ادامه گروه کواترنیون

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه هجدهم دی ۱۴۰۰ | 13:12

توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط

تابع تعریف زیرگروه	چه معنی میده	ارزش به عنوان زیر گروه	ارزش به عنوان گروه	سفارش	تابع تعیین ضریب مرتبط	ارزش به عنوان گروه	ترتیب (= فهرست زیرگروه)
مرکز	عناصری که با هر عنصر گروهی رفت و آمد دارند	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مشتق شده	زیرگروه تولید شده توسط همه جابجایی ها	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	آبلی شدن	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه فراتینی	تقاطع تمام زیر گروه های حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	ضریب فراتینی	کلاین چهار گروه	4
رادیکال یاکوبسون	تقاطع تمام زیر گروه های نرمال حداکثر	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
پایه	به تمام زیرگروه های حداقل نرمال بپیوندید	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه مناسب	به همه زیرگروه های نرمال nilpotent بپیوندید	کل گروه	گروه کواترنیون	8	ضریب برازش	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیر گروه های آبلیان با حداکثر مرتبه	ملحق شدن به همه زیر گروه های آبلی با حداکثر مرتبه در میان زیر گروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلیان حداکثر رتبه	ملحق شدن به تمام زیرگروه های آبلیان دارای حداکثر رتبه در میان زیرگروه های آبلی	کل گروه	گروه کواترنیون	8	?	گروه بی اهمیت	1
پیوستن به زیرگروه های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه	پیوستن به همه زیرگروه‌های آبلی ابتدایی با حداکثر مرتبه در میان زیرگروه‌های آبلی ابتدایی	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4
زیر گروه ZJ	مرکز پیوند زیرگروه های آبلی با حداکثر مرتبه	مرکز گروه کواترنیون : $\{ 1، -1 \}$	گروه چرخه ای: Z2	2	?	کلاین چهار گروه	4

اتومورفیسم و اندومورفیسم

اطلاعات بیشتر: ساختار اندومورفیسم گروه کواترنیون

ساختن	مقدار	سفارش	بخش دوم GAP ID (اگر گروه)
اندومورفیسم مونوئید	?	?	--
گروه اتومورفیسم	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم درونی	کلاین چهار گروه	4	2
گروه اتومورفیسم بیرونی	گروه متقارن: S3	6	1
گروهی از خودمورفیسم های حفظ کلاس	کلاین چهار گروه	4	2
گروهی از اتومورفیسم های IA	کلاین چهار گروه	4	2
ضریب گروه خودمورفیسم حفظ کلاس توسط گروه خودمورفیسم درونی	گروه بی اهمیت	1	1
ضریب گروه IA-اتومورفیسم توسط گروه اتومورفیسم درونی	گروه بی اهمیت	1	1
گروهی از اتومورفیسم های ثابت کننده مرکز	گروه متقارن: S4	24	12
گروه اتومورفیسم توسعه یافته	محصول مستقیم S4 و Z2	48	48
هولومورف	?	192
هولومورف درونی	هولومورف داخلی D8 ( $D_8$ و گروه کواترنیون دارای هولومورف یکسان هستند)	32	49

نظریه نمایش خطی

اطلاعات بیشتر: نظریه نمایش خطی گروه کواترنیون

خلاصه

گروه چهارگانه یکی از معدود نمونه های است گروه منطقی این است که نه گروه منطقی نمایندگی . به عبارت دیگر، تمام نویسه های آن بر روی اعداد مختلط دارای ارزش گویا هستند، اما هر نمایشی از آن را نمی توان بر روی اعداد گویا تحقق بخشید.

جدول کاراکترهای گروه چهارتایی مانند گروه دو وجهی مرتبه هشت است . با این حال، توجه داشته باشید که زمینه های تحقق برای نمایش ها متفاوت است، زیرا یکی از نمایش های گروه کواترنیون دارای شاخص Schur دو است.

مورد	مقدار
درجات نمایش های تقلیل ناپذیر بر روی یک میدان تقسیم (مانند $\mathbb{C}$ یا $\overline{\mathbb{Q}}$ )	1،1،1،1،2 حداکثر : 2، lcm : 2، تعداد : 5، مجموع مربعات : 8
مقادیر شاخص Schur نمایش های غیر قابل تقلیل	1،1،1،1،2 (صفر مشخصه) حداکثر : 2، LCM : 2 1،1،1،1،1 (صفت غیر از 0،2)
کوچکترین حلقه تحقق برای تمام نمایش های تقلیل ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Z}[i]$ که $من$ در آن یک جذر $-1$ معادل است $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 1)$ ، حلقه اعداد صحیح گاوسی یک نامزد است. دیگری است $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ یا $\mathbb{Z}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی، هر حلقه ای از شکل $\mathbb{Z}[\آلفا،\بتا]$ که $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ در آن حلقه ای از تحقق برای همه نمایش های تقلیل ناپذیر است. به طور خاص، $\mathbb{Z}[\sqrt{-m^2 - 1}]$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ .
میدان تقسیم حداقلی (یعنی میدان تحقق) برای همه نمایش های تقلیل ناپذیر (مشخصه صفر)	نامزدهای متعددی وجود دارد. $\mathbb{Q}(i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 1)$ کار می کند، همینطور می کند $\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)$ یا $\mathbb{Q}[t]/(t^2 + 2)$ . به طور کلی تر، $\mathbb{Q}(\آلفا،\بتا)$ جایی $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ که یک میدان تقسیم است. به طور خاص، $\mathbb{Q}(\sqrt{-1-m^2})$ برای هر منطقی کار می کند $متر$ . مشاهده حداقل نیاز میدان شکافنده نمی تواند منحصر به فرد ، حداقل نیاز میدان شکافنده می شود cyclotomic
حلقه تولید شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Z}$
فیلد ایجاد شده توسط مقادیر کاراکتر (مشخصه صفر)	$\mathbb{Q}$ (از این رو یک گروه منطقی است ) همچنین ببینید: فیلد تولید شده توسط مقادیر کاراکتر نیازی به یک فیلد تقسیم کننده نیست \| rational not دلالت بر بازنمایی عقلانی دارد
شرط تقسیم شدن فیلد برای این گروه	شرط کافی: مشخصه دو نیست و $\آلفا، \بتا$ در میدان وجود دارد به گونه ای که $\alpha^2 + \beta^2 + 1 = 0$ . به طور خاص، هر میدان محدود مشخصه نه دو، یک میدان شکافنده است، زیرا هر عنصر یک میدان محدود به صورت مجموع دو مربع قابل بیان است و به طور خاص، $-1$ مجموع دو مربع در هر میدان متناهی است.
میدان تقسیم حداقل (مشخصه $p \ne 0,2$ )	فیلد اول $\mathbb{F}_p$
میدان تقسیم کوچکترین اندازه	فیلد:F3 ، یعنی میدان سه عنصر.
ساختار مداری نمایش‌های کاهش‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت گروه خودمورفیسم	اندازه مدار: 1 (نمایش درجه 1)، 3 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 3
ساختار مداری نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بر روی میدان شکاف تحت عمل ضربی نمایش‌های یک‌بعدی، یعنی تا هم ارزی تصویری	اندازه مدار: 4 (نمایش درجه 1)، 1 (نمایش درجه 2) تعداد : 2
درجات نمایش های تقلیل ناپذیر بر روی یک میدان غیرقابل تقسیم، به عنوان مثال، میدان اعداد گویا یا میدان اعداد واقعی	1،1،1،1،4 شماره : 5
گروه هایی با جدول شخصیت های یکسان	گروه دو وجهی:D8

جدول شخصیت

این جدول نویسه‌ها روی مشخصه صفر و هر مشخصه دیگری که برابر با دو نباشد کار می‌کند، زمانی که ورودی‌ها را تغییر می‌دهیم:

بازنمایی/کلاس conjugacy	$\{ 1 \}$ (هویت، سایز 1)	$\{ -1 \}$ (سایز 1)	$\{ i، -i \}$ (سایز 2)	$\{ j, -j \}$ (سایز 2)	$\{k، -k \}$ (سایز 2)
نمایندگی بی اهمیت	1	1	1	1	1
$من$ -هسته	1	1	1	-1	-1
$j$ -هسته	1	1	-1	1	-1
$ک$ -هسته	1	1	-1	-1	1
2 بعدی	2	-2	0	0	0

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

این یک گروه nilpotent غیر آبلی با کوچکترین مرتبه ممکن است، همراه با گروه دو وجهی:D8 .
این یک گروه ددکیند غیرآبلی (یا گروه همیلتونی) با کوچکترین مرتبه ممکن است. Dedekind به این معنی است که هر زیرگروه عادی است.

متفاوت از بقیه هم راستا

این تنها گروه ددکیند غیرآبلی از راسته خود است.
این تنها گروه T غیرآبلی در راسته خود است.
این تنها گروه از مرتبه خود است که رتبه برای آن (به معنای حداکثر رتبه ممکن یک زیر گروه آبلی) به شدت کوچکتر از حداقل اندازه مجموعه تولید کننده است : برای این گروه، اولی 1 و دومی 2 است. .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 4 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،4)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := SmallGroup(8,4);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع IdGroup GAP استفاده کنیم:

IdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 5 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،5)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم $جی$ :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,5);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین $جی$ در واقع همان گروهی است که می خواهیم، می توانیم از تابع Gap3CatalogueIdGroup GAP استفاده کنیم:

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,5]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع استفاده شده	نظر ریاضی
SylowSubgroup(SL(2,3,2)	SylowSubgroup و SL	$2$ زیر گروه -Sylow از گروه خطی ویژه: SL (2،3)
ExtraspecialGroup(2^3,'-')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق خاص از نظم $2^3$ و نوع '-'
SylowSubgroup(SL(2,5,2)	SylowSubgroup و SL	$2$ زیر گروه -Sylow از گروه خطی ویژه: SL (2،5)

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی