قضیه کاپلانسکی در مورد مدول های تصویری

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 12:44

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در جبر انتزاعی ، قضیه کاپلانسکی در مورد مدول های تصویری ، که برای اولین بار توسط ایروینگ کاپلانسکی اثبات شد ، بیان می کند که یک مدول تصویری بر روی یک حلقه موضعی آزاد است . [1] که در آن یک حلقه غیرضروری جایگزین موضعی نامیده می شود اگر برای هر عنصر x ، یا x یا 1 - x یک عنصر واحد باشد. [2] این قضیه همچنین می تواند برای مشخص کردن یک حلقه موضعی (#شخصیت یک حلقه موضعی ) فرموله شود.

برای یک مدول تصویری محدود بر روی یک حلقه موضعی جابجایی، قضیه نتیجه آسان لم ناکایاما است . [3] برای حالت کلی، اثبات (اعم از اصلی و بعدی) شامل دو مرحله زیر است:

توجه کنید که یک مدول تصویری بر روی یک حلقه دلخواه، مجموع مستقیمی از مدول های تصویری تولید شده قابل شمارش است.
نشان دهید که یک مدول تصویری تولید شده قابل شمارش بر روی یک حلقه موضعی آزاد است (با "[یادآوری] اثبات لم ناکایاما" [4] ).

ایده اثبات قضیه نیز بعداً توسط هیمن باس استفاده شد تا نشان دهد که مدول های تصویری بزرگ (در برخی شرایط ملایم) رایگان هستند. [5] با توجه به ( اندرسون و فولر 1992 )، قضیه کاپلانسکی "به احتمال زیاد الهام بخش بخش عمده ای از نتایج" در نظریه حلقه های نیمه کامل است. [1]

اثبات [ ویرایش ]

اثبات قضیه مبتنی بر دو لم است، که هر دو مربوط به تجزیه مدول‌ها هستند و منافع عمومی مستقلی دارند.

لم 1 - [6] اجازه دهید ${\mathfrak {F}}$ خانواده مدول‌ها را نشان می‌دهد که مجموع مستقیم برخی از زیرمدول‌های تولید شده قابل شمارش هستند (در اینجا مدول‌ها می‌توانند روی یک حلقه، یک گروه یا حتی مجموعه‌ای از اندومورفیسم‌ها باشند). اگر $م$ هست در ${\mathfrak {F}}$ ، سپس هر یک از جمع مستقیم از $م$ نیز در است ${\mathfrak {F}}$ .

اثبات : فرض کنید N یک جمع مستقیم باشد. یعنی $M=N\plus L$ . با استفاده از این فرض، می نویسیم $M=\bigoplus _{I\in I}M_{i}$ جایی که هر کدام $M_{i}$ یک زیر مدول قابل شمارش است. برای هر زیر مجموعه $A\subset I$ ، ما نوشتیم $M_{A}=\bigoplus _{i\in A}M_{i},N_{A}=$ تصویر از $M_{A}$ تحت طرح ریزیم $M\to N\hookrightarrow M$ و $L_{A}$ به همان شیوه. اکنون مجموعه تمام سه گانه ها را در نظر بگیرید ( $جی$ ، $ب$ ، $سی$ ) از یک زیر مجموعه تشکیل شده استجی⊂من $J\subset I$ و زیر مجموعه هاب،سی⊂اف $B,C\subset {\mathfrak {F}}$ به طوری که $M_{J}=N_{J}\plus L_{J}$ و $N_{J},L_{J}$ مجموع مستقیم مدول ها هستند $قبل از میلاد مسیح$ . ما به این مجموعه یک سفارش جزئی می دهیم به طوری که $(J,B,C)\leq (J',B',C')$ اگر و تنها اگر $J\زیر مجموعه J'$ ، $B\subset B',C\subset C'$ . با لم زورن ، مجموعه شامل یک عنصر حداکثر است $(J,B,C)$ . ما آن را نشان خواهیم داد $J=I$ ; یعنی $N=N_{J}=\bigoplus _{N'\in B}N'\in {\mathfrak {F}}$ . فرض کنید در غیر این صورت. سپس می توانیم به صورت استقرایی دنباله ای از حداکثر زیر مجموعه های قابل شمارش بسازیم $I_{1}\subset I_{2}\subset \cdots \subset I$ به طوری که $I_{1}\not \subset J$ و برای هر عدد صحیح $n\geq 1$ ،

$M_{I_{n}}\subset N_{I_{n}}+L_{I_{n}}\subset M_{I_{n+1}}$ .

$I'=\bigcup _{0}^{\infty }I_{n}$ و $J'=J\cup I'$ . ما ادعا میکنیم:

$M_{J'}=N_{J'}\plus L_{J'}.$

گنجایش $\زیرمجموعه$ پیش پا افتاده است متقابلا، $N_{J'}$ تصویر $N_{J}+L_{J}+M_{I'}\زیر مجموعه N_{J}+M_{I'}$ و غیر $N_{J'}\زیر مجموعه M_{J'}$ . همین امر در مورد نیز صادق است $L_{J'}$ . از این رو ادعا صحیح است.

اکنون، $N_J$ یک جمع مستقیم از $م$ (چون جمعی $M_{J}$ ، که جمعی از $م$ ) یعنی $N_{J}\plus M'=M$ برای $M'$ . سپس، طبق قانون مدولار، $N_{J'}=N_{J}\plus (M'\cap N_{J'})$ . تنظیم ${\widetilde {N_{J}}}=M'\cap N_{J'}$ . تعریف کردن ${\widetilde {L_{J}}}$ به همین ترتیب سپس با استفاده از ادعای اولیه، داریم:

$M_{J'}=M_{J}\oplus {\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}}،$

که دلالت بر آن دارد

${\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}}\simeq M_{J'}/M_{J}\simeq M_{J'-J}$

قابل شمارش به عنوان تولید می شود $J'-J\subset I'$ . این با حداکثر بودن در تناقض است $(J,B,C)$ . $\مربع$

لم 2 - اگر $M_{i},i\in I$ مدول های قابل شمارش با حلقه های اندومورفیسم موضعی و اگرن $ن$ یک مدول تولید شده قابل شمارش است که یک جمع مستقیم از $\bigoplus _{{i\in I}}M_{i}$ ، سپسن $ن$ ایزومورف به است $\bigoplus _{i\in I'}M_{i}$ برای برخی از زیر مجموعه ها حداکثر قابل شمارش $I'\subset I$ .

اثبات : [7] اجازه دهید ${\mathcal {G}}$ نشان دهنده خانواده مدول هایی است که با مدول های فرم هم شکل هستند⨁من∈افممن $\bigoplus _{i\in F}M_{i}$ برای برخی از زیر مجموعه های محدود $F\زیر مجموعه I$ . سپس این ادعا با ادعای زیر مستلزم است:

با توجه به یک عنصرایکس∈ن $x\in N$ ، وجود دارد $H\in {\mathcal {G}}$ که حاوی x و جمع مستقیم N است.

در واقع، فرض کنید ادعا معتبر است. سپس یک دنباله را انتخاب کنید $x_1، x_2، \dots$ در N که یک مجموعه مولد است. سپس با استفاده از ادعا، بنویسید $N=H_{1}\plus N_{1}$ جایی که $x_{1}\در H_{1}\در {\mathcal {G}}$ . سپس می نویسیم $x_{2}=y+z$ جایی که $y\in H_{1},z\in N_{1}$ . سپس تجزیه می کنیمن1=اچ2⊕ن2 $N_{1}=H_{2}\plus N_{2}$ با�∈اچ2∈جی $z\in H_{2}\in {\mathcal {G}}$ . توجه داشته باشید $\{x_{1},x_{2}\}\subset H_{1}\plus H_{2}$ . با تکرار این استدلال، در پایان داریم: ${\textstyle \{x_{1},x_{2},\dots \}\subset \bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$ ; یعنی ${\textstyle N=\bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$ . از این رو، برهان به اثبات ادعا تقلیل می‌یابد و این ادعا نتیجه مستقیم قضیه ناکایاما است (برای استدلال به مقاله مرتبط مراجعه کنید).◻ $\مربع$

اثبات قضیه : اجازه دهید $ن$ یک مدول تصویری بر روی یک حلقه موضعی باشد. سپس، طبق تعریف، جمع مستقیم چند مدول آزاد است $اف$ . این $اف$ در خانواده است ${\mathfrak {F}}$ در لم 1; بدین ترتیب، $ن$ یک مجموع مستقیم از زیرمدول های تولید شده قابل شمارش است که هر یک جمع مستقیم F و بنابراین تصویری است. از این رو، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنید $ن$ قابل شمارش تولید می شود. سپس لم 2 قضیه را می دهد. $\مربع$

خصوصیات یک حلقه موضعی [ ویرایش ]

قضیه کاپلانسکی را می توان به گونه ای بیان کرد که یک حلقه موضعی را توصیف کند. یک جمع مستقیم اگر دارای مکمل غیرقابل تجزیه باشد حداکثر گفته می شود.

قضیه - [8] فرض کنید R یک حلقه باشد. بعدی ها برابر هستند.

R یک حلقه موضعی است.
هر مدول تصویری روی R آزاد است و تجزیه ناپذیری دارد $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ به طوری که برای هر جمع مستقیم L از M یک تجزیه وجود دارد $M={\Big (}\bigoplus _{j\in J}M_{j}{\Big )}\bigoplus L$ برای برخی از زیر مجموعه $J\subset I$ .

مفهوم. $1.\Rightarrow 2.$ دقیقاً (معمول) قضیه کاپلانسکی و قضیه ناکایاما است. برعکس $2.\Rightarrow 1.$ از واقعیت کلی زیر که خود مورد علاقه است نتیجه می گیرد:

یک حلقه R موضعی است $\پیکان راست چپ$ برای هر جمع مستقیم مناسب غیر صفر M از $R^{2}=R\times R$ ، یا $R^{2}=(0\times R)\plus M$ یا $R^{2}=(R\times 0)\plus M$ .

$(\فلش راست )$ است با قضیه ناکایاما به عنوان در اثبات $1.\Rightarrow 2.$ . برعکس، فرض کنید $R^{2}$ دارای خاصیت فوق است و عنصر x در R داده شده است. نقشه خطی را در نظر بگیرید $\sigma :R^{2}\to R,\,\sigma (a,b)=ab$ . تنظیم $y=x-1$ . سپس $\sigma (x,y)=1$ ، که می گویند $\eta :R\to R^{2},a\mapsto (ax,ay)$ شکاف ها و تصویر $م$ یک جمع مستقیم از $R^{2}$ . از آن به راحتی این فرض حاصل می شود که x یا - y یک عنصر واحد است.◻ $\مربع$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

رسته کرول-اشمیت

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Kaplansky%27s_theorem_on_projective_modules

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی