​از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در ریاضیات ، به ویژه در جبر از کلاس از مدول های تصویری بزرگ کلاس از مدول های آزاد (است که، مدول با بردارهای پایه ) بیش از یک حلقه ، با نگه داشتن برخی از خواص اصلی مدول های آزاد. توصیفات مختلف معادل این مدول ها در زیر ظاهر می شود.

هر مدول آزاد یک مدول تصویری است، اما عکس آن روی برخی از حلقه‌ها مانند حلقه‌های ددکیند که دامنه‌های ایده‌آل اصلی نیستند ، نمی‌ماند . با این حال، اگر حلقه یک دامنه ایده آل اصلی مانند اعداد صحیح یا یک حلقه چند جمله ای باشد (این قضیه Quillen-Suslin است ) هر مدول تصویری یک مدول آزاد است .

مدول های تصویری برای اولین بار در سال 1956 در کتاب تأثیرگذار جبر همسانی توسط هنری کارتان و ساموئل آیلنبرگ معرفی شدند .

 

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

اموال بالابر [ ویرایش ]

تعریف نظری طبقه بندی معمول بر حسب خاصیت بلند کردن است که از مدول های آزاد به مدول های تصویری منتقل می شود: یک مدول P تصویری است اگر و فقط اگر برای هر مدول سطحی هممورفیسم f  : N ↠ M و هر مدول هم شکل g  : P → M تصویری است . , یک هم شکلی مدول h وجود دارد  : P → N به گونه ای که f  h = g . (نیازی نداریم هممورفیسم بالابرنده h منحصر به فرد باشد؛ این یک ویژگی جهانی نیست.)

Projective-module-P.svg

مزیت این تعریف از "پروفجکتیو" این است که می توان آن را در دسته بندی های کلی تر از دسته های مدول انجام داد: ما به مفهوم "شیء آزاد" نیاز نداریم. همچنین می توان آن را دوگانه کرد که منجر به مدول های تزریقی شود . خاصیت بالابر ممکن است به عنوان هر مورفیسمی بازنویسی شودپ به م عوامل از طریق هر epimorphism به م. بنابراین، طبق تعریف، مدول های تصویری دقیقاً اشیاء تصویری در دسته مدول های R هستند.

توالی‌های دقیق [ ویرایش ]

یک مدول P تصویری است اگر و فقط اگر هر دنباله دقیق کوتاهی از مدول های فرم

{\displaystyle 0\right arrow A\right B\right arrow P\right arrow 0}

یک توالی دقیق شکافته شده است . یعنی برای هر هممورفیسم مدول سطحی f  : B ↠ P یک نقشه بخش وجود دارد ، یعنی یک هم شکلی مدول h  : P → B به گونه ای که f  h = id P . در آن صورت، h( P ) است جمع وند مستقیم از B ، hیک  ریخت از P به h( P ) ، و hF است طرح ریزی روی جمع h ( P ) . هم ارز،

{\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ و } }\operatorname {Im} (h)\cong P.}