قضیه پایه هیلبرت

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و چهارم اسفند ۱۴۰۱ | 19:1

قضیه پایه هیلبرت

14 زبان

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، به ویژه جبر جابجایی ، قضیه پایه هیلبرت می گوید که یک حلقه چند جمله ای بر روی یک حلقه نوتری ، نوتری است.

بیانیه [ ویرایش ]

اگر $آر$ یک حلقه است ، اجازه دهید $R[X]$ حلقه چند جمله ای ها را در نامتعین نشان دهیدایکس $ایکس$ بر فراز $آر$ . هیلبرت ثابت کرد که اگر $آر$ "خیلی بزرگ نیست"، به این معنا که اگر $آر$ نوتری است، همین امر باید برای آن صادق باشد $R[X]$ . به طور رسمی،

قضیه پایه هیلبرت. اگر $آر$ پس یک حلقه نوتری است $R[X]$ یک حلقه نوتری است.

نتیجه. اگر $آر$ پس یک حلقه نوتری است $R[X_{1}،\dotsc،X_{n}]$ یک حلقه نوتری است.

این را می توان به شکل زیر به هندسه جبری ترجمه کرد: هر مجموعه جبری روی یک میدان را می توان به عنوان مجموعه ریشه های مشترک بسیاری از معادلات چند جمله ای توصیف کرد. هیلبرت این قضیه را (برای مورد خاص حلقه‌های چندجمله‌ای در یک میدان) در طول اثبات نسل محدود حلقه‌های متغیر ثابت کرد . [1]

هیلبرت با استفاده از استقرای ریاضی، اثباتی بدیع از طریق تضاد ارائه کرد . روش او الگوریتمی برای تولید چندجمله‌ای‌های پایه محدود برای یک ایده‌آل ارائه نمی‌دهد : فقط نشان می‌دهد که آنها باید وجود داشته باشند. می توان چند جمله ای های پایه را با استفاده از روش پایه های گروبنر تعیین کرد .

اثبات [ ویرایش ]

قضیه. اگر $آر$ یک حلقه نوترین چپ (مثلاً راست) و سپس حلقه چند جمله ای است $R[X]$ همچنین یک حلقه نوترین چپ (مثلاً راست) است.

تذکر دهید. ما دو دلیل می آوریم که در هر دو فقط حالت «چپ» در نظر گرفته می شود. اثبات مورد درست مشابه است.

اثبات اول [ ویرایش ]

فرض کنیدآ⊆ ${\mathfrak a}\subseteq R[X]$ یک ایده‌آل چپ غیر محدود تولید شده است. سپس با بازگشت (با استفاده از اصل انتخاب وابسته ) دنباله ای از چند جمله ای ها وجود دارد. $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ به گونه ای که اگر ${\mathfrak b}_{n}$ ایده آل چپ تولید شده توسط $f_{0},\ldots,f_{n-1}$ سپس $f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}$ حداقل درجه است . واضح است که $\{\deg(f_{0})،\deg(f_{1})،\ldots \}$ دنباله ای غیر کاهشی از اعداد طبیعی است . اجازه دهید $a_{n}$ ضریب پیشرو باشد $f_{n}$ و اجازه دهید ${\mathfrak {b}}$ ایده آل چپ در $آر$ تولید شده توسط $a_{0},a_{1},\ldots$ . از آنجا که $آر$ زنجیر مان نوتری است

$(a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots$ ⊂⋯

باید خاتمه یابد. بدین ترتیب ${\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})$ برای تعدادی عدد صحیح $ن$ . بنابراین به طور خاص،

$a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.$

حال در نظر بگیرید

$g=\sum _{{i<N}}u_{{i}}X^{{\deg(f_{{N}})-\deg(f_{{i}})}}f_{{i} }،$

که عبارت اصلی آن برابر است با $f_{N}$ ; علاوه بر این، $g\in {\mathfrak b}_{N}$ . با این حال، $f_{N}\notin {\mathfrak b}_{N}$ ، که به این معنی است $f_{N}-g\in {\mathfrak a}\setminus {\mathfrak b}_{N}$ دارای مدرک کمتر از $f_{N}$ ، در تضاد با حداقل است.

اثبات دوم [ ویرایش ]

اجازه دهیدآ⊆ ${\mathfrak a}\subseteq R[X]$ یک ایده آل چپ باشد اجازه دهیدب ${\mathfrak b}$ مجموعه ضرایب پیشرو اعضا باشدآ ${\mathfrak {a}}$ . این بدیهی است که یک ایده آل باقی مانده است $آر$ و بنابراین به طور محدود توسط ضرایب پیشرو تعداد محدودی از اعضای تولید می شود ${\mathfrak {a}}$ ; گفتن $f_{0},\ldots ,f_{N-1}$ . اجازه دهیدد $د$ حداکثر مجموعه باشد $\{\deg(f_{0}),\ldots,\deg(f_{N-1})\}$ ، و اجازه دهیدبک ${\mathfrak b}_{k}$ مجموعه ضرایب پیشرو اعضا باشدآ ${\mathfrak {a}}$ ، که مدرک آن است $\le k$ . مانند قبل، ${\mathfrak b}_{k}$ مان ها باقی مانده اند $آر$ ، و بنابراین به طور محدود توسط ضرایب پیشرو تعداد محدودی از اعضای تولید می شوندآ ${\mathfrak {a}}$ ، گفتن

$f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}$

با $\le k$ . حالا اجازه دهیدآ∗⊆ ${\mathfrak a}^{*}\subseteq R[X]$ ایده آل چپ باشد که توسط:

$\left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\راست\ }\!\!\;.$

ما داریم ${\mathfrak a}^{*}\subseteq {\mathfrak a}$ و همچنین ادعا کنید ${\mathfrak a}\subseteq {\mathfrak a}^{*}$ . فرض کنید برای تناقض اینطور نیست. سپس اجازه دهید $h\in {\mathfrak a}\setminus {\mathfrak a}^{*}$ حداقل درجه باشد و ضریب اصلی آن را با نشان دهید $آ$ .

مورد 1: $\deg(h)\geq d$ . صرف نظر از این شرط، داریم $a\in {\mathfrak b}$ ، یک ترکیب خطی سمت چپ نیز همینطور است

$a=\sum _{j}u_{j}a_{j}$

از ضرایب از $f_{j}$ . در نظر گرفتن

$h_{0}\triangleq \sum _{{j}}u_{{j}}X^{{\deg(h)-\deg(f_{{j}})}}f_{{j}}،$

که همان اصطلاح اصلی را دارد $ساعت$ ; علاوه بر این $h_{0}\در {\mathfrak a}^{*}$ در حالی که $h\notin {\mathfrak a}^{*}$ . از این رو $h-h_{0}\in {\mathfrak a}\setminus {\mathfrak a}^{*}$ و $\deg(h-h_{0})<\deg(h)$ ، که با حداقلی بودن در تضاد است.

مورد 2: $\deg(h)=k<d$ . سپس $a\in {\mathfrak b}_{k}$ بنابراین یک ترکیب خطی سمت چپ است

$a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{{(k)}}$

از ضرایب پیشرو از $f_{j}^{{(k)}}$ . با توجه به

$h_{0}\triangleq \sum _{j}u_{j}X^{{\deg(h)-\deg(f_{{j}}^{{(k)}})}}f_{{j }}^{{(k)}}،$

ما تضاد مشابه مورد 1 را به دست می دهیم.

بنابراین ادعای ما صادق است، و ${\mathfrak a}={\mathfrak a}^{*}$ که به طور متناهی تولید می شود.

توجه داشته باشید که تنها دلیلی که مجبور شدیم به دو پرونده تقسیم شویم، اطمینان از این بود که اختیاراتایکس $ایکس$ ضرب عوامل در ساخت و سازها غیرمنفی بود.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

اجازه دهید $آر$ یک حلقه جابجایی نوتری باشد . قضیه پایه هیلبرت چند نتیجه فوری دارد .

با استقرا می بینیم که $R[X_{0}،\dotsc،X_{n-1}]$ نوتری نیز خواهد بود.
از آنجا که هر گونه وابسته بیش از $R^{n}$ (یعنی یک مجموعه مکان از مجموعه ای از چند جمله ای ها) ممکن است به عنوان مکان یک ایده آل نوشته شود ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ و علاوه بر این، به عنوان مکان مولدهای آن، نتیجه می‌شود که هر گونه وابسته، مکان چندجمله‌ای محدود بسیاری است - یعنی محل تلاقی تعداد بسیار زیاد ابرسطحی .
اگر $آ$ به طور متناهی تولید شده است $آر$ -جبر ، پس ما آن را می دانیم $A\simeq R[X_{0},\dotsc,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ ، جایی که ${\mathfrak {a}}$ یک ایده آل است قضیه مبنا دلالت بر آن دارد ${\mathfrak {a}}$ مثلاً باید به طور متناهی تولید شود ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ ، یعنی $آ$ به طور کامل ارائه شده است .

شواهد رسمی [ ویرایش ]

اثبات های رسمی قضیه پایه هیلبرت از طریق پروژه Mizar (به فایل HILBASIS مراجعه کنید ) و Lean (به ring_theory.polynomial مراجعه کنید) تأیید شده است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی