وضوح تصویری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: وضوح تصویری

با توجه به یک مدول، M ، یک تصویری وضوح از M بی نهایت است توالی دقیق از مدول

··· → P n → ··· → P 2 → P 1 → P 0 → M → 0,

با تمام P i تصویری. هر مدول دارای وضوح تصویری است. در واقع یک وضوح آزاد (رزولوشن توسط مدول های آزاد ) وجود دارد. توالی دقیق مدول های تصویری ممکن است گاهی به اختصار P ( M ) → M → 0 یا P • → M → 0 خلاصه شود . یک مثال کلاسیک از وضوح تصویری توسط مجموعه Koszul از یک دنباله منظم ارائه شده است ، که وضوح آزاد ایده آل تولید شده توسط دنباله است.

طول یک قطعنامه محدود نویس است N به طوری که P N غیر صفر است و P من = 0 برای من بیشتر از N . اگر M یک وضوح تصویری محدود را بپذیرد، حداقل طول در بین تمام وضوح تصویری محدود M بعد تصویری آن نامیده می‌شود و pd( M ) نشان داده می‌شود . اگر M یک تفکیک تصویری متناهی را قبول نکند، بنابر قرارداد، بعد تصویری نامحدود است. به عنوان مثال، یک مدول M را طوری در نظر بگیرید که pd( M ) = 0 باشد. در این وضعیت، دقت دنباله 0 → P 0 → M → 0 نشان می دهد که فلش در مرکز یک هم شکلی است و بنابراین M خود تصویری است.

مدول های تصویری بر روی حلقه های جابجایی [ ویرایش ]

مدول های تصویری روی حلقه های جابجایی ویژگی های خوبی دارند.

موضعی سازی یک مدول یک مدول تصویری تصویری بیش از حلقه موضعی است. یک مدول تصویری بر روی یک حلقه موضعی آزاد است. بنابراین یک مدول تصویری به صورت موضعی آزاد است (به این معنا که مکان یابی آن در هر ایده آل اولیه بیش از موضعی سازی مربوط به حلقه آزاد است).

عکس این قضیه برای مدول‌های تولید شده محدود روی حلقه‌های نوتر صادق است: یک مدول محدود تولید شده روی یک حلقه نوترین جابجایی، اگر و فقط در صورتی که تصویری باشد، به صورت موضعی آزاد است.

با این حال، نمونه‌هایی از مدول‌های به‌طور محدود تولید شده روی یک حلقه غیر نوتری وجود دارد که به صورت موضعی آزاد هستند و تصویری نیستند. به عنوان مثال، یک حلقه بولی همه موضعی سازی های خود را به F 2 ، میدان دو عنصر، هم شکل دارد، بنابراین هر مدول روی یک حلقه بولی به صورت موضعی آزاد است، اما برخی از مدول های غیرپروفوژن روی حلقه های بولی وجود دارد. یک مثال R / I است که در آن R حاصلضرب مستقیم تعداد زیادی کپی از F 2 است و I مجموع مستقیم بسیاری از نسخه های قابل شمارش F 2 در داخل R است . R -module R /من به صورت موضعی آزاد هستم زیرا R بولی است (و به طور متناهی به عنوان یک مدول R نیز تولید می شود، با مجموعه ای پوشا به اندازه 1)، اما R / I تصویری نیست زیرا I ایده آل اصلی نیست. (اگر یک مدول ضریب R / I ، برای هر حلقه جابجایی R و I ایده آل ، یک مدول R تصویری باشد، I اصلی است.)

با این حال، این درست است که برای مدول‌های M به‌طور محدود ارائه‌شده روی یک حلقه جابجایی R (به ویژه اگر M یک مدول R محدود تولید شده باشد و R نوتر باشد)، موارد زیر معادل هستند. [4]

  1. م مسطح است
  2. م تصویری است.
  3. M_{\mathfrak {m}} آزاد است به عنوان R_{\mathfrak {m}}مدول برای هر ایده آل حداکثر {\mathfrak {m}}از R .
  4. M_{\mathfrak {p}} آزاد است به عنوان R_{\mathfrak {p}}مدول برای هر ایده آل اول {\mathfrak {p}}از R .
  5. وجود دارد f_{1}،\ldots،f_{n}\در R تولید واحد ایده آل به طوری که M[f_{i}^{-1}] آزاد است به عنوان R[f_{i}^{-1}]مدول برای هر i .
  6. {\widetilde {M}} یک شیف موضعی آزاد است \operatorname {Spec} R (جایی که {\widetilde {M}}است بافه مربوط به M .)

علاوه بر این، اگر R یک دامنه انتگرال نوتر باشد، بر اساس لم ناکایاما ، این شرایط معادل است با

  • بعد از k({\mathfrak {p}})– فضای برداری M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}}) برای همه آرمان های اصلی یکسان است {\mathfrak {p}}از R، جایی کهk({\mathfrak {p}}) میدان باقی مانده در است {\mathfrak {p}}. [5] یعنی M دارای رتبه ثابت است (همانطور که در زیر تعریف شده است).

بگذارید A یک حلقه جابجایی باشد. اگر B یک جبر A (احتمالاً غیرقابل جابه‌جایی) باشد که یک مدول A تصویری محدود تولید شده است که A را به‌عنوان حلقه فرعی تشکیل می‌دهد، A عامل مستقیم B است . [6]

رتبه [ ویرایش ]

اجازه دهید P که یک مدول تصویری finitely ایجاد بیش از یک حلقه جابجایی R و X می شود طیف از R . رتبه از P در یک ایده آل اول{\mathfrak {p}} در X رتبه افراد آزاد است R_{\mathfrak {p}}-مدول P_{\mathfrak {p}}. این یک تابع ثابت موضعی در X است . به طور خاص، اگر X متصل باشد (یعنی اگر R غیر از 0 و 1 قدرت غیرقابل تغییر دیگری نداشته باشد)، P دارای رتبه ثابت است.