این مقاله در مورد بدنه انژکتیو یک مدول در جبر است. برای بدنه های انژکتیو فضاهای متریک، که دهانه های تنگ، پاکت های انژکتیو یا بدنه های بیش از حد محدب نیز نامیده می شوند، به دهانه تنگ مراجعه کنید .

در ریاضیات ، به ویژه در جبر ، بدنه انژکتیو (یا پاکت انژکتیو ) یک مدول ، هم کوچکترین مدول انژکتیو حاوی آن و هم بزرگترین بسط ضروری آن است. بدنه انژکتیو برای اولین بار در ( Eckmann & Schopf 1953 ) توصیف شد.

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

مدول E نامیده می شود بدنه انژکتیو از یک مدول M ، اگر E یک IS پسوند ضروری از M و E است انژکتیو . در اینجا، حلقه پایه یک حلقه با وحدت است، اگرچه احتمالاً غیر قابل تعویض.

مثالها [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

  • بدنه انژکتیو M تا یکریختی هایی که هویت روی M هستند منحصر به فرد است، اما یکریختی لزوما منحصر به فرد نیست. این به این دلیل است که ویژگی پسوند نقشه بدنه انژکتیو یک ویژگی جهانی کامل نیست . به دلیل این منحصر به فرد، بدنه را می توان با E ( M ) نشان داد.
  • بدنه انژکتیو E ( M ) یک حداکثر است پسوند ضروری از M به این معنا که اگر M ⊆ E ( M ) ⊊ B برای یک مدول B ، و سپس M است زیرمدول ضروری نیست B .
  • بدنه انژکتیو E ( M ) یک مدول انژکتیو حداقلی است که حاوی M است به این معنا که اگر M ⊆ B برای یک مدول انژکتیو B باشد ، آنگاه E ( M ) (ایزومورف به) زیرمدول B است .
  • اگر N زیرمدول ضروری M باشد ، E ( N )= E ( M ) است.
  • هر مدول M یک بدنه انژکتیو دارد. ساختاری از بدنه انژکتیو بر حسب هممورفیسم Hom( I , M )، جایی که من از ایده آل های R عبور می کنم ، توسط فلیشر (1968) ارائه شده است .
  • مفهوم دوگانه پوشش تصویری می کند نه همیشه برای یک مدول وجود داشته باشد، با این حال یک پوشش مسطح برای هر مدول وجود دارد.

ساختار حلقه [ ویرایش ]

در برخی موارد، برای R زیر حلقه ای از یک حلقه خود انژکتیو S ، بدنه انژکتیو R نیز ساختار حلقه ای خواهد داشت. [2] به عنوان مثال، در نظر گرفتن S را به تمام حلقه ماتریس بیش از یک میدان، و در نظر گرفتن R به هر حلقه شامل هر ماتریس است که صفر در همه اما آخرین ستون، بدنه انژکتیو از حق R -مدول R است S . برای مثال، می‌توان R را حلقه همه ماتریس‌های مثلثی بالا در نظر گرفت. با این حال، همیشه اینطور نیست که بدنه انژکتیو یک حلقه ساختار حلقه ای داشته باشد، همانطور که نمونه ای در ( Osofsky 1964 ) نشان می دهد.

دسته بزرگی از حلقه‌ها که ساختار حلقه‌ای روی بدنه انژکتیو خود دارند حلقه‌های غیر منفرد هستند . [3] به طور خاص، برای یک دامنه صحیح ، بدنه انژکتیو حلقه (که به عنوان یک مدول روی خود در نظر گرفته می شود) میدان کسری است . بدنه انژکتیو حلقه‌های غیر منفرد، مشابه حلقه‌های ضریب برای حلقه‌های غیرقابل جابه‌جایی است، جایی که فقدان شرط سنگ ممکن است مانع تشکیل حلقه کلاسیک ضریب شود . این نوع "حلقه ضریب" (همانطور که این "میدان های کسر" عمومی تر نامیده می شوند) در ( Utumi 1956 ) پیشگام شد ، و ارتباط با بدنه های انژکتیو در ( لامبک 1963) شناسایی شد.).

ابعاد یکنواخت و مدول های انژکتیو [ ویرایش ]

یک مدول R M دارای بعد یکنواخت متناهی (= رتبه متناهی ) n است اگر و فقط اگر بدنه انژکتیو M یک مجموع مستقیم متناهی از n زیرمدول تجزیه ناپذیر باشد .

تعمیم [ ویرایش ]

به طور کلی تر، اجازه دهید C یک دسته آبلی باشد. یک جسم E یک بدنه انژکتیو یک جسم M است اگر M → E یک پسوند اساسی و E یک شی انژکتیو باشد .

اگر C به صورت محلی کوچک باشد ، اصل گروتندیک AB5 را برآورده می‌کند و دارای انژکتورهای کافی است ، پس هر شی در C یک بدنه انژکتیو دارد (این سه شرط توسط دسته‌بندی مدول‌های روی یک حلقه برآورده می‌شوند). [4] هر شیء در دسته گروتندیک دارای بدنه انژکتیو است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_hull