نظریه فاجعه

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و نهم بهمن ۱۴۰۱ | 21:21

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله ممکن است برای اکثر خوانندگان برای درک آن بسیار فنی باشد . لطفاً بدون حذف جزئیات فنی، به بهبود آن کمک کنید تا برای افراد غیر متخصص قابل درک باشد . ( سپتامبر 2018 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

"رویداد فاجعه بار" به اینجا هدایت می شود. برای دیگر کاربردها، فاجعه را ببینید ببینید .

در ریاضیات , نظریه فاجعه شاخه ای از نظریه انشعاب در مطالعه سیستم های دینامیکی است . همچنین یک مورد خاص خاص از نظریه تکینگی عمومی تر است عمومی تر در هندسه .

نظریه انشعاب پدیده‌هایی را که با تغییرات ناگهانی در رفتار ناشی از تغییرات کوچک در شرایط مشخص می‌شوند، مطالعه و طبقه‌بندی می‌کند و تجزیه و تحلیل می‌کند که چگونه ماهیت کیفی جواب‌های معادله به پارامترهایی که در معادله ظاهر می‌شوند بستگی دارد. این ممکن است منجر به تغییرات ناگهانی و چشمگیر شود، برای مثال زمان و اندازه غیرقابل پیش بینی غیرقابل پیش بینی یک زمین لغزش .

نظریه فاجعه با کار ریاضیدان فرانسوی رنه تام در دهه 1960 سرچشمه گرفت و به دلیل تلاش های کریستوفر زیمن در دهه 1970 بسیار محبوب شد. این مورد خاص را در نظر می گیرد که در آن تعادل پایدار بلندمدت می تواند به عنوان حداقل یک تابع بالقوه صاف و کاملاً تعریف شده شناسایی شود ( تابع لیاپانوف). تغییرات کوچک در پارامترهای خاصی از یک سیستم غیرخطی می تواند باعث ظاهر یا ناپدید شدن تعادل و یا تغییر از جذب به دفع کننده و بالعکس شود و منجر به تغییرات بزرگ و ناگهانی در رفتار سیستم شود. با این حال، بررسی در یک فضای پارامتر بزرگتر، تئوری فاجعه نشان می دهد که چنین نقاط انشعاب تمایل دارند به عنوان بخشی از ساختارهای هندسی کیفی به خوبی تعریف شده رخ دهند.

در اواخر دهه 1970، کاربردهای تئوری فاجعه در حوزه های خارج از محدوده آن، به ویژه در زیست شناسی و علوم اجتماعی مورد انتقاد قرار گرفت. [1] [2] Zahler و Sussmann، در مقاله‌ای در سال 1977 در Nature ، به چنین کاربردهایی اشاره کردند که "با استدلال نادرست، فرضیات دور از ذهن، پیامدهای نادرست و ادعاهای اغراق آمیز مشخص می شوند". [3] در نتیجه، نظریه فاجعه در کاربردها کمتر محبوب شده است. [4]

فجایع ابتدایی [ ویرایش ]

نظریه فاجعه نقاط بحرانی منحط تابع پتانسیل را تجزیه و تحلیل می کند - نقاطی که نه فقط مشتق اول، بلکه یک یا چند مشتق بالاتر تابع بالقوه نیز صفر هستند. اینها را میکروب هندسه فاجعه می نامند . انحطاط این نقاط بحرانی را می توان با گسترش عملکرد بالقوه به عنوان یک سری تیلور آشکار کرد . در اختلالات کوچک پارامترها

هنگامی که نقاط انحطاط صرفا تصادفی نیستند، بلکه از نظر ساختاری پایدار هستند ، نقاط انحطاط به عنوان مراکز سازماندهی برای ساختارهای هندسی خاص با انحطاط پایین‌تر، با ویژگی‌های حیاتی در فضای پارامتر اطرافشان وجود دارند. اگر تابع پتانسیل به دو یا کمتر متغیر فعال و چهار یا کمتر پارامتر فعال بستگی داشته باشد، آنگاه تنها هفت ساختار عمومی برای این هندسه‌های انشعاب وجود دارد، با فرم‌های استاندارد متناظر که سری تیلور در اطراف میکروب‌های فاجعه را می‌توان با دیفئومورفیسم تبدیل کرد . یک تبدیل صاف که عکس آن نیز صاف است). [ نیاز به نقل از ] این هفت نوع اساسی اکنون با نام هایی که تام به آنها داده است، ارائه شده است.

توابع بالقوه یک متغیر فعال [ ویرایش ]

نظریه فاجعه سیستم های دینامیکی را مطالعه می کند که تکامل [5] یک متغیر حالت را توصیف می کندایکس $ایکس$ در طول زمانتی $تی$ :

${\dot {x}}={\dfrac {dx}{dt}}=-{\dfrac {dV(u,x)}{dx}}$

در معادله فوق،� $V$ تابع پتانسیل وتو $تو$ اغلب یک بردار یا یک اسکالر است که تابع پتانسیل را پارامتر می کند. ارزشتو $تو$ ممکن است در طول زمان تغییر کند و همچنین می توان از آن به عنوان متغیر کنترل یاد کرد . در مثال های زیر پارامترهایی مانندآ،ب $الف، ب$ چنین کنترل هایی هستند.

فولد فاجعه [ ویرایش ]

فولد فاجعه، با سطح $z=-y^{2}-0.1x^{4}$ .

یک جفت اکسترمای پایدار و ناپایدار در یک انشعاب چین ناپدید می شوند

$V = x^3 + تبر\،$

هنگامی که a < 0 است ، پتانسیل V دو انتها دارد - یکی پایدار و دیگری ناپایدار. اگر پارامتر a به آرامی افزایش یابد، سیستم می تواند حداقل نقطه پایدار را دنبال کند. اما در a = 0 اکسترمای پایدار و ناپایدار به هم می رسند و نابود می شوند. این نقطه انشعاب است. در > 0 دیگر راه حل پایداری وجود ندارد. اگر یک سیستم فیزیکی از طریق یک انشعاب چین دنبال شود، بنابراین متوجه می‌شویم که با رسیدن به 0، پایداری a < 0 ناگهان از بین می‌رود و سیستم یک انتقال ناگهانی به یک رفتار جدید و بسیار متفاوت انجام می‌دهد. این مقدار انشعاب پارامتر a گاهی اوقات " نقطه اوج " نامیده می شود.

فاجعه کاسپ [ ویرایش ]

نمودار فاجعه کاسپ، نشان دهنده منحنی های (قهوه ای، قرمز) x رضایت بخش dV / dx = 0 برای پارامترهای ( a ، b )، ترسیم شده برای پارامتر b به طور مداوم متغیر، برای چندین مقدار پارامتر a .

خارج از مکان انشعاب کاسپ (آبی)، برای هر نقطه ( a , b ) در فضای پارامتر فقط یک مقدار اکستریم کننده x وجود دارد . در داخل کاسپ، دو مقدار مختلف x وجود دارد که حداقل های محلی V ( x ) را برای هر ( a , b) می دهد.)، با مقدار x از هم جدا می شوند که حداکثر محلی را نشان می دهد.

شکل کاسپ در فضای پارامتر ( a ، b ) نزدیک نقطه فاجعه، نشان دهنده مکان انشعاب چین‌خوردگی است که منطقه را با دو محلول پایدار از منطقه با یک جدا می‌کند.

دوشاخه چنگال در a = 0 در سطح b = 0

فاجعه کاسپ، با سطح $z=-0.1(x^{4}+y^{4})-y^{3}+xy$ .

$V = x^4 + ax^2 + bx \,$

هندسه کاسپ زمانی بسیار متداول است که اگر پارامتر دوم، b به فضای کنترل اضافه شود، چه اتفاقی برای انشعاب چین می افتد . با تغییر پارامترها، می‌بینیم که اکنون یک منحنی (آبی) از نقاط در فضای ( a ، b ) وجود دارد که در آن ثبات از بین می‌رود، جایی که راه‌حل پایدار ناگهان به یک نتیجه جایگزین می‌رود.

اما در هندسه کاسپ، منحنی انشعاب به خودش حلقه می‌زند و شاخه دومی را ایجاد می‌کند که خود این محلول جایگزین ثبات خود را از دست می‌دهد و به مجموعه راه‌حل اصلی پرش می‌کند. بنابراین، با افزایش مکرر b و سپس کاهش آن، می‌توان حلقه‌های پسماند را مشاهده کرد، زیرا سیستم به طور متناوب از یک راه‌حل پیروی می‌کند، به راه‌حل دیگر می‌پرد، دیگری را به عقب دنبال می‌کند و سپس به اولین راه‌حل بازمی‌گردد.

با این حال، این تنها در منطقه فضای پارامتر a < 0 امکان پذیر است . با افزایش a ، حلقه‌های پسماند کوچک‌تر و کوچک‌تر می‌شوند، تا زمانی که بالای a = 0 به طور کلی ناپدید شوند (فاجعه کاسپ)، و تنها یک راه‌حل پایدار وجود دارد.

همچنین می‌توان در نظر گرفت که اگر b را ثابت نگه داریم و a را تغییر دهیم، چه اتفاقی می‌افتد . در حالت متقارن b = 0 ، یک انشعاب چنگال را با کاهش a مشاهده می‌کنیم، که یک محلول پایدار به طور ناگهانی به دو محلول پایدار و یک محلول ناپایدار با عبور سیستم فیزیکی به یک <0 از نقطه کاسپ (0,0) تقسیم می‌شود. (نمونه ای از شکستن تقارن خود به خود ). دور از نقطه اوج، هیچ تغییر ناگهانی در یک راه حل فیزیکی وجود ندارد: هنگام عبور از منحنی دوشاخه های چین، تنها چیزی که اتفاق می افتد این است که یک راه حل دوم جایگزین در دسترس است.

یک پیشنهاد معروف این است که می توان از فاجعه کاسپ برای مدل سازی رفتار یک سگ استرس استفاده کرد که ممکن است با گاو شدن یا عصبانی شدن پاسخ دهد. [6] پیشنهاد این است که در استرس متوسط ( a > 0 )، سگ یک انتقال آرام از پاسخ از گاو به عصبانی را نشان می دهد، بسته به اینکه چگونه تحریک می شود. اما سطوح استرس بالاتر مربوط به حرکت به منطقه است ( a < 0 ). سپس، اگر سگ شروع به گاو زدن کند، همچنان که بیشتر و بیشتر تحریک می‌شود، گاو باقی می‌ماند، تا زمانی که به نقطه چین برسد، زمانی که ناگهان و بطور ناپیوسته به حالت عصبانیت می‌رسد. هنگامی که در حالت "عصبانی" قرار می گیرد، حتی اگر پارامتر تحریک مستقیم به میزان قابل توجهی کاهش یابد، عصبانی باقی می ماند.

یک سیستم مکانیکی ساده، "ماشین فاجعه زیمن"، به خوبی یک فاجعه کاسپ را نشان می دهد. در این دستگاه، تغییرات صاف در موقعیت انتهای فنر می تواند باعث تغییرات ناگهانی در موقعیت چرخشی چرخ متصل شود. [7]

شکست فاجعه بار یک سیستم پیچیده با افزونگی موازی را می توان بر اساس رابطه بین تنش های محلی و خارجی ارزیابی کرد. مدل مکانیک شکست ساختاری مشابه رفتار فاجعه کاسپ است. این مدل توانایی ذخیره یک سیستم پیچیده را پیش‌بینی می‌کند.

کاربردهای دیگر شامل انتقال الکترون کره بیرونی است که اغلب در سیستم‌های شیمیایی و بیولوژیکی با آن مواجه می‌شود، [8] مدل‌سازی دینامیک هسته‌های تراکم ابر در جو، [9] و مدل‌سازی قیمت‌های املاک و مستغلات. [10]

انشعاب های چین و هندسه کاسپ تا حد زیادی مهم ترین پیامدهای عملی تئوری فاجعه هستند. آنها الگوهایی هستند که بارها و بارها در فیزیک، مهندسی و مدل سازی ریاضی تکرار می شوند. آنها رویدادهای عدسی گرانشی قوی را تولید می کنند و یکی از روش های مورد استفاده برای تشخیص سیاهچاله ها و ماده تاریک جهان را از طریق پدیده عدسی گرانشی که تصاویر متعددی از اختروش های دور ایجاد می کند، در اختیار ستاره شناسان قرار می دهند . [11]

هندسه های فاجعه ساده باقی مانده در مقایسه بسیار تخصصی هستند و فقط برای ارزش کنجکاوی در اینجا ارائه شده اند.

فاجعه دم چلچله [ ویرایش ]

فاجعه دم چلچله، با سطح $z=-y^{4}-0.1x^{4}+(1-x^{2})y^{2}+0.4xy$

سطح فاجعه دم چلچله

$V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx \,$

فضای پارامتر کنترل سه بعدی است. مجموعه انشعاب در فضای پارامتر از سه سطح انشعاب چینی تشکیل شده است که در دو خط انشعاب کاسپ به هم می رسند که به نوبه خود در یک نقطه انشعاب دم چلچله به هم می رسند.

با عبور پارامترها از سطح انشعاب های چین، یک حداقل و یک حداکثر تابع پتانسیل ناپدید می شوند. در انشعاب های کاسپ، دو حداقل و یک حداکثر با یک حداقل جایگزین می شوند. فراتر از آنها، دوشاخه های چین ناپدید می شوند. در نقطه دم چلچله دو مینیمم و دو ماکزیمم همگی در یک مقدار x به هم می رسند . برای مقادیر a > 0 ، فراتر از دم چلچله ای، بسته به مقادیر b و c ، یا یک جفت حداکثر-حداقل وجود دارد یا اصلاً هیچ یک وجود ندارد . دو تا از سطوح انشعاب های چین خورده، و دو خط انشعاب های کاسپ جایی که برای < 0 به هم می رسندبنابراین در نقطه دم چلچله ناپدید می شوند و تنها یک سطح از دوشاخه های چین باقی مانده است. آخرین نقاشی سالوادور دالی ، دم پرستو ، بر اساس این فاجعه ساخته شده است.

فاجعه پروانه [ ویرایش ]

فاجعه پروانه، با سطح $z=-20x^{5}+4x^{3}-2xy-0.5(x^{4}+y^{4})$ .

$V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx \,$

بسته به مقادیر پارامتر، تابع پتانسیل ممکن است سه، دو یا یک مینیمم محلی متفاوت داشته باشد که توسط مکان های انشعاب چین از هم جدا شده اند. در نقطه پروانه، 3 سطح مختلف انشعاب چین، 2 سطح انشعاب کاسپ، و خطوط انشعاب دم چلچله همگی به هم می رسند و ناپدید می شوند، و زمانی که 0 > یک ساختار کاسپ باقی می ماند .

توابع بالقوه دو متغیر فعال [ ویرایش ]

سطحی با ناف هذلولی و سطح کانونی آن. فاجعه هذلولی ناف فقط قسمت بالایی این تصویر است.

سطحی با ناف بیضی شکل و سطح کانونی آن. فاجعه ناف بیضوی فقط قسمت بالایی این تصویر است.

فاجعه های ناف نمونه هایی از فاجعه های کورانک 2 هستند. آنها را می توان در اپتیک در سطوح کانونی مشاهده کرد که توسط نور منعکس شده از یک سطح به صورت سه بعدی ایجاد می شود و ارتباط نزدیکی با هندسه سطوح تقریباً کروی دارند: نقطه نافی . تام پیشنهاد کرد که فاجعه ناف هذلولی شکستن یک موج را مدلسازی می کند و ناف بیضوی ایجاد ساختارهای مو مانند را مدل می کند.

فاجعه ناف هذلولی [ ویرایش ]

$V = x^3 + y^3 + axy + bx +cy \,$

فاجعه ناف بیضوی [ ویرایش ]

$V = \frac{x^3}{3} - xy^2 + a(x^2+y^2) + bx + cy \,$

فاجعه ناف سهموی [ ویرایش ]

$V=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}78+cx+dy\,$

نماد آرنولد [ ویرایش ]

ولادیمیر آرنولد به دلیل ارتباط عمیق با گروه های ساده Lie به فاجعه ها طبقه بندی ADE داد . [ نیازمند منبع ]

A 0 - یک نقطه غیر مفرد: $V = x$ .
الف 1 - یک اکسترمم موضعی، یا حداقل پایدار یا حداکثر ناپایدار $V = \pm x^2 + تبر$ .
الف 2 - تاشو
الف 3 - کاسپ
الف 4 - دم چلچله
الف 5 - پروانه
A k - نماینده یک دنباله نامتناهی از یک متغیر است $V=x^{k+1}+\cdots$
D 4 - - ناف بیضوی
D 4 + - ناف هذلولی
د 5 - ناف سهمی
D k - نماینده یک دنباله بی نهایت از اشکال ناف بیشتر
E 6 - ناف نمادین $V = x^3+y^4+axy^2 +bxy+cx+dy+ey^2$
E 7
E 8

در نظریه تکینگی اشیایی وجود دارند که با اکثر گروه‌های ساده Lie مطابقت دارند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Catastrophe_theory

جبر لی نیمه ساده

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۱ | 11:43

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

گروه های لی و جبرهای لی

نشان می دهد گروه های کلاسیک
نشان می دهد گروه های لی ساده
نشان می دهد گروه های لی دیگر
نشان می دهد جبرهای لی
نشان می دهد جبر لی نیمه ساده
نشان می دهد نظریه نمایش
نشان می دهد گروه های لی در فیزیک
نشان می دهد دانشمندان
واژه نامه جدول گروه های لی
v تی ه

در ریاضیات ، جبر لی نیمه ساده است اگر مجموع مستقیم جبرهای لی ساده باشد . (یک جبر لی ساده یک جبر لی غیرآبلی بدون هیچ ایده آل مناسب غیر صفر است ).

در سرتاسر مقاله، مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد، جبر لی یک جبر لی با بعد محدود بر روی میدانی با مشخصه 0 است. برای چنین جبر لی ${\mathfrak {g}}$ ، اگر غیر صفر باشد، شرایط زیر معادل هستند:

${\mathfrak {g}}$ نیمه ساده است؛
شکل کیلینگ ، κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y ))، غیر منحط است .
${\mathfrak {g}}$ هیچ ایده آل آبلی غیر صفر ندارد.
${\mathfrak {g}}$ هیچ ایده آل غیر صفر قابل حلی ندارد .
رادیکال (حداکثر ایده آل قابل حل) از ${\mathfrak {g}}$ صفر است.

اهمیت [ ویرایش ]

اهمیت نیمه سادگی ابتدا از تجزیه لوی ناشی می شود، که بیان می کند که هر جبر لی با ابعاد محدود حاصلضرب نیمه مستقیم یک ایده آل قابل حل (رادیکال آن) و یک جبر نیمه ساده است. به طور خاص، جبر لی غیر صفر وجود ندارد که هم قابل حل و هم نیمه ساده باشد.

جبرهای لی نیمه ساده، در تضاد کامل با جبرهای لی قابل حل، طبقه بندی بسیار زیبایی دارند . جبرهای لی نیمه ساده بر روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر به طور کامل توسط سیستم ریشه آنها طبقه بندی می شوند که به نوبه خود توسط نمودارهای دینکین طبقه بندی می شوند . جبرهای نیمه ساده بر روی میدان‌های غیر جبری بسته را می‌توان بر حسب مواردی که در قسمت بسته جبری قرار دارند درک کرد، اگرچه طبقه‌بندی تا حدودی پیچیده‌تر است. شکل حقیقی را برای مورد جبرهای لی نیمه ساده حقیقی، که توسط الی کارتان طبقه بندی شدند، ببینید .

علاوه بر این، نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده بسیار تمیزتر از جبرهای لی عمومی است. برای مثال، تجزیه اردن در جبر لی نیمه ساده با تجزیه اردن در نمایش آن منطبق است. این مورد برای جبرهای لی به طور کلی نیست.

اگر ${\mathfrak {g}}$ پس نیمه ساده است ${\mathfrak g}=[{\mathfrak g}،{\mathfrak g}]$ . به طور خاص، هر جبر لی نیمه ساده خطی یک جبر فرعی از است ${\mathfrak {sl}}$ , جبر لی خطی ویژه . مطالعه ساختار ${\mathfrak {sl}}$ بخش مهمی از نظریه نمایش برای جبرهای لی نیمه ساده را تشکیل می دهد.

تاریخچه [ ویرایش ]

جبرهای لی نیمه ساده بر روی اعداد مختلط اولین بار توسط ویلهلم کیلینگ (1888-1890) طبقه بندی شد، اگرچه اثبات او فاقد دقت بود. اثبات او توسط الی کارتان (1894) در دکترای خود سختگیرانه شد. پایان نامه، که جبرهای لی حقیقی نیمه ساده را نیز طبقه بندی کرد. متعاقباً این مورد اصلاح شد و طبقه‌بندی کنونی توسط نمودارهای دینکین توسط یوجین دینکین 22 ساله در سال 1947 ارائه شد. برخی اصلاحات جزئی انجام شده است (به ویژه توسط جی پی سره)، اما اثبات در اصول آن بدون تغییر است و می‌توان آن را انجام داد. در هر مرجع استاندارد یافت می شود، مانند ( هوم فری 1972 ).

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

هر ایده آل، ضریب و حاصل جبرهای لی نیمه ساده دوباره نیمه ساده است. [1]
مرکز جبر لی نیمه ساده ${\mathfrak {g}}$ بی اهمیت است (از آنجایی که مرکز یک ایده آل آبلی است). به عبارت دیگر نمایندگی الحاقی $\operatorname {ad}$ تزریقی است علاوه بر این، تصویر [2] به نظر می رسد $\operatorname {Der}({\mathfrak g})$ از مشتقات در ${\mathfrak {g}}$ . از این رو،: $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})$ یک یکریختی است. [3] (این یک مورد خاص از لم وایتهد است .)
از آنجایی که نمایش الحاقی تزریقی است، یک جبر لی نیمه ساده یک جبر لی خطی در زیر نمایش الحاقی است. این ممکن است منجر به برخی ابهام شود، زیرا هر جبر لی در حال حاضر با توجه به برخی فضای برداری دیگر خطی است ( قضیه آدو )، اگرچه نه لزوماً از طریق نمایش الحاقی. اما در عمل، چنین ابهامی به ندرت رخ می دهد.
اگر ${\mathfrak {g}}$ پس جبر لی نیمه ساده است ${\mathfrak g}=[{\mathfrak g}،{\mathfrak g}]$ (زیرا ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]$ نیمه ساده و آبلی است). [4]
جبر لی با ابعاد محدود ${\mathfrak {g}}$ بیش از یک میدان k با مشخصه صفر نیمه ساده است اگر و فقط در صورتی که پسوند پایه باشد ${\mathfrak {g}}\otimes _{k}F$ برای هر پسوند فیلد نیمه ساده استاف⊃ک $F\supset k$ . [5] بنابراین، برای مثال، یک جبر لی حقیقی با بعد محدود، نیمه ساده است اگر و تنها در صورتی که پیچیدگی آن نیمه ساده باشد.

تجزیه اردن [ ویرایش ]

هر اندومورفیسم x از فضای برداری محدود بعدی بر روی میدانی با مشخصه صفر را می توان به طور منحصربفرد به یک قسمت نیمه ساده (یعنی قابل قطریابی بر روی بسته جبری) و بدون توان تجزیه کرد.

$x=s+n\$

به طوری که s و n با یکدیگر رفت و آمد دارند. علاوه بر این، هر یک از s و n یک چند جمله ای در x هستند . این تجزیه جردن x است .

موارد فوق در مورد نمایندگی الحاقی صدق می کند $\operatorname {ad}$ یک جبر لی نیمه ساده ${\mathfrak {g}}$ . یک عنصر x از ${\mathfrak {g}}$ گفته می شود که نیمه ساده است (مثلاً پوچتوان) اگر $\operatorname {ad} (x)$ یک عملگر نیمه ساده (به عبارت دیگر پوچتوان) است. [6] اگر $x\in {\mathfrak {g}}$ ، سپس تجزیه انتزاعی جردن بیان می کند که x را می توان به صورت منحصر به فرد نوشت:

$x=s+n$

جایی که $س$ نیمه ساده است، $n$ پوچتوان است و $[s,n]=0$ . [7] علاوه بر این، اگر $y\in {\mathfrak {g}}$ با x رفت و آمد می کند ، سپس با هر دو رفت و آمد می کند $s,n$ همچنین.

عوامل تجزیه جردن انتزاعی از طریق هر نمایشی از ${\mathfrak {g}}$ به این معنا که با توجه به هر نمایش ρ،

$\rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,$

تجزیه اردن ρ( x ) در جبر اندومورفیسم فضای نمایش است. [8] (این به عنوان یک نتیجه از قضیه تقلیل پذیری کامل ویل ثابت می شود ؛ به قضیه ویل در مورد تقلیل پذیری کامل مراجعه کنید#کاربرد: حفظ تجزیه جردن .)

ساختار [ ویرایش ]

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی نیمه ساده (بعد محدود) روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر باشد. ساختار ${\mathfrak {g}}$ را می توان با یک عمل الحاقی از یک زیر جبر متمایز بر روی آن توصیف کرد، یک زیر جبر کارتان . طبق تعریف، [9] یک جبر فرعی کارتن (همچنین به نام حداکثر زیر جبر پیچشی نیز نامیده می شود ) ${\mathfrak {h}}$ از ${\mathfrak {g}}$ یک زیر جبر حداکثر است به طوری که، برای هر∈ $h\in {\mathfrak {h}}$ ، $\operatorname {ad} (h)$ قابل مورب است . همانطور که معلوم است، ${\mathfrak {h}}$ آبلی است و بنابراین همه عملگرها در $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ به طور همزمان قابل قطر هستند . برای هر تابع خطی $\ آلفا$ از ${\mathfrak {h}}$ ، فرض کنید

${\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ برای همه } }h\in {\mathfrak {h}}\}$ .

(توجه داشته باشید که $\mathfrak{g}_0$ متمرکز کننده است ${\mathfrak {h}}$ .) سپس

تجزیه فضای ریشه - [10] با توجه به یک جبر کارتان ${\mathfrak {h}}$ ، آن را نگه می دارد ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ و تجزیه وجود دارد (به عنوان یک ${\mathfrak {h}}$ -مدول):

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

جایی که $\ فی$ مجموعه ای از همه تابع های خطی غیر صفر است $\ آلفا$ از ${\mathfrak {h}}$ به طوری که ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}$ . علاوه بر این، برای هر یک، $\alpha،\beta \in \Phi$ ،

$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }$ ، که برابری اگر است $\alpha +\beta \neq 0$ .
$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\ mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}$ به عنوان جبر لی
$\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$ ; به خصوص،⁡ $\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$ .
${\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}$ ; به عبارت دیگر، $2\alpha \not \in \Phi$ .
با توجه به فرم کیلینگ B ،، ${\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }$ متعامد با یکدیگر هستند اگر $\alpha +\beta \neq 0$ ; محدودیت B به ${\mathfrak {h}}$ غیر منحط است

(سخت ترین مورد برای نشان دادن این است $\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$ . شواهد استاندارد همه از برخی حقایق در نظریه نمایش استفاده می کنند ${\mathfrak {sl}}_{2}$ ; به عنوان مثال، سره از این حقیقیت استفاده می کند که یک2 ${\mathfrak {sl}}_{2}$ -ماژول با عنصر اولیه وزن منفی بی‌بعدی است، متناقضکم نور⁡ $\dim {\mathfrak {g}}<\infty$ .)

فرض کنید $h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g }_{-\alpha }$ $[e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha }, f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }$ ; به عنوان مثال،،ه، $h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }$ مطابق با اساس استاندارد از2 ${\mathfrak {sl}}_{2}$ .

توابع خطی در $\ فی$ ریشه های نامیده می شوند ${\mathfrak {g}}$ نسبت به ${\mathfrak {h}}$ . ریشه ها گستره می شوند∗ ${\mathfrak {h}}^{*}$ (از زمانی که اگر $\alpha (h)=0,\alpha \in \Phi$ ، سپس $\operatorname {ad} (h)$ عملگر صفر است. یعنی $ساعت$ در مرکز قرار دارد که صفر است.) علاوه بر این، از نظریه نمایش2 ${\mathfrak {sl}}_{2}$ ، یکی تقارن و خواص انتگرالی زیر را استنباط می کند $\ فی$ : برای هر، $\alpha،\beta \in \Phi$ ،

اندومورفیسم
$s_{\alpha }:{\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {h}}^{*},\,\gamma \mapsto \gamma -\gamma (h_{\alpha })\alpha$
برگها $\ فی$ ثابت $s_{\alpha }(\Phi )\subset \Phi$ ).
$\بتا (h_{\alpha })$ یک عدد صحیح است.

توجه داشته باشید که $s_{\alpha }$ دارای خواص $s_{\alpha }(\alpha)=-\alpha$ و (2) مجموعه نقطه ثابت است $\{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}$ ، که به این معنی است $s_{\alpha }$ بازتاب با توجه به ابر صفحه مربوط به است $\ آلفا$ . سپس موارد فوق این را می گوید $\ فی$ یک سیستم ریشه است .

از نظریه کلی سیستم ریشه چنین برمی آید که $\ فی$ شامل یک پایه است1 $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}$ از ${\mathfrak {h}}^{*}$ به طوری که هر ریشه ترکیبی خطی از1 $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}$ با ضرایب صحیح همان علامت؛ ریشه $\alpha _{i}$ ریشه های ساده نامیده می شوند . فرض کنید $e_{i}=e_{\alpha _{i}}$ و غیره. سپس3ل $3l$ عناصر،من،من $e_{i},f_{i},h_{i}$ (به نام مولدهای Chevalley ) تولید می کنند ${\mathfrak {g}}$ به عنوان جبر لی علاوه بر این، آنها روابط (به نام روابط سره ): با $a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})$ ،

$[h_{i},h_{j}]=0,$

$[e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,$

$[h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},$

$\operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+ 1}(f_{j})=0,i\neq j$ .

برعکس این نیز صادق است: یعنی جبر لی ایجاد شده توسط مولدها و روابط مانند بالا یک جبر لی نیمه ساده (بعد محدود) است که دارای تجزیه فضای ریشه مانند بالا است (به شرطی که $[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}$ ماتریس کارتن است ). این یک قضیه سره است . به طور خاص، دو جبر لی نیمه ساده اگر سیستم ریشه یکسانی داشته باشند، هم شکل هستند.

مفهوم ماهیت بدیهی یک سیستم ریشه و قضیه سره این است که می توان تمام سیستم های ریشه ممکن را برشمرد. از این رو، جبرهای لی نیمه ساده "همه ممکن" (بعد محدود بر روی یک میدان بسته جبری با مشخصه صفر).

گروه ویل گروه تبدیل خطی است∗≃ ${\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}$ تولید شده توسطس $s_{\alpha }$ 's گروه ویل تقارن مهم مسئله است. به عنوان مثال، وزن هر نمایش محدود بعدی از ${\mathfrak {g}}$ تحت گروه ویل ثابت هستند. [11]

نمونه تجزیه فضای ریشه در sl n (C) [ ویرایش ]

برای ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ و زیر جبر کارتن ${\mathfrak {h}}$ از ماتریس های مورب، تعریف کنید $\lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}$ توسط

$\lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}$ ،

جایی که $d(a_{1},\ldots,a_{n})$ نشان دهنده ماتریس مورب با $a_{1}،\ldots،a_{n}$ در مورب سپس تجزیه توسط داده می شود

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\راست)$

جایی که

${\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C}}(e_{ij})$

برای بردار $e_{ij}$ که در ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C})$ با مبنای استاندارد (ماتریسی)، معنی $e_{ij}$ نشان دهنده بردار پایه در $من$ - ردیف و $j$ ستون -ام. این تجزیه از ${\mathfrak {g}}$ دارای یک سیستم ریشه مرتبط است:

$\Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}$

sl 2 (C) [ ویرایش ]

به عنوان مثال، ${\mathfrak {sl}}_{2}({\mathbb {C}})$ تجزیه است

${\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}$

و سیستم ریشه مرتبط است

$\Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}$

sl 3 (C) [ ویرایش ]

که ${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )$ تجزیه است

${\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}$

و سیستم ریشه مرتبط توسط داده می شود

$\Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _ {2}-\lambda _{3})\}$

مثالها [ ویرایش ]

همانطور که در #ساختار اشاره شد ، جبرهای لی نیمه ساده به پایان رسیدسی $\mathbb {C}$ (یا به طور کلی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر) توسط سیستم ریشه مرتبط با جبرهای فرعی کارتان طبقه بندی می شوند و سیستم های ریشه نیز به نوبه خود با نمودارهای دینکین طبقه بندی می شوند. نمونه هایی از جبرهای لی نیمه ساده، جبرهای لی کلاسیک ، با نمادهایی که از نمودارهای داینکین آنها گرفته شده است ، عبارتند از:

$A_{n}:$ +1 ${\mathfrak {sl}}_{{n+1}}$ , جبر لی خطی ویژه .
$B_{n}:$ س2+1 ${\mathfrak {so}}_{{2n+1}}$ ، جبر لی متعامد خاص بعد فرد .
$C_{n}:$ سپ2 ${\mathfrak {sp}}_{{2n}}$ , جبر ساده لی .
$D_{n}:$ س2 ${\mathfrak {so}}_{{2n}}$ ، جبر لی متعامد ویژه زوج بعدی (>1 $n> 1$ ).

محدودیت $n> 1$ در $D_{n}$ خانواده مورد نیاز است زیرا ${\mathfrak {so}}_{2}$ تک بعدی و جابجایی است و بنابراین نیمه ساده نیست.

این جبرهای لی به گونه ای شماره گذاری شده اند که n رتبه باشد . تقریباً همه این جبرهای لی نیمه ساده در واقع ساده هستند و اعضای این خانواده ها تقریباً همه متمایز هستند، به جز برخی از برخوردها در رتبه های کوچک. مثلا ${\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}$ ${\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}$ . این چهار خانواده به همراه پنج استثنا ( E 6 , E 7 , E 8 , F 4 و G 2 ) در واقع تنها جبرهای لی ساده بر روی اعداد مختلط هستند.

طبقه بندی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: سیستم ریشه

جبرهای ساده لی توسط نمودارهای دینکین متصل طبقه بندی می شوند .

هر جبر لی نیمه ساده بر روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه 0، مجموع مستقیم جبرهای ساده لی (طبق تعریف) است و جبرهای ساده لی با ابعاد محدود در چهار خانواده قرار می گیرند - A n , B n , C n و D n – با پنج استثناء E 6 , E 7 , E 8 , F 4 و G 2 . جبرهای لی ساده توسط نمودارهای دینکین متصل طبقه بندی می شوند، در سمت راست نشان داده شده است، در حالی که جبرهای لی نیمه ساده با نمودارهای دینکین که لزوماً به هم متصل نیستند، مطابقت دارند، که در آن هر جزء نمودار مربوط به مجموع تجزیه جبر لی نیمه ساده به جبرهای لی ساده است.

طبقه بندی با در نظر گرفتن یک جبر فرعی کارتان (به زیر مراجعه کنید) و عملکرد الحاقی آن در جبر لی ادامه می یابد. سپس سیستم ریشه عمل هم جبر لی اصلی را تعیین می کند و هم باید یک شکل بسیار محدود داشته باشد که می تواند توسط نمودارهای دینکین طبقه بندی شود. برای جزئیات بیشتر به بخش زیر که در مورد زیرجبرها و سیستم های ریشه کارتان توضیح می دهد مراجعه کنید.

این طبقه بندی به طور گسترده یکی از زیباترین نتایج در ریاضیات در نظر گرفته می شود - فهرست مختصری از بدیهیات، از طریق یک اثبات نسبتاً کوتاه، یک طبقه بندی کامل اما غیر پیش پا افتاده با ساختار شگفت انگیز به دست می آید. این را باید با طبقه‌بندی گروه‌های ساده محدود مقایسه کرد که بسیار پیچیده‌تر است.

شمارش چهار خانواده غیر زائد است و فقط از جبرهای ساده تشکیل شده است اگر $n\geq 1$ برای A n $n\geq 2$ برای B n $n\geq 3$ برای C n و $n\geq 4$ برای D n . اگر کسی شروع به شماره گذاری کمتر کند، شمارش اضافی است، و بین جبرهای ساده لی هم شکلی استثنایی دارد که در هم شکلی نمودارهای دینکین منعکس می شود . E n را نیز می توان به پایین گسترش داد، اما در زیر E 6 نسبت به جبرهای غیر استثنایی هم شکل هستند.

در یک میدان غیر جبری بسته، طبقه‌بندی پیچیده‌تر است - یکی جبرهای ساده لی را بر روی بسته جبری طبقه‌بندی می‌کند، سپس برای هر یک از آنها، جبرهای لی ساده را بر روی میدان اصلی که این شکل را دارند (بر روی بسته) طبقه‌بندی می‌کنند. به عنوان مثال، برای طبقه بندی جبرهای لی حقیقی ساده، جبرهای لی حقیقی را با پیچیدگی معین طبقه بندی می کنیم که به عنوان اشکال حقیقی جبر لی پیچیده شناخته می شوند. این را می توان با نمودارهای Satake انجام داد ، که نمودارهای دینکین با داده های اضافی ("تزیینات") هستند. [12]

نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی نیمه ساده (بعد محدود) روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر باشد. سپس، مانند ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ جایی که $\ فی$ سیستم ریشه است. ریشه های ساده را انتخاب کنید $\ فی$ ; یک ریشه $\ آلفا$ از $\ فی$ سپس مثبت نامیده می شود و با نشان داده می شود $\ آلفا > 0$ اگر ترکیبی خطی از ریشه های ساده با ضرایب صحیح غیر منفی باشد. فرض کنید ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ، که حداکثر زیر جبر قابل حل است ${\mathfrak {g}}$ ، جبر بورل .

بگذارید V یک ساده (احتمالاً بی‌بعدی) باشد ${\mathfrak {g}}$ -مدول. اگر V اتفاقاً a را بپذیرد ${\mathfrak b}$ -بردار $v_{0}$ ، [13] سپس تا مقیاس بندی منحصر به فرد است و بالاترین وزن بردار V نامیده می شود . همچنین یک ${\mathfrak {h}}$ -بردار وزن و ${\mathfrak {h}}$ -وزن0 $v_{0}$ ، یک تابع خطی از ${\mathfrak {h}}$ ، بالاترین وزن V نامیده می شود . پس حقایق اساسی و در عین حال غیر پیش پا افتاده [14] برای هر تابع خطی (1) هستند∈∗ $\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$ ، یک ساده وجود دارد ${\mathfrak {g}}$ -مدول $V^{\mu }$ داشتن $\mu$ به عنوان بالاترین وزن آن و (2) دو ماژول ساده با بالاترین وزن یکسان معادل هستند. به طور خلاصه، یک دوگانگی بین وجود دارد∗ ${\mathfrak {h}}^{*}$ و مجموعه ای از کلاس های هم ارزی ساده ${\mathfrak {g}}$ ماژول هایی که بردار وزن بورل را می پذیرند.

برای کاربردها، شخص اغلب به یک ساده با بعد محدود علاقه مند است ${\mathfrak {g}}$ ماژول (نمایش غیرقابل کاهش با بعد محدود). این به ویژه زمانی که ${\mathfrak {g}}$ جبر لی یک گروه لی است (یا پیچیده شدن آن)، زیرا از طریق مکاتبات لی ، یک نمایش جبر لی را می توان با نمایش گروه لی ادغام کرد که موانع برطرف شوند. معیار بعدی سپس به این نیاز می پردازد: توسط اتاق مثبت ویل $C\subset {\mathfrak {h}}^{*}$ ، منظور ما مخروط محدب است $C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}$ جایی که∈[،-] $h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]$ یک بردار منحصر به فرد است به طوری که()=2 $\alpha (h_{\alpha })=2$ . سپس این معیار چنین است: [15]

⁡ $\dim V^{\mu <\infty$ اگر و فقط اگر، برای هر ریشه مثبت>0 $\ آلفا > 0$ ، $\mu (h_{\alpha })$ یک عدد صحیح است و $\mu$ نهفته در $سی$ .

یک تابع خطی $\mu$ ارضای شرط معادل فوق وزن انتگرال غالب نامیده می شود. از این رو، به طور خلاصه، بین وزن های انتگرال غالب و کلاس های هم ارزی ساده محدود وجود دارد. ${\mathfrak {g}}$ ماژول ها، نتیجه ای که به عنوان قضیه بالاترین وزن شناخته می شود . کاراکتر یک ماژول ساده با ابعاد محدود در نوبت توسط فرمول کاراکتر ویل محاسبه می شود .

قضیه ناشی از ویل می گوید که در یک میدان مشخصه صفر، هر مدول محدود بعدی یک جبر لی نیمه ساده ${\mathfrak {g}}$ کاملا قابل کاهش است ؛ یعنی جمع مستقیم ساده است ${\mathfrak {g}}$ -ماژول ها از این رو، نتایج فوق پس از آن برای نمایش‌های بعدی محدود یک جبر لی نیمه ساده اعمال می‌شود.

جبر لی نیمه ساده حقیقی [ ویرایش ]

برای یک جبر لی نیمه ساده بر روی میدانی که دارای مشخصه صفر است اما از نظر جبری بسته نیست، هیچ نظریه ساختار کلی مانند آنچه برای میدان های بسته از نظر جبری مشخصه صفر است وجود ندارد. اما در زمینه اعداد حقیقی، هنوز نتایج ساختار وجود دارد.

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی نیمه ساده حقیقی با بعد محدود باشد و ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ پیچیدگی آن (که باز هم نیمه ساده است). جبر لی حقیقی ${\mathfrak {g}}$ شکل حقیقی نامیده می شودسی ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }$ . اگر شکل حقیقی روی آن منفی-معین باشد، فرم فشرده نامیده می شود. این لزوما جبر لی یک گروه لی فشرده است (از این رو، نام).

کیف فشرده [ ویرایش ]

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ فرم فشرده است و ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ یک زیر فضای آبلی حداکثر. می توان نشان داد (به عنوان مثال، از حقیقیت ${\mathfrak {g}}$ جبر لی یک گروه لی فشرده است) که $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ متشکل از ماتریس‌های شیبدار-هرمیتی، قابل مورب از رویسی $\mathbb {C}$ با مقادیر ویژه خیالی از این رو، ${\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ زیر جبر کارتن است ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }$ و منجر به تجزیه فضای ریشه می شود (ر.ک. #ساختار )

${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

جایی که هر کدام $\ آلفا \ در \ فی$ به ارزش حقیقی استمن $i{\mathfrak {h}}$ ; بنابراین، می توان با یک تابع حقیقی-خطی در فضای برداری حقیقی شناسایی کردمن $i{\mathfrak {h}}$ .

به عنوان مثال، فرض کنید ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)$ و بگیر ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ فضای فرعی همه ماتریس های مورب. توجه داشته باشید ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ . فرض کنید $e_{i}$ تابع خطی روی باشد ${\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ داده شده توسط $e_{i}(H)=h_{i}$ برای $H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots,h_{n})$ . سپس برای هر کدام $H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ ،

$[H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}$

جایی ک $E_{{ij}}$ ماتریسی است که دارای 1 در است $(من، ج)$ نقطه -ام و صفر در جای دیگر. از این رو، هر ریشه $\ آلفا$ از فرم است $\alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j$ و تجزیه فضای ریشه، تجزیه ماتریس ها است: [16]

. ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.$

جعبه غیر فشرده [ ویرایش ]

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ لزوماً یک فرم فشرده نیست (یعنی امضای فرم کیلینگ همگی منفی نیست). فرض کنید، علاوه بر این، دارای یک دگرگونی کارتن است $\ تتا$ و فرض کنید ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ تجزیه فضای ویژه باشد $\ تتا$ ، جایی کهک،پ ${\mathfrak {k}}،{\mathfrak {p}}$ به ترتیب فضاهای ویژه 1 و -1 هستند. به عنوان مثال، اگر ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R}$ و $\ تتا$ پس انتقال ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)$ .

فرض کنید ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$ یک زیرفضای آبلی حداکثر باشد. اکنون، $\operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})$ متشکل از ماتریس های متقارن (با توجه به یک ضرب داخلی مناسب) و در نتیجه عملگرها در $\operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})$ با مقادیر ویژه حقیقی به طور همزمان قابل قطریابی هستند. با تکرار آرگومان های فیلد پایه بسته جبری، تجزیه به دست می آید (به نام تجزیه فضای ریشه محدود ): [17]

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

جایی که

عناصر در $\ فی$ ریشه های محدود نامیده می شوند ،
$\theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ برای هر تابع خطی $\ آلفا$ ; به خصوص، $-\Phi \subset \Phi$ ،
${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})$ .

علاوه بر این، $\ فی$ یک سیستم ریشه است اما لزوماً کاهش نمی یابد (یعنی ممکن است رخ دهد $\alpha,2\alpha$ هر دو ریشه هستند).

مورد sl(n,C) [ ویرایش ]

اگر ${\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )$ ، سپس ${\mathfrak {h}}$ ممکن است به عنوان زیر جبر مورب در نظر گرفته شود ${\mathfrak {g}}$ ، متشکل از ماتریس های مورب که مجموع ورودی های قطری آنها صفر است. از آنجا که ${\mathfrak {h}}$ ابعاد دارد $n-1$ ، ما آن را می بینیم $\mathrm {sl} (n;\mathbb {C})$ رتبه دارد $n-1$ .

بردارهای ریشه $ایکس$ در این مورد ممکن است به عنوان ماتریس در نظر گرفته شود $E_{i,j}$ با $i\neq j$ ، جایی که $E_{i,j}$ ماتریسی با 1 در است $(من، ج)$ نقطه و صفر در جاهای دیگر. [18] اگر $اچ$ یک ماتریس مورب با ورودی های مورب است $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ ، پس داریم

$[H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}$ .

بنابراین، ریشه برای $\mathrm {sl} (n,\mathbb {C})$ تابع های خطی هستند $\alpha _{i,j}$ داده شده توسط

$\alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}$ .

پس از شناسایی ${\mathfrak {h}}$ با دوتایی آن، ریشه ها تبدیل به بردار می شوند: $\alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}$ در فضای $n$ -چوارهایی که مجموع آنها صفر است. این سیستم ریشه ای است که به آن معروف است $A_{n-1}$ در برچسب گذاری معمولی

انعکاس مربوط به ریشه $\alpha _{i,j}$ عمل می کند ${\mathfrak {h}}$ با جابجایی $من$ و $j$ ورودی های مورب سپس گروه ویل فقط گروه جایگشتی است $n$ عناصر، با تغییر ورودی های مورب ماتریس ها به داخل عمل می کنند ${\mathfrak {h}}$ .

کلیات [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جبر لی تقلیلی و جبر لی تقسیم شده

جبرهای لی نیمه ساده تعمیم های خاصی را می پذیرند. اولاً، بسیاری از جملاتی که برای جبرهای لی نیمه ساده صادق هستند، به طور کلی برای جبرهای لی تقلیلی صادق هستند . به طور انتزاعی، جبر لی تقلیلی جبر لی تقلیلی است که نمایش الحاقی آن کاملاً قابل تقلیل است ، در حالی که به طور مشخص، جبر لی تقلیلی مجموع مستقیم یک جبر لی نیمه ساده و یک جبر لی آبلی است . مثلا، ${\mathfrak {sl}}_{n}$ نیمه ساده است و ${\mathfrak {gl}}_{n}$ تقلیل دهنده است. بسیاری از خصوصیات جبرهای لی نیمه ساده فقط به کاهش پذیری بستگی دارد.

بسیاری از ویژگی‌های جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی نه تنها برای جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی بر روی میدان‌های بسته جبری، بلکه عموماً برای جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی نسبت به سایر زمینه‌ها صادق است: جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی بر روی میدان‌های بسته جبری همیشه تقسیم می‌شوند. ، اما در مورد سایر زمینه ها همیشه اینطور نیست. جبرهای Split لی اساساً همان تئوری نمایش را دارند که جبرهای لی نیمه ساده بر روی میدان های بسته جبری، به عنوان مثال، جبر تقسیم شده کارتان همان نقشی را ایفا می کند که زیر جبر کارتان بر روی میدان های بسته جبری بازی می کند. این رویکردی است که در ( بورباکی 2005برای مثال، که نمایش‌های جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی را طبقه‌بندی می‌کند.

گروه های نیمه ساده و تقلیل [ ویرایش ]

یک گروه لی متصل نیمه ساده نامیده می شود که جبر لی آن یک جبر لی نیمه ساده، یعنی مجموع مستقیم جبرهای لی ساده باشد. اگر جبر لی آن مجموع مستقیم جبرهای لی ساده و پیش پا افتاده (یک بعدی) باشد به آن تقلیل می گویند . گروه های تقلیل به طور طبیعی به صورت تقارن تعدادی از اشیاء ریاضی در جبر، هندسه و فیزیک رخ می دهند. مثلا گروه $GL_{n}(\mathbb {R})$ تقارن یک فضای برداری حقیقی n بعدی (به طور معادل، گروه ماتریس های معکوس) تقلیل دهنده است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Semisimple_Lie_algebra

جبر افین لی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۱ | 2:8

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، جبر آفین لی یک جبر لی بی‌بعدی است که به صورت متعارف از یک جبر لی ساده با ابعاد محدود ساخته می‌شود . با توجه به جبر آفین لی، می‌توان جبر مرتبط Kac-Moody را نیز تشکیل داد، همانطور که در زیر توضیح داده شده است. از نقطه نظر ریاضی محض، جبرهای لی وابسته به این دلیل جالب هستند که نظریه نمایش آنها ، مانند نظریه نمایش جبرهای نیمه ساده لی با ابعاد محدود ، بسیار بهتر از جبرهای عمومی Kac-Moody درک شده است. همانطور که توسط Victor Kac مشاهده شد ، فرمول شخصیت برای نمایش جبرهای لی وابسته به اتحاد های ترکیبی خاصی، اتحاد های مکدونالد ، دلالت دارد .

جبرهای Affine لی به دلیل نحوه ساخت آنها نقش مهمی در نظریه ریسمان و نظریه میدان همسان دوبعدی ایفا می کنند: شروع از یک جبر لی ساده ${\mathfrak {g}}$ جبر حلقه را در نظر می گیریم $L\mathfrak{g}$ ، تشکیل شده توسط ${\mathfrak {g}}$ توابع ارزش گذاری شده روی یک دایره (به عنوان رشته بسته تفسیر می شود) با کموتاتور نقطه ای. جبر لی نزدیک $\hat{\mathfrak{g}}$ با افزودن یک بعد اضافی به جبر حلقه و اصلاح یک جابجایی به روشی غیر پیش پا افتاده به دست می آید که فیزیکدانان آن را ناهنجاری کوانتومی (در این مورد، ناهنجاری مدل WZW ) و ریاضیدانان یک توسعه مرکزی می نامند . به طور کلی، اگر σ یک خودمورفیسم جبر لی ساده باشد ${\mathfrak {g}}$ مرتبط با اتومورفیسم نمودار داینکین آن ، جبر حلقه پیچ خورده است $L_{\sigma }{\mathfrak {g}}$ شامل ${\mathfrak {g}}$ توابع با مقدار f روی خط واقعی که شرط تناوب پیچ خورده f ( x + 2 π ) = σ f ( x ) را برآورده می کنند . پسوندهای مرکزی آنها دقیقاً جبرهای آفین لی مختلط هستند . دیدگاه نظریه ریسمان به درک بسیاری از ویژگی‌های عمیق جبرهای لی وابسته کمک می‌کند، مانند این واقعیت که کاراکترهای نمایش‌های آن‌ها در بین خود تحت گروه مدولار تغییر شکل می‌دهند .

جبرهای Affine لی از جبرهای ساده لی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

اگر ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی ساده با ابعاد محدود، جبر لی وابسته مربوطه است. $\hat{\mathfrak{g}}$ به عنوان گسترش مرکزی جبر حلقه ساخته شده است ${\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]$ ، با مرکز تک بعدی. $\mathbb {\mathbb {C} } ج.$ به عنوان یک فضای برداری،

، ${\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {\mathbb {C} } c,$

جایی که $\mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]$ فضای برداری مختلط چند جمله‌ای لوران در t نامعین است . براکت لی با فرمول تعریف می شود

$[a\otimes t^n+\alpha c, b\otime t^m+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta_{m+ n,0}ج$

برای همه $a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {\mathbb {C}}$ و $n,m\in\mathbb{Z}$ ، جایی که $[الف، ب]$ براکت لی در جبر لی است $\langle\cdot |\cdot\rangle$ فرم کارتان-کیلینگ در است. ${\mathfrak {g}}.$

جبر آفین لی مربوط به جبر لی نیمه‌بعدی محدود، مجموع مستقیم جبرهای لی وابسته به جمع‌های ساده آن است. یک اشتقاق متمایز از جبر آفین لی وجود دارد که توسط آن تعریف شده است

. $\delta (a\otime t^m+\alpha c) = t{d\over dt} (a\otime t^m).$

جبر آفین کاک-مودی مربوطه به عنوان یک ضرب نیمه مستقیم با افزودن یک مولد اضافی d که [ d , A ] = δ ( A ) را برآورده می کند ، تعریف می شود .

ساختن نمودارهای داینکین [ ویرایش ]

نمودار Dynkin هر جبر آفین لی شامل جبر لی ساده مربوطه به اضافه یک گره اضافی است که مربوط به اضافه کردن یک ریشه خیالی است. البته، چنین گره‌ای را نمی‌توان در هر مکانی به نمودار داینکین متصل کرد، اما برای هر جبر لی ساده تعدادی پیوست احتمالی وجود دارد که برابر با کاردینالیته گروه اتومورفیسم‌های بیرونی جبر لی است . به ویژه، این گروه همیشه حاوی عنصر اتحاد است و جبر آفین لی مربوطه را جبر آفین لی غیرمختلط می نامند . هنگامی که جبر ساده، خودمورفیسم هایی را می پذیرد که خودمورفیسم های درونی نیستند، می توان نمودارهای داینکین دیگری را به دست آورد که با پیچ خوردگی مطابقت دارند.جبرهای آفین لی.

نمودارهای Dynkin برای جبرهای آفین لی
مجموعه ای از نمودارهای داینکین نزدیک (مختلط نشده) با گره های اضافه شده به رنگ سبز	فرم های پیوندی "پیچ خورده" با (2) یا (3) رونوشت نام گذاری می شوند. ( k تعداد گره های نمودار است)

طبقه بندی پسوندهای مرکزی [ ویرایش ]

پیوستن یک گره اضافی به نمودار داینکین جبر ساده لی مربوطه با ساختار زیر مطابقت دارد. یک جبر لی وابسته همیشه می تواند به عنوان بسط مرکزی جبر حلقه جبر لی ساده مربوطه ساخته شود . اگر کسی بخواهد به جای آن با جبر لی نیمه ساده شروع کند، باید به طور متمرکز تعدادی عنصر برابر با تعداد اجزای ساده جبر نیمه ساده گسترش دهد. در فیزیک، اغلب به جای مجموع مستقیم یک جبر نیمه ساده و یک جبر آبلی در نظر گرفته می شود. $\mathbb {\mathbb {C}} ^{n}$ . در این مورد نیز باید n عنصر مرکزی دیگر برای n ژنراتور آبلی اضافه کرد.

دومین همومولوژی انتگرال گروه حلقه از گروه لی فشرده ساده متناظر با اعداد صحیح هم شکل است. پسوندهای مرکزی گروه آفین لی توسط یک ژنراتور منفرد از نظر توپولوژیکی، بسته‌های دایره‌ای روی این گروه حلقه آزاد هستند که توسط یک دو کلاس شناخته شده به عنوان اولین کلاس Chern از فیبراسیون طبقه‌بندی می‌شوند . بنابراین، پسوندهای مرکزی یک گروه آفین لی با یک پارامتر واحد طبقه‌بندی می‌شوند که در ادبیات فیزیک سطح نامیده می‌شود ، جایی که برای اولین بار ظاهر شد. نمایش واحد بالاترین وزن گروه های فشرده وابسته تنها زمانی وجود دارد که kیک عدد طبیعی است به طور کلی، اگر جبر نیمه ساده را در نظر بگیریم، برای هر جزء ساده یک بار مرکزی وجود دارد.

ساختار [ ویرایش ]

اساس کارتان–ویل [ ویرایش ]

همانطور که در مورد محدود، تعیین مبنای کارتان-ویل گام مهمی در تعیین ساختار جبرهای آفین لی است.

یک جبر لی با ابعاد محدود، ساده و مختلط را رفع کنید ${\mathfrak {g}}$ با زیر جبر کارتن ${\mathfrak {h}}$ و یک سیستم ریشه خاص $\ دلتا$ . معرفی نماد، $X_{n}=X\otime t^{n}،$ ، می توان تلاش کرد تا مبنای کارتان-ویل را گسترش دهد $\{H^{i}\}\cup \{E^{\alpha }|\alpha \in \Delta \}$ برای ${\mathfrak {g}}$ به یکی برای جبر لی نزدیک، داده شده توسط $\{H_{n}^{i}\}\cup \{c\}\cup \{E_{n}^{\alpha }\}$ ، با $\{H_{0}^{i}\}\cup \{c\}$ تشکیل یک زیر جبر آبلی

مقادیر ویژه ازآد(اچ0من) $ad(H_{0}^{i})$ وآد(ج) $ad(c)$ بر $E_{n}^{\alpha }$ هستند $\alpha ^{i}$ و $0$ به ترتیب و مستقل از $n$ . بنابراین ریشه $\ آلفا$ نسبت به این زیر جبر آبلی بی نهایت منحط است. الحاق اشتقاق شرح داده شده در بالا به زیر جبر آبلی، زیر جبر آبلی را به یک جبر فرعی کارتن برای جبر لی وابسته، با مقادیر ویژه تبدیل می کند. $(\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{dim{\mathfrak {h}}},0,n)$ برای. $E_{n}^{\alpha }.$

فرم کشتار [ ویرایش ]

فرم کیلینگ را می توان تقریباً با استفاده از ویژگی عدم تغییر آن به طور کامل تعیین کرد. با استفاده از نماد $ب$ برای فرم کیلینگ در ${\mathfrak {g}}$ و ${\ کلاه {B}}$ برای فرم کیلینگ در جبر وابسته به Kac-Moody،

${\hat {B}}(X_{n},Y_{m})=B(X,Y)\delta _{n+m,0},$

${\hat {B}}(X_{n},c)=0,{\hat {B}}(X_{n},d)=0$

${\hat {B}}(c,c)=0,{\hat {B}}(c,d)=1,{\hat {B}}(d,d)=0,$ که در آن تنها آخرین معادله با عدم تغییر ثابت نمی شود و در عوض بر اساس قرارداد انتخاب می شود. قابل توجه، محدودیت از ${\ کلاه {B}}$ به $ج، د$ زیرفضا یک فرم دوخطی با امضا می دهد $(+,-)$ .

ریشه affine مربوط به را بنویسید $E_{n}^{\alpha }$ مانند ${\hat {\alpha }}=(\alpha ;0;n)$ . تعریف کردن $\delta =(0,0,1)$ ، این را می توان بازنویسی کرد

${\hat {\alpha }}=\alpha +n\delta .$

مجموعه کامل ریشه ها است

${\hat {\Delta }}=\{\alpha +n\delta |n\in \mathbb {Z} ,\alpha \in \Delta \}\cup \{n\delta |n\in \ mathbb {Z}،n\neq 0\}.$ سپس $\دلتا$ غیر معمول است زیرا طول آن صفر است: $(\delta,\delta)=0$ جایی که $(\cdot,\cdot)$ شکل دوخطی روی ریشه ها است که توسط فرم کیلینگ ایجاد می شود.

ریشه ساده افین [ ویرایش ]

برای به دست آوردن مبنای ریشه های ساده برای جبر وابسته، باید یک ریشه ساده اضافی اضافه شود و با

$\alpha _{0}=-\theta +\delta$ جایی که $\ تتا$ بالاترین ریشه است ${\mathfrak {g}}$ ، با استفاده از مفهوم معمول ارتفاع یک ریشه. این اجازه می دهد تا ماتریس توسعه یافته کارتان و نمودارهای دیکین توسعه یافته را تعریف کنید .

نظریه نمایش [ ویرایش ]

تئوری نمایش برای جبرهای آفین لی معمولاً با استفاده از ماژول های Verma توسعه می یابد . درست مانند جبرهای لی نیمه ساده، اینها بالاترین وزن هستند . هیچ نمایشی با ابعاد محدود وجود ندارد. این از این واقعیت ناشی می شود که بردارهای تهی یک ماژول ورما با بعد محدود لزوماً صفر هستند. در حالی که جبرهای لی وابسته نیستند. به طور کلی، این به این دلیل است که شکل کیلینگ در فرم لورنتسی استج، $c,\delta$ جهت ها، بنابراین $(z، \bar{z})$ گاهی اوقات "مختصات مخروط نور" روی رشته نامیده می شوند. ضربات اپراتور فعلی "به صورت شعاعی سفارش داده شده" را می توان به صورت عادی زمانی که با گرفتن سفارش داده شده است درک کرد $z=\exp(\tau + i\sigma)$ با $\ tau$ جهت زمان مانند در امتداد صفحه جهان ریسمان و $\سیگما$ جهت فضایی

نمایش خلاء رتبه k [ ویرایش ]

نمایش ها با جزئیات بیشتر به شرح زیر ساخته شده اند. [1]

جبر لی را برطرف کنید ${\mathfrak {g}}$ و اساس $\{J^{\rho }\}$ . سپس $\{J_{n}^{\rho }\}=\{J^{\rho }\otime t^{n}\}$ مبنایی برای جبر حلقه مربوطه است و $\{J_{n}^{\rho }\}\cup \{c\}$ مبنایی برای جبر لی نزدیک است ${\hat {\mathfrak {g}}}$ .

نمایش خلاء رتبه $ک$ ، نشان داده شده است $V_{k}({\mathfrak {g}})$ جایی که $k\in \mathbb {C}$ نمایش مختلط با پایه است

$\{v_{n_{1}\cdots n_{m}}^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}:n_{1}\geq \cdots \geq n_{m} \geq 1,\rho _{1}\leq \cdots \leq \rho _{m}\}\cup \{\Omega \}$ و عمل را تعریف کنید $V=V_{k}({\mathfrak {g}})$ توسط (با $n> 0$ )

$c=k{\text{id}}_{V},\,J_{n}^{\rho }\Omega =0,$

$J_{-n}^{\rho }\Omega =v_{n}^{\rho }\,J_{-n}^{\rho }v_{n_{1}\cdots n_{m}} ^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}=v_{nn_{1}\cdots n_{m}}^{\rho \rho _{1}\cdots \rho _{m}} .$

جبر افین رأس [ ویرایش ]

همچنین ببینید: جبر عملگر راس § مثال: ماژول های خلاء WZW

نمایش خلاء در واقع می تواند به ساختار جبر رأس مجهز شود که در این صورت به آن جبر رأس افین رتبه می گویند . $ک$ . جبر لی وابسته به طور طبیعی به جبر Kac-Moody، با دیفرانسیل گسترش می یابد. $د$ توسط اپراتور ترجمه ارائه شده است $تی$ در جبر رأس

گروه و شخصیت های ویل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول شخصیت ویل-Kac

گروه ویل از جبر آفین لی را می توان به عنوان یک ضرب نیمه مستقیم از گروه ویل از جبر حالت صفر (جبر لی که برای تعریف جبر حلقه استفاده می شود ) و شبکه Coroot نوشت .

فرمول کاراکتر ویل از نویسه‌های جبری جبرهای آفین لی به فرمول کاراکتر ویل-Kac تعمیم می‌یابد . تعدادی از ساخت و سازهای جالب از اینها به دست می آید. می توان تعمیم هایی از تابع تتا ژاکوبی ساخت . این توابع تتا تحت گروه مدولار تبدیل می شوند . اتحاد های مخرج معمول جبرهای لی نیمه ساده نیز تعمیم می یابد. از آنجا که کاراکترها را می توان به عنوان "تغییر شکل" یا q-آنالوگ با بالاترین وزن نوشت، این منجر به بسیاری از اتحاد های ترکیبی جدید، شامل بسیاری از اتحاد های ناشناخته قبلی برای تابع اا ددکیند شد.. این تعمیم ها را می توان به عنوان یک مثال عملی از برنامه Langlands در نظر گرفت .

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

به دلیل ساختار سوگووارا ، جبر فراگیر جهانی هر جبر لی وابسته، جبر ویراسورو را به عنوان یک جبر فرعی دارد. این امر به جبرهای آفین لی اجازه می‌دهد تا به عنوان جبرهای تقارن تئوری‌های میدان هم‌شکل مانند مدل‌های WZW یا مدل‌های هممجموعه عمل کنند. در نتیجه، جبرهای آفین لی نیز در توضیحات صفحه جهان نظریه ریسمان ظاهر می‌شوند .

مثال [ ویرایش ]

جبر هایزنبرگ [2] توسط ژنراتورها تعریف شده است $a_{n},n\in \mathbb {Z}$ روابط کموتاسیون رضایت بخش

$[a_{m},a_{n}]=m\delta _{m+n,0}c$ را می توان به عنوان جبر لی قرابتی درک کرد ${\hat {\mathfrak {u}}}(1)$ .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_Lie_algebra

تجزیه لوی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۱ | 1:52

تجزیه لوی
رشته	نظریه نمایش
حدس زده شده توسط	ویلهلم کشتن الی کارتن
حدس زده شده در	1888
اولین اثبات توسط	یوجنیو الیا لوی
اولین اثبات در	1905

در تئوری لی و تئوری نمایش ، تجزیه لوی ، که توسط ویلهلم کیلینگ [1] و الی کارتان [2] حدس زده شد و توسط یوجنیو الیا لوی ( 1905 ) اثبات شد، بیان می‌کند که هر واقعیِ محدود بعدی [ توضیحات لازم ] جبر لی g است . حاصلضرب نیمه مستقیم یک ایده آل قابل حل و یک زیر جبر نیمه ساده . یکی رادیکال آن ، یک ایده آل قابل حل حداکثر، و دیگری یک زیر جبر نیمه ساده است که به نام جبر لوی نامیده می شود.. تجزیه لوی به این معنی است که هر جبر لی با ابعاد محدود حاصلضرب نیمه مستقیم یک جبر لی قابل حل و یک جبر لی نیمه ساده است.

هنگامی که به عنوان جبر عاملی از g در نظر گرفته می شود ، این جبر لی نیمه ساده، عامل لوی g نیز نامیده می شود . تا حدی می‌توان از تجزیه برای کاهش مسائل مربوط به جبرهای لی با بعد محدود و گروه‌های لی برای جدا کردن مسائل مربوط به جبرهای لی در این دو کلاس ویژه، حل‌پذیر و نیمه‌ساده، استفاده کرد.

علاوه بر این، Malcev (1942) نشان داد که هر دو زیر جبر لوی توسط یک خودریختی (داخلی) شکل مزدوج هستند.

$\exp({\mathrm {ad}}(z))\$

جایی که z در نیل رادیکال است ( قضیه لوی-مالسو ).

یک نتیجه مشابه برای جبرهای انجمنی معتبر است و قضیه اصلی ویدربوم نامیده می شود .

پسوند نتایج [ ویرایش ]

در تئوری نمایش، تجزیه لوی از زیرگروه های سهموی یک گروه تقلیلی برای ساختن یک خانواده بزرگ از به اصطلاح نمایش های سهموی القا شده مورد نیاز است . تجزیه Langlands یک اصلاح جزئی از تجزیه Levi برای زیر گروه های سهموی است که در این زمینه استفاده می شود.

عبارات مشابه برای گروه‌های لی به سادگی متصل ، و، همانطور که توسط جورج ماستو نشان داده شده است ، برای جبرهای لی جبری و گروه‌های جبری به سادگی در یک میدان مشخصه صفر متصل می‌شوند.

هیچ مشابهی از تجزیه لوی برای اکثر جبرهای لی بی‌بعدی وجود ندارد. به عنوان مثال جبرهای لی affine دارای رادیکالی هستند که از مرکز آنها تشکیل شده است، اما نمی توان آنها را به عنوان یک محصول نیمه مستقیم مرکز و جبر لی دیگر نوشت. تجزیه لوی همچنین برای جبرهای محدود بعدی بیش از میدان های مشخصه مثبت شکست می خورد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

تجزیه گروه لی

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Levi_decomposition

ویلهلم کارل جوزف کیلینگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۱ | 1:31

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ویلهلم کارل جوزف کیلینگ

بدنیا آمدن	10 مه 1847 Burbach در نزدیکی Siegen ، Siegerland ، Arnsberg ، استان Westphalia
فوت کرد	11 فوریه 1923 (سن 75 سالگی) مونستر ، مونستر ، استان وستفالن
تابعیت	آلمانی
شناخته شده برای	جبرهای لی ، گروه های لی ، و هندسه غیر اقلیدسی
جوایز	جایزه لوباچفسکی (1900)
حرفه علمی
زمینه های	ریاضیات
مشاور دکتری	کارل وایرشتراس ارنست کومر

ویلهلم کارل جوزف کیلینگ (10 مه 1847 - 11 فوریه 1923) یک ریاضیدان آلمانی بود که سهم مهمی در نظریه های جبر لی ، گروه های لی و هندسه غیر اقلیدسی داشت .

زندگی [ ویرایش ]

در این بخش هیچ منبعی ذکر نشده است . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این بخش کمک کنید . مطالب بدون منبع ممکن است به چالش کشیده و حذف شوند . ( نوامبر 2022 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

کیلینگ در دانشگاه مونستر تحصیل کرد و بعداً پایان نامه خود را زیر نظر کارل وایرشتراس و ارنست کومر در برلین در سال 1872 نوشت. او از سال 1868 تا 1872 در ژیمناستیک (مدارس متوسطه) تدریس کرد. او در کالج حوزه علمیه Collegium Hosianum در برانسبرگ (اکنون ) استاد شد. برانیوو ). او دستورات مقدس را به عهده گرفت تا مقام تدریس خود را به دست آورد. او رئیس دانشکده و رئیس شورای شهر شد. به عنوان یک پروفسور و مدیر، کیلینگ به طور گسترده مورد علاقه و احترام بود. سرانجام در سال 1892 استاد دانشگاه مونستر شد.

در سال 1886، کیلینگ و همسرش وارد طبقه سوم فرانسیسکن ها شدند .

کار [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: تاریخچه تحولات لورنتس

در سال 1878 کیلینگ بر روی فرم‌های فضایی بر حسب هندسه غیر اقلیدسی در مجله کرل نوشت که در سال 1880 و همچنین در سال 1885 آن را توسعه داد . مختصات . [2] او همچنین با فرمول‌بندی تبدیل‌های ریاضی معادل با تبدیل‌های لورنتس در n بعد در سال 1885 اعتبار دارد. [3]

کیلینگ جبرهای لی را مستقل از Sophus لی در حدود سال 1880 اختراع کرد. کتابخانه دانشگاه کیلینگ حاوی مجله اسکاندیناوی که مقاله لی در آن منتشر شده بود وجود نداشت. (لی بعداً از کیلینگ تحقیر شد، شاید از روی روحیه رقابتی بود و ادعا کرد که تمام آنچه معتبر است قبلاً توسط لی ثابت شده بود و همه چیزهایی که نامعتبر بود توسط کیلینگ اضافه شد.) در واقع کار کیلینگ از نظر منطقی دقیق تر از لی بود، اما کیلینگ از نظر طبقه بندی گروه ها اهداف بسیار بزرگ تری داشت و تعدادی حدس و گمان ثابت نشد که درست بود. از آنجا که اهداف کیلینگ بسیار بالا بود، او در مورد دستاوردهای خود بسیار متواضع بود. [ نیازمند منبع ]

از سال 1888 تا 1890، کیلینگ اساساً جبرهای ساده پیچیده محدود و محدود لی را به عنوان مرحله ای ضروری برای طبقه بندی گروه های لی، ابداع مفاهیم زیر جبر Cartan و ماتریس Cartan طبقه بندی کرد . بنابراین او به این نتیجه رسید که اساساً تنها جبرهای لی ساده آنهایی هستند که به گروه‌های خطی، متعامد و سمپلتیک مرتبط هستند، جدای از تعداد کمی استثنای مجزا. پایان نامه الی کارتان در سال 1894 اساساً بازنویسی دقیق مقاله کیلینگ بود. کیلینگ همچنین مفهوم سیستم ریشه را معرفی کرد . او جبر لی استثنایی g 2 را کشف کرددر سال 1887؛ طبقه بندی سیستم ریشه او همه موارد استثنایی را نشان داد، اما ساخت و سازهای بتنی بعداً به وجود آمدند.

همانطور که ای جی کلمن می گوید، "او معادله مشخصه گروه ویل را زمانی که ویل 3 ساله بود به نمایش گذاشت و دستورات تبدیل کاکستر را 19 سال قبل از تولد کوکستر فهرست کرد ." [4]

آثار برگزیده [ ویرایش ]

روی هندسه غیر اقلیدسی کار کنید

کیلینگ, W. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit stabilizer positiver Krümmung" . مجله für die reine und angewandte Mathematik . 86 : 72-83.
کیلینگ, W. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen" . مجله für die reine und angewandte Mathematik . 89 : 265-287.
کیلینگ, W. (1885) [1884]. "مکانیک مرگ در دن نیکت-اوکلیدیشن راومفورمن" . مجله für die reine und angewandte Mathematik . 98 : 1-48.
کیلینگ، دبلیو (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen . لایپزیگ: توبنر.
کیلینگ، دبلیو (1891). "Ueber die Clifford-Klein'schen Raumformen" . Matheatische Annalen . 39 (2): 257-278. doi : 10.1007/bf01206655 . S2CID 119473479 .
کیلینگ، دبلیو (1892). "Ueber die Grundlagen der Geometrie" . مجله für die reine und angewandte Mathematik . 109 : 121-186.
کیلینگ، دبلیو (1893). "Zur projectiven Geometrie" . Matheatische Annalen . 43 (4): 569-590. doi : 10.1007/bf01446454 . S2CID 121748880 .
کیلینگ، دبلیو (1893). Einführung in die Grundlagen der Geometrie I. پادربورن: شونینگ.
کیلینگ, W. (1898) [1897]. Einführung در die Grundlagen der Geometrie II . پادربورن: شونینگ.

روی گروه های تحول کار کنید

کیلینگ، دبلیو (1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" . Matheatische Annalen . 31 (2): 252-290. doi : 10.1007/bf01211904 . S2CID 120501356 .
کیلینگ، دبلیو (1889). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Zweiter Theil" . Matheatische Annalen . 33 : 1-48. doi : 10.1007/bf01444109 . S2CID 124198118 .
کیلینگ، دبلیو (1889). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Dritter Theil" . Matheatische Annalen . 34 : 57-122. doi : 10.1007/BF01446792 . S2CID 179177899 .
کیلینگ، دبلیو (1890). "Erweiterung des Begriffes der Invarianten von Transformationsgruppen" . Matheatische Annalen . 35 (3): 423-432. doi : 10.1007/bf01443863 . S2CID 121050972 .
کیلینگ، دبلیو (1890). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Vierter Theil" . Matheatische Annalen . 36 : 161-189. doi : 10.1007/bf01207837 . S2CID 179178061 .
کیلینگ، دبلیو (1890). "Bestimmung der grössten Untergruppen von endlichen Transformationsgruppen" . Matheatische Annalen . 36 (2): 239-254. doi : 10.1007/bf01207841 . S2CID 121548146 .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Killing

2-گروه های لی و جبرهای لی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:49

تاریخچه [ ویرایش ]

جبرهای لی برای مطالعه مفهوم تبدیل های بی نهایت کوچک توسط ماریوس سوفوس لی در دهه 1870 معرفی شدند، [1] و به طور مستقل توسط ویلهلم کیلینگ [2] در دهه 1880 کشف شدند. نام جبر لی توسط هرمان ویل در دهه 1930 داده شد. در متون قدیمی از اصطلاح گروه بینهایت کوچک استفاده شده است.

تعاریف [ ویرایش ]

تعریف جبر لی [ ویرایش ]

جبر لی یک فضای برداری است $\,{\mathfrak {g}}$ روی فلان زمینه $اف$ همراه با یک عملیات باینری $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ براکت لی نامیده می شود که بدیهیات زیر را برآورده می کند: [b]

دوخطی بودن ،

، $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],$

$[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

برای همه اسکالرهاآ $آ$ ،ب $ب$ که در $اف$ و تمام عناصر $ایکس$ ، $y$ ، $z$ که در ${\mathfrak {g}}$ .

جایگزینی ،

$[x,x]=0\$

برای همه $ایکس$ که در ${\mathfrak {g}}$ .

همانی ژاکوبی ،

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\$

برای همه $ایکس$ ، $y$ ، $z$ که در ${\mathfrak {g}}$ .

استفاده از دوخطی برای گسترش براکت لی $[x+y، x+y]$ و استفاده از جایگزینی نشان می دهد که $[x,y]+[y,x]=0\$ برای همه عناصر $ایکس$ ، $y$ که در ${\mathfrak {g}}$ ، نشان می دهد که دوخطی بودن و جایگزینی با هم دلالت دارند

ضد جابجایی ،

$[x,y]=-[y,x],\$

برای همه عناصر $ایکس$ ، $y$ که در ${\mathfrak {g}}$ . اگر مشخصه میدان 2 نباشد، ضد جابجایی دلالت بر جایگزینی دارد، زیرا دلالت بر آن دارد. $[x,x]=-[x,x].$ [3]

مرسوم است که جبر لی را با یک حرف کوچک کوچک نشان می دهند مانند، ${\mathfrak {g,h,b,n}}$ . اگر جبر لی با یک گروه لی مرتبط باشد، جبر با نسخه Fraktur گروه مشخص می شود: برای مثال جبر لی از ${\mathfrak {su}}(n)$ .

مولدها و ابعاد [ ویرایش ]

عناصر جبر لی ${\mathfrak {g}}$ گفته می شود که اگر کوچکترین جبر فرعی حاوی این عناصر باشد، آن را ایجاد می کند ${\mathfrak {g}}$ خود بعد یک جبر لی، بعد آن به عنوان یک فضای برداری است $اف$ . کاردینالیته یک مجموعه تولید حداقلی از جبر لی همیشه کمتر یا مساوی با بعد آن است.

برای نمونه‌های کوچک دیگر ، طبقه‌بندی جبرهای لی حقیقی کم‌بعد را ببینید.

زیر جبرها، ایده ال ها و هم شکلی ها [ ویرایش ]

براکت لی الزامی نیست که تداعی کننده باشد ، به این معنی $[[x,y],z]$ لازم نیست برابر $[x،[y،z]]$ . با این حال، انعط پذیر است . با این وجود، بسیاری از اصطلاحات حلقه ها و جبرهای انجمنی معمولاً برای جبرهای لی به کار می روند. یک زیر جبر لی یک فضای فرعی است ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ که در زیر براکت لی بسته شده است. یک ایده آل ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ یک زیر جبر است که شرط قوی تر را برآورده می کند: [4]

. $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.$

هممورفیسم جبر لی یک نقشه خطی سازگار با براکت های لی مربوطه است:

. $\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{برای همه}}\ x,y\ در {\mathfrak {g}}.$

در مورد حلقه‌های تداعی، ایده‌آل‌ها دقیقاً هسته‌های همریختیها هستند. جبر لی داده شده است ${\mathfrak {g}}$ و یک ایده آل ${\mathfrak {i}}$ در آن جبر عاملی یا جبر نسبی ساخته می شود ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ و اولین قضیه یکریختی برای جبرهای لی صادق است.

از آنجایی که براکت لی نوعی جابجایی بینهایت کوچک از گروه لی مربوطه است، می گوییم که دو عنصر $x,y\in {\mathfrak {g}}$ اگر براکت آنها ناپدید شد رفت و آمد کنید: $[x,y]=0$ .

جبر متمرکز کننده یک زیر مجموعه $S\subset {\mathfrak {g}}$ مجموعه ای از عناصر در رفت و آمد با $اس$ : به این معنا که، برای همه } ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ برای همه }}ها در S\}$ . متمرکز کننده از ${\mathfrak {g}}$ خودش مرکز است ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$ . به طور مشابه، برای یک زیرفضای S ، زیرجبر نرمال ساز از $اس$ است برای همه ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text {برای همه}}\ s\در S\}$ . [5] به طور معادل، اگر $اس$ یک زیر جبر لی است، ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$ بزرگترین زیر جبر است به طوری که $اس$ یک ایده آل از ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$ .

مثالها [ ویرایش ]

برای ${\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)$ ، جابجاگر دو عنصر $g\in {\mathfrak {gl}}(2)$ $d\in {\mathfrak {d}}(2)$ :

1-گروه های لی و جبرهای لی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:48

گروه های لی و جبرهای لی

نشان می دهد گروه های کلاسیک
نشان می دهد گروه های لی ساده
نشان می دهد گروه های لی دیگر
نشان می دهد جبرهای لی
نشان می دهد جبر لی نیمه ساده
نشان می دهد نظریه نمایش
نشان می دهد گروه های لی در فیزیک
نشان می دهد دانشمندان
واژه نامه جدول گروه های لی
v تی ه

ساختار جبری ← نظریه حلقه نظریه حلقه

نشان می دهد مفاهیم اساسی
نشان می دهد جبر جابجایی
نشان می دهد جبر غیر جابجایی
v تی ه

در ریاضیات ، یک جبر لی ، که جبر لی نامیده می شود، زیرا نادرست است، (تلفظ / l iː / LEE ) یک فضای برداری است . ${\mathfrak {g}}$ همراه با عملیاتی به نام براکت لی ، یک نقشه دوخطی متناوب ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ ، که همانی ژاکوبی را ارضا می کند . براکت لی دو بردار $ایکس$ و $y$ نشان داده شده است $[x,y]$ . [a] فضای برداری ${\mathfrak {g}}$ همراه با این عملیات یک جبر غیر انجمنی است ، به این معنی که براکت لی لزوماً انجمنی نیست .

جبرهای لی ارتباط نزدیکی با گروه‌های لی دارند ، که گروه‌هایی هستند که منیفولدهای همواری نیز دارند : هر گروه لی جبر لی را ایجاد می‌کند که فضای مماس آن در همانی است. برعکس، برای هر جبر لی با ابعاد محدود بر روی اعداد حقیقی یا مختلط، یک گروه لی متصل متناظر وجود دارد که تا پوشش های محدود منحصر به فرد است ( قضیه سوم لی ). این مکاتبات به فرد اجازه می دهد تا ساختار و طبقه بندی گروه های لی را از نظر جبرهای لی مطالعه کند.

در فیزیک، گروه‌های لی به‌عنوان گروه‌های متقارن از سیستم‌های فیزیکی ظاهر می‌شوند و جبرهای لی آنها (بردارهای مماس نزدیک به همانی) ممکن است به عنوان حرکات تقارن بی‌نهایت کوچک در نظر گرفته شوند. بنابراین جبرهای لی و نمایش آنها به طور گسترده در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی و فیزیک ذرات استفاده می شود.

یک مثال ابتدایی فضای بردارهای سه بعدی است ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ با عملیات براکت که توسط ضرب خارجی تعریف شده است . $[x,y]=x\times y.$ از آنجایی که این چولگی متقارن است
$x\times y=-y\times x$ و به جای تداعی، همانی ژاکوبی را ارضا می کند:

. $x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\time z).$

این جبر لی از گروه لی از چرخش های فضا و هر بردار است $v\in \mathbb {R} ^{3}$ ممکن است به صورت یک چرخش بینهایت کوچک حول محور تصویر شود $v$ ، با سرعتی برابر با اندازه $v$ . براکت لی معیاری برای عدم جابه‌جایی بین دو چرخش است: از آنجایی که یک چرخش با خودش جابه‌جا می‌شود، ویژگی متناوب را داریم. $[x,x]=x\times x=0$ .

=
${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&= {\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(yx )\\c(xy)&0\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

نشان می دهد ${\mathfrak {d}}(2)$ یک خرده جبر است، اما ایده آل نیست. در واقع، هر زیرفضای خطی تک بعدی یک جبر لی دارای ساختار جبر القایی است که به طور کلی ایده آل نیست. برای هر جبر لی ساده، همه جبرهای لی آبلی هرگز نمی توانند ایده آل باشند.

حاصل جمع مستقیم و نیمه مستقیم [ ویرایش ]

برای دو جبر لی ${\mathfrak {g^{}}}$ و" ${\mathfrak {g'}}$ ، مجموع مستقیم آنها جبر لی فضای برداری است" ${\mathfrak {g}}\plus {\mathfrak {g'}}$ متشکل از تمام جفت ها(،")،∈، "∈" ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$ ، با عمل

، $[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y'])،$

به طوری که کپی از،" ${\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}'$ رفت و آمد با یکدیگر:. $[(x,0),(0,x')]=0.$

اجازه دهید ${\mathfrak {g}}$ جبر لی باشد و ${\mathfrak {i}}$ یک ایده آل از ${\mathfrak {g}}$ . اگر نقشه متعارف→ ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ تقسیم می کند (یعنی بخشی را می پذیرد)، سپس ${\mathfrak {g}}$ گفته می شود ضرب نیمه مستقیم از ${\mathfrak {i}}$ و ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ ، ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}$ . جمع نیمه مستقیم جبرهای لی را نیز ببینید .

قضیه لوی می گوید که جبر لی با ابعاد محدود حاصلضرب نیمه مستقیم رادیکال آن و جبر فرعی مکمل ( زیرجبر لوی ) است.

مشتقات [ ویرایش ]

اشتقاقی در جبر لی ${\mathfrak {g}}$ (یا در هر جبر غیر انجمنی ) یک نقشه خطی است :→ $\delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ که از قانون لایب نیتس پیروی می کند ، یعنی

$\delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]$

برای همه $x,y\in {\mathfrak {g}}$ . اشتقاق درونی مرتبط با هر∈ $x\in {\mathfrak {g}}$ نقشه برداری الحاقی استآد $\mathrm {ad} _{x}$ تعریف شده بوسیله $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ . (این اشتقاقی در نتیجه همانی ژاکوبی است.) اشتقاق های بیرونی مشتقاتی هستند که از نمایش الحاقی جبر لی به دست نمی آیند. اگر ${\mathfrak {g}}$ نیمه ساده است ، هر اشتقاقی درونی است.

مشتقات یک فضای برداری را تشکیل می دهندDهr $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ ، که زیر جبر لی از ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ; براکت جابجاگر است. مشتقات درونی یک زیر جبر لی ازDهr $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ .

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال، با توجه به یک ایده آل جبر لی ${\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}$ نمایندگی الحاقی ${\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}}$ از ${\mathfrak {g}}$ به عنوان مشتقات بیرونی بر روی عمل می کندمن ${\mathfrak {i}}$ از آنجا که $[x,i]\subset {\mathfrak {i}}$ برای هرچی∈ $x\in {\mathfrak {g}}$ ون $i\in {\mathfrak {i}}$ . برای جبر لی ${\mathfrak {b}}_{n}$ ماتریس های مثلثی بالایی در ${\mathfrak {gl}}(n)$ ، ایده الی دارد ${\mathfrak {n}}_{n}$ از ماتریس های مثلثی کاملاً بالایی (که در آن تنها عناصر غیرصفر بالای قطر ماتریس هستند). به عنوان مثال، جابجایی عناصر درب3 ${\mathfrak {b}}_{3}$ و3 ${\mathfrak {n}}_{3}$ می دهد ${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{bmatrix} }\right]&={\begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\\0&0&dz\\0&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\\0&0&fz\\0&0&0\end{bmatrix}}\ \&={\begin{bmatrix}0&(ad)x&(af)y-ex+bz\\0&0&(df)z\\0&0&0\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

نشان می دهد که مشتقات بیرونی وجود داردب3 ${\mathfrak {b}}_{3}$ که درDer(3) ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$ .

جبر لی تقسیم [ ویرایش ]

فرض کنید V یک فضای برداری با بعد محدود روی یک میدان F باشد، ${\mathfrak {gl}}(V)$ جبر لی تبدیل های خطی و⊆ ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$ یک جبر لی. سپس ${\mathfrak {g}}$ اگر ریشه های چندجمله ای های مشخصه همه تبدیل های خطی در آن تقسیم می شود ${\mathfrak {g}}$ در میدان پایه F قرار دارند. [6] به طور کلی، جبر لی با ابعاد محدود ${\mathfrak {g}}$ اگر دارای یک جبر فرعی کارتن باشد که تصویر آن در زیر نمایش الحاقی است تقسیم می شود آگهی:→ $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ جبر لی تقسیم شده است. شکل حقیقی تقسیم شده یک جبر لی نیمه ساده پیچیده (ر.ک. #شکل حقیقی و پیچیدگی ) نمونه ای از جبر لی حقیقی تقسیم شده است. همچنین برای اطلاعات بیشتر به تقسیم جبر لی مراجعه کنید .

مبنای فضای برداری [ ویرایش ]

برای محاسبات عملی، اغلب انتخاب یک مبنای فضای برداری صریح برای جبر راحت است. یک ساختار متداول برای این مبنا در ثابت های ساختار مقاله ترسیم شده است .

تعریف با استفاده از نماد نظری دسته [ ویرایش ]

اگرچه تعاریف بالا برای درک متعارف جبرهای لی کی است، پس از درک این موضوع، می توان با استفاده از نمادهای رایج در نظریه دسته بندی ، یعنی با تعریف جبر لی بر اساس نقشه های خطی - یعنی مورفیسم ها ، بینش بیشتری به دست آورد. از دسته فضاهای برداری - بدون در نظر گرفتن عناصر منفرد. (در این بخش، میدانی که جبر بر روی آن تعریف شده است، فرض می شود که دارای مشخصه ای متفاوت از دو باشد.)

برای تعریف نظری دسته‌بندی جبرهای لی، دو هم ریختی قیطانی مورد نیاز است. اگر A یک فضای برداری باشد، یکریختی تبادلی :آ⊗آ→آ⊗آ $\tau :A\otime A\to A\otime A$ تعریف شده است

$\tau (x\otimes y)=y\otime x.$

بندگی چرخه‌ای جایگشت : $\sigma :A\otimes A\otime A\to A\otime A\otimes A$ به عنوان ... تعریف شده است

$\sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id})،$

جایی کهمند $\mathrm{id}$ مورفیسم همانی است. هم ارز، $\سیگما$ تعریف شده است

$\sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.$

با این نماد، جبر لی را می توان به عنوان یک شی تعریف کرد آ $آ$ در رده فضاهای برداری همراه با مورفیسم

$[\cdot ,\cdot ]:A\otime A\right arrow A$

که دو برابری مورفیسم را برآورده می کند

$[\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,$

. $[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot ]\otimes \mathrm {id})\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.$

مثالها [ ویرایش ]

فضاهای برداری [ ویرایش ]

هر فضای برداری $V$ وقف براکت لی یکسان صفر به جبر لی تبدیل می شود. چنین جبرهای لی آبلی نامیده می شوند . زیر هر جبر لی تک بعدی بر روی یک میدان، با خاصیت متناوب براکت لی، آبلی است.

جبر انجمنی با براکت جابجاگر [ ویرایش ]

در جبر انجمنی آ $آ$ بر فراز یک مزرعه $اف$ با ضرب(،)↦ $(x,y)\mapsto xy$ ، ممکن است یک براکت لی توسط جابجاگر تعریف شود $[x,y]=xy-yx$ . با این براکت،آ $آ$ جبر لی است. [7] جبر انجمنی A ، جبر پوششی جبر لی نامیده می شود.(آ،[⋅،⋅]) $(A,[\,\cdot \,,\cdot \,])$ . هر جبر لی را می توان در جبری که از یک جبر انجمنی به این شکل ناشی می شود، جاسازی کرد. جبر فراگیر جهانی را ببینید .
جبر انجمنی اندومورفیسم های فضای بردار F $V$ با براکت لی بالا نشان داده شده است ${\mathfrak {gl}}(V)$ .
برای فضای برداری با ابعاد محدود $V=F^{n}$ ، مثال قبلی دقیقاً جبر لی از n × n ماتریس است که نشان داده شده استل(،) ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ یا ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ ، [8] و با براکت $[X,Y]=XY-YX$ جایی که مجاورت نشان دهنده ضرب ماتریس است. این جبر لی از گروه خطی عمومی است که از ماتریس های معکوس تشکیل شده است.

ماتریس های ویژه [ ویرایش ]

دو زیر جبر مهم از ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ هستند:

ماتریس های ردیابی صفر جبر لی خطی ویژه را تشکیل می دهند ${\mathfrak {sl}}_{n}(F)$ ، جبر لی گروه خطی ویژه اسL() $\mathrm {SL} _{n}(F)$ . [9]
ماتریس های کج- هرمیتین جبر لی واحد را تشکیل می دهندتو ${\mathfrak {u}}(n)$ ، جبر لی از گروه واحد U ( n ).

جبرهای لی ماتریسی [ ویرایش ]

یک گروه ماتریس پیچیده یک گروه لی است که از ماتریس ها تشکیل شده است.جی⊂م(سی) $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$ ، که در آن ضرب G ضرب ماتریسی است. جبر لی مربوطه ${\mathfrak {g}}$ فضای ماتریس هایی است که بردارهای مماس بر G در داخل فضای خطی هستندم(سی) $M_{n}({\mathbb {C}})$ : این شامل مشتقاتی از منحنی های ص در G در همانی است:

. ${\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C})\ \mid \ {\text{ smooth }}c:\mathbb {R } \به G,\ c(0)=I\}.$

براکت لی از ${\mathfrak {g}}$ توسط جابجاگر ماتریس ها داده می شود، $[X,Y]=XY-YX$ . با توجه به جبر لی، می توان گروه لی را به عنوان تصویر نگاشت نمایی ماتریس بازیابی کرد.انقضا:م(سی)→م(سی) $\exp :M_{n}(\mathbb {C})\to M_{n}(\mathbb {C})$ تعریف شده بوسیله یانقضا⁡ $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ ، که برای هر ماتریس همگرا می شود $ایکس$ : به این معنا که،جی=انقضا⁡ $G=\exp({\mathfrak {g}})$ .

در زیر نمونه‌هایی از جبرهای لی گروه‌های لی ماتریسی آمده است: [10]

گروه خطی ویژه اسL(سی) ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$ ، متشکل از همه n × n ماتریس با تعیین کننده 1. جبر لی آنسل(سی) ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C})$ شامل تمام n × n ماتریس با ورودی های پیچیده و ردیابی 0 است. به طور مشابه، می توان گروه لی حقیقی متناظر را تعریف کرد.اسL(آر) ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ و جبر لی آنسل(آر) ${\mathfrak {sl}}_{n}({\mathbb {R}})$ .
گروه واحد $U(n)$ متشکل از n × n ماتریس واحد (راضی کننده∗=-1 $U^{*}=U^{-1}$ ). جبر لی آن استتو ${\mathfrak {u}}(n)$ متشکل از ماتریس های چوله-خود الحاقی (∗=- $X^{*}=-X$ ).
گروه متعامد ویژه اسO $\mathrm {SO} (n)$ ، متشکل از ماتریس های متعامد یک تعیین کننده حقیقی (آتی=آ-1 $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$ ). جبر لی آن استس $\mathfrak{so}(n)$ متشکل از ماتریس های متقارن چول حقیقی (تی=- $X^{\rm {T}}=-X$ ). گروه کامل متعامدO $\mathrm{O}(n)$ ، بدون شرط یک تعیین کننده، شاملاسO $\mathrm {SO} (n)$ و یک جزء متصل جداگانه، بنابراین همان جبر لی را دارداسO $\mathrm {SO} (n)$ . چرخش های بینهایت کوچک با ماتریس های متقارن چوله را نیز ببینید . به طور مشابه، می توان نسخه پیچیده ای از این گروه و جبر را به سادگی با اجازه دادن به ورودی های ماتریس پیچیده تعریف کرد.

دو بعدی [ ویرایش ]

در هر زمینه ای $اف$ تا یکریختی، یک جبر لی دو بعدی غیرآبلی وجود دارد. با مولدهای x، y، براکت آن به صورت تعریف می شود= $\left[x,y\right]=y$ . گروه ین را در یک بعد تولید می کند.

این را می توان با ماتریس ها متوجه شد:

$x=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{آرایه}}\راست).$

از آنجا که

$\left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)^{n+1}=\left({\begin{array}{cc}1&c\\ 0&0\end{آرایه}}\راست)$

برای هر عدد طبیعی $n$ و هرج $ج$ ، می بینیم که عناصر گروه لی حاصل ماتریس های مثلثی بالایی 2×2 با قطر واحد پایین هستند:

$\exp(a\cdot {}x+b\cdot {}y)=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}( e^{a}-1)\\0&1\end{آرایه}}\right)=1+{\tfrac {e^{a}-1}{a}}\left(a\cdot {}x+b \cdot {}y\right).$

سه بعدی [ ویرایش ]

جبر هایزنبرگ اچ3(آر) ${\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} )$ یک جبر لی سه بعدی است که توسط عناصر x ، y و z با براکت های لی تولید می شود.

$[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0$ .

معمولاً به عنوان فضای 3×3 ماتریس های کاملاً مثلثی بالا، با براکت لی جابجاگر و پایه درک می شود.

$x=\left({\begin{array}{cccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&0&1\\0&0&0\end{آرایه}}\right),\quad z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad$

هر عنصری از گروه هایزنبرگ به عنوان ضرب مولدهای گروه، یعنی نمایی ماتریسی این مولدهای جبر لی، نمایش داده می شود.

$\left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)=e^{by}e^{cz}e^{ax}~.$

جبر لیس(3) ${\mathfrak {so}}(3)$ از گروه SO(3) توسط سه ماتریس پوشیده شده است [11]

$F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({ \begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\ 1&0&0\\0&0&0\end{آرایه}}\راست)~.\quad$

روابط کموتاسیون بین این مولدها می باشد

$[F_{1},F_{2}]=F_{3},$

$[F_{2},F_{3}]=F_{1},$

$[F_{3},F_{1}]=F_{2}.$

فضای سه بعدی اقلیدسی $\mathbb {R} ^{3}$ با براکت لی داده شده توسط ضرب ضربدری بردارها ، روابط کموتاسیون مشابهی دارد: بنابراین، هم شکل است ${\mathfrak {so}}(3)$ . این جبر لی به طور واحد معادل عملگرهای معمولی مولفه تکانه زاویه‌ای اسپین (فیزیک) برای ذرات اسپین-1 در مکانیک کوانتومی است .

ابعاد بی نهایت [ ویرایش ]

دسته مهمی از جبرهای لی حقیقی بی‌بعدی در توپولوژی دیفرانسیل به وجود می‌آیند . فضای میدان های برداری ص روی یک منیفولد قابل تمایز M یک جبر لی را تشکیل می دهد که در آن براکت لی به عنوان جابجایی میدانهای برداری تعریف شده است . یکی از راه‌های بیان براکت لی از طریق فرمالیسم مشتقات لی است که با اجازه دادن به L X ( f ) مشتق جهت تابع f در یک میدان برداری X با عملگر دیفرانسیل جزئی مرتبه اول L X را شناسایی می‌کند. جهت از X. براکت لی [ X, Y ] دو میدان برداری، میدان برداری است که از طریق عملکرد آن بر روی توابع با فرمول تعریف شده است:

$L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,$

جبرهای Kac-Moody دسته بزرگی از جبرهای لی بی‌بعدی هستند که ساختار آن‌ها بسیار شبیه به موارد با ابعاد محدود بالا است.
جبر مویال یک جبر لی بی‌بعدی است که شامل تمام جبرهای کلاسیک لی به عنوان جبرهای فرعی است.
جبر Virasoro در نظریه ریسمان از اهمیت بالایی برخوردار است .

نمایندگی ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایش جبر لی

تعاریف [ ویرایش ]

با توجه به فضای برداری V ، اجازه دهید ${\mathfrak {gl}}(V)$ جبر لی متشکل از تمام اندومورفیسم های خطی V را با براکت نشان دهید $[X,Y]=XY-YX$ . نمایشی از جبر لی ${\mathfrak {g}}$ روی V یک هم شکل جبر لی است

:→. $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).$

یک نمایش در صورتی وفادار است که هسته آن صفر باشد. قضیه آدو [12] بیان می کند که هر جبر لی با بعد محدود، یک نمایش وفادار در فضای برداری با بعد محدود دارد.

نمایندگی الحاقی [ ویرایش ]

برای هر جبر لی ${\mathfrak {g}}$ ، می توانیم یک نمایندگی تعریف کنیم

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$

داده شده توسط $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ ; این یک نمایش در فضای برداری است ${\mathfrak {g}}$ نمایندگی الحاقی نامیده می شود .

اهد نظریه نمایش [ ویرایش ]

یکی از جنبه های مهم مطالعه جبرهای لی (به ویژه جبرهای لی نیمه ساده) مطالعه نمایش آنها است. (در واقع، اکثر کتاب‌های فهرست شده در بخش منابع، بخش قابل توجهی از صفحات خود را به نظریه نمایش اختصاص می‌دهند.) اگرچه قضیه آدو نتیجه مهمی است، اما هدف اصلی نظریه نمایش یتن یک نمایش وفادار از جبر لی معین نیست. ${\mathfrak {g}}$ . در واقع، در حالت نیمه ساده، نمایش الحاقی از قبل وفادار است. بلکه هدف این است که تمام نمایش های ممکن را درک کنیم ${\mathfrak {g}}$ ، تا مفهوم طبیعی هم ارزی. در حالت نیمه ساده بر روی میدانی از مشخصه صفر، قضیه ویل [13] می گوید که هر نمایش محدود بعدی، مجموع مستقیمی از نمایش های تقلیل ناپذیر است (آنهایی که هیچ زیرفضاهای ثابت ناچیز ندارند). نمایش های تقلیل ناپذیر، به نوبه خود، توسط قضیه ای با بیشترین وزن طبقه بندی می شوند طبقه‌بندی می‌شوند .

نظریه نمایش در فیزیک [ ویرایش ]

نظریه نمایش جبرهای لی نقش مهمی در بخش‌های مختلف فیزیک نظری دارد. در آنجا، عملگرهایی را در فضای حالت هایی در نظر می گیریم که روابط کموتاسیون طبیعی خاصی را برآورده می کنند. این روابط کموتاسیون معمولاً از تقارن مسئله ناشی می‌شوند - به طور خاص، آنها روابط جبر لی گروه تقارن مربوطه هستند. به عنوان مثال می توان عملگرهای حرکت زاویه ای را نام برد که روابط کموتیشن آنها از جبر لی است.س(3) ${\mathfrak {so}}(3)$ از گروه چرخش SO(3) . به طور معمول، فضای حالت‌ها با عملگرهای مربوطه از غیرقابل کاهش بودن فاصله دارد، اما می‌توان تلاش کرد تا آن را به قطعات تقلیل‌ناپذیر تجزیه کرد. برای انجام این کار، شخص باید نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر جبر لی را بداند. برای مثال، در مطالعه اتم هیدروژن کوانتومی ، کتب درسی مکانیک کوانتومی (بدون نامگذاری آن) یک طبقه بندی از نمایش های تقلیل ناپذیر جبر لی ارائه می دهند.س(3) ${\mathfrak {so}}(3)$ .

تئوری ساختار و طبقه بندی [ ویرایش ]

جبرهای لی را می توان تا حدی طبقه بندی کرد. به طور خاص، این یک کاربرد برای طبقه بندی گروه های لی دارد.

آبلی، بی اندازه و قابل حل [ ویرایش ]

مشابه گروه‌های آبلی، پوچتوان و حلپذیر که بر حسب زیرگروه‌های مشتق شده تعریف می‌شوند، می‌توان جبر آبلی، پوچتوان و لی قابل حل را تعریف کرد.

جبر لی ${\mathfrak {g}}$ آبلی استاگر براکت لی ناپدید شود، یعنی [ x , y ] = 0، برای همه x و y در ${\mathfrak {g}}$ . جبرهای لی آبلی مربوط به گروه های لی متصل (یا آبلی ) مانند فضاهای برداری است. $\mathbb {K} ^{n}$ یا توری ${\mathbb {T}}^{n}$ ، و همه به شکل هستند، ${\mathfrak {k}}^{n}،$ به معنی n بعدی با براکت لی ساده.

یک کلاس کلی تر از جبرهای لی با ناپدید شدن همه جابجایی کننده ها با طول مشخص تعریف می شود. جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر سری مرکزی پایین باشد ، نیرومند نیست

${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،{\mathfrak {g }}]>[[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،{\mathfrak {g}}]،{\mathfrak {g}}]>\cdots$

در نهایت صفر می شود بر اساس قضیه انگل ، جبر لی، اگر و فقط اگر برای هر شما در ${\mathfrak {g}}$ اندومورفیسم جانبی

$\operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]$

بی اندازه است

به طور کلی تر، جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر سری مشتق شده قابل حل است :

${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،[{\mathfrak { g}}،{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}} ]]،[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]]]>\cdots$

در نهایت صفر می شود

هر جبر لی با ابعاد محدود دارای یک ایده آل حداکثر قابل حل منحصر به فرد است که رادیکال آن نامیده می شود . تحت مکاتبات لی، گروه‌های لی متصل پوچتوان (به ترتیب، قابل حل) با جبرهای لی پوچتوان (به ترتیب قابل حل) مطابقت دارند.

ساده و نیمه ساده [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: جبر لی نیمه ساده

جبر لی « ساده » است اگر ایده آل های غیر پیش پا تاده نداشته باشد و آبلی نباشد. (این نشان می دهد که جبر لی تک بعدی – لزوماً آبلی – بنا به تعریف ساده نیست، حتی اگر هیچ ایده آلی بی اهمیتی نداشته باشد.) جبر لی. ${\mathfrak {g}}$ نیمه ساده نامیده می شوداگر به مجموع مستقیم جبرهای ساده هم شکل باشدچندین ویژگی معادل برای جبرهای نیمه ساده وجود دارد، مانند نداشتن ایده‌آل غیرصفر قابل حل.

مفهوم نیمه سادگی برای جبرهای لی ارتباط نزدیکی با تقلیل پذیری کامل (نیمه سادگی) نمایش آنها دارد. هنگامی که میدان زمین F دارای مشخصه صفر باشد، هر نمایش محدود بعدی جبر لی نیمه ساده نیمه ساده است (یعنی مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر). به طور کلی، جبر لی در صورتی که نمایش الحاقی آن نیمه ساده باشد، تقلیل نامیده می شود. بنابراین، یک جبر لی نیمه ساده تقلیل دهنده است.

معیار کارتان [ ویرایش ]

معیار کارتان شرایطی را برای عدم توانمندی، حل شدنی یا نیمه ساده بودن جبر لی ارائه می دهد. این بر اساس مفهوم فرم کشتار ، یک فرم دوخطی متقارن است ${\mathfrak {g}}$ با فرمول تعریف شده است

، $K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v))،$

که در آن tr نشان دهنده اثر یک عملگر خطی است . جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر و فقط اگر شکل Killing غیر منحط باشد نیمه ساده است . جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر و فقط اگر قابل حل استک $K({\mathfrak {g}}،[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}])=0.$

طبقه بندی [ ویرایش ]

تجزیه لوی یک جبر لی دلخواه را به صورت مجموع نیمه مستقیم رادیکال قابل حل آن و یک جبر لی نیمه ساده را تقریباً به روشی متعارف بیان می کند. (چنین تجزیه ای برای جبر لی با ابعاد محدود بر روی میدانی با مشخصه صفر وجود دارد. [14] ) علاوه بر این، جبرهای لی نیمه ساده بر روی یک میدان جبری بسته کاملاً از طریق سیستم های ریشه خود طبقه بندی شده اند .

ارتباط با گروه های لی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گروه لی-تطابق جبر لی

فضای مماس یک کره در یک نقطه $ایکس$ . اگر $ایکس$ عنصر همانی است، سپس فضای مماس نیز جبر لی است.

اگرچه جبرهای لی اغلب به تنهایی مورد مطالعه قرار می گیرند، از نظر تاریخی آنها به عنوان وسیله ای برای مطالعه گروه های لی به وجود آمده اند. .

اکنون به طور خلاصه رابطه بین گروه های لی و جبرهای لی را بیان می کنیم. هر گروه لی یک جبر لی تعیین شده متعارف را ایجاد می کند (به طور مشخص، فضای مماس در همانی ). برعکس، برای هر جبر لی با ابعاد محدود ${\mathfrak {g}}$ ، یک گروه لی مرتبط مربوطه وجود داردجی $جی$ با جبر لی ${\mathfrak {g}}$ . این قضیه سوم لی است . فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف را ببینید. این گروه لی به طور منحصر به فرد تعیین نمی شود. با این حال، هر دو گروه لی با جبر لی یکسان، به صورت محلی هم شکل هستند، و به ویژه، پوشش جهانی یکسانی دارند . به عنوان مثال، گروه متعامد خاص SO(3) و گروه واحد ویژه SU(2) همان جبر لی را ایجاد می کنند که هم شکل است.آر3 $\mathbb {R} ^{3}$ با ضرب متقابل، اما SU(2) یک پوشش دوگانه با اتصال ساده SO(3) است.

با این حال، اگر گروه‌های لی را به سادگی به هم متصل کنیم، مطابقت یک به یک داریم: برای هر جبر لی (حقیقی محدود) ${\mathfrak {g}}$ ، یک گروه لی به سادگی متصل وجود داردجی $جی$ با جبر لی ${\mathfrak {g}}$ .

مطابقت بین جبرهای لی و گروه‌های لی به روش‌های مختلفی استفاده می‌شود، از جمله در طبقه‌بندی گروه‌های لی و موضوع مربوط به نظریه نمایش . گروه‌های لی. هر نمایشی از جبر لی به طور منحصر به فردی به نمایشی از گروه لی مرتبط و ساده متصل می شود، و برعکس هر نمایشی از هر گروه لی نمایشی از جبر لی گروه را القا می کند. نمایندگی ها در مکاتبات یک به یک هستند. بنابراین، دانستن بازنمودهای جبر لی، مسئله بازنمودهای گروه را حل می کند.

در مورد طبقه‌بندی، می‌توان نشان داد که هر گروه لی مرتبط با جبر لی معین نسبت به پوشش جهانی یک زیرگروه مرکزی گسسته هم شکل است. بنابراین طبقه‌بندی گروه‌های لی صرفاً به شمارش زیرگروه‌های مجزای مرکز تبدیل می‌شود ، زمانی که طبقه‌بندی جبرهای لی شناخته شد (که توسط Cartan و همکاران به صورت نیمه ساده حل شد. حل شد ).

اگر جبر لی بی‌بعدی باشد، موضوع ظریف‌تر است. در بسیاری از موارد، نقشه نمایی حتی به صورت محلی همومورفیسم نیست (به عنوان مثال، در Diff( S 1 )، ممکن است دیفئومورفیسم هایی را به طور دلخواه نزدیک به همانی پیدا کنید که در تصویر exp وجود ندارد). علاوه بر این، برخی از جبرهای لی بی‌بعدی جبر لی هیچ گروهی نیستند.

شکل حقیقی و پیچیدگی [ ویرایش ]

با توجه به الف جبر لی پیچیده ${\mathfrak {g}}$ ، یک جبر لی حقیقی0 $\mathfrak{g}_0$ گفته می شود که یک شکل حقیقی است است ${\mathfrak {g}}$ اگر پیچیدگی ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ هم شکل است ${\mathfrak {g}}$ . [15] یک شکل حقیقی لازم نیست منحصر به فرد باشد. مثلا، ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ دو شکل حقیقی دارد ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R}$ و $\mathfrak{su}_2$ . [15]

با توجه به یک جبر مختلط نیمه‌بعدی متناهی ${\mathfrak {g}}$ شكل شكته آن شكل واقعي است كه شكته مي شود. به عنوان مثال، دارای یک جبر فرعی کارتن است که از طریق یک نمایش الحاقی با مقادیر ویژه حقیقی عمل می کند. یک شکل تقسیم وجود دارد و منحصر به فرد است (تا یکریختی). [15] فرم فشرده یک شکل حقیقی است که جبر لی یک گروه لی فشرده است. یک فرم فشرده وجود دارد و همچنین منحصر به فرد است. [15]

جبر لی با ساختارهای اضی [ ویرایش ]

جبر لی را می توان به ساختارهای اضی مجهز کرد که فرض می شود با براکت سازگار هستند. به عنوان مثال، جبر لی درجه بندی شده ، جبر لی با ساختار فضای برداری درجه بندی شده است. اگر با دیفرانسیل نیز همراه باشد (به طوری که فضای برداری درجه بندی شده زیرین یک مجموعه زنجیره ای باشد)، به آن جبر لی درجه بندی شده دیفرانسیل می گویند .

آجبر لی ساده یک ساده در دسته جبرهای لی است. به عبارت دیگر، با جایگزین کردن مجموعه زیربنایی با یک مجموعه ساده به دست می‌آید (بنابراین بهتر است به عنوان یک خانواده از جبرهای لی در نظر گرفته شود).

حلقه لی [ ویرایش ]

یک حلقه لی به عنوان تعمیم جبرهای لی یا از طریق مطالعه سری های مرکزی پایین گروه ها بوجود می آید . حلقه لی به عنوان یک حلقه غیر همبسته با ضرب که ضد جابجایی است و برآورده می شود تعریف می شود. همانی ژاکوبی را برآورده می کند، تعریف می شود . به طور دقیق تر می توانیم حلقه لی را تعریف کنیم $L$ یک گروه آبلی بودن بودن با عملیات[⋅،⋅] $[\cdot،\cdot]$ که دارای خواص زیر است:

دوخطی بودن:

$[x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]$

برای همه x , y , z ∈ L .

همانی ژاکوبی :

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\چهارم$

برای همه x ، y ، z در L.

برای همه x در L :

$[x,x]=0\چهارم$

حلقه‌های لی نیازی به گروه‌های لی در حال اضه شدن ندارند. هر جبر لی نمونه ای از حلقه لی است. هر حلقه انجمنی را می توان با تعریف یک عملگر براکت به یک حلقه لی تبدیل کرد $[x,y]=xy-yx$ . برعکس هر جبر لی، یک حلقه مربوط به آن وجود دارد که جبر فراگیر جهانی نامیده می شود. نامیده می شود .

حلقه های لی در مطالعه گروه های P محدود از طریق مکاتبات لازارد استفاده می شوند . فاکتورهای مرکزی پایین تر یک گروه p، گروه های p آبلی محدود هستند ، بنابراین مدول ها روی Z / p Z هستند. مجموع مستقیم فاکتورهای مرکزی پایین تر، ساختار یک حلقه لی را با تعریف براکت به عنوان جابجایی دو نماینده هم مجموعه به دست می‌دهد. ساختار حلقه لی با هممورفیسم مدول دیگری، p ام غنی شده است، که حلقه لی مرتبط را به یک حلقه لی محدود به اصطلاح محدود می کند.

حلقه‌های لی نیز با مطالعه جبرهای لی بر روی حلقه‌های اعداد صحیح مانند اعداد صحیح p-adic در تعریف گروه‌های تحلیلی p-adic و درون شکل‌های آنها مفید هستند . تعریف گروه های محدود از نوع لی به دلیل Chevalley شامل محدود کردن یک جبر لی بر روی اعداد مختلط به جبر لی بر روی اعداد صحیح و سپس کاهش مدول p برای به دست آوردن جبر لی در یک میدان محدود است.

مثالها [ ویرایش ]

هر جبر لی بر روی یک حلقه عمومی به جای یک میدان ، نمونه ای از یک حلقه لی است. حلقه‌های لی ، علی‌رغم نام، گروه‌های لی نیستند .
هر حلقه انجمنی را می توان با تعریف یک عملگر براکت به یک حلقه لی تبدیل کرد

. $[x,y]=xy-yx.$

برای مثال حلقه لی ناشی از مطالعه گروه ها ، اجازه دهیدجی $جی$ یک گروه با $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ عملیات جابجاگر، و اجازه دهید $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ سریال مرکزی درجی $جی$ - این زیرگروه جابجاگر است $[G_{i}،G_{j}]$ موجود است در $G_{i+j}$ برای هر $من، ج$ . سپس

$L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}$

یک حلقه لی است که توسط عملیات گروهی (که در هر قسمت همگن آبلی است) و عملیات براکت ارائه شده توسط

$[xG_{i},yG_{j}]=[x,y]G_{i+j}\$

به صورت خطی گسترش یته است. مرکزیت سری تضمین می کند که جابجاگر $[x,y]$ به عملیات براکت خواص تئوریک لی مناسب می دهد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

اظهارات [ ویرایش ]

^ براکت های [،] عملکرد دوخطی را نشان می دهند× $\بار$ ; اغلب، جابجا کننده است : $[x,y]=xy-yx$ ، برای یک ضرب انجمنی در همان فضای برداری. اما نه لزوما!
^ Bourbaki (1989 ، بخش 2.) به طور کلی اجازه می دهد برای یک مدول در یک حلقه جابجایی . در این مقاله به این حلقه لی گفته می شود .

منابع

تبدیل بین کواترنیون ها و زوایای اویلر

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه شانزدهم بهمن ۱۴۰۱ | 11:5

چرخش های فضایی در سه بعدی را می توان با استفاده از زاویه های اویلر و کواترنیون های واحد پارامتری کرد. این مقاله نحوه تبدیل بین دو نمایش را توضیح می دهد. در واقع این استفاده ساده از "کواترنیون ها" اولین بار توسط اویلر حدود هفتاد سال زودتر از همیلتون برای حل مشکل مربع های جادویی ارائه شد. به همین دلیل جامعه دینامیک معمولاً به کواترنیون ها در این برنامه به عنوان "پارامترهای اویلر" اشاره می کند.

تعریف [ ویرایش ]

برای بقیه این مقاله، کنوانسیون کواترنیون JPL "غیرفعال" [1] باید استفاده شود. یک کواترنیون واحد را می توان به صورت زیر توصیف کرد:

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}&q_{3}\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}q_{ w}&q_{x}&q_{y}&q_{z}\end{bmatrix}}^{T}$

$|\mathbf {q} |^{2}=q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2} =q_{w}^{2}+q_{x}^{2}+q_{y}^{2}+q_{z}^{2}=1$

با عبارت زیر می توانیم یک کواترنیون را با چرخش حول یک محور مرتبط کنیم

$\mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos(\alpha /2)$

$\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cos(\beta _{x})$

$\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin(\alpha /2)\cos(\beta _{y})$

$\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cos(\beta _{z})$

که α یک زاویه چرخش ساده است (مقدار رادیان زاویه چرخش ) و cos(β x )، cos(β y ) و cos(β z ) " کسینوس های جهت" زاویه های بین سه محور مختصات هستند. و محور چرخش (قضیه چرخش اویلر).

شهود [ ویرایش ]

برای درک بهتر نحوه کار " کسینوس جهت " با کواترنیون ها:

${\begin{array}{lcr}\mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos({\text{زاویه چرخش}}/2)\\\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} _{x}=\sin({\text{زاویه چرخش}}/2)\cos({\text{زاویه بین محور چرخش و محور x}}) \\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin({\text{زاویه چرخش}}/2)\cos({\text{زاویه بین محور چرخش و y محور}})\\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin({\text{زاویه چرخش}}/2)\cos({\text{زاویه بین محورها از چرخش و محور z}})\end{آرایه}}$

اگر محور چرخش محور x باشد :

${\begin{array}{lcr}\mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos(\alpha /2)\\\mathbf {q} _{1 }=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 1\\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\end{آرایه}}$

اگر محور چرخش محور y باشد :

${\begin{array}{lcr}\mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos(\alpha /2)\\\mathbf {q} _{1 }=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin(\alpha /2)\cdot 1\\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\end{آرایه}}$

اگر محور چرخش محور z باشد :

${\begin{array}{lcr}\mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos(\alpha /2)\\\mathbf {q} _{1 }=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 1\end{آرایه}}$

اگر محور چرخش بردار 45 درجه باشد (π/4رادیان) بین محور x و y :

${\begin{array}{lcr}\mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos(\alpha /2)\\\mathbf {q} _{1 }=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cdot 0.707\ldots \\\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin( \alpha /2)\cdot 0.707\ldots \\\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cdot 0\end{آرایه}}$

بنابراین، محورهای x و y بر محور چرخش جدید تأثیر دارند .

زوایای Tait–Bryan [ ویرایش ]

زوایای Tait–Bryan. دنباله zy'-x″ (چرخش های ذاتی؛ N منطبق با y' ). دنباله چرخش زاویه ψ ، θ ، φ است. توجه داشته باشید که در این حالت ψ > 90 درجه و θ یک زاویه منفی است.

به طور مشابه برای زوایای اویلر، از زوایای Tait Bryan (از نظر دینامیک پرواز ) استفاده می کنیم:

سرفصل -� $\psi$ : چرخش حول محور Z
گام صدا -� $\ تتا$ : چرخش حول محور Y جدید
بانک –� $\phi$ : چرخش حول محور X جدید

که در آن محور X به جلو، محور Y به سمت راست و محور Z به سمت پایین اشاره می کند. در مثال تبدیل بالا، چرخش در عنوان سفارش، زمین، بانک رخ می دهد.

ماتریس های چرخشی [ ویرایش ]

ماتریس متعامد (بعد از ضرب یک بردار ستون) مربوط به چرخش در جهت عقربه‌های ساعت/ چپ (که در امتداد محور مثبت به مبدا نگاه می‌کند) توسط کواترنیون واحد $q=q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}$ با عبارت ناهمگن داده می شود :

$R={\begin{bmatrix}1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2})&2(q_{1}q_{2}-q_{0}q_{ 3})&2(q_{0}q_{2}+q_{1}q_{3})\\2(q_{1}q_{2}+q_{0}q_{3})&1-2(q_ {1}^{2}+q_{3}^{2})&2(q_{2}q_{3}-q_{0}q_{1})\\2(q_{1}q_{3}- q_{0}q_{2})&2(q_{0}q_{1}+q_{2}q_{3})&1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2} )\end{bmatrix}}$

یا به طور معادل، با عبارت همگن :

$R={\begin{bmatrix}q_{0}^{2}+q_{1}^{2}-q_{2}^{2}-q_{3}^{2}&2(q_{ 1}q_{2}-q_{0}q_{3})&2(q_{0}q_{2}+q_{1}q_{3})\\2(q_{1}q_{2}+q_ {0}q_{3})&q_{0}^{2}-q_{1}^{2}+q_{2}^{2}-q_{3}^{2}&2(q_{2}q_ {3}-q_{0}q_{1})\\2(q_{1}q_{3}-q_{0}q_{2})&2(q_{0}q_{1}+q_{2} q_{3})&q_{0}^{2}-q_{1}^{2}-q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\end{bmatrix}}$

اگر $q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}$ یک کواترنیون واحد نیست، پس فرم همگن هنوز مضربی اسکالر از یک ماتریس چرخشی است، در حالی که شکل ناهمگن به طور کلی دیگر یک ماتریس متعامد نیست. به همین دلیل است که در کار عددی برای جلوگیری از اعوجاج، شکل همگن ترجیح داده می شود.

ماتریس کسینوس جهت (از مختصات Body XYZ چرخانده تا مختصات xyz اصلی آزمایشگاه برای یک چرخش در جهت عقربه‌های ساعت/چپ) مربوط به یک دنباله Body 3-2-1 پس از ضرب با زوایای اویلر (ψ, θ, φ) است. : [2]

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}&=R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{ x}(\phi ){\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\ \sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \ theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\ sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\ end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}\\\end{تراز شده}}$

زوایای اویلر برای توالی بدنه 3-1-3 - سیستم xyz (آزمایشگاه ثابت اصلی) با رنگ آبی و سیستم XYZ (بدن نهایی چرخانده) با رنگ قرمز نشان داده شده است. خط گره‌ها، با برچسب N و به رنگ سبز نشان داده شده است، محور X بدنه میانی است که چرخش دوم حول آن انجام می‌شود.

زوایای اویلر (در ترتیب 3-2-1) به تبدیل کواترنیون [ ویرایش ]

با ترکیب نمایش‌های کواترنیونی چرخش‌های اویلر به دنباله Body 3-2-1 می‌رسیم ، جایی که هواپیما ابتدا در حین تاکسی روی باند انحراف (Body-Z) می‌چرخد، سپس در حین برخاستن از زمین (Body-Y) می‌چرخد. ، و در نهایت (Body-X) در هوا غلت می زند. جهت گیری حاصل از دنباله Body 3-2-1 (حول محور بزرگ در تصویر زوایای Tait-Bryan) معادل دنباله آزمایشگاهی 1-2-3 (در حول محور حروف کوچک) است، جایی که هواپیما در آن قرار دارد. ابتدا چرخید (محور lab-x)، و سپس حول محور افقی lab-y به سمت بالا چرخید و در نهایت حول محور عمودی lab-z چرخید ( lB = lab2Body ):

${\begin{aligned}\mathbf {q_{lB}} &={\begin{bmatrix}\cos(\psi /2)\\0\\0\\\sin(\psi /2)\ \\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\\0\\\sin(\theta /2)\\0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix }\cos(\phi /2)\\\sin(\phi /2)\\0\\0\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos(\phi /2 )\cos(\theta /2)\cos(\psi /2)+\sin(\phi /2)\sin(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\sin(\phi / 2)\cos(\theta /2)\cos(\psi /2)-\cos(\phi /2)\sin(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\cos(\phi /2)\sin(\theta /2)\cos(\psi /2)+\sin(\phi /2)\cos(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\cos(\ phi /2)\cos(\theta /2)\sin(\psi /2)-\sin(\phi /2)\sin(\theta /2)\cos(\psi /2)\\\end{ bmatrix}}\\\end{تراز شده}}$

سایر توالی های چرخشی از قراردادهای متفاوتی استفاده می کنند. [2]

کد منبع [ ویرایش ]

کد زیر در C++ تبدیل فوق را نشان می دهد:

ساختار کواترنیون

struct Quaternion
{
    double w, x, y, z;
};

Quaternion ToQuaternion(double roll, double pitch, double yaw) // roll (x), pitch (Y), yaw (z)
{
    // Abbreviations for the various angular functions

    double cr = cos(roll * 0.5);
    double sr = sin(roll * 0.5);
    double cp = cos(pitch * 0.5);
    double sp = sin(pitch * 0.5);
    double cy = cos(yaw * 0.5);
    double sy = sin(yaw * 0.5);

    Quaternion q;
    q.w = cr * cp * cy + sr * sp * sy;
    q.x = sr * cp * cy - cr * sp * sy;
    q.y = cr * sp * cy + sr * cp * sy;
    q.z = cr * cp * sy - sr * sp * cy;

    return q;
}

تبدیل کواترنیون به زوایای اویلر (در ترتیب 3-2-1) [ ویرایش ]

یک فرمول مستقیم برای تبدیل یک کواترنیون به زوایای اویلر در هر یک از 12 دنباله ممکن وجود دارد. [3] برای بقیه این بخش، فرمول دنباله Body 3-2-1 نشان داده خواهد شد. اگر کواترنیون به درستی نرمال شده باشد ، زوایای اویلر را می توان از طریق روابط زیر از کواترنیون ها بدست آورد:

${\begin{bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\mbox{arctan}}\left({\dfrac {2(q_{ 0}q_{1}+q_{2}q_{3})}{1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})}}\right)\\-\pi /2+2\,{\mbox{arctan}}{\sqrt {\dfrac {1+2(q_{0}q_{2}-q_{1}q_{3})}{1-2(q_{ 0}q_{2}-q_{1}q_{3}}}}\\{\mbox{arctan}}\left({\dfrac {2(q_{0}q_{3}+q_{1} q_{2})}{1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2})}}\right)\end{bmatrix}}$

با این حال، توابع آرکتان پیاده‌سازی شده در زبان‌های کامپیوتری فقط نتایجی بین -π/2 و π/2 ایجاد می‌کنند، برای تولید تمام جهت‌گیری‌هایی که باید جایگزین توابع arctan در کد کامپیوتر با atan2 شود :

${\begin{bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\mbox{atan2}}\left(2(q_{0}q_{ 1}+q_{2}q_{3})،1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})\راست)\\-\pi /2+2\،{ \mbox{atan2}}\left({\sqrt {1+2(q_{0}q_{2}-q_{1}q_{3})}}،{\sqrt {1-2(q_{0} q_{2}-q_{1}q_{3})}}\right)\\{\mbox{atan2}}\left(2(q_{0}q_{3}+q_{1}q_{2} ),1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2})\right)\end{bmatrix}}$

علاوه بر این، پیاده‌سازی‌های معمولی آرکتان ممکن است دارای معایب عددی نزدیک به صفر و یک باشند. برخی از پیاده سازی ها از عبارت معادل استفاده می کنند: [4]

$\theta ={\mbox{arcsin}}(2(q_{0}q_{2}-q_{1}q_{3}))$

کد منبع [ ویرایش ]

برنامه C++ زیر تبدیل بالا را نشان می دهد:

#define _USE_MATH_DEFINES
#include 

struct Quaternion {
    double w, x, y, z;
};

struct EulerAngles {
    double roll, pitch, yaw;
};

// this implementation assumes normalized quaternion
// converts to Euler angles in 3-2-1 sequence
EulerAngles ToEulerAngles(Quaternion q) {
    EulerAngles angles;

    // roll (x-axis rotation)
    double sinr_cosp = 2 * (q.w * q.x + q.y * q.z);
    double cosr_cosp = 1 - 2 * (q.x * q.x + q.y * q.y);
    angles.roll = std::atan2(sinr_cosp, cosr_cosp);

    // pitch (y-axis rotation)
    double sinp = std::sqrt(1 + 2 * (q.w * q.y - q.x * q.z));
    double cosp = std::sqrt(1 - 2 * (q.w * q.y - q.x * q.z));
    angles.pitch = 2 * std::atan2(sinp, cosp) - M_PI / 2;

    // yaw (z-axis rotation)
    double siny_cosp = 2 * (q.w * q.z + q.x * q.y);
    double cosy_cosp = 1 - 2 * (q.y * q.y + q.z * q.z);
    angles.yaw = std::atan2(siny_cosp, cosy_cosp);

    return angles;
}

تکینگی ها [ ویرایش ]

هنگامی که گام به ±90 درجه (قطب شمال/جنوب) نزدیک می شود، باید از تکینگی ها در پارامترسازی زاویه اویلر آگاه بود. این موارد باید به طور ویژه رسیدگی شود. نام رایج برای این وضعیت قفل گیمبال است .

کد برای رسیدگی به تکینگی ها در این سایت مشتق شده است: www.euclideanspace.com

چرخش برداری [ ویرایش ]

اجازه دهید اسکالر را تعریف کنیم�0 $q_0$ و بردار ${\vec {q}}$ به طوری که3 $\mathbf {q} =(q_{0},{\vec {q}})=q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}$ .

توجه داشته باشید که روش متعارف چرخش یک بردار سه بعدی است ${\vec {v}}$ توسط یک کواترنیون� $q$ تعریف چرخش اویلر از طریق فرمول است

$\mathbf {p} ^{\,\prime }=\mathbf {qpq} ^{\ast }$

$\mathbf {p} =(0,{\vec {v}})=0+iv_{1}+jv_{2}+kv_{3}$ یک کواترنیون حاوی بردار تعبیه شده است ${\vec {v}}$ ، $\mathbf {q} ^{\ast }=(q_{0},-{\vec {q}})$ یک کواترنیون مزدوج است و $\mathbf {p} ^{\,\prime }=(0,{\vec {v}}^{\,\prime })$ بردار چرخشی است" ${\vec {v}}^{\,\prime }$ . در پیاده سازی های محاسباتی این به دو ضرب کواترنیونی نیاز دارد. یک رویکرد جایگزین استفاده از جفت روابط است

${\vec {t}}=2{\vec {q}}\times {\vec {v}}$

${\vec {v}}^{\,\prime }={\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q}}\times {\vec {t}}$

جایی که× $\بار$ یک ضرب خارجی برداری سه بعدی را نشان می دهد. این شامل ضرب های کمتری است و بنابراین از نظر محاسباتی سریعتر است. آزمایش‌های عددی نشان می‌دهند که این رویکرد اخیر ممکن است تا 30٪ [5] سریع‌تر از حالت اولیه برای چرخش برداری باشد.

اثبات [ ویرایش ]

قاعده کلی برای ضرب کواترنیونی که شامل بخش‌های اسکالر و بردار می‌شود توسط

${\begin{aligned}\mathbf {q_{1}q_{2}} &=(r_{1},{\vec {v}}_{1})(r_{2},{\vec {v}}_{2})\\&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2}،r_{ 1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}} _{2})\\\end{تراز شده}}$

با استفاده از این رابطه می توان برای $\mathbf {p} =(0,{\vec {v}})$ که

${\begin{aligned}\mathbf {pq^{\ast }} &=(0,{\vec {v}})(q_{0},-{\vec {q}})\\& =({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\ \end{تراز شده}}$

و پس از جایگزینی برای ضرب سه گانه

${\begin{aligned}\mathbf {qpq^{\ast }} &=(q_{0},{\vec {q}})({\vec {v}}\cdot {\vec {q }},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\&=(0,q_{0}^{2}{\vec {v}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}){\vec {q} }+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}) )\\\پایان{تراز شده}}$

که در آن ضد جابه جایی ضرب خارجی و⋅×=0 ${\vec {q}}\cdot {\vec {v}}\times {\vec {q}}=0$ اعمال شده است. با بهره برداری بعدی از اموالی که� $\mathbf {q}$ یک کواترنیون واحد است به طوری که $q_{0}^{2}=1-{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}$ ، همراه با هویت برداری استاندارد

${\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}})=({\vec {q}}\cdot {\vec {v}}){ \vec {q}}-({\vec {q}}\cdot {\vec {q}}){\vec {v}}$

یکی بدست می آورد

${\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\prime }&=\mathbf {qpq^{\ast }} =(0,{\vec {v}}+2q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+2{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{تراز شده} }$

که با تعریفتی ${\vec {t}}=2{\vec {q}}\times {\vec {v}}$ را می توان بر حسب بخش های اسکالر و برداری به عنوان نوشت

$(0,{\vec {v}}^{\,\prime })=(0,{\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q }}\times {\vec {t}}).$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles

3-کواترنیون ها و چرخش فضایی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 14:38

کواترنیون ها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: کواترنیون ها

اعداد مختلط را می توان با معرفی یک نماد انتزاعی i که قوانین معمول جبر را برآورده می کند و همچنین قانون i 2 = -1 را تعریف کرد. این برای بازتولید همه قوانین حسابی اعداد مختلط کافی است: به عنوان مثال:

$(a+b\mathbf {i} )(c+d\mathbf {i} )=ac+ad\mathbf {i} +b\mathbf {i} c+b\mathbf {i} d\mathbf {i} =ac+ad\mathbf {i} +bc\mathbf {i} +bd\mathbf {i} ^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)\mathbf {i}.$

به همین ترتیب، چهارتایی ها را می توان با معرفی نمادهای انتزاعی i ، j ، k تعریف کرد که قوانین i 2 = j 2 = k 2 = i j k = −1 و قوانین جبری معمول به جز قانون جابجایی ضرب را برآورده می کند (مثال آشنا از چنین ضرب غیر تعویضی، ضرب ماتریسی است ). از این همه قواعد محاسباتی کواترنیونی پیروی می شود، مانند قواعد ضرب عناصر پایه کواترنیونی . با استفاده از این قوانین می توان نشان داد که:

${\begin{تراز شده}&(a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k})(e+f\mathbf {i} +g\mathbf {j} +h\mathbf {k} )=\\&(ae-bf-cg-dh)+(af+be+ch-dg)\mathbf {i} +(ag-bh+ce+df)\mathbf {j } +(ah+bg-cf+de)\mathbf {k} .\end{تراز شده}}$

قسمت خیالی $b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ یک کواترنیون مانند یک بردار رفتار می کند ${\vec {v}}=(b،c،d)$ در فضای برداری سه بعدی ، و قسمت حقیقی a مانند یک اسکالر در R عمل می کند. وقتی از ربات ها در هندسه استفاده می شود، راحت تر است که آنها را به عنوان یک اسکالر به اضافه یک بردار تعریف کنیم :

$a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+{\vec {v}}.$

برای برخی ممکن است عجیب باشد که یک عدد را به یک بردار اضافه کنند، زیرا آنها اشیایی با طبیعت بسیار متفاوت هستند، یا ضرب دو بردار در یکدیگر، زیرا این عمل معمولاً تعریف نشده است. با این حال، اگر به یاد داشته باشید که این یک نماد صرف برای بخش های حقیقی و خیالی یک کواترنیون است، مشروع تر می شود. به عبارت دیگر، استدلال صحیح، جمع دو چهارتایی است، یکی با بردار/قسمت خیالی صفر و دیگری با بخش اسکالر/حقیقی صفر:

$q_{1}=s+{\vec {v}}=\left(s,{\vec {0}}\right)+\left(0,{\vec {v}}\right).$

ما می‌توانیم ضرب کواترنیون را به زبان امروزی حاصل ضربات بردار و نقطه‌ای بیان کنیم (که در وهله اول از کواترنیون‌ها الهام گرفته‌اند [ 10] ). هنگام ضرب بردار/قطعات خیالی، به جای قواعد i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 ، قانون ضرب چهارگانه را داریم:

${\vec {v}}{\vec {w}}=-{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\times {\vec {w }}،$

جایی که:

${\vec {v}}{\vec {w}}$ کواترنیون حاصل است،
${\vec {v}}\times {\vec {w}}$ حاصلضرب متقاطع برداری است (بردار)،
${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$ ضرب اسکالر برداری (یک اسکالر) است.

ضرب کواترنیونی غیر جابجایی است (به دلیل حاصلضرب متقاطع که ضد جابجایی است )، در حالی که ضرب های اسکالر-اسکالر و اسکالر-بردار جابجایی دارند. از این قوانین بلافاصله نتیجه می شود که ( به جزئیات مراجعه کنید ):

$q_{1}q_{2}=\left(s+{\vec {v}}\right)\left(t+{\vec {w}}\right)=\left(st-{\vec { v}}\cdot {\vec {w}}\right)+\left(s{\vec {w}}+t{\vec {v}}+{\vec {v}}\times {\vec { w}}\راست).$

معکوس ضربی (چپ و راست) یا متقابل یک چهارتایی غیرصفر با نسبت مزدوج به هنجار به دست می آید ( به جزئیات مراجعه کنید ):

$q_{1}^{-1}=\left(s+{\vec {v}}\right)^{-1}={\frac {\left(s+{\vec {v}}\right )^{*}}{\lVert s+{\vec {v}}\rVert ^{2}}}={\frac {s-{\vec {v}}}{s^{2}+\lVert { \vec {v}}\rVert ^{2}}}،$

همانطور که می توان با محاسبه مستقیم تأیید کرد (به شباهت با معکوس ضربی اعداد مختلط توجه کنید ).

همانی چرخش [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول چرخش رودریگز

اجازه دهیدتو→ ${\vec {u}}$ یک بردار واحد (محور چرخش) باشد و اجازه دهید $q=\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}$ . هدف ما نشان دادن آن است

${\vec {v}}'=q{\vec {v}}q^{-1}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u} }\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\vec {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {u }}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)$

بردار را به دست می دهد→ ${\vec {v}}$ با یک زاویه چرخیده است $\ آلفا$ حول محورتو→ ${\vec {u}}$ . در حال گسترش (و در نظر گرفتن آن ${\vec {u}}{\vec {v}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot {\vec {v} }$ )، ما داریم

${\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\left({\vec {u}}{\vec {v}}-{\vec {v}}{\vec {u}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {u}}{\vec {v}}{\vec {u}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]& ={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\ sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right )-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\right){\vec {u}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2} }\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec { v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {u}}\times {\ vec {v}}\right){\vec {u}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\ sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v} }\right)\times {\vec {u}}-\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {u}}\right)-\ چپ ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\ [6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}} \right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)-0-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right ){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\ sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left({\vec {v}}-2{\vec {u}}\left({\ vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v} }\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {v}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2{\vec {u }}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\ vec {v}}\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)+\left( {\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\ راست)+{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\left(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{ 2}}\راست)\\[6pt]\end{تراز شده}}}={\vec {v}}\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)+ \left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2 }}\right)+{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\left(2\sin ^{2}{\frac {\ آلفا {2}}\راست)\\[6pt]\end{تراز شده}}$

استفاده از همانی های مثلثاتی :

${\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^ {2}{\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\left(2\sin {\frac { \alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)+{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}} \right)\left(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)\\[6pt]&={\vec {v}}\cos \alpha +\left({ \vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin \alpha +{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\ راست)\left(1-\cos \alpha \right)\\[6pt]&={\vec {v}}\cos \alpha +\left({\vec {u}}\times {\vec {v }}\right)\sin \alpha +{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)-{\vec {u}}\left( {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\cos \alpha \\[6pt]&=\left({\vec {v}}-{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\right)\cos \alpha +\ چپ({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin \alpha +{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v }}\right)\\[6pt]&={\vec {v}}_{\bot }\cos \alpha +\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right )\sin \alpha +{\vec {v}}_{\|}\end{تراز شده}}$

جایی که→⊥ ${\vec {v}}_{\bot }$ و→" ${\vec {v}}_{\|}$ اجزای v → (به ترتیب عمود و موازی u → ) هستند. این فرمول یک چرخش توسط است $\ آلفا$ حول محور u →

عملیات چرخش کواترنیون [ ویرایش ]

توضیح بسیار رسمی در مورد خواص استفاده شده در این بخش توسط آلتمن ارائه شده است. [11]

ابرکره چرخش ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چرخش گروه SO(3)

تجسم فضای چرخش [ ویرایش ]

کواترنیون های واحد گروه چرخش های اقلیدسی را در سه بعدی به روشی بسیار ساده نشان می دهند. مطابقت بین چرخش ها و چهارتایی ها را می توان با تجسم فضای خود چرخش ها درک کرد.

دو چرخش مجزا، که هم از نظر زاویه و هم از نظر محور، در فضای چرخش ها متفاوت است. در اینجا، طول هر بردار محور نسبت به بزرگی چرخش مربوط به آن محور است.

برای تجسم فضای چرخش ها، در نظر گرفتن یک مورد ساده تر کمک می کند. هر چرخش در سه بعد را می توان با چرخش با زاویه ای حول یک محور توصیف کرد. برای اهداف خود، از یک بردار محور برای ایجاد دستی برای زاویه خود استفاده خواهیم کرد. حالت خاصی را در نظر بگیرید که در آن محور چرخش در صفحه xy قرار دارد. سپس می‌توانیم محور یکی از این چرخش‌ها را با نقطه‌ای از دایره‌ای که بردار از آن عبور می‌کند، مشخص کنیم و می‌توانیم شعاع دایره را برای نشان دادن زاویه چرخش انتخاب کنیم.

به طور مشابه، چرخشی که محور چرخش آن در صفحه xy قرار دارد را می توان به عنوان نقطه ای روی کره ای با شعاع ثابت در سه بعدی توصیف کرد. با شروع از قطب شمال یک کره در فضای سه بعدی، نقطه قطب شمال را به عنوان چرخش همانی (چرخش با زاویه صفر) مشخص می کنیم. همانطور که در مورد چرخش همانی، هیچ محور چرخشی تعریف نشده است و زاویه چرخش (صفر) بی ربط است. چرخشی با زاویه چرخش بسیار کوچک را می توان با یک برش از کره موازی با xy مشخص کرد.هواپیما و بسیار نزدیک به قطب شمال. دایره ای که توسط این برش تعریف می شود بسیار کوچک خواهد بود که مطابق با زاویه کوچک چرخش است. با بزرگتر شدن زوایای چرخش، برش در جهت منفی z حرکت می‌کند و دایره‌ها بزرگتر می‌شوند تا به خط استوای کره برسند که با زاویه چرخش 180 درجه مطابقت دارد. در ادامه به سمت جنوب، شعاع دایره ها اکنون کوچکتر می شوند (مطابق با مقدار مطلق زاویه چرخش در نظر گرفته شده به عنوان یک عدد منفی). در نهایت، با رسیدن به قطب جنوب، دایره ها یک بار دیگر به سمت چرخش همانی کوچک می شوند، که به عنوان نقطه در قطب جنوب نیز مشخص می شود.

توجه داشته باشید که تعدادی از ویژگی های این چرخش ها و نمایش آنها را می توان با این تجسم مشاهده کرد. فضای چرخش ها پیوسته است، هر چرخش دارای همسایگی چرخش هایی است که تقریباً یکسان هستند و با کوچک شدن محله این همسایگی صاف می شود. همچنین، هر چرخش در واقع با دو نقطه پادپای روی کره نشان داده می شود که در انتهای مخالف یک خط از مرکز کره هستند. این نشان دهنده این حقیقیت است که هر چرخش را می توان به عنوان یک چرخش حول یک محور، یا به طور معادل، به عنوان یک چرخش منفی حول محوری که در جهت مخالف قرار دارد (به اصطلاح پوشش دوگانه ) نشان داد.). "عرض جغرافیایی" یک دایره که نمایانگر یک زاویه چرخش خاص است، نیمی از زاویه نشان داده شده توسط آن چرخش خواهد بود، زیرا با انتقال نقطه از شمال به قطب جنوب، عرض جغرافیایی از صفر تا 180 درجه متغیر است، در حالی که زاویه چرخش از 0 تا 360 درجه متغیر است. (سپس "طول جغرافیایی" یک نقطه نشان دهنده یک محور چرخش خاص است.) اما توجه داشته باشید که این مجموعه چرخش ها تحت ترکیب بسته نمی شوند. دو چرخش متوالی با محورها در صفحه xy لزوماً چرخشی ایجاد نمی کند که محور آن در صفحه xy قرار دارد و بنابراین نمی توان آن را به عنوان یک نقطه روی کره نشان داد. این مورد در مورد چرخش کلی در 3 فضایی که در آن چرخش ها یک مجموعه بسته را تحت ترکیب تشکیل می دهند، صادق نخواهد بود.

کره چرخش برای چرخش هایی که محور "افقی" دارند (در صفحه xy ).

این تجسم را می توان به یک چرخش کلی در فضای 3 بعدی گسترش داد. چرخش همانی یک نقطه است و یک زاویه چرخش کوچک حول یک محور را می توان به عنوان نقطه ای روی کره ای با شعاع کوچک نشان داد. با افزایش زاویه چرخش، کره رشد می کند، تا زمانی که زاویه چرخش به 180 درجه می رسد، در این نقطه، کره شروع به کوچک شدن می کند و با نزدیک شدن زاویه به 360 درجه (یا صفر درجه از جهت منفی) تبدیل به یک نقطه می شود. این مجموعه از کره های در حال انبساط و انقباض یک ابرکره را در فضای چهار بعدی نشان می دهد(یک 3 کره). همانطور که در مثال ساده‌تر بالا، هر چرخشی که به‌عنوان نقطه‌ای در ابرکره نشان داده می‌شود، با نقطه پادپای آن در ابرکره مطابقت دارد. "عرض جغرافیایی" در ابرکره نیمی از زاویه چرخش متناظر خواهد بود، و همسایگی هر نقطه "مسطح تر" می شود (یعنی با فضای سه بعدی اقلیدسی از نقاط نشان داده می شود) با کوچک شدن همسایگی. این رفتار با مجموعه‌ای از کواترنیون‌های واحد مطابقت دارد: یک کواترنیون عمومی نقطه‌ای را در یک فضای چهار بعدی نشان می‌دهد، اما محدود کردن آن برای داشتن قدر واحد، فضایی سه‌بعدی معادل سطح یک ابرکره را به دست می‌دهد. بزرگی کواترنیون واحد، واحد خواهد بود که مربوط به ابرکره شعاع واحد است. قسمت برداری یک کواترنیون واحد نشان دهنده شعاع 2 کره مربوط به محور چرخش است و بزرگی آن کسینوس نیمی از زاویه چرخش است. هر چرخش با دو کواترنیون واحد با علامت مخالف نشان داده می شود و مانند فضای چرخش های سه بعدی، حاصلضرب کواترنیونی دو کواترنیون واحد، یک کواترنیون واحد به دست می دهد. همچنین فضای کواترنیون های واحد در هر همسایگی بینهایت کوچک یک کواترنیون واحد «مسطح» است.

پارامترسازی فضای چرخش [ ویرایش ]

ما می توانیم سطح یک کره را با دو مختصات مانند طول و عرض جغرافیایی پارامتر کنیم. اما طول و عرض جغرافیایی در قطب‌های شمال و جنوب بد رفتار می‌شوند ( منحط ) اگرچه قطب‌ها ذاتاً با سایر نقاط کره تفاوت ندارند. در قطب ها (عرض های جغرافیایی 90+ و 90- درجه)، طول جغرافیایی بی معنی می شود.

می توان نشان داد که هیچ سیستم مختصات دو پارامتری نمی تواند از چنین انحطاطی جلوگیری کند. ما می توانیم با قرار دادن کره در فضای سه بعدی و پارامترسازی آن با سه مختصات دکارتی ( w , x , y ) از چنین مشکلاتی جلوگیری کنیم و قطب شمال را در ( w , x , y ) = (1, 0, 0) قرار دهیم. قطب جنوب در ( w , x , y ) = (-1, 0, 0) و استوا در w = 0 , x 2 + y 2 = 1 . نقاط روی کره محدودیت را برآورده می کنندw 2 + x 2 + y 2 = 1 ، بنابراین ما هنوز فقط دو درجه آزادی داریم اگرچه سه مختصات وجود دارد. یک نقطه ( w , x , y ) روی کره نشان دهنده چرخشی در فضای معمولی حول محور افقی است که توسط بردار ( x , y , 0) توسط یک زاویه.

به همین ترتیب فضای ابرکروی چرخش های سه بعدی را می توان با سه زاویه (زوایای اویلر ) پارامتر کرد، اما هر گونه پارامترسازی در برخی از نقاط ابرکره تخریب می شود و منجر به مشکل قفل گیمبال می شود. ما می توانیم با استفاده از چهار مختصات اقلیدسی w , x , y , z با w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 از این امر جلوگیری کنیم . نقطه ( w , x , y , z )نشان دهنده چرخش حول محور است که توسط بردار ( x , y , z ) توسط یک زاویه هدایت می شود.=2cos-1⁡=2گناه-1⁡ایکس2+2+2. $\alpha =2\cos ^{-1}w=2\sin ^{-1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

توضیح ویژگی‌های کواترنیون‌ها با چرخش [ ویرایش ]

غیر تعویضی [ ویرایش ]

ضرب کواترنیون ها غیر تعویضی است. این حقیقیت توضیح می دهد که چگونه فرمول p ↦ q p q − 1 می تواند به طور کلی کار کند و طبق تعریف qq -1 = 1 دارد. از آنجایی که ضرب کواترنیون های واحد با ترکیب چرخش های سه بعدی مطابقت دارد، این ویژگی را می توان با نشان دادن اینکه چرخش های سه بعدی به طور کلی جابجایی نیستند، شهودی کرد.

دو کتاب را در کنار هم قرار دهید. یکی از آنها را 90 درجه در جهت عقربه های ساعت حول محور z بچرخانید ، سپس آن را 180 درجه حول محور x بچرخانید . کتاب دیگر را بردارید، ابتدا 180 درجه حول محور x و بعد 90 درجه حول محور z بچرخانید . این دو کتاب در نهایت موازی نیستند. این نشان می دهد که، به طور کلی، ترکیب دو چرخش مختلف حول دو محور فضایی متمایز، جابجایی نخواهد داشت.

جهت گیری [ ویرایش ]

حاصلضرب متقاطع برداری ، که برای تعریف نمایش محور-زاویه استفاده می شود، یک جهت ("دست بودن") به فضا می دهد: در یک فضای برداری سه بعدی، سه بردار موجود در معادله a × b = c همیشه یک راست تشکیل می دهند. مجموعه دستی (یا یک مجموعه چپ دست، بسته به اینکه ضرب متقاطع چگونه تعریف می شود)، بنابراین یک جهت را در فضای برداری ثابت می کند. از طرف دیگر، وابستگی به جهت گیری با ارجاع به چنین u → بیان می شود که چرخشی را به عنوان بردارهای محوری مشخص می کند. در فرمالیسم چهارتایی، انتخاب جهت فضا با ترتیب ضرب مطابقت دارد: ij = kاما ji = − k . اگر جهت گیری را معکوس کنیم، فرمول بالا به p ↦ q −1 p q تبدیل می شود ، به عنوان مثال، یک واحد q با کواترنیون مزدوج جایگزین می شود - همان رفتار بردارهای محوری.

قراردادهای جایگزین [ ویرایش ]

گزارش شده است [12] که وجود و استفاده مداوم از یک قرارداد کواترنیون جایگزین در هوافضا و تا حدودی جامعه روباتیک هزینه قابل توجه و مداومی را متحمل می شود [ sic ]. این قرارداد جایگزین توسط Shuster MD در [13] پیشنهاد شده است و با معکوس کردن تعریف ضرب المان های پایه کواترنیون به گونه ای که طبق قرارداد شوستر، از سنت فاصله می گیرد، $\mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {k}$ در حالی که تعریف همیلتون این است $\mathbf {i} \mathbf {j} =\mathbf {k}$ . این کنوانسیون همچنین به عنوان "کنوانسیون JPL" برای استفاده از آن در برخی از بخش‌های آزمایشگاه رانش جت ناسا شناخته می‌شود .

طبق قرارداد شوستر، فرمول ضرب دو کواترنیون به گونه ای تغییر می کند که

$\left(r_{1},\ {\vec {v}}_{1}\right)\left(r_{2},\ {\vec {v}}_{2}\right)= \left(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_ {2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}\mathbin {\color {red}\mathbf {-} } {\vec {v}}_{1}\times {\vec { v}}_{2}\right),\qquad {\text{(کنوانسیون جایگزین، استفاده ممنوع!)}}$

فرمول چرخش یک بردار توسط یک کواترنیون تغییر می کند تا باشد

${\begin{aligned}\mathbf {p} '_{\text{alt}}={}&(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\ mathbf {I} \mathbin {\color {red}\mathbf {-} } 2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times ^{2 })\mathbf {p} &{\text{(قرارداد جایگزین، استفاده ممنوع!)}}\\=&\ (\mathbf {I} \mathbin {\color {red}\mathbf {-} } 2q_{r [\mathbf {v} ]_{\times }+2[\mathbf {v} ]_{\times }^{2})\mathbf {p} &\end{تراز شده}}$

برای شناسایی تغییرات تحت قرارداد شوستر، ببینید که علامت قبل از ضرب ضربدر از مثبت به منفی برگردانده شده است.

در نهایت، فرمول تبدیل یک کواترنیون به یک ماتریس چرخشی به صورت تغییر می یابد

${\begin{aligned}\mathbf {R} _{alt}&=\mathbf {I} \mathbin {\color {red}\mathbf {-} } 2q_{r}[\mathbf {v} ] _{\times }+2[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\qquad {\text{(کنوانسیون جایگزین، استفاده ممنوع!)}}\\&={\begin{bmatrix}1 -2s(q_{j}^{2}+q_{k}^{2})&2(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&2(q_{i}q_{k }-q_{j}q_{r})\\2(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{k} ^{2})&2(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})\\2(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})&2(q_ {j}q_{k}-q_{i}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{j}^{2})\end{bmatrix}}\end{تراز شده} }$

که دقیقاً جابجایی ماتریس چرخشی است که تحت قرارداد سنتی تبدیل شده است.

برنامه های نرم افزاری طبق قرارداد مورد استفاده [ ویرایش ]

جدول زیر برنامه ها را بر اساس پایبندی آنها به یکی از کنوانسیون های کواترنیون گروه بندی می کند: [12]


قرارداد ضرب همیلتون	قرارداد ضرب شوستر
Wolfram Mathematica جعبه ابزار سیستم رباتیک متلب جعبه ابزار هوافضای متلب [15] ROS Eigen تقویت کواترنیون ها Quaternion.js حل کننده سرس کتابخانه فضایی SciPy.transform.Rotation کتابخانه ریاضی نمادین SymPy کتابخانه numpy-quaternion	کتابخانه ریاضی مایکروسافت DirectX

در حالی که استفاده از هر یک از این دو قرارداد بر قابلیت یا صحت برنامه های ایجاد شده تأثیر نمی گذارد، نویسندگان [12] استدلال کردند که کنوانسیون شوستر باید کنار گذاشته شود زیرا از قرارداد ضرب کواترنیون بسیار قدیمی تر همیلتون خارج می شود و ممکن است هرگز توسط همیلتون پذیرفته نشود. حوزه های ریاضی یا فیزیک نظری.

مقایسه با سایر نمایش های چرخش [ ویرایش ]

مزایای کواترنیون [ ویرایش ]

نمایش یک چرخش به عنوان یک کواترنیون (4 عدد) فشرده تر از نمایش به عنوان یک ماتریس متعامد (9 عدد) است. علاوه بر این، برای یک محور و زاویه معین، می توان به راحتی ربع مربوطه را ساخت و برعکس، برای یک ربع معین به راحتی می توان محور و زاویه را خواند. هر دوی اینها با ماتریس ها یا زوایای اویلر بسیار سخت تر هستند .

در بازی های ویدیویی و سایر برنامه ها، شخص اغلب به "چرخش های روان" علاقه مند است، به این معنی که صحنه باید به آرامی بچرخد و نه در یک مرحله. این را می توان با انتخاب یک منحنی مانند درون یابی خطی کروی در چهارتایی ها انجام داد که یک نقطه پایانی تبدیل همانی 1 (یا برخی چرخش اولیه دیگر) و دیگری چرخش نهایی مورد نظر است. این با سایر نمایش‌های چرخش مشکل‌سازتر است.

هنگام نوشتن چندین چرخش در رایانه، خطاهای گرد کردن لزوماً جمع می شوند. یک کواترنیون که کمی خاموش است، همچنان نشان دهنده چرخش پس از نرمال شدن است: ماتریسی که کمی خاموش است ممکن است دیگر متعامد نباشد و تبدیل آن به یک ماتریس متعامد مناسب دشوارتر است.

کواترنیون‌ها همچنین از پدیده‌ای به نام قفل گیمبال اجتناب می‌کنند که می‌تواند زمانی ایجاد شود که، برای مثال در سیستم‌های چرخشی pitch/yaw/roll ، گام 90 درجه به بالا یا پایین می‌چرخد، به طوری که انحراف و چرخش با حرکت مشابهی مطابقت دارند، و درجه‌ای از آزادی چرخش از بین رفته است. به عنوان مثال، در یک سیستم ناوبری اینرسی هوافضا مبتنی بر گیمبال ، اگر هواپیما در یک شیرجه یا صعود شیب دار باشد، این می تواند نتایج فاجعه باری داشته باشد.

تبدیل به و از نمایش ماتریس [ ویرایش ]

از یک کواترنیون به یک ماتریس متعامد [ ویرایش ]

ماتریس متعامد متناظر با یک چرخش توسط چهارتایی واحد z = a + b i + c j + d k (با | z | = 1 ) هنگام پس از ضرب با بردار ستونی با

$R={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2bc-2ad&2bd+2ac\\2bc+2ad&a^{2}-b ^{2}+c^{2}-d^{2}&2cd-2ab\\2bd-2ac&2cd+2ab&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\\ \end{pmatrix}}.$

این ماتریس چرخش بر روی بردار w as استفاده می شود $w_{\text{rotated}}=R\cdot w$ . نمایش کواترنیونی این چرخش به صورت زیر ارائه می شود:

${\begin{bmatrix}0\\w_{\text{rotated}}\end{bmatrix}}=z{\begin{bmatrix}0\\w\end{bmatrix}}z^{*}،$

جایی که $z^{*}$ مزدوج کواترنیون است $z$ ، داده شده توسط $\mathbf {z} ^{*}=ab\mathbf {i} -c\mathbf {j} -d\mathbf {k}$

همچنین، ضرب کواترنیونی به این صورت تعریف می شود (با فرض اینکه a و b چهارتایی هستند، مانند z بالا):

$ab=\left(a_{0}b_{0}-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}};a_{0}{\vec {b}}+b_{0} {\vec {a}}+{\vec {a}}\times {\vec {b}}\راست)$

که در آن ترتیب a ، b مهم است زیرا حاصل ضرب متقاطع دو بردار جابجایی نیست.

یک محاسبه کارآمدتر که در آن کواترنیون نیازی به نرمال سازی واحد ندارد توسط [16] ارائه شده است.

$R={\begin{pmatrix}1-cc-dd&bc-ad&bd+ac\\bc+ad&1-bb-dd&cd-ab\\bd-ac&cd+ab&1-bb-cc\\\end{pmatrix}} ،$

که در آن مقادیر میانی زیر تعریف شده است:

${\begin{alignedat}{2}&\ \ s=2/(a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d),\\&{\begin{array} {lll}bs=b\cdot s,&cs=c\cdot s,&ds=d\cdot s,\\ab=a\cdot bs,&ac=a\cdot cs,&ad=a\cdot ds,\\bb =b\cdot bs,&bc=b\cdot cs,&bd=b\cdot ds,\\cc=c\cdot cs,&cd=c\cdot ds,&dd=d\cdot ds.\\\end{آرایه} }\end{alignedat}}$

از یک ماتریس متعامد به یک کواترنیون [ ویرایش ]

هنگام تبدیل یک ماتریس چرخشی به کواترنیون باید مراقب بود، زیرا چندین روش ساده زمانی که ردیابی (مجموع عناصر مورب) ماتریس چرخش صفر یا بسیار کوچک است، تمایل به ناپایداری دارند. برای یک روش پایدار برای تبدیل یک ماتریس متعامد به یک کواترنیون، به ماتریس چرخش #کواترنیون مراجعه کنید.

برازش ربع ها [ ویرایش ]

بخش بالا نحوه بازیابی یک کواترنیون q را از یک ماتریس چرخش 3×3 Q توضیح داد. با این حال، فرض کنید که ماتریس Q داریم که چرخش خالص نیست - برای مثال به دلیل خطاهای گرد کردن - و می‌خواهیم کواترنیون q را پیدا کنیم که به دقت Q را نشان می‌دهد . در آن صورت ما یک ماتریس متقارن 4×4 می سازیم

$K={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}&Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{zx}+Q_ {xz}&Q_{zy}-Q_{yz}\\Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{yy}-Q_{xx}-Q_{zz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{xz} -Q_{zx}\\Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{zz}-Q_{xx}-Q_{yy}&Q_{yx}-Q_{xy}\\ Q_{zy}-Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}&Q_{yx}-Q_{xy}&Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\end{bmatrix}}،$

و بردار ویژه ( x , y , z , w ) مربوط به بزرگترین مقدار ویژه را پیدا کنید (این مقدار 1 خواهد بود اگر و فقط اگر Q یک چرخش خالص باشد). کواترنیون به دست آمده با نزدیکترین چرخش به ماتریس اصلی Q مطابقت دارد [ مشکوک - بحث ] . [17]

مقایسه عملکرد [ ویرایش ]

این بخش مفاهیم عملکرد استفاده از کواترنیون ها در مقابل روش های دیگر (محور/زاویه یا ماتریس های چرخشی) برای انجام چرخش های سه بعدی را مورد بحث قرار می دهد.

نتایج [ ویرایش ]

الزامات ذخیره سازی
روش	ذخیره سازی
ماتریس چرخش	9
کواترنیون	3 یا 4 (به زیر مراجعه کنید)
محور - زاویه	3 یا 4 (به زیر مراجعه کنید)

فقط سه تا از اجزای کواترنیون مستقل هستند، زیرا یک چرخش با یک کواترنیون واحد نشان داده می شود. برای محاسبات بیشتر، معمولاً به هر چهار عنصر نیاز است، بنابراین همه محاسبات هزینه اضافی ناشی از بازیابی جزء چهارم را متحمل خواهند شد. به همین ترتیب، محور زاویه را می توان با ضرب جهت واحد در زاویه (یا تابعی از آن) در یک بردار سه جزیی ذخیره کرد، اما این هزینه محاسباتی اضافی در هنگام استفاده از آن برای محاسبات دارد.

مقایسه عملکرد عملیات زنجیر چرخشی
روش	# ضرب می شود	# اضافه/ تفریق	کل عملیات
ماتریس های چرخشی	27	18	45
کواترنیون ها	16	12	28

مقایسه عملکرد عملیات چرخش برداری [18] [19]
روش		# ضرب می شود	# اضافه/ تفریق	# گناه/کوش	کل عملیات
ماتریس چرخش		9	6	0	15
کواترنیون ها *	بدون ماتریس میانی	15	15	0	30
کواترنیون ها *	با ماتریس میانی	21	18	0	39
محور - زاویه	بدون ماتریس میانی	18	13	2	30 + 3
محور - زاویه	با ماتریس میانی	21	16	2	37 + 2

* کواترنیون ها را می توان به طور ضمنی به یک ماتریس چرخشی تبدیل کرد (12 ضرب و 12 جمع/ تفریق)، که هزینه چرخش بردارهای زیر را با روش ماتریس چرخشی یکسان می کند.

روش های مورد استفاده [ ویرایش ]

سه رویکرد اساسی برای چرخش بردار v → وجود دارد :

حاصلضرب ماتریس یک ماتریس چرخشی 3 × 3 R و ماتریس ستون اصلی 3 × 1 که نشان دهنده v → است را محاسبه کنید. این به 3 × (3 ضرب + 2 جمع) = 9 ضرب و 6 جمع نیاز دارد که کارآمدترین روش برای چرخش یک بردار است.
یک چرخش را می توان با یک کواترنیون طول واحد q = ( w , r → ) با قسمت اسکالر (حقیقی) w و قسمت برداری (خیالی) r → نشان داد. چرخش را می توان از طریق فرمول به بردار 3 بعدی v → اعمال کرد ${\vec {v}}_{\text{new}}={\vec {v}}+2{\vec {r}}\times ({\vec {r}}\times {\vec {v} }+w{\vec {v}})$ . این فقط به 15 ضرب و 15 جمع برای ارزیابی نیاز دارد (یا 18 ضرب و 12 جمع اگر ضریب 2 از طریق ضرب انجام شود). به علامت کواترنیون اعمال می شود. این نتیجه همان فرمول کم کارآمد اما فشرده‌تر ضرب کواترنیون است ${\vec {v}}_{\text{new}}=q{\vec {v}}q^{-1}$ .
از فرمول زاویه/محور برای تبدیل یک زاویه/محور به یک ماتریس چرخشی R استفاده کنید و سپس با یک بردار ضرب کنید، یا به طور مشابه، از یک فرمول برای تبدیل نماد کواترنیون به ماتریس چرخشی و سپس ضرب در یک بردار استفاده کنید. تبدیل زاویه/محور به R 12 ضرب، 2 فراخوانی تابع (sin، cos) و 10 جمع/تفریق هزینه دارد. از مورد 1، چرخش با استفاده از R ، 9 ضرب و 6 جمع اضافی برای مجموع 21 ضرب، 16 جمع/ تفریق، و 2 فراخوانی تابع (sin، cos) اضافه می کند. تبدیل یک کواترنیون به R 12 ضرب و 12 جمع / تفریق هزینه دارد. از مورد 1، چرخش با استفاده از R9 ضرب و 6 جمع اضافی برای مجموع 21 ضرب و 18 جمع / تفریق اضافه می کند.

مقایسه عملکرد n عملیات چرخشی بردار
روش		# ضرب می شود	# اضافه/ تفریق	# گناه/کوش	کل عملیات
ماتریس چرخش		9 n	6 n	0	15 n
کواترنیون ها *	بدون ماتریس میانی	15 n	15 n	0	30 n
کواترنیون ها *	با ماتریس میانی	9 n + 12	6 n + 12	0	15 n + 24
محور - زاویه	بدون ماتریس میانی	18 n	12 n + 1	2	30 n + 3
محور - زاویه	با ماتریس میانی	9 n + 12	6 n + 10	2	15 n + 24

جفت کواترنیون های واحد به عنوان چرخش در فضای 4 بعدی [ ویرایش ]

یک جفت کواترنیون واحد z l و z r می توانند هر چرخشی را در فضای 4 بعدی نشان دهند. با توجه به یک بردار چهاربعدی v → و با فرض اینکه یک بردار چهار بعدی است، می‌توانیم بردار v را به این صورت بچرخانیم :

$f\left({\vec {v}}\right)=\mathbf {z} _{\rm {l}}{\vec {v}}\mathbf {z} _{\rm {r} }={\begin{pmatrix}a_{\rm {l}}&-b_{\rm {l}}&-c_{\rm {l}}&-d_{\rm {l}}\\b_{ \rm {l}}&a_{\rm {l}}&-d_{\rm {l}}&c_{\rm {l}}\\c_{\rm {l}}&d_{\rm {l}} &a_{\rm {l}}&-b_{\rm {l}}\\d_{\rm {l}}&-c_{\rm {l}}&b_{\rm {l}}&a_{\rm {l}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{\rm {r}}&-b_{ \rm {r}}&-c_{\rm {r}}&-d_{\rm {r}}\\b_{\rm {r}}&a_{\rm {r}}&d_{\rm {r }}&-c_{\rm {r}}\\c_{\rm {r}}&-d_{\rm {r}}&a_{\rm {r}}&b_{\rm {r}}\\ d_{\rm {r}}&c_{\rm {r}}&-b_{\rm {r}}&a_{\rm {r}}\ end{pmatrix}}.$

جفت ماتریس نشان دهنده چرخش ℝ 4 است. توجه داشته باشید که از زمان $(\mathbf {z} _{\rm {l}}{\vec {v}})\mathbf {z} _{\rm {r}}=\mathbf {z} _{\rm {l}}( {\vec {v}}\mathbf {z} _{\rm {r}})$ ، دو ماتریس باید رفت و آمد داشته باشند. بنابراین، دو زیر گروه رفت و آمد از گروه چرخش های چهار بعدی وجود دارد. چرخش های چهار بعدی دلخواه 6 درجه آزادی دارند. هر ماتریس نشان دهنده 3 درجه از آن 6 درجه آزادی است.

از آنجایی که مولدهای چرخش های چهار بعدی را می توان با جفت کواترنیون ها (به شرح زیر) نشان داد، تمام چرخش های چهار بعدی را نیز می توان نشان داد.

${\begin{aligned}\mathbf {z} _{\rm {l}}{\vec {v}}\mathbf {z} _{\rm {r}}&={\begin{pmatrix} 1&-dt_{ab}&-dt_{ac}&-dt_{ad}\\dt_{ab}&1&-dt_{bc}&-dt_{bd}\\dt_{ac}&dt_{bc}&1&-dt_{ cd}\\dt_{ad}&dt_{bd}&dt_{cd}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\\[3pt] \mathbf {z} _{\rm {l}}&=1+{dt_{ab}+dt_{cd} \over 2}i+{dt_{ac}-dt_{bd} \over 2}j+{dt_{ ad}+dt_{bc} \over 2}k\\[3pt]\mathbf {z} _{\rm {r}}&=1+{dt_{ab}-dt_{cd} \over 2}i+{ dt_{ac}+dt_{bd} \over 2}j+{dt_{ad}-dt_{bc} \over 2}k\end{تراز شده}}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation

2-کواترنیون ها و چرخش فضایی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 14:36

ازیابی نمایش زاویه محور [ ویرایش ]

بیان $\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}$ هر کواترنیون برداری را می چرخاند $\mathbf {p}$ حول محوری که بردار داده می شود $\mathbf {a}$ توسط زاویه $تتا$ ، جایی که $\mathbf {a}$ و $تتا$ بستگی به کواترنیون دارد $\mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k}$ .

$\mathbf {a}$ و $تتا$ از معادلات زیر بدست می آید:

${\begin{aligned}(a_{x},a_{y},a_{z})={}&{\frac {(q_{i},q_{j},q_{k})} {\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}}}\\[2pt]\theta =2\operatorname {atan2} &\left ({\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}},\,q_{r}\right),\end{تراز شده}}$

جایی کهآتان 2 $\operatorname {atan2}$ متقاطع دو آرگومان است .

هنگامی که کواترنیون به یک اسکالر نزدیک می شود باید مراقب بود ، زیرا به دلیل انحطاط محور چرخش همانی به خوبی تعریف نشده است.

ترکیب چرخش های فضایی [ ویرایش ]

یکی از مزایای فرمول کواترنیون ترکیب دو چرخش R B و R A این است که مستقیماً محور چرخش و زاویه چرخش مرکب R C = R B R A را ایجاد می کند.

اجازه دهید کواترنیون مرتبط با یک چرخش فضایی R از محور چرخش S با زاویه چرخش ساخته شود. $\varphi$ حول این محور کواترنیون مرتبط توسط

$S=\cos {\frac {\varphi }{2}}+\mathbf {S} \sin {\frac {\varphi }{2}}.$

سپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A با محور چرخش و زاویه تعریف شده توسط حاصل ضرب ربع‌ها است.

$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\quad {\text{and}}\quad B= \cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}،$

به این معنا که

$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta } {2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right).$

برای به دست آوردن این ضرب را گسترش دهید

$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta }{2 }}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha } {2}}\right)+\left(\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right).$

دو طرف این معادله را بر همانی تقسیم کنید، که قانون کسینوس روی یک کره است .

$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \ cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}،$

و محاسبه کنید

$\mathbf {C} \tan {\frac {\gamma }{2}}={\frac {\mathbf {B} \tan {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {A} \tan {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2 }}}{1-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}}}.$

این فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای دو چرخش تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [7]

سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند. همیلتون [8] فرم مؤلفه این معادلات را ارائه کرد که نشان می‌دهد حاصل ضرب کواترنیون، راس سوم یک مثلث کروی را از دو راس داده شده و طول قوس مرتبط با آنها محاسبه می‌کند، که همچنین جبری برای نقاط در هندسه بیضوی تعریف می‌کند.

ترکیب محور-زاویه [ ویرایش ]

محور چرخش نرمال شده، از بین بردن ${\textstyle \cos {\frac {\gamma }{2}}}$ از ضرب منبسط شده، بردار را که محور چرخش است، چند برابر ثابت ترک می کند. زمانی که باید بردار محور را عادی کرد $\گاما$ است $0$ یا $k2\pi$ جایی که بردار نزدیک است $0$ ; که همان همانی یا چرخش 0 حول هر محوری است.

${\begin{aligned}\gamma &=2\cos ^{-1}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}} -\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\\\mathbf {D} و =\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2} }\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{ 2}}\end{تراز شده}}$

یا با جایگزینی مثلثاتی جمع زاویه ...

${\begin{aligned}\gamma &=2\cos ^{-1}\left(\left(1-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\cos {\frac { \beta -\alpha }{2}}+\left(1+\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\right) \\\mathbf {D} &=\left(\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)\mathbf {A} +\left(\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)\mathbf {B} +\ چپ (\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)\mathbf {B} \times \mathbf {A} \end{تراز شده}}$

در نهایت نرمال کردن محور چرخش: ${\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{2\sin {\frac {1}{2}}\gamma }}}$ یا ${\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{\|\mathbf {D} \|}}}$ .

تمایز با توجه به ربع چرخش [ ویرایش ]

هنگامی که چرخش از روی بهینه سازی عددی تخمین زده می شود، کواترنیون چرخان p' = q pq -1 باید با توجه به کواترنیون چرخان q متمایز شود. تخمین زاویه چرخش یک روش ضروری در ثبت اشیاء سه بعدی یا کالیبراسیون دوربین است. برای q واحد و p خیالی خالص ، یعنی برای یک چرخش در فضای سه بعدی، مشتقات کواترنیون چرخانده را می توان با استفاده از نماد حساب ماتریس به عنوان نشان داد.

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial \mathbf {q} }}\equiv \left[{\frac {\partial \mathbf {p'} } {\partial q_{0}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{x}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_ {y}}}،{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{z}}}\right]=\left[\mathbf {pq} -(\mathbf {pq} )^{ *},(\mathbf {pqi} )^{*}-\mathbf {pqi} ,(\mathbf {pqj} )^{*}-\mathbf {pqj} ,(\mathbf {pqk} )^{*} -\mathbf {pqk} \راست].\end{تراز شده}}$

یک اشتقاق را می توان در یافت [9]

پس زمینه [ ویرایش ]

1-کواترنیون ها و چرخش فضایی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 14:34

کواترنیون های واحد که به عنوان ورسور شناخته می شوند ، یک نماد ریاضی مناسب برای نمایش جهت گیری های فضایی و چرخش عناصر در فضای سه بعدی ارائه می دهند. به طور خاص، آنها اطلاعات مربوط به یک چرخش محور-زاویه حول یک محور دلخواه را رمزگذاری می کنند . ربع‌های چرخشی و جهت‌یابی در گرافیک کامپیوتری ، [1] بینایی کامپیوتر ، رباتیک ، [2] ناوبری ، دینامیک مولکولی ، دینامیک پرواز ، [3] مکانیک مداری ماهواره‌ها کاربرد دارند.، [4] و تجزیه و تحلیل بافت کریستالوگرافی . [5]

هنگامی که برای نشان دادن چرخش استفاده می شود، کواترنیون های واحد نیز به عنوان چهارتایی چرخشی نامیده می شوند زیرا آنها گروه چرخش سه بعدی را نشان می دهند . هنگامی که برای نشان دادن یک جهت (چرخش نسبت به یک سیستم مختصات مرجع) استفاده می شود، به آنها چهارتایی جهت گیری یا چهارگانه های نگرش می گویند . چرخش فضایی حول یک نقطه ثابت از $تتا$ رادیان حول محور واحد $(X,Y,Z)$ که نشان دهنده محور اویلر است با کواترنیون داده می شود ${\splaystyle (C,X\,S,Y\,S,Z\,S)}$ ، $C=\cos(\theta /2)$ و $S=\sin(\theta /2)$ .

در مقایسه با ماتریس های چرخشی ، کواترنیون ها فشرده تر، کارآمدتر و از نظر عددی پایدارتر هستند . در مقایسه با زوایای اویلر ، آهنگسازی آنها ساده تر است. با این حال، آنها به اندازه شهودی و درک آسان نیستند و به دلیل ماهیت تناوبی سینوس و کسینوس، زوایای چرخش که دقیقاً بر اساس دوره طبیعی متفاوت است در ربع‌های یکسان کدگذاری می‌شوند و زوایای بازیابی شده بر حسب رادیان محدود می‌شوند. $[0,2\pi]$ .

استفاده از کواترنیون ها به عنوان چرخش [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژانویه 2022 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

تجسم سه بعدی یک کره و چرخش حول محور اویلر (ه^ ${\نفرت}}$ ) با زاویه ای از $تتا$

در فضای سه بعدی، طبق قضیه چرخش اویلر ، هر چرخش یا دنباله ای از چرخش یک جسم صلب یا سیستم مختصات حول یک نقطه ثابت، معادل یک چرخش منفرد در یک زاویه معین است. $تتا$ در مورد یک محور ثابت (به نام محور اویلر ) که از نقطه ثابت می گذرد. محور اویلر معمولا با یک بردار واحد u → (ه^ ${\نفرت}}$ در تصویر). بنابراین، هر چرخش در سه بعد را می توان به صورت ترکیبی از بردار u → و یک اسکالر نشان داد. $تتا$ .

کواترنیون ها یک راه ساده برای رمزگذاری این نمایش محور-زاویه در چهار عدد ارائه می دهند و می توان از آنها برای اعمال (محاسبه) چرخش متناظر به بردار موقعیت (x,y,z) استفاده کرد که نشان دهنده یک نقطه نسبت به مبدا در R3 است . .

بردارهای اقلیدسی مانند (2، 3، 4) یا ( a x ، a y ، a z ) را می توان به صورت 2 i + 3 j + 4 k یا x i + a y j + a z k بازنویسی کرد ، جایی که i ، j ، k بردارهای واحدی هستند که سه محور دکارتی را نشان می دهند (به طور سنتی x ، y ، z، و همچنین از قوانین ضرب واحدهای چهارگانه اساسی پیروی می کنند.

بنابراین، یک چرخش زاویه $تتا$ حول محوری که توسط بردار واحد تعریف شده است

${\vec {u}}=(u_{x},u_{y},u_{z})=u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\ mathbf {k}$

را می توان با یک کواترنیون نشان داد. این را می توان با استفاده از فرمول اویلر انجام داد :

$\mathbf {q} =e^{{\frac {\theta }{2}}{(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k } )}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} ) \sin {\frac {\theta }{2}}$

می توان نشان داد [ توضیح بیشتر لازم است ] که چرخش مورد نظر را می توان در یک بردار معمولی اعمال کرد $\mathbf {p} =(p_{x},p_{y},p_{z})=p_{x}\mathbf {i} +p_{y}\mathbf {j} +p_{z}\mathbf { k}$ در فضای سه بعدی، به عنوان یک ربع با مختصات حقیقی برابر با صفر، با ارزیابی صیغه p با q در نظر گرفته می شود :

$\mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}$

با استفاده از حاصلضرب همیلتون ، که در آن p ′ = ( p x ′, p y ′, p z ′) بردار موقعیت جدید نقطه پس از چرخش است. در اجرای برنامه‌ای، صیغه با ساختن یک کواترنیون به دست می‌آید که قسمت بردار آن p و قسمت حقیقی برابر با صفر است و سپس ضرب کواترنیونی انجام می‌شود. قسمت بردار کواترنیون حاصل، بردار مورد نظر p است .

یک حقیقیت هندسی مستقل از کواترنیون ها وجود یک نقشه برداری دو به یک از چرخش های فیزیکی به ماتریس های تبدیل چرخشی است. اگر 0 ⩽ $تتا$ ⩽2 $2\pi$ ، یک چرخش فیزیکی در موردتو→ ${\vec {u}}$ توسط $تتا$ و یک چرخش فیزیکی در مورد-تو→ $-{\vec {u}}$ توسط2- $2\pi -\theta$ هر دو به جهت گیری نهایی یکسانی با مسیرهای مجزا از طریق جهت گیری های میانی دست می یابند. با وارد کردن آن بردارها و زوایا در فرمول q بالا، متوجه می‌شویم که اگر q نشان‌دهنده اولین چرخش باشد، - q نشان‌دهنده چرخش دوم است. این یک اثبات هندسی است که صیغه کردن توسط q و - q باید همان ماتریس تبدیل چرخشی را ایجاد کند. این حقیقیت از نظر جبری با توجه به اینکه صیغه در q درجه دوم است تأیید می شود ، بنابراین علامت q لغو می شود و بر نتیجه تأثیر نمی گذارد. (نگاه کنید به 2:1 نگاشت SU(2) به SO(3) ) اگر هر دو چرخش نیم چرخش باشند(=) $(\theta =\pi )$ ، هر دو q و - q یک مختصات حقیقی برابر با صفر خواهند داشت. در غیر این صورت، یک قسمت حقیقی مثبت خواهد داشت که نشان دهنده چرخش با زاویه کمتر از $\pi$ و دیگری یک قسمت حقیقی منفی خواهد داشت که نشان دهنده چرخش با زاویه ای بزرگتر از $\pi$ .

از نظر ریاضی، این عملیات مجموعه تمام ربع‌های «خالص» p (آنهایی که قسمت حقیقی آن‌ها برابر با صفر است) - که یک فضای 3 بعدی در بین چهارتایی‌ها را تشکیل می‌دهند - با چرخش مورد نظر حول محور u با زاویه به درون خود حمل می‌کند. θ. (هر کواترنیون حقیقی با این عمل به درون خود حمل می شود. اما به منظور چرخش در فضای 3 بعدی، از کواترنیون های حقیقی چشم پوشی می کنیم.)

چرخش در جهت عقربه های ساعت است اگر خط دید ما در همان جهت u → باشد.

در این مثال، q یک کواترنیون واحد است و

$\mathbf {q} ^{-1}=e^{-{\frac {\theta }{2}}{(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{ z}\mathbf {k} )}}=\cos {\frac {\theta }{2}}-(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z} \mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}.$

نتیجه این است که صیغه با حاصلضرب دو چهارتایی، ترکیب صیغه‌های این چهارتیون‌ها است: اگر p و q چهارتایی واحد باشند، چرخش (هم‌زمان) توسط pq برابر است با

$\mathbf {pq} {\vec {v}}(\mathbf {pq} )^{-1}=\mathbf {pq} {\vec {v}}\mathbf {q} ^{-1}\mathbf { p} ^{-1}=\mathbf {p} (\mathbf {q} {\vec {v}}\mathbf {q} ^{-1})\mathbf {p} ^{-1}$ ،

که همان چرخش (کنژوگه) با q و سپس با p است. مولفه اسکالر نتیجه لزوماً صفر است.

معکوس چهارتایی یک چرخش چرخش مخالف است، زیرا $\mathbf {q} ^{-1}(\mathbf {q} {\vec {v}}\mathbf {q} ^{-1})\mathbf {q} ={\vec {v}}$ . مربع چرخش کواترنیون چرخش دو برابر زاویه حول یک محور است. به طور کلی q n چرخشی n برابر زاویه حول همان محور q است. این را می توان به n حقیقی دلخواه تعمیم داد که امکان درونیابی صاف بین جهت گیری های فضایی را فراهم می کند. رجوع به اسلرپ شود.

دو کواترنیون چرخشی را می توان با این رابطه در یک کواترنیون معادل ترکیب کرد:

$\mathbf {q} '=\mathbf {q} _{2}\mathbf {q} _{1}$

که در آن q ′ مربوط به چرخش q 1 و به دنبال آن چرخش q 2 است. بنابراین، تعداد دلخواه چرخش را می توان با هم ترکیب کرد و سپس به عنوان یک چرخش واحد اعمال کرد. (توجه داشته باشید که ضرب کواترنیونی جابجایی نیست .)

مثال عملیات صرف [ ویرایش ]

چرخش 120 درجه حول اولین مورب i , j , و k به صورت چرخه ای جای می گیرد

مزدوج کردن p با q به عملیات p ↦ qpq −1 اشاره دارد.

چرخش f حول محور را در نظر بگیرید ${\vec {v}}=\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k}$ ، با زاویه چرخش 120 درجه یا2 π/3 رادیان .

$\alpha ={\frac {2\pi }{3}}$

p ↦ q p برای q =1 + i + j + k/2روی واحد 3 کره توجه داشته باشید که این ضرب یک طرفه (یعنی چپ ) چرخش 60 درجه ای از چهارتایی ها را به دست می دهد.

طول v → √ 3 است ، نیم زاویه استπ/3(60 درجه) با کسینوس 1/2، ( cos 60° = 0.5 ) و سینوس √ 3/2، ( سین 60° ≈ 0.866 ). بنابراین ما با صرف کواترنیون واحد سروکار داریم

${\begin{aligned}u&=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot {\frac {1}{\|{ \vec {v}}\|}}{\vec {v}}\\&=\cos {\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}} \cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2 }}\cdot {\frac {\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{\sqrt {3}}}\\&={\frac {1+\mathbf {i} + \mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}\end{تراز شده}}$

اگر f تابع چرخش باشد،

$f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=u(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )u^{ -1}$

می توان ثابت کرد که معکوس یک کواترنیون واحد به سادگی با تغییر علامت اجزای خیالی آن به دست می آید. به عنوان یک نتیجه،

$u^{-1}={\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} }{2}}$

$f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )={\dfrac {1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} ){\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} {2}}$

این را می توان با استفاده از قوانین معمولی برای محاسبات کواترنیونی ساده کرد

$f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=c\mathbf {i} +a\mathbf {j} +b\mathbf {k}$

همانطور که انتظار می رود، چرخش مربوط به ثابت نگه داشتن یک مکعب در یک نقطه، و چرخاندن آن 120 درجه حول مورب طولانی در نقطه ثابت است (به نحوه جابجایی چرخه ای سه محور توجه کنید).

ماتریس چرخش مشتق از کواترنیون [ ویرایش ]

یک چرخش کواترنیون $\mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}$ (با $\mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k}$ ) را می توان به صورت جبری در یک چرخش ماتریس دستکاری کرد پ"=آرپ $\mathbf {p'} =\mathbf {Rp}$ ، جایی کهآر $\mathbf {R}$ ماتریس چرخش است که توسط: [6]

$\mathbf {R} ={\begin{bmatrix}1-2s(q_{j}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{i}q_{j}-q_{ k}q_{r})&2s(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})\\2s(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1 -2s(q_{i}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})\\2s(q_{i}q_ {k}-q_{j}q_{r})&2s(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{j} ^{2})\end{bmatrix}}$

اینجا $s=\|q\|^{-2}$ و اگر یک کواترنیون واحد باشد، $s=1^{-2}=1$ .

اگر بیان کنیم می توان با استفاده از حساب برداری و جبر خطی به دست آورد $\mathbf {p}$ و $\mathbf q$ به عنوان قطعات اسکالر و برداری و از فرمول عملیات ضرب در معادله استفاده کنید $\mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}$ . اگر بنویسیم $\mathbf {p}$ مانند $\left(0,\ \mathbf {p} \right)$ ، $\mathbf {p} '$ مانند $\left(0,\ \mathbf {p} '\right)$ و $\mathbf q$ مانند $\left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)$ ، جایی که $\mathbf {v} =\left(q_{i},q_{j},q_{k}\right)$ ، معادله ما تبدیل می شود $\left(0,\ \mathbf {p} '\right)=\left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)\left(0,\ \mathbf {p} \right) s\left(q_{r},\ -\mathbf {v} \راست)$ . با استفاده از فرمول ضرب دو چهارتایی که به صورت قطعات اسکالر و برداری بیان می شوند،

این معادله را می توان به صورت بازنویسی کرد

${\begin{aligned}(0,\ \mathbf {p} ')=&((q_{r},\ \mathbf {v})(0,\ \mathbf {p} ))s(q_ {r},\ -\mathbf {v} )\\=&(q_{r}0-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ q_{r}\mathbf {p} +0\mathbf {v} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )s(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&s(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&s(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} q_{r}-(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )\cdot (-\mathbf {v}),\ (- \mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )(-\mathbf {v})+q_{r}(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p}) +(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )\times (-\mathbf {v} ))\\=&s\left(-\mathbf {v} \ cdot \mathbf {p} q_{r}+q_{r}\mathbf {v} \cdot \mathbf {p}،\ \mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)+q_{r}^{2}\mathbf {p} +q_{r}\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\mathbf {v} \times \left(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} \right)\right)\\=&\ چپ (0,\ s\left(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\right)\mathbf {p} \right),\end{تراز شده}}$

جایی که $\زمانها$ ضرب بیرونی را نشان می دهد ،ماتریس همانی است و $[\mathbf {v} ]_{\times }$ ماتریس تبدیلی است که وقتی از سمت راست با یک بردار ضرب می شودتو $\mathbf u$ ضرب متقاطع را می دهد و $\mathbf {v} \times \mathbf {u}$ .

از آنجا که $\mathbf {p} '=\mathbf {R} \mathbf {p}$ ، می توانیم شناسایی کنیم $\mathbf {R}$ مانند $s\left(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times } +[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\right)$ ، که پس از گسترش باید عبارتی را که به شکل ماتریس در بالا نوشته شده است، بیان کند.

ب

3-طرح ریزی سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 12:36

طرح ریزی چشم انداز [ ویرایش ]

همچنین ببینید: پرسپکتیو (گرافیکی) ، ماتریس تبدیل ، و ماتریس دوربین

چشم انداز یک جامد هندسی با استفاده از دو نقطه ناپدید شدن. در این حالت، نقشه جامد (برآمدگی متعامد) در زیر پرسپکتیو ترسیم می شود، گویی صفحه زمین را خم می کند.

طرح آکسونومتری طرحی که عناصر مربوطه یک پرسپکتیو صفحه تصویر عمودی را نمایش می دهد. نقطه ایستاده (PS) روی صفحه زمین π قرار دارد و نقطه دید (PV) درست بالای آن قرار دارد. PP نمایش آن بر روی صفحه تصویر α است. LO و LT افق و خطوط زمین هستند ( linea d'orizzonte و linea di terra ). خطوط پررنگ s و q روی π قرار می گیرند و α را به ترتیب در Ts و Tq قطع می کنند. خطوط موازی از طریق PV (قرمز) LO را در نقاط ناپدید Fs و Fq قطع می کنند.: بنابراین می توان برآمدگی های s′ و q′ و همچنین تقاطع R′ آنها را روی R رسم کرد .

طرح ریزی پرسپکتیو یا تبدیل پرسپکتیو یک طرح ریزی خطی است که در آن اجسام سه بعدی بر روی یک صفحه تصویر نمایش داده می شوند. این تأثیری دارد که اجسام دور کوچکتر از اجسام نزدیکتر به نظر می رسند.

همچنین به این معنی است که خطوطی که در طبیعت موازی هستند (یعنی در نقطه بینهایت به هم می رسند) به نظر می رسد در تصویر ارائه شده قطع می شوند. برای مثال، اگر راه‌آهن‌ها با پرسپکتیو تصویر شوند، به نظر می‌رسد که به سمت یک نقطه به نام نقطه ناپدید شدن همگرا می‌شوند . لنزهای عکاسی و چشم انسان به یک شکل عمل می کنند، بنابراین طرح ریزی پرسپکتیو واقعی ترین به نظر می رسد. [5] پرسپکتیو معمولاً به پرسپکتیو یک نقطه‌ای ، دو نقطه‌ای و سه نقطه‌ای تقسیم می‌شود ، بسته به جهت‌گیری صفحه نمایش به سمت محورهای جسم تصویر شده. [6]

روش های طرح ریزی گرافیکی بر دوگانگی بین خطوط و نقاط تکیه دارند، به موجب آن دو خط مستقیم یک نقطه را تعیین می کنند در حالی که دو نقطه یک خط مستقیم را تعیین می کنند. برآمدگی متعامد نقطه چشم بر روی صفحه تصویر، نقطه ناپدید شدن اصلی نامیده می شود (PP در طرح سمت چپ، از اصطلاح ایتالیایی punto principale ، که در دوران رنسانس ابداع شد). [7]

دو نقطه مربوط به یک خط عبارتند از:

تقاطع آن با صفحه تصویر، و
نقطه ناپدید شدن آن، در تقاطع بین خط موازی از نقطه چشم و صفحه تصویر یافت می شود.

نقطه ناپدید شدن اصلی، نقطه ناپدید شدن تمام خطوط افقی عمود بر صفحه تصویر است. نقاط ناپدید شدن همه خطوط افقی روی خط افق قرار دارند. اگر همانطور که اغلب اتفاق می افتد، صفحه تصویر عمودی است، تمام خطوط عمودی به صورت عمودی ترسیم می شوند و نقطه ناپدید شدن محدودی در صفحه تصویر ندارند. روش های گرافیکی مختلفی را می توان به راحتی برای نمایش صحنه های هندسی در نظر گرفت. به عنوان مثال، خطوط ترسیم شده از نقطه چشم در 45 درجه تا صفحه تصویر، دومی را در امتداد دایره ای که شعاع آن فاصله نقطه چشم از صفحه است قطع می کنند، بنابراین ردیابی آن دایره به ساخت تمام نقاط ناپدید 45 درجه کمک می کند. خطوط؛ به طور خاص، تقاطع آن دایره با خط افق از دو نقطه فاصله تشکیل شده است. آنها برای ترسیم کف تخته شطرنج که به نوبه خود برای مکان یابی پایه اشیاء در صحنه مفید هستند. در پرسپکتیو یک جامد هندسی در سمت راست، پس از انتخاب نقطه ناپدید اصلی - که خط افق را تعیین می کند - نقطه ناپدید شدن 45 درجه در سمت چپ نقاشی، توصیف دیدگاه (به همان اندازه دور) را کامل می کند. دو خط از برآمدگی متعامد هر راس، یکی در 45 درجه و دیگری در 90 درجه به صفحه تصویر کشیده شده است. پس از تقاطع خط زمین، آن خطوط به سمت نقطه فاصله (برای 45 درجه) یا نقطه اصلی (برای 90 درجه) می روند. تقاطع جدید آنها نمایانگر نقشه را مشخص می کند. ارتفاعات طبیعی بالای خط زمین اندازه‌گیری می‌شوند و سپس به همان روش پیش‌بینی می‌شوند تا زمانی که به عمودی از روی نقشه برسند.

در حالی که طرح املایی چشم انداز را نادیده می گیرد تا امکان اندازه گیری دقیق را فراهم کند، طرح ریزی پرسپکتیو اجسام دور را کوچکتر نشان می دهد تا واقع گرایی بیشتری ارائه دهد.

فرمول ریاضی [ ویرایش ]

طرح‌ریزی پرسپکتیو در مقایسه با پیش‌بینی‌های املایی نیاز به تعریف درگیرتری دارد. یک کمک مفهومی برای درک مکانیک این طرح این است که تصویر دوبعدی را به گونه‌ای تصور کنید که گویی شیء(ها) از طریق منظره یاب دوربین مشاهده می‌شوند. موقعیت، جهت گیری و میدان دید دوربین ، رفتار تبدیل طرح ریزی را کنترل می کند. متغیرهای زیر برای توصیف این تبدیل تعریف شده اند:

${\mathbf {a}}_{{x,y,z}}$ – موقعیت سه بعدی نقطه A که قرار است پیش بینی شود.
${\mathbf {c}}_{{x,y,z}}$ - موقعیت سه بعدی نقطه C که نشان دهنده دوربین است.
${\mathbf {\theta }}_{{x,y,z}}$ - جهت دوربین (که با زوایای Tait–Bryan نشان داده شده است ).
${\mathbf {e}}_{{x,y,z}}$ - موقعیت سطح نمایشگر نسبت به سوراخ دوربین C. [8]

اکثر قراردادها از مقادیر z مثبت استفاده می کنند (صفحه در جلوی سوراخ سوزن قرار دارد)، با این حال مقادیر z منفی از نظر فیزیکی صحیح تر هستند، اما تصویر هم به صورت افقی و هم به صورت عمودی معکوس می شود. که منجر به:

${\mathbf {b}}_{{x,y}}$ - طرح ریزی دو بعدی ازآ. $\mathbf {a}.$

چه زمانی ، ${\mathbf {c}}_{{x,y,z}}=\langle 0,0,0\rangle ,$ و ${\mathbf {\theta }}_{{x,y,z}}=\langle 0,0,0\rangle ,$ بردار سه بعدی〈1،2،0〉 $\langle 1,2,0\rangle$ به بردار دوبعدی پیش بینی می شود〈1،2〉 $\langle 1,2\rangle$ .

در غیر این صورت، برای محاسبه ${\mathbf {b}}_{{x,y}}$ ابتدا یک بردار را تعریف می کنی ${\mathbf {d}}_{{x,y,z}}$ به عنوان موقعیت نقطه A نسبت به سیستم مختصاتی که توسط دوربین تعریف شده است، با مبدا C و چرخش توسط دوربین $\mathbf {\theta }$ با توجه به سیستم مختصات اولیه این با تفریق حاصل می شود ج $\mathbf {c}$ از جانبآ $\mathbf {a}$ و سپس اعمال چرخش توسط- $-{\mathbf {\theta }}$ به نتیجه این تبدیل اغلب a نامیده می شودتبدیل دوربین ، و می تواند به صورت زیر بیان شود، چرخش را بر حسب چرخش در موردx، yوzمی کند (این محاسبات فرض می کنند که محورها به عنوان یکچپگرد از): [9] [10 ] ]

${\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _ {x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin( \mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _ {z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\ \mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c } _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)$

این نمایش مربوط به چرخش با سه زاویه اویلر (به طور صحیح تر، زوایای Tait-Bryan )، با استفاده از قرارداد xyz است که می تواند به صورت "چرخش حول محورهای بیرونی (محورهای صحنه ) به ترتیب z ، y ، x تفسیر شود. (خواندن از راست به چپ)" یا "حول محورهای ذاتی (محورهای دوربین ) به ترتیب x، y، z (خواندن از چپ به راست)". توجه داشته باشید که اگر دوربین نچرخد ${\mathbf {\theta }}_{{x,y,z}}=\langle 0,0,0\rangle$ ، سپس ماتریس ها خارج می شوند (به عنوان هویت)، و این به یک تغییر ساده کاهش می یابد:. ${\mathbf {d}}={\mathbf {a}}-{\mathbf {c}}.$

متناوبا، بدون استفاده از ماتریس (اجازه دهید جایگزین کنیم $a_{x}-c_{x}$ با $\mathbf {x}$ و غیره و به اختصار $\cos \left(\theta _{\alpha }\right)$ به $c_{\alpha }$ و $\sin \left(\theta _{\alpha }\right)$ به $s_{\alpha }$ ): [ توضیح لازم است ]

${\begin{aligned}\mathbf {d} _{x}&=c_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} )-s_{y} \mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}&=s_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{ z}\mathbf {x} ))+c_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}&=c_{ x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))-s_{x}(c_{z}\ mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\end{تراز شده}}$

سپس این نقطه تبدیل شده را می توان با استفاده از فرمول روی صفحه دوبعدی پیش بینی کرد (در اینجا x / y به عنوان صفحه نمایش استفاده می شود؛ ادبیات همچنین ممکن است از x / z استفاده کند ): [11]

${\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d } _{x}+\mathbf {e} _{x}،\\[5pt]\mathbf {b} _{y}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf { d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}+\mathbf {e} _{y}.\end{تراز شده}}$

یا به صورت ماتریسی با استفاده از مختصات همگن ، سیستم

${\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{w}\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}1&0&{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&1&{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&0&{\frac {1}{\mathbf {e} _{z}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x }\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}$

در ارتباط با استدلال با استفاده از مثلث های مشابه، منجر به تقسیم با مختصات همگن می شود و

${\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y} &=\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\end{تراز شده}}$

فاصله بیننده از سطح نمایشگر، $\mathbf{e}_z$ ، مستقیماً به میدان دید مربوط می شود که در آن $\alpha =2\cdot \arctan(1/\mathbf {e} _{z})$ زاویه دید است (توجه: این فرض را بر این می گذارد که نقاط (-1،-1) و (1،1) را در گوشه های سطح دید خود ترسیم کنید)

معادلات فوق را می توان به صورت زیر نیز بازنویسی کرد:

${\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z }\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z}،\\\mathbf {b} _{y}&=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _ {y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}.\end{تراز شده}}$

که در آن، ${\mathbf {s}}_{{x,y}}$ اندازه نمایشگر است،، ${\mathbf {r}}_{{x,y}}$ اندازه سطح ضبط ( CCD یا فیلم عکاسی )، ${\mathbf {r}}_{z}$ فاصله سطح ضبط تا مردمک ورودی ( مرکز دوربین )، ${\mathbf {d}}_{z}$ فاصله، از نقطه 3 بعدی در حال نمایش، تا مردمک ورودی است.

عملیات برش و مقیاس بندی بعدی ممکن است برای نگاشت صفحه دوبعدی بر روی هر رسانه نمایشی خاصی ضروری باشد.

پرسپکتیو ضعیف [ ویرایش ]

یک نمایش پرسپکتیو «ضعیف» از همان اصول طرح‌ریزی املایی استفاده می‌کند، اما نیاز به تعیین ضریب مقیاس‌بندی دارد، بنابراین اطمینان حاصل می‌شود که اجسام نزدیک‌تر در طرح‌ریزی بزرگ‌تر به نظر می‌رسند و بالعکس. می توان آن را به عنوان ترکیبی بین یک طرح املایی و یک پرسپکتیو مشاهده کرد و یا به عنوان یک طرح ریزی پرسپکتیو با عمق نقطه منفرد توصیف کرد. $Z_{i}$ با یک عمق ثابت متوسط جایگزین می شود $Z_{\text{ave}}$ ، [12] یا به سادگی به عنوان یک طرح املایی به اضافه یک مقیاس بندی. [13]

بنابراین، مدل با چشم‌انداز ضعیف، در حالی که از یک مدل ساده‌تر، شبیه به چشم‌انداز املایی خالص (غیر مقیاس‌شده) استفاده می‌کند، پیش‌بینی پرسپکتیو را تقریب می‌کند. زمانی که عمق جسم در امتداد خط دید در مقایسه با فاصله از دوربین کم باشد و میدان دید کم باشد، تقریبی منطقی است. با این شرایط می توان فرض کرد که تمام نقاط یک جسم سه بعدی در یک فاصله قرار دارند $Z_{\text{ave}}$ از دوربین بدون خطاهای قابل توجه در طرح ریزی (در مقایسه با مدل پرسپکتیو کامل).

معادله

${\begin{aligned}&P_{x}={\frac {X}{Z_{\text{ave}}}}\\[5pt]&P_{y}={\frac {Y}{Z_{ \text{ave}}}}\end{تراز شده}}$

با فرض فاصله کانونی=1 $f=1$ .

نمودار [ ویرایش ]

برای تعیین اینکه کدام صفحه x -coordinate مربوط به یک نقطه است $A_{x}، A_{z}$ ضرب مختصات نقطه در:

$B_{x}=A_{x}{\frac {B_{z}}{A_{z}}}$

جایی که

$B_x$ مختصات صفحه نمایش x است

$تبر$ مختصات مدل x است

$B_z$ فاصله کانونی -فاصله محوری از مرکز دوربین تا صفحه تصویر است

$A_z$ فاصله موضوع است.

از آنجایی که دوربین سه بعدی است، همین امر برای مختصات صفحه نمایش y کار می کند و در نمودار و معادله بالا y را جایگزین x می کند.

می‌توانید از آن برای انجام تکنیک‌های برش استفاده کنید، و متغیرها را با مقادیر نقطه‌ای که خارج از زاویه FOV و نقطه داخل Camera Matrix هستند جایگزین کنید.

این تکنیک که با نام «دوربین معکوس» نیز شناخته می‌شود، یک حساب پرسپکتیو پرتاب‌کن با مقادیر شناخته‌شده برای محاسبه آخرین نقطه در زاویه مرئی است که از نقطه نامرئی، پس از اتمام تمام تبدیل‌های مورد نیاز، پرتاب می‌شود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/3D_projection

2-طرح ریزی سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 12:36

طرح ریزی املایی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: طرح املایی

همچنین نگاه کنید به: تبدیل هندسی

طرح املایی برگرفته از اصول هندسه توصیفی است و نمایشی دو بعدی از یک شی سه بعدی است. این یک طرح ریزی موازی است (خطوط طرح ریزی هم در واقعیت و هم در صفحه نمایش موازی هستند). این نوع طرح ریزی انتخابی برای نقشه های کار است.

اگر نرمال صفحه دید (جهت دوربین) با یکی از محورهای اصلی (که محور x ، y یا z است) موازی باشد، تبدیل ریاضی به شرح زیر است. برای طرح نقطه سه بعدی $تبر}$ $a_{y}$ ، $a_{z}$ روی نقطه 2 بعدی $b_{x}$ ، $توسط}$ با استفاده از یک طرح املایی موازی با محور y (که در آن y مثبت نشان دهنده جهت رو به جلو - نمای نمایه)، معادلات زیر را می توان استفاده کرد:

$b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}$

$b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}$

که در آن بردار s یک ضریب مقیاس دلخواه است و c یک افست دلخواه است. این ثابت‌ها اختیاری هستند و می‌توان از آنها برای تراز کردن درست ویوپورت استفاده کرد. با استفاده از ضرب ماتریس ، معادلات تبدیل می شوند:

${\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}} .$

در حالی که تصاویری که به صورت املایی نمایش داده می شوند، ماهیت سه بعدی شیء نمایش داده شده را نشان می دهند، آنها شیء را به گونه ای که به صورت عکاسی ضبط می شود یا توسط بیننده ای که مستقیماً آن را مشاهده می کند، نشان نمی دهند. به طور خاص، طول‌های موازی در همه نقاط در یک تصویر برجسته‌شده به صورت املایی، صرف نظر از اینکه دور یا نزدیک به بیننده مجازی باشند، در یک مقیاس هستند. در نتیجه، طول ها همانطور که در پرسپکتیو پیش بینی می شود، کوتاه نمی شوند.

طرح چند نمای [ ویرایش ]

مقاله اصلی: طرح چند نمای

نمادهایی که برای تعیین اینکه یک طرح چند نمای یا زاویه اول (چپ) یا زاویه سوم (راست) استفاده می شود.

با پیش‌بینی‌های چند نمای ، تا شش تصویر (که نماهای اولیه نامیده می‌شوند) از یک شی تولید می‌شود که هر صفحه نمایش موازی با یکی از محورهای مختصات شیء است. نماها بر اساس هر یک از دو طرح، نسبت به یکدیگر قرار می گیرند: طرح زاویه اول یا زاویه سوم . در هر یک، ظاهر نماها ممکن است به عنوان نمایان شدن بر روی صفحاتی در نظر گرفته شود که یک جعبه 6 وجهی را در اطراف جسم تشکیل می دهند. اگرچه می توان شش ضلع مختلف را ترسیم کرد، اما معمولاً سه نما از یک طراحی اطلاعات کافی برای ساخت یک شی 3 بعدی می دهد. این نماها با نام های نمای جلو ، نمای بالا و نمای انتهایی شناخته می شوند. از اصطلاحات ارتفاع ، پلان و مقطع نیز استفاده می شود.

برآمدگی مایل [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: طرح ریزی مورب

نیمکت گلدان کشیده شده در طرح کابینت با زاویه 45 درجه و نسبت 2/3

طاق سنگی در پرسپکتیو نظامی کشیده شده است

در برجستگی‌های مایل ، پرتوهای برآمده موازی بر صفحه دید عمود نیستند، اما در زاویه‌ای غیر از نود درجه به صفحه برآمده برخورد می‌کنند. در هر دو طرح ریزی املایی و مایل، خطوط موازی در فضا به موازات تصویر ارائه شده ظاهر می شوند. به دلیل سادگی، طرح ریزی مورب منحصراً برای اهداف تصویری به جای طراحی های رسمی و کاری استفاده می شود. در نقاشی تصویری مایل، زوایای نمایش داده شده در بین محورها و همچنین عوامل کوتاه کننده (مقیاس) دلخواه هستند. اعوجاج ایجاد شده در نتیجه معمولاً با تراز کردن یک صفحه از جسم تصویر شده برای موازی شدن با صفحه نمایش کاهش می یابد و در نتیجه یک تصویر واقعی و در اندازه کامل از صفحه انتخابی ایجاد می شود. انواع خاصی از برجستگی های مایل عبارتند از:

طرح ریزی کاوالیر (45 درجه) [ ویرایش ]

در طرح کاوالیر (گاهی اوقات پرسپکتیو کاوالیر یا نقطه دید بالا ) یک نقطه از جسم با سه مختصات x ، y و z نشان داده می شود. در نقاشی، تنها با دو مختصات x″ و y″ نشان داده می شود. در نقشه مسطح، دو محور x و z در شکل، عمود بر هم هستند و طول این محورها با مقیاس 1:1 ترسیم شده است. بنابراین شبیه به برجستگی های دایمتری است ، اگرچه این یک برجستگی آکسونومتری نیست ، به عنوان محور سوم، در اینجا y، به صورت مورب رسم می شود و یک زاویه دلخواه با محور x ایجاد می کند که معمولاً 30 یا 45 درجه است. طول محور سوم مقیاس بندی نشده است.

طرح کابینت [ ویرایش ]

اصطلاح طرح ریزی کابینت (گاهی اوقات چشم انداز کابینت ) از استفاده از آن در تصویرسازی توسط صنعت مبلمان ناشی می شود. [ نیاز به نقل از ] مانند پرسپکتیو کاوالیر، یک وجه از جسم پیش‌بینی‌شده موازی با صفحه دید است و محور سوم به صورت زاویه‌ای در حال حرکت است (معمولاً 30 درجه یا 45 درجه یا آرکتانژانت (2) = 63.4 درجه). بر خلاف پروجکشن کاوالیر، که در آن محور سوم طول خود را حفظ می کند، با پیش بینی کابینت، طول خطوط عقب نشینی به نصف کاهش می یابد.

فرافکنی نظامی [ ویرایش ]

گونه ای از برجستگی مایل، طرح ریزی نظامی نامیده می شود . در این حالت مقاطع افقی به صورت ایزومتریک کشیده می شوند تا پلان های طبقات دچار اعوجاج نشوند و عمودها با زاویه کشیده شوند. طرح نظامی با چرخش در صفحه xy و ترجمه عمودی مقدار z داده می شود. [1]

برآمدگی آکسونومتری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: برآمدگی آکسونومتری

سه نمای آکسونومتری

برجستگی های آکسونومتری تصویری از یک شی را که از جهت کج مشاهده می شود نشان می دهد تا هر سه جهت (محور) فضا را در یک تصویر نشان دهد. [2] برجستگی های آکسونومتری ممکن است ارتوگرافی یا مایل باشند. نقشه های ابزار آکسونومتری اغلب برای تقریب پیش بینی های پرسپکتیو گرافیکی استفاده می شود، اما اعوجاج همراه در تقریب وجود دارد. از آنجایی که پیش‌بینی‌های تصویری به طور ذاتی حاوی این اعوجاج هستند، در طراحی‌های ابزاری تصاویر تصویری ممکن است آزادی‌های زیادی برای صرفه‌جویی در تلاش و بهترین اثر در نظر گرفته شود. [ توضیح لازم است ]

برآمدگی آکسونومتری بسته به زاویه دقیقی که در آن نما از حالت متعامد منحرف می‌شود، به سه دسته تقسیم می‌شود: برآمدگی ایزومتریک ، طرح‌ریزی دوگانه و برآمدگی سه‌گانه. [3] [4] یک مشخصه معمولی تصاویر املایی این است که یک محور فضا معمولاً به صورت عمودی نمایش داده می شود.

برجستگی های آکسونومتری بر خلاف نماهای اولیه پروجکشن های چند نمای ، گاهی اوقات به عنوان نماهای کمکی نیز شناخته می شوند .

طرح ریزی ایزومتریک [ ویرایش ]

در تصاویر ایزومتریک (برای روش ها، به طرح ریزی ایزومتریک مراجعه کنید )، جهت مشاهده به گونه ای است که سه محور فضا به یک اندازه کوتاه شده به نظر می رسند و یک زاویه مشترک 120 درجه بین آنها وجود دارد. اعوجاج ناشی از کوتاه شدن یکنواخت است، بنابراین تناسب تمام اضلاع و طول ها حفظ می شود و محورها دارای مقیاس مشترک هستند. این باعث می شود اندازه گیری ها به طور مستقیم از نقاشی خوانده یا گرفته شوند.

طرح ریزی دایمتری [ ویرایش ]

در تصاویر دایمتریک (برای روش‌ها، به طرح‌ریزی دیمتری مراجعه کنید ) ، جهت مشاهده به گونه‌ای است که دو محور از سه محور فضا به طور مساوی کوتاه شده به نظر می‌رسند، که مقیاس همراه و زوایای نمایش با توجه به زاویه دید تعیین می‌شوند. مقیاس جهت سوم (عمودی) به طور جداگانه تعیین می شود. تقریب ها در نقشه های دیمتری معمول هستند.

طرح ریزی سه گانه [ ویرایش ]

در تصاویر سه‌گانه (برای روش‌ها، به طرح‌ریزی سه‌گانه مراجعه کنید )، جهت مشاهده به گونه‌ای است که هر سه محور فضا به طور نامساوی کوتاه‌تر به نظر می‌رسند. مقیاس در امتداد هر یک از سه محور و زوایای بین آنها به طور جداگانه بر اساس زاویه دید تعیین می شود. تقریب در نقشه های Trimetric رایج است.

محدودیت های طرح ریزی موازی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: شی غیر ممکن

نمونه ای از محدودیت های طرح ریزی ایزومتریک. اختلاف ارتفاع بین توپ های قرمز و آبی را نمی توان به صورت محلی تعیین کرد.

پله‌های Penrose پلکانی را به تصویر می‌کشد که به نظر می‌رسد بالا می‌رود (در خلاف جهت عقربه‌های ساعت) یا پایین می‌آید (در جهت عقربه‌های ساعت) اما یک حلقه پیوسته را تشکیل می‌دهد.

اشیایی که با طرح ریزی موازی ترسیم می شوند، بزرگتر یا کوچکتر به نظر نمی رسند زیرا به بیننده نزدیک یا دورتر می شوند. در حالی که برای نقشه‌های معماری مفید است ، جایی که اندازه‌گیری‌ها باید مستقیماً از تصویر گرفته شوند، نتیجه یک اعوجاج درک شده است، زیرا برخلاف پرسپکتیو ، چشم‌ها یا عکاسی ما معمولاً اینگونه عمل نمی‌کنند. همانطور که در تصویر سمت راست نشان داده شده است، همچنین می تواند به راحتی منجر به موقعیت هایی شود که در آن اندازه گیری عمق و ارتفاع دشوار است.

در این نقشه ایزومتریک، کره آبی دو واحد بالاتر از کره قرمز است. با این حال، اگر کسی نیمه سمت راست تصویر را بپوشاند، این تفاوت در ارتفاع آشکار نیست، زیرا جعبه‌ها (که به عنوان سرنخ نشان می‌دهند ارتفاع هستند) سپس پنهان می‌شوند.

این ابهام بصری در طراحی‌های اپ آرت و همچنین طراحی‌های «شیء غیرممکن» مورد بهره‌برداری قرار گرفته است. آبشار MC Escher ( 1961)، در حالی که به طور دقیق از طرح ریزی موازی استفاده نمی کند، یک نمونه شناخته شده است، که در آن به نظر می رسد یک کانال آب بدون کمک در مسیری رو به پایین حرکت می کند، اما پس از بازگشت به حالت متناقض، بار دیگر سقوط می کند. منبع بنابراین به نظر می رسد که آب از قانون بقای انرژی پیروی نمی کند . یک مثال افراطی در فیلم Inception نشان داده شده است ، جایی که با یک ترفند پرسپکتیو اجباری یک راه پله بی حرکت اتصال خود را تغییر می دهد. بازی ویدیویی Fezاز ترفندهای چشم انداز استفاده می کند تا مشخص کند که بازیکن می تواند و کجا نمی تواند به شکل پازل حرکت کند.

1-طرح ریزی سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 12:32

طبقه بندی برخی از پیش بینی های سه بعدی

طرح ریزی گرافیکی
بخشی از یک سریال در

نشان می دهد مسطح
نشان می دهد بازدیدها
نشان می دهد موضوعات
v تی ه

طرح ریزی سه بعدی (یا طرح ریزی گرافیکی ) یک تکنیک طراحی است که برای نمایش یک شی سه بعدی (3 بعدی) روی یک سطح دو بعدی (2 بعدی) استفاده می شود. این پیش‌بینی‌ها بر روی پرسپکتیو بصری و تحلیل جنبه تکیه می‌کنند تا یک شی پیچیده را برای قابلیت مشاهده در یک صفحه ساده‌تر نشان دهند .

پیش‌بینی‌های سه‌بعدی از کیفیت‌های اولیه شکل اصلی یک شی برای ایجاد نقشه‌ای از نقاط استفاده می‌کنند که سپس برای ایجاد یک عنصر بصری به یکدیگر متصل می‌شوند. نتیجه، گرافیکی است که حاوی ویژگی‌های مفهومی است تا شکل یا تصویر را به‌عنوان نه واقعاً مسطح (2D) تفسیر کند، بلکه به‌عنوان یک جسم جامد (3D) که روی یک صفحه نمایش دو بعدی مشاهده می‌شود.

اشیاء سه بعدی تا حد زیادی بر روی رسانه های دو بعدی (یعنی کاغذ و مانیتور کامپیوتر) نمایش داده می شوند. به این ترتیب، پیش بینی های گرافیکی یک عنصر طراحی رایج هستند. به ویژه در طراحی مهندسی ، نقشه کشی و گرافیک کامپیوتری . پیش بینی ها را می توان با استفاده از تجزیه و تحلیل ریاضی و فرمول ها یا با استفاده از تکنیک های مختلف هندسی و نوری محاسبه کرد.

نمای کلی [ ویرایش ]

چندین نوع طرح ریزی گرافیکی مقایسه شده است

پیش بینی های مختلف و نحوه تولید آنها

فرافکنی با استفاده از "پروژکتورهای" خیالی به دست می آید. تصویر ذهنی و پیش بینی شده به دید تکنسین از تصویر مورد نظر و تمام شده تبدیل می شود. [ توضیحات بیشتر لازم است ] روش‌ها رویه تصویربرداری یکنواختی را در میان افرادی که در زمینه گرافیک فنی آموزش دیده‌اند (نقاشی مکانیکی، طراحی به کمک کامپیوتر و غیره) فراهم می‌کنند. با پیروی از یک روش، تکنسین ممکن است تصویر مورد نظر را روی یک سطح مسطح مانند کاغذ طراحی ایجاد کند.

دو دسته طرح گرافیکی وجود دارد که هر کدام روش خاص خود را دارند:

طرح ریزی موازی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: طرح ریزی موازی

فرافکنی موازی با یک طرح پرسپکتیو با دیدگاهی فرضی مطابقت دارد. یعنی جایی که دوربین در فاصله بی نهایت از جسم قرار دارد و فاصله کانونی نامتناهی یا "زوم" دارد.

در پروجکشن موازی، خطوط دید از جسم به صفحه نمایش موازی با یکدیگر هستند. بنابراین، خطوطی که در فضای سه بعدی موازی هستند، در تصویر پیش بینی شده دو بعدی موازی باقی می مانند. پروژکشن موازی همچنین با یک پرسپکتیو با فاصله کانونی بی نهایت (فاصله از لنز دوربین و نقطه کانونی ) یا " زوم " مطابقت دارد.

تصاویر ترسیم شده به صورت موازی بر تکنیک آکسونومتری ("اندازه گیری در امتداد محورها") تکیه دارند، همانطور که در قضیه پولکه توضیح داده شده است . به طور کلی، تصویر حاصل مایل است (پرتوها بر صفحه تصویر عمود نیستند). اما در موارد خاص نتیجه املایی است ( پرتوها عمود بر صفحه تصویر هستند). آکسونومتری را نباید با برآمدگی آکسونومتری اشتباه گرفت ، زیرا در ادبیات انگلیسی، دومی معمولاً فقط به یک کلاس خاص از تصاویر اشاره دارد (به زیر مراجعه کنید).

4-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:43

قانون تبدیل برداری [ ویرایش ]

چرخش های فعال یک بردار سه بعدی p در فضای اقلیدسی حول محور n بر روی یک زاویه η را می توان به راحتی بر حسب حاصل ضرب نقطه ای و متقاطع به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n}$ که در آن

$p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n}$ جزء طولی p در امتداد n است که توسط حاصل ضرب نقطه ای داده می شود .

$\mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ جزء عرضی p نسبت به n است و

$\mathbf {p} \wedge \mathbf {n}$

حاصل ضرب متقابل p با است n است.

فرمول بالا نشان می دهد که مولفه طولی p بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که قسمت عرضی p در صفحه عمود بر n می چرخد . این صفحه توسط قسمت عرضی خود p و جهتی عمود بر هر دو p و n کشیده شده است. چرخش مستقیماً در معادله به صورت چرخش دوبعدی بر روی یک زاویه قابل شناسایی است η قابل شناسایی است.

چرخش های غیرفعال را می توان با همان فرمول، اما با علامت معکوس η یا n توصیف کرد.

فرمول های تبدیل بین فرمالیسم ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمودارها در SO(3)

ماتریس چرخش ↔ زوایای اویلر [ ویرایش ]

زوایای اویلر ( φ , θ , ψ ) را می توان از ماتریس چرخش استخراج کرد.آ $\mathbf {A}$ با بررسی ماتریس چرخش به صورت تحلیلی.

ماتریس چرخش ← زوایای اویلر ( z - x - z بیرونی ) [ ویرایش ]

با استفاده از قرارداد x ، زوایای اویلر بیرونی 3-1-3 φ , θ و ψ (در اطراف محور z ، محور x و دوبارهز $ز$ -axis) را می توان به صورت زیر بدست آورد:

${\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(A_{31},A_{32}\right)\\\theta &=\arccos \left(A_{33}\right) )\\\psi &=-\operatorname {atan2} \left(A_{13},A_{23}\right)\end{تراز شده}}$

توجه داشته باشید که atan2( a , b ) معادل است که در آن ربعی که نقطه ( b , a ) در آن قرار دارد را نیز در نظر می گیرد. atan2 را ببینید .

هنگام اجرای تبدیل، باید چندین موقعیت را در نظر گرفت: [5]

به طور کلی دو راه حل در بازه [-π, π] 3 وجود دارد. فرمول فوق فقط زمانی کار می کند که θ در بازه [0, π] باشد.
برای حالت خاص A 33 = 0 , φ و ψ از A 11 و A 12 مشتق خواهند شد .
در خارج از بازه [-π, π] 3 راه حل های بی نهایت زیاد اما قابل شمارش وجود دارد .
اینکه آیا همه راه‌حل‌های ریاضی برای یک کاربرد معین اعمال می‌شوند یا نه بستگی به موقعیت دارد.

زوایای اویلر ( z - y ′- x ″ ذاتی) → ماتریس چرخش [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چرخش های زنجیره ای داونپورت § چرخش های زنجیره ای تایت-برایان

ماتریس چرخش A از زوایای ذاتی اویلر 3-2-1 با ضرب سه ماتریس ایجاد شده توسط چرخش حول محورها ایجاد می شود.

$\mathbf {A} =\mathbf {A} _{3}\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}=\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A } _{Y}\mathbf {A} _{X}$

محورهای چرخش به قرارداد خاصی که استفاده می شود بستگی دارد. برای کنوانسیون x ، چرخش‌ها حول محورهای x -، y - و z با زاویه‌های ϕ ، θ و ψ هستند، ماتریس‌های مجزا به شرح زیر هستند:

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{X}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Y}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0& \cos \theta \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Z}&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi & \cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

این بازده

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \ phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\ \end{bmatrix}}$

توجه: این برای یک سیستم دست راست ، که قراردادی است که تقریباً در تمام رشته های مهندسی و فیزیک استفاده می شود، معتبر است.

تفسیر این ماتریس‌های چرخش راست دست این است که تبدیل‌های مختصات ( غیرفعال ) را در مقابل تبدیل‌های نقطه‌ای ( فعال ) بیان می‌کنند. از آنجایی که A یک چرخش از قاب محلی 1 به فریم سراسری 0 را بیان می کند (یعنی A محورهای فریم 1 wrt فریم 0 را رمزگذاری می کند )، ماتریس های چرخش ابتدایی مانند بالا تشکیل می شوند. از آنجایی که چرخش معکوس فقط چرخش جابجا شده است، اگر بخواهیم چرخش جهانی به محلی را از فریم 0 به فریم 1 کنیم، می‌نویسیم.آ⊤= $\mathbf {A} ^{\top }=(\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X})^{\top }=\ mathbf {A} _{X}^{\top }\mathbf {A} _{Y}^{\top }\mathbf {A} _{Z}^{\ top }$ .

ماتریس چرخش ↔ محور/زاویه اویلر [ ویرایش ]

اگر زاویه اویلر θ مضرب π نباشد ، محور اویلر ê و زاویه θ را می توان از عناصر ماتریس چرخش A به صورت زیر محاسبه کرد:

${\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\ frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }} \\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{تراز شده}}$

به طور متناوب می توان از روش زیر استفاده کرد:

تجزیه ویژه ماتریس چرخش مقادیر ویژه 1 و cos θ ± i sin θ را به دست می دهد. محور اویلر بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه 1 است و θ را می توان از مقادیر ویژه باقیمانده محاسبه کرد.

محور اویلر را می‌توان با استفاده از تجزیه مقدار منفرد نیز یافت، زیرا بردار نرمال‌شده‌ای است که فضای تهی ماتریس I - A را در بر می‌گیرد. را در بر می‌گیرد .

برای تبدیل روش دیگر، ماتریس چرخش مربوط به محور اویلر ê و زاویه θ را می توان با توجه به فرمول چرخش رودریگز (با اصلاح مناسب) به صورت زیر محاسبه کرد:

$\mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e } }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta$

با I 3 ماتریس هویت 3 × 3 و

$\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&- e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}$

ماتریس ضرب متقابل است .

این گسترش می یابد:

${\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \ تتا )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_ {31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3} e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{تراز شده}}$

همچنین ببینید: ماتریس چرخش § ماتریس چرخش از محور و زاویه

ماتریس چرخش ↔ کواترنیون [ ویرایش ]

هنگام محاسبه یک کواترنیون از ماتریس چرخش، یک علامت ابهام وجود دارد، زیرا q و - q نشان دهنده چرخش یکسانی هستند.

یکی از روش های محاسبه کواترنیون

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}$ از ماتریس چرخش A به شرح زیر است:

${\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_ {i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{ r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{ 12}\راست)\end{تراز شده}}$

سه روش دیگر از لحاظ ریاضی معادل برای محاسبه q وجود دارد. عدم دقت عددی را می توان با اجتناب از موقعیت هایی که در آن مخرج نزدیک به صفر است کاهش داد. یکی از سه روش دیگر به صورت زیر است: [6] [7]

${\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}\\q_ {j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{ i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{ 23}\راست)\end{تراز شده}}$

ماتریس چرخش مربوط به کواترنیون q را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$\mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} } }\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathrm {T} }+2q_{r} \mathbf {\mathcal {Q}}$ جایی که

${\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end {bmatrix}}$ که می دهد

آ=

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k }q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k }q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right )\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right )&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}$

یا معادل آن

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{ k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{ k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r }\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r }\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}$

زوایای اویلر ↔ کواترنیون [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تبدیل بین کواترنیون ها و زوایای اویلر

زوایای اویلر ( z - x - z بیرونی) → چهارتایی [ ویرایش ]

ما زوایای بیرونی اویلر x -convention 3-1-3 را در نظر خواهیم گرفت را برای الگوریتم زیر در نظر خواهیم گرفت. شرایط الگوریتم به قرارداد استفاده شده بستگی دارد.

ما می توانیم کواترنیون را محاسبه کنیم

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}$

از زوایای اویلر ( φ ، θ ، ψ ) به شرح زیر است:

${\begin{aligned}q_{i}&=\cos {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j} &=\sin {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=\sin {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta {2}}\end{تراز شده}}$

زوایای اویلر ( z - y ′- x ″ ذاتی) → کواترنیون [ ویرایش ]

یک کواترنیون معادل زوایای انحراف ( ψ )، گام ( θ ) و رول ( φ ). یا زوایای ذاتی Tait-Bryan به دنبال قرارداد z - y ′- x ″ ، می تواند توسط

${\begin{aligned}q_{i}&=\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi } {2}}-\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{j} &=\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{k}&=\cos {\frac {\phi }{2 }}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}-\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2 }}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi {2}}\end{تراز شده}}$

کواترنیون ← زوایای اویلر ( z - x - z بیرونی ) [ ویرایش ]

با توجه به کواترنیون چرخش

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,$

کنوانسیون x 3-1-3 زاویه های بیرونی اویلر ( φ , θ , ψ ) را می توان با

${\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right),-\left(q_ {j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\right)\\\theta &=\arccos \left(-q_{i}^{2}-q_{j}^{2 }+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}\right)\\\psi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}-q_{ j}q_{r}\راست)،\چپ(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)\right)\end{تراز شده}}$

کواترنیون ← زوایای اویلر ( z - y ′- x ″ ذاتی) [ ویرایش ]

با توجه به کواترنیون چرخش

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,$

زوایای انحراف ، پیچ و تاب، یا زوایای ذاتی Tait–Bryan که از قرارداد z - y ′- x ″ پیروی می کنند، می توانند توسط

${\begin{aligned}{\text{roll}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{i}+q_{j}q_{k}\right) ,1-2\left(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}\right)\right)\\{\text{pitch}}&=\arcsin \left(2\left( q_{r}q_{j}-q_{k}q_{i}\right)\right)\\{\text{yaw}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r} q_{k}+q_{i}q_{j}\right),1-2\left(q_{j}^{2}+q_{k}^{2}\right)\right)\end{تراز شده }}$

محور اویلر ↔ چهارتایی [ ویرایش ]

با توجه به محور اویلر ê و زاویه θ ، کواترنیون

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,$

را می توان توسط

${\begin{aligned}q_{i}&={\hat {e}}_{1}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&={\hat {e}}_{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&={\hat {e}}_{3}\sin {\frac {\theta }{ 2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{تراز شده}}$

با توجه به چهارتایی چرخش q ، تعریف کنید

${\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,.$

سپس محور اویلر ê و زاویه θ را می توان با استفاده از آن محاسبه کرد

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {e} }}&={\frac {\check {\mathbf {q} }}{\left\|{\check {\mathbf {q} }}\right\|}}\\\theta &=2\arccos q_{r}\end{تراز شده}}$

ماتریس چرخش ↔ بردار رودریگز [ ویرایش ]

بردار رودریگز → ماتریس چرخش [ ویرایش ]

از آنجایی که تعریف بردار رودریگز را می توان به کواترنیون های چرخشی مرتبط کرد:

${\begin{cases}g_{i}={\dfrac {q_{i}}{q_{r}}}=e_{x}\tan \left({\dfrac {\theta }{2} }\right)\\g_{j}={\dfrac {q_{j}}{q_{r}}}=e_{y}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right )\\g_{k}={\dfrac {q_{k}}{q_{r}}}=e_{z}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\end {موارد}}$

با استفاده از اموال زیر

$1=q_{r}^{2}+q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}=q_{r}^{2}\ چپ(1+{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}+{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2 }}}+{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}\right)=q_{r}^{2}\left(1+g_{i}^ {2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}\right)$

فرمول را می توان با فاکتورگیری به دست آورد ${\textstyle q_{r}^{2}}$ از عبارت نهایی به دست آمده برای کواترنیون ها:

$\mathbf {A} =q_{r}^{2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{j} ^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac { q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}-{\frac {q_{k}}{q_{r}}}\راست)&2\ چپ({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{j}}{q_{r}} }\right)\\2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}+{\frac {q_{k }}{q_{r}}}\right)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r} ^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac {q_{j}}{q_{r} }}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\right)\\2\left({\frac {q_{ i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{j}}{q_{r}}}\راست)&2\چپ( {\frac {q_{j}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\ راست)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\ frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}\end{bmatrix}}$

منجر به فرمول نهایی:

$\mathbf {A} ={\frac {1}{1+g_{i}^{2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}}}{\begin{ bmatrix}1+g_{i}^{2}-g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{i}g_{j}-g_{k}\راست) &2\left(g_{i}g_{k}+g_{j}\right)\\2\left(g_{i}g_{j}+g_{k}\right)&1-g_{i}^{ 2}+g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{j}g_{k}-g_{i}\right)\\2\left(g_{i} g_{k}-g_{j}\right)&2\left(g_{j}g_{k}+g_{i}\right)&1-g_{i}^{2}-g_{j}^{2 }+g_{k}^{2}\end{bmatrix}}$

فرمول های تبدیل برای مشتقات [ ویرایش ]

ماتریس چرخش ↔ سرعت های زاویه ای [ ویرایش ]

بردار سرعت زاویه ای

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}$

می توان از مشتق زمانی ماتریس چرخش استخراج کردd A/d tبا رابطه زیر:

$[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&- \omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d } t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}$

اشتقاق از Ioffe اقتباس شده است [8] به شرح زیر اقتباس شده است:

برای هر بردار r 0 ، r ( t ) = A ( t ) r 0 را در نظر بگیرید و آن را متمایز کنید:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t }}\mathbf {r} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}( t)\mathrm {r} (t)$

مشتق یک بردار، سرعت خطی نوک آن است. از آنجایی که A یک ماتریس چرخشی است، طبق تعریف، طول r ( t ) همیشه برابر با طول r 0 است و بنابراین با زمان تغییر نمی کند. بنابراین، هنگامی که r ( t ) می چرخد، نوک آن در امتداد یک دایره حرکت می کند و سرعت خطی نوک آن بر دایره مماس است. یعنی همیشه عمود بر r ( t ) . در این مورد خاص، رابطه بین بردار سرعت خطی و بردار سرعت زاویه ای است

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)= [{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)$ (به حرکت دایره ای و ضرب متقاطع مراجعه کنید مراجعه کنید ).

با گذر معادلات فوق،

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {r} (t )=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)$

که نشان می دهد

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)=[{\boldsymbol {\ امگا }}]_{\ بار }$

کواترنیون ↔ سرعت های زاویه ای [ ویرایش ]

بردار سرعت زاویه ای

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}$ می توان از مشتق کواترنیون بدست آوردd q/d tبه شرح زیر: [9]

${\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}=2{\frac {\mathrm {d } \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}{\tilde {\mathbf {q} }}$ جایی که ${\textstyle {\tilde {\mathbf {q} }}}$ مزدوج (معکوس) از است ${\textstyle \mathbf {q} }$ .

برعکس، مشتق کواترنیون است

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0\\\omega _ {x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}\mathbf {q} \,.$

روتورها در جبر هندسی [ ویرایش ]

فرمالیسم جبر هندسی (GA) بسط و تفسیری از روش کواترنیون ارائه می دهد. مرکز GA، حاصل ضرب هندسی بردارها است، که بسط ضربات داخلی و متقابل سنتی است که توسط

$\mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

که در آن نماد ∧ ضرب بیرونی یا ضرب گوه ای را نشان می دهد . این حاصل ضرب بردارهای a و b دو جمله تولید می کند: یک بخش اسکالر از حاصل ضرب داخلی و یک دو بردار . دو بردار از حاصل ضرب گوه. این دو بردار صفحه عمود بر آنچه حاصل ضرب بردارها برمی گردد را توصیف می کند.

دو بردارها در GA در مقایسه با بردارها دارای برخی خواص غیرعادی هستند. در زیر حاصل ضرب هندسی، دوبردارها یک مربع منفی دارند: دوبردار x̂ŷ صفحه xy را توصیف می کند . مربع آن ( x̂ŷ ) 2 = x̂ŷx̂ŷ است. از آنجایی که بردارهای پایه واحد متعامد با یکدیگر هستند، حاصل ضرب هندسی به حاصلضرب بیرونی ضد متقارن کاهش می‌یابد - x و ŷ را می‌توان آزادانه با هزینه ضریب 1- تعویض کرد. مربع به -x̂x̂ŷŷ = -1 کاهش می یابد کاهش می یابد زیرا بردارهای پایه خود مربع به +1 می شوند.

این نتیجه به طور کلی برای همه دوبردارها صادق است و در نتیجه دوبردار نقشی مشابه واحد خیالی ایفا می کند . جبر هندسی از دو بردارها در آنالوگ خود با کواترنیون، روتور ، استفاده می کند.

$\mathbf {R} =\exp \left({\frac {-{\hat {\mathbf {B} }}\theta }{2}}\right)=\cos {\frac {\theta } {2}}-{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\,,$

که در آن B یک دوبردار واحد است که صفحه چرخش را توصیف می کند . از آنجایی که مربع B برابر 1- می شود، بسط سری توانی R توابع مثلثاتی را ایجاد می کند . فرمول چرخشی که بردار a را به بردار چرخشی b ترسیم می کند ، پس از آن است

$\mathbf {b} =\mathbf {RaR} ^{\ خنجر }$ جایی که

$\mathbf {R} ^{\dagger }=\exp \left({\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}\theta \right)=\cos {\ frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}$

برعکس است _آر $\scriptstyle R$ (برعکس کردن ترتیب بردارها درب $ب$ معادل تغییر علامت آن است).

مثال. چرخش حول محور

${\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {z} }}\right)$

می توان با تبدیل v به دو بردار آن،

${\hat {\mathbf {B} }}={\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf {z} }}{\ کلاه {\mathbf {v} }}=\mathbf {i} {\hat {\mathbf {v} }}\,,$

که در آن i = x̂ŷẑ عنصر واحد حجم است، تنها سه بردار (شبه مقیاس) در فضای سه بعدی. نتیجه این است

${\hat {\mathbf {B} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf { z} }}+{\hat {\mathbf {z} }}{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }} \درست)\،.$

با این حال، در فضای سه بعدی، اغلب ساده تر است که عبارت B̂ = iv̂ را ترک کنیم ، با استفاده از این واقعیت که i با همه اشیاء به صورت سه بعدی رفت و آمد می کند و همچنین مربع را به -1 می دهد. چرخش بردار x در این صفحه با زاویه θ است

${\hat {\mathbf {x} }}'=\mathbf {R} {\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} ^{\dagger }=e^{-i{\ کلاه {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}{\hat {\mathbf {x} }}e^{i{\hat {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\mathbf {i} \left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

تشخیص آن

$\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf { x} }})=2\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }})$ و اینکه − v̂x̂v̂ بازتاب x در مورد صفحه عمود بر v̂ است یک تفسیر هندسی به عملیات چرخش می دهد: چرخش اجزایی را که موازی با v هستند حفظ می کند و فقط آنهایی را که عمود هستند تغییر می دهد. سپس شرایط محاسبه می شود:

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}&={\frac {1} {3}}\left(-{\hat {\mathbf {x} }}+2{\hat {\mathbf {y} }}+2{\hat {\mathbf {z} }}\right)\\ 2\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }}&=2\mathbf {i} {\frac {1}{\sqrt {3} }}\left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {z} }} \right)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}-{\hat {\mathbf {z} }}\right)\end{ هم راستا}}$

نتیجه چرخش پس از آن است

${\hat {\mathbf {x} }}'={\hat {\mathbf {x} }}\left(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-{\ frac {1}{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }} \sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}+{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}} \right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta } {2}}-{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$

یک بررسی ساده روی این نتیجه، زاویه θ = است2/3π . چنین چرخشی باید x̂ را به ŷ نشان دهد . در واقع، چرخش به کاهش می یابد

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&={\hat {\mathbf {x} }}\left({\frac {1}{4}}-{\ frac {1}{3}}{\frac {3}{4}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\sqrt { 3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)+{\frac { 2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{ \sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)\\&=0{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+0{ \hat {\mathbf {z} }}={\hat {\mathbf {y} }}\end{تراز شده}}$

دقیقا همانطور که انتظار می رود این فرمول چرخش نه تنها برای بردارها بلکه برای هر چند برداری معتبر است . علاوه بر این، هنگامی که از زوایای اویلر استفاده می شود، پیچیدگی عملیات بسیار کاهش می یابد. چرخش های مرکب از ضرب روتورها به وجود می آیند، بنابراین کل روتور از زوایای اویلر برابر است با

$\mathbf {R} =\mathbf {R} _{\gamma '}\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\alpha }=\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}'\gamma }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}'\beta }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}\alpha }{2}}\ درست)$

ولی

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&=\mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _ {\alpha }^{\dagger }\quad {\text{and}}\\{\hat {\mathbf {z} }}'&=\mathbf {R} _{\beta '}{\hat {\ mathbf {z} }}\mathbf {R} _{\beta '}^{\dagger }\,.\end{تراز شده}}$

این روتورها از حالت نمایی به این صورت خارج می شوند:

$\mathbf {R} _{\beta '}=\cos {\frac {\beta }{2}}-\mathbf {i} \mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\sin {\frac {\beta }{2}}=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _ {\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }$

که در آن R β به چرخش در مختصات اصلی اشاره دارد. به طور مشابه برای چرخش γ ،

$\mathbf {R} _{\gamma '}=\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\beta '}^{\ خنجر }=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }^{\dagger }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\,.$

با توجه به اینکه R γ و R α جابجا می شوند (چرخش در یک صفحه باید جابجا شود) و کل روتور تبدیل می شود

$\mathbf {R} =\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\gamma }$

بنابراین، چرخش های مرکب زوایای اویلر به مجموعه ای از چرخش های معادل در قاب ثابت اصلی تبدیل می شوند.

در حالی که روتورها در جبر هندسی تقریباً به طور یکسان با کواترنیون ها در سه بعدی کار می کنند، قدرت این فرمالیسم کلیت آن است: این روش در فضاهایی با هر تعداد ابعاد مناسب و معتبر است. در سه بعدی، چرخش ها دارای سه درجه آزادی هستند، یک درجه برای هر صفحه مستقل خطی (دو بردار) که چرخش می تواند در آن انجام شود. شناخته شده است که از جفت کواترنیون ها می توان برای ایجاد چرخش در 4 بعدی استفاده کرد که شش درجه آزادی ایجاد می کند. و رویکرد جبر هندسی این نتیجه را تأیید می کند: در 4 بعدی، شش بردار مستقل خطی وجود دارد که می توانند به عنوان مولد چرخش استفاده شوند.

زاویه-زاویه-زاویه [ ویرایش ]

چرخش ها را می توان به عنوان یک محور و یک زاویه مدل کرد. همانطور که با یک ژیروسکوپ نشان داده شده است که دارای یک محور از طریق روتور، و مقدار چرخش حول آن محور با چرخش روتور نشان داده شده است. این چرخش را می توان به صورت بیان کردزاویه∗(محور) ${\text{angle}}*({\text{axis}})$ که در آن محور یک بردار واحد است که جهت محور روتور را مشخص می کند. از مبدا، در هر جهت، همان محور چرخش است، با مقیاس زاویه معادل فاصله از مبدا. از هر نقطه دیگری در فضا، به طور مشابه همان بردار جهت اعمال شده نسبت به جهت نشان داده شده توسط نقطه شروع به جای مبدا، همان تغییر را در اطراف همان محورهایی اعمال می کند که بردار واحد مشخص می کند. اینزاویه∗محور ${\text{angle}}*{\text{axis}}$ مقیاس گذاری هر نقطه یک مختصات منحصر به فرد در نماد Angle-Angle-Angle می دهد. تفاوت بین دو مختصات بلافاصله یک محور چرخش و زاویه بین دو جهت را ایجاد می کند.

لاگ طبیعی یک کواترنیون فضای انحنای را با 3 زاویه حول 3 محور چرخش نشان می دهد و در طول قوس بیان می شود. شبیه زوایای اویلر، اما مرتبه مستقل. [10] یک فرمول ضرب دروغ وجود دارد برای جمع چرخش ها وجود دارد که این است که آنها مجموع مراحل بی نهایت کوچک هر چرخش اعمال شده به صورت سری هستند. این بدان معناست که چرخش‌ها نتیجه همه چرخش‌ها در یک لحظه اعمال می‌شوند، نه یک سری چرخش‌هایی که بعداً اعمال می‌شوند.

محورهای چرخش مطابق با دکارتی استاندارد هستند $X، Y، Z$ تبرها این چرخش ها ممکن است به سادگی اضافه و کم شوند، به خصوص زمانی که فریم های در حال چرخش مانند زنجیره های IK به یکدیگر ثابت می شوند. تفاوت بین دو شی که در یک چارچوب مرجع قرار دارند به سادگی با کم کردن جهت آنها پیدا می شود. چرخش هایی که از منابع خارجی اعمال می شوند، یا از منابعی نسبت به چرخش فعلی هستند، هنوز نیاز به ضرب دارند، استفاده از فرمول رودریگز ارائه شده است.

چرخش از هر مختصات محور نشان دهنده چرخش صفحه عمود بر محور مشخص شده به طور همزمان با تمام محورهای دیگر است. اگرچه اندازه ها را می توان در زوایا در نظر گرفت، نمایش در واقع طول قوس منحنی است. یک زاویه به چرخش حول یک نقطه اشاره دارد که در آن انحنای یک دلتا است که به نقطه فعلی در جهت اینرسی اعمال می شود.

فقط یک یادداشت مشاهده‌ای: ربع‌های لاگ دارای حلقه‌ها یا اکتاوهای چرخش هستند. یعنی برای چرخش های بیشتر از 4 $\pi$ منحنی های مرتبط دارند. به نظر می رسد انحنای چیزهایی که به این مرز نزدیک می شوند، به طور آشفته ای به مدارها می پرند.

برای زوایای «قابل خواندن توسط انسان»، از 1-هنجار می‌توان برای تغییر مقیاس زوایای استفاده کرد تا «مناسب‌تر» به نظر برسند. بسیار شبیه به درجه سانتیگراد ممکن است درست تر از فارنهایت در نظر گرفته شود.

${Q}={\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}$

سایر مقادیر مرتبط بلافاصله قابل استخراج هستند:

${\begin{matrix}\|V\|{\text{یا }}\|V\|_{2}={\sqrt {XX+YY+ZZ}}\\\|V\|_ {1}=|X|+|Y|+|Z|\پایان{ماتریس}}$

زاویه کل چرخش ....

$\theta =\|V\|$

محور چرخش ...

${\text{Axis}}(\ln Q)={\begin{bmatrix}{\frac {X}{\theta }}\\{\frac {Y}{\theta }}\\{\ frac {Z}{\theta }}\end{bmatrix}}$

نمایش کواترنیون [ ویرایش ]

$q={\begin{bmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {X}{\|Q\ |}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {Y}{\|Q\|}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {Z}{\|Q\|}}\end{bmatrix}}$

محاسبات ماتریس پایه [ ویرایش ]

این از چرخش بردارهای (1،0،0)، ، (0،0،1)، و کاهش ثابت ساخته شده است.

با توجه به ورودی ${Q}=[{X}،{Y}،{Z}]$ ،

${\begin{matrix}q_{r}=\cos \theta \\q_{i}=\sin \theta \cdot {\frac {X}{\|Q\|}}\\q_{j }=\sin \theta \cdot {\frac {Y}{\|Q\|}}\\q_{k}=\sin \theta \cdot {\frac {Z}{\|Q\|}}\ پایان{ماتریس}}$

که برای محاسبه ماتریس حاصل استفاده می شود...

${\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&2( q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})\\2(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1-2q_{i}^{2} -2q_{k}^{2}&2(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})\\2(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r} )&2(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}$

محاسبه پایه جایگزین [ ویرایش ]

به طور متناوب از این می توان استفاده کرد

داده شده: ${A}=[X,Y,Z]$

تبدیل به محور زاویه $\theta =\|A\|$ ، و" $[x,y,z]={\frac {A}{\|A\|}}$

برخی از عبارات جزئی را محاسبه کنید:

${\begin{matrix}x_{y}=xy(1-\cos \theta)&w_{x}=x\sin \theta &x_{x}=xx(1-\cos \theta)\\y_ {z}=yz(1-\cos \theta)&w_{y}=y\sin \theta &y_{y}=yy(1-\cos \theta)\\x_{z}=xz(1-\cos \theta )&w_{z}=z\sin \theta &z_{z}=zz(1-\cos \theta)\end{ماتریس}}$

ماتریس حاصل را محاسبه کنید:

${\begin{bmatrix}\cos \theta +x_{x}&x_{y}+w_{z}&w_{y}+x_{z}\\w_{z}+x_{y}&\cos \theta +y_{y}&y_{z}-w_{x}\\x_{z}-w_{y}&w_{x}+y_{z}&\cos \theta +z_{z}\end{bmatrix }}$

منبسط:

${\begin{bmatrix}\cos \theta +x^{2}(1-\cos \theta )&xy(1-\cos \theta)-z\sin \theta &y\sin \theta +xz( 1-\cos \theta )\\z\sin \theta +xy(1-\cos \theta)&\cos \theta +y^{2}(1-\cos \theta)&yz(1-\cos \ تتا )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta)-y\sin \theta &x\sin \theta +yz(1-\cos \theta)&\cos \theta +z^{2 }(1-\cos \theta )\end{bmatrix}}$

چرخش برداری [ ویرایش ]

بردار را بچرخانید $v=(X,Y,Z)$ حول بردار چرخش $Q=(X,Y,Z)$ .

زاویه چرخش خواهد بود" ${\theta }={\|Q\|}$ .

کسینوس زاویه ضربدر بردار برای چرخش، به اضافه سینوس زاویه ضربدر محور چرخش، به علاوه کسینوس منهای زاویه ضربدر حاصل ضرب نقطه بردار و محور چرخش ضربدر محور چرخش را محاسبه کنید.

$V'=\cos(\theta )*v+\sin(\theta )*\left({\frac {Q}{\|Q\|}}\times v\right)+(1-\cos (\theta ))\left({\frac {Q}{\|Q\|}}\cdot v\right)*{\frac {Q}{\|Q\|}}$

چند نکته: حاصل ضرب نقطه ای شامل کسینوس زاویه بین بردار در حال چرخش و محور چرخش ضربدر طول V است. حاصل ضرب متقاطع شامل سینوس زاویه بین بردار در حال چرخش و محور چرخش است.

چرخش یک بردار چرخشی [ ویرایش ]

استفاده از فرمول چرخش مرکب رودریگز

برای یک بردار چرخش معین ${Q}=(X,Y,Z)$ و یک بردار چرخشی دیگر ${A}=(X,Y,Z)$ برای چرخاندن قاب به اطراف

از بردارهای چرخش اولیه، زوایا و محورها را استخراج کنید:

$\theta ={\frac {\|Q\|}{2}}$

$\gamma ={\frac {\|A\|}{2}}$

محور چرخش نرمال شده برای قاب فعلی:

$Q_{n}={\frac {Q}{\|Q\|}}$

محور چرخش نرمال شده برای چرخش قاب به دور:

$A_{n}={\frac {A}{\|A\|}}$

زاویه نتیجه چرخش است

$\alpha =2\cos ^{-1}(\cos(\theta)\cos(\gamma)+\sin(\theta)\sin(\gamma)Q_{n}\cdot A_{n} )$

یا

$\alpha =2cos^{-1}({\cos(\theta -\gamma )}(1-(Q_{n}\cdot A_{n})+{\cos(\theta +\gamma )}(1+(Q_{n}\cdot A_{n})))$

نتیجه، محور چرخش نرمال نشده:

$r=\sin(\gamma)\cos(\theta)A_{n}+\sin(\theta)\cos(\gamma)Q_{n}+\sin(\theta)\sin(\gamma )A_{n}\ بار Q_{n}$

یا

$r=(A_{n}\times Q_{n})({\cos({\theta }-\gamma )}-{\cos({\theta }+\gamma )})+A_{n }({\sin(\theta +\gamma )}+{\sin(\theta -\gamma )})+Q_{n}({\sin(\theta +\gamma )}-{\sin({\ تتا }-\گاما )})$

فرمول چرخش رودریگز منجر به این می‌شود که می‌توان از خطای زاویه حاصل از بالا برای نرمال سازی بردار استفاده کرد، اما برای محدوده‌های بزرگ شکست می‌خورد. بنابراین محور نتیجه را مانند هر بردار دیگری نرمال کنید.

$R_{n}={\frac {r}{\|r\|}}$

و مختصات چرخش فریم نهایی:

$R=\alpha R_{n}$

چرخش چرخش حول یک محور ثابت [ ویرایش ]

یک بردار چرخشیس ${Q}$ نشان دهنده سه محور است. اینها می‌توانند به‌عنوان خلاصه‌نویسی برای چرخاندن چرخش به دور با استفاده از «چرخش یک بردار چرخشی» بالا استفاده شوند. این عبارات به بهترین شکل به عنوان قطعات کد نمایش داده می شوند.

برخی از ثابت های مورد استفاده در عبارات دیگر را تنظیم کنید.

${\begin{aligned}n_{x}&={\frac {Q_{x}}{\|Q\|}}\\n_{y}&={\frac {Q_{y}}{ \|Q\|}}\\n_{z}&={\frac {Q_{z}}{\|Q\|}}\\{\text{زاویه}}&=\|Q\|\\ s&=\sin({\text{angle}})\\c_{1}&=\cos({\text{angle}})\\c&=1-c_{1}\end{تراز شده}}$

با استفاده از مقادیر بالا ...

${\text{x-axis}}=\left[x=cn_{x}^{2}+c_{1},\;y=cn_{x}n_{y}+sn_{z}، \;z=cn_{x}n_{z}-sn_{y}\right]$

یا

${\text{y-axis}}=\left[x=cn_{y}n_{x}-sn_{z},\;y=cn_{y}^{2}+c_{1}، \;z=cn_{y}n_{z}+sn_{x}\right]$

یا

${\text{z-axis}}=\left[x=cn_{z}n_{x}+sn_{y},\;y=cn_{z}n_{y}-sn_{x}، \;z=cn_{z}^{2}+c_{1}\right]$

تبدیل از ماتریس پایه [ ویرایش ]

تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید ...

$d={\frac {({\text{basis}}_{{\text{right}}_{X}}+{\text{basis}}_{{\text{up}}_{ Y}}+{\text{basis}}_{{\text{forward}}_{Z}})-1}{2}}$

تبدیل به زاویه چرخش ...

$\theta =2\arccos(d)$

$yz={\text{basis}}_{{\text{up}}_{Z}}-{\text{basis}}_{{\text{forward}}_{Y}}$

$xz={\text{basis}}_{{\text{forward}_{X}}-{\text{basis}}_{{\text{right}}_{Z}}$

$xy={\text{basis}}_{{\text{right}}_{Y}}-{\text{basis}}_{{\text{up}}_{X}}$

محاسبه ضریب نرمال ...

${\text{normal}}={\frac {1}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}$

$n={\begin{bmatrix}yz\cdot {\text{normal}}\\xz\cdot {\text{normal}}\\xy\cdot {\text{normal}}\end{bmatrix} }$

زاویه-زاویه-زاویه حاصل:

${n}\cdot \theta$

تبدیل از بردار معمولی (Y) [ ویرایش ]

نمایش یک نرمال به عنوان یک چرخش، این فرض را بر این می گیرد که بردار $(0،1،0)$ "بالا" است. اگر یک محور دیگر اصلی در نظر گرفته شود، مختصات را می توان به سادگی تعویض کرد.

این یک بردار ورودی نرمال شده را در جهت نرمال فرض می کند

$N={\begin{bmatrix}{\text{normal}}_{X}\\{\text{normal}}_{Y}\\{\text{normal}}_{Z}\end {bmatrix}}$

زاویه به سادگی مجموع مختصات x/z است (یا y,x اگر Z 'بالا' باشد یا y,z اگر X 'بالا' باشد)...

${\text{angle}}=|N_{x}|+|N_{z}|$ اگر زاویه 0 باشد، کار انجام شده است، نتیجه با $(0,0,0)$

$r=1/({\text{angle}})$ برخی از مقادیر موقت؛ این مقادیر فقط به جزئی ارجاع داده می شوند...

$t={\begin{bmatrix}N_{x}\cdot r\\N_{y}\\N_{z}\cdot r\end{bmatrix}}$ از نرمال پیش بینی شده در محور Y به عنوان زاویه چرخش استفاده کنید...

${\text{target}}_{\text{angle}}=\cos ^{-1}(t_{Y})$

${\text{result}}={\begin{bmatrix}t_{Z}\cdot {\text{target}_{\text{angle}}\\0\\-t_{X}\cdot {\text{target}}_{\text{angle}}\end{bmatrix}}$

تراز کردن عادی با استفاده از پایه [ ویرایش ]

مماس و دو مماس پیش‌فرض چرخش‌هایی که فقط مجموعه نرمال خود را دارند، منجر به مماس و دو مماس نامنظم می‌شود. متناوباً یک ماتریس پایه بسازید و با استفاده از روش ذکر شده از مبنا تبدیل کنید. نرمال موارد فوق را محاسبه کنید و ماتریس تبدیل ...

${\text{normal}}_{\text{twist}}={\sqrt {t_{Z}^{2}+t_{X}^{2}}}$

${\begin{bmatrix}\left(N_{y}\cdot {\frac {-t_{X}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\right)&N_ {x}&{\frac {t_{Z}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\\\left(N_{z}\cdot {\frac {t_{Z} {{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\right)-\left(N_{x}\cdot {\frac {-t_{X}}{{\text{normal}} _{\text{twist}}}}\right)&N_{y}&0\\\left(-N_{y}\cdot {\frac {t_{Z}}{{\text{normal}}_{\ text{twist}}}}\right)&N_{z}&{\frac {-t_{X}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\end{bmatrix}}$ و سپس از پایه برای ثبت تبدیل کواترنیون استفاده کنید...

تراز کردن عادی به طور مستقیم [ ویرایش ]

یا این محاسبات مستقیمی است که با یک چهارمین log به دست می آید. بردار نتیجه فوق را محاسبه کنید و سپس ...

${\begin{matrix}t_{X_{n}}=t_{X}\cdot {\text{normal}}_{\text{twist}}\\t_{Z_{n}}=t_{ Z}\cdot {\text{normal}}_{\text{twist}}\\s=\sin({\text{target}}_{\text{angle}})\\c=1-\cos ({\text{هدف}}_{\text{زاویه}})\end{ماتریس}}$ این زاویه است

${\text{angle}}=\arccos((t_{Y}+1)*(1-t_{X_{n}})/2-1);$ این ضربات جزئی در زیر استفاده می شوند ...

${\begin{matrix}yz=s\cdot n_{X}\\xz=(2-c\cdot (n_{X}^{2}+n_{Z}^{2}))\cdot t_{Z_{n}}\\xy=s\cdot n_{X}*t_{Z_{n}}+s\cdot n_{Z}\cdot (1-t_{X_{n}})\end{ ماتریس}}$ محاسبه بردار چرخش نرمال شده (محور چرخش)...

$n={\begin{bmatrix}{\frac {yz}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}\\{\frac {xz}{ \sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}\\{\frac {xy}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{ 2}}}\end{bmatrix}}$

و در نهایت کواترنیون log حاصل را محاسبه کنید.

${\text{final}}_{\text{result}}={\text{angle}}\cdot {n}$

تبدیل از زاویه محور [ ویرایش ]

این محور ورودی را فرض می کند ${a}=[{X}،{Y}،{Z}]$ عادی شده است. اگر 0 چرخش وجود دارد، نتیجه را با $(0,0,0)$

$\theta ={\text{زاویه}}$

${\text{result}}=\theta *{a}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions

3-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:42

بردار رودریگز [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: فرمول چرخش رودریگز

بردار رودریگز ( گاهی اوقات بردار گیبس نامیده می شود ، با مختصاتی به نام پارامترهای رودریگز ) [3] [4] را می توان بر حسب محور و زاویه چرخش به صورت زیر بیان کرد:

$\mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}$

این نمایش یک آنالوگ با ابعاد بالاتر از طرح گنومونیک است که ربع‌های واحد را از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی نگاشت می‌کند.

این یک ناپیوستگی در 180 درجه ( رادیان π ) دارد: همانطور که هر بردار چرخشی r به زاویه ای از رادیان π تمایل دارد، مماس آن به بی نهایت میل می کند.

یک چرخش g به دنبال چرخش f در نمایش رودریگز شکل ترکیب چرخشی ساده دارد.

$(\mathbf {g} ,\mathbf {f} )={\frac {\mathbf {g} +\mathbf {f} -\mathbf {f} \times \mathbf {g} }{1-\ mathbf {g} \cdot \mathbf {f} }}\,.$

امروزه، ساده ترین راه برای اثبات این فرمول در نمایش دوگانه (وفادار) است ، که در آن g = n̂ tan a و غیره.

ویژگی‌های ترکیبی مشتق ماتریس پائولی که ذکر شد نیز با مشتق کواترنیونی معادل زیر یکسان است. یک کواترنیون مرتبط با چرخش فضایی R به صورت زیر بسازید،

$S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .$ سپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A است، با محور چرخش و زاویه که توسط حاصل ضرب ربع‌ها تعریف می‌شود.

$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B= \cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B}،$ به این معنا که

$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta } {2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\ آلفا {2}}\mathbf {A} \right).$

این ضرب کواترنیون را گسترش دهید

$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2 }}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \ mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\ alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2} }\mathbf {B} \times \mathbf {A} \راست).$

دو طرف این معادله را بر همانی ضربی از معادله قبلی تقسیم کنید،

$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac { \beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,$ و ارزیابی کنید

$\tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf { A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.$

این فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای چرخش دو جزء تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [3] سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند.

پارامترهای رودریگز اصلاح شده (MRPs) را می توان بر حسب محور و زاویه اویلر بیان کرد.

$\mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.$ اجزای آن را می توان بر حسب اجزای یک کواترنیون واحد بیان کرد که نشان دهنده همان چرخش است.

$p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.$

بردار Rodrigues اصلاح شده یک ربع واحد نقشه برداری طرح ریزی استریوگرافی از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی است. طرح ریزی کواترنیون مخالف -q منجر به یک بردار رودریگز اصلاح شده متفاوت می شودپس $\mathbf {p} ^{s}$ نسبت به طرح کواترنیون اصلی q . با مقایسه مولفه ها به آن می رسیم

$p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y ,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.$ قابل ذکر است، اگر یکی از این بردارها در داخل واحد 3 کره قرار داشته باشد، دیگری در خارج خواهد بود.

پارامترهای کیلی–کلاین [ ویرایش ]

به تعریف در Wolfram Mathworld مراجعه کنید .

آنالوگ های با ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: چرخش در فضای 4 بعدی اقلیدسی

2-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:41

محور و زاویه اویلر (بردار چرخش) [ ویرایش ]

تجسم یک چرخش که با محور و زاویه اویلر نشان داده شده است.

مقاله اصلی: بازنمایی محور – زاویه

از قضیه چرخش اویلر می دانیم که هر چرخشی را می توان به صورت یک چرخش منفرد حول یک محور بیان کرد. محور بردار واحدی است (به جز علامت منحصر به فرد) که با چرخش بدون تغییر باقی می ماند. بزرگی زاویه نیز منحصر به فرد است و علامت آن با علامت محور چرخش تعیین می شود.

محور را می توان به عنوان یک بردار واحد سه بعدی نشان داد

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$ و زاویه توسط θ اسکالر .

از آنجایی که محور نرمال شده است، تنها دو درجه آزادی دارد. زاویه سومین درجه آزادی را به این نمایش چرخشی اضافه می کند.

ممکن است کسی بخواهد چرخش را به عنوان یک بردار چرخشی یا بردار اویلر بیان کند ، یک بردار سه بعدی غیر عادی که جهت آن محور را مشخص می کند و طول آن θ است.

$\mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.$

بردار چرخش در برخی زمینه ها مفید است، زیرا نشان دهنده یک چرخش سه بعدی با تنها سه مقدار اسکالر (اجزای آن) است که نشان دهنده سه درجه آزادی است. این همچنین برای نمایش های مبتنی بر دنباله های سه زاویه اویلر صادق است (به زیر مراجعه کنید).

اگر زاویه چرخش θ صفر باشد، محور منحصراً تعریف نشده است. ترکیب دو چرخش متوالی که هر کدام با یک محور و زاویه اویلر نشان داده می شوند، ساده نیست و در واقع قانون جمع بردار را برآورده نمی کند، که نشان می دهد چرخش های محدود واقعاً بردار نیستند. بهتر است از ماتریس چرخش یا نماد کواترنیون استفاده کنید، حاصل را محاسبه کنید و سپس به محور و زاویه اویلر تبدیل کنید.

چرخش های اویلر [ ویرایش ]

چرخش های اویلر زمین ذاتی (سبز)، تقدم (آبی) و nutation (قرمز)

نوشتار اصلی: چرخش های اویلر

ایده پشت چرخش های اویلر این است که چرخش کامل سیستم مختصات را به سه چرخش تشکیل دهنده ساده تر، به نام های تقدم ، نوتاسیون ، و چرخش ذاتی تقسیم کنیم، که هر یک از آنها افزایشی بر یکی از زوایای اویلر است . توجه داشته باشید که ماتریس بیرونی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب مرجع است و ماتریس داخلی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب متحرک است. ماتریس میانی نشان دهنده چرخش حول یک محور میانی به نام خط گره ها است.

با این حال، تعریف زوایای اویلر منحصر به فرد نیست و در ادبیات از قراردادهای مختلفی استفاده شده است. این قراردادها به محورهایی که چرخش‌ها حول آن انجام می‌شوند و ترتیب آنها بستگی دارد (زیرا چرخش‌ها جابه‌جایی نیستند ) .

قراردادی که استفاده می‌شود معمولاً با مشخص کردن محورهایی که چرخش‌های متوالی در اطراف آنها انجام می‌شود (قبل از ترکیب) نشان داده می‌شود و به آنها با شاخص (1، 2، 3) یا حرف (X، Y، Z) اشاره می‌شود . جوامع مهندسی و رباتیک معمولاً از زوایای اویلر 3-1-3 استفاده می کنند. توجه داشته باشید که پس از نوشتن چرخش های مستقل، آنها دیگر حول محور خود نمی چرخند. خارجی‌ترین ماتریس، دو ماتریس دیگر را می‌چرخاند و ماتریس چرخش دوم را روی خط گره‌ها می‌گذارد، و سومین ماتریس را در یک قاب همراه با بدنه می‌گذارد. 3 × 3 × 3 = 27 ترکیب ممکن از سه چرخش اصلی وجود دارد اما فقط 3 × 2 × 2 = 12از آنها می توان برای نمایش چرخش های سه بعدی دلخواه به عنوان زوایای اویلر استفاده کرد. این 12 ترکیب از چرخش های متوالی حول یک محور (مانند XXY) جلوگیری می کنند که درجات آزادی قابل نمایش را کاهش می دهد.

بنابراین، زوایای اویلر هرگز بر حسب قاب خارجی، یا بر حسب قاب بدنه چرخاننده متحرک بیان نمی‌شوند، بلکه در یک مخلوط بیان می‌شوند. قراردادهای دیگر (به عنوان مثال، ماتریس چرخش یا کواترنیون ها) برای جلوگیری از این مشکل استفاده می شود.

در هوانوردی ، جهت گیری هواپیما معمولاً به صورت زوایای ذاتی Tait-Bryan در پیروی از قرارداد z - y ′ -x ″ بیان می شود که به آن ها heading ، elevation و bank (یا مترادف، yaw ، pitch و roll ) می گویند.

کواترنیون ها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: کواترنیون ها و چرخش فضایی

کواترنیون ها که یک فضای برداری چهار بعدی را تشکیل می دهند ، به دلیل چندین مزیت نسبت به سایر نمایش های ذکر شده در این مقاله، در نمایش چرخش ها بسیار مفید بوده اند.

یک نمایش چهارگانه چرخش به عنوان یک ویراست (کواترنیون عادی شده) نوشته می شود:

${\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}= {\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}$

تعریف فوق، کواترنیون را به عنوان یک آرایه به دنبال قراردادی که در (ورتز 1980) و (مارکلی 2003) استفاده شده است، ذخیره می کند. یک تعریف جایگزین، که برای مثال در (کوتسیاس 1999) و (اشمیت 2001) استفاده شده است، اصطلاح "اسکالر" را به عنوان اولین عنصر کواترنیونی تعریف می کند، در حالی که عناصر دیگر یک موقعیت به پایین جابجا شده اند.

از نظر محور اویلر

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$

و زاویه θ مولفه های این نسخه به صورت زیر بیان می شوند:

${\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac { \theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{ 2}}\end{تراز شده}}$

بازرسی نشان می دهد که پارامترسازی کواترنیون از محدودیت زیر تبعیت می کند:

$q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1$

آخرین عبارت (در تعریف ما) اغلب اصطلاح اسکالر نامیده می شود، که منشأ آن در ربعات است، زمانی که به عنوان بسط ریاضی اعداد مختلط درک شود، که به صورت نوشته می شود.

$a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ و جایی که { i , j , k } اعداد ابر مختلط رضایت بخش هستند

${\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=& -kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{آرایه}}$

ضرب کواترنیونی که برای مشخص کردن چرخش مرکب استفاده می‌شود، به همان روش ضرب اعداد مختلط انجام می‌شود ، با این تفاوت که ترتیب عناصر باید در نظر گرفته شود، زیرا ضرب جابه‌جایی نیست. در نمادگذاری ماتریسی می توانیم ضرب کواترنیونی را به صورت بنویسیم

${\tilde {\mathbf {q}}}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}& -q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\; \,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_ {i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\ \{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix }\;\;\،{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}} _{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_ {k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix} }$

بنابراین ترکیب دو چرخش متوالی کواترنیون به اندازه استفاده از ماتریس چرخش ساده است. همانطور که دو ماتریس چرخش متوالی، A 1 و A 2 به دنبال آن ترکیب می شوند

$\mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}،$ ما می‌توانیم این را با پارامترهای کواترنیون به روشی مختصر نشان دهیم:

$\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}$

کواترنیون ها به دلیل ویژگی های زیر یک پارامترسازی بسیار محبوب هستند:

فشرده تر از نمایش ماتریس و کمتر مستعد خطاهای گرد کردن است
عناصر کواترنیون به طور پیوسته در کره واحد در ℝ 4 تغییر می کنند ، (که با S 3 مشخص می شود ) با تغییر جهت، اجتناب از پرش های ناپیوسته (ذاتی پارامترهای سه بعدی)
بیان ماتریس چرخش بر حسب پارامترهای کواترنیونی شامل هیچ توابع مثلثاتی نیست.
ترکیب دو چرخش مجزا که به صورت کواترنیون نمایش داده می شوند با استفاده از یک ضرب کواترنیونی ساده است

مانند ماتریس‌های چرخش، کواترنیون‌ها گاهی اوقات باید به دلیل خطاهای گرد کردن مجدداً عادی شوند تا اطمینان حاصل شود که با چرخش‌های معتبر مطابقت دارند. با این حال، هزینه محاسباتی عادی سازی مجدد یک کواترنیون بسیار کمتر از عادی سازی یک ماتریس 3×3 است.

کواترنیون ها همچنین ویژگی اسپینوریال چرخش ها را در سه بعد به تصویر می کشند. برای یک جسم سه‌بعدی که توسط رشته‌ها یا باندهای شل به محیط اطراف (ثابت) متصل می‌شود، می‌توان رشته‌ها یا نوارها را پس از دو چرخش کامل حول یک محور ثابت از حالت بازشده اولیه باز کرد. از نظر جبری، رباعی که چنین چرخشی را توصیف می کند، از یک عدد اسکالر +1 (در ابتدا)، از طریق مقادیر (اسکالر + شبه بردار) به اسکالر -1 (در یک دور کامل)، از طریق مقادیر (اسکالار + شبه بردار) به اسکالر +1 (در) تغییر می کند. دو دور کامل). این چرخه هر 2 نوبت تکرار می شود. پس از 2 n چرخش (عدد صحیح n > 0 )، بدون هیچ گونه تلاش میانی برای باز کردن گره، می توان تا حدی رشته ها/باندها را به 2( n ) باز کرد.− 1) حالت چرخش با هر کاربرد از همان رویه مورد استفاده در باز کردن گره از 2 دور به 0 دور. اعمال همان رویه n بار، یک شیء درهم 2 n را به حالت باز شده یا 0 چرخش می برد. فرآیند باز کردن گره‌ها نیز هرگونه پیچش ناشی از چرخش را در مورد خود رشته‌ها/باندها حذف می‌کند. برای نشان دادن این حقایق می توان از مدل های مکانیکی سه بعدی ساده استفاده کرد.

1-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:40

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای پوشش گسترده تر این موضوع، گروه چرخش SO(3) را ببینید.

در هندسه ، فرمالیسم های مختلفی برای بیان یک چرخش در سه بعد به عنوان یک تبدیل ریاضی وجود دارد. در فیزیک، این مفهوم در مکانیک کلاسیک به کار می رود که در آن سینماتیک چرخشی (یا زاویه ای) علم توصیف کمی یک حرکت چرخشی محض است . جهت گیری یک شی در یک لحظه معین با همان ابزار توصیف می شود، زیرا به عنوان چرخش خیالی از یک مکان مرجع در فضا تعریف می شود، نه یک چرخش واقعی مشاهده شده از یک مکان قبلی در فضا.

طبق قضیه چرخش اویلر، چرخش یک جسم صلب (یا سیستم مختصات سه بعدی با مبدأ ثابت ) با یک چرخش منفرد حول یک محور توصیف می‌شود. چنین چرخشی ممکن است به طور منحصر به فرد با حداقل سه پارامتر واقعی توصیف شود. با این حال، به دلایل مختلف، راه های مختلفی برای نشان دادن آن وجود دارد. بسیاری از این نمایش‌ها از بیش از حداقل سه پارامتر لازم استفاده می‌کنند، اگرچه هر یک از آنها هنوز تنها سه درجه آزادی دارند.

مثالی که در آن از نمایش چرخشی استفاده می شود، در بینایی کامپیوتری است ، جایی که یک ناظر خودکار باید یک هدف را ردیابی کند. جسمی صلب را در نظر بگیرید که سه بردار واحد متعامد روی بدنش ثابت شده است (که نشان دهنده سه محور سیستم مختصات محلی جسم است ). مشکل اساسی این است که جهت گیری این سه بردار واحد را مشخص کنیم ، و از این رو بدن صلب، با توجه به سیستم مختصات ناظر، به عنوان یک مکان مرجع در فضا در نظر گرفته می شود.

چرخش و حرکت [ ویرایش ]

مقالات اصلی: حرکت (هندسه) و چرخش (ریاضیات)

فرمالیسم‌های چرخشی بر حرکات مناسب ( حفظ جهت‌گیری ) فضای اقلیدسی با یک نقطه ثابت که چرخش به آن اشاره دارد، متمرکز هستند. اگرچه حرکات فیزیکی با یک نقطه ثابت مورد مهمی هستند (مانند مواردی که در کادر مرکز جرم یا حرکات مفصل توضیح داده شده است)، این رویکرد باعث ایجاد دانش در مورد همه حرکات می شود. هر حرکت مناسب فضای اقلیدسی به چرخش حول مبدا و تبدیل تجزیه می شود . ترتیب ترکیب آنها هر کدام که باشد، مولفه چرخش "خالص" تغییر نمی کند، که منحصراً توسط حرکت کامل تعیین می شود.

همچنین می‌توان چرخش‌های «خالص» را به‌عنوان نقشه‌های خطی در یک فضای برداری مجهز به ساختار اقلیدسی درک کرد، نه به‌عنوان نقشه‌های نقاط یک فضای وابسته متناظر . به عبارت دیگر، فرمالیسم چرخشی فقط بخش چرخشی یک حرکت را که شامل سه درجه آزادی است، در بر می گیرد و بخش انتقالی را که شامل سه درجه دیگر است نادیده می گیرد.

هنگامی که یک چرخش را به صورت اعداد در رایانه نشان می‌دهند، برخی از افراد نمایش چهارگانه یا نمایش محور+زاویه را ترجیح می‌دهند، زیرا از قفل گیمبال که می‌تواند با چرخش‌های اویلر رخ دهد اجتناب می‌کنند. [1]

جایگزین های فرمالیسم [ ویرایش ]

ماتریس چرخش [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ماتریس چرخش

به سه گانه بردارهای واحد فوق، پایه نیز گفته می شود . مشخص کردن مختصات ( مولفه‌های ) بردارهای این پایه در موقعیت فعلی (چرخش) آن، بر حسب محورهای مختصات مرجع (غیر چرخشی)، چرخش را کاملاً توصیف می‌کند. بردارهای سه واحدی،تو^ ${\hat {{\mathbf {u}}}}$ ، ${\hat {{\mathbf {v}}}}$ و ${\hat {\mathbf {w} }}$ ، که پایه چرخشی را تشکیل می دهند که هر کدام از 3 مختصات تشکیل شده است که در مجموع 9 پارامتر را به دست می دهند.

این پارامترها را می توان به عنوان عناصر یک ماتریس 3 × 3 A نوشت که ماتریس چرخشی نامیده می شود . به طور معمول، مختصات هر یک از این بردارها در امتداد ستونی از ماتریس مرتب می‌شوند (اما مراقب باشید که تعریف جایگزینی از ماتریس چرخش وجود دارد و به طور گسترده استفاده می‌شود، جایی که مختصات بردارها تعریف شده در بالا با ردیف‌هایی مرتب شده‌اند [2] ) .

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {u} }}_{x}&{\hat {\mathbf {v} }}_{x}&{\hat {\mathbf {w} }}_{x}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{y}&{\hat {\mathbf {v} }}_{y}&{\hat { \mathbf {w} }}_{y}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{z}&{\hat {\mathbf {v} }}_{z}&{\hat {\ mathbf {w} }}_{z}\\\end{bmatrix}}$

عناصر ماتریس چرخش همه مستقل نیستند - همانطور که قضیه چرخش اویلر حکم می کند، ماتریس چرخش فقط سه درجه آزادی دارد.

ماتریس چرخش دارای ویژگی های زیر است:

A یک ماتریس واقعی و متعامد است ، از این رو هر یک از سطرها یا ستون های آن یک بردار واحد را نشان می دهد.
مقادیر ویژه A هستند _

$\left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}$ جایی که i واحد فرضی استاندارد با خاصیت i 2 = -1 است
تعیین کننده A +1 است ، معادل حاصل ضرب مقادیر ویژه آن.
ردیابی A 1 + 2 cos θ است که معادل مجموع مقادیر ویژه آن است.

زاویه θ که در عبارت مقدار ویژه ظاهر می شود با زاویه نمایش محور اویلر و زاویه مطابقت دارد. بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه 1، محور اویلر همراه است، زیرا محور تنها بردار (غیر صفر) است که با ضرب چپ (چرخش) آن با ماتریس چرخش بدون تغییر باقی می‌ماند.

خواص فوق معادل هستند

${\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u}}}|=|{\hat {\mathbf {v}}}|=|{\hat {\mathbf {w} }}| &=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{تراز شده}}$ که راه دیگری برای بیان آن است $({\hat {\mathbf {u} }},{\hat {\mathbf {v} }},{\hat {\mathbf {w} }})$ یک پایه متعارف سه بعدی را تشکیل می دهند . این عبارات مجموعاً شامل 6 شرط هستند (ضرب متقاطع شامل 3 است) و در صورت لزوم، ماتریس چرخش را تنها با 3 درجه آزادی می‌گذارد.

دو چرخش متوالی که با ماتریس های A 1 و A 2 نشان داده شده اند به راحتی به عنوان عناصر یک گروه ترکیب می شوند.

$\mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}$ (به ترتیب توجه کنید، زیرا بردار در حال چرخش از سمت راست ضرب می شود).

سهولت چرخاندن بردارها با استفاده از یک ماتریس چرخشی، و همچنین سهولت ترکیب چرخش های متوالی، ماتریس چرخش را به روشی مفید و محبوب برای نمایش چرخش ها تبدیل می کند، حتی اگر مختصرتر از سایر نمایش ها باشد.

زوایای اویلر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 7:46

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تعریف هندسی زوایای کلاسیک اویلر.

سیستم مختصات ثابت ( x، y، z )

سیستم مختصات چرخشی ( X، Y، Z )

خط گره ها ( N )

زوایای اویلر سه زاویه ای هستند که توسط لئونارد اویلر برای توصیف جهت یک جسم صلب با توجه به یک سیستم مختصات ثابت معرفی شده اند . [1]

آنها همچنین می توانند جهت یک چارچوب مرجع متحرک در فیزیک یا جهت گیری یک مبنای کلی را در جبر خطی سه بعدی نشان دهند . فرم های جایگزین بعداً توسط پیتر گاتری تایت و جورج اچ برایان برای استفاده در هوانوردی و مهندسی معرفی شدند.

معادل چرخش های زنجیره ای [ ویرایش ]

با استفاده از یک توالی خاص از چرخش‌های ذاتی، که بزرگی آن زوایای اویلر جهت‌گیری هدف است، می‌توان به هر جهت هدفی دست یافت، با شروع از یک جهت مرجع شناخته شده. این مثال از دنباله zx′-z″ استفاده می کند.

همچنین نگاه کنید به: چرخش های زنجیره ای

زوایای اویلر را می توان با هندسه عنصری یا با ترکیب چرخش ها تعریف کرد. تعریف هندسی نشان می‌دهد که سه چرخش عنصری تشکیل‌شده (چرخش حول محورهای یک سیستم مختصات ) همیشه برای رسیدن به هر قاب هدف کافی است.

سه چرخش عنصری ممکن است بیرونی باشند (چرخش‌های حول محورهای xyz سیستم مختصات اولیه، که فرض می‌شود بی‌حرکت می‌ماند) یا درونی (چرخش‌های حول محورهای سیستم مختصات دوار XYZ ، همبستگی با جسم متحرک، که آن را تغییر می‌دهد. جهت گیری با توجه به قاب بیرونی پس از هر چرخش عنصری).

زوایای اویلر معمولاً به صورت α ، β ، γ ، یا ψ ، θ ، φ نشان داده می‌شوند . نویسندگان مختلف ممکن است از مجموعه های مختلفی از محورهای چرخشی برای تعریف زوایای اویلر یا نام های متفاوتی برای زاویه های مشابه استفاده کنند. بنابراین، هر بحثی که از زوایای اویلر استفاده می‌کند، باید همیشه مقدم بر تعریف آنها باشد.

بدون در نظر گرفتن امکان استفاده از دو قرارداد مختلف برای تعریف محورهای چرخش (ذاتی یا بیرونی)، دوازده دنباله ممکن از محورهای چرخشی وجود دارد که به دو گروه تقسیم می شوند:

زوایای اویلر مناسب ( z - x - z ، x - y - x ، y - z - y ، z - y - z ، x - z - x ، y - x - y )
زوایای Tait–Bryan ( x - y - z ، y - z - x ، z - x - y ، x - z - y ، z - y - x ، y - x - z ) .

زوایای Tait–Bryan زوایای Cardan نیز نامیده می شوند . زوایای دریایی ; سرفصل ، ارتفاع، و بانک ؛ یا انحراف، زمین، و رول . گاهی اوقات، هر دو نوع دنباله را "زوایای اویلر" می نامند. در آن صورت دنباله های گروه اول را زاویه های اویلر مناسب یا کلاسیک می نامند.

زوایای اویلر مناسب [ ویرایش ]

سمت چپ: مجموعه گیمبال ، که دنباله چرخش z - x - z را نشان می دهد. قاب خارجی در پایه نشان داده شده است. محورهای داخلی به رنگ قرمز. راست: یک نمودار ساده که زوایای مشابه اویلر را در یک نمودار نشان می دهد.

تعریف هندسی [ ویرایش ]

محورهای قاب اصلی به صورت x , y , z و محورهای فریم چرخانده شده به صورت X , Y , Z مشخص می شوند. تعریف هندسی (گاهی اوقات به عنوان ایستا از آن یاد می شود) با تعریف خط گره ها (N) به عنوان محل تلاقی صفحات xy و XY آغاز می شود (همچنین می توان آن را به عنوان عمود مشترک بر محورهای z و Z تعریف کرد و سپس به صورت زیر نوشت: محصول برداری N = z × $\بار$ ز ). با استفاده از آن می توان سه زاویه اویلر را به صورت زیر تعریف کرد:

$\ آلفا$ (یا $\varphi$ ) زاویه علامت گذاری شده بین محور x و محور N است ( x -convention - همچنین می توان آن را بین y و N تعریف کرد، که y -convention نامیده می شود).
$\بتا$ (یا $تتا$ ) زاویه بین محور z و محور Z است.
$\گاما$ (یا $\psi$ ) زاویه علامت بین محور N و محور X ( x -convention) است.

زوایای اویلر بین دو قاب مرجع تنها در صورتی تعریف می شود که هر دو فریم دارای دست بودن یکسان باشند .

قراردادهای چرخش ذاتی [ ویرایش ]

چرخش های درونی، چرخش های عنصری هستند که حول محورهای یک سیستم مختصات XYZ متصل به جسم متحرک رخ می دهند. بنابراین بعد از هر چرخش عنصری جهت خود را تغییر می دهند. سیستم XYZ می چرخد، در حالی که xyz ثابت است. با شروع با XYZ همپوشانی xyz ، ترکیبی از سه چرخش ذاتی را می توان برای رسیدن به هر جهت هدف برای XYZ استفاده کرد.

زوایای اویلر را می توان با چرخش های ذاتی تعریف کرد. فریم چرخانده XYZ ممکن است تصور شود که در ابتدا با xyz تراز شده است، قبل از انجام سه چرخش عنصری نشان داده شده توسط زوایای اویلر. جهت گیری های متوالی آن را می توان به صورت زیر نشان داد:

x - y - z یا x 0 - y 0 - z 0 (اولیه)
x "- y "- z "، یا x 1 - y 1 - z 1 (پس از اولین چرخش)
x ″- y ″- z ″، یا x 2 - y 2 - z 2 (پس از چرخش دوم)
X - Y - Z یا x 3 - y 3 - z 3 (نهایی)

برای دنباله چرخش های ذکر شده در بالا، خط گره های N را می توان به سادگی به عنوان جهت X پس از اولین چرخش عنصری تعریف کرد. از این رو، N را می توان به سادگی x نشان داد. علاوه بر این، از آنجایی که چرخش عنصر سوم در مورد Z اتفاق می افتد، جهت Z را تغییر نمی دهد . بنابراین Z با z منطبق است. این به ما اجازه می دهد تا تعریف زوایای اویلر را به صورت زیر ساده کنیم:

α (یا $\varphi$ ) نشان دهنده چرخش حول محور z است،
β (یا $تتا$ ) نشان دهنده چرخش حول محور x است،
γ (یا $\psi$ ) نشان دهنده چرخش حول محور z ″ است.

قراردادها توسط چرخش های بیرونی [ ویرایش ]

چرخش های بیرونی چرخش های عنصری هستند که حول محورهای سیستم مختصات ثابت xyz رخ می دهند . سیستم XYZ می چرخد، در حالی که xyz ثابت است. با شروع XYZ همپوشانی xyz ، ترکیبی از سه چرخش بیرونی را می توان برای رسیدن به هر جهت هدف برای XYZ استفاده کرد. زوایای اویلر یا تایت-برایان ( α ، β ، γ ) دامنه این چرخش های عنصری است. به عنوان مثال، جهت گیری هدف را می توان به صورت زیر بدست آورد (به ترتیب معکوس اعمال زاویه اویلر توجه کنید):

سیستم XYZ حول محور z به اندازه γ می چرخد . اکنون محور X نسبت به محور x در زاویه γ است.
سیستم XYZ دوباره می چرخد، اما این بار حول محور x توسط β می چرخد . اکنون محور Z نسبت به محور z در زاویه β است.
سیستم XYZ برای بار سوم، دوباره حول محور z ، با زاویه α می چرخد .

در مجموع، سه چرخش عنصری در مورد z ، x و z رخ می دهد . در واقع، این دنباله اغلب z - x - z (یا 3-1-3) نشان داده می شود. مجموعه‌ای از محورهای چرخشی مرتبط با هر دو زاویه اویلر مناسب و زاویه‌های Tait-Bryan معمولاً با استفاده از این نماد نام‌گذاری می‌شوند (برای جزئیات به بالا مراجعه کنید).

علائم، محدوده ها و قراردادها [ ویرایش ]

زاویه ها معمولاً بر اساس قانون دست راست تعریف می شوند . یعنی وقتی چرخشی را نشان می‌دهند که در جهت مثبت محور به نظر می‌رسد، مقادیر مثبت دارند و زمانی که چرخش در خلاف جهت عقربه‌های ساعت ظاهر می‌شود، مقادیر منفی دارند. قرارداد مخالف (قانون دست چپ) کمتر مورد استفاده قرار می گیرد.

درباره محدوده ها (با استفاده از نماد بازه ):

برای α و γ ، محدوده مدول 2 π رادیان تعریف شده است . به عنوان مثال، یک محدوده معتبر می تواند [- π ، π ] باشد.
برای β ، محدوده رادیان π را پوشش می دهد (اما نمی توان گفت مدول π است). برای مثال، می تواند [0, π ] یا [− π /2، π /2] باشد.

زوایای α ، β و γ به طور منحصر به فردی تعیین می شوند، به جز حالت مفرد که صفحات xy و XY یکسان هستند، یعنی زمانی که محور z و محور Z دارای جهات یکسان یا مخالف باشند. در واقع، اگر محور z و محور Z یکسان باشند، β = 0 و فقط ( α + γ ) به طور یکتا تعریف می شود (نه مقادیر جداگانه)، و به طور مشابه، اگر محور z و محور Z مخالف باشند، β = π و فقط ( α - γ ) منحصراً تعریف شده است (نه مقادیر فردی). این ابهامات به عنوان قفل گیمبال در برنامه ها شناخته می شوند.

شش امکان برای انتخاب محورهای چرخش برای زوایای اویلر مناسب وجود دارد. در همه آنها، محور چرخش اول و سوم یکسان است. شش دنباله ممکن عبارتند از:

z 1 - x ′- z 2 ″ (چرخش های درونی) یا z 2 - x - z 1 (چرخش های بیرونی)
x 1 - y ′- x 2 ″ (چرخش های درونی) یا x 2 - y - x 1 (چرخش های بیرونی)
y 1 - z ′- y 2 ″ (چرخش های درونی) یا y 2 - z - y 1 (چرخش های بیرونی)
z 1 - y ′- z 2 ″ (چرخش های درونی) یا z 2 - y - z 1 (چرخش های بیرونی)
x 1 - z ′- x 2 ″ (چرخش های درونی) یا x 2 - z - x 1 (چرخش های بیرونی)
y 1 - x ′- y 2 ″ (چرخش های درونی) یا y 2 - x - y 1 (چرخش های بیرونی)

تقدم، نوتاسیون و چرخش ذاتی [ ویرایش ]

حرکات اولیه اویلر زمین ذاتی (سبز)، تقدم (آبی) و Nutation (قرمز)

تقدم ، نوتاسیون و چرخش ذاتی (اسپین) به عنوان حرکاتی تعریف می شوند که با تغییر یکی از زاویه های اویلر در حالی که دو زاویه دیگر ثابت باقی می مانند. این حرکات بر حسب قاب خارجی یا بر حسب قاب بدنه چرخاننده متحرک بیان نمی شوند، بلکه در یک مخلوط بیان می شوند. آنها یک محور ترکیبی از سیستم چرخش را تشکیل می دهند، که در آن زاویه اول خط گره ها را حول محور خارجی z حرکت می دهد، زاویه دوم حول خط گره های N می چرخد و سومین یک چرخش ذاتی حول Z است، یک محور ثابت در بدنه. که حرکت می کند.

تعریف ایستا به این معناست که:

α (پیشرفت) نشان دهنده چرخش حول محور z است،
β (نوتاسیون) نشان دهنده چرخش حول محور N یا x' است،
γ (چرخش ذاتی) نشان دهنده چرخش حول محور Z یا z″ است.

اگر β صفر باشد، هیچ چرخشی حول N وجود ندارد . در نتیجه، Z با z منطبق است، α و γ نشان دهنده چرخش حول همان محور ( z ) است، و جهت گیری نهایی را می توان با یک چرخش منفرد حول z ، با زاویه ای برابر با α + γ به دست آورد.

به عنوان مثال، یک تاپ را در نظر بگیرید . بالا حول محور تقارن خود می چرخد. این مربوط به چرخش ذاتی آن است. همچنین حول محور محوری خود می چرخد و مرکز جرم آن به دور محور محوری می چرخد. این چرخش یک تقدم است. در نهایت، بالا و پایین می تواند تکان بخورد. زاویه شیب زاویه nutation است. همین مثال را می توان با حرکات زمین مشاهده کرد.

اگرچه هر سه حرکت را می توان توسط یک عملگر چرخشی با ضرایب ثابت در برخی فریم ها نشان داد، اما نمی توان آنها را همزمان با این عملگرها نشان داد. با توجه به یک چارچوب مرجع، حداکثر یکی از آنها بدون ضریب خواهد بود. فقط تقدم را می توان به طور کلی به صورت ماتریسی در اساس فضا بدون وابستگی به زوایای دیگر بیان کرد.

این حرکات نیز مانند یک مجموعه گیمبال رفتار می کنند. اگر مجموعه‌ای از فریم‌ها را فرض کنیم که می‌توانند هر یک را نسبت به اولی فقط بر اساس یک زاویه حرکت دهند، مانند گیمبال، یک قاب ثابت خارجی، یک قاب نهایی و دو قاب در وسط وجود دارد که به آن‌ها «واسطه» می‌گویند. قاب ها". این دو در وسط به عنوان دو حلقه گیمبال عمل می کنند که به آخرین فریم اجازه می دهد به هر جهتی در فضا برسد.

زوایای Tait–Bryan [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: محورهای اصلی هواپیما

زوایای Tait–Bryan. دنباله z - y ′- x ″ (چرخش های ذاتی؛ N منطبق با y است ). دنباله چرخش زاویه ψ ، θ ، φ است. توجه داشته باشید که در این حالت ψ > 90 درجه و θ یک زاویه منفی است.

نوع دوم فرمالیسم، زوایای تایت-برایان نامیده می شود ، پس از پیتر گاتری تایت و جورج اچ برایان . این قراردادی است که معمولاً برای کاربردهای هوافضا استفاده می شود، به طوری که ارتفاع صفر درجه نشان دهنده نگرش افقی است. زوایای Tait–Bryan جهت گیری هواپیما را با توجه به چارچوب جهان نشان می دهد. هنگام برخورد با سایر وسایل نقلیه، قراردادهای محورهای مختلف امکان پذیر است.

تعاریف [ ویرایش ]

زوایای Tait–Bryan. دنباله z - x ′- y ″ (چرخش های ذاتی؛ N منطبق با x ′)

تعاریف و نمادهای استفاده شده برای زوایای Tait-Bryan مشابه مواردی است که در بالا برای زوایای اویلر مناسب توضیح داده شد ( تعریف هندسی ، تعریف چرخش درونی ، تعریف چرخش بیرونی ). تنها تفاوت این است که زوایای Tait-Bryan چرخش‌هایی را در مورد سه محور متمایز نشان می‌دهند (مثلا x - y - z یا x - y ' -z ″)، در حالی که زاویه‌های اویلر مناسب از یک محور برای چرخش عنصر اول و سوم استفاده می‌کنند. به عنوان مثال، z - x - z ، یا z - x ′- z ″).

این به معنای تعریف متفاوتی برای خط گره ها در ساختار هندسی است. در مورد زوایای اویلر مناسب، آن را به عنوان محل تلاقی بین دو صفحه دکارتی همولوگ تعریف کردند (موازی زمانی که زوایای اویلر صفر هستند؛ به عنوان مثال xy و XY ). در مورد زوایای Tait-Bryan، آن را به عنوان محل تلاقی دو صفحه غیر همولوگ تعریف می‌کنند (عمود زمانی که زوایای اویلر صفر هستند؛ به عنوان مثال xy و YZ ).

کنوانسیون ها [ ویرایش ]

زوایای سمت، ارتفاع و کرانه ( Z - Y ′- X ″) برای هواپیماهایی که از محورهای ENU در داخل هواپیما و برای ایستگاه ردیابی زمینی استفاده می کنند. قاب مرجع ثابت x - y - z نشان دهنده چنین ایستگاه ردیابی است. محورهای Y و Z موجود در هواپیما نشان داده نمی شوند. X با رنگ سبز نشان داده شده است. با توجه به قوانین RHS محور y نشان داده شده منفی است.

سه چرخش عنصری ممکن است یا در مورد محورهای سیستم مختصات اصلی که بی حرکت می ماند ( چرخش های بیرونی ) یا در مورد محورهای سیستم مختصات دوار که جهت خود را پس از هر چرخش عنصر تغییر می دهد ( چرخش های درونی ) رخ دهد.

شش امکان برای انتخاب محورهای چرخش برای زوایای Tait-Bryan وجود دارد. شش دنباله ممکن عبارتند از:

x - y ′- z ″ (چرخش های درونی) یا z - y - x (چرخش های بیرونی)
y - z ′- x ″ (چرخش های درونی) یا x - z - y (چرخش های بیرونی)
z - x ′- y ″ (چرخش های درونی) یا y - x - z (چرخش های بیرونی)
x - z ′- y ″ (چرخش های درونی) یا y - z - x (چرخش های بیرونی)
z - y ′- x ″ (چرخش های درونی) یا x - y - z (چرخش های بیرونی): چرخش های درونی به نام های: انحراف، گام و رول شناخته می شوند.
y - x ′- z ″ (چرخش های درونی) یا z - x - y (چرخش های بیرونی)

نشانه ها و محدوده ها [ ویرایش ]

محورهای اصلی هواپیما بر اساس استاندارد هوایی DIN 9300. توجه داشته باشید که فریم های ثابت و متحرک باید با زوایای صفر منطبق باشند. بنابراین، این هنجار همچنین یک کنوانسیون محورهای سازگار را در سیستم مرجع مجبور می کند

کنوانسیون Tait–Bryan به طور گسترده در مهندسی با اهداف مختلف استفاده می شود. در عمل برای انتخاب محورهای متحرک و ثابت چندین قرارداد وجود دارد که این قراردادها نشانه‌های زاویه‌ها را تعیین می‌کنند. بنابراین، علائم باید در هر مورد به دقت مطالعه شود.

محدوده زوایای ψ و φ 2 رادیان π را پوشش می دهد . برای θ محدوده رادیان π را پوشش می دهد.

نام های جایگزین [ ویرایش ]

این زاویه‌ها معمولاً به‌عنوان یکی در قاب مرجع خارجی ( سرفصل ، یاتاقان )، یکی در قاب متحرک ذاتی ( بانک ) و یکی در قاب میانی در نظر گرفته می‌شوند که نشان دهنده یک ارتفاع یا شیب نسبت به صفحه افقی است که معادل است. خط گره ها برای این منظور.

Mnemonics برای به خاطر سپردن نام زاویه

برای یک هواپیما، اگر به ترتیب مناسب انجام شود ، می توان آنها را با سه چرخش حول محورهای اصلی آن به دست آورد. یک انحراف یاتاقان را به دست می‌آورد، یک گام ارتفاع را نشان می‌دهد و یک رول زاویه کرک را نشان می‌دهد. بنابراین، در هوافضا گاهی اوقات آنها را یاو، پیچ و رول می نامند . توجه داشته باشید که اگر چرخش ها به ترتیب دیگری اعمال شوند یا اگر محورهای هواپیما در موقعیتی غیرمعادل با چارچوب مرجع شروع شوند، این کار نمی کند.

زوایای Tait–Bryan، به پیروی از قرارداد z - y ′- x ″ (چرخش های ذاتی) به عنوان زوایای دریایی نیز شناخته می شوند ، زیرا می توان از آنها برای توصیف جهت یک کشتی یا هواپیما یا زوایای کاردان ، پس از ریاضیدان ایتالیایی استفاده کرد. فیزیکدان جرولامو کاردانو ، که برای اولین بار تعلیق کاردان و مفصل کاردان را با جزئیات توصیف کرد .

زوایای یک قاب معین [ ویرایش ]

پیش بینی های بردار Z

پیش بینی های بردار Y

یک مشکل رایج یافتن زوایای اویلر یک قاب معین است. سریعترین راه برای به دست آوردن آنها نوشتن سه بردار داده شده به عنوان ستون های یک ماتریس و مقایسه آن با بیان ماتریس نظری است (به جدول بعدی ماتریس ها مراجعه کنید). از این رو می توان سه زاویه اویلر را محاسبه کرد. با این وجود، با اجتناب از جبر ماتریسی و تنها با استفاده از هندسه عنصری می توان به همین نتیجه رسید. در اینجا ما نتایج را برای دو قرارداد متداول ارائه می کنیم: ZXZ برای زوایای اویلر مناسب و ZYX برای Tait-Bryan. توجه داشته باشید که هر قرارداد دیگری را می توان فقط با تغییر نام محورها بدست آورد.

زوایای اویلر مناسب [ ویرایش ]

با فرض یک قاب با بردارهای واحد ( X ، Y ، Z ) که با مختصات آنها مانند نمودار اصلی داده شده است، می توان مشاهده کرد که:

$\cos(\beta )=Z_{3}.$

و از

$\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x،$

برای $0<x<\pi$ ما داریم

$\sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.$

مانند $Z_{2}$ طرح دوگانه یک بردار واحد است،

$\cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) = -Z_2،$

$\cos(\alpha) = -Z_2 / \sqrt{1 - Z_3^2}.$

یک ساخت و ساز مشابه برای وجود دارد $Y_{3}$ ، ابتدا آن را بر روی صفحه تعریف شده توسط محور z و خط گره ها پخش می کند. همانطور که زاویه بین صفحات است $\pi /2-\beta$ $\cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta)$ ، این منجر به:

$\sin(\beta )\cdot \cos(\gamma)=Y_{3}،$

$\cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}،$

و در نهایت با استفاده از تابع کسینوس معکوس

$\alpha =\arccos \left(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right),$

$\beta =\arccos \left(Z_{3}\right)$

$\gamma =\arccos \left(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\راست).$

زوایای Tait–Bryan [ ویرایش ]

پیش بینی های محور x پس از سه چرخش Tait-Bryan. توجه کنید که تتا یک چرخش منفی حول محور y است.

با فرض یک قاب با بردارهای واحد ( X ، Y ، Z ) که با مختصات آنها در این نمودار جدید داده شده است (توجه کنید که زاویه تتا منفی است)، می توان مشاهده کرد که:

$\sin(\theta )=-X_{3}$

مثل قبل،

$\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,$

برای $-\pi /2<x<\pi /2$ ما داریم

$\cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

به نحوی مشابه قبلی:

$\sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

$\sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

به دنبال عبارات مشابه با موارد قبلی هستید:

$\psi =\arcsin \left(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\راست)،$

$\theta =\arcsin(-X_{3})،$

$\phi =\arcsin \left(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\راست).$

آخرین اظهارات [ ویرایش ]

توجه داشته باشید که توابع سینوس و کسینوس معکوس دو مقدار ممکن برای آرگومان به دست می دهند. در این توصیف هندسی، تنها یکی از راه حل ها معتبر است. وقتی زوایای اویلر به‌عنوان دنباله‌ای از چرخش‌ها تعریف می‌شوند، همه راه‌حل‌ها می‌توانند معتبر باشند، اما تنها یکی در داخل محدوده زاویه وجود خواهد داشت. این به این دلیل است که اگر محدوده ها قبلاً تعریف نشده باشند، توالی چرخش ها برای رسیدن به قاب هدف منحصر به فرد نیست. [2]

برای اهداف محاسباتی، نمایش زوایا با استفاده از atan2 ( y , x ) ممکن است مفید باشد . به عنوان مثال، در مورد زوایای اویلر مناسب:

$\alpha = \operatorname{atan2}(Z_1، -Z_2)،$

$\gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).$

تبدیل به دیگر نمایش های جهت گیری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی § فرمول های تبدیل بین فرمالیسم ها

زوایای اویلر یکی از راه های نشان دادن جهت ها هستند. موارد دیگری نیز وجود دارد و امکان تغییر به کنوانسیون‌های دیگر وجود دارد. برای توصیف جهت گیری ها در یک فضای اقلیدسی سه بعدی همیشه سه پارامتر مورد نیاز است . آنها را می توان به روش های مختلفی ارائه کرد، زوایای اویلر یکی از آنهاست. نمودارهای SO(3) را برای دیگران ببینید .

پرکاربردترین نمایش جهت‌گیری، ماتریس‌های چرخش ، زاویه محور و کواترنیون‌ها هستند که با نام پارامترهای اویلر-رودریگز نیز شناخته می‌شوند ، که مکانیزم دیگری برای نمایش چرخش‌های سه‌بعدی ارائه می‌کنند. این معادل توصیف گروه واحد ویژه است.

بیان چرخش ها به صورت سه بعدی به عنوان کواترنیون واحد به جای ماتریس مزایایی دارد:

چرخش های الحاقی از نظر محاسباتی سریعتر و از نظر عددی پایدارتر است.
استخراج زاویه و محور چرخش ساده تر است.
درون یابی ساده تر است. به عنوان مثال slerp را ببینید .
کواترنیون ها مانند زاویه های اویلر از قفل گیمبال رنج نمی برند .

صرف نظر از این، محاسبه ماتریس چرخش اولین قدم برای به دست آوردن دو نمایش دیگر است.

ماتریس چرخش [ ویرایش ]

هر جهتی را می توان با ترکیب سه چرخش عنصری، با شروع از یک جهت گیری استاندارد شناخته شده، به دست آورد. به طور معادل، هر ماتریس چرخشی R را می توان به عنوان حاصلضرب سه ماتریس چرخش عنصری تجزیه کرد. برای مثال:

$R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)$

یک ماتریس چرخشی است که ممکن است برای نشان دادن ترکیبی از چرخش‌های بیرونی حول محورهای z , y , x , (به ترتیب) یا ترکیبی از چرخش‌های درونی حول محورهای x - y ′ -z ″ (به آن ترتیب) استفاده شود. با این حال، هم تعریف ماتریس‌های چرخش عنصری X ، Y ، Z و ترتیب ضرب آنها به انتخاب‌هایی که کاربر در مورد تعریف ماتریس‌های چرخش و زوایای اویلر انجام می‌دهد بستگی دارد (به عنوان مثال، ابهامات در تعریف چرخش را ببینید. ماتریس ها). متأسفانه، مجموعه‌های مختلفی از قراردادها توسط کاربران در زمینه‌های مختلف اتخاذ می‌شوند. جدول زیر بر اساس این مجموعه از قراردادها ساخته شده است:

هر ماتریس باید با پیش ضرب بردارهای ستون عمل کند ${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ (به ابهامات در تعریف ماتریس های چرخشی مراجعه کنید )
هر ماتریس به معنای نشان دادن یک چرخش فعال است (ماتریس های ترکیبی و ترکیبی قرار است بر روی مختصات بردارهای تعریف شده در چارچوب مرجع ثابت اولیه عمل کنند و در نتیجه مختصات یک بردار چرخشی تعریف شده در همان چارچوب مرجع را ارائه دهند).
هر ماتریس در درجه اول، ترکیبی از چرخش‌های درونی (در حول محورهای قاب مرجع در حال چرخش) و ثانیاً ترکیب سه چرخش بیرونی (که مربوط به ارزیابی سازنده ماتریس R با ضرب سه است) را نشان می‌دهد. ماتریس های واقعاً عنصری، به ترتیب معکوس).
فریم های مرجع راست دست اتخاذ می شوند و از قانون دست راست برای تعیین علامت زوایای α ، β ، γ استفاده می شود.

به منظور سادگی، جدول محصولات ماتریسی زیر از نامگذاری زیر استفاده می کند:

1، 2، 3 نشان دهنده زوایای α ، β و γ هستند، یعنی زوایای مربوط به چرخش عنصر اول، دوم و سوم.
X , Y , Z ماتریس هایی هستند که چرخش های عنصری حول محورهای x , y , z قاب ثابت را نشان می دهند (مثلاً X 1 نشان دهنده چرخش حول x با زاویه α است).
s و c نشان دهنده سینوس و کسینوس است (به عنوان مثال، s 1 نشان دهنده سینوس α است).

زوایای اویلر مناسب	زوایای Tait–Bryan
$X_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}\\c_{1} s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}\\ s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3} \end{bmatrix}}$	$X_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-s_{2}&c_{2}s_{3}\\s_{1}s_{3 }+c_{1}c_{3}s_{2}&c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}\\c_{3}s_ {1}s_{2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix} }$
$X_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}\\s_{1}s_{2}&c_ {1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}\\-c_{1} s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$X_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}&s_{2}\\c_{1}s_{3 }+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1}\\s_{1 }s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{ bmatrix}}$
$Y_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}&c_{ 1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}\\s_{2}s_{3}&c_{2}&-c_{3}s_{2}\\-c_{3} s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$Y_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{ 2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}\\c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}&-s_{2}\\c_{1}s_ {2}s_{3}-c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}s_{2}+s_{1}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{bmatrix} }$
$Y_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2} &c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}\\c_{3}s_{2}&c_{2}&s_{2}s_{3}\\-c_{1} s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$Y_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{ 3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}\\s_{2}&c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}\\-c_{2} s_{1}&c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix }}$
$Z_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1} -c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}\\c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{ 3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}\\-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}&c_{2}\end{bmatrix }}$	$Z_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&s_{ 1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}\\c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3} &c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}\\-s_{2}&c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix}}$
$Z_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_ {3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1 }c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2}\\s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}&c_{2} \end{bmatrix}}$	$Z_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1} &c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{ 2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}\\-c_{2}s_{3}&s_{2}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix }}$

این نتایج جدولی در کتابهای درسی متعددی موجود است. [3] برای هر ستون، ردیف آخر متداول ترین قرارداد استفاده شده را تشکیل می دهد.

برای تغییر فرمول‌های چرخش‌های غیرفعال (یا یافتن چرخش فعال معکوس)، ماتریس‌ها را جابه‌جا کنید (سپس هر ماتریس مختصات اولیه یک بردار ثابت باقی مانده را به مختصات همان بردار اندازه‌گیری شده در سیستم مرجع چرخش تبدیل می‌کند؛ همان محور چرخش، همان زوایا، اما اکنون سیستم مختصات به جای بردار می چرخد).

جدول زیر شامل فرمول های زوایای α ، β و γ از عناصر یک ماتریس چرخش استآر $آر$ . [4]

زوایای اویلر مناسب		زوایای Tait–Bryan
$X_{1}Z_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{21}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{ 11}\راست)\\\گاما &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{12}}}\right)\end{تراز شده}}$	$X_{1}Z_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {12}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{11}}}\right)\end{تراز شده}}$
$X_{1}Y_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{31}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {11}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{13}}}\right)\end{تراز شده}}$	$X_{1}Y_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {13}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{11}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Y_{1}X_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{32}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{ 22}\راست)\\\گاما &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{23}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Y_{1}X_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {23}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{22}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Y_{1}Z_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_{12}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {22}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{21}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Y_{1}Z_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {21}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{22}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Z_{1}Y_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{13}}}\right)\\\beta &=\arctan \left({\ frac {\sqrt {1-R_{33}^{2}}}{R_{33}}}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_ {31}}\right)\end{تراز شده}}$	$Z_{1}Y_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {31}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{33}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Z_{1}X_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{23}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {33}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{32}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Z_{1}X_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {32}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{33}}}\right)\end{تراز شده}}$

خواص [ ویرایش ]

همچنین ببینید: نمودارهای SO(3) و کواترنیون ها و چرخش فضایی

زوایای اویلر نموداری را روی تمام SO(3) تشکیل می‌دهند ، گروه ویژه چرخش‌های متعامد در فضای سه‌بعدی. نمودار صاف است به جز یک تکینگی سبک مختصات قطبی در امتداد β = 0 . برای درمان کامل تر، نمودارهای SO(3) را ببینید .

فضای چرخش ها به طور کلی « هیپرکره چرخش ها» نامیده می شود، اگرچه این نام اشتباه است: گروه Spin(3) نسبت به ابرکره S 3 ایزومتریک است ، اما فضای چرخشی SO(3) در عوض به تصویر تصویر واقعی ایزومتریک است. فضای RP 3 که یک فضای ضریب 2 برابری ابرکره است. این ابهام 2 به 1 منشأ ریاضی اسپین در فیزیک است.

یک تجزیه سه زاویه مشابه برای SU(2) اعمال می شود ، گروه واحد ویژه چرخش ها در فضای پیچیده 2 بعدی، با این تفاوت که β از 0 تا 2 π متغیر است. است. به این زوایای اویلر نیز می گویند.

اندازه گیری هار برای SO(3) در زوایای اویلر با پارامترسازی زاویه Hopf از SO(3) به دست می آید ${\textrm {d}}V\propto \sin \beta \cdot {\textrm {d}}\alpha \cdot {\textrm {d}}\beta \cdot {\textrm {d}}\gamma$ ، [5] که در آن $(\بتا،\alpha)$ پارامتر کردناس2 $S^{{2}}$ ، فضای محورهای چرخشی.

به عنوان مثال، برای ایجاد جهت گیری های تصادفی یکنواخت، اجازه دهید α و γ از 0 تا 2 π یکنواخت باشند ، اجازه دهید z از 1- تا 1 یکنواخت باشند، و اجازه دهید β = arccos( z ) یکنواخت باشند .

جبر هندسی [ ویرایش ]

سایر ویژگی‌های زوایای اویلر و چرخش‌ها به طور کلی را می‌توان از جبر هندسی ، یک انتزاع سطح بالاتر، که در آن ربع‌ها یک خرده جبر زوج هستند، یافت. ابزار اصلی در جبر هندسی روتور استآر= $\mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]$ جایی که $\theta =$ زاویه چرخش ،تو $\mathbf{u}$ محور چرخش (بردار واحد) است ومن $\mathbf {I}$ شبه اسکالر (سه بردار درآر3 $\mathbb {R} ^{3}$ )

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

امکان تعریف پارامترهای مشابه زوایای اویلر در ابعاد بالاتر از سه وجود دارد. [6] [ منبع غیر قابل اعتماد؟ ] در چهار بعد به بالا، مفهوم «چرخش حول محور» معنا را از دست می دهد و در عوض به «چرخش در صفحه» تبدیل می شود. تعداد زوایای اویلر مورد نیاز برای نشان دادن گروه SO( n) n ( n - 1 ) / 2 است، که برابر با تعداد صفحات حاوی دو محور مختصات مجزا در n است. فضای اقلیدسی

در SO(4) یک ماتریس چرخش با دو کواترنیون واحد تعریف می‌شود و بنابراین دارای شش درجه آزادی است، سه درجه از هر کواترنیون.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

وسایل نقلیه و قاب های متحرک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: بدنه سفت و سخت

همچنین ببینید: قراردادهای محور

مزیت اصلی آنها نسبت به سایر توضیحات جهت گیری این است که آنها به طور مستقیم از یک گیمبال نصب شده در یک وسیله نقلیه قابل اندازه گیری هستند. از آنجایی که ژیروسکوپ ها محور چرخش خود را ثابت نگه می دارند، زوایای اندازه گیری شده در یک قاب ژیروسکوپی معادل زوایای اندازه گیری شده در قاب آزمایشگاهی است. بنابراین، ژیروسکوپ برای دانستن جهت واقعی فضاپیماهای متحرک استفاده می شود و زوایای اویلر به طور مستقیم قابل اندازه گیری هستند. زاویه چرخش ذاتی را نمی توان از یک گیمبال خواند، بنابراین باید بیش از یک گیمبال در یک فضاپیما وجود داشته باشد. به طور معمول حداقل سه مورد برای افزونگی وجود دارد. همچنین یک رابطه با مشکل شناخته شده قفل گیمبال در مهندسی مکانیک وجود دارد [7] .

هنگام مطالعه اجسام صلب به طور کلی، مختصات فضای سیستم xyz و بدنه سیستم XYZ مختصات نامیده می شود . مختصات فضایی غیر متحرک تلقی می شوند، در حالی که مختصات بدن در جسم متحرک تعبیه شده اند. محاسبات شامل شتاب ، شتاب زاویه ای ، سرعت زاویه ای ، تکانه زاویه ای و انرژی جنبشیمعمولاً در مختصات بدنه ساده‌تر هستند، زیرا در این صورت تانسور ممان اینرسی در زمان تغییر نمی‌کند. اگر تانسور ممان اینرسی جسم صلب را نیز مورب قرار دهیم (با نه جزء که شش جزء آن مستقل هستند)، آنگاه مجموعه‌ای از مختصات (به نام محورهای اصلی) داریم که در آن تانسور ممان اینرسی فقط سه جزء دارد.

سرعت زاویه ای یک جسم صلب با استفاده از زوایای اویلر در قاب متحرک شکل ساده ای به خود می گیرد. همچنین معادلات جسم صلب اویلر ساده تر هستند زیرا تانسور اینرسی در آن قاب ثابت است.

بافت کریستالوگرافی [ ویرایش ]

شکل های قطبی که بافت کریستالوگرافی گاما-TiAl را در آلیاژ آلفا2-گاما نشان می دهد، همانطور که توسط پرتوهای ایکس با انرژی بالا اندازه گیری می شود. [8]

در علم مواد، بافت کریستالوگرافی (یا جهت ترجیحی) را می توان با استفاده از زوایای اویلر توصیف کرد. در تجزیه و تحلیل بافت، زوایای اویلر تصویری ریاضی از جهت‌گیری کریستالیت‌های منفرد در یک ماده پلی‌کریستالی ارائه می‌دهد که امکان توصیف کمی مواد ماکروسکوپی را فراهم می‌کند. [9] رایج ترین تعریف زاویه ها به دلیل Bunge است و مطابق با قرارداد ZXZ است. مهم است که توجه داشته باشید، با این حال، این برنامه به طور کلی شامل تبدیل محور کمیت های تانسور، به عنوان مثال چرخش غیر فعال است. بنابراین ماتریسی که با زوایای بانج اویلر مطابقت دارد، جابجایی آن چیزی است که در جدول بالا نشان داده شده است. [10]

دیگران [ ویرایش ]

ربات صنعتی که در یک ریخته گری کار می کند

زوایای اویلر، معمولاً در کنوانسیون Tait-Bryan، همچنین در رباتیک برای صحبت در مورد درجات آزادی مچ استفاده می شود. آنها همچنین در کنترل پایداری الکترونیکی استفاده می شوند به روشی مشابه استفاده می شوند.

سیستم های کنترل آتش اسلحه به اصلاح زوایای سفارش اسلحه (باربری و ارتفاع) برای جبران کج شدن عرشه (پیچ و غلت) نیاز دارند. در سیستم‌های سنتی، یک ژیروسکوپ تثبیت‌کننده با محور چرخش عمودی، شیب عرشه را تصحیح می‌کند و مناظر نوری و آنتن رادار را تثبیت می‌کند. با این حال، لوله‌های تفنگ در جهتی متفاوت از خط دید به سمت هدف قرار می‌گیرند تا حرکت هدف و سقوط پرتابه به دلیل جاذبه و سایر عوامل را پیش‌بینی کنند. پایه‌های تفنگ با صفحه عرشه می‌چرخند، اما به تثبیت نیز نیاز دارند. سفارشات تفنگ شامل زوایای محاسبه شده از داده های ژیروسکوپ عمودی است و این محاسبات شامل زوایای اویلر است.

زوایای اویلر نیز به طور گسترده در مکانیک کوانتومی تکانه زاویه ای استفاده می شود. در مکانیک کوانتومی، توضیحات صریح از نمایش SO(3) برای محاسبات بسیار مهم است و تقریباً تمام کارها با استفاده از زوایای اویلر انجام شده است. در تاریخ اولیه مکانیک کوانتومی، زمانی که فیزیکدانان و شیمیدانان واکنش منفی شدیدی نسبت به روش‌های نظری گروهی انتزاعی (به نام Gruppenpest ) داشتند، تکیه بر زوایای اویلر نیز برای کار نظری اساسی ضروری بود.

بسیاری از دستگاه‌های محاسباتی سیار حاوی شتاب‌سنج‌هایی هستند که می‌توانند زوایای اویلر این دستگاه‌ها را با توجه به جاذبه گرانشی زمین تعیین کنند. اینها در برنامه‌هایی مانند بازی‌ها، شبیه‌سازی سطح حباب‌ها و کالیدوسکوپ‌ها استفاده می‌شوند . [ نیازمند منبع ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

قضیه راکت تنیس

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 18:52

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

محورهای اصلی راکت تنیس.

ویدئوی ترکیبی از یک راکت تنیس که حول سه محور می چرخد - محور میانی از لبه روشن به لبه تاریک می چرخد.

صفحه عنوان "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps"، چاپ 1852

قضیه راکت تنیس یا قضیه محور میانی نتیجه ای در مکانیک کلاسیک است که حرکت یک جسم صلب را با سه ممان اینرسی اصلی مشخص می کند . همچنین به نام فضانورد شوروی ولادیمیر ژانیبکوف که در سال 1985 در فضا بود به یکی از پیامدهای منطقی قضیه توجه کرد ، اثر جانیبکوف نیز نامگذاری شده است، [1] اگرچه این اثر از قبل حداقل 150 سال قبل از آن شناخته شده بود و در کتابی نوشته شده بود. لویی پوانسو در سال 1834. [2] [3]

این قضیه اثر زیر را توصیف می کند: چرخش یک جسم حول محورهای اصلی اول و سوم آن پایدار است، در حالی که چرخش حول محور اصلی دوم (یا محور میانی) آن پایدار نیست.

این را می توان با آزمایش زیر نشان داد: یک راکت تنیس را با صورت افقی در دسته آن نگه دارید و سعی کنید آن را در هوا پرتاب کنید تا یک چرخش کامل حول محور افقی عمود بر دسته انجام دهد و سعی کنید برای گرفتن دسته تقریباً در همه موارد، در طی آن چرخش، صورت نیم چرخش را نیز تکمیل می کند، به طوری که صورت دیگر اکنون بالا است. در مقابل، پرتاب راکت آسان است تا حول محور دسته ( ê 1 در نمودار) بدون همراهی نیم چرخش حول محور دیگر بچرخد. همچنین می توان چرخش آن را حول محور عمودی عمود بر دستگیره ( ê 3 ) بدون هیچ گونه نیم چرخشی همراه انجام داد.

این آزمایش را می توان با هر جسمی که دارای سه ممان اینرسی متفاوت است انجام داد، به عنوان مثال با کتاب، کنترل از راه دور یا گوشی هوشمند. این اثر زمانی رخ می دهد که محور چرخش فقط اندکی با محور دوم اصلی شیء متفاوت باشد. مقاومت هوا یا جاذبه لازم نیست. [4]

تئوری

تجسم ناپایداری محور میانی. بزرگی تکانه زاویه ای و انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش هر دو حفظ می شوند. در نتیجه بردار سرعت زاویه ای روی تقاطع دو بیضی باقی می ماند.

0:15

نمایش اثر Dzhanibekov در ریزگرانش ، ناسا .

قضیه راکت تنیس را می توان با کمک معادلات اویلر به صورت کیفی تحلیل کرد . در شرایط بدون گشتاور ، آنها به شکل زیر هستند:

${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=( I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)} }\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{تراز شده}}$

اینجا $I_{1}،I_{2}،I_{3}$ ممان های اینرسی اصلی جسم را نشان می دهیم، و ما فرض می کنیم $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ . سرعت های زاویه ای اطراف سه محور اصلی جسم هستند $\omega _{1}،\omega _{2}،\omega _{3}$ و مشتقات زمانی آنها با نشان داده می شود $\dot\omega_1، \dot\omega_2، \dot\omega_3$ .

چرخش پایدار حول محور اصلی اول و سوم

موقعیتی را در نظر بگیرید که جسم در حال چرخش حول محور با ممان اینرسی است $من_{1}$ . برای تعیین ماهیت تعادل، سرعت های زاویه ای اولیه کوچک را در امتداد دو محور دیگر فرض کنید. در نتیجه با توجه به رابطه (1) $~{\dot {\omega }}_{1}$ خیلی کوچیکه. بنابراین، وابستگی زمانی از $~\omega _{1}$ ممکن است مورد غفلت قرار گیرد.

اکنون معادله (2) را متمایز کرده و جایگزین می کنیم ${\dot {\omega }}_{3}$ از معادله (3)،

${\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1 })(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{یعنی }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text {(کمیت منفی)}}\cdot \omega _{2}\end{تراز شده}}$

زیرا $I_{2}-I_{1}>0$ و $I_{1}-I_{3}<0$ .

توجه داشته باشید که $\omega _{2}$ مخالف است و بنابراین چرخش حول این محور برای جسم پایدار است.

استدلال مشابه آن چرخش حول محور با گشتاور اینرسی را نشان می دهد $من_{3}$ نیز پایدار است.

چرخش ناپایدار حول محور دوم

اکنون همان آنالیز را روی محور با ممان اینرسی اعمال کنید $I_{2}.$ این بار ${\dot {\omega }}_{{2}}$ خیلی کوچیکه. بنابراین، وابستگی زمانی از $~\omega _{2}$ ممکن است مورد غفلت قرار گیرد.

اکنون معادله (1) را متمایز کرده و جایگزین می کنیم ${\dot {\omega }}_{3}$ از معادله (3)،

${\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{ 1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{ie}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\ متن{(کمیت مثبت)}}\cdot \omega _{1}\end{تراز شده}}$

توجه داشته باشید که $\omega _{1}$ مخالف نیست ( و بنابراین رشد خواهد کرد) و بنابراین چرخش حول محور دوم ناپایدار است . بنابراین، حتی یک اختلال کوچک در امتداد محورهای دیگر باعث می‌شود که شیء به سمت چرخش حرکت کند.

همچنین ببینید

زوایای اویلر - توصیف جهت یک جسم صلب
ممان اینرسی - اندازه گیری اسکالر اینرسی دورانی با توجه به یک محور چرخش ثابت
بیضی پوینسو - روش هندسی برای تجسم یک جسم صلب در حال چرخش
پولود - منحنی تولید شده توسط بردار سرعت زاویه ای بر روی بیضی اینرسی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem

پرتره فاز

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 18:44

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

معادلات دیفرانسیل
معادلات دیفرانسیل ناویر-استوکس برای شبیه سازی جریان هوا در اطراف یک مانع استفاده می شود
محدوده
نشان می دهد زمینه های
طبقه بندی
نشان می دهد انواع
نشان می دهد ارتباط با فرآیندها
راه حل
نشان می دهد وجود و منحصر به فرد بودن
نشان می دهد مباحث عمومی
نشان می دهد روش های حل
مردم
نشان می دهد فهرست کنید
v تی ه

انرژی پتانسیل و پرتره فاز یک آونگ ساده . توجه داشته باشید که محور x، زاویه ای است، پس از هر 2π رادیان به خود می پیچد.

تصویری از نحوه ساخت پرتره فاز برای حرکت یک آونگ ساده.

پرتره فازی معادله ون در پل ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0$ .

پرتره فازی نمایش هندسی مسیرهای یک سیستم دینامیکی در صفحه فاز است . هر مجموعه از شرایط اولیه با یک منحنی یا نقطه متفاوت نشان داده می شود.

پرتره های فازی ابزاری ارزشمند در مطالعه سیستم های دینامیکی هستند. آنها از طرحی از مسیرهای معمولی در فضای حالت تشکیل شده اند . این اطلاعاتی مانند اینکه آیا یک جذب کننده ، یک دفع کننده یا چرخه محدود برای مقدار پارامتر انتخاب شده وجود دارد یا خیر را نشان می دهد. مفهوم هم ارزی توپولوژیکی در طبقه بندی رفتار سیستم ها با مشخص کردن زمانی که دو پرتره فاز متفاوت رفتار دینامیکی کیفی یکسانی را نشان می دهند، مهم است. جاذبه نقطه ثابتی است که به آن «سینک» نیز می گویند. دفع کننده به عنوان یک نقطه ناپایدار در نظر گرفته می شود که به عنوان "منبع" نیز شناخته می شود.

نمودار پرتره فاز یک سیستم دینامیکی مسیرهای سیستم (با فلش) و حالت‌های پایدار پایدار (با نقطه) و حالت‌های پایدار ناپایدار (با دایره‌ها) را در فضای حالت نشان می‌دهد. محورها از متغیرهای حالت هستند.

مثالها [ ویرایش ]

آونگ ساده ، تصویر (راست) را ببینید.
نوسان ساز هارمونیک ساده که در آن پرتره فاز از بیضی هایی تشکیل شده است که در مرکز مبدا قرار دارند، که یک نقطه ثابت است.
اسیلاتور Van der Pol تصویر (پایین سمت راست) را ببینید.
صفحه پارامتر (c-plane) و مجموعه Mandelbrot

تجسم رفتار معادلات دیفرانسیل معمولی [ ویرایش ]

پرتره فاز نشان دهنده رفتار جهتی یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی (ODEs) است. پرتره فاز می تواند پایداری سیستم را نشان دهد. [1]

ثبات [1]
ناپایدار	اکثر راه حل های سیستم در طول زمان به سمت ∞ تمایل دارند
از نظر مجانبی پایدار است	همه راه حل های سیستم در طول زمان به 0 تمایل دارند
به طور خنثی پایدار است	هیچ یک از راه حل های سیستم در طول زمان به سمت ∞ تمایل ندارند، اما اکثر راه حل ها به سمت 0 نیز تمایل ندارند.

رفتار پرتره فاز یک سیستم از ODE ها را می توان با مقادیر ویژه یا اثر و دترمینان (رد = λ 1 + λ 2 ، دترمینان = λ 1 x λ 2 ) سیستم تعیین کرد. [1]

رفتار پرتره فاز [1]
مقدار ویژه، اثر، دترمینان	شکل پرتره فاز
λ 1 و λ 2حقیقی و دارای علامت مخالف هستند. دترمینان < 0	زین (ناپایدار)
λ 1 و λ 2حقیقی و دارای یک علامت هستند و λ 1 ≠ λ 2 ; 0 < دترمینان < (اثر 2/4 )	گره (پایدار اگر اثر < 0، ناپایدار اگر اثر > 0)
λ 1 و λ 2 هر دو جزءحقیقی و مختلطدارند. (رد 2 / 4) < دترمینان	مارپیچی (پایدار اگر اثر < 0، ناپایدار اگر اثر > 0)

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_portrait

معکوس ژئومغناطیسی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 18:38

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

"معکوس مغناطیسی" به اینجا هدایت می شود. برای سوئیچینگ آهنربا، برگشت مغناطیسی را ببینید .

"برگشت قطبی" به اینجا هدایت می شود. برای یک ناهنجاری لرزه ای، به وارونگی قطبیت (زلزله شناسی) مراجعه کنید.

قطبیت ژئومغناطیسی در طول 5 میلیون سال گذشته ( پلیوسن و کواترنر ، اواخر عصر سنوزوئیک ). مناطق تاریک دوره هایی را نشان می دهد که قطبیت با قطبیت عادی امروزی مطابقت دارد. مناطق نور دوره هایی را نشان می دهد که در آن قطبیت معکوس می شود.

معکوس ژئومغناطیسی تغییری در میدان مغناطیسی سیاره است به طوری که موقعیت های شمال مغناطیسی و جنوب مغناطیسی با هم عوض می شوند (با شمال جغرافیایی و جنوب جغرافیایی اشتباه گرفته نشود ). میدان زمین به طور متناوب بین دوره های قطبی نرمال ، که در آن جهت غالب میدان همان جهت فعلی بود، و قطبیت معکوس ، که در آن برعکس بود، تغییر کرده است. به این دوره ها کرون می گویند .

وقوع معکوس از نظر آماری تصادفی است. حداقل 183 معکوس در طول 83 میلیون سال گذشته (به طور متوسط هر 450000 سال یک بار) وجود داشته است. آخرین مورد، واژگونی Brunhes-Matuyama ، 780000 سال پیش رخ داد، [1] با تخمین های بسیار متفاوت از سرعت وقوع آن. منابع دیگر تخمین می زنند که مدت زمانی که طول می کشد تا یک معکوس کامل شود برای چهار وارونگی اخیر به طور متوسط حدود 7000 سال است. [2] کلمنت (2004) پیشنهاد می کند که این مدت زمان به عرض جغرافیایی وابسته است، با مدت زمان کوتاه تر در عرض های جغرافیایی پایین و مدت زمان طولانی تر در عرض های جغرافیایی متوسط و بالا. [2] اگرچه متغیر است، مدت زمان یک برگشت کامل معمولاً بین 2000 تا 12000 سال است. [3]

اگرچه دوره‌هایی وجود داشته است که در آن میدان در سطح جهانی معکوس شده است (مانند گشت و گذار لاشامپ ) برای چند صد سال، [4] این رویدادها به‌جای وارونگی کامل ژئومغناطیسی به عنوان گشت‌ها طبقه‌بندی می‌شوند. کرون‌های قطبی پایدار اغلب گشت‌های جهت‌دار بزرگ و سریع را نشان می‌دهند که بیشتر از معکوس‌ها رخ می‌دهند و می‌توانند به‌عنوان برگشت‌های ناموفق دیده شوند. در طول چنین گشت و گذار، میدان در هسته بیرونی مایع معکوس می شود ، اما در هسته داخلی جامد نه . انتشار در هسته خارجی مایع در مقیاس های زمانی 500 سال یا کمتر است، در حالی که در هسته داخلی جامد طولانی تر است، حدود 3000 سال. [5]

تاریخچه [ ویرایش ]

در اوایل قرن بیستم، زمین شناسانی مانند برنارد برونهس برای اولین بار متوجه شدند که برخی از سنگ های آتشفشانی برخلاف جهت میدان محلی زمین مغناطیسی شده اند. اولین شواهد سیستماتیک و برآورد مقیاس زمانی معکوس‌های مغناطیسی توسط موتونوری ماتویاما در اواخر دهه 1920 انجام شد. او مشاهده کرد که سنگ‌های دارای میدان معکوس همگی مربوط به دوران پلیستوسن اولیه یا قدیمی‌تر هستند. در آن زمان، قطبیت زمین به خوبی درک نشده بود، و احتمال برگشت آن علاقه چندانی را برانگیخت. [6] [7]

سه دهه بعد، زمانی که میدان مغناطیسی زمین بهتر شناخته شد، تئوری هایی مطرح شد که نشان می داد میدان زمین ممکن است در گذشته های دور معکوس شده باشد. بیشتر تحقیقات دیرینه مغناطیسی در اواخر دهه 1950 شامل بررسی سرگردانی قطب ها و رانش قاره ها بود. اگرچه کشف شد که برخی از سنگ‌ها میدان مغناطیسی خود را در حین سرد شدن معکوس می‌کنند، اما آشکار شد که بیشتر سنگ‌های آتشفشانی مغناطیسی شده، آثار میدان مغناطیسی زمین را در زمان سرد شدن سنگ‌ها حفظ کرده‌اند. در غیاب روش های قابل اعتماد برای به دست آوردن سن مطلق برای سنگ ها، تصور می شد که وارونگی تقریباً هر میلیون سال اتفاق می افتد. [6] [7]

پیشرفت عمده بعدی در درک معکوس ها زمانی اتفاق افتاد که تکنیک های تاریخ گذاری رادیومتری در دهه 1950 بهبود یافتند. آلن کاکس و ریچارد دول ، در سازمان زمین‌شناسی ایالات متحده ، می‌خواستند بدانند که آیا معکوس‌ها در فواصل زمانی معین رخ می‌دهد یا خیر، و از برنت دالریمپل ، زمین‌شناس، دعوت کردند تا به گروه آنها بپیوندد. آنها اولین مقیاس زمانی قطبیت مغناطیسی را در سال 1959 تولید کردند. با جمع آوری داده ها، آنها به اصلاح این مقیاس در رقابت با دان تارلینگ و ایان مک دوگال در دانشگاه ملی استرالیا ادامه دادند. گروهی به رهبری نیل اپدایک در رصدخانه زمین لامونت-دوهرتینشان داد که همان الگوی وارونگی در رسوبات هسته های اعماق دریا ثبت شد. [7]

در طول دهه‌های 1950 و 1960 اطلاعات در مورد تغییرات میدان مغناطیسی زمین عمدتاً توسط کشتی‌های تحقیقاتی جمع‌آوری می‌شد، اما مسیرهای پیچیده کشتی‌های اقیانوسی ارتباط داده‌های ناوبری با قرائت‌های مغناطیس‌سنج را دشوار می‌کرد . تنها زمانی که داده ها روی نقشه ترسیم شدند، مشخص شد که نوارهای مغناطیسی منظم و پیوسته در کف اقیانوس ها ظاهر می شوند. [6] [7]

در سال 1963، فردریک واین و دراموند متیوز با ترکیب نظریه گسترش بستر هری هس با مقیاس زمانی معکوس‌ها توضیح ساده‌ای ارائه کردند : کف دریای جدید در جهت میدان فعلی مغناطیسی می‌شود. بنابراین، گسترش کف دریا از یک خط الراس مرکزی باعث ایجاد جفت نوارهای مغناطیسی موازی با خط الراس می شود. [8] LW Morley کانادایی به طور مستقل توضیح مشابهی را در ژانویه 1963 ارائه کرد، اما کار او توسط مجلات علمی Nature و Journal of Geophysical Research رد شد و تا سال 1967 منتشر نشد، زمانی که در مجله ادبی ظاهر شد.بررسی شنبه . [6] فرضیه مورلی – واین – متیوز اولین آزمون علمی کلیدی نظریه گسترش بستر دریا در مورد رانش قاره بود. [7]

در آغاز سال 1966، دانشمندان رصدخانه زمین شناسی لامونت-دوهرتی دریافتند که نیمرخ های مغناطیسی در سراسر پشته اقیانوس آرام- قطب جنوب متقارن هستند و با الگوی خط الراس ریکیانس در شمال اقیانوس اطلس مطابقت دارند . همان ناهنجاری‌های مغناطیسی در بیشتر اقیانوس‌های جهان یافت شد که تخمین‌هایی را برای زمانی که بیشتر پوسته اقیانوسی توسعه یافته بود مجاز می‌کرد. [6] [7]

مشاهده فیلدهای گذشته [ ویرایش ]

قطبیت ژئومغناطیسی از ژوراسیک میانی . مناطق تاریک دوره هایی را نشان می دهد که قطبیت با قطبیت امروزی مطابقت دارد، در حالی که مناطق روشن دوره هایی را نشان می دهد که قطبیت معکوس است. ابر کرونر نرمال کرتاسه به صورت نوار سیاه گسترده و بدون وقفه در نزدیکی وسط تصویر قابل مشاهده است.

معکوس‌های میدانی گذشته در کانی‌های فرومغناطیسی «یخ‌زده» (به‌طور دقیق‌تر فری مغناطیسی ) ذخایر رسوبی تلفیقی یا جریان‌های آتشفشانی خنک‌شده در خشکی ثبت شده‌اند.

رکورد گذشته معکوس های ژئومغناطیسی برای اولین بار با مشاهده "ناهنجاری" نوار مغناطیسی در کف اقیانوس مشاهده شد. لارنس دبلیو. مورلی ، فردریک جان واین و دراموند هویل متیوز در فرضیه مورلی-واین-متیوز [8] [9] ارتباط را با گسترش بستر دریا ایجاد کردند که به زودی منجر به توسعه تئوری تکتونیک صفحه‌ای شد. سرعت نسبتاً ثابتی که کف دریا در آن گسترش می‌یابد، منجر به ایجاد "نوار" زیرلایه‌ای می‌شود که قطبیت میدان مغناطیسی گذشته را می‌توان از یک مغناطیس‌سنج بکسل شده در امتداد کف دریا استنباط کرد.

از آنجا که هیچ کف دریا فرورانش نشده موجود (یا رانش کف دریا بر روی صفحات قاره ای ) بیش از 180 میلیون سال ( Ma ) قدمت ندارد، روش های دیگری برای تشخیص وارونگی های قدیمی تر ضروری است. بیشتر سنگ‌های رسوبی حاوی مقادیر کمی از مواد معدنی غنی از آهن هستند که جهت‌گیری آن‌ها تحت تأثیر میدان مغناطیسی محیط در زمان شکل‌گیری است. اگر بعداً توسط تغییرات شیمیایی، فیزیکی یا بیولوژیکی پاک نشود، این سنگ‌ها می‌توانند رکوردی از میدان را حفظ کنند .

از آنجایی که میدان مغناطیسی زمین یک پدیده جهانی است، الگوهای مشابهی از تغییرات مغناطیسی در مکان‌های مختلف ممکن است برای کمک به محاسبه سن در مکان‌های مختلف استفاده شود. داده های دیرینه مغناطیسی چهار دهه گذشته در مورد سنین بستر دریا (تا 250 میلیون سال قبل) در تخمین سن بخش های زمین شناسی در جاهای دیگر مفید بوده است. اگرچه یک روش دوستیابی مستقل نیست، اما برای استخراج سن های عددی به روش های "مطلق" تعیین سن مانند سیستم های رادیوایزوتوپیک بستگی دارد. این به ویژه برای زمین شناسان دگرگونی و آذرین که فسیل های شاخص به ندرت در دسترس هستند، مفید است.

مقیاس زمانی قطبیت ژئومغناطیسی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: Magnetostratigraphy

از طریق تجزیه و تحلیل ناهنجاری های مغناطیسی کف دریا و تاریخ گذاری توالی های معکوس در خشکی، دیرینه مغناطیس گرایان مقیاس زمانی قطبیت ژئومغناطیسی (GPTS) را توسعه داده اند. مقیاس زمانی فعلی شامل 184 بازه قطبی در 83 میلیون سال گذشته (و بنابراین 183 معکوس) است. [10] [11]

تغییر فرکانس در طول زمان [ ویرایش ]

میزان معکوس‌ها در میدان مغناطیسی زمین در طول زمان بسیار متفاوت بوده است. 72 میلیون سال پیش (Ma) ، میدان در یک میلیون سال 5 بار معکوس شد. در یک دوره 4 میلیون ساله با محوریت 54Ma ، 10 معکوس وجود داشت. در حدود 42 ماهگی ، 17 معکوس در بازه زمانی 3 میلیون سال رخ داد. در یک دوره 3 میلیون ساله با محوریت 24Ma ، 13 وارونگی رخ داد. کمتر از 51 معکوس در یک دوره 12 میلیون ساله، با تمرکز بر 15 میلیون سال پیش رخ داده است .. دو وارونگی در طول 50000 سال رخ داد. این دوره‌های معکوس‌های مکرر توسط چند «ابر کرون» متعادل شده است - دوره‌های طولانی که هیچ معکوس‌هایی اتفاق نمی‌افتند. [12]

سوپرکرون [ ویرایش ]

ابر کرون یک فاصله قطبی است که حداقل 10 میلیون سال طول می کشد. دو ابر کرون به خوبی تثبیت شده وجود دارد، کرتاسه نرمال و کیامان. نامزد سوم، مویرو، بحث برانگیزتر است. زمانی تصور می‌شد که منطقه آرام ژوراسیک در ناهنجاری‌های مغناطیسی اقیانوسی یک سوپرکرون را نشان می‌دهد، اما اکنون به دلایل دیگری نسبت داده می‌شود.

کرتاسه نرمال (همچنین به نام کرتاسه سوپرکرون یا C34 نیز نامیده می شود) تقریباً 40 میلیون سال، از حدود 120 تا 83 میلیون سال پیش ، شامل مراحل دوره کرتاسه از آپتین تا سانتونین ، ادامه داشت . فرکانس معکوس‌های مغناطیسی قبل از دوره به طور پیوسته کاهش یافت و در طول دوره به نقطه پایین خود (بدون برگشت) رسید. بین کرتاسه نرمال و حال، فراوانی به طور کلی به آرامی افزایش یافته است. [13]

ابر کرون معکوس کیامان تقریباً از اواخر کربونیفر تا اواخر پرمین یا برای بیش از 50 میلیون سال، از حدود 312 تا 262 میلیون سال پیش ، دوام آورد . [13] میدان مغناطیسی قطبیت معکوس داشت. نام "کیامان" از شهر کیاما در استرالیا گرفته شده است ، جایی که برخی از اولین شواهد زمین شناسی از ابر کرون در سال 1925 یافت شد. [14]

گمان می رود اردوویسین میزبان ابر کرون دیگری به نام Moyero Reverse Superchron بوده که بیش از 20 میلیون سال (485 تا 463 میلیون سال پیش) دوام آورده است. تا کنون، این ابر کرون ممکن فقط در بخش رودخانه مویرو در شمال دایره قطبی در سیبری یافت شده است. [15] علاوه بر این، بهترین داده‌ها از سایر نقاط جهان شواهدی برای این سوپرکرون نشان نمی‌دهند. [16]

مناطق خاصی از کف اقیانوس، قدیمی تر از 160 میلی آمپر ، دارای ناهنجاری های مغناطیسی با دامنه کم هستند که تفسیر آنها دشوار است. آنها در سواحل شرقی آمریکای شمالی، سواحل شمال غربی آفریقا و غرب اقیانوس آرام یافت می شوند. زمانی تصور می‌شد که آنها یک ابر کرونی به نام منطقه آرام ژوراسیک را نشان می‌دهند ، اما ناهنجاری‌های مغناطیسی در این دوره در خشکی یافت می‌شوند. میدان ژئومغناطیسی با شدت کم بین 130 و 170 میلی آمپر شناخته شده است ، و این بخش های کف اقیانوس به ویژه عمیق هستند و باعث می شود سیگنال ژئومغناطیسی بین بستر و سطح ضعیف شود. [16]

ویژگی های آماری معکوس ها [ ویرایش ]

چندین مطالعه ویژگی های آماری معکوس ها را به امید آموختن چیزی در مورد مکانیسم اساسی آنها تجزیه و تحلیل کرده اند. قدرت تمایز آزمون های آماری با تعداد کم فواصل قطبی محدود می شود. با این وجود، برخی از ویژگی های کلی به خوبی تثبیت شده اند. به طور خاص، الگوی معکوس ها تصادفی است. هیچ ارتباطی بین طول فواصل قطبی وجود ندارد. [17] هیچ ترجیحی برای قطب عادی یا معکوس وجود ندارد و هیچ تفاوت آماری بین توزیع این قطب ها وجود ندارد. این فقدان سوگیری نیز یک پیش‌بینی قوی از نظریه دینام است . [13]

هیچ نرخ معکوس وجود ندارد، زیرا آنها از نظر آماری تصادفی هستند. تصادفی بودن معکوس ها با تناوب متناقض است، اما چندین نویسنده ادعا کرده اند که تناوب را پیدا کرده اند. [18] با این حال، این نتایج احتمالا مصنوعات یک تحلیل با استفاده از پنجره‌های کشویی برای تعیین نرخ‌های معکوس هستند. [19]

اکثر مدل های آماری معکوس ها آنها را بر حسب فرآیند پواسون یا سایر انواع فرآیند تجدید تجزیه و تحلیل کرده اند . یک فرآیند پواسون به طور متوسط نرخ معکوس ثابتی دارد، بنابراین استفاده از یک فرآیند پواسون غیر ساکن معمول است. با این حال، در مقایسه با فرآیند پواسون، ده ها هزار سال پس از یک معکوس، احتمال برگشت کمتری وجود دارد. این می تواند به دلیل مهار مکانیسم اصلی باشد، یا فقط می تواند به این معنی باشد که برخی فواصل قطبی کوتاه تر از دست رفته است. [13] یک الگوی برگشت تصادفی با بازداری را می توان با فرآیند گاما نشان داد . در سال 2006، تیمی از فیزیکدانان در دانشگاه کالابریا دریافتند که معکوس‌ها نیز باتوزیع Lévy ، که فرآیندهای تصادفی را با همبستگی های طولانی مدت بین رویدادها در زمان توصیف می کند. [20] [21] داده ها نیز با یک فرآیند قطعی، اما آشفته سازگار هستند. [22]

شخصیت انتقال [ ویرایش ]

مدت زمان [ ویرایش ]

بیشتر تخمین ها برای مدت زمان گذار قطبی بین 1000 تا 10000 سال است، [13] اما برخی تخمین ها به سرعت یک عمر انسان هستند. [23] مطالعات جریان‌های گدازه‌ای 16.7 میلیون ساله در کوه Steens ، اورگان، نشان می‌دهد که میدان مغناطیسی زمین می‌تواند تا 6 درجه در روز جابجا شود. [24] این در ابتدا با شک و تردید دیرینه مغناطیس گرایان مواجه شد. حتی اگر تغییراتی به این سرعت در هسته رخ دهد، تصور می شود که گوشته که یک نیمه هادی است، تغییرات با دوره های کمتر از چند ماه را حذف می کند. انواع مکانیسم‌های مغناطیسی سنگ پیشنهاد شد که منجر به یک سیگنال نادرست می‌شد. [25]با این حال، مطالعات دیرینه مغناطیسی از بخش های دیگر از همان منطقه (بازالت های سیل فلات اورگان) نتایج سازگار به دست می دهد. [26] [27] به نظر می‌رسد که انتقال قطبیت معکوس به نرمال که پایان Chron C5Cr ( 16.7 میلیون سال پیش ) را نشان می‌دهد، شامل مجموعه‌ای از معکوس‌ها و گشت‌وگذارها است. [28] علاوه بر این، زمین‌شناسان اسکات بوگ از کالج غربی و جاناتان گلن از سازمان زمین‌شناسی ایالات متحده، با نمونه‌برداری از جریان‌های گدازه در کوه نبرد، نوادا ، شواهدی مبنی بر یک فاصله کوتاه و چند ساله در طول یک معکوس پیدا کردند که جهت میدان تغییر کرد. با بیش از 50 درجه تاریخ معکوس به حدود 15 میلیون سال پیش برمی گردد. [29] [30]در آگوست 2018، محققان یک معکوس را گزارش کردند که تنها 200 سال طول کشید. [31] اما یک مقاله در سال 2019 تخمین زد که آخرین بازگشت، 780000 سال پیش، 22000 سال به طول انجامید. [32] [33]

میدان مغناطیسی [ ویرایش ]

میدان مغناطیسی به طور کامل ناپدید نخواهد شد، اما بسیاری از قطب‌ها ممکن است در مکان‌های مختلف در حین برگشت به‌طور آشفته شکل بگیرند تا زمانی که دوباره تثبیت شود. [34] [35]

علل [ ویرایش ]

شبیه سازی کامپیوتری ناسا با استفاده از مدل گلاتزمایر و رابرتز. [36] لوله‌ها خطوط میدان مغناطیسی را نشان می‌دهند ، آبی وقتی که میدان به سمت مرکز باشد و زرد وقتی دور است. محور چرخش زمین در مرکز و عمودی است. خوشه های متراکم خطوط در هسته زمین قرار دارند. [35]

میدان مغناطیسی زمین و سایر سیارات دارای میدان مغناطیسی توسط عمل دینام ایجاد می شود که در آن جابجایی آهن مذاب در هسته سیاره جریان های الکتریکی ایجاد می کند که به نوبه خود باعث ایجاد میدان های مغناطیسی می شود. [13] در شبیه‌سازی دینام‌های سیاره‌ای، معکوس‌ها اغلب به‌طور خود به خود از دینامیک زیربنایی پدید می‌آیند. برای مثال، گری گلاتزمایر و همکار پل رابرتز از UCLA یک مدل عددی از جفت بین الکترومغناطیس و دینامیک سیالات در داخل زمین اجرا کردند. شبیه‌سازی آن‌ها ویژگی‌های کلیدی میدان مغناطیسی را در بیش از 40000 سال زمان شبیه‌سازی شده بازتولید کرد و میدان تولید شده توسط کامپیوتر خود را معکوس کرد. [36] [37]معکوس های میدانی جهانی در فواصل نامنظم نیز در آزمایش آزمایشگاهی فلز مایع "VKS2" مشاهده شده است. [38]

در برخی شبیه‌سازی‌ها، این منجر به بی‌ثباتی می‌شود که در آن میدان مغناطیسی خود به خود به جهت مخالف تغییر می‌کند. این سناریو توسط مشاهدات میدان مغناطیسی خورشیدی ، که هر 9 تا 12 سال یکبار دچار معکوس‌های خود به خودی می‌شود ، پشتیبانی می‌شود . با این حال، با خورشید مشاهده می‌شود که شدت مغناطیسی خورشید در طول یک معکوس به شدت افزایش می‌یابد، در حالی که به نظر می‌رسد معکوس‌ها روی زمین در دوره‌هایی با شدت میدان کم رخ می‌دهند. [39]

محرک های فرضی [ ویرایش ]

برخی از دانشمندان، مانند ریچارد آ. مولر ، فکر می‌کنند که وارونگی‌های ژئومغناطیسی فرآیندهای خود به خودی نیستند، بلکه توسط رویدادهای خارجی که مستقیماً جریان را در هسته زمین مختل می‌کنند، ایجاد می‌شوند. پیشنهادها شامل رویدادهای ضربه [40] [41] یا رویدادهای داخلی مانند ورود دال‌های قاره‌ای که توسط عمل تکتونیک صفحه در مناطق فرورانش به گوشته منتقل می‌شوند یا شروع ستون‌های گوشته جدید از مرز هسته و گوشته است . [42]حامیان این فرضیه معتقدند که هر یک از این رویدادها می تواند منجر به اختلال در مقیاس بزرگ دینام شود و عملاً میدان ژئومغناطیسی را خاموش کند. از آنجایی که میدان مغناطیسی در جهت‌گیری شمالی-جنوبی فعلی یا جهت‌گیری معکوس پایدار است، آنها پیشنهاد می‌کنند که وقتی میدان از چنین اختلالی بهبود می‌یابد، خود به خود یک حالت یا حالت دیگر را انتخاب می‌کند، به طوری که نیمی از بازیابی‌ها تبدیل به معکوس می‌شوند. با این حال، مکانیسم پیشنهادی به نظر نمی رسد در یک مدل کمی کار کند، و شواهد از چینه شناسی برای همبستگی بین معکوس ها و رویدادهای ضربه ضعیف است. هیچ مدرکی مبنی بر وارونگی مرتبط با رویداد ضربه ای که باعث رویداد انقراض کرتاسه-پالئوژن شد وجود ندارد. [43]

تأثیرات روی بیوسفر [ ویرایش ]

مدت کوتاهی پس از تولید اولین مقیاس‌های زمانی قطبیت ژئومغناطیسی، دانشمندان شروع به بررسی این احتمال کردند که معکوس‌ها می‌تواند با انقراض مرتبط باشد. بیشتر چنین پیشنهاداتی بر این فرض استوار است که میدان مغناطیسی زمین در هنگام معکوس‌ها بسیار ضعیف‌تر خواهد بود. احتمالاً اولین چنین فرضیه ای این بود که ذرات پرانرژی محبوس شده در کمربند تشعشعی ون آلن می توانند آزاد شوند و زمین را بمباران کنند. [44] [45] محاسبات دقیق تأیید می کند که اگر میدان دوقطبی زمین به طور کامل ناپدید شود (با خروج از چهار قطبی و اجزای بالاتر)، بیشتر اتمسفر برای ذرات پرانرژی قابل دسترسی می شود، اما به عنوان مانعی برای آنها عمل می کند و کیهانی است. برخورد پرتو باعث ایجاد تشعشعات ثانویه می شودبریلیم-10 یا کلر-36 . یک مطالعه آلمانی در سال 2012 بر روی هسته‌های یخی گرینلند نشان داد که اوج بریلیوم-10 در طی یک برگشت کامل کوتاه 41000 سال پیش، که منجر به کاهش قدرت میدان مغناطیسی به حدود 5٪ از حد طبیعی در طول برگشت شد. [46] شواهدی وجود دارد که نشان می‌دهد این هم در طول تغییرات سکولار [47] [48] و هم در هنگام برگشت‌ها رخ می‌دهد. [49] [50]

فرضیه دیگری توسط مک کورمک و ایوانز فرض می شود که میدان زمین به طور کامل در حین برگشت ناپدید می شود. [51] آنها استدلال می کنند که جو مریخ ممکن است توسط باد خورشیدی فرسایش یافته باشد زیرا میدان مغناطیسی برای محافظت از آن نداشت. آنها پیش بینی می کنند که یون ها از جو زمین در بالای 100 کیلومتر دور می شوند. با این حال، اندازه‌گیری‌های شدت دیرینه نشان می‌دهند که میدان مغناطیسی در طول معکوس‌ها ناپدید نشده است. بر اساس داده‌های شدت دیرینه برای 800000 سال گذشته، [52] هنوز مغناطیس وقفه در حدود سه شعاع زمین در طول وارونگی برونهس-ماتویاما تخمین زده می‌شود . [44]حتی اگر میدان مغناطیسی داخلی ناپدید شود، باد خورشیدی می تواند میدان مغناطیسی را در یونوسفر زمین ایجاد کند که برای محافظت از سطح در برابر ذرات پر انرژی کافی باشد. [53]

فرضیه ها همچنین به سمت پیوند دادن معکوس ها به انقراض های دسته جمعی پیشرفت کرده اند . [54] بسیاری از چنین استدلال‌هایی مبتنی بر تناوب ظاهری در نرخ برگشت‌ها بودند، اما تحلیل‌های دقیق‌تر نشان می‌دهد که رکورد معکوس دوره‌ای نیست. [19] با این حال، ممکن است انتهای سوپرکرون ها باعث همرفت شدید شده باشد که منجر به آتشفشانی گسترده شده است، و خاکستر متعاقب آن در هوا باعث انقراض شده است. [55]

آزمایش همبستگی بین انقراض و معکوس شدن به دلایل مختلفی دشوار است. جانوران بزرگ‌تر برای آمار خوب در سوابق فسیلی بسیار کمیاب هستند، بنابراین دیرینه‌شناسان انقراض‌های میکروفسیلی را تجزیه و تحلیل کرده‌اند. حتی داده‌های ریزفسیلی نیز می‌توانند غیرقابل اعتماد باشند، اگر وقفه‌هایی در رکوردهای فسیلی وجود داشته باشد. به نظر می رسد که انقراض در پایان یک بازه قطبی رخ می دهد، زمانی که بقیه آن بازه قطبی به سادگی از بین رفته است. [25] تجزیه و تحلیل آماری هیچ مدرکی برای ارتباط بین معکوس شدن و انقراض نشان نمی دهد. [56] [44]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فهرست معکوس‌های ژئومغناطیسی ، از جمله سنین
ناهنجاری مغناطیسی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Geomagnetic_reversal

ثابت های فایگنباوم

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 18:34

فهرست از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ثابت فایگنباوم δ حد نسبت فواصل بین نمودار انشعاب متوالی را بیان می کندL i/L i + 1

در ریاضیات ، به‌ویژه تئوری دوشاخه ، ثابت‌های فایگنباوم دو ثابت ریاضی هستند که هر دو نسبت‌ها را در یک نمودار انشعاب برای یک نقشه غیرخطی بیان می‌کنند. آنها به افتخار فیزیکدان میچل جی. فایگنبام نامگذاری شده اند .

تاریخچه [ ویرایش ]

Feigenbaum در اصل اولین ثابت را به انشعاب‌های دوره دو برابر شدن در نقشه لجستیک مربوط می‌کند ، اما همچنین نشان داد که برای همه نقشه‌های یک‌بعدی با یک حداکثر درجه دوم وجود دارد. در نتیجه این کلیت، هر سیستم آشفته ای که با این توصیف مطابقت دارد با همان سرعت دوشاخه می شود. Feigenbaum این کشف را در سال 1975 انجام داد، [1] [2] و او آن را به طور رسمی در سال 1978 منتشر کرد. [3]

اولین ثابت [ ویرایش ]

اولین ثابت فایگنباوم δ ، نسبت محدود کننده هر بازه انشعاب به فاصله بعدی بین هر دوره دو برابر شدن ، یک نقشه یک پارامتری است.

$x_{i+1}=f(x_{i})،$

که در آن f ( x ) تابعی است که توسط پارامتر انشعاب a پارامتر شده است.

با حد [4] داده می شود

$\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4.669 \,201\,609\,\ldots ,$

که در آن a n مقادیر گسسته a در دوره n دوبرابر شدن هستند.

نام ها [ ویرایش ]

فیگنباوم ثابت
سرعت انشعاب Feigenbaum
دلتا

ارزش [ ویرایش ]

30 رقم اعشار: δ = 4.669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 …
(توالی A006890 در OEIS )
یک تقریب منطقی ساده این است:621/133، که به 5 مقدار قابل توجه (هنگام گرد کردن) صحیح است. برای استفاده دقیق تر1228/263، که به 7 مقدار معنی دار صحیح است.
تقریبا برابر با 10(1/π - 1) ، با خطای 0.0015٪

تصویرسازی [ ویرایش ]

نقشه های غیر خطی [ ویرایش ]

برای اینکه ببینید این عدد چگونه به وجود می آید، نقشه یک پارامتری واقعی را در نظر بگیرید

$f(x)=ax^{2}.$

در اینجا a پارامتر انشعاب است، x متغیر است. مقادیر a که دوره دو برابر می شود (به عنوان مثال بزرگترین مقدار برای مدار بدون دوره-2، یا بزرگترین مقدار a بدون مدار-4)، یک 1 ، a 2 و غیره است. این موارد در جدول زیر آمده است: [5] ]

n	عادت زنانه	پارامتر انشعاب ( a n )	نسبتa n -1 - a n -2/a n - a n -1
1	2	0.75	-
2	4	1.25	-
3	8	0989 1.368	4.2337
4	16	1.394 0462	4.5515
5	32	1.399 6312	4.6458
6	64	1.400 8286	4.6639
7	128	1.401 0853	4.6682
8	256	1.401 1402	4.6689

نسبت در ستون آخر به اولین ثابت فایگنبام همگرا می شود. همین عدد برای نقشه لجستیک به وجود می آید

$f(x)=ax(1-x)$

با پارامتر واقعی a و متغیر x . جدول بندی مجدد مقادیر انشعاب: [6]

n	عادت زنانه	پارامتر انشعاب ( a n )	نسبتa n -1 - a n -2/a n - a n -1
1	2	3	-
2	4	3.449 4897	-
3	8	0903 3.544	4.7514
4	16	3.564 4073	4.6562
5	32	3.568 7594	4.6683
6	64	3.569 6916	4.6686
7	128	3.569 8913	4.6692
8	256	3.569 9340	4.6694

فراکتال ها [ ویرایش ]

خود شباهت در مجموعه Mandelbrot با بزرگنمایی روی یک ویژگی گرد در حین حرکت در جهت منفی x نشان داده می شود. مرکز نمایشگر از (-1، 0) به (1.31-، 0) حرکت می کند، در حالی که نمای از 0.5 × 0.5 به 0.12 × 0.12 بزرگنمایی می شود تا به نسبت Feigenbaum تقریبی کند.

در مورد مجموعه مندلبرو برای چند جمله ای درجه دوم پیچیده

$f(z)=z^{2}+c$

ثابت Feigenbaum نسبت بین قطر دایره های متوالی روی محور واقعی در صفحه مختلط است (به انیمیشن سمت راست مراجعه کنید).

n	دوره = 2 n	پارامتر انشعاب ( c n )	$={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$
1	2	0.75-	-
2	4	−1.25	-
3	8	−1.368 0989	4.2337
4	16	−1.394 0462	4.5515
5	32	1.399 6312 −1	4.6458
6	64	−1.400 8287	4.6639
7	128	0853.401-1 _	4.6682
8	256	−1.401 1402	4.6689
9	512	029 151 982 1.401 −1
10	1024	1.401 154 502 237
∞		1.401 155 1890 …

پارامتر انشعاب یک نقطه ریشه از مولفه period- 2 n است. این سری به نقطه Feigenbaum c = -1.401155 همگرا می شود...... نسبت در آخرین ستون به اولین ثابت Feigenbaum همگرا می شود.

نقشه‌های دیگر نیز این نسبت را بازتولید می‌کنند، به این معنا، ثابت فایگنباوم در نظریه انشعاب مشابه π در هندسه و e در حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

ثابت دوم [ ویرایش ]

دومین ثابت فایگنباوم یا ثابت آلفای فایگنبام (توالی A006891 در OEIS )،

$\alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,$

نسبت بین عرض یک تیغه و عرض یکی از دو زیر لاین آن (به جز نزدیکترین تین به تا) است. زمانی که نسبت بین زیر تیغه پایینی و عرض تیغه اندازه گیری می شود، علامت منفی برای α اعمال می شود. [7]

این اعداد برای کلاس بزرگی از سیستم‌های دینامیکی (مثلاً شیرآلات قطره‌ای برای رشد جمعیت) اعمال می‌شوند. [7]

یک تقریب ساده منطقی است13/11×17/11×37/27=8177/3267.

خواص [ ویرایش ]

اعتقاد بر این است که هر دو اعداد ماورایی هستند، اگرچه اثبات نشده است. [8] همچنین هیچ دلیل شناخته شده ای وجود ندارد که ثابت کند غیرمنطقی است.

اولین اثبات جهانی بودن ثابت های فایگنباوم توسط اسکار لانفورد - با کمک کامپیوتر - در سال 1982 انجام شد [9] (با تصحیح کوچکی توسط ژان پیر اکمن و پیتر ویتر از دانشگاه ژنو در سال 1987 [10]). ). در طول سال‌ها، روش‌های غیر عددی برای بخش‌های مختلف اثبات کشف شد که به میخائیل لیوبیچ در تولید اولین اثبات کامل غیر عددی کمک کرد. [11]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_constants

حافظه انشعاب

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 18:30

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پنهان شدناین مقاله دارای مشکلات متعددی است. لطفاً به بهبود آن کمک کنید یا درباره این مسائل در صفحه بحث بحث کنید. ( با نحوه و زمان حذف این پیام های الگو آشنا شوید )

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است. ( مارس 2018 )

این مقاله بیش از حد بر ارجاعات به منابع اولیه متکی است . ( مارس 2018 )

حافظه انشعاب یک نام تعمیم یافته برای برخی از ویژگی های خاص رفتار سیستم دینامیکی در نزدیکی انشعاب است.

اطلاعات عمومی [ ویرایش ]

این پدیده همچنین با نام‌های « تأخیر از دست دادن پایداری برای دوشاخه‌های دینامیکی » [A: 1] و « جذب شبح » نیز شناخته می‌شود. [A: 2]

ماهیت اثر حافظه انشعاب در ظهور نوع خاصی از فرآیند انتقال نهفته است . یک فرآیند گذار معمولی با رویکرد مجانبی سیستم دینامیکی از حالتی که با شرایط اولیه آن تعریف شده است به حالت مربوط به رژیم ثابت ثابت آن در حوضه جذبی که سیستم خود را پیدا کرده است مشخص می شود. با این حال، در نزدیکی مرز انشعاب می توان دو نوع فرآیند انتقال را مشاهده کرد: با عبور از محل رژیم ثابت ناپدید شده، سیستم دینامیکی حرکت مجانبی خود را موقتاً کند می کند، "گویی که مدار از بین رفته را به یاد می آورد" [A: 3]با تعداد دورهای مسیر فاز در این ناحیه از حافظه انشعاب بسته به نزدیکی پارامتر متناظر سیستم به مقدار انشعاب آن، - و تنها پس از آن مسیر فاز به حالتی می رسد که مطابق با رژیم ثابت ثابت سیستم است. .

موقعیت‌های انشعاب در مسیرهای انشعاب فضای حالت ایجاد می‌کنند که مناطق فرآیندهای گذار غیرمعمول (نقاط فاز) را جدا می‌کند. فرآیند انتقال در نقطه فاز از نظر کیفی به عنوان یک وابستگی جهانی شاخص از دست دادن قابلیت کنترل به پارامتر کنترل تخمین زده می شود.
- فیگین، 2004، [A: 1]

در ادبیات، [A: 3] [A: 4] اثر حافظه انشعاب با یک " انشعاب ادغام " خطرناک همراه است.

دو بار تکرار اثرات حافظه انشعاب در سیستم های دینامیکی نیز در ادبیات شرح داده شد. [A: 5] هنگامی که پارامترهای سیستم دینامیکی مورد بررسی در ناحیه عبور از دو مرز انشعاب مختلف یا همسایگی نزدیک آنها انتخاب شدند، مشاهده شدند.

تعاریف شناخته شده [ ویرایش ]

ادعا می شود که اصطلاح "حافظه دوشاخه":

... در Ref. [A: 6] برای توصیف این واقعیت که راه حل های یک سیستم معادلات دیفرانسیل (زمانی که مرز منطقه ای که در آن وجود دارند در فضای پارامتر عبور می کند) تا زمانی که پارامتر متغیر شباهت خود را با نوع راه حل هایی که قبلاً وجود نداشتند حفظ می کنند. مقادیر ناچیز با مقدار حدی متفاوت است.
در مدل‌های ریاضی که فرآیندها را در زمان توصیف می‌کنند، این واقعیت به عنوان نتیجه‌ای از قضیه وابستگی پیوسته حل‌های معادلات دیفرانسیل (در یک بازه زمانی محدود) به پارامترهای آنها شناخته می‌شود. از این منظر، اساساً جدید نیست. [یادداشت 1]
- عطاولاخانوف و غیره، 2007، [A: 4]

تاریخچه تحصیل [ ویرایش ]

اولین کسانی که در مورد این موضوع در متون علمی توضیح داده شده اند را باید تشخیص داد، شاید نتیجه ای که در سال 1973 ارائه شد، [A: 7] که تحت راهنمایی LS Pontryagin ، یک آکادمیک شوروی به دست آمد، و سپس تعدادی از تحقیقات را آغاز کرد. مطالعات خارجی مسئله ریاضی معروف به " تأخیر از دست دادن پایداری برای دوشاخه های دینامیکی ". [A: 1]

موج جدیدی از علاقه به مطالعه رفتار عجیب سیستم‌های دینامیکی در منطقه خاصی از فضای حالت به دلیل تمایل به توضیح اثرات غیرخطی آشکار شده در هنگام خارج شدن از قابلیت کنترل کشتی‌ها ایجاد شده است. [A: 3] [A: 1]

متعاقباً، پدیده‌های مشابهی نیز در سیستم‌های بیولوژیکی - در سیستم انعقاد خون [A: 8] [A: 4] و در یکی از مدل‌های ریاضی میوکارد یافت شد. [A: 9] [A: 10]

موضوعیت [ ویرایش ]

موضوعیت مطالعات علمی حافظه انشعاب آشکارا ناشی از تمایل به جلوگیری از شرایط کاهش کنترل وسیله نقلیه است. [A: 3] [A: 1]

علاوه بر این، نوع خاصی از تاکی کاردی های مرتبط با اثرات حافظه انشعاب در کاردیوفیزیک مورد توجه قرار می گیرد . [B: 1]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ قضیه وابستگی پیوسته حل معادلات دیفرانسیل هنوز برای حالت کلی سیستم های بی نهایت معادلات دیفرانسیل اثبات نشده است. به این معنا، فکر بیان شده در نقل قول بالا همچنان باید درک شود، بنابراین، تنها به عنوان یک فرضیه قابل باور.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_memory

نظریه انشعاب

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 18:17

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرتره فاز که انشعاب زین-گره را نشان می دهد

نظریه انشعاب مطالعه ریاضی تغییرات در ساختار کیفی یا توپولوژیکی یک خانواده معین از منحنی ها است، مانند منحنی های انتگرال یک خانواده از میدان های برداری ، و حل های یک خانواده از معادلات دیفرانسیل . معمولاً برای مطالعه ریاضی سیستم‌های دینامیکی به کار می‌رود ، انشعاب زمانی رخ می‌دهد که یک تغییر صاف کوچک در مقادیر پارامتر (پارامترهای انشعاب) یک سیستم باعث یک تغییر کیفی یا توپولوژیکی ناگهانی در رفتار آن شود. [1] انشعاب ها در هر دو سیستم پیوسته رخ می دهند (توضیح داده شده توسطمعادلات دیفرانسیل معمولی ، تاخیری یا جزئی ) و سیستم های گسسته (توصیف شده توسط نقشه ها).

نام "انشعاب" برای اولین بار توسط هانری پوانکاره در سال 1885 در اولین مقاله در ریاضیات که چنین رفتاری را نشان می داد معرفی شد. [2] هانری پوانکاره نیز بعداً انواع مختلفی از نقاط ثابت را نام برد و آنها را با موتیف طبقه بندی کرد [ روشن کردن ] .

انواع انشعاب [ ویرایش ]

تقسیم انشعابات به دو کلاس اصلی مفید است:

انشعاب های محلی، که می توانند به طور کامل از طریق تغییرات در ویژگی های پایداری محلی تعادل ها، مدارهای تناوبی یا سایر مجموعه های ثابت به عنوان پارامترها از آستانه های بحرانی تجزیه و تحلیل شوند. و
انشعاب‌های جهانی، که اغلب زمانی رخ می‌دهند که مجموعه‌های ثابت بزرگ‌تر سیستم با یکدیگر یا با تعادل‌های سیستم برخورد کنند. آنها را نمی توان صرفاً با تجزیه و تحلیل پایداری تعادل ها (نقاط ثابت) تشخیص داد.

دوشاخه های محلی [ ویرایش ]

انشعاب های دوره نصف شدن (L) منجر به نظم و به دنبال آن دو شاخه شدن دوره (R) که منجر به هرج و مرج می شود.

یک انشعاب محلی زمانی اتفاق می افتد که یک تغییر پارامتر باعث می شود که ثبات یک تعادل (یا نقطه ثابت) تغییر کند. در سیستم های پیوسته، این مربوط به بخش واقعی یک مقدار ویژه تعادلی است که از صفر می گذرد. در سیستم های گسسته (توصیف شده توسط نقشه ها)، این مربوط به یک نقطه ثابت است که دارای یک ضرب کننده Floquet با مدول برابر با یک است. در هر دو حالت، تعادل در نقطه انشعاب غیرهذلولی است . تغییرات توپولوژیکی در پرتره فاز سیستم را می توان با حرکت دادن پارامتر انشعاب به نقطه انشعاب (بنابراین "محلی") به همسایگی های کوچک خودسرانه نقاط ثابت دوشاخه محدود کرد.

از نظر فنی تر، سیستم دینامیکی پیوسته توصیف شده توسط معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) را در نظر بگیرید.

${\dot x}=f(x,\lambda )\quad f\colon {\mathbb {R}}^{n}\times {\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}^{n }.$

یک انشعاب محلی در رخ می دهد $(x_{0}،\lambda _{0})$ اگر ماتریس ژاکوبیند ${\textrm {d}}f_{{x_{0}،\lambda _{0}}}$ دارای یک مقدار ویژه با بخش واقعی صفر است. اگر مقدار ویژه برابر با صفر باشد، انشعاب یک انشعاب حالت پایدار است، اما اگر مقدار ویژه غیر صفر اما کاملاً خیالی باشد، این یک انشعاب Hopf است.

برای سیستم های دینامیکی گسسته، سیستم را در نظر بگیرید

$x_{{n+1}}=f(x_{n},\lambda )\,.$

سپس یک انشعاب محلی در آن رخ می دهد $(x_{0}،\lambda _{0})$ اگر ماتریس ${\textrm {d}}f_{{x_{0}،\lambda _{0}}}$ دارای مقدار ویژه با مدول برابر با یک است. اگر مقدار ویژه برابر با یک باشد، انشعاب یا یک گره زینی (که اغلب در نقشه ها انشعاب تاشو نامیده می شود)، انشعاب فرا بحرانی یا دوشاخه است. اگر مقدار ویژه برابر با 1- باشد، یک انشعاب دوره دو برابر (یا تلنگر) است و در غیر این صورت، یک انشعاب Hopf است.

نمونه هایی از انشعاب های محلی عبارتند از:

نظریه انشعاب

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 18:14

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرتره فاز که انشعاب زین-گره را نشان می دهد

انواع انشعاب [ ویرایش ]

تقسیم انشعابات به دو کلاس اصلی مفید است:

انشعاب های محلی، که می توانند به طور کامل از طریق تغییرات در ویژگی های پایداری محلی تعادل ها، مدارهای تناوبی یا سایر مجموعه های ثابت به عنوان پارامترها از آستانه های بحرانی تجزیه و تحلیل شوند. و
انشعاب‌های جهانی، که اغلب زمانی رخ می‌دهند که مجموعه‌های ثابت بزرگ‌تر سیستم با یکدیگر یا با تعادل‌های سیستم برخورد کنند. آنها را نمی توان صرفاً با تجزیه و تحلیل پایداری تعادل ها (نقاط ثابت) تشخیص داد.

دوشاخه های محلی [ ویرایش ]

انشعاب های دوره نصف شدن (L) منجر به نظم و به دنبال آن دو شاخه شدن دوره (R) که منجر به هرج و مرج می شود.

از نظر فنی تر، سیستم دینامیکی پیوسته توصیف شده توسط معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) را در نظر بگیرید.

${\dot x}=f(x,\lambda )\quad f\colon {\mathbb {R}}^{n}\times {\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}^{n }.$

برای سیستم های دینامیکی گسسته، سیستم را در نظر بگیرید

$x_{{n+1}}=f(x_{n},\lambda )\,.$

نمونه هایی از انشعاب های محلی عبارتند از:

دوشاخه های جهانی [ ویرایش ]

پرتره فاز قبل، در، و بعد از انشعاب هموکلینیک در دو بعدی. مدار دوره ای رشد می کند تا زمانی که با نقطه زین برخورد کند. در نقطه انشعاب، دوره مدار تناوبی تا بی نهایت رشد کرده و به یک مدار هموکلینیک تبدیل شده است . پس از انشعاب، دیگر یک مدار دوره ای وجود ندارد. پانل سمت چپ : برای مقادیر پارامتر کوچک، یک نقطه زین در مبدا و یک چرخه حد در ربع اول وجود دارد. پانل میانی : با افزایش پارامتر انشعاب، سیکل حد رشد می کند تا جایی که دقیقاً نقطه زینی را قطع می کند و مداری با مدت نامحدود ایجاد می کند. پنل سمت راست: هنگامی که پارامتر انشعاب بیشتر افزایش می یابد، چرخه حد به طور کامل ناپدید می شود.

انشعاب‌های جهانی زمانی اتفاق می‌افتند که مجموعه‌های ثابت «بزرگ‌تر»، مانند مدارهای تناوبی، با تعادل‌ها برخورد کنند. این باعث تغییراتی در توپولوژی مسیرها در فضای فاز می شود که نمی تواند به یک محله کوچک محدود شود، همانطور که در مورد دوشاخه های محلی است. در واقع، تغییرات در توپولوژی تا یک فاصله دلخواه بزرگ (از این رو "جهانی" گسترش می یابد.

نمونه هایی از دوشاخه های جهانی عبارتند از:

انشعاب هموکلینیک که در آن یک چرخه حدی با یک نقطه زین برخورد می کند . [3] دو شاخه شدن هموکلینیک می تواند به صورت فوق بحرانی یا زیر بحرانی رخ دهد. نوع بالا انشعاب هموکلینیک "کوچک" یا "نوع I" است. در دوبعدی انشعاب هموکلینیک "بزرگ" یا "نوع II" وجود دارد که در آن مدار هموکلینیک انتهای دیگر منیفولدهای ناپایدار و پایدار زین را "به دام می اندازد". در سه بعد یا بیشتر، انشعاب‌های هم‌بعدی بالاتر می‌توانند رخ دهند که پویایی پیچیده و احتمالاً آشفته ایجاد می‌کنند.
انشعاب هتروکلینیک که در آن یک چرخه حدی با دو یا چند نقطه زین برخورد می کند. آنها شامل یک چرخه هتروکلینیک هستند . [4] انشعاب های هتروکلینیک دو نوع هستند: انشعاب های رزونانسی و انشعاب های عرضی. هر دو نوع انشعاب منجر به تغییر پایداری چرخه هتروکلینیک می شود. در یک انشعاب رزونانس، زمانی که یک شرط جبری بر روی مقادیر ویژه تعادل در چرخه برآورده شود ، ثبات چرخه تغییر می کند . این معمولاً با تولد یا مرگ یک مدار دوره ای همراه است. انشعاب عرضی یک چرخه هتروکلینیک زمانی ایجاد می شود که بخش واقعی یک مقدار ویژه عرضی یکی از تعادل های چرخه از صفر عبور کند. این همچنین باعث تغییر در ثبات چرخه هتروکلینیک می شود.
انشعاب دوره بی نهایت که در آن یک گره پایدار و نقطه زینی به طور همزمان در یک چرخه حدی رخ می دهد. [5] همانطور که حد یک پارامتر به یک مقدار بحرانی خاص نزدیک می شود، سرعت نوسان کاهش می یابد و دوره به بی نهایت نزدیک می شود. انشعاب دوره بی نهایت در این مقدار بحرانی رخ می دهد. فراتر از مقدار بحرانی، دو نقطه ثابت به طور پیوسته از یکدیگر در چرخه حد خارج می شوند تا نوسان را مختل کنند و دو نقطه زینی را تشکیل دهند .
فاجعه آسمان آبی که در آن یک چرخه حدی با یک چرخه غیرهایپربولیک برخورد می کند.

دوشاخه‌های جهانی همچنین می‌توانند مجموعه‌های پیچیده‌تری مانند جاذبه‌های بی‌نظم (مثلاً بحران ) را شامل شوند.

هم اندازه یک انشعاب [ ویرایش ]

هم بعد یک انشعاب تعداد پارامترهایی است که باید تغییر کنند تا انشعاب اتفاق بیفتد. این مربوط به همدین مجموعه پارامترهایی است که برای آن دوشاخه در فضای کامل پارامترها رخ می دهد. انشعاب‌های گره زینی و انشعاب‌های Hopf تنها انشعاب‌های محلی عمومی هستند که واقعاً هم‌بعدی-یک هستند (بقیه هم‌بعد همگانی بالاتری دارند). با این حال، انشعاب‌های متقابل و چنگال نیز اغلب به‌عنوان هم‌بعد-یک در نظر گرفته می‌شوند، زیرا فرم‌های عادی را می‌توان تنها با یک پارامتر نوشت.

نمونه‌ای از یک انشعاب دو بعدی که به خوبی مطالعه شده است، انشعاب بوگدانوف-تاکنس است.

کاربردها در فیزیک نیمه کلاسیک و کوانتومی [ ویرایش ]

نظریه انشعاب برای اتصال سیستم‌های کوانتومی به دینامیک مشابه‌های کلاسیک آن‌ها در سیستم‌های اتمی، [6] [7] [8] سیستم‌های مولکولی، [9] و دیودهای تونلی تشدید استفاده شده است. [10] نظریه انشعاب همچنین برای مطالعه دینامیک لیزر [11] و تعدادی از مثال‌های نظری که دسترسی به آنها از نظر تجربی دشوار است، مانند چاه‌های کوانتومی جفت شده [12] و چاه‌های کوانتومی استفاده شده است. [13] دلیل غالب پیوند بین سیستم‌های کوانتومی و دوشاخه‌ها در معادلات حرکت کلاسیک این است که در انشعاب‌ها، امضای مدارهای کلاسیک بزرگ می‌شود.مارتین گوتسویلر در کار کلاسیک خود [14] در مورد آشوب کوانتومی اشاره می کند . [15] بسیاری از انواع انشعاب ها با توجه به پیوندهای بین دینامیک کلاسیک و کوانتومی از جمله انشعاب های گره زینی، انشعاب های Hopf، انشعاب های ناف، انشعاب های دو برابر شدن دوره، انشعاب های اتصال مجدد، انشعاب های مماس، و انشعاب های کاسپ مورد مطالعه قرار گرفته اند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پورتال ریاضی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory

معادله دافینگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 12:39

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

بخش پوانکاره از معادله دافینگ اجباری نشان دهنده رفتار آشفته است( $(\alpha =1،$ $\beta =5،$ . $\delta =0.02،$ 8 $\gamma =8$ و. $\omega =0.5)$ .

جاذبه عجیب نوسانگر دافینگ، در 4 دوره (زمان 8pi). رنگ‌بندی نشان می‌دهد که نقاط چگونه جریان دارند.( $(\alpha =1،$ $\beta =1،$ . $\delta =0.02،$ $\gamma =3$ $\omega =1)$

معادله دافینگ (یا نوسانگر دافینگ )، که به نام جورج دافینگ (1861-1944) نامگذاری شده است، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم غیر خطی است که برای مدل سازی نوسانگرهای میرایی و محرکه خاصی استفاده می شود . معادله توسط

${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t)،$

که در آن تابع $x=x(t)$ جابجایی در زمان است، $تی،$ ˙ ${\ نقطه {x}}$ اولین مشتق از $ایکس$ با توجه به زمان، یعنی سرعت ، و ${\ddot {x}}$ دومین مشتق زمانی است، $ایکس،$ یعنی شتاب . تعداد، $\دلتا$ ، $\آلفا،$ ، $\بتا،$ $\گاما$ و $\ امگا$ ثابت داده می شود.

این معادله حرکت یک نوسان ساز میرا با پتانسیل پیچیده تر از حرکت هارمونیک ساده را توصیف می کند (که مطابق با مورد $\beta =\delta =0$ ) از نظر فیزیکی، به عنوان مثال، یک آونگ الاستیک را مدل می کند که سفتی فنر آن دقیقاً از قانون هوک پیروی نمی کند .

معادله دافینگ نمونه ای از یک سیستم دینامیکی است که رفتار آشفته ای از خود نشان می دهد . علاوه بر این، سیستم دافینگ در پاسخ فرکانسی پدیده رزونانس پرش را نشان می‌دهد که نوعی رفتار پسماند فرکانس است.

پارامترها [ ویرایش ]

پارامترهای معادله فوق عبارتند از:

$\دلتا$ میزان میرایی را کنترل می کند ،
$\ آلفا$ سختی خطی را کنترل می کند ،
$\بتا$ مقدار غیر خطی بودن نیروی بازگردان را کنترل می کند. اگر $\بتا =0،$ معادله دافینگ یک نوسان ساز هارمونیک ساده میرایی و رانده را توصیف می کند .
$\گاما$ دامنه نیروی محرک دوره ای است. اگر $\ گاما = 0$ سیستم بدون نیروی محرکه است و
$\ امگا$ فرکانس زاویه ای نیروی محرکه تناوبی است.

معادله دافینگ را می توان به عنوان توصیف نوسانات یک جرم متصل به یک فنر غیرخطی و یک دمپر خطی دید. نیروی بازیابی ارائه شده توسط فنر غیرخطی پس از آن است3. $\alpha x+\beta x^{3}.$

چه زمانی $\ آلفا > 0$ و $\بتا > 0$ فنر را فنر سخت کننده می نامند . برعکس، برای $\بتا <0$ این یک فنر نرم کننده است (هنوز با $\ آلفا > 0$ ). در نتیجه، صفت‌های hardening و softening با توجه به معادله دافینگ به طور کلی، وابسته به مقادیر استفاده می‌شوند. $\بتا$ (و $\ آلفا$ ). [1]

تعداد پارامترها در معادله دافینگ را می‌توان از طریق مقیاس‌بندی (مطابق با قضیه π باکینگهام ) دو تا کاهش داد، به عنوان مثال، گشت و گذار $ایکس$ و زمانتی $تی$ را می توان به صورت زیر مقیاس بندی کرد: [2] $\tau =t{\sqrt {\alpha }}$ و $y=x\alpha /\gamma ,$ با فرض اینکه $\ آلفا$ مثبت است (مقیاس‌گذاری‌های دیگری برای محدوده‌های مختلف پارامترها یا برای تأکید متفاوت در مسئله مورد مطالعه امکان‌پذیر است). سپس: [3]

${\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),$ جایی که ، $\eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}}،$ 23، $\varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}}،$ و . $\sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.$

نقطه ها نشان دهنده تمایز است $y(\tau )$ با توجه به $\ tau .$ این نشان می دهد که راه حل های معادله دافینگ اجباری و میرا را می توان بر حسب سه پارامتر توصیف کرد.، $\varepsilon ,$ $\eta$ و $\سیگما$ ) و دو شرط اولیه (یعنی برای(تی0) $y(t_{0})$ و ${\dot {y}}(t_{0})$ ).

روش های حل [ ویرایش ]

به طور کلی، معادله دافینگ یک راه حل نمادین دقیق را نمی پذیرد. با این حال، بسیاری از روش های تقریبی به خوبی کار می کنند:

بسط در یک سری فوریه ممکن است معادله حرکت را با دقت دلخواه ارائه کند.
این3 $x^{3}$ اصطلاح، که اصطلاح دافینگ نیز نامیده می شود، می تواند کوچک باشد و سیستم به عنوان یک نوسان ساز هارمونیک ساده آشفته در نظر گرفته شود.
روش فروبنیوس یک راه حل پیچیده اما قابل اجرا به دست می دهد.
هر یک از روش های عددی مختلف مانند روش اویلر و روش های رانگ-کوتا را می توان استفاده کرد.
روش آنالیز هموتوپی (HAM) نیز برای به دست آوردن جواب های تقریبی معادله دافینگ، همچنین برای غیرخطی بودن قوی گزارش شده است. [4] [5]

در مورد خاص بدون میرا ( $\دلتا = 0$ ) و بدون رانده ( $\ گاما = 0$ معادله دافینگ، با استفاده از توابع بیضوی ژاکوبی می توان یک جواب دقیق به دست آورد . [6]

مرزبندی محلول برای نوسانگر غیراجباری [ ویرایش ]

نوسانگر بدون میراگر [ ویرایش ]

ضرب معادله دافینگ میرایی نشده و غیر اجباری، $\گاما =\دلتا =0،$ با ${\ نقطه {x}}$ می دهد: [7]

${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\ tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\tfrac {1}{ 2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\ بتا x^{4}=H،\end{تراز شده}}$

با H ثابت مقدار H با شرایط اولیه تعیین می شود $x(0)$ و˙ ${\dot {x}}(0).$

تعویض $y={\ نقطه {x}}$ در H نشان می دهد که سیستم همیلتونی است :

، ${\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}}،$ ${\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}$ با $H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\ بتا x^{4}.$

وقتی هر دو $\ آلفا$ و $\بتا$ مثبت هستند، راه حل محدود است: [7]

$|x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}$ و ، ${\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},$

با H همیلتونی مثبت است.

نوسانگر میرایی [ ویرایش ]

به طور مشابه، برای نوسانگر میرا، [8]

${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right )=0\\&\پیکان راست {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}} \right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \, \left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{تراز شده}}$

از آنجا که≥0 $\delta \ge 0$ برای میرایی بدون فشار دادن به نوسان ساز دافینگ میرا شده به (یکی از) نقطه تعادل پایدار خود ختم می شود . نقاط تعادل، پایدار و ناپایدار، در هستند3=0. $\alpha x+\beta x^{3}=0.$ اگر $\ آلفا > 0$ تعادل پایدار است $x=0.$ اگر $\آلفا <0$ و $\بتا > 0$ تعادل های پایدار هستند $x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}$ و $x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.$

پاسخ فرکانس [ ویرایش ]

پاسخ فرکانس $z/\gamma$ به عنوان تابعی از $\omega /{\sqrt {\alpha }}$ برای معادله دافینگ، با $\alpha =\gamma =1$ و میرایی $\delta =0.1.$ قسمت های چین خورده پاسخ فرکانسی ناپایدار هستند. [3]

اسیلاتور دافینگ اجباری با غیرخطی مکعبی با معادله دیفرانسیل معمولی زیر توصیف می شود:

${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).$

پاسخ فرکانسی این نوسانگر دامنه را توصیف می کند $z$ پاسخ حالت پایدار معادله (یعنی $x(t)$ ) در فرکانس معینی از تحریک $\ امگا .$ برای یک نوسان ساز خطی با $\بتا =0،$ پاسخ فرکانسی نیز خطی است. با این حال، برای یک ضریب مکعب غیر صفر $\بتا$ ، پاسخ فرکانسی غیرخطی می شود. بسته به نوع غیر خطی بودن، نوسانگر دافینگ می تواند پاسخ فرکانس سخت شدن، نرم شدن یا مخلوط سخت شدن-نرم شدن را نشان دهد. به هر حال، با استفاده از روش آنالیز هموتوپی یا موازنه هارمونیک ، می توان یک معادله پاسخ فرکانسی را به شکل زیر استخراج کرد: [9] [5]

$\left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \ omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.$

برای پارامترهای معادله دافینگ، معادله جبری بالا دامنه نوسان حالت پایدار را نشان می دهد. $z$ در فرکانس تحریک معین

نشان می دهداستخراج پاسخ فرکانسی

پرش [ ویرایش ]

در پاسخ فرکانسی پرش می کند. پارامترها عبارتند از: $\alpha =\gamma =1،$ ،. $\beta =0.04$ و $\delta =0.1.$ [9]

برای محدوده خاصی از پارامترها در معادله دافینگ، پاسخ فرکانس ممکن است دیگر تابع تک مقداری فرکانس اجباری نباشد. $\ امگا .$ برای یک نوسان ساز فنری سخت شونده (>0 $\ آلفا > 0$ و به اندازه کافی بزرگ مثبت است $\beta >\beta _{c+}>0$ ) پاسخ فرکانس به سمت فرکانس بالا و به سمت فرکانس پایین برای نوسان ساز فنر نرم کننده ( $\ آلفا > 0$ و $\beta <\beta _{c-}<0$ ). سمت آویزان پایینی ناپایدار است - یعنی قسمت های خط چین در شکل های پاسخ فرکانسی - و نمی توان برای مدت زمان طولانی متوجه شد. در نتیجه، پدیده پرش خود را نشان می دهد:

هنگامی که فرکانس زاویه ای $\ امگا$ به آرامی افزایش می یابد (با سایر پارامترها ثابت)، دامنه پاسخ $z$ در A به طور ناگهانی به B کاهش می یابد،
اگر فرکانس $\ امگا$ به آرامی کاهش می یابد، سپس در C دامنه به D می پرد، سپس شاخه بالایی پاسخ فرکانسی را دنبال می کند.

پرش های A-B و C-D با هم منطبق نیستند، بنابراین سیستم بسته به جهت جابجایی فرکانس، پسماند را نشان می دهد. [9]

مثالها [ ویرایش ]

ردیابی زمان و پرتره های فازی

دوره-1 نوسان در $\gamma =0.20$

دوره-2 نوسان در $\gamma =0.28$

دوره-4 نوسان در $\gamma =0.29$

دوره-5 نوسان در $\gamma =0.37$

هرج و مرج در $\gamma =0.50$

دوره-2 نوسان د5 $\gamma =0.65$

برخی از نمونه‌های معمولی سری‌های زمانی و پرتره‌های فاز معادله دافینگ، که ظاهر ساب هارمونیک‌ها را از طریق انشعاب دوره‌ای دوبرابر نشان می‌دهند - و همچنین رفتار هرج و مرج - در شکل‌های زیر نشان داده شده‌اند. دامنه اجباری از افزایش می یابد $\gamma =0.20$ به $\gamma =0.65.$ سایر پارامترها دارای مقادیر زیر هستند: $\alpha =-1،$ $\beta =+1،$ $\delta =0.3$ و $\omega =1.2.$ شرایط اولیه هستند(0)=1 $x(0)=1$ و˙(0)=0. ${\dot {x}}(0)=0.$ نقاط قرمز در پرتره های فازی در برخی مواقع وجود دارندتی $تی$ که مضرب صحیح دوره هستند $T=2\pi /\omega.$ [10]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Duffing_equation

نظریه فاجعه

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:5

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله ممکن است برای اکثر خوانندگان برای درک آن بسیار فنی باشد . لطفاً بدون حذف جزئیات فنی، به بهبود آن کمک کنید تا برای افراد غیر متخصص قابل درک باشد. ( سپتامبر 2018 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

"رویداد فاجعه بار" به اینجا هدایت می شود. برای دیگر کاربردها، فاجعه را ببینید .

در ریاضیات , نظریه فاجعه شاخه ای از نظریه انشعاب در مطالعه سیستم های دینامیکی است . همچنین یک مورد خاص خاص از نظریه تکینگی عمومی تر در هندسه است .

نظریه انشعاب، پدیده هایی را که با تغییرات ناگهانی در رفتار ناشی از تغییرات کوچک در شرایط مشخص می شود، مطالعه و طبقه بندی می کند و تجزیه و تحلیل می کند که چگونه ماهیت کیفی حل معادلات به پارامترهایی که در معادله ظاهر می شوند بستگی دارد. این ممکن است منجر به تغییرات ناگهانی و چشمگیر شود، به عنوان مثال زمان و بزرگی غیرقابل پیش بینی یک زمین لغزش .

نظریه فاجعه با کار ریاضیدان فرانسوی رنه تام در دهه 1960 سرچشمه گرفت و به دلیل تلاش های کریستوفر زیمن در دهه 1970 بسیار محبوب شد. این مورد خاص را در نظر می گیرد که در آن تعادل پایدار بلندمدت می تواند به عنوان حداقل یک تابع بالقوه صاف و کاملاً تعریف شده شناسایی شود ( تابع لیاپانوف). تغییرات کوچک در پارامترهای خاصی از یک سیستم غیرخطی می تواند باعث ظاهر یا ناپدید شدن تعادل و یا تغییر از جذب به دفع کننده و بالعکس شود و منجر به تغییرات بزرگ و ناگهانی در رفتار سیستم شود. با این حال، بررسی در یک فضای پارامتر بزرگتر، تئوری فاجعه نشان می دهد که چنین نقاط دوشاخه ای تمایل دارند به عنوان بخشی از ساختارهای هندسی کیفی به خوبی تعریف شده رخ دهند.

فجایع ابتدایی [ ویرایش ]

تئوری فاجعه نقاط بحرانی منحط تابع پتانسیل را تجزیه و تحلیل می کند - نقاطی که نه فقط مشتق اول، بلکه یک یا چند مشتق بالاتر تابع بالقوه نیز صفر هستند. اینها را میکروب هندسه فاجعه می نامند. انحطاط این نقاط بحرانی را می توان با گسترش تابع پتانسیل به عنوان یک سری تیلور در اختلالات کوچک پارامترها آشکار کرد.

هنگامی که نقاط انحطاط صرفا تصادفی نیستند، بلکه از نظر ساختاری پایدار هستند ، نقاط انحطاط به عنوان مراکز سازماندهی برای ساختارهای هندسی خاص با انحطاط پایین‌تر، با ویژگی‌های حیاتی در فضای پارامتر اطرافشان وجود دارند. اگر تابع پتانسیل به دو یا کمتر متغیر فعال و چهار یا کمتر پارامتر فعال بستگی داشته باشد، آنگاه تنها هفت ساختار عمومی برای این هندسه‌های انشعاب وجود دارد، با فرم‌های استاندارد متناظر که سری تیلور در اطراف میکروب‌های فاجعه را می‌توان با دیفئومورفیسم تبدیل کرد. یک تبدیل صاف که عکس آن نیز صاف است). [ نیاز به نقل از ] این هفت نوع اساسی اکنون با نام هایی که تام به آنها داده است، ارائه شده است.

توابع بالقوه یک متغیر فعال [ ویرایش ]

ایکس˙=دایکسدتی=-د�(تو،ایکس)دایکس ${\dot {x}}={\dfrac {dx}{dt}}=-{\dfrac {dV(u,x)}{dx}}$

در معادله بالا،� $V$ تابع پتانسیل وتو $تو$ اغلب یک بردار یا یک اسکالر است که تابع پتانسیل را پارامتر می کند. ارزشتو $تو$ ممکن است در طول زمان تغییر کند و همچنین می توان از آن به عنوان متغیر کنترل یاد کرد. در مثال های زیر پارامترهایی مانندآ،ب $الف، ب$ چنین کنترل هایی هستند.

فولد فاجعه [ ویرایش ]

فولد فاجعه، با سطح $z=-y^{2}-0.1x^{4}$ .

یک جفت اکسترمای پایدار و ناپایدار در یک انشعاب چین ناپدید می شوند

$V = x^3 + تبر\،$

وقتی a<0، پتانسیل V دو انتها دارد - یکی پایدار و دیگری ناپایدار. اگر پارامتر a به آرامی افزایش یابد، سیستم می تواند حداقل نقطه پایدار را دنبال کند. اما در a = 0 اکسترمای پایدار و ناپایدار به هم می رسند و نابود می شوند. این نقطه انشعاب است. در > 0 دیگر راه حل پایداری وجود ندارد. اگر یک سیستم فیزیکی از طریق یک انشعاب چین دنبال شود، بنابراین متوجه می‌شویم که با رسیدن به 0، پایداری راه‌حل a <0 ناگهان از بین می‌رود و سیستم یک انتقال ناگهانی به یک رفتار جدید و بسیار متفاوت انجام می‌دهد. این مقدار انشعاب پارامتر a گاهی اوقات " نقطه اوج " نامیده می شود .

فاجعه کاسپ [ ویرایش ]

نمودار فاجعه کاسپ، نشان دهنده منحنی های (قهوه ای، قرمز) x رضایت بخش dV / dx = 0 برای پارامترهای ( a ، b )، ترسیم شده برای پارامتر b به طور مداوم متغیر، برای چندین مقدار پارامتر a .

خارج از مکان انشعاب کاسپ (آبی)، برای هر نقطه ( a , b ) در فضای پارامتر فقط یک مقدار اکستریم کننده x وجود دارد. در داخل کاسپ، دو مقدار مختلف x وجود دارد که حداقل های محلی V ( x ) را برای هر ( a , b) می دهد.)، با مقدار x از هم جدا می شوند که حداکثر محلی را نشان می دهد.

شکل کاسپ در فضای پارامتر ( a ، b ) نزدیک به نقطه فاجعه، نشان‌دهنده مکان انشعاب‌های چین‌خوردگی است که منطقه را با دو محلول پایدار از منطقه با یک جدا می‌کند.

دوشاخه چنگال در a = 0 در سطح b = 0

فاجعه کاسپ، با سطح $z=-0.1(x^{4}+y^{4})-y^{3}+xy$ .

$V = x^4 + ax^2 + bx \,$

هندسه کاسپ زمانی بسیار متداول است که اگر پارامتر دوم، b به فضای کنترل اضافه شود، چه اتفاقی برای انشعاب چین می افتد . با تغییر پارامترها، فرد متوجه می شود که اکنون یک منحنی (آبی) از نقاط در فضای ( a ، b ) وجود دارد که در آن ثبات از بین می رود، جایی که راه حل پایدار به طور ناگهانی به یک نتیجه جایگزین می رود.

اما در یک هندسه کاسپ، منحنی انشعاب به خودش حلقه می‌زند، و شاخه دومی را ایجاد می‌کند که در آن محلول جایگزین، ثبات خود را از دست می‌دهد، و دوباره به مجموعه راه‌حل اصلی پرش می‌کند. بنابراین، با افزایش مکرر b و سپس کاهش آن، می‌توان حلقه‌های پسماند را مشاهده کرد، زیرا سیستم به طور متناوب از یک راه‌حل پیروی می‌کند، به راه‌حل دیگر می‌پرد، دیگری را به عقب دنبال می‌کند و سپس به اولین راه‌حل بازمی‌گردد.

همچنین می‌توان در نظر گرفت که اگر b را ثابت نگه داریم و a را تغییر دهیم ، چه اتفاقی می‌افتد . در حالت متقارن b = 0 ، یک انشعاب چنگال را با کاهش a مشاهده می‌کنیم ، که یک محلول پایدار به طور ناگهانی به دو محلول پایدار و یک محلول ناپایدار با عبور سیستم فیزیکی به یک <0 از نقطه کاسپ (0,0) تقسیم می‌شود. (نمونه ای از شکستن تقارن خود به خود ). دور از نقطه اوج، هیچ تغییر ناگهانی در یک راه حل فیزیکی وجود ندارد: هنگام عبور از منحنی دوشاخه های چین، تنها چیزی که اتفاق می افتد این است که یک راه حل دوم جایگزین در دسترس است.

یک سیستم مکانیکی ساده، "ماشین فاجعه زیمن"، به خوبی یک فاجعه کاسپ را نشان می دهد. در این دستگاه تغییرات صاف در موقعیت انتهای فنر می تواند باعث تغییرات ناگهانی در موقعیت چرخشی چرخ متصل شود. [7]

کاربردهای دیگر شامل انتقال الکترون کره بیرونی است که اغلب در سیستم‌های شیمیایی و بیولوژیکی با آن مواجه می‌شویم، [8] مدل‌سازی دینامیک هسته‌های تراکم ابر در جو، [9] و مدل‌سازی قیمت‌های املاک و مستغلات. [10]

هندسه های فاجعه ساده باقی مانده در مقایسه بسیار تخصصی هستند و فقط برای ارزش کنجکاوی در اینجا ارائه شده اند.

فاجعه دم چلچله [ ویرایش ]

فاجعه دم چلچله، با سطح $z=-y^{4}-0.1x^{4}+(1-x^{2})y^{2}+0.4xy$

سطح فاجعه دم چلچله

$V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx \,$

با عبور پارامترها از سطح انشعاب های چین، یک حداقل و یک حداکثر تابع پتانسیل ناپدید می شوند. در انشعاب های کاسپ، دو حداقل و یک حداکثر با یک حداقل جایگزین می شوند. فراتر از آنها، دوشاخه های چین ناپدید می شوند. در نقطه دم چلچله دو مینیمم و دو ماکزیمم همگی در یک مقدار x به هم می رسند . برای مقادیر a > 0 ، فراتر از دم چلچله ای، بسته به مقادیر b و c ، یا یک جفت حداکثر-حداقل وجود دارد یا اصلاً هیچ یک وجود ندارد . دو تا از سطوح انشعاب های چین خورده، و دو خط انشعاب های کاسپ جایی که برای <0 به هم می رسندبنابراین در نقطه دم چلچله ناپدید می شوند و تنها یک سطح از دوشاخه های چین باقی مانده است. آخرین نقاشی سالوادور دالی ، دم پرستو ، بر اساس این فاجعه ساخته شده است.

فاجعه پروانه [ ویرایش ]

فاجعه پروانه، با سطح $z=-20x^{5}+4x^{3}-2xy-0.5(x^{4}+y^{4})$ .

$V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx \,$

بسته به مقادیر پارامتر، تابع پتانسیل ممکن است سه، دو یا یک حداقل محلی متفاوت داشته باشد که توسط مکان های انشعاب چین از هم جدا شده اند. در نقطه پروانه، 3 سطح مختلف انشعاب چین، 2 سطح انشعاب کاسپ، و خطوط انشعاب دم چلچله همه به هم می رسند و ناپدید می شوند، و یک ساختار کاسپ واحد باقی می ماند زمانی که > 0 .

توابع بالقوه دو متغیر فعال [ ویرایش ]

سطحی با ناف هذلولی و سطح کانونی آن. فاجعه هذلولی ناف فقط قسمت بالایی این تصویر است.

سطحی با ناف بیضی شکل و سطح کانونی آن. فاجعه ناف بیضوی فقط قسمت بالایی این تصویر است.

فاجعه ناف هذلولی [ ویرایش ]

$V = x^3 + y^3 + axy + bx +cy \,$

فاجعه ناف بیضوی [ ویرایش ]

$V = \frac{x^3}{3} - xy^2 + a(x^2+y^2) + bx + cy \,$

فاجعه ناف سهموی [ ویرایش ]

$V=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}78+cx+dy\,$

نماد آرنولد [ ویرایش ]

ولادیمیر آرنولد به دلیل ارتباط عمیق با گروه های ساده Lie به فاجعه ها طبقه بندی ADE داد . [ نیازمند منبع ]

A 0 - یک نقطه غیر مفرد: $V = x$ .
الف 1 - یک اکسترمم موضعی، یا حداقل پایدار یا حداکثر ناپایدار $V = \pm x^2 + تبر$ .
الف 2 - تاشو
الف 3 - کاسپ
الف 4 - دم چلچله
الف 5 - پروانه
A k - نماینده یک دنباله نامتناهی از یک متغیر است $V=x^{k+1}+\cdots$
D 4 - - ناف بیضوی
D 4 + - ناف هذلولی
د 5 - ناف سهمی
D k - نماینده یک دنباله بی نهایت از اشکال ناف بیشتر
E 6 - $V = x^3+y^4+axy^2 +bxy+cx+dy+ey^2$
E 7
E 8

در نظریه تکینگی اشیایی وجود دارند که با اکثر گروه‌های ساده Lie مطابقت دارند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Catastrophe_theory

4-نظریه آشوب

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 7:55

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

یک پوسته نساجی مخروطی ، از نظر ظاهری شبیه به قانون 30 ، یک اتومات سلولی با رفتار آشفته. [93]

اگرچه تئوری آشوب از مشاهده الگوهای آب و هوا متولد شد، اما در موقعیت های مختلف دیگر قابل استفاده است. برخی از حوزه‌هایی که امروزه از نظریه آشوب بهره می‌برند ، زمین‌شناسی ، ریاضیات ، زیست‌شناسی ، علوم کامپیوتر ، اقتصاد ، [94] [95] [96] مهندسی ، [97] [98] امور مالی ، [99] [100] [101] [102] [103] هواشناسی ، فلسفه ، مردم شناسی ، [15] فیزیک ، [104] [105] [106] سیاست ، [107] [108] پویایی جمعیت ، [109] و روباتیک . چند دسته در زیر همراه با مثال لیست شده است، اما این به هیچ وجه یک لیست جامع نیست زیرا برنامه های کاربردی جدید ظاهر می شوند.

رمزنگاری [ ویرایش ]

نظریه آشوب سال هاست در رمزنگاری استفاده می شود. در چند دهه گذشته، هرج و مرج و دینامیک غیرخطی در طراحی صدها نمونه اولیه رمزنگاری استفاده شده است. این الگوریتم‌ها شامل الگوریتم‌های رمزگذاری تصویر ، توابع درهم‌سازی ، تولیدکننده‌های اعداد شبه تصادفی ایمن ، رمزهای جریان ، واترمارکینگ و استگانوگرافی هستند. [110] اکثر این الگوریتم‌ها بر اساس نقشه‌های هرج‌ومرج یک‌وجهی هستند و بخش بزرگی از این الگوریتم‌ها از پارامترهای کنترلی و شرایط اولیه نقشه‌های آشفته به عنوان کلید خود استفاده می‌کنند. [111]از منظر وسیع‌تر، بدون از دست دادن کلیت، شباهت‌های بین نقشه‌های آشفته و سیستم‌های رمزنگاری انگیزه اصلی برای طراحی الگوریتم‌های رمزنگاری مبتنی بر آشوب است. [110] یکی از انواع رمزگذاری، کلید مخفی یا کلید متقارن ، متکی بر انتشار و سردرگمی است که به خوبی توسط نظریه آشوب مدل شده است. [112] نوع دیگری از محاسبات، محاسبات DNA ، هنگامی که با نظریه آشوب جفت می شود، راهی برای رمزگذاری تصاویر و سایر اطلاعات ارائه می دهد. [113] بسیاری از الگوریتم‌های رمزنگاری DNA-Chaos ثابت شده‌اند که یا ایمن نیستند، یا اینکه تکنیک به کار رفته کارآمد نیست. [114] [115] [116]

رباتیک [ ویرایش ]

رباتیک حوزه دیگری است که اخیراً از نظریه آشوب بهره برده است. به‌جای اینکه روبات‌ها در یک نوع اصلاح آزمایشی و خطا برای تعامل با محیط خود عمل کنند، از نظریه آشوب برای ساخت یک مدل پیش‌بینی استفاده شده است . [117] پویایی هرج و مرج توسط روبات های دوپا راه رفتن غیرفعال به نمایش گذاشته شده است. [118]

زیست شناسی [ ویرایش ]

بیش از صد سال است که زیست شناسان جمعیت گونه های مختلف را با مدل های جمعیتی ردیابی می کنند . بیشتر مدل‌ها پیوسته هستند ، اما اخیراً دانشمندان توانسته‌اند مدل‌های آشفته را در جمعیت‌های خاصی پیاده‌سازی کنند. [119] برای مثال، یک مطالعه بر روی مدل‌های سیاهگوش کانادایی نشان داد که رفتار آشفته‌ای در رشد جمعیت وجود دارد. [120] هرج و مرج را می توان در سیستم های اکولوژیکی مانند هیدرولوژی نیز یافت . در حالی که یک مدل آشفته هیدرولوژی دارای کاستی هایی است، هنوز چیزهای زیادی برای یادگیری از نگاه به داده ها از طریق دریچه نظریه آشوب وجود دارد. [121] کاربرد بیولوژیکی دیگر در کاردیوتوکوگرافی یافت می شود. نظارت بر جنین یک تعادل ظریف برای به دست آوردن اطلاعات دقیق در حالی که تا حد امکان غیرتهاجمی است. مدل های بهتری از علائم هشدار دهنده هیپوکسی جنین را می توان از طریق مدل سازی آشفته به دست آورد. [122]

همانطور که پری اشاره می کند، مدل سازی سری های زمانی آشفته در بوم شناسی توسط محدودیت کمک می کند. [123] : 176، 177 همیشه مشکل بالقوه ای در تشخیص هرج و مرج واقعی از هرج و مرج که فقط در مدل وجود دارد وجود دارد. [123] : 176, 177 از این رو هم محدودیت در مدل و هم داده های سری زمانی تکراری برای مقایسه در محدود کردن مدل به چیزی نزدیک به واقعیت مفید خواهند بود، برای مثال Perry & Wall 1984. [123] : 176, 177 Gene . هم تکاملی برای ژن گاهی اوقات پویایی آشفته ای را در فرکانس های آللی نشان می دهد . [124] افزودن متغیرها در این مورد اغراق آمیز است: آشفتگی در آن رایج تر استمدل‌هایی که متغیرهای اضافی را برای انعکاس جنبه‌های اضافی جمعیت‌های واقعی ترکیب می‌کنند. [124] خود رابرت ام. می برخی از این مطالعات بنیادی تکامل مشترک محصول را انجام داد و این به نوبه خود به شکل گیری کل مزرعه کمک کرد. [124] حتی برای یک محیط ثابت، صرفاً ترکیب یک محصول و یک بیماری‌زا ممکن است منجر به نوسانات شبه دوره‌ای یا هرج‌ومرج در جمعیت بیماری‌زا شود. [125] : 169

اقتصاد [ ویرایش ]

این امکان وجود دارد که مدل‌های اقتصادی را نیز بتوان با استفاده از نظریه آشوب بهبود بخشید، اما پیش‌بینی سلامت یک سیستم اقتصادی و اینکه چه عواملی بیشتر بر آن تأثیر می‌گذارند، کار بسیار پیچیده‌ای است. [126] سیستم‌های اقتصادی و مالی اساساً با سیستم‌های علوم طبیعی کلاسیک متفاوت هستند، زیرا اولی ذاتاً تصادفی هستند، زیرا از تعاملات افراد ناشی می‌شوند، و بنابراین مدل‌های قطعی خالص بعید است که نمایش دقیق داده‌ها را ارائه دهند. ادبیات تجربی که برای هرج و مرج در اقتصاد و امور مالی آزمایش می‌کند، نتایج بسیار متفاوتی ارائه می‌دهد، تا حدی به دلیل سردرگمی بین آزمون‌های خاص برای آشوب و آزمون‌های عمومی‌تر برای روابط غیرخطی. [127]

هرج و مرج را می توان در اقتصاد با استفاده از تحلیل کمیت تکراری یافت. در واقع اورلاندو و همکاران. [128] با استفاده از شاخص همبستگی کمیت تکراری به اصطلاح توانستند تغییرات پنهان در سری های زمانی را تشخیص دهند. سپس، از همین تکنیک برای تشخیص انتقال از فاز آرام (منظم) به فاز آشفته (آشوب) و همچنین تفاوت بین متغیرهای کلان اقتصادی و برجسته کردن ویژگی‌های پنهان پویایی اقتصادی استفاده شد. [129] در نهایت، هرج و مرج می تواند در مدل سازی نحوه عملکرد اقتصاد و همچنین در تعبیه شوک های ناشی از رویدادهای خارجی مانند COVID-19 کمک کند. [130]

مناطق دیگر [ ویرایش ]

در شیمی، پیش‌بینی حلالیت گاز برای تولید پلیمرها ضروری است ، اما مدل‌هایی که از بهینه‌سازی ازدحام ذرات (PSO) استفاده می‌کنند، تمایل دارند به نقاط اشتباه همگرا شوند. یک نسخه بهبود یافته از PSO با معرفی آشوب ایجاد شده است که از گیر کردن شبیه‌سازی‌ها جلوگیری می‌کند. [131] در مکانیک سماوی ، به ویژه هنگام رصد سیارک ها، به کارگیری نظریه آشوب منجر به پیش بینی های بهتری در مورد زمان نزدیک شدن این اجرام به زمین و سیارات دیگر می شود. [132] چهار قمر از پنج قمر پلوتون به طور آشفته می چرخند. در فیزیک کوانتوم و مهندسی برق ، مطالعه آرایه های بزرگ از اتصالات جوزفسوناز نظریه آشوب بسیار سود برد. [133] نزدیک به خانه، معادن زغال سنگ همیشه مکان های خطرناکی بوده اند که نشت مکرر گاز طبیعی باعث مرگ و میر بسیاری می شود. تا همین اواخر، هیچ راه قابل اعتمادی برای پیش بینی زمان وقوع آنها وجود نداشت. اما این نشت‌های گاز تمایلات آشفته‌ای دارند که وقتی به درستی مدل‌سازی شوند، می‌توان نسبتاً دقیق آن را پیش‌بینی کرد. [134]

نظریه آشوب را می توان خارج از علوم طبیعی به کار برد، اما از نظر تاریخی تقریباً همه این گونه مطالعات از عدم تکرارپذیری رنج می برند. اعتبار خارجی ضعیف؛ و/یا عدم توجه به اعتبارسنجی متقاطع، که منجر به دقت پیش‌بینی ضعیف می‌شود (اگر حتی پیش‌بینی خارج از نمونه انجام شده باشد). گلس [135] و ماندل و سلز [136] دریافته اند که هیچ مطالعه EEG هنوز وجود جاذبه های عجیب و غریب یا سایر علائم رفتار آشفته را نشان نداده است.

محققان به کاربرد نظریه آشوب در روانشناسی ادامه داده اند. برای مثال، در مدل‌سازی رفتار گروهی که در آن اعضای ناهمگون ممکن است به گونه‌ای رفتار کنند که گویی به درجات مختلف آنچه در نظریه ویلفرد بیون یک فرض اساسی است، به اشتراک می‌گذارند، محققان دریافته‌اند که پویایی گروه نتیجه پویایی فردی اعضا است: فرد پویایی گروه را در مقیاسی متفاوت بازتولید می کند و رفتار آشفته گروه در هر عضو منعکس می شود. [137]

ردینگتون و ریدبورد (1992) تلاش کردند تا نشان دهند که قلب انسان می تواند ویژگی های آشفته را نشان دهد. آنها تغییرات فواصل بین ضربان قلب را برای یک بیمار روان درمانی در حالی که او در دوره هایی با شدت هیجانی متفاوت در طول یک جلسه درمانی حرکت می کرد، زیر نظر گرفتند. نتایج مسلماً غیرقطعی بود. نه تنها ابهاماتی در نمودارهای مختلفی که نویسندگان برای نشان دادن شواهدی از دینامیک آشفته (تحلیل طیفی، مسیر فاز و نمودارهای همبستگی خودکار) تهیه کردند، وجود داشت، بلکه زمانی که آنها سعی کردند یک توان لیاپانوف را به عنوان تأیید قطعی رفتار آشفته محاسبه کنند، نویسندگان دریافتند که نمی توانند به طور قابل اعتماد این کار را انجام دهند. [138]

متکالف و آلن [139] در مقاله خود در سال 1995 اظهار داشتند که آنها در رفتار حیوانات الگویی از دو برابر شدن دوره را که منجر به هرج و مرج می شود، کشف کردند. نویسندگان پاسخ معروفی به نام پلی دیپسی ناشی از برنامه را بررسی کردند که به موجب آن حیوانی که برای مدت معینی از غذا محروم می شود، زمانی که غذا در نهایت ارائه شود، مقادیر غیرعادی آب می نوشد. پارامتر کنترلی (r) که در اینجا کار می‌کند، طول فاصله بین تغذیه‌ها، پس از شروع مجدد بود. نویسندگان مراقب بودند تعداد زیادی از حیوانات را آزمایش کنند و تکرارهای زیادی را شامل شوند، و آزمایش خود را طوری طراحی کردند که احتمال اینکه تغییرات در الگوهای پاسخ ناشی از مکان‌های شروع مختلف برای r باشد را رد کنند.

نمودارهای سری زمانی و اولین تاخیر بهترین پشتیبانی را برای ادعاهای مطرح شده ارائه می دهند و با افزایش زمان تغذیه، یک حرکت نسبتا واضح از تناوب به بی نظمی را نشان می دهند. از سوی دیگر، نمودارهای مسیر فازهای مختلف و تجزیه و تحلیل های طیفی، به اندازه کافی با نمودارهای دیگر یا با نظریه کلی مطابقت ندارند که به طور اجتناب ناپذیری به یک تشخیص آشفته منجر شود. به عنوان مثال، مسیرهای فاز یک پیشرفت مشخص به سمت پیچیدگی بیشتر و بیشتر (و دور از تناوب) را نشان نمی دهند. به نظر می رسد این روند کاملاً مبهم است. همچنین، جایی که متکالف و آلن دوره های دو و شش را در نمودارهای طیفی خود دیدند، جایی برای تفسیرهای جایگزین وجود دارد. همه این ابهامات نیاز به توضیح مارپیچی و پس‌هک دارد تا نشان دهد نتایج با یک مدل آشفته مطابقت دارند.

آموندسون و برایت با تطبیق مدلی از مشاوره شغلی برای گنجاندن تفسیری آشفته از رابطه بین کارمندان و بازار کار دریافتند که می‌توان پیشنهادات بهتری به افرادی داد که با تصمیمات شغلی دست و پنجه نرم می‌کنند. [140] سازمان‌های مدرن به‌طور فزاینده‌ای به‌عنوان سیستم‌های انطباقی پیچیده باز با ساختارهای غیرخطی طبیعی بنیادی دیده می‌شوند که در معرض نیروهای داخلی و خارجی هستند که ممکن است به هرج و مرج کمک کنند. به عنوان مثال، تیم سازی و توسعه گروهی به طور فزاینده ای به عنوان یک سیستم ذاتا غیرقابل پیش بینی مورد تحقیق قرار می گیرد، زیرا عدم اطمینان افراد مختلف برای اولین بار با یکدیگر ملاقات می کنند، مسیر تیم را نامعلوم می کند. [141]

برخی می گویند استعاره آشوب - که در نظریه های کلامی استفاده می شود - مبتنی بر مدل های ریاضی و جنبه های روانی رفتار انسان، بینش های مفیدی را برای توصیف پیچیدگی گروه های کاری کوچک، که فراتر از خود استعاره است، ارائه می دهد. [142]

پیش‌بینی ترافیک ممکن است از کاربردهای نظریه آشوب سود ببرد. پیش‌بینی‌های بهتر از زمان وقوع ازدحام می‌تواند اقداماتی را برای پراکنده کردن آن قبل از وقوع آن انجام دهد. ترکیب اصول تئوری آشوب با چند روش دیگر منجر به یک مدل پیش‌بینی کوتاه‌مدت دقیق‌تر شده است (نمودار مدل ترافیک BML را در سمت راست ببینید). [143]

تئوری آشوب برای داده‌های چرخه آب محیطی (همچنین داده‌های هیدرولوژیکی )، مانند بارندگی و جریان آب اعمال شده است. [144] این مطالعات نتایج بحث برانگیزی به همراه داشته است، زیرا روش‌های تشخیص امضای آشفته اغلب نسبتاً ذهنی هستند. مطالعات اولیه تمایل به "موفقیت" در یافتن هرج و مرج داشتند، در حالی که مطالعات و متاآنالیزهای بعدی آن مطالعات را زیر سوال بردند و توضیح دادند که چرا این مجموعه داده ها احتمالاً پویایی هرج و مرج با ابعاد پایین ندارند. [145]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نمونه هایی از سیستم های آشفته

سایر موضوعات مرتبط

مردم

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory

3-نظریه آشوب

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 7:53

تاریخچه [ ویرایش ]

سرخس بارنزلی با استفاده از بازی آشوب ایجاد شد . اشکال طبیعی (سرسس، ابر، کوه و غیره) ممکن است از طریق یک سیستم عملکرد تکرار شونده (IFS) بازآفرینی شوند.

یکی از طرفداران اولیه نظریه آشوب، هانری پوانکاره بود. در دهه 1880، او در حین مطالعه مسئله سه جسم ، دریافت که می‌تواند مدارهایی وجود داشته باشد که غیر تناوبی باشند، اما برای همیشه افزایش یابند و به یک نقطه ثابت نزدیک نشوند. [63] [64] [65] در سال 1898، ژاک هادامارد یک مطالعه تأثیرگذار درباره حرکت آشفته یک ذره آزاد که بدون اصطکاک روی سطحی با انحنای منفی ثابت می‌لغزد به نام « بیلیارد هادامارد » منتشر کرد. [66] هادامارد توانست نشان دهد که همه مسیرها ناپایدار هستند، به این ترتیب که تمام مسیرهای ذرات به طور نمایی از یکدیگر واگرا می شوند، با یک توان لیاپانوف مثبت .

نظریه آشوب در زمینه نظریه ارگودیک آغاز شد . مطالعات بعدی، همچنین در مورد معادلات دیفرانسیل غیرخطی ، توسط جورج دیوید بیرخوف ، [67] آندری نیکولاویچ کولموگروف ، [68] [69] [70] مری لوسی کارترایت و جان ادنسور لیتل وود ، [71] و استفان اسمیل انجام شد. . [72] به جز اسمیل، این مطالعات همگی مستقیماً از فیزیک الهام گرفتند: مسئله سه جسم در مورد بیرخوف، آشفتگی و مشکلات نجومی در مورد کولموگروف، و مهندسی رادیو در مورد کارترایت و لیتل وود. [نیاز به استناد ]اگرچه حرکت بی نظم سیاره مشاهده نشده بود، اما تجربی گرایان با تلاطم در حرکت سیال و نوسان غیر تناوبی در مدارهای رادیویی بدون بهره مندی از نظریه ای برای توضیح آنچه می دیدند مواجه شده بودند.

علیرغم بینش های اولیه در نیمه اول قرن بیستم، نظریه آشوب تنها پس از اواسط قرن رسمیت یافت، زمانی که برای اولین بار برای برخی از دانشمندان آشکار شد که نظریه خطی ، نظریه غالب سیستم در آن زمان، به سادگی نمی تواند موارد مشاهده شده را توضیح دهد. رفتار آزمایش های خاص مانند نقشه لجستیک . آنچه به اندازه گیری عدم دقت و " صدا " ساده نسبت داده شده بود توسط نظریه پردازان آشوب به عنوان یک جزء کامل از سیستم های مورد مطالعه در نظر گرفته شد.

کاتالیزور اصلی برای توسعه نظریه آشوب کامپیوتر الکترونیکی بود. بسیاری از ریاضیات نظریه آشوب شامل تکرار مکرر فرمول های ساده ریاضی است که انجام آن با دست غیرعملی است. رایانه های الکترونیکی این محاسبات مکرر را عملی می کردند، در حالی که ارقام و تصاویر امکان تجسم این سیستم ها را فراهم می کردند. یوشیسوکه اوئدا به عنوان دانشجوی فارغ التحصیل در آزمایشگاه چیهیرو هایاشی در دانشگاه کیوتو در حال آزمایش با کامپیوترهای آنالوگ بود و در 27 نوامبر 1961 متوجه چیزی شد که او آن را "پدیده های انتقالی تصادفی" نامید. با این حال مشاور او در آن زمان با نتایج او موافق نبود و تا سال 1970 به او اجازه نداد که یافته های خود را گزارش کند. [73] [74]

تلاطم در گرداب نوک از بال هواپیما . مطالعات مربوط به نقطه بحرانی که سیستمی فراتر از آن تلاطم ایجاد می کند، برای نظریه آشوب مهم بود، به عنوان مثال توسط فیزیکدان شوروی، لو لاندو ، که نظریه تلاطم لاندو-هوپف را توسعه داد، تجزیه و تحلیل شد . دیوید روئل و فلوریس تاکنس بعداً در برابر لاندو پیش‌بینی کردند که تلاطم سیال می‌تواند از طریق یک جاذبه عجیب ، مفهوم اصلی نظریه آشوب ایجاد شود.

ادوارد لورنز از پیشگامان اولیه این نظریه بود. علاقه او به هرج و مرج به طور تصادفی از طریق کارش در پیش بینی آب و هوا در سال 1961 به وجود آمد . ، برای اجرای شبیه سازی آب و هوا. آنها می خواستند یک توالی از داده ها را دوباره ببینند و برای صرفه جویی در زمان، شبیه سازی را در اواسط مسیر شروع کردند. آنها این کار را با وارد کردن پرینت داده‌هایی که با شرایط وسط شبیه‌سازی اصلی مطابقت دارد، انجام دادند. در کمال تعجب، آب و هوایی که دستگاه شروع به پیش بینی کرد کاملاً متفاوت از محاسبه قبلی بود. آنها این موضوع را در پرینت کامپیوتر دنبال کردند. کامپیوتر با دقت 6 رقمی کار می کرد، اما چاپ شده متغیرها را به یک عدد 3 رقمی گرد کرد، بنابراین مقداری مانند 0.506127 به عنوان 0.506 چاپ می شود. این تفاوت ناچیز است و اتفاق نظر در آن زمان این بود که نباید اثر عملی داشته باشد. با این حال، لورنز کشف کرد که تغییرات کوچک در شرایط اولیه باعث ایجاد تغییرات بزرگ در نتیجه بلندمدت می شود. [76]کشف لورنز، که نام خود را به جاذبه‌های لورنز داد، نشان داد که حتی مدل‌سازی دقیق اتمسفر نیز نمی‌تواند به طور کلی پیش‌بینی دقیق آب و هوای بلندمدت را انجام دهد.

در سال 1963، بنوا ماندلبرو الگوهای تکرارشونده ای را در هر مقیاسی در داده های قیمت پنبه یافت. [77] او پیش از آن نظریه اطلاعات را مطالعه کرده بود و به این نتیجه رسید که نویز مانند مجموعه کانتور طراحی شده است : در هر مقیاسی نسبت دوره‌های حاوی نویز به دوره‌های بدون خطا ثابت است - بنابراین خطاها اجتناب‌ناپذیر هستند و باید با اضافه کردن افزونگی برنامه‌ریزی شوند. . [78] مندلبروت هم «اثر نوح» (که در آن تغییرات ناگهانی ناپیوسته می‌تواند رخ دهد) و هم «اثر جوزف» (که در آن تداوم یک مقدار می‌تواند برای مدتی رخ دهد، اما پس از آن ناگهان تغییر کند) را توصیف کرد. [79] [80] این ایده که تغییرات در قیمت به طور معمول توزیع شده است را به چالش کشید. در سال 1967، او " طول سواحل بریتانیا چقدر است؟ خود تشابه آماری و بعد کسری " را منتشر کرد، که نشان می‌دهد طول خط ساحلی با مقیاس ابزار اندازه‌گیری متفاوت است، در همه مقیاس‌ها به خودش شباهت دارد و از نظر طول بی‌نهایت است. دستگاه اندازه گیری بی نهایت کوچک [81] او با این استدلال که یک توپ ریسمان در صورت مشاهده از دور (0 بعدی)، یک توپ وقتی از نزدیک (3 بعدی) یا یک رشته منحنی (1 بعدی) به نظر می رسد، به عنوان یک نقطه ظاهر می شود. ابعاد یک جسم نسبت به ناظر است و ممکن است کسری باشد. جسمی که بی‌نظمی آن در مقیاس‌های مختلف ثابت است ("خود شباهت") یک فراکتال است (مثلاً اسفنج منگر است .، واشر Sierpiński و منحنی کوخ یا دانه برف که بی نهایت طولانی است اما فضای محدودی را در بر می گیرد و ابعاد فراکتالی آن حدود 1.2619 است. در سال 1982، ماندلبروت هندسه فراکتال طبیعت را منتشر کرد که به کلاسیک نظریه آشوب تبدیل شد. [82]

در دسامبر 1977، آکادمی علوم نیویورک اولین سمپوزیوم در مورد آشوب را با حضور دیوید رول، رابرت می ، جیمز آ. یورک (که اصطلاح "آشوب" در ریاضیات استفاده می شود)، رابرت شاو و هواشناس ادوارد برگزار کرد. لورنز. سال بعد پیر کوله و چارلز ترسر «تکرارهای اندومورفیسم و گروه‌های عادی‌سازی مجدد» را منتشر کردند و مقاله میچل فایگنبام «جهان‌شمولی کمی برای طبقه‌ای از تبدیل‌های غیرخطی» سرانجام پس از 3 سال رد داوران در یک مجله منتشر شد. [43] [83] بنابراین Feigenbaum (1975) و Coullet & Tresser (1978) جهانی بودن را کشف کردند.در هرج و مرج، به کاربرد نظریه آشوب در بسیاری از پدیده های مختلف اجازه می دهد.

در سال 1979، آلبرت جی لیبچابر ، طی سمپوزیومی که توسط پیر هوهنبرگ در آسپن سازماندهی شد ، مشاهدات تجربی خود را از آبشار انشعاب که منجر به آشفتگی و آشفتگی در سیستم‌های همرفت ریلی-بنارد می‌شود ، ارائه کرد. او در سال 1986 همراه با میچل جی. فایگنبام به خاطر دستاوردهای الهام بخششان جایزه ولف را در فیزیک دریافت کردند. [84]

در سال 1986، آکادمی علوم نیویورک با همکاری مؤسسه ملی سلامت روان و دفتر تحقیقات نیروی دریایی اولین کنفرانس مهم در مورد آشوب در زیست شناسی و پزشکی را سازماندهی کرد. در آنجا، برناردو هوبرمن یک مدل ریاضی از اختلال ردیابی چشم در میان افراد مبتلا به اسکیزوفرنی ارائه کرد. [85] این منجر به تجدید فیزیولوژی در دهه 1980 از طریق استفاده از نظریه آشوب، به عنوان مثال، در مطالعه چرخه های قلبی پاتولوژیک شد.

در سال 1987، Per Bak ، Chao Tang و Kurt Wiesenfeld مقاله ای را در Physical Review Letters [86] منتشر کردند که برای اولین بار انتقادی خود سازمان یافته (SOC) را توصیف می کند، که یکی از مکانیسم هایی است که پیچیدگی در طبیعت به وجود می آید.

در کنار رویکردهای عمدتاً مبتنی بر آزمایشگاه مانند ماسه‌پایه باک تانگ ویزنفلد ، بسیاری از تحقیقات دیگر بر روی سیستم‌های طبیعی یا اجتماعی در مقیاس بزرگ متمرکز شده‌اند که شناخته شده (یا مشکوک) هستند که رفتار تغییرناپذیر مقیاس را نشان می‌دهند. اگرچه این رویکردها همیشه (حداقل در ابتدا) توسط متخصصان در موضوعات مورد بررسی مورد استقبال قرار نگرفتند، با این وجود SOC به عنوان یک نامزد قوی برای توضیح تعدادی از پدیده های طبیعی، از جمله زمین لرزه ها (که مدت ها قبل از کشف SOC شناخته شده بودند، شناخته شده است. به عنوان منبعی از رفتار تغییرناپذیر مقیاس مانند قانون گوتنبرگ-ریشتر که توزیع آماری اندازه‌های زلزله را توصیف می‌کند و قانون اوموری [87]توصیف فراوانی پس لرزه ها)، شعله های خورشیدی ، نوسانات در سیستم های اقتصادی مانند بازارهای مالی (اشاره به SOC در اقتصاد فیزیک رایج است ) ، شکل گیری چشم انداز، آتش سوزی جنگل ها ، رانش زمین ، اپیدمی ها، و تکامل بیولوژیکی (مثلاً در جایی که SOC مورد استفاده قرار گرفته است. به عنوان مکانیزم دینامیکی پشت نظریه " تعادل نقطه گذاری " ارائه شده توسط نایلز الدرج و استیون جی گولد). با توجه به پیامدهای توزیع بدون مقیاس اندازه رویدادها، برخی از محققان پیشنهاد کرده اند که پدیده دیگری که باید به عنوان نمونه ای از SOC در نظر گرفته شود، وقوع جنگ است. این تحقیقات SOC شامل تلاش برای مدل‌سازی (یا توسعه مدل‌های جدید یا تطبیق مدل‌های موجود با ویژگی‌های یک سیستم طبیعی معین)، و تجزیه و تحلیل داده‌های گسترده برای تعیین وجود و/یا ویژگی‌های قوانین مقیاس‌بندی طبیعی است.

در همان سال، جیمز گلیک Chaos: Making a New Science را منتشر کرد که پرفروش شد و اصول کلی نظریه آشوب و همچنین تاریخچه آن را به عموم مردم معرفی کرد. [88] نظریه آشوب در ابتدا حوزه چند فرد منزوی بود که به تدریج به عنوان یک رشته فرا رشته ای و نهادی، عمدتاً تحت نام تحلیل سیستم های غیرخطی ، ظهور کرد. با اشاره به مفهوم تغییر پارادایم توماس کوهن که در ساختار انقلاب‌های علمی (1962) آشکار شد، بسیاری از «باغ‌شناسان» (همانطور که برخی خود را توصیف کردند) ادعا کردند که این نظریه جدید نمونه‌ای از چنین تغییری است، تزی که توسط گلیک تأیید شده است. .

در دسترس بودن رایانه‌های ارزان‌تر و قدرتمندتر، کاربرد نظریه آشوب را گسترش می‌دهد. در حال حاضر، نظریه آشوب یک حوزه تحقیقاتی فعال باقی مانده است، [89] که شامل بسیاری از رشته های مختلف مانند ریاضیات ، توپولوژی ، فیزیک ، [90] سیستم های اجتماعی ، [91] مدل سازی جمعیت ، زیست شناسی ، هواشناسی ، اخترفیزیک ، نظریه اطلاعات ، علوم اعصاب محاسباتی ، مدیریت بحران همه گیر ، [16] [17] و غیره.

قیاس محبوب اما نادرست برای آشوب [ ویرایش ]

وابستگی حساس به شرایط اولیه (یعنی اثر پروانه ای) با استفاده از فولکلور زیر نشان داده شده است [88] :

«به دلیل نداشتن میخ، کفش گم شد .

به دلیل نداشتن کفش، اسب گم شد .

برای نداشتن اسب، سوارکار گم شد .

به دلیل نداشتن یک سوار، نبرد شکست خورد .

برای نبرد، پادشاهی از دست رفت .

و همه چیز به خاطر نیاز به یک میخ نعل اسبی " .

بر اساس موارد فوق، بسیاری از مردم به اشتباه معتقدند که تأثیر یک اغتشاش اولیه کوچک به طور یکنواخت با زمان افزایش می‌یابد و هر اغتشاش کوچک در نهایت می‌تواند تأثیر زیادی بر ادغام‌های عددی ایجاد کند. با این حال، در سال 2008، پروفسور لورنز اظهار داشت که او احساس نمی‌کند که این آیه هرج و مرج واقعی را توصیف می‌کند، اما این آیه پدیده ساده‌تر بی‌ثباتی را بهتر نشان می‌دهد و این آیه به طور ضمنی نشان می‌دهد که رویدادهای کوچک بعدی، نتیجه را معکوس نمی‌کنند (Lorenz, 2008 [ 92] ). بر اساس تحليل، آيه فقط دلالت بر واگرايى دارد، نه محدوديت [6] . مرزبندی برای اندازه محدود الگوی پروانه مهم است.

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

نظریه فاجعه

فجایع ابتدایی [ ویرایش ]

توابع بالقوه یک متغیر فعال [ ویرایش ]

فولد فاجعه [ ویرایش ]

فاجعه کاسپ [ ویرایش ]

فاجعه دم چلچله [ ویرایش ]

فاجعه پروانه [ ویرایش ]

توابع بالقوه دو متغیر فعال [ ویرایش ]

فاجعه ناف هذلولی [ ویرایش ]

فاجعه ناف بیضوی [ ویرایش ]

فاجعه ناف سهموی [ ویرایش ]

نماد آرنولد [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

جبر لی نیمه ساده

اهمیت [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

تجزیه اردن [ ویرایش ]

ساختار [ ویرایش ]

نمونه تجزیه فضای ریشه در sl n (C) [ ویرایش ]

sl 2 (C) [ ویرایش ]

sl 3 (C) [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

طبقه بندی [ ویرایش ]

نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده [ ویرایش ]

جبر لی نیمه ساده حقیقی [ ویرایش ]

کیف فشرده [ ویرایش ]

جعبه غیر فشرده [ ویرایش ]

مورد sl(n,C) [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

گروه های نیمه ساده و تقلیل [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

جبر افین لی

جبرهای Affine لی از جبرهای ساده لی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

ساختن نمودارهای داینکین [ ویرایش ]

طبقه بندی پسوندهای مرکزی [ ویرایش ]

ساختار [ ویرایش ]

اساس کارتان–ویل [ ویرایش ]

فرم کشتار [ ویرایش ]

ریشه ساده افین [ ویرایش ]

نظریه نمایش [ ویرایش ]

نمایش خلاء رتبه k [ ویرایش ]

جبر افین رأس [ ویرایش ]

گروه و شخصیت های ویل [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

مثال [ ویرایش ]

منبع

تجزیه لوی

پسوند نتایج [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

ویلهلم کارل جوزف کیلینگ

زندگی [ ویرایش ]

کار [ ویرایش ]

آثار برگزیده [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

2-گروه های لی و جبرهای لی

تاریخچه [ ویرایش ]

تعاریف [ ویرایش ]

تعریف جبر لی [ ویرایش ]

مولدها و ابعاد [ ویرایش ]

زیر جبرها، ایده ال ها و هم شکلی ها [ ویرایش ]

1-گروه های لی و جبرهای لی

حاصل جمع مستقیم و نیمه مستقیم [ ویرایش ]

مشتقات [ ویرایش ]

جبر لی تقسیم [ ویرایش ]

مبنای فضای برداری [ ویرایش ]

تعریف با استفاده از نماد نظری دسته [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

فضاهای برداری [ ویرایش ]

جبر انجمنی با براکت جابجاگر [ ویرایش ]

ماتریس های ویژه [ ویرایش ]

جبرهای لی ماتریسی [ ویرایش ]

دو بعدی [ ویرایش ]