ریاضیات | هندسه ریمانی و هندسه هذلوی

قضیه استوکس

قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $\سیگما$ یک سطح صاف گرا در R 3 با مرز $\ جزئی \سیگما$ . اگر یک فیلد برداری $\mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ تعریف شده است و دارای مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته در یک ناحیه حاوی $\سیگما$ ، سپس

$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$ به طور واضح تر، برابری این را می گوید

${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z }}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\ جزئی y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}P\,\mathrm { d} x+Q\,\mathrm {d} y+R\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{تراز شده}}$

چالش اصلی در بیان دقیق قضیه استوکس در تعریف مفهوم مرز است. برای مثال، سطوحی مانند دانه‌های برف کوخ ، به‌خوبی شناخته شده‌اند که مرز ادغام‌پذیر ریمان را نشان نمی‌دهند، و مفهوم اندازه‌گیری سطح در نظریه Lebesgue را نمی‌توان برای سطح غیر لیپسشیتز تعریف کرد . یکی از تکنیک‌های (پیشرفته) این است که به یک فرمول ضعیف و سپس به کارگیری ماشین تئوری اندازه‌گیری هندسی بپردازیم . برای آن رویکرد فرمول coarea را ببینید . در این مقاله، ما به جای یک تعریف ابتدایی تر، بر اساس این واقعیت است که یک مرز را می توان برای زیر مجموعه های کامل بعدی از تشخیص استفاده R 2 .

فرض کنید γ : [ a , b ] → R 2 یک منحنی صفحه جردن صاف تکه ای باشد . منحنی جردن قضیه نشان می دهد که γ تقسیم R 2 به دو جزء، یک جمع و جور و دیگر این است که غیر فشرده. اجازه دهید D نشان دهنده قسمت فشرده باشد. سپس D با γ محدود می شود . در حال حاضر کافی است برای انتقال این مفهوم مرز در امتداد نقشه مداوم به سطح ما در R 3 . گفت: اما ما در حال حاضر چنین نقشه یک دارند پارامتری از Σ .

فرض کنید ψ : D → R 3 صاف است، با Σ = ψ ( D ) . اگر Γ است منحنی فضای تعریف شده توسط Γ ( تی ) = ψ ( γ ( تی )) ، [تبصره 1] پس از آن ما پاسخ Γ مرز Σ ، نوشته شده ∂Σ .

با نماد بالا، اگر F یک میدان برداری صاف در R 3 باشد ، [7] [8]

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} .$

+ نوشته شده در دوشنبه سیزدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 15:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نمونه های کار شده قضیه واگرایی

مثال 1

برای تأیید نوع مسطح قضیه واگرایی برای یک منطقه $آر$ :

$R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$

و فیلد برداری:

$\mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j}.$

مرز $آر$ دایره واحد است، $سی$ ، که می توان آن را به صورت پارامتری نشان داد:

$x=\cos(s)،\quad y=\sin(s)$

به طوری که $0\leq s\leq 2\pi$ جایی که $س$ واحد طول قوس از نقطه است $s=0$ به نقطه $پ$ بر $سی$ . سپس یک معادله برداری از $سی$ است

$C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j}.$

در یک نقطه $پ$ بر $سی$ :

$P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf { j}$

از این رو،

${\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2 \sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j})\, \mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\ mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{تراز شده }}$

زیرا $M=2y$ ، می توانیم ارزیابی کنیم ${\frac {\partial M}{\partial x}}=0$ ، و به دلیل

$N=5x$ ، ${\frac {\partial N}{\partial y}}=0$ .

بدین ترتیب

$\iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M} {\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.$

مثال 2 [ ویرایش ]

فرض کنید می‌خواستیم شار فیلد برداری زیر را که توسط تعریف شده است، ارزیابی کنیم $\mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}$ محدود به نابرابری های زیر:

$\left\{0\leq x\leq 3\right\}\left\{-2\leq y\leq 2\right\}\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\ }$

با قضیه واگرایی،

$\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.$

اکنون باید واگرایی را تعیین کنیم ${\textbf {F}}$ . اگر $\mathbf {F}$ یک میدان برداری سه بعدی است، سپس واگرایی از ${\textbf {F}}$ از رابطه زیر بدست می آید ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y }}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$ .

بنابراین، ما می توانیم انتگرال شار زیر را تنظیم کنیم

$من =$ $\اینت$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$

به شرح زیر است:

${\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left( {\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d } V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V\end{تراز شده}}$

اکنون که انتگرال را تنظیم کرده ایم، می توانیم آن را ارزیابی کنیم.

${\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\ pi +3)\end{تراز شده}}$

کلیات [ ویرایش ]

ابعاد چندگانه [ ویرایش ]

می توان از قضیه کلی استوکس برای معادل سازی انتگرال حجمی n بعدی واگرایی یک میدان برداری F بر روی یک ناحیه U با انتگرال سطح بعدی ( n -1) F بر روی مرز U استفاده کرد :

} $\underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \ Oint _{\ U جزئی}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S$

این معادله به عنوان قضیه واگرایی نیز شناخته می شود.

وقتی n = 2 باشد ، این معادل قضیه گرین است .

هنگامی که n = 1 , به ادغام توسط قطعات کاهش می یابد .

فیلدهای تانسور [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: میدان تانسور

نوشتن قضیه با نماد انیشتین :

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S$

suggestively، به جای میدان برداری F با اختلاف طبقه N میدان تانسوری T ، این می تواند به کلی: [15]

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}} }\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.$

که در هر طرف، انقباض تانسور حداقل برای یک شاخص رخ می دهد. این شکل از قضیه هنوز به صورت 3 بعدی است، هر شاخص مقادیر 1، 2 و 3 را می گیرد. می توان آن را بیشتر به ابعاد بالاتر (یا پایین تر) تعمیم داد (به عنوان مثال به فضازمان 4 بعدی در نسبیت عام [16] ).

همچنین ببینید [ ویرایش ]

قضیه کلوین-استوکس

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

+ نوشته شده در دوشنبه سیزدهم دی ۱۴۰۰ ساعت 14:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه دنباله دقیق

خواص [ ویرایش ]

لم تقسیم می گوید که اگر توالی دقیق کوتاه

$0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0$

اذعان ریخت تی : B → به طوری که تی ∘ F هویت است یا ریخت تو : C → B به طوری که گرم ∘ تو هویت است C ، پس از آن B است مجموع مستقیم از و C (برای غیر گروه های جابه جایی، این یک محصول نیمه مستقیم است ). یکی می گوید که چنین توالی دقیق کوتاهی تقسیم می شود .

مار لم نشان می دهد که چگونه یک نمودار جابجایی با دو ردیف دقیق افزایش می دهد به یک توالی طولانی تر دقیق. نه لم یک مورد خاص است.

پنج لم شرایطی که تحت آن نقشه وسط در یک نمودار جابجایی با ردیف دقیق طول 5 ریخت است می دهد. کوتاه پنج لم یک مورد خاص آن استفاده به توالی دقیق کوتاه است.

اهمیت توالی‌های دقیق کوتاه با این واقعیت مشخص می‌شود که هر دنباله دقیق از «بافته شدن» چندین سکانس دقیق کوتاه با هم تداخل دارند. به عنوان مثال دنباله دقیق را در نظر بگیرید

$A_{1}\به A_{2}\به A_{3}\به A_{4}\به A_{5}\به A_{6}$

که به این معنی است که اشیاء C k در این دسته وجود دارد به طوری که

$C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})$ .

علاوه بر این، فرض کنید هم‌شکلی هر مورفیسم وجود داشته باشد و با تصویر مورفیسم بعدی در دنباله هم‌شکل باشد:

$C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})$

(این درست است برای تعدادی از دسته های جالب، از جمله هر دسته آبلی مانند گروه های abelian است؛ اما این درست برای همه مقوله های است که اجازه می دهد توالی دقیق نیست، و به طور خاص است درست است برای نه دسته از گروه ، که در آن کوکر ( ج ): G → H است H / IM ( F ) ام $H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}$ ضریب H با بسته شدن مزدوج im( f ).) سپس یک نمودار جابجایی به دست می آوریم که در آن تمام قطرها دنباله های دقیق کوتاه هستند:

تنها بخشی از این نمودار که به شرایط کوکرنل بستگی دارد شی است ${\textstyle C_{7}}$ و جفت نهایی مورفیسم ${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$ . اگر شیئی وجود دارد $A_{{k+1}}$ و مورفیسم $A_{k}\to A_{k+1}$ به طوری که } $A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}$ دقیق است، سپس دقت $0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0$ تضمین شده است. مجدداً مقوله گروه‌ها را مثال می‌زنیم، این واقعیت که im( f ) هسته برخی هم‌مورفیسم‌ها در H است، نشان می‌دهد که آن یک زیرگروه عادی است که با بسته شدن مزدوج آن منطبق است. بنابراین کوکر( f ) با تصویر H /im( f ) شکل بعدی هم شکل است.

برعکس، با توجه به هر فهرستی از توالی‌های دقیق کوتاه که همپوشانی دارند، عبارت‌های میانی آنها یک دنباله دقیق را به همان شیوه تشکیل می‌دهند.

کاربرد توالی های دقیق [ ویرایش ]

در تئوری دسته‌بندی‌های آبلی، توالی‌های دقیق کوتاه اغلب به‌عنوان زبانی مناسب برای صحبت درباره اشیاء فرعی و عاملی استفاده می‌شوند.

مشکل پسوند است که در اصل این پرسش که "با توجه به شرایط پایان و C از یک توالی دقیق کوتاه، چه احتمالات را برای حد وسط وجود داشته باشد ب ؟" در دسته گروه ها، این معادل این سوال است که کدام گروه B دارای A به عنوان زیرگروه نرمال و C به عنوان گروه عامل مربوطه هستند؟ این مشکل در طبقه بندی گروه ها حائز اهمیت است . گروه اتومورفیسم بیرونی را نیز ببینید .

توجه داشته باشید که در دنباله دقیق، ترکیب F من 1 ∘ F من نقشه من به 0 در من 2 ، بنابراین هر توالی دقیق است زنجیره ای پیچیده . علاوه بر این، فقط f i -تصاویر عناصر A i با f i +1 به 0 نگاشت می‌شوند ، بنابراین همسانی این مجموعه زنجیره بی‌اهمیت است. به طور خلاصه تر:

توالی های دقیق دقیقاً مجموعه های زنجیره ای هستند که غیر حلقوی هستند .

بنابراین، با توجه به هر مجموعه زنجیره ای، همسانی آن را می توان به عنوان معیاری برای میزان دقیق بودن آن در نظر گرفت.

اگر مجموعه‌ای از دنباله‌های دقیق کوتاه را که توسط کمپلکس‌های زنجیره‌ای به هم مرتبط شده‌اند در نظر بگیریم (یعنی دنباله‌ای دقیق کوتاه از مجتمع‌های زنجیره‌ای، یا از دیدگاهی دیگر، مجموعه‌ای زنجیره‌ای از توالی‌های دقیق کوتاه)، آن‌گاه می‌توانیم از این یک نتیجه دقیق طولانی استخراج کنیم. دنباله (یعنی یک دنباله دقیق نمایه شده توسط اعداد طبیعی) در همسانی با استفاده از لم زیگزاگ . آن را در توپولوژی جبری در مطالعه همسانی نسبی می آید . توالی مایر Vietoris مثال دیگری است. توالی های دقیق طولانی القا شده توسط توالی های دقیق کوتاه نیز مشخصه تابع های مشتق شده هستند .

functors دقیق هستند functors که تبدیل توالی دقیق را به توالی دقیق.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence

+ نوشته شده در دوشنبه ششم دی ۱۴۰۰ ساعت 5:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مدل دیسک پوانکاره

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرش به ناوبری پرش به جستجو

دیسک پوانکاره با خطوط موازی هذلولی

مدل دیسک پوانکاره از کاشی کاری سه ضلعی کوتاه شده .

در هندسه، مدل دیسک پوانکاره ، که به آن مدل دیسک منسجم نیز می‌گویند، مدلی از هندسه هذلولی دو بعدی است که در آن نقاط هندسه در داخل دیسک واحد قرار دارند و خطوط مستقیم شامل تمام کمان‌های دایره‌ای موجود در آن دیسک است. که بر روی مرز دیسک متعامد هستند ، به اضافه تمام قطرهای دیسک.

گروه ایزومتریک های حفظ جهت گیری مدل دیسک توسط گروه واحد ویژه SU(1,1) داده شده است .

همراه با مدل کلاین و مدل نیمه فضای پوانکاره ، توسط یوجنیو بلترامی پیشنهاد شد که از این مدل ها برای نشان دادن اینکه هندسه هذلولی با هندسه اقلیدسی همخوانی دارد، استفاده کرد . این نام به افتخار هانری پوانکاره گرفته شده است ، زیرا کشف مجدد این نمایش چهارده سال بعد بیشتر از اثر اصلی بلترامی شناخته شد. [1]

مدل توپ پوانکاره مدل مشابه است 3 یا N هندسه هذلولی بعدی که در آن نقطه از هندسه در می N بعدی واحد توپ .

فهرست

خواص [ ویرایش ]

خطوط [ ویرایش ]

دیسک پوانکاره با 3 خط مستقیم فوق موازی (هذلولی).

خطوط مستقیم هذلولی شامل تمام کمان‌های دایره‌های اقلیدسی است که در داخل دیسک قرار دارند و با مرز دیسک متعامد هستند ، به اضافه تمام قطرهای دیسک.

قطب نما و ساخت و ساز مستقیم [ ویرایش ]

خط هذلولی منحصر به فرد از طریق دو نقطه P و Q که روی قطر دایره مرزی نیستند را می توان به صورت زیر ساخت :

اجازه دهید P' وارونگی در دایره مرزی نقطه P باشد
بگذارید Q' وارونگی در دایره مرزی نقطه Q باشد
بگذارید M نقطه وسط قطعه PP باشد
بگذارید N نقطه وسط قطعه QQ باشد
رسم خط m تا M عمود بر قطعه PP'
رسم خط n تا N عمود بر بخش QQ'
اجازه دهید C جایی باشد که خط m و خط n قطع می شوند.
دایره c را با مرکز C و عبور از P (و Q) رسم کنید.
قسمتی از دایره c که داخل دیسک است خط هذلولی است.

اگر P و Q روی قطر دایره مرزی باشند، آن قطر خط هذلولی است.

راه دیگر این است:

بگذارید M نقطه وسط قطعه PQ باشد
خط m تا M را عمود بر قطعه PQ رسم کنید
اجازه دهید P' وارونگی در دایره مرزی نقطه P باشد
اجازه دهید N نقطه وسط قطعه PP باشد
رسم خط n تا N عمود بر بخش PP'
اجازه دهید C جایی باشد که خط m و خط n قطع می شوند.
دایره c را با مرکز C و عبور از P (و Q) رسم کنید.
قسمتی از دایره c که داخل دیسک است خط هذلولی است.

فاصله [ ویرایش ]

فاصله ها در این مدل معیارهای Cayley-Klein هستند . با توجه به دو نقطه مجزا ص و س در داخل دیسک، خط هذلولی منحصر به فرد اتصال آنها قطع مرز در دو نقطه ایده آل ، و ب ، آنها برچسب به طوری که نقاط هستند، به منظور، ، ص ، س ، ب و | ق | > | ap | و | pb | > | qb | .

فاصله هذلولی بین p و q پس از آن است $d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right| }}$ .

میله های عمودی نشان دهنده طول اقلیدسی پاره خطی است که نقاط بین آنها را در مدل به هم متصل می کند (نه در امتداد کمان دایره)، ln لگاریتم طبیعی است .

$\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {2|pq|^{2}|r|^{2}}{(|r|^{2}-|op|^{2} )(|r|^{2}-|oq|^{2})}}\راست)$

جایی که $|op|$ و $|oq|$ فاصله p مربوط به q تا مرکز دیسک است، $|pq|$ فاصله بین ص و س ، $|r|$ شعاع دایره مرزی دیسک و $\operatorname {arcosh}$ است تابع وارون هذلولوی از کسینوس هایپربولیک .

هنگامی که دیسک مورد استفاده دیسک واحد باز باشد و یکی از نقاط مبدا باشد و فاصله اقلیدسی بین نقاط r باشد، فاصله هذلولی برابر است با: $\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r$ جایی که $\operatorname {artanh}$ است تابع وارون هذلولوی از تانژانت هایپربولیک .

هنگامی که دیسک استفاده می شود دیسک واحد باز و نقطه است $x'=(r',\theta )$ بین مبدا و نقطه قرار دارد $x=(r,\theta )$ (یعنی دو نقطه در یک شعاع هستند، زاویه قطبی یکسانی دارند و $1>r>r'>0$ ، فاصله هذلولی آنها است $\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh } r-\operatorname {artanh} r')$ . این به فرمول قبلی کاهش می یابد اگر $r'=0$ .

حلقه ها [ ویرایش ]

دایره (مجموعه ای از تمام نقاط در یک هواپیما که در یک فاصله معین از یک نقطه داده شده، مرکز آن) یک دایره را به طور کامل در داخل دیسک لمس کردن و یا متقاطع مرز آن است. مرکز هذلولی دایره در مدل به طور کلی با مرکز اقلیدسی دایره مطابقت ندارد، اما آنها در همان شعاع دایره مرزی هستند.

ابر چرخه ها [ ویرایش ]

hypercycle (مجموعه ای از تمام نقاط در یک هواپیما که در یک طرف و در یک فاصله معین از یک خط داده شده، محور خود هستند) قوس دایره اقلیدسی یا وتر دایره مرز این است که از فاصله دایره مرزی در یک غیر حق زاویه . محور آن خط هذلولی است که در دو نقطه ایده آل مشترک است . این منحنی با فاصله همسان نیز شناخته می شود.

طالع بینی [ ویرایش ]

horocycle (یک منحنی که طبیعی و یا عمود بر ژئودزیک همگی مجانبی در همان جهت)، یک دایره در داخل دیسک که از لمس دایره حاشیه قرص است. نقطه ای که دایره مرزی را لمس می کند، بخشی از چرخه طالع بینی نیست. این یک نقطه ایده آل است و مرکز هذلولی هوروسیکلت است.

خلاصه اقلیدسی [ ویرایش ]

دایره اقلیدسی:

که به طور کامل در داخل دیسک است یک دایره هذلولی است .

(زمانی که مرکز دیسک داخل دایره نباشد، مرکز اقلیدسی همیشه به مرکز دیسک نزدیکتر از مرکز هذلولی است، یعنی $t_{e}<t_{h}$ دارای.)

که داخل دیسک است و مرز را لمس می کند، یک هوروسیکل است .
که مرز را به صورت متعامد قطع می کند یک خط هذلولی است . و
که مرز را به صورت غیر متعامد قطع می کند یک ابر چرخه است .

وتر اقلیدسی دایره مرزی:

که از مرکز می گذرد یک خط هذلولی است. و
که از مرکز نمی گذرد یک هایپرسیکل است.

متریک و انحنا [ ویرایش ]

نمای مدل « توپ » پوانکاره از لانه زنبوری منتظم هذلولی ، {3،5،3}

اگر u و v دو بردار در فضای برداری n بعدی واقعی R n با هنجار اقلیدسی معمولی باشند، که هر دو هنجار کمتر از 1 دارند، ممکن است یک متغیر ایزومتریک را با

$\delta (u,v)=2{\frac {\lVert uv\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{ 2})}\,,$

جایی که $\lVert \cdot \rVert$ نشان دهنده هنجار اقلیدسی معمول است. سپس تابع فاصله است

${\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac { \delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert uv\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end {هم راستا}}$

چنین تابع فاصله ای برای هر دو بردار هنجار کمتر از یک تعریف می شود و مجموعه این بردارها را به فضای متریک تبدیل می کند که مدلی از فضای هذلولی با انحنای ثابت -1 است. این مدل دارای خاصیت همسانی است که زاویه بین دو منحنی متقاطع در فضای هذلولی با زاویه مدل یکسان است.

مرتبط تانسور متریک از مدل دیسک پوانکاره داده شده است [2]

$ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\ راست)^{2}}}={\frac {4\lVert d\mathbf {x} \rVert ^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2} {\bigr )}^{2}}}$

که در آن x i مختصات دکارتی فضای اقلیدسی محیطی است. ژئودزیک از مدل دیسک محافل عمود بر حوزه مرز S N -1 .

یک قاب متعارف با توجه به این متریک ریمانی توسط

$e_{i}={\frac {1}{2}}\left(1-|\mathbf {x} |^{2}\right){\frac {\partial }{\partial x^{ من}}}،$

با قاب دوگانه 1-فرم

$\theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |^{2}}}\,dx^{i}.$

در دو بعد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: متریک پوانکاره

در دو بعد، با توجه به این قاب ها و اتصال Levi-Civita، فرم های اتصال توسط ماتریس متقارن متقارن 1 شکل منحصر به فرد ارائه شده است. $\ امگا$ که بدون پیچش است، یعنی معادله ماتریس را برآورده می کند $0=d\theta +\omega \wedge \theta$ . حل این معادله برای $\ امگا$ بازده - محصول

$\omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0 \end{pmatrix}}،$

که در آن ماتریس انحنا قرار دارد

$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{(1-|\mathbf {x} |^{2 })^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

بنابراین، انحنای دیسک هیپربولیک است

$K=\Omega _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.$

ارتباط با مدل های دیگر هندسه هذلولی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: هندسه هایپربولیک § اتصال بین مدل ها

مدل دیسک پوانکاره (خط P )، و روابط آنها با مدل های دیگر

ارتباط با مدل دیسک کلاین [ ویرایش ]

مدل کلاین دیسک (همچنین به عنوان مدل بلترامی-کلین شناخته می شود) و مدل دیسک پوانکاره هر دو مدل که پروژه طیف هواپیما اغراقی در یک هستند دیسک . این دو مدل از طریق یک طرح ریزی روی یا از مدل نیمکره به هم مرتبط هستند . مدل دیسک کلاین یک پیش بینی املایی به مدل نیمکره است در حالی که مدل دیسک پوانکاره یک طرح ریزی استریوگرافی است .

مزیت مدل دیسک کلاین این است که خطوط در این مدل آکوردهای مستقیم اقلیدسی هستند . اشکال آن این است که مدل دیسک کلاین است منسجم (دایره و زاویه ها تحریف شده).

هنگامی که خطوط یکسان در هر دو مدل بر روی یک دیسک نمایش داده می شود، هر دو خط از دو نقطه ایده آل مشابه عبور می کنند . (نقاط ایده آل در همان نقطه باقی می مانند) همچنین قطب وتر در مدل دیسک کلاین مرکز دایره ای است که در مدل دیسک پوانکاره حاوی قوس است.

یک نقطه ( x , y ) در مدل دیسک پوانکاره به نگاشت می شود $\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2 }}}\درست)$ در مدل کلاین

یک نقطه ( x , y ) در مدل کلاین به{ $\left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{ \sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)$ در مدل دیسک پوانکاره

برای امتیاز ایده آل $x^2 + y^2 = 1$ و فرمول ها تبدیل می شوند $x=x\ ,\ y=y$ بنابراین نقاط ثابت هستند.

اگر $تو$ یک بردار هنجار کوچکتر از یک است که نقطه ای از مدل دیسک پوانکاره را نشان می دهد، سپس نقطه متناظر مدل دیسک کلاین با:

$s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.$

برعکس، از یک بردار $س$ هنجار کمتر از یک نشان دهنده نقطه ای از مدل بلترامی-کلاین است، نقطه متناظر مدل دیسک پوانکاره به صورت زیر به دست می آید:

$u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\راست) s}{s\cdot s}}.$

رابطه با مدل نیم صفحه پوانکاره [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: تبدیل Cayley § Conformal map

مدل دیسک پوانکاره و مدل نیم صفحه پوانکاره هر دو به نام هانری پوانکاره نامگذاری شده اند .

اگر $تو$ بردار هنجار کوچکتر از یک است که نقطه ای از مدل دیسک پوانکاره را نشان می دهد، سپس نقطه متناظر مدل نیم صفحه به صورت زیر به دست می آید:

$s={\frac {u+i}{iu+1}}.$

یک نقطه (x,y) در مدل دیسک به $\left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2} {x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,$ در مدل نیمه هواپیما [3]

یک نقطه (x,y) در مدل نیم صفحه به نگاشت می شود $\left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1 {x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,$ در مدل دیسک

ارتباط با مدل هایپربولوئید [ ویرایش ]

مدل hyperboloid می تواند به عنوان تی معادله نشان 2 = X 1 2 + X 2 2 1، تی> 1. می توان از آن برای ساخت یک مدل دیسک پوانکاره به عنوان یک طرح مشاهده شده از (t=-1, x 1 =0, x 2 =0) استفاده کرد و نیمه هایپربولوئید بالایی را روی دیسک واحد در t=0 نمایش داد. ژئودزیک قرمز در مدل دیسک پوانکاره به ژئودزیک قهوه‌ای روی هیپربولوئید سبز نشان می‌دهد.

انیمیشن یک کاشی کاری هذلولی جزئی {7،3} از هایپربولوئید که در چشم انداز پوانکر چرخیده است.

مدل دیسک پوانکاره و همچنین مدل کلاین به صورت تصویری به مدل هایپربولوئید مربوط می شوند . اگر یک نقطه [ t , x 1 , ..., x n ] در صفحه بالای هیپربولوئید مدل هایپربولوئید داشته باشیم، بدین ترتیب یک نقطه در مدل هایپربولوئید تعریف می کنیم، ممکن است آن را بر روی صفحه t = 0 قرار دهیم. تقاطع آن با یک خط کشیده شده از [-1، 0، ...، 0]. نتیجه نقطه متناظر مدل دیسک پوانکاره است.

برای مختصات دکارتی ( t , x i ) در هیپربولوئید و ( y i ) در صفحه، فرمول های تبدیل عبارتند از:

$y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}$

$(t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i }^{2}}}}\,.$

فرمول های نمایش استریوگرافیک بین کره و صفحه را مقایسه کنید.

ساختارهای هندسه تحلیلی در صفحه هذلولی [ ویرایش ]

ساختار اصلی هندسه تحلیلی یافتن خطی از دو نقطه داده شده است. در مدل دیسک پوانکاره، خطوط در صفحه توسط بخش‌هایی از دایره‌هایی که معادلات شکلی دارند، تعریف می‌شوند.

$x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,$

که شکل کلی یک دایره متعامد به دایره واحد یا بر اساس قطر است. با توجه به دو نقطه u و v در دیسک که روی قطر قرار ندارند، می توانیم دایره این شکل را که از هر دو نقطه می گذرد حل کنیم و به دست آوریم.

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {v_{1}(u_{2}^{2}+v_{2}^{2} +1)-v_{2}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}} x\\[8pt]&{}+{\frac {u_{2}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+1)-u_{1}(u_{2}^ {2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{تراز شده}}$

اگر نقاط u و v نقاطی در مرز دیسک هستند که در نقاط انتهایی قطر قرار ندارند، موارد فوق ساده می شود

$x^{2}+y^{2}+{\frac {2(v_{1}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1} }}x-{\frac {2(u_{2}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.$

زوایا [ ویرایش ]

می‌توانیم زاویه بین قوس دایره‌ای را که نقاط انتهایی آن ( نقاط ایده‌آل ) با بردارهای واحد u و v داده شده‌اند ، و کمانی که نقاط انتهایی آن s و t هستند را با استفاده از یک فرمول محاسبه کنیم. از آنجایی که نقاط ایده آل در مدل کلاین و مدل دیسک پوانکاره یکسان است، فرمول ها برای هر مدل یکسان است.

اگر خطوط هر دو مدل دارای قطر باشند، به طوری که v = − u و t = − s ، آنگاه ما فقط زاویه بین دو بردار واحد را پیدا می کنیم و فرمول زاویه θ است.

$\cos(\theta)=u\cdot s\,.$

اگر v = - u اما t = - s نباشد ، فرمول بر حسب حاصلضرب گوه تبدیل می شود ( $\ گوه$ )

$\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}،$

جایی که

$P=u\cdot (st)\,,$

$Q=u\cdot u\,,$

$R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.$

اگر هر دو آکورد قطر نباشند، فرمول کلی به دست می آید

$\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,$

جایی که

$P=(uv)\cdot (st)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,$

$Q=(uv)\cdot (uv)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,$

$R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.$

با استفاده از هویت بینه-کوشی و این واقعیت که این بردار واحد ما ممکن است بالاتر از عبارت صرفا از نظر بازنویسی هستند محصول از نقطه ، به عنوان

$P=(uv)\cdot (st)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.$

$Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,$

$R=(1-s\cdot t)^{2}\,.$

تحقق هنری [ ویرایش ]

کاشی کاری هذلولی مثلثی (6،4،2) که الهام بخش MC Escher بود

همچنین ببینید: MC Escher و Circle Limit III

MC Escher مفهوم نمایش بی نهایت را در یک صفحه دو بعدی بررسی کرد. بحث و گفتگو با HSM Coxeter ریاضیدان کانادایی در حدود سال 1956 باعث الهام بخش علاقه اشر به تسلسل های هذلولی شد ، که کاشی کاری های منظم صفحه هایپربولیک هستند. حکاکی‌های چوبی اشر Circle Limit I–IV این مفهوم را بین سال‌های 1958 و 1960 نشان می‌دهد، آخرین مورد، Circle Limit IV: Heaven and Hell در سال 1960 است. [4] به گفته برونو ارنست، بهترین آنها Circle Limit III است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_disk_model

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و چهارم آبان ۱۴۰۰ ساعت 19:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه مجموعه محدب 1

مجموعه غیر محدب

مجموعه ای است که محدب نیست است که به نام مجموعه غیر محدب . چند ضلعی است که یک چند ضلعی محدب است که گاهی اوقات به نام چند ضلعی مقعر ، [3] و برخی از منابع به طور کلی استفاده از اصطلاح مجموعه ای مقعر به معنی یک مجموعه غیر محدب، [4] اما اکثر مقامات منع این استفاده. [5] [6]

مکمل یک مجموعه محدب، مانند کتیبه از یک تابع مقعر است، گاهی به نام مجموعه محدب معکوس ، به خصوص در زمینه بهینه سازی ریاضی . [7]

خواص [ ویرایش ]

با توجه به r نقاط u 1 , ... , u r در یک مجموعه محدب S , و r اعداد غیر منفی λ 1 , ... , λ r به گونه ای که λ 1 + ... + λ r = 1 ، ترکیب وابسته

$\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}$

متعلق به اس . از آنجایی که تعریف مجموعه محدب حالت r = 2 است ، این ویژگی مجموعه های محدب را مشخص می کند.

چنین ترکیبی آفین است به نام ترکیب محدب از تو 1 ، ...، تو تحقیق .

اشتراک ها و اجتماع ها [ ویرایش ]

مجموعه ای از زیر مجموعه های محدب یک فضای برداری، یک فضای وابسته یا یک فضای اقلیدسی دارای ویژگی های زیر است: [8] [9]

مجموعه تهی و کل فضای محدب.
محل اشتراک هر مجموعه ای از مجموعه های محدب محدب است.
اجتماع از دنباله ای از مجموعه محدب محدب است، اگر آنها به صورت یک زنجیره غیر کاهش برای گنجاندن. برای این ویژگی، محدودیت به زنجیره مهم است، به عنوان اتحاد دو مجموعه محدب لازم نیست محدب.

مجموعه های محدب بسته [ ویرایش ]

مجموعه های محدب بسته مجموعه های محدبی هستند که تمام نقاط حد خود را در بر می گیرند . آنها را می توان به عنوان اشتراک نیمه فضاهای بسته (مجموعه نقاطی در فضا که در یک طرف یک ابر صفحه قرار دارند ) مشخص کرد.

از آنچه گفته شد مشخص می شود که این گونه اشتراک ها محدب هستند و همچنین مجموعه های بسته خواهند بود. برای اثبات عکس آن، یعنی هر مجموعه محدب بسته ممکن است به عنوان چنین اشتراکی نشان داده شود، به قضیه ابرصفحه پشتیبان نیاز داریم به این شکل که برای یک مجموعه محدب بسته داده شده C و نقطه P خارج از آن، یک نیمه فضای بسته H وجود دارد که حاوی C و نه P است . قضیه ابرصفحه پشتیبان یک مورد خاص از قضیه هان-باناخ در تحلیل تابعی است .

مجموعه ها و مستطیل های محدب [ ویرایش ]

فرض کنید C یک جسم محدب در صفحه باشد (مجموعه محدبی که فضای داخلی آن خالی نیست). می‌توانیم یک مستطیل r را به‌گونه‌ای در C بنویسیم که یک نسخه همتز R از r حدود C باشد. نسبت همتای مثبت حداکثر 2 است و: [10]

${\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Area} (R)\leq \operatorname {Area} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Area} (r)$

نمودارهای بلاشکه-سانتالو [ ویرایش ]

مجموعه ${\mathcal {K}}^{2}$ تمام اجسام محدب مسطح را می توان بر حسب قطر جسم محدب D ، شعاع r آن (بزرگترین دایره موجود در جسم محدب) و شعاع محیطی R (کوچکترین دایره حاوی جسم محدب) پارامتر کرد . در واقع، این مجموعه را می توان با مجموعه ای از نابرابری های ارائه شده توسط [11] [12] توصیف کرد.

$2r\leq D\leq 2R$

$R\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D$

$r+R\leq D$

$D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})$

و می توان آن را به عنوان تصویر تابع g که یک جسم محدب را به نقطه R 2 ارائه شده توسط ( r / R ، D /2 R ) ترسیم می کند، تجسم کرد . تصویر این تابع یک نمودار ( r , D , R ) بلاشکه-سانتالو شناخته شده است. [12]

نمودار بلاشچک -سانتولو ( r , D , R ) برای اجسام محدب مسطح $\mathbb {L}$ نشان دهنده بخش خط است، $\mathbb {I} _{\frac {\pi }{3}}$ مثلث متساوی الاضلاع، $\mathbb {RT}$ مثلث Reuleaux و $\mathbb {B} _{2}$ دایره واحد

متناوبا، مجموعه ${\mathcal {K}}^{2}$ همچنین می توان با عرض آن (کمترین فاصله بین هر دو ابرصفحه پشتیبانی موازی مختلف)، محیط و مساحت آن پارامتر کرد. [11] [12]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_set

+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم آبان ۱۴۰۰ ساعت 21:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مدل بلترامی-کلاین

بسیاری از خطوط هایپربولیک از طریق نقطه P که خط A را در مدل بلترامی-کلاین قطع نمی کند

کاشیکاری سه وجهی سه گانه هذلولی در طرح مدل بلترامی-کلاین

در هندسه ، مدل بلترامی-کلاین ، که به آن مدل فرافکنی ، مدل دیسک کلاین ، و مدل بلترامی-کلاین نیز گفته می شود ، یک مدل از هندسه هذلولی است که در آن نقاط با نقاط داخلی دیسک واحد نشان داده می شوند (یا n توپ واحد بعدی ) و خطوط توسط آکورد ، بخشهای مستقیم با نقاط انتهایی ایده آل در کره مرزی نشان داده می شوند .

مدل بلترامی-کلاین از هندسه ایتالیایی Eugenio Beltrami و Felix Klein آلمانی نامگذاری شده است در حالی که "Cayley" در مدل بلترامی-کلاین به هندسه انگلیسی آرتور کیلی اشاره دارد .

مدل بلترامی-کلین شبیه به است طرح gnomonic از هندسه کروی ، در آن ژئودزیک ( دایره بزرگ در هندسه کروی) به خطوط مستقیم نگاشت.

این مدل مطابق نیست ، به این معنی که زوایا و دایره ها تحریف می شوند ، در حالی که مدل دیسک Poincare اینها را حفظ می کند.

در این مدل ، خطوط و بخشها بخشهای اقلیدسی مستقیم هستند ، در حالی که در مدل دیسک Poincaré ، خطوط قوس هایی هستند که مرز را به صورت متعامد برآورده می کنند .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: معیار Cayley-Klein

این مدل اولین بار برای هندسه هذلولی در دو خاطره از اوژنیو بلترامی که در سال 1868 منتشر شد ، برای اولین بار برای بعد n = 2 و سپس برای n کلی ، این مقالات همخوانی هندسه هذلولی با هندسه اقلیدسی معمولی را اثبات کرد . [1] [2] [3]

مقالات Beltrami تا چندی پیش مورد توجه قرار نگرفتند و مدل از Klein نامگذاری شد ("مدل دیسک کلاین"). این به شرح زیر اتفاق افتاده است. در سال 1859 آرتور کیلی با استفاده از تعریف نسبت متقاطع از زاویه ناشی از لاگر برای نشان دادن چگونگی تعریف هندسه اقلیدسی با استفاده از هندسه فرافکنی استفاده کرد . [4] تعریف او از فاصله بعداً به عنوان معیار کایلی شناخته شد .

در سال 1869 ، فلیکس کلاین جوان (بیست ساله) با کارهای کیلی آشنا شد. وی یادآوری کرد که در سال 1870 در سمینار Weierstrass درباره کار کیلی سخنرانی کرد و نوشت:

"من با این سوال به پایان رسیدم که آیا ممکن است ارتباطی بین ایده های کیلی و لوباچفسکی وجود داشته باشد. به من پاسخ داده شد که این دو سیستم از نظر مفهومی به طور گسترده ای از هم جدا شده اند." [5]

بعداً ، فلیکس کلاین فهمید که ایده های کیلی باعث ایجاد یک مدل فرافکنی از هواپیمای غیر اقلیدسی می شود. [6]

همانطور که کلاین بیان می دارد ، "من به خودم اجازه دادم با این مخالفت ها قانع شوم و این ایده بالغ را کنار بگذارم." با این حال ، در سال 1871 ، او به این ایده بازگشت ، آن را به صورت ریاضی فرموله کرد و منتشر کرد. [7]

فرمول فاصله [ ویرایش ]

تابع فاصله برای مدل بلترامی-کلاین یک معیار مدل بلترامی-کلاین است . با توجه به دو نقطه متمایز p و q در توپ واحد باز ، خط مستقیم منحصر به فرد متصل به آنها مرز را در دو نقطه ایده آل ، a و b قطع می کند ، آنها را برچسب گذاری کنید تا نقاط به ترتیب a ، p ، q ، b و | aq | > | ap | و | سرب | > | qb | .

فاصله هذلولی بین p و q بدین ترتیب است: $d (p، q) = {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ left | aq \ right | \، \ left | pb \ right |} {\ left | ap \ right | \، \ چپ | qb \ راست |}}$

میله های عمودی نشان دهنده فاصله اقلیدسی بین نقاط بین آنها در مدل است ، log لگاریتم طبیعی است و ضریب یک نیمه برای دادن انحنای استاندارد model1 به مدل مورد نیاز است .

وقتی یکی از نقاط مبدا باشد و فاصله اقلیدسی بین نقاط r باشد ، فاصله هذلولی این است:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1 + r} {1-r}} \ right) = \ operatorname {artanh} r}$ که در آن artanh است تابع معکوس هایپربولیک از تانژانت هایپربولیک .

مدل دیسک کلاین [ ویرایش ]

خطوط در مدل تصویری صفحه هذلولی

در دو بعد مدل بلترامی-کلاین را مدل دیسک کلاین می نامند . این یک دیسک است و داخل دیسک یک مدل از کل صفحه هذلولی است . خطوط در این مدل با آکورد دایره مرزی ( مطلق نیز نامیده می شوند ) نشان داده می شوند. نقاط روی دایره مرزی را نقاط ایده آل می نامند . اگرچه کاملاً مشخص است ، اما آنها به هواپیمای هذلولی تعلق ندارند. همچنین نقاط خارج از دیسک که بعضاً نقاط فوق العاده ایده آل نامیده می شوند نیز وجود ندارد .

مدل مطابق نیست ، به این معنی که زوایا تحریف می شوند و دایره های صفحه هذلولی به طور کلی در مدل دایره ای نیستند. فقط حلقه هایی که مرکز آنها در مرکز دایره مرزی است تحریف نشده اند. سایر محافل ، و همچنین چرخه های موتور سیکلت و ابرچرخه ها ، تحریف شده اند

خصوصیات [ ویرایش ]

آکوردهایی که روی دایره مرزی قرار می گیرند خطوط موازی محدود کننده ای هستند .

اگر آکورد در خارج از دیسک گسترش یابد ، هر دو قطب عمود هستند . (قطب آکورد یک نقطه فوق العاده ایده آل است: نقطه خارج از دیسک جایی که مماس های دیسک در نقاط انتهایی آکورد به هم می رسند.) آکوردهایی که از مرکز دیسک عبور می کنند قطب خود را در بی نهایت ، متعامد با جهت وتر (این بدان معنی است که زاویه های راست قطرها مخدوش نمی شوند).

سازه های قطب نما و خط مستقیم [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: ساخت قطب نما و خط مستقیم

در اینجا چگونگی استفاده از سازه های قطب نما و جهته در مدل برای دستیابی به تأثیر ساختارهای اساسی در صفحه هذلولی وجود دارد .

قطب یک خط . در حالی که قطب نقطه ای در صفحه هذلولی نیست (یک نقطه فوق العاده ایده آل است ) اما بیشتر سازه ها از قطب یک خط به یک یا چند روش استفاده می کنند.

برای یک خط: از طریق نقاط ایده آل (انتهای) خط ، مماس ها را به دایره مرزی بسازید . نقطه تلاقی این مماس ها قطب است.

برای قطرهای دیسک: قطب در بی نهایت عمود بر قطر است.

برای ساخت یک عمود بر یک خط داده شده را از طریق یک نقطه داده شده رسم ری از قطب خط از نقطه داده شده است. بخشی از پرتو که داخل دیسک است عمود است.

وقتی خط یک قطر دیسک باشد ، عمود آن آکوردی است که (اقلیدسی) عمود بر آن قطر است و از نقطه داده شده عبور می کند.

برای یافتن نقطه میانی قطعه داده شده $AB$ : خطوط را از طریق A و B عمود بر آنها رسم کنید $AB$ . (نگاه کنید به بالا) خطوطی را که نقاط ایده آل این خطوط را به هم متصل می کند رسم کنید ، دو تا از این خط ها قطعه را قطع می کنند $AB$ و این کار را در همان نقطه انجام خواهد داد. این نقطه (هذلولی) است نقطه میانی از $AB$ . [8]
برای تقسیم کردن یک زاویه داده شده $\ BAC زاویه$ : پرتوهای AB و AC را بکشید . در دایره ای که پرتوهای دایره مرزی را قطع می کنند ، مماس بکشید. از A به نقطه ای که ماسک ها از یکدیگر تلاقی می کنند ، رسم کنید . بخشی از این خط بین A و دایره مرزی نیمساز است. [9]
عمود بر مشترک دو خط وتر است که هنگامی که گسترش می رود از طریق هر دو قطب از آکورد.

هنگامی که یکی از آکوردها به قطر دایره مرزی باشد ، عمود مشترک آن وتر است که عمود بر قطر است و هنگام طولانی شدن از قطب وتر دیگر عبور می کند.

برای انعکاس یک نقطه P در یک خط l : از یک نقطه R روی خط l پرتو را از طریق P رسم کنید. بگذارید X نقطه ایده آل محل تلاقی پرتوی مطلق باشد. پرتو را از قطب خط l از طریق X رسم کنید ، بگذارید Y نقطه تلاقی دیگر با مطلق باشد. قطعه RY را بکشید. بازتاب نقطه P نقطه ای است که پرتو از قطب خط l از طریق P با RY قطع می شود. [10]

حلقه ها ، هایپرچرخه ها و چرخه های حرارتی [ ویرایش ]

حلقه ها در مدل هندسه هذلولی کلین-بلترامی.

گرچه خطوط موجود در صفحه هذلولی در مدل دیسک کلاین به راحتی ترسیم می شوند ، اما با دایره ها ، ابرچرخه ها و چرخه های horocycles یکسان نیست .

دایره ها (مجموعه تمام نقاط یک صفحه که در یک فاصله معین از یک نقطه معین ، مرکز آن قرار دارند) در مدل به دلیل نزدیکتر شدن به لبه ، بیضه ها به طور فزاینده ای مسطح می شوند. همچنین زاویه ها در مدل دیسک کلاین تغییر شکل داده اند.

برای ساخت و سازهایی در صفحه هذلولی که حاوی دایره ها ، ابرچرخه ها ، چرخه های حرارتی یا زاویه های غیر راستاست ، بهتر است از مدل دیسک پوانکاره یا مدل نیم صفحه پوانکاره استفاده کنید .

ارتباط با مدل دیسک Poincare ( ویرایش )

مقاله اصلی: هندسه هذلولی § اتصال بین مدل ها

پیش بینی های ترکیبی از مدل دیسک کلاین (زرد) تا مدل دیسک پوانکاره (قرمز) از طریق مدل نیمکره (آبی)

مدل بلترامی-کلاین (K در تصویر) یک طرح نویسی از مدل نیم کره ای و یک طرح gnomonic از مدل هایپربولوئید (Hy) است که مرکز مرکز هایپربولوئید (O) است.

هر دو مدل دیسک پوانکاره و مدل دیسک Klein مدل هایی از صفحه هذلولی هستند. یک مزیت مدل دیسک پوانکاره این است که شکل آن یکنواخت است (دایره ها و زاویه ها مخدوش نمی شوند). یک نقطه ضعف این است که خطوط هندسی قوس های دایره ای متعامد دایره مرزی دیسک هستند.

این دو مدل از طریق یک برآمدگی از مدل نیمکره یا از آن مرتبط هستند . مدل کلاین یک طرح نویسی به مدل نیمکره است در حالی که مدل دیسک پوانکاره یک طرح کلیشه ای است .

هنگام نمایش خطوط یکسان در هر دو مدل بر روی یک دیسک ، هر دو خط از دو نقطه ایده آل عبور می کنند . (نقاط ایده آل در همان نقطه باقی می مانند) همچنین قطب آکورد مرکز دایره ای است که حاوی قوس است .

اگر P یک نقطه فاصله است $s$ از مرکز دایره واحد در مدل بلترامی-کلاین ، سپس نقطه مربوط به مدل دیسک پوانکاره فاصله u در همان شعاع:

$u = \ frac {s} {1+ \ sqrt {1-s ^ 2}} = \ frac {\ چپ (1- \ sqrt {1-s ^ 2} \ right)} {s}.$

برعکس ، اگر P یک نقطه فاصله دارد $تو$ از مرکز دایره واحد در مدل دیسک پوانکاره، سپس نقطه مربوط به مدل بلترامی-کلاین فاصله s در شعاع یکسان است:

$s = \ frac {2u} {1 + u ^ 2}.$

ارتباط مدل دیسک با مدل هیپربولوئید [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هندسه هذلولی § اتصال بین مدل ها

هر دو مدل هایپربولویید و مدل دیسک کلاین مدل هایی از صفحه هذلولی هستند.

دیسک کلاین (K ، در تصویر) یک برآمدگی گنومونیک از مدل هایپربولوئید (Hy) است که مرکز مرکز هایپربولویید (O) و صفحه طرح ریزی مماس نزدیکترین نقطه هایپربولوئید است. [11]

فاصله و سنسور متریک [ ویرایش ]

لانه زنبوری منظم هذلولی dodecahedral ، {5،3،4}

با توجه به دو نقطه مجزا از U و V در گلوله واحد باز مدل در فضای اقلیدسی ، خط مستقیم منحصر به فرد متصل آنها کره واحد را در دو نقطه ایده آل A و B قطع می کند ، دارای برچسب به طوری که نقاط به ترتیب در امتداد خط قرار بگیرند ، ، U ، V ، B . در نظر گرفتن مرکز توپ واحد مدل به عنوان مبدا و اختصاص بردارهای موقعیت u ، v ، a ، b به ترتیب به نقاط U ، V ، A ، B، ما باید بدانیم که ‖ a - v ‖> ‖ a - u ‖ و ‖ u - b ‖> ‖ v - b ‖ ، جایی که ‖ · ‖ نشانگر هنجار اقلیدسی است . سپس فاصله بین U و V در فضای هذلولی مدل شده به صورت بیان می شود

$d ({\ mathbf {u}} ، {\ mathbf {v}}) = {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ left \ | {\ mathbf {v}} - {\ mathbf {a}} \ right \ | \، \ left \ | {\ mathbf {b}} - {\ mathbf {u}} \ right \ |} {\ left \ | {\ mathbf {u}} - {\ mathbf {a}} \ right \ | \، \ left \ | {\ mathbf {b}} - {\ mathbf {v}} \ right \ |}} ،$

جایی که عامل یک نیمه برای ایجاد انحنا vat1 لازم است.

سنسور متریک مرتبط با داده می شود

${\ displaystyle ds ^ {2} = g (\ mathbf {x}، d \ mathbf {x}) = {\ frac {\ left \ | d \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2}} {1 - \ چپ \ | \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl ( } 1- 1- چپ \ | \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}} = {\ frac {(1- \ چپ \ | \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2}) \ چپ \ | d \ mathbf {x} \ راست \ | ^ {2} + (\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl (} 1- \ چپ \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}}}$ [12] [13]

ارتباط با مدل هیپربولوئید [ ویرایش ]

{7،3} کاشی کاری هایپربولیک جزئی از هیپربولوئید همانطور که در دیدگاه بلترامی-کلاین دیده می شود.

انیمیشن کاشیکاری هایپربولیک جزئی {7،3} از هیپربولوئید در حال چرخش به دیدگاه بلترامی-کلاین

مدل hyperboloid یک مدل از هندسه هذلولی در است ( N + 1) بعدی فضای مینکوفسکی . محصول داخلی مینکوفسکی توسط

${\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}} = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} - \ cdots -x_ {n} y_ {n} \ ،$

و هنجار توسط $\ چپ \ | {\ mathbf {x}} \ راست \ | = {\ sqrt {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {x}}}}$ . صفحه هذلولی به عنوان بردارهای x با ‖ x ‖ = 1 و x 0 مثبت ("م timلفه زمانی") در این فضا تعبیه شده است . سپس فاصله ذاتی (در تعبیه شده) بین نقاط u و v توسط داده می شود

$d ({\ mathbf {u}} ، {\ mathbf {v}}) = \ operatorname {arcosh} ({\ mathbf {u}} \ cdot {\ mathbf {v}}).$

این نیز ممکن است به شکل همگن نوشته شود

$d ({\ mathbf {u}} ، {\ mathbf {v}}) = \ operatorname {arcosh} \ چپ ({\ frac {{\ mathbf {u}}} {\ چپ \ | {\ mathbf {u} } \ راست \ |}} \ cdot {\ frac {{\ mathbf {v}}} {\ چپ \ | {\ mathbf {v}} \ راست \ |}} \ راست) ،$

که اجازه می دهد تا بردارها برای سهولت مجدد مقیاس بندی شوند.

مدل بلترامی-کلین از مدل hyperboloid توسط تغییر مقیاس همه بردارها به طوری که جزء قسمت زمان 1 است، این است که، با طرح ریزی تعبیه hyperboloid از مبدا بر روی هواپیما به دست آمده X 0 = 1 . تابع فاصله ، به شکل همگن ، بدون تغییر است. از آنجا که خطوط ذاتی (ژئودزیک) مدل هایپربلوئید محل تلاقی تعبیه شده با هواپیما از طریق منشأ مینکوفسکی است ، خطوط ذاتی مدل بلترامی-کلاین وترهای کره هستند.

ارتباط با مدل توپ پوانکره [ ویرایش ]

هر دو مدل توپ پوانکاره و مدل بلترامی-کلین مدل هستند N بعدی فضای هذلولی در N واحد توپ بعدی در R N . اگر $تو$ بردار هنجاری است کمتر از یک که نمایانگر یک نقطه از مدل دیسک Poincare است ، سپس نقطه مربوط به مدل بلترامی-کلاین توسط

$s = {\ frac {2u} {1 + u \ cdot u}}.$

برعکس ، از یک بردار $s$ هنجار کمتر از یک نشان دهنده یک نقطه از مدل بلترامی-کلاین ، نقطه مربوط به مدل دیسک پوانکاره توسط

$u = {\ frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s \ cdot s}}}} = {\ frac {\ سمت چپ (1 - {\ sqrt {1-s \ cdot s}} \ راست) s} {s \ cdot s}}.$

با توجه به دو نقطه در مرز دیسک واحد ، که به طور سنتی نقاط ایده آل نامیده می شوند ، خط مستقیم اتصال آنها درمدل بلترامی-کلاین وتر بین آنها است ، در حالی که در مدل پوانکاره مربوطه این خط یک قوس دایره ای روی دو است زیر فضایی بعدی که توسط دو بردار نقطه مرزی تولید می شود ، مرز توپ را در زاویه های راست برآورده می کند. این دو مدل از طریق یک برآمدگی از مرکز دیسک به هم مرتبط هستند. یک پرتو از مرکز عبور از یک نقطه از یک خط مدل از طریق نقطه مربوط به خط در مدل دیگر عبور می کند.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

Wikimedia Commons رسانه ای مربوط به مدلهای Beltrami – Klein دارد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami%E2%80%93Klein_model

+ نوشته شده در سه شنبه هشتم تیر ۱۴۰۰ ساعت 18:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه هندسه هذلولی

هواپیمای هذلولی صفحه ای است که در آن هر نقطه یک نقطه زین است . در فضای اقلیدسی شبه کره های مختلفی وجود دارد که دارای یک منطقه محدود از انحنای ثابت گوسی منفی هستند.

با قضیه هیلبرت ، غوطه ور شدن به صورت ایزومتریک صفحه کامل هذلولی (یک سطح منظم کامل از انحنای منفی ثابت گاوسی ) در یک فضای اقلیدسی سه بعدی امکان پذیر نیست.

مدلهای مفید دیگری از هندسه هذلولی در فضای اقلیدسی وجود دارد که در آنها متریک حفظ نمی شود. یک مدل کاغذی کاملاً مشهور و مبتنی بر شبه کره به دلیل ویلیام تورستون است .

مجموعه ای از هواپیماهای هذلولی قلاب بافی ، به تقلید از یک صخره مرجانی ، توسط موسسه شکل دادن

مرجانی با هندسه مشابه در صخره بزرگ سد

از هنر قلاب بافی استفاده شده است (رجوع کنید به ریاضیات و هنرهای الیاف ... بافندگی و قلاب بافی ) برای نشان دادن هواپیماهای هذلولی با اولین ساخته شده توسط Daina Taimiņa . [28]

در سال 2000 ، کیت هندرسون یک مدل کاغذی ساخت سریع به نام " فوتبال هذلولی " (دقیق تر ، کاشی مثلثی مرتبه 7 ). [29] [30]

دستورالعمل نحوه ساخت لحاف هذلولی ، طراحی شده توسط هلامان فرگوسن ، [31] توسط جف ویکس در دسترس قرار گرفته است . [32]

مدل های صفحه هذلولی [ ویرایش ]

هستند مختلف وجود دارد سطوح pseudospherical که برای یک منطقه بزرگ یک ثابت منفی گاوسی انحنای از pseudosphere بهترین بودن به خوبی از آنها شناخته شده است.

اما انجام هندسه هذلولی در مدل های دیگر آسان تر است.

مدل دیسک Poincare با کاشی کاری سه ضلعی کوتاه

خطوط از طریق یک نقطه داده شده و به موازات یک خط داده شده ، در مدل دیسک Poincare نشان داده شده است

چهار مدل معمولاً برای هندسه هذلولی استفاده می شود: مدل کلاین ، مدل دیسک Poincare ، مدل نیم صفحه Poincare ، و مدل Lorentz یا hyperboloid . این مدل ها یک صفحه هذلولی را تعریف می کنند که بدیهیات هندسه هذلولی را برآورده می کند. علیرغم نام آنها ، سه مورد اول ذکر شده در بالا به عنوان مدلهایی از فضای هذلولی توسط بلترامی معرفی شده اند ، نه توسط پوانکره یا کلاین . همه این مدل ها به ابعاد بیشتری قابل ارتقا هستند.

مدل Beltrami – Klein [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل Beltrami – Klein

مدل Beltrami – Klein ، همچنین به عنوان مدل دیسک پروژکتی ، مدل دیسک Klein و مدل Klein شناخته می شود ، از Eugenio Beltrami و Felix Klein نامگذاری شده است .

برای دو بعد این مدل از فضای داخلی دایره واحد برای صفحه هذلولی کامل استفاده می کند و آکوردهای این دایره خطوط هذلولی هستند.

برای ابعاد بالاتر این مدل از فضای داخلی توپ واحد استفاده می کند و آکوردهای این n- ball خطوط هذلولی هستند.

این مدل این مزیت را دارد که خطوط مستقیم هستند ، اما عیب آن است که زاویه ها تحریف می شوند (نگاشت مطابق نیست ) و همچنین دایره ها به عنوان دایره نشان داده نمی شوند.
فاصله در این مدل نصف لگاریتم مقطع است که توسط آرتور کیلی در هندسه تصویری معرفی شد .

مدل دیسک Poincare ( ویرایش )

مقاله اصلی: مدل دیسک Poincare

مدل قرص پوانکاره ، همچنین به عنوان مدل دیسک منسجم شناخته شده است، همچنین این استخدام داخل کشور، از دایره واحد ، اما خطوط توسط arcs از محافل که نشان متعامد به دایره مرز، به علاوه قطر دایره مرز.

این مدل زوایا را حفظ می کند ، و بنابراین سازگار است . بنابراین تمام ایزومتریهای موجود در این مدل تبدیلات مبیوس هستند .
دایره هایی که کاملاً درون دیسک هستند ، دایره هایی باقی می مانند اگرچه مرکز اقلیدسی دایره از مرکز هذلولی دایره به مرکز دیسک نزدیکتر است.
چرخه های چرخشی دایره هایی درون دیسک هستند که با دایره مرزی منهای نقطه تماس مماس هستند .
هایپرایکل ها وترهایی با انتهای باز و قوس های دایره ای درون دیسک هستند که در زاویه های غیر متعامد به دایره مرزی ختم می شوند.

مدل نیم فضای پوانکره [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل نیم فضای پوانکره

مدل نیم فضای پوانکره ، نیمی از صفحه اقلیدسی را که با یک خط B هواپیما محدود می شود ، می گیرد تا یک مدل از صفحه هذلولی باشد. خط B در مدل گنجانده نشده است.

صفحه اقلیدسی ممکن است یک صفحه با سیستم مختصات دکارتی باشد و محور x به عنوان خط B در نظر گرفته شود و نیمه صفحه نیمه بالایی ( y > 0) این صفحه باشد.

خطوط هذلولی پس از آن یا نیم دایره های متعامد B یا پرتوهای عمود بر B هستند .
طول یک فاصله بر روی یک اشعه با اندازه گیری لگاریتمی داده می شود ، بنابراین تحت یک تغییر هموتتیک ثابت است ${\ displaystyle (x، y) \ mapsto (x، \ lambda y) ، \ quad \ lambda> 0.}$
مانند مدل دیسک Poincare ، این مدل زوایا را نیز حفظ می کند و بنابراین مطابق است . بنابراین تمام ایزومتریهای موجود در این مدل تبدیلات موبیوس صفحه هستند.
مدل نیم صفحه محدودیت مدل دیسک Poincare است که مرز آن در همان نقطه مماس با B است در حالی که شعاع مدل دیسک تا بی نهایت می رود.

مدل هایپربلوئید [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل هیپربولوئید

مدل hyperboloid یا مدل لورنتس استخدام 2 بعدی hyperboloid از انقلاب (از دو ورق، اما با استفاده از یکی) جاسازی شده در 3 بعدی فضای مینکوفسکی . این مدل عموماً به پوانكاره نسبت داده می شود ، اما رینولدز [33] می گوید ویلهلم كیلینگ از این مدل در سال 1885 استفاده كرده است.

این مدل برای نسبیت خاص کاربرد مستقیمی دارد ، زیرا مینکوفسکی 3-فضایی مدلی برای زمان-زمان است ، که یک بعد فضایی را سرکوب می کند. می توان hyperboloid را برای نمایش وقایعی در نظر گرفت که ناظران مختلف متحرک ، که از یک نقطه واحد به بیرون در یک صفحه فضایی تابش می کنند ، در یک زمان مناسب مشخص به آن می رسند .
فاصله هذلولی بین دو نقطه روی هیپربولوئید را می توان با سرعت نسبی بین دو ناظر متناظر تشخیص داد.
مدل به طور مستقیم به یک بعد اضافی تعمیم می یابد ، جایی که هندسه هذلولی سه بعدی مربوط به مینکوفسکی 4-فضای است.

مدل نیمکره [ ویرایش ]

نیمکره مدل اغلب به عنوان مدل خود به خود استفاده نمی کند، اما آن را به عنوان یک ابزار مفید برای تجسم تحولات بین مدل های دیگر عمل می کند.

مدل نیمکره از نیمه بالایی کره واحد استفاده می کند : ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1، z> 0.}$

خطوط هذلولی نیم دایره های متعامد تا مرز نیمکره هستند.

مدل نیمکره بخشی از کره ریمان است و پیش بینی های مختلف مدل های مختلفی از صفحه هذلولی را ارائه می دهد:

پیش بینی استریوگرافی از $(0،0 ، -1)$ روی فضا $z = 0$ نقاط مربوط به مدل دیسک پوانکاره را طراحی می کند
پیش بینی استریوگرافی از $(0،0 ، -1)$ روی سطح $x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1 ، z> 0$ نقاط مربوطه را در مدل هایپربولوئید پروژه می کند
پیش بینی استریوگرافی از $(-1،0،0)$ روی فضا $x = 1$ نقاط مربوطه را در مدل نیم فضا پوانکاره پروژه می کند
فرافکنی نگاری بر روی صفحه $z = C$ نقاط مربوط به مدل Beltrami – Klein را طراحی می کند .
فرافکنی مرکزی از مرکز کره به صفحه $z = 1$ نقاط مربوط به مدل Gans را طراحی می کند

به ادامه مطلب مراجعه کنید: اتصال بین مدل ها (در زیر)

مدل گانس [ ویرایش ]

در سال 1966 دیوید گانس یک مدل هیپربلوئید مسطح را در مجله American Mathematical Monthly ارائه داد . [34] این یک طرح نویسی از مدل هیپربولوئید بر روی صفحه xy است. این مدل به اندازه مدل های دیگر مورد استفاده قرار نمی گیرد اما با این وجود در درک هندسه هذلولی کاملاً مفید است.

برخلاف مدل های کلاین یا پوانکره ، این مدل از کل صفحه اقلیدسی بهره می برد .
خطوط موجود در این مدل به عنوان شاخه های یک هذلولی نشان داده می شوند . [35]

مدل باند [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل باند

مدل باند بخشی از صفحه اقلیدسی را بین دو خط موازی به کار می گیرد. [36] فاصله در امتداد یک خط از وسط باند حفظ می شود. با فرض اینکه گروه توسط ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: | \ operatorname {Im} z | <\ pi / 2 \}}$ ، معیار داده شده توسط ${\ displaystyle | dz | \ sec (\ operatorname {Im} z)}$ .

اتصال بین مدل ها [ ویرایش ]

مدل های دیسک Poincare ، نیم کره و هایپروبلوئید با طرح کلیشه ای از related1 مرتبط هستند . مدل بلترامی-کلین است تصویر ارتوگرافیک از مدل نیم کره. مدل نیم هواپیمای Poincare در اینجا از مدل نیم کره ای توسط اشعه های انتهای سمت چپ مدل دیسک Poincareé پیش بینی شده است.

همه مدل ها اساساً همان ساختار را توصیف می کنند. تفاوت بین آنها این است که آنها نمودارهای مختصات مختلفی را نشان می دهند که در همان فضای متریک قرار گرفته اند ، یعنی صفحه هذلولی. مشخصه مشخصه صفحه هذلولی این است که دارای انحنای منفی ثابت گوسی است که نسبت به نمودار مختصات بکار رفته بی تفاوت است. ژئودزیک مشابه ناوردا هستند: این است که، ژئودزیک نقشه به ژئودزیک تحت مختصات تحول. هندسه هذلولی به طور کلی از نظر ژئودزیک و تقاطع آنها در صفحه هذلولی معرفی می شود. [37]

زمانی که ما یک نمودار مختصات (یکی از "مدل") را انتخاب کنید، ما می توانیم همیشه جاسازی آن را در یک فضای اقلیدسی همان ابعاد، اما تعبیه است که به وضوح ایزومتریک نیست (از انحنای فضا اقلیدسی 0 است). فضای هذلولی را می توان با بی نهایت نمودارهای مختلف نشان داد. اما تعبیه شده در فضای اقلیدسی به دلیل این چهار نمودار خاص ویژگی های جالبی را نشان می دهد.

از آنجا که این چهار مدل فضای متریک یکسانی را توصیف می کنند ، می توان هر یک را به دیگری تبدیل کرد.

به عنوان مثال مشاهده کنید:

ایزومتری های صفحه هذلولی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: هندسه حرکت و تبدیل هذلولی

هر ایزومتری ( تحول یا حرکت ) صفحه هذلولی به سمت خود می تواند به عنوان ترکیب حداکثر سه بازتاب تحقق یابد . در فضای هذلولی n بعدی ، ممکن است تا n +1 بازتاب لازم باشد. (اینها برای هندسه های اقلیدسی و کروی نیز صادق است ، اما طبقه بندی زیر متفاوت است)

تمام ایزومتری های صفحه هذلولی را می توان در این کلاس ها طبقه بندی کرد:

حفظ جهت
- همسان هویت - حرکت هیچ چیز، بازتاب صفر ؛ صفر درجه آزادی .
- وارونگی از طریق یک نقطه (نیمه چرخش) - دو بازتاب از طریق خطوط متقابل عمود عبور از نقطه داده شده ، یعنی چرخش 180 درجه به دور نقطه ؛ دو درجه آزادی .
- چرخش به دور یک نقطه عادی - دو بازتاب از طریق خطوط عبور از نقطه داده شده (شامل وارونگی به عنوان یک مورد خاص) ؛ نقاط بر روی دایره های اطراف مرکز حرکت می کنند. سه درجه آزادی.
- "چرخش" حول یک نقطه ایده آل (هول کردن) - دو بازتاب از طریق خطوط منتهی به نقطه ایده آل. نقاط در امتداد چرخه های حرکتی متمرکز بر نقطه ایده آل حرکت می کنند. دو درجه آزادی.
- ترجمه در امتداد یک خط مستقیم - دو بازتاب از طریق خطوط عمود بر خط داده شده. از خط حرکت داده شده در امتداد ابرچرخه ها امتیاز می گیرد. سه درجه آزادی.
جهت گیری معکوس
- بازتاب از طریق یک خط - یک بازتاب ؛ دو درجه آزادی.
- بازتاب ترکیبی از طریق یک خط و ترجمه در همان خط - رفت و آمد بازتاب و ترجمه ؛ سه بازتاب مورد نیاز است. سه درجه آزادی. [ نیاز به منبع ]

هندسه هذلولی در هنر [ ویرایش ]

چاپهای مشهور MC Escher Circle Limit III و Circle Limit IV مدل دیسک مطابق ( مدل دیسک پوانکاره ) را به خوبی نشان می دهد. خطوط سفید در III کاملا ژئودزیک نیستند ( هایپر سایکل هستند ) ، اما به آنها نزدیک هستند. همچنین می توان انحنای منفی صفحه هذلولی را از طریق تأثیر آن بر مجموع زاویه ها در مثلث و مربع ها به وضوح مشاهده کرد .

به عنوان مثال ، در Circle Limit III هر راس متعلق به سه مثلث و سه مربع است. در صفحه اقلیدسی ، زاویه آنها به 450 درجه می رسد. یعنی یک دایره و یک چهارم. از این رو می بینیم که مجموع زاویه های یک مثلث در صفحه هذلولی باید کوچکتر از 180 درجه باشد. یکی دیگر از ویژگی های قابل مشاهده ، رشد نمایی است . به عنوان مثال در Circle Limit III ، می توان دریافت که تعداد ماهیان در فاصله n از مرکز به طور نمایی افزایش می یابد. سطح ماهیان دارای هذلولی مساوی است ، بنابراین مساحت یک توپ به شعاع n باید به صورت نمایی در n افزایش یابد .

هنر قلاب دوزی است استفاده شده است برای نشان دادن هواپیماهای هذلولی (تصویر بالا) با اولین بودن ساخته شده توسط Daina Taimiņa ، [28] که کتاب قلاب بافی ماجراهای با هواپیماها هذلولوی سال 2009 موفق به کسب جایزه نمودار کتاب فروش / برای عجیب ترین عنوان از سال . [38]

HyperRogue یک بازی roguelike است که در کج های مختلف صفحه هذلولی قرار دارد .

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای هذلولی

هندسه هذلولی به 2 بعد محدود نمی شود. هندسه هذلولی برای هر تعداد بالاتر از ابعاد وجود دارد.

ساختار همگن [ ویرایش ]

فضای هذلولی بعد n یک مورد خاص از یک فضای متقارن ریمانی از نوع غیر فشرده است ، زیرا نسبت به نصف یکسان نیست

$\ mathrm {O} (1 ، n) / (\ mathrm {O} (1) \ بار \ mathrm {O} (n)).$

گروه متعامد O (1، N ) عمل می کند توسط تحولات هنجار-حفظ و در مینکوفسکی فضای R 1، N ، و آن را عمل می کند transitively در hyperboloid دو ورق هنجار 1 بردار. زمانوار خطوط (به عنوان مثال، کسانی که با مماس مثبت هنجار) از طریق پاس منشاء از طریق نقاط واقع در طرف مقابل در hyperboloid، بنابراین فضای از این خطوط بازده مدل هذلولی N فضا-. تثبیت کننده هر خط خاص ریخت به است کالا از گروه های متعامد O ( N ) و O (1)، که در آن O ( N) بر روی فضای مماس یک نقطه در هایپروبلوئید عمل می کند ، و O (1) خط را از طریق مبدا منعکس می کند. بسیاری از مفاهیم ابتدایی در هندسه هذلولی را می توان با اصطلاحات جبری خطی توصیف کرد : مسیرهای ژئودزیک توسط تقاطع هایی با صفحات از طریق مبدا توصیف می شوند ، زاویه های دو وجهی بین ابر هواپیماها را می توان با محصولات داخلی بردارهای طبیعی توصیف کرد و به گروه های بازتاب هذلولی صریح می توان تحقق ماتریس

در ابعاد کوچک ، ایزومورفیسمهای استثنایی گروههای دروغ وجود دارد که روشهای اضافی را برای در نظر گرفتن تقارن فضاهای هذلولی ایجاد می کند. به عنوان مثال ، در بعد 2 ، ایزومورفیسم SO + (1 ، 2) ≅ PSL (2 ، R ) ≅ PSU (1 ، 1) به شخص اجازه می دهد مدل نیمه صفحه بالا را به عنوان ضریب SL (2 ، R ) / SO تفسیر کند (2) و مدل دیسک Poincare به عنوان ضریب SU (1 ، 1) / U (1) . در هر دو حالت ، گروه های تقارن با تغییر شکل خطی کسری عمل می کنند ، زیرا هر دو گروه تثبیت کننده های جهت گیری نگهدارنده در PGL هستند (2 ، C )از زیر فضاهای مربوطه حوزه ریمان. تحول کیلی نه تنها یک مدل از صفحه هذلولی را به مدل دیگر می برد ، بلکه به هم شکل بودن گروه های تقارن به عنوان مزدوج در یک گروه بزرگتر پی می برد. در بعد 3 ، عمل خطی کسری PGL (2 ، C ) در کره ریمان با اقدام در مرز انطباق 3-فضای هذلولی ناشی از ایزومورفیسم O + (1 ، 3) ≅ PGL (2 ، C) مشخص می شود ). این امکان را برای فرد فراهم می کند تا با در نظر گرفتن خصوصیات طیفی ماتریس های پیچیده نماینده ، اندازه گیری های 3-فضایی هذلولی را مطالعه کند. به عنوان مثال ، تبدیلات سهموی در مدل نیمه فضای بالایی با ترجمه های صلب ترکیب شده اند و دقیقاً همان تحولاتی هستند که می توانند توسط ماتریس های مثلثی مثلثی غیر توانا نشان داده شوند.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry

+ نوشته شده در سه شنبه هشتم تیر ۱۴۰۰ ساعت 7:8 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه هندسه هذلولی

حلقه ها و دیسک ها [ ویرایش ]

در هندسه هذلولی ، دور دایره شعاع r بیشتر از است $2 \ pi r$ .

اجازه دهید $R = {\ frac {1} {\ sqrt {-K}}}$ ، جایی که $ک$ است انحنای گاوسی از فضا. در هندسه هذلولی ، $ک$ منفی است ، بنابراین ریشه مربع یک عدد مثبت است.

سپس محیط دایره شعاع r برابر است با:

$2 \ pi R \ sinh {\ frac {r} {R}} \ ،.$

و مساحت دیسک محصور شده:

${\ displaystyle 4 \ pi R ^ {2} \ sinh ^ {2} {\ frac {r} {2R}} = 2 \ pi R ^ {2} \ سمت چپ (\ cosh {\ frac {r} {R} } -1 \ راست) \ ،.}$

بنابراین ، در هندسه هذلولی نسبت محیط یک دایره به شعاع آن همیشه کاملاً بیشتر از است $2 \ pi$ ، اگرچه می توان با انتخاب یک دایره به اندازه کافی کوچک خودسرانه آن را بست.

اگر انحنای صفحه گاوسی −1 باشد ، انحنای ژئودزیکی دایره شعاع r برابر است با: ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tanh (r)}}}$ [1]

هایپرچرخه و چرخه های حرارتی [ ویرایش ]

Hypercycle و pseudogon در مدل دیسک Poincare

مقالات اصلی: ابرچرخه (هندسه هذلولی) و چرخه فاز

در هندسه هذلولی ، هیچ خطی وجود ندارد که تمام نقاط آن از یک خط دیگر فاصله مساوی داشته باشند. در عوض ، نقاطی که همه دارای فاصله متعامد یکسان از یک خط معین هستند ، بر روی منحنی بنام ابرچرخه قرار دارند .

منحنی خاص دیگر ، چرخه چرخه است ، منحنی ای که شعاعهای طبیعی آن ( خطوط عمود ) همگی به طور موازی با یکدیگر محدود شده اند (همه به صورت مجانبی در یک جهت به همان نقطه ایده آل یعنی مرکز چرخه همسان جمع می شوند).

از طریق هر جفت نقطه ، دو چرخه چرخشی وجود دارد. مراکز horocycles هستند نقاط ایده آل از نیمساز و عمود بر خط قطعه بین آنها.

با توجه به هر سه نقطه مشخص ، همه آنها در یک خط ، ابرچرخه ، چرخه یا دایره قرار می گیرند.

طول خط قطعه کوتاه ترین طول بین دو نقطه است. طول قوس یک ابر موتور سیکلت که دو نقطه را به هم متصل می کند ، بیشتر از قطعه خط است و کوتاه تر از یک چرخه ساعت است و همان دو نقطه را به هم متصل می کند. طول چرخه هر دو چرخه متصل کننده دو نقطه برابر است. طول قوس دایره بین دو نقطه بزرگتر از طول قوس یک چرخه ساعت است که دو نقطه را بهم متصل می کند.

اگر انحنای صفحه گاوسی −1 باشد ، انحنای ژئودزیکی یک هوروسیکل 1 و یک ابرچرخه بین 0 تا 1 است. [1]

مثلث [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مثلث هذلولی

برخلاف مثلث اقلیدسی ، که زاویه ها همیشه به π شعاع (180 درجه ، یک زاویه مستقیم ) جمع می شوند ، در هندسه هذلولی مجموع زاویه های یک مثلث هذلولی همیشه به شدت کمتر از π شعاع (180 درجه ، یک زاویه مستقیم ) است. از این اختلاف به عنوان نقص یاد می شود .

مساحت یک مثلث هذلولی در اثر نقص آن در رادیان ضرب شده در R 2 داده می شود . در نتیجه، تمام مثلث هذلولی در منطقه است که کمتر از یا مساوی R 2 π. مساحت یک مثلث ایده آل هذلولی که در آن هر سه زاویه 0 درجه هستند برابر با این حداکثر است.

همانند هندسه اقلیدسی ، هر مثلث هذلولی دارای یک دایره است . در هندسه هذلولی ، اگر هر سه رئوس آن روی یک چرخه یا ابرچرخه قرار داشته باشد ، مثلث هیچ دایره محدودی ندارد .

همانند هندسه کروی و بیضوی ، در هندسه هذلولی اگر دو مثلث به هم شبیه باشند ، باید همخوان باشند.

آپیرون معمولی [ ویرایش ]

یک اپیروگون و یک چرخه محدود در مدل دیسک Poincare - سایپرز ، باشگاه دانش

مقاله اصلی: Apeirogon ge هندسه هذلولی

یک چند ضلعی خاص در هندسه هذلولی ، آپیروگون منظم است ، یک چند ضلعی یکنواخت با تعداد بی نهایت اضلاع.

در هندسه اقلیدسی ، تنها راه برای ساخت چنین چند ضلعی این است که طول ضلع ها به صفر برسد و آپیروگون از یک دایره قابل تشخیص نیست یا زاویه های داخلی را به 180 درجه متمایل کرده و آپیروگون به یک خط مستقیم نزدیک می شود.

با این حال ، در هندسه هذلولی ، یک آپیرون معمولی دارای اضلاع به هر طولی است (یعنی چند ضلعی باقی می ماند).

نیمسازهای کناری و زاویه ای ، بسته به طول ضلع و زاویه بین دو طرف ، موازی محدود یا واگرا هستند (به خطوط بالا مراجعه کنید ). اگر نیمسازها محدود موازی باشند ، می توان آپوایرگون را با چرخه های متحدالمرکز نوشت و آن را محدود کرد .

اگر نیمسازها به موازات هم اختلاف داشته باشند ، می توان یک شبه ضلع (کاملاً متفاوت از آپیروگون) را در ابرچرخه ها نوشت (همه رئوس فاصله یک خط ، محور ، و همچنین نقطه میانی بخش های کناری همه فاصله یکسانی با یک محور دارند. )

شاخه های گل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کاشی کاری یکنواخت در صفحه هذلولی

همچنین نگاه کنید به: کاشی کاری منظم هذلولی

کاشیکاری Rhombitriheptagonal صفحه هذلولی ، که در مدل دیسک Poincare دیده می شود

مانند صفحه اقلیدسی همچنین می توان سطح هذلولی را با چند ضلعی های منظم به صورت صورت جدا کرد .

تعداد نامحدودی از کاشی های یکنواخت براساس مثلث شوارتز وجود دارد ( p q r ) که در آن 1 / p + 1 / q + 1 / r <1 ، جایی که p ، q ، r هر یک از نظم های تقارن بازتاب در سه نقطه از مثلث دامنه اساسی ، گروه تقارن یک گروه مثلث هذلولی است . همچنین بی نهایت کاشی های یکنواخت وجود دارد که نمی توان از مثلث شوارتز تولید کرد ، بعضی به عنوان مثال چهار ضلعی ها را به عنوان حوزه های اساسی نیاز دارند. [2]

انحنای استاندارد گوسی [ ویرایش ]

اگرچه هندسه هذلولی برای هر سطحی با انحنای ثابت گوسی منفی اعمال می شود ، اما معمول است که مقیاسی را در نظر بگیریم که در آن انحنای K − 1 باشد.

این امر منجر به ساده شدن برخی فرمول ها می شود. برخی از نمونه ها عبارتند از:

مساحت یک مثلث برابر است با نقص زاویه آن در رادیان .
مساحت یک بخش حرارتی چرمی برابر است با طول قوس سیکل چرخشی آن.
یک قوس از یک چرخه چرخشی به طوری که خطی که در یک نقطه انتهایی مماس باشد به طور موازی با شعاع از طریق نقطه انتهایی دیگر محدود است و طول آن 1 است. [3]
نسبت طول قوس بین دو شعاع از دو چرخه متحدالمرکز که فاصله چرخه ها با فاصله 1 فاصله است e : 1: 1. [3]

سیستم مختصات دکارتی مانند [ ویرایش ]

مقاله اصلی: سیستم های مختص صفحه هواپیمای هذلولی

در هندسه هذلولی ، مجموع زوایای چهار ضلعی همیشه کمتر از 360 درجه است و مستطیل های هذلولی با مستطیل های اقلیدسی تفاوت زیادی دارند ، زیرا هیچ خط مساوی وجود ندارد ، بنابراین یک مستطیل اقلیدسی مناسب باید توسط دو خط و دو ابرچرخه محصور شود . اینها همه سیستم های مختصات را پیچیده می کنند.

با این وجود سیستم های مختصات مختلفی برای هندسه صفحه هذلولی وجود دارد. همه مبتنی بر انتخاب یک نقطه (مبدا) بر روی یک خط کارگردانی انتخاب شده ( محور- x ) هستند و پس از آن گزینه های زیادی وجود دارد.

مختصات Lobachevski x و y با انداختن عمود بر محور x پیدا می شود . x برچسب پای عمود خواهد بود. y فاصله در امتداد عمود نقطه داده شده از پای آن خواهد بود (از یک طرف مثبت و از طرف دیگر منفی).

یک سیستم مختصات دیگر فاصله از نقطه تا چرخه را از طریق مبدا مرکز در اطراف اندازه گیری می کند $(0 ، + \ ناکافی)$ و طول آن در طول این چرخه چرخه. [4]

سایر سیستم های مختصات از مدل کلاین یا دیسک Poincare که در زیر توضیح داده شده استفاده می کنند و مختصات اقلیدسی را هذلولی می دانند.

فاصله [ ویرایش ]

یک سیستم مختصات دکارتی مانند به شرح زیر بسازید. یک خط ( محور- x ) در صفحه هذلولی (با انحنای استاندارد −1) انتخاب کنید و نقاط روی آن را با فاصله آنها از مبدا ( x = 0) بر روی محور- x برچسب گذاری کنید (مثبت در یک طرف و منفی از طرف دیگر). برای هر نقطه از صفحه ، می توان مختلات x و y را با انداختن عمود بر روی محور x تعریف کرد . x برچسب پای عمود خواهد بود. y فاصله در امتداد عمود نقطه داده شده از پای آن خواهد بود (از یک طرف مثبت و از طرف دیگر منفی). سپس فاصله بین دو نقطه از این دست خواهد بود [نقل قول لازم است ]

$\ operatorname {dist} (\ langle x_ {1} ، y_ {1} \ rangle ، \ langle x_ {2} ، y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ سمت چپ (\ cosh y_ {1} \ cosh (x_ {2} -x_ {1}) \ cosh y_ {2} - \ sinh y_ {1} \ sinh y_ {2} \ right) \ ،.$

این فرمول را می توان از فرمول های مربوط به مثلث هذلولی استخراج کرد .

سنسور متریک مربوطه: $(\ mathrm {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \ ، (\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2}$ .

در این سیستم مختصات ، خطوط مستقیم عمود بر محور x هستند (با معادله x = ثابت) یا با معادلات فرم توصیف می شوند

$\ tanh y = A \ cosh x + B \ sinh x \ quad {\ text {when}} \ quad A ^ {2} <1 + B ^ {2}$

که در آن A و B پارامترهای واقعی هستند که خط مستقیم را مشخص می کنند.

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: تاریخ هندسه غیر اقلیدسی

از زمان انتشار مقالات اقلیدس در حدود 300 سال قبل از میلاد ، بسیاری از هندسه ها سعی در اثبات فرض موازی داشتند . برخی با فرض نفی آن و تلاش برای ایجاد تناقض ، سعی در اثبات آن داشتند . مهمترین آنها پروکلوس ، ابن الحیثام (الهاچن ) ، عمر خیام ، [5] نصیرالدین التاسی ، ویتلو ، گرسونیدس ، آلفونسو و بعدا جیووانی جرولامو ساچری ، جان والیس ، یوهان هاینریش لمبرت و لجندر بودند . [6] تلاش های آنها محکوم به شکست بود (همانطور که اکنون می دانیم ، فرضیه موازی از سایر فرضیه ها قابل اثبات نیست) ، اما تلاش های آنها منجر به کشف هندسه هذلولی شد.

قضیه های الهاچن ، خیام و التصوی در مورد چهار ضلعی ، از جمله چهار ضلعی ابن هیثم – لمبرت و چهار ضلعی خیام – ساكری ، اولین قضیه ها در مورد هندسه هذلولی بودند. آثار آنها در هندسه هذلولی تأثیر قابل توجهی در توسعه آن در هندسه های بعدی اروپا ، از جمله ویتلو ، گرسونیدس ، آلفونسو ، جان والیس و ساچری داشت. [7]

در قرن 18، در یوهان هاینریش لامبرت معرفی توابع هذلولی [8] و مساحت یک محاسبه مثلث هذلولی . [9]

تحولات قرن نوزدهم [ ویرایش ]

در قرن نوزدهم ، هندسه هذلولی توسط نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی ، ژانوس بولیایی ، کارل فردریش گاوس و فرانتس تورینوس به طور گسترده کشف شد . برخلاف اسلاف خود ، که فقط می خواستند فرض موازی را از بدیهیات هندسه اقلیدسی حذف کنند ، این نویسندگان دریافتند که هندسه جدیدی کشف کرده اند. [10] [11] گاوس در نامه ای به سال 1824 به فرانتس تورینوس نوشت كه آن را ساخته است ، اما گاوس كار خود را منتشر نكرد. گاوس آن را " هندسه غیر اقلیدسی " نامید [12]باعث می شود چندین نویسنده مدرن همچنان "هندسه غیر اقلیدسی" و "هندسه هذلولی" را مترادف بدانند. Taurinus نتایج مربوط به مثلثات هذلولی را در سال 1826 منتشر كرد و استدلال كرد كه هندسه هذلولی از خود سازگار است ، اما هنوز هم به نقش ویژه هندسه اقلیدسی اعتقاد دارد. سیستم کامل هندسه هذلولی توسط لوباچفسکی در سال 1829/1830 منتشر شد ، در حالی که بولیایی آن را به طور مستقل کشف و در سال 1832 منتشر کرد.

در سال 1868 ، اوژنیو بلترامی مدل هایی از هندسه هذلولی (و به زیر را ببینید) ارائه داد و از این روش برای اثبات ثابت بودن هندسه هذلولی استفاده کرد اگر و فقط هندسه اقلیدسی بود.

اصطلاح "هندسه هذلولی" توسط فلیکس کلاین در سال 1871 مطرح شد. [13] کلاین به دنبال ابتکار آرتور کیلی مبنی بر استفاده از تحولات هندسه فرافکنی برای تولید isometries استفاده شد . این ایده از یک بخش مخروطی یا چهارم برای تعریف یک منطقه و از ضریب مقطع برای تعریف یک متریک استفاده می کرد . تحولات فرافکنی که قسمت مخروطی یا کوادریک را پایدار می گذارد ، همسنجها هستند. "كلین نشان داد كه اگر كایلی مطلق یك منحنی واقعی باشد ، آنگاه قسمت صفحه نمایشی در داخل آن با صفحه هذلولی ایزومتریک است ..."[14]

برای تاریخچه بیشتر ، به مقاله هندسه غیر اقلیدسی و منابع Coxeter [15] و Milnor مراجعه کنید . [16]

پیامدهای فلسفی [ ویرایش ]

کشف هندسه هذلولی پیامدهای مهم فلسفی داشت . قبل از کشف آن ، بسیاری از فلاسفه (به عنوان مثال هابز و اسپینوزا ) سخت گیری فلسفی را از نظر "روش هندسی" مشاهده می کردند و به روش استدلال مورد استفاده در عناصر اقلیدس اشاره می کردند .

کانت در نقد عقل ناب به این نتیجه رسید که فضا (در هندسه اقلیدسی ) و زمان توسط انسان به عنوان ویژگی های عینی جهان کشف نمی شود ، بلکه بخشی از یک چارچوب سیستماتیک اجتناب ناپذیر برای سازماندهی تجربیات ما است. [17]

گفته می شود که گاوس از ترس " هیاهوی بوئوتیان " چیزی را درباره هندسه هذلولی منتشر نکرده است ، که این باعث می شود وضعیت او به عنوان princeps mathematicorum (به لاتین ، "شاهزاده ریاضیدانان" از بین برود ). [18] "هیاهوی بوئوتیان" آمد و رفت ، و انگیزه ای برای پیشرفتهای بزرگ در سختگیری ریاضی ، فلسفه تحلیلی و منطق داد . هندسه هذلولی سرانجام ثابت شد و بنابراین یک هندسه معتبر دیگر است.

هندسه جهان (فقط ابعاد فضایی) [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فلسفه مکان و زمان

همچنین نگاه کنید به: شکل جهان § انحنای جهان

از آنجا که هندسه اقلیدسی ، هذلولی و بیضوی همه با هم سازگار هستند ، این سال پیش می آید: هندسه واقعی فضا کدام است و اگر هذلولی یا بیضوی باشد ، انحنای آن چقدر است؟

لباچفسکی در حال حاضر سعی کرده بود برای اندازه گیری انحنای جهان با اندازه گیری اختلاف منظر از سیریوس و درمان شباهنگ به عنوان نقطه ایده آل از زاویه موازی . او فهمید که اندازه گیری های وی به اندازه کافی دقیق نبوده تا بتواند پاسخ قطعی بدهد ، اما به این نتیجه رسید که اگر هندسه جهان هذلولی باشد ، طول مطلق آن حداقل یک میلیون برابر قطر مدار زمین است (2 000 000 AU ، 10 پارسك ). [19] برخی معتقدند که اندازه گیری های وی از نظر روش شناختی دارای نقص بوده است. [20]

هانری پوانکره با آزمایش تفکر کره و جهان خود به این نتیجه رسید که تجربه روزمره لزوماً سایر هندسه ها را منتفی نمی داند.

حدس هندسی می دهد یک لیست کامل از هشت احتمالات را برای هندسه اساسی فضای ما. مسئله در تعیین اینکه کدام یک اعمال می شود این است که ، برای رسیدن به یک پاسخ قطعی ، باید بتوانیم اشکال بسیار بزرگی را مشاهده کنیم - بسیار بزرگتر از هر چیزی روی زمین یا شاید حتی در کهکشان ما. [21]

هندسه جهان (نسبیت خاص) [ ویرایش ]

نسبیت خاص مکان و زمان را در موقعیت مساوی قرار می دهد ، به طوری که فرد به جای در نظر گرفتن مکان و زمان جداگانه ، هندسه یک زمان-زمان واحد را در نظر می گیرد. [22] [23] هندسه مینکوفسکی جای هندسه گالیله را می گیرد (که فضای اقلیدسی سه بعدی با زمان نسبیت گالیل است ). [24]

در نسبیت ، به جای در نظر گرفتن هندسه های اقلیدسی ، بیضوی و هذلولی ، هندسه های مناسب برای بررسی عبارتند از: فضای مینکوفسکی ، فضای دو سیتر و فضای ضد دی سیتر ، [25] [26] به ترتیب مربوط به انحنای صفر ، مثبت و منفی است.

هندسه هذلولی از طریق سرعت ، که به معنای سرعت است ، وارد نسبیت خاص می شود و با یک زاویه هذلولی بیان می شود . مطالعه این هندسه سرعت را هندسه حرکتی گفته اند . فضای سرعت های نسبی دارای هندسه هذلولی سه بعدی است ، جایی که تابع فاصله از سرعت نسبی نقاط "نزدیک" (سرعت) تعیین می شود. [27]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry

+ نوشته شده در سه شنبه هشتم تیر ۱۴۰۰ ساعت 7:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هندسه بیضوی

هندسه
طراحی حوزه به یک فضا
طرح کلی تاریخ
پنهان شدن شاخه ها اقلیدسی غیر اقلیدسی بیضوی کروی هذلولی هندسه غیر ارشمیدسی ابتکاری افتاده مصنوعی تحلیلی جبری حساب دیوفانتین دیفرانسیل ریمانیان نمادین دیفرانسیل گسسته مجتمع محدود، فانی گسسته / ترکیبی دیجیتال محدب محاسباتی فراکتال وقوع
نشان دادن مفاهیم امکانات
نشان دادن صفر بعدی
نشان دادن یک بعدی
نشان دادن دو بعدی
نشان دادن سه بعدی
نشان دادن چهار - / بعد دیگر
هندسه ها
نشان دادن بر اساس اسم
نشان دادن توسط دوره
v تی ه

هندسه بیضوی مثالی از هندسه ای است که فرضیه موازی اقلیدس در آن جا ندارد. در عوض ، مانند هندسه کروی ، هیچ خط موازی وجود ندارد زیرا هر دو خط باید با هم تلاقی داشته باشند. با این حال ، برخلاف هندسه کروی ، فرض می شود که دو خط در یک نقطه واحد (و نه دو) قطع می شوند. به همین دلیل ، هندسه بیضوی توصیف شده در این مقاله گاهی هندسه بیضوی منفرد خوانده می شود در حالیکه هندسه کروی گاهی هندسه بیضوی مضاعف خوانده می شود .

شکل گیری این هندسه در قرن نوزدهم تحریک توسعه هندسه غیر اقلیدسی به طور کلی ، از جمله هندسه هذلولی است .

هندسه بیضوی دارای خصوصیات مختلفی است که با خصوصیات هندسه کلاسیک صفحه اقلیدسی متفاوت است. به عنوان مثال ، مجموع زاویه های داخلی هر مثلث همیشه بیشتر از 180 درجه است.

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

در هندسه بیضوی ، دو خط عمود بر یک خط داده شده باید با هم تلاقی داشته باشند. در واقع ، عمودها در یک طرف همه در یک نقطه به نام قطب مطلق آن خط تلاقی می کنند. عمودهای سمت دیگر نیز در یک نقطه تلاقی دارند. با این حال ، برخلاف هندسه کروی ، قطب های هر دو طرف یکسان هستند. این به این دلیل است که در هندسه بیضوی هیچ نقطه پاد پاد وجود ندارد . به عنوان مثال ، این امر در مدل فوق كلی (كه در زیر توضیح داده شده است) با ساختن "نقاط" در هندسه ما جفت نقاط مخالف روی یك کره است. دلیل این کار این است که به هندسه بیضوی اجازه می دهد تا بدیهیات را برآورده کند که از هر دو نقطه یک خط منحصر به فرد عبور می کند.

هر نقطه با یک خط قطبی مطلق مطابقت دارد که قطب مطلق آن است. هر نقطه از این خط قطبی یک جفت مزدوج مطلق با قطب تشکیل می دهد. چنین جفت نقطه ای متعامد است و فاصله بین آنها یک ربع است . [1] : 89

فاصله بین یک جفت از نقاط متناسب با زاویه بین polars مطلق آنها است. [1] : 101

همانطور که توسط HSM Coxeter توضیح داده شده است

نام "بیضوی" احتمالاً گمراه کننده است. این به معنای هیچ ارتباط مستقیمی با منحنی به نام بیضی نیست ، بلکه فقط یک قیاس نسبتاً دور از ذهن است. به یک مخروط مرکزی بیضی یا ابرقربول گفته می شود زیرا هیچ مجانبی یا دو مجانبی ندارد . به طور مشابه ، گفته می شود که یک صفحه غیر اقلیدسی بیضوی یا هذلولی است زیرا هر یک از خطوط آن هیچ نقطه ای در بی نهایت یا دو نقطه در بی نهایت ندارد. [2]

دو بعدی [ ویرایش ]

صفحه بیضوی [ ویرایش ]

صفحه بیضوی صفحه نمایشی واقعی است که با متریک تهیه شده است : کپلر و دسارگوس از طرح گنومونی برای ارتباط صفحه یک σ با نقاط نیمکره مماس با آن استفاده کردند. با O مرکز نیمکره ، یک نقطه P در σ یک خط OP را قطع می کند که نیمکره را قطع می کند و هر خط L ⊂ σ یک صفحه OL را تعیین می کند که نیمکره را در نیمی از یک دایره بزرگ قطع می کند . نیمکره توسط صفحه ای از طریق O و به موازات σ محدود می شود. هیچ خط معمولی از σ با این صفحه مطابقت ندارد. در عوض یک خط در بی نهایتبه σ ضمیمه می شود. از آنجا که هر خط در این پسوند از σ با یک صفحه از طریق O مطابقت دارد ، و از آنجا که هر جفت از این صفحات در یک خط از طریق O قطع می شوند ، می توان نتیجه گرفت که هر جفت خط در پسوند تلاقی می کنند: تقاطع σ یا خط در بی نهایت را ملاقات می کند. بنابراین بدیهی هندسه تصویری ، که برای تلاقی همه جفت خطوط هواپیما لازم است ، تأیید می شود. [3]

با توجه به P و Q در σ ، فاصله بیضوی بین آنها اندازه گیری POQ زاویه است که معمولاً در رادیان گرفته می شود. آرتور کیلی مطالعه هندسه بیضوی را هنگام نوشتن "در مورد تعریف فاصله" آغاز کرد. [4] : 82 این تلاش برای انتزاع در هندسه توسط فلیکس کلاین و برنهارد ریمان دنبال شد که منجر به هندسه غیر اقلیدسی و هندسه ریمانی شد .

مقایسه با هندسه اقلیدسی [ ویرایش ]

مقایسه هندسه های بیضوی ، اقلیدسی و هذلولی در دو بعد

در هندسه اقلیدسی ، یک شکل را می توان به صورت نامحدود کوچک یا کوچک کرد ، و ارقام بدست آمده مشابه هستند ، یعنی دارای زاویه های مشابه و نسبت های داخلی یکسان هستند. در هندسه بیضوی اینگونه نیست. به عنوان مثال ، در مدل کروی می بینیم که فاصله بین هر دو نقطه باید کاملاً کمتر از نیمی از محیط کره باشد (زیرا نقاط ضد پدری مشخص می شوند). بنابراین یک بخش خط نمی تواند به طور نامحدود افزایش یابد. هندسه ای که خصوصیات هندسی فضایی را که در آن ساکن است اندازه گیری می کند ، می تواند از طریق اندازه گیری ، مقیاس فاصله مشخصی را که از ویژگی های فضا است ، تشخیص دهد. در مقیاس های بسیار کوچکتر از این ، فضا تقریباً مسطح ، هندسه تقریباً اقلیدسی است و می توان ارقام را کوچک و بزرگ کرد در حالی که تقریباً مشابه هستند.

بخش عمده ای از هندسه اقلیدسی مستقیماً به هندسه بیضوی منتقل می شود. به عنوان مثال ، اول و چهارم گزاره های اقلیدس ، که بین هر دو نقطه یک خط منحصر به فرد وجود دارد و تمام زوایای راست نیز برابر هستند ، در هندسه بیضوی نگه داشته می شوند. فرض 3 ، اینکه می توان دایره ای با هر مرکز و شعاع مشخص ساخت ، اگر "هر شعاع" به معنی "هر عدد واقعی" در نظر گرفته شود ، از کار می افتد ، اما اگر به معنای "طول هر قطعه خط داده شده" باشد ، قید دارد. بنابراین هر نتیجه در هندسه اقلیدسی که از این سه فرض نتیجه می گیرد ، در هندسه بیضوی مانند گزاره 1 از کتاب I of the Elements وجود دارد ، که می گوید با توجه به هر بخش خط ، یک مثلث متساوی الاضلاع را می توان با پایه به عنوان پایه ساخت.

هندسه بیضوی نیز مانند هندسه اقلیدسی است که در آن فضا پیوسته ، همگن ، همسانگرد و بدون مرز است. ایزوتروپی با فرض چهارم تضمین می شود که تمام زوایای راست برابر هستند. برای مثالی از همگنی ، توجه داشته باشید که گزاره I.1 اقلیدس بیانگر این است که مثلث متساوی الاضلاع مشابه را می توان در هر مکانی ساخت ، نه فقط در مکانهایی که به نوعی خاص هستند. فقدان مرزها از فرض دوم ، قابل توسعه بودن یک بخش خط ، ناشی می شود.

راهی که هندسه بیضوی با هندسه اقلیدسی تفاوت دارد این است که مجموع زاویه های داخلی یک مثلث بیشتر از 180 درجه است. به عنوان مثال ، در مدل کروی ، می توان مثلثی با رئوس در مکانهایی که سه محور مختصات دکارتی ، کره را قطع می کنند ، ساخت و هر سه زاویه داخلی آن 90 درجه است که در مجموع به 270 درجه می رسد. برای مثلث به اندازه کافی کوچک ، بیش از 180 درجه می تواند خودسرانه کوچک شود.

قضیه فیثاغورس در هندسه بیضوی نتواند. در مثلث 90 ° - 90 ° - 90 ° که در بالا توضیح داده شد ، هر سه ضلع دارای طول یکسان هستند و در نتیجه رضایت ندارند $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ . نتیجه فیثاغورث در حد مثلث های کوچک بازیابی می شود.

نسبت محیط دایره به مساحت آن نسبت به هندسه اقلیدسی کوچکتر است. به طور کلی ، مساحت و حجم به عنوان قدرت دوم و سوم ابعاد خطی مقیاس نمی شوند.

فضای بیضوی (مورد سه بعدی) [ ویرایش ]

توجه: در این بخش از اصطلاح "فضای بیضوی" برای اشاره به طور خاص به هندسه بیضوی 3 بعدی استفاده می شود. این برخلاف بخش قبلی است که تقریباً هندسه بیضوی 2 بعدی بود. کواترنیوم ها برای روشن سازی این فضا استفاده می شوند.

فضای بیضوی را می توان به روشی مشابه با ساخت فضای بردار سه بعدی ساخت: با کلاسهای هم ارز . یکی از کمانهای هدایت شده در محافل بزرگ کره استفاده می کند. به عنوان پاره خط به کارگردانی هستند هم نیرو هنگامی که آنها موازی هستند، از همان طول، و به همین ترتیب گرا، کمان تا کارگردانی در محافل بزرگ یافت می شود هم نیرو هنگامی که آنها از همان طول، جهت گیری، و دایره بزرگ است. این روابط تعادل به ترتیب فضای بردار سه بعدی و فضای بیضوی را تولید می کند.

دسترسی به ساختار فضای بیضوی از طریق جبر بردار ویلیام روون همیلتون فراهم می شود : او کره ای را به عنوان حوزه ای از ریشه های مربع منهای یک در نظر گرفت. سپس فرمول اولر $\ exp (\ theta r) = \ cos \ theta + r \ sin \ theta$ (جایی که r روی کره است) دایره بزرگ صفحه را شامل 1 و r نشان می دهد . نقاط مقابل r و - r مطابق با محافل مخالف است. قوس بین θ و φ با یک بین 0 و φ - θ برابر است. در فضای بیضوی ، طول قوس کمتر از π است ، بنابراین ممکن است قوس ها با θ در [0 ، π) یا (–π / 2 ، π / 2] پارامتری شوند. [5]

برای $z = \ exp (\ theta r) ، \ z ^ {*} = \ exp (- \ theta r) \ حاوی zz ^ {*} = 1 است.$ گفته می شود که مدول یا هنجار z یکی است (همیلتون آن را تنسور z می نامید). اما از آنجا که r در یک کره در 3 فضا قرار دارد ، exp (θ r) در کیه ای در 4 فضا قرار دارد که اکنون 3 کره نامیده می شود ، زیرا سطح آن سه بعد است. همیلتون جبر خود را quaternions نامید و به سرعت به ابزاری مفید و مشهور در ریاضیات تبدیل شد. فضای چهار بعدی آن در مختصات قطبی تکامل یافته است $t \ exp (\ تتا r) ،$ با t در اعداد واقعی مثبت .

هنگام انجام مثلثات روی زمین یا کره آسمانی ، اضلاع مثلث ها قوس های دایره بزرگی هستند. اولین موفقیت کواترنیون ها ارائه مثلثات کروی به جبر بود. [6] همیلتون کواترنیوم هنجار یک را versor نامید و اینها نقاط فضای بیضوی است.

با r ثابت ، نسخه ها

$e ^ {ar} ، \ quad 0 \ leq a <\ pi$

یک خط بیضوی تشکیل دهید . فاصله از $e ^ {ar}$ به 1 است . برای نسخه دلخواه u ، فاصله آن θ خواهد بود که برای آن cos θ = ( u + u ∗ ) / 2 است زیرا این فرمول قسمت اسکالر هر چهارم است.

یک حرکت بیضوی توسط نقشه کواترنیوم توصیف می شود

$q \ mapsto uqv ،$ جایی که u و v برعکس ثابت هستند.

فاصله بین نقاط همانند نقاط تصویر یک حرکت بیضوی است. درصورتی که u و v مزدوج کواترنیوم یکدیگر باشند ، حرکت یک چرخش فضایی است و قسمت بردار آنها محور چرخش است. در حالت u = 1 ، حرکت بیضوی را ترجمه کلیفورد راست یا پاراتاکسی می نامند . مورد v = 1 مربوط به ترجمه سمت چپ کلیفورد است.

خطوط بیضوی از طریق versor u ممکن است به نوعی باشد

$\ lbrace ue ^ {ar}: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace$ یا $\ lbrace e ^ {ar} u: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace$ برای یک r ثابت .

آنها ترجمه های راست و چپ کلیفوردی از u در امتداد یک خط بیضوی از طریق 1 هستند. فضای بیضوی با شناسایی نقاط ضد پدال از S 3 تشکیل می شود . [7]

فضای بیضوی ساختارهای خاصی دارد به نام های موازی کلیفورد و سطوح کلیفورد .

نقاط مختلف فضای بیضوی توسط تبدیل کایلی به 3 پوند برای نمایش جایگزین فضا ترسیم می شود.

فضاهای بعدی بالاتر [ ویرایش ]

مدل هایفرشی [ ویرایش ]

مدل فوق كلی تعمیم مدل كروی به ابعاد بالاتر است. نقاط فضای بیضوی n بعدی جفت بردارهای واحد ( x ، - x ) در R n +1 است ، یعنی جفت نقاط مخالف روی سطح توپ واحد در ( n + 1) - فضای بعدی ( هایفر کره n بعدی). خطوط موجود در این مدل دایره های بزرگی هستند ، به عنوان مثال تقاطع های ابر کره با سطحهای مسطح بعد n که از مبدا عبور می کنند.

هندسه بیضوی مصنوعی [ ویرایش ]

در مدل فرافکنی هندسه بیضوی ، از نقاط فضای افقی واقعی بعدی n به عنوان نقاط مدل استفاده می شود. این یک هندسه بیضوی انتزاعی را مدل سازی می کند که به آن هندسه فرافکنی نیز می گویند .

نقاط N فضای تصویری بعدی می توان با خطوط از مبدا در شناسایی ( N + 1) فضای بعدی، و می تواند غیر منحصر به فرد با بردارهای غیر صفر در نمایندگی R N 1 ، با این شرط که تو و λ تو ، برای هر اسکالر غیر صفر λ ، همان نقطه را نشان می دهد. فاصله با استفاده از متریک تعریف می شود

$d (u، v) = \ arccos \ left ({\ frac {| u \ cdot v |} {\ | u \ | \ \ | v \ |}} \ right)؛$

یعنی فاصله بین دو نقطه زاویه بین خطوط متناظر آنها در R n +1 است . فرمول فاصله در هر متغیر همگن است ، اگر λ و μ مقیاس غیر صفر باشند d (λ u ، μ v ) = d ( u ، v ) ، بنابراین فاصله را در نقاط فضای فرافکنی تعریف می کند.

ویژگی قابل توجه هندسه بیضوی تصویری این است که برای ابعاد مساوی ، مانند صفحه ، هندسه غیرقابل جهت است . با شناسایی آنها ، تفاوت بین چرخش جهت عقربه های ساعت و خلاف عقربه های ساعت را پاک می کند.

مدل استریوگرافی [ ویرایش ]

با استفاده از فرافکنی کلیشه ای می توان مدلی را نشان داد که همان فضای مدل عالی را نشان می دهد . بگذارید E n نشان دهنده R n ∪ {∞} باشد ، یعنی فضای واقعی n بعدی با یک نقطه در بی نهایت گسترش یافته است. ممکن است در E n توسط یک معیار ، معیار آکورد تعریف کنیم

$\ delta (u، v) = {\ frac {2 \ | uv \ |} {\ sqrt {(1+ \ | u \ | ^ {2}) (1+ \ | v \ | ^ {2})}} }}$

که در آن u و v هر دو بردار در R n و $\ | \ cdot \ |$ هنجار معمولي اقليدسي است. ما همچنین تعریف می کنیم

$\ دلتا (تو ، \ ناکافی) = \ دلتا (\ ناکارآمد ، تو) = {\ frac {2} {\ sqrt {1+ \ | u \ | ^ {2}}}}.$

نتیجه یک فضای متریک در E n است ، که فاصله را در امتداد آکورد نقاط متناظر در مدل ابرشیمی نشان می دهد ، که با طرح کلیشه ای به آن از نظر ذهنی نقشه می زند. اگر از متریک استفاده کنیم مدلی از هندسه کروی را بدست می آوریم

$d (u، v) = 2 \ arcsin \ چپ ({\ frac {\ delta (u، v)} {2}} \ right)$

هندسه بیضوی از این طریق با شناسایی نقاط u و - u بدست می آید و فاصله v تا این جفت را حداقل فاصله های v تا هر یک از این دو نقطه می گیریم.

قوام به خود [ ویرایش ]

از آنجا که هندسه بیضوی کروی را می توان به عنوان مثال یک زیر فضایی کروی از یک فضای اقلیدسی مدلسازی کرد ، بنابراین نتیجه می گیرد که اگر هندسه اقلیدسی خود سازگار باشد ، هندسه بیضوی کروی نیز چنین است. بنابراین اثبات فرض موازی بر اساس چهار فرض دیگر هندسه اقلیدسی امکان پذیر نیست.

تارسکی ثابت کرد که هندسه ابتدایی اقلیدسی کامل است : الگوریتمی وجود دارد که برای هر گزاره می تواند درست یا غلط بودن آن را نشان دهد. [8] (این قضیه گودل را نقض نمی کند ، زیرا هندسه اقلیدسی نمی تواند مقدار کافی حساب را برای اعمال قضیه توصیف کند. [9] ) بنابراین نتیجه می شود که هندسه بیضوی ابتدایی نیز خود سازگار و کامل است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry

+ نوشته شده در دوشنبه هفتم تیر ۱۴۰۰ ساعت 13:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

منیفولد G 2

در هندسه دیفرانسیل ، منیفولد G 2 یک منیفولد هفت بعدی ریمانی با گروه هولوگرافی موجود در G 2 است . گروه $G_ {2$ یکی از پنج گروه ساده دروغ استثنایی است . می توان آن را به عنوان توصیف گروه automorphism از octonions ، یا به طور برابر، به عنوان یک زیرگروه مناسب از گروه متعامد ویژه SO (7) که حفظ spinor در هشت بعدی نمایندگی spinor یا در نهایت به عنوان زیر گروه از کلی گروه خطی GL ( 7) که فرم غیر منسوخ 3 را حفظ می کند $\ فی$ شکل انجمنی هاج دو ، $\ psi = * \ phi$ پس از آن یک شکل 4 همسان موازی ، فرم همبستگی است. این اشکال کالیبراسیون به معنای ریس هاروی و H. بلین لوسون است ، [1] و به این ترتیب کلاس های ویژه ای از submanifolds های 3- و 4 بعدی را تعریف می کنند.

فهرست

خواص [ ویرایش ]

هر $G_ {2$ -منفرد است:

علاوه بر این ، هر منیفولد جمع و جور با هولوگونی برابر است $G_ {2$ دارای

گروه بنیادی محدود ،
کلاس Pontryagin غیر صفر اول ، و
اعداد سوم و چهارم غیر صفر بتی .

تاریخچه [ ویرایش ]

این حقیقت که $G_ {2$ احتمالاً این گروه هولوگونی برخی منیفولدهای ریمانی است که برای اولین بار توسط قضیه طبقه بندی 1955 مارسل برگر پیشنهاد شده است ، و این ثابت ماندگار با اثبات ساده ای است که بعدا توسط جیم سیمونز در سال 1962 داده شد. اگرچه نمونه ای از چنین منیفولد نبود. هنوز کشف شده است، ادموند Bonan حال ساخته شده است سهم مفید با نشان دادن اینکه، اگر چنین متنوع در واقع وجود داشته باشد، آن را هر دو به موازات 3-فرم و یک موازی 4 فرم حمل، و آن لزوما می شود ریچی-تخت می باشد. [2]

اولین نمونه های محلی 7 مانیفولد با هولوگونی $G_ {2$ بالاخره سال 1984 توسط ساخته شد رابرت برایانت ، و اثبات کامل خود را از وجود آنها در Annals در سال 1987. ظاهر شد [3] بعدی، کامل (اما هنوز هم noncompact) 7-منیفولدهای با holonomy $G_ {2$ در سال 1989 توسط برایانت و سایمون سالامون ساخته شد. [4] اولین 7 مانیفولد جمع و جور با هولوگونی $G_ {2$ در سال 1994 توسط دومینیک جویس ساخته شد. جمع و جور $G_ {2$ بنابراین ، منیفولدها بعضاً به عنوان "مانیفولدهای جویس" شناخته می شوند ، به خصوص در ادبیات فیزیک. [5] در سال 2013 ، توسط M. Firat Arikan ، Hyunjoo Cho و Sema Salur نشان داده شد که هر منیفولد با ساختار چرخش ، و از این رو ، یک $G_ {2$ ساختار ، اذعان می کند یک ساختار متریک تقریباً با مخاطب سازگار ، و یک ساختار تقریباً مخاطب سازگار با صریح برای منیفولدها با $G_ {2$ ساختار [6] در همان مقاله ، نشان داده شد که کلاسهای خاصی از $G_ {2$ -manifolds یک ساختار تماس پذیرفته است.

در سال 2015 ، ساخت و ساز جدید از جمع و جور $G_ {2$ مانیفولدز ، به دلیل آلیسیو کورتی ، مارک هاسکینز ، یوهانس نوردستروم و توماسو پاچینی ، ایده چسبندگی پیشنهادی توسط سیمون دونالدون را با تکنیک های جدید جبری-هندسی و تحلیلی برای ساخت منیفولدهای کالابی- یاو با انتهای استوانه ای ترکیب کرد ، و در نتیجه ده ها هزار نفر از دیفرانموریسم انواع نمونه های جدید [7]

اتصالات به فیزیک [ ویرایش ]

این منیفولدها در تئوری رشته مهم هستند . آنها تقارن اصلی را به 1/8 از مقدار اصلی می شکنند . به عنوان مثال ، تئوری M در یک فشرده شده است $G_ {2$ منیفولد منجر به یک تئوری واقعی چهار بعدی (11-7 = 4) با تقارن N = 1 می شود. فوق سنگین بودن مؤثر در انرژی کم حاوی یک ابرراینده واحد فوق سنگین ، تعدادی از سوپر مارکت های کایرال برابر با تعداد سوم بتی از $G_ {2$ منیفولد و تعدادی بردار U (1) سوپر گروه های مساوی با شماره بتی دوم.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/G2_manifold

+ نوشته شده در سه شنبه چهارم شهریور ۱۳۹۹ ساعت 0:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فضای مینکوفسکی

فضای مینکوفسکی ، به نام بعد از هرمان مینکوفسکی ، یک فضای چهار بعدی است که در آن است نظریه نسبیت می تواند به زیبایی فرموله شده است. در حدود سال 1907 ، مینکوفسکی تشخیص داد که کار هندورک آنتون لورنتز (1904) و آلبرت انیشتین (1905) در نظریه نسبیت را می توان در یک فضای غیر اقلیدسی درک کرد . وی فرض کرد که فضا و زمان در یک زنجیره چهار بعدی فضا-زمان به یکدیگر متصل هستند. این همچنین به عنوان دنیای مینکوفسکی شناخته می شود .

سه مختصات آن عبارتند از فضای اقلیدسی . همچنین مختصات چهارم برای زمان وجود دارد. بنابراین فضای مینکوفسکی دارای چهار بعد است. با این وجود ، فضای مینکوفسکی به دلیل ساختار متفاوت مختصات فضا و زمان تفاوت زیادی با فضای اقلیدسی دارد.

در ریاضیات نیز فضاهای مینکوفسکی از هر بعد در نظر گرفته می شود .

فهرست

تعریف واقعی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فضای مینکوفسکی یک فضای بردار واقعی چهار بعدی است که بر اساس آن محصول معمولی با بیان معمول ارائه نمی شود بلکه توسط یک فرم دوتایی غیر انحطاطی با شاخص 1 ارائه می شود. بنابراین این قطعی مثبت نیست . چهار بردار Minkowski (به اصطلاح "حوادث") به عناصر چهار جزء اختصاص داده می شود $\ mathbf x$ یا. $\ mathbf y$ بیش از حد و معمولاً ادامه دارد

$\ mathbf {x \ cdot y}: = - x_0 y_0 + x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3،$

مختصات کجاست $x_0 = ct$ همچنین تعریف شده واقعی است: به کمک سرعت نور می رود $ج$ از زمان هماهنگ $تی$ ظهور.

به جای امضای انتخاب شده در اینجا ${(- ، + ، + ، +)} ،$ که امروزه بیشتر در نسبیت عام مورد استفاده قرار می گیرد (این کنوانسیون در کتاب تأثیرگذار 1973 توسط چارلز میسنر ، کیپ تورن و جان آریشیبالد ویلر است ) ، اغلب به امضای معکوس بدنی معادل جسمی تبدیل می شود ، به خصوص در ادبیات جدید. $(+ ، - ، - ، -)}$ انتخاب شد دومی نیز در فیزیک ذرات مورد استفاده قرار می گیرد [1] و به عنوان مثال در مجموعه معروف کتابهای درسی توسط لانداو و لیفشیتز مورد استفاده قرار می گیرد . $(+ ، - ، - ، -)}$ از این رو به زبان انگلیسی به عنوان کنوانسیون فیزیک ذرات نیز خوانده می شود (که به آن کنوانسیون ساحل غربی نیز معروف است) ، و ${(- ، + ، + ، +)} ،$ کنوانسیون نظریه نسبیت [2] (همچنین کنوانسیون سواحل شرقی). گاهی اوقات به جای یک مختصات صفر به عنوان یک چهارم ثبت می شود.

روش دیگر، محصول داخلی از دو عنصر از فضای مینکوفسکی می تواند به عنوان استفاده می شود عمل تانسور متریک $\ eta _ {\ mu \ nu$ فهمیدن:

${\ mathbf {x \ cdot y}}: = \ eta _ {{\ mu \ nu}} x ^ {\ mu} y ^ {\ nu} \ ،،$

با تمایز مؤلفه های بردار ضد برابری و کوواریانت (شاخص های بالا و پایین ، به عنوان مثال $x ^ {0} = + ct \ ،$ ولی، $x_ {0} = \ eta _ {{0 \ nu}} \، x ^ {\ nu} = - ct \،$ $\ eta _ {{\ mu \ nu}} = {{\ rm {diag}}} (- 1 ، + 1، + 1، + 1) \،$ )

تعریف با زمان خیالی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

در برخی از کتابهای درسی قدیمی [3] از نماد معادل استفاده شده است که با استفاده از یک محور زمانی تخیلی ، از امضای مخلوط محصول داخلی جلوگیری می شود. با تنظیم $\ displaystyle x_ {0} = \ mathrm {i} ct، x_ {1} = x، x_ {2} = y، x_ {3} = z$ آیا می توانند $x_ {من$ می توان با معیارهای مثبت و اقلیدسی مثبت استفاده کرد و هنوز امضای صحیح مینکوفسکی را دریافت می کنید

$\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \.}$

مشخصه این کنوانسیون این است که هیچ تفاوتی بین اجزای تقارن و کواریانیت قائل نمی شود. تغییر از امضای مینکوفسکی به امضای اقلیدسی متریک ، چرخش Wick گفته می شود . این کنوانسیون در کتابهای درسی مدرن مورد استفاده قرار نمی گیرد و استفاده از آن دلسرد می شود. [4]

تحولات لورنتس [ ویرایش | ویرایش منبع ]

→ نوشتار اصلی : تبدیل لورنتس

تبدیلات لورنتس بازی مشابه نقش به چرخش در اطراف مبدا مختصات در فضای اقلیدسی: این کسانی که homogeneous- است خطی تحولات که جسم $\ eta _ {\ mu \ nu$ و بنابراین محصول درونی فضایی مینکوفسکی را بدون تغییر ، که اهمیت فضای مینکوفسکی را در نظریه ویژه نسبیت توجیه می کند ، کنار بگذارید . این فرمالیسم همچنین برای کلی سازی در نظریه عمومی نسبیت مناسب است . برخلاف گروه های دوار ، تحولات لورنتس نیز ساختار علی و عاملی سیستم ها را در نتیجه دارند.

ساختار علت (بردارهای شبیه به فضا ، زمان مانند و سبک) [ ویرایش | ویرایش منبع ]

عناصر از فضای مینکوفسکی می توان با توجه به نشانه از $y ^ {2$ را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

بردارهای مینکوفسکی مانند زمان (این مربوط به " جفت حوادث" است که می تواند علی الخصوص تحت تأثیر " اجسام عظیم " باشد [5] ) ،
فضا مانند بردار مینکوفسکی (علی غیر جفت رویداد influenceable)
- به عنوان یک مورد مرزی - بردارهای مینکوفسکی مانند سبک (علی رغم اینکه فقط جفت رویدادهایی هستند که می توانند تحت تأثیر سیگنالهای نوری قرار گیرند).

ثابت بودن این تقسیم در تمام تحولات لورنتس از تغییر ناحیه مخروط نوری ناشی می شود . فضای داخلی شبیه زمان مخروط نور ساختار علی را توصیف می کند : علل احتمالی یک رویداد در "گذشته" (ناحیه عقب مخروط نوری در داخل) قرار دارد ، تأثیرات احتمالی در "آینده" (ناحیه رو به جلو مخروط نوری در داخل). همچنین فضای بیرونی مخروط نوری مانند فضا وجود دارد ، که به علت مشاهده شده در مرکز "وابسته" نیست ، زیرا این امر نیاز به انتقال اطلاعات با سرعت بیشتری نسبت به سرعت نور دارد .

فضاهای مینکوفسکی در ریاضیات [ ویرایش | ویرایش منبع ]

در ریاضیات ، به ویژه در هندسه دیفرانسیل ، فضاهای مینکوفسکی را نیز در نظر می گیریم $\ mathbb {R} ^ {{1 ، n}$ از هر بعد اینها هستند $(n + 1)$ فضاهای برداری باریک با شکل دوقطبی متقارن $ب$ امضا $(1 ، ن)$ . در یک پایه مناسب $ب$ مانند

$b (x، y) = - x_ {0} y_ {0} + x_ {1} y_ {1} + \ ldots + x_ {n} y_ {n}$ ،

نشان می دهد ، این فرم به شکل Lorentz گفته می شود .

منبع

https://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Raum

+ نوشته شده در جمعه سی و یکم مرداد ۱۳۹۹ ساعت 20:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فرمول ریمان-هورویتز

در ریاضیات ، فرمول ریمان-هورویتز ، به نام های برنارد ریمان و آدولف هورویتز ، روابط خصوصیات اویلر دو سطح را توصیف می کند که یکی پوشانده شده از دیگری است. از این رو ، در این حالت ، شکاف بندی را با توپولوژی جبری متصل می کند . این یک نتیجه نمونه اولیه برای بسیاری دیگر است ، و اغلب در تئوری سطوح ریمان (که منشأ آن است) و منحنی های جبری استفاده می شود .

فهرست

بیانیه [ ویرایش ]

برای جمع و جور ، متصل ، orientable سطح $س$ ، ویژگی اویلر $\ چی (S)$ است

$\ displaystyle \ chi (S) = 2-2g$ ،

که در آن گرم است جنس (به تعداد دسته )، از اعداد بتی هستند ${\ نمایشگر 1،2 گرم ، 1،0،0 ، \ نقطه$ . در مورد نقشه پوشش ( اصلاح نشده ) سطوح

$\ displaystyle \ pi \ colone S '\ to S$

که از نظر ظاهری و درجه است $ن$ فرمول را داریم

$\ displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S).$

دلیلش این است که هر سادگی $س$ باید دقیقاً پوشانده شود $ن$ که در ' $S '$ ، حداقل اگر ما با استفاده از جریمه کافی مثلث از $س$ ، همانطور که ما حق داریم از آنجا که مشخصه اویلر یک تغییر توپولوژیک است انجام دهیم . آنچه فرمول ریمان-هورویتز انجام می دهد این است که در یک اصلاح اضافه کنید تا اصلاح ( ورق های جمع شده ) جمع شود .

اکنون این را فرض کنید $س$ و ' $S '$ هستند سطوح ریمان ، و نقشه $\ pi$ است تحلیلی مختلط . نقشه $\ pi$ گفته می شود منشعب در یک نقطه P در S 'اگر وجود داشته باشد مختصات تحلیلی در نزدیکی وجود دارد P و π ( P ) به صورتی که π π طول می کشد شکل ( Z ) = Z N و N > 1. یک راه معادل تفکر در مورد این این است که یک محله کوچک U از P وجود دارد به گونه ای که π ( P ) دقیقاً یک پیش نمایش در U دارد ، اما تصویر هر نقطه دیگر در U دقیقاً n اولویت های U دارد . عدد n را شاخص تشعشع می گوینددر P و همچنین توسط e P نشان داده شده است . در محاسبه ویژگی اویلر S ′ ما شاهد از دست دادن e- P نسخه های P در بالای π ( P ) هستیم (یعنی در تصویر معکوس π ( P )). اکنون اجازه دهید مثلث های S و S ′ را با نقاطی در شاخه و محل عبور انتخاب کنید و از این ها برای محاسبه مشخصات اویلر استفاده کنیم. سپس S ' به همان تعداد از د چهره بعدی برای د از صفر است، اما کمتر از رئوس انتظار می رود. بنابراین ما یک فرمول "اصلاح شده" می یابیم

$\ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) - \ sum _ {{P \ in S'}} (e_ {P} -1)$

یا همانطور که معمولاً نیز نوشته شده است

${\ displaystyle 2g (S ') - 2 = N \ cdot (2g (S) -2) + \ sum _ {P \ in S'} (e_ {P} -1)$

(همه اما به طور نهایی بسیاری از P دارای e P = 1 هستند ، بنابراین این کاملاً بی خطر است). این فرمول به عنوان فرمول ریمان-هورویتس و همچنین به عنوان قضیه هورویتز شناخته می شود .

فرم مفید دیگر این فرمول:

$\ displaystyle \ chi (S ') - r = N \ cdot (\ chi (S) -b)}$

در جایی که r تعداد نقاط S است که در آن پوشش دارای بزرگتر شدن غیرمستقیم ( نقاط بزرگ شدن ) و b تعداد نقاط S است که تصاویر چنین نقاطی ( نقاط شعبه ) است. در واقع ، برای به دست آوردن این فرمول ، محله های جدا کننده دیسک نقاط شعبه را از S جدا کرده و محلات دیسک نقاط اتصال را در S 'جدا کنید تا محدودیت $\ pi$ پوششی است سپس فرمول درجه عمومی را روی محدودیت اعمال کنید ، از این واقعیت استفاده کنید که خصوصیات اویلر دیسک برابر با 1 باشد و از افزودنیهای مشخصه اویلر در زیر مبالغ متصل استفاده کنید.

مثالها [ ویرایش ]

وایرشتراس $\ wp$ تابع ، به عنوان یک در نظر گرفته تابع مرومورفیک با ارزش در کره ریمان ، بازده نقشه از یک منحنی بیضوی (جنس 1) به خط تصویری (جنس 0). این یک پوشش دوتایی است ( N = 2) ، با تابش فقط در چهار نقطه ، که در آن e = 2. فرمول ریمان-هورویتز سپس می خواند.

$0 = 2 \ cdot 2- \ Sigma \ 1$

با جمع گرفته شده بیش از چهار مقدار از P .

این فرمول همچنین ممکن است برای محاسبه جنس منحنی های hyperelliptic استفاده شود .

به عنوان نمونه دیگر ، حوزه Riemann با استفاده از عملکرد z n ، که دارای ضریب تغییر n در 0 است ، برای هر عدد صحیح n > 1. نقشه را به خود اختصاص می دهد. به منظور تعادل معادله

$2 = n \ cdot 2- (n-1) - (e _ {\ infty} -1)$

ما باید در بی نهایت نیز دارای شاخص بزرگ شدن n باشیم .

پیامدهای [ ویرایش ]

چندین نتیجه در توپولوژی جبری و تجزیه و تحلیل پیچیده به دنبال می آید.

در مرحله اول ، هیچ نقشه پوشاننده متفاوتی از منحنی جنس پایین تا منحنی جنس بالاتر وجود ندارد - و بنابراین ، از آنجا که نقشه های مرومورفیک غیر ثابت از منحنی ها دارای فضاهای پوشاننده هستند ، هیچ نقشه مرومورفی غیر ثابت از منحنی پایین وجود ندارد. جنس به منحنی از جنس بالاتر.

به عنوان نمونه دیگر ، بلافاصله نشان می دهد كه منحنی از جنس 0 هیچ كاری با N > 1 ندارد كه در همه جا غیرقابل تصور است: زیرا این امر باعث ایجاد ویژگی اویلر> 2 می شود.

کلیات [ ویرایش ]

برای مکاتبات منحنی ها ، فرمول کلی تری وجود دارد ، قضیه زوتن ، که اصلاح تخریب را به اولین تقریب می دهد که ویژگی های اویلر در نسبت معکوس با درجات مکاتبات است.

یک پوشش مداری از درجه N بین سطوح مداری S 'و S یک پوشش انشعاب است ، بنابراین فرمول ریمان-هورویتز فرمول معمول برای پوشش ها را نشان می دهد.

$\ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) \،$

نشان دادن با $\ چی \ ،$ مشخصه اویلر مداری.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Hurwitz_formula

+ نوشته شده در یکشنبه نوزدهم مرداد ۱۳۹۹ ساعت 6:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه قضیه ریمان-روچ

برنامه ها [ ویرایش ]

چند جمله ای هیلبرت [ ویرایش ]

یكی از پیامدهای مهم ریمان-روچ این است كه فرمول محاسبه چند جمله ای هیلبرت از بسته های خط بر روی منحنی را ارائه می دهد. اگر یک بسته نرم افزاری خط ${\ ریاضی {L}$ فراوان است ، پس از آن چند جمله ای هیلبرت درجه اول را می دهد $\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ otimes n}$ تعبیه به فضای پروژکتور. به عنوان مثال ، پوسته معمولی $\ امگا _ {C}$ دارای مدرک است ${\ نمایشگر 2g-2$ ، که یک بسته نرم افزاری کافی برای جنس می دهد \ $g \ geq 2$ [8] . اگر تنظیم کنیم $\ displaystyle \ omega _ {C} (n) = \ omega _ {C} ^ {\ otimes n$ سپس فرمول ریمان-روخ می خواند

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ chi (\ omega _ {C} (n)) & = \ deg (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n}) - g + 1 \\ & = n ( 2g-2) -g + 1 \\ & = 2ng-2n-g + 1 \\ & = (2n-1) (g-1) \ end {تراز شده}}$

اخذ مدرک {\ صفحه نمایش 1 $1$ چند جمله ای هیلبرت

$display \ displaystyle H_ {C} (t) = 2 (g-1) t-g + 1$

تعبیه پلوریکانونیک [ ویرایش ]

با تجزیه و تحلیل بیشتر این معادله ، ویژگی اویلر به شرح زیر است

${\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ chi (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n}) & = h ^ {0} \ سمت چپ (C ، \ omega _ {C} ^ {\ otimes n} \ راست) -h ^ {0} \ چپ (C ، \ omega _ {C} \ otimes \ left (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n} \ Right) ^ {\ vee} \ Right) \\ & = h ^ {0} \ left (C، \ omega _ {C} ^ {\ otimes n} \ Right) -h ^ {0} \ چپ (C ، \ سمت چپ (\ امگا _ {C} ^ {\ otimes (n-1)} \ Right) ^ {\ vee} \ درست) \ end {تراز شده}}}$

از آنجا که $\ displaystyle \ deg (\ omega _ {C} ^ {\ otimes n}) = n (2g-2)$

$\ displaystyle h ^ {0} \ left (C ، \ left (\ omega _ {C} ^ {\ otimes (n-1)} \ Right) ^ {\ vee} \ Right) = 0$

برای $n \ geq 3$ ، از آنجا که درجه آن برای همه منفی است $g \ geq 2$ دلالت می کند که هیچ بخش جهانی ندارد ، از درون بخش های جهانی جاسازی در برخی از فضای پروژکتور وجود دارد $\ displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes n$ . به خصوص، $\ displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3$ تعبیه به $\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {N} \ kong \ mathbb {P} (H ^ {0} (C، \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}))}$ جایی که $\ displaystyle N = 5g-5-1 = 5g-6$ از آنجا که $\ displaystyle h ^ {0} (\ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}) = 6g-6-g + 1$ . این در ساخت ماژول های منحنی های جبری مفید است زیرا می تواند به عنوان فضای پروژکتور برای ساختن طرح هیلبرت با چند جمله ای هیلبرت مورد استفاده قرار گیرد{\ نمایشگر H_ {C} (t) ${\ نمایشگر H_ {C} (t)$ [9] .

منحنی هواپیما با تکین ها [ ویرایش ]

منحنی جبری غیرقابل بازگشتی از درجه درجه d دارای ( d - 1) ( d - 2) / 2 - g می باشد ، در صورت محاسبه مناسب. از این رو نتیجه می گیرد ، اگر یک منحنی دارای ( d - 1) ( d - 2) / 2 مفرد متفاوت باشد ، یک منحنی منطقی است و بنابراین ، یک پارامتر کردن منطقی را می پذیرد.

فرمول ریمان-هورویتز [ ویرایش ]

فرمول ریمان-هورویتز در مورد (منشعب) نقشه ها بین سطوح ریمان و یا منحنی های جبری یک نتیجه از قضیه ریمان-Roch به است.

قضیه کلیفورد در مورد تقسیم کننده های ویژه [ ویرایش ]

قضیه کلیفورد در مورد تقسیم کننده های ویژه نیز نتیجه نظریه ریمان-روچ است. بیان می کند که برای یک بخش ویژه (به عنوان مثال ، چنین است $\ displaystyle \ ell (KD)> 0$ ) رضایت بخش $\ displaystyle \ ell (D)> 0،$ نابرابری زیر را شامل می شود: [10]

$\ displaystyle \ ell (D) \ leq {\ frac {\ deg D} {2}} + 1.$

اثبات [ ویرایش ]

بیانیه منحنی های جبری با استفاده از دوگانگی Serre قابل اثبات است . عدد صحیح ${\ displaystyle \ ell (D)$ ابعاد فضای بخشهای جهانی بسته نرم افزاری خط است ${\ mathcal {L}} (D)$ مربوط به D ( به عنوان جداکننده کارتیه ). از نظر کوه شناسی شفت ، بنابراین داریم $\ displaystyle \ ell (D) = \ mathrm {dim} H ^ {0} (X، {\ mathcal {L}} (D))$ ، و به همین ترتیب) $\ displaystyle \ ell ({\ mathcal {K}} _ {X} -D) = \ dark H ^ {0} (X، \ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {L}} (D) ^ \ vee})$ . اما دوگانگی Serre برای انواع پروژکتور غیر مفرد در مورد خاص از یک منحنی بیانگر آن است $H ^ {0} (X ، \ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {L}} (D) ^ {\ vee})$ دوگانه ایزومورفیک است $\ displaystyle H ^ {1} (X ، {\ mathcal {L}} (D)) ^ {\ vee}$ . بنابراین ، دست چپ با مشخصه اویلر تقسیم کننده D برابر است . هنگامی که D = 0 است ، می دانیم که ویژگی Euler برای ساختار ساختار است $1 گرم$ با تعریف برای اثبات قضیه برای تقسیم کننده عمومی ، می توان با اضافه کردن امتیازات یک به یک به تقسیم کننده ادامه داد و اطمینان حاصل کرد که مشخصه اویلر بر این اساس به سمت راست تغییر می یابد.

قضیه سطوح فشرده ریمان را می توان از نسخه جبری با استفاده از قضیه Chow و اصل GAGA استنباط کرد : در حقیقت ، هر سطح فشرده ریمان توسط برخی از معادلات جبری در برخی از فضای پیچیده طرح ریزی تعریف می شود. (قضیه Chow می گوید: هر گونه زیربنایی تحلیلی بسته از فضای پروژکی توسط معادلات جبری تعریف شده است ، و اصل GAGA می گوید که کوه شناسی شفت یک نوع جبری همان است که یک نتیجه گیری کوه شناسی از انواع تحلیلی تعریف شده توسط همان معادلات است).

کلیات قضیه ریمان-روچ [ ویرایش ]

همچنین ببینید: قضیه از نوع ریمان - روچ

قضیه ریمان-Roch به برای منحنی ثابت شد برای سطوح ریمان توسط ریمان و Roch به در 1850s و منحنی های جبری توسط فردریش کارل اشمیت در سال 1931 به عنوان او در کار زمینه کامل از ویژگی های محدود . همانطور که پیتر روکت اظهار داشت ، [11]

اولین دستاورد اصلی FK Schmidt کشف این است که قضیه کلاسیک ریمان-روچ بر روی سطوح فشرده ریمان را می توان به قسمتهای عملکرد با زمینه پایه محدود منتقل کرد. در واقع ، اثبات او از قضیه ریمان-روچ برای زمینه های پایه کامل دلخواه کار می کند ، لزوماً محدود نیست.

این مبانی به این مفهوم است که نظریه بعدی برای منحنی ها سعی دارد تا اطلاعاتی را که ارائه می دهد را تصحیح کند (به عنوان مثال در تئوری بریل - نوتر ).

نسخه هایی در ابعاد بالاتر وجود دارد (برای مفهوم مناسب تقسیم کننده یا بسته نرم افزاری خط ). صورت بندی کلی آنها به تقسیم قضیه به دو بخش بستگی دارد. یکی ، که اکنون به آن سرور دوگانگی گفته می شود ، این را تفسیر می کند $\ displaystyle \ ell (KD)$ مدت به عنوان یک بعد از اولین بافه های cohomology گروه؛ با ${\ displaystyle \ ell (D)$ ابعاد یک گروه کوهی شناسی صفر یا فضای بخش ها ، سمت چپ قضیه به یک ویژگی اویل تبدیل می شود ، و سمت راست محاسباتی از آن به عنوان درجه اصلاح شده با توجه به توپولوژی سطح ریمان.

در هندسه جبری از بعد دو چنین فرمول توسط هندسه های مدرسه ایتالیایی پیدا شد . قضیه ریمان-Roch به سطوح ثابت شد (چندین نسخه وجود دارد، با اولین احتمالا بودن با توجه به حداکثر Noether ).

یک تعمیم n بعدی ، نظریه هیرزبروچ-ریمان-روچ ، توسط فردریش هیرزبروچ ، به عنوان کاربردی از کلاسهای مشخصه در توپولوژی جبری یافت و اثبات شد . او بسیار تحت تأثیر کار Kunihiko Kodaira بود . تقریباً در همان زمان ژان پیر سر به شکل کلی دوگانگی Serre ارائه می داد ، همانطور که اکنون می دانیم.

الكساندر گروتندیك در سال 1957 ، کلیه وسیع و گسترده ای را اثبات كرد ، كه امروزه به عنوان قضیه گروتندیك - ریمان - روچ شناخته می شود . کار او ریمن-روچ را نه به عنوان یک قضیه در مورد انواع ، بلکه در مورد شکل گیری بین دو گونه تفسیر می کند. جزئیات اثبات توسط آرماند بورل و ژان پیر سر در سال 1958 منتشر شد. [12] بعداً ، گروتندیک و همکارانش اثبات را ساده تر و عمومی کردند. [13]

سرانجام ، یک نسخه کلی در توپولوژی جبری نیز یافت شد . این تحولات اساساً بین سالهای 1950 و 1960 انجام شده است. پس از آن قضیه شاخص Atiyah-Singer مسیر دیگری را برای تعمیم باز کرد. در نتیجه ، ویژگی اویلر یک پوسته منسجم از نظر منطقی قابل محاسبه است. فقط برای یک جمع در جمع متناوب ، باید از آرگومان های دیگری مانند قضایای ناپدید شده استفاده شود.

+ نوشته شده در یکشنبه نوزدهم مرداد ۱۳۹۹ ساعت 1:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه ریمان-روچ

قضیه ریمان-روچ
رشته	هندسه جبری و تجزیه و تحلیل پیچیده
اثبات اول توسط	گوستاو روچ
اثبات اول در	1865
کلیات	قضیه شاخص Atiyah-Singer قضیه Grothendieck-Riemann-Roch قضیه هیرزبروچ-ریمان-روچ قضیه ریمان-روچ برای قضیه از نوع ریمان-روچ
عواقب	قضیه کلیفورد در مورد جداکننده های خاص فرمول ریمان-هورویتز

قضیه ریمان-Roch به قضیه مهم در ریاضیات ، به طور خاص در تجزیه و تحلیل پیچیده و هندسه جبری ، برای محاسبه ابعاد فضای توابع مرومورفیک با صفر تجویز می شوند و اجازه قطب . این مربوط به تجزیه و تحلیل جامع متصل فشرده سطح ریمان با سطح صرفا توپولوژیکی جنس گرم ، در راه است که می تواند بیش از به تنظیمات کاملا جبری انجام شده است.

در ابتدا به عنوان نابرابری ریمان توسط ریمان (1857) اثبات شد ، این قضیه پس از کار دانش آموز کوتاه مدت ریمان ، گوستاو روچ ( 1865 ) ، به فرم قطعی آن برای سطوح ریمان رسید . بعداً به منحنی های جبری ، به گونه های ابعاد بالاتر و فراتر از آن تعمیم داده شد .

فهرست

مفاهیم اولیه [ ویرایش ]

یک سطح ریمان از جنس 3.

یک سطح ریمان $ایکس$ یک فضای توپولوژیکی است که به صورت محلی هومومورفیک به یک زیر مجموعه باز از آن است $\ mathbb {C$ ، مجموعه اعداد پیچیده علاوه بر این ، نقشه های انتقال بین این زیر مجموعه های باز مورد نیاز است که هولومورف باشند . شرط دوم به فرد اجازه می دهد تا مفاهیم و روشهای تجزیه و تحلیل پیچیده را که با عملکردهای هولومورفیک و مرومورفیک انجام می شود ، انتقال دهد $\ mathbb {C$ به سطح $ایکس$ . برای اهداف قضیه ریمان-روچ ، سطح $ایکس$ است همیشه تصور می شود جمع و جور . به صورت محاوره ای ، جنس $گرم$ تعداد دسته های ریمان تعداد دسته های آن است. به عنوان مثال نوع سطح ریمان نشان داده شده در سمت راست سه است. به طور دقیق تر ، جنس به عنوان نیمی از اولین عدد بتی یعنی نیمی از آن تعریف شده است $\ mathbb {C$ تقسیم اولین گروه همولوژی تکین ${\ displaystyle H_ {1} (X ، \ mathbb {C})$ با ضرایب پیچیده این جنس سطوح فشرده ریمان را تا رسیدن به هومومورفیسم طبقه بندی می کند ، یعنی دو سطح مانند هم و اگر فقط جنس آنها یکسان باشد همومورفی هستند. بنابراین ، جنس یک تغییر مهم توپولوژیکی یک سطح ریمان است. از سوی دیگر ، تئوری هاج نشان می دهد که جنس همزمان است $\ mathbb {C$ - کاهش فضای تک شکل هولومورف $ایکس$ بنابراین ، این جنس همچنین اطلاعات پیچیده و تحلیلی را در مورد سطح ریمان رمزگذاری می کند. [1]

یک تقسیم کننده $د$ یک عنصر از گروه آزاد آبلیان در نقاط سطح است. به طور برابر ، یک تقسیم کننده یک ترکیب خطی محدود از نقاط سطح با ضرایب عدد صحیح است.

هر عملکرد مرومورفیک $f$ منجر به یک تقسیم کننده می شود $(ف)$ که تعریف میشود

$(f): = \ sum _ {z _ {\ nu} \ in R (f)} s _ {\ nu} z _ {\ nu$

جایی که $RF)$ مجموعه همه صفرها و قطبها است $f$ و $\ displaystyle s _ {\ nu}}$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle s _ {\ nu}: = {\ شروع {موارد} a & {\ text {اگر}} z _ {\ nu} {\ متن {صفر مرتب باشد {\ a \\ - a & text \ متن {اگر }} z _ {\ nu} {\ متن {قطب سفارش}} a است. \ end {موارد}}$

مجموعه $RF)$ محدود شناخته شده است؛ این یک نتیجه از است $ایکس$ جمع و جور بودن و این واقعیت است که صفرهای یک عملکرد هولومورفیک (غیر صفر) نقطه تجمع ندارند . از این رو، $(ف)$ به خوبی تعریف شده است به هر تقسیم کننده این شکل یک تقسیم کننده اصلی گفته می شود . دو تقسیم کننده که با یک تقسیم کننده اصلی تفاوت دارند ، خطی معادل نامیده می شوند . تقسیم کننده یک فرم 1- مرومورفی نیز به همین ترتیب تعریف شده است. تقسیم کننده یک شکل 1 مورمورفیک جهانی به عنوان تقسیم کننده کانونی (معمولاً مشخص می شود) خوانده می شود $ک$ ) هر دو شکل 1 مرومورفیک ، تقسیم کننده های معادل خطی را به دست می آورند ، بنابراین تقسیم کننده کانونی بطور منحصر به فرد تا هم ارزی خطی تعیین می شود (از این رو "تقسیم کننده کانونی").

علامت ${\ نمایشگر \ deg (D)$ نشان دهنده درجه (گاهی اوقات به نام index) نیز تقسیم کننده است $د$ ، یعنی مجموع ضرایب موجود در $د$ . می توان نشان داد که تقسیم کننده یک عملکرد مورمورفیک جهانی همیشه دارای درجه 0 است ، بنابراین درجه یک تقسیم کننده فقط به کلاس هم ارزی خطی آن بستگی دارد.

شماره ${\ displaystyle \ ell (D)$ کمیت مورد علاقه اصلی است: بعد (بیش از $\ mathbb {C$ فضای بردار توابع مرومورفیک $ساعت$ بر روی سطح ، به طوری که تمام ضرایب ${\ نمایشگر (ساعت) + D$ غیر منفی هستند به طور شهودی ، ما می توانیم از این نظر به عنوان تمام عملکردهای مرومورفیک استفاده کنیم که قطبها در هر نقطه بدتر از ضریب مربوطه در $د$ ؛ اگر ضریب در $د$ در $z$ منفی است ، پس ما به آن نیاز داریم $ساعت$ یک صفر از حداقل که تعدد در $z$ - اگر ضریب در $د$ مثبت است ، $ساعت$ حداکثر می تواند قطبی داشته باشد. فضاهای برداری برای تقسیم کننده های معادل خطی به طور طبیعی از طریق ضرب با عملکرد مرومورفی جهانی (که به خوبی برای یک مقیاس تعریف شده است) ایزومورفیک هستند.

بیانیه قضیه [ ویرایش ]

قضیه ریمان-روچ برای یک سطح فشرده از جنس ریمان $گرم$ با تقسیم کننده کانونی $ک$ ایالت ها

$\ displaystyle \ ell (D) - \ ell (KD) = \ deg (D) -g + 1.$

به طور معمول ، تعداد ${\ displaystyle \ ell (D)$ یکی از علاقه ها است ، در حالی که $\ displaystyle \ ell (KD)$ از به عنوان یک اصطلاح اصلاح (شاخص نیز نامیده می شود از تخصص فکر [2] [3] ) به طوری قضیه ممکن است تقریبا بازنویسی با گفتن

بعد - تصحیح = درجه - جنس + 1.

زیرا این ابعاد یک فضای بردار است ، اصطلاح تصحیح $\ displaystyle \ ell (KD)$ همیشه غیر منفی است ، به همین ترتیب

$\ displaystyle \ ell (D) \ geq \ deg (D) -g + 1.$

به این نابرابری ریمان گفته می شود . بخش اظهارات روچ شرح اختلاف احتمالی طرفین نابرابری است. روی یک سطح جنس عمومی ریمان $گرم$ ، $ک$ دارای مدرک است ${\ نمایشگر 2g-2$ به طور مستقل از فرم مروموریک که به عنوان نماینده تقسیم کننده انتخاب شده است. این از قرار دادن است ${\ نمایشگر D = K$ در قضیه به ویژه ، تا زمانی که $د$ حداقل مدرک دارد ${\ نمایشگر 2g-1$ ، مدت تصحیح 0 است ، به این ترتیب

$\ displaystyle \ ell (D) = \ deg (D) -g + 1.$

این قضیه اکنون برای سطوح جنس کم نشان داده شده است. تعداد دیگری از قضیه های نزدیک به هم وجود دارد: یک فرمول معادل این قضیه با استفاده از بسته های خط و تعمیم قضیه به منحنی های جبری .

مثالها [ ویرایش ]

این قضیه با انتخاب یک نقطه نشان داده می شود $پ$ روی سطح مورد نظر و با توجه به توالی اعداد

$\ displaystyle \ ell (n \ cd P) ، n \ geq 0$

یعنی ، فضای فضای توابع که هولومورف در همه جا به جز در $پ$ که در آن عملکرد حداکثر یک قطب نظم دارد $ن$ . برای $n = 0$ بنابراین ، توابع باید کل باشند ، یعنی هولومورفیک روی کل سطح $ایکس$ . با قضیه لیویل ، چنین عملکردی لزوماً ثابت است. از این رو، $\ displaystyle \ ell (0) = 1}$ . به طور کلی ، دنباله ${\ displaystyle \ ell (n \ cd P)$ دنباله ای در حال افزایش است

جنس صفر [ ویرایش ]

ریمان حوزه (همچنین به نام خط تصویری پیچیده ) است به سادگی متصل و از این رو برای اولین بار همسانی مفرد آن صفر است. به طور خاص جنس آن صفر است. کره را می توان با دو نسخه از آن پوشاند $\ mathbb {C$ ، با نقشه انتقال داده شده توسط

$\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ بار} \ ni z \ mapsto {\ frac {1} {z} in \ in \ mathbb {C} ^ {\ بار.$

بنابراین ، فرم ${\ displaystyle \ omega = dz$ در یک نسخه از ${\ ریاضی {C}}$ از نظر ریمان به شکلی مرومورف گسترش می یابد: از آن زمان دارای یک قطب مضاعف است

$\ displaystyle d \ left ({\ frac {1} {z}} \ Right) = - {\ frac {1} {z ^ {2}}} \، dz.$

بنابراین ، تقسیم کننده آن $\ displaystyle K: = \ operatorname {div} (\ omega) = - 2P$ (جایی که $پ$ نکته در بینهایت)

بنابراین ، قضیه می گوید که دنباله ${\ displaystyle \ ell (n \ cd P)$ می خواند

1 ، 2 ، 3 ، ....

این دنباله را می توان از نظریه کسری جزئی نیز خارج کرد . برعکس اگر این دنباله از این طریق شروع شود ، پس از آن $گرم$ باید صفر باشد

جنس یک [ ویرایش ]

یک توروس

مورد بعدی یک سطح جنس ریمان است $g = 1$ ، مانند یک توروس $\ displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda$ ، جایی که $\ لامبدا$ یک شبکه دو بعدی است (یک گروه ایزومورفیک به آن است $\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ) جنس آن یکی است: اولین گروه همسان شناسی مفرد آن به طور آزاد توسط دو حلقه تولید می شود ، همانطور که در تصویر سمت راست نشان داده شده است. مختصات پیچیده استاندارد $z$ بر $ج$ بازده یک فرم است ${\ displaystyle \ omega = dz$ بر $ایکس$ که در همه جا هولومورف است ، یعنی هیچ قطبی ندارد. از این رو، $ک$ ، تقسیم کننده $\ امگا$ صفر است

در این سطح ، این دنباله است

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ...؛

و این مورد را توصیف می کند $g = 1$ . در واقع ، برای $D = 0$ ، $\ displaystyle \ ell (KD) = \ ell (0) = 1}$ ، همانطور که در بالا ذکر شد برای $\ displaystyle D = n \ cd P$ با $n> 0$ درجه $display \ displaystyle KD$ کاملاً منفی است ، به طوری که اصطلاح تصحیح 0 است. توالی ابعاد را می توان از نظریه توابع بیضوی نیز بدست آورد .

جنس دو و فراتر از آن [ ویرایش ]

برای \ نمایشگر g = 2 $g = 2$ ، دنباله ای که در بالا ذکر شد

1 ، 1 ،؟ ، 2 ، 3 ، ....

از این نشان داده شده است که بسته به نقطه ، مدت درجه 2 یا 1 یا 2 است. می توان ثابت کرد که در هر منحنی جنس 2 دقیقا شش نقطه وجود دارد که توالی آنها 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، ... است و بقیه نقاط دارای ترتیب کلی 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، ... هستند. به طور خاص ، منحنی جنس 2 یک منحنی hyperelliptic است . برای $\ نمایشگر g> 2$ همیشه درست است که در بیشتر نقاط دنباله شروع می شود $display \ نمایشگر g + 1$ مواردی که در توالیهای دیگر وجود دارد و نقاط نهایی زیادی دارند (به نکات مربوط به وایرشتراس مراجعه کنید ).

ریمان - روچ برای بسته های خط [ ویرایش ]

با استفاده از مکاتبات نزدیک بین تقسیم کننده ها و بسته های خط هولومورفیک روی یک سطح ریمان ، قضیه را می توان به روشی متفاوت و در عین حال معادل آن نیز بیان کرد: بگذارید L یک بسته خط هولومورفیک روی X باشد. اجازه دهید $H ^ {0} (X ، L)$ فضای بخش های هولومورف L را نشان می دهد . این فضا متناهی خواهد بود. ابعاد آن مشخص شده است $\ displaystyle h ^ {0} (X، L)$ . اجازه دهید K دلالت بسته نرم افزاری متعارف در X . سپس ، قضیه ریمان-روچ اظهار می دارد

$\ displaystyle h ^ {0} (X، L) -h ^ {0} (X، L ^ {- 1} \ otimes K) = \ deg (L) + 1-g.}$

قضیه بخش قبلی ، مورد خاص هنگامی است که L یک بسته نرم افزاری نقطه ای است .

قضیه را می توان به نشان می دهد که وجود دارد گرم خطی بخش هولومورفیک مستقل از K ، یا یک اشکال در X ، به شرح زیر. با توجه به اینکه L به عنوان یک مجموعه مهم پیش پا افتاده است ، $h ^ {0} (X ، L) = 1$ از آنجا که تنها عملکردهای هولومورفیک روی X ثابت ها هستند. درجه L صفر است ، و $L ^ {- 1$ بسته نرم افزاری بی اهمیت است. بدین ترتیب،

$1-ساعت ^ {0} (X ، K) = 1-گرم.$

از این رو، $h ^ {0} (X ، K) = g$ ، اثبات این است که وجود دارد گرم هولومورفیک یک اشکال.

درجه بسته نرم افزاری کانونی [ ویرایش ]

از آنجا که بسته نرم افزاری متعارف $ک$ دارای $h ^ {0} (X ، K) = g$ با استفاده از ریمان-روچ \ نمایشگر L = K $L = K$ می دهد

$\ displaystyle h ^ {0} (X، K) -h ^ {0} (X، K ^ {- 1 \ otimes K) = \ deg (K) + 1-g$

که می توان آنرا بازنویسی کرد

$\ displaystyle g-1 = \ deg (K) + 1-g$

از این رو درجه بسته نرم افزاری متعارف است $\ displaystyle \ deg (K) = 2g-2}$ .

قضیه ریمان-روچ برای منحنی های جبری [ ویرایش ]

هر مورد در فرمول فوق از قضیه ریمان-روچ برای تقسیم کننده در سطوح ریمان دارای یک آنالوگ در هندسه جبری است . آنالوگ یک سطح ریمان یک منحنی جبر غیر مفرد C بر روی یک میدان k است . تفاوت اصطلاحات (منحنی در مقابل سطح) به این دلیل است که ابعاد یک سطح ریمان به عنوان منیفولد واقعی دو است ، اما یکی به عنوان منیفولد پیچیده. جمع و جور بودن یک سطح ریمان با این شرط که منحنی جبر کامل باشد ، برابر است با پروژکتور بودن . بیش از یک زمینه عمومی k ، هیچ مفهوم خوبی از همسانی مفرد (مشترک) وجود ندارد. به اصطلاح جنس هندسی به عنوان ... تعریف شده است

$\ displaystyle g (C): = \ dim _ {k} \ گاما (C ، \ امگا _ {C} ^ {1})$

یعنی ، به عنوان بعد فضای یک شکل جهانی تعریف شده (جبری) (به دیفرانسیل کوهلر مراجعه کنید ). سرانجام ، توابع مرومورفیک روی یک سطح ریمان بصورت محلی به عنوان کسری از توابع هولومورفیک نشان داده می شوند. از این رو ، آنها با عملکردهای منطقی جایگزین می شوند که به صورت محلی کسری از عملکردهای منظم هستند . بنابراین ، نوشتن ${\ displaystyle \ ell (D)$ برای ابعاد (بیش از k ) فضای توابع منطقی روی منحنی که قطب های آنها در هر نقطه از ضریب مربوطه در D بدتر نیست ، همان فرمول مشابه در بالا وجود دارد:

$\ displaystyle \ ell (D) - \ ell (KD) = \ deg (D) -g + 1.$

که در آن C یک منحنی جبری غیر مفرد پیش بینی شده بیش از یک میدان بسته جبری k است . در حقیقت ، همین فرمول منحنی های پروژکتور را در هر زمینه ای در نظر می گیرد ، به جز اینکه درجه یک تقسیم کننده نیاز به در نظر گرفتن تعدد ناشی از پسوندهای احتمالی میدان پایه و زمینه های باقیمانده از نقاط پشتیبانی از تقسیم کننده دارد. [4] سرانجام ، برای منحنی مناسب بیش از یک حلقه آرتینین ، مشخصه اویلر بسته نرم افزاری خط مربوط به یک تقسیم کننده توسط درجه تقسیم کننده (به طور مناسب تعریف شده) به همراه مشخصه اویلر شفاف ساختاری داده می شود.\ ${\ ریاضی {O}}$ . [5]

فرض صافی در قضیه نیز می تواند آرام باشد ، همچنین: برای یک منحنی (پروژکتور) بر روی یک میدان جبری بسته ، که همه حلقه های محلی آن حلقه های گورنشتاین است ، همان جمله بالا وجود دارد ، به شرط آنکه جنس هندسی همانطور که در بالا تعریف شده است. جایگزین شده توسط جنس حسابی g a ، تعریف شده به عنوان

$\ displaystyle g_ {a}: = \ dim _ {k} H ^ {1} (C، {\ mathcal {O}} _ {C}).$ [6]

(برای منحنی های صاف ، جنس هندسی با حسابی موافق است.) این قضیه نیز به منحنی های مفرد عمومی (و انواع بعدی بالاتر) گسترش یافته است. [7]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Roch_theorem

+ نوشته شده در یکشنبه نوزدهم مرداد ۱۳۹۹ ساعت 1:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سطح ریمان

سطح ریمان برای عملکرد f ( z ) = √ z . دو محور افقی نشان دهنده قسمت حقیقی و موهومی از Z ، در حالی که محور عمودی نشان دهنده بخشی واقعی از √ Z . قسمت تخیلی √ z با رنگ آمیزی نقاط نشان داده می شود. برای این عملکرد ، آن نیز ارتفاع پس از چرخش قطعه 180 درجه در اطراف محور عمودی است.

در ریاضیات ، به ویژه در تجزیه و تحلیل پیچیده ، یک سطح ریمان یک منیفولد پیچیده تک بعدی است . این سطوح برای اولین بار توسط برنارد ریمان مورد مطالعه قرار گرفتند و از آنها نامگذاری شد . سطوح ریمان را می توان به عنوان نسخه های تغییر شکل یافته هواپیمای پیچیده تصور کرد : به صورت محلی در نزدیکی هر نقطه ای مانند تکه های هواپیمای پیچیده به نظر می رسند ، اما توپولوژی جهانی می تواند کاملاً متفاوت باشد. به عنوان مثال ، آنها می توانند مانند کره یا یک گورب یا چند صفحه به هم چسبیده به نظر برسند .

علاقه اصلی به سطوح ریمان این است که توابع هولومورفیک ممکن است بین آنها تعریف شود. سطوح ریمان امروزه تنظیم طبیعی برای مطالعه رفتار جهانی این توابع ، به ویژه توابع چند ارزش مانند ریشه مربع و سایر توابع جبری یا لگاریتم در نظر گرفته شده است .

هر سطح ریمان یک مانیفولد تحلیلی واقعی دو بعدی (به عنوان مثال ، یک سطح ) است ، اما شامل ساختار بیشتری (بطور خاص یک ساختار پیچیده ) است که برای تعریف نامشخص از توابع هولومورف لازم است. یک منیفولد واقعی دو بعدی می تواند به یک سطح ریمان تبدیل شود (معمولاً از چندین روش غیرقابل تقسیم) اگر و فقط اگر دارای جهت گیری و اندازه گیری باشد. بنابراین کره و torus ساختارهای پیچیده ای را پذیرفته اند ، اما نوار Möbius ، بطری کلاین و هواپیمای پروژکتور واقعی این کار را نمی کنند.

حقایق هندسی در مورد سطوح ریمان تا حد ممکن "خوب" هستند ، و اغلب آنها شهود و انگیزه تعمیم به سایر منحنی ها ، مانیفولدها یا گونه های مختلف را فراهم می کنند. قضیه ریمان-Roch به عنوان مثال نخست از این نفوذ است.

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: منیفولد پیچیده و هندسه سازه

چندین تعریف معادل از سطح ریمان وجود دارد.

ریمان سطح X است متصل منیفولد پیچیده از ابعاد پیچیده است. این بدان معناست که X ارتباط است، فضای هاسدورف است که با وقف اطلس از نمودار به واحد دیسک باز از صفحه مختلط : برای هر نقطه X ∈ X است وجود دارد محله از X است که homeomorphic به واحد دیسک باز از این مجموعه هواپیما ، و نقشه های انتقال بین دو نمودار با هم تداخل دارند که باید هولومورف باشند .
سطح ریمان یک منیفولد جهت گرا از ابعاد (واقعی) دو است - یک سطح دو طرفه - همراه با یک ساختار سازه . باز هم، یعنی چند برابر که به صورت محلی در هر نقطه X از X ، فضای homeomorphic به یک زیر مجموعه از هواپیمای واقعی است. مکمل "ریمان" نشان می دهد که X دارای یک ساختار اضافی است که امکان اندازه گیری زاویه را روی منیفولد ، یعنی کلاس هم ارزی معیارهای به اصطلاح ریمانی فراهم می کند . دو متریک مانند در نظر گرفته معادل اگر زاویه آنها اندازه گیری یکسان هستند. انتخاب کلاس هم ارزی معیارها بر روی X داده اضافی ساختار سازه است.

یک ساختار پیچیده با انتخاب متریک استاندارد اقلیدسی که در صفحه پیچیده داده شده و با استفاده از نمودارها ، آنرا به X تبدیل می کند ، ساختار ساختاری ایجاد می کند . نشان دادن اینکه یک ساختار ساختاری ساختار پیچیده را تعیین می کند مشکل تر است. [1]

مثالها [ ویرایش ]

کره ریمان

یک توروس

صفحه مختلط C ترین سطح پایه ریمان است. نقشه f ( z ) = z (نقشه هویت) نمودار C را مشخص می کند ، و { f an یک اطلس برای C است . نقشه g ( z ) = z * ( نقشه مزدوج ) نیز نمودار C را مشخص می کند و { g an یک اطلس برای C است . نمودارهای f و g سازگار نیستند ، بنابراین این C را تحمل می کندبا دو ساختار سطح ریمان مشخص است. در حقیقت ، با توجه به یک سطح ریمان X و اطلس آن A ، اطلس مزدوج B = { f * : f ∈ A never هرگز با A سازگار نیست و X را با ساختار مشخص و ناسازگار ریمان به پایان می رساند.
به روشی مشابه ، هر زیر مجموعه غیر خالی هواپیمای پیچیده را می توان به صورت طبیعی به عنوان یک سطح ریمان مشاهده کرد. به طور کلی ، هر زیر مجموعه غیر خالی یک سطح ریمان یک سطح ریمان است.
بگذارید S = C ∪ {∞} و بگذارید f ( z ) = z جایی که z در S \ {∞} و g ( z ) = 1 / z است که z در S \ {0} و 1 / ∞ قرار دارد. 0 باشد. سپس نمودار f و g نمودارها ، سازگار هستند ، و { f ، g an یک اطلس برای S است و S را به یک سطح ریمان تبدیل می کند. این سطح خاص ، کره ریمان نام داردزیرا می توان آن را به عنوان پیچیدن صفحه پیچیده در اطراف کره تفسیر کرد. برخلاف هواپیمای پیچیده ، جمع و جور است .
تئوری فشرده ریمان سطح بازدید کنندگان می تواند نشان داده می شود معادل تصویری منحنی های جبری که بر روی اعداد مختلط و غیر منحصر به فرد تعریف شده است. به عنوان مثال ، torus C / ( Z + τ Z ) ، جایی که τ یک عدد غیر واقعی پیچیده است ، از طریق تابع بیضوی Weierstrass مرتبط با شبکه Z + τ Z ، به یک منحنی بیضوی داده شده توسط یک معادل مطابقت دارد.
y 2 = x 3 + ax + b .
Tori به تنها سطوح ریمان از جنس یکی، سطوح از جنس بالاتر گرم توسط ارائه سطوح hyperelliptic
y 2 = P ( x ) ،
که در آن P چند جمله ای پیچیده از درجه 2 گرم + 1 است.
تمام سطوح فشرده ریمان منحنی های جبری هستند زیرا می توانند در بعضی از آنها تعبیه شوند $\ mathbb {CP}} ^ {n$ . این از قضیه تعبیه شده Kodaira پیروی می کند و واقعیت وجود یک بسته مثبت خط در هر منحنی پیچیده وجود دارد. [2]
نمونه های مهم سطوح غیر فشرده ریمان با ادامه تحلیلی ارائه شده است .

f ( z ) = arcsin z
f ( z ) = log z
f ( z ) = z 1/2
f ( z ) = z 1/3
f ( z ) = z 1/4

تعاریف و خصوصیات بیشتر [ ویرایش ]

همانطور که با هر نقشه بین manifolds پیچیده، یک تابع F : M → N بین دو سطوح ریمان M و N نامیده می شود هولومورفیک اگر برای هر جدول گرم در اطلس از M و هر نمودار ساعت در اطلس N ، نقشه ساعت O F o g -1 هولومورف است (به عنوان تابعی از C تا C ) هر جا که تعریف شود. ترکیب دو نقشه هولومورفیک هولومورفیک است. دو سطح ریمان M وN در صورت وجود یک عملکرد هولومورفیک بیولوژیکی از M تا N که معکوس آن نیز هولومورفیک است ( بایولومورفیک (یا از نظر ساختاری معادل آن برابر است )) نامیده می شود. دو سطح ریمان کاملاً معادل ریمان برای همه اهداف عملی یکسان است.

جهت پذیری [ ویرایش ]

هر سطح ریمان ، به عنوان یک منیفولد پیچیده ، به عنوان یک منیفولد واقعی قابل جهت گیری است. برای نمودار های پیچیده F و G با تابع انتقال ساعت = F ( گرم -1 ( Z ))، ساعت می تواند به عنوان یک نقشه از یک مجموعه باز از در نظر گرفته R 2 به R 2 که ژاکوبین در یک نقطه Z فقط نقشه های خطی واقعی است داده شده توسط ضرب با شماره پیچیده h '( z ). با این حال ، تعیین کننده واقعی ضرب توسط یک عدد پیچیده αبرابر | α | 2 ، بنابراین Jacobian از h تعیین کننده مثبت دارد. در نتیجه ، اطلس پیچیده یک اطلس گرا است.

توابع [ ویرایش ]

هر سطح ریمان غیر فشرده عملکردهای هولومورفیک غیر ثابت (با مقادیر C ) را می پذیرد . در واقع ، هر سطح ریمان غیر فشرده یک مانیفولد استین است .

در مقابل ، بر روی سطح X ریمن فشرده ، هر عملکرد هولومورفیک با مقادیر C در اثر اصل حداکثر ثابت است . با این وجود ، همیشه توابع مرومورفیک غیر ثابت (توابع هولومورفیک با مقادیر موجود در حوزه ریمان C ∪ {∞}) وجود دارد. بطور دقیقتر، زمینه تابع از X محدود است پسوند از C ( T )، زمینه تابع در یک متغیر، یعنی هر دو توابع مرومورفیک جبری وابسته هستند. این جمله به ابعاد بالاتر تعمیم دارد ، به سیگل (1955) مراجعه کنید .

تحلیلی در مقابل جبر [ ویرایش ]

وجود توابع مورمورفیک غیرمستقیم می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد که هر سطح فشرده ریمان یک تنوع پروژکتور است ، یعنی می توان با معادلات چند جمله ای در یک فضای پروژکتور ارائه داد . در واقع ، می توان نشان داد که هر سطح فشرده ریمان را می توان در 3-فضای پیچیده پروژکتور تعبیه کرد . این یک قضیه غافلگیرکننده است: سطوح ریمان با استفاده از نمودارهای محلی بصورت محلی ارائه می شود. اگر به یک شرط جهانی یعنی جمع و جور بودن اضافه شود ، سطح لزوماً جبری است. این ویژگی سطوح ریمان به فرد امکان می دهد تا آنها را با استفاده از هندسه تحلیلی یا جبری بررسی کند.. عبارت مربوط به اشیاء با ابعاد بالاتر نادرست است ، به عنوان مثال تعداد 2-مجموعه پیچیده جمع و جور که جبری نیستند وجود دارد. از طرف دیگر ، هر منیفولد پیچیده پروژکتور لزوماً جبری است ، به قضیه چو مراجعه کنید .

به عنوان نمونه ، torus T : = C / ( Z + τ Z ) را در نظر بگیرید. عملکرد $\ wp_ \ tau (z)$ متعلق به شبکه Z + τ Z یک تابع مرومورفیک در T است . این عملکرد و مشتق آن است $\ wp_ \ tau '(z)$ تولید زمینه عملکرد T . یک معادله وجود دارد

$\ displaystyle [\ wp '(z)] ^ {2} = 4 [\ wp (z)] ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3} ،}$

که در آن ضرایب g 2 و g3 در τ بستگی دارد، در نتیجه دادن خم بیضوی E τ در مفهوم هندسه جبری. معکوس کردن این امر توسط j-invariant j ( E ) انجام می شود ، که می تواند برای تعیین τ و از این رو یک torus استفاده شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface

+ نوشته شده در یکشنبه نوزدهم مرداد ۱۳۹۹ ساعت 1:22 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ماتریس ژاکوبین

بخشی از یک سری مقالات درباره

چند متغیره[پنهان شدن]

فرمالیسم
ماتریس تنسور خارجی هندسی
تعاریف
مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خط انتگرال سطحی جلد انتگرال ژاکوبین حصیر

تخصصی[نمایش]

واژه نامه حساب[نمایش]

در حساب برداری از ماتریس ژاکوبین ( / dʒ ə K oʊ ب من Ə N / ، [1] [2] [3] / dʒ ɪ -، J ɪ - / ) یک تابع برداری مقدار در چند متغیر است که ماتریس از همه مشتقات جزئی آن با مرتبه اول . وقتی این ماتریس مربع باشد ، یعنی وقتی تابع همان تعداد متغیرها را به عنوان ورودی با تعداد اجزای بردار خروجی آن می گیرد ، تعیین کننده آنبه عنوان تعیین کننده Jacobian گفته می شود . هر دو ماتریس و (در صورت کاربرد) تعیین کننده ، اغلب به عنوان ژاکوبین در ادبیات گفته می شوند. [4]

فرض کنید f : ℝ n → ℝ m تابعی است به گونه ای که هر یک از مشتقات جزئی مرتبه اول آن در ℝ n وجود داشته باشد . این عملکرد یک نقطه x ∈ ℝ n را به عنوان ورودی می گیرد و بردار f ( x ) ∈ ℝ m را به عنوان خروجی تولید می کند. سپس ماتریس Jacobian از f به عنوان یک ماتریس m × n تعریف شده توسط J ، که ورودی آن ( i ، j ) است $\ displaystyle \ mathbf {J} _ {ij} = {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}}}$ یا صریحاً

$\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ fill bmatrix {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f }} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}} = {\ fill bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}} \ \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ جزئی x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ جزئی f_ {m}} {\ جزئی x_ {n}}} \ end {bmatrix}}.$

این ماتریس ، که ورودی های آن از توابع x است ، به روش های مختلفی مشخص می شود. نمادهای رایج شامل $\ displaystyle D \ mathbf {f}$ ، $\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}}$ ، $\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f}$ و $\ displaystyle {\ frac {\ جزئی (f_ {1} ، .. ، f_ {m})} {\ جزئی (x_ {1} ، .. ، x_ {n})}}}$ . همچنین توجه داشته باشید که برخی از نویسندگان ژاکوبین به عنوان تعریف ترانهاده از فرم داده شده در بالا.

ماتریس ژاکوبین نشان دهنده دیفرانسیل از F در هر نقطه که در آن F مشتقپذیر است. در جزئیات، اگر ساعت است بردار ارائه شده توسط یک ماتریس ستون از ماتریس J ( X ) ⋅ ساعت است یکی دیگر از بردار، این است که بهترین تقریب از تغییر F در یک محله از X ، اگر F ( X ) است مشتقپذیر در ایکس . [آ]این بدان معنی است که تابع است که نقشه Y به F ( X ) + J ( X ) ⋅ ( Y - X ) بهترین است تقریب خطی از F برای نقاط نزدیک به ایکس . این تابع خطی به عنوان شناخته شده مشتق یا دیفرانسیل از F در ایکس .

وقتی m = n ، ماتریس Jacobian مربع است ، بنابراین تعیین کننده آن یک تابع به خوبی تعریف شده x است ، که به عنوان تعیین کننده Jacobian از f شناخته می شود . اطلاعات مهمی در مورد رفتار محلی f . به طور خاص ، عملکرد f به صورت محلی در همسایگی یک نقطه x یک تابع معکوس دارد که قابل تشخیص است اگر و فقط اگر تعیین کننده Jacobian در حالت x غیرzero باشد (به حدس Jacobian مراجعه کنید ). تعیین کننده Jacobian همچنین هنگام تغییر متغیرها در چند انتگرال (ظاهر می شود)قانون جایگزینی برای چندین متغیر ).

هنگامی که متر = 1، است که زمانی که F : ℝ N → ℝ است تابع عددی ارزش ، ماتریس ژاکوبین کاهش می دهد به بردار ردیف . این بردار ردیف از تمام مرتبه اول مشتقات جزئی F است ترانهاده از گرادیان از F ، یعنی $\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = (\ nabla f) ^ {\ interal}}$ . در اینجا ما در حال تصویب کنوانسیون هستیم که بردار شیب $\ nabla f$ یک وکتور ستون است. تخصص بیشتر ، هنگامی که m = n = 1 ، یعنی زمانی که f : ℝ → a یک تابع مقیاس پذیر از یک متغیر واحد است ، ماتریس Jacobian دارای یک ورودی واحد است. این نوشته مشتق تابع f است .

این مفاهیم به نام ریاضیدان کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی (1804-184) نامگذاری شده اند .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant

+ نوشته شده در سه شنبه هفدهم تیر ۱۳۹۹ ساعت 21:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه منیفولد ریمانی

غوطه وری [ ویرایش ]

اجازه دهید $(م ، گرم)$ یک مانیفولد ریمانی باشید و بگذارید ${\ displaystyle f: \ Sigma \ to M$ یک نقشه متفاوت باشد. سپس یکی ممکن است در نظر قلاب از $گرم$ از طريق $f$ ، که متقارن است 2 تانسور در $\ سیگما$ تعریف شده توسط

$\ displaystyle (f ^ {\ ast} g) _ {p} (v، w) = g_ {f (p) {\ big (} df_ {p} (v)، df_ {p} (w) \بزرگ )}،}$

جایی که ${\ displaystyle df_ {p} (v)$ است pushforward از $v$ توسط $f$

در این تنظیم ، به طور کلی $\ displaystyle f ^ {\ ast} g$ متریک ریمانی نخواهد بود $\ سیگما ،$ از آنجایی که مثبت نیست ، قطعی است. به عنوان مثال ، اگر $f$ پس ثابت است $\ displaystyle f ^ {\ ast} g$ صفر است در حقیقت، $\ displaystyle f ^ {\ ast} g$ معیار ریمانی است اگر و فقط اگر $f$ یک غوطه وری است ، به این معنی که نقشه خطی $\ displaystyle df_ {p}: T_ {p} \ Sigma \ to T_ {f (p)} M$ برای هر یک تزریقی است . ${\ displaystyle p \ in \ Sigma.$

یک مثال مهم وقتی رخ می دهد $(م ، گرم)$ به سادگی متصل نیست ، به طوری که یک نقشه پوششی وجود دارد . ${\ displaystyle \ widetilde {M}} \ به M.$ این یک غوطه وری است ، و بنابراین پوشش جهانی هر منیفولد ریمانی به طور خودکار یک معیار ریمانی را به ارث می برد. به طور کلی ، اما با همان اصل ، هر فضای پوشش یک مانیفولد ریمانی یک معیار ریمانی را به ارث می برد.
همچنین ، یک زیر مجموعه غوطه وری از مانیفولد ریمانی یک متریک ریمانی را به ارث می برد.

معیارهای ضرب [ ویرایش ]

اجازه دهید $(م ، گرم)$ و ${\ صفحه نمایش (N ، ساعت)$ دو منیفولد ریمانی باشید و ضرب دکارتی را در نظر بگیرید $M \ بار N$ با ساختار صاف ضرب معمول. معیارهای ریمانی $گرم$ و $ساعت$ به طور طبیعی یک معیار ریمانی قرار داده است $\ displaystyle \ widetilde {g}}$ بر ${\ نمایشگر M \ بار N ،$ که می تواند از چند طریق توصیف شود.

با توجه به تجزیه $\ displaystyle T _ {(p، q)} (M \ بار N) \ kong T_ {p} M \ oplus T_ {q} N،$ ممکن است فرد تعریف کند

$\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {p، q} (u \ oplus x، v \ oplus y) = g_ {p} (u، v) + h_ {q} (x، y).$

اجازه دهید ${\ نمایشگر سبک (U ، x)$ یک نمودار مختصات صاف باشد $م$ و اجازه دهید $display \ نمایشگر (V ، y)$ یک نمودار مختصات صاف باشد ${\ displaystyle N.$ سپس $display \ نمایشگر استایل (U \ برابر V ، (x ، y))$ نمودار مختصات صاف است ${\ نمایشگر M \ بار N. N.$ برای راحتی اجازه دهید $\ displaystyle \ operatorname {Sym} _ {n \ n n} ^ {+}}$ مجموعه متقارن مثبت مثبت را مشخص کنید $n \ n n$ ماتریس های واقعی بیان مختصات از $گرم$ نسبت به ${\ نمایشگر سبک (U ، x)$ توسط $\ displaystyle g_ {U}: U \ to \ operatorname {Sym} _ {m \ بار m} ^ {+}}$ و بیانگر مختصات از $ساعت$ نسبت به $display \ نمایشگر (V ، y)$ توسط $\ displaystyle h_ {V}: V \ to \ operatorname {Sym} _ {n \ n n} ^ {+}.}$ سپس نمایندگی مختصات محلی از $\ displaystyle \ widetilde {g}}$ نسبت به $display \ نمایشگر استایل (U \ برابر V ، (x ، y))$ است $\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {U \ times V}: U \ times V \ to \ operatorname {Sym} _ {(m + n) \ بار (m + n)} ^ {+}}$ داده شده توسط

$\ displaystyle (p، q) \ mapsto \ fill pmatrix} g_ {U} (p) & 0 \\ 0 & h_ {V} (q) \ end {pmatrix}}.$

یک مثال استاندارد در نظر گرفتن n-torus است $T ^ {n} ،$ به عنوان ضرب n برابر تعریف کنید $\ displaystyle S ^ {1} \ بار \ cdot \ بار S ^ {1}.$ اگر یکی به هر نسخه از آن را می دهد $S ^ {1$ با توجه به معیار استاندارد ریمانی آن ، $\ displaystyle S ^ {1} \ زیرمجموعه \ mathbb {R} ^ {2}$ بعنوان یک زیرمنفرد تعبیه شده (همانطور که در بالا) وجود دارد ، می توان متریک محصول Riemannian را در نظر گرفت $\ displaystyle T ^ {n}.$ به آن یک توروس مسطح گفته می شود .

ترکیبی محدب از معیارها [ ویرایش ]

اجازه دهید $g_ {0$ و $g_ {1$ دو معیار ریمانی باشید ${\ displaystyle M.$ سپس ، برای هر شماره $\ displaystyle \ lambda \ in [0،1] ،}$

$\ displaystyle {\ tilde {g}}: = \ lambda g_ {0} + (1- \ lambda) g_ {1}$

همچنین یک معیار ریمانی است ${\ displaystyle M.$ به طور کلی ، اگر $آ$ و $ب$ پس هر دو عدد مثبت هستند $\ displaystyle ag_ 0} + bg_ {1}$ یک معیار دیگر ریمانی است.

هر منیفولد صاف دارای یک معیار ریمانی است [ ویرایش ]

این یک نتیجه اساسی است. اگرچه بسیاری از تئوری های اساسی معیارهای رییمانی تنها با استفاده از این که یک منیفولد صاف به صورت محلی اقلیدسی است قابل توسعه است ، برای این نتیجه لازم است در تعریف "منیفولد صاف" قرار بگیرد که این هاوسدورف و پاراکامپکت است. دلیل این امر این است که اثبات از پارتیشن وحدت استفاده می کند .

اثبات[پنهان شدن]

بگذارید M یک منیفولد متفاوت باشد و and ( U α ، φ α ) |α ∈ i } محلی محدود اطلس از زیر مجموعه های باز Uα از M و diffeomorphisms بر روی زیر مجموعه باز از R N

$\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} \ colon U _ {\ alpha \ to \ varphi _ {\ alpha (U _ {\ alpha) \ subseteq \ mathbf {R} ^ {n}.$

بگذارید { τ α } α ∈ من یک بخش متمایز از وحدت تابع اطلس داده شده باشم .

سپس متریک تعریف گرم در M توسط

$\ displaystyle g: = \ sum _ {\ beta \ in I} \ tau _ {\ beta} \ cdot {\ tilde {g}} _ {\ beta}، \ qquad {\ متن {با}} \ qquad \ tilde {g} {_ {\ beta}: = \ varphi _ {\ beta} ^ {*} g ^ {\ mathrm {می تواند،، \، \، {\ متن {را در} \ ، \ ، U_ \ alpha ،}$

که در آن g می تواند متریک اقلیدسی در R n و باشد $\ displaystyle \ varphi _ {\ beta ^ {*} g ^ {\ mathrm {می تواند}$ بازگشت آن در امتداد φ β است .

این به آسانی متریک در M دیده می شود .

ساختار فضای متریک منیفولدهای پیوسته پیوندی ریمانی [ ویرایش ]

طول منحنی های به طور مداوم متفاوت متمایز [ ویرایش ]

اگر ${\ displaystyle \ gamma: [a، b] \ to M$ متفاوت است ، سپس به هریک اختصاص می دهد ${\ displaystyle t \ in (a، b)$ یک بردار $\ گاما (t)$ در فضای بردار ${\ displaystyle T _ {\ گاما (t)} M ،$ اندازه آن با هنجار قابل اندازه گیری است $\ displaystyle | \ cdot | _ {\ گاما (t)}.$ بنابراین $\ displaystyle t \ mapsto | \ gamma '(t) | _ {\ گاما (t)$ یک تابع غیر منفی را در فاصله تعریف می کند ${\ نمایشگر (a ، b).$ طول به عنوان انتگرال این عملکرد تعریف شده است. با این حال ، همانطور که در اینجا ارائه می شود ، هیچ دلیلی وجود ندارد که انتظار داشته باشیم این عملکرد یکپارچه شود. معمولاً فرض کنید که g به صورت مداوم و $\ گاما$ به طور مداوم متمایز می شود ، به طوری که تابعی که باید یکپارچه باشد غیر منعطف و پیوسته است ، و از این رو طول $\ گاما ،$

$\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma '(t) | _ {\ gamma (t)} \، dt،$

به خوبی تعریف شده است این تعریف را می توان به راحتی افزایش داد تا طول هر منحنی متفاوت متمایز به طور پیوسته تعریف شود.

در بسیاری از موارد ، مانند تعریف تانسور انحنای ریمان ، لازم است که g دارای نظم بیشتری نسبت به استمرار صرف باشد. این مورد در جای دیگر مورد بحث قرار خواهد گرفت. در حال حاضر ، استمرار g برای استفاده از طول تعریف شده در بالا کافی است تا بتواند M را با ساختار یک فضای متریک وقف کند ، به شرط اتصال آن.

ساختار فضای متریک [ ویرایش ]

دقیقاً تعریف کنید $\ displaystyle d_ {g}: M \ بار M \ تا [0 ، \ infty)$ توسط

$display \ displaystyle d_ {g} (p، q) = \ inf \ {L (\ gamma): \ gamma {\ text {یک قطعه منحنی متمایز متمایز از}} p {\ متن {تا}} q \}.$

بیشتر بررسی صحیح بودن عملکرد ، بسیار ساده است ${\ displaystyle d_ {g} ،}$ خاصیت تقارن آن ${\ displaystyle d_ {g} (p، q) = d_ {g} (q، p)،$ خاصیت انعکاس آن ${\ displaystyle d_ {g} (p، p) = 0،$ و نابرابری مثلث ${\ displaystyle d_ {g} (p، q) + d_ {g} (q، r) \ geq d_ {g} (p، r)،$ اگرچه برخی از عوارض فنی جزئی نیز وجود دارد (مانند تأیید اینکه هر دو نقطه با یک مسیر متمایز به هم متصل می شوند). فهم آن اساسی تر است ${\ displaystyle p \ neq q}$ تضمین می کند، $\ displaystyle d_ {g} (p، q)> 0،$ و از این رو ${\ نمایشگر d_ {g}}$ همه بدیهیات یک متریک را برآورده می کند.

نشان دادن(طراحی شده) اثبات آن ${\ displaystyle p \ neq q}$ دلالت دارد ${\ displaystyle d_ {g} (p ، q)> 0.$

مشاهده ای که در زیر اثبات فوق ، در مورد مقایسه بین طول های اندازه گیری شده توسط g و طول اقلیدسی اندازه گیری شده در یک نمودار مختصات صاف ، همچنین تأیید می کند که توپولوژی فضای متریک ${\ صفحه نمایش (M ، d_ {g})$ همزمان با ساختار فضای توپولوژیکی اصلی است ${\ displaystyle M.$

اگرچه طول یک منحنی توسط یک فرمول صریح داده شده است ، اما معمولاً نوشتن عملکرد فاصله غیرممکن است ${\ نمایشگر d_ {g}}$ به هر وسیله صریح در حقیقت ، اگر $م$ در این صورت جمع و جور است ، حتی اگر g صاف باشد ، همیشه نقاط وجود دارد که در آن وجود دارد $\ displaystyle d_ {g}: M \ بار M \ تا \ mathbb {R}}$ غیر قابل تشخیص است و حتی تعیین موقعیت یا ماهیت این نقاط حتی در موارد به ظاهر ساده مانند زمان $(م ، گرم)$ بیضوی است.

ژئودزیک [ ویرایش ]

مانند قسمت قبلی ، اجازه دهید $(م ، گرم)$ یک منیفولد متصل و مداوم ریمانی باشید. فضای متریک مرتبط را در نظر بگیرید ${\ displaystyle (M ، d_ {g}).$ نسبت به این ساختار فضای متریک ، فرد می گوید یک مسیر ${\ displaystyle c: [a، b] \ to M$ یک واحد سرعت است متشکل از سطوح هندسی اگر برای هر ${\ displaystyle t_ {0} \ in [a، b]$ یک فاصله وجود دارد $sub \ نمایشگر J \ زیر مجموعه [a، b]$ که شامل $t_ {0$ و از این قبیل

$\ displaystyle d_ {g} (c (s)، c (t)) = | st | \ qquad \ forall s، t \ in J.$

به طور غیررسمی ، ممکن است کسی بگوید که یکی درخواست می کند $ج$ تا جایی که می تواند موضع خود را دراز کرده و منوط به محدودیت سرعت واحد باشد. ایده این است که اگر ${\ displaystyle c: [a، b] \ to M$ (به صورت یکسان) به طور مداوم متفاوت و متفاوت است $\ displaystyle | c '(t) | _ {c (t)} = 1$ برای همه $تی ،$ سپس یکی به طور خودکار $\ displaystyle d_ {g} (c (s)، c (t)) \ leq | st |$ با استفاده از نابرابری مثلث در تقریب جمع ریمان از انتگرال که طول را تعیین می کند . $ج$ بنابراین وضعیت ژئودزیکی با سرعت واحد همانطور که در بالا آورده شد نیاز است $ج (ها)$ و $ج (تی)$ تا حد ممکن از یکدیگر دور باشند. واقعیت این است که ما فقط برای منحنی به دنبال به صورت محلی کشش خود را بیرون می توسط دو مثال اول داده شده در زیر منعکس شده؛ شکل جهانی $(م ، گرم)$ حتی ممکن است بی دین ترین ژئودزیک را مجبور به خم شدن و تقاطع خود کند.

این مورد را در نظر بگیرید $(م ، گرم)$ دایره است $S ^ {1$ با معیار استاندارد ریمانی ، و $\ displaystyle c: \ mathbb {R} \ به S ^ {1}$ از رابطه زیر بدست می آید $\ displaystyle t \ mapsto (\ cos t، \ sin t).$ به یاد بیاورید ${\ نمایشگر d_ {g}}$ با طول منحنی ها در طول اندازه گیری می شود $S ^ {1$ نه با مسیرهای مستقیم هواپیما. این مثال همچنین ضرورت انتخاب خارج از فاصله زیر را نشان می دهد ${\ نمایشگر J ،}$ از منحنی $ج$ خود را به روشی کاملاً طبیعی تکرار می کند.
به همین ترتیب ، اگر $(م ، گرم)$ حوزه گرد است $S ^ {2$ با متریک استاندارد ریمانی آن ، پس از آن یک مسیر واحد سرعت در امتداد یک دایره استوایی یک هندسه خواهد بود. یک مسیر واحد سرعت در امتداد سایر حلقه های عرض جغرافیایی نخواهد بود.
این مورد را در نظر بگیرید $(م ، گرم)$ است $\ mathbb {R} ^ {2$ با معیار استاندارد ریمانی سپس یک خط واحد سرعت مانند $\ displaystyle t \ mapsto (2 ^ {- 1/2} t، 2 ^ {- 1/2} t)$ یک ژئودزیک اما منحنی است $ج$ از مثال اول بالا چنین نیست.

توجه داشته باشید که ژئودزیک با سرعت واحد ، همانطور که در اینجا تعریف شده است ، لزوماً مستمر و در واقع لیپشیتز هستند ، اما لزوماً قابل تمایز نیستند یا متمایز از هم متمایز هستند.

قضیه Hopf-Rinow [ ویرایش ]

همانطور که در بالا ، اجازه دهید $(م ، گرم)$ یک منیفولد متصل و مداوم ریمانی باشید. قضیه هاف-Rinow ، در این تنظیم، می گوید که (گروموف 1999)

اگر فضای متریک باشد است کامل (مانند هردنباله -Cauchy همگرا می شود)
- هر زیر مجموعه بسته و محدود $م$ جمع و جور است
- با توجه به هر $p ، q \ در م$ یک ژئودزیکی با سرعت واحد وجود دارد ${\ displaystyle c: [a، b] \ to M$ از جانب $پ$ به $ق$ به طوری که $\ displaystyle d_ {g} (c (s) ، c (t)) = | st |$ برای همه ${\ displaystyle s ، t \ in [a، b].$

ماهیت اثبات این است که به محض برقراری نیمه اول ، فرد می تواند به طور مستقیم قضیه Arzelà-Ascoli را در متن فضای متریک جمع و جور اعمال کند، ${\ displaystyle {\ overline {B_ {2d_ {g} (p ، q)} (p)}}،$ به دنباله ای از منحنی های واحد سرعت متمایز متمایز متمایز از واحد $پ$ به $ق$ طول آنها تقریبی است ${\ displaystyle d_ {g} (p ، q).$ حد فرعی حاصل از ژئودزیک مورد نظر است.

فرض کامل بودن ${\ صفحه نمایش (M ، d_ {g})$ مهم است. به عنوان مثال ، مورد را در نظر بگیرید $(م ، گرم)$ است هواپیما سوراخ $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ smallsetminus \ {(0،0) \}}$ با معیار استاندارد ریمانی آن ، و یکی طول می کشد $\ displaystyle p = (1،0)$ و. $\ displaystyle q = (0،1).$ هیچ ژئودزیکی با سرعت واحد از یک به دیگری وجود ندارد.

قطر [ ویرایش ]

اجازه دهید $(م ، گرم)$ یک منیفولد متصل و مداوم ریمانی باشید. مانند هر فضای متریک ، می توان قطر آن را تعریف کرد ${\ صفحه نمایش (M ، d_ {g})$ بودن

$\ displaystyle \ operatorname am diam} (M، d_ {g}) = \ sup \ {d_ {g} (p، q): p، q \ in m \}.}$

قضیه Hopf-Rinow نشان می دهد که اگر ${\ صفحه نمایش (M ، d_ {g})$ کامل است و قطر محدود دارد ، بنابراین باید جمع و جور باشد. برعکس ، اگر ${\ صفحه نمایش (M ، d_ {g})$ جمع و جور است ، سپس عملکرد $\ displaystyle d_ {g}: M \ بار M \ تا \ mathbb {R}}$ باید حداکثر باشد ، زیرا این یک تابع مداوم در یک فضای متریک فشرده است. این جمله را اثبات می کند:

اگر ${\ صفحه نمایش (M ، d_ {g})$ اگر کامل باشد قطر محدود است اگر کامل باشد ، کاملاً فشرده است.

بدون فرض کامل چنین نیست. برای counterexamples می توان هر زیر مجموعه محدودی از فضای اقلیدسی را با معیار استاندارد ریمانی در نظر گرفت.

توجه داشته باشید که به طور کلی تر و با همان اثبات یک خط ، هر فضای متریک جمع و جور دارای قطر محدود است. با این حال جمله زیر غلط است : "اگر یک فضای متریک کامل باشد و قطر متناهی داشته باشد ، کم حجم است." برای نمونه ای از فضای متریک کامل و غیر فشرده با قطر محدود ، در نظر بگیرید

$\ displaystyle M = {\ Big \ {} {\ text functions توابع پیوسته}} f: [0،1] \ به \ mathbb {R} {\ text {با} \ sup _ {x \ در [0 ، 1]} | f (x) | \ leq 1 \ بزرگ \}}$

با متریک یکنواخت

$\ displaystyle d (f، g) = \ sup _ {x \ in [0،1]} | f (x) -g (x) |.}$

بنابراین ، اگرچه همه اصطلاحات در قضیه فوق از قضیه هوپ-رینو فقط شامل ساختار فضای متریک {\ نمایشگر (M ، g) ، ${\ نمایشگر (M ، g) ،$ مهم است که این متریک از ساختار ریمانی ناشی شود.

معیارهای ریمانی [ ویرایش ]

کامل بودن ژئودزیک [ ویرایش ]

یک منیفولد ریمانی M است geodesically کامل اگر برای تمام ص ∈ M از نمایی نقشه بزرگراه ص برای همه تعریف V ∈ T ص M ، یعنی اگر هر نقشه برداری γ ( تی ) با شروع از ص برای تمام مقادیر پارامتر تعریف تی ∈ ر . قضیه هاف-Rinow ادعا میکند که M geodesically کامل است اگر و تنها اگر آن است کامل به عنوان یک فضای متریک .

اگر M کامل باشد ، آنگاه M قابل تمدید نیست به این معنا که با یک زیرمنفرد مناسب باز از هر منیفولد ریمانی دیگر ایزومتریک نیست. اما مکالمه صحیح نیست: منیفولدهای غیر قابل تمدید وجود دارند که کامل نیستند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_manifold#Riemannian_metrics

+ نوشته شده در سه شنبه هفدهم تیر ۱۳۹۹ ساعت 19:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

جاسازی

در ریاضیات ، یک تعبیه (یا imbedding [1] ) یک نمونه از برخی از ساختار ریاضی موجود در نمونه های دیگر، مانند یک گروه است که یک زیر گروه .

وقتی گفته می شود بعضی از شی X در جسم دیگری Y تعبیه شده است ، تعبیه توسط برخی از نقشه های تزریقی و نگهدارنده ساختار f : X → Y داده می شود . معنی دقیق "حفظ ساختار" بستگی به نوع ساختار ریاضی دارد که X و Y نمونه ای از آن هستند. در اصطلاحات نظریه طبقه بندی ، یک نقشه نگهدارنده ساختار ، مورفیسم نامیده می شود .

این واقعیت که نقشه f : X → Y تعبیه شده است ، اغلب با استفاده از "فلش قلاب" ( U + 21AA ↪ RIGHTWARDS ARROW with HookK ) نشان داده می شود. [2] بدین ترتیب: $f: X \ hookrightarrow Y.$ (از طرف دیگر ، این نمادین گاه برای نقشه های گنجاندن رزرو می شود.)

با توجه به X و Y ، چندین تعبیه مختلف X در Y ممکن است. در بسیاری از موارد مورد علاقه تعبیه استاندارد (یا "معمولی") وجود دارد ، مانند اعداد طبیعی در اعداد صحیح ، اعداد صحیح در اعداد منطقی ، اعداد منطقی در اعداد واقعی و اعداد واقعی در اعداد پیچیده . در چنین مواردی معمولاً شناسایی دامنه X با تصویر آن f ( X ) موجود در Y ، به طوری که f ( X ) ⊆Y .

فهرست

توپولوژی و هندسه [ ویرایش ]

توپولوژی عمومی [ ویرایش ]

در توپولوژی کلی ، تعبیه یک هومومورفیسم بر روی تصویر آن است. [3] صریح تر ، نقشه پیوسته تزریقی $f: X \ به Y$ بین فضاهای توپولوژیکی $ایکس$ و $Y$ است تعبیه توپولوژیکی اگر $f$ هومومورفیسم بین $ایکس$ و $f (X)$ (جایی که $f (X)$ حامل توپولوژی زیر فضایی است که از آن به ارث رسیده است{\ نمایشگر Y} $Y$ ) بصری سپس تعبیه شده است $f: X \ به Y$ به ما اجازه می دهد تا درمان کنیم $ایکس$ به عنوان یک فضای فرعی از $Y$ . هر تعبیه تزریق و مداوم است . هر نقشه ای تزریقی ، مداوم و باز یا بسته ، جاسازی شده است. با این حال ، تعبیری نیز وجود دارد که نه باز هستند و نه بسته. در حالت دوم اگر تصویر رخ دهد $f (X)$ نه است مجموعه باز و نه یک مجموعه بسته در $Y$ .

برای یک فضای مشخص $Y$ ، وجود تعبیه $X \ به Y$ یک ثابت توپولوژیک از است $ایکس$ . این امکان را می دهد که اگر یکی بتواند در یک فضا تعبیه شود ، در حالی که دیگری اینطور نیست ، دو فضا مشخص شود.

توپولوژی دیفرانسیل [ ویرایش ]

در توپولوژی دیفرانسیل : بگذارید $م$ و $ن$ تابلوهای صاف و $f: M \ به N$ یک نقشه صاف باشید سپس $f$ اگر مشتق آن در همه جا تزریقی باشد به غوطه وری گفته می شود. تعبیه ، و یا یک تعبیه صاف است، تعریف می شود غوطه وری تزریقی است که تعبیه در مفهوم توپولوژیکی ذکر شده در بالا (به عنوان مثال همسانریختی بر روی تصویر خود را). [4]

به عبارت دیگر ، دامنه تعبیه شده از تصویر آن متفاوت است و به ویژه تصویر تعبیه باید یک زیرمجموعه باشد. غوطه وری یک تعبیه محلی است (یعنی برای هر نقطه) $x \ در M$ یک محله وجود دارد $x \ در U \ زیر مجموعه M$ به طوری که $f: U \ به N$ تعبیه شده است.)

هنگامی که منیفولد دامنه جمع و جور است ، مفهوم تعبیه صاف معادل آن با غوطه وری یک تزریق است.

یک مورد مهم است $\ displaystyle N = \ mathbb {R} ^ {n}$ . علاقه در اینجا به چه میزان است $ن$ از نظر بعد باید برای تعبیه باشد $م$ از $م$ . ویتنی تعبیه قضیه [5] کشورهایی که $n = 2 متر$ کافی است ، و بهترین مرز خطی ممکن است. به عنوان مثال فضای پیش بینی واقعی RP m از بعد $م$ ، جایی که $م$ قدرت دو است ، نیاز دارد $n = 2 متر$ برای تعبیه با این حال ، این امر برای غوطه وریها صدق نمی کند. به عنوان مثال ، RP 2 را می توان در داخل غوطه ور کرد $\ mathbb {R} ^ {3$ همانطور که صریحاً توسط سطح Boy نشان داده شده است - که دارای تقاطع های خود است. سطح روم شکست مواجه می شود غوطه وری به عنوان آن شامل متقابل کلاه .

تعبیه اگر مناسب باشد با توجه به مرزها ، مناسب است : یکی به نقشه نیاز دارد $f: X \ rightarrow Y$ چنین باشد که

$f (\ partial X) = f (X) \ cap \ part Y$ و
$f (X)$ است عرضی به $\ جزئی Y$ در هر نقطه $f (\ جزئی X)$ .

شرط اول معادل داشتن است $f (\ partial X) \ subeteq \ part Y$ و $f (X \ setminus \ partial X) \ subeteq Y \ setminus \ part Y$ . شرط دوم ، تقریباً بیان شده ، می گوید که f ( X ) به مرز Y مماس نیست .

هندسه ریمانی [ ویرایش ]

در هندسه ریمانی : اجازه دهید ( M ، g ) و ( N ، h ) منیفولدهای رییمانی باشند . تعبیه ایزومتریک تعبیه صاف است ج : M → N که حفظ متریک به این معنا که گرم به برابر است عقب نشینی از ساعت توسط F ، یعنی گرم = F * ساعت . صریحاً برای هر دو بردار مماس $v ، w \ in T_ {x} (M)$ ما داریم

${\ displaystyle g (v، w) = h (df (v)، df (w)).$

به طور مشابه ، غوطه وری ایزومتریک غوطه وری بین مانیفولدهای ریمانی است که معیارهای ریمانی را حفظ می کند.

به طور برابر ، تعبیه ایزومتریک (غوطه وری) تعبیه صاف (غوطه وری) است که طول منحنی ها را حفظ می کند (به عنوان مثال قضیه تعبیه نش ). [6]

جبر [ ویرایش ]

به طور کلی، برای یک دسته جبری C ، یک تعبیه بین دو C ساختار -algebraic X و Y است C -morphism الکترونیکی : X → Y است که تزریقی.

نظریه میدانی [ ویرایش ]

در تئوری میدانی ، تعبیه یک میدان E در یک میدان F یک همگنورفیسم حلقه σ : E → F است .

هسته از σ یک IS ایده آل از E است که می تواند نه کل حوزه E ، به دلیل شرایط σ (1) = 1 . علاوه بر این ، این یک ویژگی مشهور از زمینه ها است که تنها ایده آل های آنها ایده آل صفر و کل حوزه است. بنابراین ، هسته 0 است ، بنابراین هر تعبیه مزارع یک مونومورفیسم است . از این رو ، E به عنوان زیر حوزه σ ( E ) از F isomorphic است . این توجیهی است که نام جاسازی برای یک همجنسگرایی دلخواه در زمینه ها را توجیه می کند.

جبر جهانی و نظریه مدل [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: زیرساخت (ریاضیات) و هم ارزی ابتدایی

اگر σ امضاء باشد و $الف ، ب$ σ- هستند ساختارهای (همچنین به نام σ-جبری در جبر در جهانی یا مدل در نظریه مدل )، سپس یک نقشه $ساعت: A \ B$ اگر همه موارد زیر را تعبیه کنید ، می باشد:

$ساعت$ تزریقی است ،
برای هر $ن$ نماد عملکرد -ary $f \ in \ sigma$ و $a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n} \ در A ^ {n} ،$ ما داریم $h (f ^ {A} (a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n})) = f ^ {B} (h (a_ {1}) ، \ ldots ، h (a_ {n}))$ ،
برای هر $ن$ سمبل رابطه $R \ in \ sigma$ و $a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n} \ در A ^ {n} ،$ ما داریم $A \ model R (a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n})$ اگر $مدل های B \ R (h (a_ {1}) ، \ ldots ، h (a_ {n})).$

اینجا $A \ model R (a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n})$ یک نماد نظری مدل معادل است $(a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n}) \ in R ^ {A}$ . در تئوری مدل نیز مفهوم قوی تری از تعبیه اولیه وجود دارد .

نظریه سفارش و نظریه دامنه [ ویرایش ]

در نظریه نظم ، تعبیه مجموعه هایی که به طور مرتب سفارش داده شده اند ، تابعی از F بین مجموعه های X و Y است که به طور جزئی سفارش داده شده است

${\ displaystyle \ forall x_ {1}، x_ {2} \ in X: x_ {1} \ leq x_ {2} \ iff F (x_ {1}) \ leq F (x_ {2})}$

تزریق F به سرعت از این تعریف دنبال می شود. در تئوری دامنه ، یک شرط اضافی آن است

${\ displaystyle \ forall y \ in Y: \ {x \ mid F (x) \ leq y \}$ است به کارگردانی .

فضاهای متریک [ ویرایش ]

نقشه برداری $\ phi: X \ به Y$ از فضاهای متریک نامیده می شود تعبیه (با اعوجاج $C> 0$ ) اگر

$Ld_ {X} (x، y) \ leq d_ {Y} (\ phi (x)، \ phi (y)) \ leq CLd_ {X} (x، y)$

برای برخی ثابت $L> 0$ .

فضاهای عادی [ ویرایش ]

مورد خاص مهم موارد فضای نرمال است . در این حالت طبیعی است که تعبیه های خطی را در نظر بگیرید.

یکی از سؤالهای اساسی که می توان در مورد یک فضای نرمال ابعاد محدود پرسید $(X ، \ | \ cdot \ |)$ است، چه از بعد حداکثر است $ک$ به گونه ای که فضای هیلبرت $\ ell _ {2} ^ {k}$ می تواند به صورت خطی در داخل جاسازی شود $ایکس$ با اعوجاج ثابت؟

پاسخ توسط قضیه دوورتسکی داده شده است .

نظریه طبقه بندی [ ویرایش ]

در تئوری طبقه بندی ، هیچ تعریف رضایت بخش و کلی پذیرفته شده از تعبیه شده وجود ندارد که در همه دسته ها قابل استفاده باشد. انتظار می رود که همه ایزومورفیسم ها و تمام ترکیبات جاسازی شده جاسازی شده باشند ، و تمام تعبیه ها تک مورفیسم هستند. سایر الزامات معمولی عبارتند از: هر نوع مونومورفیسم افراطی تعبیه شده است و تعبیه ها در زیر بک پایدار هستند .

در حالت ایده آل ، کلاس کلیه موضوعات فرعی تعبیه شده از یک شیء خاص ، تا ایزومورفیسم نیز باید کوچک باشد ، و به این ترتیب یک مجموعه سفارش داده می شود . در این حالت ، گفته می شود که این دسته از کلاس با توجه به کلاس تعبیه شده از خوبی برخوردار هستند. این امر می تواند ساختارهای محلی جدیدی را در این گروه تعریف کند (مانند یک اپراتور بسته شدن ).

در دسته بتن ، یک تعبیه morphism است ƒ : → B است که تابع یکبهیک از مجموعه های زمینه ای از به مجموعه زمینه ای از B و همچنین یک morphism اولیه به معنای زیر است: اگر گرم یک تابع است از زمینه ای از یک شی مجموعه C به مجموعه زمینه ای از ، و اگر ترکیب آن با ƒ morphism است ƒg : C → B ، پس از آن گرم خود یک morphism است.

یک سیستم عامل بندی برای یک گروه همچنین مفهوم تعبیه را ایجاد می کند. اگر ( E ، M ) یک سیستم فاکتورسازی باشد ، ممکن است مورفیدها در M به عنوان تعبیه در نظر گرفته شوند ، به ویژه هنگامی که این دسته با توجه به M نیرو می گیرد . تئوری های بتونی معمولاً دارای سیستم فاكتورسازی هستند كه در آن M از تعبیرها به معنای قبلی تشکیل شده است. این مورد اکثریت نمونه هایی است که در این مقاله آورده شده است.

طبق معمول در تئوری طبقه بندی ، یک مفهوم دوگانه وجود دارد ، که به عنوان کمیت شناخته می شود. همه خصوصیات قبلی را می توان دو برابر کرد.

تعبیه نیز می تواند به یک جنس جاسازی کننده تعبیه شود .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Embedding

+ نوشته شده در سه شنبه هفدهم تیر ۱۳۹۹ ساعت 19:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سطح زول

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

سطح زول یک کره 2 بعدی با یک متریک ریمانی است که تمام ژئودزیک ها بسته شده و دارای طول یکسان هستند.

پس از دانشجو دیوید هیلبرت ، اتو زول ، که اولین نمونه های غیرواقعی را کشف کرد. [1]

محتوا

نمونه ها [ ویرایش | ویرایش کد ]

حوزه عادی بدیهی است که این خاصیت را دارد ، اما یک خانواده نامتناهی از تغییر شکل های این متریک به نام سطوح زول نیز وجود دارد. از جمله زیر چنین نتیجه می گیرد که نمونه هایی از سطوح زول در بین سطوح انقلاب وجود دارد: [2]

بگذار $\ displaystyle h \ colon [-1،1] \ to (-1،1)$ یک عملکرد صاف عجیب و غریب وجود دارد به گونه ای که $\ displaystyle h (1) = 0}$ . سپس کره ای با متریک
$\ displaystyle (1 + h (\ cos r)) \ cdot (dr) ^ {2} + \ sin r \ cdot (d \ theta) ^ {2}$

داده شده در مختصات قطبی $(ر ، \ تتا)$ سطح زول است.

نتیجه از وجود انتگرالهای صریح جریان ژئودزیکی برای چنین معیارهایی ناشی می شود.

نتیجه زیر مثالهای نامتقارن را ارائه می دهد: [3]

برای هر عملکرد صاف و عجیب $f$ در یک کره واحد ${\ displaystyle (\ mathbb {S} ^ {2} ، g_ {0})}$ یک خانواده یک پارامتر از عوامل ساختاری وجود دارد ${\ displaystyle \ phi _ {t}}$ به طوری که $\ displaystyle g_ {t} = \ phi _ {t} \ cdot g_ {0}}$ یک سطح صفر و $\ displaystyle f = {\ tfrac {\ partial \ phi _ {t} {\ partial t}} | _ {t = 0}}$ .

در اثبات استفاده از قضیه عملکرد ضمنی تعمیم یافته ، به نام قضیه نش - موزر [en] .

منبع

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%A6%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D1%8F

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 14:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه هندسه دیفرانسیل سطوح

سطوح انحنای غیر مثبت [ ویرایش ]

در منطقه ای که انحنای سطح K K 0 را برآورده می کند ، مثلث های ژئودزیک نابرابری هندسه مقایسه CAT (0) را برآورده می کنند ، که توسط کارتان ، الکساندرف و توپونوگوف مورد مطالعه قرار گرفته و بعداً از نقطه نظر دیگری توسط Bruhat و Tits در نظر گرفته می شوند . با تشکر از دیدگاه گروموف ، این خصوصیات انحنای غیر مثبت از نظر فضای متریک زیرین تأثیر عمیقی بر هندسه مدرن و به ویژه نظریه گروه هندسی خاص دارد. بسیاری از نتایج شناخته شده برای سطوح صاف و ژئودزیک آنها ، مانند روش بیرخوف در ساخت ژئودزیک با استفاده از فرآیند کوتاه کردن منحنی وی یا نظریه ون مانگولت و قضیه هادامارد مبنی بر اینکه یک سطح ساده متصل از انحنای غیر مثبت ، هومومورف با فضا است ، در این باره به همان اندازه معتبر هستند تنظیم عمومی تر.

نابرابری مقایسه الکساندروف [ ویرایش ]

متوسط در مثلث مقایسه است که همیشه طولانی تر از متوسط واقعی.

بیانگر این است که ساده ترین شکل نابرابری مقایسه ای که ابتدا برای الکساندرف در حدود سال 1940 برای سطوح ثابت شد

فاصله بین یک راس مثلث ژئودزیک و نقطه میانی طرف مقابل همیشه کمتر از فاصله مربوطه در مثلث مقایسه در هواپیما با طول های یکسان است.

نابرابری از این واقعیت ناشی می شود که اگر c ( t ) پارامترهای ژئودزیکی پارامتر شده توسط arcl طول را توصیف کند و a یک نقطه ثابت باشد ،

f ( t ) = d ( a ، c ( t )) 2 - t 2

یک تابع محدب است ، یعنی

$\ ddot {f}} (t) \ geq 0.$

گرفتن مختصات قطبی ژئودزیکی با مبداء به گونهای که ‖ c ( t ) ‖ = r ( t ) ، محدب معادل آن است

$r {\ ddot {r}} + {\ dot {r}} ^ {2} \ geq 1.$

با تغییر در مختصات عادی u ، v در c ( t ) ، این نابرابری می شود

تو 2 + H -1 H r v 2 ≥ 1 ،

جایی که ( u ، v ) با بردار واحد s ( t ) مطابقت دارد . این امر ناشی از نابرابری H R ≥ H ، یک نتیجه از غیر منفی از مشتق از رونسکین از H و R از نظریه اشتورم-لیوویل . [56]

جورج بیرخوف (1884-1944)

وجود ژئودزیک [ ویرایش ]

در یک سطح منحنی کامل ، هر دو نقطه را می توان با یک ژئودزیک پیوست. این یک مورد خاص از قضیه Hopf-Rinow است که در ابعاد بالاتر نیز کاربرد دارد. فرض كامل بطور خودکار براي سطحي كه به عنوان يك زير مجموعه بسته از فضاي اقليدسي تعبيه شده است ، انجام مي شود. با این حال ، اگر به عنوان مثال ، یک نقطه جدا شده از یک سطح را حذف کنیم ، دیگر تحقق نمی یابد. به عنوان مثال ، مکمل مبدا در هواپیمای اقلیدسی نمونه ای از یک سطح غیر کامل است. در این مثال ، دو نقطه که به طور قطعی از سرچشمه مخالف هستند ، نمی توانند بدون ترک هواپیمای سوراخ شده با یک نقشه برداری متصل شوند).

قضیه فون مانگولت - حدامارد [ ویرایش ]

برای سطوح بسته انحنای غیر مثبت ، فون مانگولت (1881) و هادامارد (1898) ثابت کردند که نقشه نمایی در یک نقطه نقشه پوششی است ، به طوری که فضای پوشش جهانی منیفولد E 2 است . این نتیجه توسط کارتان به ابعاد بالاتر تعمیم داده شد و معمولاً به این شکل به عنوان قضیه Cartan-Hadamard گفته می شود . برای سطوح ، این نتیجه از سه واقعیت مهم ناشی می شود: [57]

نقشه نمایی دارای ژاکوبین غیر صفر در همه جا برای سطوح منحنی غیر مثبت است ، پیامد عدم از بین رفتن H r .
هر ژئودزیکی بی نهایت قابل گسترش است ، نتیجه ای که به عنوان مضمون Hopf-Rinow برای مانیفولد های بعدی n شناخته شده است. در دو بعد ، اگر یک ژئودزیکی به سمت بی نهایت به سمت نقطه x گرایش یابد ، یک دیسک بسته D که در یک نقطه در نزدیکی y قرار دارد با x برداشته شده برای Y در امتداد ژئودزیک قابل انعطاف است ، یک غیر ممکن بودن توپولوژیکی.
هر دو نقطه در یک کلاس هموتوپی توسط یک ژئودزیک منحصر به فرد به هم متصل می شوند (به بالا مراجعه کنید).

اتصال ریمانی و حمل و نقل موازی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اتصال ریمانیان بر روی یک سطح

تولیو لوی-سیوییتا (1941-1973)

رویکرد کلاسیک گاوس به هندسه دیفرانسیل سطوح ، رویکرد ابتدایی استاندارد بود [58] که پیش از ظهور مفاهیم منیفولد ریمانیایی آغاز شده توسط برنارد ریمان در اواسط قرن نوزدهم و اتصال ایجاد شده توسط تولو لوی-سیوییتا ، الی کارتان و هرمان ویل در اوایل قرن بیستم. مفهوم اتصال ، مشتقات کواریانت و حمل و نقل موازییک روش مفهومی و یکنواخت تر از درک انحنای ، که نه تنها اجازه تعمیم به منیفولد های بعدی بالاتر ، بلکه همچنین یک ابزار مهم برای تعریف ثابت هندسی جدید ، به نام کلاس مشخصه ارائه شده است . [59] رویکردی که با استفاده از مشتقات و پیوندهای کواریانت مورد استفاده قرار می گیرد ، امروزه رویکردی است که در کتابهای درسی پیشرفته تر به کار رفته است. [60]

مشتق کواریانت [ ویرایش ]

اتصالات روی یک سطح را می توان از دیدگاههای مختلف معادل اما به همان اندازه مهم تعریف کرد. اتصال ریمانی یا اتصال لوی چوی [19] است که شاید در به راحتی از نظر بلند کردن اجسام درک زمینه های بردار ، به عنوان مرتبه اول در نظر گرفته اپراتورهای دیفرانسیل اقدام در توابع بر روی چند برابر، به اپراتورهای دیفرانسیل در بسته نرم افزاری مماس یا بسته نرم افزاری قاب . در مورد سطح تعبیه شده ، آسانسور به یک اپراتور در زمینه های بردار ، موسوم به مشتق کواریان ، از نظر طرح ریزی متعامد بسیار ساده توصیف می شود. در واقع ، یک میدان بردار بر روی سطح تعبیه شده در R 3می تواند به عنوان یک تابع از سطح به در نظر گرفته R 3 . یکی دیگر از زمینه های بردار به عنوان یک عملگر متمایز کامپوننت عمل می کند. زمینه بردار حاصل از سطح قابل لمس نخواهد بود ، اما می توان با استفاده از طرح ریزی متعامد آن بر روی فضای مماس در هر نقطه از سطح ، تصحیح کرد. همانطور که ریچی و لوی-سیوییتا در اواخر قرن بیستم متوجه شدند ، این روند فقط به متریک بستگی دارد و می تواند به صورت محلی از نظر نمادهای کریستوفل بیان شود.

انتقال موازی یک بردار در اطراف مثلث ژئودزیکی روی کره. طول بردار حمل شده و زاویه ای که با هر طرف ایجاد می شود ثابت می ماند.

حمل و نقل موازی [ ویرایش ]

حمل و نقل موازی بردارهای مماس در امتداد یک منحنی در سطح ، پیشرفت اصلی بعدی در موضوع بود که به دلیل Levi-Civita بود . [19] این است که به مفهوم قبلی از مشتق هموردا، به دلیل آن است monodromy از معادله دیفرانسیل معمولیدر منحنی تعریف شده توسط مشتق کواریانس با توجه به بردار سرعت منحنی. حمل و نقل موازی در امتداد ژئودزیک ، "خطوط مستقیم" سطح نیز به راحتی می توان به طور مستقیم توصیف کرد. یک بردار در صفحه مماس در طول یک ژئودزیک به عنوان میدان بردار منحصر به فرد با طول ثابت منتقل می شود و با بردار سرعت ژئودزیک زاویه ای ثابت ایجاد می کند. برای یک منحنی کلی ، این فرایند باید با استفاده از انحنای ژئودزیکی اصلاح شود ، که اندازه گیری می کند که منحنی تا چه اندازه از ژئودزیکی فاصله دارد. [4]

یک میدان برداری V ( T ) در امتداد یک منحنی سرعت واحد ج ( تی ) ، با نقشه برداری انحنای K گرم ( تی ) ، گفته می شود موازی در امتداد منحنی اگر

طول آن ثابت است
زاویه θ ( t ) که با بردار سرعت ایجاد می کند ċ ( t ) را برآورده می کند

${\ dot {\ تتا}} (t) = - k_ {g} (t)$

این قاعده را برای حمل و نقل موازی در امتداد یك منحنی ژئودزیك ژئودزیك یا كوچك باز می گیرد ، زیرا در این حالت k g = 0 ، به طوری كه زاویه θ ( t ) باید روی هر قطعه ژئودزیك ثابت بماند. وجود حمل و نقل موازی به این دلیل است که θ ( t ) می تواند به عنوان انتگرال انحنای ژئودزیک محاسبه شود. از آنجا که در نتیجه به طور مداوم در بستگی دارد L 2 هنجار K گرم ، نتیجه میشود که حمل و نقل موازی برای یک منحنی دلخواه را می توان به عنوان سطح حمل و نقل موازی در تخمین منحنی تکهای نقشه برداری دست آمده است. [61]

از این رو ، این ارتباط را می توان از نظر بلند کردن مسیرها در مانیفولد به مسیرهای موجود در بسته های قاب مماس یا ارتودنسی توصیف کرد ، بنابراین تئوری کلاسیک " قاب متحرک " را که مورد علاقه نویسندگان فرانسوی است ، رسمیت می دهد . [62] بلند کردن حلقه ها در حدود یک نقطه باعث گروه هولوگرافی در آن نقطه می شود. انحنای گاوسی در یک نقطه می تواند از حمل و نقل موازی در اطراف حلقه های بطور فزاینده کوچک در آن نقطه بهبود یابد. انحنا معادل می تواند به طور مستقیم در سطح نامتناهی از نظر براکت دروغ زمینه های بردار بلند شده محاسبه شود.

الی کارتان در سال 1904

اتصال 1-شکل [ ویرایش ]

رویکرد Cartan و Weyl ، با استفاده از 1-فرم اتصال در بسته نرم افزاری قاب از M ، می دهد یک راه سوم به درک ارتباط ریمانی. آنها متوجه شدند که حمل و نقل موازی بیانگر این است که باید یک مسیر در سطح به مسیری در بسته نرم افزاری قاب برداشته شود تا بردارهای مماس آن در یک فضای ویژه کدگذاری یک در فضای مماس سه بعدی قاب قرار بگیرند. پیش بینی این فضای فرعی توسط یک فرم دیفرانسیل 1 در بسته نرم افزاری قاب متعامد ، فرم اتصال تعریف شده است . این ویژگی باعث می شود تا خصوصیات انحنای سطح به شکل های افتراقی روی بسته نرم افزاری قاب و فرمول هایی که مشتقات بیرونی آنها را شامل می شوند ، رمزگذاری شوند .

این رویکرد مخصوصاً برای یک سطح تعبیه شده ساده است. با تشکر از یک نتیجه از کوبایاشی (1956) ، اتصال 1-شکل بر روی یک سطح تعبیه شده در فضای Euclidean E 3 فقط بازپرداخت زیر نقشه گاوس از اتصال 1 فرم در S 2 است . [63] با استفاده از شناسایی S 2 با فضای همگن SO (3) / SO (2) ، اتصال 1-شکل فقط یک جزء از فرم 1Murer-Cartan در SO (3) است . [64]

هندسه دیفرانسیل جهانی سطوح [ ویرایش ]

اگرچه توصیف انحنای تنها شامل هندسه محلی یک سطح است ، جنبه های مهم جهانی مانند آن وجود دارد قضیه گاوس-بنت ، قضیه یکنواختی ، قضیه فون مانگولد-حدامارد و قضیه قابلیت تعویض وجود دارد. جنبه های مهم دیگر هندسه جهانی سطوح نیز وجود دارد. [65] این موارد عبارتند از:

شعاع تزریق ، بزرگترین تعریف شده است r به این ترتیبکه دو نقطه در مسافت کمتر از r توسط یک ژئودزیک منحصر به فرد به هم می پیوندند. ویلهلم کلینگنبرگ در سال 1959 ثابت کرد که شعاع تزریق سطح بسته با حداقل δ =π/√ sup Kو طول کوچکترین ژئودزیکی بسته آن. این یک قضیه بنت را بهبود بخشید که در سال 1855 نشان داد که قطر سطح بسته انحنای گاوسی مثبت همیشه در بالا توسط δ محدود می شود . به عبارت دیگر ، یک ژئودزیک که مسافت متریک بین دو نقطه را درک می کند ، نمی تواند طول بیشتری از δ داشته باشد.
سفتی . در سال 1927 ، کوهن ووسن ثابت کرد که دو بیضی شکل - سطوح بسته با انحنای مثبت گاوسی - که ایزومتریک هستند ، لزوماً با یک ایزومتری E سازگار هستند. 3. علاوه بر این ، یک سطح تعبیه شده بسته با انحنای مثبت گاوسی و میانگین انحنای ثابت لزوماً یک کره است. به همین ترتیب ، یک سطح تعبیه شده بسته از انحنای ثابت گاوسی باید یک کره باشد (لیبمان 1899). هاینز هاپف در سال 1950 نشان داد كه یك سطح تعبیه شده بسته با میانگین انحنای ثابت و جنس 0 ، یعنی هومومورف برای یك کره ، لزوماً كره است. پنج سال بعد الكساندرف فرض توپولوژیك را حذف كرد. در دهه 1980 ، ونته غوطه ور شد tori از میانگین انحنای ثابت در 3-فضای اقلیدسی.
حدس Carathéodory : این حدس بیان می کند که یک محدب بسته سه برابر سطح قابل تشخیص ، حداقل دو نقطه ناف را می پذیرد. اولین کار در مورد این حدس در سال 1924 توسط هانس هامبورگر ، و خاطرنشان کرد که این ادعای قوی زیر را دنبال می کند: شاخص نیمه تمام عیار ارزشیابی خمش اصلی یک ناف جدا شده حداکثر یکی است.
انحنای صفر گاوسی : یک سطح کامل در E 3 با انحنای صفر گاوسی باید یک استوانه یا هواپیما باشد.
قضیه هیلبرت (1901): هیچ سطح کامل با انحنای منفی ثابت می توان غوطه ور ایزومتریک در E 3 .

کوتاهترین حلقه روی یک توروس

حدس ویلمور . این حدس بیان می کند که انتگرال مربع میانگین انحنای یک غوره غوطه ور در E 3 باید در زیر 2π 2 محدود شود . مشخص شده است كه انتگرال ، ثابت Moebius است. این مسئله در سال 2012 توسط فرناندو کدی مارکز و آندره نووز حل شد . [66]
نابرابری ایزواتریمتری . در سال 1939 اشمیت ثابت كرد كه نابرابری ایزواتریمتری كلاسیك برای منحنیها در هواپیمای اقلیدسی نیز در كره یا هواپیمای هذلوبی معتبر است: یعنی او نشان داد كه از بین همه منحنیهای بسته كه محدوده ای از منطقه ثابت را محدود می كنند ، محور محیط با زمان منحنی به حداقل می رسد. دایره ای برای متریک است. در یک بعد بالاتر ، مشخص شده است که در بین تمام سطوح بسته شده در E 3 که به عنوان مرز یک دامنه محدود از حجم واحد ایجاد می شود ، مساحت سطح برای یک توپ اقلیدسی به حداقل می رسد.
نابرابری های سیستولیک برای منحنی روی سطوح . با توجه به یک سطح بسته ، سیستول آن به عنوان کوچکترین طول هر منحنی بسته غیر قابل انعطاف بر روی سطح تعریف شده است. در سال 1949 لوونر نابرابری توروس را ثابت کرد برای معیارهای در چنبره، یعنی که این منطقه از چنبره بیش از مربع سیستول آن در زیر توسط محدود√3/2، با برابری در مورد مسطح (انحنای ثابت). نتیجه مشابهی با نابرابری پلوتونیم برای هواپیمای واقعی پروژکتور از سال 1952 ، با محدوده پایین تر ارائه شده است2/πهمچنین در مورد انحنای ثابت بدست آمده است. برای بطری کلاین ، بلاتر و باوارد بعداً مرز کمتری به دست آوردند8 پوند/π. برای یک سطح بسته از جنس g ، هبدا و بوراگو نشان دادند که این نسبت در زیر محدود است1/2. سه سال بعد میخائیل گروموف یک کران پایین توسط یک ثابت زمان داده شده گرم 1 / 2 ، اگر چه این مطلوب نیست. مرزهای فوقانی و پائین به صورت بدون علامت تیز با بارهای ثابت داده می شودگرم/(log g ) 2به دلیل گروموف و بوسر-سارناك هستند و در كاتز نیز یافت می شود (2007) . همچنین نسخه ای برای اندازه گیری های کره وجود دارد که طول کوچکترین ژئودزیک بسته را برای سیستول در نظر می گیرد . گروموف حد پایین را حدس زد1/2 √ 3 در سال 1980: بهترین نتیجه تا کنون حد پایین است 1/8به دست رجینا روتمن در سال 2006. [67]

راهنمای خواندن [ ویرایش ]

یکی از جامع ترین بررسی های مقدماتی موضوع ، ترسیم تحولات تاریخی از قبل از گاوس تا دوران مدرن ، توسط برگر (2004) است . شرح نظریه کلاسیک در آیزنهاارت (2004) ، کرایزیگ (1991) و استروویک (1988) آورده شده است . کتابهای درسی مدرن مدرن تر توسط کتاب های Grey، Abbena & Salamon (2006) ، Pressley (2001) و Wilson (2008) مدرن تر نشان داده شده است. یک گزارش در دسترس از نظریه کلاسیک را می توان در هیلبرت و کوهن-ووسن (1952) یافت . درمان های پیشرفته تر در سطح فارغ التحصیلان با استفاده از اتصال ریمانی بر روی یک سطحرا می توان در Singer & Thorpe (1967) ، Do Carmo (1976) و O'Neill (1997) یافت .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 13:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه هندسه دیفرانسیل سطوح

هندسه اقلیدسی [ ویرایش ]

یک مثلث در هواپیما

در مورد هواپیمای اقلیدسی ، گروه تقارن گروه حرکات اقلیدسی است ، محصول نیمه کاره گروه ترجمه دو بعدی توسط گروه چرخش است. [44] ژئودزیک خطوط مستقیمی است و هندسه در فرمول های ابتدایی مثلثات مانند قانون کسین برای یک مثلث با دو طرف A ، b ، c و زاویه های α ، β ، γ رمزگذاری می شود :

$c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \، \ cos \ gamma.$

Tori Flat را می توان با گرفتن قطعه R 2 توسط یک شبکه ، یعنی زیر گروه Abelian رایگان از درجه 2 بدست آورد. این سطوح بسته هیچ اختلافی ایزومتریک در E 3 ندارند . با این وجود ، آنها جابجایی های ایزومتریک در E 4 را می پذیرند . در ساده ترین حالت این از این واقعیت ناشی می شود که توروس محصولی از دو دایره است و هر دایره می تواند به صورت ایزومتریک در E 2 تعبیه شود . [45]

هندسه کروی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: مثلثات کروی و مثلث کروی

مثلث کروی

مساحت مثلث کروی در کره واحد α + β + γ - π است .

گروه ایزومتری واحد واحد S 2 در E 3 گروه متعامد O (3) است ، با گروه چرخش SO (3) به عنوان زیر گروه ایزومتری ها که جهت گیری را حفظ می کنند. این محصول مستقیم است SO (3) با نقشه واقع در طرف مقابل ، ارسال X به - X . [46] گروه SO (3) بطور گذرا بر روی S 2 عمل می کند . زیر گروه تثبیت کننده بردار یکه (0،0،1) را می توان با شناسایی SO (2) ، به طوری که S 2 = SO (3) / SO (2) .

ژئودزیک بین دو نقطه در کره ، قوس های دایره ای بزرگ با این نقاط انتهایی داده شده است. اگر نقاط ضد پاد نباشند ، کوتاهترین ژئودزیکی منحصر به فرد بین نقاط وجود دارد. این ژئودزیک نیز می تواند به صورت تئوری به صورت گروهی توصیف شود: هر ژئودزیکی از طریق قطب شمال (0/0،1) مدار زیر گروه چرخش های مربوط به یک محور از طریق نقاط ضد پاد در استوا است.

مثلث کروی یک مثلث متشکل از سطوح هندسی در کره است. توسط نقاط A ، B ، C بر روی کره با طرفین BC ، CA ، AB تعریف شده است که از قوسهای دایره بزرگی به طول کمتر از π تشکیل شده است . اگر طول ضلع ها a ، b ، c و زوایای بین طرفین α ، β ، γ باشد ، پس قانون کسین کروی بیان می کند که

$\ cos c = \ cos a \، \ cos b + \ sin a \، \ sin b \، \ cos \ gamma.$

مساحت مثلث توسط

مساحت = α + β + γ - π .

با استفاده از طرح ریزی استریوگرافی از قطب شمال ، کره را می توان با هواپیمای پیچیده C ∪ {∞ identified مشخص کرد . نقشه صریح توسط داده شده است

$\ pi (x ، y ، z) = x + iy \ over 1-z} \ equiv u + iv.$

تحت این مکاتبات ، هر چرخش S 2 با یک تغییر Möbius در SU (2) مطابقت دارد ، که منحصر به فرد برای ثبت نام است. [47] با توجه به مختصات ( u ، v ) در صفحه پیچیده ، متریک کروی تبدیل می شود [48]

$ds ^ {2} = {4 (du ^ {2} + dv ^ {2}) \ over (1 + u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}}.$

کره واحد سطح منحصر به فرد با جهت گیری بسته منحنی با انحنای ثابت 1+ است. مقدار SO (3) / O (2) را می توان با هواپیمای واقعی پروژکتور شناسایی کرد . این غیر جهت گرا است و می تواند به عنوان قطعه S 2 توسط نقشه ضد پاد (ضرب با − 1) توصیف شود. کره به سادگی به هم متصل است ، در حالی که هواپیمای پروژکتور واقعی دارای گروه اساسی Z 2 است . زیر گروه متناهی از SO (3) ، مربوط به زیر گروه متناهی از O (2) و گروه های تقارن اجسام افلاطونی ، آزادانه در عمل نمی S 2 ، به طوری که خارج قسمت مربوطه 2-منیفولدهای، فقط orbifolds.

هندسه قند خون [ ویرایش ]

همچنین ببینید: مثلث هایپربولیک و هندسه هایپربولی

هنری پینکاره (1912-1994)

هندسه غیر اقلیدسی [49] برای اولین بار در نامه های گاوس مورد بحث قرار گرفت ، که محاسبات گسترده ای را در اواخر قرن نوزدهم انجام داد که اگرچه به صورت خصوصی به گردش در آمد ، وی تصمیم گرفت تا چاپ نکند. در سال 1830 لوباچفسکی و بطور مستقل در سال 1832 بولیوی ، پسر یکی از خبرنگاران گاوس ، نسخه های مصنوعی از این هندسه جدید را منتشر کرد ، که برای آنها مورد انتقاد شدید قرار گرفت. با این حال ، تا سال 1868 نگذشته بود که بلترامی ، به دنبال آن کلین در 1871 و Poincaré در 1882 ، مدلهای تحلیلی بتنی را برای آنچه کلین لقب هندسه هذلولی هذلولی ارائه داد . چهار مدل هندسه هایپربولیک دو بعدی که پدیدار شدند:

مدل Beltrami-Klein ؛
دیسک پوانکاره ؛
پوانکاره بالا هواپیما نیم ؛
مدل hyperboloid از ویلهلم کشتن در 3 بعدی فضای مینکوفسکی .

مدل اول ، مبتنی بر دیسک ، این مزیت را دارد که ژئودزیک در واقع قطعه خط است (یعنی تقاطع خطوط اقلیدسی با دیسک واحد باز). مدل آخر این مزیت را دارد که ساختاری را ارائه می دهد که کاملاً موازی با حوزه واحد در فضای 3 بعدی اقلیدسی است. به دلیل کاربرد آنها در تجزیه و تحلیل پیچیده و هندسه ، مدلهای Poincaré بیشترین کاربرد را دارند: به لطف تحولات Mbibius بین دیسک و نیم صفحه بالایی قابل تعویض هستند.

اجازه دهید

$D = \ {z \، \ col | z | <1 \$

شود دیسک پوانکاره در صفحه مختلط با متریک پوانکاره

$ds ^ {2} = {4 (dx ^ {2} + dy ^ {2}) \ over (1-x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {2}}.$

در مختصات قطبی ( r ، θ ) متریک توسط داده می شود

$ds ^ {2} = {4 (dr ^ {2} + r ^ {2} \، d \tata ^ {2}) \ over (1-r ^ {2}) ^ {2}.$

طول منحنی γ : [ a ، b ] → D توسط فرمول داده می شود

$\ ell (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {2 | \ gamma ^ {\ Prime (t) | \، dt \ over 1- | \ gamma (t) | ^ {2} .$

گروه G = SU (1،1) داده شده توسط

$G = \ سمت چپ \ {{\ شروع {pmatrix} \ alpha & \ beta \\ over \ overline {\ beta}} & {\ overline {\ alpha}} \ end {pmatrix}}: \ alpha، \ beta \ in \ mathbf {C} ، \، | \ alpha | ^ {2} - | \ beta | ^ {2} = 1 \ Right \$

بطور گذرا با تحولات Möbius روی D عمل می کند و زیر گروه تثبیت کننده 0 گروه چرخش است

$K = \ سمت چپ \ {{\ شروع {pmatrix} \ zeta & 0 \\ 0 & {\ overline {\ zeta}} \ end {pmatrix}}: \ zeta \ in \ mathbf {C}، \، | \ zeta | = 1 \ درست \$

گروه سود SU (1،1) / ± I گروه ایزومتری های حفظ جهت گیری D است . هر دو نقطه z ، w در D توسط یک ژئودزیک منحصر به فرد ، توسط بخشی از دایره یا خط مستقیم که از Z و W عبور می کند و به صورت دایره مرزی به دایره مرزی داده می شود ، پیوسته است. فاصله بین z و w توسط داده شده است

$\ displaystyle d (z، w) = 2 \ tanh ^ {- 1} {\ frac {| zw |} {| 1 - {\ overline {w}} z |}}.$

به طور خاص d (0 ، r ) = 2 tanh -1 r و c ( t ) =1/2tanh t از لحاظ ژئودزیکی از طریق 0 در امتداد محور واقعی ، پارامتر شده توسط arcl طول است.

توپولوژی تعریف شده توسط این متریک معادل توپولوژی معمولی اقلیدسی است ، اگرچه به عنوان یک فضای متریک ( D ، D ) کامل است.

مثلث هذلولی در مدل دیسک Poincaré

مثلث هذلولی یک مثلث متشکل از سطوح هندسی برای این اندازه گیری است: هر سه نقطه در D رئوس یک مثلث هذلولی هستند. اگر ضلع ها دارای طول a ، b ، c با زاویه های مربوطه α ، β ، γ باشند ، بنابراین قاعده کسین کربن بیان می کند که

$\ cosh c = \ cosh a \، \ cosh b- \ sinh a \، \ sinh b \، \ cos \ gamma.$

مساحت مثلث هایپربولیک توسط [50] داده شده است

مساحت = π - α - β - γ .

دیسک واحد و نیم صفحه فوقانی

$H = \ {w = x + iy \، \ colon \، y> 0 \$

با تحولات Möbius مطابقتاً معادل دارند

$w = i {1 + z \ over 1-z}، \، \، z = i wi \ over w + i.$

بر اساس این مکاتبات عمل SL (2، R) توسط تحولات موبیوس در H مربوط به آن از SU (1،1) در D . متریک در H می شود

$ds ^ {2} = {dx ^ {2} + dy ^ {2} \ over y ^ {2}.$

از آنجا که خطوط یا دایره ها تحت دگرگونی های Möbius حفظ می شوند ، ژئودزیک دوباره توسط خطوط یا دایره هایی به صورت متعامد به محور واقعی توصیف می شود.

دیسک واحد با متریک Poincaré منیفولد ریمانیایی دو بعدی به سادگی متمرکز با منحنی ثابت −1 است. هر سطح بسته بسته M با این خاصیت دارای D است به عنوان فضای پوشش جهانی آن. آن گروه اساسی را می توان با concompact زیر گروه رایگان چرخش شناسایی Γ از SU (1،1) ، در چنین راهی که

$م = \ گاما \ برگشت به لبه G / K.$

در این حالت Γ یک گروه کاملاً ارائه شده است . ژنراتورها و روابط در یک چند ضلعی ژئودزیک بنیادی محدب محور جغرافیایی در D (یا H ) متناظر هندسی با ژئودزیک بسته در M کدگذاری می شوند .

نمونه .

سطح Bolza از جنس 2؛
quartic را کلاین از جنس 3؛
سطح Macbeath از جنس 7؛
هورویتز نخست سه گانه از جنس 14.

یکنواختی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: قضیه یکسان سازی

با توجه به سطح بسته M جهت دار با انحنای K گاوسی ، متریک روی M می تواند با مقیاس بندی آن توسط یک عامل e 2 u مطابق با هم تغییر کند . سپس انحنای جدید گاوسی K ′ داده می شود

$K ^ {\ Prime (x) = e ^ {- 2u} (K (x) - \ Delta u) ،$

که در آن Δ لاپلاسیان برای متریک اصلی است. بنابراین نشان می دهد که یک سطح معادل با یک معیار با انحنای ثابت K معادل است. برای حل نوع زیر معادله لیویل کافی است :

$\ Delta u = K ^ {\ Prime} e ^ {2u} + K (x).$

هنگامی که M دارای مشخصه اویلر 0 است ، به همان نسبت یک گورخا تفاوت دارد ، K ′ 0 ، بنابراین این مقدار در حل است

$\ Delta u = K (x).$

با تئوری بیضوی استاندارد ، این امکان پذیر است زیرا انتگرال K بر M صفر است با قضیه گاوس-بنت. [51]

وقتی M دارای خصوصیات منفی اویلر باشد ، K ′ = −1 ، بنابراین معادله قابل حل است:

$\ Delta u = -e ^ {2u} + K (x).$

با استفاده از استمرار نقشه نمایی در فضای سوابولف به دلیل نیل ترودینجر ، این معادله غیر خطی همیشه قابل حل است. [52]

سرانجام در مورد 2 حوزه ، K ′ = 1 و معادله می شود:

$\ Delta u = e ^ {2u} + K (x).$

تاکنون این معادله غیر خطی به طور مستقیم مورد تجزیه و تحلیل قرار نگرفته است ، اگرچه نتایج کلاسیک مانند نظریه ریمان-روچ دلالت بر این دارد که همیشه راه حل دارد. [53] روش جریان ریچی ، که توسط ریچارد اس. همیلتون ساخته شده است ، اثبات دیگری بر وجود مبتنی بر معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی برای اثبات وجود دارد. [54] در حقیقت ، جریان Ricci بر روی اندازه های کنفورماسی در S 2 در توابع u ( x ، t ) تعریف شده است.

$u_ {t} = 4 \ pi -K '(x، t) = 4 \ pi -e ^ {- 2u} (K (x) - \ Delta u).$

پس از زمان محدود ، چو نشان داد که K K مثبت می شود. نتایج قبلی از همیلتون می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد K K به 1+ تبدیل می شود. [55] پیش از این نتایج در مورد جریان ریچی ، اسگود ، فیلیپس و سارناک (1988) رویکردی جایگزین و تکنیکی ساده تر برای یکنواختی را بر اساس جریان در معیارهای ریمانی g تعریف شده توسط log det Δ g ارائه داده بودند .

یک اثبات ساده با استفاده از تنها عملگرهای بیضوی کشف شده در 1988 می توان در دینگ یافت (2001) . اجازه دهید G باشد تابع گرین در S 2 رضایت Δ G = 1 + 4π δ P ، که در آن δ P اندازه گیری نقطه در یک نقطه ثابت است P از S 2 . معادله Δ v = 2 K - 2 ، یک راه حل v صاف دارد ، زیرا سمت راست دارای 0 انتساب توسط قضیه گاوس-بنت است. بنابراین φ = 2 G + v برآورده می کندΔ φ = 2 K از P فاصله دارد . از این رو نتیجه می گیرد که g 1 = e φ g یک متریک کامل از انحنای ثابت 0 بر روی مکمل P است ، بنابراین از نظر هواپیما ایزومتریک است. آهنگسازی با طرح stereographic ، آن را زیر است که یک تابع صاف وجود دارد تو که الکترونیکی 2 تو گرم است گاوسی در مکمل انحنای 1 P . عملکرد تو به طور خودکار بر روی یک عملکرد صاف در کل S 2 گسترش می یابد . [ج]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 13:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه هندسه دیفرانسیل سطوح

مختصات قطبی ژئودزیکی [ ویرایش ]

کارل ژاکوبی (1804-1851)

خطوط کانتور که حرکت نقاط در یک منحنی ثابت را ردیابی می کنند که در امتداد ژئودزیک به سمت یک پایه فرعی حرکت می کنند

هنگامی که یک متریک روی یک سطح داده شود و یک نقطه پایه ثابت شود ، یک ژئودزیک منحصر به فرد وجود دارد که نقطه پایه را به هر نقطه به اندازه کافی در نزدیکی وصل می کند. جهت ژئودزیک در نقطه پایه و فاصله ، نقطه انتهایی دیگر را مشخص می کند. این دو بیت داده ، یک جهت و بزرگی ، بنابراین یک بردار مماس در نقطه پایه تعیین می کنند. نقشه از بردارهای مماس گرفته تا نقاط انتهایی به آرامی محله ای از نقطه پایه را بیرون می کشد و آنچه را "نقشه نمایی" نامیده می شود ، تعریف می کند و نمودار مختصات محلی را در آن نقطه پایه تعریف می کند. محله جابجایی دارای ویژگی های مشابه توپ در فضای اقلیدسی است ، یعنی هر دو نقطه در آن توسط یک ژئودزیک منحصر به فرد به آن ملحق می شود. این خاصیت "محدب ژئودزیکی" نامیده می شود و مختصات را "مختصات عادی" می نامند. محاسبه صریح مختصات عادی می تواند با در نظر گرفتن معادله دیفرانسیل برآورده شده توسط ژئودزیک انجام شود. خاصیت محدب بودن عواقب آن استلیم گاوس و کلیات آن. تقریباً با بیان این لمما بیان می شود که ژئودزیک هایی که از نقطه پایه شروع می شوند باید حوزه های شعاع ثابت محور در نقطه پایه را در زاویه های راست برش دهند. مختصات قطبی ژئودزیکی با ترکیب نقشه نمایی با مختصات قطبی روی بردارهای مماس در نقطه پایه بدست می آیند. سپس انحنای گاوسی سطح با انحراف مرتبه دوم متریک در نقطه‌ای از متریک اقلیدسی داده می شود. به طور خاص انحنای گاوسی نوعی متغیر متریک است ، تئورما Egregium مشهور گاوس. یک راه مناسب برای درک انحنای ناشی از یک معادله دیفرانسیل معمولی است که ابتدا توسط گاوس در نظر گرفته شده و بعداً توسط ژاکوبی تعمیم یافته و ناشی از تغییر مختصات عادی در مورد دو نقطه مختلف است. معادله گاوس-ژاکوبی روش دیگری برای محاسبه انحنای گاوسی فراهم می کند. از لحاظ هندسی آنچه اتفاق می افتد از ژئودزیک از یک نقطه پایه ثابت به عنوان نقطه انتهایی در امتداد یک بخش منحنی کوچک از طریق داده های ثبت شده در زمینه ژاکوبی ، یک میدان بردار در امتداد ژئودزیک متفاوت است. [32] یک و ربع قرن پس از گاوس و ژاکوبی ، مارستون مورس تعبیر مفهومی تری از زمینه ژاکوبی از نظر مشتقات دوم عملکرد انرژی بر روی ابعاد بی نهایت ارائه داد.مانیفولد مسیرها. [33]

نقشه نمایی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: مختصات عادی

تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی نشان می دهد که اگر f ( t ، v ) صاف باشد ، معادله دیفرانسیل استدی وی دی/DT= f ( t ، v ) با شرایط اولیه v (0) = v 0 یک راه حل منحصر به فرد برای | تی | به اندازه كافي كوچك است و محلول هموار به t و v 0 بستگي دارد . این به معنی این است که برای به اندازه کافی کوچک بردارهای مماس پنجم در یک نقطه داده ص = ( X 0 ، Y 0 ) است، متشکل از سطوح هندسی وجود دارد ج V ( T ) تعریف شده بر روی (-2،2) با C V (0) = ( X 0، y 0 ) و ċ v (0) = v . علاوه بر این ، اگر | s | ≤ 1 ، سپس c sv = c v ( st ) . نقشه نمایی تعریف شده توسط

exp p ( v ) = c v (1)

و بین دیسک ‖ v ‖ < δ و یک محله از p اختلاف ایجاد می کند . به طور کلی نقشه ارسال ( ص ، V ) به درصد این سطح P ( V ) می دهد diffeomorphism فراهم آورده محلی بر روی یک محله از ( ص ، ص ) . نقشه نمایی مختصات عادی ژئودزیکی نزدیک به p را نشان می دهد . [34]

محاسبه مختصات عادی [ ویرایش ]

یک روش استاندارد (برای مثال رجوع وجود دارد برگر (2004) ) برای محاسبه تغییر متغیر به مختصات نرمال تو ، V در یک نقطه به عنوان یک بسط سری تیلور رسمی. اگر مختصات x ، y در (0/0) به صورت محلی متعامد هستند ، بنویسید

x ( u ، v ) = αu + L ( u ، v ) + λ ( u ، v ) +…

y ( u ، v ) = βv + M ( u ، v ) + μ ( u ، v ) +…

که در آن L ، M درجه دوم و λ ، μ چند جمله ای همگن مکعب در تو و پنجم . اگر u و v ثابت باشند ، x ( t ) = x ( tu ، tv ) و y ( t ) = y ( tu ، tv ) می توانند به عنوان راه حل های سری قدرت اصلی معادلات اویلر در نظر گرفته شوند: این منحصر به فرد α ، β ، L ، M ،λ و μ .

لمس گاوس [ ویرایش ]

مقاله اصلی: لیم گاوس (هندسه رییمانی)

در مختصات قطبی ژئودزیکی ژئودزیکی که از مبدا تابش می شود ، دایره های شعاع ثابت را به طور مرتب برش می دهد. فاصله در امتداد شعاع فاصله های واقعی هستند اما بر حلقه های متحد کمان کوچک دارای طول H ( R ، θ ) = G ( R ، θ ) 1 / 2 بار زاویه آنها شامل بودن.

در این مختصات ، ماتریس g ( x ) g (0 ) را برآورده می کند = I و خطوط t ↦ tv ژئودزیک از طریق 0. معادلات اویلر حاکی از معادله ماتریس است.

g ( v ) v = v ،

یک نتیجه کلیدی ، که معمولاً لم گائوس نامیده می شود . از نظر هندسی این را بیان می کند

ژئودزیک از طریق 0 دایره ها را با محوریت 0 بطور متعارف برش داد .

با در نظر گرفتن مختصات قطبی ( r ، θ ) ، نتیجه می گیرد که متریک فرم دارد

ds 2 = dr 2 + G ( r ، θ ) dθ 2 .

در مختصات هندسی می توان بررسی کرد که ژئودزیک ها از طریق صفر طول را به حداقل می رسانند. سپس توپولوژی روی منیفولد ریمانی توسط یک تابع مسافت d ( p ، q ) داده می شود ، یعنی کمترین طول مسیرهای صاف چند قطعه بین p و q . این فاصله به صورت محلی توسط ژئودزیک متوجه شدم، به طوری که در مختصات نرمال د (0، V ) = ‖ V ‖ . اگر شعاع δ به اندازه كوچك گرفته شود ، كمی تیز شدن لمس گاوس نشان می دهد كه تصویر U از دیسک ‖ v ‖ < δدر زیر نقشه نمایی از لحاظ ژنتیکی محدب است ، یعنی هر دو نقطه در U توسط یک ژئودزیک منحصر به فرد که کاملاً درون U قرار دارد ، پیوسته است . [4] [35]

قضیه Egregium [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه Egregium

با گرفتن مختصات x و y از یک سطح در E 3 مطابق با F ( x ، y ) = k 1 x 2 + k 2 y 2 +… ، گسترش سری قدرت متریک در مختصات عادی ( u ، v ) به شرح زیر است.

ds 2 = du 2 + dv 2 + K ( u dv - v du ) 2 +…

این نتیجه خارق العاده - Theorema Egregium گاوس - نشان می دهد که انحنای گاوسی یک سطح را می توان تنها از نظر متریک محاسبه کرد و بنابراین یک ثابت ذاتی از سطح ، مستقل از هرگونه تعبیه در E 3 است و بدون تغییر در مختصات. به ویژه ایزومتری سطوح ، انحنای گاوسی را حفظ می کنند. [4]

معادله گاوس-ژاکوبی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: زمینه Jacobi

گرفتن یک هماهنگی در تغییر از مختصات نرمال در ص به مختصات نرمال در یک نقطه در این نزدیکی هست Q ، منجر به معادله اشتورم-لیوویل توسط راضی H ( R ، θ ) = G ( R ، θ ) 1 / 2 ، کشف شده توسط گاوس و بعد کلی توسط ژاکوبی ،

H rr = - KH

ژاکوبین از این تغییر هماهنگ در Q برابر است با H R . این روش دیگری برای تعیین ماهیت ذاتی انحنای گاوسی ارائه می دهد. از آنجا که H ( r ، θ ) را می توان به عنوان طول عنصر خط در جهت θ تفسیر کرد ، معادله گاوس-ژاکوبی نشان می دهد که انحنای گاوسی میزان انتشار ژئودزیک را بر روی یک سطح هندسی اندازه می گیرد ، زیرا آنها از یک نقطه دور می شوند. [36]

اپراتور لاپلاس - بلترامی [ ویرایش ]

روی یک سطح با متریک محلی

$ds ^ {2} = E \، dx ^ {2} + 2F \، dx \، dy + G \، dy ^ {2$

و اپراتور لاپلاس - بلترامی

${\ displaystyle \ Delta f = {1 \ over H} \ left (\ partial _ {x} {G \ over H} \ partial _ {x} f- \ partial _ {x} {F \ over H} \ partial _ {y} f- \ partial _ {y} {F \ over H} \ partial _ {x} f + \ partial _ {y} {E \ over H} \ partial _ {y} f \ Right)،}$

که در آن H 2 = EG - F 2 ، انحنای گاوسی در یک نقطه توسط فرمول [37] آورده شده است.

$K = -3 \ lim _ {r \ Rightarrow 0 \ Delta (\ log r) ،$

که در آن r نشان دهنده فاصله ژئودزیکی از نقطه است. از آنجا که Δ ظاهراً یک ذات غیر ذاتی است ، این اثبات دیگری می گوید که انحنای گاوی یک تغییر ذاتی است.

در مختصات ایزوترمال ، که ابتدا توسط گاوس مورد توجه قرار می گیرد ، متریک مورد نیاز است که از فرم خاصی برخوردار باشد

$ds ^ {2} = e ^ {\ varphi} (dx ^ {2} + dy ^ {2}). \،$

در این حالت اپراتور Laplace-Beltrami داده می شود

$\ دلتا = e ^ {- \ varphi} \ سمت چپ ({\ frac {\ جزئی ^ {2}}} \ درست)$

و φ معادله لیوویل را برآورده می کند [38]

$\ دلتا \ varphi = -2K. \ ،$

مختصات ایزوترمال شناخته شده است که در یک محله از هر نقطه بر روی سطح وجود دارد ، اگرچه تمام اثبات تا به امروز به نتایج غیر مهم در معادلات دیفرانسیل جزئی تکیه دارند . [39] اثبات ابتدایی برای حداقل سطوح وجود دارد. [40]

قضیه گاوس – بنت [ ویرایش ]

مثلثی از توروس

بر روی یک کره یا یک هایپربلوئید ، مساحت یک مثلث ژئودزیکی ، یعنی یک مثلث که همه طرف های آن از لحاظ ژئودزیکی است ، با تفاوت جمع زاویه های داخلی و π متناسب است. ثابت بودن تناسب فقط انحنای گاوسی است ، ثابت برای این سطوح. از نظر توروس اختلاف صفر است ، این نشان دهنده این است که انحنای گاوسی آن صفر است. این نتایج استاندارد در مثلثات کروی ، هایپربولیک و دبیرستانهاست (به شکل زیر مراجعه کنید). گاوس با نشان دادن اینکه انتگرال انحنای گاوسی در قسمت داخلی یک مثلث ژئودزیکی نیز با این اختلاف زاویه یا اضافی برابر است ، این نتایج را به یک سطح دلخواه تعمیم داد. فرمول او نشان داد كه انحنای گاوی می تواند در نزدیكی یك نقطه به عنوان حد مساحت بیش از زاویه زاویه برای مثلثهای ژئودزیك كاهش یابد. از آنجا که هر سطح بسته را می توان در مثلث های ژئودزیکی تجزیه کرد ، این فرمول همچنین می تواند برای محاسبه انتگرال انحنای بیش از کل سطح استفاده شود.قضیه گاوس-بنت ، گاوس ثابت كرد كه این انتگرال به طور چشمگیری همیشه 2π برابر عدد صحیح است ، یك ثابت توپولوژیكی از سطح بنام خصوصیات اویلر . این تغییر ناپذیر از نظر تعداد محورها ، لبه ها و صورت مثلث های موجود در تجزیه آسان است و به آن مثلثی نیز گفته می شود . این تعامل بین تجزیه و تحلیل و توپولوژی پیشرو بسیاری از نتایج بعدی در هندسه بود که در قضیه شاخص Atiyah-Singer به اوج خود رسید . به طور خاص خواص انحنای محدودیت هایی را برای توپولوژی سطح اعمال می کند.

مثلث های ژئودزیک [ ویرایش ]

گاوس ثابت کرد که اگر Δ مثلث ژئودزیکی روی یک سطح با زاویه های α ، β و γ در رأس های A ، B و C باشد ،

$\ int _ {\ Delta} K \، dA = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi.$

در واقع گرفتن مختصات قطبی ژئودزیکی با منشاء A و AB ، AC شعاع در زاویه های قطبی 0 و α :

$\ displaystyle {\ fill {تراز شده} \ int _ {\ Delta} K \، dA & = \ int _ {\ Delta} KH \، dr \، d \tata = - \ int _ {0} ^ {\ alpha \ int _ {0} ^ {r _ {\ theta}} \! H_ {rr} \، dr \، d \ theta \\ & = \ int _ {0} ^ {\ alpha} 1-H_ {r} ( r _ {\ theta}، \ theta) \، d \ theta = \ int _ {0} ^ {\ alpha} d \ theta + \ int _ {\ pi - \ beta} ^ {\ gamma} \! \! d \ varphi \\ & = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi، \ end {تراز شده}}}$

جایی که برابری دوم از معادله گاوس-ژاکوبی و چهارم از فرمول مشتق گاوس در مختصات متعامد ( r ، θ ) بدست می آید .

فرمول گاوس نشان می دهد که انحنای یک نقطه می تواند به عنوان حد زاویه اضافی α + β + γ - π بر مساحت برای مثلث های ژئودزیکی متوالی کوچکتر در نزدیکی نقطه محاسبه شود. از نظر کیفی یک سطح مطابق علامت زاویه اضافی برای مثلث های ژئودزیک خودسرانه یا منفی منحنی است. [19]

قضیه گاوس – بنت [ ویرایش ]

مشخصه اویلر یک کره ، مثلثی مانند یخدان سایه دار ، V −- E + F = 12 - 30 + 20 = 2 است .

مقاله اصلی: قضیه گاوس - بنت

از آنجا که هر M - منیفولد جمع و جور با جمع و جور را می توان با مثلث های کوچک جئودزیکی مثلث بندی کرد ، نتیجه می گیرد

$\ int _ {M} KdA = 2 \ pi \، \ chi (M)$

که در آن χ ( M ) نشان دهنده مشخصه اویلر از سطح.

در حقیقت اگر صورت F ، لبه های E و vertices V وجود داشته باشد ، 3 F = 2 E و سمت چپ برابر با 2π V - π F = 2π ( V - E + F ) = 2π χ ( M ) است .

این قضیه مشهور گاوس-بنت است : این نشان می دهد که انتگرال انحنای گاوسی نوعی ثابت توپولوژیکی از مانیفولد ، مشخصه اویلر است. این قضیه از بسیاری جهات قابل تفسیر است. شاید یکی از دورترین دسترسی به عنوان قضیه شاخص برای یک عملگر دیفرانسیل بیضوی در M ، یکی از ساده ترین موارد قضیه شاخص Atiyah-Singer باشد. نتیجه دیگر مرتبط ، که می تواند با استفاده از قضیه گاوس-بنت ثابت شود ، قضیه شاخص Poincaré-Hopf برای زمینه های بردار در M است که تنها با تعداد محدودی از نقاط از بین می رود: مجموع شاخص ها در این نقاط با مشخصه اویلر برابر است. که در آن فهرستیک نقطه به شرح زیر است: در یک دایره کوچک دور هر صفر جدا شده ، میدان بردار نقشه را به دایره واحد تعریف می کند. فهرست فقط شماره سیم پیچ این نقشه است.) [19]

خمیدگی و تعبیه [ ویرایش ]

اگر انحنای گاوسی سطح M در همه جا مثبت باشد ، ویژگی اوولر مثبت است بنابراین M از نظر هومومورف (و بنابراین دیفرمورفیک) به S 2 است . اگر علاوه بر این ، سطح E 3 به صورت ایزومتریکی تعبیه شود ، نقشه گاوس یک دیفئورمورفیسم صریح را ارائه می دهد. همانطور که Hadamard مشاهده کرد ، در این حالت سطح محدب است . این معیار برای همرفتگی را می توان به عنوان یک تعمیم 2 بعدی از معیار مشتق دوم شناخته شده برای محدب بودن منحنی های هواپیما مشاهده کرد. هیلبرتثابت کرد که هر سطح بسته تعبیه شده ایزومتریک باید دارای نقطه ای از انحنای مثبت باشد. بنابراین ، یک منیفولد بسته 2 ریمانی منحنی غیر مثبت هرگز نمی تواند به صورت ایزومتریک در E 3 تعبیه شود . با این حال ، همانطور که آدریانو گارسیا نشان داد با استفاده از معادله Beltrami برای نگاشتهای quasiconformal ، این همیشه برای برخی از معیارهای معادل با هم برابر امکان پذیر است . [41]

سطوح انحنای ثابت [ ویرایش ]

متصل به سادگی سطوح ثابت انحنای 0، 1 و -1 از یک فضای اقلیدسی، فضای واحد در E 3 و هواپیما هذلولی . هر یک از اینها دارای یک گروه گذرا سه بعدی Lie از جهت سنجش حفظ ایزومتری G است که می تواند برای مطالعه هندسه آنها مورد استفاده قرار گیرد. هر یک از دو سطح غیر فشرده را می توان با مقدار G / K مشخص کرد که در آن K یک زیر گروه حداکثر جمع و جور از G است . در اینجا K از نظر SO (2) ایزومورفیک است . هر نوع بسته بسته 2 ریمانیان Mانحنای ثابت گاوسی ، پس از مقیاس اندازه گیری متریک توسط یک عامل ثابت در صورت لزوم ، یکی از این سه سطح را به عنوان فضای پوشش جهانی آن خواهد داشت . در حالت شرقی ، گروه اساسی Γ از M با یک زیر گروه یکنواخت بدون پیچ خوردگی از G و M قابل شناسایی است و پس از آن می توان با فضای کیهان دو برابر Γ \ G / K شناسایی کرد . در مورد حوزه و یک فضای اقلیدسی، تنها نمونه ممکن است حوزه خود و Tori به عنوان خارج قسمت به دست آمده R 2 توسط رتبه گسسته 2 زیر گروه. برای سطوح بسته از جنس g ≥ 2 ، فضای مدول سطوح ریمان بدست آمده به عنوان Γ بیش از همه زیر گروه ها متفاوت است ، دارای ابعاد واقعی 6 g - 6 است . [42] با توجه به قضیه یکسان سازی Poincaré ، هر منیفولد بسته جهت دار 2 مطابق با سطح انحنای ثابت 0 ، 1 یا 1 است. به عبارت دیگر، با ضرب متریک توسط یک عامل پوسته پوسته شدن مثبت، انحنای گاوسی می توان ساخته شده را به دقیقا یکی از این مقادیر (نشانه ای از مشخصه اویلر از M ). [43]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 13:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه هندسه دیفرانسیل سطوح

سطوح حداقل [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: حداقل سطح

در سال 1760 ، Lagrange نتایج اویلر را در حساب تغییرات تغییرات مربوط به انتگرالها در یک متغیر به دو متغیر افزایش داد. [13] او مشکل زیر را در نظر داشت:

با توجه به منحنی بسته شده در E 3 ، یک سطح با منحنی به عنوان حد حداقل مساحت پیدا کنید.

به چنین سطحی حداقل سطح گفته می شود .

در سال 1776 ژان باپتیست Meusnier نشان داد که معادله دیفرانسیل به دست آمده توسط لاگرانژ معادل ناپدید شدن میانگین انحنای سطح است:

اگر متوسط انحنای آن از بین برود ، سطح حداقل است.

سطوح مینیمال یک تعبیر ساده در زندگی واقعی دارند: آنها شکلی هستند که اگر یک فر سیم به صورت منحنی در محلول صابونی فرو رفته و سپس با دقت از بین برود ، فرض می شود. سوال که آیا یک سطح حداقل با مرز داده وجود دارد که به نام فلات مشکل است پس از فیزیکدان بلژیکی جوزف فلات که آزمایش بر روی فیلم های صابون در اواسط قرن نوزدهم انجام داد. در سال 1930 جسی داگلاس و تیبور رادو پاسخی مثبت به مسئله پلاتو دادند (داگلاس یکی از اولین مدالهای فیلدز را برای این کار در سال 1936 دریافت کرد). [14]

بسیاری از نمونه های صریح و روشن از حداقل سطح به صراحت، شناخته شده مانند catenoid از پیچوار از سطح Scherk و سطح Enneper . تحقیقات گسترده ای در این زمینه صورت گرفته است که خلاصه آن در اوسترمن است (2002) . به طور خاص نتیجه اوسترمن نشان می دهد اگر حداقل سطح غیر مسطح باشد ، تصویر آن در زیر نقشه گاوس در S 2 متراکم است .

سطح با (از L تا r.) انحنای گاوسی منفی ، صفر و مثبت ثابت است

سطوح انحنای گاوسی ثابت [ ویرایش ]

Eugenio Beltrami (1835-1835)

اگر یک سطح دارای انحنای ثابت گاوسی باشد ، به آن سطح انحنای ثابت گفته می شود . [15]

کره واحد در E 3 دارای انحنای ثابت گاوسی +1 است.
هواپیمای اقلیدسی و استوانه هر دو دارای انحنای ثابت گاوسی 0 هستند.
سطوح انقلاب با φ TT = φ دارند انحنای گاوسی ثابت -1. موارد خاص با در نظر گرفتن φ ( t ) = C cosh t ، C sinh t و C e t بدست می آید . [16] مورد دوم ، شبه کلاسیک کلاسیک است که با چرخش یک تراکتور به دور محور مرکزی ایجاد می شود. در سال 1868 ، Eugenio Beltrami نشان داد که هندسه شبه پیوند مستقیم با هواپیمای هایپربولیک است ، که به طور مستقل توسط لوباچفسکی کشف شد.(1830) و بولیایی (1832). قبلاً در سال 1840 ، F. Minding ، دانش آموز گاوس ، فرمول های مثلثاتی برای شبه شبكه یكسان را برای هواپیمای هایپربولیك به دست آورد. [17] این سطح انحنای ثابت اکنون از نظر متریک Poincaré در صفحه بالایی یا دیسک واحد بهتر درک شده است و توسط مدل های دیگری مانند مدل Klein یا مدل هایپربولوئید ، که با در نظر گرفتن این دو به دست آمده است ، توصیف شده است. hyperboloid- q ( x ، y ، z ) -litter شده = −1 در فضای Minkowski سه بعدی ، جایی کهq ( x ، y ، z ) = x 2 + y 2 - z 2 . [18]

هر یک از این سطوح از انحنای ثابت دارای یک گروه تقارن گذرا هستند. این گروه واقع نظریه است نتایج درازمدت، همه بیشتر قابل توجه به دلیل نقش محوری این سطوح خاص در هندسه سطوح بازی، به دلیل پوانکاره را یکنواخت قضیه (پایین را ببینید).

نمونه های دیگر سطوح دارای انحنای گاوسی 0 شامل مخروط ها ، توسعه قابل ملاحظه و بطور کلی هر سطح قابل توسعه است.

ساختار متریک محلی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: منیفولد ریمانی

یک چارت برای نیمکره بالایی از 2 حوزه به دست آمده توسط آن بر روی XY هواپیما

تغییرات هماهنگی بین نمودارهای محلی مختلف باید صاف باشد

برای هر سطح تعبیه شده در فضای اقلیدسی از ابعاد 3 یا بالاتر ، امکان اندازه گیری طول منحنی روی سطح ، زاویه بین دو منحنی و مساحت ناحیه ای بر روی سطح وجود دارد. این ساختار به صورت نامتناهی در یک متریک ریمانیایی روی سطح از طریق عناصر خط و عناصر منطقه کدگذاری می شود . از نظر كلاسیكی در قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم فقط سطوح تعبیه شده در R 3 در نظر گرفته شد و متریک به عنوان ماتریس قطعی مثبت 2 2 2 مثبت تغییر كرد كه هموار از یك نقطه به نقطه دیگر در پارامترهای محلی سطح. ایده پارامتر کردن محلی و تغییر مختصات بعداً از طریق مفهوم انتزاعی فعلی a انجام شدمنیفولد ، فضایی توپولوژیکی است که ساختار صاف توسط نمودارهای محلی روی مانیفولد ، دقیقاً همانطور که سیاره زمین امروز توسط اطلس ها نقشه برداری شده است ، ارائه می شود. تغییر مختصات بین نمودارهای مختلف در همان منطقه مورد نیاز است تا یکدست شود. درست همانطور که خطوط کانتور روی نقشه های زندگی واقعی ، با در نظر گرفتن تحریف های محلی سطح زمین ، برای محاسبه مسافت های واقعی ، تغییرات در کد را رمزگذاری می کنند ، بنابراین متریک ریمانی فاصله ها و مناطق "در کوچک" را در هر نمودار محلی توصیف می کند. در هر نمودار محلی ، یک معیار ریمانی با هموار کردن یک ماتریس قطعی مثبت 2 × 2 به هر نقطه داده می شود. وقتی نمودار متفاوتی گرفته می شود ، ماتریس مطابق ماتریس Jacobian تبدیل می شودتغییر مختصات سپس منیفولد ساختار یک منیفولد 2 بعدی ریمانی را دارد .

عناصر خط و منطقه [ ویرایش ]

با گرفتن نمودار محلی ، به عنوان مثال با طرح ریزی بر روی صفحه xy ( z = 0 ) ، عنصر خط ds و عنصر منطقه dA را می توان از نظر مختصات محلی نوشت:

ds 2 = E dx 2 + 2 F dx dy + G dy 2

دا = ( EG - F 2 ) 1 / 2 DX DY .

عبارت E dx 2 + 2 F dx dy + G dy 2 اولین شکل اساسی نامیده می شود . [19]

ماتریکس

${\ fill pmatrix} E (x، y) & F (x، y) \\ F (x، y) & G (x، y) \ end {pmatrix$

مورد نیاز است تا به صورت مثبت و به هم وابسته x و y باشد.

در یک روش مشابه ، عناصر خط و منطقه می توانند به هر منیفولد انتزاعی ریمانی در یک نمودار محلی مرتبط باشند.

فرم اساسی دوم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرم اساسی دوم

تعریف شکل دوم بنیادی

هندسه بیرونی سطوح خواص سطوح تعبیه شده در یک فضای اقلیدسی ، به طور معمول E 3 را مورد مطالعه قرار می دهد . در هندسه ذاتی ، دو سطح "یکسان" هستند اگر ممکن باشد بدون کشیدگی آن ، یک سطح را روی سطح دیگر بکشید ، یعنی نقشه ای از یک سطح روی فاصله حفظ دیگر. بنابراین یک استوانه به صورت محلی "همان" است که هواپیما. در هندسه بیرونی، دو سطح "همان" اگر آنها متجانس در فضای اقلیدسی محیط، یعنی یک وجود دارد همسان از E 3 حمل یک سطح بر روی دیگر. با این تعریف دقیق تر از تشبیه ، سیلندر و هواپیما ظاهراً دیگر یکسان نیستند.

اگرچه اصلی تغییر در مطالعه هندسه ذاتی سطوح ، متریک (اولین شکل اساسی) و انحنای گاوسی است ، اما خاصیت خاصی از سطوح نیز به تعبیه شدن در E 3 (یا فضای اقلیدسی بعدی بعدی) بستگی دارد . مهمترین نمونه ، دومین فرم اساسی است که به صورت کلاسیک به شرح زیر تعریف شده است. [20]

یک نمودار ( x ، y ) روی سطح در یک نمودار محلی بگیرید. فاصله اقلیدسی از یک نقطه در نزدیکی ( x + dx ، y + dy ) تا هواپیمای مماس در ( x ، y ) یعنی طول عمود بر روی نقطه نزدیک به صفحه مماس افتاده است.

e dx 2 + 2 f dx dy + g dy 2

به علاوه اصلاحات مرتبه سوم و بالاتر. عبارت فوق ، یک فرم دوقطبی متقارن در هر نقطه ، دومین شکل اساسی است. این توسط یک ماتریس متقارن 2 × 2 توصیف شده است

${\ fill pmatrix} e (x، y) & f (x، y) \\ f (x، y) & g (x، y) \ end {pmatrix$

که هموار به x و y بستگی دارد . انحنای گاوسی به عنوان نسبت عوامل تعیین کننده اشکال اساسی دوم و اول قابل محاسبه است:

$K = {eg-f ^ {2} \ over EG-F ^ {2}$

شگفت آور گاوس ثابت کرد که این یک ذات ذاتی است (نگاه کنید به نظریه او نظریه Egregium خود در زیر).

یکی از دیگر ثابتهای عددی خارجی یک سطح ، میانگین انحنای K متر است که به عنوان جمع انحنای اصلی تعریف شده است. این فرمول داده شده است [19]

$\ displaystyle K_ {m} = {1 \ over 2} \ cdot {eG + gE-2fF \ over EG-F ^ {2}}}$

ضرایب اشکال اساسی اول و دوم شرایط خاصی را برای سازگاری با نام معادلات گاوس-کوداززی برآورده می کند . آنها شامل نمادهای Christoffel Γk
ijهمراه با اولین شکل اساسی: [21]

$e_ {y} -f_ {x} = e \ گاما _ {12} ^ {1} + f (\ گاما _ {12} ^ {2} - \ گاما _ {11} ^ {1}) - g \ گاما _ {11} ^ {2$

$f_ {y} -g_ {x} = e \ گاما _ {22} ^ {1} + f (\ گاما _ {22} ^ {2} - \ گاما _ {12} ^ {1}) - g \ گاما _ {12} ^ {2.$

این معادلات همچنین می توانند به طور مختصر به زبان اشکال اتصال به دلیل الی کارتان به دست آمده باشند . [22] پیر بنت ثابت کرد که دو شکل درجه دوم که معادلات گاوس-کداززی را برآورده می کنند ، همیشه یک سطح تعبیه شده را بطور جداگانه تعیین می کنند. [23] به همین دلیل معمولاً معادلات گاوس-کداززی معادلات اساسی برای سطوح تعبیه شده نامیده می شوند ، دقیقاً مشخص می کنند که انحنای درون و بیرونی از کجا آمده است. آنها به سطوح تعبیه شده در منیفولدهای عمومی رییمانی تعمیم می دهند .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 13:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه هندسه دیفرانسیل سطوح

مثالها [ ویرایش ]

سطح چرخش انقلاب با چرخش منحنی x = 2 + cos z در مورد z -axis حاصل می شود.

سطوح انقلاب [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: سطح انقلاب

با چرخاندن یک منحنی در صفحه xz در مورد z -axis ، می توان سطح چرخش را بدست آورد ، با فرض اینکه منحنی z -axis را تلاقی نمی کند . فرض کنید که منحنی توسط داده شده است

$x = \ varphi (t) ، \، \، z = \ psi (t)$

با t در ( a ، b ) قرار دارد و براساس arcl طول پارامتر شده است

$\ dot {\ varphi} ^ {2} + {\ dot {\ psi}} ^ {2} = 1.$

سپس سطح انقلاب نقطه تعیین شده است

$M = \ {(\ varphi (t) \ cos \ theta، \ varphi (t) \ sin \ theta، \ psi (t)) \ colon t \ in (a، b)) ، \tata \ in [0،2 \ pi) \$

انحنای گاوسی و میانگین انحنا توسط [7]

$K = - {{\ ddot {\ varphi} \ over \ varphi}، \، \، K_ {m} = {- {\ dot {\ psi}} + \ varphi ({\ dot {\ psi}} \ ddot {\ varphi} - {\ ddot {\ psi}} {\ dot {\ varphi}}) \ over 2 \ varphi.$

بیضوی چهار گوش

ژئودزیک در سطح انقلاب توسط روابط Clairaut اداره می شود .

سطوح چهارگانه [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: سطح چهارگانه

سطح چهارگانه تعریف شده توسط [8] را در نظر بگیرید

$x ^ {2} \ over a} + {y ^ {2} \ over b} + {z ^ {2} \ over c} = 1.$

این سطح یک پارامتر را قبول می کند

$x = {\ sqrt {a (au) (av) \ over (ab) (ac)}}، \، \، y = {\ sqrt {b (bu) (bv) \ over (ba) (bc) } ، \ ، \ ، z = {\ sqrt {c (cu) (cv) \ over (cb) (ca).$

انحنای گاوسی و میانگین انحنای آن توسط داده شده است

$K = {abc \ over u ^ {2} v ^ {2}}، \، \، K_ {m} = - (u + v) {\ sqrt {abc \ over u ^ {3} v ^ {3} }}.$

یک رویه درجه تک ورقه hyperboloid است که یک سطح حکومت به دو روش مختلف.

سطوح منظم [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: سطح مرتب

سطح حكمی سطحی است كه می تواند با حركت یك خط مستقیم در E 3 ایجاد شود . [9] انتخاب یک دایرکتوری روی سطح ، یعنی یک منحنی سرعت واحد صاف c ( t ) به صورت مستقیم بر روی خطوط مستقیم ، و سپس انتخاب u ( t ) به عنوان بردارهای واحد در امتداد منحنی در جهت خطوط ، بردار سرعت v = c t و شما راضی هستید

$u \ cdot v = 0، \، \، \ | u \ | = 1، \، \، \ | v \ | = 1.$

سطح از نقاط تشکیل شده است

$c (t) + s \ cdot u (t)$

همانطور که s و t متفاوت است.

سپس ، اگر

$\ displaystyle a = \ | u_ {t} \ |، \، \، b = u_ {t} \ cdot v، \، \، \ alpha = - {\ frac {b} {a ^ {2}}} ، \ ، \ ، \ beta = {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a ^ {2}}} ،}$

انحنای گاوسی و میانگین داده شده توسط

$\ displaystyle K = - {\ beta ^ {2} \ over ((s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2}) ^ 2}}، \، \، K_ {m} = - {r [(s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2})] + \ beta _ {t} (s- \ alpha) + \ beta \ alpha _ {t} \ over [(s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2}] ^ {\ frac {3} {2}}}.}$

انحنای گاوسی از سطح حکومت ناپدید اگر و تنها اگر تو تی و پنجم متناسب هستند، [10] این وضعیت معادل سطح بودن است پاکت فروند از این هواپیماها در طول منحنی حاوی بردار مماس V و بردار متعامد تو ، یعنی به سطح قابل توسعه در امتداد منحنی. [11] به طور کلی یک سطح در E 3 انحنای گاوسی را نزدیک نقطه ای از بین می برد ، اگر و فقط اگر در نزدیکی آن نقطه قابل توسعه باشد. [12] (یک شرط معادل از نظر متریک در زیر آورده شده است.)

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 13:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هندسه دیفرانسیل سطوح

کارل فردریش گاوس در سال 1828

در ریاضیات ، به هندسه دیفرانسیل سطوح معاملات با هندسه دیفرانسیل از صاف سطوح با ساختار های مختلف دیگر، اغلب، یک متریک ریمانی . سطوح از دیدگاههای مختلف مورد مطالعه قرار گرفته است: به طور بیرونی ، مربوط به تعبیه آنها در فضای اقلیدسی و ذاتاً ، منعکس کننده خواص آنها فقط با فاصله در سطح است که در امتداد منحنی روی سطح اندازه گیری می شود. یکی از مفاهیم اساسی مورد بررسی ، انحنای گاوسی است که برای اولین بار توسط عمق مورد مطالعه قرار گرفتکارل فردریش گاوس ، [1] که نشان داد انحنا یک ویژگی ذاتی یک سطح است ، مستقل از تعبیه ایزومتریک آن در فضای اقلیدسی.

سطوح به طور طبیعی به عنوان نمودار توابع یک جفت متغیر بوجود می آیند ، و گاه به صورت پارامتری یا به صورت مکان هایی که به منحنی های فضا مربوط می شوند ، ظاهر می شوند . نقش مهمی در مطالعه آنها توسط گروه های دروغ (با روحیه برنامه ارلانگن ) ، یعنی گروه های تقارن هواپیمای اقلیدسی ، کره و هواپیمای هایپربولیک ایفا کرده است . این گروه های دروغ می توانند برای توصیف سطوح انحنای ثابت گاوسی استفاده شوند. آنها همچنین یک عنصر اساسی در رویکرد مدرن به هندسه دیفرانسیل ذاتی از طریق اتصالات فراهم می کنند . از طرف دیگر ، ویژگیهای بیرونی با تکیه بر تعبیه سطح در فضای اقلیدسی نیز مورد مطالعه گسترده قرار گرفته است. این به خوبی توسط غیرخطی نشان داده شده استمعادلات اویلر - لاگرانژ در محاسبه تغییرات : اگرچه اویلر معادلات متغیر را برای درک ژئودزیک توسعه داد ، مستقل از تعبیه تعریف شده ، یکی از کاربردهای اصلی لاگرانژ از دو معادله متغیر به سطوح حداقلی بود ، مفهومی که فقط می توان در آن تعریف کرد شرایط تعبیه

فهرست

بررسی اجمالی [ ویرایش ]

Polyhedra در فضای اقلیدسی ، مانند مرز یک مکعب ، از اولین سطحی است که در هندسه با آن روبرو می شوید. همچنین می توان سطوح صاف را تعریف کرد ، که در آن هر نقطه دارای یک محله متفاوت است به بعضی از مجموعه های باز در E 2 ، هواپیمای اقلیدسی . این شرح می تواند برای اثبات نتایج بسیاری از محاسبات روی سطوح استفاده شود.

دو سطح صاف اگر و فقط در صورت همومورف بودن هستند دیفیفورف هستند . (نتیجه مشابه برای مانیتورهایی با ابعاد بزرگتر از سه وجود ندارد.) از این رو نتیجه می گیرد که سطوح بسته تا مشخصه اویلر و جهت یابی آنها به دیفرمورفیسم طبقه بندی می شوند .

سطوح صاف مجهز به معیارهای ریمانی از اهمیت اساسی در هندسه دیفرانسیل برخوردار هستند. یک معیار ریمانی یک سطح با مفاهیم ژئودزیکی ، مسافت ، زاویه و منطقه را وقف می کند. طبقه مهمی از این سطوح سطوح قابل توسعه هستند : سطحی که بدون کشش می توان در هواپیما صاف شد. مثالها شامل استوانه و مخروط است .

علاوه بر این ، خواص سطحی وجود دارد که بستگی به تعبیه سطح در فضای اقلیدسی دارد. این سطوح موضوع هندسه بیرونی هستند. آنها شامل می شوند

سطوح حداقل سطوحي هستند كه مساحت سطح را براي شرايط مرزي معين به حداقل مي رسانند . نمونه ها شامل فیلم های صابونی هستند که در یک قاب سیم کشیده می شوند ، کاتنوئیدها و هلیکوئیدها .
سطوح حاوی سطوح دارای حداقل یک خط مستقیم در هر نقطه می باشد. مثالها شامل سیلندر و هایپربلوئید یک ورق است.

هر نفر بعدی چند برابر پیچیده است، در همان زمان، یک 2 نفر چند برابر واقعی بعدی. بنابراین هر منیفولد پیچیده (همچنین یک سطح ریمان خوانده می شود ) یک سطح صاف گرا با یک ساختار پیچیده مرتبط است . هر سطح بسته ساختارهای پیچیده ای را می پذیرد. هر منحنی جبری پیچیده یا سطح جبری واقعی نیز یک سطح صاف است ، احتمالاً دارای تکین.

ساختارهای پیچیده در محور متناظر سطح بسته به کلاسهای همارزی منسجم از معیارهای ریمانی بر روی سطح. یک نسخه از قضیه یکنواختی (با توجه به Poincaré ) بیان می کند که هر متریک ریمانی در سطح بسته و دارای جهت بسته ، مطابق با معیار اساساً منحصر به فرد انحنای ثابت است . این یک نقطه شروع برای یکی از رویکردهای نظریه Teichmüller است ، که طبقه بندی دقیق تری از سطوح ریمان نسبت به توپولوژیک توسط ویژگی اویلر به تنهایی فراهم می کند.

یکنواخت قضیه میگوید که هر صاف ریمان سطح S است conformally معادل به یک سطح داشتن انحنا ثابت و ثابت ممکن است گرفته شده به 1، 0، یا -1. سطح انحنای ثابت 1 به صورت محلی از نظر کره ای ایزومتریک است ، بدین معنی که هر نقطه روی سطح دارای یک محله باز است که به یک مجموعه باز بر روی واحد واحد در E 3 با متریک ذاتی ریمانی آن ایزومتریک است . به همین ترتیب ، یک سطح از انحنای ثابت 0 به صورت محلی با هواپیمای اقلیدسی ایزومتریک است ، و یک سطح از انحنای ثابت −1 به صورت موضعی با هواپیمای هایپربولیک ایزومتریک است .

فلیکس کلین (1925-1949)

سطوح انحنای ثابت تحقق دو بعدی از آنچه به عنوان اشکال فضا شناخته می شوند هستند . این ها اغلب از نقطه نظر مورد مطالعه قرار فلیکس کلاین 'ثانیه برنامه ارلانگن با استفاده از صاف، گروه های تحول . هر سطح متصل با یک گروه سه بعدی ایزومتری یک سطح انحنای ثابت است.

یک سطح پیچیده یک مانیفولد پیچیده است و بنابراین یک چهار برابر واقعی است. به معنای این مقاله سطحی نیست. منحنی های جبری یا سطوح بیش از مزارع غیر از اعداد پیچیده تعریف نشده اند.

تاریخچه سطوح [ ویرایش ]

خواص جدا شده سطوح انقلاب قبلاً به ارشمیدس مشهور بود . توسعه حساب در قرن هفدهم شیوه ای منظم تر برای اثبات آنها فراهم کرد. انحنای سطوح کلی برای اولین بار توسط اویلر مورد بررسی قرار گرفت . در سال 1760 [2] او یک فرمول برای انحنای بخش هواپیما از یک سطح ثابت کرد و در سال 1771 [3] او در نظر گرفته سطوح نشان داده شده در یک فرم پارامتری. مونگ پایه های تئوری خود را زمین گذاشته در خاطرات کلاسیک خود را برنامه L'د l 'تجزیه و تحلیل یک لا Géométrie که در 1795. ظاهر شد سهم تعریف به سطوح تئوری های ساخته شده بود گاوسدر دو مقاله قابل توجه که در سال 1825 و 1827 نوشته شده است. [1] این یک عزیمت جدید از سنت بود زیرا برای اولین بار گاوس هندسه درونی یک سطح را در نظر گرفت ، خواصی که فقط با فاصله های ژئودزیکی بین نقاط روی سطح به طور مستقل تعیین می شوند. از روشی خاص که در آن سطح در فضای اقلیدسی محیط قرار دارد. نتیجه تاجگذاری ، Theorema Egregium از گاوس ، ثابت کرد که انحنای گاوس یک تغییر ذاتی است ، یعنی ثابت تحت ایزومتری های محلی . این دیدگاه توسط ریمان به فضاهای بالاتر ابعادی گسترش یافت و منجر به آنچه امروزه به عنوان هندسه ریمانی شناخته می شود. قرن نوزدهم عصر طلایی برای تئوری سطوح ، از نظر توپولوژیکی و همچنین از دیدگاه دیفرانسیل-هندسی بود که بیشتر هندسه های پیشرو خود را به مطالعه خود اختصاص می دادند. [ نیاز به استناد ] Darboux نتایج بسیاری را در رساله چهار جلدی سطوح Théorie des (اولیای 1887) جمع آوری کرد .

ارائه زیر به طور گسترده ای از گاوس پیروی می کند ، اما با کمک های مهم بعدی از هندسه های دیگر. برای مدت زمان گاوس بود نقشه کش به جورج سوم از بریتانیا و Hanover در ؛ این حمایت از سلطنتی می تواند توضیح دهد که چرا این مقاله ها محاسبه های عملی انحنای زمین را صرفاً بر اساس اندازه گیری های سطح کره زمین انجام می دهند.

انحنای سطوح در فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: انحنای سطوح

همچنین ببینید: فضای اقلیدسی ، انحنای گاوسی و انحنای میانگین

انحنای اصلی در نقطه‌ای از سطح

نقشه گاوس نقطه‌ای روی سطح را به بردار عادی واحد منتهی به بیرونی ، یک نقطه در S 2 ارسال می کند

به طور غیررسمی گاوس انحنای یک سطح را بر حسب انحنای منحنی های صفحه مشخصی که به سطح متصل می شوند ، تعریف می کرد. او بعداً یک سری تعاریف معادل پیدا کرد. یکی از اولین ها از نظر ویژگی های وسعت بخش نقشه گاوس ، نقشه ای از سطح به یک کره 2 بعدی بود. با این حال ، قبل از به دست آوردن تعریف ذاتی تر از نظر مساحت و زاویه های مثلث های کوچک ، گاوس نیاز داشت تا یک بررسی عمیق از خواص ژئودزیک روی سطح ، یعنی مسیرهایی با کوتاهترین طول بین دو نقطه ثابت روی سطح انجام دهد ( به زیر مراجعه کنید) [آ]

انحنای گاوسی در یک نقطه بر روی یک سطح صاف تعبیه شده به صورت محلی توسط معادله داده شده

z = F ( x ، y )

در فضای اقلیدسی ( E 3 ) ، محصول انحنای اصلی در نقطه تعریف شده است. [4] میانگین انحنای تعریف می شود به طور متوسط است. خمیدگی اصلی حداکثر و حداقل می انحنا از منحنی هواپیما به دست آمده توسط متقاطع سطح را با هواپیماهای عادی به هواپیما مماس در نقطه. اگر نقطه با (0 ، 0 ، 0) با هواپیمای مماس z = 0 باشد ، پس از چرخش در مورد z -axis ضریب تنظیم روی xy به صفر ، F از سری گسترش تیلور برخوردار است.

$\ displaystyle F (x، y) = {\ tfrac {1} {2}} k_ {1} x ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} k_ {2} y ^ {2} + \ cdot \ cdot \ cdot$

انحنای اصلی k 1 و k 2 است . در این حالت ، انحنای گاوسی توسط داده می شود

$K = k_ {1} \ cdot k_ {2.$

و میانگین انحنای توسط

$K_ {m} = {\ tfrac {1} 2}} (k_ {1} + k_ {2 {).$

از آنجا که K و K متر تحت ناوردا هستند isometries از E 3 ، به طور کلی

$K = {\ frac {RT-S ^ {2}} {\ left (1 + P ^ {2} + Q ^ {2} \ Right) ^ {2}}}$

$\ displaystyle K_ {m} = {\ frac {ET + GR-2FS} \ 2 \ left (1 + P ^ {2} + Q ^ {2} \ Right) ^ {2}}}$

جایی که مشتقات موجود در نقطه توسط [5] داده می شوند

${\ displaystyle P = F_ {x} ، Q = F_ {y} ، R = F_ {xx} ، S = F_ {xy ، T = F_ {yy}$

$\ displaystyle E = 1 + F_ {x} ^ {2} ، G = 1 + F_ {y} ^ {2} ، F = F_ {x} F_ {y}}$

برای هر سطح تعبیه شده گرا نقشه نقشه گاوس نقشه به کره واحد است که هر نقطه را به بردار عادی واحد (با اشاره به بیرون) به صفحه مماس گرا در نقطه ارسال می کند. در مختصات نقشه ( x ، y ، z ) به ارسال می شود

$N (x ، y ، z) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + P ^ {2} + Q ^ {2}}}} (P ، Q ، -1).$

محاسبه مستقیم نشان می دهد که: انحنای گاوی ، یعقوبیان نقشه گاوس است . [6]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 13:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه مشتق هموردا یا مشتق کواریانت

توضیحات مختصات [ ویرایش ]

در این بخش از کنوانسیون جمع بندی انیشتین استفاده شده است .

با توجه به توابع مختصات

$x ^ i ، \ i = 0،1،2 ، \ نقطه$ ،

هر بردار مماس را می توان با استفاده از اجزای آن در اساس توصیف کرد

$\ mathbf {e} _i = {\ جزئی / بیش از \ جزئی x ^ i$ .

مشتق کواریانس یک بردار پایه در طول یک بردار پایه دوباره یک بردار است و می تواند به عنوان یک ترکیب خطی بیان شود $\ displaystyle \ گاما ^ {k} \ mathbf {e} _ {k} \،$ . برای مشخص کردن مشتقات کواریانس کافی است که مشتق کواریانس هر زمینه بردار پایه را مشخص کنید $\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \،$ در امتداد $\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j} \،}$ .

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k}،}$

ضرایب $\ گاما ^ ک _ {\ ij$ مؤلفه های ارتباط با توجه به سیستم مختصات محلی هستند. در نظریه منیفولدهای ریمانیان و شبه ریمانی ، مؤلفه های اتصال Levi-Civita با توجه به سیستم مختصات محلی به عنوان سمبل های کریستوفل خوانده می شوند .

سپس با استفاده از قوانین موجود در تعریف ، این مورد را برای فیلدهای بردار عمومی پیدا می کنیم $\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}$ و $\ displaystyle \ mathbf {u} = u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}$ ما گرفتیم

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} & = \ nabla _ {v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} + v ^ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} Gam \ گاما ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ { k} + v ^ {j} {\ جزئی u ^ {i} \ over \ partial x ^ {j}} \ mathbf {e} _ {i} \ end {تراز وسط}$

بنابراین

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ left (v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} + v ^ {j {\ جزئی جزئی u ^ {k} \ over \ partial x ^ {j}} \ درست) \ mathbf {e} _ {k}$

اصطلاح اول در این فرمول مسئول "پیچاندن" سیستم مختصات با توجه به مشتق کواریانس و دوم برای تغییر مؤلفه های میدان بردار u است . به خصوص

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {j} \ mathbf {u} = \ سمت چپ ({\ frac {\ جزئی u ^ {من} \ جزئی x ^ {j}}} + u ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj} \ درست) \ mathbf {e} _ {i}}$

در کلمات: مشتق کواریانس مشتق معمول در کنار مختصات با اصطلاحات اصلاح است که می گوید چگونه مختصات تغییر می کند.

برای مخفیان به طور مشابه ما

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} m \ mathbf {\ theta}} = \ left ({\ frac {\ partial \ theta _ {i}} {\ جزئی x ^ {j } - \ تتا _ {k} {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ درست) {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i}}$

جایی که $\ displaystyle {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ delta ^ {i}} _ {j}}$ .

مشتق کواریان از یک نوع ( r ، s ) زمینه تانسور در امتداد $e_c$ با این عبارت آورده شده است:

${\ displaystyle {\ آغاز {تراز شده {(\ nabla _ {e_ {c}} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} = {} & {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی x ^ {c}}} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} \ \ & + \، {\ گاما ^ {a_ {1}}} _ {dc} {T ^ {da_ {2} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} + \ cdots + {\ گاما ^ {a_ {r}}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} \\ & - \، {\ گاما ^ {d}} _ {b_ {1} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} \ ldots b_ {s } - \ cdots - {\ گاما ^ {d}} _ {b_ {s} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1 } d}. \ end {تراز شده}}}$

یا با کلمات: مشتقات جزئی تانسور را بگیرید و اضافه کنید: $\ displaystyle + {\ گاما ^ {a_ {i}}} _ {dc}}$ برای هر شاخص بالایی $a_ {من$ و $\ displaystyle - {\ گاما ^ {d}} _ {b_ {i} c}$ برای هر شاخص پایین $b_ {من$ .

اگر به جای تانسور ، سعی در متمایز کردن چگالی تنشور (از وزن 1+) دارید ، آنگاه شما یک اصطلاح را نیز اضافه کنید

$\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}.$

اگر این یک چگالی از وزن W وزن است ، پس آن را با W ضرب کنید . مثلا $\ sqrt {-g$ چگالی مقیاس (از وزن 1+) است ، بنابراین دریافت می کنیم:

$\ displaystyle \ left ({\ sqrt {-g}} \ Right) _ {؛ c} = \ left ({\ sqrt {-g}} \ Right) _ {، c - {\ sqrt {-g } \، {\ گاما ^ {d}} _ {dc}}$

که در آن تک رنگ "؛" نشان دهنده تمایز کواریا و کاما "" "نشانگر تمایز جزئی است. اتفاقاً این عبارت خاص برابر با صفر است ، زیرا مشتق کواریانس یک تابع فقط از متریک همیشه صفر است.

مثالها [ ویرایش ]

برای یک میدان مقیاس پذیر $\ displaystyle \ phi \،$ ، تمایز کواریان به سادگی تمایز جزئی است:

$\ displaystyle \ displaystyle \ phi _ {؛ a equ \ equiv \ partial _ {a} \ phi$

برای یک زمینه بردار مخالف $\ lambda ^ a \،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {؛ b} \ equiv \ part _ _} b} \ lambda ^ {a} + {\ Gamma ^ {a}} _ {bc} \ lambda ^ {c}}$

برای یک زمینه بردار کواریان $\ lambda_a \ ،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle \ lambda _ {a؛ c} \ equiv \ part _ _ {c} \ lambda _ {a} - {\ گاما ^ {b}} _ {ca} \ lambda _ {b}$

برای یک نوع (2،0) زمینه تانسور $\ tau ^ {ab} \،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {؛ c} \ equiv \ part _ _ c} \ tau ^ {ab} + {\ گاما ^ {a}} _ {cd} \ tau ^ {db} + {\ گاما ^ {b}} _ {سی دی} \ تاو ^ {تبلیغ}}$

برای یک نوع (۰ 2 ۲) زمینه تانسور $\ tau_ {ab} \،$ ، ما داریم:

$\ displaystyle \ tau _ {ab؛ c} \ equiv \ part _ _ {c} \ tau _ {ab} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ca} \ tau _ {db} - {\ Gamma ^ d}} _ {cb} \ tau _ {ad}$

برای یک نوع (1،1) زمینه تانسور $\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b} \،}$ ، ما داریم:

$\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b؛ c} \ equiv \ part _ _ c} {\ tau ^ {a} {_ {b} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} {\ tau ^ {d}} _ {b} - {\ گاما ^ {d}} _ {cb} {\ tau ^ {a}} _ {d}}$

معنای فوق به معنای معناست

$\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {؛ c} \ equiv \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {c}} \ tau \ Right) ^ {ab}}$

مشتقات کواریانیت رفت و آمد نمی کنند. یعنی $\ displaystyle \ lambda _ {a؛ bc} \ neq \ lambda _ {a؛ cb} \،$ . نشان می دهد که:

$\ displaystyle \ lambda _ {a؛ bc - \ lambda _ {a؛ cb} = {R ^ {d}} _ {abc} \ lambda _ {d}}$

جایی که $\ displaystyle {R ^ {d}} _ {abc} \،$ است تانسور ریمان . به همین ترتیب ،

$\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {؛ bc - {\ lambda ^ {a}} _ {؛ cb} = - {R ^ {a}} _ {dbc} \ lambda ^ {d}}$

$\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {؛ cd} - {\ tau ^ {ab}} _ {؛ dc} = - {R ^ {a}} _ {ecd} \ tau ^ {eb} - {R ^ {b}} _ {ecd} \ tau ^ {ae}}$

حالت دوم را می توان با گرفتن (بدون از دست دادن کلی بودن) نشان داد $\ displaystyle \ tau ^ {ab} = \ lambda ^ {a} \ mu ^ {b} \،}$ .

نشانه گذاری [ ویرایش ]

در کتابهای درسی مربوط به فیزیک ، مشتق کواریانس گاهی اوقات به سادگی از نظر مؤلفه های آن در این معادله بیان می شود.

اغلب یک نماد استفاده شده است که در آن مشتق هموردا با توجه نقطه و ویرگول ، در حالی که طبیعی مشتق جزئی است که توسط یک نشان کاما از هم . در این نماد همان ما را می نویسیم:

$\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {؛ j} e_ {s} \ ؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛؛ v ^ {i}} _ {؛ j} = {v ^ {i}} _ {، j} + v ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj}}$

بار دیگر این نشان می دهد که مشتق کواریانس یک میدان بردار فقط با تمایز به مختصات به دست نمی آید. ${\ displaystyle {v ^ {i}} _ {، j}$ بلکه به خود بردار v نیز بستگی دارد $\ displaystyle v ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj}}$ .

در برخی از متون قدیمی (به ویژه آدلر ، بازین و شیففر ، مقدمه ای بر نسبیت عام ) ، مشتق کواریان توسط یک لوله دوتایی و مشتق جزئی توسط یک لوله مشخص شده است:

$\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {i}} _ {|| j} = {v ^ {i}} _ {| j} + v ^ {k} {\ گاما ^ {i}} _ {kj}}$

مشتق در امتداد منحنی [ ویرایش ]

از آنجا که مشتق کواریان $\ nabla_XT$ یک میدان تانسور $تی$ در یک نقطه $پ$ فقط به مقدار میدان برداری بستگی دارد $ایکس$ در $پ$ می توان مشتق کواریان را در امتداد یک منحنی صاف تعریف کرد $\ گاما (t)$ در یک منیفولد:

$D_tT = \ nabla _ {\ dot \ gamma (t). T.$

توجه داشته باشید که زمینه تنش $تی$ فقط باید روی منحنی تعریف شود $\ گاما (t)$ برای این تعریف معنی دارد

به خصوص، $\ dot {\ gamma} (t)$ یک میدان بردار در امتداد منحنی است $\ گاما$ خودش اگر

$\ nabla _ {\ dot \ gamma (t)} \ dot \ gamma (t)$ از بین می رود و سپس منحنی ژئودزیک مشتق کواریان نامیده می شود. اگر مشتق هموردا است اتصال لوی چوی از برخی متریک ژئودزیک سپس برای اتصال دقیقا ژئودزیک از متریک است که توسط طول قوس پارامتری.

مشتقات در امتداد یک منحنی نیز برای تعریف انتقال موازی در امتداد منحنی استفاده می شود.

گاهی اوقات مشتق کواریان در امتداد یک منحنی مشتق مطلق یا ذاتی نامیده می شود .

رابطه با مشتقات لی[ ویرایش ]

یک مشتق کوواریانت یک ساختار هندسی اضافی را روی یک منیفولد ارائه می دهد که اجازه می دهد بردارها در فضاهای مماس همسایه قابل مقایسه باشند: هیچ روش متعارف برای مقایسه بردارها از فضاهای مماس مختلف وجود ندارد زیرا هیچ سیستم مختصات متعارف وجود ندارد.

با این حال تعمیم یکی دیگر از مشتقات جهت که وجود دارد این است که متعارف است: دروغ مشتق که تغییر یک میدان برداری در امتداد جریان میدان برداری یکی دیگر از ارزیابی می کند. بنابراین ، باید هر دو زمینه بردار را در یک محله باز ، نه فقط در یک نقطه واحد ، بدانیم. مشتق کوواریانت از طرف دیگر تغییر خود را برای بردارها در یک جهت معین معرفی می کند و فقط به یک جهت برداری در یک نقطه واحد بستگی دارد تا یک زمینه بردار در یک محله باز یک نقطه. به عبارت دیگر ، مشتق کواریان خطی (بیش از C ∞ ( M )) در استدلال جهت است ، در حالی که مشتق Lie در هیچ آرگومان خطی نیست.

توجه داشته باشید كه مشتق كواریانت ضد تقارن ∇ u v - ∇ v u ، و مشتق Lie L u v با پیچ خوردگی اتصال متفاوت است ، به طوری كه اگر یك اتصال بدون پیچ خوردگی باشد ، آنتی متقارن آن مشتق Lie است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 9:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه مشتق هموردا یا مشتق کواریانت

تعریف غیررسمی با استفاده از تعبیه در فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

فرض کنید منیفولد (شبه) ریمانی است $م$ ، در فضای اقلیدسی تعبیه شده است $(\ R ^ n ، \ langle cdot؛ \ cdot \ rangle)$ از طریق نقشه دو بار متمایز $\ vec \ Psi: \ R ^ d \ supset U \ rightarrow \ R ^ n$ به طوری که فضای مماس در $\ vec \ Psi (p) \ در م$ توسط بردارها پوشانده شده است

$\ چپ \ lbrace \ سمت چپ. {\ frac {\ جزئی rbrace \ right \ rbrace$

و محصول مقیاس دار در $\ mathbb {R} ^ {n$ با متریک موجود در M سازگار است :

$\ displaystyle g_ {ij} = \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}؛ {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi }}} {\ جزئی x ^ {j}}} \ Right \ rangle.$

(از آنجا که همیشه متریک منیفولد معمولی فرض می شود ، شرط سازگاری حاکی از استقلال خطی بردارهای مماس مشتق جزئی است.)

برای یک زمینه بردار مماس ، $\ displaystyle {\ vec {V}} = v ^ {j} {\ frac {\ جزئی {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی x ^ {j}}} \،}$ ، یک نفر دارد

$\ displaystyle {\ frac {\ جزئی \ frac {\ بخشی \ جزئی x ^ {من} \ ، \ جزئی x ^ {j}}}}$ .

اصطلاح آخر برای M ملموس نیست ، اما می تواند به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای پایه فضای مماس با استفاده از نمادهای کریستوفل به عنوان فاکتورهای خطی به همراه یک بردار متعامد به فضای مماس بیان شود:

$\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ part x x {i} \، \ part x x {j}}} = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}} + {\ vec {n}}}$ .

در مورد ارتباط Levi-Civita ، مشتق هموردا $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}}$ ، همچنین نوشته شده است $\ nabla _ {i} {\ ve V}$ ، به عنوان پیش بینی متعامد مشتق معمول روی فضای مماس تعریف شده است:

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i} {ve \ vec {V}}: = {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ جزئی x ^ {i}} - {\ vec {n}} = \ left ({\ frac {\ partial v ^ {k}} {\ جزئی x ^ {i}}} + v ^ {j} {\ گاما ^ {k}} _ ij} \ درست) {\ frac {\ جزئی$

از آنجا که $\ vec n$ فضای مماس متعامد است ، می توان معادلات عادی را حل کرد:

$\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ part ^ ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \، \ partial x ^ {j}}}؛ {\ frac { \ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ Right \ rangle = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ چپ \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}؛ {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ Right \ rangle = {\ گاما ^ {k}} _ {ij} \ ، g_ {kl}}$ .

از سوی دیگر،

$\ frac {\ partial g_ {ab}} {\ partial x ^ c} = \ left \ langle \ frac {\ part ^ ^ 2 \ vec \ Psi} {\ partial x ^ c \، \ partial x ^ a}؛ \ frac {\ partial \ vec \ Psi} {\ partial x ^ b} \ Right \ rangle + \ left \ langle \ frac {\ partial \ vec \ Psi} {\ partial x ^ a}؛ \ frac {\ جزئی ^ 2 \ vec \ Psi} {\ جزئی x ^ c \ ، \ جزئی x ^ b} \ درست \ زنگ زدگی$

دلالت دارد

$\ displaystyle {\ آغاز {pmatrix} {\ frac {\ جزئی g_ {jk}} {\ جزئی x ^ {i {} \ \\ \ \ frac {\ جزئی g_ {ki}} {\ جزئی x ^ ^ j }}} \\ {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} \ end {pmatrix}} = {\ fill {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix }} {\ شروع {pmatrix} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی x ^ {i}}}؛ {\ frac {\ جزئی ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j} \، \ partial x ^ {k}}} \ Right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi} } {\ جزئی x ^ {j}}}؛ {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی x ^ {k} \ ، \ جزئی x ^ {i}}} \ right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ part x x {k}}}؛ {\ frac {\ جزئی ^ {2} {\ vec \ Psi}}} part \ جزئی x ^ {i} \، \ جزئی x ^ {j}}} \ درست \ rangle \ end {pmatrix}}}$

(استفاده از تقارن محصول Scalar و مبادله ترتیب تمایزات جزئی)

$\ displaystyle {\ frac {\ جزئی g_ {jk}} {\ جزئی x ^ {i}}} + {\ frac {\ جزئی g_ {ki}} {\ جزئی x ^ {j}}} - {\ frac \ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} = 2 \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ جزئی جزئی x ^ {k}}}؛ \ frac {\ جزئی ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \، \ partial x ^ {j}}} \ Right \ rangle}$

و نمادهای Christoffel را برای اتصال Levi-Civita از نظر متریک به ارمغان می آورد:

$\ displaystyle g_ {kl} {\ گاما ^ {k}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ سمت چپ ({\ frac {\ جزئی g_ {jl}} {\ جزئی x ^ من}}} + {\ frac {\ جزئی g_ {li}} {\ جزئی x ^ {j}}} - {\ frac {\ جزئی g_ {ij}} {\ جزئی x ^ {l}}} \ درست .$

برای یک مثال بسیار ساده که جوهر توضیحات فوق را ضبط می کند ، یک دایره را روی یک کاغذ صاف بکشید. در دور دایره با سرعت ثابت حرکت کنید. مشتق سرعت شما ، وکتور شتاب شما ، همواره به صورت شعاعی به سمت داخل اشاره می کند. این ورق کاغذ را درون یک استوانه بچرخانید. اکنون مشتق (اقلیدسی) سرعت شما دارای مؤلفه ای است که بسته به اینکه به یک محل ثابت یا اعتدال نزدیک باشید ، گاه به سمت محور استوانه حرکت می کند. (در نقطه دایره هنگامی که به موازات محور حرکت می کنید ، هیچ شتابی درونی وجود ندارد. برعکس ، در نقطه‌ای (1/4 دایره بعد) که سرعت در امتداد خم سیلندر است ، شتاب درونی حداکثر است .) این مؤلفه طبیعی (اقلیدسی) است. جزء مشتق کواریان جزء موازی با سیلندر است.

تعریف رسمی [ ویرایش ]

مشتق کوواریانت یک اتصال (Koszul) در بسته نرم افزاری مماس و سایر بسته های کششی است : این زمینه های بردار را به روشی مشابه با دیفرانسیل معمول در توابع متمایز می کند. این تعریف تا یک تمایز بر روی دوتایی از زمینه های بردار (یعنی زمینه های پنهانی ) و زمینه های دلخواه تانسور گسترش می یابد ، به روشی منحصر به فرد که سازگاری با محصول تانسور و عملیات ردیابی (انقباض تانسور) را تضمین می کند.

توابع [ ویرایش ]

با توجه به یک نقطه از p منیفولد ، یک تابع واقعی f بر روی منیفولد ، و یک بردار مماس بر v در p ، مشتق کواریانس f در p در امتداد v مقیاس در p است . ${\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p}$ ، که نشان دهنده قسمت اصلی تغییر در مقدار f است که آرگومان f توسط بردار جابجایی نامحدود v تغییر می کند . (این است دیفرانسیل از F برابر بردار ارزیابی V .) به طور رسمی، یک منحنی مشتق وجود دارد $\ displaystyle \ phi: [- 1،1] \ to M$ به طوری که $\ displaystyle \ phi (0) = p$ و $\ displaystyle \ phi '(0) = \ mathbf {v}$ ، و مشتق کواریانس از f در p تعریف شده است

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p} = \ left (f \ circ \ phi \ Right) '\ چپ (0 \ راست) = \ lim _ {t \ به 0} t ^ {- 1} \ left (f \ left [\ phi \ left (T \ Right) \ Right] -f \ left [p \ Right] \ Right).}$

وقتی v یک زمینه بردار است ، مشتق هموردا $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f$ تابعی است که با هر نقطه p در دامنه مشترک f و v مقیاس همراه است ${\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p}$ . این همزمان با مشتقات معمولی Lie از f در امتداد زمینه بردار v .

زمینه های برداری [ ویرایش ]

مشتق هموردا $\ nabla$ در نقطه p در یک منیفولد صاف یک بردار مماس اختصاص می دهد $\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}$ به هر جفت ${\ displaystyle (\ mathbf {u}، \ mathbf {v})}$ ، متشکل از یک بردار tangent v در p و زمینه بردار u در محله ای از p تعریف شده است ، به گونه ای که خواص زیر را در خود نگه می دارد (برای هر بردار v ، x و y در p ، زمینه های بردار u و w در یک محله از p تعریف می شود ، مقادیر مقیاس g و h در p و عملکرد مقیاس f تعریف شده در یک محله از p ):

$\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ خطی است $\ mathbf {v$ بنابراین
$\ displaystyle \ left (\ nabla _ {g \ mathbf {x} + h \ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} = \ چپ (\ nabla _ {\ mathbf {x} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} g + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} h$
\ نمایش صفحه \ سمت چپ $\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ افزودنی است $\ mathbf {u$ بنابراین:
$\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ Right] \ Right) _ {p} = \ چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p} + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} \ Right) _ {p}}$
$\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}$ از قانون محصول پیروی می کند . یعنی ، کجا $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f$ در بالا تعریف شده است ،
$\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [f \ mathbf {u} \ Right] \ Right) _ {p} = f (p) \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf v}} \ mathbf {u}) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ Right) _ {p} \ mathbf {u} _ {p}}$ .

اگر u و v هر دو زمینه بردار در یک دامنه مشترک تعریف شده اند ، پس از آن $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}$ نشانگر فیلد برداری است که مقدار آن در هر نقطه از p دامنه ، بردار مماس است $\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ . توجه داشته باشید که $\ نمایش صفحه \ سمت چپ (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ Right) _ {p}}$ نه تنها به مقدار v در p بلکه به مقدار u در یک محله بی نهایت از p بستگی دارد زیرا آخرین خاصیت ، قانون محصول است.

زمینه های کاوکتور [ ویرایش ]

با توجه به زمینه ای از covectors (یا یک فرم ) $\ آلفا$ تعریف شده در یک محله از P ، مشتق کواریانس آن است $\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}$ به روشی تعریف شده است تا عملكرد حاصل با انقباض تنشور و قاعده محصول سازگار باشد. به این معنا که، $\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}$ به عنوان یک فرم منحصر به فرد در p تعریف می شود که هویت زیر برای همه زمینه های بردار u در محله ای از p برآورده می شود

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha \ Right) _ {p} \ چپ (\ mathbf {u} _ {p} \ Right) = \ nabla _ {\ mathbf {v } \ left [\ alpha \ left (\ mathbf {u} \ Right) \ Right] _ {p} - \ alpha _ {p} \ left [\ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf شما} \ درست) _ {پ} \ درست].}$

مشتق کواریانس یک میدان مخفی در امتداد یک میدان بردار v دوباره یک میدان کاوکتور است.

زمینه های تنسور [ ویرایش ]

هنگامی که مشتق کوواریانت برای زمینه های بردارها و میخکوب ها تعریف شد ، می توان با تحمیل هویت های زیر برای هر جفت زمینه تانسور ، زمینه های دلخواه تانسور را تعریف کرد. $\ واریفی$ و، $\ psi \ ،$ در محله ای از نقطه p :

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left (\ varphi \ otimes \ psi \ Right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi \ Right) _ p} \ otimes \ psi (p) + \ varphi (p) \ otimes \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi \ درست) _ {p} ،}$

و برای $\ واریفی$ و $\ psi$ از همان ارزش

$\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (\ varphi + \ psi) _ {p} = (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi) _ {p}.$

مشتق کواریانس از یک میدان تانسور در امتداد یک میدان بردار v دوباره یک میدان تانسور از همان نوع است.

به طور واضح ، بگذارید T یک میدان تنشی از نوع ( p ، q ) باشد. در نظر بگیرید T به یک مشتق نقشه چند سال از صاف بخش α 1 ، α 2 ، ...، α Q از کتانژانت بسته نرم افزاری T * M و از بخش X 1 ، X 2 ، ... X ص از کلاف مماس TM ، نوشته شده T (α 1 ، α 2 ، ... ، X1 ، X 2 ، ...) به R . مشتق کواریان T در امتداد Y توسط این فرمول آورده شده است

${\ displaystyle {\ شروع {تراز وسط} (\ nabla _ {Y} T) & \ left (\ alpha _ {1}، \ alpha _ {2}، \ ldots، X_ {1}، X_ {2}، \ ldots \ Right) = Y \ چپ (T \ سمت چپ (\ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} ، \ ldots ، X_ {1} ، X_ {2} ، \ ldots \ Right) \ Right) \\ & -T \ سمت چپ (\ nabla _ {Y} \ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} ، \ ldots ، X_ {1} ، X_ {2 ، \ ldots \ Right) -T \ left (\ alpha _ {1}، \ nabla _ {Y} \ alpha _ {2}، \ ldots، X_ {1}، X_ {2}، \ ldots \ Right) - \ ldots \\ & - T \ left (\ alpha _ {1} ، \ alpha _ {2} ، \ ldots، \ nabla _ {Y} X_ {1}، X_ {2}، \ ldots \ Right) -T \ left (\ alpha _ {1}، \ alpha _ {2} ، \ ldots ، X_ {1} ، \ nabla _ {Y} X_ {2} ، \ ldots \ Right) - \ ldots \ end {تراز شده}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 9:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مشتق هموردا یا مشتق کواریانت

در ریاضیات ، مشتق کواریان راهی برای مشخص کردن یک مشتق در طول بردارهای مماس یک مانیفولد است . از طرف دیگر ، مشتق کواریان راهی برای معرفی و کار با اتصال بر روی منیفولد با استفاده از یک اپراتور دیفرانسیل است ، تا با رویکرد ارائه شده توسط یک اتصال اصلی در بسته قاب ، در تضاد باشد - به اتصال عاطفی مراجعه کنید . در مورد ویژه مانیفولد که به صورت ایزومتریک در یک فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعبیه شده است ، مشتق کواریانیت را می توان به عنوان طرح عمودی اقلیدسی مشاهده کرد.مشتق جهت دار بر روی فضای مماس مانیفولد. در این حالت ، مشتقات اقلیدسی به دو قسمت تقسیم می شود ، جزء طبیعی طبیعی بیرونی (وابسته به تعبیه) و مؤلفه مشتق کواریان ذاتی.

این نام با توجه به اهمیت تغییر مختصات در فیزیک ایجاد می شود: مشتق کواریانس با تحول کلی مختصات ، یعنی بصورت خطی از طریق ماتریس ژاکوبیان تحول ، کوواریانتلی را تغییر می دهد. [1]

در این مقاله مقدمه ای برای مشتق کواریانس یک زمینه بردار با توجه به یک زمینه بردار ، هم به زبان مختصات آزاد و هم با استفاده از یک سیستم مختصات محلی و نماد شاخص سنتی ارائه شده است. مشتق کواریانس از یک میدان تانسور به عنوان یک پسوند از همان مفهوم ارائه شده است. مشتق کوواریانت مستقیماً به مفهوم تمایز مرتبط با اتصال بر روی یک بسته بردار ، که به عنوان اتصال Koszul نیز شناخته می شود ، تعمیم می یابد .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

از نظر تاریخی ، در نوبت قرن بیستم ، مشتق کواریان توسط گرگوریو ریکی-کورباسترو و تولیو لوی-سیوییتا در نظریه هندسه ریمانی و شبه ریمانی معرفی شد . [2] ریچی و لوی چوی (ایده های زیر الوین برونو کریستوفل ) مشاهده کردند که علامت کریستوفل برای تعریف انحنای همچنین می تواند یک مفهوم ارائه تمایز که کلاسیک تعمیم مشتق جهتدار از زمینه های بردار در چند برابر. [3] [4] این مشتق جدید -اتصال Levi-Civita - به معنای متغیر متغیر بود به این معنا که نیاز ریمان را برآورده می کرد که اشیاء موجود در هندسه مستقل از توصیف آنها در یک سیستم مختصات خاص باشند.

به زودی توسط ریاضیدانان دیگر ، برجسته در میان آنها هرمان ویل ، یان آرنولدوس شوتن و الی کارتان ذکر شد که [5] این که مشتق کواریان می تواند بدون حضور متریک به صورت انتزاعی تعریف شود . ویژگی مهم وابستگی خاصی به متریک نبود ، بلکه این بود که نمادهای کریستوفل یک قانون دگرگونی دقیق مرتبه دوم را راضی می کردند. این قانون تحول می تواند به عنوان نقطه شروع برای تعریف مشتق به صورت کواریانت باشد. بنابراین تئوری تمایز کواریانس از متن به شدت ریمانی جدا شده است تا طیف وسیع تری از هندسه های ممکن را شامل شود.

در دهه 1940 ، پزشکان هندسه دیفرانسیل شروع به معرفی مفاهیم دیگر از تمایز کواریان در بسته های بردار عمومی کردند که بر خلاف بسته های کلاسیک مورد علاقه هندسه ها ، بخشی از آنالیز تانسور مانیفولد نبودند . به طور کلی ، این مشتقات کواریان تعمیم یافته مجبور بودند توسط برخی نسخه های مفهوم اتصال به طور موقت مشخص شوند . در سال 1950 ، ژان لوییس کوزول این ایده های جدید در مورد تمایز کواریانت را در یک بسته بردار با استفاده از آنچه امروزه به عنوان یک اتصال Koszul یا یک اتصال بر روی یک بسته بردار شناخته می شود ، متحد کرد . [6] استفاده از ایده های مربوط به زندگی شناسی جبر Lie، Koszul با موفقیت بسیاری از ویژگیهای تحلیلی تمایز کواریان را به موارد جبری تبدیل کرد. به ویژه ، اتصالات Koszul نیاز به دستکاری های ناخوشایند از نمادهای کریستوفل (و سایر اشیاء غیرجذاب مشابه ) در هندسه دیفرانسیل را از بین برد. بنابراین آنها به سرعت مفهوم کلاسیک مشتق کواریانیت را در بسیاری از درمانهای پس از 1950 موضوع مورد نظر قرار دادند.

انگیزه [ ویرایش ]

مشتق هموردا یک تعمیم از است مشتق جهتدار از حساب بردار . مانند مشتقات جهت دار ، مشتق کواریانس یک قاعده است ، $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$ ، که به عنوان ورودی های آن در نظر گرفته می شود: (1) یک بردار ، u ، در نقطه P تعریف شود ، و (2) یک میدان برداری ، v ، در یک محله P تعریف شود . [7] خروجی بردار است $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v} P (P)$ ، همچنین در نقطه P . تفاوت اصلی از مشتقات جهت دار معمول در این است که $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$ باید به یک معنا دقیق دقیق ، مستقل از شیوه بیان آن در یک سیستم مختصات باشد .

بردار ممکن است توصیف به عنوان یک لیست از اعداد در شرایط یک اساس ، اما به عنوان یک شی هندسی یک بردار هویت خود صرفنظر از اینکه چگونه یک انتخاب به شرح آن را در یک مبنای حفظ کرده است. این استمرار هویت در این واقعیت منعکس می شود که وقتی یک بردار به یک پایه نوشته می شود و سپس پایه تغییر می یابد ، اجزای بردار مطابق با تغییر فرمول پایه تغییر می کنند . چنین قانون تحول به عنوان یک تحول کواریانس شناخته می شود . مشتق کواریانس مورد نیاز است تا با تغییر در مختصات ، به همان روشی که مبنای آن را تغییر می دهد ، تغییر کند: مشتق کواریان باید با یک تغییر کواریانس (از این رو نام) تغییر کند.

در مورد فضای اقلیدسی ، فرد تمایل دارد مشتق یک میدان بردار را از نظر تفاوت بین دو بردار در دو نقطه مجاور تعریف کند. در چنین سیستم یک ترجمه یکی از بردارها به منشاء دیگر، نگه داشتن آن موازی. با یک سیستم مختصات دکارتی (ثابت ارتودنسی ثابت ) "نگه داشتن آن به موازات" مقدار ثابت بودن اجزای آن است. فضای اقلیدسی ساده ترین مثال را ارائه می دهد: یک مشتق کواریانیت که با گرفتن مشتق جهت دار معمولی از اجزاء در جهت بردار جابجایی بین دو نقطه مجاور بدست می آید.

در حالت کلی ، باید تغییر سیستم مختصات را در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگر همان مشتق کواریانس در مختصات قطبی در یک هواپیمای دو بعدی اقلیدسی نوشته شده باشد ، در آن صورت حاوی اصطلاحات اضافی است که شرح می دهد که چگونه شبکه مختصات "می چرخد". در موارد دیگر شرایط اضافی توصیف چگونگی هماهنگ گسترش شبکه، قرارداد، تاب، می آمیزد، و غیره در این مورد "نگه داشتن آن به موازات" می کند نه به نگه داشتن اجزای ثابت تحت ترجمه مقدار.

نمونه حرکت در امتداد منحنی (γ ( t در فضای اقلیدسی را در نظر بگیرید. در مختصات قطبی ، γ ممکن است از نظر مختصات شعاعی و زاویه ای آن توسط

γ ( t ) = ( r ( t ) ، θ ( t ))

نوشته شود. یک بردار در زمان خاص t [8] (به عنوان مثال ، شتاب منحنی) از نظر $\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {r}، \ mathbf {e} _ {\ theta})$ ، جایی که $\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}}$ و $\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ theta}$ بردارهای مماس واحد برای مختصات قطبی ، که به عنوان پایه ای برای تجزیه یک بردار از نظر اجزای شعاعی و مماس خدمت می کنند . در زمان کمی بعد ، اساس جدید در مختصات قطبی با توجه به مجموعه اول کمی چرخیده به نظر می رسد. مشتق کواریان از بردارهای پایه ( نمادهای کریستوفل ) برای بیان این تغییر خدمت می کنند.

در یک فضای خمیده مانند سطح زمین (که کره به حساب می آید) ، ترجمه به خوبی تعریف نشده است و آنالوگ ، حمل و نقل موازی آن ، بستگی به مسیری دارد که بردار در آن ترجمه می شود.

بردار e روی زمین در استوا در نقطه Q به سمت شمال هدایت می شود. فرض کنید ما بردار را بطور موازی ابتدا در امتداد استوا حمل می کنیم تا در نقطه P و سپس (نگه داشتن آن به طور موازی با خود) آن را در امتداد یک نصف النهار به قطب N بکشیم و (نگه داشتن جهت آنجا) متعاقباً آن را به همراه یک نصف النهار دیگر به عقب به Q منتقل کنیم. ما متوجه می شویم که بردار موازی حمل شده در امتداد یک مدار بسته به همان بردار برنمی گردد. در عوض ، جهت گیری دیگری دارد. این امر در فضای اقلیدسی اتفاق نمی افتد و ناشی از انحنای آن استسطح کره زمین اگر بردار را در امتداد یك سطح بسته بینهایت كوچك متعاقباً در امتداد دو جهت و سپس عقب بکشیم ، می توان همین تأثیر را مشاهده كرد. تغییر بی نهایت وکتور اندازه گیری انحناء است.

اظهارات [ ویرایش ]

تعریف مشتق کواریانس از متریک در فضا استفاده نمی کند. با این حال ، برای هر متریک یک مشتق کواریانت بدون پیچ خوردگی منحصر به فرد به نام اتصال Levi-Civita وجود دارد به این ترتیب که مشتق کواریان متریک صفر نباشد.
خواص یک مشتق دلالت دارد $\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}$ بستگی به محله دلخواه کوچک از یک نقطه P در همان راه به عنوان مثال مشتق یک تابع اسکالر در امتداد یک منحنی در یک نقطه داده ص بستگی به محله دلخواه کوچک از ص .
از اطلاعات مربوط به همسایگی یک نقطه p در مشتقات کواریانس می توان برای تعریف حمل و نقل موازی یک بردار استفاده کرد. همچنین ممکن است منحنی ، پیچ خوردگی و ژئودزیک فقط از نظر مشتق کواریان یا سایر تغییرات مرتبط با ایده اتصال خطی تعریف شود .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 9:20 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تانسور در مختصات منحنی :تغییرات مختصات

تغییرات مختصات [ ویرایش ]

دو سیستم مختصات را با متغیرهای مختصات در نظر بگیرید $\ displaystyle (Z ^ {1} ، Z ^ {2} ، Z ^ {3})$ و $\ displaystyle (Z ^ {\ حاد {1} ، Z ^ {\ حاد {2}} ، Z ^ {\ حاد {3}})}$ ، که ما به طور خلاصه همانند آنها را نمایندگی خواهیم کرد $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به ترتیب و همیشه شاخص خود را فرض کنید $من$ از 1 تا 3 اجرا می شود. ما فرض خواهیم کرد که این سیستم های مختصات در فضای سه بعدی اقلیدسی تعبیه شده اند. مختصات $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ ممکن است برای توضیح یکدیگر استفاده شود ، زیرا وقتی در یک سیستم مختصات در امتداد خط مختصات حرکت می کنیم می توانیم از دیگری برای توصیف موقعیت خود استفاده کنیم. در این روش هماهنگ می شود $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ توابع یکدیگر هستند

$\ displaystyle Z ^ {i} = f ^ {i} (Z ^ {\ حاد {1}} ، Z ^ {\ حاد {2}} ، Z ^ {\ حاد {3}})}$ برای $\ displaystyle i = 1،2،3}$

که می تواند به صورت نوشته شود

$\ displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {i} (Z ^ {\ حاد {1}} ، Z ^ {\ حاد {2}} ، Z ^ {\ حاد {3}}) = Z ^ {i (Z ^ {\ حاد {من}})}$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i} i ، i = 1،2،3}$

این سه معادله با هم یک تغییر مختصات از هم نامیده می شوند $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به $\ displaystyle Z ^ {من}}$ اجازه دهید این تحول را با ما بیان کنیم $تی$ . بنابراین ما تغییر از سیستم مختصات با متغیرهای مختصات را نشان خواهیم داد $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به سیستم مختصات با مختصات $\ displaystyle Z ^ {من}}$ مانند:

$\ displaystyle Z = T (acute \ حاد {z}})$

به همین ترتیب می توانیم نمایندگی کنیم $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ به عنوان تابعی از $\ displaystyle Z ^ {من}}$ به شرح زیر است:

$\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}} = g ^ {\ حاد {i}} (Z ^ {1} ، Z ^ {2} ، Z ^ {3})}$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i}} = 1،2،3$

به همین ترتیب می توان معادلات رایگان را به صورت فشرده تر بنویسیم

$\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}} = Z ^ {\ حاد {i}} (Z ^ {1} ، Z ^ {2} ، Z ^ {3}) = Z ^ {\ حاد {i } (Z ^ {من})$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i} i ، i = 1،2،3}$

این سه معادله با هم یک تغییر مختصات از هم نامیده می شوند $\ displaystyle Z ^ {من}}$ به $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ . بگذارید این تحول را بیان کنیم $س$ . ما تغییر از سیستم مختصات را با متغیرهای مختصات نشان خواهیم داد $\ displaystyle Z ^ {من}}$ به سیستم مختصات با مختصات $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ مانند:

$\ displaystyle {\ حاد {z}} = S (z)$

اگر تحول $تی$ پس از آن که از نظر زیبایی شناختی به تصویر کشیده شده است ، یعنی $\ displaystyle Z ^ {من}}$ مجموعه ای از مختصات قابل قبول برای $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ . اگر $تی$ سیستم مختصات خطی است $\ displaystyle Z ^ {من}}$ در غیر این صورت یک سیستم مختصات وابسته نامیده می شود $\ displaystyle Z ^ {من}}$ سیستم مختصات منحنی نامیده می شود

ژاکوبیان [ ویرایش ]

همانطور که اکنون می بینیم که مختصات $\ displaystyle Z ^ {من}}$ و $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$ توابع یکدیگر هستند ، می توانیم مشتق متغیر مختصات را بگیریم $\ displaystyle Z ^ {من}}$ با توجه به متغیر مختصات $\ displaystyle Z ^ {\ حاد {i}}$

در نظر گرفتن

$\ displaystyle \ partial {Z ^ {i} over \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {i}}}}$ $\ displaystyle {\ overset {\ زیرین {\ mathrm {def} {}} {=}}$ $\ displaystyle J _ {\ حاد {i}} ^ {i}$ برای $\ displaystyle {\ حاد {i} i ، i = 1،2،3}$ مثلاً ، این مشتقات را می توان در یک ماتریس ترتیب داد ${\ displaystyle J$ ،که در آن $\ displaystyle J _ {\ حاد {i}} ^ {i}$ عنصر موجود در $\ displaystyle i ^ {th}$ ردیف و $\ displaystyle {\ حاد {i}} ^ {th}$ ستون

${\ displaystyle J$ ${\ displaystyle =$ $\ displaystyle {\ fill {pmatrix} J _ {\ حاد {1}} ^ {1} & J _ {\ حاد {2}} ^ {1} & J _ {\ حاد {3}} ^ {1} \\ J _ {\ حاد {1}} ^ {2} & J _ {\ حاد {2}} ^ {2} & J _ {\ حاد {3}} ^ {2} \\ J _ {\ حاد {1}} ^ {3} & J _ {\ حاد {2}} ^ {3} & J _ {\ حاد {3}} ^ {3} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle =$ $\ displaystyle {\ fill {pmatrix} {\ part {Z ^ {1}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {1}}}} & {\ partial {Z ^ {1}} \ over \ partial Z ^ {\ حاد {2}}}} & {\ جزئی {Z ^ {1}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {3}}}} \\ {\ جزئی {Z ^ {2} } \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {1}}}} & {\ جزئی {Z ^ {2}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {2}}}} & {\ partial {Z ^ {2}} \ over \ part {Z ^ {\ حاد {3}}}} \\ {\ partial {Z ^ {3}} \ over \ part {Z ^ {\ حاد {1}}}} & \ partial {Z ^ {3}} \ over \ part {Z ^ {\ حاد {2}}}} & {\ partial {Z ^ {3}} \ over \ partial {Z ^ {\ حاد {3 }} \ پایان {pmatrix}}}$

ماتریس حاصل ، ماتریس Jacobian نامیده می شود.

بردارها در مختصات منحنی [ ویرایش ]

بگذارید ( b 1 ، b 2 ، b 3 ) مبنای دلخواهی برای فضای سه بعدی اقلیدسی باشد. به طور کلی ، بردارهای پایه نه بردارهای واحد هستند و نه متقابلاً متعامد . با این حال ، آنها ملزم به مستقل بودن خطی هستند. سپس یک بردار v می تواند به صورت [4] بیان شود ( p27 )

$\ mathbf {v} = v ^ k \، \ mathbf {b} _k$

مؤلفه های v k ، اجزای متناقض بردار v هستند .

اساس متقابل ( b 1 ، b 2 ، b 3 ) توسط رابطه تعریف شده [4] ( pp28-29 )

$\ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} _j = \ delta ^ i_j$

که در آن δ من J است دلتای کرونکر .

بردار v نیز می تواند از نظر مبنای متقابل بیان شود:

$\ mathbf {v} = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k$

اجزای V K هستند هموردا مولفه در بردار $\ mathbf {v$ .

دستیارهای مرتبه دوم در مختصات منحنی [ ویرایش ]

یک تنشور مرتبه دوم را می توان به صورت بیان کرد

$\ boldsymbol {S} = S ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = S ^ {i} _ {~ j} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b } ^ j = S_ {i} ^ {~ j} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _j = S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ ج$

اجزای Sij هستند به نام دارای contravariant اجزاء، S ij راست هموردا مخلوط اجزاء، Sij مخلوط چپ هموردا قطعات، و S IJ هموردا اجزای تانسور مرتبه دوم.

تانسور متریک و روابط بین اجزاء [ ویرایش ]

مقادیر g ij ، g ij به عنوان [4] ( p39 ) تعریف شده است

$g_ {ij} = \ mathbf {b} _i \ cdot \ mathbf {b} _j = g_ {ji} ~؛ ~~ g ^ {ij} = \ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} ^ j = g ^ {از}$

از معادلات فوق که داریم

$v ^ i = g ^ {ik} ~ v_k؛ ~~ v_i = g_ {ik} ~ v ^ k ~؛ ~~ \ mathbf {b} ^ i = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _j ؛ ~~ \ mathbf {b} _i = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ j$

اجزای یک بردار با [4] ( pp30-32 ) مرتبط هستند

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k ~ \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k ~ \ delta ^ i_k = v ^ i$

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k ~ \ delta_i ^ k = v_i$

همچنین،

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v ^ k ~ \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} _i = g_ {ki} ~ v ^ k$

$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k \ cdot \ mathbf {b} ^ i = g ^ {ki} ~ v_k$

اجزای سازنده تانسور مرتبه دوم توسط

$S ^ {ij} = g ^ {ik} ~ S_k ^ {~ j} = g ^ {jk} ~ S ^ i_ {~ k} = g ^ {ik} ~ g ^ {jl} ~ S_ {kl}$

تنسور متناوب [ ویرایش ]

در یک مبنای راست دست متعامد ، تانسور متناوب مرتبه سوم به عنوان تعریف شده است

$\ boldsymbol \ mathcal {E}} = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ mathbf {e} ^ i \ otimes \ mathbf {e} ^ j \ otimes \ mathbf {e} ^ k$

در یک پایه منحنی کلی ، یک تانسور مشابه ممکن است بیان شود

$\ boldsymbol \ mathcal {E}} = \ mathcal {E} _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j \ otimes \ mathbf {b} ^ k = \ mathcal {E } ^ {ijk} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j \ otimes \ mathbf {b} _k$

می توان این را نشان داد

$\ mathcal {E} _ {ijk = \ left [\ mathbf {b} _i، \ mathbf {b} _j، \ mathbf {b} _k \ right] = (\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b _j) \ cdot \ mathbf {b} _k ~؛ ~~ \ mathcal {E} ^ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} ^ i، \ mathbf {b} ^ j، \ mathbf {b} ^ k \ درست]$

اکنون،

$\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b} _j = J ~ \ varepsilon_ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ p = \ sqrt {g} ~ \ varepsilon_ {ijp} ~ \ mathbf {b} p$

از این رو ،

$\ mathcal {E} _ {ijk = J ~ \ varepsilon_ {ijk = \ sqrt {g} ~ \ varepsilon_ {ijk$

به همین ترتیب ، ما می توانیم این را نشان دهیم

$\ mathcal {E} ^ {ijk} = \ cfrac {1} {J} ~ \ varepsilon ^ {ijk = \ cfrac {1} {\ sqrt {g}} ~ \ varepsilon ^ {ijk}$

عملیات برداری [ ویرایش ]

نقشه هویتنقشه هویتی که من تعریف کردم $\ mathsf {I} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v$ نشان داده می شود که [4] ( p39 )
$\ mathsf {I} = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _i$
محصول مقیاس پذیر (نقطه ای)محصول مقیاس دو بردار در مختصات منحنی [4] است ( p32 )
$\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ i ~ v_i = u_i ~ v ^ i = g_ {ij} ~ u ^ i ~ v ^ j = g ^ {ij} ~ u_i ~ v_j$
وکتور (متقاطع) محصولمحصول متقابل دو بردار داده شده است [4] ( pp32-34 )
$\ mathbf {u} \ بار \ mathbf {v} = \ varepsilon_ {ijk} ~ {u} _j ~ {v} _k ~ \ mathbf {e} _i$
که در آن ε IJK است نماد جایگشت و الکترونیک من یک بردار اساس دکارتی است. در مختصات منحنی ، بیان معادل آن است
$\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s] ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf b} ^ s = \ mathcal {E} _ {smn} ~ u ^ m ~ v ^ n \ mathbf {b} ^ s$
جایی که $\ mathcal {E} _ {ijk$ است مرتبه سوم متناوب تانسور .
محصول متقابل دو بردار برابر است با
$\ mathbf {u} \ بار \ mathbf {v} = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ hat {u} _j ~ \ hat {v} _k ~ \ mathbf {e} _i$
که در آن ε IJK است نماد جایگشت و $\ mathbf {e} _ {i}$ یک بردار پایه دکارتی است. از این رو،
$\ mathbf {e} _p \ times \ mathbf {e} _q = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ mathbf {e} _i$
و
$\ fill {تراز} \ mathbf {b} _m \ بار \ mathbf {b} _n & = \ frac {\ جزئی \ mathbf {x}} {\ جزئی q ^ m} \ بار \ frac {\ جزئی \ mathbf {x } {\ جزئی q ^ n} = \ frac {\ جزئی (x_p ~ \ mathbf {e} _p)} {\ جزئی q ^ m} \ بار \ frac {\ جزئی (x_q ~ \ mathbf {e} _q) } {\ جزئی q ^ n} \\ [8pt] & = \ frac {\ partial x_p} {\ partial q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_q} {\ جزئی q ^ n} ~ \ mathbf {e _p \ times \ mathbf {e} _q = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ frac {\ جزئی x_p} {\ جزئی q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_q} {\ جزئی q ^ n} ~ \ mathbf {e _i \ end {تراز کردن}$
از این رو ،
$(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ frac {\ partial x_p} {\ جزئی q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_q} {\ جزئی q ^ n} ~ \ frac {\ جزئی x_i} {\ جزئی q ^ s$
بازگشت به محصول وکتور و استفاده از روابط
$\ hat {u} _j = \ frac {\ partial x_j} {\ جزئی q ^ m} ~ u ^ m ~؛ ~~ \ hat {v} _k = \ frac {\ partial x_k} {\ جزئی q ^ n} ~ v ^ n ~؛ ~~ \ mathbf {e} _i = \ frac {\ جزئی x_i} {\ جزئی q ^ s} ~ \ mathbf {b} ^ s$
به ما می دهد
$\ fill {تراز} \ mathbf {u} \ بار \ mathbf {v} & = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ hat {u} _j ~ \ hat v} _k ~ \ mathbf {e} _i = \ varepsilon_ {ijk } ~ \ frac {\ جزئی x_j} {\ جزئی q ^ m} ~ \ frac {\ جزئی x_k} {\ جزئی q ^ n} ~ \ frac {\ جزئی جزئی x_i} {\ جزئی q ^ s} ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s \\ [8pt] & = [(\ mathbf {b} _m \ Times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s] ~ u ^ m v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s = \ mathcal {E} _ {smn} ~ u ^ m ~ v ^ n \ mathbf {b} ^ s \ end {تراز$

عملیات تانسور [ ویرایش ]

نقشه هویت :نقشه هویت $\ mathsf {I$ تعریف شده توسط $\ mathsf {I} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v$ نشان داده می شود که [4] ( p39 )
$\ mathsf {I} = g ^ {ij} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = g_ {ij} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = \ mathbf { b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _i$
عمل یک تانسور مرتبه دوم بر روی یک بردار:عمل $\ mathbf {v} = \ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {u$ می تواند در مختصات منحنی به صورت بیان شود
$v ^ i \ mathbf {b} _i = S ^ {ij} u_j \ mathbf {b} _i = S ^ i_ {j} u ^ j \ mathbf {b} _i؛ \ qquad v_i \ mathbf {b} ^ i = S_ {ij} u ^ i \ mathbf {b} ^ i = S_ {i} ^ {j} u_j \ mathbf {b} ^ i$
ضرب داخلی دو سانسور مرتبه دوم:محصول داخلی دو تنور درجه دوم $\ boldsymbol {U} = \ boldsymbol {S} \ cdot \ boldsymbol T$ می تواند در مختصات منحنی به صورت بیان شود
$U_ {ij} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = S_ {ik} T ^ k _ {. j} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = S_i ^ {.k} T_ {kj} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j$
متناوبا، از سوی دیگر،
$\ boldsymbol {U} = S ^ {ij} T ^ m _ {. n} g_ {jm} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n = S ^ i _ {.m} T ^ m_. n} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n = S ^ {ij} T_ {jn} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n$
تعیین کننده تانسور درجه یک:اگر $\ boldsymbol {S}$ یک تانسور مرتبه دوم است ، سپس تعیین کننده توسط رابطه تعریف می شود
$\ left [\ boldsymbol S} \ cdot \ mathbf {u}، \ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {v}، \ boldsymbol S} \ cdot \ mathbf {w} \ Right] = \ det \ boldsymbol S} \ چپ [\ mathbf {u} ، \ mathbf {v} ، \ mathbf {w} \ Right]$
جایی که $\ mathbf {u}، \ mathbf {v}، \ mathbf {w$ بردارهای دلخواه و
$\ left [\ mathbf {u}، \ mathbf {v}، \ mathbf {w} \ Right]: = \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {v} \ بار \ mathbf {W}).$

روابط بین بردارهای پایه منحنی و کارتیزی [ ویرایش ]

بگذارید ( e 1 ، e 2 ، e 3 ) بردارهای پایه معمول دکارتی برای فضای مورد علاقه اقلیدسی باشند و اجازه دهید

$\ mathbf {b} _i = \ boldsymbol {F} \ cdot \ mathbf {e} _i$

که در آن F من یک تغییر و تحول تانسور مرتبه دوم است که نقشه های الکترونیکی من به ب من . سپس،

$\ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {e} _i = (\ boldsymbol {F} \ cdot \ mathbf {e} _i) \ otimes \ mathbf {e} _i = \ boldsymbol {F} \ cdot (\ mathbf { e} _i \ otimes \ mathbf {e} _i) = \ boldsymbol {F}.$

از این رابطه می توانیم این را نشان دهیم

$\ mathbf {b} ^ i = \ boldsymbol {F} ^ {- \ rm {T}} \ cdot \ mathbf {e} ^ i ~؛ ~~ g ^ {ij} = [\ boldsymbol {F} ^ {- \ rm {1}} \ cdot \ boldsymbol {F} ^ {- \ rm {T}}] _ {ij} ~؛ ~~ g_ {ij} = [g ^ {ij}] ^ {- 1} = [ \ boldsymbol {F} ^ {\ rm {T}} \ cdot \ boldsymbol {F}] _ {ij$

اجازه دهید $J: = \ det \ boldsymbol {F$ جاکوبین تحول باشید. سپس ، از تعریف تعیین کننده ،

$\ left [\ mathbf {b} _1، \ mathbf {b} _2، \ mathbf {b} _3 \ Right] = \ det \ boldsymbol {F} \ left [\ mathbf {e} _1، \ mathbf {e} _2 ، \ mathbf {e} _3 \ Right].$

از آنجا که

$\ left [\ mathbf {e} _1، \ mathbf {e} _2، \ mathbf {e} _3 \ Right] = 1$

ما داریم

$J = \ det \ boldsymbol {F} = \ left [\ mathbf {b} _1، \ mathbf {b} _2، \ mathbf {b} _3 \ Right] = \ mathbf {b _1 \ cdot (\ mathbf {b _2 \ بار \ mathbf {b} _3)$

با استفاده از روابط فوق می توان تعدادی از نتایج جالب را به دست آورد.

اول ، در نظر بگیرید

$\ displaystyle g: = \ det [g_ {ij}]$

سپس

$g = \ det [\ boldsymbol {F} ^ {\ rm {T}}] \ cdot \ det [\ boldsymbol {F}] = J \ cdot J = J ^ 2$

به همین ترتیب ، ما می توانیم این را نشان دهیم

$\ det [g ^ {ij}] = \ cfrac {1 {{J ^ 2$

بنابراین ، با استفاده از این واقعیت است که پ $[g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1}$ ،

$\ cfrac {\ جزئی g} {\ جزئی g_ {ij}} = 2 ~ J ~ \ cfrac {\ جزئی J} {\ جزئی g_ {ij}} = g ~ g ^ {ij}$

رابطه جالب دیگری که در زیر آمده است. به یاد بیاورید

$\ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} _j = \ delta ^ i_j \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _1 = 1، ~ \ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _2 = \ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _3 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ 1 = A ~ (\ mathbf {b} _2 \ بار \ mathbf {b} _3)$

جایی که A ثابت و در عین حال نامشخص است. سپس

$\ mathbf {b} ^ 1 \ cdot \ mathbf {b} _1 = A ~ \ mathbf {b} _1 \ cdot (\ mathbf {b} _2 \ times \ mathbf {b} _3) = AJ = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad A = \ cfrac {1} {J$

این مشاهده منجر به روابط می شود

$\ mathbf {b} ^ 1 = \ cfrac {1} {J} (\ mathbf {b} _2 \ بار \ mathbf {b} _3) ~؛ ~~ \ mathbf {b} ^ 2 = \ cfrac {1} J} (\ mathbf {b} _3 \ بار \ mathbf {b} _1) ~؛ ~~ \ mathbf {b} ^ 3 = \ cfrac {1} {J} (\ mathbf {b} _1 \ times \ mathbf { b} _2)$

در نماد شاخص

$\ varepsilon_ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ k = \ cfrac {1} {J} (\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b} _j) = \ cfrac {1} {\ sqrt {g} } (\ mathbf {b} _i \ بار \ mathbf {b} _j)$

جایی که $\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk$ نماد جایگشت معمول است .

ما یک بیان صریح برای تانسور F تحول را مشخص نکرده ایم زیرا شکل دیگری از نقشه برداری بین پایه های منحنی و دکارتی مفیدتر است. با فرض داشتن میزان کافی از نرمی در نگاشت (و کمی سوء استفاده از نماد)

$\ mathbf {b} _i = \ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ i} = \ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ جزئی جزئی x_j} ~ \ cfrac {\ جزئی x_j} {\ جزئی q ^ i} = \ mathbf {e} _j ~ \ cfrac {\ partial x_j} {\ جزئی q ^ i$

به همین ترتیب ،

$\ mathbf {e} _i = \ mathbf {b} _j ~ \ cfrac {\ part q ^ j} {\ جزئی x_i$

از این نتایج ما

$\ mathbf {e} ^ k \ cdot \ mathbf {b} _i = \ frac {\ partial x_k} {\ جزئی q ^ i} \ quad \ Rightarrow \ quad \ frac {\ جزئی x_k}} \ جزئی q ^ i ~ \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {e} ^ k \ cdot (\ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i) = \ mathbf {e} ^ k$

$\ mathbf {b} ^ k = \ frac {\ part q ^ k} {\ جزئی x_i} ~ \ mathbf {e} ^ i$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensors_in_curvilinear_coordinates

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 2:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تانسور در مختصات منحنی

مختصات منحنی را می توان در محاسبات تنشی ، با کاربردهای مهم در فیزیک و مهندسی ، به ویژه برای توصیف حمل و نقل مقادیر بدنی و تغییر شکل ماده در مکانیک سیال و مکانیک پیوسته ،فرمول بندی کرد.

فهرست

جبر بردار و تانسور در مختصات منحنی سه بعدی خمشی [ ویرایش ]

توجه: کنوانسیون جمع بندی انیشتین برای جمع بندی شاخص های مکرر در زیر استفاده می شود.

بردار ابتدایی و جبر تانسور در مختصات منحنی در برخی از ادبیات علمی قدیمی در مکانیک و فیزیک مورد استفاده قرار می گیرد و برای درک کار از اوایل و اواسط دهه 1900 می تواند ضروری باشد ، به عنوان مثال متن توسط گرین و زما. [1] برخی از روابط مفید در جبر بردارها و دستگیره های مرتبه دوم در مختصات منحنی در این بخش آورده شده است. نماد و محتویات در درجه اول از اوگدن ، [2] نقدی ، [3] سیمونز ، [4] گرین و زرنا ، [1] بصار و ویچرت ، [5] و کیارلت است. [6]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensors_in_curvilinear_coordinates

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 2:8 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

قضیه [ ویرایش ]

مثال 1

مثال 2 [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

ابعاد چندگانه [ ویرایش ]

فیلدهای تانسور [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

کاربرد توالی های دقیق [ ویرایش ]

فهرست

خواص [ ویرایش ]

خطوط [ ویرایش ]

فاصله [ ویرایش ]

حلقه ها [ ویرایش ]

ابر چرخه ها [ ویرایش ]

طالع بینی [ ویرایش ]

خلاصه اقلیدسی [ ویرایش ]

متریک و انحنا [ ویرایش ]

در دو بعد [ ویرایش ]

ارتباط با مدل های دیگر هندسه هذلولی [ ویرایش ]

ارتباط با مدل دیسک کلاین [ ویرایش ]

رابطه با مدل نیم صفحه پوانکاره [ ویرایش ]

ارتباط با مدل هایپربولوئید [ ویرایش ]

ساختارهای هندسه تحلیلی در صفحه هذلولی [ ویرایش ]

زوایا [ ویرایش ]

تحقق هنری [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

مجموعه غیر محدب

خواص [ ویرایش ]

اشتراک ها و اجتماع ها [ ویرایش ]

مجموعه های محدب بسته [ ویرایش ]

مجموعه ها و مستطیل های محدب [ ویرایش ]

نمودارهای بلاشکه-سانتالو [ ویرایش ]

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

فرمول فاصله [ ویرایش ]

مدل دیسک کلاین [ ویرایش ]

خصوصیات [ ویرایش ]

سازه های قطب نما و خط مستقیم [ ویرایش ]

حلقه ها ، هایپرچرخه ها و چرخه های حرارتی [ ویرایش ]

ارتباط با مدل دیسک Poincare ( ویرایش )

ارتباط مدل دیسک با مدل هیپربولوئید [ ویرایش ]

فاصله و سنسور متریک [ ویرایش ]

ارتباط با مدل هیپربولوئید [ ویرایش ]

ارتباط با مدل توپ پوانکره [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

مدل های صفحه هذلولی [ ویرایش ]

مدل Beltrami – Klein [ ویرایش ]

مدل دیسک Poincare ( ویرایش )

مدل نیم فضای پوانکره [ ویرایش ]

مدل هایپربلوئید [ ویرایش ]

مدل نیمکره [ ویرایش ]

مدل گانس [ ویرایش ]

مدل باند [ ویرایش ]

اتصال بین مدل ها [ ویرایش ]

ایزومتری های صفحه هذلولی [ ویرایش ]

هندسه هذلولی در هنر [ ویرایش ]

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

ساختار همگن [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

حلقه ها و دیسک ها [ ویرایش ]

هایپرچرخه و چرخه های حرارتی [ ویرایش ]

مثلث [ ویرایش ]

آپیرون معمولی [ ویرایش ]

شاخه های گل [ ویرایش ]

انحنای استاندارد گوسی [ ویرایش ]

سیستم مختصات دکارتی مانند [ ویرایش ]

فاصله [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

تحولات قرن نوزدهم [ ویرایش ]

پیامدهای فلسفی [ ویرایش ]

هندسه جهان (فقط ابعاد فضایی) [ ویرایش ]

هندسه جهان (نسبیت خاص) [ ویرایش ]

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

دو بعدی [ ویرایش ]

صفحه بیضوی [ ویرایش ]

مقایسه با هندسه اقلیدسی [ ویرایش ]