چرخه کارنو

ابزار

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ترمودینامیک
موتور حرارتی کلاسیک کارنو
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد قوانین
نشان می دهد سیستم های
نشان می دهد خصوصیات سیستم
نشان می دهد خواص مواد
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد تاریخ فرهنگ
نشان می دهد دانشمندان
نشان می دهد دیگر
دسته بندی
v تی ه

چرخه کارنو یک چرخه ترمودینامیکی ایده آل است که توسط فیزیکدان فرانسوی سادی کارنو در سال 1824 پیشنهاد شد و توسط دیگران در دهه های 1830 و 1840 گسترش یافت. با قضیه کارنو ، حد بالایی را برای بازده هر موتور ترمودینامیکی کلاسیک در طول تبدیل گرما به کار ، یا برعکس، کارایی یک سیستم تبرید در ایجاد اختلاف دما از طریق اعمال کار بر روی سیستم، فراهم می‌کند.

در چرخه کارنو، یک سیستم یا موتور انرژی را به شکل گرما بین دو مخزن حرارتی در دماها منتقل می کند. $T_{H}$ و $T_{C}$ (به ترتیب مخازن گرم و سرد نامیده می شود) و بخشی از این انرژی منتقل شده به کار انجام شده توسط سیستم تبدیل می شود. چرخه برگشت پذیر است و آنتروپی حفظ می شود و صرفاً بین مخازن حرارتی و سیستم بدون افزایش یا ضرر منتقل می شود. هنگامی که کار روی سیستم اعمال می شود، گرما از مخزن سرد به گرم (پمپ حرارتی یا تبرید ) منتقل می شود. هنگامی که گرما از مخزن گرم به مخزن سرد منتقل می شود، سیستم کار را بر روی محیط اعمال می کند. کار $W$ انجام شده توسط سیستم یا موتور به محیط در هر سیکل کارنو به دمای مخازن حرارتی و آنتروپی منتقل شده از مخزن داغ به سیستم بستگی دارد. $\Delta S$ در هر چرخه مانند $W=(T_{H}-T_{C})\Delta S=(T_{H}-T_{C}){\frac {Q_{H}}{T_{H}}}$ ، جایی که $Q_{H}$ گرما در هر سیکل از مخزن گرم به سیستم منتقل می شود.

ویدیوهای خارجی
چرخه کارنو از دنیای مکانیکی

مراحل [ ویرایش ]

چرخه کارنو به عنوان یک چرخه ترمودینامیکی ایده آل که توسط موتور حرارتی کارنو انجام می شود ، شامل مراحل زیر است:

انبساط همدما . گرما (به عنوان یک انرژی) به طور برگشت پذیر از مخزن دمای داغ در دمای ثابت TH به گاز در دمای بینهایت کمتر از TH منتقل می شود (تا امکان انتقال گرما به گاز بدون تغییر عملاً دمای گاز بنابراین اضافه یا جذب گرمای همدما فراهم شود ). در طی این مرحله (1 تا 2 در شکل 1 ، A تا B در شکل 2 )، گاز از نظر حرارتی با مخزن دمای داغ در تماس است (در حالی که از نظر حرارتی از مخزن دمای سرد جدا شده است) و گاز اجازه انبساط داده و کار را انجام می دهد. روی محیط اطراف با فشار دادن گاز پیستون به سمت بالا (شکل مرحله 1، سمت راست). اگرچه فشار از نقاط 1 تا 2 کاهش می یابد (شکل 1) دمای گاز در طول فرآیند تغییر نمی کند زیرا گرمای منتقل شده از مخزن دمای داغ به گاز دقیقاً برای انجام کار بر روی محیط اطراف توسط گاز استفاده می شود. بدون تغییر انرژی داخلی گاز (بدون تغییر دمای گاز برای یک گاز ایده آل). گرمای QH > 0 از مخزن دمای داغ جذب می شود و در نتیجه آنتروپی افزایش می یابد . $S$ گاز بر حسب مقدار $\Delta S_{H}=Q_{H}/T_{H}$ .
انبساط ایزنتروپیک ( آدیاباتیک برگشت پذیر ) گاز (خروجی کار ایسنتروپیک). برای این مرحله (2 تا 3 در شکل 1 ، B تا C در شکل 2 ) گاز موتور از نظر حرارتی از مخازن سرد و گرم عایق می شود، بنابراین آنها نه گرما را دریافت می کنند و نه از دست می دهند، یک فرآیند " آدیاباتیک ". گاز با کاهش فشار خود به انبساط ادامه می دهد، کار روی محیط اطراف انجام می دهد (بالا بردن پیستون؛ مرحله 2 شکل، سمت راست)، و مقداری از انرژی داخلی را از دست می دهد که برابر با کار انجام شده است. انبساط گاز بدون ورودی گرما باعث سرد شدن گاز به دمای "سرد" می شود (با از دست دادن انرژی داخلی خود) که بی نهایت بالاتر از دمای مخزن سرد T C است . آنتروپی بدون تغییر باقی می‌ماند زیرا هیچ گرمایی Q بین سیستم (گاز) و محیط اطراف آن منتقل نمی‌شود، بنابراین یک فرآیند ایزنتروپیک، به معنی عدم تغییر آنتروپی در فرآیند).
فشرده سازی ایزوترمال. گرما به طور برگشت پذیر به مخزن دمای پایین در دمای ثابت T C (دفع حرارت همدما) منتقل می شود. در این مرحله (3 تا 4 در شکل 1 ، C تا D در شکل 2 )، گاز موتور در تماس حرارتی با مخزن سرد در دمای T C (در حالی که از نظر حرارتی از مخزن دمای داغ جدا شده است) و دمای گاز است. بی نهایت بالاتر از این دما است (برای انتقال حرارت از گاز به مخزن سرد بدون تغییر عملا دمای گاز). محیط اطراف روی گاز کار می کند و پیستون را به پایین فشار می دهد (شکل مرحله 3، سمت راست). مقداری از انرژی که توسط گاز حاصل از این کار به دست می‌آید دقیقاً به عنوان انرژی گرمایی QC < 0 (منفی خروج از سیستم، طبق قرارداد جهانی در ترمودینامیک) به مخزن سرد منتقل می‌شود ، بنابراین آنتروپی سیستم کاهش می‌یابد. میزان $\Delta S_{C}=Q_{C}/T_{C}$ . [1] $\Delta S_{C}<0$ زیرا فشردگی همدما باعث کاهش تعدد گاز می شود.
فشرده سازی ایزنتروپیک. (4 به 1 در شکل 1 ، D تا A در شکل 2 ) یک بار دیگر گاز موجود در موتور از مخازن سرد و گرم عایق حرارتی می شود، و موتور بدون اصطکاک فرض می شود و فرآیند به اندازه کافی کند است، بنابراین برگشت پذیر است. در طی این مرحله، محیط اطراف روی گاز کار می کند، پیستون را بیشتر به سمت پایین فشار می دهد (مرحله 4 شکل، سمت راست)، انرژی داخلی آن را افزایش می دهد، آن را فشرده می کند و باعث می شود که دمای آن به دمای بی نهایت کمتر از TH برگردد . به کار اضافه شده به سیستم، اما آنتروپی بدون تغییر باقی می ماند. در این مرحله گاز در همان حالت ابتدای مرحله 1 قرار دارد.

شکل 1 : چرخه کارنو که بر روی یک نمودار PV برای نشان دادن کار انجام شده نشان داده شده است. 1-به-2 (انبساط همدما)، 2-به-3 (انبساط ایسنتروپیک)، 3-به-4 (فشرده سازی همدما)، 4-به-1 (فشرده سازی ایسنتروپیک).

در این حالت، از آنجایی که یک چرخه ترمودینامیکی برگشت پذیر است (بدون تغییر خالص در سیستم و محیط اطراف آن در هر سیکل) [2] [1]

$\Delta S_{H}+\Delta S_{C}=\Delta S_{\text{cycle}}=0,$ یا،

${\frac {Q_{H}}{T_{H}}}=-{\frac {Q_{C}}{T_{C}}}.$

این درست است به عنوان $Q_{C}$ و $T_{C}$ هر دو از نظر قدر کوچکتر هستند و در واقع به همان نسبت هستند $Q_{H}/T_{H}$ .

نمودار فشار-حجم [ ویرایش ]

هنگامی که یک چرخه کارنو بر روی نمودار فشار-حجم ترسیم می شود ( شکل 1 )، مراحل همدما از خطوط همدما برای سیال عامل پیروی می کنند، مراحل آدیاباتیک بین ایزوترم ها حرکت می کنند و ناحیه محدود شده توسط مسیر چرخه کامل، کل کار را نشان می دهد. را می توان در یک چرخه انجام داد. از نقطه 1 تا 2 و نقطه 3 تا 4 دما ثابت است (فرایند همدما). انتقال حرارت از نقطه 4 به 1 و نقطه 2 به 3 برابر با صفر است (فرایند آدیاباتیک).

خواص و اهمیت [ ویرایش ]

نمودار دما – آنتروپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمودار دما – آنتروپی

شکل 2 : یک چرخه کارنو به عنوان یک چرخه ترمودینامیکی ایده آل که توسط یک موتور حرارتی کارنو انجام می شود ، که بر روی نمودار TS (دما آنتروپی T-S) نشان داده شده است. چرخه بین یک مخزن گرم در دمای T H و یک مخزن سرد در دمای T C انجام می شود . محور عمودی دمای سیستم و محور افقی آنتروپی سیستم است. A-to-B (انبساط همدما)، B-to-C (انبساط ایسنتروپیک)، C-to-D (فشرده سازی همدما)، D-to-A (فشرده سازی ایسنتروپیک).

شکل 3 : یک چرخه ترمودینامیکی تعمیم یافته که بین یک مخزن داغ در دمای TH و یک مخزن سرد در دمای TC انجام می شود . طبق قانون دوم ترمودینامیک ، چرخه نمی تواند در خارج از باند دما از TC تا TH گسترش یابد . منطقه به رنگ قرمز، | Q C |، مقدار انرژی مبادله شده بین سیستم و مخزن سرد است. مساحت سفید W مقدار انرژی کاری است که سیستم با محیط اطرافش مبادله می کند. مقدار حرارت مبادله شده با مخزن داغ مجموع این دو است. اگر سیستم مانند یک موتور رفتار کند، فرآیند در جهت عقربه‌های ساعت در اطراف حلقه حرکت می‌کند و اگر مانند یک یخچال رفتار کند در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حرکت می‌کند. بازده به چرخه، نسبت ناحیه سفید (کار) تقسیم بر مجموع نواحی سفید و قرمز (گرمای جذب شده از مخزن داغ) است. Q C (انرژی از دست رفته به مخزن سرد) را می توان به عنوان یک تفریق مستقیم یا به صورت مجموع یک کمیت منفی بیان کرد که می تواند به قراردادهای مختلفی منجر شود.

رفتار موتور یا یخچال کارنو با استفاده از نمودار دما- آنتروپی ( نمودار T - S ) که در آن حالت ترمودینامیکی با نقطه ای از نمودار با آنتروپی ( S ) به عنوان محور افقی و دما مشخص می شود، بهتر درک می شود. T ) به عنوان محور عمودی ( شکل 2 ). برای یک سیستم بسته ساده (تجزیه و تحلیل جرم کنترل)، هر نقطه در نمودار نشان دهنده وضعیت خاصی از سیستم است. یک فرآیند ترمودینامیکی با یک منحنی نشان داده می شود که حالت اولیه (A) و حالت نهایی (B) را به هم متصل می کند. مساحت زیر منحنی عبارت است از:

$Q=\int _{A}^{B}dQ=\int _{A}^{B}T\,dS$

( 1 )

که مقدار گرمای منتقل شده در فرآیند است. اگر فرآیند سیستم را به سمت آنتروپی بیشتر سوق دهد، سطح زیر منحنی مقدار گرمای جذب شده توسط سیستم در آن فرآیند است. در غیر این صورت، مقدار گرمایی است که از سیستم خارج می شود یا از آن خارج می شود. برای هر فرآیند چرخه ای، یک بخش بالایی از چرخه و یک بخش پایین تر وجود دارد. در نمودارهای T - S برای یک چرخه جهت عقربه های ساعت، ناحیه زیر قسمت بالایی انرژی جذب شده توسط سیستم در طول چرخه خواهد بود، در حالی که ناحیه زیر قسمت پایین انرژی حذف شده از سیستم در طول چرخه خواهد بود. سپس مساحت داخل چرخه تفاوت بین این دو (انرژی گرمای خالص جذب شده) است، اما از آنجایی که انرژی داخلی سیستم باید به مقدار اولیه خود بازگشته باشد، این تفاوت باید مقدار کار انجام شده توسط سیستم در هر چرخه باشد. . با مراجعه به شکل 1 ، از نظر ریاضی، برای یک فرآیند برگشت پذیر، ممکن است مقدار کار انجام شده در یک فرآیند چرخه ای را به صورت زیر بنویسیم:

$W=\oint PdV=\oint (dQ-dU)=\oint (TdS-dU)=\oint TdS-\oint dU=\oint TdS$

( 2 )

از آنجایی که dU یک دیفرانسیل دقیق است ، انتگرال آن بر روی هر حلقه بسته صفر است و نتیجه آن این است که سطح داخل حلقه در نمودار T - S برابر است با کل کار انجام شده توسط سیستم بر روی محیط اطراف اگر حلقه باشد. در جهت عقربه‌های ساعت پیمایش می‌شود، و (ب) برابر است با کل کار انجام شده بر روی سیستم توسط محیط اطراف هنگامی که حلقه در جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت پیمایش می‌شود.

شکل 4 : چرخه کارنو که بین یک مخزن گرم در دمای TH و یک مخزن سرد در دمای TC انجام می شود .

چرخه کارنو [ ویرایش ]

شکل 5 : تجسم یک چرخه کارنو

ارزیابی انتگرال فوق به ویژه برای یک چرخه کارنو ساده است. مقدار انرژی منتقل شده به عنوان کار است

$W=\oint PdV=\oint TdS=(T_{H}-T_{C})(S_{B}-S_{A})$

مقدار کل گرمای منتقل شده از مخزن گرم به سیستم (در انبساط همدما) خواهد بود.

$Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})=T_{H}\Delta S_{H}$ و مقدار کل گرمای منتقل شده از سیستم به مخزن سرد (در تراکم همدما) خواهد بود.

$Q_{C}=T_{C}(S_{A}-S_{B})=T_{C}\Delta S_{C}<0$

به دلیل حفظ انرژی، گرمای خالص منتقل شده،س $Q$ ، برابر با کار انجام شده است [1]

$W=Q=Q_{H}-Q_{C}$

کارایی $\eta$ تعریف شده است:

$\eta ={\frac {W}{Q_{H}}}={\frac {Q_{H}-Q_{C}}{Q_{H}}}=1-{\frac {T_{ C}}{T_{H}}}$

( 3 )

جایی که

W کار انجام شده توسط سیستم است (انرژی خروجی از سیستم به عنوان کار)،
$Q_{C}$ <0 گرمای گرفته شده از سیستم (انرژی گرمایی خروجی از سیستم) است.
$Q_{H}$ > 0 گرمای وارد شده به سیستم (انرژی گرمایی ورودی به سیستم) است.
$T_{C}$ دمای مطلق مخزن سرد است و
$T_{H}$ دمای مطلق مخزن گرم است.
$S_{B}$ حداکثر آنتروپی سیستم است
$S_{A}$ حداقل آنتروپی سیستم است

بیان با دما $\eta =1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}$ می توان از عبارات بالا با آنتروپی مشتق شد: $Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})=T_{H}\Delta S_{H}$ و $Q_{C}=T_{C}(S_{A}-S_{B})=T_{C}\Delta S_{C}<0$ . از آنجا که $\Delta S_{C}=S_{A}-S_{B}=-\Delta S_{H}$ ، یک علامت منفی در عبارت نهایی برای ظاهر می شود $\eta$ .

این تعریف راندمان کار موتور حرارتی کارنو به عنوان کسری از کار انجام شده توسط سیستم به انرژی حرارتی دریافتی سیستم از مخزن داغ در هر سیکل است. این انرژی حرارتی آغازگر چرخه است.

چرخه کارنو معکوس [ ویرایش ]

یک چرخه موتور حرارتی کارنو که شرح داده شد یک چرخه کاملاً برگشت پذیر است. یعنی تمام فرآیندهای تشکیل دهنده آن را می توان معکوس کرد که در این صورت تبدیل به پمپ حرارتی و چرخه تبرید کارنو می شود . این بار، چرخه دقیقاً یکسان می ماند با این تفاوت که جهت هر گونه فعل و انفعالات حرارتی و کاری معکوس می شود. گرما از مخزن با دمای پایین جذب می‌شود، گرما به مخزن با دمای بالا دفع می‌شود و برای انجام همه اینها یک ورودی کاری لازم است. نمودار P - V چرخه معکوس کارنو مانند چرخه موتور حرارتی کارنو است با این تفاوت که جهت فرآیندها معکوس است. [3]

قضیه کارنو [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه کارنو (ترمودینامیک)

از نمودار بالا می توان دریافت که برای هر چرخه ای که بین دماها کار می کند $T_{H}$ و $T_{C}$ ، هیچ کدام نمی تواند از بازده چرخه کارنو فراتر رود.

شکل 6 : یک موتور واقعی (سمت چپ) در مقایسه با چرخه کارنو (راست). آنتروپی یک ماده واقعی با دما تغییر می کند. این تغییر با منحنی در نمودار T - S نشان داده می شود . برای این شکل، منحنی یک تعادل بخار-مایع را نشان می دهد ( به چرخه رانکین مراجعه کنید ). سیستم های برگشت ناپذیر و تلفات انرژی (مثلاً کار در اثر اصطکاک و تلفات حرارتی) مانع از تحقق ایده آل در هر مرحله می شود.

قضیه کارنو بیانیه رسمی این واقعیت است: هیچ موتوری که بین دو مخزن حرارتی کار می کند نمی تواند کارآمدتر از موتور کارنو بین همان مخازن باشد. بنابراین، معادله 3 حداکثر بازده ممکن را برای هر موتوری با استفاده از دماهای مربوطه نشان می دهد. نتیجه‌ای از قضیه کارنو بیان می‌کند که: همه موتورهای برگشت‌پذیر که بین مخازن حرارتی یکسانی کار می‌کنند به یک اندازه کارآمد هستند. تنظیم مجدد سمت راست معادله شکل ساده‌تری از معادله را به دست می‌دهد، یعنی اینکه حداکثر بازده نظری یک موتور حرارتی برابر است با اختلاف دمای بین مخزن سرد و گرم تقسیم بر دمای مطلق مخزن گرم. . با نگاهی به این فرمول یک واقعیت جالب آشکار می شود: کاهش دمای مخزن سرد تاثیر بیشتری بر بازده سقف یک موتور حرارتی خواهد داشت تا اینکه دمای مخزن داغ را به همان میزان افزایش دهد. در دنیای واقعی، دستیابی به این امر ممکن است دشوار باشد زیرا مخزن سرد اغلب دمای محیط موجود است.

به عبارت دیگر، حداکثر بازده در صورتی به دست می آید که آنتروپی در هر چرخه تغییر نکند. تغییر آنتروپی در هر چرخه ایجاد می شود، برای مثال، اگر اصطکاک وجود داشته باشد که منجر به اتلاف کار به گرما شود. در این صورت، چرخه برگشت پذیر نیست و قضیه کلازیوس به جای برابری تبدیل به نابرابری می شود. در غیر این صورت، از آنجایی که آنتروپی یک تابع حالت است ، تخلیه گرمای مورد نیاز به محیط برای دفع آنتروپی اضافی منجر به کاهش (حداقل) راندمان می شود. بنابراین معادله 3 کارایی هر موتور حرارتی برگشت پذیر را نشان می دهد .

در موتورهای حرارتی مزوسکوپی، کار در هر چرخه عملیات به طور کلی به دلیل نویز حرارتی در نوسان است. اگر چرخه به صورت شبه ایستا انجام شود، نوسانات حتی در مقیاس مزو مقیاس ناپدید می شوند. [4] با این حال، اگر چرخه سریعتر از زمان استراحت محیط کار انجام شود، نوسانات کار اجتناب ناپذیر است. با این وجود، هنگامی که نوسانات کار و گرما شمارش می شود، یک برابری دقیق میانگین نمایی کار انجام شده توسط هر موتور حرارتی را به انتقال حرارت از حمام حرارتی گرمتر مرتبط می کند. [5]

کارایی موتورهای حرارتی واقعی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: موتور حرارتی § راندمان

کارنو متوجه شد که در واقعیت، ساخت یک موتور ترمودینامیکی برگشت پذیر امکان پذیر نیست . بنابراین، موتورهای حرارتی واقعی حتی کمتر از آنچه در معادله 3 نشان داده شده است، کارآمد هستند . علاوه بر این، موتورهای واقعی که در امتداد سبک چرخه کارنو (انبساط همدما / انبساط ایزوتروپیک / تراکم همدما / تراکم ایزنتروپیک) کار می کنند نادر هستند. با این وجود، معادله 3 برای تعیین حداکثر بازدهی که می‌توان برای مجموعه معینی از مخازن حرارتی انتظار داشت، بسیار مفید است.

اگرچه چرخه کارنو یک ایده آل سازی است، اما رابطه 3 به عنوان بیان کارایی کارنو هنوز مفید است. دمای متوسط را در نظر بگیرید ،

$\langle T_{H}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{\text{in}}}TdS$

$\langle T_{C}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{\text{out}}}TdS$ که در آن انتگرال اول در بخشی از یک چرخه است که در آن گرما به سیستم می رود و انتگرال دوم در قسمت چرخه ای است که گرما از سیستم خارج می شود. سپس، برای تخمین راندمان یک موتور حرارتی، TH و T C را در رابطه 3 به ترتیب با 〈 T H 〉 و 〈 T C 〉 جایگزین کنید.

برای چرخه کارنو یا معادل آن، مقدار متوسط 〈 T H 〉 برابر با بالاترین دمای موجود، یعنی T H و 〈 T C 〉 کمترین، یعنی T C خواهد بود . برای سایر چرخه‌های ترمودینامیکی کمتر کارآمد، 〈 T H 〉 کمتر از T H و 〈 T C 〉 بالاتر از T C خواهد بود . به عنوان مثال، این می تواند نشان دهد که چرا یک گرم کننده یا احیاء کننده می تواند بازده حرارتی نیروگاه های بخار را بهبود بخشد و چرا راندمان حرارتی نیروگاه های سیکل ترکیبی (که دارای توربین های گازی هستند که در دماهای بالاتر کار می کنند) از بخار معمولی فراتر می رود. گیاهان اولین نمونه اولیه موتور دیزل بر اساس اصول چرخه کارنو بود.

به عنوان یک ساختار ماکروسکوپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: موتور حرارتی کارنو § به عنوان یک ساختار ماکروسکوپی

موتور حرارتی کارنو ، در نهایت، یک ساختار نظری است که بر اساس یک سیستم ترمودینامیکی ایده آل است . در سطح عملی در مقیاس انسانی، چرخه کارنو یک مدل با ارزش است، مانند پیشرفت در توسعه موتور دیزل . با این حال، در مقیاس ماکروسکوپی، محدودیت‌های اعمال شده توسط مفروضات مدل، غیرعملی بودن و در نهایت ناتوانی در انجام هر کاری را ثابت می‌کند . [6] به این ترتیب، طبق قضیه کارنو ، موتور کارنو ممکن است به عنوان حد نظری موتورهای حرارتی در مقیاس ماکروسکوپی در نظر گرفته شود تا هر وسیله عملی که می‌توان ساخت. [7]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Carnot_cycle

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 5:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چرخه اتو

فهرست

پنهان شدن

چرخه اتو

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

همچنین ببینید: موتور اتو و موتور چهار زمانه

ترمودینامیک
موتور حرارتی کلاسیک کارنو
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد قوانین
نشان می دهد سیستم های
نشان می دهد خصوصیات سیستم
نشان می دهد خواص مواد
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد تاریخ فرهنگ
نشان می دهد دانشمندان
نشان می دهد دیگر
دسته بندی
v تی ه

نمودار فشار-حجم چرخه اتو نمودارهای ایده آل چرخه اتو چهار زمانه هر دو نمودار : سکته ورودی ( 0-1 و سبز رنگی) توسط یک انبساط ایزوباریک انجام می شود و به دنبال آن یک فشار آدیاباتیک ( 1-2 و نارنجی رنگی ) انجام می شود. . از طریق احتراق سوخت، گرما در یک فرآیند حجم ثابت ( فرآیند ایزوکوریک ) (2-3) و به دنبال آن یک روند انبساط آدیاباتیک (3-4 و قرمز رنگی ) اضافه می شود. چرخه با ضربه اگزوز (4-0 و آبی رنگی ) بسته می شود که با خنک سازی ایزوکوریک و فرآیندهای فشرده سازی ایزوباریک مشخص می شود.

نمودار دما- آنتروپی

چرخه اتو یک چرخه ترمودینامیکی ایده آل است که عملکرد یک موتور پیستونی جرقه زنی معمولی را توصیف می کند . این چرخه ترمودینامیکی است که بیشتر در موتورهای خودرو یافت می شود. [1]

چرخه اتو توصیفی از اتفاقاتی است که برای گاز در اثر تغییرات فشار، دما، حجم، افزودن گرما و حذف گرما روی می دهد. گازی که در معرض آن تغییرات قرار می گیرد سیستم نامیده می شود. سیستم، در این مورد، به عنوان سیال (گاز) درون سیلندر تعریف می شود. با تشریح تغییراتی که در داخل سیستم اتفاق می‌افتد، تأثیر سیستم بر محیط را نیز به صورت معکوس توصیف می‌کند. در مورد چرخه اتو، اثر آن تولید شبکه کافی از سیستم خواهد بود تا خودرو و سرنشینان آن را در محیط به حرکت درآورد.

چرخه اتو از زیر ساخته شده است:

بالا و پایین حلقه: یک جفت فرآیند شبه موازی و ایزنتروپیک (بدون اصطکاک، برگشت پذیر آدیاباتیک ).

سمت چپ و راست حلقه: یک جفت فرآیند ایزوکوریک موازی (حجم ثابت).

فرآیند ایزنتروپیک تراکم یا انبساط به این معنی است که هیچ ناکارآمدی (از دست دادن انرژی مکانیکی) وجود نخواهد داشت و در طی آن فرآیند انتقال گرما به داخل یا خارج از سیستم وجود نخواهد داشت. سیلندر و پیستون در این مدت در برابر حرارت غیرقابل نفوذ فرض می شوند. کار بر روی سیستم در طول فرآیند فشرده سازی ایزنتروپیک پایین انجام می شود. گرما از طریق فرآیند فشار دادن چپ به چرخه اتو جریان می یابد و مقداری از آن از طریق فرآیند کاهش فشار سمت راست به بیرون جریان می یابد. مجموع کار اضافه شده به سیستم به اضافه گرمای اضافه شده منهای گرمای حذف شده، کار مکانیکی خالص تولید شده توسط سیستم را به همراه دارد.

فرآیندها [ ویرایش ]

فرآیندها توسط: [2] شرح داده شده است:

فرآیند 0-1 یک توده هوا با فشار ثابت به آرایش پیستون/سیلندر کشیده می شود.
فرآیند 1-2 فشرده سازی آدیاباتیک (ایسنتروپیک) بار است که پیستون از نقطه مرگ پایین ( BDC ) به نقطه مرگ بالا ( TDC ) حرکت می کند.
فرآیند 2-3 انتقال حرارت با حجم ثابت به گاز در حال کار از یک منبع خارجی است در حالی که پیستون در نقطه مرگ بالا قرار دارد. این فرآیند برای نشان دادن احتراق مخلوط سوخت و هوا و سوختن سریع متعاقب آن در نظر گرفته شده است.
فرآیند 3-4 یک انبساط آدیاباتیک (ایسنتروپیک) (سکته قدرتی) است.
فرآیند 4-1 چرخه را با یک فرآیند با حجم ثابت تکمیل می کند که در آن گرما از هوا دفع می شود در حالی که پیستون در نقطه مرگ پایین قرار دارد.
فرآیند 1-0 جرم هوا در یک فرآیند فشار ثابت به اتمسفر آزاد می شود.

چرخه اتو شامل فشرده سازی ایزنتروپیک، افزودن گرما در حجم ثابت، انبساط ایزنتروپیک و دفع گرما در حجم ثابت است. در مورد چرخه اتو چهار زمانه، از نظر فنی دو فرآیند اضافی وجود دارد: یکی برای خروج گرمای اتلاف و محصولات احتراق در فشار ثابت (ایزوباریک)، و دیگری برای جذب هوای خنک غنی از اکسیژن نیز در فشار ثابت. ; با این حال، این موارد اغلب در یک تحلیل ساده حذف می شوند. حتی اگر این دو فرآیند برای عملکرد یک موتور واقعی حیاتی هستند، که در آن جزئیات انتقال حرارت و شیمی احتراق مرتبط هستند، برای تجزیه و تحلیل ساده چرخه ترمودینامیکی، راحت‌تر فرض کنیم که تمام گرمای اتلاف در طول یک تغییر حجم حذف می شود.

تاریخچه [ ویرایش ]

موتور چهار زمانه برای اولین بار توسط Alphonse Beau de Rochas در سال 1861 به ثبت رسید . [3] قبل از آن، در حدود 1854-1857، دو ایتالیایی ( Eugenio Barsanti و Felice Matteucci ) موتوری را اختراع کردند که شایعه شده بود که بسیار شبیه است، اما حق ثبت اختراع گم شده بود. [ نیازمند منبع ]

اولین کسی که یک موتور چهار زمانه کار کرد، یک موتور ثابت با استفاده از مخلوط زغال سنگ گاز و هوا برای سوخت (موتور گازی )، مهندس آلمانی نیکلاس اتو بود . [4] به همین دلیل است که اصل چهار زمانه امروزه معمولاً به عنوان چرخه اتو شناخته می شود و موتورهای چهار زمانه با استفاده از شمع اغلب موتورهای اتو نامیده می شوند.

فرآیندها [ ویرایش ]

چرخه دارای چهار بخش است: جرمی حاوی مخلوطی از سوخت و اکسیژن توسط پیستون نزولی به داخل سیلندر کشیده می شود، با بالا آمدن پیستون فشرده می شود، جرم توسط جرقه ای مشتعل می شود که انرژی را به شکل گرما آزاد می کند، و در نتیجه آن به وجود می آید. گاز با فشار دادن پیستون به پایین اجازه انبساط پیدا می کند و در نهایت با بالا آمدن پیستون برای بار دوم جرم تخلیه می شود. از آنجایی که پیستون قادر به حرکت در امتداد سیلندر است، حجم گاز با موقعیت آن در سیلندر تغییر می کند. فرآیندهای فشرده‌سازی و انبساط ناشی از حرکت پیستون بر روی گاز به‌عنوان برگشت‌پذیر ایده‌آل می‌شوند، یعنی هیچ کار مفیدی از طریق اغتشاش یا اصطکاک از بین نمی‌رود و در طی این دو فرآیند هیچ گرمایی به گاز یا از گاز منتقل نمی‌شود. پس از اتمام انبساط در سیلندر، حرارت باقیمانده استخراج شده و در نهایت گاز به محیط خارج می شود. کار مکانیکی در طول فرآیند انبساط تولید می شود و مقداری از آن برای فشرده سازی توده هوا در چرخه بعدی استفاده می شود. کار مکانیکی تولید شده منهای مورد استفاده برای فرآیند فشرده سازی، کار خالص به دست آمده است و می تواند برای رانش یا راندن ماشین های دیگر استفاده شود. روش دیگر، کار خالص به دست آمده تفاوت بین گرمای تولید شده و گرمای حذف شده است.

فرآیند مصرف 0-1 (سایه آبی) [ ویرایش ]

توده ای از هوا (سیال کار) از 0 تا 1 در فشار اتمسفر (فشار ثابت) از طریق دریچه ورودی باز به داخل سیلندر کشیده می شود، در حالی که دریچه خروجی در طی این فرآیند بسته می شود. دریچه ورودی در نقطه 1 بسته می شود.

سکته فشرده سازی فرآیند 1-2 ( B در نمودارها) [ ویرایش ]

پیستون از انتهای میل لنگ (BDC، نقطه مرده پایین و حداکثر حجم) به انتهای سرسیلندر ( TDC ، نقطه مرگ بالا و حداقل حجم) حرکت می کند، زیرا گاز کار با حالت اولیه 1 به صورت ایزنتروپیک به حالت 2، از طریق نسبت تراکم ( V) فشرده می شود. 1 / V 2 ) . از نظر مکانیکی، این فشرده‌سازی ایزنتروپیک مخلوط هوا/سوخت در سیلندر است که به آن ضربه فشرده‌سازی نیز می‌گویند. این فرآیند ایزنتروپیک فرض می‌کند که هیچ انرژی مکانیکی در اثر اصطکاک از بین نمی‌رود و هیچ گرمایی به گاز یا از گاز منتقل نمی‌شود، بنابراین فرآیند برگشت‌پذیر است. فرآیند تراکم مستلزم آن است که کار مکانیکی به گاز کار اضافه شود. به طور کلی نسبت تراکم در حدود 9-10:1 ( V 1 : V 2 ) برای یک موتور معمولی است. [5]

مرحله احتراق فرآیند 2-3 ( C روی نمودارها) [ ویرایش ]

پیستون به طور لحظه ای در TDC در حال استراحت است . در طول این لحظه، که به عنوان فاز اشتعال شناخته می شود، مخلوط هوا/سوخت در حجم کمی در بالای حرکت تراکم باقی می ماند. گرما با احتراق سوخت تزریق شده به سیال کار اضافه می شود و حجم آن اساساً ثابت می ماند. فشار افزایش می یابد و نسبت(پ3/پ2) $(P_{3}/P_{2})$ "نسبت انفجار" نامیده می شود.

روند گسترش 3-4 ( D در نمودارها) [ ویرایش ]

افزایش فشار بالا نیرویی به پیستون وارد می کند و آن را به سمت BDC هل می دهد . انبساط سیال عامل به صورت ایزنتروپیک صورت می گیرد و کار توسط سیستم روی پیستون انجام می شود. نسبت حجم $V_{4}/V_{3}$ "نسبت انبساط ایسنتروپیک" نامیده می شود. (برای چرخه اتو همان نسبت تراکم است $V_{1}/V_{2}$ ). از نظر مکانیکی، این انبساط مخلوط گاز داغ در سیلندر است که به عنوان ضربه انبساط (قدرت) شناخته می شود.

فرآیند 4-1 رد گرمای ایده آل ( A در نمودارها) [ ویرایش ]

پیستون به طور لحظه ای در BDC در حال استراحت است . فشار گاز کار فوراً از نقطه 4 به نقطه 1 در طول یک فرآیند حجم ثابت کاهش می یابد زیرا گرما به یک سینک خارجی ایده آل که با سرسیلندر در تماس است خارج می شود. در موتورهای احتراق داخلی مدرن، هیت سینک ممکن است هوای اطراف (برای موتورهای کم توان)، یا یک سیال در گردش، مانند مایع خنک کننده باشد. گاز به حالت 1 بازگشته است.

فرآیند 1-0 ضربه اگزوز [ ویرایش ]

سوپاپ اگزوز در نقطه 1 باز می شود. همانطور که پیستون از "BDC" (نقطه 1) به "TDC" (نقطه 0) با دریچه اگزوز باز می شود، مخلوط گازی به اتمسفر تخلیه می شود و فرآیند از نو شروع می شود.

تجزیه و تحلیل چرخه [ ویرایش ]

در این فرآیند 1-2، پیستون روی گاز کار می کند و در فرآیند 3-4، گاز به ترتیب در طی فرآیندهای فشرده سازی و انبساط ایزنتروپیک روی پیستون کار می کند. فرآیندهای 2-3 و 4-1 فرآیندهای ایزوکوریک هستند. گرما از 2-3 به سیستم و از 4-1 به خارج از سیستم منتقل می شود اما در طی این فرآیندها هیچ کاری روی سیستم انجام نمی شود یا از سیستم استخراج می شود. هیچ کاری در طول یک فرآیند ایزوکوریک (حجم ثابت) انجام نمی شود زیرا اضافه یا حذف کار از یک سیستم مستلزم حرکت مرزهای سیستم است. از این رو، از آنجایی که حجم سیلندر تغییر نمی کند، هیچ شفت کاری به سیستم اضافه یا از آن حذف نمی شود.

از چهار معادله مختلف برای توصیف آن چهار فرآیند استفاده می شود. با فرض اینکه تغییرات انرژی جنبشی و پتانسیلی که در سیستم اتفاق می‌افتد (جرم گاز) را می‌توان نادیده گرفت و سپس با اعمال قانون اول ترمودینامیک (پایستگی انرژی) بر جرم گاز با تغییر حالت طبق مشخصه، ساده‌سازی انجام می‌شود. توسط دما، فشار و حجم گاز. [2] [ صفحه مورد نیاز ] [6] [ صفحه مورد نیاز ]

در طی یک چرخه کامل، گاز به حالت اولیه خود یعنی دما، فشار و حجم باز می گردد، بنابراین تغییر انرژی خالص داخلی سیستم (گاز) صفر است. در نتیجه، انرژی (گرما یا کار) اضافه شده به سیستم باید با انرژی (گرما یا کاری) که از سیستم خارج می شود جبران شود. در تجزیه و تحلیل سیستم های ترمودینامیکی، قرارداد این است که انرژی ورودی به سیستم مثبت و انرژی خروجی از سیستم منفی در نظر گرفته شود.

معادله 1a.

در طول یک چرخه کامل، تغییر خالص انرژی سیستم صفر است:

$\Delta E=E_{\text{in}}-E_{\text{out}}=0$

در بالا بیان می شود که سیستم (جرم گاز) به حالت ترمودینامیکی اولیه ای که در شروع چرخه در آن بود باز می گردد.

جایی که $E_{\text{in}}$ انرژی از 1-2-3 و به سیستم اضافه می شود $E_{\text{out}}$ انرژی از سیستم 3-4-1 حذف می شود. از نظر کار و حرارت اضافه شده به سیستم

معادله 1b:

$W_{1-2}+Q_{2-3}+W_{3-4}+Q_{4-1}=0$

هر جمله از معادله را می توان بر حسب انرژی داخلی گاز در هر نقطه از فرآیند بیان کرد:

$W_{1-2}=U_{2}-U_{1}$

$Q_{2-3}=U_{3}-U_{2}$

$W_{3-4}=U_{4}-U_{3}$

$Q_{4-1}=U_{1}-U_{4}$

تعادل انرژی معادله 1b می شود

$W_{1-2}+Q_{2-3}+W_{3-4}+Q_{4-1}=\left(U_{2}-U_{1}\right)+\left( U_{3}-U_{2}\right)+\left(U_{4}-U_{3}\right)+\left(U_{1}-U_{4}\right)=0$

برای نشان دادن مثال، مقداری [ مشکوک – بحث ] را برای نقاط در تصویر انتخاب می کنیم:

$U_{1}=1$

$U_{2}=5$

$U_{3}=9$

$U_{4}=4$

این مقادیر به طور دلخواه اما منطقی [ مشکوک – بحث ] انتخاب شده اند. سپس شرایط کار و گرما را می توان محاسبه کرد.

انرژی اضافه شده به سیستم به عنوان کار در طول فشرده سازی از 1 تا 2 است

$\left(U_{2}-U_{1}\right)=\left(5-1\right)=4$

انرژی اضافه شده به سیستم به عنوان گرما از نقطه 2 تا 3 است

$\left({U_{3}-U_{2}}\right)=\left(9-5\right)=4$

انرژی خارج شده از سیستم به عنوان کار در طول انبساط از 3 به 4 است

$\left(U_{4}-U_{3}\right)=\left(4-9\right)=-5$

انرژی خارج شده از سیستم به عنوان گرما از نقطه 4 تا 1 است

$\left(U_{1}-U_{4}\right)=\left(1-4\right)=-3$

تعادل انرژی است

$\Delta E=+4+4-5-3=0$

توجه داشته باشید که انرژی اضافه شده به سیستم به عنوان مثبت و انرژی خروجی از سیستم منفی محاسبه می شود و جمع صفر است همانطور که انتظار می رود برای یک چرخه کامل که سیستم را به حالت اولیه باز می گرداند.

از تعادل انرژی، کار خارج از سیستم عبارت است از:

$\sum {\text{Work}}=W_{1-2}+W_{3-4}=\left(U_{2}-U_{1}\right)+\left(U_{4} -U_{3}\right)=4-5=-1$

انرژی خالص خروجی از سیستم به عنوان کار 1- است، به این معنی که سیستم یک واحد خالص انرژی تولید کرده است که به صورت کار از سیستم خارج می شود.

گرمای خالص خروجی از سیستم عبارت است از:

$\sum {\text{Heat}}=Q_{2-3}+Q_{4-1}=\left(U_{3}-U_{2}\right)+\left(U_{1} -U_{4}\right)=4-3=1$

به عنوان انرژی اضافه شده به سیستم به عنوان گرما مثبت است. از موارد فوق به نظر می رسد که سیستم یک واحد گرما به دست آورده است. این با انرژی تولید شده توسط سیستم به عنوان کار خارج از سیستم مطابقت دارد.

راندمان حرارتی ضریب کار خالص از سیستم به گرمای اضافه شده به سیستم است. معادله 2:

$\eta ={\frac {W_{1-2}+W_{3-4}}{Q_{2-3}}}={\frac {\left(U_{2}-U_{1} \right)+\left(U_{4}-U_{3}\right)}{\left(U_{3}-U_{2}\right)}}$

$\eta =1+{\frac {U_{1}-U_{4}}{\left(U_{3}-U_{2}\right)}}=1+{\frac {(1- 4)}{(9-5)}}=0.25$

روش دیگر، راندمان حرارتی را می توان با گرمای شدید اضافه شده و گرما رد کرد بدست آورد.

$\eta ={\frac {Q_{2-3}+Q_{4-1}}{Q_{2-3}}}=1+{\frac {\left(U_{1}-U_{ 4}\right)}{\left(U_{3}-U_{2}\right)}}$

ارائه ارزش های ساختگی

$\eta =1+{\frac {1-4}{9-5}}=1+{\frac {-3}{4}}=0.25$

در چرخه اتو، هیچ انتقال حرارتی در طول فرآیند 1-2 و 3-4 وجود ندارد زیرا آنها فرآیندهای ایزنتروپیک هستند. گرما فقط در طول فرآیندهای حجم ثابت 2-3 تامین می شود و گرما فقط در طول فرآیندهای حجم ثابت 4-1 رد می شود.

مقادیر فوق مقادیر مطلقی هستند که ممکن است، برای مثال [ مشکوک - بحث ] ، دارای واحدهای ژول باشند (با فرض اینکه سیستم واحدهای MKS استفاده شود) و برای یک موتور خاص با ابعاد خاص کاربرد دارند. در مطالعه سیستم‌های ترمودینامیکی، مقادیر گسترده‌ای مانند انرژی، حجم، یا آنتروپی (در مقابل مقادیر شدید دما و فشار) بر اساس جرم واحد قرار می‌گیرند، و همچنین محاسبات نیز همین‌طور است، که آن‌ها را کلی‌تر و در نتیجه کلی‌تر می‌کند. استفاده کنید. از این رو، هر عبارتی که شامل یک کمیت گسترده است را می توان بر جرم تقسیم کرد و واحدهای ژول/کیلوگرم ( انرژی ویژه )، متر 3 /کیلوگرم (حجم خاص)، یا ژول/(کلوین· کیلوگرم) (آنتروپی خاص، گرما) را به دست داد. ظرفیت) و غیره و با استفاده از حروف کوچک، u، v، s و غیره نشان داده می شود.

اکنون می توان معادله 1 را با معادله گرمای ویژه برای حجم ثابت مرتبط کرد. گرمای ویژه به ویژه برای محاسبات ترمودینامیکی که شامل مدل گاز ایده آل است مفید هستند .

$C_{\text{v}}=\left({\frac {\delta u}{\delta T}}\right)_{\text{v}}$

بازآرایی بازده:

$\delta u=(C_{\text{v}})(\delta T)$

درج معادله گرمای ویژه در معادله بازده حرارتی (معادله 2) نتیجه می دهد.

$\eta =1-\left({\frac {C_{\text{v}}(T_{4}-T_{1})}{C_{\text{v}}(T_{3}- T_{2})}}\راست)$

پس از تنظیم مجدد:

$\eta =1-\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)\left({\frac {T_{4}/T_{1}-1}{ T_{3}/T_{2}-1}}\راست)$

در مرحله بعد، از نمودارها توجه کنید $T_{4}/T_{1}=T_{3}/T_{2}$ (به روابط ایزنتروپیک برای گاز ایده آل مراجعه کنید )، بنابراین هر دوی اینها را می توان حذف کرد. سپس معادله به زیر کاهش می یابد:

معادله 2:

$\eta =1-\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)$

از آنجایی که چرخه اتو از فرآیندهای ایزنتروپیک در طول فشرده سازی (فرآیند 1 تا 2) و انبساط (فرایند 3 تا 4) استفاده می کند، می توان از معادلات ایزنتروپیک گازهای ایده آل و روابط فشار/حجم ثابت برای بدست آوردن معادلات 3 و 4 استفاده کرد. [7]

معادله 3:

$\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{ (\گاما -1)/{\گاما }}$

معادله 4:

$\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{ (\گاما -1)}$

جایی که

${\gamma }=\left({\frac {C_{\text{p}}}{C_{\text{v}}}}\راست)$

${\gamma }$ نسبت گرمای ویژه است

اشتقاق معادلات قبلی به ترتیب با حل این چهار معادله به دست می آید (که در آنآر $R$ ثابت گاز خاص است ):

$C_{\text{p}}\ln \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)-R\ln \left({\frac {p_{2} {p_{1}}}\right)=0$

$C_{\text{v}}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {V_{2} {V_{1}}}\right)=0$

$C_{\text{p}}=\left({\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\right)$

$C_{\text{v}}=\left({\frac {R}{\gamma -1}}\right)$

ساده کردن بیشتر معادله 4، جایی که $r$ نسبت تراکم است $(V_{1}/V_{2})$ :

معادله 5:

$\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{ (\گاما -1)}=r^{(\گاما -1)}$

از معکوس کردن معادله 4 و درج آن در معادله 2، بازده حرارتی نهایی را می توان به صورت زیر بیان کرد: [ صفحه مورد نیاز ] [6] [ صفحه مورد نیاز ]

معادله 6:

$\eta =1-\left({\frac {1}{r^{(\gamma -1)}}}\right)$

از تجزیه و تحلیل معادله 6 مشهود است که راندمان چرخه اتو مستقیماً به نسبت تراکم بستگی دارد. $r$ . از آنجا که $\gamma$ برای هوا 1.4 است، افزایش در $r$ افزایش در ایجاد خواهد کرد $\eta$ . با این حال $\gamma$ برای محصولات احتراق مخلوط سوخت/هوا اغلب تقریباً 1.3 گرفته می شود. بحث فوق حاکی از آن است که داشتن نسبت تراکم بالا کارآمدتر است. نسبت استاندارد برای خودروهای معمولی تقریباً 10:1 است. معمولاً به دلیل امکان خود اشتعال یا " کوبش " که حد بالایی را در نسبت تراکم ایجاد می کند، این مقدار زیاد افزایش نمی یابد. [2] [ صفحه مورد نیاز ] در طول فرآیند فشرده سازی 1-2 دما افزایش می یابد، بنابراین افزایش نسبت تراکم باعث افزایش دما می شود. خود اشتعال زمانی اتفاق می افتد که دمای مخلوط سوخت/هوا قبل از اینکه توسط جلوی شعله مشتعل شود بسیار بالا می رود. ضربه فشرده سازی برای فشرده سازی محصولات قبل از مشتعل شدن مخلوط توسط شعله در نظر گرفته شده است. اگر نسبت تراکم افزایش یابد، مخلوط ممکن است قبل از کامل شدن ضربه فشرده‌سازی، خود به خود مشتعل شود و منجر به "کوبش موتور" شود. این می تواند به اجزای موتور آسیب برساند و اسب بخار ترمز موتور را کاهش دهد.

قدرت [ ویرایش ]

توان تولید شده توسط چرخه اتو انرژی تولید شده در واحد زمان است. به موتورهای اتو موتورهای چهار زمانه می گویند. کورس ورودی و کورس تراکمی نیاز به یک چرخش میل لنگ موتور دارد. استروک برق و کورس اگزوز نیاز به چرخش دیگری دارد. برای دو چرخش یک ضربه مولد کار وجود دارد..

از تجزیه و تحلیل چرخه بالا، کار خالص تولید شده توسط سیستم:

$\sum {\text{ Work}}=W_{1-2}+W_{3-4}=\left(U_{2}-U_{1}\right)+\left(U_{4} -U_{3}\right)=+4-5=-1$

(دوباره، با استفاده از قرارداد علامت، علامت منهای به معنای خروج انرژی از سیستم به عنوان کار است)

اگر واحدهای مورد استفاده MKS بودند، سیکل یک ژول انرژی به شکل کار تولید می کرد. برای یک موتور با جابجایی خاص، مانند یک لیتر، جرم گاز سیستم را می توان با فرض اینکه موتور در دمای استاندارد (20 درجه سانتیگراد) و فشار (1 اتمسفر) کار می کند محاسبه کرد. با استفاده از قانون جهانی گاز، جرم یک لیتر گاز در دمای اتاق و فشار سطح دریا است:

$M={\frac {PV}{RT}}$

V = 0.001 m3 ، R = 0.286 kJ/(kg·K)، T = 293 K، P = 101.3 kN/ m2

M = 0.00121 کیلوگرم

در دور موتور 3000 دور در دقیقه، 1500 ضربه در دقیقه یا 25 ضربه کار در ثانیه وجود دارد.

$\sum {\text{ Work}}=1\,{\text{J}}/({\text{kg}}\cdot {\text{stroke}})\times 0.00121\,{\text {kg}}=0.00121\،{\text{J}}/{\text{stroke}}$

توان 25 برابر بیشتر از آن است زیرا 25 ضربه کار در ثانیه وجود دارد

$P=25\times 0.00121=0.0303\,{\text{J}}/{\text{s}}\;{\text{یا}}\;{\text{W}}$

اگر موتور از چند سیلندر با جابه‌جایی یکسان استفاده کند، نتیجه در تعداد سیلندرها ضرب می‌شود. این نتایج حاصل ضرب مقادیر انرژی داخلی است که برای چهار حالت سیستم در پایان هر یک از چهار حرکت (دو چرخش) در نظر گرفته شده است. آنها فقط به خاطر تصویرسازی انتخاب شدند و بدیهی است که ارزش کمی دارند. جایگزینی مقادیر واقعی از یک موتور واقعی، نتایجی نزدیک به موتور ایجاد می کند. نتایج آن‌ها بالاتر از موتور واقعی خواهد بود، زیرا فرضیات ساده‌سازی زیادی در تحلیل وجود دارد که ناکارآمدی‌ها را نادیده می‌گیرند. چنین نتایجی توان خروجی را بیش از حد برآورد می کند.

افزایش قدرت و کارایی [ ویرایش ]

تفاوت بین فشار و دما اگزوز و ورودی به این معنی است که با استفاده از یک توربوشارژر می توان مقداری راندمان را افزایش داد، بخشی از انرژی باقی مانده را از جریان اگزوز حذف کرد و آن را به جریان ورودی برای افزایش فشار ورودی انتقال داد. یک توربین گازی می تواند انرژی کار مفیدی را از جریان اگزوز استخراج کند و سپس از آن برای تحت فشار قرار دادن هوای ورودی استفاده شود. فشار و دمای گازهای خروجی با انبساط آنها از طریق توربین گاز کاهش می یابد و سپس این کار به جریان گاز ورودی اعمال می شود و فشار و دمای آن افزایش می یابد. انتقال انرژی باعث بهبود راندمان می شود و چگالی توان موتور نیز بهبود می یابد. هوای ورودی معمولاً به گونه‌ای خنک می‌شود که حجم آن کاهش یابد زیرا کار تولید شده در هر ضربه تابع مستقیم مقدار جرم وارد شده به سیلندر است. هوای متراکم تر در هر چرخه کار بیشتری تولید می کند. عملاً دمای توده هوای ورودی نیز باید کاهش یابد تا از اشتعال زودرس در موتورهای بنزینی جلوگیری شود. از این رو، از یک اینترکولر برای حذف مقداری انرژی به عنوان گرما و در نتیجه کاهش دمای ورودی استفاده می شود. چنین طرحی هم کارایی و هم قدرت موتور را افزایش می دهد.

استفاده از سوپرشارژر که توسط میل لنگ هدایت می شود، توان خروجی (چگالی توان) را افزایش می دهد، اما راندمان را افزایش نمی دهد، زیرا از بخشی از کار خالص تولید شده توسط موتور برای تحت فشار قرار دادن هوای ورودی استفاده می کند و در غیر این صورت انرژی هدر رفته مرتبط با جریان اگزوز در دمای بالا و فشار به محیط.

منابع [ ویرایش ]

^ وو، چی. چرخه های ترمودینامیکی: طراحی و بهینه سازی به کمک کامپیوتر . نیویورک: ام. دکر، 2004. صفحه 99
^ a b c پرش به بالا: موران، مایکل جی. شاپیرو، هوارد ان. (2006). مبانی ترمودینامیک مهندسی: نسخه SI، واحدهای SI (ویرایش پنجم). چیچستر: وایلی. پ. 376. شابک 978-0-470-03037-0.
^ مایک بوش. "تکنولوژی 150 ساله". هوانوردی ورزشی : 26.
↑ گانستون، بیل (1999). توسعه موتورهای پیستونی هوا (ویرایش 2). Sparkford، UK: Patrick Stephens Ltd. p. 21. شابک 978-0-7509-4478-6.
↑ "چرخه های گرما - الکتروپیدیا" . Woodbank Communications Ltd. بازیابی شده در 2011-04-11 .
^ پرش به بالا:a b گوپتا، HN مبانی احتراق داخلی . دهلی نو: پرنتیس هال، 2006. چاپ.
↑ رینولدز و پرکینز (1977). ترمودینامیک مهندسی . مک گراو هیل. ص 249 . شابک 978-0-07-052046-2.

https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_cycle

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و نهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 5:34 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چرخه دیزل

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد چرخه ترمودینامیکی است. برای موتور سیکلت های دیزلی، موتور سیکلت دیزل را ببینید .

ترمودینامیک

موتور حرارتی کلاسیک کارنو

نشان می دهد

شاخه ها

نشان می دهد

قوانین

نشان می دهد

سیستم های

نشان می دهد

خصوصیات سیستم

نشان می دهد

خواص مواد

نشان می دهد

معادلات

نشان می دهد

پتانسیل ها

نشان می دهد

تاریخ
فرهنگ

نشان می دهد

دانشمندان

نشان می دهد

دیگر

دسته بندی

v
تی
ه

چرخه دیزل فرآیند احتراق یک موتور احتراق داخلی متقابل است . در آن، سوخت توسط گرمای تولید شده در طی فشرده سازی هوا در محفظه احتراق مشتعل می شود و سپس سوخت به داخل آن تزریق می شود. این برخلاف احتراق مخلوط سوخت و هوا با شمع جرقه مانند موتور چرخه اتو ( چهار زمانه / بنزینی) است. موتورهای دیزلی در هواپیماها ، خودروها ، تولید برق ، لوکوموتیوهای دیزلی-الکتریکی و کشتی‌های سطحی و زیردریایی‌ها استفاده می‌شوند .

سیکل دیزل در طول مرحله اولیه احتراق فشار ثابتی دارد. $V_{2}$ به $V_{3}$ در نمودار زیر). این یک مدل ریاضی ایده‌آل است: دیزل‌های فیزیکی واقعی در این دوره افزایش فشار دارند، اما نسبت به چرخه اتو کمتر مشخص است. در مقابل، چرخه اتوی ایده آل موتور بنزینی به یک فرآیند حجم ثابت در طول آن فاز تقریب می زند.

چرخه دیزل ایده آل [ ویرایش ]

نمودار pV برای چرخه دیزل ایده آل . چرخه از اعداد 1-4 در جهت عقربه های ساعت پیروی می کند.

تصویر یک نمودار pV برای چرخه دیزل ایده آل را نشان می دهد. جایی که $p$ فشار و V حجم یا $v$ اگر فرآیند بر اساس جرم واحد قرار گیرد، حجم خاص است. چرخه دیزل ایده آل گاز ایده آل را در نظر می گیرد و شیمی احتراق ، اگزوز و فرآیندهای شارژ مجدد را نادیده می گیرد و به سادگی چهار فرآیند متمایز را دنبال می کند:

1 → 2: فشرده سازی ایزنتروپیک سیال (آبی)
2→3: گرمایش با فشار ثابت (قرمز)
3→4: انبساط ایزنتروپیک (زرد)
4→1: خنک کننده با حجم ثابت (سبز) [1]

موتور دیزل یک موتور حرارتی است: گرما را به کار تبدیل می کند . در طی فرآیندهای ایزنتروپیک پایین (آبی)، انرژی به شکل کار به سیستم منتقل می شودد $W_{in}$ ، اما طبق تعریف (ایسنتروپیک) هیچ انرژی به صورت گرما به داخل یا خارج سیستم منتقل نمی شود. در طی فرآیند فشار ثابت (قرمز، ایزوباریک )، انرژی به صورت گرما وارد سیستم می شود $Q_{in}$ . در طی فرآیندهای ایزنتروپیک بالا (زرد)، انرژی به شکل به خارج از سیستم منتقل می شود $W_{out}$ ، اما طبق تعریف (ایسنتروپیک) هیچ انرژی به صورت گرما به داخل یا خارج سیستم منتقل نمی شود. در طول فرآیند حجم ثابت (سبز، ایزوکوریک )، مقداری از انرژی به عنوان گرما از طریق فرآیند کاهش فشار مناسب از سیستم خارج می شود. $Q_{out}$ . کاری که از سیستم خارج می شود برابر است با کاری که وارد سیستم می شود به اضافه تفاوت بین گرمای اضافه شده به سیستم و حرارتی که از سیستم خارج می شود. به عبارت دیگر، سود خالص کار برابر است با تفاوت بین گرمای اضافه شده به سیستم و گرمایی که از سیستم خارج می شود.

کار در (د $W_{in}$ ) توسط پیستون فشرده سازی هوا (سیستم) انجام می شود.
گرما در ( $Q_{in}$ ) با احتراق سوخت انجام می شود
ورزش کن ( $W_{out}$ ) با انبساط و هل دادن پیستون سیال عامل انجام می شود (این کار قابل استفاده تولید می کند)
گرمازدگی ( $Q_{out}$ ) با تخلیه هوا انجام می شود
خالص کار تولید شده = $Q_{in}$ - $Q_{out}$

کار خالص تولید شده نیز با ناحیه محصور شده توسط چرخه در نمودار PV نشان داده می شود. کار خالص در هر چرخه تولید می شود و به آن کار مفید نیز می گویند، زیرا می توان آن را به دیگر انواع انرژی مفید تبدیل کرد و وسیله نقلیه را به حرکت درآورد ( انرژی جنبشی ) یا انرژی الکتریکی تولید کرد. جمع بسیاری از این چرخه ها در واحد زمان توان توسعه یافته نامیده می شود. را $W_{out}$ کار ناخالص نیز نامیده می شود که برخی از آنها در چرخه بعدی موتور برای فشرده سازی شارژ بعدی هوا استفاده می شود.

حداکثر راندمان حرارتی [ ویرایش ]

حداکثر بازده حرارتی یک سیکل دیزل به نسبت تراکم و نسبت قطع بستگی دارد. تحت آنالیز استاندارد هوای سرد فرمول زیر را دارد :

$\eta _{th}=1-{\frac {1}{r^{\gamma -1}}}\left({\frac {\alpha ^{\gamma }-1}{\gamma ( \آلفا -1)}}\راست)$

جایی که

$\eta _{th}$ بازده حرارتی است

$\alpha$ نسبت برش است ${\frac {V_{3}}{V_{2}}}$ (نسبت بین حجم پایان و شروع برای فاز احتراق)

r نسبت تراکم

است ${\frac {V_{1}}{V_{2}}}$

$\gamma$ نسبت گرمای ویژه است (C p / C v ) [2]

نسبت برش را می توان بر حسب دما به شکل زیر بیان کرد:

${\frac {T_{2}}{T_{1}}}={\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1} }=r^{\گاما -1}$

$\displaystyle {T_{2}}={T_{1}}r^{\gamma -1}$

${\frac {V_{3}}{V_{2}}}={\frac {T_{3}}{T_{2}}}$

$\alpha =\left({\frac {T_{3}}{T_{1}}}\right)\left({\frac {1}{r^{\gamma -1}}}\right )$

$T_{3}$ را می توان به دمای شعله سوخت مورد استفاده تقریب زد. دمای شعله را می توان به دمای شعله آدیاباتیک سوخت با نسبت هوا به سوخت و فشار تراکم مربوطه تقریب زد. $p_{3}$ . $T_{1}$ را می توان به دمای هوای ورودی تقریب زد.

این فرمول تنها بازده حرارتی ایده آل را به دست می دهد. راندمان حرارتی واقعی به دلیل تلفات گرما و اصطکاک به میزان قابل توجهی کمتر خواهد بود. این فرمول پیچیده تر از رابطه چرخه اتو (موتور بنزینی/بنزینی) است که دارای فرمول زیر است:

$\eta _{otto,th}=1-{\frac {1}{r^{\gamma -1}}}$

پیچیدگی اضافی برای فرمول دیزل به وجود می آید زیرا گرما اضافه در فشار ثابت است و دفع حرارت در حجم ثابت است. چرخه اتو در مقایسه با افزایش گرما و دفع گرما در حجم ثابت همراه است.

مقایسه کارایی با چرخه اتو [ ویرایش ]

با مقایسه این دو فرمول می توان دریافت که برای یک نسبت تراکم معین ( r )، سیکل اتو ایده آل کارآمدتر خواهد بود. با این حال، یک موتور دیزل واقعی به طور کلی کارآمدتر خواهد بود زیرا توانایی کار با نسبت تراکم بالاتر را دارد. اگر یک موتور بنزینی نسبت تراکم یکسانی داشته باشد، کوبش (خود اشتعال) اتفاق می افتد و این کارایی را به شدت کاهش می دهد، در حالی که در موتور دیزلی، خود اشتعال رفتار مطلوب است. علاوه بر این، هر دوی این چرخه ها فقط ایده آل سازی هستند و رفتار واقعی به وضوح یا واضح تقسیم نمی شود. علاوه بر این، فرمول ایده آل چرخه اتو که در بالا ذکر شد، تلفات دریچه گاز را شامل نمی شود، که در مورد موتورهای دیزل صدق نمی کند.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

موتورهای دیزلی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: موتور دیزل

موتورهای دیزلی کمترین مصرف سوخت ویژه را در میان هر موتور احتراق داخلی بزرگی دارند که از یک چرخه استفاده می کنند، 0.26 پوند بر اسب بخار در ساعت (0.16 کیلوگرم در کیلووات ساعت) برای موتورهای دریایی بسیار بزرگ (نیروگاه های سیکل ترکیبی کارآمدتر هستند، اما از دو موتور استفاده می کنند. بیش از یک). دیزل های دو زمانه با فشار بالا القایی اجباری، به ویژه توربوشارژ ، درصد زیادی از بزرگترین موتورهای دیزلی را تشکیل می دهند.

در آمریکای شمالی ، موتورهای دیزلی عمدتاً در کامیون‌های بزرگ مورد استفاده قرار می‌گیرند، جایی که چرخه کم‌تنش و راندمان بالا منجر به عمر طولانی‌تر موتور و هزینه‌های عملیاتی کمتر می‌شود. این مزایا همچنین موتور دیزل را برای استفاده در راه‌آهن‌های سنگین و محیط‌های خاکی ایده‌آل می‌سازد.

سایر موتورهای احتراق داخلی بدون شمع [ ویرایش ]

بسیاری از هواپیماهای مدل از موتورهای بسیار ساده "درخشش" و "دیزل" استفاده می کنند. موتورهای درخشنده از شمع های برق استفاده می کنند . موتورهای هواپیما مدل «دیزلی» نسبت تراکم متغیری دارند. هر دو نوع به سوخت های ویژه بستگی دارند.

برخی از موتورهای آزمایشی قرن نوزدهم یا قبل از آن از شعله های خارجی استفاده می کردند که توسط سوپاپ ها برای احتراق قرار می گرفت، اما با افزایش تراکم، جذابیت آن کاهش می یابد. (تحقیق نیکلاس لئونارد سادی کارنو بود که ارزش ترمودینامیکی تراکم را مشخص کرد.) یک مفهوم تاریخی این موضوع این است که موتور دیزل می‌توانست بدون کمک الکتریسیته اختراع شود.
توسعه موتور لامپ داغ و تزریق غیر مستقیم را برای اهمیت تاریخی ببینید.

منابع [ ویرایش ]

↑ Eastop & McConkey 1993، ترمودینامیک کاربردی برای فن‌آوران مهندسی ، Pearson Education Limited، نسخه پنجم، ص137
↑ «موتور دیزل» .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

موتور دیزل
موتور لامپ داغ
مخلوط / دو چرخه

https://en.wikipedia.org/wiki/Diesel_cycle

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هفتم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 6:1 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چرخه کارنو

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ترمودینامیک
موتور حرارتی کلاسیک کارنو
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد قوانین
نشان می دهد سیستم های
نشان می دهد خصوصیات سیستم
نشان می دهد خواص مواد
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد تاریخ فرهنگ
نشان می دهد دانشمندان
نشان می دهد دیگر
دسته بندی
v تی ه

در چرخه کارنو، یک سیستم یا موتور انرژی را به شکل گرما بین دو مخزن حرارتی در دماها منتقل می کند.تیاچ $T_{H}$ وتیسی $T_{C}$ (به ترتیب مخازن گرم و سرد نامیده می شود) و بخشی از این انرژی منتقل شده به کار انجام شده توسط سیستم تبدیل می شود. چرخه برگشت پذیر است و آنتروپی حفظ می شود و صرفاً بین مخازن حرارتی و سیستم بدون افزایش یا ضرر منتقل می شود. هنگامی که کار روی سیستم اعمال می شود، گرما از مخزن سرد به گرم (پمپ حرارتی یا تبرید ) منتقل می شود. هنگامی که گرما از مخزن گرم به مخزن سرد منتقل می شود، سیستم کار را بر روی محیط اعمال می کند. کاردبلیو $W$ انجام شده توسط سیستم یا موتور به محیط در هر سیکل کارنو به دمای مخازن حرارتی و آنتروپی منتقل شده از مخزن داغ به سیستم بستگی دارد.Δاس $\Delta S$ در هر چرخه مانند

$W=(T_{H}-T_{C})\Delta S=(T_{H}-T_{C}){\frac {Q_{H}}{T_{H}}}$ ،

جایی که $Q_{H}$ گرما در هر سیکل از مخزن گرم به سیستم منتقل می شود.

ویدیوهای خارجی
چرخه کارنو از دنیای مکانیکی

مراحل [ ویرایش ]

چرخه کارنو به عنوان یک چرخه ترمودینامیکی ایده آل که توسط موتور حرارتی کارنو انجام می شود ، شامل مراحل زیر است:

انبساط همدما . گرما (به عنوان یک انرژی) به طور برگشت پذیر از مخزن دمای داغ در دمای ثابت TH به گاز در دمای بینهایت کمتر از TH منتقل می شود (تا امکان انتقال گرما به گاز بدون تغییر عملاً دمای گاز بنابراین اضافه یا جذب گرمای همدما فراهم شود ). در طی این مرحله (1 تا 2 در شکل 1 ، A تا B در شکل 2 )، گاز از نظر حرارتی با مخزن دمای داغ در تماس است (در حالی که از نظر حرارتی از مخزن دمای سرد جدا شده است) و گاز اجازه انبساط داده و کار را انجام می دهد. روی محیط اطراف با فشار دادن گاز پیستون به سمت بالا (شکل مرحله 1، سمت راست). اگرچه فشار از نقاط 1 تا 2 کاهش می یابد (شکل 1) دمای گاز در طول فرآیند تغییر نمی کند زیرا گرمای منتقل شده از مخزن دمای داغ به گاز دقیقاً برای انجام کار بر روی محیط اطراف توسط گاز استفاده می شود. بدون تغییر انرژی داخلی گاز (بدون تغییر دمای گاز برای یک گاز ایده آل). گرمای QH > 0 از مخزن دمای داغ جذب می شود و در نتیجه آنتروپی افزایش می یابد . $S$ گاز بر حسب مقدار $\Delta S_{H}=Q_{H}/T_{H}$ .
انبساط ایزنتروپیک ( آدیاباتیک برگشت پذیر ) گاز (خروجی کار ایسنتروپیک). برای این مرحله (2 تا 3 در شکل 1 ، B تا C در شکل 2 ) گاز موجود در موتور از هر دو مخزن سرد و گرم عایق حرارتی می شود، بنابراین آنها نه گرما را دریافت می کنند و نه از دست می دهند، یک فرآیند " آدیاباتیک ". گاز با کاهش فشار خود به انبساط ادامه می دهد، کار روی محیط اطراف انجام می دهد (بالا بردن پیستون؛ مرحله 2 شکل، سمت راست)، و مقداری از انرژی داخلی را از دست می دهد که برابر با کار انجام شده است. انبساط گاز بدون ورودی گرما باعث سرد شدن گاز به دمای "سرد" می شود (با از دست دادن انرژی داخلی خود) که بی نهایت بالاتر از دمای مخزن سرد T C است . آنتروپی بدون تغییر باقی می‌ماند زیرا هیچ گرمایی Q بین سیستم (گاز) و محیط اطراف آن منتقل نمی‌شود، بنابراین یک فرآیند ایزنتروپیک، به معنی عدم تغییر آنتروپی در فرآیند).
فشرده سازی ایزوترمال. گرما به طور برگشت پذیر به مخزن دمای پایین در دمای ثابت T C (دفع حرارت همدما) منتقل می شود. در این مرحله (3 تا 4 در شکل 1 ، C تا D در شکل 2 )، گاز موتور در تماس حرارتی با مخزن سرد در دمای T C (در حالی که از نظر حرارتی از مخزن دمای داغ جدا شده است) و دمای گاز است. بی نهایت بالاتر از این دما است (برای انتقال حرارت از گاز به مخزن سرد بدون تغییر عملا دمای گاز). محیط اطراف روی گاز کار می کند و پیستون را به سمت پایین فشار می دهد (شکل مرحله 3، سمت راست). مقداری از انرژی که توسط گاز حاصل از این کار به دست می آید دقیقاً به عنوان انرژی گرمایی Q C < 0 (منفی به عنوان خروج از سیستم، طبق قرارداد جهانی در ترمودینامیک ) به مخزن سرد منتقل می شود، بنابراین آنتروپی سیستم کاهش می یابد. میزان $\Delta S_{C}=Q_{C}/T_{C}$ . [1] $\Delta S_{C}<0$ زیرا فشردگی همدما باعث کاهش تعدد گاز می شود.
فشرده سازی ایزنتروپیک. (4 به 1 در شکل 1 ، D تا A در شکل 2 ) یک بار دیگر گاز موجود در موتور از نظر حرارتی از مخازن سرد و گرم عایق می شود و موتور بدون اصطکاک فرض می شود و فرآیند به اندازه کافی کند است، بنابراین برگشت پذیر است. در طی این مرحله، محیط اطراف روی گاز کار می کند، پیستون را بیشتر به سمت پایین فشار می دهد (مرحله 4 شکل، سمت راست)، انرژی داخلی آن را افزایش می دهد، آن را فشرده می کند و باعث می شود که دمای آن به دمای بی نهایت کمتر از TH برگردد . به کار اضافه شده به سیستم، اما آنتروپی بدون تغییر باقی می ماند. در این مرحله گاز در همان حالت ابتدای مرحله 1 قرار دارد.

$\Delta S_{H}+\Delta S_{C}=\Delta S_{\text{cycle}}=0,$ یا،

${\frac {Q_{H}}{T_{H}}}=-{\frac {Q_{C}}{T_{C}}}.$

این درست است به عنوان $Q_{C}$ و $T_{C}$ هر دو از نظر قدر کوچکتر هستند و در واقع به همان نسبت هستند $Q_{H}/T_{H}$ .

نمودار فشار-حجم [ ویرایش ]

هنگامی که یک چرخه کارنو بر روی نمودار فشار-حجم رسم می شود ( شکل 1 )، مراحل همدما از خطوط همدما برای سیال عامل پیروی می کنند، مراحل آدیاباتیک بین ایزوترم ها حرکت می کنند و ناحیه محدود شده توسط مسیر چرخه کامل، کل کار را نشان می دهد. را می توان در یک چرخه انجام داد. از نقطه 1 تا 2 و نقطه 3 تا 4 دما ثابت است (فرایند همدما). انتقال حرارت از نقطه 4 به 1 و نقطه 2 به 3 برابر با صفر است (فرایند آدیاباتیک).

خواص و اهمیت [ ویرایش ]

نمودار دما – آنتروپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمودار دما – آنتروپی

$Q=\int _{A}^{B}dQ=\int _{A}^{B}T\,dS$

( 1 )

$W=\oint PdV=\oint (dQ-dU)=\oint (TdS-dU)=\oint TdS-\oint dU=\oint TdS$

( 2 )

از آنجایی که dU یک دیفرانسیل دقیق است ، انتگرال آن بر روی هر حلقه بسته صفر است و نتیجه آن این است که مساحت داخل حلقه در نمودار T - S برابر است با کل کار انجام شده توسط سیستم بر روی محیط اطراف اگر حلقه باشد. در جهت عقربه‌های ساعت پیمایش می‌شود، و (ب) برابر است با کل کار انجام شده روی سیستم توسط محیط اطراف، زیرا حلقه در جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت پیمایش می‌شود.

شکل 4 : چرخه کارنو که بین یک مخزن گرم در دمای TH و یک مخزن سرد در دمای TC انجام می شود .

چرخه کارنو [ ویرایش ]

شکل 5 : تجسم یک چرخه کارنو

ارزیابی انتگرال فوق به ویژه برای یک چرخه کارنو ساده است. مقدار انرژی منتقل شده به عنوان کار است

$W=\oint PdV=\oint TdS=(T_{H}-T_{C})(S_{B}-S_{A})$

مقدار کل گرمای منتقل شده از مخزن گرم به سیستم (در انبساط همدما) خواهد بود.

$Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})=T_{H}\Delta S_{H}$ و مقدار کل گرمای منتقل شده از سیستم به مخزن سرد (در تراکم همدما) خواهد بود.

$Q_{C}=T_{C}(S_{A}-S_{B})=T_{C}\Delta S_{C}<0$

به دلیل حفظ انرژی، گرمای خالص منتقل شده، $Q$ ، برابر با کار انجام شده است [1]

$W=Q=Q_{H}-Q_{C}$

کارایی $\eta$ تعریف شده است:

$\eta ={\frac {W}{Q_{H}}}={\frac {Q_{H}-Q_{C}}{Q_{H}}}=1-{\frac {T_{ C}}{T_{H}}}$

( 3 )

جایی که

W کار انجام شده توسط سیستم است (انرژی خروجی از سیستم به عنوان کار)،
$Q_{C}$ <0 گرمای گرفته شده از سیستم (انرژی گرمایی خروجی از سیستم) است.
$Q_{H}$ > 0 گرمای وارد شده به سیستم (انرژی گرمایی ورودی به سیستم) است.
$T_{C}$ دمای مطلق مخزن سرد است و
$T_{H}$ دمای مطلق مخزن گرم است.
اسب $S_{B}$ حداکثر آنتروپی سیستم است
اسآ $S_{A}$ حداقل آنتروپی سیستم است

چرخه کارنو معکوس [ ویرایش ]

قضیه کارنو [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه کارنو (ترمودینامیک)

کارایی موتورهای حرارتی واقعی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: موتور حرارتی § راندمان

$\langle T_{H}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{\text{in}}}TdS$

به عنوان یک ساختار ماکروسکوپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: موتور حرارتی کارنو § به عنوان یک ساختار ماکروسکوپی

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

یادداشت

^پرش به بالا:a b c Planck, M. (1945). معادلات 39، 40 و 65 در بخش‌های 90 و 137. رساله ترمودینامیک . انتشارات دوور. ص 75، 135.
↑ فرمی، ای. (1956). "معادله 64". ترمودینامیک (PDF) . انتشارات دوور. پ. 48.
↑ چنگل، یونس آ، و مایکل ای. بولز. ترمودینامیک: یک رویکرد مهندسی . ویرایش هفتم نیویورک: مک گراو هیل، 2011. ص. 299. چاپ.
↑ Holubec Viktor and Ryabov Artem (2018). "دوچرخه نوسانات قدرت را نزدیک به راندمان بهینه کاهش می دهد". فیزیک کشیش لِت 121 (12): 120601. arXiv : 1805.00848 . Bibcode : 2018PhRvL.121l0601H . doi : 10.1103/PhysRevLett.121.120601 . PMID 30296120 . S2CID 52943273 .
↑ NA Sinitsyn (2011). "رابطه نوسانات برای موتورهای حرارتی". J. Phys. ج: ریاضی نظریه . 44 (40): 405001. arXiv : 1111.7014 . Bibcode : 2011JPhA...44N5001S . doi : 10.1088/1751-8113/44/40/405001 . S2CID 119261929 .
^ لیو، آویزان. منگ، شین-هه (18 اوت 2017). "اثرات انرژی تاریک بر کارایی سیاهچاله های AdS باردار به عنوان موتورهای حرارتی" . مجله فیزیکی اروپا C. 77 (8): 556. arXiv : 1704.04363 . doi : 10.1140/epjc/s10052-017-5134-9 . ISSN 1434-6052 . ... از آنجایی که موتور حرارتی کارنو، تعیین حد بالایی بر روی بازده موتور حرارتی یک موتور ایده آل و برگشت پذیر است که یک چرخه آن باید در زمان بی نهایت انجام شود که غیرعملی است و بنابراین موتور کارنو قدرت صفر دارد.
↑ بننتی، جولیانو؛ کاساتی، جولیو؛ وانگ، جیائو (2020). "قدرت، راندمان، و نوسانات در موتورهای حرارتی حالت پایدار" (PDF) . بررسی فیزیکی E. 102 (4). با این حال، نوسانات [در دمای مخزن] چنین موتورهایی را غیرعملی می کند.

منابع

کارنو، سادی، تأملاتی در مورد نیروی محرکه آتش
Ewing, JA (1910) The Steam-Engine and Other Engines نسخه 3، صفحه 62، از طریق آرشیو اینترنت
فاینمن، ریچارد پی. لیتون، رابرت بی. سندز، متیو (1963). سخنرانی های فاینمن در مورد فیزیک . شرکت انتشارات آدیسون-وسلی. ص فصل 44 . شابک 978-0-201-02116-5.
هالیدی، دیوید؛ رزنیک، رابرت (1978). فیزیک (ویرایش سوم). جان وایلی و پسران صص 541-548 . شابک 978-0-471-02456-9.
کیتل، چارلز ؛ کرومر، هربرت (1980). فیزیک حرارتی (ویرایش دوم). شرکت WH Freeman. شابک 978-0-7167-1088-2.
کوستیچ، م (2011). "بازبینی قانون دوم تخریب انرژی و تولید آنتروپی: از استدلال مبتکرانه سادی کارنو تا تعمیم کل نگر". AIP Conf. Proc . مجموعه مقالات کنفرانس AIP. 1411 (1): 327-350. Bibcode : 2011AIPC.1411..327K . CiteSeerX 10.1.1.405.1945 . doi : 10.1063/1.3665247 .موسسه فیزیک آمریکا، 2011. ISBN 978-0-7354-0985-9 . چکیده در: [1] . مقاله کامل (24 صفحه [2] )، همچنین در [3] .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

مقاله هایپرفیزیک در مورد چرخه کارنو.
چرخه SM بلیندر کارنو بر روی گاز ایده آل که توسط Wolfram Mathematica طراحی شده است

https://en.wikipedia.org/wiki/Carnot_cycle

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هفتم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 5:49 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چرخه اریکسون

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ترمودینامیک
موتور حرارتی کلاسیک کارنو
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد قوانین
نشان می دهد سیستم های
نشان می دهد خصوصیات سیستم
نشان می دهد خواص مواد
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد تاریخ فرهنگ
نشان می دهد دانشمندان
نشان می دهد دیگر
دسته بندی
v تی ه

رندر موتور اریکسون. یک سیال عامل گازی سرد، مانند هوای اتمسفر (با رنگ آبی نشان داده شده است)، از طریق یک دریچه برگشت در بالا سمت راست وارد سیلندر می شود. هنگام حرکت پیستون به سمت بالا، هوا توسط پیستون (سیاه) فشرده می شود. هوای فشرده در مخزن پنوماتیک (در سمت چپ) ذخیره می شود. یک دریچه دو طرفه (خاکستری) به سمت پایین حرکت می کند تا هوای تحت فشار از طریق احیا کننده که در آن از قبل گرم شده است عبور کند. سپس هوا وارد فضای زیر پیستون می شود که یک محفظه انبساط خارجی گرم می شود . هوا منبسط می شود و در حین حرکت پیستون روی آن کار می کند. پس از انبساط، شیر دو طرفه به سمت بالا حرکت می کند، بنابراین مخزن بسته می شود و درگاه اگزوز باز می شود . همانطور که پیستون در حرکت اگزوز به سمت پایین حرکت می کند، هوای گرم از طریق احیا کننده به عقب رانده می شود ، که بیشتر گرما را پس می گیرد، قبل از اینکه درگاه اگزوز (سمت چپ) به عنوان هوای خنک خارج شود.

چرخه اریکسون از نام مخترع جان اریکسون گرفته شده است که موتورهای حرارتی منحصر به فرد زیادی را بر اساس چرخه های ترمودینامیکی مختلف طراحی و ساخت . او با اختراع دو چرخه موتور حرارتی منحصر به فرد و توسعه موتورهای عملی بر اساس این چرخه ها اعتبار دارد. اولین چرخه او اکنون به عنوان چرخه بسته برایتون شناخته می شود ، در حالی که چرخه دوم او همان چیزی است که اکنون چرخه اریکسون نامیده می شود. اریکسون یکی از معدود افرادی است که موتورهای چرخه باز ساخت، [1] اما موتورهای چرخه بسته را نیز ساخت. [2]

چرخه ایده آل اریکسون [ ویرایش ]

چرخه ایده آل اریکسون

در زیر فهرستی از چهار فرآیندی است که بین چهار مرحله چرخه ایده آل اریکسون رخ می دهد:

فرآیند 1 -> 2: فشرده سازی همدما . فرض می شود فضای تراکم به صورت درونی خنک می شود ، بنابراین گاز تحت فشار همدما قرار می گیرد. هوای فشرده با فشار ثابت به داخل مخزن ذخیره می شود. در چرخه ایده آل، هیچ انتقال حرارتی در سراسر دیواره های مخزن وجود ندارد.
فرآیند 2 -> 3: افزودن حرارت ایزوباریک . از مخزن، هوای فشرده از طریق احیاگر جریان می یابد و گرما را با فشار ثابت بالا در مسیر سیلندر قدرت گرم شده می گیرد.
فرآیند 3 -> 4: انبساط همدما . فضای انبساط سیلندر قدرت از خارج گرم می شود و گاز تحت انبساط همدما قرار می گیرد.
فرآیند 4 -> 1: حذف حرارت ایزوباریک. قبل از اینکه هوا به عنوان اگزوز آزاد شود، از طریق احیاگر به عقب منتقل می شود، بنابراین گاز با فشار ثابت کم خنک می شود و احیا کننده برای چرخه بعدی گرم می شود.

مقایسه با چرخه های کارنو، دیزل، اتو و استرلینگ [ ویرایش ]

چرخه‌های Otto و Diesel ایده‌آل کاملاً برگشت‌پذیر نیستند، زیرا شامل انتقال حرارت از طریق یک اختلاف دمای محدود در طول فرآیندهای ایزوکوریک / ایزوباریک برگشت‌ناپذیر افزودن حرارت و دفع گرما ایزوکوریک است. برگشت ناپذیری فوق، بازده حرارتی این چرخه ها را کمتر از موتور کارنو می کند که در همان محدوده های دما کار می کند. چرخه دیگری که شامل فرآیندهای اضافه گرما و دفع گرما ایزوباریک است، چرخه اریکسون است. چرخه اریکسون یک نسخه تغییر یافته از چرخه کارنو است که در آن دو فرآیند ایزنتروپیک مشخص شده در چرخه کارنو با دو فرآیند بازسازی همدما جایگزین می‌شوند.

چرخه اریکسون اغلب با چرخه استرلینگ مقایسه می شود ، زیرا طراحی موتور بر اساس این چرخه های مربوطه هر دو موتورهای احتراق خارجی با احیاگر هستند . شاید اریکسون بیشتر شبیه به موتور استرلینگ به اصطلاح "دو عمل" باشد که در آن پیستون جابجایی نیز به عنوان پیستون قدرت عمل می کند. از نظر تئوری، هر دوی این چرخه‌ها دارای راندمان ایده‌آل هستند که بالاترین بازدهی است که توسط قانون دوم ترمودینامیک مجاز است . شناخته شده ترین چرخه ایده آل، چرخه کارنو است ، اگرچه موتور مفید کارنو شناخته شده نیست. راندمان نظری برای هر دو چرخه اریکسون و استرلینگ که در حدود یکسان عمل می‌کنند برابر با بازده کارنو برای حدود یکسان است.

مقایسه با چرخه برایتون [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چرخه برایتون

اولین چرخه ای که اریکسون توسعه داد اکنون " چرخه بریتون " نامیده می شود که معمولاً برای موتورهای توربین گاز اعمال می شود .

چرخه دوم اریکسون چرخه‌ای است که معمولاً به عنوان چرخه اریکسون شناخته می‌شود. چرخه (دوم) اریکسون همچنین حد یک سیکل ایده آل برایتون توربین گازی است که با فشرده سازی چند مرحله ای خنک شده و انبساط چند مرحله ای با گرم کردن مجدد و بازسازی کار می کند. در مقایسه با چرخه برایتون که از فشرده‌سازی و انبساط آدیاباتیک استفاده می‌کند ، چرخه دوم اریکسون از فشرده‌سازی و انبساط همدما استفاده می‌کند، بنابراین کار خالص بیشتری در هر ضربه تولید می‌شود. همچنین استفاده از احیا در چرخه اریکسون با کاهش گرمای ورودی مورد نیاز راندمان را افزایش می دهد. برای مقایسه بیشتر چرخه های ترمودینامیکی، موتور حرارتی را ببینید .


چرخه / فرآیند	فشرده سازی	افزودن حرارت	گسترش	دفع حرارت
اریکسون (اول، 1833)	آدیاباتیک	ایزوباریک	آدیاباتیک	ایزوباریک
اریکسون (دوم، 1853)	همدما	ایزوباریک	همدما	ایزوباریک
برایتون (توربین)	آدیاباتیک	ایزوباریک	آدیاباتیک	ایزوباریک

موتور اریکسون [ ویرایش ]

موتور اریکسون کالری

موتور کالری اریکسون

موتور اریکسون بر اساس چرخه اریکسون است و به عنوان یک موتور احتراق خارجی شناخته می شود ، زیرا از خارج گرم می شود. برای بهبود راندمان، موتور بین کمپرسور و منبسط کننده یک احیا کننده یا بازیابی کننده دارد. موتور می تواند در چرخه باز یا بسته کار کند. انبساط همزمان با فشرده سازی در طرف های مخالف پیستون اتفاق می افتد.

احیا کننده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مبدل حرارتی احیا کننده

اریکسون اصطلاح "بازساز" را برای اختراع مستقل خود مبدل حرارتی مخالف جریان مختلط ابداع کرد. با این حال، کشیش رابرت استرلینگ ، قبل از اریکسون، همین دستگاه را اختراع کرده بود، بنابراین این اختراع به استرلینگ نسبت داده می شود. استرلینگ آن را "اقتصاد کننده" یا "اقتصاد کننده" نامیده است، زیرا مصرف سوخت انواع مختلف فرآیندهای حرارتی را افزایش می دهد. مشخص شد که این اختراع در بسیاری از دستگاه‌ها و سیستم‌های دیگر مفید است، جایی که به طور گسترده‌تری مورد استفاده قرار گرفت، زیرا انواع دیگر موتورها نسبت به موتور استرلینگ مورد توجه قرار گرفتند. اصطلاح "بازساز" اکنون نامی است که به جزء در موتور استرلینگ داده می شود.

اصطلاح " Recuperator " به یک مبدل حرارتی با جریان مجزا و خلاف جریان اشاره دارد. همانطور که اگر این به اندازه کافی گیج کننده نبود، گاهی اوقات از یک احیا کننده جریان مخلوط به عنوان یک بازیابی کننده جریان شبه جدا استفاده می شود. این کار را می توان از طریق استفاده از شیرهای متحرک یا با استفاده از دستگاه احیا کننده چرخشی با بافل های ثابت و یا با استفاده از سایر قطعات متحرک انجام داد. هنگامی که گرما از گازهای خروجی بازیابی می شود و برای پیش گرم کردن هوای احتراق استفاده می شود، معمولاً از اصطلاح Recuperator استفاده می شود، زیرا این دو جریان مجزا هستند.

تاریخچه [ ویرایش ]

در سال 1791، قبل از اریکسون، جان باربر موتور مشابهی را پیشنهاد کرد. موتور باربر از کمپرسور دم و منبسط کننده توربین استفاده می کرد، اما فاقد احیاگر/بازیابی کننده بود. هیچ سابقه ای از کارکرد موتور باربر وجود ندارد. اریکسون اولین موتور خود را با استفاده از یک نسخه خارجی از چرخه برایتون در سال 1833 (شماره 6409/1833 بریتانیا) اختراع و ثبت کرد. این 18 سال قبل از ژول و 43 سال قبل از برایتون بود . موتورهای برایتون همگی موتورهای پیستونی و در بیشتر موارد، نسخه‌های احتراق داخلی موتور اریکسون بودند که بازیابی نشده بودند. سیکل برایتون اکنون به عنوان چرخه توربین گاز شناخته می شود که با استفاده از کمپرسور و منبسط کننده توربین با چرخه برایتون اصلی تفاوت دارد. چرخه توربین گاز برای تمام موتورهای توربین گازی و توربوجت مدرن استفاده می شود ، با این حال توربین های چرخه ساده اغلب برای بهبود کارایی بازیابی می شوند و این توربین های بازیابی شده بیشتر شبیه کار اریکسون هستند.

اریکسون در نهایت چرخه باز را به نفع چرخه سنتی بسته استرلینگ کنار گذاشت.

موتور اریکسون را می توان به راحتی تغییر داد تا در حالت چرخه بسته کار کند، با استفاده از یک محفظه ثانویه با فشار کمتر و خنک بین اگزوز اصلی و ورودی. در چرخه بسته، فشار پایین تر می تواند به طور قابل توجهی بالاتر از فشار محیط باشد و می توان از گاز کاری He یا H2 استفاده کرد. به دلیل اختلاف فشار بیشتر بین حرکت رو به بالا و پایین پیستون کار، خروجی خاص می تواند بیشتر از یک موتور استرلینگ بدون سوپاپ باشد . هزینه اضافه شده شیر است . موتور اریکسون تلفات مکانیکی را نیز به حداقل می‌رساند: توان لازم برای تراکم از طریق تلفات اصطکاکی ناشی از میل لنگ نمی‌گذرد، بلکه مستقیماً از نیروی انبساط اعمال می‌شود. موتور اریکسون پیستونی می تواند به طور بالقوه بالاترین بازدهی موتور حرارتی ساخته شده باشد. مسلماً این هنوز در کاربردهای عملی ثابت نشده است. [ نیازمند منبع ]

اریکسون تعداد بسیار زیادی موتور را طراحی و ساخت که در چرخه‌های مختلف از جمله بخار، استرلینگ، بریتون، چرخه سیال هوای دیزل با گرمایش خارجی کار می‌کنند. او موتورهای خود را با سوخت های مختلف از جمله زغال سنگ و حرارت خورشیدی کار می کرد.

اریکسون همچنین مسئول استفاده اولیه از پروانه پیچ برای رانش کشتی، در USS Princeton ، ساخته شده در 1842-1843 بود.

**کشتی کالری اریکسون [ ویرایش ]**

در سال 1851 موتور چرخه اریکسون (دومین مورد از دو مورد مورد بحث در اینجا) برای تامین انرژی یک کشتی 2000 تنی، کشتی کالری اریکسون ، [3] استفاده شد و به مدت 73 ساعت بدون نقص کار کرد. [4] موتور ترکیبی حدود 300 اسب بخار (220 کیلووات) قدرت تولید می کرد. این موتور ترکیبی از چهار موتور دو پیستونه داشت. پیستون/سیلندر انبساط بزرگتر، با قطر 14 فوت (4.3 متر)، شاید بزرگترین پیستونی بود که تا کنون ساخته شده است. شایعات حاکی از آن است که میزهایی روی آن پیستون ها قرار داده شده است (بدیهی است در محفظه فشرده سازی خنک، نه محفظه برق داغ) و شام سرو و خورده شده است، در حالی که موتور با قدرت کامل کار می کند. [ نیاز به منبع ] در 6.5 RPM فشار به 8 psi (55 کیلو پاسکال) محدود شد. طبق گزارش رسمی، فقط 4200 کیلوگرم زغال سنگ در 24 ساعت مصرف می کرد (هدف اولیه 8000 کیلوگرم بود که هنوز هم بهتر از موتورهای بخار معاصر است). آزمایش یک دریا ثابت کرد که با وجود اینکه موتور خوب کار می کرد، کشتی ضعیف بود. مدتی پس از آزمایشات، اریکسون غرق شد. وقتی بالا آمد، موتور سیکل اریکسون حذف شد و یک موتور بخار جای آن را گرفت. این کشتی در نوامبر 1892 در ورودی بارکلی ساوند ، بریتیش کلمبیا، کانادا به گل نشسته و غرق شد. [5]

پتانسیل امروز [ ویرایش ]

چرخه اریکسون (و چرخه مشابه برایتون) امروزه برای استخراج نیرو از گرمای خروجی گاز (و گاز تولیدی ) موتورها و متمرکز کننده های خورشیدی مورد توجه مجدد قرار گرفته است . یک مزیت مهم چرخه اریکسون نسبت به موتور شناخته شده استرلینگ اغلب به رسمیت شناخته نمی شود: حجم مبدل حرارتی بر راندمان تأثیر منفی نمی گذارد.

(...) علیرغم داشتن مزایای قابل توجهی نسبت به استرلینگ. در میان آن‌ها، شایان ذکر است که مبدل‌های حرارتی موتور اریکسون حجم‌های مرده نیستند، در حالی که طراح مبدل‌های حرارتی موتور استرلینگ باید با سازش دشواری بین مناطق بزرگ انتقال حرارت، اما تا حد ممکن حجم مبدل‌های حرارتی کوچک مواجه شود. [7]

برای موتورهای متوسط و بزرگ هزینه سوپاپ ها در مقایسه با این مزیت می تواند ناچیز باشد. پیاده سازی توربو کمپرسور به علاوه توربین در محدوده MWe مطلوب به نظر می رسد، کمپرسور جابجایی مثبت به اضافه توربین برای توان Nx100 کیلووات، و کمپرسور + انبساط جابجایی مثبت زیر 100 کیلو وات. با سیال هیدرولیک با دمای بالا ، هم کمپرسور و هم منبسط کننده می توانند پمپ های حلقه مایع حتی تا دمای 400 درجه سانتیگراد باشند، با پوشش چرخشی برای بهترین بازده.

منابع [ ویرایش ]

↑ «موتور چرخه باز اریکسون 1852» . hotairengines.org .
↑ «موتور چرخه بسته اریکسون 1833» . hotairengines.org .
↑ «کشتی کالری اریکسون» . hotairengines.org .
↑ «موتور کالری اریکسون» . Genuineideas.com بازیابی شده در 2015-12-15 .
↑ "گورستان اقیانوس آرام - کشتی های غرق شده جزیره ونکوور" . www.pacificshipwrecks.ca . بایگانی شده از نسخه اصلی در 10 ژوئیه 2004 . بازبینی شده در 13 ژانویه 2022 .
^ "پروژه ها - جزئیات" . سیستم. 18-11-2015. بایگانی شده از نسخه اصلی در 2015-12-22 . بازیابی شده در 2015-12-15 .
↑ Fula A، Stouffs P، Sierra F (22 مارس 2013). انتقال حرارت درون سیلندر در نمونه اولیه موتور اریکسون (PDF) . کنفرانس بین المللی انرژی های تجدیدپذیر و کیفیت برق (ICREPQ'13). بیلبائو اسپانیا

اختراعات اریکسون 1833 بریتانیا و 1851 ایالات متحده آمریکا ( US8481 )
تکامل موتور حرارتی، توسط: Ivo Kolin Published Moriya Press، 1972 توسط Longman
موتورهای کالری هوای گرم و استرلینگ، توسط: رابرت سیر. منتشر شده در سال 1999 توسط LA Mair.
نیویورک تایمز 1853-03-01 کشتی کالری اریکسون - گزارش رسمی و مکاتبات

پیوندهای خارجی

https://en.wikipedia.org/wiki/Ericsson_cycle

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هفتم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 5:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چرخه برایتون

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ترمودینامیک
موتور حرارتی کلاسیک کارنو
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد قوانین
نشان می دهد سیستم های
نشان می دهد خصوصیات سیستم
نشان می دهد خواص مواد
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد تاریخ فرهنگ
نشان می دهد دانشمندان
نشان می دهد دیگر
دسته بندی
v تی ه

چرخه برایتون یک چرخه ترمودینامیکی است که عملکرد موتورهای حرارتی خاصی را توصیف می کند که هوا یا گاز دیگری را به عنوان سیال کار خود دارند . موتور آماده اولیه برایتون از کمپرسور پیستونی و منبسط کننده پیستون استفاده می کرد، اما موتورهای توربین گازی مدرن و موتورهای جت تنفس هوا نیز از چرخه برایتون پیروی می کنند. اگرچه چرخه معمولاً به عنوان یک سیستم باز اجرا می شود (و در واقع اگر از احتراق داخلی استفاده می شود باید به همین ترتیب اجرا شود )، به طور معمول برای اهداف آنالیز ترمودینامیکی فرض می شود که گازهای خروجی مجدداً در ورودی استفاده می شوند و تجزیه و تحلیل را به صورت بسته امکان پذیر می کند. سیستم.

چرخه موتور به افتخار جورج برایتون (1830-1892)، مهندس آمریکایی که آن را در اصل برای استفاده در موتورهای پیستونی توسعه داد، نامگذاری شده است، اگرچه در ابتدا توسط جان باربر انگلیسی در سال 1791 پیشنهاد و ثبت شد . [1] همچنین گاهی اوقات به عنوان شناخته شده است. چرخه ژول چرخه ژول معکوس از یک منبع گرمای خارجی استفاده می کند و از یک بازسازی کننده استفاده می کند. یک نوع چرخه برایتون به اتمسفر باز است و از یک محفظه احتراق داخلی استفاده می کند . و نوع دیگر بسته است و از مبدل حرارتی استفاده می کند.

تاریخچه [ ویرایش ]

در سال 1872، جورج برایتون برای ثبت اختراع برای "موتور آماده" خود، یک موتور حرارتی متقابل که بر روی چرخه قدرت گاز کار می کند، درخواست داد. موتور دو زمانه بود و در هر چرخش نیرو تولید می کرد. موتورهای برایتون از یک کمپرسور پیستونی جداگانه و منبسط کننده پیستونی استفاده می کردند که هوای فشرده با آتش داخلی گرم می شد و به سیلندر منبسط کننده وارد می شد. اولین نسخه‌های موتور برایتون، موتورهای بخار بودند که سوخت را با هوا مخلوط می‌کردند که به گاز شهرک کمپرسور وارد می‌شد یا از کاربراتور سطحی نیز برای عملکرد متحرک استفاده می‌شد. [2] سوخت / هوا در یک مخزن / مخزن قرار گرفت و سپس به سیلندر انبساط وارد شد و سوخت. هنگامی که مخلوط سوخت/هوا وارد سیلندر انبساط شد، توسط شعله خلبان مشتعل شد. برای جلوگیری از ورود یا بازگشت آتش به مخزن از صفحه نمایش استفاده شد. در نسخه های اولیه موتور، گاهی اوقات این صفحه نمایش از کار می افتاد و انفجار رخ می داد. در سال 1874، برایتون مشکل انفجار را با اضافه کردن سوخت درست قبل از سیلندر منبسط کننده حل کرد. این موتور اکنون از سوخت های سنگین تری مانند نفت سفید و نفت کوره استفاده می کرد. احتراق شعله خلبان باقی ماند. [3] برایتون "موتورهای آماده" را برای انجام انواع وظایف مانند پمپاژ آب، عملیات آسیاب، ژنراتورهای در حال کار، و نیروی محرکه دریایی تولید و فروخت. "موتورهای آماده" از سال 1872 تا زمانی در دهه 1880 تولید شدند. چند صد موتور از این قبیل احتمالا در این دوره زمانی تولید شده است. برایتون مجوز طراحی را به سیمون در بریتانیا داد. بسیاری از تغییرات طرح استفاده شد. برخی تک بازیگر و برخی دو بازیگر بودند. برخی زیر تیرهای راه رفتن داشتند. دیگران دارای تیرهای راه رفتن بالای سر بودند. هر دو مدل افقی و عمودی ساخته شد. اندازه ها از کمتر از یک تا بیش از 40 اسب بخار بود. منتقدان آن زمان ادعا می کردند که موتورها به آرامی کار می کردند و کارایی معقولی داشتند. [3]

موتورهای چرخه برایتون از اولین موتورهای احتراق داخلی بودند که برای نیروی محرکه استفاده شدند. در سال 1875، جان هالند از موتور Brayton برای نیرو دادن به اولین زیردریایی خودکششی جهان (قایق هلند شماره 1) استفاده کرد. در سال 1879، یک موتور برایتون برای نیرو دادن به زیردریایی دوم به نام Fenian Ram استفاده شد . زیردریایی های جان فیلیپ هالند در موزه پاترسون در منطقه تاریخی Old Great Falls Paterson، نیوجرسی نگهداری می شود . [4]

جورج بی سلدن در سال 1905 در حال رانندگی با اتومبیلی با موتور برایتون

در سال 1878، جورج بی سلدن اولین خودروی احتراق داخلی را به ثبت رساند. [5] سلدن با الهام از موتور احتراق داخلی اختراع شده توسط Brayton که در نمایشگاه صدمین سالگرد در فیلادلفیا در سال 1876 به نمایش گذاشته شد، یک خودروی چهار چرخ را به ثبت رساند که بر روی یک نسخه کوچکتر، سبکتر و چند سیلندر کار می کرد. او سپس یک سری اصلاحات را در درخواست خود ثبت کرد که روند قانونی را طولانی کرد، که منجر به تأخیر 16 سال قبل از اعطای حق اختراع [5] در 5 نوامبر 1895 شد. در سال 1903، سلدن از فورد به دلیل نقض حق ثبت اختراع و هنری فورد شکایت کرد. سلدن تا سال 1911 با حق ثبت اختراع سلدن مبارزه کرد. سلدن در واقع هرگز یک ماشین کار تولید نکرده بود، بنابراین در طول آزمایش، دو ماشین مطابق نقشه های ثبت اختراع ساخته شد. فورد استدلال می‌کرد که اتومبیل‌های او از چرخه چهار زمانه Alphonse Beau de Rochas یا چرخه اتو استفاده می‌کردند و نه موتور سیکل Brayton که در خودرو Selden استفاده می‌شد. فورد برنده درخواست تجدیدنظر در پرونده اصلی شد. [6]

در سال 1887، برایتون یک موتور روغن تزریق مستقیم چهار زمانه را توسعه داد و به ثبت رساند. [7] سیستم سوخت از پمپ با مقدار متغیر و تزریق سوخت مایع، فشار بالا و نوع اسپری استفاده می‌کرد. مایع از طریق یک دریچه تسکین دهنده (انژکتور) دارای بار فنری که باعث می شد سوخت به قطرات کوچک تقسیم شود، وارد شد. زمان تزریق در اوج ضربه فشرده سازی یا نزدیک به آن انجام شد. یک جرقه زن پلاتینیوم منبع اشتعال را فراهم می کرد. برایتون این اختراع را اینگونه توصیف می‌کند: «من کشف کرده‌ام که روغن‌های سنگین را می‌توان به صورت مکانیکی به یک شرایط ریز تقسیم‌شده در یک بخش شلیک سیلندر یا در یک محفظه شلیک ارتباطی تبدیل کرد.» در بخش دیگری آمده است: "من برای اولین بار، تا آنجا که دانشم گسترش یافته است، سرعت را با کنترل متغیر تخلیه مستقیم سوخت مایع به داخل محفظه احتراق یا سیلندر در شرایطی که بسیار مناسب برای احتراق فوری است، تنظیم کردم." این احتمالاً اولین موتوری بود که از سیستم سوزاندن نازک برای تنظیم سرعت و خروجی موتور استفاده کرد. به این ترتیب، موتور در هر ضربه قدرتی روشن می شود و سرعت و خروجی صرفاً توسط مقدار سوخت تزریق شده کنترل می شود.

در سال 1890، برایتون یک موتور روغنی چهار زمانه با انفجار هوا را توسعه داد و به ثبت رساند. [8] سیستم سوخت مقدار متغیری از سوخت تبخیر شده را به مرکز سیلندر تحت فشار در یا نزدیک به اوج ضربه فشرده سازی تحویل می دهد. منبع احتراق یک جرقه زن ساخته شده از سیم پلاتین بود. یک پمپ تزریق با مقدار متغیر سوخت را به یک انژکتور می‌رساند که در آن هنگام ورود به سیلندر با هوا مخلوط می‌شود. یک کمپرسور کوچک با میل لنگ منبع هوا را فراهم می کرد. این موتور همچنین از سیستم سوزاندن نازک استفاده می کرد.

رودولف دیزل در ابتدا یک چرخه تراکم بسیار بالا و دمای ثابت را پیشنهاد کرد که در آن گرمای تراکم از گرمای احتراق بیشتر می شد ، اما پس از چندین سال آزمایش متوجه شد که چرخه دمای ثابت در موتور پیستونی کار نمی کند. موتورهای دیزل اولیه از سیستم انفجار هوا استفاده می کردند که توسط Brayton در سال 1890 پیشگام بود. در نتیجه، این موتورهای اولیه از چرخه فشار ثابت استفاده می کردند. [9]

نمونه هایی از موتورهای برایتون
موتور گازی برایتون 1872
موتور پرتو راهپیمایی برایتون 1872
موتور برایتون 1875
موتور فشار ثابت دو اثر بریتون در سال 1877 قطع شد
موتور انفجار هوا چهار زمانه Brayton 1889
موتور انفجار هوا چهار زمانه Brayton 1890

تاریخچه اولیه توربین گاز [ ویرایش ]

1791 اولین اختراع برای یک توربین گاز (جان باربر، انگلستان)
1904 پروژه ناموفق توربین گاز توسط فرانتس استولز در برلین (اولین کمپرسور محوری)
1906 توربین گاز Armengaud-Lemale در فرانسه (کمپرسور گریز از مرکز، بدون قدرت مفید)
1910 اولین توربین گاز دارای احتراق متناوب ( هولزوارث 150 کیلووات، احتراق با حجم ثابت)
1923 اولین توربو شارژر گاز اگزوز برای افزایش قدرت موتورهای دیزلی
1939 با موتور توربوجت Heinkel He 178، اولین هواپیمای جت جهان، اولین پرواز را انجام داد. اولین توربین گازی جهان برای تولید برق توسط Brown-Boveri ، Neuchâtel، سوئیس

(مشعل ولکس، آیرودینامیک استودولا)

مدل ها [ ویرایش ]

یک موتور نوع Brayton از سه جزء تشکیل شده است: یک کمپرسور ، یک محفظه اختلاط و یک منبسط کننده .

موتورهای مدرن برایتون تقریباً همیشه از نوع توربین هستند، اگرچه برایتون فقط موتورهای پیستونی تولید می کرد. در موتور اولیه برایتون قرن نوزدهمی، هوای محیط به داخل یک کمپرسور پیستونی کشیده می‌شود و در آنجا فشرده می‌شود . در حالت ایده آل یک فرآیند ایزنتروپیک است . سپس هوای فشرده از یک محفظه اختلاط عبور می‌کند که در آن سوخت اضافه می‌شود، یک فرآیند ایزوباریک . سپس مخلوط هوا و سوخت تحت فشار در یک سیلندر انبساط مشتعل می‌شود و انرژی آزاد می‌شود و باعث می‌شود هوای گرم و محصولات احتراق از طریق پیستون/سیلندر منبسط شوند که فرآیند ایده‌آل ایزنتروپیک است. بخشی از کار استخراج شده توسط پیستون/سیلندر برای هدایت کمپرسور از طریق آرایش میل لنگ استفاده می شود.

موتورهای توربین گاز نیز موتورهای برایتون هستند که دارای سه جزء کمپرسور هوا، محفظه احتراق و توربین گاز هستند.

چرخه ایده آل برایتون:

فرآیند ایزنتروپیک - هوای محیط به داخل کمپرسور کشیده می شود و در آنجا تحت فشار قرار می گیرد.
فرآیند ایزوباریک - سپس هوای فشرده از یک محفظه احتراق عبور می‌کند، جایی که سوخت می‌سوزد و آن هوا را گرم می‌کند - فرآیندی با فشار ثابت، زیرا محفظه برای جریان در داخل و خارج باز است.
فرآیند همسانتروپیک - هوای گرم شده و تحت فشار سپس انرژی خود را از دست می دهد و از طریق یک توربین (یا مجموعه ای از توربین ها) منبسط می شود. بخشی از کار استخراج شده توسط توربین برای به حرکت در آوردن کمپرسور استفاده می شود.
فرآیند ایزوباریک - دفع گرما (در جو).

چرخه واقعی برایتون:

فرآیند آدیاباتیک - فشرده سازی
فرآیند ایزوباریک - افزودن گرما
فرآیند آدیاباتیک - گسترش
فرآیند ایزوباریک - دفع حرارت

چرخه ایده آل برایتون که در آن P = فشار، v = حجم، T = دما، s = آنتروپی، و q = گرمای اضافه شده یا رد شده توسط سیستم. [10]

از آنجایی که نه تراکم و نه انبساط نمی توانند واقعاً ایزنتروپیک باشند، تلفات از طریق کمپرسور و منبسط کننده منبعی از ناکارآمدی های کاری اجتناب ناپذیر است . به طور کلی، افزایش نسبت تراکم مستقیم ترین راه برای افزایش توان خروجی کلی یک سیستم برایتون است. [11]

بازده چرخه ایده آل برایتون است $\eta =1-{\frac {T_{1}}{T_{2}}}=1-\left({\frac {P_{1}}{P_{2}}}\راست)^ {(\گاما -1)/\گاما }$ ، جایی که $\gamma$ نسبت ظرفیت حرارتی است . [12] شکل 1 نشان می دهد که چگونه بازده سیکل با افزایش نسبت فشار تغییر می کند. شکل 2 نشان می دهد که چگونه توان خروجی ویژه با افزایش دمای ورودی توربین گاز برای دو مقدار نسبت فشار متفاوت تغییر می کند.

شکل 1: کارایی چرخه برایتون
شکل 2: خروجی توان ویژه چرخه برایتون

بالاترین دمای گاز در سیکل زمانی اتفاق می افتد که انتقال کار به توربین فشار قوی (ورودی روتور) صورت می گیرد. این کمتر از بالاترین دمای گاز در موتور (منطقه احتراق) است. حداکثر دمای سیکل توسط مواد توربین و عمر مورد نیاز توربین محدود می شود. این همچنین نسبت فشار قابل استفاده در چرخه را محدود می کند. برای دمای ورودی توربین ثابت، خروجی کار خالص در هر سیکل با نسبت فشار (در نتیجه بازده حرارتی ) و خروجی کار خالص افزایش می‌یابد. با خروجی کار کمتر در هر سیکل، دبی جرمی بیشتر (در نتیجه یک سیستم بزرگتر) برای حفظ توان خروجی یکسان مورد نیاز است که ممکن است مقرون به صرفه نباشد. در اکثر طرح های رایج، نسبت فشار یک توربین گاز از حدود 11 تا 16 متغیر است. [13]

روش های افزایش قدرت [ ویرایش ]

توان خروجی موتور Brayton را می توان با موارد زیر بهبود بخشید:

گرم کردن مجدد، که در آن سیال عامل - در بیشتر موارد هوا - از طریق یک سری توربین منبسط می شود، سپس از یک محفظه احتراق دوم عبور می کند قبل از اینکه از طریق مجموعه نهایی توربین ها به فشار محیط منبسط شود، این مزیت را دارد که توان خروجی ممکن را برای یک توربین افزایش دهد. نسبت تراکم داده شده بدون تجاوز از هیچ گونه محدودیت متالورژیکی (معمولاً حدود 1000 درجه سانتیگراد). استفاده از پس سوز برای موتورهای هواپیمای جت را می توان به عنوان "گرم کردن مجدد" نیز نامید. این یک فرآیند متفاوت است، زیرا هوای گرم شده مجدداً از طریق یک نازل رانش به جای توربین منبسط می شود. محدودیت‌های متالورژیکی تا حدودی کاهش می‌یابد و باعث می‌شود دمای گرمایش مجدد بسیار بالاتر (حدود 2000 درجه سانتی‌گراد) باشد. گرم کردن مجدد اغلب برای بهبود توان ویژه استفاده می شود و معمولاً با کاهش راندمان همراه است. این اثر به‌ویژه در پس‌سوخت‌ها به دلیل مقادیر زیاد سوخت اضافی استفاده می‌شود، مشهود است.
در اسپری بیش از حد، پس از مرحله اول کمپرسور، آب به کمپرسور تزریق می شود، بنابراین جریان جرمی داخل کمپرسور افزایش می یابد، قدرت خروجی توربین به طور قابل توجهی افزایش می یابد و دمای خروجی کمپرسور کاهش می یابد. [14] در مرحله دوم کمپرسور، آب به طور کامل به شکل گاز تبدیل می‌شود و از طریق گرمای نهان تبخیر، مقداری خنک‌سازی درونی ارائه می‌دهد.

روش های بهبود کارایی [ ویرایش ]

راندمان موتور Brayton را می توان با موارد زیر بهبود بخشید:

افزایش نسبت فشار، همانطور که شکل 1 در بالا نشان می دهد، افزایش نسبت فشار، کارایی سیکل برایتون را افزایش می دهد. این مشابه افزایش راندمان است که در چرخه اتو مشاهده می شود که نسبت تراکم افزایش می یابد. با این حال، زمانی که صحبت از افزایش نسبت فشار می شود، محدودیت های عملی رخ می دهد. اول از همه، افزایش نسبت فشار باعث افزایش دمای تخلیه کمپرسور می شود. از آنجایی که دمای توربین دارای حدی است که توسط محدودیت های متالورژیکی و عمر تعیین می شود، افزایش مجاز دما (سوخت اضافه شده) در محفظه احتراق کوچکتر می شود. همچنین، از آنجایی که طول پره های کمپرسور به تدریج در مراحل فشار بالاتر کوچکتر می شود، یک شکاف در حال حرکت ثابت، از طریق کمپرسور، بین نوک تیغه ها و محفظه موتور، درصد بیشتری از ارتفاع تیغه کمپرسور می شود و نشت هوا را از نوک ها افزایش می دهد. این باعث کاهش راندمان کمپرسور می شود و به احتمال زیاد در توربین های گازی کوچکتر رخ می دهد (زیرا پره ها ذاتاً کوچکتر هستند). در نهایت، همانطور که در شکل 1 مشاهده می شود، با افزایش نسبت فشار، سطوح راندمان کاهش می یابد. از این رو، با افزایش بیشتر نسبت فشار، اگر در حال حاضر در سطح بالایی باشد، سود کمی انتظار می رود.
Recuperator [15] - اگر چرخه برایتون با نسبت فشار پایین و افزایش دمای بالا در محفظه احتراق اجرا شود، گاز خروجی (پس از آخرین مرحله توربین) ممکن است همچنان گرمتر از گاز ورودی فشرده باشد (پس از آخرین فشرده سازی). مرحله اما قبل از احتراق). در این صورت می توان از مبدل حرارتی برای انتقال انرژی حرارتی از اگزوز به گاز فشرده شده قبل از ورود به محفظه احتراق استفاده کرد. انرژی حرارتی منتقل شده به طور موثر مورد استفاده مجدد قرار می گیرد، بنابراین راندمان افزایش می یابد. با این حال، این شکل از بازیافت گرما تنها در صورتی امکان پذیر است که موتور در وهله اول در حالت کم بازده با نسبت فشار پایین کار کند. انتقال گرما از خروجی (پس از آخرین توربین) به ورودی (قبل از مرحله اول کمپرسور) باعث کاهش راندمان می شود، زیرا هوای ورودی گرمتر به معنای حجم بیشتر است، بنابراین کار بیشتر برای کمپرسور. برای موتورهایی با سوخت مایع برودتی، یعنی هیدروژن ، ممکن است استفاده از سوخت برای خنک کردن هوای ورودی قبل از فشرده سازی برای افزایش راندمان امکان پذیر باشد. این مفهوم به طور گسترده برای موتور SABER مورد مطالعه قرار گرفته است .
موتور Brayton همچنین نیمی از سیستم سیکل ترکیبی را تشکیل می دهد که با موتور Rankine ترکیب می شود تا راندمان کلی را افزایش دهد. با این حال، اگرچه این کارایی کلی را افزایش می دهد، اما در واقع کارایی خود چرخه برایتون را افزایش نمی دهد.
سیستم های تولید همزمان از گرمای اتلاف موتورهای Brayton، معمولاً برای تولید آب گرم یا گرمایش فضا استفاده می کنند.

انواع [ ویرایش ]

چرخه بسته برایتون [ ویرایش ]

چرخه بسته برایتون

مجموعه کمپرسور C و توربین T
مبدل حرارتی با دمای بالا
مبدل حرارتی با دمای پایین
~ بار مکانیکی، به عنوان مثال ژنراتور الکتریکی

یک چرخه بسته برایتون سیال کار را دوباره به گردش در می آورد . هوای خارج شده از توربین دوباره وارد کمپرسور می شود، این چرخه از یک مبدل حرارتی برای گرم کردن سیال کار به جای محفظه احتراق داخلی استفاده می کند. سیکل بسته برایتون، به عنوان مثال، در توربین گازی چرخه بسته و تولید برق فضایی استفاده می شود.

چرخه برایتون خورشیدی [ ویرایش ]

در سال 2002، یک چرخه خورشیدی باز هیبریدی برایتون برای اولین بار با مقالات مرتبط منتشر شده، در چارچوب برنامه اتحادیه اروپا SOLGATE، برای اولین بار به طور مداوم و موثر عمل کرد. [16] هوا از 570 تا بیش از 1000K به داخل محفظه احتراق گرم شد. هیبریداسیون بیشتر در طول پروژه اتحادیه اروپا Solhyco که یک چرخه هیبرید شده برایتون را فقط با انرژی خورشیدی و بیودیزل اجرا می کند، به دست آمد. [17] این فناوری تا 4.6 مگاوات در پروژه سولوگاس واقع در نزدیکی سویل، جایی که در حال حاضر در مقیاس قبل از تجاری نشان داده شده است، مقیاس بندی شد. [18]

چرخه بریتون معکوس [ ویرایش ]

یک چرخه برایتون که به صورت معکوس، از طریق ورودی کار خالص، و هنگامی که هوا سیال کار است به حرکت در می آید، سیکل تبرید گاز یا سیکل بل کلمن است. هدف آن جابجایی گرما به جای تولید کار است. این روش خنک کننده هوا به طور گسترده در هواپیماهای جت برای سیستم های تهویه مطبوع با استفاده از هوای تخلیه شده از کمپرسورهای موتور استفاده می شود. همچنین در صنعت LNG استفاده می‌شود، جایی که بزرگترین چرخه بریتون برای خنک‌سازی فرعی LNG با استفاده از توان ۸۶ مگاواتی از کمپرسور توربین گازی و مبرد نیتروژن است . [19]

چرخه بریتون معکوس [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چرخه بریتون معکوس

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی مربوط به چرخه برایتون وجود دارد .

منابع [ ویرایش ]

^ بر اساس تاریخچه توربین گاز بایگانی شده در 3 ژوئن 2010، در Wayback Machine
↑ فرانک ای. تیلور (1939)، «کاتالوگ مجموعه‌های مکانیکی بخش مهندسی» ، بولتن موزه ملی ایالات متحده 173 ، دفتر چاپ دولت ایالات متحده، ص. 147
^ a b پرش به بالا: US 125166 ، Brayton، George B.، "بهبود موتورهای گازی"، منتشر شده 02-04-1872
↑ «زیردریایی هلند» . پاترسون دوستان آبشار بزرگ. بایگانی شده از نسخه اصلی در 2007-08-12 . بازیابی شده در 2007-07-29 .
^ a b پرش به بالا: US 549160 , Selden, George B., "Road-engine" منتشر شده 05/11/1895
↑ «پتنت‌های عجیب و شگفت‌انگیز - ثبت اختراع Selden» . www.bpmlegal.com .
↑ US 432114 , Brayton, George B., "Gas and air engine" منتشر شده 15/07/1890
↑ US 432260 ، Brayton, George B., "Hydrocarbon- Engine" منتشر شده در 1890-07-15
↑ «موتورهای دیزل» . www.dieselnet.com .
↑ ناسا/مرکز تحقیقات گلن (5 مه 2015). "نمودارهای PV و TS" . www.grc.nasa.gov .
^ Lester C. Lichty، فرآیندهای موتور احتراقی، 1967، McGraw-Hill، Inc.، کتابخانه کنگره 67-10876
^ http://web.mit.edu/16.unified/www/SPRING/propulsion/notes/node27.html معادلات چرخه ایده آل، یادداشت های سخنرانی MIT
↑ چنگل، یونس آ، و مایکل ای. بولز. "9-8." ترمودینامیک: یک رویکرد مهندسی ویرایش هفتم نیویورک: مک گراو هیل، 2011. 508-09. چاپ.
↑ «کپی بایگانی شده» (PDF) . بایگانی شده از نسخه اصلی (PDF) در 02/11/2005 . بازیابی شده در 2011-01-24 .
↑ «چرخه ترمودینامیکی برایتون» . بایگانی شده از نسخه اصلی در 2010-12-15 . بازیابی شده در 07-12-2012 .
↑ «تحقیق» (PDF) . europa.eu
↑ Solhyco.com بایگانی شده در 2011-12-29 در ماشین Wayback بازیابی شده در 09-01-2012
↑ Solugas.EU بایگانی شده در 25-12-2014 در ماشین Wayback بازیابی شده در 09-11-2014
^ "ورود به سیستم" . www.ogj.com .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Brayton_cycle

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هفتم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 5:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چرخه استرلینگ

ز ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

ترمودینامیک
موتور حرارتی کلاسیک کارنو
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد قوانین
نشان می دهد سیستم های
نشان می دهد خصوصیات سیستم
نشان می دهد خواص مواد
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد تاریخ فرهنگ
نشان می دهد دانشمندان
نشان می دهد دیگر
دسته بندی
v تی ه

این مقاله در مورد چرخه استرلینگ آدیاباتیک است. برای چرخه ایده آل استرلینگ، موتور استرلینگ § نظریه را ببینید .

همچنین ببینید: کاربردهای موتور استرلینگ

چرخه استرلینگ یک چرخه ترمودینامیکی است که کلاس کلی دستگاه های استرلینگ را توصیف می کند. این شامل موتور اصلی استرلینگ است که در سال 1816 توسط رابرت استرلینگ با کمک برادرش، یک مهندس ، اختراع، توسعه و ثبت شد . [1]

چرخه‌های اتو و دیزل ایده‌آل کاملاً برگشت‌پذیر نیستند، زیرا شامل انتقال حرارت از طریق یک اختلاف دمای محدود در طول فرآیند‌های غیرقابل برگشت حرارتی ایزوکوریک / ایزوباریک افزودن حرارت و دفع گرما می‌شوند. برگشت ناپذیری بازده حرارتی این چرخه ها را کمتر از موتور کارنو می کند که در همان محدوده دما کار می کند. چرخه دیگری که دارای فرآیندهای همدما اضافه و دفع گرما است، چرخه استرلینگ است که نسخه تغییر یافته چرخه کارنو است که در آن دو فرآیند ایزنتروپیک مشخص شده در چرخه کارنو با دو فرآیند بازسازی با حجم ثابت جایگزین می‌شوند.

این چرخه برگشت پذیر است، به این معنی که اگر با نیروی مکانیکی تامین شود، می تواند به عنوان یک پمپ حرارتی برای گرمایش یا سرمایش و حتی برای سرمایش برودتی عمل کند . چرخه به عنوان یک چرخه احیا کننده بسته با یک سیال گازی تعریف می شود. "سیکل بسته" به این معنی است که سیال کار به طور دائم در داخل سیستم ترمودینامیکی قرار می گیرد . این همچنین دستگاه موتور را به عنوان یک موتور حرارتی خارجی طبقه بندی می کند . "بازسازنده" به استفاده از مبدل حرارتی داخلی به نام احیا کننده اشاره دارد که بازده حرارتی دستگاه را افزایش می دهد .

این چرخه مانند اکثر چرخه های حرارتی دیگر است، زیرا چهار فرآیند اصلی وجود دارد: فشرده سازی، افزودن حرارت، انبساط و حذف گرما. با این حال، این فرآیندها گسسته نیستند، بلکه انتقال ها با هم همپوشانی دارند.

چرخه استرلینگ موضوع بسیار پیشرفته ای است که بیش از 190 سال است که توسط بسیاری از متخصصان تحلیل شده است. ترمودینامیک بسیار پیشرفته برای توصیف چرخه مورد نیاز است. پروفسور اسرائیل اوریلی می نویسد: «... چرخه های مختلف «ایده آل» (مانند چرخه اشمیت) نه از نظر فیزیکی قابل تحقق هستند و نه نماینده چرخه استرلینگ». [2]

مشکل تحلیلی بازسازی کننده (مبدل حرارتی مرکزی در چرخه استرلینگ) توسط Jakob به عنوان "در میان دشوارترین و درگیرترین هایی که در مهندسی با آن مواجه می شوند" ارزیابی می شود. [3] [4]

ترمودینامیک سیکل استرلینگ ایده آل [ ویرایش ]

نمودار فشار/حجم از چرخه ایده آل استرلینگ. در کاربردهای واقعی چرخه های استرلینگ (مثلاً موتورهای استرلینگ) این چرخه شبه بیضوی است.

چرخه ایده آل استرلینگ [5] شامل چهار فرآیند ترمودینامیکی است که بر روی سیال کار عمل می کنند (نمودار به سمت راست را ببینید):

1→2 افزودن حرارت همدما (انبساط).
2→3 حذف حرارت ایزوکوریک (حجم ثابت).
3→4 حذف حرارت همدما (فشرده سازی).
4→1 افزودن حرارت ایزوکوریک (حجم ثابت).

تغییرات حرکت پیستون [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر در این بخش به بهبود این مقاله کمک کنید. اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژوئن 2020 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

مدلی از چرخه چهار فاز استرلینگ

بیشتر کتاب های درسی ترمودینامیک شکل بسیار ساده شده ای از چرخه استرلینگ را شامل چهار فرآیند توصیف می کنند. این به عنوان یک "چرخه استرلینگ ایده آل" شناخته می شود، زیرا یک مدل "ایده آلی شده" است و لزوماً یک چرخه بهینه نیست. از نظر تئوری، "سیکل ایده آل" خروجی خالص کار بالایی دارد، اما به ندرت در کاربردهای عملی استفاده می شود، تا حدی به این دلیل که سایر چرخه ها ساده تر هستند یا تنش های اوج بر یاتاقان ها و سایر اجزا را کاهش می دهند. برای راحتی، طراح ممکن است انتخاب کند که از حرکات پیستون دیکته شده توسط دینامیک سیستم، مانند مکانیسم های اتصال مکانیکی استفاده کند. به هر حال، راندمان و قدرت چرخه تقریباً به خوبی اجرای واقعی مورد ایده آل است. یک میل لنگ یا اتصال پیستون معمولی در یک طرح به اصطلاح "سینماتیکی" اغلب منجر به حرکت نزدیک به سینوسی پیستون می شود. برخی از طرح‌ها باعث می‌شوند که پیستون در هر دو انتهای حرکت «سکونت» کند.

بسیاری از پیوندهای سینماتیکی، مانند " یوغ راس " معروف ، حرکت نزدیک به سینوسی را نشان می دهند. با این حال، سایر پیوندها، مانند " درایو لوزی "، حرکت غیر سینوسی بیشتری را نشان خواهند داد. تا حدی کمتر، سیکل ایده آل عوارضی را ایجاد می کند، زیرا به شتاب پیستون تا حدودی بیشتر و تلفات پمپاژ لزج بالاتر سیال کار نیاز دارد. با این حال، تنش های مواد و تلفات پمپاژ در یک موتور بهینه شده، تنها زمانی غیرقابل تحمل خواهد بود که به "سیکل ایده آل" و/یا در نرخ های چرخه بالا نزدیک شویم. مسائل دیگر عبارتند از زمان مورد نیاز برای انتقال حرارت، به ویژه برای فرآیندهای همدما . در موتوری با چرخه ای که به "سیکل ایده آل" نزدیک می شود، ممکن است برای رفع این مسائل، سرعت چرخه کاهش یابد.

در ابتدایی ترین مدل یک دستگاه پیستون آزاد، سینماتیک منجر به حرکت هارمونیک ساده می شود .

تغییرات حجم [ ویرایش ]

در موتورهای بتا و گاما، به طور کلی تفاوت زاویه فاز بین حرکات پیستون با زاویه فاز تغییرات حجم یکسان نیست . با این حال، در آلفا استرلینگ، آنها یکسان هستند. [6] بقیه مقاله تغییرات حجم سینوسی را فرض می‌کند، مانند یک آلفا استرلینگ با پیستون‌های خطی، که به آن دستگاه آلفا «پیستون مخالف» نامیده می‌شود.

هشدار: در میان بسیاری از نادرستی‌های موجود در این مقاله، به یک پیکربندی آلفای هم خطی در بالا اشاره شده است. چنین پیکربندی بتا خواهد بود. از طرف دیگر، این یک آلفا خواهد بود که دارای یک سیستم پیوند غیرقابل قبول ناکارآمد است.

نمودار فشار در مقابل حجم [ ویرایش ]

این نوع نمودار برای توصیف تقریباً تمام چرخه های ترمودینامیکی استفاده می شود. نتیجه تغییرات حجم سینوسی، چرخه شبه بیضی شکل است که در شکل 1 نشان داده شده است. در مقایسه با چرخه ایده آل، این چرخه نمایش واقعی تری از اکثر موتورهای استرلینگ واقعی است. چهار نقطه در نمودار زاویه میل لنگ را بر حسب درجه نشان می دهد . [7]

چرخه استرلینگ آدیاباتیک شبیه به چرخه ایده آل استرلینگ است. با این حال، چهار فرآیند ترمودینامیکی کمی متفاوت هستند (نمودار بالا را ببینید):

180 درجه تا 270 درجه، انبساط شبه همدما . فضای انبساط از خارج گرم می شود و گاز تحت انبساط نزدیک به همدما قرار می گیرد.
270 درجه تا 0 درجه، حذف گرما با حجم تقریباً ثابت (یا نزدیک به ایزومتریک یا ایزوکوریک ). گاز از طریق احیا کننده عبور داده می شود ، بنابراین گاز خنک می شود و گرما برای استفاده در چرخه بعدی به احیا کننده منتقل می شود.
0 تا 90 درجه، فشرده سازی شبه همدما . فضای تراکم داخل خنک می شود ، بنابراین گاز تحت فشرده سازی تقریبا همدما قرار می گیرد.
90 درجه تا 180 درجه، افزودن گرما با حجم تقریباً ثابت (تقریباً ایزومتریک یا ایزوکوریک ). هوای فشرده از طریق احیا کننده جریان می یابد و گرما را در راه به فضای انبساط گرم می گیرد.

به استثنای یک موتور ترموآکوستیک استرلینگ ، هیچ یک از ذرات گاز در واقع در چرخه کامل جریان ندارند. بنابراین این رویکرد قابل تجزیه و تحلیل بیشتر از چرخه نیست. با این حال، یک نمای کلی ارائه می دهد و چرخه کار را نشان می دهد.

حرکت ذرات/جرم [ ویرایش ]

شکل 2 خطوط خطی را نشان می دهد که نشان می دهد گاز چگونه از یک موتور استرلینگ واقعی عبور می کند. خطوط رنگی عمودی حجم موتور را مشخص می کند. از چپ به راست، آنها عبارتند از: حجم جاروب شده توسط پیستون انبساط (قدرت)، حجم خالی (که از تماس پیستون با مبدل حرارتی داغ جلوگیری می کند)، بخاری، احیاگر، کولر، حجم خلاصی کولر و حجم تراکم جاروب شده توسط پیستون تراکم.

نوع آلفا استرلینگ. نسخه متحرک.

افت فشار مبدل حرارتی [ ویرایش ]

افت فشار نشان داده شده در شکل 3 که به آن "تلفات پمپاژ" نیز گفته می شود، ناشی از جریان ویسکوز از طریق مبدل های حرارتی است. خط قرمز نشان دهنده بخاری، سبز احیاگر و آبی خنک کننده است. برای طراحی مناسب مبدل های حرارتی، بهینه سازی چند متغیره برای به دست آوردن انتقال حرارت کافی با تلفات جریان قابل قبول مورد نیاز است. [6] تلفات جریان نشان داده شده در اینجا نسبتاً کم هستند و در تصویر زیر به سختی قابل مشاهده هستند، که تغییرات فشار کلی در چرخه را نشان می دهد.

فشار در مقابل زاویه میل لنگ [ ویرایش ]

شکل 4 نتایج حاصل از "شبیه سازی آدیاباتیک" با مبدل های حرارتی غیر ایده آل را نشان می دهد. توجه داشته باشید که افت فشار در سراسر احیا کننده در مقایسه با تغییرات فشار کلی در چرخه بسیار کم است.

دما در مقابل زاویه میل لنگ [ ویرایش ]

شکل 5 خواص آدیاباتیک یک مبدل حرارتی واقعی را نشان می دهد. خطوط مستقیم دمای بخش جامد مبدل حرارتی را نشان می‌دهند و منحنی‌ها دمای گاز فضاهای مربوطه را نشان می‌دهند. نوسانات دمای گاز ناشی از اثرات تراکم و انبساط در موتور همراه با مبدل های حرارتی غیر ایده آل است که سرعت انتقال حرارت محدودی دارند . هنگامی که دمای گاز به بالا و پایین تر از دمای مبدل حرارتی منحرف می شود، باعث تلفات ترمودینامیکی می شود که به عنوان «تلفات انتقال حرارت» یا «تلفات هیسترزیس» شناخته می شوند. با این حال، مبدل های حرارتی هنوز به اندازه کافی خوب کار می کنند تا به چرخه واقعی اجازه دهند موثر باشد، حتی اگر بازده حرارتی واقعی سیستم کلی فقط حدود نیمی از حد تئوری باشد .

گرما و انرژی کار تجمعی [ ویرایش ]

شکل 6 نموداری از داده های موتور استرلینگ نوع آلفا را نشان می دهد که در آن 'Q' نشان دهنده انرژی گرمایی و 'W' نشان دهنده انرژی کار است. خط نقطه آبی رنگ خروجی فضای فشرده سازی را نشان می دهد. با پایین آمدن رد، کار روی گاز در حالی که فشرده می شود انجام می شود. در طول فرآیند انبساط سیکل، در واقع مقداری کار روی پیستون تراکمی انجام می‌شود که توسط حرکت رو به بالا ردیابی منعکس می‌شود. در پایان چرخه، این مقدار منفی است، که نشان می دهد پیستون تراکم به یک ورودی خالص کار نیاز دارد. خط جامد آبی، گرمای خروجی از مبدل حرارتی کولر را نشان می دهد. گرمای کولر و کار پیستون تراکم انرژی سیکل یکسانی دارند. این با انتقال حرارت خالص صفر بازسازی کننده (خط سبز جامد) مطابقت دارد. همانطور که انتظار می رود، بخاری و فضای انبساط هر دو دارای جریان انرژی مثبت هستند. خط نقطه چین سیاه خروجی کار خالص چرخه را نشان می دهد. در این ردیابی، چرخه بالاتر از آنچه شروع شده به پایان می رسد، نشان می دهد که موتور حرارتی انرژی حاصل از گرما را به کار تبدیل می کند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

↑ رابرت سیر (1999). موتورهای استرلینگ و کالری هوای گرم. جلد 1، تاریخ (نسخه اول (تجدیدنظر شده) ویرایش). لس آنجلس میر. شابک 0-9526417-0-4.
↑ ارگان، «بازساز و موتور استرلینگ»، ص. xxii، پیش‌گفتار اوریلی
↑ ارگان، «بازساز و موتور استرلینگ»، ص. 7
↑ Jakob, M. (1957) Heat Transfer II John Wiley, New York, USA and Chapman and Hall, London, UK
^ A. Romanelli چرخه ترمودینامیکی جایگزین برای ماشین استرلینگ ، مجله آمریکایی فیزیک 85، 926 (2017)
^ a b پرش به بالا: Organ، "بازساز و موتور استرلینگ"
↑ Israel Urieli (دکتر Iz)، دانشیار مهندسی مکانیک: تجزیه و تحلیل ماشین چرخه استرلینگ بایگانی شده 30/06/2010 در ماشین راه برگشت

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

I. Urieli چرخه استرلینگ تجزیه و تحلیل ماشین
چرخه چند تروپیک داخل موتور استرلینگ چرخه موتور استرلینگ

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_cycle

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هفتم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 5:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

چرخه رانکین

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

طرح فیزیکی سیکل رانکین
1. پمپ ، 2. دیگ بخار ، 3. توربین ، 4. کندانسور

ترمودینامیک
موتور حرارتی کلاسیک کارنو
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد قوانین
نشان می دهد سیستم های
نشان می دهد خصوصیات سیستم
نشان می دهد خواص مواد
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد تاریخ فرهنگ
نشان می دهد دانشمندان
نشان می دهد دیگر
دسته بندی
v تی ه

چرخه رانکین یک چرخه ترمودینامیکی ایده‌آل است که فرآیندی را توصیف می‌کند که طی آن موتورهای حرارتی خاص ، مانند توربین‌های بخار یا موتورهای بخار رفت و برگشتی، اجازه می‌دهند تا کار مکانیکی از یک سیال در حین حرکت بین منبع گرما و سینک حرارتی استخراج شود . چرخه رانکین به افتخار ویلیام جان مکورن رانکین ، استاد اسکاتلندی چند ریاضیات در دانشگاه گلاسکو نامگذاری شده است .

انرژی گرمایی از طریق دیگ بخار به سیستم تامین می شود که در آن سیال کار (معمولا آب) به حالت گازی با فشار بالا (بخار) تبدیل می شود تا یک توربین را بچرخاند . پس از عبور سیال از روی توربین، اجازه داده می شود تا دوباره به حالت مایع متراکم شود، زیرا انرژی گرمایی هدر رفته قبل از بازگشت به دیگ بخار دفع می شود و این چرخه کامل می شود. تلفات اصطکاک در سراسر سیستم اغلب به منظور ساده کردن محاسبات نادیده گرفته می شود، زیرا این تلفات معمولاً بسیار کمتر از تلفات ترمودینامیکی هستند، به خصوص در سیستم های بزرگتر.

توضیحات [ ویرایش ]

چرخه رانکین به طور دقیق فرآیندی را توصیف می‌کند که در آن موتورهای بخار که معمولاً در نیروگاه‌های تولید برق حرارتی یافت می‌شوند ، انرژی حرارتی یک سوخت یا سایر منابع گرمایی را برای تولید برق مهار می‌کنند. منابع حرارتی احتمالی عبارتند از احتراق سوخت های فسیلی مانند زغال سنگ ، گاز طبیعی و نفت ، استفاده از منابع استخراج شده برای شکافت هسته ای ، سوخت های تجدیدپذیر مانند زیست توده و اتانول ، و جذب انرژی از منابع طبیعی مانند انرژی متمرکز خورشیدی و انرژی زمین گرمایی . هیت سینک های معمولی شامل هوای محیط در بالا یا اطراف یک تاسیسات و بدنه های آبی مانند رودخانه ها، برکه ها و اقیانوس ها است.

توانایی موتور رانکین برای مهار انرژی به اختلاف دمای نسبی بین منبع گرما و هیت سینک بستگی دارد. هرچه این دیفرانسیل بیشتر باشد، طبق قضیه کارنو ، توان مکانیکی بیشتری را می توان به طور موثر از انرژی گرمایی استخراج کرد .

راندمان چرخه رانکین توسط گرمای زیاد تبخیر سیال عامل محدود می شود. مگر اینکه فشار و دما در دیگ به سطوح فوق بحرانی برسد، محدوده دمایی که سیکل می تواند در آن کار کند بسیار کوچک است. از سال 2022، اکثر نیروگاه های فوق بحرانی فشار ورودی بخار 24.1 مگاپاسکال و دمای ورودی بین 538 درجه سانتی گراد تا 566 درجه سانتی گراد را اتخاذ کردند که منجر به راندمان نیروگاه 40٪ می شود. با این حال، اگر فشار بیشتر به 31 مگاپاسکال افزایش یابد، نیروگاه به عنوان فوق بحرانی شناخته می شود و می توان دمای ورودی بخار را تا 600 درجه سانتیگراد افزایش داد، بنابراین بازده حرارتی 42٪ را به دست آورد. [1] این دمای پایین ورودی توربین بخار (در مقایسه با یک توربین گاز ) به همین دلیل است که چرخه رانکین (بخار) اغلب به عنوان چرخه ته‌نشینی [ شفاف‌سازی مورد نیاز ] برای بازیابی گرمای دفع شده در نیروگاه‌های توربین گازی سیکل ترکیبی استفاده می‌شود. ایده این است که محصولات احتراق بسیار داغ ابتدا در یک توربین گاز منبسط می شوند و سپس گازهای خروجی که هنوز نسبتاً داغ هستند، به عنوان منبع گرمایی برای چرخه رانکین استفاده می شوند، بنابراین اختلاف دمای بین منبع گرما و حرارت کاهش می یابد. سیال عامل و در نتیجه کاهش مقدار آنتروپی ایجاد شده توسط برگشت ناپذیری.

موتورهای رانکین معمولاً در یک حلقه بسته کار می کنند که در آن سیال کار مجدداً استفاده می شود. بخار آب همراه با قطرات متراکم که اغلب از نیروگاه‌ها می‌وزند، توسط سیستم‌های خنک‌کننده ایجاد می‌شوند (نه مستقیماً از چرخه قدرت رانکین حلقه بسته). این گرمای "اگزوز" با "Q out " نشان داده شده است که از سمت پایین چرخه در نمودار T-s زیر جریان دارد. برج های خنک کننده با جذب گرمای نهان تبخیر سیال عامل و تبخیر همزمان آب خنک کننده به اتمسفر به عنوان مبدل های حرارتی بزرگ عمل می کنند.

در حالی که بسیاری از مواد را می توان به عنوان سیال عامل استفاده کرد، آب معمولاً به دلیل شیمی ساده، فراوانی نسبی، هزینه کم و خواص ترمودینامیکی آن انتخاب می شود . با متراکم کردن بخار بخار کار به یک مایع، فشار در خروجی توربین کاهش می یابد و انرژی مورد نیاز پمپ تغذیه تنها 1٪ تا 3٪ از توان خروجی توربین را مصرف می کند. این عوامل به بازده بالاتر برای چرخه کمک می کنند. مزیت این امر با دمای پایین بخار ورودی به توربین(ها) جبران می شود. به عنوان مثال، توربین های گازی دارای دمای ورودی توربین نزدیک به 1500 درجه سانتیگراد هستند. با این حال، راندمان حرارتی نیروگاه های بزرگ بخار واقعی و ایستگاه های بزرگ توربین گاز مدرن مشابه است.

چهار فرآیند در چرخه رانکین [ ویرایش ]

نمودار T از یک سیکل رانکین معمولی که بین فشارهای 0.06 بار و 50 بار کار می کند. سمت چپ منحنی زنگی شکل مایع، سمت راست آن گاز و در زیر آن تعادل مایع-بخار اشباع قرار دارد.

چهار فرآیند در چرخه رانکین وجود دارد. حالت ها با اعداد (به رنگ قهوه ای) در نمودار T مشخص می شوند .

فرآیندهای متوالی چرخه رانکین
نام	خلاصه	توضیح
فرآیند 1-2	فشرده سازی ایزنتروپیک	سیال کار از فشار کم به بالا پمپ می شود. از آنجایی که سیال در این مرحله مایع است، پمپ به انرژی ورودی کمی نیاز دارد.
فرآیند 2-3	افزودن حرارت با فشار ثابت در دیگ بخار	مایع پرفشار وارد دیگ بخار می شود و در آنجا با فشار ثابت توسط یک منبع حرارتی خارجی گرم می شود تا به بخار اشباع خشک تبدیل شود. انرژی ورودی مورد نیاز را می توان به راحتی به صورت گرافیکی، با استفاده از نمودار آنتالپی-آنتروپی ( نمودار h-s ، یا نمودار مولیه )، یا عددی، با استفاده از جداول بخار یا نرم افزار محاسبه کرد.
فرآیند 3-4	گسترش ایزنتروپیک	بخار اشباع خشک از طریق یک توربین منبسط می شود و نیرو تولید می کند. این باعث کاهش دما و فشار بخار می شود و ممکن است مقداری تراکم ایجاد شود. خروجی در این فرآیند را می توان به راحتی با استفاده از نمودار یا جداول ذکر شده در بالا محاسبه کرد.
فرآیند 4-1	دفع حرارت با فشار ثابت در کندانسور	بخار مرطوب سپس وارد کندانسور می شود و در آنجا با فشار ثابت متراکم می شود تا به مایع اشباع تبدیل شود .

در یک چرخه رانکین ایده آل، پمپ و توربین ایزنتروپیک خواهند بود: به عنوان مثال، پمپ و توربین آنتروپی تولید نمی کنند و در نتیجه خروجی کار خالص را به حداکثر می رساند. فرآیندهای 1-2 و 3-4 با خطوط عمودی در نمودار T نشان داده می شوند و بیشتر شبیه چرخه کارنو هستند . چرخه رانکین نشان داده شده در اینجا از پایان یافتن حالت سیال عامل در ناحیه بخار فوق گرم پس از انبساط در توربین جلوگیری می کند، [1] که انرژی حذف شده توسط کندانسورها را کاهش می دهد.

چرخه واقعی قدرت بخار با چرخه ایده آل رانکین به دلیل برگشت ناپذیری در اجزای ذاتی ناشی از اصطکاک سیال و از دست دادن گرما به محیط اطراف متفاوت است. اصطکاک سیال باعث افت فشار در دیگ، کندانسور و لوله کشی بین اجزا می شود و در نتیجه بخار با فشار کمتری از دیگ خارج می شود. تلفات حرارتی خروجی خالص کار را کاهش می دهد، بنابراین برای حفظ همان سطح خروجی کار خالص، افزودن گرما به بخار در دیگ لازم است.

متغیرها [ ویرایش ]

˙ ${\dot {Q}}$	نرخ جریان گرما به یا از سیستم (انرژی در واحد زمان)
${\dot {m}}$	دبی جرمی (جریان در واحد زمان)
${\dot {W}}$	توان مکانیکی مصرف شده یا ارائه شده به سیستم (انرژی در واحد زمان)
$\eta _{\text{therm}}$	راندمان ترمودینامیکی فرآیند (توان خروجی خالص در هر ورودی گرما، بدون بعد)
$\eta _{\text{pump}},\eta _{\text{turb}}$	راندمان ایزنتروپیک فرآیندهای فشرده سازی (پمپ تغذیه) و انبساط (توربین) بدون بعد
$h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}$	" آنتالپی های خاص " در نقاط مشخص شده در نمودار T-s
$h_{4s}$	" آنتالپی ویژه " نهایی سیال در صورتی که توربین ایزنتروپیک باشد
$p_{1},p_{2}$	فشارهای قبل و بعد از فرآیند فشرده سازی

معادلات [ ویرایش ]

$\eta _{\text{therm}}$ بازده ترمودینامیکی سیکل را به عنوان نسبت توان خالص خروجی به گرمای ورودی تعریف می کند . از آنجایی که کار مورد نیاز پمپ اغلب حدود 1% خروجی کار توربین است، می توان آن را ساده کرد:

$\eta _{\text{therm}}={\frac {{\dot {W}}_{\text{turb}}-{\dot {W}}_{\text{pump}}} {{\dot {Q}}_{\text{in}}}}\approx {\frac {{\dot {W}}_{\text{turb}}}{{\dot {Q}}_{ \text{in}}}}$

هر یک از چهار معادله بعدی [1] از موازنه انرژی و جرم برای حجم کنترل به دست می آید .

${\frac {{\dot {Q}}_{\text{in}}}{\dot {m}}}=h_{3}-h_{2},$

${\frac {{\dot {Q}}_{\text{out}}}{\dot {m}}}=h_{4}-h_{1},$

${\frac {{\dot {W}}_{\text{pump}}}{\dot {m}}}=h_{2}-h_{1},$

${\frac {{\dot {W}}_{\text{turbine}}}{\dot {m}}}=h_{3}-h_{4}.$

هنگام برخورد با راندمان توربین ها و پمپ ها، باید شرایط کار را تنظیم کرد:

${\frac {{\dot {W}}_{\text{pump}}}{\dot {m}}}=h_{2}-h_{1}\approx {\frac {v_{1 }\Delta p}{\eta _{\text{pump}}}}={\frac {v_{1}(p_{2}-p_{1})}{\eta _{\text{pump}} }}،$

${\frac {{\dot {W}}_{\text{turbine}}}{\dot {m}}}=h_{3}-h_{4}\approx (h_{3}-h_ {4})\eta _{\text{توربین}}.$

چرخه واقعی رانکین (غیر ایده آل) [ ویرایش ]

چرخه رانکین با سوپرهیت

در یک چرخه واقعی نیروگاه (از نام چرخه رانکین فقط برای سیکل ایده آل استفاده می شود)، فشرده سازی توسط پمپ و انبساط در توربین ایزنتروپیک نیست. به عبارت دیگر، این فرآیندها برگشت ناپذیر هستند و آنتروپی در طی دو فرآیند افزایش می یابد. این امر تا حدودی توان مورد نیاز پمپ را افزایش می دهد و توان تولید شده توسط توربین را کاهش می دهد. [2]

به طور خاص، کارایی توربین بخار با تشکیل قطرات آب محدود خواهد شد. با متراکم شدن آب، قطرات آب با سرعت زیاد به پره های توربین برخورد می کند و باعث ایجاد حفره و فرسایش می شود و به تدریج عمر پره های توربین و کارایی توربین کاهش می یابد. ساده ترین راه برای غلبه بر این مشکل، گرم کردن بخار است. در نمودار T-s بالا، حالت 3 در مرز ناحیه دو فازی بخار و آب است، بنابراین پس از انبساط بخار بسیار مرطوب خواهد بود. با سوپرگرم کردن، حالت 3 در نمودار به سمت راست (و بالا) حرکت می کند و بنابراین پس از انبساط، بخار خشک تری تولید می کند.

تغییرات چرخه پایه رانکین [ ویرایش ]

راندمان کلی ترمودینامیکی را می توان با افزایش میانگین دمای ورودی گرما افزایش داد

${\bar {T}}_{\text{in}}={\frac {\int _{2}^{3}T\,dQ}{Q_{\text{in}}}}$

از آن چرخه افزایش دمای بخار در ناحیه سوپرهیت یک راه ساده برای انجام این کار است. همچنین تغییراتی در چرخه پایه رانکین وجود دارد که برای افزایش بازده حرارتی چرخه به این روش طراحی شده است. دو مورد از این موارد در زیر توضیح داده شده است.

چرخه رانکین با گرم کردن مجدد [ ویرایش ]

چرخه رانکین با گرم کردن مجدد

هدف از چرخه گرم کردن مجدد، حذف رطوبت حمل شده توسط بخار در مراحل پایانی فرآیند انبساط است. در این تغییر، دو توربین به صورت سری کار می کنند. اولی بخار را از دیگ بخار در فشار بالا می پذیرد. پس از عبور بخار از توربین اول، دوباره وارد دیگ بخار می شود و قبل از عبور از توربین دوم با فشار پایین، دوباره گرم می شود. دماهای گرم کردن مجدد بسیار نزدیک یا برابر با دمای ورودی است، در حالی که فشار گرم مجدد مورد نیاز تنها یک چهارم فشار اولیه دیگ است. از جمله مزایای دیگر این است که از متراکم شدن بخار در حین انبساط آن و در نتیجه کاهش آسیب در پره های توربین جلوگیری می کند و بازده سیکل را بهبود می بخشد، زیرا جریان گرمای بیشتری به سیکل در دمای بالاتر انجام می شود. چرخه گرم کردن مجدد برای اولین بار در دهه 1920 معرفی شد، اما به دلیل مشکلات فنی برای مدت طولانی عملیاتی نشد. در دهه 1940، با تولید روزافزون دیگهای بخار فشار قوی ، مجدداً معرفی شد و در نهایت در دهه 1950 گرم کردن مجدد مضاعف معرفی شد. ایده پشت گرم کردن مجدد دو برابر افزایش میانگین دما است. مشاهده شد که بیش از دو مرحله گرم کردن مجدد به طور کلی غیر ضروری است، زیرا مرحله بعدی راندمان چرخه را فقط نصف مرحله قبل افزایش می دهد. امروزه معمولاً در نیروگاه هایی که تحت فشار فوق بحرانی کار می کنند، از گرم کردن مجدد مضاعف استفاده می شود.

چرخه رانکین احیا کننده [ ویرایش ]

چرخه رانکین احیا کننده

سیکل رانکین احیا کننده به این دلیل نامگذاری شده است که پس از خروج از کندانسور (احتمالاً به صورت مایع سرد شده ) سیال کار توسط بخاری که از قسمت داغ چرخه گرفته می شود گرم می شود. در نمودار نشان داده شده، سیال در 2 با سیال در 4 (هر دو در فشار یکسان) مخلوط می شود تا به مایع اشباع شده در 7 ختم شود. به این "گرمایش با تماس مستقیم" می گویند. چرخه Regenerative Rankine (با انواع جزئی) معمولاً در نیروگاه های واقعی استفاده می شود.

یک تغییر دیگر، بخار خروجی را از بین مراحل توربین به بخاری‌های آب تغذیه می‌فرستد تا آب را از کندانسور به دیگ پیش گرم کند. این بخاری‌ها بخار ورودی و میعانات را با هم مخلوط نمی‌کنند، مانند یک مبدل حرارتی لوله‌ای معمولی عمل می‌کنند و «هیترهای آب تغذیه بسته» نامیده می‌شوند.

بازسازی دمای ورودی چرخه را با حذف گرما از دیگ/منبع سوخت در دمای نسبتاً پایین آب تغذیه که بدون گرمایش آب تغذیه احیا کننده وجود دارد، افزایش می دهد. این کارایی چرخه را بهبود می بخشد، زیرا جریان گرمای بیشتری به چرخه در دمای بالاتر رخ می دهد.

چرخه رانکین ارگانیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چرخه رانکین آلی

چرخه رانکین آلی (ORC) از یک سیال آلی مانند n-پنتان [3] یا تولوئن [4] به جای آب و بخار استفاده می کند. این امکان استفاده از منابع گرمایی با دمای پایین‌تر مانند حوضچه‌های خورشیدی را فراهم می‌کند که معمولاً در حدود ۷۰ تا ۹۰ درجه سانتی‌گراد کار می‌کنند. [5] راندمان چرخه در نتیجه محدوده دمایی پایین‌تر بسیار پایین‌تر است، اما این می‌تواند به دلیل هزینه کمتری که برای جمع‌آوری گرما در این دمای پایین‌تر به همراه دارد، ارزشمند باشد . از طرف دیگر، می توان از سیالاتی استفاده کرد که دارای نقطه جوش بالای آب هستند و این ممکن است مزایای ترمودینامیکی داشته باشد (به عنوان مثال، توربین بخار جیوه را ببینید ). خواص سیال عامل واقعی تأثیر زیادی بر کیفیت بخار (بخار) پس از مرحله انبساط دارد و بر طراحی کل چرخه تأثیر می گذارد.

چرخه رانکین سیال عامل را در تعریف خود محدود نمی کند، بنابراین نام "چرخه آلی" صرفاً یک مفهوم بازاریابی است و چرخه نباید به عنوان یک چرخه ترمودینامیکی جداگانه در نظر گرفته شود.

چرخه رانکین فوق بحرانی [ ویرایش ]

چرخه رانکین اعمال شده با استفاده از یک سیال فوق بحرانی [6] مفاهیم بازسازی حرارت و چرخه رانکین فوق بحرانی را در یک فرآیند واحد به نام چرخه فوق بحرانی احیاکننده (RGSC) ترکیب می کند. برای منابع دمایی 125-450 درجه سانتیگراد بهینه شده است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

چرخه برایتون
کاهش توان در حالت تولید همزمان با استخراج بخار

منابع [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به چرخه رانکین وجود دارد .

^ اوجی، ا. هاراگوچی، M. (01-01-2022)، تانوما، تاداشی (ویرایش)، "2 - چرخه های توربین بخار و بهینه سازی طراحی سیکل: چرخه رانکین، چرخه های توان حرارتی، و نیروگاه های سیکل ترکیبی گازی شدن یکپارچه" ، پیشرفت ها در توربین های بخار برای نیروگاه های مدرن (ویرایش دوم) ، مجموعه انتشارات وودهد در انرژی، انتشارات وودهد، صفحات 11–40، doi : 10.1016/b978-0-12-824359-6.00020-2 ، ISBN 978-0-12-824359-6، بازیابی شده در 06-07-2023
↑ گوروگ، آمیلا روان (16-02-2021). "چرخه رانکین" . مهندسی شیمی و فرآیند . بازیابی شده در 2023-02-15 .
^ کانادا، اسکات؛ جی. کوهن; R. کابل; D. Brosseau; ح. قیمت (2004-10-25). "نیروگاه خورشیدی با چرخه رانکین آلی سهموی" (PDF) . 2004 DOE Solar Energy Technologies . دنور، کلرادو: وزارت انرژی ایالات متحده NREL. بایگانی شده از نسخه اصلی (PDF) در 2009-03-18 . بازیابی شده در 2009-03-17 .
↑ باتون، بیل (2000-06-18). "موتورهای چرخه رنکین ارگانیک برای انرژی خورشیدی" (PDF) . کنفرانس 2000 خورشیدی . Barber-Nichols, Inc. بایگانی شده از نسخه اصلی (PDF) در 2009-03-18 . بازیابی شده در 2009-03-18 .
^ نیلسن و همکاران، 2005، Proc. بین المللی انرژی خورشیدی Soc.
↑ مقتدری، بهداد (1388). "مروری بر فناوری GRANEX برای تولید برق زمین گرمایی و بازیابی حرارت زباله" . کنفرانس انرژی زمین گرمایی استرالیا 2009 . شرکت

↑ Van Wyllen «مبانی ترمودینامیک» (ISBN 85-212-0327-6)
↑ وانگ "ترمودینامیک برای مهندسین"، ویرایش دوم، 2012، مطبوعات CRC، تیلور و فرانسیس، بوکا راتون، لندن، نیویورک. (ISBN 978-1-4398-4559-2)
موران و شاپیرو "مبانی ترمودینامیک مهندسی" ( ISBN 0-471-27471-2 )
ویکی‌کتاب‌های مهندسی ترمودینامیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine_cycle

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هفتم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 5:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-هارمونیک های کروی

تابع مولد هرگلوتز [ ویرایش ]

اگر قرارداد مکانیک کوانتومی برای: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ، سپس

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{ \sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$

اینجا، $\mathbf {r}$ بردار با اجزا است $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ ، $r=|\mathbf {r} |$ ، و

${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i {\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat { y}} }\راست).$

$\mathbf {a}$ بردار با مختصات مختلط است:

$\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({ \frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

خاصیت ضروری از $\mathbf {a}$ این است که تهی است:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$

گرفتن کافی است $v$ و $\lambda$ به عنوان پارامترهای حقیقی در نامگذاری این تابع مولد به نام هرگلوتز ، ما از Courant & Hilbert 1962 ، §VII.7 پیروی می‌کنیم که یادداشت‌های منتشر نشده او را برای کشف آن اعتبار می‌دانند.

اساساً تمام خصوصیات هارمونیک های کروی را می توان از این تابع مولد به دست آورد. [15] مزیت فوری این تعریف این است که اگر بردار $\mathbf {r}$ با عملگر بردار اسپین مکانیکی کوانتومی جایگزین می شودجی $\mathbf {J}$ ، به طوری که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ آنالوگ عملگر هارمونیک جامد است $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ ، [16] یک تابع تولید کننده برای مجموعه استاندارد شده ای از عملگرهای تانسور کروی بدست می آید . ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ :

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$

موازی بودن این دو تعریف تضمین می کند که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ 's تبدیل تحت چرخش ها (به زیر مراجعه کنید) به همان شیوه ای است $Y_{\ell }^{m}$ 's، که به نوبه خود تضمین می کند که آنها عملگرهای تانسور کروی هستند $T_{q}^{(k)}$ ، با $k={\ell }$ و $q=m$ با رعایت تمام خصوصیات این عملگرها، مانند قضیه ترکیب کلبش-گوردان و قضیه ویگنر-اکارت . علاوه بر این، آنها یک مجموعه استاندارد شده با مقیاس یا عادی سازی ثابت هستند.

همچنین نگاه کنید به: پایه کروی

فرم دکارتی جدا شده [ ویرایش ]

تعریف هرگلوتزی چند جمله‌ای را به دست می‌دهد که در صورت تمایل، ممکن است بیشتر در چند جمله‌ای فاکتورسازی شوند. $z$ و دیگری از $x$ و $y$ ، به شرح زیر (فاز کاندون – شورتلی):

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\ frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\ چپ(-1\راست)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}}،\qquad m>0.$ و برای m = 0 :

$r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }} _{\ell }^{0}.$ اینجا

$A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\cos \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

$B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\sin \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$ و

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\ راست]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lطبقه (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell } {\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}} \;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$ برای $m=0$ این کاهش می یابد

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1 )^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{ \ell -2k}.$

عامل ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ اساساً چند جمله ای لژاندر مرتبط است $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ ، و عوامل $(A_{m}\pm iB_{m})$ اساسا هستند $e^{\pm im\varphi }$ .

مثالها [ ویرایش ]

استفاده از عبارات برای ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ ، $A_{m}(x,y)$ ، و $B_{m}(x,y)$ که به صراحت در بالا ذکر شده است، به دست می آوریم:

$Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3} {16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7} {4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \ تتا e^{i\varphi }\right)$

$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5} {32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left( \sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$ ممکن است تأیید شود که این با عملکرد فهرست شده در اینجا و اینجا مطابقت دارد .

فرم های حقیقی [ ویرایش ]

با استفاده از معادلات بالا برای تشکیل هارمونیک های کروی حقیقی، مشاهده می شود که برایمتر>0 $m>0$ فقطآمتر $A_{m}$ شرایط (کسینوس) گنجانده شده است، و برای $m<0$ فقط $B_{m}$ اصطلاحات (سینوس ها) شامل می شوند:

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell + 1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix} },\qquad m>0.$

و برای m = 0:

$r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ یا }^{0}.$

موارد و مقادیر ویژه [ ویرایش ]

در قطب شمال، جایی ک=0 $\theta =0$ ، و $\varphi$ تعریف نشده است، همه هارمونیک های کروی به جز آنهایی که با $m=0$ ناپدید شدن:

$Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1 {4\pi }}}\delta _{m0}.$

ویژگی های تقارن [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی دارای خواص عمیق و پیامدی تحت عملیات وارونگی فضایی (پاریتی) و چرخش هستند.

برابری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: برابری (فیزیک)

هارمونیک های کروی برابری مشخصی دارند. یعنی از نظر وارونگی در مورد مبدا یا زوج هستند یا فرد. وارونگی توسط عملگر نشان داده می شود $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ . سپس، همانطور که از بسیاری جهات می توان دید (شاید به سادگی از تابع تولید هرگلوتز)، با $\mathbf {r}$ بردار واحد بودن

$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r}).$

از نظر زوایای کروی، برابری یک نقطه را با مختصات تبدیل می کند $\{\theta,\varphi \}$ به $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ . بیانیه برابری هارمونیک های کروی پس از آن است

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{ \ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ (این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: چند جمله ای های لژاندر (-1) + m را به دست می دهند و از تابع نمایی (-1) m داریم ، با هم برای هارمونیک های کروی برابری (-1) .)

برابری برای هارمونیک های کروی حقیقی و برای هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر همچنان برقرار است: اعمال بازتاب نقطه ای به هارمونیک کروی درجه علامت را با ضریب (-1) تغییر می دهد .

چرخش ها [ ویرایش ]

چرخش یک تابع کروی حقیقی با m = 0 و = 3 . ضرایب برابر با ماتریس های ویگنر D نیستند، زیرا توابع حقیقی نشان داده شده اند، اما می توان با تجزیه مجدد توابع مختلط به دست آورد.

یک چرخش را در نظر بگیریدآر ${\mathcal {R}}$ در مورد مبدایی که بردار واحد را ارسال می کند $\mathbf {r}$ به" $\mathbf {r} '$ . تحت این عملیات، هارمونیک کروی درجه $\ell$ و سفارش دهیدمتر $m$ تبدیل به یک ترکیب خطی از هارمونیک های کروی با همان درجه می شود. به این معنا که،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^ {m'}({\mathbf {r} })،$ جایی که $A_{mm'}$ یک ماتریس از نظم است $(2\ell +1)$ که به چرخش بستگی دارد ${\mathcal {R}}$ . با این حال، این روش استاندارد بیان این ویژگی نیست. به روش استانداردی که شخص می نویسد،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} })،$ جایی که $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ مزدوج مختلط یک عنصر از ماتریس D ویگنر است . به ویژه زمانی که" $\mathbf {r} '$ هست $\phi _{0}$ با چرخش آزیموت ما هویت را بدست می آوریم،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0 }}.$

رفتار چرخشی هارمونیک‌های کروی شاید ویژگی اصلی آنها از دیدگاه نظریه گروه باشد. را $Y_{\ell }^{m}$ مدرک تحصیلی $\ell$ یک مجموعه پایه از توابع برای نمایش غیرقابل تقلیل گروه SO(3) بعد ارائه می کند $(2\ell +1)$ . بسیاری از حقایق در مورد هارمونیک های کروی (مانند قضیه جمع) که به سختی با استفاده از روش های تحلیل اثبات می شوند، با استفاده از روش های تقارن، اثبات های ساده تر و اهمیت عمیق تری به دست می آورند.

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی لاپلاس: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. سی2(اس2) $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ . در کره واحداس2 $S^{2}$ ، هر تابع قابل انتگرالگیری مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ بنابراین می توان به عنوان یک ترکیب خطی از این موارد گسترش داد:

$f(\theta,\varphi)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m} \,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi).$

این بسط به معنای همگرایی میانگین مربع است - همگرایی در L 2 کره - که به این معناست که

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

ضرایب انبساط مشابه ضرایب فوریه هستند و با ضرب معادله فوق در مزدوج مختلط یک هارمونیک کروی، ادغام در زاویه جامد Ω، و استفاده از روابط متعامد فوق به دست می آیند. این به شدت توسط نظریه فضایی پایه هیلبرت توجیه می شود. در مورد هارمونیک های متعارف، این به دست می دهد:

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d \Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{ \ell }^{m*}(\theta،\varphi).$

اگر ضرایب به اندازه کافی سریع در کاهش یابد - برای مثال، به صورت نمایی - آنگاه سری نیز به طور یکنواخت به f همگرا می شود .

یک تابع قابل ادغام مربع $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ همچنین می تواند از نظر هارمونیک های حقیقی گسترش یابد $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ در بالا به عنوان جمع

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_ {\ell m}(\theta،\varphi).$

همگرایی این سری دوباره در همان معنا وجود دارد، یعنی هارمونیک های کروی حقیقی $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. آر2(اس2) $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ . مزایای بسط از نظر توابع هارمونیک حقیقی $Y_{\ell m}$ این است که برای توابع حقیقی است $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ ضرایب انبساط $f_{\ell m}$ تضمین شده است که حقیقی هستند، در حالی که ضرایب آنها $f_{\ell }^{m}$ در گسترش آنها از نظر $Y_{\ell }^{m}$ (با در نظر گرفتن آنها به عنوان توابع: $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ ) آن خاصیت را ندارند.

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر در این بخش به بهبود این مقاله کمک کنید. اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژوئیه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

توان کل یک تابع f در ادبیات پردازش سیگنال به عنوان انتگرال تابع مجذور تقسیم بر مساحت دامنه آن تعریف می شود . با استفاده از ویژگی‌های متعامد توابع هارمونیک کروی حقیقی واحد-قدرت، به راحتی می‌توان تأیید کرد که توان کل یک تابع تعریف شده بر روی واحد کره به ضرایب طیفی آن با تعمیم قضیه پارسوال مرتبط است (در اینجا، قضیه بیان می‌شود. برای هارمونیک های نیمه نرمال شده اشمیت، این رابطه برای هارمونیک های متعامد کمی متفاوت است:

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0} ^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$ جایی که

$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m }|^{2}$

به عنوان طیف توان زاویه ای (برای هارمونیک های نیمه نرمال اشمیت) تعریف می شود. به روشی مشابه، می توان قدرت متقاطع دو تابع را به صورت تعریف کرد

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _ {\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$

جایی که

$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ ell m}^{\ast }$

به عنوان طیف توان متقابل تعریف می شود. اگر توابع f و g میانگین صفر داشته باشند (یعنی ضرایب طیفی f 00 و g 00 صفر هستند)، آنگاه S ff و S fg مشارکت در واریانس و کوواریانس تابع را برای درجه نشان می‌دهند . به ترتیب. معمول است که طیف توان (متقابل) به خوبی با یک قانون توان به شکل تقریب می شود.

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

وقتی β = 0 ، طیف "سفید" است زیرا هر درجه دارای قدرت برابر است. وقتی β < 0 ، طیف را "قرمز" می نامند زیرا در درجات پایین با طول موج های بلند توان بیشتری نسبت به درجات بالاتر وجود دارد. در نهایت، زمانی که β > 0 ، طیف "آبی" نامیده می شود. شرط ترتیب رشد S ff به ترتیب تمایز پذیری f در بخش بعدی مربوط می شود.

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

همچنین می توان خواص تمایز پذیری تابع اصلی f را بر حسب مجانبی S ff ( ) درک کرد . به طور خاص، اگر S ff ( ) سریعتر از هر تابع منطقی به عنوان → ∞ کاهش یابد ، آنگاه f بی نهایت قابل تفکیک است . علاوه بر این، اگر S ff ( ) به صورت تصاعدی کاهش یابد، آنگاه f در واقع تحلیلی حقیقی روی کره است .

تکنیک کلی استفاده از تئوری فضاهای سوبولف است . اظهارات مربوط به رشد S ff ( ) به تمایز پذیری مشابه نتایج مشابه در رشد ضرایب سری فوریه است . به طور خاص، اگر

$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$ سپس f در فضای سوبولف H s ( S 2 ) است . به طور خاص، قضیه تعبیه سوبولف نشان می دهد که f بی نهایت قابل تمایز است به شرطی که

$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$ برای همه s .

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شود $(r,\theta,\varphi)$ و("،"،") $(r',\theta ',\varphi')$ ، به ترتیب، زاویه $\gamma$ بین آنها توسط رابطه داده می شود

$\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$ که در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .

قضیه جمع بیان می کند [17]

$P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^ {\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y})\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N } _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2} =\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,$

( 1 )

که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]

به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست می‌دهد [20]

$\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x}) ={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$

که هویت cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.

در بسط ( 1 )، سمت چپپ $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپسزایکس $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })$

( 2 )

علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ایزایکس $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ به عنوان مضرب ثابت چند جمله ای Gegenbauer مناسب داده می شود :

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf { x} }\cdot {\mathbf {y} })$

( 3 )

از ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y هویت عملکردی را می دهد

${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$ که در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.

قانون انقباض [ ویرایش ]

هویت مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان می کند [22]

$Y_{a,\alpha }\left(\theta,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left( 2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c} \left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta,\varphi \right).$ بسیاری از اصطلاحات در این مجموع به طور پیش پا افتاده صفر هستند. ارزش هایج $c$ و $\gamma$ که منجر به عبارات غیر صفر در این مجموع می شود توسط قوانین انتخاب برای نمادهای 3j تعیین می شود .

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ضرایب کلبش–گوردان

ضرایب کلبش-گوردان ضرایبی هستند که در بسط حاصلضرب دو هارمونیک کروی بر حسب خود هارمونیک کروی ظاهر می شوند. تکنیک‌های مختلفی برای انجام محاسبات مشابه در دسترس هستند، از جمله نماد Wigner 3-jm ، ضرایب Racah و انتگرال‌های Slater . به طور انتزاعی، ضرایب کلبش-گوردان حاصل ضرب تانسور دو نمایش غیرقابل تقلیل گروه چرخش را به عنوان مجموع نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بیان می‌کنند: به طور مناسب نرمال شده، ضرایب پس از آن چند برابر هستند.

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

نمایش شماتیک از $Y_{\ell m}$ روی واحد کره و خطوط گره ای آن.ℜ[] $\Re [Y_{\ell m}]$ برابر است با 0 در امتداد دایره های بزرگی که از قطب ها می گذرند و در امتداد دایره های − m با عرض جغرافیایی مساوی. تابع هر بار که از یکی از این خطوط عبور می کند علامت تغییر می دهد.

نمودار رنگی سه بعدی هارمونیک های کروی درجه n = 5 . توجه داشته باشید که n = .

هارمونیک های کروی لاپلاس $Y_{\ell }^{m}$ می توان با در نظر گرفتن " خطوط گره " آنها، یعنی مجموعه نقاط روی کره ای که در آن قرار دارد، تجسم کردℜ[]=0 $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ ، یا به جای آن کجاℑ[]=0 $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ . خطوط گره ای از $Y_{\ell }^{m}$ از دایره های تشکیل شده اند: | وجود دارد m | دایره ها در طول طول و −| m | دایره ها در طول عرض های جغرافیایی می توان تعداد خطوط گرهی هر نوع را با شمارش تعداد صفرهای آن تعیین کرد $Y_{\ell }^{m}$ در $\تتا$ و $\varphi$ جهت ها به ترتیب با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\تتا$ مولفه های حقیقی و خیالی چند جمله ای های لژاندر مرتبط هر کدام دارای −| m | صفرها که هر کدام یک "خط عرض جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند. از سوی دیگر با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\varphi$ ، توابع sin و cos مثلثاتی دارای 2| m | صفرها، که هر کدام یک "خط طول جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند.

وقتی مرتبه هارمونیک کروی m صفر باشد (بالا سمت چپ در شکل)، توابع هارمونیک کروی به طول جغرافیایی بستگی ندارند و به آنها منطقه ای می گویند . چنین هارمونیک های کروی مورد خاصی از توابع کروی ناحیه ای هستند . وقتی = | m | (پایین-راست در شکل)، هیچ تقاطع صفر در عرض جغرافیایی وجود ندارد، و توابع به عنوان بخش نامیده می شوند . برای موارد دیگر، توابع کره را بررسی می‌کنند و به آنها تسرال می‌گویند .

هارمونیک‌های کروی عمومی‌تر درجه لزوماً آن‌هایی نیستند که بر اساس لاپلاس هستند $Y_{\ell }^{m}$ ، و مجموعه گره های آنها می تواند از نوع نسبتاً کلی باشد. [23]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جدول هارمونیک های کروی

عبارات تحلیلی برای اولین هارمونیک های کروی لاپلاس متعارف: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ که از قرارداد فاز کاندون-شورتلی استفاده می کنند:

$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\ sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{ \sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{ 2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0 }(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt { \frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{تراز شده}}$

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی کلاسیک به عنوان توابع با مقادیر مختلط در کره واحد تعریف می شونداس2 $S^{2}$ در فضای سه بعدی اقلیدسیآر3 $\mathbb {R} ^{3}$ . هارمونیک های کروی را می توان به فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعمیم دادآر $\mathbb {R} ^{n}$ به شرح زیر منجر به توابع می شوداس-1→سی $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ . [24] اجازه دهید P فضای چندجمله‌ای همگن با مقدار مختلط درجه را در n متغیر حقیقی نشان دهد که در اینجا به عنوان تابع در نظر گرفته می‌شود.آر→سی $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ . یعنی یک p چند جمله ای در P است به شرطی که برای هر حقیقی باشد∈آر $\lambda \in \mathbb {R}$ ، یک نفر دارد

$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x}).$

فرض کنید A فضای فرعی P متشکل از همه چند جمله ای هارمونیک را نشان می دهد :

$\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$ این هارمونیک های کروی جامد (منظم) هستند . اجازه دهید H نشان دهنده فضای توابع در کره واحد باشد

$S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$ با محدودیت از A به دست می آید

$\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ برای برخی }}p \in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ برای همه }}\mathbf {x} \in S^{ n-1}\right\}.$

خواص زیر برقرار است:

مجموع فضاهای H در مجموعه متراکم استسی(اس-1) $C(S^{n-1})$ از توابع پیوسته دراس-1 $S^{n-1}$ با توجه به توپولوژی یکنواخت ، توسط قضیه استون-وایرشتراس . در نتیجه، مجموع این فضاها در فضای L 2 ( Sn - 1 ) از توابع انتگرال پذیر مربع روی کره نیز متراکم است. بنابراین هر تابع مربع ادغام پذیر در کره به طور منحصر به فردی به یک سری هارمونیک کروی تجزیه می شود، جایی که این سری به معنای L 2 همگرا می شود .
برعکس، فضاهای H دقیقاً فضاهای ویژه Δ S n -1 هستند . به طور خاص، استفاده از قضیه طیفی به پتانسیل Riesz Δاس-1-1 $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ اثبات دیگری می دهد که فضاهای H به صورت زوجی متعامد و در L 2 کامل هستند ( Sn - 1 ) .

یک مبنای متعامد هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر را می توان به صورت استقرایی با روش جداسازی متغیرها ، با حل مسئله استورم-لیویل برای لاپلاسین کروی ساخت.

$\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$

که در آن φ مختصات محوری در یک سیستم مختصات کروی در Sn - 1 است . نتیجه نهایی چنین رویه ای [26] است.

$Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{ \sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar { P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$ جایی که شاخص ها راضی کننده | 1 | ≤ 2 ≤ ⋯ ≤ n -1 و مقدار ویژه - n -1 ( n -1 + n -2) است . عملکردهای موجود در محصول بر حسب تابع Legendre تعریف می شوند

${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\ frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

فضای H هارمونیک های کروی درجه نمایشی از گروه تقارن چرخش ها حول یک نقطه ( SO(3) ) و SU(2) پوشش دوگانه آن است . در واقع، چرخش ها بر روی کره دو بعدی ، و در نتیجه بر روی H نیز با ترکیب تابع عمل می کنند.

$\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$ برای ψ یک هارمونیک کروی و ρ یک چرخش. نمایش H نمایشی غیر قابل تقلیل از SO(3) است . [27]

عناصر H به عنوان محدودیت های کره عناصر A بوجود می آیند : چند جمله ای هارمونیک همگن درجه در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 . با قطبش ψ ∈ A ، ضرایبی وجود داردمن1…من $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ متقارن بر روی شاخص ها، به طور منحصر به فرد توسط نیاز تعیین می شود

$\psi (x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$ شرطی که ψ هارمونیک باشد معادل این ادعا است که تانسور $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ در هر جفت شاخص باید بدون ردیابی باشد. بنابراین به عنوان یک نمایش غیرقابل تقلیل SO(3) ، H نسبت به فضای تانسورهای متقارن بی اثر درجه هم شکل است .

به طور کلی تر، گزاره های مشابه در ابعاد بالاتر وجود دارند: فضای H هارمونیک های کروی روی n- کره نمایش غیرقابل تقلیل SO( n +1) مربوط به تانسورهای متقارن بدون ردیابی است . با این حال، در حالی که هر نمایش تانسور تقلیل‌ناپذیر SO(2) و SO(3) از این نوع است، گروه‌های متعامد ویژه در ابعاد بالاتر دارای نمایش‌های غیر قابل تقلیل اضافی هستند که به این شکل ایجاد نمی‌شوند.

گروه‌های متعامد خاص دارای نمایش‌های اسپین اضافی هستند که نمایش‌های تانسوری نیستند و معمولاً هارمونیک‌های کروی نیستند. یک استثنا، نمایش اسپین SO(3) است: به طور دقیق، اینها نمایش‌هایی از پوشش دوتایی SU(2) SO(3) هستند. به نوبه خود، SU(2) با گروه کواترنیون های واحد شناسایی می شود و بنابراین با کره 3 منطبق است . فضاهای هارمونیک های کروی روی 3 کره، با توجه به عمل ضرب چهارتایی، نمایش اسپین خاصی از SO(3) هستند.

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی را می توان به دو مجموعه از توابع تقسیم کرد. [28] یکی توابع نیمکره ای (HSH)، متعامد و کامل روی نیمکره است. دیگری هارمونیک های نیمکره مکمل (CHSH) است.

کلیات [ ویرایش ]

تقارن حفظ زاویه دو کره توسط گروه تبدیل موبیوس PSL (2, C ) توصیف شده است. با توجه به این گروه، کره معادل کره معمولی ریمان است . گروه PSL(2, C ) هم شکل با گروه (مناسب) لورنتس است و عمل آن بر روی دو کره با عمل گروه لورنتس بر روی کره آسمانی در فضای مینکوفسکی مطابقت دارد . آنالوگ هارمونیک های کروی برای گروه لورنتس توسط سری هایپرهندسی داده شده است . علاوه بر این، هارمونیک‌های کروی را می‌توان بر حسب سری فراهندسی دوباره بیان کرد، زیرا SO(3) = PSU(2) زیرگروهی از PSL(2, C ) است .

به طور کلی تر، سری های فراهندسی را می توان برای توصیف تقارن های هر فضای متقارن تعمیم داد . به طور خاص، سری های فرا هندسی را می توان برای هر گروه لی توسعه داد . [29] [30] [31] [32]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به هارمونیک‌های کروی وجود دارد .

هارمونیک مکعبی (اغلب به جای هارمونیک های کروی در محاسبات استفاده می شود)
هارمونیک های استوانه ای
پایه کروی
هارمونیک های کروی اسپینور
هارمونیک های کروی با وزن اسپین
نظریه استورم-لیوویل
جدول هارمونیک های کروی
هارمونیک های کروی برداری
اوربیتال اتمی

یادداشت ها [ ویرایش ]

گزارشی تاریخی از رویکردهای مختلف به هارمونیک های کروی در سه بعد را می توان در فصل چهارم مک رابرت 1967 یافت. اصطلاح "هارمونیک های کروی لاپلاس" رایج است. به Courant & Hilbert 1962 و Meijer & Bauer 2004 مراجعه کنید.
^ رویکرد به هارمونیک‌های کروی در اینجا در ( Courant & Hilbert 1962 , §V.8, §VII.5) یافت می‌شود.
^ کاربردهای فیزیکی اغلب محلولی را می گیرند که در بی نهایت ناپدید می شود و A = 0 را می سازد . این بر بخش زاویه ای هارمونیک های کروی تأثیر نمی گذارد.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک کروی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی 2023-05-10 .
↑ Edmonds 1957 ، §2.5
^ سالن 2013 بخش 17.6
↑ Hall 2013 Lemma 17.16
↑ ویلیامز، ارل جی (1999). آکوستیک فوریه: تشعشعات صوتی و هولوگرافی صوتی نزدیک میدان . سن دیگو، کالیفرنیا: انتشارات آکادمیک. شابک 0080506909. OCLC 181010993 .
↑ مسیح، آلبرت (1999). مکانیک کوانتومی: دو جلد صحافی شده به عنوان یک جلد (دو جلد صحافی شده به عنوان یک، ویرایش مجدد بدون خلاصه). مینولا، نیویورک: دوور. شابک 9780486409245.
↑ کلود کوهن تانوجی؛ برنارد دیو; فرانک لالو (1996). مکانیک کوانتومی . ترجمه سوزان رید هملی; و همکاران Wiley-Interscience: ویلی. شابک 9780471569527.
^ a bپرش به بالا: بلیکلی، ریچارد (1995). نظریه پتانسیل در گرانش و کاربردهای مغناطیسی . کمبریج انگلستان نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 113 . شابک 978-0521415088.
^ هایسکانن و موریتز، ژئودزی فیزیکی، 1967، معادله. 1-62
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "فاز کاندون-شورتلی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 02-11-2022 .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 392.
به عنوان مثال، به ضمیمه A از Garg، A.، Electrodynamics Classical in a Nutshell (انتشارات دانشگاه پرینستون، 2012) مراجعه کنید.
^ لی، فیفی؛ براون، کارول؛ Garg, Anupam (2013), " The Weyl-Wigner-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , Bibcode : 2013EL ....10260006L 10260006L 10260006L . 102/60006 ، S2CID 119610178
↑ Edmonds، AR (1996). تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی . انتشارات دانشگاه پرینستون پ. 63 .
^ این برای هر مبنای متعارف هارمونیک های کروی درجه معتبر است . برای هارمونیک های توان واحد لازم است ضریب 4 π حذف شود .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 395
↑ Unsöld 1927
^ Stein & Weiss 1971 , §IV.2
^ برینک، دی.م. Satchler، GR حرکت زاویه ای . انتشارات دانشگاه آکسفورد. پ. 146.
↑ ارمنکو، یاکوبسون و نادیراشویلی 2007
^ سولومنتسف 2001 ; Stein & Weiss 1971 §IV.2
^ رجوع کنید به نتیجه 1.8 اکسلر، شلدون؛ رامی، وید (1995)، چند جمله ای هارمونیک و مسائل نوع دیریکله
↑ هیگوچی، آتسوشی (1987). "هارمونیک‌های کروی تانسور متقارن بر روی N-کره و کاربرد آنها در گروه دسیتر SO(N,1)" . مجله فیزیک ریاضی . 28 (7): 1553-1566. Bibcode : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 .
↑ Hall 2013 نتیجه 17.17
↑ ژنگ یی، وی کی، لیانگ بی، لی یی، چو ایکس (23-12-2019). "توابع مشابه Zernike در کلاهک کروی: اصل و کاربردها در اتصالات سطح نوری و رندر گرافیکی" . اپتیک اکسپرس . 27 (26): 37180–37195. Bibcode : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 .
↑ N. Vilenkin، توابع ویژه و نظریه بازنمودهای گروهی ، آم. ریاضی. Soc. ترجمه، ج. 22، (1968).
↑ جی دی تالمن، کارکردهای ویژه، رویکرد نظری گروهی ، (بر اساس سخنرانی های ای پی ویگنر)، WA بنجامین، نیویورک (1968).
↑ دبلیو میلر، تقارن و جداسازی متغیرها، ادیسون-وسلی، ریدینگ (1977).
^ A. Wawrzyńczyk، نمایندگی های گروهی و عملکردهای ویژه ، ناشران علمی لهستانی. ورشو (1984).

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

کورانت، ریچارد ؛ هیلبرت، دیوید (1962)، روشهای فیزیک ریاضی، جلد اول ، وایلی-اینترساینس.
Edmonds، AR (1957)، حرکت زاویه ای در مکانیک کوانتومی ، انتشارات دانشگاه پرینستون، ISBN 0-691-07912-9
ارمنکو، الکساندر؛ یاکوبسون، دیمیتری؛ نادیراشویلی، نیکولای (2007)، "درباره مجموعه های گرهی و حوزه های گرهی در S2 و R2" ، Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345-2360، doi : 10.5802/aif.2335 ، ISSN -09 ، 0373 2394544
هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
مک رابرت، TM (1967)، هارمونیک های کروی: رساله ابتدایی در مورد توابع هارمونیک، با کاربردها ، چاپ پرگامون.
مایجر، پل هرمان ارنست; بائر، ادموند (2004)، نظریه گروه: کاربرد در مکانیک کوانتومی ، دوور، شابک 978-0-486-43798-9.
سولومنتسف، ED (2001) [1994]، "هارمونیک های کروی" ، دایره المعارف ریاضیات ، چاپ EMS.
استاین، الیاس ؛ ویس، گیدو (1971)، مقدمه ای بر تحلیل فوریه در فضاهای اقلیدسی ، پرینستون، نیوجرسی: انتشارات دانشگاه پرینستون، شابک 978-0-691-08078-9.
Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome"، Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, Bibcode : 1927AnP...387..355U , doi : 10.1002/1033.1002.
ویتاکر، ای تی Watson, GN (1927), A Course of Modern Analysis , انتشارات دانشگاه کمبریج , ص. 392.

مراجع عمومی [ ویرایش ]

EW Hobson، نظریه هارمونیک های کروی و بیضی ، (1955) انتشارات چلسی. شرکت شابک 978-0-8284-0104-3 .
سی. مولر، هارمونیک های کروی ، (1966) اسپرینگر، یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، جلد. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 .
EU Condon و GH Shortley، Theory of Atomic Spectra ، (1970) کمبریج در انتشارات دانشگاه، ISBN 0-521-09209-4 ، به فصل 3 مراجعه کنید .
جی دی جکسون، الکترودینامیک کلاسیک ، ISBN 0-471-30932-X
آلبرت مسیحا، مکانیک کوانتومی ، جلد دوم. (2000) دوور. شابک 0-486-40924-4 .
مطبوعات، WH; Teukolsky، SA; Vetterling، WT; Flannery، BP (2007)، "بخش 6.7. هارمونیک های کروی" ، دستورهای عددی: هنر محاسبات علمی (ویرایش سوم)، نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج، ISBN 978-0-521-88068-8
DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum , (1988) World Scientific Publishing Co., سنگاپور, ISBN 9971-5-0107-4
وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک های کروی" . دنیای ریاضی .
مدوک، جان، هارمونیک های کروی در Boost.Math

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

هارمونیک کروی در MathWorld
نمایش سه بعدی کروی هارمونیک

دسته بندی ها :

- فیزیک اتمی
- تحلیل فوریه
- تحلیل هارمونیک
- معادلات دیفرانسیل جزئی
- تقارن چرخشی
- توابع فوق هندسی ویژه

$\mathbf {H} _{\ell }$

ااچهارمونیک های کروی درجه $\ell$ فقط فضای محدودیت در حوزه استاس2 $S^{2}$ از عناصرآ $\mathbf {A} _{\ell }$ . [6] همانطور که در مقدمه پیشنهاد شد، این دیدگاه احتمالاً منشأ اصطلاح "هارمونیک کروی" است (یعنی محدودیت در کره یک تابع هارمونیک ).

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

+ نوشته شده در یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 16:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-هارمونیک های کروی

یکی از منابع سردرگمی با تعریف توابع هارمونیک کروی مربوط به فاکتور فاز است $(-1)^{m}$ در ادبیات مکانیک کوانتومی معمولاً به عنوان فاز کاندون -شورتلی شناخته می شود. در جامعه مکانیک کوانتومی، استفاده از این فاکتور فاز در تعریف چندجمله‌ای لژاندر مرتبط ، یا اضافه کردن آن به تعریف توابع هارمونیک کروی، معمول است . در تعریف توابع هارمونیک کروی نیازی به استفاده از فاز Condon-Shortley وجود ندارد، اما گنجاندن آن می تواند برخی از عملیات مکانیکی کوانتومی، به ویژه کاربرد عملگرهای بالا بردن و پایین آوردن را ساده کند . جوامع ژئودزی [12] و مغناطیسی هرگز فاکتور فاز کاندون-شورتلی را در تعاریف خود از توابع هارمونیک کروی و همچنین در تعاریف چند جمله ای های لژاندر مرتبط نمی گنجانند. [13]

شکل حقیقی [ ویرایش ]

پایه حقیقی هارمونیک های کروی $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ را می توان بر حسب آنالوگ های مختلط آنها تعریف کرد: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ با تنظیم

${\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}- (-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text {if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{ \بلا }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2 }}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\راست)&{\text{if} }\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{ case}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]& {\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^ {m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{تراز شده}}$

قرارداد فاز کاندون-شورتلی در اینجا برای ثبات استفاده می شود. معادلات معکوس مربوطه که هارمونیک های کروی مختلط را تعریف می کنند: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ از نظر هارمونیک های کروی حقیقی $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ هستند

$Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell , -|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\ dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if }}\ m>0.\end{موارد}}$

هارمونیک های کروی حقیقی $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ گاهی اوقات به عنوان هارمونیک کروی تسرال شناخته می شوند . [14] این توابع مانند توابع مختلط دارای ویژگی های قاعده گرایی هستند: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ در بالا. هارمونیک های کروی حقیقی $Y_{\ell m}$ با m > 0 گفته می شود که از نوع کسینوس هستند و کسانی که m < 0 از نوع سینوسی دارند. دلیل این امر را می توان با نوشتن توابع بر حسب چند جمله ای های لژاندر به عنوان مشاهده کرد

$Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{ 4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \ تتا )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_ {\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{ \sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell } ^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}$

همان فاکتورهای سینوس و کسینوس را می توان در زیربخش زیر نیز مشاهده کرد که به بازنمایی دکارتی می پردازد.

برای لیستی از هارمونیک های کروی حقیقی تا و شامل اینجا را ببینید=4 $\ell =4$ ، که با خروجی معادلات بالا مطابقت دارد.

استفاده در شیمی کوانتومی [ ویرایش ]

همانطور که از راه حل های تحلیلی برای اتم هیدروژن مشخص است، توابع ویژه بخش زاویه ای تابع موج هارمونیک های کروی هستند. با این حال، راه حل های معادله شرودینگر غیر نسبیتی بدون ترم مغناطیسی را می توان حقیقی کرد. به همین دلیل است که اشکال حقیقی به طور گسترده در توابع پایه برای شیمی کوانتومی استفاده می شوند، زیرا برنامه ها پس از آن نیازی به استفاده از جبر مختلط ندارند. در اینجا، توجه به این نکته مهم است که توابع حقیقی همان فضایی هستند که توابع مختلط دارند.

به عنوان مثال، همانطور که از جدول هارمونیک های کروی مشاهده می شود ، توابع معمول p ( $\ell =1$ ) برای محورهای مختلط و ترکیبی هستند، اما نسخه های حقیقی اساساً فقط x ، y و z هستند .

هارمونیک های کروی به شکل دکارتی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی مختلط $Y_{\ell }^{m}$ ایجاد هارمونیک جامد با گسترش ازاس2 $S^{2}$ به همهآر3 $\mathbb {R} ^{3}$ به عنوان یک تابع همگن درجه $\ell$ ، یعنی تنظیم

$R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\ |}}\راست)$ معلوم می شود که $R_{\ell }^{m}$ مبنای فضای چندجمله ای های هارمونیک و همگن درجه است $\ell$ . به طور خاص، این بازنمایی از گروه چرخشی، مبنای (تا عادی سازی منحصر به فرد) Gelfand-Tsetlin است. $SO(3)$ و یک فرمول صریح برای $R_{\ell }^{m}$ در مختصات دکارتی می توان از آن حقیقیت استخراج کرد.

+ نوشته شده در یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 16:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-هارمونیک های کروی

${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}$
$L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}$ نتیجه می شود که

$0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.$
بنابراین λ = ( + 1) برای عدد صحیح مثبت = m + k .

موارد فوق همه در نمایش مختصات کروی کار شده است، $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ اما ممکن است به صورت انتزاعی تر در پایه کت کروی متعارف کامل بیان شود .
نمایش چند جمله ای هارمونیک [ ویرایش ]
همچنین ببینید: § ابعاد بالاتر
هارمونیک‌های کروی را می‌توان به صورت محدودیت در کره واحد توابع چند جمله‌ای خاص بیان کردآ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ . به طور خاص، ما می گوییم که یک تابع چند جمله ای (با ارزش مختلط).
$p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ درجه همگن است $\ell$ اگر
$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )$
برای همه اعداد حقیقی∈آر $\lambda \in \mathbb {R}$ و همه $x\in \mathbb {R} ^{3}$ . ما این را می گوییم
$p$ هارمونیک است اگر
،
$\Delta p=0,$ جایی کهΔ $\Delta$ لاپلاسی است . سپس برای هر کدام $\ell$ ، تعریف می کنیم
آ={چند جمله ای هارمونیک آ که از نظر درجه همگن هستند }.
$\mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{چندجمله‌ای هارمونیک }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{که همگن هستند درجه }}\ell \right\}.$

مثلاً وقتی=1 $\ell =1$ ، $\mathbf {A} _{1}$ فقط فضای 3 بعدی تمام توابع خطی است $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ ، زیرا هر تابعی به طور خودکار هارمونیک است. در ضمن وقتی=2 $\ell =2$ ، ما یک فضای 5 بعدی داریم:
$\mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_ {2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).$

برای هر $\ell$ ، فض
به عنوان مثال، برای هرج $c\in \mathbb {C}$ فرمول
$p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }$
یک چند جمله ای همگن درجه را تعریف می کند $\ell$ با دامنه و همدامنه A $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ ، که اتفاقا مستقل از $x_{3}$ . این چند جمله ای به راحتی هارمونیک دیده می شود. اگر بنویسیم
$p$ در مختصات کروی $(r,\theta,\varphi)$ و سپس محدود به=1 $r=1$ ، ما بدست می آوریم
پ=جگناه⁡(cos⁡+منگناه⁡)،
$p(\theta,\varphi)=c\sin(\theta)^{\ell }(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))^{\ell },$ که می توان آن را بازنویسی کرد
پ=ج(1-cos2⁡)همن.
$p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.$ پس از استفاده از فرمول چند جمله ای لژاندر مرتبط پ $P_{\ell }^{\ell }$ ، ممکن است این را به عنوان فرمول هارمونیک کروی تشخیص دهیم. $Y_{\ell }^{\ell }(\theta,\varphi).$ [7] (به بخش زیر در مورد موارد خاص هارمونیک های کروی مراجعه کنید.)

کنوانسیون ها [ ویرایش ]
متعامد و عادی سازی [ ویرایش ]
صحت حقیقی این بخش مورد مناقشه است . بحث مربوطه را ممکن است در صفحه بحث پیدا کنید . لطفاً کمک کنید تا اطمینان حاصل شود که اظهارات مورد مناقشه به طور قابل اعتماد منبع هستند . ( دسامبر 2017 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )
چندین نرمال سازی مختلف برای توابع هارمونیک کروی لاپلاس رایج است $S^{2}\to \mathbb {C}$ . در سراسر بخش، ما از قرارداد استاندارد استفاده می کنیممتر>0 $m>0$ ( چند جمله ای های مرتبط لژاندر را ببینید )
پ-متر=(-1)متر!(+متر)!
$P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^ {m}$ که نرمال سازی طبیعی با فرمول رودریگز است.

نمودار هارمونیک کروی $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ با $\ell =2$ و $m=1$ و= $\varphi =\pi$ در فضای مختلط از $-2-2i$ به $2+2i$ با رنگ های ایجاد شده با تابع Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
در آکوستیک ، [8] هارمونیک های کروی لاپلاس به طور کلی به این صورت تعریف می شوند (این قراردادی است که در این مقاله استفاده می شود)

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell - m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$
در حالی که در مکانیک کوانتومی : [9] [10]

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }} {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\ ورفی }$

جایی که $P_{\ell }^{m}$ چند جمله ای های لژاندر بدون فاز کاندون-شورتلی (برای جلوگیری از دوبار شمارش فاز) هستند.
در هر دو تعریف، هارمونیک های کروی متعامد هستند

$\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^ {m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}،$
جایی که δ ij دلتای کرونکر است و d Ω = sin( θ ) dφ dθ . این نرمال سازی در مکانیک کوانتومی استفاده می شود زیرا تضمین می کند که احتمال نرمال شده است، به عنوان مثال،

$\int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.$

رشته های ژئودزی [11] و تحلیل طیفی استفاده می شود

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell + m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$

که دارای توان واحد هستند

${\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^ {m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.$

در مقابل، جامعه مغناطیسی [11] از هارمونیک های نیمه نرمال شده اشمیت استفاده می کند

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{ \ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$

که عادی سازی را دارند

$\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^ {m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm' }.$

در مکانیک کوانتومی، گاهی اوقات از این نرمال‌سازی نیز استفاده می‌شود و پس از Giulio Racah ، نرمال‌سازی Racah نامیده می‌شود .

می توان نشان داد که همه توابع هارمونیک کروی نرمال شده بالا راضی کننده هستند

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{-m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\ ورفی )$

که در آن بالانویس * نشان دهنده صرف مختلط است. متناوبا، این معادله از رابطه توابع هارمونیک کروی با ماتریس D ویگنر ناشی می شود .

فاز کاندون-شورتلی [ ویرایش ]

+ نوشته شده در یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-هارمونیک های کروی

تاریخچه [ ویرایش ]

پیر سیمون لاپلاس ، 1749-1827

هارمونیک های کروی ابتدا در ارتباط با پتانسیل نیوتنی قانون گرانش جهانی نیوتن در سه بعد مورد بررسی قرار گرفتند. در سال 1782، پیر سیمون د لاپلاس ، در Mécanique Céleste خود ، تعیین کرد که پتانسیل گرانشی $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ در نقطه x مرتبط با مجموعه ای از جرم های نقطه m i واقع در نقاط x i توسط داده شد

$V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.$

هر جمله در جمع بالا یک پتانسیل نیوتنی منفرد برای یک جرم نقطه ای است. درست قبل از آن زمان، آدرین ماری لژاندر گسترش پتانسیل نیوتنی در توان های r = | x | و r 1 = | x 1 | . او کشف کرد که اگر r ≤ r 1 باشد ، پس

${\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma){\frac {1}{r_{1 }}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma){\frac {r^{2 }}{r_{1}^{3}}}+\cdots$

که γ زاویه بین بردارهای x و x 1 است . توابع $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ چند جمله ای های لژاندر هستند و می توان آنها را به عنوان حالت خاصی از هارمونیک های کروی به دست آورد. پس از آن، لاپلاس در خاطرات خود در سال 1782، این ضرایب را با استفاده از مختصات کروی برای نشان دادن زاویه γ بین x 1 و x بررسی کرد . ( برای تجزیه و تحلیل دقیق تر به کاربردهای چند جمله ای لژاندر در فیزیک مراجعه کنید.)

در سال 1867، ویلیام تامسون (لرد کلوین) و پیتر گاتری تایت هارمونیک‌های کروی جامد را در رساله‌ای در باب فلسفه طبیعی معرفی کردند و همچنین برای اولین بار نام "هارمونیک‌های کروی" را برای این توابع معرفی کردند. هارمونیک های جامد راه حل های چند جمله ای همگن بودندر $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ معادله لاپلاس

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$

تامسون و تایت با بررسی معادله لاپلاس در مختصات کروی، هارمونیک های کروی لاپلاس را بازیابی کردند. (به بخش زیر، "نمایش چند جمله ای هارمونیک" مراجعه کنید.) اصطلاح "ضرایب لاپلاس" توسط ویلیام ویول برای توصیف سیستم خاصی از راه حل های معرفی شده در امتداد این خطوط استفاده شد، در حالی که دیگران این نام را برای هارمونیک های کروی ناحیه ای که به درستی استفاده شده بودند، اختصاص دادند. توسط لاپلاس و لژاندر معرفی شد.

توسعه سری فوریه در قرن نوزدهم ، حل طیف گسترده ای از مسائل فیزیکی را در حوزه های مستطیلی، مانند حل معادله گرما و معادله موج ، ممکن کرد . این را می توان با بسط توابع در مجموعه ای از توابع مثلثاتی به دست آورد . در حالی که توابع مثلثاتی در یک سری فوریه حالت‌های اساسی ارتعاش در یک رشته را نشان می‌دهند ، هارمونیک‌های کروی حالت‌های اساسی ارتعاش یک کره را تقریباً به همان شکل نشان می‌دهند. بسیاری از جنبه های نظریه سری فوریه را می توان با بسط در هارمونیک های کروی به جای توابع مثلثاتی تعمیم داد. علاوه بر این، شبیه به اینکه چگونه توابع مثلثاتی را می‌توان به صورت نمایی مختلط نوشت ، هارمونیک‌های کروی نیز دارای شکلی معادل به عنوان توابع با مقادیر مختلط هستند. این یک موهبت برای مشکلاتی بود که دارای تقارن کروی بودند ، مانند مشکلات مکانیک سماوی که در ابتدا توسط لاپلاس و لژاندر مورد مطالعه قرار گرفت.

رواج هارمونیک های کروی در حال حاضر در فیزیک زمینه را برای اهمیت بعدی آنها در تولد مکانیک کوانتومی قرن بیستم فراهم کرد . هارمونیک های کروی (با ارزش مختلط). $S^{2}\to \mathbb {C}$ توابع ویژه مجذور عملگر تکانه زاویه ای مداری هستند

$-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,$

و بنابراین آنها پیکربندی های مختلف کوانتیزه شده اوربیتال های اتمی را نشان می دهند .

مقاله

+ نوشته شده در یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-هارمونیک های کروی

نمایش های بصری اولین هارمونیک های کروی واقعی. بخش‌های آبی نشان‌دهنده مناطقی هستند که تابع مثبت است و بخش‌های زرد نشان‌دهنده جایی که تابع منفی است. فاصله سطح از مبدا قدر مطلق را نشان می دهد $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ در جهت زاویه ای $(\theta,\varphi)$ .

در ریاضیات و علوم فیزیک ، هارمونیک های کروی توابع خاصی هستند که بر روی سطح یک کره تعریف می شوند . آنها اغلب در حل معادلات دیفرانسیل جزئی در بسیاری از زمینه های علمی به کار می روند. لیستی از هارمونیک های کروی در جدول هارمونیک های کروی موجود است .

از آنجایی که هارمونیک‌های کروی مجموعه کاملی از توابع متعامد و در نتیجه یک مبنای متعامد را تشکیل می‌دهند ، هر تابعی که روی سطح یک کره تعریف می‌شود را می‌توان به عنوان مجموع این هارمونیک‌های کروی نوشت. این شبیه به توابع تناوبی است که روی یک دایره تعریف شده است که می تواند به عنوان مجموع توابع دایره ای (سینوس ها و کسینوس ها) از طریق سری فوریه بیان شود . مانند سینوس ها و کسینوس ها در سری فوریه، هارمونیک های کروی ممکن است با فرکانس زاویه ای (مکانی) سازماندهی شوند ، همانطور که در ردیف های توابع در تصویر سمت راست دیده می شود. علاوه بر این، هارمونیک‌های کروی توابع پایه‌ای برای نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر SO (3) ، گروه چرخش‌های سه‌بعدی هستند، و بنابراین نقش مرکزی در بحث نظری گروهی SO(3) دارند.

هارمونیک های کروی از حل معادله لاپلاس در حوزه های کروی سرچشمه می گیرند. توابعی که راه حل معادله لاپلاس هستند هارمونیک نامیده می شوند . هارمونیک‌های کروی با وجود نامشان، ساده‌ترین شکل خود را در مختصات دکارتی به خود می‌گیرند، جایی که می‌توان آن‌ها را به عنوان چندجمله‌ای همگن درجه تعریف کرد . $\ell$ که در $(x,y,z)$ که از معادله لاپلاس پیروی می کنند. اگر کسی از همگنی برای استخراج یک عامل وابستگی شعاعی استفاده کند، ارتباط با مختصات کروی بلافاصله ایجاد می شود. $r^{\ell }$ از چند جمله ای درجه فوق الذکر $\ell$ ; عامل باقی مانده را می توان تابعی از مختصات زاویه ای کروی در نظر گرفت $\تتا$ و $\varphi$ فقط، یا معادل آن بردار واحد جهتی $\mathbf {r}$ با این زوایا مشخص می شود. در این تنظیمات، آنها ممکن است به عنوان بخش زاویه ای مجموعه ای از راه حل های معادله لاپلاس در سه بعد در نظر گرفته شوند، و این دیدگاه اغلب به عنوان یک تعریف جایگزین در نظر گرفته می شود. با این حال، توجه داشته باشید که هارمونیک های کروی توابعی بر روی کره نیستند که با توجه به عملگر لاپلاس-بلترامی برای متریک استاندارد گرد روی کره، هارمونیک باشند: تنها توابع هارمونیک از این نظر در کره، ثابت ها هستند، زیرا توابع هارمونیک هستند. اصل حداکثر را برآورده کنید . هارمونیک های کروی، به عنوان توابع روی کره، توابع ویژه عملگر لاپلاس-بلترامی هستند (به بخش ابعاد بالاتر در زیر مراجعه کنید).

مجموعه خاصی از هارمونیک های کروی، نشان داده شده است $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ یا $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$ به عنوان هارمونیک های کروی لاپلاس شناخته می شوند، زیرا اولین بار توسط پیر سیمون د لاپلاس در سال 1782 معرفی شدند .

هارمونیک‌های کروی در بسیاری از کاربردهای نظری و عملی، از جمله نمایش میدان‌های الکترواستاتیک و الکترومغناطیسی چند قطبی ، پیکربندی‌های الکترونی ، میدان‌های گرانشی ، زمین‌های زمین ، میدان‌های مغناطیسی اجرام سیاره‌ای و ستارگان، و تابش پس‌زمینه مایکروویو کیهانی مهم هستند . در گرافیک کامپیوتری سه بعدی ، هارمونیک های کروی در موضوعات مختلف از جمله نور غیر مستقیم ( انسداد محیط ، روشنایی جهانی ، انتقال تابش از پیش محاسبه شده و غیره) و مدل سازی اشکال سه بعدی نقش دارند.

+ نوشته شده در یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 15:22 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-براکت پواسون

ماتریس پواسون در تبدیلات متعارف [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تبدیل متعارف

مفهوم براکت های پواسون را می توان با تعریف ماتریس پواسون به مفهوم ماتریس ها گسترش داد.

تبدیل متعارف زیر را در نظر بگیرید:

$\eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}} \quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{ bmatrix}}$ تعریف کردنم: ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ، ماتریس پواسون به صورت تعریف شده است ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ، جایی که $J$ ماتریس سمپلتیکی است که تحت همان قراردادها برای مرتب کردن مجموعه مختصات استفاده می شود. از تعریف بر می آید که:

${\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac { \partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right) =\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j} }{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_ {k}}}\right)=\{\varepsilon _{i}،\varepsilon _{j}\}_{\eta }.$

ماتریس پواسون ویژگی های شناخته شده زیر را برآورده می کند:

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{ |M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=- {\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{تراز شده}}$

جایی که ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$ به عنوان ماتریس لاگرانژ شناخته می شود و عناصر آن با براکت های لاگرانژ مطابقت دارد . آخرین اتحاد را نیز می توان به صورت زیر بیان کرد:

$\sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i}،\eta _{k}\}[\eta _{k}،\eta _{j}]=-\ دلتا _{ij}$

توجه داشته باشید که جمع در اینجا شامل مختصات تعمیم یافته و همچنین تکانه تعمیم یافته است.

عدم تغییر براکت پواسون را می توان به صورت زیر بیان کرد: ${\textstyle \{\varepsilon _{i}،\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i}،\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_ {ij}}$ ، که مستقیماً منجر به وضعیت علامتی می شود: ${\textstyle MJM^{T}=J}$ . [1]

ثابت حرکت [ ویرایش ]

یک سیستم دینامیکی یکپارچه، علاوه بر انرژی، ثابت‌های حرکتی نیز خواهد داشت . چنین ثابت های حرکتی با همیلتونین زیر براکت پواسون جابه جا می شوند. یک تابع را فرض کنید $f(p,q)$ ثابت حرکت است این به این معنی است که اگر $p(t),q(t)$ یک مسیر یا راه حل برای معادلات حرکت همیلتون است ، پس

$0={\frac {df}{dt}}$ در طول آن مسیر سپس

$0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}$

همانطور که در بالا، مرحله میانی با اعمال معادلات حرکت دنبال می شود و فرض می کنیم که $f$ به صراحت به زمان بستگی ندارد. این معادله به معادله لیوویل معروف است . محتوای قضیه لیوویل این است که تکامل زمانی یک اندازه گیری توسط تابع توزیع داده می شود $f$ با معادله فوق به دست می آید.

اگر براکت پواسون از $f$ و $g$ ناپدید می شود ( $\{f,g\}=0$ )، سپس $f$ و $g$ می گویند در انقطاع . برای اینکه یک سیستم همیلتونی کاملاً یکپارچه شود ، $n$ ثابت های مستقل حرکت باید در چرخش متقابل باشند ، جایی که $n$ تعداد درجات آزادی است.

علاوه بر این، با توجه به قضیه پواسون ، اگر دو کمیت $A$ و $B$ صراحتاً مستقل از زمان هستند $A(p,q),B(p,q)$ ) ثابت های حرکت، براکت پواسون آنها نیز همینطور است $\{A,\,B\}$ . با این حال، این همیشه نتیجه مفیدی را ارائه نمی دهد، زیرا تعداد ثابت های حرکتی ممکن محدود است $2n-1$ برای یک سیستم با $n$ درجات آزادی)، و بنابراین نتیجه ممکن است بی اهمیت باشد (یک ثابت یا تابعی از $A$ و $B$ .)

براکت پواسون به زبان بدون مختصات [ ویرایش ]

اجازه دهید $M$ منیفولد نمادین باشد ، یعنی منیفولد مجهز به یک شکل نمادین : یک 2 شکل $\omega$ که هر دو بسته است (یعنی مشتق بیرونی آن $d\omega$ ناپدید می شود) و غیر منحط . به عنوان مثال، در درمان فوق، مصرف کنید $M$ بود $\mathbb {R} ^{2n}$ و بگیر

$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}.$

اگر $\iota _{v}\omega$ ضرب داخلی یا عملیات انقباض تعریف شده توسط $(\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)$ ، پس عدم انحطاط برابر است با گفتن این که برای هر یک شکل $\alpha$ یک فیلد برداری منحصر به فرد وجود دارد $\Omega _{\alpha }$ به طوری که $\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha$ . متناوبا، از سوی دیگر، $\Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)$ . سپس اگر $H$ یک عملکرد صاف است $M$ ، میدان برداری هامیلتونی $X_{H}$ را می توان تعریف کرد $\Omega _{dH}$ . دیدن آن آسان است

${\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac { \جزئی }{\جزئی p_{i}}}.\end{تراز شده}}$

براکت پواسون $\ \{\cdot,\,\cdot \}$ on ( M , ω ) یک عملیات دوخطی روی توابع متمایز است که توسط تعریف شده است $\{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})$ ; براکت پواسون دو تابع روی M خود تابعی از M است . براکت پواسون ضد متقارن است زیرا:

$\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.$

علاوه بر این،

${\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\& =(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_ {g}}f.\end{تراز شده}}$

( 1 )

در اینجا X g f نشان دهنده میدان برداری X g اعمال شده به تابع f به عنوان یک مشتق جهت، و است ${\mathcal {L}}_{X_{g}}f$ مشتق لی (کاملا معادل) تابع f را نشان می دهد .

اگر α یک شکل دلخواه روی M باشد ، میدان برداری Ω α یک جریان (حداقل به صورت محلی) ایجاد می کند. $\phi _{x}(t)$ ارضای شرایط مرز $\phi _{x}(0)=x$ و معادله دیفرانسیل مرتبه اول

${\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.$

را $\phi _{x}(t)$ برای هر t تابعی از x خواهد بود اگر و فقط اگر ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0$ ; وقتی این درست باشد، Ω α را یک میدان برداری سمپلتیک می نامند . یادآوری اتحاد کارتن ${\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega$ و d ω = 0 ، نتیجه می شود که ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\; =\;d\alpha$ . بنابراین، Ω α یک میدان برداری نمادین است اگر و فقط اگر α یک شکل بسته باشد . از آنجا که $d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0$ ، نتیجه می شود که هر میدان برداری هامیلتونی X f یک میدان برداری ساده است و جریان همیلتونی متشکل از تبدیلات متعارف است. از (1) بالا، تحت جریان همیلتونی X H ،

${\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.$

این یک نتیجه اساسی در مکانیک هامیلتونی است که بر تکامل زمانی توابع تعریف شده در فضای فاز حاکم است. همانطور که در بالا ذکر شد، وقتی { f ، H } = 0 ، f ثابت حرکت سیستم است. علاوه بر این، در مختصات متعارف (با $\{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0$ و $\{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}$ معادلات همیلتون برای تکامل زمانی سیستم بلافاصله از این فرمول پیروی می کند.

همچنین از (1) نتیجه می گیرد که براکت پواسون یک مشتق است . به این معنا که یک نسخه غیر تعویضی از قانون ضرب لایب نیتس را برآورده می کند :

$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},$

$\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$

( 2 )

براکت پواسون به طور نزدیک به براکت لی فیلدهای برداری همیلتونی متصل است. چون مشتق لی یک مشتق است،

${\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{ \mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .$

بنابراین اگر v و w ساده هستند، با استفاده از ${\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0$ ، اتحاد کارتن و این واقعیت که $\iota _{w}\omega$ یک فرم بسته است،

$\iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w} \omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)) .$

نتیجه می شود که $[v,w]=X_{\omega (w,v)}$ ، به طوری که

$[X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}= -X_{\{f،g\}}.$

( 3 )

بنابراین، براکت پواسون روی توابع با براکت لی فیلدهای برداری همیلتونی مرتبط است. ما همچنین نشان داده‌ایم که براکت دروغ دو میدان برداری نمادین، یک میدان برداری همیلتونی است و از این رو نیز نمادین است. در زبان جبر انتزاعی ، میدان‌های برداری سمپلتیک، جبر فرعی جبر لی از میدان‌های برداری صاف روی M را تشکیل می‌دهند ، و میدان‌های برداری همیلتونی ایده‌آل این زیر جبر را تشکیل می‌دهند. میدان‌های برداری نمادین جبر لی از گروه لی (بی‌بعدی) از سمپلکتومورفیسم‌های M هستند .

به طور گسترده ادعا می شود که اتحاد ژاکوبی برای براکت پواسون،

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$ از اتحاد متناظر برای براکت لی فیلدهای برداری به دست می آید، اما این فقط تا یک تابع ثابت محلی صادق است. با این حال، برای اثبات اتحاد ژاکوبی برای براکت پواسون، کافی است نشان دهیم که:

$\operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname { تبلیغ} _{g}]$ جایی که اپراتور $\operatorname {ad} _{g}$ در توابع صاف در M با تعریف شده است $\operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}$ و براکت در سمت راست جابجایی اپراتورها است، $[\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A}$ . توسط (1) ، اپراتور $\operatorname {ad} _{g}$ برابر با عملگر X g است . اثبات اتحاد ژاکوبی از (3) به دست می‌آید ، زیرا تا ضریب 1-، براکت لی میدان‌های برداری فقط جابجایی آن‌ها به عنوان عملگرهای دیفرانسیل است.

جبر توابع صاف روی M، همراه با براکت پواسون، جبر پواسون را تشکیل می‌دهد، زیرا جبر لی در زیر براکت پواسون است ، که علاوه بر این قانون لایب‌نیتس (2) را برآورده می‌کند . ما نشان داده‌ایم که هر منیفولد سمپلتیک یک منیفولد پواسون است ، که یک منیفولد با عملگر «براکت فرفری» روی توابع صاف است، به طوری که توابع صاف یک جبر پواسون را تشکیل می‌دهند. با این حال، همه منیفولدهای پواسون به این شکل به وجود نمی‌آیند، زیرا منیفولدهای پواسون امکان انحطاط را می‌دهند که در حالت ساده نمی‌تواند ایجاد شود.

نتیجه‌ای بر لحظه‌ای مزدوج [ ویرایش ]

با توجه به یک میدان برداری صاف ایکس $X$ در فضای پیکربندی، اجازه دهید $P_{X}$ حرکت مزدوج آن باشد . نگاشت حرکت مزدوج یک جبر دروغ ضد هم شکلی از براکت لی تا براکت پواسون است:

$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.$

این نتیجه مهم ارزش یک اثبات کوتاه را دارد. یک فیلد برداری بنویسید $X$ در نقطه $q$ در فضای پیکربندی به عنوان

$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$ جایی که ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ چارچوب مختصات محلی است. حرکت مزدوج به $X$ بیان را دارد

$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$

جایی که $p_{i}$ توابع تکانه با مختصات مزدوج هستند. یکی پس از آن، برای یک نقطه $(q,p)$ در فضای فاز ،

${\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i} (q)\;p_{i}،Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q) {\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}( q,p).\end{تراز شده}}$

موارد فوق برای همه صدق می کند $(q,p)$ ، نتیجه مطلوب را می دهد.

کوانتیزاسیون [ ویرایش ]

براکت‌های پواسون با کوانتیزاسیون به براکت‌های مویال تغییر شکل می‌دهند ، یعنی به جبر دروغ متفاوت، جبر مویال ، یا به طور معادل در فضای هیلبرت ، کموتاتورهای کوانتومی تعمیم می‌یابند . انقباض گروه Wigner-İnönü اینها (حد کلاسیک، ħ → 0 ) جبر دروغ بالا را به دست می دهد.

برای بیان صریح تر و دقیق تر، جبر فراگیر جهانی جبر هایزنبرگ جبر ویل است (مدول رابطه ای که مرکز واحد است). حاصل ضرب مویال یک مورد خاص از ضرب ستاره در جبر نمادها است. تعریف صریح جبر نمادها و محصول ستاره در مقاله جبر فراگیر جهانی ارائه شده است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

کموتاتور
براکت دیراک
براکت لاگرانژ
براکت مویال
براکت Peierls
فضای فاز
جبر پواسون
انگشتر پواسون
ابرجبر پواسون
سوپربراکت پواسون

اظهارات [ ویرایش ]

^ $f(p_{i},\,q_{i},\,t)$ به معنای $f$ تابعی از $2N+1$ متغیرهای مستقل: تکانه $p_{1\dots N}$ ; موقعیت، $q_{1\dots N}$ ; و زمان، $t$

منابع [ ویرایش ]

↑ Giacaglia، Giorgio EO (1972). روش های اغتشاش در سیستم های غیر خطی علوم ریاضی کاربردی. نیویورک هایدلبرگ: اسپرینگر. صص 8-9. شابک 978-3-540-90054-2.

آرنولد، ولادیمیر I. (1989). روشهای ریاضی مکانیک کلاسیک (ویرایش دوم). نیویورک: اسپرینگر. شابک 978-0-387-96890-2.
لاندو، لو دی . لیفشیتز، اوجنی ام (1982). مکانیک . درس فیزیک نظری . جلد 1 (ویرایش سوم). باترورث-هاینمن. شابک 978-0-7506-2896-9.
کاراسف، میخائیل وی. ماسلوف، ویکتور پی (1993). براکت های غیرخطی پواسون، هندسه و کوانتیزاسیون . ترجمه تک نگاری های ریاضی. جلد 119. ترجمه سوسینسکی، الکسی; شیشکوا، MA Providence، RI: انجمن ریاضی آمریکا. شابک 978-0821887967. MR 1214142 .
مورتی، والتر (2023). مکانیک تحلیلی، مکانیک کلاسیک، لاگرانژی و همیلتونی، نظریه پایداری، نسبیت خاص . UNITEXT. جلد 150. اسپرینگر. شابک 978-3-031-27612-5.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

"براکت پواسون" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]
اریک دبلیو وایستاین "براکت پواسون" . دنیای ریاضی .

دسته بندی ها :

هندسه ساده
مکانیک هامیلتونی
نقشه های دو خطی
مفاهیم در فیزیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 23:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-براکت پواسون

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

سیمئون دنیس پواسون

بخشی از یک سریال در

مکانیک کلاسیک

${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$

قانون دوم حرکت

تاریخ
جدول زمانی
کتاب های درسی

نشان می دهد

شاخه ها

نشان می دهد

مبانی

پنهان شدن

فرمولاسیون

قوانین حرکت نیوتن
مکانیک تحلیلی
- مکانیک لاگرانژی
- مکانیک هامیلتونی
- مکانیک روتین
- معادله همیلتون-جاکوبی
- معادله حرکت اپل
- مکانیک کو-فون نیومن

نشان می دهد

موضوعات اصلی

نشان می دهد

چرخش

نشان می دهد

دانشمندان

پورتال فیزیک
دسته بندی

v
تی
ه

در ریاضیات و مکانیک کلاسیک ، براکت پواسون یک عملیات دوتایی مهم در مکانیک همیلتونی است که نقش اصلی را در معادلات حرکت همیلتون، که بر تکامل زمانی یک سیستم دینامیکی همیلتونی حاکم است، ایفا می‌کند . براکت پواسون همچنین دسته خاصی از تبدیل مختصات را متمایز می کند که تبدیلات متعارف نامیده می شود که سیستم های مختصات متعارف را به سیستم های مختصات متعارف ترسیم می کند. یک "سیستم مختصات متعارف" متشکل از متغیرهای موقعیت متعارف و تکانه (زیر با نماد $q_{i}$ و $p_{i}$ به ترتیب) که روابط متعارف براکت پواسون را برآورده می کنند. مجموعه ای از تبدیل های ممکن متعارف همیشه بسیار غنی است. به عنوان مثال، اغلب می توان خود همیلتونی را انتخاب کرد $H=H(q,p,t)$ به عنوان یکی از مختصات تکانه متعارف جدید.

در یک مفهوم کلی تر، براکت پواسون برای تعریف جبر پواسون استفاده می شود که جبر توابع روی منیفولد پواسون یک مورد خاص از آن است. مثال‌های کلی دیگری نیز وجود دارد: در نظریه جبرهای دروغ ، جایی که جبر تانسور یک جبر دروغ، جبر پواسون را تشکیل می‌دهد، اتفاق می‌افتد. یک ساختار دقیق از چگونگی این امر در مقاله جبر پوششی جهانی ارائه شده است . تغییر شکل های کوانتومی جبر فراگیر جهانی به مفهوم گروه های کوانتومی منجر می شود .

همه این اشیاء به افتخار سیمئون دنیس پواسون نامگذاری شده اند .

خواص [ ویرایش ]

با توجه به دو تابع f و g که به فضا و زمان فاز بستگی دارند، براکت پواسون آنها $\{f,g\}$ تابع دیگری است که به فضا و زمان فاز بستگی دارد. قوانین زیر برای هر سه تابع صادق است $f,\,g,\,h$ فضا و زمان فاز:

ضد جابجایی

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

دوخطی بودن

$\{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\ }+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R}$

قانون لایب نیتس

$\{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}$

اتحاد ژاکوبی

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

همچنین، اگر یک تابعک $k$ در فضای فاز ثابت است (اما ممکن است به زمان بستگی داشته باشد). $\{f,\,k\}=0$ برای هرچی $f$ .

تعریف در مختصات متعارف [ ویرایش ]

در مختصات متعارف (همچنین به عنوان مختصات داربوکس شناخته می شود ) $(q_{i},\,p_{i})$ در فضای فاز ، با توجه به دو تابع $f(p_{i},\,q_{i},t)$ و $g(p_{i},\,q_{i},t)$ ، [یادداشت 1] براکت پواسون شکل می گیرد

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g }{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).$

براکت های پواسون مختصات متعارف هستند

${\begin{aligned}\{q_{i},q_{j}\}&=0\\\{p_{i},p_{j}\}&=0\\\{q_{i },p_{j}\}&=\delta _{ij}\end{تراز شده}}$ جایی که $\delta _{ij}$ دلتای کرونکر است .

معادلات حرکت همیلتون [ ویرایش ]

معادلات حرکت همیلتون بر حسب براکت پواسون بیانی معادل دارند. این ممکن است مستقیماً در یک چارچوب مختصات صریح نشان داده شود. فرض کنید که $f(p,q,t)$ تابعی در مسیر منیفولد راه حل است. سپس از قانون زنجیره چند متغیره ،

${\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.$

علاوه بر این، یکی ممکن است $p=p(t)$ و $q=q(t)$ برای حل معادلات همیلتون . به این معنا که،

${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}= -{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{موارد}}$

سپس

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H }{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t} }\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{تراز شده}}$

بنابراین، تکامل زمانی یک تابع $f$ بر روی یک منیفولد سمپلتیک را می توان به عنوان یک خانواده یک پارامتری از سمپلکتومورفیسم ها (به عنوان مثال، تبدیلات متعارف ، دیفرمورفیسم های حفظ سطح)، با زمان ارائه کرد.تی $t$ بودن پارامتر: حرکت همیلتونی یک تبدیل متعارف است که توسط همیلتون ایجاد می شود. یعنی براکت های پواسون در آن محفوظ است تا هر زمانتی $t$ در حل معادلات همیلتون،

$q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p( 0)$ می تواند به عنوان مختصات براکت عمل کند. براکت های پواسون متغیرهای متعارفی هستند .

انداختن مختصات،

${\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.$

عملگر در قسمت همرفتی مشتق، $i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}$ ، گاهی اوقات به عنوان Liouvillian شناخته می شود (به قضیه لیوویل (همیلتونی) مراجعه کنید ).

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 23:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

5-نظریه میدان لاگرانژی

جاذبه انیشتین [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اقدام انیشتین–هیلبرت

چگالی لاگرانژ برای نسبیت عام در حضور میدان های ماده است

${\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}} ={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}$

جایی که $\Lambda$ ثابت کیهانی است ،آر $R$ اسکالر انحنای است که تانسور ریچی منقبض با تانسور متریک است و تانسور ریچی تانسور ریمان است که با دلتای کرونکر منقبض شده است . انتگرال از ${\mathcal {L}}_{\text{EH}}$ به عمل اینشتین-هیلبرت معروف است . تانسور ریمان تانسور نیروی جزر و مدی است و از نمادهای کریستوفل و مشتقات نمادهای کریستوفل ساخته شده است که ارتباط متریک را در فضازمان تعریف می کند. خود میدان گرانشی از نظر تاریخی به تانسور متریک نسبت داده می شد. دیدگاه مدرن این است که ارتباط "بنیادی تر" است. این به دلیل درک این است که می توان اتصالات را با پیچش غیر صفر نوشت . اینها متریک را بدون تغییر یک بیت هندسه تغییر می دهند. در مورد "جهت واقعی گرانش" (مثلاً روی سطح زمین، به سمت پایین است)، این از تانسور ریمان می آید: این چیزی است که "میدان نیروی گرانشی" را توصیف می کند که اجسام متحرک احساس می کنند و واکنش نشان می دهند. به. (این عبارت آخر باید واجد شرایط باشد: فی نفسه "میدان نیرو" وجود ندارد ؛ اجسام متحرک از ژئودزیک ها در منیفولد توصیف شده توسط اتصال پیروی می کنند. آنها در یک " خط مستقیم " حرکت می کنند.)

لاگرانژ برای نسبیت عام نیز می تواند به شکلی نوشته شود که آن را آشکارا شبیه معادلات یانگ میلز می کند. این اصل عمل انیشتین یانگ میلز نامیده می شود . این کار با توجه به این که بیشتر هندسه دیفرانسیل روی باندل هایی با اتصال افین و گروه Lie دلخواه "به خوبی" کار می کند، انجام می شود. سپس، با وصل کردن SO(3،1) برای آن گروه تقارن، یعنی برای میدانهای فریم ، معادلات بالا به دست می آید. [2] [3]

جایگزینی این لاگرانژ به معادله اویلر-لاگرانژ و گرفتن تانسور متریک $g_{\mu \nu }$ به عنوان میدان، معادلات میدان انیشتین را به دست می آوریم

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c ^{4}}}T_{\mu \nu }\,.$ $T_{\mu \nu }$

تانسور تکانه انرژی است و با تعریف می شود

$T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} } {\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\ delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.$ جایی که $g$ وقتی به عنوان یک ماتریس در نظر گرفته شود، تعیین کننده تانسور متریک است. به طور کلی، در نسبیت عام، معیار انتگرال عمل چگالی لاگرانژ است ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ . این باعث می شود مختصات انتگرال مستقل باشد، زیرا ریشه تعیین متریک معادل دترمینان ژاکوبین است . علامت منفی نتیجه امضای متریک است (تعیین کننده به خودی خود منفی است). [5] این نمونه‌ای از فرم حجمی است که قبلاً مورد بحث قرار گرفت و در فضازمان غیر مسطح آشکار می‌شود.

الکترومغناطیس در نسبیت عام [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادلات ماکسول در فضازمان منحنی

چگالی لاگرانژ الکترومغناطیس در نسبیت عام نیز حاوی عمل انیشتین-هیلبرت از بالا است. لاگرانژی الکترومغناطیسی خالص دقیقاً یک ماده لاگرانژی است موضوع ${\mathcal {L}}_{\text{matter}}$ . لاگرانژی است

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0} }F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^ {4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{انیشتین–هیلبرت }}.\end{تراز شده}}$

این لاگرانژی به سادگی با جایگزین کردن متریک مینکوفسکی در لاگرانژی مسطح بالا با یک متریک عمومی تر (احتمالاً منحنی) به دست می آید. $g_{\mu \nu }(x)$ . ما می توانیم معادلات میدان انیشتین را در حضور میدان EM با استفاده از این لاگرانژی تولید کنیم. تانسور انرژی - تکانه است

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu } (x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{}}\lambda } ^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x )F^{\rho \sigma }(x)\right)$

می توان نشان داد که این تانسور تکانه انرژی بدون ردیابی است، یعنی آن

$T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0$

اگر ردی از دو طرف معادلات میدان انیشتین را بگیریم، به دست می آید

$R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T$

بنابراین بی اثر بودن تانسور تکانه انرژی نشان می دهد که اسکالر انحنا در یک میدان الکترومغناطیسی ناپدید می شود. معادلات اینشتین پس از آن است

$R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^ {\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$

علاوه بر این، معادلات ماکسول هستند

$D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }$ جایی که $D_{\mu }$ مشتق کوواریانت است . برای فضای آزاد، می توانیم تانسور فعلی را برابر با صفر قرار دهیم، $j^{\mu }=0$ . حل معادلات انیشتین و ماکسول حول یک توزیع جرم کروی متقارن در فضای آزاد منجر به سیاهچاله باردار رایسنر-نوردستروم با عنصر خط تعیین کننده (نوشته شده در واحدهای طبیعی و با بار Q ) می شود: [5]

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\راست )\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\راست)^ {-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$

یکی از راه های ممکن برای متحد کردن لاگرانژین الکترومغناطیسی و گرانشی (با استفاده از بعد پنجم) توسط نظریه کالوزا-کلین ارائه شده است . [2] به طور موثر، یک بسته نرم افزاری مانند معادلات یانگ-میلز که قبلا داده شد ساخته می شود، و سپس عمل را به طور جداگانه روی قسمت های 4 بعدی و 1 بعدی در نظر می گیرد. این گونه فاکتورگیری ها ، مانند این واقعیت که می توان 7 کره را حاصل ضرب 4 کره و 3 کره نوشت، یا اینکه 11 کره حاصلضرب 4 کره و 7 کره است، به حساب می آید. برای بسیاری از هیجانات اولیه که نظریه ای درباره همه چیز پیدا شده بود. متأسفانه، 7 کره به اندازه کافی بزرگ نیست که تمام مدل استاندارد را در بر بگیرد و این امیدها را بر باد داد.

نمونه های اضافی [ ویرایش ]

مدل BF لاگرانژی، مخفف «زمینه پس‌زمینه»، سیستمی را با دینامیک بی‌اهمیت توصیف می‌کند، زمانی که بر روی یک منیفولد فضازمان مسطح نوشته می‌شود. در یک فضازمان از نظر توپولوژیکی غیر پیش پا افتاده، سیستم راه حل های کلاسیک غیر پیش پا افتاده ای خواهد داشت که ممکن است به عنوان سالیتون یا لحظه تفسیر شوند . توسعه‌های متنوعی وجود دارد که پایه‌های نظریه‌های میدان توپولوژیکی را تشکیل می‌دهند .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

حساب تغییرات
نظریه میدان کلاسیک کوواریانت
معادله اویلر – لاگرانژ
مشتق تابعی
انتگرال عملکردی
مختصات تعمیم یافته
مکانیک هامیلتونی
نظریه میدان همیلتونی
اصطلاح جنبشی
مختصات لاگرانژی و اولری
مکانیک لاگرانژی
نقطه لاگرانژی
سیستم لاگرانژی
قضیه نوتر
تابع Onsager–Machlup
اصل کمترین عمل
نظریه میدان اسکالر

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اختصار کردن تمام مشتقات و مختصات در چگالی لاگرانژی به صورت زیر یک سوء استفاده استاندارد از نماد است:

${\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi,x_{\mu })$ چهار گرادیان را ببینید . μ شاخصی است که مقادیر 0 (برای مختصات زمانی) و 1، 2، 3 (برای مختصات مکانی) را می گیرد، بنابراین به طور دقیق فقط یک مشتق یا مختصات وجود دارد . به طور کلی، تمام مشتقات مکانی و زمانی در چگالی لاگرانژی ظاهر می شوند، به عنوان مثال در مختصات دکارتی، چگالی لاگرانژی به شکل کامل است:

${\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\ frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$ در اینجا ما همان چیزی را می نویسیم، اما از ∇ برای مخفف کردن تمام مشتقات فضایی به عنوان بردار استفاده می کنیم.

نقل قول ها [ ویرایش ]

↑ رالف آبراهام و جرولد ای. مارسدن، (1967) "مبانی مکانیک"
^ پرش به بالا:دیوید بلیکر (1981) "نظریه سنج و اصول تغییر " ادیسون - وسلی
^ پرش به بالا:a b c d e f Jurgen Jost، (1995) "هندسه ریمانی و تحلیل هندسی"، اسپرینگر
^ ماندل، اف. شاو، جی (2010). «نظریه میدان لاگرانژی». نظریه میدان کوانتومی (ویرایش دوم). وایلی. پ. 25-38 . شابک 978-0-471-49684-7.
^ پرش به بالا:a b c Zee, Anthony (2013). گرانش اینشتین به طور خلاصه پرینستون: انتشارات دانشگاه پرینستون. صص 344 –390. شابک 9780691145587.
↑ کیهیل، کوین (2013). ریاضیات فیزیکی . کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 9781107005211.
↑ جوست، یورگن (2002). "عملکردی گینزبورگ-لاندو". هندسه ریمانی و تحلیل هندسی (ویرایش سوم). Springer-Verlag. صص 373 –381. شابک 3-540-42627-2.
^ Itzykson-Zuber, eq. 3-152
↑ کلود ایتیکسون و ژان برنارد زوبر، (1980) "نظریه میدان کوانتومی"

دسته بندی ها :

فیزیک ریاضی
نظریه میدان کلاسیک
حساب تغییرات
نظریه میدان کوانتومی

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_(field_theory)

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

4-نظریه میدان لاگرانژی

الکترومغناطیس و معادلات یانگ میلز [ ویرایش ]

با استفاده از اشکال دیفرانسیل ، عمل الکترومغناطیسی S در خلاء روی منیفولد ریمانی (شبه) ${\mathcal {M}}$ را می توان نوشت (با استفاده از واحدهای طبیعی c = ε 0 = 1 ) به صورت

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \ wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \راست).$

در اینجا، A مخفف پتانسیل الکترومغناطیسی 1-شکل، J شکل 1 فعلی، F قدرت میدان 2-شکل و ستاره نشان دهنده عملگر ستاره Hodge است . این دقیقاً همان لاگرانژی است که در بخش بالا وجود دارد، با این تفاوت که درمان در اینجا بدون مختصات است. گسترش انتگرال به یک مبنا، عبارت طولانی و یکسانی را به دست می دهد. توجه داشته باشید که در مورد فرم‌ها، معیار انتگرال اضافی لازم نیست زیرا فرم‌ها دارای تفاضل مختصات داخلی هستند. تغییر عملکرد منجر به

$\mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J}.$

اینها معادلات ماکسول برای پتانسیل الکترومغناطیسی هستند. با جایگزینی F = d A بلافاصله معادله میدانها به دست می آید.

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$ زیرا F یک شکل دقیق است .

میدان A را می توان به عنوان اتصال افین در یک بسته فیبر U(1) درک کرد . یعنی الکترودینامیک کلاسیک، تمام اثرات و معادلات آن را می توان به طور کامل در قالب یک بسته دایره ای بر روی فضازمان مینکوفسکی درک کرد .

معادلات یانگ -میلز را می توان دقیقاً به همان شکل بالا نوشت، با جایگزینی گروه لی U(1) الکترومغناطیس با یک گروه Lie دلخواه. در مدل استاندارد ، به طور متعارف چنین در نظر گرفته می شود $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ هر چند مورد کلی مورد توجه عموم است. در همه موارد، نیازی به انجام هیچ گونه کوانتیزه ای نیست. اگرچه معادلات یانگ-میلز از نظر تاریخی ریشه در نظریه میدان کوانتومی دارند، معادلات فوق کاملا کلاسیک هستند. [2] [3]

Chern–Simons کاربردی [ ویرایش ]

با توجه به موارد فوق، می توان عمل را در یک بعد کمتر، یعنی در تنظیمات هندسه تماس، در نظر گرفت . این به چرن-سیمون عملکردی می دهد . به صورت نوشته شده است

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} + {\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \راست).$

نظریه چرن-سیمون عمیقاً در فیزیک مورد بررسی قرار گرفت، به عنوان یک مدل اسباب بازی برای طیف گسترده ای از پدیده های هندسی که می توان انتظار داشت در یک نظریه یکپارچه بزرگ پیدا شود .

گینزبورگ–لاندو لاگرانژی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گینزبورگ-لاندو

چگالی لاگرانژی برای نظریه گینزبورگ-لاندو، لاگرانژی را برای نظریه میدان اسکالر با لاگرانژی برای عمل یانگ-میلز ترکیب می کند . ممکن است اینگونه نوشته شود: [7]

${\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\ چپ (\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}$ جایی که $\psi$ بخشی از یک بسته بردار با فیبر است $\mathbb {C} ^{n}$ . را $\psi$ مربوط به پارامتر نظم در یک ابررسانا است . به طور معادل، با میدان هیگز مطابقت دارد ، پس از توجه به این که عبارت دوم پتانسیل معروف "کلاه سوبرو" است . میدان $A$ میدان سنج (غیر آبلی)، یعنی میدان یانگ–میلز و $F$ قدرت میدانی آن است. معادلات اویلر -لاگرانژ برای تابع گینزبورگ-لاندو معادلات یانگ-میلز هستند.

$D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi$

$D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle$ جایی که ${\star }$ عملگر ستاره هاج است ، یعنی تانسور کاملاً ضد متقارن. این معادلات ارتباط نزدیکی با معادلات یانگ – میلز – هیگز دارند . لاگرانژی دیگر در نظریه سایبرگ-ویتن یافت می شود .

دیراک لاگرانژیان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله دیراک

چگالی لاگرانژی برای میدان دیراک است: [8]

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi$ جایی که $\psi$ یک اسپینور دیراک است ، ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ الحاق دیراک آن است و ${\partial }\!\!\!/$ نماد اسلش فاینمن برای است $\gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }$ . در نظریه کلاسیک نیازی به تمرکز بر اسپینورهای دیراک نیست. اسپینورهای ویل پایه کلی تری را ارائه می دهند. آنها را می توان مستقیماً از جبر کلیفورد فضازمان ساخت . کارهای ساختمانی در هر تعداد ابعاد، [3] و اسپینورهای دیراک به عنوان یک مورد خاص ظاهر می شوند. اسپینورهای ویل این مزیت اضافی را دارند که می‌توانند در یک ویلبین برای متریک در منیفولد ریمانی استفاده شوند . این مفهوم ساختار چرخشی را امکان‌پذیر می‌سازد ، که، به طور کلی، راهی برای فرمول‌بندی اسپینورها به طور مداوم در یک فضازمان منحنی است.

لاگرانژی الکترودینامیک کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: الکترودینامیک کوانتومی

چگالی لاگرانژی برای QED ، لاگرانژی میدان دیراک را با لاگرانژی برای الکترودینامیک به روشی گیج ثابت ترکیب می‌کند. این است:

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2 })\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

جایی که $F^{\mu \nu }$ تانسور الکترومغناطیسی است ، D مشتق کوواریانس سنج است ، و/ ${D}\!\!\!\!/$ نماد فاینمن برای است $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$ با $D_{\sigma }=\جزئی _{\sigma }-ieA_{\sigma }$ جایی که $A_{\sigma }$ چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است . اگرچه کلمه "کوانتوم" در بالا آمده است، اما این یک مصنوع تاریخی است. تعریف میدان دیراک به هیچ‌وجه نیاز به کمیت‌سازی ندارد، می‌توان آن را به‌عنوان یک میدان کاملاً کلاسیک از اسپینورهای ضد رفت‌وآمد ویل نوشت که از اصول اولیه جبر کلیفورد ساخته شده است . [3] فرمول کلاسیک کامل گیج ثابت در Bleecker ارائه شده است. [2]

لاگرانژی کرومودینامیکی کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کرومودینامیک کوانتومی

چگالی لاگرانژی برای کرومودینامیک کوانتومی ، لاگرانژی را برای یک یا چند اسپینور عظیم دیراک با لاگرانژی عمل یانگ-میلز ترکیب می‌کند که دینامیک یک میدان گیج را توصیف می‌کند. لاگرانژی ترکیبی گیج ثابت است. ممکن است اینگونه نوشته شود: [9]

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\ !\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \ بیش از 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{ \alpha }{}^{\mu \nu }$

که در آن D مشتق کوواریانت سنج QCD است ، n = 1، 2، ...6 انواع کوارک را می شمارد ، و $G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!$ تانسور قدرت میدان گلوئون است . همانطور که در مورد الکترودینامیک بالا، ظاهر کلمه "کوانتوم" در بالا فقط توسعه تاریخی آن را تایید می کند. لاگرانژی و تغییر ناپذیری گیج آن را می توان به شیوه ای کاملا کلاسیک فرموله کرد و با آن رفتار کرد. [2] [3]

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

3-نظریه میدان لاگرانژی

الکترومغناطیس در نسبیت خاص [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول کوواریانت الکترومغناطیس کلاسیک

یک ذره نقطه ای را در نظر بگیرید، یک ذره باردار، که با میدان الکترومغناطیسی تعامل دارد . شرایط تعامل

$-q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t ), t)$ با عبارت‌هایی که شامل چگالی بار پیوسته ρ در A·s·m -3 و چگالی جریان هستند جایگزین می‌شوند. $\mathbf {j}$ در A·m −2 . چگالی لاگرانژی حاصل برای میدان الکترومغناطیسی به صورت زیر است:

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} ( \mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \بیش از 2}{E}^{2}(\mathbf {x} , t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).$

با تغییر این نسبت به ϕ ، دریافت می کنیم

$0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$

که قانون گاوس را به دست می دهد .

در عوض با توجه بهآ $\mathbf {A}$ ، ما گرفتیم

$0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \ بیش از \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)$

که قانون آمپر را به دست می دهد .

با استفاده از نماد تانسور ، می توانیم همه اینها را فشرده تر بنویسیم. عبارت $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$ در واقع حاصل ضرب درونی دو چهار بردار است . ما چگالی بار را در بردار 4 فعلی و پتانسیل را در بردار 4 بالقوه بسته بندی می کنیم. این دو بردار جدید هستند

$j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A})$

سپس می توانیم عبارت تعامل را به صورت بنویسیم

$-\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }$ علاوه بر این، می‌توانیم میدان‌های E و B را در آنچه به عنوان تانسور الکترومغناطیسی شناخته می‌شود، بسته بندی کنیم $F_{\mu \nu }$ . ما این تانسور را به صورت تعریف می کنیم

$F_{\mu \nu }=\جزئی _{\mu }A_{\nu }-\جزئی _{\nu }A_{\mu }$ اصطلاحی که ما به دنبال آن هستیم معلوم می شود

${\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1 }{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }$

ما از متریک Minkowski برای افزایش شاخص‌ها در تانسور EMF استفاده کرده‌ایم . در این نماد، معادلات ماکسول هستند

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \ nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0$

جایی که ε تانسور Levi-Civita است . بنابراین چگالی لاگرانژ برای الکترومغناطیس در نسبیت خاص که بر حسب بردارها و تانسورهای لورنتس نوشته شده است

${\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{ \mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)$

در این نماد، آشکار است که الکترومغناطیس کلاسیک یک نظریه لارنتس-لورنتز است. با اصل هم ارزی ، گسترش مفهوم الکترومغناطیس به فضازمان منحنی ساده می شود. [5] [6]

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

2-نظریه میدان لاگرانژی

مثالها [ ویرایش ]

انواع زیادی از سیستم‌های فیزیکی بر حسب لاگرانژی در زمینه‌ها فرموله شده‌اند. در زیر نمونه‌ای از برخی از رایج‌ترین موارد موجود در کتاب‌های درسی فیزیک در تئوری میدان آورده شده است.

گرانش نیوتنی [ ویرایش ]

چگالی لاگرانژی برای گرانش نیوتنی است:

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}- \rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)$

که در آن Φ پتانسیل گرانشی ، ρ چگالی جرم و G بر حسب m 3 ·kg -1 ·s -2 ثابت گرانشی است . تراکم ${\mathcal {L}}$ دارای واحدهای J·m −3 است . در اینجا عبارت اندرکنش شامل یک چگالی جرم پیوسته ρ در kg·m -3 است . این امر ضروری است زیرا استفاده از یک منبع نقطه ای برای یک میدان منجر به مشکلات ریاضی می شود.

این لاگرانژی را می توان در قالب نوشت ${\mathcal {L}}=TV$ ، با $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ ارائه یک اصطلاح جنبشی، و تعامل $V=\rho \Phi$ اصطلاح بالقوه همچنین نظریه گرانش نوردستروم را ببینید که چگونه می توان آن را برای مقابله با تغییرات در طول زمان اصلاح کرد. این شکل در مثال بعدی نظریه میدان اسکالر تکرار شده است.

تغییر انتگرال با توجه به Φ به صورت زیر است:

$\delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \ بیش از 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).$

پس از انتگرال با قطعات، دور انداختن انتگرال کل، و تقسیم بر δΦ فرمول به صورت زیر در می‌آید :

$0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)$

که معادل است با:

$4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)$

که قانون گاوس را برای گرانش به دست می دهد .

نظریه میدان اسکالر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه میدان اسکالر

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر که در یک پتانسیل حرکت می کند $V(\phi )$ را می توان به صورت نوشتاری

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac { 1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _ {n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}$

شباهت نظریه اسکالر به کتاب لاگرانژی در مقطع کارشناسی اصلا تصادفی نیست. $L=TV$ برای عبارت جنبشی یک ذره نقطه آزاد که به صورت نوشته شده است $T=mv^{2}/2$ . نظریه اسکالر تعمیم تئوری میدان یک ذره است که در یک پتانسیل حرکت می کند. وقتی که $V(\phi )$ پتانسیل کلاه مکزیکی است ، میدان های حاصل را میدان های هیگز می نامند .

مدل سیگما لاگرانژی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل سیگما

مدل سیگما حرکت یک ذره نقطه اسکالر را توصیف می کند که محدود به حرکت بر روی یک منیفولد ریمانی ، مانند یک دایره یا یک کره است. این مورد میدانهای اسکالر و برداری را تعمیم می دهد، یعنی میدانهایی که محدود به حرکت بر روی یک منیفولد مسطح هستند. لاگرانژ معمولاً به یکی از سه شکل معادل نوشته می شود:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }$ جایی که $\mathrm {d}$ دیفرانسیل است . یک عبارت معادل است

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}( \phi )\;\جزئی ^{\mu }\phi _{i}\جزئی _{\mu }\phi _{j}$

با $g_{ij}$ متریک ریمانی در منیفولد میدان. یعنی زمین ها $\phi _{i}$ فقط مختصات محلی در نمودار مختصات منیفولد هستند. سومین شکل رایج این است

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)$

با

$L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U$ و $U\in \mathrm {SU} (N)$ ، گروه لی SU(N) . این گروه را می توان با هر گروه Lie یا، به طور کلی، با یک فضای متقارن جایگزین کرد . ردیابی فقط شکل کشتار در پنهان است. فرم Killing یک فرم درجه دوم را در منیفولد میدان ارائه می‌کند، سپس لاگرانژی فقط عقب‌نشینی این فرم است. متناوبا، لاگرانژ را می توان به عنوان عقب نشینی فرم مورر-کارتان به فضازمان پایه نیز دید.

به طور کلی، مدل های سیگما راه حل های سولیتون توپولوژیکی را نشان می دهند . معروف ترین و به خوبی مطالعه شده از آنها Skyrmion است که به عنوان مدلی از نوکلئون عمل می کند که در آزمون زمان مقاومت کرده است.

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:27 توسط علی رضا نقش نیلچی |

1-نظریه میدان لاگرانژی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نظریه میدان لاگرانژی یک فرمالیسم در نظریه میدان کلاسیک است . این آنالوگ نظری میدانی مکانیک لاگرانژی است . مکانیک لاگرانژی برای تجزیه و تحلیل حرکت سیستمی از ذرات گسسته هر کدام با تعداد محدودی درجه آزادی استفاده می شود . نظریه میدان لاگرانژی برای پیوسته ها و میدان هایی که دارای بی نهایت درجه آزادی هستند کاربرد دارد.

یکی از انگیزه‌های توسعه فرمالیسم لاگرانژی در زمینه‌ها، و به‌طور کلی‌تر، برای نظریه میدان کلاسیک ، ارائه یک پایه ریاضی روشن برای نظریه میدان کوانتومی است ، که به طرز بدنامی با دشواری‌های رسمی که آن را به عنوان یک نظریه ریاضی غیرقابل قبول می‌کند، مواجه است. لاگرانژی‌های ارائه‌شده در اینجا با معادل‌های کوانتومی خود یکسان هستند، اما در تلقی میدان‌ها به‌عنوان میدان‌های کلاسیک، به جای کوانتیزه شدن، می‌توان تعاریفی ارائه کرد و راه‌حل‌هایی با ویژگی‌های سازگار با رویکرد رسمی مرسوم در ریاضیات معادلات دیفرانسیل جزئی به دست آورد . این امکان فرمول‌بندی راه‌حل‌ها را در فضاهایی با ویژگی‌های خوب مشخص می‌کند، مانند فضاهای سوبولو . این امکان ارائه قضایای مختلفی را فراهم می کند، از اثبات وجود گرفته تا همگرایی یکنواخت سری های رسمی تا تنظیمات کلی نظریه بالقوه . علاوه بر این، بینش و وضوح با تعمیم به منیفولدهای ریمانی و بسته‌های فیبر به دست می‌آید که به ساختار هندسی اجازه می‌دهد به وضوح از معادلات حرکتی مربوطه تشخیص داده شود و جدا شود. یک نمای واضح تر از ساختار هندسی به نوبه خود امکان استفاده از قضایای بسیار انتزاعی از هندسه را برای دستیابی به بینش فراهم کرده است، از قضیه چرن-گوس-بونt و قضیه ریمان-روچ تا قضیه شاخص آتیه-سینگر و نظریه چرن-سیمون .

نمای کلی [ ویرایش ]

در تئوری میدان، متغیر مستقل با یک رویداد در فضازمان ( x ، y ، z ، t ) ، یا به طور کلی‌تر با نقطه s در منیفولد ریمانی جایگزین می‌شود . متغیرهای وابسته با مقدار یک میدان در آن نقطه از فضازمان جایگزین می شوند $\varphi (x,y,z,t)$ به طوری که معادلات حرکت با استفاده از یک اصل عمل به دست می آید که به صورت زیر نوشته می شود:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,$

جایی که عمل ، ${\mathcal {S}}$ ، تابعی از متغیرهای وابسته است $\varphi _{i}(s)$ ، مشتقات آنها و خود s

${\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{ {\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm { d} ^{n}s}،$

جایی که براکت ها نشان می دهند $\{\cdot ~\forall \alpha \}$ ; و s = { s α } مجموعه n متغیر مستقل سیستم از جمله متغیر زمان را نشان می دهد و با α = 1، 2، 3، ...، n نمایه می شود . حروف خوشنویسی، ${\mathcal {L}}$ ، برای نشان دادن چگالی و استفاده می شودد $\mathrm {d} ^{n}s$ فرم حجم تابع میدان است ، یعنی اندازه دامنه تابع میدان.

در فرمول‌های ریاضی، بیان لاگرانژ به عنوان تابعی بر روی یک بسته فیبر معمول است ، که در آن معادلات اویلر-لاگرانژ را می‌توان به‌عنوان مشخص‌کننده ژئودزیک روی دسته فیبر تفسیر کرد. کتاب درسی آبراهام و مارسدن [1] اولین توصیف جامع مکانیک کلاسیک را بر حسب ایده‌های هندسی مدرن، یعنی از نظر منیفولدهای مماس ، منیفولدهای سمپلتیک و هندسه تماس ارائه کرد . کتاب درسی بلیکر [2] ارائه‌ای جامع از نظریه‌های میدانی در فیزیک بر حسب بسته‌های فیبر ثابت سنج ارائه کرد. چنین فرمولاسیون ها مدت ها قبل شناخته شده یا مشکوک بودند. Jost [3] با ارائه هندسی ادامه می‌دهد و رابطه بین فرم‌های همیلتونی و لاگرانژی را روشن می‌کند، منیفولدهای اسپین را از اصول اولیه توصیف می‌کند ، و غیره . فضاهای برداری توسط جبرهای تانسوری انگیزه این تحقیق درک موفقیت آمیز گروه های کوانتومی به عنوان جبرهای لی وابسته است. درجات بی نهایت آزادی؛ به عنوان مثال جبر ویراسورو را ببینید .)

تعاریف [ ویرایش ]

در نظریه میدان لاگرانژی، لاگرانژی به عنوان تابعی از مختصات تعمیم یافته با چگالی لاگرانژی، تابعی از میدان های موجود در سیستم و مشتقات آنها، و احتمالاً فضا و زمان خود مختصات جایگزین می شود. در تئوری میدان، متغیر مستقل t با یک رویداد در فضازمان ( x ، y ، z ، t ) یا به طور کلی تر با یک نقطه s در یک منیفولد جایگزین می شود .

اغلب، یک "چگالی لاگرانژی" به سادگی "لاگرانژ" نامیده می شود.

فیلدهای اسکالر [ ویرایش ]

برای یک میدان اسکالر $\varphi$ ، چگالی لاگرانژی به شکل زیر خواهد بود: [nb 1] [4]

${\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)$

برای بسیاری از زمینه های اسکالر

${\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\ varphi _{n}،{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n}،\partial \varphi _{n}/\partial t،\ldots،\mathbf {x}،t)$

در فرمول‌بندی‌های ریاضی، میدان‌های اسکالر مختصاتی در یک بسته فیبر و مشتقات میدان به عنوان بخش‌هایی از بسته جت در نظر گرفته می‌شوند .

فیلدهای برداری، فیلدهای تانسور، فیلدهای اسپینور [ ویرایش ]

موارد فوق را می توان برای فیلدهای برداری ، فیلدهای تانسور و فیلدهای اسپینور تعمیم داد . در فیزیک، فرمیون ها توسط میدان های اسپینور توصیف می شوند. بوزون‌ها با میدان‌های تانسوری توصیف می‌شوند که شامل میدان‌های اسکالر و برداری به عنوان موارد خاص است.

مثلاً اگر وجود داشته باشدمتر $m$ فیلدهای اسکالر با ارزش حقیقی $\varphi _{1}،\dots،\varphi _{m}$ ، سپس منیفولد میدان است $\mathbb {R} ^{m}$ . اگر میدان یک میدان برداری حقیقی باشد ، منیفولد میدان به هم شکل است $\mathbb {R} ^{n}$ .

اقدام [ ویرایش ]

انتگرال زمانی لاگرانژی را عملی می نامند که با S نشان داده می شود . در تئوری میدان، گهگاه بین L لاگرانژی تمایزی قائل می‌شود که انتگرال زمانی آن عمل است.

${\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,$

و چگالی لاگرانژی ${\mathcal {L}}$ ، که در تمام فضازمان ادغام می شود تا عمل را به دست آورد:

${\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.$

انتگرال حجم فضایی چگالی لاگرانژی لاگرانژ است. به صورت سه بعدی،

$L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.$

عمل اغلب به عنوان "عملکرد عملکردی " نامیده می شود، زیرا تابعی از فیلدها (و مشتقات آنها) است.

فرم حجم [ ویرایش ]

در حضور گرانش یا هنگام استفاده از مختصات منحنی کلی، چگالی لاگرانژی ${\mathcal {L}}$ شامل یک عامل از ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ . این تضمین می کند که عمل تحت تبدیل مختصات کلی ثابت است. در ادبیات ریاضی، فضا-زمان یک منیفولد ریمانی در نظر گرفته می شود م $M$ و سپس انتگرال به شکل حجمی تبدیل می شود

${\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}$

اینجا $\wedge$ ضرب خارجی است و ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ جذر تعیین کننده است $|g|$ از تانسور متریک $g$ برم $M$ . برای فضازمان تخت (مثلاً فضازمان مینکوفسکی )، واحد حجم یک است، یعنی ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ و بنابراین معمولاً هنگام بحث از نظریه میدان در فضازمان مسطح حذف می شود. به همین ترتیب، استفاده از نمادهای ضرب خارجی ای بینش بیشتری را در مورد مفهوم معمولی حجم در حساب چند متغیره ارائه نمی دهد، و بنابراین این نمادها نیز به همین ترتیب حذف می شوند. برخی از کتاب های درسی قدیمی تر، به عنوان مثال، لاندو و لیفشیتز می نویسند- ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ برای فرم حجم، از آنجایی که علامت منهای برای تانسورهای متریک با امضا (+---) یا (-+++) مناسب است (زیرا در هر صورت، تعیین کننده منفی است). هنگام بحث در مورد نظریه میدان در منیفولدهای کلی ریمانی، فرم حجمی معمولاً با علامت اختصاری نوشته می شود. $*(1)$ جایی که $*$ ستاره هاج است . به این معنا که،

$*(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}$

و غیره

${\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}$

نه به ندرت، نماد بالا کاملاً زائد در نظر گرفته می شود و

${\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}$ مکرر دیده می شود. گمراه نشوید: فرم حجمی به طور ضمنی در انتگرال بالا وجود دارد، حتی اگر به صراحت نوشته نشده باشد.

معادلات اویلر-لاگرانژ [ ویرایش ]

معادلات اویلر -لاگرانژ جریان ژئودزیکی میدان را توصیف می کند $\varphi$ به عنوان تابعی از زمان در نظر گرفتن تغییرات با توجه به $\varphi$ ، یکی بدست می آورد

$0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left ({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{ \جزئی \varphi }}\راست).$

با حل، با توجه به شرایط مرزی ، معادلات اویلر-لاگرانژ به دست می آید :

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{ \جزئی (\partial _{\mu }\varphi )}}\راست).$

+ نوشته شده در جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 22:24 توسط علی رضا نقش نیلچی |

معادله پواسون

یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم که در فیزیک بوجود می آید،

اگر ، به معادله لاپلاس کاهش می یابد .

همچنین با معادله دیفرانسیل هلمهولتز مرتبط است

https://mathworld.wolfram.com/PoissonsEquation.html

+ نوشته شده در سه شنبه پانزدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 10:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

جداسازی متغیرها

جداسازی متغیرها روشی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی است.

برای یک معادله دیفرانسیل معمولی

(1)

جایی که غیر صفر در همسایگی مقدار اولیه است، راه حل به طور ضمنی توسط داده می شود

(2)

اگر بتوان انتگرال ها را به صورت بسته انجام داد و معادله حاصل را بتوان برای (که دو «اگر» بسیار بزرگ هستند، حل کرد، پس یک راه حل کامل برای مسئله به دست آمده است. مهمترین معادله ای که این تکنیک برای آن اعمال می شود ، معادله رشد و زوال نمایی است (استوارت 2001).

برای یک معادله دیفرانسیل جزئی در یک تابع و متغیرها ، ...، جداسازی متغیرها را می توان با جایگزینی شکل اعمال کرد.

(3)

شکستن معادله به دست آمده به مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل معمولی مستقل، حل این معادلات ، و ...، و سپس وصل کردن آنها به معادله اصلی.

این تکنیک به این دلیل کار می کند که اگر حاصل ضرب توابع متغیرهای مستقل ثابت باشد، هر تابع باید به طور جداگانه یک ثابت باشد. موفقیت مستلزم انتخاب یک سیستم مختصات مناسب است و ممکن است بسته به معادله اصلاً قابل دستیابی نباشد. جداسازی متغیرها برای اولین بار توسط L'Hospital در سال 1750 مورد استفاده قرار گرفت. این روش به ویژه در حل معادلات ناشی از فیزیک ریاضی، مانند معادله لاپلاس ، معادله دیفرانسیل هلمهولتز ، و معادله شرودینگر مفید است.

https://mathworld.wolfram.com/SeparationofVariables.html

+ نوشته شده در سه شنبه پانزدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 10:53 توسط علی رضا نقش نیلچی |

شرایط رابرتسون

برای اینکه معادله دیفرانسیل هلمهولتز در یک سیستم مختصات قابل تفکیک باشد ، فاکتورهای مقیاس در لاپلاسین

(1)

و توابع و تعریف شده توسط

(2)

باید به شکل یک دترمینان استاکل

S=|Phi_(mn)|=|Phi_(11) Phi_(12) Phi_(13); فی_(21) فی_(22) فی_(23); Phi_(31) Phi_(32) Phi_(33)|=(h_1h_2h_3)/(f_1(u_1)f_2(u_2)f_3(u_3)).

(3)

https://mathworld.wolfram.com/RobertsonCondition.html

+ نوشته شده در سه شنبه پانزدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 10:50 توسط علی رضا نقش نیلچی |

دترمینان استاکل

دترمینانی که برای تعیین اینکه در کدام سیستم مختصات معادله دیفرانسیل هلمهولتز قابل تفکیک است استفاده می شود (مورس و فشباخ 1953). یک تعیین کننده

S=|Phi_(mn)|=|Phi_(11) Phi_(12) Phi_(13); فی_(21) فی_(22) فی_(23); Phi_(31) Phi_(32) Phi_(33)|

(1)

که در آن توابع به تنهایی یک تعیین کننده استکل نامیده می شود. یک سیستم مختصات در صورتی قابل تفکیک است که از شرط رابرتسون پیروی کند ، یعنی فاکتورهای مقیاس در لاپلاسین

(2)

را می توان بر حسب توابع تعریف شده توسط

1/(h_1h_2h_3)partial/(partialu_i)((h_1h_2h_3)/(h_i^2)partial/(partialu_i)) =(g(u_(i+1)،u_(i+2)))/(h_1h_2h_3)جزئی /(partialu_i)[f_i(u_i)partial/(partialu_i)] =1/(h_i^2f_i)partial/(partialu_i)(f_ipartial/(partialu_i))

(3)

طوری که بتوان نوشت

(4)

وقتی این درست است، معادلات جدا شده به شکل هستند

(5)

s از معادلات جزئی تبعیت می کنند

			(6)
			(7)
			(8)

که معادل هستند

(9)

(10)

(11)

(مورس و فشباخ 1953، ص 509). در مجموع چهار معادله در 9 مجهول به دست می آید . مورس و فشباخ (1953، صفحات 655-666) نه تنها دترمینان های استاکل را برای سیستم‌های مختصات رایج، بلکه عناصر تعیین‌کننده را نیز می‌دهند (اگرچه مشخص نیست چگونه اینها مشتق شده‌اند).

https://mathworld.wolfram.com/StaeckelDeterminant.html

+ نوشته شده در سه شنبه پانزدهم اسفند ۱۴۰۲ ساعت 10:38 توسط علی رضا نقش نیلچی |