7-ضرب خارجی

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

ضرب خارجی در زمینه های مختلف کاربرد دارد. به عنوان مثال، در هندسه محاسباتی، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. فهرست غیر جامعی از نمونه ها در زیر آمده است.

هندسه محاسباتی [ ویرایش ]

حاصل ضرب در محاسبه فاصله دو خط اریب (خط نه در یک صفحه) از یکدیگر در فضای سه بعدی ظاهر می شود.

ضرب خارجی می تواند برای محاسبه نرمال یک مثلث یا چندضلعی استفاده شود، عملیاتی که اغلب در گرافیک کامپیوتری انجام می شود . به عنوان مثال، سیم پیچی یک چند ضلعی (در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت) در مورد یک نقطه در چند ضلعی را می توان با مثلث کردن چند ضلعی (مانند پره زدن یک چرخ) و جمع کردن زوایای (بین پره ها) با استفاده از ضرب خارجی برای پیگیری وضعیت محاسبه کرد. نشانه هر زاویه

در هندسه محاسباتی صفحه ، از ضرب خارجی برای تعیین علامت زاویه تند تعریف شده توسط سه نقطه استفاده می شود . $p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})$ و $p_{3}=(x_{3},y_{3})$ . مربوط به جهت (بالا یا پایین) حاصل ضرب خارجی دو بردار همسطح تعریف شده توسط دو جفت نقطه است. $(p_{1},p_{2})$ و $(p_{1},p_{3})$ . علامت زاویه حاد علامت بیان است

$P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}) ،$

که طول علامت ضرب ضربدر دو بردار است.

در سیستم مختصات "راست دست"، اگر نتیجه 0 باشد، نقاط هم خط هستند . اگر مثبت باشد، سه نقطه یک زاویه چرخش مثبت به اطراف را تشکیل می دهند $p_{1}$ از $p_{2}$ $p_{3}$ ، در غیر این صورت یک زاویه منفی است. از دیدگاهی دیگر، علامت از $P$ می گوید که آیا $p_{3}$ در سمت چپ یا راست خط قرار دارد $p_{1},p_{2}.$

ضرب خارجی در محاسبه حجم یک چند وجهی مانند چهار وجهی یا متوازی الاضلاع استفاده می شود .

تکانه و گشتاور زاویه ای [ ویرایش ]

تکانه زاویه ای L یک ذره در یک مبدأ معین به صورت زیر تعریف می شود:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$

جایی که r بردار موقعیت ذره نسبت به مبدا است، p تکانه خطی ذره است.

به همین ترتیب، ممان M نیروی F B اعمال شده در نقطه B در اطراف نقطه A به صورت زیر داده می شود:

$\mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,$

در مکانیک به گشتاور نیرو نیز گشتاور می گویند و به صورت می نویسند $\mathbf {\tau }$

از آنجایی که موقعیت r ، تکانه خطی p و نیروی F همگی بردارهای حقیقی هستند ، هر دو حرکت زاویه ای L و گشتاور نیروی M شبه بردار یا بردار محوری هستند .

بدنه صلب [ ویرایش ]

ضرب خارجی اغلب در توصیف حرکات صلب ظاهر می شود. دو نقطه P و Q در یک جسم صلب را می توان به صورت زیر مرتبط کرد:

$\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r } _{Q}\راست)\،$

جایی که $\mathbf {r}$ موقعیت نقطه است، $\mathbf {v}$ سرعت آن است و ${\boldsymbol {\omega }}$ سرعت زاویه ای است .

از موقعیت $\mathbf {r}$ و سرعت $\mathbf {v}$ بردارهای حقیقی هستند ، سرعت زاویه ای ${\boldsymbol {\omega }}$ یک بردار لی یا محوری است .

نیروی لورنتس [ ویرایش ]

همچنین ببینید: نیروی لورنتس

ضرب خارجی برای توصیف نیروی لورنتس تجربه شده توسط بار الکتریکی متحرک q e استفاده می شود :

$\mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \راست)$

از آنجایی که سرعت v ، نیروی F و میدان الکتریکی E همگی بردارهای حقیقی هستند ، میدان مغناطیسی B یک شبه بردار است .

دیگر [ ویرایش ]

در محاسبات برداری , از ضرب ضربدری برای تعریف فرمول عملگر بردار curl استفاده می شود .

ترفند بازنویسی یک ضرب خارجی بر حسب ضرب ماتریس اغلب در هندسه اپی قطبی و چند نمای ظاهر می شود، به ویژه در هنگام استخراج محدودیت های تطبیق.

به عنوان یک ضرب خارجی [ ویرایش ]

ضرب خارجی در رابطه با ضرب خارجی. در قرمز بردار واحد متعامد و دو بردار واحد "موازی" هستند.

ضرب خارجی را می توان بر اساس ضرب خارجی تعریف کرد. می توان آن را به یک ضرب خارجی در ابعادی غیر از سه بعدی تعمیم داد . [19] این تعمیم یک تفسیر هندسی طبیعی از ضرب خارجی را امکان پذیر می کند. ، تقریباً به همان روشی که یک بردار یک عنصر خط جهت‌دار است. با توجه به دو بردار a و b ، می توان دو بردار a ∧ b را به صورت متوازی الاضلاع جهت دار که توسط a و b پوشانده شده است، مشاهده کرد . حاصل ضرب خارجی با گرفتن ستاره هاج از دو بردار a ∧ b ، نگاشت 2 بردار به بردارها به دست می آید:

$a\times b=\star (a\wedge b).$

این را می توان به عنوان عنصر چند بعدی جهت دار "عمود" بر دوبردار در نظر گرفت. در فضای d بعدی، ستاره هاج یک بردار k را به بردار ( d–k ) می برد. بنابراین تنها در ابعاد d = 3 نتیجه یک عنصر از بعد یک (3-2 = 1)، یعنی یک بردار است. به عنوان مثال، در ابعاد d = 4، حاصل ضرب خارجی دو بردار دارای بعد 4-2 = 2 است که یک دو بردار را به دست می دهد. بنابراین، فقط در سه بعد، ضرب خارجی ساختار جبری را برای ضرب بردارها تعریف می کند.

دستی [ ویرایش ]

این بخش احتمالاً حاوی تحقیقات اصلی است . لطفاً با تأیید ادعاهای مطرح شده و افزودن نقل‌قول‌های درون خطی آن را بهبود ببخشید . اظهاراتی که فقط شامل تحقیقات اصلی است باید حذف شوند. ( سپتامبر 2021 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

سازگاری [ ویرایش ]

هنگامی که قوانین فیزیک به صورت معادله نوشته می شوند، می توان یک انتخاب دلخواه از سیستم مختصات، از جمله دستی، انجام داد. باید مراقب بود که هرگز معادله ای را یادداشت نکنید که در آن دو طرف تحت تمام تغییراتی که باید در نظر گرفته شوند، یکسان رفتار نمی کنند. برای مثال، اگر یک طرف معادله حاصل ضرب خارجی دو بردار قطبی باشد ، باید در نظر گرفت که نتیجه یک بردار محوری است . بنابراین، برای ثبات، طرف دیگر نیز باید یک بردار محوری باشد. [ نیاز به نقل از ] به طور کلی، نتیجه حاصل از حاصل ضرب ممکن است یک بردار قطبی یا یک بردار محوری باشد، بسته به نوع عملوندهای آن (بردارهای قطبی یا بردارهای محوری). یعنی بردارهای قطبی و بردارهای محوری به روش‌های زیر تحت استفاده از ضرب خارجی به هم مرتبط هستند:

بردار قطبی × بردار قطبی = بردار محوری
بردار محوری × بردار محوری = بردار محوری
بردار قطبی × بردار محوری = بردار قطبی
بردار محوری × بردار قطبی = بردار قطبی

یا به صورت نمادین

قطبی × قطبی = محوری
محوری × محوری = محوری
قطبی × محوری = قطبی
محوری × قطبی = قطبی

از آنجا که حاصلضرب خارجی نیز ممکن است یک بردار قطبی باشد، ممکن است با تبدیل تصویر آینه ای تغییر جهت ندهد. با توجه به روابط فوق، اگر یکی از عملوندها بردار قطبی و دیگری بردار محوری باشد (مثلا حاصل ضرب خارجی دو بردار قطبی) این اتفاق می افتد. به عنوان مثال، یک ضرب سه گانه برداری که شامل سه بردار قطبی است، یک بردار قطبی است.

یک رویکرد بدون دست با استفاده از جبر خارجی امکان پذیر است.

پارادوکس مبنای متعارف [ ویرایش ]

بگذارید ( i ، j ، k ) یک مبنای متعارف باشد. بردارهای i ، j و k به جهت فضا بستگی ندارند. آنها حتی می توانند در غیاب هر جهتی تعریف شوند. بنابراین آنها نمی توانند بردارهای محوری باشند. اما اگر i و j بردارهای قطبی باشند، k یک بردار محوری برای i × j = k یا

j × i = k است . این یک پارادوکس است.

"محوری" و "قطبی" معیارهای فیزیکی برای بردارهای فیزیکی هستند. یعنی بردارهایی که مقادیر فیزیکی مانند سرعت یا میدان مغناطیسی را نشان می دهند. بردارهای i ، j و k بردارهای ریاضی هستند، نه محوری و نه قطبی. در ریاضیات حاصلضرب دو بردار بردار است. هیچ تناقضی وجود ندارد.

کلیات [ ویرایش ]

راه های مختلفی برای تعمیم ضرب خارجی به ابعاد بالاتر وجود دارد.

جبر لی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: جبر لی

حاصل ضرب خارجی را می توان به عنوان یکی از ساده ترین ضربات Lie مشاهده کرد، و بنابراین توسط جبرهای Lie تعمیم داده می شود ، که به عنوان ضربات باینری بدیهی شده اند که اصول چندخطی، تقارن کجی و اتحاد ژاکوبی را برآورده می کنند. جبرهای لی بسیاری وجود دارد و مطالعه آنها یک رشته اصلی ریاضیات است که نظریه لی نامیده می شود .

به عنوان مثال، جبر هایزنبرگ ساختار جبر لی دیگری را ارائه می دهد $\mathbf {R} ^{3}.$ در اساس $\{x,y,z\},$ ضرب است. $[x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.$

کواترنیون ها [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: کواترنیون ها و چرخش فضایی

ضرب خارجی را نیز می توان بر حسب کواترنیون ها توصیف کرد . به طور کلی، اگر یک بردار [ a 1 , a 2 , a 3 ] به صورت چهارتایی

a 1 i + a 2 j + a 3 k نمایش داده شود ، حاصل ضرب خارجی دو بردار را می توان با در نظر گرفتن حاصل ضرب آنها به عنوان چهارتایی و حذف آن به دست آورد. بخش حقیقی نتیجه قسمت حقیقی منفی حاصل ضرب نقطه ای دو بردار خواهد بود.

Octonions [ ویرایش ]

همچنین ببینید: ضرب خارجی هفت بعدی و Octonion

حاصل ضرب خارجی برای بردارهای 7 بعدی را می توان به همین روش با استفاده از اکتیون ها به جای کواترنیون ها به دست آورد. عدم وجود ضربات خارجی با ارزش برداری غیرمعمول دو بردار در ابعاد دیگر به نتیجه قضیه هورویتز مربوط می شود که تنها جبرهای تقسیم هنجاری جبرهایی با ابعاد 1، 2، 4 و 8 هستند.

ضرب خارجی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جبر خارجی و مقایسه جبر برداری و جبر هندسی § ضربات خارجی و خارجی

در بعد کلی، هیچ آنالوگ مستقیمی از ضرب خارجی باینری وجود ندارد که به طور خاص یک بردار را ایجاد کند. با این حال، ضرب خارجی وجود دارد که خواص مشابهی دارد، با این تفاوت که حاصلضرب خارجی دو بردار به جای یک بردار معمولی، اکنون یک بردار 2 است. همانطور که در بالا ذکر شد، ضرب خارجی را می توان به عنوان ضرب خارجی در سه بعدی با استفاده از عملگر ستاره Hodge برای نگاشت 2 بردار به بردار تفسیر کرد. دوگانه هاج از ضرب خارجی یک بردار ( n -2) را به دست می دهد که یک تعمیم طبیعی از ضرب خارجی در هر تعداد ابعاد است.

ضرب خارجی و حاصل نقطه می توانند (از طریق جمع) ترکیب شوند تا حاصل ضرب هندسی در جبر هندسی را تشکیل دهند.

ضرب خارجی [ ویرایش ]

همانطور که در بالا ذکر شد، ضرب خارجی را می توان در سه بعدی به عنوان Hodge dual ضرب خارجی تفسیر کرد. در هر n بعد محدود، هاج دوگانه حاصلضرب خارجی n - 1 بردار یک بردار است. بنابراین، به جای یک عملیات دودویی، در ابعاد محدود دلخواه، حاصل ضرب خارجی به عنوان دوگانه هاج حاصلضرب خارجی برخی از بردارهای n -1 داده شده تعمیم می‌یابد. این تعمیم ضرب خارجی نامیده می شود . [20]

ضرب جابجاگر [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جبر هندسی § امتداد ضربات داخلی و خارجی ، ضرب خارجی § ضرب خارجی و دستی ، و ضرب خارجی § جبر لی

تفسیر فضای برداری سه بعدی جبر به عنوان زیر جبر 2 بردار (نه 1 بردار) جبر هندسی سه بعدی، که در آن $\mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}}$ ، $\mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}}$ ، و $\mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}}$ ، ضربدری دقیقاً با حاصلضرب جابجایی در جبر هندسی مطابقت دارد و هر دو از یک نماد استفاده می کنند. $\times$ . ضرب جابجاگر برای 2 بردار تعریف شده است $A$ و $B$ در جبر هندسی به صورت:

$A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)،$

جایی که $AB$ ضرب هندسی است. [21]

ضرب جابجاگر را می توان به چند بردار دلخواه در سه بعد تعمیم داد، که منجر به یک چند برداری متشکل از عناصر درجه 1 (1-بردار/ بردار واقعی ) و 2 (2-بردار/شبه بردار) می شود. در حالی که حاصلضرب جابجاگر دو بردار 1 در واقع با حاصلضرب خارجی یکسان است و یک 2 بردار به دست می‌دهد، جابجاگر یک بردار و یک بردار 2 بردار واقعی را به دست می‌دهد که در عوض با انقباضات چپ و راست در جبر هندسی حاصلضرب جابجاگر دو بردار 2 برابری ندارد، به همین دلیل است که حاصلضرب جابجاگر در وهله اول برای 2 بردار تعریف می شود. علاوه بر این، حاصلضرب سه گانه جابجاگر سه بردار 2 برابری با حاصلضرب سه گانه برداری همان سه شبه بردار در جبر برداری است. با این حال، حاصلضرب سه گانه جابجاگر سه بردار 1 در جبر هندسی در عوض منفی حاصلضرب سه گانه برداری همان سه بردار واقعی در جبر برداری است.

تعمیم به ابعاد بالاتر توسط همان حاصلضرب جابجاگر 2-بردار در جبرهای هندسی با ابعاد بالاتر ارائه می شود، اما بردارهای 2 دیگر شبه بردار نیستند. همانطور که حاصلضرب تعویض/تقاطع 2-بردارها در سه بعدی با ساده ترین جبر Lie مطابقت دارد ، جبرهای فرعی 2-بردار جبر هندسی با ابعاد بالاتر مجهز به حاصلضرب جابجاگر نیز با جبرهای Lie مطابقت دارند. [22] همچنین مانند سه بعد، ضرب جابجاگر را می توان به چند بردار دلخواه تعمیم داد.

جبر چند خطی [ ویرایش ]

در زمینه جبر چند خطی ، حاصل ضرب خارجی را می توان به عنوان تانسور (1،2) (یک تانسور مختلط ، به ویژه یک نقشه دوخطی ) مشاهده کرد که از فرم حجمی 3 بعدی ، [یادداشت 2] a (0،3 ) به دست آمده است. )-تانسور، با بالا بردن شاخص .

در جزئیات، فرم حجمی 3 بعدی یک ضرب را تعریف می کند $V\times V\time V\to \mathbf {R} ,$ با گرفتن دترمینان ماتریس داده شده توسط این 3 بردار. با دوگانگی ، این معادل یک تابع است $V\times V\to V^{*},$ (تثبیت هر دو ورودی یک تابع می دهد $V\to \mathbf {R}$ با ارزیابی روی ورودی سوم) و در حضور یک ضرب درونی (مانند حاصلضرب نقطه، به طور کلی، یک فرم دوخطی غیر منحط)، یک هم شکلی داریم. $V\to V^{*}،$ و بنابراین این یک نقشه را به دست می دهد $V\times V\to V,$ که حاصل ضرب خارجی است: یک (0,3)-تانسور (3 ورودی برداری، خروجی اسکالر) با "بالا بردن شاخص" به یک (1،2) - تانسور (2 ورودی برداری، 1 خروجی برداری) تبدیل شده است.

با ترجمه جبر بالا به هندسه، تابع "حجم متوازی الاضلاع تعریف شده توسط $(a,b,-)$ " (که در آن دو بردار اول ثابت و آخرین یک ورودی است)، که یک تابع را تعریف می کند $V\to \mathbf {R}$ ، را می توان به صورت منحصر به فرد به عنوان حاصل ضرب نقطه ای با بردار نشان داد : این بردار حاصل ضرب خارجی است. $a\times b.$ از این منظر، حاصلضرب خارجی با حاصلضرب سه گانه اسکالر تعریف می شود . $\mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.$

به همین ترتیب، در ابعاد بالاتر می‌توان ضربات خارجی تعمیم‌یافته را با بالا بردن شاخص‌های شکل حجمی n- بعدی تعریف کرد. $(0,n)$ -تانسور مستقیم ترین تعمیم های حاصلضرب خارجی عبارتند از:

$(1,n-1)$ تانسور، که به عنوان ورودی می گیرد $n-1$ بردارها، و به عنوان خروجی 1 بردار – an می دهد $(n-1)$ ضرب با ارزش برداری ary یا
$(n-2,2)$ -تانسور، که به عنوان ورودی 2 بردار می گیرد و تانسور متقارن اریب رتبه n - 2 را به عنوان خروجی می دهد - یک حاصلضرب دوتایی با مقادیر تانسور رتبه n - 2 . می توان تعریف هم کرد $(k,nk)$ تانسورهای دیگر k .

این ضربات همگی چند خطی و متقارن هستند و می توان آنها را بر حسب دترمینان و برابری تعریف کرد .

این $(n-1)$ ضرب -ary را می توان به شرح زیر توصیف کرد: داده شده $n-1$ بردارها $v_{1},\dots,v_{n-1}$ که در $\mathbf {R} ^{n},$ ضرب خارجی تعمیم یافته آنها را تعریف کنید $v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}$ مانند:

عمود بر ابر صفحه تعریف شده توسط، $v_{i}،$
قدر حجم متوازی الاضلاع تعریف شده توسط، $v_{i}،$ که می توان آن را به عنوان دترمینان G محاسبه کرد $v_{i}،$
جهت گیری به طوری که $v_{1},\dots,v_{n}$ مثبت گرا است

این ضرب متناوب چند خطی منحصر به فرد است که به ارزیابی می‌رسد $e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}$ ،، $e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1}،$ و غیره برای جایگشت های چرخه ای شاخص ها.

در مختصات می توان یک فرمول برای این ارائه داد $(n-1)$ آنالوگ آری حاصلضرب خارجی در R n توسط:

$\bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1} {}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf { e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.$

این فرمول از نظر ساختار با فرمول دترمینان برای ضرب خارجی نرمال در R3 یکسان است با این تفاوت که ردیف بردارهای پایه آخرین ردیف در دترمینان است نه ردیف اول. دلیل این امر اطمینان از این است که بردارهای مرتب شده

( v 1 , ..., v n -1 , Λn –1 i=0v i )

دارای جهت گیری مثبت با توجه به ( e 1 ، ...، e n ). اگر n فرد باشد، این اصلاح مقدار را بدون تغییر باقی می گذارد، بنابراین این قرارداد با تعریف معمولی ضرب باینری مطابقت دارد. در صورتی که n زوج باشد، تمایز باید حفظ شود. این $(n-1)$ شکل -ary از بسیاری از خواص مشابه حاصل ضرب بردار برخوردار است: در آرگومان هایش متناوب و خطی است، بر هر آرگومان عمود است، و بزرگی آن حجم بالای ناحیه محدود شده توسط آرگومان ها را نشان می دهد. و درست مانند حاصل ضرب بردار، می توان آن را به روش مستقل مختصاتی به عنوان دوتایی Hodge حاصلضرب گوه ای آرگومان ها تعریف کرد. علاوه بر این، ضرب $[v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}$ اتحاد فیلیپوف را ارضا می کند،

$[[x_{1},\ldots,x_{n}],y_{2},\ldots,y_{n}]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1 },\ldots,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n},$

و بنابراین به R n+1 ساختاری از جبر n-Lie می دهد (به گزاره 1 از [23] مراجعه کنید ).

تاریخچه [ ویرایش ]

در سال 1773، جوزف-لوئیس لاگرانژ از فرم اجزای هر دو نقطه و خارجی استفاده کرد تا چهار وجهی را در سه بعدی مطالعه کند. [24] [یادداشت 3]

در سال 1843، ویلیام روآن همیلتون ضرب کواترنیون و به همراه آن اصطلاحات بردار و اسکالار را معرفی کرد . با توجه به دو ربع [0, u ] و [0, v ] ، که در آن u و v بردارهایی در R 3 هستند ، حاصلضرب کواترنیون آنها را می توان به صورت [− u ⋅ v ، u × v ] خلاصه کرد . جیمز کلرک ماکسول از ابزارهای کواترنیون همیلتون برای توسعه معادلات الکترومغناطیس معروف خود استفاده کرد و به همین دلیل و دلایل دیگر، کواترنیون ها برای مدتی بخشی ضروری از آموزش فیزیک بودند.

در سال 1844، هرمان گراسمن جبر هندسی را منتشر کرد که به بعد دو یا سه وابسته نیست. گراسمن چندین ضرب را توسعه داد، از جمله یک ضرب خارجی که توسط [uv] نشان داده شد . [25] ( همچنین رجوع کنید به: جبر خارجی . )

در سال 1853، آگوستین-لوئیس کوشی ، یکی از معاصران گراسمن، مقاله ای در مورد کلیدهای جبری منتشر کرد که برای حل معادلات استفاده می شد و خواص ضربی مشابه حاصل ضرب داشت. [26] [27]

در سال 1878، ویلیام کینگدون کلیفورد اصول دینامیک را منتشر کرد که در آن اصطلاح ضرب برداری تایید شده است. در کتاب، این حاصل ضرب دو بردار به اندازه مساحت متوازی الاضلاع که دو ضلع آن هستند، و جهت عمود بر صفحه آنها تعریف شده است. [28] ( همچنین نگاه کنید به: جبر کلیفورد . )

در یادداشت های سخنرانی در سال 1881، گیبز ضرب خارجی را توسط $u\times v$ و آن را ضرب کج نامیدند . [29] [30] در سال 1901، شاگرد گیب، ادوین بیدول ویلسون، این یادداشت‌های سخنرانی را ویرایش و در کتاب درسی آنالیز برداری گسترش داد . ویلسون عبارت ضرب اریب را حفظ کرد ، اما مشاهده کرد که عبارات جایگزین حاصل ضرب [یادداشت 4] و حاصلضرب بردار فراوانتر هستند. [31]

در سال 1908، Cesare Burali-Forti و Roberto Marcolongo نماد حاصلضرب برداری u ∧ v را معرفی کردند . [25] این در فرانسه و مناطق دیگر تا به امروز به عنوان نماد استفاده می شود× $\times$ قبلاً برای نشان دادن ضرب و حاصل ضرب دکارتی استفاده می شود .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ضرب دکارتی - ضرب دو مجموعه
جبر هندسی: سیستم های دوار
ضربات خارجی چندگانه - ضرباتی که بیش از سه بردار را شامل می شوند
ضرب بردارها
ضرب چهارگانه
× (نماد)

https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

+ نوشته شده در یکشنبه نهم اردیبهشت ۱۴۰۳ ساعت 19:45 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-ضرب خارجی

فرمول جایگزین [ ویرایش ]

حاصلضرب خارجی و حاصل ضرب نقطه ای با یکدیگر مرتبط هستند:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\ mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$

سمت راست دترمینان a و b است ، مربع مساحت متوازی الاضلاع که توسط بردارها تعریف شده است. این شرط بزرگی ضرب خارجی را تعیین می کند. یعنی از آنجایی که حاصلضرب نقطه ای برحسب زاویه θ بین دو بردار به صورت زیر تعریف می شود:

$\mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,$

رابطه داده شده فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$\left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).$

با احضار اتحاد مثلثاتی فیثاغورثی به دست می آید:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \راست\|\چپ\|\mathbf {b} \راست\| \چپ|\sin \theta \راست|،$

که بزرگی حاصلضرب خارجی است که بر حسب θ بیان می شود ، برابر با مساحت متوازی الاضلاع تعریف شده توسط a و b (به تعریف بالا مراجعه کنید).

ترکیب این شرط و ویژگی متعامد بودن ضرب خارجی نسبت به اجزای تشکیل دهنده آن a و b ، یک تعریف جایگزین از ضرب خارجی ارائه می دهد. [13]

معکوس ضرب خارجی [ ویرایش ]

برای ضرب ضربدری a × b = c , بردارهای b متعددی وجود دارد که مقدار c یکسانی را به دست می دهند . در نتیجه، تنظیم مجدد این معادله برای به دست آوردن یک راه حل منحصر به فرد برای b بر حسب a و c امکان پذیر نیست . با این وجود، می توان خانواده ای از راه حل ها را برای b پیدا کرد که عبارتند از

$\mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+t\mathbf {آ} ،$

جایی که t یک ثابت دلخواه است.

این را می توان با استفاده از توسعه ضرب سه گانه به دست آورد:

$\mathbf {c} \times \mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \راست\ |^{2}\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a}$

تنظیم مجدد برای حل برای b برای دادن

$\mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}\mathbf {a}$

ضریب جمله آخر را می توان به ثابت دلخواه t ساده کرد تا نتیجه نشان داده شده در بالا به دست آید.

اتحاد لاگرانژ [ ویرایش ]

ارتباط

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} و \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \ چپ\|\mathbf {a} \راست\|^{2}\چپ\|\mathbf {b} \راست\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{ 2}$

را می توان با رابطه دیگری که مربوط به سمت راست است، یعنی اتحاد لاگرانژ که به صورت [14] بیان می شود، مقایسه کرد.

$\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\| \mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}،$

که در آن a و b ممکن است بردارهای n بعدی باشند . این همچنین نشان می دهد که فرم حجمی ریمانی برای سطوح دقیقاً عنصر سطحی از حساب برداری است. در موردی که n = 3 ، ترکیب این دو معادله منجر به بیان بزرگی حاصلضرب خارجی بر حسب اجزای آن می شود: [15]

${\begin{aligned}\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}&\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}(a_{i }b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&\equiv (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_ {2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}.\end{تراز }}$

همین نتیجه مستقیماً با استفاده از اجزای ضرب خارجی یافت شده از پیدا شده است

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{ \hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.$

در R 3 ، معادله لاگرانژ یک مورد خاص از چند برابری | vw | = | v || w | هنجار در جبر رباعی .

این یک مورد خاص از فرمول دیگری است که گاهی اوقات اتحاد لاگرانژ نیز نامیده می شود، که حالت سه بعدی اتحاد بینه-کوشی است : [16] [17]

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d})\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c})( \mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d})(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}).$

اگر a = c و b = d ، این به فرمول بالا ساده می شود.

مولدهای بی نهایت کوچک چرخش [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: ماتریس چرخش بی نهایت کوچک § مولدهای چرخش

ضرب خارجی به راحتی مولدهای بینهایت کوچک چرخش را در R3 توصیف می کند . به طور خاص، اگر n یک بردار واحد در R 3 باشد و R ( φ , n ) نشان دهنده چرخش حول محور از طریق مبدا مشخص شده توسط n ، با زاویه φ (برحسب رادیان اندازه گیری می شود، در خلاف جهت عقربه های ساعت وقتی از نوک n مشاهده می شود )، سپس

$\left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n }}\times {\boldsymbol {x}}$

برای هر بردار x در R3 . حاصل ضرب خارجی با n بنابراین مولد بینهایت کوچک چرخش های حدود n را توصیف می کند . این مولدهای بینهایت کوچک جبر Lie so (3) از گروه چرخشی SO(3) را تشکیل می دهند ، و نتیجه را بدست می آوریم که جبر Lie R 3 با ضرب ضربدر جبر Lie so (3) هم شکل است.

روش های جایگزین برای محاسبه [ ویرایش ]

تبدیل به ضرب ماتریس [ ویرایش ]

حاصلضرب خارجی برداری را می توان به صورت حاصل ضرب یک ماتریس متقارن و یک بردار بیان کرد: [16]

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0& \!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1} &\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf { b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_ {3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\ end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}،\end{تراز شده}}$

که در آن بالا T به عملیات جابجایی اشاره دارد و [ a ] × توسط:

$[\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\, \,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\ ,0\end{bmatrix}}.$

ستون های [ a ] ×,i ماتریس چوله متقارن برای یک بردار a را نیز می توان با محاسبه حاصلضرب خارجی با بردارهای واحد به دست آورد . به این معنا که،

$[\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1, 2،3\}$

یا

$[\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{ i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}}،$

جایی که $\otimes$ اپراتور ضرب خارجی است .

همچنین، اگر a خود به عنوان یک ضرب خارجی بیان شود:

$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d}$

سپس

$[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm { T}}.$

اثبات با تعویض

ارزیابی ضرب خارجی می دهد

$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ={\begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}\\c_{3 }d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}\end{pmatrix}}$

بنابراین، سمت چپ برابر است

$[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{ 1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{ 3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}$

حالا برای سمت راست،

$\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{ 3}\\c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}\\c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3} d_{3}\end{bmatrix}}$

و جابجایی آن است

$\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{ 1}\\c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}\\c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3} d_{3}\end{bmatrix}}$

ارزیابی سمت راست می دهد

$\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&c_{2 }d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1} &0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_ {2}&0\end{bmatrix}}$

مقایسه نشان می دهد که سمت چپ با سمت راست برابر است.

این نتیجه را می توان با استفاده از جبر هندسی به ابعاد بالاتر تعمیم داد . به طور خاص در هر بعد دو بردارها را می توان با ماتریس های متقارن چولوی شناسایی کرد، بنابراین حاصلضرب بین یک ماتریس متقارن چوله و بردار معادل درجه 1 قسمت حاصلضرب دو بردار و بردار است. [18] در سه بعدی دوبردارها دوتایی به بردار هستند، بنابراین حاصلضرب معادل حاصلضرب خارجی است، با دو بردار به جای بردار دوگانه آن. در ابعاد بالاتر، حاصلضرب هنوز قابل محاسبه است، اما دو بردار درجات آزادی بیشتری دارند و معادل بردارها نیستند. [18]

کار با این نماد اغلب بسیار ساده تر است، به عنوان مثال، در هندسه اپی قطبی .

از خواص کلی ضرب خارجی بلافاصله این نتیجه می گیرد که

$[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0}$

$\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0}$

و از این واقعیت که [ a ] × متقارن است، نتیجه می شود که

$\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.$

توسعه ضرب سه گانه فوق الذکر (قانون bac-cab) را می توان به راحتی با استفاده از این نماد ثابت کرد.

همانطور که در بالا ذکر شد ، جبر Lie R3 با ضرب ضربدری با جبر Lie so(3) هم شکل است ، که عناصر آن را می توان با ماتریس های 3×3 چوله متقارن شناسایی کرد. نقشه a → [ a ] × یک هم ریختی بین R 3 و so(3) ارائه می دهد . در این نقشه، حاصلضرب خارجی 3 بردار مربوط به جابجایی ماتریس های 3×3 چوله متقارن است.

نشان می دهدتبدیل ماتریس برای ضرب خارجی با بردارهای پایه متعارف

نماد نمایه برای تانسورها [ ویرایش ]

حاصل ضرب خارجی را می‌توان بر حسب تانسور لوی- سویتا E ijk و ضرب نقطه‌ای η mi تعریف کرد که در تبدیل نماد برداری برای کاربردهای تانسور مفید هستند:

$\mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \فلش راست چپ \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3} \sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}$

جایی که شاخص ها $i,j,k$ با اجزای برداری مطابقت دارد. این توصیف ضرب خارجی اغلب با استفاده از قرارداد جمع انیشتین به صورت فشرده تر بیان می شود

$\mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}$

که در آن شاخص های مکرر بر روی مقادیر 1 تا 3 جمع می شوند.

در یک مبنای متعارف مثبت گرا η mi = δ mi ( دلتای کرونکر ) و $E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}$ ( نماد لوی-سیویتا ). در آن صورت، این نمایش شکل دیگری از نمایش متقارن متقارن حاصلضرب خارجی است:

$[\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.$

در مکانیک کلاسیک : نشان دادن ضرب خارجی با استفاده از نماد لوی- سویتا می تواند باعث شود که تقارن های مکانیکی در زمانی که سیستم های فیزیکی همسانگرد هستند آشکار شود . (مثال: یک ذره را در یک پتانسیل قانون هوک در سه فضای در نظر بگیرید، آزاد است که در سه بعد نوسان کند؛ هیچ یک از این ابعاد به هیچ وجه «ویژه» نیستند، بنابراین تقارن ها در تکانه زاویه ای نشان داده شده از ضرب خارجی نهفته است. توسط نمایندگی لوی- سویتا فوق الذکر مشخص شده است). [ نیازمند منبع ]

یادگاری [ ویرایش ]

Mnemonic برای محاسبه یک ضرب خارجی به صورت برداری

"Xyzzy (مانمونیک)" به اینجا هدایت می شود. برای دیگر کاربردها، Xyzzy را ببینید .

برای یادآوری تعریف ضرب خارجی می توان از کلمه "xyzzy" استفاده کرد.

اگر

$\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

جایی که:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix }b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}،\ \mathbf {c} ={\ begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_ {z}\end{bmatrix}}$

سپس:

$a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}$

$a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}$

$a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.$

معادلات دوم و سوم را می‌توان با چرخش عمودی زیرنویس‌ها، x → y → z → x به دست آورد . البته مشکل این است که چگونه معادله اول را به خاطر بسپاریم و دو گزینه برای این منظور در دسترس است: یا به خاطر سپردن دو مورب مربوط به طرح ساروس (آنهایی که حاوی i هستند )، یا به خاطر سپردن دنباله xyzzy.

از آنجایی که اولین مورب در طرح ساروس فقط قطر اصلی ماتریس 3×3 فوق الذکر است، سه حرف اول کلمه xyzzy را می توان به راحتی به خاطر آورد.

تجسم خارجی [ ویرایش ]

مشابه دستگاه یادگاری بالا، یک "صلیب" یا X را می توان بین دو بردار در معادله تجسم کرد. این ممکن است برای به خاطر سپردن فرمول صحیح ضرب خارجی مفید باشد.

اگر

$\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

سپس:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\ \c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.$

اگر بخواهیم فرمول برای $a_{x}$ ما به سادگی آن را رها می کنیم $b_{x}$ و $c_{x}$ از فرمول، و دو جزء بعدی را پایین بیاورید:

$a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end {bmatrix}}.$

هنگام انجام این کار برای $a_{y}$ دو عنصر بعدی باید به دور ماتریس بپیچند تا بعد از مولفه z، جزء x بیاید. برای وضوح، هنگام انجام این عملیات برای $a_{y}$ ، دو جزء بعدی باید z و x باشند (به ترتیب). در حالی که برای $a_{z}$ دو جزء بعدی باید x و y در نظر گرفته شوند.

$a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end {bmatrix}}،\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y }\end{bmatrix}}$

برای $a_{x}$ سپس، اگر عملگر خارجی را از یک عنصر در سمت چپ به یک عنصر در سمت راست تجسم کنیم، می‌توانیم اولین عنصر را در سمت چپ بگیریم و به سادگی در عنصری که ضربدر به آن اشاره می‌کند در ماتریس سمت راست ضرب کنیم. سپس عنصر بعدی را در سمت چپ کم می کنیم، در عنصری که ضربدر در اینجا نیز به آن اشاره می کند ضرب می کنیم. این منجر به ما می شود $a_{x}$ فرمول –

$a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.$

ما می توانیم این کار را به همین روش انجام دهیم $a_{y}$ و $a_{z}$ برای ساخت فرمول های مرتبط با آنها.

+ نوشته شده در یکشنبه نهم اردیبهشت ۱۴۰۳ ساعت 19:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-ضرب خارجی

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

ضرب اسکالر ضربدری . سمت چپ: تجزیه b به اجزای موازی و عمود بر a . راست: مقیاس بندی مولفه های عمود بر یک عدد حقیقی مثبت r (اگر منفی، b و ضرب خارجی معکوس شوند).

توزیع ضرب خارجی بر جمع بردار. سمت چپ: بردارهای b و c به مولفه های موازی و عمود بر a تفکیک می شوند . راست: مولفه های موازی در ضرب ضربدری ناپدید می شوند، فقط مولفه های عمودی که در صفحه عمود بر یک نشان داده شده اند باقی می مانند. [12]

دو حاصل ضرب سه گانه غیر معادل سه بردار a , b , c . در هر مورد، دو بردار یک صفحه را تعریف می کنند، دیگری خارج از صفحه است و می تواند به اجزای موازی و عمود بر ضرب ضربدر بردارهای تعیین کننده صفحه تقسیم شود. این مولفه ها را می توان با طرح ریزی برداری و رد یافت . حاصلضرب سه گانه در هواپیما قرار دارد و مطابق شکل می چرخد.

اگر حاصل ضرب خارجی دو بردار، بردار صفر باشد (یعنی a × b = 0 )، در این صورت یکی یا هر دو ورودی بردار صفر است، ( a = 0 یا b = 0 ) یا موازی یا موازی هستند. ضد موازی ( a ∥ b ) به طوری که سینوس زاویه بین آنها صفر باشد ( θ = 0 درجه یا θ = 180 درجه و sin θ = 0 ).

حاصل ضرب خود خارجی یک بردار بردار صفر است:

$\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .$

ضرب خارجی ضد جابجایی است ،

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a})$

توزیعی بر اضافه،

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf { ج})$

و سازگار با ضرب اسکالر به طوری که

$(r\,\mathbf {a})\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b})=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

تداعی کننده نیست ، اما اتحاد ژاکوبی را ارضا می کند :

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf { c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .$

توزیع، خطی بودن و اتحاد ژاکوبی نشان می دهد که فضای برداری R3 به همراه جمع بردار و حاصل ضرب خارجی جبر Lie را تشکیل می دهد ، جبر Lie گروه متعامد واقعی در 3 بعد، SO(3) . ضرب خارجی از قانون لغو تبعیت نمی کند . یعنی a × b = a × c با a ≠ 0 به معنای b = c نیست ، بلکه فقط به این معناست:

${\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\ mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{تراز شده}}$

این می تواند موردی باشد که b و c لغو شوند، اما به علاوه در جایی که a و b - c موازی هستند. یعنی با یک ضریب مقیاس t مرتبط هستند که منجر به:

$\mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a},$

برای برخی ازt اسکالر .

اگر علاوه بر a × b = a × c و a ≠ 0 مانند بالا، چنین است که a ⋅ b = a ⋅ c سپس

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b } -\mathbf {c} )&=0،\end{تراز شده}}$

از آنجایی که b − c نمی تواند همزمان موازی (برای ضرب ضربدر 0 باشد ) و عمود (برای ضرب نقطه ای 0) بر a باشد ، باید اینطور باشد که b و c لغو شوند: b = c .

از تعریف هندسی، حاصل ضرب خارجی تحت چرخش های مناسب حول محوری که با a × b تعریف شده است، ثابت است . در فرمول ها:

$(R\mathbf {a})\times (R\mathbf {b})=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ ، جایی که $R$ یک ماتریس چرخشی است با $\det(R)=1$ .

به طور کلی تر، ضرب خارجی تحت تبدیل ماتریس از اتحاد زیر تبعیت می کند:

$(M\mathbf {a})\times (M\mathbf {b})=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

جایی که $M$ یک ماتریس 3 در 3 است و $\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$ انتقال معکوس و است $\operatorname {cof}$ ماتریس کوفاکتور است. به راحتی می توان مشاهده کرد که چگونه این فرمول به فرمول قبلی کاهش می یابد $M$ یک ماتریس چرخشی است. اگر $M$ یک ماتریس متقارن 3 در 3 است که برای یک ضرب خارجی عمومی اعمال می شود $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ ، رابطه زیر صادق است:

$M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M \mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a}$

حاصل ضرب خارجی دو بردار در فضای تهی ماتریس 2 × 3 با بردارها به عنوان ردیف قرار دارد:

∈ناس([آب]). $\mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).$

برای مجموع دو ضرب خارجی، اتحاد زیر برقرار است:

+ج×د=(آ-ج)×(ب-د)+آ×د+ج×ب. $\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c})\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .$

تمایز [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع با ارزش برداری § مشتق و ضرب برداری

قاعده حاصلضرب حساب دیفرانسیل برای هر عملیات دوخطی و در نتیجه برای ضرب خارجی نیز کاربرد دارد:

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} {dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} {dt}}،$

که در آن a و b بردارهایی هستند که به متغیر واقعی t بستگی دارند .

توسعه ضرب سه گانه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ضرب سه گانه

ضرب خارجی در هر دو شکل ضرب سه گانه استفاده می شود. حاصل ضرب سه گانه اسکالر سه بردار به صورت تعریف شده است

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})،$

این حجم علامت دار متوازی الاضلاع با یال های a ، b و c است و به این ترتیب بردارها را می توان به هر ترتیبی که جایگشت یکنواخت از ترتیب فوق است استفاده کرد. بنابراین موارد زیر برابر هستند:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf { c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b})،$

بردار حاصل ضرب سه گانه حاصل ضرب یک بردار با حاصل ضرب ضربدری دیگر است و با فرمول زیر به حاصل ضرب نقطه ای مربوط می شود.

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}) -\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} ( \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{تراز شده}}$

یادداشت " BAC منهای CAB" برای به خاطر سپردن ترتیب بردارها در عضو دست راست استفاده می شود. این فرمول در فیزیک برای ساده کردن محاسبات بردار استفاده می شود. یک مورد خاص، در مورد گرادیان و مفید در محاسبات برداری است

${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f})-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ،\\\end{تراز شده}}$

که در آن ∇ 2 بردار عملگر لاپلاسی است .

اتحاد های دیگر حاصل ضرب خارجی را به حاصل ضرب سه گانه اسکالر مرتبط می کنند:

${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot ( \mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \راست)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c})(\mathbf {b} \cdot \mathbf { d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{تراز شده}}$

جایی که I ماتریس اتحاد هستم.F

+ نوشته شده در یکشنبه نهم اردیبهشت ۱۴۰۳ ساعت 19:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-ضرب خارجی

استفاده از تانسورهای لوی- سویتا [ ویرایش ]

در هر مبنای، ضرب خارجی $a\times b$ با فرمول تانسوری داده می شود $E_{ijk}a^{i}b^{j}$ جایی که $E_{ijk}$ تانسور کوواریانت لوی-سیویتا است (موقعیت شاخص ها را یادداشت می کنیم). که با فرمول ذاتی داده شده در اینجا مطابقت دارد .
در یک پایه متعارف با جهت گیری یکسان با فضا ، $a\times b$ با فرمول شبه تانسوری داده می شود $\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}$ جایی که $\varepsilon _{ijk}$ نماد لوی- سویتا است (که یک شبه تانسور است). این فرمولی است که برای فیزیک روزمره استفاده می شود، اما فقط برای این انتخاب خاص پایه کار می کند.
در هر مبنای متعارف، $a\times b$ با فرمول شبه تانسوری داده می شود $(-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}$ جایی که $(-1)^{B}=\pm 1$ نشان می دهد که آیا اساس جهت گیری یکسان با فضا دارد یا خیر.

فرمول دوم از تغییر جهت فضا در هنگام معکوس کردن یک مبنای متعارف اجتناب می کند.

خواص [ ویرایش ]

معنی هندسی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: ضرب سه گانه

شکل 1. مساحت متوازی الاضلاع به عنوان بزرگی حاصلضرب خارجی

شکل 2. سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنند

بزرگی حاصلضرب خارجی را می توان به عنوان ناحیه مثبت متوازی الاضلاع دارای اضلاع a و b تفسیر کرد ( شکل 1 را ببینید ) : [ 1 ]

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \راست\|\چپ\|\mathbf {b} \راست\| \چپ|\sin \theta \راست|.$

در واقع، می‌توان حجم V یک متوازی الاضلاع با لبه‌های a ، b و c را با استفاده از ترکیبی از یک ضرب ضربدری و یک حاصل ضرب نقطه‌ای، که حاصل ضرب سه‌گانه اسکالار نامیده می‌شود، محاسبه کرد (شکل 2 را ببینید):

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf { c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b}).$

از آنجایی که نتیجه حاصل ضرب سه گانه اسکالر ممکن است منفی باشد، حجم متوازی الاضلاع با مقدار مطلق آن به دست می آید:

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

از آنجایی که بزرگی حاصلضرب خارجی بر حسب سینوس زاویه بین آرگومان‌های آن می‌رود، ضرب ضربدری را می‌توان به‌عنوان اندازه‌گیری عمودگرایی در نظر گرفت ، به همان صورت که حاصل ضرب نقطه‌ای معیاری برای موازی بودن است . با توجه به دو بردار واحد ، حاصل ضرب خارجی آنها دارای قدر 1 است اگر آن دو عمود باشند و قدر صفر اگر آن دو موازی باشند. حاصلضرب نقطه‌ای دو بردار واحد درست برعکس عمل می‌کند: زمانی که بردارهای واحد عمود باشند صفر و اگر بردارهای واحد موازی باشند 1 است.

بردارهای واحد دو اتحاد راحت را فعال می‌کنند: حاصل ضرب نقطه‌ای دو بردار واحد، کسینوس (که ممکن است مثبت یا منفی باشد) زاویه بین دو بردار واحد را به دست می‌دهد. بزرگی حاصلضرب خارجی دو بردار واحد سینوس را به دست می دهد (که همیشه مثبت خواهد بود).

+ نوشته شده در یکشنبه نهم اردیبهشت ۱۴۰۳ ساعت 19:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-ضرب خارجی

تعریف [ ویرایش ]

یافتن جهت ضربدری با قانون دست راست

حاصل ضرب خارجی دو بردار a و b فقط در فضای سه بعدی تعریف می شود و با a × b نشان داده می شود . در فیزیک و ریاضیات کاربردی ، نماد گوه ای a ∧ b اغلب استفاده می شود (همراه با نام حاصلضرب بردار )، [5] [6] [7] اگرچه در ریاضیات محض این نماد معمولاً فقط برای ضرب بیرونی محفوظ است. انتزاع حاصلضرب برداری به n بعد.

حاصل ضرب خارجی a × b به عنوان بردار c که بر هر دو a و b عمود (متعامد) است ، با جهتی که توسط قانون دست راست [1] داده می شود و قدر آن برابر با مساحت متوازی الاضلاع بردارها است، تعریف می شود. [2]

ضرب خارجی با فرمول [8] [9] تعریف می شود.

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,$

جایی که

θ زاویه بین a و b در صفحه حاوی آنها است (بنابراین بین 0 تا 180 درجه است).

‖ a ‖ و ‖ b اندازه بردارهای a و b هستند ،

n یک بردار واحد عمود بر صفحه حاوی a و b با جهتی است که مجموعه مرتب شده ( a , b , n ) جهت مثبت دارد .

اگر بردارهای a و b موازی باشند (یعنی زاویه θ بین آنها 0 درجه یا 180 درجه است)، با فرمول بالا، حاصل ضرب خارجی a و b بردار صفر 0 است .

جهت

ضرب ضربدر a × b (عمودی، به رنگ بنفش) با تغییر زاویه بین بردارهای a (آبی) و b (قرمز) تغییر می کند. حاصل ضرب خارجی همیشه نسبت به هر دو بردار متعامد است و زمانی که بردارها موازی باشند قدر صفر و زمانی که متعامد هستند قدر ‖a‖‖b‖ دارد.

جهت بردار n به جهت انتخابی فضا بستگی دارد. به طور متعارف، با قانون دست راست ارائه می شود، که در آن شخص به سادگی انگشت سبابه دست راست را در جهت a و انگشت وسط را در جهت b نشان می دهد . سپس، بردار n از انگشت شست خارج می شود (تصویر مجاور را ببینید). استفاده از این قانون به این معنی است که ضرب خارجی ضد تعویض است . یعنی b × a = −( a × b ) . با نشان دادن انگشت اشاره به سمت b ابتدا و سپس نشان دادن انگشت میانی به سمت a ، انگشت شست در جهت مخالف فشار داده می شود و علامت بردار حاصلضرب را معکوس می کند.

از آنجایی که عملگر ضرب خارجی به جهت گیری فضا بستگی دارد، به طور کلی حاصلضرب خارجی دو بردار یک بردار "حقیقی" نیست، بلکه یک شبه بردار است . برای جزئیات بیشتر به § Handedness مراجعه کنید .

+ نوشته شده در یکشنبه نهم اردیبهشت ۱۴۰۳ ساعت 16:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-ضرب خارجی

ضرب خارجی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد ضرب ضربدری دو بردار در فضای اقلیدسی سه بعدی است. برای کاربردهای دیگر، ضرب خارجی (ابهام‌زدایی) را ببینید .

حاصل ضرب خارجی با توجه به سیستم مختصات راست دست

در ریاضیات ، حاصلضرب خارجی یا حاصلضرب بردار ( ضرب ناحیه هدایت شده گه گاهی ، برای تأکید بر اهمیت هندسی آن) یک عملیات دوتایی بر روی دو بردار در یک فضای برداری اقلیدسی سه بعدی $E$ است (که در اینجا نام برده شده است).) و با نماد $\times$ نشان داده می شود. با توجه به دو بردار خطی مستقل a و b ، حاصل ضرب خارجی، a × b (بخوانید "a خارجی b")، برداری است که بر هر دو a و b عمود است [1] و بنابراین بر صفحه حاوی آنها نرمال است . کاربردهای زیادی در ریاضیات، فیزیک ، مهندسی و برنامه نویسی کامپیوتر دارد . نباید با ضرب نقطه ای اشتباه گرفته شود.

بزرگی حاصل ضرب برابر با مساحت متوازی الاضلاع با بردارهای اضلاع است. به طور خاص، بزرگی حاصل ضرب دو بردار عمود بر هم حاصل ضرب طول آنهاست. واحدهای حاصلضرب خارجی حاصل ضرب واحدهای هر بردار هستند. اگر دو بردار موازی یا ضد موازی باشند (یعنی به صورت خطی وابسته باشند)، یا اگر طول یکی از آنها صفر باشد، حاصل ضرب خارجی آنها صفر است. [2]

حاصلضرب خارجی ضد جابجایی است (یعنی a × b = − b × a ) و توزیعی بر جمع است، یعنی a × ( b + c ) = a × b + a × c . [1] فضا $E$ همراه با ضرب ضربدر یک جبر بر روی اعداد حقیقی است که نه جابجایی است و نه تداعی ، بلکه جبر لی است که حاصل ضربدر براکت لی است .

مانند حاصلضرب نقطه‌ای، به متریک فضای اقلیدسی بستگی دارد ، اما بر خلاف حاصل ضرب نقطه‌ای، به انتخاب جهت (یا « دست بودن ») فضا نیز بستگی دارد (به همین دلیل است که فضای جهت‌دار مورد نیاز است). بردار حاصل از چرخش مبنا متغیر است. به دلیل وابستگی به دست بودن ، ضرب خارجی گفته می شود که یک شبه بردار است .

در ارتباط با ضرب خارجی، حاصلضرب بیرونی بردارها را می توان در ابعاد دلخواه (با نتیجه دو بردار یا 2 شکل ) استفاده کرد و مستقل از جهت گیری فضا است.

حاصلضرب را می‌توان به روش‌های مختلفی تعمیم داد، با استفاده از جهت‌گیری و ساختار متریک، درست مانند ضرب خارجی 3 بعدی سنتی، می‌توان در n بعد، حاصل ضرب n -1 بردار را برای تولید بردار عمود بر همه آنها گرفت. . اما اگر حاصلضرب به ضربات باینری غیر بی اهمیت با نتایج برداری محدود شود، فقط در سه و هفت بعد وجود دارد. [3] ضرب خارجی در هفت بعد دارای خواص نامطلوب است، اما (مثلاً نمی تواند هویت ژاکوبی را برآورده کند )، بنابراین در فیزیک ریاضی برای نشان دادن مقادیری مانند فضا-زمان چند بعدی استفاده نمی شود . [4] ( برای سایر ابعاد به § کلیات زیر مراجعه کنید.)

+ نوشته شده در یکشنبه نهم اردیبهشت ۱۴۰۳ ساعت 16:30 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ضرب سه گانه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد عملیات سه تایی بردار است. برای کاربردهای دیگر، ضرب سه گانه (ابهام‌زدایی) را ببینید .

"حجم امضا شده" به اینجا هدایت می شود. برای کتاب‌های امضا شده، به Bibliophilia مراجعه کنید .

در هندسه و جبر ، حاصل ضرب سه گانه حاصلضرب سه بردار 3 بعدی ، معمولاً بردارهای اقلیدسی است . نام "ضرب سه گانه" برای دو ضرب مختلف استفاده می شود، حاصل ضرب سه گانه اسکالر با ارزش و در موارد کمتر، حاصلضرب سه گانه برداری با ارزش برداری .

ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنند

حاصل ضرب سه گانه اسکالر ( همچنین به نام ضرب مخلوط ، ضرب جعبه یا حاصل ضرب اسکالر سه گانه ) به عنوان حاصل ضرب نقطه ای یکی از بردارها با ضرب ضربدر دو بردار دیگر تعریف می شود .

تفسیر هندسی

از نظر هندسی، حاصل ضرب سه گانه اسکالر

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

حجم (نشانه دار) متوازی الاضلاع است که توسط سه بردار داده شده تعریف شده است.

خواص

حاصل ضرب سه گانه اسکالر تحت یک جابجایی دایره ای از سه عملوند آن ( a , b , c ) بدون تغییر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )$
تعویض موقعیت عملگرها بدون مرتب کردن مجدد عملوندها، ضرب سه گانه را بدون تغییر باقی می گذارد. این از ویژگی قبلی و ویژگی جابجایی حاصلضرب نقطه است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$
مبادله هر دو از سه عملوند، حاصلضرب سه گانه را نفی می کند . این از خاصیت جابجایی دایره ای و ضد جابجایی ضرب متقاطع به دست می آید:
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{تراز شده}}$
حاصلضرب سه‌گانه اسکالر را می‌توان به‌عنوان دترمینان ماتریس 3 × 3 که دارای سه بردار یا به‌عنوان ردیف‌ها یا ستون‌هایش است، درک کرد (یک ماتریس همان تدترمینانی دارد که جابه‌جایی آن است ):
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1 }&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{ 1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.$
اگر حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر با صفر باشد، سه بردار a ، b و c همسطح هستند ، زیرا متوازی الاضلاع تعریف شده توسط آنها مسطح است و حجم ندارد.
اگر هر دو بردار در حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر باشند، مقدار آن صفر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0$
همچنین:
$(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$
حاصل ضرب ساده دو ضرب سه گانه (یا مربع حاصلضرب سه گانه)، ممکن است برحسب حاصلضرب نقطه بسط داده شود: [1]

$((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\ \mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf { d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}$

این در نماد برداری دوباره بیان می کند که حاصل ضرب عوامل دترمینان دو ماتریس 3×3 برابر با دترمینان حاصلضرب ماتریس آنها است. به عنوان یک مورد خاص، مربع یک ضرب سه گانه یک دترمینان گرم است .

نسبت حاصلضرب سه گانه و حاصل ضرب سه هنجار بردار به عنوان سینوس قطبی شناخته می شود :

${\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} } \|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$

که بین ۱- و ۱ متغیر است.

اسکالر یا شبه اسکالر

اگرچه حاصل ضرب سه گانه اسکالر حجم متوازی الاضلاع را می دهد، اما این حجم علامت گذاری شده است، علامت بسته به جهت قاب یا برابری جایگشت بردارها است. این بدان معنی است که اگر جهت گیری معکوس شود، برای مثال با تبدیل برابری ، ضرب نفی می شود ، و بنابراین اگر جهت گیری بتواند تغییر کند، به طور صحیح تر به عنوان یک شبه مقیاس توصیف می شود.

این همچنین به دست بودن ضرب متقاطع مربوط می شود . حاصلضرب متقاطع به عنوان یک شبه بردار تحت تبدیل های برابری تبدیل می شود و بنابراین به درستی به عنوان شبه بردار توصیف می شود. حاصلضرب نقطه ای دو بردار یک عددی است اما حاصلضرب نقطه ای یک بردار کاذب و یک بردار یک شبه مقیاس است، بنابراین حاصلضرب سه گانه اسکالر (بردارها) باید ارزش شبه مقیاسی داشته باشد.

اگر T یک چرخش مناسب است پس

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})$

اما اگر T یک چرخش نامناسب است ، پس

$\mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c}).$

تراکم اسکالر یا اسکالر

به بیان دقیق، یک اسکالر تحت یک تبدیل مختصات به هیچ وجه تغییر نمی کند. (به عنوان مثال، ضریب 2 که برای دو برابر کردن یک بردار استفاده می شود، اگر بردار در مختصات کروی در مقابل مستطیل باشد، تغییر نمی کند.) با این حال، اگر هر بردار توسط یک ماتریس تبدیل شود، حاصل ضرب سه گانه در نهایت در دترمینان ضرب می شود. ماتریس تبدیل، که می تواند برای یک غیر چرخشی کاملاً دلخواه باشد. یعنی ضرب سه گانه به طور صحیح تر به عنوان چگالی اسکالر توصیف می شود .

به عنوان یک ضرب بیرونی

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را پوشانده اند، حاصلضرب سه برابری برابر با حجم آن دارند. (اما مراقب باشید جهت فلش های این نمودار نادرست باشد.)

در جبر بیرونی و جبر هندسی حاصلضرب بیرونی دو بردار دو بردار است در حالی که حاصلضرب بیرونی سه بردار یک سه بردار است . یک دوبردار یک عنصر صفحه جهت‌دار و یک سه بردار یک عنصر حجمی جهت‌دار است، همانطور که یک بردار یک عنصر خط جهت‌دار است.

با توجه به بردارهای a ، b و c ، حاصلضرب

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$

یک سه بردار با بزرگی برابر با حاصل ضرب سه گانه اسکالر است، یعنی

$|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})|$ ،

و Hodge دوگانه حاصلضرب سه گانه اسکالر است. از آنجایی که ضرب بیرونی، براکت های ارتباطی است، نیازی نیست، زیرا مهم نیست که کدام یک از a ∧ b یا b ∧ c ابتدا محاسبه می شود، اگرچه ترتیب بردارها در ضرب مهم است. از نظر هندسی سه بردار a ∧ b ∧ c مربوط به متوازی الاضلاع است که توسط a , b و c امتداد یافته است ، با دو بردار a ∧ b , b ∧ c و a ∧ c با وجوه متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع مطابقت دارند .

به عنوان یک تابع سه خطی

حاصل ضرب سه گانه با فرم حجمی فضای 3 اقلیدسی که از طریق حاصلضرب داخلی به بردارها اعمال می شود، یکسان است . همچنین می توان آن را به صورت انقباض بردارها با تانسور رتبه-3 معادل شکل (یا شبه تانسور معادل شبه شکل حجمی) بیان کرد. زیر را ببینید .

ضرب سه گانه برداری

حاصلضرب سه گانه برداری به صورت حاصلضرب متقاطع یک بردار با حاصلضرب دو بردار دیگر تعریف می شود . رابطه زیر برقرار است:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a } \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$ .

این به عنوان توسعه ضرب سه گانه یا فرمول لاگرانژ شناخته می شود ، [2] [3] اگرچه نام دوم برای چندین فرمول دیگر نیز استفاده می شود . سمت راست آن را می توان با استفاده از یادداشت "ACB - ABC" به خاطر آورد، مشروط بر اینکه در نظر داشته باشید که کدام بردارها با هم نقطه چین شده اند. یک مدرک در زیر ارائه شده است . برخی از کتاب های درسی اتحاد را به عنوان $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ به طوری که یک یادگاری آشناتر "BAC - CAB" به دست می آید، مانند "پشت کابین".

از آنجایی که ضرب متقاطع ضد جابجایی است، این فرمول ممکن است (تا جایگشت حروف) نیز به صورت زیر نوشته شود:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-( \mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b}$

از فرمول لاگرانژ چنین استنباط می شود که حاصلضرب سه گانه بردار برآورده می شود:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf { c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}$

که اتحاد ژاکوبی برای ضرب متقاطع است. فرمول مفید دیگری به شرح زیر است:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf { b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

این فرمول ها در ساده کردن محاسبات برداری در فیزیک بسیار مفید هستند . یک اتحاد مرتبط با شیب ها و مفید در محاسبات برداری، فرمول لاگرانژ اتحاد متقابل بردار است: [4]

${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A}$

این را می توان به عنوان یک مورد خاص از عملگر عمومی تر Laplace-de Rham نیز در نظر گرفت $\Delta =d\delta +\delta d$ .

اثبات

را $x$ جزئی از $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ از رابطه زیر بدست می آید:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf { v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}( \mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\ mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf { u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u } _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{تراز شده}}$

به طور مشابه، $y$ و $z$ اجزای $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ توسط:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v } \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{تراز شده}}$

با ترکیب این سه جزء به دست می آید:

$\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf { u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w}$ [5]

استفاده از جبر هندسی

اگر از جبر هندسی استفاده شود، حاصل ضرب متقاطع b × c بردارها به صورت حاصلضرب بیرونی b ∧ c ، یک دوبردار بیان می شود . دومین ضرب متقاطع را نمی توان به عنوان یک ضرب بیرونی بیان کرد، در غیر این صورت حاصل ضرب سه گانه اسکالر ایجاد می شود. در عوض می توان از انقباض چپ [6] استفاده کرد، بنابراین فرمول تبدیل به [7] می شود.

${\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\ mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{تراز شده}}$

اثبات از خواص انقباض حاصل می شود. [6] نتیجه همان بردار محاسبه شده با استفاده از × ( b × c ) است.

تفاسیر

حساب تانسور

در نماد تانسور ، حاصل ضرب سه گانه با استفاده از نماد لوی-سویتا بیان می شود : [8]

$\mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m }b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},$

با اشاره به $i$ -امین جزء بردار حاصل. این را می توان با انجام یک انقباض بر روی نمادهای لوی-سویتا ساده کرد . $\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,$ جایی که $\delta _{j}^{i}$ تابع دلتای کرونکر است ( $\delta _{j}^{i}=0$ چه زمانی $i\neq j$ و $\delta _{j}^{i}=1$ چه زمانی $i=j$ ) و $\delta _{ij}^{\ell m}$ تابع دلتای کرونکر تعمیم یافته است . ما می‌توانیم این اتحاد را با تشخیص این شاخص مشخص کنیم $k$ صرفا خروج خلاصه خواهد شد $i$ و $j$ . در ترم اول تعمیر می کنیم $i=l$ و بنابراین $j=m$ . به همین ترتیب در ترم دوم اصلاح می کنیممن $i=m$ و بنابراین $l=j$ .

بازگشت به ضرب متقاطع سه گانه،

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i} c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.$

حساب برداری

انتگرال شار میدان برداری را در نظر بگیریداف $\mathbf {F}$ در سراسر سطح پارامتریک تعریف شده است $S=\mathbf {r} (u,v)$ : ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$ . بردار واحد نرمال ${\hat {\mathbf {n} }}$ به سطح داده شده توسط ${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v} |}}}$ بنابراین انتگرال ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ یک ضرب سه گانه اسکالر است.

این بخش نیاز به گسترش دارد . می توانید با افزودن به آن کمک کنید . ( ژانویه 2014 )

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم فروردین ۱۴۰۳ ساعت 9:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله دیفرانسیل هلمهولتز - مختصات مخروطی

در مختصات مخروطی می توان معادله لاپلاس را نوشت

(1)

جایی که

			(2)
			(3)

(Byerly 1959). اجازه دادن

(4)

( 1 ) را به دو معادله تقسیم می کند،

(5)

(6)

حل اینها می دهد

(7)

(8)

هارمونیک های بیضی از نوع اول کجا هستند . بنابراین راه حل معمولی این است

(9)

با این حال، به دلیل تقارن استوانه ای، راه حل هارمونیک کروی درجه یک است .

منابع

Arfken، G. "مختصات مخروطی ." §2.16 در روش های ریاضی برای فیزیکدانان، ویرایش دوم. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-119, 1970.Byerly، W. E. یک رساله ابتدایی در مورد سری فوریه، و هارمونیک های کروی، استوانه ای و بیضی، با کاربردهایی در مسائل در فیزیک ریاضی. نیویورک: دوور، ص. 263، 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Systems Coordinate, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. نیویورک: Springer-Verlag، صفحات 39-40، 1988.مورس، پی ام و فشباخ، اچ. روش های فیزیک نظری، قسمت اول. نیویورک: مک گراو هیل، ص 514 و 659، 1953.

https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquationConicalCoordinates.html

وایستاین، اریک دبلیو. "معادله دیفرانسیل هلمهولتز - مختصات مخروطی." از MathWorld -- یک منبع وب Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquationConicalCoordinates.html

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 2:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مختصات مخروطی

تعاریف مختلفی از مختصات مخروطی وجود دارد که توسط مورس و فشباخ (1953)، بایرلی (1959)، آرفکن (1970) و مون و اسپنسر (1988) تعریف شده است. سیستم تعریف شده در زبان ولفرام است

			(1)
			(2)
			(3)

جایی که . Byerly (1959) از سیستمی استفاده می‌کند که اساساً همان سیستم مختصاتی است که در بالا گفته شد، اما با ، و با و با جایگزین می‌شود . مون و اسپنسر (1988) به جای .

معادلات بالا می دهد

(4)

(5)

(6)

عوامل مقیاس هستند

			(7)
			(8)
			(9)

لاپلاسی است _

del ^2=(nu(2nu^2-a^2-b^2))/((mu-nu)(mu+nu)lambda^2)partial/(partialnu)+((a-nu)(a +nu)(nu-b)(nu+b))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)(partial^2)/(partialnu^2) +(mu(2mu^2-a ^2-b^2))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)partial/(partialmu)+((mu-b)(mu+b)(mu-a)(mu+a ))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)(partial^2)/(partialmu^2)+2/lambdapartial/(partiallambda)+(partial^2)/(partiallambda^2).

(10)

معادله دیفرانسیل هلمهولتز در مختصات مخروطی قابل تفکیک است.

https://mathworld.wolfram.com/ConicalCoordinates.html

+ نوشته شده در دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 2:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

پانتوگراف

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد ابزار تکراری است. برای دستگاه الکتریکی مورد استفاده در بالای قطار یا تراموا، پانتوگراف (حمل و نقل) را ببینید . برای کاربردهای دیگر، پانتوگراف (ابهام‌زدایی) را ببینید .

طراحی پانتوگراف در حال استفاده

پانتوگراف برای مقیاس بندی یک تصویر استفاده می شود. شکل قرمز ردیابی و بزرگ شده است.

رندر سه بعدی پانتوگراف

پانتوگراف (از یونانی παντ- «همه، همه» و γραφ- «نوشتن»، از کاربرد اصلی آنها برای کپی کردن نوشتار) یک پیوند مکانیکی است که به روشی مبتنی بر متوازی الاضلاع به هم متصل می شود به طوری که حرکت یک قلم در ردیابی. یک تصویر، حرکات یکسانی را در قلم دوم ایجاد می کند. اگر یک طرح خطی با نقطه اول ردیابی شود، یک نسخه یکسان، بزرگ شده یا کوچک شده توسط قلمی که روی نقطه دیگر ثابت شده کشیده می شود. با استفاده از همین اصل، انواع مختلف پانتوگراف برای سایر اشکال تکراری در زمینه هایی مانند مجسمه سازی ، ضرب ، حکاکی و فرز استفاده می شود .

تاریخچه [ ویرایش ]

نموداری که اصول استفاده شده توسط عیدوگراف ویلیام والاس را نشان می دهد

مهندس یونان باستان قهرمان اسکندریه پانتوگراف ها را در اثر خود مکانیک توصیف کرد . [1]

در سال 1603، [2] کریستف شاینر از پانتوگراف برای کپی و مقیاس بندی نمودارها استفاده کرد و بیش از 27 سال بعد در مورد این اختراع نوشت، در "Pantographice seu Ars delineandi res quaslibet per parallelogrammum lineare seu cavum" (رم 1631). یک بازوی پانتوگراف حاوی یک نشانگر کوچک بود، در حالی که دیگری یک ابزار طراحی را نگه داشت و با حرکت دادن نشانگر روی یک نمودار، یک کپی از نمودار روی کاغذ دیگری کشیده شد. با تغییر موقعیت بازوها در پیوند بین بازوی اشاره گر و بازوی طراحی، می توان مقیاس تصویر تولید شده را تغییر داد.

در سال 1821، پروفسور ویلیام والاس (1768-1843) برای بهبود کاربرد عملی پانتوگراف، eidograph را اختراع کرد. [3] Eidograph نقطه ثابت را به مرکز متوازی الاضلاع منتقل می کند و از یک متوازی الاضلاع باریک برای ارائه مزایای مکانیکی بهبود یافته استفاده می کند.

استفاده می کند [ ویرایش ]

مکانیسم حکاکی پانتوگراف

پانتوگراف فرانسیس گالتون

پیش نویس [ ویرایش ]

استفاده اولیه از پانتوگراف برای کپی کردن و مقیاس بندی نقشه های خطی بود . نسخه های مدرن به عنوان اسباب بازی های فنی فروخته می شوند.

مجسمه سازی و ضرب [ ویرایش ]

مجسمه سازان از یک نسخه سه بعدی پانتوگراف استفاده می کنند، [4] معمولاً یک بوم بزرگ متصل به یک نقطه ثابت در یک انتها، که دارای دو سوزن اشاره گر چرخان در نقاط دلخواه در طول این بوم است. با تنظیم سوزن ها می توان نسبت های مختلف بزرگ شدن یا کاهش را به دست آورد. این دستگاه که اکنون عمدتاً توسط سیستم‌های روتر هدایت‌شونده کامپیوتری که یک مدل را اسکن می‌کنند و می‌توانند آن را در مواد مختلف و در هر اندازه دلخواه تولید کنند، پیشی گرفته است، [5] توسط مخترع و پیشگام بخار، جیمز وات اختراع شد و توسط بنجامین چورتون در سال 1836 تکمیل شد . دستگاه Cheverton با یک قطعه برش چرخان برای حک کردن نسخه های کوچک شده مجسمه های معروف نصب شده بود. [6] یک پانتوگراف سه بعدی نیز می تواند برای بزرگنمایی مجسمه با تعویض موقعیت مدل و کپی استفاده شود. [7] [8]

نسخه دیگری هنوز بسیار مورد استفاده قرار می گیرد تا اندازه طرح های برجسته بزرگ برای سکه ها را به اندازه مورد نیاز سکه کاهش دهد. [9]

تکرار سیلندر آکوستیک [ ویرایش ]

در این بخش هیچ منبعی ذکر نشده است . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این بخش کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند . ( جولای 2018 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

یکی از مزیت‌های دیسک‌های گرامافون و گرامافون نسبت به سیلندرها در دهه 1890 - قبل از اینکه تقویت الکترونیکی در دسترس باشد - این بود که تعداد زیادی از دیسک‌ها می‌توانستند به سرعت و ارزان مهر شوند. در سال 1890، تنها راه‌های تولید کپی از یک استوانه اصلی قالب‌گیری استوانه‌ها (که کند بود و در اوایل نسخه‌های بسیار ضعیفی تولید می‌کرد)، یا کپی آکوستیک صدا با قرار دادن بوق‌های دو گرامافون در کنار هم یا قلاب کردن بود. این دو با یک لوله لاستیکی (یکی ضبط صدا و دیگری در حال پخش سیلندر). به جای کپی کردن یک استوانه اصلی، جایگزین دیگر ضبط یک اجرا بر روی چندین گرامافون به طور همزمان، بارها و بارها بود که هر سیلندر را به یک کپی اصلی تبدیل می کرد. ادیسون ، بتینی ، لئون داگلاس و دیگران این مشکل را (تا حدی) با اتصال مکانیکی یک قلم برش و یک قلم پخش به یکدیگر و کپی کردن شیارهای "تپه و دیل" سیلندر به صورت مکانیکی حل کردند. هنگامی که قالب گیری تا حدودی بهبود یافت، استوانه های قالب گیری شده به عنوان استاد پانتوگراف مورد استفاده قرار گرفتند. این توسط ادیسون و کلمبیا در سال 1898 مورد استفاده قرار گرفت و تا حدود ژانویه 1902 مورد استفاده قرار گرفت (واکس های قهوه ای کلمبیا پس از این قالب گیری شدند). برخی از شرکت‌ها مانند شرکت گرامافون ایالات متحده در نیوآرک، نیوجرسی ، سیلندرهای اصلی را برای شرکت‌های کوچک‌تر عرضه کردند تا بتوانند آن‌ها را کپی کنند، گاهی اوقات به صورت پانتوگرافیک. پانتوگراف ها می توانند حدود 30 رکورد در روز تولید کنند و تا حدود 150 رکورد در هر استاد تولید کنند. در تئوری، اگر Master و Duplicate به صورت معکوس اجرا می شدند و رکورد به صورت معکوس تکرار می شد، می توان از Master Pantograph برای 200 یا 300 تکرار استفاده کرد. این، در تئوری، می‌تواند قابلیت استفاده از یک استاد پانتوگراف را با استفاده از بخش فرسوده یا کمتر فرسوده ضبط برای تکرار افزایش دهد. Pathé این سیستم را با تسلط بر رکوردهای عمودی خود تا سال 1923 به کار گرفت. یک سیلندر اصلی با قطر 5 اینچ (130 میلی متر)، طول 4 یا 6 اینچ (100 یا 150 میلی متر) که با سرعت بالا می چرخد، روی آن ثبت می شود. این کار به این دلیل انجام شد که سیلندر به‌دست‌آمده به‌طور قابل‌توجهی بلند و از وفاداری بسیار بالایی برخوردار بود. سپس، استوانه را روی سنبه یک پانتوگراف کپی قرار می‌دهیم که با یک قلم در انتهای یک اهرم پخش می‌شود، که صدا را به یک دیسک اصلی مومی منتقل می‌کند، که آبکاری می‌شود و برای مهر کردن کپی‌ها استفاده می‌شود. . این سیستم منجر به کاهش وفاداری و صدایی با کیفیت نسبتاً بالا شد. رکوردهای دیسک الماس ادیسون با ضبط مستقیم بر روی دیسک اصلی مومی ساخته شد .

ماشین های فرز [ ویرایش ]

یک دستگاه فرز پانتوگراف کوچک

جزئیات جدول یک دستگاه فرز پانتوگراف بزرگتر

قبل از ظهور فن‌آوری‌های کنترلی مانند کنترل عددی (NC و CNC) و کنترل منطقی قابل برنامه‌ریزی (PLC)، قطعات تکراری که در ماشین فرز آسیاب می‌شوند، نمی‌توانستند خطوط آنها را با حرکت دادن فرز در یک "connect-the-" ترسیم کنند. مد نقطه" ("بر اساس اعداد"). تنها راه برای کنترل حرکت ابزار برش، شماره گیری موقعیت ها با دست با استفاده از مهارت ماهرانه (با محدودیت های طبیعی در دقت و دقت انسان ) یا ردیابی بادامک، الگو یا مدل به نحوی و در اختیار داشتن کاتر بود. حرکت قلم ردیابی را تقلید کنید. اگر سر فرز بر روی پانتوگراف نصب شده بود، یک قسمت تکراری را می‌توان برش داد (و در مقیاس‌های مختلف بزرگنمایی علاوه بر 1:1) به سادگی با ردیابی یک الگو. (خود الگو معمولاً توسط یک سازنده ابزار و قالب با استفاده از روش‌های اتاق ابزار ، از جمله فرز از طریق شماره‌گیری و سپس مجسمه‌سازی دستی با فایل‌ها و/یا نقاط آسیاب ساخته می‌شد.) این اساساً همان مفهوم بازتولید اسناد با پانتوگراف مجهز به قلم بود. ، اما برای ماشینکاری مواد سخت مانند فلز، چوب یا پلاستیک استفاده می شود. مسیریابی پانتوگراف ، که از نظر مفهومی با فرز پانتوگراف یکسان است، نیز وجود دارد (همانطور که مسیریابی CNC وجود دارد). ماشین تراش بلانچارد، یک ماشین تراش کپی که توسط توماس بلانچارد ساخته شده است ، از همان مفهوم اساسی استفاده می کند.

توسعه و انتشار فناوری‌های کنترلی NC، CNC، PLC و سایر فناوری‌های کنترلی در سراسر صنعت، راه جدیدی را برای کنترل حرکت فرز کاتر ارائه کرد: از طریق تغذیه اطلاعات از یک برنامه به محرک‌ها ( سروها ، سلسین‌ها ، پیچ‌های سرب ، اسلایدهای ماشین، دوک‌ها ، و غیره) که برش را مطابق اطلاعات هدایت می کند. امروزه بیشتر ماشینکاری های تجاری از طریق چنین روش های قابل برنامه ریزی و کامپیوتری انجام می شود. ماشین‌کاران خانگی احتمالاً از طریق کنترل دستی کار می‌کنند، اما کنترل رایانه‌ای به سطح فروشگاه خانگی نیز رسیده است (هنوز به اندازه همتایان تجاری خود فراگیر نشده است). بنابراین ماشین های فرز پانتوگراف تا حد زیادی متعلق به گذشته هستند. آنها هنوز در استفاده تجاری هستند، اما در سطح بسیار کاهش یافته و همیشه رو به کاهش هستند. آنها دیگر توسط سازندگان ماشین ابزار جدید ساخته نمی شوند، اما بازار کوچکی برای ماشین های دست دوم هنوز وجود دارد. در مورد ویژگی بزرگنمایی و کاهش یک پانتوگراف (با مقیاس تعیین شده توسط طول بازوهای قابل تنظیم)، در CNC از طریق محاسبات ریاضی به دست می‌آید که کامپیوتر عملاً به صورت آنی بر روی اطلاعات برنامه اعمال می‌کند. توابع مقیاس‌بندی (و همچنین توابع آینه‌ای) در زبان‌هایی مانند G-code ساخته شده‌اند .

کاربردهای دیگر [ ویرایش ]

در کاربرد دیگری شبیه به پیش نویس، پانتوگراف در یک دستگاه حکاکی پانتوگراف با یک برش گردان به جای قلم، و یک سینی در انتهای اشاره گر برای ثابت کردن صفحات از پیش برش خورده حروف (که به عنوان "کپی" نامیده می شود) گنجانده می شود، که نشانگر آن را دنبال می کند. و بنابراین کاتر، از طریق پانتوگراف، "کپی" را با نسبتی که بازوهای پانتوگراف تنظیم شده اند، بازتولید می کند. محدوده معمولی نسبت حداکثر 1:1 حداقل 50:1 است (کاهش) به این ترتیب ماشین‌کارها می‌توانند اعداد و حروف را به طور منظم و دقیق روی یک قطعه حک کنند . پانتوگراف‌ها دیگر معمولاً در حکاکی مدرن استفاده نمی‌شوند و لیزر کامپیوتری و حکاکی چرخشی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

دستگاهی که تماس الکتریکی را با سیم تماس برقرار می کند و نیرو را از سیم به واحد کشش منتقل می کند که در لوکوموتیوهای برقی و تراموا استفاده می شود، پانتوگراف نیز نامیده می شود .

پانچ کیبورد هرمان هولریث که برای سرشماری 1890 ایالات متحده استفاده شد یک طرح پانتوگراف بود و گاهی اوقات به آن پانتوگراف می گویند. [10]

دستگاهی در اوایل قرن نوزدهم که از این مکانیسم استفاده می‌کند، پلی‌گراف است که نسخه‌ای از یک حرف را به‌عنوان نوشته اصلی تولید می‌کند.

در سال 1886، ادوارد سلینگ یک ماشین محاسبه برنده جایزه بر اساس پانتوگراف را به ثبت رساند، اگرچه از نظر تجاری موفق نبود. [11]

اپراتورهای ماشین‌های لحاف‌سازی لانگرم ممکن است یک پانتوگراف، الگوی کاغذی، با اشاره‌گر لیزری برای دوختن یک الگوی سفارشی روی لحاف ردیابی کنند. [ نیازمند منبع ] پانتوگراف های دیجیتالی توسط ماشین های کامپیوتری دنبال می شوند. [ نیازمند منبع ]

لین بوید بنتون یک ماشین حکاکی پانتوگرافی برای طراحی تایپ اختراع کرد، [12] که نه تنها قادر بود یک الگوی طراحی فونت را به اندازه‌های مختلف مقیاس‌بندی کند، بلکه می‌توانست طرح را متراکم، گسترش دهد و کج کند (از نظر ریاضی، این موارد هستند. تبدیل افین ، که عملیات هندسی اساسی اکثر سیستم های تایپوگرافی دیجیتال امروزی، از جمله PostScript است ). [13]

ریچارد فاینمن از تشبیه پانتوگراف به عنوان روشی برای کاهش مقیاس ابزارها به مقیاس نانومتر در سخنرانی خود در پایین اتاق زیاد است استفاده کرد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

Autopen – دستگاهی برای امضای خودکار یا خودکار
راهنمای حروف – الگوی نوشتن متن
اتصال حرکت موازی - مکانیزم خط مستقیم شش میله
اسپیروگراف – دستگاه ترسیم هندسی

منابع [ ویرایش ]

↑ سکارلی، مارکو (2007). چهره‌های برجسته در علم مکانیزم و ماشین: سهم و میراث آنها . اسپرینگر _ پ. 230. شابک 978-1-4020-6366-4.
↑ ون هلدن، آلبرت (1995). "پروژه گالیله — Scheiner, Christoph" (تاریخچه)" . پروژه گالیله، دانشگاه رایس . بایگانی شده از نسخه اصلی در 9 ژوئیه 2004. بازیابی در 24 مارس 2020 .
↑ "معاملات انجمن سلطنتی ادینبورگ. - ادینبورگ، دیکسون 1788-1905" . معاملات انجمن سلطنتی ادینبورگ . دیکسون 13 : 418-439، 637. 1836.
↑ «یک سمفونی ناتمام در سنگ: ویدیویی با مجسمه‌ساز سی‌اس جگر با استفاده از پانتوگراف سه‌بعدی» . مسیر بریتانیا . 28 ژانویه 1935. 1 دقیقه. 7 ثانیه بازیابی شده در 24 مارس 2020 .
↑ کاسترو، باغ جان (ژانویه تا فوریه 2003). "ساختن یادبود شخصی: گفتگو با پاتریشیا کرونین" . مجسمه سازی . مرکز بین المللی مجسمه سازی 22 (1). بایگانی شده از نسخه اصلی در 1 اکتبر 2019 . بازبینی شده در 23 آگوست 2017 .
↑ «مردی که مجسمه‌های مرمری را به اندازه‌ای پایین آورد - WriteAntiques» . writeantiques.com . بایگانی شده از نسخه اصلی در 23 اوت 2017 . بازبینی شده در 23 آگوست 2017 .
↑ «بزرگ‌نمایی و کاهش مجسمه‌سازی» . www.keropiansculpture.com . بازبینی شده در 23 آگوست 2017 .
↑ "بزرگ کردن یک کپی از مجسمه آزادی (فرانسوی) با استفاده از پانتوگراف سه بعدی با چرخ اسکن و لبه برش، در خاک رس" . بایگانی شده از نسخه اصلی در 16 ژوئیه 2004 . بازبینی شده در 23 آگوست 2017 .
↑ آندرولاکیس، یوانیس. "طراحی و ضرب سکه" . www.fleur-de-coin.com . بازبینی شده در 23 آگوست 2017 .
↑ Truesdell, Leon E. (1965). توسعه جدول بندی کارت پانچ در دفتر سرشماری: 1890-1940 . GPO ایالات متحده.
^ سلینگ، ای. (1887). Eine neue Rechenmaschine . برلین: اسپرینگر. doi : 10.3931/e-rara-18446 .
^ هزینه، پاتریشیا. (2011). بنتون ها: چگونه یک پدر و پسر آمریکایی صنعت چاپ را تغییر دادند . روچستر، نیویورک شابک 978-1-933360-42-3.
^ Linotype (2022). "طراح قلم-لین بوید بنتون" . www.linotype.com . بازبینی شده در 8 اکتبر 2022 .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌هایی مربوط به پانتوگراف (ابزار) موجود است .

https://en.wikipedia.org/wiki/Pantograph

+ نوشته شده در جمعه بیستم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 0:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مدار روزتا

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(برگرفته از روزتا (مدار) )

نمونه ای از مدار روزتا اغراق آمیز

مدار روزتا یک نوع مدار پیچیده است .

در نجوم ، مدار روزتا زمانی اتفاق می‌افتد که در هر چرخه مداری یک جابجایی پریاسترون وجود داشته باشد. یک جابجایی نیوتنی رتروگراد می تواند زمانی رخ دهد که جرم مرکزی به جای منبع گرانشی نقطه ای گسترش یابد و در نتیجه یک مدار غیر بسته ایجاد شود. یک تغییر نسبیتی پیشرونده به دلیل اثرات نسبیتی از یک منبع گرانشی عظیم اتفاق می‌افتد. [1] در کهکشان‌های مارپیچی میله‌ای با میله‌ای فشرده و عدسی‌شکل (بر خلاف نوار جعبه‌ای شکل)، مورفولوژی میله توسط ستارگانی که مدارهای روزت‌شکلی را دنبال می‌کنند و با میله می‌چرخند پشتیبانی می‌شود. [2]

جسمی که با سرعت متوسط به یک سیاهچاله نزدیک می شود (به اندازه کافی آهسته نیست که بتواند به درون سوراخ بپیچد و به اندازه کافی سریع نیست تا بتواند از آن خارج شود) وارد یک الگوی مدار پیچیده می شود که با فاصله نزدیک و دور از چاله محدود می شود و یک الگوی نوسانی را دنبال می کند. هیپوتروکوئید . در سال 2020، دانشمندان با استفاده از مشاهدات انجام شده توسط تلسکوپ بسیار بزرگ رصدخانه جنوبی اروپا برای اولین بار نشان دادند که ستاره S2 با این الگو به دور کمان A* می چرخد . [3] [4]

در مکانیک کوانتومی ، مدار روزتا راه حلی برای پتانسیل های متقارن کروی (به جز 1/r) است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

^ روبیلار، GF; Eckart, A. (ژوئیه 2001). "تغییر مدارهای پریاسترون در نزدیکی مرکز کهکشانی" . نجوم و اخترفیزیک . 374 : 95-104. Bibcode : 2001A&A...374...95R . doi : 10.1051/0004-6361:20010640 .
↑ اسمیرنوف، آنتون آ. و همکاران (آوریل 2021). "ساختار رو به رو میله‌ها و میله‌های جعبه‌ای: بینشی از دینامیک طیفی". اعلامیه های ماهانه انجمن سلطنتی نجوم . 502 (4): 4689-4707. arXiv : 2007.09090 . Bibcode : 2021MNRAS.502.4689S . doi : 10.1093/mnras/stab327 .
↑ «تلسکوپ ESO رقص ستاره‌ها را در اطراف سیاه‌چاله‌ی عظیم می‌بیند، حق انیشتین را ثابت می‌کند» . ScienceDaily . 16-04-2020 . بازیابی شده 2020-05-03 .
↑ جنیفر لمان (16-04-2020). "ستاره عجیب و غریب که به دور سیاهچاله می چرخد، حق انیشتین را ثابت می کند (دوباره)" . مکانیک محبوب بازیابی شده 2020-05-03 .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

ارائه چند رسانه ای تلسکوپ هابل در مورد سیاهچاله ها

https://en.wikipedia.org/wiki/Rosetta_orbit

+ نوشته شده در پنجشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 21:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هیپوتروکوئید

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

منحنی قرمز یک هیپوتروکوئید است که زمانی که دایره سیاه کوچکتر در داخل دایره آبی بزرگتر می چرخد ترسیم می شود (پارامترها R = 5، r = 3، d = 5 هستند ).

در هندسه ، هیپوتروکوئید رولتی است که توسط نقطه ای متصل به دایره ای با شعاع r که به دور داخل یک دایره ثابت با شعاع R می چرخد، ردیابی می شود ، جایی که نقطه فاصله ای d از مرکز دایره داخلی است.

معادلات پارامتریک هیپوتروکوئید عبارتند از: [1]

${\begin{aligned}&x(\theta )=(Rr)\cos \theta +d\cos \left({Rr \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(Rr )\sin \theta -d\sin \left({Rr \over r}\theta \right)\end{تراز شده}}$

که در آن θ زاویه تشکیل شده توسط افقی و مرکز دایره غلتشی است (اینها معادلات قطبی نیستند زیرا θ زاویه قطبی نیست). هنگامی که در رادیان اندازه گیری می شود، θ مقادیری از 0 تا را می گیرد $2\pi \times {\tfrac {\operatorname {LCM} (r,R)}{R}}$ (که در آن LCM کمترین مضرب مشترک است ).

موارد خاص شامل هیپوسایکلوئید با d = r و بیضی با R = 2 r و d ≠ r است . [2] خروج از مرکز بیضی است

$e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}$

تبدیل شدن به 1 وقتی $d=r$ (نگاه کنید به زوج طوسی ).

بیضی (به رنگ قرمز کشیده شده) ممکن است به عنوان یک مورد خاص از هیپوتروکوئید، با R = 2 r ( زوج طوسی ) بیان شود. در اینجا R = 10، r = 5، d = 1 .

اسباب بازی کلاسیک اسپیروگراف منحنی های هیپوتروکوئید و اپی تروکوئید را مشخص می کند .

هیپوتروکوئیدها پشتیبانی از مقادیر ویژه برخی از ماتریس های تصادفی را با همبستگی چرخه ای توصیف می کنند. [3]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

↑ جی. دنیس لارنس (1972). کاتالوگ منحنی های صفحه ویژه . انتشارات دوور. صص 165-168 . شابک 0-486-60288-5.
↑ گری، آلفرد (29 دسامبر 1997). هندسه دیفرانسیل مدرن منحنی ها و سطوح با ریاضیات (ویرایش دوم). مطبوعات CRC. پ. 906. شابک 9780849371646.
^ آسیتونو، پاو ویلیملیس؛ راجرز، تیم؛ شومروس، هنینگ (16-07-2019). "قانون هیپوتروکوئیدی جهانی برای ماتریس های تصادفی با همبستگی چرخه ای" . بررسی فیزیکی E. 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Bibcode : 2019PhRvE.100a0302A . doi : 10.1103/PhysRevE.100.010302 . PMID 31499759 . S2CID 119325369 .

https://en.wikipedia.org/wiki/Hypotrochoid

+ نوشته شده در پنجشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 21:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

رولت (منحنی)

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در هندسه دیفرانسیل منحنی ها ، رولت نوعی منحنی است که سیکلوئیدها ، اپی سیکلوئیدها ، هیپوسیکلوئیدها ، تروکوئیدها ، اپی تروکوئیدها ، هیپوتروکوئیدها و در پیچ ها را تعمیم می دهد .

تعریف [ ویرایش ]

تعریف غیر رسمی [ ویرایش ]

یک سهمی سبز در امتداد یک سهمی آبی مساوی می چرخد که ثابت می ماند. ژنراتور راس سهمی نورد است و رولت را که با رنگ قرمز نشان داده شده است، توصیف می کند. در این مورد رولت سیسوئید دیوکلس است . [1]

به طور کلی، رولت منحنی است که توسط یک نقطه (به نام ژنراتور یا قطب ) که به یک منحنی معین متصل است، توصیف می شود، زیرا آن منحنی بدون لغزش، در امتداد یک منحنی معین دوم که ثابت است، می چرخد. به طور دقیق تر، با توجه به یک منحنی متصل به صفحه ای که در حال حرکت است، به طوری که منحنی بدون لغزش، در امتداد یک منحنی معین متصل به صفحه ثابتی که همان فضا را اشغال می کند، می غلتد، سپس یک نقطه متصل به صفحه متحرک یک منحنی را توصیف می کند. هواپیمای ثابت به نام رولت.

موارد خاص و مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

در حالتی که منحنی نورد یک خط و مولد نقطه ای از خط باشد، رولت را یک پیچ منحنی ثابت می نامند . اگر منحنی نورد یک دایره و منحنی ثابت یک خط باشد، رولت یک تروکوئید است . اگر در این مورد، نقطه روی دایره باشد، رولت یک سیکلوئید است .

یک مفهوم مرتبط یک glissette است ، منحنی که توسط یک نقطه متصل به یک منحنی معین که در امتداد دو (یا بیشتر) منحنی می‌لغزد توصیف می‌شود.

تعریف رسمی [ ویرایش ]

به طور رسمی، منحنی ها باید منحنی های قابل تمایز در صفحه اقلیدسی باشند . منحنی ثابت ثابت نگه داشته می شود. منحنی غلتشی تحت یک تبدیل همخوانی پیوسته قرار می گیرد به طوری که در همه زمان ها منحنی ها در نقطه تماس مماس هستند که وقتی در امتداد هر منحنی گرفته می شود با همان سرعت حرکت می کند (روش دیگری برای بیان این محدودیت این است که نقطه تماس دو منحنی مرکز آنی چرخش تبدیل همخوانی است). رولت به دست آمده توسط مکان ژنراتور که در معرض همان مجموعه ای از تبدیل های همخوانی قرار دارد، تشکیل می شود.

مدل سازی منحنی های اصلی به عنوان منحنی در صفحه مختلط ، اجازه دهید $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ دو پارامتر طبیعی نورد باشد $r$ و ثابت $f$ منحنی ها، به گونه ای که $r(0)=f(0)$ ، $r'(0)=f'(0)$ ، و $|r'(t)|=|f'(t)|\neq 0$ برای همه $t$ . رولت مولد $p\in \mathbb {C}$ مانند $r$ رول شده است $f$ سپس توسط نگاشت داده می شود:

$t\mapsto f(t)+(pr(t)){f'(t) \over r'(t)}.$

کلیات [ ویرایش ]

اگر به جای اینکه یک نقطه به منحنی نورد متصل شود، منحنی داده شده دیگری در امتداد صفحه متحرک حمل شود، خانواده ای از منحنی های متجانس تولید می شود. ممکن است به پاکت این خانواده رولت نیز گفته شود.

مطمئناً می توان رولت ها را در فضاهای بالاتر تصور کرد، اما فرد باید بیش از فقط مماس ها را تراز کند.

مثال [ ویرایش ]

اگر منحنی ثابت یک خطی و منحنی غلتشی یک خط باشد ، داریم:

$f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)$

$f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).$

پارامترسازی خط به گونه ای انتخاب می شود که

$|f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=| r'(t)|.$

با استفاده از فرمول بالا به دست می آوریم:

$f(t)+(pr(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t )) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.$

اگر p = − i عبارت دارای یک بخش خیالی ثابت (یعنی − i ) باشد و رولت یک خط افقی است. یک کاربرد جالب این است که یک چرخ مربعی می‌تواند بدون جهش در جاده‌ای بچرخد که مجموعه‌ای از کمان‌های زنجیره‌ای همسان است.

لیست رولت ها [ ویرایش ]

منحنی ثابت	منحنی نورد	نقطه تولید	رولت
هر منحنی	خط	روی خط اشاره کنید	در هم پیچیدن منحنی
خط	هر	هر	سیکلوگون
خط	دایره	هر	تروکوئید
خط	دایره	روی دایره اشاره کنید	سیکلوئید
خط	بخش مخروطی	مرکز مخروطی	رولت استورم [2]
خط	بخش مخروطی	تمرکز مخروطی	رولت دلونی [3]
خط	سهمی	تمرکز سهمی	کاتناری [4]
خط	بیضی	تمرکز بیضی	طناب بیضوی [4]
خط	هذلولی	تمرکز هذلولی	کاتناری هیپربولیک [4]
خط	هذلولی	مرکز هذلولی	الاستیک مستطیلی [2] [ تأیید ناموفق ]
خط	سیکلوسیکلوید	مرکز	بیضی [5]
دایره	دایره	هر	تروکوئید مرکزی [6]
خارج از دایره	دایره	هر	اپی تروکوئید
خارج از دایره	دایره	روی دایره اشاره کنید	اپی سیکلوئید
خارج از دایره	دایره ای با شعاع یکسان	هر	لیماسون
خارج از دایره	دایره ای با شعاع یکسان	روی دایره اشاره کنید	کاردیوئید
خارج از دایره	دایره نصف شعاع	روی دایره اشاره کنید	نفروئید
داخل یک دایره	دایره	هر	هیپوتروکوئید
داخل یک دایره	دایره	روی دایره اشاره کنید	هیپوسیکلوئید
داخل یک دایره	دایره یک سوم شعاع	روی دایره اشاره کنید	دلتوئید
داخل یک دایره	دایره یک چهارم شعاع	روی دایره اشاره کنید	آستروئید
سهمی	سهمی برابر با پارامتر در جهت مخالف	راس سهمی	سیسوئید دیوکلس [1]
کاتناری	خط	مثال بالا را ببینید	خط

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

WH Besant (1890) یادداشت‌هایی درباره رولت‌ها و گلیست‌ها از مونوگراف‌های ریاضی تاریخی دانشگاه کرنل ، که در ابتدا توسط Deighton, Bell & Co منتشر شد.
وایستاین، اریک دبلیو. "رولت" . دنیای ریاضی .

ادامه مطلب [ ویرایش ]

رولت در 2dcurves.com
Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (به فرانسوی)
Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (به آلمانی)

https://en.wikipedia.org/wiki/Roulette_(curve)

+ نوشته شده در پنجشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 6:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-معادله پارامتری

سیستم های خطی نامشخص [ ویرایش ]

سیستمی متشکل از m معادلات خطی در n مجهول ، اگر بیش از یک جواب داشته باشد، کمتر تعیین می شود. این زمانی اتفاق می‌افتد که ماتریس سیستم و ماتریس تقویت‌شده آن دارای رتبه‌های r و r < m یکسان باشند . در این مورد، می توان m - r مجهولات را به عنوان پارامتر انتخاب کرد و همه راه حل ها را به عنوان یک معادله پارامتری نشان داد که در آن همه مجهولات به صورت ترکیب خطی از موارد انتخاب شده بیان می شوند. یعنی اگر مجهولات باشند $x_{1},\ldots,x_{n},$ می توان آنها را برای بیان راه حل ها به صورت [10] مرتب کرد.

${\begin{aligned}x_{1}&=\beta _{1}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{1,j}x_{j}\\ \vdots \\x_{r}&=\beta _{r}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{r,j}x_{j}\\x_{r+1 }&=x_{r+1}\\\vdots \\x_{n}&=x_{n}.\end{تراز شده}}$

چنین معادله پارامتری فرم پارامتریک حل سیستم نامیده می شود. [10]

روش استاندارد برای محاسبه فرم پارامتریک راه حل، استفاده از حذف گاوسی برای محاسبه یک فرم ردیف کاهش یافته از ماتریس تقویت شده است. سپس مجهولاتی که می‌توانند به عنوان پارامتر استفاده شوند، آنهایی هستند که با ستون‌هایی مطابقت دارند که هیچ ورودی اصلی را ندارند (یعنی سمت چپ ترین ورودی غیرصفر در یک ردیف یا ماتریس)، و شکل پارامتریک را می‌توان به سادگی استنتاج کرد. [10]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منحنی
تخمین پارامتریک
بردار موقعیت
تابع با ارزش برداری
پارامترسازی بر اساس طول قوس
مشتق پارامتریک

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ a b c Weiststein، Eric W. "معادلات پارامتریک" . دنیای ریاضی .
↑ کریزیگ، اروین (1972). ریاضیات مهندسی پیشرفته (ویرایش سوم). نیویورک: وایلی . ص 291، 342. شابک 0-471-50728-8.
^ باردن، ریچارد ال. فیرس، جی داگلاس (1993). تجزیه و تحلیل عددی (ویرایش پنجم). بوستون: بروکس/کول . پ. 149. شابک 0-534-93219-3.
^ توماس، جورج بی. فینی، راس ال. (1979). حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی (ویرایش پنجم). ادیسون-وسلی . پ. 91.
^ نیکمپ، دوان. "نمونه پارامترسازی صفحه" . mathinsight.org . بازیابی شده 2017-04-14 .
↑ اسپیتزبارت، آبراهام (1975). حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی . Gleview، IL: اسکات، فورمن و شرکت. شابک 0-673-07907-4. بازبینی شده در 30 اوت 2015 .
↑ استوارت، جیمز (2003). حساب دیفرانسیل و انتگرال (ویرایش پنجم). Belmont، CA: Thomson Learning, Inc. pp. 687-689 . شابک 0-534-39339-X.
↑ شاه، جامی ج. مارتی مانتیلا (1995). CAD/CAM پارامتری و مبتنی بر ویژگی: مفاهیم، تکنیک ها و برنامه ها . نیویورک، نیویورک: جان وایلی و پسران، شرکت صفحات 29-31. شابک 0-471-00214-3.
^ حساب دیفرانسیل و انتگرال: تک و چند متغیره . جان وایلی. 29-10-2012. پ. 919. شابک 9780470888612. OCLC 828768012 .
^ a b c Anton, Howard; رورس، کریس (2014) [1973]. "حذف گاوسی 1.2" . جبر خطی ابتدایی (ویرایش یازدهم). وایلی. صص 11-24.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

نرم افزار گرافیک در Curlie
برنامه وب برای رسم منحنی های پارامتریک روی صفحه

دسته بندی ها :

حساب چند متغیره
معادلات
پردازش هندسه

https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation

+ نوشته شده در پنجشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 1:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-معادله پارامتری

دایره [ ویرایش ]

یک مثال پیچیده تر در زیر است. دایره واحدی را در نظر بگیرید که با معادله معمولی (دکارتی) توصیف می شود

$x^{2}+y^{2}=1.$

این معادله را می توان به صورت زیر پارامتر کرد:

$(x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad \mathrm {for} \ 0\leq t<2\pi .$

با معادله دکارتی، بررسی اینکه آیا یک نقطه روی دایره قرار دارد یا نه، آسان تر است. با نسخه پارامتریک به دست آوردن امتیاز در یک نمودار آسان تر است.

در برخی زمینه‌ها، معادلات پارامتری که فقط شامل توابع گویا هستند (که کسری از دو چند جمله‌ای هستند ) ترجیح داده می‌شوند. در مورد دایره، چنین پارامتری منطقی است

${\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2 }}}\,.\end{تراز شده}}$

با این جفت معادلات پارامتری، نقطه (-1، 0) با مقدار واقعی t نشان داده نمی شود ، بلکه با حد x و y زمانی که t به بی نهایت تمایل دارد نشان داده می شود .

بیضی [ ویرایش ]

یک بیضی در موقعیت متعارف (مرکز در مبدا، محور اصلی در امتداد محور x ) با نیم محورهای a و b را می توان به صورت پارامتری نشان داد.

${\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}$

یک بیضی در موقعیت کلی را می توان به صورت بیان کرد

${\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\, \sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end {alignedat}}$

به عنوان پارامتر t از 0 تا 2 π متغیر است . در اینجا ( Xc , Yc ) مرکز بیضی است و φ زاویه بین محور x و محور اصلی بیضی است .

هر دو پارامتر ممکن است با استفاده از فرمول و تنظیم نیم زاویه مماس منطقی شوندبرنزه⁡تی2=تو. ${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

منحنی لیساجو [ ویرایش ]

منحنی لیزاجوس که در آن k x = 3 و k y = 2 .

منحنی لیزاجوس شبیه یک بیضی است، اما سینوسی x و y در فاز نیستند. در موقعیت متعارف، منحنی لیزاجوس توسط

${\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}$

که در آن k x و k y ثابت هایی هستند که تعداد لوب های شکل را توصیف می کنند.

+ نوشته شده در پنجشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 0:57 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-معادله پارامتری

طراحی به کمک کامپیوتر [ ویرایش ]

یکی دیگر از کاربردهای مهم معادلات پارامتریک در زمینه طراحی به کمک کامپیوتر (CAD) است. [7] برای مثال، سه نمایش زیر را در نظر بگیرید، که همه آنها معمولاً برای توصیف منحنی های مسطح استفاده می شوند .

تایپ کنیدفرم مثال شرح

صریح

$y=f(x)\,\!$ $y=mx+b\,\!$ خط

ضمنی $f(x,y)=0\,\!$ $\left(xa\right)^{2}+\left(yb\right)^{2}=r^{2}$ دایره

پارامتریک $x={\frac {g(t)}{w(t)}};\,\!$ $y={\frac {h(t)}{w(t)}}$ $x=a_{0}+a_{1}t;\,\!$ $y=b_{0}+b_{1}t\,\!$ خط

$x=a+r\,\cos t;\,\!$ $y=b+r\,\sin t\,\!$ دایره

هر نمایش دارای مزایا و معایبی برای برنامه های CAD است.

نمایش صریح ممکن است بسیار پیچیده باشد، یا حتی ممکن است وجود نداشته باشد. علاوه بر این، تحت تحولات هندسی ، و به ویژه تحت چرخش، رفتار خوبی ندارد . از سوی دیگر، همانطور که یک معادله پارامتری و یک معادله ضمنی را می توان به راحتی از یک نمایش صریح استنتاج کرد، زمانی که یک نمایش صریح ساده وجود داشته باشد، مزایای هر دو نمایش دیگر را دارد.

نمایش های ضمنی ممکن است ایجاد نقاط روی منحنی و حتی تصمیم گیری در مورد وجود نقاط واقعی را دشوار کند. از سوی دیگر، آنها برای تصمیم گیری در مورد اینکه آیا یک نقطه معین روی یک منحنی است یا در داخل یا خارج از یک منحنی بسته است، مناسب هستند.

چنین تصمیماتی ممکن است با یک نمایش پارامتری دشوار باشد، اما نمایش های پارامتریک برای تولید نقاط روی یک منحنی و برای ترسیم آن مناسب هستند. [8]

هندسه عدد صحیح [ ویرایش ]

بسیاری از مسائل در هندسه اعداد صحیح را می توان با استفاده از معادلات پارامتری حل کرد. یک چنین راه حل کلاسیکی پارامترسازی اقلیدس از مثلث های قائم الزاویه است به گونه ای که طول اضلاع a , b و فرض c آنها اعداد صحیح همزمان هستند . از آنجایی که a و b هر دو زوج نیستند (در غیر این صورت a , b و c همزمان اول نیستند)، می توان آنها را به صورت زوج مبادله کرد و پارامترسازی پس از آن انجام می شود.

${\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{تراز شده} }$

که در آن پارامترهای m و n اعداد صحیح همزمان مثبت هستند که هر دو فرد نیستند.

با ضرب a ، b و c در یک عدد صحیح مثبت دلخواه، پارامتری از تمام مثلث های قائم الزاویه ای که سه ضلع آنها دارای طول های صحیح هستند، بدست می آید.

ضمنی سازی [ ویرایش ]

تبدیل مجموعه ای از معادلات پارامتریک به یک معادله ضمنی منفرد شامل حذف متغیر t از معادلات همزمان است. $x=f(t)،\ y=g(t).$ این فرآیند ضمنی سازی نامیده می شود . اگر بتوان یکی از این معادلات را برای t حل کرد ، عبارت به دست آمده را می توان با معادله دیگر جایگزین کرد تا معادله ای فقط شامل x و y به دست آید : حل $y=g(t)$ بدست آوردن $t=g^{-1}(y)$ و با استفاده از این در $x=f(t)$ معادله صریح را می دهد $x=f(g^{-1}(y))،$ در حالی که موارد پیچیده تر یک معادله ضمنی از فرم را به دست می دهند $h(x,y)=0.$

اگر پارامترسازی توسط توابع گویا داده شود

$x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}}،$

در جایی که p ، q و r چندجمله‌ای هم‌اصل مجموعه‌ای هستند ، یک محاسبات حاصل به فرد اجازه می‌دهد که به صورت ضمنی بپردازد. به طور دقیق تر، معادله ضمنی حاصل با توجه به t از xr ( t ) - p ( t ) و yr ( t ) - q ( t ) است .

در ابعاد بالاتر (یا بیش از دو مختصات یا بیش از یک پارامتر)، ضمنی کردن معادلات پارامتری منطقی ممکن است با محاسبات گروبنر انجام شود. نگاه کنید به مبانی گروبنر § ضمنی سازی در بعد بالاتر .

برای مثال دایره شعاع a معادلات پارامتری

${\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{aligned}}$

را می توان بر حسب x و y از طریق هویت مثلثاتی فیثاغورثی ضمنی کرد . با

${\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{ هم راستا}}$ و

$\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,$ ما گرفتیم

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,$ و بنابراین

$x^{2}+y^{2}=a^{2}،$

که معادله استاندارد دایره ای است که در مرکز مبدا قرار دارد.

نمونه های دو بعدی [ ویرایش ]

سهمی [ ویرایش ]

ساده ترین معادله برای سهمی ،

�=2

$y=x^{2}$

می توان با استفاده از یک پارامتر آزاد t و تنظیم (به طور بی اهمیت) پارامتر کرد

$x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .$

معادلات صریح [ ویرایش ]

به طور کلی، هر منحنی که توسط یک معادله صریح داده می شود

$y=f(x)$

می توان با استفاده از یک پارامتر آزاد t و تنظیم (به طور بی اهمیت) پارامتر کرد

$x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .$

+ نوشته شده در پنجشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 0:53 توسط علی رضا نقش نیلچی |

لیماسون

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ساخت لیماسون r = 2 + cos(π – θ) با مبدأ مختصات قطبی در ( x , y ) = (1/2, 0)

در هندسه ، لیماسون یا لیماکون / ˈ l ɪ m ə s ɒ n / که به عنوان لیماسون پاسکال یا حلزون پاسکال نیز شناخته می شود، به عنوان یک منحنی رولتی تعریف می شود که از مسیر یک نقطه ثابت به یک دایره زمانی که آن دایره می چرخد ، تشکیل می شود. اطراف بیرون دایره ای با شعاع مساوی. همچنین می‌توان آن را به‌عنوان رولتی تعریف کرد که وقتی یک دایره به دور دایره‌ای با نصف شعاع آن می‌چرخد، طوری که دایره کوچک‌تر داخل دایره بزرگ‌تر باشد. بنابراین، آنها به خانواده منحنی ها به نام تروکوئیدهای مرکزی تعلق دارند . به طور خاص، آنها اپی تروکوئید هستند . کاردیوئید مورد خاصی است که در آن نقطه تولید رولت روی دایره نورد قرار دارد . منحنی حاصل دارای کاسپ است .

بسته به موقعیت نقطه ایجاد کننده منحنی، ممکن است دارای حلقه های داخلی و خارجی باشد (که نام خانواده را می دهد)، ممکن است قلب شکل یا بیضی باشد.

لیماسون یک منحنی جبری صفحه گویا دو دایره ای درجه 4 است .

سه لیماسون: فرورفته، با کاسپ (یک کاردیوئید )، و حلقه دار. نشان داده نشده: لیماسون محدب

تاریخچه [ ویرایش ]

اولین تحقیقات رسمی در مورد لیماسون ها به طور کلی به اتین پاسکال ، پدر بلز پاسکال نسبت داده می شود . با این حال، برخی تحقیقات روشنگرانه در مورد آنها قبلا توسط آلبرشت دورر، هنرمند رنسانس آلمان انجام شده بود . Dürer's Underweysung der Messung (دستورالعمل در اندازه گیری) شامل روش های هندسی خاصی برای تولید لیماسون است. این منحنی توسط ژیل دو روبروال به عنوان مثالی برای یافتن خطوط مماس نامگذاری شد.

معادلات [ ویرایش ]

معادله (تا تبدیل و چرخش) یک لیماسون در مختصات قطبی شکل دارد

$r=b+a\cos \theta .$

این را می توان با ضرب در r به مختصات دکارتی تبدیل کرد (به این ترتیب نقطه ای در مبدا معرفی می شود که در برخی موارد جعلی است) و جایگزینی $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ و $r\cos \theta =x$ برای به دست آوردن [1]

$\left(x^{2}+y^{2}-ax\right)^{2}=b^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).$

با اعمال فرم پارامتری قطب به تبدیل دکارتی، ما نیز [2] داریم.

$x=(b+a\cos \theta )\cos \theta ={a \over 2}+b\cos \theta +{a \over 2}\cos 2\theta ,$

$y=(b+a\cos \theta )\sin \theta =b\sin \theta +{a \over 2}\sin 2\theta ;$

در حین تنظیم

$z=x+iy=(b+a\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )$

این پارامتر را به عنوان یک منحنی در صفحه مختلط به دست می دهد :

$z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.$

اگر بخواهیم به صورت افقی جابجا شویم- ${\textstyle -{\frac {1}{2}}a}$ ، یعنی

$z=be^{it}+{a \over 2}e^{2it}$ ،

ما با تغییر محل مبدا، به شکل معمول معادله یک تروکوئید در مرکز تبدیل می‌شویم. به تغییر متغیر مستقل در این مرحله توجه کنید تا مشخص شود که دیگر از پارامتر مختصات قطبی پیش‌فرض استفاده نمی‌کنیم. $\theta =\arg z$ .

موارد خاص [ ویرایش ]

در مورد خاص $a=b$ ، معادله قطبی است

$r=b(1+\cos \theta )=2b\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

یا

$r^{1 \over 2}=(2b)^{1 \over 2}\cos {\frac {\theta }{2}},$

آن را به عضوی از خانواده منحنی های مارپیچی سینوسی تبدیل می کند . این منحنی کاردیوئید است .

در مورد خاص $a=2b$ ، شکل تروکوئید مرکزی معادله می شود

$z=b\left(e^{it}+e^{2it}\right)=be^{3it \over 2}\left(e^{it \over 2}+e^{-it \ بیش از 2}\right)=2be^{3it \over 2}\cos {t \over 2},$

یا در مختصات قطبی

$r=2b\cos {\theta \over 3}$

آن را به عضوی از خانواده منحنی های گل رز تبدیل می کند . این منحنی یک تری سی تریکس است و گاهی به آن تری سکتریکس لیماسون نیز می گویند .

فرم [ ویرایش ]

چه زمانیب>آ $b>a$ ، لیماسون یک منحنی بسته ساده است. با این حال، مبدا معادله دکارتی ارائه شده در بالا را برآورده می کند، بنابراین نمودار این معادله دارای یک نقطه یا نقطه ایزوله است.

چه زمانی $b>2a$ ، ناحیه محدود شده توسط منحنی محدب است و چه زمانی $a<b<2a$ ، منحنی دارای یک فرورفتگی است که توسط دو نقطه عطف محدود شده است . در $b=2a$ ، نکته $(-a,0)$ نقطه انحنای صفر است .

مانندب $b$ نسبت به کاهش یافته استآ $a$ ، تورفتگی بیشتر می شود تا زمانی که، درب=آ $b=a$ ، منحنی به یک کاردیوئید تبدیل می شود و تورفتگی به یک کاسپ تبدیل می شود . برای0<ب<آ $0<b<a$ ، کاسپ به یک حلقه داخلی منبسط می شود و منحنی در مبدا از خود عبور می کند. مانندب $b$ به 0 نزدیک می شود، حلقه منحنی بیرونی را پر می کند و در حد، لیماسون به دایره ای تبدیل می شود که دو بار از آن عبور می کند.

اندازه گیری [ ویرایش ]

منطقه محصور شده توسط لیماسون $r=b+a\cos \theta$ است ${\textstyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\pi }$ . چه زمانی $b<a$ این مساحت محصور شده توسط حلقه داخلی را دو بار می شمارد. در این حالت منحنی در زاویه از مبدا عبور می کند ${\textstyle \pi \pm \arccos {b \over a}}$ ، ناحیه محصور شده توسط حلقه داخلی است

$\left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {a^{ 2}-b^{2}}}،$

ناحیه محصور شده توسط حلقه بیرونی است

$\left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -\arccos {b \over a}\right)+{3 \over 2 }b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}،$

و مساحت بین حلقه ها می باشد

$\left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -2\arccos {b \over a}\right)+3b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.$ [1]

محیط لیماسون توسط یک انتگرال بیضوی کامل از نوع دوم به دست می آید :

$4(a+b)E\left({{2{\sqrt {ab}}} \over a+b}\right).$

ارتباط با منحنی های دیگر [ ویرایش ]

اجازه دهید $P$ یک نقطه باشد وسی $C$ دایره ای باشد که مرکز آن نباشدپ $P$ . سپس پاکت آن دایره هایی که مرکز آنها قرار داردسی $C$ و از آن عبور می کنند $P$ لیماسون است.

لیماسون- منحنی پدال یک دایره

پدال دایره لیماسون است . در واقع پدال با توجه به مبدا دایره با شعاعب $b$ و مرکز $(a,0)$ معادله قطبی دارد $r=b+a\cos \theta$ .

معکوس نسبت به دایره واحد $r=b+a\cos \theta$ است

$r={1 \over {b+a\cos \theta }}$

که معادله مقطع مخروطی با خروج از مرکز استآب ${\tfrac {a}{b}}$ و روی مبدا تمرکز کنید. بنابراین یک لیماسون را می توان به عنوان معکوس مخروطی که در آن مرکز وارونگی یکی از کانون ها است، تعریف کرد. اگر مخروطی سهمی باشد، معکوس آن یک کاردیوئید است، اگر مخروطی هذلولی باشد، لیماسون مربوطه یک حلقه داخلی خواهد داشت، و اگر مخروطی بیضی باشد، لیماسون مربوطه هیچ حلقه ای نخواهد داشت.

مخروط دایره نسبت به نقطه ای از دایره یک لیماسون است .

یک مورد خاص از بیضی دکارتی ، لیماسون است. [3]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

^پرش به بالا:ج . دنیس لارنس (1972). کاتالوگ منحنی های صفحه ویژه . انتشارات دوور. صص 113-118. شابک 0-486-60288-5.
↑ وایستاین، اریک دبلیو «لیماسون». از MathWorld -- یک منبع وب Wolfram.
^ اوکانر، جان جی. رابرتسون، ادموند اف ، "بیضی دکارتی" ، آرشیو تاریخچه ریاضیات مک معلم ، دانشگاه سنت اندروز

ادامه مطلب [ ویرایش ]

جین گروسمن و مایکل گروسمن. "گودی یا بدون گودی" ، مجله ریاضیات کالج دو ساله ، ژانویه 1982، صفحات 52-55.
هوارد آنتون. حساب دیفرانسیل و انتگرال، ویرایش دوم، صفحه 708، جان وایلی و پسران، 1984.
هوارد آنتون. [1] صص 725 – 726.
هوارد ایوز بررسی هندسه ، جلد 2 (صفحات 51،56،273)، آلین و بیکن، 1965.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مرتبط با لیماکن وجود دارد .

دسته بندی ها :

https://en.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on

+ نوشته شده در چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 22:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نفروئید

نفروید: تعریف

در هندسه ، نفروئید (از یونانی باستان ὁ νεφρός (ho nephros) « کلیه‌شکل ») یک منحنی صفحه مشخص است . این نوعی اپی سیکلوئید است که در آن شعاع دایره کوچکتر با دایره بزرگتر یک دوم تفاوت دارد.

نام [ ویرایش ]

اگرچه اصطلاح نفروید برای توصیف منحنی های دیگر استفاده می شد، اما در این مقاله توسط ریچارد A. Proctor در سال 1878 به منحنی استفاده شد .

تعریف دقیق [ ویرایش ]

نفروئید است

منحنی جبری درجه 6 .
یک اپی سیکلوئید با دو کاسپ
صفحه منحنی بسته ساده = منحنی جردن

معادلات [ ویرایش ]

تولید نفروئید توسط یک دایره غلتان

پارامتریک [ ویرایش ]

اگر دایره کوچک شعاع داشته باشد $a$ ، دایره ثابت نقطه وسط دارد $(0,0)$ و شعاع $2a$ ، زاویه چرخش دایره کوچک است $2\varphi$ و اشاره کنید $(2a,0)$ نقطه شروع (نمودار را ببینید) سپس نمایش پارامتری را دریافت می کنید :

$x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,$

$y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi$

نقشه پیچیده $z\to z^{3}+3z$ دایره واحد را به نفروئید ترسیم می کند [3]

اثبات نمایش پارامتریک [ ویرایش ]

اثبات نمایش پارامتری به راحتی با استفاده از اعداد مختلط و نمایش آنها به عنوان صفحه مختلط انجام می شود . حرکت دایره کوچک را می توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط چرخش یک نقطه $z$ اطراف نقطه $0$ (منشا) با یک زاویه $\varphi$ را می توان با ضرب نقطه انجام داد $z$ (عدد مختلط) توسط $e^{i\varphi }$ . از این رو

چرخش $\Phi _{3}$ اطراف نقطه $3a$ توسط زاویه $2\varphi$ است: $:z\mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi }$ ،

چرخش $\Phi _{0}$ اطراف نقطه $0$ توسط زاویه $\varphi$ است: $:\quad z\mapsto ze^{i\varphi }$ .

یک نقطه $p(\varphi )$ نفروئید توسط چرخش نقطه ایجاد می شود2آ $2a$ توسط $\Phi _{3}$ و چرخش بعدی با $\Phi _{0}$ :

$p(\varphi )=\Phi _{0}(\Phi _{3}(2a))=\Phi _{0}(3a-ae^{i2\varphi })=(3a-ae^ {i2\varphi })e^{i\varphi }=3ae^{i\varphi }-ae^{i3\varphi }$ .

از اینجا یکی می شود

${\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi &=&6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ , &&\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi &.&\end{آرایه}}$

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1,\ \cos 3\varphi = 4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi$ استفاده شده. توابع مثلثاتی را ببینید .)

ضمنی [ ویرایش ]

درج کردن $x(\varphi )$ و $y(\varphi )$ به معادله

$(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}$

نشان می دهد که این معادله یک نمایش ضمنی از منحنی است.

اثبات نمایش ضمنی [ ویرایش ]

با

$x^{2}+y^{2}-4a^{2}=(3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi )^{2}+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2}\sin ^{2}\varphi$

یکی می گیرد

$(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=(12a^{2})^{3}\sin ^{6}\varphi =108a^{ 4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}\ .$

جهت گیری [ ویرایش ]

اگر کاسپ ها روی محور y باشند، نمایش پارامتریک است

$x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi).$

و ضمنی:

$(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.$

خواص متریک [ ویرایش ]

برای نفروئید بالای

طول قوس است، $L=24a،$
مساحت $A=12\pi a^{2}\$ و
شعاع انحنا است. $\rho =|3a\sin \varphi |.$

اثبات این عبارات از فرمول های مناسب بر روی منحنی ها ( طول قوس ، مساحت و شعاع انحنا ) و نمایش پارامتری بالا استفاده می کند.

$x(\varphi )=6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,$

$y(\varphi )=4a\sin ^{3}\varphi$

و مشتقات آنها

${\dot {x}}=-6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi )\ ,\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi ( 5-6\cos ^{2}\varphi )\ ,$

${\dot {y}}=12a\sin ^{2}\varphi \cos \varphi \quad ,\quad \quad \quad \quad {\ddot {y}}=12a\sin \varphi (3 \cos ^{2}\varphi -1)\ .$

اثبات طول قوس

$L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;d\ varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \;d\varphi =24a$ .

اثبات برای منطقه

$A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi [x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\ ;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}$ .

اثبات شعاع انحنا

$\rho =\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3 {2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \ varphi |.$

نفروئید به عنوان پاکت مداد دایره ای

ساخت و ساز [ ویرایش ]

می توان آن را با چرخاندن یک دایره با شعاع تولید کردآ $a$ در خارج از یک دایره ثابت با شعاع $2a$ . از این رو، نفروئید یک اپی سیکلوئید است .

نفروید به عنوان پاکت مداد دایره ای [ ویرایش ]

بگذار باشد $c_{0}$ یک دایره و $D_{1},D_{2}$ نقاط یک قطرد12 $d_{12}$ ، سپس پاکت مداد دایره ای که نقاط میانی روی آنها قرار دارد $c_{0}$ و لمس می کنندد12 $d_{12}$ یک نفروئید با کاسپ است $D_{1},D_{2}$ .

اثبات [ ویرایش ]

اجازه دهید $c_{0}$ دایره باشد $(2a\cos \varphi,2a\sin \varphi)$ با نقطه میانی $(0,0)$ و شعاع $2a$ . قطر ممکن است روی محور x قرار گیرد (نمودار را ببینید). مداد دایره معادلاتی دارد:

$f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{ 2}=0\ .$

شرایط پاکت است

$f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0\ .$

به راحتی می توان نقطه نفروئید را بررسی کرد $p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )$ راه حل سیستم است $f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0$ و از این رو یک نقطه از پاکت مداد دایره.

نفروئید به عنوان پاکت مداد خطوط [ ویرایش ]

نفروید: مماس به عنوان وترهای دایره، اصل

نفروید: مماس به صورت وترهای یک دایره

مشابه با تولید یک کاردیوئید به عنوان پاکت یک مداد از خطوط، روش زیر انجام می شود:

یک دایره بکشید، محیط آن را به قسمت های مساوی تقسیم کنید $3N$ نقاط (نمودار را ببینید) و آنها را به طور متوالی شماره گذاری کنید.
آکوردها را بکشید: ${\ نمایش سبک (1،3)، (2،6)،....، (n،3n)،....،(N،3N)، (N+1،3)، (N+2، 6) ....،}$ . (یعنی: نقطه دوم با سرعت سه برابر حرکت می کند.)
پاکت این آکوردها نفروئید است.

اثبات [ ویرایش ]

در نظر زیر از فرمول های مثلثاتی استفاده می شود $\cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta),\ \cos 2\alpha$ . به منظور ساده نگه داشتن محاسبات، اثبات برای نفروئید با کاسپ در محور y ارائه شده است. معادله مماس : برای نفروئید با نمایش پارامتریک

$x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\;y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi$ :

از اینجا یکی بردار نرمال را تعیین می کند ${\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}$ ، در ابتدا.
معادله مماس ${\dot {y}}(\varphi )\cdot (xx(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (yy(\varphi ))=0$ است:

$(\cos 2\varphi \cdot x\ +\ \sin 2\varphi \cdot y)\cos \varphi =4\cos ^{2}\varphi \ .$

برای $\varphi ={\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}$ فرد به کاسپ نفروئید می رسد، جایی که هیچ تانژانتی وجود ندارد. برای $\varphi \neq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}$ می توان تقسیم بر $\cos \varphi$ بدست آوردن

$\cos 2\varphi \cdot x+\sin 2\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ .$

معادله وتر : به دایره با نقطه وسط $(0,0)$ و شعاع4 $4$ : معادله وتر حاوی دو نقطه $(4\cos \theta,4\sin \theta),\ (4\cos {\color {red}3}\theta ,4\sin {\color {red}3}\theta ))$ است:

$(\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y)\sin \theta =4\cos \theta \sin \theta \ .$

برای $\theta =0,\pi$ آکورد تا حدی منحط می شود. برای $\theta \neq 0,\pi$ می توان تقسیم بر $\sin \theta$ و معادله وتر را بدست می آورد:

$\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y=4\cos \theta \ .$

دو زاویه، $\varphi،\theta$ متفاوت تعریف شده اند $\varphi$ نیمی از زاویه چرخش است، $\تتا$ پارامتر دایره ای است که آکوردهای آن مشخص می شود)، برای= $\varphi =\theta$ یکی همین خط را می گیرد. از این رو هر وتر از دایره بالا مماس بر نفروئید و است

نفروید پوشش آکوردهای دایره است.

نفروئید به عنوان سوزاننده یک نیمه دایره[ ویرایش ]

نفروئید به عنوان سوزاننده دایره: اصل

نفروید به عنوان سوزاننده یک نیمه دایره

ملاحظاتی که در بخش قبل بیان شد، دلیلی بر این واقعیت است که کاستیک نیمی از دایره نفروئید است.

اگر در صفحه، پرتوهای نور موازی با نیمی از یک دایره بازتابی برخورد کنند (نمودار را ببینید)، آنگاه پرتوهای بازتاب شده مماس بر نفروئید هستند.

اثبات [ ویرایش ]

دایره ممکن است مبدأ به عنوان نقطه میانی (مانند بخش قبل) و شعاع آن باشد $4$ . دایره دارای نمایش پارامتریک است

$k(\varphi)=4(\cos \varphi,\sin \varphi)\.$

مماس در نقطه دایرهک: $K:\ k(\varphi )$ دارای وکتور نرمال ${\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}$ . پرتو منعکس شده دارای بردار نرمال است (نمودار را ببینید ${\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}$ و حاوی نقطه دایره است $K:\ 4(\cos \varphi ,\sin \varphi )$ . بنابراین پرتو منعکس شده بخشی از خط معادله است

$\cos {\color {red}2}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,$

که در نقطه مماس بر نفروئید قسمت قبل است

$P:\ (3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi )$ (بالا را ببین).

سوزاننده نفروئید در انتهای فنجان چای

تکامل و تکامل یک نفروئید [ ویرایش ]

نفروید و
سرخابی تکامل یافته آن: نقطه ای با دایره منقبض و مرکز انحنا

تکامل [ ویرایش ]

تکامل یک منحنی محل مراکز انحنا است. در جزئیات: برای یک منحنی ${\vec {x}}={\vec {c}}(ها)$ با شعاع انحنا $\rho (s)$ تکامل نشان می دهد

${\vec {x}}={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).$

با ${\vec {n}}(ها)$ واحد مناسب جهت گیری معمولی است.

برای نفروئید فرد دریافت می کند:

تکامل یک نفروئید نفروئید دیگری به اندازه نیمی است که 9 درجه چرخیده است (نمودار را ببینید) .

اثبات [ ویرایش ]

نفروئید همانطور که در تصویر نشان داده شده است دارای نمایش پارامتریک است

$x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi \ ,$

بردار نرمال واحد که به مرکز انحنا اشاره دارد

${\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}$ (به بخش بالا مراجعه کنید)

و شعاع انحنا $3\cos \varphi$ (س. بخش خصوصیات متریک). از این رو تکامل دارای این نمایش است:

$x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,$

$y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,$

که یک نفروئید به اندازه نصف بزرگ است و 9 درجه چرخیده است (نمودار و بخش § معادلات بالا را ببینید)

درگیر [ ویرایش ]

از آنجا که فرگشت نفروئید نفروئید دیگری است، مجروح شدن نفروئید نیز نفروئید دیگری است. نفرویید اصلی در تصویر، انفروید نفروئید کوچکتر است.

وارونگی (سبز) نفروئید (قرمز) در سراسر دایره آبی

وارونگی نفروئید [ ویرایش ]

وارونگی _

$x\mapsto {\frac {4a^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y\mapsto {\frac {4a^{2}y}{x ^{2}+y^{2}}}$

در سراسر دایره با نقطه وسط $(0,0)$ و شعاع2آ $2a$ نفروئید را با معادله ترسیم می کند

$(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}$

روی منحنی درجه 6 با معادله

$(4a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{ 2}$ (نمودار را ببینید).

نفروئید در زندگی روزمره: سوزاننده بازتاب نور از داخل یک استوانه.

منابع [ ویرایش ]

↑ وایستاین، اریک دبلیو. "نفروید" . دنیای ریاضی .
↑ «نفروید» . تاریخ ریاضی . بازیابی شده در 222-8-12 .
^ مستندات ریاضی اشیاء محقق شده در برنامه تجسم 3D-XplorMath

Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions , CRC Press, 1939, ISBN -8493-8938- , p. 54.
Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III , Springer, 214, ISBN 978-3-319-1735-8 , p. 148.
Lockwood, EH, A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978--521--5585-7 , p. 7.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به نفروید وجود دارد .

دنیای ریاضی: نفروئید
Xahlee: نفروئید

https://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid

+ نوشته شده در چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 21:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

منحنی دلتوئید

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

دایره بیرونی ثابت

دایره نورد (1/3 شعاع دایره بیرونی)

منحنی دلتوئید با ترسیم یک نقطه محیطی روی دایره نورد تشکیل شده است

در هندسه , منحنی دلتوئید که به عنوان منحنی سه لتی یا منحنی اشتاینر نیز شناخته می شود , یک هیپوسایکلوئید سه کاسپ است . به عبارت دیگر، رولتی است که توسط یک نقطه در محیط یک دایره ایجاد می شود که بدون لغزش در امتداد داخل دایره ای با شعاع سه یا یک و نیم برابر آن می چرخد . نام آن برگرفته از حرف بزرگ یونانی دلتا (Δ) است که شبیه آن است.

به طور گسترده‌تر، دلتوئید می‌تواند به هر شکل بسته‌ای اشاره کند که سه رأس آن با منحنی‌هایی که به بیرون مقعر هستند به هم متصل شده و نقاط داخلی را به مجموعه‌ای غیر محدب تبدیل می‌کند . [1]

معادلات [ ویرایش ]

یک هیپوسایکلوئید را می توان (تا چرخش و ترجمه ) با معادلات پارامتری زیر نشان داد

$x=(ba)\cos(t)+a\cos \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,$

$y=(ba)\sin(t)-a\sin \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,,$

که در آن a شعاع دایره غلتشی است، b شعاع دایره ای است که دایره فوق الذکر در داخل آن می چرخد و t بین صفر تا 6 π است . (در تصویر بالا b = 3a ردیابی دلتوئید.)

در مختصات پیچیده این می شود

$z=2ae^{it}+ae^{-2it}$ .

متغیر t را می توان از این معادلات حذف کرد تا معادله دکارتی به دست آید

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^ {3}-3xy^{2})،\,$

بنابراین دلتوئید یک منحنی جبری مسطح درجه چهار است. در مختصات قطبی این می شود

$r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.$

منحنی دارای سه تکینگی است که مربوط به آن است $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}$ . پارامترسازی بالا دلالت بر منطقی بودن منحنی دارد که به معنای داشتن جنس صفر است.

یک پاره خط می تواند با هر انتها روی دلتوئید بلغزد و مماس بر دلتوئید باقی بماند. نقطه مماس دو بار در اطراف دلتوئید حرکت می کند در حالی که هر انتها یک بار به دور آن می چرخد.

منحنی دوگانه دلتوئید است

$x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,$

که دارای یک نقطه دوتایی در مبدا است که می تواند برای ترسیم با یک چرخش خیالی y ↦ iy قابل مشاهده باشد و منحنی را نشان دهد.

$x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,$

با یک نقطه دوتایی در مبدا صفحه واقعی.

مساحت و محیط [ ویرایش ]

مساحت دلتوئید است $2\pi a^{2}$ که در آن دوباره a شعاع دایره نورد است. بنابراین مساحت دلتوئید دو برابر دایره غلتان است. [2]

محیط (طول کل قوس) دلتوئید 16 a است . [2]

تاریخچه [ ویرایش ]

سیکلوئیدهای معمولی در اوایل سال 1599 توسط گالیله گالیله و مارین مرسن مورد مطالعه قرار گرفتند، اما منحنی های سیکلوئیدی برای اولین بار توسط اوله رومر در سال 1674 در حالی که بهترین شکل دندانه های چرخ دنده را مطالعه می کردند، تصور شدند. لئونارد اویلر اولین بررسی دلتوئید واقعی را در سال 1745 در ارتباط با یک مشکل نوری مدعی می کند.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

دلتوئیدها در چندین زمینه از ریاضیات به وجود می آیند. برای مثال:

مجموعه مقادیر ویژه پیچیده ماتریس های یکنواختی مرتبه سه یک دلتوئید را تشکیل می دهد.
مقطعی از مجموعه ماتریس های یکنواختی مرتبه سه یک دلتوئید را تشکیل می دهد.
مجموعه ای از آثار احتمالی ماتریس های واحد متعلق به گروه SU(3) یک دلتوئید را تشکیل می دهد.
تقاطع دو دلتوئید خانواده ای از ماتریس های پیچیده هادامارد از مرتبه شش را پارامتر می کند.
مجموعه تمام خطوط سیمسون مثلث داده شده، یک پاکت به شکل دلتوئید را تشکیل می دهند. این به نام دلتوئید اشتاینر یا هیپوسایکلوئید اشتاینر پس از یاکوب اشتاینر که شکل و تقارن منحنی را در سال 1856 توصیف کرد، شناخته می‌شود . [3]
پوشش نیمسازهای یک مثلث یک دلتوئید است (به معنای وسیع‌تر که در بالا تعریف شد) با رئوس در نقاط وسط وسط . اضلاع دلتوئید کمان هایی از هذلول ها هستند که مجانبی با اضلاع مثلث هستند. [4] [1]
دلتوئید به عنوان راه حلی برای مشکل سوزن کاکیا پیشنهاد شد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

آستروئید ، منحنی با چهار کاسپ
مثلث شاخ دایره‌ای ، منحنی سه ضلعی که از کمان‌های دایره‌ای شکل گرفته است
مثلث ایده آل ، منحنی سه کاسه ای که از خطوط هذلولی تشکیل شده است
شبه مثلث ، ناحیه ای سه پر بین سه مجموعه محدب مماس
زوج طوسی ، یک رولت دو سر
بادبادک (هندسه) که به آن دلتوئید نیز می گویند

منابع [ ویرایش ]

↑ «نصف سازهای یک مثلث» . www.se16.info . بازبینی شده در 26 اکتبر 2017 .
^پرش به بالا:وایستاین ، اریک دبلیو . "دلتوئید". ازMathWorld-- یک منبع وب Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html
^ لاک وود
↑ Dunn، JA، و Pretty، JA، "Nalving a Triangle"، روزنامه ریاضی 56، مه 1972، 105-108.

EH Lockwood (1961). "فصل 8: دلتوئید". کتاب منحنی ها . انتشارات دانشگاه کمبریج.
جی. دنیس لارنس (1972). کاتالوگ منحنی های صفحه ویژه . انتشارات دوور. صص 131-134 . شابک 0-486-60288-5.
ولز دی (1991). فرهنگ لغت پنگوئن هندسه عجیب و جالب . نیویورک: کتاب های پنگوئن. ص 52 . شابک 0-14-011813-6.
"Tricuspoid" در MacTutor's Famous Curves Index
"دلتوئید" در MathCurve
سوکولوف، دی دی (2001) [1994]، "منحنی اشتاینر" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS

دسته بندی ها :

https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoid_curve

+ نوشته شده در چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 21:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کاردیوئید فضایی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

معرفی کاردیوئید فضایی در جورجیا تک

کاردیوئید فضایی یک منحنی سه بعدی است که از کاردیوئید مشتق شده است . این یک نمایش پارامتری با استفاده از توابع مثلثاتی دارد ، به شرح زیر: [1]

$X(t)=((1-\cos(t))\cos(t),(1-\cos(t))\sin(t),\sin(t))\,$

منابع [ ویرایش ]

↑ استیب، ویلی هانس (2017)، "مسئله 44" ، مسائل و راه حل ها در هندسه دیفرانسیل، سری لی، اشکال دیفرانسیل، نسبیت و کاربردها، شرکت انتشارات علمی جهانی، ص. 61، شابک 9789813230842

https://en.wikipedia.org/wiki/Space_cardioid

+ نوشته شده در چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 21:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

6-کاردیوئید

در موقعیت های مختلف [ ویرایش ]

انتخاب موقعیت های دیگر کاردیوئید در سیستم مختصات معادلات مختلفی را به همراه دارد. تصویر 4 موقعیت رایج یک کاردیوئید و معادلات قطبی آنها را نشان می دهد.

در تحلیل مختلط[ ویرایش ]

مرز ناحیه مرکزی، دوره 1، مجموعه مندلبرو یک کاردیوئید دقیق است.

در تجزیه و تحلیل پیچیده ، تصویر هر دایره از طریق مبدا زیر نقشه2 $z\to z^{2}$ یک کاردیوئید است یکی از کاربردهای این نتیجه این است که مرز مولفه دوره مرکزی-1 مجموعه مندلبرو یک کاردیوئید است که توسط معادله داده می شود.

ج=1-(همنتی-1)24.

$c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.$

مجموعه Mandelbrot شامل تعداد بی نهایت کپی کمی تحریف شده از خود است و حباب مرکزی هر یک از این نسخه های کوچکتر یک کاردیوئید تقریبی است.

کاردیوئیدی که توسط نور روی صفحه ساعت تشکیل شده است.

کاستیک [ ویرایش ]

برخی از مواد سوزاننده می توانند شکل کاردیوئیدها را به خود بگیرند. کاتاکاستیک دایره نسبت به نقطه ای از محیط کاردیوئید است. همچنین کاتاکاستیک مخروط نسبت به پرتوهای موازی با خط مولد سطحی است که سطح مقطع آن کاردیوئید است. این را می توان مانند عکس سمت راست، در یک فنجان مخروطی که تا حدی با مایع پر شده است، زمانی که نور از فاصله دور و با زاویه ای برابر با زاویه مخروط می تابد، مشاهده کرد. [5] شکل منحنی در پایین یک فنجان استوانه ای نیمی از نفروئید است که کاملاً شبیه به نظر می رسد.

ایجاد یک کاردیوئید به عنوان منحنی پدال یک دایره

همچنین ببینید [ ویرایش ]

لیماسون
نفروئید
دلتوئید
میله ویتگنشتاین
میکروفون کاردیوئید
Lemniscate برنولی
آنتن حلقه ای
جهت یاب رادیویی
یافتن جهت رادیویی
آنتن یاگی
جیووانی سالومینی
کاردیوئید فضایی

یادداشت ها [ ویرایش ]

↑ وایستاین، اریک دبلیو. "منحنی معکوس پارابولا" . دنیای ریاضی .
↑ S Balachandra Rao. حساب دیفرانسیل، ص. 457
^ لاک وود
^ یتس
↑ «Surface Caustique» در Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

منابع [ ویرایش ]

آر سی یاتس (1952). "کاردیوئید". کتاب راهنمای منحنی ها و خواص آنها . آن آربور، MI: جی دبلیو ادواردز. ص 4 به بعد.
ولز دی (1991). فرهنگ لغت پنگوئن هندسه عجیب و جالب . نیویورک: کتاب های پنگوئن. ص 24-25 . شابک 0-14-011813-6.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی مربوط به کاردیوئیدها وجود دارد .

"Cardioid" ، دایره المعارف ریاضیات ، EMS Press ، 2001 [1994]
اوکانر، جان جی. رابرتسون، ادموند اف ، "کاردیوید" ، آرشیو تاریخچه ریاضیات مک آموز ، دانشگاه سنت اندروز
خوردن صمیمانه بر روی کاردیوئیدها
وایستاین، اریک دبلیو. "کاردیوئید" . دنیای ریاضی .
وایستاین، اریک دبلیو. "Epicycloid--1-Cusped" . دنیای ریاضی .
وایستاین، اریک دبلیو. "منحنی قلب" . دنیای ریاضی .
Xah Lee, Cardioid (1998) (این سایت تعدادی ساختار جایگزین را ارائه می دهد) .
یان واسنار، کاردیوئید ، (2005)

https://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid

+ نوشته شده در چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 2:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-کاردیوئید

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک کاردیوئید

ماده سوز آور ظاهر شده در سطح این فنجان قهوه یک کاردیوئید است.

در هندسه ، یک کاردیوئید (از یونانی قلب (kardiá) «قلب») یک منحنی صفحه‌ای است که توسط نقطه‌ای در محیط دایره‌ای که به دور دایره ثابتی با همان شعاع می‌چرخد، ترسیم می‌شود. همچنین می توان آن را به عنوان یک اپی سیکلوئید با یک کاسپ منفرد تعریف کرد . همچنین نوعی مارپیچ سینوسی و یک منحنی معکوس سهمی با کانون به عنوان مرکز وارونگی است. [1] یک کاردیوئید همچنین می تواند به عنوان مجموعه ای از نقاط بازتاب یک نقطه ثابت روی یک دایره از طریق تمام مماس های دایره تعریف شود. [2]

کاردیوئید توسط یک دایره غلتان بر روی دایره ای با همان شعاع ایجاد می شود

این نام توسط جیووانی سالومینی در سال 1741 ابداع شد [3] اما کاردیوئید چندین دهه قبل موضوع مطالعه قرار گرفته بود. [4] اگرچه به دلیل شکل قلب مانند آن نامگذاری شده است، اما بیشتر شبیه طرح کلی سطح مقطع یک سیب گرد بدون ساقه است.

یک میکروفون کاردیوئید یک الگوی پیکاپ آکوستیک را نشان می‌دهد که وقتی در دو بعدی نمودار می‌شود، شبیه یک کاردیوئید است (هر صفحه 2 بعدی حاوی خط مستقیم سه بعدی بدنه میکروفون). در سه بعد، کاردیوئید به شکل یک سیب است که در مرکز میکروفون قرار دارد که "ساقه" سیب است.

+ نوشته شده در چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 1:20 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثلث دایره ای

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مثلث های دایره ای با مخلوطی از لبه های محدب و مقعر

در هندسه ، مثلث دایره ای مثلثی است که لبه های کمانی دایره ای دارد .

مثالها [ ویرایش ]

تقاطع سه دیسک

مثلث دایره ای شاخ

مثلث رئولو

آربلوس

تقاطع سه دیسک دایره ای شکل یک مثلث دایره ای محدب را تشکیل می دهد. به عنوان مثال، مثلث Reuleaux یک مورد خاص از این ساختار است که در آن سه دیسک در مرکز رئوس یک مثلث متساوی الاضلاع ، با شعاع برابر با طول ضلع مثلث قرار دارند. با این حال، هر مثلث دایره ای محدب به عنوان تقاطع دیسک ها به این ترتیب تشکیل نمی شود.

یک مثلث شاخ دایره ای تمام زوایای داخلی آن برابر با صفر است. [1] یکی از راه‌های تشکیل برخی از این مثلث‌ها، قرار دادن سه دایره است که از بیرون مماس بر یکدیگر به صورت جفت هستند. سپس ناحیه مثلثی مرکزی که توسط این دایره ها احاطه شده است یک مثلث شاخ است. با این حال، مثلث های شاخ دیگری، مانند آربلوس (با سه رأس خطی و سه نیم دایره به عنوان اضلاع آن) به جای بیرونی هر سه، درون یکی از سه دایره مماس تشکیل دهنده آن هستند. [2]

کاردیوئید بوسکوویچ و یکی از خطوط دو نیم کننده محیطی آن

مثلث دایره‌ای مانند کاردیوئید که توسط راجر جوزف بوسکوویچ یافت شد دارای سه رأس با فاصله مساوی روی یک خط، دو نیم‌دایره مساوی در یک طرف خط و یک نیم‌دایره با شعاع دو برابر در طرف دیگر خط است. دو راس بیرونی دارای زاویه داخلی هستند $\pi$ و راس میانی دارای زاویه داخلی است $2\pi$ . این خاصیت عجیب دارد که تمام خطوطی که از راس میانی می گذرند محیط آن را نصف می کنند. [3]

سایر مثلث های دایره ای می توانند مخلوطی از لبه های قوس دایره ای محدب و مقعر داشته باشند.

مشخص کردن زوایا [ ویرایش ]

سه زاویه داده شده $\theta _{1}$ ، $\theta _{2}$ ، و $\theta _{3}$ در فاصله زمانی $[0,2\pi ]$ زوایای داخلی یک مثلث دایره ای (بدون خودتقاطع) را تشکیل دهند اگر و فقط اگر از سیستم نابرابری ها تبعیت کنند.

${\begin{aligned}-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}<2\pi \\-2\pi &<\theta _ {1}+\theta _{3}-\theta _{2}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1}< 2\pi .\end{تراز شده}}$

همه مثلث های دایره ای با زوایای داخلی یکسان با یکدیگر تحت تبدیل موبیوس با یکدیگر معادل هستند . [4]

ایزوپریمتری [ ویرایش ]

مثلث‌های دایره‌ای راه‌حلی را برای یک مسئله هم‌پرمتریک می‌دهند که در آن منحنی با حداقل طول را می‌جوییم که سه نقطه داده شده را در بر می‌گیرد و یک مساحت مشخص دارد. وقتی مساحت حداقل به اندازه دایره دایره نقاط باشد، راه حل هر دایره ای از آن ناحیه است که نقاط را احاطه کرده است. برای نواحی کوچکتر، منحنی بهینه یک مثلث دایره‌ای خواهد بود که سه نقطه به عنوان رأس آن، و با کمان‌های دایره‌ای با شعاع مساوی به عنوان اضلاع آن، تا ناحیه‌ای که یکی از سه زاویه داخلی چنین مثلثی به صفر می‌رسد، خواهد بود. در زیر آن ناحیه، منحنی به یک مثلث دایره‌ای با «آنتن» تبدیل می‌شود، بخش‌های مستقیمی که از رئوس آن به یک یا چند نقطه مشخص می‌رسند. در حدی که مساحت به صفر می رسد، مثلث دایره ای به سمت نقطه فرما از سه نقطه داده شده کوچک می شود. [5]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

دایره هارت ، دایره‌ای که با مثلث‌های دایره‌ای معینی مرتبط است
مثلث هذلولی ، مثلثی که در هندسه هذلولی اضلاع مستقیم دارد، اما در برخی از مدل‌های هندسه هذلولی به صورت دایره‌ای رسم می‌شود.
لون و لنز ، فیگورهای دو طرفه که با کمان‌های دایره‌ای محصور شده‌اند
ترفویل ، مثلث دایره‌ای است که از سه رأس خود به بیرون برآمده است که در معماری استفاده می‌شود

منابع [ ویرایش ]

^ کاسنر، ادوارد ؛ کالیش، آیدا (1944)، "هندسه مثلث شاخ دایره ای"، مجله ملی ریاضیات ، 18 : 299–304، doi : 10.2307/3030080 ، JSTOR 3030080 ، MR 001044
↑ بواس، هارولد پی. (2006)، "بازتاب هایی در مورد آربلوس" (PDF) ، ماهنامه ریاضی آمریکایی ، 113 (3): 236-249، doi : 10.2307/27641891 ، JSTOR 27641891 ، M. 27641891 ، M. .
↑ بانچوف، توماس ؛ جیبلین، پیتر (1994)، "در مورد هندسه منحنی های دایره ای تکه ای"، ماهنامه ریاضی آمریکا ، 101 (5): 403-416، doi : 10.2307/2974900 ، JSTOR 2974900 ، MR 382
↑ اپشتاین، دیوید ؛ فریشبرگ، دانیل؛ Osegueda, Martha C. (June 2023), "Angles of arc-polygons and Lombardi drawings of cacti", Computational Geometry , 112 : 101982, arXiv : 2107.03615 , doi : 10.1010.2016/10.1016.
↑ کورانت، ریچارد ؛ رابینز، هربرت (1996)، ریاضیات چیست؟ یک رویکرد ابتدایی به ایده ها و روش ها (ویرایش دوم)، انتشارات دانشگاه آکسفورد، صفحات 378-379

دسته بندی ها :

منحنی های دایره ای تکه ای
انواع مثلث

+ نوشته شده در چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 1:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثلث طلایی (ریاضی)

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک مثلث طلایی نسبت a/b نسبت طلایی φ است. زاویه رأس است $\theta =36^{\circ }$ . زوایای پایه هر کدام 72 درجه است.

گنومون طلایی با طول ضلع 1، 1 و $\phi$

مثلث طلایی که به آن مثلث متعالی نیز می گویند ، [1] یک مثلث متساوی الساقین است که در آن ضلع مضاعف به نسبت طلایی است. $\varphi$ به سمت پایه:

${a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618~034~.$

زوایا [ ویرایش ]

زاویه رأس عبارت است از: [2]

$\theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\ pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

از این رو مثلث طلایی یک مثلث حاد (متساوی الساقین) است.

از آنجایی که مجموع زوایای مثلث به $\pi$ رادیان، هر یک از زوایای پایه (CBX و CXB) عبارتند از:

$\beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72 ^{\circ }.$ [1]

توجه داشته باشید:

$\beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5} ~{\text{rad}}=72^{\circ }.$

مثلث طلایی به طور منحصر به فردی به عنوان تنها مثلثی شناخته می شود که سه زاویه آن به نسبت 1: 2: 2 (36 درجه، 72 درجه، 72 درجه) است. [3]

در اشکال هندسی دیگر [ ویرایش ]

یک مثلث طلایی در یک ده ضلعی منظم

مثلث های طلایی را می توان در سنبله های پنتاگرام های معمولی یافت .
مثلث های طلایی را می توان در یک ده ضلعی منتظم، یک چند ضلعی ده ضلعی متساوی الاضلاع و متساوی الاضلاع ، با اتصال هر دو رأس مجاور به مرکز، یافت . این به این دلیل است که: 180(10-2)/10 = 144 درجه زاویه داخلی است، و نصف کردن آن از طریق راس به مرکز: 144/2 = 72 درجه. [1]
همچنین، مثلث‌های طلایی در شبکه‌های چندین ستاره دوازده‌وجهی و ایکوز وجهی یافت می‌شود .

مارپیچ لگاریتمی [ ویرایش ]

مثلث های طلایی که در یک مارپیچ لگاریتمی حک شده اند

مثلث طلایی برای تشکیل برخی از نقاط یک مارپیچ لگاریتمی استفاده می شود . با نصف کردن یکی از زوایای پایه، نقطه جدیدی ایجاد می شود که به نوبه خود، مثلث طلایی دیگری را می سازد. [4] فرآیند دوقسمت را می توان به طور نامحدود ادامه داد و تعداد بی نهایت مثلث طلایی ایجاد کرد. یک مارپیچ لگاریتمی را می توان از طریق رئوس رسم کرد. این مارپیچ به عنوان مارپیچ متساوی الاضلاع نیز شناخته می شود، اصطلاحی که توسط رنه دکارت ابداع شده است . "اگر یک خط مستقیم از قطب به هر نقطه از منحنی رسم شود، منحنی را دقیقاً با همان زاویه قطع می کند . " [5] این مارپیچ با مارپیچ طلایی متفاوت است : مارپیچ طلایی با ضریب نسبت طلایی در هر ربع چرخش رشد می‌کند، در حالی که مارپیچ از میان این مثلث‌های طلایی زاویه 108 درجه دارد تا با همان عامل رشد کند. [6]

گنمون طلایی [ ویرایش ]

مثلث طلایی دو نیم شده در مثلث های رابینسون: یک مثلث طلایی و یک گنمون طلایی.

پنتاگرام منظم . هر گوشه یک مثلث طلایی است. این شکل همچنین شامل پنج گنمون طلایی "بزرگ" است که با اتصال به پنج ضلعی مرکزی "کوچک" دو گوشه که مجاور یکدیگر نیستند ساخته شده اند. کشیدن پنج ضلع پنج ضلعی "بزرگ" در اطراف پنتاگرام، پنج گنمون طلایی "کوچک" را می سازد.

با مثلث طلایی، گنمون طلایی ، که مثلث متساوی الساقین است که نسبت طول ضلع مساوی به طول قاعده، متقابل است، نزدیک است. ${\tfrac {1}{\varphi }}$ از نسبت طلایی $\varphi$ .

"مثلث طلایی نسبت طول پایه به طول ضلع برابر با مقطع طلایی φ است، در حالی که گنمون طلایی نسبت طول ضلع به طول پایه برابر با مقطع طلایی φ است." [7]

${a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.$

زوایا [ ویرایش ]

(فاصله های AX و CX هر دو a ′ = a = φ و فاصله AC b ′ = φ² است، همانطور که در شکل مشاهده می شود.)

زاویه راس AXC عبارت است از:

$\theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{ \sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.$

از این رو گنمون طلایی یک مثلث منفرد (متساوی الساقین) است.

$\theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5 }~{\text{rad}}=108^{\circ }.)$

از آنجایی که مجموع زوایای مثلث AXC برابر است $\pi$ رادیان، هر یک از زوایای پایه CAX و ACX عبارتند از:

$\beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}} =36^{\circ }.$

توجه داشته باشید:. $\beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \ بیش از 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

گنمون طلایی به طور منحصر به فردی به عنوان مثلثی شناخته می شود که سه زاویه آن به نسبت 1: 1: 3 (36 درجه، 36 درجه، 108 درجه) است. زوایای پایه آن هر کدام 36 درجه است که همان راس مثلث طلایی است.

تقسیمات [ ویرایش ]

با نصف کردن یکی از زوایای پایه آن، یک مثلث طلایی را می توان به یک مثلث طلایی و یک گنمون طلایی تقسیم کرد.
با سه برش زاویه راس آن، یک گنمون طلایی را می توان به یک مثلث طلایی و یک گنمون طلایی تقسیم کرد.
یک گنمون طلایی و یک مثلث طلایی با اضلاع مساوی آنها از نظر طول با یکدیگر مطابقت دارند، به عنوان مثلث های منفرد و حاد رابینسون نیز شناخته می شوند. [3]

کاشی کاری [ ویرایش ]

یک مثلث طلایی و دو گنمون طلایی یک پنج ضلعی منظم را کاشی می کنند . [8]
از این مثلث های متساوی الساقین می توان برای تولید کاشی کاری های پنروز استفاده کرد . کاشی های پن رز از بادبادک و دارت ساخته می شوند. یک بادبادک از دو مثلث طلایی و یک دارت از دو گنمون ساخته شده است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

^پرش به بالا:a b c Elam, Kimberly (2001).هندسه طراحی. نیویورک: چاپخانه معماری پرینستون.شابک 1-56898-249-6.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "مثلث طلایی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 2019-12-26 .
^پرش به بالا:a b دایره المعارف کاشی . 1970. بایگانی شده ازنسخه اصلیدر 2009-05-24.
↑ هانتلی، او (1970). نسبت الهی: مطالعه ای در زیبایی ریاضی . New York: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-22254-3.
↑ لیویو، ماریو (2002). نسبت طلایی: داستان فی، شگفت‌انگیزترین عدد جهان . نیویورک: کتاب های برادوی. شابک 0-7679-0815-5.
^ لوب، آرتور ال. وارنی، ویلیام (مارس 1992). "آیا مارپیچ طلایی وجود دارد و اگر نه، مرکز آن کجاست؟" . در هارگیتای، ایستوان؛ Pickover، Clifford A. (eds.). تقارن مارپیچی علمی جهانی صص 47-61. doi : 10.1142/9789814343084_0002 .
↑ لوب، آرتور (1992). مفاهیم و تصاویر: ریاضیات تصویری . بوستون: Birkhäuser Boston. پ. 180. شابک 0-8176-3620-X.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. «گنومون طلایی» . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 2019-12-26 .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

وایستاین، اریک دبلیو. "مثلث طلایی" . دنیای ریاضی .
وایستاین، اریک دبلیو. "گنومون طلایی" . دنیای ریاضی .
مثلث های رابینسون در دایره المعارف Tilings
مثلث طلایی از نظر اقلیدس
متقابل فوق العاده مثلث های طلایی در تارتاپلاگو اثر جورجیو پیتروکولا

https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_triangle_(mathematics)

+ نوشته شده در یکشنبه پانزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 1:29 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثلث کالابی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مثلث Calabi یک مثلث خاص است که توسط Eugenio Calabi یافت شده و با ویژگی آن در داشتن سه مکان مختلف برای بزرگترین مربعی که در آن قرار دارد تعریف شده است. [1] این مثلث متساوی الساقین است که دارای نسبت غیرمنطقی اما جبری بین طول اضلاع و قاعده آن است . [2]

تعریف [ ویرایش ]

بزرگترین مربعی را که می توان در یک مثلث دلخواه قرار داد را در نظر بگیرید. ممکن است چنین مربعی به بیش از یک حالت در مثلث قرار گیرد. اگر بتوان بزرگترین چنین مربعی را به سه صورت مختلف قرار داد، آنگاه مثلث یا مثلث متساوی الاضلاع است یا مثلث کالابی. [3] [4] بنابراین، مثلث کالابی ممکن است به عنوان مثلثی تعریف شود که متساوی الاضلاع نیست و دارای سه مکان برای بزرگترین مربع خود است.

شکل [ ویرایش ]

مثلث △ ABC متساوی الساقین است که طول اضلاع آن برابر با AB = AC است . اگر نسبت پایه به هر دو پایه x باشد ، می توانیم AB = AC = 1، BC = x را تنظیم کنیم . سپس می توانیم سه مورد زیر را در نظر بگیریم:

مورد 1) △ ABC مثلث حاد است

شرط این است $0<x<{\sqrt {2}}$ .

در این حالت x = 1 برای مثلث متساوی الاضلاع معتبر است .

مورد 2) △ ABC مثلث قائم الزاویه است

شرط این است $x={\sqrt {2}}$ .

در این مورد هیچ ارزشی معتبر نیست.

مورد 3) △ ABC مثلث منفرد است

شرط این است ${\sqrt {2}}<x<2$ .

در این مورد مثلث Calabi برای مقدار x معتبر است $2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0$ .

نشان می دهد

نمونه پاسخ

ریشه معادله کالابی [ ویرایش ]

اگر x بزرگترین ریشه مثبت معادله کالابی باشد:

$2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0,{\sqrt {2}}<x<2$

می توانیم مقدار x را با روش های زیر محاسبه کنیم.

روش نیوتن [ ویرایش ]

ما می توانیم تابع f : ℝ → ℝ را به صورت زیر تنظیم کنیم:

${\begin{aligned}f(x)&=2x^{3}-2x^{2}-3x+2,\\f'(x)&=6x^{2}-4x-3= 6{\bigg (}x-{\frac {1}{3}}{\bigg )}^{2}-{\frac {11}{3}}.\end{تراز شده}}$

تابع f پیوسته و قابل تمایز روی ℝ و است

${\begin{aligned}f({\sqrt {2}})&={\sqrt {2}}-2<0,\\f(2)&=4>0,\\f'( x)&>0،\forall x\in [{\sqrt {2}},2].\end{تراز شده}}$

سپس f تابع افزایشی یکنواخت است و با قضیه مقدار متوسط ، معادله Calabi f ( x ) = 0 در بازه باز جواب منحصر به فرد دارد. ${\sqrt {2}}<x<2$ .

مقدار x با روش نیوتن به صورت زیر محاسبه می شود :

${\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {2}},\\x_{n+1}&=x_{n}-{\frac {f(x_{n})} {f'(x_{n})}}={\frac {4x_{n}^{3}-2x_{n}^{2}-2}{6x_{n}^{2}-4x_{n} -3}}.\end{تراز شده}}$

روش کاردانو [ ویرایش ]

مقدار x را می توان با اعداد مختلط با استفاده از روش کاردانو بیان کرد :

$x={1 \over 3}{\Bigg (}1+{\sqrt[{3}]{-23+3i{\sqrt {237}} \over 4}}+{\sqrt[{3 }]{-23-3i{\sqrt {237}} \over 4}}{\Bigg )}.$ [3] [5] [a]

روش ویت [ ویرایش ]

مقدار x را نیز می توان بدون اعداد مختلط با استفاده از روش Viète بیان کرد :

${\begin{aligned}x&={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{ -1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}\\&=1.551387524548320392261952510264623038151 .\end{تراز شده}}$ [2]

روش لاگرانژ [ ویرایش ]

مقدار x با روش لاگرانژ نمایش کسری را به صورت زیر ادامه داده است : [1، 1، 1، 4، 2، 1، 2، 1، 5، 2، 1، 3، 1، 1، 390، ... ] =

1+11+11+14+12+11+12+11+15+12+11+13+11+11+1390+⋯ $1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+ {\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1 }{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{390+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}} }}}}}}}}}}$ . [3] [6] [7] [ب]

زاویه پایه و زاویه راس [ ویرایش ]

مثلث کالابی با زاویه قاعده θ و زاویه راس ψ به صورت زیر است:

${\begin{aligned}\theta &=\cos ^{-1}(x/2)\\&=39.13202614232587442003651601935656349795831966723206\ci\cdots ^\cdots 2006\cdots ^ \&=101.73594771534825115992696796128687300408336066553587\cdots ^{\circ }.\\\end{تراز شده}}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پاورقی ها [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اگر شکل قطبی عدد مختلط را تنظیم کنیم، می توانیم مقدار x را به صورت زیر محاسبه کنیم:
${\begin{aligned}\alpha &=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )={\frac {-23+3i{\sqrt {237}} }{4}}،\\r&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-23)^{2}+9\cdot 237}}={\frac {1}{4}} {\sqrt {2\cdot 11^{3}}}={\Bigg (}{\sqrt {\frac {11}{2}}}{\Bigg )}^{3},\\\cos \varphi &=-{\frac {23}{4}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {23\cdot 2{\sqrt {2}}}{4\cdot 11{\sqrt { 11}}}}=-{\frac {23}{11{\sqrt {22}}}}،\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}&={\sqrt[{3}] {r}}e^{\frac {i\varphi }{3}}={\sqrt[{3}]{r}}{\Big (}\cos {\Big (}{\frac {\varphi } {3}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}{\Big )}،\\{\sqrt[{3}] {\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}&=2{\sqrt[{3}]{r}}\cos {\Big (}{\frac {\ varphi }{3}}{\Big )}={\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (} \!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )},\\x&={\frac {1}{3}}{\bigg (}1+{\ sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}{\bigg )}={1 \over 3}{\bigg (}1+{\ sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22} }}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}.\end{aligned}}$
سپس این روش کاردانو معادل روش ویته است .
^ اگر کسری ادامه یافته [ a 0 , a 1 , a 2 , ...] با اعداد h 1 , h 2 , ... و مخرج k 1 , k 2 , ... پیدا شود آنگاه رابطه بازگشتی مربوطه است.های گاوسی :
h n = a n h n − 1 + h n − 2 ,
k n = a n k n − 1 + k n − 2 .
همگراهای متوالی با فرمول داده می شوند
h n/k n=a n h n - 1 + h n - 2/a n k n - 1 + k n - 2.
اگر کسر ادامه دار باشد
[1، 1، 1، 4، 2، 1، 2، 1، 5، 2، 1، 3، 1، 1، 390، 1، 1، 2، 11، 6، 2، 1، 1، 56، 1 , 4, 3, 1, 1, 6, 9, 3, 2, 1, 8, 10, 9, 25, 2, 1, 3, 1, 3, 5, 2, 35, 1, 1, 1, 41 , 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 4, 11, 1, 2, 2, 1 , 1, 6, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 7, 2, 2, 2, 36, 7, 22, 1, 2, 1, ...]، [ 8 ]
می توانیم تقریب منطقی x را به صورت زیر محاسبه کنیم:
مقدار اعداد h n و مخرج k n کسر ادامه دار نشان می دهد
تقریب منطقی x استh 95/k 95و یک کران خطا به صورت زیر است:
${\begin{aligned}x&\approx {\frac {h_{95}}{k_{95}}}\\&={\frac {10264770284430115358350493989796951584352149694} 4988866597070326335}}\\&=1.551387524548320392261952510264623815163591703803887199528007120124548320392261952510264623815163591703803887199528007120117548 03\cdots، \\\varepsilon &={\frac {1}{k_{95}(k_{95}+k_{94})}}\\&=1.82761\cdots E^{-91}.\end{تراز شده}}$

نقل قول ها [ ویرایش ]

↑ Calabi، Eugenio (3 نوامبر 1997). "طرح کلی اثبات در مورد مربع های متلاشی شده در مثلث" . بایگانی شده از نسخه اصلی در 12 دسامبر 2012 . بازبینی شده در 3 مه 2018 .
^پرش به بالا:ب استوارت 2004، ص. 15.
^پرش به بالا:وایستاین ، اریک دبلیو. " مثلث کالابی" . دنیای ریاضی .
^ کانوی، جی اچ . گای، RK (1996). "مثلث کالابی" . کتاب اعداد . نیویورک: Springer-Verlag. پ. 206.
^ استوارت 2004 ، صفحات 7-10.
↑ ژوزف لوئیس، لاگرانژ (1769)، "تصویر حل معادلات اعداد" ، خاطرات آکادمی سلطنتی علوم و نامه‌های زیبای برلین ، 23- Œuvres II، ص539-578.
↑ جوزف-لوئیس، لاگرانژ (1770)، "افزودن خاطرات در حل معادلات اعداد" ، خاطرات آکادمی سلطنتی علوم و نامه‌های زیبای برلین ، 24- Œuvres II, p.581-652.
^ (توالی A046096 در OEIS )

منابع [ ویرایش ]

استوارت، ایان (2004)، نظریه گالوا (ویرایش سوم)، چپمن و هال/CRC، شابک 978-1-58488-393-7- تئوری گالوا اشتباه .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

وایستاین، اریک دبلیو. "مثلث کالابی" . دنیای ریاضی .

دسته بندی :

انواع مثلث

https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi_triangle

+ نوشته شده در یکشنبه پانزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 1:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هندسه جبری و هندسه تحلیلی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( نوامبر 2021 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

در ریاضیات ، هندسه جبری و هندسه تحلیلی دو موضوع بسیار مرتبط هستند. در حالی که هندسه جبری انواع جبری را مطالعه می کند ، هندسه تحلیلی با منیفولدهای مختلط و فضاهای تحلیلی عمومی تر که به صورت محلی با ناپدید شدن توابع تحلیلی چندین متغیر مختلط تعریف می شوند، سروکار دارد . رابطه عمیق بین این موضوعات کاربردهای متعددی دارد که در آن تکنیک های جبری برای فضاهای تحلیلی و تکنیک های تحلیلی برای انواع جبری به کار می رود.

بیانیه اصلی [ ویرایش ]

اجازه دهید X یک نوع جبری مختلط تصویری باشد . از آنجا که X یک تنوع مختلط است، مجموعه نقاط مختلط آن X ( C ) را می توان ساختار یک فضای تحلیلی مختلط فشرده داد . این فضای تحلیلی X an نشان داده می شود . به طور مشابه، اگر ${\mathcal {F}}$ یک شیف روی X است ، سپس یک شیف مربوطه وجود دارد ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ در X an . این ارتباط یک شی تحلیلی با یک شیء جبری یک تابع است . قضیه نمونه اولیه مربوط به X و X an می گوید که برای هر دو نوار منسجم ${\mathcal {F}}$ و ${\mathcal {G}}$ در X ، هممورفیسم طبیعی:

${\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\arrow {\text{Hom}} _{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}}،{\mathcal {G}}^{\text {an}})$

ایزومورفیسم است. اینجا ${\mathcal {O}}_{X}$ شیف ساختار نوع جبری X و است ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ شیف ساختار گونه تحلیلی X an است . به عبارت دیگر، مقوله نوارهای منسجم در واریته جبری X معادل دسته نوارهای منسجم تحلیلی در واریته تحلیلی X an است و معادل آن بر روی اشیاء با نگاشت به دست می آید. ${\mathcal {F}}$ به ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ . (به ویژه به این نکته توجه کنیدیک ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ خود منسجم است، نتیجه ای که به عنوان قضیه انسجام Oka شناخته می شود ، [1] و همچنین، در Faisceaux Algebriques Coherents ( Serre (1955) ) ثابت شد که نوار ساختار انواع جبری ${\mathcal {O}}_{X}$ منسجم است. [2] )

جمله مهم دیگر به شرح زیر است: برای هر شیف منسجم ${\mathcal {F}}$ بر روی یک نوع جبری X هممورفیسم ها

$\varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\right arrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^ {an})$

برای همه q ها هم شکل هستند. این بدان معنی است که گروه همومولوژی q- امین روی X با گروه همومولوژی در X an هم شکل است .

این قضیه خیلی بیشتر از آنچه در بالا گفته شد کاربرد دارد (به بیانیه رسمی زیر مراجعه کنید). آن و اثبات آن پیامدهای زیادی دارد، مانند قضیه چاو ، اصل Lefschetz و قضیه ناپدید شدن Kodaira .

پس زمینه [ ویرایش ]

انواع جبری به صورت محلی به عنوان مجموعه های صفر مشترک چند جمله ای ها تعریف می شوند و از آنجایی که چند جمله ای ها روی اعداد مختلط توابعی هولومورفیک هستند ، انواع جبری روی C را می توان به عنوان فضاهای تحلیلی تفسیر کرد. به طور مشابه، مورفیسم های منظم بین واریته ها به عنوان نگاشت هولومورفیک بین فضاهای تحلیلی تفسیر می شوند. با کمال تعجب، اغلب می توان از راه دیگری رفت و اشیاء تحلیلی را به روش جبری تفسیر کرد.

به عنوان مثال، به راحتی می توان ثابت کرد که توابع تحلیلی از کره ریمان به خود یا توابع عقلی هستند یا تابع بی نهایت یکسان (توسعه ای از قضیه لیوویل ). زیرا اگر چنین تابعی f ناثابت باشد، پس از آنجایی که مجموعه z که در آن f(z) بی نهایت است جدا شده و کره ریمان فشرده است، تعداد زیادی z با f(z) برابر بی نهایت است. انبساط لوران را در تمام این z در نظر بگیرید و قسمت مفرد را از آن کم کنید: تابعی در کره ریمان با مقادیر C باقی می‌مانیم که طبق قضیه لیوویل ثابت است. بنابراین f یک تابع گویا است. این واقعیت نشان می دهد که هیچ تفاوت اساسی بین خط پرتابی مختلط به عنوان یک نوع جبری یا به عنوان کره ریمان وجود ندارد .

نتایج مهم [ ویرایش ]

تاریخچه طولانی مقایسه نتایج بین هندسه جبری و هندسه تحلیلی وجود دارد که از قرن نوزدهم آغاز شده است. برخی از پیشرفت‌های مهم‌تر در اینجا به ترتیب زمانی فهرست شده‌اند.

قضیه وجودی ریمان [ ویرایش ]

تئوری سطح ریمان نشان می‌دهد که یک سطح فشرده ریمان دارای توابع مرومورفیک کافی بر روی آن است، که آن را به یک منحنی جبری (صفحه‌ای صاف) تبدیل می‌کند . تحت نام قضیه وجود ریمان [3] [4] [5] [6] نتیجه عمیق‌تری در پوشش‌های منشعب از یک سطح فشرده ریمان شناخته شد: پوشش‌های محدودی مانند فضاهای توپولوژیکی با نمایش‌های جایگشتی گروه بنیادی مکمل طبقه‌بندی می‌شوند. از نقاط انشعاب . از آنجایی که ویژگی سطح ریمان محلی است، چنین پوشش هایی به راحتی به عنوان پوشش هایی در مفهوم مختلط-تحلیلی دیده می شوند. سپس می‌توان نتیجه گرفت که آنها از پوشش نقشه‌های منحنی جبری به دست می‌آیند، یعنی این پوشش‌ها همگی از پسوندهای محدود میدان تابع به دست می‌آیند .

اصل Lefschetz [ ویرایش ]

در قرن بیستم، اصل Lefschetz ، که به نام Solomon Lefschetz نامگذاری شد، در هندسه جبری برای توجیه استفاده از تکنیک های توپولوژیکی برای هندسه جبری بر روی هر میدان جبری بسته K با مشخصه 0، با رفتار با K به گونه ای که گویی فیلد عدد مختلط است، ذکر شد. . شکل ابتدایی آن بیان می کند که گزاره های درست نظریه مرتبه اول میدان ها در مورد C برای هر میدان جبری بسته K با مشخصه صفر صادق است. یک اصل دقیق و اثبات آن مدیون آلفرد تارسکی و مبتنی بر منطق ریاضی است . [7] [8]

این اصل اجازه می‌دهد تا برخی از نتایج به‌دست‌آمده با استفاده از روش‌های تحلیلی یا توپولوژیکی برای انواع جبری بر روی C به دیگر میدان‌های زمین بسته جبری با مشخصه 0 منتقل شود. (مثلا قضیه محو شدن نوع Kodaira .

قضیه چاو [ ویرایش ]

چاو (1949) ، که توسط Wei-Liang Chow اثبات شده است ، نمونه ای از بی درنگ ترین نوع مقایسه موجود است. بیان می کند که یک زیرفضای تحلیلی از فضای تصویری مختلط که بسته است (به معنای توپولوژیکی معمولی) یک زیر تنوع جبری است. [10] این را می توان به عنوان "هر زیرفضای تحلیلی فضای تصویری مختلط که در توپولوژی قوی بسته است در توپولوژی Zariski بسته است ." این امکان استفاده کاملاً رایگان از روش‌های تحلیلی مختلط را در بخش‌های کلاسیک هندسه جبری فراهم می‌کند.

گاگا [ ویرایش ]

مبانی بسیاری از روابط بین این دو نظریه در اوایل دهه 1950 به عنوان بخشی از تجارت پایه گذاری هندسه جبری برای شامل کردن تکنیک هایی از نظریه هاج ایجاد شد . مقاله اصلی تثبیت این نظریه هندسه جبری et هندسه تحلیلی Serre (1956) توسط Jean-Pierre Serre بود که امروزه معمولاً به عنوان GAGA شناخته می شود . این نتایج کلی را ثابت می کند که طبقاتی از انواع جبری، مورفیسم های منظم و شیوها را با کلاس های فضاهای تحلیلی، نگاشت های هولومورفیک و نوارها مرتبط می کند. این همه اینها را به مقایسه دسته بندی ها کاهش می دهد.

امروزه از عبارت نتیجه به سبک GAGA برای هر قضیه مقایسه ای استفاده می شود، که اجازه عبور بین دسته ای از اشیاء از هندسه جبری و شکل های آنها را به یک زیرمجموعه کاملاً تعریف شده از اجسام هندسه تحلیلی و نگاشت های هولومورف می دهد.

بیانیه رسمی GAGA [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ طرحی از نوع محدود بر روی C باشد . سپس یک فضای توپولوژیکی X an وجود دارد که به عنوان یک مجموعه از نقاط بسته X با یک نقشه پیوسته گنجاندن λ X : X an → X تشکیل شده است . توپولوژی X an "توپولوژی مختلط" نامیده می شود (و بسیار متفاوت از توپولوژی زیرفضا است).
فرض کنید φ: X → Y مورفیسم طرح‌هایی از نوع محدود محلی بر C است . سپس یک نقشه پیوسته φ an وجود دارد : X an → Y چنین λ Y ∘ φ an = φ ∘ λ X.
یک قرقره وجود داردn ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ روی X طوری که $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ یک فضای حلقه ای است و λ X : X an → X به نقشه فضاهای حلقه ای تبدیل می شود. فضا $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ به نام "تحلیل" از $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ و فضایی تحلیلی است. برای هر φ: X → Y نقشه φ an تعریف شده در بالا نگاشت فضاهای تحلیلی است. علاوه بر این، نقشه φ ↦ φ an غوطه وری های باز را به غوطه وری های باز نگاشت می کند. اگر X = Spec ( C [ x 1 ,..., x n ]) آنگاه X an = C n و ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an}}(U)$ برای هر چند دیسک U یک ضریب مناسب از فضای توابع هولومورفیک روی U است .
برای هر بافته ${\mathcal {F}}$ روی X (که به آن شیف جبری می گویند) یک شیف وجود دارد ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ بر روی X an (به نام شیف تحلیلی) و نقشه ای از قرقره های ${\mathcal {O}}_{X}$ -مدول ها $\lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\right arrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ . ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ به عنوان ... تعریف شده است $\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\ mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ . مکاتبات ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ یک تابع دقیق از دسته شیف ها تعریف می کند $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ به رده شیفت های $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ .
دو عبارت زیر قلب قضیه گاگا سر [11] [12] است (همانطور که توسط الکساندر گروتندیک ، آمنون نیمن و دیگران بسط داده شده است).
اگر f : X → Y یک مورفیسم دلخواه از طرح های از نوع محدود بر روی C و است ${\mathcal {F}}$ پس از آن نقشه طبیعی منسجم است $(f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm { یک} }$ تزریقی است اگر f مناسب باشد، این نقشه یک هم ریختی است. یکی همچنین دارای ایزومورفیسم تمام نوارهای تصویر مستقیم بالاتر است $(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\ mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ در این مورد. [13]
حال فرض کنید X an هاوسدورف و فشرده است . اگراف، ${\mathcal {F}}،{\mathcal {G}}$ دو نوار جبری منسجم روی $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ و اگر $f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an}}$ یک نقشه از قفسه های استn ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ مدول ها سپس یک نقشه منحصر به فرد از شیوها وجود دارد ${\mathcal {O}}_{X}$ -مدول ها $\varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ با $f=\varphi ^{\mathrm {an} }$ . اگر ${\mathcal {R}}$ یک سلف تحلیلی منسجم از ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ مدول بیش از X و سپس یک نوار جبری منسجم وجود دارد ${\mathcal {F}}$ از ${\mathcal {O}}_{X}$ مدول ها و یک هم ریختی ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}$ .

با کلیتی اندکی کمتر، قضیه GAGA ادعا می کند که دسته نوارهای جبری منسجم در یک نوع مختلط تصویری X و دسته نوارهای تحلیلی منسجم در فضای تحلیلی متناظر X an معادل هستند. فضای تحلیلی X an تقریباً با عقب کشیدن ساختار مختلط از C n از طریق نمودارهای مختصات به X به دست می آید. در واقع، بیان قضیه به این شیوه از نظر روحی به مقاله Serre نزدیک‌تر است، زیرا می‌بینیم که چگونه زبان طرح-نظری کاملی که بیانیه رسمی بالا به شدت از آن استفاده می‌کند، تا زمان انتشار GAGA هنوز ابداع نشده بود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مدول تخت - مفهوم صافی توسط Serre (1956) معرفی شد . حلقه های محلی جبری و تحلیلی تکمیل یکسانی دارند و به این ترتیب به یک "زوج مسطح" تبدیل می شوند (couple plat). [14]

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ ( سالن 2023 )
^ ( Remmert 1994 )
^ ( Gauert & Remmert 1958 )
^ ( Harbater 2003 )
^ ( Grothendieck & Raynaud 2002 ، EXPOSE XII، Théorème 5.1 («Theorème d'Existence de Riemann»))
^ ( Hartshorne 1977 ، ضمیمه B، قضیه 3.1 (بخش (ب)) و 3.2)
^ برای بحث نگاه کنید به Seidenberg (1958) ، نظرات در Lefschetz's Principle . Frey & Rück (1986) ، اصل قوی Lefschetz در هندسه جبری .
^ ( کوهلمن 2001 )
^ ( کاواماتا، ماتسودا و ماتسوکی 1987 )
^ ( Hartshorne 1970 )
^ ( Grothendieck & Raynaud 2002 ، EXPOSE XII.)
^ ( Neeman 2007 )
^ ( Grothendieck & Raynaud 2002 , EXPOSE XII, 4. Théorèmes de comparaison cohomologique et theorèmes d'existence)
^ ( Hartshorne 2010 )

منابع [ ویرایش ]

چاو، وی لیانگ (1949). "درباره واریته های تحلیلی فشرده". مجله آمریکایی ریاضیات . 71 (4): 893-914. doi : 10.2307/2372375 . JSTOR 2372375 .
فری، گرهارد؛ راک، هانس جورج (1986). "اصل قوی Lefschetz در هندسه جبری". Manuscripta Mathematica . 55 (3-4): 385-401. doi : 10.1007/BF01186653 . S2CID 122967192 .
گرائرت، هانس؛ رمرت، راینهولد (1958). "Complexe Räume" . Matheatische Annalen . 136 (3): 245-318. doi : 10.1007/BF01362011 . S2CID 121348794 .
Grothendieck، A. "Sur les faisceaux algébriques et les faisceaux analytiques cohérents" . Séminaire هانری کارتان . 9 : 1-16.
گروتندیک، الکساندر؛ رینود، میشل (2002). "Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et هندسه تحلیلی" . Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (به فرانسوی). arXiv : math/0206203 . doi : 10.1007/BFb0058656 . شابک 978-2-85629-141-2.
هارباتر، دیوید (21 ژوئیه 2003). "گروه های Galois و گروه های بنیادی§9. Patching و نظریه Galois (گروه ریاضیات، دانشگاه پنسیلوانیا)" (PDF) . در Schneps، لیلا (ویرایش). گروه های Galois و گروه های بنیادی . انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 9780521808316.
هال، جک (2023). "قضیه های گاگا". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 175 : 109-142. arXiv : 1804.01976 . doi : 10.1016/j.matpur.2023.05.004 . S2CID 119702436 .
کولمن، F.-V. (2001) [1994]، "اصل انتقال" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS
نیمن، آمنون (2007). هندسه جبری و تحلیلی . doi : 10.1017/CBO9780511800443 . شابک 9780511800443.
سیدنبرگ، ا. (1958). "نظرات در مورد اصل Lefschetz". ماهنامه ریاضی آمریکا . 65 (9): 685-690. doi : 10.1080/00029890.1958.11991979 . JSTOR 2308709 .
هارتشورن، رابین (1970). زیر انواع فراوان انواع جبری . نکات سخنرانی در ریاضیات. جلد 156. doi : 10.1007/BFb0067839 . شابک 978-3-540-05184-8.
هارتشورن، رابین (1977). هندسه جبری . متون تحصیلات تکمیلی در ریاضیات. جلد 52. برلین، نیویورک: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . شابک 978-0-387-90244-9. MR 0463157 . S2CID 197660097 . Zbl 0367.14001 .
هارتشورن، رابین (2010). "تغییرهای مرتبه اول". تئوری تغییر شکل . متون تحصیلات تکمیلی در ریاضیات. جلد 257. صص 5-44. doi : 10.1007/978-1-4419-1596-2_2 . شابک 978-1-4419-1595-5.
کاواماتا، یوجیرو؛ ماتسودا، کاتسومی؛ ماتسوکی، کنجی (1987). "مقدمه ای بر مساله مدل حداقل". هندسه جبری، سندای، 1985 . صص 283-360. doi : 10.2969/aspm/01010283 . شابک 978-4-86497-068-6.
Remmert، R. (1994). «نظریه محلی فضاهای مختلط». چندین متغیر مختلط VII . دایره المعارف علوم ریاضی. جلد 74. صص 7-96. doi : 10.1007/978-3-662-09873-8_2 . شابک 978-3-642-08150-7.
Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" ( PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , JSTOR 198699405
سر، ژان پیر (1956). "Géométrie algébrique et هندسه تحلیلی" . Annales de l'Institut Fourier (به فرانسوی). 6 : 1-42. doi : 10.5802/aif.59 . ISSN 0373-0956 . MR 0082175 .
تیلور، جوزف ال (2002). چندین متغیر مختلط با اتصال به هندسه جبری و گروه های دروغ . انجمن ریاضی آمریکا شابک 9780821831786.

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry_and_analytic_geometry

+ نوشته شده در جمعه سیزدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 21:10 توسط علی رضا نقش نیلچی |

جنس (ریاضیات)

ز ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(تغییر مسیر از جنس (توپولوژی) )

سطح جنس-2

در ریاضیات ، جنس ( جمع : جنس ) معانی متفاوت، اما نزدیک به هم دارد. به طور شهودی، جنس تعداد "سوراخ" یک سطح است . [1] یک کره دارای جنس 0 است، در حالی که یک چنبر دارای جنس 1 است.

توپولوژی [ ویرایش ]

سطوح جهت‌پذیر [ ویرایش ]

فنجان قهوه و دونات نشان داده شده در این انیمیشن هر دو دارای جنس یک هستند.

جنس یک سطح متصل و جهت‌پذیر یک عدد صحیح است که نشان‌دهنده حداکثر تعداد قلمه‌ها در امتداد منحنی‌های ساده بسته غیرمتقاطع بدون قطع ارتباط منیفولد حاصل است . [2] برابر است با تعداد دستگیره های روی آن. متناوبا، می‌توان آن را بر حسب مشخصه اویلر χ ، از طریق رابطه χ = 2-2g برای سطوح بسته تعریف کرد ، جایی که g جنس است. برای سطوح با اجزای مرزی b ، معادله χ = 2 - 2 g - b را می‌خواند . در اصطلاح عامیانه، تعداد «سوراخ‌هایی» است که یک جسم دارد («سوراخ» به معنای سوراخ‌های دونات تفسیر می‌شود؛ یک کره توخالی به این معنا دارای سوراخ صفر در نظر گرفته می‌شود). یک چنبر دارای 1 سوراخ است، در حالی که یک کره دارای 0 است. سطح سبز تصویر بالا دارای 2 سوراخ از نوع مربوطه است.

برای مثال:

کره S 2 و یک دیسک هر دو دارای جنس صفر هستند.
چنبره دارای جنس یک است، مانند سطح لیوان قهوه با دسته. این منبع شوخی است که "توپولوژیست ها افرادی هستند که نمی توانند دونات خود را از لیوان قهوه خود تشخیص دهند."

ساخت صریح سطوح از جنس g در مقاله در مورد چندضلعی اساسی آورده شده است .

جنس سطوح جهت پذیر
نمودار مسطح : جنس 0
نمودار حلقوی : جنس 1
قوری : نمودار حلقوی دوتایی: جنس 2
نمودار چوب شور: جنس 3

به عبارت ساده تر، مقدار جنس یک سطح جهت پذیر برابر با تعداد "سوراخ" است. [3]

سطوح غیر قابل جهت گیری [ ویرایش ]

جنس غیر جهت‌پذیر ، demigenus ، یا جنس اویلر از یک سطح بسته متصل و غیرقابل جهت‌گیری ، یک عدد صحیح مثبت است که تعداد کلاهک‌های متقاطع متصل به یک کره را نشان می‌دهد . متناوبا، می‌توان آن را برای یک سطح بسته بر حسب مشخصه χ اویلر، از طریق رابطه χ = 2- k تعریف کرد ، که در آن k جنس غیر قابل جهت‌گیری است.

برای مثال:

یک صفحه پرتابی واقعی دارای یک جنس غیر قابل جهت یابی 1 است.
یک بطری کلاین دارای جنس 2 غیر قابل جهت گیری است.

گره [ ویرایش ]

جنس یک گره K به عنوان حداقل جنس تمام سطوح سیفرت برای K تعریف می شود . [4] سطح سیفرت یک گره یک منیفولد با مرز است ، که مرز آن گره است، یعنی همومورف به دایره واحد. جنس چنین سطحی به عنوان جنس دو منیفولد تعریف می شود که با چسباندن دیسک واحد در امتداد مرز به دست می آید.

هندل بادی [ ویرایش ]

جنس یک دسته سه بعدی یک عدد صحیح است که نشان دهنده حداکثر تعداد قلمه ها در امتداد دیسک های جاسازی شده است بدون اینکه منیفولد حاصل قطع شود. برابر است با تعداد دستگیره های روی آن.

برای مثال:

یک توپ دارای جنس 0 است.
یک چنبره جامد D 2 × S 1 دارای جنس 1 است.

نظریه گراف [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جاسازی نمودار

جنس یک گراف حداقل عدد صحیح n است به طوری که نمودار را می توان بدون عبور از خود روی کره ای با n دسته (یعنی یک سطح جهت دار از جنس n ) رسم کرد. بنابراین، یک نمودار مسطح دارای جنس 0 است، زیرا می توان آن را روی یک کره بدون عبور از خود رسم کرد.

جنس غیر جهت‌پذیر یک گراف ، حداقل عدد صحیح n است به طوری که نمودار را می‌توان بدون عبور از کره‌ای با n کلاهک متقاطع رسم کرد (یعنی سطح غیرقابل جهت‌گیری از جنس n (غیر جهت‌پذیر) ). (به این عدد دمیژنوس نیز گفته می شود .)

جنس اویلر حداقل عدد صحیح n است به طوری که نمودار را می توان بدون عبور از خود روی کره ای با n کلاهک متقاطع یا روی کره ای با n/2 دسته رسم کرد. [5]

در نظریه گراف توپولوژیک تعاریف متعددی از جنس یک گروه وجود دارد . آرتور تی وایت مفهوم زیر را معرفی کرد. جنس یک گروه G حداقل جنس یک گراف کیلی (متصل، بدون جهت) برای G است .

مشکل جنس گراف NP -complete است . [6]

هندسه جبری [ ویرایش ]

دو تعریف مرتبط از جنس هر طرح جبری تصویری X وجود دارد : جنس حسابی و جنس هندسی . [7] وقتی X یک منحنی جبری با میدان تعریف اعداد مختلط است ، و اگر X هیچ نقطه مفرد نداشته باشد ، این تعاریف با تعریف توپولوژیکی اعمال شده در سطح ریمان X ( منیفولد نقاط مختلط آن) مطابقت دارند و منطبق هستند. به عنوان مثال، تعریف منحنی بیضوی از هندسه جبری به منحنی تصویری غیر مفرد از جنس 1 با یک نقطه منطقی معین روی آن متصل است .

توسط قضیه ریمان-روخ ، یک منحنی صفحه تقلیل‌ناپذیر درجه $د$ توسط مکان ناپدید شدن یک بخش داده می شود $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))$ دارای جنس هندسی

$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$

جایی که $س$ تعداد تکینگی ها در صورت شمارش صحیح است.

هندسه دیفرانسیل [ ویرایش ]

در هندسه دیفرانسیل، یک سرده منیفولد گرام $م$ ممکن است به عنوان یک عدد مختلط تعریف شود $\ Phi (M)$ مشروط به شرایط

$\Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})$
$\Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})$
$\Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})$ اگر $M_{{1}}$ و $M_{2}$ همکار هستند .

به عبارت دیگر، $\ فی$ هممورفیسم حلقه است $R\to \mathbb {C}$ ، جایی که $آر$ حلقه همدلی گرا تام است. [8]

جنس $\ فی$ برای همه دسته‌ها روی منیفولدهای اسپینور با ساختار فشرده متصل ضرب استورود به سیستم $\log _{\Phi }$ یک انتگرال بیضوی است مانندورود به سیستم $\log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2 }dt$ برای برخی $\delta,\varepsilon \in \mathbb {C}.$ این تیره را تیره بیضوی می نامند.

ویژگی اویلر $\چی (M)$ از این نظر یک جنس نیست، زیرا در مورد همدلی ها ثابت نیست.

زیست شناسی [ ویرایش ]

جنس را می توان برای نموداری که توسط خالص فعل و انفعالات شیمیایی در اسیدهای نوکلئیک یا پروتئین ها پوشانده شده است محاسبه کرد. به طور خاص، می توان رشد جنس را در طول زنجیره مطالعه کرد. چنین تابعی (به نام رد جنس) پیچیدگی توپولوژیکی و ساختار حوزه زیست مولکول ها را نشان می دهد. [9]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نقل قول ها [ ویرایش ]

↑ Popescu-Pampu 2016 ، ص. xiii، مقدمه.
↑ Munkres، James R. Topology. جلد 2. رودخانه زین بالایی: پرنتیس هال، 2000.
↑ وایستاین، EW "جنس" . دنیای ریاضی . بازبینی شده در 4 ژوئن 2021 .
↑ آدامز، کالین (2004)، کتاب گره: مقدمه ای ابتدایی بر نظریه ریاضی گره ها ، انجمن ریاضی آمریکا ، ISBN 978-0-8218-3678-1
^ نمودار روی سطوح .
↑ توماسن، کارستن (1989). "مسئله جنس نمودار NP-complete است". مجله الگوریتم ها . 10 (4): 568-576. doi : 10.1016/0196-6774(89)90006-0 . ISSN 0196-6774 . Zbl 0689.68071 .
↑ هیرزبروک، فردریش (1995) [1978]. روشهای توپولوژیکی در هندسه جبری . کلاسیک در ریاضیات. ترجمه از آلمانی و پیوست یک توسط RLE Schwarzenberger. ضمیمه دو توسط A. Borel (تجدید چاپ دوم، چاپ تصحیح شده از ویرایش سوم). برلین: Springer-Verlag . شابک 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009 .
↑ چارلز رزک - هم‌شناسی بیضوی و منحنی‌های بیضوی (سخنرانی‌های فلیکس کلین، بن 2015. گروه ریاضیات، دانشگاه ایلینوی، اوربانا، IL)
^ سولکوفسکی، پیوتر؛ سولکوفسکا، جوانا آی. دابروفسکی-تومانسکی، پاول؛ اندرسن، ابه تنبل؛ جیری، کودی؛ Zając، Sebastian (2018-12-03). "ردیابی جنس پیچیدگی توپولوژیکی و ساختار دامنه زیست مولکول ها را نشان می دهد . " گزارش های علمی 8 (1): 17537. Bibcode : 2018NatSR...817537Z . doi : 10.1038/s41598-018-35557-3 . ISSN 2045-2322 . PMC 6277428 . PMID 30510290 .

منابع [ ویرایش ]

پوپسکو-پامپو، پاتریک (2016). جنس چیست؟ . Springer Verlag . شابک 978-3-319-42312-8.

این مقاله شامل فهرستی از موارد مرتبط است که نام یکسانی دارند (یا نام‌های مشابه).
اگر یک پیوند داخلی به اشتباه شما را به اینجا رساند، ممکن است بخواهید پیوند را تغییر دهید تا مستقیماً به مقاله مورد نظر اشاره کند.

دسته بندی ها :

https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)

+ نوشته شده در چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 8:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-کاشی کاری شش ضلعی

آپیروگون های پیچیده منظم مرتبط [ ویرایش ]

2 apeirogon پیچیده منظم وجود دارد که راس های کاشی کاری شش ضلعی را به اشتراک می گذارند. آپیرگون های پیچیده منظم دارای رئوس و لبه هایی هستند که در آن یال ها می توانند 2 یا بیشتر راس داشته باشند. apeirogons منتظم p { q } r محدود به: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1 است. یال ها دارای p رئوس هستند و شکل های رأس r -ضلعی هستند. [5]

اولی از 2 یال ساخته شده است، سه لبه در اطراف هر راس، دومی دارای لبه های شش ضلعی، سه لبه در اطراف هر راس. سومین apeirogon مختلط که دارای رئوس یکسان است، شبه منظم است که دو یال و 6 یال را متناوب می کند.

2{12}3 یا	6{4}3 یا

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به کاشی‌کاری شش‌ضلعی مرتبه-۳ موجود است .

منبع [ ویرایش ]

^ کاشی کاری ها و الگوها، بخش. 9.3 سایر کاشی کاری های تک وجهی توسط چند ضلعی های محدب
↑ کاشی‌کاری‌ها و الگوها، از فهرست 107 کاشی‌کاری هم‌وجهی، صفحات 473–481
^ کاشی کاری ها و نقش ها، کاشی کاری های یکدست که لبه به لبه نیستند
↑ نظم در فضا: کتاب منبع طراحی، کیت کریچلو، صفحات 74–75، الگوی 2
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.

Coxeter، HSM Regular Polytopes ، (ویرایش سوم، 1973)، نسخه دوور، ISBN 0-486-61480-8 p. 296، جدول II: لانه زنبوری منظم
گرونباوم، برانکو ؛ شفارد، جی سی (1987). کاشی کاری و الگوها . نیویورک: WH Freeman. شابک 0-7167-1193-1.(فصل 2.1: کاشی کاری های منظم و یکنواخت ، صفحات 58-65)
ویلیامز، رابرت (1979). بنیاد هندسی ساختار طبیعی: کتاب منبع طراحی . انتشارات دوور، شرکت ص. 35. شابک 0-486-23729-X.
جان اچ. کانوی، هایدی بورگیل، هیم گودمن استروس ، تقارن اشیا 2008، ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Hexagonal_tiling

+ نوشته شده در چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 7:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-کاشی کاری شش ضلعی

کاشی کاری های معادل توپولوژیکی [ ویرایش ]

کاشی کاری های شش ضلعی را می توان با توپولوژی {6،3} یکسان مانند کاشی کاری معمولی (3 شش ضلعی در اطراف هر رأس) ساخت. با صورت های هم وجهی، 13 تنوع وجود دارد. تقارن داده شده فرض می کند که همه چهره ها یک رنگ هستند. رنگ ها در اینجا نشان دهنده موقعیت های شبکه هستند. [2] شبکه های تک رنگ (1 کاشی) شش ضلعی متوازی الاضلاع هستند .

13 شش ضلعی با کاشی هم وجهی
صفحه (××)	p3 (333)	pmg (22*)

pgg (22×)	p31m (3*3)	p2 (2222)	سانتی متر (2*22)	p6m (*632)

سایر کاشی‌های شش‌ضلعی توپولوژیکی با کاشی‌های هم‌وجهی به‌صورت چهارضلعی و پنج‌ضلعی دیده می‌شوند که لبه به لبه نیستند، اما به عنوان لبه‌های مجاور خطی تفسیر می‌شوند:

چهار ضلعی های کاشی کاری ایزوهدرال
pmg (22*)		pgg (22×)			سانتی متر (2*22)	p2 (2222)
متوازی الاضلاع	ذوزنقه	متوازی الاضلاع	مستطیل	متوازی الاضلاع	مستطیل	مستطیل

پنج ضلعی های کاشی کاری شده ایزوهدرال
p2 (2222)	pgg (22×)	p3 (333)

تسلیحات 2 یکنواخت و 3 یکنواخت دارای درجه آزادی چرخشی هستند که 2/3 از شش ضلعی ها را منحرف می کند، از جمله یک مورد خطی که همچنین می تواند به عنوان کاشی کاری غیر لبه به لبه شش ضلعی ها و مثلث های بزرگتر دیده شود. [3]

همچنین می توان آن را به یک الگوی بافته سه جهته کایرال 4 رنگ تغییر داد و برخی از شش ضلعی ها را به متوازی الاضلاع تغییر داد . الگوی بافته شده با 2 وجه رنگی دارای تقارن چرخشی 632 (p6) می باشد . یک الگوی شورون دارای تقارن pmg (22*) است که با 3 یا 4 کاشی رنگی به p1 (°) کاهش می یابد.

منظم	چرخیده	منظم	بافتند	شورون
p6m، (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)	p1 (°)

p3m1، (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)	p1 (°)

بسته بندی دایره ای [ ویرایش ]

کاشی کاری شش ضلعی را می توان به عنوان بسته بندی دایره ای استفاده کرد و دایره هایی با قطر مساوی در مرکز هر نقطه قرار داد. هر دایره با 3 دایره دیگر در بسته بندی ( شماره بوسیدن ) در تماس است. [4] شکاف داخل هر شش ضلعی امکان ایجاد یک دایره را فراهم می کند، که متراکم ترین بسته بندی را از کاشی کاری مثلثی ایجاد می کند ، که هر دایره در تماس حداکثر با 6 دایره است.

+ نوشته شده در چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 7:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-کاشی کاری شش ضلعی

کاشی کاری شش ضلعی را می توان یک کاشی کاری لوزی دراز در نظر گرفت که در آن هر رأس کاشی کاری لوزی شکل به یک لبه جدید کشیده می شود. این شبیه به رابطه دوازده وجهی لوزی و دوازده وجهی لوزی شش ضلعی در 3 بعد است.

کاشی کاری لوزی

کاشی کاری شش ضلعی

شمشیربازی از این رابطه استفاده می کند

همچنین می توان نمونه های اولیه کاشی کاری های شش ضلعی خاص را به دو، سه، چهار یا نه پنج ضلعی مساوی تقسیم کرد:

کاشی کاری پنج ضلعی نوع 1 با روکش شش ضلعی های منظم (هر کدام شامل 2 پنج ضلعی).

کاشی کاری پنج ضلعی نوع 3 با روکش شش ضلعی های منظم (هر کدام شامل 3 پنج ضلعی).

کاشی کاری پنج ضلعی نوع 4 با روکش شش ضلعی های نیمه منظم (هر کدام شامل 4 پنج ضلعی).

کاشی کاری پنج ضلعی نوع 3 با روکش های دو اندازه شش ضلعی معمولی (به ترتیب شامل 3 و 9 پنج ضلعی).

جهش های تقارن [ ویرایش ]

این کاشی کاری از نظر توپولوژیکی به عنوان بخشی از دنباله ای از کاشی کاری های منظم با وجوه شش ضلعی است که با کاشی کاری شش ضلعی شروع می شود، با نماد Schläfli {6,n} و نمودار کاکستر شروع می شود. ، تا بی نهایت پیش می رود.

نشان می دهد* n جهش تقارن ۶۲ کاشی کاری منظم: {6، n } v تی ه

این کاشی کاری از نظر توپولوژیکی به چندوجهی منظم با راس شکل n 3 مرتبط است ، به عنوان بخشی از یک دنباله که در صفحه هذلولی ادامه می یابد .

نشان می دهد* n جهش تقارن 32 کاشی کاری منظم: { n ,3} v تی ه

به طور مشابه به چند وجهی کوتاه شده یکنواخت با راس شکل n 0.6.6 مرتبط است .

نشان می دهد* n جهش تقارن 32 کاشی کاری کوتاه: n 0.6.6 v تی ه

این کاشی‌کاری همچنین بخشی از دنباله‌ای از چندوجهی‌های لوزی کوتاه و کاشی‌کاری‌هایی با تقارن گروهی کاکستر [n,3] است . مکعب را می توان به عنوان یک شش وجهی لوزی شکل که در آن لوزی ها مربع هستند مشاهده کرد. اشکال بریده دارای n-گونهای منظم در رئوس بریده شده و وجوه شش ضلعی غیرمنظم هستند.

نشان می دهدجهش های تقارن کاشی کاری های شبه منظم دوگانه: V(3.n) 2

سازه های Wythoff از کاشی کاری های شش ضلعی و مثلثی [ ویرایش ]

مانند چند وجهی یکنواخت، هشت کاشی یکنواخت وجود دارد که می توانند بر اساس کاشی کاری شش ضلعی منظم (یا کاشی کاری مثلثی دوگانه ) باشند.

با کشیدن کاشی‌ها به رنگ قرمز روی وجه‌های اصلی، زرد در رئوس اصلی و آبی در امتداد لبه‌های اصلی، 8 شکل وجود دارد که 7 تای آنها از نظر توپولوژیکی متمایز هستند. ( کاشی کاری مثلثی کوتاه از نظر توپولوژیکی با کاشی کاری شش ضلعی یکسان است.)

نشان می دهدکاشی کاری های شش ضلعی/مثلثی یکنواخت

کاشی کاری های شش ضلعی محدب تک وجهی [ ویرایش ]

3 نوع کاشی کاری شش ضلعی محدب تک وجهی وجود دارد. [1] همه آنها یکسان هستند . هر کدام دارای تغییرات پارامتریک در یک تقارن ثابت هستند. نوع 2 شامل انعکاس های سرخوردن است و 2-ایزوهدرال است که جفت های کایرال را متمایز نگه می دارد.

3 نوع کاشی کاری شش ضلعی محدب تک وجهی
1	2		3
p2, 2222	pgg، 22×	p2, 2222	ص 3، 333

b = e B + C + D = 360 درجه	b = e، d = f B + C + E = 360 درجه		a = f، b = c، d = e B = D = F = 120 درجه
2-شبکه کاشی	4-شبکه کاشی		3-شبکه کاشی

+ نوشته شده در چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ ساعت 7:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

هندسه محاسباتی [ ویرایش ]

تکانه و گشتاور زاویه ای [ ویرایش ]

بدنه صلب [ ویرایش ]

نیروی لورنتس [ ویرایش ]

دیگر [ ویرایش ]

به عنوان یک ضرب خارجی [ ویرایش ]

دستی [ ویرایش ]

سازگاری [ ویرایش ]

پارادوکس مبنای متعارف [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

جبر لی [ ویرایش ]

کواترنیون ها [ ویرایش ]

Octonions [ ویرایش ]

ضرب خارجی [ ویرایش ]

ضرب خارجی [ ویرایش ]

ضرب جابجاگر [ ویرایش ]

جبر چند خطی [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فرمول جایگزین [ ویرایش ]

معکوس ضرب خارجی [ ویرایش ]

اتحاد لاگرانژ [ ویرایش ]

مولدهای بی نهایت کوچک چرخش [ ویرایش ]

روش های جایگزین برای محاسبه [ ویرایش ]

تبدیل به ضرب ماتریس [ ویرایش ]

نماد نمایه برای تانسورها [ ویرایش ]

یادگاری [ ویرایش ]

تجسم خارجی [ ویرایش ]

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

تمایز [ ویرایش ]

توسعه ضرب سه گانه [ ویرایش ]

استفاده از تانسورهای لوی- سویتا [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

معنی هندسی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

جهت

ضرب خارجی

ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]

تفسیر هندسی

خواص

اسکالر یا شبه اسکالر

تراکم اسکالر یا اسکالر

به عنوان یک ضرب بیرونی

به عنوان یک تابع سه خطی

ضرب سه گانه برداری

اثبات

استفاده از جبر هندسی

تفاسیر

حساب تانسور

حساب برداری

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

منابع

https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquationConicalCoordinates.html

تاریخچه [ ویرایش ]

استفاده می کند [ ویرایش ]

پیش نویس [ ویرایش ]

مجسمه سازی و ضرب [ ویرایش ]

تکرار سیلندر آکوستیک [ ویرایش ]

ماشین های فرز [ ویرایش ]

کاربردهای دیگر [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

تعریف غیر رسمی [ ویرایش ]

موارد خاص و مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

تعریف رسمی [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

مثال [ ویرایش ]

لیست رولت ها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

ادامه مطلب [ ویرایش ]