ریاضیات | خرداد ۱۴۰۱

استخراج هندسی معادله اویلر-لاگرانژ

اشتقاق هندسی بصری

بیانیه

با توجه به عملکرد :

$S = int_{x_1}^{x_2}{f(y(x)، y'(x)، x)}{dx}$

اویلر لاگرانژ می گوید که تابع y(x) در یک نقطه ثابت تابعی از:

$frac{جزئی f}{جزئی y} - frac{d}{dx}frac{جزئی f}{جزئی y'} = 0$

کجا y' = فرک{dy}{dx} .

این نتیجه اغلب با استفاده از ادغام توسط قطعات ثابت می شود - اما معادله یک شرایط محلی را بیان می کند و باید با استفاده از استدلال محلی قابل استخراج باشد.

ما یک مشتق جایگزین را در زیر بررسی خواهیم کرد.

مثال انگیزشی

سیستم‌های فیزیکی در تعادل پایدار به پیکربندی حرکت می‌کنند که به صورت محلی انرژی بالقوه آنها را به حداقل می‌رساند. به عنوان مثال، زنجیره ای را در نظر بگیرید که روی دو قرقره قرار دارد (در ارتفاع ، با فاصله از هم جدا شده اند 2 لیتر )، که زنجیر اضافی روی زمین قرار دارد.

زنجیر بین دو قرقره شکلی به خود می گیرد که انرژی پتانسیل گرانشی آن را به حداقل می رساند. فضا جالب است: اگر زنجیر کشیده باشد، بالاتر از سطح زمین خواهد بود و انرژی بالایی دارد. اگر زنجیر خیلی آویزان باشد، زنجیر زیادی را از زمین بیرون می کشد و انرژی بالایی دارد. در این بین شکل بهینه است.

انرژی پتانسیل یک شکل معین از زنجیره y(x) بین قرقره ها برابر است با:

$S = -int y dm = -int_{-L}^{+L} y(x) sqrt{1+y'(x)^2} ;dx$

ما فقط در امتداد بخش بین قرقره ها یکپارچه شده ایم، زیرا می توانیم U_g = 0 در سطح زمین تعریف کنیم و ثابت ها (انرژی زنجیر آویزان خارج از قرقره ها) و عوامل ثابت ( mu، g ) را نادیده بگیریم.

اکنون می خواهیم تابعی را y(x) که حداقل می کند (با توجه به شرایط مرزی y(-L) = y(+L) = -H ) پیدا کنیم.

مشتق هندسی

برای اینکه یک نقطه ثابت باشد ، اغتشاشات کوچک در تابع y(x) نباید مقدار (به مرتبه اول) را تغییر دهد. بنابراین یک بخش بینهایت کوچک از y(x) (خاکستری) را در اطراف گسسته در نظر x_2 بگیرید. اغتشاش y(x) در x_2 یک مقدار دلتا y (تغییر از آبی –> قرمز) را در نظر خواهیم گرفت و تأثیر آن را بر دلتا اس روی .

به خاطر آوردن: S = int{f(y(x)، y'(x)، x)}{dx}

برهم زدن این نقطه به دو صورت تأثیر می گذارد:

این مقدار در را تغییر می دهد .
این مشتقات اطراف را تغییر می دهد .

سهم اول به سادگی این است:

$دلتا S_1 = frac{جزئی f}{جزئی y} دلتا y$

سهم دوم در دو بخش است: افزایش مشتق در سمت چپ، و کاهش مشتق در سمت راست. بر اساس شکل (قبل از اغتشاش) داریم:

$y'(x)|_{x_1} = frac{Delta y_1}{Delta x} ;;;;; y'(x)|_{x_2} = frac{Delta y_2}{Delta x}$

و بعد از اغتشاش:

$hat{y}'(x)|_{x_1} = frac{Delta y_1 + delta y}{Delta x} ;;;;; hat{y}'(x)|_{x_2} = frac{Delta y_2 - delta y}{Delta x}$

بنابراین تغییر در مشتقات به صورت زیر است:

$دلتا y'(x)|_{x_1} = frac{دلتا y}{دلتا x} ;;;;; دلتا y'(x)|_{x_2} = frac{-delta y}{دلتا x}$

این مقدار تحت تأثیر قرار می گیرد:

$شروع{تراز شده} دلتا S_2 &= frac{جزئی f}{جزئی y'}|_{x_1} دلتا y'(x)|_{x_1} + frac{جزئی f}{جزئی y'}|_{x_2} دلتا y'(x)|_{x_2} &= -left(frac{جزئی f}{جزئی y'}|_{x_2} - frac{جزئی f}{جزئی y'}|_{x_1}راست) فراک {delta y}{Delta x} end{aligned}$

از آنجایی x_2 = x_1 + دلتا x که می توانیم بنویسیم:

$frac{جزئی y'}|_{x_2} - frac{جزئی f}{جزئی y'}|_{x_1} = frac{d}{dx}frac{جزئی f}{جزئی y'}| _{x_1} دلتا x$

بنابراین در نهایت، اثر تغییر مشتقات عبارت است از:

$دلتا S_2 = -frac{d}{dx}frac{جزئی f}{جزئی y'}|_{x_1} دلتا y$

و اثر خالص برهم زدن نقطه این است:

$دلتا S = دلتا S_1 + دلتا S_2 = سمت چپ(فرک{جزئی f}{جزئی y} -فرک{d}{dx}فرک{فرک{جزئی y'}|_{x_1}راست) دلتا y$

بنابراین به وضوح، نیاز دلتا S = 0 به اغتشاشات کوچک دلتا y در هر نقطه از تابع، معادله اویلر-لاگرانژ را نشان می دهد:

$frac{جزئی f}{جزئی y} - frac{d}{dx}frac{جزئی f}{جزئی y'} = 0$

و اکنون هر دو اصطلاح معنی دارند:

$frac{جزئی f}{جزئی y}$ : مقدار اغتشاشات کوچک با تغییر مستقیم مقدار تاثیر می گذارد .
$- frac{d}{dx}frac{جزئی f}{جزئی y'}$ : اغتشاشات مقدار خالص با تغییر مشتقات در همسایگی . (مشتق به سمت چپ افزایش می‌یابد، و به سمت راست کاهش می‌یابد - بنابراین اثر خالص بستگی به این دارد که چگونه $frac{جزئی f}{جزئی y'}$ در طول بازه تغییر می‌کند ).

در یک نقطه ثابت، این اثرات دقیقا باید لغو شوند.

نظرات نهایی

برای کامل‌تر شدن، راه‌حل مثال را استخراج می‌کنیم و آن را به یک زنجیره با طول ثابت تعمیم می‌دهیم .

راه حل

در این مورد:

$f(y، y'، x) = y sqrt{1+(y')^2}$

با اعمال مستقیم اویلر-لاگرانژ، متوجه می شویم:

$begin{aligned} frac{جزئی f}{جزئی y} &= frac{d}{dx} frac{جزئی f}{جزئی y'} sqrt{1 + (y')^2} &= frac{d}{ dx} چپ (frac{yy'}{sqrt{1+(y')^2}} سمت راست) end{تراز شده}$

ما می‌توانیم این را حل کنیم، اما روش ساده‌تر استفاده از یک قضیه است:

Thm : اگر $frac{جزئی f}{جزئی x} = 0$ ، پس ثابت $f - y' frac{جزئی f}{جزئی y'}$ است .

اثبات :

$شروع{تراز شده} فرک{d}{dx} چپ (f - y' frac{جزئی f}{جزئی y'} سمت راست) &= y'frac{جزئی f}{جزئی y} + y''frac{جزئی f }{جزئی y'} + frac{جزئی f}{جزئی x} - فرک{d}{dx} چپ( y' frac{جزئی f}{جزئی y'} راست) &= y'frac{جزئی f}{ جزئی y} + y''frac{جزئی f}{جزئی y'} - left( y'' frac{جزئی f}{جزئی y'} + y' frac{d}{dx}frac{جزئی f}{جزئی y'} راست) &= y' چپ( frac{جزئی f}{جزئی y} - فرک{d}{dx} فرک{جزئی f}{جزئی y'} راست) &= 0 پایان{تراز شده}$

جایی که آخرین مرحله اعمال شکل اصلی معادله اویلر-لاگرانژ است.

از آنجایی که خاص ما f(y، y'، x) مستقل از است ایکس ، می توانیم این قضیه را اعمال کنیم:

$شروع{تراز شده} f - y' frac{جزئی f}{جزئی y'} &= c sqrt{1 + (y')^2} - frac{y(y')^2}{sqrt{1+(y ')^2}} &= c y' = frac{dy}{dx} &= sqrt{frac{y^2}{c^2} - 1} int dx &= int frac{dy}{sqrt{frac{ y^2}{c^2}- 1}} x(y) &= c text{, arcosh}(frac{y}{c}) + by(x) &= c text{, cosh}(frac{ xb}{c}) end{aligned}$

برای ثابت ج، ب هایی که برای برآوردن شرایط مرزی انتخاب می شوند. این منحنی آشنا را به ما می دهد .

افزونه

ما می دانیم که اگر یک زنجیره با طول ثابت بین دو نقطه انتهایی ثابت آویزان کنیم، خط لوله نیز شکلی است که به وجود می آید. این تصادفی نیست.

مشکل زنجیره طول ثابت یک مشکل کمینه سازی محدود است، با همان عملکرد انرژی پتانسیل ، اما محدودیت اضافی که طول قوس y(x) آن مقداری ثابت مشخص است.

مشکلات محدود را با (L, s) فاصله جداسازی و طول قوس زنجیره مشخص کنید.

و مشکلات نامحدود توسط (L, H) - فاصله و ارتفاع جداسازی.

ما نشان خواهیم داد که راه حل این مشکل نیز با نشان دادن اینکه:

قضیه : برای یک مسئله مقید معین (L, s) ، یک مسئله غیرمحدود متناظر وجود دارد (L, H) که شامل مسئله مقید به عنوان یک مسئله فرعی است. بنابراین مشکل محدود نیز باید یک سلسله مراتبی باشد.

لم : برای هر d، l در R: 2d leq l , ما همیشه می توانیم پیکربندی نامحدودی پیدا کنیم (L, H) به طوری که طول زنجیره بین x=-d و x=+d دقیقاً باشد .

اثبات : به خانواده راه حل های بدون محدودیتی که پیدا کردیم مراجعه کنید. با انتخاب متمرکز مختصات، b=0 و خانواده شکل می گیرد:

$y_c(x) = c text{, cosh}(frac{x}{c})$

شرط مرزی y(L)=-H پارامتر را تعیین می کند . در حال حاضر، به وضوح طول قوس بین x=-d و x=+d یک تابع کاهشی یکنواخت است ، با افراط در و + infty . (به عنوان مثال، برای d=1 ، معلوم می شود که طول قوس است $2c text{, sinh}(frac{1}{c})$ )

بنابراین، هر مقدار در این محدوده برای برخی قابل دستیابی است c_0 - و علاوه بر این، مقداری وجود دارد (L, H) که باعث این امر می شود (به ویژه، $(1، متن c_0{، cosh}(فراک{1}{c_0}))$ آثار).

نتیجه : اکنون، با توجه به یک مسئله محدود (L, s) ، یک مسئله غیرمحدود بسازید به (L', H') طوری که طول زنجیره بین x = -L و x = +L دقیقاً باشد. (که Lemma تضمین می کند که ما قادر به انجام آن هستیم). در این بازه، مسئله نامحدود با مسئله محدود یکسان است: طول قوس و نقاط پایانی که با 2 لیتر . اگر راه حل بهینه یک موقعیت (مثلا A) انرژی پتانسیل کمتری (در طول دهانه) نسبت به دیگری (B) داشته باشد، B می تواند شکل A را در طول دهانه به خود بگیرد، بدون اینکه هیچ محدودیتی را نقض کند، اما انرژی کمتری را در پی داشته باشد. تضاد بهینه، بنابراین هر دو مسئله باید راه‌حل‌های یکسانی در طول بازه داشته باشند - و راه‌حل بهینه محدود نیز یک راه‌حل است.

بنابراین ما همچنین راه حل مشکل محدود را استخراج کرده ایم. (بدون نیاز به ضریب لاگرانژ!)

منبع

https://preetum.nakkiran.org/lagrange.html

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 21:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 4:لاگرانژ-اویلر

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 21:30 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 3:لاگرانژ-اویلر

Lagrange Equations Use kinetic and potential energy to

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 21:23 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مسئله2-معادله اویلر-لاگرانژ

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 11:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مسئله1-معادله اویلر-لاگرانژ

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 11:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-معادله اویلر-لاگرانژ

استخراج متناوب از معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی

با توجه به عملکرد

$J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t$

بر $C^{1}([a,b])$ با شرایط مرزی $y(a)=A$ و $y(b)=B$ ، با تقریب منحنی منحنی با یک خط چند ضلعی با $n$ بخش ها و عبور از حد مجاز با افزایش خودسرانه تعداد بخش ها.

فاصله را تقسیم کنید $[الف، ب]$ به $n$ بخش های مساوی با نقاط پایانی $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ و اجازه دهید $\دلتا t=t_{k}-t_{k-1}$ . به جای یک عملکرد صاف $y(t)$ خط چند ضلعی را با رئوس در نظر می گیریم $(t_{0}،y_{0})،\ldots،(t_{n}،y_{n})$ ، جایی که $y_{0}=A$ و $y_{n}=B$ . بر این اساس، تابع ما به یک تابع واقعی تبدیل می شود $n-1$ متغیرهای داده شده توسط

$J(y_{1},\ldots,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k}, {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$

Extremals از این تابع جدید در نقاط گسسته تعریف شده است $t_{0}،\ldots،t_{n}$ مربوط به نقاطی است که در آن

${\frac {\partial J(y_{1},\ldots,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$

ارزیابی این مشتق جزئی می دهد

${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_ {m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{ m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{ \Delta t}}\راست).$

تقسیم معادله بالا بر $\ دلتا تی$ می دهد

${\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1 }-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m}, {\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\ frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$ و حد را به عنوان $\دلتا t\ به 0$ از سمت راست این عبارت بازده

$L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.$

سمت چپ معادله قبلی مشتق تابعی است $\delta J/\delta y$ از عملکردی $جی$ . یک شرط ضروری برای داشتن یک تابع متمایز بر روی یک تابع این است که مشتق تابعی آن در آن تابع ناپدید شود، که با آخرین معادله به دست می‌آید.

مثال [ ویرایش ]

یک مثال استاندارد یافتن تابع با ارزش واقعی y ( x ) در بازه [ a , b ] است، به طوری که y ( a ) = c و y ( b ) = d ، که طول مسیر در امتداد منحنی با y ترسیم شده است . تا حد امکان کوتاه است

${\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\ int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,$

تابع انتگرال L ( x , y , y ′ ) = √ 1 + y √ ² است.

مشتقات جزئی L عبارتند از:

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\ text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

با جایگزینی آنها در معادله اویلر-لاگرانژ، به دست می آوریم

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x) )^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text {constant}}\\\پیکان راست y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\پیکان راست y(x)&=Ax+ B\end{تراز شده}}$

یعنی تابع باید مشتق اول ثابت داشته باشد و بنابراین نمودار آن یک خط مستقیم است .

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 2:17 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-معادله اویلر-لاگرانژ

کلیات [ ویرایش ]

تک تابعی از متغیر تک با مشتقات بالاتر [ ویرایش ]

مقادیر ثابت تابعی

$I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{( k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}،~f'':={\cfrac { \mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f} {\mathrm {d} x^{k}}}$

می توان از معادله اویلر-لاگرانژ [4] به دست آورد.

${\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac { \partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\چپ ({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k }}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0$

تحت شرایط مرزی ثابت برای خود تابع و همچنین برای اولین $k-1$ مشتقات (یعنی برای همه $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$ ). مقادیر نقطه پایانی بالاترین مشتق $f^{(k)}$ انعطاف پذیر باقی بماند

چندین توابع از یک متغیر با مشتق واحد [ ویرایش ]

اگر مشکل شامل یافتن چندین عملکرد باشد ( $f_{1},f_{2},\dots,f_{m}$ ) از یک متغیر مستقل منفرد ( $ایکس$ ) که یک افراطی از عملکردی را تعریف می کنند

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x, f_{1},f_{2},\dots,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~ f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}$

سپس معادلات اویلر-لاگرانژ مربوطه [5] است.

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end {هم راستا}}$

تک تابعی از چندین متغیر با مشتق واحد [ ویرایش ]

تعمیم چند بعدی از در نظر گرفتن یک تابع روی n متغیر حاصل می شود. اگر $\ امگا$ پس مقداری سطح است

$I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}$

فقط در صورتی که f معادله دیفرانسیل جزئی را برآورده کند منتهی می شود

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j} }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.$

هنگامی که n = 2 و کاربردی است ${\mathcal {I}}$ انرژی کاربردی است ، این منجر به حداقل مشکل سطح فیلم صابون می شود .

چندین تابع از چندین متغیر با مشتق واحد [ ویرایش ]

اگر چندین تابع مجهول تعیین شود و چندین متغیر وجود داشته باشد به طوری که

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n },f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n })\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$

سیستم معادلات اویلر-لاگرانژ [4] است.

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\ جزئی }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j} }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad & \quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{ \partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{تراز شده }}$

تک تابعی از دو متغیر با مشتقات بالاتر [ ویرایش ]

اگر یک تابع مجهول منفرد برای تعیین f وجود داشته باشد که وابسته به دو متغیر x 1 و x 2 باشد و اگر تابعی به مشتقات بالاتر از f تا مرتبه n وابسته باشد به طوری که

${\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2 },f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i }:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i} \ x_{j}}}\;،\;\;\dots \end{تراز شده}}$

سپس معادله اویلر-لاگرانژ [4] است.

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left( {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac { \partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left( {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2 }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2 }^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n }{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{تراز شده}}$

که می تواند به طور خلاصه به صورت زیر نمایش داده شود:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{ j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

که در آن $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ شاخص هایی هستند که تعداد متغیرها را در بر می گیرند، یعنی در اینجا آنها از 1 به 2 می روند. $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ شاخص ها فقط به پایان رسیده است $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ برای مثال، به منظور جلوگیری از شمارش مشتق جزئی یکسان چندین بار $f_{12}=f_{21}$ فقط یک بار در معادله قبلی ظاهر می شود.

چندین تابع از چندین متغیر با مشتقات بالاتر [ ویرایش ]

اگر p توابع مجهول f i تعیین شود که وابسته به m متغیر x 1 ... x m هستند و اگر تابعی به مشتقات بالاتر از f i تا مرتبه n -ام بستگی دارد به طوری که

${\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_ {m};f_{1},\ldots,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm} ;\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i, \mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:= {\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \ پایان{تراز شده}}$

جایی که $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ شاخص هایی هستند که تعداد متغیرها را در بر می گیرند، یعنی از 1 به متر می روند. سپس معادله اویلر-لاگرانژ است

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\ leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\ mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\ درست)=0$

که در آن جمع بیش از $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ اجتناب از شمارش مشتق مشابه است $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ چندین بار، درست مانند بخش فرعی قبلی. این را می توان به صورت فشرده تر بیان کرد

$\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\جزئی _{ \mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\ نقطه \mu _{j}}}}\راست)=0$

تعمیم به منیفولدها [ ویرایش ]

اجازه دهید $م$ یک منیفولد صاف باشد و اجازه دهید $C^{\infty }([a,b])$ فضای توابع صاف را نشان می دهد $f:[a,b]\ به M$ . سپس، برای عملکرد $S:C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R}$ از فرم

$S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t$

جایی که $L:TM\to \mathbb {R}$ عبارت لاگرانژی است $\mathrm {d} S_{f}=0$ معادل این جمله است که برای همه $t\in [a,b]$ ، هر یک از مختصات فریم بی اهمیت $(x^{i}،X^{i})$ از یک محله از ${\dot {f}}(t)$ موارد زیر را به دست می دهد $\dim M$ معادلات:

$\forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_ {{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.$

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

معادله اویلر-لاگرانژ را در ویکی‌واژه، فرهنگ لغت رایگان، جستجو کنید.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 2:17 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-معادله اویلر-لاگرانژ

بیانیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,L)$ یک سیستم مکانیکی با $n$ درجه آزادی. اینجا $ایکس$ فضای پیکربندی و $L=L(t,{\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {v}})$ لاگرانژی ، یعنی یک تابع با ارزش واقعی صاف به طوری که ${\boldsymbol {q}}\in X,$ و ${\boldsymbol {v}}$ هست یک $n$ -بعدی "بردار سرعت". (برای کسانی که با هندسه دیفرانسیل آشنا هستند ، $ایکس$ منیفولد صاف است و $L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R}},$ جایی که $TX$ بسته نرم افزاری مماس است $X).$

اجازه دهید, ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ مجموعه مسیرهای هموار باشد ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ برای کدام ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ و ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.$ عمل کاربردی (a,b, $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ از طریق تعریف شده است

$S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}} (t))\,dt.$

یک مسیر ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ یک نقطه ثابت از $اس$ اگر و تنها اگر

${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t)) -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t)،{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.$

اینجا، ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ مشتق زمانی است ${\boldsymbol {q}}(t).$

استخراج معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی

اشتقاق معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی یکی از برهان های کلاسیک در ریاضیات است. متکی بر لم اساسی حساب تغییرات است.

ما می خواهیم یک تابع پیدا کنیم $f$ که شرایط مرزی را برآورده می کند $f(a)=A$ ، $f(b)=B$ ، و عملکردی را افراط می کند

$J=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .$

ما این را فرض می کنیم $ال$ دو بار به طور مداوم قابل تمایز است. [3] می توان از فرض ضعیف تری استفاده کرد، اما اثبات دشوارتر می شود. [ نیازمند منبع ]

اگر $f$ موضوع عملکردی را به شرایط مرزی منتهی می‌کند، سپس هرگونه اغتشاش جزئی $f$ که مقادیر مرزی را حفظ می کند یا باید افزایش یابد $جی$ (اگر $f$ به حداقل می رساند) یا کاهش می یابد $جی$ (اگر $f$ ماکسیمیزر است).

اجازه دهید $g_{\varepsilon }(x)=f(x)+\varepsilon \eta (x)$ نتیجه چنین آشفتگی باشد $\varepsilon \eta (x)$ از $f$ ، جایی که $\varepsilon$ کوچک است و $\eta (x)$ یک تابع متمایز رضایت بخش است $\eta (a)=\eta (b)=0$ . سپس تعریف کنید

$J_{\varepsilon }=\int _{a}^{b}L(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,\mathrm {d} x =\int _{a}^{b}L_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x$ جایی که

$L_{\varepsilon }=L(x,\,g_{\varepsilon }(x),\,g_{\varepsilon }'(x))$ .

اکنون می خواهیم مشتق کل را محاسبه کنیم $J_{\varepsilon }$ با توجه به ε .

${\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\ int _{a}^{b}L_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} L_{\varepsilon }}{\ mathrm {d} \varepsilon }}\,\mathrm {d} x.$

از مشتق کل نتیجه می شود که

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} L_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon } }{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }'}{\mathrm {d} \varepsilon }} {\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\\&={\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g'_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g'_{\varepsilon }}}\\&=\eta (x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ .\end{تراز شده}}$

خط دوم از این واقعیت ناشی می شود که $ایکس$ بستگی ندارد $\varepsilon$ ، یعنی ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ .

بنابراین

${\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ ,\right]\,\mathrm {d} x\,.$

وقتی ε = 0 داریم g ε = f , L ε = L ( x , f ( x ), f ′( x )) و J ε یک مقدار افراطی دارد، به طوری که

$\left.{\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{ b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}\,\right ]\,\mathrm {d} x=0\ .$

مرحله بعدی استفاده از ادغام توسط قطعات در ترم دوم انتگرال، بازده است

$\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}} {\frac {\partial L}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}=0\ .$

با استفاده از شرایط مرزی $\eta (a)=\eta (b)=0$ ،

$\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}} {\frac {\partial L}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.$

اکنون با اعمال لم اساسی حساب تغییرات معادله اویلر-لاگرانژ به دست می آید.

${\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f' }}=0\,.$

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 2:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-معادله اویلر-لاگرانژ

بیانیه [ ویرایش ]

$S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}} (t))\,dt.$

یک مسیر ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ یک نقطه ثابت از $اس$ اگر و تنها اگر

اینجا، ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ مشتق زمانی است ${\boldsymbol {q}}(t).$

استخراج معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی

اشتقاق معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی یکی از برهان های کلاسیک در ریاضیات است. متکی بر لم اساسی حساب تغییرات است.

ما می خواهیم یک تابع پیدا کنیم $f$ که شرایط مرزی را برآورده می کند $f(a)=A$ ، $f(b)=B$ ، و عملکردی را افراط می کند

$J=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .$

$J_{\varepsilon }=\int _{a}^{b}L(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,\mathrm {d} x =\int _{a}^{b}L_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x$ جایی که

$L_{\varepsilon }=L(x,\,g_{\varepsilon }(x),\,g_{\varepsilon }'(x))$ .

اکنون می خواهیم مشتق کل را محاسبه کنیم $J_{\varepsilon }$ با توجه به ε .

از مشتق کل نتیجه می شود که

خط دوم از این واقعیت ناشی می شود که $ایکس$ بستگی ندارد $\varepsilon$ ، یعنی ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ .

بنابراین

وقتی ε = 0 داریم g ε = f , L ε = L ( x , f ( x ), f ′( x )) و J ε یک مقدار افراطی دارد، به طوری که

مرحله بعدی استفاده از ادغام توسط قطعات در ترم دوم انتگرال، بازده است

با استفاده از شرایط مرزی $\eta (a)=\eta (b)=0$ ،

$\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}} {\frac {\partial L}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.$

اکنون با اعمال لم اساسی حساب تغییرات معادله اویلر-لاگرانژ به دست می آید.

${\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f' }}=0\,.$

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 2:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-معادله اویلر-لاگرانژ

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در محاسبات تغییرات و مکانیک کلاسیک ، معادلات اویلر-لاگرانژ [1] سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم است که راه‌حل‌های آن نقاط ثابت عملکرد داده شده هستند . این معادلات در دهه 1750 توسط ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر و ریاضیدان ایتالیایی جوزف-لوئیس لاگرانژ کشف شد.

از آنجایی که یک تابع قابل تمایز در منتهی الیه محلی خود ثابت است ، معادله اویلر-لاگرانژ برای حل مسائل بهینه‌سازی مفید است که در آنها، با توجه به برخی عملکردها، فرد به دنبال کمینه کردن یا حداکثر کردن تابع است. این مشابه قضیه فرما در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که بیان می‌کند در هر نقطه‌ای که یک تابع قابل تمایز به یک انتها محلی برسد مشتق آن صفر است.

در مکانیک لاگرانژی ، طبق اصل کنش ثابت همیلتون ، تکامل یک سیستم فیزیکی با حل معادله اویلر برای عمل سیستم توصیف می‌شود. در این زمینه معادلات اویلر را معمولا معادلات لاگرانژ می نامند . در مکانیک کلاسیک ، معادل قوانین حرکت نیوتن است ، اما این مزیت را دارد که در هر سیستم مختصات تعمیم یافته ، شکل یکسانی به خود می گیرد و برای تعمیم ها مناسب تر است. در نظریه میدان کلاسیک معادله ای مشابه برای محاسبه دینامیک یک میدان وجود دارد.

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

معادله اویلر-لاگرانژ در دهه 1750 توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله تووکرون ایجاد شد. این مشکل تعیین منحنی است که در آن یک ذره وزنی در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت می افتد.

لاگرانژ این مشکل را در سال 1755 حل کرد و راه حل را برای اویلر فرستاد. هر دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به فرمول بندی مکانیک لاگرانژ شد. مکاتبات آنها در نهایت منجر به محاسبه تغییرات شد، اصطلاحی که توسط خود اویلر در سال 1766 ابداع شد. [2]

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 1:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ساده سازی معادله اویلر.

فرض کنید L=L(x,y,y ' ) لاگرانژی فقط به دو تا از سه متغیر x، y و y ' بستگی دارد . سپس می توانیم معادله اویلر را تا حدودی ساده کنیم. ما سه مورد خاص زیر را داریم:

مورد 1: L=L(x,y) . سپس معادله اویلر است

مورد 2: L=L(x,y ' ) . سپس معادله اویلر است

که در آن C یک ثابت دلخواه است.
مورد 3: L=L(y,y ' ) . سپس معادله اویلر

که در آن C و ثابت دلخواه است.

نکته: رابطه مورد 3 بالا را هویت بلترامی می نامند.

اثبات (مورد 3):

که برابری در مرحله آخر از معادله اویلر به دست می آید.
مثال 12 ( مثال 5 را مقایسه کنید ): حالت افراطی به عملکردی را پیدا کنید

راه حل: اینجا

و بنابراین می توانیم با استفاده از هویت بلترامی در بالا، مشکل را ساده کنیم. ما گرفتیم

که می توان آن را ساده کرد

این نشان می دهد که

ما علامت minu را در بالا انتخاب می کنیم زیرا dy/dx<0 ( شکل را ببینید ). حالا تغییر متغیرها را انجام دهید

<> که با آن معادله تبدیل می شود

بنابراین یکپارچه سازی نتیجه می دهد

ثابت های C 1 و C 2 به گونه ای انتخاب می شوند که شرایط مرزی برآورده شود. این شکل پارامتر یک سیکلوئید است، منحنی که چگونگی چرخش یک نقطه از محیط چرخ را در هنگام چرخش چرخ در امتداد یک خط مستقیم توصیف می کند. شکل زیر را ببینید:

در انیمیشن‌های زیر، یک توپ به شعاع را که بین دو نقطه تحت گرانش می‌غلتد می‌بینیم . ما مواردی را با هم مقایسه می کنیم که در کوتاه ترین مسیر در حال غلتیدن است و زمانی که در امتداد سیکلوئیدی که از هر دو نقطه می گذرد می غلتد. واضح است که سیکلوئید زمان نزول کوتاه تری نسبت به خط مستقیم می دهد، اما بسته به شیب متوسط بین نقطه شروع و پایان نیز تفاوت هایی وجود دارد.

توجه داشته باشید که مشکلی که در بالا حل کردیم در واقع با یک ذره در حال سر خوردن در امتداد یک منحنی سروکار دارد، اما اصلاحی که باید برای یک توپ غلتان انجام دهیم این است که انرژی جنبشی W در عوض توسط

که در آن I لحظه اینرسی توپ و سرعت زاویه ای آن است. اگر به جای استفاده از این عبارت استفاده کنیم

در مثال 5 به راحتی متوجه می شویم که به معادله دیفرانسیل یکسان و در نتیجه همان راه حل منجر می شود.

نکته: سیکلوئید خاصیت جالبی هم دارد که تووکرون است. این بدان معناست که ذره ای که در هر نقطه از سیکلوئید قرار می گیرد، بدون توجه به اینکه از کجا شروع شده است، در امتداد منحنی تحت گرانش به پایین ترین نقطه در همان مدت زمان می لغزد. این ویژگی در شکل زیر نشان داده شده است:

منبع

https://www.larserikpersson.se/webcourse/iii-introduction-to-the-calculus-of-variations/7-simplification-of-eulers-equation/

+ نوشته شده در شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 1:35 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادلات اویلر برای اثبات اینکه کوتاه ترین مسیر

ما امروز بخش جدیدی را شروع می کنیم: حساب تغییرات. ما کمی در مورد میزبانی حساب تغییرات بحث می کنیم. چه چیزی متفاوت است؟ چرا ما به یک پارامتر متغیر نیاز داریم... و شرط را برای ماکزیمم کردن یک کمیت انتگرال اثبات می کنیم. نتیجه به معادلات اویلر معروف است.
در نهایت از معادلات اویلر برای اثبات اینکه کوتاه ترین مسیر بین دو خط توسط یک خط مستقیم داده می شود استفاده می کنیم.

17.1 واقعاً حساب تغییرات چیست؟ 17.2 مسئله سریعترین فاصله یک شی 17.3 ما به یک پارامتر تغییر نیاز داریم. 17.4 معادلات اویلر: حذف مقدار انتگرال 17.5 مثال: کوتاهترین فاصله بین دو نقطه در صفحه دو بعدی

در چند سخنرانی اخیر، چندین حرکت کلاسیک را مورد بحث قرار دادیم و از مکانیک نیوتنی استفاده کردیم تا بفهمیم چگونه یک سیستم با زمان تکامل می‌یابد. همانطور که قبلاً بحث کردیم، قانون نیوتن یک قانون فیزیکی است و حق آن ثابت شده است. اما زمانی که دینامیک پیچیده می شود، اعمال قوانین نیوتن آسان نیست. روش های جایگزین در این زمینه مورد نیاز است.

یک روش جایگزین برای رسیدن به معادله حرکتی که توسط قانون نیوتن ارائه شده است، معادلات لاگران است. معادلات لاگرانژ بر اساس حساب تغییرات است.

محاسبات تغییرات اساساً راهی برای یافتن شرایط برای به حداقل رساندن یک کمیت معین که می تواند به عنوان یک انتگرال قابل بیان باشد، در اختیار ما قرار می دهد. اساساً شرایطی را برای به حداقل رساندن کمیت های فیزیکی پیدا می کنیم مانند: زمان، طول و غیره.

17.1 واقعاً حساب تغییرات چیست؟

مبحث حساب تغییرات یک مسئله در ریاضیات با سابقه طولانی است. ما می خواهیم شرایطی را برای به حداقل رساندن یک مقدار مشخص دریابیم. بدیهی است که از آنجایی که narure ترجیح می دهد مقادیر خاصی را از بین ببرد، این امر در زمینه های مختلف، از علوم بنیادی گرفته تا کاربردهای مالی، کاربرد دارد.

آیا نمی‌دانستیم که می‌توانیم با در نظر گرفتن مشتق آن تابع با توجه به پارامتر تغییر و صفر کردن مشتق، مقدار را در مسئله خاص به حداقل برسانیم. خب..... بله، اما در اینجا ما قصد داریم توابع نه چندان ساده ای مانند f(x)، بلکه تابع هایی را در نظر بگیریم که می توان آنها را به صورت انتگرال روی برخی از متغیرها نوشت. بعداً در این مورد به تفصیل صحبت خواهیم کرد.

قبل از اینکه به جزئیات بپردازیم، اجازه دهید در مورد مشکلات تاریخی که منجر به توسعه این رشته حساب تنوع شده است صحبت کنیم.

17.2 مسئله سریعترین فاصله یک شی:
در یک میدان ثابت، مسیر بین دو نقطه را پیدا کنید. نقطه A و B، که به ذره اجازه می دهد در کمترین زمان حرکت کند. برنولی این مشکل را مطرح کرده است. چگونه پاسخی برای این مشکل پیدا کنیم؟ این مشکل به عنوان probelm Brachistochrone شناخته می شود. (در یونانی براکیستوس کوتاه‌ترین و کرون زمان است) --- (تاریخ طولانی در مورد انتشار این مشکل در سال 1696 وجود دارد، پس از اینکه برنولی مشکل را ارائه کرد، پاسخ توسط نیوتن، برنولی (برادر برنولی که مشکل را ارائه کرد، ارسال شد. ) لایب نیتس و غیره ....

بعداً مشکلات دیگری به وجود آمد که در آن به حداقل رساندن یک کمیت انتگرال خاص مهم است. به عنوان مثال، در اپتیک، نور مسیر سریعترین زمان را طی می کند (که به عنوان اصل فرما شناخته می شود ). این یافته منجر به قوانین بازتاب و شکست شد.

بیایید در مورد مشکل کوتاه ترین فاصله صحبت کنیم، زیرا تجسم آن آسان تر است. کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه چقدر است؟ خوب .... حالا شما جواب را می دانید ... اما تصور کنید ما نمی دانستیم ... چگونه آن را پیدا کنیم؟ این سوال مهم دیگری است که منجر به توسعه رشته حسابان تغییرات شد.

بیایید به مسئله کوتاهترین فاصله در یک صفحه دو بعدی فکر کنیم.

بیایید ببینیم چگونه می توانیم y(x) را پیدا کنیم، به طوری که فاصله بین دو نقطه در امتداد y(x) به حداقل برسد. بیایید معادله ای برای y(x) بنویسیم و سپس ببینیم چگونه می توانیم آن را به حداقل برسانیم.

بیایید فاصله عنصری در طول یک مسیر تصادفی را ds بنویسیم که می تواند به صورت زیر نوشته شود:

بنابراین مجموع فاصله خواهد بود.

بنابراین، اکنون معادله ای برای فاصله کل بین دو نقطه A و B داریم. می خواهیم y(x) را پیدا کنیم، که فاصله s را به حداقل می رساند. چگونه آن را در فرمول بندی ریاضی قرار دهیم. ما فاصله را به عنوان تابعی از هیچ پارامتری نداریم، تا بتوانیم پارامتر را تنظیم کنیم تا فاصله را به حداقل برسانیم. به عبارت دیگر، اگر یک پارامتر داشتیم، می‌توانیم فاصله کل دو نقطه را به عنوان تابعی از پارامتر بنویسیم و سپس مشتق کمیتی را که می‌خواهیم کمینه کنیم نسبت به این پارامتر گرفته و آن را به صفر

17.3 ما به یک پارامتر تنوع نیاز داریم.

پارامتر چه کاری انجام می دهد؟ پارامتری را معرفی می کنیم که بتوانیم کمیت انتگرال را در همسایگی تابع بهینه جستجو کنیم. به عنوان مثال، اگر مسئله کوتاه‌ترین فاصله باشد، همه مسیرهای ممکن را جستجو می‌کنیم (که با یک پارامتر تغییر می‌کنند) و سپس به دنبال مسیری می‌گردیم که کوتاه‌ترین فاصله را می‌دهد.

شما می توانید این وضعیت را به صورت ریاضی به صورت زیر نشان دهید.

در شکل بالا S1، S2، S3 سه فاصله کل ممکن است. مانند عاقلانه، می‌توانیم مسیر را تغییر دهیم و به دنبال منحنی باشیم که حداقل S را می‌دهد.

اجازه دهید این وضعیت را در فرمول‌های ریاضی قرار دهیم.

اساسا، y(alpha، x) تمام توابع ممکن را به عنوان یک نمایش پارامتریک ارائه می دهد. با تغییر پارامتر alpha، تمام اشکال ممکن توابع y(alpha,x) را پوشش می دهیم.

تابع فقط بین دو نقطه x1 و x2 تعریف می شود. یک تابع صاف بین دو نقطه انتهایی
است. برای alpha=0 تابع صحیح را بدست می آوریم.

17.4 معادلات اویلر: حذف کمیت انتگرال

اکنون با استفاده از این تعریف با پارامتر تغییرات، می توانیم کمیت انتگرال را تعریف کنیم، مانند فاصله. بیایید کمیت انتگرال را J بنامیم.
----------------(17.1)

تعریف کرده ایم:

حال با جایگزینی اینها در معادله. (17.1):
--------------(17.2)

برای ساده سازی قسمت دوم، می توانیم از انتگرال توسط قطعات استفاده کنیم،

بنابراین جمله اول در معادلات بالا به صفر می رسد، زیرا ما تابع متغیر را برای رفتن به صفر در نقاط پایانی انتخاب کردیم.

سپس داریم:
--------------(17.3)

با ترکیب معادلات (17.2) و (17.3)، به دست می آید:

بنابراین، شرط را برای منتهی کردن کمیت انتگرال J به صورت زیر بدست می آوریم،
------------ (17.4)
این معادله به معادله اویلر معروف است که شرط لازم برای به حداکثر رساندن J است.

اکنون شرایط را برای ماکزیمم کردن J می دانیم، با این حال، در مورد چگونگی تعریف J، x، y، y و غیره صحبت نکرده ایم.

برای اعمال معادلات اویلر، باید متغیر مستقل x را شناسایی کنیم و تابع باید باشد. به حداقل رساند.

بیایید چند مثال بزنیم:

17.5 مثال: کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه در صفحه دو بعدی

اکنون می خواهیم از معادله اویلر برای یافتن فاصله بین دو نقطه در یک صفحه استفاده کنیم.

برای اعمال معادلات اویلر، باید مسئله را تعریف کنیم. مقداری که باید به حداقل برسد فاصله است. بیایید فاصله را به عنوان یک کمیت انتگرال بنویسیم.

طول عنصری 2 بعدی است را می توان به صورت زیر نوشت:

طول کل بین دو نقطه پس از آن خواهد بود،

حال بیایید از معادلات اویلر برای به حداقل رساندن s استفاده کنیم. با مقایسه با اثبات فوق معادلات اویلر:

بیایید از معادلات اویلر استفاده کنیم:

ما در بالا ثابت کردیم که کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه را می توان به صورت y=mx+c نوشت که می دانیم یک خط مستقیم است. ما اساساً از معادله اویلر برای اثبات شرایط شناخته شده در اینجا استفاده کرده ایم. ما می دانستیم که کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه در یک صفحه یک خط مستقیم است.
https://www2.physics.siu.edu/people/jayasekera/teaching/310/310_Lec17.html

+ نوشته شده در جمعه بیست و هفتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 22:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-توابع هذلولی

مشتقات [ ویرایش ]

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\ {\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2} x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\ frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}} \operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\ frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

مشتقات دوم [ ویرایش ]

هر یک از توابع sinh و cosh برابر با مشتق دوم خود هستند ، یعنی:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x$

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.$

همه توابع دارای این ویژگی ترکیبی خطی از sinh و cosh هستند، به ویژه توابع نمایی } $e^{x}$ و $e^{-x}$ .

انتگرال استاندارد [ ویرایش ]

برای فهرست کامل، لیست انتگرال های توابع هذلولی را ببینید.

${\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{- 1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\, dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh (ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\راست )\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{ -1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}$

انتگرال های زیر را می توان با استفاده از جایگزینی هذلولی اثبات کرد :

${\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left( {\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&= \operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^ {2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\ \int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}} \right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du }&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt { a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+ C\end{تراز شده}}$

که در آن C ثابت انتگرال است.

عبارات سری تیلور [ ویرایش ]

می توان به طور صریح سری تیلور را در صفر (یا سری لران ، اگر تابع در صفر تعریف نشده است) از توابع بالا بیان کرد.

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}} {7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

این سری برای هر مقدار مختلط x همگرا است . از آنجایی که تابع sinh x فرد است ، تنها توان های فرد برای x در سری تیلور آن وجود دارد.

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6} }{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$ این سری برای هر مقدار مختلط x همگرا است . از آنجایی که تابع cosh x زوج است ، فقط نماهای زوج برای x در سری تیلور آن وجود دارد.

مجموع سری sinh و cosh بیان سری نامتناهی تابع نمایی است .

سری‌های زیر با شرح زیرمجموعه‌ای از دامنه همگرایی آن‌ها دنبال می‌شوند ، که در آن سری همگرا است و مجموع آن برابر با تابع است.

${\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x ^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^ {2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\ frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\ \operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{ 720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right |<{\frac {\pi }{2}}\\\نام اپراتور {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}} {360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1 })B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}،\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{تراز شده}}$

جایی که:

$B_{n}$ n امین عدد برنولی است
$E_{n}$ n امین عدد اویلر است

محصولات نامتناهی و کسرهای مسلسل [ ویرایش ]

بسط های زیر در کل صفحه مختلط معتبر هستند:

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}} \right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4 \cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^ {2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{ 2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{ {\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}$

مقایسه با توابع دایره ای [ ویرایش ]

مماس دایره و هذلولی در (1،1) هندسه توابع دایره ای را بر حسب ناحیه بخش دایره ای u و توابع هذلولی بسته به ناحیه بخش هذلولی u نشان می دهد.

توابع هذلولی نشان دهنده گسترش مثلثات فراتر از توابع دایره ای هستند . هر دو نوع به یک آرگومان بستگی دارند ، یا زاویه دایره ای یا زاویه هذلولی .

از آنجایی که مساحت یک بخش دایره ای با شعاع r و زاویه u (به رادیان) r 2 u /2 است، زمانی که r = √ 2 برابر با u خواهد بود . در نمودار، چنین دایره ای مماس بر هذلولی xy = 1 در (1،1) است. بخش زرد یک ناحیه و قدر زاویه را نشان می دهد. به طور مشابه، بخش های زرد و قرمز با هم یک ناحیه و قدر زاویه هذلولی را نشان می دهند .

ساقهای دو مثلث قائم الزاویه با هیپوتنوز روی پرتوی که زوایا را مشخص می کند دارای طول √ 2 برابر توابع دایره ای و هذلولی هستند.

زاویه هذلولی با توجه به نگاشت فشردگی ، اندازه گیری ثابتی است ، همانطور که زاویه دایره ای تحت چرخش ثابت است. [22]

تابع گودرمانی رابطه مستقیمی بین توابع دایره ای و توابع هذلولی که شامل اعداد مختلط نیستند می دهد.

نمودار تابع a cosh( x / a ) ، منحنی است که توسط یک زنجیره منعطف یکنواخت تشکیل شده است که آزادانه بین دو نقطه ثابت تحت گرانش یکنواخت آویزان است.

رابطه با تابع نمایی [ ویرایش ]

تجزیه تابع نمایی در قسمت های زوج و فرد آن هویت ها را به دست می دهد

$e^{x}=\cosh x+\sinh x,$ و

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$ با فرمول اویلر ترکیب شده است

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ این می دهد

$e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)$ برای تابع نمایی مختلط عمومی .

علاوه بر این،

$e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}} {1-\tanh {\frac {x}{2}}}}$

توابع هذلولی برای اعداد مختلط [ ویرایش ]

از آنجایی که تابع نمایی را می توان برای هر آرگومان مختلط تعریف کرد ، می توانیم تعاریف توابع هذلولی را به آرگومان های مختلط نیز تعمیم دهیم. سپس توابع sinh z و cosh z هولومورف هستند .

روابط با توابع مثلثاتی معمولی با فرمول اویلر برای اعداد مختلط داده می شود:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos xi\sin x\end{aligned}}$ بنابراین:

${\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\ \sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)& =\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x )\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=- i\tan(ix)\end{تراز شده}}$

بنابراین، توابع هذلولی با توجه به جزء خیالی، با دوره تناوبی هستند $2\pi i$ ( $\pi i$ برای مماس و کوتانژانت هذلولی).

توابع هذلولی در صفحه مختلط

$\sinh(z)$	$\cosh(z)$	$\tanh(z)$	$\coth(z)$	$\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {csch} (z)$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به توابع هیپربولیک وجود دارد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions

+ نوشته شده در جمعه بیست و هفتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 22:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-توابع هذلولی

تعاریف معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

توابع هذلولی را می توان به عنوان جواب معادلات دیفرانسیل تعریف کرد : سینوس و کسینوس هذلولی حل ( s , c ) سیستم هستند.

${\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}$ با شرایط اولیه $s(0)=0,c(0)=1.$ شرایط اولیه روح را منحصر به فرد می کند، بدون هیچ جفت کارکردی $(ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})$ راه حل خواهد بود

sinh( x ) و cosh( x ) نیز راه‌حل منحصربه‌فرد معادله f ″( x ) = f ( x ) هستند، به طوری که f (0) = 1 ، f ′(0) = 0 برای کسینوس هذلولی، و f (0) = 0 ، f ′(0) = 1 برای سینوس هذلولی.

تعاریف پیچیده مثلثاتی [ ویرایش ]

توابع هذلولی نیز ممکن است از توابع مثلثاتی با آرگومان های پیچیده استنتاج شوند:

سینوس هایپربولیک: [1]

$\sinh x=-i\sin(ix).$
کسینوس هایپربولیک: [1]

$\cosh x=\cos(ix).$
مماس هایپربولیک:

$\tanh x=-i\tan(ix).$
کوتانژانت هایپربولیک:

$\coth x=i\cot(ix).$
سکانس هایپربولیک:

$\operatorname {sech} x=\sec(ix).$
کوسکانت هایپربولیک:

$\operatorname {csch} x=i\csc(ix).$

جایی که i واحد خیالی با i 2 = −1 است.

تعاریف فوق به تعاریف نمایی از طریق فرمول اویلر مرتبط هستند (به § توابع هایپربولیک برای اعداد مختلط زیر مراجعه کنید).

ویژگی های مشخصه [ ویرایش ]

کسینوس هایپربولیک [ ویرایش ]

می توان نشان داد که مساحت زیر منحنی کسینوس هذلولی (در یک بازه محدود) همیشه برابر با طول قوس مربوط به آن بازه است: [15]

${\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{طول قوس.}}$

مماس هایپربولیک[ ویرایش ]

مماس هذلولی جواب (یکتا) معادله دیفرانسیل f ′ = 1 − f 2 است که f (0) = 0 دارد. [16] [17]

روابط مفید [ ویرایش ]

توابع هذلولی بسیاری از هویت ها را برآورده می کنند، همه آنها از نظر شکل شبیه به هویت های مثلثاتی هستند . در واقع، قانون آزبورن [18] بیان می کند که می توان هر هویت مثلثاتی را برای تبدیل کرد $تتا$ ، $2\ تتا$ ، $3\ تتا$ یا $تتا$ و $\varphi$ به یک هویت هذلولی، با بسط کامل آن بر حسب قدرت های انتگرال سینوس ها و کسینوس ها، تغییر سینوس به سینه و کسینوس به کوش، و تغییر علامت هر عبارت حاوی حاصل ضرب دو سین.

توابع زوج و فرد:

${\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}$

از این رو:

${\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\ نام عامل {csch} (-x)&=-\ نام عامل {csch} x\end{تراز شده}}$

بنابراین، cosh x و sech x توابع زوج هستند . بقیه توابع فرد هستند .

${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh } \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{ هم راستا}}$

سینوس و کسینوس هایپربولیک:

${\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^ {2}x&=1\end{تراز شده}}$

که آخرین آنها شبیه به هویت مثلثاتی فیثاغورثی است .

یکی هم دارد

${\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x- 1\end{تراز شده}}$

برای توابع دیگر

مجموع آرگومان ها [ ویرایش ]

${\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x \sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{تراز شده}}$

به ویژه

${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2} x}}\\\پایان{تراز شده}}$

همچنین:

${\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {xy}{2 }}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {xy}{2}} \راست)\\\پایان{تراز شده}}$

فرمول های تفریق [ ویرایش ]

${\begin{aligned}\sinh(xy)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(xy)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(xy)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{تراز شده}}$

همچنین: [19]

${\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {xy}{ 2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {xy}{2 }}\راست)\\\end{تراز شده}}$

فرمول های نیم آرگومان [ ویرایش ]

${\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)} }}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}} \right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\ frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{تراز شده}}$

که در آن sgn تابع علامت است .

اگر x ≠ 0 ، سپس [20]

$\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x$

فرمول های مربعی [ ویرایش ]

${\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\frac {1} {2}}(\cosh 2x+1)\end{تراز شده}}$

نابرابری ها [ ویرایش ]

نابرابری زیر در آمار مفید است: $\operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}$ [21]

این را می توان با مقایسه ترم به ترم سری تیلور دو تابع ثابت کرد.

توابع معکوس به عنوان لگاریتم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع هذلولی معکوس

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x )&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2} }\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2} }\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac { 1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1- x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{ \sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

+ نوشته شده در جمعه بیست و هفتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 22:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توابع هذلولی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

"منحنی هایپربولیک" به اینجا هدایت می شود. برای منحنی هندسی، Hyperbola را ببینید .

در ریاضیات , توابع هذلولی مشابه توابع مثلثاتی معمولی هستند , اما با استفاده از هذلولی به جای دایره تعریف می شوند . همانطور که نقاط (cost ، sin t ) دایره ای با شعاع واحد تشکیل می دهند ، نقاط (cosh t ، sinh t ) نیمه سمت راست هذلولی واحد را تشکیل می دهند. همچنین، به طور مشابه، مشتقات sin( t ) و cos( t ) cos( t ) هستند .و –sin( t ) ، مشتقات sinh( t ) و cosh( t ) cosh( t ) و +sinh( t ) هستند .

توابع هذلولی در محاسبات زوایا و فواصل در هندسه هذلولی رخ می دهند . آنها همچنین در راه حل های بسیاری از معادلات دیفرانسیل خطی (مانند معادله تعریف یک خطی )، معادلات مکعبی ، و معادله لاپلاس در مختصات دکارتی رخ می دهند. معادلات لاپلاس در بسیاری از زمینه های فیزیک از جمله نظریه الکترومغناطیسی ، انتقال حرارت ، دینامیک سیالات و نسبیت خاص مهم هستند.

توابع هذلولی اساسی عبارتند از: [1]

سینوس هذلولی "sinh" ( / ˈ s ɪ ŋ , ˈ s ɪ n tʃ , ˈ ʃ aɪ n / )، [2]
کسینوس هذلولی "cosh" ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / )، [3]

که از آن مشتق شده است: [4]

مماس هذلولی "tanh" ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / )، [5]
cosecant هذلولی "csch" یا "cosech" ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / [3] )
سکانت هذلولی "sech" ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / )، [6]
هذلولی همتنژانت "coth" ( / ˈ k ɒ θ , ˈ k oʊ θ / )، [7] [8]

مربوط به توابع مثلثاتی مشتق شده است.

توابع هذلولی معکوس عبارتند از:

سینوس هذلولی منطقه "arsinh" (همچنین به "sinh -1 "، "asinh" یا گاهی اوقات "arcsinh" نشان داده می شود) [9] [10] [11]
کسینوس هذلولی ناحیه "arcosh" (همچنین به "cosh -1 "، "acosh" یا گاهی اوقات "arccosh" نشان داده می شود)
و غیره

پرتویی از هذلولی واحد x 2 − y 2 = 1 در نقطه (cosh a , sinh a ) , جایی که a دو برابر مساحت بین پرتو، هذلولی و محور x است. برای نقاط روی هذلولی زیر محور x ، ناحیه منفی در نظر گرفته می شود ( نسخه متحرک با مقایسه با توابع مثلثاتی (دایره ای) را ببینید).

توابع هذلولی یک آرگومان واقعی به نام زاویه هذلولی می گیرند . اندازه یک زاویه هذلولی دو برابر مساحت بخش هذلولی آن است . توابع هذلولی ممکن است برحسب پایه های یک مثلث قائم الزاویه که این بخش را پوشش می دهد، تعریف شوند.

در تحلیل پیچیده ، توابع هذلولی به عنوان بخش های خیالی سینوس و کسینوس به وجود می آیند. سینوس هایپربولیک و کسینوس هذلولی توابع کامل هستند . در نتیجه، سایر توابع هذلولی در کل صفحه پیچیده مرومورفیک هستند.

بر اساس قضیه لیندمان – وایرشتراس ، توابع هذلولی برای هر مقدار جبری غیرصفری آرگومان، یک مقدار ماورایی دارند . [12]

توابع هایپربولیک در دهه 1760 به طور مستقل توسط وینچنزو ریکاتی و یوهان هاینریش لامبرت معرفی شدند. [13] Riccati از Sc. و رونوشت ( sinus/cosinus circulare ) اشاره به توابع حلقوی و Sh. و چ. ( سینوس/کوسینوس هیپربولیک و ) برای اشاره به توابع هذلولی. لامبرت این نام ها را پذیرفت، اما اختصارات را به نام هایی که امروزه استفاده می شود تغییر داد. [14] اختصارات sh , ch , th , cth نیز در حال حاضر بسته به ترجیح شخصی استفاده می شود.

فهرست

نشانه گذاری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توابع مثلثاتی § نمادگذاری

تعاریف [ ویرایش ]

سین ، کوش و تن

csch ، sech و coth

روش های معادل مختلفی برای تعریف توابع هذلولی وجود دارد.

تعاریف نمایی [ ویرایش ]

sinh x نصف اختلاف e x و e - x است

cosh x میانگین e x و e - x است _

از نظر تابع نمایی : [1] [4]

سینوس هایپربولیک: قسمت فرد تابع نمایی، یعنی

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
کسینوس هایپربولیک: قسمت زوج تابع نمایی، یعنی

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}= {\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
مماس هایپربولیک:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{- x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$
کوتانژانت هیپربولیک: برای x ≠ 0 ،

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{- x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$
سکانس هایپربولیک:

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}+1}}.$
کوسکانت هذلولی: برای x ≠ 0 ،

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}-1}}.$

+ نوشته شده در جمعه بیست و هفتم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 22:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تبدیل فوریه و معکوس آن

تبدیل فوریه

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 10:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

trigonometry - Fourier series question I need help with - Cross Validated

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 10:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه جابجایی انتگرال و جمع برای سریها

real analysis - Justification of termwise integration - Mathematics Stack Exchange

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 10:39 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ویژگی های سری فوریه

در اینجا به ویژگی‌های معمولی که از بسط سری می‌پرسیم (نحوه رفتار آن با توجه به عملیات معمول و واکنش آن به تبدیل توابع) خواهیم پرداخت. سپس به روش‌های جایگزین برای نوشتن سری فوریه نگاه می‌کنیم، یعنی فرم زاویه فاز دامنه و شکل مختلط .

ما با نتیجه ای شروع می کنیم که به موضوع اصلی این قسمت مربوط نمی شود، اما گاهی اوقات مفید است، بنابراین به سرعت آن را مرور می کنیم.

قضیه.
اجازه دهید T > 0، نشان دهنده ω = 2π/ T باشد.
برای هر تابع T- تناوبی f که قابل انتگرال در [0, T ] باشد، ضرایب فوریه a k و b k به صفر تمایل دارند.

اکنون به بررسی عملیات می پردازیم. اول یک نتیجه نسبتاً واضح است که از این حقیقیت ناشی می شود که ضرایب سری فوریه توسط انتگرال ها، یعنی توسط یک فرآیند خطی ارائه می شود.

قضیه.
اجازه دهید T > 0، نشان دهنده ω = 2π/ T باشد.
فرض کنید c هر عدد حقیقی باشد، f و g توابع دوره‌ای T باشند که در [0, T ] قابل انتگرال هستند . فرض کن که
سپس

اکنون می خواهیم فرمول های مشابهی را برای مشتق و انتگرال تعیین کنیم. با مشتق ساده است. فرض کنید که f T دوره ای ( و انتگرال پذیر) است و دارای سری فوریه با ضرایب a k و b k است. ضرایب سری فوریه مشتق f ' را با A k و B k نشان دهید . فقط با استفاده از تناوب نتیجه می شود که

انتگرال های سایر ضرایب را می توان به انتگرال هایی با f با استفاده از انتگرال توسط قطعات تغییر داد .

به همین ترتیب b k را ارزیابی کرده و عبارت زیر را بدست می آوریم.

قضیه.
اجازه دهید T > 0، نشان دهنده ω = 2π/ T باشد.
فرض کنید f یک تابع دوره‌ای T باشد که روی [0, T ] قابل انتگرال است. فرض کن که
سپس

بنابراین می بینیم که می توانیم هر دو طرف "رابطه tilde" را مشتق گیری کنیم (سری فوریه که ترم به ترم مشتق گیری می کنیم) و این رابطه معتبر می ماند. یک برابری حقیقی چطور؟ اگر از شرایط معمول جردن استفاده کنیم (اما برای f ′ اعمال می شود)، مفهوم زیر را دریافت می کنیم:

فرض کنید f به صورت تکه ای پیوسته است و مشتق اول و دوم را دارد که به صورت تکه ای پیوسته هستند. سپس

یعنی می توانیم یک سری فوریه همگرا را ترم به ترم مشتق گیری کنیم. اکنون به یکپارچه سازی می پردازیم. ما دوباره با انتساب رسمی سری فوریه شروع می کنیم، یعنی فرض می کنیم که f T دوره ای (و انتگرال پذیر) است و دارای سری فوریه با ضرایب a k و b k است. فرض کنید که دارای یک F پاد مشتق است (که لازم نیست همیشه حتی برای یک تابع پیوسته تکه ای وجود داشته باشد، به عنوان مثال به این مثال مراجعه کنید )، ضرایب سری فوریه آن را با A k و B k نشان دهید . در اینجا ما یک مشکل جدی داریم، این ضد مشتق نیازی به T نیست-تناوبی. برای مشاهده این موضوع، یک ضد مشتق خاص را در نظر بگیرید، یعنی (به قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال مراجعه کنید )

اکنون مقداری t از بازه [0, T ) و یک عدد صحیح k را در نظر بگیرید. با استفاده از این حقیقیت که f T- تناوبی است ، موارد زیر را بدست می آوریم.

می بینیم که این ضد مشتق F دقیقاً T دوره ای است اگر انتگرال f در بازه پایه 0 باشد. این در واقع به این معنی است که 0 = 0. از آنجایی که سایر پاد مشتق ها فقط جابجایی های این یکی هستند، مشاهده زیر را دریافت می کنیم.

پاد مشتق های f دقیقاً اگر 0 = 0 باشد T دوره ای هستند .

بر اساس این فرض، ممکن است در مورد سری فوریه اختصاص داده شده به F شروع کنیم. این ضرایب زمانی به صورت انتگرال با F داده می شود و از انتگرال توسط قطعات برای عبور به انتگرال با f استفاده می کنیم، سپس از تناوب f استفاده می کنیم و همچنین از اینکه F ویژه ما دارای F ( T ) = F (0) = 0 است.

به طور مشابه ما انتگرال را برای B k ارزیابی می کنیم . بنابراین ما عبارت زیر را دریافت می کنیم.

قضیه.
اجازه دهید T  > 0، نشان دهنده ω  = 2π/ T باشد.
فرض کنید f یک تابع T- تناوبی پیوسته روی [0، T  ] باشد. فرض کن که
اگر 0  = 0، برای ضد مشتق داده شده توسط
ما داریم

این به ما در مورد یک ضد مشتق خاص می گوید. سایر پاد مشتق ها با یک ثابت تفاوت دارند، بنابراین اگر مجموعه همه آنها (انتگرال نامعین) را در نظر بگیریم، می توانیم نتیجه را به صورت زیر بنویسیم:

برابری حقیقی به جای تکلیف رسمی چطور؟ باز هم از شرایط اردن استفاده خواهیم کرد. ما باید تضمین کنیم که یک ضد مشتق وجود دارد، که فرض طبیعی آن این است که f پیوسته است. ضد مشتق F در قضیه فوق نیز پیوسته است، بنابراین F و مشتق آن f نسخه "بهتر" مفروضات قضیه جردن را برآورده می کنند و در واقع همگرایی یکنواخت را دریافت می کنیم.

به جای بیان رسمی این موضوع، چیز دیگری را امتحان می کنیم، به انتگرال معین نگاه می کنیم (که به یک معنا کلی تر است). از آنجایی که ما با آنتی مشتق کار نمی کنیم، لازم نیست نگران تناوب آنها باشیم و بنابراین نیازی به 0 = 0 نداریم. سپس عبارت زیر را داریم.

قضیه.
اجازه دهید T  > 0، نشان دهنده ω  = 2π/ T باشد.
فرض کنید f یک تابع دوره ای T است که به صورت تکه ای پیوسته و قابل انتگرال در [0، T  ] است. فرض کن که
سپس برای هر a  <  b که داریم

اکنون به چگونگی واکنش سری فوریه به تبدیل های f نگاه خواهیم کرد. توجه داشته باشید که اگر f یک تابع تناوبی باشد، تبدیل‌های معمول دوباره توابع تناوبی را ایجاد می‌کنند و جدا از مقیاس‌گذاری متغیر، حتی دوره اولیه را نیز حفظ می‌کنند.

قضیه (تحولات).
اجازه دهید T > 0، نشان دهنده ω = 2π/ T باشد.
فرض کنید f یک تابع دوره‌ای T باشد که در [0، T ] قابل انتگرال است. فرض کن که
سپس برای هر عدد حقیقی غیر صفر c داریم

اولین جمله ای که قبلاً در بالا دیدیم، از خطی بودن ناشی می شود. توجه داشته باشید که 0 در واقع میانگین f (ضرب در 2) است، بنابراین با مقیاس بندی متغیر (کوچک کردن یا گسترش تابع در امتداد محور x ) یا تغییر تابع در جهت افقی، این میانگین را تغییر نمی دهیم. با این حال، اگر تابع را به بالا یا پایین تغییر دهیم، میانگین بر این اساس تغییر می کند. این توضیح می دهد که چه اتفاقی برای 0 در آن فرمول های بالا می افتد. ضرایب دیگر نشان می دهد که فرکانس های فردی در f چقدر مهم هستند، چیزی است که وقتی تابع را به صورت عمودی جابجا می کنیم یا متغیر آن را مقیاس می کنیم تغییر نمی کند، اما با مقیاس گذاری مقادیر تابع به وضوح اهمیت همه فرکانس ها را تغییر می دهیم. آخرین عبارت مختلط تر است، زیرا ما امواج "در f " را به چپ یا راست منتقل می کنیم، اما کسینوس ها و سینوس های سمت راست جابجا نمی شوند، که کار را نسبتاً دشوار می کند. با این حال، توجه داشته باشید که اگر c مضربی از دوره پایه T باشد، در واقع فرمول های بالا نشان می دهند که f ( t - c ) همان سری فوریه f را دارد.. این قابل انتظار است، زیرا جابجایی یک تابع تناوبی توسط مضربی از دوره آن به هیچ وجه آن را تغییر نمی دهد و اگر فرمول بالا این نتیجه را به همراه نداشت، اشتباه بود.

توجه داشته باشید که فرمول آخر به شکل مختلط بسیار بهتر به نظر می رسد، در زیر ببینید .

فرم دامنه - زاویه فاز سری فوریه

سری اصلی فوریه را می توان به گونه ای تنظیم کرد که بیشتر با نیازهای فرد مطابقت داشته باشد. اولین بازآرایی که در اینجا نشان خواهیم داد از ترفندی استفاده می کند که هنگام کار با امواج (سیگنال ها، مدارهای الکتریکی و غیره) نسبتاً محبوب است. با توجه به اعداد a و b ، یک زاویه φ و یک عدد A وجود دارد به طوری که برای هر x که داریم

عدد A را دامنه و زاویه φ را زاویه فاز می نامند که با فرمول های زیر به دست می آیند.

اگر سینوس و کسینوس را در این تعریف φ رد و بدل کنیم ، کاهش مشابهی بدست می آوریم، اما این بار با کسینوس در سمت راست (اکنون زاویه فاز متفاوت خواهد بود). اگر این را برای تمام اصطلاحات سری فوریه اعمال کنیم، فرمول های زیر را به دست می آوریم.

شکل مختلط سری فوریه

در اینجا ما از یک ترفند متفاوت استفاده می کنیم. اگر سینوس ها و کسینوس ها را در یک سری فوریه با عبارت های معادل آنها با نمایی جایگزین کنیم، به دست می آید.

بنابراین اگر نشان دهیم

شکل مختلط سری فوریه را دریافت می کنیم

این فرم در واقع شکل طبیعی این سری است، زیرا بسیاری از فرمول ها بسیار زیباتر می شوند. به عنوان مثال، ما مجبور نیستیم ck را با انجام چندین مورد پیدا کنیم، یک فرمول مشترک برای همه آنها وجود دارد:

در واقع، برای مثال، برای یک عدد صحیح k مثبت داریم

به طور مشابه، فرم‌های راحت‌تری برای قوانین تبدیل‌های بالا وجود دارد.

در آخرین فرمول، n به وضوح یک عدد صحیح است.

کمی جلوتر در این مسیر ما را به مفهوم تبدیل فوریه می رساند، که داستان دیگری است، پس بهتر است توقف کنیم.

منبع

https://math.fel.cvut.cz/en/mt/txte/3/txe3ea3g.htm

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 9:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال تبدیل لاپلاس

r/askmath - هنگام اعمال تبدیل لاپلاس چرا -pi/4 در cos(t-pi/4) نادیده گرفته می شود؟ متشکرم.

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 9:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تبدیل لاپلاس

مقدمه و تعریف تبدیل لاپلاس، توابع رانندگی غیر استاندارد، حل از حوزه جبر. مثال های تبدیل لاپلاس، f(t)=1، f(t)=t. مثال های تبدیل لاپلاس f(t)= e t و f(t)= sin(2t). تبدیل لاپلاس یک عملگر خطی است، یک مثال، یک خطای کتاب در ویرایش هفتم، جدول کوچک تبدیل ها. لاپلاس هستی را تبدیل می‌کند، مثالی از تبدیل یک تابع تعریف‌شده تکه‌ای. لاپلاس مثال را با استفاده از خطی بودن تبدیل تبدیل می کند

در مدل مرتبه دوم خطی برای سیستم های فنر/جرم و مدار الکتریکی سری، سمت راست معادلات

یک "تابع محرک" است که مقداری نیروی خارجی f(t) یا یک ولتاژ تحت تاثیر E(t) را نشان می دهد. عملکردهای انتقال پیوسته تکه ای غیر معمول نیستند. به عنوان مثال، عملکرد انتقال را می توان به صورت گرافیکی با یکی از موارد زیر توصیف کرد:

ما هیچ روش مستقیمی برای حل مشکلات از این نوع نداریم. مشکلات را اغلب می توان با روش های تبدیل حل کرد و موردی که ما روی آن تمرکز خواهیم کرد تبدیل لاپلاس است.

تا زمانی که به درس 5 واحد V نرسیم، هیچ معادله دیفرانسیل را به این روش حل نمی کنیم. قبل از آن، باید یاد بگیریم که چگونه تبدیل و همچنین تبدیل معکوس توابع مختلف را ایجاد کنیم. تصویر زیر نحوه حل معادلات را نشان می دهد. برای بقیه این بخش و همچنین سه بخش بعدی، نحوه تبدیل و یافتن تبدیل معکوس توابع (فلش های کناری در تصویر) را یاد خواهیم گرفت.

از روش تبدیل لاپلاس می توان برای حل سیستم معادلات نیز استفاده کرد.

Def: تبدیل لاپلاس : اگر f تابعی باشد که برای .

توجه داشته باشید که تابعی از s است. یعنی L {f(t)}=F(s).

به نماد آشنای بزرگ کردن برای نشان دادن یک ضد مشتق توجه کنید.

مثال یافتن L {1}.

راه حل:

اگر M{Af(x)+Bg(x)}=AM{f(x)}+BM{g(x)} یک عملگر M خطی باشد.

توجه داشته باشید که تبدیل لاپلاس یک عملگر خطی است زیرا انتگرال خطی است:

مثال 1. L {t+2} را پیدا کنید

بعد از اینکه خودتان آن را امتحان کردید

مثال 2. L {e 2t } را پیدا کنید (آسان تر!)

بعد از اینکه خودتان آن را امتحان کردید

یک سوال طبیعی مطرح می شود، به خصوص که یک تابع ساده برای یافتن تبدیل لاپلاس خود به محاسبه پیچیده نیاز دارد. آیا تبدیل لاپلاس همیشه برای یک تابع وجود دارد؟

Def: مرتبه نمایی اگر ثابت های C، M>0 و T>0 وجود
داشته باشد به تابع f از مرتبه نمایی C گفته می شود به طوری که برای همه t>T.

اگر f تابع افزایشی باشد، مرتبه نمایی C>0 بودن به این معنی است که نمودار f سریعتر از نمودار Me Ct برای t>T رشد نمی کند.

اگر f تابع نزولی باشد، مرتبه نمایی C<0 بودن به این معنی است که نمودار f زیر نمودار Me Ct برای t>T قرار دارد.

قضیه: شرایط کافی برای وجود اگر f(t) به صورت تکه ای پیوسته روی [0، بی نهایت) و از مرتبه نمایی C برای t>T باشد، آنگاه L {f(t)} برای s>C وجود دارد.

اثبات در این کتاب است و بر این تکیه دارد که نشان دهد انتگرالی که تبدیل لاپلاس را نشان می دهد همگرا است اگر از مرتبه نمایی C باشد. این نیاز به مقایسه انتگرال نشان دهنده تبدیل و انتگرال Me Ct دارد.

توجه داشته باشید که L {f(t)} برای f(t)=1/t یا f(t)=exp(t ^2 ) وجود ندارد.

مثال نشان دهید که L {t n }=n!/s n+1 .

راه حل: با u=t n و du=nt n-1 ، dv=e -st و v=-e -st /s با استفاده از انتگرال توسط قطعات،

قسمت اول این را می توان با n+1 کاربرد قانون L'Hopital صفر نشان داد .

حالا باید ارزیابی کنیم

همین روند ادامه خواهد داشت و آخرین انتگرال L {1}=1/s را از مثال قبل نشان می‌دهد.

مثال یافتن L {sin(kt)}

L {sin(kt)}=

انتگرال در مرحله اول توسط قطعات با u=sin(kt)، du=kcos(kt)، dv=e -st dt، v=-(1/s)e -st بود.

قسمت u*v=0 از sin(0)=0. با انتگرال باقی مانده ادامه دهید:

L{sin(kt)}=

ادغام در مرحله اول توسط قطعات با u=cos(kt)، du=-ksin(kt)، dv=e -st ، v=-(1/s)e -st بود.

قسمت u*v k/s 2 است (اگر حد را در بی نهایت محاسبه کنید، صفر است. cos(0) و e 0 هر دو 1 هستند، بنابراین ما –(-1) داریم.

مشکل اکنون در این مرحله است:

این معادله را می توان برای انتگرال مورد نظر حل کرد:

بنابراین می بینیم که L {sin(kt)}= .

به عنوان یک تکلیف، از شما خواسته می شود که L {cos(kt)} را انجام دهید. شبیه.

جدول زیر لیست بسیار کوتاهی از تبدیل های لاپلاس رایج است:

همانطور که مثال زیر نشان می دهد، توابع تعریف شده به صورت تکه ای دارای تبدیل لاپلاس هستند:

مثال تبدیل لاپلاس f(t) را پیدا کنید که در آن

راه حل:

از آنجایی که تابع به صورت تکه ای تعریف شده است، به سه انتگرال نگاه می کنیم:

نیازی به حفظ نمودار تبدیل نیست. می‌خواهم از این جلسه با یک مرور کلی، تعریف تبدیل، و برخی مهارت‌های یکپارچه‌سازی از کلاس حساب دیفرانسیل و انتگرال را مرور کنید.

وقتی چند قانون برای تبدیل ها بدانیم، می توانیم از خطی بودن تبدیل لاپلاس برای حل مسائل به راحتی استفاده کنیم.

مثال L {f(t)}که در آن f(t)=3t 2 +sint را پیدا کنید

راه حل:

L {3t 2 }=3(2!)/s 3 و L {sint}=1/(s 2 +1)، بنابراین داریم

L {3t 2 +sint }=

حالا شما یکی را امتحان کنید:

مثال 3. L {f(t)} را پیدا کنید که در آن f(t)= t-7-cosht

منبع

http://donrmath.net/difeq/unit_5/lesson1/u5l1a.html

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 9:21 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 4: سری فوریه x^2

What's an easy way to learn fourier series? - Quora

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 9:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سوال: سری فوریه f (x) = e^x

سوال: سری فوریه f (x) = e^x را در بازه

−π ≤ x ≤ π

محاسبه کنید.

من تازه وارد سری فوریه هستم. من موفق شدم a0 و am را پیدا کنم. با این حال، من نمی دانم که am دوم از کجا می آید (راه حل پیوست را ببینید). کسی می تواند توضیح دهد که در صبح دوم چه اتفاقی می افتد؟

توضیحات تصویر را در اینجا وارد کنید

منبع

https://math.stackexchange.com/questions/1153649/fundamental-fourier-series-question-about-a0-and-am

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 8:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سری فوریه

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 8:22 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سری فوریه چند نوع موج

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 8:14 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سری فوریه

نمونه های سری فوریه

سری فوریه بسط یک تابع تناوبی بر حسب مجموع بی نهایت سینوس و کسینوس است. سری های فوریه از روابط متعامد توابع سینوس و کسینوس استفاده می کنند. محاسبه و مطالعه سری فوریه به عنوان تحلیل هارمونیک شناخته می شود و به عنوان راهی برای شکستن یک دلخواه بسیار مفید است.تابع تناوبی به مجموعه‌ای از اصطلاحات ساده که می‌توان آن‌ها را وصل کرد، به‌صورت جداگانه حل کرد، و سپس برای به دست آوردن راه‌حل مسئله اصلی یا تقریبی برای آن با هر دقتی که مورد نظر یا عملی است، دوباره ترکیب کرد. نمونه هایی از تقریب های متوالی به توابع رایج با استفاده از سری فوریه در بالا نشان داده شده است.

به طور خاص، از آنجایی که اصل برهم نهی برای حل های یک معادله دیفرانسیل معمولی همگن خطی صادق است ، اگر چنین معادله ای را بتوان در مورد یک سینوسی منفرد حل کرد، جواب یک تابع دلخواه بلافاصله با بیان تابع اصلی به صورت فوریه در دسترس است. سری و سپس حل را برای هر جزء سینوسی وصل کنید. در برخی موارد خاص که می توان سری فوریه را به صورت بسته جمع کرد، این تکنیک حتی می تواند راه حل های تحلیلی به دست دهد.

هر مجموعه ای از توابع که یک سیستم متعامد کامل را تشکیل می دهند دارای یک سری فوریه تعمیم یافته مشابه با سری فوریه هستند. به عنوان مثال، استفاده از متعامد بودن ریشه های یک تابع بسل از نوع اول ، یک سری به اصطلاح فوریه-بسل به دست می دهد .

منبع

https://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و سوم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 22:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال3 :سری فوریه

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و سوم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 21:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال2 :سری فوریه

How to find a Fourier series to represent e^ax where x lies between a -π to π range - Quora

https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-0806381a4991df60a6a8f2514ae4638c

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و سوم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 21:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

سری فوریه

توضیحات تصویر را در اینجا وارد کنید

منبع

https://math.stackexchange.com/questions/783985/fourier-series-fourier-transform-method

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و سوم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 21:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال سری فوریه

مسئله: برای تابع زیر سری فوریه، سری سینوسی و کسینوس فوریه آن را پیدا کنید. برای هر سری، مجموع آن را تعیین کنید.

راه حل: به نظر می رسد این یک مسئله استاندارد است، بنابراین ما از روش معمول استفاده می کنیم .

سری فوریه:
وقتی تابع داده شده را به صورت دوره ای گسترش دهیم دوره آن T = 2π خواهد بود. بنابراین فرکانس مربوطه ω = 1 است. اکنون فرمولهای مناسب را جایگزین می کنیم، دو انتگرال از سه انتگرال باید با استفاده از انتگرال توسط قطعات حساب شوند .

بنابراین ما دریافت می کنیم

به این معنا که،

برای یافتن مجموع این مجموعه از شرایط جردن استفاده می کنیم . ابتدا امتداد تناوبی تابع داده شده f را رسم می کنیم و سپس در تمام نقاط ناپیوستگی نقطه هایی را در سطوحی قرار می دهیم که میانگین حد چپ و راست در آنجا وجود دارد.

سری Sine Fourier:
در واقع، سری فوریه فقط از سینوس تشکیل شده است، بنابراین در حال حاضر یک سری سینوسی است. در واقع، پسوند تناوبی که در بالا ترسیم کردیم یک تابع فرد بود، بنابراین این به صورت خودکار است.

اگر از روش استاندارد برای بدست آوردن سری فوریه سینوسی استفاده کنیم چه اتفاقی می افتد؟ ما در نهایت همان پاسخ را دریافت می کنیم.

سری فوریه سینوسی را با در نظر گرفتن پسوند تابع داده شده f به

[-2π,0)

به گونه ای که تابع حاصل فرد باشد، بدست می آوریم. تابع اصلی دارای طول دامنه L = 2π است، بنابراین تابع دو برابر شده پسوند تناوبی با T = 2 L = 4π و نصف فرکانس اصلی، ω = 1/2 را تشکیل می دهد. می دانیم که اگر رویه استاندارد را برای این تنظیمات جدید اعمال کنیم، فرمول ها ساده می شوند تا در نهایت بتوانیم از فرمول های معمولی با L به جای T استفاده کنیم که در بازه اصلی اعمال می شود، اما با ω جدید . بدیهی است که برای یک سری سینوسی ضرایب a 0 و a k به طور خودکار صفر هستند و ما فقط باید b k را حساب کنیم .

بنابراین ما دریافت می کنیم

توجه داشته باشید که عبارت

1 + (-1)^ k

برابر با 0 برای k فرد است، بنابراین مضرب های فرد در واقع از این سری ناپدید می شوند. برای زوج k ، این عبارت برابر 2 می شود. بنابراین می توانیم این سری را فقط برای مضرب های زوج با جایگزینی k با 2 k بازنویسی کنیم .

ما همان سری فوق را بدست آوردیم. برای تعیین مجموع آن، با رسم پسوند تناوبی فرد از f شروع می کنیم ، اما توجه داشته باشید که در تصویر بالا، پسوند f از قبل فرد است، بنابراین آن تصویر همچنان اعمال می شود.

سری کسینوس فوریه:
اکنون رویه استاندارد را برای یافتن سری کسینوس فوریه اعمال می کنیم. ما آن را با در نظر گرفتن پسوند تابع داده شده f به [-2π,0) به گونه ای که حاصل زوج باشد، بدست آوریم. تابع اصلی دارای طول دامنه L = 2π است، بنابراین تابع دو برابر شده پسوند تناوبی با T = 2 L = 4p و نصف فرکانس اصلی، ω = 1/2 را تشکیل می دهد. باز هم، می دانیم که اگر رویه استاندارد را برای این موارد جدید اعمال کنیم، فرمول ها ساده می شوند، این بار ضرایب b k به طور خودکار صفر می شوند و باید 0 را حساب کنیم.و یک ک .

بنابراین ما می کنیم

توجه داشته باشید که عبارت (-1) k − 1 برابر با 0 برای k زوج است، بنابراین مضرب های زوج در واقع از این سری ناپدید می شوند. برای k فرد ، این عبارت برابر 2- می شود. بنابراین ما می‌توانیم این سری را فقط برای مضرب‌های فرد با جایگزینی k با 2 k + 1 بازنویسی کنیم. برای به دست آوردن همه اعداد صحیح مثبت فرد (شامل 1)، اکنون باید نمایه‌سازی را از 0 شروع کنیم.

برای تعیین مجموع این سری، با رسم یک پسوند تناوبی زوج از f شروع می کنیم، سپس باید نقاط ناپیوستگی را مدیریت کنیم، اما از آنجایی که هیچ کدام وجود ندارد، می دانیم که سری کسینوس فوریه به این پسوند همگرا می شود و این همگرایی روی آن یکنواخت است. خط واقعی

منبع

https://math.fel.cvut.cz/mt/txte/3/txe3ec3y.htm

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و سوم خرداد ۱۴۰۱ ساعت 10:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

بیانیه

مثال انگیزشی

مشتق هندسی

نظرات نهایی

راه حل

افزونه

مثال [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

تک تابعی از متغیر تک با مشتقات بالاتر [ ویرایش ]

چندین توابع از یک متغیر با مشتق واحد [ ویرایش ]

تک تابعی از چندین متغیر با مشتق واحد [ ویرایش ]

چندین تابع از چندین متغیر با مشتق واحد [ ویرایش ]

تک تابعی از دو متغیر با مشتقات بالاتر [ ویرایش ]

چندین تابع از چندین متغیر با مشتقات بالاتر [ ویرایش ]

تعمیم به منیفولدها [ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

بیانیه [ ویرایش ]

بیانیه [ ویرایش ]

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

مشتقات [ ویرایش ]

مشتقات دوم [ ویرایش ]

انتگرال استاندارد [ ویرایش ]

عبارات سری تیلور [ ویرایش ]

محصولات نامتناهی و کسرهای مسلسل [ ویرایش ]

مقایسه با توابع دایره ای [ ویرایش ]

رابطه با تابع نمایی [ ویرایش ]

توابع هذلولی برای اعداد مختلط [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

تعاریف معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

تعاریف پیچیده مثلثاتی [ ویرایش ]

ویژگی های مشخصه [ ویرایش ]

کسینوس هایپربولیک [ ویرایش ]

مماس هایپربولیک[ ویرایش ]

روابط مفید [ ویرایش ]

مجموع آرگومان ها [ ویرایش ]

فرمول های تفریق [ ویرایش ]

فرمول های نیم آرگومان [ ویرایش ]

فرمول های مربعی [ ویرایش ]

نابرابری ها [ ویرایش ]

توابع معکوس به عنوان لگاریتم [ ویرایش ]

فهرست

نشانه گذاری [ ویرایش ]

تعاریف [ ویرایش ]

تعاریف نمایی [ ویرایش ]

فرم دامنه - زاویه فاز سری فوریه

شکل مختلط سری فوریه

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها