این مقاله در مورد حلقه های کاملی است که توسط هیمن باس معرفی شده است. برای حلقههای کامل مشخصه p که میدانهای کامل را تعمیم میدهند، به میدان کامل مراجعه کنید .
در حوزه جبر انتزاعی معروف به نظریه حلقه ، حلقه کامل چپ نوعی حلقه است که در آن تمام مدول های سمت چپ دارای پوشش های تصویری هستند . حالت راست با قیاس تعریف می شود و شرط متقارن چپ-راست نیست. یعنی حلقه هایی وجود دارد که در یک طرف کامل هستند، اما طرف دیگر نیستند. حلقه های کامل در کتاب باس معرفی شدند. [1]
حلقه نیمه کامل حلقه ای است که روی آن هر مدول چپ که به طور متناهی تولید می شود دارای یک پوشش تصویری است. این ویژگی متقارن چپ به راست است.
حلقه کامل [ ویرایش ]
تعاریف [ ویرایش ]
تعاریف معادل زیر از یک حلقه کامل چپ R در آدرسون و فولر یافت می شود: [2]
- هر مدول R سمت چپ دارای یک پوشش تصویری است.
- R /J( R ) نیمه ساده است و J( R ) T-nilpotent باقی می ماند (یعنی برای هر دنباله نامتناهی از عناصر J( R ) یک n وجود دارد به طوری که حاصل ضرب n جمله اول صفر باشد. J( R ) رادیکال جاکوبسون R است .
- ( قضیه باس P ) R شرط زنره نزولی در ایده آل های راست اصلی را برآورده می کند . (اشتباهی وجود ندارد، این شرط در ایده آل های اصلی درست برابر است با کامل باقی ماندن حلقه .)
- هر مدول R مسطح سمت چپ تصویری است .
- R /J( R ) نیمه ساده است و هر مدول R غیرصفر سمت چپ حاوی یک مدول فرعی حداکثر است.
- R شامل هیچ مجموعه متعامد نامتناهی از idempotent ها نیست و هر مدول R غیرصفر سمت راست حاوی یک زیر مدول حداقل است.
مثالها [ ویرایش ]
- حلقههای آرتینی راست یا چپ و حلقههای نیمهاولیه بهعنوان راست و چپ کامل شناخته شدهاند.
- در زیر یک مثال (به دلیل باس) از یک حلقه موضعی است که سمت راست است اما در سمت چپ کامل نیست. فرض کنید F یک میدان باشد و حلقه خاصی از ماتریس های نامتناهی را روی F در نظر بگیرید.
مجموعه ای از ماتریس های بی نهایت را با ورودی های نمایه شده با
می توان نشان داد که R یک حلقه یکدار است که رادیکال یاکوبسون آن J . بعلاوه R / J یک فیلد است، به طوری که R موضعی است، و R سمت راست است اما سمت چپ کامل نیست. [3]
خواص [ ویرایش ]
برای یک حلقه کامل سمت چپ R :
- از معادلهای بالا، هر مدول R سمت چپ دارای یک مدول فرعی حداکثر و یک پوشش تصویری است و مدولهای R سمت چپ مسطح با مدولهای سمت چپ تصویری منطبق هستند.
- یک آنالوگ از معیار Baer برای مدول های تصویری صادق است. [ نیازمند منبع ]
انگشتر نیمه کامل [ ویرایش ]
تعریف [ ویرایش ]
بگذارید R زنگ بزند. اگر هر یک از شرایط معادل زیر برقرار باشد، R نیمه کامل است:
- R /J( R ) نیمه ساده و مدول بالابر idempotents J( R ) است، که در آن J( R ) رادیکال جاکوبسون R است.
- R یک مجموعه کامل متعامد e 1 ، ...، e n از idempotents دارد که هر e i R e i یک حلقه موضعی است .
- هر مدول R ساده سمت چپ (راست) دارای یک پوشش تصویری است.
- هر مدول R- چپ (راست) متناهی المولد دارای یک پوشش تصویری است.
- مقوله فرافکنی متناهی المولد
مدول ها کرول-اشمیت است.
مثالها [ ویرایش ]
نمونه هایی از حلقه های نیمه کامل عبارتند از:
- حلقه های کامل سمت چپ (راست).
- حلقه های موضعی
- قضیه کاپلانسکی در مورد مدول های تصویری
- حلقه های آرتینی چپ (راست) .
- جبرهای k بعد محدود .
خواص [ ویرایش ]
از آنجایی که یک حلقه R نیمه کامل است اگر هر مدول R سمت چپ ساده یک پوشش برجسته داشته باشد، هر حلقه موریتا معادل یک حلقه نیمه کامل نیز نیمه کامل است.
منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_ring
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.