از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با نیم نرم یا pseudonorm اشتباه گرفته شود .

در جبر خطی ، تحلیل تابعی و حوزه‌های مرتبط ریاضیات ، یک شبه‌هنجار از این نظر شبیه به یک هنجار است که بدیهیات هنجار را برآورده می‌کند، با این تفاوت که نابرابری مثلث با جایگزین می‌شود.

{\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}برای برخی.K > 1.

تعریف [ ویرایش ]

شبه‌ نرم [1] در فضای برداریایکسیک نقشه با ارزش حقیقی استپبرایکسکه شرایط زیر را برآورده می کند:

  1. غیر منفی بودن :پ≥0;{\displaystyle p\geq 0;}
  2. همگنی مطلق :{\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}برای همهx\در Xو همه اسکالرهاس;{\displaystyle s;}
  3. قعی وجود داردk\geq 1به طوری که{\displaystyle p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]}برای همه.{\displaystyle x,y\in X.}
    • اگرk=1سپس این نابرابری به نابرابری مثلث کاهش می یابد . از این نظر است که این شرط نابرابری مثلث معمولی را تعمیم می دهد.

آشبه هنجار [1] یک شبه نیم‌هنجار است که موارد زیر را نیز برآورده می‌کند:

  1. مثبت قطعی /نقطه جدا کننده : اگرx\در Xراضی می کند{\displaystyle p(x)=0,}سپس.x=0.

یک جفت{\displaystyle (X,p)}متشکل از یک فضای برداری ایکسو یک شبه‌ نرم مرتبطپa نامیده می شودفضای برداری شبه نیم شکل . اگر شبه نیمی شبه هنجار باشد به آن a نیز می گویندفضای برداری شبه نرمدار .

ضرب کننده

اینفیموم همه ارزش هایککارضای شرط (3) نامیده می شودضرب کننده ازپ. خود ضریب نیز شرط (3) را برآورده می کند و بنابراین کوچکترین عدد حقیقی منحصر به فرد است که این شرط را برآورده می کند. عبارتک-شبه نیم نرم گاهی اوقات برای توصیف شبه نیم نرم استفاده می شود که ضریب آن برابر است باک.ک.

یک هنجار (به ترتیب، یک نیم نرم ) فقط یک شبه هنجار (به ترتیب، یک شبه نیم‌هنجار) است که ضریب آن برابر است با1.1. بنابراین هر نیم نرم یک شبه نیم نرم و هر هنجار یک شبه نرمدار (و یک شبه نیم نرم) است.

توپولوژی [ ویرایش ]

اگرپیک شبه هنجار استایکسسپسپیک توپولوژی برداری را القا می کندایکسکه مبنای همسایگی آنها در مبدأ توسط مجموعه ها ارائه می شود: [2]

{\displaystyle \{x\in X:p(x)<1/n\}}مانندnبر روی اعداد صحیح مثبت قرار می گیرد. فضای برداری توپولوژیکی با چنین توپولوژی a نامیده می شودفضای برداری توپولوژیکی شبه نرم یا فقط یک فضای شبه نورمدار .

هر فضای برداری توپولوژیکی شبه نرمدار قابل شبه سنجی است .

یک فضای شبه هنجاری کامل a نامیده می شودفضای شبه باناخ . هرفضای باناخ یک فضای شبه باناخ است، البته نه برعکس.

تعاریف مرتبط [ ویرایش ]

همچنین ببینید: جبر باناخ

یک فضای شبه نورمی{\displaystyle (A,\|\,\cdot \,\|)}a نامیده می شودجبر شبه‌هنجاری اگر فضای برداری باشدآجبر است و ثابت وجود داردK> 0به طوری که

{\displaystyle \|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|}برای همه.{\displaystyle x,y\ in A.}

جبر شبه هنجاری کاملَ Aمیده می شودشبه جبر باناخ .

خصوصیات [ ویرایش ]

فضای برداری توپولوژیکی (TVS) یک فضای شبه‌هنجاری است اگر و تنها در صورتی که یک همسایگی محدود از مبدأ داشته باشد. [2]

مثالها [ ویرایش ]

از آنجایی که هر هنجاری یک شبه هنجار است، هر فضای هنجاری نیز یک فضای شبه هنجاری است.

L^{p}فضاهای با0<p<1

راL^{p}فضاهای برای0<p<1فضاهای شبه هنجاری هستند (در واقع، آنها حتی فضاهای F هستند) اما به طور کلی نرمال نیستند (به این معنی که ممکن است هیچ هنجاری وجود نداشته باشد که توپولوژی آنها را تعریف کند). برای،{\displaystyle 0<p<1,}فضای لبگ{\displaystyle L^{p}([0,1])}یک TVS قابل متریزاسیون کامل (یک فضای F ) است که به صورت محلی محدب نیست (در واقع، تنها زیرمجموعه های باز محدب آن خود هستند. {\displaystyle L^{p}([0,1])}و مجموعه تهی) و تنها تابع خطی پیوسته روشن است{\displaystyle L^{p}([0,1])}ثابت است{\displaystyle 0}تابع ( Rudin 1991 , §1.47). به طور خاص، قضیه هان-باناخ برای آن صادق نیست{\displaystyle L^{p}([0,1])} زمانیکه.{\displaystyle 0<p<1.}

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • فضای برداری توپولوژیکی قابل اندازه گیری - فضای برداری توپولوژیکی که توپولوژی آن را می توان با متریک تعریف کرد
  • هنجار (ریاضیات) - طول در یک فضای برداری
  • نیم نرم - تابع غیرمنفی-حقیقی در فضای برداری حقیقی یا مختلط که نابرابری مثلث را برآورده می کند و کاملاً همگن است.
  • فضای برداری توپولوژیکی - فضای برداری با مفهوم نزدیکی

منابع [ ویرایش ]

  1. ^ a bپرش به بالا: Kalton 1986 ، صفحات 297-324.
  2. ^ a bپرش به بالا: Wilansky 2013 ، ص. 55.
  • آل، چارلز ای. رابرت لوون (2001). راهنمای تاریخچه توپولوژی عمومی . اسپرینگر _ شابک 0-7923-6970-X.
  • کانوی، جان بی (1990). دوره ای در تحلیل عملکردی . اسپرینگر _ شابک 0-387-97245-5.
  • Kalton, N. (1986). "توابع چندگانه ساب هارمونیک در فضاهای شبه باناخ" (PDF) . Studia Mathematica . موسسه ریاضیات، آکادمی علوم لهستان. 84 (3): 297-324. doi : 10.4064/sm-84-3-297-324 . ISSN 0039-3223 .
  • نیکولاسکی، نیکولا کاپیتونوویچ (1992). تحلیل تابعی I: تحلیل تابعی خطی . دایره المعارف علوم ریاضی. جلد 19. اسپرینگر . شابک 3-540-50584-9.
  • رودین، والتر (1991). تحلیل عملکردی . سری بین المللی در ریاضیات محض و کاربردی. جلد 8 (ویرایش دوم). نیویورک، نیویورک: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . شابک 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
  • سوارتز، چارلز (1992). مقدمه ای بر تحلیل عملکردی . CRC را فشار دهید . شابک 0-8247-8643-2.
  • ویلانسکی، آلبرت (2013). روش های مدرن در فضاهای برداری توپولوژیکی . Mineola، نیویورک: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

​https://en.wikipedia.org/wiki/Quasinorm