7-معادله مکعب

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۰ | 17:6

اشتقاق ریشه ها [ ویرایش ]

این بخش چندین روش برای استخراج فرمول کاردانو را دوباره گروه بندی می کند.

روش کاردانو [ ویرایش ]

این روش به دلیل Scipione del Ferro و Tartaglia است، اما به افتخار جرولامو کاردانو که اولین بار آن را در کتاب آرس ماگنا خود (1545) منتشر کرد، نامگذاری شده است.

این روش برای یک مکعب فشرده t 3 + pt + q = 0 اعمال می شود. ایده این است که دو متغیر u و v را به گونه‌ای معرفی کنیم که u + v = t و آن را در مکعب کاهش یافته جایگزین کنیم.

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.$

در این مرحله کاردانو شرط 3 uv + p = 0 را اعمال کرد. این سومین عبارت را در برابری قبلی حذف می کند و منجر به سیستم معادلات می شود

${\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}$

با دانستن مجموع و حاصل ضرب u 3 و v 3 ، نتیجه می گیریم که آنها دو راه حل معادله درجه دوم هستند .

$(xu^{3})(xv^{3})=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}= x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}=0،$

بنابراین

$x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0,$

ممیز این معادله است $\Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$ و با فرض مثبت بودن، جوابهای حقیقی این معادلات عبارتند از (پس از تا زدن تقسیم بر 4 در زیر جذر):

$-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}} }.$

بنابراین (بدون از دست دادن کلیت در انتخاب u یا v):

$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p ^{3}}{27}}}}}.$

$v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p ^{3}}{27}}}}}.$

به عنوان u + v = t ، مجموع ریشه های مکعب این راه حل ها یک ریشه معادله است. به این معنا که

$t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}} }+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

ریشه معادله است. این فرمول کاردانو است.

این به خوبی کار می کند زمانی که $4p^{3}+27q^{2}>0,$ اما اگر $4p^{3}+27q^{2}<0,$ جذر ظاهر شده در فرمول حقیقی نیست. از آنجایی که یک عدد مختلط دارای سه ریشه مکعبی است، استفاده از فرمول کاردانو بدون دقت، نه ریشه را ارائه می دهد، در حالی که یک معادله مکعبی نمی تواند بیش از سه ریشه داشته باشد. این را ابتدا رافائل بومبلی در کتاب جبر (1572) خود توضیح داد. راه حل استفاده از این حقیقیت است که uv =- ص/3، یعنی v =- ص/3 u. این بدان معنی است که فقط یک ریشه مکعب باید محاسبه شود و به فرمول دوم ارائه شده در فرمول § کاردانو منتهی می شود .

ریشه های دیگر معادله را می توان با تغییر ریشه مکعب یا به طور معادل با ضرب ریشه مکعب در هر یک از دو ریشه مکعبی اولیه واحد به دست آورد. ${\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.$

تعویض ویتا [ ویرایش ]

جایگزینی ویتا روشی است که توسط فرانسوا ویت (Vieta نام لاتین اوست) در متنی که پس از مرگش در سال 1615 منتشر شد، معرفی شد که مستقیماً فرمول دوم روش کاردانو را ارائه می‌کند و از مشکل محاسبه دو ریشه مکعبی مختلف اجتناب می‌کند. [34]

با شروع از t 3 + pt + q = 0 ، جایگزینی ویتا t = w - است.پ/3 وات. [35]

جایگزینی t = w -پ/3 واتمکعب افسرده را به

$w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.$

با ضرب در w 3 ، یک معادله درجه دوم در w 3 بدست می آید :

$(w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

اجازه دهید

$W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4} }}}$

هر ریشه غیر صفر این معادله درجه دوم باشد. اگر w 1 ، w 2 و w 3 سه ریشه مکعبی W باشند، آنگاه ریشه های مکعب فرورفته اصلی w 1 - هستند.پ/3 و 1، w 2 −پ/3 و 2و w 3 −پ/3 و 3. ریشه دیگر معادله درجه دوم است $\textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.$ این بدان معناست که تغییر علامت جذر، w i و - را مبادله می کندپ/3 وات iبرای i = 1، 2، 3 ، و بنابراین ریشه ها را تغییر نمی دهد. این روش فقط زمانی با شکست مواجه می شود که هر دو ریشه معادله درجه دوم صفر باشند، یعنی زمانی که p = q = 0 باشد، در این صورت تنها ریشه مکعب کاهش یافته 0 است .

روش لاگرانژ [ ویرایش ]

در مقاله خود Réflexions sur la résolution algébrique des équations («اندیشه هایی در مورد حل جبری معادلات»)، [36] ژوزف لوئیس لاگرانژ روش جدیدی را برای حل معادلات درجه پایین به روشی یکنواخت معرفی کرد، با این امید که بتواند تعمیم دهد. آن را برای درجات بالاتر این روش برای معادلات مکعب و کوارتیک به خوبی جواب می دهد ، اما لاگرانژ موفق به اعمال آن در معادله پنج نفری نشد، زیرا به حل یک چند جمله ای حلال درجه حداقل شش نیاز دارد. [37] [38] [39] به جز اینکه هیچ کس قبلاً موفق به حل مشکل نشده بود، این اولین نشانه عدم وجود فرمول جبری برای درجات 5 و بالاتر بود. این بعدها به عنوان قضیه آبل-روفینی ثابت شد. با این وجود، روش‌های مدرن برای حل معادلات پنجاهی قابل حل، عمدتاً مبتنی بر روش لاگرانژ هستند. [39]

در مورد معادلات مکعبی، روش لاگرانژ همان جواب کاردانو را می دهد. روش لاگرانژ را می توان مستقیماً برای معادله مکعبی عمومی ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 به کار برد، اما محاسبه با معادله مکعبی کاهش یافته، t 3 + pt + q = 0 ساده تر است .

ایده اصلی لاگرانژ کار با تبدیل فوریه گسسته ریشه ها به جای خود ریشه ها بود. به طور دقیق تر، اجازه دهید ξ یک ریشه سوم ابتدایی وحدت باشد، یعنی عددی به گونه ای که ξ 3 = 1 و ξ 2 + ξ + 1 = 0 (هنگام کار در فضای اعداد مختلط ، $\textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3}،$ اما این تعبیر پیچیده در اینجا به کار نمی رود). با نشان دادن x 0 ، x 1 و x 2 به سه ریشه معادله مکعبی که باید حل شود، اجازه دهید

${\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+ \xi ^{2}x_{2}،\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2}،\end{تراز شده}}$

تبدیل فوریه گسسته ریشه ها باشد. اگر s 0 ، s 1 و s 2 شناخته شده باشند، ممکن است ریشه ها با تبدیل فوریه معکوس که شامل معکوس کردن این تبدیل خطی است، از آنها بازیابی شوند. به این معنا که،

${\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2})،\\x_{1}&= {\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2})،\\x_{2}&={\tfrac {1}{ 3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{تراز شده}}$

با فرمول ویتا ، s 0 در مورد یک مکعب افسرده صفر است و -ب/آبرای مکعب عمومی بنابراین، فقط s 1 و s 2 باید محاسبه شوند. آنها توابع متقارن ریشه نیستند (مبادله x 1 و x 2 نیز s 1 و s 2 )، اما برخی از توابع متقارن ساده s 1 و s 2 نیز در ریشه های معادله مکعبی متقارن هستند که باید حل شوند. بنابراین، این توابع متقارن را می توان بر حسب ضرایب (معلوم) مکعب اصلی بیان کرد، و این اجازه می دهد تا در نهایت s i را بیان کنیم.به عنوان ریشه های یک چند جمله ای با ضرایب شناخته شده. این برای هر درجه به خوبی جواب می‌دهد، اما در درجات بالاتر از چهار، چند جمله‌ای به‌دست‌آمده که دارای s i به‌عنوان ریشه است، درجه‌ای بالاتر از چند جمله‌ای اولیه دارد، و بنابراین برای حل مفید نیست. این دلیلی است که روش لاگرانژ در درجات پنج و بالاتر شکست می خورد.

در مورد یک معادله مکعبی، $P=s_{1}s_{2}،$ و $S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}$ چنین چندجمله ای های متقارن هستند (به زیر مراجعه کنید). نتیجه می شود که $s_{1}^{3}$ و $s_{2}^{3}$ دو ریشه معادله درجه دوم هستند $z^{2}-Sz+P^{3}=0.$ بنابراین تفکیک معادله ممکن است دقیقاً مانند روش کاردانو به پایان برسد $s_{1}$ و $s_{2}$ به جای u و v

در مورد مکعب افسرده، یکی دارد $x_{0}={\tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})$ و $s_{1}s_{2}=-3p,$ در حالی که در روش کاردانو تنظیم کرده ایم $x_{0}=u+v$ و $uv={\tfrac {1}{3}}ص.$ بنابراین، تا مبادله u و v ، داریم $s_{1}=3u$ و $s_{2}=3v.$ به عبارت دیگر، در این مورد، روش کاردانو و روش لاگرانژ دقیقاً موارد مشابهی را تا ضریب سه در متغیرهای کمکی محاسبه می کنند، تفاوت اصلی این است که روش لاگرانژ توضیح می دهد که چرا این متغیرهای کمکی در مسئله ظاهر می شوند.

محاسبه S و P [ ویرایش ]

یک محاسبه ساده با استفاده از روابط ξ 3 = 1 و ξ 2 + ξ + 1 = 0 به دست می دهد

${\begin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{ 0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0})،\\S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2( x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2 }x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_ {0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.\end{تراز شده}}$

این نشان می دهد که P و S توابع متقارن ریشه ها هستند. با استفاده از هویت های نیوتن ، بیان آن ها بر حسب توابع متقارن ابتدایی ریشه ها ساده است.

${\begin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},\\S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3 }،\end{تراز شده}}$

با e 1 = 0 ، e 2 = p و e 3 = − q در مورد مکعب فرورفته، و e 1 = −ب/آ، e 2 =ج/آو e 3 = -د/آ، در حالت کلی.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

معادلات مکعبی در زمینه های مختلف دیگر بوجود می آیند.

در ریاضیات [ ویرایش ]

سه برش زاویه و دو برابر کردن مکعب دو مسئله باستانی هندسه هستند که ثابت شده است که با ساختن راسته و قطب نما قابل حل نیستند، زیرا معادل حل یک معادله مکعبی هستند.
قضیه ماردن بیان می کند که کانون های بیضی اشتاینر هر مثلثی را می توان با استفاده از تابع مکعبی که ریشه های آن مختصات در صفحه مختلط سه رأس مثلث است، پیدا کرد. ریشه های اولین مشتق این مکعب مختصات مختلط آن کانون ها است.
مساحت یک هفت ضلعی منتظم را می توان بر حسب ریشه یک مکعب بیان کرد. علاوه بر این، نسبت های مورب بلند به ضلع، ضلع به مورب کوتاه، و منفی مورب کوتاه به مورب بلند، همگی یک معادله مکعبی خاص را برآورده می کنند. علاوه بر این، نسبت شعاع به شعاع محیطی یک مثلث هفت ضلعی یکی از جواب های یک معادله مکعبی است. مقادیر توابع مثلثاتی زوایای مربوط به $2\pi /7$ معادلات مکعب را برآورده می کند.
با توجه به کسینوس (یا تابع مثلثاتی دیگر) یک زاویه دلخواه، کسینوس یک سوم آن زاویه یکی از ریشه های یک مکعب است.
حل معادله کوارتیک کلی به حل مکعب حلال آن متکی است .
مقادیر ویژه یک ماتریس 3×3 ریشه های یک چند جمله ای مکعبی است که چند جمله ای مشخصه ماتریس است.
معادله مشخصه ضرایب ثابت مرتبه سوم یا معادله دیفرانسیل خطی کوشی-اویلر (ضرایب متغیر همبعدی) یا معادله تفاوت یک معادله مکعبی است.
نقاط تقاطع منحنی بزیه مکعبی و خط مستقیم را می توان با استفاده از معادله مکعبی مستقیم که منحنی بزیه را نشان می دهد محاسبه کرد.
نقاط بحرانی یک تابع کوارتیک با حل یک معادله مکعبی (مجموعه مشتق برابر با صفر) پیدا می شود.
نقاط عطف یک تابع پنجاهی ، حل یک معادله مکعبی است (مجموعه مشتق دوم برابر با صفر).

در سایر علوم [ ویرایش ]

در شیمی تجزیه ، معادله شارلو ، که می تواند برای یافتن pH محلول های بافر استفاده شود ، می تواند با استفاده از یک معادله مکعبی حل شود.
در ترمودینامیک ، معادلات حالت (که فشار، حجم و دمای یک ماده را به هم مرتبط می‌کند) حجم آن مکعب است.
معادلات سینماتیکی شامل نرخ های شتاب خطی مکعبی هستند.
سرعت امواج لرزه ای ریلی حل معادله مکعب موج ریلی است.
سرعت حالت پایدار یک وسیله نقلیه که روی یک شیب با اصطکاک هوا حرکت می کند برای یک توان ورودی معین با یک معادله مکعبی فشرده حل می شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation

6--معادله مکعب

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۰ | 17:2

تفسیر هندسی ریشه ها [ ویرایش ]

سه ریشه حقیقی [ ویرایش ]

برای مکعب ( 1 ) با سه ریشه حقیقی، ریشه ها برآمدگی روی محور x رئوس A ، B و C یک مثلث متساوی الاضلاع هستند. مرکز مثلث دارای مختصات x همان نقطه عطف است .

بیان مثلثاتی ویته از ریشه ها در حالت سه ریشه حقیقی، خود را به تفسیر هندسی بر حسب دایره می رساند. [22] [30] هنگامی که مکعب به شکل فشرده ( 2 ) نوشته می شود ، t 3 + pt + q = 0 ، همانطور که در بالا نشان داده شده است، محلول را می توان به صورت بیان کرد.

$t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{ 2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k =0،1،2\,.$

$\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\راست)$ یک زاویه در دایره واحد است. گرفتن1/3این زاویه مربوط به گرفتن یک ریشه مکعبی از یک عدد مختلط است. اضافه کردن - k2 π/3برای k = 1، 2 دیگر ریشه های مکعبی را پیدا می کند. و ضرب کسینوس این زوایای حاصل در $2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ برای مقیاس تصحیح می کند.

برای حالت غیر افسرده ( 1 ) (در نمودار همراه نشان داده شده است)، حالت افسرده همانطور که قبلا نشان داده شد با تعریف t به دست می آید که x = t -ب/3 aبنابراین t = x +ب/3 a. از نظر گرافیکی، این مربوط به جابجایی ساده نمودار به صورت افقی هنگام تغییر بین متغیرهای t و x ، بدون تغییر روابط زاویه است. این جابجایی نقطه عطف و مرکز دایره را روی محور y حرکت می دهد. در نتیجه، ریشه های معادله در t مجموع صفر می شود.

یک ریشه حقیقی [ ویرایش ]

در فضا دکارتی [ ویرایش ]

شیب خط RA دو برابر RH است. نشان دادن ریشه های مختلط مکعب به صورت g ± hi , g = OM (در اینجا منفی) و h = √ tan ORH = √ شیب خط RH = BE = DA .

وقتی نمودار یک تابع مکعبی در صفحه دکارتی رسم می‌شود ، اگر فقط یک ریشه حقیقی وجود داشته باشد، آن ابسیسا ( مختصات x ) برش افقی منحنی است (نقطه R در شکل). بعلاوه، [31] [32] [33] اگر ریشه های مزدوج مختلط به صورت g ± hi نوشته شوند ، آنگاه قسمت حقیقی g ابسیسا نقطه مماس H خط مماس به مکعب است که از X- فاصله R می گذرد. مکعب (یعنی طول علامت گذاری شده RM، منفی در شکل). قسمت های خیالی ± hریشه های مربع مماس زاویه بین این خط مماس و محور افقی هستند. [ توضیح لازم است ]

در فضا مختلط [ ویرایش ]

با یک ریشه حقیقی و دو ریشه مختلط، سه ریشه را می توان به عنوان نقاطی در صفحه مختلط نشان داد، همانطور که می توان دو ریشه مشتق مکعب را نشان داد. یک رابطه هندسی جالب بین همه این ریشه ها وجود دارد.

نقاطی در صفحه مختلط که سه ریشه را نشان می دهند به عنوان رئوس یک مثلث متساوی الساقین عمل می کنند. (مثلث متساوی الساقین است زیرا یک ریشه روی محور افقی (حقیقی) قرار دارد و دو ریشه دیگر که مزدوج مختلط هستند، به طور متقارن در بالا و پایین محور حقیقی ظاهر می شوند.) قضیه ماردن می گوید که نقاط نشان دهنده ریشه های مشتق مکعب کانون های بیضی اشتاینر مثلث هستند - بیضی منحصر به فردی که در نقاط میانی اضلاع آن بر مثلث مماس است. اگر زاویه راس روی محور حقیقی کمتر ازπ/3سپس محور اصلی بیضی روی محور حقیقی قرار می‌گیرد، همانطور که کانون‌های آن و از این رو ریشه‌های مشتق. اگر آن زاویه بزرگتر ازπ/3، محور اصلی عمودی و کانون های آن، ریشه های مشتق، مزدوج مختلط هستند. و اگر آن زاویه باشدπ/3، مثلث متساوی الاضلاع است، بیضی اشتاینر به سادگی دایره مثلث است، کانون های آن در مرکز با یکدیگر منطبق هستند، که روی محور حقیقی قرار دارد، و از این رو مشتق دارای ریشه های حقیقی تکراری است.

گروه گالوا [ ویرایش ]

با توجه به یک چندجمله‌ای تقلیل‌ناپذیر مکعبی روی میدان k با مشخصه متفاوت از 2 و 3، گروه گالوا روی k گروهی از خودمورفیسم‌های میدانی است که k کوچک‌ترین گسترش k ( میدان شکاف ) را ثابت می‌کنند. از آنجایی که این خودمورفیسم ها باید ریشه های چندجمله ای ها را تغییر دهند، این گروه یا گروه S 3 از هر شش جایگشت سه ریشه، یا گروه A 3 از سه جایگشت دایره ای است.

ممیز Δ مکعب مربع است

${\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}) ،$

که در آن a ضریب اصلی مکعب است و r 1 ، r 2 و r 3 سه ریشه مکعب هستند. مانند ${\sqrt {\Delta }}$ تغییر علامت در صورت رد و بدل شدن دو ریشه، ${\sqrt {\Delta }}$ تنها در صورتی توسط گروه گالوا ثابت می شود که گروه گالوا A 3 باشد. به عبارت دیگر، گروه گالوا A 3 است اگر و فقط اگر ممیز مربع عنصر k باشد .

از آنجایی که اکثر اعداد صحیح مربع نیستند، هنگام کار بر روی میدان Q اعداد گویا ، گروه گالوا از اکثر چندجمله‌های مکعبی تقلیل‌ناپذیر گروه S 3 با شش عنصر است. نمونه ای از یک گروه گالوا A 3 با سه عنصر با p ( x ) = x 3 − 3 x − 1 به دست می آید که متمایز آن 81 = 9 2 است.

5--معادله مکعب

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۰ | 17:0

راه حل های مثلثاتی و هذلولی [ ویرایش ]

راه حل مثلثاتی برای سه ریشه واقعی [ ویرایش ]

هنگامی که یک معادله مکعبی با ضرایب واقعی دارای سه ریشه واقعی است، فرمول هایی که این ریشه ها را بر حسب رادیکال بیان می کنند شامل اعداد مختلط می شوند. نظریه گالوا اجازه می دهد تا ثابت کنیم که وقتی سه ریشه واقعی هستند و هیچ یک عقلانی نیستند ( casus irreducibilis )، نمی توان ریشه ها را بر اساس رادیکال های واقعی بیان کرد. با این وجود، عبارات کاملا واقعی از راه حل ها را می توان با استفاده از توابع مثلثاتی ، به ویژه بر حسب کسینوس و کمان ، به دست آورد. [24] به طور دقیق تر، ریشه های مکعب افسرده

$t^{3}+pt+q=0$

هستند [25]

$t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \ چپ ({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right ]\qquad {\text{برای }}k=0،1،2.$

این فرمول مدیون François Viète است. [22] زمانی کاملاً واقعی است که معادله دارای سه ریشه واقعی باشد (یعنی $4p^{3}+27q^{2}<0$ ). در غیر این صورت، هنوز درست است، اما زمانی که فقط یک ریشه واقعی وجود دارد، کسینوس‌های مختلط و آرکوزین‌ها را شامل می‌شود، و زمانی که p = 0 باشد، بی معنی است (تقسیم بر صفر) .

این فرمول را می توان به سادگی به فرمولی برای ریشه های یک معادله مکعبی عمومی، با استفاده از جایگزینی برگشتی که در § مکعب فرورفته توضیح داده شده است، تبدیل کرد .

فرمول را می توان به صورت زیر ثابت کرد: با شروع از معادله t 3 + pt + q = 0 ، اجازه دهید t = u cos θ را تنظیم کنیم . ایده این است که u را انتخاب کنید تا معادله با هویت منطبق شود

$4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.$

برای این، انتخاب کنید $u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,$ و معادله را بر تقسیم کنید ${\frac {u^{3}}{4}}.$ این می دهد

$4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.$

با ترکیب با هویت فوق، فرد دریافت می کند

$\cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,$

و ریشه ها بدین ترتیب است

$t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left( {\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text {برای }}k=0،1،2.$

راه حل هایپربولیک برای یک ریشه واقعی [ ویرایش ]

هنگامی که فقط یک ریشه واقعی وجود دارد (و p ≠ 0 )، این ریشه را می توان به طور مشابه با استفاده از توابع هذلولی نشان داد، به عنوان [26] [27]

${\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left [{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\راست )\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2 {\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}$

اگر p ≠ 0 و نابرابری های سمت راست برآورده نشوند (مورد سه ریشه واقعی)، فرمول ها معتبر می مانند اما شامل مقادیر مختلط می شوند.

هنگامی که p = ± 3 ، مقادیر بالا t 0 گاهی اوقات ریشه مکعب چبیشف نامیده می شود. [28] به طور دقیق تر، مقادیر مربوط به کسینوس ها و کسینوس های هذلولی، وقتی p = -3 ، همان تابع تحلیلی C 1/3 ( q ) را نشان می دهد ، که ریشه مکعب مناسب چبیشف است. مقدار مربوط به سینوس های هذلولی به طور مشابه S 1/3 ( q ) نشان داده می شود ، زمانی که p = 3 باشد.

راه حل های هندسی [ ویرایش ]

راه حل عمر خیام [ ویرایش ]

جواب هندسی یک معادله مکعبی عمر خیام، برای حالت m = 2 ، n = 16 ، که ریشه 2 را می دهد. تقاطع خط عمودی روی محور x در مرکز دایره اتفاقی است که در مثال نشان داده شده است.

برای حل معادله مکعب x 3 + m 2 x = n که در آن n > 0 , عمر خیام سهمی y = x 2 / m را ساخت، دایره ای که به عنوان قطر پاره خط [0, n / m 2 ] روی محور x مثبت ، و یک خط عمودی از طریق نقطه ای که دایره و سهمی در بالای x قطع می شوند-محور. راه حل با طول پاره خط افقی از مبدأ تا تقاطع خط عمودی و محور x به دست می آید (شکل را ببینید).

یک اثبات ساده مدرن به شرح زیر است. با ضرب معادله در x / m 2 و گروه بندی مجدد عبارت ها به دست می آید

${\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).$

سمت چپ مقدار y 2 در سهمی است. معادله دایره y 2 + x ( x − استn/متر 2) = 0 ، سمت راست مقدار y 2 روی دایره است.

راه حل با سه ضلع زاویه [ ویرایش ]

یک معادله مکعبی با ضرایب واقعی را می توان به صورت هندسی با استفاده از قطب نما، خط مستقیم و سه ضلع زاویه حل کرد، اگر و فقط اگر سه ریشه واقعی داشته باشد. [29] : Thm. 1

یک معادله مکعبی را می توان با ساخت قطب نما و مستقیم (بدون سه بخش) حل کرد، اگر و تنها در صورتی که ریشه منطقی داشته باشد. این نشان می‌دهد که مسائل قدیمی سه‌برش زاویه و دو برابر کردن مکعب ، که توسط ریاضیدانان یونان باستان تنظیم شده‌اند، با ساخت قطب‌نما و مستقیم قابل حل نیستند.

4--معادله مکعب

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۰ | 16:59

فرمول کاردانو [ ویرایش ]

جرولامو کاردانو با انتشار اولین فرمول برای حل معادلات مکعب اعتبار دارد و آن را به Scipione del Ferro و Niccolo Fontana Tartaglia نسبت می دهد. این فرمول برای مکعب های فشرده اعمال می شود، اما، همانطور که در § مکعب فرورفته نشان داده شده است ، اجازه می دهد تا تمام معادلات مکعب را حل کنید.

نتیجه کاردانو این است که اگر

$t^{3}+pt+q=0$

یک معادله مکعبی است به طوری که p و q اعداد واقعی هستند به طوری که $4p^{3}+27q^{2}>0,$ سپس معادله دارای ریشه واقعی است

${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

برای چندین روش برای به دست آوردن این نتیجه به § استخراج ریشه ها در زیر مراجعه کنید.

همانطور که در § ماهیت ریشه ها نشان داده شده است، در این مورد، دو ریشه دیگر اعداد مزدوج مختلط غیر واقعی هستند . بعدها نشان داده شد (کاردانو اعداد مختلط را نمی دانست ) که دو ریشه دیگر از ضرب هر یک از ریشه های مکعبی در ریشه مکعبی اولیه وحدت به دست می آیند. ${\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},$ و مکعب دیگر ریشه توسط ${\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.$

اگر $4p^{3}+27q^{2}<0,$ سه ریشه واقعی وجود دارد، اما نظریه گالوا اجازه می دهد تا ثابت کند، اگر ریشه گویا وجود نداشته باشد، ریشه ها را نمی توان با یک عبارت جبری که فقط شامل اعداد حقیقی است بیان کرد. بنابراین با آگاهی از زمان کاردانو نمی توان معادله را در این مورد حل کرد. بنابراین این مورد را casus irreducibilis نامیده‌اند که در لاتین به معنای مورد غیر قابل تقلیل است .

در casus irreducibilis هنوز هم می توان از فرمول کاردانو استفاده کرد، اما در استفاده از ریشه های مکعبی نیاز به مراقبت است. اولین روش، تعریف نمادها است ${\sqrt {{~}^{~}}}$ و ${\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}$ به عنوان نشان دهنده مقادیر اصلی تابع ریشه (یعنی ریشه ای است که بزرگترین قسمت واقعی را دارد). با این قرارداد، فرمول کاردانو برای سه ریشه معتبر باقی می‌ماند، اما صرفاً جبری نیست، زیرا تعریف جزء اصلی صرفاً جبری نیست، زیرا شامل نابرابری‌هایی برای مقایسه اجزای واقعی است. همچنین، اگر ضرایب اعداد مختلط غیر واقعی باشند، استفاده از ریشه مکعب اصلی ممکن است نتیجه اشتباهی به همراه داشته باشد. علاوه بر این، اگر ضرایب مربوط به میدان دیگری باشد، ریشه اصلی مکعب به طور کلی تعریف نمی شود.

راه دوم برای درست کردن فرمول کاردانو همیشه این است که به این نکته توجه کنید که حاصل ضرب دو ریشه مکعب باید – p / 3 باشد. نتیجه می شود که یک ریشه معادله است

$C-{\frac {p}{3C}}\quad {\text{with}}\quad C={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{ \sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

در این فرمول، نمادها ${\sqrt {{~}^{~}}}$ و ${\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}$ هر ریشه مربع و هر ریشه مکعبی را نشان می دهد. ریشه های دیگر معادله یا با تغییر ریشه مکعب یا به طور معادل با ضرب ریشه مکعب در یک ریشه مکعبی اولیه وحدت به دست می آیند. $\textstyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.$

این فرمول برای ریشه ها همیشه درست است، به جز زمانی که p = q = 0 ، با این قید که اگر p = 0 باشد، جذر به گونه ای انتخاب شود که C ≠ 0 باشد. با این حال، فرمول در این موارد بی فایده است زیرا ریشه ها را می توان بدون هیچ ریشه مکعبی بیان کرد. به طور مشابه، این فرمول در موارد دیگری که به ریشه مکعبی نیاز نیست، یعنی زمانی که نیازی به آن نیست، بی فایده است $4p^{3}+27q^{2}=0$ و زمانی که چند جمله ای مکعبی تقلیل ناپذیر نباشد .

این فرمول همچنین زمانی درست است که p و q به هر فیلد مشخصه ای غیر از 2 یا 3 تعلق داشته باشند .

فرمول مکعبی عمومی [ ویرایش ]

فرمول مکعبی برای ریشه های معادله مکعب عمومی (با ≠ 0 )

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

می توان از هر گونه فرمول کاردانو با کاهش به مکعب کاهش یافته استنباط کرد . گونه‌ای که در اینجا ارائه می‌شود نه تنها برای ضرایب واقعی، بلکه برای ضرایب a ، b ، c ، d نیز معتبر است که به هر میدان از مشخصه‌های متفاوت 2 و 3 تعلق دارند .

فرمول نسبتاً پیچیده است، ارزش آن را دارد که آن را به فرمول های کوچکتر تقسیم کنید.

اجازه دهید

${\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d. \end{تراز شده}}$

(هر دو $\دلتا _{0}$ و $\دلتا _{1}$ را می توان به عنوان حاصل مکعب و مشتقات آن بیان کرد: $\دلتا _{1}$ است-1/8 الفبرابر حاصل مکعب و مشتق دوم آن، و $\دلتا _{0}$ است-1/12 الفبرابر حاصل مشتق اول و دوم چند جمله ای مکعبی.)

سپس

$C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3 }}}}{2}}}،$

جایی که نمادها ${\sqrt {{~}^{~}}}$ و ${\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}$ به ترتیب به هر ریشه مربع و هر ریشه مکعب تعبیر می شوند. علامت " ± " قبل از جذر یا " + " یا " – " است. انتخاب تقریباً دلخواه است و تغییر آن به معنای انتخاب یک جذر متفاوت است. با این حال، اگر انتخابی C = 0 را به دست آورد ، یعنی اگر $\Delta _{0}=0،$ سپس علامت دیگر باید به جای آن انتخاب شود. اگر هر دو گزینه C = 0 را به دست آورند ، یعنی اگر $\Delta _{0}=\Delta _{1}=0،$ یک کسری0/0در فرمول های زیر رخ می دهد که باید برابر با صفر تفسیر شوند (به انتهای این بخش مراجعه کنید). سپس، یکی از ریشه ها است

$x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}$

دو ریشه دیگر را می توان با تغییر انتخاب ریشه مکعب در تعریف C یا به طور معادل با ضرب C در یک ریشه مکعبی اولیه وحدت به دست آورد.–1 ± √ –3/2. به عبارت دیگر، سه ریشه هستند

$x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\xi ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\xi ^{k}C} }\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}$

جایی که ξ =–1 + √ –3/2.

در مورد مورد خاص یک مکعب افسرده، این فرمول اعمال می شود، اما زمانی که ریشه ها را بتوان بدون ریشه های مکعبی بیان کرد، بی فایده است. به ویژه، اگر $\Delta _{0}=\Delta _{1}=0،$ فرمول به دست می دهد که سه ریشه برابر است ${\frac {-b}{3a}}،$ به این معنی که چند جمله ای مکعبی را می توان به صورت فاکتور گرفت $\textstyle a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}.$ یک محاسبه ساده اجازه می دهد تا تأیید شود که وجود این فاکتورگیری معادل است $\Delta _{0}=\Delta _{1}=0.$

3--معادله مکعب

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۰ | 16:56

مکعب کاهش یافته[ ویرایش ]

مکعب های فرم

$t^{3}+pt+q$

گفته می شود کاهش یافته هستند آنها بسیار ساده تر از مکعب های عمومی هستند، اما اساسی هستند، زیرا مطالعه هر مکعب ممکن است با یک تغییر ساده از متغیر به یک مکعب کاهش یافته کاهش یابد.

اجازه دهید

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

یک معادله مکعبی باشد تغییر متغیر

$x=t-{\frac {b}{3a}}$

یک مکعب (در t ) می دهد که در t 2 ترم ندارد .

پس از تقسیم بر یک ، معادله مکعب کاهش یافته به دست می آید

$t^{3}+pt+q=0,$

با

${\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}} }\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{تراز شده}}$

ریشه ها $x_{1}، x_{2}، x_{3}$ معادله اصلی مربوط به ریشه است $t_{1},t_{2},t_{3}$ معادله کاهش یافته توسط روابط

$x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}}،$

برای $i=1،2،3$ .

تمایز و ماهیت ریشه ها [ ویرایش ]

ماهیت (حقیقی یا غیر حقیقی، متمایز یا غیر متمایز) ریشه های یک مکعب را می توان بدون محاسبه صریح و با استفاده از متمایز تعیین کرد.

ممیز [ ویرایش ]

ممیز یک چند جمله ای تابعی از ضرایب آن است که صفر است اگر و فقط اگر چند جمله ای دارای یک ریشه چند جمله ای باشد، یا اگر بر مجذور یک چند جمله ای غیر ثابت بخش پذیر باشد. به عبارت دیگر، ممیز غیرصفر است اگر و تنها اگر چند جمله‌ای بدون مربع باشد.

اگر r 1 ، r 2 ، r 3 سه ریشه (نه لزوما متمایز و نه حقیقی ) مکعب باشند. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d,$ سپس ممیز است

$a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^ {2}.$

ممیز مکعب کاهش یافته $t^{3}+pt+q$ است

$-\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).$

ممیز مکعب عمومی $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ است

$18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2 }.$

ضرب آن است $a^{4}$ و متمایز مکعب کاهش یافته مربوطه. با استفاده از فرمول مربوط به مکعب عمومی و مکعب کاهش یافته مرتبط، به این معنی است که تفکیک مکعب عمومی را می توان به صورت نوشتاری

${\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}} }.$

بنابراین، یکی از این دو ممیز صفر است اگر و فقط اگر دیگری نیز صفر باشد، و اگر ضرایب حقیقی باشند ، دو ممیز علامت یکسانی دارند. به طور خلاصه، اطلاعات یکسانی را می توان از یکی از این دو ممیز استنباط کرد.

برای اثبات فرمول های قبلی، می توان از فرمول های ویتا استفاده کرد تا همه چیز را به صورت چندجمله ای در r 1 , r 2 , r 3 و a بیان کند. پس از آن، اثبات برابری دو چند جمله ای را تأیید می کند.

ماهیت ریشه ها [ ویرایش ]

اگر ضرایب یک چند جمله ای اعداد حقیقی و متمایز کننده آن باشد $\ دلتا$ صفر نیست، دو حالت وجود دارد:

اگر $\Delta >0,$ مکعب دارای سه ریشه حقیقی متمایز است
اگر $\Delta <0,$ مکعب یک ریشه حقیقی و دو ریشه مزدوج مختلط غیر حقیقی دارد.

این را می توان به صورت زیر ثابت کرد. ابتدا، اگر r یک ریشه چند جمله ای با ضرایب حقیقی باشد، مزدوج مختلط آن نیز یک ریشه است. بنابراین ریشه های غیر حقیقی، در صورت وجود، به صورت جفت ریشه های مزدوج مختلط رخ می دهند. از آنجایی که یک چند جمله ای مکعبی دارای سه ریشه است (الزاماً متمایز نیست) بر اساس قضیه اساسی جبر ، حداقل یک ریشه باید حقیقی باشد.

همانطور که در بالا گفته شد، اگر r 1 ، r 2 ، r 3 سه ریشه مکعب باشند. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ، پس ممیز است

$\Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3 })^{2}$

اگر سه ریشه حقیقی و متمایز باشند، ممیز ضرب حقیقی مثبت است، یعنی $\Delta >0.$

اگر فقط یک ریشه، مثلا r 1 ، حقیقی باشد، پس r 2 و r 3 مزدوج های مختلط هستند، که به این معنی است که r 2 - r 3 یک عدد کاملاً خیالی است و بنابراین ( r 2 - r 3 ) 2 حقیقی است و منفی. از طرف دیگر، r 1 – r 2 و r 1 – r 3 مزدوج های مختلط ای هستند و حاصلضرب آنها حقیقی و مثبت است. [23]بنابراین ممیز حاصلضرب یک عدد منفی و چند عدد مثبت است. به این معنا که $\Delta <0.$

ریشه چندگانه [ ویرایش ]

اگر ممیز یک مکعب صفر باشد، مکعب یک ریشه چندگانه دارد . علاوه بر این، اگر ضرایب آن حقیقی باشد، پس همه ریشه های آن حقیقی هستند.

ممیز مکعب کاهش یافته $\;t^{3}+pt+q\;$ صفر است اگر $4p^{3}+27q^{2}=0\;.$ اگر p نیز صفر باشد، p = q = 0 ، و 0 یک ریشه سه برابری مکعب است. اگر $\;4p^{3}+27q^{2}=0\;,$ و p ≠ 0 ، سپس مکعب یک ریشه ساده دارد

$t_{1}={\frac {\,3q\,}{p}}$

و یک ریشه دوتایی

$t_{2}=t_{3}=-{\frac {\,3q\,}{2p}}~.$

به عبارت دیگر،

$t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {\,3q\,}{2p}}\ درست)^{2}\;.$

این نتیجه را می توان با بسط ضرب دوم اثبات کرد یا با حل سیستم نسبتاً ساده معادلات حاصل از فرمول های ویتا بازیابی کرد .

با استفاده از کاهش یک مکعب کاهش یافته، این نتایج را می توان به مکعب عمومی گسترش داد. این می دهد: اگر ممیز مکعب $\;ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;$ پس صفر است

یا اگر $b^{2}=3ac\;,$ مکعب یک ریشه سه گانه دارد

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{\,3a\,}}~,$

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{\,3a\,}}\right)^{3}$

یا اگر $\;b^{2}\neq 3ac\;,$ مکعب یک ریشه دوتایی دارد

$x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{\,2(b^{2}-3ac)\,}}~,$

و یک ریشه ساده،

$x_{1}={\frac {\,4abc-9a^{2}db^{3}\,}{a(b^{2}-3ac)}}~.$

و بنابراین

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\,\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)^{2} ~.$

ویژگی 2 و 3 [ ویرایش ]

نتایج فوق زمانی معتبر هستند که ضرایب مربوط به یک میدان مشخصه غیر از 2 یا 3 باشد، اما باید برای مشخصه 2 یا 3 اصلاح شود، زیرا تقسیم بندی های مربوط به 2 و 3 است.

تقلیل به یک مکعب فرورفته برای مشخصه 2 کار می کند، اما برای مشخصه 3 نه. با این حال، در هر دو مورد، ایجاد و بیان نتایج برای مکعب عمومی ساده تر است. ابزار اصلی برای آن این حقیقیت است که یک ریشه چند جمله ای یک ریشه مشترک از چند جمله ای و مشتق صوری آن است . در این مشخصه ها، اگر مشتق ثابت نباشد، در مشخصه 3 چند جمله ای خطی است و در مشخصه 2، مجذور چند جمله ای خطی است. بنابراین، برای مشخصه 2 یا 3، مشتق فقط یک ریشه دارد. این امکان محاسبه ریشه چندگانه را فراهم می‌کند و ریشه سوم را می‌توان از مجموع ریشه‌ها استنتاج کرد که توسط فرمول‌های Vieta ارائه می‌شود .

یک تفاوت با سایر ویژگی ها این است که در مشخصه 2، فرمول یک ریشه دوتایی شامل یک ریشه مربع است و در مشخصه 3، فرمول ریشه سه گانه شامل یک ریشه مکعب است.

2-معادله مکعب

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۰ | 16:53

تاریخچه [ ویرایش ]

معادلات مکعبی برای بابلیان، یونانیان، چینی ها، هندی ها و مصریان باستان شناخته شده بود. [1] [2] [3] الواح بابلی (قرن 20 تا 16 قبل از میلاد) به خط میخی با جداولی برای محاسبه مکعب ها و ریشه های مکعبی پیدا شده است. [4] [5] بابلی‌ها می‌توانستند از جداول برای حل معادلات مکعبی استفاده کنند، اما هیچ مدرکی برای تأیید این کار وجود ندارد. [6] مشکل دو برابر کردن مکعب شامل ساده ترین و قدیمی ترین معادله مکعبی است که مصریان باستان راه حلی برای آن وجود نداشت. [7] در قرن پنجم قبل از میلاد، بقراطیییان مشکل را به یافتن دو تناسب متوسط بین یک خط و خط دیگر با دوبرابر طول آن کاهش داد، اما نمی‌توان آن را با یک قطب‌نما و ساختار مستقیم حل کرد ، [8] ، کاری که اکنون غیرممکن است. روش‌هایی برای حل معادلات مکعبی در نه فصل در هنر ریاضی ، یک متن ریاضی چینی که در حدود قرن دوم قبل از میلاد گردآوری شده و توسط لیو هوی در قرن سوم توضیح داده شده است، ظاهر می‌شود. [2] در قرن سوم پس از میلاد، ریاضیدان یونانی دیوفانتوس راه حل های اعداد صحیح یا منطقی برای برخی معادلات مکعبی دو متغیره (معادلات دیوفانتین ) یافت. [3] [9]اعتقاد بر این است که بقراط، مناخموس و ارشمیدس به حل مشکل دوبرابر کردن مکعب با استفاده از مقاطع مخروطی متقاطع نزدیک شده‌اند ، [8] اگرچه مورخانی مانند ریل نتز در مورد اینکه آیا یونانی‌ها به معادلات مکعب فکر می‌کردند یا فقط مسائلی که می‌تواند منجر به مکعب شود اختلاف نظر دارند. معادلات برخی دیگر مانند TL Heath که همه آثار ارشمیدس را ترجمه کرده است، مخالف هستند، و شواهدی ارائه می دهند که ارشمیدس واقعاً معادلات مکعب را با استفاده از تقاطع دو مخروطی حل می کند ، اما همچنین شرایطی را که در آن ریشه ها 0، 1 یا 2 هستند ، مورد بحث قرار می دهد. [10]

نمودار تابع مکعبی f ( x ) = 2 x ^3 − 3 x ^2 − 3 x + 2 = ( x + 1) (2 x − 1) ( x − 2)

در قرن هفتم، وانگ شیائوتنگ ، ریاضیدان اخترشناس سلسله تانگ، در رساله ریاضی خود با عنوان Jigu Suanjing به طور سیستماتیک 25 معادله مکعبی به شکل x 3 + px 2 + qx = N را ایجاد و حل کرد که 23 مورد از آنها با p , q ≠ 0 , و دو عدد از آنها با q = 0 . [11]

در قرن یازدهم، عمر خیام (1048-1131) شاعر و ریاضیدان ایرانی در نظریه معادلات مکعبی پیشرفت چشمگیری داشت. در یک مقاله اولیه، او کشف کرد که یک معادله مکعبی می تواند بیش از یک جواب داشته باشد و بیان کرد که نمی توان آن را با استفاده از قطب نما و ساختارهای مستقیم حل کرد. او همچنین یک راه حل هندسی پیدا کرد . [12] [13] در کار بعدی خود، رساله ای در مورد نمایش مسائل جبر ، او یک طبقه بندی کامل از معادلات مکعبی با راه حل های هندسی کلی که با استفاده از مقاطع مخروطی متقاطع یافت می شود نوشت . [14] [15]

در قرن دوازدهم، ریاضیدان هندی بهاسکارای دوم، حل معادلات مکعبی را بدون موفقیت کلی انجام داد. با این حال، او یک مثال از یک معادله مکعبی را بیان کرد: x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35 . [16] در قرن دوازدهم، ریاضیدان ایرانی دیگری به نام شرف الدین طوسی (1135-1213)، المعادلات (رساله معادلات) را نوشت که به هشت نوع معادله مکعبی با جواب های مثبت و پنج نوع می پردازد. معادلات مکعبی که ممکن است جواب مثبت نداشته باشند. او از چیزی استفاده کرد که بعداً به عنوان " روفینی - هورنر " شناخته شدریشه یک معادله مکعبی را به صورت عددی تقریبی کنید . او همچنین از مفاهیم ماکزیمم و مینیمم منحنی ها برای حل معادلات مکعبی که ممکن است جواب مثبت نداشته باشند استفاده کرد. [17] او اهمیت تمایز معادله مکعب را برای یافتن راه‌حل‌های جبری برای انواع خاصی از معادلات مکعبی درک کرد. [18]

لئوناردو دی پیزا، که با نام فیبوناچی ( 1170–1250 ) نیز شناخته می‌شود، در کتاب فلوس، توانست جواب مثبت معادله مکعب x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20 را از نزدیک نزدیک کند. او با نوشتن با اعداد بابلی نتیجه را 1،22،7،42،33،4،40 (معادل 1 + 22/60 + 7/60 2 + 42/60 3 + 33/60 4 + 4/60 5 ) داد. + 40/60 6 )، که دارای خطای نسبی حدود 10-9 است. [19]

در اوایل قرن شانزدهم، ریاضیدان ایتالیایی Scipione del Ferro (1465-1526) روشی را برای حل یک کلاس از معادلات مکعبی، یعنی معادلاتی به شکل x 3 + mx = n پیدا کرد. در واقع، تمام معادلات مکعبی را می توان به این شکل کاهش داد، اگر کسی اجازه دهد m و n منفی باشد، اما اعداد منفی در آن زمان برای او شناخته شده نبودند. دل فرو موفقیت خود را تا قبل از مرگش مخفی نگه داشت، زمانی که در مورد آن به شاگردش آنتونیو فیور گفت.

نیکولو فونتانا تارتالیا

در سال 1530، نیکولو تارتالیا (1500-1557) دو مسئله در معادلات مکعبی را از Zuanne da Coi دریافت کرد و اعلام کرد که می تواند آنها را حل کند. او به زودی توسط فیور به چالش کشیده شد، که منجر به یک رقابت معروف بین این دو شد. هر شرکت کننده باید مقدار مشخصی پول جمع می کرد و تعدادی از مشکلات را برای حل رقیب خود پیشنهاد می کرد. هر کس مشکلات بیشتری را ظرف 30 روز حل کند، تمام پول را دریافت می کند. تارتالیا سؤالاتی را به شکل x 3 + mx = n دریافت کرد که برای آنها یک روش کلی کار کرده بود. فیور سوالاتی را به شکل x 3 + mx 2 = n دریافت کرد، که حل آن برای او بسیار دشوار بود و تارتالیا برنده مسابقه شد.

بعدها، تارتالیا توسط جرولامو کاردانو (1501-1576) متقاعد شد تا راز خود را برای حل معادلات مکعبی فاش کند. در سال 1539، تارتالیا این کار را تنها به شرطی انجام داد که کاردانو هرگز آن را فاش نکند و اگر کتابی در مورد مکعب ها بنویسد، به تارتالیا زمان می دهد تا آن را منتشر کند. چند سال بعد، کاردانو با کارهای قبلی دل فرو آشنا شد و روش دل فروو را در کتاب خود آرس ماگنا منتشر کرد.در سال 1545، یعنی کاردانو شش سال به تارتالیا فرصت داد تا نتایج خود را منتشر کند (با اعتباری که به تارتالیا برای یک راه حل مستقل داده شد). قول کاردانو به تارتالیا گفت که او آثار تارتالیا را منتشر نخواهد کرد و کاردانو احساس کرد که دارد دل فروز را منتشر می کند تا از این قول دور شود. با این وجود، این منجر به چالشی برای کاردانو از تارتالیا شد که کاردانو آن را رد کرد. این چالش در نهایت توسط شاگرد کاردانو، لودوویکو فراری (1522-1565) پذیرفته شد. فراری بهتر از تارتالیا در این رقابت ظاهر شد و تارتالیا هم اعتبار و هم درآمدش را از دست داد. [20]

کاردانو متوجه شد که روش تارتالیا گاهی اوقات از او خواسته می‌شود که جذر یک عدد منفی را استخراج کند. او حتی یک محاسبه با این اعداد مختلط را در آرس ماگنا وارد کرد، اما واقعاً آن را درک نکرد. رافائل بومبلی این موضوع را به تفصیل مطالعه کرد [21] و بنابراین اغلب به عنوان کاشف اعداد مختلط در نظر گرفته می شود.

فرانسوا ویته (1540-1603) به طور مستقل راه حل مثلثاتی را برای مکعب با سه ریشه واقعی استخراج کرد و رنه دکارت (1596-1650) کار ویته را گسترش داد. [22]

تجزیه [ ویرایش ]

اگر ضرایب یک معادله مکعبی اعداد گویا باشند، می‌توان با ضرب همه ضرایب در مضربی مشترک از مخرج‌هایشان ، معادله‌ای معادل با ضرایب صحیح به دست آورد . چنین معادله ای

$ax^3+bx^2+cx+d=0،$

با ضرایب صحیح، اگر چند جمله‌ای سمت چپ حاصل ضرب چند جمله‌ای درجات پایین‌تر باشد، کاهش‌پذیر است. با لم گاوس ، اگر معادله کاهش پذیر باشد، می توان فرض کرد که عوامل دارای ضرایب صحیح هستند.

یافتن ریشه یک معادله مکعب کاهش پذیر آسان تر از حل حالت کلی است. در واقع، اگر معادله کاهش پذیر باشد، یکی از عوامل باید درجه یک داشته باشد و در نتیجه شکل را داشته باشد.

$qx-p$

با q و p اعداد صحیح هم اول هستند . آزمون ریشه گویا امکان یافتن q و p را با بررسی تعداد محدودی از موارد می دهد (زیرا q باید مقسوم علیه a و p باید مقسوم علیه d باشد).

بنابراین، یک ریشه است $\textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},$ و ریشه های دیگر ریشه های عامل دیگر هستند که با تقسیم طولانی چند جمله ای پیدا می شود . این عامل دیگر است

${\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^ {2}}{q^{3}}}$

(به نظر می رسد ضرایب اعداد صحیح نیستند، اما اگر p / q یک ریشه باشد باید اعداد صحیح باشند.)

سپس، ریشه های دیگر، ریشه های این چند جمله ای درجه دوم هستند و با استفاده از فرمول درجه دوم می توان آنها را پیدا کرد .

1-معادله مکعب

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۰ | 16:50

این مقاله در مورد معادلات مکعب از یک متغیر است. برای معادلات مکعب ازدو متغیر، منحنی صفحه مکعب را ببینید .

نباید با تابع مکعب اشتباه شود .

نمودار یک تابع مکعبی با 3 ریشه واقعی (جایی که منحنی از محور افقی در y = 0 عبور می کند ). مورد نشان داده شده دارای دو نقطه بحرانی است. در اینجا تابع

f ( x ) = ( x ^3 + 3 x ^2 − 6 x − 8)/4 است.

در جبر ، یک معادله مکعبی از یک متغیر، معادله شکل است

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

که در آن a غیر صفر است.

جواب های این معادله را ریشه های تابع مکعب می گویند که با سمت چپ معادله تعریف شده است. اگر همه ضرایب a ، b ، c ، و d معادله مکعبی اعداد حقیقی باشند ، حداقل یک ریشه واقعی دارد (این برای همه توابع چند جمله‌ای درجه فرد صادق است ). تمام ریشه های معادله مکعب را می توان با روش های زیر پیدا کرد:

از نظر جبری می توان آنها را با یک فرمول مکعبی شامل چهار ضریب، چهار عملیات اساسی حسابی و ریشه n ام (رادیکال) بیان کرد. (این در مورد معادلات درجه دوم (درجه دوم) و چهارم (درجه چهارم) نیز صادق است، اما در رابطه با معادلات درجه بالاتر توسط قضیه آبل-روفینی صادق نیست .)
به صورت مثلثاتی
تقریب عددی ریشه ها را می توان با استفاده از الگوریتم های ریشه یابی مانند روش نیوتن یافت .

لازم نیست ضرایب اعداد حقیقی باشند. بسیاری از آنچه در زیر پوشش داده شده است برای ضرایب در هر زمینه با مشخصه ای غیر از 2 و 3 معتبر است . جواب های معادله مکعب لزوماً به همان میدان ضرایب تعلق ندارند. به عنوان مثال، برخی از معادلات مکعبی با ضرایب گویا دارای ریشه هایی هستند که اعداد مختلط غیر منطقی (و حتی غیر حقیقی) هستند.

فهرست

نمایش اعداد مختلط در صفحه مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و هشتم بهمن ۱۴۰۰ | 2:54

II. نمایش اعداد مختلط در صفحه مختلط

ترسیم نمودار اعداد مختلط به شیوه ای بسیار شبیه به رسم نقطه (x, y) در مختصات مستطیلی انجام می شود. تفاوت اصلی این است که محور Y اکنون اعداد خیالی را نشان می دهد، نه واقعی، مانند زمانی که نقاط را در مختصات مستطیلی ترسیم می کنیم.

III. اضافه کردن اعداد مختلط

شما اعداد مختلط را با جمع کردن قسمت های واقعی و سپس جمع کردن اجزای خیالی اضافه می کنید. مثال ها:

(3+2i) + (1+3i) = 4+5i
(-1-i) + (1-2i) = 0-3i

تفریق اعداد مختلط

برای تفریق اعداد مختلط، اجزای واقعی و اجزای خیالی را کم می کنیم. مثال ها:

(3+2i) - (1+3i) = (3-1)+i(2-3) = 2-i
(-2-i) - (2+3i) = (-2-2)+i(-1-3) = -4-4i

در صفحه مختلط به این صورت است - توجه داشته باشید که مانند اضافه کردن است، با این تفاوت که ابتدا باید "فلش" را که کم می کنیم به عقب برگردانیم

ضرب اعداد مختلط

خوب، یک راه جبری برای انجام این کار و یک راه تصویری برای انجام این کار وجود دارد. روش جبری از روش خوب قدیمی "FOIL" استفاده می کند (جمله های اول را ضرب کنید، سپس عبارت های بیرونی، سپس عبارت های درونی، سپس عبارت های آخر را ضرب کنید). نکته کلیدی این است که به یاد داشته باشید که i 2 =-1. مثال ها:

(1+i)*(2-i) = 1*2 + 1*(-i) + i*2 + i*-i = 2-i+2i-i 2 = 2-i+2i+1 = 3 +i
(1+i)*(-1+i) = -1 + i - i + i 2 = -1 -1 = -2

نشان دادن آنچه در فضای پیچیده اتفاق می‌افتد کار بیشتری است، اما مطمئن هستم که شما هم قبول دارید که زیبایی آن قطعا ارزش تلاش را دارد!

اساساً شامل سه مرحله است:

اعداد مختلط خود را به صورت فلش بکشید، سپس به نت های ماشه ای (یا فرمول های زیر) مراجعه کنید تا طول هر فلش و زاویه هر یک به محور x را بیابید. این قسمت سختش هست."
برای به دست آوردن طول پاسخ، طول فلش های کوچک خود را ضرب کنید! (به یاد بیاورید که به آن هنجار یا دامنه می گویند)
برای اینکه ببینید پیکان پاسخ به کدام سمت اشاره می کند، زوایای فلش های کوچک خود را اضافه کنید! به یاد بیاورید که به آن مدول می گویند)

حالا، همانطور که بیل نای می گوید، این وحشی نیست؟ بیایید یک مثال بزنیم. بیایید نشان دهیم که:

(1+i)*(-1+i)=-2

Subtracting Two Vectors Graphically

تمرین مدول یک عدد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 22:22

1. مدول اعداد مختلط زیر را بیابید

2. برای هر دو عدد مختلط z 1 و z 2 ، به طوری که

| z 1 | = |z 2 | = 1 و z 1 z 2 ≠ -1،

سپس نشان دهید که

[z 1 + z 2 ] / [1+ z 1 z 2 ]

یک عدد حقیقی است.

3. کدام یک از نقاط

Z1,Z2 به Z

نزدیکتر است .

4. اگر

| z |= 3،

نشان دهید که

7 ≤ | z + 6 −8 i | ≤13.

5. اگر

|z| = 1،

نشان دهید که

2 ≤ | z 2 – 3| ≤ 4.

6. اگر = 2، نشان دهید که بیشترین و کمترین مقدار | z | به ترتیب

√3 +1

√3 - 1

هستند.

7. اگر z 1 , z 2 , z 3 سه عدد مختلط هستند به طوری که

|z 1 | = 1، |z 2 | = 2، |z 3 | = 3 و |z 1 + z 2 + z 3 | = 1 ،

نشان دهید که

|9z 1 z 2 + 4z 1 z 3 + z 2 z 3 | = 6.

8. اگر مساحت مثلثی که از رئوس z , iz , و z + iz تشکیل شده است 50 واحد مربع باشد مقدار | z | .

9. نشان دهید که معادله

z ^3 + 2 = 0

دارای پنج راه حل است.

10. جذرهای

(i) 4 + 3 i (ii) -6 + 8 i (iii) -5 -12 i

را بیابید .

پاسخ ها:

منبع

https://www.brainkart.com/article/Exercise-2-5--Modulus-of-a-Complex-Number_39099/

شکل اویلر از عدد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 22:18

هنگام انجام ضرب یا یافتن توان یا ریشه اعداد مختلط می توان از فرم اویلر نیز استفاده کرد.

شکل اویلر از عدد مختلط

اتحاد زیر به فرمول اویلر معروف است

e ^i θ = cos θ + i sin θ

فرمول اویلر شکل قطبی z = re ^i θ را می دهد

توجه داشته باشید

هنگام انجام ضرب یا یافتن توان یا ریشه اعداد مختلط می توان از فرم اویلر نیز استفاده کرد.

مثال 2.22

مدول و آرگومان اصلی اعداد مختلط زیر را بیابید.

(i) √3 + i

(ii) -√3 + i

(iii) - √3 - i

(IV) √3 - i

راه حل

(i) √3 + i

مدول =

از آنجایی که عدد مختلط دارای مقدار اصلی

√3 + i

در ربع اول است، دارای ارزش اصلی است.

θ = α = π/6.

بنابراین، مدول و آرگومان اصلی

√3 + i

به ترتیب 2 و π/6 هستند.

(ii) -√3 + i

مدول = 2 و

از آنجایی که عدد مختلط

-√3 + i

در ربع دوم قرار دارد دارای ارزش اصلی است

بنابراین مدول و آرگومان اصلی

(ii) -√3 + i

به ترتیب 2 و 5π/6 هستند.

(iii) - √3 - i

r = 2 و α = π / 6 .

از آنجایی که عدد مختلط

- √3 - i

در ربع سوم قرار دارد، دارای ارزش اصلی است،

بنابراین، مدول و آرگومان اصلی

- √3 - i

به ترتیب 2 و -5π/6 هستند.

(IV) √3 - i

r = 2 و α = π/6

از آنجایی که عدد مختلط در ربع چهارم قرار دارد، دارای ارزش اصلی است،

θ = -α = -π/6

بنابراین، مدول و استدلال اصلی از

√3 - i 2

- π/6

هستند.

در هر چهار حالت، مدول مساوی است، اما آرگومان ها به ربعی که عدد مختلط در آن قرار دارد بستگی دارد.

مثال 2.23

عدد مختلط

-1- i

1+ i √3

را به شکل قطبی نشان دهید.

راه حل

(i) فرض کنید

-1- i = r (cosθ + i sinθ )

ما داریم

از آنجایی که عدد مختلط -1- i در ربع سوم قرار دارد، دارای ارزش اصلی است،

توجه داشته باشید

بسته به مقادیر مختلف k ، اشکال قطبی جایگزین مختلفی را دریافت می کنیم.

(ii) 1+ i√3

بنابراین، شکل قطبی 1+ i√3 را می توان به صورت نوشتاری نوشت

مثال 2.24

آرگومان اصلی Arg z را پیدا کنید، وقتی z = -2 / [ 1+ i √3 ].

راه حل

این بدان معناست که یکی از مقادیر arg z 2π/3 است.

از آنجایی که 2π/3 بین -π و π قرار دارد، آرگومان اصلی Arg z 2 π/3 است.

خواص فرم قطبی

فرمول1

اگر z = r (cos θ + i sin θ )، آنگاه z^ -1 =1/ r (cos θ - i sin θ ) .

اثبات

فرمول2

اگر z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) و z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) ،

سپس z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 )) .

اثبات

z = r (cos θ 1 + i sin θ 1 ) و

z = r (cos θ 2 + i sin θ 2 )

⇒ z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )

= r 1 r 2 ((cos θ 1 cos θ 2 - sin θ 1 sin θ 2 ) + i ( sin θ 1 cos θ 2 + sin θ 2 cos θ 1 ))

z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 )) .

توجه داشته باشید

arg ( z 1 z 2 ) = θ 1 + θ 2 = arg ( z 1 ) + arg ( z 2 ) .

فرمول3

اثبات

با استفاده از شکل قطبی z 1 و z 2 ، داریم

مثال 2.25

ضرب را به شکل مستطیل پیدا کنید.

راه حل

مثال 2.26

ضریب را به شکل مستطیل پیدا کنید.

راه حل

که به شکل مستطیل است.

مثال 2.27

اگر z = x + iy و ، نشان دهید که x^ 2 + y ^2 = 1.

راه حل

⇒ x^ 2 + y^ 2 =1

منبع

https://www.brainkart.com/article/Euler---s-Form-of-the-complex-number_39103/

مثالهایی از بکارگیری قضیه د مواور برای توان رسانی و ریشه گیری اعداد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 21:56

مثال 1: سه ریشه مکعبی 8- را محاسبه کنید.

راه حل: از آنجایی که 8- دارای شکل قطبی 8 است (cos π + i sin π)، سه ریشه مکعبی آن شکل دارند.

3 √8 {cos[( π + 2 π m)/3] + i sin[( π + 2 π m)/3]}

برای m=0، 1, 2.

بنابراین ریشه ها هستند

2 (cos π/3 + i sin π/3) = 1 + √3 i،

2 (cos π + i sin π ) = -2، و

2 (cos 5 π /3 + i sin 5 π /3) = 1 - √3 i.

مثال 2: از قضیه De Moivre برای محاسبه

(1 + i)^ 12

استفاده کنید.

راه حل : شکل قطبی 1 + i √2 است (cos π/4 + isin π/4). بنابراین، با قضیه دی مویور، داریم:

(1 + i) ^12 = [√2 (cos π /4 + i sin π /4)] ^12

= (√2) ^12 (cos π /4 + i sin π /4) 12

= 2^ 6 (cos 3 π + i sin 3 π )

= 64 (cos π + i sin π )

= 64 (-1) = -64.

مثال 3: از قضیه De Moivre برای محاسبه

(√3 + i)^ 5

استفاده کنید.

راه حل : ساده است که نشان دهیم شکل قطبی

√3 + i

است (cos π/6 + i sin π/6). بدین ترتیب داریم:

(√3 + i) ^5 = [2(cos π /6 + i sin π /6)] ^5

= 2^ 5 (cos π /6 + i sin π /6) ^5

= 32 (cos 5 π / 6 + i sin 5 π / 6)

= 32 (-√3/2 + 1/2 i)

= -16√3 + 16 i.

مثال 4: ششمین ریشه

√3+i

را بیابید

راه حل: مدول

√3 +i

و آرگومان π/6 است.

ریشه ششم بنابراین

منبع

https://www.web-formulas.com/Math_Formulas/Complex_Number_De_Moivres_Theorem.aspx

مثال از بکارگیری فرمول د موآور

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 21:35

Using De Moivre's theorem, find the value of: (1 + i√3)^6 + (1 - i√3)^6 - Sarthaks eConnect | Largest Online Education Community

فرمول د موآور

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 20:30

فرمول د موآور

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، فرمول د موآور (همچنین به عنوان قضیه د موآور و همانی د موآور نیز شناخته می‌شود ) بیان می‌کند که برای هر عدد حقیقی x و عدد صحیح n چنین است.

${\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,$

جایی که i واحد موهومی است ( i 2 = -1 ). این فرمول به نام آبراهام د موآور نامگذاری شده است ، اگرچه او هرگز آن را در آثارش بیان نکرده است. [1] عبارت cos x + i sin x گاهی اوقات به اختصار cis x می باشد.

فرمول مهم است زیرا اعداد مختلط و مثلثات را به هم متصل می کند . با گسترش سمت چپ و سپس مقایسه قسمت های حقیقی و موهومی با فرض حقیقی بودن x ، می توان عبارات مفیدی برای cos nx و sin nx بر حسب cos x و sin x استخراج کرد.

همانطور که نوشته شده است، فرمول برای توان های غیر صحیح n معتبر نیست . با این حال، تعمیم‌هایی از این فرمول برای دیگر شارح‌ها معتبر است. از اینها می توان برای ارائه عبارات صریح برای ریشه های n ام استفاده کرد ، یعنی اعداد مختلط z به طوری که z ^n = 1 .

فهرست

مثال [ ویرایش ]

برای $x=30^{\circ }$ و $n=2$ ، فرمول د موآور این را بیان می کند

$\left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+ i\sin(2\cdot 30^{\circ })،$ یا معادل آن

$\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+ {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.$ در این مثال، به راحتی می توان با ضرب سمت چپ، صحت معادله را بررسی کرد.

ارتباط با فرمول اویلر [ ویرایش ]

فرمول دی موور پیشروی فرمول اویلر است

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ که رابطه اساسی بین توابع مثلثاتی و تابع نمایی مختلط برقرار می کند.

می توان فرمول د موآور را با استفاده از فرمول اویلر و قانون نمایی برای توان های عدد صحیح استخراج کرد.

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},$

زیرا فرمول اویلر نشان می دهد که سمت چپ برابر است با $\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}$ در حالی که سمت راست برابر است با

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.$

اثبات با استقرا [ ویرایش ]

صدق قضیه د موآور را می توان با استفاده از استقراء ریاضی برای اعداد طبیعی ثابت کرد و از آنجا به همه اعداد صحیح تعمیم داد. برای یک عدد صحیح n ، عبارت زیر را S( n ) صدا بزنید :

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.$

برای n > 0 , با استقرای ریاضی پیش می رویم . S(1) به وضوح درست است. برای فرضیه ما، فرض می کنیم S( k ) برای مقداری k طبیعی درست است . یعنی ما فرض می کنیم

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.$

حال با در نظر گرفتن S( k + 1) :

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{ k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\ qquad {\text{براساس فرضیه استقرا}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\ &=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{براساس هویت‌های مثلثاتی}}\end{alignedat}}$

مجموع و تفاوت زاویه را ببینید .

استنباط می کنیم که S( k ) دلالت بر S( k + 1) دارد. از اصل استقراء ریاضی نتیجه می شود که نتیجه برای همه اعداد طبیعی صادق است. اکنون، S(0) به وضوح درست است زیرا cos(0 x ) + i sin(0 x ) = 1 + 0 i = 1 . در نهایت، برای موارد اعداد صحیح منفی، برای n طبیعی یک توان − n در نظر می گیریم .

${\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^ {n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin (-nx).\qquad (*)\\\end{تراز شده}}$

معادله (*) نتیجه همانی است

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}،$

برای z = cos nx + i sin nx . بنابراین، S( n ) برای همه اعداد صحیح n صادق است.

فرمول های کسینوس و سینوس به صورت جداگانه [ ویرایش ]

همچنین ببینید: فهرست همانیهای مثلثاتی

برای تساوی اعداد مختلط ، یک نفر لزوماً دارای تساوی هر دو قسمت حقیقی و قسمت های موهومی هر دو عضو معادله است. اگر x و در نتیجه cos x و sin x نیز اعداد حقیقی باشند ، همانیاین قطعات را می توان با استفاده از ضرایب دو جمله ای نوشت . این فرمول توسط ریاضیدان فرانسوی قرن شانزدهم فرانسوا ویته ارائه شده است :

${\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x )^{nk}\,\sin {\frac {(nk)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k} }(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{nk}\,\cos {\frac {(nk)\pi }{2}}.\end{تراز شده}}$

در هر یک از این دو معادله، تابع مثلثاتی نهایی برابر با یک یا منهای یک یا صفر است، بنابراین نیمی از ورودی های هر یک از مجموع ها حذف می شود. این معادلات در واقع حتی برای مقادیر مختلط x نیز معتبر هستند ، زیرا هر دو طرف کل (یعنی در کل صفحه مختلط هولومورفیک ) هستند ، و دو تابع از این قبیل که روی محور حقیقی منطبق هستند، لزوماً در همه جا منطبق هستند. در اینجا نمونه های عینی این معادلات برای n = 2 و n = 3 آمده است :

${\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right )&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\ \\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={} &4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\ چپ (\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}$

سمت راست فرمول cos nx در واقع مقدار T n (cos x ) چند جمله ای چبیشف T n در cos x است.

شکست برای توان های غیر صحیح و تعمیم [ ویرایش ]

فرمول De Moivre برای توان های غیر صحیح صادق نیست. اشتقاق فرمول د موآور در بالا شامل یک عدد مختلط به توان عدد صحیح n است. اگر یک عدد مختلط به یک توان غیرصحیح افزایش یابد، نتیجه چند مقدار است (به شکست هویت‌های توان و لگاریتم مراجعه کنید ). به عنوان مثال، زمانی که n =1/2فرمول د موآور نتایج زیر را به دست می دهد:

برای x = 0 فرمول 1 1/2 = 1 را می دهد و

برای x = 2 π فرمول 1 1/2 = -1 را می دهد .

این دو مقدار متفاوت برای یک عبارت 1 1/2 اختصاص می دهد ، بنابراین فرمول در این مورد سازگار نیست.

از سوی دیگر، مقادیر 1 و -1 هر دو جذر 1 هستند. به طور کلی، اگر z و w اعداد مختلط باشند، آنگاه

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}$

در حالی که چند ارزش است

$\cos wz+i\sin wz$

نیست. با این حال، همیشه همینطور است

$\cos wz+i\sin wz$

یکی از ارزش های است

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}.$

ریشه اعداد مختلط [ ویرایش ]

یک بسط ساده از نسخه فرمول د موآور ارائه شده در این مقاله می تواند برای یافتن ریشه n ام یک عدد مختلط (معادل توان

1/n).

اگر z یک عدد مختلط باشد، به شکل قطبی به صورت زیر نوشته می شود

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right)،$

سپس n امین ریشه z با استفاده از

$r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k} {n}}\راست)$

که در آن k بر روی مقادیر صحیح از 0 تا n - 1 تغییر می کند.

این فرمول گاهی اوقات به عنوان فرمول د موآور نیز شناخته می شود. [2]

آنالوگ در تنظیمات دیگر [ ویرایش ]

مثلثات هذلولی [ ویرایش ]

از آنجایی که cosh x + sinh x = e x ، یک آنالوگ فرمول د موآور برای مثلثات هذلولی نیز اعمال می شود . برای همه اعداد صحیح n ،

$(\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.$ اگر n یک عدد گویا باشد (اما نه لزوما یک عدد صحیح)، آنگاه cosh nx + sinh nx یکی از مقادیر

(cosh x + sinh x )^ n

خواهد بود. [3]

بسط اعداد مختلط [ ویرایش ]

این فرمول برای هر عدد مختلط صادق است $z=x+iy$

$(\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.$

جایی که

${\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh yi\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy) &=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{تراز شده}}$

کواترنیون ها [ ویرایش ]

برای یافتن ریشه‌های یک کواترنیون ، شکل مشابهی از فرمول د موآور وجود دارد. یک کواترنیون به شکل

$d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}}$

را می توان در فرم نشان داد

$q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .$

در این نمایندگی،

$k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}،$

و توابع مثلثاتی به صورت تعریف می شوند

$\cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b ^{2}+c^{2}}}{k}}.$

در صورتی که a ^2 + b ^2 + c ^2 ≠ 0 ،

$\varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a ^{2}+b^{2}+c^{2}}}}،$

یعنی بردار واحد. این منجر به تغییر فرمول در موآورمی شود:

$q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).$ [4]

مثال [ ویرایش ]

برای یافتن ریشه های مکعبی

$Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,$

کواترنیون را به شکل بنویسید

$Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }} \varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.$

سپس ریشه های مکعب به صورت زیر داده می شود:

${\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }} \theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.$

2 × 2 ماتریس [ ویرایش ]

ماتریس زیر را در نظر بگیرید $A={\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}$ . سپس ${\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n \phi &\sin n\phi \\-\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}$ . این حقیقیت (اگرچه می توان آن را به همان روشی که برای اعداد مختلط ثابت کرد) نتیجه مستقیم این حقیقت است که فضای ماتریس های نوع ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ نسبت به صفحه مختلط یکریخت است .

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula

قضیه دی موور

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:34

فرآیند استقراء ریاضی را می توان برای اثبات یک قضیه بسیار مهم در ریاضیات به نام قضیه De Moivre به کار برد . اگر عدد مختلط z = r (cos α + i sin α)، پس

الگوی قبلی را می توان با استفاده از استقراء ریاضی به قضیه دی مویور تعمیم داد.

اگر z = r (cos α + i sin α)، و n یک عدد طبیعی است، پس

مثال 1: به شکل s + bi بنویسید .

ابتدا شعاع را تعیین کنید:

از آنجایی که cos α = و sin α = ½، α باید در ربع اول و α = 30 درجه باشد. از این رو،

مثال 2: به شکل a + bi بنویسید .

ابتدا شعاع را تعیین کنید:

از آنجایی که cos و sin ، α باید در ربع چهارم باشد و α = 315 درجه باشد. از این رو،

مسائل مربوط به توان های اعداد مختلط را می توان با استفاده از بسط دو جمله ای حل کرد، اما استفاده از قضیه De Moivre معمولا مستقیم تر است.

قضیه De Moivre را می توان به ریشه های اعداد مختلط که قضیه ریشه n را به دست می دهد گسترش داد . با توجه به عدد مختلط z = r (cos α + i sinα)، تمام ریشه های n ام z به دست می آیند.

که در آن k = 0، 1، 2، ...، (n - 1)

اگر k = 0 باشد، این فرمول به کاهش می یابد

این ریشه به عنوان nامین ریشه اصلی z شناخته می شود. اگر α = 0 درجه و r = 1، آنگاه z = 1 و nامین ریشه وحدت به دست می آیند

که در آن k = 0، 1، 2، …، ( n -1)

مثال 3: هر یک از پنج ریشه پنجم که به صورت مثلثاتی بیان شده اند کدامند؟

از آنجایی که cos و sin α = ½، α در ربع اول و α = 30 درجه است. بنابراین، از آنجایی که سینوس و کسینوس تناوبی هستند،

و با استفاده از قضیه ریشه n ، پنج ریشه پنجم z به دست می آیند

که در آن k = 0، 1، 2، 3 و 4 است

بنابراین پنج ریشه پنجم هستند

فاصله یکنواخت پنج ریشه در اطراف دایره را در شکل 1 مشاهده کنید .

ساده سازی عبارات مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:31

مثال 2.30

راه حل

مثال 2.31

ساده کردن

مثال دیگر

به توان31 رساندن دو طرف،

رابطه موآور و نتایج و مثال

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:24

مثال از جمع و تفریق و ضرب اعداد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:17

معادله

چگونه عمل های اصلی اعداد مختلط انجام می شود؟

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:11

برای جمع یا تفریق دو عدد مختلط، اجزای خقیقی و موهومی را به صورت جداگانه جمع یا تفریق کنید.

(a+jb)+-(c+jd)=(a+-c)+j(b+-d)

برای ضرب دو عدد مختلط، تمام جملات متقاطع را ضرب کنید و سپس اجزای واقعی و خیالی را جمع آوری کنید. به یاد داشته باشید که j^ 2 =-1.

(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc)

برای معکوس کردن یک عدد مختلط، بالا (حساب) و پایین (مخرج) را در مزدوج مخرج ضرب کنید. The معادل ضرب در یک (1) است، بنابراین مقدار آن بدون تغییر است.

1/(a+jb)

مثل برای تقسیم اعداد مختلط، آن را در مزدوج مخرج ضرب کنید.

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:9

$Math 1010 on-line - Complex Numbers$

برای تقسیم اعداد مختلط، آن را در مزدوج مخرج ضرب کنید. مثلا

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:6

مثال از تقسمت حقیقی و موهومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 16:4

	برای اضافه کردن دو عدد مختلط کافی است مانند عبارت ها را با هم ترکیب کنید.
	برای تفریق دو عدد مختلط کافی است مانند عبارت ها را با هم ترکیب کنید.
	برای ضرب در زمان واقعی یک مجتمع فقط توزیع کنید.
	برای ضرب موهومی در یک مختلط کافیست توزیع کنید و سپس از i ^ 2 = − 1 استفاده کنید.
	برای ضرب دو عدد مختلط کافیست توزیع کنید و سپس از i ^ 2 = -1 استفاده کنید.
	ضرب یک عدد مختلط در مزدوج مختلط آن (که در بالا تعریف شد) همیشه به یک عدد حیقیقی مثبت منجر می شود زیرا عبارت های مشترک حذف می شوند.
	برای تقسیم یک عدد مختلط بر یک حقیقی فقط کسر را به دو قسمت تقسیم کنید.
	مزدوج i- برابر i است.. می توانید این را با ضرب متقابل تأیید کنید.
	برای تقسیم یک عدد مختلط بر یک عدد خیالی، کافی است کسر را به دو قسمت تقسیم کنید و سپس از این واقعیت استفاده کنید که مزدوج i- برابر i است.
	برای ساده کردن متقابل یک عدد مختلط، صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب کنید. این برای تولید یک عدد واقعی مثبت در مخرج طراحی شده است که می تواند به هر جمله از صورت تقسیم شود.
	یک میانبر برای مثال قبلی، جایگزینی یک متقابل با مزدوج مختلط در صورت بر روی مجموع مربع های نوع فیثاغورث در مخرج است.
	برای تقسیم دو عدد مختلط، صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب کنید. این یک مجموع مربع‌های نوع فیثاغورث در مخرج و دو عدد مختلط در صورت‌دهنده ایجاد می‌کند که می‌توانند همانطور که قبلاً توضیح داده شد ضرب شوند.

قضیه دو موآور و کاربردهای آن

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 10:8

قضیه دو موآور و کاربردهای آن
برای بدست آوردن ریشه اعداد مختلط می توان از فرمول دو موآور استفاده کرد.

قضیه دو موآور و کاربردهای آن
آبراهام دو موآور (1667-1754) یکی از ریاضیدانانی بود که از اعداد مختلط در مثلثات استفاده کرد.
فرمول

(cosθ + i sinθ ) ^n = (cos nθ + i sin nθ )

که با نام او شناخته می شود، در خارج کردن مثلثات از قلمرو هندسه و به حوزه تحلیل نقش اساسی داشت.

1. قضیه دو موآور
قضیه دو موآور
با توجه به هر عدد مختلط cos θ + i sin θ و هر عدد صحیح n ،
(cos θ + i sin θ )^ n  = cos n θ + i sin n θ .

نتیجه
(1) (cos θ - i sin θ ) ^n = cos nθ - i sin nθ
(2) (cos θ + i sin θ )^- n = cos nθ - i sin nθ
(3) (cos θ - i sin θ )^ - n  = cos nθ + i sin nθ
(4) sin θ + i cos θ = i (cos θ - i sin θ ) .

حال اجازه دهید قضیه دو موآور را برای ساده کردن اعداد مختلط و حل معادلات به کار ببریم.

مثال 2.28
اگر z = (cosθ + i sinθ ) نشان دهید که

z n + 1/ z n = 2 cos nθ و z^- n – [1/ z n ] = 2 i sin nθ .
راه حل
بگذارید z = (cosθ + i sinθ ) .
با قضیه دو موآور،
z n = (cosθ + i sinθ ) n = cos nθ + i sin nθ

مثال 2.29
به همین ترتیب،
راه حل

مثال 2.30

راه حل

مثال 2.31
ساده کردن
(i) (1+ i) 18
(ii) (-√3 + 3 i ) 31 .
راه حل
(i) (1+ i) 18
فرض کنید 1+ i = r (cos θ + i sin θ ) . سپس، دریافت می کنیم

(ii) (-√3 + 3 i ) 31 .
اجازه دهید - √ 3 + 3 i = r (cosθ + i sinθ). سپس، دریافت می کنیم

افزایش توان 31 در هر دو طرف،

2. یافتن  ریشه n ام یک عدد مختلط
برای بدست آوردن ریشه اعداد مختلط می توان از فرمول دو موآور استفاده کرد. فرض کنید n یک عدد صحیح مثبت و یک عدد مختلط ω n ام ریشه z است که با z 1/ n نشان داده می شود ، آنگاه داریم
ω n = z   ………… (1)
فرض کنید ω = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) و
z = r (cos θ + i sin θ ) = r (cos( θ + 2 kπ ) + i sin ( θ + 2 kπ ))،   k ∈ Z
از آنجایی که w ریشه n ام z است، پس
ω n = z
⇒ ρ n (cos ϕ + i sin ϕ ) n = r (cos( θ + 2 kπ ) + i sin ( θ + 2 kπ )) ,   k ∈ Z
با قضیه دو موآور،
⇒ ρ n (cos nϕ + i sin nϕ ) = r (cos (θ + 2 kπ ) + i sin ( θ + 2 kπ ))، k ∈  Z
با مقایسه مدول ها و آرگومان ها، به دست می آوریم

اگر چه بی نهایت مقادیر   k وجود دارد ، مقادیر متمایز   ω   زمانی به دست می آیند که k = 0,1, 2, 3, K , n -1 باشد. وقتی k = n , n +1 , n + 2 , K ریشه های یکسانی را در فواصل منظم (به صورت چرخه ای) بدست می آوریم. بنابراین ریشه های nامین عدد مختلط z = r (cos θ + i sin θ ) هستند

اگر ω  =  فرمول   n ام   ریشه یک عدد مختلط را تنظیم کنیم، تفسیر هندسی خوبی دارد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. توجه داشته باشید که چون | ω | = n √ r ریشه های n همگی مدول یکسانی دارند n √ r همگی روی دایره ای به شعاع n √ r با مرکز در مبدا قرار دارند. علاوه بر این، n ریشه ها به طور مساوی در امتداد دایره قرار دارند، زیرا n ریشه متوالی دارای آرگومان هایی هستند که 2π/ n متفاوت هستند .

تذکر دهید
(i) شکل کلی قضیه دو موآور
اگر x منطقی است، پس cos x θ + i sin x θ یکی از مقادیر (cos θ + i sin θ ) x است.
(ii) شکل قطبی دایره واحد
بگذارید z   = e i θ = cos θ + i sin θ . سپس، دریافت می کنیم
|z| 2 = |cosθ + i sinθ | 2
⇒   | x + iy | 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1
⇒ x 2 + y 2 = 1.
بنابراین، |z| = 1 نشان دهنده یک دایره واحد (شعاع یک) مرکز در مبدا است.
3. نهمین  ریشه واحد
راه حل های معادله z n = 1، برای مقادیر مثبت عدد صحیح n ، n ریشه واحد هستند.
در شکل قطبی معادله z n = 1 را می توان به صورت نوشتاری نوشت
z n = cos (0 + 2kπ) + i sin (0 + 2kπ) = e i2kπ ، k = 0، 1، 2،…..
با استفاده از قضیه دو موآور، n ام ریشه واحد را از معادله زیر پیدا می کنیم:

با در نظر گرفتن یک عدد صحیح مثبت n ، یک عدد مختلط z را n ام ریشه واحد می نامند اگر و فقط اگر z n = 1 باشد.
اگر عدد مختلط را با ω نشان دهیم ، آنگاه

بنابراین ω n ام ریشه واحد است. از معادله (1)، اعداد مختلط 1، ω، ω 2 ،... ...، ω n-1 n ام ریشه واحد هستند. اعداد مختلط 1,ω,ω 2 ,... ...,ω n-1 نقاطی در صفحه مختلط هستند و رئوس یک چندضلعی منتظم از n ضلع هستند که در یک دایره واحد محاط شده اند همانطور که در شکل 2.45 نشان داده شده است. توجه داشته باشید که چون ریشه های n همگی مدول 1 یکسانی دارند، روی دایره ای به شعاع 1 قرار می گیرند که مرکز آن در مبدا قرار دارد. علاوه بر این، n ریشه‌ها در امتداد دایره به یک اندازه فاصله دارند، زیرا n‌امین ریشه متوالی دارای آرگومان‌هایی هستند که 2π/n متفاوت هستند.
ریشه های n ام واحد 1,ω,ω 2 ,... ...,ω n-1 در پیشرفت هندسی با نسبت مشترک ω هستند.
بنابراین 1+ ω + ω 2 +… + ω n-1 = 1- ω n / 1- ω = 0 زیرا ω n = 1 و ω ≠ 1 .
مجموع تمام ریشه های n ام واحد است
1+ ω + ω 2 +… + ω n-1 = 0
حاصلضرب n ، n ام ریشه واحد است
1ωω 2 ... ...ω n-1 = ω 0+1+2+3+... ...+(n-1) = ω [(n-1)n]/2
حاصلضرب تمام n th ریشه های واحد است
1ωω 2 ... ...ω n-1 = (-1) n-1

توجه داشته باشید
(1) همه n ریشه واحد ریشه n در پیشروی هندسی هستند
(2) مجموع n ریشه واحد n ام ریشه همیشه برابر با صفر است.
(3) حاصل ضرب n ریشه واحد n ام ریشه برابر با (-1) n-1 است.
(4) تمام n ریشه واحد ریشه n بر روی محیط دایره ای قرار دارد که مرکز آن در مبدا و شعاع آن برابر با 1 است و این ریشه ها دایره را به n قسمت مساوی تقسیم می کنند و چند ضلعی از n ضلع را تشکیل می دهند.

مثال 2.32
ریشه های مکعبی واحد را پیدا کنید.
راه حل
ما باید 1 1/3 را پیدا کنیم . بگذارید z = 1 1/3 و سپس z 3 = 1.
در شکل قطبی، معادله z 3 = 1 را می توان به صورت نوشتاری نوشت
z 3 = cos(0 + 2kπ) + i sin(0 + 2 k π) = e i2kπ ، k = 0، 1، 2،...

مثال 2.33
ریشه های چهارم واحد را بیابید.
راه حل
ما باید 1 1/4 را پیدا کنیم . بگذارید z = 1 1/4 باشد. سپس z 4 = 1 .
در شکل قطبی، معادله z 4 = 1 را می توان به صورت نوشتاری نوشت
z 4 = cos (0 + 2kπ ) + i sin (0 + 2kπ ) = e i2kπ , k = 0, 1, 2,...

توجه داشته باشید
(i) در این فصل از حرف ω برای n ام ریشه واحد استفاده می شود. بنابراین مقدار ω مطابق جدول زیر به n بستگی دارد.

(ii) عدد مختلط ze iθ چرخش z با رادیان θ در جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت در مورد مبدا است.

مثال 2.34
معادله z 3 + 8 i = 0 را حل کنید که z ∈ C . راه حل
بگذارید z 3 + 8 i = 0 باشد. سپس، دریافت می کنیم
z 3 = -8 i

مثال 2.35
تمام ریشه های مکعب √3 + i را پیدا کنید
راه حل
باید

(√3 + i )^ 1/3

را پیدا کنیم. بگذارید z^ 3 = √3 + i = r ( cosθ + i sinθ)

مثال 2.36
فرض کنید z 1 , z 2 , z 3 رئوس مثلث متساوی الاضلاع هستند که در دایره |z| = 2. اگر z 1 = 1+ i√3، z 2 و z 3 را پیدا کنید .راه حل
|z| = 2

نشان دهنده دایره با مرکز (0، 0) و شعاع 2 است.
بگذارید A، B و C رئوس مثلث داده شده باشند. از آنجایی که رئوس z 1 , z 2 , z 3 یک مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل می دهند که در دایره |z| = 2، اضلاع این مثلث AB، BC، و CA در مبدا (مرکز مدار مثلث) 2π/3 رادیان (120 درجه) متمایل می شوند.
(عدد مختلط ze iθ چرخش z با رادیان θ در خلاف جهت عقربه های ساعت در مورد مبدا است.)
بنابراین، می‌توان z 2 و z 3 را با چرخش z 1 در 2π/3 و 4 π/3 به‌دست آورد.
با توجه به اینکه

بنابراین z 2 = -2 و z 3 = 1- i √3.

تمرینات ریاضی و مسائل ریاضی: اعداد مختلط و معادلات مختلط (با جواب)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 9:50

$1.$ عبارات پیچیده را ساده کنید:

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 1$

$2.$ قدر مطلق یک عدد مختلط را بیابید:

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 2$

$3.$ مجموع، تفاضل و حاصل ضرب اعداد مختلط x و y را بیابید :

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 3$

$4.$ ضریب اعداد مختلط را بیابید:

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 4$

$5.$ یک عدد مختلط را به شکل مثلثاتی بنویسید:

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 5$

$6.$ یک عدد مختلط را به شکل جبری بنویسید:

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 6$

$7.$ توان یک عدد مختلط را پیدا کنید:

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 7$

$8.$ حل معادلات مختلط:

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - تمرین 8$

جواب تمرینات

$1.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 1$

$2.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 2$

$3.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 3$

$4.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 4$

$5.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 5$

$6.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 6$

$7.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 7$

$8.$

$اعداد مختلط و معادلات مختلط - پاسخ تمرین 8$

مثال :از اعداد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 9:47

Complex Numbers (Definition, Formulas, Examples)

مثال از توان 3 اعداد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 9:43

Ex 5.1, 10 - Express in a + ib: (-2 - 1/3i)3 - Chapter 5

عمل های اصلی روی اعداد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 9:42

Complex Numbers - A Plus Topper

مثال از تقسیم اعداد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 9:33

Multiplication and division of complex numbers The teacher gave a project to Ram. In his project, he has a question to search on different types of numbers and write their definition with example. Then, he write definition of rational number, whole number ...

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 9:32

جمع و تفریق

برای جمع یا تفریق دو عدد مختلط، اجزای واقعی و اجزای خیالی را جمع یا تفریق می کنید.

(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i.
(a + b i ) - (c + d i ) = (a - c) + (b - d) i.

مثال 3.

(3 - 5 i ) + (6 + 7 i ) = (3 + 6) + (-5 + 7) i = 9 + 2 i.
(3 - 5 i ) - (6 + 7 i ) = (3 - 6) + (-5 - 7) i = -3 - 12 i.

تقسیم اعداد مختلط

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم بهمن ۱۴۰۰ | 9:25

تقسیم اعداد مختلط

$What Are Complex Numbers? - Magoosh Math$

2-ایزومورفیسم گراف

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۰ | 13:29

اگرچه پریدن به آن کاغذ بعد از مقالات قبلی کمی جهش است.
خوب، پس اکنون همه شما گرم شده اید. در واقع شما احتمالا آنقدر سرحال هستید که فکر می کنید یک الگوریتم کلاسیک زمان چند جمله ای درست در گوشه و کنار است. وقت آن است که در آن افکار دمی بگذاریم.
ابتدا اجازه دهید با مقاله ای شروع کنیم که در حال حاضر بهترین الگوریتم برای نمودارهای عمومی است. خوب در واقع برای بهترین الگوریتم اصلی، مطمئن نیستم که مقاله واقعی وجود دارد یا خیر، اما مقاله ای وجود دارد که به کران مشابهی می رسد.

"برچسب گذاری متعارف نمودار" توسط لازلو بابای و یوجین ام. لوکس STOC 1983

این یک زیرنمایی را توصیف می کند (یا، اشتباه، اسکات تصمیم گرفت این را چه نامی بگذارد ؟)، الگوریتم زمان برای یک نمودار بارگه ها. در حال حاضر به عنوان یک لیست خواندن، من هنوز ورود به این مقاله را به طور کامل توصیه نمی کنم، اما فقط می خواستم خوش بینی شما را برای یک الگوریتم کلاسیک با نشان دادن به شما کم کنم (الف) بهترین چیزی که ما به طور کلی داریم یک الگوریتم زمانی نیمه نمایی است، (ب) این رکورد برای نزدیک به سه دهه باقی مانده است، و (ج) که اگر به مقاله نگاه کنید می توانید ببینید که کار آسانی نیست. همه کسانی که وارد می شوند امید را رها کنید؟
بسیار خوب، پس ظاهراً شما ناامید نشده اید، بنابراین به جلو فشار می آورید. خب بعد چی بخونم؟
خوب یک استراتژی این است که فهرست تمام نمودارهایی را که الگوریتم های شناخته شده کارآمدی برای آنها وجود دارد مرور کنید. این یک لیست کاملاً است، و اگر حداقل یکی از این موارد را مجدداً حل نکنید، حداقل کسب دانش در مورد این مقالات مفید است (در بالا به مقاله برای تعدد مقادیر ویژه محدود اشاره کردیم):

نمودارهای مسطح: "الگوریتم زمان خطی برای هم ریختی نمودارهای مسطح" توسط JE Hopcroft و JK Wong، STOC 1974 ( مقاله در اینجا )
یا به طور کلی نمودارهای جنس محدود: "آزمایش ایزومورفیسم برای نمودارهای جنس محدود" توسط گری میلر، STOC 1980 ( مقاله در اینجا )
نمودارها با درجه محدود: "ایزومورفیسم نمودارهای ظرفیت محدود را می توان در زمان چند جمله ای آزمایش کرد" توسط یوجین ام. لوکس، مجله علوم کامپیوتر و سیستم 25: 42-65، 1982 ( مقاله در اینجا )

در امتداد یک رگه مشابه، یک الگوریتم زمانی زیر نمایی برای نمودارهای به شدت منظم وجود دارد که بهتر از بهترین الگوریتم کلی است که در بالا توضیح داده شد:

"تست سریعتر ایزومورفیسم نمودارهای با قاعده قوی" توسط Daniel A. Spielman STOC 1996 (مقاله در اینجا)

در این مرحله، احتمالاً شما بیش از حد بار شده اید، بنابراین یک کار خوب در هنگام بارگیری بیش از حد، پیدا کردن یک کتاب است. یک کتاب جالب این است

«الگوریتم‌های نظری گروهی و ایزومورفیسم نمودار» توسط CM Hoffman 1982

همانطور که می بینید این مقاله قبل از معرفی بهترین الگوریتم ها نوشته شده است. با این حال، این کتاب نسبتاً خواندنی است و شروع به تنظیم نظریه گروهی می کند که اگر می خواهید مقالات بعدی را فتح کنید، به آن نیاز دارید. کتاب دیگری با نتایج خوبی است

"مسئله ایزومورفیسم گراف: پیچیدگی ساختاری آن" توسط یوهانس کوبلر، اووه شونینگ، یاکوبو توران (1993)

که در آن شما برخی از نتایج خوب نظریه پیچیدگی پایه را در مورد ایزومورفیسم گراف پیدا خواهید کرد.
خوب حالا که رفته اید و شروع به یادگیری در مورد برخی پیچیدگی های محاسباتی در رابطه با هم ریختی گراف کرده اید، احتمالا زمان خوبی برای توقف و بررسی الگوریتم های عملی واقعی برای ایزومورفیسم گراف است. پادشاه تپه اینجا، تا جایی که من می دانم، برنامه ناوتی (بدون AUTomorphism، بله؟) توسط برندان دی. مک کی است. متأسفانه به نظر می رسد که یک موتور جستجوی خاص نسبت به کلمه "شیطان" کمی سنگین است (توجه داشته باشید، هنگام نامگذاری یک بسته نرم افزاری، کلمه کلیدی مرتبط با پورن را در نظر بگیرید):

وظیفه اصلی Nauty تعیین گروه اتومورفیسم یک گراف (گروهی از جایگشت‌ها که نمایش گراف را بدون تغییر می‌گذارند) است، اما nauty یک برچسب متعارف نیز تولید می‌کند که می‌تواند برای آزمایش هم‌شکلی استفاده شود. Nauty می تواند تست های هم ریختی نمودارهای 100 راس را در حدود یک ثانیه انجام دهد. مقاله ضمیمه ای وجود دارد که نحوه عملکرد ناوتی را توضیح می دهد:

"ایزومورفیسم نمودار عملی"، توسط برندان دی. مک کی، کنگره Numerantium، 30، 45-87، 1981.

یک برچسب متعارف برای یک گراف تابعی از گراف ها به مجموعه ای از برچسب ها است به طوری که برای دو نمودار برچسب یکسان است اگر و فقط اگر دو نمودار هم شکل باشند. این چیزی است که nauty تولید می کند: اگر می خواهید بدانید که آیا نمودارها هم شکل هستند یا خیر، فقط فرم های متعارف این نمودارها را محاسبه کرده و نتایج را با هم مقایسه کنید. اگر شکل متعارف یکسانی داشته باشند هم شکل هستند و اگر نداشته باشند هم شکل نیستند.

که فرد را به فکر کردن در مورد سایر طرح‌های برچسب‌گذاری برای حل ایزومورفیسم گراف سوق می‌دهد. یکی از ساده‌ترین تلاش‌ها (تلاش چون کار نمی‌کند) برای ایجاد یک طرح برچسب‌گذاری متعارف، موارد زیر است: با برچسب‌گذاری رئوس دو نمودار با درجه‌شان شروع کنید. اگر این لیست را مرتب کنید و آنها لیست های مرتب شده متفاوتی هستند، پس نمودارها نمی توانند هم شکل باشند. سپس می‌توان برچسب راس را با برچسبی متشکل از چند مجموعه برچسب راس فعلی و برچسب‌های رئوس همسایه جایگزین کرد (مجموعه‌ای را فراخوانی کنید که ورودی‌ها می‌توانند چندین بار ظاهر شوند.) سپس می‌توان این چند مجموعه‌ها را از نظر واژه‌شناسی مرتب کرد و دو لیست مرتب شده را برای هر دو نمودار مقایسه کنید. دوباره اگر لیست ها یکسان نباشند، نمودارها هم شکل نیستند. اگر هنوز متوجه نشده اید که نمودارها هم شکل نیستند، می توانید ادامه دهید، اما ابتدا، برای کوچک نگه داشتن برچسب ها، باید برچسب های مرتب شده از نظر لغوی را با یک عدد صحیح کوچک که نشان دهنده ترتیب مرتب شده برچسب است جایگزین کنید. سپس می توان ساخت یک برچسب گذاری چند مجموعه ای جدید را از این برچسب گذاری های اعداد صحیح جدید تکرار کرد. این یک طرح ساده برای پیاده سازی است.

منبع

https://dabacon.org/pontiff/2010/08/04/reading-list-graph-isomorphism/

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

7-معادله مکعب

اشتقاق ریشه ها [ ویرایش ]

روش کاردانو [ ویرایش ]

تعویض ویتا [ ویرایش ]

روش لاگرانژ [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

در ریاضیات [ ویرایش ]

در سایر علوم [ ویرایش ]

6--معادله مکعب

تفسیر هندسی ریشه ها [ ویرایش ]

سه ریشه حقیقی [ ویرایش ]

یک ریشه حقیقی [ ویرایش ]

گروه گالوا [ ویرایش ]

5--معادله مکعب

راه حل های مثلثاتی و هذلولی [ ویرایش ]

راه حل مثلثاتی برای سه ریشه واقعی [ ویرایش ]

راه حل هایپربولیک برای یک ریشه واقعی [ ویرایش ]

راه حل های هندسی [ ویرایش ]

راه حل عمر خیام [ ویرایش ]

راه حل با سه ضلع زاویه [ ویرایش ]

4--معادله مکعب

فرمول کاردانو [ ویرایش ]

فرمول مکعبی عمومی [ ویرایش ]

3--معادله مکعب

مکعب کاهش یافته[ ویرایش ]

تمایز و ماهیت ریشه ها [ ویرایش ]

ممیز [ ویرایش ]

ماهیت ریشه ها [ ویرایش ]

ریشه چندگانه [ ویرایش ]

ویژگی 2 و 3 [ ویرایش ]

2-معادله مکعب

تاریخچه [ ویرایش ]

تجزیه [ ویرایش ]

1-معادله مکعب

فهرست

نمایش اعداد مختلط در صفحه مختلط

II. نمایش اعداد مختلط در صفحه مختلط

III. اضافه کردن اعداد مختلط

تفریق اعداد مختلط

ضرب اعداد مختلط

تمرین مدول یک عدد مختلط

شکل اویلر از عدد مختلط

مثال 2.24

راه حل

خواص فرم قطبی

فرمول1

اثبات

فرمول2

اثبات

توجه داشته باشید

فرمول3

مثالهایی از بکارگیری قضیه د مواور برای توان رسانی و ریشه گیری اعداد مختلط

مثال از بکارگیری فرمول د موآور

​ فرمول د موآور

فرمول د موآور

فهرست

مثال [ ویرایش ]

ارتباط با فرمول اویلر [ ویرایش ]

اثبات با استقرا [ ویرایش ]

فرمول های کسینوس و سینوس به صورت جداگانه [ ویرایش ]

شکست برای توان های غیر صحیح و تعمیم [ ویرایش ]

ریشه اعداد مختلط [ ویرایش ]

آنالوگ در تنظیمات دیگر [ ویرایش ]

مثلثات هذلولی [ ویرایش ]

بسط اعداد مختلط [ ویرایش ]

کواترنیون ها [ ویرایش ]

2 × 2 ماتریس [ ویرایش ]

منابع

قضیه دی موور

ساده سازی عبارات مختلط

رابطه موآور و نتایج و مثال

مثال از جمع و تفریق و ضرب اعداد مختلط

چگونه عمل های اصلی اعداد مختلط انجام می شود؟

مثل برای تقسیم اعداد مختلط، آن را در مزدوج مخرج ضرب کنید.

برای تقسیم اعداد مختلط، آن را در مزدوج مخرج ضرب کنید. مثلا

مثال از تقسمت حقیقی و موهومی

قضیه دو موآور و کاربردهای آن

تمرینات ریاضی و مسائل ریاضی: اعداد مختلط و معادلات مختلط (با جواب)

فرمول د موآور