نگاشت همدیس

دانلود نوت بوک Wolfram

یک نگاشت هم‌شکل که به آن نقشه همدیس، تبدیل هم‌شکل، تبدیل حفظ زاویه یا نقشه بی هولومورفیک نیز می‌گویند، تبدیلی است که زوایای محلی را حفظ می‌کند. یک تابع تحلیلی در هر نقطه ای که مشتق غیر صفر داشته باشد همدیس است . برعکس، هر نگاشت هم‌شکل از یک متغیر پیچیده که مشتقات جزئی پیوسته دارد، تحلیلی است. نگاشت همدیس در تحلیلی مختلط همچنین در بسیاری از زمینه‌های فیزیک و مهندسی بسیار مهم است.

نقشه برداری که بزرگی زوایا را حفظ کند، اما جهت گیری آنها را حفظ کند، نگاشت ایزوگونال نامیده می شود (چرچیل و براون 1990، ص 241).

تحولات منسجم ConformalContours

چندین تبدیل همدیس شبکه های منظم در شکل اول بالا نشان داده شده است. در شکل دوم بالا، خطوط ثابت همراه با خطوط متناظر آنها پس از تبدیل نشان داده شده است. مون و اسپنسر (1988) و کرانتز (1999، صفحات 183-194) جداول نگاشتهای همسان را ارائه دادند.

یک روش به دلیل Szegö تقریب تکراری را به نگاشت همدیس مربع به یک دیسک می‌دهد و یک نگاشت دقیق را می‌توان با استفاده از توابع بیضوی انجام داد (Oberhettinger و Magnus 1949؛ Trott 2004, pp. 71-77).

مماس بر منحنی ها و در و در صفحه مختلط باشد ،

			(1)
			(2)

(3)

سپس به عنوان و

(4)

(5)

یک تابع اگر اعداد مختلط و به گونه‌ای باشد که وجود داشته باشد ، منسجم است

(6)

برای (کرانتز 1999، ص 80). علاوه بر این، if یک تابع تحلیلی است به طوری که

(7)

سپس یک چند جمله ای در (گرین و کرانتز 1997؛ کرانتز 1999، ص 80) است.

تبدیل‌های همدیس می‌توانند در حل مشکلات فیزیکی بسیار مفید باشند. با اجازه دادن ، بخش های حقیقی و موهومی باید معادلات کوشی-ریمان و معادله لاپلاس را برآورده کنند، بنابراین به طور خودکار یک پتانسیل اسکالر و به اصطلاح تابع جریان ارائه می کنند. اگر بتوان یک مشکل فیزیکی پیدا کرد که راه حل برای آن معتبر است، راه حلی را به دست می آوریم - که ممکن است به طور مستقیم به دست آوردن آن بسیار دشوار باشد - با کار معکوس.

به عنوان مثال،فرض کنید

(8)

سپس بخش حقیقی و موهومی را می دهد

			(9)
			(10)

Conformal-2

برای ،

			(11)
			(12)

که یک سیستم دوگانه از لمنیسکات است (Lamb 1945, p. 69).

Conformal-1

برای ،

			(13)
			(14)

این راه حل از دو سیستم دایره تشکیل شده است و تابع بالقوه برای دو بار خط باردار موازی مخالف است (Feynman et al. 1989, §7-5; Lamb 1945, p. 69).

منسجم12

برای ،

			(15)
			(16)

میدان را نزدیک لبه یک صفحه نازک می دهد (Feynman et al. 1989, §7-5).

منسجم 1

برای ،

			(17)
			(18)

دادن دو خط مستقیم (Lamb 1945, p. 68).

منسجم32

برای ،

(19)

میدان را در نزدیکی بیرون یک گوشه مستطیل شکل می دهد (Feynman et al. 1989, §7-5).

منسجم 2

برای ،

			(20)
			(21)
			(22)

اینها دو هذلولی عمود بر هم هستند و تابع پتانسیل نزدیک به وسط دو بار نقطه ای یا میدان در سمت باز یک هادی زاویه قائم باردار هستند (Feynman 1989, §7-3).

+ نوشته شده در چهارشنبه سی و یکم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 0:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نگاشت های همدیس

نگاشت همدیس

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای دیگر کاربردها، Conformal (ابهام‌زدایی) را ببینید .

یک شبکه مستطیل شکل (بالا) و تصویر آن در زیر یک نگاشت همدیس $f$ (پایین). دیده می شود که $f$ جفت خطوطی را که در 90 درجه متقاطع هستند تا جفت منحنی هایی که هنوز در 90 درجه متقاطع هستند، ترسیم می کند.

تحلیل مختلط
تجزیه و تحلیل ریاضی → تجزیه و تحلیل مختلط

اعداد مختلط
عددحقیقی عدد مختلط فضای مختلط مزدوج مختلط عدد مختلط واحد
توابع مختلط
تابع با مقدار مختلط تابع تحلیلی تابع هولومورفیک معادلات کوشی-ریمان سری رسمی قدرت
نظریه پایه
صفر و قطب قضیه انتگرال کوشی بدوی محلی فرمول انتگرال کوشی شماره سیم پیچ سریال لوران تکینگی جدا شده قضیه باقی مانده نگاشت همدیس لم شوارتز عملکرد هارمونیک معادله لاپلاس
نظریه توابع هندسی
مردم
آگوستین-لوئی کوشی لئونارد اویلر کارل فردریش گاوس ژاک هادامارد کیوشی اوکا برنهارد ریمان کارل وایرشتراس
پورتال ریاضی
v تی ه

در ریاضیات ، نگاشت همدیس تابعی است که به صورت محلی زاویه ها را حفظ می کند، اما لزوما طول ها را حفظ نمی کند.

رسمی تر، اجازه دهید $U$ و $V$ زیر مجموعه های باز باشد $\mathbb {R} ^{n}$ . یک تابع $f:U\to V$ در یک نقطه همدیس (یا حفظ زاویه ) نامیده می شود $u_{0}\in U$ اگر زوایای بین منحنی های هدایت شده را حفظ کند $u_{0}$ ، و همچنین حفظ جهت گیری. نگاشت‌های همدیس هم زوایای و هم اشکال شکل‌های بی‌نهایت کوچک را حفظ می‌کنند، اما لزوماً اندازه یا انحنای آنها را حفظ نمی‌کنند .

ویژگی همدیس را می توان بر حسب ماتریس مشتق ژاکوبین یک تبدیل مختصات توصیف کرد. زمانی که ژاکوبین در هر نقطه یک عدد اسکالر مثبت ضربدر یک ماتریس چرخش ( متعامد با یک تعیین کننده) باشد، تبدیل مطابق است. برخی از نویسندگان انطباق را شامل نگاشت‌های جهت‌گیری معکوس می‌کنند که ژاکوبین‌ها را می‌توان به صورت هر عدد اسکالر ضربدر هر ماتریس متعامد نوشت. [1]

برای نگاشتها در دو بعد، نگاشتهای همدیس (حفظ جهت گیری) دقیقاً توابع تحلیلی مختلط معکوس محلی هستند. در ابعاد سه و بالاتر، قضیه لیوویل به شدت نگاشتهای همدیس را به چند نوع محدود می کند.

مفهوم انطباق به شیوه ای طبیعی به نگاشت های بین منیفولدهای ریمانی یا نیمه ریمانی تعمیم می یابد.

فهرست

نگاشت های همدیس در دو بعدی [ ویرایش ]

اگر $U$ زیر مجموعه ای باز از صفحه مختلط است $\mathbb {C}$ ، سپس یک تابع $f:U\to \mathbb {C}$ منطبق است اگر و فقط اگر هولومورفیک باشد و مشتق آن در همه جا غیر صفر باشد $U$ . اگر $f$ ضد هولومورفیک است ( مزوج با یک تابع هولومورفیک)، زوایا را حفظ می کند اما جهت آنها را معکوس می کند .

در ادبیات، تعریف دیگری از conformal وجود دارد: نگاشت برداری $f$ که در یک مجموعه باز در هواپیما یک به یک و هولومورفیک است. قضیه نگاشت باز تابع معکوس (تعریف شده در تصویر از $f$ ) هولومورفیک بودن. بنابراین، بر اساس این تعریف، یک نگاشت مطابق است اگر و تنها در صورتی که باهولومورفیک باشد. دو تعریف برای نگاشت های همدیس معادل نیستند. یک به یک و هولومورفیک بودن به معنای داشتن مشتق غیر صفر است. با این حال، تابع نمایی یک تابع هولومورف با مشتق غیر صفر است، اما یک به یک نیست زیرا تناوبی است. [2]

قضیه نگاشت ریمان ، یکی از نتایج عمیق تجزیه و تحلیل مختلط ، بیان می کند که هر باز غیر خالی به سادگی به زیر مجموعه مناسب متصل می شود. $\mathbb {C}$ یک نگاشت همدیس دوطرفه را به دیسک واحد باز می‌پذیرد $\mathbb {C}$ .

نگاشت های همدیس جهانی در کره ریمان [ ویرایش ]

یک نگاشت از کره ریمان بر روی خودش، اگر و فقط اگر تبدیل موبیوس باشد، مطابقت دارد .

مزدوج مختلط تبدیل موبیوس زاویه ها را حفظ می کند، اما جهت را معکوس می کند. به عنوان مثال، وارونگی دایره .

نگاشت های همدیس در سه بعدی یا بیشتر [ ویرایش ]

هندسه ریمانی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: هندسه همدیس

در هندسه ریمانی ، دو معیار ریمانی $g$ و $ساعت$ روی یک منیفولد صاف $م$ اگر به صورت هم ارز نامیده می شوند $g=uh$ برای برخی عملکرد مثبت $تو$ بر $م$ . کارکرد $تو$ عامل همدیس نامیده می شود .

تفاوت بین دو منیفولد ریمانی در صورتی که متریک عقب نشینی شده به طور همدیس با متریک اصلی معادل باشد، نگاشت همدیس نامیده می شود. به عنوان مثال، طرح ریزی استریوگرافیک یک کره بر روی صفحه که با یک نقطه در بی نهایت تقویت شده است، یک نگاشت مطابق است.

همچنین می توان یک ساختار همدیس را بر روی یک منیفولد صاف به عنوان یک کلاس از معیارهای ریمانی معادل همسان تعریف کرد.

فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

یک قضیه کلاسیک جوزف لیوویل نشان می دهد که نگاشت های همدیس در ابعاد بالاتر بسیار کمتر از دو بعدی است. هر نگاشت همدیس از یک زیرمجموعه باز فضای اقلیدسی به همان فضای اقلیدسی با بعد سه یا بیشتر را می توان از سه نوع تبدیل تشکیل داد: یک همسانی ، یک ایزومتریک ، و یک تبدیل همدیس خاص .

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

نگاشت کشی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: پیش‌بینی نگاشت همدیس

در کارتوگرافی ، چندین طرح نگاشت نام‌گذاری شده ، از جمله پیش‌بینی مرکاتور و پیش‌بینی استریوگرافی ، مطابق هستند. آنها مخصوصاً برای استفاده در ناوبری دریایی مفید هستند زیرا خاصیت منحصر به فرد آن در نمایش هر مسیر تحمل ثابت به عنوان یک قطعه مستقیم است. چنین مسیری که به نام رومب (یا از نظر ریاضی لوکسودروم) شناخته می شود در ناوبری دریایی ترجیح داده می شود زیرا کشتی ها می توانند در جهت ثابت قطب نما حرکت کنند.

فیزیک و مهندسی [ ویرایش ]

نگاشتهای همدیس برای حل مسائل در مهندسی و فیزیک بسیار مقدارمند هستند که می توانند بر حسب توابع یک متغیر مختلط بیان شوند و در عین حال هندسه های نامناسبی را نشان می دهند. با انتخاب یک نگاشت برداری مناسب، تحلیلگر می تواند هندسه نامناسب را به هندسه بسیار راحت تر تبدیل کند. برای مثال، ممکن است کسی بخواهد میدان الکتریکی را محاسبه کند، $E(z)$ ، ناشی از بار نقطه ای واقع در نزدیکی گوشه دو صفحه رسانا که با یک زاویه مشخص از هم جدا شده اند (که در آن $z$ مختصات مختلط یک نقطه در 2 فاصله است). حل این مشکل به خودی خود به شکل بسته کاملاً ناشیانه است. با این حال، با استفاده از یک نگاشت همدیس بسیار ساده، زاویه نامناسب به یکی از دقیقاً نگاشت می شود. $\pi$ رادیان یعنی گوشه دو صفحه به یک خط مستقیم تبدیل می شود. در این حوزه جدید، حل مشکل (محاسبه میدان الکتریکی تحت تاثیر یک بار نقطه ای واقع در نزدیکی دیوار رسانا) بسیار آسان است. راه حل در این حوزه به دست می آید، $E(w)$ ، و سپس با توجه به آن به دامنه اصلی برگردید $w$ به عنوان یک تابع به دست آمد ( یعنی ترکیب $E$ و $w$ ) از $z$ ، از کجا $E(w)$ را می توان به عنوان مشاهده کرد $E(w(z))$ ، که تابعی از $z$ ، اساس مختصات اصلی. توجه داشته باشید که این برنامه مغایرتی با این واقعیت نیست که نگاشتهای هم‌نوع زاویه‌ها را حفظ می‌کنند، آنها این کار را فقط برای نقاطی در داخل دامنه خود انجام می‌دهند و نه در مرز. مثال دیگر استفاده از تکنیک نگاشت conformal برای حل مسئله مقدار مرزی ریزش مایع در مخازن است. [3]

اگر تابعی هارمونیک باشد (یعنی معادله لاپلاس را برآورده کند $\nabla ^{2}f=0$ ) روی یک دامنه صفحه (که دو بعدی است)، و از طریق یک نگاشت همدیس به دامنه صفحه دیگری تبدیل می شود، تبدیل نیز هارمونیک است. به همین دلیل، هر تابعی که با یک پتانسیل تعریف می‌شود، می‌تواند توسط یک نگاشت همدیس تبدیل شود و همچنان توسط یک پتانسیل کنترل شود. مثالهایی در فیزیک از معادلات تعریف شده توسط یک پتانسیل شامل میدان الکترومغناطیسی ، میدان گرانشی ، و در دینامیک سیالات ، جریان پتانسیل است که تقریبی برای جریان سیال با فرض چگالی ثابت، ویسکوزیته صفر ، و جریان غیر چرخشی است .. یکی از نمونه‌های کاربرد دینامیکی سیال از یک نگاشت هم‌نقل، تبدیل Joukowsky است .

نگاشت‌های همدیس در حل معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی در برخی از هندسه‌های خاص نیز مقدارمند هستند. چنین راه حل های تحلیلی یک بررسی مفید در مورد دقت شبیه سازی عددی معادله حاکم ارائه می دهد. به عنوان مثال، در مورد جریان سطح آزاد بسیار چسبناک در اطراف یک دیوار نیمه نامتناهی، دامنه را می توان به یک نیم صفحه نگاشت کرد که در آن راه حل یک بعدی است و محاسبه آن ساده است. [4]

برای سیستم‌های گسسته، نوری و یانگ راهی برای تبدیل مکان ریشه سیستم‌های گسسته به منبع ریشه پیوسته از طریق یک نگاشت هم‌شکل شناخته شده در هندسه (با نام مستعار نگاشت وارونه ) ارائه کردند. [5]

معادلات ماکسول [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تبدیل موج کروی

گروه بزرگی از نگاشت‌های همدیس برای حل معادلات ماکسول توسط Ebenezer Cunningham (1908) و Harry Bateman (1910) شناسایی شدند. آموزش آنها در دانشگاه کمبریج به آنها امکان استفاده از روش بارهای تصویری و روش های مرتبط با تصاویر برای کره ها و وارونگی را داده بود. همانطور که توسط اندرو وارویک (2003) استادان تئوری بیان شده است : [6]

هر راه حل چهار بعدی را می توان در یک ابر کره چهار بعدی با شعاع کاذب معکوس کرد. $ک$ به منظور تولید یک راه حل جدید

وارویک این «قضیه نسبیت جدید» را به‌عنوان پاسخ کمبریج به انیشتین برجسته می‌کند، و بر اساس تمرین‌هایی با استفاده از روش وارونگی، مانند آنچه در کتاب درسی جیمز هاپ‌وود جین ، نظریه ریاضی الکتریسیته و مغناطیس یافت می‌شود، پایه‌گذاری شده است.

نسبیت عام [ ویرایش ]

در نسبیت عام ، نگاشت های همدیس ساده ترین و در نتیجه رایج ترین نوع تبدیل های علی هستند. از نظر فیزیکی، اینها جهان‌های مختلفی را توصیف می‌کنند که در آن‌ها همه رویدادها و فعل و انفعالات یکسان هنوز (به طور علّی) ممکن است، اما یک نیروی اضافی جدید برای تأثیرگذاری این امر ضروری است (یعنی تکرار همه مسیرهای یکسان باعث انحراف از حرکت ژئودزیکی می‌شود ، زیرا متریک تانسور متفاوت است). این اغلب برای تلاش برای ایجاد مدلهایی برای توسعه فراتر از انحنای تکینگی استفاده می شود ، به عنوان مثال برای اجازه دادن به توصیف جهان حتی قبل از انفجار بزرگ .

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

نگاشت بیهولومورفیک
قضیه Carathéodory - یک نگاشت مطابق به طور مداوم تا مرز گسترش می یابد
نمودار پنروز
نگاشت شوارتز-کریستوفل - تبدیل هم‌شکل نیم صفحه بالایی به داخل یک چندضلعی ساده
گروه خطی ویژه - تبدیل هایی که حجم (برخلاف زوایا) و جهت را حفظ می کنند

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_map

+ نوشته شده در چهارشنبه سی و یکم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 0:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توان عمومی 𝑧 ^𝑐 = 𝑒 ^𝑐 ln 𝑧 , 𝑐 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥 ، 𝑧≠0 .

توانهای عمومی

• (𝑧 ^𝑐 = 𝑒^ (𝑐 ln 𝑧 که c عدد مختلط باشد

• اگر c = n = 1، 2، … پس 𝑧 𝑛 تک مقداری است و با n ام توان معمول z یکسان است.

• اگر c = n = -1، -2، … پس 𝑧 𝑛 نیز تک مقداری است.

• اگر c = 1/n، که در آن n = 2، 3، …، آنگاه: 𝑧^ 𝑐 = 𝑧 ^1/𝑛 همان n ریشه محدود که قبلا توضیح داده شد.

مثال: توان های عمومی

منبع

https://slideplayer.com/slide/15189738/

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام فروردین ۱۴۰۱ ساعت 2:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-لگاریتم طبیعی z

مثال: لگاریتم طبیعی

ثابت کنید ln (𝑧1𝑧2) = ln (𝑧1) + ln (𝑧2) وLn (𝑧1𝑧2) ≠ Ln (𝑧1) + Ln (𝑧2) برای z1 = z2 = -1

توانهای عمومی𝑧=𝑥+𝑖𝑦

ln z چند ارزشی است

بنابراین، یک مقدار اصلی z^c وجود دارد که عبارت است از:(𝑧 ^𝑐 =𝑒^( c Ln 𝑧

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام فروردین ۱۴۰۱ ساعت 1:57 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-لگاریتم طبیعی z

Ln 𝑧 را مقدار اصلی ln 𝑧 می گویند:

Ln 𝑧 = ln |𝑧| +𝑖 ارگz

ln 𝑧 = Ln 𝑧 ±𝑖 𝑛2𝜋•

اگر z حقیقی مثبت باشد، آنگاه Arg z = 0 و Ln z تابع ln(x) منظم از حساب دیفرانسیل و انتگرال می شود.

• اگر z حقیقی منفی باشد، (به یاد داشته باشید ln(-x) در حساب دیفرانسیل و انتگرال تعریف نشده است):

Ln 𝑧 = ln |𝑧| +𝑖 ارگ z

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام فروردین ۱۴۰۱ ساعت 1:45 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توابع هیپر بولیک و رابطه آنها با توابع مثلثاتی

توابع هذلولی مختلط با فرمول های زیر تعریف می شوند

مثال ها

منبع

https://slideplayer.com/slide/15189738/

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام فروردین ۱۴۰۱ ساعت 1:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توابع مثلثاتی

منبع

https://slideplayer.com/slide/15189738/

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام فروردین ۱۴۰۱ ساعت 1:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-تابع نمایی 𝑒

خواص:𝑒 ^𝑧

منبع

https://slideplayer.com/slide/15189738/

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام فروردین ۱۴۰۱ ساعت 0:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-تابع نمایی 𝑒

تابع نمایی

تابع نمایی 𝑒

فرمول اویلر 𝑒 ^𝑧 را با استفاده از بسط های سری تیلور ثابت می کنیم:

تابع نمایی مختلط e^z را می توان به صورت زیر بیان کرد:

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام فروردین ۱۴۰۱ ساعت 0:16 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توابع مختلط به عنوان نگاشت

ترسیم نمودار یک تابع مختلطw=f(z)سخت است زیرا 4 بعد دارد: 2 بعد برایz و 2 بعد برای w. بنابراین، برای تجسم آنها، توابع مختلط را به عنوان نگاشت در نظر خواهیم گرفت. یعنی به آن فکر خواهیم کردw=f(z)به عنوان گرفتن یک نقطه در مختلطz-صفحه و نگاشت (ارسال) آن به نقطه ای از w-سطح مختلط.

ما از اصطلاحات و نمادهای زیر برای بحث در مورد نگاشت استفاده خواهیم کرد.

یک تابعw=f(z)همچنین نگاشت از zبهw نامیده می شود.
در غیر این صورت ما خواهیم نوشت z↦w یا z↦f(z) . این خوانده می شود "zنگاشته می شود بهw".
خواهیم گفت که "wتصویر از zتحت نگاشت" یا ساده تر "wتصویر ازz " است.
اگر مجموعه ای از نقاط درz-plane ما از تصویر آن مجموعه در زیر نگاشت صحبت خواهیم کرد.
به عنوان مثال، در زیر نگاشت z↦ iz تصویر موهومی z استw-محورحقیقی.

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.29.54.png$

مثال

نگاشتw =z^2. ما این را با قرار دادن تجسم می کنیمzصفحه در سمت چپ وwصفحه در سمت راست سپس منحنی ها و مناطق مختلف را در آن رسم می کنیمz-صفحه و تصویر مربوطه در زیرz^2درw-صفحه.

در شکل اول نشان می‌دهیم که پرتوهای مبدا توسط نگاشت‌برداری می‌شوندz^2به پرتوهایی از مبدأ ما آن را می بینیم

پرتوL2 درπ/4 رادیان به پرتو f(L2)نگاشت می شود f(L2) درπ/2 رادیان
پرتوهاL2وL6هر دو به یک پرتو نگاشت می شوند. این برای هر جفت پرتوهای متضاد قطری صادق است.
یک پرتو در زاویهθبا زاویه به پرتو θ2نگاشت می شود.

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.34.34.png$
f(z)=z^2پرتوها را از مبدأ به پرتوهایی از مبدا نگاشت می‌ کند.

شکل بعدی نمای دیگری از نگاشت را نشان می دهد. در اینجا می بینیم که نوارهای عمودی در ربع اول به نوارهای سهموی که در ربع اول و دوم نگاشت می شوند.

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.37.49.png$

شکل بعدی شبیه شکل قبلی است، با این تفاوت که در این شکل به نوارهای عمودی در هر دو ربع اول و دوم نگاه می کنیم. ما می بینیم که آنها به نوارهای سهموی که در هر چهار ربع ، نگاشت می شوند.

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.42.09.png$
f(z)=z^2دو ربع اول را به کل صفحه نگاشت می کند.

شکل بعدی نگاشت راه راه ها در ربع اول و چهارم را نشان می دهد. نگاشت تصویر مشابه شکل قبلی است. این به این دلیل است که ربع چهارم منهای ربع دوم است، اماz^2=(-z)^2

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.44.31.png$

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.46.02.png$

نمای ساده شده از ربع اول که به دو ربع اول نگاشت شده است.

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.46.45.png$

نمای ساده شده از دو ربع اول که به کل صفحه نگاشت می شوند.

مثال

نگاشتw =e^z. در اینجا ما مجموعه ای از نمودارها را ارائه می کنیم که نشان می دهد چگونه تابع نمایی از z بهw نگاشت می شود.

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.51.30.png$

توجه داشته باشید که خطوط عمودی به دایره ها و خطوط افقی به پرتوهای مبدأ نگاشت می شوند.

چهار شکل بعدی همه اساساً یک چیز را نشان می دهند: تابع نمایی نوارهای افقی را به بخش های دایره ای ترسیم می کند. هر نوار افقی عرض

2πبه کل صفحه منهای مبدأ نگاشت می شود،

از آنجایی که فضا منهای مبدا مرتباً ظاهر می شود، نام آن را می گذاریم:

تعریف: صفحه ی سوراخ شده

صفحه سوراخ شده صفحه مختلط منهای مبدا است. در نمادها می توانیم آن را به صورت C- {0} بنویسیم.

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.54.40.png$

نوار افقی ,

- π ≤y<π

به صفحه ی سوراخ شده نگاشت می شود

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.55.27.png$

نوار افقی- π< y≤ π-πبه صفحهی سوراخ شده نگاشت می شود

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.56.13.png$

نمایش ساده شده نوار افقی را ترسیم می کند

0 ≤ y< 2 π0≤y<2πبه فضای سوراخ شده

$屏幕快照 14/08/2020 下午8.58.57.png$

منبع

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Analysis/Complex_Variables_with_Applications_(Orloff)/01%3A_Complex_Algebra_and_the_Complex_Plane/1.08%3A_Complex_Functions_as_Mappings

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 22:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ثابت زمان برای مدارهای RC

مدارهای RC:

با توجه به یک مقاومت R و یک خازن C در مدار سری، چه اتفاقی می‌افتد وقتی یک باتری با ولتاژ V o در سراسر مدار قرار می‌گیرد؟

شارژ خازن:

افت ولتاژ در مقاومت iR است در حالی که افت ولتاژ در خازن q/C است. اگر این افت ولتاژ در یک حلقه Kirchhoff در اطراف مدار استفاده شود

V o -iR - q/C = 0

حال با استفاده از رابطه i = d q / d t، معادله شارژ خازن است.

مقدار RC ثابت زمانی τ = RC نامیده می شود و بر حسب ثانیه اندازه گیری می شود. یک ثابت زمانی زمان لازم برای رسیدن جریان به 1/e (حدود 1/3) مقدار اولیه است. پس از 5 ثابت زمانی، جریان به 1% مقدار اولیه خود کاهش یافته است.

تخلیه یک خازن

فرض کنید که ثابت های زمانی زیادی گذشته است و خازن اساساً به همان ولتاژ باتری V o شارژ می شود، شارژ q در خازن Q o است و جریان I صفر است. باتری را بردارید و پایانه های مدار RC را کوتاه کنید. کیرشهوف در مورد ولتاژ خازن یا جریان در مقاومت چه می گوید؟

https://academic.mu.edu/phys/matthysd/web004/l0211.htm

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 15:14 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مدارهای RC: شارژ

منبع

https://aplusphysics.com/wordpress/apc/electricityandmagnetism/rc-circuits-charging/

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 13:39 توسط علی رضا نقش نیلچی |

شارژ و دشارژ خازن

شارژ و دشارژ خازن
ترکیب RC را ثابت زمانی می نامنداین زمان مشخصی است که برای ترخیص طول می کشد ما می توانیم جریان را ازQ C R + – E Iدر این مدار، خازن در ابتدا بدون شارژ است، اما در t = 0 کلید بسته است نمایش I، همان تخلیه، درست خلاف جهت (به نحوه رسم شده توجه کنید).

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 13:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

17 ساده ترین مدار RC

17 ساده ترین مدار RC
Q0در مدار نشان داده شده در سمت چپ، خازن با شارژ Q0 شروع به کار می کند. در زمان t = 0، سوئیچ بسته است. چه اتفاقی برای شارژ Q می افتد؟من سیجریان در اطراف حلقه شروع به جریان می کند، بنابراین شارژ Q تغییر خواهد کرداین یک معادله دیفرانسیل است و بنابراین حل آن سخت است نحوه دریافت Q0 را نشان دهید بررسی واحدها:

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 13:21 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قوانین کیرشوف با خازن ها

قوانین کیرشوف با خازن ها
اگر بدانید کدام طرف مثبت است، پتانسیل بالایی دارد - مانند باتری کار کنید.ستغییر ولتاژ با V = Q/C داده می شوداگر (+)Q سمتی باشد که می روید، کاهش می یابداگر Q طرفی باشد که بیرون می روید، افزایش می یابدجریان مربوط به تغییر زمان Q استا گر از همان سمت Q وارد نشدم علامت منفی اضافه کنید - اگر در حال کاهش باشد منهای است اگر در حالت ثابت هستید، جریان عبوری از خازن همیشه صفر استC + –اگر know + و – q آنگاه + در پتانسیل بالایی قرار دارد.

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 13:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قانون دوم کیرشهف

قانون دوم کیرشفکل تغییر ولتاژ اطراف یک حلقه همیشه صفر است نحوه اعمال آن:ابتدا به هر حلقه جهتی اختصاص دهیدمن اغلب در جهت عقربه های ساعت انتخاب می کنم از هر جایی شروع کنید و 0 را برابر با مجموع تغییرات احتمالی هر قطعه قرار دهید:برای باتری ها:V = Eاگر از – به + بروید افزایش می یابداگر از + به - بروید کاهش می یابدبرای مقاومت ها:V = IRاگر با جریان حرکت کنید کاهش می یابداگر برخلاف جریان حرکت کنید، افزایش می یابد

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 13:8 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تقسیم کننده ولتاژ

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 12:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال از مدارهای R

IMP Series and Parallel Circuits

Circuit Theory Laws Digital Electronics Circuit Theory Laws

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 12:17 توسط علی رضا نقش نیلچی |

یک پروتون در طول اختلاف پتانسیل 600 ولت شتاب می گیرد. تغییر آن در KE و سرعت نهایی آن را پیدا کنید

طبق تعریف،

1 eV = 1.6 x10^-19 J.

شتاب 600 ولت

پروتون 600 eV افزایش می یابد.

DK.E. = 600 (1.6 x 10-19) = 9.6 x J

سرعت نهایی:اگر از استراحت شروع شد

نوره علی المنیف

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 17:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نیروهای وارد بر ذرات باردار

مثال :نیروهای وارد بر ذرات بارداردر یک CRT یک الکترون 0.2 متر در یک خط مستقیم (از حالت سکون) حرکت می کند که توسط میدان الکتریکی

8 x 10^3 V/m

حرکت می کند. پیدا کردن:

الف) نیروی وارد بر الکترون.

(ب) کار انجام شده بر روی آن توسط E-field.

ج) تفاوت پتانسیل آن از ابتدا تا پایان.

د) تغییر آن در انرژی پتانسیل.

(ه) سرعت نهایی آن.

31 مثال

(الف) نیرو در جهت مخالف میدان E است، قدر:
ب) کارهای انجام شده با نیرو:

(ج) تفاوت پتانسیل به عنوان شارژ کار/واحد تعریف می شود:به طور متناوب (e- مخالف p+):

د) تغییر در انرژی پتانسیل:
(ه) از دست دادن PE = افزایش در KE = ½mv2

نوره علی المنیف

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 17:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال :انرژی پتانسیل الکترواستاتیکی بین 2 پروتون

انرژی پتانسیل الکترواستاتیکی بین 2 پروتون را در یک هسته اورانیوم که با

2×10^-15m

از هم جدا شده است محاسبه کنید.
نوره علی المنیف

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 15:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال :اختلاف پتانسیل الکتریکی بین نقاط A و Bاز روی میدان و محاسبه سرعت ذره

28 مثال فرض کنید یک الکترون از حالت سکون در یک میدان الکتریکی یکنواخت که قدر آن

5.90 x 10^3 V/m

است آزاد می شود.

الف) پس از حرکت 1.00 سانتی متری از چه اختلاف پتانسیل عبور خواهد کرد؟

(ب) سرعت حرکت الکترون پس از 1.00 سانتی متر چقدر است؟

(الف) |DV| = Ed = (5.90 x 10^3 V/m) (1m) = V

(ب) q |DV| = mv^2/2

v = 4.55x106 m/s

نوره علی المنیف

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 15:9 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال :تغییر پتانسیل الکتریکی بین نقاط A و Bاز روی میدان و محاسبه تغییر انرژی پتانسیل

مثال یک پروتون از حالت سکون در میدان E یکنواخت آزاد می شود که قدر آن 8×10^4 V/m است و در امتداد محور x مثبت هدایت می شود. پروتون در جهت E دچار جابجایی 0.50 متری می شود.تغییر پتانسیل الکتریکی بین نقاط A و B را بیابید.تغییر انرژی پتانسیل پروتون را برای این جابجایی پیدا کنید.

DV = -Ed = - (8.0x10^4 V/m) (0.50m) =- 4.0x10^4 v

DU = q DV = (1.6 x10^-19 C) (- 4 .0x10^4 V) = -6.4 x 10^-15 J

نوره علی المنیف

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 14:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال:پتانسیل و انرژی پتانسیل ناشی از ذره های باردار

در یک اتم هیدروژن، e- به دور p+ در فاصله 5.3 x m می چرخد. پتانسیل الکتریکی را در e- ناشی از p+ و انرژی پتانسیل الکترواستاتیک بین آنها را پیدا کنید.پتانسیل الکتریکی ناشی از پروتون:pE الکترواستاتیک توسط:p+e -r

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 14:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال:پتانسیل

مثال یک ذره نقطه ای با جرم m = 1.8x10-5 کیلوگرم و بار q = +3.0x10-5 C از حالت سکون در نقطه A آزاد می شود و شتاب می گیرد تا به نقطه B برسد. تنها نیرویی که بر ذره وارد می شود نیروی الکتریکی است و پتانسیل الکتریکی در A 25 ولت بیشتر از B است. سرعت ذره وقتی به B می رسد چقدر است؟حل برای vB

اگر q منفی باشد چه اتفاقی می افتد؟

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 14:16 توسط علی رضا نقش نیلچی |

انرژی پتانسیل از 3 ذره باردار

z Three point charges 3nC,6nC and 9nC are placed at the corners of an equilateral triangle of side 0.1m. The potential energy of the system is - Sahay Sir

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 13:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

یک عبارت برای انرژی ذخیره شده در خازن استخراج کنید.

یک عبارت برای انرژی ذخیره شده در خازن استخراج کنید. نشان دهید که هرگاه دو رسانا بارهای مشترکی را با تماس الکتریکی به اشتراک بگذارند، انرژی از دست می‌رود.

1 پاسخ

خازنی با ظرفیت C را در نظر بگیرید که به باتری emf V متصل است.
اگر شارژ dq از یک صفحه به صفحه دیگر منتقل شود، کار انجام شده dW =V dq خواهد بود.
کار انجام شده به شکل انرژی پتانسیل الکتریکی dU ذخیره می شود
dU = V dq
هنگامی که خازن به طور کامل شارژ می شود، کل انرژی ذخیره شده است

انرژی ذخیره شده در خازن، ذخیره انرژی در میدان الکتریکی بین صفحات آن است.
بنابراین، انرژی ذخیره شده را می توان بر حسب شدت میدان الکتریکی E بیان کرد.
هرگاه دو هادی بارها را با تماس الکتریکی به اشتراک بگذارند، همیشه مقداری انرژی از دست می‌رود. بنابراین انرژی در تقسیم بارها پراکنده می شود و به صورت گرما ناپدید می شود.

منبع

https://www.examfear.com/question/12451/detail/Derive-an-expression-for-the-energy-stored-in-a-capacitor-Show.htm

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 12:59 توسط علی رضا نقش نیلچی |

خازن و دی الکتریک خازن ها و ظرفیت در مکانیک

خازن و دی الکتریک خازن ها و ظرفیت در مکانیک ما به دستگاه هایی عادت داریم که

خازن و دی الکتریک خازن ها و ظرفیت در مکانیک ما به دستگاه هایی که انرژی پتانسیل ذخیره می کنند عادت داریم آیا راهی برای ذخیره انرژی پتانسیل الکتریکی خازن ها وجود دارد

هر 2 هادی که از یکدیگر عایق شده اند از یک خازن تشکیل می دهند، می توانند توسط آنها شناسایی شوند

هر 2 هادی که از یکدیگر عایق شده باشند از یک خازن می توانند توسط یک ماده عایق (دی الکتریک) یا خلاء به وجود بیایند. در نمودارهای مدار یک خازن با این نماد نشان داده می شود: بیایید یک خازن شارژ کنیم -Q +Q Vab=Va-Vb Vb Va.

محاسبات میدان الکتریکی ما را برای اجسام باردار مختلف به یاد داشته باشید که ما همیشه از ظرفیت Capacitance پیدا می کنیم

محاسبات میدان الکتریکی ما را برای اجسام باردار مختلف به خاطر بسپارید، ما همیشه متوجه می‌شویم از آنجایی که ظرفیت SI واحد 1 F=1 ولتاژ C/V فقط به هندسه و خواص دی الکتریک بستگی دارد، نه به شارژ، به افتخار مایکل فارادی خوانده می‌شود. یک خازن به شما می گوید: یک خازن برای یک ولتاژ معین چقدر شارژ می تواند نگه دارد (تفاوت پتانسیل). هر چه بیشتر ظرفیت خازنی بیشتر باشد

محاسبه ظرفیت با توجه به ----------------------- چگالی شارژ +++++++++++++ خازن صفحه موازی وظیفه اصلی در

محاسبه ظرفیت با توجه به ----------------------- چگالی شارژ +++++++++++++ خازن صفحه موازی وظیفه اصلی در محاسبه C در حال محاسبه میدان همگن Vab است، E= / 0 برای حد d<< ابعاد صفحه با استفاده از d ظرفیت C یک خازن صفحه موازی را در خلاء به دست می آوریم به عنوان نکته: 1 F یک ظرفیت بزرگ است. مقادیر معمولی تر 1μF=10 -6 F تا 1 p هستند. F=10 -12 F

نمایش: خازن صفحه موازی

چند مثال درگیرتر ظرفیت خازن کروی مرحله 1: محاسبه کنید

چند مثال درگیرتر ظرفیت خازن کروی مرحله 1: محاسبه میدان الکتریکی با استفاده از قانون گاوس بین دو کره برای Image from http: //hyperphysics. phy-astr. gsu edu/hbase/electric/capsph. html مرحله 2: محاسبه ولتاژ Vab برای مقدار مشخصی بار Q روی کره ها مرحله 3: اعمال

سوال کلیکگر آیا یک کره باردار جدا شده (انفرادی) ظرفیت خازنی دارد؟ 1) نه، کجا

سوال کلی کگر آیا یک کره باردار جدا شده (انفرادی) ظرفیت خازنی دارد؟ 1) نه، خطوط میدان الکتریکی به کجا ختم می شوند؟ 2) بله، من فقط مقدار را نمی دانم 3) بله، این یک مورد خاص در حد b-> تصویر از http: //hyperphysics است. phy-astr. gsu edu/hbase/electric/capsph. html

ظرفیت خازن در طول یک خازن استوانه ای (کابل کواکسیال) مرحله 1: محاسبه برق

ظرفیت خازن در طول یک خازن استوانه ای (کابل کواکسیال)

مرحله 1: محاسبه میدان الکتریکی با استفاده از قانون گاوس سیلندر با a

مرحله 2: محاسبه ولتاژ Vab

مرحله 3: اعمال مقدار معمولی برای آنتن ها، VCR ها 69 p. F/M

https://slidetodoc.com/capacitance-and-dielectrics-capacitors-and-capacitance-in-mechanics/

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم فروردین ۱۴۰۱ ساعت 11:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال :ظرفیت معادل این مدار را تعیین کنید.شارژ , ولتاژ ذخیره شده در هر خازن را تعیین کنید

مثال: از مدار زیر برای هر یک از موارد زیر استفاده کنید.
ظرفیت معادل این مدار را تعیین کنید.شارژ ذخیره شده در هر خازن را تعیین کنید.ولتاژ هر خازن را تعیین کنید.