حلقه آرتینی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سوم بهمن ۱۴۰۰ | 13:52

در جبر انتزاعی ، یک حلقه آرتینی (گاهی اوقات حلقه آرتین ) حلقه ای است که شرط زنجیره نزولی را بر روی ایده آل ها برآورده می کند . یعنی هیچ دنباله نزولی بی نهایت آرمان ها وجود ندارد. حلقه‌های آرتینی به افتخار امیل آرتین نامگذاری شده‌اند که برای اولین بار کشف کرد که شرط زنجیره نزولی برای ایده‌آل‌ها به طور همزمان حلقه‌ها و حلقه‌های محدودی را تعمیم می‌دهد که فضاهای برداری با ابعاد محدود بر روی میدان‌ها هستند . تعریف حلقه‌های آرتینی را می‌توان با تعویض شرط زنجیره نزولی با مفهومی معادل: شرط حداقل، دوباره بیان کرد .

یک حلقه است آرتینی چپ اگر ارضا شرط زنجیره نزولی بر آرمان های چپ، آرتینی راست اگر آن را برآورده شرایط نزولی های زنجیره ای در آرمان راست، و آرتینی یا آرتینی دو طرفه آن است که اگر هر دو سمت چپ و راست آرتینی. برای حلقه های جابجایی ، تعاریف چپ و راست بر هم Iطبق هستند، اما به طور کلی آنها از یکدیگر متمایز هستند.

آرتین-Wedderburn به قضیه مشخصه هر ساده حلقه آرتینی به عنوان یک حلقه از ماتریس بیش از یک حلقه تقسیم . این به این معنی است که یک حلقه ساده آرتینی باقی می ماند اگر و فقط اگر راست آرتین باشد.

همان تعریف و اصطلاحات را می توان برای ماژول ها به کار برد و ایده آل ها با زیر ماژول ها جایگزین می شوند.

اگرچه شرط زنجیره نزولی دوتایی به شرط زنجیره صعودی به نظر می رسد ، اما در حلقه ها در واقع شرایط قوی تر است. به طور خاص، پیامد قضیه آکیزوکی-هاپکینز-لویتزکی این است که یک حلقه آرتینی چپ (به عبارت سمت راست) به طور خودکار یک حلقه نوترین چپ (و یا راست) است . این برای ماژول های عمومی صادق نیست. یعنی یک ماژول آرتینی نباید یک ماژول نوتر باشد .

فهرست

مثال‌ها و نمونه‌های متقابل [ ویرایش ]

یک داIه انتگرال آرتینی است اگر و فقط اگر یک فیلد باشد.
حلقه ای با ایده آل های بسیار زیاد، مثلاً چپ، آرتینی باقی مانده است. به ویژه، یک حلقه محدود (به عنوان مثال، $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ) آرتینی چپ و راست است.
بگذارید k یک میدان باشد. سپس $k[t]/(t^{n})$ برای هر عدد صحیح مثبت n آرتینی است .
به همین ترتیب، $k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\plus k\cdot xy\ oplus k\cdot y^{2}$ یک حلقه آرتینی با حداکثر ایده آل است $(x,y)$
اگر I یک ایده آل غیر صفر از یک داIه Dedekind A باشد ، پس $A/I$ یک حلقه اصلی آرتینی است. [1]
برای هر $n\geq 1$ ، حلقه ماتریس کامل $M_{n}(R)$ بر روی یک حلقه آرتینی چپ (مثلاً نوترین چپ) حلقه R آرتینی (مثلاً نوترین چپ) باقی مانده است. [2]

دو مورد زیر نمونه هایی از حلقههای غیر آرتینی هستند.

اگر R هر حلقه ای باشد، حلقه چند جمله ای R[x] آرتینی نیست، زیرا ایده آل توسط $x^{n+1}$ (به درستی) در ایده آل تولید شده توسط $x^{n}$ برای همه اعداد طبیعی n . توجه داشته باشید که اگر R نوتری است، R[x] توسط قضیه پایه هیلبرت نیز چنین است.
حلقه اعداد صحیح $\mathbb {Z}$ یک حلقه نوتری است اما آرتینی نیست.

ماژول ها روی حلقه های آرتینی [ ویرایش ]

بگذارید M یک ماژول سمت چپ روی یک حلقه آرتینی چپ باشد. سپس موارد زیر معادل هستند ( قضیه هاپکینز ): (i) M به طور متناهی تولید می شود، (ii) M دارای طول محدود است (یعنی دارای سری ترکیبی است )، (iii) M نوترین است، (iv) M آرتینین است. [3]

حلقه های آرتینی جابجایی [ ویرایش ]

بگذارید A یک حلقه نوتری جایگزین با وحدت باشد. بعدی ها برابر هستند.

الف آرتینی است.
A یک محصول متناهی از حلقه های محلی آرتینی جابجایی است . [4]
/ صفر ( ) است حلقه نیم ساده ، که در آن صفر ( ) است رادیکال پوچ از . [ نیازIد Iبع ]
هر ماژول به طور متناهی تولید شده روی A طول محدودی دارد. (به بالا نگاه کن)
A دارای بعد هسته صفر است. [5] (به ویژه، رادیکال پوچ رادیکال یاکوبسون است زیرا ایده آل های اولیه حداکثر هستند.)
$\operatorname {Spec} A$ محدود و گسسته است.
$\operatorname {Spec} A$ گسسته است. [6]

فرض کنید k یک میدان و A به طور متناهی k - جبر تولید شده باشد . آنگاه A آرتینی است اگر و فقط اگر A به طور متناهی به عنوان k- module تولید شود .

یک حلقه محلی آرتین کامل است. ضریب و محلی سازی یک حلقه آرتینی آرتینی است.

حلقه آرتینی ساده [ ویرایش ]

یک حلقه آرتینی ساده A یک حلقه ماتریسی بر روی یک حلقه تقسیم است. در واقع، [7] اجازه دهید I یک ایده آل راست حداقلی (غیر صفر) A باشم . سپس، از آن زمان{\displaystyle AI} $هوش مصنوعی$ یک ایده آل دو طرفه است، $AI=A$ از آنجایی که A ساده است. بنابراین، ما می توانیم انتخاب کنیم $a_{i}\در A$ به طوری که $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ . فرض کنید k با توجه به آن ویژگی حداقل است. نقشه ماژول های A سمت راست را در نظر بگیرید:

${\begin{cases}I^{\plus k}\to A,\\(y_{1},\dots,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots + a_{k}y_{k}\end{موارد}}$

سوژه ای است. اگر تزریقی نیست، بگو: $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ با غیر صفر $y_{1}$ . سپس، با حداقل بودن I ، داریم: $y_{1}A=I$ . آن به شرح زیر است:

$a_{1}I=a_{1}y_{1}A\زیر مجموعه a_{2}I+\cdots +a_{k}I$ ،

که با حداقل بودن k در تضاد است . از این رو، $I^{\plus k}\simeq A$ و بنابراین $A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))$ .

https://en.wikipedia.org/wiki/آرتینی_ring

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

حلقه آرتینی

فهرست

مثال‌ها و نمونه‌های متقابل [ ویرایش ]

ماژول ها روی حلقه های آرتینی [ ویرایش ]

حلقه های آرتینی جابجایی [ ویرایش ]

حلقه آرتینی ساده [ ویرایش ]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین