیستماتیک توسط رقیب C رهگیری می شود. .

نقش اساسی کلید رمزگذاری حتی در دوره ای مدون شد که در آن فعالیت رمزنگاری که همیشه در زمینه نظامی به طور گسترده مورد استفاده قرار می گرفت به نوعی حداکثر استفاده رسید. فیلولوژیست هلندی ژان گیوم کرکخوف (1835-1903)، در کار خود La cryptographie militaire در سال 1883، مشاهده می کند که امنیت یک سیستم رمزنگاری تنها به محرمانه بودن کلید بستگی دارد.
به عبارت دیگر، بدون بحث پذیرفته می شود که یک رهگیر احتمالی از پیام های رمزگذاری شده و همچنین از سیستم رمزگذاری استفاده شده آگاه می شود: چیزی که او نباید بداند کلید است. امنیت انتقال به محرمانه بودن آن بستگی دارد و بالعکس: رهگیر فقط باید کلید را بداند تا بتواند همه پیام ها را رمزگشایی کند.
پس مشکل از دید کسانی که می خواهند پیام های محرمانه رد و بدل کنند چیست؟ واضح است که قبل از هر چیز کلید سیستم رمزنگاری باید برای چند نفر شناخته شود، کسانی که ارسال می کنند و کسانی که دریافت می کنند و احتمالاً هیچ کس دیگری، زیرا - همانطور که می دانیم - رهگیرها ظلم های کمی دارند. و سپس لازمه سادگی را با هم ترکیب کنید - بتوانید آن را به خاطر بسپارید بدون اینکه اسنادی را در اطراف آن بنویسید که امکان یافتن آن وجود دارد و برای سهولت استفاده - همراه با نوعی پیچیدگی که اجازه نمی دهد به راحتی آن را ردیابی کنید. با بررسی تعداد معینی از پیام های رمزگذاری شده. بیایید بگوییم که مشکلات کلید رمزنگاری به اشتراک گذاری آن بین چندین موضوع و رابطه متعادل بین سادگی و پیچیدگی استفاده است.

کمی تاریخچه

به گفته سوتونیوس ویتا سزاروم ، یکی از قدیمی‌ترین سیستم‌های رمزی به ژولیوس سزار برمی‌گردد و در جنگ او علیه گول‌ها مورد استفاده قرار می‌گرفت. مشخص است که قبلاً از سیستم‌های دیگر، اغلب بسیار اصلی نیز استفاده شده بود، اما این یکی از Cesare شاید اولین موردی باشد که گاه به گاه نیست: یک روش، یک سیستم را پیشنهاد می‌کند، با کلیدهای مختلف قابل تکرار است.
این ایده در حقیقت آنقدر ساده است که زیرکی گول ها را ارج نمی نهد، اما ما آن را برای راحتی توضیح فرض می کنیم: پس از مرتب کردن حروف به ترتیب الفبایی کلاسیک، دایره ای در نظر گرفته شده - بنابراین، با حرف a به دنبال z - هر حرف به همان میزان به سمت راست منتقل می شود. بنابراین، اگر ترجمه از دو حرف باشد، a تبدیل به c، b تبدیل به d ... و به همین ترتیب، تا زمانی که z تبدیل به b شود مانند طرح زیر که در آن هر حرف متن ساده بالای حرف رمزگذاری شده مربوطه قرار می‌گیرد :

abcdefghilmnopqrstuvz
cdefghilmnopqrstuvzab

سپس تمام حروف موجود در پیام به طور منظم به حروف رمز مربوطه تغییر می کنند. این رمز سزار (یا ترجمه) است و اطلاعات اساسی کلید در این مورد فقط با کمیتی که ارزش ترجمه را مشخص می کند داده می شود: آشکارا در مجموع 21 کلید رمزگذاری مجزا وجود دارد - یکی از آنها بی اهمیت است. هویت
معیار سادگی مطمئناً برآورده می شود. شاید خیلی زیاد. و فکر کردن به حرکت از یک ترجمه به یک قرابت، برای افزایش کمی تعداد رمزها بدون اینکه سیستم را غیر عملی کند، دشوار نیست. این بدان معنی است که به جای فرمولی مانند:

n'=n+k

جایی که n نشان دهنده موقعیت حرفی است که باید رمزگذاری شود، n' موقعیت حرف رمزگذاری شده مربوطه (n, n' =1, 2, ... , 21) و k کلید است، یک عبارت از نوع خواهد بود. استفاده می شود:

n'=an+b

در این مورد ، کلید توسط جفت اعداد صحیح مرتب شده (a, b) داده می شود که هر دو از 21 تجاوز نمی کنند . لازم است که اجازه دهید GCD(a,21)=1 باشد ، یعنی عدد صحیح a هیچ مقسوم علیه مشترکی با 21 نداشته باشد (همانطور که می گویند: a و 21 باید برای یکدیگر اول باشند ). محاسبه (تمرین!) تعداد رمزهای مشابه که متمایز هستند آسان است: 252 است که یکی از آنها هنوز هویت است.
تعداد رمزها بیشتر از قبل است، اما هنوز خیلی کم است که نمی‌توان با حمله رمزگشاهای ماهر روبرو شد. یک استراتژی می تواند این باشد که به جای استفاده از یک فرمول ساده مانند ترجمه یا قرابت، هر گونه جایگشتی را برای تعیین حروف رمزگذاری شده فرض کنیم. 21 جایگشت احتمالی وجود دارد! و این عددی است که دارای 20 رقم اعشاری است و هر رمزی را از خطر شکسته شدن در اثر تلاش محافظت می کند. اما خوب نیست. زیرا هر کسی که ارسال می‌کند و دریافت می‌کند باید جایگشت حروفی را که انتخاب کرده‌اند، به زیان پنهان کاری، در جایی ثبت کند: کلید رمزنگاری با اطلاعاتی که به خاطر سپردن و استفاده ساده باشد داده نمی‌شود، بلکه خود کل جایگشت است.
بنابراین مشکلی که پیش می‌آید این است: چگونه با استفاده از یک مکانیسم ساده برای به خاطر سپردن، یک جایگشت از حروف الفبا ایجاد کنیم؟ در عمل این مشکل باعث ایجاد ایده کلمات کلیدی شده است . در این مرحله، از زمان سزار، ما قبلاً به رنسانس رسیده‌ایم، زمانی که تکنیک‌های رمزنگاری - مرتبط با رشد تجارت و تماس‌های دیپلماتیک بین دولت‌ها - از یک دوره تاریک احیا شدند.
پس از برداشتن یک کلمه بدون تکرار، حروف آن به عنوان اولین جایگشت مورد استفاده قرار می گیرد و از یک مکان خاص شروع می شود. حروف دیگر رمز در ادامه فهرست شده‌اند و از حروفی که قبلاً استفاده شده‌اند صرفنظر می‌کنند. به عنوان مثال، با استفاده از کلمه کلیدی hello که از حرف d شروع می شود، یعنی از جایگاه چهارم، جایگشت زیر به دست می آید:

abcdefghilmnopqrstuvz
tuzsalvebcdfghimnopqr

در این مورد، کلید رمزنگاری به جفت کاهش می یابد (سلام، 4). اما داستان به اینجا ختم نمی شود: یک رمزگشا با دانش خوبی از آمار، برخی جداول و تعداد کافی پیام رمزگذاری شده که A و B رد و بدل کرده اند، می تواند به سرعت کلید را ردیابی کند. طبیعتاً، او می‌داند که حروف مختلف الفبا با چه فراوانی در متون همسانی که می‌خواهد رمزگشایی کند - چه حروف عاشقانه یا پیام‌های نظامی - ظاهر می‌شوند و به زودی، برای مثال، حروف صدادار و صامت‌های خاص را بیشتر تشخیص خواهد داد. از حروف دیگر استفاده می شود. همه با ابهام زیاد، اما فقط برای لحظه. او آزمایش‌ها، حدس‌ها، تلاش‌های کم و بیش انگیزه‌ای را انجام می‌دهد تا زمانی که کلمه‌ای با معنای کامل پیدا کند یا دوره‌ای را که رمزگذاری انجام می‌شود تشخیص دهد: اساساً طول کلمه کلیدی.
در این مرحله انجام شده است. از اینجا یک گام کوتاه برای شکستن کل رمز است.
چگونه می توان فرکانس های آماری را لغو کرد و از تکرارهای دوره ای اجتناب کرد؟ به راحتی می توان تشخیص داد که تجزیه و تحلیل فرکانس با این واقعیت امکان پذیر است که رمز جایگزین تک الفبایی است ، یعنی هر حرف همیشه با همان حرف در طول انتقال کل پیام رمزگذاری می شود. این اشکال را می توان با جابجایی به رمزهای جایگزین چند الفبایی حل کرد ، برای مثال با استفاده از صد علامت مختلف، از هر ماهیت، برای رمزگذاری 21 حرف متن ساده. برای مثال، اگر بدانیم که در پیام‌هایی که به آن علاقه داریم، حرف a به طور متوسط ده بار از صد مورد اتفاق می‌افتد، کافی است از ده علامت مختلف برای رمزگذاری آن استفاده کنیم. نگران نباشید: لازم نیست بین متن ساده و الفبای رمزگذاری شده تناظر یک به یک وجود داشته باشد، بلکه فقط باید یکسان باشد: عبور از متن رمزگذاری شده به متن ساده. به این ترتیب، حرف a یک بار به یک صورت و یک بار به روش دیگر به ده روش مختلف رمزگذاری می شود و بسامد آن عملاً لغو می شود: اما هرکس پیام را دریافت کند و سیستم رمزگذاری را بشناسد، در هر صورت قادر است تا ده مورد را تشخیص دهد. نمادهای مختلف باید به عنوان a تفسیر شوند.

رمز دیسک

با این حال، واضح است که مشکل فقط تا حدی حل شده است زیرا در تناوب مداوم بین جستجوی سادگی سیستم و امنیت آن، این روش فرستنده و گیرنده را ملزم می کند تا خود را به یک جدول چشمگیر برای مشورت با هر یک مجهز کنند. زمان و این واقعیت ضمن ارائه اطلاعات مفید در برخی موارد، با نیاز به محرمانه بودن کلید منافات دارد.

با این حال، گام بعدی که در قرن پانزدهم توسط برخی از محققان رنسانس شناسایی شد و به صراحت توسط هنرمند و ریاضیدان بزرگ لئون باتیستا آلبرتی (1406-1472) پیشنهاد شد، تعیین کننده است: او در اثر خود Modus scribendi in ziferas در سال 1466، چند الفبایی را معرفی می کند. جایگزینی که انجام آن آسان است و چرخه‌هایی را که در رمزگذاری رخ می‌دهد و بنابراین درک دوره‌های رمز را بسیار دشوارتر می‌کند. این ایده تا دوران مدرن به طور قابل ملاحظه ای بدون تغییر باقی خواهد ماند.
برای این منظور باید خود را به رمز پویا مجهز کرد : هر حرف از متن ساده بسته به موقعیت آن در خود متن، هر از گاهی به طور متفاوت رمزگذاری می شود. آلبرتی، به عنوان سازنده ماهری که بود، مکانیزم عملی را نیز ابداع کرده بود، مجهز به دو نسخه الفبا بر روی دو دیسک که می‌توانستند نسبت به یکدیگر بچرخند و بنابراین از طرق مختلف با یکدیگر مکاتبه کنند. : پس از رمزگذاری یک حرف از پیام، یک چرخش ساده از یک یا چند بریدگی به شما امکان می دهد مکاتبات را برای حرف بعدی که باید رمزگذاری شود تغییر دهید. برای استفاده از آن توسط شخص دریافت کننده پیام، دانستن نقطه تطابق اولیه دیسک ها و تعداد بریدگی هایی که باید بعد از هر عملیات رمزگذاری بچرخند، کافی است. این کلید سیستم رمزگذاری ایجاد شده توسط لئون باتیستا آلبرتی است. این ایده مربوط به تناظر پویا بین حروف الفبا که در طول پیام متغیر بود، توسط دیپلمات فرانسوی بلز دو ویژنر (1523-1596) در قرن بعد محقق شد و مورد استفاده قرار گرفت و در اثر او Traité des chiffres ou گسترده شد. secrètes maniéres d'escrire of 1586: رمزهای به دست آمده، که عملاً تا دهه 1900 فعال بودند، همگی نام او را گرفتند: رمزهای ویژنر.
در این رمزها، تناظر پویا با استفاده از یک کلمه متعارف ترکیب می شود تا به عنوان کلیدی استفاده شود که دیگر نیازی به انتخاب بدون تکرار ندارد، که به نظر می رسد اولین رسمی سازی آن در رساله De furtivis literarum notos، vulgo وجود دارد. de ziferis ، نوشته شده در سال 1563 توسط دانشمند و فیلسوف Giovan Battista della Porta.

ایده این است که از حروف کلمه کلیدی استفاده شود که تا زمانی که لازم است در متن ساده به طور مداوم تکرار شود تا رمزی (از نوع سزار ) مورد استفاده در آن لحظه را نشان دهد. در اصل، حرفی که باید رمزگذاری شود و حرف متناظر کلمه کلیدی به‌عنوان نوعی مختصات مسطح استفاده می‌شود که با آن حرف رمزگذاری شده را در چارچوبی شناسایی می‌کنیم - یک تابلو ، همانطور که امروز در ریاضیات می‌گوییم - که شامل تمام سزار ممکن است. رمزها
به عنوان مثال، کلمه hello را دوباره به عنوان کلید انتخاب کنید و فرض کنید می خواهید پیام را منتقل کنید:

ریاضیات بخون و همیشه خوشحال خواهی بود.

عملیات به شرح زیر است:
1. هر حرف از پیام ساده مطابق با یک حرف کلید قرار می گیرد که در صورت لزوم مطابق با حروف آن تکرار می شود:

ریاضی بخون
سلام سلام

سلام علیکم همیشه
شاد سلام سلام سلام سلام سلام

2. حرف کلید نشان می دهد که از کدام رمز برای حرف متن ساده مربوطه استفاده شود، با مراجعه به جدول زیر، که شامل تمام رمزهای سزار به شیوه ای منظم است :

3. برای رمزگذاری پیام، از حروف کلمه کلیدی برای شناسایی رمز استفاده می شود: بنابراین، برای حرف اول s ، خطی که با s همان hello شروع می شود استفاده می شود و n مشخص می شود . برای حرف t ساده بعدی، رمز رمزی است که با a در hello شروع می شود و بنابراین حتی پس از رمزگذاری t باقی می ماند. اکنون از l کلمه کلیدی برای رمزگذاری u و تبدیل آن به g و غیره استفاده می کنیم . پیام رمزگذاری شده شکل می گیرد...

تو ادامه بده برای درک بهتر استفاده از رمز پویا، مشاهده کنید که چگونه از این قطعه کوچک به نظر می رسد که حرف e بار اول با p و دفعه بعد با c رمزگذاری شده است . برعکس، حرف f مخفف m و t به دلیل این واقعیت است که این حروف موقعیت‌های مختلفی را در پیام متنی معمولی اشغال می‌کنند.
بدیهی است که با تغییر کلمه کلیدی، تعداد نامحدودی از رمزها از این طریق به دست می آید. و اگر کلید به اندازه کافی طولانی باشد - و محدودیتی که در آن حروف تکراری وجود ندارد دیگر مورد نیاز نیست - دوره سیستم رمزگذاری به نسبت طولانی است. با این حال، ما نباید روش های آمار و یا توانایی و سرسختی رمزگشاها را دست کم بگیریم: برای دانستن تعداد کافی از پیام های رمزگذاری شده، در طول زمان روش هایی برای یافتن دوره سیستم رمزگذاری و از اینجا به صورت تجربی ایجاد شده است. راه، کلید را ردیابی کنید.
این نتایج، ناگفته نماند که در زمینه نظامی به دست آمده است. معماران اصلی افسر پروس فریدریش ویلهلم کاسیکی (1805-1881) و بعدها ژنرال آمریکایی ویلیام فردریک فریدمن (1891-1969) بودند. ایده اتخاذ شده توسط کاسیسکی مبتنی بر تجزیه و تحلیل تکرار گروه‌هایی از حروف است که در رابطه مستقیم با طول کلمه کلیدی قرار می‌گیرند: این امکان را فراهم می‌کند که رمز به اجزای تک الفبایی خود تقسیم شود، که رمزگشایی آنها ساده‌تر است. کار فریدمن در عوض بر این احتمال تمرکز دارد که هر دو حرف در یک متن رمزی در واقع با یک حرف متن ساده مطابقت دارند. شرح مختصری از این روش ها، بدون پیچیدگی های فنی بیش از حد، را می توان در متن چابک Berardi و Beutelspacher [2] یافت. بنابراین ما به سپیده دم دهه 1900 رسیدیم، زمانی که دستگاه های الکترومکانیکی برای پردازش مقادیر روزافزون داده هایی که به عملیات رمزگشایی متصل بودند و در نتیجه برای عملیات دوگانه تنظیم دقیق سیستم رمزگذاری آماده بودند. .

ماشین های رمزگذاری

دوره ابزارهای رمزگذاری و رمزگشایی ابتدا سیستم های مکانیکی و سپس الکتریکی و الکترونیکی را به عنوان پیامد تکامل خود مفهوم ارتباطات دید. مقاله شانون در سال 1949 [5] نشانه ورود قطعی رمزنگاری به حوزه نظریه اطلاعات است. عصر رمزگذاری خودکار است . ما قبلاً به ماشین رمز انیگما
اشاره کرده‌ایم ، مجموعه‌ای که قبلاً در دهه 1920 برای اهداف تجاری طراحی شده بود و سپس به عنوان استانداردی برای ارتباطات محرمانه توسط فرماندهی آلمان در طول جنگ جهانی دوم اقتباس شد. این دستگاه از تعداد معینی دیسک دوار (سه عدد در پیچیده ترین نسخه ها) تشکیل شده بود که هر کدام از آنها الفبا را با استفاده از مدارهای الکتریکی پیچیده رمزگذاری می کردند. علاوه بر این، برای پیچیدگی بیشتر، این روتورها با توجه به کلیدی که به صورت رمزگذاری شده نیز ارسال می شد، روز به روز به روشی متفاوت به یکدیگر متصل می شدند. پس از هر حرف ارسال شده، آنها تحت یک چرخش قرار گرفتند.

مجموعه ای از روش ها برای رمزگشایی مفید بودند، از جمله روش هایی که از طریق به دست آوردن اطلاعات از طریق جاسوسی سنتی و همچنین آمار، مطالعه ساختارهای جبری و ترکیبی، بررسی عادات فرستنده های آلمانی و عبارات عامیانه، تجزیه و تحلیل مقادیر زیادی از داده ها با استفاده از دیگر ماشین‌های الکترومکانیکی مخصوص ساخته شده ( بمب‌های معروف ، به‌اصطلاح تیک تاک کلاسیک‌شان). برای سهولت بیشتر در کار و صرفه جویی آشکار در ابزار، انیگما از یک بازتابنده استفاده کرد که به لطف آن از کلیدهای یکسان و عملیات های مشابه هم برای رمزگذاری و هم برای رمزگشایی استفاده می شد: متن ساده روی صفحه کلید تایپ می شود و دستگاه به طور مناسب مرتب می شود. با توجه به کلید، متن کدگذاری شده روی صفحه نمایش خوانده می شود. برعکس، اگر متن کد شده را تایپ کنید، متن ساده را مستقیماً می خوانید. سیستم رمزنگاری برگشت پذیر است و این ویژگی ساختاری عناصر اساسی را برای رمزگشایی فراهم می کند.
داستان جذاب این ماشین، اصول ساخت آن و اینکه چگونه گروهی از ریاضیدانان، فیلسوفان و معمدانان که توسط فرماندهی انگلیسی در پارک بلتی جمع شده بودند، توانستند آن را حداقل در برخی از جنبه های آن، به ویژه برای جنگ در دریا رمزگشایی کنند. آنها به خوبی در زندگینامه آلن تورینگ نوشته اندرو هاجز t6 و در تاریخ رمزنگاری سینگ [3] آمده است.
سایر ماشین‌ها و سیستم‌های دیگر بخشی از تاریخ رمزنگاری قرن بیستم هستند. بهترین سیستم شناخته شده که برای طولانی ترین مدت در برابر حملات رمزگشایی مقاومت کرده است، سیستمی است که به طور رسمی در سال 1977 توسط دولت ایالات متحده تأسیس شد، DES ( استاندارد رمزگذاری داده ها )، یک رمز تک الفبایی که امنیت آن بر روی کلید 56 بیتی (که 8 بیت کنترل هستند)، در سال 1998 شکسته شد. این اولین سیستم رمزگذاری تجاری است که به عنوان یک استاندارد توسط یک نهاد نظارتی ایجاد شد تا از گسترش سیستم های رمزگذاری ناسازگار با یکدیگر جلوگیری شود.

DES یک سری تبدیلات ابتدایی را انجام می دهد که چندین بار بر روی بسته های ساختاری مناسب متن تکرار می شود تا بیت هایی را که آن را تشکیل می دهند تحت یک تغییر کلی قرار دهد که اساساً به کلید انتخاب شده وابسته است: الگوریتم ها عمومی می شوند. کلید - با رعایت دقیق‌ترین اصل کرک‌هوف - تنها داده‌ای است که کاربر تنظیم می‌کند.

جنبه مهم این است که رمزگذاری می تواند در زمان واقعی با یک کامپیوتر با قدرت متوسط انجام شود. علاوه بر این، سیستم متقارن است به این معنا که، مانند همه سیستم‌هایی که تا این لحظه مثال زده شده، از کلید مستقیماً برای رمزگشایی استفاده می‌شود. یک
عدد 56 بیتی حاوی مقدار زیادی اطلاعات است: شما 7، 2 x 10 16 کلید مختلف دارید. با این حال، از اولین ظهور، به نظر محققان برای مقابله با منابعی که به طور قابل پیش بینی در آینده توسعه خواهند یافت، کوتاه تر از آن به نظر می رسید. و همانطور که انتظار می رفت، این دلیل اصلی رمزگشایی آن بود، اگرچه این امر نیازمند قدرت هزاران رایانه بود که به طور همزمان کار می کردند، هماهنگ شده از طریق اینترنت .
در واقع، در زمینه ماشین‌های محاسباتی بزرگی است که به مسائل رمزنگاری اختصاص داده شده است که در دهه 1900 این آگاهی به وجود آمد که برای داشتن یک رمز کامل ، یعنی رمزی که نمی‌توان آن را شکست، کلید باید به این صورت باشد. اطلاعات زیادی به عنوان کلید پیام های ممکن. یک پارادوکس ظاهری، که با این حال، تنها مفهوم کلید رمزنگاری را به جلو می برد. به عنوان مثال رمز Vernam است که به نام مهندس ارتباطات راه دور گیلبرت ورنام (1890-1960) نامگذاری شده است که در آن کلید یک مولد اعداد تصادفی است. تعجب آور نیست که هر کلید را می توان به صورت عددی کدگذاری کرد: واضح است که با این سطح از پیشرفت و شروع روش های دیجیتال، می توان به خوبی فکر کرد که پیام نیز چیزی جز یک عدد نیست که در تعداد معینی کدگذاری شده است. از بیت ها . مشکل واقعی که باقی می ماند مشکل کلید است: تولید، حفاظت و انتقال آن.
به این ترتیب، با هر استفاده جدید، کلید همیشه جدید است. هرگز از انتقالی به انتقال دیگر تکرار نمی‌شود و در واقع، پس از استفاده حذف می‌شود (آمریکایی‌ها از پد یک‌بار مصرف صحبت می‌کنند تا تاکید بر استفاده غیرقابل تکرار از کلید داشته باشند) اما راز واقعی اکنون در راه متمرکز شده است. که تولید می شود.

اولین رمزی که توسط Vernam در سال 1917 طراحی شد شامل دستگاهی است که قادر به اجرای انحصاری یا V، مدت به ترم، سیگنال های دوتایی بر روی دو نوار است. در یک نوار متنی وجود دارد که باید رمزگذاری شود، در دیگری کلید: در نتیجه، در هر موقعیت خروجی ، 1 به دست می آید اگر و فقط اگر دو موقعیت متناظر روی نوارها متفاوت باشند: 0 و 1 یا 1. و 0. ابتکار روش در این واقعیت نهفته است که ناتوانی عملیات "a V -"، که در آن a یک متغیر باینری است:

aV(aVb)=b

برگشت پذیری سیستم را تضمین می کند.
اما برای نشان دادن معنای استفاده از کلید یکبار مصرف لزوماً یک محیط تکنولوژیکی بسیار پیچیده ضروری نیست: برای مثال، به این فکر کنید که با همکار خود ثابت کنید که کلید انتقال پیام های رمزگذاری شده توسط نسخه خاصی از کمدی الهی داده شده است. . شما رمزگذاری à la Vigenère را با استفاده از تمام حروف متوالی کار دانته به عنوان کلید انجام می دهید: " nelmezzodelcammindinostravita...... " با این قرارداد که برای پیام بعدی کلید از جایی شروع می شود که در پیام قبلی متوقف شده است. بدیهی است که سیستم هیچ دوره ای ندارد: رمزگذاری هرگز به همان شکل تکرار نمی شود. اما ماشینی که با آزمون و خطا پیش می رفت، مطمئناً دیر یا زود می تواند پیام های شما را رمزگشایی کند و شاید همه آیات کمدی الهی را بازنویسی کند !
در این مرحله از توسعه، ما به ایده‌ای نیاز داریم که مفهوم کلید رمزنگاری را با امکانات بسیار زیادی ارائه کند و در عین حال آن را از نیاز به اشتراک گذاری بین چندین طرف، حتی بین فرستنده و گیرنده، رها کند. مدیریت کلیدها، که اغلب دست و پا گیر هستند، تولید آنها، ارسال آنها به گیرندگان، نیازهای امنیتی... این نقطه حیاتی واقعی سیستم های رمزگذاری است. و این همان چیزی است که از ایده کلید عمومی ، در مقابل استفاده خصوصی، شخصی و مخفیانه از کلید، پیشرفت زیادی دریافت کرد. کلیدی که می‌توانید با هر کسی که می‌خواهد پیامی را رمزگذاری کند و برای شما ارسال کند، ارتباط برقرار کنید، اما برای رمزگشایی که فقط شما می‌دانید چگونه آن را انجام دهید مفید نیست.

تبادل کلید

آلیس و باب را از سر می گیریم که با مشکل مبادله کلیدی برای استفاده برای ارتباطات شخصی خود دست و پنجه نرم می کنند، اما از کنجکاوی چارلی در امان هستند. آنها امکان ملاقات ندارند اما ماشین هایی با ظرفیت محاسباتی و ارتباطی خوب دارند، علیرغم اینکه می دانند ایمیل هایشان مرتباً رهگیری می شود. آنها به این ترتیب پیش خواهند رفت: با تلفن - که توسط چارلی حسود نیز شنود می شود - یک عدد صحیح مثبت n را ثابت می کنند . سپس هر یک از آن‌ها به تنهایی، بدون اینکه آن را برای کسی فاش کند، دیگری را انتخاب می‌کند: آلیس a را درست می‌کند و باب b را درست می‌کند ، آلیس به باب مقدار n a را می‌گوید و باب ارزش n b را به او می‌گوید (و چارلی به همه چیز گوش می‌دهد). اکنون آلیس n ab را صرفاً با بالا بردن مقداری که باب به او ابلاغ کرده است را به توان مخفی خود a محاسبه می کند و به طور مشابه باب همان مقدار را با افزایش na به توان b که فقط او می داند محاسبه می کند. این همه (در ویژگی جابجایی محصول):

(n a ) b = (n b ) a = n ab

و هر دوی آنها این شماره را می دانند که به عنوان کلید رمزنگاری آنها عمل می کند. چارلی ناامید n a و n b را جداگانه می داند اما a و b را نمی داند که باید دو لگاریتم پایه n محاسبه کند . این مشکل اوست، زیرا آلیس و باب اعداد ( n، a و b ) را به اندازه کافی بالا انتخاب کردند تا سیستم‌های محاسباتی چارلی را خارج از این امکان قرار دهند، در اصل ساده اما در عمل بسیار وقت‌گیر.
می‌دانیم که موضوع کجاست: محاسبه نمایی، حتی با یک سیستم کم یا قدرتمند، می‌تواند به راحتی انجام شود در حالی که معکوس آن، لگاریتم، می‌تواند به منابع محاسباتی نیاز داشته باشد که از نظر زمان غیرقابل تحمل هستند.

این ایده ای است که در دهه 70 بوجود آمد و سپس در Diffie and Hellman [7] منتشر شد: ارائه یک تابع - معکوس بله، در غیر این صورت رمزگشایی ممکن نیست، اما به یک معنا به راحتی محاسبه می شود و بسیار دشوار است. محاسبه معکوس طولانی یا عملاً غیرممکن است - تابعی که در اصطلاحات آنگلوساکسون در حال حاضر مرسوم است، به آن trapdoor می گویند .

سقوط آسان است، در حالی که صعود به عقب عملاً غیرممکن است (مگر اینکه یک مسیر مخفی بدانید).

یکی از این توابع، در واقع توابعی که در گسترده‌ترین پیاده‌سازی‌های سیستم‌های رمزنگاری مورد استفاده قرار می‌گیرد، با حاصل ضرب اعداد صحیح به دست می‌آید: در حالی که این یک عملیات آسان برای انجام حتی بین اعداد با ارقام زیاد است (به شرطی که محاسبه در دسترس داشته باشید. ابزارهای بسیار قدرتمند)، عملیات معکوس که تجزیه به عوامل است می تواند به طور غیرقابل تحمل طولانی باشد. تخمین های مربوط به فاکتورسازی تعدادی از چند صد رقم اعشار، علیرغم داشتن مدرن ترین سیستم های محاسبه سریع موجود، هنوز بر حسب میلیون ها سال اندازه گیری می شوند. این یک مسئله تئوری اعداد است که از نظر محاسباتی غیرقابل حل به نظر می رسد.

کلید عمومی

اولین کاربرد برای مشکل انتقال رمزگذاری شده پیام ها، یعنی مشکل اصلی رمزنگاری، بر اساس مشاهده - پیش پا افتاده اما تعیین کننده - است که کلید رمزگذاری کانال ارتباطی را متقارن می کند. از A به B منتقل می‌شود، اما این فرآیند همچنین می‌تواند بدون تغییر رمز یا کلید معکوس شود: احتمالاً، اگر رمز برگشت‌پذیر نباشد، همه عملیات‌ها باید معکوس شوند.

تقارن کانال - این جزء ساختاری فرآیند ارتباط - در عمل با یک تابع رمز ترفند تغییر می‌کند: کانال نامتقارن می‌شود. رمزگذاری فقط در یک جهت امکان پذیر است و خود فرستنده - که دستورالعمل های رمزگذاری را دارد - قادر به رمزگشایی پیام ها نیست.
اکنون دو کلید متمایز وجود دارد: یکی برای رمزگذاری، که برای همه کسانی که می خواهند پیام رمزگذاری شده ارسال کنند، به طور عمومی شناخته شده است، و دیگری برای رمزگشایی که توسط گیرنده پیام ها کاملاً مخفی نگه داشته می شود. بدیهی است که کلیدها به یکدیگر وابسته هستند - در غیر این صورت پیام ها هرگز نمی توانند رمزگشایی شوند - اما دانش یکی برای ردیابی دیگری کافی نیست... مگر اینکه شما رازی را بدانید: یک تابع ترفند.
مشکل اشتراک گذاری کلید رمزنگاری کاملاً حل شده است و سادگی رمزگذاری به دشواری شدید رمزگشایی مرتبط است. این همه به عملکرد ترفند بستگی دارد!

سیستم RSA

این سیستم، چند سال پس از ایده توابع ترفند ، در Rivest، Shamir و Adleman [8] ظاهر می‌شود و دقیقاً بر اساس دشواری یافتن منابع محاسباتی کافی برای تجزیه به عوامل اول اعداد صحیح است که دارای ارقام متعدد هستند.

الگوریتمی که برای اجرای عملی پیشنهاد شده است، از پیچیدگی محاسباتی برخی از فرآیندهای تئوری اعداد، مربوط به محاسبات مدولار (که در کادر مقابل بحث شده است، که نتایجی را که به الگوریتم اجازه عملکرد می‌دهد، نیز توضیح می‌دهد) بهره‌برداری می‌کند.
شایان توجه است که این نتایج، که همه خلاصه شده و به طور کامل در Disquisitiones Arithmeticae گاوس (1801) بیان شده‌اند، اساساً برای اویلر و در برخی موارد برای فرما در قرن هفدهم شناخته شده بود. به نظر می رسد به کارگیری این نتایج، که در دوره ای یافت می شود که چشم انداز محاسبه سریع حتی از دور قابل تصور نبود، نمونه خارق العاده ای از ثمربخشی تفکر ریاضی و عقلانیتی است که در تحقیق این بزرگان ذاتی است. ارقام ریاضی
بیایید با توضیح ایده پشت سیستم رمزنگاری کلید عمومی شروع کنیم و مشاهده کنیم که برخی از عملیات که ممکن است در نگاه اول در مقایسه با زمان محاسبه بسیار گران به نظر برسند، در عوض به راحتی قابل محاسبه هستند: این مورد، برای مثال، نمایی و بزرگترین مقسوم‌کننده مشترک است. از دو عدد - حتی بسیار بزرگ - و همچنین محاسبه مدول باقیمانده n. جالب است بدانید که این سادگی، علیرغم انواعی که در طول زمان ایجاد شده اند، اساساً توسط یک نتیجه کلاسیک دیگر با اهمیت بسیار ارائه شده است: الگوریتم تقسیمات متوالی یا الگوریتم اقلیدسی که ریشه و منطق آن در عناصر اقلیدس است. و در مسائل مورد بحث در قرن 3 قبل از میلاد (برای مشکلات پیچیدگی محاسباتی در مورد عملیات مختلف می توان به عنوان مثال Salomaa [9] یا Ferragine و Luccio [10] مراجعه کرد).

همه چیز برای راه اندازی سیستم آماده است: هر کسی که قصد دارد گیرنده پیام های محرمانه شود - فرض کنید باب است - کلید خود را تعمیر کرده و عمومی می کند، به طوری که هر کسی که می خواهد یک پیام رمزگذاری شده برای او ارسال کند (نه تنها آلیس، بلکه همچنین دیگران) می داند چگونه رفتار کند. برای این منظور، باب باید برخی از انتخاب ها و برخی عملیات مقدماتی را انجام دهد: توجه به این نکته که امنیت رمز به کیفیت این انتخاب ها بستگی دارد، اضافی است.

با این حال، در اینجا ارزش پرداختن به این جزئیات را ندارد، بلکه تلاش برای روشن کردن روش در اصول آن است (کسانی که برای دانستن این جزئیات بی تاب هستند باید با Koeblitz [11]، Salomaa [9] یا Ferragine و Luccio [10] مشورت کنند. ).
باب یک جفت از اعداد ( e, n ) را با این شرط انتخاب می کند که e و φ(n) ضریب اول مشترک نداشته باشند:
GCD(e, φ(n)) = 1
گفتیم که این انتخاب حتی در محاسبه مشکل ایجاد نمی کند. اگر دو عدد e و n کاملاً بزرگ باشند و همانطور که مشاهده شد بهترین کار این است که معیارهای مناسب برای افزایش استحکام سیستم رعایت شود. این جفت ( e, n ) کلید عمومی باب است که او آن را در دسترس همه قرار می دهد، اما مراقب باشید... باب هیچ اشاره ای به مقدار φ( n ) - حتی به آلیس - نخواهد کرد، زیرا این راز اوست. ، کلید شخصی او که به او امکان رمزگشایی پیام ها را می دهد.
در واقع، باب با استفاده از φ( n )، عدد d را محاسبه می کند که همخوانی درجه اول را حل می کند:

e*x≡1 (mod φ(n))

این عدد d (mod φ( n )) است که مستقیماً برای رمزگشایی پیام ها استفاده می کند. شرط اول بودن e و φ( n ) برای یکدیگر تضمین می کند که همخوانی قبلی یک راه حل منحصر به فرد را تا مدول همخوانی φ( n ) می پذیرد.
اکنون هر کسی توانایی ارسال یک پیام محرمانه را برای باب دارد و او آماده است تا آن را رمزگشایی کند. این روش به این صورت انجام می شود: برای مثال آلیس می خواهد پیام m را (که قبلاً به طور مناسب با یک عدد کدگذاری شده است) ارسال کند. برای این کار، m را به توان e ببرید و مدول باقیمانده n عدد به دست آمده را محاسبه کنید. او دقیقاً از اطلاعاتی که باب به همه اطلاع داده بود - کلید عمومی خود ( e, n ) - برای دریافت پیام رمزگذاری شده c استفاده کرد :

c≡m e (mod n)

چگونه باب می تواند پیام را بازسازی کند، یعنی از c به m برگردد ، و چرا هیچ کس دیگری که c را رهگیری می کند و کلید عمومی باب را می داند قادر به انجام همین کار نیست؟ برای باب آسان است، زیرا او φ(n) را می داند و d را محاسبه کرده است . او فقط باید پیام رمزگذاری شده c را به توان مخفی d برساند . در واقع، همانطور که پیدا شد، ed = kφ(n)+1 مربوط به مقداری عدد صحیح k است و بنابراین داریم:

c d ≡(m e ) d ≡m ed ≡m kφ(n)+1 ≡(m φ(n) ) k *m ≡m(mod n)

که در آن از ویژگی پایداری رابطه همخوانی با توجه به حاصلضرب و قضیه اویلر-فرمات استفاده کردیم: m φ(n) ≡1 (mod n).
رازی که فقط به باب اجازه می دهد پیام را رمزگشایی کند چیست؟ واضح است که در توان d قرار دارد که از کلید رمزگذاری e استفاده می کند و آن را معکوس می کند (مدول φ(n)) . و d با دانستن φ(n) به دست می آید: همانطور که گفتیم این راز واقعی است زیرا محاسبه φ(n) به اندازه تجزیه n به عوامل پیچیده است. وقتی باب کلید عمومی خود را انتخاب کرد، آینده نگری داشت که n را به عنوان حاصلضرب اعداد اول خاص انتخاب کند و بنابراین، به لطف خاصیت ضربی φ اویلر، محاسبه φ(n) برای او بسیار آسان است. در این فرآیند، ویژگی‌های اساسی حساب مدولار و φ اویلر شناسایی خواهند شد.
استراتژی بهینه باب دقیقاً این است که n را به عنوان حاصل ضرب تنها دو عدد اول، به اندازه کافی بزرگ و نه خیلی نزدیک به یکدیگر انتخاب کند. به این ترتیب n = p*q با p و q اول است و داریم:

φ(n)=(p - 1)*(q - 1)

بنابراین، همه چیز بر اساس فاکتورسازی اول است. این واقعیت همچنین نشان‌دهنده «نقطه ضعف» سیستم رمزنگاری است: امنیت مبتنی بر «ناآگاهی» ما از بسیاری از پدیده‌های مربوط به اعداد اول است. اگر و زمانی که تحقیقات ریاضی موفق به حل مسائل توزیع اعداد اول شود و روشی کارآمد برای فاکتورگیری بیابد، روش فوراً کارایی خود را از دست خواهد داد... و ما باید به توابع ترفند جدیدی روی بیاوریم.
بار دیگر، همانطور که اغلب اتفاق می افتد، پیشرفت فنی مستقیماً تابع دانش نظری است.

امضای دیجیتال

مشکل اصالت فرستنده اهمیت فزاینده ای پیدا می کند زیرا عملیات های بیشتر و بیشتری با ماهیت و اهمیت مختلف به صورت الکترونیکی انجام می شود. امضای دیجیتال در حال تبدیل شدن به یک ابزار قانونی در بسیاری از کشورها است.
اصل آن چیست؟ در واقع، با «معکوس کردن» اصل انتقال رمزگذاری شده با یک کلید عمومی به دست می آید. بنابراین، بیایید فرض کنیم که باب - همیشه او - می خواهد پیام را منتقل کند، اما این بار، جنبه مهم در رازداری m نهفته است - که همه باید بدانند - بلکه در این است که خود را با قطعیت توسط گیرنده شناسایی کند . این در نهایت عملکردی است که توسط امضای ما انجام می‌شود: فقط ما می‌توانیم آن را انجام دهیم و در نتیجه همه می‌توانند تشخیص دهند که یک سند از طرف ما آمده است.
به عنوان مثال، باب از طریق ایمیل از خارج به بانک خود می نویسد تا مقداری اعتبار را دریافت کند: شناسایی باید ایمن باشد. البته باب کلید عمومی خود را دارد ( e, n ) که همه می‌دانند و به تنهایی توان d را نیز محاسبه کرده است که به او امکان رمزگشایی پیام‌ها را می‌دهد. با مسلح شدن به این داده ها، باب جفت ( m, m d ) را به عنوان پیامی به بانک خود می فرستد و با اطمینان شناسایی می شود زیرا با محاسبه ای مشابه آنچه که انجام شده است، بلافاصله این اتفاق می افتد:

m≡(m d ) e (mod n)

به عبارت دیگر، شخصی که پیام رمزگذاری شده md را ارسال کرده و اعلام می کند که پیام m به صورت متن واضح است ، فقط می تواند باب باشد. به دو واقعیت توجه کنید: اول اینکه باب صرفاً با اعلام نمایش d
امضا نمی‌کند ، که مجبور نیست فاش کند و برای تشخیص آن کافی نیست. و سپس، در نتیجه این واقعیت اول، هیچ "امضایی" جدا از اسناد وجود ندارد، که در جایی سپرده شده و در صورت لزوم برای مقایسه شناخته می شود: هر امضایی متناظر با یک سند است، با آن و فقط با آن زندگی می کند. حتی اگر باب کلید عمومی خود را انتخاب نکرده باشد، کسی می تواند آن را برای او انجام دهد. به عنوان مثال، فرض کنید که او مشتری یک موسسه اعتباری است که هنگام برداشت پول از یک دستگاه خودکار باید او را بشناسد. واضح است که مؤسسه باید به باب و سایر مشتریان کارتی با داده های مغناطیسی آنها ارائه دهد و کد شخصی را در اختیار آنها بگذارد که امکان شناسایی آسان را فراهم می کند. اما، از سوی دیگر، به همان اندازه روشن است که نگهداری اطلاعات مربوط به مشتریان و کدهای شخصی آنها در جایی، به عنوان مثال در یک پایگاه داده که امنیت آن باید دائماً نظارت شود، چقدر خطرناک است. سیستم امضای دیجیتال به مؤسسه اجازه می‌دهد تا برای هر مشتری کلید عمومی خود ( e, n ) را محاسبه کند، ضریب ویژه d را محاسبه کند ، آن را به طرف علاقه‌مند ارسال کند - مهم نیست که کلید را به آنها اطلاع دهد ( e, n ) - و سپس .. d را از فایل های خود حذف کنید. همچنین می‌توان تشخیص را تنها با استفاده از ( e, n ) انجام داد، که می‌توان آن را نیز در نمایش گذاشت و در دسترس همه قرار داد. محرمانه بودن سیستم مصادف با محرمانه بودن d است ، که فقط طرف ذینفع می داند: به نظر می رسد این آینده کدهای مخفی، کلیدهای عمومی و محاسبات در انتظار همه ما است.

قرعه کشی آلیس و باب

آنچه باید مورد بررسی قرار گیرد روشی است که در آن دو مدعی می توانند قرعه کشی را انجام دهند، بدون اینکه امکان ملاقات برای بررسی درستی انجام تمام عملیات ها وجود داشته باشد. این مشکل مستقیماً به رویه‌های رمزنگاری - انتقال و اعتبارسنجی پیام‌های محرمانه - مربوط نمی‌شود، بلکه بر اساس همان اصل کلید عمومی است ، یعنی امکان انجام عملیاتی که معکوس آن برای محاسبه فوری قابل دسترسی نیست، مگر اینکه مقداری وجود داشته باشد. اطلاعات اضافی
در این حالت، آلیس و باب متقابلاً یک تابع ترفند f را انتخاب می کنند. بنابراین، آلیس، برای مثال، مقدار x آرگومان را ثابت می‌کند، f (x) را محاسبه می‌کند و به باب پیشنهاد می‌کند که به طور تصادفی خاصیتی از x را انتخاب کند که احتمال درستی آن 50٪ است: برای مثال، وقتی x یک عدد کامل است، از او می خواهد بگوید زوج است یا فرد. واضح است که برای باب ردیابی از f (x) تا x غیرممکن است: اگر او درست حدس بزند، پیروزی در تساوی متعلق به اوست، در غیر این صورت از آن آلیس است و خود باب می تواند به راحتی خود را در این مورد متقاعد کند. انتخاب تصادفی و منصفانه بود، همانطور که در قرعه کشی لازم بود.
معمولاً حتی برای رویه ای از این نوع جالب ترین توابع از نظریه اعداد گرفته می شود. در اینجا یکی است که از یک ویژگی غیر پیش پا افتاده استفاده می کند: مانند انتخاب کلید عمومی، آلیس دو عدد اول بسیار بزرگ p و q را ثابت می کند و حاصلضرب آنها n=p*q را محاسبه می کند . او ارزش n را به باب می گوید، اما نه فاکتورگیری را که طبق معمول راز اوست. به نوبه خود، باب نیز یک عدد صحیح u را بین 1 و n/2 انتخاب می کند ، u 2 (mod n) را محاسبه می کند و این عدد را به آلیس می رساند. آلیس به راحتی می تواند دو ریشه مربع u 2 را که در بازه (1,n/2) قرار گرفته اند پیدا کند زیرا او فاکتورگیری n را می داند و اگر مقدار u انتخاب شده توسط باب را حدس بزند، برنده قرعه کشی خواهد شد: زیرا این دقیقاً 50٪ شانس برنده شدن دارد. بنابراین آلیس انتخاب خود را به باب اعلام می کند، که تنها در صورتی می تواند موافقت کند که آلیس به درستی حدس زده باشد، زیرا در غیر این صورت از او خواسته می شود که بگوید جذر دیگر u 2 چیست ... اما او قادر به محاسبه آن نیست.

نتیجه گیری

اکنون واضح است که رمزنگاری - که به لطف نیازهای تجاری، دیپلماتیک و نظامی تکامل یافته است، اخیراً دنیای جاسوسان و ژنرال ها را رها کرده است (یا بهتر بگوییم دامنه عمل خود را گسترش داده است) و شامل عملیات هایی می شود که هر روز توسط همه انجام می شود. حوزه خصوصی و شخصی از این طریق بر مشکلاتی با ارزش اجتماعی و سیاسی تأثیر گذاشته است، دارای اهمیت اقتصادی و قانونی است، حریم خصوصی ما، آزادی بیان و محرمانه بودن ارتباطات ما را شامل می شود. این دیگر فقط یک واقعیت "فنی" نیست که در یک دنیای مهم کاربرد پیدا می کند، بلکه محدود و به علاوه برای آگاهی ما بیگانه است. نیاز به گره‌گشایی این شبکه از برنامه‌ها، تمایز پشتیبانی فنی از عملکرد، بهره‌برداری از کاربرد عملی و ارزش ایده‌آل آن، یک کار بسیار پیچیده است زیرا موضوع به سرعت تکامل می‌یابد، دائماً همگام با انتشار روش‌های محاسبه سریع و ارتباطات دیجیتال: در این رابطه شایسته است به کتاب گیوستوزی، مونتی و زیموئل [4] برای خواننده ایتالیایی اشاره شود. از سوی دیگر، پیچیدگی شدید مسائل مربوط به این واقعیت منعکس می شود که امروزه رمزنگاری خود را در تقاطع عملی و مفهومی رشته های علمی متعدد می بیند: حتی مشکل صرف پرداختن به واقعیت فنی ناب، صرف نظر از کاربردهای انجام شده. از آن، ما را وادار می کند تا با گشت و گذار در زمینه ماشین های محاسبه و نظریه اطلاعات، به روشی غیر پیش پا افتاده به نظریه الگوریتم ها و پیچیدگی محاسباتی روی آوریم : مجموعه ای از موضوعات بسیار مدرن، که در برخی موارد هنوز به دنبال رسمی بودن خود هستند. ساختار، با تأثیرات عمیق و متنوع بر یکدیگر، که از طریق آن وسعت مهارت های لازم تقویت می شود.

در مورد ریاضیات، امروزه به نظر می رسد نظریه اعداد موضوعی است که برای یافتن توابع ترفند و یافتن استراتژی های پیچیده الگوریتمی مناسب است. اما رمزنگاری همچنین به طور گسترده به تکنیک‌های آماری و روش‌های حساب احتمالات، ساختارهای جبری و اخیراً هندسه جبری نیز می‌پردازد.

همانطور که مشاهده می شود، در پوشش مدرن رمزنگاری کلید عمومی، یک زمینه تحقیقاتی با علاقه نظری بزرگ است که مستقیماً با ارزش برنامه ها مرتبط است، در واقع اغلب بلافاصله توسط نیازهای آنها دیکته می شود.
اما شایان ذکر است که منطقه زمانی سیستم های رمزنگاری کاملاً آزاد نیست. به دلایل امنیتی، برنامه‌های رمزگذاری در نظر گرفته شده برای برنامه‌های غیرنظامی تحت کنترل هستند و با برخی پیچش‌های خنده‌دار، با «سلاح‌های جنگی» با هدف ممنوعیت صادرات آن‌ها برابر می‌شوند: این داستان واقعی است که فیل زیمرمن، نویسنده کتاب به آن پرداخته است. نرم افزار PGP ( Pretty Good Privacy ) و مدافع متقاعد شده حق شخصی برای حفظ حریم خصوصی است که برنامه آن را دیگر نمی توان آزادانه از اینترنت دانلود کرد.
و بنابراین، به نوعی، رمزنگاری به اجبار به حوزه مشکلات نظامی، تحت پوشش محرمانه، "پس زده می شود".

https://matematica.unibocconi.eu/articoli/invito-alla-crittografia

+ نوشته شده در دوشنبه هفتم آبان ۱۴۰۳ ساعت 6:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه کوکستر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، یک گروه کوکستر ، به نام HSM کوکستر ، یک گروه انتزاعی است که یک توصیف رسمی از نظر بازتاب‌ها (یا آینه‌های کالیدوسکوپی ) را می‌پذیرد. در واقع، گروه های محدود کوکستر دقیقاً گروه های بازتاب اقلیدسی محدود هستند . برای مثال، گروه تقارن هر چند وجهی منتظم یک گروه کاکستر محدود است. با این حال، همه گروه‌های کاکستر متناهی نیستند و نمی‌توان همه را از نظر تقارن و بازتاب‌های اقلیدسی توصیف کرد. گروه های کوکستر در سال 1934 به عنوان انتزاع گروه های بازتاب معرفی شدند، [1] و گروه های کوکستر محدود در سال 1935 طبقه بندی شدند .

گروه های کوکستر در بسیاری از زمینه های ریاضی کاربرد پیدا می کنند. نمونه هایی از گروه های محدود کوکستر شامل گروه های تقارن چند توپی منظم و گروه های ویل از جبرهای ساده لی است . نمونه‌هایی از گروه‌های بی‌نهایت کاکستر شامل گروه‌های مثلثی مربوط به تسلیحات منظم صفحه اقلیدسی و صفحه هذلولی ، و گروه‌های ویل جبرهای بی‌بعد کک - مودی است . [3] [4] [5]

تعریف [ ویرایش ]

به طور رسمی، یک گروه کوکستر را می توان به عنوان یک گروه با ارائه تعریف کرد

$\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$

جایی که $m_{ii}=1$ و $m_{ij}=m_{ji}\geq 2$ یا عدد صحیح است یا $\infty$ برای $i\neq j$ . در اینجا، شرایط $m_{ij}=\infty$ به این معنی که هیچ رابطه ای از فرم وجود ندارد $(r_{i}r_{j})^{m}=1$ برای هر عدد صحیح $m\geq 2$ باید تحمیل شود.

جفت $(W,S)$ جایی که $W$ یک گروه کوکستر با مولد است $S=\{r_{1},\dots,r_{n}\}$ سیستم کوکستر نامیده می شود . توجه داشته باشید که به طور کل $S$ به طور منحصر به فرد توسط تعیین نمی شود $W$ . به عنوان مثال، گروه های کوکستر از نوع $B_{3}$ و $A_{1}\times A_{3}$ هم شکل هستند اما سیستم های کوکستر معادل نیستند، زیرا اولی دارای 3 مولد و دومی دارای 1 + 3 = 4 مولد است (برای توضیح این نماد به زیر مراجعه کنید).

از تعریف فوق بلافاصله می توان چند نتیجه گرفت.

ارتباط $m_{ii}=1$ یعنی که $(r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1$ برای همه $i$ ; به این ترتیب مولدها دگرگونی هستند .
اگر $m_{ij}=2$ ، سپس مولدها $r_{i}$ و $r_{j}$ رفت و آمد این امر با مشاهده آن نتیجه می گیرد

$xx=yy=1$ ،

با هم

$xyxy=1$

دلالت دارد

$xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx$ .

متناوبا، از آنجایی که مولدها انفولشن هستند، $r_{i}=r_{i}^{-1}$ ، بنابراین

$1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^ {-1}r_{j}^{-1}$ . یعنی کموتاتور از $r_{i}$ و $r_{j}$ برابر 1 یا معادل آن است $r_{i}$ و $r_{j}$ رفت و آمد

دلیل اینکه $m_{ij}=m_{ji}$ برای $i\neq j$ در تعریف آمده است که

$yy=1$ ،

با هم

$(xy)^{m}=1$

قبلاً به آن اشاره دارد

$(yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1$ .

شاهد جایگزین این استلزام این است که $(xy)^{k}$ و $(yx)^{k}$ مزدوج هستند : در واقع

$y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}$ .

ماتریس کوکستر و ماتریس شلافلی [ ویرایش ]

ماتریس کوکستر است $n\times n$ ماتریس متقارن با ورودی ها $m_{ij}$ . در واقع، هر ماتریس متقارن با ورودی های مورب منحصراً 1 و ورودی های غیر مورب در مجموعه $\{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}$ یک ماتریس کوکستر است.

ماتریس کوکستر را می توان به راحتی توسط گراف کوکستر ، طبق قوانین زیر، کدگذاری کرد.

رئوس گراف با زیرنویس های مولد برچسب گذاری می شوند.
رگه ها $i$ و $j$ اگر و فقط اگر مجاور هستند $m_{ij}\geq 3$ .
یک لبه با مقدار برچسب گذاری شده است $m_{ij}$ هر زمان که ارزش باشد $4$ یا بزرگتر

به طور خاص، دو مولد اگر و فقط در صورتی که توسط یک لبه به یکدیگر متصل نباشند، رفت و آمد می کنند. علاوه بر این، اگر یک گراف کاکستر دارای دو یا چند جزء متصل باشد ، گروه مرتبط ضرب مستقیم گروه‌های مرتبط با اجزای جداگانه است. بنابراین اتحاد متمایز گرافهای کوکستر یک ضرب مستقیم از گروه های کوکستر به دست می دهد.

ماتریس کاکستر، $M_{ij}$ ، مربوط به $n\times n$ ماتریس شلافلی $C$ با ورودی ها $C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})$ ، اما عناصر اصلاح شده اند و متناسب با حاصلضرب نقطه مولدهای زوجی هستند. ماتریس شلافلی مفید است زیرا مقادیر ویژه آن تعیین می کند که آیا گروه کوکستر از نوع محدود (همه مثبت)، نوع آفین (همه غیر منفی، حداقل یک صفر) یا نوع نامعین (در غیر این صورت) است. نوع نامشخص گاهی اوقات بیشتر تقسیم می شود، به عنوان مثال به گروه های هذلولی و دیگر گروه های کوکستر. با این حال، چندین تعاریف غیر معادل برای گروه های کوکستر هذلولی وجود دارد.

+ نوشته شده در جمعه ششم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 16:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تئوری کج کردن

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(برگرفته از تابعگر کاکستر )

به نظر می رسد که کاربردهایی از تابع های ما وجود دارد که از تبدیل های مشابهی استفاده می کنند که ما دوست داریم آنها را به عنوان یک تغییر پایه برای یک سیستم ریشه ثابت در نظر بگیریم - یک کج شدن محورها نسبت به ریشه ها که منجر به یک زیر مجموعه متفاوت می شود. ریشه هایی که در مخروط مثبت قرار دارند. ... به همین دلیل، و از آنجایی که کلمه 'tilt' به راحتی عطف می شود، ما تابع های خود را تابع tilting یا به سادگی tilts می نامیم .

برنر و باتلر (1980 ، ص 103)

در ریاضیات ، به‌ویژه نظریه بازنمایی ، نظریه کج راهی را برای ارتباط بین دسته‌های مدول دو جبر با استفاده از به اصطلاح مدول‌های کج و تابع‌های کج مرتبط توصیف می‌کند . در اینجا جبر دوم جبر درون شکلی یک مدول کج بر جبر اول است.

انگیزه تئوری کج‌سازی معرفی تابع‌های بازتاب توسط جوزف برنشتین ، اسرائیل گلفاند و VA Ponomarev ( 1973 ) بود. از این تابع ها برای ارتباط بازنمایی دو کوک استفاده شد . این تابع ها توسط موریس آسلندر ، ماریا اینس پلاتزک ، و ایدون ریتن ( 1979 ) مجدداً فرموله شدند و توسط شیلا برنر و مایکل سی آر باتلر ( 1980 ) که تابع های کج را معرفی کردند، تعمیم داده شدند. دیتر هاپل و کلاوس مایکل رینگل ( 1982 ) جبرهای کج و مدول های کج را به عنوان تعمیم بیشتر این موضوع تعریف کردند.

تعاریف [ ویرایش ]

فرض کنید که A یک جبر انجمنی واحد با بعد محدود در یک میدان است . یک مدول A - T که به طور متناهی تولید می شود ، در صورتی که دارای سه ویژگی زیر باشد، مدول کج نامیده می شود :

T دارای بعد تصویری حداکثر 1 است، به عبارت دیگر ضریب یک مدول تصویری توسط یک زیر مدول تصویری است .
خارج1
A( T ، T ) = 0.
مدول A سمت راست هسته یک مورفیسم سطحی بین مجموع مستقیم محدود مجموع مستقیم T است .

با توجه به چنین مدول کج، جبر اندومورفیسم B = End A ( T ) را تعریف می کنیم. این یکی دیگر از جبرهای محدود بعدی است و T یک مدول B سمت چپ به طور متناهی تولید شده است . تابع های کج Hom A ( T ,-)، Ext1
A( T ,-)، -⊗ B T و Torب
1(-، T ) دسته mod- A مدول های راست A محدود تولید شده را به دسته mod- B مدول های راست B- مدول های محدود تولید شده مرتبط می کند.

در عمل اغلب جبرهای محدود وراثتی A را در نظر می گیریم زیرا دسته بندی های مدول در این جبرها به خوبی درک شده اند. جبر درون شکلی یک مدول کج بر روی یک جبر با ابعاد محدود ارثی، جبر کج نامیده می شود .

حقایق [ ویرایش ]

فرض کنید A یک جبر با بعد محدود است، T یک مدول کج بر روی A است ، و B = پایان A ( T ) است. F = Hom A ( T ,−)، F′ = Ext را بنویسید1
A( T ,-)، G = −⊗ B T و G′ = Tor
1(-، T ). F در کنار G و F به سمت راست به G است .

برنر و باتلر (1980) نشان دادند که تابع‌های کج معادل‌هایی را بین زیرمجموعه‌های خاصی از mod- A و mod- B ایجاد می‌کنند . به طور مشخص، اگر دو زیر مجموعه را تعریف کنیم ${\mathcal {F}}=\ker(F)$ و ${\mathcal {T}}=\ker(F')$ از A -mod، و دو زیرمجموعه ${\mathcal {X}}=\ker(G)$ و ${\mathcal {Y}}=\ker(G')$ از B -mod، سپس $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ یک جفت پیچشی در A -mod است (یعنیتی ${\mathcal {T}}$ و ${\mathcal {F}}$ حداکثر زیرمجموعه با ویژگی هستند $\operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0$ ; این بدان معناست که هر M در A -mod یک دنباله دقیق کوتاه طبیعی را می پذیرد $0\to U\to M\to V\to 0$ با U در ${\mathcal {T}}$ و V در ${\mathcal {F}}$ و $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ ،یک جفت پیچشی در B -mod است. علاوه بر این، محدودیت‌های تابع‌های F و G معادل‌های معکوس بین آن‌ها ایجاد می‌کنندتی ${\mathcal {T}}$ و ${\mathcal {Y}}$ ، در حالی که محدودیت های F' و G' معادل های معکوس بین ${\mathcal {F}}$ و ${\mathcal {X}}$ . (توجه داشته باشید که این معادلات ترتیب جفت های پیچشی را تغییر می دهند $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ و $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ .)

نظریه کج شدن ممکن است به عنوان تعمیم معادل موریتا در نظر گرفته شود که اگر T یک مولد تصویری باشد بازیابی می شود . در این مورد ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ و=مد-ب ${\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} -B$ .

اگر A بعد جهانی محدود داشته باشد ، B نیز دارای بعد جهانی محدود است، و اختلاف F و F' باعث ایجاد ایزومتریکی بین گروه های گروتندیک K 0 ( A ) و K 0 ( B ) می شود.

در صورتی که A ارثی است (یعنی B جبر کج است)، بعد جهانی B حداکثر 2 و جفت پیچشی است. $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ تقسیم می شود، یعنی هر شی تجزیه ناپذیر B -mod یا در است ${\mathcal {X}}$ یا در ${\mathcal {Y}}$ .

هاپل (1988) و کلین ، پرشال و اسکات (1986) نشان دادند که به طور کلی A و B معادل مشتق شده اند (یعنی دسته های مشتق شده Db ( A -mod) و Db ( B - mod) معادل دسته های مثلثی هستند ).

تعمیم ها و پسوندها [ ویرایش ]

یک مدول کج تعمیم یافته بر روی جبر بعدی محدود A یک مدول A راست T با سه ویژگی زیر است:

T دارای بعد تصویری محدود است.
خارجمن
A( T , T ) = 0 برای همه i > 0.
یک توالی دقیق وجود دارد $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ که در آن T i مجموع مستقیم متناهی از مجموع مستقیم T هستند .

این مدول‌های کج تعمیم‌یافته همچنین معادل‌های مشتق‌شده بین A و B را به دست می‌دهند که در آن B = پایان A ( T ) است.

ریکارد (1989) نتایج را در مورد هم ارزی مشتق شده با اثبات این که دو جبر محدود بعدی R و S معادل مشتق شده اند اگر و فقط اگر S جبر درون شکلی یک "مختلط کج" بر روی R باشد . مجتمع‌های کج‌سازی تعمیم‌های مدول‌های کج‌سازی تعمیم‌یافته هستند. نسخه ای از این قضیه برای حلقه های دلخواه R و S معتبر است .

هاپل، رایتن و اسمالو (1996) اشیاء کج را در دسته‌های آبلی ارثی تعریف کردند که در آن همه فضاهای Hom و Ext بر روی برخی از میدان‌های جبری بسته k دارای ابعاد محدود هستند . جبرهای اندومورفیسم این اجسام کج، جبرهای شبه کج ، تعمیم جبرهای کج هستند. جبرهای شبه شیبدار روی k دقیقاً جبرهای محدود بعدی بر روی k با بعد جهانی ≤ 2 هستند، به طوری که هر مدول تجزیه ناپذیر یا دارای بعد تصویری ≤ 1 یا بعد تزریقی ≤ 1 است . هاپل (2001) دسته های آبلی ارثی را طبقه بندی کرد که می توانند ظاهر شوند. در ساخت بالا

Colpi & Fuller (2007) اشیاء کج T را در یک دسته آبلی دلخواه C تعریف کردند . تعریف آنها مستلزم آن است که C حاوی مجموع مستقیم تعداد دلخواه (احتمالاً نامتناهی) از کپی های T باشد ، بنابراین این تعمیم مستقیم وضعیت ابعاد محدود در نظر گرفته شده در بالا نیست. با توجه به چنین جسمی کج با حلقه درون‌مورفیسم R ، آنها تابع‌های کج‌کننده‌ای را ایجاد می‌کنند که معادل‌هایی را بین یک جفت پیچشی در C و یک جفت پیچشی در R -Mod، دسته‌بندی همه مدول‌های R ، فراهم می‌کنند .

از نظریه جبرهای خوشه‌ای، تعریف دسته‌بندی خوشه‌ای (از Buan و همکاران (2006) ) و جبر کج‌شده خوشه‌ای ( Buan, Marsh & Reiten (2007) ) که به جبر ارثی A مرتبط است، به دست آمد . یک جبر کج خوشه ای از جبر کج به عنوان یک محصول نیمه مستقیم خاص ناشی می شود ، و دسته خوشه ای A خلاصه ای از دسته بندی های مدول جبرهای کج خوشه ای برخاسته از A است .

منابع [ ویرایش ]

آنجلری هوگل، لیدیا ; هاپل، دیتر؛ کراوز، هنینگ، ویرایش. (2007)، کتابچه راهنمای تئوری کج شدن (PDF) ، مجموعه یادداشت های سخنرانی انجمن ریاضی لندن، جلد. 332، انتشارات دانشگاه کمبریج ، doi : 10.1017/CBO9780511735134 ، ISBN 978-0-521-68045-5، MR 2385175
عاصم، ابراهیم (1990). "تئوری کج کردن - یک مقدمه" (PDF) . در بالسرزیک، استانیسلاو؛ یوزفیاک، تادئوش؛ کرمپا، جان؛ سیمسون، دانیل؛ ووگل، ولفگانگ (ویرایشگران). مباحث جبر، قسمت 1 (ورشو، 1988) . انتشارات مرکز باناخ. جلد 26. ورشو: PWN. ص 127-180. doi : 10.4064/-26-1-127-180 . MR 1171230 .
آسلندر، موریس ؛ پلاتزک، ماریا اینس؛ Reiten، Idun (1979)، "Functors Coxeter بدون نمودار"، Transactions of the American Mathematical Society , 250 : 1-46, doi : 10.2307/1998978 ، ISSN 0002-9947 ، M8R3058 ، JSTOR3059 .
برنشتین، ایوسف ن . گلفاند، ایزرائیل م . Ponomarev, VA (1973), "Functors Coxeter, and Gabriel's theorem" ، Russian Mathematical Surveys , 28 (2): 17-32, Bibcode : 1973RuMaS..28...17B , CiteSeerX 10.1.1.1.670 , do . /RM1973v028n02ABEH001526 ، ISSN 0042-1316 ، MR 0393065
برنر، شیلا؛ باتلر، مایکل CR (1980)، "تعمیم تابع های بازتابی برنشتاین-گلفاند-پومارف"، نظریه بازنمایی، II (Proc. Second Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979) یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، ج. 832، برلین، نیویورک: Springer-Verlag ، صفحات 103–169، doi : 10.1007/BFb0088461 ، ISBN 978-3-540-10264-9MR 0607151 _
بوان، عسلاک; مارش، رابرت ؛ راینکه، مارکوس؛ ریتن، ایدون ; تودوروف، گوردانا (2006) ، "تئوری کج و ترکیبات خوشه"، پیشرفت‌ها در ریاضیات ، 204 (2): 572–618، arXiv : math /0402054 ، doi : 10.1016 / j.aim.2005.06.2.2 . 15318919
بوان، عسلاک; مارش، رابرت ؛ Reiten، Idun (2007)، "جبرهای خوشه ای"، معاملات انجمن ریاضی آمریکا ، 359 ( 1): 323-332، doi : 10.1090/s0002-9947-06-03879-7 ، M.M.
کلین، ادوارد؛ پرشال، برایان؛ اسکات، لئونارد (1986)، "مقولات مشتق شده و نظریه موریتا"، جبر، 104 ( 2): 397-409، doi : 10.1016/0021-8693(86)90224-3 ، MR 0866784
کولپی، ریکاردو؛ فولر، کنت آر. (فوریه 2007)، "اشیاء کج در دسته‌های آبلی و حلقه‌های کواسیتیل شده" (PDF) ، تراکنش‌های انجمن ریاضی آمریکا ، 359 (2): 741-765، doi : 10.1090-1020-6904 03909-2
هاپل، دیتر؛ ریتن، ایدون ; Smalø، Sverre O. (1996)، "کج شدن در مقوله های آبلی و جبرهای شبه تیز"، خاطرات انجمن ریاضی آمریکا ، 575
هاپل، دیتر؛ Ringel, Claus Michael (1982), "Tilted Algebras", Transactions of the American Mathematical Society , 274 (2): 399–443, doi : 10.2307/1999116 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 0002-9947 , JSTOR 7906 , JSTOR 3906
هاپل، دیتر (1988)، مقوله های مثلثی در نظریه نمایش جبرهای محدود بعدی ، مجموعه یادداشت های سخنرانی انجمن ریاضی لندن، جلد. 119، انتشارات دانشگاه کمبریج، doi : 10.1017/CBO9780511629228 ، ISBN 9780521339223
هاپل، دیتر (2001)، "مشخص سازی مقوله های ارثی با شی کج"، اختراع. ریاضی. , 144 (2): 381–398, Bibcode : 2001InMat.144..381H , doi : 10.1007/s002220100135 , S2CID 120437744
ریکارد، جرمی (1989)، "نظریه موریتا برای مقولات مشتق شده"، مجله انجمن ریاضی لندن ، 39 (2): 436-456، doi : 10.1112/jlms/s2-39.3.436
Unger, L. (2001) [1994]، "Tilting Theory" ، دایره المعارف ریاضیات ، EMS Press

https://en.wikipedia.org/wiki/Tilting_theory

+ نوشته شده در جمعه ششم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 14:17 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس یکانی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای ماتریس‌هایی که دارای قائم به میدان عدد حقیقی هستند، به ماتریس متعامد مراجعه کنید. برای محدودیت در تکامل مجاز سیستم های کوانتومی که مجموع احتمالات همه نتایج ممکن هر رویداد را تضمین می کند همیشه برابر با 1 است، به وحدت مراجعه کنید. الف>

در جبر خطی، یک ماتریس مربع مختلط معکوس U یکانی است اگر باشد ترانهاده مزدوج U* نیز معکوس

$U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,$

که در آن I ماتریس همانی است.

در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی، جابه‌جایی مزدوج به عنوان هرمیتین الحاقی یک ماتریس شناخته می‌شود و با علامت < نشان داده می‌شود. (†)، بنابراین معادله بالا نوشته شده است خنجر

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$

برای اعداد حقیقی، آنالوگ یک ماتریس یکانی یک ماتریس متعامد است. . ماتریس های یکانی در مکانیک کوانتومی اهمیت قابل توجهی دارند زیرا نرمها و بنابراین، دامنه های احتمال< را حفظ می کنند. a i=8>.

خواص[ویرایش]

برای هر ماتریس یکانی U با اندازه محدود، موارد زیر را نگه دارید:

با توجه به دو بردار مختلط x و y، ضرب توسط U ضرب داخلی خود را حفظ می کند. یعنی 〈Ux، Uy〉 .
U طبیعی است ( $U^{*}U=UU^{*}$ ).
U قطری شدنی است. یعنی U به طور یکانی شبیه به یک ماتریس قطری است. نتیجه قضیه طیفی. بنابراین، U دارای تجزیه به شکل است. $U=VDV^{*}،$ که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
$\left|\det(U)\right|=1$ . به این معنا که، $\det(U)$ روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
فضاهای ویژه آن متعامد هستند.
U را می توان به صورت U = e< نوشت >H است.ماتریس هرمیتی یک یکانی مختلط است و i، است ماتریس نمایی نشان دهنده e، که در آن iH

برای هر عدد صحیح n غیر منفی، مجموعه همه n * n ماتریس های یکانی با ضرب ماتریس یک گروه. (n)Uگروه یکانی ، به نام

هر ماتریس مربعی با نرم اقلیدسی یکانی، میانگین دو ماتریس یکانی است.<[1]

شرایط معادل[ویرایش]

اگر U یک ماتریس مربع و مختلط باشد، شرایط زیر معادل هستند:[2 ]

$U$ یکانی است
$U^{*}$ یکانی است
$U$ معکوس است با $U^{-1}=U^{*}$ .
ستون های $U$ از مبنای متعارف از تشکیل می شود $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $U^{*}U=I$ .
ردیف های $U$ یک پایه متعارف از $\mathbb {C} ^{n}$ با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر، $UU^{*}=I$ .
$U$ یک ایزومتی با توجه به نرم معمول است. یعنی $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ برای همه $x\in \mathbb {C} ^{n}$ ، جایی که ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$ .
$U$ یک ماتریس نرمال است (به طور معادل، یک مبنای متعارف وجود دارد که توسط بردارهای ویژه تشکیل شده است. $U$ ) با مقدارهای ویژه که روی دایره یکانی قرار دارد.

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**

یک عبارت کلی از ماتریس یکانی *2 2 است

$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix} },\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,$

که به 4 پارامتر حقیقی بستگی دارد (فاز a، فاز b چنین ماتریسی باشد تعیین). فرم به گونه ای پیکربندی شده است که φ، و زاویه b و a، قدر نسبی بین

$\det(U)=e^{i\varphi }~.$

زیر گروه آن عناصر $\ U\$ با $\ \det(U)=1\$ گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.

در میان چندین شکل جایگزین، ماتریس U را می توان به این شکل نوشت:

$\ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^ {-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,$

آ $\ e^{i\alpha }\cos \theta =a\$ و ه ، $\ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,$ بالا و زوایای $\ \varphi،\alpha،\beta،\theta \$ می تواند هر مقداری را بگیرد.

از طریق معرفی $\\alpha =\psi +\delta \$ و ، $\ \beta =\psi -\delta \ ,$ فاکتورسازی زیر را دارد:

$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\ begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }& 0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.$

این عبارت رابطه بین 2*2 ماتریس های یکانی و 2 * 2 . θ زاویه ماتریس های متعامد

فاکتورگیری دیگر<[3] است

$U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.$

بسیاری از عوامل دیگر یک ماتریس یکانی در ماتریس های پایه امکان پذیر است.[4][5][6]<[7]

همچنین ببینید<[ویرایش]

ماتریس هرمیتی و

ماتریس کج-هرمیتین

تجزیه ماتریس
گروه متعامد O(n)
گروه متعامد خاص SO(n)
ماتریس متعامد
ماتریس نیمه متعامد
دروازه منطق کوانتومی
گروه یونیتی ویژه SU(n)
ماتریس سمپلتیک
گروه یکانی U(n)
اپراتور یکانی

مراجع ]ویرایش]

^ لی، چی کوانگ؛ پون، ادوارد (2002). "تجزیه افزودنی ماتریس های حقیقی". جبر خطی و چند خطی. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.
^ هورن، راجر آ. جانسون، چارلز آر (2013). تحلیل ماتریس. انتشارات دانشگاه کمبریج. doi:10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
^ فور، هارتموت؛ Rzeszotnik، Ziemowit (2018). "نکته ای در مورد فاکتورگیری ماتریس های یکانی". جبر خطی و کاربردهای آن. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN0024-3795. S2CID125455174.
^ ویلیامز، کالین پی. (2011). "دروازه های کوانتومی". در ویلیامز، کالین پی. اکتشافات در محاسبات کوانتومی. متون در علوم کامپیوتر. لندن، انگلستان: Springer. پ. 82. doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2 ISBN 978-1-84628-887-6.
^ نیلسن، M.A.؛ چوانگ، آیزاک (2010). محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی. کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
^ بارنکو، آدریانو؛ بنت، چارلز اچ. کلیو، ریچارد؛ دیوینچنزو، دیوید پی. مارگولوس، نورمن؛ شور، پیتر؛ و همکاران (1 نوامبر 1995). "دروازه های ابتدایی برای محاسبات کوانتومی". بازبینی فیزیکی A. انجمن فیزیک آمریکا (APS). 52 (5): 3457–3467، esp.p. 3465. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN1050-2947. PMID9912645. S2CID8764584.
^ مرویان، ایمان (10 ژانویه 2022). "محدودیت‌های عملیات یکانی قابل تحقق که توسط تقارن و محل اعمال می‌شود". فیزیک طبیعت. 18 (3): 283-289. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN1745-2481. S2CID245840243.
همچنین ببینید:
Alhambra، lvaro M. (10 ژانویه 2022). "ممنوع با تقارن". اخبار & بازدیدها فیزیک طبیعت. 18 (3): 235–236. doi:10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN 1745-2481. S2CID 256745894. فیزیک سیستم های بزرگ اغلب به عنوان نتیجه عملیات محلی در میان اجزای آن درک می شود. اکنون نشان داده شده است که این تصویر ممکن است در سیستم های کوانتومی که برهمکنش های آنها توسط تقارن محدود شده است ناقص باشد.

پیوندهای خارجی[ویرایش]

وایسستاین، اریک دبلیو. "ماتریس یکانی". MathWorld. تاد رولند.
Ivanova, O. A. (2001) [1994]، "ماتریس یکانی"، دانشنامه ریاضیات، پرس EMS
"نشان دهید که مقادیر ویژه یک ماتریس یکانی دارای مدول 1 هستند". Stack Exchange. 28 مارس 2016

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و ششم آذر ۱۴۰۲ ساعت 11:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مزدوج مختلط (پیچیده) یک ماتریس

در این پست توضیح می دهیم که ماتریس مزدوج چیست و چگونه می توان مزدوج مختلط یک ماتریس را پیدا کرد. علاوه بر این، نمونه ای از مزدوج یک ماتریس و تمام ویژگی های این نوع ماتریس را به شما نشان می دهیم.

فهرست مطالب

ماتریس مزدوج چیست؟

تعریف ماتریس مزدوج پیچیده به شرح زیر است.

ماتریس مزدوج ماتریس مختلطی است که تمام عناصر آن با مزدوج های مختلط خود جایگزین شده اند، یعنی علامت قسمت مختلط تمام اعداد مختلط آن تغییر کرده است.

ماتریس مزدوج با یک نوار افقی بالای آن نشان داده می شود: $\overline{A}.$

مثالی از مزدوج یک ماتریس

وقتی معنی ماتریس مزدوج را دیدیم، بیایید مثالی را برای درک کامل مفهوم ببینیم:

مثالی از یک ماتریس مزدوج 3x3،

ماتریس $\overline{A}$ مزدوج ماتریس A است، زیرا تمام ورودی های ماتریس $\overline{A}$ مزدوج هستند. به عبارت دیگر، اعداد در ماتریس $\overline{A}$ دارای قسمت واقعی یکسان با اعداد در ماتریس A هستند، اما قسمت مختلط آنها دارای علامت مخالف هستند.

خواص ماتریس مزدوج

ویژگی های ماتریس مزدوج به شرح زیر است:

مزدوج یک ماتریس مزدوج منجر به ماتریس اصلی می شود.

$\displaystyle \overline{\bigl( \ \overline{A} \vphantom{A^{9^1}} \ \bigr)} = A$

اضافه کردن (یا تفریق) دو ماتریس و به هم پیوستن نتیجه، مانند این است که ابتدا دو ماتریس را به طور جداگانه به هم متصل کنید و سپس آنها را جمع کنید (یا تفریق کنید).

$\displaystyle \overline{\bigl(A \pm B \bigr)} = \overline{A} \pm \overline{B}$

ببینید: جمع و تفریق ماتریس ها .

حاصلضرب مزدوج دو ماتریس برابر است با مزدوج کردن دو ماتریس به طور جداگانه و سپس محاسبه ضرب ماتریس.

$\displaystyle \overline{\bigl(A \cdot B \bigr)} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

نگاه کنید به: ضرب ماتریسی .

ضرب یک ماتریس در یک اسکالر و به هم زدن نتیجه مانند این است که ابتدا مزدوج های اسکالر و ماتریس را انجام داده و سپس حاصل را حل کنیم.

$\displaystyle \overline{\bigl(k \cdot A \bigr)} = \overline{k} \cdot \overline{A}$

جابجایی یک ماتریس و سپس کونژوگه کردن آن مانند این است که ابتدا ماتریس را مزدوج کرده و سپس انتقال آن را محاسبه کنیم.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^T \bigr)} = \left( \overline{A}\right)^T$

با محاسبه معکوس یک ماتریس و سپس مزدوج آن، ابتدا ماتریس و سپس معکوس آن یکسان است.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^{-1} \bigr)} = \left(\overline{A} \راست)^{-1}$

رتبه یک ماتریس مزدوج برابر با رتبه ماتریس اصلی است

$\displaystyle rk\left(\overline{A}\right) =rk(A)$

محاسبه اثرماتریس مزدوج یا محاسبه رد ماتریس غیر مزدوج و سپس انجام مزدوج نتیجه بی تفاوت است.

$\displaystyle tr\left(\overline{A}\right) =\overline{tr(A)}$

در نهایت، یافتن دترمینان یک ماتریس مزدوج برابر است با محاسبه مزدوج حاصل از دترمینان ماتریس اصلی.

$\displaystyle det\left(\overline{A}\right) = \overline{det(A)}$

منبع

https://www.algebrapracticeproblems.com/complex-conjugate-of-a-matrix/

+ نوشته شده در یکشنبه سیزدهم فروردین ۱۴۰۲ ساعت 11:16 توسط علی رضا نقش نیلچی |

13-نظریه نمایش گروه لورنتس

مسئله های باز [ ویرایش ]
طبقه بندی و توصیف نظریه نمایش گروه لورنتز در سال 1947 تکمیل شد. اما در ارتباط با برنامه بارگمن-ویگنر، هنوز مسائل کاملاً ریاضی حل نشده ای وجود دارد که به نمایش های واحد بینهای بعدی مرتبط است.
نمایش‌های واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر ممکن است ارتباط غیرمستقیم با حقیقیت فیزیکی در نظریه‌های مدرن نظری داشته باشند، زیرا گروه لورنتس (تعمیم‌شده) به عنوان گروه کوچکی از گروه پوانکاره از بردارهای فضامانند در بعد فضازمان بالاتر ظاهر می‌شوند. نمایش‌های واحد بی‌بعدی مربوط به گروه پوانکره (تعمیم‌یافته) به اصطلاح نمایش‌های تاکیونیک هستند . تاکیون ها در طیف رشته های بوزونی ظاهر می شوند و با ناپایداری خلاء همراه هستند. [161] [162] حتی اگر تاکیون ها ممکن است در طبیعت محقق نشوند، این نمایش ها باید از نظر ریاضی درک شوند.برای درک نظریه ریسمان این به این دلیل است که حالت های تاکیون در تئوری های ابر ریسمان نیز در تلاش برای ایجاد مدل های واقع گرایانه ظاهر می شوند. [163]
یکی از مشکلات باز، تکمیل برنامه بارگمن-ویگنر برای گروه ایزومتری SO( D -2,1 ) فضای زمان دی سیتر dSD- 2 است . در حالت ایده‌آل، مولفه‌های فیزیکی توابع موج بر روی هیپربولوئید dS D- 2 با شعاع μ > 0 تعبیه شده درو معادلات موج کوواریانت O( D- 2, 1) مربوط به نمایش واحد بی‌بعدی شناخته شود. [162]همچنین ببینید [ ویرایش ]معادلات بارگمن-ویگنرمرکز جرم (نسبیتی)جبر دیراکماتریس های گاماگروه لورنتستبدیل موبیوسگروه پوانکارهنظریه نمایش گروه پوانکارهتقارن در مکانیک کوانتومیطبقه بندی ویگنراظهارات [ ویرایش ]روشی که در آن یک تقارن فضازمان را نشان می‌دهد، بسته به تئوری موجود، ممکن است اشکال مختلفی داشته باشد. در حالی که موضوع حاضر نیست، برخی از جزئیات در پاورقی‌هایی با برچسب "nb" و در بخش برنامه‌ها ارائه خواهد شد.^ واینبرگ 2002 ، ص. 1 "اگر معلوم شود که یک سیستم را نمی توان با نظریه میدان کوانتومی توصیف کرد، یک احساس است، اگر معلوم شود که از قوانین مکانیک کوانتومی و نسبیت پیروی نمی کند، یک فاجعه است."↑ در سال 1945 هاریش چاندرا برای دیدن دیراک در کمبریج آمد. او متقاعد شد که برای فیزیک نظری مناسب نیست. هاریش-چاندرا در اثبات دیراک در کارش روی گروه لورنتس خطا پیدا کرده بود. دیراک گفت: "من به اثبات علاقه مند نیستم، بلکه فقط به آنچه طبیعت انجام می دهد علاقه دارم." هاریش چاندرا بعداً نوشت: "این اظهار نظر فزاینده اعتقاد من را تأیید کرد که حس ششم مرموزی را که برای موفقیت در فیزیک لازم است را ندارم و به زودی تصمیم گرفتم به ریاضیات بروم." با این حال دیراک موضوع پایان نامه خود را پیشنهاد کرد، طبقه بندی نمایش های بینهایت بعدی تقلیل ناپذیر گروه لورنتس. Dalitz & Peierls 1986 را ببینید^ فرمول (1) را در ماتریس S# از حالت های ذره آزاد برای چگونگی تبدیل حالت های چند ذره آزاد ببینید.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.4-5. واینبرگ ضرورت ایجاد و نابودی عملگرها را از ملاحظات دیگری، اصل تجزیه خوشه ای ، واینبرگ (2002 ، فصل 4) استنتاج^ ممکن است تجویزی برای نحوه رفتار ذره تحت تقارن CPT نیز لازم باشد.به عنوان مثال، نسخه هایی (معادلات میدان آزاد، یعنی بدون شرایط تعامل) از معادله کلاین-گوردون ، معادله دیراک ، معادلات ماکسول ، معادله پروکا ، معادله راریتا-شوینگر ، و معادلات میدان انیشتین وجود دارد که می توانند به طور سیستماتیک با شروع از یک نمایش داده شده از گروه لورنتس استنباط شود. به طور کلی، اینها در مجموع نسخه های نظریه میدان کوانتومی معادلات بارگمن-ویگنر هستند .
رجوع کنید به واینبرگ (2002 ، فصل 5)، تونگ (1985 ، بخش 10.5.2) و مراجع ارائه شده در این آثار.
لازم به ذکر است که نظریه های اسپین بالا ( s > 1 ) با مشکلاتی مواجه می شوند. به واینبرگ (2002 ، بخش 5.8)، در زمینه های عمومی ( m ، n ) مراجعه کنید، جایی که این مورد به طور عمیق مورد بحث قرار گرفته است، و ارجاعاتی در آن وجود دارد. ذرات اسپین بالا بدون شک وجود دارند ، به عنوان مثال، هسته ها، آنهایی که شناخته شده اند فقط ابتدایی نیستند .^ برای بخشی از نظریه نمایش آنها، به Bekaert & Boulanger (2006) مراجعه کنید ، که به نظریه نمایش گروه پوانکر اختصاص دارد. این نمایش‌ها با روش نمایش‌های القایی یا در اصطلاح فیزیک، روش گروه کوچک به دست می‌آیند که توسط ویگنر در سال 1939 برای این نوع گروه پیش‌گام شد و جورج مکی در دهه 50بر پایه ریاضی محکمی قرار^ هال (2015 ، بخش 4.4.)
یکی می گوید که اگر هر نمایش به صورت مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر تجزیه شود ، گروهی دارای خاصیت تقلیل پذیری کامل است.↑ دیراک موضوع ویگنر (1939) را در اوایل سال 1928 پیشنهاد کرد (همانطور که در مقاله ویگنر تأیید شده است). او همچنین یکی از اولین مقالات را در مورد نمایش‌های واحد بی‌بعدی صریح در دیراک (1945) منتشر کرد ( Langlands 1985 )، و موضوعی را برای تز Harish-Chandra در طبقه‌بندی نمایش‌های بین‌بعدی تقلیل‌ناپذیر پیشنهاد کرد ( Dalitz & Peierls 1986 ).↑ Knapp 2001 ایزومورفیسم سوم نسبتاً مرموز در فصل 2، پاراگراف 4 به اثبات رسیده است.^ ضرب های تانسور بازنمودها، π g ⊗ π h ازمی تواند، زمانی که هر دو عامل از جبر لی یکسانی می آیندیا به عنوان نماینده ای ازیا.^ هنگام مختلط کردن جبر لی مختلط ، باید آن را جبر لی حقیقی با ابعاد حقیقی دو برابر بعد مختلط آن در نظر گرفت. به همین ترتیب، یک فرم حقیقی نیز ممکن است در واقع مختلط باشد، همانطور که در اینجا وجود دارد.↑ واینبرگ (2002 ، معادلات 5.6.7-8، 5.6.14-15) را باهال (2015 ، گزاره 4.18) درباره نمایش جبر لی نمایش های حاصلضرب تانسور گروهی ترکیب کنید.^ ویژگی "بی ردیابی" را می توان به صورت S αβ g αβ = 0 ، یا S α α = 0 ، یا S αβ g αβ = 0 بسته به ارائه میدان بیان کرد: به ترتیب کوواریانت، مختلط، و متضاد.^ این لزوماً با استفاده از قضیه نوتر مستقیماً از لاگرانژی متقارن نمی شود، اما می توان آن را به عنوان تانسور تنش-انرژی بلینفانت-روزنفلد تقارن کرد .^ این به شرطی است که برابری یک تقارن باشد. در غیر این صورت دو طعم وجود دارد، (3/2، 0) و (0،3/2) در قیاس با نوترینوها .^ اصطلاحات بین ریاضیات و فیزیک متفاوت است. در مقاله پیوندی، اصطلاح نمایش تصویری معنایی کمی متفاوت از فیزیک دارد، جایی که یک نمایش تصویری به عنوان یک بخش محلی (معکوس محلی) از نقشه پوششی از گروه پوشش دهنده به گروه تحت پوشش، با یک تصویر مناسب در نظر گرفته می شود. نمایندگی گروه پوشش از آنجایی که در موردی که در زیر توضیح داده شده است، می توان به طور مداوم (محلی) به دو روش انجام داد، اصطلاحات یک نمایش دو ارزشی یا دو ارزشی طبیعی است.^ به طور خاص، A با ماتریس های پائولی رفت و آمد می کند، از این رو با تمام SU(2) لم Schur را قابل اجرا می کند.^ به این معنی که هسته بی اهمیت است، برای دیدن این یادآوری که هسته یک هم شکل جبر لی یک ایده آل و در نتیجه یک زیرفضا است. از آنجایی کهp 2 :1 و هر دوو SO(3; 1) + 6 بعدی هستند ، هسته باید 0 -بعدی باشد ، بنابراین {0}.^ نقشه نمایی یک به یک در همسایگی هویت در استاز این رو ترکیبجایی که σ ایزومورفیسم جبر لی است، روی یک همسایگی باز U ⊂ SO(3; 1) + حاوی هویت است. چنین همسایگی مؤلفه متصل را تولید می کند.^ Rossmann 2002 از مثال 4 در بخش 2.1: این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد. ماتریس q دارای مقادیر ویژه {−1, −1} است، اما قابل قطریابی نیست . اگر q = exp( Q ) , آنگاه Q دارای مقادیر ویژه λ , - λ با λ = iπ + 2 πik برای برخی k است زیرا عناصربی ردی هستند اما Q قابل قطر است، از این رو q قابل قطر است، که یک تناقض است.↑ Rossmann 2002 ، گزاره 10، بند 6.3. این ساده ترین حالت با استفاده از نظریه شخصیت ثابت می شود .^ هر زیرگروه عادی گسسته از یک مسیر متصل گروه G در مرکز Z از G قرار دارد.
سالن 2015 ، تمرین 11، فصل 1.^ یک گروه Lie نیمه ساده هیچ زیرگروه عادی غیر گسسته آبلی ندارد. این را می توان به عنوان تعریف نیمه سادگی در نظر گرفت.^ یک گروه ساده هیچ زیرگروه عادی غیر گسسته ای ندارد.در مقابل، ترفندی وجود دارد که ترفند واحدی ویل نیز نامیده می‌شود، اما با ترفند واحدی که در بالا ذکر شد، ارتباطی ندارد و نشان می‌دهد که تمام نمایش‌های بُعد محدود واحد هستند یا می‌توان آنها را ساخت. اگر (Π, V ) یک نمایش محدود بعدی از یکگروه Lie فشرده G است و اگر (·, ·) هر حاصلضرب داخلی در V است، یک محصول داخلی جدید (·, ·) Π را با ( x , y ) تعریف کنید. = ∫ G (Π( g ) x , Π( g ) y dμ (g ) ، که در آن μ اندازه گیری هار در G است. سپس Π نسبت به (·, ·) Π واحد است. هال (2015 ، قضیه 4.28.) را ببینید
پیامد دیگر این است که هر گروه Lie فشرده خاصیت تقلیل پذیری کامل را دارد ، به این معنی که تمام نمایش های بعدی محدود آن به صورت مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر تجزیه می شوند . هال (2015 ، تعریف 4.24.، قضیه 4.28.)
همچنین درست است که هیچ نمایش واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیری از گروه‌های Lie فشرده وجود ندارد، اما در گرینر و مولر (1994 ، بخش 15.2) ثابت نشده است.↑ Lee 2003 Lemma A.17 (c). زیر مجموعه های بسته مجموعه های فشرده فشرده هستند.↑ Lee 2003 Lemma A.17 (a). اگر f : X → Y پیوسته است، X فشرده است، سپس f ( X ) فشرده است.^ عدم وحدت یک عنصر حیاتی در اثبات قضیه کلمن-ماندولا است ، که این مفهوم را دارد که برخلاف نظریه های غیرنسبیتی، هیچ تقارن معمولی وجود ندارد که ذرات اسپین های مختلف را به هم مرتبط کند. واینبرگ (2000) را ببینید^ این یکی از نتیجه گیری های قضیه Cartan است ، قضیه بالاترین وزن. هال (2015 ، قضایا 9.4-5.)^ سالن 2015 ، بخش 8.2 سیستم ریشه ترکیبی از دو کپی از A 1 است که در آن هر کپی در ابعاد خاص خود در فضای بردار تعبیه شده قرار دارد.^ Rossmann 2002 این تعریف معادل تعریف از نظر گروه Lie متصل است که جبر Lie جبر Lie سیستم ریشه مورد بررسی است.^ برای شرایط دقیقی که در آن دو روش فروبنیوس دو راه حل مستقل خطی به دست می دهندبه سیمونز (1972 ، بخش 30) مراجعه کنید. اگر توانها با یک عدد صحیح تفاوت نداشته باشند، همیشه اینطور است.↑ «این به همان اندازه نزدیک است که به منبع تئوری نمایش‌های بی‌بعدی گروه‌های نیمه‌ساده و تقلیلی می‌رسیم...» ، لانگلندز (1985 ، ص 204.)، با اشاره به متن مقدماتی در مقاله دیراک در سال 1945.توجه داشته باشید که برای فضای هیلبرت H ، HS( H ) ممکن است به صورت متعارف با حاصل ضرب تانسور فضای هیلبرت H و فضای مزدوج آن شناسایی شود.^ اگر بعد محدود درخواست شود، نتایج نمایش های ( m , n ) است، به Tung (1985 ، مسئله 10.8 مراجعه کنید.) اگر هیچکدام درخواست نشود، طبقه بندی وسیع تری از تمام نمایش های تقلیل ناپذیر به دست می آید، از جمله بعد محدود و واحدها این رویکرد در Harish-Chandra (1947) اتخاذ شده است .یادداشت ها [ ویرایش ]↑ بارگمن و ویگنر 1948↑ Bekaert & Boulanger 2006↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973↑ واینبرگ 2002 ، بخش 2.5، فصل 5.↑ تونگ 1985 ، بخش‌های 10.3، 10.5.^ تونگ 1985 ، بخش 10.4.↑ دیراک 1945^ a b c Harish-Chandra 1947^ a b گرینر و راینهارت 1996 ، فصل 2.^ واینبرگ 2002 ، پیشگفتار و مقدمه فصل 7.^ واینبرگ 2002 ، مقدمه فصل 7.↑ تونگ 1985 ، تعریف 10.11.↑ گرینر و مولر (1994 ، فصل 1)↑ گرینر و مولر (1994 ، فصل 2)^ تونگ 1985 ، ص. 203.↑ دلبورگو، سلام و استراتدی 1967^ واینبرگ (2002 ، بخش 3.3)^ واینبرگ (2002 ، بخش 7.4.)↑ تونگ 1985 ، مقدمه فصل 10.↑ تونگ 1985 ، تعریف 10.12.^ تونگ 1985 ، معادله 10.5-2.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.6-7.^ a b Tung 1985 ، معادله 10.5-18.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.1.11-12.^ تونگ 1985 ، بخش 10.5.3.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 6.4.↑ Zwiebach 2004 ، فصل 7.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 12.5.^ a b واینبرگ 2000 ، بخش 25.2.↑ Zwiebach 2004 ، آخرین پاراگراف، بخش 12.6.^ این حقایق را می توان در بیشتر متون مقدماتی ریاضیات و فیزیک یافت. به عنوان مثال Rossmann (2002) ، Hall (2015) و Tung (1985) را ببینید.^ هال (2015 ، قضیه 4.34 و بحث بعدی.)^ a b c Wigner 1939^ سالن 2015 ، پیوست D2.↑ گرینر و راینهارت 1996↑ واینبرگ 2002 ، بخش 2.6 و فصل 5.^ a b Coleman 1989 , p. 30.↑ لی 1888 ، 1890، 1893. منبع اولیه.^ کلمن 1989 ، ص. 34.↑ کشتن 1888 منبع اصلی.^ a b Rossmann 2002 ، نکات تاریخی پراکنده در متن.↑ Cartan 1913 منبع اصلی.^ گرین 1998 ، p=76.↑ Brauer & Weyl 1935 منبع اولیه.↑ تونگ 1985 ، مقدمه.↑ Weyl 1931 منبع اولیه.^ ویل 1939 منبع اولیه.↑ Langlands 1985 ، صفحات 203-205↑ Harish-Chandra 1947 منبع اصلی.↑ تونگ 1985 ، مقدمه^ ویگنر 1939 منبع اصلی.↑ کلادر 1999↑ Bargmann 1947 منبع اصلی.^ بارگمان یک ریاضیدان نیز بود . او به عنواندستیار آلبرت اینشتین در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون ( کلادر (1999) ) کار می کرد.↑ Bargmann & Wigner 1948 منبع اصلی.↑ دالیتز و پیرلز 1986↑ دیراک 1928 منبع اصلی.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.7-8.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.9-11.^ a b c Hall 2003 ، فصل 6.^ a b c d Knapp 2001^ این یک کاربرد Rossmann 2002 ، بخش 6.3، گزاره 10 است.^ a b Knapp 2001 ، ص. 32.^ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.6.16-17.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6. معادلات از معادلات 5.6.7-8 و 5.6.14-15 پیروی می کنند.^ a b Tung 1985^ لی 1888↑ Rossmann 2002 ، بخش 2.5.^ هال 2015 ، قضیه 2.10.↑ بوربکی 1998 ، ص. 424.^ واینبرگ 2002 ، بخش 2.7 ص.88.^ a b c d e Weinberg 2002 ، بخش 2.7.^ هال 2015 ، پیوست ج.3.^ ویگنر 1939 ، ص. 27.^ Gelfand, Minlos & Shapiro 1963 این ساخت گروه پوششی در پاراگراف 4، بخش 1، فصل 1 در بخش دوم بررسی شده است.↑ Rossmann 2002 ، بخش 2.1.^ هال 2015 ، اولین معادلات نمایش داده شده در بخش 4.6.^ سالن 2015 ، مثال 4.10.^ a b Knapp 2001 ، فصل 2.↑ Knapp 2001 Equation 2.1.^ هال 2015 ، معادله 4.2.^ هال 2015 ، معادله قبل از 4.5.↑ Knapp 2001 Equation 2.4.↑ Knapp 2001 ، بخش 2.3.↑ هال 2015 ، قضایا 9.4–5.↑ واینبرگ 2002 ، فصل 5.^ هال 2015 ، قضیه 10.18.^ هال 2003 ، ص. 235.^ هر متنی در مورد نظریه گروه پایه را ببینید.↑ Rossmann 2002 گزاره های 3 و 6 بند 2.5.^ هال 2003 به تمرین 1، فصل 6 مراجعه کنید.↑ Bekaert & Boulanger 2006 p.4.^ هال 2003 پیشنهاد 1.20.↑ لی 2003 ، قضیه 8.30.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6، ص. 231.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.6.^ واینبرگ 2002 ، ص. 231.↑ واینبرگ 2002 ، بخش‌های 2.5، 5.7.↑ تونگ 1985 ، بخش 10.5.^ واینبرگ 2002 این (بسیار مختصر) در صفحه 232 بیان شده است، به سختی بیشتر از یک پاورقی.^ هال 2003 ، گزاره 7.39.^ a b Hall 2003 ، قضیه 7.40.^ سالن 2003 ، بخش 6.6.^ هال 2003 ، مورد دوم در گزاره 4.5.^ هال 2003 ، ص. 219.↑ Rossmann 2002 ، تمرین 3 در بند 6.5.^ هال 2003 به پیوست D.3 مراجعه کنید^ واینبرگ 2002 ، معادله 5.4.8.^ a b واینبرگ 2002 ، بخش 5.4.^ واینبرگ 2002 ، صفحات 215-216.^ واینبرگ 2002 ، معادله 5.4.6.↑ واینبرگ 2002 بخش 5.4.↑ واینبرگ 2002 ، بخش 5.7، صفحات 232-233.^ واینبرگ 2002 ، بخش 5.7، ص. 233.↑ واینبرگ 2002 معادله 2.6.5.↑ واینبرگ 2002 معادله زیر 2.6.6.^ واینبرگ 2002 ، بخش 2.6.^ برای بحث مفصل در مورد چرخش 0،1/2و 1 مورد، Greiner & Reinhardt 1996 را ببینید.↑ واینبرگ 2002 ، فصل 3.↑ Rossmann 2002 برای مثال‌های بیشتر، هم ابعاد محدود و هم بی‌بعد، به بخش 6.1 مراجعه کنید.↑ گلفاند، مینلوس و شاپیرو 1963^ چرچیل و براون 2014 ، فصل 8 صفحات 307-310.^ گونزالس، PA; Vasquez, Y. (2014). "حالت های شبه طبیعی دیراک سیاهچاله های نوع جدید در گرانش عظیم جدید". یورو فیزیک جی سی . 74:2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Bibcode : 2014EPJC...74.2969G . doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 . ISSN 1434-6044 . S2CID 118725565 .↑ Abramowitz & Stegun 1965 ، معادله 15.6.5.↑ سیمونز 1972 ، بخش 30، 31.↑ سیمونز 1972 ، بخش 30.↑ سیمونز 1972 ، بخش 31.^ سیمونز 1972 ، معادله 11 در پیوست E، فصل 5.↑ Langlands 1985 ، ص. 205.↑ Varadarajan 1989 , Sections 3.1. 4.1.↑ Langlands 1985 ، ص. 203.↑ Varadarajan 1989 ، بخش 4.1.↑ Gelfand، Graev & Pyatetskii-Shapiro 1969↑ Knapp 2001 ، فصل دوم.^ a b Taylor 1986↑ Knapp 2001 Chapter 2. معادله 2.12.↑ بارگمن 1947↑ گلفاند و گرایف 1953↑ گلفاند و نایمارک 1947↑ تاکاهاشی 1963 ، ص. 343.↑ Knapp 2001 ، معادله 2.24.^ فولاند 2015 ، بخش 3.1.↑ Folland 2015 ، قضیه 5.2.^ تونگ 1985 ، بخش 10.3.3.↑ Harish-Chandra 1947 ، پاورقی ص. 374.↑ تونگ 1985 ، معادلات 7.3-13، 7.3-14.↑ Harish-Chandra 1947 ، معادله 8.^ سالن 2015 ، پیشنهاد C.7.^ سالن 2015 ، پیوست ج.2.^ تونگ 1985 ، مرحله دوم بخش 10.2.^ تونگ 1985 ، معادلات 10.3-5. نماد تونگ برای ضرایب کلبش-گوردان با آنچه در اینجا استفاده می شود متفاوت است.^ تونگ 1985 ، معادله VII-3.↑ تونگ 1985 ، معادلات 10.3-5، 7، 8.^ تونگ 1985 ، معادله VII-9.↑ تونگ 1985 ، معادلات VII-10، 11.^ تونگ 1985 ، معادلات VII-12.^ تونگ 1985 ، معادلات VII-13.^ واینبرگ 2002 ، معادله 2.4.12.↑ واینبرگ 2002 ، معادلات 2.4.18–2.4.20.↑ واینبرگ 2002 ، معادلات 5.4.19، 5.4.20.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 12.8.^ a b Bekaert & Boulanger 2006 , p. 48.↑ Zwiebach 2004 ، بخش 18.8.مراجع آنلاین رایگان در دسترس [ ویرایش ]بکارت، ایکس. Boulanger, N. (2006). "نمایش های واحد گروه پوانکر در هر بعد فضا-زمان". arXiv : hep-th/0611263 .نسخه گسترده سخنرانی های ارائه شده در دومین مدرسه تابستانی موداو در فیزیک ریاضی (بلژیک، اوت 2006).کرترایت، TL ; Fairlie، DB ; Zachos، CK (2014)، "یک فرمول فشرده برای چرخش ها به عنوان چندجمله ای های ماتریس چرخشی"، SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 4201 , 201 , 10, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2014عناصر گروه SU(2) به شکل بسته به صورت چندجمله‌ای محدود مولدهای جبر Lie برای تمام نمایش‌های اسپین معین گروه چرخش بیان می‌شوند.منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

12-نظریه نمایش گروه لورنتس

فرمول های صریح [ ویرایش ]

قراردادها و مبانی جبر لی [ ویرایش ]

متریک انتخابی با η = diag (-1، 1، 1، 1) داده می شود ، و قرارداد فیزیک برای جبرهای لی و نگاشت نمایی استفاده می شود. این انتخاب ها دلخواه هستند، اما پس از انجام آنها، ثابت می شوند. یکی از گزینه های ممکن برای پایه جبر لی، در نمایش 4 بردار، به صورت زیر است:

${\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{ pmatrix}}،&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}،\\[ 8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}،&K_{2 }=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}،\\[8pt]J_{3}= J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}،&K_{3}=J^{03} =-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{تراز شده}}$

روابط کموتاسیون جبر لی ${\mathfrak {so}}(3;1)$ عبارتند از: [158]

$\left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\ eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \ سیگما }\راست).$

در نمادگذاری سه بعدی، اینها [159] هستند.

$\left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i \epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.$

انتخاب مبنای بالا روابط را برآورده می کند، اما انتخاب های دیگری امکان پذیر است. استفاده چندگانه از علامت J در بالا و در ادامه باید رعایت شود.

برای مثال، یک تقویت معمولی و یک چرخش معمولی به صورت:

$\exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh \xi &\cosh \xi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}،$ به ترتیب متقارن و متعامد.

ویل اسپینورها و بیسپینورها [ ویرایش ]

راه حل های تبدیل معادله دیراک تحت (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) -نمایندگی. دیراک ماتریس های گاما را در جستجوی معادله ای نسبیتی ناتغییر کشف کرد که در آن زمان برای ریاضیدانان شناخته شده بود. [109]

با گرفتن، به نوبه خود، m =1/2، n = 0 و m = 0، n =1/2و با تنظیم

$J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}$ در عبارت کلی (G1) و با استفاده از روابط بی اهمیت 1 1 = 1 و J (0) = 0 ، به شرح زیر است

${\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}} \left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2}} \sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(K_{i})&={\frac {-i}{2}} \left(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)={\frac {i}{2}} \sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2 }}\left(J_{i}^{(0)}\times 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2 }}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {-i}{2 }}\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {-i}{ 2}}\sigma _{i}\end{تراز شده}}$

( W1 )

اینها نمایش های اسپینور ویل چپ دست و راست دست هستند. آنها با ضرب ماتریس در فضاهای برداری مختلط دو بعدی (با انتخاب پایه) VL و VR عمل می کنند که عناصر آنها Ψ L و Ψ R به ترتیب اسپینورهای چپ و راست وایل نامیده می شوند . داده شده

$\left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{و}} \quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)$ مجموع مستقیم آنها به عنوان نمایش شکل می گیرد، [160]

${\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right )}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix }}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)} \left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix} }\end{تراز شده}}$

( D1 )

این است، تا تبدیل شباهت، (1/2,0) ⊕ (0,1/2) نمایندگی دیراک اسپینور از ${\mathfrak {so}}(3;1).$ این عنصر بر روی عناصر 4 جزئی (Ψ L , Ψ R ) از ( V L ⊕ V R ) که بیسپینور نامیده می شوند با ضرب ماتریس عمل می کند. نمایش ممکن است به روشی کلی تر و مستقل تر با استفاده از جبرهای کلیفورد به دست آید . این عبارات برای بیسپینورها و اسپینورهای ویل همگی با خطی بودن جبرهای لی و نمایش به همه ${\mathfrak {so}}(3;1).$ عبارات نمایش های گروهی با قدرت به دست می آیند.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:34 توسط علی رضا نقش نیلچی |

11-نظریه نمایش گروه لورنتس

طبقه بندی نمایش های SO(3، 1) [ ویرایش ]

راهبردی که در طبقه‌بندی نمایش‌های بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر دنبال می‌شود، در قیاس با حالت بعد محدود، فرض وجود آنها و بررسی ویژگی‌های آنهاست. بنابراین ابتدا فرض کنید که یک نمایش بی‌بعدی به شدت پیوسته تقلیل‌ناپذیر Π H در فضای هیلبرت H از SO(3; 1) + در دسترس است. [142] از آنجایی که SO(3) یک زیر گروه است، Π H نیز نمایشی از آن است. هر نمایش فرعی تقلیل ناپذیر SO(3) بعد محدود است و SO(3)در صورتی که Π H واحد باشد ، نمایش به مجموع مستقیم نمایش‌های واحدی محدودبعدی تقلیل‌ناپذیر SO(3) قابل تقلیل است. [143]

مراحل به شرح زیر است: [144]

یک مبنای مناسب از بردارهای ویژه مشترک J 2 و J 3 را انتخاب کنید.
محاسبه عناصر ماتریس J 1 , J 2 , J 3 و K 1 , K 2 , K 3 .
روابط کموتاسیون جبر لی را اجرا کنید.
نیاز به یکپارچگی همراه با متعارف بودن پایه. [nb 37]

مرحله 1 [ ویرایش ]

یک انتخاب مناسب برای پایه و برچسب گذاری توسط

$\left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .$

اگر این یک نمایش با بعد محدود بود ، j 0 با کمترین مقدار ویژه j ( j + 1) J 2 در نمایش مطابقت دارد ، برابر با | m − n | و j 1 به بالاترین مقدار ویژه که برابر با m + n است مطابقت دارد . در حالت بی‌بعد، j 0 ≥ 0 این معنی را حفظ می‌کند، اما j 1 ندارد. [66] برای سادگی، فرض می شود که j معینحداکثر یک بار در یک نمایش داده شده رخ می دهد (این مورد برای نمایش های بعد محدود است) و می توان نشان داد [145] که با نتایج یکسان می توان از این فرض اجتناب کرد (با یک محاسبه کمی مختلط تر).

مرحله 2 [ ویرایش ]

مرحله بعدی محاسبه عناصر ماتریس عملگرهای J 1 , J 2 , J 3 و K 1 , K 2 , K 3 است که اساس جبر Lie را تشکیل می دهند. ${\mathfrak {so}}(3;1).$ عناصر ماتریس از $J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}$ و $J_3$ ( جبر مختلط لی درک می شود) از نظریه نمایش گروه چرخش شناخته شده است و توسط [146] [147] ارائه شده است.

${\begin{تراز شده}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right |J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right| J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{تراز شده}}$ که در آن برچسب‌های j 0 و j 1 حذف شده‌اند زیرا برای همه بردارهای پایه در نمایش یکسان هستند.

با توجه به روابط تخفیف

$[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},$ سه گانه ( Ki ، Ki ، Ki ) ≡ K یک عملگر برداری است [ 148] و قضیه ویگنر - اکارت [149] برای محاسبه عناصر ماتریس بین حالت هایی که با مبنای انتخاب شده نشان داده می شوند، اعمال می شود. [150] عناصر ماتریس از

${\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1} {\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2})،\end{تراز شده}}$

که در آن بالانویس (1) نشان می‌دهد که کمیت‌های تعریف‌شده اجزای یک عملگر تانسور کروی با رتبه k = 1 هستند (که عامل √ 2 را نیز توضیح می‌دهد) و زیرنویس‌های 0، ±1 به عنوان q در فرمول‌های زیر نامیده می‌شوند. توسط [151] ارائه شده است

${\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\ ,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\ \\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k =1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{تراز شده} }$

در اینجا اولین فاکتورها در سمت راست ضرایب کلبش-گوردان برای جفت کردن j ′ با k برای بدست آوردن j هستند. عامل دوم کاهش عناصر ماتریس است . آنها به m ، m′ یا q وابسته نیستند، بلکه به j ، j′ و البته K بستگی دارند . برای فهرست کامل معادلات ناپدید شدن، به Harish-Chandra (1947 ، ص 375) مراجعه کنید.

مرحله 3 [ ویرایش ]

گام بعدی این است که بخواهیم روابط جبر لی برقرار باشد، یعنی آن

$[K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.$

این منجر به مجموعه ای از معادلات [152] می شود که راه حل های آن [153] است.

${\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}} {\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j} \xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}}،\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &= B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}}،\end{تراز شده}}$ جایی که

$B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j ^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{و}} \quad j_{1}،\xi _{j}\in \mathbb {C}.$

مرحله 4 [ ویرایش ]

تحمیل شرط یکسانی نمایش متناظر گروه ، مقادیر ممکن را برای اعداد مختلط دلخواه j 0 و ξ j محدود می کند. یکپارچگی نمایش گروه به این معناست که نمایندگان جبر لی هرمیتی باشند، به این معنی

$K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.$

این به [154] ترجمه می شود

${\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K ^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=- {\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{تراز شده}}$ منجر به [155]

${\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right| \left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0،\end{تراز شده}}$ که β j زاویه B j روی شکل قطبی است. برای | B j | ≠ 0 دنبال می شود $\left|\xi _{j}\right|^{2}=1$ و $\xi _{j}=1$ بر اساس قرارداد انتخاب شده است. دو مورد احتمالی وجود دارد:

این نشان می‌دهد که نمایش‌های بالا همگی نمایش‌های واحد کاهش‌ناپذیر بی‌بعدی هستند.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

10-نظریه نمایش گروه لورنتس

چرخش های اقلیدسی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: گروه چرخش SO(3) § هارمونیک های کروی و هارمونیک های کروی

زیرگروه SO(3) از چرخش های اقلیدسی سه بعدی، نمایشی بینهایت بعدی در فضای هیلبرت دارد.

$L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+}،-l\leqslant m\leqslant l\right\}،$

جایی که $Y_{m}^{l}$ هارمونیک های کروی هستند . یک تابع مربع دلخواه انتگرال پذیر با یک واحد کره را می توان به صورت [121] بیان کرد.

$f(\theta,\varphi)=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l} (\theta،\varphi)،$

( H2 )

که در آن f lm ضرایب فوریه تعمیم یافته هستند .

عمل گروه لورنتس به SO(3) محدود می شود و به صورت بیان می شود

${\begin{aligned}(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))&=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m ,=-l}^{l}\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l} \left(\theta \left(R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\\[5pt]&R\in \mathrm {SO } (3)، x\in \mathbb {S} ^{2}،\end{تراز شده}}$

( H4 )

که در آن D l از نمایندگان ابعاد فرد مولدهای چرخش به دست می آید.

گروه موبیوس [ ویرایش ]

مقالات اصلی: تحول موبیوس و گروه لورنتس § ارتباط با گروه موبیوس

مؤلفه هویت گروه لورنتس با گروه موبیوس M هم شکل است. این گروه را می‌توان به‌عنوان نگاشت‌های منسجم از صفحه مختلط یا از طریق طرح ریزی استریوگرافی ، کره ریمان در نظر گرفت. به این ترتیب، خود گروه لورنتس را می‌توان به‌گونه‌ای تصور کرد که بر روی صفحه مختلط یا در کره ریمان به‌صورت هم‌نوع عمل می‌کنند.

در صفحه، یک تبدیل موبیوس که با اعداد مختلط a , b , c , d مشخص می شود بر اساس [122] روی صفحه عمل می کند.

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\qquad ad-bc\neq 0$ .

( M1 )

و می تواند با ماتریس های مختلط نمایش داده شود

$\Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\operatorname {det} \Pi _{f}=1,$

( M2 )

از آنجایی که ضرب در یک اسکالر مختلط غیر صفر، f را تغییر نمی دهد . اینها عناصری از ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و تا یک علامت منحصر به فرد هستند (از آنجایی که ±Π f همان f را می دهد )، بنابراین ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.$

توابع P Riemann [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله دیفرانسیل ریمان

توابع P ریمان ، راه‌حل‌های معادله دیفرانسیل ریمان، نمونه‌ای از مجموعه‌ای از توابع هستند که تحت عمل گروه لورنتس بین خود تغییر شکل می‌دهند. توابع P ریمان به صورت [123] بیان می شوند.

${\begin{aligned}w(z)&=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\alpha '&\beta' &\gamma '&\end{ماتریس}}\right\}\\&=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{ zb}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb) }{(zb)(ca)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\}\end{تراز شده }}،$

( T1 )

که در آن a , b , c , α , β , γ , α′ , β′ , γ′ ثابت های مختلط هستند. تابع P در سمت راست را می توان با استفاده از توابع فوق هندسی استاندارد بیان کرد . اتصال [124] است

$P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-ab&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{ 1}(a,\,b;\,c;\,z).$

( T2 )

مجموعه ثابت‌های 0، ∞، 1 در ردیف بالایی سمت چپ، نقاط منفرد منتظم معادله فراهندسی گاوس هستند . [125] نماهای آن ، یعنی راه حل های معادله شاخص ، برای انبساط حول نقطه مفرد 0 0 و 1- c هستند ، مربوط به دو راه حل مستقل خطی، [nb 34] و برای انبساط حول نقطه منفرد 1 آنها 0 هستند. و c − a − b . [126]به طور مشابه، توان برای ∞ a و b برای دو راه حل است. [127]

یکی به این ترتیب

$w(z)=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma } {}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\right),$

( T3 )

که در آن شرایط (گاهی اوقات هویت ریمان نامیده می شود) [128]

$\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1$ بر روی توانای حل های معادله دیفرانسیل ریمان برای تعریف γ ′ استفاده شده است.

اولین مجموعه از ثابت ها در سمت چپ در (T1) , a , b , c نشان دهنده نقاط منتظم منفرد معادله دیفرانسیل ریمان است. مجموعه دوم، α , β , γ , توان های متناظر در a , b , c برای یکی از دو راه حل مستقل خطی هستند و بر این اساس α' , β' , γ' توان های a , b , c برای راه حل دوم

با تنظیم اول یک عمل از گروه لورنتس را در مجموعه تمام توابع P ریمان تعریف کنید.

$u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D}},$

( T4 )

که در آن A ، B ، C ، D ورودی های موجود در آن هستند

$\lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C})،$

( T5 )

برای Λ = p ( λ ) ∈ SO(3; 1) + یک تبدیل لورنتس.

تعریف کردن

$[\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)]،$

( T6 )

که در آن P یک تابع P ریمان است. تابع حاصل دوباره تابع P ریمان است. تأثیر تبدیل موبیوس آرگومان این است که قطب‌ها را به مکان‌های جدید منتقل می‌کند، بنابراین نقاط بحرانی را تغییر می‌دهد، اما هیچ تغییری در توان‌های معادله دیفرانسیل که تابع جدید برآورده می‌کند، وجود ندارد. تابع جدید به صورت بیان می شود

$[\Pi (\Lambda )P](u)=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u \\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},$

( T6 )

جایی که

$\eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad {\text{ and }}\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ و }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.$

( T7 )

نمایش های واحد بی بعدی [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

گروه لورنتس SO(3; 1) + و پوشش دوگانه آن ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ همچنین بازنمودهای واحد ابعادی نامتناهی دارند که به طور مستقل توسط بارگمن (1947) ، گلفاند و نایمارک (1947) و هاریش چاندرا (1947) به تحریک پل دیراک مطالعه شده است. [129] [130] این دنباله توسعه با دیراک (1936) آغاز شد، جایی که او ماتریس های U و B لازم برای توصیف اسپین بالاتر را ابداع کرد ( ماتریس های دیراک را مقایسه کنید )، که توسط فیرز (1939) توضیح داده شده است ، همچنین به Fierz & Pauli (1939 ) مراجعه کنید. ) و پیش سازهای پیشنهادی معادلات بارگمن-ویگنر . [131] دردیراک (1945) او یک فضای نمایش بی‌بعدی انضمامی را پیشنهاد کرد که عناصر آن را بسط دهنده به عنوان تعمیم تانسورها می‌نامیدند. [nb 35] این ایده ها توسط هاریش-چاندرا گنجانده شد و با توضیح دهنده ها به عنوان تعمیم بینهایت بعدی اسپینورها در مقاله او در سال 1947 گسترش یافت .

فرمول پلانچرل برای این گروه ها ابتدا توسط گلفاند و نایمارک از طریق محاسبات درگیر به دست آمد. درمان متعاقباً توسط هاریش چاندرا (1951) و گلفاند و گرایف (1953) به طور قابل توجهی ساده شد ، بر اساس یک آنالوگ برای ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ فرمول یکپارچه سازی هرمان ویل برای گروه های لی فشرده . [132] گزارش های ابتدایی این رویکرد را می توان در رول (1970) و کناپ (2001) یافت.

تئوری توابع کروی برای گروه لورنتس، مورد نیاز برای تجزیه و تحلیل هارمونیک در مدل هایپربولوئید فضای هذلولی سه بعدی که در فضای مینکوفسکی نشسته است، به طور قابل توجهی ساده تر از نظریه عمومی است. این فقط شامل نمایش‌هایی از سری اصلی کروی است و می‌تواند مستقیماً مورد بررسی قرار گیرد، زیرا در مختصات شعاعی، لاپلاسین روی هیپربولوئید معادل لاپلاسین روی است.{\displaystyle \mathbb {R}.} $\mathbb {R}.$ این نظریه در تاکاهاشی (1963) ، هلگاسون (1968) ، هلگاسون (2000) و متن پس از مرگ جورجنسون و لانگ (2008) مورد بحث قرار گرفته است .

سری اصلی برای SL(2, C) [ ویرایش ]

سری اصلی یا سری اصلی واحد ، نمایش‌های واحدی هستند که از نمایش‌های یک‌بعدی زیرگروه مثلثی پایینی B حاصل می‌شوند. $G={\text{SL}}(2,\mathbb {C}).$ از آنجایی که نمایش های یک بعدی B با نمایش های ماتریس های مورب مطابقت دارد، با ورودی های مختلط غیرصفر z و z -1 ، بنابراین شکل را دارند.

$\chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },$ برای k یک عدد صحیح، ν حقیقی و با z = re iθ . نمایش ها غیر قابل کاهش هستند . تنها تکرارها، یعنی ایزومورفیسم های نمایش ها، زمانی رخ می دهد که k با - k جایگزین شود . طبق تعریف، نمایش‌ها بر روی بخش‌های L 2 از بسته‌های خطی در واقع می‌شوند $G/B=\mathbb {S} ^{2},$ که با کره ریمان هم شکل است . وقتی k = 0 باشد ، این نمایش ها به اصطلاح سری اصلی کروی را تشکیل می دهند .

محدودیت یک سری اصلی به حداکثر زیرگروه فشرده K = SU(2) G را می توان به عنوان نمایش القایی K با استفاده از شناسایی G / B = K / T که در آن T = B ∩ K حداکثر چنبره است، تحقق بخشید. در K متشکل از ماتریس های مورب با | z | = 1 . این نمایشی است که از نمایش 1 بعدی z k T ایجاد می شود و مستقل از ν است. توسطمتقابل Frobenius ، در K آنها به عنوان مجموع مستقیم نمایش های غیر قابل تقلیل K با ابعاد تجزیه می شوند | k | + 2 m + 1 با m یک عدد صحیح غیر منفی.

با استفاده از شناسایی بین کره ریمان منهای یک نقطه و $\mathbb {C}،$ سری اصلی را می توان به طور مستقیم بر روی تعریف کرد $L^{2}(\mathbb {C} )$ با فرمول [133]

$\pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\ nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).$

کاهش ناپذیری را می توان به روش های مختلفی بررسی کرد:

عمل جبر لی ${\mathfrak {g}}$ G را می توان بر روی مجموع مستقیم جبری زیرفضاهای تقلیل ناپذیر K به طور صریح محاسبه کرد و می توان مستقیماً تأیید کرد که زیرفضای کم بعدی این مجموع مستقیم را به عنوان یک ${\mathfrak {g}}$ -مدول. [8] [135]

سری مکمل برای SL(2, C) [ ویرایش ]

برای 0 < t < 2 ، سری مکمل بر روی تعریف می شود $L^{2}(\mathbb {C} )$ برای محصول درونی [136]

$(f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}}{|zw|^{2-t}}}\,dz\ ,dw,$ با عمل ارائه شده توسط [137] [138]

$\pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left ({az+b \over cz+d}\راست).$

نمایش های سری مکمل تقلیل ناپذیر و جفتی غیر هم شکل هستند. به عنوان نمایشی از K ، هر یک با مجموع مستقیم فضای هیلبرت از تمام نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر ابعاد فرد K = SU(2) هم‌شکل است. کاهش ناپذیری را می توان با تجزیه و تحلیل عمل اثبات کرد{\displaystyle {\mathfrak {g}}} ${\mathfrak {g}}$ بر روی مجموع جبری این زیرفضاها [8] [135] یا مستقیماً بدون استفاده از جبر Lie. [139] [140]

قضیه پلانچرل برای SL(2, C) [ ویرایش ]

تنها نمایش های واحد غیر قابل تقلیل از ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ سری اصلی، سری مکمل و نمایش بی اهمیت هستند. از آنجایی که − I به صورت (-1) k در سری اصلی و به‌طور بی‌اهمیت در باقیمانده عمل می‌کند، اینها تمام نمایش‌های واحدی تقلیل‌ناپذیر گروه لورنتس را ارائه می‌دهند، مشروط بر اینکه k زوج در نظر گرفته شود.

برای تجزیه نمایش منظم سمت چپ $L^{2}(G)$ فقط سری اصلی مورد نیاز است. این بلافاصله تجزیه در زیرنمایش ها را به همراه دارد $L^{2}(G/\{\pm I\})،$ نماینده منظم چپ گروه لورنتس، و $L^{2}(G/K)،$ نمایش منظم در فضای هذلولی سه بعدی. (اولی فقط شامل نمایش های سری اصلی با k زوج و دومی فقط آنهایی با k = 0 است.)

نمایش منظم چپ و راست λ و ρ روی تعریف می شوند $L^{2}(G)$ توسط

${\begin{تراز شده}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)& =f(xg)\end{تراز شده}}$

حال اگر f عنصری از C c ( G ) باشد، عملگر $\pi _{\nu ,k}(f)$ تعریف شده بوسیله ی

$\pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg$ هیلبرت اشمیت است . فضای هیلبرت را با H تعریف کنید

$H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C})\right)\otimes L^{2}\left(\ mathbb {R},c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \راست)،$ جایی که

$c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^ {3/2}}}&k\neq 0\end{موارد}}$ و نقشه U بر روی C c ( G ) توسط

$U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)$ به یک واحد از $L^{2}(G)$ روی H _

نقشه U ویژگی در هم تنیده را برآورده می کند

$U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k} (f)\pi _{\nu ,k}(y).$

اگر f 1 , f 2 در C c ( G ) باشند آنگاه بر اساس واحد

$(f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+ k^{2}\right)\,d\nu .$

بنابراین اگر $f=f_{1}*f_{2}^{*}$ نشان دهنده پیچیدگی است $f_{1}$ و $f_{2}^{*}،$ و $f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}}،$ سپس [141]

$f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{ \nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .$

دو فرمول نمایش داده شده آخر معمولاً به ترتیب به عنوان فرمول پلانچرل و فرمول وارونگی فوریه نامیده می شوند.

فرمول پلانچرل برای همه گسترش می یابد $f_{i}\in L^{2}(G).$ با یک قضیه ژاک دیکسمیر و پل مالیوین ، هر تابع صاف و فشرده پشتیبانی شده در $جی$ مجموع محدودی از کانولوشن توابع مشابه است، فرمول وارونگی برای چنین f برقرار است. می توان آن را به کلاس های بسیار گسترده تری از توابع که شرایط تمایز پذیری ملایم را برآورده می کنند، گسترش داد. [61]

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

9-نظریه نمایش گروه لورنتس

نمایش های مزدوج مختلط [ ویرایش ]

اگر π نمایشی از جبر لی باشد، پس ${\overline {\pi }}$ یک نمایش است که در آن نوار نشان دهنده صرف مختلط ورودی در ماتریس های نماینده است. این نتیجه از آن است که صرف مختلط با جمع و ضرب جابجا می شود. [105] به طور کلی، هر نمایش غیر قابل تقلیل π از ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ را می توان به صورت یکتا به صورت π = π + + π − نوشت ، که در آن [106]

$\pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right) \درست)،$ با $\pi ^{+}$ هولومورفیک (خطی مختلط) و $\pi ^{-}$ ضد هولومورفیک (خطی مزدوج). برای ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ از آنجا که $\pi _{\mu }$ هولومورفیک است، ${\overline {\pi _{\mu }}}$ ضد هولومورفیک است. بررسی مستقیم عبارات صریح برای $\pi _{\mu ,0}$ و $\pi _{0,\nu }$ در رابطه (S8) زیر نشان می دهد که آنها به ترتیب هولومورف و ضد هولومورف هستند. بررسی دقیق تر عبارت (S8) همچنین امکان شناسایی را فراهم می کند $\pi ^{+}$ و $\pi ^{-}$ برای $\pi _{\mu ,\nu }$ مانند

$\pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu } ^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.$

با استفاده از هویت های بالا (تفسیر شده به عنوان جمع توابع نقطه ای)، برای SO(3; 1) + بازده

${\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n} ^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\ oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{ 2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb { N} \\{\Overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{تراز شده}}$ که در آن دستور نمایش های گروه از exp( X ) = exp( X ) پیروی می کند . نتیجه می شود که نمایش های تقلیل ناپذیر ( m , n ) نمایندگان ماتریس حقیقی دارند اگر و فقط اگر m = n باشد. نمایش‌های تقلیل‌پذیر در فرم ( m , n ) ⊕ ( n , m ) نیز ماتریس‌های حقیقی دارند.

نمایش الحاقی، جبر کلیفورد، و نمایش اسپینور دیراک [ ویرایش ]

ریچارد برائر و همسرش ایلسه 1970. برائر نمایش چرخشی جبرهای لیی را که در داخل جبرهای کلیفورد نشسته بودند تعمیم داد تا بالاتر از1/2. عکس از MFO.

در نظریه نمایش عمومی، اگر ( π , V ) نمایشی از جبر لی باشد ${\mathfrak {g}}،$ سپس یک نمایندگی مرتبط از وجود دارد ${\mathfrak {g}}،$ در پایان ( V ) که با π نشان داده شده است

$\pi (X)(A)=[\pi (X),A],\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ X\in {\mathfrak {g}}.$

( I1 )

به همین ترتیب، یک نمایش (Π، V ) از یک گروه G ، یک نمایش Π را در انتهای ( V ) از G به دست می‌دهد ، که همچنان Π نشان داده می‌شود ، که توسط [107] نشان داده می‌شود.

$\Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ g\in G.$

( I2 )

اگر π و Π نمایش استاندارد در $\R^4$ و اگر عمل محدود به ${\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4})،$ سپس دو نمایش فوق به ترتیب نمایش الحاقی جبر لی و نمایش الحاقی گروه هستند. نمایش های مربوطه (برخی $\mathbb {R} ^{n}$ یا $\mathbb {C} ^{n}$ ) همیشه برای هر گروه Lie ماتریسی وجود دارد و برای بررسی نظریه نمایش به طور کلی و برای هر گروه Lie به طور خاص از اهمیت بالایی برخوردار است.

با اعمال این مورد برای گروه لورنتس، اگر (Π, V ) یک نمایش تصویری باشد، محاسبه مستقیم با استفاده از (G5) نشان می دهد که نمایش القایی در End( V ) یک نمایش مناسب است، یعنی نمایشی بدون فاکتورهای فاز.

در مکانیک کوانتومی این بدان معناست که اگر ( π , H ) یا (Π, H ) نمایشی باشد که روی مقداری فضای هیلبرت H عمل می کند، آنگاه نمایش القایی مربوطه روی مجموعه عملگرهای خطی روی H عمل می کند. به عنوان مثال، نمایش القایی چرخش تصویری (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) نمایش روی End( H ) 4 بردار غیر پروژکتوری است (1/2، 1/2) نمایندگی. [108]

برای سادگی، فقط «قسمت گسسته» End( H ) را در نظر بگیرید ، یعنی مبنایی برای H ، مجموعه ماتریس های ثابت با ابعاد مختلف، از جمله ابعاد احتمالاً نامتناهی، در نظر بگیرید. نمایش 4 بردار القایی بالا در این انتهای ساده شده ( H ) دارای یک زیرفضای 4 بعدی ثابت است که توسط چهار ماتریس گاما پوشانده شده است . [109] (کنوانسیون متریک در مقاله مرتبط متفاوت است.) به روشی مشابه، جبر کامل کلیفورد فضازمان ، ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R})،$ که پیچیدگی آن است ${\text{M}}(4,\mathbb {C})$ تولید شده توسط ماتریس های گاما به صورت مجموع مستقیم فضاهای نمایشی یک نمایش تقلیل ناپذیر اسکالر (irrep)، (0، 0) ، یک irrep شبه مقیاس، همچنین (0، 0) تجزیه می شود ، اما با مقدار ویژه وارونگی برابری -1 ، نگاه کنید به بخش بعدی زیر، بردار قبلاً ذکر شده irrep، (1/2،1/2) ، یک شبه بردار irrep ، (1/2،1/2) با مقدار ویژه وارونگی برابری +1 (نه -1)، و یک تانسور irrep، (1, 0) ⊕ (0, 1) . [110] مجموع ابعاد به 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 می رسد . به عبارت دیگر،

${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1 {2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}} \right)_{p}\plus (0,0)_{p},$

( I3 )

جایی که، طبق معمول ، یک نمایش با فضای نمایش آن اشتباه گرفته می شود.

( _1/2, 0) ⊕ (0,1/2) نمایش چرخشی [ ویرایش ]

فضای نمایش شش بعدی تانسور (1، 0) ⊕ (0، 1) -نمایش در داخل( ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ دو نقش دارد [ 111]

$\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right],$

( I4 )

جایی که $\gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ ماتریس های گاما هستند، سیگماها، که تنها 6 تای آنها به دلیل ضد تقارن براکت غیر صفر هستند، فضای نمایش تانسور را در بر می گیرند. علاوه بر این، آنها روابط کموتاسیون جبر لی لورنتس را دارند، [112]

$\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\ سیگما ^{\mu \tau }\right)$

( I5 )

و از این رو یک نمایش را تشکیل می دهند (علاوه بر اینکه فضای نمایش را در بر می گیرد) که در داخل نشسته است(\mathbb {R})،} ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R})،$ ( _1/2, 0) ⊕ (0,1/2) نمایندگی چرخش. برای جزئیات، به جبر bispinor و دیراک مراجعه کنید .

نتیجه این است که هر عنصر مختلط است ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ در End( H ) (یعنی هر ماتریس مختلط 4 × 4 ) خواص تبدیل لورنتس به خوبی تعریف شده است. علاوه بر این، دارای یک نمایش چرخشی از جبر لی لورنتز است که پس از افزایش قدرت تبدیل به یک نمایش چرخشی از گروه می شود و بر روی آن عمل می کند. $\mathbb {C} ^{4}،$ آن را به فضایی از بیسپینورها تبدیل می کند.

نمایش‌های تقلیل‌پذیر [ ویرایش ]

انبوهی از نمایش‌های دیگر وجود دارد که می‌توان از نمونه‌های تقلیل‌ناپذیر استنباط کرد، مانند مواردی که با گرفتن مجموع مستقیم، حاصلضرب‌های تانسور و ضریب نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر به‌دست می‌آیند. روش های دیگر برای به دست آوردن نمایش شامل محدود کردن نمایش یک گروه بزرگتر حاوی گروه لورنتس است، به عنوان مثال. ${\text{GL}}(n,\mathbb {R} )$ و گروه پوانکاره این نمایش ها به طور کلی غیر قابل تقلیل نیستند.

گروه لورنتس و جبر Lie آن دارای خاصیت تقلیل پذیری کامل هستند . این بدان معناست که هر نمایشی به مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر کاهش می یابد. بنابراین، نمایش‌های تقلیل‌پذیر مورد بحث قرار نخواهند گرفت.

وارونگی فضا و زمان معکوس [ ویرایش ]

نمایش (احتمالا فرافکنی) ( m , n ) به عنوان یک نمایش SO(3; 1) + غیر قابل تقلیل است ، جزء هویتی گروه لورنتس، در اصطلاح فیزیک، گروه لورنتز متعامد مناسب . اگر m = n می توان آن را به نمایشی از همه O(3; 1) گسترش داد، گروه لورنتس کامل، از جمله وارونگی برابری فضا و معکوس زمانی . نمایش‌های ( m , n ) ⊕ ( n , m ) را می‌توان به همین ترتیب گسترش داد. [113]

وارونگی برابری فضا [ ویرایش ]

برای وارونگی برابری فضا، اقدام الحاقی Ad P از P∈ SO(3; 1) در ${\mathfrak {so}}(3;1)$ در نظر گرفته می شود، جایی که P نماینده استاندارد وارونگی برابری فضا است، P = diag(1, -1, -1, -1) است که توسط

$\mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i })=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.$

( F1 )

این ویژگی‌های K و J تحت P هستند که عبارت‌های بردار را برای K و بردار کاذب یا بردار محوری را برای J ایجاد می‌کنند. به روشی مشابه، اگر π هر نمایشی از ${\mathfrak {so}}(3;1)$ و Π نمایش گروه مرتبط آن است، سپس Π(SO(3; 1) + ) بر روی نمایش π توسط عمل الحاقی عمل می کند، π ( X ) ↦ Π( g ) π ( X ) Π( g ) -1 برای $X\in {\mathfrak {so}}(3;1)،$ g ∈ SO(3; 1) + . اگر قرار است P در Π گنجانده شود ، سازگاری با (F1) مستلزم آن است

$\Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i})$

( F2 )

برقرار است، جایی که A و B مانند بخش اول تعریف شده اند. این فقط در صورتی برقرار است که A i و B i ابعاد یکسانی داشته باشند، یعنی فقط اگر m = n باشد. هنگامی که m ≠ n ، پس ( m ، n ) ⊕ ( n ، m ) را می توان به نمایش غیرقابل تقلیل SO(3; 1) + ، گروه لورنتز متعامد گسترش داد. نماینده معکوس برابری Π( P ) به طور خودکار با ساخت کلی از (m , n ) نمایش ها. باید جداگانه مشخص شود. ماتریس β = i γ 0 (یا مضربی از مدول -1 برابر آن) ممکن است در (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) [114] نمایندگی.

اگر برابری با علامت منفی ( ماتریس 1×1 [-1] ) در نمایش (0,0) گنجانده شود ، آن را نمایش شبه مقیاسی می نامند .

زمان معکوس [ ویرایش ]

زمان معکوس T = diag(-1، 1، 1، 1) ، به طور مشابه بر روی ${\mathfrak {so}}(3;1)$ توسط [115]

$\mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{ i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.$

( F3 )

با گنجاندن صریح یک نماینده برای T و همچنین یک نماینده برای P ، نمایشی از گروه لورنتس O(3; 1) کامل به دست می آید. با این حال، یک مشکل ظریف در کاربرد در فیزیک، به ویژه مکانیک کوانتومی ظاهر می شود. هنگام در نظر گرفتن گروه پوانکاره کامل ، چهار مولد دیگر، P μ ، علاوه بر J i و Ki ، گروه را تولید می کنند. اینها به عنوان مولد ترجمه تفسیر می شوند. مولفه زمان P 0 همیلتونی H است. عملگر T رابطه را برآورده می کند [116]

$\mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH$

( F4 )

در قیاس با روابط بالا با ${\mathfrak {so}}(3;1)$ جبر کامل پوانکاره جایگزین شده است . فقط با لغو i ، نتیجه THT -1 = - H به این معنی است که برای هر حالت Ψ با انرژی مثبت E در فضای هیلبرت از حالات کوانتومی با عدم تغییر زمان معکوس، یک حالت Π( T -1) وجود خواهد داشت. )Ψ با انرژی منفی - E. چنین حالت هایی وجود ندارد. بنابراین عملگر Π( T ) ضد خطی و ضد واحد انتخاب می شود ، به طوری که با i ضد رفت و آمد می شود و در نتیجهTHT -1 = H ، و عمل آن در فضای هیلبرت نیز به همین ترتیب ضد خطی و ضد واحد می شود. [117] ممکن است به عنوان ترکیب مزدوج مختلط با ضرب در یک ماتریس واحد بیان شود. [118] این از نظر ریاضی صحیح است، قضیه ویگنر را ببینید ، اما با الزامات بسیار دقیق در مورد اصطلاحات، Π یک نمایش نیست .

هنگام ساخت تئوری هایی مانند QED که تحت برابری فضا و زمان معکوس ثابت است، می توان از اسپینورهای دیراک استفاده کرد، در حالی که نظریه هایی که چنین نیستند، مانند نیروی الکتریکی ضعیف ، باید بر اساس اسپینورهای Weyl فرموله شوند. نمایندگی دیراک، (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) ، معمولاً شامل هر دو برابری فضا و وارونگی زمان می شود. بدون وارونگی برابری فضا، نمایشی غیر قابل تقلیل نیست.

سومین تقارن گسسته وارد شده در قضیه CPT همراه با P و T ، تقارن صرف بار C ، هیچ ارتباط مستقیمی با عدم تغییر لورنتز ندارد. [119]

عمل در فضاهای تابع [ ویرایش ]

اگر V فضای برداری از توابع تعداد محدودی از متغیرهای n باشد ، آنگاه عمل روی یک تابع اسکالر $f\in V$ داده شده توسط

$(\Pi (g)f)(x)=f\left(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{ n}، f\ در V$

( H1 )

تابع دیگری Π f ∈ V تولید می کند . در اینجا Π x یک نمایش n بعدی است و Π یک نمایش احتمالاً بینهای بعدی است. یک مورد خاص از این ساختار زمانی است که V فضایی از توابع است که بر روی خود گروه خطی G تعریف شده است، که به عنوان یک منیفولد n بعدی تعبیه شده در $\mathbb {R} ^{m^{2}}$ (با m بعد ماتریس ها). [120] این محیطی است که در آن قضیه پیتر-ویل و قضیه بورل-ویل فرمول بندی می شوند. اولی وجود یک تجزیه فوریه از توابع را در یک گروه فشرده به کاراکترهایی با نمایش‌های محدود بعدی نشان می‌دهد. [61] قضیه اخیر، با ارائه نمایش های صریح تر، از ترفند واحدی برای به دست آوردن نمایش گروه های مختلط غیر فشرده استفاده می کند، به عنوان مثال. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C}).$

زیر نمونه ای از عملکرد گروه لورنتس و زیرگروه چرخش در برخی از فضاهای تابع است.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

8-نظریه نمایش گروه لورنتس

وفاداری [ ویرایش ]

اگر نمایش Π از یک گروه لی G وفادار نباشد، N = ker Π یک زیرگروه عادی غیر پیش پا افتاده است. [89] سه مورد مرتبط وجود دارد.

N غیر گسسته و آبلی است.
N غیر گسسته و غیرآبلین است.
N گسسته است. در این مورد N ⊂ Z که Z مرکز G است. [nb 24]

در مورد SO(3; 1) + مورد اول حذف می شود زیرا SO(3; 1) + نیمه ساده است. [nb 25] مورد دوم (و مورد اول) مستثنی است زیرا SO(3; 1) + ساده است. [nb 26] برای مورد سوم، SO(3; 1) + نسبت به ضریب هم شکل است. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C})/\{\pm I\}.$ ولی $\{\pm I\}$ مرکز است ${\text{SL}}(2,\mathbb {C}).$ نتیجه می شود که مرکز SO(3; 1) + بی اهمیت است، و این مورد سوم را حذف می کند. نتیجه این است که هر نمایش Π : SO(3; 1) + → GL( V ) و هر نمایش تصویری Π: SO(3; 1) + → PGL( W ) برای فضاهای برداری با ابعاد محدود V ، W وفادار هستند.

با استفاده از تناظر اساسی Lie، گزاره ها و استدلال بالا مستقیماً به جبرهای لی ترجمه می شوند که زیرگروه های عادی غیر گسسته غیر پیش پا افتاده (ابلیان) جایگزین آرمان های غیر پیش پا افتاده (یک بعدی) در جبر لی، [90] و مرکز SO شده اند. (3؛ 1) + جایگزین شده با مرکز ${\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}$ مرکز هر جبر لی نیمه ساده بی اهمیت است [91] و ${\mathfrak {so}}(3;1)$ نیمه ساده و ساده است و از این رو ایده آل های غیر پیش پا افتاده ای ندارد.

یک حقیقیت مرتبط این است که اگر نمایندگی مربوطه از ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ وفادار است، پس نمایش تصویری است. برعکس، اگر نمایش غیر تصویری باشد، متناظر است ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ نمایش وفادار نیست، اما 2:1 است.

عدم وحدت [ ویرایش ]

نمایش جبر لی ( m , n ) هرمیتی نیست . بر این اساس، نمایش متناظر (برفکنی) گروه هرگز واحد نیست. [nb 27] این به دلیل فشرده نبودن گروه لورنتس است. در واقع، یک گروه لی غیر فشرده ساده متصل نمی‌تواند نمایش‌های بعدی محدود واحدی داشته باشد . [33] یک دلیل توپولوژیکی برای این وجود دارد. [92] اجازه دهید u : G → GL( V ) ، جایی که Vیک بعد محدود است، یک نمایش واحد پیوسته از گروه لی G ساده متصل غیر فشرده باشد. سپس u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V ) که در آن U( V ) زیرگروه فشرده GL( V ) است که از تبدیل های واحد V تشکیل شده است. هسته u یک زیرگروه عادی از G است . از آنجایی که G ساده است، ker u یا تمام G است، در این صورت u بی اهمیت است، یاker u بی اهمیت است، در این صورت u وفادار است . در مورد دوم u یک دیفئومورفیسم در تصویر آن است، [93] u ( G ) ≅ G و u ( G ) یک گروه لی است. این بدان معناست که u ( G ) یک زیر گروه Lie غیر فشرده از گروه فشرده U( V ) است. این امر با توپولوژی زیرفضای u ( G ) ⊂ U( V ) غیرممکن است زیرا همه جاسازی شده اندزیرگروه‌های Lie یک گروه Lie بسته هستند [94] اگر u ( G ) بسته بود، فشرده بود، [nb 28] و سپس G فشرده بود، [nb 29] برخلاف فرض. [nb 30]

در مورد گروه لورنتس نیز این امر به طور مستقیم از تعاریف قابل مشاهده است. نمایش های A و B مورد استفاده در ساخت و ساز هرمیتی هستند. این بدان معنی است که J هرمیتی است، اما K ضد هرمیت است . [95] عدم یکپارچگی در نظریه میدان کوانتومی مشکلی نیست، زیرا موضوعات مورد توجه نیازی به داشتن یک هنجار قطعی مثبت ثابت لورنتس ندارند. [96]

محدودیت برای SO(3) [ ویرایش ]

با این حال، نمایش ( m , n ) زمانی که به زیرگروه چرخشی SO(3) محدود می شود، واحد است ، اما این نمایش ها به عنوان نمایش SO(3) تقلیل ناپذیر نیستند. تجزیه کلبش-گوردان را می توان اعمال کرد که نشان می دهد یک نمایش ( m , n ) دارای زیرفضاهای ثابت SO(3) با بیشترین وزن (اسپین) m + n , m + n - 1, ..., | m − n | ، [97]جایی که هر بالاترین وزن ممکن (چرخش) دقیقا یک بار اتفاق می افتد. یک زیرفضای وزنی با بیشترین وزن (اسپین) j ( 2 j + 1) -بعدی است. بنابراین برای مثال، (1/2، 1/2) نمایش به ترتیب دارای اسپین 1 و اسپین 0 زیرفضاهای ابعاد 3 و 1 است.

از آنجایی که عملگر تکانه زاویه ای با J = A + B داده می شود، بالاترین اسپین در مکانیک کوانتومی زیرنمایش چرخش ( m + n )ℏ و قوانین "معمول" جمع ممان زاویه ای و فرمالیسم 3 خواهد بود. نمادهای -j ، نمادهای 6-j و غیره اعمال می شود. [98]

اسپینورها [ ویرایش ]

این زیرفضاهای ثابت SO(3) نمایش های تقلیل ناپذیر است که تعیین می کند آیا یک نمایش دارای اسپین است یا خیر. از پاراگراف بالا، مشاهده می شود که اگر m + n نیمه انتگرال باشد ، نمایش ( m , n ) دارای اسپین است. ساده ترین آنها هستند (1/2، 0) و (0، 1/2) ، ویل اسپینرهای بعد 2 . سپس، برای مثال، (0، 3/2) و (1، 1/2) یک نمایش چرخشی از ابعاد 2⋅ هستند3/2+ 1 = 4 و (2 + 1) (2⋅1/2+ 1) = 6 به ترتیب. طبق پاراگراف بالا، فضاهای فرعی با اسپین هر دو وجود دارد3/2و1/2در دو مورد آخر، بنابراین این نمایش‌ها احتمالاً نمی‌توانند یک ذره فیزیکی را نشان دهند که باید تحت SO(3) به خوبی رفتار کند. با این حال، نمی توان به طور کلی رد کرد که نمایش هایی با چندین نمایش فرعی SO(3) با اسپین های مختلف می توانند ذرات فیزیکی با اسپین کاملاً تعریف شده را نشان دهند. ممکن است یک معادله موج نسبیتی مناسب وجود داشته باشد که اجزای غیرفیزیکی را بیرون می‌دهد و تنها یک اسپین را باقی می‌گذارد. [99]

ساخت اسپین خالصn/2نمایش هر n (تحت SO(3) ) از نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر شامل گرفتن ضرب های تانسوری نمایش دیراک با یک نمایش بدون چرخش، استخراج یک زیرفضای مناسب و در نهایت اعمال محدودیت‌های دیفرانسیل است. [100]

نمایش دوگانه [ ویرایش ]

سیستم ریشه A 1 × A 1 از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).$

قضایای زیر برای بررسی اینکه آیا نمایش دوگانه یک نمایش تقلیل‌ناپذیر هم‌شکل است یا خیر به کار می‌رود :

مجموعه وزن‌های نمایش دوگانه یک نمایش تقلیل‌ناپذیر جبر لی نیمه‌ساده، با احتساب کثرت‌ها، منفی مجموعه وزن‌ها برای نمایش اصلی است. [101]
دو نمایش تقلیل ناپذیر اگر و فقط در صورتی هم شکل هستند که بیشترین وزن را داشته باشند. [nb 31]
برای هر جبر Lie نیمه ساده یک عنصر منحصر به فرد w 0 از گروه Weyl وجود دارد به طوری که اگر μ وزن انتگرال غالب باشد، آنگاه w 0 ⋅ (- μ ) دوباره وزن انتگرال غالب است. [102]
اگر $\pi _{\mu _{0}}$ یک نمایش غیر قابل کاهش با بیشترین وزن μ 0 است، پس $\pi _{\mu _{0}}^{*}$ دارای بالاترین وزن w 0 ⋅ (- μ ) است. [102]

در اینجا، عناصر گروه Weyl به عنوان تبدیل‌های متعامد در نظر گرفته می‌شوند که با ضرب ماتریس روی فضای برداری حقیقی ریشه‌ها عمل می‌کنند. اگر - I عنصری از گروه ویل یک جبر Lie نیمه ساده باشد، آنگاه w 0 = - I . در شرایطی که ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ گروه Weyl W = { I , -I } است. [103] نتیجه می شود که هر π μ , μ = 0, 1, ... نسبت به دوتایی خود هم شکل است. $\pi _{\mu }^{*}.$ سیستم ریشه از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ در شکل سمت راست نشان داده شده است. [nb 32] گروه Weyl توسط $\{w_{\gamma }\}$ جایی که $w_{\gamma }$ انعکاس در صفحه متعامد به γ است زیرا γ در تمام ریشه ها محدوده است. [nb 33] بازرسی نشان می دهد که w α ⋅ w β = − I بنابراین − I ∈ W . با استفاده از این حقیقیت که اگر π , σ نمایش های جبر لی و π ≅ σ باشند ، سپس Π ≅ Σ ، [104] نتیجه برای SO(3; 1) + است.

$\pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n} ,\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .$

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

7-نظریه نمایش گروه لورنتس

نمایش های خطی حقیقی [ ویرایش ]

نمایش های ( μ , ν ) در فضایی از چندجمله ای ها تحقق می یابند $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ که در $z_{1}،{\overline {z_{1}}}،z_{2}،{\overline {z_{2}}}،$ همگن درجه μ در $z_{1}،z_{2}$ و همگن درجه ν در ${\overline {z_{1}}}،{\overline {z_{2}}}.$ [79] نمایش ها توسط [83] ارائه شده است.

$(\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _ {\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{ pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\ end{pmatrix}}\right),\quad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.$

( S6 )

با به کارگیری مجدد (G6) مشخص می شود که

${\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(E)P=&-{\frac {\partial P}{\partial z_{1}}}\left(E_{11} z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22} z_{2}\right)\\&-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1}}}}}\left({\overline {E_{11}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{12}}}{\overline {z_{2}}}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2 }}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\ سمت راست)\end{تراز شده}}،\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C}).$

( S7 )

به ویژه برای عناصر پایه،

${\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2} {\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}+ {\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=- z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}} }}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1} }}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}\end{aligned}}$

( S8 )

خصوصیات نمایش های ( m , n ) [ ویرایش ]

نمایش‌های ( m , n ) که در بالا از طریق (A1) تعریف شده‌اند (به عنوان محدودیت‌هایی برای شکل حقیقی ${\mathfrak {sl}}(3،1)$ ) از محصولات تانسوری نمایش های خطی مختلط تقلیل ناپذیر π m = μ و π n = ν از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ غیر قابل تقلیل هستند، و آنها تنها نمایش غیر قابل تقلیل هستند. [61]

تقلیل ناپذیری از ترفند واحد [84] ناشی می شود و اینکه یک نمایش Π از SU(2) × SU(2) تقلیل ناپذیر است اگر و فقط اگر Π = Π μ ⊗ Π ν , [nb 23] که در آن Π μ , Π ν تقلیل ناپذیر هستند نمایندگی های SU(2) .
منحصربه‌فرد بودن از این نتیجه حاصل می‌شود که Π m تنها نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر SU(2) هستند، که یکی از نتایج قضیه بالاترین وزن است. [85]

ابعاد [ ویرایش ]

نمایش های ( m ، n ) ( 2 m + 1) (2 n + 1) -بعدی هستند. [86] این ساده‌تر از شمارش ابعاد در هر تحقق عینی است، مانند آنچه در نمایش‌هایی از ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . برای جبر عمومی لی ${\mathfrak {g}}$ فرمول بعد ویل ، [87]

$\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\ alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},$ در جایی که R + مجموعه ریشه های مثبت است، ρ بالاترین وزن، و δ نصف مجموع ریشه های مثبت است. ضرب درونی $\langle \cdot ،\cdot \rangle$ جبر لی است ${\mathfrak {g}}،$ ثابت تحت عمل گروه Weyl در ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ زیر جبر کارتن ریشه ها (واقعاً عناصر ${\mathfrak {h}}^{*}$ از طریق این محصول درونی با عناصر شناسایی می شوند ${\mathfrak {h}}.$ برای ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ فرمول به کم نور π μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1 کاهش می یابد که در آن نماد فعلی باید در نظر گرفته شود . بیشترین وزن 2 میکرون است. [88] با گرفتن محصولات تانسور، نتیجه به شرح زیر است.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:8 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-نظریه نمایش گروه لورنتس

گروه پوشش SL(2, C) [ ویرایش ]

در نظر گرفتن ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ به عنوان جبر لی واقعی با پایه

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}} \sigma _{3}،{\frac {i}{2}}\sigma _{1}،{\frac {i}{2}}\sigma _{2}،{\frac {i}{2} }\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3})$

که در آن سیگماها ماتریس های پائولی هستند . از روابط

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}$

( J1 )

به دست آمده است

$[j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{ k}،\quad [k_{i}،k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k}،$

( J2 )

که دقیقاً در قالب نسخه 3 بعدی روابط کموتاسیون برای ${\mathfrak {so}}(3;1)$ (به قراردادها و مبانی جبر لی در زیر مراجعه کنید). بنابراین، نقشه J i ↔ j i , K i ↔ k i که با خطی گسترش یافته است یک هم شکلی است. از آنجا که ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ به سادگی متصل است، این گروه پوشش جهانی SO (3; 1) + است.

بیشتر در مورد پوشش گروه ها به طور کلی و ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ به ویژه پوشش گروه لورنتس

غیر ذهنی بودن نگاشت نمایی برای SL(2, C) [ ویرایش ]

این نمودار وب نقشه های مورد بحث در متن را نشان می دهد. در اینجا V یک فضای برداری با بعد محدود است که نمایش هایی از آن را حمل می کند ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),{\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\text{SO}}(3;1)^{+}.$ $\ Exp$ نگاشت نمایی است، p نقشه پوششی از است ${\text{SL}}(2,\mathbb {C})،$ روی SO(3; 1) + و σ ایزومورفیسم جبر لی القا شده توسط آن است. نقشه های Π، π و دو ف نشان دهنده هستند. تصویر فقط تا حدی درست است که Π تصویری باشد.

نقشه برداری نمایی $\exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ روی نیست. [76] ماتریس

$q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

( S6 )

هست در ${\text{SL}}(2,\mathbb {C})،$ اما وجود ندارد $Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ به طوری که q = exp( Q ) . [nb 22]

به طور کلی، اگر g عنصری از گروه Lie G با جبر Lie باشد ${\mathfrak {g}}،$ سپس با (لی )

$g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n})،\qquad X_{1}،\ldots X_{n}\در {\mathfrak {g}}.$

( S7 )

ماتریس q را می توان نوشت

${\begin{aligned}&\exp(-X)\exp(i\pi H)\\{}={}&\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\ \\end{pmatrix}}\right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[6pt]{}={ }&{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[6pt]{} ={}&{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\{}={}&q.\end{تراز شده}}$

( S8 )

تحقق نمایش های SL(2, C) و sl(2, C) و جبرهای لی آنها [ ویرایش ]

نمایش های خطی مختلط از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ به دست آوردن ساده تر از(3;1)^{+}} ${\mathfrak {so}}(3;1)^{+}$ نمایندگی ها آنها را می توان (و معمولاً) از ابتدا یادداشت کرد. نمایش‌های گروه هولومورفیک (یعنی نمایش جبر Lie متناظر، خطی مختلط است) با نمایش‌های جبر Lie خطی مختلط از طریق توان مرتبط هستند. نمایش های خطی واقعی از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ دقیقاً نمایش های ( μ , ν ) - هستند. آنها را نیز می توان تشریح کرد. نمایش‌های ( μ ، 0) خطی مختلط هستند و بالاترین وزن‌ها (ایزومورف) هستند. اینها معمولاً تنها با یک عدد صحیح نمایه می شوند (اما در اینجا از اعداد نیمه صحیح استفاده می شود).

برای سهولت در این بخش از کنوانسیون ریاضیات استفاده شده است. عناصر جبر لی با ضریب i تفاوت دارند و در نگاشت نمایی در مقایسه با قرارداد فیزیک که در جاهای دیگر استفاده می شود ، ضریب i وجود ندارد . اجازه دهید اساس ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ باشد [77]

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\ quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.$

( S1 )

این انتخاب مبنا و علامت گذاری در ادبیات ریاضی استاندارد است.

نمایش های خطی مختلط [ ویرایش ]

نمایش های هلومورف غیر قابل تقلیل ( n + 1) -بعدی ${\text{SL}}(2,\mathbb {C}),n\geqslant 2,$ می توان در فضای چند جمله ای همگن درجه n در 2 متغیر متوجه شد $\mathbf {P} _{n}^{2}،$ [78] [79] که عناصر آن هستند

$P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{ 1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z}.$

عمل از ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ توسط [80] [81] ارائه شده است

$(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{n}{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left( {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right) ,\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.$

( S2 )

مرتبط ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ -action با استفاده از (G6) و تعریف بالا، برای عناصر پایه است ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ [82]

$\phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_ {2}}},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\quad \phi _{n}(Y )=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.$

( S5 )

با انتخاب پایه برای $P\in \mathbf {P} _{n}^{2}$ ، این نمایش ها به جبرهای لی ماتریسی تبدیل می شوند.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 8:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-نظریه نمایش گروه لورنتس

گروه [ ویرایش ]

رویکرد در این بخش مبتنی بر قضایایی است که به نوبه خود بر اساس مطابقت اساسی لی است. [67] مکاتبات Lie در اصل یک فرهنگ لغت بین گروه‌های Lie مرتبط و جبرهای Lie است. [68] پیوند بین آنها نگاشت نمایی از جبر لی به گروه Lie است که نشان داده شده است. $\exp :{\mathfrak {g}}\to G.$

اگر $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ برای برخی از فضای برداری V یک نمایش است، یک نمایش Π از مولفه متصل G توسط تعریف می شود

${\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e ^{iX}\in \mathrm {im} (\exp),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\ Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n})،&&g\notin \mathrm {im} (\exp)،\quad g_{1}،g_{2}،\ldots،g_{n} \in \mathrm {im} (\exp).\end{تراز شده}}$

( G2 )

این تعریف اعمال می شود که آیا نمایش حاصل تصویری باشد یا خیر.

سطح نمایی نقشه نمایی برای SO(3، 1) [ ویرایش ]

از نقطه نظر عملی، مهم است که آیا فرمول اول در (G2) می تواند برای همه عناصر گروه استفاده شود. برای همه جا دارد $X\in {\mathfrak {g}}$ با این حال، در حالت کلی، به عنوان مثال برای ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ، همه g ∈ G در تصویر exp نیستند.

ولی $\exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ سوژه ای است . یکی از راه‌های نشان دادن این موضوع استفاده از ایزومورفیسم است ${\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C})$ دومی گروه موبیوس است. ضریبی است از ${\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$ (به مقاله مرتبط مراجعه کنید). نقشه ضریب با نشان داده می شود $p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C})\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C}).$ نقشه $\exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$ روی است. [69] (لی) را با π که دیفرانسیل p در هویت است اعمال کنید . سپس

$\forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C}):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).$

از آنجایی که سمت چپ سورجکتیو است (هر دو exp و p هستند)، سمت راست سوجکتیو است و از این رو $\exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ سوژه ای است. [70] در نهایت، یک بار دیگر استدلال را بازیافت کنید، اما اکنون با ایزومورفیسم شناخته شده بین SO(3; 1) + و ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ برای پیدا کردن اینکه exp برای مؤلفه متصل گروه لورنتس است.

گروه بنیادی [ ویرایش ]

گروه لورنتس به طور مضاعف متصل است، یعنی π 1 (SO(3; 1)) گروهی با دو کلاس معادل حلقه به عنوان عناصر آن است.

اثبات

برای نمایش گروه بنیادی SO(3; 1) + ، توپولوژی گروه پوششی آن ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ در نظر گرفته شده است. با قضیه تجزیه قطبی ، هر ماتریس $\lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ممکن است منحصراً به صورت [71] بیان شود

$\lambda =ue^{h}،$

که در آن u واحد با تعیین یک است، بنابراین در SU(2) و h هرمیتین با ردیابی صفر است . ردیابی و شرایط تعیین کننده دلالت دارند: [72]

${\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{ 3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R } ^{4}{\text{ موضوع }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\end{تراز شده}}$

نقشه آشکارا پیوسته یک به یک یک همومورفیسم با معکوس پیوسته است که توسط (موقعیت u با $\mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$ )

${\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C})\\( r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}$

به صراحت نشان می دهد که ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ به سادگی متصل است. ولی ${\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},$ جایی که $\{\pm I\}$ مرکز است ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ . شناسایی λ و - λ به معنای شناسایی u با -u است ، که به نوبه خود به معنای شناسایی نقاط پادپای روی است. $\mathbb {S} ^{3}.$ بنابراین از نظر توپولوژیکی، [72]

${\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2})،$

جایی که آخرین فاکتور به سادگی متصل نیست: از نظر هندسی، دیده می شود (برای اهداف تجسم، ${\mathbb {S}}^{3}$ ممکن است جایگزین شود ${\mathbb {S}}^{2}$ ) که یک مسیر از u به $SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}$ یک حلقه در است $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ از آنجایی که u و - u نقاط پادپای هستند و به یک نقطه قابل انقباض نیست. اما یک مسیر از u به - u ، از آنجا دوباره به u ، یک حلقه به داخل ${\mathbb {S}}^{3}$ و یک حلقه دوتایی (با در نظر گرفتن p ( ue h ) = p ( - ue h ) ، که در آن $p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C})\to {\text{SO}}(3;1)$ نقشه پوشش است) در $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ که تا یک نقطه قابل انقباض است (به طور پیوسته از − u "در طبقه بالا" دور شوید ${\mathbb {S}}^{3}$ و مسیر را تا نقطه u کوچک کنید ). [72] بنابراین π 1 (SO(3; 1)) گروهی با دو کلاس معادل حلقه به عنوان عناصر آن است، یا به زبان ساده تر، SO(3؛ 1) دو برابر متصل است .

نمایش تصویری [ ویرایش ]

از آنجایی که π 1 (SO(3; 1) + ) دارای دو عنصر است، برخی از نمایش‌های جبر Lie نمایش‌های تصویری به دست می‌دهند . [73] [nb 18] هنگامی که مشخص شد آیا یک نمایش تصویری است یا خیر، فرمول (G2) برای همه عناصر گروه و همه نمایش‌ها، از جمله عناصر تصویری اعمال می‌شود - با این درک که نماینده یک عنصر گروه به کدام عنصر بستگی دارد. در جبر لی ( X در (G2) ) برای نشان دادن عنصر گروه در نمایش استاندارد استفاده می شود.

برای گروه لورنتس، نمایش ( m , n ) -تصویری است که m + n یک عدد نیمه صحیح باشد. § spinors را ببینید .

برای یک نمایش تصویری Π از SO(3; 1) + ، چنین است که [72]

$\left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\راست] ^{2}=1\پیکان راست \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})،\quad \Lambda _{1}،\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1)،$

( G5 )

از آنجایی که هر حلقه در SO(3; 1) + دو بار پیمایش شود، به دلیل اتصال دوگانه، به یک نقطه قابل انقباض است، به طوری که کلاس هموتوپی آن یک نقشه ثابت است. نتیجه این است که Π یک تابع دو مقدار است. انتخاب یک علامت برای به دست آوردن یک نمایش پیوسته از تمام SO(3; 1) + امکان پذیر نیست، اما این به صورت محلی در اطراف هر نقطه ممکن است. [33]

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 7:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-نظریه نمایش گروه لورنتس

تاریخچه [ ویرایش ]

توسعه نظریه نمایش ابعاد محدود گروه لورنتس عمدتاً از موضوع به طور کلی پیروی می کند. [37] [38] در سال 1888 طبقه بندی جبرهای لی ساده اساسا توسط ویلهلم کیلینگ تکمیل شد . [39] [40] در سال 1913 قضیه بالاترین وزن برای نمایش جبرهای لی ساده، مسیری که در اینجا دنبال خواهد شد، توسط الی کارتان تکمیل شد . [41] [42] ریچارد برائر در طول دوره 38-1935 عمدتاً مسئول توسعه ماتریس‌های Weyl-Brauer بود. توصیف اینکه چگونه نمایش های چرخشی جبر لی لورنتس را می توان در جبرهای کلیفورد جاسازی کرد . [43] [44] گروه لورنتز همچنین از لحاظ تاریخی توجه ویژه‌ای در نظریه نمایش داشته است ، به دلیل اهمیت استثنایی آن در فیزیک ، به تاریخچه نمایش‌های واحد بی‌بعدی در زیر نگاه کنید. ریاضیدانان هرمان ویل [41] [45] [37] [46] [47] و هاریش چاندرا [48] [49] و فیزیکدانان یوجین ویگنر [50] [51] و والنتاین بارگمن [52] [53] [54]هم در تئوری نمایش عمومی و هم به ویژه به گروه لورنتس کمک قابل توجهی کرد. [55] فیزیکدان پل دیراک شاید اولین کسی بود که آشکارا همه چیز را در یک کاربرد عملی با اهمیت ماندگار عمده با معادله دیراک در سال 1928 پیوند داد. [56] [57] [nb 10]

جبر لی [ ویرایش ]

ویلهلم کیلینگ ، کاشف مستقل جبرهای لی . جبرهای ساده لی اولین بار توسط او در سال 1888 طبقه بندی شد.

نمایش‌های خطی مختلط تقلیل‌ناپذیر مختلط‌سازی ، ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C}}$ از جبر لی ${\mathfrak {so}}(3;1)$ از گروه لورنتس را می توان یافت. پایه ای مناسب برای ${\mathfrak {so}}(3;1)$ توسط سه ژنراتور J i چرخش و سه ژنراتور K i بوست داده می شود . آنها به صراحت در قراردادها و مبانی جبر لی آورده شده اند.

جبر لی مختلط است و اساس به اجزای دو ایده آل آن تغییر می کند [58]

$\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i \mathbf {K} }{2}}.$

مولفه های A = ( A 1 , A 2 , A 3 ) و B = ( B 1 , B 2 , B 3 ) به طور جداگانه روابط کموتاسیون جبر لی را برآورده می کنند. ${\mathfrak {su}}(2)$ و علاوه بر این، آنها با یکدیگر رفت و آمد می کنند، [59]

$\left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i \varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,$

جایی که i , j , k شاخص هایی هستند که هر کدام مقادیر 1، 2، 3 را می گیرند و ε ijk نماد سه بعدی Levi-Civita است . اجازه دهید $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ و $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$ به ترتیب دهانه خطی مختلط A و B را نشان می دهد.

یکی دارای ایزومورفیسم ها است [60] [nb 11]

${\begin{aligned}{\mathfrak {so}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }&\cong \mathbf {A } _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak { su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2, = {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،\end{تراز شده}}$

( A1 )

جایی که ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ مختلط شدن است ${\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .$

کاربرد این ایزومورفیسم ها از این واقعیت ناشی می شود که تمام نمایش های تقلیل ناپذیر از ${\mathfrak {su}}(2)$ ، و از این رو تمام نمایش های خطی مختلط غیر قابل تقلیل از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ شناخته شده اند. نمایش خطی مختلط تقلیل ناپذیر از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ به یکی از بالاترین نمایش های وزنی هم شکل است. اینها به صراحت در نمایش های خطی مختلط از داده شده است ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).$

ترفند وحدت گرایانه [ ویرایش ]

هرمان ویل ، مخترع ترفند وحدت گرا . چندین مفهوم و فرمول در نظریه نمایش به نام ویل وجود دارد، به عنوان مثال گروه ویل و فرمول کاراکتر ویل . عکس توسط ETH-Bibliothek Zürich، Bildarchiv [ پیوند مرده دائمی ]

جبر لی ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ جبر لی از است ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C}).$ این شامل زیرگروه فشرده SU(2) × SU(2) با جبر لی است ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).$ دومی یک فرم واقعی فشرده است ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).$ بنابراین از اولین بیانیه ترفند واحد، نمایش های SU(2) × SU(2) در مطابقت یک به یک با نمایش های هولومورفیک هستند. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C}).$

از نظر فشردگی، قضیه پیتر-ویل برای SU(2) × SU(2) [ 61] اعمال می‌شود و از این رو می‌توان به قائم‌معام بودن نویسه‌های تقلیل‌ناپذیر اعتراض کرد. نمایش‌های واحد تقلیل‌ناپذیر SU(2) × SU(2) دقیقاً محصولات تانسوری نمایش‌های واحد تقلیل‌ناپذیر SU (2) هستند. [62]

با توسل به اتصال ساده، گزاره دوم ترفند وحدت گرا اعمال می شود. اشیاء در لیست زیر در مکاتبات یک به یک هستند:

نمایش های هولومورفیک ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
نمایش های صاف SU(2) × SU(2)
نمایش های خطی واقعی از ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$
نمایش های خطی مختلط از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

محصولات تانسور نمایش ها در سطح جبر لی به عنوان یکی از [nb 12] ظاهر می شوند.

${\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\ mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g}}\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y) &=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\ در {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}$

( A0 )

که در آن شناسه عملگر هویت است. در اینجا، تفسیر اخیر، که از (G6) حاصل می شود، مورد نظر است. بالاترین وزن نمایش از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ با μ برای μ = 0، 1/2، 1، ... نمایه می شوند . (بالاترین وزن ها در واقع 2 μ = 0، 1، 2، ... هستند، اما نماد در اینجا با نماد تطبیق داده شده است ${\mathfrak {so}}(3;1).$ ) حاصل ضربات تانسور دو عامل خطی مختلط، سپس نمایش های خطی مختلط تقلیل ناپذیر را تشکیل می دهند ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).$

در نهایت، $\mathbb {R}$ -نمایش های خطی شکل های واقعی چپ دور، ${\mathfrak {so}}(3;1)$ و راست افراطی، ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})،$ [nb 13] در (A1) از $\mathbb{C}$ -نمایش های خطی از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ در پاراگراف قبل مشخص شد.

نمایش‌های ( μ , ν ) sl(2, C) [ ویرایش ]

نمایش های خطی مختلط از مختلط شدن ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})_{\mathbb {C}},$ به دست آمده از طریق ایزومورفیسم ها در (A1) ، مطابقت یک به یک با نمایش های خطی واقعی ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).$ [63] مجموعه ای از تمامنمایش های تقلیل ناپذیر خطی واقعی از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ بنابراین توسط یک جفت ( μ , ν ) نمایه می شوند . خطی های مختلط، دقیقاً با پیچیدگی خطی واقعی مطابقت دارند ${\mathfrak {su}}(2)$ نمایش‌ها به شکل ( μ , 0) هستند، در حالی که آن‌های خطی مزدوج (0, ν ) هستند. [63] بقیه فقط خطی واقعی هستند. ویژگی های خطی از تزریق متعارف، سمت راست در (A1) از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ به پیچیدگی آن نمایش در شکل ( ν , ν ) یا ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) توسط ماتریس های واقعی داده می شود (موردی تقلیل ناپذیر نیست). به صراحت، نمایش‌های خطی واقعی ( μ , ν ) از ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ هستند

$\varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\ varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }( X)}}،\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ جایی که ${\textstyle \varphi _{\mu }،\mu =0،{\tfrac {1}{2}}،1،{\tfrac {3}{2}}،\ldots }$ نمایش های مختلط خطی تقلیل ناپذیر هستند ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\overline {\varphi _{\nu }}}،\nu =0،{\tfrac {1}{2}}،1،{\tfrac {3}{2}}،\ldots$ بازنمودهای مزدوج مختلط آنها. (برچسب‌گذاری معمولاً در ادبیات ریاضیات 0، 1، 2، ... است، اما اعداد نیمه صحیح در اینجا برای مطابقت با برچسب‌گذاری انتخاب می‌شوند.(3،1)} ${\mathfrak {so}}(3،1)$ جبر لی است.) در اینجا حاصل ضرب تانسور به معنای قبلی (A0) تفسیر می شود. این نمایش ها به طور مشخص در زیر تحقق می یابد .

نمایش‌های ( m , n ) so(3; 1) [ ویرایش ]

از طریق ایزومورفیسم های نمایش داده شده در (A1) و آگاهی از نمایش های مختلط خطی تقلیل ناپذیر ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ پس از حل J و K ، تمام نمایش های تقلیل ناپذیر از(3;1)_ ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C}}،$ و با محدودیت، کسانی که از ${\mathfrak {so}}(3;1)$ به دست آمده. نمایندگی های ${\mathfrak {so}}(3;1)$ به‌دست‌آمده از این طریق، خطی واقعی هستند (و نه خطی مختلط یا مزدوج) زیرا جبر در زمان صرف بسته نمی‌شود، اما همچنان غیر قابل تقلیل هستند. [60] از آنجا که ${\mathfrak {so}}(3;1)$ نیمه ساده است ، [60] تمام نمایش های آن را می توان به صورت مجموع مستقیم موارد تقلیل ناپذیر ساخت.

بنابراین نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بعد محدود جبر لورنتس توسط یک جفت منظم از اعداد نیمه صحیح m = μ و n = ν طبقه‌بندی می‌شوند که به طور معمول به عنوان یکی از آنها نوشته می‌شود.

$(m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V)$ که در آن V یک فضای برداری با بعد محدود است. اینها، تا یک تبدیل شباهت ، به طور منحصر به فرد توسط [nb 14] ارائه شده است.

$\pi _{(m,n)}(J_{i})=J_{i}^{(m)}\times 1_{(2n+1)}+1_{(2m+1)}\ تایمز J_{i}^{(n)}$ $\pi _{(m,n)}(K_{i})=-i\left(1_{(2m+1)}\otime J_{i}^{(n)}-J_{i} ^{(m)}\times 1_{(2n+1)}\right)$

( A2 )

که در آن 1 n ماتریس واحد n بعدی است و

$\mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)} \درست)$ نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر (2 n + 1) بعدی هستند ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$ ماتریس اسپین یا ماتریس تکانه زاویه ای نیز نامیده می شود . اینها به صراحت به عنوان [64] آورده شده است.

${\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt { (ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a -1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {( ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a- 1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{تراز شده}}$ جایی که δ دلتای کرونکر را نشان می دهد . در مولفه ها، با - m ≤ a , a' ≤ m , − n ≤ b , b' ≤ n ، نمایش ها با [65] داده می شوند.

${\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{ b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\راست )_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\ چپ (\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}-\delta _{b'b}\left(J_{i}^{( m)}\right)_{a'a}\right)\end{تراز شده}}$

نمایش های رایج [ ویرایش ]

نمایش های غیر قابل تقلیل برای کوچک ( m , n ) . بعد داخل پرانتز
	m = 0	1/2	1	3/2
n = 0	اسکالر (1)	ویل اسپینور چپ دست (2)	خود دوگانه 2 فرم (3)	(4)
1/2	ویل اسپینور راست دست (2)	4-بردار (4)	(6)	(8)
1	ضد خود دوگانه 2 شکل (3)	(6)	تانسور متقارن بدون ردیابی (9)	(12)
3/2	(4)	(8)	(12)	(16)

نمایش ( 0، 0) یک نمایش بی اهمیت یک بعدی است و توسط نظریه های میدان اسکالر نسبیتی انجام می شود.
مولدهای ابر تقارن فرمیونی تحت یکی از (0، 1/2) یا (1/2، 0) نمایش (Weyl spinors). [29]
چهار تکانه یک ذره (بدون جرم یا جرم ) در زیر (1/2، 1/2) نمایش، چهار بردار.
یک مثال فیزیکی از یک میدان تانسور متقارن (1،1) بدون ردیابی، بخش بدون ردیابی [nb 15] تانسور انرژی- تکانه T μν است. [66] [nb 16]

مجموع مستقیم خارج از مورب [ ویرایش ]

از آنجایی که برای هر نمایش تقلیل‌ناپذیری که برای آن m ≠ n لازم است روی میدان اعداد مختلط عمل کنیم ، مجموع مستقیم نمایش‌های ( m , n ) و ( n , m ) ارتباط خاصی با فیزیک دارند، زیرا اجازه استفاده از خطی را می‌دهد. عملگرهای بیش از اعداد واقعی

(1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) نمایش bispinor است . اسپینورها و بیسپینورهای Dirac و Weyl را در زیر ببینید.
(1، 1/2) ⊕ (1/2، 1) نمایش میدان Rarita-Schwinger است.
(3/2, 0) ⊕ (0,3/2) تقارن گراویتینوی فرضی خواهد بود . [nb 17] می توان آن را از (1, 1/2) ⊕ (1/2، 1) نمایندگی.
(1، 0) ⊕ (0، 1) نمایش یک فیلد 2 شکلی ثابت برابری است (معروف به شکل انحنای ). تانسور میدان الکترومغناطیسی تحت این نمایش تبدیل می شود.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 7:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-نظریه نمایش گروه لورنتس

توسعه [ ویرایش ]

تئوری کامل نمایش‌های بعدی محدود جبر لی از گروه لورنتس با استفاده از چارچوب کلی نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده استنباط می‌شود . نمایش های بعد محدود مولفه متصل ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ از گروه کامل لورنتس O(3; 1) با استفاده از تناظر لی و ماتریس نمایی به دست می آید . نظریه نمایش کامل ابعاد محدود گروه پوشش جهانی (و همچنین گروه اسپین ، یک پوشش دوتایی) ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ از ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ به دست می آید، و به صراحت بر حسب عمل در یک فضای تابع در نمایش هایی از داده می شود ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . نمایندگان معکوس زمان و وارونگی فضا در وارونگی فضا و زمان معکوس داده شده اند و نظریه ابعاد محدود را برای گروه کامل لورنتس تکمیل می کنند. ویژگی های کلی نمایش های ( m , n ) مشخص شده است. عمل در فضاهای تابع در نظر گرفته شده است، با عمل بر روی هارمونیک های کروی و توابع P ریمان به عنوان مثال ظاهر می شوند. مورد بی‌بعدی بازنمودهای واحد تقلیل‌ناپذیر برای ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ سری اصلی و سری مکمل در نهایت، فرمول Plancherel برای ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ داده می شود، و نمایش های SO(3، 1) برای جبرهای لی طبقه بندی و تحقق می یابد.

توسعه تئوری نمایش از لحاظ تاریخی به دنبال توسعه نظریه عمومی‌تر تئوری نمایش گروه‌های نیمه‌ساده بوده است، که عمدتاً ناشی از الی کارتان و هرمان ویل است، اما گروه لورنتس نیز به دلیل اهمیت آن در فیزیک مورد توجه ویژه‌ای قرار گرفته است. مشارکت کنندگان قابل توجه فیزیکدان EP Wigner و ریاضیدان والنتاین Bargmann با برنامه Bargmann-Wigner خود هستند [1] ، [1] که یک نتیجه گیری از آن، تقریباً طبقه بندی تمام نمایش های واحد گروه ناهمگن لورنتز برابر با طبقه بندی همه معادلات موج نسبیتی ممکن است . [2]طبقه‌بندی نمایش‌های بینهایت‌بعدی تقلیل‌ناپذیر گروه لورنتس توسط دانشجوی دکترای فیزیک نظری پل دیراک ، هاریش-چاندرا ، که بعداً ریاضی‌دان شد، در سال 1947 ایجاد شد. طبقه‌بندی مربوطه برای $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ به طور مستقل توسط برگمن و اسرائیل گلفاند به همراه مارک نایمارک در همان سال منتشر شد.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بسیاری از نمایش‌ها، هم بعد محدود و هم بی‌بعد، در فیزیک نظری مهم هستند. نمایش‌هایی در توصیف میدان‌ها در نظریه میدان کلاسیک ، مهم‌تر از همه میدان الکترومغناطیسی ، و ذرات در مکانیک کوانتومی نسبیتی ، و همچنین ذرات و میدان‌های کوانتومی در نظریه میدان کوانتومی و اجسام مختلف در نظریه ریسمان و فراتر از آن ظاهر می‌شوند. نظریه نمایش همچنین زمینه نظری مفهوم اسپین را فراهم می کند . این نظریه وارد نسبیت عام می شودبه این معنا که در مناطق به اندازه کافی کوچک از فضازمان، فیزیک از نسبیت خاص است. [3]

نمایش‌های غیر واحدی کاهش‌ناپذیر بُعد محدود همراه با نمایش‌های واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر گروه لورنتس ناهمگن ، گروه پوانکر، نمایش‌هایی هستند که ارتباط فیزیکی مستقیم دارند. [4] [5]

نمایش‌های واحد بی‌بعدی گروه لورنتس با محدودیت نمایش‌های واحد بی‌بعدی تقلیل‌ناپذیر گروه پوانکاره که بر روی فضاهای هیلبرت مکانیک کوانتومی نسبیتی و نظریه میدان کوانتومی عمل می‌کنند، ظاهر می‌شوند . اما اینها همچنین دارای علاقه ریاضی و ارتباط مستقیم فیزیکی بالقوه در نقش‌های دیگر به غیر از یک محدودیت صرف هستند. [6] نظریات گمانه‌زنی وجود داشت، [7] [8] (تانسورها و اسپینورها مشابه‌های بی‌نهایتی در بسط‌دهنده‌های دیراک و بسط‌دهنده‌ها دارند.هاریش-چاندرا) با نسبیت و مکانیک کوانتومی سازگار است، اما هیچ کاربرد فیزیکی اثبات شده ای پیدا نکرده اند. نظریات نظری مدرن به طور بالقوه دارای اجزای مشابهی در زیر هستند.

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

در حالی که میدان الکترومغناطیسی همراه با میدان گرانشی تنها میدان‌های کلاسیکی هستند که توصیفات دقیقی از طبیعت ارائه می‌دهند، انواع دیگر میدان‌های کلاسیک نیز مهم هستند. در رویکرد به نظریه میدان کوانتومی (QFT) که به عنوان کوانتیزه دوم نامیده می شود ، نقطه شروع یک یا چند میدان کلاسیک است، به عنوان مثال توابع موجی که معادله دیراک را حل می کنند، به عنوان میدان های کلاسیک قبل از کوانتیزاسیون (دوم) در نظر گرفته می شوند. [9] در حالی که کوانتیزاسیون دوم و فرمالیسم لاگرانژی مرتبط با آن جنبه اساسی QFT نیست، [10]این موردی است که تا کنون می توان به همه نظریه های میدان کوانتومی از جمله مدل استاندارد به این روش نزدیک شد . [11] در این موارد، نسخه‌های کلاسیکی از معادلات میدان وجود دارد که از معادلات اویلر-لاگرانژ مشتق شده از لاگرانژ و با استفاده از اصل کمترین عمل به دست آمده‌اند . این معادلات میدانی باید از نظر نسبیتی ثابت باشند، و راه‌حل‌های آنها (که طبق تعریف زیر به عنوان توابع موج نسبیتی واجد شرایط می‌شوند) باید تحت برخی نمایش‌های گروه لورنتس تبدیل شوند.

عمل گروه لورنتس در فضای پیکربندی میدان (پیکربندی میدان تاریخچه فضا-زمان یک راه حل خاص است، به عنوان مثال میدان الکترومغناطیسی در تمام فضا در تمام زمان ها یک پیکربندی میدان است) شبیه عملکرد فضاهای هیلبرت کوانتومی است. مکانیک، با این تفاوت که براکت های کموتاتور با براکت های پواسون تئوری میدانی جایگزین می شوند . [9]

مکانیک کوانتومی نسبیتی [ ویرایش ]

برای اهداف حاضر، تعریف زیر ارائه شده است: [12] یک تابع موج نسبیتی مجموعه‌ای از n تابع ψα در فضازمان است که تحت یک تبدیل لرنتس دلخواه Λ به عنوان تبدیل می‌شود.

$\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x \درست)،$

که در آن D [Λ] یک ماتریس n بعدی است که نماینده Λ است که به مجموع مستقیم نمایش‌های ( m , n ) که در زیر معرفی می‌شوند تعلق دارد.

مفیدترین نظریه‌های تک ذره‌ای مکانیک کوانتومی نسبیتی (هیچ نظریه‌ای کاملاً منسجم وجود ندارد) معادله کلاین-گوردون [13] و معادله دیراک [14] در محیط اصلی خود هستند. آنها از نظر نسبیتی ثابت هستند و راه حل های آنها تحت گروه لورنتس به ترتیب به صورت اسکالرهای لورنتس ( ( m , n ) = (0, 0) ) و بیسپینورها ( (0,1/2) ⊕ (1/2، 0) ). طبق این تعریف، میدان الکترومغناطیسی یک تابع موج نسبیتی است که تحت (1، 0) ⊕ (0، 1) تبدیل می شود. [15]

نمایش‌های بی‌بعدی ممکن است در تحلیل پراکندگی استفاده شوند. [16]

نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

در نظریه میدان کوانتومی ، تقاضا برای تغییر ناپذیری نسبیتی وارد می‌شود، در میان راه‌های دیگر که ماتریس S لزوماً باید پوانکره ثابت باشد. [17] این مفهوم دارد که یک یا چند نمایش بی‌بعدی از گروه لورنتس وجود دارد که در فضای فوک عمل می‌کنند. [nb 4] یکی از راه‌های تضمین وجود چنین نمایش‌هایی، وجود توصیف لاگرانژی (با الزامات محدود تحمیل شده، مراجعه کنید به مرجع) از سیستم با استفاده از فرمالیسم متعارف است، که از آن می‌توان مولدهای گروه لورنتس را درک کرد. استنباط شود. [18]

دگرگونی‌های عملگرهای میدانی نقش مکملی را که توسط نمایش‌های بُعد محدود گروه لورنتس و نمایش‌های واحد بی‌بعدی گروه پوانکر ایفا می‌کنند، نشان می‌دهد و شاهد وحدت عمیق بین ریاضیات و فیزیک است. [19] برای مثال، تعریف را یک عملگر میدان n جزء در نظر بگیرید : [20] یک عملگر میدان نسبیتی مجموعه‌ای از n توابع با ارزش عملگر در فضازمان است که تحت تبدیل‌های پوانکره مناسب (Λ, a ) مطابق [21] [ 21] [21] تبدیل می‌شود. 22]

$\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1} \left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a )$

در اینجا U [Λ, a] عملگر واحدی است که (Λ, a) را در فضای هیلبرت نشان می دهد که Ψ در آن تعریف شده است و D یک نمایش n بعدی از گروه لورنتس است. قانون تبدیل دومین اصل وایتمن در نظریه میدان کوانتومی است.

با در نظر گرفتن محدودیت های دیفرانسیل که عملگر میدان باید برای توصیف یک ذره منفرد با جرم معین m و اسپین s (یا مارپیچ) تحت آنها قرار گیرد، این نتیجه حاصل می شود که [23] [nb 5]

$\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p},\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip \cdot x}\راست)،$

( X1 )

که در آن a † ، a به ترتیب به عنوان عملگرهای ایجاد و نابودی تفسیر می شوند. عملگر ایجاد a † مطابق [23] [24] تبدیل می شود

$a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^ {\ dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p},\rho )D^{ (s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },$

و به طور مشابه برای عملگر نابودی. نکته ای که باید به آن اشاره کرد این است که عملگر میدان بر اساس یک نمایش غیر واحدی محدود بعدی از گروه لورنتس تبدیل می شود، در حالی که عملگر ایجاد تحت نمایش واحد بینهای بعدی گروه پوانکر که با جرم و اسپین ( m ) مشخص می شود، تبدیل می شود. ، s ) از ذره. ارتباط بین این دو توابع موج هستند که توابع ضریب نیز نامیده می شوند

$u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p},\sigma )e^{- ip\cdot x}$

که هم شاخص‌های ( x , α ) را که توسط تبدیل‌های لورنتس عمل می‌کنند و هم شاخص‌های ( p , σ ) را که توسط تبدیل‌های پوانکاره عمل می‌کنند، دارند. این را می توان اتصال لورنتس-پوانکاره نامید. [25] برای نشان دادن ارتباط، هر دو طرف معادله (X1) را به یک تبدیل لورنتس تبدیل کنید که به عنوان مثال ، u .

${D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R( \Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),$

که در آن D نماینده غیر واحدی گروه لورنتس از Λ است و D ( s ) نماینده واحدی از به اصطلاح چرخش ویگنر R مرتبط با Λ و p است که از نمایش گروه پوانکاره ناشی می‌شود و s اسپین ذره

تمام فرمول های فوق، از جمله تعریف عملگر میدان از نظر عملگرهای ایجاد و نابودی، و همچنین معادلات دیفرانسیل برآورده شده توسط عملگر میدان برای ذره ای با جرم مشخص، اسپین و نمایش ( m , n ) که تحت آن قرار است تبدیل شود، [nb 6] و همچنین تابع موج، می تواند تنها از ملاحظات نظری گروهی پس از ارائه چارچوب های مکانیک کوانتومی و نسبیت خاص استخراج شود. [nb 7]

نظریه های گمانه زنی [ ویرایش ]

در نظریه‌هایی که فضازمان می‌تواند بیش از 4 = D داشته باشد، گروه‌های لورنتس تعمیم‌یافته O( D -1; 1) با بعد مناسب، جای O(3; 1) را می‌گیرند. [nb 8]

شرط عدم تغییر لورنتز شاید چشمگیرترین اثر خود را در نظریه ریسمان می گیرد . رشته های نسبیتی کلاسیک را می توان در چارچوب لاگرانژی با استفاده از عمل Nambu–Goto مدیریت کرد . [26] این منجر به یک نظریه نسبیتی ثابت در هر بعد فضا-زمانی می شود. [27] اما همانطور که پیداست، نظریه ریسمان های بوزونی باز و بسته (ساده ترین نظریه ریسمان) غیرممکن است به گونه ای کوانتی شود که گروه لورنتس در فضای حالت ها (یک فضای هیلبرت ) نمایش داده شود، مگر اینکه بعد فضازمان 26 است. [28] نتیجه مربوط بهنظریه ابر ریسمان مجدداً با تقاضای تغییر ناپذیری لورنتس استنتاج شده است، اما اکنون با ابرتقارن . در این نظریه ها جبر پوانکاره با یک جبر ابرتقارن جایگزین می شود که جبر لی درجه Z 2 است که جبر پوانکاره را گسترش می دهد. ساختار چنین جبری تا حد زیادی توسط الزامات تغییر ناپذیری لورنتس ثابت است. به طور خاص، عملگرهای فرمیونی (درجه 1 ) متعلق به (0،1/2) یا (1/2، 0) فضای نمایشی جبر لی لورنتس (معمولی). [29] تنها بعد ممکن فضا-زمان در چنین نظریه هایی 10 است. [30]

نمایش های بعد محدود [ ویرایش ]

نظریه نمایش گروه ها به طور کلی، و گروه های لی به طور خاص، موضوع بسیار غنی است. گروه لورنتز دارای برخی ویژگی‌ها است که آن را «موافق» می‌سازد و برخی دیگر آن را «خیلی موافق» در چارچوب نظریه نمایش می‌سازد. گروه ساده و در نتیجه نیمه ساده است، اما متصل نیست و هیچ یک از اجزای آن به سادگی به هم متصل نیستند. علاوه بر این، گروه لورنتس فشرده نیست . [31]

برای نمایش‌های محدود بعدی، وجود نیمه سادگی به این معنی است که با گروه لورنتز می‌توان به همان روشی که با سایر گروه‌های نیمه ساده با استفاده از یک نظریه به خوبی توسعه‌یافته برخورد کرد. علاوه بر این، تمام نمایش‌ها از نمونه‌های تقلیل‌ناپذیر ساخته می‌شوند ، زیرا جبر لی دارای خاصیت تقلیل‌پذیری کامل است . [nb 9] [32] اما، عدم فشردگی گروه لورنتز، در ترکیب با عدم اتصال ساده، نمی‌تواند از همه جنبه‌ها مانند چارچوب ساده‌ای که برای گروه‌های به‌سادگی متصل و فشرده اعمال می‌شود، بررسی کرد. عدم فشردگی برای یک گروه Lie ساده دلالت دارد که هیچ نمایش واحدی با ابعاد محدود غیر پیش پا افتاده وجود ندارد. [33]عدم اتصال ساده باعث نمایش چرخشی از گروه می شود. [34] عدم اتصال به این معنی است که برای نمایش گروه کامل لورنتز، وارونگی زمان و وارونگی فضا باید جداگانه بررسی شود. [35] [36]

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 7:21 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-نظریه نمایش گروه لورنتس

توسعه [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی نسبیتی [ ویرایش ]

$\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x \درست)،$

نمایش‌های بی‌بعدی ممکن است در تحلیل پراکندگی استفاده شوند. [16]

نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

$\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1} \left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a )$

( X1 )

که در آن a † ، a به ترتیب به عنوان عملگرهای ایجاد و نابودی تفسیر می شوند. عملگر ایجاد a † مطابق [23] [24] تبدیل می شود

$u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p},\sigma )e^{- ip\cdot x}$

${D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R( \Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),$

نظریه های گمانه زنی [ ویرایش ]

نمایش های بعد محدود [ ویرایش ]

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 7:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-نظریه نمایش گروه لورنتس

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

هندریک آنتون لورنتس (راست) که گروه لورنتس به نام او نامگذاری شده است و آلبرت انیشتین که نظریه نسبیت خاص او منبع اصلی کاربرد است. عکس گرفته شده توسط Paul Ehrenfest 1921.

گروه لورنتس یک گروه لی از تقارن فضازمان نسبیت خاص است . این گروه می تواند به عنوان مجموعه ای از ماتریس ها , تبدیل های خطی , یا عملگرهای واحد در فضای هیلبرت تحقق یابد . بازنمودهای متنوعی دارد . [nb 1] این گروه مهم است زیرا نسبیت خاص همراه با مکانیک کوانتومی دو نظریه فیزیکی هستند که به طور کامل ثابت شده اند، [nb 2]و پیوند این دو نظریه، مطالعه نمایش های واحد بینهایت بعدی گروه لورنتس است. اینها هم اهمیت تاریخی در جریان اصلی فیزیک دارند و هم ارتباطی با تئوری های حدسی امروزی.

فهرست

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم مهر ۱۴۰۱ ساعت 6:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-میدانهای متناهی GF(2^ n )

رم GF(2n)

صفحه قبلی

جدول محتویات

صفحه بعد

[صفحه 119 (ادامه)]

4.6. فیلدهای محدود فرم GF(2 n )

قبلاً در این فصل اشاره کردیم که ترتیب یک میدان محدود باید به شکل p n باشد که در آن p یک عدد اول و n یک عدد صحیح مثبت است. در بخش 4.4، ما به حالت خاص فیلدهای محدود با ترتیب p نگاه کردیم . ما دریافتیم که با استفاده از محاسبات مدولار در Z p ، همه بدیهیات یک فیلد (شکل 4.1) برآورده می شوند. برای چند جمله ای های بیش از p n ، با n > 1، عملیات مدول p n میدانی تولید نمی کند. در این بخش، ما نشان می‌دهیم که چه ساختاری بدیهیات یک میدان را در مجموعه‌ای با عناصر p n برآورده می‌کند و روی GF( 2n ) تمرکز می‌کنیم.

انگیزه

تقریباً همه الگوریتم‌های رمزگذاری، اعم از متقارن و کلید عمومی، شامل عملیات حسابی روی اعداد صحیح هستند. اگر یکی از عملیاتی که در الگوریتم استفاده می شود تقسیم است، باید به صورت حسابی تعریف شده روی یک فیلد کار کنیم. برای راحتی و کارایی پیاده‌سازی، ما همچنین می‌خواهیم با اعداد صحیحی کار کنیم که دقیقاً در تعداد معینی از بیت‌ها قرار می‌گیرند، بدون الگوهای بیت تلف شده. یعنی ما می خواهیم با اعداد صحیح در محدوده 0 تا 2 n 1 کار کنیم که در یک کلمه n بیتی قرار می گیرند.

فرض کنید می‌خواهیم یک الگوریتم رمزگذاری معمولی تعریف کنیم که روی داده‌ها 8 بیت در یک زمان عمل می‌کند و می‌خواهیم تقسیم را انجام دهیم. با 8 بیت، می توانیم اعداد صحیح را در محدوده 0 تا 255 نشان دهیم. اما 256 عدد اول نیست، بنابراین اگر حساب در Z 256 (مدول حسابی 256) انجام شود، این مجموعه اعداد صحیح یک فیلد نخواهد بود. نزدیکترین عدد اول کمتر از 256 251 است. بنابراین، مجموعه Z 251 با استفاده از مدول حسابی 251، یک میدان است. با این حال، در این مورد، الگوهای 8 بیتی که اعداد صحیح 251 تا 255 را نشان می‌دهند، استفاده نمی‌شوند و در نتیجه استفاده ناکارآمد از فضای ذخیره‌سازی منجر می‌شود.

همانطور که مثال قبل اشاره می کند، اگر قرار باشد از تمام عملیات های حسابی استفاده شود، و بخواهیم طیف کاملی از اعداد صحیح را در n بیت نمایش دهیم، مدول حسابی کار نخواهد کرد. به طور معادل، مجموعه اعداد صحیح مدول 2 n ، برای n > 1، یک فیلد نیست. علاوه بر این، حتی اگر الگوریتم رمزگذاری فقط از جمع و ضرب استفاده کند، اما از تقسیم استفاده نمی کند، استفاده از مجموعه Z 2 n مشکوک است، همانطور که مثال زیر نشان می دهد.

[صفحه 120]

فرض کنید می خواهیم از بلوک های 3 بیتی در الگوریتم رمزگذاری خود استفاده کنیم و فقط از عملیات جمع و ضرب استفاده کنیم. سپس مدول حسابی 8 به خوبی تعریف شده است، همانطور که در جدول 4.1 نشان داده شده است. با این حال، توجه داشته باشید که در جدول ضرب، اعداد صحیح غیرصفر به تعداد مساوی ظاهر نمی شوند. به عنوان مثال، تنها چهار مورد از 3 وجود دارد، اما دوازده رخداد از 4 وجود دارد. از سوی دیگر، همانطور که ذکر شد، فیلدهای محدودی به شکل GF(2 n ) وجود دارد، بنابراین به طور خاص یک میدان محدود از مرتبه 2 3 وجود دارد. = 8. حساب این فیلد در جدول 4.5 نشان داده شده است. در این حالت، تعداد وقوع اعداد صحیح غیرصفر برای ضرب یکنواخت است. به طور خلاصه،

عدد صحیح	1	2	3	4	5	6	7
اتفاقات در Z 8	4	8	4	12	4	8	4
موارد در GF(2 3 )	7	7	7	7	7	7	7

جدول 4.5. حساب در GF(2 3 )

(این مورد در نسخه چاپی صفحه 121 نمایش داده شده است)

در حال حاضر، اجازه دهید این سوال را کنار بگذاریم که ماتریس های جدول 4.5 چگونه ساخته شده اند و در عوض برخی مشاهدات را انجام دهیم.

جداول جمع و ضرب در مورد مورب اصلی متقارن هستند، مطابق با ویژگی جابجایی جمع و ضرب. این ویژگی همچنین در جدول 4.1 نشان داده شده است که از محاسبات mod 8 استفاده می کند.
تمام عناصر غیر صفر تعریف شده در جدول 4.5 برخلاف مورد جدول 4.1 دارای یک معکوس ضربی هستند.
طرح تعریف شده توسط جدول 4.5 تمام الزامات یک میدان محدود را برآورده می کند. بنابراین، می توانیم به این طرح به عنوان GF (2 3 ) اشاره کنیم.
برای راحتی، تخصیص 3 بیتی مورد استفاده برای هر یک از عناصر GF(2 3 ) را نشان می‌دهیم.

به طور شهودی، به نظر می‌رسد که الگوریتمی که اعداد صحیح را به‌طور ناهموار بر روی خودشان نگاشت می‌کند، ممکن است از نظر رمزنگاری ضعیف‌تر از الگوریتمی باشد که یک نقشه‌برداری یکنواخت ارائه می‌دهد. بنابراین، میدان های محدود فرم GF( 2n ) برای الگوریتم های رمزنگاری جذاب هستند.

به طور خلاصه، ما به دنبال مجموعه ای متشکل از 2 n عنصر، همراه با تعریف جمع و ضرب بر روی مجموعه ای هستیم که یک فیلد را تعریف می کند. ما می توانیم یک عدد صحیح منحصر به فرد در محدوده 0 تا 2 n 1 به هر عنصر مجموعه اختصاص دهیم. به خاطر داشته باشید که ما از محاسبات مدولار استفاده نخواهیم کرد، زیرا دیدیم که این منجر به یک فیلد نمی شود. در عوض، نشان خواهیم داد که چگونه محاسبات چند جمله ای وسیله ای را برای ساخت میدان مورد نظر فراهم می کند.

حسابی چند جمله ای مدولار

مجموعه S همه چند جمله ای های درجه n 1 یا کمتر را در میدان Z p در نظر بگیرید. بنابراین، هر چند جمله ای شکلی دارد

که در آن هر a i مقداری در مجموعه {0, 1,..., p 1} می گیرد. در مجموع p n چند جمله ای مختلف در S وجود دارد.

+ نوشته شده در جمعه بیست و یکم مرداد ۱۴۰۱ ساعت 10:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

آیا A=Z5[x]/(x^2+4) میدان است؟

از قضیه استفاده کنیم که به ما می‌گوید حلقهF [ x ]m ( x )رایک میدان است اگر و فقط اگرm ( x )تحویل ناپذیر است این به طور کلی آسان نیست - اگر درجهm ( x )بالا است، این کار به مقدار زیادی کار دستی نیاز دارد
خوشبختانه، معمولاً از ما خواسته می شود که این را با آن نشان دهیمm ( x )دارای درجه 2 یا 3. در این مورد، می توانیم از نتیجه 5.29 (یک چند جمله ای) استفاده کنیم.m ( x )درجه 2 یا 3 در یک میدان تحویل ناپذیر است اگر و فقط اگر ریشه نداشته باشد).

همه مقادیر ممکن را وارد می کنیم یعنی به آن ارزیابی می شود

A=Z5[x]/(x^2+4)

Polynomial ring explanation

m(0)=0^2+4=4

m(1)=1^2+4=0

m(2)=2^2+4=3

m(3)=3^2+4=3

m(4)=4^2+4=0

بنابراین

x^2+4=(x−1)(x−4)=(x+4)(x+1)

بنابراین میدان نیست

منبع

https://xyquadrat.ch/2020/12/19/is-polynomial-ring-field/

+ نوشته شده در جمعه بیست و یکم مرداد ۱۴۰۱ ساعت 6:39 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-محاسبات مدولار

کلاس های همخوانی[ ویرایش ]

مانند هر رابطه تطابقی، مدول همخوانی n یک رابطه هم ارزی است و کلاس هم ارزی عدد صحیح a که با a n نشان داده می شود مجموعه {... , a − 2 n , a − n , a , a + n است. a + 2 n , ... }. این مجموعه که از تمام اعداد صحیح متجانس با یک مدول n تشکیل شده است، کلاس همخوانی ، کلاس باقیمانده یا به سادگی باقی مانده نامیده می شود.از عدد صحیح a پیمانه n . هنگامی که مدول n از متن شناخته می شود، آن باقیمانده نیز ممکن است [ a ] نشان داده شود .

سیستم های باقی مانده [ ویرایش ]

هر کلاس باقیمانده مدول n ممکن است توسط هر یک از اعضای آن نمایش داده شود، اگرچه ما معمولاً هر کلاس باقیمانده را با کوچکترین عدد صحیح غیر منفی که به آن کلاس تعلق دارد نشان می دهیم [2] (زیرا این باقیمانده مناسبی است که از تقسیم حاصل می شود). هر دو عضو از کلاس های باقیمانده مختلف مدول n، مدول n ناهمخوان هستند . علاوه بر این، هر عدد صحیح متعلق به یک و تنها یک کلاس باقیمانده پیمانه n است. [3]

مجموعه اعداد صحیح {0, 1, 2, ..., n − 1 } را کمترین سیستم باقیمانده پیمانه n می نامند . به هر مجموعه ای از n عدد صحیح که هیچ دوتای آن ها مدول n متجانس نیستند ، سیستم باقیمانده کامل مدول n نامیده می شود .

سیستم کمترین باقیمانده یک سیستم باقیمانده کامل است و یک سیستم باقیمانده کامل به سادگی مجموعه‌ای است که دقیقاً شامل یک نماینده از هر کلاس باقیمانده مدول n است. [4] به عنوان مثال. کمترین مقدار باقیمانده سیستم مدول 4 {0، 1، 2، 3} است. برخی دیگر از سیستم های باقیمانده کامل مدول 4 عبارتند از:

{1، 2، 3، 4}
{13، 14، 15، 16}
{−2، −1، 0، 1}
{−13، 4، 17، 18}
{−5، 0، 6، 21}
{27، 32، 37، 42}

برخی از مجموعه هایی که مدول 4 سیستم باقیمانده کامل نیستند عبارتند از:

{−5، 0، 6، 22}، زیرا 6 با 22 مدول 4 همخوانی دارد.
{5، 15}، زیرا یک مدول سیستم باقیمانده کامل 4 باید دقیقاً 4 کلاس باقیمانده ناهمخوان داشته باشد.

سیستم های باقیمانده کاهش یافته [ ویرایش ]

مقاله اصلی: سیستم باقیمانده کاهش یافته

با توجه به تابع اویلر φ( n ) , هر مجموعه ای از اعداد صحیح φ( n ) که نسبتاً اول با n هستند و تحت مدول n متقابلاً ناهمخوان هستند، مدول سیستم باقیمانده کاهش یافته n نامیده می شود . [5] مجموعه {5،15} از بالا، برای مثال، نمونه‌ای از مدول 4 سیستم باقیمانده کاهش‌یافته است.

مدول n اعداد صحیح [ ویرایش ]

مجموعه تمام طبقات همخوانی اعداد صحیح برای مدول n حلقه اعداد صحیح مدول n نامیده می شود ، [6] و نشان داده می شود. ${\textstyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ، $\mathbb {Z} /n$ ، یا $\mathbb {Z} _{n}$ . [7] نماد $\mathbb {Z} _{n}$ با این حال، توصیه نمی شود زیرا می توان آن را با مجموعه اعداد صحیح n- adic اشتباه گرفت . حلقه _ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ برای شاخه های مختلف ریاضیات اساسی است (به § برنامه های کاربردی زیر مراجعه کنید).

مجموعه برای n > 0 به صورت زیر تعریف می شود:

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}_{n}\mid a\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{ {\overline {0}}_{n}،{\overline {1}}_{n}،{\overline {2}}_{n}،\ldots،{\overline {n{-}1}} _{n}\right\}.$

(وقتی n = 0 ، $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ یک مجموعه خالی نیست . بلکه ایزومورف به است $\mathbb {Z}$ ، زیرا 0 = { a }. )

جمع، تفریق و ضرب را بر روی تعریف می کنیم $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ با قوانین زیر:

${\overline {a}}_{n}+{\overline {b}}_{n}={\overline {(a+b)}}_{n}$
${\overline {a}}_{n}-{\overline {b}}_{n}={\overline {(ab)}}_{n}$
${\overline {a}}_{n}{\overline {b}}_{n}={\overline {(ab)}}_{n}.$

تأیید اینکه این یک تعریف مناسب است، از ویژگی های ارائه شده قبل استفاده می کند.

به این ترتیب، $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ حلقه جابه جایی می شود . مثلا در رینگ $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ ، ما داریم

${\overline {12}}_{24}+{\overline {21}_{24}={\overline {33}}_{24}={\overline {9}}_{24}$

همانطور که در حساب برای ساعت 24 ساعته.

ما از علامت گذاری استفاده می کنیم $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ زیرا این حلقه ضریب است $\mathbb {Z}$ توسط ایده آل $n\mathbb {Z}$ ، مجموعه ای شامل تمام اعداد صحیح قابل تقسیم بر n ، که در آن $0\mathbb {Z}$ مجموعه تک تن {0 } است. بدین ترتیب $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ یک میدان است که $n\mathbb {Z}$ یک ایده آل حداکثر است (یعنی وقتی n اول باشد).

این نیز می تواند از گروه ساخته شود $\mathbb {Z}$ تحت عملیات اضافه به تنهایی. کلاس باقیمانده a n کوست گروه a در گروه ضریب است $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ، یک گروه چرخه ای . [8]

به جای حذف حالت خاص n = 0 ، استفاده از آن مفیدتر است $\mathbb {Z} /0\mathbb {Z}$ (که همانطور که قبلا ذکر شد با حلقه هم شکل است $\mathbb {Z}$ از اعداد صحیح). در واقع، این گنجاندن هنگام بحث در مورد ویژگی یک حلقه مفید است .

حلقه اعداد صحیح مدول n یک میدان متناهی است اگر و فقط اگر n اول باشد (این تضمین می کند که هر عنصر غیر صفر دارای یک معکوس ضربی است ). اگر $n=p^{k}$ یک توان اول با k > 1 است، یک میدان محدود منحصر به فرد (تا هم ریختی) وجود دارد. $\mathrm {GF} (n)=\mathbb {F} _{n}$ با n عنصر، اما اینطور نیست $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ، که نمی تواند یک فیلد باشد زیرا دارای مقسوم علیه صفر است .

زیر گروه ضربی اعداد صحیح پیمانه n با نشان داده می شود $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ . این شامل ${\overline {a}}_{n}$ (که در آن a همزمان با n است ) ، که دقیقاً کلاس هایی هستند که دارای یک معکوس ضربی هستند. این یک گروه جابجایی تحت ضرب، با ترتیب تشکیل می دهد $\varphi (n)$ .

بسط اعداد واقعی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: عملیات ماژول

این بخش خالی است شما می توانید با اضافه کردن به آن کمک کنید . ( ژوئیه 2022 )

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

در ریاضیات نظری، حساب مدولار یکی از پایه‌های نظریه اعداد است که تقریباً بر همه جنبه‌های مطالعه آن تأثیر می‌گذارد، و همچنین در نظریه گروه ، نظریه حلقه ، نظریه گره و جبر انتزاعی به‌طور گسترده استفاده می‌شود . در ریاضیات کاربردی، در جبر کامپیوتر ، رمزنگاری ، علوم کامپیوتر ، شیمی و هنرهای تجسمی و موسیقی استفاده می شود.

یک کاربرد بسیار عملی، محاسبه جمع‌های چک در شناسه‌های شماره سریال است. به عنوان مثال، شماره کتاب استاندارد بین‌المللی (ISBN) از مدول 11 (برای شابک 10 رقمی) یا مدول 10 (برای ISBN 13 رقمی) برای تشخیص خطا استفاده می‌کند. به همین ترتیب، برای مثال، شماره حساب های بانکی بین المللی (IBAN) از محاسبات مدول 97 برای تشخیص خطاهای ورودی کاربر در شماره حساب های بانکی استفاده می کند. در شیمی، آخرین رقم شماره ثبت CAS (یک شماره شناسایی منحصر به فرد برای هر ترکیب شیمیایی) یک رقم چک است.که با گرفتن آخرین رقم از دو قسمت اول شماره رجیستری CAS برابر 1، رقم قبلی ضربدر 2، رقم قبلی ضربدر 3 و غیره، جمع کردن همه اینها و محاسبه مجموع مدول 10 محاسبه می شود.

در رمزنگاری، محاسبات مدولار مستقیماً زیربنای سیستم‌های کلید عمومی مانند RSA و Diffie-Hellman است و زمینه‌های محدودی را فراهم می‌کند که زیربنای منحنی‌های بیضوی قرار دارند و در انواع الگوریتم‌های کلید متقارن از جمله استاندارد رمزگذاری پیشرفته ( AES)، الگوریتم رمزگذاری بین‌المللی داده استفاده می‌شود. IDEA)، و RC4 . RSA و Diffie-Hellman از توان مدولار استفاده می کنند.

در جبر کامپیوتری، معمولاً از محاسبات مدولار برای محدود کردن اندازه ضرایب صحیح در محاسبات و داده‌های میانی استفاده می‌شود. از آن در فاکتورسازی چند جمله ای استفاده می شود ، مسئله ای که همه الگوریتم های کارآمد شناخته شده برای آن از محاسبات مدولار استفاده می کنند. این توسط کارآمدترین پیاده سازی های چند جمله ای بزرگترین مقسوم علیه مشترک ، جبر خطی دقیق و الگوریتم های پایه گروبنر بر روی اعداد صحیح و اعداد گویا استفاده می شود. همانطور که در Fidonet در دهه 1980 ارسال شد و در Rosetta Code بایگانی شد ، از محاسبات مدولار برای رد فرضیه مجموع توان های اویلر در میکروکامپیوتر QL Sinclair استفاده شد. با استفاده از تنها یک چهارم دقت اعداد صحیح مورد استفاده توسط یک ابررایانه CDC 6600 برای رد آن دو دهه قبل از طریق جستجوی brute force . [9]

در علوم کامپیوتر، محاسبات مدولار اغلب در عملیات بیتی و سایر عملیات‌هایی که شامل ساختارهای داده چرخه‌ای با عرض ثابت هستند، به کار می‌رود . عملیات مدول ، همانطور که در بسیاری از زبان های برنامه نویسی و ماشین حساب ها پیاده سازی می شود ، یک کاربرد از محاسبات مدولار است که اغلب در این زمینه استفاده می شود. عملگر منطقی XOR 2 بیت، مدول 2 را جمع می کند.

در موسیقی، مدول حسابی 12 برای در نظر گرفتن سیستم خلق و خوی مساوی دوازده تنی ، که در آن اکتاو و هم ارزی هماهنگ رخ می دهد، استفاده می شود (یعنی زیر و بمی ها در نسبت 1:2 یا 2:1 معادل هستند، و C- شار برابر است. همان D- Flat در نظر گرفته می شود ).

روش بیرون ریختن نه ها ، بررسی سریع محاسبات حسابی اعشاری انجام شده با دست را ارائه می دهد. این بر اساس مدول حسابی مدولار 9 است، و به طور خاص بر روی خاصیت حیاتی که 10 ≡ 1 (mod 9) است.

مدول حسابی 7 در الگوریتم هایی استفاده می شود که روز هفته را برای یک تاریخ معین تعیین می کند. به طور خاص، تطابق زلر و الگوریتم روز قیامت به شدت از محاسبات مدولو-7 استفاده می کنند.

به طور کلی تر، حساب مدولار در رشته هایی مانند حقوق (مثلاً تقسیم بندی )، اقتصاد (مثلاً نظریه بازی ) و سایر حوزه های علوم اجتماعی کاربرد دارد، که در آن تقسیم و تخصیص متناسب منابع، بخش مرکزی تحلیل را ایفا می کند.

پیچیدگی محاسباتی [ ویرایش ]

از آنجایی که محاسبات مدولار دارای چنین طیف وسیعی از کاربردها است، مهم است که بدانیم حل یک سیستم همخوانی چقدر سخت است. یک سیستم خطی از همخوانی ها را می توان در زمان چند جمله ای با شکلی از حذف گاوسی حل کرد. برای جزئیات بیشتر به قضیه همخوانی خطی مراجعه کنید . الگوریتم‌هایی مانند کاهش مونتگومری نیز وجود دارند که به عملیات‌های ساده حسابی مانند ضرب و مدول توان n اجازه می‌دهند تا به طور موثر بر روی اعداد بزرگ انجام شوند.

برخی از عملیات، مانند یافتن یک لگاریتم گسسته یا یک تطابق درجه دوم ، به نظر می رسد به سختی فاکتورسازی اعداد صحیح هستند و بنابراین نقطه شروعی برای الگوریتم های رمزنگاری و رمزگذاری هستند. این مشکلات ممکن است NP-intermediate باشند.

حل یک سیستم معادلات حسابی مدولار غیر خطی NP-complete است. [10]

نمونه های پیاده سازی [ ویرایش ]

این بخش احتمالاً حاوی تحقیقات اصلی است . لطفاً با تأیید ادعاهای مطرح شده و افزودن نقل‌قول‌های درون خطی ، آن را بهبود ببخشید . اظهاراتی که فقط شامل تحقیقات اصلی است باید حذف شوند. ( مه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

در زیر سه تابع C نسبتاً سریع وجود دارد، دو تابع برای انجام ضرب مدولار و یکی برای توان مدولار در اعداد صحیح بدون علامت بزرگتر از 63 بیت، بدون سرریز عملیات گذرا.

روشی الگوریتمی برای محاسبه $a\cdot b{\pmod {m}}$ : [11]

uint64_t mul_mod ( uint64_t a , uint64_t b , uint64_t m ) {       
    اگر ( ! (( a | b ) & ( 0xFFFFFFFFULL << 32 )) ) a * b % m ;             

    uint64_t d = 0 , mp2 = m >> 1 ;        
    int i ; 
    if ( a >= m ) a %= m ;      
    اگر ( b >= m ) b %= m ;      
    برای ( i = 0 ; i < 64 ; ++ i ) {        
        d = ( d > mp2 ) ? ( d << 1 ) - m : d << 1 ;              
        اگر ( a & 0x800000000000000ULL ) d += b ;      
        اگر ( d >= m ) d -= m ;      
        a <<= 1 ;  
    }
    بازگشت d ; 
}

در معماری‌های رایانه‌ای که در آن یک قالب دقیق گسترده با حداقل 64 بیت مانتیس موجود است (مانند نوع طولانی دوتایی اکثر کامپایلرهای x86 C)، روال زیر [ توضیحات لازم است ] ، با استفاده از ترفندی که توسط سخت‌افزار، شناور است. ضرب نقطه منجر به مهم‌ترین بیت‌های حاصل در نگهداری می‌شود، در حالی که ضرب اعداد صحیح باعث می‌شود کمترین بیت‌های مهم حفظ شوند: [ نیازمند منبع ]

uint64_t mul_mod ( uint64_t a , uint64_t b , uint64_t m ) {       
    x طولانی دوبل ;  
    uint64_t c ; 
    int64_t r ; 
    if ( a >= m ) a %= m ;      
    اگر ( b >= m ) b %= m ;      
    x = a ;  
    c = x * b / m ;      
    r = ( int64_t )( a * b - c * m ) % ( int64_t ) m ;          
    برگردانید r < 0 ? r + m : r ;         
}

در زیر یک تابع C برای انجام توان مدولار وجود دارد که از تابع mul_mod پیاده سازی شده در بالا استفاده می کند.

روشی الگوریتمی برای محاسبه $a^{b}{\pmod {m}}$ :

uint64_t pow_mod ( uint64_t a , uint64_t b , uint64_t m ) {       
    uint64_t r = m == 1 ? 0 : 1 ;         
    در حالی که ( b > 0 ) {    
        if ( b & 1 ) r = mul_mod ( r , a , m );        
        b = b >> 1 ;    
        a = mul_mod ( a , a , m );    
    }
    بازگشت r ; 
}

با این حال، برای اینکه همه روال های بالا کار کنند، m نباید از 63 بیت تجاوز کند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

حلقه بولی
بافر دایره ای
بخش (ریاضی)
میدان محدود
نماد افسانه
توان مدولار
مدول (ریاضیات)
گروه ضربی از اعداد صحیح پیمانه n
دوره پیزانو (دنباله های فیبوناچی مدول n )
ریشه اولیه پیمانه n
متقابل درجه دوم
باقیمانده درجه دوم
بازسازی منطقی (ریاضیات)
سیستم باقیمانده کاهش یافته
حسابی شماره سریال (مورد خاصی از محاسبات مدولار)
جبر بولی دو عنصری
موضوعات مربوط به نظریه گروه در پشت محاسبات مدولار:
- گروه چرخه ای
- گروه ضربی از اعداد صحیح پیمانه n
سایر قضایای مهم مربوط به محاسبات مدولار:
- قضیه کارمایکل
- قضیه باقی مانده چینی
- قضیه اویلر
- قضیه کوچک فرما (مورد خاص قضیه اویلر)
- قضیه لاگرانژ
- Thue's lemma

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

+ نوشته شده در چهارشنبه نوزدهم مرداد ۱۴۰۱ ساعت 2:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-محاسبات مدولار

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد نماد (mod n ) است. برای عملیات باینری mod( a,n ) به عملیات مدولو مراجعه کنید .

زمان سنجی در این ساعت از مدول حسابی 12 استفاده می کند. با افزودن 4 ساعت به ساعت 9 ساعت 1 به دست می آید، زیرا 13 با 1 مدول 12 مطابقت دارد.

در ریاضیات ، محاسبات مدولار یک سیستم حسابی برای اعداد صحیح است ، که در آن اعداد با رسیدن به مقدار معینی که مدول نامیده می‌شود، در اطراف خود قرار می‌گیرند. رویکرد مدرن به حساب مدولار توسط کارل فردریش گاوس در کتاب Disquisitiones Arithmeticae که در سال 1801 منتشر شد، توسعه یافت.

یک کاربرد آشنا از محاسبات مدولار در ساعت 12 ساعته است که در آن روز به دو دوره 12 ساعته تقسیم می شود. اگر الان ساعت 7:00 است، 8 ساعت بعد ساعت 3:00 خواهد بود. جمع ساده منجر به 7 + 8 = 15 می شود ، اما ساعت ها هر 12 ساعت به دور خود می پیچند. از آنجایی که عدد ساعت با رسیدن به 12 از صفر شروع می شود، این مدول حسابی 12 است. از نظر تعریف زیر، 15 مطابق با 3 مدول 12 است، بنابراین "15:00" در ساعت 24 ساعته "3" نمایش داده می شود. :00 اینچ در یک ساعت 12 ساعته.

فهرست

همخوانی [ ویرایش ]

با توجه به یک عدد صحیح n > 1 که مدول نامیده می شود ، به دو عدد صحیح a و b گفته می شود که مدول n متجانس هستند، اگر n مقسوم علیه تفاوت آنها باشد (یعنی اگر یک عدد صحیح k وجود داشته باشد به طوری که a - b = kn باشد ). .

مدول همگامی n یک رابطه هم ارزی است، به این معنی که یک رابطه هم ارزی است که با عملیات جمع ، تفریق و ضرب سازگار است . مدول همخوانی n نشان داده می شود:

$a\equiv b{\pmod {n}}.$

پرانتز به این معنی است که (mod n ) برای کل معادله اعمال می شود، نه فقط در سمت راست (اینجا، b ). این نماد نباید با علامت b mod n (بدون پرانتز) که به عملیات مدول اشاره دارد، اشتباه گرفته شود . در واقع، b mod n عدد صحیح منحصر به فرد a را نشان می دهد به طوری که 0 ≤ a < n و $a\equiv b\;({\text{mod}}\;n)$ (یعنی باقیمانده $ب$ وقتی تقسیم بر $n$ ).

رابطه تطابق ممکن است به صورت بازنویسی شود

$a=kn+b,$

رابطه آن را با تقسیم اقلیدسی به صراحت نشان می دهد . با این حال، b در اینجا لازم نیست باقیمانده تقسیم a بر n باشد. در عوض، چیزی که عبارت a ≡ b (mod n ) بیان می کند این است که a و b وقتی بر n تقسیم می شوند باقیمانده یکسانی دارند . به این معنا که،

$a=pn+r،$

$b=qn+r،$

که در آن 0 ≤ r < n باقیمانده مشترک است. با کم کردن این دو عبارت، رابطه قبلی را بازیابی می کنیم:

$ab=kn,$

با تنظیم k = p − q .

مثالها [ ویرایش ]

در مدول 12 می توان ادعا کرد که:

$38\equiv 14{\pmod {12}}$

زیرا 38 − 14 = 24 ، که مضرب 12 است. راه دیگر برای بیان این است که بگوییم هر دو 38 و 14 با تقسیم بر 12 باقیمانده 2 مشابهی دارند.

تعریف همخوانی در مورد مقادیر منفی نیز صدق می کند. مثلا:

${\begin{aligned}2&\equiv -3{\pmod {5}}\\-8&\equiv 7{\pmod {5}}\\-3&\equiv -8{\pmod {5}} .\end{تراز شده}}$

خواص [ ویرایش ]

رابطه هم ارزی تمام شرایط یک رابطه هم ارزی را برآورده می کند :

بازتاب: a ≡ a (mod n )
تقارن: a ≡ b (mod n ) اگر b ≡ a (mod n ) برای همه a , b و n .
گذرا: اگر a ≡ b (mod n ) و b ≡ c (mod n ) , آنگاه a ≡ c ( mod n )

اگر a 1 ≡ b 1 (mod n ) و a 2 ≡ b 2 (mod n ) و یا a ≡ b (mod n ) ، آنگاه: [1]

a + k ≡ b + k (mod n ) برای هر عدد صحیح k (سازگاری با ترجمه)
ka ≡ kb (mod n ) برای هر عدد صحیح k (سازگاری با مقیاس بندی)
ka ≡ kb (mod kn ) برای هر عدد صحیح k
a 1 + a 2 ≡ b 1 + b 2 (mod n ) (سازگاری با جمع)
a 1 – a 2 ≡ b 1 – b 2 (mod n ) (سازگاری با تفریق)
a 1 a 2 ≡ b 1 b 2 (mod n ) (سازگاری با ضرب)
a k ≡ b k (mod n ) برای هر عدد صحیح غیر منفی k (سازگاری با توان)
p ( a ) ≡ p ( b ) (mod n ) ، برای هر چند جمله‌ای p ( x ) با ضرایب صحیح (سازگاری با ارزیابی چند جمله‌ای)

اگر a ≡ b (mod n ) ، آنگاه به طور کلی نادرست است که k a ≡ k b (mod n ) . با این حال، موارد زیر صادق است:

اگر c ≡ d (mod φ ( n ))، که در آن φ تابع تایانت اویلر است ، a c ≡ a d ( mod n ) —به شرطی که a همزمان با n باشد .

برای لغو شرایط رایج، قوانین زیر را داریم:

اگر a + k ≡ b + k (mod n ) ، جایی که k هر عدد صحیحی است، a ≡ b (mod n )
اگر ka ≡ kb (mod n ) و k با n همزمان اول باشد ، a ≡ b (mod n )
اگر ka ≡ kb (mod kn ) و k ≠ 0 , آنگاه a ≡ b (mod n )

معکوس ضربی مدولار با قوانین زیر تعریف می شود:

وجود: یک عدد صحیح با -1 وجود دارد به طوری که aa -1 ≡ 1 (mod n ) اگر و فقط اگر a هم اول با n باشد وجود دارد. این عدد صحیح a –1 ، معکوس ضربی مدولار یک مدول n نامیده می شود .
اگر a ≡ b (mod n ) و a –1 وجود داشته باشد، a –1 ≡ b –1 (mod n ) (سازگاری با معکوس ضربی، و اگر a = b ، مدول یکتایی n ) وجود دارد.
اگر ax ≡ b (mod n ) و a همزمان با n باشد ، آنگاه راه حل این همخوانی خطی با x ≡ a -1 b (mod n ) به دست می آید.

معکوس ضربی x ≡ a –1 (mod n ) را می توان با حل معادله بزوت به طور موثر محاسبه کرد. $ax+ny=1$ برای $x، y$ - با استفاده از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته .

به طور خاص، اگر p یک عدد اول باشد، a برای هر a هم‌آغاز با p است به طوری که 0 < a < p ; بنابراین یک معکوس ضربی برای همه a وجود دارد که با مدول صفر p مطابقت ندارد.

برخی از ویژگی های پیشرفته تر روابط همخوانی به شرح زیر است:

قضیه کوچک فرما : اگر p اول باشد و a را تقسیم نکند ، a p – 1 ≡ 1 (mod p ) .
قضیه اویلر : اگر a و n هم اول باشند، آنگاه a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) که φ تابع اویلر است.
یک نتیجه ساده از قضیه کوچک فرما این است که اگر p اول باشد، a −1 ≡ a p− 2 (mod p ) معکوس ضربی 0 < a < p است. به طور کلی تر، از قضیه اویلر، اگر a و n هم اول باشند، a −1 ≡ a φ ( n ) − 1 (mod n ) .
نتیجه ساده دیگر این است که اگر a ≡ b (mod φ ( n ))، که در آن φ تابع تاینت اویلر است، آنگاه k a ≡ k b (mod n ) ارائه شده k با n همخوان است .
قضیه ویلسون : p اول است اگر و فقط اگر ( p − 1)! ≡ −1 (mod p ) .
قضیه باقیمانده چینی : برای هر a , b و هم اول m , n , یک x یکتا (mod mn ) وجود دارد به طوری که x ≡ a (mod m ) و x ≡ b ( mod n ) . در واقع، x ≡ bm n –1 m + an m –1 n (mod mn ) که در آن m n -1 معکوس m استمدول n و n m -1 معکوس n مدول m است.
قضیه لاگرانژ : همخوانی f ( x ) ≡ 0 (mod p ) , که در آن p اول است و f ( x ) = a 0 x n + ... + a n چند جمله ای با ضرایب صحیح است به طوری که a 0 ≠ 0 ( mod p ) ، حداکثر n ریشه دارد.
مدول ریشه اولیه n : یک عدد g یک مدول ریشه ابتدایی n است اگر برای هر عدد صحیح یک هم اول به n یک عدد صحیح k وجود داشته باشد به طوری که g k ≡ a (mod n ) باشد. یک مدول ریشه اولیه n وجود دارد اگر و فقط اگر n برابر با 2، 4، pk یا 2 pk باشد ، که در آن p یک عدد اول فرد و k یک عدد صحیح مثبت است. اگر یک مدول ریشه اولیه n وجود داشته باشد، دقیقاً وجود داردφ ( φ ( n )) چنین ریشه های ابتدایی، که در آن φ تابع اویلر است.
باقیمانده درجه دوم : یک عدد صحیح a یک مدول باقیمانده درجه دوم n است، اگر یک عدد صحیح x وجود داشته باشد به طوری که x 2 ≡ a (mod n ) وجود داشته باشد. معیار اویلر بیان می کند که اگر p یک عدد اول فرد باشد و a مضرب p نباشد ، a یک مدول باقیمانده درجه دوم p است اگر و فقط اگر

$a^{(p-1)/2}\equiv 1{\pmod {p}}.$

+ نوشته شده در چهارشنبه نوزدهم مرداد ۱۴۰۱ ساعت 2:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه برائر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

اجازه دهید X یک تنوع تصویری صاف روی یک فیلد عددی K باشد. اصل هاس پیش‌بینی می‌کند که اگر X یک نقطه گویا روی تمام تکمیل‌های K v از K داشته باشد، آنگاه X یک نقطه گویا K دارد. اصلهاسبرای برخی از کلاس های خاص از انواع صدق می کند، اما نه به طور کلی. مانین از گروه برائر X برای تعریف انسداد برائر-مانین استفاده کرد که می‌تواند در بسیاری از موارد برای نشان دادن اینکه X هیچ نقطه K ندارد حتی زمانی که X استفادهدر ریاضیات ، گروه برائر یک میدان K یک گروه آبلی است که عناصر آن کلاس‌های هم‌ارزی موریتا از جبرهای ساده مرکزی بر K هستند که با حاصلضرب تانسور جبرها جمع می‌شوند. توسط جبرشناس ریچارد برائر تعریف شد .

گروه برائر از تلاش برای طبقه بندی جبرهای تقسیم بر روی یک میدان بوجود آمد. همچنین می‌توان آن را بر اساس هم‌شناسی گالوا تعریف کرد . به طور کلی تر، گروه برائر از یک طرح بر اساس جبرهای Azumaya یا به طور معادل با استفاده از بسته های تصویری تعریف می شود .

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

جبر ساده مرکزی (CSA) روی یک میدان K یک جبر K- بعدی محدود است به طوری که A یک حلقه ساده است و مرکز A برابر با K است. توجه داشته باشید که CSAها به طور کلی جبرهای تقسیمی نیستند ، اگرچه از CSAها می توان برای طبقه بندی جبرهای تقسیمی استفاده کرد.

به عنوان مثال، اعداد مختلط C روی خودشان یک CSA تشکیل می‌دهند، اما نه روی R (مرکز خود C است، بنابراین بزرگتر از آن است که CSA روی R باشد). جبرهای تقسیم بعدی محدود با مرکز R (یعنی بعد روی R متناهی است) اعداد حقیقی و رباعی های یک قضیه فروبنیوس هستند، در حالی که هر حلقه ماتریسی بر روی واقعی ها یا چهارتایی ها - M( n ، R ) یا M هستند. ( n , H ) - یک CSA بر روی واقعی است، اما جبر تقسیم نیست (اگر n > 1).

ما به دست آوردن رابطه هم ارزی در CSAS بیش از K توسط قضیه آرتین-ودربرن به ( ودربرن به بخش نیست، در واقع)، برای بیان هر CSA به عنوان یک م ( N ، D ) برای برخی از بخش جبر D . اگر فقط به D نگاه کنیم ، یعنی اگر یک رابطه هم ارزی را تحمیل کنیم که M( m , D ) را با M( n , D ) برای همه اعداد صحیح مثبت m و n مشخص می کند ، رابطه هم ارزی برائر را بر روی CSA ها روی K می گیریم.. عناصر گروه برائر کلاس های هم ارزی برائر CSA ها روی K هستند.

با توجه به جبرهای ساده مرکزی A و B ، می توان به حاصل ضرب تانسور A ⊗ B آنها به عنوان یک جبر K نگاه کرد (به حاصل ضرب تانسور جبرهای R مراجعه کنید ). به نظر می رسد که این همیشه ساده مرکزی است. یک راه نرم و صاف برای دیدن این است که استفاده از خصوصیات: ساده جبر مرکزی بیش از K است K جبر که تبدیل به یک حلقه ماتریس هنگامی که ما زمینه گسترش بندی به بسته شدن جبری از K . این نتیجه همچنین نشان می دهد که بعد یک جبر ساده مرکزی A به عنوان Kفضای برداری همیشه یک مربع است. درجه از تعریف می شود ریشه دوم بعد آن.

در نتیجه، کلاس‌های هم‌مورفیسم CSA‌ها روی K ، یک محصول تانسوری یکنوید را تشکیل می‌دهند که با معادل برائر سازگار است، و کلاس‌های بروئر همگی معکوس هستند : معکوس جبر A توسط جبر مقابل آن A op داده می‌شود ( حلقه مقابل با همان عمل توسط K زیرا تصویر K → A در مرکز A است). به صراحت، برای یک CSA A ، A ⊗ A op = M( n 2 , K ) داریم که در آن nدرجه A بر K است .

گروه برائر هر میدانی یک گروه پیچشی است . در جزئیات بیشتر، تعریف دوره از ساده جبر مرکزی بیش از K به آن سفارش به عنوان یک عنصر از گروه برائر. تعریف شاخص از به درجه جبر تقسیم است که برائر معادل . سپس دوره شاخص تقسیم (و از این رو محدود است). [1]

مثالها [ ویرایش ]

در موارد زیر، هر جبر بخش مرکزی محدود بعدی بیش از یک میدان K است K خود را، به طوری که گروه برائر برزیلی ( K ) است بی اهمیت :
- K یک میدان بسته جبری است .
- K یک میدان متناهی است ( قضیه ودربرن ). [2] به طور معادل، هر حلقه تقسیم محدود جابجایی است.
- K است درست تابع یک منحنی های جبری بیش از یک میدان بسته جبری ( قضیه Tsen است ). [3] به طور کلی، گروه برائر برای هر فیلد C 1 ناپدید می شود .
- K پسوند جبری Q است که تمام ریشه های وحدت را در بر می گیرد. [2]
گروه برائر Br( R ) میدان R از اعداد حقیقی ، گروه چرخه ای مرتبه دو است. فقط دو جبر تقسیم واقعی غیر هم شکل با مرکز R وجود دارد : خود R و جبر چهارتایی H. [4] از آنجایی که H ⊗ H ≅ M(4, R )، کلاس H دارای مرتبه دو در گروه برائر است.
فرض کنید K یک میدان محلی غیر ارشمیدسی باشد، به این معنی که K تحت یک ارزش گذاری گسسته با میدان باقیمانده محدود کامل است. سپس Br( K ) به Q / Z هم شکل است. [5]

انواع Severi–برائر [ ویرایش ]

یکی دیگر از تفسیر مهم از گروه برائر از یک میدان K است که آن را طبقه بندی کرده است رقم تصویری بیش از K که ریخت برای تبدیل شدن به فضای تصویری بیش از یک بسته شدن جبری از K . چنین گونه‌ای ، واریته سوری-برائر نامیده می‌شود ، و بین طبقات هم‌شکلی انواع سوری-بروئر با ابعاد n -1 روی K و جبرهای ساده مرکزی درجه n بر K مطابقت یک به یک وجود دارد . [6]

به عنوان مثال، انواع Severi-برائر با بعد 1 دقیقاً مخروط های صاف در صفحه پرتاب کننده روی K هستند. برای یک میدان K با مشخصه نه 2، هر مخروطی روی K به یکی از شکل های ax 2 + با 2 = z 2 برای برخی از عناصر غیر صفر a و b از K هم شکل است. جبر ساده مرکزی مربوطه جبر چهارتایی است [7]

$(a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).$

مخروطی با خط پرتابی P 1 روی K هم شکل است اگر و فقط اگر جبر چهارتایی متناظر با جبر ماتریس M(2, K ) هم شکل باشد.

جبرهای چرخه ای [ ویرایش ]

برای یک عدد صحیح مثبت n ، فرض کنید K میدانی باشد که در آن n معکوس باشد، به طوری که K حاوی n ام ابتدایی واحد ز باشد. برای عناصر غیرصفر a و b از K ، جبر حلقوی مرتبط جبر ساده مرکزی با درجه n بر K است که توسط

$(a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).$

جبرهای حلقوی بهترین جبرهای ساده مرکزی هستند که به خوبی قابل درک هستند. (زمانی که n در K معکوس نباشد یا K ریشه n ام ابتدایی وحدت نداشته باشد، یک ساختار مشابه جبر حلقوی (χ, a ) مربوط به یک Z / n - پسوند حلقوی χ از K و یک عنصر غیرصفر a را می دهد. از K. [ 8] )

قضیه Merkurjev-Suslin در نظریه K جبری یک نتیجه قوی در مورد گروه برائر دارد. یعنی، برای یک عدد صحیح مثبت n ، اجازه دهید K میدانی باشد که در آن n معکوس باشد به طوری که K حاوی n امین ریشه اولیه وحدت باشد. سپس زیرگروه گروه برائر از K کشته شده توسط n توسط جبرهای حلقوی درجه n تولید می شود. [9] به طور معادل، هر جبر تقسیم دوره ای که n را تقسیم می کند ، برائر معادل حاصل ضرب تانسور جبرهای حلقوی درجه n است. حتی برای عدد اول pمثال‌هایی وجود دارد که نشان می‌دهد جبر تقسیم‌بندی دوره p نیازی به هم‌شکل بودن یک حاصل ضرب تانسور جبرهای حلقوی درجه p ندارد . [10]

این یک مشکل باز اصلی است (که توسط آلبرت مطرح شد ) که آیا هر جبر تقسیم درجه اول بر روی یک میدان چرخه ای است یا خیر. این درست است اگر درجه 2 یا 3 باشد، اما مشکل برای اعداد اول حداقل 5 کاملاً باز است. نتایج شناخته شده فقط برای کلاس های خاصی از فیلدها هستند. به عنوان مثال، اگر K یک میدان جهانی یا میدان محلی باشد ، جبر تقسیم با هر درجه بر K چرخه ای است، توسط Albert– برائر –هاس– Noether . [11] یک نتیجه "بعدی بالاتر" در همین جهت توسط سالتمن ثابت شد: اگر K میدانی با درجه متعالی 1 بر میدان محلی Q باشد.p ، پس هر جبر تقسیم درجه اول l ≠ p روی K حلقوی است. [12]

مشکل شاخص دوره [ ویرایش ]

برای هر جبر ساده مرکزی A بر روی یک میدان K ، دوره A شاخص A را تقسیم می کند و دو عدد دارای عوامل اول یکسان هستند. [13] مشکل شاخص دوره ، محدود کردن شاخص بر حسب دوره، برای فیلدهای K مورد علاقه است. به عنوان مثال، اگر A یک جبر ساده مرکزی بر روی یک میدان محلی یا میدان جهانی باشد، آلبرت-برائر-هاسه-نوتر نشان داد که شاخص A برابر با دوره A است. [11]

برای یک جبر ساده مرکزی A روی یک میدان K با درجه متعالی n بر روی یک میدان بسته جبری، حدس زده می شود که ind( A ) بر ( A ) n -1 تقسیم می شود . این برای n ≤ 2 صدق می کند ، مورد n = 2 پیشرفت مهمی توسط دی یونگ است که توسط دی یونگ استار و لیبلیچ در ویژگی مثبت مشخص شده است. [14]

نظریه میدان کلاس [ ویرایش ]

گروه برائر نقش مهمی در فرمول بندی مدرن نظریه میدان کلاس ایفا می کند . اگر K V یک میدان محلی غیر ارشمیدسی است، کلاس تئوری میدان محلی می دهد متعارف ریخت INV V : BR ( K V ) → Q / Z از ثابت هاس . [5]

مورد یک میدان جهانی K (مانند یک فیلد عددی ) توسط نظریه میدان کلاس جهانی بررسی می شود . اگر D یک جبر ساده مرکزی روی K باشد و v یک مکان K باشد، D ⊗ K v یک جبر ساده مرکزی روی K v است، تکمیل K در v . این یک هممورفیسم از گروه برائر K به گروه برائر K v را تعریف می کند . جبر ساده مرکزی داده شده D برای همه تقسیم می شود، اما تعداد محدودیv ، به طوری که تصویر D در تقریباً همه این هممورفیسم ها 0 است. گروه برائر Br( K ) در یک دنباله دقیق ساخته شده توسطهاسقرار می گیرد: [15] [16]

$0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{{v\in S}}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow {\mathbf {Q}}/{ \mathbf {Z}}\راست پیکان 0،$

که در آن S مجموعه همه مکان های K و فلش سمت راست مجموع متغیرهای محلی است. گروه برائر از اعداد واقعی با (1/2) Z / Z شناسایی می شود. تزریقی بودن فلش سمت چپ محتوای قضیه آلبرت-بروئر-هاس-نوتر است .

این واقعیت که مجموع همه متغیرهای محلی یک جبر ساده مرکزی روی K صفر است، یک قانون متقابل معمولی است . به عنوان مثال، اعمال این مورد برای جبر چهارگانه ( a , b ) بر روی Q قانون متقابل درجه دوم را به دست می دهد .

هم‌شناسی گالوا [ ویرایش ]

برای یک میدان دلخواه K ، گروه برائر را می‌توان بر حسب هم‌شناسی Galois به صورت زیر بیان کرد: [17]

${\textrm {Br}}(K)\cong H^{2}(K,G_{m})،$

که در آن G m نشانگر گروه ضربی است که به عنوان یک گروه جبری روی K دیده می شود. به طور دقیق تر، گروه cohomology نشان داده شده به معنی H2 ( Gal(Ks / K ) ، Ks * )، که در آن Ks نشان دهنده بسته شدن قابل جدا شدن K است .

ایزومورفیسم گروه برائر با یک گروه cohomology Galois را می توان به شرح زیر توصیف کرد. گروه خودمورفیسم جبر n × n ماتریس، گروه خطی تصویری PGL( n ) است. از آنجایی که تمام جبرهای ساده مرکزی روی K به جبر ماتریس با بسته شدن قابل تفکیک K هم شکل می شوند ، مجموعه ای از کلاس های هم شکل جبرهای ساده مرکزی با درجه n روی K را می توان با مجموعه همومولوژی Galois H 1 ( K , PGL( n) شناسایی کرد. )). کلاس یک جبر ساده مرکزی در H 2 ( K, G m ) تصویر کلاس آن در H 1 در زیر هممورفیسم مرزی است

$H^{1}(K,PGL(n))\right arrow H^{2}(K,G_{m})$

مربوط به دنباله دقیق کوتاه 1 → G m → GL(n) → PGL(n) → 1.

گروه برائر از یک طرح [ ویرایش ]

گروه برائر از میدان ها به حلقه های جابجایی توسط اسلاندر و گلدمن تعمیم داده شد . ثانیه گروتندیک بیشتر با تعریف گروه برائر هر رفت طرح .

دو راه برای تعریف گروه برائر از یک طرح وجود دارد X ، با استفاده از جبری آزومایا بیش از X و یا بسته نرم افزاری تصویری بیش از X . تعریف دوم شامل بسته های تصویری است که به صورت محلی در توپولوژی étale بی اهمیت هستند و نه لزوماً در توپولوژی Zariski . به طور خاص، یک بسته تصویری در گروه برائر صفر تعریف می‌شود، اگر و تنها در صورتی که پروژکتیوسازی برخی از بسته‌های برداری باشد.

گروه کومولوژی برائر از یک طرح شبه فشرده X به عنوان زیرگروه پیچشی از گروه کومولوژی اتاتH2 ( X , Gm ) تعریف شده است. (کل گروه H 2 ( X , G m ) نیازی به پیچش ندارد، اگرچه برای طرح های منظم X پیچشی است . [18] ) گروه برائر همیشه زیرگروهی از گروه برائر کومولوژی است. گاببر نشان داد که گروه برائر برابر با گروه برائرکومولوژی برای هر طرحی با یک بسته خطی فراوان است (به عنوان مثال، هرطرح شبه فرافکنی بر روی یک حلقه جابجایی). [19]

کل گروه H 2 ( X , G m ) را می توان به عنوان دسته بندی گرب ها بر X با گروه ساختاری G m مشاهده کرد .

برای واریته های پرتابی صاف روی یک مزرعه، گروه برائر یک متغیر دوتایی است. مثمر ثمر بوده است. برای مثال، هنگامی که X نیز به طور منطقی روی اعداد مختلط متصل می‌شود، گروه برائر X نسبت به زیرگروه پیچشی گروه همومولوژی منفرد H 3 ( X , Z ) هم‌شکل است، که بنابراین یک متغیر دوتایی است. آرتین و مامفورد از این توصیف در مورد گروه برائر استفاده کردند تا اولین مثال از یک نوع غیر منطقی X بر C را ارائه دهند که به طور منطقی پایدار نیست (یعنی هیچ محصولی ازX با فضای تصویری منطقی است). [20]

ارتباط با حدس تیت [ ویرایش ]

آرتین حدس زد که هر طرح مناسب بر روی اعداد صحیح دارای گروه برائر محدود است. [21] این امر حتی در مورد خاص یک نوع تصویری صاف X در یک میدان محدود نیز شناخته شده نیست. در واقع، محدودیت از گروه برائر برای سطوح در آن صورت معادل است حدس تیت برای مقسوم علیه های ان در X ، یکی از مشکلات اصلی در نظریه چرخه جبری . [22]

برای یک طرح انتگرالی منظم با بعد 2 که روی حلقه اعداد صحیح یک میدان اعداد مسطح و مناسب است و دارای یک بخش است، محدود بودن گروه برائر معادل محدود بودن گروه تات-شافرویچ Ш برای ژاکوبین است. تنوع فیبر عمومی (منحنی روی یک فیلد عددی). [23] محدود بودن Ш یک مشکل اصلی در محاسبات منحنی های بیضوی و به طور کلی انواع آبلی است .

انسداد برائر-مانین [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Brauer_group

+ نوشته شده در چهارشنبه ششم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 0:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه درن برن-آرتین

در جبر ، قضیه ودرن برن-آرتین یک قضیه طبقه بندی برای حلقه های نیمه ساده و جبرهای نیمه ساده است. این قضیه بیان می‌کند که یک حلقه نیمه ساده ( آرتینی ) [1] R با حاصلضرب تعداد متناهیی از حلقه‌های ماتریس n i - با - n i روی حلقه‌های تقسیم D i هم‌شکل است ، برای برخی از اعداد صحیح n i ، که هر دو به طور منحصربه‌فرد تعیین می‌شوند. به جایگشت شاخص i . به طور خاص، هر چپ یا راست ساده حلقه آرتینی به یک حلقه ماتریس n در n بر روی یک حلقه تقسیم D است که در آن هر دو n و D به طور منحصر به فرد تعیین می شوند. [2]

فهرست

قضیه [ ویرایش ]

بگذارید R یک حلقه نیمه ساده (آرتینی) باشد . سپس R با حاصلضرب تعداد متناهیی از حلقه های ماتریس n i - با - n i هم شکل است. {\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})} $M_{n_{i}}(D_{i})$ بر روی حلقه های تقسیم D i ، برای برخی از اعداد صحیح n i ، که هر دو به طور منحصر به فرد تا جایگشت شاخص i تعیین می شوند.

اگر R یک جبر نیم‌بعدی متناهی باشد، هر D i در عبارت فوق یک جبر تقسیم‌بعدی متناهی بر k است. لازم نیست مرکز هر D i k باشد . می تواند یک پسوند متناهی از k باشد .

توجه داشته باشید که اگر R یک جبر ساده با بعد متناهی بر روی یک حلقه تقسیم E باشد ، D لازم نیست در E وجود داشته باشد. به عنوان مثال، حلقه‌های ماتریسی روی اعداد مختلط جبرهای ساده با ابعاد متناهی نسبت به اعداد واقعی هستند.

نتیجه 1 [ ویرایش ]

قضیه درن برن-آرتین دلالت بر این دارد که هر حلقه ساده ای که بر روی یک حلقه تقسیم دارای ابعاد متناهی است به یک حلقه ماتریس n- by -n بر روی یک حلقه تقسیم D که در آن هر دو n و D به طور منحصر به فرد تعیین می شوند، هم شکل است. [2] این نتیجه اصلی جوزف ودربرن است. امیل آرتین بعداً آن را به حلقه های آرتینی چپ یا راست تعمیم داد . به ویژه، اگر $ک$ یک میدان جبری بسته است، سپس حلقه ماتریس دارای ورودی هایی از است $ک$ تنها جبر ساده آرتینی با ابعاد متناهی است $ک$ .

نتیجه 2 [ ویرایش ]

فرض کنید k یک میدان بسته جبری باشد. فرض کنید R یک حلقه نیمه ساده باشد، که یک جبر k با بعد متناهی است . سپس R یک محصول متناهی است $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ جایی که $n_{i}$ اعداد صحیح مثبت هستند و $M_{n_{i}}(k)$ جبر است $n_i \times n_i$ ماتریس های بیش از k .

پیامد [ ویرایش ]

قضیه ,ودرن برن-آرتین-مشکل طبقه‌بندی جبرهای ساده مرکزی با بعد متناهی را بر روی یک میدان K به مسئله طبقه‌بندی جبرهای تقسیم مرکزی با بعد متناهی بر روی K کاهش می‌دهد .

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%E2%80%93Artin_theorem

+ نوشته شده در چهارشنبه ششم بهمن ۱۴۰۰ ساعت 0:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-گروه قابل حل

خواص قوی تر



				گروه آبلی , گروه متاابلی , گروه متاسیکلیک , گروه چند حلقه ای \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه nilpotent	سری مرکزی پایین به بدیهی می رسد	nilpotent به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای nilpotent است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه Metanilpotent \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر	nilpotent در مقابل قابل حل
گروه متاابلی	زیر گروه نرمال آبلی با ضریب آبلی; طول مشتق شده دو		(لیست نمونه ها را نیز ببینید)	\| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه فوق حل پذیر	سری نرمال با گروه های عامل چرخه ای	supersolvable به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای فوق حل پذیر است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه چند حلقه ای \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه چند حلقه ای	سری های غیرنرمال با گروه های عامل چرخه ای معادل قابل حل در حالت متناهی	چند حلقه ای به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنای چند حلقه ای است (لیست نمونه ها را نیز ببینید)	گروه قابل حل به پایان رسیده , گروه قابل حل به پایان رسیده ارائه شده \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه متاسیکلیک	زیر گروه نرمال حلقوی با گروه ضریب حلقوی		(لیست نمونه ها را نیز ببینید)	برای مفاهیم میانی بین گروه قابل حل و گروه متاسیکلیک، اینجا را کلیک کنید .

خواص ضعیف تر

ویژگی	معنی	اثبات دلالت	اثبات سختگیری (شکست دلالت معکوس)	مفاهیم میانی
گروه هیپوآبلین	سری مشتق شده transfinite به بدیهی می رسد. معادل قابل حل در حالت متناهی	حل پذیر به معنای هیپوابلی است	hypoآبلی به معنی قابل حل نیست	گروه قابل حل باقیمانده \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه ناقص	هیچ گروه ضریب کامل غیر پیش پا افتاده ای وجود ندارد	قابل حل به معنای ناقص است	ناقص نه به معنی قابل حل است	\| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه قابل حل محلی	هر زیرگروه به طور متناهی تولید شده قابل حل است معادل قابل حل در حالت متناهی
گروه قابل حل باقیمانده	هر عنصر غیر بدیهیی یک تصویر غیر بدیهیی در یک ضریب قابل حل معادل قابل حل در حالت متناهی دارد.

ارتباط با سایر خواص

پیوستگی	جزء دیگر ربط	نظرات اضافی
گروه قابل حل متناهی	گروه متناهی	برای گروه‌های متناهی، حل‌پذیر بودن معادل چند حلقه‌ای بودن است و ویژگی‌های جایگزین بسیاری دارد.
گروه T قابل حل	گروه تی
گروه HN قابل حل	گروه HN

فرمالیسم ها

از نظر اپراتور گسترش گروه

این ویژگی گروه را می‌توان بر حسب عملگر گسترش گروه و/یا اصلاح‌کننده‌های ویژگی گروهی که از این عملگر ناشی می‌شوند بیان کرد.

با اعمال عملگر poly به ویژگی گروه بودن آبلی
با اعمال عملگر سری نرمال متناهی به ویژگی گروه بودن آبلی
با اعمال عملگر سری مشخصه متناهی به ویژگی گروه بودن آبلی

توجه داشته باشید که هر سه عملگر در مورد گروه های آبلی اثر یکسانی دارند، اگرچه به طور کلی ممکن است نداشته باشند.

آزمایش کردن

مشکل تست

اطلاعات بیشتر: مسئله تست حل پذیری

مشکل آزمایش اینکه آیا یک گروه قابل حل است یا نه به مشکل محاسبه سری مشتق شده آن کاهش می یابد . در صورتی که بتوان الگوریتم بسته شدن نرمال را پیاده سازی کرد ، می توان این کار را زمانی انجام داد که گروه با استفاده از یک مجموعه تولید کننده توصیف شود.

دستور GAP

این ویژگی گروه را می توان با استفاده از عملکرد داخلی گروه ها، الگوریتم ها، برنامه نویسی (GAP) آزمایش کرد.
دستور GAP برای این ویژگی گروهی این است: IsSolvableGroup
مشخصات گروه قابل آزمایش GAP را مشاهده کنید

برای تعیین اینکه آیا یک گروه قابل حل است یا نه، از دستور GAP زیر استفاده می کنیم:

IsSolvableGroup (گروه);

که در آن گروه ممکن است تعریفی از گروه یا نامی برای گروهی باشد که قبلاً تعریف شده است.

مطالعه این مفهوم

طبقه بندی دروس ریاضی

تحت طبقه بندی موضوع ریاضی ، مطالعه این مفهوم در کلاس: 20F16 قرار می گیرد.

کلاس 20F16 برای تئوری کلی گروه های قابل حل استفاده می شود، در حالی که کلاس 20D10 (در زیر 20D که برای گروه های متناهی است) روی گروه های قابل حل متناهی تمرکز می کند.

همچنین ارتباط نزدیکی با 20F19 دارد: تعمیم گروه های nilpotent و حل پذیر.

منابع

مراجع کتاب درسی

کتاب	شماره صفحه	فصل و بخش	اطلاعات متنی
جبر انتزاعی نوشته دیوید اس. دامیت و ریچارد ام. فوت، ISBN 10 رقمی 0471433349، ISBN 13 رقمی 978-0471433347 اطلاعات بیشتر	105		تعریف رسمی
موضوعات جبر توسط IN Herstein اطلاعات بیشتر	116		تعریف رسمی، بین تمرینات معرفی شده است
جبر توسط سرژ لانگ , ISBN 038795385X اطلاعات بیشتر	18		تعریف در پاراگراف
دوره ای در تئوری گروه ها توسط درک جی اس رابینسون , ISBN 0387944613 اطلاعات بیشتر	121		تعریف رسمی
گروه ها و نمایندگی ها توسط جاناتان لازار آلپرین و روون بی بل، ISBN 0387945261 اطلاعات بیشتر	95		تعریف در پاراگراف
مقدمه ای بر جبر انتزاعی اثر درک جی اس رابینسون ، ISBN 3110175444 اطلاعات بیشتر	171		تعریف در پاراگراف
اولین دوره در جبر انتزاعی (ویرایش ششم) توسط جان بی. فرالی، ISBN 0201763907 اطلاعات بیشتر	194	تعریف 3.4.16	تعریف رسمی
جبر (متن های فارغ التحصیل در ریاضیات) نوشته توماس دبلیو هانگرفورد، ISBN 0387905189 اطلاعات بیشتر	102	تعریف 7.9	تعریف رسمی
جبه چکیده معاصر اثر جوزف گالیان، شابک 0618514716 اطلاعات بیشتر	563
موضوعات جبر توسط IN Herstein اطلاعات بیشتر	116		تعریف رسمی، بین تمرینات معرفی شده است

دسته بندی ها :

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-گروه قابل حل

تعریف

حل شدنی را برخی افراد حلال نیز می نامند .

تعاریف معادل در قالب جدول

خیر	کوتاه نویسی	گروهی قابل حل است اگر ...	گروهی $جی$ قابل حل است اگر ...
1	سری معمولی، ضرایب آبلی	یک سری نرمال از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام در $سلام$ آن نرمال $جی$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
2	سری های غیرنرمال، ضرایب آبلی	یک سری غیرنرمال با طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد: به گونه‌ای $\{ e \}= H_0 \underline{\triangleleft} H_1 \underline{\triangleleft} \dots \underline{\triangleleft} H_n = G$ که هر کدام $سلام$ در حالت نرمال $H_{i+1}$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
3	طول متناهی سری مشتق شده	سری مشتق شده در مراحل بسیار متناهی به بدیهی می رسد	سری مشتق شده از $جی$ ، یعنی سری که در $G^{(n)}$ آن $G^{(0)} = G$ و زیرگروه مشتق شده قبلی خود است، در مراحل بسیار متناهیی به زیرگروه بدیهی می رسد. $G^{(i+1)} = [G^{(i)}، G^{(i)}]$
4	سری مشخصه، ضرایب آبلی	یک سری مشخصه از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام $سلام$ مشخصه و هر $جی$ کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .
5	سری کاملاً ثابت، ضرایب آبلی	یک سری کاملاً ثابت از طول متناهی وجود دارد که از زیر گروه بدیهی شروع می شود و به کل گروه ختم می شود و هر گروه ضریب متوالی یک گروه آبلی است.	یک سری زیرگروه وجود دارد $\{ e \} = H_0 \le H_1 \le \ldots \le H_n = G$ که هر کدام $سلام$ در آنها کاملاً ثابت $جی$ و هر کدام $H_{i+1}/H_i$ آبلی هستند .

طول سری مشتق شده ، و کوچکترین طول ممکن یک سری برای هر یک از تعاریف معادل دیگر، طول مشتق شده یا طول قابل حل گروه نامیده می شود.

این تعریف با استفاده از فرمت جدولی ارائه شده است. | مشاهده تمام صفحات با تعاریف در قالب جدول

معادل سازی تعاریف

اطلاعات بیشتر: معادل سازی تعاریف گروه قابل حل ، معادل سازی تعاریف طول مشتق شده

مثال ها

VIEW : گروه هایی که این ویژگی را دارند | گروه هایی که از این ویژگی ناراضی هستند
مشاهده : رضایت گروه های مرتبط | نارضایتی های گروهی مرتبط با اموال

نمونه های افراطی

گروه بدیهی قابل حل است.
گروه متقارن: S3 کوچکترین گروه غیرآبلی قابل حل است.

گروه هایی که دارایی را راضی می کنند

در اینجا برخی از گروه های اساسی/مهم که دارایی را برآورده می کنند آورده شده است:

	شناسه GAP
گروه چرخه ای: Z2	2 (1)
گروه چرخه ای:Z3	3 (1)
گروه چرخه ای: Z4	4 (1)
گروه اعداد صحیح
کلاین چهار گروه	4 (2)
گروه بدیهی	1 (1)

در اینجا برخی از گروه های نسبتاً کمتر اساسی/مهم که دارایی را برآورده می کنند آورده شده است:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A4	12 (3)
گروه دو وجهی:D8	8 (3)
ضرب مستقیم Z4 و Z2	8 (2)
گروه کواترنیون	8 (4)
گروه خطی ویژه: SL(2،3)	24 (3)
گروه متقارن: S4	24 (12)

در اینجا برخی از گروه‌های پیچیده‌تر/کمتر اساسی‌تر وجود دارد که دارایی را برآورده می‌کنند:

	شناسه GAP
گروه هشت وجهی باینری	48 (28)
گروه دو وجهی:D16	16 (7)
ضرب مستقیم A4 و Z2	24 (13)
ضرب مستقیم D8 و Z2	16 (11)
گروه خطی عمومی:GL(2،3)	48 (29)
گروه کواترنیون تعمیم یافته: Q16	16 (9)
M16	16 (6)
گروه متیو: M9	72 (41)
گروه نیمه وجهی:SD16	16 (8)

گروه هایی که از ناراضی هستند

در اینجا چند گروه اساسی/مهم وجود دارد که دارایی را برآورده نمی کند:

در اینجا چند گروه نسبتاً کمتر اساسی/مهم وجود دارد که دارایی را برآورده نمی کند:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A5	60 (5)
گروه متناوب: A6	360 (118)
گروه رایگان: F2
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(3،2)	168 (42)
گروه خطی ویژه: SL(2،5)	120 (5)
گروه متقارن: S5	120 (34)

در اینجا برخی از گروه‌های پیچیده‌تر/کمتر اساسی‌تر وجود دارد که این ویژگی را برآورده نمی‌کنند:

	شناسه GAP
گروه متناوب: A7
گروه متیو: M10	720 (765)
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(2،11)	660 (13)
گروه خطی ویژه تصویری:PSL(2،8)	504 (156)
گروه خطی ویژه: SL(2،7)	336 (114)
گروه خطی ویژه: SL(2،9)	720 (409)

فهرست

این مقاله در مورد یک تعریف استاندارد (البته نه خیلی ابتدایی) در نظریه گروه است. با این حال، متن مقاله ممکن است بیش از تعریف اصلی داشته باشد
VIEW : تعاریف ساخته شده بر اساس این | حقایقی در این مورد: ( حقایق نزدیک به گروه قابل حل , تمام حقایق مربوط به گروه حل پذیر ) | مقالات نظرسنجی در مورد این | مقالات نظرسنجی در مورد تعاریف ساخته شده بر روی این
VIEW مرتبط : مشابه این | تغییرات این | مخالف این |
فهرست کاملی از تعاریف نیمه اساسی را در این ویکی مشاهده کنید

این مقاله یک ویژگی گروهی را تعریف می‌کند که در میان ویژگی‌های گروه موجود مهم است (یعنی مهم)
مشاهده لیستی از ویژگی‌های گروه محوری | مشاهده لیست کاملی از ویژگی های گروه [نمایش بیشتر]

نسخه این برای گروه های متناهی در: گروه قابل حل متناهی است

فراخواص

نام متاپراپرتی	راضی؟	اثبات	بیانیه با نمادها
ویژگی گروه شبه واریته	آره	حل پذیری شبه واریتال است	حل‌پذیری در زیر گروه‌ها، ضریب‌ها و ضربات مستقیم متناهی بسته می‌شود (بیشتر در زیر).
ویژگی گروه بسته شده با افزونه	آره	حل پذیری پسوند بسته است	فرض کنید $اچ$ یک زیرگروه نرمال از $جی$ این قبیل است که هر دو $اچ$ و گروه ضریب $G/H$ گروه‌های قابل حل هستند . سپس $جی$ یک گروه قابل حل است.
ویژگی گروه بسته شده توسط زیرگروه	آره	حل پذیری زیر گروه بسته است	اگر $جی$ قابل حل است، و $H\le G$ یک زیر گروه است، پس $اچ$ قابل حل است.
ویژگی گروه ضریب بسته	آره	حل پذیری نسبی بسته است	اگر $جی$ قابل حل است، و زیر گروه نرمال $اچ$ است ، گروه ضریب قابل حل است. $جی$ $G/H$
ویژگی گروه بسته ضرب مستقیم متناهی	آره	حل پذیری ضرب مستقیم متناهی است	اگر $G_1، G_2، \times، G_n$ قابل حل باشند، ضرب مستقیم خارجی $G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n$ نیز قابل حل است.
ویژگی گروهی پیوستن بسته نرمال متناهی	آره	حل پذیری نرمال متناهی است	اگر $جی$ یک گروه باشد و $N_1،N_2،\dots،N_r$ همه زیرگروه های نرمال قابل حل $جی$ باشند ، پیوستن زیر گروه ها (در این مورد نیز حاصلضرب زیرگروه ها ) $N_1N_2\dots N_r$ قابل حل است.
دارایی گروهی همسوکلینیسم-نامغیر	آره	گروه های ایزوکلینیک طول مشتق شده یکسانی دارند	اگر $G_1$ و گروه ایزوکلینیک هستند $G_2$ ، پس قابل حل است اگر و فقط اگر باشد. علاوه بر این، اگر چنین است، طول مشتق شده برابر است با طول مشتق شده از , مگر اینکه یکی از گروه ها جزئی و دیگری آبلی غیر جزئی باشد. $G_1$ $G_2$ $G_1$ $G_2$

ارتباط با سایر خواص

خواص قوی تر

ویژگی	معنی	اثبات دلالت	اثبات سختگیری (شکست دلالت معکوس)	مفاهیم میانی	مقایسه
گروه آبلی	زیر گروه مشتق شده بدیهی است	آبلی به معنی قابل حل است	حل نشدنی به معنی آبلی است (لیست مثال ها را نیز ببینید)	گروه متاابلی , گروه متانیل پوتنت \| لیست کامل، اطلاعات بیشتر
گروه دوری			(لیست نمونه ها را نیز بب

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:22 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-گروه دو وجهی:D8

زیر گروه ها

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

در ستون‌های «فهرست زیرگروه‌ها» در زیر، شکستن ردیف در داخل سلول نشان می‌دهد که هر ردیف یک کلاس مزدوج از زیر گروه‌ها را نشان می‌دهد .

کلاس اتومورفیسم از زیر گروه ها	لیست زیر گروه ها	کلاس ایزومورفیسم	ترتیب زیر گروه ها	فهرست زیر گروه ها	تعداد کلاس های مزدوج (=1 اگر زیرگروه automorph-conjugate )	اندازه هر کلاس مزدوج (=1 اگر زیر گروه نرمال )	تعداد کل زیر گروه ها (=1 زیر گروه مشخصه اگر )	کلاس ضریب ایزومورفیسم (اگر زیرگروه نرمال باشد)	عمق غیر طبیعی (اگر مناسب و نرمال باشد، برابر با 1 است)	کلاس پوچی
زیر گروه بی اهمیت	$\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	8	1	1	1	گروه دو وجهی:D8	1	0
مرکز	$\{e,a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	1	1	1	کلاین چهار گروه	1	1
سایر زیر گروه های مرتبه دو	$\{e,x \}, \{ e,a^2x \}$ $\{ e,ax \}, \{ e,a^3x \}$	گروه دور ای: Z2	2	4	2	2	4	--	2	1
کلاین چهار زیر گروه	$\{e,x,a^2,a^2x \}$ ، $\{ e,ax,a^2,a^3x \}$	کلاین چهار گروه	4	2	2	1	2	گروه دور ای: Z2	1	1
زیر گروه حداکثر دور ای	$\{e,a,a^2,a^3 \}$	گروه دور ای: Z4	4	2	1	1	1	گروه دور ای: Z2	1	1
کل گروه	$\{ e,a,a^2,a^3,x,ax,a^2x,a^3x \}$	گروه دو وجهی:D8	8	1	1	1	1	گروه بی اهمیت	0	2
مجموع (6 ردیف)	--	--	--	--	8	--	10	--	--	--

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

اطلاعات بیشتر: ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی:D8#تعریف توابع

تابع تعریف زیرگروه	چه معنی میده	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی رفت و آمد دارند	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیرگروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	ضریب پایه	کلاین چهار گروه	4
هنجار بائر	تقاطع نرمال سازهای همه زیر گروه ها	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
به همه زیرگروه های نرمال آبلی بپیوندید	زیر گروه تولید شده توسط همه زیر گروه های نرمال آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلی دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	کل گروه	گروه دو وجهی:D8	8	?	گروه بی اهمیت	1
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه دو وجهی:D8 : $\{ e, a^2 \}$	گروه دور ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
مرکز زلزله	تقاطع تصاویر مراکز برای همه پسوندهای مرکزی	زیر گروه بی اهمیت: $\{ e \}$	گروه بی اهمیت	1	بزرگترین گروه ضریب که یک گروه توانمند است	گروه دو وجهی:D8	8

چند یادداشت دیگر:

توابع تعریف کننده زیرگروه زیر با کل گروه برابر هستند زیرا گروه یک گروه پوچی است : زیرگروه متناسب ، مرکز ، رادیکال قابل حل .
توابع تعریف کننده زیرگروه زیر به دلیل اینکه گروه یک گروه قابل حل است با زیرگروه بی اهمیت برابری می کنند : هیپومرکز ، باقیمانده پوچی ، هسته کامل ، باقیمانده قابل حل .

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه دو وجهی:D8

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	36	قابل اجرا نیست
گروه اتومورفیسم	گروه دو وجهی:D8	8	3
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
گروه شبه اتومورفیسم	ضرب مستقیم D8 و Z2	16	11
1-گروه اتومورفیسم	ضرب مستقیم S4 و Z2	48	48
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه دور ای: Z2	2	1

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی:D8 ، نظریه نمایش خطی گروه های دو وجهی

خلاصه

مورد	مقدار
درجات نمایش های کاهش ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1,1,1,1,2 حداکثر : 2, lcm : 2, تعداد : 5, مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص Schur نمایش های غیر قابل کاهش	1،1،1،1،1
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$ ; مانند حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر
میدان تقسیم حداقلی ، یعنی کوچکترین میدان تحقق برای همه نمایش های کاهش ناپذیر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (بنابراین، این یک گروه نمایش منطقی است ) مانند میدانی که توسط مقادیر کاراکتر ایجاد می شود ، زیرا تمام مقادیر شاخص Schur 1 هستند.
شرط تقسیم شدن میدان برای این گروه	هر میدانی از مشخصه نه دو، یک میدان تقسیم است.
حداقل میدان تقسیم در مشخصه $p \ne 0، 2$	میدان اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	میدان:F3 ، یعنی میدانی با سه عنصر.
تحت عمل گروه اتومورفیسم بر روی یک میدان شکاف می چرخد	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 1)، 2 (نمایش درجه 1) و 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 4
مداری بر روی یک میدان شکافنده تحت عمل ضربی نمایش های یک بعدی، یعنی تا معادل تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
گروه های دیگر با جدول شخصیت های مشابه	گروه کواترنیون (به نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون مراجعه کنید )

جدول شخصیت

این جدول کاراکتر روی مشخصه صفر کار می کند:

کلاس نمایندگی / Conj	$\{e \}$ (سایز 1)	$\{ a^2 \}$ (سایز 1)	$\{ a, a^{-1} \}$ (سایز 2)	$\{ x، a^2x \}$ (سایز 2)	$\{ تبر، a^3x \}$ (سایز 2)
نمایندگی بی اهمیت	1	1	1	1	1
$\langle a \rangle$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$\langle a^2، x \rangle$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$\langle a^2, ax\rangle$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

جدول کاراکترهای مشابه روی هر مشخصه ای کار می کند که برابر با 2 نباشد، جایی که عناصر 1،-1،0،2،-2 در میدان تفسیر می شوند.

سیستم های فیوژن

اطلاعات بیشتر: سیستم های همجوشی برای گروه دو وجهی:D8

خلاصه

مورد	مقدار
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع در یک نمونه بتنی از گروه (دقیق، نه تا ایزومورفیسم سیستم های همجوشی)	4
تعداد کل سیستم های همجوشی اشباع تا ایزومورفیسم	3
فهرستی از سیستم های همجوشی اشباع شده با اندازه مدار	سیستم همجوشی داخلی (اندازه مدار 1 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی غیرساده درونی برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 2 تحت ایزومورفیسم ها)، سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 (اندازه مدار 1)
تعداد سیستم های همجوشی ساده	1
تعداد حداکثر سیستم های همجوشی اشباع شده، به عنوان مثال، سیستم های همجوشی اشباع موجود در سیستم های همجوشی اشباع بزرگتر	1 ( سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی: D8 )

شرح سیستم های همجوشی

نوع ایزومورفیسم سیستم همجوشی	تعداد چنین سیستم های همجوشی تحت شمارش دقیق	آیا سیستم همجوشی با استفاده از زیرگروه Sylow از یک گروه محدود قابل تحقق است؟	آیا تابع همانی همجوشی قوی را کنترل می کند؟ این بدان معنی است که تمام فیوژن در نرمال ساز رخ می دهد	آیا سیستم فیوژن ساده است؟	جاسازی کوچکترین اندازه برای تحقق این سیستم همجوشی (در صورت وجود)
سیستم همجوشی داخلی	1	آره	آره	سیستم همجوشی داخلی ساده نیست	به عنوان یک زیر گروه از خودش
سیستم همجوشی غیر ساده داخلی برای گروه دو وجهی: D8	2	آره	خیر	خیر	D8 در S4
سیستم همجوشی ساده برای گروه دو وجهی:D8	1	آره	خیر	آره	D8 در PSL (3،2)
مجموع (3 ردیف)	4	--	--	--	--

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این گروه منحصر به فرد غیر T با کوچکترین مرتبه است، یعنی کوچکترین نمونه منحصر به فرد گروهی که در آن نرمال بودن متعدی نیست .
این یک گروه پوچی غیرآبلی از کوچکترین مرتبه است، هرچند نه تنها. گروه دیگر از این قبیل گروه کواترنیون است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه از راسته خود است که به گروه اتومورفیسم خود هم شکل است.
این تنها گروه از راسته خود است که یک گروه T نیست .
این تنها گروه از سفارش خود است که دارای دو زیر گروه کلاین است. به طور خاص، مثالی از وضعیتی را ارائه می دهد که در آن تعداد زیرگروه های مرتبه آبلی ابتدایی $p^2$ نه صفر است و نه $1$ مدول $پ$ . این را با مورد فرد مقایسه کنید $پ$ ، که در آن شرط همخوانی تعداد زیرگروه‌های آبلی ابتدایی از مرتبه اول را برای عدد اول فرد داریم .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 3 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،3)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,3);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع IdGroup GAP استفاده کنیم:

IdGroup(G) = [8,3]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 4 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،4)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,4);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع Gap3CatalogueIdGroup GAP استفاده کنیم:

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع GAP استفاده می شود	ترجمه ریاضی توضیحات
DihedralGroup(8)	DihedralGroup	گروه دو وجهی نظم $8$ ، درجه $4$
WreathProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2))	WreathProduct ، CyclicGroup	ضرب اکلیل خارجی دو نسخه از گروه دور ای مرتبه دو
ExtraspecialGroup(2^3،'+')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق‌العاده از نوع «+» برای درجه اول $2$ و مرتبه $2^3$
SylowSubgroup(SymmetricGroup(4),2)	SylowSubgroup و SymmetricGroup	$2$ - زیرگروه Sylow از گروه متقارن درجه چهار
SylowSubgroup(GL(3,2,2)	SylowSubgroup ، GL	زیر گروه $2$ -Sylow از GL(3،2)

شرح بر اساس ارائه

این هم کد:

gap> F := FreeGroup(2);
gap> G := F/[F.1^4, F.2^2, F.2 * F.1 * F.2 * F.1];
<گروه fp در ژنراتورها [f1, f2]>
gap> IdGroup(G);
[8، 3]

گروه $جی$ ساخته شده در اینجا گروه دو وجهی نظم $8$ است. مولد اول $F.1$ به عنصر چرخش مرتبه چهار و مولد دوم به عنصر انعکاس $F.2$ درجه دو نگاشت می شود.

توضیحات طولانی

می توان آن را به عنوان هولومورف گروه دور ای مرتبه چهار توصیف کرد. برای این کار ابتدا $سی$ گروه دور ای مرتبه چهار را تعریف کنید (با استفاده از CyclicGroup )، و سپس از SemidirectProduct و خودریختیGroup استفاده کنید :

C := CyclicGroup(4);
G := SemidirectProduct(خودریختیGroup(C),C);

در اینجا، $جی$ گروه دو وجهی از مرتبه هشت است. همچنین می‌توانیم آن را به‌عنوان یک ضرب نیمه‌مستقیم از چهار گروه کلاین و یک خودریختی درجه دو بسازیم.

K := DirectProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2));
A := خودریختیGroup(K);
S := SylowSubgroup(A,2);
G := SemidirectProduct(S,K);

سپس $جی$ به گروه دو وجهی مرتبه هشت هم شکل است.

تأیید GAP

در زیر پیاده سازی GAP وجود دارد که مقادیر مختلف تابع و ویژگی های گروه را همانطور که در این صفحه بیان شده است تأیید می کند. قبل از شروع، G := DihedralGroup(8) را تنظیم کنید. یا هر روشی معادل برای تنظیم $جی$ دو وجهی مرتبه هشت.

gap> IdGroup(G);
[8، 3]
gap> Order(G);
8
شکاف> توان (G);
4
gap> پوچیClassOfGroup(G);
2

بیشتر: [نمایش بیشتر]

دسته بندی :

گروه های خاص

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-گروه دو وجهی:D8

توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر

اطلاعات بیشتر: ساختار عنصر گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) - بیشتر در پیاده سازی #GAP ببینید
تعداد کلاس های مزدوج	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان کلاس های مزدوج	به عنوان گروه دو وجهی $D_{2n}$ ، $n$ حتی: $\! (n + 6)/2 = (4 + 6)/2 = 5$ . ساختار عنصری گروه‌های دو وجهی و ساختار عنصری گروه دو وجهی را ببینید : D8 به عنوان گروه ماتریس واحد مثلثی $UT (3، q)، q = 2$ : ساختار عنصری گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه را در یک میدان محدود ببینید. $q^2 + q - 1 = 2^2 + 2 - 1 = 5$	طول(کلاس های مزدوج(G)); با استفاده از مزدوجClasses
تعداد کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	5	گروه‌هایی با ترتیب و تعداد کلاس‌های هم‌ارزی یکسان تحت مزدوج واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های هم ارزی تحت مزدوج واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد کلاس های مزدوج عناصر واقعی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از کلاس های مزدوج عناصر واقعی	همان تعداد کلاس های مزدوج است، زیرا گروه یک گروه دوسوگرا است. ببینید گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند
تعداد طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات هم ارزی یکسان تحت اختلاط منطقی \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات هم ارزی تحت اختلاط منطقی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است.	طول (کلاس های منطقی (G)); با استفاده از RationalClasses
تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلانی	5	گروه هایی با ترتیب و تعداد طبقات مزدوج عناصر عقلی یکسان \| گروه هایی با تعداد مشابهی از طبقات مزدوج عناصر عقلانی	همان تعداد کلاس های صیغه، زیرا گروه یک گروه عقلانی است.

توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی

اطلاعات بیشتر: ساختار زیر گروه گروه دو وجهی: D8

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح	تأیید GAP (مجموعه G := DihedralGroup(8)؛ ) -- بیشتر در تأیید #GAP ببینید
تعداد زیر گروه ها	10		به عنوان یک گروه دو وجهی، $\! D_{2n}، n = 4$ تعداد زیرگروه ها است $\! d(n) + \sigma(n) = d(4) + \sigma(4) = 3 + 7 = 10$ ، که در آن $د$ تابع شمارش مقسوم علیه و $\سیگما$ تابع مجموع مقسوم علیه است. ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید : D8 ، ساختار زیر گروهی گروه های دو وجهی	طول (زیرگروه ها (G))؛ با استفاده از زیر گروه ها
تعداد کلاس های مزدوج زیر گروه ها	8		ساختار زیر گروه گروه های دو وجهی ، ساختار زیر گروه گروه دو وجهی:D8 را ببینید	Length(مزدوجClassesSubgroups(G)); با استفاده از مزدوجClassesSubgroups
تعداد زیر گروه های عادی	6	گروه هایی با ترتیب و تعداد زیرگروه های عادی یکسان \| گروه هایی با تعداد یکسان زیرگروه عادی	ساختار زیرگروهی گروه‌های دو وجهی ، ساختار زیرگروهی گروه دو وجهی را ببینید :D8#شبکه زیرگروه‌های عادی	طول (Subgroups Normal (G)); با استفاده از NormalSubgroups
تعداد کلاس های خودریختی زیر گروه ها	6
تعداد زیر گروه های مشخصه	4			طول(زیرگروه های مشخصه(G)); با استفاده از CharacteristicSubgroups

لیستی از متغیرهای عددی

فهرست کنید	مقدار	توضیح / نظر
اندازه کلاس های مزدوج	1،1،2،2،2	دو عنصر مرکزی، بقیه در کلاس های مزدوج اندازه دو. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید .
اندازه مدارها در گروه اتومورفیسم	1،1،2،4	دو عنصر مرکزی، یک کلاس مزدوج از عناصر درجه چهار، یک مدار به اندازه چهار، شامل دو طبقه مزدوج اندازه، با همه عناصر غیر مرکزی درجه دو.
آمار سفارش	$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 5, 4 \mapsto 2$	از پنج عنصر مرتبه دو، یکی مرکزی است. چهار مورد دیگر با یکدیگر خود شکل هستند. ساختار عناصر گروه دو وجهی:D8 و ساختار عناصر گروه های دو وجهی را ببینید
درجات بازنمایی غیر قابل کاهش	$1،1،1،1،2$	به نظریه نمایش خطی گروه دو وجهی مراجعه کنید:D8
سفارشات زیر گروه ها	$1،2،2،2،2،2،4،4،4،8$	ساختار زیر گروه گروه دو وجهی را ببینید :D8

متغیرهای تحقق گروه مبتنی بر عمل/خودریختی

عملکرد	مقدار	توضیح
حداقل درجه نمایندگی وفادار	2
حداقل درجه نمایش غیرقابل کاهش	2
کوچکترین سایز ست با عمل وفادار	4
کوچکترین اندازه مجموعه با عمل متعدی وفادار	4
جنس متقارن	?

خواص گروهی

آیا می خواهید ویژگی های گروه را با سایر گروه های هم ردیف مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های سفارش 8#املاک گروه را بررسی کنید

خواص مهم

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه نظم قدرت اول	آره
گروه پوچی	آره	نظم قدرت اول دلالت بر پوچی دارد
گروه فوق حل پذیر	آره	از طریق پوچی: پوچی متناهی به معنای فوق حل پذیر است
گروه قابل حل	آره	از طریق پوچی: پوچی به معنی قابل حل است
گروه آبلی	خیر	$آ$ و رفت و $ایکس$ آمد نکنید	کوچکترین گروه غیرآبلی نظم قدرت اول
گروه تی	خیر	$\langle x \rangle \triangleleft \langle a^2,x \rangle$ ، که طبیعی است، اما $\langle x \rangle$ طبیعی نیست	کوچکترین مثال برای عادی بودن متعدی نیست .
گروه یکپارچه	آره	زیرگروه حداقل معمولی منحصر به فرد از مرتبه دو

سایر خواص

ویژگی	راضی؟	توضیح	اظهار نظر
گروه یک سر	خیر	سه زیر گروه متمایز حداکثر نرمال از مرتبه چهار
گروه SC	خیر
گروه ACIC	آره	هر زیر گروه اتومورف مزدوج مشخصه است
گروه جبر	آره	به گروه ماتریس واحد مثلثی درجه سه روی میدان:F2 هم شکل است که به وضوح یک گروه جبری است.
گروه دوسوگرا	آره	گروه های دو وجهی دوسوگرا هستند	همچنین گروه های دووجهی تعمیم یافته را ببینید دوسوگرا هستند
گروه منطقی	آره	هر دو عنصری که یک گروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند مزدوج هستند	بنابراین، همه کاراکترها دارای مقدار صحیح هستند.
گروه بازنمایی منطقی	آره	تمام نمایش های بیش از مشخصه صفر بر روی منطق ها تحقق می یابد.	در مقابل گروه کواترنیونی ، که عقلانی است اما بازنمایی عقلانی نیست.
گروه فوق خاص	آره	مرکز ، زیرگروه مشتق شده ، و زیرگروه فراتینی همگی منطبق هستند و دارای مرتبه اول هستند.
گروه ویژه	آره	(از طریق extraspecial): مرکز ، زیر گروه مشتق شده ، و زیرگروه Frattini همگی منطبق هستند
گروه فراتینی در مرکز	آره	(از طریق extraspecial): زیر گروه Frattini در مرکز قرار دارد
گروه پوچی کلاس دو	آره	(از طریق ویژه): زیر گروه مشتق شده در مرکز موجود است
گروه معادل UL	آره	(از طریق ویژه): سری مرکزی بالا و سری مرکزی پایین بر هم منطبق هستند
گروه کلاس حداکثر	آره
گروه فروبنیوس	خیر	گروه های فروبنیوس بدون مرکز هستند و این گروه اینطور نیستند
گروه Camina	آره	extraspecial به معنای Camina است
هر عنصری نسبت به معکوس خود خودکار است	آره	نتیجه از یک گروه دوسوگرا است
هر دو عنصری که یک زیرگروه حلقوی یکسان را ایجاد کنند، خودریختی هستند	آره
هر عنصر نظم-خودریختییک است	خیر
گروه غیر قابل تجزیه مستقیم	آره
گروه تجزیه ناپذیر مرکزی	آره
گروه تقسیم ساده	خیر
گروه ساقه	آره	مرکز برابر با زیر گروه مشتق شده است، و از این رو، به طور خاص، در زیر گروه مشتق شده موجود است.
شور-گروه بی اهمیت	خیر	ضرب کننده Schur گروه دور ای است :Z2 ; گروه همولوژی گروه دو وجهی را ببینید :D8 .

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-گروه دو وجهی:D8

در زیر ساختار کلاس مزدوج و خودریختی آمده است:

کلاس مزدوج از نظر $تبر$	شرح هندسی کلاس مزدوج	کلاس مزدوج به عنوان جایگشت	اندازه کلاس صیغه	ترتیب عناصر در کلاس مزدوج	متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ e \}$	عنصر همانی، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	کل گروه
$\! \{ a^2 \}$	نیم دور، چرخش توسط $\pi$	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	2	کل گروه
$\! \{ x,a^2x \}$	بازتاب در مورد مورب ها	$\{ (1،3)، (2،4) \}$	2	2	$\{ e, a^2, x, a^2x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ تبر، a^3x \}$	بازتاب هایی در مورد خطوطی که به نقاط میانی اضلاع مقابل می پیوندند	$\{ (1,4)(2,3)\ , \ (1,2)(3,4) \}$	2	2	$\{ e، a^2، تبر، a^3x \}$ -- یکی از چهار زیر گروه کلاین از گروه دو وجهی: D8
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4) \ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	4	$\{ e, a, a^2, a^3 \}$ -- زیر گروه حداکثر دور ای گروه دو وجهی: D8
مجموع (5)	--	--	8	--	--

طبقات هم ارزی تا اتومورفیسم عبارتند از:

کلاس هم ارزی تحت اتومورفیسم بر حسب $تبر$	شرح هندسی کلاس هم ارزی	کلاس هم ارزی به عنوان جایگشت	اندازه کلاس هم ارزی	تعداد کلاس های مزدوج در آن	اندازه هر کلاس مزدوج
$\! \{ e \}$	عنصر همانی، هیچ کاری نمی کند	$\{ () \}$	1	1	1
$\! \{ a^2 \}$	نیم نوبت	$\{ (1،3) (2،4) \}$	1	1	1
$\! \{ x، تبر، a^2x، a^3x \}$	بازتاب ها	$\{ (1,3)\ ,\ (2,4)\ , \ (1,4)(2,3)\ ,\ (1,2)(3,4) \}$	4	2	2
$\! \{ a, a^3 \}$	چرخش مضرب فرد از $\pi/2$	$\{ (1،2،3،4)\ ,\ (1،4،3،2) \}$	2	1	2
مجموع (4)	--	--	8	5	--

توابع حسابی

توابع حسابی پایه

آیا می خواهید مقادیر تابع حسابی را با سایر گروه های هم تراز مقایسه و مقایسه کنید ؟ گروه های ترتیب 8 #توابع حسابی را بررسی کنید

عملکرد	مقدار	گروه های مشابه	توضیح برای مقدار تابع
اول زیرین گروه p	2
ترتیب (تعداد عناصر، به طور معادل، اصلی یا اندازه مجموعه زیرین)	8	گروه هایی با همان ترتیب	به عنوان یک ضرب نیمه مستقیم از $\Z_4$ و $\Z_2$ : نظم حاصلضرب دستورات $\Z_4$ و $\Z_2$ است که به $4 \ برابر 2 = 8$ عنوان ضرب تاج گل از $\Z_2$ و $\Z_2$ : ترتیب است $2^2 \cdot 2 = 8$
لگاریتم مرتبه پایه اول	3	گروه هایی با ترتیب لگاریتم پایه اول یکسان
حداکثر طول یک گروه	3		حداکثر طول یک گروه برابر است با لگاریتم ترتیب پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
طول رئیس	3		طول اصلی برابر است با لگاریتم ترتیب پایه پایه برای گروهی از مرتبه توان اول
طول ترکیب	3		طول ترکیب برابر است با لگاریتم مرتبه پایه-پایه اول برای گروه مرتبه توان اول
توان	4	گروه هایی با مرتبه و توان یکسان \| گروه هایی با توان یکسان	به عنوان یک گروه دو وجهی: گروه دو وجهی $2n$ دارای توانی برابر با $\operatorname{lcm} \{n,2 \}$ .
لگاریتم مبنا اول توان	2
کلاس پوچی	2	گروه هایی با نظم و کلاس پوچی یکسان \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و کلاس پوچی \| گروه هایی با کلاس پوچی یکسان	زیر گروه مشتق شده -- $\{ e, a^2 \}$ و همان مرکز است . مرکز گروه دو وجهی:D8 را ببینید . همچنین ساختار عناصر گروه دو وجهی را ببینید: نقشه D8#Commutator
طول مشتق شده	2	گروه هایی با ترتیب و طول مشتق شده یکسان \| گروه‌هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و طول مشتق شده \| گروه هایی با طول مشتق شده یکسان	زیر گروه مشتق شده است $\{ e, a^2 \}$ که abelian است. مرکز گروه دو وجهی:D8 را ببینید .
طول فراتینی	2	گروه هایی با همان ترتیب و طول فراتینی \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و طول فراتینی \| گروه هایی با طول فراتینی یکسان	زیرگروه Frattini است $\{ e, a^2 \}$ که از درجه اول است، از این رو زیر گروه Frattini آن بی اهمیت است.
طول مناسب	1		همه گروه‌های مرتبه توان اول پوچی هستند، بنابراین دارای طول اتصال 1 هستند.
حداقل اندازه مجموعه مولد	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و حداقل اندازه مجموعه مولد \| گروه هایی با حداقل اندازه مجموعه مولد یکسان	مولد زیرگروه دور ای مرتبه چهار و عنصر درجه دو در خارج.
رتبه زیر گروه یک گروه	2	گروه هایی با همان ترتیب و رتبه زیر گروه یک گروه \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه زیرگروهی یک گروه \| گروه هایی با رتبه زیر گروه یکسان یک گروه	همه زیر گروه های مناسب دور ای یا چهار گروهی کلاین هستند .
رتبه یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم پایه اول از ترتیب و رتبه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه یکسان گروه p	کلاین چهار زیر گروه وجود دارد.
رتبه عادی یک گروه p	2	گروه هایی با ترتیب یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه نرمال یک گروه p \| گروه هایی با رتبه عادی یک گروه p	چهار زیرگروه عادی کلاین وجود دارد.
رتبه مشخصه یک گروه p	1	گروه هایی با ترتیب و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با لگاریتم مرتبه پایه اول یکسان و رتبه مشخصه یک گروه p \| گروه هایی با رتبه مشخصه یک گروه p	همه زیرگروه های مشخصه آبلی دور ای هستند.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 18:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

نظریه گروه

هویت (نظریه گروهی)

نظریه حلقه

هویت (نظریه حلقه)

حلقه ها و جبرهای درجه بندی شده

اشتقاق الحاقی

قانون مولد لایب نیتس

همچنین ببینید

دعوت به رمزگذاری

تعریف [ ویرایش ]

ماتریس کوکستر و ماتریس شلافلی [ ویرایش ]

تئوری کج کردن

تعاریف [ ویرایش ]

حقایق [ ویرایش ]

تعمیم ها و پسوندها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

خواص[ویرایش]

شرایط معادل[ویرایش]

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

ماتریس یکانی 2*2ویرایش]

همچنین ببینید<[ویرایش]

مراجع ]ویرایش]

پیوندهای خارجی[ویرایش]

ماتریس مزدوج چیست؟

مثالی از مزدوج یک ماتریس

خواص ماتریس مزدوج

فرمول های صریح [ ویرایش ]

قراردادها و مبانی جبر لی [ ویرایش ]

ویل اسپینورها و بیسپینورها [ ویرایش ]

طبقه بندی نمایش های SO(3، 1) [ ویرایش ]

چرخش های اقلیدسی [ ویرایش ]

گروه موبیوس [ ویرایش ]

توابع P Riemann [ ویرایش ]

نمایش های واحد بی بعدی [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

سری اصلی برای SL(2, C) [ ویرایش ]

سری مکمل برای SL(2, C) [ ویرایش ]

قضیه پلانچرل برای SL(2, C) [ ویرایش ]

نمایش الحاقی، جبر کلیفورد، و نمایش اسپینور دیراک [ ویرایش ]

نمایش‌های تقلیل‌پذیر [ ویرایش ]

وارونگی فضا و زمان معکوس [ ویرایش ]

عمل در فضاهای تابع [ ویرایش ]

خصوصیات نمایش های ( m , n ) [ ویرایش ]

گروه پوشش SL(2, C) [ ویرایش ]

تحقق نمایش های SL(2, C) و sl(2, C) و جبرهای لی آنها [ ویرایش ]

گروه [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

جبر لی [ ویرایش ]

​

توسعه [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی نسبیتی [ ویرایش ]

نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

نظریه های گمانه زنی [ ویرایش ]

نمایش های بعد محدود [ ویرایش ]

​

توسعه [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی نسبیتی [ ویرایش ]

نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

نظریه های گمانه زنی [ ویرایش ]

نمایش های بعد محدود [ ویرایش ]

فهرست

رم GF(2n)

4.6. فیلدهای محدود فرم GF(2 n )

کلاس های همخوانی[ ویرایش ]

سیستم های باقی مانده [ ویرایش ]

سیستم های باقیمانده کاهش یافته [ ویرایش ]

مدول n اعداد صحیح [ ویرایش ]

بسط اعداد واقعی [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

پیچیدگی محاسباتی [ ویرایش ]

نمونه های پیاده سازی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فهرست

همخوانی [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

**ماتریس یکانی 2*2ویرایش]**