ریاضیات

 بسته‌های برداری و مدول‌های آزاد موضعی [ ویرایش ]

انگیزه اصلی این نظریه این است که مدول های تصویری (حداقل روی حلقه های جابجایی خاص) آنالوگ های بسته های برداری هستند . این را می توان برای حلقه توابع با ارزش واقعی پیوسته در فضای فشرده هاسدورف ، و همچنین برای حلقه توابع صاف روی یک منیفولد صاف دقیق کرد (به قضیه سره-اسوان مراجعه کنید که می گوید یک مدول تصویری به طور محدود تولید شده در فضای توابع صاف در یک منیفولد فشرده، فضای بخش های صاف یک بسته بردار صاف است).

بسته‌های وکتور به صورت موضعی آزاد هستند . اگر مفهومی از "موضعی سازی" وجود داشته باشد که می تواند به مدول ها منتقل شود، مانند موضعی سازی معمول یک حلقه ، می توان مدول های آزاد موضعی را تعریف کرد، و مدول های تصویری معمولاً با مدول های آزاد موضعی منطبق می شوند.

مدول های تصویری بر روی یک حلقه چند جمله ای [ ویرایش ]

قضیه کوییلن-سوسلین ، که حل مشکل Serre ساخته است، یکی دیگر است نتیجه عمیق : اگر K است درست ، یا به طور کلی تر یک دامنه اصلی ایده آل ، و R = K [ X 1 ، ...، X N ] است حلقه چند جمله ای بیش از K ، سپس هر مدول تصویری روی R آزاد است. این مشکل برای اولین بار توسط Serre با یک مبدان K (و مدول ها به طور محدود تولید می شوند) مطرح شد. باس آن را برای مدول‌هایی که به‌طور محدود تولید نمی‌شوند حل کرد، [7] و Quillen و Suslin به طور مستقل و به طور همزمان مورد مدول های تولید شده محدود را بررسی کردند.

از آنجایی که هر مدول تصویری در یک حوزه ایده آل اصلی آزاد است، ممکن است این سوال بپرسد: اگر R یک حلقه جابجایی باشد به طوری که هر مدول R تصویری (به طور محدود تولید شده) آزاد باشد، پس هر (به طور محدود تولید شده) تصویری R [ X ] است. مدول آزاد؟ پاسخ خیر است . یک مثال متقابل با R برابر با حلقه موضعی منحنی y 2 = x 3 در مبدا رخ می دهد. بنابراین، قضیه Quillen-Suslin را هرگز نمی توان با یک استقرای ساده بر روی تعداد متغیرها اثبات کرد.

​منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_module