تئوری کج کردن

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(برگرفته از تابعگر کاکستر )

به نظر می رسد که کاربردهایی از تابع های ما وجود دارد که از تبدیل های مشابهی استفاده می کنند که ما دوست داریم آنها را به عنوان یک تغییر پایه برای یک سیستم ریشه ثابت در نظر بگیریم - یک کج شدن محورها نسبت به ریشه ها که منجر به یک زیر مجموعه متفاوت می شود. ریشه هایی که در مخروط مثبت قرار دارند. ... به همین دلیل، و از آنجایی که کلمه 'tilt' به راحتی عطف می شود، ما تابع های خود را تابع tilting یا به سادگی tilts می نامیم .

برنر و باتلر (1980 ، ص 103)

در ریاضیات ، به‌ویژه نظریه بازنمایی ، نظریه کج راهی را برای ارتباط بین دسته‌های مدول دو جبر با استفاده از به اصطلاح مدول‌های کج و تابع‌های کج مرتبط توصیف می‌کند . در اینجا جبر دوم جبر درون شکلی یک مدول کج بر جبر اول است.

انگیزه تئوری کج‌سازی معرفی تابع‌های بازتاب توسط جوزف برنشتین ، اسرائیل گلفاند و VA Ponomarev ( 1973 ) بود. از این تابع ها برای ارتباط بازنمایی دو کوک استفاده شد . این تابع ها توسط موریس آسلندر ، ماریا اینس پلاتزک ، و ایدون ریتن ( 1979 ) مجدداً فرموله شدند و توسط شیلا برنر و مایکل سی آر باتلر ( 1980 ) که تابع های کج را معرفی کردند، تعمیم داده شدند. دیتر هاپل و کلاوس مایکل رینگل ( 1982 ) جبرهای کج و مدول های کج را به عنوان تعمیم بیشتر این موضوع تعریف کردند.

تعاریف [ ویرایش ]

فرض کنید که A یک جبر انجمنی واحد با بعد محدود در یک میدان است . یک مدول A - T که به طور متناهی تولید می شود ، در صورتی که دارای سه ویژگی زیر باشد، مدول کج نامیده می شود :

  • T دارای بعد تصویری حداکثر 1 است، به عبارت دیگر ضریب یک مدول تصویری توسط یک زیر مدول تصویری است .
  • خارج1
    A( T ، T  ) = 0.
  • مدول A سمت راست هسته یک مورفیسم سطحی بین مجموع مستقیم محدود مجموع مستقیم T است .

با توجه به چنین مدول کج، جبر اندومورفیسم B = End A ( T  ) را تعریف می کنیم. این یکی دیگر از جبرهای محدود بعدی است و T یک مدول B سمت چپ به طور متناهی تولید شده است . تابع های کج Hom A ( T ,-)، Ext1
A( T ,-)، -⊗ B T و Torب
1(-، T ) دسته mod- A مدول های راست A محدود تولید شده را به دسته mod- B مدول های راست B- مدول های محدود تولید شده مرتبط می کند.

در عمل اغلب جبرهای محدود وراثتی A را در نظر می گیریم زیرا دسته بندی های مدول در این جبرها به خوبی درک شده اند. جبر درون شکلی یک مدول کج بر روی یک جبر با ابعاد محدود ارثی، جبر کج نامیده می شود .

حقایق [ ویرایش ]

فرض کنید A یک جبر با بعد محدود است، T یک مدول کج بر روی A است ، و B = پایان A ( T  ) است. F = Hom A ( T ,−)، F′ = Ext را بنویسید1
A( T ,-)، G = −⊗ B T و G′ = Tor
1(-، T ). F در کنار G و F به سمت راست به G است .

برنر و باتلر (1980) نشان دادند که تابع‌های کج معادل‌هایی را بین زیرمجموعه‌های خاصی از mod- A و mod- B ایجاد می‌کنند . به طور مشخص، اگر دو زیر مجموعه را تعریف کنیم{\displaystyle {\mathcal {F}}=\ker(F)}و{\displaystyle {\mathcal {T}}=\ker(F')}از A -mod، و دو زیرمجموعه{\displaystyle {\mathcal {X}}=\ker(G)}و{\displaystyle {\mathcal {Y}}=\ker(G')}از B -mod، سپس{\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}یک جفت پیچشی در A -mod است (یعنیتی{\displaystyle {\mathcal {T}}}و{\displaystyle {\mathcal {F}}}حداکثر زیرمجموعه با ویژگی هستند{\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0}; این بدان معناست که هر M در A -mod یک دنباله دقیق کوتاه طبیعی را می پذیرد {\displaystyle 0\to U\to M\to V\to 0}با U در{\displaystyle {\mathcal {T}}}و V در{\displaystyle {\mathcal {F}}} و{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}،یک جفت پیچشی در B -mod است. علاوه بر این، محدودیت‌های تابع‌های F و G معادل‌های معکوس بین آن‌ها ایجاد می‌کنندتی{\displaystyle {\mathcal {T}}}و{\displaystyle {\mathcal {Y}}}، در حالی که محدودیت های F' و G' معادل های معکوس بین{\displaystyle {\mathcal {F}}}و{\displaystyle {\mathcal {X}}}. (توجه داشته باشید که این معادلات ترتیب جفت های پیچشی را تغییر می دهند{\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}و{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}.)

نظریه کج شدن ممکن است به عنوان تعمیم معادل موریتا در نظر گرفته شود که اگر T یک مولد تصویری باشد بازیابی می شود . در این مورد{\displaystyle {\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A}و=مد-ب{\displaystyle {\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} -B}.

اگر A بعد جهانی محدود داشته باشد ، B نیز دارای بعد جهانی محدود است، و اختلاف F و F' باعث ایجاد ایزومتریکی بین گروه های گروتندیک K 0 ( A ) و K 0 ( B ) می شود.

در صورتی که A ارثی است (یعنی B جبر کج است)، بعد جهانی B حداکثر 2 و جفت پیچشی است.{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}تقسیم می شود، یعنی هر شی تجزیه ناپذیر B -mod یا در است{\displaystyle {\mathcal {X}}}یا در{\displaystyle {\mathcal {Y}}}.

هاپل (1988) و کلین ، پرشال و اسکات (1986) نشان دادند که به طور کلی A و B معادل مشتق شده اند (یعنی دسته های مشتق شده Db ( A -mod) و Db ( B - mod) معادل دسته های مثلثی هستند ).

تعمیم ها و پسوندها [ ویرایش ]

یک مدول کج تعمیم یافته بر روی جبر بعدی محدود A یک مدول A راست T با سه ویژگی زیر است:

  • T دارای بعد تصویری محدود است.
  • خارجمن
    A( T , T ) = 0 برای همه i > 0.
  • یک توالی دقیق وجود دارد {\displaystyle 0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0}که در آن T i مجموع مستقیم متناهی از مجموع مستقیم T هستند .

این مدول‌های کج تعمیم‌یافته همچنین معادل‌های مشتق‌شده بین A و B را به دست می‌دهند که در آن B = پایان A ( T  ) است.

ریکارد (1989) نتایج را در مورد هم ارزی مشتق شده با اثبات این که دو جبر محدود بعدی R و S معادل مشتق شده اند اگر و فقط اگر S جبر درون شکلی یک "مختلط کج" بر روی R باشد . مجتمع‌های کج‌سازی تعمیم‌های مدول‌های کج‌سازی تعمیم‌یافته هستند. نسخه ای از این قضیه برای حلقه های دلخواه R و S معتبر است .

هاپل، رایتن و اسمالو (1996) اشیاء کج را در دسته‌های آبلی ارثی تعریف کردند که در آن همه فضاهای Hom و Ext بر روی برخی از میدان‌های جبری بسته k دارای ابعاد محدود هستند . جبرهای اندومورفیسم این اجسام کج، جبرهای شبه کج ، تعمیم جبرهای کج هستند. جبرهای شبه شیبدار روی k دقیقاً جبرهای محدود بعدی بر روی k با بعد جهانی ≤ 2 هستند، به طوری که هر مدول تجزیه ناپذیر یا دارای بعد تصویری ≤ 1 یا بعد تزریقی ≤ 1 است . هاپل (2001) دسته های آبلی ارثی را طبقه بندی کرد که می توانند ظاهر شوند. در ساخت بالا

Colpi & Fuller (2007) اشیاء کج T را در یک دسته آبلی دلخواه C تعریف کردند . تعریف آنها مستلزم آن است که C حاوی مجموع مستقیم تعداد دلخواه (احتمالاً نامتناهی) از کپی های T باشد ، بنابراین این تعمیم مستقیم وضعیت ابعاد محدود در نظر گرفته شده در بالا نیست. با توجه به چنین جسمی کج با حلقه درون‌مورفیسم R ، آنها تابع‌های کج‌کننده‌ای را ایجاد می‌کنند که معادل‌هایی را بین یک جفت پیچشی در C و یک جفت پیچشی در R -Mod، دسته‌بندی همه مدول‌های R ، فراهم می‌کنند .

از نظریه جبرهای خوشه‌ای، تعریف دسته‌بندی خوشه‌ای (از Buan و همکاران (2006) ) و جبر کج‌شده خوشه‌ای ( Buan, Marsh & Reiten (2007) ) که به جبر ارثی A مرتبط است، به دست آمد . یک جبر کج خوشه ای از جبر کج به عنوان یک محصول نیمه مستقیم خاص ناشی می شود ، و دسته خوشه ای A خلاصه ای از دسته بندی های مدول جبرهای کج خوشه ای برخاسته از A است .

منابع [ ویرایش ]

  • آنجلری هوگل، لیدیا ; هاپل، دیتر؛ کراوز، هنینگ، ویرایش. (2007)، کتابچه راهنمای تئوری کج شدن (PDF) ، مجموعه یادداشت های سخنرانی انجمن ریاضی لندن، جلد. 332، انتشارات دانشگاه کمبریج ، doi : 10.1017/CBO9780511735134 ، ISBN 978-0-521-68045-5، MR 2385175
  • عاصم، ابراهیم (1990). "تئوری کج کردن - یک مقدمه" (PDF) . در بالسرزیک، استانیسلاو؛ یوزفیاک، تادئوش؛ کرمپا، جان؛ سیمسون، دانیل؛ ووگل، ولفگانگ (ویرایشگران). مباحث جبر، قسمت 1 (ورشو، 1988) . انتشارات مرکز باناخ. جلد 26. ورشو: PWN. ص 127-180. doi : 10.4064/-26-1-127-180 . MR 1171230 .
  • آسلندر، موریس ؛ پلاتزک، ماریا اینس؛ Reiten، Idun (1979)، "Functors Coxeter بدون نمودار"، Transactions of the American Mathematical Society , 250 : 1-46, doi : 10.2307/1998978 ، ISSN 0002-9947 ، M8R3058 ، JSTOR3059 .
  • برنشتین، ایوسف ن . گلفاند، ایزرائیل م . Ponomarev, VA (1973), "Functors Coxeter, and Gabriel's theorem" ، Russian Mathematical Surveys , 28 (2): 17-32, Bibcode : 1973RuMaS..28...17B , CiteSeerX 10.1.1.1.670 , do . /RM1973v028n02ABEH001526 ، ISSN 0042-1316 ، MR 0393065
  • برنر، شیلا؛ باتلر، مایکل CR (1980)، "تعمیم تابع های بازتابی برنشتاین-گلفاند-پومارف"، نظریه بازنمایی، II (Proc. Second Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979) یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، ج. 832، برلین، نیویورک: Springer-Verlag ، صفحات 103–169، doi : 10.1007/BFb0088461 ، ISBN 978-3-540-10264-9MR 0607151 _
  • بوان، عسلاک; مارش، رابرت ؛ راینکه، مارکوس؛ ریتن، ایدون ; تودوروف، گوردانا (2006) ، "تئوری کج و ترکیبات خوشه"، پیشرفت‌ها در ریاضیات ، 204 (2): 572–618، arXiv : math /0402054 ، doi : 10.1016 / j.aim.2005.06.2.2 . 15318919
  • بوان، عسلاک; مارش، رابرت ؛ Reiten، Idun (2007)، "جبرهای خوشه ای"، معاملات انجمن ریاضی آمریکا ، 359 ( 1): 323-332، doi : 10.1090/s0002-9947-06-03879-7 ، M.M.
  • کلین، ادوارد؛ پرشال، برایان؛ اسکات، لئونارد (1986)، "مقولات مشتق شده و نظریه موریتا"، جبر، 104 ( 2): 397-409، doi : 10.1016/0021-8693(86)90224-3 ، MR 0866784
  • کولپی، ریکاردو؛ فولر، کنت آر. (فوریه 2007)، "اشیاء کج در دسته‌های آبلی و حلقه‌های کواسیتیل شده" (PDF) ، تراکنش‌های انجمن ریاضی آمریکا ، 359 (2): 741-765، doi : 10.1090-1020-6904 03909-2
  • هاپل، دیتر؛ ریتن، ایدون ; Smalø، Sverre O. (1996)، "کج شدن در مقوله های آبلی و جبرهای شبه تیز"، خاطرات انجمن ریاضی آمریکا ، 575
  • هاپل، دیتر؛ Ringel, Claus Michael (1982), "Tilted Algebras", Transactions of the American Mathematical Society , 274 (2): 399–443, doi : 10.2307/1999116 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 0002-9947 , JSTOR 7906 , JSTOR 3906
  • هاپل، دیتر (1988)، مقوله های مثلثی در نظریه نمایش جبرهای محدود بعدی ، مجموعه یادداشت های سخنرانی انجمن ریاضی لندن، جلد. 119، انتشارات دانشگاه کمبریج، doi : 10.1017/CBO9780511629228 ، ISBN 9780521339223
  • هاپل، دیتر (2001)، "مشخص سازی مقوله های ارثی با شی کج"، اختراع. ریاضی. , 144 (2): 381–398, Bibcode : 2001InMat.144..381H , doi : 10.1007/s002220100135 , S2CID 120437744
  • ریکارد، جرمی (1989)، "نظریه موریتا برای مقولات مشتق شده"، مجله انجمن ریاضی لندن ، 39 (2): 436-456، doi : 10.1112/jlms/s2-39.3.436
  • Unger, L. (2001) [1994]، "Tilting Theory" ، دایره المعارف ریاضیات ، EMS Press

https://en.wikipedia.org/wiki/Tilting_theory