مکانیک کوانتومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 17:42

این یک بازبینی در انتظار این صفحه است. ممکن است با آخرین ویرایش پذیرفته شده که در 21 دسامبر 2010 پذیرفته شد متفاوت باشد .

تغییرات معلق در این صفحه نمایش داده می شود

فهرست

متن زیر که در دست ساخت است، مقدمه ای بر مکانیک کوانتومی برای افراد غیرمجاز است. برای توضیحات فنی بیشتر، مکانیک کوانتومی/پیشرفته را ببینید .

مکانیک کوانتومی (از کلمه لاتین quantus ، "چقدر") نظریه ای در فیزیک است که رفتار ماده و انرژی را در مقیاس های بسیار کوچک توضیح می دهد و پیش بینی می کند - رفتاری که اغلب غیرعادی و گاهی بسیار غیر شهودی است، زیرا عمیقا در در تضاد با عقایدی که اکثر مردم درباره نحوه عملکرد دنیای فیزیکی دارند. شاید مهمترین عنصر سازنده در انقلاب فیزیک (دوره 1900-1925) باشد که محدودیت های فیزیک کلاسیک را از بین برد و فیزیک امروز را ایجاد کرد.

مکانیک کوانتومی، و درک موجودات کوانتومی ( یعنی چیزهایی که تحت قوانین مکانیک کوانتومی عمل می‌کنند) که ارائه می‌کند، ابزاری کاملاً ضروری در ایجاد بسیاری از فناوری مدرن امروزی بوده است. به طور خاص، کل حوزه الکترونیک نیمه هادی از اصول مکانیک کوانتومی استفاده می کند - و بدون الکترونیک نیمه هادی، دستگاه های الکترونیکی کوچک و ارزان تولید انبوه امروزی (مانند رایانه ها، تلفن های همراه و دوربین ها) کاملاً غیرممکن خواهد بود. همچنین لیزر و ابزارهای تشخیص پزشکی مانند MRI(تصویربرداری رزونانس مغناطیسی) بدون دانش مکانیک کوانتومی نمی‌توانست وجود داشته باشد. شیمی مدرن (و از طریق آن، بیوشیمی) به طور فزاینده ای بر اصول مکانیک کوانتومی تکیه می کند تا درک خود را از برهم کنش مولکولی بیشتر کند.

مکانیک کوانتومی بسیار مهم است و نه تنها به خاطر فناوری که به ما داده است. آنچه دانشمندانی که مکانیک کوانتومی را کشف کردند این بود که بسیاری از اصول بنیادی فرضی که زیربنای چگونگی عملکرد واقعیت هستند (مثلاً علیت، موقعیت [1] ) اصلاً اساسی نیستند. به بیان ساده، «قواعد» در مقیاس بزرگی که در آن واقعیت فیزیکی را تجربه می کنیم، مطلق به نظر می رسند، اما وقتی واقعیت در مقیاس های بسیار کوچک بررسی می شود، وجود ندارند.

توضیح این است که «قواعد» که ما به عنوان حاکم بر رفتار واقعیت درک می کنیم، اغلب تنها به دلیل مصنوعات آماری در مقیاس بزرگ هستند. برای تشبیهی از این جنبه خاص، اگر نتیجه یک میلیون بار ورق زدن یک سکه را مشاهده کنید، ممکن است این تصور (نادرست) به دست بیاید که هر بار که یک سکه را چند بار ورق بزند، دقیقاً نصف زمانی است که دریافت می کند. دم و نیم سر البته این درست نیست اگر سکه فقط چند بار ورق بخورد: یک سکه را چهار بار بچرخانید، و به طور متوسط، یک هشتم مواقع یک چهره یکسان را نشان می دهد که هر چهار بار را نشان می دهد. [2]

این حقایق بسیار ضد شهودی در مورد نحوه عملکرد دنیای فیزیکی است که به مشکلاتی که اکثر مردم در اولین برخورد با مکانیک کوانتومی دارند کمک می کند. در واقع، گفته شده است که تنها فیزیکدانانی که مکانیک کوانتومی آنها را آزار نمی دهد، آنهایی هستند که به آن فکر نکرده اند. در انجام این اکتشافات، کاشفان مکانیک کوانتومی درک ما از ماهیت واقعیت را عمیقا تحت تأثیر قرار داده اند.

[ ویرایش ]یافته ها و پیش بینی های اصلی

از جمله یافته ها و پیش بینی های اصلی مکانیک کوانتومی عبارتند از:

نور، و تمام تشعشعات الکترومغناطیسی ، در یک جریان پیوسته انرژی منتشر نمی‌شوند، بلکه در واحدهای بسیار کوچک با اندازه‌های از پیش تعیین‌شده، به نام کوانتا - که این نظریه نام خود را از آن گرفته است، منتشر می‌شود.
- یک رابطه ثابت بین طول موج یک کوانتوم نور و مقدار انرژی موجود در آن وجود دارد .
- نه تنها نور، بلکه انرژی و تعدادی دیگر از مواد اساسی (مانند بار الکتریکی) نیز کوانتیزه می شوند ، یعنی به طور بی نهایت قابل تقسیم نیستند. در واقع، عموماً تصور می‌شود که خود فضا و زمان نیز کوانتیزه می‌شوند، اگرچه جزئیات هنوز مبهم هستند. [3]

فیزیک کلاسیک معتقد است که نور از امواج تشکیل شده است، به عنوان مثال، اغتشاشات در حال حرکت در میدان الکترومغناطیسی ، اما نور همچنین (به طور متناقض) به نظر می رسد که دارای ویژگی های ذرات است، یعنی موجوداتی که اندازه و شکل ثابتی دارند. به همین دلیل است که کوانتوم های امواج الکترومغناطیسی را فوتون - یعنی ذرات سبک - با استفاده از انتهایی که به طور سنتی برای ذرات در نظر گرفته شده است، می نامند.
- نه تنها چیزهایی که معمولاً به عنوان امواج در نظر گرفته می شوند دارای جنبه های ذره مانند هستند، بلکه چیزهایی که معمولاً به عنوان ذرات در نظر گرفته می شوند (مثلاً الکترون ها ) نیز جنبه های موج مانند دارند. این دوگانگی موج-ذره اکنون به عنوان یک جنبه ذاتی همه موجودات کوانتومی دیده می شود. [4]
- این سؤال را ایجاد می کند: به هر حال یک ذره چیست؟ این مدل ساده لوحانه، که چیزی شبیه به یک توپ کوچک است، به وضوح - بار دیگر - نتیجه این فرض نادرست است که جهان در سطح کوانتومی همان چیزی است که در سطح واقعیتی که ما تجربه می کنیم، بسیار کوچکتر است.

بسیاری از فرآیندها در سطح کوانتومی فقط به ظاهر قطعی هستند. به عنوان مثال، در حالی که رفتار آنها، زمانی که به تعداد زیاد اندازه‌گیری می‌شود، از قوانینی پیروی می‌کند (مانند مثال ما در مورد چرخاندن سکه)، رویدادهای فردی قابل پیش‌بینی نیستند. به عنوان مثال، با توجه به مقدار زیادی از یک عنصر رادیواکتیو ، می توان به طور دقیق پیش بینی کرد که چه تعداد از آن اتم ها در یک زمان خاص تجزیه می شوند. با این حال، پیش‌بینی اینکه آیا و چه زمانی اتم خاصی تجزیه می‌شود، غیرممکن است .
- در نتیجه شگفت‌انگیزتر، این رفتار در قضیه بل تقریباً به طور قطع اساسی است. یعنی احتمالاً هیچ مکانیسم پیچیده‌ای در سطح پایین‌تر وجود ندارد ، مکانیزمی که ما هنوز آن را درک نکرده‌ایم، که بتواند چنین پیش‌بینی‌هایی را انجام دهد. [5]

مکانیک کوانتومی همچنین نشان می‌دهد که برای بسیاری از ویژگی‌های یک موجود کوانتومی (مثلاً اسپین آن )، آن ویژگی تا زمانی که اندازه‌گیری نشود، مقدار ثابت و معینی ندارد . به عبارت دیگر، آن صفت (یا به طور دقیق، ارزش آن) به نوعی تا زمانی که اندازه گیری نشود وجود ندارد. این نکته خاص از دهه 1920 منبع بحث های زیادی بوده است که تا به امروز ادامه دارد.

یک ذره نمی تواند موقعیت کاملاً مشخص و به طور همزمان سرعت مشخصی داشته باشد. این یکی از جنبه های اصل عدم قطعیت معروف هایزنبرگ است . این اصل بیان می‌کند که جفت خاصی از ویژگی‌های فیزیکی (مانند موقعیت/سرعت یا زمان/انرژی) نمی‌توانند همزمان مقادیر کاملاً مشخصی داشته باشند. علاوه بر این، انجام یک اندازه گیری بر روی یک سیستم کوانتومی به طور اجتناب ناپذیری روی سیستم تأثیر می گذارد. اندازه گیری یک مشخصه یک موجود کوانتومی ذاتاً بر مقادیر سایر ویژگی های آن موجودیت تأثیر می گذارد. این به دلیل عدم وجود ظرافت ساده در طراحی آزمایش ها نیست ، بلکه یک ویژگی اساسی همه موجودات کوانتومی است.

[ ویرایش ]سوالات باز

اگرچه بسیاری از مکانیک کوانتومی در حال حاضر بسیار بهتر درک شده است که زمانی که برای اولین بار کشف شده بود، تعدادی از مسائل وجود دارد که هنوز نامشخص است و موضوع بحث های زیادی در میان دانشمندان است.

[ ویرایش ]سوال "گربه شرودینگر".

این احتمالاً بزرگترین سؤال باز در تمام مکانیک کوانتومی است. نام خود را از آزمایش فکری اروین شرودینگر ، یکی از نظریه پردازان کلیدی در توسعه مکانیک کوانتومی، در سال 1935 گرفته است .

اساساً، مشکل این است که خود مکانیک کوانتومی هیچ خط مرزی بین «دنیای کوانتومی»، سطح مقیاسی که در آن قوانین عجیب مکانیک کوانتومی اعمال می‌شود، و «جهان کلان»، سطح مقیاس جهانی که ما در آن اعمال می‌شود، نمی‌کشد. جایی نیست که بتوان گفت «اینجا قوانین دنیای کوانتومی محو می‌شوند و قوانین جهان «عادی» حاکم می‌شوند. تا آنجایی که به مکانیک کوانتومی مربوط می شود، هر سیستمی با هر اندازه ای را می توان با قوانین مکانیک کوانتومی توصیف کرد - و این می تواند به موقعیت هایی منجر شود که به نظر می رسد بی معنی هستند، نکته ای که به شدت توسط شرودینگر مطرح شده است.

بیشتر فرمول‌بندی‌های مکانیک کوانتومی به‌گونه‌ای عمل می‌کنند که گویی یک سیستم کوانتومی حالت قطعی ندارد مگر اینکه به نحوی اندازه‌گیری شود (به خودی خود هنوز چیزی در حد یک نقطه اختلاف است). در این دیدگاه، اگر یک اتم رادیواکتیو منفرد جدا شود، قواعد مکانیک کوانتومی نشان می‌دهد که تا زمانی که اتم مشاهده نشود، حالت «واپاشی» یا «تجزیه نشده» مشخصی ندارد. بلکه در حالتی نامشخص است که در آن هر دو در یک زمان است. شرودینگر این مفهوم را همراه با این مشاهدات قرار داد که مکانیک کوانتومی را می توان در هر اندازه ای برای سیستمی به کار برد تا گربه مشکل ساز او را تولید کند.

او یک جعبه بسته حاوی یک گربه، یک ویال سم، یک اتم رادیواکتیو منفرد و مکانیزمی برای تشخیص پوسیدگی اتم و رهاسازی سم را تصور کرد. کل مجموعه سیستمی است که خود را می توان با قوانین مکانیک کوانتومی توصیف کرد - یعنی تا زمانی که آن را مشاهده کنیم، با باز کردن آن برای اینکه ببینیم گربه مرده است یا زنده است، حالت قطعی ندارد. اتم نه پوسیده است و نه پوسیده، سم نه آزاد می شود نه آزاد نشده، و گربه... نه مرده است و نه زنده.

این "به وضوح" بی معنی است - گربه ها یا مرده اند یا زنده هستند، نه به نحوی مرموز هر دو در یک زمان. با این حال، به نظر می‌رسد هیچ اشکالی در کاربرد نظریه کوانتومی وجود ندارد که پیش‌بینی می‌کند گربه هم‌زمان مرده و هم زنده است. از آنجایی که مکانیک کوانتومی یکی از موفق‌ترین تئوری‌های علمی در تمام دوران است، زیرا پیش‌بینی‌های (اغلب عجیب و غریب) آن همیشه در زمان آزمایش دقیق بوده‌اند، این بسیار نگران‌کننده است. علاوه بر آن، البته، مکانیک کوانتومی مملو از انواع چیزهای «غیر ممکن» دیگر است، بنابراین هیچ کس حاضر نیست مشکل گربه را به عنوان «غیر ممکن» بنویسد.

برای مشکل‌تر شدن اوضاع، در سال‌های اخیر آزمایش‌هایی انجام شده است که اجسام ماکروسکوپی (حلقه‌های ابررسانا) را نشان می‌دهند که به گونه‌ای رفتار می‌کنند که گویی اجسام کوانتومی هستند. به عبارت دیگر، هنگامی که حلقه تغییر حالت می دهد (مثلاً تغییر در جریان الکتریکی در اطراف حلقه)، کل حلقه دقیقاً در همان لحظه تغییر حالت می دهد. [6]

بنابراین امکان رفتار کوانتومی عجیب و غریب در مقیاس های بزرگ - از جمله گربه هایی که به طور همزمان مرده و زنده هستند - کاملاً غیرممکن نیست. با این حال، از زمانی که این سوال برای اولین بار مطرح شد، اکثر فیزیکدانان باور نکرده اند که گربه در واقع در آن حالت میانی قرار دارد. اکثریت موافقند که "به نحوی" اتم "مشاهده" می شود و یا فروپاشی می کند یا فروپاشی نمی کند. کاری که هیچ کس نمی تواند انجام دهد این است که توضیح دهد که چگونه - از نظر فیزیک - این واقعاً اتفاق می افتد.

در چندین دهه از زمانی که شرودینگر در ابتدا مسئله خود را مطرح کرد، فیزیکدانان به شدت در مورد آن بحث کردند، اما اکنون پاسخی نزدیکتر یا واضح تر از زمانی که او برای اولین بار مطرح کرد وجود ندارد. نظریه ها و توضیحات (رقابتی) زیادی ارائه شده است، اما هیچ کدام ثابت نشده است، یا حتی حمایت گسترده ای به دست نیاورده است.

[ ویرایش ]محل در مقابل واقعیت

به بیان دقیق، قضیه بل، و آزمایش‌های حاصل از آن، تنها به این معنی است که ما باید یک جنبه از مدل «کلاسیک» واقعیت را کنار بگذاریم.

این بخش در حال توسعه است

[ ویرایش ]کشف مکانیک کوانتومی

این بخش در حال توسعه است

مروری بر فیزیک کلاسیک (یعنی انرژی پیوسته، فضا، زمان)

اولین سرنخ ها
- منحنی بدنه مشکی
- انتشار عکس
- رادیواکتیویته، اگرچه این عمدتاً فیزیک هسته ای است

اولین قدم ها
- معادله پلانک/ثابت
- انیشتین 1905
- مدل اتم کوانتیزه بور

شکوه کامل
- د بروگلی
- هایزنبرگ
- شرودینگر
- احتمال تولد
- "پارادوکس" EPR
- قضیه بل

[ ویرایش ]برخی از اثرات غیرعادی مکانیک کوانتومی

مکانیک کوانتومی اثرات بسیار غیرعادی و باور کردنی ندارد. این بخش تعدادی از آنها را فهرست می کند.

این بخش در حال توسعه است

مثال پلاریزاسیون 3 فیلتر (افراد می توانند خودشان این یکی را امتحان کنند): 2 فیلتر در 90 درجه نسبت به یکدیگر، هیچ نوری از آن عبور نمی کند. یک فیلتر سوم بین آنها اضافه کنید، در 45 درجه، اکنون مقداری نور عبور می کند

همه چیزهای عجیب و غریب دو شکاف
- فوتون هایی که در یک زمان ساطع می شوند هنوز الگوهای تداخلی ایجاد می کنند
- وقتی نگاه می کنید ببینید از کدام شکاف عبور می کنند، الگوهای تداخل از بین می روند

ابر سیال ها

ابررسانایی
- حلقه های رسانای ماکروسکوپی به عنوان اجسام کوانتومی عمل می کنند

قضیه بل و آزمایش‌های مبتنی بر آن نشان داده‌اند که ماهیت فضا و علیت با آنچه ما (و انیشتین ) می‌دانیم بسیار متفاوت است. به نظر می‌رسد دو ذره که در یک رویداد کوانتومی ایجاد شده‌اند، ارتباط آنی اسرارآمیزی دارند، مهم نیست که بعداً چقدر از هم دور می‌شوند. یک ذره فوراً می داند که چه زمانی تغییر مهم برای ذره دیگر اتفاق می افتد. پیامدها و امکانات تکنولوژیکی این کشف نسبتاً اخیر هنوز در حال کشف است.
- یکی از پیامدهای این قضیه، تله‌پورتاسیون کوانتومی است - شما می‌توانید حالت کوانتومی را از یک مکان به مکان دیگر بدون هیچ گونه تماس فیزیکی بین آنها انتقال دهید، علاوه بر انتقال برخی اطلاعات (بنابراین نمی‌توانید در این فرآیند از سرعت نور تجاوز کنید). یک واقعیت جالب این است که حالت کوانتومی در وهله اول باید از بین برود - حالت های کوانتومی دلخواه را نمی توان شبیه سازی کرد.

منبع

https://www.theochem.ru.nl/~pwormer/Knowino/knowino.org/wiki/Quantum_mechanics.html

جفت حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 17:32

این یک نسخه بررسی شده از این صفحه است

در مکانیک کوانتومی ، کوپلینگ مومنتوم زاویه‌ای فرآیند ساخت بردارهای ویژه تکانه زاویه‌ای یک سیستم از بردارهای ویژه تکانه زاویه‌ای زیرسیستم‌های آن است. مثال تاریخی سیستمی که جفت مومنتوم زاویه ای برای آن اعمال می شود، اتمی با الکترون های N > 1 (زیر سیستم های اتم) است. هر الکترون دارای تکانه زاویه ای مداری مخصوص به خود است، یعنی در حالت ویژه اپراتور تکانه زاویه ای خود قرار دارد. جفت حرکت زاویه ای ساخت یک حالت ویژه الکترون N از کل اپراتور تکانه زاویه ای اتمی از N است.حالت های ویژه تکانه زاویه ای الکترونیکی.

نمونه‌های دیگر جفت شدن تکانه زاویه‌ای اسپین و مداری یک الکترون (که در آن اسپین و حرکت مداری را به عنوان زیرسیستم‌های یک الکترون می‌بینیم) و جفت شدن اسپین‌های نوکلئونی در مدل پوسته هسته است .

فهرست

[ ویرایش ]کاربرد

جفت شدن گشتاور زاویه ای زیرسیستم ها با تکانه زاویه ای کل زمانی مفید و قابل اجرا است که دو شرط برآورده شود.

در غیاب برهمکنش بین زیرسیستم ها، گشتاور زاویه ای زیرسیستم ها ثابت حرکت هستند [1] . یعنی زمانی که برهمکنش‌های بین زیرسیستم‌ها خاموش می‌شوند، هر تکانه زاویه‌ای منفرد با همیلتونین رفت و آمد می‌کند. بسیاری از نظریه های فیزیکی این تقریب مرتبه صفر را به عنوان نقطه عزیمت دارند.
هنگامی که در مرحله بعدی فرض شود که زیرسیستم‌ها در حال تعامل هستند (در حال اعمال نیرو بر یکدیگر)، به طور کلی لحظه‌های زاویه‌ای منفرد دیگر ثابت حرکت نیستند. با این حال، اگر مجموع آنها، تکانه زاویه ای کل، ثابت حرکت باشد حتی پس از روشن شدن فعل و انفعالات، جفت حرکت زاویه ای در حل معادله شرودینگر کل سیستم مفید خواهد بود.

این دو شرط به‌طور شگفت‌آوری اغلب برآورده می‌شوند، زیرا تقریباً همیشه از تقارن چرخشی ناشی می‌شوند - تقارن سیستم‌های کروی و برهم‌کنش‌های همسانگرد. تکانه زاویه ای ثابت حرکت است، در هر یک از دو حالت: (1) سیستم متقارن کروی است، یا (ب) سیستم (در مفهوم مکانیک کوانتومی) در فضای همسانگرد حرکت می کند. می توان نشان داد که در هر دو مورد، عملگر تکانه زاویه ای کل سیستم با همیلتونین آن رفت و آمد می کند. با رابطه عدم قطعیت هایزنبرگ این بدان معنی است که تکانه زاویه ای سیستم می تواند یک مقدار تیز (یعنی ویژه-) را همزمان با انرژی (مقدار ویژه همیلتونی) سیستم در نظر بگیرد.

مثال استاندارد یک سیستم متقارن کروی یک اتم است ، در حالی که یک مولکول (صلب) که در یک فضای خالی از میدان حرکت می کند نمونه ای از نوع دوم سیستم است. یک مولکول صلب (غیر ارتعاشی) را می توان به عنوان یک روتور صلب مشاهده کرد که در فضای خالی از میدان حرکت می کند و دارای تکانه زاویه ای حفظ شده است. این مشاهدات در اساس طیف سنجی مایکروویو قرار دارد .

[ ویرایش ]مثال: اتم دو الکترون

به عنوان مثالی از جفت شدن تکانه زاویه ای در یک سیستم متقارن کروی، یک اتم دو الکترونی را در نظر می گیریم.

اول، فرض کنید که هیچ برهمکنش الکترون-الکترون (یا برهمکنش های دیگری مانند جفت شدن مدار اسپین) وجود ندارد، بلکه فقط جاذبه کولن الکترون-هسته عمل می کند. در این مدل ساده شده همیلتونین اتمی مجموع انرژی جنبشی دو الکترون و برهمکنش متقارن کروی الکترون-هسته است. انرژی جنبشی هسته (یا به طور دقیق تر از مرکز جرم اتم)، که سه تا چهار مرتبه قدر کوچکتر از انرژی جنبشی الکترون ها است، نادیده گرفته می شود.

تکانه زاویه ای مداری l ( i ) (عملگر بردار) الکترون i (با i = 1 یا 2) با همیلتونین کل جابجا می شود. هر دو عملگر l (1) و l (2) ثابت حرکت هستند. می‌توان نشان داد که جابجایی l ( i ) با همیلتونین ساده‌شده این نتیجه را دارد که الکترون i می‌تواند مستقل از الکترون دیگر به دور هسته بچرخد. با چرخش هیچ اتفاقی برای انرژی هر یک از الکترون ها نمی افتد (که به راحتی قابل درک است زیرا برهمکنش الکترون-الکترون خاموش است و هسته متقارن کروی است).

با روشن کردن برهمکنش الکترون-الکترون، که به فاصله d (1،2) بین الکترون ها بستگی دارد، H همیلتونی دقیق تری را بدست می آوریم . واضح است که تنها چرخش همزمان و مساوی دو الکترون d (1،2) را ثابت می‌گذارد. چرخش مستقل تنها یک الکترون، فاصله d (1،2) را تا الکترون دیگر و در نتیجه انرژی برهمکنش الکترون-الکترون را تغییر می‌دهد.

می توان نشان داد که این تغییر در فاصله بیانگر این است که نه l (1) و نه l (2) به طور جداگانه با H رفت و آمد نمی کنند ، اما مجموع آنها L = l (1) + l (2) همچنان ادامه دارد. عملگر L با H رفت و آمد می کند اگر و فقط اگر چرخش همزمان دو الکترون H را ثابت نگه دارد.

با توجه به حالت های ویژه l (1) و l (2)، ساخت حالت های ویژه L از آنها جفت شدن گشتاور زاویه ای الکترون 1 و 2 است . ساخت حالت های ویژه L با استفاده از شکل صریح ضرایب کلبش-گوردان نسبتاً آسان است . حالت های جفت شده با یک عدد صحیح غیر منفی L برچسب گذاری می شوند . می‌توان نشان داد که حالت‌های ویژه برچسب‌گذاری‌شده با L مختلف تحت کل H همیلتونی (که شامل برهمکنش الکترون-الکترون است) با هم مخلوط نمی‌شوند ، به این معنی که بردارهای ویژه H کاملاً در فضایی از یک L معین قرار می‌گیرند.. این واقعیت کمک بزرگی در به دست آوردن بردارهای ویژه H است ، یعنی در حل معادله شرودینگر مستقل از زمان مثال اتم دو الکترون.

[ ویرایش ]پیشینه نظری گروه

یک سیستم کروی دارای گروه تقارن SO(3) است ، گروه متعامد ویژه در سه بعدی. این گروه شامل ماتریس های متعامد 3×3 با دترمینان واحد می باشد. این گروه ارتباط نزدیکی با گروه چرخش اسپین SU(2) (گروه واحد ویژه) دارد که از ماتریس های 2×2 واحد با تعیین کننده واحد تشکیل شده است. هر دو گروه گروه Lie هستند و جبرهای Lie هم شکل دارند . جبرهای دروغ سه بعدی هستند و توسط اجزای تکانه مداری-زاویه ای از طریق روابط کموتاسیون ایجاد می شوند.

$[l_x، l_y] = i l_z \،$

و جایگشت حلقوی x ، y ، و z (ما قرار می دهیم $\scriptstyle \hbar = 1$ ).

برای ساده کردن بحث، توجه را به SO(3) محدود می کنیم، گسترش به SU(2) دشوار نیست. طبق معمول، شخص از جبر دروغ به گروه با قدرت می رود:

$\mathcal{R}(\hat{\mathbf{n}}، \phi) = e^{-i \phi\, \hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf{l}} \, \in \، \mathrm{SO(3)}،$

که ${\scriptstyle \mathcal{R}(\hat{\mathbf{n}}، \phi)}$ نشان دهنده چرخش حول بردار واحد ${\scriptstyle \hat{\mathbf{n}} }$ بر روی زاویه φ و l ≡ ( l x , l y , l z ) است. در مثال اتم دو الکترون بالا، ما l را به عنوان تکانه زاویه ای مداری یک الکترون ملاقات کردیم.

با بسط عملگر نمایی نتیجه می شود که اجزای l با همیلتونی رفت و آمد می کنند اگر و فقط اگر عملگر چرخش ${\scriptstyle \mathcal{R}(\hat{\mathbf{n}}، \phi)}$ با همیلتونی جابجا شود.

$[H, l_x] = [H, l_y] = [H, l_z] = 0 \Longftrightarrow [H, \mathcal{R}(\hat{\mathbf{n}}, \phi)] = 0, \quad \ forall\، \hat{\mathbf{n}}\;\;\hbox{and}\;\; \ forall \phi.$

این رابطه به طور بسیار مختصر مطابقت بین تقارن دورانی و تکانه زاویه ای را نشان می دهد.

اگر برهمکنش الکترون-الکترون در اتم دو الکترونی خاموش شود، گروه تقارن اتم، گروه محصول بیرونی SO(3) × SO(3) است. اگر برهمکنش روشن باشد، تقارن اتم به گروه محصول داخلی کاهش می‌یابد که هم‌شکل به SO(3) است و زیرگروه SO(3) × SO(3) است که از چرخش‌های همزمان و مساوی تشکیل شده است. دو الکترون

گروه محصول داخلی از عناصر زیر تشکیل شده است

$e^{-i \phi\, \hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf{l}} \otimes e^{-i \phi\, \hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf {l}}= e^{-i \phi\, \hat{\mathbf{n}}\cdot (\mathbf{l}\otimes 1 + 1\otimes \mathbf{l}) } = e^{- i \phi\، \hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf{L}}،$

که در آن عملگر تکانه زاویه ای کل را معرفی کردیم،

$\mathbf{L} \equiv \mathbf{l}\times 1 + 1\otimes \mathbf{l} \equiv \mathbf{l}(1)+ \mathbf{l}(2).$

ما در اینجا به وضوح می بینیم که مطابقت بین کل اپراتور دو الکترونی L و چرخش همزمان دو الکترون حول یک محور n بر روی همان زاویه φ نشان داده شده است.

ساخت حالت های ویژه L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 از حالت های ویژه l (1) 2 و l (2) 2 ، یعنی جفت شدن تکانه زاویه ای، معادل فرورانش نظری گروهی بیرونی است. محصول مستقیم به محصول مستقیم درونی،

$\mathrm{SO(3)} \times \mathrm{SO(3)} \downarrow \mathrm{SO(3)}.$

فرورانش در این مورد به کاهش نمایش محصول تانسور تقلیل‌پذیر به ( مجموع مستقیم ) نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر SO(3) اشاره دارد.

[ ویرایش ]شرایط مثلثی

برای اینکه نشان دهیم این نظریه برای هر نوع تکانه زاویه ای صدق می کند، به جای l j را می نویسیم ، زیرا نماد دوم اغلب برای تکانه زاویه ای مداری محفوظ است. اگر زیر سیستم 1 دارای یک اپراتور تکانه زاویه ای j (1) و زیر سیستم 2 دارای یک اپراتور تکانه زاویه ای j (2) باشد، کل سیستم، متشکل از این دو زیر سیستم، دارای یک اپراتور تکانه زاویه ای J ≡ j (1) + j (2) است. ). اجزای عملگر دوم را می توان به صورت J k ≡ j k ⊗1 + 1⊗ j k نیز نوشت . اگر زیرسیستم 1 در حالت ویژه j 2 باشد(1) با عدد کوانتومی j 1 و اگر زیرسیستم 2 در حالت ویژه j 2 (2) با عدد کوانتومی j 2 باشد ، آنگاه حالت های ویژه مجاز J 2 آنهایی هستند که عدد کوانتومی J شرایط مثلثی را برآورده می کند [2]

$|j_1-j_2| \le J \le j_1+j_2.$

فرمول کمی متفاوت به شرح زیر است. این جمله که سیستم کوانتومی 1 در حالت ویژه j (1) با عدد کوانتومی j 1 است به این معنی است که این حالت متعلق به فضای خطی بعدی 2 j 1 $\scriptstyle V_{j_1}$ + 1 است ، فضای ویژه j 2 (1) با مقدار ویژه j 1 ( j 1 + 1)، برای بحث در این مورد به این مقاله مراجعه کنید. به همین ترتیب حالت ویژه تکانه زاویه ای سیستم کوانتومی 2 متعلق به فضای خطی 2 j 2 $\scriptstyle V_{j_2}$ + 1 بعدی است ، فضای ویژه j 2 (2) با مقدار ویژه j 2 (j 2 + 1). شرایط مثلثی بیان می کند که فضای حاصلضرب تانسور به صورت مجموع مستقیم متعامد فضاهای ویژه J 2 تجزیه می شود.

$V_{j_1}\times V_{j_2} = \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \oplus V_J.$

به محدودیت های جمع توجه کنید و همچنین توجه داشته باشید که یک فضای ویژه $\scriptstyle V_{J}$ با عدد کوانتومی خاص J فقط یک بار رخ می دهد (به شرطی که J در محدوده باشد، در غیر این صورت رخ نمی دهد)، به عبارت دیگر تعدد J در فضای حاصلضرب تانسور با j ثابت 1 و j 2 صفر یا یک است. این نتیجه غیر پیش پا افتاده گاهی اوقات به عنوان قضیه کلبش - گوردان پس از دو ریاضیدان آلمانی قرن نوزدهم که آن را کشف کردند (در زمینه نظریه تغییر ناپذیر ) نامیده می شود .

نتیجه یک مفهوم نظری گروهی نیز دارد. نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر (irreps) گروه SO(3) با j برچسب‌گذاری می‌شوند . همانطور که در بالا بحث کردیم، حاصلضرب مستقیم بیرونی دو irreps SO(3) که یکی با j 1 و دیگری با j 2 برچسب گذاری شده است، به مجموع مستقیم irreps از گروه محصول مستقیم داخلی تجزیه می شود. irreps های اخیر با J برچسب گذاری می شوند و این برچسب شرایط مثلثی را برآورده می کند. البته این نتیجه تصادفی نیست، بلکه نتیجه این واقعیت است که اجزای عملگر تکانه زاویه ای جبر Lie SO(3) را در بر می گیرد.

[ ویرایش ]اثبات شرایط مثلثی

فیزیکدانان آنقدر با شرایط مثلثی آشنا هستند که بسیاری از آنها متوجه نمی شوند (یا فراموش کرده اند) که اثبات شرایط، حداقل از نقطه نظر تکانه زاویه ای (جبر دروغ) بی اهمیت است. از نقطه نظر گروه های جهانی SO(3) یا SU(2) نتیجه در چهار خط با استفاده از تئوری شخصیت ثابت می شود . رجوع کنید به Ref. [3] از آنجایی که اثبات اخیر، کوتاه و مستلزم دانش نظری گروهی است، ما اکنون نوع استاندارد «حسابداری» را ارائه می‌کنیم، که اگرچه نسبتاً پیچیده است، اما به دانش جدیدی نیاز ندارد.

فضای محصول تانسور بعدی ( 2j 1 +1) (2 j 2 +1) را به فضاهای ویژه J و J z برای j 1 و j 2 ثابت تجزیه می کنیم .

اولین مشاهدات مهم این است که یک حاصل ضرب تانسور ساده بردارهای ویژه، بردار ویژه J z ≡ j z ⊗1 + 1⊗ j z است ،

$\begin{align} J_z |j_1,m_1\rangle \otimes|j_2,m_2\rangle& \equiv (j_z\otimes 1 + 1\otimes j_z) |j_1,m_1\rangle \otimes|j_2,m_2\rangle\\ & = j_z|j_1,m_1\rangle \otimes |j_2,m_2\rangle + |j_1,m_1\rangle \otimes j_z |j_2,m_2\rangle \\ &= m_1|j_1,m_1\rangle \otimes |j_2,m_2\ Rangle + |j_1,m_1\rangle \otimes m_2|j_2,m_2\rangle \\ &= (m_1+m_2) |j_1,m_1\rangle \otimes |j_2,m_2\rangle \\ &=M|j_1,m_1\ rangle \otimes |j_2,m_2\rangle \quad \hbox{with}\quad M\equiv m_1+m_2. \پایان{تراز}$

مشاهده دوم مورد نیاز در اثبات موارد زیر است. از آنجایی که J یک عملگر تکانه زاویه ای است، فضاهای ویژه آن ساختار کلی را دارند که در مقاله درباره عملگر تکانه زاویه ای کوانتومی مورد بحث قرار گرفت . به طور خاص، فضا دارای بردار حداکثر مقدار ویژه J z با M = J است . این بردار بالای یک نردبان با 2 حالت J + 1 کاهش M (با مراحل 1-) است که پایین نردبان حالتی با M = - J است . از آنجایی که فضای محصول تانسور تحت اجزای J ثابت (پایدار) است ، فقط شامل (2 J) کامل است.+1)-فضاهای ویژه بعدی ("نردبان کامل") J 2 . اگر یک عنصر از یک نردبان (بردار ویژه J z و J 2 ) را پیدا کرده باشیم، نتیجه می شود که سایر عناصر نردبان نیز در فضای محصول تانسور وجود دارند.

از آنجایی که شمارش ("دفترداری") انواع اثبات به عنوان مثال ساده تر است، ما مورد j 2 = 2 و j 1 = 3 را همراه با فضای محصول تانسور بعدی (5 × 7) که در شکل زیر نشان داده شده است در نظر می گیریم. نمودار مرکزی بالای شکل را در نظر بگیرید. بدیهی است که در این نمودار تنها یک بردار محصول ("نقطه سبز") با M = 5 وجود دارد. این نقطه مخفف محصول است.

$|3,3\rangle\otime |2,2\rangle .$

با توجه به آنچه گفته شد، این محصول باید بالای یک نردبان 2×5 + 1 = 11 بعدی از بردارهای ویژه با J = 5 و M باشد که از 5 تا -5 در مراحل 1- متغیر است. بنابراین می دانیم که فضای ویژه 11 بعدی J 2 با J = 5 یک بار در جفت مومنتوم زاویه ای ظاهر می شود. در یک نگاه می بینیم که هیچ M بالاتر - و در نتیجه J بالاتر - ظاهر نمی شود.

قطر بعدی را در نظر بگیرید که با M = 4 مشخص شده است، همچنان در بالاترین نمودار. دو نقطه سبز با این M نشان دهنده دو بردار محصول متعامد و در نتیجه خطی مستقل هستند:

$|3,3\rangle\otimes |2,1\rangle \quad \hbox{and}\quad |3,2\rangle\otimes |2,2\rangle.$

سومین مشاهدات مهم، که اثبات را کمی پیچیده می کند، این است که هیچ یک از دو بردار محصول بردار ویژه J 2 نیستند . با این حال ، دو ترکیب خطی از محصولات بردارهای ویژه J 2 هستند که هر دو با M = 4 هستند . و ما می توانیم آن را از این فضا خارج کنیم. تنها ترکیب خطی باقی مانده به فضای ویژه دیگری از J 2 تعلق دارد .

جفت مومنتوم زاویه ای j 1 = 3 و j 2 = 2. نقاط سبز بردار محصول هستند. انتهای خطوط مورب در نمودارها (در سمت راست و پایین) با M = m 1 + m 2 مشخص شده است . برای توضیحات قلاب قرمز به متن مراجعه کنید.

ما می‌توانیم این استدلال را برای سه محصول با M = 3 تکرار کنیم. یک ترکیب خطی از این سه قبلاً حساب شده است و می‌توان آن را حذف کرد، دو ترکیب خطی باقی می‌ماند. با پایین رفتن تا M = -5، می بینیم که می توانیم قلاب ("gnomon") را که 11 تابع ویژه J 2 را با J = 5 نشان می دهد، برداریم.

پس از برداشتن قلاب قرمز بیرونی، نمودار سمت چپ را در ردیف دوم به دست می آوریم. همانطور که قبلاً بحث کردیم، تنها یک نقطه سبز با M = 4 وجود دارد. (به بیان دقیق، نقطه دیگر برای یک محصول نیست، بلکه برای یک ترکیب خطی منفرد از محصولات M ثابت است ). باز هم باید یک نردبان کامل زیر آن وجود داشته باشد: قلابی که با J = 4 مشخص شده است. این قلاب را بیرون می آوریم، به یاد می آوریم که J = 4 را پیدا کرده ایم، و به همین ترتیب ادامه می دهیم تا در نهایت به سه نقطه سبز با بالاترین M = 1 برسیم: این مخفف فضای ویژه با J = 1 است.

جمع بندی:

J = 5، 4، 3، 2، 1

با هر مقدار J یک بار ظاهر می شود. این در این مثال (جایی که j 1 ≥j 2 ) مطابقت دارد با:

J = j 1 +j 2 , j 1 +j 2 −1, ..., j 1 −j 2 .

بعد از قضیه خاص، قضیه کلی مشخص می شود. شکل سمت راست مورد j 1 ≥ j 2 را ببینید . قلاب‌های قرمز را می‌توان با اعداد کوانتومی منحصربه‌فرد از J = j 1 + j 2 تا j 1 −j 2 + 1 جدا کرد. در نهایت یک خط مستقیم با J = j 1 −j 2 باقی می ماند که نشان دهنده فضای ویژه نهایی J 2 است .

در نهایت توجه داشته باشید که حالت j 2 > j 1 به سادگی با تعویض 1 و 2 در همه موارد بالا به دست می آید. این واقعیت که J ≥ 0، با گرفتن قدر مطلق اختلاف اعداد کوانتومی در حد پایین سازگار است.

بررسی ابعاد فضای محصول تانسور، قبل و بعد از تجزیه مجموع مستقیم، بسیار جالب است. قبل از گسترش، همانطور که دیدیم، به سادگی (2 j 1 +1) (2 j 2 +1) است. پس از گسترش (برای j 1 ≥ j 2 ):

$\begin{align} \sum_{J=j_1-j_2}^{j_1+j_2}(2J+1) &= 2\sum_{J=j_1-j_2}^{j_1+j_2}J + \sum_{J= j_1-j_2}^{j_1+j_2}1 \\ &= (2j_2+1)(2j_1) + (2j_2+1) = (2j_2+1)(2j_1+1)، \end{تراز کردن}$

جایی که از مجموع سری های حسابی استفاده کردیم

$\sum_{K=N}^{M} K = \frac{1}{2}(M-N+1)(M+N).$

https://www.theochem.ru.nl/~pwormer/Knowino/knowino.org/wiki/Angular_momentum_coupling.html

ضرایب کلبش-گوردان

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 17:29

این یک نسخه بررسی شده از این صفحه است

این مقاله مستلزم آگاهی از نظریه کوانتومی تکانه زاویه ای و جفت شدن تکانه زاویه ای است .

در مکانیک کوانتومی ، ضرایب کلبش-گوردان (ضرایب CG) مجموعه‌ای از اعداد هستند که در جفت شدن تکانه زاویه‌ای ایجاد می‌شوند.

در ریاضیات , ضرایب CG در تئوری نمایش گروهی به ویژه گروههای لی فشرده ظاهر می شوند . آنها در تجزیه صریح مجموع مستقیم حاصلضرب بیرونی دو نمایش تقلیل ناپذیر (irreps) از یک گروه G بوجود می آیند . به طور کلی نمایش ضرب خارجی (rep) - که توسط فضای ضرب تانسور حمل می شود - تحت G قابل کاهش است . تجزيه نمايش ضرب بيروني به تخلخلهاي Gنیاز به تغییر پایه فضای ضرب تانسور دارد. ضرایب CG عناصر ماتریس این تبدیل پایه هستند. در فیزیک معمول است که فقط پایه های متعارف فضاهای برداری درگیر را در نظر بگیریم و سپس ضرایب CG یک ماتریس واحد را تشکیل می دهند.

این نام از ریاضیدانان آلمانی آلفرد کلبش (1833-1872) و پل گوردان (1837-1912) گرفته شده است که با مشکلی معادل در نظریه ثابت مواجه شدند . نام جایگزین برای ضرایب CG، ضرایب ویگنر است ، پس از یوجین ویگنر (1902-1995).

فرمول‌های زیر از نماد bra-ket دیراک استفاده می‌کنند ، به‌عنوان مثال، کمیت مخفف حاصلضرب داخلی قطعی مثبت بین عناصر ψ و φ همان فضای ضرب داخلی مختلط است. ما از قرارداد فیزیکی پیروی می کنیم ، جایی که مزدوج مختلط عدد c است . $\scriptstyle \langle \psi | \phi\rangle$ $\scriptstyle \langle c\psi | \phi \rangle = c^* \langle \psi | \phi \rangle$ $\scriptstyle c^*\,$

فهرست

1 ضرایب تکانه زاویه ای CG
2 فضای ضرب تانسور
3 تعریف رسمی ضرایب کلبش-گوردان
4 روابط بازگشتی
5 بیان صریح
6 روابط متعامد
7 موارد خاص
8 خواص تقارن
9 ارتباط با نمادهای 3-jm
10 یادداشت

[ ویرایش ]ضرایب تکانه زاویه ای CG

اگرچه ضرایب کلبش-گوردان را می‌توان برای گروه‌های دلخواه تعریف کرد، ما در این مقاله توجه خود را به گروه‌های مرتبط با فضا و تکانه زاویه‌ای اسپین ، یعنی گروه‌های SO(3) و SU(2) محدود می‌کنیم. در این مورد ضرایب CG را می توان به عنوان ضرایب انبساط حالت های ویژه تکانه زاویه ای کل در یک ضرب تانسور غیر جفت شده تعریف کرد. برای تعریف عملگرهای تکانه زاویه ای و حالت های ویژه آنها به مقاله حرکت زاویه ای مراجعه کنید. از آنجایی که تعریف ضرایب CG نیاز به تعریف ضربات تانسور حالت های ویژه تکانه زاویه ای دارد، ابتدا این مورد ارائه خواهد شد.

از تعریف رسمی روابط بازگشتی برای ضرایب کلبش-گوردان را می توان یافت. به منظور حل و فصل مقادیر عددی برای ضرایب، یک قرارداد فاز باید اتخاذ شود. در زیر کنوانسیون فاز Condon و Shortley انتخاب شده است.

[ ویرایش ]فضای ضرب تانسور

فرض کنید V 1 فضای برداری 2 j 1 + 1 باشد که توسط حالت های ویژه $\scriptstyle \mathbf{j}^2\otimes 1$ و $\scriptstyle j_z\otimes 1$

$|j_1 m_1\rangle,\quad m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1$

و V 2 فضای برداری 2 j 2 + 1 بعدی که توسط حالت های ویژه $\scriptstyle 1\otimes\mathbf{j}^2$ و $\scriptstyle 1\otimes j_z$

$|j_2 m_2\rangle,\quad m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2.$

حاصلضرب تانسور این فضاها، $V_{12}\equiv V_1\times V_2$ دارای یک پایه (2 j 1 + 1) (2 j 2 + 1) ابعادی غیر جفت نشده است .

$|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \ equiv |j_1 m_1\rangle \otimes |j_2 m_2\rangle, \quad m_1=-j_1,\ldots j_1, \quad m_2=-j_2,\ldots j_2.$

عملگرهای تکانه زاویه ای که بر روی V 12 عمل می کنند را می توان توسط

$(j_i \otimes 1)|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \ equiv (j_i|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle, \quad i = x,y,z,$

$(1 \otimes j_i) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle) \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_i|j_2m_2\rangle,\quad i = x,y,z.$

مجموع عملگرهای تکانه زاویه ای توسط

$J_i = j_i \otimes 1 + 1 \otimes j_i\quad\mathrm{for}\quad i = x,y,z.$

مجموع عملگرهای تکانه زاویه ای روابط کموتاسیون را برآورده می کنند

$[J_k،J_l] = i \sum_{m=x,y,z} \epsilon_{klm}J_m \,$

نشان می دهد که J در واقع یک عملگر تکانه زاویه ای است. مقدار نماد Levi-Civita $\scriptstyle \epsilon_{klm}$ است . از این رو حالت های ویژه تکانه زاویه ای کل وجود دارد

$\mathbf{J}^2 |(j_1j_2)JM\rangle = J(J+1) |(j_1j_2)JM\rangle$

$J_z |(j_1j_2)JM\rangle = M |(j_1j_2)JM\rangle,\quad \mathrm{for}\quad M=-J,\ldots,J$

می توان مشتق شد - به عنوان مثال، این مقاله را ببینید - که J باید شرط مثلثی را برآورده کند

$|j_1-j_2| \leq J \leq j_1+j_2$

تعداد کل حالت های ویژه تکانه زاویه ای برابر با بعد V 12 است

$\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} (2J+1) = (2j_1+1)(2j_2+1)$

حالت‌های تکانه زاویه‌ای کل یک پایه متعارف V 12 را تشکیل می‌دهند [1]

$\langle JM | J' M' \rangle = \delta_{J\, J'}\delta_{M\,M'}$

[ ویرایش ]تعریف رسمی ضرایب کلبش-گوردان

حالت‌های تکانه زاویه‌ای کل را می‌توان به صورت غیرجفتی گسترش داد

$|(j_1j_2)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$

ضرایب انبساط را ضرایب کلبش-گوردان $\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$ می نامند .

اعمال اپراتور

$J_z = j_z \otimes 1 + 1 \otimes j_z$

دو طرف معادله تعیین کننده نشان می دهد که ضرایب کلبش-گوردان تنها زمانی می تواند غیر صفر باشد که

$M = m_1 + m_2.\,$

[ ویرایش ]روابط بازگشتی

استفاده از عملگرهای افزایش و کاهش تکانه زاویه ای کل، به عنوان مثال به این مقاله مراجعه کنید .

$J_\pm = j_\pm \times 1 + 1 \times j_\pm$

در سمت چپ معادله تعریف شده را می دهد

$J_\pm|(j_1j_2)JM\rangle = C_\pm(J,M) |(j_1j_2)JM\pm 1\rangle = C_\pm(J,M)\sum_{m_1m_2}|j_1m_1\rangle|j_2m_2\ rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|JM\pm 1\rangle.$

اعمال همان عملگرها در سمت راست می دهد

$J_\pm \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$

$=\sum_{m_1m_2}\left[ C_\pm(j_1,m_1)|j_1 m_1\pm 1\rangle |j_2m_2\rangle +C_\pm(j_2,m_2)|j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\pm 1\ rangle \right] \langle j_1 m_1 j_2 m_2|JM\rangle$

$= \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \left[ C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|JM\rangle +C_\pm(j_2, m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|JM\rangle \راست].$

ترکیب این نتایج روابط بازگشتی را برای ضرایب کلبش-گوردان به دست می دهد

$C_\pm(J,M) \langle j_1 m_1 j_2 m_2|JM\pm 1\rangle = C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|JM\rangle + C_ \pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|JM\rangle.$

گرفتن علامت بالا با M = J می دهد

$0 = C_+(j_1,m_1-1) \langle j_1 {m_1-1} j_2 m_2|JJ\rangle + C_+(j_2,m_2-1) \langle j_1 m_1 j_2 m_2-1|JJ\rangle.$

در قرارداد فاز کاندون و شورتلی ضریب $\langle j_1 j_1 j_2 J-j_1|JJ\rangle$ واقعی و مثبت در نظر گرفته می شود. با آخرین معادله تمام ضرایب کلبش-گوردان دیگر را $\langle j_1 m_1 j_2 m_2|JJ\rangle$ می توان یافت. عادی سازی با این شرط ثابت می شود که مجموع مربع ها که مطابق با هنجار حالت است $|(j_1j_2)JJ\rangle$ باید یک باشد.

علامت پایین در رابطه بازگشتی را می توان برای یافتن تمام ضرایب کلبش-گوردان با M = J -1 استفاده کرد . استفاده مکرر از آن معادله همه ضرایب را نشان می دهد.

این روش برای یافتن ضرایب کلبش-گوردان نشان می دهد که همه آنها واقعی هستند (در قرارداد فاز کاندون و شورتلی).

[ ویرایش ]بیان صریح

اولین اشتقاق فرمول جبری برای ضرایب CG توسط ویگنر در کتاب معروف خود در سال 1931 ارائه شد. عبارت زیر برای ضرایب CG ناشی از Van der Waerden (1932) است و متقارن ترین یکی از اشکال مختلف موجود است، به عنوان مثال، Biedenharn and Louck (1981) را برای یک مشتق ببینید.

$\langle jm | j_1 m_1 ;j_2 m_2 \rangle = \delta_{m,m_1+m_2} \Delta (j_1,j_2,j)$

$\times \sum_t (-1)^t {\textstyle \frac{ \left[(2j+1) (j_1 +m_1 )! (j_1 -m_1)! (j_2 +m_2 )! (j_2 -m_2 )! (j+m)! (jm)! \right]^{\frac{1}{2}}}{t! (j_1 +j_2 -jt)! (j_1 -m_1 -t)! (j_2 +m_2 -t)! (j-j_2 +m_1 +t)! (j-j_1 -m_2 +t)!} }$

جایی که

$\Delta (j_1 ,j_2 ,j) \equiv \left[ \frac{ (j_1 +j_2 -j)! (j_1 -j_2 +j)! (-j_1 +j_2 +j)!} { (j_1 +j_2 +j+1)!}\right]^{{\frac{1}{2}}}،$

و مجموع بر روی تمام مقادیر t که منجر به فاکتوریل های منفی نمی شود اجرا می شود.

[ ویرایش ]روابط متعامد

اینها به وضوح با معرفی نماد جایگزین نوشته می شوند

$\langle JM|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \ equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|JM \rangle$

اولین رابطه متعامد است

$\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|JM \rangle \langle JM|j_1 m_1' j_2 m_2'\ Rangle = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}$

و دومی

$\sum_{m_1m_2} \langle JM|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}.$

[ ویرایش ]موارد خاص

برای $J=0\،$ کلبش-گوردان ضرایب توسط

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | 0 0 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,-m_2} \frac{(-1)^{j_1-m_1}}{\sqrt{2j_2+1}}.$

$\langle j_1 m_1 0 0 | JM \rangle = \delta_{j_1 J}\delta_{m_1,M}, \qquad j_1 \ge 0.$

برای $J=j_1+j_2\،$ و $M=J\,$ ما داریم

$\langle j_1 j_1 j_2 j_2 | (j_1+j_2) (j_1+j_2) \rangle = 1.$

[ ویرایش ]خواص تقارن

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2|JM \rangle = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_1 {-m_1} j_2 {-m_2}|J {-M}\rangle = (-1)^{ j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|JM \rangle.$

[ ویرایش ]ارتباط با نمادهای 3-jm

ضرایب کلبش-گوردان مربوط به نمادهای 3-jm است که روابط تقارن راحت تری دارند.

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix}.$

[ ویرایش ]یادداشت

جفت شدن راسل - ساندرز

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 17:19

در طیف‌سنجی اتمی ، کوپلینگ راسل- ساندرز ، که به عنوان جفت LS نیز شناخته می‌شود ، یک طرح جفتی از اسپین الکترونیکی و گشتاور مداری-زاویه‌ای را مشخص می‌کند . طرح کوپلینگ به نام HN Russell و FA Saunders (1925) نامگذاری شده است. [1] جفت راسل - ساندرز عمدتاً برای اتم‌های سبک‌تر، تقریباً برای اتم‌های با عدد اتمی کمتر از 57 مفید است .

فهرست

[ ویرایش ]شرح

اتمی را با n الکترون در نظر بگیرید. در جفت کردن راسل-ساندرز، حالت های ویژه تکانه زاویه ای مداری این الکترون ها به حالت های ویژه با عدد کوانتومی L از مجموع عملگر تکانه زاویه ای مجذور L 2 جفت می شود ، جایی که عملگر تکانه زاویه ای است،

$\mathbf{L} \equiv \sum_{i=1}^n \mathbf{l}(i).$

توابع اسپین تک الکترونی به طور جداگانه به حالت‌های ویژه با عدد کوانتومی S از تکانه زاویه‌ای اسپین مجذور S2 جفت می‌شوند . گاهی اوقات جفت شدن بیشتر به J ≡ L + S وجود دارد . حالت های ویژه LS حاصل با نمادهای اصطلاح مشخص می شوند .

به عنوان مثال، اتم هلیوم برانگیخته را در پیکربندی الکترون اتمی 2 p 3 p در نظر بگیرید . در شرایط مثلثی، اسپین های یک الکترون s = ½ می توانند به |½−½|، ½+½ = 0، 1 (اسپین تک و سه گانه) جفت شوند و دو گشتاور زاویه ای مداری l = 1 می توانند به L = |1 جفت شوند. −1|، 1، 1+1 = 0، 1، 2. در مجموع، جفت شدن راسل-ساندرز حالت های دو الکترونی را نشان می دهد که با عبارت نمادها برچسب گذاری شده اند:

1 S، 1 P، 1 D، 3 S، 3 P، 3 D،

ابعاد 1×(1+3+5) + 3×(1+3+5) = 36 است. پیکربندی الکترونیکی 2 p 3 p مخفف 6×6 = 36 محصول مداری، به عنوان هر یک از سه اوربیتال p است. دارای دو تابع چرخشی است، به طوری که در مجموع 6 اسپینوربیتال با عدد کوانتومی اصلی n = 2 و همچنین 6 اسپینوربیتال با n = 3 وجود دارد. بررسی ابعاد قبل و بعد از جفت شدن مفید است زیرا به راحتی می توان از حالت های جفت شده چشم پوشی کرد.

جفت شدن راسل- ساندرز حالت های مرتبه اول مفیدی را در موردی که جفت شدن مدار اسپین یک الکترون اهمیت کمتری نسبت به برهمکنش های کولن بین الکترون ها دارد به دست می دهد و می توان از آن چشم پوشی کرد. این امر برای قسمت کم Z (یعنی عناصر سبکتر) جدول تناوبی ، تقریباً تا لانتانوئیدها (قبلاً لانتانیدها، که از Z = 57 شروع می‌شدند) رخ می‌دهد. سودمندی از این واقعیت ناشی می شود که حالت های L و S مختلف تحت اندرکنش کل کولن با هم مخلوط نمی شوند، به طوری که جفت LS به قطر بلوکی قابل توجهی دست می یابد.از ماتریس یک همیلتونی که در آن جفت چرخشی مداری وجود ندارد.

در نواحی Z بالا سیستم تناوبی معمول است که ابتدا ممنتای یک الکترونی j ≡ l + s و سپس حالتهای ویژه یک الکترون j به کل J جفت شود . این کوپلینگ به اصطلاح jjاین طرح تقریب مرتبه اول مفیدتری را ارائه می دهد که برهمکنش مدار- اسپین بزرگتر از اندرکنش کولن باشد و اندرکنش مدار- اسپین شامل شود، در حالی که اندرکنش کولن نادیده گرفته شده است. با این حال، اگر در هر یک از طرح‌های جفت، همه حالت‌های حاصل در نظر گرفته شوند، یعنی فضای فرعی یکسانی از فضای هیلبرت (تابع) به دست آید، در این صورت انتخاب طرح جفت در محاسباتی که هر دو برهم‌کنش (الکترواستاتیک و مدار چرخشی) هستند، بی‌ربط است. در شرایط مساوی گنجانده شده است.

[ ویرایش ]پیکربندی های الکترونی پیچیده تر

نمودار انشعاب چرخشی تعداد الکترون n روی آبسیسا. عدد کوانتومی S را روی مجمل بچرخانید.

[ ویرایش ]کوپلینگ چرخشی

اجازه دهید نحوه جفت کردن n ذره اسپین-½ (الکترون) را به حالت های ویژه S2 در نظر بگیریم .

سیستم تک الکترونی ( n = 1) دارای دو تابع با s = ½ و m = ± ½ (چرخش بالا و پایین) است. نشان داده شد که افزودن یک الکترون به چهار تابع اسپین دو الکترونی منجر می‌شود: یک تک (2 S + 1 = 1) و یک فضای سه‌گانه (یک "نردبان" از 2 تابع اسپین S + 1 = 3). اگر یک اسپین به سه گانه دو الکترونی ( S = 1) اضافه کنیم، شرایط مثلثی به ما می گوید که S = 3/2 و S = 1/2 می توان به دست آورد. در نمودار سمت راست می بینیم که دو خط از گره n = 2، S = 1 خارج می شوند. یک خط بالا می رود و به n =3، S می پیوندد= 3/2 گره، دیگری پایین می رود و به گره n = 3، S = 1/2 می پیوندد.

یک سیستم اسپین دو ذره ای نیز دارای یک اسپین تک تک S = 0 است. افزودن یک اسپین به آن منجر به یک دوتایی، S = 1/2 می شود. می توان نشان داد که دوتایی که بدین ترتیب به دست می آید متعامد به دوتایی با سه گانه اسپین میانی ( n = 2، S = 1) است. دو مسیر مختلف به دو دوتایی اسپین سه الکترونی متفاوت - حتی متعامد - منجر می شوند. به همین دلیل است که عدد 2 در دایره در گره n = 3، S = 1/2 ذکر شده است.

از دو دوتایی می توان با اضافه کردن مجدد یک الکترون، دو تک تک چهار الکترونی و دو فضای سه گانه چهار الکترونی (نردبان) ایجاد کرد. یک فضای سه گانه چهار الکترونی را نیز می توان از چهارگانه سه الکترونی ( S = 3/2) با تفریق S = 1/2 به دست آورد. از این رو عدد 3 در گره n = 4، S = 1 یافت می شود. این مجموع اعداد در گره هایی است که مستقیماً در سمت چپ آن متصل به آن هستند.

سیستم جفت شدن متوالی یک الکترون در آن زمان باید اکنون مشخص باشد. هر مسیر در نمودار انشعاب مربوط به یک نردبان منحصر به فرد (2S +1 ) -بعدی از توابع ویژه اپراتور کل حرکت زاویه ای اسپین S2 با عدد کوانتومی اسپین S است . نردبان های متعلق به مسیرهای مختلف متعامد هستند. عدد در دایره نشان می دهد که چند مسیر این گره به عنوان نقطه پایانی دارد.

بررسی ابعاد بسیار جالب است. به عنوان مثال، فضای اسپین کل پنج الکترون دارای ابعاد 2 5 = 32 است. با خواندن از پایین به بالا در نمودار، 5×2 + 4×4 + 1×6 (عامل دوم 2 S +1 است) را پیدا می کنیم. که در واقع به 32 می رسد.

جفت شدن واقعی الکترون n به حالت n -1 الکترون از مقادیر ویژه ضرایب کلبش-گوردان استفاده می کند . اجازه دهید از k به عنوان شاخص مسیر استفاده کنیم (به عنوان مثال، برای S = 1 و n = 6، شاخص k از 1 تا 9 اجرا می شود). سپس جمع (خط به سمت بالا) حالت اسپین الکترون n را می دهد :

$|k، S، M \rangle = \sqrt{\frac{1}{2S}} \Big( \sqrt{S+M}\، |k، S-\tfrac{1}{2}، M-\ tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \rangle + \sqrt{SM}\, |k, S-\tfrac{1}{2} , M+\tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \rangle \Big).$

تفریق (خط رو به پایین) حالت اسپین الکترون n را می دهد :

$\begin{align} |k, S, M \rangle =& \sqrt{\frac{1}{2S+2}} \Big(- \sqrt{S-M+1}\, |k, S+\tfrac {1}{2}، M-\tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}، \tfrac{1}{2} \rangle \\ &\quad + \sqrt{S+ M+1} |k، S+\tfrac{1}{2}، M+\tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}، -\tfrac{1}{2} \rangle \ بزرگ) \end{align}$

به طور خاص، برای n = 2، سه گانه اسپین نتایج:

$|1، 1، M \rangle = \sqrt{\frac{1}{2}} \Big( \sqrt{1+M}\, |1, \tfrac{1}{2}, M-\tfrac{ 1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \rangle + \sqrt{1-M}\, |1, \tfrac{1}{2}, M+ \tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}، -\tfrac{1}{2} \rangle \Big)،$

که سه گانه "نردبان" را می دهد، جایی که در نماد شاخص k = 1 سرکوب شده است،

$\begin{align} |1، 1 \rangle &= |\tfrac{1}{2}، \tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}، \tfrac{1}{2 } \rangle \equiv \alpha(1)\alpha(2) \\ |1, 0 \rangle &= \sqrt{\tfrac{1}{2}} \Big( |\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}، \tfrac{1}{2} \rangle + |\tfrac{1}{2}، \tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \rangle \Big) \equiv \sqrt{\tfrac{1}{2}} \Big(\beta(1)\alpha (2) +\alpha(1)\beta(2) \Big) \\ |1, -1 \rangle &= |1, \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \ rangle |\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \rangle \equiv \beta(1)\beta(2) \end{align}$

در اینجا نماد رایج تر برای توابع اسپین یک الکترون (α برای m = ½ و β برای m = -½) معرفی می شود. توجه داشته باشید که هر سه تابع اسپین سه گانه تحت مبادله دو الکترون متقارن هستند.

منفرد اسپین دو الکترونی از (با سرکوب دوباره شاخص مسیر k = 1) دنبال می‌شود:

$|0، 0 \rangle = \sqrt{\tfrac{1}{2}} \Big(- |\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1} {2}، \tfrac{1}{2} \rangle + | \tfrac{1}{2}، \tfrac{1}{2} \rangle |\tfrac{1}{2}، -\tfrac{1 }{2} \rangle \Big) \equiv \sqrt{\tfrac{1}{2}} \Big(\alpha(1)\beta(2) - \beta(1)\alpha(2) \Big)$

تابعی که تحت جایگشت الکترون 1 و 2 ضد متقارن است (علامت تغییر می کند).

[ ویرایش ]جفت مداری

گشتاور زاویه ای مداری تک الکترونی l نیز می تواند به صورت متوالی جفت شود، یعنی یکی پس از دیگری. مسیرهای مختلف حالت های متعامد می دهند. به عنوان مثال پیکربندی p 3 را در نظر بگیرید . استفاده مکرر از شرایط مثلثی نشان می دهد که فضای 3 3 = 27 بعدی به صورت زیر در فضاهای ویژه L 2 تجزیه می شود ، [با L≡ l (1) + l (2) + l (3)]:

(2) F , (2) D , (1) D , (2) P , (1) P , (0) P , (1) S

که در آن اعداد کوانتومی دو الکترونی L 12 الکترون 1 و 2 قبل از حروفی که عدد کوانتومی تکانه زاویه ای سه الکترونی را تعیین می کنند، در پرانتز قرار دارند. ابعاد عبارتند از: 7 + 5 + 5 + 3 + 3 + 3 + 1 = 27. دو فضای متعامد D و سه فضای P متعامد وجود دارد ، در حالی که تنها یک فضای F و S وجود دارد (به ترتیب ابعاد 7 و 1).

اکنون الگوریتم باید واضح باشد. به عنوان مثال، برای تجزیه فضای 135 بعدی متعلق به پیکربندی p 3 d ، می توان از نتیجه p 3 استفاده کرد و d را به هر یک از فضاهای ویژه اضافه کرد و دوباره از شرایط مثلثی استفاده کرد، همانطور که در F × d L = 5 را می دهد . ، 4، 3، 2، 1.

[ ویرایش ]الکترون های معادل

تاکنون اصل پائولی نادیده گرفته شده است که می گوید توابع موج چند الکترونی باید تحت جابجایی همزمان مختصات فضایی و اسپینی هر جفت الکترون، ضد متقارن باشند. این اصل به‌طور قابل‌توجهی بر نتایج پیکربندی الکترون‌های معادل تأثیر می‌گذارد ، که طبق تعریف الکترون‌هایی با اعداد کوانتومی n (اصلی) و l (حرکت آزی‌موتالی یا زاویه‌ای) هستند. نشان داده خواهد شد که عبارات خاصی ( حالات LS ) ناشی از الکترون های معادل توسط اصل پائولی ممنوع هستند. اصطلاحات ناشی از الکترون های غیر هم ارز هرگز ممنوع نیستند، آنها به سادگی حالت های ضد متقارن ناپدید شدنی را ایجاد می کنند.

[ ویرایش ]اتم های دو الکترون

اجازه دهید محصول فضایی را به عنوان مثال در نظر بگیریم و دو الکترون معادل 2 p x (1) 2 p x (2) را توصیف کنیم. جابجایی P (12) مختصات فضایی به طور کلی نشان می دهد:

$P_{(12)}\, p_i(1)p_j(2) = p_i(2)p_j(1) \equiv p_j(1)p_i(2).$

از این رو،

$P_{(12)}\, p_x(1)p_x(2) = p_x(1)p_x(2),$

و نتیجه می شود که محصول تحت جابجایی متقارن است.

بنابراین، توابع اسپین تکی و سه‌گانه دو الکترونی وجود دارد. در هر دو مورد، توابع M S = 0 در نظر گرفته می شوند، بنابراین،

$\begin{align} |p_x^2, S=0, M_S = 0\rangle &\equiv 2p_x(1) 2p_x(2) \Big( \alpha(1)\beta(2) - \beta(1)\ alpha(2)\Big)/\sqrt{2} \\ |p_x^2, S=1, M_S = 0\rangle &\equiv 2p_x(1) 2p_x(2) \Big( \alpha(1)\beta (2) + \beta(1)\alpha(2)\Big)/\sqrt{2}. \\ \پایان{تراز}$

توابع ضد متقارن، مطابق با اصل پائولی، با استفاده از ضد تقارن $\scriptstyle \mathcal{A} = [ (1) - (12) ]/2$ به دست می آیند ، که در آن (12) فضای همزمان و مختصات اسپین الکترون 1 و 2 را جابجا می کند و (1) عملگر هویت است (هیچ کاری انجام نمی دهد).

$\begin{align} 2\mathcal{A} |p_x^2، S=0، M_S = 0\rangle &= 2p_x(1) 2p_x(2) \Big( \alpha(1)\beta(2) - \ beta(1)\alpha(2)\Big)/\sqrt{2} \\ & - 2p_x(2) 2p_x(1) \Big(\alpha(2)\beta(1)- \beta(2)\ alpha(1)\Big)/\sqrt{2} \\ &= 2 \left[ 2p_x(1) 2p_x(2) \Big( \alpha(1)\beta(2) - \\beta(1)\alpha (2)\Big)/\sqrt{2}\right]. \\ \پایان{تراز}$

از این رو

$\mathcal{A} |p_x^2, S=0, M_S = 0\rangle = |p_x^2, S=0, M_S = 0\rangle .$

نتیجه می شود که تابع فضایی متقارن 2 p x (1) 2 p x (2) ضرب در تابع اسپین منفرد ضد متقارن یک تابع ویژه از ضد تقارن است، یعنی، تابع اسپین متقارن فضایی بار ضد متقارن اصل پائولی را برآورده می کند.

محاسبه برای سه گانه اسپین تکرار می شود:

$\begin{align} 2\mathcal{A} |p_x^2، S=1، M_S = 0\rangle &= 2p_x(1) 2p_x(2) \Big( \alpha(1)\beta(2) + \ beta(1)\alpha(2)\Big)/\sqrt{2} \\ & - 2p_x(2) 2p_x(1) \Big( \alpha(2)\beta(1)+ \beta(2)\ alpha(1)\Big)/\sqrt{2}. \\ &= 0 \\ \end{تراز کردن}$

از این رو

$\mathcal{A} |p_x^2، S=1، M_S = 0\rangle = 0.$

تابع فضایی متقارن 2 p x (1) 2 p x (2) ضرب در تابع سه گانه اسپین متقارن یک جزء ضد متقارن ناپدید شدنی ندارد، یعنی این محصول اسپین فضایی توسط اصل پائولی ممنوع است.

بنابراین، این مثال به وضوح دو نتیجه مهم معتبر برای دو ذره را نشان می دهد:

توابع ویژه اسپین S2 تحت جابجایی مختصات اسپین یا متقارن یا ضد متقارن هستند .
تابع مداری متقارن ضرب در تابع اسپین متقارن پائولی ممنوع است، یعنی با ضد تقارن ناپدید می شود. همان تابع ضرب در تابع اسپین ضد متقارن تحت جابجایی همزمان فضا و مختصات اسپین ضد متقارن است و از این رو پائولی مجاز است.

برعکس، می توان نشان داد که یک تابع مداری ضد متقارن، به عنوان مثال: p x (1) p y (2) - p x (2) p y (1)، فقط می تواند با یک تابع اسپین متقارن به یک تابع ناپدید شونده ترکیب شود. - پائولی مجاز است - تابع مدار چرخشی کاملاً ضد متقارن.

به طور کلی می توان از تقارن ضرایب کلبش-گوردان نشان داد که حالت های ویژه L 2 برای دو الکترون معادل با عدد کوانتومی فرد L تحت جابجایی مختصات الکترونی ضد متقارن هستند. از این رو این حالات L فرد باید در توابع اسپین متقارن ضرب شوند (سه گانه S = 1). در کل L + S باید زوج باشد. حالات L زوج (هنوز برای دو الکترون معادل) در حال جابجایی زوج هستند و باید در توابع اسپین فرد ضرب شوند (تک تک، S = 0). دوباره L + Sباید یکنواخت باشد تا نتیجه ای ناپدید نشدنی در زمان ضد تقارن بدست آید.

قبل از ادامه، باید به این نکته اشاره کرد که تقارن جالبی بین سوراخ ها و ذرات وجود دارد. اگر یک الکترون از یک زیر پوسته بسته حذف شود، سوراخی در زیر پوسته ایجاد می شود. می توان نشان داد که یک حفره دارای خواص زیادی با یک الکترون است: عدد کوانتومی تکانه زاویه ای مداری و اسپینی یکسانی دارد. تعدادی از حفره ها باید اصل پائولی را مطابق با تعداد مساوی از الکترون ها برآورده کنند.

قانون این است: L + S باید برای دو الکترون معادل زوج باشد . این قانون برای دو سوراخ معادل نیز صادق است. بنابراین، برای مثال، حالت پایه اتم کربن دو الکترون معادل دارد: 1 s 2 2 s 2 2 p 2 ، که 3 P ، 1 D و 1 S را می دهد . حالت پایه اتم اکسیژن دو حفره معادل دارد: 1 s 2 2 s 2 2 p 4 که 3 P ، 1 D و 1 S را نیز می دهد..

با دانستن همه اینها می توان جدول زیر را ساخت

$\begin{align} (ns)^2 \rightarrow\quad& ^1S \\ (np)^2, (np)^4 \rightarrow\quad& ^1S,\, ^1D,\, ^3P \\ (nd) ^2, (nd)^8 \rightarrow\quad& ^1S,\, ^1D,\, ^1G,\, ^3P,\, ^3F \\ (nf)^2, (nf)^{12} \ فلش راست\چهار& ^1S،\، ^1D،\، ^1G،\، ^1I،\، ^3P،\، ^3F،\، ^3H \\ \end{تراز کردن}$

[ ویرایش ]اتم های چند الکترونی

هنگام در نظر گرفتن بیش از دو الکترون، می توان پوسته های (زیر) بسته را در جفت شدن راسل-ساندر نادیده گرفت زیرا L = S = 0 دارند .

برای بیش از دو الکترون (یا حفره) می توان نظریه مبتنی بر گروه متقارن را گسترش داد. [2] [3] می‌توان نشان داد که یک تابع ویژه اسپین الکترون N از S2 متعلق به یک نمایش غیرقابل تقلیل از گروه متقارن (همچنین به عنوان گروه جایگشت شناخته می‌شود) SN است . به عبارت دیگر، مفهوم تقارن تحت جابجایی را می توان به بیش از دو ذره تعمیم داد. این تقارن جایگشت تعمیم‌یافته بر روی توابع اسپین اعمال می‌شود که باید آنها را توابع ویژه S 2 ، یک عملگر Casimir از گروه SU(2) باشند. نمایش های تقلیل ناپذیر SU(2) و S Nحمل شده توسط فضای تانسور در هم تنیده شده اند. ضد تقارن که روی یک محصول مداری ضربدر تابع ویژه S 2 عمل می کند، تقارن جایگشتی را در محصول مداری اعمال می کند (به اصطلاح، تقارن جایگشتی قسمت اسپین را به قسمت مداری منتقل می کند). تقارن جایگشتی حاصلضرب مداری، در نهایت، حاکی از آن است که حاصلضرب مداری با گروه واحد U(2 ℓ +1) سازگار است. نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر گروه دوم دارای حالت‌های ویژه متفاوتی از L 2 هستند که بر اساس ساخت، پائولی مجاز هستند. این روش ظریف است و خیلی خسته کننده نیست، اما نیاز به دانش تئوری گروه، به ویژه دانش ارتباط بین نمایش های تقلیل ناپذیر SU(2)، SN دارد .و U(2 ℓ +1) توسط فضاهای محصول تانسور N برابر انجام می شود.

روش متعارف، بسیار خسته‌کننده‌تر، غیر نظری گروهی برای ادامه، روش «حسابداری» است. اساساً، تمام ترکیب‌های اعداد کوانتومی تک‌الکترونی مجاز توسط اصل پائولی را جدول‌بندی می‌کند و ترکیبی را با بالاترین M L و M S تعیین می‌کند که با مجموع مربوط به اعداد کوانتومی مداری و اسپینی یک فرد به دست می‌آید. الکترون ها این ترکیب منحصر به فرد است و "نردبان" حالت های ویژه را با L = M L max و S = M S max تعریف می کند.. یکی نردبان هایی را که با این مقادیر حداکثر شروع می شوند از جدول حذف می کند و ترکیب منحصر به فرد بعدی بالاترین M L و M S را که در جدول باقی مانده اند جستجو می کند. این کار تا زمانی تکرار می شود که جدول خالی شود و همه نردبان ها ( حالت های LS ) تخصیص داده شوند.

توجه به این نکته جالب تاریخی است که روش دوم توسط هاند [4] در سال 1925، قبل از کشف اسپین یا معرفی عوامل تعیین کننده اسلاتر ، دنبال شد . جدول زیر ترکیبی از جداول 3 و 4 از هاند [4] است (با تصحیح دو خطای "حفظ حسابداری" که توسط هاند انجام شده است، ثابت می کند که این روش مستعد خطا است).

**نمادهای اصطلاحی که از پیکربندی الکترون های معادل به دست می آیند**

پیکربندی	مقررات

ص ، ص 5	2 پ
ص 2 ، ص 4	1 S , 1 D , 3 P
ص 3	2 P , 2 D , 4 S
د ، د 9	2 D
د 2 ، د 8	1 S , 1 D , 1 G , 3 P , 3 F
د 3 ، د 7	2 P , 2 D , 2 D , 2 F , 2 G , 2 H , 4 P , 4 F
د 4 ، د 6	1 S , 1 S , 1 D , 1 D , 1 F , 1 G , 1 G , 1 I , 3 P , 3 P , 3 D , 3 F , 3 F , 3 G , 3 H , 5 D
د 5	2 S , 2 P , 2 D , 2 D , 2 D , 2 F , 2 F , 2 G , 2 G , 2 H , 2 I , 4 P , 4 D , 4 F , 4 G , 6 S

رجوع کنید به رفر. [5] برای یک جدول مشابه از الکترون های f معادل .

[ ویرایش ]منابع

https://www.theochem.ru.nl/~pwormer/Knowino/knowino.org/wiki/Russell-Saunders_coupling.html

تکانه زاویه ای (کوانتومی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 16:0

در مکانیک کوانتومی ، تکانه زاویه‌ای یک عملگر برداری است که سه جزء آن دارای روابط کموتاسیون کاملاً مشخصی هستند . این عملگر آنالوگ کوانتومی بردار تکانه زاویه ای کلاسیک است .

تکانه زاویه‌ای در یکی از اولین و مهم‌ترین مقالات مربوط به مکانیک کوانتومی «جدید»، Dreimännerarbeit ( کار سه مرد) بورن ، هایزنبرگ و جردن (1926) وارد مکانیک کوانتومی شد. [1] در این مقاله، تکانه زاویه‌ای مداری و حالت‌های ویژه آن در حال حاضر به طور کامل توسط تکنیک‌های جبری روابط کموتاسیون و عملگرهای افزایش/پایین که در مقاله حاضر مورد بررسی قرار خواهند گرفت، پوشش داده شده‌اند. در سال 1927، ولفگانگ پائولی تکانه زاویه‌ای چرخشی را معرفی کرد، که شکلی از تکانه زاویه‌ای بدون همتای کلاسیک است.

نظریه تکانه زاویه‌ای - همراه با ارتباطش با نظریه گروه - به تعداد گیج‌کننده‌ای از مشاهدات طیف‌سنجی در طیف‌سنجی اتمی نظم می‌دهد ، برای مثال، به کار اصلی ویگنر مراجعه کنید. [3] هنگامی که در سال 1926 اسپین الکترون کشف شد و پاولی کمتر از یک سال بعد ثابت کرد که اسپین شکلی از تکانه زاویه ای است، اهمیت آن حتی بیشتر شد. تا به امروز نظریه تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی اهمیت زیادی دارد. این یک رشته ضروری برای فیزیکدان شاغل است، صرف نظر از رشته تخصصی او، خواه فیزیک حالت جامد ، فیزیک مولکولی، اتمی، هسته ای، یا حتی فیزیک ساختار هادرونیک. [4]

فهرست

[ ویرایش ]توصیف کیفی

تکانه زاویه ای کوانتیزه شده واحد: $\scriptstyle \hbar$

در مکانیک کلاسیک تکانه زاویه ای یک جسم برداری است که می تواند هر طول و هر جهتی داشته باشد. به چرخ دوچرخه در حال چرخش فکر کنید. طول تکانه زاویه ای آن متناسب با سرعت زاویه ای آن (تعداد دور در واحد زمان) و جهت حرکت زاویه ای آن در امتداد محور آن است. سرعت زاویه ای چرخ و جهت محور هر دو به طور پیوسته در گام های کوچک دلخواه تغییر می کنند. در نظریه کوانتومی این موضوع متفاوت است.

یک سیستم کوانتومی با تکانه زاویه ای کاملاً مشخص j را در نظر بگیرید ، برای مثال الکترونی که به دور یک هسته می چرخد. در وهله اول طول تکانه زاویه ای کوانتیزه می شود، فقط می تواند مقادیر گسسته را بگیرد.

$\hbar \sqrt{j(j+1)}\quad \hbox{with}\quad j=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2, \ldots,$

و هیچ ارزش دیگری از این رو نقطه پایانی تکانه زاویه ای j (فلش آبی در شکل) روی سطح کره ای با شعاع قرار دارد $\scriptstyle \hbar \sqrt{j(j+1)}$ . در وهله دوم، طرح ریزی آن بر روی یک محور در فضا (محور کوانتیزاسیون، معمولاً به عنوان محور z در نظر گرفته می شود ) کوانتیزه می شود، فقط می تواند مقادیر را بگیرد.

$m = -j، -j+1، \dots، j-1، j،$

که در آن j عدد کوانتومی است که طول j را تعیین می کند . نقطه انتهایی فلش آبی تمام سطح کره را نمی‌پوشاند، بلکه فقط می‌تواند روی تقاطع کره و مخروط‌های کوانتیزه خاصی قرار بگیرد، زیرا برآمدگی m از j روی محور z کوانتیزه می‌شود. عدد کوانتومی گسسته m بسته به انتگرال یا نیمه انتگرال بودن j انتگرال یا نیمه انتگرال است.

موقعیت فلش آبی روی سطح مخروطی که با j و m مشخص مشخص می شود کاملاً نامشخص است، در همه جا به یک اندازه محتمل است. این نمونه ای از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است .

[ ویرایش ]تکانه زاویه ای مداری

تکانه زاویه ای کلاسیک یک جرم نقطه ای برابر است با

$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times \mathbf{p}،$

جایی که r موقعیت و p تکانه (خطی) جرم نقطه است. ساده‌ترین و قدیمی‌ترین مثال عملگر تکانه زاویه‌ای با اعمال قانون کوانتیزاسیون به دست می‌آید:

$\mathbf{p} \rightarrow -i\hbar \mathbf{\nabla}،$

که در آن $\scriptstyle \hbar$ ثابت پلانک (تقسیم بر 2π) و ∇ عملگر گرادیان است . این قانون که برای بردار تکانه زاویه ای کلاسیک اعمال می شود یک عملگر برداری با سه جزء زیر را ارائه می دهد:

$\begin{align} L_x &= -i\hbar\Big( y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}\Big) \\ L_y &= -i \hbar\Big( z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z}\Big) \\ L_z &= -i\hbar\Big( x \frac{\ partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}\Big). \\ \پایان{تراز کردن}$

روابط کموتاسیون زیر قابل اثبات است،

$[L_x,\,L_y] = i \hbar L_z, \quad [L_z,\,L_x] = i \hbar L_y, \quad [L_y,\,L_z] = i \hbar L_x.$

براکت های مربع نشان دهنده جابجایی دو عملگر است که برای دو عملگر دلخواه A و B به صورت تعریف شده است.

$[A,\,B] \equiv AB - BA .$

برای مثال،

$\begin{align} \big[L_x,\, L_y\big] =& -\hbar^2\left[ \Big( y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{ \partial y}\Big) \Big( z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z}\Big) - \Big( z \frac{\partial}{ \جزئی x} - x \frac{\partial}{\partial z}\Big)\Big( y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}\Big ) \right] \\ =& -\hbar^2\left[ y \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial y} \right] = i \hbar \left [-i\hbar \Big( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \Big)\right] = i\hbar L_z, \\ \end{ تراز کردن}$

جایی که ما از تمام اصطلاحات آن نوع استفاده کردیم

$yx \frac{\partial^2}{\partial z \partial x}, \quad \hbox{و غیره}$

متقابلا لغو از آنجایی که سه جزء L در رفت و آمد نیستند، مجموعه مشترکی از توابع ویژه ندارند .

مجذور تکانه زاویه ای کل با تعریف می شود

$\mathbf{L}^2 \equiv L_x^2 +L_y^2 +L_z^2.$

این اپراتور با هر یک از سه مؤلفه رفت و آمد می کند،

$[\mathbf{L}^2,\,L_k] = 0 \quad \hbox{for}\quad k=x,y,z,$

به طوری که می توان توابع ویژه مشترک L 2 و یکی از اجزای آن را یافت.

توجه داشته باشید که توابع ویژه L 2 از قرن نوزدهم، بسیار قبل از اینکه مکانیک کوانتومی متولد شود، شناخته شده است. آنها توابع هارمونیک کروی هستند . در واقع، از نظر مختصات قطبی کروی ، عملگر این است،

$L^2 = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta } + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right]،$

و این عبارت در معادله لژاندر مرتبط ظاهر می شود .

[ ویرایش ]حرکت زاویه ای را بچرخانید

پائولی در سال 1927 سه ماتریس زیر را معرفی کرد که امروزه به عنوان ماتریس اسپین پائولی شناخته می شوند .

$\boldsymbol{\sigma}_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}، \qquad \boldsymbol{\sigma}_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}.$

این ماتریس‌های هرمیتی عملگرهای هرمیتی را در یک فضای خطی دو بعدی بر روی میدان اعداد مختلط نشان می‌دهند: فضای چرخشی . عملگرهای تکانه زاویه ای اسپین توسط تعریف می شوند

$s_x \leftrightarrow \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}_x\qquad s_y \leftrightarrow \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}_y\qquad s_z \leftrightarrow \frac{\hbar {2}\boldsymbol{\sigma}_z.$

روابط کموتاسیون این عملگرها با ضرب ماتریس دنبال می شود، برای مثال،

$[s_x,\,s_y] \فلش راست چپ \frac{\hbar^2}{4}[\boldsymbol{\sigma}_x\boldsymbol{\sigma}_y -\boldsymbol{\sigma}_y\boldsymbol{\sigma}_x ] = \frac{i\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \فلش راست چپ i \hbar s_z.$

به این ترتیب نشان داده شده است که

$[s_x,\,s_y] = i \hbar s_z, \quad [s_z,\,s_x] = i \hbar s_y, \quad [s_y,\,s_z] = i \hbar s_x,$

که ممکن است با روابط کموتاسیون لحظه‌ای زاویه‌ای مداری که قبلاً داده شد مقایسه شود.

[ ویرایش ]عملگرهای تکانه زاویه ای انتزاعی

ما دو نمونه از عملگرهای تکانه زاویه ای را دیده ایم، اما موارد بیشتری را می توان ارائه داد. برای مثال، عملگر مجموع s + L یا عملگرهای مجموع بیش از یک ذره نیز عملگرهای تکانه زاویه ای هستند. ویژگی اساسی که همه این اپراتورها به اشتراک می گذارند این است که دارای سه جزء با روابط کموتاسیون کاملاً تعریف شده هستند. با نگاهی انتزاعی تر، به تعریف زیر می رسیم: عملگر تکانه زاویه ای یک عملگر برداری است با سه عملگر جزء هرمیتی j x ، j y و j z که روابط کموتاسیون را برآورده می کند.

$[j_k,j_l] = i \hbar\sum_{m=x,y,z} \varepsilon_{klm}j_m, \quad k, l, m = x,y,z,$

$\varepsilon_{klm}$ نماد لوی-سیویتا کجاست ،

$\varepsilon_{klm} = \begin{cases} 0 & \hbox{اگر دو یا چند شاخص صفر باشند} \\ 1 & \hbox{اگر }klm \hbox{ جایگشت زوج } xyz \\ -1 و \ است hbox{if }klm \hbox{ جایگشتی عجیب از } xyz \\ \end{موارد} است$

این سه جزء با هم عملگر بردار j را تعریف می کنند . مربع طول j به صورت تعریف شده است

$\mathbf{j}^2 = j_x^2+j_y^2+j_z^2.$

ما همچنین عملگرهای j + و کاهش j- را تعریف می کنیم (همچنین به عنوان عملگرهای step up/down شناخته می شوند).

$j_\pm = j_x \pm i j_y. \,$

[ ویرایش ]حالت های حرکت زاویه ای

از اینجا به بعد می گذاریم $\scriptstyle \hbar = 1$ .

از تعاریف بالا می توان نشان داد که j 2 با j x ، j y و j z رفت و آمد می کند.

$[\mathbf{j}^2,\, j_k] = 0 \quad \mathrm{for}\;\; k = x، y، z.$

هنگامی که دو عملگر هرمیتی رفت و آمد می کنند، مجموعه مشترکی از توابع ویژه وجود دارد. به طور معمول j z برای تکمیل j 2 انتخاب می شود . از روابط کموتاسیون، مقادیر ویژه ممکن را می توان یافت. نتیجه این است

$\mathbf{j}^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle، \qquad j=0، 1/2، 1، 3/2، 2، \ldots$

$j_z|jm\rangle = m |jm\rangle، \qquad\quad m = -j، -j+1، \ldots، j.$

عملگرهای افزایش و کاهش مقدار m را تغییر می دهند

$j_\pm |jm\rangle = C_\pm(j,m) |jm\pm 1\rangle$

با

$C_\pm(j,m) = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} = \sqrt{(j\mp m)(j\pm m + 1)}.$

یک فاکتور فاز (پیچیده) می تواند در تعریف گنجانده شود. $\scriptstyle C_\pm(j,m)$ انتخابی که در اینجا انجام شده مطابق با کنوانسیون فاز کاندون و شورتلی است. حالات تکانه زاویه ای باید متعامد باشند (زیرا مقادیر ویژه آنها نسبت به عملگر هرمیتی متمایز است) و نرمال شده فرض می شود.

$\langle jm | j' m' \rangle = \delta_{j,j'}\delta_{m,m'}.$

[ ویرایش ]اثبات خواص حالت های ویژه

عملگرهای تکانه زاویه ای راضی می کنند

$[\mathbf{j}^2,\, j_\pm] = [\mathbf{j}^2,\, j_z]= 0,\qquad [j_z,\,j_\pm] = \pm j_\pm, \qquad j_-j_+ = \mathbf{j}^2 - j_z(j_z+1).$

تنها از این ویژگی ها می توان حالت های ویژه را ساخت. مراحل ساخت عبارتند از:

از آنجایی که j 2 و j z رفت و آمد دارند، می توانیم یک بردار ویژه مشترک $\scriptstyle |a,b\rangle\,$ با آن پیدا کنیم

$\mathbf{j}^2 |a,b\rangle\, =\, a^2|a,b\rangle\quad \hbox{and}\quad j_z |a,b\rangle\, =\, b| a,b\rangle$ .

از آنجایی که یک عملگر هرمیتی مجذور فقط مقادیر واقعی، غیرمنفی و انتظاری دارد ، $\scriptstyle \langle \psi| A^2 | \psi \rangle\, =\, \langle A\psi| A \psi \rangle \ge 0$ و از آنجایی که یک مقدار ویژه نوع خاصی از مقدار انتظاری است - یعنی یک مقدار با توجه به یک بردار ویژه - نتیجه می‌شود که j 2 فقط مقادیر ویژه واقعی غیرمنفی دارد. بنابراین مقدار ویژه آن را به صورت مربع عدد a 2 می نویسیم .

با توجه به روابط کموتاسیون $\scriptstyle [j^2, j_{\pm}]=0$ و $\scriptstyle [j_z, j_\pm] = \pm j_{\pm}$ ، متوجه می شویم که

$j^2 \left(j_+|a,b\rangle\right) = a^2 \left(j_+ |a,b\rangle\right)$

بنابراین عملگر step up یک بردار ویژه j 2 با مقدار ویژه یکسان $\scriptstyle a^2$ و یک بردار ویژه j z با مقدار ویژه b + 1 به دست می دهد، به طوری که

$j_+|a,b\rangle =|a,b+1\rangle$

اگر j + now k + 1 را اعمال کنیم ، با استفاده از $\scriptstyle j_+^\ خنجر = j_-$ کت $\scriptstyle |a,b+k+1\rangle$ با هنجار به دست می آوریم

$\begin{align} \langle a+b+k+1 | a+b+k+1 \rangle &= \langle a,b+k|j_-j_+|a,b+k \rangle = \langle a,b+k|\mathbf{j}^2- j_z( j_z+1) |a,b+k \rangle \\ &=[a^2-(b+k)(b+k+1)] \langle a,b+k | a,b+k\rangle. \پایان{تراز}$

سمت چپ غیر منفی است، در حالی که k نامحدود است. بنابراین، اگر اجازه دهیم k افزایش یابد، به نقطه ای می رسد که هنجار سمت چپ باید منفی یا صفر باشد، در حالی که هنجار سمت راست همچنان مثبت است. یک هنجار منفی با این واقعیت که کت متعلق به یک فضای هیلبرت است در تضاد است. از آنجایی که هیچ قدرت عملگر step up یک کت را خارج از فضای هیلبرت ترسیم نمی کند، باید حداکثر مقدار k max از عدد صحیح k وجود داشته باشد ، به طوری که ket $\scriptstyle |a,b+k_\mathrm{max}\rangle \ne 0$ ، در حالی که دقیقا $\scriptstyle |a,b+k_\mathrm{max}+1\rangle = 0$ . برای آن مقدار k ، a 2 = ( b + k max ) ( b+ k max + 1).

به طور مشابه l + 1 برابر استفاده از j - یک کت صفر $\scriptstyle |a,b-l_\mathrm{max}-1 \rangle$ با $\scriptstyle |a,b-l_\mathrm{max}\rangle \ne 0$ و a 2 = ( b - l max ) ( b - l max - 1) به دست می دهد.

از این واقعیت که a 2 = ( b + k max )( b + k max + 1) = ( b − l max )( b − l max − 1) با حل معادله نتیجه می شود: 2 b = l max − k max ، به طوری که b انتگرال یا نیمه انتگرال باشد. عدد کوانتومی b + k به طور سنتی با m تعیین می شود . همچنین m یا انتگرال یا نیمه انتگرال است. حداکثر مقدار mکه برای آن ket با j = b + k max $\scriptstyle |a، m\rangle \ne 0$ مشخص می شود . وقتی m انتگرال باشد عدد j انتگرال است و وقتی m نیمه انتگرال است نیمه انتگرال است. توجه داشته باشید که a 2 = j ( j + 1).
اکنون نماد را تغییر دهید و فرض کنید که ضریب نرمال سازی N طوری انتخاب شده است که | j , m > به وحدت عادی شده است،

$N \,|a, b+k\rangle \rightarrow |j, m\rangle \quad \hbox{with}\quad \langle j,m|j,m\rangle =1.$

این الزام که همه کت های درگیر نرمال شوند، در حالی که فازها را ثابت می کنند، فرمولی را می دهد که باید ثابت شود. عادی سازی ساده است:

$\begin{align} \langle j, m| j_-j_+ | j، m\rangle = |C|^2 \langle j، m+1| j, m+1\rangle &= \langle j, m| \mathbf{j}^2 - j_z(j_z+1) | j, m\rangle\\ \Longrightarrow |C|^2 = j^2 - m (m+1) \end{align}$

منبع

https://www.theochem.ru.nl/~pwormer/Knowino/knowino.org/wiki/Angular_momentum_(quantum).html

عملگرهای نردبان یا عملگر افزایش یا کاهش

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 13:49

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در جبر خطی (و کاربرد آن در مکانیک کوانتومی )، عملگر افزایش یا کاهش (که در مجموع به عنوان عملگرهای نردبان شناخته می‌شوند) عملگری است که مقدار ویژه عملگر دیگری را افزایش یا کاهش می‌دهد. در مکانیک کوانتومی، عملگر افزایش دهنده گاهی اوقات عملگر ایجاد ، و عملگر پایین آورنده عملگر نابودی نامیده می شود . کاربردهای شناخته شده عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی در فرمالیسم های نوسان ساز هارمونیک کوانتومی و تکانه زاویه ای است .

اصطلاحات [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملگر افزایش یا کاهش

در مورد رابطه بین عملگرهای نردبان بالا و پایین و عملگرهای ایجاد و نابودی که معمولاً در نظریه میدان کوانتومی استفاده می شود، سردرگمی وجود دارد . عملگر ایجاد a i † تعداد ذرات را در حالت i افزایش می دهد ، در حالی که عملگر نابودی مربوطه a i تعداد ذرات را در حالت i کاهش می دهد . این به وضوح الزامات تعریف فوق از یک عملگر نردبانی را برآورده می کند: افزایش یا کاهش مقدار ویژه یک عملگر دیگر (در این مورد عملگر شماره ذره ).

سردرگمی به این دلیل به وجود می‌آید که اصطلاح عملگر نردبانی معمولاً برای توصیف عملگری استفاده می‌شود که برای افزایش یا کاهش یک عدد کوانتومی که وضعیت یک سیستم را توصیف می‌کند، استفاده می‌شود. برای تغییر وضعیت یک ذره با عملگرهای ایجاد/نابودی QFT نیاز به استفاده از هر دو عملگر نابودی و ایجاد است. عملگر نابودی برای حذف یک ذره از حالت اولیه و عملگر ایجاد برای افزودن یک ذره به حالت نهایی استفاده می شود.

اصطلاح "عملگر نردبان" نیز گاهی در ریاضیات، در زمینه تئوری جبرهای لی و به ویژه جبرهای لی وابسته ، برای توصیف زیر جبرهای su(2) استفاده می شود ، که سیستم ریشه و ماژول های بالاترین وزن می توانند از آن استفاده کنند. با استفاده از عملگرهای نردبانی ساخته شود. [1] به ویژه، بالاترین وزن توسط عملگرهای بالابرنده نابود می شود. بقیه فضای ریشه مثبت با اعمال مکرر عملگرهای پایین آورنده (یک مجموعه از عملگرهای نردبانی در هر زیر جبر) به دست می آید.

فرمول کلی [ ویرایش ]

فرض کنید که دو عملگر X و N دارای رابطه جابجاگر هستند ،

$[N,X]=cX,$ برای برخی از cاسکالر . اگر ${|n\rangle }$ یک حالت ویژه از N با معادله مقدار ویژه است،

$N|n\rangle =n|n\rangle ,$ سپس عملگر X عمل می کند ${|n\rangle }$ به گونه ای که مقدار ویژه را با c تغییر می دهد :

${\begin{تراز شده}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\& =Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{تراز شده}}$

به عبارت دیگر، اگر ${|n\rangle }$ یک حالت ویژه از N با مقدار ویژه n است ${X|n\rangle }$ یک حالت ویژه از N با مقدار ویژه n + c یا صفر است. عملگر X اگر c واقعی و مثبت باشد عملگر افزایش دهنده N است و اگر c واقعی و منفی باشد عملگر کاهنده برای N است.

اگر N یک عملگر هرمیتی است ، c باید واقعی باشد و الحاق هرمیتی X از رابطه جابجاگر تبعیت می کند:

$[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.$

به ویژه، اگر X یک عملگر کاهش دهنده برای N باشد ، X † یک عملگر افزایش دهنده برای N است و بالعکس .

حرکت زاویه ای [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملگر حرکت زاویه ای

کاربرد خاصی از مفهوم عملگر نردبانی در درمان مکانیکی کوانتومی تکانه زاویه ای یافت می شود . برای یک بردار تکانه زاویه ای کلی ، J ، با مولفه های J x ، J y و J z یکی دو عملگر نردبان، J + و J – را تعریف می کند ، [2]

$J_{+}=J_{x}+iJ_{y}،$

$J_{-}=J_{x}-iJ_{y}،$ جایی که i واحد خیالی است .

رابطه جابجاگر بین مولفه های دکارتی هر عملگر تکانه زاویه ای با استفاده از

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},$ که در آن ε ijk نماد Levi-Civita است و هر یک از i ، j و k می توانند هر یک از مقادیر x ، y و z را بگیرند .

از این، روابط جابجاگر بین عملگرهای نردبان و J z به دست می آید.

$\left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm },$

$\left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}.$ (از نظر فنی، این جبر لی است

${{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )$ ).

خواص عملگرهای نردبانی را می توان با مشاهده اینکه چگونه عمل عملگر Jz را در یک حالت معین تغییر می دهند تعیین کرد.

${\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{ \pm }\right]\right)|j\,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j\,m\ rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{تراز شده}}$

این نتیجه را با

$J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .$

بنابراین یکی نتیجه می گیرد که

${J_{\pm }|j\,m\rangle }$ مقداری اسکالر ضربدر است

${|j\,(m\pm 1)\rangle }$ ،

$J_{+}|j\,m\rangle =\alpha |j\,(m+1)\rangle ,$

$J_{-}|j\,m\rangle =\beta |j\,(m-1)\rangle .$

این ویژگی تعیین کننده عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی را نشان می دهد: افزایش (یا کاهش) یک عدد کوانتومی، در نتیجه نگاشت یک حالت کوانتومی به حالت دیگر. به همین دلیل است که آنها اغلب به عنوان عملگرهای افزایش و کاهش شناخته می شوند.

برای به دست آوردن مقادیر α و β ابتدا هنجار هر عملگر را بگیرید، با تشخیص اینکه J + و J- یک جفت مزدوج هرمیتی هستند.

${J_{\pm }=J_{\mp }^{\ خنجر }}$ )

$\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\, m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},$

$\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\, m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\بتا |^{2}.$

حاصل ضرب عملگرهای نردبانی را می توان بر حسب جفت رفت و آمد J 2 و J z بیان کرد .

$J_{-}J_{+}=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{ 2}+i[J_{x}،J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z}،$

$J_{+}J_{-}=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{ 2}-i[J_{x}،J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.$

بنابراین، می توان مقادیر | را بیان کرد α | 2 و | β | 2 بر حسب مقادیر ویژه J 2 و J z ،

$|\alpha |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2 }(jm)(j+m+1)،$

$|\beta |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2 }(j+m)(j-m+1).$

فازهای α و β از نظر فیزیکی مهم نیستند، بنابراین می توان آنها را مثبت و واقعی انتخاب کرد ( کنوانسیون فاز کاندون - شورتلی ) . سپس داریم: [3]

$J_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(jm)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j +1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,$

$J_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j (j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .$

تأیید اینکه m با مقدار j محدود شده است ${-j\leq m\leq j}$ )، یک نفر دارد

$J_{+}|j\,j\rangle =0,$

$J_{-}|j\,(-j)\rangle =0.$

نمایش فوق در واقع ساخت ضرایب کلبش-گوردان است .

کاربردها در فیزیک اتمی و مولکولی [ ویرایش ]

بسیاری از اصطلاحات در هامیلتونی سیستم های اتمی یا مولکولی شامل حاصل ضرب اسکالر عملگرهای تکانه زاویه ای است. یک مثال عبارت دوقطبی مغناطیسی در هامیلتونی فوق ظریف است ، [4]

${\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J}،$ جایی که من چرخش هسته ای هستم.

جبر تکانه زاویه ای را اغلب می توان با ریختن مجدد آن در پایه کروی ساده کرد . با استفاده از علامت گذاری عملگرهای تانسور کروی ، مولفه های "-1"، "0" و "+1" J (1) ≡ J با، [5] به دست می آیند.

${\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\ dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}}\\J_{0}^{(1)}&=J_{z}\\J_{+1}^{(1)}&=-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{تراز شده}}$

از این تعاریف می توان نشان داد که ضرب اسکالر فوق را می توان به صورت بسط داد

$\mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n} I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{ (1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}،$

اهمیت این بسط این است که به وضوح نشان می‌دهد که کدام حالت‌ها با این عبارت در همیلتونی جفت می‌شوند، یعنی آن‌هایی که دارای اعداد کوانتومی با m i = ± 1 و mj = ∓1 فقط هستند .

نوسان ساز هارمونیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نوسانگر هارمونیک کوانتومی

کاربرد دیگر مفهوم عملگر نردبانی در عملیات مکانیکی کوانتومی نوسانگر هارمونیک یافت می شود. ما می توانیم عملگرهای کاهش و افزایش را به این صورت تعریف کنیم

${\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x} }-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}$

آنها ابزاری مناسب برای استخراج مقادیر ویژه انرژی بدون حل مستقیم معادله دیفرانسیل سیستم فراهم می کنند.

اتم هیدروژن مانند [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اتم هیدروژن مانند

دو رویکرد اصلی در ادبیات با استفاده از عملگرهای نردبانی ارائه شده است، یکی با استفاده از بردار لاپلاس-رانج-لنز، دیگری با استفاده از فاکتورسازی همیلتونین.

بردار لاپلاس-رانج-لنز [ ویرایش ]

یکی دیگر از کاربردهای مفهوم عملگر نردبانی در پردازش مکانیکی کوانتومی انرژی الکترونیکی اتم ها و یون های هیدروژن مانند است. بردار لاپلاس - رانج - لنز با همیلتونین برای یک پتانسیل متقارن کروی مربع معکوس جابجا می شود و می تواند برای تعیین عملگرهای نردبانی برای این پتانسیل استفاده شود. [6] [7] ما می‌توانیم عملگرهای کاهش و افزایش را تعریف کنیم (بر اساس بردار کلاسیک Laplace-Runge-Lenz )

${\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec { p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}}$ جایی که→ ${\vec {L}}$ تکانه زاویه ای است،پ→ ${\vec {p}}$ تکانه خطی است، $\mu$ جرم کاهش یافته سیستم است،ه $ه$ شارژ الکترونیکی است وز $ز$ عدد اتمی هسته است. مشابه عملگرهای نردبانی تکانه زاویه ای، یکی دارد

$A_{+}=A_{x}+iA_{y}$ و

$A_{-}=A_{x}-iA_{y}$ .

کموتاتورهای مورد نیاز برای ادامه عبارتند از:

$[A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }$ و

$[A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_ {z}L_{\pm }$ . از این رو،

$A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle$ و

$-L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1) +1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \راست)$ بنابراین

$A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle$ که "؟" یک عدد کوانتومی نوپا را نشان می دهد که از بحث بیرون می آید.

با توجه به معادلات Pauli [8] [9] معادله IV Pauli:

$1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2 })$ و پائولی معادله III:

$\left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4 }}}\راست)L_{j}$ و با معادله شروع می شود

$A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0$ و در حال گسترش، به دست می آید (با فرض $\ell ^{*}$ حداکثر مقدار عدد کوانتومی تکانه زاویه ای همخوان با سایر شرایط است)

$\left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i \hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0$ که منجر به فرمول Rydberg می شود :

$E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}}$ دلالت بر آن دارد

$\ell ^{*}+1=n=?$ ، جایی که $n$ عدد کوانتومی سنتی است.

فاکتورسازی همیلتونی [ ویرایش ]

همیلتونی برای پتانسیل هیدروژن مانند را می توان در مختصات کروی به صورت زیر نوشت

$H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2})L^{2}]+V(r)$ جایی که

$V(r)=-Ze^{2}/r$ وپ $p_{r}$ تکانه شعاعی است

$p_{r}=(x/r)p_{x}+(y/r)p_{y}+(z/r)p_{z}$ که واقعی و خود مزدوج است.

فرض کنید $|nl\rangle$ یک بردار ویژه از همیلتونی است که〉 $l\rangle$ تکانه زاویه ای است و $n$ نشان دهنده انرژی است، بنابراین

$L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle$ و ممکن است همیلتونی را به عنوان برچسب گذاری کنیم $H_l$

$H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2})l(l+1)\hbar ^{2}]+V(r)$

روش فاکتورسازی توسط اینفلد و هال [10] برای معادلات دیفرانسیل توسعه داده شد. نیومارچ و گلدینگ [11] آن را برای پتانسیل های متقارن کروی با استفاده از نماد عملگر اعمال کردند.

فرض کنید می‌توانیم فاکتورسازی همیلتونی را توسط عملگرها پیدا کنیم $C_{l}$ مانند

$C_{l}^{*}C_{l}=2\mu H_{l}+F_{l}$

( 1 )

$C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}$ برای اسکالرها

$F_l$ و

$G_{l}$ . بردار

$C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle$ ممکن است به دو صورت مختلف ارزیابی شود

${\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_ {l}|nl\رنگه \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\رنگ \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})|nl\رنگ \\end{تراز شده}}$ که می توان آن را دوباره تنظیم کرد

$H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_ {l}|nl\rangle )$ نشان دادن $C_{l}|nl\rangle$ یک حالت ویژه از $H_{l+1}$ با ارزش ویژه

$E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )$ ا

$F_{l}=G_{l}$ سپس"= $n^{'}=n$ و حالت $|nl\rangle$ و〉 $C_{l}|nl\rangle$ همین انرژی را دارند

برای اتم هیدروژنی، تنظیم

$V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}$ با

$B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }}$ معادله ای مناسب برای $C_{l}$ است

$C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}$ با

$F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}$ اگر انرژی منفی باشد یک کران بالایی برای عملگر نردبان وجود دارد (بنابراین〉 $C_{l}|nl_{\max }\rangle =0$ برای برخی $l_{\max }$ سپس از معادله ( 1 )

$E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\max }+1)^{ 2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\max }+1)^{2}}}$ و $n$ را می توان با

$l_{\max }+1$

ارتباط با نظریه گروه [ ویرایش ]

هرگاه در یک سیستم انحطاط وجود داشته باشد، معمولاً یک ویژگی و گروه تقارن مرتبط وجود دارد. انحطاط سطوح انرژی برای همان مقدار از $n$ اما گشتاورهای زاویه ای مختلف به عنوان تقارن SO(4) پتانسیل کولن متقارن کروی شناسایی شده است . [12] [13]

نوسانگر هارمونیک ایزوتروپیک سه بعدی [ ویرایش ]

نوسان ساز هارمونیک ایزوتروپیک سه بعدی دارای پتانسیلی است که توسط

$V(r)=\mu \omega ^{2}r^{2}/2$

به طور مشابه می توان با استفاده از روش فاکتورسازی مدیریت کرد.

روش فاکتورسازی [ ویرایش ]

فاکتورسازی مناسب توسط [11] ارائه شده است.

$C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r$ با

$F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar$ و

$G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar$ سپس

$E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{ l}^{n}-\omega \hbar$ و در ادامه این،

${\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n ^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\\dots &\end{تراز شده}}$ در حال حاضر همیلتونین فقط سطوح انرژی مثبت دارد که از آن مشخص است

${\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\ mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0\end{تراز شده}}$

این بدان معنی است که برای مقداری از $ل$ $C_{l_{\max }}|nl_{\max }\rangle =0$ و سپس

$E_{l_{\max }}^{n}=-F_{l_{\max }}/(2\mu )=(l_{\max }+3/2)\omega \hbar$ این در حال کاهش در انرژی استℏ $\omega \hbar$ مگر اینکه برای مقداری از

$ل$ $C_{l}|nl\rangle =0$ . شناسایی این مقدار به عنوان $n$ می دهد

$E_{l}^{n}=-F_{l}=(n+3/2)\omega \hbar$

سپس آن را به دنبال دارد $n'=n-1$ به طوری که

$C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1\,l+1\rangle$ دادن رابطه بازگشتی در $\لامبدا$ با حل

$\lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(nl)}}$

انحطاط ناشی از حرکت زاویه ای وجود دارد. انحطاط اضافی ناشی از پتانسیل نوسانگر وجود دارد. حالت ها را در نظر بگیرید $|n\,n\rangle ,|n-1\,n-1\rangle ,|n-2\,n-2\rangle ,\dots$ و عملگرهای کاهش دهنده را اعمال کنید $ج^*$ :

$C_{n-2}^{*}|n-1\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2\ ,n-2\rangle,\dots$ دادن دنباله، $|nn\rangle ,|n\,n-2\rangle ,|n\,n-4\rangle ,...$ با همان انرژی اما با $ل$ کاهش 2. علاوه بر انحطاط تکانه زاویه ای، این یک انحطاط کلی از $(n+1)(n+2)/2$ [14]

ارتباط با نظریه گروه [ ویرایش ]

انحطاط نوسانگر هارمونیک همسانگرد سه بعدی به گروه واحد ویژه SU(3) مربوط می شود [14] [15]

تاریخچه [ ویرایش ]

بسیاری از منابع ، دیراک را با اختراع عملگرهای نردبان اعتبار می دهند. [16] استفاده دیراک از عملگرهای نردبانی نشان می دهد که عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل $j$ باید یک مضرب نیمه صحیح غیر منفی ħ باشد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

عملگرهای ایجاد و نابودی
نوسان ساز هارمونیک کوانتومی
اساس شوالی

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Ladder_operator

نمودار تکانه زاویه ای (مکانیک کوانتومی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 13:36

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در مکانیک کوانتومی و کاربردهای آن در سیستم‌های چند ذره‌ای کوانتومی ، به‌ویژه شیمی کوانتومی ، نمودارهای تکانه زاویه‌ای ، یا به‌طور دقیق‌تر از دیدگاه ریاضی، نمودارهای تکانه زاویه‌ای ، یک روش نموداری برای نمایش حالت‌های کوانتومی تکانه زاویه‌ای یک سیستم کوانتومی است. به صورت نمادین انجام می شود. به طور خاص، فلش‌ها حالت‌های تکانه زاویه‌ای را در نماد bra-ket رمزگذاری می‌کنند و ماهیت انتزاعی حالت را شامل می‌شوند، مانند ضرب تانسور و قوانین تبدیل.

این نماد با ایده نمادگذاری گرافیکی Penrose و نمودارهای فاینمن موازی است . نمودارها شامل فلش ها و رئوس با اعداد کوانتومی به عنوان برچسب هستند، از این رو اصطلاح جایگزین " گراف " است. حس هر فلش مربوط به صیغه هرمیتی است که تقریباً مربوط به معکوس زمانی حالت‌های تکانه زاویه‌ای است ( معادله شرودینگر ). نماد نموداری به خودی خود یک موضوع بسیار بزرگ با تعدادی ویژگی تخصصی است - این مقاله اصول اولیه را معرفی می کند.

آنها عمدتاً توسط آدولفاس جوسیس (که گاهی به یوتسیس ترجمه می شود) در قرن بیستم توسعه یافتند .

معادل سازی بین نماد دیراک و نمودارهای جوسیس [ ویرایش ]

حالت های حرکت زاویه ای [ ویرایش ]

بردار حالت کوانتومی یک ذره با تکانه کل زاویه ای عدد کوانتومی j و عدد کوانتومی مغناطیسی کل m = j , j − 1, ..., − j + 1 , − j , به صورت ket نشان داده می شود | j , m 〉 . به عنوان یک نمودار، این یک فلش تک سر است.

به طور متقارن، سوتین مربوطه 〈 j , m | است . در شکل نمودار، این یک فلش دو سر است که در جهت مخالف کت اشاره می کند.

در هر مورد؛

اعداد کوانتومی j , m اغلب در کنار فلش ها برای اشاره به یک حالت حرکت زاویه ای خاص برچسب گذاری می شوند.
نوک پیکان ها تقریبا همیشه در وسط خط قرار می گیرند، نه در نوک،
علائم مساوی "=" بین نمودارهای معادل قرار می گیرند، دقیقاً مانند چندین عبارت جبری که برابر یکدیگرند.

ابتدایی ترین نمودارها برای کت و سوتین هستند:

کت | j , m 〉

سوتین 〈 j , m |

فلش ها به یا از رئوس هدایت می شوند، حالتی که مطابق با زیر تبدیل می شود:

یک نمایش استاندارد با یک خط جهت دار که یک راس را ترک می کند، مشخص می شود.
یک نمایش متضاد به صورت خطی که وارد یک راس می شود به تصویر کشیده می شود.

به عنوان یک قاعده کلی، فلش ها به یک معنا از یکدیگر پیروی می کنند. در نمایش کنتراستاندارد، عملگر زمان معکوس ، که در اینجا با T نشان داده شده است ، استفاده می شود. واحد است، به این معنی که مزدوج هرمیتی T † برابر با عملگر معکوس T -1 است ، یعنی T † = T -1 . عملکرد آن بر روی عملگر موقعیت، آن را ثابت می‌گذارد:

$T{\hat {{\mathbf {x}}}}T^{\dagger }={\hat {{\mathbf {x}}}}$

اما عملگر تکانه خطی منفی می شود:

$T{\hat {{\mathbf {p}}}}T^{\dagger }=-{\hat {{\mathbf {p}}}}$

و عملگر اسپین منفی می شود:

$T{\hat {{\mathbf {S}}}}T^{\dagger }=-{\hat {{\mathbf {S}}}}$

از آنجایی که عملگر تکانه زاویه ای مداری L = x × p است ، این نیز باید منفی شود:

$T{\hat {{\mathbf {L}}}}T^{\dagger }=-{\hat {{\mathbf {L}}}}$

و بنابراین عملگر کل تکانه زاویه ای J = L + S منفی می شود:

$T{\hat {{\mathbf {J}}}}T^{\dagger }=-{\hat {{\mathbf {J}}}}$

عمل بر روی یک حالت ویژه حرکت زاویه ای | j , m 〉 , می توان نشان داد که: [1]

$T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{{jm}}\left|j,-m\right\rangle$

نمودارهای معکوس زمان برای کت و سوتین عبارتند از:

زمان معکوس کت | j , m 〉 .

سوتین معکوس زمان 〈 j , m | .

مهم است که راس را به درستی قرار دهید، زیرا عملگرهای زمان جلو و زمان معکوس با هم مخلوط می شوند.

محصول داخلی [ ویرایش ]

حاصلضرب درونی دو حالت | j 1 , m 1 〉 و | j 2 , m 2 〉 است:

$\langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{{j_{1}j_{2}}}\delta _{{m_{1}m_{ 2}}}$

و نمودارها عبارتند از:

محصول درونی | j 1 , m 1 〉 و | j 2 , m 2 〉 , یعنی 〈 j 2 , m 2 | j 1 , m 1 〉 .

زمان معکوس معادل.

برای جمع بر روی حاصل ضرب داخلی، که در این زمینه به عنوان انقباض نیز شناخته می شود (cf انقباض تانسور ):

$\ جمع _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1$

مرسوم است که نتیجه را به عنوان یک دایره بسته نشان دهیم که فقط با j برچسب گذاری شده است نه m :

انقباض محصول داخلی

ضرب بیرونی [ ویرایش ]

محصول بیرونی دو حالت | j 1 , m 1 〉 و | j 2 , m 2 〉 یک عملگر است:

$\left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|$

و نمودارها عبارتند از:

محصول بیرونی | j 1 , m 1 〉 و | j 2 , m 2 〉 یعنی | j 2 , m 2 〉 〈 j 1 , m 1 | .

زمان معکوس معادل.

برای جمع آوری بر روی حاصل ضرب بیرونی، که در این زمینه به عنوان انقباض نیز شناخته می شود (cf انقباض تانسور ):

${\begin{تراز شده}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&= \sum _{m}{(-1)}^{{2(jm)}}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1) }^{{jm}}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{{jm}}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{تراز شده}}$

که در آن نتیجه برای T | j , m 〉 استفاده شد و این واقعیت که m مجموعه مقادیر داده شده در بالا را می گیرد. برای انقباض محصول بیرونی هیچ تفاوتی بین حالت‌های زمان جلو و زمان معکوس وجود ندارد، بنابراین در اینجا نمودار یکسانی را به اشتراک می‌گذارند که به صورت یک خط بدون جهت نشان داده می‌شود و دوباره فقط با j و نه m برچسب‌گذاری شده است :

انقباض محصول بیرونی

ضرب تانسور [ ویرایش ]

حاصل ضرب تانسور ⊗ از n حالت | j 1 , m 1 〉 , | j 2 , m 2 〉 , ... | j n , m n 〉 نوشته شده است

${\شروع{تراز شده}\چپ|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \ چپ |j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n} \right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n} ,m_{n}\right\rangle \end{aligned}}$

و در شکل نمودار، هر حالت جداگانه از یک راس مشترک خارج می شود یا وارد یک راس مشترک می شود و یک "فن" از فلش ها ایجاد می کند - n خط متصل به یک راس.

رئوس در ضرب تانسور دارای نشانه هایی هستند (که گاهی اوقات "علائم گره" نامیده می شود)، برای نشان دادن ترتیب حالت های ضرب در تانسور:

علامت منفی (-) نشان می دهد که ترتیب در جهت عقربه های ساعت است .↻ $\دایره رو راست$ ، و
علامت مثبت ( +) برای خلاف جهت عقربه های ساعت ،↺ $\circlearrow چپ$ .

البته علائم فقط برای یک حالت، به صورت نموداری یک فلش در یک راس، لازم نیست. گاهی اوقات فلش های منحنی با علامت ها برای نشان دادن صریح حس ضرب تانسور اضافه می شوند، اما معمولاً فقط علامت با فلش ها کنار گذاشته می شود.

محصول تانسور از | j 1 , m 1 〉 , | j 2 , m 2 〉 , | j 3 , m 3 〉 یعنی | j 1 , m 1 〉 | j 2 , m 2 〉 | j 3 ، m 3 〉 = | j 1 , m 1 , j 2 ,m 2 , j 3 , m 3 〉 . به طور مشابه برای بیش از سه لحظه زاویه ای.

زمان معکوس معادل.

برای حاصلضرب داخلی دو حاصلضرب تانسور بیان می شود:

${\شروع{تراز شده}&\چپ\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1}, m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j '_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_ {1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{{k=1} }^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{تراز شده}}$

تعداد زیادی فلش محصول داخلی وجود دارد :

محصول درونی | j " 1 , m " 1 , j " 2 , m " 2 , j " 3 , m " 3 〉 و | j 1 , m 1 , j 2 , m 2 , j 3 , m 3 〉 یعنی 〈 j 3 , m 3 , j _ _" 2 , m " 2 , j " 1 , m " 1 | j 1 , m 1 , j 2 , m 2 , j 3 , m 3 〉 . به طور مشابه برای بیش از سه جفت لحظه لحظه ای زاویه ای.

زمان معکوس معادل.

مثال ها و کاربردها [ ویرایش ]

نمودارها برای ضرایب کلبش-گوردان مناسب هستند .
محاسبات با سیستم های کوانتومی واقعی، مانند اتم های چند الکترون و سیستم های مولکولی .

نمودار برای نماد 6- ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$ .

نمودار برای نماد 9- ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\ پایان{Bmatrix}}$ .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پورتال فیزیک

مدل برداری اتم
اپراتور نردبان
فضای فوک
نمودارهای فاینمن

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_diagrams_(quantum_mechanics)

7-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 13:3

ارتباط با نظریه نمایش[ ویرایش ]

مقالات اصلی: فیزیک ذرات و نظریه نمایش ، نظریه نمایشSU(2) و گروه چرخش SO(3) § یادداشتی در مورد جبرهای لی

شروع با یک حالت کوانتومی خاص $|\psi _{0}\rangle$ ، مجموعه ایالت ها را در نظر بگیرید $R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle$ برای همه ممکن ${\ کلاه {n}}$ و $\phi$ ، یعنی مجموعه حالت هایی که از چرخش حالت شروع به هر شکل ممکن به وجود می آیند. گستره خطی آن مجموعه یک فضای برداری است ، و بنابراین شیوه ای که عملگرهای چرخشی یک حالت را به حالت دیگر نشان می دهند، نمایشی از گروه عملگرهای چرخش است.

وقتی عملگرهای چرخشی روی حالت‌های کوانتومی عمل می‌کنند، نمایشی از گروه Lie SU(2) (برای R و R داخلی )، یا SO(3) (برای R فضایی ) را تشکیل می‌دهد .

از رابطه بین J و عملگرهای چرخشی،

هنگامی که عملگرهای تکانه زاویه ای بر روی حالت های کوانتومی عمل می کنند، نمایشی از جبر لی را تشکیل می دهد. ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {so}}(3)$ .

(جبرهای Lie SU(2) و SO(3) یکسان هستند.)

اشتقاق عملگر نردبانی در بالا روشی برای طبقه بندی نمایش های جبر لی SU(2) است.

اتصال به روابط جابجاکر [ ویرایش ]

چرخش های کلاسیک با یکدیگر جابه جا نمی شوند: برای مثال، چرخش 1 درجه حول محور x و سپس 1 درجه حول محور y ، چرخش کلی کمی متفاوت از چرخش 1 درجه حول محور y و سپس 1 درجه حول محور x می دهد . محور. با تجزیه و تحلیل دقیق این عدم تعویض، روابط جابجاکر عملگرهای تکانه زاویه ای را می توان استخراج کرد. [6]

(همین روش محاسباتی یکی از راه‌های پاسخ به سؤال ریاضی « جبر لی گروه‌های لی SO(3) یا SU(2) چیست ؟» است.)

حفظ تکانه زاویه ای [ ویرایش ]

H همیلتونی انرژی و دینامیک سیستم را نشان می دهد. در یک موقعیت کروی متقارن، همیلتونین تحت چرخش ثابت است:

$RHR^{-1}=H$ که در آن R یک عملگر چرخشی است . به عنوان یک نتیجه، $[H,R]=0$ ، و سپس $[H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0}$ به دلیل رابطه بین J و R. با قضیه Ehrenfest ، نتیجه می شود که J حفظ شده است.

به طور خلاصه، اگر H از نظر چرخشی ثابت باشد (از نظر کروی متقارن)، آنگاه تکانه زاویه ای کل J حفظ می شود. این مثالی از قضیه نوتر است .

اگر H فقط همیلتون برای یک ذره باشد، تکانه زاویه ای کل آن یک ذره زمانی که ذره در یک پتانسیل مرکزی قرار دارد حفظ می شود (یعنی زمانی که تابع انرژی پتانسیل فقط به $\left|\mathbf {r} \راست|$ ). از طرف دیگر، H ممکن است همیلتونی همه ذرات و میدان‌های جهان باشد، و سپس H همیشه از نظر چرخشی ثابت است ، زیرا قوانین اساسی فیزیک جهان بدون توجه به جهت‌گیری یکسان هستند. این مبنایی است برای اینکه بگوییم پایستگی تکانه زاویه ای یک اصل کلی فیزیک است.

برای یک ذره بدون اسپین، J = L ، بنابراین تکانه زاویه ای مداری در شرایط مشابه حفظ می شود. هنگامی که اسپین غیر صفر است، برهمکنش اسپین-مدار اجازه می دهد تا تکانه زاویه ای از L به S یا عقب منتقل شود. بنابراین، L به تنهایی حفظ نمی شود.

8-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 13:3

جفت حرکت زاویه ای [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جفت حرکت زاویه ای و ضرایب کلبش-گوردان

اغلب، دو یا چند نوع تکانه زاویه ای با یکدیگر تعامل دارند، به طوری که تکانه زاویه ای می تواند از یکی به دیگری منتقل شود. به عنوان مثال، در کوپلینگ اسپین-مدار ، تکانه زاویه ای می تواند بین L و S منتقل شود ، اما فقط کل J = L + S حفظ می شود. در مثالی دیگر، در یک اتم با دو الکترون، هرکدام دارای تکانه زاویه ای J 1 و J 2 هستند ، اما فقط کل J = J 1 + J 2 حفظ می شود.

در این مواقع، دانستن رابطه بین، از یک سو، مکان ها، اغلب مفید است $\left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left (J_{2}\راست)^{2}$ همه مقادیر معینی دارند و از سوی دیگر می‌گویند $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}$ همه مقادیر مشخصی دارند، زیرا چهار مورد آخر معمولاً حفظ می شوند (ثابت حرکت). روش رفت و برگشت بین این پایه ها استفاده از ضرایب کلبش-گوردان است .

یکی از نتایج مهم در این زمینه این است که یک رابطه بین اعداد کوانتومی برای، $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}$ :

$j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right), \ldots,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.$

برای یک اتم یا مولکول با J = L + S ، عبارت نماد اعداد کوانتومی مرتبط با عملگرها را نشان می دهد.،اس2، $L^{2}،S^{2}،J^{2}$ .

تکانه زاویه ای مداری در مختصات کروی [ ویرایش ]

عملگرهای تکانه زاویه ای معمولاً هنگام حل مسئله با تقارن کروی در مختصات کروی رخ می دهند . تکانه زاویه ای در نمایش فضایی [26] [27] است.

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac { \partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left( {\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }} +\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{ \partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\ partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left (\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{ هم راستا}}$

در مختصات کروی، قسمت زاویه ای عملگر لاپلاس را می توان با تکانه زاویه ای بیان کرد. این منجر به رابطه می شود

$\Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial } {\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.$

هنگام حل برای یافتن حالت های ویژه اپراتور $L^{2}$ ، موارد زیر را بدست می آوریم

${\begin{aligned}L^{2}|l,m\rangle &=\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle \\L_{z}|l,m \rangle &=\hbar m|l,m\rangle \end{تراز شده}}$ جایی که

$\left\langle \theta ,\phi |l,m\right\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )$ هارمونیک های کروی هستند . [28]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

بردار رانج-لنز (برای توصیف شکل و جهت اجسام در مدار استفاده می شود)
تبدیل هلشتاین-پریماکوف
نقشه جردن ( مدل بوزونی تکانه زاویه ای شوینگر [ 29] )
مدل برداری اتم
شبه بردار پائولی-لوبانسکی
نمودار تکانه زاویه ای (مکانیک کوانتومی)
پایه کروی
عملگر تانسور
مغناطش مداری
تکانه زاویه ای مداری الکترون های آزاد
تکانه زاویه ای مداری نور

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ در اشتقاق کاندون و شورتلی که اشتقاق فعلی بر اساس آن است، مجموعه ای از قابل مشاهده هاΓ $\ گاما$ همراه با $J^{2}$ وجی $J_{z}$ مجموعه کاملی از مشاهده پذیرهای رفت و آمد را تشکیل می دهند. علاوه بر این، آنها به آن نیاز داشتندΓ $\ گاما$ رفت و آمد با $J_{x}$ و $J_{y}$ . [13] اشتقاق فعلی با در نظر نگرفتن مجموعه ساده شده استΓ $\ گاما$ یا مجموعه ای از مقادیر ویژه مربوط به آن $\گاما$ .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator

6-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 13:1

چرخش SU(2)، SO(3) و 360 درجه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اسپین (فیزیک)

اگرچه ممکن است انتظار داشته باشیم $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1$ (چرخش 360 درجه عملگر همانی است)، این در مکانیک کوانتومی فرض نمی شود، و معلوم می شود که اغلب درست نیست: زمانی که عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل یک عدد نیم صحیح است (1/2، 3/2). ، و غیره.)، $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1$ و هنگامی که یک عدد صحیح است، $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$ . [6] از نظر ریاضی، ساختار چرخش‌ها در جهان SO(3) نیست ، گروه چرخش‌های سه‌بعدی در مکانیک کلاسیک. در عوض، SU(2) است که برای چرخش های کوچک با SO(3) یکسان است، اما در جایی که چرخش 360 درجه از نظر ریاضی از چرخش 0 درجه متمایز می شود. (اما چرخش 720 درجه همان چرخش 0 درجه است.) [6]

از سوی دیگر، $R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$ در همه شرایط، زیرا چرخش 360 درجه یک پیکربندی فضایی مانند عدم چرخش است. (این با چرخش 360 درجه حالت داخلی (اسپین) ذره متفاوت است، که ممکن است مانند عدم چرخش باشد یا نباشد.) به عبارت دیگر، $R_{\text{spatial}}$ اپراتورها ساختار SO(3) را دارند ، در حالی که $آر$ و؛ داخلی $R_{\text{internal}}$ ساختار SU(2) را حمل می کند .

از معادله $+1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\ hbar \راست)$ ، یکی یک حالت ویژه را انتخاب می کند $L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle$ و قرعه کشی می کند

$e^{-2\pi im}=1$ یعنی اعداد کوانتومی تکانه زاویه‌ای مداری فقط می‌توانند اعداد صحیح باشند، نه نیمه صحیح.

5-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:58

تکانه زاویه ای به عنوان مولد چرخش [ ویرایش ]

همچنین ببینید: عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل

کلی ترین و اساسی ترین تعریف تکانه زاویه ای به عنوان مولد چرخش است. [6] به طور خاص، اجازه دهید $R({\hat {n}}،\phi)$ یک عملگر چرخشی باشد که هر حالت کوانتومی را حول محور بچرخاند ${\ کلاه {n}}$ توسط زاویه $\phi$ . مانند $\phi \راست فلش 0$ ، اپراتور $R({\hat {n}}،\phi)$ به عملگر هویت نزدیک می‌شود ، زیرا چرخش 0 درجه همه حالت‌ها را برای خودشان ترسیم می‌کند. سپس عملگر حرکت زاویه ایجی^ $J_{\ کلاه {n}}$ در مورد محور ${\ کلاه {n}}$ به این صورت تعریف شده است: [6]

$J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1} {\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}$

که در آن 1 عملگر همانی است . همچنین توجه داشته باشید که R یک مورفیسم افزایشی است: $R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1} \right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)$ ; در نتیجه [6]

$R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right )$ جایی که exp نمایی ماتریسی است .

به عبارت ساده تر، عملگر تکانه زاویه ای کل نحوه تغییر یک سیستم کوانتومی را هنگام چرخش مشخص می کند. رابطه بین عملگرهای تکانه زاویه ای و عملگرهای چرخشی مانند رابطه بین جبرهای لی و گروه های Lie در ریاضیات است که در ادامه بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

انواع مختلف عملگرهای چرخشی کادر بالایی دو ذره را نشان می‌دهد که حالت‌های اسپین به صورت شماتیک با فلش‌ها نشان داده شده‌اند.

عملگر R مربوط به J کل سیستم را می چرخاند.
عملگر R فضایی ، مربوط به L ، موقعیت ذرات را بدون تغییر حالت‌های اسپین داخلی آنها می‌چرخاند.
عملگر R داخلی ، مربوط به S ، حالات اسپین داخلی ذرات را بدون تغییر موقعیت آنها می چرخاند.

همانطور که J مولد عملگرهای چرخشی است ، L و S نیز مولدهای عملگرهای چرخش جزئی اصلاح شده هستند. اپراتور

$R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}} {\hbar }}\راست)،$

موقعیت (در فضا) همه ذرات و میدان‌ها را می‌چرخاند، بدون اینکه حالت داخلی (اسپین) هیچ ذره‌ای را بچرخاند. به همین ترتیب، اپراتور

$R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}} {\hbar }}\راست)،$ حالت داخلی (اسپین) همه ذرات را بدون حرکت دادن هیچ ذره یا میدانی در فضا می چرخاند. رابطه J = L + S از:

$R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{ فضایی}}\left({\hat {n}},\phi \right)$

یعنی اگر موقعیت‌ها چرخانده شوند، و سپس حالت‌های داخلی چرخانده شوند، در کل سیستم کامل چرخیده است.

4-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:56

فسیر بصری [ ویرایش ]

تصویر مدل برداری تکانه زاویه ای مداری.

مقاله اصلی: مدل برداری اتم

از آنجایی که گشتاورهای زاویه ای عملگرهای کوانتومی هستند، مانند مکانیک کلاسیک نمی توان آنها را به صورت بردار رسم کرد. با این وجود، معمول است که آنها را به صورت اکتشافی به این شکل به تصویر بکشیم. در سمت راست مجموعه ای از حالت ها با اعداد کوانتومی نشان داده شده است $=2$ ، و $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2$ برای پنج مخروط از پایین به بالا. از آنجا که $|L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}$ ، بردارها همه با طول نشان داده شده اند $\hbar {\sqrt {6}}$ . حلقه ها نشان دهنده این واقعیت است که $L_{z}$ با قطعیت شناخته شده است، اما $L_{x}$ و $L_{y}$ ناشناخته هستند؛ بنابراین هر بردار کلاسیک با طول و مولفه z مناسب رسم می شود و مخروط را تشکیل می دهد. مقدار مورد انتظار تکانه زاویه ای برای یک مجموعه معین از سیستم ها در حالت کوانتومی مشخص شده توسط $\ خوب$ و $m_{\ell }$ می تواند جایی در این مخروط باشد در حالی که نمی توان آن را برای یک سیستم واحد تعریف کرد (از آنجا که اجزای $L$ با یکدیگر رفت و آمد نکنید).

کوانتیزاسیون در سیستم های ماکروسکوپی [ ویرایش ]

به طور گسترده تصور می شود که قوانین کوانتیزاسیون حتی برای سیستم های ماکروسکوپی مانند تکانه زاویه ای L یک تایر در حال چرخش نیز صادق است. با این حال آنها هیچ اثر قابل مشاهده ای ندارند، بنابراین این مورد آزمایش نشده است. به عنوان مثال، اگر $L_{z}/\hbar$ تقریباً 100000000 است، اساساً فرقی نمی‌کند که مقدار دقیق یک عدد صحیح باشد مانند 100000000 یا 100000001 یا یک عدد غیر صحیح مانند 100000000.2 - مراحل گسسته در حال حاضر برای اندازه‌گیری بسیار کوچک هستند.

3-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:54

اشتقاق با استفاده از عملگرهای نردبانی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپراتور نردبان § تکانه زاویه ای

یک راه متداول برای استخراج قوانین کوانتیزاسیون فوق، روش عملگرهای نردبانی است . [12] عملگرهای نردبان برای کل تکانه زاویه ای $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\راست)$ به این صورت تعریف می شوند:

${\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}$

فرض کنید $|\psi \rangle$ یک حالت ویژه همزمان از $J^{2}$ و $J_{z}$ (یعنی حالتی با مقدار مشخص برای $J^{2}$ و یک مقدار مشخص برای $J_{z}$ ). سپس با استفاده از روابط جابجاکر برای اجزای $\mathbf {J}$ ، می توان ثابت کرد که هر یک از حالا $J_{+}|\psi \rangle$ و $J_{-}|\psi \rangle$ یا صفر است یا یک حالت ویژه همزمان از $J^{2}$ و $J_{z}$ ، با همان مقدار $|\psi \rangle$ برای $J^{2}$ اما با مقادیر برای $J_{z}$ که افزایش یا کاهش می یابد $\hbar$ به ترتیب. در صورتی که استفاده از عملگر نردبان حالتی با مقدار برای را ایجاد کند، نتیجه صفر است $J_{z}$ که خارج از محدوده مجاز است. با استفاده از عملگرهای نردبانی در این روش، مقادیر ممکن و اعداد کوانتومی برای $J^{2}$ و $J_{z}$ را می توان یافت.

استخراج مقادیر ممکن و اعداد کوانتومی برای $J_{z}$ و $J^{2}$ . [13]

اجازه دهید $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ یک تابع حالت برای سیستم با مقدار ویژه باشد" ${J^{2}}'$ برای $J^{2}$ و ارزش ویژه" $J_{z}'$ برای $J_{z}$ . [یادداشت 1]

از جانب $J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ به دست آمده است،

$J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.$ اعمال هر دو طرف معادله بالا به $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ ،

$(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}} '-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$ از آنجا که $J_{x}$ و $J_{y}$ قابل مشاهده واقعی هستند، ${J^{2}}'-J_{z}'^{2}$ منفی نیست و ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ . بدین ترتیب" $J_{z}'$ دارای کران بالا و پایین است.

دو تا از روابط جابجاکر برای اجزای $\mathbf{J}$ هستند،

$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.$ آنها را می توان برای به دست آوردن دو معادله ترکیب کرد که با استفاده از آنها با هم نوشته می شوند± $\pm$ نشانه های زیر،

${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )$ جایی که یکی از معادلات از+ $+$ نشانه ها و دیگری استفاده می کند- $-$ نشانه ها اعمال هر دو طرف بالا به $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ ،

${\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x }\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \ hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{تراز شده}}$ موارد فوق نشان می دهد که $(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ دو تابع ویژه از $J_{z}$ با مقادیر ویژه مربوطه ${J_{z}}'\pm \hbar$ ، مگر اینکه یکی از توابع صفر باشد که در این صورت یک تابع ویژه نیست. برای توابعی که صفر نیستند،

$\psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}' J_{z}').$ توابع ویژه بیشتر از $J_{z}$ و مقادیر ویژه مربوطه را می توان با اعمال مکرر پیدا کرد $J_{x}\pm iJ_{y}$ تا زمانی که بزرگی مقدار ویژه حاصله باشد" $\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}$ . از آنجایی که مقادیر ویژه از $J_{z}$ محدود هستند، اجازه دهید $J_{z}^{0}$ کمترین مقدار ویژه باشد و $J_{z}^{1}$ بالاترین باشد سپس

$(J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0$ و

$(J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0،$ از آنجایی که هیچ حالتی وجود ندارد که مقدار ویژه از $J_{z}$ است $<J_{z}^{0}$ یا $>J_{z}^{1}$ . با استفاده از $(J_{x}+iJ_{y})$ به معادله اول، $(J_{x}-iJ_{y})$ به دوم، و با استفاده از $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}$ ، می توان نشان داد که

${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ و

${J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.$ کم کردن معادله اول از دومی و تنظیم مجدد

$(J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.$ از آنجا که $J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}$ ، عامل دوم منفی است. سپس فاکتور اول باید صفر باشد و بنابراین $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ .

تفاوت $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}$ ناشی از کاربرد پی در $J_{x}-iJ_{y}$ یا $J_{x}+iJ_{y}$ که مقدار ویژه را کاهش یا افزایش می دهند $J_{z}$ توسط $\hbar$ به طوری که،

$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots$ اجازه دهید

$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,$ جایی که

$j=0،{\tfrac {1}{2}}،1،{\tfrac {3}{2}}،\dots \;.$ سپس با استفاده از $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ و موارد فوق،

$J_{z}^{0}=-j\hbar$ و

$J_{z}^{1}=j\hbar ,$ و مقادیر ویژه مجاز ازجی $J_{z}$ هستند

$J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .$ بیان کننده $J_{z}'$ بر حسب یک عدد کوانتوم $m_{j}\;$ ، و جایگزین کردن $J_{z}^{0}=-j\hbar$ به ${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ از بالا،

${\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^ {2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \ ;.\end{تراز شده}}$

از آنجا که $\mathbf {S}$ و $\mathbf {L}$ روابط جابجاکر مشابهی دارند $\mathbf {J}$ ، همان تجزیه و تحلیل نردبان را می توان برای آنها اعمال کرد، با این تفاوت که برای $\mathbf {L}$ محدودیت بیشتری در مورد اعداد کوانتومی وجود دارد که آنها باید اعداد صحیح باشند.

مشتق سنتی محدودیت به اعداد کوانتومی صحیح برای $L_{z}$ و $L^{2}$ . [14]

در نمایش شرودینگر، مولفه z عملگر تکانه زاویه ای مداری را می توان در مختصات کروی به صورت [15] بیان کرد.

$L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.$ برای $L_{z}$ و عملکرد ویژه $\psi$ با ارزش ویژه" $L_{z}'$ ،

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .$ حل کردن برای $\psi$ ،

$\psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar }،$ جایی که $آ$ مستقل از $\phi$ . از آنجا که $\psi$ لازم است تک ارزش گذاری شود و افزوده شود2 $2\pi$ به $\phi$ منجر به مختصاتی برای همان نقطه در فضا می شود،

${\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar }،\\e^ {iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{تراز شده}}$ حل برای مقدار ویژه" $L_{z}'$ ،

$L_{z}'=m_{l}\hbar \;,$ جایی که $m_{l}$ یک عدد صحیح است. [16] از مطالب فوق و رابطه ℓ=-ℓ،(-ℓ+1)،…،(ℓ-1)،ℓ $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \\$ ، نتیجه می شود که $\ خوب$ نیز یک عدد صحیح است. این نشان می دهد که اعداد کوانتوم $m_{\ell }$ وℓ $\ خوب$ برای تکانه زاویه ای مداری $\mathbf {L}$ بر خلاف اعداد کوانتومی برای کل تکانه زاویه ای به اعداد صحیح محدود می شوند $\mathbf {J}$ و بچرخ $\mathbf {S}$ ، که می تواند مقادیر نیمه صحیح داشته باشد. [17]

یک مشتق جایگزین که توابع موج تک ارزشی را فرض نمی‌کند در ادامه آمده است و آرگومان دیگری با استفاده از گروه‌های Lie در زیر آمده است .

مشتق جایگزین محدودیت به اعداد کوانتومی صحیح برای $L_{z}$ و $L^{2}$

بخش کلیدی مشتق سنتی بالا این است که تابع موج باید تک مقداری باشد. در حال حاضر توسط بسیاری تشخیص داده می شود که کاملاً صحیح نیست: یک تابع موج $\psi$ قابل مشاهده نیست و فقط چگالی احتمال است∗ $\psi ^{*}\psi$ باید تک ارزشی باشد. توابع موج نیمه صحیح دو مقدار ممکن، چگالی احتمال تک مقداری دارند. [18] این توسط Pauli در سال 1939 به رسمیت شناخته شد (به نقل از Japaridze و همکاران [19] ).

... هیچ استدلال قانع کننده پیشینی وجود ندارد که بگوید توابع موجی که برخی از حالات فیزیکی را توصیف می کنند باید توابع تک مقدار باشند. برای اینکه کمیت‌های فیزیکی که با مربع توابع موج بیان می‌شوند، تک مقدار باشند، کافی است که پس از حرکت در اطراف یک کانتور بسته، این توابع یک ضریب exp(iα) بدست آورند.

توابع موج دو مقدار پیدا شده است، مانند⁡ $\left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1} {2}}\تتا$ و $\left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac { 1}{2}}\تتا$ . [20] [21] اینها در زیر عملگرهای نردبانی رفتار خوبی ندارند، اما مشخص شده است که در توصیف ذرات کوانتومی صلب مفید هستند [22]

Ballentine [23] استدلالی را ارائه می دهد که صرفاً بر اساس فرمالیسم عملگر است و به تک مقدار بودن تابع موج متکی نیست. تکانه زاویه ای آزیموتال به صورت تعریف می شود

$L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}$ تعریف اپراتورهای جدید

${\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x }-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}& ={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{تراز شده}}$

(صحت ابعاد ممکن است با درج فاکتورهای جرم و واحد فرکانس زاویه ای به صورت عددی برابر با یک حفظ شود.) سپس

$L_{z}={\frac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\frac {1}{2 }}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$

اما دو عبارت سمت راست فقط همیلتون ها برای نوسان ساز هارمونیک کوانتومی با واحد جرم و فرکانس زاویه ای هستند.

${\begin{aligned}H_{1}&={\frac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\ H_{2}&={\frac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{تراز شده}}$

و $L^{2}$ ، $L_{z}$ ، $H_{1}$ و $H_{2}$ همه رفت و آمد می کنند

برای رفت و آمد عملگرهای هرمیتی می توان مجموعه کاملی از بردارهای پایه را انتخاب کرد که بردارهای ویژه برای هر چهار عملگر هستند. (استدلال گلوریوزو [24] را می توان به راحتی به هر تعداد از اپراتورهای رفت و آمد تعمیم داد.)

برای هر یک از این بردارهای ویژه $\psi$ با

${\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar \ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1 }\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+ {\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{تراز شده}}$

برای برخی از اعداد صحیح1، $n_{1},n_{2}$ ، ما پیدا می کنیم

$m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_ {1}-n_{2}$

به عنوان اختلاف دو عدد صحیح، $متر$ باید یک عدد صحیح باشد که از آن $\ خوب$ نیز جدایی ناپذیر است.

نسخه پیچیده تری از این استدلال با استفاده از عملگرهای نردبانی نوسانگر هارمونیک کوانتومی توسط بوچدال ارائه شده است. [25]

2-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:42

وابط جابجاگر شامل قدر برداری [ ویرایش ]

مانند هر بردار، مربع قدر را می توان برای عملگر تکانه زاویه ای مداری تعریف کرد.

$L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$

$L^{2}$ یک عملگر کوانتومی دیگر است . با اجزای آن رفت و آمد می کند $\mathbf {L}$ ،

$\left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z} \right]=0.$

یک راه برای اثبات اینکه این عملگرها رفت و آمد می کنند این است که از روابط جابجایی [ L ℓ ، L m ] در بخش قبل شروع کنید:

اثبات [ L 2 , L x ] = 0، با شروع از روابط جابجاکر [ Lℓ ، Lm ] [ 8]

${\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[ L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\چپ[L_{y },L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+ \left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_ {z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&= 0\end{تراز شده}}$

از نظر ریاضی، $L^{2}$ یک تغییر ناپذیر Casimir از جبر لی SO(3) است که توسط $\mathbf {L}$ .

همانطور که در بالا، یک رابطه مشابه در فیزیک کلاسیک وجود دارد:

$\left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2} ,L_{z}\right\}=0$ جایی که $L_i$ جزء اپراتور تکانه زاویه ای کلاسیک است و $\{،\}$ براکت پواسون است . [9]

با بازگشت به حالت کوانتومی، همان روابط جابجاکر برای سایر عملگرهای تکانه زاویه ای (اسپین و تکانه زاویه ای کل) نیز اعمال می شود.

${\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0 .\end{تراز شده}}$

اصل عدم قطعیت [ ویرایش ]

مقالات اصلی: اصل عدم قطعیت و مشتقات اصل عدم قطعیت

به طور کلی، در مکانیک کوانتومی، زمانی که دو عملگر قابل مشاهده در رفت و آمد نباشند، آنها را مشاهده پذیرهای مکمل می نامند . دو قابل مشاهده مکمل را نمی توان به طور همزمان اندازه گیری کرد. در عوض آنها یک اصل عدم قطعیت را برآورده می کنند . هر چه یک مورد مشاهده با دقت بیشتری شناخته شود، دیگری را با دقت کمتری می توان شناخت. همانطور که یک اصل عدم قطعیت مربوط به موقعیت و تکانه وجود دارد، اصول عدم قطعیت نیز برای تکانه زاویه ای وجود دارد.

رابطه رابرتسون- شرودینگر اصل عدم قطعیت زیر را به دست می دهد:

$\sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.$ جایی که $\sigma _{X}$ انحراف معیار در مقادیر اندازه گیری شده X و است $\langle X\rangle$ نشان دهنده مقدار انتظاری X است . اگر x، y، z دوباره مرتب شوند، یا اگر L با J یا S جایگزین شود، این نابرابری نیز صادق است .

بنابراین، دو جزء متعامد تکانه زاویه ای (مثلا L x و L y ) مکمل یکدیگر هستند و نمی توان آنها را به طور همزمان شناخت یا اندازه گیری کرد، مگر در موارد خاص مانند $L_{x}=L_{y}=L_{z}=0$ .

با این حال، می توان به طور همزمان L 2 و هر جزء از L را اندازه گیری یا مشخص کرد . به عنوان مثال، L 2 و L z . این اغلب مفید است و مقادیر با عدد کوانتومی ازیموتال ( l ) و عدد کوانتومی مغناطیسی ( m ) مشخص می شوند. در این حالت حالت کوانتومی سیستم یک حالت ویژه همزمان از عملگرهای L 2 و L z است ، اما نه از Lx یا Ly . مقادیر ویژه مربوط به l هستندو m همانطور که در جدول زیر نشان داده شده است.

کوانتیزاسیون [ ویرایش ]

همچنین ببینید: عدد کوانتومی ازیموتال و عدد کوانتومی مغناطیسی

در مکانیک کوانتومی ، تکانه زاویه‌ای کوانتیزه می‌شود - یعنی نمی‌تواند به طور پیوسته تغییر کند، بلکه فقط در "جهش‌های کوانتومی" بین مقادیر مجاز مشخص است. برای هر سیستمی، محدودیت های زیر در نتایج اندازه گیری اعمال می شود، جایی که $\hbar$ ثابت پلانک کاهش می یابد : [ 10]

اگر اندازه گیری کنید ...... نتیجه می تواند ...یادداشت

$L^{2}$ ℏ2ℓ(ℓ+1) $\hbar ^{2}\ell (\ell +1)$ ،

جایی کهℓ=0،1،2،… $\ell =0,1,2,\ldots$

ℓ $\ خوب$ گاهی اوقات عدد کوانتومی آزیموتال یا عدد کوانتومی مداری نامیده می شود . $L_{z}$ $\hbar m_{\ell }$ ،

جایی که $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell$

$m_{\ell }$ گاهی اوقات عدد کوانتومی مغناطیسی نامیده می شود .

این قانون کوانتیزاسیون مشابه برای هر جزء از $\mathbf {L}$ ; به عنوان مثال، $L_{x}\,or\,L_{y}$ .

این قانون گاهی اوقات کوانتیزاسیون فضایی نامیده می شود . [11]

$S^{2}$ $\hbar ^{2}s(s+1)$ ،

جایی که $s=0،{\tfrac {1}{2}}،1،{\tfrac {3}{2}}،\ldots$

s را عدد کوانتومی اسپین یا فقط اسپین می نامند .

به عنوان مثال، یک ذره اسپین 1 ⁄ 2 ذره ای است که در آن s = 1⁄2 است .

$S_{z}$ $\hbar m_{s}$ ،

جایی که $m_{s}=-s,(-s+1),\ldots,(s-1),s$

$ام‌اس}$ گاهی اوقات عدد کوانتومی طرح ریزی اسپین نامیده می شود .

این قانون کوانتیزاسیون مشابه برای هر جزء ازاس $\mathbf {S}$ ; به عنوان مثال، $S_{x}\,or\,S_{y}$ .

$J^{2}$ $\hbar ^{2}j(j+1)$ ،

جایی که $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$

j گاهی اوقات عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل نامیده می شود .جی $J_{z}$ $\hbar m_{j}$ ،

$m_{j}=-j,(-j+1),\ldots,(j-1),j$

$m_{j}$ گاهی اوقات عدد کوانتومی طرح تکانه زاویه ای کل نامیده می شود .

این قانون کوانتیزاسیون مشابه برای هر جزء از $\mathbf {J}$ ; به عنوان مثال، $J_{x}\,or\,J_{y}$ .

در این موج ایستاده روی یک رشته دایره ای، دایره دقیقاً به 8 طول موج شکسته می شود . یک موج ایستاده مانند این می تواند 0، 1، 2 یا هر عدد صحیحی از طول موج در اطراف دایره داشته باشد، اما نمی تواند تعداد طول موج های غیر صحیحی مانند 8.3 داشته باشد. در مکانیک کوانتومی، تکانه زاویه ای به دلیل مشابهی کوانتیزه می شود.

1-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:37

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در مکانیک کوانتومی ، عملگر تکانه زاویه ای یکی از چندین عملگر مرتبط مشابه با تکانه زاویه ای کلاسیک است . عملگر تکانه زاویه ای در نظریه فیزیک اتمی و مولکولی و سایر مسائل کوانتومی مربوط به تقارن چرخشی نقشی اساسی ایفا می کند . چنین عملگر برای یک نمایش ریاضی از وضعیت فیزیکی یک سیستم اعمال می شود و در صورتی که حالت مقدار مشخصی برای آن داشته باشد، مقدار تکانه زاویه ای به دست می دهد. در هر دو سیستم مکانیک کلاسیک و کوانتومی، تکانه زاویه ای (همراه با تکانه خطی و انرژی ) یکی از سه ویژگی اساسی حرکت است. [1]

چندین عملگر مومنتوم زاویه ای وجود دارد: تکانه زاویه ای کل (معمولاً با J نشان داده می شود )، تکانه زاویه ای مداری (معمولاً L نشان داده می شود ) و تکانه زاویه ای اسپین ( چرخش به اختصار، معمولاً S نشان داده می شود ). اصطلاح عملگر تکانه زاویه ای می تواند (به طور گیج کننده) به تکانه زاویه ای کل یا مداری اشاره کند. تکانه کل زاویه ای همیشه حفظ می شود، قضیه نوتر را ببینید .

نمای کلی [ ویرایش ]

"مخروط های برداری" با تکانه زاویه ای کل J (سبز)، L مداری (آبی) و اسپین S (قرمز). مخروط ها به دلیل عدم قطعیت کوانتومی بین اندازه گیری اجزای تکانه زاویه ای ایجاد می شوند ( به زیر مراجعه کنید ).

در مکانیک کوانتومی، تکانه زاویه ای می تواند به یکی از سه چیز متفاوت اما مرتبط اشاره داشته باشد.

تکانه زاویه ای مداری [ ویرایش ]

تعریف کلاسیک تکانه زاویه ای است $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ . همتایان مکانیکی کوانتومی این اجسام رابطه مشابهی دارند:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ جایی که r عملگر موقعیت کوانتومی ، p عملگر تکانه کوانتومی ، � ضربدری است ، و L عملگر تکانه زاویه ای مداری است . L (درست مانند p و r ) یک عملگر بردار است (برداری که اجزای آن عملگر هستند) یعنی $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\راست)$ که در آن L x ، L y ، L z سه عملگر مختلف مکانیکی کوانتومی هستند.

در مورد خاص یک ذره بدون بار الکتریکی و بدون اسپین ، عملگر تکانه زاویه ای مداری را می توان بر اساس موقعیت به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$ که در آن ∇ عملگر دیفرانسیل برداری، del است .

حرکت زاویه ای چرخشی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اسپین (فیزیک)

نوع دیگری از تکانه زاویه ای وجود دارد که به نام تکانه زاویه ای اسپین (اغلب به چرخش کوتاه می شود ) که توسط عملگر اسپین نشان داده می شود. $\mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\راست)$ . اسپین اغلب به صورت ذره ای به تصویر کشیده می شود که به معنای واقعی کلمه حول یک محور می چرخد، اما این تنها یک استعاره است: نزدیک ترین آنالوگ کلاسیک بر اساس گردش موج است. [2] همه ذرات بنیادی یک اسپین مشخص دارند ( بوزون های اسکالر دارای اسپین صفر هستند). برای مثال، الکترون‌ها همیشه �اسپین ۱/۲� دارند در حالی که فوتون‌ها همیشه �اسپین ۱� دارند (جزئیات زیر ).

تکانه زاویه ای کل [ ویرایش ]

در نهایت، تکانه زاویه ای کل وجود دارد جی=(جیایکس،جی،جی) $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\راست)$ ، که هم اسپین و هم تکانه زاویه ای مداری یک ذره یا سیستم را ترکیب می کند:

جی= اس.

$\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .$

پایستگی تکانه زاویه ای بیان می کند که J برای یک سیستم بسته، یا J برای کل جهان، حفظ می شود. با این حال، L و S به طور کلی حفظ نمی شوند . به عنوان مثال، اندرکنش اسپین-مدار اجازه می دهد تا تکانه زاویه ای بین L و S به عقب و جلو منتقل شود ، با کل J ثابت باقی بماند.

روابط جابجاکر [ ویرایش ]

روابط جابجاکر بین اجزا [ ویرایش ]

عملگر تکانه زاویه ای مداری یک عملگر برداری است، به این معنی که می توان آن را بر حسب اجزای برداری آن نوشت. $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\راست)$ . اجزاء دارای روابط جابجاکر زیر با یکدیگر هستند: [3]

$\left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},$

که در آن [ , ] نشان دهنده جابجایی است

$[X,Y]\Equiv XY-YX.$

این را می توان به صورت کلی نوشت

$\left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},$ که در آن l ، m ، n شاخص های مؤلفه هستند (1 برای x ، 2 برای y، 3 برای z)، و εlmn نشان دهنده نماد Levi - Civita است .

بیان فشرده به عنوان یک معادله برداری نیز ممکن است: [4]

$\mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L}$

روابط جابجاکر را می توان به عنوان پیامد مستقیم روابط جابجاکر متعارف اثبات کرد $[x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}$ ، جایی که δlm دلتای کرونکر است .

یک رابطه مشابه در فیزیک کلاسیک وجود دارد: [5]

$\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}$ که در آن L n جزء عملگر تکانه زاویه ای کلاسیک است و $\{،\}$ براکت پواسون است .

همین روابط جابجاکر برای سایر عملگرهای تکانه زاویه ای (اسپین و تکانه زاویه ای کل) اعمال می شود: [6]

$\left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[ J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.$

اینها را می توان در قیاس با L فرض کرد . به طور متناوب، می توان آنها را همانطور که در زیر بحث می شود استخراج کرد .

این روابط جابجایی به این معنی است که L ساختار ریاضی یک جبر Lie را دارد و εlmn ثابت های ساختار آن هستند . در این مورد، جبر لی در نماد فیزیک SU(2) یا SO(3) است.سو⁡(2) $\operatorname {su} (2)$ یابنابراین⁡(3) $\operatorname {so} (3)$ به ترتیب در نماد ریاضی)، یعنی جبر لی مرتبط با چرخش در سه بعدی. همین امر در مورد J و S نیز صادق است . دلیل آن در زیر مورد بحث قرار گرفته است . این روابط جابجاکر برای اندازه گیری و عدم قطعیت مرتبط هستند، همانطور که در ادامه بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

در مولکول ها، تکانه زاویه ای کل F مجموع تکانه زاویه ای روویبرونیک (اوربیتال) N ، تکانه زاویه ای اسپین الکترون S ، و تکانه زاویه ای اسپین هسته ای I است . برای حالت‌های منفرد الکترونیکی، تکانه زاویه‌ای روویبرونیک به جای N نشان داده می‌شود . همانطور که توسط واندایک توضیح داده شد، [7] اجزای تکانه زاویه‌ای روویبرونیک مولکولی که به محورهای ثابت مولکولی اشاره می‌شود، دارای روابط جابجاکر متفاوتی نسبت به مواردی هستند که در بالا برای اجزای محورهای ثابت در فضا هستند.

روابط جابجاکر شامل قدر برداری [ ویرایش ]

مانند هر بردار، مربع قدر را می توان برای عملگر تکانه زاویه ای مداری تعریف کرد.

$L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$

$L^{2}$ یک عملگر کوانتومی دیگر است . با اجزای آن رفت و آمد می کند $\mathbf {L}$ ،

$\left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z} \right]=0.$

اثبات [ L 2 , L x ] = 0، با شروع از روابط جابجاکر [ Lℓ ، Lm ] [ 8]

از نظر ریاضی، $L^{2}$ یک تغییر ناپذیر Casimir از جبر لی SO(3) است که توسط $\mathbf {L}$ .

همانطور که در بالا، یک رابطه مشابه در فیزیک کلاسیک وجود دارد:

${\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0 .\end{تراز شده}}$

اصل عدم قطعیت [ ویرایش ]

مقالات اصلی: اصل عدم قطعیت و مشتقات اصل عدم قطعیت

رابطه رابرتسون- شرودینگر اصل عدم قطعیت زیر را به دست می دهد:

کوانتیزاسیون [ ویرایش ]

همچنین ببینید: عدد کوانتومی ازیموتال و عدد کوانتومی مغناطیسی

اگر اندازه گیری کنید ...... نتیجه می تواند ...یادداشت

$L^{2}$ ℏ2ℓ(ℓ 1) $\hbar ^{2}\ell (\ell +1)$ ،

جایی کهℓ=0،1،2،… $\ell =0,1,2,\ldots$

ℓ $\ خوب$ گاهی اوقات عدد کوانتومی آزیموتال یا عدد کوانتومی مداری نامیده می شود . $L_{z}$ $\hbar m_{\ell }$ ،

جایی که $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell$

$m_{\ell }$ گاهی اوقات عدد کوانتومی مغناطیسی نامیده می شود .

این قانون کوانتیزاسیون مشابه برای هر جزء از $\mathbf {L}$ ; به عنوان مثال، $L_{x}\,or\,L_{y}$ .

این قانون گاهی اوقات کوانتیزاسیون فضایی نامیده می شود . [11]

$S^{2}$ $\hbar ^{2}s(s+1)$ ،

جایی که $s=0،{\tfrac {1}{2}}،1،{\tfrac {3}{2}}،\ldots$

s را عدد کوانتومی اسپین یا فقط اسپین می نامند .

به عنوان مثال، یک ذره اسپین 1 ⁄ 2 ذره ای است که در آن s = 1⁄2 است .

$S_{z}$ $\hbar m_{s}$ ،

جایی که $m_{s}=-s,(-s+1),\ldots,(s-1),s$

$ام‌اس}$ گاهی اوقات عدد کوانتومی طرح ریزی اسپین نامیده می شود .

این قانون کوانتیزاسیون مشابه برای هر جزء ازاس $\mathbf {S}$ ; به عنوان مثال، $S_{x}\,or\,S_{y}$ .

$J^{2}$ $\hbar ^{2}j(j+1)$ ،

جایی که $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$

j گاهی اوقات عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل نامیده می شود .جی $J_{z}$ $\hbar m_{j}$ ،

$m_{j}=-j,(-j+1),\ldots,(j-1),j$

$m_{j}$ گاهی اوقات عدد کوانتومی طرح تکانه زاویه ای کل نامیده می شود .

این قانون کوانتیزاسیون مشابه برای هر جزء از $\mathbf {J}$ ; به عنوان مثال، $J_{x}\,or\,J_{y}$ .

اشتقاق با استفاده از عملگرهای نردبانی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپراتور نردبان � تکانه زاویه ای

${\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}$

فرض کنید $|\psi \rangle$ یک حالت ویژه همزمان از $J^{2}$ و $J_{z}$ (یعنی حالتی با مقدار مشخص برای $J^{2}$ و یک مقدار مشخص برای $J_{z}$

1-عملگر حرکت زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۲ | 12:36

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نمای کلی [ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی، تکانه زاویه ای می تواند به یکی از سه چیز متفاوت اما مرتبط اشاره داشته باشد.

تکانه زاویه ای مداری [ ویرایش ]

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ جایی که r عملگر موقعیت کوانتومی ، p عملگر تکانه کوانتومی ، × ضربدری است ، و L عملگر تکانه زاویه ای مداری است . L (درست مانند p و r ) یک عملگر بردار است (برداری که اجزای آن عملگر هستند) یعنی $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\راست)$ که در آن L x ، L y ، L z سه عملگر مختلف مکانیکی کوانتومی هستند.

$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$ که در آن ∇ عملگر دیفرانسیل برداری، del است .

حرکت زاویه ای چرخشی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اسپین (فیزیک)

نوع دیگری از تکانه زاویه ای وجود دارد که به نام تکانه زاویه ای اسپین (اغلب به چرخش کوتاه می شود ) که توسط عملگر اسپین نشان داده می شود. $\mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\راست)$ . اسپین اغلب به صورت ذره ای به تصویر کشیده می شود که به معنای واقعی کلمه حول یک محور می چرخد، اما این تنها یک استعاره است: نزدیک ترین آنالوگ کلاسیک بر اساس گردش موج است. [2] همه ذرات بنیادی یک اسپین مشخص دارند ( بوزون های اسکالر دارای اسپین صفر هستند). برای مثال، الکترون‌ها همیشه «اسپین ۱/۲» دارند در حالی که فوتون‌ها همیشه «اسپین ۱» دارند (جزئیات زیر ).

تکانه زاویه ای کل [ ویرایش ]

جی=+اس.

$\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .$

روابط جابجاکر [ ویرایش ]

روابط جابجاکر بین اجزا [ ویرایش ]

$\left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},$

که در آن [ , ] نشان دهنده جابجایی است

$[X,Y]\Equiv XY-YX.$

این را می توان به صورت کلی نوشت

بیان فشرده به عنوان یک معادله برداری نیز ممکن است: [4]

$\mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L}$

یک رابطه مشابه در فیزیک کلاسیک وجود دارد: [5]

$\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}$ که در آن L n جزء عملگر تکانه زاویه ای کلاسیک است و $\{،\}$ براکت پواسون است .

همین روابط جابجاکر برای سایر عملگرهای تکانه زاویه ای (اسپین و تکانه زاویه ای کل) اعمال می شود: [6]

$\left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[ J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.$

اینها را می توان در قیاس با L فرض کرد . به طور متناوب، می توان آنها را همانطور که در زیر بحث می شود استخراج کرد .

تابع موج - تعریف، ویژگی ها و اهمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 18:18

20 دسامبر 2022 توسط جیوتی بشیال

مکانیک کوانتومی برای درک نحوه رفتار الکترون ها در اتم ها و مولکول ها مورد نیاز است و تابع موج برای توصیف الکترون ها استفاده می شود و شامل تمام دانشی است که ما در مورد رفتار آنها داریم. سطوح انرژی کوانتیزه مجاز یک سیستم توسط این نظریه پیش بینی می شود، همراه با ویژگی های دیگری که آن را از فیزیک "کلاسیک" متمایز می کند. در سطح میکروسکوپی، ایده سنتی یک مسیر ثابت - مانند حرکت یک سیاره به دور خورشید - نامعتبر است. تنها توزیع‌های احتمال، که با مجذور تابع موج نشان داده می‌شوند و نشان می‌دهند که الکترون‌ها در کجا بیشتر یا کمتر یافت می‌شوند، توسط نظریه کوانتومی پیش‌بینی می‌شوند.

تعریف تابع موج، خواص و اهمیت

سطوح انرژی مجاز و توابع موج متناظر با راه حل های معادله موج شرودینگر آشکار می شوند. اوربیتال های اتمی نامی است که به توابع موج برای اتم هایی که مشابه مدار الکترون ها در مدل سیاره ای سنتی هستند داده می شود. فقط اتم‌ها و یون‌های یک الکترون می‌توانند معادله شرودینگر را دقیقاً حل کنند، اما اوربیتال‌های اتمی این محلول‌ها تصاویری از رفتار الکترون‌ها ارائه می‌دهند که می‌توان آن‌ها را روی اتم‌ها و مولکول‌های چند الکترونی اعمال کرد.

فهرست مطالب

تابع موج چیست؟

احتمال حالت کوانتومی یک ذره به عنوان تابعی از موقعیت، تکانه، زمان و/یا اسپین به عنوان تابع موج تعریف می شود. نماد Ψ اغلب برای نشان دادن توابع موج استفاده می شود.

تابع موج انرژی، تکانه زاویه ای و جهت مداری الکترون را به شکل اعداد کوانتومی n، l و ml به ما می دهد. بنابراین، این اطلاعات برای درک الکترونی که با آن مرتبط است بسیار مهم است.
یک علامت مثبت یا منفی می تواند در تابع موج وجود داشته باشد. علامت نقش مهمی در محاسبات دارد. یک مولکول زمانی ایجاد می شود که توابع موجی دو یا چند اتم با هم جمع شوند.

احتمال یافتن الکترون در یک موج ماده را می توان با استفاده از تابع موج توصیف کرد. برای انجام این کار، تابع موج، که ممکن است حاوی یک عدد خیالی باشد، مربع می شود تا یک جواب عدد واقعی تولید شود. احتمال وجود یک الکترون در یک ناحیه خاص را می توان محاسبه کرد.

اروین شرودینگر در سال 1926 تابع موجی هیدروژن، اساسی ترین اتم را تعیین کرد.

تابع موج

اعداد کوانتومی و نامگذاری

اعداد کوانتومی به عنوان برچسب برای اوربیتال های اتمی هیدروژن عمل می کنند. برای مشخصات کامل، سه عدد صحیح مورد نیاز است.

عدد کوانتومی اولیه ، n، می‌تواند مقادیر 1، 2، 3، ... را داشته باشد.
عدد کوانتومی تکانه زاویه ای (همچنین به عنوان عدد ازیموتال نیز شناخته می شود)، l، می تواند از صفر تا حداکثر n 1 متغیر باشد. تکانه زاویه ای کلی الکترون در اطراف هسته توسط این تعیین می شود.
عدد کوانتومی مغناطیسی m، می تواند مقادیری از l تا +l داشته باشد، هم مثبت و هم منفی. علاوه بر این، جهت چرخش الکترون را تعیین می کند. برای متمایز کردن آن از عدد کوانتومی اسپین ms، نماد m گاهی اوقات به صورت ml نوشته می شود.

اوربیتال های اتمی با l = 0 به عنوان اوربیتال های s شناخته می شوند و اوربیتال های با l = 1، 2 و 3 به ترتیب به عنوان اوربیتال های p، d و f شناخته می شوند. به عنوان مثال، اوربیتال با n=1، l =0 با 1s و اوربیتال با n=3، l =2 با 3d نمایش داده می شود. همیشه سه اوربیتال p برای هر n، پنج اوربیتال d و هفت اوربیتال f وجود دارد زیرا برای هر نوع اوربیتال 2 l +1 مقادیر m امکان پذیر است.

مقادیر مجاز l و m برای اوربیتال های با n=1-4 با قوانین زیر تعیین می شود.

مقادیر مجاز l و m (تابع موج)

توابع زاویه ای: "اشکال"

توابع ریاضی اوربیتال های اتمی را می توان به صورت حاصل ضرب دو عامل نوشت:

تابع موج شعاعی رفتار الکترون را به عنوان تابعی از فاصله از هسته توصیف می کند.
تابع موج زاویه ای نشان می دهد که چگونه با جهت فضا تغییر می کند. توابع موج زاویه ای ویژگی های اوربیتال های s، p، d، ... هستند اما به n وابسته نیستند.

شکل زیر نمایش نموداری توابع زاویه ای برای اوربیتال های s، p و d را نشان می دهد.

اشکال مداری

. اشکال اوربیتال های s، p و d.

آنها اساساً نمودارهای قطبی هستند که نشان می دهند چگونه تابع موج زاویه ای به زوایای قطبی θ و Φ بستگی دارد . به طور خلاصه، آنها سطوح مرزی هستند که ناحیه(های) فضا را که احتمال یافتن الکترون در آنجا بیشتر است، محصور می کنند. از آنجایی که تابع موج اوربیتال s به زاویه بستگی ندارد، احتمال آن در همه جهات در فضا یکسان است. هر اوربیتال p دارای دو لوب با مقادیر تابع موج مثبت و منفی در دو طرف هسته است که توسط صفحه گره ای با تابع موج صفر از هم جدا شده اند.

سه اوربیتال متمایز p که با مقادیر مجاز m مطابقت دارند، در امتداد محورهای مختلف هدایت می شوند و به صورت px، py و pz نشان داده می شوند. هر یک از پنج اوربیتال مختلف d دارای دو صفحه گره ای است که دو ناحیه تابع موج مثبت و دو ناحیه تابع موج منفی را از هم جدا می کنند. بنابراین اشکال اوربیتال های اتمی در درک خواص پیوند اتمی بسیار مهم است.

توزیع های شعاعی

توابع موج شعاعی به n و l وابسته هستند اما به m وابسته نیستند. از این رو، هر سه اوربیتال 2p شکل شعاعی یکسانی دارند. تابع موج ممکن است دارای مناطق مثبت یا منفی باشد. با این حال، بررسی چگونگی تغییر توزیع‌های احتمال شعاعی الکترون با فاصله از هسته، آموزنده‌تر است. آنها دارای ویژگی های زیر هستند؛

توزیع های شعاعی می توانند چندین قله داشته باشند که تعداد آنها برابر nl است.
بیرونی ترین قله تا حد زیادی بزرگترین است که محل الکترون را نشان می دهد. فاصله بین این قله و هسته معیاری از شعاع مدار است و تقریباً متناسب با n 2 است اگرچه کمی به l نیز بستگی دارد.

بنابراین انرژی یک الکترون در یک اتم با توزیع شعاعی تعیین می شود. یک الکترون با افزایش فاصله متوسط آن از هسته، محدودتر می شود. حداکثرهای فرعی در فواصل کوتاهتر در هیدروژن بی اهمیت هستند. اما آنها در درک انرژی در اتم های چند الکترونی مهم هستند.

ویژگی های تابع موج

اولاً، معادله شرودینگر تمام محاسبات انرژی را ساده می کند.
توزیع احتمال در سه بعدی با استفاده از تابع موج ایجاد می شود.
تمام اطلاعات قابل اندازه گیری در مورد ذره در دسترس است.
تابع موج باید تک مقداری و پیوسته باشد.
در سه بعد، یک توزیع احتمال با استفاده از تابع موج برقرار می شود.
اگر ذره ای وجود داشته باشد، احتمال یافتن یک ذره یک است.
در حالی که Ψ خود هیچ تفسیر فیزیکی ندارد، |Ψ| 2 ارزیابی شده در یک مکان خاص در یک زمان خاص برابر با احتمال یافتن جسد در آن زمان است.

اهمیت تابع موج

در مورد نور یا صدا، مجذور دامنه موج در هر نقطه، شدت صوت یا نور را در آن نقطه به ما می دهد.
به طور مشابه، مجذور دامنه یک موج الکترونی معین در هر نقطه، شدت موج الکترونی را در آن نقطه به ما می دهد، که طبق اصل عدم قطعیت هایزنبرگ، احتمال یافتن الکترون را در آن نقطه نشان می دهد.
مربع دامنه الکترون ها در هر نقطه احتمال یافتن الکترون در آن نقطه را می دهد که معادل چگالی الکترون در آن نقطه است.
اوربیتال ناحیه ای در اطراف هسته است و نشان دهنده چگالی الکترون در نقاط مختلف است.
تابع موج برای یک الکترون در یک اتم به عنوان تابع موج مداری یا اوربیتال اتمی شناخته می شود.
از آنجایی که الکترون ها می توانند هر تابع موجی داشته باشند، یک اتم دارای اوربیتال های اتمی زیادی است.
علاوه بر این، این احتمال بهترین توصیف ممکن را از چنین وضعیتی ارائه می دهد که ما قادر به توصیف آن با قطعیت نیستیم.
در اکثر مواقع، الکترون ها در حجم کره ای یافت می شوند که با آن فاصله محدود شده است، و بقیه زمان ها، الکترون ها خارج از حجم کره یافت می شوند.
ابر الکترونی ناحیه‌ای از فضای اطراف هسته است که می‌تواند احتمال یافتن یک الکترون با انرژی معین را که با نقطه‌ها نشان داده می‌شود، توصیف کند.
اوربیتال اتمی فضایی سه بعدی در اطراف هسته است که در آن احتمال یافتن الکترون با انرژی معین حداکثر است.

همچنین بخوانید:

اهمیت فیزیکی تابع موج

اولاً، تابع موج معنای فیزیکی ندارد زیرا کمیتی نیست که بتوان آن را مشاهده کرد. با این حال، پیچیده است.
تابع موج Ψ(r,t) پیچیده است. می توان آن را به شکل زیر نوشت: Ψ(r, t) = A(r, t) + i B(r, t) که در آن A و B توابع واقعی هستند.
علاوه بر این، مزدوج پیچیده Ψ به صورت Ψ* = A – iB تعریف می شود
در نهایت، ψ 2 یک تفسیر فیزیکی از تابع موج است زیرا اطلاعات احتمالی را برای مکان یابی یک ذره در تخصیص در زمان معین ارائه می دهد.

منابع

https://thechemistrynotes.com/wavefunction/

راه حل های تابع موج شعاعی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 17:23

تعریف شعاع بور

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}a_0={\hbar\over\alpha mc} ,\egroup\end{displaymath}$

ما می توانیم توابع موج شعاعی را محاسبه کنیم در اینجا لیستی از اولین چندین تابع موج شعاعی آورده شده است $\bgroup\color{black}$R_{n\ell}(r)$\egroup$ .

$\begin{eqnarray*} R_{10} &=& 2\left({Z\over a_0}\right)^{3\over 2}\; e^{ - Z r/ ... ...0}+{2\left(Zr\right)^2\over 27a_0^2}\right)\;e^{ - Z r/ 3a_0}\\ \ پایان{eqnarray*}$

برای یک عدد کوانتومی اصلی داده شده $\bgroup\color{black}$n$\egroup$ ، بزرگترین $\bgroup\color{black}$\ell$\egroup$ تابع موج شعاعی با داده می شود

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}R_{n,n-1}\; \propto\; r^{n-1}\; e^{ - Z r/na_0}\egroup\end{displaymath}$

توابع موج شعاعی باید به صورت زیر نرمال شود .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\int\limits_0^\infty r^2 R^*_{n\ell}R_{n\ell}\; dr=1 \egroup\end{displaymath}$

* مثال: مقادیر مورد انتظار , , و در حالت هیدروژن را محاسبه کنید . ${1\بیش از 6}(4\psi_{100}+3\psi_{211}-i\psi_{210}+\sqrt{10}\psi_{21-1})$ *

تصاویر زیر توزیع احتمال در فضا را برای توابع موج هیدروژن نشان می دهد.

$\epsfig{file=figs/H_wfn_pics.eps,height=5in}$

نمودارهای زیر توابع موج شعاعی را نشان می دهند. باز هم، برای یک حالت $\bgroup\color{black}$n$\egroup$ ماکزیمم $\bgroup\color{black}$\ell$\egroup$ ، هیچ تحریک شعاعی، و بنابراین هیچ گره‌ای در تابع موج شعاعی وجود ندارد. همانطور که $\bgroup\color{black}$\ell$\egroup$ برای یک ثابت کوچکتر می شود $\bgroup\color{black}$n$\egroup$ ، ما برانگیختگی شعاعی بیشتری را می بینیم.

$\epsfig{file=figs/H_radial1.eps,height=6in}$

$\epsfig{file=figs/H_radial2.eps,height=6in}$

یک انتگرال مفید برای محاسبات اتم هیدروژن است.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\int\limits_{0}^{\infty}\; dx\; x^n\; e^{-ax} ={n!\over a^{n+1}} \egroup\end{displaymath}$

* مثال: ارزش انتظاری ${1\over r}$ در ایالت چقدر است $\psi_{100}$ ؟ *

* مثال: ارزش انتظاری در ایالت چقدر است $\psi_{100}$ ؟ *

* مثال: مقدار انتظاری مولفه شعاعی سرعت در حالت چقدر است $\psi_{100}$ ؟ *

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node233.html

شار احتمال *

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 17:11

در قیاس با بردار Poynting برای تابش EM، ممکن است بخواهیم جریان احتمالی را در برخی موقعیت‌های فیزیکی بدانیم . برای مثال، در محلول ذرات آزاد ما، چگالی احتمال در تمام فضا یکنواخت است، اما یک جریان خالص در امتداد جهت تکانه وجود دارد.

ما می‌توانیم با افتراق و استفاده از معادله شرودینگر، معادله‌ای را استخراج کنیم که بقای احتمال را نشان می‌دهد . $\bgroup\color{black}$P(x,t)=\psi^*\psi$\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {\partial P(x,t)\over\partial t}+{\partial j(x,t)\over\partial x}=0 \egroup\end{ نمایش ریاضی}$

$\bgroup\color{black}$j(x,t)$\egroup$ اگر به عنوان جریان احتمال شناسایی شود، این معادله بقای معمول است .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} j(x,t)={\hbar\over 2mi} \left[\psi^*{\pa... ...r\partial x}-{\ partial\psi^*\over\partial x}\psi\right] \egroup\end{displaymath}$

این جریان را می توان از تابع موج محاسبه کرد.

اگر در یک بازه زمانی در انتگرال گیری کنیم $\bgroup\color{black}$x$\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \int\limits_a^b{\partial P(x,t)\over\partial t}dx=-\int\limits_a^b{\partial j(x,t )\over\partial x} \egroup\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {\partial\over\partial t}\int\limits_a^b P(x,t)dx=j(x=a,t)-j(x=b, t) \egroup\end{displaymath}$

معادله می گوید که نرخ تغییر احتمال در یک بازه برابر است با شار احتمال به انتگرال منهای شار خارج.

گسترش این تحلیل به 3 بعد ،

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {\partial P(x,t)\over\partial t}+\vec{\nabla}\cdot \vec{j}(\vec{r},t) =0 \egroup\end{displaymath}$

با

$\bgroup\color{black}$\displaystyle \vec{j}(\vec{r},t)={\hbar\over 2mi} \left[\ps... ...bla}\psi(\vec {r},t)-\psi(\vec{r},t)\vec{\nabla}\psi^*(\vec{r},t)\right] $\egroup$

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node122.html

معادله شرودینگر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 17:6

معادله شرودینگر

دائماً در حال تغییر پتانسیل ها

معادله شرودینگر مستقل از زمان:

معادله شرودینگر

با استفاده از این معادله، تابع موج برای یک ذره در داخل یک "جعبه" با دیواره های ساخته شده از یک پتانسیل را می توان یافت. به عنوان مثال، این شامل جعبه با دیوارهای بی نهایت است: منطقه ای با پتانسیل 0، با پتانسیل نامحدود در لبه های عرض آن. معادله دیفرانسیل را می توان برای این مسئله خاص حل کرد تا تابع موج سینوسی برای حرکت ذره با تابع برابر با صفر در خارج از جعبه به دست آورد. مربع تابع موج احتمالی است که به این ترتیب می توان آن را پیدا کرد. تابع موج همچنین انرژی های در دسترس ذره را کوانتیزه می کند، زیرا باید با شش شرایط مرزی مطابقت داشته باشد. تابع موج باید محدود، تک مقداری و پیوسته باشد و مشتق آن نسبت به موقعیت نیز باید متناهی، تک مقداری و پیوسته باشد.

نمودار جعبه بی نهایت

فرآیند روی ذره در جعبه بینهایت را می توان با تغییر یک یا هر دو دیوار به دیوارهای محدود تغییر داد. دیوارها باید هنوز پتانسیل بالاتر از انرژی ذره داشته باشند تا ذره به طور کلاسیک محدود شود و انرژی کوانتیزه شود. هنگامی که دیوار پایین می آید، حتی اگر به طور کلاسیک، ذره احتمال پیدا شدن در منطقه صفر داشته باشد، احتمال یافتن ذره در خارج از دیوار به طور تصاعدی کاهش می یابد. این منجر به برخی نتیجه‌گیری‌ها می‌شود: پتانسیل ثابتی که کمتر از انرژی کل ذره است منجر به تابع موج سینوسی می‌شود و پتانسیل ثابت بالاتر از انرژی کل ذره، تابع موجی به‌طور نمایی کاهش می‌دهد.

نمودار جعبه محدود

این نتیجه گیری موجه است زیرا معادله شرودینگر را می توان برای هر پتانسیل ثابت به یکی از دیفرانسیل های زیر کاهش داد.

دیفرانسیل با مشتق دوم تابع موج برابر با ثابت منفی مجذور تابع موج به صورت یک معادله سینوسی حل می شود. دیفرانسیل با مشتق دوم تابع موج برابر با ثابت مثبت مجذور تابع موج به صورت نمایی حل می شود که برای محدود بودن تابع موج در مقادیر بزرگ x باید کاهش یابد.

بنابراین ما راه حل اساسی برای توابع موج متشکل از پتانسیل ثابت را می دانیم. برای حل کامل توابع، همچنین لازم است تابع موج عادی شود، به طوری که احتمال کل قرار گرفتن ذره در هر مکان (انتگرال تابع موج در کل طول) برابر با یک باشد. اما چگونه می توان معادله ای را با پتانسیل دائما در حال تغییر حل کرد؟ در ابتدا ممکن است به سادگی بتوان معادله پتانسیل را بر حسب x وصل کرد و معادله دیفرانسیل را حل کرد. این در واقع برای نوسانگر هارمونیک امکان پذیر است، جایی که پتانسیل تابعی از مجذور x است. متأسفانه، برای اکثر پتانسیل ها، روش تحلیلی حل دیفرانسیل از وحشتناک تا غیر ممکن است. هر معادله دیفرانسیل کاملا مستقل است، و برای حل نیاز به روش های جدیدی دارد. راه مرسوم برای حل این دیفرانسیل های دشوار توسط کامپیوتر است. نوشتن یک برنامه کامپیوتری کوتاه که بتواند معادله دیفرانسیل را بگیرد و انرژی های لازم را بیابد و تابع موج را رسم کند نسبتا آسان است. این کار با وارد کردن نقاط شروع و تغییر معادله دیفرانسیل به معادله اختلاف، با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه انجام می شود. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. نوشتن یک برنامه کامپیوتری کوتاه که بتواند معادله دیفرانسیل را بگیرد و انرژی های لازم را بیابد و تابع موج را رسم کند نسبتا آسان است. این کار با وارد کردن نقاط شروع و تغییر معادله دیفرانسیل به معادله اختلاف، با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه انجام می شود. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. نوشتن یک برنامه کامپیوتری کوتاه که بتواند معادله دیفرانسیل را بگیرد و انرژی های لازم را بیابد و تابع موج را رسم کند نسبتا آسان است. این کار با وارد کردن نقاط شروع و تغییر معادله دیفرانسیل به معادله اختلاف، با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه انجام می شود. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول. با استفاده از تغییرات کوچک در x و انجام دستی تابع موج در طول یک بازه. تابع موج فقط برای انرژی های مناسب و کوانتیزه شده روی محور همگرا می شود و در غیر این صورت به سمت بالا یا پایین تا بی نهایت واگرا می شود. بنابراین می توان انرژی های مختلف را امتحان کرد، با نزدیک شدن به مقدار مناسب، برای یافتن چند انرژی مناسب اول.

در حالی که استفاده از رایانه برای حل همه پتانسیل‌های ممکن ممکن است، ترجیح داده می‌شود که بتوانیم با نگاه کردن به آنها پتانسیل‌های دیگر را تقریب کنیم. برای حل این مشکل ما به "گام" به خوبی نگاه می کنیم. چنین چاهی تقریباً دقیقاً شبیه چاه محدود است، با این تفاوت که پتانسیل آن در کف چاه به طور ناپیوسته مانند یک پله تغییر می کند. می دانیم که هر یک از تابع های موج در پایین چاه باید سینوسی باشد. یکی از روش های بیان تابع این است: Asin(kx + b)، که در آن A دامنه است، k ثابتی است که با پتانسیل تعیین می شود، که در یکی از معادلات بالا نشان داده شده است، x موقعیت است، و b است. یک فاز ثابت تابع موج باید پیوسته باشد. مشتق تابع موج kAcos (kx + b) است که باید پیوسته باشد. تقسیم مشتق بر k و مجذور آن،2 = (psi 2 + [d(psi)/dx] 2 / k2) از آنجایی که تابع موج و مشتق آن پیوسته هستند، در مقادیر x بی نهایت نزدیک به مکانی که پتانسیل تغییر می کند، تابع موج و مشتق آن در هر دو طرف منطقی هستند. با این حال، از آنجایی که پتانسیل در آن مکان به طور ناپیوسته افزایش می یابد، k در آن مکان کاهش می یابد. از آنجایی که k تغییر می کند، اما تابع موج یا مشتق آن تغییر نمی کند، A نیز باید تغییر کند. از آنجایی که k کاهش می یابد، A در گام به سمت بالا افزایش می یابد. این بدان معنی است که دامنه تابع موج با پتانسیل بالاتر افزایش می یابد و از آنجایی که kx در sin(kx + b) کاهش می یابد، طول موج تابع موج سینوسی نیز افزایش می یابد. با هم این بدان معناست که در گام ناپیوسته افزایش پتانسیل، تابع موج در دامنه و طول موج افزایش می یابد. این امکان تحلیل کیفی تقریباً هر پتانسیل را فراهم می کند. هر پتانسیل پیوسته در حال تغییر، مانند یک سطح شیب دار یا مثلث، را می توان با یک سری مراحل تقریب زد. هرچه عرض پله ها کمتر باشد، دقت بیشتری دارد. از این تقریب، واضح است که یک پایین چاه در حال تغییر خطی، بر اساس اصول قبلی، "طول موج" و دامنه دائمی در حال تغییر خواهد داشت. با جایگزین کردن V=cx به جای V در معادله k، می‌توانیم معادله‌ای برای k بر اساس x به دست آوریم که می‌توان آن را در معادلات برای دامنه و «طول موج» جایگزین کرد تا تقریبی برای تغییرات نامنظم آنها یافت. آ و دامنه، بر اساس اصول قبلی. با جایگزین کردن V=cx به جای V در معادله k، می‌توانیم معادله‌ای برای k بر اساس x به دست آوریم که می‌توان آن را در معادلات برای دامنه و «طول موج» جایگزین کرد تا تقریبی برای تغییرات نامنظم آنها یافت. آ و دامنه، بر اساس اصول قبلی. با جایگزین کردن V=cx به جای V در معادله k، می‌توانیم معادله‌ای برای k بر اساس x به دست آوریم که می‌توان آن را در معادلات برای دامنه و «طول موج» جایگزین کرد تا تقریبی برای تغییرات نامنظم آنها یافت. آ2 = (psi 2 + [d(psi)/dx] 2 /[2m/h 2 *(E-cx)])، و طول موج متناسب با 1/k یا h/sqrt[(2m)(E است -cx)].

کتابشناسی - فهرست کتب

منبع

https://webhome.phy.duke.edu/~kolena/modern/schrodinger

مکانیک کوانتومی/ایده های ضروری

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 16:54

< مکانیک کوانتومی

طبقه بندی موضوع : این یک منبع فیزیک است .

طبقه بندی نوع : این یک منبع درسی است .

مکانیک کوانتومی به طور رسمی به عنوان مجموعه ای از فرضیه های انتزاعی توصیف می شود که از طریق آنها می توان نتیجه هر اندازه گیری را در یک سیستم معین پیش بینی کرد. ما فقط مجموعه ساده شده ای از فرضیه ها را مورد بحث قرار خواهیم داد و به دنبال آن مجموعه ای بسیار استاندارد از مثال ها را بیان خواهیم کرد. فرضیه های رسمی با برخی از عوارض اضافی در درس های 8-9 آورده شده است.

فهرست

شرح سیستم کلاسیک ذرات [ ویرایش | ویرایش منبع ]

در فیزیک کلاسیک، سیستمی از ذرات N با مجموعه‌ای از موقعیت‌های N و سرعت N به عنوان تابعی از زمان توصیف می‌شود، یعنی { r 1 ( t ) ، r2 ( t )، ...، rn ( t )، v 1 ( t )، v 2 ( t )، ...، v n ( t )}.

برای مثال r 1 ( t ) موقعیت ذره 1 به عنوان تابعی از زمان و v 1 ( t ) سرعت آن است. در 3 بعد r و v می توانند بردارهایی با سه جزء در امتداد سه محور دکارتی مرجع، یعنی r 1 ( t ) = [ x 1 ( t ), y 1 ( t ), z 1 ( t )] باشند. تکامل زمانی سیستم توسط قانون نیوتن توصیف شده است $F_{x_{1}}=m_{1}a_{x_{1}}=m_{1}{\frac {dv_{x_{1}}}{dt}}$ (برای همه مختصات معتبر است). در یک سیستم محافظه کار (یعنی سیستمی بدون اصطکاک) نیروها را می توان به عنوان مشتقات تابعی به نام انرژی پتانسیل سیستم V بیان کرد . این تابع فقط به موقعیت ذرات بستگی دارد. رابطه بین انرژی پتانسیل و نیرو است $F_{x_{1}}=-{\frac {\delta V}{\delta x_{1}}}$ و باید به خاطر داشت

به طور خلاصه، برای توصیف یک سیستم کلاسیک از ذرات N شما نیاز دارید:

انرژی بالقوه
موقعیت و سرعت های اولیه

از انرژی پتانسیل می توانید نیروها و شتاب ها را محاسبه کنید. از اینها می توانید تکامل موقعیت و سرعت را با گذشت زمان مطالعه کنید.

$E_{kinetic}+E_{potential}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+V\left(x \ راست) = ثابت$ (معادل 1)

شرح یک سیستم کوانتومی ذرات [ ویرایش | ویرایش منبع ]

یک سیستم در زمان t با تابع موج ψ ( r, t ) توصیف می شود و نه با مجموعه ای از موقعیت ها و سرعت ها.

ψ ( r, t ) تابعی از بسیاری از متغیرها است: t زمان است و r بدون زیرنویس همه مختصات موقعیت ممکن را نشان می دهد. بنابراین برای سیستمی که فقط یک ذره در یک بعد دارد، ψ ( x, t ) دارید . برای یک سیستم حاوی یک ذره در 3 بعد، شما ψ ( x، y، z، t ) دارید. برای یک سیستم حاوی دو ذره در 3 بعد، شما ψ ( x 1 ، y 1 ، z 1 ، x 2 ، y 2 ، z 2 ، t ) و غیره دارید. مقادیر ψ (r, t ) می تواند مختلط باشد: فقط یک مقدار ψ ( r, t ) برای هر یک از متغیرها وجود دارد ( ψ یک تابع با ارزش واحد است). ψ ( r, t ) باید پیوسته و متغیر باشد.

تکامل زمانی تابع موج با معادله شرودینگر به دست می آید.

برای یک سیستم یک بعدی معادله شرودینگر شکل می گیرد
$i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=\left\lbrace -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right\rbrace \Psi (x,t)$

در حال حاضر، توجه به این نکته کافی است که انرژی پتانسیل V ( x ) در معادله ظاهر می شود.

احتمال یافتن یک ذره در یک موقعیت خاص x در یک زمان معین متناسب با |Ψ( x, t )| 2 .

به طور قطعی تر، احتمال یافتن یک ذره بین x و x + dx به صورت زیر داده می شود:
${\frac {|\Psi (x,t)|^{2}dx}{\int _{-\infty }^{+\infty }|\Psi (x,t)|^{2} \,dx}}$ (معادل 2)

مکانیک کوانتومی نتیجه یک اندازه گیری را پیش بینی نمی کند، بلکه احتمال آن را پیش بینی می کند. این برای اندازه‌گیری موقعیت و همچنین سایر کمیت‌های قابل اندازه‌گیری ( مشاهده‌پذیرهای نام‌گذاری شده : انرژی، تکانه، و غیره) صادق است. مقایسه اولیه بین مکانیک کلاسیک و کوانتومی در جدول زیر آورده شده است.

	مکانیک کلاسیک	مکانیک کوانتومی
تکامل زمان	مسیر (یعنی موقعیت و سرعت به عنوان تابعی از زمان) x 1 ( t )، x 2 ( t )،...، v 1 ( t )، v 2 ( t )،...	تابع موج (یعنی تابعی از همه مختصات و زمان) Ψ( x 1 , x 2 ,..., t )
اطلاعات مورد نیاز	موقعیت/سرعت اولیه در t =0 انرژی پتانسیل V ( x 1 , x 2 ,...) جرم ذرات m 1 , m 2 , ...	تابع موج اولیه در t = 0 انرژی پتانسیل V ( x 1 , x 2 ,...) جرم ذرات m 1 , m 2 , ...
موقعیت ذرات	با قطعیت شناخته شده است	به عنوان یک احتمال شناخته می شود $\|\Psi (x,t)\|^{2}$
سایر موارد قابل مشاهده	با قطعیت شناخته شده است	به عنوان یک احتمال شناخته می شود

معادله شرودینگر [ ویرایش | ویرایش منبع ]

ساختار کلی در یک بعدی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادله شرودینگر بالا را می توان به شکل فشرده تری نوشت
$i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}={\hat {H}}\Psi (x,t)$ (معادل 3)

که در آن Ĥ عملگر همیلتونی نامیده می شود :
${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V (ایکس)$ (معادل 4)

اولین جمله حاصل را عملگر انرژی جنبشی می نامند. این تا حدودی مشابه معادله 1 است که در آن انرژی کل به صورت مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل بیان می شود. شیء ریاضی Ĥ باید با انرژی کل ارتباط داشته باشد. Ĥ شامل تمام اطلاعات مورد نیاز برای توصیف یک سیستم معین است.

راه حل عمومی و نسخه مستقل از زمان [ ویرایش | ویرایش منبع ]

می‌توانیم حل معادله 3 را با فرض اینکه جواب را می‌توان به صورت Ψ( x, t )= ψ ( x ) g ( t ) ساده کرد ، یعنی به عنوان حاصلضرب تابعی از مختصات موقعیت و یک تابع. فقط مختصات زمانی با جایگزینی این معادله به معادله 3، دریافت می کنیم:
$i\hbar {\frac {\partial \psi (x)g(t)}{\partial t}}={\hat {H}}(x)\psi (x)g(t)$ (معادل 5)

که در آن Ĥ ( x ) به جای Ĥ استفاده می شود تا تاکید شود که هامیلتونی به زمان بستگی ندارد. اکنون به راحتی می توان معادله 5 را مشاهده کرد
$i\hbar \psi (x){\frac {\partial g(t)}{\partial t}}=g(t)\left\lbrack {\hat {H}}(x)\psi ( x)\right\rbrack$ (معادل 6)

و بنابراین می توانید عبارات حاوی x و آنهایی که حاوی t هستند را از هم جدا کنید :
$i\hbar {\frac {\frac {\partial g(t)}{\partial t}}{g(t)}}={\frac {\left\lbrack {\hat {H}}( x)\psi (x)\right\rbrack }{\psi (x)}}$ (معادل 7)

سمت چپ معادله 7 تنها تابعی از t است ، در حالی که سمت راست تنها تابعی از x است. تنها راهی که می توانند یکسان باشند این است که هر دو برابر با یک ثابت باشند که به عنوان E نشان می دهیم .

$i\hbar {\frac {\frac {\partial g(t)}{\partial t}}{g(t)}}\to i\hbar {\frac {\partial g(t)}{ \partial t}}=Eg(t)$ (معادل 8) بخش زمانی

${\frac {\left\lbrack {\hat {H}}(x)\psi (x)\right\rbrack }{\psi (x)}}\to {\hat {H}}(x )\psi (x)=E\psi (x)$ (معادل 9) بخش فضایی

حل بخش زمان (معادله 8) بسیار ساده است (آن را بررسی کنید!): g ( t ) = exp(- iEt / ħ ) (معادل 10) .

حل قسمت فضا (معادله 9) موضوع اصلی بقیه درس ها خواهد بود: Ĥ ( x ) = Eψ ( x ) (معادل 11) . این معادله شرودینگر مستقل از زمان نامیده می شود . این معادله به عنوان یک معادله مقدار ویژه شناخته می شود و تنها برای مجموعه ای از مقادیر گسسته E یعنی E 1 , E 2 , E 3 ,... که مقادیر ویژه معادله نامیده می شوند راه حل دارد. برای هر مقدار ویژه، به عنوان مثال E 1 ، یک تابع ویژه مربوطه وجود دارد ، به عنوان مثال ψ 1، که معادله را برآورده می کند. جواب معادله 3 را می توان به صورت زیر نوشت:
${\begin{matrix}{\hat {H}}(x)\psi _{1}(x)&=&E_{1}\psi _{1}(x)\\{\hat {H }}(x)\psi _{2}(x)&=&E_{2}\psi _{2}(x)\\\ &\cdots \ \\{\hat {H}}(x)\psi _{j}(x)&=&E_{j}\psi _{j}(x)\end{ماتریس}}$ (معادل 12)

با یادآوری اینکه جواب کلی معادله شرودینگر Ψ( x, t )= ψ ( x ) g ( t ) بود، می توانید جواب های وابسته به زمان را به صورت زیر بنویسید:
${\begin{matrix}\Psi _{1}(x,t)&=&\psi _{1}(x)\exp({\frac {-iE_{1}t}{\hbar } })\\\Psi _{2}(x,t)&=&\psi _{2}(x)\exp({\frac {-iE_{2}t}{\hbar }})\\\ &\cdots \ \\\Psi _{j}(x,t)&=&\psi _{j}(x)\exp({\frac {-iE_{j}t}{\hbar }})\ پایان{ماتریس}}$ (معادل 13)

با توجه به اینکه بخش وابسته به زمان تابع موج همیشه یکسان است، هر سیستمی را می توان به طور کامل توصیف کرد اگر ما جواب معادله شرودینگر مستقل از زمان را پیدا کنیم.

ما می توانیم مقادیر ویژه E 1 , E 2 , E 3 ,... را با انرژی سیستمی که توسط تابع موج Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... توصیف شده است شناسایی کنیم.

حالات خالص و مختلط: یک عارضه اضافی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

نه تنها Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ,... از رابطه 13 راه حل های معادله 3 هستند، بلکه هر ترکیب خطی از آنها یک راه حل است، یعنی هر عبارتی مانند
$\Psi (x,t)=C_{1}\Psi _{1}(x,t)+C_{2}\Psi _{2}(x,t)+C_{3}\Psi _ {3}(x,t)+\cdots$ (معادل 14)

$\Psi (x,t)=C_{1}\psi _{1}(x)\exp({\frac {-iE_{1}t}{\hbar }})+C_{2}\ psi _{2}(x)\exp({\frac {-iE_{2}t}{\hbar }})+C_{3}\psi _{3}(x)\exp({\frac {- iE_{3}t}{\hbar }})+\cdots$

که در آن ضرایب C 1 , C 2 , C 3 می توانند هر مقدار مختلط را بگیرند.

وقتی تابع موج وابسته به زمان فقط یک تابع ویژه از هامیلتونی را در خود داشته باشد، یعنی همه ضرایب به جز یک صفر باشند، سیستم در حالت خالص است . در غیر این صورت، اگر بیش از یک تابع ویژه در تابع موج نقش داشته باشد، سیستم در حالت مختلط است .

اگر انرژی یک حالت مختلط را اندازه گیری کنیم، نتیجه مقداری انرژی متوسط از حالت های کمک کننده نیست. چنین اندازه گیری همیشه در نتیجه یکی از مقادیر ویژه هامیلتونی E 1 , E 2 , E 3 ,... احتمال اینکه نتیجه اندازه گیری E 1 , E 2 , E 3 ,... باشد می باشد. متناسب با |C 1 |²، |C 2 |²، |C 3 |²،...، مدول مجذور ضرایب موجود در معادله 14.

خلاصه [ ویرایش | ویرایش منبع ]

بحث در مورد حالت های خالص و مختلط در بالا یکی از جنبه های مکانیک کوانتومی است که درک آن دشوارتر است و در پایان دوره به طور مفصل مورد بررسی قرار خواهد گرفت. فعلاً توجه به این نکته کافی است:

حل معادله شرودینگر مستقل از زمان Ĥψ = Eψ مهمترین و دشوارترین مرحله برای توصیف یک سیستم مکانیکی کوانتومی است.
حل معادله شرودینگر مستقل از زمان مجموعه ای گسسته از مقادیر ویژه E 1 , E 2 , E 3 ,... و توابع ویژه مربوطه است.
اگر انرژی یک سیستم را اندازه گیری کنیم، در نتیجه یکی از مقادیر ویژه هامیلتونی را به دست خواهیم آورد، یعنی به نظر می رسد که سیستم دارای سطوح انرژی گسسته است.

ما فعلاً این مسئله را کنار می گذاریم که چگونه یک سیستم در حالت خالص یا مختلط قرار می گیرد و فقط حالت های خالص را برای درس های بعدی شرح می دهیم.

ورزش

عملگر انرژی جنبشی برای یک ذره منفرد است $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$ در یک بعد، $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\جزئی y^{2}}}\راست)$ در دو بعد و $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)$ در سه بعدی اگر دو ذره وجود دارد، باید مجموع انرژی جنبشی هر ذره را بنویسید. به عنوان مثال، کل انرژی جنبشی یک ذره با جرم m 1 و یک ذره با جرم m 2 در یک بعد برابر است با $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{1}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}$ . انرژی جنبشی یک سیستم را به صورت سه بعدی حاوی یک الکترون و یک پروتون بنویسید.
محاسبه مشتقات جزئی نسبتاً ساده است. داده شده $f(x,y)=x^{2}+xy^{2}+y^{3}+2$ ، محاسبه ${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ و ${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)$ . اکنون مشتقات جزئی دوم را محاسبه کنید ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,y)$ و ${\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}f(x,y)$ .
اثبات اینکه تابع موج را می توان به یک بخش وابسته به زمان و یک بخش مستقل از زمان در مورد یک تابع همیلتونی دو مختصات فضایی Ĥ ( x, y ) تکرار کنید.

[ نمایش ]راه حل ها

منبع

https://en.wikiversity.org/wiki/Quantum_mechanics/The_essential_ideas

بحث بیشتر در مورد کوواریانس لورنتز معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:28

بحث بیشتر در مورد کوواریانس لورنتز معادله دیراک [ ویرایش ]

معادله دیراک کواریانت لورنتس است . بیان این نه تنها معادله دیراک، بلکه مایورانا اسپینور و الکو اسپینور را نیز روشن می کند ، که اگرچه ارتباط نزدیکی دارند، اما تفاوت های ظریف و مهمی دارند.

درک کوواریانس لورنتس با در نظر گرفتن ویژگی هندسی فرآیند ساده می شود. [8] اجازه دهیدآ $آ$ یک نقطه ثابت و واحد در منیفولد فضازمان باشد . مکان آن را می توان در سیستم های مختصات متعدد بیان کرد . در ادبیات فیزیک، اینها به صورت نوشته شده است $ایکس$ و" $ایکس'$ ، با این درک که هر دو $ایکس$ و $ایکس'$ همین نکته را توصیف کنید $آ$ ، اما در چارچوب های مرجع محلی مختلف (یک چارچوب مرجع روی یک بخش کوچک گسترده از فضازمان). می توان تصور کردآ $آ$ به عنوان داشتن فیبری از قاب های مختصات مختلف در بالای آن. در اصطلاح هندسی، می‌توان گفت که فضازمان را می‌توان به‌عنوان یک بسته فیبر ، و به طور خاص، بسته‌بندی قاب توصیف کرد . تفاوت بین دو نقطه $ایکس$ و $ایکس'$ در همان فیبر ترکیبی از چرخش و تقویت لورنتس است . انتخاب قاب مختصات یک بخش (محلی) از طریق آن بسته است.

همراه با بسته نرم افزاری قاب، بسته نرم افزاری دوم، بسته نرم افزاری اسپینور است . بخشی از بسته اسپینور فقط میدان ذره است (در مورد فعلی اسپینور دیراک). نقاط مختلف در فیبر اسپینور مربوط به یک جسم فیزیکی (فرمیون) است اما در فریم های لورنتس متفاوت بیان می شود. بدیهی است که دسته فریم و دسته اسپینور باید به روشی ثابت به هم گره بخورند تا نتایج ثابتی به دست آید. به طور رسمی، یکی می گوید که باندل اسپینور همان بسته نرم افزاری است . به یک بسته اصلی مرتبط است ، که در مورد حاضر بسته‌بندی فریم است. تفاوت بین نقاط روی فیبر مربوط به تقارن سیستم است. بسته نرم افزاری اسپینور دو مولد متمایز از تقارن های خود دارد:تکانه زاویه ای کل و تکانه زاویه ای ذاتی . هر دو با تبدیل های لورنتس مطابقت دارند، اما به روش های مختلف.

ارائه در اینجا از ایتزیکسون و زوبر پیروی می کند. [9] این بسیار شبیه به Bjorken و Drell است. [10] یک اشتقاق مشابه در یک محیط نسبیتی عام را می توان در واینبرگ یافت. [11] در اینجا ما فضازمان خود را صاف می کنیم، یعنی فضازمان ما فضای مینکوفسکی است.

تحت تحول لورنتس

$x\mapsto x',$ چرخش دیراک برای تبدیل به عنوان

$\psi '(x')=S\psi (x)$

می توان نشان داد که یک عبارت صریح برای $اس$ از رابطه زیر بدست می آید

$S=\exp \left({\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)$

جایی که

$\omega ^{\mu \nu }$ تبدیل لورنتس را پارامتر می کند و

$\sigma _{\mu \nu }$ شش ماتریس 4×4 راضی کننده هستند:

$\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]~.$

این ماتریس را می توان به عنوان تکانه زاویه ای ذاتی میدان دیراک تفسیر کرد. این که سزاوار این تفسیر است، از تقابل آن با مولد ناشی می شودجی�� $J_{\mu \nu }$ از تحولات لورنتس ، دارای شکل

$J_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }+i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\جزئی _{\mu })$

این را می توان به عنوان تکانه زاویه ای کل تفسیر کرد . در میدان اسپینور به عنوان عمل می کند

$\psi ^{\prime }(x)=\exp \left({\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\ psi (x)$

توجه داشته باشید که $ایکس$ در بالا علامت اول وجود ندارد: موارد فوق با تبدیل به دست می آیند

$x\mapsto x'$ به دست آوردن تغییر به

$\psi (x)\mapsto \psi '(x')$ و سپس به سیستم مختصات اصلی باز می گردد

$x'\mapsto x$ .

تفسیر هندسی موارد فوق این است که فیلد فریم افین است و منشا ترجیحی ندارد. ژنراتور

$J_{\mu \nu }$ تقارن‌های این فضا را ایجاد می‌کند: نشان‌گذاری مجدد یک نقطه ثابت را فراهم می‌کندایکس . $x~.$ ژنراتور

$\sigma _{\mu \nu }$ حرکتی از یک نقطه در فیبر به نقطه دیگر ایجاد می کند: حرکتی از

$x\mapsto x'$ با هر دو

$ایکس$ و" $ایکس'$ همچنان با همان نقطه فضازمان مطابقت داردآ. $آ.$ این اظهارات شاید مبهم را می توان با جبر صریح روشن کرد.

اجازه دهید

$x'=\لامبدا x$ تبدیل لورنتس باشد. معادله دیراک است

$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi (x)-m\psi (x)=0$

اگر قرار است معادله دیراک کوواریانت باشد، باید در تمام فریم های لورنتس دقیقاً یک شکل داشته باشد:

$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi ^{\prime }(x^{\prime })-m\psi ^{\prime }(x^{\prime })=0$

دو اسپینور $\psi$ و" $\psi ^{\prime }$ هر دو باید یک میدان فیزیکی را توصیف کنند، و بنابراین باید با تبدیلی مرتبط شوند که هیچ گونه مشاهده‌پذیر فیزیکی (بار، جریان، جرم و غیره ) را تغییر نمی‌دهد . تبدیل باید فقط تغییر چارچوب مختصات را رمزگذاری کند. می توان نشان داد که چنین تبدیلی یک ماتریس واحد 4×4 است . بنابراین، ممکن است فرض شود که رابطه بین دو فریم را می توان به صورت نوشتاری نوشت

$\psi ^{\prime }(x^{\prime })=S(\Lambda )\psi (x)$

با وارد کردن این در معادله تبدیل شده، نتیجه می شود

$i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{ \nu }}}S(\Lambda)\psi (x)-mS(\Lambda)\psi (x)=0$

مختصات مربوط به تبدیل لورنتس:

${\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }} _{\mu }$

سپس معادله دیراک اصلی دوباره بدست می آید اگر

$S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S^{-1}(\Lambda )={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\گاما ^{\nu }$

یک عبارت صریح برای

$S(\Lambda)$ (برابر عبارت بالا) را می توان با در نظر گرفتن تبدیل لورنتس از چرخش بی نهایت کوچک در نزدیکی تغییر شکل هویت به دست آورد:

${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\ ,\ { (\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }-{\omega ^{\mu }}_{\nu }$

جایی که

${g^{\mu }}_{\nu }$ تانسور متریک است

${g^{\mu }}_{\nu }=g^{\mu \nu '}g_{\nu '\nu }={\delta ^{\mu }}_{\nu }$ و در حالی که متقارن است

$\omega _{\mu \nu }={\omega ^{\alpha }}_{\nu }g_{\alpha \mu }$ ضد متقارن است پس از وصل و چنگ زدن، فرد به دست می آید

$S(\Lambda )=I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}\left( \لامبدا ^{2}\راست)$

که شکل (بی نهایت کوچک) برای استاس $اس$ بالا و رابطه را نشان می دهد

$\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$ . برای به دست آوردن برچسب مجدد آفین، بنویسید

${\begin{aligned}\psi '(x')&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x)\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\ psi (x'+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\,x^{\prime \,\nu })\\&=\left(I+{\frac {-i}{4} }\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }-x_{\mu }^{\prime }\omega ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\right)\ psi (x')\\&=\left(I+{\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x')\ \\پایان{تراز شده}}$

پس از ضد تقارن مناسب، مولد تقارن ها به دست می آید

$J_{\mu \nu }$ قبلا داده شده است. بنابراین، هر دو

$J_{\mu \nu }$ و

$\sigma _{\mu \nu }$ می‌توان گفت که «مولد تبدیل‌های لورنتس» است، اما با یک تمایز ظریف: اولی مربوط به علامت‌گذاری مجدد نقاط روی بسته‌بندی قاب افین است که باعث می‌شود یک ترجمه در امتداد فیبر اسپینور روی بسته چرخشی انجام شود ، در حالی که دوم مربوط به ترجمه در امتداد فیبر بسته نرم افزاری چرخشی است (که به عنوان یک حرکت گرفته می شود

$x\mapsto x'$ در امتداد بسته نرم افزاری قاب، و همچنین یک حرکت

$\psi \mapsto \psi '$ در امتداد فیبر دسته اسپین.) واینبرگ استدلال های بیشتری برای تفسیر فیزیکی این موارد به عنوان تکانه زاویه ای کلی و ذاتی ارائه می دهد. [12]

کودتای دیراک 6

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:26

کودتای دیراک [ ویرایش ]f

بنابراین دیراک فکر کرد معادله ای را امتحان کند که هم در مکان و هم در زمان مرتبه اول باشد . برای مثال، می‌توان به طور رسمی (یعنی با سوء استفاده از نماد ) عبارت نسبیتی را برای انرژی در نظر گرفت

$E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,$

p را با معادل عملگر آن جایگزین کنید ، ریشه دوم را در یک سری نامتناهی از عملگرهای مشتق بسط دهید، یک مسئله مقدار ویژه تنظیم کنید، سپس معادله را به طور رسمی با تکرار حل کنید. اکثر فیزیکدانان به چنین فرآیندی اعتقاد کمی داشتند، حتی اگر از نظر فنی امکان پذیر باشد.

همانطور که داستان پیش می‌رود، دیراک به شومینه کمبریج خیره شده بود و به این مشکل فکر می‌کرد، که به این فکر افتاد که ریشه دوم عملگر موج را بگیرد:

$\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A \جزئی _{x}+B\جزئی _{y}+C\جزئی _{z}+{\frac {i}{c}}D\جزئی _{t}\راست)\چپ(A\جزئی _ {x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.$

با ضرب در سمت راست، آشکار است که برای ناپدید شدن تمام عبارات متقاطع مانند ∂ x ∂ y ، باید فرض کرد

$AB+BA=0,~\ldots ~$

با

$A^{2}=B^{2}=\dots =1~.$

دیراک که در آن زمان به شدت درگیر کارکردن مبانی مکانیک ماتریس هایزنبرگ بود، فوراً فهمید که اگر A ، B ، C و D ماتریس‌هایی باشند ، می‌توان این شرایط را برآورده کرد ، با این مفهوم که تابع موج دارای چندین مؤلفه است . این بلافاصله ظهور توابع موج دو جزئی را در نظریه پدیدارشناسی اسپین پائولی توضیح داد ، چیزی که تا آن زمان حتی برای خود پائولی مرموز تلقی می شد. با این حال، برای راه‌اندازی یک سیستم با ویژگی‌های مورد نیاز، حداقل به ماتریس‌های ۴×۴ نیاز است - بنابراین تابع موج دارای چهار ماتریس بود.مؤلفه‌ها، نه دو تا، مانند نظریه پائولی، یا یک، مانند نظریه شرودینگر. تابع موج چهار جزئی نشان دهنده کلاس جدیدی از شیء ریاضی در تئوری های فیزیکی است که برای اولین بار در اینجا ظاهر می شود.

با توجه به فاکتورگیری بر حسب این ماتریس ها، اکنون می توان بلافاصله یک معادله را یادداشت کرد

$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right) \psi =\kappa \psi$

با $\کاپا$ تعیین شود. با اعمال مجدد عملگر ماتریس در هر دو طرف نتیجه می شود

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\ psi ~.$

گرفتن

$\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ نشان می دهد که تمام اجزای تابع موج به صورت جداگانه رابطه نسبیتی انرژی - تکانه را برآورده می کنند. بنابراین معادله جستجو شده که هم در مکان و هم در زمان مرتبه اول است

$\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\ frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.$

تنظیمات

$A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\ ,D=\بتا ~,$

و چون

$D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}$ ، معادله دیراک همانطور که در بالا نوشته شد تولید می شود.

شکل کوواریانت و عدم تغییر نسبیتی [ ویرایش ]

برای نشان دادن تغییر ناپذیری نسبیتی معادله، سودمند است که آن را به شکلی درآوریم که در آن مشتقات مکانی و زمانی در یک موقعیت مساوی ظاهر شوند. ماتریس های جدید به شرح زیر معرفی می شوند:

${\begin{aligned}D&=\gamma ^{0},\\A&=i\gamma ^{1},\quad B=i\gamma ^{2},\quad C=i\gamma ^ {3}،\end{تراز شده}}$

و معادله شکل می گیرد (با یادآوری تعریف مولفه های کوواریانت 4-gradient و به خصوص اینکه

∂ 0 =1/ج∂ t )

معادله دیراک

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0$

که در آن یک جمع ضمنی بر روی مقادیر شاخص دو بار تکرار شده μ = 0، 1، 2، 3 وجود دارد و ∂ μ گرادیان 4 است. در عمل اغلب ماتریس های گاما را بر حسب ماتریس های 2×2 فرعی برگرفته از ماتریس های پائولی و ماتریس هویت 2×2 می نویسند . صراحتاً نمایندگی استاندارد است

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix }0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\- \sigma _{y}&0\end{pmatrix}}،\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{pmatrix }}.$

سیستم کامل با استفاده از متریک مینکوفسکی در فضازمان در فرم خلاصه شده است

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$

جایی که عبارت براکت

$\{a,b\}=ab+ba$

نشان دهنده ضد جابجایی است . اینها روابط تعیین کننده یک جبر کلیفورد بر روی یک فضای 4 بعدی متعامد شبه با امضای متریک (+ - - - -) هستند . جبر خاص کلیفورد که در معادله دیراک استفاده می شود امروزه به نام جبر دیراک شناخته می شود . اگر چه دیراک در زمان فرمول‌بندی معادله آن را به عنوان چنین تشخیص نمی‌دهد، با نگاهی به گذشته، معرفی این جبر هندسی نشان‌دهنده یک گام بزرگ رو به جلو در توسعه نظریه کوانتومی است.

معادله دیراک اکنون ممکن است به عنوان یک معادله مقدار ویژه تفسیر شود ، که در آن جرم سکون متناسب با مقدار ویژه عملگر 4 تکانه است ، ثابت تناسب سرعت نور است:

$P_{\text{op}}\psi =mc\psi \,.$

استفاده كردن

${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ (∂/ ${\جزئی \!\!\!{\بزرگ /}}$ "d-slash" تلفظ می شود)، [6] با توجه به نماد اسلش فاینمن، معادله دیراک تبدیل به:

$i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0\,.$

در عمل، فیزیکدانان اغلب از واحدهای اندازه گیری استفاده می کنند به طوری که ħ = c = 1 که به عنوان واحدهای طبیعی شناخته می شود . سپس معادله به شکل ساده در می آید

معادله دیراک (واحدهای طبیعی)

$(i{\partial \!\!\!{\big /}-m)\psi =0$

یک قضیه اساسی بیان می کند که اگر دو مجموعه مجزا از ماتریس ها داده شود که هر دو روابط کلیفورد را برآورده می کنند، آنگاه آنها با یک تبدیل تشابه به یکدیگر متصل می شوند :

Pp $\gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S\,.$

اگر علاوه بر این، ماتریس ها همگی واحد باشند ، همانطور که مجموعه دیراک هم هستند، S خود واحد است .

$\gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\,.$

تبدیل U تا یک ضریب ضربی قدر مطلق 1 منحصر به فرد است. اجازه دهید اکنون یک تبدیل لورنتس را تصور کنیم که بر روی مختصات مکان و زمان، و بر روی عملگرهای مشتق، که یک بردار کوواریانت را تشکیل می‌دهند، انجام شده است. برای عملگر γ μ ∂ μبرای ثابت ماندن، گاماها باید در بین خود به عنوان یک بردار متناقض با توجه به شاخص فضا-زمان خود تبدیل شوند. این گامای جدید به دلیل متعامد بودن تبدیل لورنتس، خود روابط کلیفورد را برآورده خواهند کرد. بر اساس قضیه بنیادی، می توان مجموعه جدید را با مجموعه قدیمی که تحت یک تبدیل واحد قرار دارد جایگزین کرد. در فریم جدید، با یادآوری اینکه جرم سکون یک اسکالر نسبیتی است، معادله دیراک شکل خواهد گرفت.

${\begin{aligned}\left(iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi \left(x^ {\prime },t^{\prime }\right)&=0\\U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U \psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\,.\end{aligned}}$

اگر اسپینور تبدیل شده به صورت تعریف شده باشد

$\psi ^{\prime }=U\psi$

سپس معادله دیراک تبدیل شده به روشی تولید می شود که عدم تغییر نسبیتی آشکار را نشان می دهد :

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi ^{\prime }\left(x^{\prime },t^ {\prime }\right)=0\,.$

بنابراین، تعیین هر نمایش واحدی از گاما نهایی است، مشروط بر اینکه اسپینور مطابق تبدیل واحدی که با تبدیل لورنتز مطابقت دارد، تبدیل شود.

نمایش های مختلف ماتریس های دیراک به کار گرفته شده، جنبه های خاصی از محتوای فیزیکی در تابع موج دیراک را مورد توجه قرار می دهد. نمایشی که در اینجا نشان داده شده است به عنوان نمایش استاندارد شناخته می شود - در آن، دو جزء بالایی تابع موج به تابع موج اسپینور 2 پائولی در حد انرژی های کم و سرعت های کوچک در مقایسه با نور می روند.

ملاحظات بالا منشأ گاماها را در هندسه نشان می‌دهد و به انگیزه اصلی گراسمن گوش می‌دهد. آنها یک مبنای ثابت از بردارهای واحد در فضازمان را نشان می دهند. به طور مشابه، محصولات گاما مانند γ μ γ ν نشان دهنده عناصر سطح جهت دار و غیره هستند. با در نظر گرفتن این موضوع، می توان شکل عنصر حجم واحد را در فضازمان بر حسب گاما به صورت زیر یافت. طبق تعریف، اینطور است

$V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha } \گاما ^{\بتا }.$

برای اینکه این یک تغییر ناپذیر باشد، نماد اپسیلون باید یک تانسور باشد ، و بنابراین باید دارای ضریب √ g باشد ، جایی که g تعیین کننده تانسور متریک است . از آنجایی که این منفی است، آن عامل خیالی است . بدین ترتیب

$V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.$

به این ماتریس به دلیل اهمیت آن در هنگام در نظر گرفتن تبدیل‌های نامناسب فضا-زمان، یعنی آنهایی که جهت بردارهای پایه را تغییر می‌دهند، نماد ویژه γ5 داده می‌شود. در نمایندگی استاندارد، این است

$\gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

این ماتریس همچنین برای مقابله با چهار ماتریس Dirac دیگر پیدا می شود:

$\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0$

هنگامی که سؤالات برابری مطرح می شود ، نقش اصلی را ایفا می کند زیرا عنصر حجم به عنوان یک قدر جهت دار علامت را تحت بازتاب فضا-زمان تغییر می دهد. بنابراین، گرفتن جذر مثبت در بالا به معنای انتخاب یک قرارداد دستی در فضازمان است.

تبدیل معادله شرودینگر نسبیتی [ ویرایش ]

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:25

تبدیل معادله شرودینگر نسبیتی [ ویرایش ]

معادله دیراک از نظر ظاهری شبیه معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد عظیم است :

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.$

سمت چپ نشان دهنده مربع عملگر تکانه تقسیم بر دو برابر جرم است که انرژی جنبشی غیر نسبیتی است. از آنجا که نسبیت به فضا و زمان به عنوان یک کل برخورد می کند، تعمیم نسبیتی این معادله مستلزم آن است که مشتقات فضا و زمان باید به طور متقارن وارد شوند، همانطور که در معادلات ماکسول که بر رفتار نور حاکم است وارد شوند - معادلات باید به طور متفاوت از یک ترتیب در فضا باشند. و زمان. در نسبیت، تکانه و انرژی ها بخش های مکان و زمان یک بردار فضا-زمان، چهار تکانه هستند ، و با رابطه نسبیتی نامتغیر به هم مرتبط هستند.

$E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$

که می گوید طول این چهار بردار با جرم باقیمانده m متناسب است . جایگزینی معادل‌های عملگر انرژی و تکانه از نظریه شرودینگر، معادله کلاین-گوردون را تولید می‌کند که انتشار امواج را توصیف می‌کند، که از اجرام نسبیتی ثابت ساخته شده‌اند.

$\left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\ راست)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi$

با تابع موج ϕ که یک عدد اسکالر نسبیتی است: عدد مختلطی که مقدار عددی یکسانی در همه چارچوب های مرجع دارد. مشتقات مکان و زمان هر دو به مرتبه دوم وارد می شوند. این یک پیامد گویا برای تفسیر معادله است. از آنجایی که معادله در مشتق زمان مرتبه دوم است، برای حل مسائل قطعی باید مقادیر اولیه را هم برای خود تابع موج و هم برای اولین مشتق زمانی آن مشخص کرد. از آنجایی که هر دو ممکن است کم و بیش دلخواه مشخص شوند، تابع موج نمی تواند نقش سابق خود را در تعیین چگالی احتمال یافتن الکترون در یک حالت حرکت معین حفظ کند. در نظریه شرودینگر، چگالی احتمال با عبارت قطعی مثبت داده می شود

$\rho =\phi ^{*}\phi$

و این چگالی با توجه به بردار جریان احتمال همرفت می شود

$J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})$

با پایستگی احتمال جریان و چگالی که از معادله پیوستگی به دست می آید:

$\nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.$

این واقعیت که چگالی قطعی است و بر اساس این معادله پیوستگی جابجا می شود، بیانگر این است که می توان چگالی را در یک دامنه معین ادغام کرد و کل را 1 قرار داد و این شرط توسط قانون بقا حفظ می شود . یک نظریه نسبیتی مناسب با جریان چگالی احتمال نیز باید این ویژگی را داشته باشد. برای حفظ مفهوم چگالی همرفت، باید بیان شرودینگر چگالی و جریان را تعمیم داد تا مشتقات مکان و زمان دوباره به طور متقارن در رابطه با تابع موج اسکالر وارد شوند. عبارت شرودینگر را می توان برای جریان نگه داشت، اما چگالی احتمال باید با عبارت متقارن جایگزین شود [ توضیح بیشتر لازم است ]

$\rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*}\راست).$

که اکنون به مولفه چهارم یک بردار فضازمان تبدیل می شود و کل احتمال چگالی جریان 4 دارای بیان کوواریانس نسبیتی است.

$J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu } \psi ^{*}\راست).$

معادله تداوم مانند قبل است. اکنون همه چیز با نسبیت سازگار است، اما بیان چگالی دیگر قطعی مثبت نیست. مقادیر اولیه ψ و ∂ t ψ ممکن است آزادانه انتخاب شوند، و بنابراین چگالی ممکن است منفی شود، چیزی که برای چگالی احتمال مشروع غیرممکن است. بنابراین، نمی‌توان تعمیم ساده‌ای از معادله شرودینگر را با این فرض ساده‌لوحانه دریافت کرد که تابع موج یک اسکالر نسبیتی است، و معادله‌ای که آن را برآورده می‌کند، مرتبه دوم در زمان است.

اگرچه تعمیم نسبیتی موفق معادله شرودینگر نیست، این معادله در زمینه نظریه میدان کوانتومی احیا شده است، جایی که به عنوان معادله کلاین-گوردون شناخته می شود و یک میدان ذره بدون اسپین را توصیف می کند (مثلاً مزون پی یا بوزون هیگز ) . . از نظر تاریخی، خود شرودینگر قبل از معادله ای که نام او را دارد به این معادله رسید اما به زودی آن را کنار گذاشت. در زمینه تئوری میدان کوانتومی، چگالی نامحدود مطابق با چگالی بار است که می تواند مثبت یا منفی باشد و نه چگالی احتمال.

1-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:24

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با تابع دلتا دیراک اشتباه شود .

مکانیک کوانتومی
بخشی از مجموعه مقالات در مورد
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}\|\psi (t)\rangle$ معادله شرودینگر
معرفی واژه نامه تاریخ
show زمینه
show مبانی
show آزمایش
show فرمولاسیون
hide معادلات دیراک کلاین-گوردون پائولی رایدبرگ شرودینگر
show تفاسیر
show موضوعات پیشرفته
show دانشمندان
v تی ه

در فیزیک ذرات ، معادله دیراک یک معادله موج نسبیتی است که توسط فیزیکدان بریتانیایی پل دیراک در سال 1928 به دست آمد. در شکل آزاد آن ، یا از جمله برهمکنش های الکترومغناطیسی ، تمام ذرات اسپینی 1/2 جرم را توصیف می کند که به آنها "ذرات دیراک" می گویند. الکترون ها و کوارک هایی که برابری برای آنها تقارن است . این هم با اصول مکانیک کوانتومی و هم با نظریه نسبیت خاص سازگار است ، [1]و اولین نظریه ای بود که به طور کامل نسبیت خاص را در زمینه مکانیک کوانتومی توضیح داد. با محاسبه ساختار ظریف طیف هیدروژن به روشی کاملاً دقیق تأیید شد.

این معادله همچنین حاکی از وجود شکل جدیدی از ماده، پادماده است که قبلاً مشکوک و مشاهده نشده بود و چندین سال بعد به طور تجربی تأیید شد. همچنین یک توجیه نظری برای معرفی چندین تابع موج مؤلفه در نظریه پدیدارشناسی اسپین پائولی ارائه کرد . توابع موج در نظریه دیراک بردارهایی از چهار عدد مختلط (معروف به بیسپینورها ) هستند که دو عدد از آنها بر خلاف معادله شرودینگر ، در حد غیرنسبیتی تابع موج پائولی هستند.که توابع موجی را تنها با یک مقدار مختلط توصیف می کند. علاوه بر این، در حد صفر جرم، معادله دیراک به معادله ویل کاهش می یابد .

اگرچه دیراک در ابتدا به طور کامل اهمیت نتایج خود را درک نمی کرد، توضیحی که شامل اسپین به عنوان پیامد اتحاد مکانیک کوانتومی و نسبیت - و در نهایت کشف پوزیترون - می شود، نشان دهنده یکی از پیروزی های بزرگ فیزیک نظری است . این دستاورد کاملاً همتراز با کارهای نیوتن ، ماکسول و انیشتین قبل از او توصیف شده است. [2] در زمینه نظریه میدان کوانتومی ، معادله دیراک برای توصیف میدان‌های کوانتومی مربوط به ذرات اسپین 1/2 تفسیر مجدد می‌شود .

معادله دیراک بر روی پلاکی در کف کلیسای وست مینستر حک شده است . این پلاک که در 13 نوامبر 1995 رونمایی شد، یادبود زندگی پل دیراک است. [3]

فرمول بندی ریاضی [ ویرایش ]

در فرمول مدرن آن برای نظریه میدان، معادله دیراک بر حسب میدان اسپینور دیراک نوشته شده است. $\psi$ گرفتن مقادیر در یک فضای برداری پیچیده به طور مشخص به عنوان

$\mathbb {C} ^{4}$ تعریف شده در فضای زمان تخت ( فضای مینکوفسکی )

$\mathbb {R} ^{1,3}$ . بیان آن همچنین حاوی ماتریس های گاما و یک پارامتر است

$m>0$ به عنوان جرم و همچنین سایر ثابت های فیزیکی تفسیر می شود.

از نظر یک رشته $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$ ، معادله دیراک پس از آن است

معادله دیراک

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0$

و در واحدهای طبیعی با علامت اسلش فاینمن

معادله دیراک (واحدهای طبیعی)

$(i\partial \!\!\!/-m)\psi (x)=0$

ماتریس های گاما مجموعه ای چهارتایی هستند $4 \times 4$ ماتریس های پیچیده ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ ) که روابط تعیین کننده ضد تعویض را برآورده می کند:

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$ جایی که $\eta ^{\mu \nu }$ عنصر متریک مینکوفسکی و شاخص ها است $\mu, \nu$ بر روی 0،1،2 و 3 اجرا کنید. این ماتریس‌ها را می‌توان به‌صراحت تحت یک انتخاب نمایش محقق کرد. دو انتخاب رایج، نمایندگی دیراک است

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},$ جایی که $\sigma ^{i}$ ماتریس های پائولی هستند و نمایش کایرال: the $\gamma^i$ یکسان هستند، اما $\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

نماد اسلش یک نماد فشرده برای است

$A\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }A_{\mu }$ جایی که $A$ چهار بردار است (اغلب عملگر دیفرانسیل چهار بردار است $\partial _{\mu }$ ). جمع بر روی شاخص $\mu$ ضمنی است.

الحاق دیراک و معادله الحاق [ ویرایش ]

دیراک مجاور میدان اسپینور $\psi (x)$ به عنوان ... تعریف شده است

${\bar {\psi }}(x)=\psi (x)^{\dagger }\gamma ^{0}.$ با استفاده از خاصیت ماتریس های گاما (که به طور مستقیم از ویژگی های Hermicity از $\gamma ^{\mu }$ ) که

$(\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},$ می توان با گرفتن مزدوج هرمیتی معادله دیراک و ضرب در سمت راست معادله دیراک را در $\gamma ^{0}$ :

${\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)=0$ جایی که مشتق جزئی از راست به بعد عمل می کند ${\bar {\psi }}(x)$ : نوشته شده به روش معمول بر حسب عمل چپ مشتق، داریم

$-i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.$

معادله کلاین-گوردون [ ویرایش ]

اعمال کردنر $i\partial \!\!\!/+m$ به معادله دیراک می دهد

$(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\psi (x)=0.$ یعنی هر جزء از میدان اسپینور دیراک معادله کلاین-گوردون را برآورده می کند .

جریان ذخیره شده [ ویرایش ]

یک جریان حفظ شده از نظریه است

$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

اثبات پایستگی از معادله دیراک

با جمع کردن معادلات دیراک و الحاق دیراک به دست می آید

$i((\partial _{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi )=0$ بنابراین طبق قانون لایب نیتس،

$i\partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )=0$

روش دیگر برای استخراج این عبارت با استفاده از روش‌های متغیر، اعمال قضیه نوتر برای کل استU(1) ${\text{U}}(1)$ تقارن برای استخراج جریان ذخیره شده. $J^{\mu }.$

اثبات پایستگی از قضیه نوتر

به یاد بیاورید لاگرانژی است

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi .$ زیر یک $U(1)$ تقارن که می فرستد

${\begin{aligned}\psi &\mapsto e^{i\alpha }\psi ,\\{\bar {\psi }}&\mapsto e^{-i\alpha }{\bar {\psi }},\end{aligned}}$ ما متوجه می شویم که لاگرانژی ثابت است.

اکنون پارامتر تنوع را در نظر می گیریم $\alpha$ برای بی نهایت کوچک بودن، در مرتبه اول کار می کنیم

$\alpha$ و نادیده گرفتن ${\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}$ مقررات. از بحث قبلی بلافاصله شاهد تغییر صریح در لاگرانژی به دلیل

$\alpha$ در حال ناپدید شدن است، که تحت تغییر است،

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\delta {\mathcal {L}},$ جایی که

$\delta {\mathcal {L}}=0$ .

به عنوان بخشی از قضیه نوتر، تغییرات ضمنی را در لاگرانژ به دلیل تنوع میدان‌ها می‌یابیم. اگر معادله حرکت برای¯ $\psi ,{\bar {\psi }}$ پس راضی هستند

$\delta {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\delta \psi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }{\bar {\psi }})}}\delta {\bar { \psi }}\راست)$

( * )این بلافاصله ساده می شود زیرا هیچ مشتق جزئی از آن وجود ندارد¯ ${\bar {\psi }}$ در لاگرانژی $\delta \psi$ تنوع بی نهایت کوچک است

$\delta \psi (x)=i\alpha \psi (x).$ ارزیابی می کنیم

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu } .$ معادله ( * ) می شود

$0=-\alpha \partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )$ و ما تمام شدیم

راه حل ها [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: دیراک اسپینور و نظریه سوراخ

از آنجایی که عملگر دیراک بر روی 4 توابع قابل ادغام مربع عمل می کند ، راه حل های آن باید اعضای همان فضای هیلبرت باشند . این واقعیت که انرژی های محلول ها حد پایینی ندارند، غیرمنتظره است.

راه حل های موج صفحه [ ویرایش ]

راه حل های موج صفحه آنهایی هستند که از انساتز ناشی می شوند

$\psi (x)=u(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}$ که یک ذره را با 4 تکانه معین مدل می کند

$p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )$ جایی که

${\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}$

برای این ansatz، معادله دیراک معادله ای برایتو(پ) $u(\mathbf {p} )$ :

$\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m\right)u(\mathbf {p})=0.$ پس از انتخاب یک نمایش برای ماتریس های

$\گاما ^{\mu }$ ، حل این مسئله حل یک سیستم معادلات خطی است. این یک ویژگی بدون نمایش ماتریس گاما است که فضای حل دو بعدی است ( اینجا را ببینید ).

به عنوان مثال، در نمایش کایرال برای

$\گاما ^{\mu }$ ، فضای حل با a پارامتر می شود

$\mathbb{C}^2$ بردار $\xi$ ، با

$u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma ^{\mu }p_{\mu }}}\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }}}\xi \end{pmatrix}}$ جایی که

$\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{ من})$ و⋅ ${\sqrt {\cdot }}$ ماتریس هرمیتی ریشه مربع است.

این راه حل های موج صفحه نقطه شروعی برای کوانتیزه سازی متعارف فراهم می کند.

خود انرژی الکترون

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:17

حتی در الکترومغناطیس کلاسیک، اگر بتوان انرژی لازم برای جمع آوری یک الکترون را محاسبه کرد، نتیجه بی نهایت است، اما الکترون ها وجود دارند. تصحیح انرژی خود کوانتومی نیز نامتناهی است، اگرچه اگر این واقعیت را بپذیریم که نظریه‌های بیرونی تا انرژی‌های نامتناهی معتبر نیستند، می‌توان آن را محدود کرد.

تصحیح انرژی خود کوانتومی اثرات مهم و قابل اندازه گیری دارد. این باعث تغییر انرژی قابل مشاهده در هیدروژن می شود و به ما کمک می کند تا مشکل بی نهایت ها را به دلیل مخرج انرژی از حالت های میانی حل کنیم.

معادلات دیفرانسیل جفت شده از تئوری اغتشاش مرتبه اول برای حالت مورد مطالعه $\bgroup\color{black}$\phi_n$\egroup$ و حالت های میانی $\bgroup\color{black}$\psi_j$\egroup$ ممکن است برای تصحیح انرژی خود حل شوند.

$\begin{eqnarray*} \Delta E_n&=&\sum\limits_{\vec{k},\alpha}\sum\limits_j\vert H_... ...{1-e^{i(\omega_{nj }-\omega)t}\over\hbar(\omega_{nj}-\omega)} \\ \end{eqnarray*}$

نتیجه به طور کلی پیچیده است. بخش خیالی تصحیح انرژی خود مستقیماً با عرض حالت مرتبط است.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} -{2\over\hbar}\Im(\Delta E_n)=\Gamma_n \egroup\end{displaymath}$

وابستگی زمانی تابع موج برای حالت $\psi_n$ با تصحیح انرژی خود اصلاح می شود .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi_n(\vec{x},t)=\psi_n(\vec{x})e^{-i(E_n+\Re(\Delta E_n))t/ \hbar} e^{-\Gamma_nt\over 2} \egroup\end{displaymath}$

این رفتار فروپاشی نمایی را به ما می‌دهد که انتظار آن را داریم و مقاطع پراکندگی تشدید را از رفتن به بی‌نهایت حفظ می‌کند .

بخش واقعی تصحیح باید برای درک تغییرات انرژی نسبی حالات مورد مطالعه قرار گیرد. این تفاوت بین انرژی خود الکترون محدود و انرژی الکترون آزاد است که ما به آن علاقه داریم. تصحیح انرژی خود برای یک ذره آزاد قابل محاسبه است.

$\begin{eqnarray*} \Delta E_{رایگان}&=&-{2\alpha E_{cut-off}\over 3\pi m^2c^2}p^2 \\ \end{eqnarray*}$

ما به طور خودکار این اصلاح را با تغییر در جرم مشاهده شده الکترون محاسبه می کنیم. برای تعریف غیر نسبیتی انرژی الکترون آزاد، افزایش جرم باعث کاهش انرژی می شود.

$\begin{eqnarray*} m_{obs}&=&(1+{4\alpha E_{cut-off}\over 3\pi mc^2})m_{bare} \\ \end{eqnarray*}$

اگر انتگرال را در قطع کنیم ، تصحیح جرم فقط حدود 0.3٪ است .

از آنجایی که جرم مشاهده شده الکترون از قبل بیشترین تصحیح انرژی خود را برای یک حالت محدود به حساب می آورد، ما باید این اثر را تصحیح کنیم تا از شمارش مضاعف تصحیح جلوگیری کنیم. تصحیح انرژی خود برای یک حالت محدود است.

$\begin{eqnarray*} \Delta E_n^{(obs)}&=&\Delta E_n+{2\alpha E_{cut-off}\over 3\pi m^2c^2}\langle n\vert p^2 \vert n\rangle \\ \end{eqnarray*}$

در سال 1947، Willis E. Lamb و RC Retherford از تکنیک های مایکروویو برای تعیین تقسیم بین حالت ها $2S_{1\بیش از 2}$ و $2P_{1\بیش از 2}$ هیدروژن استفاده کردند . حداقل زمانی که از مکانیک کوانتومی نسبیتی استفاده می شود، نتیجه را می توان به خوبی با تصحیح انرژی خود توضیح داد. محاسبه غیر نسبیتی ما توضیحی کیفی از اثر ارائه می دهد.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\Delta E_n^{(obs)} ={4\alpha^5\over 3\pi ... ...{\omega}_{nj}}\right )+{11\over 24}-{1\over 5}\right)mc^2\egroup\end{displaymath}$

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node44.html

مسائل مربوط به فیزیک کلاسیک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:14

در اواخر قرن نوزدهم، قوانین فیزیک بر اساس مکانیک و قانون گرانش نیوتن، معادلات ماکسول که الکتریسیته و مغناطیس را توصیف می‌کنند، و در مکانیک آماری که وضعیت مجموعه بزرگی از ماده را توصیف می‌کند، بود. این قوانین فیزیک طبیعت را در اکثر شرایط به خوبی توصیف می کنند، با این حال، برخی از اندازه گیری های اواخر قرن 19 و اوایل قرن 20 قابل درک نبودند. مشکلات فیزیک کلاسیک منجر به توسعه مکانیک کوانتومی و نسبیت خاص شد.

برخی از مشکلاتی که منجر به توسعه مکانیک کوانتومی می شود در اینجا فهرست شده است.

تابش بدن سیاه: فیزیک کلاسیک پیش‌بینی می‌کرد که اجسام داغ فوراً تمام گرمای خود را به امواج الکترومغناطیسی می‌تابانند. این محاسبه که بر اساس معادلات ماکسول و مکانیک آماری بود، نشان داد که با صفر شدن طول موج EM، «فاجعه فرابنفش»، نرخ تابش به بی نهایت می‌رود. پلانک با این فرض که انرژی EM به صورت کوانتایی با تابش می شود، مشکل را حل کرد $E=h\nu$ .
اثر فوتوالکتریک: هنگامی که از نور برای حذف الکترون ها از جامدات استفاده شد، نتایج کاملاً متفاوت از معادلات ماکسول بود. اگر نور از ذراتی با انرژی‌هایی که پلانک فرض می‌کردند تشکیل شده باشد، اندازه‌گیری‌ها آسان بود (برای انیشتین).
اتم‌ها: پس از اینکه رادرفورد دریافت که بار مثبت اتم‌ها در یک هسته بسیار کوچک متمرکز شده است، فیزیک کلاسیک پیش‌بینی کرد که الکترون‌های اتمی که به دور هسته می‌چرخند، انرژی خود را به دور می‌تابند و مارپیچ به هسته می‌پیوندند. به وضوح این اتفاق نیفتاد. انرژی تابش شده توسط اتم ها نیز در تناقض با پیش بینی های فیزیک کلاسیک در مقادیر کوانتیزه شده بیرون آمد. اتم بور یک قانون کوانتیزاسیون تکانه زاویه ای را $L=n\hbar$ برای , فرض کرد که نتیجه درستی را برای هیدروژن می داد، اما معلوم شد که اشتباه است زیرا حالت پایه هیدروژن دارای تکانه زاویه ای صفر است. برای توضیح طیف انرژی اتمی نیاز به درک کامل مکانیک کوانتومی بود.
پراکندگی کامپتون: هنگامی که نور از الکترون ها پراکنده می شود، درست مانند یک ذره رفتار می کند، اما طول موج در پراکندگی تغییر می کند. شواهد بیشتری برای ذره ای بودن نور و فرض پلانک.
امواج و ذرات: در آزمایش‌های پراش، نور مانند یک موج رفتار می‌کند در حالی که در آزمایش‌هایی مانند اثر فوتوالکتریک، نور مانند یک ذره رفتار می‌کند. آزمایش‌های پراش دشوارتر نشان داد که الکترون‌ها (و همچنین سایر ذرات) مانند یک موج رفتار می‌کنند، اما ما فقط می‌توانیم تعداد صحیحی از الکترون‌ها (یا فوتون‌ها) را تشخیص دهیم.

مکانیک کوانتومی یک دوگانگی موج - ذره را در بر می گیرد و همه پدیده های فوق را توضیح می دهد. با انجام این کار، مکانیک کوانتومی درک ما از طبیعت را به روش های اساسی تغییر می دهد. در حالی که قوانین کلاسیک فیزیک قطعی هستند، QM احتمالاتی است. ما فقط می‌توانیم احتمال پیدا شدن یک ذره در ناحیه‌ای از فضا را پیش‌بینی کنیم.

امواج الکترومغناطیسی مانند نور از ذراتی تشکیل شده اند که ما آنها را فوتون می نامیم. انیشتین بر اساس فرمول پلانک فرضیه ای را مطرح کرد که ذرات نور انرژی متناسب با فرکانس خود دارند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}E=h\nu\egroup\end{displaymath}$

ایده جدید مکانیک کوانتومی این است که احتمال هر ذره (به عنوان تابعی از موقعیت و زمان) با مجذور تابع دامنه احتمال برابر است و این دامنه‌های احتمال از یک معادله موج تبعیت می‌کنند. این بسیار شبیه مورد الکترومغناطیس است که در آن چگالی انرژی مانند مربع میدان است و از این رو چگالی احتمال فوتون مانند مربع میدان می‌شود، اما میدان از امواج تشکیل شده است. بنابراین دامنه‌های احتمال از بسیاری جهات مانند میدان‌هایی هستند که از الکترومغناطیس می‌شناسیم.

دبرولی $\bgroup\color{black}$E=h\nu$\egroup$ فوتون ها و ذرات دیگر رادر نظر گرفت و از تغییر ناپذیری لورنتس (از نسبیت خاص) برای استخراج طول موج ذراتی مانند الکترون استفاده کرد.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\lambda={h\over p}\egroup\end{displaymath}$

بقیه مکانیک موج حول این ایده ها ساخته شده است، و تصویر کاملی ارائه می دهد که می تواند اندازه گیری های فوق را توضیح دهد و می تواند با دقت بسیار بالا، به ویژه در اتم هیدروژن، آزمایش شود. ما چندین فصل را صرف بررسی این ایده ها خواهیم کرد.

* مثال: فرض کنید فوتون ذره ای با طول موج استاندارد deBroglie است. از سینماتیک برای استخراج طول موج فوتون پراکنده به عنوان تابعی از زاویه برای پراکندگی کامپتون استفاده کنید. *

Gasiorowicz فصل 1

روهلف فصل 3،6

گریفیث واقعاً این را پوشش نمی دهد.

کوهن تنودجی و همکاران. فصل

زیر بخش ها

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node47.html

معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:11

معادله دیراک

برای ادامه به سمت یک نظریه میدان برای الکترون ها و کوانتیزه کردن میدان دیراک، ما می خواهیم یک لاگرانژی اسکالر پیدا کنیم که معادله دیراک را به دست می دهد. از مطالعه کوواریانس‌های لورنتس می‌دانیم که یک اسکالر است و می‌توانیم از حاصلضرب نقطه‌ای دو بردار 4 مانند لاگرانژی زیر یک اسکالر تشکیل دهیم. لاگرانژی نمی تواند به طور صریح به مختصات وابسته باشد. $\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\psi$\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {\cal L}=-c\hbar\bar{\psi}\gamma_\mu{\partial\over\partial x_\mu}\psi-mc^2\ نوار{\psi}\psi \egroup\end{displaymath}$

(می‌توانیم یک جمله تانسور هم اضافه کنیم اما برای بدست آوردن معادله دیراک نیازی نیست.) فیلدهای مستقل 4 جزء $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ و چهار جزء $\bgroup\color{black}$\bar{\psi}$\egroup$ . معادله اویلر -لاگرانژ با استفاده از میدان‌های مستقل ساده است زیرا هیچ مشتقی از آن در لاگرانژ $\bgroup\color{black}$\bar{\psi}$\egroup$ وجود ندارد . $\bgroup\color{black}$\bar{\psi}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} {\partial\over\partial x_\mu}\left({\partial{\cal L}\over\part... ...\mu{\partial\over\partial x_\mu }+{mc\over\hbar}\right)\psi=0 \\ \end{eqnarray*}$

این معادله دیراک را به ما می دهد که نشان می دهد این لاگرانژی درست است. معادله اویلر-لاگرانژ که با استفاده از فیلدها به دست می آید ، معادله الحاقی دیراک $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ است .

چگالی همیلتونی ممکن است از لاگرانژ به روش استاندارد گرفته شود و کل همیلتون با ادغام در فضا محاسبه شود. توجه داشته باشید که چگالی همیلتونی همان چگالی همیلتونی است که مستقیماً از معادله دیراک مشتق شده است.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H=\int\psi^\dagger\left(\hbar c\gamma_4\... ...\partial\over\partial x_k}+mc^2\gamma_4 \right)\psi d^3x \egroup\end{displaymath}$

ما ممکن است $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ در امواج صفحه گسترش پیدا کنیم تا همیلتونی را به عنوان مجموع نوسانگرها درک کنیم.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi(\vec{x},t)=\sum\limits_{\vec{p}}\su... ... u^{(r)} _{\vec{p}} e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi^\dagger(\vec{x},t)=\sum\limits_{\ve... ...خنجر}_{\vec{p}} e^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

با نوشتن همیلتونی بر حسب این فیلدها ، فرمول را می توان با بازدهی ساده کرد

$\begin{eqnarray*} H&=&\sum\limits_{\vec{p}}\sum\limits_{r=1}^4 E c_{\vec{p},r}^*c_{\vec{p },r}. \\ \پایان{eqnarray*}$

با قیاس با الکترومغناطیس، می‌توانیم ضرایب فوریه را برای امواج صفحه دیراک توسط عملگرها جایگزین کنیم.

$\begin{eqnarray*} H&=&\sum\limits_{\vec{p}}\sum\limits_{r=1}^4 E b^{(r)^\dagger... ...{(r )\dagger}_{\vec{p}} e^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

ایجاد عملگرهای نابودی و برآوردن روابط ضد کموتاسیون . $\bgroup\color{black}$b^{(r)^\dagger}_{\vec{p}}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$b^{(r)}_{\vec{p}}$\egroup$

$\{begin{eqnarray*} \{b^{(r)}_{\vec{p}},b^{(r')^\dagger}_{\vec{p'}}\}&=&\ delta_{rr... ...{(r)}_{\vec{p}}&=&b^{(r)^\dagger}_{\vec{p}}b^{(r)}_ {\vec{p}} \\ \end{eqnarray*}$

$\bgroup\color{black}$N^{(r)}_{\vec{p}}$\egroup$ اپراتور شماره شغل است. روابط ضد جابجایی تعداد اشغال را 1 یا 0 محدود می کند .

اکنون میدان دیراک و همیلتونین را می‌توان بر حسب میدان‌های الکترونی و پوزیترونی بازنویسی کرد که انرژی برای آنها همیشه مثبت است، با جایگزین کردن عملگر برای از بین بردن یک "حالت انرژی منفی" با یک عملگر برای ایجاد یک حالت پوزیترون با تکانه مناسب و چرخش.

$\begin{eqnarray*} d^{(1)}_{\vec{p}}&=&-b^{(4)^\dagger}_{\vec{p}} \\ d^{(2 )}_{\vec{p}}&=&b^{(3)^\dagger}_{\vec{p}} \\ \end{eqnarray*}$

این ضد رفت و آمد با هر چیز دیگری به استثنای اینکه

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \{d^{(s)}_{\vec{p}},d^{(s')^\dagger}_{\vec{p'}} \}=\delta_{ss'}\delta_{\vec{p}\vec{p'}} \egroup\end{displaymath}$

حالا فیلدها و همیلتونین را بازنویسی کنید.

$\begin{eqnarray*} \psi(\vec{x},t)&=&\sum\limits_{\vec{p}}\sum\limits_{s=1}^2\sqr... ... vec{p}} +d^{(s)^\dagger}_{\vec{p}}d^{(s)}_{\vec{p}}-1\right) \\ \end{eqnarray *}$

تمام انرژی های این حالت ها مثبت است .

یک انرژی ثابت (بی نهایت) مشابه اما دارای علامت مخالف با میدان EM کوانتیزه شده وجود دارد که باید آن را اضافه کنیم تا حالت خلاء انرژی صفر داشته باشد. توجه داشته باشید که اگر از اپراتورهای رفت و آمد (بوز-اینشتین) به جای ضد رفت و آمد استفاده می کردیم، کمترین حالت پایه انرژی وجود نداشت، بنابراین این تفریق انرژی ممکن نبود. آمار فرمی دیراک برای ذراتی که معادله دیراک را برآورده می کنند مورد نیاز است .

از آنجایی که عملگرهایی که حالت‌های فرمیونی را ایجاد می‌کنند ضد جابه‌جایی هستند ، حالت‌های فرمیونی باید تحت مبادله ضد متقارن باشند. فرض کنید $\bgroup\color{black}$b_r^\dagger$\egroup$ و $\bgroup\color{black}$b_r$\egroup$ عملگرهای ایجاد و نابودی فرمیون ها هستند و آنها ضد رفت و آمد هستند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \{b_r^\dagger,b_{r'}^\dagger\}=0 \egroup\end{displaymath}$

سپس این حالت ها تحت تبادل جفت فرمیون ها ضد متقارن هستند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} b_r^\dagger b_{r'}^\dagger \vert\rangle = -b_{r'}^\dagger b_{r}^\dagger \vert\rangle \ egroup\end{displaymath}$

نشان دادن اینکه عدد اشغال حالت های فرمیونی صفر است یا یک کار سختی نیست .

توجه داشته باشید که اسپینورها معادلات کمی متفاوت زیر را برآورده می کنند .

$\begin{eqnarray*} (i\gamma_\mu p_\mu+mc)u^{(s)}_{\vec{p}}=0 \\ (-i\gamma_\mu p_\mu+mc) v^{(s)}_{\vec{p}}=0 \\ \end{eqnarray*}$

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node46.html

1-معادله دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 14:8

هدف ما یافتن آنالوگ معادله شرودینگر برای یک دوم ذرات اسپین نسبیتی است، با این حال، باید توجه داشته باشیم که حتی در معادله شرودینگر، برهمکنش میدان با اسپین نسبتاً موردی بود. هیچ توضیحی در مورد نسبت ژیرو مغناطیسی 2 وجود نداشت. می‌توان با استفاده از شرودینگر-پائولی همیلتونی که شامل حاصل ضرب نقطه‌ای ماتریس‌های پائولی با عملگر تکانه است، اسپین را در معادله غیرنسبیتی وارد کرد .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H={1\over 2m}\left(\vec{\sigma}\cdot[\ve... ...{e\over c}\vec{A }(\vec{r},t)]\right)^2-e\phi(\vec{r},t) \egroup\end{displaymath}$

یک محاسبه کوچک نشان می دهد که این تعامل صحیح با اسپین را نشان می دهد.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H={1\over 2m}[\vec{p}+{e\over c}\vec{A}(... ...t)+{e \hbar\بیش از 2mc}\vec{\sigma}\cdot\vec{B}(\vec{r},t) \egroup\end{displaymath}$

این هامیلتونی روی یک اسپینور دو جزئی عمل می کند.

ما می توانیم این مفهوم را به استفاده از معادله انرژی نسبیتی گسترش دهیم . ایده جایگزینی $\bgroup\color{black}$\vec{p}$\egroup$ با معادله انرژی نسبیتی است. $\bgroup\color{black}$\vec{\sigma}\cdot\vec{p}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \left({E\over c}\right)^2-p^2=(mc)^2 \\ \left({E\over c}-\vec... ... 0}-i\hbar\vec{\sigma}\cdot\vec{\nabla}\right)\phi=(mc)^2\phi \\ \end{eqnarray*}$

به جای معادله ای که در مشتق زمانی مرتبه دوم است، می توانیم با گسترش این معادله به چهار جزء، یک معادله مرتبه اول مانند معادله شرودینگر بسازیم.

$\begin{eqnarray*} \phi^{(L)}&=&\phi \\ \phi^{(R)}&=&{1\over mc}\left(i\hbar{\pa... ...al x_0}-i\hbar\vec{\sigma}\cdot\vec{\nabla}\right)\phi^{(L)} \\ \end{eqnarray*}$

حال با بازنویسی بر حسب و و مرتب کردن آن به عنوان یک معادله ماتریسی، معادله ای به دست می آید که می توان آن را به صورت ضرب نقطه ای بین 4 بردار نوشت. $\bgroup\color{black}$\psi_A=\phi^{(R)}+\phi^{(L)}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\psi_B=\phi^{(R)}-\phi^{(L)}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \pmatrix{-i\hbar{\partial\over\partial x_0} & -i\hbar\vec{\sig... ...] =\hbar\left[\gamma_\mu{ \جزئی\ بیش از x_\mu}\راست] \\ \پایان{eqnarray*}$

ماتریس های 4 در 4 را تعریف کنید $\bgroup\color{black}$\gamma_\mu$\egroup$ .

$\begin{eqnarray*} \gamma_i&=&\pmatrix{0 & -i\sigma_i \cr i\sigma_i & 0 \cr} \\ \gamma_4&=&\pmatrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr} \\ \پایان{eqnarray*}$

با این تعریف، معادله نسبیتی را می توان تا حد زیادی ساده کرد

$\begin{eqnarray*} \left(\gamma_\mu{\partial\over\partial x_\mu}+{mc\over\hbar}\right)\psi=0 \\ \end{eqnarray*}$

که در آن ماتریس های گاما توسط

$\bgroup\color{black}$\gamma_1=\pmatrix{0 & 0 & 0 & -i \cr 0 & 0 & -i & 0 \cr 0 & I & 0 & 0 \cr i & 0 & 0 & 0 \cr}$\egroup$

$\bgroup\color{black}$\gamma_2=\pmatrix{0 & 0 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr -1 & 0 & 0 & 0 \cr}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\gamma_3=\pmatrix{0 & 0 & -i & 0 \cr 0 & 0 & 0 & i \cr i & 0 & 0 & 0 \cr 0 & -i & 0 & 0 \cr}$\egroup$

و آنها روابط ضد تخفیف را برآورده می کنند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \{\gamma_\mu,\gamma_\nu\}=2\delta_{\mu\nu} \egroup\end{displaymath}$

در واقع هر مجموعه ای از ماتریس هایی که روابط ضد جابجایی را برآورده کند، نتایج فیزیک معادلی را به همراه خواهد داشت، با این حال، ما در نمایش صریح بالا از ماتریس های گاما کار خواهیم کرد.

تعریف کردن ، $\bgroup\color{black}$\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma_4$\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}j_\mu=ic\bar{\psi}\gamma_\mu\psi \egroup\end{displaymath}$

معادله یک جریان 4 بردار حفظ شده را برآورده می کند

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {\partial\over\partial x_\mu}j_\mu=0 \egroup\end{displaymath}$

و همچنین مانند یک 4 بردار تبدیل می شود. جزء چهارم بردار نشان می دهد که چگالی احتمال برابر است . این نشان می دهد که عادی سازی حالت شامل هر چهار جزء اسپینورهای دیراک می شود. $\bgroup\color{black}$\psi^\dagger\psi$\egroup$

برای الکترون های غیر نسبیتی، دو جزء اول اسپینور دیراک بزرگ و دو جزء آخر کوچک هستند.

$\begin{eqnarray*} \psi=\pmatrix{\psi_A\cr \psi_B} \\ \psi_B \approx {c\over 2mc... ...p}+{e\over c}\vec{A} \right)\psi_A\approx{pc\over 2mc^2}\psi_A\\ \end{eqnarray*}$

ما از این واقعیت برای نوشتن یک معادله تقریبی دو جزئی مشتق شده از معادله دیراک در حد غیر نسبیتی استفاده می کنیم.

$\begin{eqnarray*} \left({p^2\over 2m}-{Ze^2\over 4\pi r}-{p^4\over 8m^3c^2}+{Ze^... . ..^2\بیش از 8m^2c^2}\delta^3(\vec{r})\right)\psi &=&E^{(NR)}\psi \\ \end{eqnarray*}$

این «معادله شرودینگر» که از معادله دیراک گرفته شده است ، به خوبی با معادله ای که برای درک ساختار ظریف هیدروژن استفاده کردیم، مطابقت دارد. دو عبارت اول عبارت های انرژی جنبشی و پتانسیل برای هیدروژن همیلتونین آشفته نشده است. عبارت سوم تصحیح نسبیتی انرژی جنبشی است . چهارمین عبارت، برهمکنش صحیح چرخش-مدار است ، از جمله اثر توماس پرسیون که وقتی ساختار ظریف NR را انجام دادیم، برای درک آن وقت صرف نکردیم. جمله پنجم اصطلاح داروینی است که گفتیم از معادله دیراک می آید. و اکنون دارد.

برای یک ذره آزاد، هر جزء از اسپینور دیراک معادله کلاین-گوردون را برآورده می کند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi_{\vec{p}}=u_{\vec{p}}e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et) /\hbar} \egroup\end{displaymath}$

این با رابطه انرژی نسبیتی سازگار است.

چهار راه حل نرمال شده برای یک ذره دیراک در حالت سکون عبارتند از.

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}=\psi_{E=+mc^2,+\hbar/2}&=&{1\over\sqrt{V}}\pmatrix{... ...\over\sqrt{V}}\pmatrix{0\cr 0\cr 0\cr 1\cr}e^{+imc^2t/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

اولی و سومی به سمت بالا می چرخند در حالی که دومی و چهارمی به پایین می چرخند. اول و دوم راه حل های انرژی مثبت هستند در حالی که سوم و چهارم "راه حل های انرژی منفی" هستند که هنوز باید آنها را درک کنیم.

قدم بعدی یافتن راه حل ها با شتاب مشخص است. چهار راه حل موج صفحه معادله دیراک عبارتند از

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi^{(r)}_{\vec{p}}\equiv \sqrt{mc^2\ov... ... V}u^{( r)}_{\vec{p}}e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

جایی که چهار اسپینور توسط داده می شود.

$\begin{eqnarray*} u^{(1)}_{\vec{p}}=\sqrt{E+mc^2\over 2mc^2}\pmatrix{1\cr 0\cr {... . .._x-ip_y)c\over -E+mc^2}\cr {p_zc\over -E+mc^2}\cr 0\cr 1\cr} \\ \end{eqnarray*}$

$\bgroup\color{black}$E$\egroup$ برای جواب های 1 و 2 مثبت و برای جواب های 3 و 4 منفی است. اسپینورها متعامد هستند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} u^{(r)\dagger}_{\vec{p}} u^{(r')}_{\vec{p}}={\vert E \vert\over mc^2}\delta_{rr'} \egroup\end{displaymath}$

و ثابت های نرمال سازی به گونه ای تنظیم شده اند که حالت ها به درستی نرمال شوند و اسپینورها از قرارداد ذکر شده در بالا پیروی می کنند و نرمال سازی متناسب با انرژی است.

راه حل ها به طور کلی حالت های ویژه هیچ یک از اجزای اسپین نیستند، بلکه حالت های ویژه مارپیچی هستند ، جزء اسپین در امتداد جهت تکانه.

توجه داشته باشید که در $\bgroup\color{black}$E$\egroup$ حالت منفی، نمایی دارای سرعت فاز، سرعت گروه و شار احتمال است که همه در جهت مخالف تکانه همانطور که ما آن را تعریف کردیم، دارد. این به وضوح معنی ندارد. راه حل های 3 و 4 باید به گونه ای درک شوند که عملگرهای غیر نسبیتی ما را برای آن آماده نکرده باشند. اجازه دهید به سادگی راه حل های 3 و 4 را به گونه ای دوباره برچسب گذاری کنیم که $\bgroup\color{black}$e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \vec{p}\rightarrow -\vec{p} \\ E\rightarrow -E \\ \end{eqnarray*}$

به طوری که تمام انرژی ها مثبت و لحظه لحظه ای در جهت سرعت ها باشد. یعنی علائم راه حل های 3 و 4 را به صورت زیر تغییر می دهیم.

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}_{\vec{p}}&=&\sqrt{E+mc^2\over 2EV} \pmatrix{1\cr 0\... .. .er E+mc^2}\cr 0\cr 1\cr}e^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

ما امواج صفحه ای از فرم را داریم

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} e^{\pm ip_\mu x_\mu/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

با علامت مثبت برای راه‌حل‌های 1 و 2 و علامت منفی برای راه‌حل‌های 3 و 4. این $\bgroup\color{black}$\pm$\egroup$ علامت‌ها در حالت نمایی از نقطه‌نظر راه‌حل‌های ممکن برای یک معادله دیفرانسیل چندان تعجب‌آور نیستند. مشکل در حال حاضر این است که برای راه حل های 3 و 4 عملگرهای تکانه و انرژی باید یک علامت منفی به آنها اضافه شود و فاز تابع موج در یک موقعیت ثابت بر خلاف آن چیزی که ما انتظار داریم و از زمان انتظار داریم رفتار کند. راه حل های 1 و 2. گویی راه حل های 3 و 4 در زمان به عقب حرکت می کنند.

اگر بار الکترون را از $\bgroup\color{black}$-e$\egroup$ به تغییر دهیم $\bgroup\color{black}$+e$\egroup$ و علامت توان را تغییر دهیم، معادله دیراک ثابت می ماند. بنابراین، اگر بار را به $\bgroup\color{black}$+e$\egroup$ . ما می توانیم راه حل های 3 و 4 را به عنوان پوزیترون تفسیر کنیم. هنگامی که عملگر صرف شارژ را مطالعه می کنیم، این سوئیچ را با دقت بیشتری انجام خواهیم داد.

معادله دیراک باید تحت فشارهای لورنتز و تحت چرخش ثابت باشد، که هر دو فقط تغییراتی در تعریف یک سیستم مختصات اینرسی هستند. تحت بوست های لورنتس، تبدیل هایی مانند 4 بردار می شود اما ماتریس ها ثابت هستند. معادله دیراک نشان داده می شود که تحت بوست ها در امتداد جهت ثابت است اگر اسپینور دیراک را مطابق با آن تبدیل کنیم. $\bgroup\color{black}${\partial\over\partial x_\mu}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\gamma_\mu$\egroup$ $\bgroup\color{black}$x_i$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \psi'&=&S_{boost}\psi \\ S_{boost}&=&\cosh{\chi\over 2}+i\gamma_i\gamma_4\sinh{\chi\over 2} \\ \پایان{eqnarray*}$

با . $\bgroup\color{black}$\tanh\chi=\beta$\egroup$

معادله دیراک تحت چرخش حول $\bgroup\color{black}$k$\egroup$ محور ثابت است اگر اسپینور دیراک را مطابق با

$\begin{eqnarray*} \psi'&=&S_{rot}\psi \\ S_{rot}&=&\cos{\theta\over 2}+\gamma_i\gamma_j\sin{\theta\over 2} \ پایان{eqnarray*}$

با $\bgroup\color{black}$ijk$\egroup$ یک جایگشت حلقوی است.

تقارن دیگر مربوط به انتخاب سیستم مختصات برابری است. تحت یک عملیات وارونگی برابری، معادله دیراک ثابت می ماند اگر

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi'=S_P\psi=\gamma_4\psi \egroup\end{displaymath}$

از آنجایی که مولفه های سوم و چهارم اسپینور تغییر علامت می دهند در حالی که دو جزء اول تغییر نمی کنند. از آنجایی که می توانستیم انتخاب کنیم ، تنها چیزی که می دانیم این است که مؤلفه های 3 و 4 برابری مخالف مؤلفه های 1 و 2 دارند . $\bgroup\color{black}$\gamma_4=\pmatrix{1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$-\gamma_4$\egroup$

از 4 در 4 ماتریس، ما ممکن است 16 جزء مستقل از اشیاء کوواریانت را استخراج کنیم. ما حاصل ضرب همه ماتریس های گاما را تعریف می کنیم .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \gamma_5=\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4 \egroup\end{displaymath}$

که آشکارا با تمام ماتریس های گاما ضد رفت و آمد است .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \{\gamma_\mu,\gamma_5\}=0 \egroup\end{displaymath}$

برای چرخش و تقویت، $\bgroup\color{black}$\gamma_5$\egroup$ رفت و آمد با $\bgroup\color{black}$S$\egroup$ آن را با جفت ماتریس گاما رفت و آمد. برای وارونگی برابری، با $\bgroup\color{black}$S_P=\gamma_4$\egroup$ .

ساده‌ترین مجموعه کوواریانت‌هایی که می‌توانیم از اسپینرها و $\bgroup\color{black}$\gamma$\egroup$ ماتریس‌های دیراک بسازیم در زیر جدول‌بندی شده‌اند.

طبقه بندی	فرم کوواریانس	نه از اجزای

اسکالر	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\psi$\egroup$	1
شبه اسکالر	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\gamma_5\psi$\egroup$	1
بردار	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\gamma_\mu\psi$\egroup$	4
وکتور محوری	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\gamma_5\gamma_\mu\psi$\egroup$	4
تانسور ضد متقارن رتبه 2	$\bgroup\color{black}$\bar{\psi}\sigma_{\mu\nu}\psi$\egroup$	6
جمع		16

حاصل‌های $\bgroup\color{black}$\gamma$\egroup$ ماتریس‌های بیشتر، مقادیر مشابهی را تکرار می‌کنند، زیرا مربع هر $\bgroup\color{black}$\gamma$\egroup$ ماتریس 1 است.

برای بسیاری از اهداف، نوشتن معادله دیراک به شکل سنتی مفید است $\bgroup\color{black}$H\psi=E\psi$\egroup$ . برای انجام این کار، باید مشتقات مکان و زمان را از هم جدا کنیم و معادله را کمتر کوواریانت کنیم.

$\begin{eqnarray*} \left(\gamma_\mu{\partial\over\partial x_\mu}+{mc\over\hbar}\r... ...mc^2}\gamma_4\right)\ psi=-\hbar{\partial\over\partial t}\psi \\ \end{eqnarray*}$

بنابراین ما می توانیم عملگر زیر را به عنوان همیلتونی شناسایی کنیم.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H=ic\gamma_4\gamma_jp_j+mc^2\gamma_4 \egroup\end{displaymath}$

همیلتون به ما کمک می کند تا ثابت های حرکت را شناسایی کنیم. اگر یک اپراتور با commute کند $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ ، یک کمیت حفظ شده را نشان می دهد.

دیدن $\bgroup\color{black}$p_k$\egroup$ رفت و آمدها با همیلتونین برای یک ذره آزاد آسان است تا حرکت حفظ شود . اجزای تکانه زاویه ای مداری با $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} [H,L_z]=ic\gamma_4[\gamma_jp_j,xp_y-yp_x]=\hbar c\gamma_4(\gamma_1p_y-\gamma_2 p_x) \egroup\gmath}{display$

اجزای اسپین نیز با $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} {[H,S_z]}=\hbar c\gamma_4[\gamma_2p_x-\gamma_1p_y] \egroup\end{displaymath}$

اما، با توجه به موارد فوق، اجزای تکانه زاویه ای کل با $\bgroup\color{black}$H$\egroup$ .

$\begin{eqnarray*}[H,J_z]=[H,L_z]+[H,S_z]=\hbar c\gamma_4(\gamma_1p_y-\gamma_2 p_x)+\hbar c\gamma_4[\gamma_2p_x-\gamma_1p_y] =0 \\ \end{eqnarray*}$

معادله دیراک به طور طبیعی تکانه زاویه ای کل را حفظ می کند، اما بخش های مداری یا اسپین آن را حفظ نمی کند.

همچنین می‌توانیم ببینیم که مارپیچ یا چرخش در جهت حرکت، رفت‌وآمد می‌کند.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} [H,\vec{S}\cdot\vec{p}]=[H,\vec{S}]\cdot\vec{p}=0 \egroup\ پایان{نمایش}$

برای هر محاسباتی باید اصطلاح برهمکنش با میدان الکترومغناطیسی را بدانیم. بر اساس برهمکنش میدان با جریان

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H_{int}=-{1\over c}j_\mu A_\mu \egroup\end{displaymath}$

و جریانی که برای معادله دیراک پیدا کردیم، برهمکنش همیلتونی است.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H_{int}=ie\gamma_4\gamma_k A_k \egroup\end{displaymath}$

این ساده تر از حالت غیر نسبیتی است، بدون $\bgroup\color{black}$A^2$\egroup$ عبارت و تنها یک توان از $\bgroup\color{black}$e$\egroup$ .

معادله دیراک پدیده‌های غیرمنتظره‌ای دارد که می‌توانیم آنها را استخراج کنیم. مقادیر ویژه سرعت برای الکترون ها همیشه $\bgroup\color{black}$\pm c$\egroup$ در امتداد هر جهتی هستند. بنابراین تنها مقادیر سرعتی که می‌توانیم اندازه‌گیری کنیم، هستند $\bgroup\color{black}$\pm c$\egroup$ .

حالت های موضعی، گسترش یافته در امواج صفحه، شامل هر چهار جزء راه حل های موج صفحه است. اختلاط اجزای 1 و 2 با اجزای 3 و 4 باعث ایجاد Zitterbewegung می شود ، نوسان بسیار سریع سرعت و موقعیت الکترون.

$\begin{eqnarray*} \langle v_k\rangle&=&\sum\limits_{\vec{p}}\sum\limits_{r=1}^4\... ...mma_k u^{(r') }_{\vec{p}} e^{2i\vert E\vert t/\hbar}\right] \\ \end{eqnarray*}$

آخرین مجموع که شامل ترازهای متقاطع بین انرژی منفی و مثبت است نشان دهنده نوسانات فرکانس بسیار بالا در مقدار مورد انتظار سرعت است که به عنوان Zitterbewegung شناخته می شود. مقدار مورد انتظار موقعیت دارای نوسانات سریع مشابه است.

می توان معادله دیراک را دقیقاً برای هیدروژن به روشی بسیار شبیه به جواب غیرنسبیتی حل کرد. یک تفاوت این است که از ابتدا مشخص است که تکانه زاویه ای کل ثابت حرکت است و به عنوان یک عدد کوانتومی پایه استفاده می شود. یک عدد کوانتومی حفظ شده دیگر مربوط به جزء اسپین در امتداد جهت $\bgroup\color{black}$\vec{J}$\egroup$ . با این اعداد کوانتومی، معادله شعاعی را می توان به روشی مشابه با حالت غیر نسبیتی که رابطه انرژی را به دست می دهد، حل کرد .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} E={mc^2\over\sqrt{1+{Z^2\alpha^2\over\le... ...rt{\left(j+{ 1\over 2}\right)^2-Z^2\alpha^2}\right)^2}}} \egroup\end{displaymath}$

ما می توانیم عدد کوانتومی اصلی استاندارد را در این مورد به صورت . این نتیجه همان پاسخ محاسبه غیر نسبیتی ما به ترتیب را می دهد، اما به مرتبه بالاتر نیز صحیح است . این یک راه حل دقیق برای مسئله مکانیک کوانتومی مطرح شده است، اما اثرات نظریه میدان ، مانند جابجایی بره و گشتاور مغناطیسی غیرعادی الکترون را شامل نمی شود. $\bgroup\color{black}$n=n_r+j+{1\بیش از 2}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$\alpha^4$\egroup$

محاسبه پراکندگی تامسون نشان می‌دهد که حتی پراکندگی فوتون‌های کم انرژی برای به دست آوردن پاسخی غیرصفر به حالت‌های «انرژی منفی» یا پوزیترون وابسته است. اگر محاسبه با دو نمودار انجام شود که در آن یک فوتون جذب شده و سپس توسط یک الکترون گسیل می شود (و بالعکس) نتیجه در انرژی کم صفر است زیرا برهمکنش هامیلتونی حالت های موج صفحه اول و دوم را با حالت سوم و چهارم متصل می کند. در شتاب صفر این در تضاد با محاسبات کلاسیک و غیر نسبیتی و همچنین اندازه گیری است. اگر این امکان را در نظر بگیریم که فوتون بتواند جفت پوزیترون الکترونی ایجاد کند که با گسیل الکترون اولیه یک فوتون (یا با مبادله فوتون های اولیه و نهایی) از بین می رود، نمودارهای بیشتری وجود دارد. این دو عبارت جواب درست را می دهند.

معادله دیراک تحت ترکیب بار ثابت است و به عنوان تغییر حالت های الکترونی به حالت های پوزیترون باردار مخالف با حرکت و اسپین یکسان (و تغییر علامت میدان های خارجی) تعریف می شود. برای انجام این کار، اسپینور دیراک مطابق با تغییر شکل می‌شود.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi'= \gamma_2\psi^* \egroup\end{displaymath}$

البته عملیات تلفیق شارژ دوم حالت را به حالت اولیه برمی گرداند $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ . اعمال این به راه حل های موج صفحه می دهد

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}_{\vec{p}}=\sqrt{mc^2\over\vert E\vert V} u^{(1)}_{... ...{-\vec{p}} e^{i(-\vec{p}\cdot\vec{x}-\vert E\vert t)/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

که اسپینورهای پوزیترون جدید را تعریف می کند و مزدوج بار و . $\bgroup\color{black}$v^{(1)}_{\vec{p}}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$v^{(2)}_{\vec{p}}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$u^{(1)}_{\vec{p}}$\egroup$ $\bgroup\color{black}$u^{(2)}_{\vec{p}}$\egroup$

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node45.html

8-تابع موج

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 3:9

نمایندگی ها [ ویرایش ]

حالت های پایه با مجموعه ای از اعداد کوانتومی مشخص می شوند. این مجموعه ای از مقادیر ویژه از مجموعه حداکثری از مشاهده پذیرهای در حال رفت و آمد است . مشاهده پذیرهای فیزیکی با عملگرهای خطی که به آنها قابل مشاهده نیز گفته می شود، در فضای بردارها نشان داده می شوند. حداکثر به این معنی است که نمی‌توان مشاهده‌پذیرهای جبری مستقل دیگری را به مجموعه اضافه کرد که با آنهایی که از قبل وجود دارند رفت و آمد کنند. انتخاب چنین مجموعه ای را می توان انتخاب نمایندگی نامید .

این یک فرض مکانیک کوانتومی است که یک کمیت فیزیکی قابل مشاهده از یک سیستم، مانند موقعیت، تکانه، یا اسپین، توسط یک عملگر هرمیتی خطی در فضای حالت نمایش داده می شود. نتایج احتمالی اندازه گیری کمیت، مقادیر ویژه عملگر است. [18] در یک سطح عمیق تر، بیشتر مشاهده پذیرها، شاید همه، به عنوان مولد تقارن به وجود می آیند . [18] [35] [nb 6]
تفسیر فیزیکی این است که چنین مجموعه ای نشان دهنده آن چیزی است که می توان - در تئوری - به طور همزمان با دقت دلخواه اندازه گیری کرد. رابطه عدم قطعیت هایزنبرگ اندازه گیری دقیق همزمان دو مشاهده پذیر غیر قابل جابجایی را ممنوع می کند.
مجموعه غیر منحصر به فرد است. ممکن است برای یک سیستم تک ذره ای، به عنوان مثال، موقعیت و چرخش z-projection، (x، Sz) باشد ، یا ممکن است حرکت و چرخش y - projection ، ( p ، S y ) باشد . در این حالت، عملگر مربوط به موقعیت ( عملگر ضرب در نمایش موقعیت) و عملگر متناظر با تکانه ( عملگر دیفرانسیل در نمایش موقعیت) جابجا نمی شوند.
پس از انتخاب نمایندگی، باز هم خودسری وجود دارد. باقی مانده است که یک سیستم مختصات را انتخاب کنید. برای مثال، این ممکن است با انتخاب محور x ، y- و z ، یا انتخاب مختصات منحنی مطابق با مختصات کروی مورد استفاده برای توابع موج اتمی هیدروژن باشد. این انتخاب نهایی همچنین پایه ای را در فضای انتزاعی هیلبرت ثابت می کند. حالات اساسی با اعداد کوانتومی مربوط به حداکثر مجموعه مشاهده پذیرهای جابجایی و یک سیستم مختصات مناسب برچسب گذاری می شوند. [nb 7]

حالت‌های انتزاعی تنها از این جهت «انتزاعی» هستند که انتخاب دلخواه لازم برای توصیف صریح خاصی از آن داده نشده است. این همان است که بگوییم هیچ انتخابی از حداکثر مجموعه مشاهده پذیرهای رفت و آمد داده نشده است. این مشابه یک فضای برداری بدون مبنای مشخص است. بر این اساس توابع موج مربوط به یک حالت منحصر به فرد نیستند. این غیر منحصر به فرد بودن منعکس کننده عدم منحصر به فرد بودن در انتخاب مجموعه حداکثری از مشاهده پذیرهای رفت و آمد است. برای یک ذره اسپین در یک بعد، به یک حالت خاص ، دو تابع موج، Ψ( x ، Sz ) و Ψ( p ، Sy ) مطابقت دارد، که هر دو یکسان را توصیف می کنند.حالت.

برای هر انتخاب از مجموعه‌های رفت‌وآمد حداکثری از مشاهده‌پذیرها برای فضای حالت انتزاعی، یک نمایش مربوطه وجود دارد که به فضای تابعی از توابع موج مرتبط است.
بین همه این فضاهای تابع مختلف و فضای حالت انتزاعی، مطابقت های یک به یک وجود دارد (در اینجا بدون توجه به نرمال سازی و فاکتورهای فاز غیرقابل مشاهده)، مخرج مشترک در اینجا یک حالت انتزاعی خاص است. رابطه بین تکانه و توابع موج فضای موقعیت، برای مثال، توصیف همان حالت تبدیل فوریه است .

هر انتخاب بازنمایی باید به عنوان مشخص کننده یک فضای تابع منحصر به فرد در نظر گرفته شود که در آن توابع موجی مربوط به آن انتخاب نمایش زندگی می کنند. این تمایز بهتر است حفظ شود، حتی اگر بتوان استدلال کرد که دو فضای تابعی از این نظر از نظر ریاضی با هم برابر هستند، به عنوان مثال مجموعه ای از توابع انتگرال پذیر مربع هستند. سپس می توان فضاهای تابع را به عنوان دو کپی مجزا از آن مجموعه در نظر گرفت.

ضرب داخلی [ ویرایش ]

یک ساختار جبری اضافی در فضاهای برداری توابع موج و فضای حالت انتزاعی وجود دارد.

از نظر فیزیکی، توابع موجی مختلف تا حدی با هم همپوشانی دارند. سیستمی در حالت Ψ که با حالت Φ همپوشانی ندارد ، نمی توان با اندازه گیری در حالت Φ یافت . اما اگر Φ 1 , Φ 2 , … تا حدی با Ψ همپوشانی داشته باشند ، این احتمال وجود دارد که اندازه گیری سیستمی که توسط Ψ توصیف شده است در حالت های Φ 1 , Φ 2 , ... یافت شود . همچنین قوانین انتخاباعمال می شوند. اینها معمولاً برای حفظ برخی اعداد کوانتومی فرموله می شوند. این بدان معنی است که فرآیندهای خاصی که از برخی منظرها مجاز هستند (مثلاً بقای انرژی و تکانه) رخ نمی دهند زیرا توابع موج کل اولیه و نهایی با هم همپوشانی ندارند.

این انگیزه معرفی یک ضربدرونی در فضای برداری حالت‌های کوانتومی انتزاعی است که با مشاهدات ریاضی بالا هنگام انتقال به یک نمایش سازگار است. نشان داده می شود (Ψ, Φ) یا در نماد Bra–ket 〈Ψ|Φ〉 . یک عدد مختلط به دست می دهد. با ضرب داخلی، فضای عملکرد یک فضای ضرب داخلی است . ظاهر صریح حاصلضرب داخلی (معمولاً انتگرال یا مجموع انتگرالها) به انتخاب نمایش بستگی دارد، اما عدد مختلط (Ψ, Φ) اینطور نیست. بسیاری از تفسیرهای فیزیکی مکانیک کوانتومی از قانون Born سرچشمه می گیرد . بیان می کند که احتمال pبرای یافتن حالت Φ در هنگام اندازه گیری با توجه به اینکه سیستم در حالت Ψ است

$p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},$

که در آن Φ و Ψ نرمال شده فرض می شوند. یک آزمایش پراکندگی را در نظر بگیرید . در نظریه میدان کوانتومی، اگر Φ out حالتی را در "آینده دور" (یک "حالت خارج") پس از پایان برهمکنش بین ذرات پراکنده و Ψ در "در حالت" در "گذشته دور" توصیف می کند، پس کمیت ها (Φ out , Ψ in ) , با متغیر Φ out و Ψ به ترتیب در یک مجموعه کامل از حالات in و out، ماتریس S یا ماتریس پراکندگی نامیده می شود . آگاهی از آن، به طور مؤثر، داشتن استحداقل تا آنجا که پیش‌بینی‌ها پیش می‌روند، تئوری موجود را حل کرد . مقادیر قابل اندازه گیری مانند نرخ پوسیدگی و مقاطع پراکندگی از ماتریس S قابل محاسبه هستند. [36]

فضای هیلبرت [ ویرایش ]

مشاهدات فوق جوهر فضاهای تابعی را که توابع موج عناصر آن هستند در بر می گیرد. با این حال، توضیحات هنوز کامل نیست. یک الزام فنی دیگر در مورد فضای تابع وجود دارد، یعنی کامل بودن ، که به فرد اجازه می‌دهد محدودیت‌هایی از دنباله‌ها را در فضای تابع در نظر بگیرد، و اطمینان حاصل شود که در صورت وجود محدودیت، عنصری از فضای تابع است. فضای کامل ضربدرونی، فضای هیلبرت نامیده می شود . خاصیت کامل بودن در درمان ها و کاربردهای پیشرفته مکانیک کوانتومی بسیار مهم است. به عنوان مثال، وجود عملگرهای طرح ریزی یا پیش بینی های متعامد به کامل بودن فضا متکی است. [37]این عملگرهای طرح ریزی، به نوبه خود، برای بیان و اثبات بسیاری از قضایای مفید، مانند قضیه طیفی ، ضروری هستند . در مکانیک کوانتومی مقدماتی اهمیت چندانی ندارد و جزئیات فنی و پیوندها ممکن است در پاورقی‌هایی مانند آنچه در ادامه می‌آید یافت شوند. [nb 8] فضای L 2 یک فضای هیلبرت است که ضرب داخلی آن بعداً ارائه می شود. فضای تابع مثال شکل زیرفضای L 2 است . زیرفضای یک فضای هیلبرت اگر بسته باشد، فضای هیلبرت است.

به طور خلاصه، مجموعه تمام توابع موج قابل نرمال‌سازی ممکن برای یک سیستم با انتخاب پایه خاص، همراه با بردار تهی، یک فضای هیلبرت را تشکیل می‌دهند.

همه عملکردهای مورد علاقه عناصر برخی از فضای هیلبرت نیستند، مثلاً L 2 . بارزترین مثال مجموعه توابع e 2 πi p · x ⁄ h است . اینها راه حل های موج مسطح معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد هستند، اما قابل نرمال سازی نیستند، بنابراین در L2 نیستند . اما با این وجود آنها برای توصیف اساسی هستند. با استفاده از آنها می توان توابعی را بیان کرد که با استفاده از بسته های موجی قابل نرمال سازی هستند . آنها به یک معنا یک پایه هستند (اما نه مبنای فضایی هیلبرت و نه مبنای هامل) که در آن توابع موج مورد علاقه را می توان بیان کرد. همچنین مصنوع «نرمال‌سازی به تابع دلتا» وجود دارد که اغلب برای راحتی نمادها استفاده می‌شود، به ادامه مطلب مراجعه کنید. خود توابع دلتا نیز قابل انتگرال مربع نیستند.

شرح فوق از فضای تابع حاوی توابع موج عمدتاً انگیزه ریاضی دارد. فضاهای تابع، به دلیل کامل بودن، به یک معنا بسیار بزرگ هستند. همه توابع توصیف واقعی هر سیستم فیزیکی نیستند. به عنوان مثال، در فضای تابع L 2 می توان تابعی را یافت که برای همه اعداد گویا مقدار 0 و برای غیر منطقی های بازه [0، 1] - i می گیرد . این مربع قابل انتگرال است ، [nb 9] اما به سختی می تواند یک حالت فیزیکی را نشان دهد.

فضاهای رایج هیلبرت [ ویرایش ]

در حالی که فضای راه حل ها به عنوان یک کل فضای هیلبرت است، بسیاری از فضاهای هیلبرت دیگر معمولاً به عنوان مواد تشکیل دهنده ظاهر می شوند.

توابع با ارزش مجتمع قابل انتگرال مربع در بازه [0, 2 π ] . مجموعه { e int /2 π , n ∈ ℤ} مبنای فضای هیلبرت است، یعنی یک مجموعه متعارف حداکثر.
تبدیل فوریه توابعی را در فضای فوق به عناصر l 2 (ℤ) می برد ، فضای توابع جمع شونده مربع ℤ → ℂ . فضای اخیر یک فضای هیلبرت است و تبدیل فوریه هم شکلی از فضاهای هیلبرت است. [nb 10] اساس آن { e i , i ∈ ℤ} با e i ( j ) = δ ij , i , j ∈ ℤ است .
ابتدایی ترین مثال چندجمله ای های پوشا در فضای توابع انتگرال پذیر مربع در بازه [-1، 1] است که برای آن چند جمله ای های لژاندر مبنای فضای هیلبرت (مجموعه کامل متعارف) است.
توابع مربعی قابل انتگرال در کره واحد S 2 یک فضای هیلبرت است. توابع پایه در این مورد هارمونیک های کروی هستند . چند جمله ای های لژاندر اجزای تشکیل دهنده هارمونیک های کروی هستند. اکثر مسائل مربوط به تقارن چرخشی با توجه به آن تقارن راه حل "یکسان" (معروف) خواهند داشت، بنابراین مسئله اصلی به مسئله ای با ابعاد ک کاهش می یابد.
چند جمله ای های لاگر مرتبط در مسئله تابع موج هیدروژنی پس از فاکتورگیری هارمونیک های کروی ظاهر می شوند. اینها فضای هیلبرت توابع انتگرال پذیر مربعی را در بازه نیمه نامتناهی [0, ∞) در بر می گیرند .

به طور کلی، ممکن است یک درمان یکپارچه از تمام راه حل های چند جمله ای مرتبه دوم معادلات Sturm-Liouville در فضای هیلبرت در نظر گرفته شود. اینها عبارتند از چند جمله ای لژاندر و لاگر و همچنین چند جمله ای های چبیشف , چند جمله ای های ژاکوبی و چند جمله ای های هرمیت . همه اینها در واقع در مسائل فیزیکی ظاهر می شوند، دومی در نوسانگر هارمونیک ، و آنچه در غیر این صورت پیچ و خم گیج کننده ای از ویژگی های توابع خاص است به مجموعه ای سازمان یافته از حقایق تبدیل می شود. برای این، بایرون و فولر (1992 ، فصل 5) را ببینید.

فضاهای هیلبرت با ابعاد محدود نیز وجود دارد. فضای ℂ n یک فضای هیلبرت با بعد n است . ضرب داخلی ضرب داخلی استاندارد در این فضاها است. در آن، "قسمت اسپین" تابع موج تک ذره ای قرار دارد.

در توصیف غیر نسبیتی یک الکترون، یک الکترون n = 2 دارد و تابع موج کل حل معادله پائولی است .
در درمان نسبیتی مربوطه، n = 4 و تابع موج معادله دیراک را حل می کند .

با ذرات بیشتر، شرایط پیچیده تر است. باید از محصولات تانسوری استفاده کرد و از نظریه بازنمایی گروه‌های تقارن درگیر ( به ترتیب گروه چرخش و گروه لورنتس ) برای استخراج فضاهایی که توابع موج اسپین (کل) در آن قرار دارند، استفاده کرد. (مشکلات بیشتری در مورد نسبیتی به وجود می آید مگر اینکه ذرات آزاد باشند. [38] به معادله بته-سالپیتر مراجعه کنید .) نکات مربوط به مفهوم ایزوسپین که گروه تقارن آن SU(2) است، اعمال می شود . مدل‌های نیروهای هسته‌ای دهه شصت (هنوز هم کاربرد دارند، نیروی هسته‌ای را ببینید ) از گروه تقارن استفاده می‌کردند.SU (3) . در این مورد نیز، بخشی از توابع موج مربوط به تقارن های درونی در برخی ℂ n یا زیرفضاهای حاصل از تانسور چنین فضاهایی قرار دارد.

در نظریه میدان کوانتومی، فضای هیلبرت زیربنایی، فضای فاک است . این از حالت های تک ذره آزاد ساخته شده است، به عنوان مثال، توابع موج در هنگام انتخاب یک نمایش، و می تواند هر تعداد محدود، نه لزوماً ثابت در زمان، تعداد ذرات را در خود جای دهد. دینامیک جالب (یا بهتر بگوییم قابل حمل ) نه در توابع موج بلکه در عملگرهای میدانی نهفته است که عملگرهایی هستند که در فضای Fock عمل می کنند. بنابراین تصویر هایزنبرگ رایج ترین انتخاب است (حالت های ثابت، عملگرهای متغیر زمان).

با توجه به ماهیت بی‌بعدی سیستم، ابزارهای ریاضی مناسب از موضوعات مورد مطالعه در تحلیل تابعی هستند .

توضیحات ساده شده [ ویرایش ]

پیوستگی تابع موج و اولین مشتق فضایی آن (در جهت x ، مختصات y و z نشان داده نشده است)، در زمانی t .

همه کتاب‌های درسی مقدماتی مسیر طولانی را طی نمی‌کنند و ماشین‌های فضایی هیلبرت کامل را معرفی نمی‌کنند، اما تمرکز بر معادله شرودینگر غیر نسبیتی در نمایش موقعیت برای برخی پتانسیل‌های استاندارد است. محدودیت‌های زیر بر روی تابع موج گاهی اوقات به صراحت برای محاسبات و تفسیر فیزیکی فرمول‌بندی می‌شوند: [39] [40]

تابع موج باید مربع قابل انتگرال باشد . این توسط تفسیر کپنهاگ از تابع موج به عنوان دامنه احتمال ایجاد می شود.
باید در همه جا پیوسته و در همه جا پیوسته قابل تمایز باشد . این به دلیل ظهور معادله شرودینگر برای اکثر پتانسیل های منطقی فیزیکی است.

می توان این شرایط را برای اهداف خاص تا حدودی آرام کرد. [nb 11] اگر این الزامات برآورده نشود، نمی توان تابع موج را به عنوان دامنه احتمال تفسیر کرد. [41]

این ساختار فضای هیلبرت را که این توابع موجی خاص در آن زندگی می کنند تغییر نمی دهد، اما زیرفضای توابع قابل انتگرال مربع L 2 ، که یک فضای هیلبرت است، که نیاز دوم را برآورده می کند، در L 2 بسته نیست ، بنابراین هیلبرت نیست. فضا به خودی خود [nb 12] عملکردهایی که الزامات را برآورده نمی کنند، هم به دلایل فنی و هم به دلایل عملی مورد نیاز هستند. [nb 13] [nb 14]

اطلاعات بیشتر در مورد توابع موج و فضای حالت انتزاعی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: حالت کوانتومی

همانطور که نشان داده شد، مجموعه همه توابع موج ممکن در برخی از نمایش‌های یک سیستم، فضای هیلبرت بی‌بعدی کلی را تشکیل می‌دهند . با توجه به انتخاب های متعدد ممکن برای بازنمایی، این فضاهای هیلبرت منحصر به فرد نیستند. بنابراین در مورد فضای هیلبرت انتزاعی صحبت می‌شود، فضای حالت ، که در آن انتخاب بازنمایی و مبنای نامشخص باقی مانده است. به طور خاص، هر حالت به عنوان یک بردار انتزاعی در فضای حالت نمایش داده می شود. [42] یک حالت کوانتومی |Ψ〉 در هر نمایشی به طور کلی به عنوان یک بردار بیان می شود

$|\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle$

جایی که

| α , ω 〉 بردارهای پایه نمایش انتخاب شده
d m ω = dω 1 dω 2 ... dω m یک " عنصر حجم دیفرانسیل " در درجات آزادی پیوسته
Ψ( α , ω , t ) جزء بردار |Ψ〉 که تابع موج سیستم نامیده می شود.
α = ( α 1 , α 2 , ..., α n ) اعداد کوانتومی گسسته بی بعد
ω = ( ω 1 , ω 2 , ..., ω m ) متغیرهای پیوسته (نه لزوماً بدون بعد)

این اعداد کوانتومی اجزای بردار حالت را نمایه می کنند. بیشتر، همه α در یک مجموعه n بعدی A = A 1 × A 2 × ... × A n هستند که در آن هر A i مجموعه ای از مقادیر مجاز برای α i است . همه ω در یک "حجم" m بعدی هستند Ω ⊆ ℝ m که در آن Ω = Ω 1 × Ω 2 × ... × Ω m و هر Ω i ⊆ R مجموعه مقادیر مجاز برای ω i ، زیر مجموعه ای ازاعداد واقعی R. برای کلیت n و m لزوماً برابر نیستند.

مثال:

برای یک ذره منفرد در 3d با اسپین s ، با نادیده گرفتن درجات آزادی دیگر، با استفاده از مختصات دکارتی، می توانیم α = ( s z ) را برای عدد کوانتومی اسپین ذره در امتداد جهت z، و ω = ( x ، y ، z ) برای مختصات موقعیت ذره. در اینجا A = {− s , − s + 1, ..., s − 1, s } مجموعه اعداد کوانتومی اسپین مجاز و Ω = R 3 مجموعه همه موقعیت های ذرات ممکن در فضای موقعیت سه بعدی است.
یک انتخاب جایگزین α = ( s y ) برای عدد کوانتومی اسپین در امتداد جهت y و ω = ( p x , p y , p z ) برای اجزای تکانه ذره است. در این مورد A و Ω مانند قبل هستند.

چگالی احتمال یافتن سیستم در زمانتی $تی$ در حالت | α , ω 〉 است

$\rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}$

احتمال یافتن سیستم با α در برخی یا همه پیکربندی‌های متغیر گسسته ممکن، D ⊆ A ، و ω در برخی یا همه پیکربندی‌های متغیر پیوسته ممکن، C ⊆ Ω ، مجموع و انتگرال بر روی چگالی است، [nb 15]

$P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{ m}\!{\boldsymbol {\omega }}$

از آنجایی که مجموع همه احتمالات باید 1 باشد، شرط نرمال سازی است

$1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,d^{m}\! {\boldsymbol {\omega }}$

باید همیشه در طول تکامل سیستم حفظ شود.

شرط نرمال سازی مستلزم آن است که ρ d m ω بدون بعد باشد، با تجزیه و تحلیل ابنرمال Ψ باید واحدهای مشابه ( ω 1 ω 2 ... ω m ) -1/2 داشته باشد .

هستی شناسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تفسیرهای مکانیک کوانتومی

این که آیا تابع موج واقعاً وجود دارد یا نه، و اینکه چه چیزی را نشان می دهد، سؤالات اصلی در تفسیر مکانیک کوانتومی است . بسیاری از فیزیکدانان مشهور نسل قبلی مانند شرودینگر ، انیشتین و بور در مورد این مشکل متحیر بودند . برخی از فرمول‌بندی‌ها یا انواع تفسیر کپنهاگ (مانند بور، ویگنر و فون نویمان ) حمایت می‌کنند، در حالی که برخی دیگر، مانند ویلر یا جینز ، رویکرد کلاسیک‌تری دارند [43]و تابع موج را به عنوان نمایانگر اطلاعات در ذهن ناظر، یعنی معیاری از دانش ما از واقعیت در نظر بگیرید. برخی، از جمله شرودینگر، بوهم و اورت و دیگران، استدلال کردند که تابع موج باید یک وجود عینی و فیزیکی داشته باشد. اینشتین فکر می‌کرد که توصیف کامل واقعیت فیزیکی باید مستقیماً به فضا و زمان فیزیکی اشاره کند، به‌عنوان متمایز از تابع موج، که به یک فضای ریاضی انتزاعی اشاره دارد. [44]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

بوزون
نظریه دو بروگلی-بوم
آزمایش دو شکاف
موج فارادی
فرمیون
فرمول بندی فاز-فضا
معادله شرودینگر
سقوط تابع موج
بسته موج

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

مکانیک کوانتومی

فهرست

[ ویرایش ]یافته ها و پیش بینی های اصلی

[ ویرایش ]سوالات باز

[ ویرایش ]سوال "گربه شرودینگر".

[ ویرایش ]محل در مقابل واقعیت

[ ویرایش ]کشف مکانیک کوانتومی

[ ویرایش ]برخی از اثرات غیرعادی مکانیک کوانتومی

جفت حرکت زاویه ای

فهرست

[ ویرایش ]کاربرد

[ ویرایش ]مثال: اتم دو الکترون

[ ویرایش ]پیشینه نظری گروه

[ ویرایش ]شرایط مثلثی

[ ویرایش ]اثبات شرایط مثلثی

ضرایب کلبش-گوردان

فهرست

[ ویرایش ]ضرایب تکانه زاویه ای CG

[ ویرایش ]فضای ضرب تانسور

[ ویرایش ]تعریف رسمی ضرایب کلبش-گوردان

[ ویرایش ]روابط بازگشتی

[ ویرایش ]بیان صریح

[ ویرایش ]روابط متعامد

[ ویرایش ]موارد خاص

[ ویرایش ]خواص تقارن

[ ویرایش ]ارتباط با نمادهای 3-jm

[ ویرایش ]یادداشت

جفت شدن راسل - ساندرز

فهرست

[ ویرایش ]شرح

[ ویرایش ]پیکربندی های الکترونی پیچیده تر

[ ویرایش ]کوپلینگ چرخشی

[ ویرایش ]جفت مداری

[ ویرایش ]الکترون های معادل

[ ویرایش ]منابع

تکانه زاویه ای (کوانتومی)

فهرست

[ ویرایش ]توصیف کیفی

[ ویرایش ]تکانه زاویه ای مداری

[ ویرایش ]حرکت زاویه ای را بچرخانید

[ ویرایش ]عملگرهای تکانه زاویه ای انتزاعی

[ ویرایش ]حالت های حرکت زاویه ای

[ ویرایش ]اثبات خواص حالت های ویژه

عملگرهای نردبان یا عملگر افزایش یا کاهش

نمودار تکانه زاویه ای (مکانیک کوانتومی)

معادل سازی بین نماد دیراک و نمودارهای جوسیس [ ویرایش ]

حالت های حرکت زاویه ای [ ویرایش ]

محصول داخلی [ ویرایش ]

ضرب بیرونی [ ویرایش ]

ضرب تانسور [ ویرایش ]

مثال ها و کاربردها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

7-عملگر حرکت زاویه ای

ارتباط با نظریه نمایش[ ویرایش ]

اتصال به روابط جابجاکر [ ویرایش ]

حفظ تکانه زاویه ای [ ویرایش ]

8-عملگر حرکت زاویه ای

جفت حرکت زاویه ای [ ویرایش ]

تکانه زاویه ای مداری در مختصات کروی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منبع

6-عملگر حرکت زاویه ای

چرخش SU(2)، SO(3) و 360 درجه [ ویرایش ]

5-عملگر حرکت زاویه ای

تکانه زاویه ای به عنوان مولد چرخش [ ویرایش ]

4-عملگر حرکت زاویه ای

فسیر بصری [ ویرایش ]

کوانتیزاسیون در سیستم های ماکروسکوپی [ ویرایش ]

3-عملگر حرکت زاویه ای

اشتقاق با استفاده از عملگرهای نردبانی [ ویرایش ]

2-عملگر حرکت زاویه ای

وابط جابجاگر شامل قدر برداری [ ویرایش ]

اصل عدم قطعیت [ ویرایش ]

کوانتیزاسیون [ ویرایش ]

1-عملگر حرکت زاویه ای

نمای کلی [ ویرایش ]