روابط بین انواع ایدهآلها را به صورت یک دیاگرام متنی
اما میتوانم روابط بین انواع ایدهآلها را به صورت یک دیاگرام متنی نشان می دهم تا همان حس تصویری منتقل شود:
ایدهآلها (Ideals) │ ├── ایدهآلهای اصلی (Principal Ideals) │ ├── ایدهآلهای اول (Prime Ideals) │ └── ایدهآلهای ماکسیمال (Maximal Ideals)
🔹 توضیح دیاگرام
- همهی ایدهآلها مجموعهی بزرگ اصلی هستند.
- درون آنها، برخی ایدهآلهای اصلی هستند که توسط یک عنصر تولید میشوند.
- ایدهآلهای اول زیرمجموعهای خاصاند که شرط اول بودن را دارند.
- درون ایدهآلهای اول، مجموعهی کوچکتر ایدهآلهای ماکسیمال قرار دارد که قویترین نوعاند و خارجقسمتی میدان میسازند.
آیا دوست دارید من یک مثال عددی هم بیاورم (مثلاً در Z )تا این روابط را با نمونههای واقعی نشان دهم؟
+ نوشته شده در سه شنبه هجدهم آذر ۱۴۰۴ ساعت 12:1 توسط علی رضا نقش نیلچی
|
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfda5e3214a078a56860ef1d958532efd6ecc6c)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c8c7dabf4a3f20a3f9a04a295468426eb22009)
![{\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9b7c4a764e30d0e2c80b7f31778d427aa3e032)
و![{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d505bd20b4dfad61942e780f9019f2342a28df)
![{\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ec042607b8431621da1694a5e0373d26817d09)
و![{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec4802d72362fa5f8b6f440bee17b73b8f9ff48)
![{\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x \right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d4c7cbd3df6c090da7d53c504a2bbbf911faaf)
و![{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \چپ[[y ,z],x^{y}\right]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969627eb5e4b01b893d68ba8cb5aefb6fb9dcb4e)
. هویت های مشابهی برای این کنوانسیون ها وجود دارد.![{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c75b2bcc9c723ec68c6e482e9e1e002b02082d3)
![{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128ae0855aada1e122d118d63c2bfa18a08eb603)
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
![{\displaystyle [a,b]_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7289995fc78776166741f2a036fbcfb0e632c02)
برای نشان دادن anticommutator، در حالی که استفاده می شود![{\displaystyle [a,b]_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59120bf940c61971319243298b88ebb28f752588)
سپس برای جابجا گراستفاده می شود. ![{\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f1c95436e1c9c40871bc7a3704072ae067dc10)
![{\displaystyle [A,A]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c816c8f8631ef069ad0b1aee64ed996ad8309ed)
![{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b04a066443e96c0b27d4b14f7f5d51c7b2b0c3)
![{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046dbc0d4387302c8d321afb443e35bc1890fcac)
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7c96785faa7d6e5ecc7d8ada53830b24338c60)
![{\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa03949d714777910e992c14aeed34adf42d9766)
![{\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b79c370dc9984ff5e2720b3e06c6153af7ba572)
![{\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ba3177011b65b292d8dc39dd2e3391f29b0a07)
![{\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e755fd1fe3c26c40e007256c6976b9612e5d9b)
![{\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e00b8c22f5a63ff3dbbcf8a74f0d01f43994afa)
![{\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f50e382d516600cfe9f7a34376ebe694bb62177)
![{\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e47836a02ce95e65488370410a80446b1ae636c)
![{\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B, D]+[A,C]DB+C[A,D]B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b90ee684250322ac794d8cb193d75c8c1d4db3)
![{\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C, D],A],B]+[[[D,A],B],C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e847e641c8d2810846e666be23d2512b08eb2f)
داده شده توسط![{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a40684049019f333e05818bcd1ce5b48f839561)
. ![{\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a8a7436d26ef75d1023a36ffa1c561597c8506)
![{\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187aaec93ded1a30cd6ad33d9e323c786d4a39fd)
![{\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[ A,D]_{\pm }B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abfd9c204056463779a2541fa7f5bc02930bf9a)
![{\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+} ,A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[A,C]_{+},B]_{+ },D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c14c4def5d057ec857052e280d0c27658c3796d)
![{\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B ]_{\pm }\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa38c6ec51fd44c85b6a7dd7820d8ebaee4f2cf)
![{\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee7d373e2721aa7ec3c50a8f645785d7da7b804)
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f480a46e5c19fea0ae860621b38e69606a71239)
را می توان به طور معناداری تعریف کرد، مانند ![{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1 {3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4b0b44677de183969e936bb4cede2bf5515ad4)
(برای آخرین عبارت، مشتق الحاقی را در زیر ببینید.) این فرمول زیربنای بسط 
(مشابه عناصر ![{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}} [A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f104655d91482ecf24b550407ef28112b27bd564)
![{\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a31537974b529c2386b07f032b0452d7ab70e81)
، نگاشت 
توسط:![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e06c88110f66faa14de2b3fba0644b13e96429)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} } _{x}\!(z)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e49b2f65e16c28bbcad712a40e4bf680ebf909)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c27f6b58b814f258e43d4529f26e9ec0523b58a)
و![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z) )\ =\ [x،[x،z]\،].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856ad01497c91a4c78ba471c5ba199d82744c717)
ممکن است در نظر بگیریم
خود به عنوان یک نقشه برداری،
، که
حلقه ای از نگاشت از R به خود با ترکیب به عنوان عملیات ضرب است. سپس![{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c43069feeed684198e360f083c3c004bf3cb2f2)
توسط عملگر تمایز
، و
توسط عملگر ضرب 
، دریافت می کنیم
و با اعمال هر دو طرف برای تابع g ، هویت به قانون معمول لایب نیتس برای مشتق n تبدیل می شود.
.
و
یا عدد صحیح است یا
برای 
. در اینجا، شرایط 
به این معنی که هیچ رابطه ای از فرم وجود ندارد
برای هر عدد صحیح 
باید تحمیل شود.
جایی که 
یک گروه کوکستر با مولد است 
سیستم کوکستر نامیده می شود . توجه داشته باشید که به طور کل 
به طور منحصر به فرد توسط تعیین نمی شود
و
هم شکل هستند اما سیستم های کوکستر معادل نیستند، زیرا اولی دارای 3 مولد و دومی دارای 1 + 3 = 4 مولد است (برای توضیح این نماد به زیر مراجعه کنید).
برای همه
; به این ترتیب مولدها دگرگونی هستند .
، سپس مولدها
و
رفت و آمد این امر با مشاهده آن نتیجه می گیرد
،
.
، بنابراین
. یعنی کموتاتور از
برای
،
.
و
مزدوج هستند : در واقع
.
ماتریس متقارن با ورودی ها
. در واقع، هر ماتریس متقارن با ورودی های مورب منحصراً 1 و ورودی های غیر مورب در مجموعه
یک ماتریس کوکستر است.
اگر و فقط اگر مجاور هستند
.
یا بزرگتر
، مربوط به
با ورودی ها
، اما عناصر اصلاح شده اند و متناسب با حاصلضرب نقطه مولدهای زوجی هستند. ماتریس شلافلی مفید است زیرا مقادیر ویژه آن تعیین می کند که آیا گروه کوکستر از نوع محدود (همه مثبت)، نوع آفین (همه غیر منفی، حداقل یک صفر) یا نوع نامعین (در غیر این صورت) است. نوع نامشخص گاهی اوقات بیشتر تقسیم می شود، به عنوان مثال به گروه های هذلولی و دیگر گروه های کوکستر. با این حال، چندین تعاریف غیر معادل برای گروه های کوکستر هذلولی وجود دارد.
و
از A -mod، و دو زیرمجموعه
و
از B -mod، سپس
یک جفت پیچشی در A -mod است (یعنیتی
و
حداکثر زیرمجموعه با ویژگی هستند
; این بدان معناست که هر M در A -mod یک دنباله دقیق کوتاه طبیعی را می پذیرد 
با U در
،یک جفت پیچشی در B -mod است. علاوه بر این، محدودیتهای تابعهای F و G معادلهای معکوس بین آنها ایجاد میکنندتی
، در حالی که محدودیت های F' و G' معادل های معکوس بین
. (توجه داشته باشید که این معادلات ترتیب جفت های پیچشی را تغییر می دهند
و=مد-ب
.
که در آن T i مجموع مستقیم متناهی از مجموع مستقیم T هستند .
برای برخی.
یک نقشه با ارزش حقیقی است
بر
برای همه
و همه اسکالرهاس;
به طوری که![{\displaystyle p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc60fd99f4bddfc6909e95a3cc238cd1ed09ddd)
برای همه.
سپس این نابرابری به نابرابری مثلث کاهش می یابد . از این نظر است که این شرط نابرابری مثلث معمولی را تعمیم می دهد.
سپس.
متشکل از یک فضای برداری 
ارضای شرط (3) نامیده می شودضرب کننده از
خود ضریب نیز شرط (3) را برآورده می کند و بنابراین کوچکترین عدد حقیقی منحصر به فرد است که این شرط را برآورده می کند. عبارت
بنابراین هر نیم نرم یک شبه نیم نرم و هر هنجار یک شبه نرمدار (و یک شبه نیم نرم) است.
مانند
بر روی اعداد صحیح مثبت قرار می گیرد. فضای برداری توپولوژیکی با چنین توپولوژی a نامیده می شودفضای برداری توپولوژیکی شبه نرم یا فقط یک فضای شبه نورمدار .
a نامیده می شودجبر شبههنجاری اگر فضای برداری باشد
جبر است و ثابت وجود دارد
به طوری که
برای همه.
فضاهای با
فضای لبگ![{\displaystyle L^{p}([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53d55ccc06ce5cc9ec3bede2be3e7933c206ee3)
یک TVS قابل متریزاسیون کامل (یک فضای F ) است که به صورت محلی محدب نیست (در واقع، تنها زیرمجموعه های باز محدب آن خود هستند. 
تابع ( Rudin 1991 , §1.47). به طور خاص، قضیه هان-باناخ برای آن صادق نیست
یک ![R[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeccd52deabb878398a8485755c3ceea80caf9a)
حلقه ![R[X_{1}،\dotsc،X_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a163f23c4ea9575b3da5875cedfae1da278689b)
یک حلقه نوتری است.![{\mathfrak a}\subseteq R[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed2ede5c58e47a48faac341447277886029cc65)
یک ایدهآل چپ غیر محدود تولید شده است. سپس با بازگشت (با استفاده از 
به گونه ای که اگر
ایده آل چپ تولید شده توسط
سپس
حداقل 
دنباله ای غیر کاهشی از 
ضریب پیشرو باشد
و اجازه دهید
ایده آل چپ در
. از آنجا که
⊂⋯
برای تعدادی 
. بنابراین به طور خاص،
; علاوه بر این،
. با این حال،
، که به این معنی است
دارای مدرک کمتر از
. این بدیهی است که یک ایده آل باقی مانده است
. اجازه دهیدد
حداکثر مجموعه باشد
، و اجازه دهیدبک
مجموعه ضرایب پیشرو اعضا باشدآ
. مانند قبل،
![{\mathfrak a}^{*}\subseteq R[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a0847fd1b8b858f0bd673bfe1fb041eb227692)
ایده آل چپ باشد که توسط:
و همچنین ادعا کنید
. فرض کنید برای تناقض اینطور نیست. سپس اجازه دهید
حداقل درجه باشد و ضریب اصلی آن را با نشان دهید
.
. صرف نظر از این شرط، داریم
، یک ترکیب خطی سمت چپ نیز همینطور است
. در نظر گرفتن
; علاوه بر این
در حالی که
. از این رو
و
، که با حداقلی بودن در تضاد است.
. سپس
بنابراین یک ترکیب خطی سمت چپ است
. با توجه به
که به طور متناهی تولید می شود.![R[X_{0}،\dotsc،X_{n-1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227dccaf854e80922663cbdde8bfab7fec0258d4)
نوتری نیز خواهد بود.
(یعنی یک مجموعه مکان از مجموعه ای از چند جمله ای ها) ممکن است به عنوان مکان یک ایده آل نوشته شود![{\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c3ee7c144a1fec4dcf7f9eca59ff847bcdcab0)
و علاوه بر این، به عنوان مکان مولدهای آن، نتیجه میشود که هر گونه وابسته، مکان چندجملهای محدود بسیاری است - یعنی محل تلاقی ![A\simeq R[X_{0},\dotsc,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941079687e68695a9937756004b3b8a4e8e3b187)
، جایی که
، یعنی
خانواده مدولها را نشان میدهد که مجموع مستقیم برخی از زیرمدولهای تولید شده قابل شمارش هستند (در اینجا مدولها میتوانند روی یک حلقه، یک گروه یا حتی مجموعهای از اندومورفیسمها باشند). اگر
هست در
. با استفاده از این فرض، می نویسیم
جایی که هر کدام 
یک زیر مدول قابل شمارش است. برای هر زیر مجموعه
، ما نوشتیم
تصویر از
تحت طرح ریزیم
و
به همان شیوه. اکنون مجموعه تمام سه گانه ها را در نظر بگیرید (
،
،
و زیر مجموعه هاب،سی⊂اف
به طوری که
و
مجموع مستقیم مدول ها هستند
. ما به این مجموعه یک سفارش جزئی می دهیم به طوری که
اگر و تنها اگر
،
. با 
. ما آن را نشان خواهیم داد
; یعنی
. فرض کنید در غیر این صورت. سپس می توانیم به صورت استقرایی دنباله ای از حداکثر زیر مجموعه های قابل شمارش بسازیم
به طوری که
و برای هر عدد صحیح
،
.
و
. ما ادعا میکنیم:
پیش پا افتاده است متقابلا،
تصویر 
و غیر
. همین امر در مورد نیز صادق است
. از این رو ادعا صحیح است.
یک جمع مستقیم از
، که جمعی از
برای 
. سپس، طبق قانون مدولار،
. تنظیم
. تعریف کردن
به همین ترتیب سپس با استفاده از ادعای اولیه، داریم:
. این با حداکثر بودن در تناقض است
مدول های قابل شمارش با حلقه های اندومورفیسم موضعی و اگرن
، سپسن
برای برخی از زیر مجموعه ها حداکثر قابل شمارش
.
نشان دهنده خانواده مدول هایی است که با مدول های فرم هم شکل هستند⨁من∈افممن
برای برخی از زیر مجموعه های محدود
. سپس این ادعا با ادعای زیر مستلزم است:
، وجود دارد
که حاوی x و جمع مستقیم N است.
در N که یک مجموعه مولد است. سپس با استفاده از ادعا، بنویسید
جایی که
. سپس می نویسیم
جایی که
. سپس تجزیه می کنیمن1=اچ2⊕ن2
با�∈اچ2∈جی
. توجه داشته باشید
. با تکرار این استدلال، در پایان داریم:
; یعنی
. از این رو، برهان به اثبات ادعا تقلیل مییابد و این ادعا نتیجه مستقیم 
. این
به طوری که برای هر جمع مستقیم L از M یک تجزیه وجود دارد
برای برخی از زیر مجموعه 
دقیقاً (معمول) قضیه کاپلانسکی و قضیه ناکایاما است. برعکس
از واقعیت کلی زیر که خود مورد علاقه است نتیجه می گیرد:
برای هر جمع مستقیم مناسب غیر صفر M از
، یا
یا
.
است با قضیه ناکایاما به عنوان در اثبات
دارای خاصیت فوق است و عنصر x در R داده شده است. نقشه خطی را در نظر بگیرید
. تنظیم
. سپس
، که می گویند
شکاف ها و تصویر
×
با تمام 1 ها در مورب، و مجموعه را تشکیل دهید
از فرم است 
با 
یک ایده آل از 
میدان اعداد حقیقی باشد، 
میدان اعداد مختلط باشد و 
حلقه تقسیم باشد و 
حلقه ای از ماتریس ها با ورودی های داخل باشد 
،
. بنابراین یک ایده آل مینیمال در
،
، جایی که 
ماتریس 
ورود و صفر در جای دیگر. همچنین،
. ایده آل چپ
و یک 
. اجازه دهید
، به عنوان یک ماژول سمت راست در نظر گرفته شده است 
. سپس
.
توسط 
برای 
. سپس
، سپس 
، که دلالت بر آن دارد 
.
. از آنجا که
. بنابراین
.
بستگی ندارد
، 
، و سپس آن را نشان دهید
از 
) آرتینی چپ و راست است.![k[t]/(t^{n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ef3821fbddd8f0e60efdb616d985590a597658)
برای هر عدد صحیح مثبت n آرتینی است .![{\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\plus k\cdot xy\ oplus k\cdot y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7bb05769ed90c573bb8d092ab8430841134424)
یک حلقه آرتینی با حداکثر ایده آل است 
یک حلقه 
(به درستی) در ایده آل تولید شده توسط 
برای همه اعداد طبیعی n . توجه داشته باشید که اگر R نوتری است، R[x] توسط قضیه پایه هیلبرت نیز چنین است.
یک حلقه نوتری است اما آرتینی نیست.
محدود و گسسته است.
یک ایده آل دو طرفه است، 
از آنجایی که A ساده است. بنابراین، ما می توانیم انتخاب کنیم
به طوری که 
. فرض کنید k با توجه به آن ویژگی حداقل است. نقشه ماژول های A سمت راست را در نظر بگیرید:
با غیر صفر 
. سپس، با حداقل بودن I ، داریم:
. آن به شرح زیر است:
،
و بنابراین 
.
آزاد است به عنوان 
مدول برای هر ایده آل حداکثر 
از R .
آزاد است به عنوان 
مدول برای هر ایده آل اول 
از R .
تولید واحد ایده آل به طوری که ![M[f_{i}^{-1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bafd200f0c512498ec4d1ac00f6eece4840a19)
آزاد است به عنوان ![R[f_{i}^{-1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa82a4394b36c0c5d31aa7e6a1a4054904cb9ec6)
مدول برای هر i .
یک شیف موضعی آزاد است 
(جایی که 
– فضای برداری 
برای همه آرمان های اصلی یکسان است 
. این یک تابع ثابت موضعی در X است . به طور خاص، اگر X متصل باشد (یعنی اگر R غیر از 0 و 1 قدرت غیرقابل تغییر دیگری نداشته باشد)، P دارای رتبه ثابت است.
به 
جایی که 
است 
. ![{\displaystyle (\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d75f69c0037377f761d65a3fe3a99a3353137e)
مدول است ![{\displaystyle \mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803bcf0b1e2619c4680ab6d3dd5a2ebdd545eb75)
.
بیش از یک 
است 
به 
را می توان به گسترش 
به 
.
بخش پذیر است و نامیده می شود اگر، برای همه 
هستند که صفر مقسوم علیههای ان نیست، هر عنصر 
از 
می توان به "تقسیم" توسط 
، به این معنا است که یک عنصر وجود دارد 
در 
که 
. این شرط را میتوان با گفتن اینکه ضرب در 
یک نقشه سطحی از 
به را تعریف میکند، دوباره فرمولهبندی کرد 
.
مدول تزریقی قابل تقسیم است، اما عکس آن فقط برای کلاس های خاصی از حلقه ها، به عنوان مثال، برای حوزه های ایده آل اصلی صادق است. از آنجایی که 
و 
آشکارا 
ماژول های قابل تقسیم هستند، این به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که آنها نیز تزریقی هستند.
مدول باشد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.