نوسان میانگین محدود

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تجزیه و تحلیل هارمونیک در ریاضیات ، تابعی از نوسان میانگین محدود ، که به عنوان تابع BMO نیز شناخته می‌شود ، تابعی با مقدار واقعی است که نوسان میانگین آن محدود (محدود) است. فضای توابع نوسان میانگین محدود ( BMO )، فضای تابعی است که به تعبیر دقیق، همان نقشی را در نظریه فضاهای هاردی Hp ایفا می کند که فضای L∞ توابع محدود شده اساسا در نظریه L ایفا می کند. p -spaces : به نام فضای John–Nirenberg نیز نامیده می شود ، به نام فریتز جان و لوئیس نیرنبرگ که برای اولین بار آن را معرفی و مطالعه کردند.

یادداشت تاریخی [ ویرایش ]

به گفته نیرنبرگ (1985 ، ص 703 و ص 707)، [1] فضای توابع نوسان میانگین محدود توسط جان (1961 ، صفحات 410-411) در ارتباط با مطالعات خود در مورد نگاشت از یک مجموعه محدود معرفی شد. Ω متعلق به Rn به Rn و مشکلات مربوطه ناشی از تئوری الاستیسیته ، دقیقاً از مفهوم کرنش الاستیک : نماد اصلی در مقاله ای که توسط جان و نیرنبرگ (1961) از نزدیک معرفی شد ، [2] که در آن چندین ویژگی از این فضاهای تابع ثابت شد. گام مهم بعدی در توسعه این نظریه اثبات دوگانگی بین BMO و فضای هاردی H 1 توسط چارلز ففرمن [3] بود، در مقاله یادداشت شده Fefferman & Stein 1972 : اثبات سازنده این نتیجه، معرفی روش های جدید. و شروع توسعه بیشتر این نظریه توسط آکیهیتو اوچیاما ارائه شد . [4]

تعریف [ ویرایش ]

تعریف 1. میانگین نوسان یک تابع قابل انتگرال محلی u بر روی یک ابر مکعب [5] Q در Rn به عنوان مقدار انتگرال زیر تعریف می شود :

${\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u(y)-u_{Q}|\,\mathrm {d} y$ جایی که

| س | حجم Q است ، یعنی اندازه گیری Lebesgue آن
u Q میانگین مقدار u در مکعب Q است ، یعنی

$u_{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}u(y)\,\mathrm {d} y.$

تعریف 2. یک تابع BMO یک تابع محلی قابل ادغام u است که میانگین نوسان فوق العاده آن که بر مجموعه تمام مکعب های Q موجود در R n گرفته شده است محدود است.

تبصره 1 . بالاترین نوسان میانگین، هنجار BMO از u نامیده می شود . [6] و با || نشان داده می شود u || BMO (و در برخی موارد با || u || ∗ نیز مشخص می شود ).

تبصره 2 . استفاده از مکعب‌های Q در Rn به‌عنوان حوزه‌های ادغامی که بر روی آنها نوسان میانگین محاسبه می‌شود، اجباری نیست: ویگرینک (2001) به جای آن از توپ‌ها استفاده می‌کند و همانطور که استاین (1993، ص 140) اشاره کرد ، در انجام این کار کاملاً عمل می‌کند. تعریف معادلی از توابع نوسان میانگین محدود به وجود می آید.

نشانه گذاری [ ویرایش ]

نماد جهانی مورد استفاده برای مجموعه توابع BMO در یک دامنه معین Ω BMO ( Ω ) است : وقتی Ω = Rn ، BMO ( Rn ) به سادگی به عنوان BMO نشان داده می شود .
هنجار BMO یک تابع BMO معین u با || نشان داده می شود u || BMO : در برخی موارد به صورت || نیز مشخص می شود u || ∗ .

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

**توابع BMO به صورت محلی قابل ادغام p هستند [ ویرایش ]**

توابع BMO به صورت محلی L p هستند اگر 0 < p <∞، اما لازم نیست به صورت محلی محدود شوند. در واقع، با استفاده از نابرابری جان-نیرنبرگ، می‌توانیم آن را ثابت کنیم

$\|u\|_{\text{BMO}}\simeq \sup _{Q}\left({\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u-u_{ Q}|^{p}dx\right)^{1/p}.$

BMO یک فضای Banach است [ ویرایش ]

توابع ثابت دارای نوسان میانگین صفر هستند، بنابراین توابع متفاوت برای ثابت c > 0 می توانند مقدار نرمال BMO یکسانی داشته باشند حتی اگر تفاوت آنها تقریباً در همه جا صفر نباشد . بنابراین تابع || u || BMO به درستی یک هنجار در فضای ضریب توابع BMO است و فضای توابع ثابت در دامنه در نظر گرفته شده را مدول می کند .

میانگین مکعب های مجاور قابل مقایسه هستند [ ویرایش ]

همانطور که از نام آن پیداست، میانگین یا میانگین یک تابع در BMO هنگام محاسبه آن بر روی مکعب های نزدیک به یکدیگر در موقعیت و مقیاس، نوسان زیادی ندارد. به طور دقیق، اگر Q و R مکعب های دوتایی هستند به گونه ای که مرزهای آنها با هم تماس داشته باشد و طول ضلع Q کمتر از نصف طول ضلع R نباشد (و بالعکس)

$|f_{R}-f_{Q}|\leq C\|f\|_{\text{BMO}}$

که در آن C > 0 مقداری ثابت جهانی است. این ویژگی در واقع معادل f است که در BMO است، یعنی اگر f یک تابع انتگرال پذیر محلی باشد به طوری که | f R − f Q | ≤ C برای همه مکعب‌های دوتایی Q و R مجاور به معنایی که در بالا توضیح داده شد و f در BMO دوتایی است (که در آن برتری فقط بر مکعب‌های دوتایی Q گرفته می‌شود )، سپس f در BMO است. [7]

BMO فضای برداری دوگانه H 1 است [ ویرایش ]

ففرمن (1971) نشان داد که فضای BMO دو برابر H 1 است ، فضای هاردی با p = 1 است . [8] جفت شدن بین f∈ H 1 و g ∈ BMO توسط

$(f,g)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

اگرچه در تعریف این انتگرال کمی دقت لازم است، زیرا به طور کلی مطلقاً همگرا نیست.

نابرابری جان-نیرنبرگ [ ویرایش ]

نابرابری جان -نیرنبرگ تخمینی است که نشان می‌دهد یک تابع نوسان میانگین کران‌دار تا چه حد ممکن است از میانگین خود به میزان معینی منحرف شود.

بیانیه [ ویرایش ]

برای هر $f\in \operatorname {BMO} \left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ، ثابت وجود دارد $c_{1},c_{2}>0$ (مستقل از f)، به طوری که برای هر مکعبس $س$ که درآر $\mathbb {R} ^{n}$ ،

$\left|\left\{x\in Q:|f-f_{Q}|>\lambda \right\}\right|\leq c_{1}\exp \left(-c_{2}{2} \frac {\lambda }{\|f\|_{\text{BMO}}}}\right)|Q|.$

برعکس، اگر این نابرابری روی همه مکعب‌هایی با مقداری C ثابت به جای || برقرار باشد f || BMO ، سپس f در BMO با هنجار حداکثر یک بار ثابت C است .

نتیجه: فاصله در BMO تا L ∞ [ ویرایش ]

نابرابری جان-نیرنبرگ در واقع می تواند اطلاعات بیشتری نسبت به هنجار BMO یک تابع بدهد. برای یک تابع محلی ادغام پذیر f ، اجازه دهید A ( f ) A > 0 غیر رسمی باشد که برای آن

$\sup _{Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}e^{\left|f-f_{Q} \right|/A}\mathrm {d} x<\infty .$

نابرابری جان-نیرنبرگ نشان می‌دهد که A ( f ) ≤ C|| f || BMO برای مقداری ثابت جهانی C. با این حال، برای یک تابع L ∞ ، نابرابری بالا برای همه A > 0 برقرار خواهد بود. به عبارت دیگر، اگر f در L ∞ باشد، A ( f ) = 0 است . از این رو ثابت A ( f ) راهی برای اندازه گیری فاصله یک تابع در BMO از زیرفضای L ∞ به ما می دهد . این عبارت را می توان دقیق تر بیان کرد: [9] یک ثابت C وجود دارد که فقط به بعد n بستگی دارد ، به طوری که برای هر تابع f ∈ BMO( Rn ) نابرابری دو طرفه زیر برقرار است.

${\frac {1}{C}}A(f)\leq \inf _{g\in L^{\infty }}\|fg\|_{\text{BMO}}\leq CA( و)$

تعمیم ها و پسوندها [ ویرایش ]

فضاهای BMOH و BMOA [ ویرایش ]

هنگامی که بعد فضای محیط 1 باشد، فضای BMO را می توان به عنوان یک زیرفضای خطی از توابع هارمونیک روی دیسک واحد مشاهده کرد و نقش اصلی را در نظریه فضاهای هاردی ایفا می کند : با استفاده از تعریف 2 ، می توان آن را تعریف کرد. فضای BMO( T ) روی دایره واحد به عنوان فضای توابع f : T → R به طوری که

${\frac {1}{|I|}}\int _{I}|f(y)-f_{I}|\,\mathrm {d} y<C<+\infty$

یعنی به گونه ای که میانگین نوسان آن بر روی هر کمان I دایره واحد [10] محدود باشد. در اینجا مانند قبل f I مقدار میانگین f روی قوس I است.

تعریف 3. یک تابع تحلیلی روی دیسک واحد به BMO هارمونیک یا در فضای BMOH تعلق دارد اگر و فقط اگر انتگرال پواسون یک تابع BMO( T ) باشد . بنابراین، BMOH فضای تمام توابع u با شکل زیر است:

$u(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{\left|ae^ {i\theta }\right|^{2}}}f(e^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta$

مجهز به هنجار:

$\|u\|_{\text{BMOH}}=\sup _{|a|<1}\left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf { T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|ae^{i\theta }|^{2}}}\left|f(e^{i\theta })-u(a )\right|\mathrm {d} \theta \right\}$

زیرفضای توابع تحلیلی متعلق به BMOH را فضای تحلیلی BMO یا فضای BMOA می نامند .

BMOA به عنوان فضای دوگانه H 1 ( D ) [ ویرایش ]

چارلز ففرمن در کار اصلی خود ثابت کرد که فضای BMO واقعی دوگانه به فضای هاردی با ارزش واقعی در نیمه فضای بالایی است. [11] در تئوری تحلیل مختلط و هارمونیک بر روی واحد. دیسک، نتیجه‌اش به صورت زیر بیان می‌شود. [12] فرض کنید H p ( D ) فضای هاردی تحلیلی روی دیسک واحد باشد . برای p = 1، ( H 1 )* را با BMOA با جفت کردن f ∈ H 1 ( D ) شناسایی می‌کنیم. و g ∈ BMOA با استفاده از تبدیل ضد خطی Tg

$T_{g}(f)=\lim _{r\to 1}\int _{-\pi }^{\pi }{\bar {g}}(e^{i\theta })f (re^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta$

توجه داشته باشید که اگرچه حد همیشه برای یک تابع H1 f وجود دارد و Tg عنصری از فضای دوگانه ( H1 )* است، از آنجایی که تبدیل ضد خطی است ، ما ایزومورفیسم ایزومتریک بین ( H1 ) نداریم . * و BMOA. با این حال، اگر فضایی از توابع مزدوج BMOA را در نظر بگیریم، می توان ایزومتری را به دست آورد .

**فضای VMO [ ویرایش ]**

فضای VMO توابع نوسان میانگین ناپدید شدن، بسته شدن در BMO توابع پیوسته ای است که در بی نهایت ناپدید می شوند. همچنین می‌توان آن را به‌عنوان فضای توابعی تعریف کرد که «نوسان‌های میانگین» آن‌ها روی مکعب‌های Q نه تنها محدود است، بلکه به‌طور یکنواخت به صفر گرایش دارند زیرا شعاع مکعب Q به 0 یا ∞ متمایل می‌شود. فضای VMO نوعی آنالوگ فضای هاردی از فضای توابع پیوسته است که در بی نهایت ناپدید می شوند، و به ویژه فضای هاردی با ارزش واقعی H 1 دوگانه VMO است. [13]

ارتباط با تبدیل هیلبرت [ ویرایش ]

یک تابع محلی ادغام پذیر f در R BMO است اگر و فقط اگر بتوان آن را به صورت نوشتاری کرد

$f=f_{1}+Hf_{2}+\alpha$

که در آن f i ∈ L ∞ ، α یک ثابت و H تبدیل هیلبرت است .

سپس هنجار BMO معادل infimum از است $\|f_{1}\|_{\infty }+\|f_{2}\|_{\infty }$ بیش از همه این نمایندگی ها

به طور مشابه f VMO است اگر و فقط در صورتی که بتوان آن را به شکل بالا با توابع پیوسته یکنواخت با f i در R نشان داد . [14]

فضای دوتایی BMO [ ویرایش ]

اجازه دهید Δ مجموعه ای از مکعب های دوتایی را در R n نشان دهد . BMO دوتایی فضایی که BMO d نوشته می‌شود فضای توابعی است که همان نابرابری را برای توابع BMO برآورده می‌کند، فقط که برتری روی همه مکعب‌های دوتایی است. این برتری گاهی با ||•|| نشان داده می شود BMO d .

این فضا به درستی حاوی BMO است. به طور خاص، تابع log( x ) χ [0،∞) تابعی است که در BMO دوتایی است اما در BMO نیست. اما اگر تابع f به گونه ای باشد که || f (•− x )|| BMO d ≤ C برای همه x در Rn برای برخی C > 0، سپس با یک سوم ترفند f نیز در BMO است . در مورد BMO روی T n به جای R n ، تابع f به گونه ای است که || f (•− x )|| BMO d ≤ C برای n+1 x انتخاب مناسب ، سپس f نیز در BMO است. این بدان معناست که BMO( Tn ) تقاطع n+1 ترجمه BMO دوتایی است. با دوگانگی ، H 1 ( Tn ) مجموع n +1 ترجمه H 1 دوتایی است . [15]

اگرچه BMO دوتایی یک کلاس بسیار محدودتر از BMO است، بسیاری از قضایا که برای BMO صادق هستند، برای BMO دوتایی بسیار ساده‌تر اثبات می‌شوند، و در برخی موارد می‌توان قضایای BMO اصلی را با اثبات آن‌ها ابتدا در حالت دوتایی خاص بازیابی کرد. [16]

مثالها [ ویرایش ]

نمونه هایی از توابع BMO شامل موارد زیر است:

همه توابع محدود (قابل اندازه گیری). اگر f در L ∞ باشد ، آنگاه || f || BMO ≤ 2||f|| ∞ : [17] با این حال، عکس آن همانطور که در مثال زیر نشان می دهد درست نیست.
تابع log(| P |) برای هر چند جمله ای P که به طور یکسان صفر نیست: به ویژه، این برای | P ( x )| = | x |. [17]
اگر w یک وزن A ∞ باشد ، log( w ) BMO است. برعکس، اگر f BMO باشد، e δf یک وزن A ∞ برای δ>0 به اندازه کافی کوچک است: این واقعیت نتیجه نابرابری جان-نیرنبرگ است . [18]

https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_mean_oscillation

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 21:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

شبه‌هنجار یاشبه نرم

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با seminorm یا pseudonorm اشتباه گرفته شود .

در جبر خطی ، تحلیل تابعی و حوزه‌های مرتبط ریاضیات ، یک شبه‌هنجار از این نظر شبیه به یک هنجار است که بدیهیات هنجار را برآورده می‌کند، با این تفاوت که نابرابری مثلث با جایگزین می‌شود.

$\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$ برای برخی . $K > 1.$

تعریف [ ویرایش ]

آشبه سمینورم [1] در فضای برداری $ایکس$ یک نقشه با ارزش واقعی است $پ$ بر $ایکس$ که شرایط زیر را برآورده می کند:

غیر منفی بودن $p\geq 0;$
همگنی مطلق : $p(sx)=|s|p(x)$ برای همه $x\در X$ و همه اسکالرهای; $s;$
واقعی وجود دارد که $k\geq 1$ به طوری. که
$p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]$ برای همه . $x,y\in X.$
- اگر $k=1$ سپس این نابرابری به نابرابری مثلث کاهش می یابد . از این نظر است که این شرط نابرابری مثلث معمولی را تعمیم می دهد.

آشبه هنجار [1] یک شبه نیم‌هنجار است که موارد زیر را نیز برآورده می‌کند:

مثبت قطعی /نقطه جدا کننده : اگر. $x\در X$ راضی می کند. ، $p(x)=0,$ سپس . $x=0.$

یک جفت $(X,p)$ متشکل از یک فضای برداری $ایکس$ و یک شبه سمینورم مرتبط $پ$ a نامیده می شودفضای برداری شبه نیم شکل . اگر شبه نیمی شبه هنجار باشد به آن a نیز می گویندفضای برداری quasinormed .

ضرب کننده

infimum همه ارزش های $ک$ ارضای شرط (3) نامیده می شودضرب کننده از. $پ.$ خود ضریب نیز شرط (3) را برآورده می کند و بنابراین کوچکترین عدد واقعی منحصر به فرد است که این شرط را برآورده می کند. عبارت $ک$ -شبه seminorm گاهی اوقات برای توصیف شبه seminorm استفاده می شود که ضریب آن برابر است با. $ک.$

یک هنجار (به ترتیب، یک seminorm ) فقط یک شبه هنجار (به ترتیب، یک شبه نیم‌هنجار) است که ضریب آن برابر است با1. $1.$ بنابراین هر seminorm یک شبه seminorm و هر هنجار یک quasinorm (و یک شبه seminorm) است.

توپولوژی [ ویرایش ]

اگر $پ$ یک شبه هنجار است $ایکس$ سپس $پ$ یک توپولوژی برداری را القا می کند $ایکس$ که مبنای همسایگی آنها در مبدأ توسط مجموعه ها ارائه می شود: [2]

$\{x\in X:p(x)<1/n\}$ مانند $n$ بر روی اعداد صحیح مثبت قرار می گیرد. فضای برداری توپولوژیکی با چنین توپولوژی a نامیده می شودفضای برداری توپولوژیکی شبه نورد یا فقط یکفضای شبه نوردار .

هر فضای برداری توپولوژیکی quasinormed قابل شبه سنجی است .

یک فضای شبه هنجاری کامل a نامیده می شودفضای شبه باناخ . هرفضای باناخیک فضای شبه باناخ است، البته نه برعکس.

تعاریف مرتبط [ ویرایش ]

همچنین ببینید: جبر باناخ

یک فضای شبه نوری $(A,\|\,\cdot \,\|)$ a نامیده می شودجبر شبه‌هنجاری اگر فضای برداری باشدآ $آ$ جبر است و ثابت وجود دارد $K> 0$ به طوری که

$\|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|$ برای همه .

$x,y\ in A.$

جبر شبه هنجاری کامل الف نامیده می شودشبه جبر باناخ

خصوصیات [ ویرایش ]

فضای برداری توپولوژیکی (TVS) یک فضای شبه‌هنجاری است اگر و تنها در صورتی که یک همسایگی محدود از مبدأ داشته باشد. [2]

مثالها [ ویرایش ]

از آنجایی که هر هنجاری یک شبه هنجار است، هر فضای هنجاری نیز یک فضای شبه هنجاری است.

$L^{p}$ فضاهای با $0<p<1$

این $L^{p}$ فضاهایی برای $0<p<1$ فضاهای شبه هنجاری هستند (در واقع، آنها حتی فضاهای F هستند) اما به طور کلی نرمال نیستند (به این معنی که ممکن است هیچ هنجاری وجود نداشته باشد که توپولوژی آنها را تعریف کند). برای، $0<p<1,$ فضای Lebesgue $L^{p}([0,1])$ یک TVS قابل متریزاسیون کامل (یک فضای F ) است که به صورت محلی محدب نیست (در واقع، تنها زیرمجموعه های باز محدب آن خود هستند.

$L^{p}([0,1])$ و مجموعه خالی) و تنها تابع خطی پیوسته روشن است

$L^{p}([0,1])$ ثابت است $0$ تابع ( Rudin 1991 , §1.47). به طور خاص، قضیه هان-باناخ برای آن صادق نیست

$L^{p}([0,1])$ زمانیکه

$0<p<1.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فضای برداری توپولوژیکی قابل اندازه گیری - فضای برداری توپولوژیکی که توپولوژی آن را می توان با متریک تعریف کرد
هنجار (ریاضیات) - طول در یک فضای برداری
Seminorm - تابع غیرمنفی-واقعی در فضای برداری واقعی یا مختلط که نابرابری مثلث را برآورده می کند و کاملاً همگن است.
فضای برداری توپولوژیکی - فضای برداری با مفهوم نزدیکی

https://en.wikipedia.org/wiki/Quasinorm

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 21:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

فضای شوارتز

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای فضای شوارتز یک گروه لی نیمه ساده، فضای شوارتز هاریش-چاندرا را ببینید . برای فضای شوارتز یک گروه آبلی فشرده محلی، تابع شوارتز-بروهات را ببینید .

در ریاضیات ، فضای شوارتز ${\mathcal {S}}$ فضای تابع همه توابعی است که مشتقات آنها به سرعت در حال کاهش است. این فضا دارای این خاصیت مهم است که تبدیل فوریه یک اتومورفیسم در این فضا است. این ویژگی به وسیله دوگانگی، امکان تعریف تبدیل فوریه را برای عناصر در فضای دوگانه فراهم می کند ${\mathcal {S}}^{*}$ از ${\mathcal {S}}$ ، به ویژه، برای توزیع های معتدل . تابعی در فضای شوارتز گاهی اوقات تابع شوارتز نامیده می شود .

یک تابع گاوسی دو بعدی نمونه ای از یک تابع به سرعت در حال کاهش است.

فضای شوارتز به افتخار ریاضیدان فرانسوی لوران شوارتز نامگذاری شده است .

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید $\mathbb {N}$ مجموعه ای از اعداد صحیح غیر منفی باشد ، و برای هر $n\in \mathbb {N}$ ، اجازه دهید $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ ضرب دکارتی n برابر باشد . فضای شوارتز یا فضای به سرعت در حال کاهش توابع در $\mathbb {R} ^{n}$ فضای عملکرد است

$S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n} ,\mathbb {C} )\mid \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \right\},$ جایی که $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$ فضای تابع توابع هموار از است $\mathbb {R} ^{n}$ به $\mathbb {C}$ ، و

$\|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.$ اینجا $\sup$ نشان دهنده سوپریموم است ، و ما از نماد چند شاخص استفاده کردیم $x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n }}$ و2… $D^{\beta }:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^ {\beta _{n}}$ .

برای قرار دادن زبان مشترک در این تعریف، می توان یک تابع به سرعت در حال کاهش را اساساً یک تابع f ( x ) در نظر گرفت ، به طوری که f ( x ) ، f ′( x ) ، f “( x ) و ... همه در همه جا وجود دارند. R و به عنوان x → ± سریعتر از هر توان متقابل x به صفر برود . به طور خاص، S ( Rn , C ) زیر فضایی از فضای تابع C ( Rn , C ) از توابع هموار از Rn به C است .

نمونه هایی از توابع در فضای شوارتز [ ویرایش ]

اگر α یک چند شاخص باشد و a یک عدد حقیقی مثبت باشد ، پس
$x^{\alpha }e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).$
هر تابع صاف f با پشتیبانی فشرده در S ( R n ) است. این واضح است زیرا هر مشتق f پیوسته است و در حمایت از f پشتیبانی می شود ، بنابراین ( xα D β ) f دارای حداکثر در Rn با قضیه مقدار شدید است .
از آنجا که فضای شوارتز یک فضای برداری است، هر چند جمله ای $\phi (x^{\alpha })$ می تواند در یک ضریب ضرب شود $e^{-ax^{2}}$ برای $a>0$ یک ثابت حقیقی، برای دادن عنصری از فضای شوارتز. به طور خاص، تعبیه چند جمله‌ای در فضای شوارتز وجود دارد.

خواص [ ویرایش ]

خواص تحلیلی [ ویرایش ]

از قاعده لایب نیتس چنین می شود که S ( Rn ) نیز تحت ضرب نقطه ای بسته است :
اگر f , g ∈ 𝒮( R n ) آنگاه حاصل ضرب fg ∈ 𝒮( R n ) است .
تبدیل فوریه یک ایزومورفیسم خطی F:𝒮( Rn ) → 𝒮( Rn ) است .
اگر f ∈ 𝒮( R ) آنگاه f به طور یکنواخت روی R پیوسته است .
𝒮( R n ) یک محدب محلی متمایز Fréchet Schwartz بر روی اعداد مختلط است .
هم 𝒮( R n ) و هم فضای دوگانه قوی آن نیز عبارتند از:

فضاهای محدب محلی هاسدورف کامل ،
فضاهای مونتل هسته ای ،

مشخص است که در فضای دوگانه هر فضای مونتل، یک دنباله در توپولوژی دوگانه قوی همگرا می شود اگر و فقط اگر در توپولوژی ضعیف* همگرا شود ، [1]

فضاهای فرابورنولوژیک ،
فضاهای مکی بشکه ای بازتابی .

رابطه فضاهای شوارتز با دیگر فضاهای برداری توپولوژیکی [ ویرایش ]

اگر 1 ≤ p ≤ ، آنگاه 𝒮( R n ) ⊂ L p ( R n ) .
اگر 1≤ p < ، آنگاه 𝒮 ( Rn ) در L p ( Rn ) متراکم است .
فضای تمام توابع دست انداز ، C
ج( R n ) در 𝒮( R n ) گنجانده شده است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

عملکرد ضربه
تابع شوارتز-بروهات
فضای هسته ای

منابع [ ویرایش ]

^ Trèves 2006 ، صفحات 351-359.

https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz_space

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 21:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضایای همگرایی مارتینگل دوب

ز ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک تابع گاوسی دو بعدی نمونه ای از یک تابع به سرعت در حال کاهش است.

فضای شوارتز به افتخار ریاضیدان فرانسوی لوران شوارتز نامگذاری شده است .

تعریف [ ویرایش ]

$\|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.$ اینجا، $\sup$ نشان دهنده سوپریمم است ، و ما از نماد چند شاخص استفاده کردیم $x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n }}$ و2… $D^{\beta }:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^ {\beta _{n}}$ .

برای قرار دادن زبان مشترک در این تعریف، می توان یک تابع به سرعت در حال کاهش را اساساً یک تابع f ( x ) در نظر گرفت ، به طوری که f ( x ) ، f ′( x ) ، f “( x ) و ... همه در همه جا وجود دارند. R و به عنوان x → ± سریعتر از هر توان متقابل x به صفر بروید . به طور خاص، S ( Rn , C ) زیر فضایی از فضای تابع C ( Rn , C ) از توابع صاف از Rn به C است .

نمونه هایی از توابع در فضای شوارتز [ ویرایش ]

اگر α یک چند شاخص باشد و a یک عدد حقیقی مثبت باشد ، پس
$x^{\alpha }e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).$
هر تابع صاف f با پشتیبانی فشرده در S ( R n ) است. این واضح است زیرا هر مشتق f پیوسته است و در حمایت از f پشتیبانی می شود ، بنابراین ( xα D β ) f دارای حداکثر در Rn با قضیه مقدار شدید است .
از آنجا که فضای شوارتز یک فضای برداری است، هر چند جمله ای $\phi (x^{\alpha })$ می تواند در یک ضریب ضرب شوده-آایکس2 $e^{-ax^{2}}$ برای $a>0$ یک ثابت حقیقی، برای دادن عنصری از فضای شوارتز. به طور خاص، تعبیه چند جمله‌ای در فضای شوارتز وجود دارد.

خواص [ ویرایش ]

خواص تحلیلی [ ویرایش ]

از قاعده لایب نیتس چنین می شود که S ( Rn ) نیز تحت ضرب نقطه ای بسته است :
اگر f , g ∈ 𝒮( R n ) آنگاه حاصل ضرب fg ∈ 𝒮( R n ) است .
تبدیل فوریه یک ایزومورفیسم خطی F:𝒮( Rn ) → 𝒮( Rn ) است .
اگر f ∈ 𝒮( R ) آنگاه f به طور یکنواخت روی R پیوسته است .
𝒮( R n ) یک محدب محلی متمایز فریچت شوارتز بر روی اعداد مختلط است .
هم 𝒮( R n ) و هم فضای دوگانه قوی آن نیز عبارتند از:

فضاهای محدب محلی هاسدورف کامل ،
فضاهای مونتل هسته ای ،

فضاهای فرابورنولوژیک ،
فضاهای مکی بشکه ای بازتابی .

رابطه فضاهای شوارتز با دیگر فضاهای برداری توپولوژیکی [ ویرایش ]

اگر 1 ≤ p ≤ ، آنگاه 𝒮( R n ) ⊂ L p ( R n ) .
اگر 1≤ p < ، آنگاه 𝒮 ( Rn ) در L p ( Rn ) متراکم است .
فضای تمام توابع دست انداز ، C
ج( R n ) در 𝒮( R n ) گنجانده شده است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

عملکرد ضربه
تابع شوارتز-بروهات
فضای هسته ای

منابع [ ویرایش ]

^ Trèves 2006 ، صفحات 351-359.

https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz_space

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 21:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

نابرابری مارتینگل دوب

ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، نابرابری مارتینگل دوب ، که به نام نابرابری زیرمارتینگل کولموگروف نیز شناخته می شود ، نتیجه مطالعه فرآیندهای تصادفی است . این یک محدودیت در احتمال اینکه یک زیرمارتینگیل از هر مقدار داده شده در یک بازه زمانی معین فراتر رود، می دهد. همانطور که از نام آن پیداست، نتیجه معمولاً در موردی داده می‌شود که فرآیند یک مارتینگل باشد ، اما نتیجه برای زیر مارتینگل‌ها نیز معتبر است.

این نابرابری به دلیل ریاضیدان آمریکایی جوزف ال دوب است .

بیانیه نابرابری [ ویرایش ]

تنظیم نابرابری دوب یک زیرمارتینگیل نسبت به فیلتر فضای احتمال زیرین است. اندازه گیری احتمال در فضای نمونه مارتینگل با P نشان داده می شود . مقدار مورد انتظار متناظر یک متغیر تصادفی X ، همانطور که توسط انتگرال لبگ تعریف شده است، با E[ X ] نشان داده می شود .

به طور غیررسمی، نابرابری دوب بیان می‌کند که مقدار مورد انتظار فرآیند در زمان نهایی، احتمال اینکه یک مسیر نمونه از قبل به بالاتر از مقدار خاصی برسد را کنترل می‌کند. از آنجایی که اثبات از استدلال بسیار مستقیم استفاده می کند، بر خلاف بسیاری از قضایای دیگر در مورد فرآیندهای تصادفی، به هیچ فرض محدود کننده ای در مورد فیلترسازی اساسی یا خود فرآیند نیاز ندارد. در تنظیم زمان پیوسته، پیوستگی راست (یا پیوستگی چپ) مسیرهای نمونه مورد نیاز است، اما فقط به این دلیل که بدانیم مقدار فوق‌العاده یک مسیر نمونه با مقدار فوق‌العاده یک زیرمجموعه زمان‌های متراکم قابل شمارش دلخواه برابر است.

زمان گسسته [ ویرایش ]

اجازه دهید X 1 ، ...، X n یک زیر مارتینگال زمان گسسته نسبت به یک فیلتر باشد. ${\mathcal {F}}_{1},\ldots ,{\mathcal {F}}_{n}$ از فضای احتمال زیربنایی، که می گویند:

$X_{i}\leq \operatorname {E} [X_{i+1}\mid {\mathcal {F}}_{i}].$

نابرابری زیرمارتینگیل [ توضیح لازم است ] این را می گوید

$P\left[\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_ {n}،0)]}{C}}$

برای هر عدد مثبت C اثبات بر این واقعیت تئوری مجموعه متکی است که رویداد تعریف شده توسط max( Xi ) > C ممکن است به عنوان اتحادیه متفرقه رویدادهای E i که توسط Xi > C و Xj ≤ C برای همه j < i تعریف شده است، تجزیه شود . سپس

$CP(E_{i})=\int _{E_{i}}C\,dP\leq \int _{E_{i}}X_{i}\,dP\leq \int _{E_{ i}}{\text{E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{i}]\,dP=\int _{E_{i}}X_{n}\,dP,$

با استفاده از خاصیت زیرمارتینگیل برای آخرین نابرابری و این واقعیت که $E_{i}\در {\mathcal {F}}_{i}$ برای آخرین برابری جمع کردن این نتیجه در محدوده i از 1 تا n به نتیجه می رسد [ توضیحات لازم ]

$CP(E)\leq \int _{E}X_{n}\,dP,$

که واضح تر از نتیجه بیان شده است. با استفاده از این واقعیت ابتدایی که X n ≤ max( X n , 0) , نابرابری زیرمارتینگیل داده شده به دست می آید.

در این اثبات، ویژگی زیرمارتینگیل یک بار به همراه تعریف انتظار شرطی استفاده می شود . [1] همچنین می‌توان این اثبات را به زبان فرآیندهای تصادفی بیان کرد تا نتیجه‌ای از این قضیه قدرتمند باشد که یک زیر مارتینگال متوقف شده خود یک زیرمارتینگل است. [2] در این تنظیمات، حداقل شاخص i که در اثبات فوق ظاهر می‌شود، به عنوان زمان توقف تفسیر می‌شود .

زمان پیوسته [ ویرایش ]

حال اجازه دهید X t یک زیرمارتینگیل باشد که با بازه [0,T] از اعداد واقعی، نسبت به فیلتر Ft فضای احتمال زیرین نمایه شده است، که به این صورت است :

$X_{s}\leq \operatorname {E} [X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}].$

برای همه s < t . نابرابری زیرمارتینگیل [ توضیحات لازم ] می گوید که اگر مسیرهای نمونه مارتینگل تقریباً مطمئناً راست-پیوسته باشند، پس

$P\left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_ {T}،0)]}{C}}$

برای هر عدد مثبت C این نتیجه نتیجه زمان گسسته فوق است که با نوشتن به دست آمده است

$\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}=\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap \mathbb {Q} \}=\lim _ {i\to \infty }\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap Q_{i}\}$

که در آن Q 1 ⊂ Q 2 ⊂ ⋅⋅⋅ هر دنباله ای از مجموعه های متناهی است که اتحاد آن مجموعه همه اعداد گویا باشد. برابری اول نتیجه فرض راست تداوم است، در حالی که برابری دوم صرفاً نظری مجموعه است. نابرابری زمان گسسته برای گفتن آن اعمال می شود

$P\left[\sup _{t\in [0,T]\cap Q_{i}}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\ textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}$

برای هر i ، و این به حدی می رسد که نابرابری زیرمارتینگیل را به دست می دهد. [3] این گذر از زمان گسسته به زمان پیوسته بسیار منعطف است، زیرا فقط به داشتن یک زیرمجموعه متراکم قابل شمارش از [0,T] نیاز دارد، که می‌تواند به طور خودکار از یک توالی فزاینده از مجموعه‌های محدود ساخته شود. به این ترتیب، نابرابری زیرمارتینگیل حتی برای مجموعه‌های شاخص کلی‌تر، که لازم نیست فواصل یا اعداد طبیعی باشند، برقرار است . [4]

نابرابری های بیشتر [ ویرایش ]

نابرابری‌های زیرمارتینگیل بیشتری نیز به دلیل دوب وجود دارد. حال اجازه دهید X t یک مارتینگل یا یک زیرمارتینگیل مثبت باشد. اگر مجموعه شاخص غیرقابل شمارش باشد، (مانند بالا) فرض کنید که مسیرهای نمونه راست-پیوسته هستند. در این سناریوها، نابرابری جنسن دلالت بر این دارد که | X t | p یک زیرمارتینگل برای هر عدد p ≥ 1 است ، مشروط بر اینکه این متغیرهای تصادفی جدید همگی دارای انتگرال محدود باشند. سپس نابرابری زیرمارتینگیل برای گفتن اینکه [5] قابل اعمال است.

${\text{P}}[\sup _{t}|X_{t}|\geq C]\leq {\frac {{\text{E}}[|X_{T}|^{p }]}{C^{p}}}.$

برای هر عدد مثبت C در اینجا T زمان نهایی است ، یعنی بزرگترین مقدار مجموعه شاخص. علاوه بر این یکی دارد

${\text{E}}[|X_{T}|^{p}]\leq {\text{E}}\left[\sup _{0\leq s\leq T}|X_{s }|^{p}\right]\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}{\text{E}}[|X_{T}|^{p }]$

اگر p بزرگتر از یک باشد. این که گاهی اوقات به عنوان حداکثر نابرابری دوب شناخته می شود ، نتیجه مستقیم ترکیب نمایش کیک لایه با نابرابری زیرمارتینگیل و نابرابری هلدر است . [6]

علاوه بر نابرابری فوق، وجود دارد [7]

${\text{E}}\left|\sup _{0\leq s\leq T}X_{s}\right|\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1 +{\text{E}}[\max\{|X_{T}|\log |X_{T}|,0\}]\راست)$

نابرابری های مرتبط [ ویرایش ]

نابرابری دوب برای مارتینگل های گسسته زمان دلالت بر نابرابری کلموگروف دارد : اگر X 1 , X 2 , ... دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل با ارزش واقعی باشد که هر کدام دارای میانگین صفر هستند، واضح است که

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{1}+\cdots +X_{n}+X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n} \right]&=X_{1}+\cdots +X_{n}+\operatorname {E} \left[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\ \&=X_{1}+\cdots +X_{n}،\end{تراز شده}}$

بنابراین S n = X 1 + ... + X n یک مارتینگل است. توجه داشته باشید که نابرابری جنسن دلالت بر این دارد که |S n | اگر S n یک مارتینگل باشد یک زیرمارتینگل غیرمنفی است. بنابراین، با گرفتن p = 2 در نابرابری مارتینگل دوب،

$P\left[\max _{1\leq i\leq n}\left|S_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[ S_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}}،$

که دقیقاً بیانیه نابرابری کولموگروف است. [8]

کاربرد: حرکت براونی [ ویرایش ]

فرض کنید B حرکت براونی یک بعدی متعارف را نشان دهد . سپس [9]

$P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T} }\درست).$

اثبات دقیقاً به شرح زیر است: از آنجایی که تابع نمایی به طور یکنواخت در حال افزایش است، برای هر λ غیر منفی،

$\left\{\sup _{{0\leq t\leq T}}B_{{t}}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}} \exp(\lambda B_{{t}})\geq \exp(\lambda C)\right\}.$

با نابرابری دوب، و از آنجایی که نمایی حرکت براونی یک زیر مارتینگال مثبت است،

${\begin{aligned}P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=P\left[\sup _{0\leq t\ leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\[8pt]&\leq {\frac {\operatorname {E} [\exp(\lambda B_{ T})]}{\exp(\lambda C)}}\\[8pt]&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\راست )&&\operatorname {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\ پایان{تراز شده}}$

از آنجایی که سمت چپ به λ بستگی ندارد ، λ را برای به حداقل رساندن سمت راست انتخاب کنید: λ = C / T نابرابری مورد نظر را نشان می دهد.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/دوب%27s_martingale_inequality

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 21:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه همگرایی ویتالی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تحلیل واقعی و تئوری اندازه گیری ، قضیه همگرایی ویتالی ، که به نام ریاضیدان ایتالیایی جوزپه ویتالی نامگذاری شده است ، تعمیم قضیه همگرایی غالب معروف هانری لبگ است . این توصیفی از همگرایی در L p از نظر همگرایی در اندازه گیری و شرایط مربوط به انتگرال یکنواخت است .

تعاریف اولیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ یک فضای اندازه گیری باشد ، یعنی $\mu :{\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$ تابع مجموعه ای است به طوری که $\mu (\emptyset )=0$ و $\mu$ قابل شمارش-افزودنی است. تمام توابع در نظر گرفته شده در دنباله، توابع خواهند بود $f:X\to \mathbb {K}$ ، جایی که $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ یاسی $\mathbb {C}$ . ما تعاریف زیر را با توجه به اصطلاحات بوگاچف اتخاذ می کنیم. [1]

مجموعه ای از توابع ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر $\lim _{M\to +\infty }\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|>M\}}|f|\,d\ mu =0$ ، یعنی $\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ M_{\varepsilon }>0:\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq M_ {\varepsilon }\}}|f|\,d\mu <\varepsilon$ .
مجموعه ای از توابع ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ گفته می شود که دارای انتگرال های یکنواخت مطلقاً پیوسته است اگر $\lim _{\mu (A)\to 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu =0$ ، یعنی $\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta _{\varepsilon }>0,\ \forall \ A\in {\mathcal {A}}:\mu (A)<\delta _{ \varepsilon }\Rightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon$ . این تعریف گاهی اوقات به عنوان تعریفی از انتگرال یکنواخت استفاده می شود. با این حال، با تعریف انتگرال یکنواخت ارائه شده در بالا متفاوت است.

چه زمانی $\mu(X)<\infty$ ، مجموعه ای از توابع ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ به طور یکنواخت قابل ادغام است اگر و فقط در صورتی که محدود باشد $L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و دارای انتگرال های کاملاً پیوسته یکنواخت است. اگر علاوه بر این، $\mu$ بدون اتم است، پس انتگرال یکنواخت معادل تداوم مطلق یکنواخت انتگرال است.

مورد اندازه گیری محدود [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ فضای اندازه گیری با $\mu(X)<\infty$ . اجازه دهید $(f_{n})\subset L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و $f$ لوبیاآ ${\mathcal {A}}$ -عملکرد قابل اندازه گیری بعدی ها برابر هستند :

$f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و $(f_{n})$ همگرا می شود $f$ که در $L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ;
توالی توابع $(f_{n})$ همگرا می شود $\mu$ -اندازه گیری به $f$ و $(|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}$ به طور یکنواخت قابل ادغام است.

برای اثبات، به تک نگاری بوگاچف "نظریه اندازه گیری، جلد اول" مراجعه کنید. [1]

مورد اندازه گیری بی نهایت [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ فضای اندازه گیری باشد و $1\leq p<\infty$ . اجازه دهید $(f_{n})_{n\geq 1}\subsetq L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و $f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ . سپس، $(f_{n})$ همگرا می شود $f$ که در $L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ اگر و فقط اگر موارد زیر وجود داشته باشد:

توالی توابع $(f_{n})$ همگرا می شود $\mu$ -اندازه گیری به $f$ ;
$(f_{n})$ دارای انتگرالهای کاملاً پیوسته یکنواخت است.
برای هر $\varepsilon > 0$ ، وجود دارد $X_{\varepsilon }\in {\mathcal {A}}$ به طوری که $\mu (X_{\varepsilon })<\infty$ و $\sup _{n\geq 1}\int _{X\setminus X_{\varepsilon }}|f_{n}|^{p}\,d\mu <\varepsilon .$

چه زمانی $\mu(X)<\infty$ ، شرط سوم زائد می شود (به سادگی می توان گرفت $X_{\varepsilon }=X$ ) و دو شرط اول شکل معمول قضیه همگرایی ویتالی-لبک را می دهد که در ابتدا برای فضاهای اندازه گیری با اندازه محدود بیان شد. در این مورد، می توان نشان داد که شرایط 1 و 2 دلالت بر این دارد که دنباله $(|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}$ به طور یکنواخت قابل ادغام است.

برعکس قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ فضا را اندازه گیری کنید اجازه دهید $(f_{n})_{n\geq 1}\subsetq L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و فرض کنید که $\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu$ برای هر وجود دارد $A\in {\mathcal {A}}$ . سپس، دنباله $(f_{n})$ محدود شده است $L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و دارای انتگرال های کاملاً پیوسته یکنواخت است. علاوه بر این، وجود دارد $f\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ به طوری که $\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}f\,d\mu$ برای هرآ∈آ $A\in {\mathcal {A}}$ .

چه زمانی $\mu(X)<\infty$ ، این نشان می دهد که $(f_{n})$ به طور یکنواخت قابل ادغام است.

برای اثبات، به تک نگاری بوگاچف "نظریه اندازه گیری، جلد اول" مراجعه کنید. [1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_convergence_theorem

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 21:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

انتگرال یکنواخت

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، انتگرال یکنواخت یک مفهوم مهم در آنالیز حقیقی ، آنالیز تابعی و تئوری اندازه گیری است و نقشی حیاتی در نظریه مارتینگال ایفا می کند .

تعریف نظری اندازه گیری [ ویرایش ]

انتگرال یکنواخت، بسط مفهوم خانواده ای از توابع است که در آنها تسلط دارند $L_{1}$ که در همگرایی غالب مرکزی است . چندین کتاب درسی در مورد آنالیز حقیقی و نظریه اندازه گیری از تعریف زیر استفاده می کنند: [1] [2]

تعریف الف: فرض کنید $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ فضای اندازه پذیرمثبت باشد . یک مجموعه $\Phi \زیر مجموعه L^{1}(\mu)$ یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر $\sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty$ ، و به هر کدام $\varepsilon>0$ مطابقت دارد $\delta>0$ به طوری که

$\int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon$

هر زمان که $f\in \Phi$ و. $\mu (E)<\delta .$

تعریف A برای فضاهای اندازه گیری بی نهایت محدود کننده است. تعریف کلی تر [3] از انتگرال یکنواخت که در فضاهای اندازه گیری کلی به خوبی کار می کند توسط GA Hunt معرفی شد .

تعریف H: فرض کنید $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ فضای اندازه گیری مثبت باشد. یک مجموعه $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ یکنواخت انتگرال پذیر اگر و فقط اگر نامیده می شود

$\inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f| \,d\mu =0$

جایی که $L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu):g\geq 0\}$ .

برای فضاهای اندازه گیری محدود، نتیجه زیر [4] از تعریف H به دست می آید:

قضیه 1: اگر $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ یک فضای اندازه گیری محدود (مثبت) و سپس یک مجموعه است $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است [ توضیح لازم است ] اگر و فقط اگر

$\inf _{a\geq 0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0$

بسیاری از کتاب های درسی احتمال، قضیه 1 را به عنوان تعریف انتگرال یکنواخت در فضاهای احتمال ارائه می کنند. زمانی که فضا $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ است $\سیگما$ - محدود، تعریف H معادل زیر را به دست می دهد:

قضیه 2: فرض کنید $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ یک باشد $\سیگما$ فضای اندازه گیری محدود، و $h\in L^{1}(\mu )$ طوری باشد که $h>0$ تقریباً مطمئنا یک مجموعه $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است [ توضیح لازم است ] اگر و فقط اگر $\sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty$ ، و برای هر $\varepsilon>0$ ، خروجی وجود دارد $\delta>0$ به طوری که

$\sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon$

$\int _{A}h\,d\mu <\delta$ .

به ویژه، هم ارزی تعاریف A و H برای معیارهای محدود بلافاصله از قضیه 2 به دست می آید. برای این مورد، عبارت در تعریف A با گرفتن به دست می آید $h\equiv 1$ در قضیه 2.

تعریف احتمال [ ویرایش ]

در تئوری احتمال، تعریف A یا عبارت قضیه 1 اغلب به عنوان تعاریف انتگرال یکنواخت با استفاده از انتظار نمادگذاری متغیرهای تصادفی ارائه می شود.، [5] [6] [7] یعنی،

1. یک کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی به طور یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر:

محدود وجود دارد $م$ به طوری که برای هر $ایکس$ که در ${\mathcal {C}}$ ، $\operatorname {E} (|X|)\leq M$ و
برای هر $\varepsilon > 0$ وجود دارد $\delta >0$ به طوری که برای هر قابل اندازه گیری $آ$ به طوری که $P(A)\leq \delta$ و هر $ایکس$ که در ${\mathcal {C}}$ ، $\operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon$ .

یا به طور متناوب

2. یک کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی به صورت یکنواخت انتگرال پذیر (UI) برای هر نامیده می شود $\varepsilon > 0$ وجود دارد $K\in [0،\infty)$ به طوری که $\operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ برای همه }}X\in {\mathcal {C}}$ ، جایی که $I_{{|X|\geq K}}$ تابع نشانگر است اگر . $I_{{|X|\geq K}}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\ پایان{موارد}}$ .

سفتی و انتگرال یکنواخت [ ویرایش ]

یکی از پیامدهای انتگرال یکنواخت یک کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی آن خانواده قوانین یا توزیع است $\{P\circ |X|^{-1}(\cdot):X\in {\mathcal {C}}\}$ تنگ است . یعنی برای هر کدام $\delta >0$ ، وجود دارد $a>0$ به طوری که

$P(|X|>a)\leq \delta$ برای همه $X\in {\mathcal {C}}$ . [8]

با این حال، این بدان معنا نیست که خانواده ${\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}:={\Big \{}\mu _{X}:A\mapsto \int _{A}|X|\,dP,\ ,X\in {\mathcal {C}}{\Big \}}$ تنگ است (در هر صورت، تنگی نیاز به توپولوژی دارد $\ امگا$ تا تعریف شود.)

پیوسگی مطلق یکنواخت [ ویرایش ]

مفهوم دیگری از یکنواختی وجود دارد که کمی متفاوت از انتگرال یکنواخت است که در نظریه احتمالات و اندازه گیری نیز کاربردهای زیادی دارد و برای داشتن انتگرال محدود به متغیرهای تصادفی نیاز ندارد [9]

تعریف: فرض کنید( $(\Omega,{\mathcal {F}},P)$ یک فضای احتمال است. یک کلاس ${\mathcal {C}}$ متغیرهای تصادفی به طور یکنواخت کاملاً پیوسته نسبت به $پ$ اگر برای هر کدام $\varepsilon > 0$ ، وجود دارد $\delta >0$ به طوری که $E[|X|I_{A}]<\varepsilon$ هر زمان که $P(A)<\delta$ .

اگر اندازه گیری محدود باشد و اتم نداشته باشد، معادل انتگرال یکنواخت است.

اصطلاح «پیوستگی مطلق یکنواخت» استاندارد نیست، [ نیازمند منبع ] اما توسط برخی نویسندگان استفاده می شود. [10] [11]

نتایج مرتبط [ ویرایش ]

نتایج زیر برای تعریف احتمالی کاربرد دارد. [12]

تعریف 1 را می توان با در نظر گرفتن محدودیت ها بازنویسی کرد

$\lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})= 0.$
یک دنباله غیر UI. فرض کنید $\Omega =[0,1]\زیر مجموعه {\mathbb {R}}$ ، و تعریف کنید
،در غیر این صورت.
$X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{در غیر این صورت.}}\end{موارد }}$ به وضوح $X_{n}\in L^{1}$ ، و در واقع ، $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ برای همه n . با این حال،

$\operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ برای همه }}n\geq K,$ و در مقایسه با تعریف 1، مشاهده می شود که پیوستگی به طور یکنواخت انتگرال پذیر نیست.

پیوستگیغیر UI از RV ها. مساحت زیر نوار همیشه برابر با 1 است، $X_{n}\ به 0$ نقطه نظر.

با استفاده از تعریف 2 در مثال بالا، می توان دریافت که بند اول به این صورت برآورده شده است.1 $L^{1}$ هنجار همه $X_{n}$ هستند یعنی محدود شده اند. اما بند دوم آنطور که گفته شد برقرار نیست $\دلتا$ مثبت، یک فاصله وجود دارد $(0,1/n)$ با اندازه کمتر از $\دلتا$ و $E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1$ برای همه $m\geq n$ .
اگر $ایکس$ یک متغیر تصادفی UI است ، با تقسیم $\operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\ {|X|<K\}})$ و با محدود کردن هر یک از این دو، می توان دید که یک متغیر تصادفی یکنواخت انتگرال پذیر همیشه در محدود می شود1 $L^{1}$ .
اگر دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد $X_{n}$ تحت سلطه یک انتگرال پذیر، غیر منفی است $Y$ : یعنی برای همه ω و n ، $|X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,$ سپس کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی $\{X_{n}\}$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است.
کلاسی از متغیرهای تصادفی محدود شده در $L^{p}$ ( $p>1$ ) به طور یکنواخت انتگرال پذیر است.

قضایای مربوط [ ویرایش ]

در ادامه از چارچوب احتمالی استفاده می کنیم، اما صرف نظر از متناهی اندازه گیری، با اضافه کردن شرط کرانه در زیر مجموعه انتخاب شده1() $L^{1}(\mu )$ .

قضیه دانفورد - پتیس [13] [14]یک کلاس [ توضیح لازم ] از متغیرهای تصادفی $X_{n}\زیر مجموعه L^{1}(\mu)$ اگر و تنها در صورتی که برای توپولوژی ضعیف نسبتا فشرده باشد، به طور یکنواخت انتگرال پذیر است $\sigma (L^{1},L^{\infty })$ . [ توضیحات لازم است ] [ نیازمند منبع ]
قضیه د لا واله پوسین [15] [16]خانواده $\{X_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in \mathrm{A} }}\subset L^{1}(\mu )$ اگر و تنها در صورتی که تابع محدب فزاینده غیر منفی وجود داشته باشد، به طور یکنواخت انتگرال پذیر است $G(t)$ به طوری که

$\lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty {\text{ and }}\sup _{\alpha }\operatorname {E} (G (|X_{\alpha }|))<\infty .$

ارتباط با همگرایی متغیرهای تصادفی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همگرایی متغیرهای تصادفی

یک $\{X_{n}\}$ همگرا می شود $ایکس$ در $L_{1}$ هنجار اگر و فقط اگر از نظر اندازه به $ایکس$ همگرا شودو به طور یکنواخت انتگرال پذیر است. از نظر احتمال، دنباله ای از متغیرهای تصادفی که در احتمال همگرا می شوند نیز در میانگین همگرا می شوند اگر و تنها در صورتی که به طور یکنواخت انتگرال پذیر باشند. [17] این یک تعمیم از قضیه همگرایی غالب لبگ است ، به قضیه همگرایی ویتالی مراجعه کنید .

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_integrability

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 21:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

قضیه همگرایی مسلط لبگ

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تئوری اندازه گیری ، قضیه همگرایی مسلط لبگ شرایط کافی را فراهم می کند که تحت آن تقریباً در همه جا همگرایی دنباله ای از توابع متضمن همگرایی در هنجار L 1 است . قدرت و کاربرد آن دو مزیت نظری اولیه انتگرال لبگ نسبت به انتگرال ریمان است .

علاوه بر ظاهر مکرر آن در تجزیه و تحلیل ریاضی و معادلات دیفرانسیل جزئی، به طور گسترده ای در نظریه احتمال استفاده می شود ، زیرا شرایط کافی برای همگرایی مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی را فراهم می کند .

بیانیه [ ویرایش ]

قضیه همگرایی غالب لبگ. [1] اجازه دهید $(f_{n})$ دنباله ای از توابع قابل اندازه گیری با ارزش مختلط در فضای اندازه گیری باشد $(S,\Sigma,\mu )$ . فرض کنید دنباله به صورت نقطه ای به یک تابع همگرا می شود $f$ و تحت سلطه برخی از عملکردهای یکپارچه است $g$ از آن جهت که

$|f_{n}(x)|\leq g(x)$

برای همه اعداد n در مجموعه شاخص دنباله و همه نقاط $x\ در S$ . سپس f انتگرال پذیر است (به معنای لبگ ) و

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0$

که همچنین دلالت دارد

$\lim_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu = \int_S f\,d\mu$

نکته 1. عبارت " g قابل انتگرال است" به معنای آن تابع قابل اندازه گیری است $g$ لبگ انتگرالپذیر است. یعنی

$\int_S|g|\,d\mu < \infty.$

نکته 2. همگرایی دنباله و غلبه توسط $g$ می توان آن را شل کرد و فقط μ- را تقریباً در همه جا نگه داشت ، مشروط بر اینکه فضای اندازه گیری ( S ، Σ، μ) کامل باشد یا $f$ به عنوان یک تابع قابل اندازه گیری انتخاب می شود که μ-تقریبا در همه جا با μ- تقریباً در همه جا حد نقطه ای موجود مطابقت دارد. (این اقدامات احتیاطی ضروری است، زیرا در غیر این صورت ممکن است یک زیرمجموعه غیر قابل اندازه گیری از یک مجموعه μ-تهی N∈ Σ وجود داشته باشد ، بنابراین $f$ ممکن است قابل اندازه گیری نباشد.)

تبصره 3. اگر $\mu (S)<\infty$ ، شرایطی که یک تابع انتگرال پذیر غالب وجود دارد $g$ را می توان به یکپارچگی یکنواخت دنباله ( fn )، رجوع کنید به قضیه همگرایی Vitali .

تبصره 4. در حالی که $f$ لبگ انتگرالپذیر است، به طور کلی ریمان انتگرالپذیر نیست . برای مثال، f n را در نظر بگیرید تا در آن تعریف شود $[0,1]$ به طوری که در اعداد گویا 1/n و در هر جای دیگر صفر است (در غیر منطقی ها). سری ( f n ) به صورت نقطه ای به 0 همگرا می شود، بنابراین f یکسان صفر است، اما $|f_{n}-f|=f_{n}$ ریمان انتگرالپذیر نیست، زیرا تصویر آن در هر بازه محدود است $\{0,1/n\}$ و بنابراین انتگرال داربوکس بالایی و پایینی به ترتیب 1/n و 0 هستند.

اثبات [ ویرایش ]

بدون از دست دادن کلیت ، می توان فرض کرد که f حقیقی است، زیرا می توان f را به بخش های حقیقی و موهومی آن تقسیم کرد (به یاد داشته باشید که دنباله ای از اعداد مختلط همگرا می شوند اگر و فقط اگر همتایان حقیقی و موهومی آن همگرا شوند) و نابرابری مثلث را اعمال کنید. در پایان.

قضیه همگرایی غالب لبگ یک مورد خاص از قضیه فاتو-لبگ است . با این حال، در زیر یک دلیل مستقیم وجود دارد که از لم فاتو به عنوان ابزار ضروری استفاده می کند.

از آنجایی که f حد نقطه‌ای دنباله ( fn ) توابع قابل اندازه‌گیری است که تحت تسلط g هستند ، همچنین قابل اندازه‌گیری و تحت تسلط g است ، بنابراین انتگرال‌پذیر است. علاوه بر این، (اینها بعدا مورد نیاز خواهند بود)،

$|f-f_n| \le |f| + |f_n| \leq 2 گرم$

برای همه n و

$\limsup_{n\to\infty} |f-f_n| = 0.$

دومی از اینها به طور پیش پا افتاده درست است (با همان تعریف f ). با استفاده از خطی بودن و یکنواختی انتگرال لبگ

$\ چپ | \int_S{f\,d\mu} - \int_S{f_n\,d\mu} \راست|= \چپ| \int_S{(f-f_n)\,d\mu} \right|\le \int_S{|f-f_n|\,d\mu}.$

توسط لم معکوس Fatou (در اینجا است که ما از این حقیقیت استفاده می کنیم که | f − f n | در بالا توسط یک تابع انتگرال پذیر محدود شده است)

$\limsup_{n\to\infty} \int_S |f-f_n|\,d\mu \le \int_S \limsup_{n\to\infty} |f-f_n|\,d\mu = 0,$

که دلالت بر این دارد که حد وجود دارد و ناپدید می شود

$\lim_{n\to\infty} \int_S |f-f_n|\,d\mu= 0.$

در نهایت، از آن زمان

$\lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\ به \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

ما آن را داریم

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .$

حال این قضیه دنبال می شود.

اگر مفروضات فقط μ-تقریباً در همه جا برقرار باشند، پس یک مجموعه μ-تهی N ∈ Σ وجود دارد به طوری که توابع f n 1 S \ N مفروضات را در همه جای S برآورده می کنند . سپس تابع f ( x ) که به عنوان حد نقطه‌ای f n ( x ) برای x ∈ S \ N و با f ( x ) = 0 برای x ∈ N تعریف شده است، قابل اندازه‌گیری است و حد نقطه‌ای این دنباله تابع تغییر یافته است. مقادیر این انتگرال‌ها تحت تأثیر این تغییرات انتگرال‌های این مجموعه تهی N قرار نمی‌گیرند ، بنابراین قضیه همچنان پابرجاست.

DCT پابرجاست حتی اگر f n از نظر اندازه به f همگرا شود (اندازه محدود) و تابع غالب تقریباً در همه جا غیر منفی است.

بحث در مورد مفروضات [ ویرایش ]

این فرض که توالی تحت سلطه مقداری g قابل انتگرال است را نمی توان نادیده گرفت. این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: f n ( x ) = n را برای x در بازه ( 0, 1/ n ] تعریف کنید و در غیر این صورت f n ( x ) = 0 را تعریف کنید . = sup n f n توجه کنید

$\int_0^1 h(x)\,dx \ge \int_{\frac{1}{m}}^1{h(x)\,dx} = \sum_{n=1}^{m-1} \int_{\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]}{h(x)\,dx} \ge \sum_{n=1}^{m -1} \int_{\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]}{n\,dx}=\sum_{n=1}^{m- 1} \frac{1}{n+1} \to \infty \qquad \text{as }m\to\infty$

با واگرایی سری هارمونیک . از این رو، یکنواختی انتگرال لبگ به ما می گوید که هیچ تابع انتگرال پذیری وجود ندارد که بر دنباله در [0،1] مسلط باشد. یک محاسبه مستقیم نشان می دهد که انتگرال و محدودیت نقطه ای برای این دنباله جابجا نمی شوند:

$\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,dx = 0 \neq 1 = \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx,$

زیرا حد نقطه ای دنباله تابع صفر است . توجه داشته باشید که دنباله ( fn ) حتی به طور یکنواخت انتگرالپذیر نیست ، بنابراین قضیه همگرایی Vitali نیز قابل اجرا نیست.

قضیه همگرایی محدود [ ویرایش ]

یکی از پیامدهای قضیه همگرایی غالب، قضیه همگرایی محدود است ، که بیان می‌کند که اگر ( fn ) دنباله‌ای از توابع قابل اندازه‌گیری با مقدار مختلط محدود یکنواخت است که به صورت نقطه‌ای در فضای اندازه‌گیری محدود ( S , Σ, μ) همگرا می‌شود (یعنی یک که در آن μ( S ) متناهی است) به یک تابع f ، سپس حد f یک تابع انتگرال پذیر است و

$\lim_{n\to\infty} \int_S{f_n\,d\mu} = \int_S{f\,d\mu}.$

نکته: همگرایی نقطه‌ای و مرز یکنواخت دنباله را می‌توان برای حفظ تنها μ- تقریباً در همه جا آرام کرد ، مشروط بر اینکه فضای اندازه‌گیری ( S ، Σ، μ) کامل باشد یا f به‌عنوان یک تابع قابل اندازه‌گیری انتخاب شود که μ-تقریباً در همه جا موافق است. μ- تقریباً در همه جا حد نقطه ای موجود است.

اثبات [ ویرایش ]

از آنجایی که دنباله به طور یکنواخت محدود است، یک عدد حقیقی M وجود دارد به طوری که | f n ( x )| ≤ M برای همه x ∈ S و برای همه n . g ( x ) = M را برای تمام x ∈ S تعریف کنید . سپس توالی تحت تسلط g است . علاوه بر این، g انتگرالپذیر است زیرا یک تابع ثابت در مجموعه ای از اندازه گیری های محدود است. بنابراین، نتیجه از قضیه همگرایی غالب به دست می آید.

اگر مفروضات فقط μ-تقریباً در همه جا برقرار باشند، پس یک مجموعه μ-تهی N ∈ Σ وجود دارد به طوری که توابع f n 1 S \ N مفروضات را در همه جای S برآورده می کنند .

همگرایی غالب در فضاهای L p (نتیجه) [ ویرایش ]

اجازه دهید $(\Omega،\mathcal{A}،\mu)$ فضای اندازه گیری باشد ،1≤پ<∞ $1\leq p<\infty$ یک عدد حقیقی و $(f_{n})$ دنباله ای از ${\mathcal {A}}$ -توابع قابل اندازه گیری $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ .

دنباله را فرض کنید $(f_{n})$ همگرا می شود $\mu$ -تقریبا همه جا به یکآ ${\mathcal {A}}$ -عملکرد قابل اندازه گیری $f$ ، و تحت سلطه a∈پ $g \ در L^p$ (ر.ک. فضای Lp )، یعنی برای هر عدد طبیعی $n$ ما داریم: $|f_{n}|\leq g$ ، μ-تقریبا در همه جا.

سپس همه $f_{n}$ همچنین $f$ هستند $L^{p}$ و دنباله $(f_{n})$ همگرا می شود $f$ به معنایپ $L^{p}$ ، یعنی:

$\lim_{n \to \infty}\|f_n-f\|_p =\lim_{n \to \infty}\left(\int_\Omega |f_n-f|^p \,d\mu\right)^ {\frac{1}{p}} = 0.$

ایده اثبات: قضیه اصلی را به دنباله تابع اعمال کنید $h_n = |f_n-f|^p$ با تابع غالب $(2g)^p$ .

برنامه های افزودنی [ ویرایش ]

قضیه همگرایی غالب برای توابع قابل اندازه‌گیری با مقادیر در فضای باناخ نیز اعمال می‌شود ، با اینکه تابع غالب همچنان غیرمنفی و انتگرالپذیر است. فرض همگرایی تقریباً در همه جا می تواند تضعیف شود و فقط نیاز به همگرایی در اندازه باشد .

قضیه همگرایی غالب در مورد انتظارات مشروط نیز کاربرد دارد. [2]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

همگرایی متغیرهای تصادفی ، همگرایی در میانگین
قضیه همگرایی یکنواخت (نیازی به تسلط تابع انتگرال پذیر نیست، بلکه یکنواختی دنباله را در نظر می گیرد)
لم شفه
یکپارچگی یکنواخت
قضیه همگرایی ویتالی (تعمیم قضیه همگرایی غالب لبگ)

یادداشت ها

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 20:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

لم شفه

ز ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، لم شفه یک گزاره در نظریه اندازه گیری در مورد همگرایی دنباله ای از توابع انتگرال پذیر است . بیان می کند که اگر $f_{n}$ دنباله ای از توابع نتگرال پذیر در یک فضای اندازه گیری است $(X,\Sigma,\mu)$ که تقریباً در همه جا به یک تابع قابل ادغام دیگر همگرا می شود $f$ ، سپس $\int |f_n - f| \، d\mu \ به 0$ اگر و تنها اگر $\int | f_n | \, d\mu \ به \int | f | \, d\mu$ . [1]

در تئوری احتمال، همگرایی تقریباً مطمئن را می توان تضعیف کرد و تنها به همگرایی در احتمال نیاز داشت. [2]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

در مورد تئوری احتمالات ، قضیه شفه، به شکلی که در اینجا بیان شد، نشان می دهد که تقریباً در همه جا همگرایی نقطه ای توابع چگالی احتمال دنباله ای از $\mu$ - متغیرهای تصادفی کاملاً پیوسته دلالت بر همگرایی در توزیع آن متغیرهای تصادفی دارد.

تاریخچه [ ویرایش ]

هنری شفه در سال 1947 اثباتی بر بیانیه همگرایی چگالی احتمال منتشر کرد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Scheff%C3%A9%27s_lemma

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 20:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

آموزش ریاضی

یادداشت تاریخی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

نشانه گذاری [ ویرایش ]

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

توابع BMO به صورت محلی قابل ادغام p هستند [ ویرایش ]

BMO یک فضای Banach است [ ویرایش ]

میانگین مکعب های مجاور قابل مقایسه هستند [ ویرایش ]

BMO فضای برداری دوگانه H 1 است [ ویرایش ]

نابرابری جان-نیرنبرگ [ ویرایش ]

تعمیم ها و پسوندها [ ویرایش ]

فضاهای BMOH و BMOA [ ویرایش ]

فضای VMO [ ویرایش ]

ارتباط با تبدیل هیلبرت [ ویرایش ]

فضای دوتایی BMO [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

نمونه هایی از توابع در فضای شوارتز [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

خواص تحلیلی [ ویرایش ]

رابطه فضاهای شوارتز با دیگر فضاهای برداری توپولوژیکی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

نمونه هایی از توابع در فضای شوارتز [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

خواص تحلیلی [ ویرایش ]

رابطه فضاهای شوارتز با دیگر فضاهای برداری توپولوژیکی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

بیانیه نابرابری [ ویرایش ]

زمان گسسته [ ویرایش ]

زمان پیوسته [ ویرایش ]

نابرابری های بیشتر [ ویرایش ]

نابرابری های مرتبط [ ویرایش ]

کاربرد: حرکت براونی [ ویرایش ]

منابع

تعاریف اولیه [ ویرایش ]

مورد اندازه گیری محدود [ ویرایش ]

مورد اندازه گیری بی نهایت [ ویرایش ]

برعکس قضیه [ ویرایش ]

تعریف نظری اندازه گیری [ ویرایش ]

تعریف احتمال [ ویرایش ]

سفتی و انتگرال یکنواخت [ ویرایش ]

پیوسگی مطلق یکنواخت [ ویرایش ]

نتایج مرتبط [ ویرایش ]

قضایای مربوط [ ویرایش ]

ارتباط با همگرایی متغیرهای تصادفی [ ویرایش ]

بیانیه [ ویرایش ]

اثبات [ ویرایش ]

بحث در مورد مفروضات [ ویرایش ]

قضیه همگرایی محدود [ ویرایش ]

اثبات [ ویرایش ]

همگرایی غالب در فضاهای L p (نتیجه) [ ویرایش ]

برنامه های افزودنی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

منبع

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها

**توابع BMO به صورت محلی قابل ادغام p هستند [ ویرایش ]**

**فضای VMO [ ویرایش ]**