ایده‌آل در جبر حلقه‌ها زیرمجموعه‌ای خاص از یک حلقه است که تحت جمع بسته بوده و ضرب آن با هر عضو حلقه، همچنان در همان زیرمجموعه باقی می‌ماند. این مفهوم شبیه به زیرگروه نرمال در نظریه گروه‌هاست و ابزار اصلی برای ساخت حلقه‌های خارج‌قسمتی محسوب می‌شود.

🔹 تعریف رسمی

  • اگر R یک حلقه باشد، یک زیرمجموعه I subset R را ایده‌آل چپ می‌نامند اگر:
    1. I یک زیرگروه جمعی از R باشد.
    2. برای هر r in R و a in I، حاصل‌ضرب r.t a in I باشد.
  • به طور مشابه، ایده‌آل راست با شرط ضرب از سمت راست تعریف می‌شود.