شار نوترونی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی ام بهمن ۱۴۰۲ | 12:11

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این متن به منابع بیشتری برای معتبر بودن نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. یافتن منابع: "شار نوترون" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( ژوئیه 2008 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

علم با نوترون

پایه ها
دمای نوترونی شار ، تابش ، حمل و نقل مقطع ، جذب ، فعال سازی
پراکندگی نوترون
پراش نوترون پراکندگی نوترون با زاویه کوچک GISANS بازتاب سنجی پراکندگی نوترون غیر الاستیک طیف سنج سه محوره طیف سنج زمان پرواز طیف سنج پس پراکندگی طیف سنج اسپین اکو
برنامه های کاربردی دیگر
توموگرافی نوترونی تجزیه و تحلیل فعال سازی ، آنالیز فعال سازی سریع گاما تحقیقات بنیادی با نوترون ها: نوترون های فوق سرد ، تداخل سنجی نوترون درمانی سریع درمان جذب نوترون
زیر ساخت
منابع نوترونی : راکتور تحقیقاتی ، اسپلاسیون ، تعدیل کننده نوترونی نوری نوترونی: بازتابنده ، سوپرآینه تشخیص
تاسیسات نوترونی
آمریکا: HFIR ، LANSCE ، NIST CNR - SNS استرالیا: OPAL آسیا: J-PARC ، HANARO اروپا: BER II ، FRM II ، ILL ، منبع نوترون و میون داعش ، JINR ، SINQ تاریخی: IPNS ، HFBR در حال ساخت: ESS
v تی ه

شار نوترون یک کمیت اسکالر است که در فیزیک هسته ای و فیزیک راکتور هسته ای استفاده می شود . این کل مسافت طی شده توسط تمام نوترون های آزاد در واحد زمان و حجم است. [1] به طور معادل، می توان آن را به عنوان تعداد نوترون هایی تعریف کرد که در یک کره کوچک از شعاع حرکت می کنند.آر $R$ در یک بازه زمانی، تقسیم بر سطح مقطع حداکثر کره ( مساحت بزرگ دیسک ، $\pi R^{2}$ ) و با طول مدت بازه زمانی. [2] : 82-83 بعد شار نوترون است ${\mathsf {L}}^{-2}{\mathsf {T}}^{-1}$ و واحد معمولی cm −2 s −1 است ( سانتی متر مربع متقابل ضربدر ثانیه متقابل ).

شار نوترونی به عنوان شار نوترونی ادغام شده در یک دوره زمانی مشخص تعریف می شود. بنابراین بعد آن است ${\mathsf {L}}^{-2}$ و واحد معمول آن cm^ −2 (سانتی متر مربع متقابل) است. اصطلاح قدیمی‌تری که به جای cm ^-2 استفاده می‌شد «nvt» (نوترون، سرعت، زمان) بود. [3]

شار طبیعی نوترون [ ویرایش ]

شار نوترون در ستارگان شاخه‌ای غول‌پیکر مجانبی و در ابرنواخترها مسئول بیشتر سنتز هسته طبیعی است که عناصر سنگین‌تر از آهن را تولید می‌کند . در ستارگان یک شار نوترونی نسبتاً کم در مرتبه 10 5 تا 10 11 سانتی‌متر  بر ثانیه وجود دارد که منجر به سنتز هسته‌ای توسط فرآیند s (فرآیند کند گرفتن نوترون) می‌شود . در مقابل، پس از یک ابرنواختر فروپاشی هسته، یک شار نوترونی بسیار بالا، در حدود 10 32 سانتی‌متر -2  ثانیه -1 وجود دارد ، [4] که منجر به سنتز هسته‌ای توسط فرآیند r (فرایند جذب سریع نوترون) می‌شود.

شار نوترون جو زمین، ظاهراً ناشی از رعد و برق، می تواند به سطوح

3·10^-2 تا 9·10 +1 cm -2  s -1

برسد . [5] [6] با این حال، نتایج اخیر [ 7 ] (که توسط محققین اصلی نامعتبر در نظر گرفته شده است ) به دست آمده با آشکارسازهای نوترون سوسوزن بدون محافظ، کاهش شار نوترون را در طول طوفان های تندری نشان می دهد. به نظر می رسد تحقیقات اخیر از تولید 10 13-10 15 نوترون در هر تخلیه از طریق فرآیندهای فوتو هسته ای از صاعقه پشتیبانی می کند . [9]

شار نوترون مصنوعی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: تابش نوترونی

شار نوترون مصنوعی به شار نوترونی اطلاق می‌شود که توسط انسان ساخته می‌شود، چه به عنوان محصولات جانبی از سلاح‌ها یا تولید انرژی هسته‌ای یا برای یک کاربرد خاص مانند یک راکتور تحقیقاتی یا توسط پوسته پوسته شدن . یک جریان نوترون اغلب برای شروع شکافت هسته های بزرگ ناپایدار استفاده می شود. نوترون(های) اضافی ممکن است باعث ناپایدار شدن هسته شود و باعث تجزیه (شکاف) و تشکیل محصولات پایدارتر شود. این اثر در راکتورهای شکافت و سلاح های هسته ای ضروری است .

در یک راکتور شکافت هسته ای، شار نوترون مقدار اولیه ای است که برای کنترل واکنش در داخل اندازه گیری می شود. شکل شار اصطلاحی است که برای چگالی یا قدرت نسبی شار در حین حرکت در اطراف راکتور به کار می رود. به طور معمول قوی ترین شار نوترونی در وسط هسته راکتور رخ می دهد و به سمت لبه ها پایین تر می شود. هر چه شار نوترون بیشتر باشد، احتمال وقوع یک واکنش هسته ای بیشتر می شود، زیرا نوترون های بیشتری در واحد زمان از یک منطقه عبور می کنند.

جریان نوترونی دیواره رگ راکتور [ ویرایش ]

یک کشتی راکتور یک نیروگاه هسته ای معمولی ( PWR ) در 40 سال (32 سال راکتور کامل) کارکرد تقریباً

6.5×10^ 19

cm -2 ( E > 1 MeV ) جریان نوترونی را تحمل می کند. [10] شار نوترون باعث می شود که رگ های راکتور از شکنندگی نوترونی رنج ببرند .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Neutron_flux

شار مغناطیسی کوانتومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی ام بهمن ۱۴۰۲ | 12:10

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مقادیر CODATA		واحدها
Φ 0	2.067 833 848 ... × 10 −15 [1]	Wb
k g	483 597 .8484... × 10 9 [2]	هرتز / وی
K J-90	483 597.9 × 10 9 [3 ]	هرتز / وی

شار مغناطیسی ، که با نماد Φ نشان داده می‌شود ، به عنوان میدان مغناطیسی B ضرب در ناحیه حلقه S تعریف می‌شود ، یعنی Φ = B ⋅ S. هر دو B و S می توانند دلخواه باشند، به این معنی که Φ نیز می تواند باشد. با این حال، اگر با حلقه ابررسانا یا سوراخی در یک ابررسانای حجیم سروکار داشته باشیم ، شار مغناطیسی که چنین حفره/حلقه ای را رشته می کند، کوانتیزه می شود. کوانتوم شار مغناطیسی (ابررسانا) Φ 0 = h / (2 e ) ≈2.067 833 848 ... × 10-15 Wb [1] ترکیبی از ثابت های فیزیکی اساسی است: ثابت پلانک h و بار الکترون e . بنابراین، مقدار آن برای هر ابررسانا یکسان است. پدیده کوانتیزه شار به طور تجربی توسط BS Deaver و WM Fairbank [4] و به طور مستقل توسط R. Doll و M. Näbauer [5] در سال 1961 کشف شد. ، [6] اما قبلاً توسط فریتز لندن در سال 1948 با استفاده از یک مدل پدیدارشناختی پیش بینی شده بود . [7] [8]

معکوس کوانتوم شار، 1/Φ 0 ، ثابت جوزفسون نامیده می شود و KJ نشان داده می شود . این ثابت تناسب اثر جوزفسون است که اختلاف پتانسیل در یک اتصال جوزفسون را به فرکانس تابش مرتبط می کند.اثر جوزفسون به‌طور گسترده‌ای برای ارائه استانداردی برای اندازه‌گیری‌های با دقت بالا تفاوت پتانسیل استفاده می‌شود که (از سال 1990 تا 2019) به یک مقدار ثابت و متعارف ثابت جوزفسون که K J-90 نشان داده می‌شود، مربوط می‌شود . با تعریف مجدد 2019 واحدهای پایه SI ، ثابت جوزفسون دارای مقدار دقیق KJ = است .483 597 .848 416 98 ... GHz⋅V −1 ، [9] که جایگزین مقدار متعارف K J-90 می شود .

مقدمه [ ویرایش ]

معادلات فیزیکی زیر از واحدهای SI استفاده می کنند. در واحدهای CGS، ضریب c ظاهر می شود.

خواص ابررسانایی در هر نقطه از ابررسانا توسط تابع موج مکانیکی کوانتومی پیچیده Ψ( r , t ) - پارامتر مرتبه ابررسانا توصیف می‌شود . همانطور که هر تابع پیچیده Ψ را می توان به صورت Ψ = Ψ 0 e iθ نوشت که Ψ 0 دامنه و θ فاز است. تغییر فاز θ با 2 πn باعث تغییر Ψ نمی شود و به همین ترتیب، هیچ ویژگی فیزیکی را تغییر نمی دهد. با این حال، در ابررسانای توپولوژی غیرمعمول، به عنوان مثال ابررسانا با سوراخ یا حلقه/سیلندر ابررسانا، فاز θ ممکن است به طور پیوسته از مقدار θ 0 به مقدار θ 0 + 2 πn تغییر کند ، همانطور که فرد به دور سوراخ/حلقه می‌چرخد و به همان نقطه شروع می رسد. اگر اینطور باشد، در این صورت یکی n کوانتای شار مغناطیسی دارد که در سوراخ/حلقه به دام افتاده است، [8] همانطور که در زیر نشان داده شده است:

در هر کوپلینگ حداقل ، چگالی جریان جفت کوپر در ابررسانا برابر است با:

$\mathbf {J} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}(-i\hbar \nabla )\Psi -\Psi (-i\hbar \ nabla )\Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right].$ جایی که $q=2e$ شارژ جفت کوپر است. تابع موج پارامتر ترتیب Ginzburg–Landau است :

$\Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\rho (\mathbf {r} )}}\,e^{i\theta (\mathbf {r} )}.$

با وصل شدن به بیان جریان، به دست می آید:

$\mathbf {J} ={\frac {\hbar }{m}}\left(\nabla {\theta }-{\frac {q}{\hbar }}\mathbf {A} \right)\ رو .$

در داخل بدنه ابررسانا، چگالی جریان J صفر است و بنابراین

$\nabla {\theta }={\frac {q}{\hbar }}\mathbf {A} .$

ادغام اطراف سوراخ/حلقه با استفاده از قضیه استوکس و $\nabla \times \mathbf {A} =B$ می دهد:

$\Phi _{B}=\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ={\frac {\hbar }{q}}\oint \nabla {\theta }\cdot d\mathbf {l}.$

حال، چون وقتی انتگرال به همان نقطه برمی گردد، پارامتر دستور باید به همان مقدار برگردد، داریم: [10]

$\Phi _{B}={\frac {\hbar }{q}}2\pi ={\frac {h}{2e}}.$

به دلیل اثر مایسنر ، القای مغناطیسی B در داخل ابررسانا صفر است. دقیق تر، میدان مغناطیسی H در یک فاصله کوچک به نام عمق نفوذ میدان مغناطیسی لندن (با λ L و معمولاً 100 نانومتر ≈ نشان داده می شود ) به یک ابررسانا نفوذ می کند. جریان‌های غربالگری نیز در این لایه λ در نزدیکی سطح جریان می‌یابند و مغناطش M را در داخل ابررسانا ایجاد می‌کنند که کاملاً میدان اعمال‌شده H را جبران می‌کند و در نتیجه B = 0 در داخل ابررسانا ایجاد می‌شود.

شار مغناطیسی منجمد شده در یک حلقه/حفره (به اضافه لایه λ L آن ) همیشه کوانتیزه می شود. با این حال، مقدار کوانتوم شار تنها زمانی برابر با Φ 0 است که مسیر/مسیر حول حفره شرح داده شده در بالا را بتوان طوری انتخاب کرد که در ناحیه ابررسانا بدون جریان های غربالگری قرار گیرد، یعنی چندین λ L دورتر از سطح باشد. هندسه هایی وجود دارد که این شرط نمی تواند برآورده شود، به عنوان مثال یک حلقه ساخته شده از سیم ابررسانا بسیار نازک ( ≤ λ L ) یا استوانه ای با ضخامت دیواره مشابه. در مورد دوم، شار دارای کوانتومی متفاوت از Φ 0 است .

کوانتیزاسیون شار یک ایده کلیدی پشت یک SQUID است که یکی از حساس ترین مغناطیس سنج های موجود است.

کوانتیزاسیون شار همچنین نقش مهمی در فیزیک ابررساناهای نوع II ایفا می کند . هنگامی که چنین ابررسانایی (اکنون بدون هیچ سوراخی) در یک میدان مغناطیسی با قدرت بین اولین میدان بحرانی Hc1 و میدان بحرانی دوم Hc2 قرار می‌گیرد ، میدان تا حدی به شکل گرداب‌های ابریکوسف به درون ابررسانا نفوذ می‌کند . گرداب آبریکوسوف از یک هسته معمولی تشکیل شده است - یک استوانه از فاز معمولی (غیر رسانا) با قطری به ترتیب ξ ، طول همدوسی ابررسانا . هسته معمولی نقش یک سوراخ را در فاز ابررسانا ایفا می کند. خطوط میدان مغناطیسی در امتداد این هسته معمولی از کل نمونه عبور می کنند. جریان های غربالگری در مجاورت λ L هسته به گردش در می آیند و بقیه ابررسانا را از میدان مغناطیسی در هسته جدا می کنند. در مجموع، هر گرداب آبریکوسوف دارای یک کوانتوم شار مغناطیسی Φ 0 است .

اندازه گیری شار مغناطیسی [ ویرایش ]

قبل از تعریف مجدد واحدهای پایه SI در سال 2019 ، کوانتوم شار مغناطیسی با استفاده از اثر جوزفسون با دقت زیادی اندازه‌گیری شد . هنگامی که با اندازه گیری ثابت فون کلیتزینگ R K = h / e 2 همراه شد ، این دقیق ترین مقادیر ثابت h پلانک را ارائه کرد که تا سال 2019 به دست آمده بود . در حالی که کوانتیزاسیون شار مغناطیسی در یک ابررسانا و اثر کوانتومی هال هر دو پدیده‌های نوظهوری هستند که با تعداد زیادی ذرات از نظر ترمودینامیکی مرتبط هستند.

در نتیجه تعریف مجدد 2019 واحدهای پایه SI ، ثابت پلانک h دارای مقدار ثابتی است.ساعت= $h=$ 6.626 070 15 × 10 −34 J⋅Hz −1 ، [11] که همراه با تعاریف دوم و متر ، تعریف رسمی کیلوگرم را ارائه می دهد . علاوه بر این، بار اولیه نیز دارای مقدار ثابت e = است 1.602 176 634 × 10-19 C [12] برای تعریف آمپر . بنابراین، هم ثابت جوزفسون KJ = (2e ) / h و هم ثابت فون کلیتزینگ RK = h / e2 مقادیر ثابتی دارند، و اثر جوزفسون همراه با اثر هال کوانتومی فون کلیتزینگ، تبدیل به mise en pratique اولیه می شود . 13] برای تعریف آمپر و سایر واحدهای الکتریکی در SI.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_flux_quantum

شار مغناطیسی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی ام بهمن ۱۴۰۲ | 12:5

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد شار مغناطیسی است. برای میدان های مغناطیسی "B" (چگالی شار مغناطیسی) و "H"، به میدان مغناطیسی مراجعه کنید .

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( جولای 2016 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

شار مغناطیسی
نمادهای رایج	Φ ، Φ B
واحد SI	وبر (WB)
واحدهای دیگر	ماکسول
در واحدهای پایه SI	kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ⋅ A −1
بعد، ابعاد، اندازه	M L 2 T -2 I -1

الکترومغناطیس
مقالاتی در مورد

برق مغناطیس اپتیک تاریخ کتاب های درسی پدیده ها
نشان می دهد الکترواستاتیک
پنهان شدن مغناطیس استاتیک قانون آمپر قانون بیوت-ساوارت قانون گاوس برای مغناطیس میدان مغناطیسی شار مغناطیسی لحظه دوقطبی مغناطیسی نفوذپذیری مغناطیسی پتانسیل اسکالر مغناطیسی مغناطیس سازی پتانسیل بردار مغناطیسی قانون دست راست
نشان می دهد الکترودینامیک
نشان می دهد شبکه برق
نشان می دهد مدار مغناطیسی
نشان می دهد فرمول کوواریانس
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

در فیزیک ، به ویژه الکترومغناطیس ، شار مغناطیسی از طریق یک سطح، انتگرال سطحی جزء نرمال میدان مغناطیسی B بر روی آن سطح است. معمولاً آن را Φ یا Φ B نشان می دهند . واحد SI شار مغناطیسی وبر ( Wb ؛ در واحدهای مشتق شده، ولت – ثانیه) و واحد CGS ماکسول است . شار مغناطیسی معمولاً با شار سنج اندازه گیری می شود که حاوی سیم پیچ های اندازه گیری است و شار مغناطیسی را از تغییر ولتاژ روی سیم پیچ ها محاسبه می کند.

توضیحات [ ویرایش ]

شار مغناطیسی از طریق یک سطح - زمانی که میدان مغناطیسی متغیر است - به تقسیم سطح به عناصر سطحی کوچک بستگی دارد، که میدان مغناطیسی را می توان به صورت محلی ثابت در نظر گرفت. سپس شار کل یک جمع رسمی از این عناصر سطحی است (به ادغام سطح مراجعه کنید ).

هر نقطه روی یک سطح با جهتی مرتبط است که سطح عادی نامیده می شود . سپس شار مغناطیسی از طریق یک نقطه جزء میدان مغناطیسی در امتداد این جهت است.

برهمکنش مغناطیسی در قالب یک میدان برداری توصیف می‌شود ، جایی که هر نقطه در فضا با بردار مرتبط است که تعیین می‌کند یک بار متحرک چه نیرویی را در آن نقطه تجربه کند ( نیروی لورنتس را ببینید ). [1] از آنجایی که تجسم یک میدان برداری بسیار دشوار است، آموزش مقدماتی فیزیک اغلب از خطوط میدان برای تجسم این میدان استفاده می کند. شار مغناطیسی از یک سطح، در این تصویر ساده شده، متناسب با تعداد خطوط میدانی است که از آن سطح می گذرد (در برخی زمینه ها، شار ممکن است دقیقاً تعداد خطوط میدانی باشد که از آن سطح می گذرند؛ اگرچه از نظر فنی گمراه کننده است. ، این تمایز مهم نیست). شار مغناطیسی تعداد خالص خطوط میدانی است که از آن سطح عبور می کنند. یعنی عددی که از یک جهت می گذرد منهای عددی که در جهت دیگر می گذرد (برای تصمیم گیری در مورد اینکه خطوط میدان دارای علامت مثبت و در کدام جهت دارای علامت منفی هستند به زیر مراجعه کنید). [2] مدل‌های فیزیکی پیچیده‌تر قیاس خط میدان را حذف می‌کنند و شار مغناطیسی را به عنوان انتگرال سطحی جزء طبیعی میدان مغناطیسی که از یک سطح می‌گذرد تعریف می‌کنند. اگر میدان مغناطیسی ثابت باشد، شار مغناطیسی عبوری از سطحی با مساحت برداری S است

$\Phi _{B}=\mathbf {B} \cdot \mathbf {S} =BS\cos \theta ,$ که در آن B بزرگی میدان مغناطیسی (چگالی شار مغناطیسی) با واحد Wb/m 2 ( تسلا )، S مساحت سطح و θ زاویه بین خطوط میدان مغناطیسی و نرمال (عمود) است. ) به اس . برای یک میدان مغناطیسی متغیر، ابتدا شار مغناطیسی را در یک عنصر مساحت بینهایت کوچک d S در نظر می گیریم ، جایی که ممکن است میدان را ثابت در نظر بگیریم:

دΦب=ب⋅داس.

$d\Phi _{B}=\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} .$ سپس یک سطح عمومی، S ، می تواند به عناصر بی نهایت کوچک تقسیم شود و کل شار مغناطیسی از طریق سطح، انتگرال سطح است.

$\Phi _{B}=\iint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S}.$

از تعریف پتانسیل بردار مغناطیسی A و قضیه اصلی حلقه، شار مغناطیسی را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

$\Phi _{B}=\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }},$

جایی که انتگرال خط بر روی مرز سطح S گرفته می شود که با ∂ S نشان داده می شود .

شار مغناطیسی از طریق یک سطح بسته [ ویرایش ]

چند نمونه از سطوح بسته (چپ) و سطوح باز (راست). سمت چپ: سطح یک کره، سطح یک چنبره ، سطح یک مکعب. سمت راست: سطح دیسک ، سطح مربع، سطح یک نیمکره. (سطح آبی، مرز قرمز است.)

مقاله اصلی: قانون گاوس برای مغناطیس

قانون گاوس برای مغناطیس ، که یکی از چهار معادله ماکسول است ، بیان می کند که کل شار مغناطیسی در یک سطح بسته برابر با صفر است. («سطح بسته» سطحی است که به طور کامل حجم(هایی) را بدون سوراخ در بر می گیرد.) این قانون نتیجه مشاهدات تجربی است که تک قطبی های مغناطیسی هرگز پیدا نشده اند.

به عبارت دیگر، قانون گاوس برای مغناطیس عبارت است از:

$\Phi _{B}=\,\!$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0$

برای هر سطح بسته S .

شار مغناطیسی از طریق یک سطح باز [ ویرایش ]

برای یک سطح باز Σ، نیروی الکتروموتور در امتداد مرز سطح، ∂Σ، ترکیبی از حرکت مرز، با سرعت v ، از طریق میدان مغناطیسی B (که توسط میدان F عمومی در نمودار نشان داده شده است) و میدان الکتریکی القایی است. ناشی از تغییر میدان مغناطیسی

در حالی که شار مغناطیسی از طریق یک سطح بسته همیشه صفر است، شار مغناطیسی از طریق یک سطح باز نیازی به صفر ندارد و یک کمیت مهم در الکترومغناطیس است.

هنگام تعیین کل شار مغناطیسی از طریق یک سطح، فقط باید مرز سطح مشخص شود، شکل واقعی سطح نامربوط است و انتگرال روی هر سطحی که مرز مشترکی دارد برابر خواهد بود. این نتیجه مستقیم صفر بودن شار سطح بسته است.

تغییر شار مغناطیسی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: قانون استقرا فارادی

به عنوان مثال، تغییر در شار مغناطیسی که از یک حلقه سیم رسانا عبور می کند، باعث ایجاد نیروی الکتروموتور و در نتیجه جریان الکتریکی در حلقه می شود. این رابطه توسط قانون فارادی ارائه می شود :

${\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}،$

جایی که

${\mathcal {E}}$ نیروی الکتروموتور ( EMF ) است،
علامت منفی قانون لنز را نشان می دهد،
Φ B شار مغناطیسی از سطح باز Σ است ،
∂Σ مرز سطح باز Σ است . سطح، به طور کلی، ممکن است در حال حرکت و تغییر شکل باشد، و به طور کلی تابعی از زمان است. نیروی الکتروموتور در امتداد این مرز القا می شود.
d ℓ یک عنصر برداری بی نهایت کوچک از کانتور ∂Σ است ،
v سرعت مرز ∂Σ است ،
E میدان الکتریکی است،
B میدان مغناطیسی است.

دو معادله برای EMF، اولاً، کار بر واحد بار در برابر نیروی لورنتس در حرکت یک بار آزمایشی در اطراف مرز سطح (احتمالاً متحرک) ∂Σ و ثانیاً به عنوان تغییر شار مغناطیسی در سطح باز Σ است. . این معادله اصل پشت یک ژنراتور الکتریکی است .

ناحیه ای که توسط یک سیم پیچ الکتریکی با سه چرخش تعریف می شود.

مقایسه با شار الکتریکی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: شار الکتریکی و قانون گاوس

در مقابل، قانون گاوس برای میدان های الکتریکی، یکی دیگر از معادلات ماکسول ، است.

$\Phi _{E}=\,\!$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\,\!$

جایی که

E میدان الکتریکی است ،
S هر سطح بسته ای است ،
Q کل بار الکتریکی داخل سطح S است ،
ε 0 ثابت الکتریکی است (یک ثابت جهانی که به آن گذردهی فضای آزاد نیز می گویند).

شار E از طریق یک سطح بسته همیشه صفر نیست . این نشان دهنده وجود "تک قطب های الکتریکی" است، یعنی بارهای مثبت یا منفی رایگان .

الکترومغناطیس
مقالاتی در مورد

برق مغناطیس تاریخ کتاب های درسی
نشان می دهد الکترواستاتیک
نشان می دهد مغناطیس استاتیک
نشان می دهد الکترودینامیک
نشان می دهد شبکه برق
نشان می دهد مدار مغناطیسی
نشان می دهد فرمول کوواریانس
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پورتال الکترونیک

صفحات دانات ، ورق های ضخیم ساخته شده از هادی های الکتریکی
پیوند شار ، گسترش مفهوم شار مغناطیسی
مدار مغناطیسی یک مسیر بسته است که در آن شار مغناطیسی جریان دارد
کوانتوم شار مغناطیسی کوانتومی شار مغناطیسی است که از یک ابررسانا عبور می کند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_flux

شار نورانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی ام بهمن ۱۴۰۲ | 12:1

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

شار نورانی
نمادهای رایج	Φ v
واحد SI	لومن
در واحدهای پایه SI	cd ⋅ sr
بعد، ابعاد، اندازه	جی ${\mathsf {J}}$

توابع درخشندگی فوتوپیک (خط سیاه) و اسکوپیک [1] (خط سبز). فتوپیک شامل استاندارد CIE 1931 (جامد)، [2] داده‌های اصلاح‌شده Judd-Vos 1978 (برق)، [3] و داده‌های Sharpe، Stockman، Jagla و Jägle 2005 (نقطه‌دار). [4] محور افقی طول موج بر حسب نانومتر است.

کره یکپارچه که برای اندازه گیری شار نوری منبع نور استفاده می شود.

در فتومتری ، شار نوری یا توان نورانی ، اندازه گیری قدرت درک شده نور است . تفاوت آن با شار تابشی ، اندازه گیری کل توان تابش الکترومغناطیسی (شامل نور مادون قرمز ، فرابنفش ، و نور مرئی)، در این است که شار نوری تنظیم شده است تا حساسیت متفاوت چشم انسان را به طول موج های مختلف نور منعکس کند.

واحدها [ ویرایش ]

واحد SI شار نوری لومن (lm) است. یک لومن به عنوان شار نورانی تولید شده توسط یک منبع نوری تعریف می شود که یک کندل با شدت نور را در یک زاویه جامد یک استرادیان ساطع می کند .

$1\ {\text{lm}}=1\ {\text{cd}}\times 1\ {\text{sr}}$

در سیستم‌های واحدهای دیگر، شار نوری ممکن است دارای واحدهای قدرت باشد .

وزن کردن [ ویرایش ]

شار نوری حساسیت چشم را با وزن کردن توان در هر طول موج با تابع درخشندگی محاسبه می کند که نشان دهنده پاسخ چشم به طول موج های مختلف است. شار نوری مجموع وزنی توان در تمام طول موج های باند مرئی است. نور خارج از نوار مرئی کمکی نمی کند. نسبت کل شار نوری به شار تابشی را بازده نوری می گویند . این مدل از درک روشنایی بصری انسان توسط CIE و ISO استاندارد شده است . [5]

متن [ ویرایش ]

شار نوری اغلب به عنوان معیار عینی نور مفید ساطع شده از منبع نور استفاده می شود و معمولاً روی بسته بندی لامپ ها گزارش می شود ، اگرچه همیشه برجسته نیست. مصرف‌کنندگان معمولاً شار نوری لامپ‌های مختلف را مقایسه می‌کنند، زیرا تخمینی از مقدار ظاهری نوری که لامپ تولید می‌کند را ارائه می‌دهد و لامپ‌هایی با نسبت شار نوری بالاتر به توان مصرفی کارآمدتر هستند.

شار نوری برای مقایسه روشنایی استفاده نمی شود ، زیرا این یک درک ذهنی است که با توجه به فاصله از منبع نور و گسترش زاویه ای نور از منبع تغییر می کند.

اندازه گیری [ ویرایش ]

شار نوری منابع نور مصنوعی معمولاً با استفاده از یک کره یکپارچه یا یک گونیوفوتومتر مجهز به یک نورسنج یا یک طیف رادیومتر اندازه گیری می شود. [6]

کمیت های نورسنجی SI
v
تی
ه
تعداد		واحد		ابعاد [nb 1]	یادداشت
نام	نماد [nb 2]	نام	سمبل	ابعاد [nb 1]	یادداشت
انرژی نورانی	Q v [nb 3]	لومن دوم	lm ⋅s	تی ⋅ جی	لومن دوم گاهی تالبوت نامیده می شود .
شار نوری ، قدرت نورانی	Φ v [nb 3]	لومن (= کندلا استرادیان )	lm (= cd⋅sr)	جی	انرژی نورانی در واحد زمان
شدت نور	I v	کندلا (= لومن در هر استرادیان)	سی دی (= lm/sr)	جی	شار نور در واحد زاویه جامد
درخشندگی	L v	کندلا در هر متر مربع	cd/m 2 (= lm/(sr⋅m 2 ))	L -2 ⋅ J	شار نور در واحد زاویه جامد در واحد سطح منبع پیش بینی شده . کندلا در هر متر مربع را گاهی nit می نامند .
روشنایی	E v	لوکس (= لومن در هر متر مربع)	lx (= lm/m 2 )	L -2 ⋅ J	شار نورانی که روی یک سطح می افتد
خروجی نورانی ، تابش نورانی	M v	لومن در هر متر مربع	lm/m 2	L -2 ⋅ J	شار نورانی که از یک سطح ساطع می شود
نوردهی نورانی	H v	لوکس ثانیه	lx⋅s	L −2 ⋅ T ⋅ J	روشنایی یکپارچه با زمان
چگالی انرژی نورانی	ω v	لومن ثانیه بر متر مکعب	lm⋅s/m 3	L −3 ⋅ T ⋅ J
اثر نوری (تابش)	ک	لومن بر وات	lm/ W	M −1 ⋅ L −2 ⋅ T 3 ⋅ J	نسبت شار نوری به شار تابشی
اثربخشی نورانی (یک منبع)	η [nb 3]	لومن بر وات	lm/ W	M −1 ⋅ L −2 ⋅ T 3 ⋅ J	نسبت شار نور به مصرف برق
راندمان نورانی ، ضریب نورانی	V			1	کارایی نورانی با حداکثر کارایی ممکن نرمال شده است
همچنین ببینید: SI نورسنجی رادیومتری

^ نمادهای این ستون نشان دهنده ابعاد هستند . " L "، " T " و " J " به ترتیب برای طول، زمان و شدت نور هستند، نه نماد واحدهای لیتر ، تسلا و ژول.
^ سازمان‌های استاندارد توصیه می‌کنند که کمیت‌های فتومتریک با زیرنویس "v" (برای "بصری") نشان داده شوند تا از اشتباه گرفتن بامقادیر رادیومتری یا فوتون جلوگیری شود. به عنوان مثال: نمادهای حروف استاندارد ایالات متحده برای مهندسی روشنایی USAS Z7.1-1967, Y10.18-1967
^پرش به بالا:a b c نمادهای جایگزین گاهی دیده می شوند:Wبرای انرژی نورانی،PیاFبرای شار نوری، وρبرای کارایی نوری یک منبع.

رابطه با شدت نور [ ویرایش ]

مقایسه کمیت های فتومتریک و رادیومتریک

شار نوری (بر حسب لومن) اندازه گیری مقدار کل نوری است که یک لامپ بیرون می دهد. شدت نور (در شمعدان) معیاری است که نشان می دهد پرتو در یک جهت خاص چقدر روشن است. اگر یک لامپ دارای یک لامپ 1 لومن باشد و اپتیک لامپ طوری تنظیم شده باشد که نور را به طور یکنواخت در یک پرتو 1 استرادیان متمرکز کند ، در این صورت پرتو دارای شدت نوری 1 کاندلا خواهد بود. اگر اپتیک به گونه ای تغییر می کرد که پرتو را به 1/2 استرادیان متمرکز کند، آنگاه شدت نور منبع 2 کاندلا خواهد بود. پرتو حاصل باریک تر و روشن تر است، با این حال شار نوری ثابت می ماند.

مثالها [ ویرایش ]

**جدول شار نوری مقایسه ای چندین منبع نور** [7] [8] [9]
منبع	شار نوری (لومن)
LED سفید 37 مگاواتی "Superbright".	0.20
لیزر سبز 15 مگاواتی (طول موج 532 نانومتر)	8.4
LED سفید 1 وات با خروجی بالا	25-120
فانوس نفتی	100
لامپ رشته ای 40 وات در 230 ولت	325
LED سفید 7 واتی با خروجی بالا	450
لامپ ال ای دی فیلامنت 6 واتی COB	600
لامپ فلورسنت 18 وات	1250
لامپ رشته ای 100 وات	1750
لامپ فلورسنت 40 وات	2800
لامپ زنون 35 وات	2200–3200
لامپ فلورسنت 100 وات	8000
لامپ بخار سدیم فشار کم 127 وات	25000
لامپ متال هالید 400 وات	40000
مقادیر برای منابع تازه تولید شده داده شده است. خروجی از بسیاری از منابع به طور قابل توجهی در طول عمر آنها کاهش می یابد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Luminous_flux

شار

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی ام بهمن ۱۴۰۲ | 11:49

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد مفهوم شار در علوم طبیعی و ریاضیات است. برای کاربردهای دیگر، شار (ابهام‌زدایی) را ببینید .

شار هر اثری را توصیف می کند که به نظر می رسد از یک سطح یا ماده عبور می کند یا حرکت می کند (چه در واقع حرکت کند یا نه). شار مفهومی در ریاضیات کاربردی و حساب برداری است که کاربردهای زیادی در فیزیک دارد . برای پدیده های حمل و نقل ، شار یک کمیت برداری است که مقدار و جهت جریان یک ماده یا ویژگی را توصیف می کند. در حساب بردار شار یک کمیت اسکالر است که به عنوان انتگرال سطحی جزء عمود بر یک میدان برداری بر روی یک سطح تعریف می شود. [1]

اصطلاحات [ ویرایش ]

کلمه flux از لاتین آمده است : شاربه معنای "جریان" است و fluere "جریان کردن" است. [2] به عنوان شار ، این اصطلاح توسط اسحاق نیوتن به حساب دیفرانسیل معرفی شد .

مفهوم شار گرما سهم کلیدی جوزف فوریه در تجزیه و تحلیل پدیده های انتقال حرارت بود. [3] رساله مهم او Théorie analytique de la chaleur ( نظریه تحلیلی گرما )، [4] شار را به عنوان یک کمیت مرکزی تعریف می کند و به استخراج عبارات شناخته شده شار بر حسب تفاوت دما در سراسر یک دال ادامه می دهد، و سپس به طور کلی تر از نظر شیب دما یا اختلاف دما، در سایر هندسه ها. بر اساس کار جیمز کلرک ماکسول [ 5] می توان استدلال کرد که تعریف حمل و نقل مقدم بر تعریف شار مورد استفاده در الکترومغناطیس است . نقل قول خاص از ماکسول این است:

در مورد شارها، ما باید انتگرال شار را روی یک سطح از هر عنصر سطح عبور دهیم. نتیجه این عمل انتگرال سطحی شار نامیده می شود. نشان دهنده مقداری است که از سطح می گذرد.
- جیمز کلرک ماکسول

طبق تعریف حمل و نقل، شار ممکن است یک بردار واحد باشد یا ممکن است یک میدان برداری / تابع موقعیت باشد. در مورد دوم شار را می توان به آسانی روی یک سطح ادغام کرد. در مقابل، طبق تعریف الکترومغناطیس، شار انتگرال روی یک سطح است . منطقی نیست که یک شار تعریف دوم را ادغام کنیم، زیرا یکی دو بار روی یک سطح یکپارچه می شود. بنابراین، نقل قول ماکسول تنها زمانی معنا پیدا می‌کند که «شار» بر اساس تعریف حمل‌ونقل استفاده شود (و علاوه بر این، یک میدان برداری است نه بردار منفرد). این موضوع طعنه آمیزی است زیرا ماکسول یکی از توسعه دهندگان اصلی چیزی بود که ما اکنون آن را "شار الکتریکی" و "شار مغناطیسی" طبق تعریف الکترومغناطیس می نامیم. نام آنها مطابق با نقل قول (و تعریف حمل و نقل) "انتگرال سطحی شار الکتریکی" و "انتگرال سطحی شار مغناطیسی" خواهد بود، در این صورت "شار الکتریکی" به جای "میدان الکتریکی" و "شار مغناطیسی" تعریف می شود. " به عنوان "میدان مغناطیسی" تعریف می شود. این نشان می‌دهد که ماکسول این میدان‌ها را به‌عنوان نوعی جریان/شار در نظر گرفته است.

با توجه به یک شار مطابق با تعریف الکترومغناطیس، چگالی شار مربوطه ، اگر از آن اصطلاح استفاده شود، به مشتق آن در امتداد سطحی که یکپارچه شده است اشاره دارد. با قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال ، چگالی شار متناظر طبق تعریف حمل و نقل یک شار است. با توجه به جریانی مانند جریان الکتریکی - بار در هر زمان، چگالی جریان نیز طبق تعریف حمل و نقل یک شار خواهد بود - بار در هر زمان در هر منطقه. با توجه به تعاریف متناقض شار ، و قابلیت تعویض شار ، جریان ، و جریان در زبان انگلیسی غیر فنی، همه اصطلاحات استفاده شده در این پاراگراف گاهی اوقات به صورت مبهم و مبهم استفاده می شوند. شارهای بتن در ادامه این مقاله مطابق با پذیرش گسترده آنها در ادبیات استفاده می شود، صرف نظر از اینکه این اصطلاح با کدام تعریف از شار مطابقت دارد.

شار به عنوان نرخ جریان در واحد سطح [ ویرایش ]

در پدیده‌های انتقال ( انتقال گرما ، انتقال جرم و دینامیک سیال )، شار به عنوان نرخ جریان یک ویژگی در واحد سطح تعریف می‌شود که دارای ابعاد [کمیت] · [زمان] -1 · [مساحت] -1 است . [6] منطقه از سطحی است که ملک در آن "از طریق" یا "در سراسر" جریان دارد. به عنوان مثال، مقدار آبی که در هر ثانیه از یک مقطع رودخانه می گذرد، تقسیم بر مساحت آن مقطع، یا مقدار انرژی نور خورشید که در هر ثانیه بر روی یک قطعه زمین فرود می آید، تقسیم بر مساحت قطعه، نوعی شار هستند.

تعریف عمومی ریاضی (حمل و نقل) [ ویرایش ]

خطوط میدان یک میدان برداری F از طریق سطوح با واحد نرمال n ، زاویه از n تا F θ است . شار اندازه گیری میزان عبور میدان از یک سطح معین است. F به اجزای عمود بر (⊥) و موازی (‖) با n تجزیه می شود . فقط مولفه موازی به شار کمک می کند زیرا حداکثر میدان عبوری از سطح در یک نقطه است، مولفه عمود بر آن کمک نمی کند.
بالا: سه خط میدانی که از یک سطح صاف عبور می‌کنند، یکی عادی با سطح، یکی موازی، و دیگری میانی.
پایین: خط میدان از طریق یک سطح منحنی ، که تنظیم عنصر عادی و سطح را برای محاسبه شار نشان می دهد.

برای محاسبه شار یک میدان برداری F (فلش های قرمز) از طریق سطح S ، سطح به تکه های کوچک dS تقسیم می شود . شار عبوری از هر وصله برابر است با مولفه عادی (عمود) میدان، حاصل ضرب نقطه ای F ( x ) با بردار نرمال واحد n ( x ) (فلش های آبی) در نقطه x ضرب در مساحت dS . مجموع F · n ، dS برای هر وصله روی سطح، شار عبوری از سطح است.

در اینجا 3 تعریف به ترتیب افزایش پیچیدگی آورده شده است. هر کدام یک مورد خاص از موارد زیر است. در همه موارد نماد مکرر j , (یا J ) برای شار، q برای کمیت فیزیکی که جریان دارد، t برای زمان و A برای مساحت استفاده می شود . این شناسه ها زمانی و فقط زمانی که بردار باشند به صورت پررنگ نوشته می شوند.

ابتدا به عنوان یک اسکالر (تک) شار کنید:

$j={\frac {I}{A}},$

جایی که

$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t} }.$

در این حالت سطحی که شار در آن اندازه گیری می شود ثابت است و دارای مساحت A است . سطح مسطح فرض می شود و جریان در همه جا نسبت به موقعیت ثابت و عمود بر سطح فرض می شود.

دوم، شار به عنوان یک میدان اسکالر تعریف شده در طول یک سطح، یعنی تابعی از نقاط روی سطح:

$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$

$I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p}).$

مانند قبل، سطح صاف و جریان در همه جا عمود بر آن فرض می شود. با این حال لازم نیست جریان ثابت باشد. q اکنون تابعی از p ، یک نقطه در سطح، و A ، یک منطقه است. به جای اندازه گیری کل جریان از طریق سطح، q جریان از طریق دیسک را با ناحیه A در مرکز p در امتداد سطح اندازه گیری می کند.

در نهایت، شار به عنوان یک میدان برداری :

$\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$

$\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n }} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}}).$

در این حالت، هیچ سطح ثابتی وجود ندارد که ما روی آن اندازه گیری می کنیم. q تابعی از یک نقطه، یک مساحت و یک جهت است (که توسط یک بردار واحد داده می شود $\mathbf {\hat {n}}$ ) و جریان عبوری از دیسک ناحیه A را عمود بر آن واحد اندازه گیری می کند. من با انتخاب بردار واحدی که جریان را در اطراف نقطه به حداکثر می‌رساند، تعریف می‌شود، زیرا جریان واقعی در سراسر دیسکی که عمود بر آن است حداکثر می‌شود. بنابراین، بردار واحد زمانی که در "جهت واقعی" جریان قرار می گیرد، تابع را به طور منحصر به فردی به حداکثر می رساند. (به بیان دقیق، این سوء استفاده از علامت گذاری است زیرا "arg max" نمی تواند مستقیماً بردارها را مقایسه کند؛ به جای آن بردار را با بزرگترین هنجار می گیریم.)

خواص [ ویرایش ]

این تعاریف مستقیم، به ویژه آخرین تعاریف، نسبتاً غیرقابل استفاده هستند. به عنوان مثال، ساختار arg max از منظر اندازه‌گیری‌های تجربی مصنوعی است، زمانی که با یک بادگیر یا مشابه آن می‌توان به راحتی جهت شار را در یک نقطه استنتاج کرد. به جای تعریف مستقیم شار برداری، بیان برخی از خصوصیات در مورد آن اغلب شهودی تر است. علاوه بر این، از روی این ویژگی ها، شار را می توان به طور منحصر به فرد به هر حال تعیین کرد.

اگر شار j از ناحیه با زاویه θ نسبت به ناحیه نرمال عبور کند $\mathbf {\hat {n}}$ ، سپس محصول نقطه ای

$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .$

یعنی مولفه شار عبوری از سطح (یعنی نرمال نسبت به آن) j  cos  θ است ، در حالی که مولفه شار مماس بر روی سطح j  sin  θ است ، اما در واقع هیچ شاری وجود ندارد که از ناحیه مماس عبور کند . جهت. تنها مؤلفه شار که به صورت نرمال از ناحیه عبور می کند جزء کسینوس است.

برای شار برداری، انتگرال سطح j روی سطح S ، جریان مناسب در واحد زمان را در سطح می دهد:

${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA= \iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A}،$

که در آن A (و بینهایت کوچک آن) ناحیه برداری – ترکیبی است $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$ از قدر ناحیه A که خاصیت از آن عبور می کند و یک بردار واحد $\mathbf {\hat {n}}$ بر خلاف مجموعه دوم معادلات، سطح در اینجا نیازی به صاف بودن ندارد.

در نهایت، می‌توانیم دوباره در طول مدت زمان t 1 تا t 2 ادغام کنیم و مقدار کل خاصیت را که در آن زمان از سطح می‌گذرد را بدست آوریم ( t 2 - t 1 ):

$q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} \,dt.$

شارهای حمل و نقل [ ویرایش ]

هشت مورد از رایج ترین شکل های شار از ادبیات پدیده حمل و نقل به شرح زیر تعریف می شوند:

شار مومنتوم ، نرخ انتقال تکانه در سطح واحد (N·s·m -2 ·s -1 ). ( قانون ویسکوزیته نیوتن ) [7]
شار حرارتی ، نرخ جریان گرما در سطح واحد (J·m -2 ·s -1 ). ( قانون هدایت فوریه ) [8] (این تعریف از شار حرارتی با تعریف اصلی ماکسول مطابقت دارد.) [5]
شار انتشار ، سرعت حرکت مولکول ها در سطح واحد (mol·m -2 ·s -1 ). ( قانون انتشار فیک ) [7]
شار حجمی ، نرخ جریان حجمی در یک واحد سطح (m 3 ·m -2 ·s -1 ). ( قانون دارسی جریان آب زیرزمینی )
شار جرمی ، نرخ جریان جرمی در طول واحد سطح (kg·m -2 ·s -1 ). (یک شکل متناوب از قانون فیک که شامل جرم مولکولی است، یا یک شکل جایگزین از قانون دارسی که شامل چگالی است.)
شار تابشی ، مقدار انرژی منتقل شده به شکل فوتون در فاصله معینی از منبع در واحد سطح در ثانیه (J·m -2 ·s -1 ). در نجوم برای تعیین قدر و طبقه طیفی یک ستاره استفاده می شود. همچنین به عنوان یک تعمیم شار حرارتی عمل می کند، که برابر با شار تابشی زمانی که به طیف الکترومغناطیسی محدود می شود، عمل می کند.
شار انرژی ، نرخ انتقال انرژی از طریق واحد سطح (J·m −2 ·s −1 ). شار تابشی و شار حرارتی موارد خاصی از شار انرژی هستند.
شار ذرات ، سرعت انتقال ذرات از طریق واحد سطح ([تعداد ذرات] m -2 ·s -1 )

این شارها در هر نقطه از فضا بردار هستند و مقدار و جهت مشخصی دارند. همچنین، می توان واگرایی هر یک از این شارها را برای تعیین نرخ تجمع کمیت در یک حجم کنترل در اطراف یک نقطه معین در فضا در نظر گرفت. برای جریان تراکم ناپذیر ، واگرایی شار حجمی صفر است.

انتشار شیمیایی [ ویرایش ]

همانطور که در بالا ذکر شد، شار مولی شیمیایی یک جزء A در یک سیستم همدما و ایزوباریک در قانون انتشار فیک به صورت زیر تعریف می شود :

$\mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}$

در جایی که نماد nabla ∇ نشان دهنده عملگر گرادیان است ، D AB ضریب انتشار (m 2 ·s -1 ) جزء A است که در جزء B منتشر می شود، c A غلظت ( mol /m 3 ) جزء A است . [9]

این شار دارای واحدهای mol·m -2 ·s -1 است و با تعریف اصلی ماکسول از شار مطابقت دارد. [5]

برای گازهای رقیق، نظریه مولکولی جنبشی ضریب انتشار D را به چگالی ذرات n = N / V ، جرم مولکولی m ، سطح مقطع برخورد مرتبط می کند. $\sigma$ و دمای مطلق T توسط

$D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}$

که در آن عامل دوم میانگین مسیر آزاد و جذر (با ثابت بولتزمن k ) میانگین سرعت ذرات است .

در جریان های آشفته، انتقال توسط حرکت گردابی را می توان به عنوان یک ضریب انتشار به شدت افزایش یافته بیان کرد.

مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جریان احتمال

در مکانیک کوانتومی ، ذرات با جرم m در حالت کوانتومی ψ ( r , t ) چگالی احتمالی دارند که به صورت تعریف شده است.

$\rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}.$

بنابراین احتمال یافتن یک ذره در یک عنصر حجمی دیفرانسیل d 3 r است

$dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} .$

سپس تعداد ذراتی که به صورت عمود از واحد سطح مقطع در واحد زمان عبور می کنند، شار احتمال است.

$\mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \راست).$

گاهی اوقات به آن چگالی جریان یا جریان احتمالی، [10] یا چگالی شار احتمالی نیز گفته می شود. [11]

شار به عنوان یک انتگرال سطحی [ ویرایش ]

تعریف عمومی ریاضی (انتگرال سطحی) [ ویرایش ]

شار تجسم شد. حلقه ها مرزهای سطح را نشان می دهند. فلش های قرمز نشان دهنده جریان بارها، ذرات سیال، ذرات زیر اتمی، فوتون ها و غیره هستند. تعداد فلش هایی که از هر حلقه عبور می کنند، شار است.

به عنوان یک مفهوم ریاضی، شار با انتگرال سطحی یک میدان برداری نشان داده می شود ، [12]

$\Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

$\Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} A$

که در آن F یک میدان برداری است و d A مساحت برداری سطح A است که به صورت سطح عادی هدایت می شود . برای دوم، n بردار نرمال واحد رو به بیرون به سطح است.

سطح باید جهت یابی باشد ، یعنی دو طرف را می توان تشخیص داد: سطح به سمت خود جمع نمی شود. همچنین، سطح باید در واقع جهت‌گیری داشته باشد، یعنی ما از قراردادی استفاده می‌کنیم که جریان در کدام سمت مثبت شمرده شود. جریان رو به عقب منفی شمرده می شود.

سطح نرمال معمولاً توسط قانون دست راست هدایت می شود .

برعکس، می‌توان شار را کمیت بنیادی‌تر در نظر گرفت و میدان برداری را چگالی شار نامید.

اغلب یک میدان برداری توسط منحنی ها (خطوط میدان) به دنبال "جریان" ترسیم می شود. بزرگی میدان برداری چگالی خط است، و شار در یک سطح تعداد خطوط است. خطوط از مناطق واگرایی مثبت (منابع) سرچشمه می گیرند و به مناطق واگرایی منفی (سینک ها) ختم می شوند.

همچنین تصویر سمت راست را ببینید: تعداد فلش‌های قرمز رنگی که از یک واحد سطح عبور می‌کنند، چگالی شار است، منحنی اطراف فلش‌های قرمز مرز سطح را نشان می‌دهد، و جهت فلش‌ها نسبت به سطح نشان‌دهنده علامت است. حاصل ضرب درونی میدان برداری با نرمال های سطحی.

اگر سطح یک ناحیه 3 بعدی را در بر بگیرد، معمولاً سطح به گونه ای جهت گیری می شود که هجوم مثبت شمارش می شود. برعکس خروجی است .

قضیه واگرایی بیان می کند که جریان خالص خروجی از یک سطح بسته، به عبارت دیگر خروجی خالص از یک منطقه سه بعدی، با اضافه کردن جریان خالص محلی از هر نقطه در منطقه (که با واگرایی بیان می شود ) بدست می آید.

اگر سطح بسته نباشد، یک منحنی جهت دار به عنوان مرز دارد. قضیه استوکس بیان می کند که شار پیچش یک میدان برداری انتگرال خطی میدان برداری بر روی این مرز است. این انتگرال مسیر به ویژه در دینامیک سیالات گردش خون نیز نامیده می شود. بنابراین حلقه چگالی گردش خون است.

ما می‌توانیم شار و این قضایا را در بسیاری از رشته‌ها که در آن‌ها جریان‌ها، نیروها و غیره را می‌بینیم که از طریق مناطق اعمال می‌شوند، اعمال کنیم.

الکترومغناطیس [ ویرایش ]

شار الکتریکی [ ویرایش ]

یک "بار" الکتریکی، مانند یک پروتون منفرد در فضا، قدری بر حسب کولن دارد. چنین باری دارای میدان الکتریکی اطراف آن است. در شکل تصویری، میدان الکتریکی ناشی از یک بار نقطه مثبت را می توان به صورت نقطه ای که خطوط میدان الکتریکی را تابش می کند (که گاهی اوقات "خطوط نیرو" نیز نامیده می شود) تجسم کرد. از نظر مفهومی، شار الکتریکی را می توان به عنوان «تعداد خطوط میدانی» در نظر گرفت که از یک منطقه معین عبور می کنند. از نظر ریاضی، شار الکتریکی انتگرال مولفه طبیعی میدان الکتریکی در یک منطقه معین است. از این رو، واحدهای شار الکتریکی در سیستم MKS ، نیوتن بر کولن ضربدر متر مربع یا Nm2 / C است. (چگالی شار الکتریکی شار الکتریکی در واحد سطح است و معیاری از قدرت مولفه طبیعی میدان الکتریکی است که در ناحیه ادغام به طور میانگین محاسبه می شود. واحدهای آن N/C هستند، مانند میدان الکتریکی در واحدهای MKS. )

دو شکل از شار الکتریکی استفاده می شود، یکی برای میدان E : [13] [14]

$\Phi _{E}=$ $\اینت$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A}$

و یکی برای میدان D (به نام جابجایی الکتریکی ):

$\Phi _{D}=$ $\اینت$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf {D} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A}$

این مقدار در قانون گاوس به وجود می آید - که بیان می کند که شار میدان الکتریکی E از یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی Q A محصور در سطح است (مستقل از نحوه توزیع آن بار)، شکل انتگرال به این صورت است:

$\اینت$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} ={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}$

که در آن ε 0 گذردهی فضای آزاد است .

اگر شار بردار میدان الکتریکی، E را برای یک لوله نزدیک به یک بار نقطه ای در میدان بار در نظر بگیریم، اما آن را با اضلاع تشکیل شده توسط خطوط مماس بر میدان در نظر بگیریم، شار برای اضلاع صفر است و وجود دارد. یک شار مساوی و مخالف در هر دو انتهای لوله. این نتیجه قانون گاوس است که برای میدان معکوس مربع اعمال می شود. شار برای هر سطح مقطع لوله یکسان خواهد بود. شار کل برای هر سطحی که یک بار q را احاطه کرده است q / ε 0 است . [15]

در فضای آزاد، جابجایی الکتریکی با رابطه سازنده D = ε 0 E داده می شود ، بنابراین برای هر سطح مرزی، شار میدان D برابر با بار QA درون آن است. در اینجا عبارت "شار" یک عملیات ریاضی را نشان می دهد و همانطور که مشاهده می شود، نتیجه لزوما یک "جریان" نیست، زیرا در واقع هیچ چیز در امتداد خطوط میدان الکتریکی جریان ندارد.

شار مغناطیسی [ ویرایش ]

چگالی شار مغناطیسی ( میدان مغناطیسی ) دارای واحد Wb/m 2 ( تسلا ) با B نشان داده می شود و شار مغناطیسی به طور مشابه تعریف می شود: [13] [14]

$\Phi _{B}=\iint _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

با همان علامت بالا این کمیت در قانون القای فارادی به وجود می آید ، جایی که شار مغناطیسی وابسته به زمان است یا به این دلیل که مرز وابسته به زمان است یا میدان مغناطیسی وابسته به زمان. به صورت یکپارچه:

$-{\frac {{\rm {d}}\Phi _{B}}{{\rm {d}}t}}=\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot d {\boldsymbol {\ell }}$

که در آن d ℓ یک عنصر خط برداری بینهایت کوچک منحنی بسته است ∂آ $\partial A$ ، با بزرگی برابر با طول عنصر خط بینهایت کوچک و جهت داده شده توسط مماس بر منحنی∂آ $\partial A$ ، با علامت تعیین شده توسط جهت ادغام.

نرخ زمانی تغییر شار مغناطیسی از طریق یک حلقه سیم منهای نیروی الکتروموتور ایجاد شده در آن سیم است. جهت به گونه ای است که اگر جریان از سیم عبور کند، نیروی الکتروموتور جریانی ایجاد می کند که "مخالف" تغییر میدان مغناطیسی خود به خود میدان مغناطیسی مخالف تغییر ایجاد می کند. این اساس سلف ها و بسیاری از ژنراتورهای الکتریکی است .

شار پوینتینگ [ ویرایش ]

با استفاده از این تعریف، شار بردار Poynting S بر روی یک سطح مشخص، نرخی است که در آن انرژی الکترومغناطیسی در آن سطح جریان می یابد، که مانند قبل تعریف شده است: [14]

$\Phi _{S}=$ $\اینت$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf {S} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A}$

شار بردار Poynting از طریق یک سطح، توان الکترومغناطیسی یا انرژی در واحد زمان است که از آن سطح می گذرد. این معمولاً در تجزیه و تحلیل تابش الکترومغناطیسی استفاده می شود ، اما برای سایر سیستم های الکترومغناطیسی نیز کاربرد دارد.

به طور گیج کننده ای، گاهی اوقات بردار Poynting را شار توان نامیده می شود ، که نمونه ای از اولین استفاده از شار در بالا است. [16] دارای واحدهای وات بر متر مربع (W/m 2 ) است.

https://en.wikipedia.org/wiki/Flux

4-فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و هشتم بهمن ۱۴۰۲ | 16:52

عملگر هاج در فرم های p [ ویرایش ]

${\widetilde {\ast }}_{i_{1}\cdots i_{np}}^{j_{1}\cdots j_{p}}=e^{(n-2p)\varphi }\ ast _{i_{1}\cdots i_{np}}^{j_{1}\cdots j_{p}}$
${\widetilde {\ast }}=e^{(n-2p)\varphi }\ast$

کد دیفرانسیل در فرم های p [ ویرایش ]

${\widetilde {d^{\ast }}}_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}=e^{-2\ varphi }(d^{\ast })_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}-(n-2p)e^{-2\ varphi }\nabla ^{i_{1}}\varphi \delta _{j_{1}}^{i_{2}}\cdots \delta _{j_{p-1}}^{i_{p}}$
${\widetilde {d^{\ast }}}=e^{-2\varphi }d^{\ast }-(n-2p)e^{-2\varphi }\iota _{\nabla \varphi }$

لاپلاسی در مورد توابع [ ویرایش ]

${\widetilde {\Delta }}\Phi =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta \Phi +(n-2)g(d\varphi ,d\Phi ){\Big )}$

هاج لاپلاسین در فرم های p [ ویرایش ]

${\widetilde {\Delta ^{d}}}\omega =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta ^{d}\omega -(n-2p)d\circ \iota _{\nabla \varphi }\omega -(n-2p-2)\iota _{\nabla \varphi }\circ d\omega +2(n-2p)d\varphi \wedge \iota _{\nabla \ varphi }\omega -2d\varphi \wedge d^{\ast }\omega {\Big )}$

قرارداد علامت "هندسه سنج" برای هاج لاپلاسین در اینجا استفاده می شود. به ویژه دارای علامت مخالف در عملکردهای معمول لاپلاسی است.

دومین شکل اساسی غوطه وری [ ویرایش ]

فرض کنید $(M,g)$ ریمانی است $F:\Sigma \to (M,g)$ یک غوطه وری با دوبار تمایز است. به یاد بیاورید که دومین شکل اساسی برای هر کدام استپ∈م، $p\in M,$ یک نقشه دو خطی متقارن $h_{p}:T_{p}\Sigma \times T_{p}\Sigma \to T_{F(p)}M,$ که در ارزش گذاری شده است $g_{F(p)}$ زیرفضای خطی متعامد به $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$ سپس

${\widetilde {h}}(u,v)=h(u,v)-(\nabla \varphi )^{\perp }g(u,v)$ برای همه $u,v\in T_{p}M$

اینجا $(\nabla \varphi )^{\perp }$ را نشان می دهد $g_{F(p)}$ -طرح متعامد از $\nabla \varphi \in T_{F(p)}M$ بر روی $g_{F(p)}$ زیرفضای خطی متعامد به $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$

میانگین انحنای غوطه وری [ ویرایش ]

در همان تنظیمات بالا (و فرض کنید $\Sigma$ ابعاد دارد $n$ ، به یاد بیاورید که بردار انحنای میانگین برای هر کدام است $p\in \Sigma$ یک عنصر ${\textbf {H}}_{p}\in T_{F(p)}M$ به عنوان تعریف شده است $g$ ردپای شکل بنیادی دوم. سپس

${\widetilde {\textbf {H}}}=e^{-2\varphi }({\textbf {H}}-n(\nabla \varphi )^{\perp }).$

توجه داشته باشید که این فرمول تبدیل برای بردار انحنای میانگین و فرمول انحنای متوسط است.اچ $H$ در حالت هایپرسطحی است

${\widetilde {H}}=e^{-\varphi }(Hn\langle \nabla \varphi ,\eta \rangle )$

جایی که $\eta$ یک فیلد برداری عادی (محلی) است.

فرمول های تغییر [ ویرایش ]

اجازه دهید $M$ یفولد صاف باشد و اجازه دهید $g_{t}$ یک خانواده یک پارامتری از معیارهای ریمانی یا شبه ریمانی باشد. فرض کنید که یک خانواده متمایزپذیر است به این معنا که برای هر نمودار مختصات صاف، مشتقات $v_{ij}={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}(g_{t})_{ij}{\big )}$ وجود دارند و خود به اندازه لازم برای معنا یافتن عبارات زیر قابل تمایز هستند.=∂∂تی $v={\frac {\partial g}{\partial t}}$ یک خانواده یک پارامتری از میدان های 2 تانسوری متقارن است.

${\frac {\partial }{\partial t}}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _ {i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}.$
${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ijkl}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla _{j}\nabla _{k}v_{ il}+\nabla _{i}\nabla _{l}v_{jk}-\nabla _{i}\nabla _{k}v_{jl}-\nabla _{j}\nabla _{l}v_ {ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}{R_{ijk}}^{p}v_{pl}-{\frac {1}{2}}{R_{ijl}} ^{p}v_{pk}$
${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ik}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla ^{p}\nabla _{k}v_{ ip}+\nabla _{i}(\operatorname {div} v)_{k}-\nabla _{i}\nabla _{k}(\operatorname {tr} _{g}v)-\Delta v_ {ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}R_{i}^{p}v_{pk}-{\frac {1}{2}}R_{i}{}^{ p}{}_{k}{}^{q}v_{pq}$
${\frac {\partial }{\partial t}}R=\operatorname {div} _{g}\operatorname {div} _{g}v-\Delta (\operatorname {tr} _{g} v)-\langle v،\operatorname {Ric} \rangle _{g}$
${\frac {\partial }{\partial t}}d\mu _{g}={\frac {1}{2}}g^{pq}v_{pq}\,d\mu _{ g}$
${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}\nabla _{j}\Phi =\nabla _{i}\nabla _{j}{\frac {\partial \ Phi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip} -\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{k}}}$
${\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \Phi =-\langle v,\operatorname {Hess} \Phi \rangle _{g}-g{\Big (}\operatorname {div } v-{\frac {1}{2}}d(\operatorname {tr} _{g}v),d\Phi {\Big )}$

نماد اصلی [ ویرایش ]

محاسبات فرمول تغییرات بالا نماد اصلی نگاشت را تعریف می کند که یک متریک شبه ریمانی را به تانسور ریمان، تانسور ریچی یا انحنای اسکالر ارسال می کند.

نماد اصلی نقشه $g\mapsto \operatorname {Rm} ^{g}$ به هر کدام اختصاص می دهد $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ نقشه ای از فضای تانسورهای متقارن (0،2) روی $T_{p}M$ به فضای تانسورهای (0،4) ، $T_{p}M,$ داده شده توسط

$v\mapsto {\frac {\xi _{j}\xi _{k}v_{il}+\xi _{i}\xi _{l}v_{jk}-\xi _{i} \xi _{k}v_{jl}-\xi _{j}\xi _{l}v_{ik}}{2}}=-{\frac {1}{2}}(\xi \otimes \ xi ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}v.$

نماد اصلی نقشه $g\mapsto \operatorname {Ric} ^{g}$ به هر کدام اختصاص می دهد $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ اندومورفیسم فضای دو تانسور متقارن $T_{p}M$ داده شده توسط

$v\mapsto v(\xi ^{\sharp },\cdot )\otimes \xi +\xi \otimes v(\xi ^{\sharp },\cdot )-(\operatorname {tr} _{ g_{p}}v)\xi \otimes \xi -|\xi |_{g}^{2}v.$

نماد اصلی نقشه $g\mapsto R^{g}$ به هر کدام اختصاص می دهد $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ عنصری از فضای دوگانه به فضای برداری 2 تانسور متقارن $T_{p}M$ توسط

$v\mapsto |\xi |_{g}^{2}\operatorname {tr} _{g}v+v(\xi ^{\sharp },\xi ^{\sharp }).$

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry

3-فهرست فرمولها در هندسه ریمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و هشتم بهمن ۱۴۰۲ | 16:51

ضرب کولکارنی–نومیزو [ ویرایش ]

ضرب کولکارنی–نومیزو ابزار مهمی برای ساختن تانسورهای جدید از تانسورهای موجود در یفولد ریمانی است. اجازه دهید $A$ و $B$ تانسورهای 2 کوواریانت متقارن باشند. در مختصات،

$A_{ij}=A_{ji}\qquad \qquad B_{ij}=B_{ji}$

سپس می‌توانیم اینها را به یک معنا ضرب کنیم تا یک کوواریانت 4 تانسور جدید بدست آوریم که اغلب نشان داده می‌شود. $A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B$ . فرمول دترمینان است

$\left(A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B\right)_{ijkl}=A_{ik}B_{jl} +A_{jl}B_{ik}-A_{il}B_{jk}-A_{jk}B_{il}$

واضح است که ضرب راضی است

$A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B=B{~\wedge \!\!\!\!\!\!\ !\!\;\bigcirc ~}A$

در یک قاب اینرسی [ ویرایش ]

یک قاب اینرسی متعارف یک نمودار مختصاتی است که در مبدأ، روابط را داشته باشد $g_{ij}=\delta _{ij}$ و $\Gamma ^{i}{}_{jk}=0$ (اما اینها ممکن است در سایر نقاط کادر ثابت نشوند). به این مختصات مختصات عادی نیز می گویند. در چنین چارچوبی، بیان چند عملگر ساده تر است. توجه داشته باشید که فرمول های ارائه شده در زیر فقط در مبدا فریم معتبر هستند .

$R_{ik\ell m}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x^{k}\partial x ^{\ell }}}+{\frac {\partial ^{2}g_{k\ell }}{\partial x^{i}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^ {2}g_{i\ell }}{\partial x^{k}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{km}}{\partial x^{i }\x جزئی^{\ell }}}\right)$

$R^{\ell }{}_{ijk}={\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ik}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ij}$

تغییر مطابق [ ویرایش ]

اجازه دهید $g$ یک متریک ریمانی یا شبه ریمانی روی یک یفولد صاف باشد $M$ ، و $\varphi$ یک تابع با ارزش واقعی صاف روشن است $M$ . سپس

${\tilde {g}}=e^{2\varphi }g$

همچنین یک متریک ریمانی است $M$ . ما این را می گوییم ${\tilde {g}}$ مطابق با (نقطه ای) است $g$ . بدیهی است که مطابقت معیارها یک رابطه هم ارزی است. در اینجا چند فرمول برای تغییرات سجم در تانسورهای مرتبط با متریک آورده شده است. (کمیت های علامت گذاری شده با یک تیلد مرتبط خواهند بود ${\tilde {g}}$ ، در حالی که آنهایی که با چنین علامت گذاری نشده اند با آنها مرتبط خواهند بود $g$ .)

اتصال لوی-سیویتا [ ویرایش ]

${\widetilde {\Gamma }}_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}} \delta _{j}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{j}}}\delta _{i}^{k}-{\frac {\partial \varphi } {\ x^{l}}}g^{lk}g_{ij}$
${\widetilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+d\varphi (X)Y+d\varphi (Y)Xg(X,Y)\nabla \varphi$

(4،0) تانسور انحنای ریمان [ ویرایش ]

${\widetilde {R}}_{ijkl}=e^{2\varphi }R_{ijkl}-e^{2\varphi }{\big (}g_{ik}T_{jl}+g_{ jl}T_{ik}-g_{il}T_{jk}-g_{jk}T_{il}{\big )}$ جایی که $T_{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{2}} |d\varphi |^{2}g_{ij}$

استفاده از ضرب کلارنی-نومیزو :

${\widetilde {\operatorname {Rm} }}=e^{2\varphi }\operatorname {Rm} -e^{2\varphi }g{~\wedge \!\!\!\!\! \!\!\!\;\bigcirc ~}\left(\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi +{\frac {1}{2}}|d\varphi |^{2 }g\right)$

تانسور ریچی [ ویرایش ]

${\widetilde {R}}_{ij}=R_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i }\varphi \nabla _{j}\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g_{ij}$
${\widetilde {\operatorname {Ric}}}=\operatorname {Ric} -(n-2){\big (}\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g$

انحنای اسکالر [ ویرایش ]

${\widetilde {R}}=e^{-2\varphi }R-2(n-1)e^{-2\varphi }\Delta \varphi -(n-2)(n-1) e^{-2\varphi }|d\varphi |^{2}$
اگر $n\neq 2$ این را می توان نوشت ${\tilde {R}}=e^{-2\varphi }\left[R-{\frac {4(n-1)}{(n-2)}}e^{-(n- 2)\varphi /2}\Delta \left(e^{(n-2)\varphi /2}\right)\right]$

تانسور ریچی بدون ردیابی [ ویرایش ]

${\widetilde {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}_{ij}=R_{ij}-{ \frac {1}{n}}Rg_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _ {j}\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)}{n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{\big )}g_ {ij}$
${\widetilde {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}=\operatorname {Ric} -{\frac { 1}{n}}Rg-(n-2){\big (}\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)} {n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{\big )}g$

(3،1) انحنای ویل [ ویرایش ]

${{\widetilde {W}}_{ijk}}^{l}={W_{ijk}}^{l}$
${\widetilde {W}}(X,Y,Z)=W(X,Y,Z)$ برای هر فیلد برداری $X,Y,Z$

فرم حجم [ ویرایش ]

${\sqrt {\det {\widetilde {g}}}}=e^{n\varphi }{\sqrt {\det g}}$
$d\mu _{\widetilde {g}}=e^{n\varphi }\,d\mu _{g}$

2-فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و هشتم بهمن ۱۴۰۲ | 16:48

تانسورهای انحنا [ ویرایش ]

تعاریف [ ویرایش ]

(3،1) تانسور انحنای ریمان [ ویرایش ]

${R_{ijk}}^{l}={\frac {\partial \Gamma _{ik}^{l}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial \Gamma _{jk}^{l}}{\partial x^{i}}}+{\big (}\Gamma _{ik}^{p}\Gamma _{jp}^{l}-\Gamma _{ jk}^{p}\Gamma _{ip}^{l}{\big )}$
$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w$

(3،1) تانسور انحنای ریمان [ ویرایش ]

${R_{jkl}^{i}}={\frac {\partial \Gamma _{lj}^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kj}^{i}}{\partial x^{l}}}+{\big (}\Gamma _{kp}^{i}\Gamma _{lj}^{p}-\Gamma _{ lp}^{i}\Gamma _{kj}^{p}{\big )}$

انحنای ریچی [ ویرایش ]

$R_{ik}={R_{ijk}}^{j}$
$\operatorname {Ric} (v,w)=\operatorname {tr} (u\mapsto R(u,v)w)$

انحنای اسکالر [ ویرایش ]

$R=g^{ik}R_{ik}$
$R=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric}$

تانسور ریچی بدون ردیابی [ ویرایش ]

$Q_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{n}}Rg_{ik}$
$Q(u,v)=\operatorname {Ric} (u,v)-{\frac {1}{n}}Rg(u,v)$

(4،0) تانسور انحنای ریمان [ ویرایش ]

$R_{ijkl}={R_{ijk}}^{p}g_{pl}$
$\operatorname {Rm} (u,v,w,x)=g{\big (}R(u,v)w,x{\big )}$

(4،0) تانسور ویل [ ویرایش ]

$W_{ijkl}=R_{ijkl}-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (}g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk }{\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q_{ik}g_{jl}-Q_{jk}g_{il}-Q_{il}g_{jk} +Q_{jl}g_{ik}{\big )}$
$W(u,v,w,x)=\operatorname {Rm} (u,v,w,x)-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (} g(u,w)g(v,x)-g(u,x)g(v,w){\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q( u,w)g(v,x)-Q(v,w)g(u,x)-Q(u,x)g(v,w)+Q(v,x)g(u,w){ \بزرگ )}$

تانسور انیشتین [ ویرایش ]

$G_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{2}}Rg_{ik}$
$G(u,v)=\operatorname {Ric} (u,v)-{\frac {1}{2}}Rg(u,v)$

اتحاد [ ویرایش ]

تقارن های اساسی [ ویرایش ]

${R_{ijk}}^{l}=-{R_{jik}}^{l}$
$R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}=R_{klij}$

تانسور ویل همان تقارن های اساسی تانسور ریمان را دارد، اما آن از تانسور ریچی صفر است:

$W_{ijkl}=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}$
$g^{il}W_{ijkl}=0$

تانسور ریچی، تانسور انیشتین و تانسور ریچی بدون ردیابی دو تانسور متقارن هستند:

$R_{jk}=R_{kj}$
$G_{jk}=G_{kj}$
$Q_{jk}=Q_{kj}$

اولین اتحاد بیانچی [ ویرایش ]

$R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$
$W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}=0$

اتحاد دوم بیانچی [ ویرایش ]

$\nabla _{p}R_{ijkl}+\nabla _{i}R_{jpkl}+\nabla _{j}R_{pikl}=0$
$(\nabla _{u}\operatorname {Rm})(v,w,x,y)+(\nabla _{v}\operatorname {Rm})(w,u,x,y)+( \nabla _{w}\operatorname {Rm})(u,v,x,y)=0$

اتحاد دوم بیانچی قرارداد [ ویرایش ]

$\nabla _{j}R_{pk}-\nabla _{p}R_{jk}=-\nabla ^{l}R_{jpkl}$
$(\nabla _{u}\operatorname {Ric})(v,w)-(\nabla _{v}\operatorname {Ric})(u,w)=-\operatorname {tr} _{g }{\big (}(x,y)\mapsto (\nabla _{x}\operatorname {Rm} )(u,v,w,y){\big )}$

اتحاد دوم بیانچی دو بار قرارداد [ ویرایش ]

$g^{pq}\nabla _{p}R_{qk}={\frac {1}{2}}\nabla _{k}R$
$\operatorname {div} _{g}\operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR$

هم ارز:

$g^{pq}\nabla _{p}G_{qk}=0$
$\operatorname {div} _{g}G=0$

اتحاد ریچی [ ویرایش ]

اگر $X$ پس یک فیلد برداری است

$\nabla _{i}\nabla _{j}X^{k}-\nabla _{j}\nabla _{i}X^{k}=-{R_{ijp}}^{k} X^{p},$

که فقط تعریف تانسور ریمان است. اگر $\omega$ پس یک شکل است

$\nabla _{i}\nabla _{j}\omega _{k}-\nabla _{j}\nabla _{i}\omega _{k}={R_{ijk}}^{p }\omega _{p}.$

به طور کلی، اگر $T$ یک میدان تانسوری (0,k) است

$\nabla _{i}\nabla _{j}T_{l_{1}\cdots l_{k}}-\nabla _{j}\nabla _{i}T_{l_{1}\cdots l_ {k}}={R_{ijl_{1}}}^{p}T_{pl_{2}\cdots l_{k}}+\cdots +{R_{ijl_{k}}}^{p}T_{ l_{1}\cdots l_{k-1}p}.$

اظهارات [ ویرایش ]

یک نتیجه کلاسیک این را می گوید $W=0$ اگر و تنها اگر $(M,g)$ به صورت محلی به صورت همسان مسطح است، یعنی اگر و فقط اگرم $M$ را می توان با نمودارهای مختصات صاف که تانسور متریک در آن شکل است پوشش داد $g_{ij}=e^{\varphi }\delta _{ij}$ برای برخی از عملکرد $\varphi$ روی نمودار

گرادیان، واگرایی، عملگر لاپلاس-بلترامی [ ویرایش ]

گرادیان یک تابع $\phi$ با بالا بردن شاخص دیفرانسیل به دست می آید $\partial _{i}\phi dx^{i}$ ، که اجزای آن توسط:

$\nabla ^{i}\phi =\phi ^{;i}=g^{ik}\phi _{;k}=g^{ik}\phi _{,k}=g^{ik }\partial _{k}\phi =g^{ik}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{k}}}$

واگرایی یک میدان برداری با مولفه هامتر $V^{m}$ است

$\nabla _{m}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{m}}}+V^{k}{\frac {\partial \ log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (V^{m} {\sqrt {|g|}})}{\ x^{m}}}.$

عملگر لاپلاس -بلترامی که بر روی یک تابع عمل می کند $f$ با واگرایی گرادیان به دست می آید:

${\begin{aligned}\Delta f&=\nabla _{i}\nabla ^{i}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial } {\ x^{j}}}\left(g^{jk}{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)\\ &=g^{jk}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g^{jk}}{ \جزئی x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}+{\frac {1}{2}}g^{jk}g^{il}{\ frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}=g^{jk}{\frac {\partial ^ {2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}-g^{jk}\Gamma ^{l}{}_{jk}{\frac {\partial f}{\ x جزئی^{l}}}\end{تراز شده}}$

واگرایی یک میدان تانسوری ضد متقارن از نوع $(2,0)$ را ساده می کند

$\nabla _{k}A^{ik}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (A^{ik}{\sqrt {|g| }})}{\ x^{k}}}.$

هسین یک نقشه $\phi :M\rightarrow N$ از رابطه زیر بدست می آید

$\left(\nabla \left(d\phi \right)\right)_{ij}^{\gamma }={\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\ x^{i}\x جزئی^{j}}}-^{M}\Gamma ^{k}{}_{ij}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x ^{k}}}+^{N}\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}} }{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}.$

1-فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و هشتم بهمن ۱۴۰۲ | 16:46

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این فهرستی از فرمول هایی است که در هندسه ریمانی با آن مواجه می شویم . در سراسر این مقاله از نماد انیشتین استفاده شده است. این مقاله از کنوانسیون علامت تحلیلگر برای لاپلاسی ها استفاده می کند، مگر در مواردی که به طور دیگری ذکر شده باشد.

نمادهای کریستوفل، مشتق کوواریانت [ ویرایش ]

در یک نمودار مختصات صاف ، نمادهای کریستوفل از نوع اول با استفاده از

$\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\ جزئی }{\partial x^{i}}}g_{kj}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2 }}\left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,,$

و نمادهای کریستوفل از نوع دوم توسط

${\begin{aligned}\Gamma ^{m}{}_{ij}&=g^{mk}\Gamma _{kij}\\&={\frac {1}{2}}\, g^{mk}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}g_{kj }-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2}}\,g^{mk}\left(g_{ki ,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,.\end{تراز شده}}$

اینجا $g^{ij}$ ماتریس معکوس تانسور متریک است $g_{ij}$ . به عبارت دیگر،

$\delta ^{i}{}_{j}=g^{ik}g_{kj}$

و بنابراین

$n=\delta ^{i}{}_{i}=g^{i}{}_{i}=g^{ij}g_{ij}$

ابعاد منیفولد است .

نمادهای کریستوفل روابط تقارن را برآورده می کنند

$\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}$ یا به ترتیب $\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}$ ،

که دومی معادل بدون پیچش اتصال لوی-سیویتا است .

روابط قراردادی در نمادهای کریستوفل توسط

$\Gamma ^{i}{}_{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^{k} }}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}} {\ بخشی x^{k}}}$

$g^{k\ell }\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {-1}{\sqrt {|g|}}}\;{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}$

کجا | g | قدر مطلق دترمینان تانسور متریک استک $g_{ik}$ . اینها هنگام برخورد با واگرایی و لاپلاسین مفید هستند (به زیر مراجعه کنید).

مشتق کوواریانت یک میدان برداری با مولفه ها $v^{i}$ از رابطه زیر بدست می آید:

$v^{i}{}_{;j}=(\nabla _{j}v)^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j} }}+\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{k}$

و به طور مشابه مشتق کوواریانت $(0,1)$ - میدان تانسور با اجزا $v_{i}$ از رابطه زیر بدست می آید:

$v_{i;j}=(\nabla _{j}v)_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma ^{ k}{}_{ij}v_{k}$

برای یک $(2,0)$ - میدان تانسور با اجزا $v^{ij}$ این می شود

$v^{ij}{}_{;k}=\nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}} +\Gamma ^{i}{}_{k\ell }v^{\ell j}+\Gamma ^{j}{}_{k\ell }v^{i\ell }$

و به همین ترتیب برای تانسورهایی با شاخص های بیشتر.

مشتق کوواریانت یک تابع (اسکالر) $\phi$ فقط دیفرانسیل معمولی آن است:

$\nabla _{i}\phi =\phi _{;i}=\phi _{,i}={\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}$

از آنجا که اتصال لوی-سیویتا با متریک سازگار است، مشتقات کوواریانت متریک ها ناپدید می شوند.

$(\nabla _{k}g)_{ij}=0,\quad (\nabla _{k}g)^{ij}=0$

و همچنین مشتقات کوواریانت دترمینان متریک (و عنصر حجم)

$\nabla _{k}{\sqrt {|g|}}=0$

ژئودزیک $X(t)$ با سرعت اولیه از مبدا شروع می شود $v^{i}$ دارای بسط تیلور در نمودار:

$X(t)^{i}=tv^{i}-{\frac {t^{2}}{2}}\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{j}v ^{k}+O(t^{3})$

5-مشتق کوواریانس

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۲ | 2:33

مشتق کوواریانت بر اساس نوع میدان [ ویرایش ]

برای یک میدان اسکالر $\phi \,$ ، تمایز کوواریانس صرفاً تمایز جزئی است:

$\phi _{;a}\equiv \partial _{a}\phi$

برای یک میدان برداری متناقضآ $\lambda ^{a}$ ، ما داریم:

${\lambda ^{a}}_{;b}\equiv \partial _{b}\lambda ^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\lambda ^{c}$

برای یک میدان برداری کوواریانت $\lambda _{a}$ ، ما داریم:

$\lambda _{a;c}\equiv \partial _{c}\lambda _{a}-{\Gamma ^{b}}_{ca}\lambda _{b}$

برای یک میدان تانسوری نوع (2,0). $\tau ^{ab}$ ، ما داریم:

${\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \partial _{c}\tau ^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{cd}\tau ^{db}+ {\Gamma ^{b}}_{cd}\tau ^{ad}$

برای یک میدان تانسوری نوع (0،2). $\tau _{ab}$ ، ما داریم:

$\tau _{ab;c}\equiv \partial _{c}\tau _{ab}-{\Gamma ^{d}}_{ca}\tau _{db}-{\Gamma ^{ d}}_{cb}\tau _{ad}$

برای یک میدان تانسوری نوع (1،1). ${\tau ^{a}}_{b}$ ، ما داریم:

${\tau ^{a}}_{b;c}\equiv \partial _{c}{\tau ^{a}}_{b}+{\Gamma ^{a}}_{cd} {\tau ^{d}}_{b}-{\Gamma ^{d}}_{cb}{\tau ^{a}}_{d}$

منظور از نماد بالا به این معناست

${\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \left(\nabla _{\mathbf {e} _{c}}\tau \right)^{ab}$

خواص [ ویرایش ]

به طور کلی، مشتقات کوواریانس جابجایی ندارند. به عنوان مثال، مشتقات کوواریانس میدان برداری $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ . تانسور ریمان ${R^{d}}_{abc}$ به گونه ای تعریف شده است که:

$\lambda _{a;bc}-\lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}\lambda _{d}$

یا به طور معادل

${\lambda ^{a}}_{;bc}-{\lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}\lambda ^{d}$

مشتق کوواریانت یک میدان تانسور (2,0) انجام می دهد:

${\tau ^{ab}}_{;cd}-{\tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}\tau ^{eb}- {R^{b}}_{ecd}\tau ^{ae}$

مورد دوم را می توان با گرفتن (بدون از دست دادن کلیت) نشان داد $\tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}$ .

مشتق در امتداد منحنی [ ویرایش ]

از آنجایی که مشتق کوواریانت است $\nabla _{X}T$ یک میدان تانسوریتی $T$ در یک نقطه $p$ فقط به مقدار میدان برداری بستگی دارد $X$ درپ $p$ می توان مشتق کوواریانت را در امتداد یک منحنی صاف تعریف کرد $\gamma (t)$ در یک منیفولد:

$D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.$ توجه داشته باشید که میدان تانسورتی $T$ فقط باید روی منحنی تعریف شود $\gamma (t)$ تا این تعریف معنا پیدا کند.

به خصوص، ${\dot {\gamma }}(t)$ یک میدان برداری در امتداد منحنی است $\gamma$ خود اگر $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ ناپدید می شود سپس منحنی را ژئودزیک مشتق کوواریانت می نامند. اگر مشتق کوواریانت، اتصال لوی-سیویتا یک متریک مثبت-معین باشد ، ژئودزیک‌های اتصال دقیقاً ژئودزیک‌های متریک هستند که با طول قوس پارامتری می‌شوند .

مشتق در امتداد یک منحنی نیز برای تعریف حمل و نقل موازی در طول منحنی استفاده می شود.

گاهی اوقات مشتق کوواریانت در امتداد یک منحنی را مشتق مطلق یا ذاتی می نامند .

رابطه با مشتق لی[ ویرایش ]

یک مشتق کوواریانت یک ساختار هندسی اضافی را روی یک منیفولد معرفی می‌کند که امکان مقایسه بردارها در فضاهای مماس همسایه را فراهم می‌کند: هیچ روش متعارفی برای مقایسه بردارها از فضاهای مماس مختلف وجود ندارد زیرا سیستم مختصات متعارفی وجود ندارد.

با این حال، تعمیم دیگری از مشتقات جهت دار وجود دارد که متعارف است : مشتق لی ، که تغییر یک میدان برداری را در امتداد جریان یک میدان برداری دیگر ارزیابی می کند. بنابراین، باید هر دو میدان برداری را در یک محله باز دانست، نه فقط در یک نقطه. از سوی دیگر، مشتق کوواریانت تغییر خود را برای بردارها در یک جهت معین معرفی می‌کند، و تنها به جهت بردار در یک نقطه بستگی دارد، نه به یک میدان برداری در همسایگی باز یک نقطه. به عبارت دیگر، مشتق کوواریانت خطی است (بیش از C ∞ ( M ) ) در آرگومان جهت، در حالی که مشتق لی در هیچ یک از آرگومان ها خطی نیست.

توجه داشته باشید که مشتق کوواریانت ضد متقارن ∇ u v − ∇ v u و مشتق لی Lu v با پیچش اتصال متفاوت است ، به طوری که اگر اتصالی بدون پیچش باشد، ضد تقارن آن مشتق لی است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

اتصال آفین
نمادهای کریستوفل
اتصال (چارچوب جبری)
ارتباط (ریاضیات)
اتصال (بسته برداری)
فرم اتصال
مشتق کوواریانس بیرونی
مشتق کوواریانس سنج
مقدمه ای بر ریاضیات نسبیت عام
اتصال لوی-سیویتا
حمل و نقل موازی
حساب ریچی
مشتق تانسور (مکانیک پیوسته)
فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

4-مشتق کوواریانس

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۲ | 2:32

توضیحات مختصات [ ویرایش ]

این بخش از قرارداد جمع بندی اینشتین استفاده می کند .

توابع مختصات داده شده است

$x^{i}،\ i=0،1،2،\dots،$ هر بردار مماس را می توان با اجزای آن در پایه توصیف کرد

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.$

مشتق کوواریانت یک بردار پایه در امتداد یک بردار پایه دوباره یک بردار است و بنابراین می تواند به صورت یک ترکیب خطی بیان شود.Γکه $\Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}$ . برای تعیین مشتق کوواریانت کافی است مشتق کوواریانت هر میدان بردار پایه را مشخص کنید. $\mathbf {e} _{i}$ در امتداده $\mathbf {e} _{j}$ .

$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}،$

ضرایبΓمنک $\Gamma _{ij}^{k}$ اجزای اتصال با توجه به یک سیستم مختصات محلی هستند. در تئوری منیفولدهای ریمانی و شبه ریمانی، اجزای ارتباط لوی-سیویتا با توجه به سیستم مختصات محلی، نمادهای کریستوفل نامیده می شوند .

سپس با استفاده از قوانین موجود در تعریف، متوجه می شویم که برای میدانهای برداری عمومی $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ و $\mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}$ ما گرفتیم

${\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i} \mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&= v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{ k}+v^{j}{\جزئی u^{i} \over \جزئی x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{تراز شده}}$

بنابراین

$\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j} {\ partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.$

عبارت اول در این فرمول مسئول "پیچاندن" سیستم مختصات با توجه به مشتق کوواریانت و دومی برای تغییرات اجزای میدان برداری u است . به خصوص

$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}} {\ x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}$

در کلمات: مشتق کوواریانت مشتق معمول در امتداد مختصات با اصطلاحات تصحیح است که نشان می دهد که چگونه مختصات تغییر می کند.

برای بردارها به طور مشابه ما داریم

$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j} }}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i}$

جایی که ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ .

مشتق کوواریانت یک میدان تانسوری نوع ( r , s ) در امتداد $e_{c}$ با عبارت داده می شود:

${\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}= {}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\ \&+\،{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+ \cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}} \\&-\،{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s} }-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1 }d}.\end{تراز شده}}$

یا به عبارتی: مشتق جزئی تانسور را بگیرید و اضافه کنید: $+{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}$ برای هر شاخص بالایی $a_{i}$ ، و-Γ $-{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}$ برای هر شاخص

پایین تر $b_{i}$ .

اگر به جای یک تانسور، سعی کنید چگالی تانسور (با وزن 1+) را متمایز کنید، یک عبارت نیز اضافه کنید.

$-{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.$ اگر چگالی تانسور وزن W باشد ، آن جمله را در W ضرب کنید . مثلا،- ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ چگالی اسکالر (وزن +1) است، بنابراین به دست می آوریم:

$\left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g} }\،{\گاما ^{d}}_{dc}$

جایی که نقطه ویرگول ";" نشان دهنده تمایز کوواریانت و کاما "," نشان دهنده تمایز جزئی است. اتفاقاً این عبارت خاص برابر با صفر است، زیرا مشتق کوواریانت یک تابع صرفاً متریک همیشه صفر است.

نشانه گذاری [ ویرایش ]

در کتاب های درسی فیزیک، مشتق کوواریانت گاهی به سادگی بر حسب اجزای آن در این معادله بیان می شود.

اغلب از نمادی استفاده می شود که در آن مشتق کوواریانت با نقطه ویرگول داده می شود، در حالی که یک مشتق جزئی معمولی با کاما نشان داده می شود . در این نماد به صورت زیر می نویسیم:

$\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\گاما ^{i}}_{kj}$

در صورتی که دو یا چند شاخص بعد از نقطه ویرگول ظاهر شوند، همه آنها باید به عنوان مشتقات کوواریانت درک شوند:

$\nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v ^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}$

در برخی از متون قدیمی تر (به ویژه آدلر، بازین و شیفر، مقدمه ای بر نسبیت عام )، مشتق کوواریانت با یک لوله دوتایی و مشتق جزئی با یک لوله نشان داده می شود:

$\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^ {i}}_{|j}+v^{k}{\گاما ^{i}}_{kj}$

3-مشتق کوواریانس

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۲ | 2:31

تعریف رسمی [ ویرایش ]

یک مشتق کوواریانت یک اتصال (Koszul) بر روی بسته مماس و سایر بسته‌های تانسور است : میدانهای برداری را به روشی مشابه با دیفرانسیل معمول در توابع متمایز می‌کند. این تعریف به تمایز بر روی میدان‌های برداری دوگانه (یعنی میدان‌های بردار ) و میدان‌های تانسور دلخواه بسط می‌یابد ، به روشی منحصربه‌فرد که سازگاری با ضرب تانسور و عملیات ردیابی (انقباض تانسور) را تضمین می‌کند.

توابع [ ویرایش ]

با توجه به یک نکته $p\in M$ منیفولد $M$ ، یک تابع حقیقی $f:M\to \mathbb {R}$ روی منیفولد و بردار مماس $\mathbf {v} \in T_{p}M$ ، مشتق کوواریانت f در p در امتداد v اسکالر در p است که نشان داده می شود $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$ ، که نمایانگر بخش اصلی تغییر در مقدار f است که آرگومان f توسط بردار جابجایی بینهایت کوچک v تغییر می کند . (این دیفرانسیل f است که در برابر بردار v ارزیابی می شود .) به طور رسمی، یک منحنی قابل تمایز وجود دارد . $\phi :[-1,1]\to M$ به طوری که $\phi (0)=p$ و $\phi '(0)=\mathbf {v}$ ، و مشتق کوواریانت f در p با تعریف می شود

$\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}=\left(f\circ \phi \right)'\left(0\right)=\lim _{t \به 0}{\frac {f(\phi \left(t\right))-f(p)}{t}}.$

چه زمانی $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ یک میدان برداری استم $M$ ، مشتق کوواریانت: $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ تابعی است که با هر نقطه p در حوزه مشترک f و v اسکالر مرتبط است $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$ .

برای یک تابع اسکالر f و میدان برداری v ، مشتق کوواریانت $\nabla _{\mathbf {v} }f$ با مشتق لی منطبق است $L_{v}(f)$ و با مشتق بیرونی د $df(v)$ .

میدانهای برداری [ ویرایش ]

با توجه به یک نکتهپ $p$ منیفولدم $M$ ، یک میدان برداریتو:م→تیپم $\mathbf {u} :M\to T_{p}M$ در همسایگی p و بردار مماس تعریف شده است $\mathbf {v} \in T_{p}M$ ، مشتق کوواریانت u در p در امتداد v بردار مماس در p است که نشان داده می شود $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ ، به گونه ای که خواص زیر برقرار است (برای هر بردار مماس v ، x و y در p ، میدانهای برداری u و w که در همسایگی p تعریف شده اند ، مقادیر اسکالر g و h در p ، و تابع اسکالر f تعریف شده در همسایگی p ):

$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ خطی است $\mathbf {v}$ بنابراین

$\left(\nabla _{g\mathbf {x} +h\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}=g(p)\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)_{p}+h(p)\left(\nabla _{\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}$
$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ افزودنی در استتو $\mathbf {u}$ بنابراین:

$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]\right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}+\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} \right)_{p}$
$(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ از قانون ضرب تبعیت می کند ؛ یعنی کجا $\nabla _{\mathbf {v} }f$ در بالا تعریف شده است،

$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[f\mathbf {u} \right]\right)_{p}=f(p)\left(\nabla _{\mathbf { v} }\mathbf {u} )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}\mathbf {u} _{p}.$

توجه داشته باشید که $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ نه تنها به مقدار u در p ، بلکه به مقادیر u در همسایگی بینهایت کوچک p نیز بستگی دارد ، زیرا آخرین خاصیت، قانون ضرب است.

اگر u و v هر دو میدانهای برداری هستند که روی یک دامنه مشترک تعریف شده اند، پس $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ نشان دهنده میدان برداری است که مقدار آن در هر نقطه p از دامنه بردار مماس است $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ .

میدانهای بردار [ ویرایش ]

با توجه به میدانی از بردارها (یا یک شکل ) $\alpha$ در همسایگی p ، مشتق کوواریانت آن تعریف شده است $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha)_{p}$ به گونه ای تعریف شده است که عملیات حاصل را با انقباض تانسور و قانون ضرب سازگار کند. به این معنا که، $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha)_{p}$ به عنوان یک شکل یکتا در p تعریف می شود به طوری که هویت زیر برای همه میدانهای برداری u در همسایگی p برآورده می شود.

$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf { u} \right)_{p}\right].$

مشتق کوواریانت یک میدان هم بردار در امتداد یک میدان برداری v دوباره یک میدان هم بردار است.

میدانهای تانسور [ ویرایش ]

هنگامی که مشتق کوواریانت برای میدانهای بردارها و بردارها تعریف شد، می توان برای میدان های تانسور دلخواه با اعمال هویت های زیر برای هر جفت میدان تانسوری تعریف کرد. $\varphi$ و $\psi$ در همسایگی نقطه p :

$\nabla _{\mathbf {v} }\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi \right)_{ p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\otimes \left(\nabla _{\mathbf {v} }\psi \right)_{p}،$ و برای $\varphi$ و $\psi$ با همان ظرفیت

$\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )_{p}=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )_{p}+(\nabla _{\ mathbf {v} }\psi )_{p}.$ مشتق کوواریانس یک میدان تانسوری در امتداد یک میدان برداری v دوباره یک میدان تانسوری از همان نوع است.

به صراحت، فرض کنید T یک میدان تانسوری از نوع ( p , q ) باشد . T را یک نقشه چندخطی قابل تمایز از مقاطع صاف α 1 ، α 2 ، ...، α q از بسته همتازی T ∗ M و از بخش های X 1 ، X 2 ، ...، X p از دسته مماس TM در نظر بگیرید . , T ( α 1 , α 2 , ..., X 1 , X 2 , ...) به R نوشته شده است . مشتق کوواریانت T در امتداد Y با فرمول داده می شود

${\begin{aligned}(\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,X_{1},X_{2},\ldots \right)=&{}\nabla _{Y}\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \ راست)\راست)\\&{}-T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1}،\alpha _{2}،\ldots،X_{1}،X_{2}،\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \ \&{}-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\ چپ (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{تراز شده}}$

2-مشتق کوواریانس

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۲ | 2:22

تعریف غیررسمی با استفاده از تعبیه در فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

فرض کنید یک زیر مجموعه باز است $U$ از یکد $d$ منیفولد ریمانی -بعدی $M$ در فضای اقلیدسی تعبیه شده است $(\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ از طریق یک نگاشت دوبار متمایزپذیر پیوسته (C2 ) . ${\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ به طوری که فضای مماس در ${\vec {\Psi }}(p)$ توسط بردارها پوشانده شده است

$\left\{\left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \{1, \dots,d\}\right\}$ و ضرب اسکالر $\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle$ بر $\mathbb {R} ^{n}$ با متریک M سازگار است :

$g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\ x^{j}}}\right\rangle .$

(از آنجایی که متریک منیفولد همیشه منظم فرض می شود، شرط سازگاری دلالت بر استقلال خطی بردارهای مماس مشتق جزئی دارد.)

برای یک میدان برداری مماس، ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ ، یک نفر دارد

${\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(v^ {j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right)={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{ i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\ Psi }}}{\ x^{i}\,\partial x^{j}}}.$

جمله آخر مماس بر M نیست ، اما می تواند به صورت ترکیبی خطی از بردارهای پایه فضای مماس با استفاده از نمادهای کریستوفل به عنوان عوامل خطی به اضافه بردار متعامد بر فضای مماس بیان شود:

$v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=v^{ j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}}.$

در مورد اتصال لوی-سیویتا ، مشتق کوواریانت $\nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}$ ، همچنین نوشته شده است $\nabla _{i}{\vec {V}}$ ، به عنوان پیش بینی متعامد مشتق معمول بر فضای مماس تعریف می شود:

$\nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}} -{\vec {n}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.$

برای به دست آوردن رابطه بین نمادهای کریستوفل برای اتصال لوی-سیویتا و متریک، ابتدا باید توجه داشته باشیم که، زیرا ${\vec {n}}$ در معادله قبلی متعامد به فضای مماس است:

$\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}},{\frac { \partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\ vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}} }\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}،{\ frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\,g_{kl}.$

دوم، مشتق جزئی یک جزء از متریک است:

${\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}={\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\left\langle {\frac { \partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\ rangle =\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}},{\frac {\ جزئی {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{ a}}}،{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle$

بر مبنایی دلالت داردایکسمن،ایکس،ایکسک $x^{i},x^{j},x^{k}$ با استفاده از تقارن حاصل ضرب اسکالر و تعویض ترتیب تمایز جزئی:

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}\\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j }}}\\{\frac {\ partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix }}{\begin{pmatrix}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\ vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}\right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }} }{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\,\partial x^{i}}} \right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec { \Psi }}}{\ x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle \end{pmatrix}}$ اضافه کردن ردیف اول به دوم و کم کردن ردیف سوم:

${\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}, {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle$

و نمادهای کریستوفل را برای اتصال لوی-سیویتا بر حسب متریک به دست می‌دهد:

${\displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{ i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right )$

برای یک مثال بسیار ساده که ماهیت توضیحات بالا را نشان می دهد، یک دایره را روی یک صفحه کاغذ صاف بکشید. دور دایره با سرعت ثابت حرکت کنید. مشتق سرعت شما، بردار شتاب شما، همیشه به صورت شعاعی به سمت داخل اشاره می کند. این ورق کاغذ را در یک استوانه بغلتانید. اکنون مشتق (اقلیدسی) سرعت شما دارای مولفه ای است که بسته به اینکه نزدیک انقلاب هستید یا اعتدال، گاهی اوقات به سمت محور استوانه اشاره می کند. (در نقطه ای از دایره وقتی به موازات محور حرکت می کنید، شتاب به سمت داخل وجود ندارد. برعکس، در نقطه ای (1/4 دایره بعد) که سرعت در امتداد خم استوانه است، شتاب به سمت داخل حداکثر است. .) این جزء نرمال (اقلیدسی) است. جزء مشتق کوواریانت، جزء موازی با سطح استوانه است، و همان چیزی است که قبل از اینکه ورق را به شکل استوانه درآورید.

1-مشتق کوواریانس

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۲ | 1:58

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

برای مشتقات تانسور جهت دار با توجه به مکانیک پیوسته، مشتق تانسور (مکانیک پیوسته) را ببینید . برای مشتق کوواریانت مورد استفاده در نظریه های گیج، به مشتق کوواریانت سنج مراجعه کنید .

در ریاضیات ، مشتق کوواریانت راهی برای تعیین یک مشتق در امتداد بردارهای مماس یک منیفولد است . از طرف دیگر، مشتق کوواریانت راهی برای معرفی و کار با یک اتصال بر روی یک منیفولد با استفاده از یک عملگر دیفرانسیل است که با رویکرد ارائه شده توسط یک اتصال اصلی در بسته فریم در تضاد قرار می‌گیرد - اتصال افین را ببینید . در مورد خاص یک منیفولد که به صورت ایزومتریک در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعبیه شده است ، مشتق کوواریانت را می توان به عنوان پیش بینی متعامد مشتق جهت اقلیدسی بر روی فضای مماس منیفولد مشاهده کرد. در این مورد، مشتق اقلیدسی به دو بخش تقسیم می‌شود، جزء عادی بیرونی (وابسته به جاسازی) و جزء مشتق کوواریانس ذاتی.

این نام به دلیل اهمیت تغییرات مختصات در فیزیک است : مشتق کوواریانت به صورت کوواریانت تحت یک تبدیل مختصات کلی، یعنی به صورت خطی از طریق ماتریس ژاکوبین تبدیل تبدیل می شود. [1]

این مقاله مقدمه‌ای بر مشتق کوواریانت یک میدان برداری با توجه به یک میدان برداری، هم به زبانی بدون مختصات و هم با استفاده از یک سیستم مختصات محلی و نماد شاخص سنتی ارائه می‌کند. مشتق کوواریانت یک میدان تانسوری به عنوان بسط همان مفهوم ارائه شده است. مشتق کوواریانت به طور مستقیم به مفهوم تمایز مرتبط با یک اتصال در یک بسته بردار تعمیم می‌دهد که به عنوان اتصال کوزول نیز شناخته می‌شود .

تاریخچه [ ویرایش ]

از لحاظ تاریخی، در آغاز قرن بیستم، مشتق کوواریانت توسط گرگوریو ریچی-کورباسترو و تولیو لوی-سیویتا در نظریه هندسه ریمانی و شبه ریمانی معرفی شد . [2] ریچی و لوی-سیویتا (به دنبال ایده‌های الوین برونو کریستوفل ) مشاهده کردند که نمادهای کریستوفل که برای تعریف انحنا استفاده می‌شوند نیز می‌توانند مفهومی از تمایز ارائه دهند که مشتق جهتی کلاسیک میدان‌های برداری را در منیفولد تعمیم می‌دهد. [3] [4] این مشتق جدید - اتصال Levi-Civita - به این معنا که نیاز ریمان را برآورده می‌کند که اجسام در هندسه باید مستقل از توصیف آنها در یک سیستم مختصات خاص باشند .

به زودی توسط ریاضیدانان دیگر، برجسته در میان آنها هرمان ویل ، یان آرنولدوس شوتن ، و الی کارتان ، [5] اشاره شد که یک مشتق کوواریانت را می توان به طور انتزاعی بدون حضور متریک تعریف کرد . ویژگی مهم وابستگی خاصی به متریک نبود، بلکه این بود که نمادهای کریستوفل قانون تبدیل مرتبه دوم دقیق خاصی را برآورده می‌کردند. این قانون تبدیل می تواند به عنوان نقطه شروعی برای تعریف مشتق به روش کوواریانت عمل کند. بنابراین، تئوری تمایز کوواریانس از بستر کاملاً ریمانی منشعب شد تا طیف وسیع‌تری از هندسه‌های ممکن را شامل شود.

در دهه 1940، دست اندرکاران هندسه دیفرانسیل شروع به معرفی مفاهیم دیگری از تمایز کوواریانت در بسته های برداری عمومی کردند که بر خلاف دسته های کلاسیک مورد علاقه هندسه ها، بخشی از تحلیل تانسور منیفولد نبودند. به طور کلی، این مشتقات کوواریانت تعمیم یافته باید به طور موقت توسط برخی از نسخه های مفهوم اتصال مشخص می شدند. در سال 1950، ژان لوئیس کوزول این ایده های جدید تمایز کوواریانت را در یک بسته برداری با استفاده از آنچه که امروزه به عنوان اتصال کوزول یا اتصال روی یک بسته بردار شناخته می شود، متحد کرد. [6] کوزول با استفاده از ایده‌های هم‌شناسی جبر دروغ ، بسیاری از ویژگی‌های تحلیلی تمایز کوواریانت را با موفقیت به ویژگی‌های جبری تبدیل کرد. به طور خاص، اتصالات Koszul نیاز به دستکاری نامناسب نمادهای کریستوفل (و سایر اشیاء غیر کششی مشابه ) در هندسه دیفرانسیل را از بین برد. بنابراین آنها به سرعت مفهوم کلاسیک مشتق کوواریانت را در بسیاری از درمان های پس از سال 1950 جایگزین کردند.

انگیزه [ ویرایش ]

مشتق کوواریانت تعمیم مشتق جهتی از حساب برداری است . مانند مشتق جهت دار، مشتق کوواریانس یک قانون است، $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ ، که به عنوان ورودی خود می گیرد: (1) یک بردار، u که در نقطه P تعریف شده است ، و (2) یک میدان برداری v که در همسایگی P تعریف شده است . [7] خروجی بردار است $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)$ ، همچنین در نقطه P. تفاوت اصلی با مشتق جهتی معمول در این است $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ به معنای دقیق، باید مستقل از نحوه بیان آن در یک سیستم مختصات باشد .

یک بردار ممکن است به عنوان فهرستی از اعداد بر اساس مبنا توصیف شود ، اما به عنوان یک شی هندسی، بردار بدون توجه به نحوه توصیف، هویت خود را حفظ می کند. برای یک بردار هندسی که در مولفه ها با توجه به یک مبنا نوشته شده است، هنگامی که مبنا تغییر می کند، مولفه ها بر اساس تغییر فرمول مبنا تغییر می کنند، با مختصات که تحت یک تبدیل کوواریانس قرار می گیرند . مشتق کوواریانت برای تبدیل شدن، تحت تغییر مختصات، توسط یک تبدیل کوواریانت به همان روشی که یک مبنا انجام می دهد (از این رو نام آن) مورد نیاز است.

در مورد فضای اقلیدسی ، معمولاً مشتق جهت یک میدان برداری را بر حسب تفاوت بین دو بردار در دو نقطه مجاور تعریف می کنیم. در چنین سیستمی، یکی از بردارها را به مبدأ بردار دیگر ترجمه می‌کند ، آن را موازی نگه می‌دارد، سپس اختلاف آنها را در همان فضای برداری می‌گیرد. با یک سیستم مختصات دکارتی (متعارف ثابت ) "موازی نگه داشتن آن" به معنای ثابت نگه داشتن اجزا است. این مشتق جهت دار معمولی در فضای اقلیدسی اولین نمونه از مشتق کوواریانت است.

در مرحله بعد، باید تغییرات سیستم مختصات را در نظر گرفت. برای مثال، اگر صفحه اقلیدسی با مختصات قطبی توصیف شود، "موازی نگه داشتن آن" به معنای ثابت نگه داشتن اجزای قطبی تحت ترجمه نیست ، زیرا خود شبکه مختصات "چرخش" است. بنابراین، همان مشتق کوواریانت نوشته شده در مختصات قطبی حاوی عبارات اضافی است که نحوه چرخش خود شبکه مختصات یا نحوه انبساط، انقباض، پیچش، در هم تنیدگی و غیره را به طور کلی مختصات شبکه توصیف می کند.

مثال حرکت ذره ای در امتداد منحنی γ ( t ) در صفحه اقلیدسی را در نظر بگیرید. در مختصات قطبی، γ را می توان بر حسب مختصات شعاعی و زاویه ای آن با γ ( t ) = ( r ( t )، θ ( t )) نوشت . یک بردار در یک زمان خاص t [8] (به عنوان مثال، شتاب ثابت ذره) بر حسب $(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })$ ، جایی که $\mathbf {e} _{r}$ و $\mathbf {e} _{\theta }$ بردارهای مماس واحد برای مختصات قطبی هستند که به عنوان پایه ای برای تجزیه یک بردار از نظر مولفه های شعاعی و مماسی عمل می کنند . در زمان کمی بعد، پایه جدید در مختصات قطبی نسبت به مجموعه اول کمی چرخیده به نظر می رسد. مشتق کوواریانت بردارهای پایه ( نمادهای کریستوفل ) برای بیان این تغییر خدمت می کند.

در یک فضای منحنی، مانند سطح زمین (که به عنوان یک کره در نظر گرفته می شود)، انتقال بردارهای مماس بین نقاط مختلف به خوبی تعریف نشده است و آنالوگ آن، انتقال موازی ، به مسیری که بردار در طول آن ترجمه می شود، بستگی دارد. بردار روی کره ای در خط استوا در نقطه Q به سمت شمال است. فرض کنید بردار را (با موازی نگه داشتن آن) ابتدا در امتداد استوا به نقطه P منتقل می کنیم، سپس آن را در امتداد یک نصف النهار به قطب N می کشیم و در نهایت آن را در امتداد نصف النهار دیگری به Q منتقل می کنیم. سپس متوجه می شویم که بردار انتقال موازی در طول یک مدار بسته به عنوان همان بردار بر نمی گردد. در عوض، جهت دیگری دارد. این اتفاق در فضای اقلیدسی نمی افتد و به دلیل انحنای سطح کره زمین ایجاد می شود. اگر بردار را در امتداد یک سطح بسته بینهایت کوچک متعاقباً در امتداد دو جهت بکشیم و سپس به عقب برگردیم، همین اثر رخ می دهد. این تغییر بی نهایت کوچک بردار معیاری برای انحنا است و می تواند بر اساس مشتق کوواریانت تعریف شود.

اظهارات [ ویرایش ]

تعریف مشتق کوواریانس از متریک در فضا استفاده نمی کند. با این حال، برای هر متریک یک مشتق کوواریانت بدون پیچش منحصر به فرد به نام اتصال Levi-Civita وجود دارد به طوری که مشتق کوواریانت متریک صفر است.
خواص یک مشتق دلالت بر آن دارد $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ به مقادیر u در یک همسایگی دلخواه کوچک از یک نقطه p بستگی دارد ، به همان صورتی که مثلاً مشتق تابع اسکالر f در امتداد یک منحنی در یک نقطه معین p به مقادیر f در یک همسایگی خودسرانه کوچک p بستگی دارد .
اطلاعات مربوط به همسایگی یک نقطه p در مشتق کوواریانت را می توان برای تعریف انتقال موازی یک بردار استفاده کرد. همچنین انحنا , پیچش , و ژئودزیک را می توان تنها بر حسب مشتق کوواریانس یا سایر تغییرات مرتبط در ایده اتصال خطی تعریف کرد .

نسبیت خاص: تبدیل های برداری برای تقویت در هر جهت

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۲ | 2:40

تبدیل های برداری برای تقویت در هر جهت

تا اینجا اینها فقط تجزیه موازی و عمود بردارها هستند. تبدیلات روی بردارهای کامل را می توان از آنها به صورت زیر ساخت (در اینجا L یک شبه بردار برای مشخص بودن و سازگاری با جبر برداری است).

یک بردار واحد در جهت v معرفی کنید که با n = v / v داده می شود. مولفه های موازی با طرح برداری برداری L یا N به n داده می شوند

$\mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=( \mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

در حالی که جزء عمود بردار رد L یا N از n

$\mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _ {\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

و تبدل ها آنها هستند

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\ گاما (\mathbf {v})-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\گاما (\mathbf {v} )\ left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v})-1 )(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{تراز شده}}$

یا بازگرداندن v = v n ،

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} {v^{2}}}\\\mathbf {N} ' &=\گاما (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \راست)- (\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} {v^{2}}}\\\end{ هم راستا}}$

اینها بسیار شبیه تبدیلات لورنتز میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B هستند، به الکترومغناطیس کلاسیک و نسبیت خاص مراجعه کنید.

روش دیگر، با شروع از تبدیل بردار لورنتس زمان، مکان، انرژی و تکانه، برای افزایش با سرعت v ،

${\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2} }}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\ mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\گاما (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p } +{\frac {\gamma (\mathbf {v})-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\ mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf { v} \cdot \mathbf {p} \راست)\,,\\\end{تراز شده}}$

درج اینها در تعاریف

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'} {c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{تراز شده}}$

دگرگونی ها را می دهد.

مشتق تبدیل های برداری به طور مستقیم

تکانه زاویه ای مداری در هر فریم می باشد

$\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ بنابراین حاصل ضرب متقاطع تبدیل ها را در نظر بگیرید

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n } -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n})\mathbf {n} - \gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\گاما -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n})[ \mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\ گاما {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\گاما -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\ تلویزیون گاما\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\گاما -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv \mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\گاما -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\گاما {\ frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^ {2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1 {v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r } \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\ mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{تراز شده}}$

استفاده از قانون ضرب سه گانه

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf { c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{تراز شده}}$

می دهد

${\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p } -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \ cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{تراز شده}}$

و همراه با تعریف N داریم

$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\گاما \mathbf {N} \right]$

بازگرداندن بردار واحد n ،

$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \راست]$

از آنجایی که در تبدیل یک ضرب ضربدری در سمت چپ با n وجود دارد،

$\mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$

سپس

$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\گاما -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+ \بتا \گاما c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\گاما (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N})-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$

نسبیت خاص: تبدیل ها برای افزایش در جهت x

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۲ | 2:25

هماهنگ کردن تبدیل ها برای افزایش در جهت x

یک قاب مختصات 'Fرا در نظر بگیرید که با سرعت v = ( v , 0, 0) نسبت به فریم دیگر F در امتداد جهت محورهای منطبق بر xx' حرکت می کند. مبدأ دو قاب مختصات در زمان‌های t = t ′ = 0 منطبق است . جرم-انرژی E = mc ^2 و مولفه های تکانه

p = ( p x , p y , p z ) یک جسم و همچنین مختصات موقعیت x = ( x , y , z )) و بعد از زمان t در فریم' F به

E ′ = m ′ c ^2 , p ′ = ( p x , p y , p z ′ ) , x ′ = ( x , y , z ) و' t در' F با توجه به تبدیل لورنتس

${\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\ گاما (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\گاما (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\ چپ (p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z '&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{تراز شده}}$

فاکتور لورنتس در اینجا برای سرعت v ، سرعت نسبی بین فریم ها اعمال می شود. این لزوماً با سرعت u یک جسم برابر نیست.

برای تکانه زاویه ای مداری L به عنوان شبه بردار، داریم

${\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x }'-x'p_{z}'=\گاما (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x} '=\گاما (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{تراز شده}}$

استخراج

برای مولفه x

$L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}$

جزء y

${\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac { vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE} {c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left( p_{z}tz{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{تراز شده }}$

و مولفه z

${\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y} -y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{ x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left( y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{ هم راستا}}$

در عبارت دوم L y ' و Lz ' ، مولفه های y و z حاصلضرب خارجیv × N را می توان با تشخیص جایگشت های حلقوی vx = v و v y = v z = 0 با مولفه های N استنباط کرد . ،

${\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \ راست)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\چپ(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \راست) _{z}\\\end{تراز شده}}$

حال، L x موازی با سرعت نسبی v است و سایر اجزای L y و L z بر v عمود هستند . مطابقت موازی-عمود را می توان با تقسیم کل شبه بردار تکانه 3 زاویه ای به اجزای موازی (∥) و عمود (⊥) بر v در هر فریم تسهیل کرد.

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\ موازی }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.$

سپس معادلات جزء را می توان در معادلات شبه بردار جمع آوری کرد

${\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma ( \mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \راست)\\\end{تراز شده}}$

بنابراین، اجزای تکانه زاویه ای در جهت حرکت تغییر نمی کنند، در حالی که مولفه های عمود بر آن تغییر می کنند. بر خلاف دگرگونی‌های مکان و زمان، زمان و مختصات مکانی در جهت حرکت تغییر می‌کنند، در حالی که آن‌های عمودی تغییر نمی‌کنند.

این تبدیل‌ها برای همه v درست است ، نه فقط برای حرکت در امتداد محورهای xx' .

با در نظر گرفتن L به عنوان یک تانسور، نتیجه مشابهی به دست می آید

$\mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v})\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \درست)$

جایی که

${\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \راست)_{zx} \\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\چپ(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \راست)_{xy}\\\end{تراز شده} }$

گشتاور جرمی پویا در امتداد جهت x است

${\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y }'t'=\گاما (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z '-p_{z}'t'=\گاما (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\راست)\\\end{تراز شده} }$

مرکز جرم موقعیت و سرعت و جرم کل یک سیستم

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۲ | 2:9

مرکز جرم سیستم موقعیت و سرعت و جرم کل عبارتند:

${\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\ مجموع _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u } _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}،\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{تراز شده }}$

تکانه زاویه ای و نسبیت خاص

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 18:6

نسبیت خاص

هماهنگ کردن تبدیل ها برای افزایش در جهت x

یک قاب مختصات F' را در نظر بگیرید که با سرعت v = ( v , 0, 0) نسبت به فریم دیگر F در امتداد جهت محورهای منطبق بر xx' حرکت می کند. مبدأ دو قاب مختصات در زمان‌های t = t ′ = 0 منطبق است . جرم-انرژی E = mc ^2 و مولفه های تکانه

p = ( p x , p y , p z ) یک جسم و همچنین مختصات موقعیت x = ( x , y , z )) و زمان t در فریم F به

E ′ = m ′ c ^2 , p ′ = ( p x , p y , p z ′ ) , x ′ = ( x , y , z ) و" t در" F با توجه به تبدیل لورنتس

فاکتور لورنتس در اینجا برای سرعت v ، سرعت نسبی بین فریم ها اعمال می شود. این لزوماً با سرعت u یک جسم برابر نیست.

برای تکانه 3 زاویه ای مداری L به عنوان شبه بردار، داریم

${\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x }'-x'p_{z}'=\گاما (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x} '=\گاما (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{تراز شده}}$

استخراج

برای مولفه x

$L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}$

جزء y

و مولفه z

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\ موازی }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.$

سپس معادلات جزء را می توان در معادلات شبه بردار جمع آوری کرد

این تبدیل‌ها برای همه v درست است ، نه فقط برای حرکت در امتداد محورهای xx' .

با در نظر گرفتن L به عنوان یک تانسور، نتیجه مشابهی به دست می آید

$\mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v})\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \درست)$

جایی که

${\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \راست)_{zx} \\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\چپ(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \راست)_{xy}\\\end{تراز شده} }$

تقویت گشتاور جرمی پویا در امتداد جهت x است

ممان جرم پویا (نسبیتی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:45

در مکانیک کلاسیک، کمیت سه بعدی برای ذره ای به جرم m که با سرعت u حرکت می کند [2] [3]

$\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p}$

دارای ابعاد گشتاور جرمی - طول ضرب در جرم است. برابر است با جرم ذره یا سیستم ذرات ضرب در فاصله مبدأ فضا تا مرکز جرم (COM) در مبدا زمانی (t=0)، همانطور که در کادر آزمایشگاهی اندازه‌گیری می‌شود . هیچ نماد جهانی و حتی یک نام جهانی برای این کمیت وجود ندارد. نویسندگان مختلف ممکن است آن را با نمادهای دیگری در صورت وجود نشان دهند (مثلا μ )، ممکن است نام های دیگری را تعیین کنند، و ممکن است N را منفی آنچه در اینجا استفاده می شود، تعریف کنند. شکل فوق این مزیت را دارد که شبیه تبدیل آشنای گالیله است برای موقعیت، که به نوبه خود تبدیل تقویت غیر نسبیتی بین فریم های اینرسی است.

این بردار همچنین افزودنی است: برای سیستمی از ذرات، مجموع بردار حاصل است

$\sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{ n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _ {n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)$

که در آن مرکز جرم سیستم موقعیت و سرعت و جرم کل عبارتند:

برای یک سیستم ایزوله، N در زمان حفظ می شود، که با مشتق نسبت به زمان قابل مشاهده است. تکانه زاویه ای L یک بردار کاذب است، اما N یک بردار «معمولی» (قطبی) است، و بنابراین تحت وارونگی ثابت است.

N tot حاصل برای یک سیستم چندذره ای دارای تجسم فیزیکی است که، حرکت پیچیده همه ذرات هرچه باشد، به گونه ای حرکت می کنند که COM سیستم در یک خط مستقیم حرکت می کند. این لزوماً به این معنا نیست که همه ذرات از COM پیروی می کنند، و نه اینکه همه ذرات تقریباً همزمان در یک جهت حرکت می کنند، فقط حرکت همه ذرات در ارتباط با مرکز جرم محدود می شود.

در نسبیت خاص، اگر ذره با سرعت u نسبت به قاب آزمایشگاهی حرکت کند، پس

${\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0 }\mathbf {u} \end{تراز شده}}$

جایی که

$\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}} }}}$

عامل لورنتس و m جرم (یعنی جرم باقیمانده) ذره است. گشتاور جرمی نسبیتی متناظر بر حسب m , u , p , E در همان قاب آزمایشگاهی است

$\mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u})(\mathbf { x} -\mathbf {u} t).$

اجزای دکارتی هستند

${\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u) (x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\گاما ( u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\ گاما (u)(z-u_{z}t)\end{تراز شده}}$

تکانه زاویه ای نسبیتی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:35

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

بخشی از یک سریال در

فضا-زمان

نسبیت خاص
نسبیت عام

نوشتار اصلی: تکانه زاویه ای

در فیزیک ، تکانه زاویه ای نسبیتی به فرمالیسم های ریاضی و مفاهیم فیزیکی اشاره دارد که تکانه زاویه ای را در نسبیت خاص (SR) و نسبیت عام (GR) تعریف می کنند. کمیت نسبیتی به طور ماهرانه ای با کمیت سه بعدی در مکانیک کلاسیک متفاوت است .

تکانه زاویه ای یک کمیت دینامیکی مهم است که از موقعیت و تکانه به دست می آید. این معیار حرکت چرخشی یک جسم و مقاومت آن در برابر تغییرات چرخش آن است. همچنین، به همان ترتیبی که بقای تکانه با تقارن انتقالی مطابقت دارد، بقای تکانه زاویه ای با تقارن چرخشی مطابقت دارد - ارتباط بین تقارن ها و قوانین بقا توسط قضیه نوتر برقرار می شود . در حالی که این مفاهیم در ابتدا در مکانیک کلاسیک کشف شدند ، در نسبیت خاص و عام نیز صادق و قابل توجه هستند. از نظر جبر انتزاعی، تغییر ناپذیری تکانه زاویه ای، چهار تکانه و سایر تقارن ها در فضازمان توسط گروه لورنتس توصیف شده است.یا به طور کلی گروه پوانکاره .

کمیت های فیزیکی که در فیزیک کلاسیک جدا باقی می مانند، به طور طبیعی در SR و GR با اجرای فرضیه های نسبیت ترکیب می شوند. مهم‌تر از همه، مختصات مکان و زمان در حالت چهار و انرژی و تکانه در چهار تکانه ترکیب می‌شوند . اجزای این چهار بردار به چارچوب مرجع استفاده شده بستگی دارد و تحت تبدیل لورنتس به سایر فریم های اینرسی یا فریم های شتاب دار تغییر می کند .

تکانه زاویه ای نسبیتی کمتر آشکار است. تعریف کلاسیک تکانه زاویه ای حاصل ضرب خارجی موقعیت x با تکانه p برای به دست آوردن یک بردار کاذب x × p یا به عنوان ضرب خارجی برای به دست آوردن یک تانسور ضد متقارن مرتبه دوم x ∧ p است. این با چه چیزی ترکیب می شود؟ کمیت برداری دیگری وجود دارد که اغلب مورد بحث قرار نمی گیرد - آن لحظه متغیر بردار جرم بردار قطبی ( نه ممان اینرسی ) مربوط به تقویت مرکز جرم است.از سیستم، و این با شبه بردار تکانه زاویه ای کلاسیک ترکیب می شود تا یک تانسور ضد متقارن مرتبه دوم را تشکیل دهد، دقیقاً به همان روشی که بردار قطبی میدان الکتریکی با شبه بردار میدان مغناطیسی ترکیب می شود تا تانسور ضد متقارن میدان الکترومغناطیسی را تشکیل دهد. برای توزیع‌های دوار جرم-انرژی (مانند ژیروسکوپ ، سیارات ، ستاره‌ها و سیاه‌چاله‌ها ) به جای ذرات نقطه‌مانند، تانسور تکانه زاویه‌ای بر حسب تانسور تنش-انرژی جسم در حال چرخش بیان می‌شود.

تنها در نسبیت خاص، در قاب استراحت یک جسم در حال چرخش، یک تکانه زاویه‌ای ذاتی مشابه با «اسپین» در مکانیک کوانتومی و مکانیک کوانتومی نسبیتی وجود دارد ، اگرچه برای یک جسم گسترده به جای یک ذره نقطه‌ای. در مکانیک کوانتومی نسبیتی، ذرات بنیادی دارای اسپین هستند و این یک کمک اضافی به عملگر تکانه زاویه‌ای مداری است که عملگر تانسور تکانه زاویه‌ای کل را به دست می‌دهد. در هر صورت، افزودن ذاتی «اسپین» به تکانه زاویه‌ای مداری یک جسم را می‌توان بر حسب شبه بردار پائولی-لوبانسکی بیان کرد.

تاریخچه تکانه زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:28

تاریخچه

اسحاق نیوتن در پرینسیپیا در مثالهای خود از قانون اول حرکت به تکانه زاویه ای اشاره کرد .

قسمت بالایی که به دلیل انسجام آنها دائماً از حرکات مستطیلی جدا می شود، چرخش خود را متوقف نمی کند، مگر اینکه توسط هوا عقب افتاده باشد. اجسام بزرگتر سیارات و دنباله دارها که در فضاهای آزاد بیشتر با مقاومت کمتری روبرو می شوند، حرکات خود را هم به صورت پیشرونده و هم دایره ای برای مدت طولانی تری حفظ می کنند. [44]

او بیشتر به بررسی تکانه زاویه ای به طور مستقیم در Principia پرداخت و گفت:

از این نوع بازتاب ها نیز گاهی اوقات حرکات دایره ای اجسام در حول مرکز خود به وجود می آید. اما اینها مواردی است که در ادامه به آنها توجه نمی کنم. و نشان دادن هر چیز خاصی که به این موضوع مربوط می شود بسیار خسته کننده خواهد بود. [45]

با این حال، اثبات هندسی او از قانون مساحت ها نمونه برجسته ای از نبوغ نیوتن است و به طور غیرمستقیم پایستگی تکانه زاویه ای را در مورد نیروی مرکزی ثابت می کند .

قانون مناطق [ ویرایش ]

مقاله‌های اصلی: مسئله نیروی مرکزی کلاسیک و سرعت منطقه‌ای

اشتقاق نیوتن [ ویرایش ]

اشتقاق نیوتن از قانون مساحت با استفاده از ابزارهای هندسی

همانطور که یک سیاره به دور خورشید می چرخد ، خط بین خورشید و سیاره در فواصل زمانی مساوی مناطق مساوی را رد می کند. این موضوع از زمانی که کپلر قانون دوم خود را در مورد حرکت سیارات توضیح داد شناخته شده بود . نیوتن یک اثبات هندسی منحصر به فرد به دست آورد و در ادامه نشان داد که نیروی جاذبه گرانش خورشید علت همه قوانین کپلر است.

در اولین بازه زمانی، یک جسم از نقطه A به نقطه B در حرکت است . بدون مزاحمت، در بازه دوم به نقطه c ادامه خواهد داد . هنگامی که جسم به B می رسد ، یک ضربه به سمت نقطه S دریافت می کند . ضربه یک سرعت اضافه کوچک به سمت S به آن می دهد، به طوری که اگر این تنها سرعت آن بود، در بازه دوم از B به V حرکت می کرد . با قوانین ترکیب سرعت ، این دو سرعت جمع می شوند و نقطه C با ساخت متوازی الاضلاع BcCV پیدا می شود.. بنابراین مسیر جسم توسط ضربه منحرف می شود به طوری که در انتهای بازه دوم به نقطه C می رسد. از آنجایی که مثلث های SBc و SBC دارای پایه SB یکسان و ارتفاع Bc یا VC یکسان هستند ، مساحت یکسانی دارند. از نظر تقارن، مثلث SBc نیز مساحت مثلث SAB را دارد ، بنابراین جسم در زمان‌های مساوی ، مساحت‌های SAB و SBC را از بین برده است.

در نقطه C ، جسم یک تکانه دیگر به سمت S دریافت می کند ، و دوباره مسیر خود را در بازه سوم از d به D منحرف می کند . بنابراین تا E و فراتر از آن ادامه می‌یابد، مثلث‌های SAB ، SBc ، SBC ، SCd ، SCD ، SDe ، SDE همگی مساحت یکسانی دارند. با اجازه دادن به فواصل زمانی کوچکتر، مسیر ABCDE به طور نامحدود به یک منحنی پیوسته نزدیک می شود.

توجه داشته باشید که چون این اشتقاق هندسی است و هیچ نیروی خاصی اعمال نمی شود، قانون کلی تری نسبت به قانون دوم حرکت سیاره کپلر ثابت می کند. این نشان می دهد که قانون مساحت ها برای هر نیروی مرکزی، جاذبه یا دافعه، پیوسته یا ناپیوسته یا صفر اعمال می شود.

پایستگی تکانه زاویه ای در قانون مساحت ها [ ویرایش ]

تناسب تکانه زاویه ای با ناحیه ای که توسط یک جسم متحرک خارج می شود را می توان با درک اینکه پایه های مثلث ها، یعنی خطوط S به جسم، معادل شعاع r هستند و ارتفاعات مثلث ها متناسب با مولفه عمود بر سرعت v ⊥ هستند . بنابراین، اگر مساحت جاروب شده در واحد زمان ثابت باشد، با فرمول مساحت مثلثی1/2(پایه)(ارتفاع) ، حاصلضرب (پایه)(ارتفاع) و در نتیجه حاصلضرب rv ⊥ ثابت است: اگر r و طول پایه کاهش یابد، v ⊥ و ارتفاع باید به نسبت افزایش یابد. جرم ثابت است، بنابراین تکانه زاویه ای rmv ⊥ با این تبادل فاصله و سرعت حفظ می شود.

در مورد مثلث SBC مساحت برابر است با1/2( SB ) ( VC ). هر جا C در نهایت به دلیل ضربه اعمال شده در B قرار گیرد ، حاصلضرب ( SB )( VC ) و بنابراین rmv ⊥ ثابت می ماند. به همین ترتیب برای هر یک از مثلث ها.

بعد از نیوتن [ ویرایش ]

لئونارد اویلر ، دانیل برنولی و پاتریک دارسی همگی تکانه زاویه‌ای را بر حسب بقای سرعت منطقه‌ای ، نتیجه تحلیل قانون دوم کپلر در مورد حرکت سیاره‌ها، درک کردند. بعید است که آنها متوجه پیامدهای آن برای ماده چرخان معمولی شده باشند. [46]

در سال 1736 اویلر، مانند نیوتن، برخی از معادلات تکانه زاویه ای را در مکانیکای خود بدون توسعه بیشتر لمس کرد. [47]

برنولی در نامه ای در سال 1744 از "لحظه حرکت چرخشی" نوشت که احتمالاً اولین تصور از تکانه زاویه ای است که اکنون آن را درک می کنیم. [48]

در سال 1799، پیر سیمون لاپلاس برای اولین بار متوجه شد که یک صفحه ثابت با چرخش مرتبط است - صفحه ثابت او .

لویی پوانسو در سال 1803 شروع به نمایش چرخش به عنوان یک پاره خط عمود بر چرخش کرد و در مورد "حفظ لحظه ها" توضیح داد.

در سال 1852 لئون فوکو از یک ژیروسکوپ در آزمایشی برای نمایش چرخش زمین استفاده کرد.

کتابچه راهنمای مکانیک کاربردی ویلیام جی ام رانکین در سال 1858 ، تکانه زاویه ای را برای اولین بار به معنای امروزی تعریف کرد:

... خطی که طول آن متناسب با بزرگی تکانه زاویه ای باشد و جهت آن عمود بر صفحه حرکت جسم و نقطه ثابت باشد و به گونه ای که وقتی حرکت جسم را از زاویه نگاه کنیم. انتهای خط، شعاع بردار بدن به نظر می رسد چرخش سمت راست دارد.

در نسخه 1872 همان کتاب، رانکین بیان کرد که "اصطلاح حرکت زاویه ای توسط آقای هیوارد معرفی شد" [49] احتمالاً به مقاله RB Hayward در مورد روش مستقیم تخمین سرعت ها، شتاب ها و تمام کمیت های مشابه با احترام اشاره می کند. به Axes قابل جابجایی به هر شکلی در Space with Applications، [50] که در سال 1856 معرفی شد و در سال 1864 منتشر شد. Rankine اشتباه بود، زیرا انتشارات متعددی این اصطلاح را در اواخر قرن 18 تا اوایل قرن 19 نشان می‌دهند. [51] با این حال، ظاهراً مقاله هیوارد اولین استفاده از این اصطلاح و مفهومی بود که توسط بسیاری از کشورهای انگلیسی زبان دیده می شد. قبل از این، تکانه زاویه ای به طور معمول در انگلیسی به عنوان "تکانه چرخش" نامیده می شد.

حرکت زاویه ای در مهندسی و فناوری

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:25

ویدئو: ابزار تمرین ژیروسکوپی کاربرد حفظ تکانه زاویه ای برای تقویت عضلات است. جرمی که به سرعت حول محور خود در یک وسیله توپی شکل می چرخد، تکانه زاویه ای را مشخص می کند. هنگامی که فردی که تمرین می کند توپ را کج می کند، نیرویی ایجاد می شود که حتی در صورت واکنش خاص توسط کاربر، سرعت چرخش را افزایش می دهد.

نمونه هایی از استفاده از بقای حرکت زاویه ای برای مزیت عملی فراوان است. در موتورهایی مانند موتورهای بخار یا موتورهای احتراق داخلی ، یک چرخ طیار برای تبدیل موثر حرکت جانبی پیستون ها به حرکت چرخشی مورد نیاز است.

سیستم های ناوبری اینرسی به صراحت از این واقعیت استفاده می کنند که تکانه زاویه ای با توجه به قاب اینرسی فضا حفظ می شود. ناوبری اینرسی همان چیزی است که سفرهای زیردریایی را در زیر کلاهک یخی قطبی امکان پذیر می کند، اما برای همه اشکال ناوبری مدرن نیز بسیار مهم است.

گلوله‌های تفنگدار از پایداری حاصل از حفظ تکانه زاویه‌ای استفاده می‌کنند تا در مسیر حرکت خود صادق‌تر باشند. اختراع سلاح های گرم و توپ به کاربران آنها مزیت استراتژیک قابل توجهی در نبرد داد و بنابراین نقطه عطف تکنولوژیک در تاریخ بود.

حرکت زاویه ای در طبیعت و کیهان

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:24

طوفان های استوایی و سایر پدیده های آب و هوایی مرتبط با حفظ تکانه زاویه ای به منظور توضیح دینامیک همراه هستند. بادها به آرامی در اطراف سیستم های کم فشار می چرخند که عمدتاً به دلیل اثر کوریولیس است . اگر فشار پایین تشدید شود و هوای به آرامی در گردش به سمت مرکز کشیده شود، مولکول ها باید سرعت خود را افزایش دهند تا تکانه زاویه ای را حفظ کنند. با رسیدن به مرکز، سرعت ها مخرب می شوند. [43]

یوهانس کپلر قوانین حرکت سیارات را بدون آگاهی از بقای تکانه تعیین کرد. با این حال، اندکی پس از کشف او، اشتقاق آنها از بقای تکانه زاویه ای مشخص شد. سیارات هر چه بیشتر در مدارهای بیضی شکل خود قرار بگیرند، آهسته تر حرکت می کنند، که به طور شهودی با این واقعیت توضیح داده می شود که تکانه زاویه ای مداری متناسب با شعاع مدار است. از آنجایی که جرم تغییر نمی کند و تکانه زاویه ای حفظ می شود، سرعت کاهش می یابد.

شتاب جزر و مدی اثر نیروهای جزر و مدی بین یک ماهواره طبیعی در حال گردش (به عنوان مثال ماه ) و سیاره اولیه ای است که به دور آن می چرخد (مثلا زمین). گشتاور گرانشی بین ماه و برآمدگی جزر و مدی زمین باعث می شود که ماه دائماً به مداری کمی بالاتر رفته و زمین در چرخش خود کاهش یابد. زمین حرکت زاویه ای خود را از دست می دهد که به ماه منتقل می شود به طوری که تکانه زاویه ای کلی حفظ می شود.

تکانه زاویه ای در اپتیک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:23

در الکترودینامیک ماکسول کلاسیک، بردار Poynting چگالی تکانه خطی میدان الکترومغناطیسی است.

$\mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).$

بردار چگالی تکانه زاویه ای $\mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)$ توسط یک ضرب برداری مانند مکانیک کلاسیک داده می شود:

${\displaystyle \mathbf {l} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t )$

اتحاد های فوق به صورت محلی معتبر هستند ، یعنی در هر نقطه فاصله $\mathbf {r}$ در یک لحظه معین $تی$ .

تکانه زاویه ای در الکترودینامیک

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:22

همچنین ببینید: تکانه (ذره در میدان)

هنگام توصیف حرکت یک ذره باردار در یک میدان الکترومغناطیسی ، تکانه متعارف P (که از لاگرانژ برای این سیستم به دست می‌آید) گیج ثابت نیست . در نتیجه، تکانه زاویه ای متعارف L = r × P نیز ثابت نیست. در عوض، تکانه ای که فیزیکی است، به اصطلاح تکانه جنبشی (در سراسر این مقاله استفاده می شود)، (به واحد SI ) است.

$\mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {P} -e\mathbf {A}$

که e بار الکتریکی ذره و A پتانسیل بردار مغناطیسی میدان الکترومغناطیسی است . تکانه زاویه ای گیج ثابت، که تکانه زاویه ای جنبشی است ، توسط

$\mathbf {K} =\mathbf {r} \times (\mathbf {P} -e\mathbf {A} )$

تعامل با مکانیک کوانتومی در مقاله روابط کموتاسیون متعارف بیشتر مورد بحث قرار گرفته است .

تکانه زاویه ای کل به عنوان مولد چرخش

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:20

همانطور که در بالا ذکر شد، تکانه زاویه ای مداری L به صورت زیر در مکانیک کلاسیک تعریف می شود: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ ، اما تکانه زاویه ای کل J به روشی متفاوت و اساسی تر تعریف می شود: J به عنوان "مولد چرخش" تعریف می شود. [40] به طور خاص، J به گونه ای تعریف می شود که عملگر

$R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat { \mathbf {n} }}\راست)$

عملگر چرخشی است که هر سیستمی را می گیرد و آن را برحسب زاویه $\phi$ می چرخانددر مورد محور ${\hat {\mathbf {n} }}$ . («exp» در فرمول به عملگر نمایی اشاره دارد ) برای بیان این موضوع، فضای هیلبرت کوانتومی ما هر چه باشد، انتظار داریم که گروه چرخشی SO(3) بر روی آن عمل کند. سپس یک عمل مرتبط از جبر لیso(3) از SO(3) وجود دارد. عملگرهایی که عمل so(3) را در فضای هیلبرت ما توصیف می کنند، عملگرهای تکانه زاویه ای (کل) هستند.

رابطه بین عملگر تکانه زاویه ای و عملگرهای چرخش مانند رابطه بین جبرهای لی و گروه های لی در ریاضیات است. رابطه نزدیک بین تکانه زاویه ای و چرخش ها در قضیه نوتر منعکس شده است که ثابت می کند هر زمان که قوانین فیزیک از نظر چرخشی ثابت باشند، تکانه زاویه ای حفظ می شود.

عدم قطعیت و تکانه زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:18

عدم قطعیت

در تعریف $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ شش عملگر درگیر هستند: عملگرهای موقعیت $r_{x}$ ، $r_{y}$ ، $r_{z}$ و عملگرهای تکانه $p_{x}$ ، $p_{y}$ ، $p_{z}$ . با این حال، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ به ما می‌گوید که امکان ندارد هر شش این کمیت به طور همزمان با دقت دلخواه شناخته شوند. بنابراین، محدودیت هایی برای دانستن یا اندازه گیری تکانه زاویه ای یک ذره وجود دارد. به نظر می رسد که بهترین کاری که می توان انجام داد این است که هم قدر بردار تکانه زاویه ای و هم جزء آن را در امتداد یک محور اندازه گیری کنیم.

عدم قطعیت ارتباط نزدیکی با این واقعیت دارد که اجزای مختلف یک اپراتور تکانه زاویه ای جابجا نمی شوند $L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}$ . (برای روابط کموتاسیون دقیق ، عملگر حرکت زاویه ای را ببینید .)

تکانه زاویه ای در مکانیک مداری

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:6

در حالی که در مکانیک کلاسیک زبان حرکت زاویه ای را می توان با قوانین حرکت نیوتن جایگزین کرد، به ویژه برای حرکت در پتانسیل مرکزی مانند حرکت سیاره ای در منظومه شمسی مفید است. بنابراین، مدار یک سیاره در منظومه شمسی با انرژی، تکانه زاویه ای و زوایای محور اصلی مدار نسبت به یک قاب مختصات تعریف می شود.

در اختر دینامیک و مکانیک سماوی ، کمیتی که نزدیک به حرکت زاویه ای است به صورت [28] تعریف می شود.

$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,$

تکانه زاویه ای خاص نامیده می شود . توجه داشته باشید که $\mathbf {L} =m\mathbf {h} .$ جرم اغلب در محاسبات مکانیک مداری بی اهمیت است، زیرا حرکت یک جسم توسط گرانش تعیین می شود . بدنه اولیه سیستم اغلب آنقدر بزرگتر از هر جسمی است که در اطراف آن در حال حرکت است که می توان از تأثیر گرانشی اجسام کوچکتر روی آن چشم پوشی کرد. در واقع سرعت ثابتی را حفظ می کند. حرکت همه اجسام بدون توجه به جرم به یک شکل تحت تأثیر گرانش آن قرار می گیرد و بنابراین همه در شرایط یکسان تقریباً یکسان حرکت می کنند.

اجسام جامد [ ویرایش ]

حرکت زاویه ای نیز یک مفهوم بسیار مفید برای توصیف اجسام صلب در حال چرخش مانند یک ژیروسکوپ یا یک سیاره سنگی است. برای توزیع جرم پیوسته با تابع چگالی ρ ( r )، یک عنصر حجمی دیفرانسیل dV با بردار موقعیت r درون جرم، عنصر جرمی dm = ρ ( r ) dV دارد . بنابراین، تکانه زاویه ای بینهایت کوچک این عنصر برابر است با:

$d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v}$

و انتگرال این دیفرانسیل بر روی حجم کل جرم، تکانه زاویه ای کل آن را به دست می دهد:

$\mathbf {L} =\int _{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v}$

در اشتقاق زیر، انتگرال های مشابه این می توانند جایگزین مجموع موارد جرم پیوسته شوند.

مجموعه ذرات [ ویرایش ]

تکانه زاویه ای ذرات i مجموع محصولات متقاطع R × M V + Σ r i × m i v i است .

برای مجموعه ای از ذرات در حال حرکت در مورد یک منشا دلخواه، آموزنده است که معادله تکانه زاویه ای را با تفکیک حرکت آنها به اجزایی در مورد مرکز جرم خود و در مورد مبدا ایجاد کنیم. داده شده،

$m_{i}$ جرم ذره است $من$ ،
$\mathbf {R} _{i}$ بردار موقعیت ذره است $من$ مبدأ را بنویسید،
$\mathbf {V} _{i}$ سرعت ذره است $من$ مبدأ را بنویسید،
$\mathbf {R}$ بردار موقعیت مرکز جرم در مبدأ است،
$\mathbf {V}$ سرعت مرکز جرم بر اساس مبدا است،
$\mathbf {r} _{i}$ بردار موقعیت ذره است $من$ در مرکز جرم،
$\mathbf {v} _{i}$ سرعت ذره است $من$ در مرکز جرم،

جرم کل ذرات به سادگی مجموع آنهاست،

$M=\sum _{i}m_{i}.$

بردار موقعیت مرکز جرم با، [29] تعریف می شود.

$M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.$

با بازرسی،

$\mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}$ و. $\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.$

تکانه زاویه ای کل مجموعه ذرات، مجموع تکانه زاویه ای هر ذره است،

$\mathbf {L} =\sum _{i}\left(\mathbf {R} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right)$ ( 1 )

در حال گسترشآرمن $\mathbf {R} _{i}$ ،

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{ i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{تراز شده}}$

در حال گسترش $\mathbf {V} _{i}$ ،

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _ {i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _ {i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{ i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{ i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _ {i}\end{تراز شده}}$

می توان نشان داد که (به نوار کناری مراجعه کنید)،

ثابت کنیم که $\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0}$

${\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \\m_{i}\mathbf {r} _{i} &=m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \راست)\\\جمع _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}&= \sum _{i}m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \راست)\\&=\sum _{i}(m_{i}\mathbf {R } _{i}-m_{i}\mathbf {R} )\\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\sum _{i}m_{i} \mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\left(\sum _{i}m_{i}\right)\mathbf {R} \\&=\جمع _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-M\mathbf {R} \end{تراز شده}}$

که با تعریف مرکز جرم، این است و به طور مشابه برای.

$\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0}$ و، $\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0}،$

بنابراین عبارت دوم و سوم ناپدید می شوند،

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i} \mathbf {v} _{i}.$

عبارت اول را می توان بازآرایی کرد،

$\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R } \times M\mathbf {V}،$

و تکانه زاویه ای کل برای مجموعه ذرات در نهایت است، [30]

$\mathbf {L} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _ {من}$ ( 2 )

اولین جمله، تکانه زاویه ای مرکز جرم نسبت به مبدا است. مشابه § ذره منفرد ، در زیر، تکانه زاویه ای یک ذره با جرم M در مرکز جرم است که با سرعت V حرکت می کند . جمله دوم، تکانه زاویه ای ذرات است که نسبت به مرکز جرم حرکت می کنند، مشابه § مرکز جرم ثابت ، در زیر. نتیجه کلی است – حرکت ذرات محدود به چرخش یا چرخش پیرامون مبدا یا مرکز جرم نیست. ذرات نباید دارای جرم جداگانه باشند، بلکه می توانند عناصر توزیع پیوسته مانند یک جسم جامد باشند.

تنظیم مجدد معادله ( 2 ) توسط هویت های برداری، ضرب هر دو عبارت در "یک" و گروه بندی مناسب،

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right]،\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\ چپ (\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}} m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left( {\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right]،\\\end{تراز شده} }$

تکانه زاویه ای کل سیستم ذرات را بر حسب ممان اینرسی نشان می دهد $من$ و سرعت زاویه ای ${\boldsymbol {\omega }}$ ،

$\mathbf {L} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}+\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.$ ( 3 )

کانه زاویه ای در فرمالیسم همیلتونی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:4

به طور معادل، در مکانیک همیلتونی ، همیلتونی را می توان تابعی از تکانه زاویه ای توصیف کرد. مانند قبل، بخشی از انرژی جنبشی مربوط به چرخش حول محور z برای جسم i به صورت زیر است:

${\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{ z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}$

که مشابه وابستگی انرژی به تکانه در امتداد محور z ا

ست،

${\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}$ .

معادلات همیلتون زاویه حول محور z را به تکانه مزدوج آن یعنی تکانه زاویه ای حول همان محور مرتبط می کند:

${\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_ {z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{ \frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{تراز شده}}$

معادله اول می دهد

${L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{ z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}$

و بنابراین ما همان نتایجی را می گیریم که در فرمالیسم لاگرانژی وجود دارد.

توجه داشته باشید که برای ترکیب همه محورها با هم انرژی جنبشی را به صورت زیر می نویسیم:

$E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|{\bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_ {i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1} {2}}{\bf {{L}_{i}}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{\bf {{L}_{i}}}\ درست)$

که در آن p r تکانه در جهت شعاعی است و ممان اینرسی یک ماتریس 3 بعدی است . حروف پررنگ مخفف بردارهای سه بعدی هستند.

برای اجسام نقطه مانند داریم:

$E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac { |{\bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\راست)$

این شکل از بخش انرژی جنبشی همیلتونین در تجزیه و تحلیل مسائل پتانسیل مرکزی مفید است و به راحتی به یک چارچوب مکانیکی کوانتومی تبدیل می شود (مثلا در مسئله اتم هیدروژن ).

تکانه زاویه ای در فرمالیسم لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 14:14

در فرمالیسم لاگرانژی

در مکانیک لاگرانژی ، تکانه زاویه ای برای چرخش حول یک محور معین، تکانه مزدوج مختصات تعمیم یافته زاویه حول همان محور است. مثلا، $L_{z}$ ، تکانه زاویه ای حول محور z برابر است با:

$L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}$

جایی که ${\cal {L}}$ لاگرانژی است و $\theta _{z}$ زاویه حول محور z است.

توجه داشته باشید که ${\dot {\theta }}_{z}$ ، مشتق زمانی زاویه، $\omega _{z}$ سرعت زاویه ای است . به طور معمول، لاگرانژ به سرعت زاویه ای از طریق انرژی جنبشی بستگی دارد: دومی را می توان با جدا کردن سرعت از قسمت شعاعی و مماس آن نوشت، با قسمت مماسی در صفحه xy، حول محور z، برابر با:

$\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1} {2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}$

که در آن زیرنویس i مخفف جسم i است و m ، v T و ω z به ترتیب جرم، سرعت مماسی حول محور z و سرعت زاویه‌ای حول آن محور هستند.

برای جسمی که نقطه مانند نیست و چگالی ρ دارد ، در عوض داریم:

${\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\ امگا _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z} }_{i}}^{2}$

جایی که انتگرال در ناحیه بدنه اجرا می شود، و I z ممان اینرسی حول محور z است.

بنابراین، با فرض اینکه انرژی پتانسیل به ω z بستگی ندارد (این فرض ممکن است برای سیستم های الکترومغناطیسی شکست بخورد)، ما تکانه زاویه ای جسم i را داریم :

${\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i }}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\ cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}$

ما تاکنون هر جسم را با یک زاویه جداگانه چرخانده ایم. همچنین ممکن است یک زاویه کلی θ z تعریف کنیم که با آن کل سیستم را می‌چرخانیم، بنابراین هر جسم را حول محور z می‌چرخانیم و تکانه زاویه‌ای کلی را داریم:

$L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}$

از معادلات اویلر-لاگرانژ چنین می شود که:

$0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\ چپ ({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\ جزئی {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}$

از آنجایی که لاگرانژ فقط از طریق پتانسیل به زوایای جسم وابسته است، داریم:

${\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}} _{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}$

که گشتاور روی جسم i است.

فرض کنید سیستم نسبت به چرخش‌ها تغییرناپذیر است، به طوری که پتانسیل مستقل از یک چرخش کلی در زاویه θ z است (بنابراین ممکن است فقط از طریق تفاوت‌های آنها به زوایای اجسام بستگی داشته باشد. $V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})$ ). بنابراین ما برای تکانه زاویه ای کل به دست می آوریم:

${\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0$

و بنابراین تکانه زاویه ای حول محور z حفظ می شود.

این تحلیل را می توان به طور جداگانه برای هر محور تکرار کرد و مکالمه بردار تکانه زاویه ای را ارائه داد. با این حال، زاویه های اطراف سه محور را نمی توان همزمان به عنوان مختصات تعمیم یافته در نظر گرفت، زیرا آنها مستقل نیستند. به طور خاص، دو زاویه در هر نقطه برای تعیین موقعیت آن کافی است. در حالی که درست است که در مورد جسم صلب، توصیف کامل آن، علاوه بر سه درجه آزادی انتقالی ، به تعیین سه درجه آزادی چرخشی نیز نیاز دارد. اما اینها را نمی توان به عنوان چرخش حول محورهای دکارتی تعریف کرد (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). این هشدار در مکانیک کوانتومی در روابط کموتاسیون غیر پیش پا افتاده اجزای مختلف منعکس شده است.عملگر حرکت زاویه ای

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

شار نوترونی

شار طبیعی نوترون [ ویرایش ]

شار نوترون مصنوعی [ ویرایش ]

جریان نوترونی دیواره رگ راکتور [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

شار مغناطیسی کوانتومی

مقدمه [ ویرایش ]

اندازه گیری شار مغناطیسی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

شار مغناطیسی

توضیحات [ ویرایش ]

شار مغناطیسی از طریق یک سطح بسته [ ویرایش ]

شار مغناطیسی از طریق یک سطح باز [ ویرایش ]

تغییر شار مغناطیسی [ ویرایش ]

مقایسه با شار الکتریکی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

شار نورانی

واحدها [ ویرایش ]

وزن کردن [ ویرایش ]

متن [ ویرایش ]

اندازه گیری [ ویرایش ]

رابطه با شدت نور [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

منبع

شار

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

اصطلاحات [ ویرایش ]

شار به عنوان نرخ جریان در واحد سطح [ ویرایش ]

تعریف عمومی ریاضی (حمل و نقل) [ ویرایش ]

شارهای حمل و نقل [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

شار به عنوان یک انتگرال سطحی [ ویرایش ]

تعریف عمومی ریاضی (انتگرال سطحی) [ ویرایش ]

الکترومغناطیس [ ویرایش ]

4-فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

عملگر هاج در فرم های p [ ویرایش ]

کد دیفرانسیل در فرم های p [ ویرایش ]

لاپلاسی در مورد توابع [ ویرایش ]

هاج لاپلاسین در فرم های p [ ویرایش ]

دومین شکل اساسی غوطه وری [ ویرایش ]

میانگین انحنای غوطه وری [ ویرایش ]

فرمول های تغییر [ ویرایش ]

نماد اصلی [ ویرایش ]

3-فهرست فرمولها در هندسه ریمانی

ضرب کولکارنی–نومیزو [ ویرایش ]

در یک قاب اینرسی [ ویرایش ]

تغییر مطابق [ ویرایش ]

اتصال لوی-سیویتا [ ویرایش ]

(4،0) تانسور انحنای ریمان [ ویرایش ]

تانسور ریچی [ ویرایش ]

انحنای اسکالر [ ویرایش ]

تانسور ریچی بدون ردیابی [ ویرایش ]

(3،1) انحنای ویل [ ویرایش ]

فرم حجم [ ویرایش ]

2-فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

تانسورهای انحنا [ ویرایش ]

تعاریف [ ویرایش ]

اتحاد [ ویرایش ]

گرادیان، واگرایی، عملگر لاپلاس-بلترامی [ ویرایش ]

1-فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

نمادهای کریستوفل، مشتق کوواریانت [ ویرایش ]

5-مشتق کوواریانس

خواص [ ویرایش ]

مشتق در امتداد منحنی [ ویرایش ]

رابطه با مشتق لی[ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

4-مشتق کوواریانس

توضیحات مختصات [ ویرایش ]

نشانه گذاری [ ویرایش ]

3-مشتق کوواریانس

تعریف رسمی [ ویرایش ]

توابع [ ویرایش ]

میدانهای برداری [ ویرایش ]

میدانهای بردار [ ویرایش ]