مدول های تصویری در مقابل آزاد [ ویرایش ]

هر مدول آزاد تصویری است. برعکس در موارد زیر صادق است:

به طور کلی، مدول های تصویری نیازی به آزاد بودن ندارند:

  • بیش از یک حاصل ضرب مستقیم از حلقه‌های R × S که در آن R و S حلقه‌های غیر صفر هستند، هر دو R × 0 و 0 × S مدول‌های تصویری غیرآزاد هستند.
  • در یک دامنه ددکیند یک ایده آل غیراصلی همیشه یک مدول تصویری است که یک مدول آزاد نیست.
  • بیش از یک حلقه ماتریس M N ( R )، مدول طبیعی R N تصویری اما آزاد نیست. به طور کلی، در هر حلقه نیمه ساده ، هر مدول تصویری است، اما ایده آل صفر و خود حلقه تنها ایده آل های آزاد هستند.

تفاوت بین مدول‌های آزاد و تصویری، به یک معنا، توسط گروه جبری K- theory K 0 ( R ) اندازه‌گیری می‌شود، در زیر ببینید.

مدول های تصویری در مقابل مسطح [ ویرایش ]

هر مدول تصویری صاف است . [1] برعکس به طور کلی درست نیست: گروه آبلی Q یک مدول Z است که مسطح است، اما تصویری نیست. [2]

برعکس، یک مدول مسطح محدود مرتبط تصویری است. [3]

Govorov (1965) و لازارد (1969) ثابت کرد که یک مدول M مسطح است اگر و تنها اگر آن است حد مستقیم از متناهی تولید مدول های آزاد .

به طور کلی، رابطه دقیق بین صافی و تصویری توسط رینود و گروسون (1971) ایجاد شد (همچنین رجوع کنید به درینفلد (2006) و براونلینگ، گروچنیگ و ولفسون (2016) ) که نشان دادند یک مدول M تصویری است اگر و فقط در صورتی که ارضا شود. شرایط زیر:

  • M صاف است،
  • M یک مجموع مستقیم از مدول های تولید شده قابل شمارش است،
  • M یک شرط خاص از نوع Mittag-Leffler را برآورده می کند.

دسته بندی مدول های تصویری [ ویرایش ]

مدول‌های فرعی مدول‌های تصویری لازم نیست تصویری باشند. یک حلقه R که هر زیر مدول یک مدول سمت چپ تصویری برای آن تصویری است، چپ ارثی نامیده می شود .

ضرایب مدول های تصویری نیز نیازی به پرده افکنی ندارند، برای مثال Z / n ضریبی از Z است ، اما بدون پیچش نیست، بنابراین مسطح نیست، و بنابراین تصویری نیست.

دسته بندی مدول های پروژکتوری به طور محدود تولید شده روی یک حلقه یک دسته دقیق است . (همچنین به نظریه K جبری مراجعه کنید ).