ریاضیات

شرح سیستم های همجوشی

ویژگی های متمایز

کوچکترین در نوع خود

• این گروه منحصر به فرد غیر T با کوچکترین مرتبه است، یعنی کوچکترین نمونه منحصر به فرد گروهی که در آن نرمال بودن متعدی نیست .
• این یک گروه nilpotent غیرآبلی از کوچکترین مرتبه است، هرچند نه تنها. گروه دیگر از این قبیل گروه کواترنیون است .

متفاوت از بقیه هم راستا

• این تنها گروه از راسته خود است که به گروه اتومورفیسم خود هم شکل است .
• این تنها گروه از راسته خود است که یک گروه T نیست .
• این تنها گروه از سفارش خود است که دارای دو زیر گروه کلاین است. به طور خاص، مثالی از وضعیتی را ارائه می دهد که در آن تعداد زیرگروه های مرتبه آبلی ابتدایی نه صفر است و نه مدول . این را با مورد فرد مقایسه کنید ، که در آن شرط همخوانی تعداد زیرگروه‌های آبلی ابتدایی از مرتبه اول را برای عدد اول فرد داریم .

اجرای GAP

شناسه گروه

این گروه محدود دارای مرتبه 8 و دارای شناسه 3 در بین گروه های مرتبه 8 در کتابخانه SmallGroup GAP است. برای زمینه، 5 گروه از مرتبه 8 وجود دارد. بنابراین می توان آن را با استفاده از تابع SmallGroup GAP به صورت زیر تعریف کرد :

SmallGroup (8،3)

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم :

gap> G := SmallGroup(8,3);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین در واقع همان گروهی است که می خواهیم، ​​می توانیم از تابع IdGroup GAP استفاده کنیم:

IdGroup(G) = [8,3]

یا فقط انجام دهید:

IdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

سالن-شماره ارشد

این گروه از ترتیب قدرت اول دارای مرتبه 8 و دارای شماره Hall-Senior 4 در بین گروه های مرتبه 8 است. از این اطلاعات می توان برای ساخت گروه در GAP با استفاده از تابع Gap3CatalogueGroup به صورت زیر استفاده کرد:

Gap3CatalogueGroup(8،4)

اخطار : بین شماره‌های کاتالوگ GAP 3 و شماره‌های Hall-Senior برخی از گروه‌های آبلی اختلاف نظر وجود دارد، اما بر این گروه تأثیر نمی‌گذارد.

برای مثال، می‌توانیم از تخصیص زیر در GAP برای ایجاد گروه و نامگذاری آن استفاده کنیم :

gap> G := Gap3CatalogueGroup(8,4);

برعکس، برای بررسی اینکه آیا یک گروه معین در واقع همان گروهی است که می خواهیم، ​​می توانیم از تابع Gap3CatalogueIdGroup GAP استفاده کنیم:

Gap3CatalogueIdGroup(G) = [8,4]

یا فقط انجام دهید:

Gap3CatalogueIdGroup(G)

برای داشتن خروجی GAP شناسه گروه، که سپس می توانیم آن را با آنچه می خواهیم مقایسه کنیم.

توضیحات کوتاه

شرح	توابع GAP استفاده می شود	ترجمه ریاضی توضیحات
DihedralGroup(8)	DihedralGroup	گروه دو وجهی نظم ، درجه
WreathProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2))	WreathProduct ، CyclicGroup	محصول اکلیل خارجی دو نسخه از گروه چرخه ای مرتبه دو
ExtraspecialGroup(2^3،'+')	گروه فوق تخصصی	گروه فوق‌العاده از نوع «+» برای درجه اول و مرتبه
SylowSubgroup(SymmetricGroup(4),2)	SylowSubgroup و SymmetricGroup	- زیر گروه Sylow را از گروه متقارن از درجه چهار
SylowSubgroup(GL(3,2,2)	SylowSubgroup ، GL	زیر گروه -Sylow از GL (3،2)

شرح بر اساس ارائه

این هم کد:

gap> F := FreeGroup(2);
gap> G := F/[F.1^4, F.2^2, F.2 * F.1 * F.2 * F.1];
<گروه fp در ژنراتورها [f1, f2]>
gap> IdGroup(G);
[8، 3]

گروه ساخته شده در اینجا گروه دو وجهی نظم است . مولد اول به عنصر چرخش مرتبه چهار و مولد دوم به عنصر انعکاس درجه دو نگاشت می شود.

توضیحات طولانی

می توان آن را به عنوان هولومورف گروه چرخه ای مرتبه چهار توصیف کرد. برای این کار ابتدا گروه چرخه ای مرتبه چهار را تعریف کنید (با استفاده از CyclicGroup )، و سپس از SemidirectProduct و AutomorphismGroup استفاده کنید :

C := CyclicGroup(4);
G := SemidirectProduct(AutomorphismGroup(C),C);

در اینجا، گروه دو وجهی از مرتبه هشت است. همچنین می‌توانیم آن را به‌عنوان یک محصول نیمه‌مستقیم از چهار گروه کلاین و یک خودمورفیسم درجه دو بسازیم.

K := DirectProduct(CyclicGroup(2)،CyclicGroup(2));
A := AutomorphismGroup(K);
S := SylowSubgroup(A,2);
G := SemidirectProduct(S,K);

سپس به گروه دو وجهی مرتبه هشت هم شکل است.

تأیید GAP

در زیر پیاده سازی GAP وجود دارد که مقادیر مختلف تابع و ویژگی های گروه را همانطور که در این صفحه بیان شده است تأیید می کند. قبل از شروع، G := DihedralGroup(8) را تنظیم کنید. یا هر روشی معادل برای تنظیم دو وجهی مرتبه هشت.

gap> IdGroup(G);
[ 8, 3 ]
gap> Order(G);
8
gap> Exponent(G);
4
gap> NilpotencyClassOfGroup(G);
2

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D8